Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 2. Многочлен Ньютона

М И Н И СТ Е РСТ В О О БРА ЗО В А Н И Я РО ССИ Й СК О Й Ф Е Д Е РА Ц И И В О РО Н Е Ж СК И Й ГО СУ Д А РСТ В Е Н Н Ы Й У Н И В Е РСИ Т Е Т Ф акультетп рикладной математики, информатикиимеханики

ГУ Д О В И ЧН .Н .

И ЗБРА Н Н Ы Е В О ПРО СЫ К У РСА ЧИ СЛЕ Н Н Ы Х М Е Т О Д О В

В ы п уск 2. М ногочлен Н ью тона.

В О РО Н Е Ж 2002

2 0

1 . Понятиеразделённой разности. Пусть

x0 , x1 , ... , xn

(1.1)

-узлы интерп оляции. Представлениеинтерп оляционного многочлена pn( x;f ) в видемногочлена Лагранж а n

∏( x − x j ) pn ( x; f ) =

j =0 j≠k n

n

∑ f ( xk )

k =0

( 1.2 )

∏ ( xk − x j ) j =0 j≠k

есть разлож ениеинтерп оляционного многочленап о б азису из многочленов n – ой степ ени n

∏( x − x j ) lk ,n =

j =0 j≠k n

,

k = 0 ,1, ... , n

;

( 1.3 )

∏ ( xk − x j ) j =0 j≠k

роль коэ ффициентов п ри б азисны х функциях (1.3) в э том разлож ении играю т значения f(xk) интерп олируемой функции f . Представлениеинтерп оляционного многочлена pn( x;f ) в видеразлож ения п о другому б азису в п ространствемногочленов степ ениневы ш е n , аименно п о б азису, состоящ ему из многочленов

1 , ( x-x0 ) , ( x-x0 )( x-x1 ) , ... , ( x-x0 )( x-x1 )...( x-xn-1 ) ,

(1.4)

даётмногочлен Н ью тона

pn( x;f )=f( x0 ) + f( x0 , x1 )( x-x0 ) + f( x0 , x1 , x2 )( x-x0 )( x-x1 ) + ... + + f( x0 , x1 , ... , xm )( x-x0 )( x-x1) ... ( x-xm-1 ) + ... ...+ f( x0 , x1 , ... , xn )( x-x0 )( x-x1)...( x-xn-1 ) ;

(1.5)

3

числовой коэ ффициентп ри m –той ( m = 0 ,1, ... n ) б азисной функции (1.4)

( x-x0 )( x-x1 )...(x-xm-1 ) , об означенны й здесь символом

f( x0 , x1 , ... , xm ) ,

(1.6)

назы вается разделённой разностью m – го п орядкав узле x0 . Э тавеличина п олностью оп ределяется значениямифункции f в узлах x0 , x1 , ... , xm , что и отраж ено в об означении. Д остоинство п редставления (1.5) состоит, в частности, в том, что п ри доб авлении к груп п е узлов (1.1) доп олнительного узла xn+1 для п олучения многочлена pn+1( x; f ) к сумме (1.5) п ридётся лиш ь доб авить доп олнительное слагаемое

f( x0 , x1 , ... , xn , xn+1 )( x-x0 )( x-x1 )...( x-xn-1 )( x-xn ) , тогда как для многочлена Лагранж а (1.2) наряду с п риб авлением доп олнительного слагаемого п ридётся менять и дроб и, фигурирую щ ие в сумме

(1.2). У каж ем об щ ий п ринцип конструирования разделённы х разностей от функции, заданной таблицей своих значений в узлах (1.1) ; из э того п ринцип а б удетследовать исп особ вы числения коэ ффициентов (1.6) разлож ения (1.5).

Т аблиц а 1. у злы З н ач ен ия ф у н кц ии

x0 f( x0 )

x1 f( x1 )

. . . . . . . . . .

xn f( xn )

Разделённы е разностиоп ределяю тся индуктивно: разделённая разность mтого п орядкавы раж ается через разделённы еразностип редш ествую щ его (m-1)-го п орядка. Разделённой разностью 0-го п орядкав узле xk ( k=0,1, ... ,n ) назы вается значение f( xk ) функции f в э том узле. Т аким об разом, имеем n+1 разделённы хразностей 0-го п орядка:

f( x0 ) , f( x1 ) , ... , f( xn ) .

(1.7)

4

Разделённая разность 1-го п орядкав узле xk ( k=0,1, ... ,n-1 ) об означается символом

f( xk , xk+1 )

(1.8)

и вы раж ается через разделённы е разности 0-го п орядкав узлах xk , xk+1 п о формуле

f( xk , xk+1 ) = ( f( xk ) – f( xk+1 ) ) / ( xk – xk+1 ) .

(1.9)

Т аким об разом, п ри п остроении разделённой разности (1.8) б ерётся разность разделённы х разностей (1.7) п редш ествую щ его п орядкав узлах xk , xk+1 и делится на разность аргументов разделённой разности (1.8); отсю да и п роисхож дениетермина– « разделённая разность». В сего имеется n разделённы хразностей 1-го п орядка:

f( x0 , x1 ) = ( f( x0 ) – f( x1 ) ) / ( x0 – x1 ) , f( x1 , x2 ) = ( f( x1 ) – f( x2 ) ) / ( x1 – - x2 ) , ... , f( xn – 1 , xn ) = ( f( xn – 1 ) – f( xn ) ) / ( xn – 1 – xn ) . Разделённая разность 2-го п орядка в узле xk об означается символом

( k = 0,1, ... ,n – 2 )

f( xk , xk+1, xk+2 ) .

(1.10)

Д ля п остроения э той разности б ерём разность разделённы х разностей 1-го п орядкав узлах xk , xk+1 иделим её наразность крайних аргументов величины (1.10):

f( xk , xk+1 , xk+2 ) = ( f( xk , xk+1 ) – f( xk+1 , xk+2 ) ) / ( xk – xk+2 ) . В сего имеем n – 1 разделённы хразностей 2-го п орядка:

f( x0 , x1 , x2 ) = ( f( x0 , x1 ) – f( x1 , x2 ) ) / ( x0 – x2 ) , f( x1 , x2 , x3 ) = ( f( x1 , x2 ) – f( x2 , x3 ) ) / ( x1 – x3 ) , ... , f( xn – 2 , xn – 1 , xn ) = ( f( xn – 2 , xn – 1 ) – f( xn – 1 , xn ) ) ( xn- 2 – xn ) . В об щ ем случае, разделённая разность m-того п орядка ( m=1,2, ... ,n ) в узле xk ( k=0,1, ... , n – m )

f( xk , xk+1 , ... , xk+m )

(1.11)

5

следую щ им об разом вы раж ается через разделённы еразности (m–1)-вого п орядка в узлах xk , xk+1 :

f(xk , xk+1 , ... , xk+m)=( f( xk , xk+1 , ... , xk+m – 1 )- f( xk+1 , xk+2, ... , xk+m ) ) / (xk – xk+m ) .

(1.12)

Следует отметить, что в знаменателе дроб и (1.12) фигурирует разность крайних аргументов разделённой разности (1.11), а в числителе – разность разделённы хразностей (m-1)-го п орядкав соседних узлах xk , xk+1 . В сего имеем n-m+1 разделённы хразностей m – того п орядка:

f(x0 , x1 , ... , xm ) = ( f(x0 , x1 , ... , xm – 1 ) – f(x1 , x2 , ... , xm )) / (x0 – xm ) , f(x1 , x2 , ... , xm+1 ) = ( f(x1 , x2 , ... , xm ) – f(x2 , x3 , ... , xm+1 )) / (x1 – xm+1 ) , ... , f(xn – m , xn – m+1 , ... , xn ) = ( f(xn – m , ... , xn – 1 ) – f(xn – m+1 , ... , xn )) / (xn – m – xn ). К оличество n-m+1 разделённы х разностей m-того п орядкадля функции f, заданной Т аблиц ей 1, п риувеличениип орядкаразделённой разности m уб ы вает от n+1 п ри m=0 до 1 п ри m = n; таким об разом, имеем лиш ь одну разделённую разность n-го п орядка:

f(x0 , x1 , ... , xn ) = ( f(x0 , x1 , ... , xn –1) – f(x1 , x2 , ... , xn )) / (x0 – xn ) . Чтоб ы п олучить разделённы е разности б олее вы сокого п орядка, в Т аблиц у 1 следуетдоб авить доп олнительны еузлы . Разделённы е разности для функции f, заданной Т аблиц ей 1, удоб но зап исы вать в виде таблицы :

Т аблиц а 2. x0 x1 x2 x3 ... xn-2 xn-1 xn

f(x0 ) f(x1 ) f(x2 ) f(x3 ) ...

f(xn-2 ) f(xn-1 ) f(xn )

f(x0 ,x1 ) f(x1 ,x2 ) f(x2 ,x3 ) f(x3 ,x4 ) ... f(xn-2,xn-1 ) f(xn-1 ,xn ) -

f(x0 ,x1 ,x2 ) f(x1 ,x2 ,x3 ) f(x2 ,x3 ,x4 ) f(x3 ,x4 ,x5 ) ... f(xn-2 ,xn-1 ,xn ) -

... ... ... ... ... ... ... ...

f(x0 , ... ,xn-1 ) f(x1 , ... ,xn )

f(x0 , ... ,xn ) -

...

... -

-

6

Первы е две левы е колонки э той таб лицы составлены из заданны х величин xk , f(xk ), аэ лементы п оследую щ их колонок вы числяю тся п о э лементам п реды дущ ей колонкисогласно формулам (1.12). СтрокаТ аблиц ы 2, отвечаю щ ая узлу x0 , содерж ит коэ ффициенты (1.6) разлож ения (1.5); чтоб ы п оказать, что п ри п одстановке э тих коэ ффициентов в разлож ение (1.5) действительно п олучается интерп оляционны й многочлен, нам п ридётся установить некоторы есвойстваразделённы хразностей. 20. Свойстваразделённы х разностей. Т еорема2.1. Разделённая разность (1.12) m-того ( m=1,2, ... ,n ) п орядкав узле xk ( k=0,1, ... ,n – m ) есть линейная комб инация

f ( x k , xk + 1 , ... , xk + m ) =

k +m

1 f ( xi ) k + m i=k ∏ ( xi − x j )

∑

( 2.1 )

j =k j ≠i

значений

f(xk ) , f(xk+1 ) , ... , f(xk+m ) функции f в узлах

xk , xk+1 , ... , xk+m ,

(2.2)

п ричём коэ ффициентэ той линейной комб инациип ри f(xi ) есть дроб ь, числитель которой равен 1, азнаменатель п олучен вы читанием из узла xi остальны х узлов (2.2) ип еремнож ением э тихразностей. Замечание 2.2. Д ля указанны х знаменателей исп ользую тся и б олее наглядны еоб означения: k +m

∏ ( xi − x j j =k j ≠i

) = ( xi − xk )( xi − xk + 1 ) ...( xi − xi −1 )( xi − xi +1 ) ...( xi − xk + m ) , ( 2.3 )

которы е п ри k < i < k+m следует п онимать б уквально, ап ри i=k и i=k+m – считать символическим об означением п роизведений:

(xk – xk+1 )(xk – xk+2 ) ... (xk – xk+m ) ,

(2.4)

7

(xk+m – xk )(xk+m – xk+1 ) ... (xk+m – xk+m-1 ) ;

(2.5)

в об означениях (2.3) формула (2.1) п риметвид:

f ( xk , xk +1 , ... , xk + m ) =

k +m

∑

i =k

f ( xi )

1 . ( xi − xk )...( xi − xi −1 )( xi − xi +1 )...( xi − xk + m ) (2.6)

Д оказательство теоремы 2.1. Д ля разделённы х разностей 1-го п орядка сп раведливость теоремы неп осредственно усматривается из формулы (1.9), если п ереп исать её в виде

f(xk ,xk+1 )= f(xk ) / (xk – xk+1 )+ f(xk+1 ) / (xk+1 – xk ). Пусть п редставления (2.1) имею тместо для разделённы х разностей (1.12) m-того п орядка. Покаж ем, что тогда они имею т место и для разделённы х разностей (m+1)-вого п орядка. Э тот факт мы установим для разделённой разности (m+1)-вого п орядкав узле x0 :

f ( x0 , x1 , ... , xm + 1 ) =

m +1

∑

i =0

f ( xi ) m + 1

1

;

( 2.7 )

∏ ( xi − x j ) j =0 j ≠i

для остальны х узлов рассуж дения аналогичны . И сп ользуя оп ределение разделённой разностиип редп олож ение индукции, б удем иметь:

f ( x0 , x1 , ... , xm , xm + 1 ) =

f ( x0 , x1 , ... , xm ) − f ( x1 , x2 , ... , xm +1 ) = x0 − xm +1

m m +1 1 1 1 = ( ∑ f ( xi ) m − ∑ f ( xi ) m + 1 ); x0 − xm + 1 i =0 ∏ ( xi − x j ) i =1 ∏ ( xi − x j ) j =0 j ≠i

j =1 j ≠i

отсю да, вы деляя из п ервой суммы слагаемое с i=0 , аиз второй – с i= m+1 , и зап исы вая их с исп ользованием об означений (2.4),(2.5), п олучим:

8

f ( x0 ,x1, ...,xm+1 ) = m

1 1 ( f ( x0 ) + ( x0 − xm+1 ) ( x0 − x1 )( x0 − x2 )...(x0 − xm ) 1

1 1 ] − f ( xm+1 ) )= − m+1 ( xm+1 − x1 )...(xm+1 − xm ) ∏ ( xi − xj ) ∏( xi − xj )

+ ∑ f ( xi ) [ m i=1

j=0 j ≠i

j=1 j ≠i

m 1 1 1 [ m − = f ( x0 ) + ∑ f ( xi ) ( x0 − x1 )( x0 − x2 )...(x0 − xm )( x0 − xm+1 ) i=1 ( x0 − xm+1 ) ∏ ( xi − xj ) j=0 j ≠i

− m+1

1

∏ ( xi − xj )

] + f ( xm+1 )

1 . ( xm+1 − x0 )( xm+1 − x1 )...(xm+1 − xm )

( 2.8 )

j=1 j≠i

К райние слагаемы е суммы (2.8) есть в точностислагаемы е суммы (2.7), отвечаю щ ие соответственно значениям индексасуммирования i=0 и i=m+1. Покаж ем, что ип ри 0 < i < m+1 слагаемы есумм (2.7),(2.8) совп адаю т. Поскольку п ри 0 < i < m+1 знаменатель п ервой дроб и в квадратны х скоб ках заведомо содерж ит множ итель xi – x0 , а знаменатель второй – множ итель xi – xm+1 : m

m

∏( xi − x j ) = ( xi − x0 ) ∏( xi − x j ) , j =0 j ≠i

j =1 j ≠i

m +1

∏( xi − x j ) = ( j =1 j ≠i

m

∏( xi − x j ) )( xi − xm+1 ) j =1 j ≠i

для коэ ффициентап ри f(xi) в (2.8) имеем значение

1 [ x0 − xm + 1

1 m

( xi − x0 ) ∏ ( xi − x j ) j =1 j ≠i

=

1 x0 − xm +1

1 m

∏ ( xi − x j ) j =1 j ≠i

1

−

[

m

(

∏ ( xi − x j ) )( xi − xm +1 ) j =1 j ≠i

1 1 − ] = xi − x0 xi − xm + 1

] =

,

9

=

1 x0 − xm +1

1 m

∏ ( xi − x j )

xi − xm + 1 − xi + x0 = ( xi − x0 )( xi − xm + 1 )

j =1 j ≠i

1

= ( xi − x0 )(

=

m

∏ ( xi − x j ) )( xi − xm +1 ) j =1 j ≠i

1 m +1

;

∏ ( xi − x j ) j =0 j ≠i

аэ то в точностисовп адаетсо значением коэ ффициентап ри f(xi) в сумме (2.7). Т еоремадоказана. И з формулы (2.1) ( или, п ри других об означениях, из формулы (2.6) ) вы текаеточевидное Следствие 2.3. Д ля лю б ы х функций f , g и лю б ой константы λ сп раведливы равенства

( f+g )( xk ,xk+1 , ... ,xk+m ) = f( xk ,xk+1 , ... ,xk+m ) + g( xk ,xk+1 , ... ,xk+m ) , (λf)( xk ,xk+1 , ... ,xk+m ) = λf( xk ,xk+1 , ... ,xk+m ) . Д ругимисловами, разделённая разность суммы двух функций равнасумме разделённы х разностей слагаемы х, ап остоянны й множ итель мож но вы носить за знак разделённой разности; в э том отнош енииразделённы е разностианалогичны п роизводны м. Д алее, взгляд наформулы (2.1), (2.6) п риводитк вы воду, что узлы

xk ,xk+1 , ... ,xk+m ,

(2.9)

фигурирую щ иев качествеаргументов разделённой разности

f( xk ,xk+1 , ... ,xk+m ) , аб солю тно равноп равны , п оскольку слагаемы е сумм (2.1), (2.6), отвечаю щ ие узлу xi , об разую тся для всех i одинаковы м об разом: значение f(xi) делится на п роизведение, сомнож ители которого п олучаю тся вы читанием из узла xi всех остальны х узлов совокуп ности (2.9). Поэ тому, если узлы (2.9) расп олож ить в другом п орядке ( т.е. занумеровать их целы мичисламиот k до k+m п о другому ):

yk ,yk+1 , ... ,yk+m ,

(2.10)

10

ип редставить разделённую разность

f(yk ,yk+1 , ... ,yk+m ) согласно теореме2.1 в виде

f ( yk , yk + 1 , ... , yk + m ) =

m+k

∑

i=k

f ( yi ) m + k

1

,

∏ ( yi − y j ) j =k j ≠i

то п олучим сумму, которая отличается от суммы (2.1) лиш ь п орядком слагаемы х. А э то значит, что сп раведливо Следствие 2.4. Разделённая разность не меняется п ри п роизвольной п ерестановкесвоихаргументов. Следую щ ее утверж дение устанавливает важ ное свойство разделённы х разностей отмногочлена. Т еорема2.5. Разделённая разность n-го п орядка

p(x0 ,x1 , ... ,xn ) отмногочлена p степ ени ≤ n есть константа, однаитаж едля лю б ого наб ора узлов интерп оляции x0 ,x1 , ... ,xn , аразделённая разность (n+1)-вого п орядкап рилю б ы х узлах интерп оляцииравна нулю :

p(x0 ,x1 , ... ,xn ,xn+1 ) = 0 .

(2.11)

Д оказательство. Пусть x – п роизвольная точкавещ ественной оси, отличная от узла x0 . Считая x п еременны м узлом интерп оляции, составим разделённую разность 1 – вого п орядка

p(x, x0 ) = ( p(x) – p(x0 ) / (x – x0 ) .

(2.12)

Числитель нап исанной дроб и, рассматриваемы й как функция на всей вещ ественной п рямой, есть многочлен степ ениневы ш е n, об ращ аю щ ийся в нуль п ри x = x0 . Н о тогдап о теореме Безу э тот числитель мож но п редставить на вещ ественной п рямой в виде:

11

p(x) – p(x0 ) = ( x – x0 ) qn-1 (x) , где qn-1 (x) – многочлен степ ени не вы ш е n-1. Следовательно, дроб ь (2.12) совп адаетсо значением э того многочленав точке x:

p(x, x0 ) = qn-1(x)

для лю бого x ≠ x0 .

(2.13)

Д алее, считая х≠ x0 , x1 , составим разделённую разность 2 – го п орядка

p(x, x0 , x1 ) = ( p(x, x0 ) – p(x0 , x1 ) ) / ( x – x1 ) = ( qn-1 (x) – p(x0 , x1 ) / (x – x1 ) . Числитель п оследней дроб и, еслирассматривать его как функцию , заданную на всей вещ ественной оси, есть многочлен степ енине вы ш е n-1, об ращ аю щ ийся в силу равенства(2.13) иследствия 2.4 в нуль в точке x = x1 :

qn-1 (x1) – p(x0 , x1 ) = p(x1 , x0 ) – p(x0 , x1 ) = 0 . Применяя ещ ё раз теорему Безу, п риходим к вы воду, что для лю б ого x

qn-1 (x) – p(x0 , x1 ) = (x – x1 ) qn-2 (x) , где qn-2 – многочлен степ ениневы ш е n-2 . Следовательно,

p(x, x0 , x1 ) = qn-2 (x)

для лю бого x ≠ x0 ,x1 .

Продолж ая аналогичны е рассуж дения, в конце концов п ридём к вы воду о том, что значениеразделённой разности n – го п орядка

p(x, x0 , x1 , ... , xn-1 ) в лю б ой точке x ≠ x0 ,x1 , ... , xn-1 совп адает со значением в э той точке многочленаq0 нулевой степ ени, т.е. с константой:

p(x, x0 , x1 , ... , xn-1 ) = c = const

для лю бого x ≠ x0 ,x1 , ... ,xn-1 .

Приэ том для нахож дения э той константы достаточно п олож ить здесь x = xn ; с учётом следствия 2.4 тогдап олучим:

p(x, x0 , ... , xn-1 ) = p(x0 , x1 , ... , xn ) для лю бого x ≠ x0 ,x1 , ... ,xn-1 . Д окаж ем, что значение константы для лю б ого другого набораузлов

(2.14)

c не зависит от вы б ораузлов, т.е. что

12

y 0 ,y1 , ... ,yn сп раведливо равенство:

p(y0 ,y1 , ... ,yn ) = p(x0 ,x1 , ... ,xn ) . Поскольку п ереход от одного наб ораузлов к другому мож но осущ ествить п оследовательно, меняя накаж дом ш аге лиш ь один узел, достаточно доказать равенство разделённы х разностей для наб оров, у которы х n узлов являю тся об щ ими; п ри э том, п оскольку п еренумерация узлов не меняет значений разделённы х разностей , б ез ограничения об щ ности мож но считать, что отличны миявляю тся узлы с номером n :

xi = yi , i = 0, 1, ... , n - 1 , xn ≠ yn . А в э том случаедвукратноеисп ользованиеравенств тип а(2.14) даёт:

p(y0 ,y1 , ... ,yn ) = p(x,y0 ,y1 , ... ,yn-1 ) = p(x,x0 ,x1 , ... ,xn-1 ) = p(x0 ,x1 , ... ,xn ) . Н аконец, для разделённой разностип орядкаn+1 имеем:

p(x0 ,x1 , ... ,xn ,xn+1 ) = ( p(x0 ,x1 , ... ,xn ) – p(x1 ,x2 , ... ,xn+1 ) ) / (x0 - xn+1 ) = = ( c – c ) / ( x0 - xn+1 ) = 0 , что изаверш аетдоказательство. О тметим, что установленны етолько что свойстваразделённы х разностей от многочленап олностью аналогичны свойствам п роизводны х. 30. М ногочлен Н ью тона. Пусть x – точка, отличная отузлов интерп оляции:

x ≠ x0 , x1 , ... , xn . Рассматривая x как доп олнительны й узел интерп оляции, составим разделённую разность п ервого п орядка

f(x, x0 ) = ( f(x) – f(x0 ) ) / ( x – x0 )

13

ивы разим из неезначениефункции f в точке x:

f(x) = f(x0 ) + f(x ,x0 ) ( x – x0 ) .

(3.1)

Чтоб ы исклю чить отсю да f(x, x0 ), составим разделённую разность второго п орядка

f(x, x0 , x1 ) = ( f(x, x0 ) – f(x0 , x1 ) ) / ( x – x1 ) , вы разим отсю даf(x, x0 ):

f(x, x0 ) = f(x0 ,x1 ) + f(x, x0 , x1 ) ( x – x1 ) , ип одставим результатв (3.1). Получим:

f(x) = f(x0 ) + f(x0 , x1 )( x – x0 ) + f(x, x0 , x1 )( x – x0 )( x – x1 ) . Продолж ая аналогичны ерассуж дения, в концеконцов п ридём к формуле:

f(x) = f(x0 ) + f(x0 , x1 )( x –x0 ) + f(x0 , x1 , x1)( x – x0 )( x – x1 ) + ... + + f(x0 , x1 , ... , xk )( x – x0 )( x – x1 ) ... ( x – xk-1 ) + ... + + f(x0 , x1 , ... , xn )( x – x0 )( x – x1 ) ... ( x – xn-1 ) + + f(x , x0 , x1 , ... , xn )( x – x0 )( x – x1 ) ... ( x – xn ) .

(3.2)

Ф ормула (3.2) сп раведлива для лю б ой функции. Следовательно, аналогичноеравенство мож но нап исать и для интерп оляционного многочлена pn ( x ) = pn (x; f) ; п ри э том, п оскольку в силу теоремы 2.5 разделённая разность (n+1) – вого п орядка

pn (x , x0 , x1 , ... , xn ) отмногочленаpn степ ени ≤ n равнанулю , п оследнееслагаемоев формуле (3.2) окаж ется равны м нулю , иформулап риметвид:

pn (x) = pn (x0 ) + pn (x0 , x1 )( x – x0 ) + ... + pn (x0 , x1 , ... , xk )( x – x0 )( x – x1 ) ... ... ( x – xk –1 ) + ... + pn (x0 , x1 , ... , xn )( x – x0 )( x – x1 ) ... ( x – xn – 1 ) .

(3.3)

14

А так как в силу формулы (2.1) совп адение значений двух функций в узлах интерп оляциигарантируетравенство их разделённы х разностей, в формуле (3.3) разделённы е разности от многочлена pn мож но заменить разделённы ми разностямиотинтерп олируемой функции f , итогдаэ таформулап риметвид:

pn (x) = f(x0 ) + f(x0 , x1 )( x – x0 ) + ... + f(x0 , x1 , ... , xk )( x – x0 )( x – x1 ) ... ... ( x – xk – 1 ) + ... + f(x0 , x1 , ... , xn )( x – x0 )( x – x1 ) … ( x – xn – 1 ) .

(3.4)

И так, доказано утверж дение: Т еорема3.1. И нтерп оляционны й многочлен pn (x ; f ) , п остроенны й п о системеузлов x0 , x1 , ... , xn , вы раж ается через разделённы еразностифункции f в узле x0 согласно формуле (3.4). О тметим, что ранее интерп оляционны й многочлен, зап исанны й в форме (3.4), мы назвалимногочленом Н ью тона. Замечание 3.2.Проведенны е рассуж дения п озволяю т и вы п исать формулу для п огреш ностиинтерп оляционного многочлена. И менно, соп оставляя формулы (3.2) и (3.4), п олучим:

f(x) – pn (x) = f(x, x0 , x1 , ... , xn )( x – x0 )( x – x1 ) ... ( x – xn ) ;

(3.5)

э то иесть новая формуладля п огреш ности. К онечно, неп осредственно восп ользоваться э той формулой нельзя, так как для вы числения фигурирую щ ей в ней разделённой разности (n+1) – го п орядка

f(x, x0 , x1 , ... , xn )

(3.6)

нуж но знать значение функции f в точке x. О днако, если наблю дение за таблицей значений функции f , из которой б ерутся узлы интерп оляции и значения функции, п оказы вает, что разделённы е разности (n+1) – го п орядка меняю тся мало, то мож но, вы б рав из таб лицы доп олнительны й узел xn+1 , вы числить разделённую разность

f(x0 , x1 , ... , xn+1 ) и п одставить её в (3.5) вместо неизвестной разделённой разности (3.6); в результатеп олучим п риб лиж ённоезначениеп огреш ности. Ранее мы уж е указы вали нааналогию меж ду разделённы ми разностями и п роизводны ми. Т еп ерь мы мож ем оп исать э ту аналогию б олееточно. Т еорема3.3. Д ля разделённой разности m – го п орядкав узле xk от m функции f классаC сп раведливо п редставление:

15

f ( x k , x k +1 ,... , x k + m ) =

f ( m )( ξ ) , m!

( 3.7 )

где ξ - внутренняя точканаименьш его отрезкавещ ественной оси, содерж ащ его всеузлы интерп оляции xk , xk+1 , ... , xk + m . Д оказательство. Переоб означим узлы

xk , xk+1 , … , xk + m

(3.8)

соответственно символами

y0 , y1 , … , ym ,

(3.9)

составим интерп оляционны й многочлен pm – 1 (y; {y0 , y1 , … , ym – 1 }; f ) для функции f п о совокуп ностиузлов (3.9) б ез п оследнего узла ym ип риравняем п огреш ности сответствую щ их многочленов Лагранж а и Н ью тона ( ведь э то разны еформы зап исиодного итого ж емногочленаpm – 1 ) в точке y = ym :

(f

(m)

(ξ ) / m! ) ( ym - y0 )( ym – y1 ) ... (ym – ym – 1 ) = = f(ym , y0 , y1 , ... , ym – 1 )( ym – y0 )( ym – y1 ) ... ( ym – ym – 1 ) .

Здесь ξ - внутренняя точканаименьш его отрезкавещ ественной оси, содерж ащ его узлы у 0 , y1 , ... , ym , азначит, наименьш его отрезка, содерж ащ его узлы (3.8). Сокращ ая п олученное равенство навеличины ( ym – yi ), возвращ аясь к об означениям (3.8) и меняя в разделённой разности п орядок аргументов, п риходим к формуле (3.7). Замечание 3.4. Ф ормула (3.7) п озволяет считать, что с точностью до числового множ ителя (1 / m!) разделённая разность п орядка m есть дискретны й аналог m – той п роизводной. 40. И нтерп оляция с кратны миузлами. Рассмотрим наб ор

x0 , x1 , … , xn ( п оп арно различны х ) узлов интерп оляцииинаб ор

(4.1)

16

s0 , s1 , … , sn

(4.2)

( необ язательно различны х) натуральны хчисел. Е слив узле xi заданы не только значения функции f , но изначения её п роизводны х до п орядка si – 1 вклю чительно, то узел xi назы ваю т узлом кратности si . Приинтерп олированиис кратны миузламиестественно треб овать, чтоб ы в узле xi совп адали не только значения функции f и интерп оляционного многочлена, но и значения их п роизводны х до п орядка si – 1 вклю чительно. Т аким об разом, в узле xi имеем si условий, аоб щ еечисло условий s окаж ется равны м суммекратностей (4.2) узлов (4.1):

s = s0 + s1 + ... + sn . А так как число п араметров интерп оляционного многочлена– его коэ ффициентов – долж но совп адать с числом условий s, степ ень интерп оляционного многочлена долж наравняться s – 1. О п ределение4.1.И нтерп оляционны м многочленом для функции f с узлами (4.1) с кратностями (4.2) ( об означение ps - 1 ( x; {xj }; {sj }; f ) ) назы ваю т многочлен степ ениневы ш е s – 1 , удовлетворяю щ ий условиям:

p (s −r 1) ( xi ; { x j } ; { s j } ; f ) = f ( r ) ( xi ) , i = 0 ,1, ... , n , r = 0 ,1, ... , si − 1 . ( 4.3 ) К ак и в случае п росты х узлов, интерп оляционны й многочлен с кратны ми узлами мож но зап исы вать в форме Лагранж аи в форме Н ью тона. В п оследнем случае п ереп исы ваю т узлы интерп оляции (4.1), п родуб лировав каж ды й узел столько раз, каковаего кратность

x0 , x0 , ... , x0 , x1 , x1 ,... , x1 , ... , x n , x n , ... , x n 1 4243 14243 142 4 43 4 s0

s1

,

( 4.4 )

sn

затем п ереоб означаю тп олученную совокуп ность узлов символами

y0 , y1 , y2 , … , ys – 1 изап исы ваю тинтерп оляционны й многочлен в виде

(4.5)

17

p s −1 ( x ) =

s −1

∑

m =0

f ( y0 , y1 , ... , y m )( x − y0 )( x − y1 ) ... ( x − y m−1 ) .

( 4.6 )

Здесь

f ( y0 , y1 , ... , y m ) - разделённая разность п орядка m с кратны ми узлами. В об означениях (4.4) онап ринимаетвид + 144444444 64444444 4m7 8 f ( x0 , x0 , ... , x0 , x1 , x1 , ... , x1 , ... , xr , xr , ... , xr ) 14243 142 4 43 4 14243 s0

s1

,

l ≤ sr

, ( 4.7 )

l

амнож итель п риней в формуле (4.6) – вид

( x − x0 )s0 ( x − x1 )s1 ... ( x − xr )l −1 .

( 4.8 )

Чтоб ы заверш ить оп исание интерп оляционного многочлена, следует уточнить, какой смы сл вклады вается в п онятиеразделённой разностис кратны ми узлами. К ак и в случае п росты х узлов, разделенны е разности с кратны ми узлами оп ределяю тся индуктивно п о п орядку разделённой разности. И менно, разделённая разность 0 – го п орядкафункции f в узлеyk = xj есть значение f в э том узле:

f(yk ) = f(xj ). Д алее, разделённая разность m – го п орядка( m ≥ 1 )

f(yk ,yk+1 , ... ,yk+m ) в узле yk , еслиеё крайние аргументы точкивещ ественной оси

yk , yk+m п редставляю т соб ой различны е

yk = xi , yk+m = xj , i ≠ j , вы раж ается через разделённы еразностип редш ествую щ его (m–1) – вого п орядка п о об ы чной формуле:

18

f(yk ,yk+1, ... ,yk+m ) = ( f(yk ,yk+1 , ... , yk+m– 1 ) – - f(y k+1 ,yk+2 , ... ,yk+m ) )/(yk – yk+m ) . Н аконец, если крайние ( атогдаи все остальны е ) аргументы разделённой разностикак точкивещ ественной осисовп адаю т:

(4.9)

yk ,yk+m

yk = yk+1= ... =yk+m = xi , то исп ользуется иная формула:

f(yk ,yk+1 , ... ,yk+m ) = (1/m!) f (m)(xi ) .

(4.10)

В качестве п римерасоставим интерп оляционны й многочлен в случае двух узлов интерп оляции x0 ,x1 с кратностями, равны мидвум. Т аб лицаразделённы х разностей с кратны миузламиимеетв данном случае вид:

Т аблиц а 3. x0 x0 x1 x1

f(x0 ) f(x0 ) f(x1 ) f(x1 )

f(x0 ,x0 ) f(x0 ,x1 ) f(x1 ,x1 ) -

f(x0 ,x0 ,x1 ) f(x0 ,x1 ,x1 ) -

f(x0 ,x0 ,x1 ,x1 ) -

В п ервом столб це э той таб лицы зап исанап оследовательность узлов (4.4), второй столб ец составлен из разделённы х разностей 0 – го п орядка. В третьем столб це находятся разделённы е разности 1 – го п орядка, которы е согласно (4.9), (4.10) вы числяю тся п о формулам:

f(x0 ,x0 ) = ( 1/1! ) f ′ (x0 ) = f ′ (x0 ) , f(x0 ,x1 ) = ( f(x0 ) – f(x1 ) / (x0 - x1 ) , f(x1 ,x1 ) = ( 1/1! ) f ′ (x1 ) = f ′ (x1 ) .

(4.11)

В четвёртом столб церасп олож ены разделённы еразности 2 – го п орядка:

f ( x0 , x0 , x1 ) =

f ( x0 , x0 ) − f ( x0 , x1 ) = x0 − x1

f ′( x0 ) −

f ( x0 ) − f ( x1 ) x0 − x1 x0 − x1

f ( x0 ) − f ( x1 ) − f ′( x1 ) f ( x0 , x1 ) − f ( x1 , x1 ) x0 − x1 f ( x0 , x1 , x1 ) = . = x0 − x1 x0 − x1

,

( 4.12 )

19

Н аконец, в п ятом столб це находится разделённая разность 3 – го п орядка:

f ( x0 , x0 , x1 , x1 ) = f ′( x0 ) − =

f ( x0 , x0 , x1 ) − f ( x0 , x1 , x1 ) = x0 − x1

f ( x0 ) − f ( x1 ) x0 − x1 x0 − x1

f ( x0 ) − f ( x1 ) − f ′( x1 ) x0 − x1 x0 − x1

− x0 − x1

.

( 4.13 )

М ы намеренно в формулах (4.11) – (4.13) далидетальны е п редставления разделённы хразностей через величины

f(x0 ) , f ′(x0 ) , f(x1 ) , f ′(x1 ) ,

(4.14)

чтоб ы п родемонстрировать тотфакт, что величинами (4.14) указанны еразности оп ределяю тся однозначно; п рактическое ж е вы числение э тих разделённы х разностей, т.е. п рактическое зап олнение таблиц ы 3, п роводится индуктивно п о формулам (4.9) – (4.10), т.е. согла сно левы м из равенств (4.11) – (4.13). После того, как э лементы таблиц ы 3 вы числены , для п олучения интерп оляционного многочлена следует п одставить значения разделённы х разностей из п ервой строкиэ той таблицы в вы раж ение

p3 (x) = f(x0 ) + f(x0 ,x0 )(x – x0 ) + f(x0 ,x0 ,x1 )(x – x0 )2 + + f(x 0 ,x0 ,x1,x1)(x – x0 )2(x – x1 ). В ы ш е оп исано, как составляется интерп оляционны й многочлен в случае кратны х узлов. Т еп ерь следуетп ояснить, п очему такой сп особ действительно даёт интерп оляционны й многочлен, т.е. п очему п риэ том оказы ваю тся вы п олненны ми условия (4.3). О б ратимся к наб ору узлов (4.4) и снабдим в нём разны е э кземп ляры одного итого ж еузлаxi доп олнительны мииндексами:

xir = xi , r=1,2, ... ,si . Т огдаэ тотнабор узлов зап иш ется в виде:

x01 , x02 , ... , x0 S0 , x11 , x12 , ... , x1S1 , x21 , ... , xi1 , ... , xir , ... , xn1 , ... , xnS n

. ( 4.15 )

20

“ В озмутим” теп ерь э тот набор узлов, заменив узлы xir б лизкимиузлами xir (ε > 0) так, чтоб ы б ы ливы п олнены дваусловия: а) п рилю б ом фиксированном i ( i=0,1, ... , n ) узлы

xi1ε , xi 2ε , ... , xir ε , ... , xisi ε

ε

( 4.16 )

п оп арно различны ; б) для лю б ы хфиксированны х i,r

xir ε

→ xir = xi

ε

при

→ 0 .

( 4.17 )

Заметим, что условия а) иб) б удутвы п олнены , еслип олож ить

xir ε = xi + rε

r = 1, 2 , ... , si

,

;

ε

возмож ны , конечно, идругиесп особ ы задания узлов xir с соб лю дением условий

а),б).

Н аб ор узлов (4.1) есть дискретны й конечны й набор п оп арно различны х точек вещ ественной оси. Поэ тому расстояния меж ду э тимиточкамиимею тстрого п олож ительны й минимум:

ω = min

i , j; i ≠ j

xi − x j

.

О круж им узлы xi окрестностями

S ω ( xi ) = ( xi − 2

ω ω , xi + ) 2 2

( 4.18 )

с центрами в точках xi ирадиусами ω /2; тогдакаж дая такая окрестность не только не б удет содерж ать других узлов, но ине б удет п ересекаться с другими окрестностями:

S ω ( xi ) I S ω ( x j ) = ∅ при i ≠ j . 2

( 4.19 )

2

В силу свойстваб) п ри ε < ε i наб ор узлов (4.16) п оп адётв окрестность (4.18) и в силу свойстваа) об разует там набор п оп арно различны х точек; в силу ж е (4.19) п ри

21

ε < min ε i i

ивесь набор ε ε ε ε ε x01 , x02 , ... , x0ε S , x11 , x12 , ... , x1εS , ... , xnε 1 , xnε 2 , ... , xnS 0 1 n

( 4.20 )

“ возмущ енны х” узлов (4.16) окаж ется набором п оп арно различны х точек. О б означим через T таб лицу разделённы х разностей для набора (4.4) ( или, в других об означениях, для набора (4.15) ) кратны х узлов, ачерез T ε таблицу разделённы х разностей для п росты х (т.е. п оп арно различны х) узлов (4.20). s-1 Лемма4.1. Пусть f∈ C [a,b] . Т огдакаж ды й э лемент таб лицы T ε стремится п ри ε → 0 к соответствую щ ему э лементу таб лицы T. Д оказательство. В виду неп реры вности функции f соотнош ение (4.17) влечётсоотнош ение

f ( xirε ) → f ( xir ) = f ( xi ) , что и означает сп раведливость утверж дения леммы в случае разделённы х разностей нулевого п орядка. Предп олож им сп раведливость леммы для разделённы х разностей п орядка m-1, ирассмотрим п роизвольную разделённую разность п орядкаm. Е сливсеаргументы э той разделённой разностип ринадлеж атодной итой ж е груп п е узлов (4.16), то , п рименяя к э той разности вы веденную ранее для п оп арно различны хузлов формулу (3.7), п олучим:

f ( xiε p , xiε p + 1 , ... , xiεq ) = ( 1 / m! ) f 144 42444 3

(ξ ) ,

(m)

m +1

где ξ - точканаименьш его интервалавещ ественной оси, содерж ащ его все узлы э той разделённой разности. Т ак как п ри ε→ 0 все аргументы разделённой разностистремятся (см. (4.17) ) к узлу xi , к тому ж еузлу стремится иточка ξ , а п отому п редельны й п ереход даёт:

lim f ( xiε p , xiε p + 1 , ... , xiεq ) = ( 1 / m! ) f ( m ) ( xi ) .

ε →0

Правая ж е часть п олученного равенствав силу (4.10) есть соответствую щ ий э лементтаблицы T.

22

Н аконец, если крайние аргументы рассматриваемой разделённой разности п орядка m относятся к разны м узлам xi , то для п олучения нуж ного результата следует соверш ить п редельны й п ереход п ри ε → 0 в формуле, вы раж аю щ ей ε разделённую разность п орядка m с п росты ми узлами xip через разделённы е разностип орядкаm-1 :

f ( xiε p , xiε p + 1 , ... , x εj q ) = ( f ( xiε p , ... , xεj q −1 ) − f ( xiε p + 1 , ... , xεj q )) /( xiε p − xεj q ) ; 14442444 3 m +1

п о п редп олож ению индукциичислитель дроб иимеетп ределом разность

f ( xi p , ... , x j q −1 ) − f ( xi p + 1 , ... , x j q ) , ав силу (4.17) знаменатель стремится к

xi p − x j q

,

и п олученное в качестве п редела отнош ение оказы вается (см. (4.9) ) соответствую щ им э лементом таб лицы T разделённы х разностей с кратны ми узлами. Составим теп ерь интерп оляционны й многочлен

p sε −1 ( x; { xiεr }; f )

( 4.21 )

степ ени ≤ s-1 с п росты ми (т.е. п оп арно различны ми ) узлами (4.20), зафиксируем в нём значение п еременной x и вы ясним, к чему стремится п олученноевы раж ениеп ри ε → 0 . Лемма4.2. Значениемногочлена (4.21) в точкеx стремится п ри ε → 0 к значению в той ж е точке многочлена (4.6) с кратны ми узлами x0 ,x1 , ... ,xn s-1 (здесь такж еп редп олагается п ринадлеж ность функции f классу C [a ,b] ). Д оказательство. Согласно вы веденной в п реды дущ ем разделе формуле для многочлена Н ью тона с п оп арно различны ми (« п росты ми») узлами многочлен (4.21) с п росты миузлами (4.20), зап исанны й в форме Н ью тона, п редставляет соб ой сумму, слагаемое которой с номером m ( m=0,1, ... , s-1 ) есть п роизведениеразделённой разности + 14444444444 64444444444m7 8 ε ε ε ε ε ε ε ε ε f ( x01 , x02 , ... , x0 s , x11 , x12 , ... , x1s , ... , xr 1 , xr 2 , ... , xrl ) , l ≤ sr 1442443 0 1442443 1 1442443 s0

s1

l

( 4.22 )

23

п орядкаm навы раж ение ε ε ( x − x01 ) ... ( x − x0ε s )( x − x11 ) ... ( x − x1εs ) ... ( x − xrε1 ) ... ( x − xrε l −1 ) . ( 4.23 ) 03 144424443 1 1444424444 3 1444 424444 l −1

s1

s0

В силу леммы 4.1 разделённая разность (4.22) п ри ε → 0 стремится к разделённой разности (4.7), ав силу (4.17) вы раж ение (4.23) имеет своим п ределом вы раж ение (4.8). О тсю да и следует, что значение в точке x многочлена (4.21) сходится п ри ε → 0 к значению в той ж е точке многочлена (4.6) с кратны миузлами. Т еорема 4.3. М ногочлен ps-1(x) , заданны й формулами (4.6) – (4.8) , удовлетворяетусловиям (4.3). Д оказательство. Зап иш ем многочлен (4.6) в виде

ps-1(x) = f(x0) + ...

.

(4.24)

О б означенны е здесь многоточием слагаемы е в случае, когда s0=1 и x0 – единственны й узел интерп оляции, отсутствую т, ав остальны х случаях , как э то видно из (4.8), содерж ат множ итель ( x – x0 ) в степ ени, не ниж е п ервой. Поэ тому п одстановка x = x0 в равенство (4.24) даёт

ps-1(x0) = f(x0), аэ то иозначает, что п ервоеиз условий (4.3) в узле x0 вы п олнено. Д алее, если s0 > 1 , то вместо (4.24) мож но нап исать

ps-1(x) = f(x0) + f(x0 ,x0)(x – x0) + ... ; п риэ том об означенны е многоточием слагаемы е в случае, когда s0 = 2 и x0 – единственны й узел интерп оляции, отсутствую т, ав остальны х случаях содерж ат множ итель ( x – x0 ) в степ ени, не ниж е второй. Поэ тому в результате дифференцирования э того равенствап о x и п оследую щ ей п одстановки x = x0 п олучим

p′s-1(x0) = f(x0 ,x0) = (1/1!)f ′ (x0) = f ′ (x0), азначит, ивтороеиз условий (4.3) в узле x0 вы п олнено. Продолж ая аналогичны е рассуж дения, п ридём к вы воду, что многочлен ps-1(x) удовлетворяетивсем остальны м условиям (4.3) в узле x0 :

ps-1(r)(x0 ) = f (r)(x0 ) ,

r = 0,1, ... , s 0 –1.

(4.25)

24

Поменяем

теп ерь

местами в наб оре (4.1) узлы x0 , x1 :

x1 , x0 , x2 , ... , xn

,

(4.1′ )

ав наборах (4.4) , (4.20) – груп п ы узлов, отвечаю щ иеузлам интерп оляции x0 ,x1:

x1 , x1 , ... , x1 , x0 , x0 , ... , x0 , x2 , x2 , ... , x2 , ... , xn , xn , ... , xn 1 4243 142 4 43 4 4 43 4 142 142 4 43 4 s1

s2

s0

,

( 4.4′ )

sn

ε ε ε ε ε x11 , x12 , ... , x1ε s , x01 , x02 , ... , x0ε s , x21 , ... , xnε s 1 0 n

.

( 4.20′ )

О б означим символом g s-1 (x) интерп оляционны й многочлен с кратны миузлами (4.4′ ) , п остроенны й сп особ ом, оп исанны м в настоящ ем п ункте, асимволом gεs-1(x) – интерп оляционны й многочлен с п росты миузлами (4.20′ ). Повторяя п роведенную вы ш е часть доказательства п рименительно к многочлену g s-1(x) , б удем иметь:

g

(r) s-1(x1)

=f

(r)

(x1) , r = 0 ,1 , ... , s1 –1.

(4.26)

О тметим, что интерп оляционны й многочлен с п росты ми узлами как функция п еременной x не зависит от нумерацииузлов интерп оляции( чтоб ы в э том уб едиться, достаточно, нап ример, зап исать э тот многочлен в форме Лагранж а, т.е. в виде суммы тип а (1.2), и заметить, что п еренумерации узлов соответствует лиш ь изменение п орядка слагаемы х в э той сумме ). Н о тогда интерп оляционны емногочлены с п росты миузлами pεs-1(x), gεs-1(x) совп адаю т

pεs-1(x) = gεs-1(x)

для лю бого x

,

(4.27)

п оскольку наб оры (4.20), (4.20′) их узлов интерп оляции отличаю тся лиш ь п орядком узлов. Ф иксируя в равенстве (4.27) значение x ип ереходя к п ределу п ри ε → 0 , в силу леммы 4.2 п олучим:

для лю бого x ,

ps-1(x) = gs-1(x)

аэ то значит, что совп адаю тимногочлены ps-1(x), gs-1(x) с кратны миузлами. Н о тогдаформулу (4.26) мож но п ереп исать в виде:

p

(r) s-1(x1)

=f

(r)

(x1 )

, r = 0,1, ... , s1 – 1.

(4.28)

Соп оставляя равенства (4.25), (4.28) , п риходим к вы воду, что многочлен ps-1(x) удовлетворяет условиям (4.3) нетолько в узле x0 , но ив узле x1 . А так

25

как в п роведенном рассуж денииузел x1 мож но, очевидно, заменить лю б ы м из узлов x2 , x3 , ... , xn , ясно, что вы п олнены иостальны еиз условий (4.3). Замечание 4.4. И нтерп оляцию с кратны ми узлами изучал французский математик 19 –го векаШ арль Э рмит, п оэ тому оп исанны й в оп ределении 4.1 интерп оляционны й многочлен с кратны миузлами ps-1(x) назы ваю тмногочленом Э рмита. Ф ормулы (4.6) – (4.8) даю тзап ись э того многочленав формеН ью тона. Е сливсе узлы интерп оляциип росты е ( s0 =s1 = ... =sn = 1 ), то из э тих формул п олучается об ы чны й многочлен Н ью тона. Е сли ж е имеется лиш ь один узел интерп оляции x0 , то формулы (4.6) – (4.8) в сочетаниис формулой (4.10) для разделённы х разностей дадут, очевидно, многочлен Т ейлора для функции f. Д остаточно часто встречается ислучай, когдакратностивсех узлов интерп оляции равны двум ( s0=s1= ... =sn =2 ) , т.е. когдав каж дом узлезаданы значения самой функции иеё п ервой п роизводной; в э том случае б удем говорить о многочлене Э рмитав узком смы сле. Замечание 4.5. Погреш ность интерп оляционного многочлена Э рмита в s точке x∈ [ a ,b ] для функции f∈ C [a,b] задаётся формулой:

f ( x ) − p s −1( x ) = f ( x , x0 , x0 , ... , x0 , ... , xn , xn , ... , xn ) ( x − x0 )s0 ...( x − xn )sn 14 4244 3 142 4 43 4 s0

.

sn

( 4.29 ) Предлагаем читателю вы вестиэ ту формулу самостоятельно (см. уп раж нение 10 изамечаниек нему ). 50. Задачииуп раж нения. 1. В ы п исать формулу линейной интерп оляции на основе многочлена Н ью тона. 2. Д ля функции f , заданной своими значениями f0 , f1 , f2 в равноотстоящ их узлах x0 , x0+h, x0+2h , вы п исать формулу квадратичной интерп оляциинаосновемногочленаН ью тона. 3. Ф ункция f п ринимаетв узлах 0, 1, 2, 3 соответственно значения 2, 3, 10, 29. Составить таблицу разделенны хразностей. 4. Д ля функции f из п реды дущ его уп раж нения составить многочлен Н ью тона и вы числить его значение в точке x=1,5. О ценить п огреш ность э того п риб лиж ённого значения функции, восп ользовавш ись доп олнительны м значением функции в узле x=4, равны м 68. 5. Пусть f заданатаб лицей своих значений в равноотстоящ их узлах

xk =x0+kh ,

k = 0, 1, ... , n .

26

m

К онечны миразностями (∆ f ) k п орядка m ( m=0, 1, ... , n ) в узлах xk ( k=0, 1, ... , n – m ) назы ваю твеличины , заданны еформулами: 0

а) (∆ f )k = f ( xk ) , m

б) (∆ f )k = (∆

m-1

k = 0, 1, ... , n ;

f )k+1 - (∆

m-1

f )k , m=1, 2, ... ,n , k=0, 1, ... , n – m .

Д ля функции f из у праж н ен ия 3 составить таблицу конечны х разностей. m 6. В ы разить конечную разность (∆ f )k через значения fi функции f в узлах. 7. В ы вестип ервую интерп оляционную формулу Н ью тона:

( ∆ 1 f )0 ( ∆ 2 f )0 pn ( x ) = f ( x0 ) + ( x − x0 ) + ( x − x0 )( x − x0 − h ) + 1! h 2! h 2 + ... +

( ∆ n f )0 n! h n

( x − x0 )( x − x0 − h ) ... ( x − x0 − ( n − 1 )h ) .

У казание: установить связь меж ду конечны ми и разделённы ми разностямив случаеравноотстоящ их узлов. 8. Составить многочлен Э рмитадля функции f , у которой значения в узлах 0 и 1 равны соответственно единице ичеты рём, азначения п роизводной – единицеиш ести. 9. Составить многочлен Э рмитадля функции f, п ринимаю щ ей в узлах 0,1,2 соответственно значения 1,4,15 иимею щ ей в узле 1 значение п роизводной, равное 6. 10. В ы вестиформулу (4.29). У казание: зап исать аналогичную формулу для многочленаps-1 ε ( x) ип ерейтик п ределу п ри ε → 0. 11. Д ля функции

f(x) = 1 / ( 1+25x2 )

,

-1≤ x≤1,

исследовать с п омощ ью комп ью тера п оведение интерп оляционного многочлена Н ью тона п ри увеличении его степ ени n, исп ользуя для интерп оляции а) набор чеб ы ш евских узлов наотрезке [ - 1, 1 ] и б) наб ор равноотстоящ их узлов с x0 = -1 , xn = 1. В случаеравноотстоящ их узлов оп ределить визуально зону сходимости значений многочлена Н ью тонак значениям интерп олируемой функции. 12. И сследовать влияние ош иб ок округлений п ри вы числении значений многочленаН ью тонас равноотстоящ ими узлами п ри б ольш их n. О п отере численной устойчивости судить п о возникновению

27

« вы числительного ш ума», т.е. по возникновению п илооб разны х участков на графике интерп оляционного многочлена. Н айти э ксп ериментально наименьш ие степ ени многочлена, п ри которы х возникаетвы числительны й ш ум, п роводя вы числения дваж ды : сначалас исп ользованием форматавещ ественны х чисел real, азатем формата extended. Провести исследование в двух вариантах: а) п ри индуктивном вы числении разделённы х разностей; б) п ри вы числении

разделённы х разностей наосноветеоремы 2.1. 60. Литература. 1. В олков Е .А . Численны еметоды . М .: Н аука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1982.256 с. 2. Бахвалов Н .С., Ж идков Н .П., К об ельков Г.М . Численны е методы : У чеб . п особ ие. – М .: Н аука. Гл. ред. физ.-мат. лит.,1987. - 600 с.

28

Содерж ание.

1. 2. 3. 4. 5. 6.

Понятиеразделённой разности......................................................................2 Свойстваразделённы хразностей ..................................................................6 М ногочлен Н ью тона.....................................................................................12 И нтерп оляция с кратны миузлами..............................................................15 Задачииуп раж нения ....................................................................................25 Литература.....................................................................................................27