Метод Штифеля и его применение в линейной алгебре и математическом программировании: Учебно-методическое пособие

М И Н И СТ Е РСТ В О О БРА ЗО В А Н И Я РО ССИ Й СК О Й Ф Е Д Е РА Ц И И В О РО Н Е Ж СК И Й ГО СУ Д А РСТ В Е Н Н Ы Й У Н И В Е РСИ Т Е Т

М Е Т О Д ШТ И Ф Е ЛЯ И Е ГО ПРИ М Е Н Е Н И Е В ЛИ Н Е Й Н О Й А ЛГЕ БРЕ И М А Т Е М А Т И ЧЕ СК О М ПРО ГРА М М И РО В А Н И И У чебн о-методическое по собие длястуден тов Специаль н о сть « М атематика» 010100

В о рон еж 2003

2

У тверж ден о н аучн о-методическим советом математического ф акуль тета В орон еж ского го сударствен н о го ун иверситета. Протоко л № 2 о т 2 сен тября 2003 г.

Со ставитель У ксусов С.Н .

У чебн о-методическое по собие « метод Штиф еля и его примен ен ие в лин ей н ой алгебре и математическо м программирован ии» подготовлен о н а каф едре теории ф ун кций и гео метрии математического ф акуль тета В о ро н еж ского го сударствен н ого ун иверситета. Рекомен дуется для студен тов 3 – 4 курсов математического ф акуль тета.

3

О ГЛА В ЛЕ Н И Е В веден ие… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … .… … … … ..4

ГЛА В А I М Е Т О Д Ж О РД А Н О В Ы Х И СК ЛЮ ЧЕ Н И Й . . … … … … … … … ...5 §1 М етод обы кн овен н ы хж о рдан овы хисклю чен ий … … … … … ...… … … … 5 §2 М етод модиф ицирован н ы хж о рдан овы хисклю чен ий … … … … … … … ..9

ГЛА В А II ПРИ М Е Н Е Н И Е М Е Т О Д А Ж О РД А Н О В Ы Х И СК ЛЮ ЧЕ Н И Й В ЛИ Н Е Й Н О Й А ЛГЕ БРЕ ..… … … .… … … … … .… … … ...… … ..… … ...15 §1 В ы числен ие ран га матрицы . Н ахож ден ие лин ей н ой зависимо сти меж дувекторами… … … … … … … … … … … … … … … ...… … … … … … … … 15 §2 Реш ен ие систем лин ей н ы хуравн ен ий … … … … … … … ..… … … … … … .17 §3 Н ахож ден ие обратн ой матрицы с по мощ ь ю метода ж ордан овы хисклю чен ий … … … … … … … … … … … … … … … ...… … … … ..25

ГЛА В А III ПРИ М Е Н Е Н И Е М Е Т О Д А М О Д И Ф И Ц И РО В А Н Н Ы Х Ж О РД А Н О В Ы Х И СК ЛЮ ЧЕ Н И Й В ЛИ Н Е Й Н О М ПРО ГРА М М И РО В А Н И И … … … … … … … … … … … … … … ..… … … ...28 §1 По стан овка задачи лин ей н ого программиро ван ия… … ...… … … … … … 28 §2 О писан ие метода Штиф еля… … … … … … … … … … … … … … … … … … .31 §3 Н ахож ден ие первон ачаль н ого опо рн ого план а… … … … … … … ..… … ...35 §4 Н ахож ден ие о птималь н о го опорн ого план а.… … … … … … … … .… … … 40 §5 Случай вы ро ж ден н ы хбазисн ы хреш ен ий … … … … … ..… … … … … … ...47

ГЛА В А IV РЕ ШЕ Н И Е О Б Щ Е Й ЗА Д А ЧИ ЛИ Н Е Й Н О ГО ПРО ГРА М М И РО В А Н И Я . Д В О Й СТ В Е Н Н О СТ Ь В ЛИ Н Е Й Н О М ПРО ГРА М М И РО В Н И И .… … … … … ....… … … .… ...52 §1 Сведен ие общ ей задачи лин ей н ого программирован ияк о сн овн ой задаче… … … … … … … … … … … … … … … … … … … ..… … … … ...52 §2 Реш ен ие общ ей задачи лин ей н ого программирован ия… … … … ...… … .55 §3 О пределен ие двой ствен н ой задачи к общ ей задаче лин ей н ого программирован ия… … … … … … … … … … … … … … … … ..… ...57 §4 Реш ен ие двой ствен н ой задачи… … ..… … … … … … … … .… … … … … … 60

ПРИ ЛО Ж Е Н И Я К он троль н ое задан ие № 1.… К он троль н ое задан ие № 2.… К он троль н ое задан ие № 3.… Литература… … … … … … …

… … … …

… … … …

… … … …

… … … …

… … … …

… … … …

… … … …

… … … …

.… … … … … … … … … … … 64 .… … … … … … … … … … … 66 .… … … … … … … … … … … 67 … … … … ...… … … … … … ..70

4

В В Е Д Е НИ Е Н аибо лее про сты м методом прео бразован ия систем лин ей н ы х уравн ен ий традицион н о считается метод Гаусса-Ж о рдан а. При по мо щ и дан н ого метода мо ж н о н ай ти един ствен н о е реш ен ие системы лин ей н ы х уравн ен ий или доказать его отсутствие. А в том случае, когда система имеетбесчислен н ое мн ож ество реш ен ий , мето д Гаусса-Ж ордан а позво ляетн аходить базисн ы е реш ен ия системы и переходить всего за один ш аг отодн ого базисн ого реш ен ия к друго му. Т акая о собен н о сть мето да Гаусса-Ж о рдан а по зво лила н а его о сн ове реализовать так н азы ваемы й симплекс-мето д реш ен иязадач лин ей н ого программиро ван ия. О дн ако сущ ествуетещ е один метод преобразован ия систем лин ей н ы х уравн ен ий – метод ж ордан овы х исклю чен ий . По сущ еству, это хо ро ш о всем н ам зн акомы й метод исклю чен ия н еизвестн ы х. О дн ако практическая реализация дан н ого мето да в виде ж ордан овы х таблиц позво лила сущ ествен н о сократить ариф метические вы числен ия. Это заметн о даж е при реш ен ии задач лин ей н ой алгебры . Н о о собен н о это заметн о во время реш ен ия задач математического программирован ия. Примен итель н о к задачам лин ей н о го программирован ия, мето д ж о рдан овы х исклю чен ий получил н азван ие метода Штиф еля. М етод Штиф еля успеш н о примен яется в математическом программирован ии н е толь ко по тому, что он сущ ествен н о прощ е традицион н ого симплекс-метода. Само е главн ое его до стоин ство заклю чается в то м, что о н позволяетпримерн о вдво е со кратить количество учебн ы х часов, н еобходимы х препо давателю для прочтен ия курса лин ей н ого программирован ия. По собие со стоитиз четы рехчастей . В первой части изучаю тся мето ды ж ордан овы х исклю чен ий и модиф ицирован н ы х ж о рдан овы х исклю чен ий . Д ан н ы е методы преобразо ван ия систем лин ей н ы х равен ств оф о рмляю тся в виде ж о рдан овы х таблиц. Приведен ы и доказан ы алго ритмы перехода отодн ой ж о рдан овой таблицы к другой (один ш аг ж ордан о вы х исклю чен ий ). В о второй главе изучаю тся примен ен ие метода ж о рдан о вы х исклю чен ий в лин ей н ой алгебре. Примен ен ие метода ж о рдан о вы хисклю чен ия к реш ен ию стан дартн ы х задач лин ей н ой алгебры оказало сь вполн е оправдан н ы м. Н а примерах до казан о , что реш ен ие таких задач, как вы числен ие ран га матрицы , н ахо ж ден ие обратн ой матрицы и реш ен ие систем лин ей н ы х уравн ен ий методом ж о рдан овы х исклю чен ий оказало сь прощ е, чем реш ен ие традицио н н ы ми мето дами. В третьей и четвертой главе дан н ого по собия содерж ится кратко е излож ен ие курса математического программирован ия, о сн ован н ого н а методе ж о рдан овы хисклю чен ий (метод Штиф еля). По собие, преж де всего, предн азн ачен о для студен тов математических ф акуль тетов, получаю щ их специаль н о сть « Преподаватель ». Д ан н о е по собие такж е по лезн о студен там эко н омических и других специаль н о стей , изучаю щ ихматематическое программирован ие и лин ей н ую алгебру.

5

ГЛА В А I М Е Т О Д Ж О РД А Н О В Ы Х И СК ЛЮ ЧЕ Н И Й § 1 М етод об ы кн ов ен н ы х ж орд ан ов ы х исклю ч ен ий Пусть дан а система лин ей н ы хф о рм (уравн ен ий ): a11 x1 + a12x2 +… + a1 jx j + … … … … … … … … … … … … … ai1x1 + ai2x 2 +… + aijx j + … … … … … … … … … … … … … ar1 x1 + ar2 x2 + … + arjxj +… … … … … … … … … … … … … am1x 1 + a m2 x2 +… + amjxj + …

+ a 1sxs + … + a1 nxn = y 1, … … … … … … … … … … . + a isx s + … + ainxn = yi, … … … … … … … … … … . + a rsx s + … + arn xn = yr , … … … … … … … … … … . + ams xs + … + a mnxn = y m,

(1.1)

где aij – по сто ян н ы е коэф ф ициен ты (i = 1, 2,… , m; j = 1, 2,… , n). Рассмотрим следую щ ую операцию , н азы ваемую в даль н ей ш ем « одн им ш аго м обы кн овен н ы х ж о рдан о вы х исклю чен ий ». И з произво ль н ого ( r -го) равен ства вы разим произво ль н ую перемен н ую (xs ) и подставим во все о сталь н ы е равен ства. Разумеется, это возмо ж н о то ль ко в том случае, когда ars ≠ 0. К оэф ф ициен т ars н азы вается разреш аю щ им (ин огда н аправляю щ им или главн ы м) элемен том. М ы по лучим следую щ ую систему: b11 x1 + b12x2 +… + b1 jx j + … … … … … … … … … … … … … bi1x1 + bi2x 2 +… + bijx j + … … … … … … … … … … … … … br1 x1 + br2 x2 + … + brjxj +… … … … … … … … … … … … … bm1x 1 + b m2 x2 +… + bmjxj + …

+ b 1syr + … + b1 nxn = y 1, … … … … … … … … … … . + b isy r + … + binxn = yi, … … … … … … … … … … . + b rsy r + … + brn xn = xs , … … … … … … … … … … . + bms yr + … + b mnxn = y m.

(1.2)

В ы числим коэф ф ициен ты получен н ой системы (1.2) через ко эф ф ициен ты исходн ой системы (1.1). Н ачн ем с r-го уравн ен ия, которое по сле вы раж ен ия перемен н о й x s через о сталь н ы е перемен н ы е будетвы глядеть следую щ им образом: −

arj a ar1 a 1 x1 − r 2 x 2 − ... − x j − ... + y r − ... − rn x n = x s . ars ars ars ars a rs

(1.3)

Т аким образо м, н о вы е ко эф ф ициен ты r-го уравн ен ия вы числяю тся по следую щ им ф ормулам:

6

brs =

1 , a rs

brj = −

arj ars

(1.4) , ∀j ≠ s.

В ы числим теперь н овы е ко эф ф ициен ты bij (i ≠ r) произво ль н ого уравн ен ия. Д ля этого подставим вы раж ен н ую в (1.3) перемен н ую xs в i -е уравн ен ие системы (1.1): arj  a  a 1 ai1 x1 + ... + aij x j + ... + ais ⋅  − r1 x1 − ... − x j − ... + y r − ... − rn x n  + ars ars ars   a rs + ... + ain x n = y i . По сле приведен ияподобн ы хчлен о в, по лучим: ais a rj    a a   x j + ... +  ai1 − is r1  x1 + ... +  aij − a a  rs  rs  

(1.5)

 a a a  + is y r + ... +  ain − is rn  x n = yi . ars  ars 

И з равен ства (1.5) получим ф ормулы , по кото ры м вы числяю тся о сталь н ы е коэф ф ициен ты системы (1.2) (заисклю чен ием r -го уравн ен ия): bis =

ais , i ≠ r, ars

bij = aij −

ais arj a rs

=

aij ars − ais arj ars

(1.6) , i ≠ r,

j ≠ s.

К ак и в случае реш ен ия лин ей н ы х уравн ен ий , методом Гаусса, прео бразован ие систем лин ей н ы х уравн ен ий методо м обы кн овен н ы х ж о рдан о вы х исклю чен ий о ф о рмляетсяв виде таблиц (матриц). Эти таблицы по лучили н азван ие « ж о рдан овы х». Т ак, задаче (1.1) ставитсяв со ответствие следую щ аяж ордан ова таблица: x1 x2 y1 a11 a12 … … … … … … … … … yi ai1 ai2 … … … … … … … … … yr ar1 ar2 … … … … … … … … … yn

am1

am2

…

xj … xs a1j a1s … … … … … … … … … … … … aij ais … … … … … … … … … … … … arj ars … … … … … … … … … … … … amj Т абл. 1.1.

ams

…

xn a1n … … … … .. ain … … … … .. arn … … … … . amn

7

Системе (1.2) приэто м со о тветствуетж о рдан о ва таблица: x1 x2 … xj … yr … xn y1 b11 b12 b1j b1s b1n … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … .. yi bi1 bi2 bij bis bin … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … .. xs br1 br2 brj brs brn … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … . yn bm1 bm2 bmj bms bmn Т абл. 1.2. Разреш аю щ ий элемен т ars мы будем вы делять ж ирн ы м ш риф то м. Н апо мн им, что для о сущ ествлен ия о дн о го ш ага ж о рдан о вы х исклю чен ий со о тветствую щ ий разреш аю щ ий элемен т до лж ен бы ть о тличен о т н уля. Стро ку таблицы , со держ ащ ую разреш аю щ ий элемен т, н азы ваю т разреш аю щ ей стро ко й. Сто лбец, со держ ащ ий разреш аю щ ий элемен т, н азы ваю т разреш аю щ им сто лбцо м. Н езависимы е перемен н ы е x 1, x2 ,… , x n записы ваю т в верхн ей заглавн о й стро ке таблицы . Зависимы е перемен н ы е y1, y 2,… , yn – в лево м заглавн о м сто лбце. При перехо де о тдан н о й таблицы к следую щ ей о дн а перемен н ая из верн ей заглавн о й стро ки таблицы перемещ ается влевы й заглавн ы й сто лбец и, н ао бо ро т, о дн а перемен н ая из лево го заглавн о го сто лбца таблицы перемещ ается в верхн ю ю заглавн ую стро ку. Т о есть мен яю тся местами перемен н ы е, со держ ащ иеся в разреш аю щ ем сто лбце и разреш аю щ ей стро ке. О пиш ем алго ритм пересчета ко эф ф ициен то в при перехо де о тж о рдан о во й таблицы (1.1) к таблице (1.2), вы текаю щ ий из ф о рмул (1.4) и (1.6). 1 . 1. Разреш аю щ ий элемен тзамен яетсяо братн ы м число м: brs = ars 2. О сталь н ы е элемен ты разреш аю щ ей стро ки делятся н а разреш аю щ ий a rj , ∀j ≠ s. элемен ти измен яю тзн ак н а про тиво по ло ж н ы й : brj = − a rs 3. О сталь н ы е элемен ты разреш аю щ его сто лбца делятся н а разреш аю щ ий a элемен т: bis = is , i ≠ r. ars 4. Элемен ты , н е по павш ие в разреш аю щ ую стро ку и разреш аю щ ий сто лaij a rs − ais arj бец, пересчиты ваю тсяпо ф о рмулам: bij = , i ≠ r , j ≠ s. a rs

8

По следн яя ф о рмула легко запо мин ается, если заметить , что элемен aij ars − ais a rj ты , со ставляю щ ие дро бь , н ахо дятся н а пересечен ии i – о й и a rs

r – о й стро к и j– го и s– го сто лбцо в (разреш аю щ ей стро ки, разреш аю щ его сто лбца и то й стро ки и сто лбца, н а пересечен ии ко то ры х н ахо дится пересчиты ваемы й элемен т). Т о чн ее, при запо мин ан ии ф о рмулы aij a rs − ais a rj bij = мо ж н о испо ль зо вать следую щ ую диаграмму: ars a ij

ais +

–

a rj

ars

Пример 1.1. Пусть дан а система равен ств: 4x1 + 2x2 – 7x3 + 6x4 = y1, 8x1 + 5x2 + 4x3 – 6x4 = y2, 3x1 – 4x2 + 5x3 + 9x4 = y3. Д ан н ую систему мо ж н о записать в виде следую щ ей ж о рдан о во й таблицы :

y1 y2 y3

x1 4 8 3

x2 x3 2 -7 5 4 -4 5 Т абл. 1.3.

x4 6 -6 9

В ы берем в качестве разреш аю щ его элемен та число 5, н ахо дящ ееся н а пересечен ии 3-ей стро ки и 3-го сто лбца. При это м перемен н ая x3 мен яется с перемен н о й y 3 местами, и мы по лучим н о вую таблицу:

y1 y2 x3

x1 8,2 5,6 -0,6

x2 y3 -3,6 -1,4 8,2 0,8 0,8 0,2 Т абл. 1.4.

x4 18,6 -13,2 -1,8

По дро бн о по ясн им, как бы ли по лучен ы ко эф ф ициен ты н о во й системы . 1. Разреш аю щ ий элемен т 1 1 b33 = = = 0, 2. a33 5

замен ился

на

о братн о е

число :

9

2. О сталь н ы е элемен ты разреш аю щ ей стро ки вы числялись по ф о рмуле: a3 j b3 j = − , j = 1, 2, 4. a33 a a a −4 3 9 b31 = − 31 = − = −0,6, b32 = − 32 = − = 0,8, b34 = − 34 = − = −1,8. a33 5 a33 5 a33 5 3. О сталь н ы е элемен ты разреш аю щ его сто лбца вы числялись по ф о рмуле: a bi3 = i3 , i = 1, 2. a33 a a −7 4 b13 = 13 = = −1,4, b23 = 23 = = 0,8. a33 5 a33 5 4. О сталь н ы е ко эф ф ициен ты системы пересчиты вались по ф о рмулам: bij =

aij a33 − ai3 a3 j

, i ≠ 3, j ≠ 3. a33 4 × 5 − 3 × (− 7 ) 41 8 × 5 − 3 × 4 28 = = 5,6, b11 = = = 8,2, b21 = 5 5 5 5 2 × 5 − (− 4 ) × (− 7 ) − 18 5 × 5 − (− 4 ) × 4 41 = = 8, 2, b12 = = = −3,6, b22 = 5 5 5 5 6 × 5 − 9 × (− 7 ) 93 (− 6) × 5 − 9 × 4 = − 66 = −13,2. b14 = = = 18,6, b24 = 5 5 5 5

§ 2 М етод мод иф ициров ан н ы х ж орд ан ов ы х исклю ч ен ий Д ан н ы й мето д ан ало гичен мето ду о бы кн о вен н ы х ж о рдан о вы х исклю чен ий. Т о ль ко н езависимы е перемен н ы е записы ваю т в верхн ю ю заглавн ую стро ку ж о рдан о во й таблицы с про тиво по ло ж н ы м зн ако м. При это м н еско ль ко измен яется алго ритм пересчета ко эф ф ициен то в системы . Пусть, по -преж н ему, дан а система лин ейн ы хравен ств: a11 x1 + a12x2 +… + a1 jx j + … … … … … … … … … … … … … ai1x1 + ai2x 2 +… + aijx j + … … … … … … … … … … … … … ar1 x1 + ar2 x2 + … + arjxj +… … … … … … … … … … … … … am1x 1 + a m2 x2 +… + amjxj + …

+ a 1sxs + … + a1 nxn + y 1 = 0, … … … … … … … … … … … ... + a isx s + … + ainxn + yi = 0, … … … … … … … … … … … … + a rsx s + … + arn xn + yr = 0, … … … … … … … … … … … … + ams xs + … + a mnxn + y m = 0.

(1.6)

Перен есем все слагаемы е, со держ ащ ие xj в правую часть равен ств. По лучим систему:

10

y 1 = a11 (– x 1) + a12 (– x2 ) +… + a1j(– x j) + … + a1s (– xs) + … + a1 n(– xn), … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ..… … .... y i = ai1 (– x1 ) + ai2(– x2) +… + aij(– xj) + … + ais (– x s) + … + ain(– xn), … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ..… y r = a r1(– x1) + ar2 (– x2 ) + … + arj(– xj) +… + ars (– xs) + … + arn(– xn), … … … … … … … … … … … … … … … … … … … .… … … … … … … … .… y m = am1(– x1)1 + am2(– x2) +… + amj(– x j) + … + ams (– x s) + … + amn(– xn).

(1.7)

И з про изво ль н о го ( r-го ) равен ства вы разим про изво ль н ую перемен н ую xs , и по дставим во все о сталь н ы е равен ства. К о эф ф ициен т ars при (– xs) до лж ен бы ть о тличен о тн уля. Число ars по -преж н ему н азы вается разреш аю щ им элемен то м. М ы по лучим следую щ ую систему: y 1 = b11 (– x 1) + b12 (– x2 ) +… + b1j(– x j) + … + b1s (– yr) + … + b1 n(– xn), … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ..… … … .... y i = bi1 (– x1 ) + bi2(– x2) +… + bij(– xj) + … + bis (– y r) + … + bin(– xn), … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ..… x s = b r1(– x1) + br2 (– x2 ) + … + brj(– xj) +… + brs (– yr) + … + brn(– xn), … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ..… … … y m = bm1(– x1)1 + bm2(– x2) +… + bmj(– x j) + … + bms (– y r) + … + bmn(– xn).

(1.8)

В ы числим ко эф ф ициен ты по лучен н о й системы (1.8) через ко эф ф ициен ты исхо дн о й системы (1.7). Н ачн ем с r-го уравн ен ия, ко то ро е по сле вы раж ен ияперемен н о й xs через о сталь н ы е перемен н ы е, приметвид: xs =

(

)

a a ar1 (− x1 ) + ar 2 (− x2 ) + ... + rj − x j + ... + 1 (− yr ) + ... + rn (− xn ) (1.9) ars ars a rs ars ars

Т аким о бразо м, н о вы е ко эф ф ициен ты r-го уравн ен ия вы числяю тся по следую щ им ф о рмулам: brs =

1 , ars

brj =

arj ars

(1.10)

, ∀j ≠ s.

В ы числим теперь н о вы е ко эф ф ициен ты bij про изво ль н о го уравн ен ия (i ≠ r). Д ляэто го по дставим вы раж ен н ую в (1.3) перемен н ую xs в iе уравн ен ие системы (1.1):

yi = ai1 (− x1 ) + ... + aij (− x j ) + ... + ais ×

11

arj  a  1 ×  − r1 (− x1 ) − ... − ( − x j ) − ... − (− y r ) − ... − arn (− xn ) + ... + ain (− xn ). ars a rs ars  ars  По сле приведен ияпо до бн ы хчлен о впо лучим: ais arj   a a  y i =  ai1 − is r1 (− x1 ) + ... +  aij − a rs  a rs  

 a  − x j + ... − is (− y r ) + ars 

(

)

(1.11)

 a a  + ... +  ain − is rn (− xn ). ars  

И з равен ства (1.11) по лучим ф о рмулы , по ко то ры м вы числяю тся ко эф ф ициен ты системы про изво ль н о го уравн ен ия системы (1.8), за исклю чен ием r-го уравн ен ия: bis = −

ais , i ≠ r, ars

bij = aij −

ais arj a rs

=

aij ars − ais arj ars

(1.12) , i ≠ r,

j ≠ s.

Прео бразо ван ия систем лин ейн ы х уравн ен ий мето до м мо диф ициро ван н ы хж о рдан о вы х исклю чен ий о ф о рмляется ввиде таблиц, ан ало гичн ы х таблицам мето да о бы кн о вен н ы х ж о рдан о вы х исклю чен ий. Т о ль ко перемен н ы е, н ахо дящ иесяв верхн ей заглавн о й стро ке таблицы , берутся со зн ако м мин ус. Т аким о бразо м, задаче (1.7) ставится в со о тветствие следую щ аяж о рдан о ва таблица: – x1

– x2

…

– xj

…

– xs

…

– xn

y1 a11 a12 a1j a1s a1n … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … .. yi ai1 ai2 aij ais ain … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … .. yr ar1 ar2 arj arn ars … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … . yn am1 am2 amj ams amn Т абл. 1.5. По сле со верш ен ия о дн о го ш ага, в резуль тате ко то ро го н езависимая перемен н ая x s замен яется перемен н о й y r, мы прихо дим к следую щ ей таблице:

12

– x1

– x2

…

– xj

y1 b11 b12 … … … … … … … … … … … … yi bi1 bi2 … … … … … … … … … … … …

…

b1j … … … … … … bij … … … … … …

– yr

…

b1s … … … … … … bis … … … … … …

– xn b1n … .. bin … ..

xs br1 br2 brj brs brn … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … . yn bm1 bm2 bmj bms bmn Т абл. 1.6. Заметим, что влевы й заглавн ы й сто лбец перемен н ая xs по падаетсо зн ако м плю с, а в верхн ю ю заглавн ую стро ку перемен н ая yr по падаетсо зн ако м мин ус. Разреш аю щ ий элемен т ars мы по -преж н ему будем вы делять ж ирн ы м ш риф то м. А лго ритм пересчета ко эф ф ициен то в при перехо де о ттаблицы (1.5) к таблице (1.6), вы текаю щ ий из ф о рмул (1.10) и (1.12), по чти н е о тличается о тсоо тветствую щ его алго ритма мето да о бы кн о вен н ы х ж о рдан о вы х исклю чен ий. О тличие со сто итто ль ко в измен ен ии зн ако в пересчиты ваемы хко эф ф ициен то вразреш аю щ ей стро ки и разреш аю щ его сто лбца: 1 . 1. Разреш аю щ ий элемен тзамен яетсяо братн ы м число м: brs = ars 2. О сталь н ы е элемен ты разреш аю щ ей стро ки делятся н а разреш аю щ ий arj , ∀j ≠ s. элемен т: brj = ars 3. О сталь н ы е элемен ты разреш аю щ его сто лбца делятся н а разреш аю щ ий a элемен ти мен яю тзн ак н а про тиво по ло ж н ы й : bis = − is , i ≠ r . ars 4. Элемен ты , н е по павш ие в разреш аю щ ую стро ку и разреш аю щ ий сто лaij a rs − ais arj бец, пересчиты ваю тсяпо ф о рмулам: bij = , i ≠ r , j ≠ s. a rs По следн ю ю ф о рмулу, так ж е как и ран ь ш е, мо ж н о запо мин ать , испо ль зуядиаграмму: a ij

ais +

a rj

– ars

13

Пример 1.2. Пусть дан а система лин ейн ы хравен ств: y1 = 3x1 – 2x2 – 4x3 + 2x4 , y2 = 3x1 – 9x2 + 2x3 – 8x4 , y3 = – 3x1 + 7x2 – 5x3 + 6x4. Примен яя мето д мо диф ициро ван н ы х ж о рдан о вы х исклю чен ий , запиш ем дан н ую системув виде следую щ ей ж о рдан о во й таблицы :

y1 y2 y3

– x1 –3 –3 3

– x2 – x3 2 4 9 –2 –7 5 Т абл. 1.7.

– x4 –2 8 –6

В ы берем вкачестве разреш аю щ его элемен та число – 2, н ахо дящ ееся н а пересечен ии 2-о й стро ки и 3-го сто лбца. При это м перемен н ая x3 мен яетсяс перемен н о й y2 местами, и мы по лучим н о вую таблицу:

y1 x3 y3

– x1 -9 1,5 – 4,5

– x2 – y2 20 2 – 4,5 – 0,5 15,5 2,5 Т абл. 1.8.

– x4 14 –4 14

Элемен ты таблицы 1.8 вы числялись по о писан н о му вы ш е алго ритму: 1. Разреш аю щ ий b23 =

элемен т

замен ился

на

о братн о е

число :

1 1 = = −0,5. a23 − 2

2. О сталь н ы е элемен ты разреш аю щ ей стро ки вы числялись по ф о рмуле: b2 j =

a2 j

, j = 1, 2, 4. a 23 −3 a a 9 a 8 = 1,5, b22 = 22 = = −4,5, b24 = 24 = = −4. b21 = 21 = a23 − 2 a23 − 2 a23 − 2 3. О сталь н ы е элемен ты разреш аю щ его сто лбца вы числялись по ф о рмуле:

14

bi 3 = −

ai 3 , i = 1, 3. a23

a13 a 4 5 =− = 2, b33 = − 33 = − = 2,5. a23 −2 a 23 −2 4. О сталь н ы е ко эф ф ициен ты системы пересчиты вались по ф о рмулам: b13 =

bij =

aij a 23 − ai3 a2 j a23

, i ≠ 2,

j ≠ 3.

b11 =

− 3 × (− 2 ) − (− 3) × 4 18 = = −9, −2 −2

b31 =

b12 =

2 × (− 2 ) − 9 × 4 − 40 = = 20, −2 −2

b32 =

(− 7 ) × (− 2 ) − 9 × 5 = − 31 = 15,5,

b34 =

(− 6) × (− 2) − 5 × 8 = − 28 = 14.

b14 =

(− 2) × (− 2) − 4 × 8 = − 28 = 14, −2

−2

3 × (− 2 ) − (− 3) × 5 9 = = −4,5, −2 −2 −2

−2

−2

−2

В заклю чен ие перво й главы о тметим, что , н есмо тря н а по хо ж есть двух о писан н ы х вы ш е мето до в, о ба о н и н ахо дятсво е примен ен ие в различн ы х разделах математики. Т ак, в лин ей н о й алгебре го раздо чащ е испо ль зуется мето д о бы кн о вен н ы х ж о рдан о вы х исклю чен ий как мен ее гро мо здкий по сравн ен ию с мето до м мо диф ициро ван н ы х ж о рдан о вы х исклю чен ий . М ето д мо диф ициро ван н ы хж о рдан о вы хисклю чен ий бы л специаль н о разрабо тан дляреш ен иязадач математическо го про граммиро ван ия. Д ело вто м, что мето д мо диф ициро ван н ы хж о рдан о вы х исклю чен ий о бладает о дн им замечатель н ы м сво йство м: н а каж до м ш аге элемен ты разреш аю щ его сто лбца мен яю тсво и зн аки, а разреш аю щ ей стро ки – н ет(за исклю чен ием разреш аю щ его элемен та). Н а испо ль зо ван ии это го сво йства и по стро ен так н азы ваемы й мето д Штиф еля, о писан н ы й в третьей главе н асто ящ его по со бия.

15

ГЛА В А II ПРИ М Е Н Е Н И Е М Е Т О Д А Ж О РД А Н О В Ы Х И СК ЛЮ ЧЕ Н И Й В ЛИ Н Е Й Н О Й А ЛГЕ БРЕ § 1 В ы ч ислен ие ран га м атрицы . Н ах ож д ен ие ли н ей н ой зав иси м ости м еж д у в екторами Д о каж ем вн ачале следую щ ую тео рему: Теорема 2.1 (С т ей н ица). Е сли в ж о рдан о во й таблице все стро ки лин ей н о н езависимы и ихко личество н е прево схо дитко личества сто лбцо в (m ≤ n), то врезуль тате m по следо ватель н ы хш аго вж о рдан о вы хисклю чен ий мо ж н о переместить н аверхвсе y j (j = 1, 2,… , m). Д о казатель ство . По меш ать перебро ске н аверх перемен н о й yj мо ж етн ево змо ж н о сть вы бо ра разреш аю щ его элемен та, то есть равен ство н улю со о тветствую щ ихэлемен то в j-о й стро ки. Предпо ло ж им, что по сле k ш аго в мето да ж о рдан о вы х исклю чен ий (k < m) мы приш ли к следую щ ей таблице:

x1 x2 … xk yk+1 yk+2 … ym

y1

y2

…

yk

xk+1

…

xn

b 11

b 12

…

b1 k

b1, k+ 1

…

b1n

… b2 k b2, k+ 1 b2n … … … … … … … … … … … … … … … . … … … … … … … … … … … . … … bkn bkk bk, k+ 1 b k2 bk1 … … 0 0 bk+1, k bk+1, 2 b k+1, 1 … … 0 0 b k+2, 1 bk+2, 2 bk+2, k … … … … … … … … … … … … … … … . … … … … … … … … … … … . … … 0 0 b mk bm2 bm1 Т абл. 2.1. b 21

b 22

…

Е сли перемен н ы е yk+1, yk+2,… , ym даль ш е перебрасы вать н аверх н ель зя, то это о зн ачает, что соо тветствую щ ие разреш аю щ ие элемен ты , распо ло ж ен н ы е в право м н иж н ем углу таблицы , равн ы н улю . Н о в это м случае перемен н ы е yk+1 , yk+2 ,… , ym лин ей н о вы раж аю тся через y 1, y2 ,… , yk. Д ействитель н о : yk+1 = bk+1, 1 × y1+ bk+1, 2 × y2 +… + bk+1, k × yk, yk+2 = bk+2, 1 × y1+ bk+2, 2 × y2 +… + bk+2, k × yk, … … … … … … … … … … … … … … … … … … . y m = bm1 × y1 + bm2 × y2 +… + bmk × y k. По лучен н о е про тиво речие до казы ваетто , что все игреки мо ж н о перен ести н аверх, что итребо вало сь до казать. Рассмо трим два примера.

16

− 9 5 − 4 − 9    − 2 1 2 3    Пример 2.1. В ы числить ран г матрицы 8 − 5 2 4 .    1 −1 0 − 2   9 −6 −2 1    Реш ен ие. Со ставим для это й матрицы ж о рдан о ву таблицу (таблица 2.2). Будем перен о сить перемен н ы е xi н аверх, по ка это во змо ж н о . По тео реме Стейн ица в верхн ю ю часть таблицы мо ж н о переместить сто ль ко перемен н ы х из лево го заглавн о го сто лбца, ско ль ко в таблице лин ейн о н езависимы хстро к. А это иесть ран г матрицы .

x1 x2 x3 x4 x5

y1 –9 2 8 1 9

y2 y3 5 –4 –1 2 –5 2 –1 0 –6 –2 Т абл. 2.2.

y4 –9 3 4 –2 1

x1 y2 x3 x4 x5

y1 1 2 –2 –1 –3

x2 y3 –5 6 –1 2 5 –8 1 –2 6 – 14 Т абл. 2.3.

y4 6 3 – 11 –5 – 17

При перехо де о ттаблицы 2.2 к таблице 2.3 вкачестве разреш аю щ ей стро ки и разреш аю щ его сто лбца вы бран ы вто рая стро ка и вто ро й сто лбец (разреш аю щ ий элемен т a22 = – 1) и так далее. По сле трех ш аго в мето да о бы кн о вен н ы хж о рдан о вы хисклю чен ий мы придем к таблице 2.5:

y1 y2 x3 x4 x5

x1 1 2 –2 –1 -3

x2 y3 5 –6 9 – 10 –5 4 –4 4 -9 4 Т абл. 2.4.

y4 –6 –9 1 1 1

y1 y2 y3 x4 x5

x1 –2 –3 0,5 1 -1

x2 x3 – 2,5 – 1,5 – 3,5 – 2,5 1,25 0,25 1 1 -4 1 Т абл. 2.5.

y4 – 4,5 – 6,5 – 0,25 0 0

Д аль н ейш ий перево д перемен н ы х н аверх н ево змо ж ен из-за равен ства н улю со о тветствую щ ихразреш аю щ ихэлемен то в (b44 = b54 = 0). Следо ватель н о , по тео реме Стейн ица ран г матрицы равен трем. Заметим, что кро ме ран га матрицы мы по путн о н аш ли зависимо сть меж ду ее стро ками. Д ей ствитель н о , из по следн ихдвухстро к таблицы 2.5 по лучим: x4 = 1 × x1 + 1 × x2 + 1× x 3 = x 1 + x2 + x3 , x5 = – 1 × x1 – 4 × x2 + 1× x3 = – x 1 – 4x2 + x 3. И з по следн их равен ств вы текаетто , что четвертая стро ка исхо дн о й матрицы равн а сумме первы х трех стро к, а пятая стро ка равн а третьей стро ке мин ус перваястро ка и мин ус вто раястро ка, умн о ж ен н аян а четы ре.

17

Пример 2.2. Про верить , являю тся ли векто ры a1 = (6; 8; – 2; – 1), a 2 = (4; 2; – 2; 1), a3 = (1; 3; 0; – 1) и a4 = (– 7; – 1; 4; – 3) – лин ейн о н езависимы ми. В случае о трицатель н о го о твета, указать со о тветствую щ ую зависимо сть. Реш ен ие. Лин ейн ая зависимо сть меж ду векто рами эквивален тн а ли 6 8 − 2 −1     4 2 −2 1  н ей н о й зависимо сти меж ду стро ками матрицы A =  , со 1 3 0 −1    − − − 7 1 4 3   ставлен н о й из ко о рдин атэтих векто ро в. Т аким о бразо м, дан н аязадача реш ается ан ало гичн о задаче о н ахо ж ден ии ран га матрицы . Со ставим исхо дн ую ж о рдан о ву таблицу 2.6 и сделаем два ш ага мето до м о бы кн о вен н ы х ж о рдан о вы х исклю чен ий, вы брав в качестве разреш аю щ их элемен то в со о тветствен н о a31 = 1 и b23 = – 2. В резуль тате прихо дим к таблице 2.8:

x1 x2 x3 x4

y1 6 4 1 –7

y2 y3 8 –2 2 –2 3 0 –1 4 Т абл. 2.6.

x1 y3 y1 x4

y4 –1 1 –1 –3

x3 2 2 – 1

x1 x2 y1 x4

y2 x2 1 0 –5 – 0,5 –3 0 –2 0 Т абл. 2.8.

x3 6 4 1 –7

y2 – 10 – 10 –3 20 Т абл. 2.7.

y3 –2 –2 0 4

y4 5 5 1 – 10

y4 0 2,5 1 0

Д аль н ейш ий перево д иксо в н аверхн ево змо ж ен из-за равен ства н улю со о тветствую щ их разреш аю щ их элемен то в. Следо ватель н о , векто ры a 1, a2, a3, a4 , являю тся лин ейн о зависимы ми. Причем a1 = 2a3 + a2, a 4 = a3 – 2a2. По следн ие со о тн о ш ен иявидн ы из перво й и четверто й стро ки таблицы 2.8.

§ 2 Решен ие сист ем лин ей н ы х урав н ен ий Реш ать системы лин ей н ы х уравн ен ий с по мо щ ь ю мето да о бы кн о вен н ы хЖ о рдан о вы хисклю чен ий мо ж н о о дн им из четы рехспо со бо в. Про иллю стрируем этиспо со бы н а о дн о м про сто м примере.

18

Пример 2.3. Реш ить систему лин ей н ы хуравн ен ий : 3x + 2y + 4z = – 5, 2x – 3y + z = – 7, – 3x + 4y + 2z = – 1.

(2.1)

Реш ен ие. Первы й спо со б. Запиш ем системуввиде ж о рдан о во й таблицы (табл. 2.9): –5 –7 –1

x y 3 2 2 –3 –3 4 Т абл. 2.9.

z 4 1 2

–5 z –1

x y –5 14 –2 3 –7 10 Т абл. 2.10.

–7 4 1 2

При перехо де о ттаблицы 2.9 к таблице 2.10 вы берем в качестве разреш аю щ его элемен та число a 23 = 1 (при это м перемен н ая z по мен яется местами с – 7). При перехо де к следую щ ей таблице 2.11 вы берем вкачестве разреш аю щ его элемен та число a 11 = – 5.

x z –1

–5 y – 0,2 2,8 0,4 – 2,6 1,4 – 9,6 Т абл. 2.11.

–7 0,8 – 0,6 – 3,6

x z y

–5 –1 10/48 – 14/48 1/48 13/48 7/48 – 5/48 Т абл. 2.12.

–7 – 12/48 18/48 – 18/48

При перехо де о ттаблицы 2.11 к таблице 2.12 вы берем в качестве разреш аю щ его элемен та число a32 = – 9,6 (при это м по следн яя, о ставш аяся н аверху, перемен н ая y о пускается вн из). И з по следн ей таблицы н ахо дим реш ен ие системы : 10  14   12  − 50 + 14 + 84 −1×  −  − 7 ×  −  = = 1, 48 48  48   48  1 13 18 − 5 − 13 − 126 z = −5 × −1× −7× = = −3, 48 48 48 48 7  5   18  − 35 + 5 + 126 y = −5 × − 1×  −  − 7 ×  −  = = 2. 48 48  48   48  x = −5 ×

Первы й спо со б вы глядитдо стато чн о гро моздким, чем ш иро ко распро стран ен н ы й мето д Гаусса. Н о н е спеш ите с вы во дами. В то ро й спо со б. В то ро й спо со б о тличается о тперво го то ль ко тем, что мы будем по следо ватель н о запо мин ать н еко то ры е стро ки и исклю чать их из таблицы (т. е. н е пересчиты вать со о тветствую щ ие элемен ты ). Т ем самы м мы сущ ествен н о со кратим н аш и вы числен ия, по ско ль ку будем запо мин ать (вы черкивать ) те стро ки, в ко то ры е о пускаю тся перемен н ы е из верхн ей части таблицы :

19

–5 –7 –1

x y 3 2 2 –3 –3 4 Т абл. 2.13.

z 4 1 2

x –1

–5 y – 0,2 2,8 1,4 – 9,6 Т абл. 2.15.

–7 0,8 – 3,6

–5 z –1

y

–7 4 1 2

x y –5 14 –2 3 –7 10 Т абл. 2.14.

–5 –1 7/48 – 5/48 Т абл. 2.16.

–7 – 18/48

И з по следн ей таблицы 2.16 н ахо дим y: y = −5 ×

 18  − 35 + 5 + 126 7  5  − 1×  −  − 7 ×  −  = = 2. 48 48  48   48 

По дставляя y впо следн ю ю из запо мн ен н ы хстро к, н айдем x: x = −5 × (− 0,2) + 2 × 2,8 − 7 × 0,8 = 1 + 5,6 − 5,6 = 1 . По дставляя н айден н ы е перемен н ы е x и y в первую запо мн ен н ую стро ку, н айдем z: z = 1× (− 2) + 2 × 3 − 7 × 1 = −2 + 6 − 7 = −3 . Т ретий спо со б. Это тспо со б о тличается о т преды дущ их спо со бо в тем, что н а перво м этапе задача усло ж н яется за счетвведен ия до по лн итель н о го сто лбца. Н о затем н а каж до м ш аге таблица умен ь ш ается н а о дин сто лбец. Это про исхо дитиз-за то го , что н а каж до м ш аге вверхн ю ю стро ку таблицы по падаетн о ль . В тако м случае числа со о тветствую щ его сто лбца мо ж н о бо ль ш е н е пересчиты вать (какими бы эти числа н е о казались , о н и все равн о умн о ж аю тсян а н о ль ). Перепиш ем системуввиде: 3x + 2y + 4z +5 = 0 2x – 3y + z +7 = 0 – 3x + 4y + 2z +1 = 0

(2.2)

Реш ен ие дан н о й задачи мето до м о бы кн о вен н ы ж о рдан о вы х исклю чен ий будетвы глядеть следую щ им о бразо м:

0 0 0

x 3 2 –3

y z 2 4 –3 1 4 2 Т абл. 2.17.

1 5 7 1

0 z 0

x y –5 14 –2 3 –7 10 Т абл. 2.18.

1 – 23 –7 – 13

20

0 z y

x x 4,8 4,8 0,1 0,1 0,7 0,7 Т абл. 2.19.

1 – 4,8 – 3,1 1,3

1 x 1 z –3 y 2 Т абл. 2.20.

И з по следн ей таблицы 2.20 сразун ахо дим реш ен ие: x = 1, y = 2, z = – 3. О дн ако н аибо лее про сты м является ко мбин ация вто ро го и третьего спо со ба (н азо вем это четверты м спо со бо м). В дан н о м случае таблица н а каж до м ш аге « тает» н а о дн у стро ку и н а о дин сто лбец. Т ако й по дхо д к реш ен ию систем лин ей н ы хуравн ен ий являетсян аибо лее ко ро тким. Четверты й спо со б. К ак и в преды дущ ем случае приведем систему к виду (1.2). Реш ая дан н ую задачу мето до м о бы кн о вен н ы х ж о рдан о вы х исклю чен ий, н а каж до м ш аге будем исклю чать из таблицы сто лбец, верхн ий заглавн ы й элемен тко то ро го стан о вится равн ы м н улю , и запо мин ать стро ку, левы й заглавн ы й элемен тко то ро й со впадаетс перемен н о й : x y z 3 2 4 2 –3 1 –3 4 2 Т абл. 2.21.

0 0 0

0 y

x 4,8 0,7 Т абл. 2.23.

1 5 7 1

1 – 4,8 1,3

x y 1 0 – 5 14 – 23 z –2 3 –7 0 – 7 10 – 13 Т абл. 2.22.

1 x 1 Т абл. 2.24.

И з по следн ей таблицы 2.24 н ахо дим x = 1. И з предпо следн ей таблицы 2.23 н ахо дим y = 1×0,7 + 1×1,3 = 2. И , н ако н ец, из таблицы 2.22 н ахо дим z = 1×(– 2) + 2×3 + 1×(– 7) = – 3. Рассмо трим бо лее сло ж н ы й пример. Пример 2.4. Реш ить систему лин ей н ы хуравн ен ий : 2x1 + 3x2 – 4x3 + x 4 – 2x5 + 2 = 0, 3x1 + 4x2 + 2x4 + x5 – 3 = 0, – 4x1 + 2x2 – 2x3 + 3x4 – 3x5 – 5 = 0. x1 + 3x2 + 3x3 – 3x4 – x5 + 3 = 0, 5x1 + 2x2 – 2x3 + x4 – 3x5 – 8 = 0.

(2.3)

Реш ен ие. Запиш ем системуввиде ж о рдан о во й таблицы (табл. 2.25):

21

0 0 0 0 0

x1 2 3 –4 1 5

x2 3 4 2 3 2

x3 x 4 –4 1 0 2 –2 3 3 –3 –2 1 Т абл. 2.25.

x5 –2 1 –3 –1 –3

1 2 –3 –5 3 –8

0 x5 0 0 0

x1 8 –3 5 4 14

x2 x3 x4 11 – 4 5 –4 0 –2 14 – 2 9 7 3 –1 14 – 2 7 Т абл. 2.26.

1 –4 3 – 14 0 – 17

При перехо де о ттаблицы 2.25 к следую щ ей таблице 2.26 (вкачестве разреш аю щ его элемен та вы бираем ко эф ф ициен тпри перемен н о й x5 во вто ро м уравн ен ии) вы черкиваем предпо следн ий сто лбец (в верхн ю ю часть ко то ро го по падаетн о ль ). Запо мин аястро ку x5 , перехо дим к таблице 2.27. В сего через пять ш аго в, н а каж до м из ко то ры х о дн а из перемен н ы х из верхн ей заглавн о й стро ки таблицы по падаетв левы й заглавн ы й сто лбец, мы прихо дим к таблице 2.30, со держ ащ ей то ль ко о дн у стро ку и о дин сто лбец:

0 0 x4 0

x2 0

x1 x2 x3 28 46 11 41 77 25 4 7 3 42 63 19 Т абл. 2.27.

1 –4 – 14 0 – 17

x1 1 – 83/101 – 18/101 723/101 – 723/101 Т абл. 2.29.

0 x3 0

x1 x2 1 9,96 12,12 2,16 – 1,64 – 3,08 0,56 10,84 4,48 – 6,36 Т абл. 2.28.

1 x1 1 Т абл. 2.30.

И з таблицы 2.30 н ахо дим x1 = 1. По дставляя x1 в по следн ю ю запо мн ен н ую н ами стро ку (табл.2.29), н айдем x2 . По дставляя x1 и x2 в предпо следн ю ю запо мн ен н ую стро ку (табл.2.28), н айдем x3, и так далее. 83 18 ×1 − × 1 = −1 . 101 101 x 3 = – 1,64×1 – 3,08×(– 1) + 0,56×1 = 3,64 – 1,64 = 2. x 4 = 4×1 + 7×(– 1) + 3×2 + 0×1 = 4 – 7 + 6 = 3. x 5 = – 3×1 – 4×(– 1) + 0×2 – 2×3 + 3×1 = -3 + 4 – 6 + 3 = – 2.

x2 = −

И скуш ен н ы й читатель заметит, что бы ваю тещ е системы лин ей н ы х уравн ен ий , имею щ ие бесчислен н о е ко личество реш ен ий или во все н е имею щ ие тако вы х. О дн ако и в этих ситуациях впо лн е примен им мето д о бы кн о вен н ы хж о рдан о вы хисклю чен ий. Приведем следую щ ие примеры :

22

Пример 2.5. Реш ить систему лин ей н ы хуравн ен ий : 3x1 + 2x2 2x1 – 3x2 – 5x1 – 4x2 4x1 – 6x2

– 4x3 + 3x4 + x5 – 9 = 0, – 2x3 – 2x4 + 5x5 + 7 = 0, + x3 – 2x4 + 4x5 – 9 = 0, – 5x3 – 3x4 + 9x5 + 8 = 0.

(2.4)

Реш ен ие. Систему будем реш ать четверты м спо со бо м, о писан н ы м в примере 2.3. При это м н ас н е до лж н о смущ ать то о бсто ятель ство , что ко личество уравн ен ий в системе (2.4) н е со впадаетс число м н еизвестн ы х. Запиш ем систему ввиде ж о рдан о во й таблицы (табл. 2.31):

0 0 0 0

x1 3 2 –5 4

x2 x3 x4 2 –4 3 –3 –2 –2 –4 1 –2 –6 –5 –3 Т абл. 2.31.

x5 1 5 4 9

1 –9 7 –9 8

0 0 x3 0

x1 x2 x4 – 17 – 14 – 5 – 8 – 11 – 6 5 4 2 – 21 – 26 – 13 Т абл. 2.32.

x5 17 13 -4 29

1 – 45 – 11 9 – 37

При перехо де о ттаблицы 2.31 к таблице 2.32 в качестве разреш аю щ его элемен та вы бираем ко эф ф ициен т при перемен н о й x3 в треть ем уравн ен ии. Запо мин аястро ку x 3, перехо дим к таблице 2.33. И так далее.

x4 0 0

x1 – 3,4 12,4 23,2

x2 x5 – 2,8 3,4 5,8 – 7,4 10,4 – 15,2 Т абл. 2.33.

1 –9 43 80

x2 0

x1 x5 – 62/29 37/29 28/29 – 56/29 Т абл. 2.34.

1 – 215/29 84/29

x5 1 x1 2 –3 Т абл. 2.35. И з по следн ей таблицы 2.35 н ахо дим: x1 = – 3 + 2x5. По следо ватель н о по дставляя уж е н айден н ы е перемен н ы е в запо мн ен н ы е стро ки, н ахо дим о сталь н ы е перемен н ы е: x2 = −

62 37 215 186 − 215 37 − 124 ⋅ ( − 3 + 2 x5 ) + x5 − = + x5 = − 1 − 3 x5 . 29 29 29 29 29

x 4 = −3,4 ⋅ (− 3 + 2 x5 ) − 2,8 ⋅ (− 1 − 3x 5 ) + 3, 4 x5 − 9 =

= 10,2 + 2,8 − 9 + (− 6,8 + 8,4 + 3,4 ) ⋅ x5 = 4 + 5 x5 .

23

x3 = 5 ⋅ ( − 3 + 2 x5 ) + 4 ⋅ ( − 1 − 3 x5 ) + 2 ⋅ ( 4 + 5 x5 ) − 4 x5 + 9 = = −15 − 4 + 8 + 9 + (10 − 12 + 10 − 4 )x5 = −2 + 4 x5 .

Т аким о бразо м, система имеет бесчислен н о е мн о ж ество реш ен ий. Придавая перемен н о й x5, вы ступаю щ ей в ро ли параметра, про изво ль н ы е зн ачен ия, мы по лучаем различн ы е реш ен ия системы . Перемен н ая x5 н азы ваетсясво бо дн о й . М ы до казали со вместн о сть системы и н аш лиее о бщ ее реш ен ие: x1 = – x2 = – x3 = – x4 =

3 + 2x5, 1 – 3x5 , 2 + 4x5, 4 + 5x5.

(2.5)

Придавая сво бо дн о й перемен н о й н улево е зн ачен ие, мы по лучим о дн о из базисн ы хреш ен ий системы (– 3; – 1; – 2; 4; 0). Е сли прео бразо вать систему (2.5) мето до м ж о рдан о вы х исклю чен ий, то мо ж н о в качестве сво бо дн о й перемен н о й по лучить лю бую из перемен н ы х x1, x2, x 3, или x4 . Т ем самы м мы мо ж ем н айти ещ е четы ре базисн ы хреш ен иясистемы (2.4). Предо ставляем читателям сделать это само сто ятель н о . Приведем пример, вко то ро м с по мо щ ь ю мето да о бы кн о вен н ы хж о рдан о вы х исклю чен ий до казы вается н есо вместн о сть системы лин ей н ы х уравн ен ий . Пример 2.6. Реш ить систему лин ей н ы хуравн ен ий : 3x1 + 2x2 2x1 – 3x2 – 5x1 – 4x2 3x1 + 7x2

– 4x3 + 3x4 + x 5 – 9 = 0, – 2x3 – 2x4 + 5x 5 + 7 = 0, + x3 – 2x4 + 4x 5 – 9 = 0, + x3 + 4x4 – 9x5 + 3 = 0.

(2.6)

Реш ен ие. Систему по -преж н ему будем реш ать четверты м спо со бо м, о писан н ы м в примере 2.3. Запиш ем систему (2.6) в виде ж о рдан о во й таблицы (табл. 2.36). Н еко то ро е схо дство задачи (2.6) с задачей (2.4) по зво литчитателю н е тратить по н апрасн у времян а про верку мн о гих ариф метическихдействий .

0 0 0 0

x1 3 2 –5 3

x2 x3 x4 2 –4 3 –3 –2 –2 –4 1 –2 7 1 4 Т абл. 2.36.

x5 1 5 4 –9

1 –9 7 –9 3

0 0 x3 0

x1 x2 x4 – 17 – 14 – 5 – 8 – 11 – 6 5 4 2 8 11 6 Т абл. 2.37.

x5 1 17 – 45 13 – 11 –4 9 – 13 12

24

При перехо де о ттаблицы 2.36 к таблице 2.37 в качестве разреш аю щ его элемен та вы бираем ко эф ф ициен т при перемен н о й x3 в треть ем уравн ен ии. Запо мин аястро ку x3 и вы бирая вкачестве разреш аю щ его элемен та число – 5, перехо дим к таблице 2.38. И так далее.

x4 0 0

x1 x2 x5 – 3,4 – 2,8 3,4 12,4 – 7,4 5,8 – 12,4 – 5,8 7,4 Т абл. 2.38.

1 –9 43 – 42

x2 0

x1 x5 – 62/29 37/29 0 0 Т абл. 2.39.

1 – 215/29 1

Д аль н ейш ий перево д перемен н ы х из верхн ей заглавн о й стро ки таблицы в левы й заглавн ы й сто лбец н ево змо ж ен , так как о ба разреш аю щ их элемен та равн ы н улю . Н о это ещ е н е озн ачаетн есо вместн о сть системы . Н ео бхо димо расш иф ро вать « н епо слуш н ую » стро ку(стро ки) таблицы : 0 = 0× x 1 + 0× x5 + 1×1 = 1. Т ак как по лучен н о е уравн ен ие н е вы по лн яется н и при какихзн ачен иях x1, x 2, x3 , x4 , и x5, то мо ж н о сделать вы во д о н есо вместн о сти системы (2.6). Приведем ещ е о дин по лезн ы й пример. Пример 2.7. Реш ить систему лин ей н ы хуравн ен ий : – 2x1 + x2 – 4x 3 + 2x 4 + 9 = 0, 3x1 – 2x2 + 5x 3 + 6x4 – 13 = 0, – x1 – 3x 3 + 2x4 + 5 = 0, 2x1 – x2 + 4x3 + 2x4 – 9 = 0. Реш ен ие. Запиш ем систему (2.7) (табл. 2.40). x1 –2 3 –1 2

0 0 0 0

x2 x3 x4 –4 –2 1 –2 5 6 0 –3 2 –1 4 2 Т абл. 2.40.

(2.7) в виде ж о рдан о во й таблицы

1 9 – 13 5 –9

x2 0 0 0

x1 2 –1 –1 0

x3 x4 4 2 –3 2 –3 2 0 0 Т абл. 2.41.

1 –9 5 5 0

При перехо де о ттаблицы 2.40 к таблице 2.41 в качестве разреш аю щ его элемен та вы бираем ко эф ф ициен тпри перемен н о й x 2 в перво м уравн ен ии. Запо мин ая стро ку x2 , вы черкивая из системы то ж дество 0 = 0 и вы бирая вкачестве разреш аю щ его элемен та ко эф ф ициен тпри перемен н о й x 1 во вто ро м уравн ен ии, перехо дим к таблице 2.42:

x1 0 0

x3 x4 –3 2 0 0 0 0 Т абл. 2.42.

1 5 0 0

x1

x3 x4 –3 2 Т абл. 2.43.

1 5

25

Перево д перемен н ы х x3 и x4 из верхн ей стро ки таблицы в левы й сто лбец н ево змо ж ен , так как все четы ре разреш аю щ ихэлемен та равн ы н улю . Рассмо трим две по следн ие стро китаблицы : 0 = 0× x 3 + 0× x4 + 0×1 = 0, 0 = 0× x 3 + 0× x4 + 0×1 = 0. Т ак как дан н ы е стро ки являю тся то ж дествами, то их мо ж н о исклю чить из таблицы 2.42. О ко н чатель н о мы по лучаем таблицу 2.43, из ко то ро й н ахо дим: x 1 = – 3x 3 + 2x4 + 5. По дставляя взапо мн ен н ую стро куиз таблицы 2.41, по лучим: x 2 = 2× (– 3x3 + 2x4 + 5) + 4x 3 + 2x4 – 9 = – 2x3 + 6x4 + 1. И так, мы до казали, что система (2.6) со вместн а, и ее о бщ им реш ен ием является: x 1 = – 3x 3 + 2x4 + 5, x 2 = – 2x 3 + 6x4 + 1. Перемен н ы е x3 и x4 играю тро ль параметро в. По дставляявместо н ихлю бы е числа, мы по лучим бесчислен н о е мн о ж ество реш ен ий системы .

§ 3 Нах ож д ен ие об ратн ой м атрицы с пом ощ ью метод а ж орд ан ов ы х исклю ч ен и й Заметим, что при реш ен ии системы лин ей н ы х уравн ен ий (2.1) первы м спо со бо м мы по путн о н аш ли ещ е и о братн ую матрицу к о сн о вн о й матрице системы (2.1). Д ействитель н о , запиш ем систему лин ей н ы х уравн ен ий (2.1) исистему, со о тветствую щ ую таблице 2.12, вматричн о м виде:  3 2 4  x   − 5         2 − 3 1⋅ y  = − 7 . − 3 4 2   z   −1       

(2.7)

12 14   10 − −   48 48  − 5  48    x     7 18 5    48 − 48 − 48  ⋅  − 7  =  y  .   −1   z     1 18 13      48 48   48

(2.8)

Заметим, что при н аписан ии системы (2.8) н ам приш ло сь по мен ять местами вто рую итретью стро ки и вто ро й и третий сто лбцы таблицы 2.12. Это бы ло сделан о длято го , что бы н е по мен ялись местами ко о рдин аты векто ро в x = (x; y; z) и b = (– 5; – 7; – 1).

26

Равен ства (2.7) и (2.8) го во рято то м, что матрицы 12 14   10 − −   48 48 48    3 2 4    7 18 5  A= 2 −3 1 и B = − − 48 48 48  − 3 4 2    18 13   1   48   48 48 являю тсявзаимн о о братн ы ми. Н епо средствен н ую про верку предлагаетсясделать читателям. Пример 2.8. Н айти матрицу, о братн ую к матрице  − 5 − 10 5 15     2 5 −2 −9  A= . −2 2 1 4     − 7 3 4 14  Реш ен ие. М атрицу А системы :

мо ж н о рассматривать как о сн о вн ую матрицу

– 5x1 – 10x2 +5x3 + 15x4 = y1 2x1 + 5x2 – 2x3 – 9x4 = y2 – 2x1 + 2x2 + x3 + 4x4 = y3 – 7x1 + 3x2 + 4x3 + 14x4 = y4 .

(2.9)

Прео бразуем систему (2.9) мето до м о бы кн о вен н ы х ж о рдан о вы х исклю чен ий, по следо ватель н о вы раж аяперемен н ы е xi через yj :

x1 x2 x3 x4

y1 –5 2 –2 –7

y2 y3 – 10 5 5 –2 2 1 3 4 Т абл. 2.44.

y4 15 –9 4 14

x1 x2 y3 y1

x4 5 –2 2 1

y2 x3 5 – 15 –1 6 8 –7 5 –4 Т абл. 2.46.

y4 5 –5 0 2

x1 x2 y3 x4

y1 5 –2 2 1

y2 x3 – 20 5 9 –2 –2 1 –5 4 Т абл. 2.45.

y4 –5 –1 –4 –2

x1 y2 y3 y1

x4 –5 –2 – 14 –9

x2 x3 –5 15 –1 6 –8 41 –5 26 Т абл. 2.47.

y4 – 20 –5 – 40 – 23

27

По сле четы рех ш аго в мето да о бы кн о вен н ы х ж о рдан о вы х исклю чен ий все перемен н ы е yj о казы ваю тся в лево м заглавн о м сто лбце таблицы 2.48. По мен яем местами первую и четвертую стро ки и первы й и четверты й сто лбцы . В таблице 2.49 перемен н ы е xi и y j распо ло ж ен ы в по рядке во зрастан ияин дексо в.

y4 y2 y3 y1

x4 – 0,25 – 0,75 –4 – 3,25

x2 x3 – 0,25 0,75 0,25 2,25 2 11 0,75 8,75 Т абл. 2.48.

x1 – 0,05 0,25 2 1,15

y1 y2 y3 y4

x1 1,15 0,25 2 – 0,05

x2 x3 0,75 8,75 0,25 2,25 2 11 – 0,25 0,75 Т абл. 2.49.

x4 – 3,25 – 0,75 –4 – 0,25

Т аким о бразо м, мы н аш ли о братн ую матрицу:  1,15 0,75  0,25 −1  0,25 A = 2 2   − 0,05 − 0,25

8,75 − 3,25   2, 25 − 0,75  . 11 −4   0,75 − 0, 25 

Замечан ие. Д ля то го что бы в по следн ей таблице н е мен ять сро ки и сто лбцы местами, до стато чн о разреш аю щ ий элемен т всегда вы бирать н а главн о й диаго н али таблицы . Т о гда н а каж до м ш аге мен яю тся местами перемен н ы е с о дин ако вы ми ин дексами (x i мен яетсян а yi).

28

ГЛА В А III ПРИ М Е Н Е Н И Е М Е Т О Д А М О Д И Ф И Ц И РО В А Н Н Ы Х Ж О РД А Н О В Ы Х И СК ЛЮ ЧЕ Н И Й В ЛИ Н Е Й Н О М ПРО ГРА М М И РО В А Н И И § 1 Постан ов ка зад ач и лин ей н огопрограм м иров ан ия О бщ ей задачей лин ейн о го про граммиро ван ия н азы вается задача н ахо ж ден ияэкстремума (максимума или мин имума) лин ейн о й ф ун кции z(X) =z(x 1; x2 ; x3; … x n) = c 1x1 + c2 x2 + … + cnx n,

(3.1)

о пределен н о й н а н еко то ро м вы пукло м по дмн о ж естве n-мерн о го про стран ства. Д ан н о е по дмн о ж ество (мн о го гран н ик) задается н еко то ро й системо й лин ей н ы хн еравен стви уравн ен ий : a11 x1 + a12x2 + a13 x3 + … + a 1nxn ≤ b1, … … … … … … … … … … … … … … … … ak1 x1 + ak2x2 + ak3 x3 + … + a knxn ≤ bk, ak+1;1 x1 + ak+1;2 x2 + … + a k+1;n xn = b k+1 , … … … … … … … … … … … … … … … … . am1x 1 + a m2 x2 + am3x3 + … + amnxn = bm,

(3.2)

x 1; x2; x3; … x s ≥ 0. Равен ства и н еравен ства, вхо дящ ие в систему (3.2), н азы ваю тся о гран ичен иями. Е сли все о гран ичен иясистемы (3.2) являю тсяравен ствами и все перемен н ы е x i о гран ичен ы н а зн ак (∀i x i ≥ 0), то задача н азы вается кан о н ическо й, а если все о гран ичен ия являю тся н еравен ствами и при это м все перемен н ы е о гран ичен ы н а зн ак, то задача н азы ваетсястан дартн о й. Ф ун кция z(X) =z(x 1; x2; x3; … xn ) н азы ваетсяф ун кцией цели. Лю бо е реш ен ие системы о гран ичен ий , вклю чая о гран ичен ия н а зн ак, н азы вается план о м задачи. План , н а ко то ро м ф ун кция цели до стигаетсво его максимума (мин имума), н азы вается о птималь н ы м. Задача лин ей н о го про граммиро ван ия мо ж етиметь един ствен н о е реш ен ие (един ствен н ы й о птималь н ы й план ), бесчислен н о е мн о ж ество реш ен ий или во о бщ е н е иметь реш ен ий. Причем задача мо ж етн е иметь реш ен ий по двум причин ам: из-за о тсутствия план о в (н есо вместн о сти системы о гран ичен ий) или из-за н ео гран ичен н о стиф ун кции цели н а мн о ж естве план о в. М н о ж ество план о в, если о н о н е пусто , является вы пуклы м мн о го гран н ико м. К рай н ие то чки (верш ин ы ) мн о го гран н ика н азы ваю тся о по рн ы ми план ами. И звестн о , что если задача имеетедин ствен н ы й о птималь н ы й план , то о н со впадаетс о дн им из о по рн ы х план о в(лин ей н аяф ун кция до стигаетмаксимума или мин имума в о дн о й из край н их то чек мн о го гран -

29

н ика). Е сли задача имеетбесчислен н о е мн о ж ество о птималь н ы х план о в, то , по крайн ей мере, два из н ихсо впадаю тс о по рн ы ми план ами. Т ак как система (3.2) со держ итлиш ь ко н ечн о е число о гран ичен ий, то число о по рн ы хплан о втак ж е ко н ечн о . Д ан н о е о бсто ятель ство по зво лило разрабо тать специаль н ы й мето д реш ен ия задач лин ейн о го про граммиро ван ия (симплекс-мето д), о сн о ван н ы й н а перебо ре о по рн ы х план о в и по зво ляю щ ий за ко н ечн о е число ш аго в н айти реш ен ие задачи (о птималь н ы й о по рн ы й план ). Т о чн ее, симплекс-мето дсо сто итвследую щ ем: 1. О н по зво ляетн ай ти перво н ачаль н ы й о по рн ы й план (во змо ж н о далеко н е о птималь н ы й) или до казать , что задача н е имеетреш ен ия из-за о тсутствияплан о в. 2. За ко н ечн о е число ш аго в, перехо дя о то дн о го о по рн о го план а к друго му, симплекс-мето д по зво ляетн айти о птималь н ы й о по рн ы й план или устан о вить н ео гран ичен н о сть ф ун кции цели. Причем перебо р о по рн ы х план о во сущ ествляетсян е хао тичн о . Н а каж до м ш аге зн ачен ие ф ун кции цели улучш ается(увеличивается, если задача н а максимум). При традицио н н о м по дхо де о бщ ая задача лин ейн о го про граммиро ван ияреш аетсяо дн им из двухспо со бо в: 1. Е сли мн о ж ество план о взадачи является мн о го гран н ико м в двух или трехмерн о м про стран стве, то задачу мо ж н о реш ить гео метрически. 2. Лю бую задачу мо ж н о реш ить симплексмето до м, н о дляэто го ее н ео бхо димо свести к кан о н ическо му виду. По н ятн о , что гео метрически мо ж н о реш ать то ль ко про стейш ие задачи. А сведен ие о бщ ей задачи к кан о н ическо й приво дитк н ео правдан н о му увеличен ию числа перемен н ы х. Пусть , н апример, ф ун кция цели зависито т n перемен н ы х, система о гран ичен ий со держ ит k н еравен ств и m – k уравн ен ий , причем то ль ко s перемен н ы х о гран ичен ы н а зн ак. Т о гда при сведен ии задачи к кан о н ическо й мы до лж н ы ввести следую щ ие до баво чн ы е перемен н ы е: 1) k перемен н ы хвво дятсядляпревращ ен иян еравен стввуравн ен ия; 2) n – s перемен н ы х вво дится для то го , что бы о гран ичить н а зн ак все перемен н ы е (если перемен н ая x i н ео гран ичен н а н а зн ак, то ее замен яю тн а разн о сть духперемен н ы х, о гран ичен н ы хн а зн ак: xi = xi′ – xi″, xi′ ≥ 0, xi″ ≥ 0). К ро ме то го , для « запуска» симплекс-мето да н ео бхо дим перво н ачаль н ы й о перн ы й план , для чего прихо дится вво дить « искусствен н ы е» перемен н ы е по ро й во все о гран ичен иязадачи. Это ещ е m перемен н ы х. И то го , кан о н ическаязадача мо ж етсо держ ать n + k + n – s + m = 2n + k + m – s перемен н ы х, длякаж до й из ко то ры хо тво дитсяо тдель н ы й сто лбец симплекс-таблицы . А затем с по мо щ ь ю специаль н о го алго ритма, о сн о ван н о го н а мето де Гаусса-Ж ордан а, таблица н еско ль ко раз пересчиты вается, впло ть до по лучен ияо ко н чатель н о го о твета. Причем ко личество ш аго в, н ео бхо димы х для по лучен ия о твета, н апрямую зависито тчисла перемен н ы х, участвую щ ихв задаче. Гео метрически это о зн ачаетто , что в по исках о птималь н о го план а н ам прихо дится

30

« путеш ество вать » по ребрам мн о го гран н ика, н ахо дящ его ся в про стран стве размерн о сти 2n + k + m – s. Д ан н о е число мо ж етбо лее, чем втро е, превы ш ать n (размерн о сть задачи). По это му реш ать задачу таким мето до м вручн ую край н е затрудн итель н о . При испо ль зо ван ии ЭВ М , вслучае бо ль ш о го ко личества перемен н ы х, мы так ж е мо ж ем сто лкн уться со мн о гими н еприятн о стями. При испо ль зо ван ии мето да Штиф еля (по сущ еству, это симплексмето д, о сн о ван н ы й н а мето де мо диф ициро ван н ы х ж о рдан о вы х исклю чен ий) мы мо ж ем все перечислен н ы е ран ее о трицатель н ы е мо мен ты , связан н ы е с о тличием ко н кретн о й задачи о ткан о н ическо й, испо ль зо вать для упро щ ен иязадачи! В се дело вто м, что мето до м Штиф еляреш аю тся н е кан о н ические, а стан дартн ы е задачи. Н аличие ж е взадаче о со бен н о стей, о тличаю щ ихее о тстан дартн о й задачи, лиш ь упро щ аетее реш ен ие (умен ь ш аетсяко личество перемен н ы хи о гран ичен ий). Пусть, по -преж н ему, ф ун кция цели зависито т n перемен н ы х, система о гран ичен ий со держ ит k н еравен стви r = m – k уравн ен ий , и то ль ко s перемен н ы хо гран ичен ы н а зн ак. По следо ватель н о вы раж ая в каж до м из уравн ен ий о дн у из перемен н ы х и по дставляя их во все о сталь н ы е о гран ичен ия и в ф ун кцию цели, мы по лучаем задачу с n – r перемен н ы ми (симплекс-таблица умен ь ш ается н а r сто лбцо в). К ро ме то го , о тсутствие о гран ичен ий н а зн ак н еко то ры х перемен н ы х так ж е приво дитк умен ь ш ен ию симплекс-таблицы (н а n – s стро к). По дро бн ее о б это м рассказы вается в §3 н асто ящ ей главы . В резуль тате задачи лин ей н о го про граммиро ван ия мето до м Штиф еля реш аю тся н амн о го про щ е и бы стрее, чем традицио н н ы м симплексмето до м. И даж е при реш ен ии тран спо ртн о й задачи мето д Штиф елямо ж ет по ко личеству ариф метических о пераций успеш н о ко н куриро вать с мето до м по тен циало в(разрабо тан н ы м специаль н о дляэтихзадач). В мето дическо м план е препо даван ие курса лин ейн о го про граммиро ван ия с испо ль зо ван ием мето да Штиф еля по зво ляетпримерн о вдво е со кратить ко личество учебн ы х часо в, а само е главн о е, делаеткурс до ступн ы м бо лее ш иро ко му кругу слуш ателей (вклю чая ш ко ль н ико в старш их классо в). В о -первы х, примен ен ие мето да мо диф ициро ван н ы х ж о рдан о вы х исклю чен ий предпо лагаетго раздо мен ь ш ие зн ан ия из тео рии систем лин ейн ы х уравн ен ий (н уж н о лиш ь о писать сам мето д ж о рдан о вы х исклю чен ий). В о -вто ры х, при ж елан ии, мо ж н о о бо йтись без гео метрическо й ин терпретации задачи и гео метрическо го спо со ба реш ен ия. В -третьих, мо ж н о н е тратить время н а перехо ды о тстан дартн о й задачи к кан о н ическо й, о то бщ ей задачи к кан о н ическо й и т. д., так как мето до м мо диф ициро ван н ы х ж о рдан о вы х исклю чен ий мо ж н о реш ать лю бую задачу (без предваритель н о го прео бразо ван ия). В -четверты х, по лн о сть ю исклю чается мето д искусствен н о го базиса. И , н ако н ец, из-за легко сти вы числен ий мы эко н о мим мн о го времен и при рассмо трен ии различн ы хпримеро в. В н асто ящ ей главе по со бия приведен о кратко е со держ ан ие курса лин ей н о го про граммиро ван ия с испо ль зо ван ием мето да Штиф еля. При ф о р-

31

мулиро вке и до казатель стве различн ы хтео рем мы умы ш лен н о о гран ичимся то ль ко ариф метическими и алгебраическими мето дами для то го , чтобы сделать по со бие до ступн ы м ш иро ко му кругучитателей.

§ 2 О писан ие м етод а Ш тиф еля О сн о вн о й задачей лин ейн о го про граммиро ван ия, при реш ен ии ко то ро й испо ль зуется мето д ж о рдан о вы х исклю чен ий, является стан дартн ая задача. Н апо мн им, что задача н азы вается стан дартн о й, если все о гран ичен иязадачи являю тся н еравен ствами и при это м все перемен н ы е о гран ичен ы н а зн ак. Лю баядругаязадача тем ж е мето до м ж о рдан о вы х исклю чен ий предваритель н о сво дится к стан дартн о й. При это м сама задача сущ ествен н о упро щ ается. Предпо ло ж им, сн ачала, что реш ается о сн о вн ая, т.е. стан дартн аязадача лин ей н о го про граммиро ван ия: z(X) = c1 x1 + c2x2 +… + c jx j +… + cnxn → max a11 x1 + a12x2 +… + a1 jx j +… + a1n xn ≤ b1 … … … … … … … … … … … … … … … … … ai1x1 + ai2x 2 +… + aijxj +… + ainxn ≤ bi … … … … … … … … … … … … … … … … … am1x 1 + a m2 x2 +… + amjxj +… + amnxn ≤ bm x 1; x2; … xj; … x n ≥ 0

(3.3)

(3.4)

В ведем в систему (3.4) m до по лн итель н ы х, о гран ичен н ы х н а зн ак перемен н ы х. Д ля это го перен есем все слагаемы е из левы х частей н еравен ств(3.4) вправы е: y1 = b1 + a11(– x1) + a12 (– x2 ) +… + a1 j(– xj) +… + a1n (– xn ), … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … . yi = bi + ai1(– x1) + ai2 (– x2 ) +… + aij(– xj) +… + ain(– x n), … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … . ym = bm + a m1(– x1) + am2(– x2) +… + amj(– xj) +… + amn(– xn), x1; x2; … xn; y1; y2; … ym ≥ 0.

(3.5)

О тметим, что введен ие до по лн итель н ы х перемен н ы х увеличитбудущ ую расчетн ую таблицу всего н а о дин сто лбец. О бо йтись без введен ия до по лн итель н ы х перемен н ы х н ель зя, т.к. в даль н ей ш ем мы будем следить ихзн аками длято го , что бы н е вы йти из о бласти план о взадачи (3.3) – (3.5). При реш ен ии задачи н ам предсто итн еско ль ко раз прео бразо вы вать систему (3.3) – (3.5) методо м мо диф ициро ван н ы х ж о рдан о вы х исклю чен ий. В ы числен ия так ж е, как и ран ь ш е, будем о ф о рмлять в виде ж о рдан о вы хтаблиц:

32

– x1

– x2

…

– xj

…

– xn

1

y1

a11

a12

…

a1j

…

a1n

b1

…

… … … … … … … … … … … … … … … … …

…

yi …

… … ai1 ai2 aij ain … … … … … … … … … … … … … … … … … … … am1 am2 amj amn – c1 – c2 … – cj … – cn

bi …

ym z

bm 0

Т абл. 3.1. В ерхн ие стро ки таблицы со о тветствую тсистеме о гран ичен ий задачи, а н иж н ю ю стро ку мы зарезервируем за ф ун кцией цели. И мен н о эта стро ка таблицы и будетиграть клю чевую ро ль в реш ен ии задачи. В даль н ей ш ем элемен ты по следн ей стро ки ж о рдан о во й таблицы мы будем н азы вать о цен ками со о тветствую щ их сво бо дн ы х перемен н ы х. В исхо дн о й таблице 3.1 числа -c1, -c2,… , -cj,… , -cn являю тся о цен ками сво бо дн ы х перемен н ы х x1, x2,… , xj,… , xn, со о тветствен н о . Сво бо дн ы ми перемен н ы ми мы в даль н ей ш ем будем н азы вать перемен н ы е, распо ло ж ен н ы е в верхн ей заглавн о й стро ке ж о рдан о во й таблицы . Н а перво м этапе реш ен иязадачи это перемен н ы е x1 ,… , x n. Придавая сво бо дн ы м перемен н ы м различн ы е зн ачен ия, мы каж ды й раз будем по лучать различн ы е зн ачен ия зависимы х (базисн ы х) перемен н ы х (н а перво м этапе, это перемен н ы е y1,… , ym). В частн о сти, придаваясво бо дн ы м перемен н ы м н улевы е зн ачен ия, мы по лучаем так н азы ваемы е базисн ы е реш ен иясистемы (3.5). И схо дн ы м базисн ы м реш ен ием является векто р (0,… , 0,… , 0, b1,… , b i,… , bm). Причем лиш ь те реш ен ия (x1 ,… , xn, y1,… , y m) системы о гран ичен ий являю тся план ами исхо дн о й задачи (3.3) – (3.5), все ко мпо н ен ты ко то ры х о гран ичен ы н а зн ак (xj ≥ 0, yi ≥ 0, j = 1, 2,… ,n, i = 1, 2,… ,m). Базисн ы е реш ен ия системы о гран ичен ий (3.5), являю щ иеся план ами (т.е. о гран ичен н ы е н а зн ак), н азы ваю тся о по рн ы ми план ами задачи (3.3) – (3.5). В даль н ей ш ем мы увидим, что о птималь н ы й план задачи, если о н сущ ествует, н ахо дитсясреди о по рн ы хплан о в. Д ан н ы й ф актмо ж н о устан о вить без испо ль зо ван иятео рии вы пуклы х мн о ж еств. Про сто мы будем искать н аилучш ий с то чки зрен ия максимума целево й ф ун кции план среди о по рн ы хплан о взадачи (3.3) – (3.5). А затем мы до каж ем, что среди н ео по рн ы х план о в задачи н етплан а, лучш его , чем н айден н ы й о по рн ы й план . Среди правы х частей b1 ,… , bi,… , bm системы о гран ичен ий (3.5) мо гуто казать ся о трицатель н ы е числа. По это му исхо дн о е базисн о е реш ен ие (0,… , 0,… , 0, b1,… , bi,… , bm) системы о гран ичен ий (3.5), н айден н о е из таблицы 3.1, как правило , н е является план о м задачи. Д ан н о е о бсто я-

33

тель ство приво дитн ас к н ео бхо димо сти реш ать задачу вдва этапа. Н а перво м этапе мы вы хо дим во бласть план о висхо дн о й задачи (3.3) – (3.5) или до казы ваем, что задача н е имеетреш ен ияиз-за о тсутствияплан о в. Н а вто ро м этапе мы н ахо дим о птималь н ы й план или до казы ваем н еразреш имо сть задачи из-за н ео гран ичен н о сти ф ун кции цели. О ба этапа о сущ ествляю тся с по мо щ ь ю мето да мо диф ициро ван н ы х ж о рдан о вы х исклю чен ий , ко то ры й примен итель н о к реш ен ию задач лин ей н о го про граммиро ван ия по лучил н азван ие мето да Штиф еля. В о тличие о треш ен ия систем лин ейн ы х уравн ен ий, н а каж до м ш аге разреш аю щ ий элемен твы бирается н е про изво ль н о , а исхо дя из ко н кретн ы х целей . Причем при вы бо ре разреш аю щ его элемен та мы н еукло н н о будем со блю дать прин цип мин ималь н о го симплексн о го о тн о ш ен ия. Д ан н ы й прин цип вы текаетиз тео ремы о мин ималь н о м симплексн о м о тн о ш ен ии. Заф иксируем j-й сто лбец ж о рдан о во й таблицы (3.1). Д ля тех элемен то в aij дан н о го сто лбца, зн ак ко то ры хсо впадаетсо зн ако м сво бо дн о го член а bi, распо ло ж ен н о го вто й ж е стро ке, что и aij, о пределим о тн о ш ен ие: b tij = i > 0 . aij Числа tij =

bi aij

н азы ваю тся симплексн ы ми о тн о ш ен иями. И з о пре-

делен ияследует, что все симплексн ы е о тн о ш ен иястро го бо ль ш е н уля. Предпо ло ж им, что н ам по како й-то причин е захо тело сь вы брать разреш аю щ ий элемен тв j-о м сто лбце. Переберем все элемен ты j-о го сто лбца и вы берем вкачестве разреш аю щ его элемен та то тэлемен т a ij, дляко то ро b го симплексн о е о тн о ш ен ие tij = i > 0 мин ималь н о . В это м случае го во aij рят, что разреш аю щ ий элемен твы бран по н аимен ь ш емусимплексн о му о тн о ш ен ию . Т ео рема 3.1 (о мин ималь н о м симплексн о м о тн о ш ен ии). Е сли разреш аю щ ий элемен т в ф иксиро ван н о м сто лбце вы бирать по н аимен ь ш ему симплексн о му о тн о ш ен ию , то по сле ш ага мо диф ициро ван н ы хж о рдан о вы х исклю чен ий сво бо дн ы й член в разреш аю щ ей стро ке всегда стан о вится по ло ж итель н ы м, а о сталь н ы е сво бо дн ы е член ы со хран яю тсво и зн аки. Д о казатель ство . Предпо ло ж им, что мин ималь н о е симплексн о е о тн о ш ен ие ввы бран н о м j-о м сто лбце со о тветствует r-о й стро ке. Т о есть trj =

br b = min tij = min i , i i aij a rj

где мин имум беретсяпо тем i, дляко то ры х

(3.6) bi > 0. Т о гда вкачестве разaij

34

реш аю щ его элемен та вы берем элемен т arj. Перво е утверж ден ие тео ремы о чевидн о , так как по сле ш ага мо диф ициро ван н ы х ж о рдан о вы х исклю чен ий сво бо дн ы й член в разреш аю щ ей стро ке по ф ормуле (1.10) будетраb вен br ′ = r = t r > 0. arj В ы ясн им теперь , как измен яется сво бо дн ы й член в про изво ль н о й i– о й стро ке (i ≠ r). Д ляэто го вспо мн им, что по сле о дн о го ш ага мо диф ициро ван н ы хж о рдан о вы х исклю чен ий сво бо дн ы й член , так ж е как и лю бо й друго й элемен тж о рдан о во й таблицы , н е по павш ий в разреш аю щ ие стро ку и сто лбец, вы числяетсяпо ф о рмуле (1.12): aijbr . (3.7) bi′ = bi − arj Рассмо трим три случая:

1. bi > 0. Е сли при это м aij = 0, то bi′ = bi . Т о есть сво бо дн ы й член н е измен ился н е то ль ко по зн аку, н о и по абсо лю тн о й величин е. Е сли aij ≠ 0, то ф о рмулу (3.7) мо ж н о прео бразо вать к виду: b b  ′ bi = aij  i − r  . (3.8)  aij arj    b b b Е сли aij > 0, то i − r ≥ 0 , так как r – мин ималь н о е симплексн о е о тaij arj a rj н о ш ен ие, а

bi > 0 – про изво ль н о е симплексн о е о тн о ш ен ие. Следо ватель aij

н о , в дан н о й ситуации bi′ ≥ 0 , как про изведен ие двух н ео трицатель н ы х чисел. Т о есть зн ак со впадает со зн ако м b i. bi′ Е сли aij < 0, то ско бка вравен стве (3.8) будетотрицатель н о й, так как о ба со ставляю щ ие ее слагаемы е стро го мен ь ш е н уля. Следо ватель н о , и в это м случае зн ак b ′ со впадаетсо зн ако м b , так как про изведен ие двухо трицаi

i

тель н ы хчисел – по ло ж итель н о .

2. bi < 0. Е сли при это м a ij = 0, то по -преж н ему bi′ = bi , т.е. зн аки bi′ и bi со впадаю т. Е сли aij ≠ 0, то вн о вь во спо ль зуемся ф о рмуло й (3.8). b b b Е сли aij < 0, то i − r ≥ 0 , так как r – мин ималь н о е симплексн о е aij arj a rj о тн о ш ен ие, а

bi > 0 – про изво ль н о е симплексн о е о тн о ш ен ие. Следо ваaij

тель н о , в дан н о й ситуации bi′ ≤ 0 , как про изведен ие про тиво по ло ж н ы х по зн акучисел. Т о есть зн ак b ′ со впадаетсо зн ако м b . i

i

35

Е сли aij > 0, то ско бка вравен стве (3.8) будето трицатель н о й, так как о ба со ставляю щ ие ее слагаемы е стро го мен ь ш е н уля. Следо ватель н о , и вэто м случае зн ак b ′ будето трицатель н ы м и, следо ватель н о , со впадаi

етсо зн ако м bi. 3. bi = 0. В дан н о м случае по сле о дн о го ш ага мо диф ициро ван н ы х ж о рдан о вы х исклю чен ий зн ак сво бо дн о го член а b ′ мо ж етстать как по ло ж иi

тель н ы м, так и о трицатель н ы м. Т о чн ее, из ф о рмулы (3.7) следует, что зн ак bi′ будетпро тиво по ло ж ен зн аку a ij. Т ак как число 0 мо ж н о считать как по ло ж итель н ы м, так и о трицатель н ы м, то и вэто м случае мо ж н о считать, что зн ак b ′ со впадаетсо зн ако м b . Т ео рема до казан а. i

i

§ 3 Нах ож д ен ие перв он ач альн огоопорн огоплан а Перейдем н епо средствен н о к перво му этапу реш ен ия о сн о вн о й (стан дартн о й ) задачи лин ей н о го про граммиро ван ия, задан н о й таблицей 3.1. Н апо мн им, что н а перво м этапе н ам предсто итн ай ти о дин из о по рн ы х план о в или до казать, что задача н е имеетплан о в и, следо ватель н о , н е имеетреш ен ия. При это м во змо ж н ы две ситуации: Пусть в сто лбце сво бо дн ы х член о в н етн и о дн о го о трицатель н о го числа, т. е. bi ≥ 0, i = 1, 2,..., m. В дан н о м случае перво н ачаль н о е базисн о е реш ен ие (0,… , 0,… , 0, b 1,… , bi,… , bm), по лучаю щ еесяиз таблицы 3.1, сразу являетсяо по рн ы м план о м задачи. М ы мо ж ем перехо дить ко вто ро му этапу, т.е. к по искуо птималь н о го план а. Е сли среди сво бо дн ы х член о в есть о трицатель н ы е числа, то о тн их избавляю тся с по мо щ ь ю ко н ечн о го числа ш аго в мето да Штиф еля. Рассмо трим по дро бн ее, как это делается. Пусть , н апример, br < 0. Н айдем j– й сто лбец, со держ ащ ий о трицатель н ы й элемен т arj в r– о й стро ке. Здесь во змо ж н ы два случая. 1. Т ако го сто лбца н е сущ ествует, т.е. все элемен ты r– о й стро ки н ео трицатель н ы (arj ≥ 0, j = 1, 2,… , n). В дан н о м случае мы мо ж ем сделать вы во д о то м, что задача н е имеетреш ен ия из-за о тсутствия план о в. Д ействитель н о , рассматривая r– ю стро ку таблицы 3.1, мы прихо дим к вы во ду о то м, что перемен н ая yr н е мо ж етбы ть н ео трицатель н о й н и при какихн ео трицатель н ы хзн ачен ияхперемен н ы х x1, x 2,… , xn : yr = br + a r1(-x1 ) + ar2(-x2 ) +… + a rj(-x j) +… + arn(-xn) ≤ br < 0. И н ы ми сло вами r – е о гран ичен ие системы (3.4) н е вы по лн яется н и при какихзн ачен иях x1; x 2; … , xn ≥ 0 2. В r– о й стро ке сущ ествую то трицатель н ы е элемен ты . Пусть , н апример, arj < 0. Рассмо трим j– й сто лбец и вы берем в н ем разреш аю щ ий элемен т по прин ципу мин ималь н о го симплексн о го о тн о ш ен ия. Е сли н ам

36

по везет, то мин ималь н о е симплексн о е о тн о ш ен ие будет со о тветство вать r– о й стро ке. Т о гда по сле о дн о го ш ага мето да Штиф еля, в со о тветствие с тео ремо й 3.1, мы до бь емся то го , что сво бо дн ы й член b ′ в r– r

о й стро ке стан етн ео трицатель н ы м. О сталь н ы е сво бо дн ы е член ы н е измен ятсво ихзн ако в. Т аким о бразо м, ко личество о трицатель н ы х правы х частей умен ь ш ится. По ступая ан ало гичн о с о сталь н ы ми стро ками, мы , за ко н ечн о е число ш аго в, до бь емся то го , что все сво бо дн ы е член ы стан утпо ло ж итель н ы ми. Т ем самы м мы н ай дем перво н ачаль н ы й о по рн ы й план . Е сли ж е разреш аю щ ий элемен тн е по падаетв r– ю стро ку, то со о тветствую щ ий ш аг мето да Штиф еля н е приведетк измен ен ию зн ака сво бо дн о го член а br. М ы со верш аем сво его ро да « хо ло сто й ш аг», по сле ко то ро го о пять вы бираем разреш аю щ ий элемен т в j– о м сто лбце по прин ципумин ималь н о го симплексн о го о тн о ш ен ия. И так мы по ступаем до техпо р, по ка разреш аю щ ий элемен тн е по падетв r– ю стро ку. Рассмо трим следую щ ие примеры . Пример 3.1. Н айти перво н ачаль н ы й о по рн ы й план задачи, задан н о й ж о рдан о во й таблицей 3.2 (все перемен н ы е, участвую щ ие в задаче, предпо лагаю тсян ео трицатель н ы ми). – x1

– x2

– x3

– x4

1

y1

5

–4

1

3

2

t i3 2

y2

6

4

–2

8

–3

1.5

y3

3

–7

2

–4

4

2

y4

–2

9

–4

5

6

–

z

–1

– 15

7

5

0

–

Т абл. 3.2. Реш ен ие. Д ля н аглядн о сти введем в таблицу 3.2 до по лн итель н ы й правы й сто лбец для симплексн ы х о тн о ш ен ий. Рассмо трим сто лбец сво бо дн ы х член о в, распо ло ж ен н ы х по д един ицей. Среди чисел дан н о го сто лбца есть о дн о о трицатель н о е число b2 = – 3. Следо ватель н о , базисн о е реш ен ие (0; 0; 0; 0; 2; -3; 4; 6) н е является о по рн ы м план о м задачи (как всегда вн ачале идутиксо вы е, а затем игреко вы е ко о рдин аты , в по рядке во зрастан ияин дексо в). Рассмо трим вто рую стро ку таблицы и н айдем вн ей о трицатель н ы е числа. Т ако е число в дан н о м случае един ствен н о и равн о a 23 = – 2. Т ак как дан н о е число распо ло ж ен о в третьем сто лбце, то будем разреш аю щ ий элемен тискать имен н о в это м сто лбце. Д ляэто го вы числим симплексн ы е о тн о ш ен ия для элемен то в третьего сто лбца и запиш ем их в правы й до по лн итель н ы й сто лбецтаблицы 3.2. 2 −3 4 6   t13 = = 2, t 23 = = 1.5, t33 = = 2,  t 43 = = −1 . 5 < 0  . 1 −2 2 −4  

37

При это м симплексн о е о тн о ш ен ие н е вы числяется для по следн ей стро ки, т.к. разреш аю щ ий элемен тн ико гда н е вы бирается среди ко эф ф ициен то вф ун кции цели. К ро ме то го , н а месте t43 втаблице 3.2 сто итпро черк, т.к. симплексн о е о тн о ш ен ие н е мо ж етбы ть о трицатель н о . Сравн ивая по лучен н ы е симплексн ы е о тн о ш ен ия, мы прихо дим к вы во ду, что н аимен ь ш ее симплексн о е о тн о ш ен ие прихо дится н а вто рую стро ку. Следо ватель н о , в качестве разреш аю щ его элемен та н ео бхо димо вы брать элемен т a 23 = – 2. В дан н о м случае н ам по везло , т.к. разреш аю щ ий элемен тпо пал вту стро ку, в ко то ро й распо ло ж ен о трицатель н ы й сво бо дн ы й член b2 = – 3. Следо ватель н о , по тео реме о мин ималь н о м симплексн о м о тн о ш ен ии, по сле о дн о го ш ага мето да Штиф еля, мы до бь емсято го , что зн ак сво бо дн о го член а b2 ′ стан етпо ло ж итель н ы м, а о сталь н ы е сво бо дн ы е член ы при это м со хран ятсво изн аки. М ы прихо дим к таблице 3.3. – x1

– x2

– y2

– x4

1

y1

8

–2

0,5

7

0,5

x3 y3

–3 9

–2 –3

– 0,5 1

–4 4

1,5 1

y4

– 14

1

–2

– 11

12

z

20

–1

3,5

33

– 10,5

Т абл. 3.3. Т ак как среди сво бо дн ы х член о в в таблице 3.3 н ето трицатель н ы х чисел, то , следо ватель н о , мы н аш ли перво н ачаль н ы й о по рн ы й план задачи: X0 = (0; 0; 1,5; 0; 0,5; 0; 1; 12). Пример 3.2. Н айти перво н ачаль н ы й о по рн ы й план задачи, задан н о й ж о рдан о во й таблицей 3.4 (все перемен н ы е, участвую щ ие в задаче, предпо лагаю тсян ео трицатель н ы ми). – x1

– x2

– x3

– x4

1

y1

5

–4

2

3

2

t i3 1

y2

6

4

–2

8

–3

1.5

y3

3

–7

2

–4

4

2

y4

–2

9

–4

5

6

–

z

–1

– 15

7

5

0

–

Т абл. 3.4. Реш ен ие. Д ан н аязадача о тличаетсяо тпреды дущ ей задачи всего о дн им число м (a 13 = 2). М ы по -преж н ему имеем то ль ко о дин о трицатель н ы й сво бо дн ы й член b2 = – 3. Рассмо трим вто рую стро ку таблицы и н айдем в н ей о трицатель н ы е числа. Т ако е число , как и в преды дущ ем примере,

38

един ствен н о и равн о a23 = – 2. Т ак как дан н о е число распо ло ж ен о втретьем сто лбце, то будем разреш аю щ ий элемен тискать имен н о вэто м сто лбце. Д ля это го вы числим симплексн ы е о тн о ш ен ия для элемен то в третьего сто лбца и запиш ем ихвправы й до по лн итель н ы й сто лбец таблицы 3.2. 2 −3 4 6   t13 = = 1, t 23 = = 1.5, t33 = = 2,  t43 = = −1.5 < 0  . 2 −2 2 −4   Сравн ивая по лучен н ы е симплексн ы е о тн о ш ен ия, мы прихо дим к вы во ду, что н аимен ь ш ее симплексн о е о тн о ш ен ие прихо дится н а первую стро ку. Следо ватель н о , в качестве разреш аю щ его элемен та н ео бхо димо вы брать элемен т a13 = 2. В дан н о м случае разреш аю щ ий элемен тн е по пал вту стро ку, вко то ро й распо ло ж ен о трицатель н ы й сво бо дн ы й член b2 = – 3. М ы вы н уж ден ы сделать « хо ло сто й ш аг», по сле ко то ро го зн ак сво бо дн о го член а b2 ′ н е стан етпо ло ж итель н ы м. Н о при это м н е по явится других о трицатель н ы х сво бо дн ы х член о в, что гаран тируеттео рема о мин ималь н о м симплексн о м о тн о ш ен ии. По сле о дн о го ш ага мето да Штиф еля, мы прихо дим к таблице 3.5: – x1

– x2

– y1

– x4

1

x3

2,5

–2

0,5

1,5

1

y2

11

0

1

11

–1

y3

–2

–3

–1

–7

2

y4

8

1

2

11

10

z

– 18,5

–1

– 3,5

– 5,5

–7

Т абл. 3.5. Х о тя зн ак сво бо дн о го член а b2′ и н е измен ился, сделан н ы й ш аг мето да Штиф еля по зво лил н ам сделать о пределен н ы й вы во д: по ло ж итель н о сть всех элемен то в вто ро й стро ки, за исклю чен ием сво бо дн о го член а, го во рито то м, что задача н е имеетплан о в. И змен ив ещ е о дн о число в исхо дн о й таблице 3.4, мы по лучим ещ е о дин ин тересн ы й пример. Пример 3.3. Н айти перво н ачаль н ы й о по рн ы й план задачи, задан н о й ж о рдан о во й таблицей 3.6 (все перемен н ы е, участвую щ ие в задаче, предпо лагаю тсян ео трицатель н ы ми). – x1

– x2

– x3

– x4

1

y1

5

–4

2

3

2

t i3 1

y2 y3

6 3

3 –7

–2 2

8 –4

–3 4

1.5 2

y4

–2

9

–4

5

6

–

z

–1

– 15

7

5

0

–

Т абл. 3.6.

39

Реш ен ие. Д ействуятак ж е, как впреды дущ ем примере, мы прихо дим к вы во дуо то м, что разреш аю щ им элемен то м н а перво м ш аге до лж ен бы ть элемен т a13 = 2. Разреш аю щ ий элемен тсн о ва н е по пал вту стро ку, вко то ро й распо ло ж ен о трицатель н ы й сво бо дн ы й член b2 = -3. М ы вы н уж ден ы сделать « хо ло сто й ш аг», по сле ко то ро го мы прихо дим к таблице 3.7: – x1

– x2

– y1

– x4

1

x3

2,5

-2

0,5

1,5

1

t i2 -

y2

11

–1

1

11

–1

1

y3

–2

–3

–1

–7

2

–

y4

8

1

2

11

10

10

z

– 18,5

–1

– 3,5

– 5,5

–7

–

Т абл. 3.7. В ы числим симплексн ы е о тн о ш ен иядлявто ро й стро ки:   −1 1 < 0 , t 22 =  t12 = = 1, − − 2 1  

  2 10 < 0 , t 42 = = 10.  t32 = −3 1  

Т о ль ко t22 = 1 и t42 = 10 бо ль ш е н уля, и, следо ватель н о , являю тся симплексн ы ми о тн о ш ен иями. Т ак как t 22 < t42 , то разреш аю щ ий элемен т прихо дится н а вто рую стро ку, и следую щ ий ш аг уж е н е является « хо ло сты м». М ы избавляемсяо тедин ствен н о го о трицатель н о го сво бо дн о го член а и, тем самы м, н ахо дим перво н ачаль н ы й о по рн ы й план : – x1

– y2

– y1

– x4

1

x3

– 19,5

–2

– 1,5

– 20,5

3

x2

– 11

–1

–1

– 11

1

y3

– 35

–3

–4

– 40

5

y4

19

1

3

22

9

z

– 29,5

–1

– 4,5

– 16,5

–6

Т абл. 3.8. И так, перво н ачаль н ы м о по рн ы м план о м задачи является X0 = (0; 1; 3; 0; 0; 0; 5; 9). Е сли н ас н е ин тересую тзн ачен ияперемен н ы х y j, то мы мо ж ем о тбро сить по следн ие четы ре ко о рдин аты векто ра X0. Т аким о бразо м, X0′ = (0; 1; 3; 0).

40

§ 4 Нах ож д ен ие оптим альн огоопорн огоплан а Предпо ло ж им, что н ам удало сь по лучить перво н ачаль н ы й о по рн ы й план . Т о гда сто лбец сво бо дн ы х член о в в ж о рдан о во й таблице со сто итиз н ео трицатель н ы х чисел. Сн ачала вы ясн им, является ли дан н ы й о по рн ы й план о птималь н ы м. Д ляэто го рассмо трим по следн ю ю стро кутаблицы . Е сли среди элемен то вдан н о й стро ки, за исклю чен ием сво бо дн о го член а, есть о трицатель н ы е числа, то мо ж н о сделать вы во д о то м, что соо тветствую щ ий о по рн ы й план н е являетсяо птималь н ы м. Т о есть мо ж н о н айти друго й план задачи, при ко то ро м ф ун кцияцели прин имаетбо ль ш ее зн ачен ие. Д ействитель н о , сво бо дн ы е перемен н ы е, распо ло ж ен н ы е в верхн ем заглавн о м сто лбце таблицы , предпо лагаю тся равн ы ми н улю (имен н о в это м случае мы по лучаем о по рн ы й план ). При перехо де к друго му план у задачи (н е о бязатель н о о по рн о му), мы до лж н ы измен ить зн ачен иясво бо дн ы х перемен н ы х. Н о эти зн ачен ия мо гутто ль ко увеличить ся, т.к. все перемен н ы е о сн о вн о й задачи н ео трицатель н ы . Д о бить ся увеличен ия ф ун кции цели мо ж н о за счетувеличен ия тех перемен н ы х xj, ко эф ф ициен ты при ко то ры х c j бо ль ш е н уля. Н апример, если – cj < 0 (см. таблицей 3.1), т.е. cj > 0, то , увеличивая со о тветствую щ ую перемен н ую x j, мо ж н о до битьсяувеличен ияф ун кции цели z(X) = c1x 1 + c 2x2 +… + c jxj +… + cn xn. Н а практике о бы чн о так и по ступаю т. Н ахо дято трицатель н ы е числа (о цен ки сво бо дн ы х перемен н ы х) в по следн ей стро ке таблицы , вы бираю т из н их н аимен ь ш ее число -cj и увеличиваю тсо о тветствую щ ую перемен н ую x j. У величен ие перемен н о й xj приво дитк измен ен ию зависимы хперемен н ы х y i. При это м во змо ж н ы следую щ ие случаи: 1. Н ео гран ичен н о е увеличен ие перемен н о й xj н е приво дитк по явлен ию о трицатель н ы хзн ако в н и у о дн о й из перемен н ы х yi. Т ако е во змо ж н о , ко гда все элемен ты j-го сто лбца aij мен ь ш е или равн ы н улю . В дан н о м случае, увеличивая перемен н ую x j, мы тем самы м н ео гран ичен н о увеличиваем ф ун кцию цели, о ставаясь при это м в о бласти план о в задачи (причем ф ун кция цели растетлин ей н о с ро сто м перемен н о й xj). М ы прихо дим к вы во ду о то м, что задача н е имеетреш ен ияиз-за н ео гран ичен н о го ро ста ф ун кции цели. Разумеется, тако е стало во змо ж н ы м благо даря то му, что о бласть план о висхо дн о й задачи н ео гран ичен н а. 2. У величен ие перемен н о й x j ран о или по здн о приведетк по явлен ию о трицатель н ы хзн ако ву н еко то ры х(хо тябы у о дн о й) перемен н ы х y i. Д ля это го н ео бхо димо , что бы н еко то ры е элемен ты j-го сто лбца a ij бы ли стро го бо ль ш е н уля. Т ак как ф ун кция цели растетвместе с ро сто м перемен н о й xj, то перемен н ую xj стараю тся увеличивать до тех по р, по ка это во змо ж н о . А то чн ее, перемен н ую xj увеличиваю тдо техпо р, по ка о дн а из перемен н ы х y i н е стан етравн о й н улю , а о сталь н ы е базисн ы е перемен н ы е

41

при это м о стан утсян ео трицатель н ы ми. При это м перемен н ая x j стан о витсябазисн о й , а перемен н ая yi – сво бо дн о й. Т ако е прео бразо ван ие мо ж етбы ть о сущ ествлен о с по мо щ ь ю о дн о го ш ага мето да ж о рдан о вы х исклю чен ий (Штиф еля). Е сли разреш аю щ ий элемен твы бирать в j-о м сто лбце по прин ципу мин ималь н о го симплексн о го о тн о ш ен ия, то все базисн ы е перемен н ы е со хран ятсво и зн аки, т.е. мы н е вы й дем из о бласти план о в задачи. Это как раз и будетсоо тветство вать то му, что из числа базисн ы х в разряд сво бо дн ы хперейдетта перемен н ая y i, ко то раяран ь ш е другихо братитсявн о ль . Е сли по сле н еско ль ких ш аго в мето да Штиф еля среди элемен то в по следн ей стро ки таблицы (за исклю чен ием, бы ть мо ж ет, сво бо дн о го член а) н е о стан етсяо трицатель н ы х чисел, то со о тветствую щ ий о по рн ы й план будето птималь н ы м. Д ействитель н о , сво бо дн ы е перемен н ы е, распо ло ж ен н ы е в верхн ем заглавн о м сто лбце таблицы , теперь н ель зя увеличивать, т.к. это приведетто ль ко к умен ь ш ен ию ф ун кции цели. О дн ако бы ваю тслучаи, ко гда о птималь н ы й план н е является един ствен н ы м. Е сли среди о цен о к сво бо дн ы х перемен н ы х н аряду с по ло ж итель н ы ми числами есть ещ е и н ули, то со о тветствую щ ую сво бо дн ую перемен н ую мо ж н о перевести вбазисн ы е и при это м зн ачен ие ф ун кции цели н е умен ь ш ится. Т аким о бразо м, мы мо ж ем по лучить н о вы й о птималь н ы й о по рн ы й план . По н ятн о , что в тако й ситуации н аряду с о птималь н ы ми о по рн ы ми план ами сущ ествую т ещ е о птималь н ы е план ы , н е являю щ ие о по рн ы ми. Придавая сво бо дн о й перемен н о й про изво ль н ы е зн ачен ия о т н уля и до то го зн ачен ия, при ко то ро м по лучается следую щ ий о по рн ы й план , мы по лучим бесчислен н о е мн о ж ество о птималь н ы х план о в задачи, н е являю щ ихсяо по рн ы ми. В качестве примеро в приведем реш ен ия задач, н ачаты х в преды дущ ем параграф е. Пример 3.4. Н айти о птималь н ы й план задачи, задан н о й таблицей 3.3. Реш ен ие. Т ак как среди о цен о к сво бо дн ы х перемен н ы х (т.е. среди элемен то в -cj по следн ей стро ки таблицы ) есть о трицатель н о е число – 1, то со о тветствую щ ий о по рн ы й план н е являетсяо птималь н ы м. Н ео бхо димо перемен н ую x2 перевести в число базисн ы х перемен н ы х, т.е. о пустить в левы й заглавн ы й сто лбец таблицы . Д ля это го вы берем разреш аю щ ий элемен тво вто ро м сто лбце по прин ципу мин ималь н о го симплексн о го о тн о ш ен ия. Симплексн ы е о тн о ш ен ия, как и преж де, запиш ем в правы й до по лн итель н ы й сто лбец. Со бствен н о го во ря, симплексн о е о тн о ш ен ие сущ ествуетто ль ко дляо дн о го элемен та a42 = 1. О сталь н ы е о тн о ш ен иясво бо дн ы х член о вк со о тветствую щ им элемен там вто ро го сто лбца – о трицатель н ы . Т аким о бразо м, исхо дн о й задаче со о тветствуеттаблица:

42

– x1

– x2

– y2

– x4

1

y1

8

–2

0,5

7

0,5

t i2 –

x3

–3

–2

– 0,5

–4

1,5

–

y3

9

–3

1

4

1

–

y4

– 14

1

–2

– 11

12

12

z

20

–1

3,5

33

– 10,5

–

Т абл. 3.9. По сле о дн о го ш ага мето да Штиф елямы придем к следую щ ей таблице. – x1

– y4

– y2

– x4

1

y1

– 20

2

– 3,5

– 15

24,5

x3

– 31

2

– 4,5

– 26

25,5

y3

– 33

3

–5

– 29

37

x2

– 14

1

–2

– 11

12

z

6

1

1,5

22

1,5

Т абл. 3.10. Т ак как о цен ки сво бо дн ы х перемен н ы х н ео трицатель н ы , то мы мо ж ем сделать вы во д о то м, что н айден н ы й о по рн ы й план является о птималь н ы м. А по ско ль ку среди о цен о к н етн и о дн о го н уля, то дан н ы й план является един ствен н ы м о птималь н ы м план о м. И так, о птималь н ы м план о м дан н о й задачи является векто р Xо пт= (0; 12; 25,5; 0; 24,5; 0; 37; 0). Е сли н ас н е ин тересую тзн ачен ия перемен н ы х y j, то мы мо ж ем о тбро сить по следн ие четы ре коо рдин аты векто ра X0. Т аким о бразо м, ' X о пт= (0; 12; 25,5; 0) . И ли бо лее по дро бн о : x10 = 0; x20 = 12; x30 = 25,5; x40 = 0. При это м максимум ф ун кции цели вы числен в право м н иж н ем углу таблицы 3.10: max z( X ) = z ( X о пт) = 6 × 0 + 1 × 0 + 1,5 × 0 + 22 × 0 + 1,5 = 1,5. Пример 3.5. Н айти о птималь н ы й план задачи, задан н о й таблицей 3.8: – x1

– y2

– y1

– x4

1

x3

– 19,5

–2

– 1,5

– 20,5

3

x2

– 11

–1

–1

– 11

1

y3

– 35

–3

–4

– 40

5

y4

19

1

3

22

9

z

– 29,5

–1

– 4,5

– 16,5

–6

Т абл. 3.8.

43

Реш ен ие. Т ак как все о цен ки сво бо дн ы хперемен н ы х о трицатель н ы , то со о тветствую щ ий о по рн ы й план н е являетсяо птималь н ы м. Н ео бхо димо перемен н ую x 1, со о тветствую щ ую н аимен ь ш ей о трицатель н о й о цен ке – 29,5, перевести в число базисн ы х перемен н ы х, т.е. о пустить в н иж н ю ю часть таблицы . Д ля это го вы берем разреш аю щ ий элемен тв перво м сто лбце по прин ципу мин ималь н о го симплексн о го о тн о ш ен ия. Т ак как симплексн о е о тн о ш ен ие t41 = 9/19 сущ ествуетто ль ко дляо дн о го элемен та a41 перво го сто лбца (о сталь н ы е о тн о ш ен ия – о трицатель н ы ), то в качестве разреш аю щ его элемен та вы берем a41 = 19. По сле ш ага мето да Штиф елямы прихо дим к таблице – y4

– y2

– y1

– x4

1

x3

1,03

– 0,97

1,58

2,08

12,24

x2 y3

0,58 1,84

– 0,42 – 1,16

0,74 1,53

1,74 0,53

6,21 21,58

x1

0,05

0,05

0,16

1,16

0,47

z

1,53

0,53

0,08

17,08

7,74

Т абл. 3.11. Т ак как о цен ки всехсво бо дн ы х перемен н ы х стро го бо ль ш е н уля, то , следо ватель н о , мы н аш ли един ствен н ы й о птималь н ы й план задачи, задан н ой таблицей 3.6 (см. пример 3.3). Т аким о бразо м, ' 0 X о пт≈ (0,47; 6,21; 12, 24; 0 ) . И ли бо лее по дро бн о : x1 = 0, 47; x20 = 6,21; x30 = 12,24; x40 = 0. При это м максимум ф ун кции цели будетприближ ен н о равен max z ( X ) ≈ 7,74. Замечан ие. При н ахо ж ден ии о птималь н о го план а мы искали разреш аю щ ий элемен тв то м сто лбце, ко то ро му со о тветствуетн аимен ь ш ая о трицатель н ая о цен ка. В дан н о м случае это бы ло впо лн е о правдан о : за о дин ш аг н ам удало сь н айти реш ен ие задачи. О дн ако бы ваю тслучаи, ко гда в качестве разреш аю щ его сто лбца вы го дн ее вы бирать во все н е то тсто лбец, ко то ро му со о тветствует н аимен ь ш ая о трицатель н ая о цен ка. Д ело в то м, что при перехо де к н о во му о по рн о му план у ф ун кция цели увеличивается н а величин у сj × tj, где сj – о цен ка сво бо дн о й перемен н о й xj, взятая с про тиво по ло ж н ы м зн ако м, а t j – зн ачен ие перемен н о й x j, ко то ро е о н а примет, еслистан етбазисн о й. О чевидн о , что числа t j равн ы частн о му о тделен ия сво бо дн о го член а разреш аю щ ей стро ки н а разреш аю щ ий элемен т. Т о есть числа tj являю тся мин ималь н ы ми симплексн ы ми о тн о ш ен иями, вы числен н ы ми, со о тветствен н о , для j-го сто лбца. По это му, вы бирая разреш аю щ ий сто лбец, по лезн о учиты вать н е то ль ко о цен ки сво бо дн ы х перемен н ы х, н о и мин и-

44

маль н ы е симплексн ы е о тн о ш ен иявкаж до м из сто лбцо вс о трицатель н ы ми о цен ками. Е сли в качестве разреш аю щ его сто лбца вы брать сто лбец, для ко то ро го про изведен ие сj × t j – максималь н о , то ф ун кция цели н а каж до м ш аге будетво зрастать н а максималь н о во змо ж н ую величин у. При тако м по дхо де по требуется н аимен ь ш ее число ш аго в для н ахо ж ден ия о птималь н о го план а. Рассмо трим следую щ ий пример: Пример 3.6. Н айти о птималь н ы й план задачи, задан н о й таблицей 3.12 (все перемен н ы е, участвую щ ие в задаче, предпо лагаю тся н ео трицатель н ы ми): – x1

– x2

– x3

– x4

1

y1

1

–8

–1

6

y2

–2

–1

3

y3

–2

12

y4

1

z

–2

2

ti1 2

ti2 –

t i4 2/6

–4

4

–

–

–

–5

–2

3

–

–

–5

2

8

1

1

3/12 –

1/8

–6

4

–3

5

–

–

–

Т абл. 3.12. Реш ен ие. Т ак как все сво бо дн ы е член ы н ео трицатель н ы , то таблице 3.12 соо тветствует н еко то ры й перво н ачаль н ы й о по рн ы й план X0 = (0; 0; 0; 0). Здесь н е учиты ваю тся зн ачен ия до по лн итель н ы хперемен н ы х y i. О дн ако дан н ы й план н е является о птималь н ы м. О б это м го во рят о трицатель н ы е о цен ки сво бо дн ы х перемен н ы х x1, x 2 и x4 . Н айдем мин ималь н ы е симплексн ы е о тн о ш ен ия со о тветствен н о для перво го , вто ро го и четверто го сто лбца. Д ля н аглядн о сти все симплексн ы е о тн о ш ен ия запиш ем втехправы хдо по лн итель н ы хсто лбцах. М ин ималь н ы е симплексн ы е о тн о ш ен ия для указан н ы х сто лбцо в со о тветствен н о равн ы : t1 = 1, t2 = 3/12 = 1/4, t4 = 1/8. Следо ватель н о , при вы бо ре разреш аю щ его элемен та вперво м сто лбце ф ун кция цели во зрастет н а величин у c 1 × t 1 = 2×1 = 2. Е сли разреш аю щ ий элемен твы брать во вто ро м сто лбце, то ф ун кцияцели увеличитсян а c2 × t2 = 6 × 0,25 = 1,5, а если – вчетверто м сто лбце, то н а c 4 × t4 = 3 × 0,125 = 0,375. Сравн ивая по лучен н ы е числа, мы прихо дим к вы во ду о предпо чтитель н о сти четверто го сто лбца. И так, вы бираем в качестве разреш аю щ его элемен та число a 41 = 1. По сле перво го ш ага мето да Штиф елямы прихо дим к таблице 3.13:

45

– y4

– x2

– x3

– x4

1

y1

–1

–3

–3

–2

1

t i2 –

y2

2

– 11

7

12

6

–

y3

2

2

–1

14

5

5/2

x1

1

–5

2

8

1

–

z

2

– 16

8

13

7

–

Т абл. 3.13. Следую щ ий ш аг является вы н уж ден н ы м, т.к. то ль ко во вто ро м сто лбце имеется о трицатель н ая о цен ка. В качестве разреш аю щ его элемен та вы бираем един ствен н о е по ло ж итель н о е число a32 = 2. Заметим, что н а вто ро м этапе реш ен ия о сн о вн о й (стан дартн о й) задачи, ко гда н ам уж е удало сь по пасть в о бласть план о в, сво бо дн ы е член ы стан о вятся н ео трицатель н ы ми. Следо ватель н о , разреш аю щ ими элемен тами мо гутбы ть то ль ко по ло ж итель н ы е числа (если следо вать прин ципу мин ималь н о го симплексн о го о тн о ш ен ия). В про тивн о м случае мы н емин уемо вы хо дим из о бласти плен о взадачи. И так, мы прихо дим к таблице 3.14: – y4

– y3

– x3

– x4

1

y1

2

1,5

-4,5

19

8,5

t i2 -

y2

13

5,5

1,5

89

33,5

22,33

x2

1

0,5

– 0,5

7

2,5

–

x1

6

2,5

– 0,5

43

13,5

–

z

18

8

0

125

47

–

Т абл. 3.14. Т ак как о цен ки сво бо дн ы х перемен н ы х по лучились н ео трицатель н ы ми, то о по рн ы й план , со о тветствую щ ий таблице 3.14, является о птималь н ы м. Т о есть X о' пт= (13,5; 2,5; 0; 0 ) . При это м максимум ф ун кции

(

)

цели будетравен max z ( X ) = z X о' пт = 47 . О дн ако н айден н ы й о птималь н ы й план н е является един ствен н ы м. Н аличие н улево й о цен ки го во рито то м, что перемен н ую x3 мо ж н о ввести в число базисн ы х перемен н ы х, н е умен ь ш ая при это м зн ачен ие ф ун кции цели. Сделаем ещ е о дин ш аг, вы брав вкачестве разреш аю щ его элемен та a23 = 1,5. М ы по лучим н о вы й о птималь н ы й о по рн ы й план X о' 'пт≈ (24,67; 13,67; 22,33; 0 ) , причем

(

) (

)

z X о' 'пт = z X о' пт = 47 (см. табл. 3.15).

46

– y4

– y3

– y2

– x4

1

y1

41

18

3

286

109

x3

8,67

3,67

0,67

59,33

22,33

x2

5,33

2,33

0,33

36,67

13,67

x1

10,33

4,33

0,33

72,67

24,67

z

18

8

0

125

47

Т абл. 3.15. Пример 3.7. Н айти о птималь н ы й план задачи, задан н о й таблицей 3.12 (все перемен н ы е, участвую щ ие в задаче, предпо лагаю тся н ео трицатель н ы ми): – x1

– x2

– x3

1

y1

2

3

-10

5

ti2 5/3

y2

4

–3

7

4

–

y3

–6

1

–3

1

1

y4

1

2

–6

3

3/2

y5

3

–1

2

2

–

z

3

–2

4

0

0

Т абл. 3.16. Реш ен ие. Т ак как все сво бо дн ы е член ы н ео трицатель н ы , то таблице 3.16 соо тветствует н еко то ры й перво н ачаль н ы й о по рн ы й план X0 = (0; 0; 0; 0). Здесь н е учиты ваю тсязн ачен иядо по лн итель н ы х перемен н ы х y i. О дн ако , как и впреды дущ ей задаче, дан н ы й план н е являетсяо птималь н ы м (вто ро му сто лбцу со о тветствует о трицатель н ая о цен ка). М ин ималь н о е симплексн о е о тн о ш ен ие, вы числен н о е для элемен то в вто ро го сто лбца, со о тветствуетэлемен ту a32 = 1. По сле ш ага мето да Штиф елямы прихо дим к таблице 3.17: – x1

– y3

– x3

1

y1

2

–3

–1

2

y2

4

3

–2

7

x2

0

1

–3

1

y4

1

–2

0

1

y5

3

1

–1

3

z

3

2

–2

2

Т абл. 3.17.

47

О трицатель н ая о цен ка, со о тветствую щ ая третьему сто лбцу, го во рит о то м, что по лучен н ы й о по рн ы й план н е является о птималь н ы м. О сталь н ы е элемен ты треть его сто лбца н е являю тся по ло ж итель н ы ми числами. Это , во -первы х, го во рит о то м, что н ево змо ж н о вы брать разреш аю щ ий элемен тв третьем сто лбце, н е вы хо дя из о бласти план о в задачи (о дин из сво бо дн ы х член о в о бязатель н о стан ето трицатель н ы м). Т о есть н ево змо ж н о перейти к н о во му о по рн о му план у, устран ив при это м о трицатель н о сть о цен ки втретьем сто лбце. Н о само е главн о е, как это бы ло по казан о вы ш е, мы мо ж ем безгран ичн о увеличивать зн ачен ия сво бо дн о й перемен н о й x3, н е вы хо дяпри это м из о бласти план о взадачи. Зн ачен ияф ун кции цели при это м н ео гран ичен н о растут. Т аким о бразо м, задача н е имеетреш ен ияиз-за н ео гран ичен н о стиф ун кции цели.

§ 5 С луч ай в ы рож д ен н ы х б азисн ы х решен ий Н апо мн им, что базисн ы м реш ен ием системы лин ей н ы хуравн ен ий y1 = b1 + a11(– x1) + a12 (– x2 ) +… + a1 j(– xj) +… + a1n (– xn ), … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ...… . yi = bi + ai1(– x1) + ai2 (– x2 ) +… + aij(– xj) +… + ain(– x n), … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ym = bm + a m1(– x1) + am2(– x2) +… + amj(– xj) +… + amn(– xn).

(3.9)

н азы вается тако е реш ен ие, ко то ро е по лучается, если все сво бо дн ы е перемен н ы е x1,… , xn по ло ж ить равн ы ми н улю . По сле ш ага мето да ж о рдан о вы х исклю чен ий о дн а из сво бо дн ы х перемен н ы х превращ аетсявбазисн ую перемен н ую и н ао бо ро т. Т аким о бразо м, система мо ж етиметь до стато чн о мн о го базисн ы х реш ен ий (максималь н о е ко личество базисн ы х реш ен ий со впадаетс число м со четан ий C nn+ m ). Базисн о е реш ен ие системы (3.9) н азы вается вы ро ж ден н ы м, если о дн а или н еско ль ко базисн ы х перемен н ы х о казы ваю тсяравн ы ми н улю . Н апример, перво н ачаль н о е базисн о е реш ен ие (0,… , 0,… , 0, b1,… , bi,… , bm) системы (3.9) является вы ро ж ден н ы м, если о дин или н еско ль ко сво бо дн ы хчлен о в b1,… , bi,… , bm о каж утсяравн ы ми н улю . При реш ен ии о сн о вн о й задачи лин ейн о го про граммиро ван ия мы мо ж ем сто лкн уться с вы ро ж ден н ы ми базисн ы ми реш ен иями, как н а этапе по иска перво н ачаль н о го о по рн о го план а, так и при н ахо ж ден ии о птималь н о го о по рн о го план а. При это м вы бо р разреш аю щ его элемен та по прин ципу мин ималь н о го симплексн о го о тн о ш ен ия ин о гда приво дитк по явлен ию лиш н их о трицатель н ы х сво бо дн ы х член о в. А это вы во дитн ас из о бласти план о в задачи или удаляето тн ее. Д ело в то м, что даж е при со блю ден ии прин ципа мин ималь н о го симплексн о го о тн о ш ен ия н о ль в сто лбце сво бо д-

48

н ы хчлен о вмо ж етзамен итьсян е то ль ко по ло ж итель н ы м, н о и о трицатель н ы м число м. Рассмо трим следую щ ий пример: Пример 3.8. Н айти максимум ф ун кции z(X) = 3x1 – x 2 – 5x 3

(3.10)

при усло вии то го , что перемен н ы е удо влетво ряю тследую щ ей системе: 3x1 – 2x2 – 3x3 +7 ≥ 0, – 2x1 + x2 – 2x3 – 3 ≥ 0, – 3x1 + x2 – x3 ≥ 0, – 9x1 + 2x2 + 4x3 – 6 ≥ 0, x1 , x2, x 3 ≥ 0.

(3.11)

Реш ен ие. Н аш ей задаче соо тветствуетследую щ ая ж о рдан о ва таблица: – x1

– x2

– x3

1

y1

–3

2

3

y2

2

–1

y3

3

y4 z

7

ti2 3,5

ti3 7/3

2

–3

3

–

–1

1

0

0

0

9

–2

–4

–6

3

2

–3

1

5

0

–

–

Т абл. 3.19. К ак всегда, каж ды й ш аг мето да Штиф еля мы по стараемсяо сущ ествлять с со блю ден ием прин ципа мин ималь н о го симплексн о го о тн о ш ен ия. Т ак как в сто лбце сво бо дн ы х член о в есть о трицатель н ы е числа b 2 = – 3 и b 4 = – 6, то со о тветствую щ ее таблице 3.19 базисн о е реш ен ие н е является о по рн ы м план о м задачи. Причем дан н о е базисн о е реш ен ие является вы ро ж ден н ы м, т.к. о дн а из базисн ы х перемен н ы х о казалась равн о й н улю (b3 = 0). Н айдем о трицатель н ы е элемен ты , со о тветствен н о во вто ро й и в четверто й сто ке. Т акими элемен тами являю тсячисла a 22 = – 1, a42 = – 2 и a 43 = – 4. В ы числим мин ималь н ы е симплексн ы е о тн о ш ен ия для вто ро го и третьего сто лбца таблицы (имен н о вэти сто лбцы по падаю тн айден н ы е о трицатель н ы е числа). В дан н о м случае н ам по везло , и мин ималь н ы е симплексн ы е о тн о ш ен ия до стигаю тся как раз н а о трицатель н ы х элемен тах. Н еко то ры е о тн о ш ен ия равн ы н улю , н о симплексн ы ми о тн о ш ен иями, со гласн о н аш ему о пределен ию , о н и н е являю тся. В о вто ро м сто лбце в качестве разреш аю щ его элемен та мо ж н о вы брать или a22 = – 1, или a 42 = – 2, т.к. симплексн ы е о тн о ш ен иядля н их мин ималь н ы и о дин ако вы . В треть ем сто лбце в качестве разреш аю щ его элемен та мо ж ет бы ть то ль ко число a 43 = – 4.

49

Н есмо тря н а по хо ж есть ситуаций во вто ро м и четверто м сто лбце, меж ду н ими есть о дн а о чен ь сущ ествен н ая разн ица. В третьей стро ке таблицы 3.19, со держ ащ ей н улево й сво бо дн ы й член , элемен твто ро го сто лбца о трицателен , а треть его – по ло ж ителен . Д ан н о е о бсто ятель ство влияетн а зн ак сво бо дн о го член а, по лучаю щ его ся в треть ей стро ке по сле о дн о го ш ага мето да Штиф еля. Д ля сравн ен ия вы берем сн ачала разреш аю щ ий элемен тв треть ем сто лбце, а затем – во вто ро м. И так, пусть разреш аю щ им элемен то м будет a 43 = - 4. По сле ш ага мето да Штиф еля мы прихо дим к таблице 3.20. – x1

– x2

– y4

1

y1

3,75

0,5

0,75

2,5

y2

6,5

–2

0,5

–6

y3

5,25

– 1,5

0,25

– 1,5

x3

– 2,25

0,5

– 0,25

1,5

z

8,25

– 1,5

1,25

– 7,5

Т абл. 3.20. А н ализируя про делан н ы й ш аг, мы прихо дим к вы во ду о то м, что в сто лбце сво бо дн ы х член о в по явило сь лиш н ее о трицатель н о е число b 3′ = – 1,5. Т аблица по -преж н ему со держ итдва о трицатель н ы х сво бо дн ы х член а, и мы о стаемся так ж е далеки о то бласти план о в задачи, как и до про делан н о го ш ага. В спо мин аясхему пересчета элемен то втаблицы (1.12), мы прихо дим к вы во ду о то м, что число b3′ по лучило сь о трицатель н ы м из-за по ло ж итель н о сти элемен та a33 , распо ло ж ен н о го н а пересечен ии вы бран н о го 3-го сто лбца таблицы 3.19 и 3-ей стро ки, со держ ащ ей н улево й сво бо дн ы й член . Д ей ствитель н о :

b3' =

b3 × a 43 − b4 × a33 0 − b4 × a33 b = = − 4 × a33 . a 43 a43 a43

(3.12)

b4 > 0 как симплексн о е о тн о ш ен ие. Следо ватель н о , a 43 зн ак сво бо дн о го член а b3 ′ про тиво по ло ж ен зн аку элемен та a33. Е сли взять разреш аю щ ий элемен тво вто ро м сто лбце, то по до бн о й н еприятн о сти н е про изо йдет. В это м случае н а пересечен ии вы бран н о го 2-го сто лбца таблицы 3.19 и 3-ей стро ки, со держ ащ ей н улево й сво бо дн ы й член будет о трицатель н о е число a32 = – 1. Пусть разреш аю щ им элемен то м висхо дн о й таблице 3.19 будетчисло a22 = – 1. Т о гда по сле ш ага мето да Штиф еля, мы по лучим таблицу 3.21: В ы раж ен ие

50

– x1

– y2

– x3

1

y1

1

2

7

1

ti1 1

x2

–2

–1

–2

3

–

y3

1

–1

–1

3

–

y4

5

–2

–8

0

0

z

–1

1

7

–3

–

Т абл. 3.21. В дан н о м случае н ам сразу удало сь по лучить о по рн ы й план задачи, правда это тплан является вы ро ж ден н ы м. А н ало гичн ая ситуация во зн икла бы при вы бо ре вкачестве разреш аю щ его элемен та числа a42 = – 2. Д ан н о е о бсто ятель ство о бъясн яется тем, что симплексн ы е о тн о ш ен ия для элемен то в a22 и a42 о дин ако вы . Перехо дим ко вто ро муэтапуреш ен иязадачи – к по иску о птималь н о го план а. Н аличие о трицатель н о й о цен ки у сво бо дн о й перемен н о й x1 (см. табл. 3.21) го во рито то м, что со о тветствую щ ий о по рн ы й план н е является о птималь н ы м. Разреш аю щ ий элемен т н ео бхо димо вы брать вперво м сто лбце. Е сли вы брать разреш аю щ ий элемен т a11 ′ = 1 по прин ципу мин ималь н о го симплексн о го о тн о ш ен ия, то мы придем к таблице 3.22: – y1

– x2

– x3

1

x1

1

2

7

1

y2 y3

2 –1

3 –3

12 –8

5 2

y4

–5

– 12

– 43

–5

z

1

3

14

–2

Т абл. 3.22. М ы н е то ль ко н е улучш или ф ун кцию цели, н о даж е вы ш ли из о бласти план о взадачи. Сво бо дн ы й член вчетверто й стро ке стал о трицатель н ы м по то й ж е причин е, что и ран ь ш е (см. ф о рмулу 3.12). А имен н о из-за то го , что элемен т a41 ′ = 5, сто ящ ий н а пересечен ии разреш аю щ его сто лбца и стро ки, со держ ащ ей н улево й сво бо дн ы й член , по ло ж ителен . Н о друго го сто лбца, ко то ры й мо ж н о бы ло бы сделать разреш аю щ им, у н ас н ет. В тако й ситуации вкачестве разреш аю щ его элемен та вперво м сто лбце, во преки прин ципу мин ималь н о го симплексн о го о тн о ш ен ия, н ео бхо димо вы брать число a41 ′. При вы бо ре разреш аю щ его элемен та в стро ке, со держ ащ ей н улево й сво бо дн ы й член , по сле о дн о го ш ага мето да Штиф еля сто лбец сво бо дн ы х член о в н е измен ится (вклю чая зн ачен ие ф ун кции цели). Д о каж ите дан н о е утверж ден ие само сто ятель н о . Т аким о бразо м, н ам н е удало сь улучш ить (в план е увеличен ияф ун кции цели) о по рн ы й план .

51

О дн ако при тако м пересчете, измен яю тся зн аки всех элемен то в (за исклю чен ием разреш аю щ его элемен та) разреш аю щ его сто лбца, вклю чая зн ак о цен ки со о тветствую щ ей сво бо дн о й перемен н о й. М ы по лучаем н о вы е н або ры сво бо дн ы х и базисн ы х перемен н ы х. В се это даетн ам уверен н о сть в то м, что если н е про изо йдет"зацикливан ия", то через ко н ечн о е число ш аго вн ам удастся приступить к вы бо ру разреш аю щ его элемен та по прин ципумин ималь н о го симплексн о го о тн о ш ен ия. При это м мы приблизимсяк о птималь н о му план узадачи. И так, вы берем в качестве разреш аю щ его элемен та в таблице 3.21 число a41 ′ = 5. По сле пересчета мы прихо дим к таблице 3.23: – y4

– y2

– x3

1

y1

– 0,2

2,4

8,6

1

x2

0,4

– 1,8

– 5,2

3

y3

– 0,2

– 0,6

0,6

3

x1

0,2

– 0,4

– 1,6

0

z

0,2

0,6

5,4

–3

Т абл. 3.23. Т ак как о цен ки всех сво бо дн ы х перемен н ы х н ео трицатель н ы , то , следо ватель н о , мы по лучилио птималь н ы й о по рн ы й план задачи 3.11: x10 = 0, x20 = 3, x30 = 0, max z ( X ) = −3. Заметим, что дан н ы й н або р перемен н ы х (0; 3; 0; 1; 0; 3; 0) мы н аш ли ещ е ран ь ш е (см. таблицу 3.21). О дн ако то гда мы н е мо гли сделать вы во д о его о птималь н о сти. Д ля это го сво бо дн о й перемен н о й x 1 приш ло сь стать базисн о й. Сф о рмулируем о сн о вн ы е правила реш ен ия задачи в случае вы ро ж ден ия: 1. При о пределен ии разреш аю щ его сто лбца предпо чтен ие о тдается тем сто лбцам (среди во змо ж н ы х), в ко то ры е по падаю то трицатель н ы е элемен ты стро к, со держ ащ ихн улевы е сво бо дн ы е член ы . 2. Е сли в вы бран н о м разреш аю щ ем сто лбце все элемен ты , взяты е из стро к, со держ ащ их н улевы е сво бо дн ы е член ы , о трицатель н ы , то разреш аю щ ий элемен тв дан н о м сто лбце вы бираю тпо мин ималь н о му симплексн о му о тн о ш ен ию . 3. Е сли в вы бран н ы й разреш аю щ ий сто лбец по падаю т по ло ж итель н ы е элемен ты из стро к, со держ ащ их н улевы е сво бо дн ы е член ы , то разреш аю щ ий элемен тв дан н о м сто лбце вы бираю тиз числа этих по ло ж итель н ы хэлемен то в. Н а примере мы по казали, что дан н ы ми правилами н ео бхо димо по ль зо вать ся как н а этапе по иска перво н ачаль н о го о по рн о го план а, так и н а этапе н ахо ж ден ияо птималь н о го о по рн о го план а.

52

ГЛА В А IV РЕ ШЕ Н И Е О Б Щ Е Й ЗА Д А ЧИ ЛИ Н Е Й Н О ГО ПРО ГРА М М И РО В А Н И Я . Д В О Й СТ В Е Н Н О СТ Ь В ЛИ Н Е Й Н О М ПРО ГРА М М И РО В А Н И И § 1 С в ед ен ие об щ ей зад ач и лин ей н огопрограм м иров ан ия к осн ов н ой зад ач е О бщ аязадача лин ей н о го про граммиро ван ия (3.1) – (3.2) мо ж ето тличатьсяо тстан дартн о й (о сн о вн о й) задачи (3.3) – (3.4) н аличием уравн ен ий в системе о гран ичен ий и о тсутствием о гран ичен ий н а зн ак для н еко то ры х перемен н ы х. Е сли в каж до е из н еравен ств системы о гран ичен ий (3.2) ввести до по лн итель н ы е перемен н ы е y1,… y k так, как мы это делали при реш ен ии о сн о вн о й задачи, то систему о гран ичен ий задачи мо ж н о представить ввиде системы лин ей н ы хуравн ен ий. Т аким о бразо м, мы прихо дим к следую щ ей задаче: z(X) = c1 x1 + c2x2 +… + c jx j +… + cnxn → max,

(4.1)

y 1 = b1 + a11(– x1) + a12 (– x2 ) +… + a1 j(– xj) +… + a1 n(– xn), … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … y k = bk + ak1(– x1) + a k2(– x2) +… + akj(– xj) +… + akn(– xn), 0 = bk+1 + ak+1;1 (– x1) + ak+1;2 (– x2) +… + ak+1;j (– xj) +… + ak+1;n (– xn), … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 0 = bm + am1(– x1) + am2(– x2) +… + amj(– xj) +… + amn(– xn), x 1; x2; … xr; y 1; y2; … yk ≥ 0.

(4.2)

Реш ать задачу (4.1) – (4.2) мето до м Штиф еля мы по ка н е мо ж ем изза то го , что н е все иксы о гран ичен ы н а зн ак. Н о исправлять ситуацию мы все равн о будем с по мо щ ь ю мето да мо диф ициро ван н ы х ж о рдан о вы х исклю чен ий. Д ляэто го запиш ем н аш узадачу ввиде ж о рдан о во й таблицы :

y1 … yk 0 … 0 z

– x1

– x2

…

– xj

…

– xn

1

a 11

a12

…

a 1j

…

a1n

b1

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … ..… … … a k1

ak 2

… …

a kj

…

amj -cj

… …

a kn

…

amn -cn

ak+1;1 ak+1;2 ak+1;j ak+1;n … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … .. am1 -c1

am2 -c2

…

Т абл. 4.1.

…

… bk bk+1 … bm 0

53

Сво дя задачу к о сн о вн о й задаче лин ейн о го про граммиро ван ия, мы по путн о упро щ аем таблицу 4.1. Прео бразуем таблицу 4.1 следую щ им о бразо м. В о -первы х, переместим н ули из лево го заглавн о го сто лбца в верхн ю ю заглавн ую стро ку. При это м сто лбцы , в ко то ры е по падаю т н ули, мо ж н о исклю чать из таблицы . Н етсмы сла каж ды й раз пересчиты вать элемен ты дан н ы хсто лбцо в, если о н и все равн о будутумн о ж ать сян а н о ль . В о -вто ры х, н ео бхо димо переместить н ео гран ичен н ы е н а зн ак перемен н ы е xr+1,… , xn влевы й заглавн ы й сто лбец таблицы . По сле это го стро ки, ко то ры м будутсо о тветство вать перемен н ы е xr+1,… , xn, мо ж н о , предваритель н о запо мн ив, исклю чить из таблицы . Д ело в то м, что в силу н ео гран ичен н о сти н а зн ак мы мо ж ем н е следить за зн аками сво бо дн ы хчлен о в, со о тветствую щ их этим стро кам. Следо ватель н о , элемен ты этих стро к н е влияю т н а вы бо р разреш аю щ их элемен то в. Зн ачен ия перемен н ы х xr +1,… , xn н ахо дятпо сле то го , как будутн айден ы о сталь н ы е ко о рдин аты о птималь н о го о по рн о го план а. Е сли это во змо ж н о , то о ба перечислен н ы х вы ш е прео бразо ван ия про изво дят о дн о времен н о . Д ля это го н ео бхо димо , что бы разреш аю щ ие элемен ты , н ахо дящ иеся н а пересечен ии вы бран н ы х стро к и вы бран н ы х сто лбцо в, бы ли о тличн ы о т н уля. При это м н а каж до м ш аге ж о рдан о ва таблица умен ь ш аетсян а о дн у стро ку и н а о дин сто лбец. По сле то го как все н ули перен есен ы н аверх и все н ео гран ичен н ы е н а зн ак перемен н ы е о пущ ен ы вн из, ж о рдан о ва таблица будетсо о тветство вать н еко то ро й о сн о вн о й (стан дартн о й ) задаче лин ей н о го про граммиро ван ия. Реш ив дан н ую задачу и н айдя зн ачен ия запо мн ен н ы х перемен н ы е xr+1,… , xn, мы н ай дем реш ен ие исхо дн о й задачи (4.1) – (4.2). Пример 4.1. Свести о бщ ую задачу (4.3) к о сн о вн о й задаче лин ей н о го про граммиро ван ия. z(X) = 3x1 – x2 – 5x3 → max, 3x1 – 2x2 – 2x3 + 2x4 – x5 – 2 ≥ 0, 3x1 – 4x2 + 8x3 + 2x4 + 9x5 – 6 ≥ 0, – 4x1 + 4x2 – 4x3 – x4 – 4x5 + 4 = 0, 7x1 + 2x2 – x 3 + 2x4 + 8x5 = 0, x1 , x2, x 3 ≥ 0.

(4.3)

О бо зн ачаялевы е части перво го и вто ро го н еравен ствсо о тветствен н о через y1 и y2 , мы мо ж ем записать н аш у задачу в виде ж о рдан о во й таблицы :

54

– x1

– x2

– x3

– x4

– x5

1

y1

–3

2

2

–2

1

–2

y2

–3

4

–8

–2

–9

–6

0

4

–4

4

1

4

4

0

–7

–2

1

–2

–8

0

z

–2

–4

3

2

1

0

Т абл. 4.2. В ы берем вкачестве разреш аю щ его элемен та число a34 = 1. Т ем самы м мы как бы убиваем двух зай цев. С о дн о й сто ро н ы , мы по дн имаем н о ль из лево го заглавн о го сто лбца н аверх, а с друго й сто ро н ы , мы о пускаем вн из перемен н ую x4, н е имею щ ую о гран ичен ия н а зн ак. По сле о дн о го ш ага мето да мо диф ициро ван н ы х ж о рдан о вы хисклю чен ий мы прихо дим к таблице 4.3: – x1

– x2

– x3

0

– x5

1

y1

5

–6

10

2

9

6

y2

5

–4

0

2

–1

2

x4

4

–4

4

1

4

4

0

1

– 10

9

2

0

8

z

– 10

4

–5

–2

–7

–8

Т абл. 4.3. И з таблицы 4.3 мо ж н о исклю чить четверты й сто лбец, со держ ащ ий н о ль н аверху. А такж е мо ж н о исклю чить , предваритель н о запо мн ив, треть ю стро ку x4 = – 4x1 + 4x2 – 4x3 – 4x5 + 4. К со ж ален ию , мы н е смо ж ем так ж е успеш н о прео бразо вать таблицу 4.3, как мы это про делали с таблицей 4.2. Это му меш аетн о ль , сто ящ ий н а пересечен ии предпо следн ей стро ки и предпо следн его сто лбца таблицы 4.3. По это му перен о сить н о ль из лево го заглавн о го сто лбца таблицы н аверх и о пускать вн из перемен н ую x5 н ам придетсяпо следо ватель н о . В ы берем вкачестве разреш аю щ его элемен та a41 ′= 1 и сделаем ещ е о дин ш аг. М ы прихо дим к таблице 4.4: 0

– x2

– x3

– x5

1

y1

–5

44

– 35

9

– 34

y2

–5

46

– 45

–1

– 38

x1

1

– 10

9

0

8

z

10

– 96

85

–7

72

Т абл. 4.4.

55

По сле дан н о го ш ага мы мо ж ем исклю чить из ж о рдан о во й таблицы то ль ко первы й сто лбец. В се стро ки по ка со о тветствую то гран ичен н ы м н а зн ак перемен н ы м. Со верш им ещ е о дин ш аг мето да мо диф ициро ван н ы х ж о рдан о вы х исклю чен ий , вы брав в качестве разреш аю щ его элемен та число (-1) из предпо следн его сто лбца. При это м по следн яя н ео гран ичен н ая н а зн ак перемен н ая x5 о пускаетсявн из. М ы прихо дим к таблице 4.5: – x2

– x3

– y2

1

– x2

– x3

– y2

1

y1

458

– 440

9

– 376

y1

458

– 440

9

– 376

x5

– 46

45

–1

38

x1

– 10

9

0

8

x1

– 10

9

0

8

z

– 418

400

–7

338

z

– 418

400

–7

338

Т абл. 4.6.

Т абл. 4.5. Запо мн им и исклю чим из таблицы 4.5 вто рую стро ку x 5 = 46x2 – 45x3 + y2 +38. М ы по лучили таблицу 4.6, ко то рая со о тветствуетн еко то ро й о сн о вн о й задаче лин ейн о го про граммиро ван ия. Что и требо вало сь . Читателям предлагается по сле изучен ияследую щ его примера 4.2 само сто ятель н о до вести реш ен ие задачи, со о тветствую щ ей таблице 4.6, до ко н ца.

§ 2 Решен ие об щ ей зад ач и лин ей н огопрограм м иров ан ия При реш ен ии о бщ ей задачи лин ейн о го про граммиро ван ия мето до м Штиф елямы до лж н ы про делать следую щ ие ш аги: 1) переместить н ули из право го заглавн о го сто лбца, в верхн ю ю заглавн ую стро ку (при это м сто лбец, в верхн ю ю часть ко то ро го по падает н о ль , вы черкивается); 2) переместить все н ео гран ичен н ы е н а зн ак перемен н ы е из верхн ей заглавн о й стро ки, в правы й заглавн ы й сто лбец (при это м стро ка, в ко то рую по падаеттакаяперемен н ая, запо мин ается, а затем вы черкивается); 3) до биться то го , что бы сво бо дн ы е член ы , распо ло ж ен н ы е в по следн ем сто лбце таблицы , бы ли н ео трицатель н ы (вы йти в о бласть план о в) или до казать , что задача н е имеетреш ен ияиз-за о тсутствияплан о в; 4) до биться то го , что бы о цен ки сво бо дн ы х перемен н ы х, распо ло ж ен н ы е в н иж н ей стро ке таблицы , стали н ео трицатель н ы ми (н айти о птималь н ы й о по рн ы й план ) или до казать , что задача н е имеетреш ен ияиз-за н ео гран ичен н о сти ф ун кции цели. Причем первы й и вто ро й этапы ж елатель н о про делать о дн о времен н о.

56

Пример 4.2. Н айти максимум ф ун кции цели z(X) = - 8x1 + x2 + 6x3 + x4 + 7x5 → max,

(4.4)

при усло вии, что – 2x1 + x2 + 2x3 - x 4 + x5 ≤ – 4, x1 + 4x2 + x3 – 2x4 – 2x5 = – 8, – 3x1 – x2 + 2x3 + x 4 + 3x 5 ≤ – 2, x 1, x3 , x4 , x5 ≥ 0.

(4.5)

Реш ен ие. Перепиш ем системуо гран ичен ий (4.5) ввиде: 2x1 – x2 – 2x3 + x4 – x5 – 4 = y1 , – x1 – 4x2 – x3 + 2x4 + 2x5 – 8 = 0, 3x1 + x2 – 2x3 – x4 – 3x5 – 2 = y2 , x 1, x3 , x4 , x5, y1, y 2 ≥ 0.

(4.6)

Реш им дан н ую задачумето до м Штиф еля: y1 0 y2 z

– x 1 – x 2 – x3 – x4 – x5 –2 1 2 –1 1 1 4 1 – 2 –2 –3 –1 2 1 3 8 –1 –6 –1 –7 Т абл. 4.7.

1 –4 –8 –2 0

y1 x5 y2 z

– x1 – x2 – x3 – 3/2 3 5/2 – 1/2 – 2 – 1/2 7/2 – 3/2 5 9/2 – 15 – 19/2 Т абл. 4.8.

– x4 –2 1 –2 6

1 –8 4 – 14 28

Н а перво м ш аге (при перехо де о ттабл. 4.7 к табл. 4.8) сво бо дн ая перемен н ая x5 мен яется н а базисн ую перемен н ую 0. При по падан ии н улян а верхсо о тветствую щ ий сто лбецмо ж н о исклю чить из таблицы . Н а вто ро м ш аге (при перехо де о ттабл. 4.8 к табл. 4.9) сво бо дн ая перемен н ая x2 мен яется н а базисн ую перемен н ую y2 . По сле это го стро ку, со о тветствую щ ую перемен н о й x2 , мо ж н о , предваритель н о запо мн ив, исклю чить из таблицы 4.9. Т аким о бразо м, мы прихо дим к таблице 4.10: y1 x5 x2 z

– x 1 – y2 – x3 – x4 1 – 0,6 – 0,6 0,4 – 0,8 0,4 – 1,1 0,4 0,9 0,2 – 1,6 – 0,3 0,2 0,7 – 0,4 – 2,8 0 3 1 0 – 14 Т абл. 4.9.

y1 x5 z

– x1 – y 2 – x3 – x4 1 – 0,6 – 0,6 0,4 – 0,8 0,4 –1,1 0,4 0,9 0,2 – 1,6 0 3 1 0 – 14 Т абл. 4.10.

Н а дан н о м этапе заверш ается упро щ ен ие задачи. Заметим, что упро щ ен ие задачи мо ж н о бы ло сделать ин аче. Н а перво м ж е ш аге мо ж н о бы ло базисн ую перемен н ую 0 замен ить н а сво бо дн ую перемен н ую x2 . Т ем самы м, мы мо гли сэко н о мить о дин ш аг. Д о сих по р мы н е следили за зн ачен иями ф ун кции цели и за о цен ками сво бо дн ы хи базисн ы хперемен н ы х. Н а вто ро м этапе о братим вн иман ие н а о цен ки базисн ы хперемен н ы х y1 и x5, то есть н а числа 0,4 и – 1,6 из по следн его сто лбца таблицы 4. Среди этих чисел есть о трицатель н о е

57

(– 1,6). Про сматривая другие элемен ты стро ки, со о тветствую щ ей базисн о й перемен н о й x 5, н ахо дим среди н их ещ е о дн о о трицатель н о е – 1.1 (если бы тако го о трицатель н о го числа н е н аш ло сь , то задача н е имела бы реш ен ия из-за о тсутствия план о в). В ы числим мин ималь н о е симплексн о е о тн о ш ен ие для перво го сто лбца, в ко то ро м н ахо дится о трицатель н о е число – 1,1. В дан н о м случае о н о , о чевидн о , равн о (– 1,6):(– 1,1) = 16/11, и разреш аю щ им элемен то м является число – 1,1. По сле о чередн о го пересчета прихо дим к таблице: y1 x1 z

– x5 – 6/11 – 10/11 0

– y2 – x3 – 9/11 – 1/11 – 4/11 – 9/11 3 1 Т абл. 4.11.

– x4 – 1/11 – 2/11 0

1 14/11 16/11 – 14

Т еперь о бе о цен ки базисн ы х перемен н ы х по ло ж итель н ы и, следо ватель н о , мы вы ш ли в о бласть план о в. Т ак как все о цен ки сво бо дн ы х перемен н ы х н ео трицатель н ы , то дан н ы й план является о птималь н ы м. Причем о н является един ствен н ы м о птималь н ы м план о м дан н о й задачи, н есмо тря н а н аличие н улевы х о цен о к. Д ействитель н о , при по пы тке замен ить лю бую из сво бо дн ы х перемен н ы х x5 или x4 , имею щ ую н улевую о цен ку н а лю бую из базисн ы х перемен н ы х, н ам приш ло сь бы вкачестве разреш аю щ его элемен та вы брать о трицатель н о е число , и тем самы м вы йти из о бласти план о в задачи. Т аким о бразо м, о птималь н ы м план о м задачи (4.6) являетсяплан с ко мпо н ен тами: 16 26  16  x1 = , x 2 = −0,3 ⋅  −  + 0 + 0 + 0 − 2,8 = − , x3 = 0, x4 = 0, x5 = 0. 11 11  11  26  16  Т о есть, X о пт =  , − , 0, 0, 0  . Приэто м max Z X = −14 . 11  11 

( )

§ 3 О пред елен ие д в ой ств ен н ой зад ач и к об щ ей зад ач е лин ей н огопрограмм иров ан ия В ерн емсяк о бщ ей задаче лин ейн о го про граммиро ван ия: f(X) = c1x1 + c2 x2 + … + cn xn → max, a 11x 1 + a12 x2 + a 13x3 + … + a1n xn ≤ b1, … … … … … … … … … … … … … … … … a k1x1 + ak2x2 + ak3x3 + … + akn xn ≤ bk, a k+1;1 x 1 + ak+1;2 x2 + … + ak+1;n xn = bk+1, … … … … … … … … … … … … … … … … . a m1x1 + am2x 2 + am3 x3 + … + amnxn = bm, x1 , x2, x 3, … , xs ≥ 0.

(4.7)

(4.8)

58

Без огран ичен ияо бщ н о сти мы будем как и ран ь ш е предпо лагать, что исхо дн ая задача является задачей н а максимум. Первы е k о гран ичен ий являю тся н еравен ствами вида ≤, о сталь н ы е n – k о гран ичен ий являю тся равен ствами, и первы е s перемен н ы хо гран ичен ы н а зн ак. Д во йствен н о й задачей к задаче (4.7) – (4.8) н азы ваетсязадача ϕ(Y) = b1 y1 + b2y2 + … + b my m → min,

(4.9)

a11 y1 + a21y2 + a31 y3 + … + a m1 ym ≥ c 1, … … … … … … … … … … … … … … … … a1s x1 + a2sy2 + a3sy3 + … + amsym ≥ c s, a1;s+1 y1 + a2; s+1 y2 + … + am; s+1 ym = cs+1, … … … … … … … … … … … … … … … … . a1n x1 + a2ny2 + a3ny3 + … + amnym = cn ,

(4.10)

y1 , y2, y 3, … , yk ≥ 0. К о личество о гран ичен ий дво йствен н о й задачи со впадает с число м перемен н ы х исхо дн о й задачи, а число перемен н ы х дво йствен н о й задачи со впадаетс ко личество м о гран ичен ий исхо дн о й задачи. Т ем самы м устан авливается со о тветствие меж ду о гран ичен иями и перемен н ы ми взаимн о дво йствен н ы х задач (н еско ль ко по здн ее мы до каж ем, что задача, дво йствен н аяк дво йствен н о й задаче, со впадаетс исхо дн о й). Д во йствен н аязадача (4.9) – (4.10) стро итсяпо следую щ ему правилу: 1. Пусть исхо дн аязадача является задачей н а максимум с о гран ичен иями, являю щ имися равен ствами, или н еравен ствами вида ≤. Т о гда дво йствен н ая задача является задачей н а мин имум с о гран ичен иями, являю щ имисяравен ствами, или н еравен ствами вида ≥. 2. К о эф ф ициен ты ф ун кции цели (4.9) являю тся правы ми частями системы о гран ичен ий (4.8) исхо дн о й задачи. 3. Правы е части системы о гран ичен ий (4.10) дво йствен н о й задачи со впадаю тс ко эф ф ициен тами ф ун кции цели (4.7) исхо дн о й задачи. 4. М атрица системы о гран ичен ий (4.10) является тран спо н иро ван н о й матрицей системы (4.8). 5. Т е о гран ичен ия дво йствен н о й задачи, ко то ры е со ответствую то гран ичен н ы м н а зн ак перемен н ы м исхо дн о й задачи, имею твид н еравен ств вида ≥. О сталь н ы е о гран ичен ия дво йствен н о й задачи являю тся равен ствами. 6. Т е перемен н ы е дво йствен н о й задачи, ко то ры е со ответствую то гран ичен иям исхо дн о й задачи вида ≤, о гран ичен ы н а зн ак. О сталь н ы е перемен н ы е дво йствен н о й задачио гран ичен ий н а зн ак н е имею т. Т ео рема 5.1. Задача, дво йствен н аяк задаче (4.9) – (4.10), со впадает с исхо дн о й задачей (4.7) – (4.8). Д о казатель ство . Переф о рмулируем задачу (4.9) – (4.10), превратив ее в задачу н а максимум с о гран ичен иями, являю щ имисяравен ствами или

59

н еравен ствами вида ≤. Д ляэто го умн о ж им все о гран ичен ия (4.10) н а (– 1), и рассмо трим н о вую ф ун кцию цели ϕ1 (Y ) = −ϕ (Y ) . При это м max ϕ1 (Y ) = − min ϕ (Y ) . Т аким о бразо м, мы прихо дим к следую щ ей задаче: ϕ1 (Y) = – b1 y1 – b2y2 – … – bmym → max, – a11 y1 – a21y2 – a31y3 – … – am1 ym ≥ – c1 , … … … … … … … … … … … … … … … … … – a1s x1 – a2sy2 – a3sy3 – … – amsym ≥ – cs , – a1;s+1 y1 – a2; s+1 y2 – … – am; s+1 ym = – cs+1 , … … … … … … … … … … … … … … … … … . – a1nx1 – a2ny2 – a3ny3 – … – amnym = – cn,

(4.11)

(4.12)

y1 , y2, y 3, … , yk ≥ 0. Со ставим дво й ствен н ую задачу к задаче (4.11) – (4.12), о бозн ачив дво йствен н ы е перемен н ы е через xi, а ф ун кцию цели через f1(X): f1 (X) = – c1 x1 – c2x2 – … – cnxn → min, – a11 x1 – a12x2 – a13 x3 – … – a1nxn ≤ – b1, … … … … … … … … … … … … … .… .… … … – ak1 x1 – ak2 x2 – ak3 x3 – … – aknxn ≤ – bk, – ak+1;1 x1 – ak+1;2 x 2 – … – ak+1;n xn = – bk+1, … … … … … … … … … … … … .… … … … … . – am1 x1 – am2x2 – am3 x3 – … – amnxn = – bm, x1 , x2, x 3, … , xs ≥ 0.

(4.13)

(4.14)

min f1 ( X ) = − max (− f1 ( X )) = − max f ( X ) . Следо ватель н о , О чевидн о , что умн о ж аяф ун кцию цели и о гран ичен иязадачи (4.13) – (4.14) н а (– 1), мы по лучаем исхо дн ую задачу (4.7) – (4.8). Ч.т.д. При реш ен ии различн ы х эко н о мических задач мы зачастую сталкиваемсяс н ео бхо димо сть ю реш ать сразудве взаимн о -дво йствен н ы е задачи. Т ак, взаимн о дво йствен н ы ми являю тсязадачи о б испо ль зо ван ии сы рь яили его про даж и [3]. В теории игр взаимн о дво й ствен н ы е задачи реш аю тко н курирую щ ие сто ро н ы . О казы вается, реш ен ие задачи, дво йствен н о й к исхо дн о й, мо ж н о искать мето до м Штиф еля параллель н о с реш ен ием о сн о вн о й задачи. При это м испо ль зую тся о дн и и те ж е ж о рдан о вы таблицы . Н ео бхо димо то ль ко в ж о рдан о ву таблицу ввести о дин до по лн итель н ы й заглавн ы й сто лбец и о дн удо по лн итель н ую заглавн ую стро ку. При о дн о м ш аге мето да Штиф еля о сн о вн ая задача прео бразуется с по мо щ ь ю мо диф ициро ван н ы х ж о рдан о вы х исклю чен ий . При это м дво йствен н ая задача прео бразуется мето до м о бы кн о вен н ы х ж о рдан о вы х исклю чен ий. По дро бн ее о тако м мето де реш ен иявзаимн о -дво йствен н ы хзадач мо ж н о про читать в [2].

60

В частн о сти, таким спо со бо м до казан ы следую щ ие тео ремы дво йствен н о сти(мы ихприво дим без до казатель ства): Т ео рема 5.2. Е сли о дн а из дво йствен н ы х задач имеето птималь н о е реш ен ие, то и другая его имеет, причем экстремаль н ы е зн ачен ияихф ун кций целисо впадаю т: max f ( X ) = min ϕ (Y ) . Е сли ж е в о дн о й задаче ф ун кция цели н е о гран ичен а, то дво йствен н ая ей задача н е имеетплан о в. Т ео рема 5.3 (тео рема о равн о весии). Е сли о птималь н о е реш ен ие задачи о бращ аеткако е-то ее о гран ичен ие в стро го е н еравен ство , то в о птималь н о м план е дво йствен н о й задачи со о тветствую щ ая перемен н ая равн а н улю . Е сли ж е какая-то ко мпо н ен та о птималь н о го план а по ло ж итель н а, то со о тветствую щ ее о гран ичен ие дво йствен н о й задачи ее о птималь н ы м план о м о бращ аетсявстро го е н еравен ство .

§ 4 Решен ие д в ой ств ен н ой зад ач и В дан н о м параграф е мы рассмо трим пример реш ен ия дво йствен н о й задачи, о сн о ван н ы й н а тео реме о равн о весии(тео рема 5.3). Пример 4.2. 1. Реш ить о бщ ую задачу лин ей н о го про граммиро ван ия. 2. Со ставить и реш ить дво йствен н ую задачу, испо ль зуятео рему о равн о весии. z(X) = – 5x1 + 3x2 + 5x3 – 7x4 → max,

(4.15)

2x1 + x2 + x3 + 3x 4 ≥ – 3, 2x1 + 3x2 + 4x 3 + 2x 4 ≤ 3, – x1 + 2x2 + 2x 3 – x4 = 4, x 2, x3 , x4 ≥ 0.

(4.16)

Реш ен ие. Д ля удо бства со ставлен ия дво йствен н о й задачи и реш ен ия о сн о вн о й задачи до бь емся то го , что бы все о гран ичен ия задачи н а максимум бы ли равен ствами или н еравен ствами вида ≤ . Д ля это го умн о ж им перво е н еравен ство системы (4.16) н а – 1. М ы прихо дим к задаче: z(X) = – 5x1 + 3x2 + 5x3 – 7x4 → max, – 2x1 – x2 – x3 – 3x 4 ≤ 3, 2x1 + 3x2 + 4x3 + 2x4 ≤ 3, – x1 + 2x2 + 2x3 – x4 = 4, x 2, x3 , x4 ≥ 0.

(4.17)

(4.18)

1. Д ля реш ен ия задачи (4.17) – (4.18) мето до м Штиф еля введем в перво е и во вто ро е о гран ичен ия системы (4.18) до баво чн ы е перемен н ы е y 1≥ 0 и y2 ≥ 0.

61

y 1 = 2x1 + x 2 + x3 + 3x4 + 3, y 2 = – 2x1 – 3x2 – 4x3 – 2x4 + 3, 0 = x1 – 2x2 – 2x3 + x4 + 4, y1 , y2, x 2, x3 , x4 ≥ 0.

(4.19)

Т аким о бразо м, задачу (4.17), (4.19) мо ж н о записать в виде ж о рдан о во й таблицы 4.12:

y1 y2 0 z

– x1 –2 2 –1 5

– x2 – x3 –1 –1 3 4 2 2 –3 –5 Т абл. 4.12.

– x4 –3 2 –1 7

1 3 3 4 0

y1 y2 x1 z

– x2 – x3 – x 4 –5 –5 –1 7 8 0 –2 –2 1 7 5 2 Т абл. 4.13.

1 –5 11 –4 20

Заметим, что числа, со ставляю щ ие первы е три стро ки таблицы 4.12, со впадаю т с числами, о бразую щ ими о сн о вн ую матрицу системы (4.18). По следн яя стро ка таблицы со сто ит из ко эф ф ициен то в ф ун кции цели (4.18), взяты х с про тиво по ло ж н ы м зн ако м. Т аким о бразо м, перво н ачаль н ая ж о рдан о ва таблица мо ла бы ть со ставлен а сразу из усло вия исхо дн о й задачи (4.17) – (4.18). Н а перво м ш аге мето да Штиф еля вы берем в качестве разреш аю щ его элемен та элемен т а31 = – 1. При это м н ео гран ичен н ая н а зн ак сво бо дн ая перемен н ая x1 мен яетсяс базисн о й перемен н о й 0. По сле перво го ш ага из таблицы мо ж н о вы черкн уть сто лбец, верхн ий заглавн ы й элемен тко то рого равен н улю (первы й сто лбец). Стро ку, со о тветствую щ ую н ео гран ичен н о й н а зн ак перемен н о й x1 , мо ж н о , предваритель н о запо мн ив, исклю чить из таблицы . По сле перво го ш ага мы прихо дим к таблице 4.13. В крайн ем право м сто лбце таблицы 4.13 имеется о трицатель н о е число а14 = – 5. Следо ватель н о , базисн о е реш ен ие, со о тветствую щ ее дан н о й таблице, н е является о по рн ы м план о м задачи (4.17), (4.19). Д лято го что бы по пы татьсяво йти в о бласть план о в задачи, н уж н о н айти в перво й стро ке таблицы 4.13 о трицатель н о е число (н апример, а13 = – 1) и вы брать разреш аю щ ий элемен тв сто лбце, со держ ащ ем дан н ы й о трицатель н ы й элемен т(в дан н о м случае – это третий сто лбец). Разреш аю щ ий элемен т в треть ем сто лбце вы бираем по прин ципу мин ималь н о го симплексн о го о тн о ш ен ия. В дан н о м случае мин ималь н о е симплексн о е о тн о ш ен ие со о тветствуеткак раз элемен ту а13 = – 1. Д ело в то м, для вто ро го о ставш его ся элемен та а23 = 0 симплексн о е о тн о ш ен ие во о бщ е н е о пределен о . В ы бираявтаблице 4.13 вкачестве разреш аю щ его элемен та а13 = – 1, по сле о дн о го ш ага мето да Штиф еля, мы прихо дим к таблице 4.14:

62

– x2 x4 y2 z

5 7 –3

– x3

– y1

1

– x2

t i2 1 11/8

–1 5 5 8 0 11 –5 2 10 Т абл. 4.14.

x3 y2 z

1 –1 2

– x4

– y1

1

1/5 – 1/5 – 8/5 8/5 1 3 Т абл. 4.15.

1 3 15

И з таблицы 4.14 видн о , что со о тветствую щ ее ей базисн о е реш ен ие уж е является о по рн ы м план о м задачи (т.к. сво бо дн ы е член ы b1 = 5 и b 2 = 11 н е являю тсяо трицатель н ы ми числами). Н о н аличие о трицатель н ы х о цен о к сво бо дн ы х перемен н ы х го во рито то м, что дан н ы й о по рн ы й план н е являетсяо птималь н ы м. Сделаем ещ е о дин ш аг мето да Штиф еля. В ы берем для по иска разреш аю щ его элемен та вто ро й сто лбец, со о тветствую щ ий н аимен ь ш ей о трицатель н о й о цен ке – 5. Д ля чисел а12 = 5 и а22 = 8 вы числим симплексн ы е о тн о ш ен ия и запиш ем ихвправы й до по лн итель н ы й сто лбец таблицы 4.14: t12 =

b1 5 = = 1, a12 5

t 22 =

b2 11 = . a22 8

М ин ималь н о е симплексн о е о тн о ш ен ие прихо дится н а первую стро ку. По это му в качестве разреш аю щ его элемен та н уж н о вы брать элемен т а12 = 5. По сле пересчета мы прихо дим к таблице 4.15. В се о цен ки сво бо дн ы х перемен н ы х в таблице 4.15 стро го бо ль ш е н уля. Следо ватель н о , мы по лучили о птималь н ы й о по рн ы й план , и это тплан является един ствен н ы м. Н еко то ры е ко мпо н ен ты о птималь н о го план а X 0 = x10 ; x 20 ; x30 ; x40 и до баво чн ы е перемен н ы е y1 и y2 н ахо дятсяиз таблицы 4.15. x20 = x40 = y1 = 0 как сво бо дн ы е перемен н ы е.

(

)

x30 = b1 = 1, y 2 = b2 = 3 – зн ачен иябазисн ы хперемен н ы х. При это м максимум ф ун кции цели н ахо дится в право м н иж н ем углу таблицы :

( )

max z( X ) = z X 0 = 15 . Зн ачен ие перемен н о й стро ки таблицы 4.13:

x10

н айдем из запо мн ен н о й ран ее третьей

x10 = 2 x20 + 2 x30 − x 40 − 4 = 2 − 4 = −2 . Т аким о бразо м, мы н аш ли реш ен ие исхо дн о й задачи (4.15) – (4.16): X 0 = (− 2; 0; 1; 0 ),

( )

z X 0 = 15 .

2. Со ставим задачу, дво йствен н ую к исхо дн о й задаче (4.17) – (4.18). М ы по лучим следую щ ую задачун а мин имум:

63

g(Y) = 3y1 + 3y2 + 4y3 → min,

(4.20)

– 2y1 + 2y2 – y3 = – 5, – y1 + 3y2 + 2y3 ≥ 3, – y1 + 4y2 + 2y3 ≥ 5, – 3y1 + 2y2 – y3 ≥ – 7, y1 , y2 ≥ 0.

(4.21)

(

)

О бо зн ачим через Y 0 = y10 ; y 20 ; y30 – о птималь н ы й о по рн ы й план дво йствен н о й задачи (4.20) – (4.21) во спо ль зуемся тео ремо й о равн о весии. 1. По дставим ко о рдин аты о птималь н о го о по рн о го план а X 0 в системуо гран ичен ий (4.18): 4 − 1 = 3,  − 4 + 4 = 0 < 3, 2 + 2 = 4.  Т ак как вто ро е о гран ичен ие превратило сь в стро го е н еравен ство , то со о тветствую щ ая ко мпо н ен та о птималь н о го о по рн о го план а Y 0 дво йствен н о й задачи равн а н улю ( y 20 = 0 ). О стало сь н айти ко мпо н ен ты y10 и y30 . Д ляэто го во спо ль зуемсявто ро й частью тео ремы о равн о весии. 2. Т ак как треть я ко мпо н ен та о птималь н о го о по рн о го план а X 0 стро го бо ль ш е н уля ( x30 = 1 ), то со ответствую щ ее (третье) о гран ичен ие дво йствен н о й задачи, при по дстан о вке в н его ко мпо н ен т о птималь н о го план а Y 0 , о братитсяв равен ство . Д ан н о е равен ство вместе с первы м о гран ичен ием (ко то ро е само по себе являетсяравен ство м) даю тн ам систему лин ей н ы хуравн ен ий длян ахо ж ден ия y10 и y30 : − 2 y10 + 2 y 20 − y30 = −5, (4.22)   − y10 + 4 y 20 + 2 y30 = 5. По дставляя всистему (4.22) уж е н айден н о е зн ачен ие y20 = 0 , по лучим систему двухуравн ен ий с двумян еизвестн ы ми: − 2 y10 − y30 = −5, (4.23)   − y10 + 2 y30 = 5. Реш ен ием дан н о й системы является y10 = 1, y30 = 3 . Т аким о бразо м, мы н аш ли о птималь н ы й о по рн ы й план дво йствен н о й задачи: 0 Y = ( 1; 0; 3 ) . При это м экстремаль н ы е зн ачен ия ф ун кций цели взаимн о дво йствен н ы хзадач со впадаю т: min g (Y ) = g (Y0 ) = 3 ⋅1 + 3 ⋅ 0 + 4 ⋅ 3 = 3 + 12 = 15 = z ( X 0 ) = max z ( X ) .

64

ПРИ ЛО Ж Е Н И Я Кон т рольн ое зад ан ие № 1. В ы числить ран г матрицы . − 3 − 2 − 4 − 3  1 3 1  4 1.  5 − 1 1 2  0 −2 6 − 6  4 0 2 4 

−2

1  1 − 2 −3 2.  −2 9 −2 3 

1 − 3 −1 5 4  2   3 4 −2 1  −1 −1 2.  2 1 −2 −2 5 2 .   8 3 − 7 − 7 − 3 − 2  −1 0 −9 −8 1 − 1  

1 − 3 −1 4 5  2   3 3 3 2  2 −1 3.  2 1 −2 −2 2 3 .   8 2 − 5 − 7  0 −2 − 8 0 − 9 − 5 − 7 − 5  

3 5 −1 − 2 4  2   3 3  1 −2 −3 2 4.  − 3 1 3 1 1 − 2 .   1 − 2 −1 2 3  3  1 2 3 4 8 9  

3 2 − 2 − 3 − 2 −1   2 3 4 − 4 − 2  1 9 1 − 7 − 3 − 4 . 5.  7   2 2 2 − 3 − 4 −1 − 3 − 4 −1 2 2 2  

2 3 −2  1 −2  1 − 3 −1 5  2 1 −2 −2 5 6.  2  2 7 −7  −1 − 5 − 5 0 −1 4 −8 

1  4 −2 −4 −3 −2   1 3 1 1 − 2 − 3 1 −3 4 1 7 . 7.  3   1 1 2 1 1  −1  6 − 4 − 6 − 7 − 4 −1  

4 4 3 1  4 −2   1 −1 3 2  2 −3 2 2 5 − 4 − 2 . 8.  1   7 −7 −6 0 − 3 − 9 − 7 2 − 8 − 9 − 7 − 1  

3 4 4 − 2  1 −2   1 3 −1 1 − 2 − 3 9.  3 − 2 − 2 5 2 3 .    7 −1 − 6 − 6 − 7 −1 − 6 6 −5 −9 −8 5  

3 −2 3 5 −1  1   3 −1 − 4 2 − 2 − 3 10.  7 6 −9 −4 5 − 7.   0 2 4 2 2 − 2  −1 3 0 7 7 1  

1  5 2 .  5 4 

65

3 3 3 − 5  2 −1   − − − 4 1 5 2 2 3    11. 2 4 −3 5 2 2 .   2 2 −3 5  3 −4  2 8 − 1 − 2 − 7 − 2  

2 1 −1 − 2 3 − 2   − 1 1 2 4 4 3    12. 2 1 −1 3 2 3.   2 1 −1 0 − 8 − 9  − 3 7 − 9 − 7 − 9 − 7  

− 2  − 4 8 .  − 6 − 2 

3 5 4 3  1 −2   3 4 3 2  2 −1 14.  − 4 1 −5 −2 2 3.   4 −3 5 2 2 − 2  6 4 9 9 − 5 − 7  

2 −3 3  5 −2 −3   1 3 −3 1 − 2 − 3 1 −6 9 4 1. 15.  0   0 −2 −4 2  4 −2  9 −4 −3 0 −7 5  

8 0 1 1  3 −3   6 − 3 −1 2  −1 −1 5 −5 1 2 . 16.  − 2 − 1   5 9 − 4  7 −3 −4  7 −2 5 9 − 4 − 1  

2 −1 2 1  3 −3   3 3 3 − 5 − 3 −1 1 −2 −2 −4 3. 17.  5   2 2 1 1 − 4 − 2  9 −7 5 −1 0 4  

2 −3 3  1 −2 −3   1 2 −3 2  2 −1 1 3 1 1 − 2 . 18.  − 3   1 − 2 −1 2 3  5  −1 − 3 1 − 6 − 5 − 6  

3 2 4 1  2 −3   − 1 − 1 2 2 2 2    19. 9 − 1 − 4 − 6 − 2 − 8  .   7 6 8 5  0 −5 − 4 1 1 2 0 3  

3 3 3 − 5 − 3 −1   5 1 − 2 − 2 − 4 3    20. − 4 − 2 2 2 1 1 .   1 1 −4 2  3 −1  2 4 −7 −7 1 4  

2 3 1 3  3  1 −1  5 −1 −1 13.  − 9 7 9 −1 9  1 2 2 2  8  2 −3 −4 0 −4 

66

Кон т рольн ое зад ан ие № 2. Н айти о бщ ее реш ен ие системы лин ейн ы хуравн ен ий .  x1 + 2 x 2 − 4 x3 − x 4 + 4 x5 = −8,  = 4, 1. 2 x1 + 3 x2 − x3 + 5 x 4  x − 2 x + 4 x + 7 x + 8 x = 12.  1 2 3 4 5

 x1 − 2 x2 − 3 x3 − 6 x 4 − x 5 = 8,  2. 2 x1 − x 2 + 4 x3 − 3 x 4 − 3x5 = 1, 3 x − 2 x + 7 x − 4 x + 5 x = 0.  1 2 3 4 5

 x1 − 2 x 2 + x 3 + 5 x 4 − 5 x5 = 8,  3.  2 x1 − x 2 + 3 x3 + 4 x 4 − 9 x5 = 17, 4 x + 2 x − 5 x + 6 x5 = 23.  1 2 3

 x1 + 3x 2 − x3 + 10 x 4 + 2 x5 = 6,  4.  2 x1 − x2 + 5 x3 − x 4 + 4 x5 = 5, − 2 x + 2 x − 6 x + 4 x + 3x = −4. 1 2 3 4 5 

 x1 + 3x 2 + 5 x3 − x 4 + 12 x5 = 2,  5.  2 x1 + x 2 + 3 x4 + 9 x5 = 4,  3x − x − 5 x + 7 x + 6 x = 6.  1 2 3 4 5

 x1 − 3x 2 + x3 − x 4 − x5 = 5,  6. 3x1 − 9 x2 − 2 x3 + 7 x 4 − 8 x5 = 5, 2 x − 6 x − 3 x + 8 x − 7 x = 0.  1 2 3 4 5

 x1 + x 2 + 2 x 3 + 5 x4 − 3 x5 = 5,  7. 3 x1 − 2 x 2 + x3 + 10 x4 − 9 x5 = 10,  2 x − x + 3 x + 9 x − 8 x = 11.  1 2 3 4 5

 x1 + 3x 2 − 5 x3 − 5 x4 − 2 x5 = −5,  8.  3 x1 − x 2 + 5 x3 − 5 x 4 + 4 x5 = 5,  3 x + 4 x − 5 x − 10 x − x = −5.  1 2 3 4 5

 x1 + 2 x 2 − x3 − 3 x 4 + 3 x5 = 11,  9. 2 x1 − x 2 + 3 x3 + 4 x4 − 3 x5 = 12,  x + 3x + x − 5 x = 13.  1 2 3 4

 x1 − x 2 + 3 x3 − 2 x 4 + 3 x5 = −1,  10. 3 x1 − 3x 2 + 5 x3 − 6 x4 + 2 x5 = −3,  2 x + x + 3x + 5 x − x = 7.  1 2 3 4 5

 x1 + 2 x2 + 2 x3 − x4 + 3 x5 = −7,  x1 − 2 x2 − 5 x3 + 4 x4 − 3 x5 = −3,   11.  2 x1 + 3 x2 + 4 x3 + x4 + 12 x5 = 8, 12.  4 x1 + 8 x2 − 2 x3 + x4 + 12 x5 = 12,  2 x + 4 x − x + x + 5 x = 8.  3x − x − 5 x + 7 x + 6 x = 1 .  1 2 3 4 5  1 2 3 4 5  x1 − x 2 + 3x 3 − x 4 + 2 x5 = 4,  x1 + x2 + x3 + x 4 + 2 x5 = 13,   13.  4 x1 − x 2 + 3 x3 + 5 x4 + 15 x5 = 46, 14. 4 x1 − 3x 2 + 10 x3 − 5 x4 + 7 x5 = 17, − x + 2 x − 3 x + x − 6 x = −23.  3 x + 2 x − x − 8 x + x = 17. 2 3 4 5  1 2 3 4 5  1

67

+ 3 x5 = 5,  x1 + x 2 + x3 − x 4 − x5 = −1,  x1 + 2 x2 + x3   15. 4 x1 + 4 x 2 − 3x3 − 18 x 4 + 10 x5 = 23, 16. 4 x1 − 2 x 2 − 3x3 + 4 x 4 − 8 x5 = −8, 2 x + 2 x  2 x − x + x + 5 x − 4 x = 6. − 6 x 4 + 2 x5 = 0.  1 2  1 2 3 4 5

 x1 + 2 x2 − x3 + 3x4 + 2 x5 = 13,  17. 3 x1 − 2 x2 + x3 + 5 x4 + 10 x5 = −5,  3x + 2 x3 + 4 x4 + 11x5 = 8.  1  x1 + x2 + x3 + x4 − 2 x5 = 5,  18.  3 x1 − x2 + 3x3 + 2 x4 + x5 = 15, 4 x + 2 x + 4 x − x − 9 x = 2.  1 2 3 4 5

= 6,  x1 − 3 x2 + 2 x3 − 3x4   2 x1 − 6 x2 − x3 + 4 x4 − 5 x5 = 12,  5 x − 15 x − 2 x + 9 x − 12 x = 30.  1 2 3 4 5  x1 + 2 x2 + 3 x3 + x4 + 5 x5 = 15,  19.  2 x1 + 4 x2 − x3 − 5 x4 − 4 x5 = 2,  7 x + 14 x − 4 x − 18 x − 15x = 5. 2 3 4 5  1

Кон т рольн ое зад ан ие № 3. Д ан а о бщ ая задача лин ей н о го про граммиро ван ия. Т ребуется: 1) реш ить задачу мето до м Штиф еля; 2) со ставить и реш ить дво йствен н ую задачу, испо ль зуятео ремуо равн о весии. 1. z ( X ) = 5 x1 + 4 x2 − x3 − 6 x4 → max,

2. z ( X ) = −6 x1 + 8 x 2 + 5 x3 + x 4 → max,

2 x1 + 3 x2 + x3 − x 4 ≤ 5,

3 x1 − 4 x2 − 2 x3 + x4 = −2,

− 3 x1 − 2 x 2 + 2 x 3 + 4 x4 = 3,

− x1 + 2 x 2 + 2 x3 + x4 ≤ 4,

x1 + 4 x 2 − 2 x3 + 3x 4 ≥ −6, x1 , x 2 , x 4 ≥ 0. 3. z ( X ) = 5 x1 + 7 x 2 − 6 x3 − 2 x 4 → max,

2 x1 + x2 + 4 x3 − x4 ≥ −2, x1 , x3 , x 4 ≥ 0. 4. z ( X ) = −7 x1 + 2 x 2 + 5 x3 − 5 x4 → max,

x1 + 3 x2 − 2 x3 − 2 x 4 = 6,

3 x1 + x 2 + x3 + 2 x 4 ≥ −3,

2 x1 − x 2 + 3 x3 + x 4 ≥ −1,

2 x1 + 3x 2 + 4 x3 + 2 x4 ≤ 6,

3 x1 + 2 x 2 − x3 + 2 x 4 ≤ 2,

− x1 + 2 x2 + 2 x3 − x 4 = 4,

x1 , x 2 , x3 ≥ 0.

x1 , x 2 , x3 ≥ 0.

5. z ( X ) = −4 x1 + 6 x 2 − 5 x3 + x4 → max,

6. z( X ) = − x1 − 8 x 2 + 6 x3 + 3 x 4 → max,

3 x1 + 2 x2 + x3 − 2 x 4 ≤ 6,

x1 + 2 x 2 − 2 x3 − x 4 = 7,

2 x1 − x2 − 3x 3 − 3x 4 ≥ −4,

2 x1 − 2 x 2 + x3 + 2 x 4 ≤ 2,

x1 − 3 x 2 + 4 x3 − 2 x 4 = 9,

3 x1 − 4 x2 + 2 x3 − x 4 ≥ −1,

x2 , x3 , x 4 ≥ 0 .

x1 , x3 , x 4 ≥ 0.

68

7. z ( X ) = 3x1 + 5 x2 − x3 − 7 x 4 → max,

8. z ( X ) = 8 x1 − 7 x2 + 4 x3 + x 4 → max,

3 x1 + 2 x2 + x3 − x4 ≤ 5,

− 4 x1 + 3x 2 − 2 x3 + x 4 = −2,

− 2 x1 − 3 x2 + 2 x3 + 4 x 4 = 3,

2 x1 − x 2 + 2 x3 + x4 ≤ 4,

4 x1 + x 2 − 2 x3 + 3x 4 ≥ −7, x1 , x 2 , x4 ≥ 0. 9. z ( X ) = 6 x1 + 5 x2 − 7 x3 − 2 x 4 → max, 3 x1 + x 2 − 2 x3 − 2 x4 = 6,

x1 + 2 x 2 + 4 x3 − x 4 ≥ −3, x 2 , x3 , x 4 ≥ 0 . 10. z ( X ) = x1 − 8 x2 + 5 x3 − 5 x 4 → max, x1 + 3 x2 + x3 + 2 x4 ≥ −3,

− x1 + 2 x2 + 3x3 + x 4 ≥ −2,

3x1 + 2 x 2 + 4 x3 + 2 x 4 ≤ 5,

2 x1 + 3 x2 − x3 + 2 x4 ≤ 2,

2 x1 − x2 + 2 x3 − x4 = 4,

x1 , x 2 , x3 ≥ 0.

x1 , x 2 , x3 ≥ 0.

11. z ( X ) = 5 x1 − 4 x 2 − 5 x3 + 2 x 4 → max, 12. z ( X ) = −8 x1 − x2 + 5 x3 + 4 x4 → max, 2 x1 + 3x 2 + x3 − 2 x 4 ≤ 7,

2 x1 + x 2 − 2 x3 − x 4 = 7,

− x1 + 2 x 2 − 3x3 − 3x 4 ≥ −4,

− 2 x1 + 2 x 2 + x3 + 2 x 4 ≤ 2,

− 3 x1 + x 2 + 4 x3 − 2 x4 = 9, x1 , x 3 , x4 ≥ 0. 13. z ( X ) = 5 x1 + 2 x2 − x 3 − 9 x 4 → max, 3 x1 + 2 x2 − 2 x3 − 4 x 4 = −3, 2 x1 + 3 x2 + x3 − x 4 ≤ 5, x1 + 4 x 2 − 2 x3 + 3x 4 ≥ −8, x1 , x 2 , x 4 ≥ 0.

− 4 x1 + 3x 2 + 2 x3 − x 4 ≥ −2, x 2 , x3 , x 4 ≥ 0. 14. z ( X ) = −8 x1 + 8 x 2 + 3 x3 + x4 → max, 2 x1 + x 2 + 4 x3 − x 4 ≥ −4, − 3 x1 + 4 x2 + 2 x3 − x4 = 2, − x1 + 2 x 2 + 2 x 3 + x 4 ≤ 4, x1 , x 3 , x4 ≥ 0.

15. z ( X ) = 5 x1 + 5 x 2 − 9 x3 − 2 x 4 → max, 16. z ( X ) = −9 x1 + 4 x2 + 5 x3 − 5 x 4 → max, 3x1 + 2 x 2 − x 3 + 2 x4 ≤ 2,

x1 − 2 x 2 − 2 x3 + x 4 = −4,

2 x1 − x2 + 3x 3 + x 4 ≥ −3,

2 x1 + 3 x2 + 4 x3 + 2 x 4 ≤ 4,

− x1 − 3x 2 + 2 x3 + 2 x 4 = −6,

3 x1 + x 2 + x3 + 2 x 4 ≥ −3,

x1 , x 2 , x3 ≥ 0.

x1 , x 2 , x3 ≥ 0.

69

17. z( X ) = −4 x1 + 4 x2 − 5 x 3 + 3 x 4 → max, 18. z ( X ) = − x1 − 8 x 2 + 4 x 3 + 2 x4 → max, − x1 + 3 x 2 − 4 x3 + 2 x 4 = −9,

2 x1 − 2 x2 + x3 + 2 x 4 ≤ 2,

2 x1 − x 2 − 3x3 − 3x 4 ≥ −4,

− x1 − 2 x2 + 2 x3 + x4 = −7,

3x1 + 2 x 2 + x3 − 2 x4 ≤ 8,

3 x1 − 4 x 2 + 2 x3 − x4 ≥ −3,

x2 , x3 , x4 ≥ 0 . 19. z ( X ) = −8 x1 + x 2 − x3 + 5 x 4 → max,

x1 , x3 , x 4 ≥ 0, 20. z ( X ) = x1 + 8 x2 + 2 x3 − 9 x4 → max,

− x1 + 3 x2 + x3 + 2 x 4 ≤ 5,

x1 − 4 x 2 − 2 x3 + 3x 4 = −2,

4 x1 − 2 x 2 + 2 x3 − 3x 4 = 3,

x1 + 2 x2 + 2 x3 − x 4 ≤ 4,

3 x1 + 4 x2 − 2 x3 + x4 ≥ −9,

− x1 + x2 + 4 x3 + 2 x 4 ≥ −5,

x1 , x 2 , x 4 ≥ 0.

x1 , x3 , x 4 ≥ 0,

70

ЛИТЕ РА ТУ РА О сн о вн ая 1. Замбицкий Д .К . Лин ейн аяалгебра и лин ей н о е про граммиро ван ие: У чеб. по со бие / Д .К . Замбицкий, М .К . Замбицкий . – К иш ин эу: Е врика, 1997. – 200 с. 2. Зухо вицкий С. И . Лин ейн о е и н елин ей н о е про граммиро ван ие / С. И . Зухо вицкий, Л.И . А вдеева. – М .: Н аука, 1967. – 352 с. 3. По лун ин И .Ф . К урс математическо го про граммиро ван ия / И .Ф . По лун ин . – М ин ск: В ы ш эйш . ш к., 1968. – 253 с. 4. По лун ин И .Ф . К урс математическо го про граммиро ван ия: Д ля с.-х. вузо в по спец. « Эко н о мика и о рган изация сель ско го хо з-ва», « Б ухгалтерский учетв сель ско м хо з-ве» и « Эко н о мика и о рган изацияво дн о го хо зва» / И .Ф . По лун ин . – 3-е изд., до п. – М ин ск: В ы ш эйш . ш к., 1975. – 380 с. 5. По лун ин И .Ф . К урс математическо го про граммиро ван ия : Д ля с.-х. вузо в по спец. « Эко н о мика и о рган изация сель ско го хо з-ва» и « Бухгалтерский учетв сель ско м хо з-ве» / И .Ф . По лун ин . – М ин ск: В ы ш эй ш . ш к., 1970. – 318 с. Д о по лн итель н ая 1. Зухо вицкий С. И . Лин ей н о е и вы пукло е про граммиро ван ие / С.И . Зухо вицкий , Л.И . А вдеева. – 2-е, изд. перерабо т. и до п. – М .: Н аука, 1967. – 360 с. 2. По лун ин И .Ф . М атематическо е про граммиро ван ие в землеустро йстве: У чеб. по со бие для землеустро ит. ф ак. с.-х. вузо в / И .Ф . По лун ин . – М ин ск: В ы ш эй ш . ш к., 1968. – 253 с. 3. Е ремин И .И . Т ео рия лин ейн о й о птимизации / И .И . Е ремин ; О тв. ред. Л.Д . По по в; РА Н . У РО . И н -тматематики и механ ики. – Е катерин бург, 1999. – 312 с.

71

Со ставитель ст. преп. У ксусо вСергей Н ико лаевич Редакто р Т ихо миро ва О .А .