Практикум по алгебре. Часть 2. Линейные пространства: Учебно-методическое пособие для студентов математических специальностей университетов

Ìèíèñòåðñòâî îáðàçîâàíèÿ è íàóêè Ðîññèéñêîé Ôåäåðàöèè Âîëãîãðàäñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò

Ìàòåìàòè÷åñêèé ôàêóëüòåò

Ïîïîâ Â.Â., Ìàçåïà Å.À., Áåçâåðõîâ Â.À.

ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÀËÃÅÁÐÅ ÷àñòü 2 ËÈÍÅÉÍÛÅ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÀ Ó÷åáíî-ìåòîäè÷åñêîå ïîñîáèå äëÿ ñòóäåíòîâ ìàòåìàòè÷åñêèõ ñïåöèàëüíîñòåé óíèâåðñèòåòîâ Âîëãîãðàä 2005

ÁÁÊ 22.143

Ïîïîâ Â.Â., Ìàçåïà Å.À., Áåçâåðõîâ Â.À. Ïðàêòèêóì ïî àëãåáðå. ×àñòü 2. Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà: Ó÷åáíî-ìåòîäè÷åñêîå ïîñîáèå äëÿ ñòóäåíòîâ ìàòåìàòè÷åñêèõ ñïåöèàëüíîñòåé óíèâåðñèòåòîâ.  Âîëãîãðàä: 2005.  34 ñòð. Öåëü äàííîãî ïîñîáèÿ  îáåñïå÷èòü ìåòîäè÷åñêîå ñîäåðæàíèå ïðàêòè÷åñêèõ çàíÿòèé ïî êóðñàì "Àëãåáðà", "Ãåîìåòðèÿ è àëãåáðà", "Ëèíåéíàÿ àëãåáðà è ãåîìåòðèÿ". Ïîñîáèå ñîäåðæèò òåìàòè÷åñêè ïîäîáðàííûå çàäà÷è, à òàêæå íåîáõîäèìûé äëÿ èõ ðåøåíèÿ òåîðåòè÷åñêèé ìàòåðèàë. Ïîñîáèå ïðåäíàçíà÷åíî ïðåæäå âñåãî äëÿ ñòóäåíòîâ, îáó÷àþùèõñÿ ïî ñïåöèàëüíîñòÿì "Ìàòåìàòèêà" è "Ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà è èíôîðìàòèêà" â êëàññè÷åñêèõ óíèâåðñèòåòàõ, íî ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíî ïðåïîäàâàòåëÿìè è ñòóäåíòàìè äðóãèõ ñïåöèàëüíîñòåé, èçó÷àþùèõ äàííûå êóðñû.

Ïå÷àòàåòñÿ â àâòîðñêîé ðåäàêöèè ñ ãîòîâîãî îðèãèíàë-ìàêåòà

c Ïîïîâ Â.Â., Ìàçåïà Å.À., Áåçâåðõîâ Â.À., 2005 °

Ââåäåíèå êî âòîðîé ÷àñòè Ïîíÿòèå ëèíåéíîãî (âåêòîðíîãî) ïðîñòðàíñòâà ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç âàæíåéøèõ ôóíäàìåíòàëüíûõ ïîíÿòèé ñîâðåìåííîé ìàòåìàòèêè. Ôàêòè÷åñêè ñ ëèíåéíûìè ïðîñòðàíñòâàìè êàê ñ ìàòåìàòè÷åñêèìè îáúåêòàìè ìû âïåðâûå ñòàëêèâàåìñÿ â øêîëüíîì êóðñå ìàòåìàòèêè. Íà óðîêàõ ãåîìåòðèè èçó÷àåòñÿ òåìà "Âåêòîðû íà ïëîñêîñòè è â ïðîñòðàíñòâå". Ýòè ìíîæåñòâà ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé íå ÷òî èíîå, êàê ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà. Ìîæåò ïîêàçàòüñÿ àáñóðäíûì, íî ÿðêèì ïðèìåðîì (â ïðÿìîì è ïåðåíîñíîì ñìûñëå) ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâî âñåõ êðàñîê. Èçâåñòíî, ÷òî ëþáîé öâåò ìîæíî ïîëó÷èòü, èñïîëüçóÿ òîëüêî òðè öâåòà, íàïðèìåð, êðàñíûé, çåëåíûé, ñèíèé. Íàñòîÿùåå ïîñîáèå ñîäåðæèò áîëüøîå êîëè÷åñòâî çàäà÷, ðåøåíèå êîòîðûõ áóäåò ñïîñîáñòâîâàòü ëó÷øåìó ïîíèìàíèþ è óñâîåíèþ òåîðåòè÷åñêîãî ìàòåðèàëà ïî òåìå "Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà". Äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ çàäà÷ ïî äàííîé òåìå, äëÿ îòðàáîòêè è ñîâåðøåíñòâîâàíèÿ ïðàêòè÷åñêèõ íàâûêîâ ðåêîìåíäóåòñÿ èñïîëüçîâàòü òàêæå çàäà÷íèêè [7][10].

1

Ïîíÿòèå âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà

Ïóñòü L  íåêîòîðîå ìíîæåñòâî, ýëåìåíòû êîòîðîãî íàçûâàþòñÿ âåêòîðàìè, ïðè÷åì ëþáûì äâóì âåêòîðàì a, b ∈ L ñîïîñòàâëåí åäèíñòâåííûé âåêòîð c ∈ L, êîòîðûé íàçûâàåòñÿ ñóììîé âåêòîðîâ a è b è îáîçíà÷àåòñÿ a + b. Ïóñòü òàêæå P  íåêîòîðîå ïîëå, ýëåìåíòû êîòîðîãî íàçûâàþòñÿ ñêàëÿðàìè è äëÿ ëþáîãî ñêàëÿðà k ∈ P è ëþáîãî âåêòîðà a ∈ L îïðåäåëåí åäèíñòâåííûé âåêòîð d ∈ L, êîòîðûé íàçûâàåòñÿ ïðîèçâåäåíèåì ñêàëÿðà k íà âåêòîð a, èëè ïðîèçâåäåíèåì âåêòîðà a íà ñêàëÿð k , è îáîçíà÷àåòñÿ ka. Ïóñòü òàêæå âûïîëíåíû ñëåäóþùèå àêñèîìû: 1) (a + b) + c 6≡ a + (b + c) äëÿ ëþáûõ âåêòîðîâ a, b, c ∈ L (àññîöèàòèâíîñòü ñëîæåíèÿ); 3

2) a + b = b + a äëÿ ëþáûõ âåêòîðîâ a, b ∈ L, (êîììóòàòèâíîñòü ñëîæåíèÿ); 3) ñóùåñòâóåò íóëåâîé âåêòîð 0 ∈ L, äëÿ êîòîðîãî a + 0 = 0 + a = a ïðè ëþáîì a ∈ L; 4) äëÿ ëþáîãî âåêòîðà a ∈ L ñóùåñòâóåò òàêîé âåêòîð b ∈ L, ÷òî a + b = 0 (âåêòîð b íàçûâàþò ïðîòèâîïîëîæíûì âåêòîðîì ïî îòíîøåíèþ ê âåêòîðó a è îáîçíà÷àþò −a); 5) (k1 + k2 )a = k1 a + k2 a äëÿ ëþáûõ ñêàëÿðîâ k1 , k2 ∈ P è ëþáîãî âåêòîðà a ∈ L; 6) k(a + b) = ka + kb äëÿ ëþáîãî ñêàëÿðà k ∈ P è ëþáûõ âåêòîðîâ a, b ∈ L; 7) k1 (k2 a) = (k1 k2 )a äëÿ ëþáûõ ñêàëÿðîâ k1 , k2 ∈ P è ëþáîãî âåêòîðà a ∈ L; 8) 1 · a = a äëÿ ëþáîãî âåêòîðà a ∈ L. Òîãäà L íàçûâàþò âåêòîðíûì ïðîñòðàíñòâîì íàä ïîëåì P . ×àùå âñåãî â êà÷åñòâå ïîëÿ ñêàëÿðîâ P ðàññìàòðèâàþò ïîëå äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë (è òîãäà L íàçûâàþò âåùåñòâåííûì âåêòîðíûì ïðîñòðàíñòâîì, èëè ïðîñòî âåêòîðíûì ïðîñòðàíñòâîì), èëè ïîëå C êîìïëåêñíûõ ÷èñåë (â ýòîì ñëó÷àå L  êîìïëåêñíîå âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî). Âåêòîðíûå ïðîñòðàíñòâà íàçûâàþòñÿ òàêæå ëèíåéíûìè ïðîñòðàíñòâàìè.

Ïðèìåðû. 1. Ìíîæåñòâî âñåõ âåêòîðîâ ïëîñêîñòè (èëè òðåõìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà), îáðàçóåò âåùåñòâåííîå âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî îòíîñèòåëüíî îáû÷íûõ îïåðàöèé ñëîæåíèÿ âåêòîðîâ è óìíîæåíèÿ âåêòîðà íà ÷èñëî. 4

2. Ïóñòü n  íàòóðàëüíîå ÷èñëî. n-ìåðíûì àðèôìåòè÷åñêèì âåêòîðîì íàçûâàþò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (a1 , a2 , ..., an ) äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë. Âåêòîðû (a1 , a2 , ..., an ) è (b1 , b2 , ..., bn ) ñ÷èòàþò ðàâíûìè ⇐⇒ ai = bi ïðè i = 1, 2, ..., n. Ìíîæåñòâî Rn âñåõ n-ìåðíûõ âåêòîðîâ ïðåâðàùàåòñÿ â âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâ, åñëè ñëîæåíèå âåêòîðîâ è óìíîæåíèå âåêòîðà íà ÷èñëî îïðåäåëèòü òàê:

(a1 , a2 , ..., an ) + (b1 , b2 , ..., bn ) = (a1 + b1 , a2 + b2 , ..., an + bn ) è

k(a1 , a2 , ..., an ) = (ka1 , ka2 , ..., kan ).

Âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî Rn íàçûâàåòñÿ n-ìåðíûì àðèôìåòè÷åñêèì ïðîñòðàíñòâîì. Íóëåâûì âåêòîðîì â ýòîì ïðîñòðàíñòâå ÿâëÿåòñÿ (0, 0, . . . , 0); ïðîòèâîïîëîæíûì äëÿ âåêòîðà (a1 , a2 , ..., an ) ÿâëÿåòñÿ âåêòîð (−a1 , −a2 , ..., −an ). 3. Ìíîæåñòâî Rm×n âñåõ ìàòðèö ðàçìåðà m × n ñ ýëåìåíòàìè èç R îáðàçóåò âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî îòíîñèòåëüíî îáû÷íûõ îïåðàöèé ñëîæåíèÿ ìàòðèö è óìíîæåíèÿ ìàòðèöû íà ÷èñëî. 4. Ìíîæåñòâî âñåõ âåùåñòâåííîçíà÷íûõ ôóíêöèé, îïðåäåëåííûõ íà âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîé (èëè íà çàäàííîì îòðåçêå [a, b]) îáðàçóåò âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî íàä R îòíîñèòåëüíî îáû÷íûõ ïðàâèë ñëîæåíèÿ ôóíêöèé è óìíîæåíèÿ ôóíêöèè íà ÷èñëî. 5. Ïîëå C êîìïëåêñíûõ ÷èñåë åñòü âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî íàä ïîëåì R äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë îòíîñèòåëüíî îïåðàöèé ñëîæåíèÿ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë è óìíîæåíèÿ èõ íà äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà. 6. Ìíîæåñòâî ÷èñåë èç îòðåçêà [0; 1] ÷èñëîâîé ïðÿìîé íå îáðàçóåò âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà íàä ïîëåì R îòíîñèòåëüíî îáû÷íûõ îïåðàöèé ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ ÷èñåë. 5

7. Ìíîæåñòâî âåêòîðîâ íà ïëîñêîñòè (â ïðîñòðàíñòâå) ñ ðàöèîíàëüíûìè êîîðäèíàòàìè íå îáðàçóåò âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà íàä ïîëåì äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë R îòíîñèòåëüíî îáû÷íûõ îïåðàöèé ñëîæåíèÿ âåêòîðîâ è óìíîæåíèÿ âåêòîðà íà ÷èñëî. 8. Ìíîæåñòâî ìîíîòîííî âîçðàñòàþùèõ íà ÷èñëîâîé îñè ôóíêöèé íå ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì ïðîñòðàíñòâîì îòíîñèòåëüíî îáû÷íîãî ñëîæåíèÿ ôóíêöèé è óìíîæåíèÿ ôóíêöèè íà ÷èñëî.

Çàäà÷è. 1. ßâëÿåòñÿ ëè ìíîæåñòâî âñåõ âåêòîðîâ (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn , óäîâëåòâîðÿþùèõ äàííîìó óñëîâèþ, âåêòîðíûì ïðîñòðàíñòâîì íàä ïîëåì R:

a) x1 = 0; c) x1 + x2 + . . . + xn = 0; e) x1 = 1;

b) x1 = xn = 0; d) x1 = x2 = . . . = xn ; f ) x1 · xn = 0?

2. ßâëÿåòñÿ ëè âåêòîðíûì ïðîñòðàíñòâîì íàä ïîëåì äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë äàííîå ìíîæåñòâî ôóíêöèé îòíîñèòåëüíî îáû÷íûõ îïåðàöèé íàä ôóíêöèÿìè: a) ìíîæåñòâî ëèíåéíûõ ôóíêöèé (ò.å. ôóíêöèé âèäà ax+b, ãäå a, b ∈ R); b) ìíîæåñòâî íåïðåðûâíûõ íà âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîé ôóíêöèé; c) ìíîæåñòâî íåîòðèöàòåëüíûõ ôóíêöèé; d) ìíîæåñòâî îãðàíè÷åííûõ ôóíêöèé; e) ìíîæåñòâî íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé íà îòðåçêå [0, 1], óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ f (0) + f (1) = 0; f) ìíîæåñòâî òàêèõ äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé f (x) íà îòðåçêå [0; 5], ÷òî f 0 (2) = 1; g) ìíîæåñòâî ìîíîòîííûõ íà ÷èñëîâîé îñè ôóíêöèé? 6

3. ßâëÿåòñÿ ëè âåêòîðíûì ïðîñòðàíñòâîì íàä ïîëåì Q ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë ìíîæåñòâî ÷èñåë âèäà: a) a + bi√ , a, b  ðàöèîíàëüíûå; b) a + b√ 2, a, b  ðàöèîíàëüíûå; c) a + b 3 2, a, b  ðàöèîíàëüíûå; d) a + bπ , a, b  ðàöèîíàëüíûå π = 3.141...; e) a + bi, a, b  öåëûå? 4. ßâëÿåòñÿ ëè âåêòîðíûì ïðîñòðàíñòâîì íàä ïîëåì R: a) ìíîæåñòâî îòðèöàòåëüíûõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë; b) ìíîæåñòâî âåêòîðîâ ïëîñêîñòè, èñõîäÿùèõ èç íà÷àëà êîîðäèíàò ñ êîíöàìè íà ïðÿìîé y = kx; c) ìíîæåñòâî âåêòîðîâ ïëîñêîñòè, èñõîäÿùèõ èç íà÷àëà êîîðäèíàò ñ êîíöàìè íà ïðÿìîé y = kx + b, b 6= 0; d) ìíîæåñòâî ìíîãî÷ëåíîâ ñòåïåíè ≤ n (âêëþ÷àÿ íóëåâîé ìíîãî÷ëåí) ñ êîìïëåñíûìè êîýôôèöèåíòàìè; e) ìíîæåñòâî ìíîãî÷ëåíîâ ñòåïåíè n ñ äåéñòâèòåëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè? 5. ßâëÿåòñÿ ëè âåêòîðíûì ïðîñòðàíñòâîì ìíîæåñòâî âñåõ ïîëîæèòåëüíûõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë, â êîòîðîì îïåðàöèÿ ñëîæåíèÿ äâóõ ýëåìåíòîâ x è y îïðåäåëÿåòñÿ êàê ïðîèçâåäåíèå x·y , à îïåðàöèÿ óìíîæåíèÿ íà ïðîèçâîëüíûé ñêàëÿð k ∈ R êàê âîçâåäåíèå â ñòåïåíü xk ?

2 Ïðîñòåéøèå ñâîéñòâà âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ Ïðåäëîæåíèå 1. Ïóñòü L  âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî íàä

íåêîòîðûì ïîëåì P , a, b ∈ L è k, l ∈ P . Òîãäà: a) åñëè a + b = a, òî b = 0 (ñëåäîâàòåëüíî, íóëåâîé âåêòîð ïðîñòðàíñòâà L åäèíñòâåíåí); b) åñëè a + b = 0, òî b = −a = (−1)a, òî åñòü äëÿ êàæäîãî a ∈ L ñóùåñòâóåò ðîâíî îäèí ïðîòèâîïîëîæíûé âåêòîð −a; 7

c) 0 · a = 0 ; d) k · 0 = 0; e) åñëè ka = 0, òî k = 0 èëè a = 0.

Ïðåäëîæåíèå 2. Ïóñòü L  âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî íàä ïî-

ëåì P , n ≥ 2  íàòóðàëüíîå ÷èñëî. Òîãäà: a) (k1 + k2 + ... + kn )a = k1 a + k2 a + ... + kn a äëÿ ëþáûõ ñêàëÿðîâ k1 , k2 , ..., kn ∈ P è ëþáîãî âåêòîðà a ∈ L ; b) k(a1 + a2 + ... + an ) = ka1 + ka2 + ... + kan äëÿ ëþáîãî ñêàëÿðà k è ëþáûõ âåêòîðîâ a1 , a2 , ..., an ∈ L.

Çàäà÷è. 1. Ïóñòü L  âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî íàä ïîëåì P . Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáûõ âåêòîðîâ a, b ∈ L è ëþáûõ ñêàëÿðîâ k, l ∈ P âûïîëíåíû ñëåäóþùèå ñâîéñòâà: a) åñëè ka = la è a 6= 0, òî k = l; b) åñëè ka = kb è k 6= 0, òî a = b; c) (k + l)(a + b) = ka + kb + la + lb; d) ka + lb = la + kb òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà k = l èëè a = b. 2. Ðàçíîñòüþ a−b âåêòîðîâ a è b íàçûâàåòñÿ òàêîé âåêòîð x, äëÿ êîòîðîãî b+x = a. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáûõ âåêòîðîâ a è b âåêòîð a − b ñóùåñòâóåò, åäèíñòâåíåí è ðàâåí âåêòîðó a + (−1) · b.

3 Ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ñèñòåìû âåêòîðîâ. Ëèíåéíàÿ îáîëî÷êà ñèñòåìû âåêòîðîâ. Ýêâèâàëåíòíûå ñèñòåìû âåêòîðîâ Ïóñòü â âåêòîðíîì ïðîñòðàíñòâå L çàäàíà ñèñòåìà âåêòîðîâ a1 , a2 , . . ., am . Ïóñòü òàêæå k1 , k2 , . . ., km  ïðîèçâîëüíûå ñêàëÿðû. 8

Ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé âåêòîðîâ a1 , a2 , . . ., am ñ êîýôôèöèåíòàìè k1 , k2 , . . ., km íàçûâàåòñÿ âåêòîð k1 a1 +k2 a2 +. . .+km am . Åñëè âñå ñêàëÿðû ki ðàâíû íóëþ, òî ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ íàçûâàåòñÿ òðèâèàëüíîé; â ïðîòèâíîì ñëó÷àå îíà íåòðèâèàëüíà. Ïóñòü b  íåêîòîðûé âåêòîð ïðîñòðàíñòâà L. Ãîâîðÿò, ÷òî b ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé ñèñòåìû âåêòîðîâ a1 , a2 , . . ., am , åñëè íàéäóòñÿ ñêàëÿðû k1 , k2 , . . ., km , äëÿ êîòîðûõ

b = k1 a1 + k2 a2 + . . . + km am . Ìíîæåñòâî âñåõ ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé äàííîé ñèñòåìû âåêòîðîâ a1 , a2 , . . ., am íàçûâàåòñÿ ëèíåéíîé îáîëî÷êîé ýòîé ñèñòåìû è îáîçíà÷àåòñÿ L(a1 , a2 , . . . , am ). Òàêèì îáðàçîì,

b ∈ L(a1 , a2 , . . . , am )

⇐⇒

b = k1 a1 + k2 a2 + . . . + km am

äëÿ íåêîòîðîãî íàáîðà k1 , k2 , . . ., km ñêàëÿðîâ. Ýëåìåíòàðíûì ïðåîáðàçîâàíèåì ñèñòåìû âåêòîðîâ íàçûâàþò îäíî èç ñëåäóþùèõ ïðåîáðàçîâàíèé:

• äîáàâëåíèå ê êàêîìó-ëèáî âåêòîðó ñèñòåìû äðóãîãî âåêòîðà, óìíîæåííîãî íà ñêàëÿð; • óìíîæåíèå êàêîãî-ëèáî âåêòîðà ñèñòåìû íà íåíóëåâîé ñêàëÿð; • ïåðåñòàíîâêà âåêòîðîâ ñèñòåìû; • óäàëåíèå èç ñèñòåìû íóëåâîãî âåêòîðà (åñëè ñèñòåìà ñîäåðæèò è äðóãèå âåêòîðû) èëè äîáàâëåíèå ê ñèñòåìå íóëåâîãî âåêòîðà. Äâå ñèñòåìû âåêòîðîâ íàçûâàþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè, åñëè ëþáîé âåêòîð ïåðâîé ñèñòåìû ëèíåéíî âûðàæàåòñÿ ÷åðåç âåêòîðû âòîðîé ñèñòåìû, à ëþáîé âåêòîð âòîðîé ñèñòåìû ëèíåéíî âûðàæàåòñÿ ÷åðåç âåêòîðû ïåðâîé ñèñòåìû. Èíûìè ñëîâàìè, ëèíåéíûå îáîëî÷êè ýòèõ ñèñòåì âåêòîðîâ äîëæíû ñîâïàäàòü. 9

Çàäà÷è. 1. Äàíû âåêòîðû â R4 a1 = (−1, 0, 1, 0), a2 = (−3, 2, 0, 1), a3 = (2, −2, 1, −1), a4 = (0, 2, −3, 1). a) Âû÷èñëèòå ëèíåéíûå êîìáèíàöèè âåêòîðîâ:

b1 = a1 + a2 + a3 + a4 ; b2 = a1 + a2 + 2a3 + a4 ; b3 = 3a1 + a2 + 3a3 + 2a4 ; b4 = a1 − a2 − a3 + a4 ; b5 = λ1 a1 + λ2 a2 + λ3 a3 + λ4 a4 , ãäå λi ∈ R ïðè âñåõ i. b) Âûðàçèòå âåêòîð â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè äðóãèõ âåêòîðîâ:

b1 ) a4 ÷åðåç a1 , a2 , a3 ; b2 ) a3 ÷åðåç a1 , a2 , a4 ; b3 ) a4 ÷åðåç a1 , a2 ; b4 ) a3 ÷åðåç a1 , a2 . c) Íàéäèòå âåêòîð x èç óðàâíåíèÿ a1 +2a2 +3a3 +4a4 +x=0. d) Óêàæèòå âñå íàáîðû ÷èñåë λ1 , λ2 , λ3 , λ4 òàêèõ, ÷òî λ1 a1 + λ2 a2 + λ3 a3 + λ4 a4 =0 . e) Çàïèøèòå ñëåäóþùèå óñëîâèÿ â âèäå ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííûõ λ1 , λ2 , λ3 , λ4 è ðåøèòå èõ:

e1 ) λ1 a1 + λ2 a2 + λ3 a3 + λ4 a4 = 0; e2 ) λ3 a3 + λ4 a4 = a1 ; e3 ) λ1 a1 + λ2 a2 = (−15, 8, 3, 4); e4 ) λ1 a1 + λ2 a2 + λ3 a3 = 0. 2. Îïèøèòå ëèíåéíûå îáîëî÷êè ñëåäóþùèõ ñèñòåì âåêòîðîâ â ïðîñòðàíñòâå R5 : a) (1, 0, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 0, 0), (0, 0, 0, 0, 1); b) (0, 1, 1, 1, 1), (0, 0, 1, 1, 1), (0, 0, 0, 1, 2). 3. Ïîêàæèòå, ÷òî åñëè òðè âåêòîðà a, b, c ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé ñîîòíîøåíèåì αa + βb + γc = 0, ãäå α, β, γ  íåíóëåâûå 10

ñêàëÿðû ïîëÿ R, òî ñèñòåìû âåêòîðîâ {a, b}, {a, c}, {b, c}, è {a, b, c} ýêâèâàëåíòíû. 4. Ïîêàæèòå, ÷òî ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ñèñòåì âåêòîðîâ îáðàòèìû â ñëåäóþùåì ñìûñëå: åñëè èç ïåðâîé ñèñòåìû âåêòîðîâ ìîæíî ïîëó÷èòü ñ ïîìîùüþ ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé âòîðóþ ñèñòåìó âåêòîðîâ, òî èç âòîðîé ñèñòåìû ìîæíî ïîëó÷èòü ïåðâóþ (ñ ïîìîùüþ ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé). 5. Êàæäîé (óïîðÿäî÷åííîé) ñèñòåìå âåêòîðîâ ïðîñòðàíñòâà Rn ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå ìàòðèöó A, i-ÿ ñòðîêà êîòîðîé ñîñòîèò èç êîìïîíåíò i-ãî âåêòîðà ñèñòåìû (çàïèñàííûõ â åñòåñòâåííîì ïîðÿäêå). Ïóñòü ñèñòåìå âåêòîðîâ S ñîîòâåòñòâóåò ìàòðèöà A, à ñèñòåìå âåêòîðîâ S 0 ñîîòâåòñòâóåò ìàòðèöà A0 . Ïîêàçàòü, ÷òî ñèñòåìû âåêòîðîâ S è S 0 ýêâèâàëåíòíû ⇐⇒ ìàòðèöû A è A0 ýêâèâàëåíòíû, ò.å. èç ïåðâîé ìàòðèöû ìîæíî ïîëó÷èòü âòîðóþ è íàîáîðîò ñ ïîìîùüþ ýëåìåíòàðíûõ îïåðàöèé íàä ñòðîêàìè.

4 Ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü è ëèíåéíàÿ íåçàâèñèìîñòü ñèñòåìû âåêòîðîâ. Ñâîéñòâà ëèíåéíî çàâèñèìûõ è ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ñèñòåì âåêòîðîâ Ñèñòåìà âåêòîðîâ a1 , a2 ,..., an íàçûâàåòñÿ ëèíåéíî çàâèñèìîé, åñëè ñóùåñòâóþò òàêèå ñêàëÿðû k1 , k2 ,..., kn , ÷òî

k1 a1 + k2 a2 + ... + kn an = 0 è ñðåäè ýòèõ ñêàëÿðîâ õîòÿ áû îäèí íå ðàâåí íóëþ.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå ñèñòåìà âåêòîðîâ a1 , a2 ,..., an íàçûâàåòñÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìîé.

Ïðåäëîæåíèå 3.

a) Ñèñòåìà, ñîäåðæàùàÿ íóëåâîé âåêòîð, ëèíåéíî çàâèñèìà. 11

b) Ñèñòåìà, ñîñòîÿùàÿ èç îäíîãî âåêòîðà a ëèíåéíî çàâèñèìà ⇐⇒ a = 0. c) Ñèñòåìà, ñîñòîÿùàÿ èç äâóõ âåêòîðîâ, ëèíåéíî çàâèñèìà ⇐⇒ âåêòîðû ïðîïîðöèîíàëüíû (ò.å. îäèí èç íèõ ïîëó÷àåòñÿ èç äðóãîãî óìíîæåíèåì íà ñêàëÿð). d) Ñèñòåìà, ñîñòîÿùàÿ èç 3õ âåêòîðîâ òðåõìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà ëèíåéíî çàâèñèìà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âåêòîðû ïàðàëëåëüíû îäíîé ïëîñêîñòè.

Ïðåäëîæåíèå 4.

a) Åñëè ê ëèíåéíî çàâèñèìîé ñèñòåìå äîáàâèòü âåêòîð, òî ïîëó÷èòñÿ ëèíåéíî çàâèñèìàÿ ñèñòåìà. b) Åñëè èç ëèíåéíî íåçàâèñèìîé ñèñòåìû óäàëèòü âåêòîð, òî ïîëó÷åííàÿ ñèñòåìà âåêòîðîâ ëèíåéíî íåçàâèñèìà. c) Ñèñòåìà, ñîñòîÿùàÿ èç äâóõ è áîëåå âåêòîðîâ, ëèíåéíî çàâèñèìà ⇐⇒ õîòÿ áû îäèí èç âåêòîðîâ ýòîé ñèñòåìû ëèíåéíî âûðàæàåòñÿ ÷åðåç îñòàëüíûå. d) Åñëè ñèñòåìà S ëèíåéíî íåçàâèñèìà, íî ñòàíîâèòñÿ ëèíåéíî çàâèñèìîé ïðè äîáàâëåíèè âåêòîðà b, òî âåêòîð b ëèíåéíî âûðàæàåòñÿ ÷åðåç âåêòîðû ñèñòåìû S .

Ïðåäëîæåíèå 5. Ïóñòü ñèñòåìà âåêòîðîâ S 0 ïîëó÷åíà èç ñè-

ñòåìû âåêòîðîâ S ñ ïîìîùüþ ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé. Òîãäà îáå ñèñòåìû èëè îäíîâðåìåííî ëèíåéíî íåçàâèñèìû èëè îäíîâðåìåííî ëèíåéíî çàâèñèìû.

Çàäà÷è. 1. Äîêàæèòå, ÷òî â ïðîñòðàíñòâå Rn ëèíåéíî íåçàâèñèìû ñëåäóþùèå ñèñòåìû âåêòîðîâ: a) e1 = (1, 0, · · · , 0), e2 = (0, 1, · · · , 0), · · · , en = (0, 0, · · · , 1); b) f1 = (1, 1, · · · , 1), f2 = (0, 1, · · · , 1), · · · , fn = (0, 0, · · · , 1).

12

2. Óñòàíîâèòå ëèíåéíóþ çàâèñèìîñòü èëè íåçàâèñèìîñòü ñëåäóþùèõ ñèñòåì âåêòîðîâ â ñîîòâåòñòâóþùèõ âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâàõ: a) ñèñòåìà a1 = (2, −9, 1), a2 = (2, −2, −3), a3 = (−1, −2, 3) âåêòîðîâ òðåõìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà; b) ñèñòåìà a1 = (1, 1, 1, 0, 0), a2 = (1, 0, 1, 0, 1), a3 = (1, 0, 0, 1, 0) âåêòîðîâ àðèôìåòè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà R5 ; c) ñèñòåìà âåêòîðîâ x, sin x, cos x ïðîñòðàíñòâà íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé íà îòðåçêå [−π, π]; d) ñèñòåìà 1 + i, 1 − i, 2 + 3i âåêòîðîâ âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà C êîìïëåêñíûõ ÷èñåë íàä ïîëåì R äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë; µ ¶ µ ¶ µ ¶ 1 2 4 1 3 4 e) ñèñòåìà ìàòðèö , , â ïðî3 4 2 3 1 2 ñòðàíñòâå ìàòðèö ðàçìåðà 2 × 2. 3. Êàêèì óñëîâèÿì äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü ñêàëÿðû α, β , γ , ÷òîáû ñèñòåìà âåêòîðîâ (1, α, α2 ), (1, β, β 2 ), (1, γ, γ 2 ) áûëà ëèíåéíî íåçàâèñèìîé? 4. Ïóñòü ñèñòåìà âåêòîðîâ a, b, c âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà ëèíåéíî íåçàâèñèìà. Äîêàæèòå ëèíåéíóþ íåçàâèñèìîñòü ñëåäóþùèõ ñèñòåì âåêòîðîâ: a) a + b, b, c; b) a + λb, b, c, ãäå λ  ïðîèçâîëüíûé ñêàëÿð; c) a + b, a + c, b + c. 5. Èñïîëüçóÿ ìåòîä ïðèâåäåíèÿ ê ñòóïåí÷àòîìó âèäó ìàòðèöû, ñîñòàâëåííîé èç êîìïîíåíò âåêòîðîâ ñèñòåìû, äîêàæèòå ëèíåéíóþ íåçàâèñèìîñòü ñëåäóþùèõ ñèñòåì âåêòîðîâ: a) (5, 4, 3), (3, 3, 2), (8, 1, 3); 13

b) (1, 4, 5, 4, −2), (1, 1, 4, 6, −4), (−1, −7, −6, 5, −1), (1, 4, 5, −3, 2); c) (1, 1, 1, 1), (1, 2, 1, 1), (1, 1, 2, 1), (1, 3, 2, 3). 6. Ïóñòü a, b, c  òðè âåêòîðà íà ïëîñêîñòè, èç êîòîðûõ ìîæíî ñëîæèòü òðåóãîëüíèê. Áóäóò ëè ýòè âåêòîðû ëèíåéíî çàâèñèìû? 7. ×òî îçíà÷àåò ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü (ëèíåéíàÿ íåçàâèñèìîñòü) ñèñòåìû, ñîñòàâëåííîé èç òðåõ ãåîìåòðè÷åñêèõ âåêòîðîâ?

√ 8. ßâëÿåòñÿ ëè ñèñòåìà ÷èñåë 1, 2 ëèíåéíî çàâèñèìîé ñèñòåìîé âåêòîðîâ â ïðîñòðàíñòâå R íàä Q ? 9. Ïîñòðîèòü ñèñòåìó èç ÷åòûðåõ ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ïÿòèìåðíûõ âåêòîðîâ. 10. Äàíû äâà âåêòîðà a1 = (1, 2, 3, 4), a2 = (0, 0, 0, 1). Ïîäîáðàòü åùå äâà ÷åòûðåõìåðíûõ âåêòîðà a3 è a4 òàê, ÷òîáû ñèñòåìà a1 , a2 , a3 , a4 áûëà ëèíåéíî íåçàâèñèìîé. 11. Äîêàçàòü ëèíåéíóþ íåçàâèñèìîñòü ñèñòåìû ôóíêöèé: a) ex , e√2x , e3x , . . . , enx√, ãäå n ∈ N; √ b) x, x 2 , x 3 , . . . , x n , ãäå n ∈ N; c) (1 − x)−1 , (1 − 2x)−1 , (1 − 3x)−1 , . . . , (1 − nx)−1 , ãäå n ∈ N. 12. Äîêàçàòü ëèíåéíóþ çàâèñèìîñòü ñèñòåìû ôóíêöèé: a) 1, sin x, cos x, sin2 x, cos2 x; b) sin x, cos x, sin2 x, cos2 x, sin3 x, cos3 x, sin4 x, cos4 x. 14

5 Ðàíã ñèñòåìû âåêòîðîâ. Áàçèñ ñèñòåìû âåêòîðîâ. Ðàçìåðíîñòü âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà Ïóñòü S  íåêîòîðàÿ ñèñòåìà âåêòîðîâ âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà. Áàçèñîì ýòîé ñèñòåìû íàçûâàåòñÿ òàêàÿ åå ëèíåéíî íåçàâèñèìàÿ ïîäñèñòåìà S0 , ÷òî âñÿêèé âåêòîð èç S ëèíåéíî âûðàæàåòñÿ ÷åðåç âåêòîðû ñèñòåìû S0 . Ýêâèâàëåíòíîå îïðåäåëåíèå: áàçèñ ñèñòåìû âåêòîðîâ S  ýòî òàêàÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìàÿ ïîäñèñòåìà S0 ñèñòåìû S , êîòîðàÿ ñòàíîâèòñÿ ëèíåéíî çàâèñèìîé ïðè äîáàâëåíèè ëþáîãî âåêòîðà èç S . ×èñëî âåêòîðîâ (êàêîãî-ëèáî) áàçèñà ñèñòåìû âåêòîðîâ íàçûâàåòñÿ ðàíãîì ýòîé ñèñòåìû.

Ïðåäëîæåíèå 6. Ïóñòü S  íåêîòîðàÿ ñèñòåìà âåêòîðîâ

è S0  åå ëèíåéíî íåçàâèñèìàÿ ïîäñèñòåìà. Òîãäà S0 ìîæíî äîïîëíèòü äî áàçèñà ñèñòåìû S .

Ñëåäñòâèå 1. Ëþáîå âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî èìååò áàçèñ. Ëåììà 1. Ïóñòü a1 , a2 ,..., ap è b1 , b2 ,...,bq äâà áàçèñà îäíîé è òîé æå ñèñòåìû âåêòîðîâ. Òîãäà p = q . Åñëè â âåêòîðíîì ïðîñòðàíñòâå L ñóùåñòâóåò áàçèñ èç êîíå÷íîãî ÷èñëà âåêòîðîâ, òî ïðîñòðàíñòâî L íàçûâàþò êîíå÷íîìåðíûì, à ÷èñëî âåêòîðîâ áàçèñà íàçûâàþò ðàçìåðíîñòüþ ïðîñòðàíñòâà L (è îáîçíà÷àþò dim L).

Ïðåäëîæåíèå 7. Ïóñòü L  âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî ðàç-

ìåðíîñòè n. Òîãäà: a) åñëè ñèñòåìà âåêòîðîâ S ⊂ L ëèíåéíî íåçàâèñèìà è ñîñòîèò èç n âåêòîðîâ, òî S  áàçèñ ïðîñòðàíñòâà L; b) ëþáàÿ ñèñòåìà âåêòîðîâ S ⊂ L, ñîñòîÿùàÿ áîëåå ÷åì èç n âåêòîðîâ, ëèíåéíî çàâèñèìà.

Ïðåäëîæåíèå 8. dim Rn = n ïðè ëþáîì n ≥ 1. Ëåììà 2. Ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ñèñòåìû âåêòîðîâ íå èçìåíÿþò ðàíãà ýòîé ñèñòåìû. 15

Ïðåäëîæåíèå 9. Ïóñòü â ïðîñòðàíñòâå Rn çàäàíà ñèñòåìà

âåêòîðîâ a1 , a2 , · · · , ap è ìàòðèöà ñ p ñòðîêàìè è n ñòîëáöàìè, i-ÿ ñòðîêà êîòîðîé ñîñòîèò èç êîìïîíåíò âåêòîðà ai , i = 1, 2, · · · , p. a) Òîãäà ðàíã ñèñòåìû âåêòîðîâ a1 , a2 , · · · , ap ñîâïàäàåò ñ ðàíãîì ìàòðèöû A. b) Ïóñòü ìàòðèöà A ïîäîáíà ñòóïåí÷àòîé ìàòðèöå B . Òîãäà ðàíã ñèñòåìû âåêòîðîâ a1 , a2 , · · · , ap ðàâåí ÷èñëó íåíóëåâûõ ñòðîê ìàòðèöû B . ñ) Ïóñòü p = n. Ñèñòåìà a1 , a2 , · · · , ap ÿâëÿåòñÿ áàçèñîì ïðîñòðàíñòâà Rn ⇐⇒ |A| 6= 0.

Ïðåäëîæåíèå 10. Ðàíã r ñèñòåìû âåêòîðîâ a1 , . . ., an , b ñîâïàäàåò ñ ðàíãîì ñèñòåìû âåêòîðîâ a1 , . . ., an òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà b ∈ L(a1 , . . . , an ). Åñëè ïðè ýòîì r = n, òî âåêòîð b åäèíñòâåííûì îáðàçîì âûðàæàåòñÿ â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè âåêòîðîâ a1 , . . ., an .

Çàäà÷è. 1. Êàêèå èç ñëåäóþùèõ ñèñòåì âåêòîðîâ ñîñòàâëÿþò áàçèñ ïðîñòðàíñòâà R3 : a) (1, 1, 1), (1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1); b) (1, 1, 1), (0, 1, 1), (1, 0, 1); c) (1, 2, 3), (3, 2, 1), (1, 1, 1); d) (1, −2, −2), (1, 5, −3), (−1, −5, 5); e) (1, 2, 7), (−2, −4, −8), (0, 0, 0)? 2. Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ ñëåäóþùèå ñèñòåìû âåêòîðîâ îáðàçóþò áàçèñ ïðîñòðàíñòâà R3 : a) (λ, 1, 0), (1, λ, 1), (0, 1, λ); 16

b) (1, α, β), (0, 1, γ), (0, 0, 1); c) (1, 1, 1), (α, β, γ), (α2 , β 2 , γ 2 ); d) (1, α, α2 ), (1, β, β 2 ), (1, γ, γ 2 ); e) (1, 2, 3), (3, 2, 1), (1, 1, α)? 3. Íàéäèòå áàçèñ è ðàíã ïåðå÷èñëåííûõ íèæå ñèñòåì âåêòîðîâ. Ïðè ðåøåíèè èñïîëüçîâàòü ìåòîä, îïèñàííûé â ïðåäëîæåíèè 9: a) (1, 1, −1, −1), (2, 2, 1, −1), (2, 2, −5, −3), (1, 1, −1, −1); b) (1, 3, −1, 4), (2, 4, −4, 8), (1, 1, −6, 6), (1, 3, −1, 8); c) (1, 7, 1, 5), (−1, −7, −3, −2), (−1, −7, −5, 1);

(−1, −7, −5, 7),

d) (1, −3, 1, 3, −3), (1, 4, 7, 4, −3), (−1, 3, −1, 3, 5), (1, −3, 1, −3, −7);

(−1, −4, −7, 2, 6),

e) (1, 1, −3, 1, 2), (−1, −1, 4, 2, 4), (2, 2, −1, 2, 5), (−2, −2, 8, 4, 8).

(−1, −1, 9, 2, 5),

4. Ïîêàæèòå, ÷òî 1 + i, 1 − i îáðàçóþò áàçèñ ïðîñòðàíñòâà êîìïëåêñíûõ ÷èñåë íàä ïîëåì äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë. Ðàç√ ëîæèòå ÷èñëà i, 1, −1 + 3i ïî ýòîìó áàçèñó. 5. Íàéòè ðàçìåðíîñòü ïîëÿ C êîìïëåêñíûõ ÷èñåë, ðàññìàòðèâàåìîãî êàê âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî: à) íàä ïîëåì R; b) íàä ïîëåì C . 6. Ïîêàæèòå, ÷òî â ïðîñòðàíñòâå ìíîãî÷ëåíîâ ñòåïåíè ≤ 3 ñëåäóþùèå ñèñòåìû ìíîãî÷ëåíîâ îáðàçóþò áàçèñû: a) 1, x, x2 , x3 ; b) 1, x − 1, (x − 1)2 , (x − 1)3 ; c) 1, x + 1, (x + 1)2 , (x + 1)3 ; d) 1, x + 2, (x − 3)2 , x3 + 5. 17

7. Ïîêàæèòå, ÷òî ñëåäóþùèå âåêòîðíûå ïðîñòðàíñòâà íå ÿâëÿþòñÿ êîíå÷íîìåðíûìè: a) ïðîñòðàíñòâî ìíîãî÷ëåíîâ (îò x) íàä ïîëåì R; b) ïðîñòðàíñòâî ìíîãî÷ëåíîâ (îò x) íàä ïîëåì ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë; c) ïðîñòðàíñòâî íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé íà îòðåçêå [0, 1] íàä ïîëåì R. 8. Îïðåäåëèòå ðàçìåðíîñòü âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà ìíîãî÷ëåíîâ ñ êîýôôèöèåíòàìè èç R ñòåïåíè ≤ 3, êîòîðûå äîïîëíèòåëüíî óäîâëåòâîðÿþò îäíîìó èç óñëîâèé: a) f (0) = 0; b) f (4) = 0; c) f 00 (3) = 0;

d) f (1) = 3 · f (2); e) f 0 (0) = f (1); f) f 00 (0) = f (1).

9. Íàéòè áàçèñ è ðàçìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâà ìàòðèö ðàçìåðà 2 × 3 ñ ýëåìåíòàìè èç R. 10. Ïîêàçàòü,÷òî ìíîæåñòâî 5-ìåðíûõ ñòðîê âèäà (a, b, b, c, 0) ñ êîìïëåêñíûìè êîìïîíåíòàìè îáðàçóåò ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî: a) íàä ïîëåì R; b) íàä ïîëåì C . Íàéòè áàçèñû è ðàçìåðíîñòè îáîèõ ïðîñòðàíñòâ. 11. Äàíà ñèñòåìà âåêòîðîâ a1 = (1, 2, 3), a2 = (2, 3, 4), a3 = (3, 2, 3), a4 = (4, 3, 4), a5 = (1, 1, 1). a) Êàêèå ëèíåéíûå çàâèñèìîñòè èìåþò ìåñòî ìåæäó äàííûìè âåêòîðàìè? b) Íàéòè âñå ìàêñèìàëüíûå ëèíåéíî íåçàâèñèìûå ïîäñèñòåìû ñèñòåìû âåêòîðîâ a1 , a2 , a3 , a4 , a5 . 12. Íàéòè êàêîé-íèáóäü áàçèñ è ðàçìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâà ðå18

øåíèé ñëåäóþùèõ óðàâíåíèé:    2x1 + x2 − 4x3 = 0,  2x1 − x2 + 5x3 + 7x4 = 0, 3x1 + 5x2 − 7x3 = 0, c) 4x1 − 2x2 + 7x3 + 5x4 = 0, a)   4x1 − 5x2 − 6x3 = 0; 2x1 − x2 + x3 − 5x4 = 0;

½ b)

5x1 + 3x2 + 4x3 = 0, d) 6x1 + 5x2 + 6x3 = 0;

½

4x1 − 6x2 + 5x3 = 0, 6x1 − 9x2 + 10x3 = 0;

e) x1 + x2 + · · · + xn = 0.

6 Ðàçëîæåíèå âåêòîðà ïî áàçèñó. Êîîðäèíàòû âåêòîðà â áàçèñå Ïóñòü â íåêîòîðîì âåêòîðíîì ïðîñòðàíñòâå L çàôèêñèðîâàí áàçèñ e1 , e2 , . . ., en . Åñëè x ∈ L, òî íàéäóòñÿ ñêàëÿðû x1 , x2 , . . ., xn , äëÿ êîòîðûõ x = x1 e1 + x2 e2 + . . . xn en . Óïîðÿäî÷åííûé íàáîð x1 , x2 , . . ., xn íàçûâàåòñÿ íàáîðîì êîîðäèíàò âåêòîðà x â áàçèñå e1 , e2 , . . ., en .

Ïðåäëîæåíèå 11. Êîîðäèíàòû âåêòîðà â çàäàííîì áàçèñå îïðåäåëåíû åäèíñòâåííûì îáðàçîì. Ïðåäëîæåíèå 12. Ïðè ñëîæåíèè âåêòîðîâ ñîîòâåòñòâóþ-

ùèå êîîðäèíàòû ñëàãàåìûõ ñêëàäûâàþòñÿ. Ïðè óìíîæåíèè âåêòîðà íà ñêàëÿð åãî êîîðäèíàòû óìíîæàþòñÿ íà ýòîò ñêàëÿð.

Çàäà÷è. 1. Íàéäèòå êîîðäèíàòû âåêòîðà x = (6, 0, −5) ïðîñòðàíñòâà R3 â áàçèñàõ: a) (3, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 1); b) (1, −1, 0), (1, 2, 3), (0, 1, −1). 19

2. Íàéäèòå êîîðäèíàòû âåêòîðà z = 8 + 9i ïðîñòðàíñòâà C êîìïëåêñíûõ ÷èñåë íàä ïîëåì R â áàçèñàõ: a)

1 , −3i; 2

b) 2 − i, 4i;

c) 1 − i, 1 + i.

3. Ïîêàçàòü, ÷òî ñèñòåìà âåêòîðîâ

e1 = (1, 0, 1, 0), e2 = (1, 1, 0, 0), e3 = (0, 1, 1, 1), e4 = (0, 0, 1, 1) ÿâëÿåòñÿ áàçèñîì ïðîñòðàíñòâà R4 . Íàéòè êîîðäèíàòû âåêòîðà a = (1, 2, 3, 4) â ýòîì áàçèñå. 4. Ðàçëîæèòü âåêòîðû x = (2, 6, 6, 8) è y = (0, 0, 0, 8) ïî ñëåäóþùèì áàçèñàì: a) e1 = (1, 6, −2, −3), e2 = (−1, −9, 7, 8), e3 = (2, 6, 7, 2), e4 = (1, 6, −3, 3); b) e1 = (1, −3, 4, 2), e2 = (−2, 7, −6, 2), e3 = (2, −8, 2, −5), e4 = (−1, 3, −4, 2). 5. Íàéäèòå êîîðäèíàòû âåêòîðà f (x) = x2 − 5x + 6 ïðîñòðàíñòâà ìíîãî÷ëåíîâ ñòåïåíè ≤ 3 â áàçèñàõ: a) −2, −x, 2x2 , x3 ;

b) 1, x − 1, (x − 1)2 , (x − 1)3 .

6. Íà ïëîñêîñòè çàäàí ïðàâèëüíûé øåñòèóãîëüíèê ABCDEF . Íàéäèòå êîîðäèíàòû âåêòîðîâ F C , BE è EA â ñëåäóþùèõ áàçèñàõ: a) AB , AF ; b) AC , DE . 7. Ïóñòü ABCDA0 B 0 C 0 D0  êóá. Íàéäèòå êîîðäèíàòû âåêòîðîâ AD, BD è AC 0 â áàçèñå AB , AB 0 , AC 0 . 8. Íàéòè ðàçëîæåíèå ôóíêöèé sin3 x, cos3 x â âåêòîðíîì ïðîñòðàíñòâå òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíîâ ñòåïåíè ≤ 3 ïî áàçèñó 1, sin x, cos x, sin 2x, cos 2x, sin 3x, cos 3x. 20

7 Ìàòðèöà ïåðåõîäà îò îäíîãî áàçèñà ê äðóãîìó. Ñâÿçü êîîðäèíàò âåêòîðà â ðàçëè÷íûõ áàçèñàõ Ïóñòü L  âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî è â íåì çàäàíû áàçèñû e1 , e2 ,..., en ("ñòàðûé") è e01 , e02 ,..., e0n ("íîâûé"). Ìàòðèöåé ïåðåõîäà îò ïåðâîãî áàçèñà êî âòîðîìó íàçûâàåòñÿ ìàòðèöà ðàçìåðà n×n, j -ûé ñòîëáåö êîòîðîé ñîñòàâëåí èç êîîðäèíàò âåêòîðà e0j â áàçèñå e1 , e2 ,..., en , ãäå j = 1, 2, ..., n. Ïóñòü â âåêòîðíîì ïðîñòðàíñòâå âûáðàí âåêòîð x. Îáîçíà÷èì ÷åðåç X ìàòðèöó, åäèíñòâåííûé ñòîëáåö êîòîðîé ñîñòàâëåí èç êîîðäèíàò ýòîãî âåêòîðà â áàçèñå e1 , e2 ,..., en . Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì èç êîîðäèíàò âåêòîðà x â áàçèñå e01 , e02 ,..., e0n ñîñòàâèì ìàòðèöó X 0 . Òîãäà ñïðàâåäëèâî

Ïðåäëîæåíèå 13. Êîîðäèíàòû âåêòîðà x â ñòàðîì è íîâîì áàçèñå ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì X = CX 0 .   1 1 0 Ïðèìåð. Ïóñòü ìàòðèöà ïåðåõîäà C =  1 1 1 . Òîãäà 1 0 0 "ñòàðûå" x1 , x2 , x3 è "íîâûå" x01 , x02 , x03 êîîðäèíàòû ïðîèçâîëüíîãî âåêòîðà x ñâÿçàíû ðàâåíñòâàìè x1 = x01 + x02 ,

x2 = x01 + x02 + x03 ,

x3 = x01 .

Ëåììà 3. Ïóñòü â ïðîñòðàíñòâ L âûáðàíî äâà áàçèñà è C 

òàêàÿ ìàòðèöà, ÷òî X = CX 0 äëÿ ëþáîãî âåêòîðà x ∈ L. Òîãäà C  ìàòðèöà ïåðåõîäà îò ïåðâîãî áàçèñà êî âòîðîìó.

Ïðåäëîæåíèå 14. Äëÿ ëþáûõ äâóõ áàçèñîâ âåêòîðíîãî ïðî-

ñòðàíñòâà ìàòðèöà ïåðåõîäà C îò ïåðâîãî áàçèñà êî âòîðîìó íåâûðîæäåíà. Ïîýòîìó ñóùåñòâóåò îáðàòíàÿ ìàòðèöà C −1 . Ïðè ýòîì C −1 ÿâëÿåòñÿ ìàòðèöåé ïåðåõîäà îò âòîðîãî áàçèñà ê ïåðâîìó.

Ïðåäëîæåíèå 15. Ïóñòü â âåêòîðíîì ïðîñòðàíñòâå âûáðàíî

òðè áàçèñà. Ïóñòü C1  ìàòðèöà ïåðåõîäà îò ïåðâîãî áàçèñà êî âòîðîìó è C2  ìàòðèöà ïåðåõîäà îò âòîðîãî áàçèñà ê 21

òðåòüåìó. Òîãäà ìàòðèöåé ïåðåõîäà îò ïåðâîãî áàçèñà ê òðåòüåìó ñëóæèò C1 C2 .

Çàäà÷è. 1. Ïóñòü e1 , e2  áàçèñ ïðîñòðàíñòâà R2 è e01 = 5e1 − e2 , e02 = 2e1 +3e2 . Ïîêàçàòü, ÷òî e01 , e02  áàçèñ ïðîñòðàíñòâà R2 . Íàéòè ìàòðèöó ïåðåõîäà îò ïåðâîãî áàçèñà êî âòîðîìó è îò âòîðîãî ê ïåðâîìó. Íàéòè êîîðäèíàòû âåêòîðà a = e1 + 4e2 â áàçèñå e01 , e02 . 2. Ïîêàçàòü, ÷òî ñèñòåìû âåêòîðîâ e1 , e2 , . . ., en è f1 , f2 , . . ., fn ÿâëÿþòñÿ áàçèñàìè ïðîñòðàíñòâà Rn . Íàéòè ìàòðèöó ïåðåõîäà îò ïåðâîãî áàçèñà êî âòîðîìó è îò âòîðîãî ê ïåðâîìó â ñëåäóþùèõ ñëó÷àÿõ: a) e1 = (1, −1, 0), e2 = (1, 2, 3), e3 = (0, 1, −1), f1 = (3, −1, 4), f2 = (1, −2, −5), f3 = (3, −2, −1) ïðè n = 3; b) e1 = (1, 2, −1, 0), e2 = (1, −1, 1, 1), e3 = (−1, 2, 1, 1), e4 = (−1, −1, 0, 1), f1 = (2, 1, 0, 1), f2 = (0, 1, 2, 2), f3 = (−2, 1, 1, 2), f4 = (1, 3, 1, 2) ïðè n = 4. 3. Ïóñòü e1 , e2 , e3  áàçèñ ïðîñòðàíñòâà R3 è e01 = e1 +2e2 +2e3 , e02 = 2e1 − e2 , e03 = −e1 + e2 + e3 . Ïîêàçàòü, ÷òî e01 , e02 , e03  áàçèñ ïðîñòðàíñòâà R3 . Íàéòè ìàòðèöó ïåðåõîäà îò ïåðâîãî áàçèñà êî âòîðîìó è îò âòîðîãî ê ïåðâîìó. Íàéòè êîîðäèíàòû âåêòîðîâ x = e1 + 4e2 − e3 , y = 2e01 − e02 + e03 è z = 2x + 3y â îáîèõ áàçèñàõ. 4. Ïóñòü  a1 , a2 , a3 èb1 , b2 , b3  äâà áàçèñà ïðîñòðàíñòâà R3 1 0 0 è T =  0 2 1   ìàòðèöà ïåðåõîäà îò ïåðâîãî áàçèñà 1 1 1 22

êî âòîðîìó. Íàéòè êîîðäèíàòû âåêòîðîâ x = 2a1 − 3a2 + a3 è y = 3b1 + b2 − b3 â ïåðâîì è âî âòîðîì áàçèñàõ. 5. Çàïèñàòü ìàòðèöó ïåðåõîäà îò áàçèñà e1 , e2 , e3 , e4 ê áàçèñó: a) e2 , e3 , e4 , e1 ; b) e2 , e1 , e3 , e4 ; c) e1 , e1 + e2 , e2 + e3 , e3 + e4 . 6. Êàê èçìåíèòñÿ ìàòðèöà ïåðåõîäà îò îäíîãî áàçèñà ê äðóãîìó, åñëè: à) ïîìåíÿòü ìåñòàìè äâà âåêòîðà ïåðâîãî áàçèñà; b) ïîìåíÿòü ìåñòàìè äâà âåêòîðà âòîðîãî áàçèñà; c) çàïèñàòü âåêòîðû ïåðâîãî áàçèñà â îáðàòíîì ïîðÿäêå; d) çàïèñàòü âåêòîðû âòîðîãî áàçèñà â îáðàòíîì ïîðÿäêå; e) çàïèñàòü âåêòîðû îáîèõ áàçèñîâ â îáðàòíîì ïîðÿäêå? 7. Íàéòè ìàòðèöó ïåðåõîäà îò áàçèñà 1, x, x2 , x3 ïðîñòðàíñòâà ìíîãî÷ëåíîâ ñòåïåíè ≤ 3 ê áàçèñó 1, (x−a), (x−a)2 , (x−a)3 . 8. Ïóñòü Ln  ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî ìíîãî÷ëåíîâ ñòåïåíè ≤ n − 1 (âìåñòå ñ íóëåâûì ìíîãî÷ëåíîì). Íàéòè ìàòðèöû ïåðåõîäîâ îò êàæäîãî èç áàçèñîâ: a) 1, x, x2 ,. . ., xn−1 ; b) 1, (x + 1), (x + 1)2 , . . ., (x + 1)n−1 ê äðóãîìó. Ñ ïîìîùüþ ìàòðèöû ïåðåõîäà ðàçëîæèòü ìíîãî÷ëåí 1 + 5x2 − 2x3 + x4 ïî ñòåïåíÿì äâó÷ëåíà x + 1.

8 Ïîäïðîñòðàíñòâà âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà. Ïåðåñå÷åíèå è ñóììà ïîäïðîñòðàíñòâ. Ïðÿìàÿ ñóììà ïîäïðîñòðàíñòâ Ïîäìíîæåñòâî L0 âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà L íàçûâàåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì ïðîñòðàíñòâà L, åñëè îíî ñàìî ÿâëÿåòñÿ âåê23

òîðíûì ïðîñòðàíñòâîì îòíîñèòåëüíî îïåðàöèé ñëîæåíèÿ âåêòîðîâ è óìíîæåíèÿ âåêòîðà íà ñêàëÿð, îïðåäåëåííûõ âî âñåì ïðîñòðàíñòâå L.

Ïðèìåðû. 1. Ïóñòü â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå çàôèêñèðîâàíà íåêîòîðàÿ ïëîñêîñòü, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò, è L0  ìíîæåñòâî âåêòîðîâ, ëåæàùèõ â ýòîé ïëîñêîñòè. Òîãäà L0  ïîäïðîñòðàíñòâî ïðîñòðàíñòâà âåêòîðîâ â R3 . 2. Ïîäìíîæåñòâî {0} ïðîèçâîëüíîãî ïðîñòðàíñòâà L, ñîñòîÿùåå òîëüêî èç íóëåâîãî âåêòîðà, ÿâëÿåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì ïðîñòðàíñòâà L. Îíî íàçûâàåòñÿ íóëåâûì ïîäïðîñòðàíñòâîì . 3. Ïðîèçâîëüíîå ïðîñòðàíñòâî ÿâëÿåòñÿ ñâîèì ïîäïðîñòðàíñòâîì. 4. Ëèíåéíàÿ îáîëî÷êà L(a1 , a2 , ..., ak ) ëþáîé ñèñòåìû âåêòîðîâ a1 , a2 , · · · , ak ÿâëÿåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì. 5. Ïóñòü çàäàíà ñèñòåìà îäíîðîäíûõ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ n íåèçâåñòíûìè. Ïóñòü S  ìíîæåñòâî òåõ âåêòîðîâ (x1 , x2 , . . . , xn ) n-ìåðíîãî àðèôìåòè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà Rn , äëÿ êîòîðûõ x1 , x2 , . . ., xn ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìû. Òîãäà S  ïîäïðîñòðàíñòâî ïðîñòðàíñòâà Rn .

Ïðåäëîæåíèå 16. Íåïóñòîå ïîäìíîæåñòâî L0 âåêòîðíîãî ïðî-

ñòðàíñòâà L ÿâëÿåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì ⇐⇒ âûïîëíåíû ñëåäóþùèå ñâîéñòâà: a) åñëè x, y ∈ L0 , òî x + y ∈ L0 ; b) åñëè x ∈ L0 è k  ïðîèçâîëüíûé ñêàëÿð, òî kx ∈ L0 .

Ïðåäëîæåíèå 17. Ïåðåñå÷åíèå äâóõ (è áîëüøåãî ÷èñëà) ïîä-

ïðîñòðàíñòâ âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà ÿâëÿåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì. 24

Çàìå÷àíèå. Îáúåäèíåíèå äâóõ ïîäïðîñòðàíñòâ ÿâëÿåòñÿ ïîä-

ïðîñòðàíñòâîì ⇐⇒ îäíî èç íèõ ñîäåðæèòñÿ â äðóãîì. Ïóñòü L1 è L2  äâà ïîäïðîñòðàíñòâà íåêîòîðîãî ïðîñòðàíñòâà L. Èõ ñóììîé íàçûâàåòñÿ ïîäìíîæåñòâî

L0 = {x1 + x2 : x1 ∈ L1 , x2 ∈ L2 } ïðîñòðàíñòâà L. Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî L0  ïîäïðîñòðàíñòâî ïðîñòðàíñòâà L. Ñóììà ïîäïðîñòðàíñòâ çàïèñûâàåòñÿ òàê:

L0 = L1 + L2 .

Ïðåäëîæåíèå 18. dim(L1 + L2 ) = dim(L1 ) + dim(L2 ) − dim(L1 ∩ L2 ). Åñëè ïåðåñå÷åíèå ïîäïðîñòðàíñòâ L1 è L2 ñîñòîèò òîëüêî èç íóëåâîãî âåêòîðà, òî ñóììà L1 + L2 íàçûâàåòñÿ ïðÿìîé ñóììîé è îáîçíà÷àåòñÿ L1 ⊕ L2 .

Ïðåäëîæåíèå 19. Ïóñòü L1 è L2  äâà ïîäïðîñòðàíñòâà

íåêîòîðîãî ïðîñòðàíñòâà L. Òîãäà L = L1 ⊕ L2 ⇐⇒ âûïîëíÿåòñÿ îäíî èç ñëåäóþùèõ óñëîâèé: a) êàæäûé âåêòîð x ∈ L îäíîçíà÷íî ïðåäñòàâèì â âèäå x = x1 + x2 , ãäå x1 ∈ L1 , x2 ∈ L2 ; b) ñóùåñòâóåò âåêòîð x ∈ L îäíîçíà÷íî ïðåäñòàâèìûé â âèäå x = x1 + x2 , ãäå x1 ∈ L1 , x2 ∈ L2 ; ñ) dim(L1 + L2 ) = dim(L1 ) + dim(L2 ).

Çàäà÷è. 1. ßâëÿåòñÿ ëè ïîäïðîñòðàíñòâîì ïðîñòðàíñòâà Rn ìíîæåñòâî âñåõ âåêòîðîâ (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn , óäîâëåòâîðÿþùèõ äàííîìó óñëîâèþ: a) x1 − x2 − . . . − xn = 0; b) x1 xn = 1; c) x21 − x2n = 0; d) x21 + x22 + · · · + x2n−1 = 0; 25

e) x1 + . . . + xn = 1; f) 0x1 + . . . + 0xn = 0; g) x21 + x22 + · · · + x2n = 0; h) α1 x1 + . . . + αn xn = 0,

ãäå α1 , . . . , αn ∈ R  ôèêñèðîâàííûé íàáîð ÷èñåë? 2. ßâëÿåòñÿ ëè ïîäïðîñòðàíñòâîì ïðîñòðàíñòâà âåêòîðîâ ïëîñêîñòè ìíîæåñòâî L âåêòîðîâ, íà÷àëà êîòîðûõ íàõîäÿòñÿ â òî÷êå ñ êîîðäèíàòàìè (0, 0), à êîíöû  â ïåðâîé êîîðäèíàòíîé ÷åòâåðòè? 3. Íàéòè ðàçìåðíîñòü è áàçèñ âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà ðåøåíèé ñèñòåìû óðàâíåíèé:  ½ = 0,  x1 + x2 − x3 2x1 − 4x2 + 5x3 = 0, x1 + 2x2 + 3x3 = 0, a) b) x1 − 6x2 + 4x3 = 0;  x −x +x = 0; 1 2 3 ½ x1 + x2 + 2x3 + x4 + x5 = 0, c)  x1 + x2 + x3 + x4 + 3x5 = 0; x − 2x2 + 2x3 + 5x4 + 7x5 = 0,    1 x1 − 3x2 + 4x3 + 8x4 + 9x5 = 0, d) x1 − 2x2 + 6x3 + 7x4 + x5 = 0,    3x − x + 4x + 4x − x = 0; 1 2 3 4 5  = 0,   x1 − x3 + x5   = 0,  x2 − x4 + x6 x1 − x2 + x5 − x6 = 0, e)   x = 0,  2 + x3 + x6   x −x +x = 0; 1 4 5 4. Ïóñòü L  âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî âñåõ êâàäðàòíûõ ìàòðèö ïîðÿäêà n ñ äåéñòâèòåëüíûìè ýëåìåíòàìè è M ⊂ L. Âûÿñíèòü, ÿâëÿåòñÿ ëè M ïîäïðîñòðàíñòâîì ïðîñòðàíñòâà L, åñëè M åñòü: a) ìíîæåñòâî âñåõ äèàãîíàëüíûõ ìàòðèö èç L (ýëåìåíòû aii ïðîèçâîëüíû, îñòàëüíûå  íóëè); b) ìíîæåñòâî âñåõ íåâûðîæäåííûõ ìàòðèö; c) ìíîæåñòâî âñåõ ñèììåòðè÷åñêèõ ìàòðèö; d) ìíîæåñòâî ìàòðèö ñ öåëî÷èñëåííûìè ýëåìåíòàìè; 26

e) ìíîæåñòâî âñåõ ìàòðèö èç L, ó êîòîðûõ ïåðâàÿ ñòðîêà íóëåâàÿ.  òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà M åñòü ïîäïðîñòðàíñòâî, íàéòè åãî ðàçìåðíîñòü. 5. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáûõ âåêòîðîâ a1 , a2 , b1 , b2 , b3 ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî L(a1 , a2 ) + L(b1 , b2 , b3 ) = L(a1 , a2 , b1 , b2 , b3 ). 6. Íàéòè ðàçìåðíîñòü è áàçèñ ïîäïðîñòðàíñòâà âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà R4 , ïîðîæäåííîãî çàäàííîé ñèñòåìîé âåêòîðîâ: a) a1 = (1, 0, 0, −1), a2 = (2, 1, 1, 0), a3 = (1, 2, 3, 4), a4 = (0, 1, 2, 3); b) a1 = (1, 2, 1, 2), a2 = (2, 1, 2, 1), a3 = (−1, 1, −1, 1). Ñîñòàâèòü òàêóþ ñèñòåìó ëèíåéíûõ îäíîðîäíûõ óðàâíåíèé, ÷òîáû ìíîæåñòâî åå ðåøåíèé ñîâïàäàëî ñ L(a1 , a2 ). 7. Ïóñòü L1  ïðîñòðàíñòâî ðåøåíèé ñèñòåìû óðàâíåíèé ½ x1 − x2 + x3 = 0, x1 − 2x2 − x3 = 0,

L2  ïðîñòðàíñòâî ðåøåíèé ñèñòåìû ½ x1 − x2 + x3 = 0, 2x1 + x2 − 2x3 = 0, L3  ëèíåéíàÿ îáîëî÷êà ñèñòåìû âåêòîðîâ (1, 1, 2), (1, 2, 2), (2, 3, 4) è L4  ëèíåéíàÿ îáîëî÷êà ñèñòåìû âåêòîðîâ

(0, 1, 1), (1, 1, 1), (1, 0, 0). Íàéòè áàçèñ ïåðåñå÷åíèÿ è áàçèñ ñóììû êàæäîé ïàðû ïîäïðîñòðàíñòâ Li è Lj , ãäå i, j = 1, 2, 3, 4, i 6= j . Êàêèå èç ýòèõ ñóìì ÿâëÿþòñÿ ïðÿìûìè ? 27

8. Íàéòè áàçèñ è ðàçìåðíîñòü ñóììû è ïåðåñå÷åíèÿ ïîäïðîñòðàíñòâ ïðîñòðàíñòâà ñòðîê, íàòÿíóòûõ íà ñèñòåìû âåêòîðîâ ai è bj . Íàéòè áàçèñû ýòèõ ïîäïðîñòðàíñòâ, âêëþ÷àþùèå áàçèñ ïåðåñå÷åíèÿ : a) a1 = (1, 2, 1, 0), a2 = (−1, 1, 1, 1), b2 = (1 − 1, 3, 7);

b1 = (2, −1, 0, −1),

b) a1 = (1, 2, −1, −2), a2 = (3, 1, 1, 1), a3 = (−1, 0, 1, −1), b1 = (2, 5, −6, −5), b2 = (−1, 2, −7, −3). 9. Ïóñòü P1 , P2 , P3  òðè ïîäïðîñòðàíñòâà êîíå÷íîìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà S , ïðè÷åì P1 ⊂ P3 . Äîêàçàòü, ÷òî

P1 + (P2 ∩ P3 ) = (P1 + P2 ) ∩ P3 . 10. Äîêàçàòü, ÷òî ïðîñòðàíñòâî âåùåñòâåííûõ íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé íà îòðåçêå [0, 1] åñòü ïðÿìàÿ ñóììà ïîäïðîñòðàíñòâà êîíñòàíò è ïîäïðîñòðàíñòâà íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé, îáðàùàþùèõñÿ â 0 â äàííîé òî÷êå x0 , ãäå 0 ≤ x0 ≤ 1. 11. Äîêàçàòü, ÷òî ïðîñòðàíñòâî K[x] ïîëèíîìîâ îò ïåðåìåííîé x åñòü ïðÿìàÿ ñóììà ïîäïðîñòðàíñòâà ïîëèíîìîâ, äåëÿùèõñÿ íà äàííûé ïîëèíîì ϕ(x) ∈ K[x], è ïîäïðîñòðàíñòâà ïîëèíîìîâ, ñòåïåíè êîòîðûõ ìåíüøå ñòåïåíè ϕ(x).

9 Âåêòîðíûå ìíîãîîáðàçèÿ. Ïåðåñå÷åíèå âåêòîðíûõ ìíîãîîáðàçèé Ïóñòü L  âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî, L0  åãî ïîäïðîñòðàíñòâî. Âåêòîðíûì (èëè ëèíåéíûì) ìíîãîîáðàçèåì ïðîñòðàíñòâà L íàçûâàåòñÿ ñîâîêóïíîñòü P ⊂ L, ïîëó÷åííàÿ ïðèáàâëåíèåì êî âñåì âåêòîðàì ïîäïðîñòðàíñòâà L0 îäíîãî è òîãî æå âåêòîðà x0 ∈ L, òî åñòü

P = L0 + x0 = {y ∈ L : y = x + x0 , x ∈ L0 }. 28

Ãîâîðÿò òàêæå, ÷òî ëèíåéíîå ìíîãîîáðàçèå P ïîëó÷åíî èç ëèíåéíîãî ïîäïðîñòðàíñòâà L0 ïàðàëëåëüíûì ñäâèãîì íà âåêòîð x0 . Ñàìî ïîäïðîñòðàíñòâî L0 íàçûâàþò òàêæå íàïðàâëÿþùèì ïîäïðîñòðàíñòâîì. Ðàçìåðíîñòü ëèíåéíîãî ìíîãîîáðàçèÿ ïîëàãàåòñÿ ðàâíîé ðàçìåðíîñòè ñîîòâåòñòâóþùåãî ëèíåéíîãî ïîäïðîñòðàíñòâà, ò.å.

dim P = dim L. Îäíîìåðíûå âåêòîðíûå ìíîãîîáðàçèÿ íàçûâàþòñÿ òàêæå ïðÿìûìè, äâóìåðíûå  ïëîñêîñòÿìè.

Çàäà÷è. 1. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ òîãî, ÷òîáû ìíîãîîáðàçèÿ P1 = x1 + L1 è P2 = x2 + L2 ñîâïàäàëè, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû âûïîëíÿëèñü ñîîòíîøåíèÿ L1 = L2 è x2 − x1 ∈ L1 . 2. Èñõîäÿ èç ïðåäûäóùåãî óïðàæíåíèÿ, äîêàçàòü êîððåêòíîñòü îïðåäåëåíèÿ ðàçìåðíîñòè âåêòîðíîãî ìíîãîîáðàçèÿ. 3. Ïîêàçàòü, ÷òî åñëè â îïðåäåëåíèè âåêòîðíîãî ìíîãîîáðàçèÿ çàìåíèòü âåêòîð x0 íà ëþáîé äðóãîé âåêòîð ýòîãî æå ìíîãîîáðàçèÿ, òî ïîëó÷èì èñõîäíîå ìíîãîîáðàçèå. 4. Ïîêàçàòü, ÷òî åñëè äâå òî÷êè êàêîé-íèáóäü ïðÿìîé ïðèíàäëåæàò âåêòîðíîìó ìíîãîîáðàçèþ, òî è âñÿ îíà ñîäåðæèòñÿ â ýòîì ìíîãîîáðàçèè. 5. Íàéòè òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ äâóõ ïðÿìûõ a0 + a1 t è b0 + b1 t: a) a0 = (2, 2, 2, −2), a1 = (1, 1, 1, 1), b0 = (3, 3, 3, −3), b1 = (1, 1, 1, 0); b) a0 = (a, a, a, −a), a1 = (1, 1, 1, 1), b0 = (b, b, b, −b), b1 = (1, 1, 1, 0); c) a0 = (2, 2, 2, −2), a1 = (a, a, a, a), b0 = (3, 3, 3, −3), b1 = (a, a, a, 0); 29

d) a0 = (2, 1, 1, 3), a1 = (2, 3, 1, 1), b0 = (1, 1, 2, 1), b1 = (1, 2, 1, 0). 6. Íàéòè áàçèñ íàïðàâëÿþùåãî ïîäïðîñòðàíñòâà è âåêòîð ñäâèãà ëèíåéíîãî ìíîãîîáðàçèÿ ðåøåíèé ñèñòåìû óðàâíåíèé:  = 1,  x1 + x2 − x3 + x4 2x − x + x + 2x a) 1 2 3 4 = 2,  x1 − 2x2 + 2x3 + x4 = 1; ½ x1 + x2 + x3 = 1, b) x1 − x2 + 3x3 = 1;   x1 − x2 + x3 = 1, x1 + x2 − 2x3 = 2, c)  2x1 − x2 + x3 = −1.

30

Ñïèñîê ëèòåðàòóðû [1] Êóðîø À.Ã. Êóðñ âûñøåé àëãåáðû. - Ì.: Íàóêà, 1975. [2] Ôàääååâ Ä.Ê. Ëåêöèè ïî àëãåáðå. - Ì.: Íàóêà, 1984. [3] Êîñòðèêèí À.È., Ìàíèí Þ.È. Ëèíåéíàÿ àëãåáðà è ãåîìåòðèÿ. - Ì.: Èçä-âî ÌÃÓ, 1980. [4] Ìàëüöåâ À.È. Îñíîâû ëèíåéíîé àëãåáðû. - Ì.: Âóçîâñêàÿ êíèãà, 2001. [5] Ãåëüôàíä È.Ì. Ëåêöèè ïî ëèíåéíîé àëãåáðå. - Ì.: Íàóêà, 1971. [6] Ôåäîð÷óê Â.Â. Êóðñ àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè è ëèíåéíîé àëãåáðû. - Ì.: Èçä-âî ÌÃÓ, 1990. [7] Áåêëåìèøåâ Ë.À., Ïåòðîâè÷ À.Þ., ×óáàðîâ È.À. Ñáîðíèê çàäà÷ ïî àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè è ëèíåéíîé àëãåáðå. Ì.: Íàóêà, 1984. [8] Ñáîðíèê çàäà÷ ïî àëãåáðå. Ïîä ðåä. Êîñòðèêèíà À.È. - Ì.: Íàóêà, 1987. [9] Ïðîñêóðÿêîâ È.Â., Ñáîðíèê çàäà÷ ïî ëèíåéíîé àëãåáðå. Ì.Ñ.Ïåòåðáóðã, 2001. [10] Ôàäååâ Ä.Ê., Ñîìèíñêèé È.Ñ., Ñáîðíèê çàäà÷ ïî âûñøåé àëãåáðå. - Ì.: Íàóêà, 1977.

31

Ñîäåðæàíèå Ââåäåíèå êî âòîðîé ÷àñòè

3

1 Ïîíÿòèå âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà

3

2 Ïðîñòåéøèå ñâîéñòâà âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ

7

3 Ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ñèñòåìû âåêòîðîâ. Ëèíåéíàÿ îáîëî÷êà ñèñòåìû âåêòîðîâ. Ýêâèâàëåíòíûå ñèñòåìû âåêòîðîâ 8 4 Ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü è ëèíåéíàÿ íåçàâèñèìîñòü ñèñòåìû âåêòîðîâ. Ñâîéñòâà ëèíåéíî çàâèñèìûõ è ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ñèñòåì âåêòîðîâ 11 5 Ðàíã ñèñòåìû âåêòîðîâ. Áàçèñ ñèñòåìû âåêòîðîâ. Ðàçìåðíîñòü âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà 15 6 Ðàçëîæåíèå âåêòîðà ïî áàçèñó. Êîîðäèíàòû âåêòîðà â áàçèñå 19 7 Ìàòðèöà ïåðåõîäà îò îäíîãî áàçèñà ê äðóãîìó. Ñâÿçü êîîðäèíàò âåêòîðà â ðàçëè÷íûõ áàçèñàõ 21 8 Ïîäïðîñòðàíñòâà âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà. Ïåðåñå÷åíèå è ñóììà ïîäïðîñòðàíñòâ. Ïðÿìàÿ ñóììà ïîäïðîñòðàíñòâ. 23 9

Âåêòîðíûå ìíîãîîáðàçèÿ. Ïåðåñå÷åíèå âåêòîðíûõ ìíîãîîáðàçèé 28

Ñïèñîê ëèòåðàòóðû

31

32

Ó÷åáíîå èçäàíèå

Ïîïîâ Âëàäèìèð Âàëåíòèíîâè÷, äîöåíò êàôåäðû èíôîðìàòèêè è ýêñïåðèìåíòàëüíîé ìàòåìàòèêè ÂîëÃÓ

Ìàçåïà Åëåíà Àëåêñååâíà, äîöåíò êàôåäðû òåîðèè âåðîÿòíîñòåé è îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ÂîëÃÓ

Áåçâåðõîâ Âÿ÷åñëàâ Àëåêñàíäðîâè÷, äîöåíò êàôåäðû âû÷èñëèòåëüíîé ìåõàíèêè ÂîëÃÓ

ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÀËÃÅÁÐÅ ×àñòü 2. ËÈÍÅÉÍÛÅ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÀ

Ó÷åáíî-ìåòîäè÷åñêîå ïîñîáèå (äëÿ ñòóäåíòîâ ìàòåìàòè÷åñêèõ ñïåöèàëüíîñòåé óíèâåðñèòåòîâ)

Òåõíè÷åñêèé ðåäàêòîð Â.À. Áåçâåðõîâ

Âîëãîãðàäñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò 400062, Âîëãîãðàä, ïðîñï. Óíèâåðñèòåòñêèé, 100