Ряды. Методические указания к лабораторным занятиям по математическому анализу для студентов 2 курса механико-математического факультета РГУ

Ìèíèñòåðñòâî îáðàçîâàíèÿ ÐÔ

ÐÎÑÒÎÂÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ

À.Â.Àáàíèí, Ò.È.Êîðøèêîâà, Ë.È.Êàëèíè÷åíêî, Ë.È.Ñïèíêî

ÐßÄÛ Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ê ëàáîðàòîðíûì çàíÿòèÿì ïî ìàòåìàòè÷åñêîìó àíàëèçó äëÿ ñòóäåíòîâ 2 êóðñà ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÐÃÓ

Ðîñòîâ-íà-Äîíó 2004 ã.

Äàííûå ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ïðåäíàçíà÷åíû äëÿ ñòóäåíòîâ 2 êóðñà ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÐÃÓ. Ñîäåðæàò íåîáõîäèìûé òåîðåòè÷åñêèé ìàòåðèàë è ïðèìåðû ïðàêòè÷åñêîãî õàðàêòåðà. Ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû ïðåïîäàâàòåëÿìè íà ëàáîðàòîðíûõ çàíÿòèÿõ. Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ïå÷àòàþòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ ðåøåíèåì êàôåäðû ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà ÐÃÓ, ïðîòîêîë  4 îò 2003 ãîäà.

1

×èñëîâûå ðÿäû è èõ ñõîäèìîñòü.

Ïóñòü çàäàíà ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {an }. Ñèìâîë ∞ P a1 + a2 + · · · + an + · · · (èëè êîðî÷å an ) íàçûâàåòñÿ ÷èñëîâûì ðÿäîì. n=1 Sn

Ñóììó n ïåðâûõ ÷ëåíîâ ðÿäà (n ∈ N) : = a1 + a2 + · · · + an , íàçûâàþò níîé ÷àñòè÷íîé ñóììîé ðÿäà. Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {Sn } ñõîäèòñÿ, òî ðÿä íàçûâàþò ñõîäÿùèìñÿ, à ÷èñëî S = lim Sn  åãî ñóììîé, ïðè ýòîì ïèøóò: ∞ P S= an .  ïðîòèâíîì ñëó÷àå ðÿä íàçûâàþò ðàñõîäÿùèìñÿ. n=1

1.0.1. Èñïîëüçóÿ îïðåäåëåíèå ñõîäÿùåãîñÿ (ðàñõîäÿùåãîñÿ) ðÿäà èçó÷èòå ñõîäèìîñòü ðÿäà:

(−1)n−1 1) , n−1 n=1 2 ∞ X

3)

∞ X

∞ X

1 , n=1 n(n + 1) 

6)



8)





n+1 n + 2  tg 9) − tg , n n + 1 n=1 11)

∞ X

(arcsin

n=1

13)

∞ X

 n=1

15)



∞ X

3 2n−1

∞ X



∞ X

√ √ ( n + 1 − n) ,

∞ X

1 , n=1 (3n − 2)(3n + 1) n−1

22 10) , 2n 1 − 2 n=1 ∞ X

1 1 − arcsin ) , 2n 2n−1

12)

(−1)n−1  + , 2· 3n−1

14)

2n − 1 , 2n n=1



n=1

1 7) ln 1 +  , n n=1 ∞ X



1 1  sin − sin  , 4) n+1 n n=1

(an − an−1 ) ,

∞ X



1 1  2) − , n 3n n=1 2

n=1

5)

∞ X

∞ X

√

√ √ n+2−2 n+1+ n ,

n=1



∞ X

ln(1 −

n=1

16)

∞ X

sin

n=1

1 ) , n2

1 3 . · cos 2n 2n

Èìåþòñÿ ðàçëè÷íûå ïðèçíàêè, ïîçâîëÿþùèå óñòàíàâëèâàòü ñõîäèìîñòü èëè ðàñõîäèìîñòü èçó÷àåìîãî ðÿäà. Îäíàêî ñëåäóåò ïîìíèòü, ÷òî èññëåäîâàíèå ðÿäà öåëåñîîáðàçíî íà÷èíàòü (åñëè ýòî íå î÷åíü òðóäíî) ñ ïðîâåðêè íåîáõîäèìîãî ïðèçíàêà ñõîäèìîñòè. Ïðèìåð 1.1. Èññëåäîâàòü ñõîäèìîñòü ðÿäà

k ∈ Z. 3

∞ P n=1

sin(αn), åñëè α 6= πk,

B Äîêàæåì, ÷òî îáùèé ÷ëåí ðÿäà sin αn 9 0 ïðè n → ∞. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè áû sin(αn) → 0, òî è sin α(n + 1) → 0 ïðè n → ∞. Íî sin α(n + 1) = cos α sin αn + sin α cos αn. Ïîýòîìó cos αn → 0 ïðè n → ∞, ÷åãî áûòü íå ìîæåò, ïîñêîëüêó sin2 αn + cos2 αn = 1. C 1.0.2. Ïîëüçóÿñü êðèòåðèåì Êîøè èëè íåîáõîäèìûì ïðèçíàêîì ñõîäèìîñòè ðÿäà, èññëåäîâàòü ñõîäèìîñòü ðÿäà: 1) 3)

∞ X

cos nx , 3n n=1 ∞ X

cos nx − cos(n + 1)x , n n=1 ∞ X

5)

1 , n(n + 1)

n=1 ∞ X

∞ X n=1

1.1

1+

cos an , 2 n=1 n ∞ X

v u 5 ∞ X u t 3n

1 +4 · arcsin 2 , 5n + 1 n +1

n3 + 1 1 8) · arcsin 2 , n +1 n=1 2n + 3 ∞ X

n − 1  7) , n=1 n + 1 9)

4)

n=1

n



sin n , n=1 n(n + 1)

6)

q

∞ X

2)

1 1 1 1 1 1 1 1 − + + − + ··· + + − + · · ·. 2 3 4 5 6 3n − 2 3n − 1 3n

Ñõîäèìîñòü ïîëîæèòåëüíûõ ðÿäîâ.

Ïðè èçó÷åíèè ïîëîæèòåëüíûõ ðÿäîâ èñïîëüçóþòñÿ ñëåäóþùèå íåðàâåíñòâà:

∞ P n=1

an , ãäå an ≥ 0, ∀n ∈ N, ÷àñòî

1) 1 < ln n < nα (α > 0), ∀n > n0 ; 2) an > nα , åñëè a > 1, α ∈ R, ∀n > n0 ; 3) en < n! < nn èëè, ÷òî òî æå ñàìîå, n < ln(n!) < n ln n. Ïîìèìî íåîáõîäèìîãî ïðèçíàêà ñõîäèìîñòè ïîëîæèòåëüíîãî ðÿäà, ÷àñòî èñïîëüçóþòñÿ ïðèçíàê Ìàêëîðåíà-Êîøè è ïðèçíàêè ñðàâíåíèÿ (ñì. [1], ñòð. 506-527; [2] ñòð. 262-266, ñòð. 281-285). 1.1.1. Èññëåäîâàòü ñõîäèìîñòü ñëåäóþùèõ ðÿäîâ: 1)

∞ X

1 , n=2 n ln n

2)

∞ X n=1

∞ X

1 3) , √ n ln2 n n=2

4)

4

∞ X

1 √ , n n

ln n 1 √ sin √ , n n+2 n=2

5 cos2 nπ 3 5) , 2 + (−1)n n n=1

6)

ln2 n 1 √ 7) sin , n n+1 n=1

sin2 n 8) , 2 n=1 n ln n

5 + 3(−1)n 9) , 2n n=1

10)

∞ X

∞ X

13)

∞ X

ln n + sin n 2 , 2 n=1 n − 2 ln n

12)

(3n + n5 ) √ , n e n=1

14)

∞ X

19)

21)

1 − cos √1n

n=1

4n + ln n

∞ X

1

ln n n=1 5 ∞ X

√

n=1

23)

,

18)

20)

√

n

,

22)

24)

1 n 25) tg , α 2n + 1 n=1 n 27)

26)

√1 n

n=1

31)

√ n

∞ X

arcsin √1n

n=2

nα − 1

∞ X

sin

,

1 (α ≥ 0), nα √1 n

∞ X

sin10 n·

2 −1 , n+1

∞ X

ln cos √1n

n=2

ln10 n

,

sin 2n+1 3n−1 , 28) 4 n=2 n ln n

√  2 cos n √ , 29) ln 1 + n n n=1 ∞ X

n15 + 1 √ , n + n5 2 n=1 ∞ X

∞ X

ln n· 2 √ , n3 + 1 + 3 n3 − 1 

∞ X

1 , 3n

n=1

∞ X

√ 3

n+1 , + 3 sin nπ ) 3

2n sin

n=1

arctg n √ , 3 n n=1

∞ X

∞ X

n2 (4

√n ) ln(cos ln n √ 16) , n + sin2 n n=1

10

∞ X

∞ X

∞ X

,

n+1− nα

arctg n , 2 n=1 n + ln n

n=1

sin n1 cos n1 , 15) α n=1 ln n + 5 ∞ X

∞ X

n=1

∞ X

17)

1 , p n=3 n ln n(ln ln n) ∞ X

∞ X

11)

∞ X

30)

√

∞ X n=1

ln n,

32)

n=2

∞ X



1 n ln 1 − cos α  , n

(n1/n − 1),

n=1

5



33)

∞ X

1 sin n

2

n=1

−1 , n ln n

∞ X

cos √1n − 1

n=2

lnα n

34)

.

×àñòî ïðèìåíåíèå ïðåäûäóùèõ ïðèçíàêîâ çàòðóäíèòåëüíî è áîëåå óäîáíî ïðèìåíÿòü ïðèçíàêè Êîøè è Äàëàìáåðà (ñì. [1], ñòð. 218-221, èëè [2], ñòð. 270-272). Îòìåòèì, ÷òî ïðèçíàê Êîøè "ñèëüíåå"ïðèçíàêà Äàëàìáåðà (îí ïðèìåíèì ê áîëåå øèðîêîìó êëàññó ðÿäîâ). Èìåííî, ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî åñ√ ëè ñóùåñòâóåò n→∞ lim (an+1 /an ) = q , òî ñóùåñòâóåò n→∞ lim n an = q . Îáîçíà÷èì

Kn =

√ n

an , Dn =

an+1 . an

Ïðèìåð 1.2. Èññëåäîâàòü ñõîäèìîñòü ðÿäà

∞ X

1 . n n n=1 (3 + (−1) )

B        

an = 

1 , åñëè n = 2k, 42k

=⇒ Kn = 

1 , åñëè n = 2k, 4

=⇒

1 , åñëè n = 2k − 1, , åñëè n = 2k − 1, 22k−1 2 lim Kn = 12 < 1 è ðÿä ñõîäèòñÿ ñîãëàñíî ïðèçíàêó Êîøè.  òî æå âðåìÿ ïðèçíàê Äàëàìáåðà íå ïîçâîëÿåò ñäåëàòü îïðåäåë¼ííîãî âûâîäà î ñõîäèìîñòè èçó÷àåìîãî ðÿäà, òàê êàê 1 D2k−1 = 2k+1 , D2k = 22k−1 , à çíà÷èò lim Dn = 0, lim Dn = +∞. C 2 1.1.2. Ñ ïîìîùüþ ïðèçíàêîâ Äàëàìáåðà è Êîøè èññëåäóéòå ñõîäèìîñòü ñëåäóþùèõ ðÿäîâ: ∞ n ∞ X X n! , 2) , 1) n n=1 (2n)! n=1 3      

1

             

2n n! 4) , n=1 (2n)! ∞ X

∞ X

n! , 3) n2 n=1 2 ∞ X



2n−1

n   5) n=1 3n + 1

,

6)

∞ X

n! , n n n=1

√ ( 2 + (−1)n )n 7) , n3 · 2n n=1

8)

3n n! 9) , n n=1 n

(2 + (−1)n )n 10) , 4n n=1

2 + (−1)n , 11) 4n n=1

12)

∞ X

∞ X

∞ X

(2n)!! , n n=1 n ∞ X

∞ X

6

∞ X

ln n , n n=2 3 + 1

13)

∞ X

n

n=1

3n + 2n , 5n + (−1)n

14)

sin n1 , n 3 n=1 ∞ X



∞ X



∞ X

n  16) sin5  n , e −1 n=1

∞ X

n! 17) n , n=2 ln n

2ln n 18) , n n=1 3 + 1

ln100 n 19) , n! n=1

√ ( 2 + 2)n 20) 1 n2 , n=1 (1 + n )

1 , 15) arcsin n 2 +n n=1

∞ X

∞ X

∞ X

2

∞ X

(2 − 1)2 22) , n n=1 2 − 1

sin n 21) , n n=1 4 (2 + sin nπ )n 4 , 23) 5n ln n n=2 ∞ X

∞ X

2ln n 25) (a > 0), n+1 a n=2 ∞ X n=1

√ n

∞ X

1 , arctg n

28)

∞ X

(2n + 1)!! , 1· 4· · · · · (3n + 1) n=1

arctg(n2 − n) 30) 3n + n n=1 √ ( 2)n − 1 32) , n n=2 ln n − 1 ∞ X

∞ X

1 3· 6· · · · · (3n) arcsin n , 31) n! 5 n=2 33)

n+1

∞ X

2· 5· · · · · (3n + 2) 29) , 2n · n! n=1

√ √ √ √ √ 3 5 ( 2 − 2)( 2 − 2) · · · ( 2 −

,

2 n −2 26) , n−1 3 n=1

∞ X

∞ X

2n−1



n   24) n=1 2n + 1

∞ X

27)

1 n2

∞ X

√

2n+1

nn 34) . n+1 n=1 n!(2, 7) ∞ X

2),

n=1

Ïðèâåä¼ì åù¼ îäèí ñïîñîá èññëåäîâàíèÿ ñõîäèìîñòè ÷èñëîâûõ ðÿäîâ, îñíîâàííûé íà ïðèìåíåíèè ôîðìóëû Òåéëîðà. Äëÿ òîãî, ÷òîáû èì ïîëüçîâàòüñÿ, ñëåäóåò âñïîìíèòü ðàçëîæåíèÿ ïî ôîðìóëå Òåéëîðà ñ îñòàòî÷íûì ÷ëåíîì â ôîðìå Ïåàíî ôóíêöèé ex , sin x, cos x, ln(1 + x) è (1 + x)α â îêðåñòíîñòè òî÷êè x = 0 (ñì. [1], ñòð. 192-195, èëè [3], ñòð. 251-254). ∞ X



2n

ln n  1 − Ïðèìåð 1.3. Èññëåäîâàòü ñõîäèìîñòü ðÿäà . n n=1 7

B Äàííûé ðÿä ïîëîæèòåëåí è 2n



ln n  an = 1 − n







ln n  = exp 2n ln 1 − . n

ln n

Òàê êàê lim = 0, òî ïî ôîðìóëå Òåéëîðà äëÿ ôóíêöèè ln(1 + x) ïîëó÷àåì n ïðè n → ∞ :

ln n  ln n 1 ln2 n ln2 n    ln 1 − =− − +o =⇒ n n 2 n2 n2 







ln2 n ln2 n    an = exp − 2 ln n − +o = n n2 





ln2 n ln2 n   1 − n + o n2 1 = 2 e =⇒ an ∼ 2 , n → ∞ n n ln2 n (çäåñü ìû âîñïîëüçîâàëèñü òåì, ÷òî lim = 0 è, òåì áîëåå, n   ln2 n   lim o = 0). Ñîãëàñíî ïðèçíàêó ñðàâíåíèÿ èñõîäíûé ðÿä ñõîäèòñÿ. C n2 



Ïðèìåð 1.4. Èññëåäîâàòü ñõîäèìîñòü ðÿäà

∞ X

√1 (e n

n=1

1 − 1 − sin √ ). n

B  äàííîì ïðèìåðå ñðàçó òðóäíî ñêàçàòü ÿâëÿåòñÿ ëè äàííûé ðÿä ïî1 ëîæèòåëüíûì. Ïîñêîëüêó lim √ = 0, òî, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó Òåéëîðà äëÿ n x ôóíêöèé e è sin x, ïîëó÷àåì ïðè n → ∞ : 















1 1 1 1 1 1 1 1 an = 1 + √ + + o  − 1 −  √ + o  = + o  ∼ . n 2n n n n 2n n 2n Îòñþäà ñëåäóåò íåîòðèöàòåëüíîñòü ÷ëåíîâ èññëåäóåìîãî ðÿäà, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî íîìåðà (ïîêàæèòå!), è åãî ðàñõîäèìîñòü â ñèëó ïðèçíàêà ñðàâíåíèÿ. C 1.1.3. Ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû Òåéëîðà èññëåäóéòå ñõîäèìîñòü ðÿäîâ: ∞ X





1 1  √ − sin √ , 1) n n n=1 ∞ X



∞ X





2)



ln n n n2 +1



− 1,

n=1

n 

1 e − 1 +  3) n n=1

∞ X

∞ X



∞ X







1 1  √ − ln 1 + √ , 4) 4 4 n n n=1

,



n + 1 1  sin − ln , 5) n n n=1

v u u t



1 n + 1  √ − ln 6) , n n n=1

8

7)

∞ X

 3

1 n

−2

1 n

 ,

8)

n=1

√ √ 4 ( n + 1 − n2 + n + 1),

n=1

1  − 2 3 1  cos 10) − e 2n n , n n=1

π2 π  9) + cos − 1, 2 2n n n=1 ∞ X

∞ X





1  √ 4 1 1 e n − 1 − √ − √ , 11) 4 n 2 n n=1 ∞ X



∞ X







1 n

∞ X

1.1.4. Íàéòè α, ïðè êîòîðûõ ðÿä α

∞ X

1 − n sin n1 14) . n sin n1 n=1



1 1) an = 1 − n sin  , n α 1 3) an = ln n + ln sin , n 1 5) an = , n ln2 (1 + nα )



1 n + 1 e sin 12) − , n n2 n=1

1 n − n2 ln(1 + ), 13) n n=1



∞ X

∞ P n=1

an ñõîäèòñÿ, åñëè α



1 2) an = e − cos  , n √ √ 4) an = ( n + 1 − n)α , − 2n12

(arctg n1 )α 6) an = . ln(1 + n + n2 )

1.1.5. Äëÿ îòðàáîòêè íàâûêîâ èññëåäîâàíèÿ ïîëîæèòåëüíûõ ðÿäîâ ðåêîìåíäóåì ðåøèòü ñëåäóþùèå ïðèìåðû ðàçëè÷íîé ñòåïåíè òðóäíîñòè: 1)

∞ X

√ n

n + 1,

2)

n=1 ∞ X

4)

√ 5n + 3 n + 1 √ √ 5) , 4( n + 1) n + 1 n=1

6)

∞ X

7)

∞ X

2

n=2

n+1 √ n

−2 , ln n

8)

∞ X

ln n , n n=2 2 + n ∞ X

n , n − 2n 3 n=1 ∞ X

2

n=2

n+1 n

−2 , ln2 n

sin n−1 n , 10) 3 n=2 n ln n

∞ X

∞ X

ln(n + 1) − ln n , 9) n + ln n n=1 11)

1 , 3n(3n + 1)

q n=1

1 , 100 n + 3sin n n=1 ln

3)

∞ X

arctg15 n , ln n n=2 ∞ X

12)

9

sin2 1 √ ln n , n+2 n=2 ∞ X

13)

∞ X

arcsin √1n

n=2

(3n + 1) ln n

,

arctg lnnn 15) , n n−1 n=1 2 − 2 ∞ X

∞ X

2 + sin n √ 17) , n3 + ln n n=1 cos100 n √ , 19) n=1 n n ∞ X

21)

∞ X

1

(n n2 − 1),

14)

∞ X

√ n

ln n,

n=2

3n sin n1 √ , 16) n n=1 n + ∞ X

∞ X

18)

1 arcsin · ln n, n n=2

20)

√ 1 ln(1 + √ )· n n, 2 n n=1

22)

n=1

∞ X

∞ X

3n + 1 1 sin √ , n n=1 2n + 3

ln10 n √ n √ ln n, 23) n n n=2 3 −

πn 24) ln n, n=2 n!

1 4n + 2n · n , 25) n=2 ln n 5 + 5n

sin2 n   26) ln 1 + √ , n n n=1

2n − 1 27) , n n=2 ln n − 1

28)

∞ X

∞ X

∞ X

29)

√ 10

∞ X n=1

31)

√ 3

∞ X n=1

1 n(1 − cos α ), n

√ n+1− 3n−1 , nα

35)

 e

n=1

39)

∞ X

√

n ln(1 +

n=2

ln n ), n2

2n 30) , α n=2 n + n ∞ X

32)

∞ X

√

n=1

n n+1



−

1,

36)

n=1

37)

∞ X



√ n+1+ n , en − ln n

∞ X

√

v ∞ u X u tsin



∞ X

√ sin2 4 n √ 34) √ , 3+1− n n n=1

n2 √ , 33) n e n=1 ∞ X

∞ X

∞ X

∞ X

2− ln n+1 ,

n=1

n+1 , n(n + 2)

√ √ ( 3 n + 1 − 3 n),

n3 + 2 38) ln 2 , n +1 n=1 ∞ X

40)

n=1

∞ X n=1

10

√ 3

n4

,

41)

√ 3

∞ X n=1

n4 + ln n , n6 + 2−n

ln2 (5n + 1) 43) , n5 + 1 n=1 ∞ X

n100 − 1 √ , 45) n+1 2 n=1 ∞ X

46)

49)

−4

ln

n=1

∞ X

ln(2n + 5) √ , n3 + n − 5 n=1 ∞ X

n ln(n + 2) √ , 3 n4 + 3 n=1 ∞ X

ln−100 (2n + 1),

n=1

ln n  1 − 47) , n n=1 ∞ X

44)

n



∞ X

42)

1 sin , n

48) 50)

∞ X

1 2 (cos )n ln n , n n=1 ∞ X n=1

sin

π , n ln(n + 3)

n+1 51) , 4 n=1 n − ln n

3n + 3−n − ln n 52) , 5n + sin n n=1

n2 ln n 53) , n n n=1 7 − 5

sin2 (n!) 54) , 2 n=2 n ln n

arctg5 n √ 55) , 2 n+1 n=1

tg n1 56) 2 , n=2 ln n

∞ X

∞ X

∞ X

57)

∞ X n=1

1 √ , n arctg n

2n arcsin n1 √ 59) , 4 n n=1 n + ∞ X

61)

∞ X

1 n

(n − 1),

∞ X

∞ X

∞ X

sin20 (2−n ) 58) , n n−1 n=1 3 − 3 ∞ X

63)

 ln n e n3 − 1,

v u

∞ X

arccos5 √1n

n=1

an + ln2 n

n + 2u 1 n t 60) ln cos , n n n=1 62)

n=1

∞ X

∞ X



64)

n=1

,

n10 , ln n n=1 3 ∞ X

1

∞ X

3sin n − 1 66) , n=2 n ln n

∞ X

3n + ln5 n 67) , α n=1 n + 1

1 65) 3n arctg n , a n=1 1 67) n tg 2 , ln n n=2

∞ X

∞ X

11

69) 71)

73)

∞ X

ln(n!) , 3 n=2 n ∞ X

1

n=1

1+ n2

∞ X n=2

n √

,

√ n+2− n−2 , nα

lnα n √ , 75) 2 3 n=2 ln (n + 1) n + 1

arctg(n!) , n! n=1 ∞ X

2

n=2

74)

1

∞ X

nα+ ln n √

,

n+1 , n5 + ln(n + 2)

q n=1

cos n1   76) ln 1 + , n ln2 n n=2

∞ X

cos2 n  78) n ln 1 + , α n n=1

cos10 (n4 ) √ 79) , 3 n6 − n + 1 − n n=2 ∞ X

√ ( 5 + (−1)n )n 2 ·n , 81) 5n n=1 ∞ X

1 + 2n · n3 , n −n n=1 5 + 3 ∞ X

sin6 (3n2 ) 85) , 2 n=1 n(ln n + ln n + 1) ∞ X

1.2

72)

∞ X

∞ X

ln(n + 2) − ln n 77) , α + 2cos n n n=1

83)

70)



∞ X



∞ X

80)

∞ X

√

n=2

82)

∞ X



√ n+2− n+1 √ cos 2−n , n− n

(1 +

n=1



√

2n 3 cos nπ 3 ) , 32n

∞ X

84)

ln n n cos , α 3n + 2 n=1 n

86)

√ √ n+1 ( n + 1 − n)p ln n n=1 ∞ X

Ñõîäèìîñòü çíàêîïåðåìåííûõ ðÿäîâ.

Îáðàòèìñÿ òåïåðü ê âîïðîñó î ñõîäèìîñòè ðÿäîâ, ÷ëåíû êîòîðûõ èìåþò ïðîèçâîëüíûå çíàêè (ñì. [1], ñòð. 518-540 èëè [2], ñòð. 293-318). Åñëè ÷ëåíû ðÿäà íå âñå ïîëîæèòåëüíû, íî, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî, ñòàíîâÿòñÿ ïîëîæèòåëüíûìè, òî îòáðîñèâ äîñòàòî÷íîå êîëè÷åñòâî ïåðâûõ ÷ëåíîâ ðÿäà, ñâåäåì çàäà÷ó ê èññëåäîâàíèþ ïîëîæèòåëüíîãî ðÿäà. Åñëè æå âñå ÷ëåíû ðÿäà, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî ìåñòà, îòðèöàòåëüíû, òî, ïî÷ëåííî óìíîæàÿ ðÿä íà (-1), ñíîâà ïðèäåì ê èññëåäîâàíèþ ñõîäèìîñòè ïîëîæèòåëüíîãî ðÿäà (ñì. [1], ñòð. 504-506 èëè [2], ñòð. 260-261). Òàêèì îáðàçîì, ñóùåñòâåííî íîâûì ñëó÷àåì áóäåò òîò, êîãäà ñðåäè ÷ëåíîâ ðÿäà åñòü áåñêîíå÷íîå ÷èñëî êàê ïîëîæèòåëüíûõ, òàê è îòðèöàòåëüíûõ ÷ëåíîâ. Ïðè èññëåäîâàíèè âîïðîñà î ñõîäèìîñòè çíàêîïåðåìåííûõ ðÿäîâ ïîëåçíûìè áûâàþò ïðèçíàêè Ëåéáíèöà, Àáåëÿ è Äèðèõëå (ñì. [1], ñòð. 521-523, 536-539 èëè [2], ñòð. 302-308). Ïðè ïðèìåíåíèè ýòèõ ïðèçíàêîâ íåîáõîäèìî 12

ïîêàçûâàòü ìîíîòîííîå óáûâàíèå íåêîòîðîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {cn }. Åñëè ìîíîòîííîñòü {cn } íå î÷åâèäíà, òî èñïîëüçóþò ñëåäóþùèé ôàêò. Ïóñòü ôóíêöèÿ f : [1, +∞) → R òàêîâà, ÷òî f (n) = cn (n ≥ 1). Åñëè ôóíêöèÿ f ìîíîòîííà íà [1, +∞), òî è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {cn } ìîíîòîííà. Àíàëîãè÷íî, åñëè lim f (x) = 0, òî lim cn = 0 (äîêàæèòå îáà ýòè ôàêòà!). x→+∞

(−1)n−1 ln n √ . 3 n+1 n=2 B Ðÿä çíàêî÷åðåäóþùèéñÿ. Ïîêàæåì, ÷òî îí ÿâëÿåòñÿ ðÿäîì ëåéáíèöåâ√ ñêîãî òèïà. Ïóñòü f (x) = ln x· ( 3 x + 1)−1 .  ñèëó ïðàâèëà Ëîïèòàëÿ ∞ X

Ïðèìåð 1.5. Èññëåäîâàòü ñõîäèìîñòü ðÿäà

1 1 ln x x √ = lim 1 −2/3 = 3 lim x− 3 = 0. lim 3 x→+∞ x→+∞ x + 1 x→+∞ 3 x 



ln n  Ïîýòîìó lim an = lim  √ = 0. Äàëåå, òàê êàê 3 n+1 √ 3 3 − x(ln x − 3) √ f 0 (x) = < 0 ∀x(> x0 ≥ 2), 3( 3 x + 1)2 · x òî f ìîíîòîííî óáûâàåò íà (x0 , +∞), à {an } ìîíîòîííî óáûâàåò ïðè n > n0 (n0 ≥ x0 ).  ñèëó ñêàçàííîãî ðÿä ñõîäèòñÿ. C Âûøå íàìè áûëî ïîêàçàíî ïðèìåíåíèå ôîðìóëû Òåéëîðà ê èçó÷åíèþ âîïðîñà î ñõîäèìîñòè ïîëîæèòåëüíûõ ðÿäîâ. Ôîðìóëà Òåéëîðà îêàçûâàåòñÿ ïîëåçíîé è ïðè èññëåäîâàíèè ñõîäèìîñòè çíàêîïåðåìåííûõ ðÿäîâ â ñëó÷àÿõ, êîãäà ïðèìåíåíèå ïðèçíàêîâ Ëåéáíèöà, Àáåëÿ è Äèðèõëå çàòðóäíèòåëüíî èëè íåâîçìîæíî.

(−1)n−1 √ Ïðèìåð 1.6. Èññëåäîâàòü ñõîäèìîñòü ðÿäà . n + (−1)n ln n n=1 ∞ X

B Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó Òåéëîðà äëÿ ôóíêöèè (1 + x)−1 , ïîëó÷àåì −1

(−1)n−1 (−1)n−1  n ln n  √ √ an = √ = 1 + (−1) n + (−1)n ln n n n 

=

(−1)n−1  ln n ln n (−1)n−1 ln n ln n  = √ 1 − (−1)n √ + o √  = √ + + o n n n n n n ïðè n → ∞. Èñõîäíûé ðÿä ÿâëÿåòñÿ ñóììîé ñëåäóþùèõ äâóõ ðÿäîâ: 



(−1)n−1 √ è n n=1 ∞ X



∞ X









ln n ln n   + o . n n n=1

Ïåðâûé èç íèõ ñõîäèòñÿ êàê ðÿä ëåéáíèöåâñêîãî òèïà (ïðîâåðüòå!). Èññëåäóåì âòîðîé, îáîçíà÷èâ åãî ÷ëåíû ÷åðåç bn . 



ln n ln n  ln n bn = + o ∼ n n n 13

ïðè n → ∞.



Îòñþäà, â ÷àñòíîñòè, ñëåäóåò, ÷òî bn > 0 ∀n(> n0 ). Ïîñêîëüêó,

ln n 1 ≥ , ∀n ≥ 3, òî ðÿä n n ðàñõîäèòñÿ.

∞ P n=1

bn ðàñõîäèòñÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, èñõîäíûé ðÿä C

1.2.1. Èññëåäóéòå ñõîäèìîñòü ñëåäóþùèõ çíàêîïåðåìåííûõ ðÿäîâ:

(−1)n−1 1) , n=1 n + 2

(−1)n √ 2) , 3 ln n n=2

∞ X

∞ X

∞ X

1 3) (−1) arcsin , n n=1 5)

4)

n

sin nπ 6 , n=1 n + ln n ∞ X

6)

(−1)n sin

n=1

11)

∞ X

13)

√ n

(−1) ln

(−1)n−1 n1 8) ·3 , n=1 2n + 5

n+1 n √ arcsin , n n+1

10)

(−1)n−1 √ n

2 , n+1

∞ X

(−1)n−1 ln

n=1

n+1 , n

√ sin nπ n 8 · n + 1, 12) √ 5 n + ln n n=1 ∞ X

1 n2

n=1

1

(−1)n (2 ln n − 1),

∞ X

1 1 cos , 3n n

n=1 ∞ X

∞ X

n−1 , n

n=2

cos nπ 4 7) arctg n, n=1 n + 1 ∞ X

(−1)n arcsin

n=1

∞ X

9)

∞ X

14)

∞ X n=1

(−1)n−1 n

1 1+ n

,

(−1)n−1   15) ln 1 + √ , n n=1

(−1)n−1 √ 16) , n + (−1)n n=1

(−1)n−1 17) , n n=2 n ln n + (−1) sin n

(−1)n−1 √ 18) , n3 + (−1)n ln n n=1

(−1)n sin 2n , 19) n=1 ln(n + 1)

√ (−1)n (1 + 3 sin nπ 4 ), 20) 5n + n n=1

∞ X





∞ X

∞ X

n(n + 1) ∞ X 2n + n 2 , 21) (−1) 3n + n2 n=1

∞ X

∞ X

∞ X

22)

cos(n + π4 ) . 23) 2 n=1 ln (n + 1) ∞ X

14

∞ X

π 1 cos( + nπ) sin , 4 n n=1

1.3

Èññëåäîâàíèå ðÿäà íà àáñîëþòíóþ è óñëîâíóþ ñõîäèìîñòü.

Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ ñì. â [1] íà ñòð. 548-549 èëè â [2] íà ñòð. 293-316. Ïðèìåð 1.7. Èññëåäîâàòü íà àáñîëþòíóþ è óñëîâíóþ ñõîäèìîñòü ðÿä

sin nπ 6 . p + ln n n n=1 ∞ X

B Ïðåæäå âñåãî çàìåòèì, ÷òî ïðè ïðîèçâîëüíîì p ∈ R îáùèé ÷ëåí ðÿäà an → 0 ïðè n → ∞. Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ: cos nπ sin2 nπ | sin nπ 1 1 1 3  6 6 | − = ≤ ≤ , ∀n ≥ 1 2 np + ln n np + ln n np + ln n np + ln n np + ln n 



       

1 , np

åñëè p > 0, 1 Òàê êàê p ∼ ïðè n → ∞,  n + ln n    1    , åñëè p ≤ 0 ln n ∞ X 1 ñõîäèòñÿ ïðè p > 1. Çíà÷èò, ïðè p > 1 ñõîäèòñÿ ðÿä òî ðÿä p n=1 n + ln n ∞ | sin nπ | X 6 , à ðàññìàòðèâàåìûé ðÿä ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî. p n=1 n + ln n ∞ X sin2 nπ 6 . Îí ÿâëÿåòñÿ ðàçíîñòüþ Èññëåäóåì òåïåðü ïðè p ≤ 1 ðÿä p n=1 n + ln n ∞ 1 X 1 äâóõ ðÿäîâ: ïîëîæèòåëüíîãî  è çíàêîïåðåìåííîãî  2 n=1 np + ln n ∞ cos nπ 1 X 3 . Ïåðâûé èç íèõ ðàñõîäèòñÿ â ñèëó ïðèçíàêà ñðàâíåíèÿ. Ïîêàp 2 n=1 n + ln n æåì ñõîäèìîñòü âòîðîãî. Èìååì: 1)

X m cos n=1



1 nπ = 2, ∀m ≥ 1 . ≤ 3 sin π/6

1 → 0 ïðè n → ∞ è ïðîèçâîëüíîì p ≤ 1. + ln n 3) ñòðåìëåíèå an ê íóëþ ìîíîòîííî, òàê êàê ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè f (x) = 1 îòðèöàòåëüíà íà [1, +∞) (ïðîâåðüòå!). xp + ln n Òàêèì îáðàçîì, âûïîëíåíû âñå óñëîâèÿ ïðèçíàêà Äèðèõëå, è âòîðîé ∞ X sin2 nπ 6 , à ïîýòîìó è ðÿä ðÿä ñõîäèòñÿ ïðè p ≤ 1. Ñëåäîâàòåëüíî, ðÿä p n=1 n + ln n nπ ∞ X | sin 6 | ðàñõîäèòñÿ ïðè p ≤ 1. p n=1 n + ln n ∞ X cos nπ 3 Ëåãêî ïîêàçàòü (àíàëîãè÷íî òîìó, êàê èññëåäîâàí ðÿä ) ñõîp + ln n n n=1 äèìîñòü èñõîäíîãî ðÿäà ∀p (≤ 1). 2) an =

np

15

sin nπ 6 ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî ïðè p > 1 è óñëîâíî Ïîäâåä¼ì èòîã. Ðÿä p n=1 n + ln n ïðè p ≤ 1. C 1.3.1. Èññëåäîâàòü íà àáñîëþòíóþ è óñëîâíóþ ñõîäèìîñòü ñëåäóþùèå çíàêîïåðåìåííûå ðÿäû. ∞ X

(−1)n−1 √ , 1) n=1 2 n + 1 ∞ X

3)

(−1)n−1 √ √ , n) n=1 n( n + 1 + ∞ X

(−1)n−1 2) , n=1 ln n + 3 ∞ X

4)

(−1)n , √ 100 n + n + n2 n=1 ln ∞ X

∞ X

sin nπ 4 6) , n=1 2 ln n + 1

∞ X

cos n √ , 7) n + ln n n=1

(−1)n sin n √ 8) , n 10 n n=1

(−1)n √ 9) , 20 n=2 n ln n

(−1)n √ 10) n + 1, n n=1

(−1)n ln n √ 11) , n+1 n=2

(−1)n ln12 n √ 12) , n3 + n + 1 n=2

sin n √ √ 5) , n4 + 1 + n4 − 1 n=1

∞ X

∞ X

∞ X

∞ X

∞ X

∞ X

13)

sin n , 2−n n n=2

14)

(−1)n 1 √ cos , n n n=1 n +

15)

1 (−1)n √ cos , 2+ n n n n=1

16)

1 (−1)n n+1 · 2 , 2 n ln n n=2

17)

1 (−1)n n+1 ·2 , n=2 n ln n

18)

sin nπ √3 , n=1 n n

∞ X

∞ X

∞ X

∞ X

∞ X

∞ X

sin nπ 3 , 19) n=1 n(1 + ln n)

√ (−1)n−1 n √ 20) , 2− n n−1 n=1

(−1)n n1 21) (2 − 1), n=1 2n + 1

n (−1)n · , 22) n=1 2n + 1 2n + 3

(−1)n sin 2n1+1 23) , ln n n=2

(−1)n ln10 n 24) , n2 + 1 n=2

∞ X

∞ X

∞ X

25)

∞ X

sin(n!) √ , n=1 n n + 1

∞ X

∞ X

∞ X

26)

∞ X

(−1)n

n=2 16

ln n , n

(−1)n √ 27) , n n n=1

cos nπ 4 · 3n + 1 , 28) 4n n=1 2n + 3

(−1)n 1 29) tg , n n=1 n + ln n

30)

(−1)n 31) arctg n, n=1 n + ln n

sin nπ 2n √ 6 ln 32) , n+5 n+3 n=1

sin(2n ) 33) 2 , n=2 n ln n

34)

∞ X

∞ X

∞ X

∞ X

∞ X

∞ X

sin n , n=1 n + cos n ∞ X

∞ X

sin n 1 arcsin n , 3 n=1 2n + 1

q cos 2n 35) arcsin n 0, 2, n=1 2n + 1

cos 2πn √5 36) arctg n2 , n+1 n=1 2 ln n +

(−1)n 1 37) cos n , 2 n=2 ln n

38)

(−1)n 1 √ √ sin(1 + ), 39) 3 n n+1+ 3n n=1

1 (−1)n √ √ √ sin , 40) 4 3 n+1+ 3n n3 n=1

∞ X

∞ X

∞ X

41)

∞ X

√ √ (−1) ( n + 1 − n), n

∞ X

sin 2n 2n + 1 43) ln , 2 2n n=2 ln n 45) 47)

cos nπ n+1 3 cos , ln ln n 3n + 5 n=3 ∞ X

∞ X

n cos n sin 5 , ln n n + 1 n=2

(−1)n sin2 n √ 49) , n4 + 2n n=1 ∞ X

51)

∞ X n=1

sin

n+1 nπ 1 tg arctg , 4 n n

sin nπ √ 6 ln n, 53) 2 n+3 n=2 ∞ X

sin √ 3

n=1

ln n · sin n, n5 + n2 − n + 1

∞ X

42)

n=1 ∞ X

∞ X

√ √ 1 (−1)n ( 3 n + 1 − 3 n − 1) sin √ , n n=1 ∞ X

√ sin nπ n 4 √ 44) · 4, n=1 3 n + 5n + 1 ∞ X

46)

sin nπ 6 , 2 n ln n n=2

48)

(−1)n ln n n · , 2 + n + 1 5n + 2 n n=2

50)

∞ X

∞ X

∞ X

cos n tg

n=1

52)

∞ X n=2

√

1 √ n tg 2, n

sin n , n ln15 n

cos n ln5 n √ 54) , 3 n + 3n2 + 5n5 n=1 ∞ X

17

cos n ln12 n √ 55) , 3 3n − ln n n=2

(−1)n−1 56) , p+1/n n=1 n

cos n· arcsin n+1 3n , 57) 2 n=1 n(ln n + ln n + 1)

58)

(−1)n , p n=2 ln n

60)

(−1)n , n + sin n n=1

∞ X

∞ X

∞ X

59)

cos nπ 1 √4 arcsin √ , n 3 n n=2 n − ∞ X

n+1 sin nπ 3  61) · 2 n − 2, n=1 3n + 1





∞ X

nπ ln100 n 63) sin · , 4 n n=1 ∞ X

√

(−1)[ n] 1 65) sin , n n=1 n + 10 ∞ X

62)

∞ X

∞ X

∞ X

√ √ ( 2n + 1 − 2n − 1) sin n,

n=1

64)

√

∞ X

sin n·

n=1

n , 2n + 25

sin nπ 4 , 66) p+1 n n=1 ∞ X

p

sin n 67) nπ , n=1 n + 3 sin 4

(−1)n  1· 4· 7· . . . · (3n − 2)  68) , n 7· 9· 11· . . . · (2n + 5) n=1

(−1)n 69) , n n=2 n + (−1)

(−1)n  1· 5· 9· . . . · (4n − 3)  70) , 1· 4· 7· . . . · (3n − 2) n=2 ln n

(−1)n 71) , n p n=2 [n + (−1) ]

(−1)n √ 72) , n−1 ]p n=1 [ n + (−1)

∞ X

∞ X

∞ X

(−1)n 73) ln 1 + √ , n n=2 

75)



∞ X

1 (−1)n−1 sin , n n=1 ∞ X

74) 76)

1 sin n cos , 79) n ln n n=2 ln n + 1 ∞ X n=1

√

(−1)n sin(ln n), 1 + 2n2 + 3n3

(−1)n (ln(n + 1) − ln n),

∞ X

(−1)n sin

n=1

n

∞ X

∞ X

n=1

1 n+1 77) (−1) sin √ · arctg , 78) n n n=1

81)

p



∞ X

∞ X

∞ X



∞ X

1 , n2

∞ X

sin n 1 sin , n ln n n=2 ln n + 1 v

u 3n + 1 (−1)n−1 u t √ , √ 80) n + ln n 3n + n n=1 ∞ X

82)

∞ X

(−1)n sin

n=1

18

√ n

n,

n(n+1)

∞ X

(−1) 2 83) ln n n=2

,

(−1)n √ n 85) n, n=3 ln ln n ∞ X

87)

∞ X

√

sin(π n2 + 1),

n=1

89) 91)

(−1)n−1 , n n=1 n + (−1) ln n ∞ X

∞ X

86)

(−1)n

(2n)!! , (2n − 1)!!

√ sin(π 3 n3 + n) 88) , ln2 n n=2 90)

sin n , n=1 n ln n + 5 sin n

94)

∞ X

∞ X

∞ X

92)

√

cos(n!) , 3 n=1 (n + 1)(ln n + 1)

n=1

sin n , n + (−1)n−1

n=1

93)

84)

∞ X

∞ X

sin n , n=10 n + 10 sin n ∞ X

√

(−1)n , n + (−1)n sin n

√

(−1)n . n ln n + (−1)n

n=1 ∞ X n=1

1.3.2. Íàéòè α, ïðè êîòîðûõ ñëåäóþùèå ðÿäû à) ñõîäÿòñÿ àáñîëþòíî; á) ñõîäÿòñÿ óñëîâíî :

(−1)n−1 1) , nα n=1 ∞ X

3)

5) 7)

(−1)n−1 1 √ 2) · arcsin , α n n=1 n + 1 ∞ X

(−1)n , α n=1 n + 1/n

4)

(−1)n , n )α (2n + (−1) n=1

6)

∞ X

∞ X

∞ X

cos n , α > 0, α n=1 n

2

∞ X n=1

8)

ln(1 +

(−1)n−1 ), nα

(−1)n−1 √ , n )α ( n + (−1) n=1 ∞ X

∞ X

sin 2n 2 ln n. α n=1 n

Ôóíêöèîíàëüíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ðÿäû

Ìàòåðèàë äàííîé òåìû ìîæíî èçó÷èòü, íàïðèìåð, ïî ó÷åáíèêàì [1], ñòð. 540-592, èëè [2], ñòð. 419-450. 2.1

Ïîòî÷å÷íàÿ è ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè

Ïóñòü äàíà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé {fn (x)}, ãäå fn : X ⊂ R1 → R1 , n ∈ N. Òî÷êà x0 íàçûâàåòñÿ òî÷êîé ñõîäèìîñòè ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, åñëè x0 ∈ X è ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x0 )} ñõîäèòñÿ. 19

Ñîâîêóïíîñòü âñåõ òî÷åê ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {fn (x)} íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâîì ñõîäèìîñòè (îáëàñòüþ ñõîäèìîñòè) ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Åñëè X1 (⊂ X) ÿâëÿåòñÿ îáëàñòüþ ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {fn (x)}, òî ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïîòî÷å÷íî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X1 , ïðè ýòîì ôóíêöèþ f : x ∈ X1 7−→ lim f (x) íàçûâàþò ïðåäåëüíîé ôóíêöèåé äàííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ïèn→∞ n X

øóò f (x) = n→∞ lim fn (x) íà X1 èëè fn (x) −→ f (x) ïðè n → ∞. X

 òåðìèíàõ ”ε − N ” ïîòî÷å÷íàÿ ñõîäèìîñòü fn (x) −→ f (x) îçíà÷àåò, ÷òî ïî ëþáîìó ε > 0 è äëÿ êàæäîé òî÷êè x ∈ X1 íàéä¼òñÿ íîìåð N = N (ε, x) òàêîé, ÷òî äëÿ n > N âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî |fn (x) − f (x)| < ε, ò.å. f (x) − ε < fn (x) < f (x) + ε. Ïðèìåð 2.1. Íàéòè îáëàñòü ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {fn (x)}, åñëè

fn (x) = xn , x ∈ [0; +∞). B Òàê êàê n

    

lim x = 

n−→∞

  

åñëè x ∈ [0; 1), åñëè x = 1, . åñëè x > 1

0, 1, ∞,

òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïîòî÷å÷íî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå [0; 1] è å¼ ïðåäåëüíîé ôóíêöèåé ÿâëÿåòñÿ  

f (x) = 

0, 1,

åñëè x ∈ [0; 1), . åñëè x = 1

.

Îïðåäåëåíèå 1. Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)} ïîòî÷å÷íî ñõîäèòñÿ íà

ìíîæåñòâå X ê ôóíêöèè f (x) è B ⊂ X. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)} íàçûâàåòñÿ ðàâíîìåðíî ñõîäÿùåéñÿ íà ìíîæåñòâå B , åñëè äëÿ ëþáîãî ε > 0 ìîæíî óêàçàòü òàêîé íîìåð N = N (ε), ÷òî âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî |fn (x)−f (x)| < ε äëÿ âñåõ n > N è âñåõ x ∈ B . Ïðè ýòîì ïèøóò B

fn (x) ⇒ f (x). Îáðàòèòå âíèìàíèå, â ñëó÷àå ïîòî÷å÷íîé ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {fn (x)} ê ôóíêöèè f (x) íà B , íîìåð N , ñîîòâåòñòâóþùèé ÷èñëó ε > 0, çàâèñèò íå òîëüêî îò ε, íî è îò òî÷êè x, à â îïðåäåëåíèè 1 íå çàâèñèò îò B x. Åñëè fn (x) −→ f (x), íî íå óäîâëåòâîðÿåò îïðåäåëåíèþ 1, òî ãîâîðÿò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ ê f (x) íåðàâíîìåðíî íà ìíîæåñòâå B. Åñëè æå ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ íåðàâíîìåðíî íà B èëè ðàñõîäèòñÿ õîòÿ áû â îäíîé òî÷êå ýòîãî ìíîæåñòâà, òî ãîâîðÿò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íå ÿâëÿåòñÿ ðàâíîìåðíî ñõîäÿùåéñÿ íà ìíîæåñòâå B . B

Ãåîìåòðè÷åñêè ôàêò fn (x) ⇒ f (x) îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ ëþáîé ε− ïîëîñû, îêðóæàþùåé íà ìíîæåñòâå B ãðàôèê ôóíêöèè f, íàéä¼òñÿ òàêîé íîìåð N = N (ε), ÷òî äëÿ ëþáîãî n > N ãðàôèêè ôóíêöèé fn (x) ðàñïîëîæåíû â ýòîé ε− ïîëîñå (ðèñ.1). 20

(ðèñ.1)

(ðèñ.2)

Ïðîèëëþñòðèðóåì îïðåäåëåíèå ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè íà ïðèìåðå. Ïðèìåð 2.2. Èññëåäîâàòü íà ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

fn (x) = xn a) íà [0; q], q ∈ (0; 1); b) íà [0; 1). B Ðàíåå áûëî ïîêàçàíî, ÷òî f (x) = n→∞ lim fn (x) = 0, ∀x ∈ [0; 1). [0;q]

à) Äîêàæåì, èñïîëüçóÿ îïðåäåëåíèå, ÷òî fn (x) ⇒ 0 Çàôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíîå ε ∈ (0; q) è íàéä¼ì íîìåð N òàêîé, ÷òî |xn" − 0|# < ε äëÿ n > N è

ln ε ln ε , òî âçÿâ N = , ïîëó÷èì íóæíîå. ln q ln q Ãåîìåòðè÷åñêè: ãðàôèêîì ïðåäåëüíîé ôóíêöèè f ÿâëÿåòñÿ îòðåçîê îñè Ox  [0; q]. Ôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíóþ ε−ïîëîñó (0 < ε < 1) ãðàôèêà ïðåäåëüíîé ôóíêöèè. Òàê êàê fn (x) = xn ≥ 0 ïðè x ∈ [0; q], òî ìîæíî ðàññìàòðèâàòü òîëüêî ÷àñòü ïîëîñû, ëåæàùóþ â âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòè (åþ ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîóãîëüíèê [0, q] × [0, ε)). " # ln ε ëåæàò â ýòîé ε−ïîëîñå (ðèñ. Ãðàôèêè ôóíêöèé fn ïðè n > N = ln q 2) x ∈ [0; q]. Òàê êàê q n < ε ⇔ n >

21

á)Ïîêàæåì, ÷òî fn (x) → 0 íà [0; 1) íåðàâíîìåðíî. ×òî îçíà÷àåò ýòîò ôàêò? B

fn (x) ⇒ 6 f (x) ⇔ ∃ε0 (> 0), ∃xnk ∈ B

(n1 < n2 < ... < nk < ...)

òàêèå, ÷òî |fnk (xnk )−f (xnk )| ≥ ε0 (k = 1, 2, ...).  äàííîì ñëó÷àå íàì ïîäõîäèò,

1 3 !n 1 1 = |fn (xn ) − f (xn )| = √ − 0 = ε0 . n 3 3 Èòàê, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü fn (x) = xn ïîòî÷å÷íî, íî íåðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ ê ôóíêöèè f (x) ≡ 0 íà [0; 1). Ýòî î÷åâèäíî è èç ãåîìåòðè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé. Èìåííî, êàêóþ áû ε− ïîëîñó ãðàôèêà ôóíêöèè f íà [0; 1) ìû íè âçÿëè (0 < ε < 1), ãðàôèêè ôóíêöèé fn (x) "âûñêàêèâàþò"èç íå¼. Ïðè èññëåäîâàíèè ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ðàññóæäåíèÿ, êàê ïðàâèëî, óïðîùàþòñÿ, åñëè èñïîëüçîâàòü êðèòåðèé ðàâíîìåðíîé cõîäèìîñòè: íàïðèìåð, ε0 = 31 . Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ òî÷åê xn = √ ∈ [0; 1) èìååì n

B

1. (Êðèòåðèé â òåðìèíàõ ñóïðåìóìîâ) Ïóñòü fn (x) → f (x) ïðè n → ∞ è αn = sup |fn (x) − f (x)|, n ∈ N. Äëÿ òîãî ÷òîáû ïîñëåäîâàòåëüíîñòü x∈B

{fn (x)} ðàâíîìåðíî ñõîäèëàñü ê ôóíêöèè f (x) íà ìíîæåñòâå B, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû lim αn = 0. 2. (Êðèòåðèé Êîøè) Äëÿ òîãî ÷òîáû ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)} ðàâíîìåðíî ñõîäèëàñü íà ìíîæåñòâå B íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ∀ε > 0 ∃N = N (ε) ∈ N : ∀n > N, ∀p ∈ N, ∀x ∈ B âûïîëíÿëîñü íåðàâåíñòâî

|fn+p (x) − fn (x)| < ε. Åñëè óñëîâèå Êîøè íå âûïîëíÿåòñÿ, ò.å. ∃ε0 > 0 : ∀N ∈ N ∃n > N ∃p ∈ N e − fn (x)| e ∃xe ∈ B : |fn+p (x) ≥ ε0 , òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)} íå ÿâëÿåòñÿ ðàâíîìåðíî ñõîäÿùåéñÿ íà ìíîæåñòâå B. Åñëè, íàïðèìåð,

∃ε0 > 0 : ∀n ∈ N ∃pn ∈ N ∃xn ∈ B : |fn+pn (xn ) − fn (xn )| ≥ ε0 ,

(1)

òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)} íå ÿâëÿåòñÿ ðàâíîìåðíî ñõîäÿùåéñÿ íà B. Âîçâðàùàÿñü ê ïðèìåðó 2.1, èçó÷èì ïîâåäåíèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {fn (x)} : fn (x) = xn íà ìíîæåñòâàõ à) B = [0; 1 − δ], δ ∈ (0; 1) è á) B = [0; 1), èñïîëüçóÿ ïðèâåä¼ííûå êðèòåðèè. Åñëè x ∈ [0; 1 − δ], δ ∈ (0; 1), òî |fn (x) − f (x)| = xn , n ∈ N. Ôóíêöèÿ y = xn ÿâëÿåòñÿ âîçðàñòàþùåé íà [0; 1 − δ], ïîýòîìó sup |fn (x) − f (x)| = x∈[0;1−δ],

(1 − δ) = 0, òî åñòü αn = (1 − δ) , n ∈ N. n

n

[0;1−δ]

Ïîñêîëüêó n→∞ lim (1 − δ)n = 0, òî fn (x) ⇒ 0. Åñëè æå x ∈ [0; 1), òî sup |fn (x) − f (x)| = lim xn = 1. Ñëåäîâàòåëüíî, x→1

x∈[0;1) [0;1)

αn 6→ 0 è fn (x) 6 ⇒ 0. 22

Ïîëó÷èì ïîñëåäíèé ðåçóëüòàò ñ ïîìîùüþ êðèòåðèÿ Êîøè. Äëÿ ëþáîãî n ∈ N ïîëîæèì xn = 1 − n1 , pn = n. Òîãäà

|fn+p (xn ) − fn (xn )| =

|xn+p n

−

xnn |

=

xnn |xnn

1 − 1| = 1 − n

!n

1 · 1− 1− n

!n !

.

1 n 1 1 = , òî ïîñëåäíåå ïðîèçâåäåíèå áîëüøå , ∀n > n0 . Òàê êàê lim 1 − n e 3e 1 Ñëåäîâàòåëüíî, ñ÷èòàÿ ε0 = è èñïîëüçóÿ êðèòåðèé Êîøè, çàêëþ÷àåì, ÷òî 3e ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn } íå ÿâëÿåòñÿ ðàâíîìåðíî ñõîäÿùåéñÿ íà ïðîìåæóòêå [0; 1). Íàêîíåö, âîïðîñ î ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {fn (x)} ê ïðåäåëüíîé ôóíêöèè èíîãäà ðåøàåòñÿ ñ ïîìîùüþ òåîðåìû î íåïðåðûâíîñòè ïðåäåëüíîé ôóíêöèè ðàâíîìåðíî ñõîäÿùåéñÿ ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ñ ïîìîùüþ òåîðåìû Äèíè: !

1. Åñëè âñå ÷ëåíû ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {fn (x)} íåïðåðûâB

íû íà ìíîæåñòâå B è fn (x) ⇒ f (x), òî f (x) ∈ C(B). Ñëåäñòâèå 1. Åñëè âñå ÷ëåíû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {fn (x)} íåïðåðûâíû B

B, fn (x) −→ f (x) è f (x) òåðïèò ðàçðûâ õîòÿ áû â îäíîé òî÷êå ìíîæåñòâà B, òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ íà B íåðàâíîìåðíî.

íà

2. (Òåîðåìà Äèíè. ) Åñëè fn (x) íåïðåðûâíû íà êîìïàêòå B, n ∈ N, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)} ìîíîòîííà ïî n â êàæäîé òî÷êå x ∈ B è ïðåäåëüíàÿ B

ôóíêöèÿ f (x) ∈ C(B), òî fn (x) ⇒ f (x). Ñíîâà âîçâðàùàÿñü ê ïðèìåðó 2.1, çàìå÷àåì, ÷òî íà ìíîæåñòâå [0; 1] [0;1]

âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ ïðèâåä¼ííîãî ñëåäñòâèÿ, ïîýòîìó fn (x) 6 ⇒ f (x), à íà îòðåçêå [0; 1 − δ], δ ∈ (0; 1) âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ òåîðåìû Äèíè, çíà÷èò [0;1−δ]

fn (x) ⇒ f (x). 2.1.1. Èññëåäóéòå íà ïîòî÷å÷íóþ è ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)} íà óêàçàííîì ìíîæåñòâå: 1. fn (x) = x2n , a) x ∈ [0; q], q ∈ (0; 1); b) x ∈ [0; 1]; 2. fn (x) = xn − xn−1 , x ∈ [0; 1];

sin nx , x ∈ R. n 4. fn (x) = xn − x2n , a)x ∈ [0; 1]; b)x ∈ [0, q], q ∈ (0; 1); 3. fn (x) =

5. fn (x) =

1 , x ≥ 0; x+n

6. fn (x) = xn − x3n , a)x ∈ [0; q], q ∈ (0; 1); b) x ∈ [0; 1]; 23

1 , a) x ∈ [0; 1], b) [q; 1] , ãäå q ∈ (0; 1); x2 + nx + 1 nx 8. fn (x) = , x ∈ [0; 1]; 1+n+x xn 9. fn (x) = , a) x ∈ [0; q], q ∈ (0; 1), á)x ∈ [1 − ε, 1 + ε], ε ∈ (0; 1), 1 + xn â) x ∈ [q; +∞], q > 1; 7. fn (x) =

2

10. fn (x) = e−(x−n) , a) x ∈ [−q; q], q ∈ (0; +∞); á) x ∈ R; 11. fn (x) = arctg nx, a) x ∈ [0; 1], á) x ∈ [q; +∞), q > 0; 12. fn (x) = n arctg nx, x ∈ [0; a], a ∈ R+ ; 13. fn (x) =

nx , x ∈ [q; +∞], q > 0; 1 + n3 x2

14. fn (x) = ln(x2 + n1 ), a) |x| > 1, á) x ∈ (0; +∞); 15. fn (x) =

2nx , a) x ∈ [0; 1] á) x ∈ (1; +∞); 1 + n2 x2

16. fn (x) = cos n1 , |x| < a, a ∈ R+ ; 17. fn (x) = sin nx , x ∈ R; 18. fn (x) =

q

x2 + n1 , x ∈ R

x2 + nx + n , 0 ≤ x < ∞; n+x nx + 1 fn (x) = , 0 ≤ x < ∞; 1 + n2 x2 x fn (x) = n arctg , 0 ≤ x ≤ a < ∞; n sin nx fn (x) = 2 , x ∈ R; n + x2 fn (x) = x arctg nx, 0 ≤ x < ∞; n , 1 ≤ x ≤ e; fn (x) = 1 + n + ln x

19. fn (x) = 20. 21. 22. 23. 24.

n2 , 25. fn (x) = 2 n + x2 √

26. fn (x) = n3/4 xe− 27. fn (x) =

x , n+x

a) |x| ≤ a, a > 0; á) x ∈ R; nx

,

x ≥ 0, q > 0;

a) x ∈ [0; q], q > 0; á) x ∈ [0; +∞).

24

2.2

Ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà

Ïóñòü ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)} îïðåäåëåíà íà ìíîæåñòâå X. Òî÷êà x0 ∈ X íàçûâàåòñÿ òî÷êîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà ∞ ∞ P P fn (x), åñëè ÷èñëîâîé ðÿä fn (x0 ) ñõîäèòñÿ. Ñîâîêóïíîñòü âñåõ òî÷åê ñõîn=1

n=1

äèìîñòè äàííîãî ðÿäà íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâîì ñõîäèìîñòè åãî. Ïóñòü X1 ⊂ X ∞ ∞ P P  ìíîæåñòâî ñõîäèìîñòè ðÿäà fn (x). Ôóíêöèÿ S : ∀x ∈ X 7→ fn (x), n=1

n=1

íàçûâàåòñÿ ñóììîé ðÿäà íà ìíîæåñòâå X1 . Ïðè ýòîì ãîâîðÿò. ÷òî ôóíêöèîíàëüíûé ðÿä ïîòî÷å÷íî ñõîäèòñÿ (ñõîäèòñÿ) ê S(x) íà ìíîæåñòâå X1 . Åñëè Sn (x) − n−àÿ ÷àñòè÷íàÿ ñóììà ðÿäà è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {Sn (x)} ∞ P ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X1 , òî ãîâîðÿò, ÷òî ðÿä fn (x) ðàâíîn=1

ìåðíî ñõîäèòñÿ íà X1 (èëè ðÿä ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà X1 ê S(x)) è ïèøóò: X1

∞ P

fn (x) ⇒ S(x). n=1 Â òåðìèíàõ ”ε − N ” äàííîå îïðåäåëåíèå çàïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: X1 ∞ P fn (x) ⇒ S(x) ⇐⇒ n=1

⇐⇒ (ε > 0 ∃N = N (ε) ∈ N : ∀n > N, ∀x ∈ X1 =⇒ |Sn (x) − S(x)| < ε) ⇐⇒ ⇐⇒ (ε > 0 ∃N = N (ε) ∈ N : ∀n > N, ∀x ∈ X1 =⇒ |rn (x))| < ε). (Çäåñü rn (x) − n−ûé îñòàòîê ðÿäà). Ïðèìåð 2.3. Ðàññìîòðèì ðÿä

∞ P n=1

xn . Îí ÿâëÿåòñÿ ðÿäîì ãåîìåòðè÷åñêîé

ïðîãðåññèè, ïîýòîìó ñõîäèòñÿ â êàæäîé òî÷êå x ∈ (−1; 1). Ïîêàæåì, ÷òî íà îòðåçêå [−q; q], ãäå q ∈ (0; 1), ðÿä ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî. Äåéñòâèòåëüíî,

q n+1 q n+1 ≤ , ïîýòîìó |rn (x)| = x = 1−x 1−q k=n+1 ∞ P

k

0 ≤ αn = sup |rn (x)| ≤ x∈[−q;q]

q n+1 = 0. 1−q

Cëåäîâàòåëüíî, lim αn = 0 è ðÿä ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà îòðåçêå [−q; q]. Ïóñòü òåïåðü x ∈ (−1; 1). Äîêàæåì, ÷òî ðÿä ñõîäèòñÿ íåðàâíîìåðíî íà ýòîì ìíîæåñòâå. Åñëè xn = 1 − n1 , òî

(1 − n1 )n+1 1 rn (xn ) = 1 =n 1− n 1 − (1 − n )

!n+1

.

1 n+1 1 = , òî rn (xn ) > 1, ∀n > n0 , à ïîýòîìó ðÿä ñõîäèòñÿ Òàê êàê lim 1 − n e íåðàâíîìåðíî íà èíòåðâàëå (−1; 1). !

2.2.1. Íàéòè ìíîæåñòâî ñõîäèìîñòè (àáñîëþòíîé è óñëîâíîé) ðÿäà:

25

1)

x , n=1 n + x ∞ P

2)

2n sinn x 3) , n=1 n2 + 1

∞ P

(−1)n en sin x ,

n=1

n , n=1 xn

(x + 1)n 4) , n=1 n2 + ln n √ ∞ n P 6) , n=1 n2 + x2

1 7) , n=1 x + 2n

(−1)n √ , 8) n=1 n + x2

∞ P

5)

∞ P

∞ P

∞ P

9)

∞ P

(−1)n , n=1 x2 + n

10)

x , n2

12)

11)

∞ P

∞ P n=1

sin

(−1)n q 13) √ , n=1 n4 + x ∞ P

15)

∞ P n=1

n2 e−nx ,

∞ P

1

n=1

n 2 x2 + 1

,

1 , n=1 1 + x2n ∞ P

x2n , 14) n=1 1 + x2n+1 ∞ P

16)

∞ P n=1

sin nx , 3 n + |x|

q

(−1)n 17) , n=1 arcsin x + n

arctgn x 18) , n=1 n2 + |x|

lnn x 19) , n=1 n

xn 20) , n=1 1 + x2n

∞ P

∞ P

∞ P

21)

23)

∞ P n=1

cos nx , 3 2 n + |x|

q

(−1)n sin nx √ , n=1 n ∞ P



n

x(x + n)   25) , n=1 n ∞ P

∞ P

22)

sin nx , n=1 1 + n2 x2

24)

xn , n=1 1 − xn

∞ P

∞ P

xn 26) , n=1 (1 + x)(1 + x2 ) · · · (1 + xn ) ∞ P

(x + n)n . 27) n=1 nn+x Ïðè èññëåäîâàíèè ôóíêöèîíàëüíûõ ðÿäîâ íà ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü ÷àùå âñåãî èñïîëüçóþò äîñòàòî÷íûå ïðèçíàêè: ∞ P

1. (ïðèçíàê Âåéåðøòðàññà) Ïóñòü íà ìíîæåñòâå X îïðåäåë¼í ôóíêöèîíàëü26

íûé ðÿä

∞ P n=1

fn (x) è cn = sup |fn (x)|, n ≥ 1. Åñëè ÷èñëîâîé ðÿä x∈X

∞ P n=1

cn

ñõîäèòñÿ, òî ôóíêöèîíàëüíûé ðÿä ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X. Åñëè cn 6→ 0, òî ôóíêöèîíàëüíûé ðÿä íå ÿâëÿåòñÿ ðàâíîìåðíî ñõîäÿùèì∞ P ñÿ íà ìíîæåñòâå X. Åñëè æå cn → 0, íî ÷èñëîâîé ðÿä cn ðàñõîäèòñÿ, òî n=1

íè÷åãî îïðåäåë¼ííîãî î ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà íà ìíîæåñòâå X ñêàçàòü íåëüçÿ. 2. (Ïðèçíàê Äèðèõëå) Ïóñòü ôóíêöèè an (x) è bn (x), n ∈ N, îïðåäåëåíû íà ìíîæåñòâå X è óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì: (a) Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {Bk (x)}kk=1 ÷àñòè÷íûõ ñóìì ðÿäà íîìåðíî îãðàíè÷åíà íà ìíîæåñòâå X, ò. å. ∃M > 0 :

∀k ∈ N, ∀x ∈ X;

∞ P

bn (x) ðàân=1 ∞ P | bn (x)| ≤ M, n=1

(b) ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {an (x)}∞ n=1 ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ ê íóëþ íà X; (c) äëÿ êàæäîãî x0 ∈ X ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {an (x0 )}∞ n=1 ìîíîòîííà, ò. å. {an (x)} ìîíîòîííà îòíîñèòåëüíî n â êàæäîé òî÷êå ìíîæåñòâà X. Òîãäà ðÿä

∞ P n=1

an (x)bn (x) ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà ìíîæåñòâå X.

3. (Ïðèçíàê Àáåëÿ) Ïóñòü ôóíêöèè an (x) è bn (x), n ∈ N, îïðåäåëåíû íà ìíîæåñòâå X è óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì: (a) ðÿä

∞ P n=1

bn (x) ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X;

(b) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {an (x)} ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åíà íà ìíîæåñòâå X ; (c) äëÿ êàæäîãî x0 ∈ X ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {an (x0 )} ìîíîòîííà. Òîãäà ðÿä

∞ P n=1

an (x)bn (x) ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X.

Çàìåòèì, ÷òî åñëè ïðèçíàê Âåéåðøòðàññà ïðèìåíèì ê àáñîëþòíî ñõîäÿùèìñÿ, â ÷àñòíîñòè, çíàêîïîñòîÿííûì ðÿäàì, òî ïðèçíàê Äèðèõëå è Àáåëÿ  ê íåàáñîëþòíî ñõîäÿùèìñÿ ðÿäàì. Îòìåòèì òàêæå, ÷òî åñëè ïðè èñïîëüçîâàíèè ïîñëåäíèõ ïðèçíàêîâ ñâîéñòâî ìîíîòîííîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {an (x)} îòíîñèòåëüíî n î÷åâèäíî, íè â êîåì ñëó÷àå íåëüçÿ îïóñêàòü óêàçàíèå íà òî, ÷òî ýòî óñëîâèå âûïîëíåíî. 2.2.2. Ïðèìåíÿÿ îïðåäåëåíèå èëè ïðèçíàê Âåéåðøòðàññà, èññëåäîâàòü ðÿä íà ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü:

1)

1 , |x| < +∞; n=1 x2 + n2 ∞ P

2)

27

1 2 2 , x ∈ R; n=1 n2 en x ∞ P





sin nx sin (n + 1)x  √ √ 3) − , x ∈ R; n=1 n + x2 n + 1 + x2 ∞ P

n

(1 − x)cos2 nx √ , x ∈ [0; 1]; 5) n=1 n 5 n6 + 1 ∞ P

7)

9)

∞ P

(−1)n 4) , x ∈ (−2; +∞); n=1 x + 2n ∞ P

√

n=1

6)

x , x ∈ [0; +∞); n(1 − x + n2 x2 )

8)

1 , x ∈ R; n=1 (n3 + x2 )(1 + n2 x2 ) ∞ P

xn , x ∈ [−3/2; 3/2]; n=1 n · 2n ∞ P

∞ P

√

n=1

10)

∞ P n=1

sin nx , x ∈ R; n4 + sin nx 2

xe−n x ,

0 ≤ x < +∞;

xn xn+1   11) − , x ∈ [−1; 1]; n=1 n n+1

12)

sin nx 13) , |x| < +∞; 2 n=1 nln n + x2

(−1)n−1 √ 14) , 0 ≤ x < +∞; n=1 n3 + x3



∞ P



∞ P

15)

∞ P



n=1

ln 1 +

x ln n n2



21)

∞ P

, 0 ≤ x ≤ a < +∞;

2n sin

(−1)n

∞ P n=1

q

n5 + ln x2

, 1 < x < +∞;

1 , 0 ≤ x < +∞; 23) n sin n=1 n + 3n + x ∞ P

5

25)

1 √ √ , x ∈ [0; +∞); n=1 ( x + n)( x + n + 1)

27)

1 ,x ∈ [0; +∞); n=1 (x + 2n − 1)(x + 2n + 1)

28)

√

n=1

(−1)n , |x| ≤ 10; n5 + e−x

∞ P

1 , 0 < a ≤ x < +∞; n=1 3n x √ ∞ sin n x P , 0 ≤ x < +∞; 19) n=1 n2 + arctg nx 17)

∞ P

∞ P

16)

∞ P n=1

x2 e−nx , 0 < x < +∞;

18)

cos nx , x ∈ R; 2 n=2 nln n + x2

20)

x , 0 ≤ x < +∞; n=1 1 + n2 x3/2

22)

x3/4 e−nx √ , 0 ≤ x < +∞; n=1 n

∞ P

∞ P

∞ P

(−1)n sin nx 24) , x ∈ R; n=1 2n + sin x ∞ P

26)

∞ P n=1

√

x , x ∈ R; n(1 + n2 x2 )

∞ P

∞ P

(nxe−nx − x(n − 1)e−(n−1)x ),

n=1

a)x ∈ [δ; +∞), δ > 0;

á) x ∈ (0; +∞).

2.2.3. Ïðèìåíÿÿ ïðèçíàêè Äèðèõëå è Àáåëÿ, èññëåäîâàòü íà ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü ðÿä 28

(−1)n 2) , x ∈ R; n=2 n + sin x

sin nx 1) , 0 < ε ≤ x ≤ 2π − ε; n=1 n ∞ P

∞ P

sin nπ 12 , x ∈ R; ln n + x2

nx cos 2nx √ 3) · 2 n+1 , 0 < ε ≤ x ≤ 2π − ε; 4) n=1 n+x

n=2

sin nx √ , 0 < ε ≤ x ≤ 2π − ε; 5) n=1 ln n + x

6)

  n(n+1) 2 ∞ (−1) P   √ ,x 3 2 x n=1 n +e

cos nπ nx 4 7) · sin , x ≥ 1; n=1 nx + ln x nx + 1

(−1) 2 8) · arctg nx, x ≥ 0; n=1 ln(n + x)

∞ P

∞ P

(−1)n−1 1 − x 9) · n=1 2n − 1 1+x

√

∈ R;

n(n+1)

∞ P

∞ P

∞ P

∞ P

sin n1 · sin nx 4 ; π ≤ x ≤ 3π ; 10) n=1 ln(n + x) 4 4

!n

∞ P

, 0 ≤ x ≤ 1;

(−1)n 2πn 11) · cos , x ∈ R; 2 n=1 ln n + x2 2n + 1 ∞ P

12)

sin x · sin nx √ , x ∈ R; n=2 ln n + x2 ∞ P

sin nx x · tg , 0 < ε ≤ x ≤ 2π − ε. n=1 ln n + x n+3 Äëÿ îòðàáîòêè íàâûêîâ èññëåäîâàíèÿ ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà ïðåäëàãàåì ðåøèòü ñëåäóþùèå ïðèìåðû. 2.2.4. Èññëåäîâàòü íà ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü: ∞ ∞ cos nx nx P P √ arctg nx, x ∈ R ; 2) , x ≥ 0; 1) n=1 1 + n5 x2 n=1 n4 + x2 13)

∞ P

1 , x ≥ 0; 3) (−1) n sin n n=1 3 +x

cos 2πn 3 √ 4) , x ∈ R; 2 n=1 n + x2

sin n x 5) arccos , x ≥ 0; n=1 n + x n+x

cos nπ 3 6) , x ∈ R; n=1 n − cos x

sin nπ x 4 1+ 7) n=1 ln n n

(−1)n−1 8) , x ≥ a > 0; n=1 nx

∞ P

∞ P

n 5

∞ P

∞ P

∞ P

!n

∞ P

, 0 ≤ x ≤ a;

n(n−1)

n2 x (−1) 2 tg , x ≥ 0; 9) n=1 n + 2−nx n2 x + 3 ∞ P

11)

13)

∞ P

√

n=1 ∞ P

x sin nx , x ∈ R; 1 + n2 (1 + nx2 ) n−1

(−1)

n=1

10)

x n

sin · 3

n+x n+1

12)

∞ P n=1

xe−n

3 2

x

, x ≥ 0;

sin 2nx , x ≥ 0; n=1 (n + x)2 ∞ P

(−1)n−1 , x ≥ a > 0; 14) n=1 nx ∞ P

, |x| ≤ 1; 29

15)

x (−1)n−1 arcsin , 0 ≤ x ≤ 1; n=1 n + x2 enx n

17)

x sin nx n − 1), 0 ≤ x ≤ a < +∞; √ (e 18) n=1 n2 + x2

∞ P

16)

∞ P

∞ P n=1

sin n · x · e−n

5 2

x

, x ∈ R;

sin nx , x ≥ 1; n=1 1 + n2 x2 ∞ P

cos nx n+x 2 19) sin , 0 < ε ≤ x ≤ 2π − ε; n=1 n − ln n n+x+1 ∞ P

20) 2.3

cos nx 2n 5 n +1 , 0 < ε ≤ x ≤ 2π − ε. n=1 ln n + x ∞ P

Ñòåïåííûå ðÿäû.

Ðÿä

∞ X

(2)

an (x − a)n ,

n=1

ãäå {an }  ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, a  íåêîòîðîå ôèêñèðîâàííîå ÷èñëî, íàçûâàåòñÿ ñòåïåííûì ðÿäîì, à ÷èñëà an  êîýôôèöèåíòàìè ñòåïåííîãî ðÿäà. ∞ P Åñëè ïîëîæèòü x − a = t, òî ïîëó÷èì ñòåïåííîé ðÿä an tn . Òå ñâîéñòâà n=0

ñòåïåííîãî ðÿäà, êîòîðûå èíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî ëèíåéíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ, óäîáíåå ðàññìàòðèâàòü äëÿ ðÿäîâ âèäà ∞ X

(3)

an x n .

n=0

Òåîðåìà 2 (1-àÿ òåîðåìà Àáåëÿ). Åñëè ñòåïåííîé ðÿä (3) ñõîäèòñÿ â òî÷êå

x0 (6= 0), |x| < |x0 |.

òî îí àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ â êàæäîé òî÷êå

x

òàêîé, ÷òî

Òåîðåìà 3. Äëÿ ñòåïåííîãî ðÿäà (3) ñóùåñòâóåò R ≥ 0 - ÷èñëî èëè áåñêîíå÷íûé ñèìâîë

+∞,

òàêîå, ÷òî

1. ðÿä (3) àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ íà èíòåðâàëå æåñòâå

|x| > R,

åñëè

(−R; R) è ðàñõîäèòñÿ âî ìíî-

R 6= 0, +∞;

2. ðÿä (3) cõîäèòñÿ â åäèíñòâåííîé òî÷êå 3. ðÿä (3) ñõîäèòñÿ äëÿ ëþáîãî

x ∈ R,

åñëè

x = 0,

åñëè

R = 0;

R = +∞.

×èñëî èëè ñèìâîë R íàçûâàþò ðàäèóñîì ñõîäèìîñòè ðÿäà (3) . Åñëè R ∈ (0; +∞), òî èíòåðâàë (−R; R) íàçûâàþò èíòåðâàëîì ñõîäèìîñòè ðÿäà 3. Åñëè R = +∞, òî äëÿ åäèíîîáðàçèÿ èíòåðâàë (−∞; +∞) òàêæå íàçûâàþò èíòåðâàëîì ñõîäèìîñòè ðÿäà (2). Åñëè R ∈ (0; +∞), òî îáëàñòü ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà ïîëó÷àåòñÿ ïðèñîåäèíåíèåì ê åãî èíòåðâàëó ñõîäèìîñòè òåõ êðàéíèõ òî÷åê x = R, x = −R, â êîòîðûõ ñòåïåííîé ðÿä ñõîäèòñÿ. 30

Çàìåòüòå, ÷òî èíòåðâàë ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà âõîäèò âî ìíîæåñòâî àáñîëþòíîé ñõîäèìîñòè ýòîãî ðÿäà. Ðàäèóñ ñõîäèìîñòè R ñòåïåííîãî ðÿäà îïðåäåëÿåòñÿ ÷åðåç êîýôôèöèåíòû an ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû Êîøè-Àäàìàðà: q 1 = lim n |an |. R q

q

(Åñëè lim n |an | = 0, ò. å. lim n |an | = 0, òî ñ÷èòàåì R = +∞; åñëè æå q lim n |an | = +∞, òî ñ÷èòàåì R = 0). n→∞ | Èçâåñòíî, ÷òî åñëè ñóùåñòâóåò n→∞ lim |a|an+1 n| n| Ïîýòîìó â ýòîì ñëó÷àå R = n→∞ lim |a|an+1 |.

A.

q

= A, òî ñóùåñòâóåò lim n |an | =

Ðàññìîòðèì íåñêîëüêî ïðèìåðîâ.

Ïðèìåð 2.4. Íàéòè ìíîæåñòâî ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà ∞ P

2

(1 + n2 )n (x − 2)n

n=1

q

n

2

B lim n |an | = lim 1 + n2 = elim n ln(1+ n ) = e2 . Ñëåäîâàòåëüíî, R = e−2 è â êàæäîé òî÷êå ïðîìåæóòêà (2 − e−2 , 2 + e−2 ) ðÿä ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî, à íà ìíîæåñòâå {x : |x − 2| > e−2 }  ðàñõîäèòñÿ. Èññëåäóåì ïîâåäåíèå ðÿäà íà êîíöàõ ïðîìåæóòêà ñõîäèìîñòè.  òî÷êå x = 2 + e−2 îáùèé ÷ëåí äàííîãî ðÿäà èìååò âèä : 

2

4 1 2 2 2 2 n −2n 2 un = 1 + e = en ln(1+ n )−2n = en ( n − 2n2 +o( n2 ))−2n = e−2+o(1) n ïðè n → ∞.Ïîýòîìó un 6→ 0 ïðè n → ∞ è ðàññìàòðèâàåìûé ðÿä â òî÷êå ∞ P x = 2 + e−2 ðàñõîäèòñÿ.  òî÷êå x = 2 − e−2 ïîëó÷èì ðÿä (−1)n un , ïîýòîìó n=1 â íåé ñòåïåííîé ðÿä òàêæå ðàñõîäèòñÿ. Òàêèì îáðàçîì, îáëàñòü ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà ñîâïàäàåò ñ èíòåðâàëîì ñõîäèìîñòè. C

!

x2k Ïðèìåð 2.5. Íàéòè îáëàñòü ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà . 2 k =1 k 3 B Â ðàññìàòðèâàåìîì ðÿäå êîýôôèöèåíòû îïðåäåëÿþòñÿ çàêîíîì : ∞ X

   

an =   

0, 1 , k 2 3k

åñëè n = 2k − 1, åñëè n = 2k, k ∈ N.

Ïîýòîìó

v u u 2k t

1 1 √ = , n→+∞ k 2 3k 3 √ √ √ ò.å. R = 3, èíòåðâàë ñõîäèìîñòè ðÿäà ñîâïàäàåò ñ èíòåðâàëîì (− 3; 3). ∞ 1 √ X Åñëè x = ± 3, òî èìååì ðÿä , êîòîðûé ñõîäèòñÿ. Ïîýòîìó îòðåçîê 2 k k=1 √ √ [− 3; 3] ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâîì ñõîäèìîñòè èçó÷àåìîãî ðÿäà. C lim

q n

|an | = n→∞ lim

31

(3 − (−1)n )n n Ïðèìåð 2.6. x . ln n k=2 ∞ X

B Òàê êàê 3 − (−1)n 1 √ √ = lim · lim (3 − (−1)n ) = 4, n n ln n ln n ! 1 1 1 òî R = . Ïîýòîìó èíòåðâàë ñõîäèìîñòè ðÿäà ñîâïàäàåò ñ − ; . Èçó÷èì 4 4 4 ïîâåäåíèå ðÿäà íà êîíöàõ èíòåðâàëà ñõîäèìîñòè.  n n ∞ X (3 − (−1) ) 1   · Ïóñòü x = 41 , òîãäà èìååì ðÿä Çàìåòèì, ÷òî 4 ln n k=2 q

lim n |an | = n→∞ lim n→∞



bn :=

(3 −



n (−1)n ) 

4

    1 1 2k    2 ln (2k) ,

1 · =  ln n   

n = 2k,

1 , n = 2k + 1, k ∈ N ln (2k + 1)

Åñëè ïîëîæèòü    

dn =   

0,

   

n = 2k,

1 ,c = , n = 2k + 1, k ∈ N n    ln (2k + 1)

1 2k · ln (2k), n = 2k, k ∈ N , 2 0, n = 2k + 1, !

òî bn = dn + cn , n ∈ N. Ïîñêîëüêó cn ≥ 0, ∀n ∈ N, òî bn ≥ dn ≥ 0, ∀n ∈ N. ∞ X

∞ X

∞ 1 P ðàñõîäèòñÿ, ïîýòîìó ðÿä bn ðàñõîäèòñÿ, ò.å. n=1 n=1 k=1 ln (2k + 1) 1 èññëåäóåìûé ðÿä ðàñõîäèòñÿ â òî÷êå x = . 4 ∞ P 1 (−1)n bn = Åñëè x = − 4 , òî ðàññìàòðèâàåìûé ðÿä ñîâïàäàåò ñ ðÿäîì

Íî ðÿä

∞ P

dn =

(cn − dn ). Òàê êàê ðÿä

n=1 ∞ P

∞ P n=1

dn ðàñõîäèòñÿ, à ðÿä

∞ P k=1

n=2

cn ñõîäèòñÿ, òî ðÿä

(−1)n bn ðàñõîäèòñÿ. n=2 Òàêèì îáðàçîì, ìíîæåñòâî ñõîäèìîñòè èññëåäóåìîãî ðÿäà ñîâïàäàåò ñ   1 1 åãî èíòåðâàëîì ñõîäèìîñòè − 4 ; 4 . C 2.3.1. Íàéäèòå îáëàñòü ñõîäèìîñòè ñëåäóþùåãî ñòåïåííîãî ðÿäà:

xn ; 1) n=1 n

xn 2) ; n=1 ln (n + 1)

xn 3) ; n=1 3n n

cos nπ 12 · xn ; 4) 2 n=1 n

xn 5) ; n=1 n(n + 2)

(3n − 2)(x − 5)n 6) ; n=1 (n + 1)2 · 2n

x2n−1 7) ; n=1 2n + 3n

(−1)n (x + 5)2n 8) ; n=1 n(2n + 5n )

∞ P

∞ P

∞ P

∞ P

∞ P

∞ P

∞ P

∞ P

32

n! 9) (x − 1)n ; n n=1 n ∞ P

11)

13)

∞ P

(

n=1

2n 3n + )(x − 5)n ; 2 n n

(−1)n + 5n n x ; n=1 ln (n + 1) ∞ P

√ (1 + (−1)n 3)n n 15) x ; n=1 3n ∞ P

17)

19)

21)

∞ P n=1

√ √ sin ( n + 1 − n)xn ;

(2 + (−1)n )n n x ; n=1 n ∞ P

∞ P

(3

n=2

n ln n

n

− 1)x ;

2n 3n n 10) ( + 2 )x ; n=1 n n ∞ P

12)

14)

x3n ; n=1 3n · n ∞ P

∞ P

n

(3 ln n − 1)xn ;

n=2

xn! 16) ; n=1 n! ∞ P

18)

20)

ln (n + 1) 2n+1 x ; n=1 3n ∞ P

∞ P n=2

n tg

1 n x ; ln n

3n + ln5 n 22) (x − 5)n ; n=1 n3 − ln n ∞ P

xn √ 23) ; n=1 62n n2 + 1

24)

ln n (x − 2)n ; 3 n=2 n

n2 x2n 25) · n; n=1 (n + 1)2 4

26)

n! (x − 1)n ; n n=1 n

(x + 1)3n ; n=2 23n n ln n

28)

ln (n + 1) n+1 x ; n=1 n

∞ P

∞ P

27)

∞ P

∞ P

∞ P

∞ P

(−1)n 29) (x − 2)2n ; n n=1 n4

(−1)n 2n−1 √ x 30) ; n=1 3n−1 n n

(−1)n · n (x − 5)n+1 ; 31) n=1 (n + 1)!

32)

(2n − 1)n 33) (x + 1)n ; n−1 n n=1 2 n

(−1)n (2n − 1)2n 34) (x − 1)n ; 2n n=1 (3n − 2)

∞ P

∞ P

∞ P

35)

n! 2n x ; n=1 2n2 ∞ P

∞ P

n−1 (x + 3)n ; n−1 n=1 3 ∞ P

∞ P

36)

33

∞ P n=1

3n arctg

1 (x + 2)n ; n 7

37)

∞ P

(1 +

√

n=1

n 3 cos nπ 3 ) xn ; n 3

(n!)2 n 39) x ; n=1 (2n)! ∞ P

41)

∞ P n=1

√

e

x ;

n n

7n + (−6)n n 43) x ; n=1 n ∞ P

xn 1 n; n=1 1+( 2 )

53)

∞ P

n x n ( ) ; n=1 n + 1 2 ∞ P

2

(x + 2)n 55) ; n=1 nn ∞ P

∞ P n=1

2ln n xn ;

xn 44) ; n=1 1 + 2n ∞ P

46)

(x + 1)n ; n=1 2n−1 n(n + 1) ∞ xn P ; 51) n=1 nn+1/n

47)

√

3− n n √ 40) x ; n=1 n2 + 1 ∞ P

42)

∞ P

45)

(−1)n−1 2n−1 38) x ; n=1 2n + 1 ∞ P

∞ P n=0

n!xn ;

((−1)n + 3)n n x ; n=1 ln n nπ ∞ sin P 3 xn ; 52) n n=1 2 50)

∞ P

ln n √ n nxn ; n=1 n √ 3 ∞ n+1 n P 56) x . n=1 n 54)

∞ P

2.3.2. Èñïîëüçóÿ ðàçëîæåíèÿ ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé â ðÿä Òåéëîðà, ðàçëîæèòå â ñòåïåííîé ðÿä ôóíêöèþ f (x) ïî ñòåïåíÿì x, óêàæèòå îáëàñòü ñõîäèìîñòè ïîëó÷åííîãî ðÿäà:

1) f (x) = e−3x ;

2) f (x) = sin2 x;

1 3) f (x) = ln 1−3x ;

4) f (x) = x ln (1 + √ 3

x3 3 );

5) f (x) =

1 1−2x2 ;

6) f (x) =

7) f (x) =

x 2−x ;

8) f (x) = e3x − 2e−x .

1 − 2x;

9) f (x) = 2x · 3−x ;

10) f (x) = 10x ;

11) f (x) = sin x cos 2x;

12) f (x) = sin3 x;

13) f (x) = cos x cos 3x;

14) f (x) =

34

√ x ; 1−2x

15) f (x) =

x3 1+x−2x2 ;

16) f (x) =

12−5x 6−5x−x2 ;

2.3.3. Èñïîëüçóÿ ðàçëîæåíèÿ ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé â ðÿä Òåéëîðà, ðàçëîæèòå â ñòåïåííîé ðÿä ïî ñòåïåíÿì (x − x0 ) ôóíêöèþ f (x), óêàæèòå îáëàñòü ñõîäèìîñòè ïîëó÷åííîãî ðÿäà. 1 23x−2 ,

1) f (x) = ex−1 , x0 = 4;

2) f (x) =

3) f (x) = 2x · ex−1 , x0 = 1;

4) f (x) = ln x, x0 = 4;

5) f (x) = ln (2x + 3), x0 = −1, x0 = 4;

6) f (x) = ln (3 − 4x), x0 = −2;

7) f (x) = ln (x2 − 5x + 6), x0 = 1;

8) f (x) =

9) f (x) =

1 1−x ,

x0 = 2;

1 2x+3 ,

10) f (x) =

x x+2 ,

x0 = −1;

x0 = 2; x0 = −1;

11) f (x) = x6 − 2x2 + 4, x0 = 1;

12) f (x) = sin πx 4 , x0 = 2;

13) f (x) = cos2 x, x0 = π4 ;

14) f (x) = sin x, x0 = π4 ;

15) f (x) = x1 , x0 = 3;

16) f (x) =

17) f (x) =

√

1 , x2 −12x+40

1 x

+ 2x3 , x0 = 1;

x0 = 6.

2.3.4. Èñïîëüçóÿ ìåòîäû äèôôåðåíöèðîâàíèÿ èëè èíòåãðèðîâàíèÿ ñòåïåííîãî ðÿäà, ðàçëîæèòü ôóíêöèþ f (x) â ñòåïåííîé ðÿä ïî ñòåïåíÿì x è óêàçàòü åãî ìíîæåñòâî ñõîäèìîñòè:

1) f (x) = arctg x; 3) f (x) = ln (x +

√

2) f (x) = arcsin x; 1 + x2 );

5) f (x) = arctg x2 ;

11) f (x) =

√

√

1 − x2 ;

6) f (x) = arcsin x3 ;

7) f (x) = x arctg x − ln 9) f (x) = ln (x +

4) f (x) = x arcsin x +

√

1 + x2 ;

16 + x2 );

Rx ln (1+t) dt; t 0

13) f (x) = arccos x;

8) f (x) = arctg 2−2x 1+4x ; 10) f (x) = arccos (1 − 2x2 ); 12) f (x) = (x + 1) ln (x + 1) − x; 14) f (x) =

35

Rx sin t2 t dt; 0

15) f (x) =

Rx arctg t t dt. 0

2.3.5. Íàéòè ñóììó ðÿäà:

x2n−1 1) ; n=1 2n − 1

x2n 2) ; n=1 (2n!)

∞ P

3) 5)

7)

∞ P

n−1

(−1)

n=1 ∞ P n=1 ∞ P n=1

∞ P

x2n−1 ; 2n − 1

xn 4) ; n=1 n(n + 1) ∞ P

nxn ;

6)

n(n + 1)xn ;

8)

∞ P

(−1)n−1 n2 xn ;

n=1

x4n+1 ; n=0 4n + 1 ∞ P

(2n + 1)x2n 9) ; n=0 n!

10)

(−1)n lnn n 11) ; n=1 2n n!

12)

(−1)n 13) ; n=0 n · 3n

n2 14) ; n=1 n!

2n (n + 1) 15) ; n=0 n!

16)

∞ P

∞ P

∞ P

∞ P

2n + 1 ; n=1 3n ∞ P

∞ P

1 ; n(2n+1) n=1 ∞ P

(−1)n n 17) . n=0 (2n + 1)! ∞ P

36

n ; n=1 3n ∞ P

Ñïèñîê ëèòåðàòóðû

[1] Êóäðÿâöåâ Ë.Ä. Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç, ò.1.Ì.: Âûñøàÿ øêîëà, 1973. 614ñ. [2] Ôèõòåíãîëüö Ã.Ì. Êóðñ äèôôåðåíöèàëüíîãî è èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ, ò.2.Ì.: Íàóêà, 1966. 800ñ. [3] Äåìèäîâè÷ Á.Ï. Ñáîðíèê çàäà÷ è óïðàæíåíèé ïî ìàòåìàòè÷åñêîìó àíàëèçó, Ì.: Íàóêà, 1990. 624ñ. [4] Êóäðÿâöåâ Ë.Ä., Êóòàñîâ À.Ä. è äð. Ñáîðíèê çàäà÷ ïî ìàòåìàòè÷åñêîìó àíàëèçó. Èíòåãðàëû. Ðÿäû. Ì.: Íàóêà, 1986. 527ñ. [5] Âèíîãðàäîâà È.À., Îëåõíèê Ñ.Í., Ñàäîâíè÷èé Â.À., Çàäà÷è è óïðàæíåíèÿ ïî ìàòåìàòè÷åñêîìó àíàëèçó, ê.2.Ì.: Âûñøàÿ øêîëà, 2000. 711ñ. [6] Àáàíèí À.Â., Êîðøèêîâà Ò.È., Ñïèíêî Ë.È. Ðÿäû. Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ.  Ðîñòîâ-íà-Äîíó: ÓÏË ÐÃÓ, 1983. 32ñ. Ñîäåðæàíèå 1

×èñëîâûå ðÿäû è èõ ñõîäèìîñòü.

1.1 1.2 1.3 2

Ñõîäèìîñòü ïîëîæèòåëüíûõ ðÿäîâ. . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Ñõîäèìîñòü çíàêîïåðåìåííûõ ðÿäîâ. . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Èññëåäîâàíèå ðÿäà íà àáñîëþòíóþ è óñëîâíóþ ñõîäèìîñòü. . . . 15

Ôóíêöèîíàëüíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ðÿäû

2.1 2.2 2.3

3

19

Ïîòî÷å÷íàÿ è ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè . . . . . . . . . . . . . . . 19 Ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà . . . . . . . . . 25 Ñòåïåííûå ðÿäû. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

37