シリーズ 数学の世界 2 情報の数理

２ シ リ ー ズ ・・

数学の世界 野ロ 廣 蹄

情報の数理 山本

慎  著

朝倉書店

ま え が き

  大 学 で情 報 処 理 の リテ ラ シ ー 教 育 を 十 数 年 担 当 して い ます が,前

の 年 に行 っ

た こ とを そ の ま ま次 の 年 も同 じ よ う に行 う こ とは まず あ り ませ ん.す べ て の 準 備 を し直 さな け れ ば な ら ない とい った ら,少 しが 必 要 に な ります.去 テ ー マ や,逆

しオ ー バ ー で す が,か

な りの 手 直

年 は 扱 っ た け れ ど今 年 は や る ほ どの こ と は な い とい う

に,今 年 か ら は こ うい う こ と もや っ て お か な け れ ば と い うテ ー マ

が で て くる こ とが あ ります,去 年使 っ た ア プ リ ケー シ ョ ンソ フ トのバ ー ジ ョンが 上 が っ て,使 用 方 法 が 大 き く変 わ る とい う こ とや,去 年 まで は 一 般 的 で よ く使 わ れ てい た ア プ リ ケ ー シ ョン ソ フ トが 今 年 は よ りす ぐれ た 機 能 を もつ ほ か の も の に置 き換 わ っ て い る こ と も あ り ます.そ

して,3,4年

コ ン ピュ ー タそ の もの が リプ レー ス され て,使 と もあ ります.コ

に 一 度 は,授 業 で使 う

い勝 手 が全 く変 わ っ て し ま う こ

ン ピュ ー タが リプ レー ス され な くて も,OSが

バ ー ジ ョン ア ッ

プ した り,全 くほ か の もの に 変 わ っ て しま った り,ウ ィ ン ドウ ズ マ ネ ー ジ ャ ー と よば れ る基 本 的 な ソ フ トウ ェ ア が 変 わ る こ と もあ ります.   コ ン ピュ ー タが リ プ レー ス され れ ば,CPUの リー が 桁 違 い に増 えて,い

処 理 能 力 が 向 上 し た り,メ モ

ま まで は で きな か っ た よ うな こ と も で きる よ うに な

り ます.し か し,コ ン ピ ュ ー タが 一 度 に処 理 で き る情 報 量 が 増 え た り,補 助 記 憶 装 置 の 容 量 が 大 き くな っ た り,そ れ に伴 っ て,ア

プ リケ ー シ ョ ン ソ フ トも よ

り便 利 な 性 能 を備 えた もの に な っ た り して も,基 本 的 に は 変 わ らな い も の もあ り ます.   こ の本 で は,コ

ン ピ ュ ー タ の 中 で,整 数 や実 数 が どの よ う に表 さ れ て い る か

とい う よ うな,一 度 に 扱 え る桁 数 な ど は増 え て も,本 質 的 な と こ ろ に 変 化 の な い こ とが ら を説 明 す る こ とを1つ

の 目的 と して い ます.

  ま た,ハ ー ドウ ェ ア の 進 歩 だ け で は な く,処 理 をす る 手 順,い

わゆ るアル ゴ

リズ ム を くふ うす る こ とで 処 理 を 高 速 化 で き ます が,そ

の よ う な こ とを 勉 強 す

る上 で,前 提 と され る知 識 を 説 明 す る こ と を も う1つ の 目的 と して い ます.   こ の シ リー ズ の 趣 旨 にあ わせ て,な

るべ く前 提 知 識 を 仮 定 せ ず に読 み 始 め ら

れ る よ う に,ま た,解 答 の ない 練 習 問題 な ど も さけ て,例

や 例 題 は で きる だ け

て い ね い に説 明す る よ う に しま した.そ の よ うな わ け で,少

し難 しい こ と を前

提 とす る こ とが らの 証 明 は省 い て あ ります.   車 を運 転 す るの に,エ

ン ジ ン につ い て の 深 い 知 識 が 必 要 で ない よ うに,ほ

と

ん ど毎 日ふ れ て い る コ ン ピ ュー タ もそ の 内 部 で どの よ うな処 理 が さ れ て い る か な ど とい う こ とは 知 ら な くて も よ い の で す が,ち た い とか,詳

ょっ とそ ん な こ と も知 っ て み

し く知 りた い け れ どい きな り難 しい本 を読 む の は ど う も,と い う

方 に は役 に 立 つ と思 い ます.   最 後 に,全

く筆 の 進 ま ない 筆 者 を暖 か く見守 りつ つ,出 版 まで 導 い て くだ さ っ

た朝 倉 書 店 編 集 部 の方 々 に 心 か らの 感 謝 の 意 を表 した い と思 い ます. 2002年9月 山 本

慎

目

次

１ .  ア ル ゴ リ ズ ム

 １

  1.1  ア ル ゴ リ ズ ム

 １

  1.2  プ ロ グ ラ ム

 ３

  1.3  ア ル ゴ リ ズ ム の 記 述

 ５

  1.4  ア ル ゴ リ ズ ム と計 算 量

 ８

  1.5  大 き いＯ

記法

  11２

. 整 数 に つ い て   2.1  10進

数,２

  13 進 数,そ

して β 進 数

 13

 

2.1.1 

整 数 の２ 進 表 現

  13

 

2.1.2 

β進 数

 14

 

2.1.3 2進

数 へ の変 換

  2.2  累 乗 の 計 算 の ア ル ゴ リ ズ ム:2進   2.3 

  15 表 現 を利 用 して

コ ン ピ ュ ー タの 内 部 で の 整 数 の 表 現

  18   21

  2.3.1 

整 数 の表 現

  21

  2.3.2 

整 数 の加 減 算

  25

  2.4  桁 数 の 多 い 整 数 の 演 算  

2.4.1 

多倍長整 数の掛 け算

 

2.4.2 

多 倍 長 整 数 の 割 り算

 27  

34

  36

  2.5  ユ ー ク リ ッ ドの ア ル ゴ リ ズ ム

  38

 

2.5.1 

最大公約 数の計算

 

 

2.5.2 

ユ ー ク リ ッ ドの ア ル ゴ リ ズ ム と フ イ ボ ナッ チ 数

38

 46

  2.6  素 数 に つ い て の ア ル ゴ リ ズ ム

  48

  2.6.1 

素

数

 

  2.6.2 

エ ラ トス テ ネ ス の 節(ふ

  2.6.3 

フェ ル マ ー の 小 定 理

  51

  2.6.4 

フェ ル マ ー 数 と カ ー マ イ ケ ル 数

  52

  2.6.5 

フェ ル マ ー の 素 数 判 定 テ ス ト

る)い

3.  実 数 に つ い て   3.1  実 数 の2進

48

 

 

53

  表現

49

58

  58

 

3.1.1 

実 数 の2進

表現

  58

 

3.1.2 

実 数 の2進

表現へ の変換

  59

  3.2  浮 動 小 数 点 数   3.2.1 

浮動小数点数

  3.2.2 

丸

め

 

3.2.3 

浮動小数点数 の加減算

 

3.2.4 

い ろ い ろ な誤 差

 61   61  

68   71

  74

  3.2.5 

浮 動 小 数 点 数 と誤 差

 75

 

3.2.6 

四則演算の誤差 限界

 77

 

3.2.7 

２ 次 方 程 式 の 解 の 公 式 と誤 差

  78

 

3.2.8 

累 和 を計 算 す る と きの 誤 差

 804

.  方 程 式 の 数 値 解 法

  81

  4.1  解 析 学 の 初 歩 の 復 習

  81

 

4.1.1 

コ ー シー 列 と完 備 な 区 間

  81

 

4.12 

テ イ ラ ー展 開

  82

  4.2  多 項 式 の 計 算

 85

 

4.2.1 

素 朴 な 方法

  85

 

4.2.2 

ホーナーの方法

  87

 

4.2.3 

ホ ー ナ ー の 方 法 に よ る微 分 係 数 の計 算

  4.3 

ニ ュ ー トン法

 89  91

  4.3.1 

方 程 式 の 直 接 解 法 と間接 解 法

 91

 

4.3.2 

ニ ュ ー ト ン 法 の 定 義 と例

 92

 

4.3.3 

ニ ュ ー ト ン法 と グ ラ フ

 

4.3.4 

ニ ュ ー トン 法 と テ イ ラ ー 展 開

 

4.3.5 

ニ ュ ー トン法 以 外 の 反復 法

  98

 

4.3.6 

縮 小 写 像 と不 動 点定 理

  98

 

4.3.7 

ニ ュ ー トン法 の 収 束

 

  97

  101

  4.4  連 立 １次 方 程 式 の 数 値 解 法

  102

  4.4.1 

連 立 １次 方 程 式 と行 列

  4.4.2 

ク ラ メ ルの 公 式 と計 算 量

  4.4.3 

行 列 が 正 則 で あ るた め の 十 分 条件

  4.4.4 

ガウスの消去法

  4.4.5 

LU分

  102  103   105   106

解

  4.5  連 立 １次 方 程 式 の 解 法:反

97

  113 復 法

  4.5.1 

反復 法

  4.5.2 

連 立 １次 方 程 式 の 反 復 解 法 の 収 束 定 理

  114   114   118

５. ソ ー トと サ ー チ の ア ル ゴ リ ズ ム

 122

  5.1  ソ ー トの ア ル ゴ リ ズ ム

 122

 

 122

5.1.1 

ソー ト

  5.1.2 

単 純 選 択 ソー ト

 

122

 5.1.3 

単 純 挿 入 ソー ト

  126

 5.1.4 

バ ブル ソー ト

  130

 

5.1.5 

シェル ソー ト

  132

 

5.1.6 

クイ ックソー ト

 135

 5.2  サ ー チ の ア ル ゴ リ ズ ム

  137

 

5.2.1 

逐次探索 法

  137

 

5.2.2 

バ イ ナ リー サ ーチ

  138

  5.3  文 字 列 照 合 の ア ル ゴ リ ズ ム

  141

 

  141

5.3.1 

素朴 な方法

 

5.3.2 

ボ イ ヤ ー 一ム ー ア の ア ル ゴ リ ズ ム

参 考 文 献  

索

引

 145

153

  155

１  ア ル ゴ リ ズ ム

  １か ら100ま

で の 整 数 の 和 を 求 め る の に,大

数 学 者 ガ ウ ス は,こ

ど もの こ ろ

に,1+2+…+100=(1+100)+(2+99)+…+(50+51)=101×100÷2 と し て,5050と

い う 答 を 出 し た と い う 話 は,よ

2+…+n=n(n+1)/2と

く 知 ら れ て い る.つ

い う 公 式 を 導 い た わ け で,あ

し ま う.で

は,ｎ

が た と え ば3872685の

る の と,順

番 に1+2+…+3872685と

タ で す る の と で は,ど

と き に,こ

ま り,1+

っ と い う間 に計 算 で きて の公 式 を用 い て暗 算 で 求 め

い う3872684回

の 足 し算 を コ ン ピ ュ ー

ち ら が 速 く 計 算 で き る だ ろ う か.

  ま た,1+2+3を

求 め る に は,こ

の ま ま,２ 回 の 足 し算 を す る の と,3×4÷2

と １回 の 足 し算,１

回 の 掛 け 算,１

回 の 割 り算 を す る の と で は,ど

ち らが 簡 単

で あ ろ う か.   こ の 本 で は,問

題 を 解 く 手 順,い

わ ゆ る ア ル ゴ リズ ム に つ い て 述 べ る こ と が

１つ の テ ー マ で あ る.1+2+…+nを

求 め る の に,１

１つ の ア ル ゴ リ ズ ム で あ り,n(n+1)/2と

つ １つ 足 し て い く の も

い う 式 か ら 求 め る と い う の も １つ の ア ル

ゴ リ ズ ム で あ る.   ま ず,ど

の よ う な 手 順 を ア ル ゴ リ ズ ム と よ ぶ の か,ア

に 記 述 す る の か,ア

ル ゴ リズ ム を どの よ う

ル ゴ リズ ム の 性 能 は ど の よ う に 評 価 す る の か,と

いった こ

と を 簡 単 に 述 べ る こ と か ら始 め よ う ．

 

  ア ル ゴ リ ズ ム(algorithm)と

1.1 

ア ル ゴ リ ズ ム

は,与

え ら れ た 問 題 を 解 く手 順 で あ る.た

とえ

ば,異

な る ３つ の 実 数   ５,  ８,  ２

を 小 さ い 順 に 並 べ る と い う 問 題 を 考 え る ． こ れ は あ ま り に 簡 単 な 例 な の で,一 目 見 れ ば,   ２,  ５,  ８ と 答 え が 得 ら れ,ど

の よ う に した か を 説 明 す る の が 難 し い ほ ど で あ ろ う.で

具 体 的 に 異 な る ３つ の 実 数 が 与 え ら れ て い る わ け で は な く,一

は,

般 に

 x1,x2,x3 が 与 え ら れ て い る と き,小

さ い 順 に 並 べ る に は ど う す る か を,ど

し て も,誰

き る よ う に 説 明 す る と し た ら ど う し た ら よ い だ ろ う.

が や っ て も,で

ん な実 数 に対

次 の よ う に 説 明 す る の も １つ の 方 法 で あ る ．

  (a1)

３ つ の 数x1,x2,x3の

中 で,最

  (a2)

minと

  (a3)

残 り をmaxと

  (a4)

こ の よ う に す れ ば,min,mid,maxが

小 の も の をminと

し た も の 以 外 の ２つ の 数 の 小 さ い 方 をmidと

つ の 数 の 中 で,最

小 さ い 順 に 並 べ た も の で あ る.

ず,"３

番 問 題 な の に,ど

の よ う に探 す か は 示 さ れ て い な い.そ

  (b1) x1とx2を

比 較 し,改

  (b2) x1とx3を

比 較 し て,改

め て,小

  (b3) x2とx3を

比 較 して,改

め て,小

め て,小

こ の と き のx1,x2,x3が

と す れ ば,か

す る.

す る．

こ の 手 順 で は,ま

  (b4)

す る．

な り具 体 的 に な る.た

に つ い て こ れ を 実 行 し て み る と,

小 の も の"を 探 す と あ る が,そ

さ い 方 をx1,大

こ で,も

れが 一

う 少 し詳 し く,

き い 方 をx2と

す る.

さ い 方 をx1,大

き い 方 をx3と

す る.

さ い 方 をx2,大

き い 方 をx3と

す る.

小 さ い 順 に 並 ん で い る.

と え ば,最

初 の,x1=5,x2=8,x3=2

  (b1) x1=5とx2=8を

比 較 し,小

と す る.こ

の と き は,最

  (b2) x1=5とx3=2を x3と

さ い 方 の ５ をx1,大

比 較 し て,小

す る.つ

ま り,こ

き い 方 の ８ をx2

初 の 状 態 と何 も 変 わ っ て い な い . さ い 方 の ２ をx1,大

き い方 の ５を

の 結 果,x1=2,x2=8,x3=5と

な り,x1

が ３ つ の 数 の 最 小 の も の と な る.   (b3) x2=8とx3=5を x3と   (b4)

比 較 して,小

す る.結

果 は,x1=2,x2=5,x3=8と

し た が っ て,x1,x2,x3が

  こ の 本 で は,最 (b1)∼(b4)を

さ い 方 の ５ をx2,大 な る.

小 さ い 順 に 並 ん で い る こ と に な る.

初 に 書 い た 手 順(a1)∼(a4)よ

ア ル ゴ リ ズ ム と よ び た い.つ

り,こ

ま り,あ

  ●何 か 入 力,す

な わ ち,ア

  ●各 操 作 は,た

だ 一 通 り に 行 わ れ る よ う に,厳

  ●や ろ う と 思 え ば,人

きい 方 の ８ を

の ２番 目 に書 い た 手 順

る 問 題 を 解 く手 順 で,特

ル ゴ リズ ム を 開 始 す る 前 に 与 え られ る 量,が

に,

あ っ て,

密 に 定 義 さ れ て い て,

が 紙 と鉛 筆 で そ の 操 作 を す る こ と が で き,

  ●有 限 回 の 操 作 で,   ●出 力,す

な わ ち 何 ら か の 答 を 得 る,

と い う 条 件 を 満 た す もの を ア ル ゴ リズ ム と い う こ と に し よ う .こ の 手 順(b1)∼(b4)は

  1.2 

プ

  こ の 本 で 扱 う ア ル ゴ リ ズ ム は,原 で あ る が,実 い る.そ

の 意 味 で,上

ア ル ゴ リズ ム と い う こ とが で き る.

際 に は,コ

の と き,1.1節

ロ

グ

ラ

ム

理 的 に は紙 と鉛 筆 で行 う こ とが で き る も の

ン ピ ュ ー タ を使 っ て 処 理 を す る と い う こ と を 意 識 し て に 書 い た ま ま を コ ン ピ ュ ー タ に 入 力 し た ら ,そ

れ をコ

ン ピ ュ ー タ が 実 行 して く れ る と い う ほ ど ま で に は ,現

在 の コ ンピュータはな っ

て い な い.ア

語"を

ル ゴ リ ズ ム を 記 述 す る た め の 特 別 な"言

ム を 書 き 表 し,そ

れ を コ ン ピ ュ ー タ へ 入 力 し,コ

に 書 き 換 え て,実

行 し,答

を得 る,と

用 い て ア ル ゴ リズ

ン ピュ ー タが 実 行 で き る もの

い う手 順 を 踏 む 必 要 が あ る.そ

の ような

"言 語"を

プ ロ グ ラ ミン グ言 語 とい い

語 の 文 法 と い う.あ

,書

き方 の ル ー ル を そ の プ ログ ラ ミン グ 言

る プ ロ グ ラ ミ ン グ 言 語 で ア ル ゴ リズ ム を 書 き表 し た も の が,

そ の ア ル ゴ リ ズ ム の プ ロ グ ラ ム で あ る.多

くの プ ロ グ ラ ム ミ ン グ 言 語 の プ ロ グ

ラ ム は 人 が 理 解 で き る よ う な 形 式 で 書 か れ て い る.   プ ロ グ ラ ミ ン グ 言 語 に は い ろ い ろ な 種 類 が あ る が,た た ア ル ゴ リ ズ ム(手 順(b1)∼(b4))を と,そ

れ ぞ れ 次 の よ う に な る.

プ ロ グ ラ ム:Ｃ

言 語 に よ る例

 

＼include＜stdio>

 

int

main(void)

 

{

 

float

 

if(x1＞x2)

 

{

 

x1,x2,x3,

t=x1;x1=x2;x2=t;

 

}   if  (x1＞x3)

 

{

 

t=x1;x1=x3;x3=t;

 

}

 

if(x2＞x3)

 

{

 

t=x2;x2=x3;x3=t;

   

} }

ｔ;

Ｃ 言 語 とPascalと

と え ば,1.1節

にあ げ

い う言 語 で書 き表 す

プ ロ グ ラ ム

：Pascal言

 

program

 

var 

 

procedure 

 

語 に よ る例

sortalgorithm(input,output) x1,x2,x3,ｔ:real

sort＼verb+_+3;

begin

 

if(x1＞x2)then

 

begin 

 

if

 

t=x1;x1=x2;x2=t

(x1＞x3)  begin 

 

end;

then t  =x1;x1=x3;x3=t 

end;

if  (x2＞x3)

 

begin 

 

t  =x2;x2 

=x3;x3 

=  t  end;

end begin

 

read(x1,x2,x3);  

 

sort_3; write(x1,x2,x3);

 

writln end

  ど ち ら も,細

か い と こ ろ は わ か ら な い と し て も,大

ま か に は 何 を して い る か

を 読 み と る こ と は で き る だ ろ う.

  1.3 

ア ル ゴ リズ ムの 記 述

  ア ル ゴ リ ズ ム を ふ つ う の こ と ば で 書 く と,く と が あ る ． か と い つ て,特

有 の 言 い 回 し な ど に 束 縛 さ れ て し ま う し,ア に 気 を使 う こ と に な る ． そ こ で,本 す る.細

か い 説 明 は,必

ル ゴ リ ズ ム(b1)∼(b4)を

ど く な っ た り,不

正確 になる こ

定 の プ ロ グ ラ ミ ン グ 言 語 で 記 述 す る と ,そ

書 で は,独

要 な と き に,そ

の言語特

ル ゴ リズ ム の 本 質 的 で な い と こ ろ 自の 書 き方 を あ え て す る こ と に

の つ ど す る こ と に す る が,1.1節

例 に書 い て み よ う.

の ア

ア ル ゴ リ ズ ム1.1:３

つ の異 な る実 数 の 並 べ替 え

入 力:異

な る ３ つ の 実 数x1,x2,x3

出 力:小

さ い 順 に 並 べ 替 え たx1,x2,x3

ス ア ツ フ:   (１) も し,x1＞x2な  

ら ば,次

を行 う

t←x1

 x1←x2  x1←t  

{こ れ に よ り,x1＞x2の

  (２) も し,x1＞x3な  

ら ば,次

と き,x1とx2の

値 が 入 れ 替 わ る}

を行 う

t←x1

 x1←x3  x1←t  

{こ れ に よ り,x1＞x3の

  (３) も し,x2＞x3な  

ら ば,次

と き,x1とx3の

値 が 入 れ 替 わ る}

を行 う

t←x2

 x2←x3  x3←t {こ れ に よ り,x2＞x3の   (４) x1,x2,x3を

と き,x2とx3の

出力

  こ こ で 使 わ れ て い る,ｔ,x1,x2,x3は に は,入

 

変 数 と よ ば れ る.最

初 にx1,x2,x3

力 と し て 何 か 具 体 的 な 数 が 与 え ら れ て い る と 考 え て も よ い.

t←x1

と い う の は"変

数ｔ

入 文 と い う.一

般 に,

 

値 が 入 れ 替 わ る}

も しＡ

に 変 数x1の

な ら ば,Ｂ

値 を代 入 す る"と

い う 操 作 を 表 す.こ

れ を代

と い う の は,条

件Ａ

が 成 り 立 て ば Ｂ を 行 い,成

ス テ ッ プ へ 進 む こ と を 表 す.ス

テ ッ プ(１)で

り立 た な け れ ば何 もせ ず 次 の

は,Ａ

が

 x1＞x2 で あ り,Ｂ

が,

  t←x1  x1←x2  x1←t で あ る.こ

 

れ を 条 件 文 と い う.そ

{こ れ に よ り,x1＞x2の

と い の は,ア

の あ との

と き,x1とx2の

値 が 入 れ 替 わ る}

ル ゴ リズ ム の 手 順 と は 直 接 関 係 な い 注 意 書 き で ,注 釈 文(comment)

と よ ば れ る.本

書 で は,注

釈 文 は{と}で

囲 っ て 表 す こ と に す る .条

成 り立 つ と き行 う こ と は ど こ か ら ど こ ま で か,次 か を わ か り や く す る た め に,条

 

い う.し

も し,x1＞x2な

 

の ス テ ッ プが どこ か ら始 ま る

件 文 の 条 件 が 成 り立 っ た と き に 行 う部 分 の 各 行

の 先 頭 を 数 文 字 下 げ て 書 き 始 め る こ と に す る.こ (indentation)と

件文 が

の よ うに す る こ と を字 下 げ

た が っ て,

ら ば,次

を行 う

t←x1  x1←x2

 x1←t と い う の は,x1＞x2が の 値 とx2の

成 り立 つ と き,そ

値 を 入 れ 替 え る.x1＞x2が

の あ と の ３ つ の 代 入 文 を 実 行 し てx1 成 り立 た た な け れ ば ,何

し た が っ て,こ

の ス テ ッ プ が 済 ん だ と き に は,最

び 直 さ れ る.こ

こ で,

 

も し,x1＞x2な  x1←x2

ら ば,次

を行 う

初 のx1,x2が

も し な い.

小 さい 順 に並

 x2←x1 と し て し ま っ て は,x1に 意 して ほ し い.同

 

も,も

との 物

が 代 入 され て しま う こ とに 注

じ よ う に し て,

も し,x1＞x3な

 

もx2に

ら ば,次

を行 う

t←x1

 x1←x3  x1←t と い う ス テ ッ プ が 済 ん だ と き は,x1に

は,最

い も の が 蓄 え ら れ て い る こ と に な る.さ

 

も し,x2＞x3な

ら ば,次

初 のx1,x2,x3の

中で一番小 さ

ら に,

を行 う

 t←x2  x2←x3  x3←t に よ り,最

初 のx1,x2,x3の

も の がx3に

中 で ２ 番 目 に 小 さ い も の がx2に,一

番 大 きい

入 っ て い る こ と に な る.

  こ の ほ か の ア ル ゴ リ ズ ム の 書 き 方 は,新

し く出 て きた と き に そ の つ ど説 明 す

る こ と に す る.

 

1.4 

 xnを

求 め る こ と を 考 え る.た

x×x×x×xだ

か ら,こ

ア ル ゴ リズ ム と計 算 量

と え ば,n=7と

れ を 本 書 で の ア ル ゴ リ ズ ム の 書 き 方 で 表 す と,次

よ う に な る.

ア ル ゴ リ ズ ム1.2:x7の 入 力:実 出 力:x7

数ｘ

し よ う. x7=x×x×x×

計 算(素 朴 な 方 法)

の

ス テ ツ プ:   (１) x2←x×x   (２) x3←x2×x   (３) x4←x3×x   (４) x5←x4×x   (５) x6←x5×x   (６) x7←x6×x   (７) x7を

出力

  こ こ で,少

し考 え て,

 x7=(x2×x)2×x

と な る こ と を 利 用 す る と,次

ア ル ゴ リ ズ ム1.3:x7の

の よ う に す る こ と も で き る.

計 算(少

し く ふ う を し て)

入 力:実数ｘ 出 力:x7 ス テ ツ プ:  (１) x2←x×x  (２) x3←x2×x  (３) x4←x3×x3  (４) x5←x4×x  (５) x5を

出力

  ア ル ゴ リ ズ ム1.2と れ ぞ れ,６

ア ル ゴ リ ズ ム1.3の

回 と ４ 回 で あ る.掛

紙 と 鉛 筆 で 行 う と き,電 そ れ ぞ れ 異 な る.紙

掛 け 算 の 回 数 を比 較 して み る と,そ

け 算 を す る の に か か る 時 間 は,暗

卓 を 使 う と き,コ

算 で 行 う と き,

ン ピ ュ ー タ を 使 う と き,な

と 鉛 筆 で 行 う に し て も 人 に よ り異 な る し,コ

どによ り

ン ピュ ー タ も

ど の よ う な 性 能 の も の を 使 う か で 異 な る.し

か し,掛

ア ル ゴ リ ズ ム1.2よ

ほ うが 掛 け算 の 回 数 が 少 な くて 済

む の で,計

り も ア ル ゴ リ ズ ム1.3の

算 の 手 間 が 少 な い.こ

け 算 の 回 数 を比 較 す れ ば,

の 意 味 で ア ル ゴ リ ズ ム1.3の

ほ うが 優 れ て い

る と い っ て よ い で あ ろ う.   ア ル ゴ リ ズ ム の 中 で 行 わ れ る 主 要 な 操 作 を １回 行 う こ と を １単 位 と し て,そ の ア ル ゴ リズ ム の 中 で そ の 操 作 が 行 わ れ る 回 数 をそ の ア ル ゴ リ ズ ム の 時 間 計 算 量(time

complexity)と

ム1.2の

時 間 計 算 量 は ６,ア

  ア ル ゴ リ ズ ム1.2で れ て い て,ア て い る.こ

い う.つ

ま り,掛

け 算 １ 回 を １単 位 と し て ア ル ゴ リ ズ

ル ゴ リ ズ ム1.3の

時 間 計 算 量 は ４ と な る.

は,ｘ,x2,x3,x4,x5,x6,x7の

ル ゴ リ ズ ム1.3で の よ う に,あ

７個 の 変 数 が 使 わ

は,ｘ,x2,x3,x4,x5の

５個 の 変 数 が 使 わ れ

る ア ル ゴ リ ズ ム の 中 で 必 要 と さ れ る 変 数 の 個 数 を,そ

の ア ル ゴ リ ズ ム の 領 域 計 算 量(space 

complexity)と

領 域 計 算 量 は ７,ア ル ゴ リ ズ ム1.3の

領 域 計 算 量 は ６ で あ る.ア

は,次

の よ う に,領

ル ゴ リ ズ ム1.2の ル ゴ リ ズ ム1.3

域 計 算 量 を ２ と す る こ と が で き る.

ア ル ゴ リ ズ ム1.4:x7の 入 力:実

い う.ア

計 算(さ

ら に く ふ う を し て)

数ｘ

出 力:y=x7 ス テ ツ プ:   (１) y←x×x   (２) y←y×x   (３) y←y×y   (４) y←y×x   (５) yを

出力

  ス テ ッ プ(２)の

 y←y×x と い う の は,右

辺 で のｙ

は 直 前 の ス テ ッ プ(１)で

のx2が

蓄 え ら れ て い て,そ

れ にｘ

を掛 け た も の を あ ら た め てｙ

して,ｙ

に はx3が

代 入 さ れ る.つ

に,x2,x3,x6,x7と

と す る,と

ま り,各

ス テ ッ プ で の 左 辺 のｙ

1.5 

大 き いＯ

量 が ど の よ う に 変 化 す る か を 考 え る.入

つ う入 力 の サ イ ズ に 応 じ て,計

力 の サ イ ズ と は,入

き さ の 順 に 並 べ 替 え る ア ル ゴ リ ズ ム1.1な で あ っ た り,xnを

計 算 す る ア ル ゴ リ ズ ム1.2の

あ っ た りで あ る.た

と え ば,1+2+…+nを

回 の 足 し算 を す る 必 要 が あ り,n(n+1)/2と り 算１ 回 と,ｎ

の よ う に 計 算 量 は,ｎ

が,ｎ

の 関 数f(n)と

問 題 に な る.ま

た,ｎ

た,

の 大 き さそ の もの で

し て 求 め る に は 足 し算１ 回,掛

数 関 数３ と い う よ う に,入

算 量 を 比 較 す る と き は,そ

よ う な 項 が で て く る の か,定

の 多 項 式 に な る な ら,何

け 算１

つ で も３ 回 の 演 算 で で き る． こ

か,定

し て 表 さ れ る.計

の 多 項 式 な の か,2nの

で あ っ た り,ま

こ の ま ま,１ つ１ つ 足 す と,n-1

の 大 き さ に 関 係 な く,い の１ 次 関 数n-1と

力 され る もの の 個 数

と き に はｎ

力 さ れ る 数ｎ

算

力 さ れ た もの を大

ど の よ う に,入

を 因 数 分 解 す る と か で あ れ ば,入

の サ イ ズｎ

の 値 は,順

記 法

  ア ル ゴ リ ズ ム の 性 能 を 評 価 す る と き は,ふ

回,割

果 と

な る.

 

自 然 数ｎ

い う操 作 を し て お り,結

力

の関数

数 な の か,な

どが

次 式 に な るの か が 大 き な関 心 に

な る.  ０ 以 上 の 整 数ｎ n0が

の 関 数f(n)がO(g(n))で

存 在 し て,n0以

上 のｎ

あ る と は,正

の 定 数ｃ

と 自然 数

に 対 し て,

 f(n)〓cg(n) が 成 り立 つ こ と と 定 義 す る.こ

れ を 大 き いＯ

  た と え ば,f(n)=an2+bn+cはO(n2)で が,O(n2)で

notation)と

い う.

あ る.f(n)はO(n3)で

あ る と い っ た ほ うが 精 密 で あ る.f(n)が２

明 記 し た い が,ｎ で あ る,な

記 法(big O

もある

次 式 で,n2の

係 数ａ

を

の 係 数 や 定 数 項 は あ ま り重 要 で な い と き,f(n)はan2+O(n)

ど と い う こ と も あ る.

  あ る ア ル ゴ リ ズ ム の 計 算 量 はO(log2n)で い う の で あ る が,ｎ

あ る と か,O(n3/2)で

の 増 え 方 に 従 っ てlog2n,n2,2nな

あ る,な

どと

どが お よ そ どの よ う に

増 え る か を表 に す る と次 の よ う に な る. 表1.1  ｎ の 増 分 に対 す る 各値

 ２  整

数

に

つ

い

て

  コ ン ピ ュ ー タ の 中 で は 数 は ２進 数 で 表 さ れ て い る と い う こ と を 聞 い た こ と が あ る 読 者 も多 い こ と だ ろ う.こ 有 無,ス

れ は,簡

イッ チ の オ ン オ フ な ど,２

成 り立 っ て い て,そ

ン ピ ュ ー タ は,電

圧 の

つ の 状 態 に よ り情 報 が 表 現 さ れ る 部 品 か ら

れ ら の ２ つ の 状 態 を そ れ ぞ れ１,０

,０ の 組 み 合 わ せ に よ り,コ こ の 章 で は,整

単 に い う と,コ

と い う 値 に 対 応 さ せ て,１

ン ピ ュ ー タ の 状 態 を 表 現 す る か ら で あ る.そ

数 の ２ 進 表 現 か ら 始 め る.そ

し て,最

こ で,

大 公 約 数 や 素 数 に関 す る

基 本 的 な ア ル ゴ リ ズ ム を 紹 介 し よ う.

 

2.1 

  2.1.1 

10進

数,２

進 数,そ

して β 進 数

整 数 の ２進 表 現

  数 は,普 通10進

数 で 表 され て い る.整

数 を10進

数 と し て 表 す と き は,1=100,

10=101,100=102,1000=103,10000=104,…

が そ れ ぞ れ い くつ ず つ あ

る の か を,０ か ら ９ ま で の 数 字 を 用 い て 右 か ら順 に 並 べ る.た  

5×103+0×102+6×101+7×100

で あ り,100が い る.こ

７個,101が６

の と き,普

通 は,"１

が ５"と い う の だ が,こ 103の

と え ば,5067は

個,102が０

個,103が

の 位 が ７,10の

こ で は,"100の

５個 あ る こ と を 表 し て

位 が ６,100の

位 が７,101の

位 が０,1000の

位 が ６,102の

位

位 が０,

位 が ５"と い う こ と に す る.

  10進 数 と 同 じ よ う に 考 え て,０

と １ を 用 い て,20,21,22,…

つ あ る か を 右 か ら 順 に 並 べ る.た

と え ば,101011は

がそれ ぞれい く

 

1×25+0×24+1×23+0×22+1×21+1×20

を 表 し て い る こ と に な る.こ "20の

位 が １ ,21の

の よ う な 数101011を

位 が １,22の

位 が ０,23の

１"と い う こ と に す る.２ 進 数101011を10進

 

101011=1×25+0×24+1×23+0×22+1×21+1×20

 

=1×32+0×16+1×8+0×4+1×2+1×1

 

=43 

２ 進 数 と い う.こ

位 が １,24の

の と き,

位 が ０,25の

数 で 表 せ ば43で

位 が

あ る ． な ぜ な ら,

(2.1)

だ か ら で あ る.   １ つ の 数 を10進

数 や ２進 数 で 表 す と き,10進

数 を そ の 数 の10進

数 を ２ 進 表 現 と い う こ と に す る ． 特 に 断 ら な い と き は,数 れ て い る と す る.ま は,(43)10,(101011)2の

た,10進

は10進

表現

２進

表現 で表 さ

表 現 か ２進 表 現 か を は っ き り示 す 必 要 が あ る と き よ う に,そ

の 数 に 添 え 字 を つ け て 表 す.ま

こ を 書 か な く て も 混 乱 し な い と き は,4310,1010112の

た,か

っ

よ う に 簡 略 に 表 す ．10

進 数 の 添 え 字 は 省 略 す る こ と も多 い ．

  2.1.2 

β 進 数

  整 数 の ２ 進 表 現 の 一 般 の 形 は,

 

±1×2u+du-1×2u‐1+…+d1×21+d0×20

で あ る.た

 

だ し,

du-1,…,dl,d0は

そ れ ぞ れ ０ また は １

で あ る.こ の と き,こ の 数 の ２進 表 現 の,"2uの の 位 はd0で

あ る"と

い い,こ

位 は １,2u-1の

の 数 の ２ 進 表 現 は(dudu

位 はdu-1,…

-1…d2d1)2で

い う.   全 く 同 じ よ う に β を ２以 上 の 整 数 と す る と,整

 

±du×

βu+du-1×

βu-1+…+dl×

数 の β 進 表 現 と は,

β1＋d0×

β0

，20 あ ると

の こ と で あ る.た

 duは１  

だ し,

以 上 β-1以 du-1,…,d1,d0は

で あ る.こ

下 の 整 数, そ れ ぞ れ０ 以 上 β-1以

の 数 の β 進 表 現 の,"βuの

位 はdl,β0の

位 はd0で

あ る"と

下の整数

位 はdu,βu-1の

い い,β

位 はdu-1,…,β1の

進 表 現 は(dudu-1…d2d1)β

で あ

る と い う．   β を 基 数(radix)ま

た は 底(base)と

い う.β

進 表 現 され て い る数 を β 進 数

と い う.

例2.1 

10進

 

数59の３

進 表 現 を 求 め て み よ う.

5910=2×27+3+2

 

=2×33+0×32+1×31+2×30

で あ る か ら,5910の３

進 表 現 は20123で

  2.1.3 

あ る.

２進 数 へ の 変 換

 ２ 進 表 現 され て い る 整 数 を10進

表 現 に す る こ と は,式(2.1)で1010112=4310

で あ る こ と を 示 した と き の よ う に,直  ２ 進 表 現 を８ 進 表 現 に し て か ら,そ

接 計 算 す れ ば よ い. れ を10進

表 現 に す る と い う こ と が よ く行

わ れ る.  ２ 進 表 現 か ら８ 進 表 現 を 得 る の は 簡 単 で あ る.た 進 数 を,右

か ら３ 桁 ず つ 区 切 っ て,8=23だ

と え ば,1010112と

か ら,

  101011=(1×25+0×24+1×23)+(0×22+1×21+1×20)  

=(1×22+0×21+1×20)×23+(0×22+1×21+1×20)

 

=5×81+3×80

と 表 せ ば,53が1010112の８

 

進 表 現 と い う こ と に な る.つ

1010112=538

ま り,

い う２

で あ る.   整 数 の ２ 進 表 現 か ら16進 じ よ う に 考 え て,２

表 現 へ 変 換 す る に は,16=24だ

か ら,上

進 表 現 の 右 か ら ４ 桁 ず つ 区 切 っ て み れ ば よ い.た

と同

と え ば,

10101111102は

 

10101111102=1

0111

 

1110

=1×28

 

+(0×27+1×26+1×25+1×24)  

 

+(1×23+1×22+1×21+0×20)

=1×162

 

+(0×23+1×22+1×21+1×20)×161

 

+(1×23+1×22+1×21+0×20)×160

 

=1×162+7×161+14×160

で あ る ． こ こ で,10101111002の16進 162の

係 数14,161の

係 数 ７,

係 数 １ を 右 か ら 並 べ れ ば よ い の だ か ら,

 

1714

と な る こ と に な る が,160の しい.そ に,そ

表 現 は,160の

こ で,16進

位 の14は10進

数 で あ っ て,こ

こで 使 うに は お か

表 現 で は,1010,1110,1210,1310,1410,1510を

れ ぞ れ,Ａ,Ｂ,Ｃ,Ｄ,Ｅ,Ｆ

を 用 い る.し

表すの

た が っ て,1410はE16だ

か ら,  

10101111102=17El6

の よ う に 表 す.   た と え ば,ABCD16は,10進  

表現で は

10×163+11×162+12×161+13×160=43981

であ る．   次 に10進

表 現 を ２進 表 現 に 変 換 す る 仕 方 を 考 え よ う.あ

る 整 数 ｎ の ２進 表

現 が,(dudu-1・

・dld0)2で

あ る と す る と,

 n=du×2u+du-1×2au-1+...+d1×21+d0×20

で あ る か ら,ｎ

を ２ で 割 る と,商

 

で,そ

が

du×2u-1+du-1×2au-2+...+d1×20 

の と き の 余 り と して,d0を

り がd1で

あ る.商

(2.2)

得 る.さ

を ２ で 割 る こ と を,商

に 各 位 の 数 字d0,d1,…,du-1で,商

ら に,こ

の 商(2．2)を

２で 割 っ た 余

が １に な る ま で 続 け れ ば,余

りが 順

が １ に な っ た と き そ の １が 最 上 位 の 数du

で あ る.

ア ル ゴ リ ズ ム2.1:10進 入 力:10進 出 力:ｎ

表 現 を ２進 表 現 へ

数 ｎ の ２進 表 現dudu-1…d1

ステ ツ フ:   (１) i←0   (２) q←n   (３) q≠1の

間,次

 

d2←(ｑ

 

q←(ｑ

を行 う を ２ で 割 っ た 余 り)

を ２ で 割 っ た 商)

 i←i+1   (４) u←i   (５) du←1   (６) dudu-1…d1を

  実 際 に は,次

例2.2 

10進

出力

の よ う に して,10進

数41の

２進 表 現 は

表 現 を ２ 進 表 現 に 変 え る こ と が 多 い.

 

２)41

 

２)20余

り  １  … 

20の

係数

 

２)10余

り  ０  …   21の

係 数

 

２)５

  余 り  ０  …   22の

係 数

 

２)２

  余 り  １  …   23の

係 数

  １  余 り  ０  …   24の

係 数

  ↑  

25の

と な る こ と か ら,1010012で

  2.2 

係 数

あ る.

累 乗 の 計 算 の ア ル ゴ リ ズ ム:２

  第 １章 で,x7を

進 表 現 を利 用 し て

計 算 す る と き,

 x7=(x2×x)2×x で あ る こ と を 用 い て 計 算 す る ア ル ゴ リ ズ ム を 紹 介 し た.実 ２進 表 現 と 密 接 に 関 係 し て い る.一

般 に,ｘ

す る と き,xnを

を 順 々 に 掛 け てx2,x3,…xnを

計 算 す る の に,ｘ

ル ゴ リ ズ ム は 次 の よ う に 書 け る.

ア ル ゴ リ ズ ム2.2:累 入 力:実

数ｘ,２

乗 の 計 算(素 朴 な 方 法)

以 上 の 整 数ｎ

出 力:y=xn ス テ ッ プ:   (１) y←x   (２) i←2   (３) i〓nで

あ る 間 次 を行 う

 y←y×x  i←i+1

を 実 数 と し,ｎ

は,こ

れ は 指 数 ７の

を ２以 上 の 整 数 と 求 める ア

 xn'=

  (４) ｙを 出 力

こ の ア ル ゴ リ ズ ム で は,掛   ２以 上 の 整 数ｎ

け 算 はn-1回

行 わ れ る.

が2k〓n＜2k+1の

 

と き,ｎ

の ２進 表 現 は

n=(1dk-1dk-2…dld0)2

と 表 さ れ る.こ

こ で,k〓1で

あ り,di(0〓i〓k-1)は

０ ま た は １で あ る .

ｎ'を

 

n'=(1dk-1dk-2…d1)2

と す る と,n=n'×2+d0な

の で,実

数ｘ

に 対 し て,

(xn' )2  (x n')2×x 

 xn =xn'×2+d0=xn'×2×xd0=

(d0=0の (d 0=1の

と き) と き)

で あ る ． 同 じ よ う に ｎ"を

  n"=(1dk-1dk-2…d2)2

と す る と,n'=n"×2+dlな

の で,

で あ る ． こ の こ と か ら,次

(xn")2 

(d

(xn")2×x 

(d1=1の

l=0の

と き) と き)

の よ う な ア ル ゴ リ ズ ム でxnが

か る.

ア ル ゴ リ ズ ム2.3:累 入 力:実

数ｘ,２

出 力:b0=xn ス テ ツ プ:   (１) bk←x   (２) i←k-1

乗 の 計 算(指

以 上 の 整 数ｎ

数 の ２ 進 表 現 を 使 っ て)

の ２ 進 表 現(1dk-1dk-2…dld0)2

計 算 で きる こ とが わ

  (３) i〓0で  

あ る 間,次

di=0の

 

を行 う

とき

bi←bi+12

 

d2=1の

 

とき

bi←bi+12×x

 i←i-1   (４) b0を

 ｎ

出力

の ２ 進 表 現 が(1dk-1dk-2…dld0)2と

い う こ と は,2k〓n＜2k+1で

あ り,

 

k=［log2n］

と い う こ と で あ る.こ ズ ム で,掛

 

こ で,［ｘ ］ はｘ

け 算 は,di=0な

の アル ゴ リ

らば

bi←bi+12

に お い て,bi+12=bi+1×bi+1と

 

以 下 の 最 大 の 整 数 を 表 す.上

し て,１

回,di=1な

ら ば

bi←bi+12×x

に お い て,２ で,ア

回 行 う.ま

た,ｉ

はk-1,k-2,…,１,０

ル ゴ リ ズ ム 全 体 で は,n=(11…1)2の

多 く,そ

の 回 数 は,2k=2［log2n］

と2.3に

つ い て 次 の こ と が 成 り 立 つ.

性 質2.1 

ア ル ゴ リ ズ ム2.2で

のｋ と き,掛

回 で あ る.し

は,n-1回

お い て 実 行 さ れ る 掛 け 算 の 回 数 は2log2n以

通 りの 値 を と る の

け 算 をす る回 数 が 最 も

た が っ て,ア

掛 け 算 を 行 う.ア 下 で あ る. 

ル ゴ リ ズ ム2．2

ル ゴ リ ズ ム2.3に □

  2.3 

  2.3.1 

コ ン ピュ ー タの 内部 での 整 数 の表 現

整 数 の表 現

  計 算 機 の 内 部 で は,数 る."計

は 有 限 桁 の ２ 進 数 か16進

算 機 の 内 部 で は"と

い う の は,"プ

ロ グ ラ ム な ど を 実 行 し た と き に,そ

の プ ロ グ ラ ム の 中 で 与 え ら れ て い る 数 値 や,キ ら デ ー タ と し て10進 は"と

数 で 表 され る の が 普 通 で あ

ー ボ ー ドか ら ま た は フ ァ イ ル か

数 で 与 え られ る 数 値 が 計 算 機 に よ っ て処 理 さ れ る と きに

い う 意 味 で あ る.整

数 が 計 算 機 の 内 部 で ど の よ う に 表 さ れ る か,最

も一

般 的 な パ ソ コ ン や ワ ー ク ス テ ー シ ョ ン で 使 わ れ て い る ２進 数 の 場 合 を 考 え よ う.   ２進 数 １桁 を １ ビ ッ ト(bit)と

い う.bitはbinary 

digitを

略 し た も の で,２

進 数 の １桁 と 同 じ情 報 量 を も つ 情 報 の 単 位 と し て も使 わ れ る.   計 算 機 の 内 部 で は,定 り,記

め ら れ た 長 さ の ビ ッ トの 列 を １単 位 と し て,計

憶 装 置 に 読 み 書 き す る.こ

と い う.１ 語 の 長 さ は,コ

算 した

の 定 め ら れ た 長 さ の ビ ッ ト列 を １ 語(word)

ン ピ ュ ー タ に よ る が,32ビ

ッ トま た は64ビ

ッ トの

も の が 多 い.   コ ン ピ ュ ー タ の 内 部 で 整 数 が ど の よ う に 表 さ れ る か を 考 え よ う ．32ビ 64ビ

ッ トで 例 を示 す と 煩 雑 に な る の で,こ

列 で 例 示 す る こ と が 多 い.た ば,表2.1の

よ う に24=16個

と え ば,１

ッ トや

の 本 で は ４ ビ ッ ト程 度 の 短 い ビ ッ ト

語 を ４ ビ ッ ト とす る と,単

純 に考 え れ

の 整 数 を 表 す こ と が で き る.表2.1で,ビ

ッ ト

パ タ ー ン と い う の は 各 語 の ビ ッ ト列 を 具 体 的 に 書 き 出 し た も の で あ る.   表2.1で

は,負

な い が,負

の 整 数 も扱 う と き は くふ う が 必 要 に な る ．

の 整 数 が な い.０

  す ぐ に 思 い つ くの は,最 正,１

以 上 の 整 数 だ け を扱 うの な ら こ れ で か まわ

初 の １ ビ ッ ト を符 号 の た め に 使 っ て,そ

な ら 負 と す る と い う 方 法 で あ る.た

+１ を1001は-１ が,整

を 表 す,と

す る の で あ る.こ

ッ トパ タ ー ン が0001は

の 方 法 は原 理 的 に は 簡 単 で あ る

数 を 表 す と き に は ほ と ん ど使 わ れ な い.

  普 通 は ２ の 補 数 と い う も の を 使 う.た う に,ビ 710を

と え ば,ビ

れが ０な ら

ッ トパ タ ー ン が0000か

表 す と し て,ビ

ら0111ま

ッ トパ タ ー ン1000か

と え ば,４ で は,そ ら1111ま

ビ ッ トの と き,表2.2の

よ

の ま ま,そ

ら

で は,そ

れ ぞ れ010か

れ を ２進 表 現 と

表2.1 

4ビ

ッ トの 整 数(符 号 を考 え な い)

み た と き に 正 の 整 数 ｎ を 表 し て い る と き,負 つ ま り,ビ

ッ トパ タ ー ン1000を

の 整 数n-24を

２進 表 現10002と

タ ー ン1000は23-24=-8を

表 す,と

タ ー ン1001は,10012=23+1だ

み れ ば23だ

す る の で あ る.同

  一 般 に,整

き,n-2kを

ツ トパ

ビ ッ トの ２ 進 数 で 表 す と き,最

上 位 ビ ッ トが １の も の は,そ

表 す と す る.こ

  し た が っ て,0111な

じ よ う に ビ ッ トパ

ようになる．

数 を １語 の 長 さ がｋ

現(2'scomplement)と

ッ トパ

か ら24-1-24=-1

つ ま り最 も左 側 の ビ ッ トが ０ で あ る も の は,そ そ の ま ま 表 し,最

か ら,ビ

か ら(23+1)-24=-7を,…,ビ

タ ー ン1111は11112=23+22+21+20=24-1だ を 表 す と して,表2.2の

表 す も の と す る.

上 位 ビ ッ ト,

れ を ２進 表 現 と み て,表

す数 を

れ を ２ 進 表 現 した らｎ で あ る と

の よ う に し て 負 の 整 数 を 表 す 表 し方 を ２ の 補 数 表

い う. ど と書 か れ て い る と き は ビ ッ トパ タ ー ン と ２進 表 現 と 同

じ も の と み る こ と が で き る が,1011な

ど と書 か れ て い る場 合 は そ う考 え る わ け

に い か な い の で,２ 進 表 現 と 区 別 す る た め に,こ う こ と ば を 使 い,２ 進 表 現 に は 原 則 と し て,添

の 本 で は,ビ

ッ トパ タ ー ン と い

え 字 の ２ を 書 く よ う に し て い る.

  ２ の 補 数 表 現 を 求 め る に は 次 の よ う に す れ ば よ い.

表2.2 

性 質2.2 １ -nを

語 の 長 さ がｋ

表 すｋ

ビ ッ トの と き,2k-1以

下 の 正 の 整 数ｎ

ビ ヅ トの ２ の 補 数 表 現 を 求 め る に は

を 反 転 さ せ,そ   こ こ で,ビ

４ ビ ッ トの 整 数(負 の 数 は ２ の補 数)

に 対 し て,

,ｎ

の ２進 表 現 の 各 ビ ッ ト

な ら ば ｌ に,１

な ら ば ０ に 置 き換 え る

れ に １ を 加 え れ ば よ い. ッ トを 反 転 さ せ る と は,０

こ と で あ る.

証 明   2k-1以 2kと

下 の 正 の 整 数ｎ

な る ｍ のｋ

て,ｎ

と ｍ

に 対 し て,-nの

２ の 補 数 表 現 と は,-n=m-

ビ ッ ト ２ 進 表 現 で あ る こ と か ら,m=2k-nで

っ

を 加 え る と,

 n+m=2k 

(2.3)

で あ る.一 る と,ｋ

あ る.よ

方,ｎ

のｋ

ビ ッ ト ２進 表 現 と,そ

ビ ツ トす べ て が １ と な る か ら,そ

  に 等 し い.つ る よ う にｎ

の各 ビ ッ トを反 転 した もの を加 え

の 数 は,

2k-1+2k-2+…+22+21十20=2k-1  ま り,-nの のｋ

２ の 補 数 表 現 は,式(2．3)と

(2.4) 式(2.4)を

比 べ る とわ か

ビ ッ ト ２ 進 表 現 の 各 ビ ッ ト を 反 転 し た も の よ り １大 きい.し

た が っ て,-nの

２の 補 数 表 現 を 求 め る に は,ｎ

のｋ

ビ ッ ト２進 表 現 の 各 ビ ッ

ト を 反 転 し た も の に １ を 足 せ ば よ い. 

例2.3 

□

た と え ば,１ 語 の 長 さ が ４ ビ ッ トの と き,整

で あ る.各

ビ ッ ト を 反 転 さ せ る と,1001と

表 現 は10012に00012を

  こ こ で,ビ

加 え,1010と

数 ６の ２進 表 現 は,01102

な る ． し た が っ て,-6の

２の補 数

な る.

ッ トを 反 転 して １ を 加 え る と い う操 作 を よ く 見 て み る と,２

の補

数 表 現 を 求 め る に は 次 の よ う に し て も よ い こ と が わ か る.

性 質2.3 

１ 語 の 長 さ が ｋ ビ ッ トの と き,2k-1以

-nを 表 すｋ ビ ッ ト(20の

ビ ッ トの ２ の 補 数 表 現 を 求 め る に は,ｎ 位)か

ら,順

の ま ま に し て お い て,そ

例2.4 

下 の 正 の 整 数ｎ

に 対 し て,

の ２進 表 現 を最 も右 の

に 左 の ビ ッ ト を 見 て い き,最

初 に現 れ る １ まで は そ

れ よ り上 位 の 各 ビ ッ トを 反 転 さ せ れ ば よ い. 

た と え ば,610は01102だ

か ら,一

の ビ ッ トの １ は そ の ま ま に して お い て,右 番 目 の ビ ッ トの ０ を １ に 置 き換 え て,得

□

番 右 の ビ ッ トの ０ と 右 か ら ２番 目 か ら ３ 番 目 の ビ ッ トの １ を ０ に,４

ら れ る1010が-6の

２の補 数 表 現 と

な る の で あ る.

  現 在 の パ ソ コ ン や ワ ー ク ス テ ー シ ョ ン で 多 く 使 わ れ て い る １語 の 長 さ が32 ビ ッ トの 場 合 に,１   32ビ

語 で 表 す こ と の で き る 整 数 の 範 囲 を 求 め て お こ う.

ッ トの 整 数 で,負

の 整 数 は ２ の 補 数 で 表 さ れ て い る と き は,

か ら  か ら 

を 表 す こ と が で き る.

まで の ０以 上 の 整 数 と, まで の 負 の 整 数

例 題2.1  64ビ ッ トの 整 数 で,負 の整 数 は ２の 補 数 で 表 さ れ て い る と き,表 す こ との で きる 整 数 の 範 囲 を求 め よ. 解 答   32ビ ッ トの整 数 と 同 じ よ うに 考 えて, か ら 

ま で の ０以 上 の 整 数 と,

か ら 

ま で の 負 の整 数

を 表 す こ とが で きる. 

  2.3.2 

□

整 数の加減 算

  前 項 で み た よ う に,コ

ン ピュ ー タで は,扱

え る整 数 には 範 囲 が あ る の で,足

し算 を す る と きな ど注 意 しな い と,意 外 な こ とが 起 こ る こ とが あ る.負 の 整 数 は ２の 補 数 で 表 す と き,足

し算 や 引 き算 は ど う な る か を,１ 語 の長 さが ４ ビ ッ

トの と き を例 に と りなが ら,考 え て み よ う.

  0001+0101=0110の

よ う に,０ 以 上

の 整 数 の 足 し算 で 和 が0111以

下 になる も

の は 問 題 な く正 し い 値 を得 る.

  0101+0011=1000だ

か ら,２

表 現 で は1000は-810に

なっ て し ま うた

め,正

の補 数

し い 結 果 を 得 る こ と が で き な い.

  (-4)10+610=1100+0110=10010 と な る が,１

語 の 長 さ は ４ な の で,右

４桁 し か 考 え ら れ な い.し ら ５桁 目 の,つ れ て,0010=2と

か ら

た が っ て,右

か

ま り一 番 左 の １は 無 視 さ 正 し く計 算 で き る.

  引 き算 は 符 号 を変 え て 足 す こ と と 同 じ だ か ら710-310=710+(-3)10= 0111+1101=10100と

な る が,右

４桁 しか 考 え ら れ な い の で,つ の １は 無 視 さ れ て,0100=42と

か ら

ま り一 番左 な り,結

果 は 正 し く な る.

  (-3)10-410=(-3)10+(-4)10= 1101+1100=11001と

な る が,一

の １は 無 視 さ れ て,1001=-7と

番左 正 し く

計 算 で き る.

  (-7)10-(3)10=(-7)10+(-3)10= 1001+1101=10110で

あ る が,最

上位

の ビ ッ トは 無 視 さ れ て,0110=(6)10と な っ て 正 し く計 算 で き な い.

 こ の よ うな 整 数 の 表 し方 と足 し算 の 関 係 は,次 の よ うな 図 にす る とわ か りや

図2.1 

整 数 の ２ の 補 数 表 現 と足 し算 の 関 係(４ ビ ッ トの例)

す い.図2.1で,+1す

る と右 回 り に １つ ず つ,-1す

る と 左 回 り に １つ ず つ ず

れ て い く．

 

  ａ.

2．4 

桁 数 の 多 い整 数 の 演 算

桁 数 の 多 い整 数 の 演 算 に くふ うが 必 要 な こ と

  前 項 で 述 べ た よ う に,１ 語 の 長 さ は32ビ で 表 す と す る と,表 あ る.こ

れ は,そ

りは 小 さ い ． た と え ば,20=1か

に 対 し て,2n=2n-1×2と て 計 算 す る と,230は と 正 し く な くな る.こ

の 数 は ２の補 数

す こ と の で き る 最 大 の 整 数 は,231-1=2147483647で

れ ほ ど 大 き な 数 で は な く,12!=479001600よ

13!=6227020800よ

と な り,こ

ッ トで あ る と き,負

り は 大 き い が, ら始 め て,n=1,2,…

して ２の 累 乗 を 求 め る単 純 な プ ロ グ ラム をつ くっ 正 し く1073741824と れ は,230は

計 算 さ れ る が231は-2147283648

２進 表 現 で

れ に ２ を 掛 け る と 各 ビ ッ トが 左 へ １つ ず つ シ フ ト し て,

と な る.こ れ は,最 上 位 ビ ッ トが １な の で ２の補 数 表 示 で は231-232=-2-31 を表 して い る わ け で あ る.   そ こ で,桁 数 が 多 い 数 の 計 算 を す る には,何 ない.コ

らか の くふ う を しな け れ ば な ら

ン ピ ュ ー タで の 実 数 の扱 い は次 章 で 説 明 す る が,コ

ンピュータでは整

数 しか扱 え ない わ け で は な く,実 数 も扱 え る し,実 数 は 整 数 よ りは 非 常 に多 く の 桁 数 の計 算 もで き るの で 整 数 の範 囲 とい う狭 苦 しい とこ ろ で は な く,実 数 の 範 囲 で計 算 す る の も もち ろ ん １つ の 方 法 で あ る.そ れ で も,や は り扱 え る数 の 範 囲 に は 限 界 が あ る.こ

こで は,桁 数 の多 い 整 数 の 演 算 につ い て基 本 的 な方 法

を説 明 し よ う.こ の 基 本 的 な 方 法 は,別 に 難 しい こ と を行 うわ け で は な く,ふ つ う １桁 ず つ 行 う計 算 を何 桁 か ず つ ま とめ て行 う だ け で あ る.   こ こで桁 数 が 多 い とい うの は,２ 語 以 上 使 わ な け れ ば表 現 で きな い数 の こ とで

あ る ． そ の よ う な 数 を 多 倍 長 数(multiprecision て,１ 語 で 表 現 さ れ て い る 数 を 単 精 度(sigle タ で 多 倍 長 数 を 扱 う に は,配 な け れ ば な ら な い が,そ

number)と

precision)の

い う.こ

れ に対 し

数 と い う． コ ン ピ ュ ー

列 と よ ば れ る も の を 使 う な ど し て 表 現 を くふ う し

れ は プ ロ グ ラ ミ ン グ の 本 な ど に 譲 る こ と に す る.多

倍

長 数 の 演 算 を 多 倍 長 演 算 と い う.  ｂ.  多 倍 長 整 数 の 足 し 算   ま ず 足 し算 か ら始 め よ う.た  

と し て,A+Bを

と え ば,

A=68719476736 

(=236)

  B=17179869184 

(=234)

求 め る こ と を 考 え る.Ａ

もＢ

も 長 さ32ビ

ッ トの１ 語 で 表

す こ と は で き な い.   こ こ で は,い   A+Bを

わ ゆ る 筆 算 の 拡 張 に よ る 方 法 を考 え よ う．

手 で 足 し算 す る と き は,１

足 し算 の 結 果 の１ の 位 を０ と し,10の て12な

の で10の

で９,繰

位 は２,100の

の 位 の６ と４ を 足 し,そ

位 の３ と８ と 繰 り上 が りの１

位 は６ と９ を 足 して５,…

１の 位 か ら１ 桁 ず つ 繰 り 上 が り を 考 え な が ら 足 し て い く.こ

が,10進５

で 掛 け 算 を す る と き に,16ビ

下 で,10進４

桁 の 数 を２ つ 掛 け た と き は32ビ

  手 順 は 次 の よ う に な る. を１ の 位 か ら４ 桁 ず つ 区 切 っ て,

 

A3←6736

 

A2←1947   Al←687

 

と す る.

とい う よ うに

れ をそ の ま ま実 現

ッ ト の２ 進 数 の 最 大 数

桁 の 数 を２ つ 掛 け て も32ビ

で あ る.

 １) Ａ

と を足 し

う 少 し ま と め て,４ 桁 ず つ で 同 じ よ う な こ と を す る.４ 桁

に し た 理 由 の１ つ は,後 216-1=65535以

の で,

位 は７ と１ と 繰 り上 が りの１ を 足 す と９ な の

り 上 が り は な い の で1000の

し て も よ い の だ が,も

れ が10な

ッ トで 表 さ れ る

ッ トで は 表 せ な い こ と が あ る か ら

 ２) Ｂ

を１ の 位 か ら４ 桁 ず つ 区 切 っ て,

 

B3←9184

 

B2←7986

 

B1←171

 

と す る.

 ３)

c←0と

し て お く.

 ４) C3←(A3+B3+cの

下 位４ 桁)

 

A3+B3+c〓9999な

 

A3+B3+c〓10000な

 

と す る.

ら ばc←0 ら ばc←1

  こ の と き は,A3+B3+c=15920な

の で,C3=5920,c=1で

 ５)

C2←(A2+B2+cの

下 位４ 桁)

 

A2+B2+c〓9999な

ら ばc←0

 

A2+B2+c〓10000な

 

と す る.

 

こ の と き は,A2+B2+C=9934な

 ６)

C1←(Al+B1+cの

下 位４ 桁)

 

Al+B1+c〓9999な

ら ばc←0

 

A1+B1+c〓10000な

 

と す る.

 

こ の と き は,A1+B1+c=858な

 ７)

C0←cと

 

こ の と き は,c=0で

ら ばc←1

あ る．

ら ばc←1

の で,C1=858,c=0で

あ る.

あ る.

と き は,C1,C2,C3を,C0=1の に,左

85899345920と

と き は,C0,C1,C2,

か ら並 べ て 得 ら れ る 数 が,A+Bで

 こ の と き は,c=0な

  最 後 は,本

の で,C2=9934,c=0で

す る.

 ８) C0=0の C3を,順

あ る.

あ る.

の で,A+B=C1×108+C2×104+C3= な る.

当 は,cl×108+C2×104+C3は１

れ が 扱 え る よ う に くふ う が 必 要 に な る が,本

語 で は 表 せ な い の で,そ 書 で は,そ

の 具 体 的 な 方 法 に はふ

れ な い こ と に す る.   要 す る に,次

の よ う に し て い る の で あ る.

 一 般 に は次 の よ う に す る こ とに な る ．

ア ル ゴ リ ズ ム2.4:多 入 力:10進

倍 長 整 数 の 足 し算

表 現 で 与 え ら れ た 多 倍 長 整 数Ａ,Ｂ

出 力:A+B ス ア ツ フ:   (１) 正 の 整 数Ａ,Ｂ  

k=1,2,3な

   

の 桁 数 の 多 い ほ う の 桁 数 を4n+kと

す る

らば

N←n+1 k=0な

 

らば N←n

  (２) Ａ を １の 位 か ら ４桁 ず つ 区 切 っ て,順 つ き た ら そ れ 以 降 のAi,Ai-1,…Alは   (３) Ｂ を １の 位 か ら ４ 桁 ず つ 区 切 っ て,順 つ き た ら そ れ 以 降 のBj,Bj-1,…,B1は   (４) c←0   (５) i←N

に,AN,AN-1,…

と し,桁

数 が

と し,桁

数 が

０ と す る. に,BN,BN-1,… ０ と す る.

  (６) i〓1で

あ る 間,次

 Ci←(Ai+Bi+cの  

下 位 ４桁)

Ai+B2+c〓9999な

   

を行 う

らば

c←0 Ai+Bi+c〓10000な

 

らば

c←1

  (７) C0←c   (８) C0=0な

らば

 A+B=C1×10000N-1+C2×10000N-2+…+CNを C0=1な  

出力

らば

A+B=C0×10000N+Cl×10000N-1+C2×10000N-2+...+CN を出力

例2.5 

Ａ,Ｂ

を

 

A=9999876543210987

 

B=123465439102

と す る.

  Ａ は16=4×4桁,Ｂ   Ai,Bi,ｃ,Ciを

は12桁

だ か ら,N←4と

表 に す る と次 の よ う に な る.た

A0の 値 を 表 し,ｃ の 行,１

の 列 はi=1の

した が っ て,  

A+B=10000000008650089 表2.3

す る. と え ば,Ａ

と き のcの

の 行,０

値 を表 す.

の列が

を 得 る.   ｃ.  多 倍 長 整 数 の 引 き 算   足 し算 と 同 じ よ う に 考 え て,多 の よ う に す る こ と が で き る.簡

ア ル ゴ リ ズ ム2.5:多 入 力:10進

倍 長 の 正 の 整 数Ａ,Ｂ 単 の た め にA〓Bと

の 引 き 算A-Bも

次

す る.

倍 長 整 数 の 引 き算

表 現 で 与 え ら れ た 多 倍 長 整 数Ａ,Ｂ.た

だ しA〓Bと

す る

出 力:A-B ス テ ッ プ:   (１) A〓Bな  

の で,Ａ

k=1,2,3な

の 桁 数 を4n+kと

す る.

らば

  N←n+1  

k=0な

 

らば

N←nと

す る.

  (２) Ａ を １の 位 か ら ４ 桁 ず つ 区 切 っ て,順  (３) Ｂ を １の 位 か ら ４桁 ず つ 区 切 っ て,順  

つ き た ら そ れ 以 降 の 、Bj,Bj-1,…,B1は

  (４) b←0   (５) i←N   (６) Ai〓Biな

らば

 Ci←Ai-Bi-b  

b←0

 

Ai＜Biな

らば

 Ci←10000+Ai-Bi-b  

b←1

  (７) i〓2な

らば

 i←i-1  

ス テ ッ プ(６)を

 i=1な   (８) C1≠0な

行 う

らば 次 へ 進 む らば

に,AN，AN-1,…Alと に,BN,BN-1,… ０ と す る.

す る. と し,桁

数が

A-B=C1×10000N-1+C2×10000N-2+…+CNを

出 力

C1=…=Ce=0(1〓l＜N)な A

ら ば

-B=Ce+1×10000N‐(e+1)+…+CNを

C1=…=CN=0な  A

ら ば

-B=0を

列2.6 Ａ, Ｂ

出 力

出力

を

 

A=1234567890123

 

B=987664321012

と す る.  ●Ａ

は13=4×3+1桁

だ か ら,N←3+1=4と

す る.

 ●A4←123,A3←6789,A2←2345,Al←1と  ●

す る.

B4←1012,B3←6432,B2←9876,B1←0と   ●b←0と

す る.

す る.

 ●i ←N,つ

ま り こ の 例 で は,i←4と

  ●A4=123,B4=1012で

す る.

あ り,A4＜B4だ

10000+123-1012-0を

計 算

か ら,1000+A4-B4-b=

し,そ

の 結 果911をCiに

代 入 し,b=1

と す る. つ ま り,C4←9111,b←1と  ●i

=4〓2な

す る.

の で ,i←i-1=3と

す る.

  ●A3=6789,B3=6432で

あ り,A3〓B3だ

6789-6432-1を

計 算 し,そ

つ ま り,C3←356   ●i=3〓2な

,b←0と

の 結 果911をCiに

10000+2345-876-0を

つ ま り,C2←2469,b←1と

す る.

す る. あ り,A2＜B2だ 計 算 し,そ

と す る.  

代 入 し,b=0と

す る.

の で,i←i-1=2と

  ●A2=2345,B4=9876で

か ら,A3-B3-b=

す る.

か ら,1000+A2-B2-b= の 結 果2469をCiに

代 入 し,b=1

 ●i

=20〓2な

の で,i←i-1=1と

  ●A1=1,B1=0で

す る.

あ り,Al〓B1だ

計 算 し,そ

の 結 果 ０ をCiに

代 入 し,b=0と

つ ま り,Ｃ1←0,b←0と  ●i

=1な

進 み ,Ｃ1=0(つ

ま り,l=1)な

の で

A-B=C2×100002+C3×10000+C4

   

す る.

す る .

の で ス テ ッ プ(８)へ

 

か ら,Al-B1-b=1-0-1を

=246903569111 を 出 力 す る.

  2.4.1 

多 倍 長 整 数 の 掛 け算

  多 倍 長 の 正 の 整 数Ａ,Ｂ 行 う こ と に し よ う.こ

の 掛 け 算 も 足 し算 と 同 じ よ う に,４

こ で は,簡

て 高 々 ４桁 の 場 合 を 考 え よ う.Ｂ

単 の た め に,Ａ

ア ル ゴ リ ズ ム2.6:多

数 と し

は 単 精 度 の 整 数 で あ る.

倍 長 整 数 の 掛 け算

入 力:10進

表 現 で 与 え ら れ た 多 倍 長 整 数A＞0,

 

表 現 で 与 え ら れ た 高 々 ４桁 の 整 数B＞0

10進

桁ず つ区切 って

が 多 倍 長, Ｂ は10進

出 力:A×B ス テ ッ プ: (１) 正 の 整 数Ａ  

k=1,2,3な

 

N←n+1

   

k=0な

の 桁 数 を4n+kと

す る.

らば

らば

N←n

  (２) Ａ を １ の 位 か ら ４ 桁 ず つ 区 切 っ て,順   (３) c←0  (４) i←N   (５) Ci←(Ai×B+cの  

Ai×Bi+c〓9999な

下 位 ４桁) らば

に,AN,AN-1,…,Alと

す る.

   

c←0 A2+Bi+c〓10000な

 

らば

c←(Ai×Bi+c-Ci)/10000

 (６) i〓2な

らば

 i←i-1  

ス テ ッ プ(５)を

 i=1な

行 う.

らば

 

C0←c

 

次 の ス テ ッ プ(７)へ

 (７) C0=0な  

進 む

らば

 

A×B=cl×10000N-1+Ｃ2×10000N‐2+…+CNを C0≠1な

 

出力

らば

A×B=C0×10000N+C1×10000N-1+…+CNを

  Ｂ も多 倍 長 整 数 の と き は,Ｂ

出力

も ４桁 ず つ 区 切 っ て,上

の 区 切 っ た １つ １つ に つ い て 行 い,そ

と同 じよ うな計 算 をそ

れ ら を位 取 り に 注 意 し て,桁

数の多 い整

数 の 足 し算 を 行 う こ と に な る.

例2.7 Ａ,Ｂ

を

 

A=1234567890123456

 

B=9876

と す る.   ●Ａ は16=4×4桁

だ か ら,N←4と

す る.

 ●A4←3456,A3←9012,A2←5678,Al←1234と

 ●

 ●c←0と

す る.

  ●i←4と

す る.

A4×B+c=3456×9876+0を 桁1456を

Ｃ4に 代 入 し,c←3413と

す る.

計 算 し,そ す る.

の 結 果34131456の

下位 ４

  ●i=4〓2な

の で,i←i-1=3と

す る.

  ●A3×B+c=9012×9876+3413を ４桁5925を

計 算 し,そ

Ｃ3に 代 入 し,c←8900と

  ●i=3〓2な

計 算 し,そ

代 入 し,c←5608と

代 入 し,c←1219と

  ●C0=1219≠0な

 

計 算 し,そ

の で,C0←c=1219と

の 結 果12192592の

下位

す る.

  ●Al×B+c=1234×9876+5608を

  ●i=1な

下位

す る.

の で,i←i-1=1と

４ 桁2592をC1に

の 結 果56084828の

す る.

  ●A2×B+c=5678×9876+8900を

  ●i=i〓2な

下位

す る.

の で,i←i-1=2と

４桁4828をC2に

の 結 果89005925の

す る. し て,ス

テ ッ プ(７)へ

進 む.

の で,

C0×100004+…+03×10000+C4=12192592482859251456 をA×Bと

  2.4.2 

して 出 力 す る.

多 倍 長 整 数 の 割 り算

  多 倍 長 の 正 の 整 数Ａ,Ｂ

の 割 り算A÷Bは,や

は り,４ 桁 ず つ 区 切 っ て,多

倍 長 整 数 ど う し の 掛 け 算 や 引 き 算 を 組 み 合 わ せ て 行 え ば よ い わ け だ が,話 単 に す る た め に,Ａ

が 多 倍 長 整 数 で, Ｂ は10進

を簡

数 で 高 々４桁 の場 合 だ け を考

え る こ と に す る.

ア ル ゴ リ ズ ム2.7:多 入 力:10進  10進

倍 長 整 数 の割 り算

表 現 で 与 え ら れ た 多 倍 長 整 数A＞0, 表 現 で 与 え ら れ た 高 々 ４ 桁 の 整 数B＞0

出 力:A÷Bの

商 と余 り

ス テ ッ プ:   (１) 正 の 整 数Ａ  

k=1,2,3の

の 桁 数 を4n+kと

す る.

と きN=n+1,k=0の

  (２) Ａ を １ の 位 か ら ４ 桁 ず つ 区 切 っ て,順  (３) c←0

と きN=nと に,AN,AN-1,…,A1と

す る. す る.

 (４) i←1  (５) Ai÷Bを

計 算 し,そ

の 商 をCiと

し,余

り を ｃ と す る.

 (６) i←i+1  (７) (c×10000+Ai)÷Bを  (８) i〓N-1な  

の 商 をCi,余

り を ｃ と す る.

らば

ス テ ッ プ(６)へ

 i=Nな

計 算 し,そ

戻 る

らば

 

次 の ス テ ッ プ(９)へ

 (９) C1≠0な  

進 む

らば

A÷B=C1×10000N-1+C2×10000N-2+…+CN余

り ｃ を

出力  C1=0な  

らば

A÷B=C2×10000N-2+C3×10000N-3+…+CN余

り ｃ を

出力

例2.8 

A=123456789012345をB=34で

  ●Ａ

は15桁

割 る と 次 の よ う に な る.

な の で,4n+k=4×3+3で

あ り,N←n+1=3+1=4

と す る.   ●Ａ

を

１の 位 か ら ４桁 ず つ

A 2←4567,Al←123と  ●c←0と  ●i ←1と

  ●i←i+1と

り21だ

か ら,C1←3,c←21と

す る.

す る. り27だ

か ら,C2←6310,

り33だ

か ら,C3←8202,

す る. す る.

 ●(c×10000+A3)÷B=278901÷34=8202余 c←33と

す る.

す る.

 ●(c×10000+A2)÷B=214567÷34=6310余 c←27と

に,A4←2345,A3←8901,

し て お く.

  ●Ai÷B=123÷34=3余   ●i←i+1と

切 っ て,順

す る.

 ●(c×10000+A4)÷B=332345÷34=9774余 c←29と

り29だ

か ら,C4←9774,

す る.

  ●C1×100003+C2×100002+C3×10000+Ｃ4がA÷Bの

商 で あ り,ｃ

が 余 り で あ る か ら,

   

123456789012345÷43=3631082029774余

り29

を 出 力 す る.

 

  2.5.1 

2.5 

ユ ー ク リ ッ ドの ア ル ゴ リ ズ ム

最 大公約数 の計算

  ２ つ の 自 然 数 の 最 大 公 約 数 を 求 め る ア ル ゴ リ ズ ム と して,ユ 助 法,ま

ー ク リ ッ ドの 互

た は ユ ー ク リ ッ ドの ア ル ゴ リズ ム と よ ば れ る も の が あ る.こ

れ は,次

の 性 質 を 利 用 す る.

性 質2.4 

ｍ,ｎ

1〓r＜nと

をm＞nな

す る と,ｍ

証 明   自然 数

ｍ,ｎ

る 自 然 数 と し,m=qn+r,ｑ,ｒ とｎ

の 最 大 公 約 数 と,ｎ

,nと

す る.よ

っ て,r=m-qn=dm'-qdn'=d(m'-qn')と

す る と, m=dm',n=dn'を

数 で も あ る.つ

と ｒ の 最 大 公 約 数 は 等 し い.

の 正 の 公 約 数 全 体 の 集 合 をDm，nで

d∈Dm

ま り,d∈Dn,rで

あ る.し

は 自 然 数,

表 す こ と に す る.

満 た す 自 然 数m',n'が

存 在

な り,ｄ

は ｒの約

た が っ て,

  Dm,n⊂Dn,r 

(2.5)

  ま た,d'∈Dn,rな ら ば,r=m-qn=d'm",n=d'n"を n"が 存 在 す る .よ っ て,m=(m-qn)+qn=d'm"+qd'n"=d'(m"+qn") と な り,ｄ'は

ｍ の 約 数 で あ る.つ

ま り,d'∈Dm

  Dn,r⊂Dm,n  ゆ え に,式(2.5)と

式(2.6)か

ら,

,nで

満 た す 自 然 数 ｍ",

あ る.し

た が っ て, (2.6)

  Dm,n=D,n,r が 成 り立 つ.し

た が っ て,Dm

,nの 最 大 要 素 で あ る ｍ,ｎ

の 最 大 公 約 数 と,Dｎ,r

の 最 大 要 素 で あ る ｎ,ｒ の 最 大 公 約 数 は 同 じ も の に な る. 

  自然 数 ｍ

□

とｎ の 最 大 公 約 数 を 求 め る ユ ー ク リ ッ ドの ア ル ゴ リ ズ ム と は 次 の

よ う な も の で あ る.

ア ル ゴ リ ズ ム2.8:ユ 入 力:自

ー ク リ ッ ドの ア ル ゴ リ ズ ム

然 数 ｍ,ｎ

出 力:ｍ,ｎ

の 最 大 公 約 数 ｄ と ユ ー ク リ ッ ドの ア ル ゴ リ ズ ム の 長 さ〓

ス テ ッ プ:   (１) r0←m  

r1←n

  (２) i←1   (３) ri≠0で

あ る 間,次

 

qi←ri-1÷riの

 

ri+1←ri-1÷riの

を行 う 商 余 り

  {ri-1=qiri+ri+1で

あ る}

 i←i+1   (４) ri=0の  

とき

d←ri-1 〓←i-1

  (５) ｄ と〓 を 出 力

  "性 質2.4"に は,ｍ riがｍ

よ り,各ｉ(i=1,2,…,〓)に

とｎ の 最 大 公 約 数 に 等 し い.し とｎ

の 最 大 公 約 数 で あ る.そ

 

qi←ri-1÷riの

 

ri+1←ri-1÷riの

商 余 り

つ い て,ri-1とriの た が っ て, ri-1がriで の と き のｉ に 対 して,ス

最大公 約数 割 り切 れ る と き, テ ッ プ(３)の

に よ り,ri+1=0と

な り,こ

の代 入 文 の直 後 に

 i←i+1 を 実 行 す る の で,そ し て,そ

の あ と の ス テ ッ プ(４)で

の と き のi-1をlと

し て,ユ

は,ri-1が

最 大 公 約 数 に な る.そ

ー ク リ ッ ドの ア ル ゴ リ ズ ム の 長 さ と い

う こ と に し よ う.

例2.9 

1024と40の

最 大 公 約 数 を こ の ユ ー ク リ ッ ドの ア ル ゴ リ ズ ム で 求 め る

と 次 の よ う な 手順 に な る.  ●m=1024,n=40な  

r0←1024

 

r1←40

の で,

  ●i←1  ●ri=r1=40≠0な  

の で 次 を 行 う.

ri-1÷ri=r0÷r1=1024÷40=25余

 

qi=q1←25

 

ri+1=r2←24

り24な

の で,

 i←i+1{=2}  ●ri=r2=24≠0な  

の で 次 を 行 う.

ri-1÷ri=r1÷r2=40÷24=1余

 

qi=q2←1

 

ri+1=r3←16

り16な

の で,

 i←i+1{=3}   ●ri=r3=16≠0な  

の で 次 を行 う．

ri-1÷ri=r2÷r3=24÷16=1余

 

qi=q3←1

 

ri+1=r4←8

り ８ な の で,

 i←i+1{=4}  ●ｒi=r4=8≠0な  

の で 次 を 行 う.

ri-1÷ri=r3÷r4=16÷8=2余

り ０ な の で,

 qi=q4←2   ri+1=r5←0  i←i+1 

{=5}

 ●ri=r5=0な  

の で

d←ri-1=r4=8

 l←i-1=4   ●d=8とl=4を

例 題2.2 

出 力.

m=49とn=64の

最 大 公 約 数 を ユ ー ク リ ッ ドの ア ル ゴ リ ズ ム で

求 め よ. 解 答  ●m=49,n=64な  

r0←49

 

r1←64

の で,

  ●i←1   ●ri=ｒ1=64≠0な  

の で 次 を 行 う.

ri-1÷ri=r0÷r1=49÷64=0余

 

qi=q1←0

 

ri+1=ｒ2←49

り49な

の で,

り15な

の で,

 i←i+1{=2}  ●ri=r2=49≠0な  

ri-1÷

の で 次 を 行 う.

ｒi=r1÷r2=64÷49=1余

 

qi=q2←1

 

ri+1=r3←15

 i←i+1{=3}  ●ri=r3=15≠0な  

ri-1÷ri=r2÷r3=49÷15=3余  qi=q3←3  

ri+1=r4←4

 i←i+1{=4}

の で 次 を行 う. り ４ な の で,

●ri=r4=4≠0な  

の で 次 を 行 う.

ri-1÷ri=r3÷r4=15÷4=3余

 

qi=q4←3

 

ri+1=r5←3

り ３ な の で,

 i←i+1{=5}  ●ri=r5=3≠0な  

の で 次 を 行 う.

ri-1÷ri=r4÷r5=4÷3=1余

り １ な の で,

  qi=q5←1  

ri+1=r6←1

 i←i+1{=6}  ●ri=r6=1≠0な  

の で 次 を行 う ．

ri-1÷ri=r6÷r7=3÷1=3余

 

qi=q6←3

 

ri+1=r7←0

り ０ な の で,

 i←i+1{=7}   ●ri=r7=0な  

ので

d←ri-1=ｒ6=1

 l←i-1=6  ●d=1とl=6を  

出 力.

{49と64の

最 大 公 約 数 は １,す な わ ち,49と64は

互 い に 素}

  ユ ー ク リ ッ ドの ア ル ゴ リ ズ ム を 使 っ て 次 の こ と を 示 す こ と が で き る.

性 質2.5 

自然 数 ｍ

とｎ

の 最 大 公 約 数 が ｄ の と き,

  mx+ny=d と な る 整 数ｘ

  こ のｘ,ｙ   "性 質2.5"を

とｙ が 存 在 す る.

を ベ ズ ー(Bezout)係 示 す た め に,次

数 と い う こ と が あ る. の ユ ー ク リ ッ ドの ア ル ゴ リ ズ ム を拡 張 し た も の

を 考 え よ う．

ア ル ゴ リ ズ ム2.9:拡 入 力:自

張 さ れ た ユ ー ク リ ッ ドの ア ル ゴ リ ズ ム

然 数 ｍ,ｎ

出 力:ｍ,ｎ

の 最 大 公 約 数 ｄ,mx+ny=dと

な るｘ,y,お

よび ユ ー ク リ ッ

ドの ア ル ゴ リ ズ ム の 長 さl ス ア ツ フ:   (１) r0←m   r1←n

 

S0←1

 

t0←0

 

s1←0

 

t1←1

  (２) i←1   (３) ri≠0で

あ る 間,次

 qi←(ri-1÷riの  

を 繰 り返 す. 商)

ri+1←(ri-1÷riの

余 り)

 si+1←si-1-qisi  

ti+1←ti-1-qiti

 i←i-1+1   (４)

ri=0の

と き

 l←i-1  

d←ri-1{=re}

 x←si-1{=se}     (５)

y←ti-1{=te} ｄ,ｘ,y,lを

性 質2.5の し て,

出 力.

証 明   ア ル ゴ リ ズ ム2.9に

お い て,各ｉ(i=1,2,…,l+1)に

対

 

が 成 り 立 つ こ と は,次 の と き,そ

sim+tin=ri 

(2.7)

の よ う に 数 学 的 帰 納 法 を 用 い て 示 す こ と が で き る.i=0,1

れ ぞ れ,

 

s0m+t0n=1×r0+0×r1=r0

 

s1m+t1n=0×r0+1×r1=r1

が 成 り 立 つ.2〓i〓l+1の

と き,0〓j＜iな

る ｊ に 対 し て,sjm+tjn=rj

が 成 り 立 つ と 仮 定 す る と,

 

sim+tin-(si-2-qi-1si-1)m+(ti-2-qi-iti-1)n  

=Si-2m+ti-2n-qi-1(Si-1m+ti-1n)

 

=ri-2-qi-1ri-1

  =ri

と な り,式(2.7)を  i=lの

得 る.

と き,rl=d,x=sl,y=tlだ

か ら,

 xm+yn=slｍ+tln=rl=d で あ り,"性

例 題2.3 

質2.5"が

証 明 さ れ た. 

m=1260,n=299と

を 満 た すｘ,ｙ

し て,ｍ,ｎ

□

の 最 大 公 約 数 と,xm+yn=d

を 拡 張 さ れ た ユ ー ク リ ッ ドの ア ル ゴ リ ズ ム を 使 っ て 求 め よ.

解 答   拡 張 さ れ た ユ ー ク リ ッ ドの ア ル ゴ リ ズ ム は 次 の よ う に な る.   １) r0←1260  

r1←299

 

s0←1

 

t0←0  s1←0

 

t1←1

 ２) i←1  ３) ri=r1=299≠0な  

qi=q1←4

 

ri+1=r2←64

 

si+1=s2←1

 

ti+1=t2←-4

 i←i+1

の で,次 {r0÷r1=1260÷299の

余

{=si-1-qisi=s0-q1s1=1-4×0} {=ti-1-qiti=t0-q1t1=0-4×1} {=2}

 

qi=q2←4

 

ri+1=r3←43

の で,次

商}

{r1÷r2=299÷64の

余 り}

{=si-1-qisi=sl-q2sa=0-4×1}

ti+1=t3←17  i←i+1

を行 う

{r1÷r2=299÷64の

 si+1=s3←-4

{=ti-1-qiti=t1-q2t2=1-4×(-4)} {=3}

  ５) ri=r3=43≠0な

の で,次

 qi=q3←1  

商}

{r0÷r1=1260÷299の

 ４) ri=r2=64≠0な

 

を行 う

を行 う

{r2÷r3=64÷43の

商}

ri+1=r4←21{r2÷r3=64÷43の  si+1=s4←5

{=Si-1-qisi=s2-q3s3=1-1×(-4)}

 ti+1=t4←-21  i←i+1

{=ti-1-qiti=t2-q3t3=-4-1×17)} {=4}

 ６) ri=r4=21≠0な  qi=q4←2

の で,次

商} 

{r3÷r4=43÷21の

 Si+1=s5←-14

{=5} の で,次

を行 う

{r4÷r5=21÷1の

 ri+1=r6←0

{r4÷r5=21÷

 ti+1=t5←-1260

余 り}

{=ti-1-qiti=t3-q4t4=17-2×(-21))}

 qi=q5←21

 si+1=s6←299

,

{=si-1-qisi=s3-q4s4=-4-2×5}

 ti+1=t5←59

 ７) ri=r5=1≠0な

を行 う

{r3÷r4=43÷21の

 ri+1=r5←1

 i←i+1

余 り}

商} １ の 余 り}

{=si-1-qisi=s4-q5S5=5-21×(-14)} {=ti-1-qiti=t4-q5t5=-21-21×59)}

り}

 i←i+1{=6}   ８) ri=r6=0な  l←5

の で,次

を行 う

 

{=i-1=6-1} d←1{=ri-1=r5}

 x←-14

{=Si-1=s5}

 y←59

{=ti-1=t5}

  ９) ｄ,ｘ,ｙ

を 出力

した が っ て,1260と299の

最 大 公 約 数 は １,す な わ ち,1260と299と

は互い

に 素 で あ り,   (-14)×1260+59×299=1 とな る．

  2.5.2 

ユ ー ク リ ッ ドの ア ル ゴ リ ズ ム と フ イ ボ ナ ツ チ 数

  フ イ ボ ナ ツ チ 数(Fibonachi

number)と

 

F0=0,F1=1

と し,２ 以 上 の 自 然 数iに

 

は,

対 して,

Fi=Fi-1+Fi-2

に よ っ て 与 え ら れ る 数 の こ と で あ る.つ

ま り,F0=0,F1=1,F2=1,

F3=2,F4=3,F5=5,Ｆ6=8,F7=13,F8=21,F9=34,F10=55, …

であ る.

  自 然 数 Ｎ〓2が

与 え られ た と き,Ｎ

以 下 の ２ つ の 異 な る 自 然 数 ｍ,ｎ

大 公 約 数 を ユ ー ク リ ッ ドの ア ル ゴ リ ズ ム で 求 め る と き,ユ リ ズ ム の 長 さlが

一 番 大 き く な る の は,余

ー ク リ ッ ドの ア ル ゴ

りが ０ と な ら な い 割 り算 に お い て 商

が い つ も １ と な る と き で あ ろ う と 考 え ら れ る.も の と き,99と98の

の最

ち ろ ん,た

と え ば,N=100

最 大 公 約 数 を ユ ー ク リ ッ ドの ア ル ゴ リ ズ ム で 求 め る と き,

 

99=1×98+1

 

98=98×1

と な る の だ か ら,商

が １ で あ れ ば い つ も ユ ー ク リ ッ ドの ア ル ゴ リ ズ ム の 長 さ〓

が 大 き い と い う わ け で な い.   Ｎ 以 下 の フ イ ボ ナ ツ チ 数 で 最 大 の も の をFkと 約 数 を 求 め る と き,ユ

す る とFkとFk-1の

最大公

ー ク リ ッ ドの ア ル ゴ リ ズ ム の 長 さ〓 が 一 番 大 き く な る こ

と を 示 す こ と が で き る.FkとFk

-1の

最 大 公 約 数 を ユ ー ク リ ッ ドの ア ル ゴ リ

ズ ム で 求 め る と 次 の よ う に な る.

 i=1の

とき

 Fk=1×Fk-1+Fk-2

 i=2の

とき

 Fk-1=1×Fk-2＋Fk-3

 i

=k-2の

と き

  F3=1×F2+F1

 i

=k-1の

と き

  F2=2×F1

  =1×2+1

  =2×1 

よ っ て,FkとFk-1の

性 質2.6 

(2.8)

最 大 公 約 数 は １で あ る.

２ 以 上 の 自 然 数 Ｎ に 対 して,Ｎ

以 下 の 自 然 数 ｍ,ｎ(m＞n)の

最

大 公 約 数 を ユ ー ク リ ッ ドの ア ル ゴ リ ズ ム で 求 め る の に,ユ

ー ク リ ッ ドの ア ル ゴ

リズ ム の 長 さ は,Ｎ

す る と,FkとFk-1

以 下 の 最 大 の フ イ ボ ナ ツ チ 数 をFkと

の 最 大 公 約 数 を 求 め る と き の ユ ー ク リ ッ ド の ア ル ゴ リ ズ ム の 長 さk-1に

等

しい.

証 明   Ｎ 以 下 の フ イ ボ ナ ツ チ 数 で 最 大 の も の をFkと

す る.FkとFk-1の

最

大 公 約 数 を ユ ー ク リ ッ ドの ア ル ゴ リズ ム で 求 め る と き の ユ ー ク リ ッ ドの ア ル ゴ リ ズ ム の 長 さ〓 は,上

の 式(2.8)で

示 した よ う にk-1で

あ る.m＞nと

し,

ｍ とｎ の 最 大 公 約 数 を ユ ー ク リ ッ ドの ア ル ゴ リ ズ ム で 求 め る と き の ユ ー ク リ ッ ドの ア ル ゴ リ ズ ム の 長 さ〓 がk-1な

ら ば,m〓Fkで

あ る.実

の 最 大 公 約 数 を ユ ー ク リ ッ ドの ア ル ゴ リ ズ ム で 求 め る と,m=r0,n=r1と して,

際,ｍ

とｎ

 i

=1の

と き

 r0=q1r1+r2

 i

=2の

と き

 r1=q2r2+r3

 i=k-2の

と き   rk-3=qk−2rk-2+rk-1

 i=k-1の

と き   rk-2=qk-1rk-1

と な る が,式(2.8)と

最 後 の 式 か ら 比 べ て い っ て,

 

rk-1〓1=F1, qk-1〓2

だ か ら,   rk-2=qk-1rk-1〓F2 ま たqk-2〓1で

あ る か ら,

 

rk-3〓qk-2rk-2+rk-1〓F2+F1=F3

同 じ よ う に して,い

つ もrk-j〓Fj(j=1,2,…,k)と

な る こ と が い え る.し

た が っ て,  

m=r0〓Fk

で あ る.   も し,Ｎ さ が,ｋ

以 下 の 自 然 数 ｍ,ｎ(m＞n)で

以 上 に な る も の が あ っ た ら,上

ユ ー ク リ ッ ドの ア ル ゴ リ ズ ム の 長 の こ と か ら,

 Fk+1〓m〓N と な り,Fkが

Ｎ 以 下 の 最 大 の フ イ ボ ナ ツ チ 数 で あ る こ と に 反 す る ． よ っ て,

ユ ー ク リ ッ ドの ア ル ゴ リ ズ ム の 長 さが ｋ 以 上 に な る ｍ は Ｎ 以 下 で は あ り え な い. 

□

 

  2.6.1 

2．6 

素 数

  ２以 上 の 自 然 数 が,１ 数(prime

素 数 に つ い て の ア ル ゴ リズ ム

number)と

と 自 分 自 身 以 外 の 正 の 約 数 を も た な い と き,こ い う.素

れ を素

数 で な い ２ 以 上 の 自 然 数 を 合 成 数(composite

number)と

い う.

  2.6.2 

エ ラ トス テ ネ ス の 飾(ふ

  あ る 自 然 数Ｎ

る)い

が 与 え ら れ た と き,１ 以 上 Ｎ 以 下 の 素 数 を す べ て 見 つ け る ア

ル ゴ リ ズ ム と し て エ ラ トス テ ネ ス の 節 い(sieve は,次

の よ う な 手 順 で,１

か ら Ｎ

ま で の 整 数ｉ

of Eratosthenes)が

数 で な け れ ばPi=0を

対 応 さ せ る も の で あ る.

ア ル ゴ リ ズ ム2.10:エ

ラ トス テ ネ ス の 節 い

に,ｉ が 素 数 な らPi=1,素

入 力 ：３以 上 の 自 然 数 Ｎ 出 力:１

以 上 Ｎ 以 下 の 整 数ｉ に,

 Pi=

0

(ｉが １また は合 成 数 の と き)

1

(ｉが 素 数 の と き)

と な るP1,…,PN ス テ ッ プ:   (１) P1←0 

{１ は 素 数 で は な い の でP1=0と

し て お く}

  (２) i←2   (３) i〓Nの  

間,次

を 繰 り返 す

Pi←1

 i←i＋1  

{i〓2に

対 し てPiの

初 期 値 を す べ て １ と し て お く}

  (４) i←2   (５) i〓〓√N」  

の 間,次

も しP2=1な

 

間,次 Pi*j←0   j←j+1

 i←i＋1

らば

j←2

 i×j〓Nの  

を 繰 り返 す

を 繰 り返 す

あ る.こ

れ

  (６)  P1,…PNを

例2.10 

出力

N=20と

し て,上

の エ ラ トス テ ネ ス の 節 い の ア ル ゴ リ ズ ム を 実 行 し

て み よ う.   ●P1=0と

す る.

  ●P2←1,…,P20←1   ●ｉ←2   ●ｉ=2の  

と きP2=1だ

j=2か

 

ら10ま

か ら次 を行 う で 次 を行 う

Pi*j←0

 i←i+1=3  

こ れ に よ り,２ よ り大 き く20以 14,16,18,20に

 

P2は

１

  ●i=3の  

 

ま り,４,６,８,10,12, なる

ま まで あ る と きP3=1だ

j=2か  

 

下 の ２ の 倍 数,つ

対 し て,P4=0,P6=0,…,P20=0と

か ら次 を行 う

ら ６ まで 次 を行 う

Pi*j←0 i←i+1=4 こ れ に よ り,３ よ り大 き く20以

 

に 対 し て,P6=0,P9=0,…,P18=0と

 

P3は

下 の ３ の 倍 数,つ

ま り,６,９,12,15,18

なる

１の ま まで あ る

 ●i=4の

と きP4=0だ

か ら,何

も行 わ な い

  ●i=5の

と きi＞〓√N」=〓√20」=4.47…

進 む   ●P1,…,P20を  こ れ に よ り,次

出力 の 表 を 得 る. 表2.4 

20以 下 の 正 の 整 数 の 素

だ か ら,ス

テ ッ プ(６)へ

 

し た が っ て,20以

下 の 素 数 はPi=1と

 

な るｉ,す

なわ ち

２,３,５,７,11,13,17,19

と い う 結 果 を 得 る.

  2.6.3 

フ ェル マ ー の小 定 理

  ２ つ の 整 数ａ,ｂ

が 整 数ｐ

割 り切 れ る こ と で あ る.そ

を 法 と し て 合 同 で あ る と い う の は,a-bがｐ

で

の と き,

 

a≡b

mod

p 

(2.9)

と 表 す.

例2.11p=3と

す る.５

と ２ は5-2=3で

あ り,こ

れ は ３ で 割 り切 れ る

か ら   で あ る.１

5≡2  と-8は1-(-8)=9で

  で あ る.３

あ り,こ 1≡-8 

と ０ は3-0=3で

  で あ る.１

mod3

と ２ は1-2=-1で

 

れ は ３ で 割 り切 れ る か ら

mod  3

あ り,こ

れ は ３ で 割 り切 れ る か ら

3≡0 

mod

あ り,こ

1〓2 

3

れ は ３ で 割 り切 れ な い か ら

mod  3

で あ る.

  以 後,整

数 全 体 の 集 合 をZ,自

然 数 全 体 の 集 合 をNで

表 す こ と に す る.

  次 の 性 質 は 定 義 か ら 自 然 に 導 く こ と が で き る.

性 質2.7 ａ,b,c∈Z,n∈N,n〓2と

す る と き,次

が 成 り立 つ.

  １)a≡a 

mod n

  ２)a≡b

mod

n

ならば

  ３)a≡b

mod

n

かつ

b≡a

mod

b≡c

n

mod n

 ４)a≡b

mod n

な ら ば a+c≡b+c

  ５)a≡b

mod n

な ら ば ac≡bc

な ら ば a≡

ｃ

mod n

mod n mod n 

  次 の 定 理 は フ エ ル マ ー の 小 定 理 と よ ば れ て い る 有 名 な 定 理 で あ る.

定 理2.1 

p∈Nを

素 数 と し,a∈Zと

す る と,

 ap≡a

mod

が 成 り立 つ.さ

ら に,も

し,ａ

 

がpの

p

倍 数 で な い な ら ば,

ap−1≡1

mod

p

が 成 り立 つ.

  証 明 は そ れ ほ ど難 し く な い が,こ  n∈Nに

対 して,集

合{1,2,…,n-1}をXnで

ｎと互 い に 素 な も の の 集 合 をXxnで

 

ψ(6)=2,…

  2.6.4 

関 数 と い う.た

要 素 の 個 数 を 対 応 さ せ る 関 数 を ψ(n)で と え ば,ψ(2)=1,ψ(3)=2,ψ 

で あ る.p∈Nが

F3

表 し,オ

イ ラー

(4)=2,ψ(5)=4,

素 数 な ら ψ(p)=p-1で

あ る.

フエルマー数 とカーマ イケル数 い う数 を フ ェ ル マ ー 数 と い い,こ

こで

表 す.F0=220+1=3,F1=221+1=5,F2=222+1=17,

=228+1=257,F4=224+1=65537で

で あ る.フ

要 素 の 中 で,

な わ ち,

は 互 い に 素}⊂Xn

  ０ 以 上 の 整 数 ｎ に 対 し て,22n+1と はFnで

表 し,Xnの

表 す こ と に す る.す

Xxn={a∈Xn｜aとｎ

で あ る.n∈NにXxnの (Euler)の

こ で は 省 略 す る こ と に す る.

エ ル マ ー は,Fn=22n+1は

あ り,こ

れ らは ど れ も素 数

み な 素 数 だ ろ う と予 想 し た.し

か し,

F5

=225+1=4294967297=641×6700417で

あ り,こ

の 予 想 は 正 し くな

か っ た.

  フ ェ ル マ ー の 小 定 理 は,ｐ ap-1≡1 

mod  pで

て,an-1≡1  つ ま り,合

が 素 数 な ら ば,任

あ る と い っ て い る が,逆

mod nな

に,任

ら ば ｎ は 素 数 だ ろ う か.実

成 数 ｎ で 任 意 のa∈Xxnに

が 存 在 す る.こ

意 のa

∈Xxp 意 のa

は,こ

対 し て,an-1≡1 

の よ う な 合 成 数 を カ ー マ イ ケ ル(Carmichel)数

に 対 し て, ∈ Xxpに

対 し

れ は 成 り立 た な い. mod  nと

な る数

と い う． カ ー マ

イ ケ ル 数 は 次 の よ う に し て 特 徴 づ け ら れ る.

性 質2.8 

正 の 整 数 ｎ が カ ー マ イ ケ ル 数 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,ｎ

意 の 素 因 数ｐ   (１)nはp2で

の任

に 対 し て, 割 り切 れ な い,

  (２)n-1はp-1で

割 り切 れ る,

が 成 り立 つ こ と で あ る. 

□

  カ ー マ イ ケ ル 数 を小 さ い も の か ら い くつ か を あ げ る と,   561=3×11×17  

1105=5×13×17

 

1729=7×13×19

 

2465=5×17×29

 

2821=7×13×31

 

6601=7×23×41

 

8911=7×19×67

で あ り,無

限 に 多 くの カ ー マ イ ケ ル 数 が 存 在 す る こ と も 最 近 証 明 さ れ て い る.

  2.6.5 

フ ェル マ ー の 素 数 判 定 テ ス ト

  与 え られ た正 の整数

ｎ が 素 数 で あ る か ど う か を 判 定 す る に は,ｎ

２,３,４,…,［√n］ で 割 っ て,ど

を順 に

れ か で 割 り切 れ る と き,ｎ は 素 数 で は な く,そ

うで

ない とき素 数 で あ る,と す る素 朴 な方法 があ る.こ の 方 法で は,２,３,４,…,［√n］ 司 の す べ て で 割 っ て み て は じめ て 素 数 か 素 数 で な い か が わ か る こ と もあ る の で, 最 悪 の 場 合,［√n］ 回 の割 り算 を実 行 す る必 要 が あ る.こ こ で は,も

う少 し簡

単 に 素 数 で あ る か ど う か を 判 定 す る 方 法 を考 え る こ とに しよ う.   次 の ア ル ゴ リズ ム は フェ ル マ ー テ ス トと よば れ る素 数 判 定 の ア ル ゴ リ ズ ム で あ る.

ア ル ゴ リ ズ ム2.11:フェ 入 力:３

ルマー テス ト

以 上 の 整 数Ｎ

出 力:"合

成 数"ま

た は"素

数 か も し れ な い"

ス テ ッ プ:  (１)ａ を{2,3,…,N-2}か  (２)b←(aN-1をNで  (３)も

ら全 くラ ン ダム に 選 ぶ 割 っ た 余 り)

しb≠1な

らば

"合 成 数"を

出力

そ うで な け れ ば "素 数 か も しれ な い"を

  こ の ア ル ゴ リ ズ ム で,ま Ｎ

ず,Ｎ

と 互 い に 素 で な い の で,"合

ａと Ｎ が 互 い に 素 と す る.も す る と,フェ

と 互 い に 素 で な いａ が 選 ば れ た と き は, ｂ も 成 数"を

し,こ

出 力 し,正

し い 答 を 得 る こ と が で き る.

の ア ル ゴ リ ズ ム が"合

ル マ ー の 小 定 理 に よ り,そ

マ イ ケ ル 数 の と き,こ が っ て,カ

出力

成 数"を

れ は 正 し い 答 で あ る.Ｎ

の ア ル ゴ リズ ム は,"素

数 か も し れ な い"を

出 力 した と

が 素 数 か カー 出 力 し,し

た

ー マ イ ケ ル 数 の と き は 正 しい 答 で な い こ と に な る.

  次 の こ と が 証 明 で き る.

性 質2.9 

フ ェ ル マ ー テ ス ト(ア ル ゴ リ ズ ム2.11)は,Ｎ

ル 数 の と き,"素

数 か も しれ な い"を

出 力 す る.フェ

が素 数か カーマ イケ ル マ ー テ ス ト(ア ル ゴ リ ズ

ム2.11)は,Ｎ

が カ ー マ イ ケ ル 数 で な い 合 成 数 の と き,少

で,"合

出 力 す る.

成 数"を

証 明 の概 略   前半 は上 で 説 明 した とお りで あ る.Ｎ

な く と も1/2の

確 率

が カ ーマ イケ ル数 で ない 合 成

数 とす る.ａ と Ｎ が 互 い に 素 で な け れ ばｂ と Ｎ も互 い に素 で な いの で,"合 成 数"を

出 力 す る,XxNの

数 は,{ψ(N)/2以

要 素 の 中 で,ａN-1≡1 

(mod  N)と

下 で あ る こ と が 証 明 で き る.し

の 中 か ら,"合

成 数"を

返 す よ う なａ

な る 要 素ａ の 個

た が っ て,a∈{2,…,N-2}

を 選 ぶ 確 率 が1/2以

上 で あ る こ とが 証 明

で き る. 

□

  実 は,次

の よ う に す る と,カ

ー マ イ ケ ル 数 の と き も,合

成 数 で あ る こ とが 判

定 で き る.

ア ル ゴ リ ズ ム2.12:フ 入 力:３

ェ ル マ ー テ ス トの 改 良 版

以上 の整数 Ｎ

出 力:"合

成 数",ま

た は"素

数 か も しれ な い",ま

たは Ｎ の約数

ス テ ッ プ:   (１)ａ

を{2,3,…,Ｎ-2}か

ら全 く ラ ン ダ ム に 選 ぶ

  (２)g←gcd(a,N)   (３)も

しg＞1な

  gを

出力

  (４)N-1=2km,   

k,m∈N, 

b0←(amを

  (５)も

らば

しb0=1な

k〓1,  mは

Ｎ で 割 っ た 余 り) らば

 " 素 数 か も し れ な い"を

出力

 (６)i←1  (７)i〓kの

間,次

  bi←(b2i-1を

を行 う Ｎ で 割 った 余 り）

 i←i+1  (８)も

しbk=1な

らば

奇 数,と

表 す と き,

  j←min{i｜0〓i＜k,bi+1=1}  

そ うで な け れ ば

 

"合 成 数"を

出力

 (９)g←gcd(bj+1,N)  (10)も

しg=1ま

た はg=Nな

らば

 "素 数 か も し れ な い"を

出力

 そ う で な け れ ば  

ｇ を出 力

 こ の ア ル ゴ リ ズ ム に つ い て,次

性 質2.10 

が 成 り立 つ.

ア ル ゴ リ ズ ム2.12は,Ｎ

力 す る.ア

ル ゴ リ ズ ム2.12は,Ｎ

な く と も1/2の

確 率 で,"合

カ ー マ イ ケ ル 数 の と き,少

が 素 数 の と き,"素

数 か も しれ な い"を

出

が カ ー マ イ ケ ル 数 で な い 合 成 数 の と き,少

成 数"を

出 力 す る.ア

な く と も1/2の

ル ゴ リ ズ ム2.12は,Ｎ

確 率 で,Ｎ

が

の 約 数 を 出 力 す る.

 こ の ア ル ゴ リ ズ ム に つ い て は,参 考 文 献[１]な ど を参 照 され た い.

例2.12 

N=561と

し て,ア

ル ゴ リ ズ ム2.12を

実 行 し て み よ う.561は

マ イ ケ ル 数 で あ り素 数 で は な い.   ● ス テ ッ プ(１)で,ａ

と し て ７ が 選 ば れ た とす る.

  ● ス テ ッ プ(２)でgに

はgcd(7,561)=1が

  ● ス テ ッ プ(３)の

条 件 は 成 り立 た な い か ら,ス

  ●N-1=561-1=560=24×35だ   b0←(735を561で   ●b0≠1だ

か ら,ス

  ●i←1   ●ス テ ッ プ(７)で  

b1←298

代 入 さ れ る. テ ッ プ(４)へ

か ら,k=4,m=35で

進む あ る,

割 っ た 余 り)=241 テ ッ プ(５)の

条 件 は 成 り立 た な い の で,次

へ 進 む

カー

  b2←166  

b3←67

 

b4←1

  ●ス テ ッ プ(８)でbk=1な  

j←3

  と して,次

へ 進む

 ● ス テ ッ プ(９)で  

ので,

,

g←gcd(67+1,561)=17

  とす る   ●g=17≠1か

  こ れ は,正

つg=17≠N=561な

の で ,g=17を

出力

し く 判 定 さ れ る 場 合 で あ る.

  正 し く判 定 さ れ な い 場 合 も あ る.  ● ス テ ッ プ(１)で,ａ

と し て103が

 ■ ス テ ッ プ(２)でgに  ●ス テ ッ プ(３)の

はgcd(103

選 ば れ た とす る . ,561)=1が

  ●N-1=561-1=560=24×35だ  b0←(10335を561で  ●b0=1が   561に

対 し て,2〓a〓559な

テ ッ プ(４)へ

か ら ,k=4,m=35で

進 む あ る.

割 っ た 余 り)=1

成 り立 つ の で,"素

は,a=103,256,460,511の

代 入 され る.

条 件 は 成 り立 た な い か ら ,ス

数 か も しれ な い"を るａ

で,"素

と き で あ る.

出力

数 か も しれ な い"を

出力 す る の

３ 実 数 に つ い て

  第 ２章 で は,整 数 が コ ン ピ ュ ー タ で は どの よ う に表 され る か とい う こ と を説 明 した.実 数 も整 数 の と き と同 じ よ う に,２ 進 数 で 表 され る の だ が,で

きる だ

け正 確 に表 す た め に,整 数 の場 合 と は異 な る表 現 を用 い る.こ の 章 で は,実 数 が どの よ う に表 さ れ,ど

の よ う な特 徴 が あ る の か,ま

た,コ

ン ピュ ー タ を用 い

て計 算 す る と き に どの よ う な こ とに 注 意 しな け れ ば な らな い の か を説 明 し よ う.

3.1 

  3.1.1 

実 数 の ２進 表 現

実 数 の ２進 表 現

  実 数 の ２ 進 表 現 か ら 始 め よ う.   た と え ば13.625と

 

数 は,

1×101+3×100+6×10-1+2×10-2+5×10-3

の こ と で あ る.同

 

い う10進

じ よ う に 考 え て,２

進 数(1101.101)2は

1×23+1×22+0×21+1×20+1×2-1+0×2-2+1×2-3

を 表 し て い る,   直 接 計 算 す れ ば,

 

1×23+1×22+0×21+1×20+1×2-1+0×2-2+1×2-3

 

=8+4+0+1+0.5+0+0.125

 

=13.625

で あ る か ら,(1101.101)2は10進

数 で は13.625で

あ る こ とが わ か る.

  実 数 の ２進 表 現 の一 般 の 形 は

 au×2u+au-1×2u-1+...+a1×21+a0×20  

+b1×2-1+b22β-2+...+bl×2-l

で あ る.た

だ し,i=u,u-1,…,1,0,j=1,2,…ｌ

ま た は １ で,au≠0と

す る.こ

に 対 して,ai,bjは

の 表 現 で,絶

０

対 値 が １ よ り小 さ い ２進 数 は,

 ±b1×2-1+b2×2-2+…+bl×2-l と表 さ れ る が,こ

の と き は,必

0.25=1/4=2-2=0.012で

ず し も,b1≠0と

と え ば,

あ る.

  3.1.2 

実 数 の ２進 表 現 へ の 変 換

  ま ず,１

よ り小 さ い 正 の10進

小 さ い 正 の 数xの

な る 必 要 は な い.た

数 を ２ 進 数 に 変 換 す る こ と を 考 え よ う.１

２進 表 現 が,(0.b1b2…bl)２

よ り

で あ る と す る と,

 x=b1×2-1+b2×2-2+…+bl×2-l で あ る.こ

れ に ２ を 掛 け る と,

  と な り,b1は

2x=b1+b2×2-1+…+bl×2-l+1 ０ か １ で,

 

b2×2-1+...+bl+1×2-l+1＜1

だ か ら, 0  …2x＜1   b1=  1 

…2x＞1

で あ る.   2x〓1の

と き は2x-1を

じ よ う に して,b2を

２倍 し,2x＜1の

求 め る こ と が で き る.こ

と き は2xを

２ 倍 す れ ば,同

の 操 作 を 繰 り返 し,２ 倍 した 結 果

が ち ょ う ど １ に な る ま で 繰 り返 せ ば,ｘ   た だ し,こ

の ２進 表 現 を 求 め る こ と が で き る.

の 操 作 が 必 ず 有 限 回 で 終 わ る と は 限 ら な い.そ

の と き は,そ

が ２進 数 と して 無 限 小 数 に な っ て い る こ と を 意 味 す る.

例3.1 

た と え ば,10進

だ か ら,0.625に2を

表 現 で0.625の

２進 表 現 を 求 め て み よ う.0〓0.625＜1

掛 け る こ と か ら始 め る.

 

0.625×2=1.25＞1…b1=1

 

(1.25-1)×2=0.5＜1…b2=0

 

0.5×2=1=1…b3=1

し た が っ て,  

0.62510=0.1012

で あ る.

例 題3.1 

10進

数0.09375の

２ 進 表 現 を 求 め よ.

解 答   上 の 例 と 同 じ よ う に して,

 

0.09375×2=0.1875＜1…b1=0

 

0.1875×2=0.375＜1…b2=0

 

0.375×2=0.75＜1…b3=0

 

0.75×2=1.5＞1…b4=1

 

(1.5-1)×2=1=1…b5=1

と な る こ と か ら,  

例 題3.2 

0.0937510=0.00011

10進

数0.1の

２進 表 現 を 求 め よ,

解 答   上 と 同 じ よ う に し て,0.1の

２ 進 表 現 を 求 め る と,

の数

  0.1×2=0.2＜1…b1=0   0.2×2=0.4＜1…b2=0   0.4×2=0.8＜1…b3=0   0.8×2=1.6＞1…b4=1  

(1.6-1)×2=1.2＞1…b5=1

 

(1.2-1)×2=0.4＜1…b6=0  

と な り,こ

の 最 後 の 行 か ら は,0.2×2の

り返 す こ と に な る.し

行 か ら,(1.6-1)×2の

た が っ て,0.110の

  0.0 0011

(b2の と こ ろ と 同 じ に な る) 行 まで を繰

0011

２進 表 現 は

0011

と い う 無 限 小 数 に な る.

  １以 上 の 実 数 の ２ 進 表 現 は,そ

の 数 の 整 数 部 分 と小 数 部 分 の ２進 表 現 を 別 々

に 求 め て,そ

れ ら を 足 せ ば よ い.

例3.2 

数43.625は,整

10進

部 の0.625の

数 部 分 の43の

２ 進 表 現 が0.101だ

 

２進 表 現 が101011で

あ り,仮

数

か ら,

43.62510=101011.1012

で あ る.

 

  3.2.1 

3.2 

浮 動 小 数 点 数

浮 動小 数 点 数

  計 算 機 で の 数 の 表 し 方 は,第 表 し 方 と,そ

れ と は 別 に,実

す る 浮 動 小 数 点 数(floating

１章 で 述 べ た 整 数 を 扱 う い わ ゆ る 整 数 型 と い う

数 型 と い う 表 し 方 が あ る.実 point

  実 数 の β 進 表 現 の 一 般 の 形 は,

number)で

表 さ れ る.

数 型 は こ れ か ら説 明

 

±cu×

βu+cu-1×βu-1+...+c1×  

+d1×

β1+c0×

β-1+d2×

β0

β-2+…+dl×

β-l

で あ る.   β 進ｔ 桁 の 浮 動 小 数 点 数 と は,

 ±(d1×

β-1+d2×β-2+…+dt-1×

=±(0

.d1d2…dt-ldt)β

下 の 整 数 で,ｐ

  ま た,あ

る 整 数Ｌ,Ｕ

囲 を 制 限 す る.± は 小 数 部 分,ｐ

だ し,各i=1,…,ｔ

以 上

は 整 数 で あ る. を 決 め て,L〓p〓Uと

を 符 号,0.dld2…dt-idtの

し てｐ

く の 場 合,２

の 取 り得 る 値 の 範

部 分 を 仮 数 部(mantissa)ま

た

い う.

進 浮 動 小 数 点 数 が 使 わ れ て い る.単

(single precision)と

よ ば れ る２ 進 浮 動 小 数 点 数 は,１

と き,そ

の 最 初 の１

ビ ッ トを 符 号 を 表 す た め に,次

め に,残

りの23ビ

と,次

βp

に つ い て,diは０

を 指 数 ま た は 指 数 部(exponent)と

  計 算 機 で は,多

β-t)×

× βp

と い う表 し方 の こ と で あ る.た β-1以

β-(t-1)+dt×

精度実数型

語 の 長 さ が32ビ

ッ トの

の８ ビ ッ ト を 指 数 を 表 す た

ッ ト を 仮 数 部 を 表 す た め に 使 う.ビ

ッ トパ タ ー ン を 図 示 す る

の よ う に な る.

  浮 動 小 数 点 数 で は,整

数 と異 な り,符

号-絶 対 値 表 示 が 使 わ れ て い る.符

ビ ッ トパ タ ー ンの 符 号 に 格 納 さ れ て い る 数 が０ の と き+を,１ す.(-1)0=+1,(-1)-1=-1が

号 は

の と き-を

仮 数 部 に 掛 か る と考 え れ ば よ い.２

表

の補数

表 示 と は 異 な り,０ は２ つ の 表 現  

00…00…0

 

10…00…0

を も つ.ビ 256個

ッ トパ タ ー ン の 指 数 部 は８ ビ ッ トで,０

の 数 を 表 現 す る こ とが で き る が,指

数 に127を

か ら28-1=255ま

での

加 え た も の を ビ ッ トパ タ ー

ン の 指 数 部 に 格 納 す る こ と で 負 の 指 数 も処 理 で き る よ う に し,

  と な る.こ

L=-127,U=128 の よ う に指 数 部 に一 定 の 数 を加 え て ０以 上 の 整 数 で 表 現 す る こ と を

ゲ タ ば き 表 現 ま た は バ イ ア ス 表 現(biased 定 の 数 を バ イ ア ス(bias)と

い う.指

exponet)と

い う.指

数 部 に 加 え る一

数 と ビ ッ トパ タ ー ンの 指 数 部 に 格 納 さ れ る

数 の 対 応 は 次 の よ う に な る. 表3.1 

指 数 と指 数 部 の 対 応

  ビ ッ トパ タ ー ン の 仮 数 部 に は,dld2…d23が

格 納 さ れ る.

  ａ.  正 規 化   仮 数 部 が ０で な い と き,最 ビ ッ トを 有 効 に 使 え て,精

上 位 ビ ッ トが ０ で な い ほ う が,仮 度 が 高 め ら れ る.た

と え ば,0.1は

限 小 数 に な り,そ

れ を 単 精 度 浮 動 小 数 点 数 と し て 書 く と,

 

+0.0

で あ る が,最

0011

上 位 ビ ッ ト,す

0011

0011

な わ ち,2-1の

0011

0011

数 部 の すべ て の ２進 表 現 で は 無

00×20

位 が ０ で な い よ う に 表 す と,

とな り,少 しで は あ るが,(*)の

部 分 だ け0.1に

よ り近 い値 とな る.

  浮 動小 数 点 数 に対 して,指 数 部 を調 整 して,仮 数 部 の最 上 位 ビ ッ トが ０で な い よ う にす る こ と を正 規 化(normalization)す を正 規 表 現,正

る と い う.正 規 化 して 表 す こ と

規 化 され た 数 を正 規 化 数 とい う.

  ２進 浮 動 小 数 点 数 の場 合,最 上 位 ビ ッ トが ０で な い と う こ とは,１ に な る と い う こ とで あ る.   正 規 化 さ れ た ２進 浮 動 小 数 点 数 の 仮 数 部 をfと

す る と,

  1/ 2〓f＜1 で あ る.   正 規 化 さ れ な い で 表 さ れ て い る 数 を デ ノ ー マ ル(denormal)ま

たは非正規化

数 と い う.

  b. 

2進 浮 動 小 数 点 数 の 正 規 化

  ２ 進 浮 動 小 数 点 数 を 正 規 化 す れ ば,そ  

の 仮 数 部 をfと

す る とい つ も

0.1d2d3...dt

と い う よ う に 小 数 第 １位 は １ に な る の だ か ら,仮

数 部 がｔ 桁 の と き,い

っその

こ と仮 数 部 は  

1.d2d3…dtdt+1

と表 さ れ て い る と 考 え れ ば,も ば,0.7は

う １桁 有 効 桁 数 を 増 や す こ と が で き る.た

２進 表 現 で は(0.1011001100110…)2と

とえ

い う 無 限 小 数 で あ り,単

精 度 浮 動 小 数 点 数 で は,   で あ る が,こ

 

+0.10110011001100110011001×20 れ は,

+1.01100110011001100110011×2-1

と有 効 数 字 を １桁 増 や し て 少 し だ け よ り真 の 値 に 近 く表 す こ と が で き る.０ 正 規 化 さ れ て い な い 数 は 別 と し て,正

規 化 さ れ て い る 場 合 は,こ

や

の よ う に表

現 さ れ て い る と す る こ と を,け 1.d2d3…dt+1の

ち 表 現(economized 

最 初 の １ は,本

form)と

い う こ と が あ る.

来 の 仮 数 部 の ビ ッ トよ り さ ら に 最 上 位 に 見 え な

い ビ ッ トが も う １ ビ ッ トあ る と考 え て い る わ け で,こ

れ を イ ン プ リ シ ッ トMSB

(implicit most  significant  digit)と

略 記 す る.こ

と 次 の よ う に な る.IMSBの

い い, IMSBと

れ を図 示 す る

１ ビ ッ トは 常 に １で あ る.

以 後,２ 進 浮 動 小 数 点 数 が 正 規 化 され て い る とい う と き は,IMSBを

含 めて上

の よ う に表 され て い る こ と とす る.

  ｃ. 指 数 部 に 関 す る注 意   ２進 単 精 度 浮 動 小 数 点 数 が,IMSBも

考 え て,

と な っ て い る と き は,   (-1)s×2e-127×1.f を 表 し て い る こ と に な り,指 ら255ま

で,２

進 表 現 で00000000か

実 際 に は,255(=111111112)の aNumber:非

数 部 に 格 納 さ れ て い る 数 ｅ は,10進 ら11111111ま

ル を 表 す の に 用 い る.   こ れ を 整 理 す る と 次 の よ う に な る.  ●1〓e〓254の

と き,

 

 

(-1)s×2e-127×1.f

を 表 す.  ●e=255か

つ,f=0の

で の 値 を と れ る わ け だ が,

と き は,Inf(Infinity:無

数)を 表 す の に 用 い,0(=000000002)の

と き,Infを

表 す.

表 現 で ０か

限 大)とNaN(Not と き は,０

とデ ノ ー マ

 ●e=255か

つ,f≠0の

 ●e=0か

つ,f≠0の

表す.

と き,

   

と き,NaNを

(-1)s×2-126×0.f を 表 す.   ●e=0か

つ,f=〓0の

と き,０

を表 す 。

  ０ で の 割 り算 な ど を 行 っ た と き な ど に は,そ と な る の は,∞-∞

の 結 果 はInfと

表 示 さ れ る.NaN

や0/0と い う 計 算 を し た と き な ど で あ る .

  ｄ.  オ ー バ ー フ ロ ー   正 規 化 さ れ て い る ２進 単 精 度 浮 動 小 数 点 数xで max normαl￨x￨と

と な る.〓

は お よ そ 等 し い と い う 意 味 で あ る.演

大 き く な る こ と を オ ー バー フ ロー(overflow)と と き,絶

絶対値 最大 の数の絶対値 を

表 す こ と に す る と,

算 の 結 果 ,絶 対 値 が こ れ よ り い う.ま

対 値 最 小 の 数 の 絶 対 値 をmin nortnal ￨x￨で

た,正

規 化 され て い る

表 す と,

とな る.  正 規 化 しな け れ ば も っ と絶 対 値 の小 さ な数 を表 す こ とが で き る .

 ｅ.  ア ン ダ ー フ ロ ー   演 算 の 結 果,絶

対 値 が 表 現 で き る 絶 対 値 最 小 の 数 よ り小 さ く な る こ と を ア ン

ダ ー フ ロ ー(underflow)と 値 最 小 の 数 と な る が,デ

い う.デ

ノ ー マ ル を 考 え な け れ ば,±2-126が

ノ ー マ ル を 考 え れ ば,絶

絶対

対 値 が もっ と小 さ い 数 を表 現

で き る.   ２進 単 精 度 浮 動 小 数 点 数 をxと 対 値 をmin  denormal￨x￨と

し,デ

ノ ー マ ル も含 め て絶 対 値 最 小 の 数 の 絶

す る と

と な る.

  f.  倍 精 度 浮 動 小 数 点 数   単 精 度 よ り精 度 を高 め る ため に倍 精 度 浮 動 小 数 点 数 が あ る.倍 精 度 浮 動 小 数 点 数 は,１ 語 の 長 さが32ビ を 表 す.IMSBを

と 表 さ れ る.IMSBは

の と き,1〓e〓2046の

 

ッ トの と き,２ 語 を使 っ て,64ビ

含 め た表 現 で は,

常 に １で あ る.単

精 度 と 同 じ よ う に,

整 数 で

(-1)s×2e-1023×1.f

ッ トで １つ の実 数

と正 規 化 さ れ て い る と し,e=2047の と き ０ ま た は デ ノ ー マ ル,す

 

と き,Infま

た はNaNを

表 す.e=0の

な わ ち,

(-1)s×2-1022×0.f

を 表 し て い る こ と に す る.

例 題3.3 

倍 精 度 浮 動 小 数 点 数xに

対 して,max

normal￨x￨,min 

denormal￨x￨

を 求 め な さ い. 解 答   単 精 度 の と き と 全 く 同 じ よ う に 考 え て,

と な る.

  3.2.2 

丸

め

 β 進ｔ 桁 の 浮 動 小 数 点 数 は,ｔ 桁 で 実 数 を 表 現 す る た め に,t+1桁 り捨 て た り,四

捨 五 入 を す る.こ

の よ う に す る こ と を,t+1桁

目 を,切 目 を丸 め る と

かｔ 桁 に 丸 め る と い う.   丸 め る 方 法 は,め

っ た に 使 わ な い 方 法 も含 め て 次 の よ う な も の が あ る.

 ●切 り 上 げ る  

絶 対 値 の 大 き い 方 に 丸 め る.

 

10.2→11,10.7→11,-10.7→-11  ●切 り捨 て る

   

０ に 近 い 方 に 丸 め る. 10.2→10,10.7→10,-10.7→-10  ●大 き い 方 へ 丸 め る 。

 

10.2→11,-10.2→-10,-10.7→-10  ●小 さ い 方 へ 丸 め る.

 

10.2→10,-10.2→-11,-10.7→-11  ●ふ つ う の 四 捨 五 入

 

最 も 近 い 数 に 丸 め る.

 

最 も 近 い 数 が ２ つ あ る と き は 絶 対 値 の 大 き い 方 へ 丸 め る.

 

10.2→10,10.5→11,10.7→11,-11.5→-12  ●小 さ い 方 へ の 四 捨 五 入  最 も 近 い 数 に 丸 め る.

   

最 も 近 い 数 が ２ つ あ る と き は 絶 対 値 の 小 さ い 方 へ 丸 め る. 10.5→10,-11.5→-11  ●偶 数 へ の 四 捨 五 入

 

最 も 近 い 数 に 丸 め る.

 

最 も 近 い 数 が ２ つ あ る と き は,丸

め た あ と の,末

位 の 数 字 が 偶 数へ な る

め た あ と の,末

位 の 数 字 が 奇 数へ な る

よ う に 丸 め る.  

10.5→10,11.5→12  ●奇 数 へ の 四 捨 五 入  最 も 近 い 数 に 丸 め る.  最 も 近 い 数 が ２ つ あ る と き は,丸  よ う に 丸 め る.

 

10.5→11,11.5→11

  こ れ 以 外 に も あ る が,科

学 技 術 計 算 な ど で は,偶

数 へ の 四捨 五 入 が 標 準 的 で

あ る.

例3.3 

2進 数 の 次 の よ う な 計 算 を 考 え よ う.た

だ し,２ 進 表 現 で あ る こ と を 表

す 添 え 字 の ２ は 省 略 す る.

  答 は1.0と

1.0+0.01-0.01+0.01-0.01 な る は ず で あ る.こ

れ を,左

か ら 順 に 足 し算 を し,そ

の 四 捨 五 入 を す る と,

 

(((1.0+0.01)-0.01)+0.01)-0.01

 

=((1.11-0.01)+0.01)-0.01  =((1.1-0.01)+0,01)-0.01

 

=(1.11+0.01)-0.01

 

=(1.1+0.01)-0.01

 

=10.0-0.01  

=10-0.01

 

=10.0

 

=10

偶 数 へ の 四 捨 五 入 で 計 算 す る と,

 

(((1.0+0.01)-0.01)+0.01)-0.01

 

=((1.0-0.01)+0.01)-0.01

 

=((1.0-0.01)+0.01)-0.01

   

 

=(1.0+0.01)-0.01

 

=(1.0+0.01)-0.01 =1.0-0.01 =1.0-0.01

の つ どふ つ う

 

=〓

 

=1.0

とな る.

  3.2.3 

浮 動小数点 数の加減算

  浮 動 小 数 点 数 の 加 減 算 が どの よ う に行 わ れ る か を 説 明 し よ う.簡 単 の た め, 丸 め は ふ つ う の 四 捨 五 入 で 行 う もの とす る.仮 数 部 がｔ 桁 の 浮 動 小 数 点 数 の 加 減 算 を行 う と き,2t桁

を使 っ て行 われ る とす る.２ つ の 正 規 化 され た β 進ｔ 桁

の浮 動 小 数 点 数 を

 a=(u1×

β-1+u2×

β-2+...+ut-1×

β-(t-1)+u×

β-t)×

 

β-1+v2×

β-2+...+vt-1×

β-(t-1)+v×

β-t)×βq

b=(v1×

とす る と き,±a±bは 下 で,復

次 の よ う に計 算 さ れ る.た

す る.以

号 は 同 順 で あ る.

  1) 指 数 部 に つ い て,p-q＞tの  ±a±b=±

とき

α とす る

  2) p−q〓tの

と き,次

を行 う

 

a) bを,指

 

b)  仮 数 部 の 加 減 算 を 実 行 す る

数 がpと

な る よ う に,仮

 

c) 仮 数 部 が1/β

 

d)  仮 数 部 が１ 以 上 の と き は,仮 増 や し て,f)を

 

だ し,0〓b〓aと

βp

e) 仮 数 部 が1/β

数 部 を 右 へp-q桁

以 上１ 未 満 の と き は,f)を

シ フ トす る

行 う

数 部 を 右 へ１ 桁 シ フ ト し て,指

数 を１

行 う よ り小 さ い 場 合 は,仮

ま で 仮 数 部 を 左 ヘ シ フ ト し,シ

数 部 の 第１ 桁 が０ で な く な る

フ トした 桁 数 分 だ け指 数 を減 ら し

,f)を 行 う    

f) t+1桁 g)

目を 丸 め る

丸 め た こ と に よ り,仮

 ａ) の よ う に,指

数 部 が１ 以 上 に な る と き は,d)へ

戻 る

数 部 が 等 し く な る よ う に 桁 を ず ら す こ と を 桁 揃 え と い う.

例3.4 

β=10,t=4,つ

た め に,ふ

ま り,10進

４桁 の 浮 動 小 数 点 数 で 考 え る.簡

つ う の 四 捨 五 入 で 丸 め る こ と に す る.

  １)0.9876×102+0.1234×10-3は

次 の よ う に 計 算 さ れ る.

 

0.9876×102と0.1234×10-3の

 

0.9876×102+0.1234×10-3=0.9876×102と は,次

単の

の よ う にt+1桁

指 数 部 の 差 は2-(-3)＞tだ

か ら

な る． な ぜ そ う な る か

目 を 丸 め る と き に0.1234×10-3は

す べ て切 り

捨 て ら れ る こ と に な る か ら で あ る.

 ２)0.9876×102+0.5432×10-2は  

0.9876×102と0,5432×10-2の ら,桁

 ３)0.9876×102+0.1234×10-1は

 

指 数 部 の 差 は2-(-2)=4〓tだ

揃 え を し,0.00005432×102と

五 入 す る と い う 手 順 に な る.つ

 

次 の よ う に 計 算 さ れ る.

0.9876×102と0.1234×10-1の

し,足

し算 を 実 行 し,結

か 果 を四 捨

ま り,

次 の よ う に 計 算 さ れ る. 指 数 部 の 差 は2-(-1)=3〓tだ

か ら,0.1234×10-1を0.0001234×102と 結 果 を 四 捨 五 入 す る と い う 手 順 に な る.つ

桁 揃 え し,足 ま り,

し算 を 実 行 し,

 ４)0.9876×102+0.2345×101は

 ５)0.9753×10-1+0.2468×10-2は

  ６)0.1234×10-3-0.8642×10-4は

次 の よ う に 計 算 さ れ る.

次 の よ うに計 算 され る .

次 の よ う に 計 算 さ れ る.

  3.2.4 

い ろ い ろ な誤 差

  た と え ば,10進

数0.1を

２ 進 数 で 表 す と 無 限 小 数 に な り,計

桁 の ２進 数 に す る た め に あ る 桁 で 丸 め ら れ る た め,そ 0.110を

表 す こ と に は な ら な い.こ

き,e=x-xAをxAの る.ま

誤 差(error)と

た,eR=〓

をxAの

の丸 め られ た 数 は 正 確 に

の よ う な と き,0.110を

に 丸 め た 数 を そ の 真 数 の 近 似 値 と い う.真

数 をx,そ

真 数,そ

れ を有 限桁

の 近 似 値 をxAと

い う.xA-xを

相 対 誤 差(relative

算 機で は有 限

す る と

誤 差 とい う こ と もあ error)と

い う.相

対誤差 を

〓と す る こ と も あ る.  ￨e￨〓Eと ERを

な る と き,Ｅ

相 対 誤 差eRの

限界

を誤差

ｅ の 限 界 と い い,￨eR￨〓ERと

  あ る 桁 を 丸 め る こ と に よ り 生 じ る 誤 差 を 丸 め 誤 差(round   計 算 機 で 関 数ｆ

のｘ

則 演 算 で 近 似 し て,そ

に お け る 値 を 計 算 す る と き は,そ の 近 似 式fAのxの

そ の 計 算 結 果fA(xA)が

な る と き,

と い う.

近 似 値xAに

丸 め ら れ(fA(xA))Aが

error)と

の 関 数 を有 限 回 の 四 お け る 値 が 計 算 さ れ,

得 ら れ る.こ

の と き,誤

 f (x)-(fA(xA))A  

=(f(x)-f(xA))+(f(xA)-fA(xA))+(fA(xA)-(fA(xA))A)

と 書 く こ と が で き る.こ   ●f(x)-f(xA)を   ●f(xA)-fA(xA)を   ●fA(xA)-(fA(xA))Aを と い う.

の 式 の 右 辺 に つ い て,

代入 誤差 打 ち 切 り 誤 差,離

散 化 誤 差,公

生 成 誤 差 ま た は発 生 誤 差

い う.

式 誤差

差 は,

  3.2.5 

浮 動 小 数 点 数 と誤 差

  一 般 に,ｔ 桁 の β 進 浮 動 小 数 点 数 が 数 直 線 上 に ど の よ う に 分 布 し て い る か を 考 え よ う.計

算 機 で よ く使 わ れ る よ う に １ 語 の 長 さ を32ビ

雑 に な る の で,次

ッ ト と す る と,煩

の よ う な 簡 単 な 例 で 考 え て み よ う.

 ● １語 は ６ ビ ッ ト  ● 符 号 が １ ビ ッ ト  ●指 数 部 が ３ ビ ッ トで バ イ ア ス は310=112  ●仮 数 部 が ２ ビ ッ ト  ●IMSBが

１ビ ッ ト

正 規 化 さ れ て い る と き は,

 1.00×2p 

で あ る.ビ て,次

(p=-2,-1,0,1,2,3)

ッ トパ タ ー ン を 表 に す る と 符 号 の １ ビ ッ トをs=0ま

の よ う に な る.

表3.2 

ビ ッ トパ ター ン

これ ら を数 直 線 上 に 表 す と次 の 図 の よ うに な る.

た は １と し

こ の 図 か ら,一

様 に,つ

な い こ と が わ か る.指

ま り,い

た る と こ ろ 等 間 隔 に,分

数 部 をpと

 

す る と,間

布 して い る わ け で は

隔は

0.01×2p=2-2×2p

で あ る が,左

辺 の 最 初 の 項 の2-2の

数 が ３桁 で,そ

れ か ら1を

の で,も

数 部 がIMSBも

し,仮

 

指 数-2は,仮

引 い て,そ

れ に−(マ

含 め てt桁

数 部 のIMSBも

含 め た桁

イ ナ ス)を つ け た こ と に な る

な ら,間

隔 は

2-(t-1)×2p=21-t×2p

で あ る.   した が っ て,ふ は,分

つ う の 四 捨 五 入 で は,1.f×2pに

布 し て い る 間 隔 の1/2で,こ

丸 め られ る数 の誤 差 の 限 界

の 例 で は,

  2-3×2p

で あ り,仮

数 部 がIMSBも

含 め てｔ 桁 な ら

 

で あ る.相

2-t×2p

対 誤 差 が 最 大 に な る の は,1.00×2pへ

対 誤 差 の 限 界 は,こ

の 例 で は,

で あ り,仮 数 部 がIMSBも

で あ る.つ

ま り,相

含 め てｔ 桁 な ら

対 誤 差 の 限 界 は 指 数 部 に 関 係 な く,仮

の よ う な 丸 め 方 を す る か だ け に 依 存 す る.こ (machine

epsilon)と

丸 め ら れ る と き な の で,相

い う.

  マ シ ン イ プ シ ロ ン に つ い て 次 が 成 り 立 つ.

数 部 の 桁 数ｔ

と ど

の 誤 差 の限 界 をマ シ ンイ プ シ ロ ン

性 質3.1 

ふ つ う の 四 捨 五 入 で 丸 め る と き,マ

め て(1+ε)Aと

す る と き,(1+ε)A＞1を

シ ン イ プ シ ロ ン は,1＋

ε を丸

満 た す 最 小 の 正 の 数 ε で あ る. □

  こ の 例 の デ ノ ー マ ル の 場 合 を 考 え て お こ う.指

数 部 が000の

と き は,デ

ノー

マ ル で,  ●0 000

0 00は+0を

 ●0 000

0 01は0.01×2-2を

表 す.

 ●0 000

0 10は0.10×2-2を

表 す.

 ●0 000

0 11は0.11×2-2を

表 す.

指 数 部 が111の

表 す.

と き は,Infま

た はNaNを

  ●0 111

00はInfを

 ●0 000

01はNaNを

表 す.

 ●0 000

10はNaNを

表す.

 ●0 000

11はNaNを

表 す.

  3.2.6 

表 す が,

表 す.

四則演算 の誤差限界

  浮 動 小 数 点 数ａ,ｂ

の 加 減 算a±bを

と 表 す と,￨(a±b)-(a±b)A￨の

計 算 し た と き に 得 ら れ る 値 を(a±b)A

限 界 は,ε

を マ シ ン イ プ シ ロ ン と す る と き,

次 で 与 え ら れ る.

 ￨(a±b)-(a±b)A￨〓max{￨a￨,￨b￨,￨a±b￨}×

ε

な ぜ な ら,ｔ 桁 の 浮 動 小 数 点 数 と し てａ,  ｂ が 表 さ れ て い る と す る と,も ￨a￨＞￨b￨ でａ,ｂ

の 指 数 の 差 がｔ よ り大 き け れ ば,指

加 減 算 の 手 順 か ら,a±bの あ り,し

た が っ て,そ

以 下 な ら ば,a±bを

数 の 小 さ い ほ う の 数 ｂ は,

計 算 結 果 に 反 映 さ れ な い.こ

の と き の 誤 差 は,ε￨a￨以 計 算 し,こ

の と き,￨b￨＜

下 で あ る.ａ,ｂ

ε￨a￨で

の 指 数 の 差 がｔ

れ をｔ 桁 に 丸 め る と き に 誤 差 が 発 生 す る が,そ

れ は,ε￨a±b￨以

下 で あ る.

  乗 除 算 で は,誤

差 は 結 果 を 丸 め る と き に 発 生 す る の で,誤

 ￨(a×b)-(aA×bA)￨〓￨a×b￨×

し,

ε

差 の限界 は

 ￨(a÷b)-(aA÷bA)￨〓￨a÷b￨×

ε

で 与 え ら れ る.

  3.2.7 

２次 方 程 式 の 解 の 公 式 と誤 差

 ２次 方 程 式  

axe+bx+c=0

の 解 は,解

の 公 式 を 使 っ て,

で 求 め る こ と が で き る.実 て,た

数 が10進

７桁 の 浮 動 小 数 点 数 で 表 さ れ て い る と し

と え ば,   1.234567x2-876.5432x+0.3578642

と い う ２ 次 方 程 式 の ２ つ の 解 を 解 の 公 式 で 求 め て み よ う.

b2-4ac=(-1×0.8765432×103)2

 

-(0.4000000×101)×(0.1234567×101)×(0.3578642×100)

 

=0.7683280×106-0.1767229×101

 

=0.7683280×106-0.000001767229×106

 

=0.7683262×106

だ か ら,

 √ b2-4ac=√0.7683262×106  

で あ り,

=0.8765422×103

=0

とな る.こ

.7100001×103

こ で,x2を

求 め る と き に,分 子 の 計 算

 -b-√b2-4ac

で,0.0000010×103と

い う よ う に,有

の よ う に な る こ と を 桁 落 ち と い う.こ 対 で,絶

効 数 字 が２ 桁 に 減 っ て し ま っ て い る.こ れ は,-bと-√b2-4acが,符

対 値 が ほ ぼ 等 し い こ と に よ っ て い る.こ

め に,x2を,解

と係 数 の 関 係 を 使 っ て,ま

の こ とが 起 こ る の を避 け る た

た は 解 の 公 式 で 分 子 を 有 理 化 し て,

と 変 形 す る と,

x2＝  

=(0.3578642×100)/(0.1234567×101)/(0.7100001×103)

 

=0.4082678×10-3

と な り,こ

れ は 真 の 解 に７ 桁 と も 一 致 す る.

  一 般 に,２

次方程式

 

ax2+bx+c=0

の 解 を コ ン ピ ュ ー タ な ど で 求 め る と き は,１

  ●b＞0の

ときは

号が 反

つ の 解x1を

 ●b＜0の

と して,も

と きは

う １ つ の 解x2は,解

と係 数 の 関 係 を 使 っ て,

と す る.

  3.2.8 

累 和 を計 算 す る と きの 誤 差

  0に0.01を10000回

加 え れ ば,100に

丸 め 誤 差 な ど が 累 積 し て,必 ロ グ ラ ム を 作 成 し,実 れ は,主

に,0.01が

な る は ず で あ る が,コ

ず し も そ う は な ら な い.次

の ア ル ゴ リズ ム3.1で

際 に 計 算 し て み る と ,結 果 は,100,0030な ２進 数 と し て は 無 限 小 数 で あ り,そ

き の 誤 差 が 積 も り積 も っ て,無

ン ピ ュー タで は プ

ど と な る.こ

れ を有 限 桁 に丸 め る と

視 で き な い 誤 差 と し て 現 れ る と考 え ら れ る.傍

証 と な る か ど う か わ か ら な い が,た

と え ば,0.01に

近 い2進

数 と して有 限小 数

の0.0117187510=0.000000112や0.00976562510=0.0000001012を10000 回 加 え れ ば,同

じ コ ン ピ ュ ー タ で,そ

れ ぞ れ,117.18750,97.656250と

な い 結 果 が 得 ら れ る.

ア ル ゴ リ ズ ム3.1:累

和 の 計 算(誤

入 力:x=0.01 出 力:xを10000個

足 した和

ス テ ッ プ:   (１)i←1   (２)sum←0   (３)i〓1000の  

間,次

sum←sum+0.01

 i←i+1   (４)sumを

出力

を行 う

差 を 生 じ や す い)

誤差 の

4  方程式 の数値解法

 方程式  f(x)=0 を解 く こ と を考 え る.   た と え ば,  ax2+bx+c=0 とい う ２次 の 代 数 方 程 式 が 与 え られ れ ば,解 の 公 式

で 解 くこ とが で き る.３ 次 方 程 式,４ 次 方程 式 も公 式 で解 くこ とが で きる が ,５ 次 以 上 の代 数 方程 式 は,一 般 的 な公 式 は な い こ とは よ く知 ら れ て い る .こ の 章 で は,代 数 方 程 式 に限 らず,方 程 式 を コ ン ピュ ー タ を使 って 解 くア ル ゴ リズ ム で よ く知 られ て い る も の を説 明 す る.

 

  4.1.1 

4.1  解 析 学 の 初 歩 の 復 習

コー シ ー列 と完 備 な区 間

  こ こで,こ

の 章 で 必 要 とな る 解 析 学 の 初 歩 的 な事 柄 を復 習 し よ う.

  実 数 全 体 の 集合 をRで

表 す.

  実 数 の 数 列{xj}が コー シ ー(Cauchy)列 で あ る と は,任 意 の ε＞0に て,整 数n(ε)が 存 在 し,n,n'＞n(ε)な らば,  ￨xn−xn'￨＜

ε

対し

と な る こ と で あ る.   Ｒ の 部 分 集 合Aが

完 備(complete)で

ま れ る 任 意 の コ ー シ ー 列 がAの

あ る と は,全

て の 要 素 がAに

要 素 に 収 束 す る こ と で あ る.区

含

間R=

(-∞,∞),(-∞,b］={x∈R￨x
完 備 で あ る.

  た と え ば,xn=1/n(n∈N)と 区 間(0,1]に

す る と,数

お い て,任

意 の 自 然 数ｎ

limn→ ∞1/n=0=(0,1].し

列{xn}は

コ ー シ ー 列 で あ る.半

に対 し て,xn∈1で

た が っ て,半

開 区 間(0,1］

あ り,limn→

開

∞xn=

は 完 備 で は な い.同

じよ

う に して,(a,b)={x∈R￨a<x
完備

で な い こ と が わ か る.

  4.1.2 

テ イ ラ ー展 開

  も う 少 し,復

習 を 続 け よ う.

  あ る 区 間 に お い て,f(x)は て,x0を

一 つ 定 め,xを

で あ る.こ

階 ま で 微 分 可 能 と す る と,そ

だ し,

ξ=a+θ(x-a)  れ を テ イ ラ ー(Taylor)の

(0＜

θ ＜1)

公 式 と い う.こ

を 剰 余 項 と い う.   た と え ば,n=1の

の 区 間 にお い

そ の 区 間 の 任 意 の 点 と す る と き,

を 満 た す ξ が 存 在 す る.た

 

第ｎ

と き を 考 え る と,

の公式 の右辺の最 後の項

を 満 た す ξ=x0+θ(x-x0),(0＜ x≠x0の

θ ＜1)が

存 在 す る と い う こ と だ か ら,

と き,

とな る ξ がx0とxの

間 に存 在 す る とい う こ とで あ り,こ れ は,平 均 値 の 定 理

で あ る.  f(x)が

任 意 のn∈Nに

つ い てｎ 階微 分 可 能 で,区

間 内 の す べ て のxに

関

して,

で あ る と き,テ

イ ラ ー の 公 式 は,

と 無 限 級 数 の 形 に か け る.こ と か,x0=0の

れ をf(x)のx0=0を

周 り の テ イ ラ ー 展 開 と い う.

例4.1 f(x)=sinxのx0=0の

周 り の テ イ ラ ー 展 開 を 求 め て み よ う.

 f'(x)=cosx  f"(x)=-sinx  f3(x)=-cosx  f4(x)=sinx

  f2n(x)=(-1)nsinx  f2n+1(x)=(

だ か ら,

中 心 とす る テ イ ラ ー 級 数

-1)ncosx

 f'(0)=1  f"(0)

=0

  f3(0)=-1   f4(0)=0

 f2n(0)=0  f 2n+1(0)

で あ る.し

=(-1)n

た が っ て,

と な る.   同 じ よ う に し て,

で あ る.

例4.2 f(x)=exと

す る と,f(n)(x)=ex,(n=1,2,…)だ

の 周 りで テ イ ラ ー 展 開 す る と,

で あ る.同

で あ る.

じ よ う に し て,

か ら,exを0

 

4.2 

  4.2.1 

多 項 式 の計 算

素 朴 な方 法

  多項式  f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 のx=tに

お け る 値 を 次 の よ う に して 計 算 す る こ と が で き る,

ア ル ゴ リズ ム4.1:多 入 力:多  

項 式 の 計 算(素

朴 な 方 法)

項 式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+alx+a0の

次 数ｎ,

係 数a0,al,…,an-1,an,

 ｘ

の 具 体 的 な 値ｔ

出 力:f(x)のｔ

に お け る 値z=f(t)

ス テ ッ プ:   (1)x1←t   (2)i←2   (3)i〓nの

間,次

を 行 う  {x2にt2,…,xnにtnを

蓄 え る}

間,次

を 行 う  {x1にa1t,…,xnにantnを

蓄 え る}

間,次

を 行 う  {a0+a1t,a0+alt+a2t2,…

を 順 に 求 め る}

 xi←xi-1×t  i←i+1   (4)i←1   (5)i〓nの  xi←ai×xi  

i←i+1

  (6)z←a0  (7)i←1   (8)i〓nの  

z←z+xi

 i←i+1   (９)zを

出力

例4.3 

f(x)=x3-7x2+14x-8のx=5に

お け る 値 を 求 め て み よ う.

  ●x1←5   ●i←2   ●i=2〓n=3な

の で,次

を行 う

 x2←x1×t=5×5=25  i←i+1=2+1=3   ●i=3〓3な

の で,次

を行 う

の で,ス

テ ッ プ(4)へ

 x3←x2×t=25×5=125  i←i+1=3+1=4   ●i=4＞3な

進 む

 ●i←1  ●i=1〓n=3な

の で,次

を行 う

の で,次

を行 う

の で,次

を行 う

 x1←a1×x1=14×5=70  i←i+1=1+1=2   ●i=2〓n=3な  x2←a2×x2=-7×25=-175  i←i+1=2+1=3   ●i=3〓n=3な  x3←a3×x3=1×125=125  i←i+1=3+1=4  ●i

=4＞3な

の で,ス

テ ッ プ(６)へ

 ●z←a0+x1=-8+70=62  ●i ←2   ●i=2〓n=3な

の で,次

を行 う

の で,次

を行 う

 z←z+x2=62+(-175)=-113  i←i+1=2+1=3  ●i

=3〓n=3な   z←z+x3=-113+125=12

 i←i+1=3+1=4

進 む

  ●i=4＞3な

の で,ス

  ●z=12を

性 質4.1  う.ま

テ ッ プ(９)へ

進 む

出力

上 の ア ル ゴ リ ズ ム4.1で

た,変

数 は2n+5個

は,掛

使 う.た

け 算 を2n-1回,足

だ し,足

し算 をｎ

し算 にi+1は

回行

含 め ない もの と

す る.

証 明   掛 け 算 は,ス (５)で,ｉ

テ ッ プ(３)で,ｉ

が １か らｎ

ま で のｎ

  足 し算 は,各i+1を

が ２ か らｎ

回 行 う か ら,あ

除 く と す る と,ス

ま で のn-1回,ス

わ せ て2n-1回

テ ッ プ(８)でｉ

テ ップ で あ る.

が １か らｎ

まで の

ｎ回 行 う,   使 用 し て い る 変 数 は,a0,a1,…,anのn+1個,x1,…,xnのｎ に,ｉ

とｎ

  4.2.2 

とｔ とｚ で あ る か ら,全

部 で,2n+5個

個,さ で あ る. 

ら □

ホ ー ナ ーの 方 法

 多項式   f(x)=anxn+ate,-1xn-1+...+alx-1-a0   のx=tに

(4.1)

お け る 値 を 次 の よ う に して 計 算 す る 方 法 を 組 立 除 法 ま た は ホ ー ナ ー

の 方 法(Honer's 

rule)と

  ま ず,f(x)をx-tで

い う. 割 っ て,

 f(x)=(x-t)(bnxn-1+bn-1xn-2+…+b2x+b1)+b0  と な っ た と す る.式(4.1)と

(4.2)

式(4.2)のxkじ ん の 係 数 を 比 較 す る と,

(4.3) と な る.   式(4.2)でx=tと

す れ ば,明

ら か に,

  f(t)=b0 

(4.4)

で あ る か ら,漸 り,最

化 式(4.3)に

後 に 得 ら れ るb0が

よ りbn,…,b0を 求 め るf(t)の

順 に 計 算 す れ ば,式(4.4)に

よ

値 で あ る.

  こ れ は,f(x)を

 f(x)=(((…((anx+an−1)x+an-2)x+…)x+a2)x+a1)x+a0 と 変 形 し,x=tと

し て,ま

ずbn=anと

し,最

も 内 側 の か っ こ の 中 か ら順 に,

 bn-1=bnt+an-1=ant+an-1  

bn-2=bn-1t+an-2=(ant+an-1)t+an-2

を計 算 し て い る こ と に な る.   ア ル ゴ リ ズ ム は 次 の よ う に な る.

ア ル ゴ リ ズ ム4.2:多 入 力:多

項 式 の 計 算(ホ

ー ナ ー の 方 法)

 

項 式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+alx+a0の

次 数ｎ,

係 数a0,a1,…,an-1,an,

 xの

具 体 的 な 値ｔ

出 力:f(x)のｔ

に お け る 値b0=f(t)

ス テ ッ プ:   (１)bn←an   (２)i←n-1   (３)i〓0の  

間,次

を行 う

bi←t×bi+1+ai

 i←i-1   (４)b0を

例4.4 

出力

ホ ー ナ ー の 方 法 で,f(x)=x3-7x2+14x-8のx=5に

を 求 め て み よ う ．n=3,a3=1,a2=-7,a1=14,a0=-8で

お け る値 あ る,

 ●bn←1{=a3}   ●i←2{=n-1}   ●i=2〓0な  

b2←-2 

 i←1   ●i

{=tb3+a2=5×1+(-7)} {=i-1}

=1〓0な

 

b1←4 

 i←0 

ので {=tb2+a1=5×(-2)+14} {=i-1}

  ●i=0〓0な  

ので

b0←12 

 i←-1 

ので {=tb1+a0=5×4+(-8)} {=i-1}

  ●i=-1〓0で  ●b0=12を

性 質4.2 

は な い の で,何

も せ ず 次 の ス テ ッ プ(４)へ

進む

出力

ホ ー ナ ー の 方 法 で は,掛

数 は2n+5個

使 う.た

だ し,足

け 算 をｎ

回,足

し算 をｎ

回 行 う.ま

し算 に は2←n-1とi←i-1の

た,変

代 入文 の

部 分 は 含 め な い も の と す る.

証 明   ス テ ッ プ(３)で,iがn-1か 算 を そ れ ぞ れ １ 回 ず つ 行 う の で,全 ま た,変

ら ０ ま で,各２ 部 で,掛

け 算 をｎ

数 は,a0,…,an,b0,…,bn,n,t,iを

に 対 し て,掛 回,足

し 算 をｎ

回 行 う.

使 用 して い る の で,2n+5

個 使 用 す る こ と に な る. 

□

  ス テ ッ プ(３)で,bi←t×bi+1+aiを,

 ai←t×ai+1＋ai と し て,必

要 な 変 数 の 個 数 を,n+4に

  4.2.3 

ホ ー ナ ー の 方 法 に よ る微 分 係 数 の 計 算

 多 項 式

け 算 と足 し

抑 え る こ と が で き る.

 f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 は,何

回 で も 微 分 可 能 で,m＞nな

あ る か ら,f(x)をx=tの

で あ る.こ

る 自 然 数 ｍ に 対 し て は,f(m)(x)=0で

周 り で テ イ ラ ー 展 開 す る と,

こ で,

(4.5) と お く と,前

項 か らb0=f(t)な

の で,

 f(x)=f(t)+(x-t)f1(x,t)  =b0+(x-t)f1(x,t)

で あ る.ホ

 (4.6)

ー ナ ー の 方 法 で,

 f(x)=(x-t)(bnxn-1+bn-1xn-2+…+b2x+b1)+b0 

と し た が,こ

の 式(4.2)と

(4.2)

式(4.6)を

比 較 す る と,

(4.7)

 f1(x,t)=bnxn-1+bn-1xn-2+…+b2x+b1

で あ る.し

た が っ て,式(4.5)と

式(4.7)で,x=tと

す る と,

 f 1(t,t)=f'(t)=bntn-1+bn-1tn-2+…+b2t+b1 で あ る こ と が わ か る.よ

っ て,こ

こ で,ホ

ー ナ ー の 方 法 を 使 っ て,

 c n=bn=an  ck =tck+1+bk と す れ ば,c1=f'(t)が

計 算 で き る.ア

(k=n-1,n-2,…,1)

ル ゴ リ ズ ム は ア ル ゴ リ ズ ム4.2を

変 更 す れ ば よ い.   同 じ よ う に して,順

に ホ ー ナ ー の 方 法 で,f(k)(t),(k=0,1,2,…,n-1)を

計 算 す る こ と が で き る.

少 し

例4・5 

f(x)=x3-7x2+14x-8と

る.例4.4で

す る と,f'(x)=3x2-14x+14で

求 め た,b3,b2,b1を

あ

使 っ て 上 の 方 法 でf'(5)を

求 め る と次 の よ

う に な る.  ●c3=b3=1  ●c2=tb3+b2=5.1+(-2)=3   ●c1=tb2+b1=5.3+4=19 し た が っ て,f'(5)=19を

得 る.

4.3 

ニ ュ ー トン 法

  4.3.1  方 程 式 の 直 接 解 法 と間 接 解 法   方程式  

f(x)=0

を解 くこ と を考 え る.   た と えば,  1/x2-2=0 とい う方程 式 が 与 え られ れ ば,

 1/x2=2 x2=1/2

 x=±1/√2=0.707107… と解 く こ と が で

き る.こ

演 算)を 施 し て,xに

れ は,有

つ い て 解 い て い る.こ

め る 方 法 を 直 接(解)法(direct 与 え ら れ た 方 程 式 をxに 初 期 値x0に,あ を 求 め …,と

限 回 の 演 算(四 則 演 算 と 平 方 根 を 開 く と い う

method)と

い う.し

つ い て 解 い て解 を 求

か し,一

般 に は この よ うに

つ い て 解 く こ と は 困 難 な 場 合 が 多 い.そ

る 計 算 操 作 を 施 して,x1を い う よ う に,あ

り 出 す 方 法 が あ る.こ

の よ う に,xに

の"間

求 め,同

る 操 作 を 繰 り返 し て,解 接(解)法"を

こ で,適

じ操 作 をx1に

当 な

施 し てx2

に 収 束 す る 列{xν}を

反 復 法(iterative

method)と

作

い う.

  反復 法 で は,い

ろい ろ な値 に 対 して,同

じ計 算 を 行 う こ とに な る の で,こ

は コ ン ピ ュ ー タの 得 意 とす る と こ ろで あ る.し に計 算 を繰 り返 す わ け に は い か な い の で,何

か し,解 に収 束 す る まで,無

ら か の 方 法 で,解

れ 限

に十 分 近 づ い た

と判 断 して,計 算 を停 止 し,そ の と き の値 を解 の 近 似 値 とす る こ とに な る.こ の よ う に して 解 の 近 似 値 を計 算 す る こ とを 数値 的 に解 く とい い,得 近 似 値 を近 似 解 とい う.こ れ に対 して,ほ

られ る解 の

ん と うの 解 を 真 の 解 とい う.

  コ ン ピ ュ ー タで 反復 法 に よ り解 の 近 似 値 を 求 め る と き,解 に十 分 に近 づ い た とい う判 断 は,十 分 小 さ い ε＞0を 与 えて,ふ つ う次 の どれ か １つ の 条件 が 成 り立 つ こ と とす る 。  ●￨xν+1-xν￨＜

ε 

●￨xν＋1-xν￨＜

ε￨xν￨

  ●￨f(ν)￨＜ ε

  た だ し,図4.1を ￨xν -α￨＜

図4.1 

4.3.2 

み れ ば わ か る よ う に,こ

れ ら の 条 件 が 全 て 満 た さ れ て も,

ε が 満 た さ れ る とは 限 ら な い .

解 に 近 づ い て い な い の に解 に近 づ い た とい う判 断 の 条 件 を 満 た す場 合

ニ ュ ー トン 法 の 定 義 と例

方程 式   f(x)=0

を 解 く 間 接 法 で,最

も よ く 知 ら れ て い る の が ニ ュ ー ト ン 法 で あ る.

  ニ ュ ー トン 法 と は,反

復

(4.8) に よ り,反

復 列{xν}を

つ く り解 の 近 似 値 を 求 め る 方 法 の こ と で あ る.ニ

ト ン法 は ニ ュ ー トン−ラ フ ソ ン(Newton-Raphson)法

ア ル ゴ リ ズ ム4.3:ニ 入 力:方

程 式f(x)=0のf(x)と

そ の 導 関 数f'(x),

反 復 の 初 期 値t,

 

十 分 小 さ い 正 の 数 ε,

 

反復 す る最 大 回 数 Ｍ

 

と も よ ば れ る.

ュ ー トン 法 の ア ル ゴ リ ズ ム

 

出 力:解

が 求 ま つ た と き は,近

似 解 α と 反 復 回 数ｎ,

解 が 求 ま ら な い と き は,"反

復 最 大 回 数 を超 え ま し た"と

い うコメ ン ト

ス テ ッ プ:   (１)x0
ε か つν〓Mな

ら ば 次 を行 う

 ν ←ν+1   ス テ ッ プ(３)へ ￨xν +1-xν￨＜

戻 る

ε な ら ば次 を行 う

  α ←xν   n←ν

  α とｎ を 出力 し,ア ル ゴ リズ ム を終 了 す る ν＞Mな

ュー

らば 次 を行 う

  "反 復 最 大 回 数 を超 え ま した"を 返 し,ア ル ゴ リズ ム を終 了 す る

例4.6 f(x)を  f(x)=x2-3 と す る と,方

程 式,  f(x)=0

を 解 く と,±√3が

得 ら れ る.こ

れ を,ニ

ュ ー ト ン 法 で 解 く と は,f'(x)=2x

だ か ら,

と し て,反

復 列{xν}を

つ く る こ と に な る.

  こ れ を 単 精 度 浮 動 小 数 点 数 で 実 際 に 計 算 し,ε=10-6と

と な る ま で 繰 り返 す と,初

期 値-3.0,2.0,4.0に

し,

つ い て そ れ ぞ れ 表4.1の

に な る.

表4.1 x2−3=0

つ ま り,近

似 解 と して,x0=-3.0の

 x

を 得,x0=2.0,4.0の

 x=-1.7320507

と き は,そ

と き は ,４ 回 の 反 復 で, =-1.7320507

れ ぞ れ,３

回,５

回 の 反 復 で,

よ う

を 得 る.こ

例4.7 

れ ら は,小

数 第 ６桁 ま で 正 しい 値 で あ る.

方程式  x-cosx=0

を 解 こ う.  

f(x)=x-cosx

と す る と,f'(x)=1+sinxだ

か ら,

xν +1=xν-xν-cosxν/1+sinxν

と して,反 復 列{xν}を

つ くる こ と に な る.

 こ れ を単 精 度 浮 動 小 数 点 数 で 実 際 に計 算 し,ε=10-6と

し,

＜ ε=10-6

と な る ま で 繰 り返 す と,初

期 値-1.0,1.0,3.0に

つ い て そ れ ぞ れ 表4 .2の よ う

に な る． 表4.2 x-cosx=0

つ ま り,近

似 解 と し て,

 x=0.7390851  を 得 る.こ

れ は,小

(単 位 は ラ ジ ア ン) 数 第 ６桁 ま で 正 し い 値 で あ る.

例4.8 

3.2.7項

で 考 え た 方 程 式

 

1.234567x2-876.5432x+0.3578642=0

を ニ ュ ー ト ン 法 で,初

期 値-5.0,100.0,400.0に

の よ う に な る 。 た だ し,浮

つ い て 解 く と,そ

動 小 数 点 数 は 倍 精 度 と し,ε=10-15と

れ ぞ れ 表4.3 し,

＜10-15=ε

と な る ま で 繰 り 返 し た.   初 期 値 が-5,100.0の 710.000102032524に

と き は,0.0004082678478150に,400.0の 収 束 す る.

表4.3  

1.234567x2-876.5432x+0.3578642=0

と き は,

  4.3.3 

ニ ュ ー トン 法 と グ ラ フ

  f'(xν)は,y=f(x)の

点(xν,f(xν))に

の 賜+1は,y=f(x)の 標 に な る.し

た が っ て,ニ

y=f(x)の

お け る 接 線 とx軸

ュ ー ト ン 法 で 反 復 列{xν}の

グ ラ フ で 示 す と 図4.2の

図4.2 

 4.3.4 

お け る 接 線 の 傾 き だ か ら,式(4.8)

点(xν,f(xν))に

賜

と の 交 点 のx座 とxν+1の

様子 を

よ う に な る.

ニ ュー トン法

ニ ュ ー トン法 とテ イ ラ ー展 開

 f(x)をxν

の 周 りで デ ィ ラー 展 開 す る と,

  f(x)=f(xν)+(x-xν)f'(xν)+1/2(x-xν)2f〃(xν)+… と な る.し

た が っ て,α

 

をf(x)=0の

１つ の 解 と し,

α-xν=h

と お く と,

0=f(α)=f(xν+h)=f(xν)+hf'(xν)+1(x-xν)2f〃(xν)+… 

と な る.￨α

−xν￨=￨h￨が

え ば,￨h￨=1/10な

十 分 小 さ け れ ば,h2,h3,…

ら ば,￨h2￨=1/100,￨h3￨=1/1000,…

(4.9)

は よ り 小 さ く な る.た で あ る.よ

っ て,式(4.9)

と

 h〓-

の 左 辺 の 第 ２項 まで を と っ て 近 似 す れ ば,  

0〓f(xν)＋hf'(xν)

す な わ ち,f(xv)≠0な

らば

ゆ え に,

α=xν+h〓xν-〓 と な る.つ

ま り,ニ

ュ ー トン 法 は α の 近 似 値 賜xνの 誤 差ｈ

最 初 の ２ 項 か ら 求 め,近

4.3.5 

を ,テ

イ ラ ー展 開 の

似 の 精 度 を 高 め て い る も の で あ る.

ニ ュ ー トン 法 以 外 の 反 復 法

ニ ュ ー トン 法 以 外 に も 次 の よ う な 反 復 法 が あ る .  反 復 xν

と し て,反

ν

+1=〓

=0,1,2,

復 列 を 作 る 方 法 を フ ォ ン ・ミ ー ゼ(von

Mieses)法

と い う.

 反 復

 xv

+1=xv-〓

と して,反 復 列 を作 る 方 法 を線 形 逆 補 間 法 とい う.

4.3.6  縮 小 写 像 と不 動 点 定 理 関 数g:R→Rに

対 して,

 x=g(x) と な る 点x∈R,す

な わ ち,方

程 式x=g(x)の

解 を ｇ の 不 動 点(fixed

point)

と い う.   関 数g:R→Rが は,あ

１ ⊂R上

る 定 数 γ で 次 の(１),(２)を

の 縮 小 写 像(contraction

mapping)で

満 た す もの が 存 在 す る こ とで あ る .

あ る と

  (１)0＜γ

＜1

  (２)任 意 のx,x'∈Iに

対 し て,

 ￨g(x')-g(x)￨〓 条 件(２)を

γ￨x'-x￨

リ プ シ ツ ツ の 条 件(Lipschitz

シ ツ ツ 定 数(Lipschitz

constant)ま

condition)と

い い,定

た は 縮 小 定 数(contraction 

数'γ を リ プ constant)と

い う.   次 の 定 理 は 縮 小 写 像 の 原 理 と よ ば れ る.

定 理4.1(縮

小 写 像 の 原 理) 

縮 小 写 像 と し,任 き,ｇ

意 のx∈1に

関 数g:R→Rを

完 備 な 区 間1⊂R上

対 し てg(x)∈1が

成 り立 つ と す る,こ

は １ 内 に た だ １ つ の 不 動 点 α を も ち,任

xν +1=g(xν)は

意 のx0∈Iに

＞2)な

的 帰 納 法 に よ り,任   次 に,{xν}は

対 し てx1=g(x0)∈1で

ら ば,xν=g(xν-1)∈1で

意 のν ＞1に

ら始 ま る 反 復

あ る.同 あ る.し

対 し て,xν=g(xν-1)∈1で

コ ー シ ー 列 で あ る こ と を 示 す. gは

ツ 定 数 を γ と す る と,ν-2に

 

=γ￨xν-xν-1￨   =γ2￨xν-1-xν-2￨

  =γν￨x1-x0￨ っ て,任

意 のν,μ(0〓ν<μ)に

 ￨xμ-xν￨〓￨xμ-xμ-1￨+￨xμ-1-xμ-2￨+…  

+￨xν+2-xν+1￨+￨xν+1-xν￨

対 し て,

じよう

た が っ て,数

学

あ る.

縮 小 写 像 な の で,リ

対 し て,

 ￨xν+1-xν￨=￨g(xν)-g(xν-1)￨

が 成 り立 つ.よ

の と

α に 収 束 す る.

証 明   仮 定 か ら,任 に,xν-1∈I(ν

意 のx0∈1か

の

プ シツ

 〓

(γμ-1+γ

μ-2+…+γν+1+γν)￨x1-x0￨  ￨x1 -x0￨

ゆ え に,0＜

γ＜1で

備 だ か ら,{xν}の

あ る こ と か ら,数

極 限 α はＩ

列{xν}は

内 に あ る.す

コ ー シ ー 列 で あ る.Iは

完

な わ ち,

ｇ は縮 小 写 像 だか ら連 続 写 像 で あ る こ とが わ か り,

で あ る.よ

っ て,

で あ る.す

な わ ち 反 復xv+1=g(xν)はｇ

  も し,α'≠

の 不 動 点 に 収 束 す る.

α もｇ の 不 動 点 で あ る と す る と,

￨α-α'￨=￨g(α)-g(α')￨〓γ￨α-α'￨

と な る こ と に な る が,γ

 x

=g(x)の

＜1な

の で,￨α-α'￨＜￨α-α'￨と

な り,矛

盾 で あ る.

１つ の 解 α を含 む 閉 区 間Ｉ ⊂Rを I=[α-d,α+d￨={x∈R￨￨x-α￨〓d,d＞0}

とす る と,ｇ がＩ で 縮 小 写 像 な ら ばx∈1の

と き必 ず

￨ g(x)-g(α)￨〓γ￨x-α￨〓γd＜d(0〓γ

と な り,g(x)∈

Ｉ が 成 り立 つ.よ

っ て,こ

＜1)

の と き,縮

小 写 像 の 原 理 の仮 定 が 満

た さ れ る か ら 次 が 成 り立 つ.

系   α をx=g(x)の

１ つ の 解 と し,I=[α-d,α+d],(d＞0)と

す る.ｇ

が 縮 小 写 像 な ら ば,Ｉ

の 中 のx=g(x)の

解 は α の み で あ り,任

意 のx0∈I

か ら反 復  xν+1=g(xν) 

(ν=0,1,…)

に よ り得 ら れ る 列{xν}は

  4.3.7 

解 α に 収 束 す る.

ニ ュ ー トン 法 の 収 束

 f:R→RがCr級

で あ る と は,f(x)の

第ｒ 階 導 関 数f(r)(x)が

存 在 し て,

そ れ が 連 続 で あ る こ と で あ る.   f(x)=0を

含 む あ る 区 間Iで,f(x)はC2級

と お く と,α

がf(x)=0の

と は 同 値 で あ る.ま

で あ る.し

れ る の で,ニ

がg(x)=xの

あ る と し,

解で ある こと

た,

あ る こ と とg(x)はＩ

十 分 小 さ く と る と,I=[α-d,α+d]⊂Ｉ

対 し て,￨g'(x)｜

は,初

解 で あ る こ と と,α

た が っ て,g(α)=0で

ら,d＞0を

で,f'(x)≠0で

＜1と

で き る.ゆ

え に,縮

で連 続 で あ る こ とか で,任

意 のx∈Iに

小 写像 の原理の系 の条件 が満 た さ

ュ ー トン 法 の 反 復

期 値x0∈Iの

と き,g(x)=xの

１ つ の 解,す

な わ ち,f(x)=0の

１

つ の 解 α に 収 束 す る.   さ ら に,テ

と な る ξ(α〓

イ ラ ー の 公 式 に よ り,

ξ〓xν

ま た はxν〓

ξ〓 α)が

存 在 し,f(α)=0で

あ るこ と

か ら,

を得 る.し

た が っ て,

で あ る.Iでf'(x)は

連 続 でf'(x)≠0だ

が 存 在 し,ま

た,f"(x)は

な る 定数

が 存 在 す る,ゆ

Ｍ

有 界 な 区 間Iで

か ら,0＜

γ ＜￨f'(x)￨な

る定数 γ

連 続 で あ る こ と か ら,￨f"(x)￨〓M

え に,

(4.10) が 成 り立 つ.M/2rは   一 般 に,α

定 数 で あ る.

に収 束 す る数 列{xi}が

， あ る 定 数Ｃ

に対 して,

xν +１-α〓C(xν-α)p が 成 り立 つ と き,p次

収 束 す る とい う.式(4.10)は,ニ

ュ ー トン法 が ２次 収 束

す る こ とを示 してい る.つ ま り,ニ ュ ー トン法 は,解 に近 づ け ば近 づ くほ ど,収 束 も非 常 に速 くな る.

 

  4.4.1 

4.4 

連 立 １次 方 程 式 の 数 値 解 法

連 立 １次 方 程 式 と行 列

 ｎ 個 の 式 か ら な るｎ 元 連 立 １次 方 程 式 al1x1+a12x2+…+a1nxn=bl a21x 1+a22x2+…+a2nxn=b2

(4.11)

は,行

列 を 使 っ て,

と 表 す こ と が で き る.こ

で あ り,Ａ

こ で,

を 連 立 １次 方 程 式(4.11)の

  連 立 １次 方 程 式(4.11)は,n次 限 り,た

だ 一 組 の 解 を もつ.こ

を も つ こ と と 定 義 す る.n次

係 数 行 列(coefiicient

正 方 行 列Aが こ で,n次

正 則 の と き,か

正 方 行 列Aが

正 方 行 列Aに

matrix)と

つそ の ときに

正 則 と はAが

つ い て,次

い う.

逆行列

の 条 件 が 互 い に 同値 で

あ る こ を 思 い 出 し て お こ う.   ●Aが

正 則.

 ●detA≠0.   ●連 立 １次 方 程 式Ax=0の   ●任 意 のb∈Rnに   ●Aの

解 は 自 明 解x=0だ

けであ る,

対 し て ,連 立 １次 方 程 式Ax=bは

階 数,rankA,がnで

あ る.す

た だ 一 組 の 解 を もつ.

な わ ち,Aの

各 列(各 行)は

,Rnの

ベ ク トル と し て １次 独 立 で あ る.

  4.4.2 

ク ラ メル の 公 式 と計 算 量

  連 立 １次 方 程 式 を 解 く方 法 と し て,ク て い る.det  A≠0の

と き,連

立1次

ラ メ ル(Cramer)の

方 程 式(4.11)の

対 して,

で 与 え ら れ る と い う も の で あ る.た

と え ば,

公 式 は よ く知 ら れ

解 は ,i=1,2,…,nに

2x1+3x2+x3=4 4x1+x2-3x3=-2 -x1+2x2+2x3=2

の 解 は,

と して求 まる.   この 方 法 で,こ の ３元 連 立 １次 方 程 式 を解 くの に,３ 次 の 正 方 行 列 の 行 列 式 を行 列 式 の 定 義 通 り計 算 す る と,１ つ の 行 列 式 を求 め る の に,2×3！=12回 の 乗 算 と ５回 の 加 減 算 をす る の で,全 5×4=20回  n元

体 で,12×4+3=51回

の乗 除算 と

の 加 減算 をす る こ と に な る.

連 立 １次 方程 式 の 場 合 は,１ つ の 行 列 式 を 求 め る の に,行 列 式 の 定 義 通

り計 算 す る と(n-1)×n!回 (n+1)×(n-1)×n!+n回

の 乗 算 とn!-1回

の 加 減 算 を す る の で,全 体 で,

の 乗 除 算 と(n+1)×(n!-1)回

の加 減算 をす

る こ と に な る.こ れ で は,１ 秒 間 に １億 回 の 浮 動 小 数 点 数 の 乗 算 を で き る コ ン ピ ュ ー タ を使 っ た と して,n=15の

と き約210日

以 上,n=20の

と きは30

万 年 以 上 もか か る こ と に な り,と て も現 実 的 な解 法 とは い い難 い.   そ こ で,も

っ と効 率 的 に行 列 式 の値 を求 め る方 法 や現 実 的 な 時 間 で解 け る数

値 解 法 が必 要 に な る.

4.4.3 

行 列 が正 則 で あ る た め の 十 分 条 件

正 方 行 列 が 正 則 で あ る た め の実 用 的 な十 分 条 件 を あ げ て お こ う. n次 正 方行 列A=(aiｊ)が

可 約(reducible)で

と な る 行 列 Ｐ が 存 在 す る こ と で あ る.こ び,列

あ る とは,

こ で,Ｐ

と列 を何 回 か 交 換 し て 得 ら れ る 行 列,す

は 単 位 行 列 の 行 と 行 ,お

な わ ち ,各

しい 要 素 が た だ １つ あ り,他 の す べ て の 要 素 は0と B22は

正 方 行 列 で あ る.Aは

行,各

よ

列 に は １に等

な る もの で あ り,B11,B12

可 約 で な い と き 既 約(irreducible)で

,

あ る とい う.

  既 約 で あ る こ と は 次 の よ う に 言 い 換 え る こ と も で き る.

定 理4.2 

ｎ 次 正 方 行 列A=(aij)が

1,…,nに

つ い て,aij≠0で

既 約 で あ る 必 要 十 分 条 件 は,i≠j(i,j=

あ る か,ま

に 異 な り1〓i1,i2,…,ik〓nな

 n次

1ai1i2…aikjを

る 整 数i1,i2,…,ikが

正 方 行 列A=(aij)が

て のi=1,…,nに

た は,aii

優 対 角(diagonally

満 たす互 い

存 在 す る こ と で あ る.

dominant)で

あ る と は,す

べ

つ い て,

が 成 り立 つ こ と で あ る.   す べ て のi=1,…,nに

つ い て,

が 成 り立 つ と き.Ａ は 狭 義 優 対 角(strictly  Ａ が 既 約 優 対 角(irreducibly か つ 優 対 角 で,さ

ら に,少

diagonaly

diagonaly

dominant)で

dominant)で

な く と も １つ のｉ に つ い て

あ る と い う,

あ る と は,Ａ

は既 約

が 成 り立 つ こ とで あ る.

定 理4.3  n次 正 方 行 列Ａ

が 狭 義 優 対 角 ま た は既 約 優 対 角 な ら ば正 則 で あ る.

         

  4.4.4 

ガ ウスの消去法

  連 立 １次 方 程 式 を解 く直 接 法 と して は最 も よ く知 られ て い る ガ ウ ス の 消 去 法 (Gaussian

elimination

  n個 の式 か らな るn元

method)は,次

の よ うな ア ル ゴ リズ ム で あ る.

連立一次方程 式

a11x1+a12x2+…+almxn=bl a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2

(4.12) anlx1+an2x2+...+annxn=bn

を 考 え る.   まず,a11≠0と

仮 定 す る.そ

の を 各i(=2,…,n)式

し て,第

に 加 え る.こ

１式 にm(1)i=-ai1/a11を

れ に よ り,式(4.12)は

掛 けた も

次 の よ う に な る.

  第 １ ス テ ッ プ の 式:

(4.13)

次 に, i(=3,…,n)行

a(1)22〓0 と 仮 定 し,第 に 加 え る.こ

  第 ２ ス テ ッ プ の 式:

２式 に

m(2)i=-ai2/a(1)22 を掛 け た もの を,各

れ に よ り,式(4.13)は

次 の よ う に な る,

こ れ を 繰 り返 し,   第n-2ス

テ ッ プ の 式:

と仮 定 し て,第n-1式

が得 られ るの で,〓 を掛 け た も の を 第n式  第n-1ス

に加 え る と,

テ ッ プ の 式:

  この よ う に変 形 す れ ば,〓 て,xnが

に〓

定 ま る.こ

に し て,第n-2式

れ を,第n-1式 か らxn-2が

≠0な

らば,第n式

の 両 辺 を〓

に 代 入 し て,xn-1が 定 ま り,…,第

で割 っ

定 ま り,同

１式 か らx1が,順

じよ う

に 定 ま る.

  こ の よ う に し て 連 立 １次 方 程 式 を 解 く方 法 を ガ ウ ス の 単 純 消 去 法 と い う.第 n -1ス

テ ッ プ ま で の 変 形 を 前 進(消 去)過 程(forward 

process

,  forwａrd  elimina-

tion),xn,xn-1,…,x1を backward

順 に 求 め る 手 順 を 後 退 代 入 過 程(backward

substitution)と

process,

い う.

  式(4.12)は,

と お い て, Ax=b と表 す こ と が で き る.第

１ ス テ ッ プ の 方 程 式 を 行 列 の 等 式 で,

 

A(1)x=b(1)

と 表 す と,

で あ る が,A(1)はAか 各i(=2,…,n)行

ら,Ａ

の 第 １行 にm(1)i=-ail/α11を

に 加 え て 得 ら れ る か ら,

とお くと,   A(1)=M(1)A,b(1)=M(1)b

掛 けた ものを

で あ る.同

じ よ う に し て,第kス

テ ッ プ(k=1,2,…,n-1)の

 

A(k)x=b(k)

と す る と,ｍ（ｋ）i=-aik/a（k-1）kkと

(対 角 成 分 は す べ て

１,そ

方 程 式 を

し て,

れ 以 外 の 空 白 の 成 分 は す べ て ０)と

す れ ば,

 A（k）=M（k）A（k-1）,b=M（k）b（k-1）

が 成 り 立 つ.た

だ し,a（0）11=α11と

す る.a（k-1）kkを

ピ ボ ッ ト(pivot)と

い う.

し た が っ て,

 

A(n-1)=M(n-1)M(n-2)...M(1)A

 

b(n-1)=M(n-1)M(n-2)...M(1)b

で あ る.   こ の 式 とdet(M（k）)=1で

 

あ る こ と か ら,

det(A)=det(M(n-1))det(M(n-2))…det(M(1))det(A)

 

=det(M(n-1)M(n-2)…M(1)A)

 

=detA(n-1)

 

=a11a（1）22a（2）33…a（n-1）nn

と な る こ と も わ か る.   こ の 方 法 で は,a（0）11=α11≠0,a（1）22≠0,a（2）33≠0,…,a（n-1）nn≠0を

し た が,も

し,あ

るkに

対 し て,第k-1ス

テ ッ プ で α（k-1）kk=0と

仮 定

な れ ば,

第kス

テ ップ に 進 む 前 にl=k+1,…,nの

して,第k行

と第l行

ば,必 ず この よ う なlが

中 か ら α（k-1）lk≠0な る もの を探

を 入 れ 替 え る とい う操 作 を行 う.Ａ

が正則行列 であ れ

見 つ か る.

  特 に,実 際 の計 算 で は,丸 め 誤差 な ど を少 な く し,計 算 結 果 の 精 度 を よ くす る た め に,a(k-1)kk≠0で p行

と第k行

あ つ て も,maxl=k

,…,n￨a（k-1）lk￨=￨a（k-1）pk￨と なる第

を 入 れ 替 え る よ う に す る の が 普 通 で あ る.こ

の よ う な行 の 交 換,

も と の 方程 式 で 考 え れ ば式 の順 番 の 入 れ 替 え,を 行 う方 法 を,行 交 換 を伴 うガ ウ スの 消 去 法 ま た は 部 分 ピ ボ ッ ト選 択 法 とい う.   ま た,列 の 交 換 もす る方 法 もあ り,そ れ を完 全 ピボ ッ ト選 択 法 とい う.列 の 交 換 をす る と,未 知 数 の 順 番 が 変 わ る こ と に な る.   あ る行 列 の 第i行

と第j行

を 入 れ 替 え る に は,単 位 行 列 の 第i行

を入 れ 替 え た行 列P(i,j)を,そ

定 理4.4 n次

と第j行

の行 列 に左 か ら掛 け れ ば よい.

正 方 行 列A=(aij)に

対 して,連 立 １次 方 程 式Ax=bを

ス の 消 去 法 で解 く と き,n3/3+O(n2)回

の乗 算 の とn3/3+O(n2)回

ガウ

の加算 が必

要 で あ る. 

□

  この こ とか ら,ク ラメ ル の公 式 の と きと 同 じよ う に,１ 秒 間 に １億 回 の 浮 動小 数 点 数 の乗 算 をで きる コ ンピュー タを使 っ た と して,ガ ウス の 消去 法 で はn=15 の と き約0.0000025秒,n=20の と きで も,0.06秒   また,ガ

と き0.00006秒

で 計 算 で きる.n=200の

で 計 算 で き る.

ウス の 前 進 消 去 の と きに,ピ ボ ッ トの 列 の ピボ ッ トよ り下 の 要 素 だ

け で な く上 の 要 素 も ０ と な る よ うに 変 形 す る,ガ

ウ スージ ヨル ダ ン法 も あ る が,

こ れ で は,必 要 な乗 算 の 回数 は,3n3/2+O(n2)で,ガ

ウス の 消 去 法 よ り増 え て

し ま うの で,こ

例4.9 

の よ うに す る 必 要 も な い.

ク ラ メ ル の 公 式 で 解 い た次 の 連 立 １次 方 程 式 を行 交 換 を伴 う ガ ウス の

消 去 法 で解 い て み よ う.

2x1+3x2+x3=4 4x1+x2-3x3=-2 -x1+ 2x2+2x3=2

行列で表す と

と して  

Ax=b

と 表 さ れ る.

と 書 い て,(Ab)を   ま ず,第

次 に,

変 形 し て い く.

１行 と 第 ２行 を 入 れ 替 え る,

と し て,(A(1)b(1))を

と な る.こ

れ で,前

求 め る.次

に,

進 仮 定 は 終 了 す る.

  後 退 代 入 過 程 を行 う.第

３ 行 か ら,

 

-x3=-3

 x3=3 第 ２ 行 か ら,

第 １ 行 か ら,

     x1=2

4x1=-2-x2+3x3 =-2-(-l)+3×3=8

し た が っ て,x1=2,x2=-1,x3=3を   ち な み に,Aか

得 る.

らA(2)を

得 る ま で に 行 の 交 換 を １回 行 っ て い る の で,

と な る.

  4.4.5 LU分

解

 ｎ 次 正 方 行 列Aを

なる下三角行列 Ｌ と 上三角行列 Ｕ の積  

A=LU

に表 す こ と をAのLU分

解 とい う.

  ｎ 次 正 則 行 列 が いつ で もLU分  

解 で きる とは 限 ら ない が,LU分

解 され れ ば,

Ax=(LU)x=L(Ux)=b

だ か ら.  Ly=b  Ux=y と い う ２ つ の 連 立 １次 方 程 式 を 解 け ば よ い こ と に な る.ま ス の 消 去 法 の 後 退 代 入 過 程 と 同 じ よ う に,た を 求 め,そ

れ を 用 い て,Ux=yを

に,xn,xn-1,・

・,x1の

ず,Ly=bを

だ し,y1,yn,…,の

ガ ウ 順 に,解y

ガ ウス の消 去 法 の 後 退 代 入 過 程 と同 じよ う

順 に 求 め れ ば よ い.

例4.10 

次 の 行 列 はLU分

解 で き ない.

こ れ を示 す には,

とLU分 e,fが

 n次

解 で き た と して,右

辺 の 行 列 の 積 を 計 算 し,等

式 を 満 た すa,b,c,d,

存 在 し な い こ と を 示 せ ば よ い.

正 方 行 列A=(αij)がLU分

k=1,2,…，nに

解 可 能 で あ る 必 要 十 分 条 件 は,す

べ ての

対 し て,

が 成 り 立 つ こ と で あ る こ と が 証 明 で き る.   ま た,正

則 行 列 は 行 を 入 れ 替 え る とLU分

解 で き る行 列 に変 形 す る こ とが で

き る.

 

  4.5.1 

4.5 

連 立 １次 方 程 式 の 解 法

：反 復 法

反復法

  連 立 １次 方 程 式  Ax=b  に お い て,Aを

成 分 が す べ て 実 数 で あ る ｎ 次 正 方 行 列 と し, Ａ は 正 則 で,

  aii≠0  と す る.連

(4.14)

立 １次 方 程 式(4.14)の

(i=1,2,…,n)  真 の解 を

(4.15)

とす る.適 当 な 初 期 値

か ら 初 め て,あ

め て,真

る 計 算 式 か らx(1)を

の 解α

method)と

求 め,同

に 収 束 す る 列{x(v)}を

じ よ う に し て,x(2),x(3),...を

求

つ く る と い う 解 法 を 反 復 法(iterative

い う.

  ニ ュ ー ト ン法 な ど の と き と 同 じ よ う に,十 のi(=1,2,…,n)に

分 小 さ い ε ＞0を

決 め て,す

べ て

の ま た は,x(v+1)を

解

対 して,

x（ν+1）i-x（ν）i￨＜ε ま た は,

 ￨x（ν+1）i-x（ν）i￨＜ε￨x（ν）i￨ と な っ た ら,解

に 収 束 し た と し て,反

復 を 終 了 し,が

と す る.   ａ.  ヤ コ ビ 法  x（ν）1,,x（ν）2,…,x（ν）nが 求 ま つ て い る と き,次 の 式 か ら順 に,第 を,第 (Jacobi

２式 か らx（ν+1）2を,…,第 method)と

１式 か ら,x（ν+1）1

ｎ 式 か らx（ν+1）nを 定 め る 方 法 を ヤ コ ビ 法

い う.

ν）2+an3x（ν）3+…+annx（ν+1）n

a21x（ν）1+a22x（ν+1）2+a23x（ν）3+…+a2nx（ν）n=b2 a11x（ν+1）1+a12x（ν）2+a13x（ν）3+…+a1nx（ν）n=b1

=bn

つ ま り,

で あ る.  行 列 Ｄ を

(4.16)

(対 角 成 分 以 外 は す べ て ０)と す る と,式(4.15)を で あ る.し

た が っ て,B=D-Aと

x（ν+1）

仮 定 して い る の で,detD≠0

す る と,

=D-1Bx（ν）+D-lb,v=0

,1,2,… 

(4.17)

と い う 反 復 の 式 を 得 る.   ｂ.  ガ ウ ス-ザ イ デ ル 法 x（ν）1 ,x（ν）2,…,x（ν）nが 求 ま つ て い る と き,次 を 定 め,ヤ

の 式 に よ り,第

１式 か ら,x（ν+1）1

コ ビ法 と は 異 な り,そ こ で 定 ま っ たx（ν+1）1)も使 っ て 第 ２式 か らx（ν+1）2

を 定 め,…,す

で に 定 ま っ たx（ν+1）1,x（ν+1）2,…,x（ν+1）1を 使 っ て,第

らx（ν+1）n)を定 め る 方 法 を ガ ウ ス-ザ イ デ ル 法(Gauss-Seidel method)と

い う.

=b2

+an2x（ν+1）2+an3x（ν+1）3+…+annx（ν+1）n

つ ま り,各x（ν+1）iは

ｎ 式か

=bn

で 与 え ら れ る.   行 列 Ｄ を 対 角 行 列(4.16)と

し,

(4.18) と す る と,A=D+L'+U'で

あ り,

 

(D+L')xν+1=-U'xν+1+b

を得 る が,式(4.15)か

らD+L'は

正 則 行 列 で,

 x(ν+1）=(D+L')-1(−U')x(ν+1）+(D+L')−1b 

(4.19)

とい う反 復 式 を得 る.  c.  SOR法  ガ ウス-ザ イ デ ル法 で 近 似

を つ く り,ω

を パ ラ メ ー タ ー と し て,

 x(ν+1）i=x(ν）i+wω(x(ν+1）i-x(ν）i) (i=1,2,...,n)  と す る 方 法 を 逐 次 過 大 緩 和 法(Successive SOR法

と い う.ω

Overrelaxation

を 緩 和 因 子 ま た は 緩 和 係 数 い う.式(4.20)は,

(4.20) method)ま

た は

と な る が,行

列D,L',U'を

れ,式(4.16),(4.18)と

 

ガ ウス ー ザ イ デ ル 法 の と き と 同 じ よ う に,そ

れぞ

す れ ば,

Dx（ν+1）+ωL'x（ν+1）=(1-ω)Dx(v)-ωU'x(v)+ωb

を 得,式(4.15)の

条 件 の 下 で,

 x(ν+1）=Hωx(ν）+ω(D+ωL')-lb 

(4.21)

とい う反復 の式 を得 る.た だ し,

  Hω=(D+ωL')-1{(1-ω)D-ωU'}

で あ る.

  4.5.2 

連 立 １次方 程 式 の 反 復 解 法 の 収 束 定 理

  前 項 で 連 立 １次 方 程 式  

Ax=b

を解 く反復 法 を考 え た が,式(4.17),(4.19),(4.21)の

よ う に,そ れ らの ど れ

も同 値 な連 立 方 程 式  x=Hx+d に対 す る反 復 x（ν+1）=Hx（ν）+ と し て 表 す こ と が で き た.実 で は な い.こ

d,ν=0,1,… 際 に 計 算 す る と き は,式(4

  .22)の

反 復 を使 うわ け

の あ との こ れ ら の 反 復 法 の 収 束 を 考 え る と き ,こ

の 形 を 使 う と便

利 で あ る.   行 列Aの

固 有 値 を λ1,λ2,…

  をAの

(4.22)

λnと す る と き,

max{￨λi￨} ス ペ ク トル 半 径(spectral

radius)と

い い ρ(A)で

表 す.

例4.11

と す る と,Aの

固 有 値 は,特

性 方程式   det(λI一A)=0

か ら,

で あ り,Aの

固 有 値 は,２,３

で あ る.し

た が っ て,

  p(A)=3 で あ る.

  次 が 成 り立 つ.

定 理4.5 

1imν→ ∞Hν=Ｏ

と で あ る.こ

と な る た め の 必 要 十 分 条 件 は ρ(H) ＜1と

こ で Ｏ は 零 行 列 で あ る, 

  こ れ を 使 う と,式(4.22)の

(線 形 反 復 の 基 礎 定 理) 

列 と し,方

程 式 」x=Hx+dは

任 意 のx(o)に

□

収 束 に 関 す る 基 本 的 な 定 理 が 得 ら れ る.

定 理4.6 

(4.22)が

Hを

成 分 が す べ て 実 数 で あ るn次

た だ 一 組 の 解 α を も つ と す る.こ

式(4.22)か

正方行

の と き,反 復

対 し て α に 収 束 す る た め の 必 要 十 分 条 件 は ρ(H)＜1

と な る こ と で あ る.

証明

なる こ

ら α=Hα+dを

引 く と,

x（ν+1）α=H(x（ν）-α)=H2(x（ν-1）-α)=…=Hν+1(x(0)-α)

し た が っ て,任

意 のx(0)に

要 十 分 条 件 は,limν

対 し て,limν

→∞Hν=Ｏ

条 件 は,ρ(H)＜1と

→ ∞(x（ν）-α)=0と

で あ る.定

理4.5に

な る た め の必

よ りこの た め の必 要 十 分

な る こ と で あ る.

  次 が 成 り立 つ.

定 理4.7 

す べ て の 成 分 が 実 数 のn次

対 角 と す る と,任 Ax

=bの

  SOR法

意 のb∈Rnに

正 方 行 列Aが

対 し て,ヤ

狭義優対 角 または既約優

コ ビ法 お よ び ガ ウ ス-ザ イ デ ル 法 は

一 意 に 存 在 す る 解 に 収 束 す る.

に 関 して は,次

定 理4.8 

の こ とが 知 ら れ て い る.

(カ ー ン(Kahan)の

定 理) 

SOR法

に お い て,任

意 の 実 数 ω ≠0

に 対 し て,   ρ(Hω)〓｜ ω-1｜ し た が っ て,SOR法

証 明   SOR法

が 収 束 す る た め に は,0＜

ω ＜2で

の 反 復x(ν+1）=Hωx（ν）+ω(D+ωL')-lbに

 Hω=(D+ωL')-1{(1-ω)D-ωU'} だ か ら,Hω

 

の 固 有 値 を λ1,λ2,…,λnと

λ1λ2…

す る と,

λn=det(Hω)

 

=det((D+ωL')-1)det((1-ω)D-ωU')  

=(1-ω)n

し た が っ て,  

ρ(Hω)〓￨λ1λ2…

λn￨1/n=￨1-ω￨

あ る こ とが 必 要 で あ る.

お い て,

を 得 る.反 0＜

復 列 が 収 束 す る た め に は,ρ(Hω)＜1で

ω ＜2で

な け れ ば な ら な い. 

  さ ら に,SOR法

定 理4.9 

に つ い て,次

□

が 成 り立 つ.

(オ ス トロ フ ス キ ー― ラ イ ヒ(Ostr0wski-Reich)の

成 分 が 実 数 のn次 Ax=bを

あ る こ と が 必 要 だ か ら,

正 方 行 列Aを

解 くSOR法

し て 解A-lbに

正 値 対 称 行 列 と し,0＜

の 反 復(4,21)は,任

収 束 す る.

意 のb∈Rnと

定 理)  ω ＜2と

す べ ての す る と,

任 意 のx(0)に

対

５  ソ ー

ト と サ ー チ の ア ル ゴ リ ズ

  い ま ま で 扱 っ て き た ア ル ゴ リ ズ ム は,整 る も の で あ っ た.そ

前 の デ ー タ を50音

文 字 列 を探 し出 す と い っ た,い

順 に 並 べ 替 え る とか,文

章 の 中 か らあ る

ソ ー トの ア ル ゴ リ ズ ム

ソー ト

  名 前 を50音

順 に,試

験 の 結 果 を 点 が 高 い 順 に な ど,デ

う こ と は よ くあ る こ と で あ る.並 う,名

値 的 ア ル ゴ リ ズ ム と い わ れ る.

わ ゆ る 非 数 値 的 ア ル ゴ リ ズ ム の 初 歩 を 扱 お う.

5.1 

  5.1.1 

数 や 実 数 の計 算 や 方 程 式 の解 法 に 関す

の よ う な ア ル ゴ リ ズ ム は,数

  こ の 章 で は,名

ム

ー タ を並 べ 替 え る と い

べ 替 え る こ と を ソ ー ト(sort)ま

た は 整 列 とい

前 と 試 験 の 点 と い う ２ つ の 項 目 か ら な る い くつ か の デ ー タ を,試

の 高 い 順 に ソ ー ト し,同

じ点 の 人 た ち は,名

よ う な こ と が 考 え ら れ る.ソ

験 の点

前 の 五 十 音 順 で ソ ー トす る と い う

ー トす る の に 注 目 す る 項 目 を ソ ー トの キ ー(key)

と い う.   こ こ で は,デ

ー タ を ソ ー トす る ア ル ゴ リ ズ ム を い く つ か 紹 介 し,そ

の性 能 を

調 べ る.   ア ル ゴ リ ズ ム を 記 述 す る と き は,簡 る もの で,小

  5.1.2 

ー タ は １つ の 項 目 か ら な

さ い 川頁に ソ ー トす る こ と を 考 え る.

単純 選択 ソー ト

  最 初 は,最 selection

単 の た め に,デ

も 簡 単 な ソ ー ト の ア ル ゴ リ ズ ム で あ る 単 純 選 択 ソ ー ト(straight

sort)を

紹 介 し よ う.

  単 純 選 択 ソ ー トの 手 順 は 次 の よ う で あ る.

ア ル ゴ リ ズ ム5.1:単

純選択 ソー ト

入 力:デ

ー タ の 個 数1>と

デ ー タa1,a2,…,aN

出 力:小

さ い 順 に 並 ん で い るa1,a2,…,aN

ス ア ツ フ:   (1)i←1   (2)i〓N-1の  

間,次

を行 う

min←i

 j←i+1  

j〓Nの

 

間,次

を行 う

も しaj＜aminな

 

らば 次 を行 う

min←j  j←j+1   t←amin  amin←ai   ai←t  i←i+1

  (3)a1,a2,…,aNを

出力

例5.1 

い う6文

"SAKURA"と

字 を 単 純 選 択 ソ ー トで ア ル フ ァベ ッ ト順 に ソ ー

ト して み よ う.入 力 は,N=6とa1=S,a2=A,a3=K a6=Aで

,a4=U,a5=R,

あ る.

  ●i←1  ●i

=1〓N-1=5な

の で ,次

を行 う

  min←i=1  

j←i+1=2

 

j=2〓N=6な

の で,次

  aj=a2=A＜amin=a1=Sな

を行 う の で,次

を行 う

 

min←j=2

 

j←j+1=3

 

j=3〓N=6な

の で,次

を行 う

 aj=a3=K＜amin=a2=Aは

成 り立 た な い

  j←j+1=4  

j=4〓N=6な

の で,次

を行 う

 aj=a4=U＜amin=a2=Aが

成 り立 た な い

 j←j+1=5  

j=5〓N=6な

の で,次

を行 う

 aj=a5=R＜amin=a2=Aが

成 り立 た な い

 j←j+1=6   j=6〓N=6な

の で,次

を行 う

 aj=a6=A＜amin=a2=Aが

成 り立 た な い

 j←j+1=7  j=7〓N=6は

成 り立 た な い

  t←amin=a2=A   amin=a2←ai=al=S   a2=a1←t=A こ こ ま で で,最

初 に 見 つ か っ た 最 小 の も の Ａ と １番 右 側 のSと

を 入 れ 替 え て,

  "ASKURA"

と,最

小 の も の がalへ

移 動 す る.

  こ の あ と は,a2,…,a6に   ●i=2の  

 

じ よ う な こ とが 行 わ れ る の で,

５文 字 の 中 で 最 小 の Ａ と Ｓ が 入 れ 替 わ っ て,

"AKURS"  と な る か ら,全

 

つ い て,同

と き,"SKURA"の

体 と し て,

"AAKURS" とな る   ●i=3の

と き,"KURS"の

果 と して,何

４ 文 字 の 中 で 最 小 の Ｋ と Ｋ が 入 れ 替 わ っ て(結

も 変 化 し な い),"KURS"と

な る か ら,全

体 と し て,

   

"AAKURS" とな る

  ●i=4の

と き,"URS"の

 

な る か ら,全

   

"RUS"と

とな る と き,"US"の

と な る か ら,全

 

体 と し て,

"AAKRUS"

  ●i=5の

 

３ 文 字 の 中 で 最 小 の Ｒ と Ｕ が 入 れ 替 わ っ て,

２文 字 の 中 で 最 小 の Ｓ と Ｕ が 入 れ 替 わ っ て,"SU"

体 と し て,

"AAKRSU" とな る   ●i=6の

と き,i〓N-1=5が

 

al=A,a2=A,a3=K,as=R,a5=S,a6=U

 

を 出力 す る

  比 較aj
回 数,交

成 り 立 た な い の で,ス

テ ッ プ(3)へ

換t←amin,αmin←amin,ai←tの

進 み,

回数 に

つ い て 次 の こ と が 成 り立 つ.

性 質5.1 

単 純 選 択 ソ ー トで は,い

タ の 交 換 回 数 は,い

証 明   各iに る の で,N-i回

つ で も3(N-1)回

つ い て,比

つ で もN(N2−1)回 で あ る.領

の 比 較 が 行 わ れ る.デ 域 計 算 量 は,O(N)で

較 は,j=i+1,i+2,…,1Vの

行 わ れ る.し

た が っ て,全

あ る.

と き １回 ず つ 行 わ れ 体 で,比

較 回 数 は,

で あ る.   交 換 は,各iに

で あ る,

つ い て 必 ず,ス

ー

テ ッ プ(２)の

３ 回 の 交 換 が 行 わ れ る か ら,

  領 域 計 算 量 は,a1,…,aNのN個 で あ り,こ

と,N,i,j,min,tの

  5.1.3 

れ は,O(N)と

５個 だ か ら,N+5

表 す こ と が で き る. 

□

単純挿 入 ソー ト

  次 は 単 純 挿 入 ソ ー ト(straight

ア ル ゴ リ ズ ム5.2:単

insertion

sort)で

あ る.

純 挿入 ソー ト

入 力:デ

ー タ の 個 数Nと

デ ー タa1,a2,…,aN

出 力:小

さ い 順 に 並 ん で い るa1,a2,…,aN

ス テ ッ プ:   (１)a0←(a1,a2,…,aNの

中 の ど れ よ り も 大 き く な い も の)

  (２)i←2   (３)i〓Nの

間,次

 

t←ai

 

j←i

 aj-1＞tの

を行 う

間,次

を行 う

 aj←aj-1  

j←j-1

 aj←t  

i←i+1

  (４)a1,a2,…,aNを

  ス テ ッ プ(１)は,左

出力

端 に 最 小 の デ ー タ が な い と"α あ1＞tの

間"と

い う条 件

が い つ も 成 り立 っ て ア ル ゴ リ ズ ム が 止 ま ら な く な る な ど と い う よ う に,う 動 作 し な い こ と が あ る の で,そ 兵 キ ー(sentinel

例5.2 

key)と

れ を番

い う.

番 兵 キ ー を お か ず に,つ

ル ゴ リ ズ ム に よ り"LAN"と

れ を 防 ぐ た め の 便 宜 的 な も の で あ る.こ

ま く

ま り,ス

テ ッ プ(１)を

実 行 し な い で,こ

のア

い う ３ 文 字 を ア ル フ ァ ベ ッ ト順 に ソ ー ト して み よ

う.入

力 は,N=3とa1=L,a2=A,a3=Nで

あ る. 

●i←2  ●i

=2〓N=3な

 

t←ai=a2=A

 

j←2=2

の で ,次

を行 う

 aj-1=a1=L>t=Aな

の で,次

を行 う

 aj=a2←aj-1=a1=L  

j←j-1=1

こ の あ と,ス

テ ッ プ(３)の

 aj-1=a0＞t=Aが

成 り立 つ か ど う か を 調 べ る

こ と に な る の だ が,実 a0が

４ 行 目 に 戻 っ て,

際 に プ ロ グ ラ ム を つ く っ て,コ

ン ピュ ー タで実 行 す る と ,

ど ん な 値 に な っ て い る か わ か ら な か っ た り,a0が

り して,無

限 に 操 作 を続 け て し ま う と か,こ

定 義 され て い な か っ た

れ 以 上 進 め られ な い と い うエ ラ ー

に な る.  そ こ で,ス

テ ッ プ(１)を

行 っ てa0を

 aj-1=a0=A＞t=Aが

Ａ と して お け ば,

成 り立 た な い

の で,

 a j←t  i←i+1 へ 進 み ,う

ま く動 作 す る こ と に な る.

  う ま く動 作 し な い の を 回 避 す る 方 法 は ほ か に も 考 え ら れ る が,こ

の よ うに 番

兵 キ ー を お く の が 単 純 で わ か り や す い.

  単 純 挿 入 法 で は,ス ai-1と

テ ップ(３)が

な っ て い る と き に,aiをtに

に 比 較 し て,aiが

本 質 的 で,こ

こ で は,a0〓a1〓a2〓

代 入 し て お い て,tをai-1,ai-2,…

入 る べ き と こ ろ に 入 れ て,a0〓a1〓a2〓

と な る よ う に し て い る.

…〓a2-1〓ai

…〓 と順

例5.3 

"SAKURA"と

い う ６文 字 を単 純 挿 入 ソ ー トで ア ル フ ァベ ッ ト順 に ソ ー

ト し て み よ う.入 力 は,N=6とa1=S,a2=A,a3=K,a4=U,a5=R, a6=Aで

あ る.

  ●a0←A 

{番 兵 キ ー を Ａ と す る}

  ●i←2   ●a0,a1は

Ａ,Ｓ

と小 さ い 順 に 並 ん で い る の で,t=a2=Aを

と 比 較 し,al＞tな

の で,a2←Sと

  ●t=Aをa0=Aと

ま ず,a1=S

す る

比 較 し,a0＞tで

は な い の で,aj=a1←t=Aと

し てa0,a1,a2は  Ａ,Ａ,Ｓ  

と小 さ い 順 に ソ ー

  ●i←i+1=3と

トされ る し て,

  ●a0,a1,a2はＡ,Ａ,Ｓ a2=Sと

と 小 さ い 順 に 並 ん で い る の で,t=a3=Kを

比 較 し,a2＞tな

の で,a3←Sと

り 立 た な い の で,a2←t=Kと

す る.a1=A＞t=Kは

成

し てa0,a1,a2,a3が

 Ａ,Ａ,Ｋ,Ｓ  

と小 さ い 順 に ソ ー

  ●i←i+1=4と

トされ る し,同

じ よ う に し て,a0,a1,a2,a3,a4が

 Ａ,Ａ,Ｋ,Ｓ,Ｕ  

と小 さ い 順 に ソ ー

  ●i←i+1=5と

トさ れ し,a0,a1,α2,a3,a4,a5が

 Ａ,Ａ,Ｋ,Ｒ,Ｓ,Ｕ  

と小 さ い 順 に ソ ー トされ

  ●i←i+1=6と

し,a0,a1,a2,a3,a4,a5,a6が

 Ａ,Ａ,Ａ,Ｋ,Ｒ,Ｓ,Ｕ  

と小 さ い順 に ソ ー トされ る

  ●i←i+1=7と

し,i=7〓N=6で

な い の で

  ●a1=A,a2=A,a3=K,a4=R,a5=S,a6=Uを

比 較aj-1＞tの

回 数,交

出 力 す る

換t←ai,aj←aj-1aj←tの

回 数 に つ い て 次

の こ とが 成 り立 つ.

性 質5.2 

比 較 の 回 数 は,最

均1/4N2+Ｏ(n)回

で あ る.デ

小 で2(N−1)回,平

証 明   最 悪(最

大)の 場 合 は,入

の と き で あ る.a0に

i -1

の で,こ

で あ る.

力 が 逆 順 に 並 ん で い る と き,つ

…

ま り

＞aN-1＞aN

の と き,各ｉ

につい

対 し て １ 回 ず つ 比 較 を 行 う か ら,ｉ 回 の 比 較 が 行 わ れ

た が っ て,全

,…,2に

al＞a2＞

小 でN-1回,平

大 で1/2(N+4)(N-1)回,最

は 最 小 の も の が 入 っ て い る とす る.こ

て,j=i,i-1,…,1に

回 で あ る.ま

ー タ の 交 換 は,最

均1/4N2+Ｏ(n)回

 

る.し

大 で1/2(N+2)(N-1)回,最

部で

た,デ

ー タ の 交 換 は,各ｉ

対 し てaj←aj-1を

れ ら を 合 わ せ てi+1回

に つ い て,t←aiを１

回,j=i,

１ 回 ず つ でi-1回,a1←tを 行 わ れ る.し

た が っ て,全

１回行 う 部 で,

回 で あ る.   最 も少 な い の は,入

力 が小 さ い順 に

 a1〓a2〓

と 並 ん で い る と き で あ る.各ｉ 全 体 で は,

で あ る.

…〓aＮ-1〓aN

に つ い て,比

較 は,j=iの

と き １回 行 う の で,

  交 換 は,各ｉ

に つ い て 必 ず,t←aiaj←tが

行 わ れ る か ら,

で ある.   平 均 は,各ｉ

に つ い て ，j=i,i-1,…,１

の 約 半 分 で あ る,j=i,i-1,…,［i/2］

に対 して １回ず つ比 較 を行 う とす る と,約i/2回 した が っ て,全 部 で,お

で あ る.し

よそ

た が っ て,1/4N2+Ｏ(n)と

つ い て,t←aiを

表 せ る.ま

１ 回 ,j=i,i-1,…,i/2に

つ,a1←tを

１回 行 う と し て,約i/2回

で あ り,1/4N2+O(n)と

  5.1.4 

の 比 較 が 行 わ れ る こ と にな る.

た,デ

ー タ の 交 換 は ,各ｉ

対 し てaj←aj-1を 行 わ れ る こ と に な る .し

１回 ず た が っ て,全部で,

表 せ る. 

□

バ ブル ソ ー ト

  次 は バ ブ ル ソ ー ト(bubble

ア ル ゴ リ ズ ム5.3:バ

sort)で

あ る.ア

ブルソー ト

入 力:デ

ー タ の 個 数Ｎ

と デ ー タa1,a2,…,aN

出 力:小

さ い 順 に 並 ん で い るa1,a2,…,aN

ス テ ッ プ:   (１)i←1   (２)i〓N-1の  

j←N

 

j〓i+1の

間,次

間,次

を行 う

を行 う

に

ル ゴ リ ズ ム は 次 の よ う に な る.

  も し,aj＜aj-1な

ら ば次 を 行 う

  t←aj  aj←aj-1  aj-1←t  j←j-

1

 (３)a1,a2,…,aNを

例5.4 

出力

"SAKURA"と

し て み よ う.入 a6=Aで

い う ６文 字 を バ ブ ル ソ ー トで ア ル フ ァベ ッ ト順 に ソ ー ト

力 は,N=6とa1=S,a2=A,a3=K,a4=U,a5=R,

あ る．

  初期 状 態  i=1の

 SAKURA と き  j=6で 

Ｒ と Ａ の 入 れ 替 え  SAKUAR

 

j=5で 

Ｕ と Ａ の 入 れ 替 え  SAKAUR

 

j=4で 

Ｋ と Ａ の 入 れ 替 え  SAAKUR

 

j=3で 

何 も しな い  

  j=2で  i =2の

と き  j=6で  

 

Ｓ と Ａ の 入 れ 替 え   ASAKUR   Ｕ と Ｒ の 入 れ 替 え  ASAKRU

j=5で 

何 も しな い

  ASAKRU

j=4で 

何 も しな い

  ASAKRU

 j=3で  i=3の

SAAKUR

  Ｓ と Ａ の 入 れ 替 え   AASKUR と き  j=6で 

何 も しな い  

AASKRU

 

j=5で 

何 も しな い  

AASKRU

 

j=4で

 i=4の

と き  j=6で

   i=5の

  Ｓ と Ｋ の 入 れ 替 え   AAKSRU

j=5で

何 も しな い

  Ｓ と Ｒ の 入 れ 替 え   AAKRSU

と き  j=6で

  比 較aj＜aj-1の

  AAKSRU

回 数,交

何 も しな い

  AAKRSU(終

換t←aj,aj←aj-1aj-1←tの

了)

回数 につい

て次 の こ とが 成 り立 つ.

性 質5.3 

バ ブ ル ソ ー トで は,1/2N(N-1)回

悪 の と き,3/2N(N-1)回,平

均 で は,3/4N2+O(N)回

証 明   比 較 は,各iに N-i回

の 比 較 を 行 う.交

で あ る.

つ い て,j=N,N-1,…,i+1に

行 わ れ る か ら,全

換 の 回 数 は,最

対 し て １ 回 ず つ,

部 で,

であ る.   交 換 は,入

… ,i+1に

で あ る.こ

力 デ ー タ が 逆 順 に 並 ん で い る と き,各ｉ

対 して そ れ ぞ れ 必 ず ３回 行 わ れ る の で,

れ が 最 悪 の と き で あ る.

  平 均 の 交 換 回 数 は,各ｉ j=N,N-1,…,N-［i/2］

に つ い て,j=N,N-1,…,i+1の に 対 し て 行 わ れ る と す れ ば,最

と し て,3/4N2+O(N)回

  5.1.5 

に つ い て,j=N,N-1,

で あ る. 

シ エル ソ ー

約 半分 の 悪 の と きの 約 半 分 □

ト

  単 純 挿 入 ソ ー トを 使 っ た よ り高 速 な ア ル ゴ リ ズ ム に シ ェ ル ソ ー ト(shell sort) が あ る.   シ ェ ル ソ ー トの ア ル ゴ リ ズ ム は 次 の よ う に な る.

ア ル ゴ リ ズ ム5.4:シ

ェル ソ ー ト

入 力:デ

ー タの 個 数

出 力:小

さ い 順 に 並 ん で い るa1,a2,...,aN

ス テ ッ プ:   (１)h←1

Ｎ

と デ ー タa1,a2,...,aN

  (２)h＞Nと  

な る ま で,次

を行 う

h←3h+1

 (３)h←［h/3］   (４)h〓1の

間,次

を行 う

 i←h+1  i〓Nの

間,次

を行 う

 v←ai   j←i   j＞hか

つaj-h＞vの

間,次

を行 う

 aj←aj-h  

j←j-h

 aj←v  i←i+1  

h←(hを

３ で 割 っ た と き の 整 数 の 商)

  (５)a1,a2,…,aNを

出力

  シ ェ ル ソ ー トは で,実

行 の 順 番 は 少 し異 な る が,ak,ak+h,ak+2h,…

単 純 挿 入 ソ ー ト を行 っ て い る.上 の ア ル ゴ リズ ム で は,ｈ と し て い る が,ほ

か の 値 に と っ て も か ま わ な い.こ

に対 し て,

を,…,121,40,13,４,１

のｈ

を 増 し分 と よ ぶ こ と に

し よ う.   比 較 の 回 数,交

性 質5.4 

換 の 回 数 に つ い て 次 の こ と が 成 り立 つ こ と が 知 ら れ て い る.

シ ェ ル ソ ー トで は,増

し 分 を１,４,13,40,121,…

回 よ り多 く比 較 さ れ る こ と は な い. 

例5.5 

"INFORMATIONPROCESSING"と

トで ア ル フ ァ ベ ッ ト順 に ソ ー ト し て み よ う.   ●h←1   ●h←3h+1=4＜N=21

と す る と き,N3/2 □

い うN=21文

字 を シ ェル ソー

 h←3h+1=13＜N=21  

h←3h+1=40〓N=21

 ●h←13=[h/3] 9.27228pt 初 期 状態

 INFORMATIONPROCESSING

h =13  i=14 

a1=Iとa14=Oを

比較 比 較,交

 i=16 a3=Fとa16=Eを

比 較,交

 INFORMATIONPROCESSING

 i=15 a2=Nとa15=Cを

 i=17 a4=0とa17=Sを

比較

 i=18 a5=Rとal8=Sを

比較

 i=19 a6=Mとa19=Iを

比 較,交

換

 ICEORMATIONPRONFSSING

比較 比 較,交

換

 i=21 a7=Tとa21=Gを h =4

比較

 i=6 a2=Cとa6=Iを

比較 

 ICEORMATIONPRONFSSING   ICEORMATIONPRONFSSING

 i=20 a7=Aとa20=Nを

 i=5 a1=Iとa5=Rを

 ICFORMATIONPRONESSING

換

  ICEORIATIONPRONFSSMNG   ICEORIATIONPRONFSSMNG

換

 ICEORIAGIONPRONFSSMNT

  ICEORIAGIONPRONFSSMNT ICEORIAGIONPRONFSSMNT

 i=7 a3=Eとa7=Aを

比 較,交

換 

ICAORIEGIONPRONFSSMNT

 i=8 a4=Oとa8=Gを

比 較,交

換 

ICAGRIEOIONPRONFSSMNT

 i=9 a5=Rとa9=Iを  i=9 a1=Iとa5=Iを  i=10 a6=Iとa10=Oを

比 較,交

換 

ICAGIIEORONPRONFSSMNT

比較  

ICAGIIEORONPRONFSSMNT

比較

  ICAGIIEORONPRONFSSMNT

 i=11 a7=Eとa11=Nを

比較

  ICAGIIEORONPRONFSSMNT

 i=12 a8=0とa12=Pを

比較

 ICAGIIEORONPRONFSSMNT

 i=13 a9=Rとa13=Rを

比較 

 i=14 a10=Oとa14=Oを

比較

 i=15 a11=Nとa15=Nを  i=16 

a12=Pとa16=Fを

 i=16 a8=Oとa12=Fを  i=16 a4=Gとa8=Fを

ICAGIIEORONPRONFSSMNT   ICAGIIEORONPRONFSSMNT

比較

  ICAGIIEORONPRONFSSMNT

比 較,交

換

比 較,交

換

比 較,交

 i=17 a13=Rとa17=Sを

比較

 i=18 a14=Oとa18=Sを

比較

 

ICAGIIEORONFRONPSSMNT  ICAGIIEFRONORONPSSMNT

換

  ICAFIIEGRONORONPSSMNT   ICAFIIEGRONORONPSSMNT   ICAFIIEGRONORONPSSMNT

 i=19 

a15=Nとa19=Mを

比 較,交

換

 

ICAFIIEGRONOROMPSSNNT

 i=19 

a11=Nとa15=Mを

比 較,交

換

 

ICAFIIEGROMORONPSSNNT

 i=19 a7=Eとa11=Mを  i=20 a16=Pとa20=Nを  i=20 a12=0とa16=Nを  i=20 a8=Gとa12=Nを  i=21  h =1   h=1の

a17=Sとa21=Tを

比較

 

比 較,交

換

比 較,交

換

比較 比較

ICAFIIEGROMORONPSSNNT

  ICAFIIEGROMORONNSSNPT   ICAFIIEGROMNRONOSSNPT  

ICAFIIEGROMNRONOSSNPT

  ICAFIIEGROMNRONOSSNPT

と き は 単 純 挿 入 ソ ー トを 行 う こ と に な る  ACEFGIIIMNNNOOOPRRSST

  5.1.6 

クイ ックソー ト

  ク イ ッ ク ソ ー ト(quick  sort)は,ピ aNをa1,…,akはv以 次 に,a1,…,akとak+1,…,aNの を 繰 り返 し,分

ボ ッ ト(軸 の 要 素)vを

下,ak+1,…,aNはv以

選 ん で,a1,a2,…,

上 と な る よ う に 分 割 す る.

そ れ ぞ れ を,同

じ よ う に 分 割 す る.こ

割 し た も の が １つ の 要 素 か ら な る ま で 続 け て い き,全

さ れ る よ う に す る.こ

の よ う に,全

全 体 を 処 理 す る 方 法 は,分

体が整 列

体 を 小 さ い 部 分 に 分 け て 処 理 を し,後

割 統 治 法(divide-and-conqure)と

れ

か ら

よ ば れ る.

  ピ ボ ッ トを い つ も分 割 の 一 番 右 端 の 要 素 に な る よ う に と っ た と き の,ク

イ ッ

ク ソ ー トの ア ル ゴ リ ズ ム は 次 の よ う に な る.

ア ル ゴ リ ズ ム5.5:ク

イ ックソー ト

入 力:デ

ー タ の個 数 Ｎ

と デ ー タa1,a2,…,aN

出 力:小

さ い 順 に 並 ん で い るal,a2,…,aN

ス テ ッ プ:   (１)a0←(a1,a2,…,aNの

中 の ど れ よ り も 大 き く な い も の) 

  (２)以 下 の ス テ ッ プ(３)をquicksort(l,r)と

{番 兵 キ ー}

名 付 け て,

 quickosrt(1,N)  

を実 行 す る

 

言 い 換 え る と,〓 ←1,r←Nと

  (３)r＞〓

の 間,次

し て,ス

テ ッ プ(３)を

を行 う

 v←ar  i←l  

j←r-1

 

次 を繰 り返 す

 

次 を繰 り返 す

 

i←i+1

 

ai〓vと

     aj〓vと

な っ た ら こ の繰 り返 し をぬ け る

次 を 繰 り返 す j←-1 な っ た ら この 繰 り返 しを ぬ け る

実行 す る

 

t←ai

 

ai←aj  aj←t

 

j〓iと

な っ た ら こ の 繰 り返 し を ぬ け る

 aj←ai  

ai←ar

 

ar←t

 

quicksort(〓,i-1)を

実 行す る

 quicksort(i+1,r)を (４)a1,a2,…,aNを

実 行 す る  出力

  こ の ア ル ゴ リ ズ ム は,ス プ(３)を

テ ッ プ(３)の

行 う よ う に な っ て い る.こ

  比 較 の 回 数,交

中 で,l,ｒ

れ を 再 帰(recursion)と

ク イ ッ ク ソ ー トで は,最

悪 の と きO(n2)回

O(NlogN)回

の 比 較 を 行 う.ま

均O(NlogN)回

い う.

"INFORMATION"と

た,平

い うN=11文

の 比 較 を 行 い,平

均

の 交 換 を 行 う, 

□

字 を ク イ ッ ク ソ ー トで ア ル フ ァ

ベ ッ ト川頁に ソ ー ト し て み よ う .  a0←A   AINFORMATION   quicksort(1,11) v←N  i=2 j=9 a2=Nとa9=Iの

交換  

A IIFORMATNON

 i=4 

j=7 a4=Oとa7=Aの

交換 

A IIFARMOTNON

 i=5 

j=6 a5=Rとa6=Mの

交換 

A IIFAMROTNON

 i=6 

j=5 a5=Mとa6=Rの

交換 

A IIFARMOTNON

   a6=Nよ

a5←a6,a6←v,a11←a5 

A IIFAMNOTNOR

り左 側 は Ｎ 以 下,右 側 は Ｎ 以 上 と分 け られ る

  quicksort(1,5) v←M  i=5

じス テ ッ

換 の 回 数 に つ い て 次 の こ と が 成 り 立 つ.

性 質5.5 

例5.6 

の 値 を 変 え て,同

j=4 a5=Mとa4=Aの

 a4←a5,a5←v,a5←a5 

交換

  A IIFMA

N 0TNOR

A IIFAM

N OTNOR

 a5=Mよ

り左 側 は Ｍ 以 下,右 側 は Ｍ 以上 と分 け られ る

  quicksort(1,4)   i=1 

v←A

j=0 a1=Iとa0=Aの

  I AIFAM

N OTNOR

 a0←a1,a1←v,a4←a1 A AIFIM  a1=Aよ り左 側 は Ａ 以 下,右 側 は Ａ 以 上 と分 け られ る

交換

N OTNOR

  quicksort(1,0) 

N OTNOR

何 も しな い

 A AIFIM

  qwicksort(2,4) v←I  i=2 

j=3 a2=Iとa3=Fの

交換

 i=3 

j=2 a3=Iとa2=Fの

交換  

  A A FII MNOTNOR A A IFI MNOTNOR

 a2←a3,a3←v,a4←a3 

A A FII MNOTNOR

  quicksort(2,2) 

何 も しない

 

  quicksort(4,4) 

何 も しな い

  A A FII M N OTNOR

  こ の あ とquicksort(7,11)を さ れ,全

体 が,左

A A FII M N OTNOR

同 じ よ う に 行 い,OTNORがNOORTと

整列

端 の 番 兵 キ ー Ａ を 除 い て,

 

AFIIIVINNOORT

と整 列 さ れ,こ

れ を 出 力 す る.

 

5.2 

  デ ー タa1,…,aNの

サ ー チの ア ル ゴ リズム

中 にｘ

が あ る か な い か を探 す ア ル ゴ リズ ム を サ ー チ

(seach)ま

た は 探 索 の ア ル ゴ リ ズ ム と い う.

  5.2.1 

逐 次探索法

  次 の よ う な,力

ま か せ の ア ル ゴ リ ズ ム を 逐 次 探 索 法 と い う.

ア ル ゴ リ ズ ム5.6:逐 入 力:デ

次探索法

ー タの 個 数 Ｎ

と デ ー タa1,a2,…,aN

探 す べ き 値ｘ 出 力:ｘ

と等 し い デ ー タ の 添 字l,つ た だ し,l=N+1の

と き は,a1,…,aNの

在 しな い こ と を意 味 す る ス テ ッ プ:

ま りx=alと

な るl． 中 にｘ

と等 しい もの は存

 (１)aN+1←x 

{サ ー チ が 必 ず 成 功 し て 終 了 す る よ う に 番 兵 キ ー を お く}

(２)i←0  (３)次

を 繰 り返 す

 i←i+1  ai=xが

成 り立 っ た ら,こ

の 繰 り返 し を ぬ け る

 (4)l←i  (５)lを

出力

  こ の ア ル ゴ リズ ムで は,１ つ見 つ か れ ば,も

うそ れ 以 上 の探 索 は行 わ ない が,

さ ら に,探 索 を続 け る よ うに す る こ と も容 易 に で きる.た と えば,ス テ ップ(２) のi←1の

代 わ りに

 i←l とす れ ば よい.   この 逐 次 探 索 ア ル ゴ リズ ム で は,最 悪 の と き,全 て の デ ー タ との比 較 を行 う こ と に な る か ら,Ｎ

回 の比 較 を行 う.ど の デ ー タ も 同 じ程 度 に比 較 され る とす

れ ば， 比 較 す る 回数 は，

で あ る.

  5.2.2 

バ イ ナ リーサ ー チ

  た と え ば,国

語 辞 典 で あ る こ と ば を 探 す と き は,ま

ペ ー ジ を 開 い て,探

し て い る こ と ば が そ の ペ ー ジ よ り も っ と前 に あ る な ら,前

半 の 真 ん 中 あ た り を 開 き,探 れ ば,そ

ず 適 当 に 真 ん 中 あ た りの

して い る こ とば が そ の ペ ー ジ よ りも っ と あ とに あ

の 後 半 の 半 分 あ た り を 開 い て,と

繰 り 返 し て い け ば よ い.

  辞 書 の よ う に,デ

ー タ が ソ ー ト さ れ て い る と き は,こ

リ ー サ ー チ(binary

search)ま

の 方 法 に よ る,バ

た は 二 分 探 索 法 と よ ば れ る も の が あ る.

イナ

ア ル ゴ リ ズ ム5.7:バ 入 力:デ

イ ナ リー サ ー チ

ー タの 個 数 Ｎ

と ソ ー ト さ れ た デ ー タa1〓a2〓

…〓aN

探 す べ き 値ｘ 出 力:存

在 す れ ば そ の デ ー タ の 添 え 字ｈ

を,存

在 し な け れ ばN+1

ス ア ツ プ:   (１)l←1  r←N   (２)次

を 繰 り返 す

  h←［l+r/2］  

も しx＜ahな

ら ば,次

を行 う

も しx＞ahな

ら ば,次

を行 う

 r←h-1    l←h+1  l＜rま

た はah=xな

  (３)x=ahな

ら ば,次

ら ば こ の 繰 り返 し を ぬ け る

を行 う

 

ｈ を 出 力 し て,終

了 する

 

そ う で な け れ ば,次

を行 う

 

h←N+1

 

ｈ を 出 力 し て,終

  比 較"l＞rま

性 質5.6 

た はah=x"を

ま と め て １単 位 と して 次 が 成 り立 つ.

バ イ ナ リ ー サ ー チ で,比

証 明   ス テ ッ プ(２)で,探 の で,多

了す る

く と も 「log2N］

較 の 回 数 は,log2N+1回

す べ きデ ー タの個 数 は い つ も半 分 ず つ に な っ て い く 回 の 比 較 で ア ル ゴ リズ ム は 終 了 す る.た

ｘ以 上 の 最 小 の 整 数 を 表 す. 

例5.7 a1=2,a2=4,…,a100=200と

以下 である

だ し,「ｘ

は □

い うai=2×iと

なっているデー

タ で,70を

バ イ ナ リ ー サ ー チ で 探 して み よ う.次

較 で,70が35番

目 に あ る こ と が わ か る.逐

の 表5.1の

よ う に,５

次 探 索 法 で は,35回

回の比

の 比 較 を しな

け れ ば な ら な い.

表5.1

  同 じ デ ー タ で210を

探 し て み よ う.h=100の

と き,a100＜210と

な る の で,

 l ←h+1=101

を 行 う と,l＞r=100と

な り,

  h←N+1=101 と し て ｈ を 返 す.し

た が っ て,210は

こ の デ ー タ の 中 に な い こ と が わ か る.バ

イ ナ リ ー サ ー チ で は ７ 回 の 比 較 で こ の 答 を 得 る が,逐 を 行 う こ と に な る.

表5.2

次 探 索 法 で は100回

比 較

  5.3 

文 字 列 照 合 の ア ル ゴ リズ ム

  文 章 の 中 か ら あ る 文 字 列 を 探 し出 す と い う こ と は よ くあ る こ と で あ る.こ で は,テ

キ ス ト の 中 か ら あ る 文 字 列 を探 し 出 す,文

matching)の

 

ア ル ゴ リ ズ ム を 考 え よ う.た

Computers

are gaining

more

and

と い う テ キ ス ト Ｔ の 中 に,P=areと

  5.3.1 

字 列 照 合(string

こ

pattern

と え ば,

more

importance

in all areas.

い うパ タ ー ン は ２ 回 現 れ る .

素朴 な方法

  次 の ア ル ゴ リ ズ ム は す ぐ に 考 え つ く も の で あ る.

ア ル ゴ リ ズ ム5.8:素 入 力:長

朴 な 文 字 列 探 索 の ア ル ゴ リ ズ ム(力

ま か せ の 方 法)

 

さ Ｎ の テ キ ス トT=t1t2…tNと, 長 さ Ｍ

出 力:存

の パ タ ー ンP=p1p2…pM

在 す れ ば,パ

タ ー ン の 始 ま る テ キ ス トで の 位 置ｌ

つ ま り,tl,tl+1,…tl+M

-1に

パ タ ー ンが 現 れ る

存 在 し な け れ ば,N+1 N+1文

字 目 か ら パ タ ー ンが あ る と い う こ と は あ り え な い の で,こ

きテ キ ス ト Ｔ の 中 に パ ター ン Ｐ は存 在 しな い こ とを 意 味 す る ス テ ッ プ:   (１)i←1  j←1   (２)次

を繰 り返 す

 

ti=Pjな

ら ば,次

を行 う

ら ば,次

を行 う

 i←i+1    ti≠Pjな  i←i-j+2

j←j+1

の と

 

j←1

 i＞Nま

た はj＞Mに

 (３)j＞Mな

らば,次

 ｌ

←i-(M-1)

 ｌ

を出 力

 i＞Nな  ｉ

例5.8 

らば,次

な っ た ら,こ の 繰 り返 し をぬ け る

を行 う

を行 う

を出 力

テ キ ス トT=abcacbbacbcacabcbaと

る.N=18,M=3で

す

実 行 す る と,次

の 表5.3の

ようにな

ま り,

 ●i=1,j=1の   t1とp1の  

タ ー ンP=acaと

あ る.

  素 朴 な 文 字 列 探 索 の ア ル ゴ リ ズ ム5.8を る.つ

し,パ

t1=p1な

行 は, 照 合 を し, の で,i←2,j←2と

  ●i=2,j=2の

行 は,

 

t2とp2の

照 合 を し,

 

t2≠p2な

の で,i←2,j←1と

  ●i=2,j=1の

行 で は,

 

t2とp1の

照 合 を し,

 

t2≠p1な

の で,i←3,j←1と

  ●i=3,j=1の   ●i=12,j=1の  

t12とp1の

 

t12=a=p1な

  ●i=13,j=2の  

t13とp2の

 

t13=c=p2な

  ●i=14,j=3の

し て,i=2,j=2の

行へ進 む

し て,i=2,j=1の

行 へ進 む

し て,i=3,j=1の

行 へ進 む

行 以 下 の 照 合 を 行 う. 行 で, 照 合 を し, の で,i←13,j←2と

す る

行 で, 照 合 を し, の で,i←14,j←3と 行 で,

す る

 

t14とp3の

 

t14=a=p3な

照 合 を し, の で,i←15,j←4と

す る

こ こ で,

  j=4＞M=3 と な る の で,

 l←i-(M-1)=14-2=12 と し て,lを

出 力 す る.

  こ れ に よ り,テ

キ ス トのl=12番

目の 文 字 か らパ タ ー ンが 現 れ る こ とが わ

か る.

例5.9  M=3で

テ キ ス ト をT=00000と あ る.

し,パ

タ ー ン をP=001と

す る.N=5,

  素 朴 な 文 字 列 探 索 の ア ル ゴ リ ズ ム5.8を と き は,必

実 行 す る と,次 の 図 の よ う に な る.こ の

ず パ タ ー ン の 最 後 の 文 字p3=1ま

の と き,t5=0とp3=1の j←M=1を

で 照 合 が 行 わ れ る.i=5,j=3,

照 合 を し て,t5≠p3な

実 行 し,t4=0とp1=0の

i←i+1=5,j←j+1=2と

の で,i←i-j+2=4 照 合 を 行 い,成

し,t5=0とp2=0の

る の で,i←i+1=6,j←j+1=2と

,

功 す る の で,

照 合 を 行 い,成

す る.こ

功 す

こ で,

 i＞N と な る の で,こ

の と き のｉ,す

  こ れ に よ り,テ

な わ ち,６

を 返 す.

キ ス トの 中 に パ タ ー ン が 現 れ な い こ と が わ か る.

性 質5.7  素 朴 な文 字 列 探 索 の ア ル ゴ リズ ム5.8で も,最 悪 の場 合 約M(N-M+1)回   テ キ ス トの 長 さＮ

は,探 索 が 成 功 す る と きで

の比 較 を行 う.

が パ ター ン の 長 さ Ｍ

よ り十 分 大 きい と き は,O(MN)

回 の 比 較 を行 う.

証 明   た とえ ば,テ キ ス トの最 後 の１ 文 字 だ け が１ で,そ れ 以 外 は す べ て ０ と す る.パ

ター ンは最 後 の１ 文 字 だ けが１ で それ 以 外 は す べ て ０ とす る.こ の と

き,テ キ ス トのtl,…,tN-M+1の

そ れ ぞ れ を先 頭 の 文 字 と して,必

ず つ 比 較 を行 い,最 後 に 成 功 す る.し た が って,全 体 で は,M(N-M+1)回

ず Ｍ 回

比 較 す る.   も し,Ｎ

が Ｍ

M+1)〓MNと

  5.3.2 

よ り 十 分 大 き け れ ば,N-M+1〓Nな

の で,M(N-

考 え ら れ こ と か ら,比

あ る.

較 回 数 はO(MN)で

ボ イ ヤ ー―ム ー ア の ア ル ゴ リ ズ ム

  素 朴 な 文 字 列 探 索 の ア ル ゴ リ ズ ム の 例 を み て,た abcacbbacbcacabcbaのt1とp1か

と え ば,テ

ら の 照 合 に 失 敗 し た あ と,ま

キ ス トの 文 字 の 照 合 を 始 め る の に,t2とt3はp1と ス キ ッ プ し てt4か   D.E.ク

ヌ ー ス,V.R．

は 異 な る の で,そ

プ ラ ッ トの ２ 人 と,こ

っ と 進 ん で,パ

テ

れ らを

キ ス トに は よ ら ず,パ

の ２ 人 と は 独 立 に,J.H．

タ ー ン のp1,…,pkま

と き 照 合 が 失 敗 し た と き,次

お い て,無

た,p1と

ら 始 め て も よ い の で は な い か と 考 え た 人 も い る だ ろ う.

リ ス と い う 人 は,も pk+1の

キ ス トT=

モ

で は 照 合 が 成 功 し,

の 照 合 は ど こ か ら始 め れ ば よ い か は,テ

タ ー ン の み に よ り 決 ま る の で,あ

らか じめ これ を求 め て

駄 な 照 合 を 行 わ ず に 効 率 よ く照 合 を 行 う と い う ア ル ゴ リ ズ ム を 考 え,

そ れ が 素 朴 な 文 字 列 探 索 の ア ル ゴ リ ズ ム よ り ず っ と 速 い こ と を 示 し た.   こ れ と は,独

立 に,R.S．

ボ イ ヤ ー とJ.S．

で は あ る が 発 想 が 異 な る 方 法 を 考 え た.彼 の 文 字 か ら で は な く,最 よ う に,照

ム ー ア は,同

じよ う な ア イ デ ィア

ら の 方 法 は,照

合 を パ ター ンの 最 初

後 の 文 字 か ら 始 め,ク

ヌ ー ス 一モ リ ス ープ ラ ッ トと 同 じ

合 が 失 敗 し た と き に 次 の 照 合 を ど こ か ら始 め る か を あ ら か じめ 求 め

て お く方 法 で あ る.   ク ヌ ー ス ーモ リス ープ ラ ッ トの 方 法 も ボ イ ヤ ー― ム ー ア の 方 法 も ど ち ら もO(M+ N)回

の 照 合 を 必 要 と す る ア ル ゴ リズ ム で あ る が,実

用 的 に は,ボ

イ ヤ ー―ム ー

ア の 方 法 が 優 れ て い る と さ れ て い る.   ボ イ ヤ ー― ム ー ア の 方 法 を 説 明 し よ う.   例 を 考 え な が ら説 明 し よ う.テ トの 小 文 字ａ,ｂ,…,ｙ,ｚ

キ ス トと パ タ ー ン に 現 れ る 文 字 は ア ル フ ァベ ッ

と 空 白 とす る.

  テ キ ス ト Ｔ をwahahewahahhaWahahaと る.テ

キ ス トの 長 さ Ｎ は19,パ

  テ キ ス ト中 の 文 字tiと 字p1=Wを

し,パ

タ ー ンの 長 さ Ｍ

パ タ ー ン 中 の 文 字pjの

テ キ ス トの 最 初 に あ わ せ,照

タ ー ン Ｐ をwahahaと

す

は ６で あ る.

照 合 を 行 う.パ

合 は,tM=t6=eとpM=p6=a

タ ー ン最 初 の 文

と か ら始 め る.つ の で,こ

ま り,こ の と き,i=6,j=6で

れ 以 上p1を

さ ら に,ｅ

とａ と は 一 致 し な い

テ キ ス トの 最 初 に あ わ せ た ま ま 照 合 を 続 け る 必 要 は な い.

は パ タ ー ン 中 に 一 度 も現 れ な い の で,こ

ね て も 無 駄 で あ る.し ら,テ

あ る.ｅ

た が っ て,パ

れ 含 む 部 分 とパ タ ー ン を重

タ ー ン中 に現 れ な い 文 字 との 照 合 が あ っ た

キ ス ト中 の そ の 次 の 文 字 にp1を

あ わ せ て,照

合 を 再 開 す れ ば よ い.つ

ま り,

 i←i+M   j←M と し て,照

合 を 再 開 す る.

  つ ま り,i=12,j=6と 異 な る か ら,パ

し た が っ て,こ

照 合 を 行 う.こ

タ ー ン を 右 へ ず ら す の だ が,t12=hは

個 所 に あ る の で,こ 近 いp5をt12に

し て,t12=hとp6=aの

パ タ ー ン 中p3,p5の

れ ら と の 照 合 を 見 落 と さ な い た め に は,パ

の と き は,

i←i+1=13 j←M=6

i←i-1=12

照 合 を 行 う.こ

２

ター ン の 右 端 に

あ わ せ る 必 要 が あ る.

と し て,t13=aとp6=aの

れ らは

れ ら は 一 致 す る の で,

 j←j-1=5 と し て,t12=hとp5=hと

の 照 合 を し,一

致 す る の で,再

び,

 i←i-1=11   j←j-

1=4

と し て,tl1=hとp4=aと

の 照 合 を す る.こ

は パ タ ー ン 中 に 存 在 す る 文 字 で あ り,こ い の で,パ

れ ら は 一 致 し な い が,tl1=h

の 照 合 位 置 の す ぐ左 に あ る か も しれ な

タ ー ン を 右 へ１ だ け ず ら し て,つ

ま り,

 i←i+M-j+1=14   j←M=6 と し て,ま

た,パ

ター ンの 右 端 か ら照 合 を始 め る。

し た が っ て,i=14,j=6と は 異 な る か ら,パ あ る の で,パ

し て,t14=wとp6=aの

タ ー ン を 右 へ ず らす の だ が,t13=wは

照 合 を 行 う． こ れ ら パ タ ー ン 中 にp1に

タ ー ン を 右 へ ５ず ら す.

す な わ ち,

  i←i+5=19   j←M=6 t19=aとp6=aの

照 合 か ら,順

にｉ,ｊ

を １ず つ 減 ら して,照

合 が,i=14,

j=1のt14=wとp1=wま

で 全 て 成 功 す る の で,

  i←i-1=13  l←i+1=14   j←i-1=0 と し て,ｌ,ｊ

を 出 力 す れ ば,j=0の

と き は,テ

キ ス トのtlか

ら始 ま る部 分

が パ タ ー ン と 一 致 す る こ と が わ か る.

  照 合 が 失 敗 した と き,そ へ ず らす か は ,パ

の と き の テ キ ス トの 文 字 がｘ で あ れ ば,ど

タ ー ン だ け に 依 存 し,テ

キ ス トに 依 存 し な い.ま

れだけ右 た次 の よ う

に す れ ば ず ら す 数 が 求 ま る こ と は 明 ら か で あ ろ う.   た だ し,

  index(x)は

ア ル フ ァベ ッ トｘ が,小

と な る も の と す る.ａ,…,ｚ 2,…,index(z)=26で

入 力:テ   出 力:照

を 考 え て い る と き は,index(a)=1,index(b)=

あ る.便

ア ル ゴ リ ズ ム5.9:照

白 のindexは

こ で は,ａ,…,ｚ

と空 白)

の パ タ ー ンP=p1p2…pM

合 が 失 敗 し た と き の テ キ ス トの 文 字 がｘ

ス テ ッ プ:   (１)k←0   (２)k〓26の

０ と す る.

合 が 失 敗 した と きの パ タ ー ンの 移 動 文 字 数

数skip(index(x))

 

宜 上,空

キ ス トに 現 れ る 文 字 全 て(こ

長 さ Ｍ

さ い 方 か らｋ 番 目 の と き,index(x)=k

間,次

skip(k)←M

を行 う

の と きのパ ター ン の移 動 文 字

 

k←k+1

 (３)j←1  (４)j〓Mの  

間,次

を行 う

skip(index(pj))←M-j  

k←k+1

  パ タ ー ン がwahahaの

と き,

  ●skip(index(a))=skip(index(p6))=6-6=0   ●skip(index(w))=skip(index(p1))=6-1=5   ●skip(index(h))=skip(index(p5))=6-5=1   ●ａ,ｗ,ｈ

以 外 のｘ

に 対 し て,skip(index(x))=M=6

で あ る.   ま た,実

際には

  ●M-j+1＞skip(index(ti))の

ときは

 i←i+M-j+1  

j←M

 

と して

  ●M-j+1〓skip(indｅx(ti))の  

i←i+skip(index(ti))

 

j←M

 

と して

と きは

照 合 を 再 開 す る.   さ ら に 次 の よ う に し て,照

合 の 回 数 を 減 ら す こ と が で き る.

  上 の 例 で,

  t13=aとp6=aの

照 合

  t12=hとp5=hの

照合

  t11=hとp4=aの

照合

を し て,tl1=h≠p4=aな

の で,

  i←i+M-j+1   j←M と し て,パ t12=hと

タ ー ン を 右 へ ず ら し た が,こ

こ ま で に ,テ

い う こ と は わ か っ て い る の だ か ら ,パ

外 で,…ha…

と な っ て い る と こ ろ を 探 し,そ

る と こ ろ ま で,パ   さ ら に,わ

キ ス トで は,t13=a,

タ ー ンwahahaの

中 でp5p6以

う な るp3p4とt12t13と

が重 な

タ ー ン を 右 へ ず ら して も よ い こ と に な る .

か っ て い る こ と は そ れ だ け で は な く,t11≠p2=aで

考 え に 入 れ れ ば,パ

あ るこ とも

タ ー ン を 右 へ ６文 字 ず ら し て

 i←i+(M-j)+6=16  j←M と し て よ い こ と も わ か る.す

な わ ち,次

の 図 の よ う に ,照

合 し て,パ

タ ー ンが

テ キ ス ト中 に 見 つ か る こ と に な る.

  この例 で は,下 線 の つ い た11文 見 つ か る と きは,必

字 を照 合 す る こ とで,パ

ず 最 後 にM=6回

タ ー ンが 見 つ か る.

の 照 合 を 行 うの で,本

質 的 に は ６回 の

照 合 で パ ター ンが 見 つ か る こ とに な る.   パ タ ー ン のpM,PM-1,…,pj+1ま と き,パ

で の 照 合 に 成 功 し,pjで

タ ー ン を 右 へ い く つ ず ら せ ば よ い か は ,パ

ス ト に は 依 存 し な い か ら,右

へ ず ら す 数next(j)は

求 め て お く こ と が で き る.そ

し て,そ

j=1,2,3,…,M-1に

  (１)k＜jで

あ り,か

の よ う なｋ つ,

キ

パ タ ー ン か ら あ ら か じめ

れ は 次 の よ う に し て 求 ま る .す

対 し て,next(j)は

最 小 の 正 の 整 数 か,そ

照 合 に 失 敗 した

タ ー ン に の み 依 存 し,テ

次 の(１),(２),(３)のｋ

が存 在 しな け れ ば Ｍ

で あ る.

な わ ち, の う ちの

pM=pM-k

pj+1=pj-k+1 pj≠pj-k

 な るｋ (２)k=jで,か

つ,

pM=pM-k(=PM-j)

pj+1=p1(=pj-k+1)  

な るｋ

(3)k＞jで,か

つ,

pM=pM-k

pk+1=p1

 

な るｋ

  ボ イ ヤ ー―ム ー ア の 方 法 は,テ

キ ス トの 文 字tiと

の 不 成 功 が 生 じた と き,skip(index(ti))とnext(j)の

パ タ ー ン の 文 字pjで 大 き い ほ う だ け,パ

ン を 右 へ ず ら して,パ

タ ー ン の 右 端 か ら 照 合 を 繰 り 返 す 方 法 で あ る.

  以 上 を ま と め て,ア

ル ゴ リ ズ ム と し て 書 き 出 す と次 の よ う に な る.

ア ル ゴ リ ズ ム5.10:ボ

イ ヤ ー― ム ー ア の 文 字 列 探 索 の ア ル ゴ リ ズ ム

入 力:長   出 力:存  

さＮ

の テ キ ス トT=t1t2…tN,

長 さM(〓N)の 在 す れ ば,パ

パ タ ー ンP=p1p2…pM タ ー ン の 始 ま る テ キ ス トで の 位 置ｌ

存 在 し な け れ ば,N+1

ス テ ッ プ:

照 合 ター

 (１)全

て の 文 字 に つ い て,skip(index(x))を

 (２)1〓j〓M-1に

対 し て,next(j)を

求 めてお く 求 めてお く

 (３)i←M  

j←M

 (４)i＞Nと

な る かj＜1と

 ti=pjな

な る ま で,次

ら ば,次

を行 う

ら ば,次

を行 う

を 繰 り返 す

 i←i-1  

j←j-1

 

ti≠pjな

 

M-j+1＞skip(index(ti))な

ら ば,次

を行 う

ら ば,次

を行 う

 i←max(i+M-j+1,i+M-j+next(j))  

M-j+1〓skip(index(ti))な

 i←max(i+skip(index(ti)),i+M-j+next(j))  

j←M

  (５)j＜1な

ら ば,次

を行 う

 l←i-(M-1)  lを  i＞Nな  ｉ

出力 ら ば,次 を出 力

を行 う

 

参 考 文 献

  本 書 を 書 く た め に 参 考 に し た 文 献 を 挙 げ て お こ う.   本 書 の 第 １ 章 か ら 第 ４ 章 ま で を も っ と 深 く勉 強 し た い の な ら,[１］ が と て も た め に な る.ま

た,[１］

よ り 手 軽 に 読 め る 本 と し て,[２

］や[３ ］が あ る.本

書 を 書 くの に も非

常 に 参 考 に な っ た 本 で あ る.   第 ４ 章 で は,[4］

∼[７]を 参 考 に し た が,ど

  第 ５ 章 は,[８]∼[11]な   [12]∼[16]は

  [１]Joachim

れ も 自 分 で 勉 強 す る の に も よ い 本 で あ る.

ど を 参 考 に し て 頂 き た い.

第 ２ 章 の ア ル ゴ リ ズ ム と そ の 応 用 に 関 連 す る も の で あ る.

von

zur

Gathen

bra,Cambridge

and

University

Jurgen

Gerhard著:Modern

Press,1999.(山

本

Computer

Alge‐

慎 ほ か に よ る邦 訳 が 朝 倉 書 店

よ り刊 行 予 定)   [２]伊

理 正 夫,藤

 [３]伊

野 和 建 著:数

理 正 夫 ほ か 著:情

 [４]James

M.Ortega著:Numerical

 [５］Rainer   [６]山

Kress著:Numerical

本 哲 朗 著:数

  [７]森

値 計 算 の 常 識,共

報 処 理 技 術 の 数 学,共

Analysis,A

Course,SIAM,1990.

値 解 析 入 門,サ

181,1998.

イ エ ン ス 社,1976. 値 計 算 プ ロ グ ラ ミ ン グ,岩

波 書 店,1986.

Sedgewick著:Algorithms,Second．Edition,Addison‐Wesley．Pub‐

lishing   [９]R.セ

Second

Analysis,Springer,GTM 

正 武 著:FORTRAN77数

  [８]Robert

立 出 版,1985. 立 出 版,1996.

Company,1988.

ジ ウ イ ツ ク 著,野

下 浩 平 ほ か 訳:ア

ル ゴ リ ズ ム,第

１ 巻,第

２ 巻,第

近 代 科 学 社,1990.   [10］

茨 木 俊 秀 著:Ｃ

  [11]野

崎 昭 弘 著:ア

  [12]吾

郷 孝 視 訳 編:素

に よ る ア ル ゴ リ ズ ム と デ ー タ 構 造,昭 ル ゴ リ ズ ム と 計 算 量,共 数 の 世 界―

立 出 版,1987.

そ の 探 索 と 発 見,共

  [13]辻

井 重 男 著:暗

号―

  [14]辻

井 重 男 著:暗

号 と 情 報 社 会,文

晃 堂,1999.

立 出 版,1995.

ポ ス トモ ダ ン の 情 報 セ キ ュ リ テ ィ,講 春 新 書,1999.

談 社,1996.

３ 巻,

  [15］

辻 井 重 男 編 著:暗

  [16］J.A.Buchmann著,林  ク 東 京,2001.

号 と 情 報 セ キ ュ リ テ ィ,昭 芳 樹 訳:暗

晃 堂,1989.

号 理 論 入 門,シ

ユ プ リ ン ガ ー ・フ ェ ア ラ ー

索

キー  122

■ ア行 IMSB 

引

基 数   15

65

ア ル ゴ リズ ム   1,3

奇 数 へ の四 捨 五 入  69

ア ン ダ ー フ ロ ー   67

既 約   105 既 約 優対 角   105

イ ン プ リ シ ッ ト MSB 

65

狭 義優 対 角  105 行 交換 を伴 う ガウ スの 消去 法   110

打 ち 切 り誤 差   74

切 り上 げ る  69 切 り捨 て る  69

SOR法

  117

エ ラ トス テ ネ ス の篩 い   49 LU分

近 似解  92 近似 値   74

解   113

偶 数へ の四 捨 五入   69 オ イ ラ ー の 関 数  52

クヌ ー ス−モ リスープ ラ ッ トの 方 法   145

大 き い Ｏ 記 法   11

組 立 除法   87

大 き い 方 へ 丸 め る  69

ク ラメ ルの 公式   103

オ ー バ ー フ ロ ー  66

係 数行 列   103 ■ 力行

桁揃 え  71

ガ ウ ス−ザ イ デ ル 法   116

けち 表現   65

ガ ウ ス の 消 去 法   106   行 交 換 を 伴 う―

語  21

ガ ウ ス の 単 純 消 去 法   107

公 式誤 差   74

拡 張 さ れ たユ ー ク リ ッ ドの ア ル ゴ リズ ム  43

合成 数   48

仮 数 部   62

後退 代 入 過程   108

カ ー マ イ ケ ル 数  53

合 同  51

可 約   105

誤差   74

完 全 ピ ボ ッ ト選 択 法   110

―の 限 界  74

緩 和 因 子   117 緩 和 係 数   117

■サ 行 最上 位 ビ ッ ト  22

シ ェル ソ ー ト  132

単 純 選択 ソ ー ト  122

時 間 計算 量   10

単純挿入ソー ト   126

字 下 げ  ７

単 精 度  28

四 捨 五 入  69

単 精 度実 数 型   62

指 数  62 指 数 部  62

小 さい 方へ の 四 捨 五 入  69

実 数 型  61

小 さい 方へ 丸 め る  69

10進 数   13

逐 次 過大 緩 和 法   117

10進 表現   14

逐 次 探索 法   137

16進 表現  16

注 釈 文  ７

縮小 写像   98

直 接 法  91

―の原 理  99 縮小 定数  99

デ ノー マ ル  64

条件 文  ７ 小 数 部分   62

■ ナ行

真 数  74

２進 数  14

真 の 解  92

２進表 現   14 ２進 浮動 小 数 点数   62

数値 的 ア ル ゴ リズ ム  122

２の補 数   21

数値 的 に解 く   92

２の補 数 表 現  22

ス ペ ク トル半径   118

二 分探 索 法   138 ニ ュー トン法  93

正 規化   64

ニ ュ ー トンーラ フ ソン法  93

正 規化 数   64 正規 表現   64 整 数型   61

■ ハ行 バ イア ス  63

生成 誤 差   74

バ イア ス表 現  63

正則   103 整列   122

倍 精度 浮 動 小 数点 数  67 バ イナ リー サ ー チ   138

線形 逆 補 間 法  98

８進表 現   15

前進(消 去)過 程   107

発 生誤 差   74 バ ブ ル ソー ト  130

相対 誤 差   74 ―の 限 界  74

反転  23

底   15

番 兵 キー  126

反復 法   91,115

素数   48 ソー ト   122

非 数値 的 ア ル ゴ リズ ム  122

■ タ行

非 正規 化 数  64 ビ ッ ト  21

代 入誤 差   74

ビ ッ トパ ター ン 21

代入文 ６ 多倍 長 数  28

フ イボナ ツチ 数  46

フ エ ルマ ー数  52

マ シ ン イプ シ ロ ン 76

フエ ルマ ー の小定 理   52

丸 め誤 差  74

フ ォン ・ミーゼ 法  98

丸 め る  68,69

符号   62 符号‐絶 対 値表 示  62

文字 列 照 合   141

ふ つ うの 四捨 五 入  69 浮動 小 数 点数  61

■ ヤ行

不動 点  98

ヤ コ ビ法   115

部 分 ピボ ッ ト選択 法   110 ベ ズ ー係 数  42 β 進 数  15 β 進 表現   14

優対 角   105 ユ ー ク リ ッ ドの アル ゴ リズ ム  38 ―の 長 さ  40 ユ ー ク リ ッ ドの互 助 法  38

変 数  ６ ■ ラ行 ボ イヤー―ムー アの 方 法   145 ホ ー ナー の 方法  87

離散 化 誤 差   74 リプ シ ツ ツ定 数  99

■ マ行

領域 計 算 量   10

リプ シ ツ ツの 条件  99 増 し分  133

著者 略歴 山 本

慎(や まもピ まこと)

1953年   東 京都 に生 まれ る 1982年   早稲 田 大学大 学院 理工学 研究科 博士課程 修了 現 在  中央大学 理工 学部教 授 理学 博士

シ リ ー ズ[数

学 の 世 界]２

情 報 の 数 理 2002年10月25日

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  初 版 第 １刷

著 者 山

本 

発行者 朝

倉

発 行所  株式

会社 

朝

慎 邦

倉

書

造

店

東 京 都 新 宿 区 新 小 川 町6‐29 郵 便 番 号 電 FAX 

〈検 印 省 略 〉 〓 2002〈

ISBN

03(3260)0180

http://www.asakura.co.jp

無 断 複 写 ・転 載 を 禁 ず 〉

4‐254‐11562‐8

  162‐8707

話  03(3260)0141

C3341

三美印刷 ・渡 辺 製本 Printed

in Japan

慶大 有澤 誠著 情報数学の世 界 １

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発

見

な記 号 や 数 式 の使 用 は 最 小 限 に と どめ,興 味 深 い 話 題 を満 載 して 数 学 ア レ ル ギー の解 消 を 目指 す

―離 散 数 学― A5判  132頁 本 体2700円

12761‐8 C3341 

慶大 有澤 誠著 情報数学の世 界 ２

パ ラ ドッ ク ス の 不 思 議 ―論 理 と集 合― A５ 判 128頁 本 体2500円

12762‐6 C3341 

ゼ ロ か ら わ か る 数 学 ―数 論 とそ の応 用― A5判  144頁  本体2500円

ゥ ラエ 著

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体系と歴史― A5判 

「πの探 求,そ

京大 畑  政 義 訳

魅

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B5判 

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数

208頁  本 体4600円

は じめ か らの 数 学 １

に

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い

B5判 

て

152頁 本 体2700円

前東工大  志 賀 浩 二  著 は じめ か らの 数 学 ２

式

に

つ

11 532‐6  C3341 

B5判 

い

て

200頁  本 体2900円

前束工大  志 賀 浩 二  著

数

II 533‐4  C3341 

に B5判 

で,人

れ は 宇 宙 の 探 検 だ 」古 代 か ら 現 代 ま

々 を魅 了 して きた 神秘 の 数 の世 界 を探 る。

〔内容〕π との 出 会 い／ πマ ニ ア／ 幾 何 の 時 代 ／ 解 析 の 時代 ／ 手 計 算 か ら コ ン ピ ュ ー タへ ／ πを 計 算 し よ う／ πは 超 越 的 か ／ πは乱 数 列 か／ 付 録 ／ 他 数 学 を も う一 度 初 め か ら学 ぶ と き"数"の 理 解 が 一 番 重要 で あ る,本 書 は 自然 数,整 数,分 数,小 数 さ らに は 実 数 ま で を述 べ,楽 し く読 み 進 む う ちに 十 分 深 い 理 解 が 得 られ る よ うに 配 慮 した数 学 再 生 の一 歩 とな る話 題 の書 。 【各 巻 本 文 二 色 刷 】

点 を示 す等式か ら,範 囲 を示す不 等式へ,そ して 関数 の世 界へ導 く「 式」 の世界 を展 開。 〔 内容〕文字 と式／ 二項定理／数学的帰納法／恒等 式 と方程式 ／ ２次 方程式／ 多項式 と方程式／連立方程 式／不 等式／数 列 と級数／式の世界か ら関数 の世 界へ '動き'を 表 す た め に は,関 数 が 必 要 と な っ た。関 数 の 導 入 か ら,さ ま ざ ま な関 数 の意 味 とつ な が りを

は じめ か ち の数 学 ３

関

論 理 か ら複 素 数 ま で 歴 史 を 踏 ま えて 考 え て い く。 〔内容 〕論 理 ／ 集 合:素 朴 集合 論 他 ／ 自然 数:自 然 数 をめ ぐるお 話 他 ／ 整数:整 数 論 入 門 他 ／ 有 理 数 ／ 代 数 系 ／ 実 数:濃 度 他 ／ 複 素 数:四 元 数 他 ／ 他

224頁  本 体3500円

前東工大  志 賀 浩 二  著

数

開鍵暗号

「数 」とは 何 だ ろ うか ？一 見 自明 な「数 」の 体 系 を,

数― J.‐P.ド

0,1,2,3,… と四 則 演 算 だ け を予 備 知 識 と して 数学 にお け る感性 を会得 させ る数 学入 門書。集 合 ・写 像 な ど は 丁 寧 に 説 明 して 使 え る道 具 とし て し ま う。 最 終 目 的 地 は イ ン ター ネ ッ ト向 き の暗 号 方 式 と して 最 も エ レガ ン トなRSA公

早大 足立恒 雄  著

11088‐X  C3041 

身 近 な興 味 深 い 例 を 多数 取 り上 げて 集 合 と論 理 を わ か りや す く解 説 し,さ ま ざ ま なパ ラ ド ッ クス の 世 界 へ 読 者 を 導 く。 〔内容 〕集 合 ／ 無 限 集 合 ／ 推 論 と証 明 ／ 論 理 と推 論 ／ 世 論 調 査 お よ び選 挙 の パ ラ ドッ クス／ 集 合 と確率 の パ ラ ドッ ク ス／ 他

理科大 戸 川 美 郎  著 シ リー ズ〈数 学 の 世 界 〉１

1156I‐X C3341 

種 々 の現 象 の 中 か らパ ター ン を発 見 す る過 程 を 重 視 し,数 式 に モ デ ル 化 し た も の の操 作 よ り も,パ ター ン の発 見 に 数 学 の 面 白 さ を見 い だす 。 抽 象 的

つ

い

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192頁  本 体3600円

解 説 。 〔内 容 〕式 と関 数 ／ グ ラ フ と関 数 ／ 実 数,変 数,関 数 ／ 連 続 関 数 ／ 指 数 関 数,対 数 関 数 ／ 微分 の 考 え／ 微分 の 計 算 ／ 積 分 の 考 え／ 積 分 と微分 理 工 系 の学 生 や 大 学 院 生 に は も ち ろん,技

理科大  鈴 木 増雄 ・中大 香 取 眞 理 ・東大 羽 田 野 直 道 ・ 物質材料研究機構  野々村禎彦訳

技術のための  数 学 ハ ン ド ブ ッ ク

術者 ・

研 究 者 と して 活 躍 して い る人 々 に も,数 学 の 重 要 事 項 を一 気 に学 び,ま た 研 究 中 に 必 要 に な っ た事 項 を手 っ取 り早 く知 るこ との で き る便 利 で役 に 立 つ ハ ン ドブ ッ ク。 〔内容 〕ベ ク トル解 析 とテ ン ソル 解析 ／ 常 微 分 方 程 式 ／ 行 列代 数 ／ フー リエ 級 数 と フ ー リエ 積 分 ／ 線 形 ベ ク トル 空 間 ／ 複 素 関 数 ／ 特 殊 関 数 ／ 変 分 法 ／ ラ プ ラ ス変 換 ／ 偏 微 分 方 程 式 ／

II090‐I C3041 

A5判 

570頁 本 体14000円

簡 単 な線 形 積 分 方程 式 ／ 群 論 ／ 数 値 的 方 法 ／ 確 率 論 入 門 ／(付 録)基 本 概 念／ 行 列 式 その 他  上 記 価格(税 別)は2002年

９月現 在