Ф Е Д Е РАЛ Ь Н О Е АГ Е Н Т С Т В О П О О БРАЗО В АН И Ю В О РО Н Е Ж С КИ Й Г О С У Д АРС Т В Е Н Н Ы Й У Н И В Е РС И...
7 downloads
172 Views
288KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
Ф Е Д Е РАЛ Ь Н О Е АГ Е Н Т С Т В О П О О БРАЗО В АН И Ю В О РО Н Е Ж С КИ Й Г О С У Д АРС Т В Е Н Н Ы Й У Н И В Е РС И Т Е Т
В Ы С ШАЯ М АТ Е М АТ И КА ЧАС Т Ь II
М АТ Е М АТ И ЧЕ С КИ Й АН АЛ И З П рактическоеруководство по специаль н ости « М атем атика» 010100 (510100), 010101 (010100)
В орон еж 2005
2 У тверж ден о н аучн о-м етодическим советом м атем атического ф ак уль тета В орон еж ского государствен н ого ун иверситета. П ротокол № 4 от 27 декабря 2004 г.
С оставители: У ксусов С .Н ., У доден ко Н .Н .
П рактическое руководство подготовлен о н а каф едре алгебры и топологических м етодов ан ализ а м атем атического ф ак уль тета В орон еж ского государствен н ого ун иверситета. Реком ен дуется для студен тов1-го к урсабиолого-почвен н ого ф ак уль тета.
3
С О Д ЕР Ж А Н И Е В веден ие… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ...3 П рограм м а2-го сем естра… … … … … … … … … … … … … … … … … … ....................3 §1. П редел числовой последователь н ости и ф ун кции..… … … … … … … … … ..… .4 §2. П ервы й и второй з ам ечатель н ы епределы их следствия… … … … … … … ..… .9 §3. Н епреры вн ость ф ун кции… … … … … … … … … … … … … … … … … ..… … … ..11 §4. П роиз водн ая ф ун кции одн ой перем ен н ой . Д иф ф ерен циал… … … ...… … … .14 §5. П роиз водн ы евы сших порядков. П равило Л опиталя Ф орм улы Т ей лораи М аклорен а… … … … … … … … … … … … … … … … … .....21 §6. П олн оеисследован иеф ун кции и построен иеграф ика… … … … … … … … … 25 П рим ерн ы й вариан ткон троль н ой работы № 1… … … … .… … … … … … … ...28 Л итература… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ..29
ВВЕ ДЕ НИЕ Д ан н оепрактическоеруководство составлен о для студен тов первого к урсабиолого-почвен н ого ф ак уль тетаи является продолж ен ием практического руководства « В ы сшая м атем атика. Часть 1. Ан алитическая геом етрия и лин ей н ая алгебра». Ц ель и з адачи дан н ого руководства сф орм улирован ы в его первой части. П оэтом у в дан н ой части м ы огран ичим ся приведен ием програм м ы второго сем естра. П осле чего рассм отрим осн овн ы е способы решен ия ряда типовы х з адач
П рограм м а второго с ем ес тра 1. П ределы числовы х последователь н остей и ф ун кций . 0 ∞ 2. Раскры тиен еопределен н остей вида , и ( ∞ − ∞ ) . 0 ∞ 3. П ервы й и второй з ам ечатель н ы епределы и следствия из н их. 4. Н епреры вн ы еи раз ры вн ы еф ун кции классиф икация точек раз ры ва. 5. П роиз водн ая ф ун кции. Т аблица произ водн ы х элем ен тарн ы х ф ун кций и осн овн ы еправиладиф ф ерен цирован ия. 6. П роиз водн ая обратн ой ф ун кции. 7. Л огариф м ическоедиф ф ерен цирован ие. 8. Д иф ф ерен циал ф ун кции и его прим ен ен иек приближ ен н ы м вы числен иям . 9. П равило Л опиталя. В ы числен иепределовс его пом ощ ь ю . 10. Ф орм улы Т ей лораи М аклорен а. 11. П он ятие м он отон н ости ф ун кции. Д остаточн ы е условия воз растан ия и убы ван ия ф ун кции. 12. П он ятиеэкстрем ум аф ун кции. Н еобходим оеусловиеэкстрем ум а. 13. Д остаточн оеусловиеэкстрем ум а 14. В ы пуклость и вогн утость граф икаф ун к ции. Т очки перегиба. 15. Д остаточн ы е условия вы пуклости и вогн утости. Н еобходим ое и достаточн оеусловиеперегиба.
16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43.
4 Асим птоты плоской кривой . Н ахож ден ие вертикаль н ы х, гориз он таль н ы х и н аклон н ы х асим птот. П олн оеисследован иеф ун кции и построен иеееграф ика. П ервообраз н ая ф ун кции. Т еорем а об общ ем виде всех первообраз н ы х. П он ятиен еопределен н ого ин теграла. С вой стван еопределен н ого ин теграла. Т аблицаин тегралов. П ростей шие прием ы ин тегрирован ия. П одведен ие м н ож ителя под з н ак диф ф ерен циала. Зам ен аперем ен н ой вн еопределен н ом ин теграле. И н тегрирован иепо частям вн еопределен н ом ин теграле. О пределен иеопределен н ого ин тегралаи его осн овн ы есвой ства. Ф орм улаН ь ю тон а-Л ей бн ица. Зам ен аперем ен н ой вопределен н ом ин теграле. И н тегрирован иепо частям вопределен н ом ин теграле. В ы числен ие площ ади криволин ей н ой трапеции с пом ощ ь ю определен н ого ин теграла. В ы числен иеобъ ем ателас из вестн ы м поперечн ы м сечен ием . О бъ ем телавращ ен ия. О пределен иеф ун кции н есколь ких перем ен н ы х. О бласть определен ия ф ун кции н есколь ких перем ен н ы х. Л ин ии уровн я ф ун кции двух перем ен н ы х, их геом етрический см ы сл. Частн ы епроиз водн ы епервого порядка. Д иф ф ерен циал ф ун кции н есколь ких перем ен н ы х и его прим ен ен ие к приближ ен н ы м вы числен иям . Частн ы епроиз водн ы евы сших порядков. Э кстрем ум ф ун кции н есколь ких перем ен н ы х. Н еобходим ое условие экстрем ум а. Д остаточн ы еусловия экстрем ум аф ун кции двух перем ен н ы х. Числовы еряды . П риз н аки Д алам бераи Коши сходим ости рядов. Зн акочередую щ иеся ряды . Абсолю тн ая и условн ая сходим ость рядов. П риз н ак Л ей бн ица. С тепен н ы еряды . Радиус сходим ости степен н ого ряда. Раз лож ен иеф ун кции встепен н ой ряд. Д иф ф ерен циаль н ы е уравн ен ия. О пределен ие порядка диф ф ерен циаль н ого уравн ен ия, решен ия общ его и частн ого решен ий . ЗадачаКоши.
§1. П ределчис ловой пос ледовательнос ти и функции О пределен ие. Числовой последователь н ость ю н аз ы вается бескон ечн ое м н ож ество чисел {an }, каж дое из которы х является з н ачен ием н екоторой ф ун кции f (n ) н атураль н ого аргум ен та ( an = f (n ), n ∈ N ). П ри этом an н аз ы вается член ом последователь н ости, а n – его н ом ером . О пределен ие. Число A н аз ы ваю т пределом числовой последователь н ости {a n } при n, стрем ящ им ся к бескон ечн ости ( A = lim an ), если для лю бого n→∞
5 ε > 0 н ай дется такой н ом ер n0 , н ачин ая с которого (т.е. при n ≥ n0 ) будет вы полн ен о н еравен ство an − A < ε . П рим ерн о такж е м ож н о сф орм улировать определен ие предела числовой последователь н ости в том случае, когда он равен плю с или м ин ус бескон ечн ости. П редоставляем это читателям . П роиз воль н ая последователь н ость м ож ет стрем ить ся к кон ечн ом у или бескон ечн ом у пределу или совсем н еим еть пределапри n → ∞ . 2n − 1 = 2. П рим ер 1.1. Д оказ ать , что lim n→∞ n + 1 Решен ие. Д ля лю бого числа ε > 0 н ам достаточн о ук аз ать такой н ом ер n0 = n0 (ε ) , н ачин ая с которого (т.е. при n ≥ n0 ) будетвы полн ен о н еравен ство 2n − 1 −2 <ε . Решим дан н ое н еравен ство отн оситель н о n: n +1 2n − 1 − 2 n − 2 3 3 < ε, < ε , ⇒ n > − 1 . С ледователь н о, в качестве n0 n +1 n +1 ε 3 м ож н о вы брать лю бое н атураль н ое число, превосходящ ее − 1 . Н априм ер, ε 3 3 м ож н о вз ять целую часть числа − 1 плю с един ица ( n0 = − 1 + 1 ). ε ε В качествен еслож н ого упраж н ен ия докаж ите, что 1) lim n + 2 = +∞ . n →∞
2)
последователь н ость
− 1, 1, − 1, 1, − 1, 1,... с
общ им
член ом
an = (− 1)n вообщ ен еим еетн икакого предела. О пределен ие. Число А н аз ы вается пределом ф ун кции y = f(x), при x стрем ящ им ся к x0, если для лю бого ε > 0 сущ ествует такое δ > 0, что для лю бого x ≠ x0, удовлетворяю щ его н еравен ству | x – x0 | < δ вы полн ен о н еравен ство | f(x) – А | <ε. П риведем без доказ атель стван екоторы етеорем ы о пределах: Т еорем а1.1. Е сли lim f ( x ) = A , lim g (x ) = B , где А и В – н екоторы е x → x0
x → x0
кон стан ты , то lim ( f ( x ) ± g ( x )) = lim f ( x ) ± lim g (x ) = A ± B . x → x0
x → x0
x → x0
Т еорем а1.2. Е сли lim f ( x ) = A , lim g (x ) = B , где А и В – н екоторы е x → x0
x → x0
кон стан ты , то lim ( f ( x ) ⋅ g ( x )) = lim f ( x ) ⋅ lim g (x ) = A ⋅ B . x → x0
x → x0
x → x0
Т еорем а1.3. Е сли lim f ( x ) = A , lim g ( x ) = B , где А и В – н екоторы е x → x0
x → x0
lim f ( x ) f (x ) x → x0 A = = . кон стан ты , причем В ≠ 0, то lim x → x0 g (x ) lim g ( x ) B x → x0
6
Т еорем а1.4. Е сли lim f ( x ) = A , lim g ( y ) = B , то
(
)
x → x0
y→ A
lim g ( f ( x ) ) = lim g ( y ) = B .
x → x0
y→ A
∞ 1. Ра ск р ы т и е неопр едел енност и ви да . ∞ П рим ер 1.2. Н ай ти предел числовой последователь н ости 8n 2 − 5n + 3 . lim 3 2 n → ∞ 2n + n − 3n Решен ие. О чевидн о, что при n → ∞ числитель и з н ам ен атель дроби стрем ятся к бескон ечн ости. Д ей ствитель н о, с ростом n слагаем ы е м н огочлен ов, содерж ащ иестаршиестепен и n будутн ам н ого боль шеосталь н ы х слагае∞ м ы х. Д ля раскры тия н еопределен н ости вида раз делим числитель и з н а∞ м ен атель дроби н а n в сам ой вы сокой (старшей ) степен и, для обоих м н огочлен ов (т.е. н а n2). П олучим : 4 n 2 5n 3 4 5 3 − 3+ 3 − 2+ 3 2 3 4n − 5n + 3 ∞ n . = = lim n 3 n2 n = lim n n lim 3 2 1 3 n →∞ 2 n + n − 3n n 3n n→∞ 2 + − ∞ n →∞ 2n + 3− 3 3 n n2 n n n 4 5 3 1 3 , , , , стрем ятся к н улю . П оследователь n n 2 n3 n n 2 н о прим ен яя теорем ы 1.3 и 1.1, получим :
С ростом n вы раж ен ия
3 4 5 4 5 3 − 2 + 3 lim − 2 + 3 n n n = 0−0+0 =0 n = n →∞ n n . lim 1 3 1 3 2+0−0 n →∞ 2+ − 2 lim 2 + − 2 n n n n n →∞ 4 x2 + 3x − 8 . П рим ер 1.3. Н ай ти предел lim x →∞ 2 x 2 + 4 x 4 + x
∞ Решен ие. Д ля раскры тия н еопределен н ости вида раз делим чис∞ 2 литель и з н ам ен атель дроби н а x . П олучим :
4 x + 3x − 8
∞ = = lim x →∞ 2 x 2 + 4 x 4 + x ∞ x →∞ 2
lim
4+ 2+
3 8 3 8 − 2 4+ − 2 x x x x = 4 = 1, = lim 2+2 4 x 4 + x x →∞ 2 + 4 + 1 3 x x4
7 8 и x2
3 , x
так как при x → ∞ вы раж ен ия
3 стрем ятся к н улю . x3
0 2. Ра ск р ы т и е неопр едел енност и ви да . 0
5x 2 + 6 x + 1 . П рим ер 1.4. Н ай ти предел lim 2 x → −1 2 x + 5 x + 3 Решен ие. П ри подстан овке вм есто x числа –1 м ы получаем н еопреде0 лен н ость вида . Д ля раскры тия этой н еопределен н ости раз лож им м н ого0 член ы , стоящ ие в числителе и з н ам ен ателе дроби, н а м н ож ители. П ри этом один из корн ей как числителя, так и з н ам ен ателя равен –1. В торой корен ь 1 1 н ай дем по теорем еВ иета. Д ля числителя − 1 ⋅ x2 = ⇒ x2 = − . Д ля з н ам ен а5 5 3 3 теля − 1 ⋅ x2 = ⇒ x2 = − . И так, 2 2 1 5( x + 1) ⋅ x + 5x + 6 x + 1 0 5x + 1 − 5 + 1 5 = = lim = lim = = −4 . lim 2 3 x → −1 2 x + 3 − 2 + 3 x → −1 2 x + 5 x + 3 0 x → −1 2 ⋅ ( x + 1) ⋅ x + 2 П ослесокращ ен ия числителя и з н ам ен ателя н а ( x + 1) н еопределен н ость пропадаети предел легко вы числяется с пом ощ ь ю подстан овки вм есто x числа 1. x3 − 8 . П рим ер 1.5. Н ай ти предел lim x→2 x 2 + 6x − 4 Решен ие. П ри подстан овке вм есто x числа 2 м ы получаем н еопреде0 лен н ость вида . Д ля раскры тия этой н еопределен н ости сн ачалаиз бавим ся 0 от иррацион аль н ости в з н ам ен ателе дроби, а з атем раз лож им вы раж ен ия, стрем ящ иеся к н улю , н ам н ож ители: 2
x3 − 8
0 = = lim lim x →2 3 x 2 + 2 x − 4 0 x→2
= lim
(x
3
x→2
)(
3x 2 + 2 x + 4
3x 2 + 2 x − 16
x→2
= lim
−8
(x
2
)(
+ 2x + 4 ⋅
(
(x
)(
−8 ⋅
3x 2 + 2 x + 4
)(
3x + 2 x − 4 ⋅ 2
) = lim ( x − 2 ) ( x
2
)
3x + 2 x + 4 2
+ 2x + 4
)(
)
) = 12 ⋅ 8 = 48 = 6 6 . 14
7
7
=
3x 2 + 2 x + 4
8 3( x − 2 ) x + 3
x→2
3x 2 + 2 x + 4
( 3x + 8 )
3
)=
8 3. Ра ск р ы т и е неопр едел енност ей ви да
(∞ − ∞ ), (∞ ⋅ 0 ) .
П ределы , содерж ащ ие н еопределен н ости вида (∞ − ∞ ) или (∞ ⋅ 0 ) , обы чн о с пом ощ ь ю алгебраических преобраз ован ий сводят к пределам , содер∞ 0 ж ащ им н еопределен н ости вида или . ∞ 0 П рим ер 1.6. Н ай ти предел lim
x→∞
(x
2
)
+ 6 x − 5 − x 2 + 3x + 8 . .
Решен ие. О чевидн о, что при x → ∞ ум ен ь шаем ое и вы читаем ое стрем ятся к бескон ечн ости. Д ля раскры тия н еопределен н ости (∞ − ∞ ) сн ачала превратим раз н ость в частн ое двух ф ун кций , ум н ож ив и раз делив ее н а сопря∞ ж ен н ое вы раж ен ие. П олучив н еопределен н ость вида , раскроем ее с по∞ м ощ ь ю делен ия числителя и з н ам ен ателя получен н ой дроби н а старшую степен ь x: lim
x →∞
(
x + 6 x − 5 − x + 3x + 8 2
= lim
x →∞
(x
2
)
( ∞−∞ )
= lim
x →∞
3 x − 13 2
+ 6 x − 5 + x + 3x + 8 2
)
( )
(
(
x 2 + 6 x − 5 − x 2 + 3x + 8
x2 + 6 x − 5 + x2 + 3x + 8
∞ ∞
3−
= lim
x + 6x − 5 2
x→∞
x
3−
= lim
x →∞
1+
13 x
6 5 3 8 − 2 + 1+ + 2 x x x x
=
)
2
)
13 x
+
x + 3x + 8 2
=
=
x2
3 = 1,5 . 1+1
П рим ер 1.7. Н ай ти предел lim x ⋅ x→∞
( 4x
2
)
+ x + 2 − 4x 2 + x − 1 . .
Решен ие. Н етрудн о устан овить , что предел второго сом н ож ителя равен н улю (проверь тесам остоятель н о). С ледователь н о, вдан н ом прим ерем ы им еем дело с н еопределен н ость ю вида (∞ ⋅ 0 ) . Д ля раскры тия этой н еопределен н ости ум н ож им и раз делим исходн ую ф ун кцию н асум м у 4 x 2 + x + 2 + 4 x 2 + x − 1 . ∞ П олучивн еопределен н ость вида , раскроем еес пом ощ ь ю делен ия числи∞ теля и з н ам ен ателя получен н ой дроби н а x: lim x
x →∞
(
)
( ∞⋅0)
4 x + x + 2 − 4 x + x − 1 = lim 2
2
x →∞
(
)=
x ⋅ 4 x2 + x + 2 − 4 x2 − x + 1
(
4x2 + x + 2 + 4 x2 + x − 1
)
9 3 ∞ = = = lim 2 2 ∞ 1 2 1 1 x → ∞ x →∞ 4 x + x + 2 + x + 3x + 1 4+ + 2 + 4+ − 2 x x x x 3 3 = = . 2+2 4 = lim
3x
(
)
§2. П ервы й и второй з ам ечательны е пределы их с ледс твия sin x =1 x→0 x
Пер в ы м з а м еча т ел ьны м пр еделом н аз ы вается предел lim Сл едст в и я и зпер вого з а м еча т ел ьного пр едела . tgx 1. lim = 1. x→0 x arcsin x 2. lim = 1. x→0 x arctgx 3. lim = 1. x→0 x sin 3x . x → 0 arctg 5 x
П рим ер 2.1. Н ай ти предел lim
0 Решен ие. Д ля раскры тия н еопределен н ости вида восполь з уем ся 0 первы м з ам ечатель н ы м пределом и следствием 3. Д ля этого раз делим числитель и з н ам ен атель дроби н а x: sin 3x sin 3x sin 3x ⋅3 ⋅3 lim sin 3x 3 0 x 3 x x → 0 3x = = lim = = . = lim lim arctg 5 x x → 0 arctg 5 x 0 x → 0 arctg 5 x x → 0 arctg 5 x ⋅ 5 lim ⋅5 5 x 5x 5x x→0 П рим ер 2.2. Н ай ти предел lim
π x→ 2
cos 2 x π −x 2
2
.
0 Решен ие. М ы им еем дело с н еопределен н ость ю вида . П роиз ведем 0 π π з ам ен у перем ен н ой : x − = t , тогда x = t + и t → 0. 2 2 π cos 2 t + 2 cos x sin 2 t 2 0 sin t = = lim = lim 2 = lim lim = 1. 2 2 π π 0 t t → 0 t → 0 t → 0 t ( −t ) x→ −x 2 2 2
10 Д адим рядполез н ы х определен ий : О пределен ие. Е сли lim f (x ) = 0 , то ф ун кция y = f ( x ) н аз ы вается бесx → x0
к онечно м а л ой в ел и чи ной пр и x→x0. О пределен ие. Бескон ечн о м алая величин а y = f ( x ) н аз ы вается беск онечно м а лой вели чи ной бол ее в ы сок ого пор ядк а по сравн ен ию с бескон ечн о м аf ( x) лой величин ой y = ϕ ( x ) (обоз н ачается f ( x ) = o (ϕ ( x ) ) ), если lim = 0. x → x0 ϕ ( x ) О пределен ие. Д вебескон ечн о м алы евеличин ы f ( x ) и ϕ ( x ) н аз ы ваю тf (x ) ся беск онечно м а л ы м и вел и чи на м и одного пор ядк а , если lim = const ≠ 0 . x → x0 ϕ (x ) О пределен ие. Д вебескон ечн о м алы евеличин ы f ( x ) и ϕ ( x ) н аз ы ваю тf (x ) ся эк в и в а л ент ны м и беск онечно м а л ы м и в ел и чи на м и , если lim = 1. x → x0 ϕ (x ) П ервы й з ам ечатель н ы й предел и его следствия даю т н ам прим еры эквивален тн ы х бескон ечн о м алы х величин при x → 0 : y = x,
y = sin x,
y = tgx,
y = arcsin x,
y = arctgx .
П ри решен ии н екоторы х з адач бескон ечн о м алы е величин ы м ож н о з ам ен ять эквивален тн ы м и. sin 2 x + 3tg 2 x . П рим ер 2.3. Н ай ти предел lim 2 x → 0 8 x + 5arctgx 0 Решен ие. М ы им еем дело с н еопределен н ость ю вида . Зам ен им бес0 кон ечн о м алую величин у tg2 x н аэквивален тн ую бескон ечн о м алую величин у 2 x , бескон ечн о м алую величин у sin 2 x н аэквивален тн ую бескон ечн о м алую величин у x 2 , и бескон ечн о м алую величин у arctgx 2 н а эквивален тн ую бес-
кон ечн о м алую величин у x 2 . П олучим : lim
sin 2 x + 3tg 2 x
x → 0 8x
+ 5arctgx
2
= lim
x→0
x2 + 3 ⋅ 2x 8x + 5x
2
x ⋅ (x + 6 ) x+6 6 3 = lim = = . 8 4 x → 0 x ⋅ (5 x + 8 ) x → 0 5 x + 8
= lim
В т ор ы м з а м еча т ельны м пр еделом н аз ы вается предел x
( )
1 lim 1 + = 1∞ = e ≈ 2,72 . x → ∞ x С пом ощ ь ю второго з ам ечатель н ого предела решаю тся м н огие з адачи н а раскры тиен еопределен н ости вида 1∞ .
( )
11 Сл едст в и я и зв т ор ого з а м еча т ел ьного пр едела . 1
1. lim (1 + y ) y = e . y →0
log a (1 + x ) ln(1 + x ) 2′. lim = log a e . = ln e = 1 . x →0 x→0 x x ax −1 = ln a (a > 0 ) . lim x →0 x (1 + x )q − 1 = q . lim x →0 x
2.
lim
3. 4.
3x − 2 П рим ер 2.4. Н ай ти предел lim x → ∞ 3x + 4 3x − 2 Решен ие. lim x → ∞ 3x + 4
5 x +1
( ) ∞
= 1
(5 x +1)⋅ 3 x + 4 ⋅ − 6 − 6 3x + 4
1 = lim 1 + 3x + 4 x →∞ −6
5 x +1
.
3x + 4 − 6 = lim x → ∞ 3x + 4
5 x +1
3x + 4 −6
1 = lim 1 + 3x + 4 x→∞ −6
3x + 4 −6
1 1 + lim 3x + 4 x →∞ −6
=
−30 x − 6 3x + 4
− 30 −
− 30 x − 6 = lim 4 x → ∞ 3x + 4 x→∞ 3+ x ln (1 + 4 x ) П рим ер 2.5. Н ай ти предел lim . 5x x →0
так как
=e
и
lim
= e −10 ,
6 x = −10 .
Решен ие. П роиз ведем з ам ен у перем ен н ой 4x = t, тогда x =
ln (1 + t ) 4 ln (1 + t ) 4 0 = = lim = ⋅ lim = . 5x 5 x →0 t 5 x →0 0 x →0 5 ⋅ t 4 Здесь м ы восполь з овались следствием 2 из второго з ам ечатель н ого предела. lim
ln (1 + 4 x )
t и 4
§3. Н епреры внос ть функции Д адим два эквивален тн ы х определен ия н епреры вн ости ф ун кции. П редполож им , что ф ун кция y = f(x) определен а н ан екотором ин тервале (a, b), и пусть в точке x0 ∈(a, b) ф ун кция прин им аетз н ачен ие f(x0). П ерей дем отз н ачен ия x0 к другом у з н ачен ию x∈(a, b). П ри этом говорят, что з н ачен ию x0 придан о приращ ен ие ∆x = x – x0. Раз н ость ∆y = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) м еж ду н о-
12 вы м и стары м з н ачен иям и ф ун кции н аз ы вается приращ ен ием ф ун кции в точке x0, соответствую щ им приращ ен ию ∆x. О пределен ие1. Ф ун кция y = f(x), определен н ая н ан екотором ин тервале (a, b), н аз ы вается н епреры вн ой в точке x0∈(a, b), если бескон ечн о м алом у приращ ен ию аргум ен та x0 отвечает бескон ечн о м алое приращ ен ие ф ун кции, т.е. lim ∆y = lim ( f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 )) = 0 . ∆x → 0
∆x → 0
Д ля второго определен ия н епреры вн ости н ам пон адобится пон ятиеодн осторон н их пределов. Число А н аз ы вается пределом ф ун кции y = f(x) при x, стрем ящ им ся к x0 спр а в а , если для лю бого ε > 0 сущ ествуеттакое δ > 0, что для лю бого x > x0, удовлетворяю щ его н еравен ству x – x0 < δ вы полн ен о н еравен ство | f(x) – А | <ε. И ли, сокращ ен н о, A = lim f ( x ) , если x → x0 + 0
∀ε > 0 ∃δ = δ (ε ) > 0 : ∀ x > x0 : x − x0 < δ ⇒ f (x ) − A < ε . Число А н аз ы вается пределом ф ун кции y = f(x), при x стрем ящ им ся к x0 сл ев а , если для лю бого ε > 0 сущ ествует такое δ > 0, что для лю бого x < x0, удовлетворяю щ его н еравен ству x0 – x < δ, вы полн ен о н еравен ство | f(x) – А | <ε. И ли, сокращ ен н о, A = lim f ( x ), если x → x0 − 0
∀ε > 0 ∃δ = δ (ε ) > 0 : ∀ x < x0 : x0 − x < δ ⇒ f (x ) − A < ε . И н ы м и словам и, lim
x → x0 + 0
f (x ) = lim f (x ) , x → x0 x > x0
lim
x → x0 − 0
f ( x ) = lim f ( x ) . x → x0 x < x0
О пределен ие2. Ф ун кция y = f(x), определен н ая н ан екотором ин тервале (a, b), н аз ы вается н епреры вн ой вточке x0∈(a, b), если (3.1) lim f ( x ) = lim f ( x ) = f ( x0 ) x → x0 − 0
x → x0 + 0
Читателям предлагается сам остоятель н о проверить эквивален тн ость двух предлож ен н ы х определен ий н епреры вн ости. Е сли lim f ( x ) = lim f ( x ) = const , а в точке x0 ф ун кция x → x0 − 0
x → x0 + 0
y = f(x) н е определен а или прин им ает з н ачен ие, отличн ое от одн осторон н их пределов, то говорят, что в точке x0 ф ун кция y = f(x) терпитраз ры в первого родатипа« устран им ая особен н ость ». Е сли lim f ( x ) ≠ lim f ( x ) , н о при этом одн осторон н ие пределы x → x0 − 0
x → x0 + 0
сущ ествую т и кон ечн ы , то говорят, что в точке x0 ф ун к ция y = f(x) терпит раз ры впервого родатипа« скачок». Е сли хотя бы один из одн осторон н их пределов равен бескон ечн ости или н есущ ествует, то говорят, что вточке x0 ф ун кция y = f(x) терпитраз ры в второго рода.
13 Ф ун кция н аз ы вается н епреры вн ой н а н екотором м н ож естве, если он а н епреры вн авкаж дой точкедан н ого м н ож ества. С ум м а, раз н ость и произ веден ие двух н епреры вн ы х ф ун кций является н епреры вн ой ф ун кцией (н атом м н ож естве, н акотором н епреры вн ы дведан н ы е ф ун кции). Частн ое двух н епреры вн ы х ф ун кций является н епреры вн ой ф ун кцией в тех точках, в которы х н епреры вн ы две дан н ы е ф ун кции, и при этом з н ам ен атель отличен отн уля. П усть ф ун кция t = ϕ(x) н епреры вн ан ан екотором м н ож естве D и пусть Е – м н ож ество тех з н ачен ий ф ун кции t = ϕ(x), которы еон априн им аетн ам н ож естве D. Е сли н а м н ож естве Е н епреры вн а н екоторая ф ун кция y = f(t), то суперпоз иция этих ф ун кций y = f(ϕ(x)) будетн епреры вн ой н ам н ож естве D. В се элем ен тарн ы еф ун кции н епреры вн ы в тех точках, в которы х он и определен ы . Н априм ер, ф ун кции y = sin x, y = cos x, y = x n , y = a x н епреры вн ы н авсей числовой оси, ф ун кция y = lg a x н епреры вн апри x ∈ (0; + ∞ ) , π π ф ун кция y = tgx н епреры вн а н а лю бом из ин тервалов − + nπ ; + nπ , 2 2 n∈Z . sin x П рим ер 3.1. И сследовать ф ун кцию y = н ан епреры вн ость . x sin x Решен ие. Ф ун кция y = как частн ое двух н епреры вн ы х ф ун кций x н епреры вн аво всех точках числовой оси, з аисклю чен ием точки x = 0. В точке x = 0 ф ун кция н е определен а и, следователь н о, терпитраз ры в. И сследуем характер раз ры ва. Д ля этого н ай дем одн осторон н иепределы : sin x sin x = lim = 1, x→0−0 x x → −0 x lim
sin x sin x = lim = 1. x →0 + 0 x x → +0 x lim
П редел слеваравен пределу справа, следователь н о, вточкеx = 0 ф ун кция им еетраз ры впервого родатипа« устран им ая особен н ость ». Е сли доопределить ф ун кцию вточке x = 0 един ицей , то он астан овится н епреры вн ой . Т о есть sin x , x≠0 y= x – н епреры вн ая ф ун кция. 1, x=0 П рим ер 3.2. И сследовать ф ун кцию н ость .
x 2 + 1, x ≤ 1 y = 2 x, 1 < x ≤ 3 н а н епреры в 4, x>3
14 Решен ие. О чевидн о, что ф ун кция н епреры вн а н а каж дом из трех ин тервалов x ≤ 1, 1 ≤ x < 3 и x ≥ 3. Т очки x =1 и x = 3 являю тся подоз ритель н ы м и н ан аличиераз ры ва. Н ай дем одн осторон н иепределы :
(
)
lim y ( x ) = lim x 2 + 1 = 1 + 1 = 2,
x →1− 0
x →1− 0
lim y (x ) = lim 2 x = 2 .
x →1+ 0
x →1+ 0
Зн ачен иеф ун кции вточке x =1 равн о: y( 1 )= 12+ 1=2. П редел слеваравен пределу справа, и равен з н ачен ию ф ун к ции вточке x = 1, следователь н о, вточке x = 1 ф ун к ция н епреры вн а. И сследуем поведен ие ф ун кции в точке x = 3: lim y ( x ) = lim 2 x = 6 , x →3 − 0
x →3 − 0
x →3 + 0
x →3 + 0
lim y ( x ) = lim 4 = 4 .
П редел слева н е равен пределу справа, следователь н о, в точке x = 3 ф ун кция терпит раз ры в первого рода типа « скачок». Г раф ик ф ун кции из ображ ен н арис. 3.1: Рис. 3.1 П рим ер 3.3. У стан овить характер раз ры ва ф ун кции y
1 2 − =5 x
в точке
x = 2. Решен ие. Н ай дем одн осторон н иепределы вточке x = 2: 1 П ри x → 2 − 0 з н ам ен атель дроби стрем ится к н улю , н о остается 2− x 1 при этом боль ше н уля. С ледователь н о, сам а дробь стрем ится к плю с 2− x бескон ечн ости. Т огда lim
x →2−0
1 52− x
= +∞ . 1
1 → −∞ и lim 5 2 − x = 0 . П ри x → 2 + 0 дробь x→2−0 2− x Т ак как один из одн осторон н их пределовравен бескон ечн ости, то вточке 1 2 − =5 x
x = 2 ф ун кция y терпит раз ры в второго рода. Зам етим , что в осталь н ы х точках ф ун кция н епреры вн акак суперпоз иция н епреры вн ы х ф ун кций .
§4. П роиз водная функции одной перем енной. Д ифференциал П роиз водн ой ф ун кции y = f(x) вточке x0 н аз ы вается предел отн ошен ия приращ ен ия ф ун кции к приращ ен ию аргум ен та, когда приращ ен ие аргум ен та стрем ится к н улю :
15 f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 ) f ′( x0 ) = lim , (4.1) ∆x ∆x → 0 если предел (4.1) сущ ествуети кон ечен . Е сли вн екоторой точке x0 ф ун кция y = f(x) им еетпроиз водн ую f ′( x0 ) , то сущ ествуеткасатель н ая к граф ик у ф ун кции в точке А (x0; y0). У равн ен ие касатель н ой м ож н о н ай ти, исполь з уя уравн ен ие прям ой , проходящ ей через з адан н ую точк у с з адан н ы м угловы м коэф ф ициен том : y − f (x0 ) = f ′( x0 ) ⋅ ( x − x0 ) . (4.2) Та бли ца пр ои з в одны хи основны е пр а ви ла ди ффер енци р ов а ни я П оль з уясь определен ием произ водн ой , ф ун кции м ож н о н ай ти произ водн ы ен аиболеепросты х ф ун кций .
( ) (a )′ = a
′ 1. x n = n ⋅ x n −1 .
⋅ ln a . 1 . 3. (log a x )′ = x ⋅ ln a 4. (sin x )′ = cos x . 1 6. (tgx )′ = . cos 2 x 1 . 8. (arcsin x )′ = 1 − x2 1 10. (arctgx )′ = . 1 + x2 2.
x
x
1′.
( x )′ = 2 1 x .
( )
′ 2′. e x = e x . 1 3′. (ln x )′ = . x ′ 5. (cos x ) = − sin x . 7. (ctgx )′ = −
1 sin 2 x
9. (arccos x )′ = −
. 1
1 − x2 1 11. (arcctgx )′ = − . 1 + x2
.
С ф орм улируем осн овн ы е правила, которы м и м ы будем поль з овать ся при н ахож ден ии произ водн ы х ф ун кций (диф ф ерен цирован ии). 1. (c ⋅ f ( x ))′ = c ⋅ f ′( x ) . 2. (u (x ) ± v( x ))′ = u ′( x ) ± v′( x ). 3. (u (x ) ⋅ v( x ))′ = u ′( x ) ⋅ v( x ) + u (x ) ⋅ v′( x ) .
′ u ( x ) u ′(x ) ⋅ v( x ) − u ( x ) ⋅ v′( x ) 4. = . v 2 (x ) v( x ) 5. ( f (ϕ ( x )))′ = f ′(u ) ⋅ ϕ ′( x ) , где u = ϕ ( x ) . 1. Та бли чное ди ффер енци р ова ни е. В простей ших случаях произ водн ую ф ун кции м ож н о н ай ти, исполь з уя толь ко таблицу произ водн ы х и осн овн ы е правиладиф ф ерен цирован ия. П рим ер 4.1. Н ай ти произ водн ую ф ун кции y = 2 sin x − 3 x .
16 В осполь з уем ся правилом диф ф ерен цирован ия раз н ости, Решен ие. учиты вая, что вы читаем оеявляется слож н ой ф ун кцией : ′ 2 1 − ′ ′ 1 ′ sin x sin x x sin 3 y′ = 2 − x =2 ⋅ ln 2 ⋅ (sin x ) − x 3 = 2 ⋅ ln 2 ⋅ cos x − ⋅ x 3 . 3 П рим ер 4.2. Н ай ти произ водн ую ф ун кции y = 53 x ⋅ lg(4 x − 7 ) . Решен ие. В осполь з уем ся правилом диф ф ерен цирован ия произ веден ия двух ф ун кций , учиты вая, что каж ды й сом н ож итель является слож н ой ф ун кцией : ′ y ′ = 5 3 x ⋅ lg (4 x − 7 ) + 5 3 x ⋅ (lg (4 x − 7 ))′ = 53 x ⋅ ln 5 ⋅ (3 x )′ ⋅ lg(4 x − 7 ) +
(
) ( )
( )
+ 53 x ⋅
1 4 ⋅ (4 x − 7 )′ = 53 x ⋅ ln 5 ⋅ 3 ⋅ lg(4 x − 7 ) + 53 x ⋅ . (4 x − 7 ) ⋅ ln10 (4 x − 7 ) ⋅ ln10
arccos x 2 − e x . arctg 3x Решен ие. В осполь з уем ся правилом диф ф ерен цирован ия частн ого, учиты вая при этом , что вчислителедроби стоитраз н ость двух ф ун кций . П рим ер 4.3. Н ай ти произ водн ую ф ун кции y =
(arccos x y′ = 1 − 1 − x2 =
( )
2
2
)
(
arctg 2 3 x 2
′
=
′ 1 − e ⋅ arctg 3 x − arccos x 2 − e x ⋅ ⋅ (3x )′ 2 1 + (3x ) = arctg 2 3 x
( ) ( )
⋅ x
)
′ − e x ⋅ arctg 3x − arccos x 2 − e x ⋅ (arctg 3 x )′
(
x
(
)
)
− 2 x − e x ⋅ arctg 3 x − arccos x 2 − e x ⋅ 3 1 + 9x2 1 − x4 = . arctg 2 3 x
2. Пр ои з в одна я обр а т ной функ ци и . П усть 1) ф ун кция y = f(x) им еет обратн ую ф ун кцию x = ϕ(y) н а ин тервале (a; b), 2) в точке x0∈(a; b) им ееткон ечн ую и отличн ую отн уля произ водн ую f ′ (x0). Т огда обратн ая ф ун кция ϕ(y) им еет произ водн ую в точке y0 = f(x0), причем 1 ϕ ′( y0 ) = . Т аким образ ом , им еетм есто ф орм ула f ′( x0 ) 1 x′y = . (4.3) y ′x
17 П рим ер 4.4. И споль з уя правило (4.3) диф ф ерен цирован ия обратн ой 1 1 ф ун кции, вы вести табличн ы еф орм улы (log a x )′ = и (arcsin x )′ = . x ⋅ ln a 1 − x2 Решен ие. 1. Н ай дем произ водн ую ф ун кции x = log a y (y > 0), являю щ ей ся обратн ой к ф ун кции y = a x . 1 1 1 1 = x = , то есть (log a y )′ = x′y = . y ′x a ⋅ ln a y ⋅ ln a y ⋅ ln a 2. Н ай дем произ водн ую ф ун кции y = arcsin x (− 1 < x < 1) , являю щ ей ся π π обратн ой к ф ун кции x = sin y н аин тервале − < y < . 2 2 1 1 1 1 1 = = = = . y ′x = x′y (sin y )′ cos y 1 − sin 2 y 1 − x2 3. Пр ои з в одна я неявной функ ци и . П редполож им , что з н ачен ия двух перем ен н ы х x и y связ ан ы м еж ду собой уравн ен ием F(x; y) = 0. (4.4) Е сли для каж дого з н ачен ия x в н екотором ин тервале сущ ествует одн о или н есколь ко з н ачен ий y, которы есовм естн о с x удовлетворяю т уравн ен ию (5.9), то этим определяется одн оз н ачн ая или м н огоз н ачн ая ф ун кция y = f(x), для которой равен ство F(x; f(x)) = 0 вы полн яется тож дествен н о отн оситель н о x. Д иф ф ерен цируя тож дество (4.4) по перем ен н ой x, н ай дем произ водн ую н еявн ой ф ун кции. П рим ер 4.5. Н ай ти произ водн ую y′(x) н еявн ой ф ун кции:
(
)
xy 2 + cos 3 x + y + 5 x = 0.
Решен ие. П родиф ф ерен цируем дан н оеравен ство по перем ен н ой x. П ри этом произ водн ая x′ = 1, апроиз водн ая y′ покан ам н еиз вестн а. Е ем ы как раз и н ай дем из получен н ого равен ства: ' xy 2 + cos 3 x + y + 5 x x = 0.
(
(
)
)
1 −2 1 ⋅ y + x ⋅ 2 y ⋅ y ′ − sin x + y ⋅ ⋅ x 3 + y ′ + 5 x ⋅ ln 3 = 0 . 3 Раскроем скобки и сгруппируем слагаем ы е, содерж ащ ие в левой части равен ства:
(
2
y + 2 xy ⋅ y ′ − 2
(
y ′ ⋅ 2 xy − sin
)
3
(
3
sin
(3 x + y ) − sin (3 x + y )⋅ y′ + 5 x ⋅ ln 3 = 0 .
3 ⋅ 3 x2
))
x+y =
(
sin 3 x + y 3 ⋅ 3 x2
) − y 2 − 5 x ⋅ ln 3 .
18 И з последн его равен стван аходим произ водн ую н еявн ой ф ун кции
(
sin 3 x + y y′ =
) − y 2 − 5 x ⋅ ln 3
33 x 2 2 xy − sin 3 x + y
(
)
=
(
)
sin 3 x + y − 33 x 2 ⋅ y 2 − 33 x 2 ⋅ 5 x ⋅ ln 3 6 x ⋅ y − 3 x ⋅ sin 3
5
3
2
(
3
x+y
)
.
4. Пр ои з в одна я функ ци и , з а да нной па р а м ет р и ческ и . Зависим ость м еж ду перем ен н ы м и x и y м ож етбы ть з адан апосредством н екоторого парам етра. Н априм ер, координ аты точки н а плоскости м огут з ависеть от врем ен и. В общ ем случае парам етрическое з адан ие ф ун кции вы глядит следую щ им образ ом y = y ( t ) . (4.5) x = x t ( ) П роиз водн ую ф ун кции, з адан н ой парам етрически, м ож н о н ай ти по ф орм уле: y′ (t ) y′ ( x ) = . (4.6) x′ ( t ) Как это видн о из ф орм улы (4.6), произ водн ая y′(x), так ж е как и перем ен н ы е x и y з ависитотпарам етра t. П оэтом у произ водн ая ф ун кции, з адан н ой парам етрически, сн ова является ф ун кцией , з адан н ой парам етрически. Т о есть он адолж н абы ть з адан аввиде: y′ ( t ) y′ ( x ) = ′ x (t ) . x = x t ()
(4.7)
П рим ер 4.6. Н ай ти произ водн ую y′(x) ф ун кции, з адан н ой парам етрически: y = 8 sin 3 t , 3 x = 4 cos t. Решен ие. П о ф орм уле (4.6), получим
( (
) )
′ y ′(t ) 8 sin 3 t t 8 ⋅ 3 ⋅ sin 2 t ⋅ cos t 2 sin t ′ y (x ) = = = = − = −2tgt. x′(t ) 4 cos 3 t ′ 4 ⋅ 3 ⋅ cos 2 t ⋅ (− sin t ) cos t t y ′ ( x ) = −2tgt С ледователь н о, . 3 x = 4cos t 5. Л ога р и фм и ческ ое ди ффер енци р ова ни е. П редполож им , что требуется н ай ти произ водн ую ф ун кции y = f (x )ϕ ( x ) . Д ан н ую ф ун кцию н ель з я диф ф ерен цировать , исполь з уя табличн ы е ф орм улы
19 (1) и (2). Д ело в том , что ф орм ула (1) предполагаетпостоян н ы й показ атель степен и (степен н ая ф ун кция), а ф орм ула (2) – постоян н ое осн ован ие степен и (показ атель н ая ф ун кция). П рологариф м ируем равен ство y = f (x )ϕ ( x ) : ( )
ln y = ln f ( x )ϕ x . ln y = ϕ ( x ) ⋅ ln f (x ) . В м есто явн ой м ы получили н еявн ую ф ун кцию . О дн ако правая часть получен н ого равен ства является обы чн ы м произ веден ием двух ф ун кций и, следователь н о, легко диф ф ерен цируется: 1 1 (ln y )′ = (ϕ (x ) ⋅ ln f (x ))′ . ⋅ y ′ = ϕ ′( x ) ⋅ ln f ( x ) + ϕ ( x ) ⋅ ⋅ f ′( x ). y f (x ) И з последн его равен стван аходим y′(x): 1 y ′ = y ⋅ ϕ ′( x ) ⋅ ln f ( x ) + ϕ ( x ) ⋅ ⋅ f ′( x ) , или f (x ) 1 y ′ = f ( x )ϕ ( x ) ⋅ ϕ ′(x ) ⋅ ln f ( x ) + ϕ ( x ) ⋅ ⋅ f ′( x ) . f (x ) П рим ер 4.7. Н ай ти произ водн ую ф ун кции y = arcsin x (ctg 2x ) . Решен ие. Л огариф м ируя дан н оеравен ство, получим н еявн ую ф ун кцию : ln y = ctg 2 x ⋅ ln (arcsin x ). Д иф ф ерен цируя дан н оеравен ство по x, н аходим y′(x): 1 1 1 1 ⋅ y ′ = − 2 ⋅ 2 ⋅ ln arcsin x + ⋅ ⋅ ctg 2 x. y arcsin x 1 − x 2 sin 2 x
1 1 1 . 2 ln arcsin 2 y ′ = (arcsin x )ctg 2 x ⋅ − ⋅ ⋅ x + ⋅ ⋅ ctg x 2 2 arcsin x 1− x sin 2 x Л огариф м ическое диф ф ерен цирован ие н аряду с диф ф ерен цирован ием показ атель н о-степен н ы х ф ун кций часто исполь з уется для н ахож ден ия произ водн ы х ф ун кций , содерж ащ их боль шоеколичество сом н ож ителей . e − x ⋅ sin 2 x ⋅ x 3 ⋅ lg x . П рим ер 4.8. Н ай ти произ водн ую ф ун кции y = 25 x ⋅ arcctgx Решен ие. П рологариф м ируем дан н оеравен ство: ln y = ln e − x + ln sin 2 x + ln x 3 + ln lg x − ln 25 x − ln arcctgx .
ln y = − x + ln sin 2 x + 3ln x + ln lg x − 5 x ⋅ ln 2 − ln arcctgx . Д иф ф ерен цируя дан н оеравен ство по x, н аходим y′(x): y′ 2cos 2 x 3 1 1 1 1 = −1 + + + ⋅ − 5ln 2 − ⋅− . y sin 2 x x lg x x ⋅ ln10 arcctgx 1 + x 2
20 3 1 1 e− x sin 2 x ⋅ x3 lg x 1 2 2 5ln 2 y′ = − + ctg x + + − + x x lg x ⋅ ln10 25 x arcctgx arcctgx 1 + x 2
(
)
.
6. Ди ффер енци а л функ ци и . Пр и м енени е ди ффер енци а ла дл я пр и бли ж енны х в ы чи сл ени й. Д иф ф ерен циал ф ун кции y = f(x) в точке x0 равен dy = f′(x0)⋅∆x. П риращ ен иен ез ависим ой перем ен н ой ∆x в точке x0 часто н аз ы ваю тдиф ф ерен циалом н ез ависим ой перем ен н ой и обоз н ачаю т сим волом dx. Т аким образ ом , м ы приходим к ф орм уле dy = dy(x0) =f′(x0)⋅dx.
(4.8)
И з ф орм улы (4.8) следует, что произ водн ую ф ун кции м ож н о н ай ти как частн оедиф ф ерен циалов: dy f ′( x0 ) = . (4.9) dx В о м н огих з адачах, н е требую щ их повы шен н ой точн ости, диф ф ерен циал м ож н о исполь з овать для приближ ен н ого вы числен ия з н ачен ий ф ун кции. П редполож им , что н ан екотором ин тервале (a, b) определен аи н епреры вн ан екоторая ф ун кция y = f(x). П усть в н екоторой точке x0 ∈(a, b) ф ун кция y = f(x) является диф ф ерен цируем ой и пусть н ам из вестн о з н ачен ие ф ун кции y0 = f(x0). Т ребуется н ай ти з н ачен ие ф ун кции y1 = f(x1) в точке x1 ∈ (a, b), достаточн о близ кой к точке x0. О боз н ачим через ∆x = x1 – x0 приращ ен ие аргум ен таф ун к ции вточке x0. И ском ое з н ачен ие ф ун кции y1 м ож н о н ай ти приближ ен н о, з ам ен ив приращ ен иеф ун кции диф ф ерен циалом : y1 = y0 + ∆y ≈ f(x0) + dy(x0). Т аким образ ом , м ы приходим к следую щ ей приближ ен н ой ф орм уле: f(x1) ≈ f(x0) + f′(x0)⋅( x1 – x0) П рим ер 4.9. В ы числить
4
(4.10)
16,6 приближ ен н о, с пом ощ ь ю диф ф ерен циа-
ла. Решен ие. Рассм отрим ф ун кцию y = 4 x . П усть x0 = 16, x1 = 16,6 . Т огда ∆x = x1 − x0 = 16,6 − 16 = 0,6. y0 = f ( x0 ) = 16 = 2. 4
3
1 − f ′(x0 ) = ⋅ x 4 4
= x =16
1
( )3
4 ⋅ 4 16
=
1 1 = . 4 ⋅ 8 32
Д ля н ахож ден ия y1 = 4 x1 = 4 16,6 восполь з уем ся ф орм улой (4.10). 1 П олучим 4 16,6 ≈ y0 + f ′( x0 ) ⋅ ∆x = 2 + ⋅ 0,6 ≈ 2 + 0,019 = 2,019. 32
21
§5. П роиз водны е вы с ших порядков. П равило Лопиталя. Ф орм улы Тейлора и М аклорена П редполож им , что ф ун кция y = f(x) им еет кон ечн ую произ водн ую y′ = f ′(x) во всех точках н екоторого ин тервала (a, b). Т огдапервая произ водн ая y = f ′(x) сам аявляется н екоторой ф ун кцией , з адан н ой в ин тервале (a, b). Е сли в н екоторой точке x0 ∈(a, b) сущ ествуетпроиз водн ая ф ун кции f ′(x), то он а н аз ы вается произ водн ой второго порядка, или второй произ водн ой ф ун кции y = f(x). В торая произ водн ая обы чн о обоз н ачается сим волам и f ′′(x0), y′′, d2y . Ан алогичн о определяю тся произ водн ы е ф ун кции более вы сокого dx 2 порядка. П рим ер 5.1. Н ай ти треть ю произ водн ую ф ун кции y = arccos x . Решен ие. П оследователь н о н ай дем первую , вторую , а з атем треть ю произ водн ую : 1
y′ = −
1−
1 y′′ = − x − x 2 2
(
( x)
2
)
−
1 2
⋅
1 2 x
=−
1
=−
2 x ⋅ 1− x
′ 1 1 = − − x − x2 2 2
(
)
−
3 2
1 2 x−x
(
8 x − x2
)
)
( (
(
(
))
) (
2
Т аким образ ом , y ′′′ = −
x2 − x +
.
1 ( 1 − 2x ) = x − x2 4
5 3 1 3 2 −2 2 −2 ′′′ y = − x−x ⋅ ( 1 − 2x ) ⋅ ( 1 − 2x ) − 2 ⋅ x − x 4 2 1 1 = −3 1 − 4 x + 4 x 2 − 4 x − x 2 = 5
(
2
)
(
8 x−
)
=
5 2 2 x
)
( −8 x
2
−
3 2
(1 − 2x ) .
)
+ 8x − 3 .
3 8.
5 2 2 x
(x− )
y = arctg t . П рим ер 5.2. Н ай ти вторую произ водн ую ф ун кции x = 1 + t Решен ие. И споль з уя ф орм улу (4.6), н ай дем первую произ водн ую :
1 1 ⋅ y ′(t ) 1 + t 2 t 1 1 y ′( x ) = = = = . 2 1 x′(t ) 1 + t ⋅ t t + t ⋅1 2 1+ t
22 П ервая произ водн ая, так ж екак и исходн ая ф ун кция, является ф ун кцией , з адан н ой парам етрически: 1 ′ y ( x) = 2 t +t . x = 1 + t С ледователь н о, для н ахож ден ия второй произ водн ой м ож н о вн овь исполь з овать ф орм улу (4.6): 1 ′ 2 − 3 t +t 2 − 1 2 − t + t 2 ⋅ (2t + 1) y ′( x ))t' ( 2t + 1 = 2 y ′′( x ) = =− 2 = . 1 1 x′(t ) t +t 2 1+ t 2 1+ t 2t + 1 ′′ y ( x) = 2 О кон чатель н о получим : t +t . x = 1 + t Пр а ви ло Л опи т а л я. П редел частн ого двух диф ф ерен цируем ы х вточке x0 f ( x) 0 ф ун кций при x → x0 , в случае н аличия н еопределен н ости вида g ( x) 0 f ′( x) ∞ или , равен пределу частн ого произ водн ы х дан н ы х ф ун кций при g′( x) ∞ x → x0 , если последн ий предел сущ ествует: f ( x) 0 f ′( x) ∞ lim = или = lim . (5.1) x → x0 g ( x ) 0 ∞ x → x0 g ′ ( x ) x − sin x П рим ер 5.3. Н ай ти предел lim . x →0 x3 0 Решен ие. М ы им еем дело с н еопределен н ость ю вида . П рим ен яя 0 правило Л опиталя (5.1), получим : x − sin x )′ ( x − sin x 0 1 − cos x 1 1 − cos x 0 lim = = lim = lim = lim = . 3 2 x →0 x →0 3 x 3 x →0 x 2 x 0 x →0 0 3 ′ x
(
)
(
)
( )
0 П оследн ий предел вн овь даетн ам н еопределен н ость вида . Е щ е один раз 0 прим ен им правило Л опиталя: 1 − cos x )′ 1 ( 1 1 − cos x 0 1 sin x 1 sin x 1 1 lim = = lim = lim = lim = ⋅1 = . 2 3 x →0 x 3 x →0 2 x 6 x →0 x 6 6 ′ 0 3 x →0 x2
( )
23 П рим ер 5.4. И споль з уя правило Л опиталя, н ай ти предел lim
x →+∞
x3 ex
.
∞ Решен ие. Д ля раскры тия н еопределен н ости вида триж ды прим е∞ н им правило Л опиталя: ′ x3 x3 ∞ 3x 2 ∞ 6x ∞ 6 lim x = = lim = lim x = = lim x = = lim x = 0 . x →+∞ e ∞ x →+∞ e x ′ x →+∞ e ∞ x →+∞ e ∞ x →+∞ e
( ) ( )
Ф ор м ул ы Тейлор а и Ма к л ор ена . П усть ф ун кция y = f ( x ) определен аи им еет произ водн ы е всех порядков до n-го вклю читель н о в н екоторой окрестн ости ( a − δ ; a + δ ) точки а . Т огдаим еетм есто ф орм улаТ ей лора: f ( x) = f (a) +
f ′(a) 1!
( x − a) +
f ′′ ( a ) 2!
( x − a)
(
где x ∈ ( a − δ ; a + δ ) , ачерез o ( x − a )
n
2
+L+
)
n f ( ) (a)
n!
( x − a )n + o ( ( x − a ) n ) ,
обоз н ачен абескон ечн о м алая вели-
чин аболеевы сокого порядка, чем ( x − a ) . П ри а = 0 ф орм улаТ ей лораполучилан аз ы ван иеф орм улы М аклорен а: n
f ( x ) = f (0) +
f ′ ( 0) 1!
x+
f ′′ ( a ) 2!
x +L+ 2
n f ( ) (a)
n!
( )
xn + o xn .
(5.2)
Х орошо из вестн ы раз лож ен ия н екоторы х элем ен тарн ы х ф ун кций по ф орм улеМ аклорен а: x x2 xn x +L+ + o xn . 1. e = 1 + + 1! 2! n!
( )
2. sin x = x −
2 n −1 x 3 x5 x 7 n −1 x + − + L + ( −1) + o x 2 n −1 . 3! 5! 7! ( 2n − 1)!
(
)
( )
2n x2 x4 x6 n −1 x + − + L + ( −1) + o x 2n . 3. cos x = 1 − 2! 4! 6! ( 2n ) !
4. (1 + x ) = 1 + mx + m
m ( m − 1) 2!
x2 + L +
m ( m − 1)L ( m − n + 1) n!
( )
n x 2 x3 x 4 n −1 x + − + L + ( −1) + o xn . 2 3 4 n 3 5 7 2 n −1 x x x n −1 x 6. arctgx = x − + − + L + ( −1) + o x 2 n −1 . 3 5 7 2n − 1
5. ln (1 + x ) = x −
(
)
( )
xn + o xn .
24 П рим ер 5.5. Раз лож ить по ф орм улеМ ак лорен аф ун кцию y = e − x . Решен ие. П одставляя – x вм есто x вф орм улу М аклорен адля ф ун кции x e , получим иском оераз лож ен ие: e
−x
2 n −x) (−x) −x) ( ( =1+ + +L+
1!
2!
n!
( )
+ o xn =
( −1) x + o x n . x x 2 x3 =1− + − +L+ 1! 2! 3! n! n
n
( )
П рим ер 5.6. Н аписать три первы х, отличн ы х от тож дествен н ого н уля слагаем ы х ф орм улы М аклорен адля ф ун кции y = sin 2 x . Решен ие. П одставляя 2x вм есто x в ф орм улу М аклорен а для ф ун кции y = sin 2 x , получим 3 5 2x ) 2x) ( ( sin 2 x = 2 x − + +o
( x ) = 2 x − 3!8 x
( )
32 5 x + o x5 . 3! 5! 5! 8 32 Т аким образ ом , при достаточн о м алы х x, м н огочлен y = 2 x − x3 + x5 = 3! 5! 4 3 4 5 = 2 x − x + x с точн ость ю до бескон ечн о м алой величин ы o x 5 м ож ет 3 15 з ам ен ить ф ун кцию y = sin 2 x . П рим ер 5.7. Раз лож ить по степен ям x – 2 м н огочлен 5
3
+
( )
f ( x ) = x 4 − 5 x3 + 5 x 2 + x + 2 . Решен ие. Н ай дем з н ачен ия f ( 2 ) ,
f ′ ( 2) ,
f ′′ ( 2 ) ,
f ′′′ ( 2 ) ,
n f ( ) ( 2) :
f ( 2 ) = 24 − 5 ⋅ 23 + 5 ⋅ 22 + 2 + 2 = 16 − 40 + 20 + 4 = 0 ,
(
)
f ′ ( 2 ) = 4 x3 − 15 x 2 + 10 x + 1
(
f ′′ ( 2 ) = 12 x 2 − 30 x + 10
)
x=2
x=2
= 32 − 60 + 20 + 1 = −7 ,
= 48 − 60 + 10 = −2 ,
f ′′′ ( 2 ) = ( 24 x − 30 ) x = 2 = 48 − 30 = 18 ,
f IV ( 2 ) = 24 .
О сталь н ы е произ водн ы е м н огочлен а четвертой степен и тож дествен н о равн ы н улю . П одставляя н ай ден н ы епроиз водн ы евф орм улу Т ей лора, получим : f ( x ) = 24 ( x − 2 ) + 18 ( x − 2 ) − 2 ( x − 2 ) − 7 ( x − 2 ) . 4
3
2
25
§6. П олное ис с ледование функции и пос троение графика 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
П олн оеисследован иеф ун кции обы чн о проводится о следую щ ей схем е: Н ай ти область определен ия ф ун кции D( y ) . Н ай ти область з н ачен ий ф ун кции E ( y ) (если это воз м ож н о), точки пересечен ия граф икаф ун кции с осям и координ ат, участки з н акопостоян ства. О пределить видф ун кции (четн ая, н ечетн ая, общ его вида). О пределить периодичн ость ф ун кции. Н ай ти вертикаль н ы е, н аклон н ы еили гориз он таль н ы еасим птоты . Н ай ти критическиеточки первого рода. Н ай ти критическиеточки второго рода. Заполн ить таблицу исследован ия. П о рез уль татам исследован ия построить граф ик ф ун кции.
П рим ер 6.1. П ровести полн оеисследован иеи построить граф ик ф ун кции x −3 y= . x−2 Решен ие. 1. О бласть определен ия D ( y ) = (− ∞; 2 ) ∪ ( 2; + ∞ ). 2
2. П усть x = 0, тогда y = 1,5. П усть y = 0, тогда x = ± 3 . Т о есть точки (0; 3/2 ) и ( ± 3 ; 0 ) – являю тся точкам и пересечен ия граф икаф ун кции с осям и координ ат. Е сли x ∈ − ∞; − 3 ∪ 3; 2 , то y(x) < 0. Е сли
(
)
(
) (
)
x ∈ − 3; 3 ∪ ( 2; + ∞ ), то y(x) > 0. 3. Ф ун кция общ его вида, т. е. н е является н и четн ой , н и н ечетн ой . Д ей стви2 ( − x) − 3 x2 − 3 тель н о, y (− x ) = =− . Т о есть y(–x) ≠ y(x) и y(–x)≠ – y(x). x+2 −x−2 4. Ф ун кция н еявляется периодической , так как он аим ееттоль ко одн у точк у раз ры ва. 5. А) Н ай дем вертикаль н ы е асим птоты граф ика ф ун кции. В ертикаль н ы е асим птоты бы ваю ттоль ко в точках раз ры вавторого рода. В н ашем случаеподоз ритель н ой является точка x = 2. Н ай дем одн осторон н иепределы : x2 − 3 + 1 x2 − 3 + 1 lim = = (− ∞ ), lim = = (+ ∞ ). x →2 − 0 x − 2 x → 2+ 0 x − 2 − 0 + 0 Т ак как одн осторон н иепределы вточке x = 2 равн ы бескон ечн ости, то прям ая лин ия x = 2 является вертикаль н ой асим птотой . Б) У равн ен ия н аклон н ы х (гориз он таль н ы х) асим птот граф ика ф ун кции будем искать в виде: y=kx+b, где k и b определяю тся по ф орм улам (6.1) – (6.2): f ( x) k1,2 = lim , (6.1) x →±∞ x b1,2 = lim ( f ( x ) − k1 ⋅ x ) . (6.2) x →±∞
26 П ри x → −∞ по ф орм улам (6.1) – (6.2) определяю тся коэф ф ициен ты левой асим птоты граф ика ф ун кции y = k1 x + b1 , а при x → +∞ – правой y = k2 x + b2 . Е сли хотя бы один из пределов (6.1) – (6.2) н е сущ ествует или равен бескон ечн ости, то соответствую щ ей асим птоты н ет. О чевидн о, что гориз он таль н ы еасим птоты являю тся частн ы м случаем н аклон н ы х (при k = 0). В н ашем случае 3 1− 2 2 2 x −3 x −3 ∞ x = 1, k1,2 = k = lim = lim 2 = = lim x →±∞ ( x − 2 ) ⋅ x x →±∞ x − 2 x ∞ x →±∞ 1 − 2 x 2 2 2 x −3 2x − 3 ∞ x − 3 − x + 2x − 1 ⋅ x = lim = lim = = b1,2 = lim x →±∞ x − 2 x →±∞ x →±∞ x − 2 − 2 x ∞ 3 x = 2. = lim 2 x →±∞ 1− x Т аким образ ом , прям ая y = x + 2 – является н аклон н ой асим птотой граф ика ф ун кции как при x → −∞ , так и при x → +∞ . 6. Н ай дем первую произ водн ую ф ун кции: ′ x 2 − 3 2 x ⋅ (x − 2 ) − (x 2 − 3) 2 x 2 − 4 x − x 2 + 3 x 2 − 4 x + 3 = y ′ = = = . 2 2 2 x − 2 ( ) ( ) ( ) x x x − 2 − 2 − 2 1− 3 9−3 y ′ = 0 ⇒ x1 = 1, x2 = 3. y( x1 ) = = 2, y ( x2 ) = = 6. 1− 2 3−2 Т очки, в которы х первая произ водн ая равн ан улю или н есущ ествует, н аз ы ваю ткритическим и точкам и первого родаили точкам и, подоз ритель н ы м и н а экстрем ум . Т екритическиеточки, в которы х f′(x) = 0, н аз ы ваю тстацион арн ы м и. В стацион арн ы х точках касатель н ая, проведен н ая к граф ик у ф ун кции, параллель н аоси OX. В н ашем случаекритическим и точкам и 1-го родаявляю тся точки x = 1 и x = 3. Т очка x=2 критической н е является, т. к. он а н е прин адлеж ит области определен ия ф ун кции. Т очки x = 1, x=2 и x = 3 раз биваю т область определен ия исходн ой ф ун кции н а четы ре ин тервала, н а каж дом из которы х первая произ водн ая сохран яетз н ак. П о з н ак у первой произ водн ой м ож н о судить о воз растан ии (убы ван ии) ф ун кции н акаж дом из этих ин тервалов, атакж ео н аличии экстрем ум ов вкритических точках. Е сли f′(x) > 0 (f′(x) < 0) н а ин тервале (a; b), то ф ун к ция воз растает (убы вает) н а (a; b). Е сли произ водн ая f′(x) м ен яетз н ак с плю сан ам ин ус при переходечерез точк у критическ ую точк у первого рода x0, то в точке x0 ф ун кция им еет локаль н ы й м аксим ум . Е сли произ водн ая м ен яетз н ак с м ин уса н а плю с, то м ин и2−
27 м ум . Е сли ж е произ водн ая при переходе через точк у x0 з н ака н е м ен яет, то в точке x0 ф ун кция экстрем ум ан еим еет. И сследован ие первой произ водн ой н а з н ак будет произ веден о поз дн ее (впун кте № 8). 7. Н ай дем вторую произ водн ую ф ун кции: ′ x 2 − 4 x + 3 (2 x − 4 ) ⋅ ( x − 2 )2 − 2 ⋅ ( x − 2 ) ⋅ (x 2 − 4 x + 3) = y ′′ = = 2 (x − 2)4 (x − 2 )
( 2 x − 4 ) ⋅ ( x − 2 ) − 2(x 2 − 4 x + 3) 2 x 2 − 8 x + 8 − 2 x 2 + 8 x − 3 2 = = = ≠ 0. 3 3 (x − 2) (x − 2) (x − 2)3
Т очки, в которы х исходн ая ф ун кция определен а, а вторая произ водн ая равн а н улю или н есущ ествует, н аз ы ваю ткритическим и точкам и второго рода. Критические точки второго рода раз биваю т область определен ия ф ун кции н а ин тервалы , в каж дом из которы х граф ик ф ун кции сохран яет н аправлен ие вы пуклости. Е сли f′′(x) > 0 (f′′(x) < 0) н а ин тервале (a; b), то граф ик ф ун кции является вогн уты м (вы пуклы м ) н аин тервале (a; b). Критические точки второго рода, в которы х вторая произ водн ая м ен яет з н ак, являю тся точкам и перегибаграф икаф ун кции. В дан н ом прим ере критических точек второго рода н ет, следователь н о, н ети точек перегибаграф икаф ун кции. 8. С оставим таблицу исследован ия ф ун кции. Д ля этого раз обь ем область определен ия ф ун кции точкам и раз ры ва, а такж е критическим и точкам и первого и второго рода (если таковы е им ею тся) н а н есколь ко ин тервалов (первая строка таблицы ). В каж дом из получен н ы х ин тервалов определим з н ак первой и второй произ водн ой (соответствен н о вторая и треть я строки таблицы ). П о сочетан ию з н аков первой и второй произ водн ой м ож н о судить о поведен ии ф ун кции н асоответствую щ ем ин тервале. Н априм ер, н аин тервале (–∞; 1) первая произ водн ая исходн ой ф ун кции боль ше н уля, а вторая произ водн ая м ен ь ше н уля. Э то оз н ачает, что н а дан н ом ин тервалеф ун кция воз растает, аграф ик ееявляется вы пуклы м . С хем атически поведен ие ф ун кции н а каж дом из получен н ы х ин тервалов из ображ ается в последн ей строкетаблицы . Здесь ж еопределяю тся экстрем ум ы и точки перегиба граф ика ф ун кции. В точках экстрем ум а и перегиба вы числяю тся з н ачен ия исходн ой ф ун кции. И так, вн ашем прим ерем ы получим следую щ ую таблицу исследован ия: x y′(x) y″(x) y(x)
(–∞; 1 ) + –
1 ( 1; 2 ) 0 – – – Max y= 2.
2 Н есущ . Н есущ . Н есущ .
Т абл. 6.1.
( 2; 3 ) – +
3 0 + Min y= 6.
( 3; ∞) + +
28 9. П о рез уль татам исследован ия строим граф ик ф ун кции (рис.6.1). П ри построен ии граф ика предваритель н о н еобходим о из образ ить асим птоты , точки пересечен ия граф икас осям и координ ат, точки экстрем ум аи точки перегиба.
Рис. 6.1.
Пр и м ер ны й ва р и а нт к онт р ол ьной р а бот ы № 1 1. Н ай ти предел ф ун к ции а) lim
3x 2 + 4 x 4 + 3
; б) lim
2 x2 + 5x − 8 2. Н ай ти произ водн ую
x →∞
(
x 2 − 12 − 2
x →4
y′ ( x )
)
3x + 4 − x
а) y = arccos 3x − ctg 2 2 x ⋅ 5− x ; б) y = ( tg 2 x ) 3. В ы числить
3
1 sin 3 x ; г) lim ( x − 1) x − 2 . x →π tg15 x x →2
; в) lim
4x
; в)
x − 2 y + ln
27.34 приближ ен н о, с пом ощ ь ю диф ф ерен циала.
(
4. П ровести полн оеисследован иеф ун кции y = 1 + x 2 граф ик.
x = 0. y
)
и построить ее
29
ЛИ ТЕР А ТУР А 1. Д ем идовичБ.П . Краткий к урс вы сшей м атем атики / Б.П . Д ем идович, В .А. К удрявцев. – М .: Астель . АС Т , 2001. – 655 с. 2. М ин орский В .П . С борн ик з адач по вы сшей м атем атике: учеб. пособие для втуз ов/ В .П . М ин орский . – 14-е из д. – М .: И з д-во ф из .-м ат. лит., 2001. – 366 с. 3. ШипачевВ .С . О сн овы вы сшей м атем атики : учеб. пособиедля втуз ов/ В .С . Шипачев; подред. акад. А.Н . Т ихон ова. – 2-еиз д. С тереотипн ое.– М .: В ы сш. шк., 1994.– 352 с. 4. ШипачевВ .С . С борн ик з адачпо вы сшей м атем атике: учеб. пособие/ В .С . Шипачев. – М .: В ы сш. шк., 1994.– 192 с. 5. ШипачевВ .С . В ы сшая м атем атика: учеб. для студен товвтуз ов/ В .С . Шипачев. – 5-еиз д., стереотипн ое– М .: В ы сш. шк., 2000.– 479 с. 6. П ись м ен н ы й Д .Т . Кон спектлекций по вы сшей м атем атике: Т ридцать шесть лекций / Д .Т . П ись м ен н ы й . – М : Ай рис-пресс, 2000.– Ч. 1.– 279 с. 7. Г усак А.А. В ы сшая м атем атика: учеб. для студен товвтуз ов: В 2 т. / А.А. Г усак. – 3-еиз д., стереотипн ое. – М ин ск: Т етраС истем с, 2001. – Т . 2.– 447 с.
30
Дл я з а м ет ок
31
С оставители: ст. преп. У ксусовС ергей Н иколаевич. преп. У доден ко Н иколай Н иколаевич, Редактор: Т ихом ироваО .А.
