Методические указания к решению задач по курсу физики (раздел ''Электродинамика'')

1

М и ни сте р ство о б р а зо ва ни я Ро сси йско й Ф е де р а ци и

Ф и зи ч е ски й ф а культе т

Ка ф е др а о пти ки и спе ктр о ско пи и

М е то ди ч е ски е ука за ни я к р е ш е ни ю за да ч по кур су ф и зи ки для студе нто в 3 кур са дне вно го о тде ле ни я ф а культе та пр и кла дно й ма те ма ти ки и ме ха ни ки ( р а зде л «Э л ектр о ди н а м и ка » )

С о ста ви те ли : Ю .К. Ти мо ш е нко , В.А. Ш уни на

ВО РО НЕЖ – 2001

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

2

О гла вле ни е 1. П о сто янно е эле ктр и ч е ско е по ле в ва кууме . ........................................................... 3 2. Э ле ктр о ста ти ч е ско е по ле в ди эле ктр и ч е ско й ср е де ............................................ 11 3. П о сто янны й то к...................................................................................................... 19 4. М а гни тно е по ле по сто янно го то ка ........................................................................ 23 Л и те р а тур а .................................................................................................................. 27

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

3

1. П о ст о ян н о е эл ек тр иче ск о е по л е в вак уум е . О сн о вн ы е ф о р м ул ы *) П р и нци п супе р по зи ци и по ле й:

где

r r E (r )

и

r r Ei (r )

r r r r E (r ) = ∑ Ei (r ) ,

(1.1)

i

– на пр яж е нно сти эле ктр и ч е ско го по ля си сте мы и i-го →

эле ме нта си сте мы в то ч ке r со о тве тстве нно . В ч а стно сти , ко гда эле ме нта ми си сте мы являются то ч е ч ны е за р яды , то (1.1) пр и о б р е та е тви д:

r r q r r E (r ) = ∑ r i r 3 (r − ri ) , i r − ri

(1.2)

→

Зде сь qi – за р яд i-го то ч е ч но го за р яда , r i – р а ди ус-ве кто р , пр о ве де нны й и з на ч а ла ко о р ди на тк qi. Если и ме е тся спло ш но е р а спр е де ле ни е за р яда по о б ъ е му и ли по ве р хно сти те ла , то (1.2) пр и ни ма е тви д:

(r )

(r )

r r r r r ρ (r ′)(r − r ′) E (r ) = ∫ r r 3 dV ′ , r − r′ V r r r r r σ (r ′)(r − r ′) E (r ) = ∫ r r 3 dS ′ , r − r′ S

(1.3)

(1.4)

где ρ r ′ и σ r ′ – о б ъ е м и по ве р хно стна я пло тно сть за р яда , dV’ и dS’ – эле ме нты о б ъ е ма и по ве р хно сти , о тно сящ и е ся к то ч ке , ха р а кте р и зуе мо й р а ди ус→

ве кто р о м r ′. Э ле ктр о ста ти ч е ска я те о р е ма Га усса в и нте гр а льно й и ди ф ф е р е нци а льно й ф о р ма х:

r r r 4πq, q ∈ V (S ), ∫ (E (r )dS ) =  0, q ∉V (S ); Sr  r ∈S r r r divE (r ) = 4πρ (r ).

(1.5)

(1.6)

Зде сь S – за мкнута я по ве р хно сть; V(S) – о б ъ е м, о гр а ни ч е нны й по ве р хно стью S; q –

r r r сумма р ны й за р яд; dS = n ⋅ dS , n →

– вне ш няя но р ма ль к эле ме нту по ве р хно сти dS

в то ч ке r . У р а вне ни е (1.6) и зве стно та кж е ка к 1-е ур а вне ни е М а ксве лла .

*)

Зде сь и да ле е и спо льзуе тся а б со лютна я га уссо ва си сте ма е ди ни ц.

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

4

На пр яж е нно сть и по те нци а л по ля связа ны ф о р муло й

И з (1.1) и

r r r E (r ) = – gradϕ (r ). r r r r (1.7) сле дуе т, ч то ϕ (r ) = ∑ ϕ i (r ), где ϕ (r ) и ϕ i (r ) – i

(1.7) по те нци а лы

→

эле ктр и ч е ско го по ля си сте мы и i-го эле ме нта си сте мы в то ч ке r со о тве тстве нно У р а вне ни е П уа ссо на и Л а пла са :

r r ∇ 2ϕ (r ) = −4πρ (r ); r ∇ 2ϕ (r ) = 0.

(1.9) (1.10)

И нте гр а льно е и ди ф ф е р е нци а льно е усло ви я по те нци а льно сти по ля:

r

r ( ( E r ∫ ) ⋅ dl ) = 0,

(1.11)

r r (r ) =0. r

(1.12)

r

L r r ∈L

rot E

Зде сь L – за мкнуты й ко нтур , dl – эле ме нт пе р е ме щ е ни я, о тно сящ и йся к →

то ч ке r . На пр яж е нно сть по ля вб ли зи б е ско не ч но й пло ско сти и зме няе тся ска ч ко м (см. р и с.1.1)

z σ 0

р а вно ме р но

за р яж е нно й

r r r ( E ( + ) − E ( − ) )n = 4πσ r (±) r E ≡ E ( x, y, z ± δ ) , где

(1.13)

r (+) r n =n

Зде сь

r ( −) n

е ди ни ч ны й ве кто р но р ма ли ; δ – б е ско не ч но ма ла я ве ли ч и на ; о сь OZ пе р пе нди куляр на к за р яж е нно й пло ско сти и пе р е се ка е т е е на р и с.1.1 в то ч ке Z = 0.

→

n

–

Ри с. 1.1 П р е ж де ч е м пр и ступи ть к р е ше ни ю за да ч и , не о б хо ди мо о пр е де ли ть си мме тр и ю си сте мы и за те м вы б р а ть со о тве тствующ ую си сте му ко о р ди на т. П о ми мо де ка р то во й на и б о ле е ч а сто и спо льзуются сф е р и ч е ска я и ци ли ндр и ч е ска я си сте мы ко о р ди на т. Д а ле е пр и во дятся не ко то р ы е ф о р мулы в эти х си сте ма х ко о р ди на т.

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

5

Д е ка р то ва си сте ма :

gradf =

Z z

M y

O

Y

∂f r ∂f r ∂f r ex + ey + ez ; ∂z ∂x ∂y

r ∂A ∂A ∂A divA = x + y + z ; ∂x ∂y ∂z ∂2f ∂2f ∂2f ∇ f = 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z 2

x

dV = dx dydz .

XX

Ри с. 1.2 С ф е р и ч е ска я си сте ма :

Z x = r sin θ cos α ;

M θ

→

r

Y

α

X Ри с 1.3

y = r sin θ sin α; z = r cos θ; 0 ≤ r < ∞; 0 ≤ θ ≤ π; 0 ≤ α ≤ 2 π;

∂f r 1 ∂ f r 1 ∂f r er + eθ + eα ; ∂r r ∂θ r sin θ ∂α r 1 ∂ (r 2 Ar ) 1 ∂ (sin θAθ ) 1 ∂Aα + + divA = 2 r ∂r r sin θ ∂θ r sin θ ∂α grad f =

;

1 ∂  2 ∂f  1 ∂  ∂f  1 ∂2 f ∇ f = 2 r ; + 2  sin θ  + 2 2 2     ∂ r ∂ r ∂θ ∂θ r r sin θ r sin θ ∂α 2

dV = r 2 sin θdrdθdα .

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

;

6

Ц и ли ндр и ч е ска я си сте ма :

x = r cos α ; 0 ≤ r < ∞ ; y = r sin α ; 0 ≤ α ≤ 2π ; z=z ; - ∞ ≤ z ≤+∞ ;

Z M

∂f r 1 ∂f r ∂f r er + eα + ez ; r ∂α ∂z ∂r r 1 ∂ (rAr ) 1 ∂Aα ∂Az divA = + + ; r ∂α ∂z r ∂r 1 ∂  ∂f  1 ∂ 2 f ∂ 2 f 2 ∇ f = + ; r  + r ∂r  ∂r  r 2 ∂α 2 ∂z 2 dV = rdrdαdz . r r r r r r r r r ве кто р ы ( er , e y , ez ), ( er , eθ , eα ) и ( er , eα , e z ) gradf =

α

Y

X Ри с. 1.4

О р то го на льны е е ди ни ч ны е

на пр а вле ны в сто р о ну во зр а ста ни я со о тве тствующ и х пе р е ме нны х. Задачи 1.1 Д ва о ди на ко вы х по мо дулю то ч е ч ны х за р яда q1 и q2 на хо дятся на о си OZ в то ч ка х (0, 0, – а ) и (0, 0, а ). П о стр о и ть ка ч е стве нны е за ви си мо сти по те нци а ла ϕ = ϕ(z) для z∈(– a, a), е сли а ) q1 > 0, q2 > 0; б ) q1 > 0, q 2 < 0; в) q1 < 0, q 2 > 0; г) q1 < 0, q2 < 0. 1.2 Тр и за р яда р а спо ло ж е ны в ве р ш и на х р а вно б е др е нно го пр ямо уго льно го тр е уго льни ка , пр и ч е м у о стр ы х угло в на хо дятся за р яды +q и – q, а у пр ямо го угла – за р яд +2q. О пр е де ли ть на пр а вле ни е на пр яж е нно сти по ля в то ч ке , на хо дящ е йся в се р е ди не ги по те нузы . 1.3 Д а на б е ско не ч на я о дно ме р на я це по ч ка то ч е ч ны х за р ядо в пе р е ме нно го зна ка +q, р а зде ле нны х р а ссто яни е м a. На йти по те нци а л в на ч а ле ко о р ди на т, где р а спо ло ж е н за р яд це по ч ки – q. О тве т:

ϕ(0) =

2q ln 2 . a

1.4 На йти по те нци а л и на пр яж е нно сть эле ктр и ч е ско го r то ч е ч ны м ж е стки м ди по ле м с мо ме нто м p .

по ля, со зда ва е мы х

r r r r r r r ( p, r ) r r 3r ( p, r ) p О тве т: ϕ (r ) = ; E (r ) = − 3. r3 r5 r

1.5 П о ле со зда е тся р а вно ме р но за р яж е нны м то нки м ко льцо м р а ди уса R. П о лны й за р яд е го q. На йти по те нци а л и на пр яж е нно сть на о си ко льца .

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

7

Ре ш е ни е : Ра зде ли м ко льцо на эле ме нта р ны е уч а стки dl, не сущ и е за р яд

Z P

dq =

r α

q dl . 2πR

С ч и та я эле ме нта р ны й за р яд dq то ч е ч ны м, о пр е де ли м по те нци а л

dl

R

dϕ =

q dl q dl ⋅ = ⋅ . 2πR r 2πR z 2 + R 2

П р и ме няя пр и нци п супе р по зи ци и по ле й, на хо ди м сумма р ны й по те нци а л на о си ко льца :

ϕ( z) =

q 1 q 1 q ⋅ ⋅ ∫ dl = ⋅ ⋅ 2πR = . 2 2 2πR z 2 + R 2 l 2πR z 2 + R 2 z +R

В си лу си мме тр и и за да ч и ве кто р на пр яж е нно сти на о си ко льца на пр а вле н вдо ль о си Z. Его мо дуль р а ве н

E ( z) = −

∂ϕ( z) qz . = 2 ∂z ( z + R2 )3 2

1.6 На йти по те нци а л и на пр яж е нно сть на о си р а вно ме р но за р яж е нно го ди ска р а ди уса R. П о лны й за р яд ди ска q. У ка за ни е : и спо льзо ва ть пр и нци п супе р по зи ци и и р е зульта ты за да ч и 1.5

2q z z ( − ). 2 2 2 z R R z +R −βr 1.7 Ш а р р а ди уса R за р яж е н с о б ъ е мно й пло тно стью ρ( r) = γe (γ, β – О тве т: ϕ( z ) =

2q

2 2 ( z + R − z ) , E ( z) = 2

ко нста нты ). На йти на пр яж е нно сть и по те нци а л по ля во все м пр о стр а нстве . И спо льзо ва ть: а ) эле ктр о ста ти ч е скую те о р е му Га усса ; б ) ур а вне ни я П уа ссо на и Л а пла са . Ре ш е ни е : а ) Буде м р е ш а ть за да ч у в сф е р и ч е ско й си сте ме ко о р ди на т. И з си мме тр и и за да ч и сле дуе т, ч то

r r E (r )

ϕ( r, θ, α) = ϕ( r) .

r r

и

r ϕ (r )

не за ви сят о т угло в, т. е . E ( r, θ, α) = E ( r) и →

Ве кто р E (r ) на пр а вле н по r (на ч а ло ко о р ди на т в це нтр е ш а р а ). Д е йстви те льно , по ле все го ш а р а в пр о и зво льно й то ч ке А по пр и нци пу супе р по зи ци и мо ж но пр е дста ви ть суммо й по ле й то ч е ч ны х за р ядо в, си мме тр и ч но

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

8

р а спо ло ж е нны х о тно си те льно О А . О ч е ви дно , ч то р е зульти р ующ и й ве кто р →

r E

б уде тна пр а вле н вдо ль О А , т.е . по r . Вы б е р е м вспо мо га те льную за мкнутую по ве р хно сть в ф о р ме , удо б но й для р е ш е ни я на ш е й за да ч и , т. е . в ви де сф е р ы р а ди уса r.

r

П о то к ве кто р а на пр яж е нно сти E ч е р е з вы б р а нную по ве р хно сть связа н с за р ядо м, о гр а ни ч е нны м это й по ве р хно стью , те о р е мо й Га усса .

r E и ϕ в си лу си мме тр и и за да r ч и пр и ни ма ютна сф е р е по сто янны е зна ч е ни я, то E мо ж но вы не сти и з-по д зна ка Та к ка к

и нте гр а ла :

E ( r) ⋅ 4 πr = 4 πq(r) . 2

На йде м за р яд внутр и вы б р а нно й сф е р ы р а ди уса r: π

r

2π

r

2 −βr

q( r) = ∫ ρ( r) r dr ∫ sin θdθ ∫ dα = 4 πγ ∫ r e 2

0

0

0

dr .

0

Вы ч и сляя о пр е де ле нны й и нте гр а л ме то до м и нте гр и р о ва ни я по ч а стям, по луч и м:

q( r) = −4 πγe

−βr  r

2r 2  8πγ  + 2 + 3+ 3 .  β β β  β 2

Д ля о б ла сти вне ш а р а , т. е . для r > R:

E e (r) ⋅ 4 πr = 4 πq(R ), 2

E e ( r) =

q(R ) r2

= −4 πγ

e

− βR

r2

 R 2 2R 2  8πγ  + 2 + 3+ 3 2. β  β r  β β

Д ля о б ла сти внутр и ш а р а , т. е . для r < R:

E i (r) ⋅ 4 πr = 4 πq(r), 2

E i ( r) =

q( r) r

2

= −4 πγ

e

− βr

r

2

 r 2 2r 2  8πγ .  + 2 + 3+ 3 2  β β β  β r

И з (1.7) сле дуе т, ч то о пр е де ле ни е по те нци а ла сво ди тся к и нте гр и р о ва ни ю. П о сто янны е и нте гр и р о ва ни я Ce и Ci о пр е де ляе м и з усло ви я не пр е р ы вно сти по те нци а ла ϕ i ( R ) = ϕ e ( R ) и пр и ни ма я ϕ e ( ∞ ) = 0 . В и то ге по луч и м:

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

9

ϕ i ( r) = −

4 πγe

−βr

β2

ϕ e ( r) = 4 πγe

−βR

 2  8πγ 4 πγe −βR [1 + βR ], 1 + βr  + 3 − β2   β r

R 2 2  8πγ + + + 3 .  2 3  β β β R β R 

б ) Ка к ви дно и з вы ш е пр и ве де нно го р е ш е ни я, и спо льзо ва ни е те о р е мы Га усса для о пр е де ле ни я на пр яж е нно сти по ля во змо ж но пр и си мме тр и ч но м р а спр е де ле ни и за р яда (усло ви е , по зво ляющ е е вы не сти мо дуль на пр яж е нно сти и з по д зна ка и нте гр а ла ). Ре ш е ни я за да ч эле ктр о ста ти ки путе м и нте гр и р о ва ни я ур а вне ни й Л а пла са и П уа ссо на сво б о дно о т это го не до ста тка . О дна ко , е сли это во змо ж но , уч и ты ва ть си мме тр и ю не о б хо ди мо и в это м случ а е для упр о щ е ни я р е ш е ни я. П о те нци а лы внутр и ϕi и сна р уж и ϕe ш а р а удо вле тво р яют ур а вне ни ям П уа ссо на и Л а пла са со о тве тстве нно :

∇ ϕ i = −4 πρ, 2

∇ 2ϕ e = 0. У ч и ты ва я сф е р и ч е скую си мме тр и ю за да ч и за пи ш е м:

1 d  2 d  −4πρ, r ≤ R; ϕ =  r 2   0, dr dr r ≥ R. r П р о и нте гр и р о ва в да нны е по луч а е м:

ϕ i ( r) = − ϕ e ( r) = −

ди ф ф е р е нци а льны е

4 πγe

−βr

β2

ур а вне ни я 2-го

по р ядка

 2  C1 1 − βr  − r + C 2 ,  

C3 + C4 . r

П о сто янны е C2 и C3 о пр е де ляются и з усло ви я не пр е р ы вно сти на гр а ни це по те нци а ла и е го пр о и зво дно й (т. к. по ве р хно стны й за р яд р а ве н нулю : σ = 0):

ϕ i ( R ) = ϕ e ( R ), dϕ i dr

П о сто янна я C1 = 0, т. к.

= R

dϕ e . dr R

ϕi (0) < −∞ , а C4 = 0 о б е спе ч и ва е т р а ве нство

ϕ e (∞) = 0 .На пр яж е нно сть внутр и и сна р уж и ш а р а на хо ди тся по ф о р муле (1.7). 1.8 Ш а р р а ди уса R за р яж е н с о б ъ е мно й пло тно стью ρ = ρ ( r ) . На йти на пр яж е нно сть и по те нци а л по ля во все м пр о стр а нстве , е сли : а ) ρ = const; б ) ρ(r) = α+βr; в) ρ(r) = αr n (n > – 2). Зде сь α, β – ко нста нты .

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

10

2 q qr q  r   3 − 2 ; О тве т: а ) E e (r) = ; ϕ e (r) = ; E i ( r) = ; ϕ i ( r) = 2 3 r 2R  R  r R 4 4 3 4 2 3 4 б ) E e ( r) =  παR + πβR  / r ; ϕ e ( r) =  παR + πβR  / r; 3  3   2 r 2  πβ 4 3 3 2 E i (r) = παr + πβr ; ϕ i (r) = 2πα R −  + 4R − r ; 3 3  3  n+3 n+3 4πα R 4 πα R ⋅ ; ϕ e ( r) = ⋅ ; в) E e ( r) = n + 3 r2 n+3 r n+2 r n+1 4πα  n+2 r  Ei (r ) = 4πα ⋅ ; ϕ i (r) = − R . 2 3 n + n − n+3  

q

[

]

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

11

2. Э л е к т р о ст ат иче ск о е по л е в диэл е к т р иче ск о й ср е де Э ле ктр и ч е ско е по ле о пр е де ляе тся ур а вне ни ями → →

→

div D (r ) = 4πρсво б (r );

(2.1)

→ →

rot E (r ) = 0 , → →

где

→ →

(2.2)

→ →

D (r ) = E (r ) + 4πP (r ) .

(2.3)

→ →

→ →

Зде сь D (r ) – ве кто р эле ктр и ч е ско й и ндукци и , P (r ) – ве кто р по ляр и за ци и →

ср е ды ; ρсво б (r ) – о б ъ е мна я пло тно сть сво б о дны х но си те ле й за р яда . П о ляр и за ци я и пло тно сть связа нны х за р ядо в вза и мо связа ны : → →

→

div P (r ) = – ρсвяз(r ) ,

(2.4)

→

→

Pn(r ) = σсвяз (r ) , где ρ

связ

(2.5)

и σсвяз – о б ъ е мна я и по ве р хно стна я пло тно сть связа нны х за р ядо в →

со о тве тстве нно , Pn(r ) – пр о е кци я ве кто р а по ляр и за ци и на вне ш нюю но р ма ль к →

по ве р хно сти ди эле ктр и ка в то ч ке r . Если ди эле ктр и к и зо тр о пе н, то → →

→ →

P (r ) = αE (r ),

(2.6)

ε = 1 + 4πα .

(2.7)

где

Зде сь ε – ди эле ктр и ч е ска я пр о ни ца е мо сть, α – по ляр и зуе мо сть ср е ды . П усть гр а ни ца р а зде ла двух ди эле ктр и ч е ски х ср е д де ли т пр о стр а нство на по лупр о стр а нства , о б о зна ч е нны е зна ка ми “+” и “ – “ (см. р и с. 2.1): →

(+ )

То гда (P

r r ( +) n=n

(+) →

→

→ (+) →

(D

( –)

(– ) →

→ →

→ (– ) →

→ →

(r ) – P

Ри с. 2.1.

→

(r ) – D (r ))n (r ) = 4πσсво б (r ), (2.9)

→ (+) →

Зде сь A

→

(r ))n (r ) = – σсвяз(r ), (2.8)

→

→

(r ) – ве кто р A в б е ско не ч но б ли зко й к r → (– ) →

то ч ке ве р хне го по лупр о стр а нства , а A по лупр о стр а нства .

(r ) – ни ж не го

Э ле ктр о ста ти ч е ска я те о р е ма Га усса :

r r 4πq ,q ∈ V (S ), D r d S ( ( ) ) =  ∫ 0, q ∉ V (S ); r

Sr r ∈S

сво б



сво б

сво б

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

(2.10) (2.11)

12

Задачи →

2.1. В о дно р о дно е по ле E o вне се н ш а р с ди эле ктр и ч е ско й пр о ни ца е мо стью ε. Ра ди ус ш а р а R. О пр е де ли ть по те нци а л и на пр яж е нно сть по ля внутр и и вне ш а р а , а та кж е ве кто р по ляр и за ци и , по ве р хно стную пло тно сть за р яда и эле ктр и ч е ски й мо ме нтш а р а . Ре ш е ни е На йде м сна ч а ла по те нци а л. С о гла сно (2.1): 2

∇ϕ=–

E0

α

ε

0. →

θ

.

В си сте ме не тсво б о дно го за р яда , т. е . ρсво б =

Z

ε2

4πρсво б

r Y

П усть о сь Z о р и е нти р о ва на в на пр а вле ни и по ля и со впа да е т с по ляр но й о сью в сф е р и ч е ско й си сте ме ко о р ди на т. В сф е р и ч е ско й си сте ме ко о р ди на тур а вне ни е Л а пла са за пи сы ва е тся в ви де :

1 ∂  2 ∂  Λ  r 2 ∂r  r ∂r  + r 2 ϕ (r ,θ ,α ) = 0,    

X

∂  ∂  1 ∂2  +   sin θ  (о пе р а то р Л е ж а ндр а ); ∂θ  sin θ ∂α 2   ∂θ  α – а зи мута льны й и ли а кси а льны й уго л. С о б стве нны е зна ч е ни я и со б стве нны е ф ункци и о пе р а то р а Л е ж а ндр а хо р о ш о и зве стны : ^ΛΥ (θ, α) = – l(l + 1)Υ (θ, α) , 1 где Λ = sin θ

lm

lm

– l(l + 1) – со б стве нно е зна ч е ни е ^Λ; Υlm(θ, α) – ш а р о ва я ф ункци я (со б стве нна я ф ункци я ^Λ); l = 0, 1, 2, 3, ... ; m = – l, ... , 0 , ... , +l. Та к ка к ур а вне ни е Л а пла са в сф е р и ч е ско й си сте ме ко о р ди на т до пуска е т р а зде ле ни е пе р е ме нны х, то р е ш е ни е не о б хо ди мо и ска ть в мульти пли ка ти вно м ви де : где

ϕ (r, θ, α) = f(r)Υlm(θ, α). Д ля удо б ства вве де м ф ункци ю R(r) = rf(r). П о дста ви м е ё в ур а вне ни е Л а пла са

ϕ( r, θ, α ) =

R ( r) Y lm (θ, α ) . r

П о луч и м:

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

13

R(r ) ∂  2 ∂  R(r ) Ylm (θ , α ) + Λ Ylm (θ , α ) = 0. r  ∂r  ∂ r  r r ∂  2 ∂ R ∂ 2R Та к ка к  r ,  =r ∂r  ∂r  r ∂r 2 ∂ 2 R(r ) R(r ) r Ylm (θ , α ) − l (l + 1)Ylm (θ , α ) = 0, 2 r ∂r d 2 R l (l + 1) − R = 0. dr 2 r2 Ч а стны м р е ш е ни е м это го ур а вне ни я являе тся сте пе нна я ф ункци я R(r) = r k. П о дста ви м эту ф ункци ю в ур а вне ни е и о пр е де ли м k.

d

2

r − 2 k

dr

k– 2

k(k – 1)r

l( l + 1) r

2

r = 0; k

k– 2

– l(l + 1)r

=0;

2

k – k – l(l + 1) = 0, о ткуда

k1,2 =

1  1 ±  l +  ; k1 = l + 1; k2 = – l. 2  2

О б щ е е р е ш е ни е это го (р а ди а льно го ) ур а вне ни я е сть ли не йна я ко мб и на ци я ч а стны х р е ш е ни й : R(r) = Ar

l+1

–l

l

– (l + 1)

+ Br ; f(r) = Ar + Br

.

Та к ка к l∈ [0, ∞], то о б щ е е р е ш е ни е ур а вне ни я Л а пла са и ме е тви д: ∞

ϕ( r, θ, α) = ∑

∑ [ Al r l + B l r −( l+1) ]Y lm (θ, α). l

l=0 m =− l

В на ш е й за да ч е сущ е ствуе т вы де ле нно е на пр а вле ни е по о си z, сле до ва те льно , и ме е м си сте му с а зи мута льно й си мме тр и е й. В та ко й си сте ме ϕ не за ви си то тα. У гло ва я ч а сть Υlm(θ, α) не за ви си то тα, е сли m = 0. Υl0(θ, α) = clPl (cos θ),

(

)

l 1 dl  2 где Pl ( x ) = x − 1 – по ли но м Л е ж а ндр а ; l l     l !2 dx

( P0(x) = 1; P1(x) = x; P2(x) = 0.5(3x2 – 1); и т. д. ) С ле до ва те льно , для си сте мы с а зи мута льно й си мме тр и е й по те нци а л

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

14

∞

[

ϕ( r, θ) = ∑ Al r + B l r l =0

l

− ( l +1)

]P (cos θ) l

Зде сь Al и Вl по дле ж а т о пр е де ле ни ю и з гр а ни ч ны х усло ви й. В на ш е м случ а е до лж ны вы по лняться сле дующ и е усло ви я: 1) по те нци а л ϕ всю ду не пр е р ы ве н и ко не ч е н; →

2) но р ма льны е ко мпо не нты ве кто р а D не пр е р ы вны на гр а ни це р а зде ла ср е д: D 2n = D1n . →

3) та нге нци а льны е ко мпо не нты ве кто р а E не пр е р ы вны на гр а ни це р а зде ла ср е д: Е2t = Е1t . Ве ли ч и ны , о тно сящ и е ся к внутр е нне й о б р а зующ е й сф е р ы , о б о зна ч и м и нде ксо м “i”, а к вне ш не й – и нде ксо м “е”. О ч е ви дно , внутр и сф е р ы ∞

ϕ i ( r, θ) = ∑ Al r Pl (cos θ) l

l =0

Bl = 0, та к ка к пр и r = 0 ϕi(0, θ) до лж е н и ме ть ко не ч но е зна ч е ни е . Вне сф е р ы ∞

[

ϕ e (r, θ) = ∑ M l r + N l r l =0

l

− ( l +1)

]P (cos θ) l

На б о льш и х р а ссто яни ях о т сф е р ы по ле о р и е нти р о ва но по о си z и и ме е т мо дуль E0.

r ∂ϕ r → И з E 0 = −gradϕ = − k (k – е ди ни ч ны й ве кто р , на пр а вле нны й по о си ∂z

z) по луч а е м, ч то на б о льш и х р а ссто яни ях (r → ∞)

ϕ = – E0z = – E0r cosθ. 1

Та к ка к cosθ = P1(cos θ), то ϕ(r, θ)r→∞ → – E0r P1(cos θ). О тсю да сле дуе т, ч то е ди нстве нны м о тли ч ны м о т нуля ко эф ф и ци е нто м Мl являе тся М1 = – Е0. С ле до ва те льно , ∞

ϕ e (r, θ) = −E 0r cos θ + ∑ N e r e=0

− ( e+1)

Pe (cos θ)

О ста льны е ко эф ф и ци е нты на йде м и з гр а ни ч ны х усло ви й пр и r = a . И спо льзуе м не пр е р ы вно сть D 2n= D1n и Е2t = Е1t в Z то ч ке r = a, θ = 0 (т. е . на о си z). О б о зна ч и м то ч ку (r E0 S = a, θ = 0) то ч ко й S, то гда гр а ни ч но е усло ви е в о тсутстви и сво б о дны х за р ядо в для но р ма льно й →

Y

→

ко мпо не нты ве кто р а эле ктр и ч е ско й и ндукци и D за пи ш е тся в ви де

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

15

−ε

∂ϕ i ∂r

=− S

∂ϕ e ∂r

S

Д ля по луч е ни я та нге нци а льны х ко мпо не нт уч те м, ч то , е сли но р ма ль со впа да е т с о сью z, то та нге нци а льна я ко мпо не нта ле ж и т в пло ско сти ХУ, пр о хо дящ е й ч е р е з то ч ку z = a. Д ля о пр е де ле нно сти во зьме м о сь Y. То гда

 ∂ϕ ∂r ∂ϕ ∂θ  ∂ϕ = +  , ∂y S  ∂r ∂y ∂θ ∂y  S z = r cos θ, y = r sin θ, r =

z + y , tgθ = 2

2

y , z

∂r 2y y = = = sin θ ; ∂y 2 z 2 + y 2 r ∂θ ∂ y z z r cos θ cos θ = arctg = 2 = = = ; ∂y ∂y z z + y2 r 2 r r2

∂ϕ ∂ϕ cos θ  1 ∂ϕ  ∂ϕ =  sin θ + = . ∂y S  ∂r ∂θ r  S a ∂θ S То гда

гр а ни ч но е →

усло ви е

для

та нге нци а льно й

ко мпо не нты

на пр яж е нно сти E пр и ме тви д :

−

1 ∂ϕ i a ∂θ

=− S

1 ∂ϕ e a ∂θ

S

П о сле по дста но вки ϕi(r, θ) по луч и м:

1 ∞ l ∂ − ∑ Al a Pl (cos θ) S = a l =0 ∂θ ∞ 1 −2 ∂ cos θ − ( l +1) ∂Pl (cos θ)  = −  − E0 a + N 1a + ∑ N la ; a ∂θ S l=0 ∂θ S

(

)

П р и р а вни ва е м ко эф ф и ци е нты пр и о ди на ко вы х пр о и зве де ни ях:

N1  A = E + ; 0  1 3 a  A = N l , l ≠ 1.  l a2l +1 И з D2n = D 1n и ме е м:

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

ве кто р а

16

∞

∞

ε ∑ Al la Pl (cos θ) S = − E0 cosθ S − ∑ N l (l + 1)a l−1

l =0

− ( l +2 )

l =0

Pl (cos θ) S ;

2  = − − ; ε A E N 1 0 1 3  a  εAl l = −N l (l + 1) ; l ≠ 1.  a2 l+1

П а р а ур а вне ни й для l ≠ 1 мо ж е тудо вле тво р яться о дно вр е ме нно , е сли А l = Nl = 0 для все х l ≠ 1. О ста льны е два ур а вне ни я:

N1  = − + ; A E 0  1 a3  εA = − E − 2 N 1 ; 0  1 a3 И з эти х ур а вне ни й на хо ди м:

  3  A = −  E ;  1  ε + 2 0   N =  ε − 1  E a3 .  1  ε + 2 0 В р е зульта те р е ш е ни е для по те нци а ла ϕ и ме е тви д:

  3  ϕ ( , θ ) = − r   E0 r cos θ; i    ε + 2   3 ϕ ( r, θ) = − E r cos θ +  ε − 1  E a cos θ.   0  e  ε + 2 0 r2 П о те нци а л внутр и ди эле ктр и ч е ско й сф е р ы со о тве тствуе т о дно р о дно му эле ктр и ч е ско му по лю с на пр яж е нно стью, на пр а вле нно й па р а лле льно на пр яж е нно сти вне ш не го пр и ло ж е нно го по ля и и ме е тве ли ч и ну

 3  Ei =   E < E 0 (та к ка к ε > 1);  ε + 2 0 Вне сф е р ы по ле р а вно сумме вне ш не го пр и ло ж е нно го по ля и по ля, р а спо ло ж е нно го в на ч а ле ко о р ди на т эле ктр и ч е ско го ди по ля с ди по льны м мо ме нто м

r  ε − 1 3 p = p=  a E0 ε + 1  

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

17

и о р и е нти р о ва нно го в на пр а вле ни и пр и ло ж е нно го вне ш не го по ля. →

Д и по льны й мо ме нт р а ве н и нте гр а лу о т по ляр и за ци и P по о б ъ е му сф е р ы . Ве кто р по ляр и за ци и р а ве н

r  ε − 1 r ε − 1 3 r 3  ε −1  r P= E0 =  Ei =  E0 . 4π ε + 2 4π  ε + 2   4π  →

Ве кто р по ляр и за ци и P по сто яне н внутр и сф е р ы . И нте гр а л о т не го по о б ъ е му да е т

3 ε −1 r  ε −1  3 r 2 ∫0 4π ε + 2 E0 4πr dr =  ε + 2 a E0 . a

Та к ка к σ связ

rr ( P ,r ) = Pn = , по луч и м r r r 3  ε − 1  ( E0 , r ) 3  ε −1  σ связ = =     E 0 cosq. 4 p  ε + 1 r 4p ε + 2

М о ж но сч и та ть, ч то по ве р хно стны е за р яды со зда ют внутр е нне е по ле , пр о ти во по ло ж но е вне ш не му и уме ньш а ющ е е зна ч е ни е по лно го по ля внутр и сф е р ы до ве ли ч и ны Еi < Е0

r r r Ei = E0 + Eсв ,

→

где E св – на пр яж е нно сть по ля, о б усло вле нна я на ве де нны ми за р яда ми . Та к ка к все →

по ля о р и е нти р о ва ны

по

→

пр о ти во по ло ж но м E 0.

о си

Z,

r r Д е йстви те льно , E св = Ei − E0 =

то

E св о р и е нти р о ва н

в на пр а вле ни и ,

r 3 r ε −1 r E0 − E0 = − E 0 (ε>1). ε +2 ε +2

2.2. О дно р о дна я б е ско не ч на я ди эле ктр и ч е ска я ср е да с пр о ни ца е мо стью ε и ме е т ш а р о вую по ло сть р а ди уса R. На пр яж е нно сть вне ш не го о дно р о дно го →

эле ктр и ч е ско го по ля E o . О пр е де ли ть по те нци а л и на пр яж е нно сть по ля внутр и и вне по ло сти , а та кж е ве кто р по ляр и за ци и , пло тно сть за р яда на по ве р хно сти по ло сти и эле ктр и ч е ски й мо ме нт. За ме ч а ни я Э та за да ч а р е ш а е тся со ве р ш е нно а на ло ги ч но пр е ды дущ е й. Ана ли з гр а ни ч ны х усло ви й по ка зы ва е т, ч то р е ше ни е для по ло сти мо ж но на йти , за ме няя в по луч е нны х ф о р мула х ε на 1/ε.

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

18

П о ле в по ло сти о ка зы ва е тся о дно р о дны м, па р а лле льно Е0 и р а вны м

→

E0 –

→

+ + +

a

– –

ε

Ei =

3ε E0 > E0 . 2ε + 1

П о ле вне по ло сти р а вно сумме пр и ло ж е нно го по ля и по ля ди по ля, р а спо ло ж е нно го в це нтр е по ло сти , о р и е нти р о ва нно го пр о ти во по ло ж но вне ш не му по лю и и ме ю щ е му ди по льны й мо ме нт

 ε −1  3 P=  a E0.  2ε + 1

→

E св для по ло сти и ме е тви д:

r ε −1 r Eсв = E0 , 1 + 2ε

т. е . внутр и по ло сти пр о и схо ди туси ле ни е по ля. 2.3. Д и эле ктр и ч е ски й ш а р с ди эле ктр и ч е ско й пр о ни ца е мо стью ε на хо ди тся в →

ва кууме . На пр яж е нно сть вне ш не го о дно р о дно го по ля E 0. П о ка за ть, ч то на пр яж е нно сть по ля связа нны х за р ядо в ш а р а мо ж но за пи са ть в ви де

r r → 4 r E ≡ Eсв =− πP , где P – ве кто р по ляр и за ци и . 3

2.4. О дно р о дны й ди эле ктр и ч е ски й ш а р р а ди уса a р а вно ме р но за р яж е н по о б ъ е му (ρсво б = const). За р яд ш а р а Q, ди эле ктр и ч е ска я пр о ни ца е мо сть ш а р а ε1, а о кр уж а ющ е й ср е ды ε. Вы ч и сли ть на пр яж е нно сть по ля, со зда ва е мо го ш а р о м. На йти р а спр е де ле ни е связа нны х за р ядо в на по ве р хно сти и внутр и ш а р а . О тве т: E e =

Q εr

2

пр и r ≥ a; E i =

Q ε1 a

3

r пр и r ≤ a.

2.5. Ц е нтр пр о во дящ е й сф е р ы р а ди уса R на хо ди тся на пло ско й гр а ни це р а зде ла двух ди эле ктр и ко в с ди эле ктр и ч е ски ми пр о ни ца е мо стями ε1 и ε2. За р яд ср е ды Q. На йти по те нци а л, ве кто р эле ктр и ч е ско й и ндукци и и р а спр е де ле ни е по ве р хно стно го за р яда на сф е р е . О тве т:

σ2 =

r D1 =

r r r ε Q r 2 ε 1Q r D2 = 3 , 3 2 π ( ε + ε ) r 1 2 2π (ε 1 + ε 2 ) r

ε2 Q

2π ( ε1 + ε 2 ) R 2

, σ1 =

ε1Q

2π ( ε1 + ε 2 ) R 2

.

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

,

19

3. П о ст о ян н ы й т ок За ко н О ма для уч а стка це пи .

I12 =

U12 , R12

(3.1)

где I12, U12, R12 – си ла то ка , на пр яж е ни е и со пр о ти вле ни е , о тно сящ и е ся к уч а стку це пи ме ж ду то ч ка ми 1 и 2 со о тве тстве нно . За ко н О ма для за мкнуто й це пи

I=

ε R +r

(3.2)

Зде сь I – си ла то ка ; ε – эле ктр о дви ж ущ а я си ла (э.д.с.); R и r – со пр о ти вле ни я вне ш не й и внутр е нне й це пи со о тве тстве нно . П р и р а сч е та х то ко в в сло ж но й р а зве твле нно й це пи сле дуе тпо льзо ва ться за ко на ми Ки р хго ф а : 1) а лге б р а и ч е ска я сумма си л то ко в в уч а стка х це пи , схо дящ и хся в люб о й то ч ке р а зве твле ни я, р а вна нулю .

∑Ii = 0

(3.3)

i

2) для люб о го за мкнуто го ко нтур а а лге б р а и ч е ска я сумма все х па де ни й на пр яж е ни я р а вна а лге б р а и ч е ско й сумме все х эле ктр о дви ж ущ и х си л. I n Rn = εm (3.4)

∑ n

∑ m

П р и пр а кти ч е ско м пр и ме не ни и за ко но в Ки р хго ф а не о б хо ди мо сле до ва ть сле дующ и м ме то ди ч е ски м ука за ни ям: а ) ука за ть (пр о и зво льно ) на пр а вле ни е то ко в на все х уч а стка х це пи . Если и сти нно е на пр а вле ни е пр о ти во по ло ж но ука за нно му, пр и р е ш е ни и за да ч и со о тве тствующ е е зна ч е ни е то ка по луч и тся о тр и ца те льны м. б ) вы б р а ть на пр а вле ни е о б хо да ко нтур а (о б ы ч но по ч а со во й стр е лке ). в) со ста ви ть n– 1 ур а вне ни е по 1-му за ко ну Ки р хго ф а , где n – ко ли ч е ство узло в. г) со ста ви ть ур а вне ни я по 2-му за ко ну Ки р хго ф а , пр и ч е м эле ктр о дви ж ущ и е си лы б р а ть со зна ко м плюс, е сли о ни по вы ш а ю т по те нци а л по на пр а вле ни ю пе р е хо да (пе р е хо д о т ми нуса к плюсу), и со зна ко м ми нус, е сли по ни ж а ю т. П а де ни е на пр яж е ни й сч и та ть по ло ж и те льны ми , е сли на пр а вле ни е то ко в, пр о хо дящ и х ч е р е з со о тве тствующ и е со пр о ти вле ни я, со впа да ют с на пр а вле ни е м о б хо да ко нтур а , и о тр и ца те льны ми , е сли на пр а вле ни я то ко в пр о ти во по ло ж ны на пр а вле ни ю о б хо да . Та ки м о б р а зо м, и ско мы е то ки на хо дят в р е зульта те р е ш е ни я по луч е нно й си сте мы ли не йны х а лге б р а и ч е ски х не о дно р о дны х ур а вне ни й. Ко ли ч е ство не и зве стны х ве ли ч и н мо ж но уме ньш и ть, по льзуясь ф и зи ч е ски ми со о б р а ж е ни ями . К пр и ме р у, в р а мка х по дхо да , и зве стно го по д на зва ни е м «ме то д ко нтур ны х то ко в» , эле ктр и ч е ска я це пь р а ссма тр и ва е тся ка к со во купно сть со пр и ка са ющ и хся ко нтур о в (яч е е к). П р е дпо ла га е тся, ч то в ка ж до м ко нтур е пр о хо ди т сво й (ко нтур ны й) то к. То гда на о б щ и х уч а стка х, р а спо ло ж е нны х на гр а ни це двух со се дни х ко нтур о в, б уде тпр о те ка ть то к, р а вны й а лге б р а и ч е ско й сумме то ко в эти х ко нтур о в. Д ля ка ж до го ко нтур а со ста вляе тся

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

20

ур а вне ни е , и спо льзуя вто р о й за ко н Ки р хго ф а . На пр а вле ни е о б хо да в ко нтур а х вы б и р а е тся пр о и зво льно . В р е зульта те для о пр е де ле ни я ко нтур ны х то ко в по луч а е тся си сте ма ур а вне ни й, по р ядо к ко то р о й р а ве н ко ли ч е ству ко нтур о в в це пи . С вязь то ко в, пр о те ка ющ и х ч е р е з со пр о ти вле ни е це пи , с ко нтур ны ми то ка ми о ч е ви дна (см. за да ч у 3.4). Задачи 3.1 В не о дно р о дно й пр о во дящ е й ср е де с пр о во ди мо стью σ = σ(x, y, z) и ди эле ктр и ч е ско й пр о ни ца е мо стью ε = ε(x, y, z) по дде р ж и ва е тся ста ци о на р но е р а спр е де ле ни е то ко в j = j(x, y, z). На йти о б ъ е мно е р а спр е де ле ни е за р ядо в в это й ср е де . О тве т: ρ =

1 4πσ

2

( σ grad ε − ε grad σ) .

3.2 И сто ч ни к то ка пи та е т вне ш нюю це пь. П р и си ле то ка 2А во вне ш не й це пи вы де ляе тся мо щ но сть 24 Вт, а пр и си ле то ка 5А – мо щ но сть 30 Вт. О пр е де ли ть си лу то ка ко р о тко го за мы ка ни я и сто ч ни ка . Ка ка я ма кси ма льна я мо щ но сть мо ж е т вы де ляться во вне ш не й це пи ? П р и ме ч а ни е : пр и со пр о ти вле ни и вне ш не й це пи R = 0 по не й те ч е т то к ко р о тко го за мы ка ни я. О тве т: I0 = 8A, Pmax= 32 Вт. 3.3 И зве стны э.д.с. ε1 , ε2 , ε3 и и х внутр е нни е со пр о ти вле ни я r1 , r2 , r3 . На йти па де ни е на пр яж е ни я на со пр о ти вле ни и r1 . О тве т: U1 =

ε1 + ε 2 + ε 3 r1 . r1 + r2 + r3

3.4 В це пи , и зо б р а ж е нно й на р и сунке , сч и та ются и зве стны ми : э.д.с. ε1 = 6 В и ε2 = 2 В, со пр о ти вле ни я R1 = 2 О м, R2 = 4 О м и R3 = 5 О м.

О пр е де ли ть си лу то ка ка ж до й ве тви .

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

21

Ре ш е ни е : П р о и зво льно ука ж е м на пр а вле ни я то ко в I1 , I2 , I3 . Вы б е р е м на пр а вле ни е о б хо да ко нтур о в по ч а со во й стр е лке . С о гла сно 1-му за ко ну Ки р хго ф а для узла В за пи ш е м: I1 + I2 – I3 = 0. Д ля ко нтур о в ABEF и ACDF со ста ви м ур а вне ни я на о сно ва ни и 2-го за ко на Ки р хго ф а , со б люда я пр а ви ла зна ко в для э.д.с. I 1 R 1 + I 3 R3 = ε 1 , I1 R 1 – I2 R 2 = ε 1 – ε 2 . Ре ш а я си сте му и по дста вляя ч и сло вы е зна ч е ни я, по луч и м: I1 = 1.15 A, I2 = – 0.42 A, I3 = 0.73 A Ре ш и м эту ж е за да ч у ме то до м ко нтур ны х то ко в. П р е дпо ло ж и м, ч то в ко нтур е ABEF пр о хо ди т то к i1 , а в ко нтур е , на пр и ме р , BCDE сво й то к i2 . Д ля ка ж до го ко нтур а 2-й за ко н Ки р хго ф а за пи ш е тся в ви де : i1 R1 + (i1 – i2 )R3 = ε1 , i2 R2 + (i2 – i1 )R3 = – ε2 . О тсюда о пр е де ли м i1 и i2 , а за те м и и ско мы е то ки ка ж до й ве тви (см. р и с.) I1 = – i1 = 1.15 А, I2 = – i2 = – 0.42 А, I3 = i1 – i2 = 0.73 А. 3.5 На пр и ве де нно й схе ме эле ктр и ч е ско й це пи ка ж до е со пр о ти вле ни е р а вно 1 О м, э.д.с. ε1 = 5В, ε2 = 2 В.

О пр е де ли ть то ки , пр о те ка ю щ и е ч е р е з ка ж до е со пр о ти вле ни е . О тве т: I1 =

8 1 7 A, I 2 = A, I 3 = A . 3 3 3

3.6 И зве стны э.д.с. и сто ч ни ка то ка ε = 10 В и со пр о ти вле ни е R = 5 О м. На йти си лу то ка , пр о те ка ющ е го по пе р е мы ч ке ab.

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

22

О тве т: Iab = 0.5 A.

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

23

4 . М агн итн о е по л е rпо ст о ян н о го т о к а. r На пр яж е нно ст ь ма г ни т но г о по ля B , со зда ва е ма я в т о ч ке r эле ме нто м r пр о во дни ка dl с ли не йны м то ко м I (то к сч и та е тся ли не йны м, е сли р а зме р ы люб о го е го се ч е ни я до ста то ч но ма лы по ср а вне ни ю с р а ссто яни е м о т это го се ч е ни я до р а ссма тр и ва е мы х то ч е к по ля), р а вна (за ко н Би о -С а ва р а )

[

]

r r r I dl , r . d B (r ) = cr 3

Д ля ма гни тно го по ля, та кж е ка к и для эле ктр и ч е ско го , спр а ве дли в пр и нци п супе р по зи ци и

r r B(r ) = ∑ B k (r ), k

r где B k (r ) - на пр яж е нно сть по ля, со зда ва е ма я k-м эле ме нто м си сте мы . И з (4.1) и (4.2) сле дуе т, ч то на пр яж е нно сть ма гни тно го по ля в то ч ке Р, во зни ка ющ а я пр и пр о те ка ни и ли не йно го то ка I по за мкнуто му пр о во дящ е му ко нтур у L, да е тся ф о р муло й

[ ]

r r I dl , r B= ∫ 3 , cL r

r где r - р а ди ус-ве кто р , пр о ве де нны й и з эле ме нта dl в то ч ку Р. Д ля пр о во дни ко в ко не ч но го се ч е ни я ф о р мулы (4.1) и (4.3) пр и о б р е та ютви д

[ ]

r r r j,r d B (r ) = dV , cr 3

[ ]

r r r 1 j, r B (r ) = ∫ 3 dV , cV r

r r Зде сь j - пло тно сть то ка ; r - р а ди ус-ве кто р , пр о ве де нны й о т эле ме нта о б ъ е ма пр о во дни ка dV до р а ссма тр и ва е мо й то ч ки по ля Р. И нте гр и р о ва ни е в (4.5) пр о во ди тся по все му о б ъ е му о б те ка е мо го то ко м пр о во дни ка . М е ж ду пр о во дни ка ми , по ко то р ы м пр о те ка е т то к, во зни ка е т си ло во е r вза и мо де йстви е . С и ла , с ко то р о й эле ме нтто ка I1dl1 во зде йствуе тна эле ме нтто ка r I 2 dl2 , по дч и няе тся за ко ну Ампе р а

[ [

]]

r rr r I I F12 = 21 23 dl2 dl1 R12 , c R12

r где R12 - р а ди ус-ве кто р , пр о ве де нны й и з пе р во го эле ме нта то ка ко вто р о му эле ме нту; I1, I2 - ли не йны е то ки . С и ло вы е ли ни и на пр яж е нно сти ма гни тно го по ля за мкнуты , т.е .

r divB = 0,

И з (4.7) сле дуе т, ч то

r r B = rotA ,

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

24

r A на зы ва е тся ве кто р ны м по те нци а ло м ма гни тно го по ля. Ве кто р ны й по те нциrа л о пр е де ле н не о дно зна ч но . В р а мка х ма гни то ста ти ки пр и нято сч и та ть, ч то divA = 0 . Ве кто р ны й по те нци а л по дч и няе тся ур а вне ни ю

r 4π r ∇2 A = − j, c И нте гр а льны й а на ло гф о р мулы (4.9) r r 1 jdV A= ∫ . cV r

Задачи 4.1 На йти на пр яж е нно сть ма гни тно го по ля внутр и и сна р уж и ци ли ндр и ч е ско го пр о во дни ка , по ко то р о му те ч е т то к I, р а вно ме р но р а спр е де ле нны й по е го се ч е ни ю. Ра ди ус пр о во дни ка R. Ре ш е ни е Ра спр е де ле ни е по ля о б ла да е т си мме тр и е й и и ме нно по это му для р е ш е ни я за да ч и мо ж е т б ы ть по ле зе н за ко н Ампе р а для ци р куляци и , в си сте ме С И и ме ю щ и й ви д:

r 4π B d l ∫L = c

∫ j ds. n

L

У ч и ты ва я ци ли ндр и ч е скую си мме тр и ю по ля, вы б е р е м ко нтур и нте гр и р о ва ни я L в ви де о кр уж но сти в пло ско сти XOY, пр о хо дящ е й ч е р е з то ч ки на б люде ни я Р. То гда

r B d l ∫ =∫ (Br dl r + Bz dl z + Bϕ dlϕ ) = ∫ Bϕ dlϕ = 2πrBϕ . L

L

П о за ко ну Ампе р а 2 πrBϕ =

L

4π I , сле до ва те льно , вне ци ли ндр и ч е ско го пр о во да c

2I . Если то ч ка на б люде ни я Р на хо ди тся внутр и ци ли ндр а , то ко нтур cr и нте гр и р о ва ни я Li б уде т о гр а ни ч и ва ть ч а сть се ч е ни я пр о во дни ка , ч е р е з ко то р о е те ч е тто к Ii: Bϕ =

Ii = П о

за ко ну

I πR 2

πr = I

Ампе р а

2

r2 R2

.

4π r 2 2πrBϕ = I , c R2

2 Ir B = . ϕ о ткуда 2 cR С о ста вляющ и е на пр яж е нно сти ма гни тно го по ля Bz и Вr р а вны нулю. П е р во е утве р ж де ни е вы те ка е ти з за ко на Би о С а ва р а

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

25

[ ]

1 1 r r j , r z dv, c ∫ r3 = 0 , то и Bz = 0.

пр и Bz = а та к ка к в на ш е м случ а е

r r j ,r

[ ]z

Д ля до ка за те льства р а ве нства Br = 0 за пи ш е м ур а вне ни я М а ксве лла для по сто янно го ма гни тно го по ля в ва кууме ко о р ди на т.

divB = 0 в ци ли ндр и ч е ско й си сте ме

1 d (rBr ) + 1 d Bϕ + d B z = 0. r dr r dϕ dz Та к ка к вто р о й и тр е ти й ч ле ны р а вны нулю (см. вы ш е ), то

1 d (rBr ) = 0 и r dr

const ; const по ла га е м р а вно й нулю, ч то б ы и склю ч и ть б е ско не ч но сть Br пр и r r → ∞. О ко нч а те льно по луч а е м: Br =

I  B B , = = e ϕ  2πr  I  Bi = Bϕ = r, 2πR 2 r

Ра ссч иrта ть на пр яж е нно сть H ма гни тно го по ля мо ж но и ч е р е з ве кто р ны й по те нци а л A :

r B = rotA

r В о дно р rо дно й и зо тр о пно й ср е де ве кто р ны й по те нци а л A удо вле тво р яе т r ур а вне ни ю ∆A = −µ 0 j (ур а вне ни е за пи са но в си сте ме С И ). В ци ли ндр и ч е ско й си сте ме ко о р ди на тэто ур а вне ни е пр и ме тви д:

r 1d  d   r Azi  = −µ 0 j , ко гда r ≤ R ; r dr  dr  d  d  Aze  = 0, ко гда r ≥ R . r  dr  dr П р и это м уч и ты ва ло сь р а ве нство нулю ко мпо не нт А r и А ϕ, ч то сле дуе т и з си мме тр и и за да ч и . П о сле и нте гр и р о ва ни я по луч и м о б щ и е р е ш е ни я:

1 Azi = − µ 0 jr 2 + c1 ln r + c2 4

Aze = c3 ln r + c4

Ч то б ы пр и r → 0 Azi б ы ла ко не ч но й ве ли ч и но й, по ла га е м с1 = 0 и с2=А 0, где А 0 - зна ч е ни е по те нци а ла на о си ци ли ндр а .

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

26

На по ве р хно сти ци ли ндр а до лж но вы по лняться тр е б о ваrни е не пр е р ы вно сти по те нци а ла и та нге нци а льно й со ста вляющ е й ве кто р а H (пр и о тсутстви и по ве р хно стны х то ко в):

Azi ( R) = Aze ( R) и О тсю да на йде м c3 = − Та ки м о б р а зо м,

dAzi dr

= r=R

dAze dr

. r= R

1 1 µ 0 jR 2 и c4 = A0 − µ 0 jR2 (1 − 2 ln R). 2 4 µ0I 2 r + A0 , 4 πR 2 µ I r Azi = − 0  1 + 2 ln  + A0 . 4π  R Azi = −

4.2 На йти ве кто р ны й по те нци а л и на пр яж е нно сть ма гни тно го по ля внутр и и сна р уж и б е ско не ч но го пр ямо го пр о во дни ка р а ди уса R, по ко то р о м) те ч е т то к. r П ло тно сть то ка р а вна а /r. Ве кто р a на пр а вле н по о си ци ли ндр а , и по ве ли ч и не const. О тве т: B i =

1 r r [a , r ], пр и r ≤ R , B e = aR , пр и r ≥ R . r r

4.3 На йти ма гни тно е по ле пло ско сти , по ко то р о й те ч е т то к с по ве р хно стно й пло тно стью i, о ди на ко во й в люб о й то ч ке пло ско сти .

− i , x < 0, 2 О тве т: B y =  i  2 , x > 0. 4.4 В ци ли ндр е р а ди усо м b пр о све р ле но о тве р сти е р а ди усо м а (а < b). О сь о тве р сти я па р а лле льна о си ци ли ндр а , а р а ссто яни е ме ж ду о сями р а вно d. П о ци ли ндр у те ч е тто к I. Ка ко ва на пр яж е нно сть ма гни тно го по ля на о си о тве р сти я? О тве т: B =

2 Id . c(b 2 − a 2 )

4.5 Вы ч и сли ть ве кто р ны й по те нци а л и и ндукци ю ма гни тно го по ля кр уго во го (р а ди уса а ) то ка I на б о льш и х р а ссто яни ях о тне го .

r

О тве т: A =

µ0 4π

[

r r M ,r r3

]

rr r  3 MR r r r  µ0  B = − M  , где M = Iπa 2 . , 3 2 4πr  r 

( )

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

27

Л ит е р ат ур а 1. Та мм И .Е. О сно вы те о р и и эле ктр и ч е ства . М .; На ука ,1989.-504 с. 2. Л а нда у Л .Д ., Л и ф ш и ц Е.М . Э ле ктр о ди на ми ка спло ш ны х ср е д. М .; На ука ,1992.-661 с. 3. М а тве е в А.Н. Э ле ктр и ч е ство и ма гне ти зм. М .; Вы сш а я ш ко ла ,1983.-463 с.

С о ста ви те ли : Ти мо ш е нко Ю р и й Ко нста нти но ви ч Ш уни на Ва ле нти на Але ксе е вна Ре да кто р

Ти хо ми р о ва О .А.

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com