Синтез и анализ алгоритмов определения пространственной ориентации беспилотной платформы

Институт машиноведения им. А.А. Благонравова РАН На правах рукописи

Силкин Артём Анатольевич

СИНТЕЗ И АНАЛИЗ АЛГОРИТМОВ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ОРИЕНТАЦИИ БЕСПИЛОТНОЙ АЭРОДИНАМИЧЕСКОЙ ПЛАТФОРМЫ ПО ИЗМЕРЕНИЯМ МАГНИТНОГО ПОЛЯ ЗЕМЛИ Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук Специальность 05.13.01. – Системный анализ, управление, обработка информации

Научный руководитель: д.т.н., профессор В.Е. Болнокин

Москва - 2002

2 СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ .................................................................................................. 5 1.СТРУКТУРА СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ БАП ............................ 12 1.1. УПРАВЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЕМ БАП. ОБОБЩЁННАЯ СХЕМА................... 12 1.2. СИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ ОРИЕНТАЦИЕЙ БАП. КОНКРЕТНЫЕ СХЕМЫ 15 1.3. ГИРОВЕРТИКАЛЬ КАК ОСНОВНОЙ ЭЛЕМЕНТ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ОРИЕНТАЦИЕЙ БАП............................................................................................. 19 1.4. ПРИМЕР СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ОРИЕНТАЦИЕЙ БАП НА ОСНОВЕ ДАТЧИКА УГЛОВОЙ СКОРОСТИ ............................................................................ 20 1.5. ВЫВОДЫ И ПОСТАНОВКА ЦЕЛИ ИССЛЕДОВАНИЯ ............................... 24 2. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ ЗЕМЛИ ДЛЯ НАВИГАЦИИ И УПРАВЛЕНИЯ ЛЕТАТЕЛЬНЫМИ АППАРАТАМИ 25 2.1. ОБЩЕПРИНЯТАЯ МОДЕЛЬ МАГНИТНОГО ПОЛЯ ЗЕМЛИ....................... 25 2.2. ФИЗИЧЕСКИЕ ДАТЧИКИ МАГНИТНОГО ПОЛЯ ...................................... 26 2.2.1. Магнитная стрелка .................................................................. 26 2.2.2. Ферромагнитный зонд ............................................................. 27 2.3. TРУДНОСТИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ В ТРЁХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ .................................................................................................... 27 2.3.1. Изменения магнитного поля .................................................... 27 2.3.2. Влияние магнитных полей платформы.................................. 28 2.3.3. Основная трудность ориентации по магнитному полю ..... 29 2.4. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕВОЗМОЖНОСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОРИЕНТАЦИИ БАП ТОЛЬКО ПО ИЗМЕРЕНИЯМ МАГНИТНОГО ПОЛЯ ЗЕМЛИ ............................... 29 3. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ИЗМЕРЕНИЙ ВЕКТОРА МАГНИТНОГО ПОЛЯ НА БАП ..................................................................... 34 3.1. ОБЩИЙ ПОДХОД ................................................................................. 34 3.2. НЕВОЗМОЖНОСТЬ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ МАЯТНИКА В КАЧЕСТВЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО ДАТЧИКА ............................................................................. 35 3.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРИЕНТАЦИИ БАП ПРИ ОДНОМ ИЗВЕСТНОМ ВЕРТИКАЛЬНОМ УГЛЕ .......................................................................................... 36 3.3.1. Существование решения при известном крене ..................... 36 3.3.2. Существование решения при известном тангаже............... 39 3.3.3. Оптимальный набор уравнений для определения ориентации БАП ................................................................................................................. 41 3.4. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ ПО ВРЕМЕНИ ................................. 42 3.4.1. Увеличение размерности уравнения измерения..................... 42 3.4.2. Структура матрицы Якоби расширенного векторного уравнения измерений ..................................................................................... 43 3.4.3. Вектор производных и его матрица Якоби ........................... 43 3.5. ВЫВОДЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ИЗМЕРЕНИЯ ВЕКТОРА МАГНИТНОГО ПОЛЯ ............................................................................................. 45

3 4. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ИЗМЕРЕНИЙ УГЛОВЫХ СКОРОСТЕЙ НА БАП ...................................................................................... 46 4.1. СКОРОСТЬ ИЗМЕНЕНИЯ ИЗМЕРЕННОГО ВЕКТОРА МАГНИТНОГО ПОЛЯ И УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ БАП .................................................................................... 46 4.2. ДОПОЛНЕНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ПОКАЗАНИЯМИ ДАТЧИКА УГЛОВОЙ СКОРОСТИ ............................................................................................ 48 4.2.1. Дополнение за счёт ω1x............................................................. 48 4.2.2. Дополнение за счёт ω1y............................................................. 49 4.2.3. Дополнение за счёт ω1z ............................................................. 49 4.3. НАИЛУЧШЕЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ЕДИНСТВЕННОГО ДАТЧИКА УГЛОВОЙ СКОРОСТИ ............................................................................................................ 50 4.4. АНАЛИЗ ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЯ СОСТАВЛЯЮЩИХ УГЛОВОЙ СКОРОСТИ ............................................................................................................ 50 4.4.1. Источники погрешности ......................................................... 50 4.4.2. Анализ влияния первичных погрешностей и геометрический смысл этого влияния..................................................................................... 52 4.4.3. Погрешность численного дифференцирования ..................... 52 4.4.4. Дисперсия общей погрешности определения составляющих угловой скорости........................................................................................... 54 4.5. ВЫВОДЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ИЗМЕРЕНИЯ УГЛОВОЙ СКОРОСТИ ............................................................................................................ 56 5. СИНТЕЗ СИСТЕМЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕКТОРА УГЛОВОЙ СКОРОСТИ БАП МЕТОДОМ НЕЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ ........... 58 5.1. ПРИРОДА И ХАРАКТЕР ПОГРЕШНОСТЕЙ ИЗМЕРЕНИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ .................................................................................................................... 58 5.2. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ О МАТЕМАТИЧЕСКОМ АППАРАТЕ НЕЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ ....................................................................................................... 58 5.2.1. Общие сведения ......................................................................... 58 5.2.2. Общая постановка одномерной задачи нелинейной фильтрации в гауссовом приближении ...................................................... 59 5.2.3. Решение задачи нелинейной фильтрации в гауссовом приближении.................................................................................................. 60 5.2.4. Нелинейная фильтрация ненаблюдаемой производной марковского процесса ................................................................................... 60 5.2.5. Стационарная фильтрация ..................................................... 61 5.2.6. Распространение алгоритма нелинейной фильтрации на многомерное наблюдение ............................................................................. 62 5.2.7. Априорная трудность в теории нелинейной фильтрации и стационарная фильтрация .......................................................................... 63 5.3. ЗАДАЧА ФИЛЬТРАЦИИ И АДАПТАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ .. 64 5.3.1. Краткий обзор имеющихся математических моделей и выбор решаемой задачи нелинейной фильтрации..................................... 64 5.3.2. Постановка задачи фильтрации составляющих угловой скорости. Адаптация математической модели ....................................... 65

4 5.4. АЛГОРИТМ НЕЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ СОСТАВЛЯЮЩИХ ВЕКТОРА УГЛОВОЙ СКОРОСТИ БАП ................................................................................... 67 6. ПРОГРАММНАЯ МОДЕЛЬ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ АЛГОРИТМОВ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОРИЕНТАЦИИ БАП........................... 71 6.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ПРОГРАММНОЙ МОДЕЛИ ................................... 71 6.1.1. Назначение программной модели............................................ 71 6.1.2. Состав и структура программной модели............................ 72 6.2. ПРОГРАММА ИССЛЕДОВАНИЙ ............................................................ 73 6.3. ИССЛЕДОВАНИЕ СХОДИМОСТИ АЛГОРИТМОВ ................................... 73 6.4. ДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА АЛГОРИТМОВ ........................................ 75 6.5. ВЛИЯНИЕ ШУМОВЫХ ПОГРЕШНОСТЕЙ НА АЛГОРИТМЫ..................... 75 6.6. ВЫВОДЫ ПО ПРОГРАММНОЙ МОДЕЛИ И РЕЗУЛЬТАТАМ МОДЕЛЬНЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ ................................................................................................. 76 ВЫВОДЫ И РЕКОМЕДАЦИИ ПО РЕЗУЛЬТАТАМ РАБОТЫ .... 78 ЛИТЕРАТУРА ........................................................................................... 81

5 ВВЕДЕНИЕ Последние годы XX столетия ознаменовались существенным прогрессом в области использования беспилотных средств для наблюдения местности и других приложений [1]. Средства эти выступают в литературе под разными названиями: дистанционнопилотируемые летательные аппараты (ДПЛА), беспилотные летательные аппараты (БПЛА, БЛА), устройства дистанционного обнаружения (УДО), аэродинамические фото - и телеразведчики (АФТР, АТР) и др. Общим для таких беспилотных средств является размещение некоторой целевой нагрузки, например, телевизионной или инфракрасной камеры с передатчиком на управляемой летающей платформе. Платформа удерживается в воздухе, как правило, за счёт аэродинамических сил, возникающих при движении платформы в воздушной среде (вертолётные или аэростатические платформы тоже используются, но существенно реже). В настоящей работе мы будем изучать определение ориентации аэродинамических беспилотных средств по измерениям магнитного поля Земли и, следуя [1], использовать обобщающий термин «беспилотная аэродинамическая платформа (БАП)». Основной вектор прогресса БАП связан с миниатюризацией и удешевлением, как самих платформ, так и бортового оборудования управления и целевых нагрузок платформ. Прогресс в области БАП в основном обусловлен следующими факторами: • развитием новых серийно пригодных технологий для формообразования основных элементов планеров – крыла и фюзеляжа • появлением системы глобальной навигации GPS и широким распространением малогабаритных приёмоиндикаторов GPS • микроминиатюризацией элементов вычислительной техники – процессоров и памяти • появлением никель-кадмиевых и никель-металлогидридных аккумуляторов высокой удельной ёмкости, используемых в качестве бортовых источников питания и даже энергоносителей силовых установок. Управление БАП заключается в управлении положением центра масс платформы (траекторное управление) и управлении ориентацией платформы относительно центра масс. Траекторное управление осуществляется на основании измерений текущих координат платформы. При наличии в составе оборудования платформы приёмоиндикатора GPS измерение координат не представляет проблемы.

6 Для управления ориентацией БАП используют измерения углов ориентации – курса, тангажа и крена, либо измерения угловых скоростей движения БАП (без вычисления углов ориентации). Во многих приложениях, связанных с измерением координат наземных объектов, знание углов ориентации БАП обязательно. Для измерения углов ориентации БАП обычно используют позиционные гироскопы. Коррекцию уходов позиционных гироскопов проводят, опираясь на данные маятника (акселерометров) и магнитных датчиков. Другим способом получения углов ориентации является использование бесплатформенных инерциальных навигационных систем (БИНС) на основе гироскопических датчиков угловой скорости и акселерометров. Ввиду своей высокой стоимости БИНС не получили распространения на БАП. В настоящее время уровень микроминиатюризации бортового оборудования БАП ограничивается габаритами и массой позиционных гироскопов для хранения местной вертикали, относительно которой отсчитываются крен и тангаж платформы. К примеру, самая лёгкая гироскопическая вертикаль МГВ-6 представляет собой цилиндр Ø90х150 массой 1,0 кг. Дальнейшее уменьшение массы гироскопической вертикали практически невозможно из-за сопутствующего уменьшения гироскопического момента. В то же время общая масса всего остального радиоэлектронного оборудования управления БАП может быть на порядок меньше (0,1 кг). Аналогично и соотношение стоимостей: гироскопическая вертикаль стоит не менее $5000, в то время как хороший приёмник GPS можно приобрести за $100 (!). Возникшее противоречие между оборудованием измерения углов ориентации БАП и остальным оборудованием управления по стоимости и массогабаритным характеристикам делает актуальными исследования возможностей создания малогабаритных недорогих негироскопических измерителей ориентации БАП относительно невысокой точности. С этой целью естественно обратиться к повсеместно присутствующему земному магнитному полю. Высокоточное измерение вектора магнитного поля с помощью дешевых и малогабаритных феррозондов не представляет никаких технических проблем. Ещё большие возможности по созданию дешёвой малогабаритной аппаратуры для магнитных измерений дают недавно появившиеся магниторезистивные микросхемы. Магнитные датчики давно и широко используются в навигационной аппаратуре и автопилотах в качестве дополнительных датчиков навигационной и пилотажной навигации. Аппаратная простота и дешевизна реализации миниатюрных измерителей земного магнитного поля делает идею использовать это поле для определения ориентации БАП весьма привлекательной.

7 Трудности использования данных измерения магнитного поля известны – это флюктуации магнитного поля и влияние магнитных полей самого носителя (БАП). Эти трудности тем или иным способом преодолеваются. Принципиальной трудностью использования датчиков магнитного поля в качестве основного источника информации об ориентации БАП является невозможность однозначно определить ориентацию БАП в пространстве по измерениям вектора магнитного поля. Поиск и обоснование путей преодоления указанной принципиальной трудности составляют основное содержание предлагаемой работы. Разрешение принципиальной трудности достигается введением в состав измерителей датчика угловой скорости БАП. Целью работы является разработка и исследование практических методик синтеза алгоритмов обработки данных измерения земного магнитного поля для определения ориентации и вектора угловой скорости беспилотных аэродинамических платформ при минимальном использовании других датчиков и анализ надёжности и точности синтезированных алгоритмов. Основными задачами исследования являются: • обоснование места системы определения ориентации БАП в бортовом радиоэлектронном оборудовании • формирование математической модели связи измерений магнитного поля датчиками БАП с ориентацией и вектором угловой скорости БАП • разработка методики синтеза алгоритмов определения ориентации и вектора угловой скорости БАП по данным измерений земного магнитного поля • синтез конкретных алгоритмов фильтрации вектора угловой скорости БАП из данных измерений земного магнитного поля • разработка программной модели работы синтезированных алгоритмов для анализа их надёжности и точности Научная новизна работы заключается в следующих результатах: • математические модели связи измерений магнитного поля датчиками БАП с ориентацией и вектором угловой скорости БАП • аналитические исследования построенных математических моделей с целью определения условий их разрешимости и оценки погрешностей измерения • методика синтеза алгоритмов определения ориентации БАП на основе измерений земного магнитного поля • анализ надёжности и точности синтезированных алгоритмов методом моделирования.

8 Практическая значимость работы заключается в следующих результатах: • синтезированы конкретные алгоритмы определения вектора угловой скорости БАП по данным измерения земного магнитного поля • реализована программная модель для исследования алгоритмов определения ориентации и вектора угловой скорости БАП по данным измерения земного магнитного поля. Применение разработанных алгоритмов, методик и программной модели позволяет создавать и отлаживать реальные системы управления ориентацией БАП. Достоверность результатов работы подтверждается: • работоспособностью алгоритмов определения вектора угловой скорости БАП по данным магнитного поля на программной математической модели • работоспособностью одного из алгоритмов в реальных полётах БАП. Внедрение результатов работы осуществлено на беспилотном телевизионном разведчике «ДисКонт». В настоящее время «Дисконт» с алгоритмом управления ориентацией на основе измерений земного магнитного поля проходит лётные испытания. Положения, выносимые на защиту: • математические модели связи измерений магнитного поля датчиками БАП с ориентацией и вектором угловой скорости БАП и результаты их аналитического исследования • методика синтеза алгоритмов определения ориентации БАП на основе измерений земного магнитного поля • анализ надёжности и точности синтезированных алгоритмов аналитически и на программной модели • алгоритм определения вектора угловой скорости БАП по данным измерения магнитного поля. Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, шести глав, выводов, списка литературы и двух приложений. Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, формулируется цель, научная новизна и практическая значимость полученных результатов. В первой главе рассмотрена типовая структура системы управления БАП. На основе математической модели движения БАП показана структура системы управления БАП, как совокупности систем управления траекторным движением центра масс и системы управления ориентацией. Раскрыты связи между системой управления, самой платформой и внешней средой, а также взаимные

9 связи между системами траекторного управления и управления ориентацией БАП. Рассмотрены конкретные функциональные схемы систем управления ориентацией известных БАП: ДПЛА «Пчела», АЗПП «Мошкара», ДПЛА ГрАНТ, а также показана роль измерителей магнитного поля Земли в этих системах управления. На основе рассмотрения существующих систем управления ориентацией БАП поставлены конкретные задачи исследований. Во второй главе диссертации проведён обзор использования магнитного поля Земли для навигации и управления летательными аппаратами. Рассмотрена общепринятая для этих целей модель магнитного поля Земли и существующие физические датчики магнитного поля. Рассмотрены трудности использования магнитного поля Земли в системах управления ориентацией летательных аппаратов и сделан обзор известных методов преодоления этих трудностей, таких как снятие девиации и т.п. Выделена принципиальная трудность, заключающаяся в невозможности однозначного определения ориентации летательного аппарата только по измерениям магнитного поля. Проведено математическое доказательство этого факта на основе рассмотрения уравнения идеального измерителя магнитного поля. Аналитически доказывается, что матрица Якоби вектора измерений магнитного поля в земной системе координат имеет определитель, равный нулю, что означает, что, располагая знанием вектора измерения магнитного поля H1, невозможно однозначно определить вектор углов ориентации измерителя {ψ, σ, γ}T. Полученный результат имеет большую методическую ценность. Он позволяет не затрачивать времени на поиски алгоритма измерения ориентации платформы, основанного только на измерениях магнитного поля, а сразу приступить к синтезу алгоритмов, использующих дополнительную информацию датчиков иной природы. Геометрический смысл полученного результата заключается в том, что вращение векторного измерителя вокруг вектора магнитного поля не изменяет величин проекций вектора на элементы векторного измерителя. В третьей главе исследуется математическая модель измерений вектора магнитного поля на БАП. В главе рассмотрена разрешимость математической модели при известном крене, известном тангаже и при обоих известных вертикальных углах. Показано, что при существовании однозначного решения в любом из рассмотренных случаев, существуют области, в которых система уравнений, составляющих математическую модель неразрешима. Эти области соответствуют расположению продольной оси БАП в плоскости, перпендикулярной плоскости магнитного меридиана. При двух известных вертикальных углах (тангаже и крене),

10 как это имеет место при традиционном использовании векторных измерителей магнитного поля совместно с гироскопической вертикалью, область неразрешимости системы уравнений математической модели вырождается в единственное положение БАП – перпендикулярность вектора магнитного поля плоскости вертикальной симметрии БАП. Проведённые исследования имеют практическое значение для реализации конкретных алгоритмов управления БАП. В этой же главе изучается возможность обеспечения разрешимости уравнения идеального измерителя магнитного поля за счёт дополнения его уравнениями производных по времени вектора измерения магнитного поля H1. Аналитическое исследование расширенной матрицы Якоби показывает, что расширение вектора измерений за счёт дополнения его уравнениями производных по времени вектора H1 не даёт новой информации. Определитель расширенной матрицы Якоби системы уравнений по-прежнему равен нулю. В четвёртой главе исследуется математическая модель измерений угловых скоростей БАП на основе численного дифференцирования измерений вектора магнитного поля на борту БАП. Данная модель является оригинальной, так как ранее в литературе не описывалась. В этой же главе проведено аналитическое исследование погрешностей определения составляющих вектора угловой скорости и влияние на них первичных шумовых погрешностей измерения составляющих вектора магнитного поля. На основании этого исследования сделан вывод о необходимости фильтрации измерений. Пятая глава диссертационной работы посвящёна синтезу системы определения вектора угловой скорости БАП на основе измерений вектора земного магнитного поля. В главе проведён анализ статистической природы погрешностей измерения, которые предлагается разделить на сильно коррелированные (постоянные) и слабо коррелированные (шумовые) погрешности. Борьба с постоянными погрешностями измерения вектора магнитного поля, вызванными собственными магнитными полями оборудования БАП, хорошо освоена (снятие девиации). Шумовые погрешности измерения вектора магнитного поля не могут быть учтены заранее, поэтому для борьбы с ними возможно только оптимальным образом распорядиться поступающей измерительной информацией. Для синтеза оптимального (в смысле минимума дисперсии погрешности) алгоритма обработки измерений магнитного поля с целью определения составляющих вектора угловой скорости БАП предложено применить теорию нелинейной фильтрации.

11 Шестая глава диссертационной работы посвящёна программной модели, созданной для исследования алгоритмов определения ориентации БАП. Программная модель реализует моделирование внешней среды и ряда алгоритмов для оценок составляющих вектора угловой скорости БАП. Важной особенностью программной модели является автоматическое документирование модельных экспериментов. Это позволяет независимо повторить все модельные эксперименты, описанные в диссертации. На программной модели исследована сходимость синтезированного алгоритма стационарной нелинейной фильтрации и показана его расходимость при некоторых положениях БАП. Приложение 1 содержит результаты модельных экспериментов в виде протоколов экспериментов. Протоколы получены автоматическим документированием модельных экспериментов. Это позволяет независимо повторить с помощью программной модели все эксперименты, описанные в диссертации. Протоколы экспериментов подтверждают выводы и рекомендации диссертационной работы. Приложение 2 в виде компакт-диска содержит полный текст диссертации, автореферата, приложения 1, исходный текст и исполняемые модули программной модели.

12 1.СТРУКТУРА СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ БАП 1.1. Управление движением БАП. Обобщённая схема 1.1.1. БАП обычно представляет собой летательный аппарат (ЛА) самолётной схемы. В механике полёта [2, 8] принято описывать движение летательного аппарата как движение твёрдого тела, то есть независимо рассматривать поступательное движение центра масс летательного аппарата и вращательное движение летательного аппарата вокруг центра масс. Эта модель пригодна для подавляющего числа реальных задач механики полёта. Привлечение более сложных моделей движения, учитывающих деформации летательного аппарата, переливание масс топлива и пр., требуется крайне редко. В том числе и для рассматриваемой нами проблемы модель движения БАП как твёрдого тела вполне удовлетворительна. 1.1.2. Для описания поступательного движения ЛА используют различные системы координат, связанные как с Землёй, так и с воздушным потоком или летательным аппаратом [2, 8]. Для описания вращательного движения ЛА самолётной схемы применяют, как правило, углы Эйлера [8]: курс ψ, тангаж σ, крен γ. Для описания сил и моментов, действующих на ЛА в воздушном потоке, пользуются углами атаки α, скольжения β и величиной воздушной скорости [8]. В общем случае движение БАП описывается дифференциальными уравнениями второго закона Ньютона: d2r/dt2=F, dω/dt= M, где r – радиус-вектор центра масс БАП в избранной системе координат, ω – вектор угловой скорости вращения БАП как твёрдого тела, F – векторная сумма всех сил, приложенных к БАП, M – векторная сумма всех моментов сил, приложенных к БАП. Первое уравнение описывает поступательное движение БАП, а второе – вращательное движение БАП вокруг центра масс. Эти движения сами по себе независимы, но связаны через воздушный поток, обтекающий БАП. Воздушный поток и силовая установка БАП порождают аэродинамические силы и моменты, действующие на БАП: F=F(α, β, V, u), M=M(α, β, V, u),

13 где α и β – углы атаки и скольжения БАП в воздушном потоке, V –воздушная скорости БАП (скаляр), u – вектор управления БАП (положения элеронов, руля высоты, регулятора оборотов силовой установки и др.). 1.1.3. Система управления БАП может быть расчленена по своим функциям на две системы (подсистемы) – систему траекторного управления и систему ориентации: • система траекторного управления решает задачу проводки БАП по заданной траектории (маршруту). • система управления ориентацией БАП решает задачу поддержания заданной ориентации БАП. Связь БАП и его системы управления с внешним миром и между собой показана на обобщённой схеме рис.1.1. На БАП воздействует воздушный поток, тяга силовой установки и отклонения рулей БАП, установленные вектором управления u, выработанного системой управления БАП. Эти воздействия приводят к изменениям положения БАП в пространстве (вектор r), угловой скорости вращения БАП вокруг центра масс (вектор ω), углов ориентации БАП в пространстве (курс ψ, тангаж σ, крен γ), а также воздушной скорости V, углов атаки α и скольжения β. Система управления БАП содержит: • систему траекторного управления (измеритель координат БАП и алгоритм траекторного управления БАП) • систему управления ориентацией БАП (измерители углов ориентации и/или угловых скоростей БАП и алгоритм управления ориентацией БАП) • систему воздушных сигналов (измерители углов атаки, скольжения, воздушной скорости и барометрического давления на высоте полёта БАП). Система траекторного управления измеряет пространственные координаты БАП, сопоставляет программу полёта и текущие команды оператора с измеренным положением БАП в пространстве и формирует управляющее воздействие в виде заданного вектора угловой скорости и заданных углов ориентации БАП. Система воздушных сигналов измеряет воздушную скорость, угол атаки и угол скольжения БАП и передаёт измеренные данные в систему управления ориентацией БАП для формирования управляющих воздействий. Система управления ориентацией измеряет углы ориентации

14 Воздушный поток

Рули и силовая установка БАП

Корпус БАП

Радиус-вектор БАП r={x, y, z}

Углы ориентации ψ, σ, γ и вектор угловой скорости БАП

ω Система управления БАП Измеритель координат БАП

Измеренные координаты БАП

и

Заданные углы ориентации и угловые скорости БАП

Углы ориентации БАП по потоку α, β и воздушная скорость БАП V

Измерители углов ориентации и угловых скоростей БАП

Измеренные углы ориентации и угловые скорости БАП

Алгоритм траекторного управления БАП Программа полёта команды оператора

Управление БАП

Измерители воздушных сигналов БАП

Измеренные воздушные сигналы БАП

Алгоритм управления ориентацией БАП Вектор управления БАП u

Рис. 1.1. Обобщённая схема управления БАП

15 и вектор угловой скорости вращения БАП. Сопоставляя измеренные величины с заданными (которые были выработаны системой траекторного управления), а также используя данные от системы воздушных сигналов, система управления ориентацией БАП вырабатывает управляющие воздействия на рули и силовую установку БАП – вектор управления u. 1.2. Система управления ориентацией БАП. Конкретные схемы 1.2.1. Система управления ориентацией БАП состоит из измерителя углового положения и угловых скоростей БАП и алгоритма управления ориентацией БАП. Целью управления ориентацией БАП является поддержание заданных углов ориентации и угловых скоростей БАП, выработанных системой траекторного управления БАП. В процессе своей работы система управления БАП может также использовать данные от системы воздушных сигналов. В конкретных реализациях систем управления БАП с целью минимизации бортового оборудования БАП, как правило, сокращают количество обрабатываемых данных. Так, может быть полностью исключено использование воздушных сигналов, или использована только часть из них (например, могут быть использованы только измерения воздушной скорости, а измерения углов атаки и скольжения могут не делаться). Могут быть исключены измерения всех или некоторых составляющих вектора угловой скорости и/или некоторых углов ориентации. 1.2.2. Для примера рассмотрим систему управления ориентацией известного ДПЛА «Пчела». Функциональная схема приведена на рис. 1.2. Измерителями для системы управления ориентацией ДПЛА «Пчела» служат: • гироскопическая вертикаль • два ферромагнитных зонда • датчики угловых скоростей тангажа и крена. Гироскопическая вертикаль измеряет так называемые вертикальные углы ориентации ДПЛА – тангаж и крен. Ферромагнитные зонды размещены на гиростабилизированной в местной горизонтальной плоскости площадке гировертикали таким образом, что чувствительная ось одного из зондов направлена вдоль строительной оси ДПЛА, а чувствительная ось второго феррозонда перпендикулярна к оси первого и находится в горизонтальной плоскости. Таким образом, показания феррозондов пропорциональны соответственно косинусу и синусу магнитного курса ДПЛА.

16

Гировертикаль

Два феррозонда

Синус и косинус курса Силовая стабилизация

Тангаж и крен

Вычислитель

Заданный курс из командной радиолинии

ДУС тангажа ДУС крена

Угловая тангажа

Угловая крена

скорость

скорость

Управляющие воздействия на рули и силовую установку

Заданный тангаж, одно из 3 значений: • тангаж набора высоты • тангаж снижения • тангаж горизонтального полёта

Рис. 1.2. Функциональная схема системы управления ориентацией ДПЛА «Пчела»

17 Измерения угловых скоростей тангажа и крена (более правильно, угловых скоростей ωz1 и ωy1 [8]) для выработки форсирующих сигналов управления для исключения колебаний ДПЛА по тангажу и крену в процессе управления его ориентацией. Испытания показали, что использование датчиков угловой скорости не обязательно, однако коррекция конструкторской документации проведена не была, и датчики угловой скорости остались в составе бортового оборудования ДПЛА «Пчела». Система управления ориентацией ДПЛА «Пчела» поддерживает курс и тангаж ДПЛА, равными заданным курсу и тангажу, а крен ДПЛА равным нулю. Заданный курс поступает вычислителю ДПЛА по командной радиолинии, а заданный тангаж принимает одно из трёх заранее определённых значений: тангаж набора высоты, тангаж горизонтального полёта или тангаж снижения. Выбор заданного тангажа производит вычислитель, сопоставляя заданную высоту полёта, поступающую по командной радиолинии, и текущую высоту ДПЛА, измеряемую высотомером (на схеме рис. 2.1 не показан). Рассмотренный пример показывает, что набор измерений для работы системы управления ориентацией может быть существенно сокращён по сравнению с обобщённой схемой. Уменьшение количество измеряемых параметров положительно сказывается на массе и стоимости бортового оборудования БАП. 1.2.3. Рассмотрим систему ориентации аэродинамически забрасываемого передатчика помех (АЗПП) «Мошкара». Функциональная схема показана на рис. 1.3. Система управления ориентацией АЗПП «Мошкара» аппаратно существенно проще, чем у ДПЛА «Пчела». Упрощение достигается за счёт отказа от силовой гиростабилизации ферромагнитных зондов и отсутствия датчиков угловой скорости. Вместо двух феррозондов на гиростабилизированной площадке на АЗПП «Мошкара» используются три жёстко закреплённых на фюзеляже АЗПП феррозонда. Эти феррозонды образуют правую координатную тройку, что позволяет измерять вектор индукции магнитного поля в связанной с фюзеляжем системе координат. Бортовая ЭВМ, используя данные о тангаже и крене от гировертикали, вычисляет проекцию измеренного вектора магнитного поля на местную горизонтальную плоскость. В остальном система ориентации АЗПП «Мошкара» аналогична системе ориентации ДПЛА «Пчела».

18

Гировертикаль

Три феррозонда

Вектор напряжённости магнитного поля

Бортовая ЭВМ

Тангаж и крен Заданный курс из командной радиолинии

Управляющие воздействия на рули и силовую установку

Рис. 1.3. Функциональная схема АЗПП «Мошкара»

Заданный тангаж, одно из 3 значений: • тангаж набора высоты • тангаж снижения • тангаж горизонтального полёта

19 1.2.4. Система управления ориентацией ДПЛА ГрАНТ отличается от описанной выше системы АЗПП «Мошкара» отсутствием феррозондов. Вместо данных феррозондов для управления ДПЛА по курсу используются данные от приёмника GPS о текущем путевом угле. 1.3. Гировертикаль как основной элемент системы управления ориентацией БАП. 1.3.1. Все описанные выше системы управления ориентацией БАП в качестве основного элемента имеют гироскопическую вертикаль. Гировертикаль даёт информацию о положении местной вертикали. Благодаря этой информации становится возможным удерживать БАП в правильном положении по тангажу и крену. Особенно важно удерживать БАП в правильном положении по крену, так как самолётная схема БАП в общем случае не обеспечивает поддержания нулевого крена без управления. Гироскопическая вертикаль, как правило, является самым дорогим и сложным устройством бортового управления БАП. В таблице 1.1 приведены сведения по массе и стоимости различных гировертикалей, прежде всего гировертикали систем управления, рассмотренных выше. Наименование

Масса, кг

Стоимость, Производитель долл. США неизвестна Кыштымский радиозавод

Гировертикаль ДПЛА «Пчела»

4,5

Гировертикаль МГВ-5 АЗПП «Мошкара»

1,3

12 000

Арзамасское ОАО “Темпавиа»

Гировертикаль МГВ-6 ДПЛА ГрАНТ

1,0

6 000

То же

Гировертикаль МГВ-1у

4,5

неизвестна Уральский приборосторительный завод

1.3.2. Стоимость современной электронно-вычислительной техники относительно невелика. Она на порядки ниже стоимости гиросвертикалей. Например, современнный 8-канальный

20 приёмоиндикатор GPS «Lassen» фирмы Trimble Navigation в России можно приобрести за $100. Аналогично обстоит дело и с массогабаритными характеристиками. Самая лёгкая из отечественных гировертикалей МГВ-6 имеет форму цилиндра Ø90х150 и массу 1,0 кг. Уже упоминавшийся приёмоиндикатор «Lassen» представляет собой параллелепипед размерами 27х27х11 массой 5,7 г (!). Разница огромна. 1.3.3. Ввиду того, что на гироскопическую вертикаль приходится основная доля массы, габаритов и стоимости системы управления ориентацией БАП, возникает естественное стремление исключить гировертикаль из состава системы. Известны системы управления ориентацией БАП не содержащие гировертикали. Основным чувствительным элементом таких систем являются датчики угловой скорости. 1.4. Пример системы управления ориентацией БАП на основе датчика угловой скорости 1.4.1. Датчики угловой скорости (ДУС) так же, как и гироскопические вертикали реализуются на основе гироскопов. Традиционный гироскопический датчик угловой скорости [2] представляет собой механический гироскоп, лишённый одной из степеней свободы. При вращении этой системы вокруг оси, перпендикулярной главной оси гироскопа и свободной оси подвеса, возникает момент силы, стремящийся совместить главную ось гироскопа с вектором угловой скорости. Измеряя тем или иным способом этот момент, можно судить об угловой скорости. 1.4.2. В настоящее время имеются твёрдотельные датчики угловой скорости, например, пьезоэлектрические ДУСы. Такие ДУСы не содержат механических гироскопов и подвеса, а представляют собой обычные микросхемы. Стоимость их невелика, так же как и масса. Наличие таких датчиков делает перспективным построение систем управления ориентацией БАП на датчиках угловой скорости. Недостатками твёрдотельных ДУСов являются невысокая точность и температурная нестабильность. 1.4.3. Описанная ниже система управления креном БАП реализована на одном из БАП с электроприводом разработки НПКЦ «Новик-XXI век» и в литературе до настоящего времени не описывалась. Диссертанту эта система известна, как одному из её авторов и разработчиков. Система содержит единственный измеритель – датчик угловой скорости. Ось чувствительности ДУСа расположена в плоскости вертикальной симметрии БАП и имеет угол наклона ζ<0 к продольной оси, как показано на рис. 1.4.

21

Вертикальная ось БАП y1 Вектор угловой скорости Ω

Ωx1 Ωy1

Угол наклона ДУСа ζ<0

О

Продольная ось БАП x1

Ось чувствительности ДУС (единичный вектор d={cosζ, sinζ })

Рис. 1.4. Расположение оси чувствительности ДУС в плоскости вертикальной симметрии БАП Предположим, что БАП с расположенным на ней ДУСом совершает вращательное движение, вектор угловой скорости которого расположен в плоскости вертикальной симметрии БАП (вектор Ω на рис. 1.4). Показания идеального ДУСа будут при этом равны проекции вектора угловой скорости на направление оси чувствительности ДУСа, то есть скалярному произведению вектора угловой скорости Ω на единичный вектор оси чувствительности ДУСа d: Ω изм= Ω* d . Разложим вектор Ω на два составляющих вектора Ωx1 и Ωy1. Тогда показания ДУСа можно представить в виде: Ω изм= Ω x1* d + Ω y1* d .

22

Учитывая, что вектор d={cosζ, sinζ} и пользуясь правилом вычисления скалярного произведения по координатам сомножителей, получим: Ω изм= Ω x1*cosζ+0*sinζ+0*cosζ+ Ω y1*sinζ= Ω x1*cosζ + Ω y1*sinζ. Таким образом, показания идеального ДУСа являются линейной комбинацией составляющих вектора угловой скорости Ω, причём благодаря выбранному наклону ζ<0 слагаемое, пропорциональное Ωy1 имеет противоположный Ω x1 знак. Указанное свойство позволяет создать систему управления курсом и креном БАП структурная схема которой показана на рис. 1.5. Важно отметить, что описанная система управления на основе ДУС позволяет поддерживать правильную ориентацию БАП, однако не выделяет информацию об угловом положении БАП для использования в других системах БАП, в частности для управления целевой нагрузкой и определения координат наземных целей.

БАП δэ

Me/p

ωx1

~1/p

γ

dψ/dt

-(g/V)/p

cosσcosγ ωy1

ДУС Заданное приращение курса от траекторного Алгоритм управления алгоритма Aтр

Кобщ

Ктр траекторное слагаемое

cosζ

sinζ

—

Тфорс форсирующее слагаемое

Суммарная команда управления элеронами БАП

1/p

показания ДУСа

изодромное слагаемое Рис. 1.5. Структурная схема системы управления ориентацией БАП на основе ДУСа, расположенного под углом к продольной оси БАП

24 1.5. Выводы и постановка цели исследования Сделанный обзор типовой структуры системы управления БАП и различных вариантов реализации систем управления ориентацией позволяет сделать следующие выводы: • система управления ориентацией БАП является важной составной частью системы управления БАП • основной задачей системы управления ориентацией БАП является обеспечение правильной ориентацию БАП в полёте в соответствии с выполняемым БАП манёвром • наряду с решением указанной основной задачи, система управления ориентацией БАП обеспечивает информацией об углах ориентации БАП алгоритмы измерения координат наземных целей • основным элементом систем управления ориентацией БАП является, как правило, гироскопическая вертикаль, стоимость, масса и размеры которой существенно превышают аналогичные характеристики остального оборудования системы управления БАП • в качестве дополнительных измерителей в системах управления ориентацией БАП применяются дешёвые малогабаритные датчики магнитного поля Земли • возможно построение системы управления ориентацией БАП на основе не гировертикали, а недорогих малогабаритных датчиков угловой скорости • система управления ориентацией БАП на основе датчиков угловой скорости не предоставляет информации об углах ориентации БАП, необходимую для использования в других системах БАП, прежде всего для измерения координат наземных целей. В свете изложенных выводов представляется практически значимым разработать и исследовать методики синтеза алгоритмов обработки данных измерения земного магнитного поля для определения ориентации БАП при минимальном использовании других датчиков, а также провести анализ надёжности и точности таких алгоритмов. Результаты предлагаемого исследования позволят создавать системы управления БАП, не содержащие в своём составе дорогостоящие и массивные гироскопические вертикали, но обеспечивающие другие системы БАП информацией об ориентации БАП.

25 2. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ ЗЕМЛИ ДЛЯ НАВИГАЦИИ И УПРАВЛЕНИЯ ЛЕТАТЕЛЬНЫМИ АППАРАТАМИ 2.1. Общепринятая модель магнитного поля Земли Магнитное поле Земли используется в навигации со времён изобретения компаса древними китайцами. Магнитное поле Земли в основном использовалось и используется для определения направления на магнитные полюсы Земли (для ориентации). Возможно также определение места объекта навигации [2, 3] с помощью магнитного поля. В настоящей работе такое использование магнитного поля Земли не рассматривается. Общепринятой моделью магнитного поля Земли для целей ориентации является представление о Земле, как о большом сферическом магните, поле которого можно приписать короткому стержню, расположенному в центре Земли (см. рис. 2.1) [2]. Северный географический полюс Северный магнитный полюс

Магнитный стержень

Южный географический полюс Южный магнитный полюс

Рис. 2.1. Земное магнитное поле

26 Если вблизи поверхности Земли подвесить на нити за центр тяжести намагниченную спицу, то она сориентируется во вполне определённом направлении. Это направление вектора напряжённости магнитного поля. Проведём через спицу вертикальную плоскость. Её след на местной горизонтальной плоскости называется магнитным меридианом места. Магнитное поле Земли в каждой точке околоземного пространства принято характеризовать тремя числами: величиной напряжённости, магнитным склонением и магнитным наклонением [2]. Для целей ориентации существенны только угловые величины вектора напряжённости – магнитное склонение и магнитное наклонение. Единичный вектор, совпадающий по направлению с вектором напряженности магнитного поля, будем называть (единичным) вектором магнитного поля. Магнитным наклонением называют угол между местной горизонтальной плоскостью и вектором магнитного поля. Магнитным склонением называют угол между северным направлением истинного и магнитного меридианов места [3]. Вектор магнитного поля можно представить, и как обычный декартов вектор [2]. Проекция вектора магнитного поля на местную горизонтальную плоскость (обычно её называют горизонтальной составляющей магнитного поля) указывает местное направление на северный магнитный полюс. Вертикальную проекцию вектора напряжённости называют вертикальной составляющей магнитного поля и, как правило, считают мешающей и не используют. 2.2. Физические датчики магнитного поля 2.2.1. Магнитная стрелка Простейшим датчиком направления вектора напряжённости магнитного поля является уже упоминавшаяся выше намагниченная спица, подвешенная на нити за центр тяжести. На практике интересуются, как правило, только направлением горизонтальной проекции вектора напряжённости магнитного поля. Для этого используют магнитную стрелку, опирающуюся на иглу. Для уравнивания момента от силы, порождаемой вертикальной составляющей магнитного поля, магнитную стрелку делают неравновесной. Например, в используемых туристами и артиллеристами компасах Андрианова южный конец магнитной стрелки утяжелён специальным грузом. Поэтому один и тот же образец компаса такого типа не может быть использован глобально без перенастройки корректирующего груза. Широко известен также способ подвеса магнитной стрелки в жидкости на поплавках. Этот принцип используется в корабельных и

27 авиационных магнитных компасах для подвеса чувствительного магнитного элемента с «картушкой» компаса [5]. Для автоматического съёма информации о повороте магнитной стрелки («картушки»), как правило, используют индукционные датчики [4]. 2.2.2. Ферромагнитный зонд Для использования данных о направлении вектора напряжённости магнитного поля Земли в автоматических системах управления желательно получать эти данные в электрическом виде. Для этого с 40-х годов XX века широко используются ферромагнитные зонды (магнитонасыщенные магнитометры) [6]. Принцип действия ферромагнитного зонда тот же, что и у магнитного усилителя. На разомкнутый сердечник, состоящий из двух стержней из магнитомягкого материала, встречно наматывают две индукционные катушки. Одна из катушек является возбуждающей, другая – измерительной. Через возбуждающую катушку пропускают периодический импульсный ток. В отсутствие внешнего поля в измерительной катушке ЭДС не наводится. Внешнее магнитное поле нарушает симметрию катушек, и на выходе измерительной катушки появляются знакопеременные импульсы, по величине которых судят о величине приложенного внешнего магнитного поля. Низкий порог чувствительности, малые размеры (до нескольких миллиметров), отсутствие движущихся частей обусловили широкое применение ферромагнитных зондов в курсовых системах. Три взаимно перпендикулярных феррозонда позволяют измерять полный вектор напряжённости магнитного поля, то есть составляют векторный измеритель вектора магнитного поля. Для использования в вычислениях результаты измерений, как правило, нормируют, то есть приводят измеренный вектор к единичной длине. 2.3. Tрудности использования магнитного поля в трёхмерном пространстве 2.3.1. Изменения магнитного поля Магнитное поле Земли подвержено изменениям, как во времени, так и в пространстве. Эти изменения носят как регулярный, так и случайный характер. Случайные изменения снижают ценность магнитных измерений. В частности, из-за временных изменений магнитного поля не получил практического применения метод определения места объектов по магнитному полю с использованием заранее подготовленных карт магнитного поля Земли. Пространственные нерегулярные изменения магнитного поля называют аномалиями. Как правило, они обусловлены залеганием магнитных пород вблизи поверхности Земли.

28 Временные изменения магнитного поля делятся на регулярные и нерегулярные. Регулярные изменения называют вариациями или ходами и делят на вековые, годичные и суточные. Вековые вариации имеют период около 1000 лет. Изменения элементов земного магнетизма за год вследствие векового хода отмечают на навигационных картах и учитывают в виде поправок к навигационным расчётам. Годовые вариации имеют период один год и по своей малости не оказывают влияния на навигацию. Так же малы и не имеют значения для навигации и суточные ходы (за исключением районов магнитных полюсов) [2]. Непредсказуемые нерегулярные изменения земного магнетизма называются магнитными бурями. Предсказать поведение вектора магнитного поля Земли во время магнитной бури невозможно. Характерным временем заметного изменения магнетизма во время магнитной бури является 1 час [2]. 2.3.2. Влияние магнитных полей платформы Вредное влияние на показания датчика магнитного поля Земли оказывают собственные магнитные поля платформы, на которой установлен датчик. Эти поля порождаются как ферромагнитными элементами платформы, так и протекающими в бортовых цепях токами. Ошибки магнитного датчика, обусловленные собственными полями платформы, называются девиацией. На практике установлено, что при горизонтальном полёте, девиация магнитного комплекса складывается из постоянной, полукруговой и четвертной девиации: ∆=A+B*sinψ+C*cos*ψ+D*sin2ψ+E*cos2ψ, где

∆ – девиация, A, D, C, D, E – коэффициенты, определяемые экспериментально, ψ – магнитный курс. Девиацию реальной платформы измеряют в процессе специальных девиационных работ и тем или иным способом учитывают при использовании результатов магнитных датчиков в реальном полёте. Это обычная практика эксплуатации [7] воздушных судов. Наряду с описанной основной девиацией, существующей при горизонтальном положении платформы (самолёта, вертолёта), существует так называемая креновая девиация. Креновая девиация возникает при наклоне платформы по крену или тангажу относительно гиростабилизированного основания магнитного датчика. Причина возникновения креновой девиации заключается в изменении взаимного положения магнитного датчика и токоведущих цепей

29 платформы при наклоне платформы. Креновую девиацию на современных самолётах никак не устраняют, а просто отказываются от использования данных магнитного датчика при длительных наборах высоты и полётах по окружности [7]. Креновая девиация, в частности, как подтверждено лётными испытаниями, существенно ухудшает точность измерения координат целей с ДПЛА «Пчела». 2.3.3. Основная трудность ориентации по магнитному полю Принципиальная трудность ориентации по земному магнитному полю в трёхмерном пространстве состоит в неоднозначности определения направления на северный магнитный полюс, если неизвестна местная вертикаль (или горизонталь). В существующих магнитных компасах эта трудность проявляется в так называемой поворотной ошибке [4]. Поворотная ошибка по своим проявлениям очень похожа на креновую девиацию, но имеет совершенно иную природу, Поворотная ошибка возникает при наклоне самого магнитного компаса относительно местного горизонта. Это ситуация возникает при установке компаса без гиростабилизированного подвеса, непосредственно на платформе. Причиной поворотной ошибки является то, что магнитный датчик измеряет не только горизонтальную, но и вертикальную составляющую вектора магнитного поля. Поскольку вертикальная составляющая может многократно превосходить горизонтальную, то показания компаса могут не иметь ничего общего с действительностью [2]. Описанная трудность носит принципиальный характер и не может быть устранена без привлечения дополнительной информации. Данное утверждение доказывается математически в следующем подразделе. 2.4. Доказательство невозможности определения ориентации БАП только по измерениям магнитного поля Земли Трёхмерный вектор идеального измерения магнитного поля векторным измерителем, сопряжённым с осями связанной системы координат БАП может быть представлен в виде [10] H1=A(ψ, σ, γ)*H,

(2.1)

где H1 – измеренный вектор магнитного поля Земли в связанной с БАП системой координат, A – матрица вращения [9],

30 ψ, σ, γ – углы ориентации связанной системы координат БАП и векторного измерителя относительно земной системы координат (углы Эйлера - курс, тангаж крен [8, 9]), H - известный вектор магнитного поля в земной системе координат. Уравнение (2.1) неразрешимо однозначно относительно углов ориентации. Убедимся в этом. Рассмотрим матрицу вращения A: cosψ*cosσ

sinσ

-sinψ*cosσ

A (ψ, σ, γ) = sinψ*sinγ – cosσ* cosγ cosψ*sinσ*cosγ

cosψ*sinγ + sinψ*sinσ*cosγ

sinψ*cosγ + cosψ*sinσ*sinγ

cosψ*cosγ – sinψ*sinσ*sinγ

-cosσ*sinγ

(2.2) Вычислим якобиан [9] вектора H1=A(ψ, σ, γ)*H. cosψ*cosσ*Hx + sinσ*Hy – sinψ*cosσ*Hz H1=

{sinψ*sinγ –cosψ*sinσ*cosγ}*Hx + cosσ*cosγ*Hy + {cosψ*sinγ +sinψ*sinσ*cosγ}*Hz {sinψ*cosγ +cosψ*sinσ*sinγ}*Hx – cosσ*sinγ*Hy + {cosψ*cosγ – sinψ*sinσ*sinγ}*Hz

.

Без ограничения общности, но для простоты выкладок, можно положить Hz =0. Это означает, что ось X1 исходной земной системы координат расположена в той же вертикальной плоскости, что и вектор магнитного поля H. С учётом сделанного упрощения вектор H1 принимает следующий вид:

31 cosψ*cosσ*Hx + sinσ*Hy H1=

{sinψ*sinγ –cosψ*sinσ*cosγ}*Hx +cosσ*cosγ*Hy {sinψ*cosγ +cosψ*sinσ*sinγ}*Hx –cosσ*sinγ*Hy

(2.3) .

Матрица Якоби вектора H1:

∂H1(ψ, σ, γ)/ ∂(ψ, σ, γ) =

– cosσ*sinψ*Hx

∂Hx1/∂ψ

∂Hx1/∂σ

∂Hx1/∂γ

∂Hy1/∂ψ

∂Hy1/∂σ

∂Hy1/∂γ

∂Hz1/∂ψ

∂Hz1/∂σ

∂Hz1/∂γ

-cosψ*sinσ*Hx +cosσ*Hy

0

{cosψ*sinγ –cosψ*cosσ*cosγ*Hx + sinψ*sinσ*cosγ}*Hx –sinσ*cosγ*Hy

{sinψ*cosγ+ cosψ*sinσ*sinγ}*Hx –cosσ*sinγ* Hy

{cosψ*cosγ –sinψ*sinσ*sinγ}*Hx

{-sinψ*sinγ +cosψ*sinσ*cosγ}*Hx –cosσ*cosγ*Hy

cosψ*cosσ*sinγ*Hx +sinσ*sinγ*Hy

=

.

Для вычисления якобиана (определителя Det[∂H1(ψ,σ,γ)/∂(ψ,σ,γ)]) проведём эквивалентное (в смысле неизменности значения определителя) преобразование матрицы. Умножим вторую строку определителя на sinγ, третью строку – на cosγ и сложим их. Суммарную строку подставим на место второй строки. Затем наоборот, вторую строку определителя умножим на cosγ, третью строку – на sinγ и вычтем строки друг из друга. Разностную строку подставим на место третьей строки определителя:

Det[∂H1(ψ,σ,γ)/∂(ψ,σ,γ)] =

32 –cosσ*sinψ*Hx

–cosψ*sinσ*Hx +cosσ*Hy

0

cosψ*Hx

0

cosψ*sinσ*Hx –cosσ*Hy

sinσ*sinψ*Hx

–cosψ*cosσ*Hx –sinσ* Hy

sinψ*Hx .

Прибавим к третьей строке, умноженной на cosσ, первую строку, умноженную на sinσ. Det[∂H1(ψ,σ,γ)/∂(ψ,σ,γ)] = –cosσ*sinψ*Hx –cosψ*sinσ*Hx+cosσ*Hy 0 cosψ*Hx

0

cosψ*sinσ*Hx–cosσ*Hy

0

–cosψ*Hx

cosσ*sinψ*Hx .

Разложим определитель по первой строке: Det[∂H1(ψ,σ,γ)/∂(ψ,σ,γ)] = 0 –cosσ*sinψ*Hx*

cosψ*sinσ*Hx–cosσ*Hy

–cosψ*Hx

(-cosψ*sinσ*Hx+cosσ*Hy)*

–

cosσ*sinψ*Hx

cosψ*Hx 0

cosψ*sinσ*Hx–cosσ*Hy cosσ*sinψ*Hx

=0.

Равенство нулю якобиана Det[∂H1(ψ,σ,γ)/∂(ψ,σ,γ)] означает, что не существует обратной (2.1) функции, то есть, располагая знанием вектора измерения магнитного поля H1, невозможно однозначно определить вектор углов ориентации измерителя {ψ, σ, γ}T. Полученный результат имеет большую методическую ценность. Он позволяет нам не затрачивать времени на поиски алгоритма

33 измерения ориентации платформы, основанного только на измерениях магнитного поля, а сразу приступить к синтезу алгоритмов, использующих дополнительную информацию датчиков иной природы. Полученный результат имеет простую геометрическую трактовку, иллюстрируемую рис. 2.2. Вращение векторного измерителя магнитного поля вокруг оси, совпадающей с вектором магнитного поля, не изменяет величин проекций вектора магнитного поля на компоненты измерителя. Поэтому возможно бесконечное число ориентаций измерителя при неизменных проекциях вектора магнитного поля на компоненты измерителя.

Y1 X1

O Z1 Ось, вращение вокруг которой не ощущается измерителем

H

OX1Y1Z1 - векторный измеритель магнитного поля

Рис. 2.2. Геометрическая трактовка невозможности определения ориентации по измерению вектора магнитного поля

34 3. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ИЗМЕРЕНИЙ ВЕКТОРА МАГНИТНОГО ПОЛЯ НА БАП 3.1. Общий подход В предыдущей главе была математически доказана невозможность однозначного определения пространственной ориентации БАП только по измерениям магнитного поля Земли. Поэтому общий подход к синтезу алгоритмов определения ориентации подразумевает необходимость выбора того или иного датчика дополнительной информации для обеспечения набора измерений, обеспечивающего однозначное определение ориентации. Для выбора и обоснования набора измерений, и, соответственно, датчика дополнительной информации предлагается следующая методика. Сначала из инженерных соображений проводят выбор дополнительного датчика. Затем доказывают возможность определения ориентации БАП по векторному измерителю магнитного поля Земли и информации, предоставляемой дополнительным датчиком (датчиками). Для доказательства записывают уравнение измерений в виде системы уравнений (математической модели измерений): H1= A(ψ, σ, γ)*H X1= F(ψ, σ, γ, ω)

(3.1)

где H1 – измеренный вектор магнитного поля Земли в связанной с БАП системой координат, A – матрица вращения [9], ψ, σ, γ – углы ориентации связанной системы координат БАП и векторного измерителя относительно земной системы координат (углы Эйлера - курс, тангаж крен [8, 9]), H - известный вектор магнитного поля в земной системе координат, X1 - вектор измерения дополнительного датчика (датчиков), F – векторная функция, устанавливающая связь ориентации БАП и его вектора угловой скорости с вектором измерения дополнительного датчика (датчиков) X1, ω - вектор угловой скорости вращения БАП. Вычисляют якобиан системы уравнений (3.1). Если якобиан оказывается не равным нулю, то делают вывод о возможности определения ориентации БАП по данному набору измерений. Система уравнений (3.1), соответствующая выбранному набору измерений, является математической моделью измерения углов ориентации и/или угловых скоростей БАП по результатам измерения магнитного поля.

35 В дальнейшем для синтеза алгоритма либо строят вычислительную процедуру непосредственного решения системы уравнений (3.1), либо прибегают к синтезу алгоритма фильтрации интересующих данных методами нелинейной фильтрации [11]. 3.2. Невозможность использования маятника в качестве дополнительного датчика В авиации давно известно [11], что маятники (или акселерометры) не показывают истинного направления силы тяжести на борту самолёта. Это обусловлено принципом эквивалентности сил инерции и сил тяготения: маятник (акселерометр) не имеет возможности отделить силу тяжести от инерционных сил, возникающих при ускоренном движении самолёта. Несмотря на, казалось бы, общеизвестность данного факта, целесообразно ещё раз обратиться к его доказательству. На рисунке 3.1 схематично изображён маятник, находящийся на подвижном объекте, движущемся с ускорением а. a

α T

m*g Рис. 3.1. Маятник на подвижном объекте Будем считать, что маятник хорошо демпфирован и к рассматриваемому моменту его колебания затухли. На маятник действуют две силы: сила натяжения нити T и сила тяжести m*g. Наблюдение маятника на БАП заключается в измерении силы натяжения нити, конкретно - величины силы натяжения Т и

36 направления нити относительно БАП (на рисунке 3.1 – угла отклонения нити α). Уравнение 2-го закона Ньютона для маятника: m*a= m*g + T. Или, выражая наблюдаемый вектор Т: T=m*a-m*g.

(3.2)

Это уравнение создаёт иллюзию, что наблюдаемый вектор силы натяжения Т как-то связан с вектором ускорения свободного падения g, то есть с местной вертикалью. Рассмотрим природу ускорения a БАП. Пусть масса БАП равна М, и ускорение a приобретено под воздействием вектора негравитационных сил F и силы тяжести М*g в соответствии со вторым законом Ньютона: М*a= М*g + F.

(3.3)

Тогда, выражая из (3.3) ускорение a и подставляя его в (3.2), получим: T=m*g+ F*m/M -m*g.

(3.4)

Из уравнения (3.4) видно, что наблюдение маятника вообще не может дать информации о направлении силы тяжести, так как слагаемые, содержащие такую информацию, взаимно уничтожаются. Наблюдение маятника (так же, как и акселерометра) может дать информацию о всех силах, действующих на БАП, за исключением силы тяжести. Полученный результат в виде уравнения (3.4), хотя и не содержит научной новизны, имеет большую методическую ценность, так как позволяет сразу же отказаться от попыток синтеза алгоритмов с дополнительным датчиком на основе маятника (акселерометра). 3.3. Определение ориентации БАП при одном известном вертикальном угле 3.3.1. Существование решения при известном крене Проведённое в п.2.3.4 исследование показало, что уравнение измерения (2.1) H1=A(ψ, σ, γ)*H

37 неразрешимо однозначно относительно углов ориентации ψ, σ, γ. Рассмотрим возможность решения этого уравнения, если от дополнительного измерителя известен один из вертикальных углов (тангаж σ или крен γ). Пусть дополнительный измеритель предоставляет независимое измерение крена. Обозначим синус и косинус известного крена соответственно S и C. Тогда в соответствии с (2.3) вектор H1 может быть записан в виде: cosψ*cosσ*Hx + sinσ*Hy {sinψ*S –cosψ*sinσ*C}*Hx +cosσ*C*Hy

H1=

{sinψ*C +cosψ*sinσ*S}*Hx –cosσ*S*Hy

(3.5) .

В уравнениях (3.5), как и ранее, положено Hz=0. Как уже было показано, эти три уравнения не являются независимыми. Сведём их к двум уравнениям. Проведём некоторые алгебраические преобразования уравнения (3.5). Умножим второе уравнение на S, первое – на C и сложим эти уравнения, учитывая, что S2+C2=1: S*H1y+С*H1z= sinψ*Hx.

(3.6)

Теперь умножим второе уравнение на С, второе – на S и вычтем друг из друга: C*H1y-S*H1z= -C*S*cosψ*sinσ*Hx + cosσ*Hy

(3.7)

Первое уравнение (3.5) и уравнение (3.6) составляют cистему уравнений: H1y=

cosψ*cosσ*Hx + sinσ*Hy

(3.8)

S*H1y+C*H1z= sinψ*Hx Для установления разрешимости этой системы уравнений относительно ψ, σ рассмотрим якобиан det[∂Ф(ψ, σ)/ ∂(ψ, σ)], где cosψ*cosσ*Hx + sinσ*Hy Ф(ψ, σ)= sinψ*Hx

.

38

∂Ф1(ψ, σ)/ ∂ψ

∂Ф1(ψ, σ)/ ∂σ

∂Ф(ψ, σ)/ ∂(ψ, σ)=

= ∂Ф2(ψ, σ)/ ∂ψ

-sinψ*cosσ*Hx

∂Ф2(ψ, σ)/ ∂σ

-cosψ*sinσ*Hx + cosσ*Hy =

cosψ*Hx

0

=cosψ*Hx *(cosψ*sinσ*Hx - cosσ*Hy). В общем случае якобиан не равен нулю, то есть система уравнений (3.8), как правило, разрешима. Изучим особые точки, где якобиан обращается в нуль, а система уравнений (3.8) не имеет однозначного решения. Рассмотрим уравнение: 2 cosψ*H cos ψ*sinσ*H x *(cosψ*sinσ*H x - cosψ*cosσ*H x - cosσ*H y=0 y)=0

(3.9) (3.3.5)

Очевидное решение (3.9) и особая точка системы уравнений (3.8) – это cosψ=0, то есть направления, перпендикулярные вертикальной плоскости, в которой лежит вектор магнитного поля. Полагая cosψ≠0, определим другие решения, разделив уравнение на cosψ. cosψ*sinσ*Hx - cosσ*Hy=0.

(3.10)

Решения: cosψ=ctgσ* Hy /Hx.

(3.11)

Эти решения на практике не реализуются, так как угол тангажа σ БАП не превышает нескольких градусов, а отношение Hy/Hx >>1 (в средних широтах). Поскольку для системы уравнений (3.8) установлено существование особой точки, рассмотрим также систему уравнений, составленную из первого уравнения (3.5) и уравнения (3.7): H1y= cosψ*cosσ*Hx + sinσ*Hy C*H1y-S*H1z = -C*S*cosψ*sinσ*Hx + cosσ*Hy

(3.12)

39

Как и в предыдущем случае составим и вычислим якобиан системы: ∂Ф1(ψ, σ)/ ∂ψ

∂Ф1(ψ, σ)/ ∂σ

det[∂Ф(ψ, σ)/ ∂(ψ, σ)]=

= ∂Ф2(ψ, σ)/ ∂ψ

-sinψ*cosσ*Hx

∂Ф2(ψ, σ)/ ∂σ

-cosψ*sinσ*Hx + cosσ*Hy =

C*S*sinψ*sinσ*Hx

- cosσ sinψ*Hx*

-C*S*cosψ cosσ*Hx - sinσ*Hy

-cosψ*sinσ*Hx + cosσ*Hy =

C*S*sinσ

-C*S*cosψ cosσ*Hx - sinσ*Hy

= C*S*cosψ*sinψ* Hx. Из полученного выражения видно, что вторая пара уравнений менее выгодна. Во первых, сохраняется особая точка cosψ=0, а вовторых якобиан обращается в нуль при sinψ=0 и при нулевом крене (S=0). Поскольку полёт с нулевым креном является основным режимом движения БАП, то можно говорить о неприемлемости системы уравнений (3.12) для вычисления ориентации БАП. 3.3.2. Существование решения при известном тангаже Рассмотрим возможность решения уравнения измерений при известном тангаже. Как и выше, введём обозначения для известных синуса и косинуса тангажа, U и T соответственно. Проведём те же алгебраические преобразования уравнения (3.5), что и в предыдущем подразделе, но полагая крен неизвестным. Получим два уравнения:

-sinψ*Hx +sinγ*H1y+cosγ*H1z=0. cosγ * sinγ *cosψ*U*Hx + cosγ *H1y- sinγ *H1z= T*Hy

(3.13) (3.14)

40 Рассмотрим систему уравнений, составленную из первого уравнения (3.5) и уравнения (3.13): cosψ*cosσ*Hx + sinσ*Hy = H1x -sinψ*Hx +sinγ*H1y+cosγ*H1z= 0

(3.15) .

Якобиан системы равен: ∂Ф1(ψ, γ)/ ∂ψ

∂Ф1(ψ, γ)/ ∂γ

det[∂Ф(ψ, γ)/ ∂(ψ, γ)]=

= ∂Ф2(ψ, γ)/ ∂ψ

0

∂Ф2(ψ, γ)/ ∂γ

-cosψ*sinσ*Hx + cosσ*Hy =

cosψ*Hx

cosγ*H1y-sinγ*H1z

cosψ*Hx*(cosψ*sinσ*Hx - cosσ*Hy).

(3.16)

Полученный якобиан совпадает с якобианом системы уравнений (3.8), полученным при исследовании разрешимости уравнений при известном крене. Соответственно совпадают и условия, при которых якобиан не обращается в нуль. Рассмотрим систему уравнений, составленную из первого уравнения (3.5) и уравнения (3.14): cosψ*cosσ*Hx + sinσ*Hy = H1x - cosγ * sinγ *cosψ*U*Hx + cosγ *H1y- sinγ *H1z = = T*Hy

(3.17) .

Якобиан этой системы равен: ∂Ф1(ψ, γ)/ ∂ψ

∂Ф1(ψ, γ)/ ∂γ

det[∂Ф(ψ, γ)/ ∂(ψ, γ)]=

= ∂Ф2(ψ, γ)/ ∂ψ

∂Ф2(ψ, γ)/ ∂γ

41 -sinψ*cosσ*Hx

0 =

cosγ *sinγ *sinψ*U*Hx

cosψ*U*Hx - sinγ *H1y- cosγ *H1z

=-sinψ*cosσ*Hx*( cosψ*U*Hx - sinγ *H1y- cosγ *H1z). Из выражения для якобиана видно, что он обращается в нуль при sinψ=0, то есть при ориентации плоскости продольной симметрии БАП перпендикулярно вертикальной плоскости, содержащей вектор магнитного поля. Кроме того, существует возможность обращения якобиана в нуль при некоторых курсах и кренах БАП, удовлетворяющих уравнению: cosψ*U*Hx - sinγ *H1y- cosγ *H1z=0.

(3.18)

3.3.3. Оптимальный набор уравнений для определения ориентации БАП Проведённое исследование уравнений измерения ориентации БАП при одном известном вертикальном угле показывает, что оптимальными в смысле наименьшей области обращения якобиана в нуль являются системы уравнений (3.8) при известном крене и (3.13) при известном тангаже. Якобиан для обеих систем одинаков и обращается в нуль при cosψ=0, то есть при ориентации плоскости продольной симметрии БАП перпендикулярно вертикальной плоскости, содержащей вектор магнитного поля. Кроме этого, якобиан обращается в нуль при удовлетворении уравнения: cosψ=ctgσ* Hy /Hx. На практике это уравнение, скорее всего, удовлетворяться не будет, так как угол тангажа БАП мал (не более 20°), а отношение Hy/Hx>>1 (в средней полосе). При возможности измерения обоих вертикальных углов (тангажа σ и крена γ), как это имеет место при традиционном использовании векторных измерителей магнитного поля совместно с гироскопической вертикалью, целесообразно использовать совместно системы уравнений (3.8) и (3.14). При этом обращение в нуль якобиана системы (3.8) при cosψ=0 компенсируется тем, что при этом якобиан системы уравнений (3.14) не равен нулю. И, наоборот: при обращении в нуль при sin=0 якобиана системы уравнений (3.14) компенсируется неравенством нулю якобиана системы уравнений (3.8). Отметим, что даже при известности обоих вертикальных углов возможно обнуление якобианов обеих используемых систем уравнений при

42 удовлетворении уравнения (3.18), которое можно конкретизировать, подставляя cosψ=0: tgγ =H1z/H1y. Геометрический смысл этого уравнения – перпендикулярность вектора магнитного поля плоскости X1OY1 БАП. Понятно, что при таком положении БАП измерение вектора магнитного поля не содержит информации о курсе БАП. 3.4. Использование производных по времени 3.4.1. Увеличение размерности уравнения измерения Рассмотрим уравнения измерений (3.5) совместно с уравнениями производных по времени вектора H1. Вычисление производных dH1/dt разностным методом вполне допустимо, так как измерения магнитного поля не сопровождаются большими шумами. Уравнение измерений для производных имеет вид: dH1/dt= ∂[A(ψ, σ, γ)* H]/ ∂(ψ, σ, γ)* d{ ψ, σ, γ }T/dt

(3.19)

где

∂A(ψ, σ, γ)/ ∂(ψ, σ, γ) – матрица Якоби вектора (3.5). { ψ, σ, γ }T – вектор, составленный из углов ориентации БАП ψ, σ, γ, d{ ψ, σ, γ }T/dt – вектор, составленный из угловых скоростей изменения углов ориентации, будем для краткости в дальнейшем вектор угловых скоростей обозначать { ψ', σ', γ' }T. Уравнения (3.5) и (3.19) образуют новое векторное уравнение измерения с размерностью вдвое большей, чем исходное уравнение (3.5). Повышение размерности делает все выкладки с уравнениями весьма громоздкими, что затрудняет исследование расширенного векторного уравнения (3.5), (3.19). Для упрощения исследования применим математический аппарат матричного исчисления. Запишем уравнения (3.5), (3.19) в виде вектора, состоящего из двух векторных компонент: H1= Ф(H, Θ) (3.20) dH1/dt= ∂Ф(H, Θ)/∂Θ*Θ' где

,

Ф(H, ψ, σ, γ) – правая часть векторного уравнения (3.5), {H1, dH1/dt}T – расширенный вектор измерения,

43 T

{Θ, Θ'} ={ψ, σ, γ, ψ', σ', γ'}T – расширенный вектор ориентации. Обращаться с векторными компонентами расширенного векторного уравнения (3.20) следует аналогично скалярным компонентам обычного вектора. 3.4.2. Структура матрицы Якоби расширенного векторного уравнения измерений Запишем матрицу Якоби расширенного векторного уравнения (3.20):

T

T

∂{H1, dH1/dt} /∂{Θ, Θ' } =

∂H1/∂Θ

∂H1/∂Θ'

∂(dH1/dt)/∂Θ

∂(dH1/dt)/∂Θ'

(3.21) .

Учитывая, что ∂H1/∂Θ'≡0 (вектор H1 не зависит от вектора Θ'), меняя порядок дифференцирования и применяя правило дифференцирования сложной функции, получим:

T

T

∂{H1, dH1/dt} /∂{Θ, Θ' } =

∂H1/∂Θ

0

∂(∂H1/∂Θ*Θ')/∂Θ

0

,

где ∂H1/∂Θ*Θ' – выражение для dH1/dt. Поскольку второй столбец матрицы Якоби равен нулю, то определитель матрицы (якобиан) тоже равен нулю. Якобиан равен нулю и потому, что, как показано в подразделе 2.4 Det(∂H1/∂Θ)=0, в связи с чем разложение определителя матрицы по первой строке так же даёт нулевое значение якобиана. Можно показать (см. ниже), что и определитель Det(∂(∂H1/∂Θ*Θ')/∂Θ) также равен нулю. Таким образом, мы приходим к выводу, что расширение вектора измерений за счёт производных по времени не даёт возможности однозначного разрешения уравнения измерения относительно расширенного вектора ориентации {Θ, Θ' }T={ ψ, σ, γ, ψ', σ', γ' }T . 3.4.3. Вектор производных и его матрица Якоби Рассмотрим вектор производных измерения магнитного поля dH1/dt=∂H1/∂Θ*Θ'. Матрица Якоби для этого вектора может быть

44 записана в виде ∂(∂H1/∂Θ*Θ')/∂Θ', где ∂H1/∂Θ - матрица Якоби для нерасширенного вектора измерения H1: – cosσ*sinψ*Hx

-cosψ*sinσ*Hx +cosσ*Hy

0

∂H1/∂Θ= {cosψ*sinγ -cosψ*cosσ*cosγ*Hx {sinψ*cosγ+ + -sinσ*cosγ*Hy cosψ*sinσ*sinγ}*Hx sinψ*sinσ*cosγ}*Hx –cosσ*sinγ* Hy {cosψ*cosγ – sinψ*sinσ*sinγ}*H x .

cosψ*cosσ*sinγ*Hx +sinσ*sinγ*Hy

{-sinψ*sinγ +cosψ*sinσ*cosγ}*Hx –cosσ*cosγ*Hy

Вектор dH1/dt=∂H1/∂Θ*Θ': – cosσ*sinψ*Hx*ψ'+(-cosψ*sinσ*Hx +cosσ*Hy)*σ'

(3.22)

∂H1/∂Θ*Θ'= {cosψ*sinγ+ sinψ*sinσ*cosγ}*Hx*ψ' -{cosψ*cosσ*cosγ*Hx+sinσ*cosγ*Hy}*σ' +{{sinψ*cosγ+cosψ*sinσ*sinγ}*Hx –cosσ*sinγ* Hy}*γ' {cosψ*cosγ–sinψ*sinσ*sinγ}*Hx *ψ' +{cosψ*cosσ*sinγ*Hx +sinσ*sinγ*Hy}*σ' +{{-sinψ*sinγ . +cosψ*sinσ*cosγ}*Hx --cosσ*cosγ*Hy}*γ' . Легко видеть, что ∂(∂H1/∂Θ*Θ')/∂Θ'=∂H1/∂Θ. Таким образом, матрица Якоби для вектора производных совпадает с матрицей Якоби для вектора H1 и её якобиан тождественно равен нулю. При проведении преобразований системы уравнений (3.22), аналогичных преобразованиям в подразделе 3.3, при одной или двух известных составляющих производных углов ориентации можно получить два независимых уравнения для недостающих производных углов. Эти уравнения могут быть разрешены совместно с одной из полученных в подразделе 3.3 систем уравнений для углов ориентации. В виду громоздкости выкладок они здесь не приводятся, а описанный подход далее не рассматривается. Вместо этого предлагается простой оригинальный подход к

45 измерению угловых скоростей БАП, рассмотрение которого выделено в отдельную главу 4. 3.5. Выводы по математической модели измерения вектора магнитного поля Результаты аналитического исследования математической модели измерения вектора магнитного поля Земли на борту БАП позволяют сделать следующие выводы: • измерения вектора магнитного поля не позволяют однозначно определить ориентацию БАП. Причиной является сама геометрическая природа измерения, которая не может быть устранена алгоритмическим путём. • расширение вектора измерения за счёт производных магнитного поля по времени также не позволяет устранить неоднозначность определения ориентации БАП. Более того, вектор производных магнитного поля по времени сам не может быть однозначно разрешён относительно угловых скоростей углов ориентации БАП. • измерения кажущейся вертикали с помощью маятника или акселерометров в принципе не содержат информации относительно углов ориентации БАП и не могут быть использованы для устранения неоднозначности решения. • разрешимость измерений вектора магнитного поля относительно углов ориентации возможна только при привлечении независимых измерений одного или двух углов ориентации БАП. Даже в этом случае существуют области неоднозначности решения. Возможны различные варианты систем уравнений относительно углов ориентации БАП. В главе показаны оптимальные, в смысле минимизации области неоднозначности, варианты.

46 4. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ИЗМЕРЕНИЙ УГЛОВЫХ СКОРОСТЕЙ НА БАП 4.1. Скорость изменения измеренного вектора магнитного поля и угловая скорость БАП Рассмотрим вращение БАП с угловой скоростью ω и связанное с этим изменение измеренного вектора магнитного поля. Будем рассматривать не вращение БАП в земной системе координат со скоростью ω, а вращение измеренного вектора магнитного поля в связанной системе координат с угловой скоростью той же величины, но обратного знака. Поскольку модуль вектора магнитного поля не изменяется при вращении БАП, то все наблюдаемые изменения измеренного вектора магнитного поля связаны только с вращением БАП относительно вектора магнитного поля Земли. ω

O

-ωN

-ωT

H1

-ω

Рис. 4.1. Геометрия вращения вектора H1 Угловая скорость -ω вращения измеренного вектора магнитного поля H1 раскладывается на касательную (вдоль вектора H1) составляющую -ωT и нормальную (перпендикулярную вектору H1) составляющую -ωN. Касательная составляющая вектора угловой скорости ωT не вносит вклада в изменение измеренного вектора магнитного поля H1.

47 По определению угловой скорости [13], рассматривая вектор H1 как радиус-вектор, можно записать: dH1/dt=[-ω *H1], где квадратные скобки символизируют векторное произведение. Векторное произведение в координатной форме может быть представлено определителем:

dH1/dt=

i

j

k

-ω1x

-ω1y

-ω1z

H1x

H1y

H1z

,

где i, j, k – единичные направляющие векторы осей связанной системы координат. Раскрывая определитель по первой строке можно получить систему алгебраических линейных уравнений относительно составляющих вектора ω: dH1x/dt= -ω1y* H1z+ ω1z* H1y , dH1y/dt= +ω1x* H1z- ω1z* H1x , dH1z/dt= -ω1x* H1y+ ω1y* H1x .

(4.1)

Главный определитель системы (4.1):

Det41=

0

-H1z

H1y

H1z

0

-H1x

-H1y

H1x

0

.

Вычислим этот определитель. Умножим первую строку на H1x, а вторую – на H1y, сложим и подставим на место первой строки:

Det41=

H1z* H1y

-H1z* H1x

0

H1z

0

-H1x

-H1y

H1x

0

.

48

Умножим третью строку на H1z, сложим с первой строкой и подставим на место третьей строки:

Det41=

H1z* H1y

-H1z* H1x

0

H1z

0

-H1x

0

0

0

=0.

Поскольку вся третья строка определителя оказалась равной нулю, то определитель равен нулю. Это естественно, так как ещё выше было отмечено, что касательная составляющая угловой скорости ωT не влияет на производную измеренного вектора магнитного поля dH1/dt. Естественно, эта составляющая вектора угловой скорости не может быть восстановлена по наблюдениям dH1/dt. 4.2. Дополнение системы уравнений показаниями датчика угловой скорости 4.2.1. Дополнение за счёт ω1x Поскольку система уравнений (4.1) неразрешима однозначно относительно составляющих вектора угловой скорости, то необходимо дополнить уравнения (4.1) независимой информацией. Введём в состав измерений показания датчика угловой скорости ω1x. Обозначим W измеренную угловую скорость ω1x. Система уравнений (4.1) принимает вид: dH1x/dt= -ω1y* H1z+ ω1z* H1y , dH1y/dt= W * H1z- ω1z* H1x , dH1z/dt= - W * H1y+ ω1y* H1x .

(4.2)

Отбрасывая первое уравнение, получим непосредственные выражения для недостающих составляющих ω1y и ω1z угловой скорости БАП: ω1z= (W*H1z - dH1y/dt)/H1x ω1y= (W*H1y+ dH1z/dt)/H1x

, .

(4.3)

49 Система уравнений (4.3) позволяет получить все компоненты угловой скорости БАП по показаниям одного ДУСа и векторного измерителя магнитного поля Земли. Этот вывод имеет большое практическое значение, так позволяет создать дешёвый трёхмерный ДУС на основе одного реального ДУСа. Из рассмотрения системы уравнений (4.3) очевидно, что она разрешима только при H1x≠0. 4.2.2. Дополнение за счёт ω1y Пусть за счёт независимого измерения нам известна угловая скорость ω1y. Обозначим это измерение V. Тогда система уравнений (4.1) примет вид: dH1x/dt= -V* H1z+ ω1z* H1y , dH1y/dt= +ω1x* H1z- ω1z* H1x , dH1z/dt= -ω1x* H1y+ V* H1x .

(4.4)

Отбрасывая второе уравнение, получим выражения недостающих составляющих вектора угловой скорости: ω1z = (V*H1z+dH1x/dt)/H1y , ω1x = (V*H1x-dH1z/dt)/H1y .

для

(4.5)

4.2.3. Дополнение за счёт ω1z Пусть за счёт независимого измерения нам известна угловая скорость ω1z. Обозначим это измерение R. Тогда система уравнений (4.1) примет вид: dH1x/dt= -ω1y* H1z+ R* H1y , dH1y/dt= +ω1x* H1z- R* H1x , dH1z/dt= -ω1x* H1y+ ω1y* H1x .

(4.6)

Отбрасывая третье уравнение, получим выражения недостающих составляющих вектора угловой скорости: ω1y = (R*H1y-dH1x/dt)/H1z ω1x = (R*H1x+dH1y/dt)/H1z

, .

(4.7)

для

50 4.3. Наилучшее расположение единственного датчика угловой скорости Рассмотрение систем уравнений (4.3), (4.5), (4.7) показывает, что эти системы неразрешимы (знаменатель равен нулю) при равенстве нулю компоненты вектора магнитного поля, коллинеарной с измеряемой компонентой угловой скорости. При использовании двух перпендикулярных ДУСов при любой ориентации БАП возможно выбрать пару уравнений для восстановления третьей неизвестной компоненты вектора угловой скорости. Однако, по экономическим соображениям, представляет интерес использование только одного ДУСа. В этом смысле закономерен вопрос о наилучшем из трёх рассмотренных (по осям X1, Y1, Z1) положений ДУСа. Для средней полосы, там где вектор магнитного поля имеет вертикальную компоненту, существенно превосходящую горизонтальную, целесообразно располагать чувствительную ось ДУСа вдоль оси Z1 связанной системы координат БАП. Обнуление компоненты H1y возможно только при крене БАП равной наклонению вектора магнитного поля. При наклонении вектора магнитного поля 60° и более такое положение БАП абсолютно исключено, так как крен БАП не превышает, как правило, 30°. 4.4. Анализ погрешности измерения составляющих угловой скорости 4.4.1. Источники погрешности Для конкретности будем рассматривать уравнения (4.5) соответствующие размещению ДУСа вдоль вертикальной оси Y1 связанной системы координат БАП: ω1z = (V*H1z+dH1x/dt)/H1y , ω1x = (V*H1x-dH1z/dt)/H1y . где

V – измерение угловой скорости вращения БАП вокруг оси Y1. Погрешность вычисления составляющих вектора угловой скорости ω1z и ω1z возникает из-за погрешностей входных данных: V, H1x, H1y, H1z, а также погрешности численного дифференцирования (в рассматриваемом примере – погрешность вычисления производных dH1x/dt и dH1z/dt), которые, в свою очередь, зависят от погрешностей измерения H1x и H1z. Для наглядности запишем уравнения (4.5) в обобщённом виде: ω1z = F(V, dH1x/dt, H1y, H1z) ω1x = G(V, H1x, H1y, dH1z/dt)

, .

51 Погрешности измерения составляющих угловой скорости можно представить в виде полных дифференциалов функций F и G: δω1z = FV*δV+FdH1x/dt *δ (dH1x/dt) +FH1y*δH1y+ FH1z*δH1z δω1x = GV*δV+GH1x*δH1x +GH1y*δH1y+ GdH1z/dt *δ(dH1z/dt), где нижние индексы при F и G означают частные производные, например, FV=∂F/∂V. Следуя принятой в теории измерений терминологии, будем называть эти частные производные коэффициентами влияния первичного измерения на погрешность результата. В таблице 4.1 сведены все порождающие погрешности и их коэффициенты влияния. Первичное измерение

Выражение для коэффициента влияния Fζ при вычислении ω1z

Выражение для коэффициента влияния Gζ при вычислении ω1x

V - угловая скорость вокруг связанной оси Y1 H1x - составляющая вектора магнитного поля вдоль связанной оси X1 H1y - составляющая вектора магнитного поля вдоль связанной оси Y1 H1z - составляющая вектора магнитного поля вдоль связанной оси Z1

FV =H1z /H1y

GV =H1x /H1y

FdH1x/dt =1/ H1y

GH1x =V /H1y

FH1y=-ω1z/ H1y

GH1y=-ω1x/ H1y

FH1z =V /H1y

GdH1z/dt =-1/ H1y

52 4.4.2. Анализ влияния первичных погрешностей и геометрический смысл этого влияния Из таблицы 4.1 видно, что все коэффициенты влияния содержат один и тот же множитель, равный 1/ H1y. Чем больше этот множитель (чем меньше компонента вектора магнитного поля, направленная вдоль связанной оси Y1 БАП), тем больше погрешность определения неизвестных составляющих угловой скорости. Геометрический смысл этого явления заключается в следующем. Векторный измеритель магнитного поля в принципе не способен определить вращение вокруг вектора магнитного поля, так как показания измерителя при таком вращении не изменяются. Поэтому дифференцирование показаний измерителя позволяет определить составляющую угловой скорости, перпендикулярную вектору магнитного поля. Для того, чтобы определить полный вектор угловой скорости, необходим ДУС, ось чувствительности которого расположена не перпендикулярно к вектору магнитного поля. Если ДУС расположен перпендикулярно к вектору магнитного поля (в рассматриваемом случае это эквивалентно равентсву H1y =0), то ДУС не даёт новой информации о вращении БАП и полный вектор угловой скорости не определяется. Из таблицы 4.1 видно, что при уменьшении составляющей вектора магнитного поля вдоль оси, коллинеарной измеряемой компоненте угловой скорости, уменьшается влияние погрешности ДУСа. Это объясняется тем, что полный вектор угловой скорости становится почти перпендикулярным к вектору магнитного поля, и больше информации о полном векторе угловой скорости поступает за счёт дифференцирования показаний векторного измерителя магнитного поля. Показания ДУСа при этом имеют меньшее значение. При увеличении угловой скорости вокруг оси чувствительности ДУСа возрастают погрешности определения других составляющих вектора угловой скорости. Это объясняется увеличением роли показаний ДУСа при определении вектора полного угловой скорости и, соответственно, снижением роли векторного измерителя угловой скорости, информация которого и используется для вычисления других составляющих вектора угловой скорости. 4.4.3. Погрешность численного дифференцирования Рассматриваемый метод измерения полного вектора угловой скорости БАП основывается на численном дифференцировании показаний векторного измерителя магнитного поля. Поэтому важно рассмотреть погрешность численного дифференцирования при различных корреляционных свойствах погрешностей первичного измерения. Рассмотрим процедуру вычисления производной показаний одной из компонент векторного измерителя:

53 dH/dt=[H(tn)-H(tn-1)]/dt.

(4.8)

где

dt= tn- tn-1, H(tn), H(tn-1) - замеры показаний компоненты измерителя в (n-1)-й и n-й моменты времени. Шаг времени dt можно полагать измеряемым без какой-либо погрешности. Тогда текущая погрешность вычисления производной может быть представлена в виде: δ(dH/dt)=[δH(tn) - δH(tn-1)]/dt,

(4.9)

где δH(tn) и δH(tn-1) – погрешности измерения в соответствующие моменты времени. Статистические характеристики погрешности δ(dH/dt) зависят от статистических характеристик погрешности δH. Математические ожидания погрешностей измерения δH(tn) и δH(tn-1) равны, поэтому математическое ожидание их разности и, соответственно, математическое ожидание погрешности (4.9) равны нулю [14]. Дисперсия погрешности δ(dH/dt) определяется коррелированностью погрешностей δH(tn) и δH(tn-1). По определению дисперсии для случайной величины с нулевым математическим ожиданием[14]: D(dH/dt)= M {[δH(tn) - δH(tn-1)]/dt}2, где M – оператор вычисления математического ожидания. Используя свойства математического ожидания [14] и равенство математических ожиданий M{δH(tn)} и M{δH(tn-1)}, можно записать: D(dH/dt)=(1/dt)2*{M{δH(tn)2}+ M{δH(tn-1)2}-2*M{δH(tn)* δH(tn-1)}}= =2*(1/dt)2*{D{δH} –R(dt)}, где

(4.10)

D – оператор вычисления дисперсии, R(x)=M{δH(t)*δH(t-x)} – корреляционная функция погрешности δH(t).

Для практики важны два крайних случая: сильной и слабой корреляции погрешностей последовательных измерений.

54 Сильная корреляция, практически постоянство погрешности измерения во времени, имеет место в результате воздействия на измеритель магнитного поля постоянных собственных магнитных полей БАП, обусловленных, прежде всего, постоянно протекающими токами в оборудовании БАП. Слабо коррелированные погрешности (шумы) обусловлены шумом самого измерителя, шумом аналого-цифрового преобразователя и воздействием быстроменяющихся токов в интерфейсах и цифровых цепях БАП. На практике наибольшее влияние на работу измерителя магнитного поля оказывают постоянные (сильно коррелированные) погрешности. Шумовая погрешность, как правило, на порядок меньше постоянной погрешности. При постоянной погрешности измерения R(dt)=R(0)=D{δH}, D(dH/dt)=0, и погрешность вычисления производной по формуле (4.8) равна нулю. Слабо коррелированные погрешности, для которых R(dt)=0, дают погрешность вычисления производной D(dH/dt)=2*(1/dt)2*D{δH},

(4.11)

4.4.4. Дисперсия общей погрешности определения составляющих угловой скорости Пользуясь формулами п. 4.4.2 и 4.4.1 можно записать выражение для дисперсии общей погрешности определения составляющей угловой скорости. Пусть, для определённости, это будет составляющая угловой скорости ω1z. Погрешность определения этой составляющей равна (см. п.4.4.2): δω1z = FV*δV+FdH1x/dt *δ(dH1x/dt) +FH1y*δH1y+ FH1z*δH1z. Дисперсия погрешности в предположении независимости всех первичных погрешностей равна: D (δω1z) = FV2*D(δV)+FdH1x/dt2*D(δ(dH1x/dt))+FH1y2*D(δH1y)+ FH1z2*D(δH1z). Предположим, что все постоянные погрешности измерения составляющих вектора магнитного поля сняты за счёт предварительной тарировки измерителя (аналогично снятию девиации магнитных комасов), и все погрешности имеют только шумовой характер. Предположим также, что дисперсии погрешностей измерения всех трёх составляющих вектора магнитного поля равны между собой и равны DH. Обозначим дисперсию измерения угловой скорости ω1н ДУСом

55 Dω1y= D(δV)= D(δω1z). Тогда: 2 2 2 2 2 D (δω1z) = FV *Dω1y +{FdH1x/dt *2/dt *+FH1y + FH1z }*DH.

Подставляя выражения для коэффициентов влияния из таблицы 4.1, получим: 2 2 2 2 2 D (δω1z) = (1/H1y) *{(H1z) *Dω1y +{2/dt *+ ω1z + ω1y }*DH}.

(4.12)

Аналогично можно получить выражение для дисперсии шумовой погрешности измерения ω1x: 2 2 2 2 2 D (δω1x) = (1/H1y) *{(H1x) *Dω1y +{2/dt *+ ω1x + ω1y }*DH}.

(4.13)

Если учесть, что угловые скорости БАП имеют порядок 0,1 рад/с и не превышают 2 рад/с, а характерное время дискретизации dt равно 0,1 с, то можно пренебречь квадратами составляющих угловой скорости. Тогда выражения для дисперсий (4.12), (4,13) принимают вид: D (δω1z) =(1/H1y) 2*{(H1z)2*Dω1y +2*DH/dt2}, D (δω1x) =(1/H1y) 2*{(H1x)2*Dω1y +2*DH/dt2}.

(4.14)

Положим последовательно H1z =0 и H1x =0, отбрасывая влияние погрешности ДУСа. Получим оценку требований к шумовой погрешности измерения составляющих магнитного поля при заданной дисперсии определения составляющих угловой скорости: ε2 = D (δω)* dt2/2, ε =σω*dt/√2 .

(4.15)

где обозначено: ε = √DH/ H1y – относительная среднеквадратичная шумовая погрешность измерения составляющих вектора магнитного поля, σω=√D(δω) – допустимая среднеквадратичная погрешность определения составляющих угловой скорости. В таблице 4.2 приведена численная оценка требуемой относительной среднеквадратичной шумовой погрешности, выраженная в разрядах двоичного числа, как это принято при работе с аналого-цифровыми преобразователями.

56 Таблица 4.2. Численная оценка требуемой относительной среднеквадратичной погрешности определения составляющих магнитного поля σω, рад/с

dt, 1/с

lg2λ

0,01

0,10

-11,00

Требования к точности измерителя магнитного поля являются достаточно высокими. Как видно из (4.15) требуемая относительная среднеквадратичная шумовая погрешность измерения составляющих вектора магнитного поля ε пропорциональна временному интервалу dt, то есть, связана с вычислением производных измерений вектора магнитного поля. Для обеспечения точности естественно прибегнуть к усреднению (фильтрации). Способы повышения точности измерения составляющих угловой скорости за счёт применения математического аппарата теории нелинейной фильтрации рассматриваются в следующей главе. 4.5. Выводы по математической модели измерения угловой скорости Результаты аналитического исследования математической модели измерения вектора угловой скорости по измерениям магнитного поля Земли на борту БАП позволяют сделать следующие выводы: • измерения вектора магнитного поля не позволяют однозначно определить вектор угловой скорости БАП. Причиной является сама геометрическая природа измерения, которая не может быть устранена алгоритмическим путём. • разрешимость измерений вектора магнитного поля относительно углов ориентации возможна только при привлечении независимых измерений одной или двух составляющих вектора угловой скорости БАП. Даже в этом случае существуют области неоднозначности решения. • возможны различные варианты систем уравнений относительно составляющих вектора угловой скорости БАП. В главе показаны оптимальные, в смысле минимизации области неоднозначности, варианты. Так, при использовании единственного дополнительного датчика угловой скорости признано оптимальным располагать ось чувствительности ДУСа вдоль связанной оси Y1.

57 • основной погрешностью при вычислении составляющих угловой скорости через измерения вектора магнитного поля является погрешность численного дифференцирования составляющих вектора магнитного поля, обусловленная шумовой погрешностью измерителя. В главе получено аналитическое выражение для погрешности вычисления составляющих угловой скорости и дана численная оценка требований к шумовой погрешности измерителя. Для уменьшения влияния шумовой погрешности необходимо прибегнуть к фильтрации измерений.

58 5. СИНТЕЗ СИСТЕМЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕКТОРА УГЛОВОЙ СКОРОСТИ БАП МЕТОДОМ НЕЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ 5.1. Природа и характер погрешностей измерения магнитного поля Измерение составляющих вектора магнитного поля происходит на фоне погрешностей, которые можно разделить на постоянные (строго говоря, сильно коррелированные) погрешности и шумовые погрешности. Постоянные (сильно коррелированные) погрешности обусловлены собственными магнитными полями БАП, которые, в свою очередь, вызваны протекающими в цепях бортового оборудования БАП. Шумовые (слабо коррелированные) погрешности обусловлены, в первую очередь, шумом самого измерителя магнитного поля и быстро изменяющимися переменными токами в интерфейсах и других цифровых цепях БАП. Для борьбы с постоянными погрешностями рекомендуется применять тарировку измерителя в составе БАП (снятие девиации). Снятие девиации целесообразно проводить для всех режимов работы БАП, например, при включённой и выключенной целевой нагрузке, при включённом и выключенном двигателе и т.п. Результаты снятия девиации должны заносится в энергонезависимую память бортовой ЭВМ БАП, и использоваться при исполнении программ обработки данных измерителя магнитного поля. Шумовые погрешности имеют случайный характер и не могут быть учтены заранее. Для уменьшения вредного влияния шумовых погрешностей применяют те или иные методы накопления информации и усреднения погрешностей (фильтрацию). Одним из наиболее проработанных методов синтеза алгоритмов фильтрации является математический аппарат теории нелинейной фильтрации [11]. 5.2. Краткие сведения о математическом аппарате нелинейной фильтрации 5.2.1. Общие сведения Теория нелинейной фильтрации базируется на теории марковских процессов и служит для оптимальной (как правило, в смысле минимума среднеквадратичной погрешности) оценки параметров сигналов. Теория нелинейной фильтрации предполагает нелинейную связь наблюдаемых сигналов и оцениваемых параметров. Известная теория фильтров Калмана-Бьюси является линейным частным случаем теории нелинейной фильтрации.

59 Мы будем использовать методики известных отечественных специалистов в области нелинейной фильтрации В.И. Тихонова и Н.К. Кульмана [11], базирующиеся на фундаментальных исследованиях Р.Л. Стратоновича [15]. 5.2.2. Общая постановка одномерной задачи нелинейной фильтрации в гауссовом приближении Задача нелинейной фильтрации в гауссовом приближении формулируется, как правило, следующим образом. 1.Наблюдается реализация случайного процесса, представляющего собой аддитивную смесь полезного сигнала и шума: y(t)=s(t, λ(t))+nШ(t),

(5.1)

где

s(t, λ(t)) – полезный сигнал, λ(t) – требующий оценки параметр (сообщение), nШ(t) – шум (погрешности) наблюдения. Сообщение λ(t) и шум наблюдения nШ(t) являются независимыми процессами. 2. Шум nШ(t) является белым шумом с нулевым математическим ожиданием M(nШ(t))=0 и дельта-функцией корреляции M(nШ(t1)* nШ(t2))=(1/2)*N0*δ(t2- t1), где N0 – известная односторонняя спектральная плотность шума наблюдения. 3. Сообщение λ(t) является марковским случайным процессом [16], задаваемым стохастическим дифференциальным уравнением: dλ(t)/dt=a(λ(t))+ nФ(t), где

(5.2)

a(λ(t)) – известная функция, nФ(t) – формирующий белый шум с нулевым математическим ожиданием и известной односторонней спектральной плотностью M0. 4. Требуется наилучшим (оптимальным) образом решить, какая именно реализация сообщения λ(t) присутствует в наблюдаемой реализации y(t). Теория нелинейной фильтрации доказывает, что апостериорная плотность вероятности сообщения λ(t), содержащая всю информацию о сообщении λ(t) описывается интегродифференциальным

60 уравнением Стратоновича [11, 15]. В гауссовом (квазилинейном) приближении теории нелинейной фильтрации предполагается, что апостериорная плотность вероятности сообщения λ(t) является гауссовой (нормальной). В этом случае апостериорная плотность вероятности описывается всего двумя параметрами – математическим ожиданием и дисперсией. В качестве оптимальной оценки сообщения λ(t) полагается математическое ожидание апостериорной плотности вероятности λ*(t). Изложенная постановка задачи может быть обобщена и на случай векторного наблюдения. 5.2.3. Решение задачи нелинейной фильтрации в гауссовом приближении В гауссовом приближении наилучшая оценка сообщения λ(t) получается решением дифференциальных уравнений: dλ*(t)/dt= a(λ*(t))+k(t)*F′(t, λ*(t)), dk(t)/dt=-2*α*k(t)+k2(t)*F′′(t, λ*(t))+b,

(5.3)

где

k(t) – оценка дисперсии апостериорной плотности вероятности, F(t, λ*(t)) =-(1/N0)*[y(t)-s(t, λ(t))]2 – функция правдоподобия, штрихи означают производные по λ в точке λ*, α=-da(λ)/dλ|λ=λ* - коэффициент сноса, b=(1/2)*M0 – коэффициент диффузии. 5.2.4. Нелинейная фильтрация ненаблюдаемой производной марковского процесса В арсенале методик, наработанных за время существования теории нелинейной фильтрации, для нашей задачи представляет интерес задача фильтрации ненаблюдаемой производной сообщения. Решение этой задачи не является тривиальным в том смысле, что оптимальная оценка производной сообщения не совпадает с производной оптимальной оценки сообщения. Рассмотрим каноническую постановку упомянутой задачи. 1.Наблюдается реализация случайного процесса, представляющего собой аддитивную смесь полезного сигнала и шума: y(t)=s(t, λ1(t), λ2(t))+nШ(t), где

(5.4)

s(t, λ1(t), λ2(t)) – полезный сигнал, λ1(t) – требующий оценки параметр (сообщение), λ2(t) – производная сообщения по времени (скорость изменения сообщения), nШ(t) – шум (погрешности) наблюдения.

61 Сообщение λ1(t) и шум наблюдения nШ(t) являются независимыми процессами. 2. Производная сообщения является ненаблюдаемой в смысле: s(t, λ1(t), λ2(t))= s(t, λ1(t)) или ds(t, λ1(t), λ2(t))/dλ2=0. 3. Требуется наилучшим (оптимальным) образом решить, какая именно реализация сообщения λ1(t) присутствует в наблюдаемой реализации y(t) и какова скорость λ2(t) изменения сообщения. Теория нелинейной фильтрации предлагает оптимальное в гауссовом приближении решение. Решение находят как для многомерного сообщения, рассматривая векторное сообщение λ(t))={λ1(t), λ2(t))}T (см. ниже п. 5.2.6). Оптимальная оценка производной сообщения равна: λ*2(t)=dλ*1(t)/dt- k(t)*F′(t, λ*(t)). Более подробно с решением сформулированной задачи можно познакомиться в [11]. 5.2.5. Стационарная фильтрация Алгоритм нелинейной фильтрации (5.3) состоит из двух дифференциальных уравнений. Первое дифференциальное уравнение формирует оптимальную в гауссовом приближении оценку сообщения. Эта оценка совпадает с математическим ожиданием нормальной апостериорной плотности вероятности. Второе дифференциальное уравнение даёт оценку дисперсии нормальной апостериорной плотности вероятности. Эта оценка при решении первого дифференциального уравнения играет роль коэффициента усиления рассогласования наблюдаемого сигнала y(t) и функции сигнала при значении сообщения, равном текущей оценке сообщения. Обобщённая структурная схема алгоритма нелинейной фильтрации приведена на рис. 5.1. Структурная схема алгоритма фильтрации содержит два канала: канал оценки сообщения и канал оценки дисперсии оценки сообщения. Алгоритм является нестационарным в том смысле, что дисперсия оценки изменяется. Сначала дисперсия оценки равна априорной дисперсии, затем постепенно сходится к некоторому установившемуся значению. При многомерном наблюдении кроме дисперсий оценок в канале дисперсий формируются и взаимные дисперсии, которые могут быть и отрицательными. С целью

62 сокращения объёма вычислений при реализации алгоритма нелинейной фильтрации дисперсию текущей оценки часто заменяют её установившимся значением. В этом случае канал оценки дисперсии исключается, а сам квазиоптимальный алгоритм называют алгоритмом стационарной нелинейной фильтрации.

y(t)

Канал вычисления оценки (математического ожидания апостериорной плотности вероятности)

λ*(t)

k(t) Канал вычисления оценки дисперсии апостериорной плотности вероятности

Рис. 5.1. Обобщённая структурная схема алгоритма нелинейной фильтрации

Установившееся значение дисперсии вычисляют либо путём предварительного математического моделирования нестационарного алгоритма фильтрации, либо из каких-либо априорных инженерных соображений. При синтезе стационарного алгоритма нелинейной фильтрации ограничиваются синтезом только канала оценок (первого уравнения (5.3)). Так же будем поступать и мы. 5.2.6. Распространение алгоритма нелинейной фильтрации на многомерное наблюдение Алгоритм нелинейной фильтрации п. 5.2.3 несложным образом может быть распространён на случай наблюдения векторного процесса y(t)={yα(t), α=1, ρ} и векторного наблюдения λ(t)= {λµ(t), µ=1,r}. В скалярном виде уравнение оценки i-го параметра имеет вид: ρ ρ r * * -1 * λ i(t)=ai(λ , t)+2*Σ Σ (N )αβ*[yα(t)-sα(λ ,t)]*Σ k iµ*∂sβ(λ* ,t)/ ∂λµ. (5.5) α=1 β=1

µ=1

В дифференциальном уравнении (5.5) (N-1)αβ – элементы матрицы, обратной матрице односторонних спектральных плотностей сопровождающих шумов наблюдения, а функции ai(λ*, t) – составляющие векторной функции типа (5.2). При независимых шумах

63 наблюдения диагональные элементы матрицы N шумов наблюдения равны нулю. Дифференциальное уравнение для дисперсий оценок здесь не приводится (см. [11]). Отметим только, что взаимные дисперсии оценок параметров могут принимать произвольный знак. Алгоритм (5.5) является основой для синтеза алгоритма фильтрации составляющих угловой скорости БАП. 5.2.7. Априорная трудность в теории нелинейной фильтрации и стационарная фильтрация Алгоритмы нелинейной фильтрации предполагают априорное знание о шумах наблюдения, сигналах и сообщениях. Априорное знание формулируют в виде математической модели. На основании математической модели однозначно синтезируется алгоритм нелинейной фильтрации. Можно сказать, что априорная информация, заданная в виде математической модели, однозначно определяет алгоритм нелинейной фильтрации. Математическая модель для синтеза алгоритма нелинейной фильтрации содержит следующую информацию: • аналитическую запись функциональной связи вектора сигналов s(λ ,t) и вектора сообщения (оцениваемых параметров) λ(t) • матрицу спектральных плотностей шумов наблюдения N • априорное стохастическое уравнение типа (5.2), описывающее вектор сообщения как многомерный марковский процесс и его количественные параметры, в том числе спектральные плотности формирующих шумов. В реальной практике априорные знания никогда не соответствуют реальной ситуации полностью. Однако степень достоверности различных априорных данных различна. Наиболее точным априорным знанием является, как правило, знание функциональной связи сигнала и сообщения. Это имеет место и в нашем случае (см. главы 3 и 4). Довольно достоверно известны, как правило, шумы наблюдения. Априорное стохастическое уравнение для вектора сообщения, как правило, известно довольно достоверно, однако формирующие шумы могут изменяться от одного случая к другому. В рассматриваемом нами приложении спектральная плотность формирующих шумов определяется интенсивностью возмущающих воздействий, действующих на БАП, то есть зависит от погоды. Необходимость знания математической модели для синтеза оптимального алгоритма нелинейной фильтрации носит название априорной трудности в теории нелинейной фильтрации. Объём экспериментальных сведений, и сама природа фильтруемых сообщений не позволяют однозначно и определённо задать

64 параметры исходной математической модели. Поэтому и синтезированный алгоритм оказывается в реальной ситуации неоптимальным. В этой ситуации становится нецелесообразным скрупулёзно синтезировать весь алгоритм фильтрации. Один из выходов из априорной трудности заключается в синтезе стационарного квазиоптимального алгоритма фильтрации (см. п. 5.2.5). При этом воспроизводится оптимальная структура алгоритма фильтрации (канала оценок), а коэффициенты усиления синтезированного канала оценок подбираются математическим моделированием и экспериментальным путём. При таком подходе отпадает необходимость в точном априорном знании спектральных плотностей сопровождающих и формирующих шумов, входящих в коээфициенты усиления канала оценок (5.5). С учётом этого можно представить дифференциальное уравнение (5.5) в несколько упрощённом виде: r

λ*i(t)

= ai(λ , t) + Σ *

ρ

ρ

Σ Σ µ=1α=1 β=1

K iµ αβ*[yα(t)-sα(λ* ,t)] *∂sβ(λ* ,t)/ ∂λµ.

где Kiαβµ – коэффициенты усиления алгоритма. Порядок суммирования для удобства дальнейшего использования уравнения изменён. При независимости шумов наблюдения недиагональные элементы матрицs N (и N-1 в (5.5)) равны нулю. Это позволяет ещё несколько упростить уравнение, поскольку коэффициенты усиления Kiαβµ=0 при α=β: r

λ*i(t)

= ai(λ , t) + Σ *

ρ

Σ KI µ=1α=1

µα

*[yα(t)-sα(λ* ,t)] *∂sα(λ* ,t)/ ∂λµ.

(5.6)

5.3. Задача фильтрации и адаптация математической модели 5.3.1. Краткий обзор имеющихся математических моделей и выбор решаемой задачи нелинейной фильтрации В главах 3 и 4 получены математические модели функциональной связи наблюдаемого на борту БАП вектора магнитного поля с углами ориентации БАП и угловыми скоростями вращения БАП в связанной системе координат. В главах 3 и 4 показано, что невозможно извлечь полную информацию об ориентации и векторе угловой скорости БАП только за счёт использования измерений вектора магнитного поля. Для обеспечения разрешимости полученных систем уравнений необходимо

65 привлечение дополнительной информации либо об одном-двух углах ориентации БАП, либо об одной-двух составляющих вектора угловой БАП в связанной системе координат. Предпочтительным является вариант дополнения измерений вектора магнитного поля измерениями одной составляющей угловой скорости БАП. Показано, что наилучшим размещением датчика угловой скорости является размещение чувствительной оси ДУСа вдоль связанной оси Y1. Математические модели глав 3 и 4 могут быть объединены в единую математическую модель за счёт известной кинематической связи угловых скоростей в связанной системе координат с производными углов Эйлера ψ, σ, γ (см., например, [8]). На базе объединённой математической модели и, опираясь на алгоритм пп. 5.2.6, 5.2.7 можно сформулировать и решить задачу нелинейной фильтрации углов ориентации и угловых скоростей по измерениям вектора магнитного поля и дополнительного датчика информации, например, одного или двух ДУСов. Ограниченный объём диссертации не позволяет полностью раскрыть решение задачи нелинейной фильтрации на такой объединённой математической модели ввиду громоздкости самой математической модели и соответствующего ей алгоритма фильтрации. В настоящей работе мы ограничиваемся постановкой и решением задачи нелинейной фильтрации угловых скоростей БАП в связанной системе координат на основе математической модели главы 4. Рассматриваемые постановка и решение задачи оригинальны и обладают научной новизной. 5.3.2. Постановка задачи фильтрации составляющих угловой скорости. Адаптация математической модели Сформулируем задачу, придерживаясь терминологии теории нелинейной фильтрации. 1. Наблюдается реализация векторного случайного процесса y(t)=s(λ(t), t)+nШ(t), (5.7) где вектор y(t) – измерения, поступающие с векторного измерителя магнитного поля, расположенного по связанным осям, сопровождаемые шумовой погрешностью, вектор s(λ(t)), t)=H1={H1x, H1y, H1z}T – истинные (незамаскированные шумовой погрешностью) измерения вектора магнитного поля, неизвестные априори, λ(t) – вектор сообщения или оцениваемых параметров (см. ниже), nШ(t) – вектор шумовых погрешностей типа белого шума с диагональной матрицей (1/2)*N равных односторонних спектральных плотностей:

66 (1/2)*N0 0 0

0 (1/2)*N0 0

0 0 (1/2)*N0

Дополнительное измерение составляющей угловой скорости будем полагать абсолютно точным (измеряемым без погрешности). Это объясняется сравнительно существенно более высокой относительной точностью измерения угловой скорости ДУСом по сравнению с измерениями магнитного поля и стремлением не увеличивать чрезмерно размерность задачи. 2. Научная новизна и оригинальность представляемой постановки задачи определяются выбором вектора сообщения (оцениваемых параметров) λ(t). Предлагаемый вектор сообщения: λ(t)={H1x, H1y, H1z, ω1x, ω1z, ω1y}T. Априорные стохастические компоненты вектора сообщения:

уравнения,

dH1x/dt= -ω1y* H1z+ ω1z* H1y , dH1y/dt= +ω1x* H1z- ω1z* H1x , dH1z/dt= -ω1x* H1y+ ω1y* H1x .

(5.8) описывающие

(5.9)

Априорно неизвестные составляющие угловой скорости ω1x, ω1y и ω1z предлагается описать марковскими процессами первого порядка: dω1x/dt= - (1/T1x)*ω1x + nФ1x, dω1y/dt= - (1/T1y)*ω1y + nФ1y, dω1z/dt= - (1/T1z)*ω1z + nФ1z,

(5.10)

где T1x, T1y и T1z – постоянные времени составляющих вектора угловой скорости БАП, nФ1x, nФ1y и nФ1z – формирующие белые шумы с односторонними спектральными плотностями M0Ф1x, M0Ф1y и M0Ф1z. Как показано в главе 4, система уравнений относительно полного вектора угловой скорости неразрешима однозначно. Для разрешимости системы уравнений необходимо привлечение дополнительной информации, например, показаний ДУСа с осью чувствительности, ориентированной по связанной оси Y1. Дополнительную информацию о составляющей угловой скорости ω1y будем вводить уже в синтезированный алгоритм. 3. Требуется наилучшим (оптимальным) образом решить, какая именно реализация сообщения λ(t) присутствует в наблюдаемой

67 реализации y(t) и каковы составляющие угловой скорости ω1x и ω1z, ненаблюдаемые явно. 5.4. Алгоритм нелинейной фильтрации составляющих вектора угловой скорости БАП Синтез стационарного квазилинейного алгоритма нелинейной фильтрации составляющих угловой скорости БАП заключается в конкретизации алгоритма (5.6) в соответствии с адаптированной математической моделью п. 5.3.2. Специальный вид матрицы производных вектора сигналов по вектору оцениваемых параметров:

*

∂s(λ ,t)/ ∂λ=

по H1x

по H1y

по H1z

по ω1x

по ω1y

по ω1z

1 0 0

0 1 0

0 0 1

0 0 0

0 0 0

0 0 0

позволяет ещё более упростить дифференциальное уравнение канала оценок, оставив только умножения на ∂sα(λ* ,t)/ ∂λµ =1 при α=µ и исключив суммирование по µ: ρ

λ*i(t) = ai(λ*, t) + Σ K iα*[yα(t)-sα(λ* ,t)]. α=1

(5.7)

Окончательный вид алгоритма фильтрации: dH*1x/dt = dH*1y/dt = dH*1z/dt = dω*1x/dt = dω*1y/dt = dω*1z/dt =

-ω*1y* H*1z+ ω*1z* H*1y + ΦH1x, +ω*1x* H*1z- ω1z* H*1x + ΦH1y, -ω*1x* H*1y+ ω1y* H*1x + ΦH1z, - (1/T1x)*ω*1x + Φω1x, - (1/T1y)*ω*1y + Φω1y, - (1/T1z)*ω*1z + Φω1z,

(5.8)

где обозначено: ΦH1x= ΦH1y = ΦH1z = Φω1x = Φω1y = Φω1z =

K11*(yH1x(t)–H*1x)+ K12*(yH1y(t)–H*1y)+ K13*(yH1z(t)–H*1z), K21*(yH1x(t)–H*1x)+ K22*(yH1y(t)–H*1y)+ K23*(yH1z(t)–H*1z), K31*(yH1x(t)–H*1x)+ K32*(yH1y(t)–H*1y)+ K33*(yH1z(t)–H*1z), K41*(yH1x(t)–H*1x)+ K42*(yH1y(t)–H*1y)+ K43*(yH1z(t)–H*1z), K51*(yH1x(t)–H*1x)+ K52*(yH1y(t)–H*1y)+ K53*(yH1z(t)–H*1z), K61*(yH1x(t)–H*1x)+ K62*(yH1y(t)–H*1y)+ K63*(yH1z(t)–H*1z),

(5.9)

68 Алгоритм нелинейной фильтрации (5.8), (5.9) имеет оптимальную в гауссовом приближении структуру. Отклонением от оптимальности является стационарность алгоритма, то есть постоянство его коэффициентов. Алгоритм содержит 18 коэффициентов усиления. Вопрос подбора коэффициентов будет рассмотрен позднее. На рис. 5.2 изображена структурная схема алгоритма. Из структурной схемы видно, что алгоритм нелинейной фильтрации представляет собой многоконтурную нелинейную следящую систему. Эта система может быть условно разделена на две части: дискриминаторную и фильтрующую. Дискриминаторная часть алгоритма формирует сигналы рассогласования Ф. Фильтрующая часть представляет собой вторичные следящие кольца, выходными сигналами которых являются оценки составляющих векторов магнитного поля Земли и угловой скорости БАП. Вся система охвачена кольцом главной обратной связи. Главная обратная связь обеспечивает сравнения непосредственно поступающих с векторного измерителя магнитного поля данных y(t) с оценками составляющих вектора магнитного поля H*1. В структурной схеме показаны точки ввода априорной информации от ДУСов. Как показано в главе 4, необходимо вводить априорную информацию хотя бы об одной составляющей угловой скорости БАП. В противном случае однозначное определение составляющих вектора угловой скорости невозможно. Наилучшим вариантом ввода априорной информации от единственного датчика угловой скорости признан вариант ввода априорной угловой скорости ω1y. Рассмотрение структурной схемы позволяет упростить дискриминаторную часть алгоритма и сократить количество неизвестных коэффициентов усиления алгоритма. Оцениваемые параметры – составляющие вектора магнитного поля Земли и вектора угловой скорости БАП обладают свойствами ортогональности. Это свойство никак не выражено в аналитической записи математической модели. Между тем, очевидно, что измерения yH1y и yH1z не содержат никакой информации относительно составляющей вектора магнитного поля H1x. Поэтому коэффициенты усиления K12 и K13 могут быть положены равными нулю. Аналогично можно заключить, что yH1y не содержит информации о составляющей угловой скорости ω*1x. Поэтому можно полагать равным нулю коэффициент усиления K41. Аналогично можно придти к выводу о равенстве нулю коэффициентов K21, K23, K31, K32, K52, K63. Равные нулю коэффициенты показаны на структурной схеме мелким шрифтом. Из соображений равноправности можно считать, что K11= K22=K33=KH, а K42= K43= K51= K53= K61= K62=Kω. Таким образом, количество неизвестных коэффициентов алгоритма фильтрации уменьшено с 18 до всего 2.

69

K21=0

Σ

H*1x

ΦH1y

K41=0

K51

1/p

-

-

K31=0

yH1x

H*1x

ΦH1x

K11

Σ

1/p

-

Σ

K61 K12=0

Σ

Σ

H*1y

ΦH1z

1/p

H*1z

x x Σ

K32=0

-

K42 K52=0

H*1y

Σ

Φω1x

Σ

Φω1y

H*1z

K63=0

1/p

ω*1y ω1yАпр

1/T1y

K43 K53

ω1xАпр

-

K33

-

x

ω*1x

1/T1x

K13=0

yH1z

1/p

x

-

K62

K23=0

x

-

K22

yH1y

x

Φω1z

1/p

Σ -

1/T1z

ω*1z ω1zАпр

Рис. 5.2. Структурная схема квазиоптимального алгоритма нелинейной фильтрации

70 В связи с проведённым сокращением количества коэффициентов усиления алгоритма уравнения (5.9) можно переписать в упрощённом виде: ΦH1x= ΦH1y = ΦH1z = Φω1x = Φω1y = Φω1z =

KH*(yH1x(t)–H*1x), KH*(yH1y(t)–H*1y, KH*(yH1z(t)–H*1z), Kω*(yH1y(t)–H*1y)+ Kω*(yH1z(t)–H*1z), Kω*(yH1x(t)–H*1x)+ Kω*(yH1z(t)–H*1z), Kω*(yH1x(t)–H*1x)+ Kω*(yH1y(t)–H*1y).

(5.10)

Следует ещё раз отметить, что синтезированный алгоритм (5.8), (5.10) отличается от оптимального в гауссовом приближении алгоритма тем, что коэффициенты алгоритма приняты постоянными.

71 6. ПРОГРАММНАЯ МОДЕЛЬ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ АЛГОРИТМОВ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОРИЕНТАЦИИ БАП 6.1. Общие сведения о программной модели 6.1.1. Назначение программной модели Программная модель предназначена для исследования алгоритмов определения ориентации БАП. На момент представления диссертационной модели реализовано моделирование внешней среды и ряда алгоритмов для определения составляющих угловой скорости БАП (главы 4,5). Структура программной модели предусматривает исследование и более сложных алгоритмов определения ориентации БАП, например, на основе математической модели глава 3. Для реализации своего назначения программная модель выполнена в виде программы на языке Паскаль в системе программирования Delphi для Windows-98 и выше. Следуя [17], текст программы открыт для пользователя, что позволяет исследователю вносить в программу свои дополнения и изменения и легко адаптировать программную модель для постановки разнообразных модельных экспериментов, в том числе и не предусмотренных автором. Открытость текста программы позволяет повторить все модельные эксперименты, приведённые в настоящей работе. Текст программы и все материалы по модельным экспериментам предоставляются автором всем желающим по запросу [email protected]. Эти же материалы по состоянию на момент представления диссертационной работы приведены в Приложении 2 на компакт-диске. Для использования программной модели не требуется специальных познаний по программированию. Достаточно общеинженерной подготовки в области алгоритмических языков. Важной особенностью программной модели является автоматическое документирование проводимых модельных экспериментов. Генерируемый программной моделью протокол модельного эксперимента содержит дату проведения эксперимента, описание исходных данных и результаты эксперимента. Исследователь может дополнить протокол текстовым комментарием свободной формы, который становится неотъемлемой частью протокола. Форма протокола может быть модифицирована. Кроме протоколов модельных экспериментов, для каждого модельного эксперимента сохраняется текущая версия программной модели. Это обеспечивает независимое повторение всех проведённых модельных экспериментов, в том числе и модельных экспериментов, проведённых в диссертационной работе.

72 6.1.2. Состав и структура программной модели Программная модель состоит из двух основных модулей: собственно программной модели (модуль Wmodel.pas) и модуля автоматической генерации протоколов модельных экспериментов (Grafiki.pas). Окна модулей программной модели представлены в Приложении 1. Кроме основных модулей, программная модель содержит ряд небольших вспомогательных модулей, которые перечислены в файле проекта программной модели. Тексты вспомогательных модулей также открыты и могут быть найдены на компакт-диске Приложения 2. Ниже приведён перечень процедур модуля Wmodel.pas с комментариями: //эта процедура задаёт движение БАП procedure Wmoto; //эта процедура связывает движение БАП с показаниями измерителя procedure Wmodel; //эта процедура пересчитывает вектор МП из земной СК в связанную СК procedure WMatrica(var H1xm, H1ym, H1zm:Extended); //эта процедура вычисляет длину в (модуль, норму) вектора function Norma(X, Y, Z:Extended):Extended; //вычисление производных вектора H1 по угловой скорости БАП procedure vH(H1xin, H1yin, H1zin, w1xin, w1yin, w1zin:Extended; var dH1xout, dH1yout, dH1zout:Extended); procedure WfilterH; //процедура прямого расчёта без фильтрации procedure Wfilter; //процедура нелинейной фильтрации procedure WfilterVpr; //процедура нелинейной фильтрации с эмпирич. сигналом ошибки procedure Schet; //процедура счёта procedure Initi; //процедура инициации программной модели Программная модель в версии 1.0, существующей на время подготовки настоящей работы, позволяет ставить модельные эксперименты с тремя алгоритмами определения составляющих угловой скорости БАП: • алгоритм прямого расчёта составляющих угловой скорости (глава 4) • алгоритм стационарной нелинейной фильтрации (глава 5) • алгоритм нелинейной фильтрации с эмпирическим сигналом ошибки (см. ниже в этой главе).

73 Выбор алгоритма задаётся эксперимента в окне программы.

при

проведении

модельного

6.2. Программа исследований Программная модель позволяет проводить разнообразные модельные эксперименты. Ограниченный объём диссертации требует сосредоточиться на основных экспериментах, показывающих достоверность теоретических результатов и позволяющих выработать конкретные рекомендации по их практическому использованию. Для исследований принята следующая программа: • экспериментальное подтверждение сходимости (расходимости) алгоритма нелинейной фильтрации, синтезированного в главе 5 • исследование динамических свойств алгоритма фильтрации (экспериментальное получение переходной характеристики фильтра) • исследование статистической динамики фильтра (экспериментальное определение динамических и шумовых ошибок фильтра). Исследованию подвергаются три алгоритма, перечисленные в п.6.1. 6.3. Исследование сходимости алгоритмов Сходимость алгоритмов желательно доказать теоретически. В точных науках принято, что пример не может доказать, но может опровергнуть утверждение. Разрешимость (сходимость) алгоритма прямого расчёта составляющих вектора угловой скорости БАП по измерениям вектора магнитного поля исследована аналитически в главе 4. Доказано, что составляющие вектора угловой скорости не могут быть однозначно вычислены только по измерениям вектора магнитного поля. Для сходимости алгоритма необходимо дополнить измерения вектора магнитного поля независимыми измерениями, по крайней мере, одной составляющей угловой скорости. В главе 4 рассмотрены условия разрешимости уравнений относительно составляющих вектора угловой скорости при различных дополнительных измерениях одной или двух составляющих. Таким образом, вопрос о сходимости алгоритма прямого расчёта составляющих вектора угловой скорости решён исчерпывающим образом. Вопрос сходимости алгоритма нелинейной фильтрации сложнее. Алгоритм является нелинейным, поэтому методы анализа устойчивости, основанные на исследовании коэффициента передачи разомкнутой системы [17], неприменимы. Покажем в модельном эксперименте, что алгоритм стационарной нелинейной фильтрации, синтезированный в главе 5, расходится. Протокол модельного

74 эксперимента приведён в Приложении 1 (протокол №35). Как видно из графиков протокола, при постоянной угловой скорости вращения БАП происходит срыв слежения, то есть отсутствует сходимость алгоритма. Как уже отмечалось, доказательство сходимости не может быть обосновано примерами. В то же время, для доказательства расходимости достаточно одного примера, которым и является приведённый протокол модельного эксперимента. При увеличении величины входного динамического воздействия расходимость алгоритма даже приводит к переполнению при выполнении программной модели. Изучение причины расходимости алгоритма нелинейной фильтрации позволяет сделать заключение, что этой причиной является способ вычисления сигнала ошибки для фильтрации составляющих угловой скорости (5.10). Способ (5.10) не учитывает векторной природы угловой скорости. При повороте измерителя на прямой угол, знак сигнала ошибки Φω1x изменяется, и слежение срывается. Подробный анализ уравнений нестационарной нелинейной фильтрации показывает, что при нестационарной фильтрации этого не происходит, так как одновременно с изменением знака ошибки изменяется знак коэффициента передачи (взаимная дисперсия погрешности оценки составляющих векторов магнитного поля и угловой скорости БАП становится отрицательной). В связи с этим обстоятельством предлагается несколько модифицировать синтезированный алгоритм нелинейной фильтрации. Модификация касается способа вычисления (5.10) сигналов ошибок Φω1x, Φω1y, Φω1z. Предлагаются следующие выражения для ошибок слежения вместо (5.10): ΦH1x= ΦH1y = ΦH1z = Φω1x = Φω1y = Φω1z =

KH*(yH1x(t)–H*1x), KH*(yH1y(t)–H*1y, KH*(yH1z(t)–H*1z), Kω*(yH1y(t)*H*1z- yH1z(t)*H*1y), Kω*(yH1z(t)*H*1x- yH1x(t)*H*1z), Kω*(yH1x(t)*H*1y- yH1y(t)*H*1x).

(6.1)

Изменены только выражения для сигналов ошибок Φω1x, Φω1y, Φω1z. Предлагаемый способ вычисления сигналов представляет собой ни что иное, как вычисление векторных произведений входных смесей yH1x, yH1y, yH1z на соответствующие оценки (с обратным знаком). Таким образом, сигнал ошибки пропорционален синусу угла (при малом угле – углу) поворота вектора оценки H*1 относительно вектора входной смеси y в плоскости вращения для оцениваемой составляющей угловой скорости. В способе (6.1) величина сигнала ошибки пропорциональна величине сигнала ошибки в формальном способе (5.10), но в сигнале ошибки (6.1) содержится знак поворота.

75 Будем называть алгоритм с вычислением сигналов ошибки (6.1) алгоритмом нелинейной фильтрации с эмпирическим сигналом ошибки. Алгоритм реализован в процедуре WfilterVpr. Ниже приведён протокол модельного эксперимента, демонстрирующего сходимость алгоритма нелинейной фильтрации с эмпирическим сигналом ошибки. 6.4. Динамические свойства алгоритмов Поскольку синтезированный в главе 5 стационарный алгоритм нелинейной фильтрации оказался расходящимся, из дальнейших исследований он исключён. Примеры исследования динамических свойств в соответствии с программой исследований п.6.2 приведёны для двух алгоритмов: алгоритма прямого вычисления составляющих вектора угловой скорости и алгоритма нелинейной фильтрации с эмпирическим сигналом ошибки. В Приложении 1 приведены протоколы модельных экспериментов с этими алгоритмами (протоколы №№31..34). Изучение протоколов позволяет сделать вывод, что алгоритм прямого расчёта в отсутствие шумов наблюдения обладает идеальной динамикой: оценка неизвестной составляющей угловой скорости немедленно и абсолютно точно отслеживает входное воздействие. На графиках оценок составляющих угловой скорости протокола №31 видны участки расходимости алгоритма, обусловленные попаданием чувствительной оси ДУСа wY1 в плоскость перпендикулярную вектору магнитного поля (см. п.4.4.2). Алгоритм нелинейной фильтрации с эмпирическим сигналом ошибки обладает худшей динамикой (Приложении 1, протокол 33). На графиках оценок составляющих угловой скорости видна статическая ошибка, обусловленная постоянной угловой скоростью по осям X1 и Y1. Кроме статической ошибки, алгоритму нелинейной фильтрации присущ переходный процесс, который при использованных в примере коэффициентах передачи длится около 2 с. На графиках протокола видны также области аномального увеличения ошибки слежения, близкие к областям расходимости алгоритма прямого расчёта. Причина этого явления связана с геометрией, так же как и расходимость алгоритма прямого расчёта (см. п.4.4.2). 6.5. Влияние шумовых погрешностей на алгоритмы В Приложении 1 приведены примеры модельных экспериментов при воздействии шумовых погрешностей. Протокол №36 содержит графики оценок составляющих векторов магнитного поля и угловой скорости при наличии шумовой погрешности измерителя магнитного в 5 двоичном разряде. Из графиков видно, что оценка составляющих вектора угловой скорости катастрофически разрушается. Такой результат, впрочем, вполне

76 предсказуем по результатам аналитических исследований пп.4.4.3 … 4.4.4. Вместе с тем из протокола №37 статистического эксперимента с алгоритмом прямого расчёта видно, что среднеквадратичная ошибка слежения за составляющими вектора угловой скорости вполне приемлема, за исключением областей расходимости. Протоколы №38 и 39 показывают поведение алгоритма нелинейной фильтрации с эмпирическим сигналом ошибки при входных воздействиях, сопровождаемых теми же шумовыми погрешностями. Видно, что среднеквадратичные погрешности оценок практически равны нулю. Однако графики протокола №39 свидетельствует о наличии областей больших ожидаемых ошибок. Природа этих областей уже обсуждалась выше. Для того, чтобы продемонстрировать, что области больших ошибок связаны с ориентацией измерителя, был проведен модельный эксперимент (протокол №40) с нулевыми составляющими угловой скорости. Из графиков видно, что аномальные области ошибок слежения отсутствуют. 6.6. Выводы по программной модели и результатам модельных экспериментов Работа по созданию программной модели и проведённые на ней модельные эксперименты позволяют сделать следующие выводы: • программная модель позволяет проводить модельные эксперименты с алгоритмами определения составляющих вектора угловой скорости БАП двух видов: o исследования динамики алгоритмов – получение переходных характеристик o статистические исследования – определение среднеквадратичных погрешностей оценки составляющих вектора угловой скорости. • текст программной модели открыт для пользователя, благодаря чему программная модель может пополняться новыми алгоритмами. Версия 1.0 программной модели позволяет проводить исследования трёх алгоритмов: o алгоритм прямого расчёта составляющих угловой скорости o алгоритм стационарной нелинейной фильтрации o алгоритм нелинейной фильтрации с эмпирическим сигналом ошибки. • программная модель позволяет автоматически генерировать протоколы проводимых экспериментов. Это позволяет обеспечить документирование результатов и повторяемость экспериментов.

77 • примеры проведённых на программной модели исследований позволяют сделать следующие основные выводы по исследованным алгоритмам: o алгоритм стационарной нелинейной фильтрации является расходящимся. Расходимость внесена в алгоритм при переходе от нестационарного алгоритма к стационарному за счёт утраты знака коэффициентов передачи o для обеспечения сходимости алгоритма нелинейной фильтрации предложен эмпирический способ вычисления сигнала ошибки на основе векторного произведения входного сигнала измерителя и оценки вектора магнитного поля o наилучшими динамическими свойствами обладает алгоритм прямого расчёта составляющих угловой скорости, который мгновенно и точно отслеживает изменение входного воздействия; однако шумовые погрешности катастрофически влияют на способность алгоритма определять составляющие выходной скорости; для уменьшения влияния шумовой погрешности необходима фильтрация измерений o алгоритму нелинейной фильтрации присуща статическая ошибка при постоянной угловой скорости и переходный процесс o для всех алгоритмов существуют области расходимости или аномально больших ошибок при попадании оси чувствительности датчика угловой скорости в плоскость, перпендикулярную вектору магнитного поля. Это явление аналитически предсказано в главе 4 • объём диссертационной работы диктует необходимость ограничить исследования. Поэтому другие исследование других ов например, алгоритма с прямым вычислением и последующей фильтрацией результатов, алгоритма фильтрации самих углов ориентации остаются за рамками данной работы. Однако проведённые в диссертационной работе исследования позволяют сделать вывод о достоверности аналитических результатов работы и о плодотворности сформированных подходов к синтезу и анализу алгоритмов определения ориентации БАП на основе измерений магнитного поля.

78 ВЫВОДЫ И РЕКОМЕДАЦИИ ПО РЕЗУЛЬТАТАМ РАБОТЫ Исследования, проведённые в диссертационной работе, и полученные при этом результаты позволяют сделать следующие выводы и представить рекомендации: 1. Система управления ориентацией беспилотной аэродинамической платформы (БАП) является одним из основных элементов всей системы управления БАП. Основой для реализации системы управления ориентацией БАП служат гировертикали и/или датчики угловой скорости. 2. Гировертикаль является наиболее дорогим и громоздким элементом систем ориентации БАП. Существует противоречие между стоимостью и массогабаритными характеристиками гировертикали и стоимостью и массогабаритными характеристиками остального оборудования системы управления ориентацией БАП. В связи с этим актуальна задача построения систем управления ориентации БАП, не содержащих громоздкой и дорогостоящей гировертикали. 3. В системах управления ориентацией БАП и других летательных аппаратов в качестве вспомогательного оборудования для определения курса часто используют измерители магнитного поля Земли. Простота и дешевизна измерителей магнитного поля делают актуальной и практически значимой задачу разработки и исследования методики синтеза алгоритмов обработки измерений земного магнитного поля для определения ориентации БАП при минимальном использовании других датчиков, а также анализ надёжности и точности таких алгоритмов. 4. Для решения поставленной задачи в диссертационной работе построена математическая модель, связывающая измерения вектора магнитного поля на борту БАП с пространственной ориентацией БАП. Аналитическое исследование математической модели показывает, что однозначное определение пространственной ориентации БАП только на основе измерений магнитного поля невозможно. Для разрешимости уравнений измерения относительно углов ориентации БАП необходимо привлечение дополнительной информации. Показано, что включение в состав уравнений измерения производных по времени от измерений составляющих вектора магнитного поля не делает систему уравнений однозначно разрешимой. Показано также, что привлечение измерений от маятника (акселерометров), расположенных на борту БАП не даёт необходимой для обеспечения разрешимости уравнений информации. Эти выводы имеют методическое значение, поскольку показывают невозможность определения полной пространственной ориентации БАП на основе измерений магнитного поля без привлечения независимых измерений одного или двух углов ориентации или угловых скоростей БАП.

79 5. В диссертационной работе построена простая оригинальная математическая модель, связывающая производные по времени измерений вектора магнитного поля на борту БАП с составляющими вектора угловой скорости БАП в связанной системе координат. Аналитически доказано, что уравнения математической модели не могут быть однозначно разрешены относительно составляющих полного вектора угловой скорости БАП. Для обеспечения разрешимости уравнений необходимо привлечение независимых дополнительных измерений одной или двух составляющих вектора угловой скорости. 6. Обе математические модели являются одновременно и алгоритмами прямого вычисления углов ориентации и составляющих вектора угловой скорости по измерениям вектора магнитного поля и дополнительной информации. Для обеих математических моделей выявлены точки неразрешимости при привлечении той или иной дополнительной информации. Для минимизации дополнительно привлекаемых измерителей рекомендовано использование единственного датчика угловой скорости с осью чувствительности, расположенной вдоль вертикальной оси Y1 связанной системы координат БАП. 7. Для математической модели измерения вектора угловой скорости получены аналитические выражения для погрешностей измерения составляющих угловой скорости для различных наборов дополнительной информации и дана численная оценка погрешности. На основании аналитического исследования погрешностей оценки рекомендовано применение фильтрации измерений составляющих угловой скорости. 8. В качестве математического аппарата для синтеза оптимального алгоритма фильтрации рекомендован аппарат нелинейной фильтрации. В диссертационной работе проведена адаптация математической модели к постановке задачи нелинейной фильтрации и проведён синтез алгоритма нелинейной фильтрации составляющих вектора угловой скорости БАП в гауссовом приближении. В соответствии с рекомендациями теории нелинейной фильтрации синтезированный алгоритм преобразован в стационарный (с постоянными коэффициентами) алгоритм. Получена структурная схема алгоритма, пригодная для практической реализации в системе управления БАП. 9. Для проверки достоверности полученных алгоритмов создана программная модель, которая позволяет исследовать достоверность и точность полученных алгоритмов определения угловой скорости БАП в модельных экспериментах. Проведён ряд модельных экспериментов, основными результатами которых являются:

80 • алгоритм стационарной нелинейной фильтрации является расходящимся. Расходимость внесена в алгоритм при переходе от нестационарного алгоритма к стационарному • для обеспечения сходимости алгоритма нелинейной фильтрации предложен эмпирический способ вычисления сигнала ошибки на основе векторного произведения входного сигнала измерителя и оценки вектора магнитного поля • наилучшими динамическими свойствами обладает алгоритм прямого расчёта составляющих угловой скорости по математической модели, который мгновенно и точно отслеживает изменение входного воздействия; однако шумовые погрешности катастрофически влияют на способность алгоритма определять составляющие угловой скорости; для уменьшения влияния шумовой погрешности необходима фильтрация измерений • алгоритму нелинейной фильтрации присуща статическая ошибка при постоянной угловой скорости и переходный процесс • для всех алгоритмов существуют области расходимости или аномально больших ошибок при попадании оси чувствительности датчика угловой скорости в плоскость, перпендикулярную вектору магнитного поля. Это явление аналитически предсказано при исследовании математической модели. Проведённые на программной модели исследования позволяют сделать вывод о достоверности аналитических результатов работы и о плодотворности сформированных подходов к синтезу и анализу алгоритмов определения ориентации БАП на основе измерений магнитного поля. 10. В качестве основного алгоритма определения составляющих вектора угловой скорости БАП рекомендуется алгоритм стационарной нелинейной фильтрации с эмпирическим сигналом ошибки. При практическом использовании алгоритмов определения пространственной ориентации и вектора угловой скорости БАП в системе управления БАП необходимо учитывать возможность аномально больших ошибок при попадании оси чувствительности единственного датчика угловой скорости в плоскость, перпендикулярную вектору магнитного поля.

81 ЛИТЕРАТУРА 1.

Роберт Брайан (Robert Brahan). Авиация, космонавтика и вооружение. IEEE Spectrum, Январь 1999, пер. с англ. В.Шербины, Интерлаб (Interlab)

2.

Локк А.С. Управление снарядами. Пер. с англ. Г.В.Коренева. Государственное издательство физико-математической литературы. Москва, 1958

3.

Кирст М.А. Навигационная кибернетика полёта. Воениздат. Москва, 1971

4.

Итинов Х.Г. Штурманский справочник. Москва. Изд-во ДОСААФ, 1978

5.

Селезнёв В.П. Навигационные устройства. Москва. Оборонгиз, 1961

6.

Автоматизация производства и промышленная электроника. Главные редакторы Берг А.И. и Трапезников В.А. Москва, Государственное научное издательство «Советская энциклопедия», 1963, т.2, статья «Магнитометр»

7.

Инструкция по выполнению девиационных и радиодевиационных работ на самолётах и вертолётах. Москва, Воениздат, 1972

8.

С.А, Горбатенко и др. Механика полёта (общие сведения, уравнения движения). Инженерный справочник. Москва, «Машиностроение», 1969

9.

Г. Корн, Т. Корн. Справочник по математике для научных работников и инженеров. Издание IV. «Наука», Москва, 1977

10.

А.А. Силкин. Алгоритм определения пространственной ориентации беспилотной аэродинамической платформы по измерениям магнитного поля земли. В сборнике «Научные проблемы развития Московского мегаполиса» Московская конференция молодых ученых, тезисы доклада, Институт машиноведения им. А.А. Благонравова РАН, 2002, стр.11-12

82 11. 12.

В.И. Тихонов, Н.К. Кульман. Нелинейная фильтрация и квазикогерентный приём сигналов. Москва, Советское радио, 1975 Е.В. Ольман, А.И. Соловьёв, В.П. Токарев. Автопилоты.Москва, Оборонгиз, 1946

13.

Ч. Киттель, У. Найт, М. Рудерман. Механика. Пер. с англ. Москва. «Наука», 1971

14.

В.И. Тихонов. Статистическая радиотехника. Москва, Советское радио, 1966

15.

Р.Л. Стратонович. Применение теории процессов Маркова для оптимальной фильтрации сигналов. «Радиотехника и электроника», 1960, т.5, №11

16.

М.А. Миронов. Марковские процессы. Москва, Советское радио, 1976

17.

В.Е. Болнокин, П.И. Чинаев. Анализ и синтез систем автоматического управления на ЭВМ. Алгоритмы и программы. Москва. «Радио и связь», 1986

18.

А.А. Силкин (отв. исполнитель). Разработка и изготовление экспериментального образца беспилотного летательного аппарата - элетролёта (БЛАЭ). Шифр «Мушка». Итоговый отчёт о научно-исследовательской работе. Москва, СКБ «Топаз», 2002, 46 стр.

19.

В.Е. Болнокин, А.А. Силкин. Методология моделирования и проектирования мобильных комплексов мониторинга пространства. Издательство Института Машиноведения им. А.А. Благонравова, 2002, 56 стр.

П1-1

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

ПРОТОКОЛЫ МОДЕЛЬНЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ

П1-2

П1.1. Главное окно программной модели

Пояснения к главному окну: главное окно программной модели содержит 4 информационных поля: • • • •

настройка модели настройка алгоритма вид эксперимента настройка протокола.

Главное окно позволяет задать исходные данные для проводимого модельного эксперимента. Содержание вводимой информации указано в пояснительных надписях. Модельный эксперимент начинается нажатием кнопки «Старт». Результаты эксперимента заносятся в автоматически генерируемый протокол модельного эксперимента.

П1-3 П1.2. Протокол модельного эксперимента Протокол модельного эксперимента генерируется автоматически. Протокол содержит: • текстовую часть • графическую часть. Примеры протоколов приведены ниже в этом приложении. Текстовая часть протокола содержит исходные данные для модельного эксперимента, вводимые через главное окно программной модели, в текстовой форме. Графическая часть протокола содержит графики изменения входных и выходных сигналов алгоритма фильтрации в течение 60 с. В графической части протокола содержится две страницы: страница «H1» (вектор магнитного поля) и страница «w1» (вектор угловой скорости). Содержание графиков различно для двух типов экспериментов: «Динамик» и «Статистика». В экспериментах типа «Динамика» исследуется реакция алгоритма на входное динамическое воздействие вектора угловой скорости, составляющие которого в нулевой момент времени скачком принимают новые (постоянные) значения, заданные в главном окне. На графиках протоколов модельных экспериментов типа «Динамика» отображаются входные воздействия (составляющие векторов магнитного поля и угловой скорости) и их оценки. Графики входных воздействий рисуются серым цветом, а графики оценок – красным. При совпадении оценки с входным воздействием графики сливаются, график входного воздействия рисуется сверху. На графиках протоколов модельных экспериментов типа «Статистика» отображаются среднеквадратичные отклонения оценок составляющих векторов магнитного поля и угловой скорости. Среднеквадратичные отклонения вычисляются по ансамблю реализаций оценок. Объём ансамбля задаётся перед проведением статистического модельного эксперимента в главном окне программной модели. При необходимости отобразить на графиках малые среднеквадратичные отклонения, предусмотрено «растягивание» графиков по оси ординат за счёт ввода в главном окне необходимых множителей. Протокол модельного эксперимента может быть просмотрен непосредственно по завершении эксперимента на экране компьютера. При необходимости протокол сохраняют в специально создаваемой директории и снабжают комментарием. Каждый протокол автоматически снабжается номером и датой.

П1-4 П1.3. Примеры «Динамика»

модельных

экспериментов

типа

Ведомость модельных экспериментов типа «Динамика» Название модельного эксперимента

Номер протокола

Комментарий к протоколу

Динамика АСНФ1)

35

Динамика алгоритма стационарной нелинейной фильтрации составляющих вектора угловой скорости. Предполагаются априорно известными две составляющих вектора угловой скорости – w1x и w1y. Шумовые и постоянные погрешности отсутствуют.

Динамика АСНФ1)

Протокол отсутствует.

Динамика алгоритма стационарной нелинейной фильтрации составляющих вектора угловой скорости. Предполагаются априорно известной только одна составляющая вектора угловой скорости – w1y. Шумовые и постоянные погрешности отсутствуют. В результате выполнения программного эксперимента программная модель останавливается из-за переполнения. Алгоритм расходится. Получить автоматический протокол не представляется возможным.

Динамика АПРСУС2)

30

Динамика алгоритма прямого расчёта составляющих вектора угловой скорости. Предполагаются априорно известными две составляющих вектора угловой скорости – w1x и w1y. Шумовые и постоянные погрешности отсутствуют.

Динамика АПРСУС2)

31

Динамика алгоритма прямого расчёта составляющих вектора угловой скорости. Предполагается априорно известной только одна составляющая вектора угловой скорости – w1y. Шумовые и постоянные погрешности отсутствуют.

П1-5 Продолжение ведомости модельных экспериментов типа «Динамика» Название модельного эксперимента

Номер протокола

Комментарий к протоколу

Динамика АНФЭСО3)

34

Динамика алгоритма нелинейной фильтрации составляющих вектора угловой скорости с эмпирическим сигналом ошибки. Предполагаются априорно известными две составляющих вектора угловой скорости – w1x и w1y. Шумовые и постоянные погрешности отсутствуют.

Динамика АНФЭСО3)

33

Динамика алгоритма нелинейной фильтрации составляющих вектора угловой скорости с эмпирическим сигналом ошибки. Предполагается априорно известной только одна составляющая вектора угловой скорости – w1y. Шумовые и постоянные погрешности отсутствуют.

Примечания 1) АСНФ - алгоритм стационарной нелинейной фильтрации составляющих вектора угловой скорости с эмпирическим сигналом ошибки 2) АПРСУС - алгоритм прямого расчёта составляющих вектора угловой скорости 3) АНФЭСО2 - алгоритм нелинейной фильтрации составляющих вектора угловой скорости с эмпирическим сигналом ошибки

П1-6

П1-7

П1-8

П1-9

П1-10

П1-11

П1-12

П1-13

П1-14

П1-15

П1-16

П1-17

П1-18

П1-19

П1-20

П1-21 П1.4. Примеры «Статистика»

модельных

экспериментов

типа

Ведомость модельных экспериментов типа «Статистика» Название модельного эксперимента

Номер протокола

Комментарий к протоколу

Динамика АПРСУС2) с шумовыми погрешностями

36

Пример реализации входных и выходных сигналов алгоритма прямого расчёта составляющих вектора угловой скорости с шумовыми погрешностями в 5 двоичном разряде. Предполагается априорно известной только одна составляющая вектора угловой скорости – w1y. Постоянные погрешности отсутствуют.

Статистика АПРСУС2)

37

Среднеквадратичные погрешности оценок составляющих векторов магнитного поля и угловой скорости при шумовой погрешности измерения 5 разряде. Предполагается априорно известной только одна составляющая вектора угловой скорости – w1y. Постоянные погрешности отсутствуют.

Динамика АНФЭСО3)

39

Пример реализации входных и выходных сигналов алгоритма нелинейной фильтрации составляющих вектора угловой скорости с эмпирическим сигналом ошибки с шумовыми погрешностями в 5 двоичном разряде. Предполагается априорно известной только одна составляющая вектора угловой скорости – w1y. Постоянные погрешности отсутствуют.

Статистика АНФЭСО3)

38

Среднеквадратичные погрешности оценок составляющих векторов магнитного поля и угловой скорости при шумовой погрешности измерения 5 разряде. Предполагается априорно известной только одна составляющая вектора угловой скорости – w1y. Постоянные погрешности отсутствуют.

П1-22 Продолжение ведомости модельных экспериментов типа «Статистика» Название модельного эксперимента

Номер протокола

Комментарий к протоколу

Статистика АНФЭСО3) при отсутствии динамического возмущения

40

Пример реализации входных и выходных сигналов алгоритма нелинейной фильтрации составляющих вектора угловой скорости с эмпирическим сигналом ошибки с шумовыми погрешностями в 5 двоичном разряде и нулевых входных возмущениях. Предполагается априорно известной только одна составляющая вектора угловой скорости – w1y. Постоянные погрешности отсутствуют.

Примечания (см. п. П1.3)

П1-23

П1-24

П1-25

П1-26

П1-27

П1-28

П1-29

П1-30

П1-31

П1-32

П1-33