Физика (часть 2, введение в основы электромагнетизма). Конспект лекций

ГЛАВА 4.  ЗАКОНЫ ПОСТОЯННОГО ТОКА  4.1.  Закон Ома для однородног о участ ка цепи.  Открытый Омом экспериментально закон гласит: ток, протекающий по однородному  проводнику, пропорционален напряжению (разности потенциалов) между его концами (рис.  44).  S – площадь поперечного сечения  проводника  l – длина участка цепи (проводника)  Рис. 44 

Итак, в соответствии с законом Ома:  1  I =  × U  ,  (70)  R  1  где  – коэффициент пропорциональности.  R  Входящий в коэффициент пропорциональности параметр R носит название сопротивления  1 В  участка цепи (измеряется в Омах:  1Ом  =  ).  1 А  Обычно на схемах сопротивление участка цепи обозначается  прямоугольником (рис. 45), а подводящие к нему ток  "соединения" (тонкие линии) полагаются не обладающими  сопротивлением, то есть "соединения", пропускающие ток I без  Рис. 45 напряжения между своими концами (все точки одного  "соединения" имеют одинаковый потенциал).  4.2.  Сопрот ивление однородног о участ ка цепи.  U  . Но  U =  E × l  – разность потенциалов между концами  I  участка цепи, где Е напряженность поля в проводнике, обеспечивающая протекание тока. С  другой стороны  I =  jS  = qnV × S . Следовательно,  El  l  R =  = r (71)  jS  S  E Здесь,  r  = – постоянный для данного проводника параметр, называемый удельным  j  сопротивлением проводника. 

Из закона Ома следует, что  R = 

Примечание: 

E следует из того факта, что сопротивление R входит в коэффициент  j  пропорциональности в законе Ома, который не зависит ни от тока, ни от напряжения.  Ом × м 2  RS Измеряется r в Ом×м ( r  = ,  [ r ] =  = Ом × м ).  l  м  Постоянство  r  =

4.3.  Закон Ома в дифференциальной форме.  E называют дифференциальной формой закона Ома в скалярной форме.  j  r  r  Если учесть, что направление вектора  j плотности тока и напряженности поля  E в  проводнике совпадают, то этому закону можно придать векторную форму:  r r j × r  = E .  (72)  r r Включим в этот закон микроскопическое определение плотности тока  j = qn V :  r r qnV r  = E .  r  Оказывается, в проводнике скорость направленного перемещения зарядов V r  пропорциональна  E :  r r 1  r V =  × E  = mE .  (73)  qn r 1 Здесь, m  =  – так называемая подвижность носителей тока (зарядов),  qn r [ V ]  м × м  м 2  [m ] =  = = .  [ E ]  с × В  В × с  Таким образом удельное сопротивление r действительно параметр, характеризующий  материал проводника: 1 1  r  =  = s = qnm ,  , или (74)  qn m r  1 s  =  – удельная электропроводимость (электропроводность) проводника,  где Выражение  r  =

r

[s ] = 

1  См  1  = ,  1См  º 1 сименс  = .  Ом × м  м  Ом 

4.4.  Элект рическое поле проводника с т оком.  В процессе протекания тока по однородному проводнику ни внутри проводника, ни на его  поверхности не могут образоваться избыточные электрические заряды. Действительно, для  постоянного тока справедливо соотношение:  r  r ò j d S  = 0 .  r r В силу закона Ома  j = sE , то есть:  r r ò s Ed S  = 0 .  r r Для однородного  проводника s = const, следовательно  s ò Ed S  = 0 , что в силу  s  ¹ 0 для  реального проводника в случае произвольно поверхности, по которой производится  интегрирование, дает  r  r ò Ed S  = 0 .  То есть сумма зарядов внутри поверхности по теореме Гаусса равна нулю.  Примечание: 

Если нарушается однородность проводника (s  перестает быть константой), то на поверхности  проводника могут появиться избыточные  заряды.  Рис. 46

Таким образом, при протекании постоянного тока по однородному проводнику, имеется  электрическое поле внутри проводника и (в силу непрерывности тангенциальной  (касательной) составляющей) на его поверхности и вблизи нее (рис. 46).  4.5.  Обобщ енны й закон Ома.  r r Электрические силы  F = q E  ( q  > 0 ) действуют на заряд таким образом, чтобы он переходил  из области с высоким электрическим потенциалом в область с более низким потенциалом.  Но, если ток течет по замкнутой цепи (контуру), то в этом контуре обязательно есть участок,  где заряды переходят из области с низким потенциалом в область с высоким потенциалом.  Заставить двигаться заряды таким образом могут только силы не электрической природы,  так называемые "сторонние" силы. Сказанное иллюстрируется рисунком 47.  "Сторонние" силы – это, например,  магнитная сила (сила Лоренца), или силы,  действующие на заряд в областях контакта  проводников, находящихся при разных  температурах (на действии этих сил основана  работа термоэлементов), это могут быть  силы, возникающие при контакте  разнородных проводников (аккумуляторы,  Рис. 47  гальванические элементы).  На рис. 47 на заряд q, находящийся в точке A,  действует электрическая сила, заставляющая q перемещаться по контуру к точке B, имеющей  более низкий потенциал  j B < j A . Но чтобы заряд перемещался по замкнутой цепи на  участке ВА на него должна действовать "сторонняя" сила, заставляющая заряд идти от В к А  при  j A > j B .  4.5.1. Дифференциальная форма обобщенного закона Ома. 

Для количественного описания "сторонних" сил вводят вектор напряженности поля  r  "сторонних" сил  E ст  , численно равный "сторонней" силе , действующей на единичный  заряд.  При таком описании испытывающий действие как "сторонних", так и электрических сил  r r r r  заряд находится в результирующем поле  E рез  =  E + E ст  , где  E – напряженность  электрического поля в цепи, а плотность тока пропорциональная результирующей  напряженности:  r r r r j r  = E рез  = E + E ст  (75)  r r r или j = s  E + E ст  (76)  Уравнения (75) и (76) выражают так называемый обобщенный закон Ома в  дифференциальной (локальной) форме. 

(

) 

4.5.2. ЭДС на участке цепи. 

Часто встречающийся случай – протекание тока вдоль тонких проводов. При этом  r  r  направление вектора  j совпадает по направлению с элементом длины провода  dl  в любой  r  точке цепи (вектор  dl  направлен вдоль оси провода в сторону протекания тока). Рассмотрим  участок контура между точками 1 и 2 (ток течет от 1 к 2), см. рис. 48.  Проинтегрируем функцию, описанную уравнением (76), от 1 до 2: 

Рис. 48

2 

ò

1 

r r 2  r rст r 2  r r 2  rст  r j r d l  =  ò E + E  d l  = ò E d l  + ò E  d l  .  (77) 

(

1 

)

1 

1 

r  r r  r Так как  j || d l  , то  j d l  = jdl .  Умножив и разделив левый интеграл в (77) на S – площадь сечения провода, получим: 2  2  2  æ dl ö ò1  ( jS ) çè r  S  ÷ø = ò1  IdR = I ò1  dR = IR 12 , (78)  dl где  r  = dR  – сопротивление элемента провода длинной dl, сечением S; S  2 

R 12  =  ò dR  – сопротивление участка цепи 1–2.  1 

Первый интеграл справа в (77) – это разность потенциалов между точками 1 и 2:  2  r  r (79)  U 12 = ò E d l  = j1  - j 2  1 

Второй интеграл – это так называемая электро­движущая сила (ЭДС) на участке 1–2: 2  r r (80)  e 12  =  ò E ст d l  .  1 

Замечание: 

Если "сторонние" силы действуют в направлении протекания тока, то  e 12 > 0 , если – в  обратном направлении, то  e 12 < 0 .  Объединяя (78), (79) и (80), получим:  R 12 × I  = U 12  + e 12  (81)  Последнее равенство является интегральной формой закона (76).  Важную роль при анализе электрических цепей имеет частный случай закона (81),  примененного к замкнутой цепи, для которой  j 1 = j 2  (для замкнутой цепи точки 1 и 2  совпадают): R П I  = e ,  (82)  где  RП  – полное сопротивление замкнутой цепи; e – алгебраическая сумма ЭДС в данной замкнутой цепи.  4.6.  Закон Джоуля­Ленца.  4.6.1. 

На заряд, переносимый по однородному участку цепи при протекании тока, действует  кулоновская сила.  r r F C =  q E  .  Однако, если бы на q действовала только F C, то этот заряд двигался бы с ускорением. Но это  r r – не так, заряд q движется с постоянной (в среднем) скоростью  V =  mE  (см. (73)). Это  значит, что на него действует еще одна сила (сила сопротивления со стороны  r  кристаллической решетки), в точности равная по величине силе  qE :  F сопр = qE .  Сила сопротивления совершает работу, приводящую к выделению теплоты (нагреванию  кристаллической решетки, то есть проводника). В единицу времени  F сопр  совершает работу,  равную мощности силы сопротивления:  P C =  F сопр  × V  = F сопр  × mE  = q mE 2 .

В любом малом объеме проводника DV содержится  N =  n × DV  зарядов q (носителей заряда),  поэтому в DV за счет силы  F сопр  в единицу времени выделяется количество теплоты DP:  D P  = P C × N  = q m n × E 2 DV  D P дает плотность мощности, выделяемой в проводнике:  DV  DP  w =  = q mnE 2 .  (83)  DV  Если учесть, что q mn  = s , а  qnmE    = qnV  = j , то формулу (83) можно переписать в виде: 

Отношение 

w = sE 2  = jE  = rj 2  . (84)  Последние соотношения выражают закон Джоуля­Ленца в дифференциальной форме (все  три формы записи закона эквивалентны).  4.6.2. Закон Джоуля­Ленца для однородного участка цепи. 

Если нас интересует мощность, выделяемая при протекании тока на однородном участке  сопротивлением R, то нужно w – плотность мощности умножить на объем участка цепи:  V об = S × l ,  где  S – площадь поперечного сечения;  l – длина участка цепи. P R =  jE × Sl  = ( jS )(El ) = I × U  ,  (85)  где  I – ток, протекающий по сопротивлению R участка цепи;  U – напряжение на сопротивлении R.  4.6.3.Случай замкнутой цепи. 

Для случая замкнутой цепи мощность, выделяемую в цепи, можно рассчитать, умножив (82)  на I:  R П I 2  = eI  (86)  Слева стоит тепловая мощность, выделяемая на всех элементах замкнутой цепи (включая  источник сторонних сил, который при протекании по цепи тока тоже нагревается):  R П I 2  =  RI 2  + r 0 I 2  ,  (87)  где  R – сопротивление внешней по отношению к источнику цепи;  r 0  – внутреннее сопротивление источника ЭДС;  R П I 2  = eI  – полная мощность, развиваемая источником;  RI 2  – мощность, выделяемая во внешней цепи ("полезная");  r 0 I 2  – мощность, теряемая в источнике ЭДС.  Замечаение: 

Заметим, что введенное в (87) сопротивление источника ЭДС r 0  может быть выделено в  законе Ома для замкнутой цепи: (R + r 0 )I  = e или  I = e  (88)  R + r 0  4.7.  Правила Кирхг офа.  Расчет разветвленных цепей постоянного тока можно существенно упростить, если  воспользоваться так называемыми правилами Кирхгофа, являющихся следствиями уже  рассмотренных законов.  4.7.1. Первое правило Кирхгофа.

Оно является следствием из уравнением непрерывности (18)  при условии, что при протекании постоянных токов заряды в  узлах цепи не должны изменяться (не должны меняться  dq  потенциалы узлов), то есть при условии  = 0 :  dt  r  r (89)  ò j d S  = 0 .  Интеграл (89) – это ток, протекающий через поверхность,  охватывающую узел (рис. 49), то есть  r  r ò j d S  = - I 1 + I 2  - I 3  = 0 .  (90) 

Рис. 49 

Знаки в (90) выбраны в соответствии со знаками скалярного  r  r произведения  j d S  (см. 2.1.3). Итак, правило Кирхгофа гласит:  алгебраическая сумма т оков в узле элект рической цепи пост оянного т ока равна нулю.  4.7.2. Второе правило Кирхгофа. 

Если в разветвленной цепи выбрать  произвольный замкнутый контур, то  алгебраическая сумма произведений т ока в  от дельных участ ках на сопрот ивление эт их  участ ков равна алгебраической сумме ЭДС,  дейст вующих в данном конт уре: (91)  å Ri I i  = å e i  Знаки отдельных слагаемых в суммах  выбираются следующим образом:  1)  если направление протекания тока Ii  по 

Рис. 50

i­му участку контура совпадает с выбранным положительным направлением  обхода контура, то соответствующее (i­ое) слагаемое берется со знаком "+";  2)  если ЭДС, действующая на i­м учестке контура "способствует" протеканию тока в  выбранном положительном направлении обхода контура, то соответствующее  слагаемое (ei) берется со знаком "+".  Иллюстрацию (и доказательство) этого правила проведем для некоторого контура  разветвленной цепи, содержащего четыре участка (рис. 50).  Положительное направление обхода контура 1–2–3–4 выберем по часовой стрелке (см. рис.  50). Запишем обобщенный закон Ома (81) для каждого из участков цепи:  - I 1 R 1  = j1  - j 2  + e 1  I 2 R 2  = j 2  - j 3  + e 2  I 3 R 3  = j 3  - j 4  + e 3  I 4 R 4  = j 4  - j1  + e 4  Сложив эти уравнения получим:  - I 1 R 1  + I 2 R 2  + I 3 R 3  + I 4 R 4  = e 1  - e 2  + e 3  - e 4 ,  то есть второе правило Кирхгофа.  Замечание: 

При описании разветвленной цепи число уравнений, соответствующих правилам Кирхгофа  должно совпадать с числом неизвестных параметров (чаще всего токов в отдельных  участках). При этом: 

1)  число независимых уравнений типа (90) (I правило) равно N – 1, где N – число  узлов в разветвленной цепи;  2)  число независимых уравнений типа (91) (II правило) равно наименьшему числу  разрывов, которые необходимо сделать, чтобы ликвидировать все контуры в  разветвленной цепи.  4.8.  Переходны е процессы  в элект рических цепях.  Рассмотренные выше законы (законы постоянного тока) во многих случаях могут быть  применены и к цепям с изменяющимися во времени токами, если только изменение тока  происходит не слишком быстро. Слова "не слишком быстро" в данном случае означают, что  мгновенное значение тока I(t) в момент времени t практически одинаково для всех  поперечных сечений цепи. В случае "быстрых" (высокочастотных) изменений тока  мгновенные значения I(t), вообще говоря, могут в разных сечениях цепи различаться (даже  по знаку).  "Не слишком быстро" (медленно) изменяющиеся токи называют квазистационарными (см.  Квазист ационарный т ок 

Высокочаст от ный т ок 

а) момент  в ремени t 1 

а) момент  в ремени t 2  Рис. 51 

рис. 51).  Именно к квазистационарным токами можно применить законы постоянного тока, если под I  в них понимать мгновенное значение тока I(t).  4.8.1. Разряд конденсатора через сопротивление. 

Предварительно заряженный до напряжения u0  конденсатор  емкостью С в момент времени t = 0 начинает разряжаться через  сопротивление R. (см. рис. 52).  Несмотря на то, что с момента t = 0 цепь "замыкается" ключом Кл,  с точки зрения протекания постоянного тока она разомкнута  (конденсатор не пропускает постоянных ток).  Поэтому рассмотрим эту схему как участок цепи АВ (от  положительно заряженной обкладки до отрицательной), см. рис.  53.  В соответствии с обобщенным законом Ома (см. формулу (84) в п.  4.2.3.): 

Рис. 52 

Рис. 53

RI = j A  - j B  + e AB .  Поскольку ЭДС на участке цепи отсутствует ( e AB = 0 ), а  j A  - j B  = U C  – напряжение на  конденсаторе, то  U C =  RI ,  (92)  q  причем  U C =  , где q – заряд конденсатора.  C  Ток, текущий от положительно заряженной пластины A связан с зарядом на этой пластине q 

Рис. 54

уравнением непрерывности (см. (18)):  r  dq  I = ò j dS  = (93)  dt  Перенося в (92) слагаемое RI влево и деля все слагаемые на R, с учетом (93) получим  dq  1 +  q  = 0  (94)  dt  RC  Мы получили то, что в математике называют линейным однородным дифференциальным  уравнением первой степени. Его решение ищут в виде  q =  Ae lt  , где A и l некоторые  константы, которые нам нужно будет определить.  После дифференцирования  q =  Ae lt  по t, подстановки полученного выражения в (94) и  сокращения на  Ae lt   получаем так называемое характеристическое уравнение уравнения (94)  1 1 l +  = 0 , откуда  l  = .  RC RC  1 1  Одна константа определена: l  = = - , где  t  = RC – так называемая  пост оянная  RC  t времени для нашей цепи.  Для определения А используем начальное условие – "конденсатор был заряжен до  напряжения U0", то есть в начальной момент времени t = 0 заряд на конденсаторе был равен  q0  = U 0  × C .  -

Подставляя в выражение для заряда  q =  Ae  q0  =  A , так как  e 0 = 1 .  Получили решение уравнения (94) в виде  -

t  RC 

-

t  RC 

t = 0, получаем 

t  RC 

q( t ) =  q 0 e  = U 0 C × e  .  (95)  Если нас интересует ток на участке цепи АВ, то используем связь I и q (ур­е непрерывности):  t  t  dq ( t )  q 0  - RC  U 0  - RC  I ( t ) =  = e  = e  .  (96)  dt  RC  R  На рис. 54 показаны графики зависимости q и I от времени.  Заметим, что за время, равное постоянной времени  t  = RC значение заряда и тока  уменьшается в e раз (т.е. почти в 3 раза,  e @  2, 72 ).  4.8.2. Заряд конденсатора через сопротивление. 

Чтобы зарядить конденсатор, его  нужно подключить через  сопротивление (это сопротивление не  обязательно должно быть включенным  в цепь резистором, это может быть и  просто сопротивление подводящих 

Рис. 55 

Рис. 56

проводов) см. рис. 55.  По сравнению с предыдущим случаем с момента t = 0 на участке цепи начинает действовать  ЭДС (направление протекания тока мы выбрали таким, чтобы в обобщенный закон Ома ЭДС  вошла со знаком "+"). Имеем (обощенный закон Ома) (см. рис. 56): RI  = j A  - j B  + e ,  (95)  При таком выборе направления I  dq  I =  ,  dt  то есть ток обуславливает увеличение заряда q. Заметим также, что напряжение на  конденсаторе U C  = j +  - j - = j B  - j A .  С учетом сделанных замечаний из (95) получим: dq  dq 1  e R  =  -U C  + e или  +  q  = .  (96)  dt  dt  RC  R  Уравнение (96) в отличие от (94) является неоднородным – в правой части не нуль.  Общим решением неоднородного уравнения является сумма общего решения  соответствующего однородного уравнения и частного (какого­нибудь, хотя бы угаданного)  решения неоднородного уравнения:  q ( t ) =  q общ .  ( t ) + q част н .  .  однор . 

неднор .  -

q общ .  (t )  нам известно из п. 4.5.1:  qобщ .  (t ) =  Ae  однор . 

t  RC 

. 

однор . 

А частное решение неоднородного легко угадать:  q част н.  = eC  . Действительно, при  неднор . 

dq част н . подстановке  q част н.  = eC  в (96) получим тождество, так как  неднор . 

неднор . 

dt 

= 0 , а 

dqчаст н .  1  eC  e 1  неоднор .  q част н.  =  = , то есть  +  q част .  всегда равно правой части (96). Таким  RC  неднор .  RC  R  dt  RC  неоднор .  образом, общее решение уравнения (96) имеет вид  t -  RC 

q ( t ) = Ae  + eC .  Постоянную А находим, используя начальное условие  q ( 0 ) º q 0 = 0 , ведь до t = 0  конденсатор не был заряжен. Итак,  q(0 ) =  A + e C  = 0 , откуда  A =  -eC ,  и мы имеем решение нашего уравнения (96) t  æ -  ö q (t ) = eC    çç1 - e  RC  ÷÷ .  (97)  è ø

Так как в нашем случае  I =  t 

dq  , то  dt  t 

1  - RC  e - RC  I ( t ) = e C  e  = e  .(98)  RC  R  Графически решения (97) и (98) представлены на рис. 57.  Замечание: 

Законы постоянного тока применимы и к цепям, содержащим индуктивности, лишь бы ток  был квазистационарным. Рассмотрение этой задачи мы отложим до изучения понятия  индуктивности и ЭДС самоиндукции. (см. Гл. 6). 

Рис. 57

ГЛАВА 5.  ПОСТОЯННОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ (МАГНЕТОСТАТИКА)  r 5.1.  Теорема о циркуляции вект ора  B .  Эта теорема по своей роли аналогична теореме Гаусса в электростатике: при наличии в  r  задаче некоторых видов симметрии теорема позволяет легко находить вектор индукции  B .  r  Теорема о циркуляции  B является математическим следствием закона Био­Савара­Лапласа и  в теории электромагнетизма (уравнения Максвелла) является одним из фундаментальных  законов (одним из уравнений Максвелла).  r 5.1.1. Теорема о циркуляции  B . 

r  Циркуляция вект ора  B по замкнут ому (произвольному) конт уру Г равна произведению  магнит ной пост оянной (m0) на алгебраическую сумму т оков, пересекающих  поверхност ь, нат янут ую на конт ур Г. r  r B  ò d Г  = m 0 å I i  (99)  Г 

Для доказательства теоремы рассмотрим ток  r  I, образующий поле  B в окружающем его  пространстве и контур Г с выбранным  положительным направлением обхода,  причем контур Г либо охватывает ток I  (случай а), либо не охватывает его (случай б),  см. рис. 58.  В первом случае ток I пересекает  поверхность S, натянутую на контур Г, во  втором – нет. 

Рис 58 а) 

б)

5.1.1.1. Случай а. 

В каждой точке контура Г ток I создает поле  r  B , которое можно найти, пользуясь законом Био­Савара­Лапласа и принципом  суперпозиции: rr ì r m 0  d l r  I  3  ïd B = 4p r  ï rr í r r m 0 I  d  l  r  ï B = d B = 3  ò  ò ï 4 p ( по I ) r  (по I ) î r  Циркуляция  B по контуру Г определяется в этом случае двойным интегралом (по току I и по  контуру Г): rr r r m 0 I  d l r  r ò Bd Г  =  4 p ( òГ ) ( по òI )  r 3  d Г .  ( Г ) 

[ ]

[ ]

[ ]

Воспользуемся свойством смешанного произведения векторов: rr r r rr dl r  d Г  =  d Г d l  r  ,  а также тем, что переменные интегрирования в интегралах по "I" и по "Г" назависимы  (можно изменить порядок интегрирования): 

[ ]

[

]

Рис. 60

ò ò

( Г ) ( по I ) 

[dГ r d l r]r r =  r 3 

ò ò

[d Г rd l r]r r . 

( по I ) ( Г ) 

(100) 

r 3 

Рассмотрим геометрический смысл подынтегрального выражения (см. также рис. 59а):  r  r 1) dГ d l  – вектор, по модулю равный площади элементарного параллелограмма со  r  r сторонами dl и dГ; направление вектора dГ d l  определяется, исходя из свойств 

[

] 

[

] 

векторного произведения;  r r r r  2)  скалярное произведение dГ d l  ×  равно площади проекции параллелограмма  r 

[

] 

(dl,dГ) на плоскость,  r  перпендикулярную вектору  r

(обозначим через d S^  );  r r  r r  dГ d l  r  определяет  3)  отношение 2  r 

[

] 

элементарный телесный угол

dW, опирающийся на d S^  ,  вершина угла в начале вектора  r  r . 

Рис. 59 а) 

б) 

Если проинтегрировать (просуммировать)  все dW по контуру Г, то получим телесный угол dW, опирающийся на замкнутую "ленту" (см.  рис. 59б) шириной dl и длиной, равной длине дуги Г: dW = ò d W Г 

При интегрировании в (100) "по току" происходит суммирование углов dW для всех  положений точки А (рис. 59б) на токе I: 4 p 

ò dW = ò d W = 4 p . 

( по I ) 

0 

Последний результат легко осмыслить, глядя на рисунок 60.  При перемещении "по току" в процессе интегрирования мы получаем телесный угол, под  которым видна поверхность, натянутая на контур Г, из данной точки. Например:  –  из точки А1  поверхность S видна под небольшим углом W 1  = ò d W ;  по току  до А  1 

–  из точки А2  поверхность S видна под углом W2  немного меньшим 2p стерадиан;  –  из точки А3  – под углом W3  уже большим, чем 2p страд.; 

Рис. 62 

–  из точки А4  – под углом W4, приближающимся к значению 4p страд.  Итак, если ток пересекает поверхность S, натянутую на контур Г, то  r  r m 0 I  ò B d Г  = 4p × 4 p = m 0 I  .  5.1.1.2. Случай б. 

Повторяя рассуждения случая а для контура Г, не охватывающего ток I, легко получить, что  (см. также рис. 61)  r  r B ò  d Г  = 0 .  Замечание: 

Рис. 61 

Результаты полученные выше почти очевидны, если помнить, что мы изучаем магнитное  поле постоянного тока. Это значит, что линия тока I – это либо приходящая из  бесконечности и уходящая в бесконечность кривая (или прямая), либо замкнутая кривая.  Качественная зависимость угла W, под которым видна поверхность S при прохождении по  всему замкнутому току для случаев, когда контур Г охватывает и не охватывает ток  приведена на рис. 62. В первом случае каждое прохождение по току дает значение для W,  равное 4p, во втором – W колеблется в небольших пределах около нуля, возвращаясь к  одному и тому же значению после каждого прохождения.  r 5.2.  Применения т еоремы  о циркуляции  B .  5.2.1. Поле бесконечного прямого тока. 

r  Из соображений симметрии и того факта, что силовые линии поля  B должны быть  r  замкнутыми кривыми, делаем вывод, что линии  B – это  концентрические окружности с осью симметрии, совпадающей  с током (рис. 63). Выбираем одну из силовых линий –  окружность с радиусом r (произвольным) в качестве контура Г.  r  r В этом случае  Bd Г  = BdГ , причем В имеет одно и то же  r  значение во всех точках контура Г. Для циркуляции  B имеем: 

Рис. 63

r  r

ò Bd Г  = ò BdГ  = B ò dГ  = B × 2p r ,  так как ò dГ  – это просто длинна окружности радиуса r. По теореме о циркуляции:  2pr × B = m 0 I  или  m  I  B =  0 (101)  2 pr  Формула (101) позволяет рассчитать индукцию B на любом расстоянии от прямого тока, а  r  как направлен вектор  B в любой точке мы уже знаем (по касательной к силовой линии).  5.2.2. Поле длинного прямого соленоида. 

Соленоид представляет собой катушку,  намотанную тонким проводом по винтовой линии  на цилиндрической поверхности. Сечение такой  катушки показано на рис. 64.  r  Как показывает опыт, поле  B вне объема,  охватываемого витками, быстро падает с  увеличением длины катушки, поэтому для  длинного соленоида (длина много больше  Рис. 64 диаметра витков намотки) можно с достаточной  точностью считать поле вне соленоида равным 0.  r  r На всех участках контура Г кроме участка ab скалярное произведение  Bd Г  равно нулю:  –  вне катушки потому, что там  B = 0 ;  r  r  –  на отрезках ab и bc потому, что на них элементы  dГ  перпендикулярны  B .  Следовательно,  r  r

ò Bd Г  = B × l .  С другой стороны, натянутую на Г поверхность пересекают N витков катушки, по которым в  r  данном направлении протекает суммарный ток NI. Тогда по теореме о циркуляции  B :  Bl  =  m 0 NI  ,  или  B =  m 0 nI ,  N  где  n =  – число витков, приходящихся на единицу длины катушки (погонная плотность  l  намотки).  r 5.3.  Дифференциальная форма " т еоремы  о циркуляции  B " .  r  Итак, теорема о циркуляции  B гласит:  r  r B  ò d Г  = m 0 I  ,  Г 

где  I – суммарный ток (алгебраическая сумма токов), охватываемый контуром Г.  r  r Если учесть, что I =  ò j d S ,  S Г 

где 

r  j – вектор плотности тока; r  r r  j d  S  – поток  j через поверхность SГ, натянутую на контур Г.  ò 

S Г 

и воспользоваться теоремой Стокса, то r  r r r r B d  Г  =  rot B  dS  = m   0  ò ò ò j d S .  S Г 

S Г 

Объединяя обе части равенства, получим r r r rot  B  m   0 j  d S  = 0 .  ò 

(

) 

S Г 

Так как последний интеграл равен 0 для произвольной  поверхности, натянутой на Г, то  r  r r rotB º Ñ ´ B = m 0  j .  (103)  Равенство (103) и есть дифференциальная форма "теоремы  r  о циркуляции  B ". 

Рис. 66

5.4.  Сила Ампера.  Каждый заряд, движущийся по проводнику,  находящемуся в магнитном поле, испытывает  действие силы Лоренца r rr F Л =  q V B  .  Векторная сумма сил Лоренца, действующих на  все движущиеся заряды в элементе объема  проводника  dV =  S × dl  (см. рис. 65), дает  результирующую силу, действующую на элемент  длины проводника dl с током I, находящегося в  магнитном поле B, – силу Ампера. 

[ ] 

Рис. 65 

5.4.1. 

Число зарядов (носителей заряда) N, находящихся в объеме dV проводника,  N =  n × dV  = n × Sdl ,  где n – концентрация носителей.  Тогда результирующую силу, действующую на объем тонкого проводника dV, можно найти  по формуле: r rr r r rr dF  =  q V B  × ndV  = qn V , B dV  = j B dV .  (104)  r  Здесь  j – плотность тока (см. (21)).  Так как в тонком проводнике дрейфовая скорость носителей направлена вдоль оси  r  r  проводника, то есть V параллельна  dl  , то rr r dF  =  qvn × S  d l B  .  (105)  Если при этом учесть, что  q × nV × S  = j × S  = I ,  то формулу (105) для силы Ампера можно записать в виде rr r dF  =  I  d l B  (106) 

[ ]

[

]

[ ]

[ ] 

[ ] 

5.4.2. 

Если стоит задача – определить силу, действующую на отрезок l прямого провода с током I,  r  находящегося в однородном магнитном поле  B , то (см. рис. 66) эту силу можно найти по  формуле: F A =  IlB sin a  .  Действительно, в силу принципа суперпозиции r r F A  =  ò d F  ( по l ) 

r  Но так как I и  B постоянные параметры, то é r rù rr r r F A = ò d F  = I ê ò d l ,  B ú = I  l B  ,  ( по l )  ëê( по l )  ûú r  где  l – вектор, длина которого равна l, а направление  совпадает с направлением протекания тока (с  направлением оси проводника).  r  r  Величина силы  F A : F A º F A  = IlB sin a ,  r  где a – угол между линиями поля  B и осью проводника  r  (вектором  l ). 

[ ] 

Рис. 68

5.5.  Конт ур с т оком в маг нит ном поле.  5.5.1. Сила, действую щая на контур с током. 

Силу, действующую на контур с током в магнитном поле, можно определить в соответствии  с (106) и принципом суперпозиции: rr r  F = ò I  d l B  ,  (107) 

[ ]

где интегрирование производится по всему замкнутому контуру.  r  В частном случае однородного поля  B = const : r r r  F = I  ò d l , B  = 0 ,  r  r  так как  ò dl  = 0 , ведь это – сумма элементарных векторов  dl  , образующих замкнутый 

[

] 

контур.  5.5.2. Момент сил, действую щих на контур с током в  магнитном поле. 

Рассмотрим простой случай плоского квадратного контура  током (см. рис. 67), помещенного в однородное магнитное  r  поле  B . Найдем силы Ампера, действующие на стороны 

с 

контура: F23  =  F 14  = I × a × B sin a  .  Рис. 67  При выбранной ориентации контура (стороны "12" и "34"  r  r  r  перпендикулярны  B , стороны "14" и "23" образуют угол a с линиями  B ) только силы  F34  и  r  F12  могут привести к повороту контура (относительно оси z–z) (см. рис. 68).  r  r  Силы  F14  и  F 23 , действующие вдоль оси контура, равны по величине и проводят лишь к  попытке растянуть контур.  r  r  Механический момент действующих на контур сил  F12  и  F34  определяется известным из  механики соотношением (момент силы – сила´плечо): M =  F 12  × a cos a  = IaB × a cos a = Ia 2  × B cos a .  r  Если ввести в рассмотрение угол b (см. рис. 68) – угол между положительной нормалью  n к  r  контуру с током (определяется правилом буравчика) и полем  B , то M =  Ia 2  × B sin b  (107)  Структура выражения (107) соответствует определению модуля векторного произведения  r  r  r r векторов  Pm  и  B , где  P m =  I  × a 2  × n  – так называемый магнитный момент контура. 

r  Заметим, что величина (модуль)  Pm  равна произведению тока I, протекающего по контуру на 

площадь, ограниченную контуром,  S = a 2  . Итак, момент сил, действующий на контур r r r M  =  P m B  (108)  Формула (108), полученная нами для частного случая квадратного контура, справедлива для  всех плоских конт уров, находящихся в однородном магнит ном поле. 

[ ] 

5.5.3. Элементарны й контур с током. 

Для дальнейшего рассмотрения особый интерес представляет так называемый  элемент арный конт ур с т оком – плоский контур с размерами много меньшими, чем  r  r  расстояния, на которых заметно меняется поле  B . В этом случае  B для расчета момента сил  r r r можно считать постоянным в пределах контура. При этом формула M  =  P m B  может быть  r  применена и в неоднородном поле – просто  B берется для той точки, где расположен  элементарный контур. 

[ ] 

r 5.5.4. Работа при повороте контура с током в однородном поле  B . 

r  Магнитные силы, создающие момент  M , стремятся повернуть контур с током. Существует,  однако, положение устойчивого равновесия для контура, при котором  M  = 0 (из формулы M  =  P m B sin b  следует, что это положение соответствует углу  b  = 0 , то есть такому  r  r  положению, когда  Pm  параллелен  B ). Чтобы повернуть контур из положения устойчивого  равновесия, нужно совершить работу против магнитных сил (сил Ампера). Найдем работу,  необходимую для поворота контура на угол j. Элементарная работа  dA ¢ ,  совершаемая при  повороте на бесконечно малый угол d b  : dA ¢ = M ¢d b  ,  где  M ¢  – момент внешних сил, направленный против M – момента сил Ампера, и в  точности равный ему по величине.  Работа при повороте на угол j:  j

A 0 ¢ ¸j = ò P m B sin b d b = - P m B cos j + P m B cos 0 .  0 

Видно, что работа определяется только начальным (при  b  = 0 ) и конечным (при b  = j )  положениями контура в поле. Это приводит нас к выводу, что находящейся в магнитном  поле контур с током обладает потенциальной энергией: U  = - P m B cos b  .  В нашем примере:  U начальное = - P m B  – энергия начального положения, U конечное  =  - P m B cos j – энергия конечного положения,  A¢ = U конечное  - U начальное  – работа внешних сил,  A = U начальное  - U конечное  – работа сил поля,  причем  A¢ = - A .  5.5.5. 

r  r  Для элементарного контура формулой для энергии магнитного момента  Pm  в поле  B r r U  = - P m B cos b  = - P m  × B  (109)  можно пользоваться и в случае неоднородного поля, причем не только для расчетов работы  r  r  при переориентации  Pm , но и при перемещении  Pm  в неоднородном поле.

Пример: 

Определить работу по перемещению элементарного контура с током (магнитный момент –  r  Pm ) из области поля, где  B =  B 1 , в область, где  B =  B 2 . При перемещении контур  поворачивается из положения устойчивого равновесия на 90° относительно оси,  перпендикулярной полю (см. рис. 69).

Решение 

r  Энергия момента  Pm  в начальном положении: 

U 1  = - P m × B 1 .  r  Энергия  Pm  в конечном положении:  æ p  ö U 2 = - P m  × B 2  × cos ç ÷ = 0 .  è 2 ø Работа внешних сил:  A ¢ = U 2  - U 1  = P m B 1 .  Работа сил поля:  A = - A ¢ = - P m B 1 . 

Рис. 69

5.6.  Маг нит ное поле в вещ ест ве.  r  При помещении в магнитное поле  B0  какого­либо вещества магнитное поле изменяется  (вспомним, что при помещении вещества в электрическое поле последнее тоже изменялось).  Это означает, что любое вещество является магнет иком, то есть при действии на него  магнитным полем меняет свои свойства – намагничивается, приобретает магнитный момент.  Этот магнитный момент создает собственное магнитное поле, которое, складываясь с  r  r  внешним полем  B0  (по принципу суперпозиции), формирует результирующее поле  B :  r  r r B = B 0  + B ¢ (110)  5.6.1. Намагниченность. 

Для описания процесса намагничивания вещества вводят количественный параметр – вектор  r  намагниченности  J . По определению:  DN  r P mi r  å i =1 J  = ,  (111)  DV  r  где  Pmi  – магнитный момент i­й молекулы, образующей вещество (образец);  D V – физически бесконечно малый объем, содержащий DN суммируемых моментов  r  Pmi  .  Если воспользоваться определением среднего момента молекулы по объему  D V :  DN  r P mi  å r  i =1 < P m >= ,  r DN  r P mk r  å r P  å mk  DN  то  J  = k  = =< P m  > ×n ,  DV  DN  DV  DN  где  n =  – концентрация молекул.  DV  Мы будем следовать последнему определению:  r  1)  считаем, что все молекулы обладают одинаковым магнитным моментом <  Pm  > ;  2)  намагниченность рассчитываем по формуле:  r  r J  =< P m > ×n 

(112) 

5.6.2. Классификация магнетиков. 

Известно, что молекулы (атомы) вещества содержат электроны, вращающиеся вокруг  атомных ядер. Вращающейся электрон создает магнитный момент (отрицательный). Кроме 

упорядоченный магнетик  (ферромагнетик) 

неупорядоченный  магнетик  (парамагнетик) 

диамагнетик 

а) внешнег о поля нет  (В 0 =0) 

б) внеш нее поле ест ь (В 0¹0)  Рис. 70

того, собственным (спиновым) магнитным моментом обладают все частицы (электроны,  протоны и нейтроны), входящие в состав атомов.  В зависимости от числа этих частиц (подробнее об этом мы узнаем из четвертой части курса)  молекула (атом) может либо обладать магнитным моментом, либо не обладать (нулевой  момент).  Если молекулы обладают магнитным моментом, то между ними имеется взаимодействие,  пытающееся упорядочить (выстроить определенным образом) эти моменты.  Процессу упорядочения магнитных моментов препятствует тепловое движение молекул  (колебания и вращения относительно узлов кристаллической решетки).  Если энергия взаимодействия моментов преобладает над энергией теплового движения, то  магнетик даже в отсутствие внешнего магнитного поля является упорядоченным (например,  ферриты, ферромагнетики) – моменты в таком образце выстроены определенным образом,  образец намагничен.  Если же энергия взаимодействия мала по сравнению с энергией теплового движения, то  моменты ориентированы хаотически – намагниченность равна нулю. Такие  неупорядоченные магнетики называют парамагнетиками.  Наконец, те молекулы, которые не обладают магнитным моментом, формируют в отсутствие  внешнего поля образец с нулевой намагниченностью, а при включении магнитного поля в  них индуцируется (наводится) магнитный момент, направленный всегда против внешнего  поля. Последний тип магнетика называют диамагнетиком. Сказанное иллюстрируется рис.  70.  Заметим, что в отсутствие внешнего магнитного поля для ферритов и ферромагнетиков  r r  r  J  <  P m >= ¹ 0 , а для пара­ и диамагнетиков  <  Pm  >= 0 .  DN  5.6.3. Магнитная восприимчивость. 

Для однородных пара­ и диамагнетиков во всем диапазоне используемых в экспериментах  магнитных полей величина среднего магнитного момента пропорциональна индукции  внешнего поля:  r c r <  P m >= m  B 0  , 

m 0 

а) парамаг нет ик 

б) диамаг нет ик  Рис. 71 

Рис. 72

где cm  – так называемая молекулярная магнитная восприимчивость – параметр,  r  описывающий  "легкость", с которой при данном поле у молекулы появляется <  Pm  > .  Заметим, что для парамагнетиков  c m > 0 , а для диамагнетиков  c m < 0 .  В силу определения (112) для диа­ и парамагнетиков:  r  r c × n  J  =< P m > n = m  B 0  (113)  m 0  Вводя параметр  c  = c m × n  – магнитную восприимчивость вещества, получим:  r c r J =  B 0  (140) 

m 0 

5.6.4. Молекулярны е токи 

Наглядно картину намагничивания диа­ и парамагнетиков можно представить, вводя (следуя  Амперу) так называемые молекулярные токи (рис. 71)  r  –  под действием внешнего поля  B0  в молекулах наводятся молекулярные токи im,  приводящие к появлению магнитных моментов у молекул;  r  –  у парамагнетиков направление этих токов таково, что <  Pm  > направлен  r  параллельно  B0 ;  r  r  –  у диамагнетиков – <  Pm  > противоположен  B0 .  (можно воспользоваться правилом буравчика).  В каждой точке однородного магнетика любой молекулярный ток компенсируется  направленным навстречу молекулярным током соседней молекулы (результирующей  молекулярный ток внутри магнетика равен нулю).  Исключение составляют те молекулярные токи, которые выступают на боковую поверхность  образца – в результате формируется ток намагничивания (рис. 72). 

Для однородного образца цилиндрической формы картина совпадает с картиной  формирования поля в длинном соленоиде (рис. 73).  Именно ток намагничивания является причиной возникновения магнитного поля 

а) маг нет ик 

б) соленоид  Рис. 73

r  намагниченного образца  B¢ . 

r 5.6.5. Циркуляция  B в присутствии магнетика. 

r  Для связи  B¢ с намагниченностью J используем аналогию с соленоидом, для которого  N  B C  =  m 0 I  ,  l  где  I – ток, протекающий по обмотке,  N – число витков, уместившихся на длине l соленоида.  Для случая магнетика  I = i m  – молекулярный ток, а N – число молекул, уместившихся на  отрезке длиной l, проведенном параллельно оси образца:  N =  S × l × n ,  где  S – площадь, ограниченная молекулярным током,  S × l  – объем магнетика, содержащий интересующее нас число молекул N.  Итак, S × l × n  B ¢ = m 0 i m × = m 0 (i m  × S ) × n .  l  Но, (i m S ) =<  P m  > , а  <  P m > n = J  , то есть r  r B  ò d Г  = m 0 å i k  ,  причем в алгебраическую сумму токов входят как токи проводимости (Ik), создающие  r  r  внешнее поле ( B0 ), так и токи намагничивания ( i нам  ), создающее поле  B¢ . Для определения  последних необходима информация о строении молекул (нужно уметь рассчитать im  –  молекулярный ток) и структуре магнетика (для определения im  – тока намагничивания).  r 5.6.6. Вектор напряженности магнитного поля  H . 

Для преодоления в практических расчетах этих трудностей в физике используют вектор  r  напряженности магнитного поля  H (аналогично использованию вектора электрического  r  смещения  D rпри расчете электрического поля в присутствии диэлектрика):  r  B  H =  - J  (114) 

m0 B ¢ = m 0 J  . 

r  r  Если учесть, что направления  B¢ и  J связаны с направлением протекания молекулярных  r  r  токов правилом буравчика (см. рис. 68), то становится ясно, что  B¢ и  J (для однородного  образца) параллельны:  r  r B¢ = m 0 J  (115) 

5.6.7. Магнитная проницаемость вещества. 

r  r  Теперь легко получить связь между результирующим полем  B и внешним полем  B0  для  однородного магнетика:  r  r r r r B0 =  B 0  + B ¢ = B 0  + m 0 J  ,  r c r что с учетом  J =  B 0  дает:

m 0 

r r r r B =  B 0  + cB 0  = (1 + c ) B 0 . 

Величину ( 1 + c ) обозначают буквой m: m = 1 + c , и называют магнитной проницаемостью  вещества:  r r B =  mB 0  .  (116)  m показывает , во сколько раз магнит ное поле в присут ст вии магнет ика больше поля в  его от сут ст вие.  r 5.6.8. Теорема о циркуляции  H . 

r  Если перед нами поставлена задача рассчитать поле  B в присутствии магнетика, то можно  r  воспользоваться теоремой о циркуляции вектора  B .  r  Рассмотрим циркуляцию  H по произвольному замкнутому контуру: r  r 1 r r r r H d  Г  =  B  d  Г  J  ò ò d Г .  m 0  ò r  r r По теореме о циркуляции  B = B 0  + B ¢ : r  r r r r r ò Bd Г  = ò B 0 d Г  + ò B ¢d Г .  r  r Но для однородного магнетика  B¢ = m 0 J  и, следовательно, r  r 1 r r r r r r H d  Г  =  B  d  Г  + J  d  Г  J  0  ò ò ò d Г .  m 0 ò r  r Так как ò B 0 d Г  =  m 0 å I k  , где Ik  – k­й ток проводимости, то r  r H (117)  ò d Г  = å I k  r  Циркуляция вект ора напряж енност и магнит ного поля  H по замкнут ому конт уру  равна алгебраической сумме т оков проводимост и, пересекающих поверхност ь,  нат янут ую на данный конт ур.  Замечание: 

Несмотря на то, что результат (117) получен для случая однородного магнетика, он  справедлив всегда (не только для однородного магнетика). В случае однородного магнетика  r  r  (и только для этого случая) можно получить связь между  H и  B0 . Действительно, для  r r r c r однородного магнетика  B =  m 0 B 0  и  J =  B 0 , то есть

m 0 

r r r B 0  m  r c r 1 (m - c ) B 0  = .  H одн =  B 0  B 0  =

m 0 

m 0 

m 0 

m 0 

r r 5.6.9. Связь векторов  B и  H . 

r  Таким образом, при расчете циркуляции  H мы должны учитывать только токи  r  r  r  проводимости. Если бы была установлена связь между  B и  H , то задача об определении  B в присутствии вещества решалась бы следующим образом:

r  1)  используя только токи проводимости, рассчитываем циркуляцию вектора  H ,  r  которая (как и в случае циркуляции  B ) для задач со специальной симметрией  r  позволяет найти модуль  H = H ;  r  r  r  2)  используя связь между  B и  H , находим  B – индукцию результирующего  магнитного поля в присутствии вещества.  r  r  Эту связь (между  B и  H ) мы установим (как и раньше) для случая однородного магнетика  (для простоты), но будем помнить, что она верна всегда.  r r r r B 0 Так как  B =  mB 0  , то из  H =  следует: m 0  r r r r B  или  B =  m 0 mH  (118)  H =  m 0 m Суммируем (для памяти) полученные результаты в таблице 5.6.9.  Таблица 5.6.9.  Однородны е маг нет ики 

r r ò Hd Г  = å I k  r r B =  m 0 mH  r r r r c r r B 0 B =  mB 0  ,  J =  B 0 ,  H =  m 0  m 0 

Произвольны й случай

r  r

ò Hd Г  = å I 

k 

r r B =  m 0 mH 

не выполняются 

Пример: 

Найти магнитное поле прямого тока, окруженного  магнетиком, в виде цилиндра радиуса R, ось которого  совпадает с током (рис. 74). Магнитная проницаемость  магнетика равна m.  Решение.  Рис. 74 1) Применим теорему о циркуляции вектора H:  r  r I  H ò d Г  = H × 2p r  = I ,  H =  2p r  .  r  r  2) Используем связь между  B и  H :  m 0 I  ì ïïB =  2 pr  при r  > R ;  B =  m 0 mH , что дает í ïB = m 0 mI  при r  < R .  ïî 2 pr  r  Мы видим, что при переходе границы магнетика модуль  B испытывает скачок. 

Замечание: 

r  Кажущаяся простота решения задач с использованием вектора  H и соотношения (118)  связана с использованием заданных (табличных) значений m – магнитной проницаемости,  полученных в результате многочисленных кропотливых экспериментов с разными  магнетиками. Если вспомнить, что  m  = 1 + c = 1 + c m × n , то становится ясно, что в этих 

таблицах собраны экспериментальные данные и о строении молекул (параметр  c m ) и о  структуре магнетика (параметр n).  5.6.10. Микроскопическое рассмотрение магнетиков. 

Итак, для решения задач определения магнитного поля в присутствии вещества нам нужно  знать параметры m (или  c  = m - 1 ).  5.6.10.1. Диамагнетики. 

Рассмотрим электрон, вращающийся вокруг ядра атома.  Электрон образует ток и соответствующий магнитный  момент (орбитальный магнитный момент), см. рис. 75. Так  как заряд электрона отрицательный, то направление  протекания соответствующего тока противоположно  направлению движения электрона. По этой же причине  противоположны направления механического момента  r  r  импульса  L и магнитного момента  Pme  .  При помещении атома в однородное магнитное поле на  r  Рис. 75 момент  Pme  начинает действовать момент сил,  r  r  пытающийся развернуть  Pme  по полю  B0 . Поведение  электрона при этом описывается основным уравнением динамики вращательного движения: r d L  r r =  P me × B 0  (119)  dt  Заметим, что L = m e r 2  × w , а  P me =  I  × S  = e n × pr 2  ,  где  me  – масса электрона,  r – радиус орбиты, n – частота обращения электрона, w  =  2pn – угловая скорость движения электрона.  r  P  e  e  r При этом  m  =  , или  P me =  L  (мы учли, что заряд электрона отрицателен).  L  2m e  2m e  Запишем теперь (119) в виде: r r d P me e  r r d L  e  r r =  P me B 0  или =  L B 0  .  dt  2 m e  dt  2 m e Т.к. при перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак, то: é e  r r ù é e  r rù e r  r e  r  r -  P me , B 0  = ê B 0 , P m ú или -  L , B 0  = ê B 0 , L ú .  2 m e  2  m  2  m  2  m  e ë e  û ë e  û r  r  Решив это уравнение, мы узнаем как ведет себя магнитный момент  Pm  (или  L ) в магнитном  r  поле  B0 .  Найдем решение по аналогии, зная, что определение скорости вращающейся материальной  точки дается уравнением: r rr dr  = [wr ] .  dt  r  r  r r e  r Но последние уравнения с точностью до обозначений ( r ®  P me  (или  L ),  w  ® B )  2m e r  r  совпадает с интересующим нас уравнением для  Pme  (или  L ). Следовательно, совпадают и их  решения (см. рис. 76). 

[

] 

[

[

]

] 

[ ]  [

]

r  ì d P me é e  r r ù = ê B , P m ú ï ï dt  ë 2 m e  û í r r r ù ï d L  é e  ï dt  = ê 2 m  B , L ú ë e  û î

r rr dr  = [wr ]  dt 

r  Решение: радиус­вектор  r вращается  r  (прецессирует) вокруг направления w с  частотой w 

r  r  Решение: вектор  Pm  (или  L ) вращается  r  (процессирует) вокруг направления  B0  с  e  частотой  w L = B 0  2 m e  e 

Рис. 76 

r  r  Итак, мы видим, что под воздействием магнитного поля векторы  L и  Pme  прецессируют (эта  прецессия орбитального момента носит название прецессии Лармора – ларморова  прецессия). Электрон получает дополнительную угловую скорость, совпадающую по  r  направлению с направлением  B0  r e  r w L = B 0  ,  2 m e  что соответствует дополнительному, индуцированному току (прецессионный ток):  e 2 B 0  w  .  (120)  i L  = e  L  = 2 p 2 pm e  Этот ток создает дополнительный магнитный момент, направленный противоположно полю  r  r e 2 pr 2  r B (диамагнитный момент):  P me = B 0  .  4 pm e  r  r  Если до включения поля  B0  моменты  Pme  электронов, входящих в атом были  скомпенсированы (атом диамагнетика не обладает в отсутствие поля магнитным моментом),  r  r  то после включения  B0  каждый из N электронов, входящих в атом, дает свой вклад  Pme  в  r  результирующий диамагнитный момент атома  Pm dia  : N r  e 2 r 2  r P m dia  = -å i  B 0  (121)  i =1  4 m e  r c r Вспомнив, что  P m dia  =  m  B 0  , получаем для диамагнитной восприимчивости атома:

m 0 

e 2 r i 2  i =1  4 m  e  Если ввести в рассмотрение средней квадрат радиуса орбиты: N

c m  = - m 0 å

Рис. 77 

Рис. 78

2 

2 

< r 

å r  >= i

,  N  то получим следующее выражение для диамагнитной восприимчивости атома:  m e 2  < r 2  > N  .  c m  = - 0 4 m e  Умножив cm  на концентрацию атомов, получим выражение для восприимчивости  диамагнетика:  m e 2  < r 2  > N  c dia = - 0 × n  4 m e  Для типичных значений параметров  < r 2  >@ 10 -20  м 2 ,  N  @  40 получаем значение  c dia @  -10 -5  ¸ 10 -6 , что вполне согласуется с опытом. Магнитная проницаемость чуть меньше  1: m dia @ 1 - (10 -5  ¸ 10 -6 ) .  5.6.10.2. Парамагнетики. 

Магнитные моменты молекул парамагнетика при  B 0 = 0  ориентированы хаотически и в  r  сумме дают нулевую намагниченность образца. При включении поля  B0  моменты начинают  r  прецессировать вокруг линии поля  B0 , и, если бы не было взаимодействия между  молекулами, то намагниченность оставалась бы нулевой. Однако при каждом акте  r  r  взаимодействия с соседними молекулами при наличии поля  B0  момент молекулы  Pm  r  немного меняет ориентацию, приближаясь по направлению к направлению  B0  (в новом  r r r  r  положении магнитная энергия  E маг =  - P m B  момента  Pm  в поле  B0  становится немного  меньше энергии, соответствующей исходной ориентации). Этому (релаксационному)  механизму упорядочения противодействует тепловое движение (колебания и вращения),  r  которое ведет к разупорядочению моментов  Pm . Параметром, характеризующим борьбу этих  двух процессов (упорядочения и разупорядочения), является отношение величины  магнитной энергии  P m B  к средней энергии теплового движения kT:  P  B  x =  m .  k B T  Дж  Здесь,  k B  = 1, 38 × 10 - 23  – постоянная Больцмана,  К  T – абсолютная температура.  С ростом упорядочения, естественно, растет средний магнитный момент <  P m  > , растет  намагниченность J, причем, как показывает опыт, для значительной части парамагнетиков  хорошо выполняется зависимость 

<  P m >= P m L (x ) ,  J  =  J m L (x ) ,  где  P m  – величина магнитного момента молекулы парамагнетика;  J m =  P m  × n  – максимальное значение намагниченности (все моменты ориентированы  r  одинаково, вдоль поля  B0 ); æ P  B  ö L ( x ) º  L ç m  0  ÷ – так называемая функция Ланжевена (см. рис. 77).  è kT  ø Для обычных встречающихся на практике полей  B 0 < 1 Тл , а значения магнитного момента  составляют единицы магнетонов Бора mВ  ( m B » 0, 927 × 10 -23  Ам 2 ), то есть в обычных условиях  P  B  ( T  » 300 К)  m  0 << 1  и функцию Ланжевена можно записать в виде:  kT  P  B  dL  L ( x ) @ × x = m  0  .  dx  x = 0 3 kT  P m2 n  c  Но так как  J  = B 0  = B 0 , то магнитная восприимчивость парамагнетика  m 0  3 k B T  m 0 P m 2 n  .  (122)  c para  = 

3 k B T  Характерная для парамагнетиков обратная зависимость c от абсолютной температуры носит  название закона Кюри (см. рис. 78).  Подстановка характерных значений параметров:  Pm  @  m × m B ,  m B = 0, 927 × 10 -23  Ам 2  – так называемый магнетон Бора, m – целое число;  T  @ 300 К – нормальная температура (комнатная);  Дж  Гн  k B  = 1, 38 × 10 - 23  ;  m 0  = 4p × 10 - 7  ;  К  м  n @ 10 29  м –3 ;  дает оценку диапазона значений c  c para = 10 -3  ¸ 10 -5 ,  что хорошо согласуется с опытом. Магнитная проницаемость чуть больше 1: m para @ 1 + (10 -3  ¸ 10 -5 ) .  5.6.11. 

Как мы видели в пп. 5.6.10.1 и 5.6.10.2, большинство веществ (парамагнетики, диамагнетики)  намагничиваются слабо: c  @ -(10 -5  ¸ 10 -6 )  – для диамагнетиков, c  @ -(10 -3  ¸ 10 -5 )  – для парамагнетиков.  5.6.12. Упорядоченны е магнетики. 

Ярко выраж енными магнит ными свойст вами обладают  ферромагнет ики (F e, Ni, Co,  например) и феррит  (ферримагнет ики). Качественно различие между ними показано на  рис. 79.  а) структура  ферромагнетика –  одна решетка с  одинаковыми  магнитными  моментами 

б) структура  ферримагнетика –  две подрешетки с  разными магнитными  моментами молекул 

Рис. 79

Физическая природа ферро­ и  ферримагнетизма последовательно  может быть понята и описана только  в квантовой механике с помощью так  называемых обменных  взаимодейст вий, заставляющих  магнитные моменты электронов  соседних атомов устанавливаться  параллельно друг другу в отсутствие  внешнего магнитного поля –  Рис. 80  возникают области (с размером 10 –  6 –7  ¸10  м) так называемой спонтанной  (самопроизвольной)  намагниченности. Такие области называют доменами. Если кристалл ферромагнетика мал  (размер сравним или меньше размеров доменов), то он является однодоменным – все  магнитные моменты упорядочены одинаково – намагниченность максимальна. Кристаллы  обычных (макроскопических) размеров, намного превосходящих размер доменов, как  правило, многодоменные, причем магнитные моменты доменов ориентированы хаотически  так, что суммарный магнитный момент кристалла равен нулю. (см. рис. 80).  Многодоменная структура образуется при кристаллизации за счет того, что кристалл,  разбитый на домены обладает меньшей энергией, чем кристалл такого же размера, но  однодоменный – в полной энергии кристалла отсутствует энергия магнитного поля  (однодоменный кристалл является магнитом и создает вокруг себя сильное магнитное поле).  А кристалл, как любая физическая система, стремится занять такое состояние, которому  соответствует наименьшая энергия.  5.6.13. Кривая намагничения ферромагнетика. 

Многодоменный кристалл можно превратить в магнит, поместив его в магнитное поле при  кристаллизации, либо "намагнитить" твердый многодоменный образец в сильном магнитном  поле.  Рассмотрим так называемую основную кривую намагничивания ферромагнетика (основная  кривая строится для образца с первоначально нулевой намагниченностью), см. рис. 81.  В области I (область малых полей H) увеличение намагниченности образца происходит за  счет смещения границ доменов – увеличиваются домены с ориентацией магнитных  r  моментов, совпадающей (хотя бы приближенно) с полем  H , и уменьшаются домены с 

Рис. 81

противоположенной ориентацией. Этот процесс обратим – уменьшим поле, восстановится  структура. 

В области II (область средних полей H)  увеличение намагниченности происходит за счет  поворота магнитных моментов доменов – этот  процесс необратим – после снятия поля в образце  остается остаточная намагниченность J ост  (см.  пунктирную кривую на рис. 81). Необратимый  процесс поворота моментов доменов является  причиной того, что называют гистерезисом (см.  п.5.6.14).  В области III (сильные поля) сильное магнитное  поле выстраивает в одном направлении моменты  отдельных атомов, которые разупорядоченны из­  за теплового движения.  Рис. 83 Отметим явно выраженную нелинейность  основной кривой намагничивания (для  слабомагнитных однородных пара­ и диамагнетиков зависимость намагниченности от H  ленейна:  J =  cH , т.к.  H  =  J = 

b0 ):  m 0 

c ( H )  B 0  = c ( H ) × H  m0

Хотя восприимчивость и является функцией напряженности поля H и ее нельзя  считать постоянным параметром, она по­прежнему используется.  Зависимость c от H приводит к зависимости от H и магнитной проницаемости  ферромагнетиков:  m ( H ) = 1 + c ( H ) .  Опыт показывает, что при средних полях c для ферромагнетиков достигает огромных  значений. Так, например, для чистого железа  c  @ 5000 , для сплава супермаллой – 800000.  При этом значение c и m практически совпадают. На рис. 82 приведены характерные  зависимости c(H) и m (H) для ферроомагнетиков.  5.6.14. Магнитны й гистерезис. 

Помимо нелинейности зависимости J от H характерной для ферромагнетиков является  неоднозначность этой зависимости: значение J  для определенного значения H определяется  историей намагничения.  Если, увеличивая H, дойти по основной кривой  намагничения до точки 3 (см. рис. 83), когда  наступило насыщение, то при уменьшении H  намагничение J пойдет по кривой 3–4: при H = 0  образец не размагнитится – останется отличная от  нуля намагниченность +J ост  ; изменив  r  направление  H и увеличивая его модуль до Hc  (значение  H = - H c  ), мы полностью размагнитим  образец – намагниченность обратится в нуль; при  r  дальнейшем уменьшении H (направление  H изменено, а модуль растет) можно достичь точки  4 – максимальная намагниченность в обратном  направлении (–J нас); если затем, уменьшить  модуль поля H до нуля, то получим остаточную 

Рис. 82 

намагниченность в обратном направлении ( - J ост  ); при дальнейшем движении по оси H  вправо (рост H) достигаем значения поля  H =  H c  , при котором намагниченность опять  обращается в нуль; и, наконец, дальнейший рост H ( H >  H c  ) вновь приводит магнетик в  состояние насыщения  J =  + J нас  . Пройденная нами кривая носит название петли гистерезиса.  Заметим, что если мы начнем размагничивать (уменьшать поле H) образец из точки 1 на  основной кривой намагничения, когда еще не было достигнуто насыщение, то мы вновь  пройдем по петле гистерезиса, но меньшего, чем в первом случае, размера – кривая 1–2 (рис.  83).  Значение поля Hc, при котором наблюдается нулевая намагниченность, носит название  коэрцитивной силы.  Значение J ост  и Hc  для разных фероомагнетиков меняются в широких пределах. В частности,  ферромагнетики, применяемые в трансформаторах, имеют узкие петли гистерезиса (Hc  мало), а ферромагнетики, используемые в качестве постоянных магнитов, имеют широкие  петли гистерезиса (Hc  велико, например, для сплава алнико  H c  = 5 × 10 4  м А ) и большие  значения остаточного намагничения J ост .  5.6.15. Температура Кю ри. 

При повышении температуры магнитные свойства ферромагнетиков уменьшаются, все  большую роль начинают играть тепловое движение магнитных моментов атомов, и при  некоторой температуре (температура Кюри или точка Кюри) ферромагнитные свойства  исчезают – ферромагнетик превращается в парамагнетик. Различие между парамагнетиками  и ферромагнетиками заключается в положении точки Кюри на шкале температур:  –  если точка Кюри (Тс) лежит намного ниже комнатной температуры  ( T K  » 300 ¸ 400 К), то вещество при комнатной температуре является  парамагнетиком;  –  если – выше, то – ферромагнетиком.