Физика (часть 2, введение в основы электромагнетизма). Конспект лекций

ГЛАВА 3.  ЭЛЕКТРОСТАТИКА.  В электростатике исследуется электрические поля, созданные неподвижными зарядами, а  также поведение (распределение) в этих полях свободных (которые могут свободно  перемещаться по проводникам) и связанных (входящих в состав молекул вещества) зарядов.  3.1.  Теорема Гаусса.  r  Поток вектора  E через произвольную замкнутую поверхность S обладает замечательным  свойством: он определяется только алгебраической суммой зарядов, находящихся внутри  объема V S, ограниченного поверхностью S.  q i ( внутри V  )  r  r å i  ,  (34)  ò Ed S  =  S 

e 0 

где  e 0 = 8 , 85 × 10 -12 

Ф  – электрическая постоянная.  м 

3.1.1. Доказательство теоремы  Гаусса. 

Рассмотрим точечный заряд q, расположенный внутри объема V S, ограниченного  r  r  поверхностью S (см. рис. 18a). Элементарный поток  E через элемент поверхности  dS  определяется формулой (см. математическое приложение) r  r dF  = E d S  = EdS ^ ,  q  где  E =  – по закону Кулона; 4 pe 0 r 2  dS ^  = r 2 d W – по определению элементарного телесного угла dW.  q  q  То есть, d F  = r 2 d W = d W .  2  4pe 0 r  4 pe 0  Интегрируя по всей поверхности S, получим:  q  q  q  ò dF = 4pe 0  ò d W = 4 pe 0  × 4 p = e 0  ,  так как ò d W  – угол, под которым видна вся внутренняя сторона поверхности S. Таким  образом, если заряд q находится внутри объема V S, ограниченного поверхностью S, то  r  r q  ò Ed S  = e 0 , если q внутри V S.  (35)

Рис 18 а) 

б)

3.1.2. 

Рассмотрим теперь заряд q, находящийся вне объема V S  (рис. 18б). В этом случае, силовая  r  линия  E по крайней мере дважды пересекает поверхность S (сначала она входит внутрь V S, а  затем – выходит из V S). Элементарный поток при этом состоит из двух слагаемых: q  q  d F 1  = d W и d F 2  = d W ,  4pe 0  4pe 0  где dW – элементарный телесный угол, опирающийся на площадки dS1  и dS2  (рис. 18б). Их  q  q  результирующий (суммарный)поток  dF  = d W + d W = 0 .  4 pe 0 4 pe 0  Интегрирование по всей поверхности S – это суммирование аналогичных потоков для всех  элементарных углов dW, на которые можно разбить угол W (рис. 18), под которым объем V S  виден из q.  Ясно, что результатом такого суммирования будет ноль.  r  r ò Ed S  = 0 , если q вне V S.  (36)  3.1.3. 

Если поле создается системой точечных зарядов, то согласно принципу суперпозиции:  r r r r E =  E 1  + E 1  + K + E N  ,  r  где N – число зарядов в системе, создающей поле  E .  r  Поток вектора  E через замкнутую поверхность: r  r r r r r r r E  d  S  =  E  d  S  + E  d  S  + K + E  1  2  ò ò ò ò N d S .  Но согласно вышеизложенному (пп. 3.1.1 и 3.1.2) если заряд qi  попадает внутрь V S, то  r  r r  r q i  E d  S  = , а если q окажется вне V  , то  E  i  S ò i  e 0 ò  j d S  = 0 . Следовательно, r  r 1  ( внутри V  )  E (теорема доказана).  ò d S  =  å q i  S 

e 0 

Здесь суммирование распространяется на заряды  q i ( внутри V  )  , попавшие внутрь V S.  S 

Замечание: 

полученный результат является удивительным, так как при любом перемещении зарядов  r  внутри V S  поле  E изменяется всюду, в частности, и на поверхности S. Однако поток вектора  r  r  r E (интеграл ò Ed S ) остается неизменным (лишь бы при перемещении qi  они не пересекали  S, оставаясь внутри V S). 

3.2.  Применение т еоремы  Гаусса.  Применение теоремы Гаусса эффективно в том случае, когда не нужно вычислять сложный  r  (для произвольной поверхности S и поля  E , созданного произвольным распределением  r  r зарядов) интеграл ò Ed S , а именно:  r  r 1)  когда важно не значение интеграла ò Ed S , а факт его отличия от нуля (или  равенство нулю);  r  2)  когда в ислу симметрии задачи поля  E оказывается во всех точках S одинаковым  по модулю и перпендикулярным к площадкам dS всюду на S.  В этом случае:  r  r E ò d S  = ò Eds = E ò dS = E × S ,  где S – площадь поверхности S.  3.2.1. Теорема Ирншоу (о невозможности устойчивого равновесия заряда в  электрическом поле). 

Пусть имеется система неподвижных точечных зарядов, находящихся в равновесии. Может  ли какой­либо из этих зарядов q находится в уст ойчивом равновесии?  Для доказательства невозможности устойчивого равновесия окружим заряд q небольшой  замкнутой поверхностью S (других зарядов внутри V S  нет). Чтобы  положение заряда q было устойчивым, необходимо, чтобы при  любом смещении q из положения равновесия появлялась  r r возвращающая сила  F = q E  , направленная к положению  r  равновесия. Здесь  E – поле, созданное всеми остальными (кроме q)  зарядами, и именно оно должно обеспечивать устойчивость  Рис. 19 равновесия. Но это значит, что для  q  > 0 все силовые линии поля  r  r  r E должно входить внутрь V S  через поверхность S, т.е.  ò Ed S  < 0 (см. рис. 19). А это означает, в соответствии с теоремой Гаусса, что внутри V  S  должен  r  находится отрицательный заряд из системы зарядов, создающих поле  E , что противоречит  предположению о том, что внутри V S  находится только заряд q.  3.2.2. Применение теоремы  Гаусса к расчету электрических полей. 

С учетом написанного в п.п. 3.2. становится ясно, что применять теорему Гаусса к расчету  полей можно в ограниченном числе случаев, когда рассматриваемые поля обладают  специальной симметрией (чаще всего сферической, цилиндрической или плоской).  Рассмотрим некоторые из этих случаев.  3.2.2.1. Поле заряженной сферической поверхности. 

Пусть по поверхности сферы радиусом R равномерно распределен заряд Q. Если  представить, что сфера находится в одномерном и изотропном пространстве, то ясно, что  поле должно обладать  сферической симметрией – силовые линии должны идти в  радиальном направлении, а напряженность E должна зависеть только от расстояния r до  r  центра сферы. При такой конфигурации поля  E нужно в качестве замкнутой поверхности  (гауссовой поверхности) выбрать сферу радиуса r. 

Рассмотрим сначала случай  r <  R :  r  r 2 E ò  d S  = E ò dS = E × 4 pr  = 0 ,  так как внутри сферы с радиусом  r <  R  заряды отсутствуют. Следовательно поле E внутри  заряженной сферы равно нулю.  В случае  r >  R  ситуация меняется – теперь внутри сферы радиуса r находится вся феликом  заряженная сфера с зарядом Q:  r  r Q  2  ò Ed S  = E × 4pr   = , 

e 0 

и, следовательно, поле вне заряженной сферы:  Q  E =  при  r >  R .  4 pe 0 r 2  Это поле совпадает с полем точечного заряда Q (см. рис. 20).  3.2.2.2. Поле равномерно заряженного шара. 

Рассмотрим шар радиуса R, заряженный с одинаковой плотностью заряда r по всему объему.  4  Заряд Q всего шара можно найти умножив плотность заряда r на объем шара  V =  pR 3 :  3  3  4 prR  Q =  .  3  Нетрудно сообразить, что в данном случае электрическое поле также (как и в п. 3.2.2.1)  обладает сферической симметрией, причем для гауссовой поверхности (сферы) с радиусом  r >  R  r  r Q  2  (весь заряженный шар  ò Ed S  = E × 4pr   = e 0  находится внутри)  То есть вне шара поле опять­таки совпадает с полем точечного заряда Q:  Q  E =  при  r >  R  (рис. 21).  4 pe 0 r 2  Если же мы возьмем сферу с  r <  R , то теперь внутри этой сферы окажется часть объема  шара, содержащая заряд 

а) поле т очечног о заряда 

б) поле заряженной сферы  Рис. 21

r с) зависимость модуля  E от расстояния до центра сферы  Рис. 20 

4  4  3 Q  Q × r 3  q = p r 3  × r = pr 3  × = .  3  3  4 pR 3  R 3  Следовательно, для  r <  R  имеем:  r  r Qr 3  2  ò Ed S  = E × 4 pr  = e 0 R 3  или  Q × r  E =  при  r <  R  (рис. 21).  4 pe 0 R 3  3.2.2.3. Поле равномерно заряженной прямой бесконечной нити 

Рассмотрим бесконечную, заряженную с линейной плотностью заряда t (t – заряд,  Кл приходящийся на единицу длины нити,  [t ] =  ) нить.  м  Поле такой нити должно иметь цилиндрическую симметрию – силовые линии – прямые,  r  идущие перпендикулярно нити, а величина (модуль)  E должна зависеть только от  расстояния до нити r.  Выберем в качестве гауссовой поверхности прямой цилиндр с осью симметрии,  r  совпадающей с нитью, и высотой h (рис. 22а). При этом поток  E через замкнутую  цилиндрическую поверхность распадается на два интеграла – по торцевым поверхностям  (кругам) и боковую поверхность цилиндра (рис. 22а) r  r r r r r ò Ed S = ò E d S + ò E d S  æ S торцевых ö ç кругов  ÷ è ø

( S боковая )

r r Первый интеграл равен нулю, так как на торцах цилиндра  E^ d S  и  r  r p dF = E d S  = EdS × cosa  = 0  (т.к.  a =  ). Поток же через боковую поверхность: 2 r  r t × h  ò E d S  = E × 2pr   × h = ,  ( S боковая ) 

e 0 

где  2 p r × h  – площадь боковой поверхности;  t  × h – заряд той части нити, которая попала внутрь гауссового цилиндра.  Из последней формулы получаем выражение для зависимости модуля поля от расстояния до  нити:  E  =

t 2pe 0 r 

Замечание: 

легко сообразить (см.п. 3.2.2.1), что в случае равномерно заряженного (пустого внутри)  цилиндра поле внутри него будет равно нулю, а вне – совпадать с полем заряженной нити 

а) к расчет у поля нит и 

б) поле пуст от елог о цилиндра  Рис. 22

в) поле объемно заряженног о  цилиндра 

(рис. 22б).  На том же рис. 22в приведена зависимость E(r) для однородно заряженного с объемной  плотностью заряда r цилиндра.  3.2.2.4. Поле равномерно заряженной плоскости. 

Если положительный заряд распределен по плоскости равномерно с поверхностной  r  Кл плотностью заряда s ( [ s ] = 2  ), то созданное этим зарядом поле вектора  E может быть  м  только перпендикулярным заряженной плоскости – силовые линии параллельны друг другу  и выходят из плоскости в обе стороны от нее перпендикулярно к ней (рис. 23). Естественно  выбрать в качестве гауссовой поверхности прямой цилиндр с двумя торцевыми  поверхностями (кругами) параллельными плоскости (рис. 23). При этом r  r r r r r E d  S  = E  d  S  + E  ò ò ò d S .  2 × S торцевая 

S боковая 

r r Но всюду на боковой поверхности Sбоковая  вектор  E^ d S , то есть  r  r ò Ed S  =

r r ò E d S  = 2 × E × S т орцевая . 

r  r E ò  d S  = 0 . Следовательно, 

S боковая

2× S торцевая 

Внутрь цилиндра попадает заряд, расположенный на круге площадью Sт орцевая, вырезанном  цилиндром при пересечении им заряженной плоскости. Тогда  s  × S т орцевая  , или  2 ES т орцевая  = 

e 0 

E  = 

s .  2e 0 

r  На рисунке 24 приведен результат расчета поля  E для двух параллельных  противоположенно заряженных плоскостей ( s + =| s - | ). В силу принципа суперпозиции  r  r r r  r  ( E =  E + + E - ) поле существует только в пространстве между пластинами, где E +  и E -  направлены в одну сторону. Этот результат приближенно справедлив и для поля плоского  конденсатора, где отклонения наблюдаются только вблизи краев пластин. Результат тем  точнее, чем меньше расстояние между пластинами по сравнению с их линейными размерами.  Примечание: 

Если воспользоваться теоремой Остроградского (см. Гл.1), то

Рис. 23 

r  r r E d  S  =  div  E  ò ò dV .  (37)  V S 

С другой стороны:

r  r 1 E ò d S  =  e 0  ò rdV .  (38) 

Рис. 24

Приравнивая правые части равенств (37) и (38), получим:  r  r ö æ ç div E  - ÷÷ dV = 0  (39)  ò  ç e0 ø V  è Так как интеграл (39) равен нулю для любой поверхности S, ограничивающей объем V S, то  подынтегральная функция должна быть тождественно равна нулю:  r  r divE =  (40)  S 

e 0 

Уравнение (40) называется теоремой Гаусса в дифференциальной форме. Другими словами  r  (40) есть локальная теорема:  div E в данной точке зависит только от плотности  r  электрического заряда в этой точке. Интересно, что в разных точках поля вектор  E ¶ E  ¶ E y ¶ E  различен, различны и частные производные  x ,  и  z . Однако, в соответствии с  ¶x  ¶y  ¶z  теоремой (40),  ¶ E x  ¶E y  ¶E z  + + =0 ¶x  ¶y  ¶z  во всех точках (кроме точек, где имеются заряды).  3.3.  Пот енциал элект рическог о поля.  3.3.1. Кулоновская сила – сила центральная: 

r  заряд q1  создает вокруг себя электрическое поле  E1 ( r ) ,  r r r q 1  r  r  E1 =  × = E ( r ) × ,  4 pe 0 r 2  r  r  r r попав в которое, заряд q2  испытывает действие силы  F 21  = q 2  × E 1 .  r  Здесь  F 21  – сила, действующая на заряд q2  со стороны заряда q1;  r  E1  – поле заряда q1, в точке, где расположен заряд q2.  3.3.2. Кулоновская сила – сила консервативная. 

Любая центральная, не зависящая от  времени сила есть сила консервативная  (ее работа зависит только от положения  начальной и конечной точки и не  зависит от формы участка траектории,  соединяющей эти точки).  Действительно (рис. 25), элементарная  r r  Рис. 25 r  работа силы  F 2 =  f ( r )  , есть  r  скалярное произведение r r  r r r  r dA =  F r × d r  = f ( r )  (d r r  + d r j ) .  r  r  r r  r r  r r  Но  r d r j  = 0 , так как r ^ d r j ,  r d r r = rdr  , где dr – элементарное приращение модуля  r на  r  перемещении  dr r  . Следовательно,  2  2  r  r A 12  = ò F r ( r ) d r  = ò f ( r ) dr  = U ( r 1 ) - U ( r 2 ) .  1 

1 

Здесь, U(r) – взятая с обратным знаком первообразная функции f(r). U(r) называют  потенциальной энергией. 

3.3.3. Потенциальная энергия двух точечны х зарядов. 

r  Если  F r  – сила, действующая на заряд q2  со стороны заряда q1, то по закону Кулона  r r r r æ q 1  r  ö F r º F 21  = çç × ÷÷ q 2  = q 2 E 1 ,  2  è 4 pe 0 r  r  ø и работа этой силы при переходе заряда q2  из точки 1 в точку 2 есть  r  r 2  2  r  q  dr  r 2  r r A 12  = ò F 21 d r  = ò E 1 d r  × q 2  = ò 1  2  × q 2 .  pe 0 r  1  r1  r 1  4  r 2 

dr  1  1  q 1  q 1  Так как  ò  2  = - + , то  A12  = × q 2  × q 2  .  r 2  r 1  4 pe 0 r 1  4 pe 0 r 2  r r  r  Потенциальная энергия заряда q2  в поле  E1  q  U =  1  × q 2  + const .  (41)  4pe 0 r  Обычно, const в выражении (41) полагают равной нулю (для того, чтобы на бесконечности  ( r  ® ¥ ) U(r) равнялась нулю).  1 

3.3.4. Потенциальная энергия в поле системы  зарядов. 

Если электрическое поле, в котором перемещается заряд Q создается системой точечных  зарядов, то  r r æ N q i r i  ö F ( r ) = çç å × ÷÷ × Q ,  2  è i =1  4 pe 0 r i  r i  ø где  i = 1, 2, …N – номер заряда из системы, создающей поле;  r  ri  – радиус­вектор, проведенный от заряда qi  к заряду Q.  r  В этом случае работа, совершенная силой  F на пути Q от точки 1 до точки 2:  æ N æ N q i ö q i  ö ÷÷ × Q - çç å ÷÷ × Q .  A 21  = çç å è i = 1  4pe 0 r i 1  ø è i =1  4 pe 0 r i 2  ø æ N q i ö ÷÷ × Q  – пот енциальная энергия заряда Q в поле, созданном  Здесь,  U ( r ) = çç å è i =1  4 pe 0 r i  ø сист емой т очечных зарядов. Видно, что U(r) – сумма потенциальных энергий Q в поле  каждого из зарядов qi:  U = U 1  + U 2  + K U N  .  3.3.5. Потенциал поля точечного заряда и системы  зарядов. 

Удобно (в этом мы убедимся ниже) ввести в рассмотрение (помимо силовой характеристики  r  поля – вектора  E ) энергет ическую характ ерист ику – пот енциал j:  U = j × Q ,  где U – потенциальная энергия заряда Q в электрическом поле.  В частности, для поля точечного заряда q:  q  q  U =  × Q , и  j = ;  4pe 0 r  4pe 0 r  для системы точечных зарядов:  N æ N q i ö q i  ÷÷ × Q , и j = å = å j i  .  U  = çç å i = 1  4pe 0 r i  è i =1  4pe 0 r i  ø U Как видно из определения электрического потенциала ( j = ), j – скалярный параметр (в Q 

r  отличие от напряженности поля  E – вектора), определяемый величиной заряда, создающего  поле, и тем, на каком расстоянии находятся отдельные (точечные) составляющие этого  заряда от точки, где определяется потенциал.  3.3.6. Работа сил электрического поля. 

Если известен потенциал j (r), то можно очень просто рассчитать работу сил поля при  перемещении заряда q из точки 1 в точку 2: A 12 = U 1  - U 2  = q j1  - q j1  = q (j1  - j 2  ) ,  (42)  где j1  и j2  – потенциалы в точках 1 и 2.  r 3.3.7. Связь  между  E и j. 

r  Существует простая связь между  E и j. Она следует из сравнения двух соотношений:  1)  определение элементарной работы консервативной силы:  r  r dA = F r d r  = - dU  ,  r  где dU – элементарное приращение потенциальной энергии на перемещении  dr  . 

Обратная по знаку величина (–dU) называется элементарной убылью  потенциальной энергии.  2)  Выражение dU как дифференциала функции трех переменных U(x,y,z):  dU =  Имеем: 

¶U  ¶U  ¶U  dx + dy + dz .  ¶x  ¶y  ¶z 

r  r ¶U  ¶U  ¶U  F d r  = dx dy dz  ¶x  ¶y  ¶z 

(43) 

Правую часть (43) можно представить в виде скалярного произведения вектора  r  gradU (см.п. 1.3.1) на перемещение  dr  :  r r r F d r  =  -grad U  × d r  ,  r  откуда  F  = -gradU  .  (44)  r r Если учесть, что  F = q E  , а U  = q j , то после сокращения на q, получим: r  E =  -grad j (45)  r  Компоненты вектора  E определяются по формулам:  E x = -

¶j ¶j ¶j ,  E y = - ,  E z = ¶x  ¶y  ¶z 

(46) 

r 3.3.8. Расчет поля  E с помощью  потенциала. 

При расчете электрического поля с использованием закона Кулона и принципа суперпозиции  r  r  приходится вычислять интеграл ò dE , суммируя вклады в  E от "точечных" зарядов, на  которые был разбит весь заряд, создающий поле: r r  r r  r  E =  ò d E  = ò dV .  4pe 0 r 2  r  При расчете этот интеграл сводится к трем скалярным интегралам:

ì r ( x , y , z ) × xdV  ï E x = ò  4 per 0 r 3  ï r ( x , y , z ) × ydV  ïï í E y  = ò 4 per 0 r 3  ï ï r ( x , y , z ) × zdV  ï E z  = ò ïî 4 per 0 r 3 

взятие которых представляет собой довольно трудную (в общем случае) задачу.  r  Для расчета электрического поля  E с помощью понятия потенциала задача облегчается:  1)  нудно взять всего один скалярный интеграл j = ò d j = ò

r ( x , y , z ) dV  ;  4 pe 0  × r 

2)  необходимо найти частные производные j:  E x = -

¶j ¶j ¶j ,  E y = - ,  E z = .  ¶x  ¶y  ¶z 

При этом вспомним, что операция дифференцирования с математической точки  зрения легче интегрирования.  3.3.9. Уравнения Пуассона и Лапласа. 

Легко получить дифференциальное уравнение, которому должен удовлетворять потенциал j  электростатического поля:  r  r r  r так как  divE  =  или  ÑE = , 

e0

а

r  r  E =  -grad j или E =  -Ñj , 

то 

div grad j = -

e0

r r или  Ñ (Ñj) = - .  e 0  e 0 

Оператор div grad или  Ñ × Ñ º Ñ 2 при действии на скалярную функцию j преобразует ее в  сумму вторых частных производных j по координатам:  æ ¶ r  ¶ r ¶ röæ ¶j r ¶j r ¶j rö ¶ 2 j ¶ 2 j ¶ 2 j .  Ñ 2 j = çç i + j  + k ÷÷çç i + j  + k ÷ = + + ¶y  ¶z  øè ¶x  ¶y  ¶z  ÷ø ¶x 2  ¶y 2  ¶z 2  è ¶x Этот оператор называют операт ором Лапласа (лапласианом) и обозначают значком D  ( D º Ñ 2 ).  Полученное уравнение для j при  r  ¹ 0 называют уравнением Пуассона:  Dj = -

r e0

(47) 

Если же  r  = 0 (заряд отсутствует), то – уравнением Лапласа:  Dj = 0 (48).  Определение j с помощью уравнений (47) или (48) сводится к нахождению функции,  удовлетворяющей (47) или (48), а также граничным условиям (функция j должна принимать  заданные значения на поверхностях, ограничивающих интересующую нас часть  пространства).  В курсе математической физики доказывается, что задача определения j с помощью (47) или  (48) имеет единственное решение, то есть, если Вы каким­то образом нашли (например,  угадали) решение, то оно является единственным решеним.

3.3.10. Эквипотенциальны е поверхности. 

Геометрическое место точек (поверхность), имеющих одинаковое значение потенциала,  называется эквипот енциальной поверхност ью:  S j = const  .  r  Если переместиться на  dr  по эквипотенциальной поверхности, то  d j = 0 и, следовательно,  r  r r  Ed r  = 0 , если  dr  Ì S j =const  r r r r При отличном от нуля поле скалярное произведение  Ed r  =  Ed cos( E Ù d r )  равно нулю, если  r  r  r cos( E Ù d r )  = 0 , то есть: силовые линии элект рост ат ического поля (линии  E ) всегда  перпендикулярны эквипот енциальным поверхност ям.  Если проводить эквипотенциальные поверхности  так, чтобы разность потенциалов соседних  поверхностей была одинакова, то по густоте  эквипотенциальных поверхностей можно судить о  величине поля Е в разных точках. Там, где  эквипотенциальные поверхности идут гуще, там  величина поля больше (рис. 26).  3.4.  Элект рический диполь. 

Рис. 26 

Понятие электрического диполя является  одним из важнейших при исследовании  поведения вещества в электрическом поле, в  изучении вопросов излучения и поглощения  света.  Рис. 28 Элект рический диполь – система из двух  равных по величине, но  а) диполь  б) поле диполя  противоположенных по знаку, зарядов +q и  Рис. 27  –q, находящихся на некотором расстоянии l  друг от друга. Параметр l часто называют  плечом диполя. (рис. 27а).  Поле электрического диполя обладает осевой симметрией – оно имеет один и тот же вид в  любой плоскости, проходящей через ось симметрии диполя (рис. 27б).  Наиболее часто встречающийся в физике случай – "точечный диполь", для которого  расстояния r до интересующих нас точек поля диполя много больше плеча диполя l,  r >> l .  3.4.1. Потенциал электрического поля диполя. 

Потенциал поля диполя находим как сумму потенциалов полей, созданных зарядами +q и –q: q  q  j = (см. рис. 28)  4pe 0 r + 4 pe 0 r l  l  С учетом того, что  r >> l : r +  » r  - cos Q ; r -  » r  + cos Q .  2  2  При этом для j получим: æ ö ÷ q çç 1  1  l cos Q ÷ = q  j = .  2  l  l  4 pe 0  ç 4 pe 0  æ 2  æ l  ÷ ö ç r  - cos Q r  + cos Q ÷ ç r  - ç cos Q ö÷ ÷ è 2  2  ø ç è 2  ø ÷ø è 2 

æ l  ö Пренебрегая в знаменателе слагаемым  ç cos Q ÷ по сравнению с  r 2  , окончательно  è2 ø

получим:  j =

ql × cos Q (49)  4 pe 0 r 2 

Замечание: 

величина q×l часто встречается при изучении свойств электрического диполя, поэтому ей  дали название элект рический момент  диполя:  p =  q × l .  С учетом сделанного замечания (49) примет вид:  p cos Q j = (50)  4 pe 0 r 2  3.4.2. Электрическое поле диполя. 

r  Для определения составляющих поля диполя воспользуемся связью между  E и j:  ¶j Dj ¶j Dj E x = = - lim  ;  E y = = - lim  .  D x ®0  Dx  D y ® 0  D y  ¶x  ¶y  y = const  x = const  r  Нас, однако, (см. (50)) интересуют проекции  E не на оси прямоугольной системы координат,  r  r  r  а на направления  er  (радиальное) и eQ  (угловое, перпендикулярное  er  ), так как в (50)  независимыми переменными являются не x и y, а полярные координаты r и Q. Введем  локальную (в той точке, где определяется поле) систему координат с осями, направленными  r  r  вдоль единичных векторов  er  и eQ  (рис. 29). Тогда r  r r d r  = dr × e r + rd Q × e Q .  r r r (сравним:  dr  =  dx × e x  + dy × e y  в прямоугольной системе)  r  r  r  Проекции  E на оси  er  и eQ  определяются при этом следующим образом:  Dj ¶j Dj 1  ¶j E r = - lim  = ; E Q  = - lim  = (51)  D r ®0  D r  DQ ® 0  ¶r  r DQ r  ¶Q Q = const  r = const  Воспользовавшись формулами (51), находим: ì ¶ æ p cos Q ö p cos Q ÷= ï E r = - çç 2  ÷ 3  ¶ r  4  pe   r  0  ï è ø 2 pe 0 r  (52)  í æ ö 1  ¶ p  cos  Q p  sin  Q ï ç ÷ ï E Q  = - r  ¶Q ç 4 pe r 2  ÷ = 4 pe r 3  0  0  è ø î r  r  Для модуля  E (  E  =  E  = E r2 + E Q2  ) имеем:  p  p  1 + 3 cos 2  Q 2  2  (53)  4  cos  Q + sin  Q = 4 pe 0 r 3  4 pe 0 r 3  Формулы (52) и (53) описывают электрическое поле точечного электрического диполя.  E = 

3.4.3. Энергия диполя в электрическом поле. 

При помещении диполя в электрическое поле, созданное внешним по отношению к диполю  зарядами, заряды +q и –q электрического диполя приобретают потенциальную энергию U + = q j + , U - = q j - .  Здесь j+  и j–  – потенциалы внешнего поля в  точках расположения зарядов +q и –q.  Потенциальная энергия диполя во внешнем  поле U  = U + + U - = q (j + - j - ) (54) 

Рис. 29

r  Разность j+  – j–  есть Dj – приращение потенциала при перемещении на  l в направлении от  –q к +q, причем перемещение l мы считаем малым  (рассматривается точечный диполь):  r Dj = grad j × l .  r  Учитывая, что E =  -grad j , получим: r r rr r r U =  - q × l  × E  = - p E  = - pE cos  p Ù E  .  (55)  r r В (55) мы ввели вектор  p =  q l  – вект ор  элект рического дипольного момент а (ранее был  Рис. 31 введен модуль этого вектора).  r  Итак, электрический диполь  p , помещенный в  r  электрическое поле  E , обладает потенциальной энергией  r r U =  - p × E .  (56) 

(

) 

3.4.4. Сила, действую щая на электрический диполь в электрическом поле. 

r  Учитывая связь между силой и потенциальной энергией  F  = -gradU  , имеем: r rr rr F = + grad  p E  º Ñ p E  .  r r r r rr r rr Вспоминая формулу для двойного векторного произведения ( a ´ ( b ´ c )  = b ( a c ) - c ( a b ) ) из  r r r  r r векторной алгебры, положим в ней:  a =  p , b = Ñ ,  c =  E , и получим:  r r  rr r r p ´ (Ñ ´ E )  = Ñ ( p E ) - ( p Ñ ) E .  r  r Так как в электростатике  rotE º Ñ ´ E  = 0 , то из последней формулы получаем:  r r r F = ( p Ñ) × E , (57)  r  ¶ ¶ ¶ + p y  + p z  где  p Ñ = p x – оператор, преобразующий поле, в котором находится  ¶x  ¶y  ¶z  диполь, в силу, действующую на диполь.  r  Из (57) видно, что, если поле  E однородное, то  r  сила, действующая на  p равна нулю, так как  r  ( pÑ ) – оператор дифференциальный.  r  Если поле  E неоднородное, пусть, например,  r r r r E =  D × x × k  (рис. 30), а  p =  p 0  × i  (тот же рис. 30).  В этом случае:  r ¶ ( pÑ )  = p 0  ¶x  r r r r r ¶ F = ( p Ñ) E  = p 0  D × x × k  = p 0 D × k  – сила  ¶x  Рис. 30  действующая на диполь, направленная вдоль оси  z (рис. 30). 

( )

( ) 

(

) 

3.4.5. Момент силы , действую щий на диполь в электрическом поле. 

r  Если дипольный момент  p расположен под углом j к силовым линиям однородного поля  r  E , то он в силу (55) обладает потенциальной энергией U  = - p × E × cos j .  r  r  При этом на  p действует механический момент, стремящийся повернуть  p так, чтобы он  r  стал ориентирован вдоль поля  E (рис. 31): M  = F +  × l sin j .  1 2 3 плечо силы F + отностельн о ­ q 

Так  F+  = q × E , то M  =  q × l × E sin j = pE sin j . Момент сил – величина векторная, а в  r r последней формуле мы видим, модуль векторного произведения pE  , следовательно, r rr M =  p E  (58)  r  Если  p направлен вдоль силовых линий электрического поля, то  M  = 0 (т.к.  sin j = 0 ). 

[ ] 

[ ] 

Замечание: 

r  Если диполь  p находится в неоднородном поле, то на него одновременно действует и сила  r  r  F и момент  M . В этом случае диполь перемещается, одновременно участвуя в  r  поступательном (под действием  F ) и вращательном движениях.  3.5.  Проводники в элект рическом поле.  Проводник (твердый) – это, как правило, вещество, содержащее огромное количество  "свободных" электронов, которые, не выходя за пределы образца (например, кристалла),  могут свободно перемещаться внутри проводника. Это – так называемые элект роны  проводимост и. Вместе с положительным остовом кристаллической решетки (катионами)  они обеспечивают электрическую нейтральность незаряженного образца. Проводнику можно  сообщить положительный или отрицательный заряд, соответственно убрав или добавив  некоторое количество электронов:  –  в случае удаления электронов проводимости, положительный заряд катионного  остова становится преобладающим, и проводник оказывается наряженным  положительно;  –  в случае добавления электронов образец заряжается отрицательно.

3.5.1. Электрическое поле внутри  проводника. 

Так как электроны проводимости испытывают  r r действие силы  F = q E  при столь угодно малом  поле, то в электростатике (заряды неподвижны)  r  поле  E внутри проводника должны быть равным  нулю. В противном случае электроны придут в  r  движение под действием силы  F , по проводнику  потекут токи.  Итак,  E  = 0 внутри проводника.  r  Рис. 32  С другой стороны E =  -grad j , то есть потенциал  во всех точках проводника должен быть  постоянным ( grad(const) º 0 ): j = const во всех точках проводника.  В силу постоянства потенциала во всех точках проводника (в частности, и на его  поверхности) силовые линии электростатического поля должны всегда быть  перпендикулярны поверхности проводника (рис. 32).  Заметим, что поле, созданное заряженным проводником с заданным потенциалом, можно  описать с помощью функции j – потенциала электростатического поля. В силу теоремы  единственности (см.п 3.3.9) для j распределение избыточного заряда по поверхности  r  проводника также является единственным, так как между полем  E , созданным зарядом,  распределенным по поверхности проводника и потенциалом j имеется однозначная связь: r  E =  -Ñj .  3.5.2. Поле вблизи поверхности заряженного проводника. 

Поскольку  E  = 0 внутри проводника, то и плотность избыточного заряда внутри проводника  равна нулю. Это прямо следует из теоремы Гаусса:  r r  =  -e 0 div E = 0 ,  в силу равенства нулю Е.  Избыточные заряды распределяются только по  поверхности проводника с поверхностной плотностью  заряда s, которая в общем случае может быть разной в  разных точках поверхности.  r  Найдем поле  E вблизи участка поверхности проводника  с плотностью заряда s, применив теорему Гаусса. В  качестве гауссовой поверхности выберем маленький  цилиндр с боковой поверхностью, перпендикулярной  поверхности проводника, и торцевыми поверхностями  площадью DS, одна из которых находится внутри  Рис. 33 проводника, а вторая (параллельная  в данном месте  поверхности проводника) – вблизи поверхности  проводника (рис. 33). Тогда,  r  r sD   S  ,  ò Ed S  =

e0

r  r но  ò Ed S  = E × DS , так как поток через боковую поверхность и DS, находящуюся внутри  проводника, равен нулю. Таким образом,  ED S  =

s DS  s , или  E  =  .  e0 e0

Поле вблизи поверхност и заряж енного проводника пропорционально  поверхност ной плот ност и заряда.  3.6.  Элект рическая емкост ь. Конденсат оры .  3.6.1. 

Рассмотрим проводник, заряженный до заряда  q  > 0 , и удаленный от других тел и зарядов.  Если мы попытаемся увеличить заряд этого проводника на величину Dq, то мы должны  издалека (из бесконечности) перенести заряд Dq на поверхность поводника (рис. 34).  r  r  При этом на перемещении  dr  мы должны совершить работу  dA ¢  против силы  F рез  ,  действующей на Dq состороны зарядов, распределенных по проводнику: 

Рис. 34

r r d A ¢ = - dA = - F рез × d r  ,  r  где dA – работа силы  F рез  .  r  Сила  F рез  – сила отталкивания, совершаемая ею работа отрицательна (сравните с работой  r  силы  mg  при подъеме тела), что ведет к росту потенциальной энергии системы q, Dq: D A ¢ = U П  - U ¥ = DU  = Dq (j П  - j ¥ ) (59)  где  UП  – потенциальная энергия системы в тот момент, когда Dq достигает поверхности  проводника.  U ¥  = 0 – потенциальная энергия системы при бесконечно большом расстоянии Dq от q,  когда потенциал поля заряда q  j ¥  = 0 .  После переноса заряда Dq из бесконечности на поверхность проводника увеличивается  r  поверхностная плотность заряда s и образуемое этим зарядом поле  E . Но, значит,  r  увеличивается и сила  F рез  действующая на очередную порцию заряда Dq, а работа по  переносу Dq из бесконечности на проводник – растет потенциал проводника. В частности,  r  r  если заряд проводника увеличивается вдвое, то вдвое возрастает и s, и  E , и  F рез  , то есть  вдвое увеличивается потенциал. В общем случае увеличение заряда в n раз ведет к  увеличению потенциала в n раз – заряд проводника и его потенциал пропорциональны друг  другу: q = C j .  (60)  Коэффициент пропорциональности, как и положено, не зависит ни от q, ни от j, а  определяется только размерами и формой проводника. Формула (60) служит определением  этого коэффициента, который называют элект рической емкост ью проводника: q  C  =  ,  (61)  j если заряд проводника равен q, а его потенциал j, то их отношение и определяет  электрическую емкость данного проводника. 

Например, из формулы для потенциала заряженного проводящего шара радиуса r  q  j = 4pe 0 r  сразу следует, что его электрическая емкость  q  C  =  = 4pe 0 r ,  (62)  j то есть емкость проводящего шара пропорциональна его радиусу.  В системе СИ для единицы электрической емкости придумано специальное наименование  Кл  ФАРАДА ( Ф =  ). В соответствии с формулой (62) емкость шара с радиусом 90см равна:  В  9 × 10 - 1 С  @ = 10 -10  ( Ф ) = 100 ( пФ ) ,  9  9 ×10  где  1 пФ = 10 -12 Ф  (пФ – пико Фарада).  Из приведенного примера видно, что даже большие по размерам уединенные проводники  обладают небольшими емкостями.  Для повышения емкости нужно добиться снижения потенциала проводника при том же  сообщенном ему заряде. Так как емкость определяется размерами и формой проводника, то  снижение потенциала (или работы по переносу единичного заряда из бесконечности на  проводник) можно осуществить, располагая рядом с данным проводником другой  проводник, например, не заряженный (рис. 35).  На той части поверхности поднесенного незаряженного проводника, которая обращена к  заряженному положительно проводнику, появляется (индуцируется) отрицательный заряд,  на который "замыкается" часть силовых линий поля заряженного проводника. Так как общий  заряд двух проводников остался неизменным, то отмеченное перераспределение заряда  приведет к увеличению поверхности, по которой распределен заряд q (теперь элементарные  силы отталкивания, действуют на Dq не только со стороны заряженных элементов  поверхности первого проводника, но и со стороны части поверхности поднесенного  r  проводника), что ведет к уменьшению  F рез  , а, следовательно, и работы по переносу Dq из  бесконечности на поверхность заряженного проводника – потенциал заряженного  проводника снижается ( j¢ < j ), а емкость, соответственно, растет.

Рис. 35 

Можно поступить более радикально – поднести к заряженному проводнику проводник с  равным по величине, но противоположенным по знаку зарядом. В этом случае все силовые  линии первого проводника "замкнутся" на поверхности поднесенного проводника, то есть 

Рис. 36 

поле вдали от системы из двух проводников окажется практически нулевым (рис. 36).  Это приводит к еще большему снижению потенциала ( j¢ ¢ < j¢ < j ) и росту емкости.  Практически для существенного повышения емкости применяют конденсат ор – систему из  двух противоположно заряженных проводников, электрическое поле которых практически  полностью заключено в пространстве между проводниками.  Рассмотрим самый простой по устройству плоский конденсатор (рис. 37).  Плоский конденсатор представляет  собой конструкцию из двух  достаточно больших (по сравнению  с расстоянием между ними)  пластин. При этом можно  пренебречь краевыми эффектами –  выходом части силовых линий в  пространство вне объема между  пластинами – практически все  электрическое поле замкнуто в этом  объеме. Увеличение величины  Рис. 37 зарядов на пластинах на dq можно  произвести, перенося из  бесконечности заряды +dq и –dq  соответственно на положительно и отрицательно заряженные пластины. Совершаемая при  этом работа 

d A ¢ = dA +  + dA - = + dq × j + - dq × j - = dq × Dj ,  где Dj = j + - j - – разность потенциалов (напряжение U) между пластинами.  Как видно из последней формулы, совершаемая работа dA совпадает с работой по переносу  заряда +dq с отрицательно заряженной пластины на положительную. Вся работа по переносу  dq производится внутри конденсатора на пути от отрицательно заряженной пластины к  положительной, при этом (см. формулу (60))  q = C × Dj = CU  ,  (62)  где Dj = j + - j - – разность потенциалов (напряжение U) между пластинами*) .  Получим формулу для расчета емкости плоского конденсатора. Для этого нужно  воспользоваться соотношением (62), в котором q и U нужно выразить через параметры,  определяющие поле внутри плоского конденсатора:  q = s  × S ,  E  = 

s ,  U =  E × d  ,  e0

где s – поверхностная плотность заряда,  S – площадь пластин конденсатора,  E – напряженность поля внутри конденсатора,  d – расстояние между пластинами (обкладками).  Имеем,  e S  q  sS  sS  C  =  = = = 0  .  (63)  U  E × d  æ s ö d  ç ÷d  çe ÷ è 0ø Конденсатор из пластин размерами 10´10см 2  и расстоянием между ними d = 0,885мм (около  1 мм) имеет ту же емкость, что и металлический шар радиусом 1м. (см. предыдущий  пример). 3.6.2. Соединение конденсаторов. 

В радио­ и электротехнических цепях конденсаторы могут образовывать различные  фрагменты, отличающиеся способом соединения конденсаторов между собой.  Часто бывает необходимо найти общее (эквивалентное) значение емкости такого фрагмента  – найти емкость конденсатора, которым можно заменить анализируемый фрагмент цепи без  изменения параметров (токов, потенциалов) участков цепей, соединенных с фрагментом.  Рассмотрим два типа соединений конденсаторов достаточно простых для анализа.  Параллельное соединение конденсаторов. 

Пусть участок (фрагмент) цепи состоит из N различных по емкости конденсаторов, обкладки  которых подсоединены к двум точкам с потенциалами jА и jВ  так как показано на рис. 38а.  Такое соединение называют параллельным. Его характерный признак – общее напряж ение  U ( U = j A  - j B  ) на всех соединенных элементах. Заряд  на каждом конденсаторе можно определить по  формуле (62):  q1  = C 1  × U  ,  q 2  = C 2  × U , …  q N = C N  × U  .  Мы хотим заменить N конденсаторов одним, который,  находясь под напряжением U, имел бы заряд  q = q 1  + q 2  + K  + q N  (рис. 38б). Последнее равенство  можно переписать:

*) 

В случае уединенного проводника q  = C j , где j можно (и нужно) понимать как разность  а) 

потенциалов поля на поверхности проводника (j) и на бесконечности ( j ¥  = 0 ) 

б) 

Рис. 38

q  = C 1 U  + C 2 U  + K  + C NU  = (C 1  + C 2  + K + C N  )U  . 

Это означает, что конденсатор с емкостью  C общ  = C 1  + C 2  + K  + C N 

(64)  при подаче на него напряжения U заряжается до заряда q, что и требовалось.  Если параллельно соединены N одинаковых конденсаторов каждый емкостью С, то  эквивалентная емкость:  C общ =  N × C .  Последовательное соединение конденсаторов. 

Пусть имеется N конденсаторов, обкладки которых соединены так, как показано на рис. 39а.  Такое соединение конденсаторов называют последовательным. Характерным признаком  последовательного соединения является общий (единый) ток I (в нашем случае это ток  заряда конденсаторов, возникающий в момент замыкания ключа, см. рис. 39а) для всех  последовательно соединенных элементов цепи. Один и тот же ток, в течение времени заряда  tзар  (общего для всех конденсаторов) сообщает обкладкам конденсаторов один и тот же  заряд. 

Рис. 39 а) 

б)

Действительно, изменение заряда на обкладках за время dt при токе I(t)  dq =  I (t ) dt ,  а за все время заряда tзар  заряд на каждом из конденсаторов достигает величины: t за р 

q  =  ò I ( t ) d ,  0 

одинаковой для всех конденсаторов.  При последовательном соединении напряжение на всей цепочке конденсаторов складывается  из напряжений на каждом из них:  U AB  = j A  - j B  = U 1  + U 2  + U 3  + K  + U N  ,  где  U 1 = j A  - j1 ,  U 2 = j1  - j 2 ,  U 3 = j 2  - j 3  , …  U N  = j N -1  - j B  .  Эквивалентный конденсатор (рис. 39б) при включении между точками А и В должен  находится под напряжением UАВ  и иметь заряд q. æ 1  1  q  q  q  q  1  ö ÷ ,  U AB  =  = + + L  + = q çç + +L + C общ  C 1 C 2  C N  C N  ÷ø è C 1  C 2  то есть 

1  1  1  1  = + + L  + .  (64)  C общ  C 1 C 2  C N 

3.7.  Диэлект рики в элект рическом поле.  Идеальным диэлектриком (диэлектриком) называют вещества, не проводящие  электрического тока. Это свойство диэлектриков обусловлено отсутствием в его структуре  зарядов, способных свободно перемещаться внутри или на поверхности диэлектрика под  действием приложенного электрического поля (отсутствие свободных зарядов). 

Заряды, входящие в структуру диэлектрика, образуют либо нейтральные молекулы, либо  ионы, находящиеся в узлах кристаллической решетки. Под действием внешнего  r  электрического поля  E 0  эти заряды могут лишь смещаться на незначительные расстояния  относительно соответствующего узла кристаллической решетки, что приводит к так  называемой поляризации диэлектрика.  3.7.1. Поляризация диэлектриков. 

Молекулы, составляющие структуру диэлектрика могут быть неполярными или  r  полярными. У неполярных молекул в отсутствие электрического поля  E 0  "центры тяжести"  отрицательного (электронная оболочка) и положительного (ядро) зарядов совпадают, т.е.  неполярная молекула в отсутствие поля не обладает электрическим дипольным моментом  r  d e  = 0 . При воздействии на такую молекулу электрического поля  E 0  положительный и  отрицательный заряды смещаются – первый в направлении поля, второй в противоположном  направлении – образуется электрический диполь ( d e  ¹ 0 ).  Полярные молекулы даже в отсутствие внешнего электрического поля обладают дипольным 

а) неполярная молекула 

б) полярная молекула 

в) неполярный диэлект рик 

г ) полярный диэлект рик  Рис. 40 

моментом – "центры тяжести" положительного и отрицательного зарядов смещены друг  относительно друга. При действии на такие молекулы электрическим полем происходит  преимущественная ориентация молекулярных дипольных моментов в направлении поля.  Сказанное иллюстрируется рисунком (рис. 40). Отметим, что встречающиеся в различных  технических устройствах, в экспериментальных установках электрические поля много  меньше электрических полей в атомах и молекулах, поэтому смещение зарядов, о которых  мы говорили выше, значительно меньше  размеров атомов и молекул (т.е. невелики).  3.7.1.1. 

Если диэлектрик однороден, то плотность  отрицательного и положительного  зарядов, входящих в состав молекул  (связанные заряды), одинаковы в любом  небольшом объеме внутри диэлектрика  (любой объем диэлектрика – нейтрален).  При помещении такого диэлектрика во  r  внешнее электрическое поле  E 0  ,  положительные заряды, как уже  отмечалось, смещаются по направлению  r  поля  E 0  , а отрицательные – в 

Рис 41 а) 

б) 

Рис 42 а) 

б)

противоположном направлении. При этом объем диэлектрика остается нейтральным, а на  поверхности выступает так называемый поляризационный заряд  q ¢  (рис. 38а).  Поляризационный заряд  + q ¢ и  - q ¢ , выступивший на поверхности поляризационного  r  диэлектрика образует электрическое поле поляризационных зарядов  E ¢ , направленное  r  r r r противоположно внешнему полю  E 0  . Сумма этих полей  E =  E ¢ + E 0  – это результирующее  r  r  поле в диэлектрике (в силу противоположной взаимной ориентации  E 0  и  E ¢ r  r  результирующее поле  E по величине всегда меньше поля  E 0  ), см. рис. 42.  r 3.7.2. Вектор поляризации  P . 

Так как поляризованный диэлектрик построен из электрических диполей, то в качестве  количественной характеристики поляризации естественно выбрать дипольный момент  единицы объема диэлектрика – векторную сумму всех молекулярных диполей, входящих в  этот объем:  DN  r d ei r  å i =1 P  = ,  (65)  DV  где DN – число молекул, попавших в объем DV.  Если воспользоваться определением среднего дипольного момента молекулы:  DN  r d ei  å r  i =1 < d e >= ,  DN  DN  r  r r  то  å d ei =< d e  > ×DN , а формула определяющая вектор поляризации  P , может быть  i =1 

записана в виде:  r r r  < d e > DN  P  = =< d e  > n ,  (66)  DV  DN  где  n =  – концентрация молекул в диэлектрике.  DV  Прил. 3.7.2.1. 

r  Средний дипольный момент в направлении поля  E 0  одной молекулы (как полярной, так и  неполярной) пропорционален величине этого поля:  r r < d e >= e 0 c d E .  r  Здесь,  E – результирующее поле в диэлектрике,  c d – так называемая диэлектрическая восприимчивость молекулы.  Для неполярных молекул  c d характеризует "жесткость" связи положительного и  отрицательного зарядов по отношению к взаимному смещению, для полярных –  r  r  "податливость" по отношению к повороту  d e  в поле  E 0  (чаще всего причиной  r  r  препятствующей ориентации  d e  вдоль  E 0  является тепловое движение молекул). При этом:  r r P  = e 0 c d n × E .  (67)  r 3.7.3. Вектор электрического смещения  D . 

r r r Как уже отмечалось, результирующее поле в диэлектрике  E =  E ¢ + E 0  . Источниками  r  внешнего поля  E 0  являются внешние по отношению к диэлектрику (свободные) заряды.  r  Источником поля  E ¢ является поляризационный заряд. Искать  q ¢  – задача сложная, нужно

знать структуру диэлектрика и уметь  количественно описывать поляризационные r  свойства молекул. Для облегчения расчета  E в диэлектрике в физике вводят вектор  r  электрического смещения r D . Мы получим  r  r  формулу, связывающую  D ,  E и  P для  диэлектрического образца простой формы,  когда торцевые (перпендикулярные полю  r  E 0  ) поверхности перпендикулярны  r  внешнему полю  E 0  (см. рис. 43), а их  Рис. 43 площади одинаковы и равны S.  Заряд  q ¢ , выступивший на верхней границе  образца:  q ¢ = q × n × S × l ,  где  n – концентрация молекул в диэлектрике;  S – площадь верхней грани образца;  l – среднее плечо молекулярного диполя – толщина слоя диэлектрика, отдавшего  положительный заряд верхней грани;  q – величина положительного (и отрицательного) заряда молекулы.  Но  < d e >= q × l , а  < d e > ×n = P , то есть  q ¢ = P × S .  Поверхностная плотность поляризационного заряда:  q¢ s ¢ P  s ¢ = = P ; а  E ¢ = = S  e 0 e 0 

r  Величина поверхност ной плот  ност и поляризационного заряда совпадает  с модулем  P .  r  r  С учетом взаимной ориентации векторов  E ¢ и  P (см. рис. 43):  r r P  E ¢ = - ,  e 0 r  а формула для  E rможет быть записана в виде:  r r r r r P  или  e 0 E + P  = E 0  × e 0  E =  E 0 e 0  Замечание: 

последние три формулы верны только для выбранной нами специальной формы образца.  Левую часть последнего равенства с учетом (67) запишем в виде: r r r r r D = e 0 E + e 0 cn E  = e 0 (1 + cn ) E  = e 0 eE .  (68)  Здесь,  e = 1 + cn – так называемая диэлектрическая проницаемость диэлектрика, она  определяется кристаллической структурой образца (n) и свойствами молекул ( c).  r  D – вектор электрического смещения.  Замечание: 

r r Формула (68)  D = e 0eE  справедлива, как показывает опыт, всегда.  r 3.7.4. Теорема Гаусса для вектора  D . 

r  Если применить к вектору  D теорему Гаусса для случая выбранной нами выше формы  образца, то 

( своб .)  r  r r r e 0 q внут ри  ( своб .)  D d  S  = e E  d  S  = = q внут 0 ò 0  ри  ò

e 0 

(69). 

r  Последняя формула, как показывает опыт, верна всегда – пот ок вект ора  D через  замкнут ую поверхност ь равен алгебраической сумме свободных зарядов, оказавшихся  внут ри данной поверхност и.  r  r  Из формулы (68) видно, что в изотропных диэлектриках векторы  D и  E коллинеарны. Поле  r  r  r  r  вектора  D (как и поле  E 0  или  E ) можно изобразить графически в виде линий вектора  D .  r  Однако, если линии  E могут начинаться как на свободных, так и на поляризационных  r  (связанных) зарядах, то линии  D начинаются (или заканчиваются) только на свободных  r  зарядах. Это непосредственно следует из теоремы Гаусса для  D , записанной в  дифференциальной форме:  r  r divD  º ÑD  = r (своб .)  где  r (своб.)  – плотность свободного заряда.  3.7.5. Диэлектрическая проницаемость однородного диэлектрика. 

Обратим внимание, что в случае однородного диэлектрика у диэлектрической  проницаемости обнаруживается простой физический смысл – она показывает во сколько раз  электрическое поле, созданное свободными зарядами, уменьшается после заполнения  пространства, где существует поле, диэлектриком с диэлектрической проницаемостью e.  Действительно,  e cnE  P  E =  E 0 = E 0  - 0  ,  e 0  e 0  E 0  или = 1 + cn = e .  E  r r 3.7.6. Применение  D к расчету поля  E . 

r  r  Введение вектора  D значительно упрощает задачу расчета поля  E в случае однородных  диэлектриков:  r  1)  рассчитывается поле вектора  D , определяемое (в нашем случае) свободными  зарядами;  r  2)  находится вектор  E по формуле (68): r r D  .  E =  e 0 e Замечание: 

r  r  Кажущаяся простота определения  E через  D связана с тем, что используется  диэлектрическая проницаемость e. Но следует помнить, что за таблицами e стоят  многочисленные эксперименты по определению e для различных диэлектриков.  3.7.7. Влияние диэлектрика на емкость. 

Мы пришли к выводу, что, если однородный диэлектрик заполняет пространство, занятое  полем свободных зарядов, то напряженность E уменьшается в e раз по сравнению с E0. Но  это означает, что во всех точках поля потенциал уменьшается в e раз (ведь потенциал  r  определяется работой сил поля  E по переносу единичного заряда из точки, где Е = 0  (например, из бесконечности), в данную точку поля). То же можно сказать и о разности

потенциалов, например, между обкладками конденсатора. Но тогда при том же самом  свободном заряде на обкладках емкость увеличивается в e раз: q ( своб .)  C ¢ = = C  × e .  (U  e ) 0  U  Здесь, – разность потенциалов между обкладками в присутствии диэлектрика,  e  C0  – емкость конденсатора в отсутствие диэлектрика.