Основы научных исследований: Методические указания к практическому занятию. Ч.2: Планирование эксперимента и расчет математической модели

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение «Оренбургский государственный университет»

Кафедра материаловедения и технологии материалов

А.С. КИЛОВ

ОСНОВЫ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ Часть 2

Планирование эксперимента и расчет математической модели МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ПРАКТИЧЕСКОМУ ЗАНЯТИЮ

Рекомендовано к изданию Редакционно-издательским советом государственного образовательного учреждения «Оренбургский государственный университет»

Оренбург 2002

ББК УДК

34.41 я7 К 39 001.891 (07)

1 Практическое занятие № 1. Составление планов полного факторного эксперимента (ПФЭ) 1.1 Цель практического занятия Приобретение навыков ориентации в уровнях планирования входных параметров и выходных значений и в составлении матрицы планирования.

1.2 Общие сведения 1.2.1 Характеристика планирования эксперимента Большое количество экспериментальных задач формулируются как задачи по определению оптимальных условий процессов, оптимального состава шихты и т.д. Составляя план и благодаря оптимальному расположению точек в факторном пространстве и линейному преобразованию координат, удается преодолеть недостатки классического регрессионного анализа, в частности, обеспечить корреляцию между коэффициентами уравнения регрессии. Выбор плана определяется постановкой задачи исследования и особенностями объекта исследования. Планирование эксперимента позволяет варьировать (изменить) одновременно все факторы и получать количественные оценки как основных факторов, так и эффектов взаимодействия между ними, причем получаемые результаты характеризуются меньшей ошибкой, чем традиционные методы однофакторного исследования. 1.2.2 Полный факторный эксперимент При планировании по схеме полного факторного эксперимента реализуются все возможные комбинации факторов на всех выбранных для исследования уровнях. Количество опытов по плану определяется по формуле N = nk где N – число опытов в плане;

(1)

n – количество уровней (преимущественно два); k – число факторов. Уровни факторов представляют собой границы исследуемой области по данному технологическому параметру. Верхний и нижний уровни, как правило, устанавливают экспериментально предварительными опытами. Исходя из значений этих параметров, определяют центр плана и шаг варьирования по формулам Z io =

∆Z i =

Z imax + Z imin ; 2

(2)

Z imax − Z imin , 2

(3)

где Z io , Z imax , Z imin - значение исследуемого параметра в центре плана, на верхнем и нижнем уровнях, соответственно ∆Z i - шаг варьирования. При поведении экспериментов пользоваться натуральной системой координат не всегда удобно, поэтому в планах используют безразмерную систему координат, переход к которой осуществляют по формуле xi =

Z i − Z io , ∆Z i

(4)

где i – 1, 2, 3…k. В безразмерной системе координат верхний уровень равен +1, нижний уровень –1, координаты центра плана равны нулю и совпадают с началом координат осей. Кодированный план полного факторного эксперимента 23 геометрически может быть представлен в виде куба, восемь вершин которого представляют восемь экспериментальных точек. Планирование эксперимента рассмотрим при исследовании интенсивности изнашивания образца. Изменяемые факторы рассмотрим на примере нагрузки в зоне соприкосновения деталей, вязкости смазочного материала и температуры в зоне контакта.

Рисунок 1.1 – Схематическое представление плана полного факторного эксперимента 23 В таблице 1 показаны области исследований варьируемых параметров. В качестве выходного (наблюдаемого, регистрируемого) параметра принимают фиксируемый параметр, например, интенсивность изнашивания (таблица 2). Таблица 1 - Области исследований варьируемых параметров Параметры Вязкость Температура в смазочного зоне контакта Уровни материала параметра Система Система Система натураль- кодиро- натураль- кодиро- натураль- кодироная ванная ная ванная ная ванная 2 o Z1, H X1 Z2, мм /с X2 Z3, C X3 Верхний уровень 300 +1 20 +1 200 +1 Нижний уровень 100 -1 60 -1 100 -1 Основной 200 0 40 0 150 0 (нулевой) уровень Шаг 100 20 50 варьирования Степень нагрузки

Таблица 2 – Матрица планирования № опыта 1 2

Кодированные параметры Xo +1 +1

X1 -1 +1

X2 -1 -1

X3 -1 -1

X4 -1 -1

Выходные параметры Y1 Y2 Y11 Y21 Y12 Y22

Y23 +1 -1 +1 -1 -1 Y13 +1 +1 +1 -1 -1 Y14 Y24 +1 -1 -1 +1 -1 Y15 Y25 +1 +1 -1 +1 -1 Y16 Y26 +1 -1 +1 +1 -1 Y17 Y27 +1 +1 +1 +1 -1 Y18 Y28 +1 -1 -1 -1 +1 Y 19 Y29 +1 +1 -1 -1 +1 Y110 Y210 +1 -1 +1 -1 +1 Y111 Y211 +1 +1 +1 -1 +1 Y112 Y212 +1 -1 -1 +1 +1 Y113 Y213 +1 +1 -1 +1 +1 Y 114 Y214 +1 -1 +1 +1 +1 Y 115 Y215 +1 +1 +1 +1 +1 Y 116 Y216 Приведенная в таблице 2 матрица планирования обладает следующими свойствами: а) ортогональностью – равенство нулю скалярных произведений всех векторов – столбцов. Это свойство резко уменьшает трудности, связанные с расчетом коэффициентов уравнения регрессии, так как любой коэффициент уравнения регрессии Вj определяется скалярным произведением столбца yj на соответствующий столбец хij и делением суммы произведений на число опытов в матрице планирования. б) эффекты взаимодействия определяются аналогично линейным эффектам, но при этом учитывается произведение столбцов эффектов хiх j. в) нулевой фактор хoj как бы характеризует неучтенные факторы, влияющие на процесс и необходим для определения свободного члена уравнения регрессии. 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

1.3 Задание Подобрать варьируемые факторы и составить матрицу планирования трехфакторного эксперимента. Провести мысленный (виртуальный) эксперимент с указанием (назначением) выходного параметра и его значений. Рассчитать свободный член уравнения регрессии, коэффициенты при линейных факторах и эффектах взаимодействия.

1.4 Указания по выполнению работы Расчеты коэффициентов уравнения регрессии проводить по формулам

1 Bo = N

N

∑ xo y i ; i =1

(5)

1 N ∑ x j yi ; N i =1 1 N Bij = ∑ xi x j yi . N i =1 Bj =

(6) (7)

1.5 Содержание отчета В отчете о работе включить описание основ принципов планирования эксперимента, привести матрицу планирования эксперимента. Привести уравнение регрессии, рассматриваемого процесса.

1.6 Контрольные вопросы 1.6.1 Что такое пассивный эксперимент? 1.6.2 Что такое активный эксперимент? 1.6.3 Что дает планирование эксперимента? 1.6.4 Что показывает свободный член? 1.6.5 Какую зависимость факторов показывает уравнение?

2 Практическое занятие №2. Расчет математической модели

по

экспериментальным

значениям

и

оценка

полученной модели на адекватность 2.1 Цель занятия Приобретение навыков обработки экспериментальных данных и получение первичной математической модели.

2.2 Общие сведения В практических исследованиях широкое распространение получили математические модели в виде полинома, с помощью которого осуществляется связь выходного параметра (функции отклика)у с независимыми факторами хi, влияющими на тот или иной процесс. Для большинства процессов достаточную точность обеспечивают полиномы первой степени y = Bо + В1х1 + В2х2 +…+ Вnхn,

(8)

где у – расчетное значение выходного параметра (функция отклика); В0 - свободный член уравнения;

В1, В2,…,Вn – коэффициенты уравнения при соответствующих переменных (линейные эффекты); х1, х2,…,хn – переменные величины (независимые факторы). Такой полином называют линейным уравнением и он характеризует линейную связь функции отклика с независимыми факторами. Однако не для всех процессов достаточно линейного приближения. Для уменьшения расхождения между экспериментальной и расчетной величиной ∆ у = уэк –ур повышают порядок полинома и для практических задач уже полином второй степени достаточно полно и точно описывает процесс, обеспечивая стремление ∆ у к 0. Уравнение имеет вид N

N

i =1

i =1

У = Во+ ∑ Вi ⋅ xi + ∑ Bij ⋅ xj + ∑ Bii ⋅ xi2 ,

(9)

где Вij – коэффициент уравнения, показывающий силу взаимодействия факторов (эффект влияния одного фактора на другой); Вii - коэффициент уравнения, показывающий квадратичный эффект влияния факторов. Математическая модель рассматриваемого процесса позволяет: а) организовать рассматриваемый процесс (получить наилучшее – экстремальное значение выходного параметра); б) рассчитать значения выходного параметра при конкретных значениях факторов; в) построить двумерные модели значений выходного параметра при сочетании тех или иных факторов.

2.3 Задание Определить коэффициенты уравнения трехфакторного эксперимента (таблица 3).

регрессии

по

матрице

Таблица 3 – Матрица планирования 23 № опыта 1 2 3 4 5 6 7 8

х1 + + + +

х2 + + + +

х3 + + + +

У* 2 6 4 8 10 18 8 12

У

9 0 0 10 0 0 11 0 0 * - у каждого свои значения

0 0 0

7 8 6

2.4 Указания по выполнению работы План эксперимента с выходными данными представляет собой матрицу, а, учитывая свойства матриц и действий над ними можно заключить, что любой коэффициент уравнения регрессии Вi определяется скалярным произведением матрицы-столбца yi на соответствующую матрицу-столбец xi и делением произведения на число опытов в матрице планирования по полному факторному эксперименту, т.е. Вij =

1 N

N

∑ xij ⋅ yi .

(10)

i =1

Например, для определения коэффициента В1 при х1 необходимо получить сумму произведений.

х1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1

*

у 2 6 4 8 10 18 8 12

=

хiуi -2 +6 -4 +8 -10 +18 -8 +12

1N 20 Bi = ∑ xi y i = = 2,5 8 x =1 8

∑ 20

Аналогично вычисляем остальные коэффициенты (В2, В3…и свободный член Во). Для получения более полного уравнения регрессии учитывают коэффициенты эффектов взаимодействия факторов (эффекты парного и тройного взаимодействия) и определяют их по методике, аналогичной рассмотренной выше. х1 х2 х1 х2 уi х1 х2 уi

+1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1

*

+1 +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1

=

+1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1

*

2 +2 6 -6 4 -4 8 = +8 B = 1 ∑N x x y = − 4 = −0,5 ij 1 2 i 8 i =1 8 10 +10 18 -18 8 -8 12 +12 ∑− 4

Остальные коэффициенты определяют подобным образом. По полученным значениям коэффициентов уравнения регрессии составляют искомое уравнение (полином 9), на основании которого строят одномерные модели, учитывающие влияния рассматриваемого фактора на выходной параметр. Если поставить дополнительно параллельные опыты, в центре плана с 9 по 11 можно определить дисперсию воспроизводимости (S2воспр), а с ее помощью проверить значимость коэффициентов уравнения регрессии и при наличии степеней свободы – адекватность описания полученным уравнением рассматриваемого процесса. Значимость коэффициентов уравнения регрессии можно проверить по критерию Стьюдента, причем для каждого из коэффициентов значимость определяется отдельно. Дисперсию воспроизводимости определяют по формуле n

∑ ( y uo

2 = u =1 S воспр

− yo )2 ,

n −1

(11)

где Sвоспр - дисперсия (точность) воспроизведения опытов; n – число параллельных опытов; у uo - значение выходного параметра в опытах на нулевом уровне; уо – то же (расчетное), определяемое по формуле: n

− о

у =

∑ уu

o

(12)

n =1

n

Точность опыта определяется как отношение воспроизводимости к корню квадратному из числа опытов S Bi = S

2

воспр

/ N

дисперсии (13)

Оценка значимости коэффициентов уравнения регрессии – это сравнение полученного значения критерия Стьюдента ti с табличным значением tip, причем первый (ti) определяют отношением ti =

Вi S Вi

,

(14)

где ti – значение критерия Стьюдента; Bi– абсолютное значение коэффициента; SBi - точность коэффициента. Значения второго (tip) принимаются из таблицы, исходя из уровня значимости (допустимая ошибка, как правило, принимается равная 5 % или 0,05) и числа степеней свободы f = n (m-1)

(15)

где f - число степеней свободы, n - число опытов при данных условиях, m - выборка параллельных опытов. Для данных условий табличное значение критерия Стьюдента составляет tip = t2 (0,05) = 4

(16)

При выполнении условия ti < tip(f) соответствующий выборочный коэффициент Вi является незначимым и отсеивается из уравнения регрессии. Исключение из уравнения регрессии незначительных коэффициентов не сказывается на остальных коэффициентах. После отсеивания незначимых коэффициентов записывают окончательное уравнение регрессии, которое проверяют на адекватность. Проверку на адекватность проводят по критерию Фишера F=

2 S ост , 2 S воспр

(17)

−

2 = S ост

2 ∑ ( yi − у i )

N −l

,

(18)

2 - остаточная дисперсия; где S ост уi , уi – значение выходного параметра экспериментальные и расчетные; l - число значимых коэффициентов.

Полученное значение критерия Фишера сравнивают с табличным значением. Если Fт < Fр, то уравнение регрессии адекватно (тождественно) описывает процесс. Квантили (значения критерия Фишера) определяют уровнем значимости (степенью ошибки 0,05), числом степеней свободы и числом значимых коэффициентов (таблица 4). Уравнение регрессии записано применительно к кодированным переменным, которые связаны с рассматриваемыми физическими величинами следующими соотношениями X1 =

x1 − Z10 , ∆Z1

(19)

Х2 =

x2 − Z 20 , ∆Z 2

(20)

Х3 =

x3 − Z 30 ∆Z 3

(21)

Подставив эти выражения в уравнение регрессии и приведя затем подобные члены, получим уравнение регрессии в физических переменных: Y = Ro + Ri Х1 + RijХij – RiiХii. Таблица 4 – Квантили распределения Фишера F1-р для p = 0,05 Степени свободы F2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(22)

Значение коэффициентов f1 1

2

3

4

5

6

12

24

∞

164,4

199,5

215,7

224,6

230,2

234,0

244,9

249,0

254,3

18,5

19,2

19,2

19,3

19,3

19,3

19,4

19,5

19,5

10,1

9,6

9,3

9,1

9,0

8,9

8,7

8,6

8,5

7,7

6,9

6,6

6,4

6,3

6,2

5,9

5,8

5,6

6,6

5,8

5,4

5,2

5,1

5,0

4,7

4,5

4,4

6,0

5,1

4,8

4,5

4,4

4,3

4,0

3,8

3,7

5,6

4,7

4,4

4,1

4,0

3,9

3,6

3,4

3,2

5,3

4,5

4,1

3,8

3,7

3,6

3,3

3,1

2,9

5,1

4,3

3,9

3,6

3,5

3,4

3,1

2,9

2,7

5,0

4,1

3,7

3,5

3,3

3,2

2,9

2,7

2,5

Указанные расчеты рациональнее выполнять с применением ЭВМ. Программа для обработки результатов полного трехфакторного эксперимента приведена ниже:

10 REM ПРОГРАММА ДЛЯ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ 20 REM ПОЛНОГО ТРЕХФАКТОРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА 30 DIM X(8,3), Y(8), B(6), S(6), T1 (6) 40 DATA -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1 50 DATA -1, -1, 1, 1, -1, -1, 1, 1 60 DATA -1, -1, -1, -1, 1, 1, 1, 1 70 J=1 TO 3: FOR I=1 TO 8 80 READ X (I,J) : NEXT I : NEXT J 90 FOR I=1 TO 8 100 INPUT “экспериментальные значения Y”; Y(I) 110 NEXT I 120 INPUT “оценка дисперсии воспроизводимости”; S1 130 INPUT “критерий Стьюдента”; T 140 FOR I=0 TO 6: LET S(I)=0 : NEXT I 150 FOR I=1 TO 8: LET S(0)=S(0)+Y(I) 160 LET S(1)=S(1)+X(I,1)*Y(I) 170 LET S(2)=S(2)+X(I,2)*Y(I) 180 LET S(3)=S(3)+X(I,3)*Y(I) 190 LET S(4)=S(4)+X(I,1)*X(I,2)*Y(I) 200 LET S(5)=S(5)+X(I,1)* X(I,3)*Y(I) 210 LET S(6)=S(6)+X(I,2)* X(I,3)*Y(I) 220 NEXT I 230 LET S2 = SQR(S1/8) 240 PRINT “коэффициенты регрессии”; 250 FOR I=0 TO 6 260 LET B(I)=S(I)/8:LET T1(I)=ABS (B(I)/S2) 270 PRINT B(I):NEXT I:LET Z=0 280 PRINT “значимые коэффициенты” 290 FOR I=0 TO 6 300 IF T1(I)=T THEN GOTO 320 310 LET B(I)=0 : GOTO 330 320 LET Z=Z+1 330 NEXT I 340 FOR I=0 TO 6: PRINT B(I) 350 FOR J=1 TO 8: LET Y2(J)=B(0) 360 FOR I=1 TO 3 370 LET Y2(J)=Y2(J)+B(I)*X(J,I) 380 NEXT I 390 LET Y2(J)=Y2(J)+X(J,1)*X(J,2)*B(4) 400 LET Y2(J)=Y2(J)+X(J,1)*X(J,3)*B(5) 410 LET Y2(J)=Y2(J)+X(J,2)*X(J,3)*B(6) 420 NEXT J : LET S3=0 430 PRINT “расчетные значения, Y”; 440 FOR I=1 TO 8 : PRINT Y2(I)

450 LET S3=S3+(Y(I)-Y2(I))^2 460 NEXT I 470 LET S4=S3/(8-Z) 480 PRINT “оценка дисперсии адекватности”; S4 490 F=S4/S1 : PRINT “значение критерия Фишера”; F 500STOP : END Расчеты можно выполнять с применением прикладных программ OFFICE (от 97 и выше) в среде WINDOWS с использованием EXEL, MatCAD и им подобных. Значения коэффициентов уравнения регрессии вычисляют через функцию poli(x, an,…,ao). Приведенная программа существенно ускоряет и упрощает обработку экспериментальных данных. С ее помощью рассчитываются коэффициенты уравнения регрессии и выдается на дисплей вся необходимая информация для проверки адекватности полученного уравнения.

2.5 Содержание отчета Отчет должен содержать цель работы, описание принципов планирования эксперимента, матрицу планирования экспериментов. Также рассчитанные коэффициенты уравнения регрессии рассматриваемого процесса и вывод о математической модели.

2.6 Контрольные вопросы 2.6.1 Что такое уравнение регрессии? 2.6.2 Что такое дисперсия воспроизводимости? 2.6.3 Что позволяет выявить критерий Стьюдента? 2.6.4 Для чего проводят определение критерия Фишера? 2.6.5 Что такое адекватность уравнения?

3 Литература, рекомендуемая для изучения темы 3.1 Ахназарова С.Л., Кафаров В.В. Оптимизация эксперимента в химии и химической технологии. -М.: Высшая школа, 1978. - 319 с. 3.2 Налимов В.В., Чернова Н.А. Статистические методы планирования экстремальных экспериментов. -М.-Л.: Наука. 1965. - 286 с. 3.3 Косов М.Г., Крутин А.А. , Саакян Р.В. Моделирование точности при проектировании технологических машин. -М.: Станкин, 1997. - 104 с. 3.4 Горский В.Г., Адлер Ю.П. Планирование промышленных экспериментов. -М., 1974. - 268 с. 3.5 Адлер Ю.П. и др. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий. Программированное введение в планирование

эксперимента. -М.: Наука, 1971. - 254 с. 3.6 Оборудование и технология повышения износостойкости и восстановления деталей машин и аппаратов. Методические указания по выполнению дипломного проекта для студентов специальности 120600 / Богодухов С.И., Проскурин А.Д., Павлов С.И. и др.; Под ред. Богодухова С.И.. – Оренбург: ОГУ, 2000. – 140 с.