Математическая сейсмология в СССР

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СЕЙСМОЛОГИЯ В СССР. С. Л. С о б о л е в (чл.-корр. Ак. наук) и С. Г. М и х л и н . Математическая сейсмология в дореволюционной России разрабатывалась сравнительно мало. Кроме работ акад. Б. Б. Голицына, ничего заметного в этой области сделано не было. Вопросы, которыми занимается математическая сейсмология, разделяются в основном на вопросы так называемой „большой сейсмологии" и „малой сейсмо­ логии". „Большая сейсмология", которой по преимуществу занимался акад. Голицын, имеет своим предметом изучение строения земного шара в целом и изучение явления землетрясений как явления, затрагивающего большие части земного шара. К такого рода вопросам относится, например, задача об определении скоро­ стей упругих волн в различных точках внутренности земного шара, вопросы меха­ низма возникновения землетрясений в некоторых районах земной поверхности, тесно связанные с задачей о распределении внутренних сил в земной коре, и т. п. К малой сейсмологии относятся задачи, связанные с изучением местных явлений при землетрясениях. При изучении такого рода явлений не учитываются шаровидность земли, распределение материков и океанов и т. д. Научная постановка вопросов малой сейсмологии может по справедливости считаться заслугой Сейсмологического института Академии наук СССР. Математической разработкой этих вопросов занимался теоретический отдел этого института. Основные работы Сейсмологического института были связаны с двумя круп­ ными проблемами: распространением сейсмических волн и статическим распре­ делением напряжений в земной коре. При этом в качестве первого приближения к действительности принималось, что вещество земной коры — однородное и идеально упругое. В соответствии с указанной проблематикой Сейсмологического института работа его теоретического отдела проводилась в основном в двух направлениях: динамической и статической теории упругости. Ряд работ теорети­ ческого отдела посвящен также теории пластического состояния; эти работы вызваны к жизни тем обстоятельством, что гипотеза об идеально упругой земной коре не всегда может считаться достаточно близкой к действительности, а теория пластического ее стояния представляет собой попытку объяснения процессов, происходящих в веществе за пределами упругости. В настоящей статье мы коснемся главным образом работ теоретического отдела Сейсмологического инсти­ тута, относящихся к теории упругости. Первая часть статьи будет посвящена статичесЁой, вторая—динамической еории упругости.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СЕЙСМОЛОГИЯ В СССР

229

§ 1. Основные понятия и уравнения теории упругости. Теория упругости представляет собой раздел механики сплошной среды, к которой относятся также гидродинамика, теория пластичности, теория сыпучих тел и др. Обычная механика имеет дело с твердым телом, в котором расстояние между любыми двумя его частицами остается неизменным. Механика же сплош­ ной среды изучает деформируемые тела, в которых под влиянием действующих на них внешних сил меняются положения частиц друг относительно друга. Деформацией такого сплошного тела и называется изменение расстояния между его частицами, иначе говоря, изменение взаимного расположения этих частиц. Такое различие объектов изучения приводит, между прочим, к тому, что многие теоремы механики твердого тела делаются неверными в применении к деформи­ руемому телу. Так, в механике сплошной среды нельзя пренебрегать системами сил, статически эквивалентными нулю. Если, например, к концам упругого стержня приложить две равные, направленные в противоположные стороны рас­ тягивающие силы, то стержень растянется. Состояние стержня под действием этих сил, статически эквивалентных нулю, очевидно, отлично от того состояния, в котором этот стержень находится без воздействия внешних сил. Как уже было сказано, одно из основных положений механики сплошной среды заключается в том, что сплошная среда считается деформируемой под влиянием внешних сил. В тесной связи с этим находится и другое положение: При деформации сплошной среды в этой среде возникают внутренние силы, являющиеся результатом воздействия одной части деформируемой среды на другую. Относительно этих внутренних сил делается следующее предположение. Если мысленно вырезать любую часть сплошной среды, то совокупность всех действующих на эту часть сил статически эквивалентна нулю. Это предположение можно назвать аксиомой равновесия. Как это подчеркнуто самим названием, в механике сплошной среды прини­ мают, что вещество непрерывно распределено во всем объеме, которое оно заполняет. Чтобы составить представление о характере внутренних сил, поступим сле­ дующим образом. В некоторой точке Л сплошной среды проведем три оси, парал­ лельные осям координат. Рассмотрим площадку а, расположенную в плоскости ZOY и содержащую внутри себя или на границе точку А. К этой площадке приложены некоторые внутренние силы, являющиеся результатом воздействия на нее остальной части сплошной среды. Пусть вектор сил, действующих на площадку о, будет р(ож). Составим отношение

где на этот раз через о обозначена величина площадки. В механике сплошной среды принимается, что отношение (1), вообще говоря, стремится к определен­ ному пределу, когда линейные размеры площадки о стремятся к нулю: Иш b _ = t(*>.

(2)

230

С. Л. СОБОЛЕВ И С. Г. МИХЛИН

Вектор t1 называется вектором напряжения в точке А на площадку, нормальную к оси х. Точно так же строятся векторы напряжений vV) и t, на площадки, нормальные соответственно к осям у и з. В общем случае векторы Ла?) АУ) t- ' суть функции координат точки Л. Если векторы t l ', t , г ' известны, то вектор напряжений на любую пло­ щадку в точке А определяется равенством w t w = t*(*), cos(w, a;) + dV) t w 'cos(», j/) + t w cos(w, *), • < * ) .

(3)

где n — направление нормали к рассматриваемой площадке. Вектор К сил, действующих на любую поверхность конечных размеров И5 выражается через вектор t(w) по формуле К

-//*°

*>.

(4)

где da — элемент поверхности. Формулы (3) и (4) показывают, что состояние внутренних сил в сплошной среде вполне известно, если известны в каждой точке векторы t(£C), t(y\ t{z). Пусть i, j , k — орты осей х, у, z. Разложим векторы t(a,), t(y\ t(z) по ортам i, j , k. Эти разложения будут иметь следующий вид:

t^xj+xy+x.k,] tw=YJL+Yj+Y.k,\

(5)

Величина Хх есть нормальная составляющая напряжения на площадку, пер­ пендикулярную к оси ОХ] Ху и Хв суть составляющие напряжения на ту же площадку, лежащие в плоскости этой площадки. Аналогичные заключения можно сделать об остальных величинах Yx, . . . , Ze. Очевидно, состояние внутренних сил, или, как говорят, напряженное состояние в сплошной среде, будет вполне известно, если в каждой точке сплошной среды будут даны значения совокупности девяти величин: Y

Y

Y

(6)

Zx-> ^ v Zz Для читателя, знакомого с тензорным анализом, отметим, что совокупность величин (6) образует тензор, называемый тензором напряжений. Компоненты напряжений не независимы: как это доказывается в механике сплошной среды, они удовлетворяют в силу аксиомы равновесия следующим уравнениям: Ху = lrx; Xz = Zx; Yz = Zy, (7) дх„ , dYv^ 4-^ + х-о, ду дх dY„ dZ.. Y = 0, дз дх ду дх

щ

•»-£+*-<>•

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СЕЙСМОЛОГИЯ В СССР

231

Здесь X, Y", Z—компоненты объемных сил (включая и силы инерции), отнесенных к единице объема. Соотношения (8) называются обычно уравнениями равновесия. Обратимся теперь к понятиям, связанным с деформацией сплошной среды. Рассмотрим две точки Ж и Жх, радиусы-векторы которых до деформации равны соответственно г и г -f- dr. В результате деформации точка Ж сместится на неко­ торый вектор и, а точка Мг—на u-f-du. Квадрат расстояния между Ж и Жх изменится на величину (dr + dnf — dr2 = 2 (du, dr) + du2. (9) Величина (9) и определяет деформацию сплошной среды. Обозначим VL^UJL + UJ + UJL. Можно показать, что 2 (du, dr) + du* = w da? + T y , dy2 + Tg2 d,^ + 2 ^ , d^ dy + 2Тжг d^ d^ + 2 Tyi dj/ d*, где (10) *xy

' 3«/ ' 9ж "•" ду ds ^ dy

и аналогично определяются -у , .

• 9 4zz

lex

ds 0*

' dy dz '

Положим \xz >

7

s===

If»* •

Совокупность величин \хх

Ixy

\xz

Чу%

Чуу

4yz

\zx

\zy

\zz

(11)

образует тензор, называемый тензором деформации. В дальнейшем мы будем иметь дело с малыми деформациями, т. е. с такими деформациями, что квадратами и произведениями смещений их, и , uz и их про­ изводных по координатам можно пренебречь по сравнению с их первыми степе­ нями. Тензор деформации тогда принимает . dtiболеедипростой duz вид: х дгк ди^ ду ' дх dz ' дх дх дих , ди^ ду ' дх

ду

dz ' ду

9 Зад. диу , duz dz "^ дх дг ^ ду Обратимся теперь к упругим телам. Мы будем называть сплошную среду упругой, если выполнены следующие условия: 1) в рассматриваемой среде воз­ можны только малые деформации; 2) между компонентами тензора напряжений и тензора деформаций существует взаимно-однозначная зависимость. В силу малости деформаций эту зависимость можно считать линейной. Не вдаваясь в подробности, отметим, что наше определение — не наиболее общее. Однако классическая теория упругости, дальнейшему развитию которой

232

С Л .СОБОЛЕВ И С. Г. МИХЛИН

посвящены работы теоретического отдела Сейсмологического института, рас­ сматривает только упругие среды, удовлетворяющие указанным гипотезам. Если упругая среда изотропна, т. е. ее упругие свойства одинаковы во всех направлениях, то, как это можно доказать, связь между тензорами дефор­ мации и напряжений имеет следующий вид:

(дих

(12)

ди А

и т. д. Величины л и |х — постоянные, характерные для данной упругой среды. Они называются коэфициентами Ляме. Чтобы найти напряжения и деформации в упругой среде, необходимо решить систему девяти диференциальных уравнений в частных производных (8) и (12) с девятью неизвестными Хх, . . . , Zz, ихУ иу, uz при некоторых граничных, а в случае зависимости упругого состояния от времени, — и начальных условиях. Значительные трудности, на которые наталкивается решение такой задачи* заставляют рассматривать частные ее случаи, в которых можно надеяться полу­ чить решение более простым путем. Одним из таких случаев, и притом чрезвы­ чайно важным, является так называемая плоская задача теории упругости. Плоским деформированным состоянием называется такое состояние упругой среды, когда вектор смещения в каждой точке среды параллелен некоторой фикси­ рованной плоскости, которую мы примем за плоскость XOY, и не зависит от з. Такое состояние можно осуществить, если бесконечный цилиндр с образую­ щими, параллельными оси я, подвергнуть действию внешних сил, которые остаются постоянными вдоль образующей и направлены нормально к ней. Плоское деформированное состояние можно характеризовать равенствами

Пользуясь уравнениями (12), можно доказать, что в этом случае напряжения также не зависят от г. Из этих же уравнений следует, что

Х.-0,

Y, = 0, Z.-jjJ^iX.+

Yj.

Таким образом в рассматриваемом случае вместо девяти неизвестных доста­ точно определить только пять, а именно Хх, Ху, Yy, ux, и . Эти неизвестные удовлетворяют уравнениям

23&

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СЕЙСМОЛОГИЯ В СССР

Задача определения плоского деформированного состояния по уравнениям (13) и называется плоской задачей теории упругости, а уравнения (13) назы­ ваются уравнениями плоской задачи теории упругости. § 2. Плоская статическая задача теории упругости. В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением статического состояния Без ограничения общности можно принять, что объемные силы отсутствуют* Х = Г = 0. Так как картина деформаций и напряжений не зависит от #, то достаточно рассмотреть только сечение упругой среды плоскостью XOY. Это сечение будет некоторой областью плоскости XOY, в которой и должны быть определены пять неизвестных, удовлетворяющих уравнениям (13). К уравнениям (13) необходимо присоединить еще граничные условия. Эти условия могут быть довольно разнообразными. Мы будем рассматривать два типа граничных условий: 1) На контуре области даны смещения точек упругой среды. 2) На контуре области заданы внешние силы (или напряжения), действующие на упругую среду. Отде^ные случаи плоской задачи решались различными методами. Наиболее эффективным оказался метод комплексной переменной. Впервые этот метод был применен к ряду частных задач Г. В. Колосовым в его докторской диссертации г> в 1909 г. Значительное развитие этот метод получил в работах Н. И. Муехелишвили 2 ), которому мы обязаны наиболее интересными результатами в решении плоской задачи. Изложим кратко сущность метода комплексной переменной. Первые два уравнения (8) при сделанном нами предположении X = Y = 0 имеют общий интеграл

Yх — д2Ж

~~ ду* '

у —д!К У~

'дх* '

х — — *

mW

дх ду'

где W—произвольная пока функция. На основании остальных трех уравне­ ний (8) можно заключить, что функция W удовлетворяет так называемому бигармоническому уравнению дх* ^

дх*ду^

ду*

Таким образом вместо пяти неизвестных Хх, Ху, Yy, ux, иу достаточно найти одну неизвестную W. Следующий шаг был сделан Гурса, который показал, что всякую бигармоническую функцию, т. е. функцию, удовлетворяющую бигармоническому уравнению, можно представить в следующем виде:

*) Г. В. К о л о с о в, Об одном применении теории фунцкий комплексной переменной к плоской задаче математической теории упругости, Юрьев 1909. Эта книга переиздана в 1935 г. 2 ) Почти все результаты Н. И. Мусхелишвили изложены в его книге „Некоторые задачи теории упругости", АН СССР, 1935.

234

С. Л. СОБОЛЕВ И С. Г. МИХЛИН

где ср (>) и у (^) — аналитические функции комплексной переменной # = #-(- г'//. Н. И. Мусхелишвили принадлежат следующие формулы:

17 +г' W = 9 ("} + * ^ + ^ '

(14)

2;х (»я + « д = у.? (г) -.? 7 Н - Wh

(15)

где

Далее, если Xv и F v суть составляющие по осям % я у внешних сил, при­ ложенных к контуру области, то на этом контуре справедливо равенство 3W

3W

Г

^+*'^—7^+^ л + а '

(16)

где а — произвольная постоянная. В случае односвязной области ее можно фик­ сировать произвольно; если же область многосвязная, то интегрирование введет на каждом контуре особую постоянную. В этом случае одна из постоянных опятьтаки может быть зафиксирована произвольно, а остальные определяются требова­ нием, чтобы полученные в результате смещения были однозначными. Заметим, что правые части формул (14) и (15) формально совпадают, если в первой положить — 1 = х и изменить знаки обеих частей равенства. Плоская задача теории упругости сводится к следующей краевой задаче теории функций комплексной переменной: Найти две аналитические функции <р (#) и ф (z) (z = х -\- kj\ удовлетворяющие на контуре заданной области условию х? (*) - г *' (*) - Ф (*) = 9 (*),

(17)

згде х — численный коэфициент, g(z)— данная непрерывная функция точки кон­ тура. Эта функция равна 2[х(^-|-ш у ), если на контуре заданы смещения, и IdW , .dW\ равна — I — (-г -тт— I, если на контуре заданы внешние силы. Неизвестные функции <р (s) и ф (z) должны быть регулярными в данной области, если эта область односвязная; если же область многосвязная, то 9 (#) и ф (я) могут содер­ жать логарифмические члены. Для решения этой задачи Н. И. Мусхелишвили конформно преобразует дан­ ную область на круг. Используя затем некоторые свойства интегралов типа Коши, он чрезвычайно изящными приемами сводит равенство (17) к эквивалент­ ному ему интегральному уравнению относительно неизвестной ч т 0 Д° конца решает плоскую задачу. Если данная область такова, что функция, отображающая круг на эту область, — рациональная, то интегральное уравнение имеет вырожденное ядро. В этом случае плоская задача теории упругости решается в конечном виде. Это — факт, практическое значение которого вряд ли можно переоценить. Необходимость конформного преобразования области на круг ограничивает объем применения метода Н. И. Мусхелишвили, поскольку этот метод может быть применен только к односвязным областям. Перед теоретическим отделом Сейсмо­ логического института была поставлена проблема — дать решение плоской задачи

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СЕЙСМОЛОГИЯ В СССР

235

для многосвязных областей. Эта проблема была разрешена сотрудниками теорети­ ческого отдела С. Г. Михлиным и Д. И. Шерманом. Предложенные ими методы реше­ ния плоской задачи делятся на две категории. К первой категории относится метод, предложенный С. Г. Михлиным и связанный с понятием ядра Шварца. Ход мыслей, который привел к этому методу, таков. Аппарат конформного преобразования на круг вместе с интегралами тина Когаи позволил решить плос­ кую задачу для односвязной области. Чтобы решить ту же задачу для областей многосвязных, естественно было воспользоваться аппаратом, который в известном смысле обобщает конформное преобразование. Этот аппарат оказывается связан­ ным с функцией Грина. Связь между функцией Грина и функцией, осуществляю­ щей конформное преобразование, очень проста: если область односвязная, то ее функция Грина равна взятому с обратным знаком логарифму модуля функции, отображающей данную область на круг единичного радиуса. Функция Грина зависит от двух пар переменных — от координат двух точек, и является гармо­ нической функцией каждой из этих пар переменных. Пусть (х, у) и (?, \ ) — указанные координаты и G(x, у, £, IQ) — функция Грина. Построим функцию Н(х, у, £, YJ), гармоническую сопряженную с функцией Грина по переменным х, у. Обозначим x-\-iy = z, Е + п] = С Функцию Н (#, у, £, У\) можно построить, например, по формуле Н{х, j / , S, т | ) = Г— — dx-^ — dy, где а, р —координаты фиксированной точки внутри области. Функция — аналитическая функция переменной я, чего нельзя утверждать в отношении переменной С. Будем считать, что точка з находится внутри данной области, а С — на ее контуре. Пусть v — направление внутренней нормали к контуру в точке С Составим производную дЩа, Q Т(*> С). dv Функцию Г (я, С) мы называем ядром Шварца. Из ряда свойств, характерных для ядра Шварца, отметим следующие: 1) Пусть В — данная область и С — ее контур. Функция T(s, С) определена, когда точка г изменяется в замкнутой области В~\-С, а С — вдоль контура С. 2) Пусть da = |d£| обозначает диференциал дуги контура. Справедливо сле­ дующее равенство:

r«3'^C>da = 2 ^ ^ + ^ ' r ' ) d a '

(18)

где U (г, V) — при известных условиях непрерывная и достаточное число раз диференцируемая функция от г и С, если г изменяется в замкнутой области, а С — вдоль контура. Можно сказать, что бесконечная часть ядра Шварца есть ядро интеграла Коши. 3) Пользуясь ядром Шварца, можно найти значения аналитической функции внутри области, зная значение ее вещественной части на контуре. Точнее, если

236

С. Л. СОБОЛЕВ И С. Г. МИХЛИН

аналитическая функция F(z) = u-{- iv> гДе м = Э&Ор7С*)), 0 = 3 0 ^ 0 ) ) , не имеет внутри области особых точек, и ее вещественная часть однозначна на контуре С 1), то ^ / « ( С ) 2'(*, &)* = *'(*) —н> (а), с

(19)

где а = а -{- ip — фиксированная точка области 23, входящая в определение функции Н (х, у, £, т)). Обратно, если дана непрерывная функция точки контура и (С), то интеграл С

представляет собой аналитическую функцию, не имеющую особых точек внутри области В. Ее вещественная часть однозначна в -В и принимает на контуре значения и (С). Мнимая часть этой функции (точнее, одна из ветвей мнимой части) обращается в нуль при # = а. 4) Если аналитическая функция F(z) регулярна 2) в области В и непре­ рывна вплоть до контура, то имеют место следующие тождества: ^ fF

(С) Т (*, С) do = F (*) - ~ F (а), | (20)

Пользуясь перечисленными свойствами ядра Шварца, удается получить, как и в методе Н. И. Мусхелишвили, интегральное уравнение для неизвестной у'(в)* Это уравнение имеет следующий вид:

С

О

Величину, стоящую в правой части уравнения, следует понимать в смысле ее предельных значений при стремлении z изнутри области к контуру. Сравни­ тельно легко удается установить разрешимость этого уравнения. Определив
) Если область В многосвязная, то такая функция может приобретать постоянное чисто мнимое приращение при обходе какого-либо из внутренних контуров. 2 ) Напомним, что регулярная в области функция по определению однозначна в этой области.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СЕЙСМОЛОГИЯ В СССР

237

мой и размерами вырезов. Пусть BVB2, . . . , Д , суть области, занятые отдель­ ными пластинками. Значение коэфициентов Ляме X, <х, входящих в уравнения плоской задачи, остаются постоянными в каждой из указанных областей, но меняются скачком при переходе из одной области в другую. Допустим теперь, что на внешнем контуре такой составной пластинки заданы, например, смещения точек этого контура. Вопрос здесь усложняется тем, что уравнения плоской задачи будут неодинаковыми в различных областях Bv Б 2 , . . . , Вп, Граничные усло­ вия также усложняются. На внешнем контуре составной пластинки должно быть выполнено условие типа (17) — смещения на контуре должны равняться задан­ ным величинам. На общей границе двух каких-нибудь областей также должны выполняться некоторые условия, именно, на таком контуре должны оставаться непрерывными касательная и нормальная составляющие напряжений и вектор смещений; самые же величины напряжений и смещений остаются неизвестными. Эта задача решается следующим образом. Пользуясь построенным выше решением плоской задачи при заданных смещениях, а также условиями на гра­ нице, удается построить систему интегральных уравнений, которым удовлетво­ ряют неизвестные величины смещений на общих границах областей BVB2, . . . , Вп. Уравнения эти оказываются сингулярными, т. е. входящие в них интегралы расходятся и должны быть взяты в смысле их главных значений по Коши. Особым приемом, принадлежащим Ф. Нетеру, удается эти уравнения регуляризировать, т. е. превратить в уравнения с абсолютно сходящимися интегралами. Из этих уравнений уже удается определить неизвестные смещения. Теперь на контуре каждой из областей Ви В2, . . . , Б Л известны смещения точек этого контура. Внутри каждой из этих областей коэфициенты Ляме остаются постоян­ ными, и дело сводится к только что рассмотренной плоской задаче теории упру­ гости при заданных смещениях на контуре. Аналогично решается задача и в случае заданных на внешнем контуре напряжений. На этом мы заканчиваем изложение метода, связанного с ядром Шварца. Второй метод, так называемый метод последовательных приближений, но идее восходит к „знакопеременной методе" Шварца, примененной им к задаче Дирихле. Метод последовательных приближений применим в его настоящем виде только к многосвязным областям. Допустим, что нам предстоит решить плоскую задачу при заданных на контуре напряжениях для двусвязной области В, огра­ ниченной контурами Сх и С2. Нетрудно привести эту задачу к тому ее частному случаю, когда на одном из контуров, например на С2, заданные напряжения равны нулю. Нам предстоит, следовательно, найти аналитические функции удовлетворяющие граничным условиям ? (*) +

^ Н + Н*) = If{Z)

Ш

°nv

(2D

I 0 на С2. f(z) определяется через задание на С\ напряжения. Условиям (21) <р(#) и 6(V) должны удовлетворять с точностью до постоянного слагаемого. Введем в рассмотрение две односвязные области — область Bv лежащую внутри внешнего контура Gv и область Д2, лежащую вне внутреннего контура С2. Общая часть областей Вх и В% есть заданная область В. Мы исходим из того обстоятельства, что плоская задача теории упругости для односвязных областей В{

с

238

-

л

- СОБОЛЕВ И С. Г. МИХЛИН

и В2 может быть решена сравнительно простыми методами. В частности, как уже было указано, если круг радиуса 1 конформно отражается на каждую из областей Вг и В2 с помощью рациональной функции, то соответствующие решения строятся в конечном виде. Имея это в виду, построим решение плоской задачи, которое определено в области Bi и удовлетворяет заданным условиям на контуре Сг Мы, таким образом, не обращаем внимания на наличие выреза и на задание граничных условий на контуре (72. Решив плоскую задачу, мы тем самым определяем внутри Вх некоторое поле напряжений. Случайно это поле может оказаться таким, что напряжения на контуре С2 будут равны нулю. Тогда будут выполнены граничные условия на обоих контурах и будет решена плоская задача теории упругости для нашей двусвязной области В. В общем случае, однако, этого не будет. Будем все же рассматривать полученный результат как первое приближение. Это приближение определяется двумя аналитическими функциями, которые мы обозначим '^(е) Построим теперь решение плоской задачи в области J52, приняв за граничные задания на контуре <72 те значения напряжений, которые на этом контуре опре­ деляются первым приближением. Для этого построим функции ?[2) и ^ \ регу­ лярные в В2 и удовлетворяющие с точностью до постоянного слагаемого уравнению

?i2)(*) + # ( 7 ) + i f (^) = 9(.1)(^) + WFoo+iFw на контуре С2. Составим разности of» (*)-??>(*), *?'(*)-фР»<*).

(22)

Им соответствует в В некоторое поле напряжений. Напряжения на С2, опреде­ ляемые этим полем, равны нулю, так что это решение плоской задачи, опре­ деляемое функциями (22), удовлетворяет граничным условиям на контуре С2. Примем функции (22) за второе приближение. Построим далее решение плоской задачи в области Bv приняв за граничные задания на контуре Сх те значения напряжений, которые на этом контуре определяются функциями ?i2)(^) и ф!2)(^). Соответствующие аналитические функции пусть будут <$ (#) и x${z). Составим теперь суммы ??> (,) -

(,) +f (,);

ф?> (,) - ф?> (,) + № (*),

и т. д. Полное решение задачи определяется, очевидно, двумя рядами:

^ (*) - № <*) + W <*) - $> W + • • • J если только эти ряды равномерно сходятся. Пользуясь произволом в выборе постоянных, с точностью до которых удовлетворяются граничные условия, можно определить функции <$ , . . . , $* так, чтобы ряды (23) сходились абсолютно и равномерно в области Д если только диаметр контура С2 достаточно мал по сравнению с расстоянием между Сх и С2.

(23)

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СЕЙСМОЛОГИЯ В СССР

239

Аналогичные результаты получаются и в случае, когда на контуре заданы смещения, а также когда на одном контуре заданы напряжения, а на другом — смещения. Можно распространить этот метод и на тот случай, когда область В есть внешность двух кривых, а также когда эта область ограничена одним замкнутым и одним бесконечным контуром. В таком виде метод последовательных приближений развит С. Г. Михлнным. Аспирант Ленинградского университета А. Я. Горгидзе обобщил его на случай произвольной многосвязной области. Основной результат получается тот же самый— процесс последовательных приближений сходится, если диаметры вырезов доста­ точно малы сравнительно с расстояниями между ними. К методу последовательных приближений примыкает метод, предложенный Д. И. Шерманом. Д. И. Шерман ищет бигармоническую функцию, решающую плоскую ^задачу для двусвязной области Д как сумму двух бигармонических функций, из которых одна, Wv регулярна в Bv а другая, W2, регулярна в J32. Чтобы решить плоскую задачу, достаточно найти обе эти бигармонические функции. Это можно сделать, если, например, известны значения производных по х и у каждой из этих функций на соответствующем контуре. Допустим, что нам заданы напряжения на контурах С\ и С2. Это равносильно заданию на Сх и С2 величины dW , .d\V причем можно считать эту величину определенной на каждом контуре с точностью до некоторого постоянного слагаемого. Обозначим через fx (з) и f2 (з) значение dW dW ~9 М Y~ с о о т в е т с т в е н н о н а 6'i и ^2- Обозначим далее, через дг (з) значение ~ + «-д—S вычисленное на С\, и через д2(з)— значение -—s-j-г-^-^,

вы­

численное на С2. По методу Н. И. Мусхелишвили можно построить ~~ -(- г' -д-1 внутри i? l5 если известно дх (V), причем мы будем иметь

где Кп и К21 — известные, вообще говоря неаналитические функции аргумен* тов з и С. Аналогично, в области В2 to + * ^ T

=

V

[K {Z

^ '

C

>^(Q + ^ 2 2 ( ^ ЧЛ(С)}ЙС.

(24а)

Для определения дх (я) и д2 (з) имеем систему интегральных уравнений (г) + f{Ka h

(г, С) д2 (С) + 2Г22 {*, С) д^Щ] Я = fx (*),

(25,)

gt (z) + f{Kn

(г, С) 9l (С) + К21 (*, С) 9l (С)} «К = f2 (*).

(252)

9l

i

В уравнении (25х) в есть точка контура (7Х а в ( 2 5 2 ) — точка контура С 2 .

240

С. Л. СОБОЛЕВ И С. Г. МИХЛИН

Система (25) при произвольных fx(z) и f2(z) неразрешима. fx{z) и f2(z) должны удовлетворять условиям ортогональности с фундаментальными функциями союзной системы. Это равносильно тому, что произвольные постоянные, входящие в /\(V) и f2(z), должны быть выбраны подходящим образом. Особым приемом, остановиться на котором нам не позволяет недостаток места, система (25) пре­ образуется так, что измененная система всегда имеет решения, и это решение дает величину искомых дг{з) и д2{?). Теперь Wx и W2 определяются из формул (24 х ) и (24 2 ). Аналогично проводится рассмотрение произвольной многосвязной области. Так же, как и метод позледовательных приближений, метод Д. И. Шермана позволяет решить плоскую задачу при заданных смещениях, а также разрешить тот случай „смешанной задачи", когда на одних контурах даны напряжения, а на других — смещения. Применение метода Неймана к видоизме­ ненной системе (25) приводит к тем же рядам, что и применение метода после­ довательных приближений. Работы Сейсмологического института по упругой динамике развивались по преимуществу в направлении теории интегрирования динамических уравнений f теории упругости р ~щ = (X ~f- 2р) grad div u — \L rot rot u

(26)

при различных граничных условиях для вектора смещений и и вектора напря­ жений Т м , действующего на площадку границы среды или границы раздела двух ее частей. Уравнения эти легко получаются из уравнения (8) с помощью принципа Даламбера. Как известно, решение этих уравнений может быть разбито на два сла­ гаемых: потенциальное и соленоидальное, называемые иногда продольными и поперечными колебаниями. Каждое такое слагаемое будет удовлетворять обыкно­ венному волновому уравнению Аив

(2 }

?ж'

'

причем „скорости распространения" продольных и поперечных волн будут соот­ ветственно равны

V^-V'T

Главным результатом работ Сейсмологического института было полное решение задачи и качественный ее анализ для того случая, когда колеблющаяся среда представляет собой полупространство, полуплоскость или слоистое неогра­ ниченное пространство. Первые работы в этом направлении были посвящены по преимуществу дополнению и развитию метода, предложенного Ламбом для интегрирования плоской и пространственной динамической задач теории упругости — для полуплоскости или полупространства, находящегося под действием сосредоточенной нормальной силы, приложенной к его поверхности и зависящей от времени по произвольному закону. Для нашего случая, представляя эту силу через кратный интеграл Фурье Ламб решает задачу о колебаниях полуплоскости под влиянием силы типа f=Aei(pt

+

*B)

(28)

МЛТКМАТИЧКП\ЛЯ ОКШ'МОЛоГИЯ В п ч ; р

241

(ось х направлена вдоль границы) и затем складывает подученные частные решения. Формулы Ламба имеют для итого случая вид u=

Г OO

f /{pt + t r } {¥/™ + V/™} dp $,

(29)

—OO

где Fj и F.2 — векторы, зависящие от jp и ;. Два члена в подинтегральном выра­ жении соответствуют продольным и поперечным колебаниям. Далее он преобразует эти формулы к более удобному виду. Формулы Ламба действительно решают поставленную задачу, хотя метод его далек от необходимой математической строгссти. Он пользуется интегралами Фурье, не устанавливая их сходимости, и поэтому не вполне ясна законность производимых им операций. Построенная им „плотность спектра"

имеет в плоскости (£, р) две полярных особенности при где с — некоторое постоянное число. При интегрировании эти полосы дают в окончательном выражении два особых члена, соответствующих двум особым волнам, идущим в разные стороны от источника колебания с постоянной скоростью и быстро затухающим в глубине среды. Явление этих поверхностных волн, впервые обнаруженное теоретически Релеем (Rayleigh), хорошо известно сейсмологам. Пространственная задача решена у Ламба аналогичным образом. Заметим сейчас, что окончательные формулы Ламба были им получены только для точек поверхности полупространства или соответственно полупло­ скости, так как преобразование его интегралов для у > О представляет некоторые вычислительные затруднения. Одной из первых работ Сейсмологического института по динамической упругости была работа В. Д. Куирадзе и С. Л. Соболева, посвященная распро­ странению результатов Ламба на случай, когда вместо упругой полуплоскости или полупространства со свободной границей рассматривается упругая полупло­ скость, граничащая с упругой сжимаемой жидкостью, занимающей всю остальную часть плоскости. Перенос результатов Ламба на этот случай не дал ничего принципиально ЕОВОГО. Так же как и там, чисто формальное применение интегралов Фурье доводит задачу до конца, причем опять появляющийся в плотности спектра полюс дает особый род поверхностных волн, двигающихся по границе раздела между упругой и жидкой средой. Непосредственно за этим исследованием идут работы, имеющие уже несколько другой характер и служащие переходом к собственным методам, разработанным в теоретическом стделе Сейсмологического института. Эти работы посвящены теории плоских волн. 1В

Зак. 3249. Успехи математических наук. Выя. 1.

242

С. . [ . ГОВОЛКВ

)1 Г. Г. МИХЛИН

Плоской волной в классическом понимании называется такое решение уравнений теории упругости, при котором все неизвестные зависят только от одной вещественной линейной комбинации координат и времени: и («./• + &// + с г — £/).

(до)

В старых работах по теории упругих волн разбирались задачи отражения плоских волн от плоской границы и преломление их на границе раздела двух сред с различными упругими свойствами. Задача эта состоит в отыскании по данной „падающей" волне, т. е. волне, у которой вектор скорости изофазовой плоскости составляет с внешней нормалью к среде угол меньший, чем —

допол­

нительных „отраженных" и преломленных волн с углом между этими направлениями, оольшим, чем — . Ьсли падающая волна принадлежала к какому-нибудь определенному типу продольных или поперечных волн, то в отраженных и пре­ ломленных волнах, в зависимости от граничных условий, будут появляться слагаемые обоих типов. Между углом падения и углом отражения или прелом­ ления плоских волн существует известное соотношение — так называемый закон синусов, принадлежащий еще Ферма: sin &, а sin \K Ь ' № где $*! — угол падения, а — скорость падающей волны, а \\2ъЬ — соответственные величины для отраженной или преломленной волны. Решение задачи об отражении тривиально ;пля того случая, когда этот закон синусов приводит к вещественным углам. Наоборот, отражение волн для того случая, когда синус получается большим единицы, приводит к важным результатам. Остановимся более подробно на анализе отражения плоских волн от свободной границы. При этом можно показать, что если исключить один неинтересный случай поляризации поперечных волн, то аналитически все возможные случаи охватываются одними и теми же формулами: д
до

д'1>

)

Ж {[(262 _ Ь2)2_|- 4Р Уа*^-№ jA* — Щ f\ (t — Ь: -f y V — № у) [(2f)2_ Ь 2)2_46 2 Ya2Z7& уцГ^Щ 46 У¥^¥(262___

ft (^ _ fj,r _ уа» — № у) +

щ f\2 (/ _ o.r __ y V — 6 2 ?/)}, (32)

:9i{[(262— ъ*)* + №Уа* — 62у//2 — 62]/, (t — 6.r4- y'W — Wij). . [(262 __ fr2)2 _ 4(f2 yn2 _ fj2 yif2 _ f)2] ^ (/ _ ().,. _ | / > _ Q2 / / } _ 4f) у Я2 __ e-2 (20-2 _ /y>) fx (f _

-p/

/—~

x-f V

ft:

/t

() ,.

_

П5~ y\i

v.'/)!,

МЛТКМЛТИЧКГКЛН ГКЙгМиЛоГИЯ В о г р

243

Здесь t\ и /а представляют собою аналитические функции комплексного аргумента, регулярные в верхней полу плоскости, и величина 6 — вещественный параметр, от которого зависит угол падения. Если 0 < а, то аргумент под знаком /^ и / 2 вещественен, и мы получаем классический случай отражения. Если параметр 0 таков, что а < 6 < />, то корень У"а2 — О2 становится мнимым. Для того чтобы решение имело смысл, нужно считать fx = 0. Мы получим решение задачи об отражении поперечной волны, когда угол отражения для продольной волны будет мнимым. Это решение заме­ чательно тем, что продольная волна представляется в виде некоторой функции, отличной от нуля на всей плоскости и достигающей максимума на границе. Однако самое важное применение ;>тих формул заключается в том, что, теряя, вообще говоря, смысл для 9 > 6, они сохраняют его для одного только вещественного значения параметра Ь, определяемого уравнением (2Й2 ___ iyiy _4- W Уа*—Ь* У'№ — № — 0.

(33)

Получаемые как продольные, так и поперечные волны имеют характер, подобный характеру отраженных продольных волн предыдущего случая. Решение достигает максимума на границе и является аналитической функцией во всем пространстве. В направлении оси ОХ то решение распространяется с постоянной „релеевской" скоростью. Приведенные выше формулы дают, таким образом, наиболее общий вид релеевских поверхностных волн. С теоретической точки зрения решение, выражаемое формулами (32), отли­ чается тем, что оно зависит от х и / только через посредство их линейной комбинации / — Ьх. Можно доказать, что указанное решение является наиболее общим решением такого тина. Представляло большой интерес подойти к исследованию не только плоской, но и пространственной задачи с :-»той точки зрения. Вместо отыскания решения, зависящего от /—• 0#, Е. А. Нарышкина поста­ вила задачу об отыскании решения задачи о колебаниях свободного полупро­ странства, в котором вектор смещения зависит от координат /, х и // таким образом, что удовлетворено уравнение

(ось z в ijiOM случае направлена вглубь рассматриваемого полупространства). Результаты Е. А. Нарышкиной дали прекрасное совпадение с анализом плоской задачи. Решения уравнений упругости при свободной границе и добавочном условии (34), т. е. решения, при которых в плоскостях, параллельных границе, колебание имеет квазиволновой характер, существуют, вообще говоря, лишь при значениях ..скорости" к больших, чем скорость поперечных волн. Если к больше как скорости продольных, так и скорости поперечных волн, то можно рассматривать его как совокупность падающих и отраженных волн обоих типов — и продольного и поперечного. Если к превосходит скорость поперечных волн, но меньше скорости продольных, то получается совокупность падающей поперечной волны и отра­ женной продольной поперечной. Hi*

244

г:, л. соьоло и <•. г. ми\.гпш

При эт9>1 продольная волна получает прежний характер. Максимум ее вели­ чины достигается на границе, и во всем полупространстве она имеет аналити­ ческий регулярный характер. Так же, как и прежде, из всех значений А% меньших скорости поперечных волн, оказывается возможным только одно, отвечающее релеевской скорости. Решение, отвечающее этому 1\ и является наиболее общим типом релеевских волн для свободного полупространства. К выяснению того, что мы называем наиболее общим типом релеевских волн, мы еще вернемся немного позднее. Эти исследования обобщены и на случай, когда пространство состоит из двух половин с разными упругими свойствами; исследования яти проделаны с большей полнотой. Возникающие здесь трудности носят чисто алгебраический характер. Вопрос заключается в подробном исследовании корней некоторых сложных алгебраических выражений на вещественной оси. Важное обстоятельство, связанное с теорией плоских волн в ее обобщенном понимании, заключается в их своеобразной универсальности. С. Л. Соболеву удалось представить полное решение задачи Дамба для полуплоскости и полу­ пространства как результат наложения плоских волн, зависящих от переменного параметра 0, пробегающего все значения от —сюдо-р-х). Так как, с другой стороны, решение задачи Ламба представляет собою элементарное решение,.из которого с помощью интегрирования можно получить решение задачи с произвольно заданными напряжениями на границе, то, очевидно, всякое решение уравнений с такими краевыми условиями есть не что иное, как агрегат плоских волн, падающих и отраженных с добавлением волн Релея. Явное решение задачи Ламба, полученное с помощью плоских воли, имело весьма замечательную форму и позволило открыть новый класс решений уравнений упругости, оказавший теории громадные услуги. К изложению теории этого класса мы сейчас и переходим. Как нами уже указано, интегрирование уравнений теории упругости в плоском случае сводится к интегрированию волнового уравнения с тремя переменными д-ы ( fflu 1 о1 и Будем искать теперь решение этого уравнения и = 2 (>, //, /),

(36)

обладающее тем свойством, что любая функция f(Q), дважды диференцируемая по х, у и /, также является решением. Такая функция 2 должна удовлетворять системе уравнений

(£)'4tr-i("H Решение этого типа мы будем называть функционально инвариантным. Общий вид функционально инвариантных решений построен В. И. Смирновым и С. Л. Соболевым в нескольких исследованиях.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ гШН МОЛОГ'Ш) В ггч'Р

245

Оказалось, что всякое функционально инвариантное решение 12 удовлетво­ ряет некоторому алгебраическому уравнению вида I (Q):/; -4- м (^) .'/ -j- >i- 0-2) ' -г 0 (Q) = °> ^ 88 ) линейному относительно координат и времени, с коэфициентами, зависящими только от Q, причем функции 1(11), т(И) и n(Q) связаны соотношением „2<>>^ 7 / / *)

=

.//;2.

(39)

Решение уравнения (38) может дать нам для 2 вещественные или ком­ плексные значения, расположенные на каком-то многообразии. Если область пространства х, у, t переходит в область на плоскости комплексного переменного Q, то всякая аналитическая функция от 12 в этой области будет функционально инвариантным решением. Если область в пространстве х, у, t переходит в линию на плоскости комплексного переменного Q, то всякая функция f(Q), дважды диференцируемая вдоль этой линии, будет таким функционально инвариантным решением. Частным случаем этих функционально инвариантных решений будут рассмотренные выше плоские волны, а также известное решение уравнения Лапласа г = x~\~iy. Рассмотрим функционально инвариантное решение z, определяемое уравне­ нием

«-Н'+тН-И'-т)'-*-

(40)

В полярных координатах функция г представляется в виде

upK0
.? = е Очевидно, что внутри конуса

'?

(41)

|

при р > at.

и < at (42) в пространстве х, у, t з будет определено как комплексное переменное, изменяю­ щееся внутри или вне круга единичного радиуса. Вне этого конуса неременное z будет меняться на окружности единичного круга. При построении вещественных решений достаточно удержать в формуле (41) .знак минус и взять вещественную часть полученного решения. Вне круга оба знака перед arecos в формуле (41) равноценны. Обозначая оба корня уравнения (40) через / и / ' , мы можем сформулировать следующую основную теорему: Ванное решение а волнового уравнения (Я5), зависягцее только от отношений и У-••-, т. е. нредставлянпнге сооою однородную „.функцию пулевого измерения от координат и времени, внутри конуса (42) представляемся в виде и = Ю \U{z)\, а вне этого конуса представляется в виде и = ил(/) -!--м.2(У'),

(4В) (44')

2^|]

* . Л. О Ж О Л К Н

И <'• I". МИХЛ1П!

где {/ — аналитическая фуункнут внутри круга еОннич наго раоиуса, непрерывная вплоть до контура, а функаущ /и1 к ;/.-, — вгнпхшвенные функции на единичной окружности.

Из этого свойства функционально инвариантных решений вытекает ряд весьма интересных следствий, так как оолъпюе количество валшеиших особых решении волнового уравнения, имеющих теоретическое значение, оказываются содержащи­ мися внутри этого класса. В частности благодаря этому свойству можно установить, что решение задачи о колебании полуплоскости нод влиянием сосредоточенного удара в начале координат при / — 0 будет содержаться внутри класса функционально инвариантных решений. Это обстоятельство и было использовано В. И. Смирновым и С. Л. Соболевым, которые построили решение задачи Ламба уже непосредственно. Идея построения этого решения связана с другим важнейшим свойством этих решений.. Для выяснения его введем понятие о падающих и отраженных волнах для функционально инвариантных решений. Прежде всего отметим, что каждое такое решение, если только l(Q) не обра­ щается в нуль, может быть соответствующей нормировкой приведено к виду 2 = 'Н-?)>

(4В)

где z удовлетворяет уравнению

"-H'-TH-H'--/)-'-*')-''-

т

В этом уравнении y{z)— функция, регулярная в части круга единичного радиуса. Если / (/) вещественна на некоторой части единичного круга, то та часть пространства х, у, t, где z определяется, будет разбита на область, где \z\ = l, и область, где \z\ < 1. С целью такой нормировки достаточно '"разделить обе части уравнения (8tf) n(Q) на —~~- и ввести новое неизвестное с помощью равенства *(Ц) = _ -1 / ~ _ Ч n(Q) а 2 [' z) ' Многообразия постоянного значения z будут двоякого характера. Для значений z внутри единичного круга .mi многообразия будут прямыми линиями, а для .?, равных по модулю единице, они будут плоскостями, огибающая которых делит пространство х, \р 1 на части, внутри одной некоторых \z\ < 1, а внутри другой | * | = 1. В разобранном нами примере линиями \z\<\, # = const служили прямые, проходящие через вершину конуса, а плоскостями \z\ = l, ^ = constбыли касательные плоскости к конусу. Будем называть прямые !.:•;< 1, .2- = const лучами. Падающим лучом по отношению к плоскости х = 0 мы будем называть луч, который при возрастающем / имеет убывающие значения у, а отражен­ ным— такой луч, на котором / и // растут одновременно. Каждая плоскость z = const делится своей линией касания на две части. Мы получаем таким образом две системы полуплоскостей, которыми в прошлом примере служили * ' = const

к

.:'•' = const.

млткмлттгкгклл (Kiit мо.чогни и (vcp

247

Мы будем называть полуплоскость падающей, если при фиксированном значений t точка пересечения ее линии касания с плоскостью х = О имеет мини­ мальное значение у/, и отраженной, если эта точка имеет максимальный //. Иными словами, падающая полуплоскость пересекается с границей „после" того, как лежащий на ней луч пересекся с нею, а отраженная отделяется от плоскости после отделения ведущего ее луча. Мы будем говорить, что имеем дело с паоаюгцен волной, если при t > f0, где /0 — некоторое фиксированное число, плоскость ./• = () пересекается только с падающими лучами и полуплоскостями, на которых заданное функционально инвариантное решение постоянно (лучами и плоскостями постоянного ,а). Полезно отметить, что направление луча или полуплоскости и, следовательно, падение или отражение его всецело зависит от значения переменного .? и не зависит от функции / ( / ) . Наконец чрезвычайно важно также, что до некоторого момента / падающая волна, вообще говоря, всегда отделена от границы некоторой зоной покоя. После этих определений можно уже сформулировать важное свойство класса функционально инвариантных решений. Внутри класса функционально инвариантных решений можно всегда построить решение задачи об отражении, т. е. па всякое функционально инвариантное решение задачи теории упругости, имеющее характер падающей волны, можно наложить два отраженные решении—продольное и поперечное, так. чтобы при J \> fo удовлетворить поставленным на границе х = 0 однородным условиям. Для того чтобы пояснить это обстоятельство, полезно вместо переменной г ввести другую комплексную переменную О, определяемую с помощью уравнения 5 (В) == / — 0./- ±1 1 / 1/

-1- — 62 у _ y(Q) = о.

(47)

-:;—ft2 мы будем определять однозначным образом на плоскости 0 с разре­

зом от

до -\—~ но вещественной оси. Именно, мы будем считать этот ко­

рень положительным на положительной части мнимой оси. При этих условиях значения 0 из верхней полуплоскости отвечают падающим волнам, если перед корнем взять знак минус, и отраженным, если взять знак плюс. Сопоставляя между собою переменные 01з f)2, 03 и 0L, определенные соответ­ ственно уравнениями для 62. из верхней полуплоскости: ^ == / — f^,r — I / _;_-— f)~ a — у ф^ = о (падающие волны), &2 = t — b2.r: -f- 1 / — — 0j // — •/ (0o) = о (отраженные волны). } &, = * —ft.

/

l

1^/ -у- — ()п У — 7. (%) = ° (падающие волны),

84 == f — 64г-4~ 1 / - - — ^ v/ — у (ft4) = о (отраженные волны),

(48)

248

*'• .'i. roBo.'iKR и с г. мнхлик 0

где ad=

л -f- 2a

ln

u

, b2 = — , мы видим, что при у = О совпадают значения Ь, и знар р чения производных от функции о. по 0.

•

—ЙГ! =0

г

(49)

у=0

ЕСЛИ теперь подсчитать значения производных от произвольной функции f\ (6,) но координатам и времени, то можно проверить, что значения их выражаются только через функции от Ь. и производные от о{. Пользуясь этим и приравнивая нулю на основании граничных условий две соответственно выбранные линейные, с постоянными коафициентами, комбинации производных одного и того же порядка от разных функций, мы приходим к линейному диференциальному соотношению для функций 1\фу), fo(b2), fs(%) и / 4 ( ,J 4 )- Совпадение величин 8^ дает возможность отбросить значки и получить два диференциалъных уравнения с одной переменной. С помощью этих уравнений по заданной функции f\ или f\> дающей падающую волну, можно определить отраженные волны f2 и fA для свободной или закре­ пленной границы. Принципиально то же обстоятельство встречается при решении задачи Ламба, о которой мы уже говорили выше. В этой задаче решение отыскивается в виде суммы двух слагаемых типа ___ до , Ц __
Для определения вещественных частей ^ и f2 на вещественной оси мы получаем систему двух диференциальных уравнений, выражающих отсутствие напряжений на границе. Особенность в точке ./; = 0, определяемая из механических соображений, дает возможность подсчитать характер полярности у f\ и f2, откуда в свою очередь полностью определяются эти функции. Имея возможность строить отраженные и преломленные волны с помощью описанного выше приема, мы можем решать любую задачу о сосредоточенном ударе во внутренней точке слоистой среды любой структуры. С этой целью мы воспользуемся тем обстоятельством, что упругое возмущение в среде распространяется с конечной скоростью и в течение некоторого конечного промежутка времени, так что решение задачи об ударе во внутренней точке может быть получено без учета влияния границы. Далее, когда возмущение доходит до границы среды, или границы раздела, мы будем составлять полное решение с помощью наложения волн отраженных и преломленных. Так как отраженные и преломленные волны имеют опять функционально инвариантный характер, то в момент, когда они дойдут до новой границы, можно будет опять накладывать новые отраженные и преломленные волны. Для каждого конечного момента времени мы будем иметь лишь конечное число отражений, и задача решается в законченной форме. Кроме задач о точечном источнике колебаний, с помощью функционально инвариантных решений можно получить и общее решение задачи о колебании

МАТКМАТИЧКГКА.Я <>;иг\!'иН>.П1Я Б « О ' Р

2-i^

слоистых тел с произвольными начальными условиями, т. е. задачи об отыскании такого решения уравнений (26), для которого

-,.=".» *L—'"•

<и

>

Это решение основано на применении известного метода Вольтерра. Напомним, в чем суть этого метода. Как известно, уравнения теории упругости являются самосопряженными уравнениями и допускают построение так называемой формулы взаимности, являющейся обобщением классической формулы Грина. Если ввести обозначение (fit

L (и) = -z-g — (Ь ~т" 2?) Ц"1*ас1 div и - - и rot rot и,

(52)

то формула Грина для трехмерного случая записывается в виде

[ [ i ( {щъ Оч) — «*L ( u i)} d x chfd*

di

= (1 vi^r

где

^ r j „|_ Y(;} cos (v, y) + Zf cos (v, f ) , a v — направление внутренней нормали к четырехмерной поверхности 8, ограни­ чивающей объем V. Под u 1 L(u 2 ) и т. п. мы понимаем скалярное произведение двух векторов в трехмерном смысле, т. е. TW =

X (0 c o s

щЪ (щ) = uuLx (щ) + «ЛуЬу (и2) -4- ul2Lz (//ч2). Для двумерного случая эта формула пишется аналогично. Формула (53) выведена в предположении непрерывности вторых производных от неизвестных функций, однако она остается справедливой и в случае, когда производные и первого и второго порядков претерпевают разрыв непрерывности, если только гиперповерхность в пространстве ./•, /у, г, /, на которой этот разрыв происходит, есть характеристика. Для интегрирования уравнений теории упругости в двумерном случае Воль­ терра построил некоторые частные решения этих уравнений. Эти решения обра­ щаются в нуль вне и на поверхности так называемого конуса характеристик с вершиной в данной точке .%, у0, /0, обращенной в сторону положительных /, и имеют особенность вдоль линии х = х0> // = у0. Решение задачи получается путем применения формулы (53) к области V, ограниченной этим конусом 8, малым цилиндром L вокруг оси конуса, которая является особой линией, и плоскостью /• = (). За щ нужно взять неизвестное решение, а вместо н2 подставить особое решение Вольтерра. В формуле (53) интеграл, взятый по внутренности области, пропадает в силу уравнений, интеграл по поверхности конуса также обращается в нуль. Остаются, таким образом, интеграл по поверхности узкого цилиндра, описанного вокруг оси конуса, и интеграл по плоскости / = 0, на которой, но предположению, все вхо­ дящие в интеграл величины известны: f f (ч их dij -4- f f(4 t = Q

L

dL - 0. i = 1, 2;

(54)

I". МИХЛИИ

здесь ft,, обозначает результат подстановки в интеграл какого-либо частного решения Волътерра. Особенности решений Волътерра на оси конуса подобраны так, что неизвест­ ный вектор смещения выражается в виде

(55)

С помощью формул (54) неизвестный вектор смещения может быть выражен через известные элементы, и задача решается до конца. В построенных Волътерра особых решениях уравнений теории упругости смещения являются однородными функциями координат и времени и, следова­ тельно, выражаются через функционально инвариантные решения. Геометрически они аналогичны волнам, распространяющимся от точечного источника, если пустить время f в обратную сторону. Пока возмущение, идущее от особой линии, не достигло границы между двумя частями среды, решения Вольтерра сохраняют силу, а далее с помощью развитой выше теории к ним можно прибавить конечное число таких слагаемых, чтобы они удовлетворяли всем поставленным условиям. При этом небольшое видоизменение метода Вольтерра даст общее решение поста­ вленной задачи. Остановимся немного на одном интересном факте, относящемся к теории колебаний полуплоскости со свободной границей. Допустим, что начальное воз­ мущение, заданное формулами (51), было сосредоточено в некоторой ограниченной области пространства, и подсчитаем асимптотическое поведение решения при больших значениях времени. С этой целью введем вспомогательную подвижную систему координат, дви­ гающуюся вдоль поверхности с некоторой постоянной скоростью: ; ^ х T

i = //,

G I,

|

J

и оценим смещения при больших /, считая ; и г, ограниченными. При этом обна­ руживается следующее. Для всех значений скорости нашей координатной системы, кроме скорости продольных волн, скорости поперечных волн и релеевской, сме­ щения, находящиеся в ноле зрения подвижного наблюдателя, связанного с системои, оудут стремиться к нулю как — . Для скоростей продольных и поперечных

1 AT волн это стремление оудет низшего порядка, а именно I/ — , а для скорости релеевской смещения вовсе не будут затухать. Член, не зависящий от времени, будет при этом в' точности иметь вид поверхностных волн Релея, описанных нами выше. Таким образом эти поверхностные волны являются неотъемлемой частью всякого движения, возникшего под воздействием ограниченного возмущения, и никакого другого тина поверхностных волн в этих условиях существовать не может.

млткмлтичт.гклн t'i-:ii< Мо/тгия в nvi>

^51

Мы не упомянули ранее, что анализ решения, соответствующего точечному источнику колебаний, обнаруживает и там то же явление поверхностных волн Редея. Описанным нами способом плоская задача о колебаниях сред, состоящих из параллельных слоев, приведенная к задаче об отражении функционально инва­ риантных волн, решается до конца. Дли того чтобы перейти к решению простран­ ственной задачи, необходимо использовать еще один общий элементарный прин­ цип теории линейных уравнений. Рассмотрим в пространстве х, у, z систему координат, вращающуюся вокруг оси z: ,/•_ =

,/ COS Л

/ / S i l l А, )

у// = .4?sin л 4-//cos X,

(5Н)

и. зависящую от переменного параметра /.. Всякое решение плоской задачи в плоскости ,г, .-,, т. е. такое решение, в котором v} = 0, a w-; и w} не зависят от //., будет, в силу инвариантности урав­ нений теории упругости относительно преобразования (56), удовлетворять тем же уравнениям и в переменных г, у, z. Кроме того, если это решение удовлетворяет на оси s = 0 каким-нибудь однородным условиям, инвариантным относительно того же преобразования, как например, отсутствие напряжений и т. п., то эти же условия будут выполняться и в переменных ./, у, z. Построив какие-нибудь решения этой плоской задачи, зависящие, кроме того, явно от параметра л, И складывая эти решения, мы будем получать опять решение задачи. Накладывая в частности функционально инвариантные решения, для которых известен закон отражении, мы будем получать решения трехмерной задачи теории упругости, для которых опять известен закон отражения. Таким образом получается новый широкий класс решений трехмерной задачи теории упругости, внутри которого опять находятся несколько важных особых решений. Для теории колебаний слоистой среды в трех измерениях можно с помощью этого класса почти дословно получить все те же результаты, которые были опи­ саны выше для решений двумерных. С. .1. Соболевым совместно с П. И. Смирновым получено решение задачи о колебаниях иод влиянием сосредоточенного удара. Е. Л. Нарышкина построила общее решение задачи о колебаниях при произвольном начальном возмущении. С помощью анализа асимптотического поведения этого решения на бесконечности ей удалось установить, что в этом решении опять выделяются волны Релея, исследованные ею ранее. Нужно отметить еще одно важное применение принципа наложения решений плоской задачи для составления решений задачи пространственной. С помощью наложения различных однородных, нулевого измерения от х, z и f, решений двумерной задачи можно получать однородные, нулевого изме­ рения от х, у, z и t, решения задачи трехмерной. Если пока ограничиться реше­ ниями, симметричными относительно оси .?, то мы получим естественную класси­ фикацию однородных решений в трехмерной задаче, имеющих особенности на оси z или на характеристическом конце, исходя из особенностей тех функций комплексного церемонного, которые служили для образования решений двумерных.

#.

«•'• л - < оьолкв и г. г. михлин

252

Эта работа проделана Г>. И. Смирновым. - Описанные нами выше исследования решали полностью задачу о колебании слоистых сред. Для того чтобы перейти от них к. исследованию общей задачи о колебании неоднородных сред с линейными границами г ), достаточно изучить еще поведение функционально инвариантных решений вблизи угла, составленного двумя частями такой границы. В простейшем случае, когда колеблется просто неограниченно простирающийся угол, эту задачу иногда называют задачей диф­ фракции, Эго название относится но преимуществу к колебаниям углов, ббЛЫПИХ 7Г.

Изучение колебаний углов наталкивается, однако, на ряд весьма серьезных трудностей, и до сих нор разобран лишь ряд частных случаев, относящихся к интегрированию одного волнового уравнения с простейшими краевыми усло­ виями. В теории упругих колебаний к. такой задаче приводит изучение попе­ речных волн, в которых величины их и и равны нулю, a uz не зависит от z. Среди вопросов этого типа остановимся особо на колебании угла со сво­ бодной или закрепленной границей. Эта задача для трехмерного пространства состоит в интегрировании уравнения пЧ , 2 ди , -

дг*

1—

'

1

0 ( . . аи \ ,

i

г

fir

I Sill U

• г* sin tt г)Ъ\

1

дЧ

I —

д\) )

;

=

г* s i n * »

гЬ2

О

(I r i ' 7 \

'

(}

в области О < г < ^с,

а < ? < р,

0 < !> < т:.

Для двумерного пространства эта задача переходит в задачу интегрирования уравнения о-и , 1 ди , 1 о2 и в области 0 < о < -с, a <J) < 8.

(60)

Мы разберем только двумерную задачу. Эта задача была полностью решена работами Зоммерфельда и его школы. Решение задачи по методу Зоммерфельда представляется в виде некоторых кон­ турных интегралов в плоскости комплексного параметра. В Сейсмологическом институте разработан другой метод изучения теории диффракции волн, основанный на применении функционально инвариантных решений. Остановимся вкратце на этом методе. Дополним угол а <; i><; ;3 до полной логарифмической римановой поверхности, заставляя *> изменяться от -~оо до 4-со. Рассмотрим задачу об интегрировании уравнения (59) при краевых условиях

Ч,,*^ 0 ' " W ^ ° -

(6i)

Допустим, что мы имеем какое-нибудь решение этой задачи и (о, &, /). Про­ должим это решение периодическим образом за пределы рассматриваемого угла 1

) Под линейной границей мы понимаем границу, составленную из кусков прямых (или плоскостей).

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ. СЕЖ МОДОГНЯ В СГ-ОР

253

так, чтобы полученное решение было нечетной функцией 0 с периодом 2(р — а). Оно будет при втом удовлетворять двум условиям: и (о, а + Е, /) + «• (р, « — 5, 0 = О, ) ^ j w ( P i p + 5,/) + tf(p,p_E,f) = 0. / Из этих условий вытекает, что построенная функция будет решением задачи, имеющим непрерывные производные на всей логарифмической поверхности. Очевидно, что начальные условия для и также получаются путем периоди­ ческого продолжения начальных условий, заданных в области (60). Таким образом достаточно уметь решать задачи на логарифмической поверхности. С. Л. Соболевым предложен новый способ решения этой задачи, основанный на следующем. Всякая функция от *, определенного формулой (40), имеющая точку развет­ вления при в = 0, будет разветвляющимся решением волнового уравнения. Среди этих решений можно указать несколько таких, которые имеют непосредственный смысл. Рассмотрим разрывную волну в виде ступеньки, двигающейся на одном из листов римановой поверхности по направлению к точке разветвлевия. Эта волна представляется как до диффракции, так и после нее с помощью функции и = Q {In In z — In (In .? — 2тс)}

(63)

при соответствующем выборе ветвей логарифма. С. Л. Соболевым показано, что накладывая такие ступеньки можно построить любое решение задачи. На этом вопросе мы сейчас остановит!ся не можем. После этого обзора нам остается еще только упомянуть о работах по „боль­ шой сейсмологии". В этой области в Сейсмологическом институте разрабатывалась только одна проблема — распространения волн в неоднородной среде. Две работы по этому вопросу С. Л. Соболева и В. Г. Гоголадзе содержат новый метод решения уравнений гиперболического типа с переменными коэфициентами, разработанный далее С. Л. Соболевым в работах но общей теории уравнений гиперболического типа. Читателей, интересующихся этим вопросом, отошлем к другой статье, посвя­ щенной задаче Коши, которая будет вскоре опубликована в настоящем сборнике. В заключение скажем несколько слов о работах теоретического отдела Сейсмо­ логического института по теории пластичности. В плоском случае уравнения пла­ стичности, предложенные Сен-Венаном, имеют следующий вид:

эх.г 17

дХ„ У

д

*„

= 0,

-+-т ' <>у

>V)a+ *к

( * , -

дг;

д.г

1

-j-

.

ыиу

д7~ ду К j. _ ду ' дг

-. =

^

.—

д\'я

= ~w :4 k*

ь

2Х У

У

0,

(64) (66)

(66)

254

<". л. сонолкв и г . г. мих.'шн.

Здесь (64)— уравнения равновесия механики сплошной среды, а уравнения (65) и (66) выражают сен-венансвские гипотезы пластического состояния: J. В каждой точке пластического вещества наибольшее срезывающее напря­ жение есть постоянная, характерная для данного вещества. Эта постоянная обозначена через к. II. Направление наибольшей скорости сдвига совпадает с направлением наи­ большего срезывающего напряжения. III. Пластическое вещество несжимаемо. В уравнениях (66) vx и vy означают компоненты скорости смещения чаешц С. Л. Соболев поставил задачу о распространении пластического состояния в среде, первоначально упругой. Им сформулированы условия совместности на границе раздела зон упругого и пластического состояний. Это — условия непре­ рывности тензора напряжений, вектора смещений и касательной составляющей скорости смещений. Поставленная задача решена С. Л. Соболевым для случая бесконечной плоскости с круговым вырезом, причем заданные на границе сме­ щения обладают нейтральней симметрией. Эта задача решается в конечном виде и имеет единственное решение. С. Г. Ми/линым, совместно с сотрудником Математического института Ака­ демии наук С. А. Христиановичем решена задача об интегрировании уравнений пластичности (64)—(66) при заданных внешних силах. Уравнения (65) и (66)— нелинейные. Если принять .г и // за неизвестные функции, а зк и оу — за неза­ висимые переменные, как это было предложено еще М. Леви в 1871 г., то новая система уравнений оказывается линейной. Преобразуя дальше эту систему, можно свести поставленную задачу к задаче Коши для телеграфного уравнения. Задача в общем случае имеет два решения, в частных случаях решений может быть и больше. Если определять! пластическое состояние внутри замкнутого контура, то гам обычно появляются линии „разрыва", т. е. линии, вдоль которых напряже­ ния меняются скачком. Физически такие линии соответствуют трещинам. Наличие двух решений показывает, что одних уравнений (64)—(66) недоста­ точно для определения пластического состояния. Необходимо добавить еще ука­ зания, относящиеся к возникновению пластического состояния, например, как показывает задача С. Л. Соболева, достаточно указать, что пластическое состояние возникает в среде первоначально упругой. При таком указании пластическое состояние определяется единственным образом. Важнейшая литература ] ). С. Г. М и х л и и, Плоская задача теории упругости, Труды С. И., 65, 1935. С. Г. М и х л и н, Метод последовательных приближений в применении к бигармоничеекон проблеме, Труды С. II., 39, 1934. С. Г. М и х л и ы , Плоская задача теории упругости для неоднородной среды, Труды С. П., 66, 1935. Д. И. Ш е р м а н , Новый метод решения плоской задачи теории упругости для многосвязных областей, Труды С. И., 54, 1935. С. Л. С о б о л е в , Волновое уравнение для неоднородной среды, Труды С. И. 2, 1930. С. Л. С о б о л е в , Применение теории плоских волн к задаче Lamb'a, Труды С. IL 18, 1932. -1) Для сокращения всюду вместо «Сейсмологический институт" написано С. И.

МЛТКМЛТИЧКГКЛЯ

СКИСМОЛОГИЯ И г<г\>

27)0

С. Л. С о б о л е в и В. Д. К у и р а д з г, О распространении ноли но поверхности раз­ рыва, Труды (.-. И., 11, 1930. Е. А. Н а р ы ш к и н а , Об одном применении теории плоских волн, Труды С II., 19, 1932. S. S m i r n o f f et S. S o b o l e f f , Sur une methode nouvelles dans le probleme dans les vibratures elastiques, Труды С. И., 20, 1932. S. S m i r n о f f e t S. S о b о 1 e f f, Sur l'application de la methode nouvelle, Труды С. И.8. 29, 1933. S. S o b o l e f f , Sue les vibratures d'un demiplan etc., Математический сборник, т. 40, вып. 2, 1933. С. N a r y c b k i n a , Uber die Schwinjningen eines festen elastischen llalbraumes, Труды С. И., 21, 1933. С. N a r y c h k i n a , Sur les vibrations d'un demi-енрасе otc, Труды С. И., 45, 1934. E. Н а р ы ш к и н а , О волнах Релея в пространстве трех измерений, Труды С. ТТ.. 48, 1934. С. С о б о л е в , On the propagation of the plastic state, Труды С. П., 49, 1935.