II. ДИФ Ф ЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Ф УНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ 1. Основны е понятия Анализ функций двух переменных во мно...
3 downloads
162 Views
367KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
II. ДИФ Ф ЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Ф УНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ 1. Основны е понятия Анализ функций двух переменных во многом схож с анализом функции одной переменной. Поэтому полезно сравнивать результаты данного раздела с соответствующими результатами, касающимися функций одной переменной. Однако, наличие двух аргументов обуславливает и некоторые отличия этого анализа. Определение. Если каж дой паре значений двух не зависящих друг от друга переменных величин x и y из некот орого множ ест ва D на плоскост и XOYпо некот орому правилу f соот вет ст вует одно значение z из множ ест ва Z на прямой, т о говорят , чт о z функция двух переменных (x; y), определенная на множ ест ве D. Данный факт записывают т ак: z = f ( x ; y) , где ( x ; y ) Î D или z = f ( M ) , где M Î D или f M ( x ; y ) Î D ¾¾® z Î Z .
При этом множество D называется област ью определения функции z = f ( x ; y) , Z област ью значений этой функции. Если при записи z = f ( x ; y) не указывается область определения D, то при этом имеется в виду естественная область определения, т.е. множество пар значений (x; y), при которых данное выражение имеет смысл. Пример 1. Найти область определения функции z = ln ( y 2 - x 2 ) . Решение. Очевидно, что D =
{( x ; y ): y - x > 0 } = {( x ; y ): y > x } = {( x ; y ): 2
2
2
2
}
y > x .
Область D изображена на рис. 2.1.1 с помощью штриховки. Пунктирная линия указывает на то, что соответствующие прямые не входят в область D. Геометрическим образом функции z = f ( x ; y) является некоторая поверхность в пространстве OXYZ.
Рис. 2.1.1
Пример 2. Каков геометрический образ функции z = x 2 - y 2 ? Решение. Этой функции соответствует гиперболический параболоид (см. рис. 2.1.2). Пример 3. Функции z=Ax+By+C соответствует некоторая плоскость. Рис. 2.1.2
Пример 4. Дана функция ì1 , если x и y рациональн ые числа, z = í î0 , если x и y не являются рациональн ыми числами. Для данной функции весьма затруднительно построить соответствующую поверхность. Определение.
d окрест ност ью т очки M0(x0; y0) на плоскост и XOYназывает ся совокупност ь всех т очек M(x; y), леж ащих внут ри круга радиуса d с цент ром в т очке M0(x0; y0). Таким образом, по определению E d =
{( x ; y ):
ì M 0 M < d = í( x ; y ): î
}
2
2
( x - x ) + ( y - y ) 0
0
ü < d ý , þ
где M 0 M длина вект ора M 0 M . d окрест ност ь т очки M0 показана на рис. 2.1.3 Определение. Если т очка M(x; y) входит в множ ест во D вмест е с некот орой ее окрест ност ью, т о т очка M(x; y) называет ся внут ренней т очкой множ ест во D. Множ ест во D, сост оящее т олько из внут ренних т очек, называет ся от крыт ым. Множества на рис. 2.1.1 и рис. 2.1.3 открытые. Определение.
Рис. 2.1.3
Если в любой окрест ност и т очки M0(x0; y0) содерж ат ся т очки множ ест ва D, от личные от M0 т о т очка M0(x0; y0) называет ся предельной т очкой множ ест ва D ( или т очкой сгущения). Заметим, что сама предельная точка M0 может и не принадлежать множеству D.
Определение. Множ ест во D, содерж ащее все свои предельные т очки, называет ся замкнут ым. Определение. Множ ест во D называет ся ограниченным, если оно содерж ит ся в некот орой
d окрест ност и т очки O(0; 0). 2. Предел функции двух переменны х Определение. Пуст ь функция z= f(x; y) определена в некот орой окрест ност и т очки M0(x0; y0), кроме, мож ет быт ь, самой т очки M0(x0; y0). Число А называет ся пределом функции z=f(x; y) при ст ремлении т очки M(x; y) к т очке M0(x0; y0), если для любого числа e> 0 найдет ся т акое число d> 0, чт о для всех т очек M(x; y) в d окрест ност и т очки M0(x0; y0), кроме самой т очки M0(x0; y0), выполняет ся условие f ( M ) - A < e .
Обозначает ся предел функции т ак lim f ( M ) = A или lim f ( x ; y ) = A .
M ® M 0
x ® x 0 y ® y 0
(2.2.1)
Используя определение d окрестности Ed, можно данное определение записать следующим образом: Определение. Пуст ь функция z= f(x; y) определена в некот орой окрест ност и т очки M0(x0; y0), кроме, мож ет быт ь, самой т очки M0(x0; y0). Число А называет ся пределом функции z=f(x; y) при ст ремлении т очки M(x; y) к т очке M0(x0; y0), если для любого числа e> 0 найдет ся т акое число d> 0, чт о для всех (x; y), удовлет воряющих условию 0 <
2
2
( x - x ) + ( y - y ) 0
0
< d ,
(2.2.2)
выполняет ся условие f ( M ) - A < e .
Заметим, что условие (2.2.2) можно заменить условием ìï x - x 0 < d í ïî y - y 0 < d , где x ¹ x 0 или y ¹ y 0 . Это соответствует переходу от окрестности в виде круга радиуса d к окрестности в виде квадрата со стороной 2d.
Замечание. В определении предела не обязательно требовать, чтобы функция была определена в окрестности точки M0, кроме, может быть, самой точки M0. Достаточно потребовать, чтобы точка M0 была предельной точкой области определения D. Можно доказать следующую теорему ([3.п.166]). Теорема. Для существования предела lim f ( M ) = A
M ® M ( 0 )
необходимо и достаточно, чтобы для любой последовательности точек MnÎD (n=1,2,¼), сходящейся при n®¥ к точке M (0) , соответствующая последовательность f(Mn) сходилась к A, т.е. lim f ( M n ) = A .
n ®¥
В соответствии с этой теоремой, если существует предел lim f ( M ) = A ,
0 M ® M ( )
то при любом "пути", по которому точки Mn сходятся к точке M (0) , предел значений функции f(Mn) будет один и тот же и равен A (необходимость). Наоборот, если при любом "пути", по которому Mn сходятся к M (0) , предел значений f(Mn) будет один и тот же и равен A, то предел lim ( ) f ( M ) = A
M ® M 0
существует и равен A (достаточность). Таким образом, как и для функции одной переменной y=f(x) определение предела на "языке ed" эквивалентно определению на "языке последовательностей".
Приводимое ниже Утверждение дает возможность установить отсутствие предела. Ут верж дение. Если сущест вуют две последоват ельност и M n (1 ) ¾n ¾ ¾ ® M ( 0 ) и M n ( 2 ) ¾n ¾ ¾ ® M ( 0 ) ®¥ ®¥
т акие, чт о lim f ( M n (1 ) ) ¹ lim f ( Mn (2 ) ) ,
n ®¥
n ®¥
т о предел lim ( ) f ( M )
M ® M 0
не сущест вует . x 2 - y 2 Пример 5. Существует ли предел функции f ( x ; y ) = 2 , при x®0 и y®0 ? x + y 2 Решение. Рассмотрим две последовательности точек æ 1 1 ö M n (1 ) ç ; ÷ ¾n ¾ ¾® O ( 0 ; 0 ) , ®¥ è n n ø æ 1 2 ö M n ( 2 ) ç ; ÷ ¾n ¾ ¾® O (0 ; 0 ) . ®¥ è n n ø
Очевидно, что 1 (1 ) n 2 f ( M n ) = 1 + n 2
(
f M n ( 2 )
)
1 2 = n 1 + n 2
1 n 2 = 0 при всех nÎN, 1 n 2
4 n 2 = - 3 при всех nÎN. 4 5 n 2
Таким образом, lim f ( x ; y) x ® 0 y ® 0
не существует. x 2 y Пример 6. Найти lim 2 2 . x ® 0 x + y y ® 0 Решение. Непосредственное нахождение предела невозможно, так как возникает æ 0 ö неопределенность вида ç ÷ . Очевидно, что è 0ø x 2 y xy xy x 2 y x 0 = = x £ x = < e , 2 2 2 2 2 x + y x + y ( x - y ) + 2 xy 0 + 2 xy 2 для любого e>0, как только x < d = 2 e . Таким образом, для любого e>0 можно найти
d = 2 e > 0 такое, что, как только выполняется условие x - 0 < d (и y - 0 < d ), выполняется условие x 2 y - 0 < e . x 2 + y 2
Это означает, что x 2 y lim 2 2 = 0. x ® 0 x + y y ® 0 Можно дать определение предела функции и при x®¥ и y®¥. Определение. Число A называет ся пределом функции z=f(x; y) при x®¥ и y®¥, если для любого числа e> 0 найдет ся т акое число N> 0, чт о для всех x, y, для кот орых |x|> N, |y|> N, функция z= f(x; y) определена и имеет мест о неравенст во f ( x ; y ) - A < e .
Основные свойства пределов определяются следующими равенствами: lim [af ( x ; y ) ] = a × lim f ( x ; y) (a постоянная величина);
x ® x 0 y ® y 0
x ® x 0 y ® y 0
lim [ f ( x ; y ) + g ( x ; y ) ] = lim f ( x ; y ) + lim g ( x ; y)
x ® x 0 y ® y 0
x ® x 0 y ® y 0
x ® x 0 y ® y 0
lim [ f ( x ; y ) × g ( x ; y ) ] = lim f ( x ; y ) × lim g ( x ; y) ;
x ® x 0 y ® y 0
x ® x 0 y ® y 0
x ® x 0 y ® y 0
lim f ( x ; y ) x f ( x ; y ) x y ® ® y lim = ( lim g ( x ; y) ¹ 0 ). x ® x g ( x ; y ) x ® x lim g ( x ; y ) y ® y y ® y 0
0
0 0
0
x ® x 0 y ® y 0
0
Пределы в левых частях этих формул существуют, если существуют пределы от f и g. 3. Повторны е пределы Очевидно, что определение предела функции двух переменных аналогично соответствующему определению для функции одной переменной. Однако, в случае двух переменных возникает особенность, связанная с тем, что кроме рассмотрения предельного перехода при одновременном стремлении аргументов x и y к их предельным значениям (как было рассмотрено выше) возможны предельные переходы по каждому аргументу в отдельности в том или ином порядке (сначала по x, потом по y, или наоборот). Пример 7. Дана функция f ( x ; y ) =
x - y + x 2 + y 2 при x>0 и y>0. x + y
Решение. Рассмотрим повторный предел lim lim f ( x ; y ) = lim ( y - 1 ) = - 1 .
y ® + 0 x ® +0
y ® + 0
Рассмотрим теперь повторный предел с обратным порядком предельных переходов lim lim f ( x ; y ) = lim ( x + 1 ) = 1 .
x ®+ 0 y ® +0
x ®+ 0
Очевидно, что повторные пределы не равны. Пример показывает, что следует быть осторожным при перестановке двух предельных переходов по разным аргументам. Следующая теорема устанавливает связь между двойным пределом, рассмотренным ранее, и повторными пределами, и дает возможность обосновать перестановку переходов. Теорема. Пуст ь област ь определения D функции z= f(x; y) т акова, чт о x (независимо от y) мож ет принимат ь любое значение в некот ором множ ест ве X, для кот орого т очка a служ ит т очкой сгущения, но ему не принадлеж ит , и аналогично y (независимо от x) изменяет ся в множ ест ве Yс не принадлеж ащей ему т очкой сгущения b. Пуст ь выполняют ся условия:
1. Сущест вует двойной предел lim f ( x ; y ) = A . x ® a y ® b
2. При любом yÎYсущест вует прост ой предел по x lim f ( x ; y ) = j ( y) . x ® a
Тогда сущест вует повт орный предел lim j ( y ) = lim lim f ( x ; y) , y ® b
y ® b x ® a
и он равен двойному пределу A: lim lim f ( x ; y ) = lim f ( x ; y ) = A . y ® b x ® a
x ® a y ® b
Пуст ь наряду с условиями 1, 2 выполняет ся условие 3:
3. При любом xÎX сущест вует прост ой предел по y lim f ( x ; y ) = y ( x) . y ® b
Тогда сущест вует и вт орой повт орный предел lim y ( x ) = lim lim f ( x ; y) x ® a
x ® a y ® b
и он равен т ому ж е числу A. Оба повт орных предела равны меж ду собой (и равны A): lim lim f ( x ; y ) = lim lim f ( x ; y ) = A . y ® b x ® a
x ® a y ® b
С доказательством теоремы можно ознакомится в [2. п. 168].
4. Непреры вность функции Определение 1. Функция z= f(x; y) непрерывна в т очке M0(x0; y0), если она определена в эт ой т очке и в некот орой ее окрест ност и, и при эт ом имеет мест о равенст во lim f ( x ; y ) = f ( x 0 ; y0 ) ,
(2.4.1)
lim f ( M ) = f ( M 0 ) .
(2.4.2)
x ® x 0 y ® y 0
или, в другой записи, M ® M 0
В прот ивном случае функция т ерпит разрыв в т очке M0. Соотношения (2.4.1), (2.4.2) можно сформулировать так: предел функции в точке M0 равен значению функции в предельной точке M0. Обозначим через M 0 M длину вектора M 0 M . Определение 1 на "языке ed" можно сформулировать так: Определение 2. Функция z= f(x, y) непрерывна в т очке M0, если она определена в эт ой т очке и в некот орой окрест ност и и для любого числа e>0 найдет ся т акое число r> 0, чт о для всех т очек M из област и определения функции т аких чт о M 0 M < r , выполняет ся неравенст во f ( M ) - f ( M 0 ) < e . Эквивалентное определение можно дать следующим образом: Определение 3.
Функция z= f(x, y) непрерывна в т очке M0(x0, y0), если она определена в эт ой т очке и в некот орой ее окрест ност и и для любого числа e> 0 найдет ся т акое число d> 0, чт о будет выполнят ся неравенст во f ( x ; y ) - f ( x 0 ; y 0 ) < e , лишь т олько x - x0 < d , y - y0 < d . Рассматривая разности (xx0), (yy0) как приращения Dx, Dy независимых переменных, а разность ( f ( x ; y ) - f ( x 0 ; y 0 ) ) как приращение функции, можно (как и в случае функции одной переменной) дать следующее определение Определение 4. Функция z= f(x; y) непрерывна в т очке M0(x0; y0), если она определена в т очке M0 и в некот орой ее окрест ност и, и если бесконечно малым приращениям независимых переменных соот вет ст вует бесконечно малое приращение функции. Как и для функции одной переменной имеет место вторая теорема Вейерштрасса. Теорема. (Вторая теорема Вейерштрасса). Если функция z=f(x; y) определена и непрерывна в замкнут ом и ограниченном множ ест ве D (т .е. непрерывна в каж дой т очке множ ест ва D), т о она дост игает в эт ой област и своих т очных верхней M и ниж ней m границ. Доказательство вполне аналогично случаю функции одной переменной и здесь не приводится. ì x 2 - y 2 , если x 2 + y 2 > 0 , ï Пример 8. Рассмотрим функцию z = í x 2 + y 2 . ï 0 , если x = 0 и y = 0 . î
Решение. Функция определена при всех (x; y), но в точке (0; 0) терпит разрыв, так x 2 - y 2 как lim 2 2 не существует (см. пример 5). x ® 0 x + y y ® 0 Пример 9. Будет ли непрерывной в точке (0; 0) функция ì x 2 y 2 2 ï 2 2 , если x + y > 0 , z = í x + y . ï 0 , если x = 0 и y = 0 . î
x 2 y Решение. Функция определена в точке (0; 0): f(0; 0)=0. Кроме того, lim 2 2 = 0 x ® 0 x + y y ® 0 (см. пример 6). Поэтому lim f ( x ; y ) = f ( 0 ; 0 ) = 0 и функция непрерывна в точке (0; 0). x ® 0 y ® 0
Пример 10. Найти точки разрыва функции z =
x 2 + y 2 . x 2 - y 2
Решение. Точки разрыва образуют прямые y=±x. 5. Частны е приращения и частны е производны е Определение. Част ным приращением функции z=f(x; y) по x называет ся приращение функции при заданном приращении переменной x и фиксированном значении другой переменной y Dz x = f ( x + D x ; y ) - f ( x ; y ) . Аналогично определяются частные приращения по y: Dz y = f ( x ; y + D y ) - f ( x ; y ) .
Определение. Част ной производной первого порядка по x функции z= f(x; y) в т очке M(x; y) называет ся предел от ношения част ного приращения Dzx к приращению Dx при xD®0: Dz x ¶f f ( x + Dx ; y ) - f ( x ; y ) = lim = lim . ¶ x Dx ®0 Dx Dx® 0 D x
Аналогично дает ся определение част ной производной по y: Dz y ¶f f ( x ; y + Dy ) - f ( x ; y ) = lim = lim . D y ® 0 D y ® 0 ¶y Dy D y Используются также и такие обозначения для частных производных первого порядка:
¶z , z x ¢ , f x ¢ ; ¶x
¶z , z y ¢ , f y ¢ . ¶y Вычисление частных производных сводится к обычному дифференцированию, поскольку при дифференцировании по одной переменной другая переменная постоянна. Пример 11. Найти частные производные по x и по y функции z = cos( x 3 y ) + x 2 + y 2 . Решение.
¶z = - sin( x 3 y ) × 3 x 2 y + ¶x
¶z = - sin( x 3 y ) × x 3 + ¶y
y x 2 + y 2
x x 2 + y 2
;
.
Очевидно, что частные производные первого порядка есть некоторые функции от (x; y). Поэтому можно ставить вопрос о наличии частных производных от производных первого порядка. Частная производная от частной производной первого порядка функции z=f(x; y) называется част ной производной вт орого порядка. Очевидно, что для функции двух переменных z=f(x; y) таких производных четыре:
¶ 2 f ¶ æ ¶f ö ç ÷ 2 = ¶x è ¶x ø ¶x
¢ ( z xx ¢¢ = ( z x ¢ ) x );
¶ 2 f ¶ æ ¶f ö = ç ÷ ¶x ¶y ¶y è ¶x ø
¢ ( z xy ¢¢ = ( z x ¢ ) y );
¶ 2 f ¶ æ ¶f ö = ç ÷ ¶y ¶x ¶y è ¶x ø
( z yx ¢¢ = z y ¢
( )
¢
);
x
¶ 2 f ¶ æ ¶f ö ç ÷ 2 = ¶y è ¶y ø ¶y
( )
( z ¢¢yy = z ¢y
¢
).
y
Производные
¶ 2 f ¶ 2 f , ¶x ¶y ¶y ¶x называются смешанными част ными производными. Теорема. Пуст ь функция z= f(x; y) определена в от крыт ой област и D вмест е со своими част ными производными первого и вт орого порядка, причем z xy ¢¢ и z ¢¢ yx непрерывны в т очке M0(x0; y0)ÎD. Тогда в эт ой т очке z xy ¢¢ ( x 0 ; y 0 ) = z ¢¢ yx ( x 0 ; y 0 ) . С доказательством теоремы можно ознакомится в [1. гл. VIII § 12]. В соответствии с этой теоремой непрерывные смешанные производные не зависят от порядка дифференцирования. 6. Полны й дифференциал Определение. Полным приращением функции z=f(x; y) называет ся приращение функции при заданных приращениях аргумент ов x и y: Dz = f ( x + Dx ; y + D y ) - f ( x ; y) . Введем величину 2
2 Dr = ( Dx ) + ( Dy ) ,
равную расстоянию между точками M(x; y) и M1(x+Dx, y+Dy). Определение. Если полное приращение Dz мож ет быт ь предст авлено в виде Dz = A Dx + B Dy + o ( D r ) , ( Dr ® 0 )
(2.6.1)
где A, B не зависят от Dx, Dy, т о функция z=f(x; y) называет ся дифференцируемой в т очке M(x; y). Здесь слагаемое ( A Dx + B Dy) называет ся главной линейной част ью приращения. Ут верж дение.
Если функция f(x; y) дифференцируема в т очке M(x; y), т о она имеет в эт ой т очке част ные производные, равные
¶f ¶f = A , = B . ¶y ¶ x Доказат ельст во. Пусть имеет место представление (2.6.1). положим Dx=h; y=0. Тогда Dr=h и Dz=Ah+o (h) (h®0). Делим на h и переходим к пределу при h®0: Dz Ah + o ( h ) ¶f = lim = = A . Dx ® 0 D x h ® 0 h ¶ x lim
Аналогично
¶f = B . ¶y Теорема 1. Если функция f(x; y) имеет непрерывные част ные производные в т очке (x, y), т о ее приращение в эт ой т очке, соот вет ст вующее дост ат очно малому приращению (Dx, Dy), мож но записат ь в виде Dz =
¶f ¶f Dx + Dy + o ( D r ) ( Dr ® 0 ), ¶x ¶y
(2.6.1')
где част ные производные взят ы в т очке (x, y). С доказательством теоремы можно ознакомится в [1. гл. VIII § 7]. Сравнивая последнюю формулу с формулой (2.6.1), получаем, что, если функция f(x, y) имеет непрерывные частные производные в точке (x, y), то она дифференцируема и
¶f ¶f = A , = B , ¶y ¶ x где частные производные вычислены в точке (x, y). Результаты, изложенные в Утверждении и в Теореме 1, можно сформулировать следующим образом. Теорема 2. Для т ого, чт обы функция f(x, y) была дифференцируемой в т очке (x, y), необходимо чт обы она имела в эт ой т очке част ные производные, и дост ат очно, чт обы она имела в эт ой т очке непрерывные част ные производные. Заметим, что для дифференцируемости функции одной переменной f(x) необходимо и достаточно, чтобы существовала производная Определение.
df ( x ) . dx
Если функция дифференцируема в т очке (x, y), т о главная линейная част ь ее приращения в эт ой т очке A Dx + B Dy =
¶f ¶f Dx + Dy , ¶x ¶y
называет ся дифференциалом dz функции f(x, y), т .е. по определению: dz =
¶f ¶f Dx + D y . ¶x ¶y
(2.6.2)
Замечание. Для независимых переменных x и y dx=Dx; dy=Dy.
(2.6.3)
В самом деле, в соответствии с формулой (2.6.2), имеем dx =
¶x ¶x Dx + Dy = 1 × Dx + 0 × Dy = D x . ¶x ¶y
Аналогично доказывается, что dy=Dy. С учетом соотношений (2.6.3) полный дифференциал dz можно записать в виде dz =
¶f ( x ; y ) ¶f ( x ; y ) dx + dy . ¶x ¶ y
(2.6.4)
Отметим, что для дифференциала dz выполняются те же свойства, что и для дифференциала функции одной переменной: d ( cz ) = c × dz , d ( z 1 + z 2 ) = dz 1 + dz 2 , d ( z 1 × z 2 ) = z 2 dz 1 + z1 dz 2 , æ z 1 ö z 2 dz 1 - z dz 1 2 d ç ÷ = . 2 z2 è z 2 ø (c постоянная величина). y Пример 12. Найти дифференциал функции z = arctg . x
Решение. Находим частные производные
¶z = ¶x
¶z = ¶y
( - y ) æ 1 ö × y ç ÷ = , 2 è x 2 ø ( x 2 + y 2 ) æ y ö 1 + ç ÷ è x ø 1
1 æ y ö 1 + ç ÷ è x ø
2
×
1 x = 2 . x ( x + y 2 )
(2.6.5)
В соответствии с формулой (2.6.4) имеем dz = -
ydx xdy . 2 + 2 x + y x + y 2 2
7. Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности Плоскость (a) называется касат ельной к поверхност и (s) в точке M0 на ней, если расстояние MP переменной точки M на поверхности (s) от плоскости, при стремлении расстояния M 0 M к нулю, является бесконечно малой величиной более высокого порядка малости, чем M 0 M :
(
)
MP = o M 0 M , т.е. MP M 0 M
® 0 при M 0 M ® 0 . Рис. 2.7.1
(см. рис. 2.7.1). Ут верж дение.
Уравнение касат ельной плоскост и (не параллельной оси OZ) к поверхност и z= f(x; y) в т очке M0(x0; y0; z0), где z0=f(x0; y0), имеет вид ( z - z 0 ) =
¶f ( x 0 ; y 0 ) ¶f ( x 0 ; y 0 ) ( x - x 0 ) + ( y - y0 ) . ¶x ¶y
(2.7.1)
Доказат ельст во. Из курса аналитической геометрии известно, что уравнение плоскости (не параллельной оси OZ), проходящей через точку M0(x0; y0; z0), имеет вид ( z - z 0 ) = A x ( - x 0 ) + B ( y - y0 ) .
(2.7.2)
Далее используем следующую теорему ([3. п. 180]): Теорема. Для т ого, чт обы поверхност ь z=f(x; y) имела касат ельную плоскост ь (не параллельную оси OZ) в т очке M0(x0; y0; f(x0; y0)) необходимо и дост ат очно чт обы функция z= f(x; y) была дифференцируемой в т очке M0, т .е., чт обы имело мест о разлож ение ( z - z 0 ) = A x ( - x 0 ) + B ( y - y0 ) + o ( D r ) , где A =
¶f ( x 0 ; y 0 ) ¶f ( x 0 ; y 0 ) ; B = . ¶y ¶ x
Подставляя эти выражения в формулу (2.7.2), получаем искомое уравнение (2.7.1)n
Нормалью к поверхност и (s) в точке M0 на ней называется прямая, проходящая через точку M0 перпендикулярно касательной плоскости к поверхности (s) в точке M0. Ут верж дение. Уравнение нормали к поверхност и z=f(x; y) в т очке M0(x0; y0; f(x0; y0)) имеет вид ( x - x 0 ) ( y - y 0 ) = = - ( z - z0 ) . ¶f ( x 0 ; y 0 ¶f ( x 0 ; y 0 ¶x ¶ y
(2.7.3)
Доказат ельст во. Канонические уравнения прямой, проходящей через точку M0(x0; y0; z0), имеют вид x - x 0 y - y 0 z - z0 = = , m n p
(2.7.4)
где {m, n, p} направляющий вектор прямой. Запишем уравнение касательной к плоскости (2.7.1) следующим образом:
¶f ( x 0 ; y 0 ) ¶f ( x 0 ; y 0 ) ( x - x 0 ) + ( y - y 0 ) + ( -1 )( z - z 0 ) = 0 . ¶x ¶y Вектор ì ¶f ( x 0 ; y 0 ) ¶f ( x 0 ; y 0 ) ü ; ; - 1ý í ¶x ¶ y î þ
является вектором нормали к касательной плоскости и поэтому может быть взят в качестве направляющего вектора {m, n, p} в уравнении (2.7.4). Подставляя этот вектор в уравнение (2.7.4), получаем искомое уравнение (2.7.3)n Пример 13. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности z = 4 - ( x 2 + y 2 ) в точке M0(1; 1; 2). Решение.
¶z ¶z = -2 x ; = -2 y ; ¶y ¶x
¶z ( x 0 ; y 0 ) ¶z ( x 0 ; y 0 ) = -2 × 1 = - 2 ; = -2 × 1 = - 2 . ¶y ¶x В соответствии с формулой (2.7.1), получаем уравнение касательной плоскости ( z - 2 ) = -2 ( x - 1 ) - 2 ( y - 1 ) , или 2 x + 2 y + z - 6 = 0 . В соответствии с формулой (2.7.3), получаем уравнение нормали x - 1 y - 1 = = - ( z - 2 ) , ( -2 ) ( -2 )
или x - 1 y - 1 = = z - 2 . 2 2
