Î òåîðåìå Ïîíñåëå À.À.Çàñëàâñêèé
 íàèáîëåå ïðîñòîé ôîðìå òåîðåìà Ïîíñåëå óòâåðæäàåò ñëåäóþùåå. Òåîðåìà Ïîíñåëå. Ïóñòü ...
66 downloads
161 Views
117KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
Î òåîðåìå Ïîíñåëå À.À.Çàñëàâñêèé
 íàèáîëåå ïðîñòîé ôîðìå òåîðåìà Ïîíñåëå óòâåðæäàåò ñëåäóþùåå. Òåîðåìà Ïîíñåëå. Ïóñòü äàíû äâå îêðóæíîñòè, îäíà èç êîòîðûõ ëåæèò âíóòðè äðóãîé. Èç òî÷êè A0 áîëüøåé îêðóæíîñòè ïðîâåäåì êàñàòåëüíóþ ê ìåíüøåé è íàéäåì âòîðóþ òî÷êó A1 ïåðåñå÷åíèÿ ýòîé êàñàòåëüíîé ñ áîëüøåé îêðóæíîñòüþ. Ïî òî÷êå A1 àíàëîãè÷íî ïîñòðîèì òî÷êó A2 è ò.ä. Òîãäà, åñëè A0 = An äëÿ êàêîé-òî òî÷êè A0 , ýòî áóäåò âûïîëíåíî è äëÿ ëþáîé äðóãîé òî÷êè áîëüøîé îêðóæíîñòè Ãîâîðÿ íåôîðìàëüíî, âïèñàííî-îïèñàííûé ìíîãîóãîëüíèê ìîæíî "âðàùàòü"ìåæäó äâóìÿ îêðóæíîñòÿìè (ïðè ýòîì åãî ôîðìà, âîîáùå ãîâîðÿ, ìåíÿåòñÿ). Áóäåì íàçûâàòü òàêîé "âðàùàþùèéñÿ"ìíîãîóãîëüíèê ìíîãîóãîëüíèêîì Ïîíñåëå. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Ïîíñåëå è åå îáîáùåíèé äëÿ ïðîèçâîëüíîãî n ìîæíî ïðî÷èòàòü â ðàáîòàõ [1,3]. Ïðåäëàãàåìàÿ ñåðèÿ çàäà÷ ñîäåðæèò äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Ïîíñåëå è íåêîòîðûõ ñâîéñòâ ìíîãîóãîëüíèêîâ Ïîíñåëå äëÿ n = 3, 4. Îíà ïðåäíàçíà÷åíà, â ïåðâóþ î÷åðåäü, øêîëüíèêàì 1011 êëàññîâ, íî ìîæåò áûòü èíòåðåñíà è 9-êëàññíèêàì.
Òåñòîâûå âîïðîñû
1. Êàêàÿ âåëè÷èíà îñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé ïðè âðàùåíèè òðåóãîëüíèêà Ïîíñåëå? à) Ïåðèìåòð; á) ïëîùàäü; â) ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè. 2. Äàí íåðàâíîáåðåííûé òðåóãîëüíèê. Ñêîëüêî ñóùåñòâóåò ïîïàðíî íå ðàâíûõ ðàâíîáåäðåííûõ òðåóãîëüíèêîâ, èìåþùèõ òå æå ðàäèóñû îïèñàííîé è âïèñàííîé îêðóæíîñòåé? à) Íè îäíîãî; á) îäèí; â) äâà; ã) áåñêîíå÷íî ìíîãî. 3.  âïèñàííî-îïèñàííîì ÷åòûðåõóãîëüíèêå äâå ñòîðîíû ðàâíû. Êàêîå èç óòâåðæäåíèé âåðíî? à) Äâå äðóãèå ñòîðîíû ðàâíû; á) äâå äðóãèå ñòîðîíû ïàðàëëåëüíû; â) äâå äðóãèå ñòîðîíû ðàâíû èëè ïàðàëëåëüíû; ã) íèêàêîå.
Òåîðåìà Ïîíñåëå äëÿ n = 3 1. Ïóñòü O, I öåíòðû îïèñàííîé è âïèñàííîé îêðóæíîñòåé òðåóãîëüíèêà, R, r èõ ðàäèóñû. Äîêàæèòå ôîðìóëó Ýéëåðà
OI 2 = R2 − 2Rr. 1
Ðåøåíèå. Ïðîâåäåì ïðÿìóþ ÷åðåç I è âåðøèíó C òðåóãîëüíèêà ABC è íàéäåì âòîðóþ
òî÷êó C 0 ïåðåñå÷åíèÿ ýòîé ïðÿìîé ñ îïèñàííîé îêîëî ABC îêðóæíîñòüþ (ðèñ.1).
Ðèñ.1 Òàê êàê C 0 A = C 0 B , ∠AIB = π − (∠A + ∠B)/2 = (π + ∠C)/2 è ∠AC 0 B = π − ∠C , C 0 öåíòð îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî òðåóãîëüíèêà AIB . Çíà÷èò, IC 0 = C 0 B = 2R sin \2C . Ñ äðóãîé ñòîðîíû, IC = r/ sin \2C , ñëåäîâàòåëüíî
R2 − OI 2 = CI · C 0 I = 2Rr. ¤ 2. Äîêàæèòå òåîðåìó Ïîíñåëå äëÿ n = 3. Ðåøåíèå. Ïóñòü äàí òðåóãîëüíèê ABC . Èç ïðîèçâîëüíîé òî÷êè C 0 íà åãî îïèñàííîé îêðóæíîñòè ïðîâåäåì êàñàòåëüíûå ê âïèñàííîé îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêà è íàéäåì âòîðûå òî÷êè A0 , B 0 èõ ïåðåñå÷åíèÿ ñ îïèñàííîé îêðóæíîñòüþ. Íàäî ïîêàçàòü, ÷òî ïðÿìàÿ A0 B 0 òàêæå êàñàåòñÿ âïèñàííîé îêðóæíîñòè. Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå. Íàïðèìåð, ïóñòü A0 B 0 íå ïåðåñåêàåò âïèñàííîé îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêà ABC . Áóäåì óâåëè÷èâàòü óãîë A0 C 0 B 0 , òàê ÷òîáû ïðÿìàÿ C 0 I îñòàâàëàñü åãî áèññåêòðèñîé. Òîãäà ðàññòîÿíèå îò I äî ïðÿìûõ C 0 A0 è C 0 B 0 áóäåò óâåëè÷èâàòüñÿ, à äî ïðÿìîé A0 B 0 óìåíüøàòüñÿ, è â êàêîé-òî ìîìåíò îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì I è ðàäèóñîì r0 > r îêàæåòñÿ âïèñàííîé â òðåóãîëüíèê A0 B 0 C 0 . Íî èç ôîðìóëû Ýéëåðà ñëåäóåò, ÷òî ðàäèóñû âïèñàííûõ îêðóæíîñòåé òðåóãîëüíèêîâ ABC è A0 B 0 C 0 ðàâíû ïðîòèâîðå÷èå. Ñëó÷àé, êîãäà A0 B 0 ïåðåñåêàåò âïèñàííóþ îêðóæíîñòü, ðàññìàòðèâàåòñÿ àíàëîãè÷íî. ¤ Ñ êàæäûì òðåóãîëüíèêîâ ñâÿçàí ðÿä òàê íàçûâàåìûõ çàìå÷àòåëüíûõ òî÷åê èëè öåíòðîâ. Êîãäà òðåóãîëüíèê "âðàùàåòñÿ"ìåæäó îïèñàííîé è âïèñàííîé îêðóæíîñòÿìè, ýòè òî÷êè äâèæóòñÿ ïî êàêèì-òî êðèâûì.  ñëåäóþùèõ çàäà÷àõ òðåáóåòñÿ íàéòè ñîîòâåòñòâóþùèå òðàåêòîðèè. 3. Êàêóþ òðàåêòîðèþ îïèñûâàåò a) òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ìåäèàí M ; 2
b) îðòîöåíòð H ; ∗ c) òî÷êà Æåðãîííà G (òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ îòðåçêîâ, ñîåäèíÿþùèõ âåðøèíû òðåóãîëüíèêà è òî÷êè êàñàíèÿ ïðîòèâîïîëîæíûõ ñòîðîí ñ âïèñàííîé îêðóæíîñòüþ) òðåóãîëüíèêà Ïîíñåëå? Ðåøåíèå. Ïðîùå âñåãî âîñïîëüçîâàòüñÿ òåîðåìîé Ôåéåðáàõà, óòâåðæäàþùåé, ÷òî îêðóæíîñòü Ýéëåðà, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç ñåðåäèíû A0 , B0 , C0 òðåóãîëüíèêà ABC , êàñàåòñÿ åãî âïèñàííîé îêðóæíîñòè. Èç íåå ñëåäóåò, ÷òî öåíòð ýòîé îêðóæíîñòè, ñîâïàäàþùèé ñ ñåðåäèíîé îòðåçêà OH , ëåæèò íà îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì I è ðàäèóñîì R/2 − r. Çíà÷èò, òî÷êè M è H ëåæàò íà îáðàçàõ ýòîé îêðóæíîñòè ïðè ãîìîòåòèÿõ ñ öåíòðîì O è êîýôôèöèåíòàìè 2/3 è 2, ñîîòâåòñòâåííî. Òî÷êà Æåðãîííà òàêæå äâèæåòñÿ ïî îêðóæíîñòè, ïðè÷åì ýòà îêðóæíîñòü ñîîñíà ñ îïèñàííîé è âïèñàííîé îêðóæíîñòÿìè òðåóãîëüíèêà. Îäíàêî, ïðîñòîå ãåîìåòðè÷åñêîå äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî ôàêòà ïîêà ïîëó÷èòü íå óäàëîñü. ¤ Òî÷êó M îáû÷íî íàçûâàþò öåíòðîì òÿæåñòè òðåóãîëüíèêà. Íà ñàìîì äåëå ýòà òî÷êà ÿâëÿåòñÿ öåíòðîì òÿæåñòè òðåõ ðàâíûõ ìàññ, ïîìåùåííûõ â âåðøèíû òðåóãîëüíèêà, è öåíòðîì òÿæåñòè ñïëîøíîãî òðåóãîëüíèêà, íàïðèìåð, âûðåçàííîãî èç êàðòîíà. Åñëè æå ìàññà òðåóãîëüíèêà ñîñðåäîòî÷åíà íà åãî ïåðèìåòðå, êàê ó òðåóãîëüíèêà, ñäåëàííîãî èç ïðîâîëîêè, òî öåíòðîì òÿæåñòè áóäåò äðóãàÿ òî÷êà M1 . Ñîîòâåòñòâåííî, äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ìíîãîóãîëüíèêà ìîæíî îïðåäåëèòü òðè öåíòðà: öåíòð òÿæåñòè âåðøèí M0 , öåíòð òÿæåñòè ïåðèìåòðà M1 è öåíòð òÿæåñòè ñïëîøíîãî ìíîãîóãîëüíèêà M2 . 4. Íàéäèòå öåíòð M1 òðåóãîëüíèêà è åãî òðàåêòîðèþ ïðè "âðàùåíèè". Ðåøåíèå. Ñîñðåäîòî÷èâ ìàññû ñòîðîí òðåóãîëüíèêà â èõ öåíòðàõ òÿæåñòè òî÷êàõ A0 , B0 , C0 , ïîëó÷èì, ÷òî M1 öåíòð îêðóæíîñòè, âïèñàííîé â òðåóãîëüíèê A0 B0 C0 . Ñëåäîâàòåëüíî, M1 îáðàç M ïðè ãîìîòåòèè ñ öåíòðîì I è êîýôôèöèåíòîì 3/2, òàê ÷òî åãî òðàåêòîðèÿ òîæå îêðóæíîñòü. ¤ 5. Ïóñòü A0 , B 0 , C 0 òî÷êè êàñàíèÿ ñòîðîí òðåóãîëüíèêà Ïîíñåëå ñ âïèñàííîé îêðóæíîñòüþ. Íàéäèòå òðàåêòîðèþ öåíòðà òÿæåñòè M0 òðåóãîëüíèêà A0 B 0 C 0 . Ðåøåíèå. Ïóñòü A”, B”, C” âòîðûå òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ âûñîò òðåóãîëüíèêà A0 B 0 C 0 ñ âïèñàííîé îêðóæíîñòüþ ABC . Òîãäà A”A0 , B”B 0 , C”C 0 áèññåêòðèñû óãëîâ A”B”C”, ò.å. îðòîöåíòð H 0 òðåóãîëüíèêà A0 B 0 C 0 ñîâïàäàåò ñ öåíòðîì âïèñàííîé îêðóæíîñòè A”B”C”. Êðîìå òîãî, íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî ñòîðîíû A”B”C” ïàðàëëåëüíû ñîîòâåòñòâóþùèì ñòîðîíàì ABC , è çíà÷èò ýòè òðåóãîëüíèêè ãîìîòåòè÷íû. Ïðè ýòîé ãîìîòåòèè O ïåðåõîäèò â I , à I â H 0 , ñëåäîâàòåëüíî, H 0 ëåæèò íà ïðÿìîé OI è IH 0 /OI = r/R. Ïîýòîìó ïðè âðàùåíèè òðåóãîëüíèêà H 0 , à çíà÷èò è äåëÿùèé îòðåçîê H 0 I â îòíîøåíèè 2 : 1 öåíòð òÿæåñòè A0 B 0 C 0 îñòàåòñÿ íåïîäâèæíûì. ¤ 6.∗ Äàí òðåóãîëüíèê Ïîíñåëå è íåïîäâèæíàÿ òî÷êà P . Íàéäèòå òðàåêòîðèþ òî÷êè, èçîãîíàëüíî ñîïðÿæåííîé P . Îòâåò. Ïóñòü P 0 òî÷êà, èíâåðñíàÿ P îòíîñèòåëüíî îïèñàííîé îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêà. Ðàññìîòðèì ïîâîðîòíóþ ãîìîòåòèþ ñ öåíòðîì P 0 , ïåðåâîäÿùóþ P â I , è íàéäåì îáðàç Q òî÷êè I ïðè ýòîé ãîìîòåòèè. Èñêîìàÿ òðàåêòîðèÿ îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì Q (ðèñ.2). Ýòî ìîæíî äîêàçàòü, èñïîëüçóÿ êîìïëåêñíûå ÷èñëà. Ãåîìåòðè÷åñêîå äîêàçàòåëüñòâî íåèçâåñòíî.
3
B
Ðèñ.2
¤
Òåîðåìà Ïîíñåëå äëÿ n = 4 7. Äàíà îêðóæíîñòü è òî÷êà P âíóòðè íåå. Ðàññìîòðèì ïàðû ïåðïåíäèêóëÿðíûõ ëó÷åé ñ íà÷àëîì P , ïåðåñåêàþùèõ îêðóæíîñòü â òî÷êàõ A è B . a) Íàéòè ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî ñåðåäèí îòðåçêîâ AB . b) Íàéòè ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ êàñàòåëüíûõ ê îêðóæíîñòè â òî÷êàõ A è B. Ðåøåíèå. Ïóñòü C ÷åòâåðòàÿ âåðøèíà ïðÿìîóãîëüíèêà P ACB . Òàê êàê OP 2 +OC 2 = OA2 +OB 2 , C îïèñûâàåò îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì O. Çíà÷èò, ñåðåäèíà îòðåçêà AB îïèñûâàåò îêðóæíîñòü, öåíòðîì êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ ñåðåäèíà OP , è èíâåðñíàÿ ê íåé òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ êàñàòåëüíûõ òàêæå îïèñûâàåò îêðóæíîñòü. ¤ 8. Äîêàçàòü òåîðåìó Ïîíñåëå äëÿ n = 4. Óêàçàíèå. Äîêàæèòå, ÷òî îòðåçêè, ñîåäèíÿþùèå òî÷êè êàñàíèÿ ïðîòèâîïîëîæíûõ ñòîðîí ÷åòûðåõóãîëüíèêà ñ âïèñàííîé îêðóæíîñòüþ, âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû, è âîñïîëüçóéòåñü ïðåäûäóùåé çàäà÷åé. ¤ 9. Ïóñòü äâå îêðóæíîñòè ñ öåíòðàìè O, I è ðàäèóñàìè R, r óäîâëåòâîðÿþò òåîðåìå Ïîíñåëå äëÿ n = 4. Âûâåñòè ñîîòíîøåíèå, ñâÿçûâàþùåå âåëè÷èíû R, r è d = OI . 4
Îòâåò.
1 1 1 = + . 2 2 r (R + d) (R − d)2
¤ 10. a) Äîêàçàòü, ÷òî äèàãîíàëè âñåõ âïèñàííî-îïèñàííûõ ÷åòûðåõóãîëüíèêîâ ñ äàííûìè âïèñàííîé è îïèñàííîé îêðóæíîñòÿìè ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå P , ëåæàùåé íà ïðÿìîé OI . b) Âûâåñòè ñîîòíîøåíèå, ñâÿçûâàþùåå OP , R è d.
Îòâåò.
R + OP (R + d)2 = . R − OP (R − d)2
¤ 11. Äîêàçàòü, ÷òî ïðÿìûå, ñîåäèíÿþùèå òî÷êè êàñàíèÿ ïðîòèâîïîëîæíûõ ñòîðîí âïèñàííîîïèñàííîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà ñ âïèñàííîé îêðóæíîñòüþ, ÿâëÿþòñÿ áèññåêòðèñàìè óãëîâ ìåæäó åãî äèàãîíàëÿìè. Ðåøåíèå. Èç ôîðìóëû ïðåäûäóùåé çàäà÷è íåòðóäíî ïîëó÷èòü, ÷òî P ïðåäåëüíàÿ òî÷êà ïó÷êà, ïîðîæäåííîãî îïèñàííîé è âïèñàííîé îêðóæíîñòÿìè ÷åòûðåõóãîëüíèêà. Ïîýòîìó äëÿ ëþáîé òî÷êè X îïèñàííîé îêðóæíîñòè îòíîøåíèå ðàññòîÿíèÿ XP ê êàñàòåëüíîé èç X ê âïèñàííîé îêðóæíîñòè áóäåò îäíèì è òåì æå. Óòâåðæäåíèå çàäà÷è ñëåäóåò èç ýòîãî ôàêòà è òîãî, ÷òî ïðÿìûå, ñîåäèíÿþùèå òî÷êè êàñàíèÿ ïðîòèâîïîëîæíûõ ñòîðîí îïèñàííîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà ñ âïèñàííîé îêðóæíîñòüþ, ïðîõîäÿò ÷åðåç òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ äèàãîíàëåé. ¤ 12. Íàéòè öåíòðû òÿæåñòè M0 , M1 , M2 ÷åòûðåõóãîëüíèêà è èõ òðàåêòîðèè. Ðåøåíèå. Òî÷êà M0 ñåðåäèíà îòðåçêà ìåæäó ñåðåäèíàìè äèàãîíàëåé ÷åòûðåõóãîëüíèêà. Èñïîëüçóÿ òîò ôàêò, ÷òî ïðÿìàÿ, ñîåäèíÿþùàÿ ñåðåäèíû äèàãîíàëåé îïèñàííîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà, ïðîõîäèò ÷åðåç öåíòð âïèñàííîé îêðóæíîñòè, íåòðóäíî âûâåñòè, ÷òî òðàåêòîðèÿ M0 îêðóæíîñòü. M2 ëåæèò íà îòðåçêå, ñîåäèíÿþùåì öåíòðû òÿæåñòè äâóõ òðåóãîëüíèêîâ, íà êîòîðûå ÷åòûðåõóãîëüíèê ðàçðåçàåòñÿ äèàãîíàëüþ. Ñëåäîâàòåëüíî, M2 ìîæíî ïîñòðîèòü êàê òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ äâóõ òàêèõ îòðåçêîâ. Ïîñêîëüêó êàæäûé èç ýòèõ îòðåçêîâ ïàðàëëåëåí îäíîé èç äèàãîíàëåé ÷åòûðåõóãîëüíèêà, à âòîðóþ ïåðåñåêàåò â òî÷êå, äåëÿùåé îòðåçîê îò P äî ñåðåäèíû äèàãîíàëè â îòíîøåíèè 2 : 1, òî M2 îáðàç M0 ïðè ãîìîòåòèè ñ öåíòðîì P è êîýôôèöèåíòîì 4/3, ò.å. òðàåêòîðèÿ M2 òàêæå îêðóæíîñòü. Ñ äðóãîé ñòîðîíû M2 ìîæíî ïîëó÷èòü êàê öåíòð òÿæåñòè ÷åòûðåõ ìàññ, ïîìåùåííûõ â öåíòðàõ òÿæåñòè òðåóãîëüíèêîâ IAB , IBC , ICD, IDA, è ïðîïîðöèîíàëüíûõ ïëîùàäÿì ýòèõ òðåóãîëüíèêîâ. Ïîñêîëüêó M1 ýòî öåíòð òÿæåñòè ÷åòûðåõ ìàññ, ïîìåùåííûõ â ñåðåäèíàõ ñòîðîí AB , BC , CD, DA, è ïðîïîðöèîíàëüíûõ äëèíàì ýòèõ ñòîðîí, òî M1 îáðàç M2 ïðè ãîìîòåòèè ñ öåíòðîì I è êîýôôèöèåíòîì 3/2. Çíà÷èò, òðàåêòîðèÿ M1 òîæå îêðóæíîñòü (ðèñ.3).
5
Ðèñ.3
¤ 13.∗ Äîêàæèòå, ÷òî â ÷åòûðåõóãîëüíèêå Ïîíñåëå a) ïðîèçâåäåíèå òàíãåíñîâ óãëîâ, îáðàçîâàííûõ äèàãîíàëÿìè ñ ïðÿìîé OI ; b) ïðîèçâåäåíèå äëèí äèàãîíàëåé ïîñòîÿííî. Ïðèìå÷àíèå. Çàäà÷è 1, 3a, 3b, 4, 7 òðåíèðîâî÷íûå; 2, 5, 812 çà÷åòíûå; 3c, 6, 13 äîïîëíèòåëüíûå.
Ëèòåðàòóðà 1. Çàñëàâñêèé À.À., ×åëíîêîâ Ã.Ð. Òåîðåìà Ïîíñåëå â åâêëèäîâîé è àëãåáðàè÷åñêîé ãåîìåòðèè. Ìàòåìàòè÷åñêîå îáðàçîâàíèå. 2001. N 4(19). 2. Çàñëàâñêèé À., Êîñîâ Ä., Ìóçàôàðîâ Ì. Òðàåêòîðèè çàìå÷àòåëüíûõ òî÷åê òðåóãîëüíèêà Ïîíñåëå. Êâàíò. 2003. N 2. 3. Àêîïÿí À.Â., Çàñëàâñêèé À.À. Ãåîìåòðè÷åñêèå ñâîéñòâà êðèâûõ âòîðîãî ïîðÿäêà. Ì.: ÌÖÍÌÎ, 2007.
6