Теоретико-игровые модели организационного управления: Методические указания по специальному курсу. Часть 2. Игры в форме характеристической функции

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Угольницкий Г.А.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ по специальному курсу «Теоретико-игровые модели организационного управления» для студентов факультета математики, механики и компьютерных наук Часть 2. Игры в форме характеристической функции

Ростов-на-Дону 2008 1

Методические указания разработаны доктором физико-математических наук, профессором кафедры прикладной математики и программирования Г.А. Угольницким

Ответственный редактор

канд. физ.-мат. наук А.Б. Усов

Компьютерный набор и верстка

ст. лаборанта Евдокимовой И.В.

Печатается в соответствии с решением кафедры прикладной математики и программирования факультета математики, механики и компьютерных наук ЮФУ, протокол № 6 от 21 февраля 2008 г.

2

СОДЕРЖАНИЕ 1

Понятие игры в форме характеристической функции

4

2

С-ядро

7

3

Устойчивые множества

14

4

Вектор Шепли

21

5

S-эквивалентность и (0,1) -нормализация

26

Литература

31

3

1 ПОНЯТИЕ ИГРЫ В ФОРМЕ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ Настоящие методические указания представляют собой адаптированную версию главы 6 в монографии [3] с рядом авторских изменений и дополнений. В частности, в тексте анализируются сходства и различия с играми в нормальной форме (часть 1 методических указаний по данному курсу). Как и в играх в нормальной форме, в определении игры в форме характеристической

функции

множество игроков

(кооперативной

игры)

участвует

конечное

N = {1, 2,K, n}. Однако здесь основными субъектами

выступают не отдельные игроки i ∈ N , а их подмножества K ⊆ N , называемые коалициями игроков. Определение 1.1

Отображение v : 2 N → R называется характеристической функцией, если выполняются условия

v (O / )= 0 ∀K , L ⊆ N : K I L = O /

v (K U L ) ≥ v (K ) + v (L ) .

(1) (2)

Значение v(K ) характеристической функции с содержательной точки зрения действительно интерпретируется как некоторая ключевая «характеристика» коалиции K . Так, в экономических приложениях – это доход (прибыль), который может обеспечить себе K , в политических приложениях – политический «вес» коалиции (число голосов на выборах, число мест в парламенте и т.п.). Поэтому формула (1) носит технический характер (пустая коалиция имеет нулевой экономический, политический и т.д. «вес»), а вот определяемое формулой (2) свойство

супераддитивности

имеет

принципиальное значение, а именно

показывает, что объединяться выгодно: характеристика объединения коалиций по крайней мере не меньше, чем сумма отдельных характеристик коалиций, входящих в объединение.

4

Игрой в форме характеристической функции (кооперативной игрой) называется пара Γv = N , v , где N – множество игроков, v – характеристическая функция. Основная задача теории игр в форме характеристической функции может быть сформулирована следующим образом: как разделить между игроками значение v ( N ) характеристической функции максимальной коалиции (доход, влияние и т. п.)? Обозначим через x = ( x1,K, xn ) произвольное распределение значения v ( N ) между игроками, где xi – доля i -го игрока в распределении. Действительно ли следует рассматривать в качестве возможных решений игры все распределения

x? Очевидно, нет, и теория игр в нормальной форме подсказывает минимальный набор требований, которым должно удовлетворять справедливое распределение – это требования индивидуальной рациональности

∀i ∈ N xi ≥ v (i )

(3)

и оптимальности по Парето

∑ xi = v (N ) .

(4)

i∈N

Как видно, индивидуальная рациональность здесь означает, что игрок должен получать при распределении не меньше, чем может обеспечить себе сам (иначе ему незачем объединяться с кем-то), а Парето-оптимальность – что значение v ( N ) делится между игроками без остатка. Как и в играх в нормальной форме,

удовлетворяющие

требованиям

(3)-(4)

распределения

называются

дележами. Обозначим множество дележей в игре Γv через I (v ) . В качестве решений кооперативной игры принимаются подмножества множества

дележей

I (v ) ,

удовлетворяющие 5

дополнительным

условиям

«справедливости»,

«рациональности»

и.т.д.

Для

формулировки

этих

дополнительных условий надо уметь сравнивать дележи между собой.

Определение 1.2 Дележ x доминирует дележ y по коалиции K ( x f K y ) , если:

∀i ∈ K xi > yi

(5)

∑ xi ≤ v (K ) .

(6)

i∈K

Формула (5) выражает условие доминирования: для всех участников коалиции K доля в распределении x строго больше, чем в распределении y , поэтому они предпочитают x по сравнению с y . Формула (6) выражает условие реализуемости: коалиция K не может распределить больше, чем позволяет ее значение v (K ) .

Определение 1.3 Если для некоторой коалиции K ( x f K y ) , то x доминирует y ( x f y ) . Переход от определения 1.2 к определению 1.3 далеко не очевиден: ведь вполне возможно, что ( x f K y ) (и поэтому x f y ), но в то же время ( y f L x ) и тогда y f x ). Таким образом, отношение доминирования на множестве дележей нетранзитивно, что отвечает реальной структуре предпочтений во многих житейских ситуациях.

6

2 С-ЯДРО

Определение 2.1

C-ядром в кооперативной игре Γv называется множество недоминируемых дележей C (v ) .

Упражнение 2.1 Представим отношение доминирования с помощью орграфа D = (V , A) , где множество вершин V есть множество дележей I (v ) , а ( x, y ) ∈ A ⇔ x f y . Показать на этом орграфе С-ядро игры Γv Находить дележи из С-ядра позволяет следующая удобная

Теорема 2.1

С-ядро игры Γv состоит из всех таких дележей x = ( x1,K, xn ) , что ∀K

∑ xi ≥ v (K ) .

(7)

i∈K

Доказательство: Пусть выполнено условие (7). Если x ∉ C (v ) , то ∃y ∈ I (v ) ∃K : y f K x , откуда ∀i ∈ K yi > xi . Суммируя эти неравенства по всем i ∈ K , получаем с учетом (7)

∑ yi > ∑ xi ≥ v (K ) ,

i∈K

но тогда нарушается условие реализуемости (6) для дележа

i∈K

y.

Пусть теперь x ∈ C (v ) . Предположим, что условие (7) не выполнено, тогда обозначим

ε = v(K ) − ∑ xi > 0 .

Положим

i∈K

δ = v ( N ) − v (K ) −

∑ v (i )

:

i∈N \ K

последовательно применяя к этим разностям свойство супераддитивности (2) получим δ ≥ 0 . Построим распределение y по правилу

7

ε ⎧ ⎪⎪ xi + k , yi = ⎨ ⎪v (i ) + δ , ⎪⎩ n−k

i ∈ K, i∈N \ K

где k = K , n = N . Доказательство теоремы завершает

Упражнение 2.2 Доказать, что y ∈ I (v ) и y f K x . Таким образом, дележ принадлежит С-ядру тогда и только тогда, когда он удовлетворяет минимальные требования каждой коалиции. Если C (v ) = O / , то ∃K

∑ xi < v(K ) , т.е. коалиция

K оказывается «обиженной».

i∈K

Определение 2.2 Взвешенная мажоритарная игра определяется формулой

∑ qi ≥ Q,

⎧⎪1, v (K ) = ⎨ ⎪⎩0,

i∈K

(8)

иначе.

Здесь величина qi ≥ 0 интерпретируется как число голосов, которыми располагает игрок i . Таким образом, коалиция побеждает

(v(K ) = 1) ,

если

набирает не менее нужного числа голосов Q , и проигрывает в противном случае. Взвешенные мажоритарные игры являются частным случаем так называемых простых игр, определяемых формулой ⎧1, v (K ) = ⎨ ⎩0, Условие

∑ qi ≥ Q

K выигрывающая, . K проигрывающая.

(9)

определяет, какие коалиции являются выигрывающими, и

i∈K

позволяет использовать взвешенные мажоритарные игры для политологических приложений

(описания

выборов

и

т.п.).

мажоритарную игру строкой (Q; q1,K, qn ) . 8

Удобно

задавать

взвешенную

Пример 2.1

(51; 51, 48, 1) . Очевидно, {1, 2}, {1, 3}, {1, 2, 3}, т.е.

Рассмотрим взвешенную мажоритарную игру выигрывающими коалициями здесь будут

{1} ,

v (K ) = 1 ⇔ i ∈ K . Поэтому множество дележей определяется как решение системы неравенств x1 ≥ 1 , x2 ≥ 0 , x3 ≥ 0 , x1 + x2 + x3 = 1 , откуда I (v ) = {(1, 0, 0)}. Поскольку существует единственный дележ, то C (v ) = I (v ) . Такая игра называется «диктаторской».

Пример 2.2 Рассмотрим теперь взвешенную мажоритарную игру (2; 1, 1, 1) . Очевидно, здесь v (K ) = 1 ⇔ k ≥ 2 . Решая определяемую условиями (3) и (4) систему неравенств, получаем I (v ) = {( x1, x2 , x3 ) : xi ≥ 0, x1 + x2 + x3 = 1}. Таким образом, здесь дележами являются произвольные распределения значения v( N ) = 1 между игроками, что затрудняет окончательную практическую рекомендацию. Еще хуже дело обстоит с С-ядром: используя определяемое формулой (7) условия, получаем x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0 , x3 ≥ 0 , x1 + x2 + x3 = 1 ,

x1 + x2 ≥ 1, x1 + x3 ≥ 1, x2 + x3 ≥ 1. Суммируя последние три неравенства, получаем

3 x1 + x2 + x3 ≥ , что 2

противоречит Парето-оптимальности. /. Таким образом, в этой игре C (v ) = O

Пример 2.3 Игра «Землепользование» Игрок 1 (фермер) оценивает свой участок в 100 единиц (например, 100 тысяч долларов). Игрок 2 (фабрикант) готов купить участок за 200 единиц под промышленное строительство, а игрок 3 (спекулянт) – за 300 единиц для 9

дальнейшей перепродажи. Характеристическую функцию игры можно задать соотношениями

v (1) = 100 , v (2) = v (3) = v (2, 3) = 0 , v (1, 2) = 200 , v (1, 3) = v ( N ) = 300 . Множество дележей здесь имеет вид I (v ) = {( x1 , x2 , x3 ) : x1 ≥ 100, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0, x1 + x2 + x3 = 300} Гораздо более содержательные рекомендации позволяет дать вычисление Сядра. Решая систему неравенств

x1 ≥ 100 , x2 ≥ 0 , x3 ≥ 0 , x1 + x2 + x3 = 300 , x1 + x2 ≥ 200 , x1 + x3 ≥ 300 , x2 + x3 ≥ 0 , получаем

C (v ) = {( x1 , 0, x3 ) : 200 ≤ x1 ≤ 300, x3 = 300 − x1}. Упражнение 2.3 Для следующих взвешенных мажоритарных игр найти все минимальные выигрывающие коалиции, т.е. такие, что удаление любого игрока преобразует их в проигрывающие коалиции: а) (7; 3, 3, 5, 6, 1) ; б) (15; 14, 1, 1, 1, 1, 5) ; в) (51; 49, 48, 3) .

Упражнение 2.4 Найти множество дележей в играх: а) (51; 60, 30, 10) ; б) (51; 40, 30, 30) .

Упражнение 2.5 Найти С-ядро в следующих играх: а) n = 3, v (1, 2) = v (2, 3) = v (1, 2, 3) = 1, v (K ) = 0 , иначе; б) n = 4, v (1, 2, 3) = v (1, 2, 3, 4 ) = 1, v (K ) = 0 , иначе; в) (6; 1, 1, 1, 2, 3, 3) . 10

Упражнение 2.6 Показать, что отношение f K транзитивно.

Упражнение 2.7 Показать, что невозможно отношение а) x f {i} y ; б) x f N y

Упражнение 2.8 Найти С-ядро для игры

(39; 7, 7, 7, 7, 7, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) ,

моделирующей

заседание Совета Безопасности ООН.

Определение 2.3 Игра в форме характеристической функции Γv называется существенной, если

v (K I L ) > v(K ) + v (L ) , в противном случае игра

∃K, L : K I L = O / и

называется несущественной.

Определение 2.4 Игра в форме характеристической функции Γv называется игрой с постоянной суммой, если ∀K v (K ) + v ( N \ K ) = v ( N ) . Таким образом, любая несущественная игра является также игрой с постоянной суммой. Обратное неверно: легко показать, что игра

(2; 1, 1, 1)

является существенной игрой с постоянной суммой. Как следует из примера 2.2, в игре (2; 1, 1, 1) С-ядро пусто. Оказывается, что это не случайно.

Теорема 2.2 Существенная игра с постоянной суммой не имеет ядра. 11

Доказательство: Пусть x ∈ I (v ) .

Упражнение 2.9 Доказать, что в существенной игре v ( N ) >

∑ v (i ) .

i∈N

В силу этого результата и Парето-оптимальности x получаем, что ∃ j ∈ N : v ( j) < x j . Поскольку наша игра с постоянной суммой, то v ( N \ { j}) = v ( N ) − v ( j ) =

∑ xi − v( j ) > ∑ xi − x j = ∑ xi ,

i∈N

i∈N

i∈N \ { j }

откуда в силу условия (7) для коалиции N \ { j} имеем C (v ) = O /.

Определение 2.5 Игра в форме характеристической функции Γv называется симметричной, если v (K ) = f (k ) , ∀K ≤ N .

Теорема 2.3 В симметричной игре С-ядро существует тогда и только тогда, когда f (n ) f (k ) ≥ , k n

k = 1, 2,K, n .

(10)

Доказательство: [3, с. 339-340].

Пример 2.4 Игра «Мусор» Характеристическая функция имеет вид ⎧− (n − k ), k < n, v (K ) = ⎨ k = n. ⎩− n, (подумайте над интерпретацией). Здесь условие (формула (10)) справедливо при всех k ≥ 1 для случая n = 2 ; при n > 2 это условие нарушается для любого k : n / 2 < k < n . 12

Упражнение 2.10 Какие из следующих игр являются существенными? Какие имеют постоянную сумму? а) (51; 51, 48, 1) ; б) (51; 49, 48, 3) ; в) игра «Землепользование».

Упражнение 2.11 Сравнить определения существенной (несущественной) игры в форме характеристической функции с аналогичными определениями для игр в нормальной форме.

13

3 УСТОЙЧИВЫЕ МНОЖЕСТВА Как выяснилось в предыдущем разделе, C-ядро может оказаться пустым или содержать слишком много элементов. Поэтому, как обычно в теории игр, ограничиться одним подходом к решению не удается и приходится использовать различные принципы оптимальности.

Определение 3.1 Множество дележей Bi называется внутренне устойчивым, если никакие два дележа из Bi не доминируют друг друга.

Определение 3.2 Множество

дележей

Be

называется

внешне

устойчивым,

если

∀y ∈ I (v ) \ Be ∃x ∈ Be : x f y .

Определение 3.3 Внутренне

и

внешне

устойчивое

множество

дележей

называется

устойчивым множеством (решением по Нейману-Моргенштерну, НМ-решением). Проиллюстрируем

этот

принцип

оптимальности

на

примерах

рассмотренных ранее модельных игр. В диктаторской игре (51; 51, 48, 1) единственный дележ (1, 0, 0 ) очевидным образом образует единственное устойчивое множество. В игре (2; 1, 1, 1) с пустым С-ядром существуют устойчивые множества различного вида. Покажем, например, что следующее множество дележей устойчиво: ⎧⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞⎫ B1 = ⎨⎜ , , 0 ⎟, ⎜ , 0, ⎟, ⎜ 0, , ⎟⎬ . 2 ⎩⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 2 2 ⎠⎭ Для доказательства внутренней устойчивости в силу симметрии достаточно 1⎞ ⎛1 1 ⎞ ⎛1 сравнить любую пару дележей из B1 : пусть это будут ⎜ , , 0 ⎟ и ⎜ , 0, ⎟ . 2 2⎠ ⎝2 2 ⎠ ⎝2 14

Очевидно, первый дележ может доминировать второй только по коалиции {2}, но это невозможно (см. упражнение 2.7). Аналогично второй дележ не может доминировать первый. Для

доказательства

внешней

устойчивости

предположим,

что

y = ( y1 , y2 , y3 ) ∈ I (v ) \ B1 . Тогда по определению yi ≥ 0 и y1 + y2 + y3 = 1. Без 2

1 1 ограничения общности положим max {y1 , y2 , y3} = y1 . Если y1 > , то y2 + y3 < , 2 2 т.е. y2 <

1 1 ⎛ 1 , y3 < , откуда ⎜ 0, , 2 2 ⎝ 2

об y1 имеем y2 ≤

1⎞ 1 ⎟ f {2, 3} y . Если y1 ≤ , то в силу предположения 2⎠ 2

1 1 1 1 ⎛1 1 ⎞ , y3 ≤ . Если y2 = или y3 = , то y = ⎜ , , 0 ⎟ или 2 2 2 2 ⎝2 2 ⎠

1⎞ 1 1 ⎛1 y = ⎜ , 0, ⎟ и y ∈ B1 . Если же y2 < и y3 < , то снова 2 2 2 2⎠ ⎝2

⎛ 1 1⎞ ⎜ 0, , ⎟ f {2, 3} y . ⎝ 2 2⎠

Интерпретация устойчивого множества B1 вполне прозрачна: любые два 2

игрока могут организовать выигрывающую коалицию и поровну поделить значение v ( N ) = 1 между собой, исключив из распределения оставшегося игрока. Однако в силу симметрии нельзя предсказать, какие два из трех игроков окажутся удачливыми . . . В

игре

«Землепользование»

было

С (v ) = {( x1 , 0, x3 ) : 200 ≤ x1 ≤ 300, x3 = 300 − x1}.

показано Однако

(пример

С-ядро

не

2.3),

что

является

устойчивым множеством: в нем нет дележа, доминирующего дележ (100,100,100) . Покажем, что множество дележей

В = {( x1 , 0, x3 ) : 100 ≤ x1 ≤ 300, x3 = 300 − x1}

устойчиво. Внутренняя устойчивость B определяется тем, что доминирование по одноэлементной коалиции невозможно, а условия x1 > y1 , x3 > y3 несовместимы с условием y1 + y3 = 300 для любых x, y ∈ B . Для доказательства внешней устойчивости предположим, 15

что y = ( y1 , y2 , y3 ) ∈ I (v ) \ B . Тогда y2 ≠ 0 . Положим x1 = y1 +

y2 y , x 2 = y3 + 2 . 2 2

Тогда x ∈ B и x f {1, 3} y . Устойчивые множества удобно изображать на орграфах, вершины которых соответствуют дележам, а дуги – отношению доминирования на множестве дележей. Как видно из рисунка 3.1, в орграфе может существовать более одного устойчивого множества

({1, 3}

и {2, 4} на рисунке 3.1 а ) или вообще не быть

устойчивых множеств (рисунок 3.1 б )

1

2

4

3

2

1

3

а

б Рисунок 3.1

Упражнение 3.1 В орграфах на рисунке 3.2 найти следующие множества: а) все максимальные внутренне устойчивые множества, т.е. такие, что добавление

любой

вершины

нарушает

свойство

внутренней

устойчивости; б) все минимальные внешне устойчивые множества, т.е. такие, что удаление

любой

вершины

устойчивости; в) все устойчивые множества;

16

нарушает

свойство

внешней

1

2 1

2

3

4

4 3

а

б

1

2

3

4

5

г

в

Упражнение 3.2 Может ли одно устойчивое множество быть собственным подмножеством другого?

Упражнение 3.3 Пусть С-ядро игры – устойчивое множество. Показать, что других устойчивых множеств нет.

Упражнение 3.4 Для взвешенной мажоритарной игры

(51; 26, 26, 26, 22)

показать, что

следующее множество устойчиво: ⎧⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞⎫ B = ⎨⎜ , , 0, 0 ⎟, ⎜ , 0, , 0 ⎟, ⎜ 0, , , 0 ⎟⎬ . ⎠ ⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 2 2 ⎠⎭ ⎩⎝ 2 2

Упражнение 3.5 Найти все устойчивые множества в простой игре трех лиц, в которой единственная выигрывающая коалиция из двух игроков есть {2, 3}. 17

Теорема 3.1 Игра в форме характеристической функции Γv обладает одноэлементным устойчивым множеством B = {x} тогда и только тогда, когда она несущественная. В таких случаях B является единственным устойчивым множеством. Доказательство: Как следует из упражнения 2.9, игра несущественна тогда и только тогда, когда

∑ v (i ) = v (N ) . В этом случае существует единственный дележ (v(1),Kv(n )) ,

i∈N

который и образует единственное устойчивое множество. Пусть теперь Γv – существенная игра с одноэлементным устойчивым множеством B = {x}, тогда в силу того же упражнения 2.9 имеем

∑ xi = v (N ) > ∑ v (i ) , откуда ∃ j ∈ N : x j > v( j ) .

i∈N

i∈N

Определим y следующим образом:

y j = v ( j ) , yi = xi +

x j − v( j) n −1

, i ≠ j.

Тогда y ∈ I (v ) и y ≠ x , поэтому из внешней устойчивости {x} следует, что x f y . Пусть x f k y , тогда ∀i ∈ K xi > yi , т.е. K = { j} , но доминирование по

одноэлементной коалиции невозможно.

Теорема 3.2 Каждому бесконтурному орграфу соответствует единственное устойчивое множество. Доказательство: Рассмотрим орграф D = (V , A) и воспользуемся индукцией по V . При V = 1 результат очевиден. Пусть V > 1 . Известно, что в бесконтурном орграфе

существует вершина u без входных дуг. Обозначим R1 (u ) = {u} U {x ∈ V : (u , x ) ∈ A} . 18

Тогда подорграф D′ орграфа D , порожденный множеством вершин

V \ R1 (u ) , также бесконтурный и содержит меньше вершин, чем D . По предположению индукции D′ имеет единственное устойчивое множество B′ . Покажем, что B = B ′ U { u } – устойчивое множество в D . B внутренне устойчиво, так как u не имеет входных дуг, B′ внутренне устойчиво и B′ не содержится в

R1 (u ) . B внешне устойчиво, т.к. любая вершина из V \ B достижима за один шаг либо из B′ , либо из u . Наконец, пусть B′′ – также устойчивое множество в D . Так как u не имеет входных дуг, то u ∈ B′′ . Из свойства внутренней устойчивости следует, что B′′ \ {u} ⊆ V \ R1 (u ) , откуда B′′ \ {u} – множество подорграфа D′ .

Упражнение 3.6 Доказать, что множество B′′ \ {u} устойчиво в D′ . Тогда по предположению индукции B′′ \ {u} = B′ , т .е B′′ = B . Это доказательство порождает конструктивную процедуру нахождения единственного устойчивого множества B в бесконечном орграфе. Возьмем все вершины без входных дуг и поместим их в B . Далее удалим все вершины, непосредственно достижимые из этих вершин, вместе со смежными дугами. В оставшемся орграфе вновь все вершины без входных дуг поместим в B и повторим процедуру.

Упражнение 3.7 Найти единственное устойчивое множество для орграфа на рисунке 3.2. а.

Упражнение 3.8 В любой простой игре устойчивы множества вида Bk = {x ∈ I (v ) : xi = 0, i ∉ K } ,

где K – минимальная выигрывающая коалиция. Такие устойчивые множества называются дискриминирующими решениями. 19

Найти

дискриминирующие

решения

для

следующих

взвешенных

мажоритарных игр: а) (51; 51, 38, 11) ; б) (51; 40, 40, 20 ) ; в) (5; 1, 1, 1, 2, 3) .

Упражнение 3.9 Показать, что два устойчивых множества орграфа могут иметь различное количество вершин.

20

4 ВЕКТОР ШЕПЛИ Для данной игры v в форме характеристической функции будем искать единственное решение – дележ Φ(v ) , называемый вектором Шепли, если он удовлетворяет следующим четырем аксиомам.

Аксиома 1 Если v – характеристическая функция на множестве игроков N , Π – перестановка N и характеристическая функция w определена на N равенством w(K ) = v(Π K ) , то для всех i ∈ N Φ i (w) = Φ Π (i ) (v ) .

Эта аксиома утверждает независимость игрока от его номера. В частности, в симметричной игре все игроки получают одинаковые доли, т.е. v( N ) ⎞ ⎛ v( N ) Φ(v ) = ⎜ ,K, ⎟. n ⎠ ⎝ n

Аксиома 2

∑ Φ i (v ) = v(N ) .

i∈N

Как видно, эта аксиома есть условие Парето-оптимальности для Φ(v ) . Заметим, что требование индивидуальной рациональности Φ(v ) ≥ v(i ) явно не постулируется – его можно вывести из других аксиом.

Аксиома 3 Если ∀ K

v(K \ {i }) = v(K ) , то Φ i (v ) = 0 . Эта аксиома утверждает, что если

игрок i ничего не добавляет к значению любой коалиции, то он и сам ничего не стоит. Такой игрок называется «болваном».

Аксиома 4 Если v и v ′ – характеристические функции на множестве игроков N , а характеристическая функция w на N равна v + v′ , то Φ (w) = Φ (v ) + Φ (v′) . 21

Эта аксиома аддитивности, носящая технический характер. Оказывается, что предложенный Шепли набор аксиом категоричен.

Теорема 4 (Шепли) Для всех характеристических функций v существует единственная функция Φ(v ) удовлетворяющая аксиомам 1 -4. Она определяется формулами Φ i (v ) =

где γ (k ) =

i )], ∑ γ (k ) [v(K ) − v(K \ {}

i∈N .

K ∋i

(11)

(k − 1)!(n − k )! . n!

Доказательство: [3, с. 364-365]. Найдем вектор Шепли для модельных игр. В диктаторской взвешенной мажоритарной игре (51; 51, 48, 1) согласно аксиоме 1 игроки 2 и 3 – болваны, т.е.

Φ 2 (v ) = Φ 3 (v ) = 0 , а тогда в силу аксиомы 2

Φ1 (v ) = 1 . Таким образом,

Φ(v ) = (1, 0, 0) , т.е. для данной игры все три принципа оптимальности приводят к

одному и тому же решению. В игре (2; 1, 1, 1) в силу симметрии игроков согласно аксиоме 1 получаем ⎛1 1 1⎞ Φ(v ) = ⎜ , , ⎟ . Интересно, что в этой игре всё наоборот – все три принципа ⎝ 3 3 3⎠

оптимальности приводят к различным решениям. В игре «Землепользование» для нахождения вектора Шепли нужно использовать формулу (11). Сначала вычислим значения коэффициента γ , 1 1 одинаковые для всех игр с тремя игроками: γ (1) = γ (3) = , γ (2 ) = . Далее 3 6

получаем для игрока 1, входящего в коалиции {1}, {1, 2 }, {1, 3 }, {1, 2, 3 }: Φ1 (v ) = γ (1) [v(1) − v(∅ )] + γ (2 ) [v(1, 2) − v(2) + v(1, 3) − v(3)] + γ (3) [v(1, 2, 3) − v(2, 3)] = = 100 γ (1) + 500 γ (2 ) + 300 γ (3) =

100 500 300 650 + + = . ∅ 3 6 3 3

22

Аналогично для игрока 2 получаем Φ 2 (v ) = γ (1) [v(2) − v(∅ )] + γ (2) [v(1, 2) − v(1) + v(2, 3) − v(3)] + γ (3) [v(1, 2, 3) − v(1, 3)] = = 0 + 100 γ (2) + 0 =

100 50 = . 6 3

С учетом аксиомы 2 на долю третьего игрока остается Φ 3 (v ) = v(1, 2, 3) − Φ1 (v ) − Φ 2 (v ) =

200 . 3

⎛ 650 50 200 ⎞ Таким образом, Φ(v ) = ⎜ , , ⎟. ⎝ 3 3 3 ⎠

Заметим, что этот дележ не входит в С-ядро. Более того, можно доказать, что он также не содержится ни в одном устойчивом множестве. Таким образом, принципы оптимальности для игр в форме характеристической функции могут приводить к различным решениям, поскольку они опираются на различные подходы к определению справедливости (рациональности). Заметим, что в случае простых игр, определенных формулой (9), получаем

(v(K ) − v(K \ {i }) = 1)

⇔ K выигрывающая, K \ {i } проигрывающая. Для таких

коалиций K игрок называется основным. Тогда формула (11) для простых игр принимает вид

Φ i (v ) =

∑ γ (k ) ,

K ∈KOi

(12)

где KOi – множество коалиций с основным игроком i . Рассмотрим в качестве

(51; 40, 30, 20, 10) . Первый игрок является основным в коалициях {1, 2 }, {1, 3 }, {1, 2, 3 }, {1, 2, 4 }, {1, 3, 4 }. Поэтому в силу формулы (12) имеем Φ1 (v ) = 2γ (2) + 3γ (3) . Второй игрок является основным в коалициях {1, 2 }, {1, 2, 4 }, { 2, 3, 4 } , поэтому Φ 2 (v ) = γ (2 ) + 2γ (3) . Третий игрок основной в коалициях {1, 3 }, {1, 3, 4 }, { 2, 3, 4 } . примера взвешенную мажоритарную игру

23

Четвертый – только в коалиции

{ 2, 3, 4 } ,

поэтому Φ 3 (v ) = γ (2) + 2γ (3) ,

Φ 4 (v ) = γ (3) . Для окончательного вычисления вектора Шепли находим значения коэффициента

γ (2 ) = γ (3) =

γ

для

игр

пар

с

четырьмя

игроками:

1 γ (1) = γ (4 ) = , 4

1 ⎛5 3 3 1⎞ , откуда Φ(v ) = ⎜ , , , ⎟ . Заметим, что это распределение не 12 ⎝ 12 12 12 12 ⎠

совпадает с распределением голосов между игроками, поскольку вектор Шепли соответствует способности игроков приносить пользу при вхождении в коалиции.

Упражнение 4. 1 Согласно одной из аксиом Шепли Φ i (v ) = 0 , если i – третий игрок в игре

(51; 55, 35, 10) . Указать аксиому и объяснить полученный результат. Упражнение 4.2 ⎛1 1 1 1⎞ Согласно одной из аксиом Шепли Φ(v ) = ⎜ , , , ⎟ , если v – игра ⎝4 4 4 4⎠

(3; 1, 1, 1, 1) . Указать аксиому и объяснить полученный результат. Упражнение 4.3 Согласно одной из аксиом Шепли вектор (1, 1, 1) не может быть вектором Шепли для взвешенной мажоритарной игры. Указать аксиому и объяснить полученный результат.

Упражнение 4.4 Вычислить вектор Шепли для игры k ≤ 2, ⎧− 4 k , v(K ) = ⎨ ⎩− 4k + k (k − 2), k > 2.

24

Упражнение 4.5 Вычислить вектор Шепли для следующих взвешенных мажоритарных игр: а) (201; 100, 100, 100, 100, 1) ; б) (151; 100, 100, 100, 1) ; в) (51; 26, 26, 26, 22) ; г) (16; 9, 9, 7, 3, 1, 1) ; д) (59; 31, 31, 21, 28, 2, 2) ; е) (12; 5, 5, 2, 1) ; ж) (12; 5, 5, 2, 2, 1) ; з) (6; 1, 1, 1, 2, 3, 3) .

Упражнение 4.6 Принятие решений в Совете Безопасности ООН моделируется игрой

(37; 7, 7, 7, 7, 7, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) . Найти вектор Шепли для этой игры.

25

5 S -ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ И (0,1) -НОРМАЛИЗАЦИЯ Рассмотрим две игры в форме характеристической функции v и v′ на одном множестве игроков N .

Определение 5.1 Игра v изоморфна игре v′ , если существует такое взаимно-однозначное отображение

(изоморфизм)

f

множества

дележей

I (v )

на

I (v′) ,

что

∀x, y ∈ I (v ) ∀K ⊆ N x f K y ⇔ f ( x ) f K f ( y ) .

Пример 5.1 ⎧2, Рассмотрим игру v′(K ) = ⎨ ⎩0,

k ≥ 2, k < 2, k = 1, 2, 3.

Очевидно, игра (2; 1, 1, 1) изоморфна игре v′ с изоморфизмом f ( x ) = 2 x . Существенно отметить, что в силу определения изоморфные игры имеют изоморфные C -ядра и семейства устойчивых множеств. Иначе говоря, если A –

С-ядро или устойчивое множество в игре v , а f изоморфизм из v в v′ , то

f ( A) = { f ( x ), x ∈ A} – соответственно С-ядро или устойчивое множество в v′ . Поэтому

из

того,

что

1⎞ ⎛ 1 1⎞⎫ ⎧⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 B1 = ⎨⎜ , , 0 ⎟, ⎜ , 0, ⎟, ⎜ 0, , ⎟ ⎬ 2 2⎠ ⎝ 2 2⎠⎭ ⎩⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 2

–

устойчивое

множество в игре v , следует, что B = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1) } – устойчивое множество в игре v′ .

Определение 5.2 Если характеристическая функция удовлетворяет условиям

∀i ∈ N v(i ) = 0, v( N ) = 1 ,

(13)

то она называется (0,1) -нормальной формой.

Определение 5.3 Игра v s -эквивалентна игре v′ , если ∃α > 0, a1 ,K an ∈ R : ∀K v′(K ) = α v(K ) + 26

∑ ai .

i∈K

(14)

Пример 5.2 Рассмотрим игру с характеристической функцией v(O / ) = 0 , v(1) = v(2 ) = 1 ,

v(3) = 2 , v(1, 2 ) = v(1, 3) = 3 , v(2, 3) = 4 , v(1, 2, 3) = 6 . Выберем α = 2 , a1 = 1 , a2 = 0 , a3 = 2 . Тогда в соответствии с формулой (14) s -эквивалентная игре v игра v′ имеет характеристическую функцию v′(O / ) = 0 , v′(1) = 3 , v′(2 ) = 2 , v′(3) = 6 ,

v′(1, 2) = 7 , v′(1, 3) = 9 , v′(2, 3) = 10 , v′(1, 2, 3) = 15 . Упражнение 5.1 Доказать,

что

определение

5.3

действительно

задает

отношение

эквивалентности на множестве характеристических функций.

Теорема 5.1 Каждая существенная игра v

s -эквивалентна единственной игре в (0,1) -

нормальной форме, имеющей вид

v′(K ) =

v(K ) − ∑ v(i ) i∈K

v( N ) − ∑ v(i )

.

i∈N

Упражнение 5.2 Доказать теорему 5.1

Теорема 5.2 Две s -эквивалентные игры изоморфны.

Упражнение 5.3 Доказать теорему 5.2, используя изоморфизм

f ( x ) = αx + a , a = (a1 ,K, an ) .

27

(15)

Пример 5.3 Рассмотрим игру «Мусор»

⎧− (n − k ), v(K ) = ⎨ ⎩ − n,

k < n, k =n

при n = 3 . Найдем (0,1) -нормальную форму этой игры: по определению v′(i ) = 0 , v′(1, 2, 3) = 1 , v′(i, j ) =

v(i, j ) − 2v(i ) −1+ 2 ⋅ 2 3 = = = 1. v(1, 2, 3) − 3v(i ) − 3 + 3 ⋅ 2 3

Таким образом, k ≥ 2,

⎧1, v′(K ) = ⎨ ⎩0,

k < 2,

т.е это игра (2; 1, 1, 1) . Зная устойчивое множество B1 для игры (2; 1, 1, 1) , построим устойчивое 2

множество для игры «Мусор» с тремя игроками. Пользуясь формулой (15), находим

параметры

s -эквивалентности

1 3

α= ,

2 a1 = a 2 = a 3 = . 3

изоморфизм игры «Мусор» на игру (2; 1, 1, 1) есть y = αx + a = обратный

изоморфизм

изоморфизм

отображает

есть

x=

1

α

Поэтому

x ⎛ 2 2 2⎞ + ⎜− , − ,− ⎟ , а 3 ⎝ 3 3 3⎠

( y − a ) = 3⎛⎜ y1 − 2 , y2 − 2 , y3 − 2 ⎞⎟ . ⎝

3

3

3⎠

⎧⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞⎫ B1 = ⎨⎜ , , 0 ⎟, ⎜ , 0, ⎟, ⎜ 0, , ⎟⎬ 2 ⎩⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 2 2 ⎠⎭

множество

Этот во

1⎞ ⎛ 1 1 ⎞⎫ ⎧⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 множество B = ⎨⎜ − , − , − 2 ⎟, ⎜ − , − 2, − ⎟, ⎜ − 2, − , − ⎟⎬ , которое является 2⎠ ⎝ 2 2 ⎠⎭ ⎠ ⎝ 2 ⎩⎝ 2 2 устойчивым множеством в игре «Мусор» с тремя игроками. Обобщая пример 5.3, получаем следующий алгоритм использования теорем 5.1-5.2. 1. Для произвольной существенной игры v построить ее нормальную форму v′ по формуле (15). 28

(0,1) -

2. Для игры v′ (которая заведомо проще игры v ) найти С-ядро, семейства устойчивых множеств и другие решения игры (если они существуют). 3. Восстановить соответствующие решения игры обратным

изоморфизмом

x=

1

α

( y − a)

с

v , пользуясь

параметрами

s-

эквивалентности α , a = (a1 ,K, a2 ) из формулы (15) (см. упражнение 5.2).

Упражнение 5.4 Найти такую игру v′ , изоморфную игре (2; 1, 1, 1) , что v′( N ) = 3 . Построить для игры v′ устойчивое множество.

Упражнение 5.5 Найти (0,1) -нормальную форму следующих игр: а) v(1) = −3 , v(2 ) = −1 , иначе v(K ) = 0 ; ⎧− 3, ⎪− 2, ⎪ б) v(K ) = ⎨ ⎪− 1, ⎪⎩− 4, Использование

k = 1, k = 2, k = 3, k = 4.

(0,1) -нормальной

формы

приводит

к

интересной

геометрической интерпретации множества дележей. Действительно, для (0,1) нормальной формы ⎧ I (v ) = ⎨( x1 ,K, xn ) : ∀i ∈ N xi ≥ 0, ⎩

⎫

∑ xi = 1⎬ ,

i∈N

⎭

т.е. это множество определяет n -мерный симплекс-правильный многогранник с вершинами (1, 0, 0,K,0) , (0,1, 0,K,0) , . . . , (0, 0, 0,K,1) . В случае n = 3 множество дележей есть правильный треугольник с вершинами (1, 0, 0 ) , (0,1, 0 ) , (0, 0,1) , которой удобно изображать на плоскости. Так, 29

на примере рисунка 5.1 изображено устойчивое множество B1 для игры (2; 1, 1, 1) 2

в (0,1) -нормальной форме.

(1, 0, 0) ⎛1 1⎞ ⎜ , 0, ⎟ ⎝2 2⎠

(0, 0,1)

⎛1 1⎞ ⎜ , 0, ⎟ ⎝2 2⎠

(0,1, 0)

⎛ 1 1⎞ ⎜ 0, , ⎟ ⎝ 2 2⎠

Упражнение 5.6 Для игры трех лиц в (0,1) -нормальной форме представить геометрически следующие дележи: ⎛1 1⎞ а) ⎜ , 0, ⎟ ; ⎝ 2 2⎠ б) (0.99, 0.01, 0) ; ⎛1 1 1⎞ в) ⎜ , , ⎟ . ⎝ 4 4 2⎠

Упражнение 5.6 Для игры трех лиц в (0,1) -нормальной форме представить геометрически следующие подмножества множества дележей I (v ) :

{(x1, x2 , x3 ) ∈ I (v ) : x1 + x2 + x3 = 1}; б) {( x1 , x2 , x3 ) ∈ I (v ) : x1 = 0, x2 = 0 или

а)

1⎫ ⎧ в) ⎨( x1 , x2 , x3 ) ∈ I (v ) : x1 ≥ ⎬ . 2⎭ ⎩

30

x3 = 0};

ЛИТЕРАТУРА 1 Алескеров Ф.Т., Хабина Э.Л., Шварц Д.А. Бинарные отношения, графы и коллективные решения. – М.: ГУВШЭ, 206. – 298 с. 2 Мулен Э. Кооперативное принятие решений: аксиомы и модели. – М.: Мир, 1991. – 464 с. 3 Робертс Ф. Дискретные математические модели с приложениями к социальным, биологическим и экологическим задачам – М.: Мир, 1986. – 496 с. 4 Розенмюллер И. Кооперативные игры и рынки. – М.: Мир, 1974.

31