Контрольные задания по курсу ''Математика'' для экономических специальностей: Учебно-методическое пособие

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского»

Т.М.Левина КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ «МАТЕМАТИКА» ДЛЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ.

Учебно-методическое пособие

Рекомендовано комиссией для преподавателей и студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям подготовки 060400, 060800, 061100, 061000, 351400.

Нижний новгород 20005 3

УДК 51 ББК В11 Т.М. Левина. КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ «МАТЕМАТИКА» ДЛЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ: Учебно-методическое пособие.Нижний Новгород: Издательство Нижегородского госуниверситета, 2005. 13 с.

Рецензент:

к.ф.-м.н., доцент каф. теории функций Л.К.Додунова

В настоящем учебно-методическом пособии содержатся 6 контрольных работ, каждая из которых состоит из 10 вариантов, составленных в соответствии с программой по математике для специальностей 060400, 060800, 061100, 061000, 351400. Данное учебно-методическое пособие рекомендуется для использования преподавателями при проверке усвоения материала студентами как дневного, так и заочного отделений.

УДК 51 ББК В11

4

Контрольная работа № 1 1. Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными x1 , x2 , x3 задана матричным уравнением AX=B. Найти

⎡ x1 ⎤ X = ⎢ x2 ⎥ . Систему решить тремя способами: методом Крамера, ⎢x ⎥ ⎣ 3⎦

методом Гаусса и методом обратной матрицы. 1)

1⎤ ⎡ 3 0 A = ⎢− 2 1 4⎥ , ⎢⎣ 5 0 − 2⎥⎦

⎡5⎤ B = ⎢5⎥ . ⎢⎣1⎥⎦

2)

2⎤ ⎡1 − 3 A = ⎢6 1 − 1⎥ , 4 − 2⎥⎦ ⎢⎣0

⎡ 1⎤ B = ⎢ − 14⎥ . ⎣⎢ − 2⎦⎥

3)

2 5⎤ ⎡ 0 A = ⎢ 1 − 3 1⎥ , 4 2⎥⎦ ⎣⎢ − 1

⎡ − 8⎤ B = ⎢ − 2⎥ . ⎣⎢ − 3⎦⎥

4)

1 3⎤ ⎡2 A = ⎢0 − 1 2⎥ , ⎢⎣ 5 2 − 3⎥⎦

⎡ 5⎤ B = ⎢ − 2⎥ . ⎢⎣ 0⎥⎦

5)

3⎤ ⎡1 2 A = ⎢ 4 3 − 6⎥ , 8⎥⎦ ⎢⎣ 0 5

⎡ 2⎤ B = ⎢ 5⎥ . ⎢⎣ − 7⎥⎦

6)

2⎤ ⎡ 1 −1 A = ⎢ 3 2 − 7⎥ , 1 6⎥⎦ ⎢⎣ − 4

⎡ 1⎤ B = ⎢ 10⎥ . ⎢⎣ − 2⎥⎦

7)

2⎤ ⎡ 1 −1 A = ⎢− 2 5 − 3⎥ , ⎣⎢ − 1 6 − 5⎥⎦

⎡ 1⎤ B = ⎢ 0⎥ . ⎣⎢7⎦⎥

8)

1⎤ ⎡ 2 1 A = ⎢ − 1 10 − 3⎥ , 2⎥⎦ ⎢⎣ 3 7

⎡ 8⎤ B = ⎢ 6⎥ . ⎢⎣10⎥⎦

9)

5 0⎤ ⎡3 A = ⎢ 1 − 3 − 3⎥ , 1 − 5⎥⎦ ⎢⎣ 2

⎡ − 2⎤ B = ⎢ − 4⎥ . ⎢⎣ 4⎥⎦

5

10)

⎡ 0 − 2 1⎤ A = ⎢ − 6 − 1 1⎥ , ⎢⎣ 1 − 3 2⎥⎦

⎡ 1⎤ B = ⎢14⎥ . ⎢⎣ 1⎥⎦

2. На плоскости задан треугольник ABC своими вершинами. Составить уравнения всех его сторон, медиан и высот. 1)

A (2; -1),

B (0; 3),

C (-4; 1).

2)

A (-1; -3),

B (-1; 0),

C (4; 2).

3)

A (2; 7),

B (3; 0),

C (-3; -3).

4)

A (0; -2),

B (-4; -2),

C (1; 5).

5)

A (4; 3),

B (0; -3),

C (1; 2).

6)

A (3; 1),

B (5; 0),

C (-1; -2).

7)

A (1; 5),

B (1; 1),

C (-4; -2).

8)

A (-1; 2),

B (4; 2),

C (3; -1).

9)

A (-2; 2),

B (-2; 3),

C (4; 1).

B (1; -3),

C (3; 2).

10) A (-4; -3),

Контрольная работа № 2

1. Вектора a , b и c заданы в пространстве своими координатами. Найти: a − b ,

(2a;

)[

](

)

b − c , a + b; c − a , a ; b; c .

1)

a = {3; 0; 2}, b = {2; 4; − 2}, c = {6; 7; 1}.

2)

a = {1; 2; − 1}, b = {6; 0; 4}, c = {3; 1; 1}.

3)

a = {3; 5; 4}, b = {1; 2; − 3}, c = {2; 1; − 2}.

4)

a = {2; 5; − 8}, b = {4; 1; 7}, c = {− 3; 0; 6}.

5)

a = {7; 1; − 5}, b = {1; 5; − 9}, c = {0; 4; 2}.

6)

a = {− 3; 2; − 1}, b = {6; 1; 0}, c = {4; 5; 0}.

7)

a = {4; 9; 0}, b = {8; − 2; 3}, c = {1; 2; 7}. 6

8)

a = {− 2; 5; − 4}, b = {1; 1; 2}, c = {3; 5; 3}.

9)

a = {0; 1; 5}, b = {10; 6; 4}, c = {− 2; 2; 0}.

10)

a = {6; 0; − 8}, b = {2; 2; 3}, c = {1; − 1; 4}.

2. Составить уравнение плоскости в пространстве, проходящей через прямую линию с заданным уравнением и точку M с заданными координатами. 1)

x −1 y − 2 z + 3 = = , 2 −3 2

M (2; − 2; 1) .

2)

x + 2 y − 4 z −1 = = , −2 1 −1

M (0; 3; 5) .

3)

x + 5 y z +1 = = , −1 4 2

M (1; 4; 0) .

4)

x+3 y−6 z = = , 3 1 5

M (3; 2; 2 ) .

5)

x − 8 y −1 z − 5 = = , 4 2 1

M (4; 0; 3) .

6)

x−2 y+6 z−7 = = , 1 −2 1

M (− 1; − 1; 2 ) .

7)

x y−4 z+2 = = , 6 1 −1

M (6; 6; 3) .

8)

x −3 y +8 z = = , 3 1 7

M (5; 0; 8) .

9)

x+9 y−7 z+3 = = , 10 5 8

M (1; 7; − 5) .

10)

x−6 y+4 z−2 = = , −3 −4 2

M (6; 4; 4 ) .

Контрольная работа № 3

1. Найти следующие пределы. 7

1)

lim n→∞

(n + 2)(n + 3)(n + 5) , 2n 3 + 3

x2 + 1 + x2 − 1 , 3x + 1

x 2 + 3x + 2 . lim x2 − 1 x → −1 x − 2 −1 . x2 − 9

2)

lim x→∞

3)

, lim 2 3 x + 2 x + 1 x→∞

4)

lim x→∞

4x4 + 2x3 , (x + 2)2

tg 2 x . lim x → 0 1 − cos 2x

5)

( lim n→∞

)

⎛ x + 4⎞ ⎜ ⎟ . lim x→∞ ⎝ x + 1 ⎠

2x x −1

n +1 − n ,

(n + 5)(n − 4) ,

6)

lim n→∞

7)

2n 3 − 5n + 1 , lim 2 n → ∞ (n + 1) (3n − 2 )

8)

9)

10)

lim x→∞

3n 2 + 10n

3

2

4x + x + 3 , x x +2

(5n + 1)(n 2 + 2) , lim 2 n (n + 1) n→∞

lim x→∞

(2 x + 1)2 (x − 1)3 , x5 + 4

lim x→3 lim x→2

tg(x - 2 ) . x2 − 4

2x

2

ex −1 . lim 2 x → 0 sin 2 x x −1

. lim 2 x →1 x − 1

π

lim x→0 lim x→0

x ctg

πx

.

2

1 − cos 5x . 2x2

lim x→0

1 + 3x 2 − 1 . sin 2 2 x

2. Найти производные следующих функций. 1)

y = x2 1 − 2x − x2 ,

2)

y=

3)

y=

3

x +1 , x2 1

3

x4 + 2

y=

x + x2 . 2x

y = ln 2 (3x + 1) + (3x + 1) . 2

,

2

y = x ⋅ 2x . 8

(

1− x , 1+ x

)

y = sin 4 2 x 2 + 1 .

4)

y=x

5)

y=

6)

y = x + 5 (3 − x ) ,

7)

y=

x , 2 x + 2x

y = ln 2

8)

y=

ln ( x + 1) , x

y = 2sin 3 (5 x + 3) .

9)

y = x2 2x − 1 ,

10)

y=

(

ln x , x +1

)

y = x 2 + 1 cos2 x . 2

2 x + , 2 x

y = (1 + sin 2 x ) . 4

2 x + 2x . 2

y = (2 x + 1) + 5

y = 3 ctg

1 . sin x

x + tg 2 2 x . 2

3. Исследовать заданную функцию y и построить ее график. 2 . x2 − 9

1)

y=

2)

y = 3x ( x − 2) .

3)

y = 3x 2 + x 3 .

4)

y=

5)

y = x 2 (x − 4) .

6)

y = 4x − x3 .

7)

y = x 2 (2 x − 4 ) .

8)

y = 3x x 2 − 1 .

9)

y= x+

10)

y=

2

2x . x−4

(

)

1 . x

1 . x +3 2

9

Контрольная работа № 4

1. Вычислить следующие неопределенные интегралы.

(2 + 3x ) dx . 3 2

1)

∫

2)

∫

3)

∫ 3x 2 + 5 dx .

4)

∫ (x + 1)cos x dx .

5)

∫ sin

6)

∫ (4 − 3x )7 .

x

3x + 2 x2 + 1

dx .

4 − 2x

2

2 x dx .

dx

(

)

2

x +2 dx . x

7)

∫

8)

3⎞ ⎛ ∫ ⎜⎝ x − x ⎟⎠ dx .

9)

∫

2

10)

∫

x dx . x +1 x 2 − 43 x dx . x

2. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной следующими линиями. 1)

3 y=− , x

2)

y = 3x ,

y = 3− x ,

3)

4 y= , x

x2 y= , x = 3. 2

y = x + 4. y = 3.

10

4)

y = x2 ,

5)

y=

2 , x

y − x + 1 = 0,

6)

y=

3 , x

y + x−4 = 0.

7)

y = ex ,

y = e− x ,

8)

y = x3 ,

y = x2 + 2x .

9)

y = x2 ,

y = x,

10)

y = x,

x + y = 2,

y = x,

x = 4. x = 3.

x = 1.

x = 4,

y = 0.

y = 0.

Контрольная работа № 5

1. Найти частные производные

∂z ∂z и ∂x ∂y

переменных. x− y . x+ y

1)

z=

2)

x2 z= 2. y

3)

z = x 2 ⋅ ln ( x + y ) .

4)

z = (x + 2 y ) .

5)

z = ex+ y .

6)

z = sin xy 2 .

7)

z = 3xy 3 + xy .

8)

2 x3 . z= y

9)

z = 3 x2 + 2 y2 .

2

2

( )

11

от заданной функции двух

10)

z=

(

)

2

x − 2y .

2. Составить линейную зависимость y=ax+b по методу наименьших квадратов на основе экспериментальных данных 1)

x

0,5

1

2

2,5

y

1

1,5

2,5

3

x

1

2

3

4

y

2

2,25

2,5

2,7

x

1

1,5

2

3

y

5

4,5

4

3

x

0

2

4

6

y

1,5

2,6

4

5,5

x

0,5

1

2

3

y

2,5

3,5

5

6,5

x

0,5

1

2

4

y

3,5

3

2,5

1,5

x

3

4

5

6

y

2,2

2,5

2,8

3

2)

3)

4)

5)

6)

7)

12

8) x

2

3

4

5

y

2,7

3,5

4

4,5

x

3

4

5

6

y

2

1,5

0,5

-1

x

1

2

3

4

y

-1

-0,1

0,8

1,5

9)

10)

Контрольная работа № 6

Найти общие решения и частные решения, удовлетворяющие начальным условиям, следующих дифференциальных уравнений: 1)

а) xyy ′ = 1 − x 2 ; y (0) = 1, y ′(0) = 0 .

b) y ′′ + y ′ − 2 y = 0,

2)

а) yy ′ =

1− 2x , y

y (0) = 1 ;

b) 2 y ′′ + y ′ − y = 2e x . 3)

а) y ′ = 10 x + y ,

y (1) = 0 ;

b) y ′′ − 4 y ′ = 0 . 4)

а) y ′ =

y +1 ; x

b) 4 y ′′ + 4 y ′ + y = 0, 5)

y (0) = 2 , y ′(0) = 0 .

а) xy ′ + 1 = y 2 ; b) y ′′ − 4 y ′ + 3 y = 0,

y (0) = 6, y ′(0) = 10 .

13

6)

а) y ′ +

1− y2 = 0; 1 − x2 y (0) = 0, y ′(0) = 15 .

b) y ′′ + 4 y ′ + 29 y = 0, 7)

1+ y2 а) y ′ = , 1 − x2

y (0) = 1 ;

b) y ′′ − 9 y = 0 . 8)

y2 а) y ′ = 2 , x

y (1) = 1 ; 2

b) y ′′ + y ′ = 0 . 9)

а) y ′ +

1− 2x y = 0, x2

y (1) = 1 ;

b) 3 y ′′ − 2 y ′ − 8 y = 0 . 10) а) 2 yy ′ = cos x ,

y (0) = 2 ;

b) y ′′ − 4 y ′ + 4 y = 0 .

14

Татьяна Михайловна Левина КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ «МАТЕМАТИКА» ДЛЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ.

Учебно-методическое пособие

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского» 603950, Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23 Подписано в печать

Формат 60х84 1/16.

Бумага офсетная. Печать офсетная. Гарнитура Таймс. Усл. печ. л.

Уч.-изд. л.

Заказ № 325. Тираж 300 экз. Отпечатано в типографии Нижегородского госуниверситета им. Н.И.Лобачевкого 603600, г.Нижний Новгород, ул.Большая Покровская, 37 Лицензия ПД № 18-0099 от 14.05.01 15