Интегральное исчисление функций одной переменной: Учебное пособие

Министерство образования Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования СЕВЕРО-ЗАПАДНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЗАОЧНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

А.А.Потапенко

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Учебное пособие Утверждено редакционно-издательским советом университета Издание второе (дополненное)

Санкт-Петербург 2006

УДК 517 (07) Потапенко А.А. Интегральное исчисление функций одной переменной: Учебное пособие. – СПб.: СЗТУ, 2006, – с.84 Пособие предназначено для студентов всех специальностей и составлено в соответствие с действующей в настоящее время программой по высшей математике

Рецензенты: Г.Г.Ткаченко, канд. физ.-мат. наук, доц., зав. кафедрой вычислительной математики СЗТУ; В.М.Фролов, канд. физ.-мат. наук, доц. кафедры высшей математики Санкт-Петербургского института точной механики и оптики (технического университета).

©

А.А.Потапенко, 2006

2

Глава 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

§1. Первообразная и неопределенный интеграл В разделе “Дифференциальное исчисление функций одной переменной” было введено понятие производной функции и были получены правила ее нахождения. Теперь мы переходим к решению обратной задачи, а именно: известна функция f (x) , требуется найти такую функцию F (x) , производная которой F ′(x) совпадает с f (x) . С точки зрения механики это означает, что по известной скорости v(t ) движения материальной точки по прямой требуется найти закон ее движения S (t ) , учитывая, что S ′(t ) = v(t ) . Исходным понятием в интегральном исчислении является понятие первообразной. Определение. Функция F (x) называется первообразной функцией для функции f (x) на некотором промежутке, если во всех точках этого промежутка функция f (x) является производной для функции F (x) , т.е. F ′( x) = f ( x) . Пример. Функция F ( x) = x 3 является первообразной для функции f ( x) = 3 x 2 на всей числовой оси. Задача о нахождении первообразной для данной функции имеет не единственное решение. Так, например, для функции cos x первообразными будут функции sin x, sin x + 5, sin x − 3 , и вообще любая функция вида sin x + C , где C - произвольное число. Структура множества всех первообразных для данной функции f (x) определяется следующей теоремой. Теорема 1. Если F (x) - первообразная для функции f (x) на некотором промежутке, то любая первообразная для f (x) на этом промежутке может быть представлена в виде F ( x) + C , где C - некоторая постоянная. Доказательство. Пусть функция Φ (x) - любая первообразная для f (x) на некотором промежутке, т.е. Φ ′( x) = f ( x) на рассматриваемом промежутке.

3

Составим разность Φ ( x) − F ( x) и вычислим производную этой разности, заметив, что функции Φ (x) и F (x) имеют одну и ту же производную f (x) всюду на рассматриваемом промежутке [Φ( x) − F ( x)]′ = Φ ′( x) − F ′( x) = f ( x) − f ( x) = 0 . Так как производная разности Φ ( x) − F ( x) в рассматриваемом промежутке равна нулю, то в согласии с известной теоремой дифференциального исчисления можем утверждать, что сама разность Φ ( x) − F ( x) на этом промежутке сохраняет некоторое постоянное значение, которое обозначим через C , так что Φ( x) − F ( x) = C , откуда следует Φ( x) = F ( x) + C . Это и значит, что первообразная Φ (x) представлена в указанном виде. Теорема 1 имеет простую геометрическую интерпретацию. Пусть кривая l является графиком функции F (x) - первообразной для функции f (x) на некотором промежутке (рис.1). Тогда при любом y x из рассматриваемого промежутка касательная к l имеет угловой коэффициент, равный f ( x) . Ясно, что этим свойством y = F ( x ) + C2 обладает любая кривая, получающаяся из y = F ( x ) + C1 l l путем параллельноy = F ( x) го сдвига вдоль оси Oy на величину C , x x O Ðèñ.1 при этом ее уравнение имеет соответственно вид y = F ( x) + C1, y = F ( x) + C 2 и т.д., где C1 ,C 2 означают различные

частные значения, которые принимает величина C . Определение. Совокупность всех первообразных для функции

4

f (x) на некотором промежутке называется неопределенным интегралом от f ( x) на этом промежутке и обозначается символом ∫ f ( x)dx . В этом символе функция f (x) называется подинтегральной функцией, произведение f ( x)dx - подинтегральным выражением, а переменная x - переменной интегрирования. Итак, если функция F ( x) одна из первообразных для f ( x) , то по определению (1.1) ∫ f ( x)dx = F ( x) + C . Операцию нахождения неопределенного интеграла (1.1) называют интегрированием функции f (x) (взятием интеграла). Пример. Пусть f ( x) = cos x , тогда легко видеть, что ∫ cos xdx = sin x + C . Примечания: 1) При вычислении неопределенного интеграла различными способами могут получаться различные формы записи результата. Это зависит от способа нахождения первообразных. Но всегда разность найденных первообразных равна некоторому числу. 1 1 Например, каждая из функций ( x + 1)2 и x 2 + x является первооб2 2 разной для функции x + 1 и, следовательно, может быть два правильных, но различных по форме результата 1 ( ) ( x + 1)2 + C , x + 1 dx = ∫ 2 1 2 ( ) x + 1 dx = x + x + C. ∫ 2 1 Легко видеть, что разность указанных первообразных равна : 2 1 ( x + 1)2 − ⎛⎜ 1 x 2 + x ⎞⎟ = 1 . 2 ⎝2 ⎠ 2 2) Равенства, содержащие слагаемыми неопределенные интегралы, не являются равенствами в обычном смысле. Всякое такое равенство означает, что равны между собой (уже в обычном смысле) производные от обеих его частей. О таких равенствах говорят, что они справедливы с точностью до произвольной постоянной, ибо разность между обеими частями равенства, содержащего слагаемыми неопределенные интегралы, равна не нулю, а произвольной постоянной. Например, равенство 5

∫ (x + 1)dx = x + ∫ xdx

справедливо с точностью до произвольной постоянной, ибо производная левой и правой частей равны одной и той же функции x + 1. Возникает вопрос: какими свойствами должна обладать функция f ( x) , чтобы у нее существовала первообразная и, следовательно, неопределенный интеграл (в этом случае эту функцию называют интегрируемой). Приведем без доказательства следующую теорему существования неопределенного интеграла. Теорема 2. Если функция f ( x) непрерывна на некотором промежутке, то на этом промежутке она интегрируема, т.е. имеет первообразную и, следовательно, неопределенный интеграл. В частности, из этой теоремы следует, что всякая элементарная функция в своей области определения имеет неопределенный интеграл. §2. Свойства неопределенного интеграла Свойство 1. Производная неопределенного интеграла равна подинтегральной функции, т.е. ′ f ( x ) dx = f ( x). (1.2) ∫ Справедливость этого свойства следует непосредственно из определения неопределенного интеграла, если под словами “производная неопределенного интеграла” понимать производную от любой первообразной для функции f ( x) . Свойство 2. Постоянный множитель k подинтегральной функции можно выносить за знак неопределенного интеграла, т.е. (1.3) ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx . Доказательство. Убедимся, что равны производные обеих частей равенства (1.3). В согласии со свойством 1 сможем написать ′ kf ( x ) dx = kf ( x). (1.4) ∫ Если продифференцировать выражение, стоящее в правой части равенства (1.3), то, учитывая, что постоянный множитель можно выносить за знак производной и используя равенство (1.2), сможем написать

(

(

)

)

6

(k ∫ f ( x)dx )′ = k (∫ f ( x)dx )′ = kf ( x).

(1.5) Из совпадения правых частей равенств (1.4) и (1.5) следует справедливость равенства (1.3). Свойство 3. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа интегрируемых функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций, т.е. (1.6) ∫ [ f1 ( x) ± f 2 ( x) ± " ± f n ( x)]dx = ∫ f1 ( x)dx ± " ± ∫ f n ( x)dx. Доказательство. Убедимся, что производные обеих частей равенства (1.6) равны, положив для простоты n = 2. В согласии со свойством 1 будем иметь ′ (1.7) ∫ [ f1 ( x) ± f12 ( x)]dx = f1 ( x) ± f 2 ( x). Продифференцируем выражение, стоящее в правой части равенства (1.6), и воспользуемся тем, что производная алгебраической суммы равна алгебраической сумме производных, а затем используем равенство (1.2): ′ ′ ′ f ( x ) dx ± f ( x ) dx = f ( x ) dx ± f ( x ) dx = f1 ( x) ± f 2 ( x). (1.8) ∫ 1 ∫ 2 ∫ 1 ∫ 2 Из совпадения правых частей равенств (1.7) и (1.8) следует справедливость равенств (1.6). Примечание. Из справедливости свойств 2 и 3 следует справедливость свойства линейности неопределенного интеграла относительно подинтегральной функции: неопределенный интеграл от линейной комбинации конечного числа интегрируемых функций равен соответствующей (т.е. с теми же коэффициентами) линейной комбинации неопределенных интегралов от этих функций, т.е. ∫ [k1 f1 ( x) + " + k n f n ( x)]dx = k1 ∫ f1 ( x)dx + " + k n ∫ f n ( x)dx, где k1 , k 2 , " , k n - постоянные. Свойство 4. (инвариантность формул интегрирования). Всякая формула интегрирования справедлива, независимо от того, является переменная интегрирования независимой переменной или любой допустимой непрерывно дифференцируемой функцией независимой переменной, т.е. если справедливо равенство (1.9) ∫ f ( x)dx = F ( x) + C , то справедливо равенство (1.10) ∫ f (u )du = F (u ) + C ,

(

(

)

) (

) (

7

)

где u = u (x) - любая допустимая непрерывно дифференцируемая функция аргумента x . Доказательство. Запишем равенство (1.10) в виде (1.11) ∫ f [u ( x)]u ′( x)dx = F [u ( x)] + C и убедимся, что производные левой и правой частей равенства (1.11) равны. Согласно свойству 1 можем написать ′ ′ [ ] = f [u ( x)]u ′( x). f u ( x ) u ( x ) dx (1.12) ∫ Теперь продифференцируем правую часть равенства (1.11), используя правило дифференцирования сложной функции (F [u ( x)] + C )′ = F ′[u ( x)]u ′( x). (1.13) Из справедливости равенства (1.9) следует F ′( x) = f ( x) и, следовательно, F ′[u ( x)] = f [u ( x)], а тогда равенство (1.13) можно записать в виде (F [u ( x)] + C )′ = f [( x)]u ′( x). (1.14) Из совпадения правых частей равенств (1.12) и (1.14) следует справедливость равенства (1.11), а значит и (1.10). Пример. Используя справедливость равенства 1 4 3 x dx = x +C (1.15) ∫ 4 найти Υ = ∫ sin 3 x cos xdx. Запишем сначала вычисляемый интеграл в виде Υ = ∫ sin 3 xd (sin x), а затем, используя равенство (1.15) и свойство 4, сможем написать 1 Υ = sin 4 x + C. 4

(

)

§3. Таблица основных интегралов и непосредственное интегрирование

Вначале следует заметить, что не существует общих правил вычисления неопределенных интегралов (подобных вычислению производных) и сам процесс интегрирования требует изобретательности и хорошего знания предыдущего материала. Техника вычисления неопределенных интегралов опирается на использование нескольких основных формул, которые получаются 8

обращением формул дифференцирования основных элементарных функций. Эти формулы сводятся в таблицу, которую называют таблицей основных интегралов. Основная трудность при интегрировании состоит в приведении подинтегрального выражения к виду, позволяющему использовать таблицу основных интегралов. При этом следует иметь в виду, что первообразные ряда элементарных функций не могут быть выражены в элементарных функциях. Например, доказано, что следующие интегралы не выражаются через элементарныфункции: − x2 e ∫ dx − èí ò åãðàë Ï óàññî í à, sin x ∫ x dx − èí ò åãðàëüí û é ñèí óñ, dx ∫ ln x − èí ò åãðàëüí û é ëî ãàðèô ì . Указанные интегралы хотя и существуют, но они выходят за класс элементарных. О них принято говорить, что они “не берутся” или что они “не выражаются в конечном виде”.

Таблица основных интегралов x n +1 + C при n ≠ −1, 1. ∫ x dx = n +1 dx 2. ∫ = ln x + C , x ax x 3. ∫ a dx = + C , a > 0, a ≠ 1, ln a 4. ∫ e x dx = e x + C , n

5. 6. 7. 8.

∫ sin xdx = − cos x + C , ∫ cos xdx = sin x + C , dx

∫ cos 2 x = tgx + C , dx

∫ sin 2 x = −ctgx + C , 9

dx

x + C, ∫ 2 2 a a −x dx 1 x 10. ∫ 2 = arctg + C. 2 a a a +x Приведенные формулы справедливы при тех значениях x, при которых определены подинтегральные функции. В дополнительном обосновании нуждаются лишь формулы (2), (9), (10). Остановимся на их обосновании, для чего убедимся, что производная правой части каждой из указанных формул совпадает с соответствующей подинтегральной функцией. Действительно, замечая, что в формуле (2) по1 динтегральная функция определена при всех x , кроме x = 0 , и что x при этом ⎧ x, если x > 0, x =⎨ и, следовательно, − x , если x < 0 ⎩

9.

= arcsin

⎧ ln x, если x > 0, ln x = ⎨ ⎩ln(-x), если x < 0,

а тогда 1 ⎧ , если x > 0, ′ ′ ⎪ x (ln x + C ) = (ln x ) = ⎨ 1 1 ⎪ (− 1) = , если x < 0, ⎩-x x откуда и следует справедливость формулы (2). Дифференцируя правые части формул (9) и (10) и используя правило дифференцирования сложных функций, будем иметь соответственно ′ ′ ⎛x⎞ ⎞ ⎛ x 1 1 1 ⎜ ⎟ = ⎜ arcsin + C ⎟ = ⋅ = ⎟ ⎜ 2 ⎜ a ⎟ 2 a a ⎠ ⎝ ⎛x⎞ ⎛x⎞ ⎝ ⎠ 1 − ⎜⎜ ⎟⎟ 1 − ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝a⎠ ⎝a⎠

=

a 2

a −x

2

⋅

1 = a

10

1 2

a −x

2

,

′ x 1 ⎛1 ⎞ ⎜ arctg + C ⎟ = ⋅ a a ⎝a ⎠

′ ⎛ x⎞ ⎜ ⎟ = 2 a ⎛ x⎞ ⎝ ⎠ 1+ ⎜ ⎟ ⎝a⎠ 1

1 1 1 1 a2 ⋅ = ⋅ ⋅ = . 2 a 2 2 a 2 2 a a +x a +x ⎛ x⎞ 1+ ⎜ ⎟ ⎝a⎠ Непосредственное интегрирование состоит в тождественном преобразовании подинтегральной функции, в использовании свойств неопределенных интегралов и таблицы основных интегралов. Рассмотрим несколько примеров. Примеры: 1. Вычислить x2 x2 ∫ (x + cos x )dx = ∫ xdx + ∫ cos xdx = 2 + C1 + sin x + C 2 = 2 + sin x + C. Здесь и ниже при отыскании суммы интегралов обычно сразу пишут одну произвольную постоянную C = C1 + C 2 . 2. Вычислить 1 + 4 xe x dx ⎛1 x⎞ x x ∫ x dx = ∫ ⎜⎝ x + 4e ⎟⎠dx = ∫ x + 4∫ e dx = ln x + 4e + C. 3. Вычислить 1 = ⋅ a

1

(∫ 1 + x 2 )2 dx = ∫ (1 + 2 x 2 + x 4 )dx = ∫ dx + 2∫ x 2 dx + ∫ x 4 dx =

2 3 1 5 x + x + C. 3 5 4. Вычислить sin 2 x 1 − cos 2 x dx 2 ∫ tg xdx = ∫ cos 2 x dx = ∫ cos 2 x dx = ∫ cos 2 x − ∫ dx = tgx − x + C. 5. Вычислить 1+ x2 − x2 1 ⎞ dx ⎛ 1 = dx = − ⎜ ∫ x2 1+ x2 ∫ x2 1+ x2 ∫ ⎝ x 2 1 + x 2 ⎟⎠dx =

= x+

(

)

(

)

x −1 1 = ∫ x dx − ∫ = − + = − − arctgx + C. arctgx C x 1+ x2 −1 −2

dx

11

При вычислении интегралов вида ∫ cos mx sin nxdx, ∫ cos mx cos nxdx,

∫ sin mx sin nxdx,

где m и n - любые вещественные числа, отличные от нуля, целесообразно представить подинтегральные функции в виде суммы тригонометрических функций, используя тождества 1 sin α cos β = [sin (α − β ) + sin (α + β )], 2 1 sin α sin β = [cos(α − β ) − cos(α + β )], 2 1 cos α cos β = [cos(α − β ) + cos(α + β )]. 2 Пример. Вычислить 1 1 1 x xdx = x + x dx = xdx + cos 3 cos 5 cos 2 cos8 cos 2 cos8 xdx = ( ) ∫ 2∫ 2∫ 2∫ 1 1 1 1 1 1 = ∫ cos 2 xd (2 x) + ∫ cos8 xd (8 x) = sin 2 x + sin 8 x + C. 2 2 2 8 4 16 Интегралы вида 2 2 ∫ sin mxdx, ∫ cos mxdx, где m - любое вещественное число, вычисляются при помощи тождеств 1 − cos 2α 1 + cos 2α sin 2 α = , cos 2 α = . 2 2 Пример. Вычислить 1 − cos x 1 1 1 2 x sin 1 cos cos xdx = dx = dx = − x dx = x − ( ) ∫ 2 ∫ 2 2∫ 2 2∫ 1 1 = x − sin x + C. 2 2 §4. Метод подстановки при вычислении неопределенных интегралов

Сущность метода подстановки (замены переменной) состоит в том, что с помощью специальным образом подобранной замены переменной интегрирования данное подинтегральное выражение преобразуется к другому подинтегральному выражению, которое является более простым в смысле интегрирования. 12

Пусть x = ϕ (t ) - строго монотонная и непрерывно дифференцируемая функция на некотором промежутке изменения t . Если на соответствующем промежутке изменения x функция f (x) непрерывна, то будем иметь (1.16) ∫ f ( x)dx = ∫ f [ϕ (t )]ϕ ′(t )dt. Справедливость равенства (1.16) следует из свойства инвариантности формул интегрирования, ибо если F (x) - первообразная для f (x) , то, вычислив производную сложной функции F [ϕ (t )] по t (F [ϕ (t )])′ = F ′[ϕ (t )]ϕ ′(t ) = f [ϕ (t )]ϕ ′(t ),

легко заметить, что она является первообразной для f [ϕ (t )]ϕ ′(t ). Это значит, что каждая из частей равенства (1.16) представляет собой совокупность всех первообразных для функции f ( x) . Разница состоит в том, что интеграл в левой части выражает эту совокупность в виде явных функций от переменной x , а интеграл в правой части – в виде функций, выраженных параметрически, с помощью параметра t , причем x = ϕ (t ) . Формула (1.16) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле. Для выражения интеграла в виде функций от x следует после интегрирования по переменной t в полученном результате перейти от переменной t к переменной x при помощи зависимости x = ϕ (t ) . При использовании метода замены переменной иногда удобно вводить подстановки вида t = Ψ ( x) или ϕ (t ) = Ψ ( x). Примеры: 1. Считая, что x ≥ 0 , вычислить интеграл 3x − 2 ∫ (x + 1)3 dx. Сделаем замену переменной по формуле x = t − 1. Тогда dx = dt и, следовательно, 3x − 2 3(t − 1) − 2 3t − 5 ⎛3 5⎞ = = = dx dt dt ∫ (x + 1)3 ∫ t3 ∫ t3 ∫ ⎜⎝ t 2 − t 3 ⎟⎠dt = 3 5 t −1 t −2 = 3∫ t dt −5∫ t dt = 3 −5 + C = − + 2 + C, −1 −2 t 2t где C - произвольная постоянная. Возвращаясь к переменной x , будем иметь окончательно −2

−3

13

3x − 2

3 5 + + C. ∫ (x + 1) x + 1 2( x + 1) 2 2. Считая, что x ≥ 0 , вычислить интеграл dx ∫1+ x . Этот интеграл существует при всех x ≥ 0 . Введем подстановку t = x . В этом случае x = t 2 и dx = 2tdt . Тогда имеем dx 2tdt 1+ t −1 = = 2 ∫ 1 + x ∫ 1 + t ∫ 1 + t dt = 1 ⎞ ⎛ = 2 ∫ ⎜1 − ⎟dt = 2[t − ln(1 + t )] + C , ⎝ 1+ t ⎠ где C - произвольная постоянная. При возвращении к старой переменной получим dx ∫ 1 + x = 2 x − ln 1 + x + C. 3. Считая, что x ≥ 0 , вычислить интеграл dx ∫ x 1+ 3 x . dx = − 3

[

)]

(

(

)

Для вычисления этого интеграла разумно положить x = t 6 (чтобы все корни “извлекались”), тогда dx = 6t 5 dt и dx t2 6t 5 dt 1+ t 2 −1 1 ⎞ ⎛ dt dt = = = = − 6 6 6 1 ∫ x 1 + 3 x ∫ t 3 (1 + t 2 ) ∫ 1 + t 2 ∫ 1+ t2 ∫ ⎝⎜ 1 + t 2 ⎠⎟dt =

(

)

dt = 6(t − arctgt ) + C. 1+ t2 Теперь перейдем к старой переменной x с помощью формулы 6 t = x . Получим dx 6 6 ∫ x 1 + 3 x = 6 x − arctg x + C. 4. Вычислить интеграл dx ∫ sin 2 x + 4 cos 2 x .

= 6 ∫ dt − 6 ∫

(

)

(

)

14

Этот интеграл существует при всех x . Сделаем замену переменdx . Перейдем в данном интеной по формуле t = tgx. Тогда dt = cos 2 x грале к новой переменной 1 dx dx dt t = = = arctg + C, ∫ sin 2 x + 4 cos 2 x ∫ cos 2 x tg 2 x + 4 ∫ t 2 + 4 2 2 где C - произвольная постоянная. Возвращаясь к старой переменной, будем иметь dx 1 tgx = arctg + C. ∫ sin 2 x + 4 cos 2 x 2 2 5. Вычислить интеграл e2x ∫ 4 x dx. e +1 Этот интеграл существует при всех x , так как подынтегральная функция непрерывна и положительна на всей оси. Введем подстановку t 4 = e x + 1; тогда 4t 3 dt = e x dx, e x = t 4 − 1. Перейдем к новой пе-

(

ременной

∫4

e2x x

e +1

(

dx = ∫

)

(t 4 − 1)4t 3 dt = 4 t 2 (t 4 − 1)dt = ∫

t

)

⎛ t7 t3 ⎞ = 4∫ t − t dt =4⎜⎜ − ⎟⎟ + C. ⎝7 3⎠ Возвратившись к старой переменной, получим 6

e2x

2

7

(

)

(

3

)

4 x 4 x ∫ 4 x dx = 7 e + 1 4 − 3 e + 1 4 + C. e +1

§5. Интегрирование по частям при вычислении неопределенных интегралов

Этот метод является обращением правила дифференцирования произведения двух функций. Пусть функции u = u (x) и v = v(x) непрерывно дифференцируемы на некотором промежутке. Ясно, что (uv)′ = u ′v + uv ′. 15

Произведение uv является первообразной для суммы u ′v + uv ′ , следовательно, по определению неопределенного интеграла можем написать ∫ (u ′v + uv′)dx = uv + C , где C - произвольная постоянная. Последнее равенство равносильно равенству ∫ u ′vdx + ∫ uv′dx = uv + C , или (1.17) ∫ uv′dx = uv − ∫ vu ′dx, где постоянная C не выписывается явно, так как неопределенный интеграл неявным образом уже содержит произвольную постоянную. Равенство (1.17) обычно записывают в виде (1.18) ∫ udv = uv − ∫ vdu. Формула (1.17) (или (1.18)) называется формулой интегрирования по частям. Она позволяет свести вычисление интеграла ∫ uv ′dx к вы-

числению интеграла ∫ vu ′dx . Метод интегрирования по частям применяется тогда, когда подынтегральное выражение предложенного интеграла представляется в виде произведения udv, причем функция и(х) и v(x) выбираются так, чтобы интегрирование выражения vdu было проще интегрирования выражения udv. Следует отметить, что при интегрировании по частям приходится по дифференциалу dv(x) находить функцию v(x). При этом, т.к. достаточно найти только одну какую-нибудь первообразную, то произвольную постоянную обычно опускают. Примеры: 1. Вычислить

∫ (x + 2)e

x

dx.

Здесь разумно положить u = x + 2,

dv = e x dx, тогда находим,

что du = dx, v = e x . Применяя формулу (1.18), получим

∫ ( x + 2 ) e dx = ( x + 2)e − ∫ e dx =( x + 2)e x

x

x

2. Вычислить ∫ x 5 ln xdx.

16

x

− e x + C = ( x + 1)e x + C.

В данном примере целесообразно положить u = ln x, dv = x 5 dx, 1 x6 . Применяя формулу (1.18), будем иметь тогда du = dx, v = 6 x x6 x6 1 x6 1 5 x6 ⎛ 1⎞ 5 x ln xdx = ln x − dx = ln x − x dx = ln x − ⎟ + C. ⎜ ∫ ∫6 x 6 6 6∫ 6 ⎝ 6⎠ Метод интегрирования по частям иногда целесообразно применять несколько раз. Пример. Вычислить ∫ x 2 cos xdx. Положим u = x 2 , dv = cos xdx, тогда du = 2 xdx, v = sin x. Воспользовавшись формулой (1.18), получим 2 2 (1.19) ∫ x cos xdx = x sin x − 2∫ x sin xdx. Вычисление предложенного интеграла свелось к вычислению интеграла ∫ x sin xdx, который тоже будем вычислять с помощью ме-

тода интегрирования по частям. Положим u = x, dv = sin xdx, тогда du = dx, v = − cos x и, следовательно,

∫ x sin xdx = − x cos x − ∫ (− cos x )dx = − x cos x + sin x + C.

(1.20)

Подставив (1.20) в (1.19), получим окончательно x 2 cos xdx = x 2 sin x − 2 ( − x cos x + sin x + C ) =

∫

= x 2 sin x + 2 x cos x − 2sin x + C1 , где C1 = −2C - новая произвольная постоянная. Методом интегрирования по частям вычисляются, например, следующие типы интегралов n m n n ∫ x ln xdx, ∫ x cos axdx, ∫ x sin axdx,

∫x

n ax

e dx,

∫x

n

arcsin axdx,

∫x

n

arctg axdx,

где n и m - любые натуральные числа. Иногда при помощи повторного применения формулы интегрирования по частям получают равенство, содержащее искомый интеграл, из которого определяют его выражение. Пример. Вычислить Υ = ∫ e x cos xdx .

17

Положим u = e x , dv = cos xdx, тогда du = e x dx, v = sin x. Используя формулу (1.18), будем иметь Υ = e x sin x − ∫ e x sin xdx. (1.21) Применим к интегралу ∫ e x sin xdx формулу интегрирования по частям, полагая и = ех, dv = sinxdx, тогда du = exdx, v = -cos x. Сможем написать

∫e

x

sin xdx = −e x cos x + ∫ e x cos xdx = −e x cos x + Υ.

(1.22)

Подставив (1.22) в (1.21) и разрешив относительно Υ , получим погрешное равенство Y = e x sin x + e x cos x − Y

откуда ( 2 J = e x (sin x + cos x ) . Разделив обе части последнего равенства на 2 и добавив к правой части произвольную постоянную С, будем иметь 1 Υ = e x (sin x + cos x ) + C. 2 §6. Основные сведения о комплексных числах

Все рассматриваемые до сих пор задачи решались на множестве вещественных чисел. Однако, для решения многих задач требуется расширить множество вещественных чисел. Расширением множества вещественных чисел является множество комплексных чисел. Перейдем к его построению. Рассмотрим множество всевозможных упорядочных пар вещественных чисел (а; b), где а - первое число, b - второе число. Две пары (а; b) и (с; d) - считаются равными тогда и только тогда, когда a = c и b = d. (1.23) Введем для пар две операции: сложение и умножение. Суммой двух пар (а; b) и (с; d) называется пара, у которой первое число равно а + с, а второе b + d, т.е. (a; b) + (c; d ) = (a + c; b + d ). (1.24)

18

Произведением двух пар (а; b) и (с; d) называется пара, у которой первое число равно ас - bd, а второе ad + bc, т.е. (a; b) ⋅ (c; d ) = (ac − bd ; ad + bc). .

(1.25)

Множество всевозможных nap вещественных чисел, для которых равенство определяется формулами (1.23), а операции сложения и умножения определяются по формулам (1.24) и (1.25), называется множеством комплексных чисел, а каждая пара этого множества комплексным числом. Непосредственной проверкой легко убедиться в том, что операция сложения комплексных чисел обладает свойствами коммутативности (переместительности) и ассоциативности (сочетательности), т.е. если и, v, w - произвольные комплексные числа, то u + v = v + u, и + (v + w) = (u + v) +w. При этом операция умножения комплексных чисел обладает свойствами коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности (распределительности), т.е. и · v + v · u, u ⋅ (v ⋅ w) = (u ⋅ v ) ⋅ w, (u + v ) ⋅ w = u ⋅ w + v ⋅ w. Если на плоскости введена прямоугольная декартовая система координат Оху, то всякое комплексное число (а;b) можно изобразить точкой на плоскости, положив х = а, у = b. Плоскость, изображающая множество комплексных чисел, называется комплексной плоскостью. Ясно, что при этом устанавливается взаимно однозначное соответствие между множеством комплексных чисел и множеством точек комплексной плоскости. Так как всякое комплексное число вида (а; 0) изображается точкой оси Ох, то можно множество комплексных чисел вида (а; 0) отождествить с множеством вещественных чисел и, следовательно, рассматривать множество комплексных чисел как расширение множества вещественных чисел. Например, комплексные числа (0; 0) и (2; 0) - являются обычными вещественными числами 0 и 2, и вообще (a;0) ≡ a. (1.26) Обозначим комплексное число (0; 1) буквой i и вычислим произведение комплексных чисел (b; 0) и (0; 1) согласно формуле (1.25) (b;0) ⋅ (0;1) = (b ⋅ 0 − 0 ⋅ 1; b ⋅ 1 + 0 ⋅ 0) = (0; b ), 19

или в таком виде

bi = (0; b ).

(1.27)

В согласии с формулой (1.24) всякое комплексное число (а;b) можно представить в виде

(a; b ) = (a;0) + (0; b ).

(1.28)

Используя формулы (1.26) и (1.27), сможем записать равенство (1.28) в виде

(a; b ) = a + bi. Выражение a+bi называется алгебраической формой комплексного числа (а;b). Комплексное число i называется мнимой единицей, число а - вещественной частью комплексного числа, а число b - мнимой частью этого числа. При этом используются обозначения а = Re(a+bi), b = Im(a+bi). Числа вида bi часто называются чисто мнимыми числами. Вычислим, например, величины i2, i3, i4. i 2 = i ⋅ i = (0;1) ⋅ (0;1) = (0 ⋅ 0 − 1 ⋅ 1;0 ⋅ 1 + 1 ⋅ 0 ) = (− 1;0) = −1, i 3 = i 2 ⋅ i = (− 1)i = −i, i 4 = l 2 ⋅ i 2 = (− 1) ⋅ (− 1) = 1.

Заметим, что используя равенство i2 = -1 часто чисто условно пишут, что i = − 1 и определяют комплексные числа как выражения вида а + bi. Операции сложения и умножения комплексных чисел в алгебраической форме можно выполнять по обычным правилам алгебры многочленов, если учесть, что i2 = -1, i3 = -i, i4 = 1 и, вообще, i4n+1 = i, i4п+2=-1, i4n+3 = -i, i4n = 1, где п - любое натуральное число. Комплексное число а -bi называется сопряженным комплексному числу z = а + bi и обозначается символом z . Очевидно, что z + z = 2a, z ⋅ z = a2 + b2. Для комплексных чисел вводятся операции вычитания и деления, которые определяются как действия, обратные сложению и умножению.

20

Разностью u - v комплексных чисел и=a+bi и v=c+di называется такое комплексное число z = х + iу, которое в сумме с числом v дает число и, т.е. z + v = u. Отсюда для определения чисел х и у имеем х = а - с, у = b-d. u Частным комплексных чисел и = а+bi и v = c+di (при v ≠ 0) называv ется такое комплексное число z = х + уi, которое при умножении на число v дает число u, т.е. z ⋅ v = u. (1.29) Для определения числа z сначала обе части равенства (1.29) умножим на v = с - di, а затем разделим на вещественное число с2 + d2. Будем последовательно иметь z(c2 + d 2) = (a+bi )(c-di )=ac + bd + i(bc - ad), ac + bd bc − ad z= 2 + 2 i. 2 2 c +d c +d Введем на комплексной плоскости (рис.2) полярную систему координат Orϕ , где r - расстояние произвольной точки от начала О, а φ - угол между радиус-вектором выбранной точки и положительным направлением оси Ох. Используя формулы связи между полярными и прямоугольными декартовыми координатами точки, сможем для любого комплексного числа z = а + bi написать a = r cos φ,

b = r sin φ,

(1.30)

а тогда

y z r

z = r (cos φ + i sin φ). (1.31) Представление комплексного числа z в виде (1.31) называется тригонометрической формой комплексного числа z. Неотрицательное число r называют модулем комплексного числа z, а угол φ - аргументом этого числа. При этом используются обозначения

ϕ x

O Ðèñ.2

21

r = z,

ϕ = Argz.

Заметим, что каждое комплексное число имеет бесконечное множество значений аргумента, отличающихся друг от друга на число, кратное 2 π. (Число z = 0 имеет модуль, равный нулю, а аргумент для него не определяется). Среди всех значений аргумента выделяют так называемое главное значение, которое обозначают символом arg z и которое заключено в промежутке [0, 2π) или (-π, π]. Зная модуль и аргумент φ комплексного числа, можно по формулам (1.30) найти его вещественную а и мнимую b части. Наоборот, зная вещественную и мнимую части комплексного числа, можно найти модуль этого числа по формуле r = a2 + b2 , которая получена после возведения в квадрат каждой из частей равенств (1.30), сложения и извлечения квадратного корня. Аргумент φ при этом определяется с, помощью формул a a b b cos ϕ = = , sin ϕ = = , 2 2 2 2 r r a +b a +b которые получаются из формул (1.30). Покажем теперь, что тригонометрической формой комплексных чисел довольно удобно пользоваться при: - умножении комплексных чисел, - делении комплексных чисел, возведении комплексного числа в целую положительную степень, - извлечении корня из комплексного числа. Пусть заданы два комплексных числа в тригонометрической форме z1 = r1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 ), z 2 = r2 (cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 ).

Перемножая их, получим z1 ⋅ z2 = r1 ( cos ϕ1 + i sin ϕ1 ) r2 ( cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 ) = = z1 ⋅ z2 ⎡⎣( cos ϕ1 cos ϕ 2 − sin ϕ1 sin ϕ 2 ) + i ( sin ϕ1 cos ϕ 2 + cos ϕ1 sin ϕ 2 ) ⎤⎦ ,

или в таком виде

z1 ⋅ z 2 = r1r2 [cos(ϕ1 + ϕ 2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ 2 )].

22

(1.32)

Таким образом, модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению их модулей, а аргумент этого произведения равен сумме аргументов сомножителей. Используя определение частного двух комплексных чисел, нетрудно показать справедливость равенства z1 r1 = [cos(ϕ1 − ϕ 2 ) + i sin(ϕ1 − ϕ 2 )], , z 2 r2 которое означает, что модуль частного двух комплексных чисел равен частному их модулей, а аргумент равен разности аргументов делимого и делителя. Используя формулу (1.32), легко показать справедливость формулы для возведения комплексного числа в целую положительную степень п [r (cos ϕ + i sin ϕ )]n = r n (cos nϕ + i sin nϕ ), которая носит название формулы Муавра. Комплексное число w = R{cos Ψ + i sin Ψ) называют корнем степени п из комплексного числа z = r(cos φ + i sin φ), если wn = z; при этом пишут w = n z . Используя формулу Муавра и учитывая, что аргумент комплексного числа определяется с точностью до слагаемого, кратного 2π, сможем написать R n = r , nΨ = ϕ + 2kπ (k = 0,±1,±2, "), откуда следует R = n r,

Ψ=

ϕ + 2kπ

. n Придавая k значения 0,1,2,…, п - 1, получим n различных главных значений аргумента для n z ϕ ϕ + 2π ϕ + 2(n − 1)π , ,", . (1.33) n n n Остальным значениям k соответствуют значения Ψ , отличающиеся от одного из значений (1.33) на величину, кратную 2π. Итак, n z имеет п различных значений, определяемых формулой ϕ + 2kπ ϕ + 2kπ ⎞ ⎛ n z = n r ⎜ cos + i sin (1.34) ⎟ (k = 0,1,2, " , n − 1), n n ⎝ ⎠ причем n r означает положительное значение корня степени n из положительного вещественного числа r. 23

Пример. Найти все значения 3 1 из множества комплексных чисел. Рассматривая число 1 как комплексное число 1 + 0i, легко заметить, что его модуль равен 1, а главное значение аргумента равно 0. По формуле (1.34) имеем 2kπ 2kπ 3 (k = 0,1,2) + i sin 1 = cos 3 3 или такие три значения 2π 2π 4π 4π + i sin + i sin cos 0 + i sin 0, cos , cos . 3 3 3 3 Упрощая последние выражения, получим окончательно 1 3 1 3 1, − + i , − −i . 2 2 2 2 §7. Основные сведения о рациональных функциях Определение. Функция R(x) называется рациональной, если для вычисления ее значений над аргументом х выполняется только конечное число арифметических действий (сложение, вычитание, умножение, деление). Всякая рациональная функция может быть приведена к виду Q ( x) R( x) = m , (1.35) Pn ( x) где Qm ( x) = b0 x m + b1 x m−1 + " + bm−1 x + bm , Pn ( x) = a0 x n + a1 x n−1 + " + a n−1 x + a n .

Рациональная функция (дробь) (1.35) называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя, т.е. если т < п. Если т ≥ п, то дробь называется неправильной. Приведем без доказательств несколько свойств рациональных функций. Теорема 1 (Безу). При делении многочлена Pn ( x)

(n > 0)

на

разность х - с, где с - произвольное число, получается остаток, равный значению многочлена при х =c, т.е. при любом с многочлен Рп(х) может быть представлен в виде Pn ( x) = ( x − c )Pn−1 ( x) + Pn (c), 24

где Pn−1 ( x) - некоторый многочлен степени n - 1 (частное от деления Рп(х) на разность х - с) Следствие. Если с - корень многочлена Рп(х), т.е. Рп(с) = 0, то многочлен Рп(х) делится без остатка на разность х – с Pn ( x) = ( x − c )Pn−1 ( x).

Теорема 2 (основная теорема алгебры). Всякий многочлен Рп(х) степени п > 0 имеет, по крайней мере, один корень - вещественный или комплексный. Следствие. Всякий многочлен Рп(х) может быть представлен в виде Pn ( x) = a0 ( x − c1 )( x − c 2 ) " ( x − c n ),

где c1 , c 2 , " c n - корни многочлена Рп(х). Может случиться, что среди чисел c1 , c 2 , " c n есть равные. Обозначим через c1 , c 2 , " c m различные корни многочлена Рп(х), а через k1 , k 2 , " k m - кратность соответствующего корня. Тогда разложение многочлена Рn(х) можно представить в виде Pn ( x) = a 0 ( x − c1 )k1 ( x − c 2 ) k2 " ( x − c m ) km . (1.36) Ясно, что k1 + k2 + " + km = п. Если кратность некоторого корня равна единице, то соответствующий корень многочлена называется простым. Если кратность некоторого корня равна k, то считают, что многочлен Рп(х) имеет k одинаковых корней. Имея это ввиду, можно утверждать, что многочлен степени п имеет ровно n корней (вещественных или комплексных). Теорема 3. Если многочлен Рп(х) с вещественными коэффициентами имеет комплексный корень а + ib кратности k, то сопряженное число a - ib есть корень той же кратности. Пусть a + ib и a — ib - пара сопряженных комплексных корней многочлена Рп(х). Вычислим произведение разностей х - (a + ib) и х - (а - ib) : [x − (a + ib )][x − (a − ib )] = [(x − a ) − ib][(x − a ) + ib] = = ( x − a )2 + b 2 = x 2 − 2ax + a 2 + b 2 . Отсюда следует, что в разложении (1.36) всякое произведение двух линейных множителей, соответствующих паре сопряженных комплексных корней можно записать в виде квадратного трехчлена вида 25

x 2 + px + q p = −2a,

с вещественными коэффициентами, если положить q = a 2 + b 2 . Это обстоятельство позволяет сделать важный

для дальнейшего вывод: Всякий многочлен степени п с вещественными коэффициентами может быть представлен в виде произведения вещественных линейных и квадратичных (неразложимых на линейные вещественные множители) множителей: Pn ( x) = a0 ( x − c1 ) 1 ( x − c2 ) k2 " ( x − cr ) kr ( x 2 + p1 x + q1 ) , l1

k

(1.37)

( x2 + p2 x + q2 ) "( x2 + ps x + qs ) , l2

где множители ( x − c1 )k1 , ( x − c 2 )k2 , ( x − c3 )k3 , ", ( x − c r )kr соответствуют вещественным корням c1 , c 2 , c3 , " , c r многочлена Рn(x) кратности k1 , k 2 , k 3 , ", k r , а множители

(

)l

(x 2 + p1 x + q1 )l , (x 2 + p2 x + q2 )l , 1

2

", x 2 + p s x + q s - s парам комплексных сопряженных корней кратности соответственно l1 , l 2 , l3 , ", l s . Ясно, что имеет место равенство k1 + k 2 + " + k r + 2l1 + 2l 2 + " + 2l s = n. s

Представление многочлена Pn (x) в виде (1.37) называется разложением многочлена на простейшие множители. Определение. Простейшими дробями соответственно первого и второго типа называются рациональные дроби вида A Mx + N , , k l 2 − x c ( ) ( x + px + q ) где k и l - любые натуральные числа, а A, М, N, с, р, q- любые вещественные числа при условии, что р2 - 4q < 0, т.е. квадратичный трехчлен х2 + рх + q не имеет вещественных корней. Теорема 4. Всякая правильная рациональная дробь с вещественными коэффициентами может быть представлена в виде суммы простейших дробей, так что каждому множителю вида ( x − c )k в разложении знаменателя отвечает сумма k простейших дробей первого типа

26

Ak A1 A2 + + + " , k x − c ( x − c )2 (x − c )

а каждому множителю вида (х2 + рх + q)l - сумма из l простейших дробей второго типа M l x + Nl M 1 x + N1 M 2 x + N2 + + + " , l 2 x 2 + px + q ( x 2 + px + q )2 ( x + px + q ) причем такое разложение единственно. Основным методом разложения правильной рациональной дроби на простейшие является метод неопределенных коэффициентов. Он состоит в том, что по виду разложения знаменателя дроби на линейные и квадратичные множители, выписывают разложение данной дроби в виде суммы простейших дробей с буквенными неизвестными коэффициентами в числителях этих дробей. Затем полученное равенство освобождают от знаменателей умножением на знаменатель данной дроби, получая тождественное равенство двух многочленов: числителя данной дроби и многочлена с коэффициентами, содержащими неизвестные коэффициенты разложения. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях равенства, получают систему уравнений для нахождения неизвестных коэффициентов. Пример. Разложить дробь 4x 2 − 4x + 6

( x − 1)2 (x 2 + 1)

на простейшие. Вначале выписываем разложение с неопределенными коэффициентами A B Cx + D 4x 2 − 4x + 6 = + + . ( x − 1)2 x 2 + 1 x − 1 ( x − 1) 2 x 2 + 1 `Освобождаясь от знаменателей, получим тождество 4 x 2 − 4 x + 6 = A( x − 1)( x 2 + 1) + B( x 2 + 1) + (Cx + D )( x − 1) 2 . (1.38)

(

)

Приравнивая теперь коэффициенты при одинаковых степенях х слева и справа, получаем систему четырех уравнений с четырмя неизвестными:

27

x3 : A + C = 0, x 2 : B − A − 2C + D = 4, x1 : A + C − 2 D = −4, x 0 : B − A + D = 6.

Решив эту систему, найдем A = −1, B = 3, C = 1, D = 2. Таким образом, сможем написать искомое разложение −1 x+2 4x 2 − 4x + 6 3 = + + . 2 2 2 2 x − 1 x +1 ( x − 1) ( x − 1) x + 1 Кроме метода неопределенных коэффициентов можно применять так называемый метод частных значений, который использует то обстоятельство, что равенство многочленов, получающихся после освобождения от знаменателей в разложении дроби на простейшие с буквенными коэффициентами, представляет собою тождество и, следовательно, удовлетворяется при любом значении х. Поэтому, давая х специальным образом подобранные значения (вещественные или комплексные), можно получать линейные уравнения для определения искомых коэффициентов. Так, если в предыдущем примере, в равенстве (1.38) положить х = 1, то сразу находим

(

)

2B = 6, откуда следует B = 3. Полагая x = i , при котором обращаются в нуль первое и второе слагаемые в правой части, получаем 2 − 4i = (Ci + D )(i − 1)2 = (Ci + D )(− 2i ) = 2C − 2 Di. Приравняв вещественные и мнимые части, будем иметь 2С = 2, -2Di = -4i, т.е. С = 1, D = 2.

Для определения коэффициента A положим х = 0; тогда получим 6 =-A+ B + D. Так как В = 3, а D = 2, то А = -1. Получили те же самые значения искомых коэффициентов. Вообще, при разложении правильной дроби на простейшие, следует иметь в виду, что такое разложение единственно и поэтому совершенно безраз28

лично, каким путем оно достигается. Комбинируя в случае надобности различные приемы определения коэффициентов разложения, можно значительно упростить вычисления.

29

§8. Интегрирование рациональных функций Так как всякую неправильную рациональную дробь путем деления числителя на знаменатель можно представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби, то интегрирование неправильных рациональных дробей сводится к интегрированию многочлена и правильной рациональной дроби. Но интегрирование многочлена проводится элементарно, а теорема о разложимости правильной рациональной дроби на простейшие дроби позволяет свести ее интегрирование к интегрированию простейших дробей. Перейдем к рассмотрению интегралов от простейших дробей. Интегралы от простейших дробей первого типа вычисляются просто. Действительно, при k = 1 имеем A d ( x − a) ∫ x − a dx = A x − a = A ln x − a + C , при k = 2,3, … A d ( x − a) A 1 −k dx = A = A ( x − a ) d ( x − a ) = ⋅ +C. k k ∫ ( x − a) ∫ ( x − a) ∫ 1 − k ( x − a) k −1 Прежде чем переходить к интегрированию простейших дробей второго типа, преобразуем квадратичный трехчлен х2 +рх + q, стоящий в знаменателе простейшей дроби второго типа, к сумме квадратов 2

2

p⎞ p2 ⎛ p⎞ ⎛ x + px + q = ⎜ x + ⎟ + q − = ⎜ x + ⎟ + a2, 2⎠ 4 ⎝ 2⎠ ⎝ 2

p2 где введено обозначение a = q − . Введя замену переменной по 4 p формуле t = x + , сможем написать 2 Mx + N tdt p⎞ dt ⎛ dx = M + N − M ⎟ ⎜ ∫ ( x 2 + px + q) k ∫ 2 2k ⎝ ∫ 2 2 k . (1.39) 2 ⎠ t +a t +a

(

)

(

)

Рассмотрим сначала случай k = 1. В этом случае имеем Mx + N tdt p⎞ dt ⎛ dx = M + N − M = ⎜ ⎟ ∫ x 2 + px + q ∫ t 2 + a2 ⎝ 2 ⎠ ∫ t 2 + a2 M 2 N − Mp t = ln ( t 2 + a 2 ) + arctg + C. 2 2a a Вернувшись к старой переменной, получим требуемый результат. 30

Теперь рассмотрим случаи k =2,3,4, …В этих случаях первый интеграл в правой части равенства (1.39) вычисляется просто tdt 1 2 1 1 2 −k = t + a d t 2 + a2 = ⋅ + C. ∫ 2 2 k 2∫ 2 2 k −1 2 1 − k ( ) t +a t +a

(

(

)

) (

)

(

)

(1.40) Для вычисления второго интеграла, стоящего в правой части равенства (1.39), введем обозначение dt (1.41) . Ik = ∫ 2 2 k t +a

(

)

Проделаем теперь следующие тождественные преобразования Ik =

1 a

2

∫

(t

a 2 dt 2

+a

)

2 k

=

1 a

2

∫

t 2 + a2 − t 2

(t

2

+a

)

2 k

dt =

⎤ 1 ⎡ t 2 + a2 t 2 dt = 2 ⎢∫ dt ⎥ = dt − ∫ k k ⎥ a ⎢⎣ t 2 + a 2 t 2 + a2 ⎦

(

1 ⎡ dt = 2 ⎢∫ a ⎢⎣ t 2 + a 2

(

)

k −1

)

−∫

(

)

⎤ 1 ⎡ t 2 dt ⎥= ⎢ I k −1 − ∫ 2 2 2 k⎥ ⎢ t 2 + a2 t +a ⎦ a ⎣

(

t 2 dt

)

(

(1.42) ⎤ ⎥. k ⎥ ⎦

)

Ко второму интегралу в правой части (1.42) применим формулу интегрирования по частям, положив u = t,

dv =

(t

tdt 2

+a

)

2 k

.

Тогда, используя равенство (1.40), сможем написать 1 1 . du = dt , v = ⋅ 2(1 − k ) t 2 + a 2 k −1

(

)

В согласии с формулой интегрирования по частям и обозначением (1.41) будем иметь

31

t 2 dt

t 1 ⋅ 2(1 − k ) t 2 + a 2 t

1 dt ∫ 2 2k ∫ 2 2 k −1 = k −1 2 ( 1 k ) − t +a t +a 1 I k −1. = − 2 2 k −1 2 ( 1 k ) − 2(1 − k ) t + a Подставив последнюю формулу в равенство (1.42), получим ⎤ 1 ⎡ t 1 + I k = 2 ⎢ I k −1 − I k −1 ⎥, − 1 k 2(1 − k ) ⎥ a ⎢⎣ 2(1 − k ) t 2 + a 2 ⎦ или в таком виде t 2k − 3 Ik = + I k −1 ; k = 2,3, ". 2 2 2 2 k −1 2a (k − 1) 2a (k − 1) t + a

(

)

=

(

(

)

−

)

)

(

(

(

)

)

Последняя формула позволяет находить (без интегрирования) интеграл I k , если известно выражение для интеграла I k −1 . Такого типа формулы называются рекуррентными. Например, зная что 1 dt t = + C, I1 = ∫ 2 arctg a t + a2 a находим по рекуррентной формуле (положив k=2) 1 t t I2 = 2 2 + arctg + C. 2 3 a 2a t + a 2a

(

)

Используя полученное выражение для I 2 , по той же формуле можно найти I 3 , затем I 4 и т.д. вплоть до нужного значения k. Для получения окончательного выражения для неопределенного интеграла простейшей дроби второго типа при k ≠ 1, следует возвратиться от переменной t к первоначальной переменной х. Примеры: 1. Вычислить

∫

9x 2 − 2x − 8 3

dx.

x − 4x Подинтегральная функция - правильная рациональная дробь (в числителе стоит многочлен второй степени, а в знаменателе - третьей). Простыми корнями знаменателя являются числа 0, -2, 2, так что сам знаменатель x3 – 4x может быть разложен на множители x3 – 4x = x(x - 2)(x + 2). 32

Подставив эти числа в числитель дроби, убедимся, что они не являются корнями числителя и, следовательно, дробь несократима. В согласии с теоремой 4 будем искать разложение подынтегральной функции в виде A B C 9x 2 − 2x − 8 = + + , x( x − 2)( x + 2) x x − 2 x + 2 где A, В, С - неизвестные коэффициенты, подлежащие определению. Освобождаясь от знаменателя, будем иметь

(

)

9 x 2 − 2 x − 8 = A x 2 − 4 + Bx( x + 2) + Cx( x − 2),

или 9 x 2 − 2 x − 8 = ( A + B + C ) x 2 + (2 B − 2C ) x − 4 A.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x слева и справа, получим систему трех уравнений с тремя неизвестными ⎧ A + B + C = 9, ⎪ ⎨2 B − 2C = −2, ⎪ − 4 A = −8. ⎩

Решая эту систему, найдем A = 2, B = 3, C = 4.

Итак, 9x 2 − 2x − 8

3 4 ⎞ ⎛2 dx = + + ⎜ ∫ x3 − 4x ∫ ⎝ x x − 2 x + 2 ⎟⎠dx = = 2 ln x + 3 ln x − 2 + 4 ln x + 2 + C , где С - произвольная постоянная. 2. Вычислить 2x5 − x 4 + 4x 2 − 4x + 5 ∫ ( x − 1) 2 ( x 2 + 1) dx. Подинтегральная функция представляет собой неправильную дробь ( в числителе стоит многочлен пятой степени, а в знаменателе - четвертой), поэтому вначале выделим ее целую часть. Разделив числитель на знаменатель, получаем (здесь используется равенство ( x − 1) 2 ( x 2 + 1) = = x 4 − 2 x 3 + 2 x 2 − 2 x + 1).

33

2 x5 − x 4 +

4 x2 − 4 x + 5

x 4 − 2 x3 + 2 x 2 − 2 x + 1

2 x5 − 4 x 4 + 4 x3 − 4 x 2 + 2 x

2x + 3

3x 4 − 4 x3 + 8 x 2 − 6 x + 5 3 x 4 − 6 x3 + 6 x 2 − 6 x + 3 2 x3 + 2 x 2 + 2

Таким образом, получаем 2x5 − x 4 + 4x 2 − 4x + 5 2

2

= 2x + 3 +

2x3 + 2x 2 + 2 2

2

.

( x − 1) ( x + 1) ( x − 1) ( x + 1) Перейдем теперь к разложению правильной рациональной дроби, стоящей в правой части последнего равенства, на простейшие. Это разложение следует искать в виде 2x3 + 2x 2 + 2 ( x − 1) 2 ( x 2 + 1)

=

A B Mx + N + + , 2 x − 1 ( x − 1) 2 x +1

где неизвестные коэффициенты А, В, М, N подлежат определению. Освобождаясь от знаменателей, получим 2 x 3 + 2 x 2 + 2 = A( x − 1)( x 2 + 1) + B ( x 2 + 1) + (Mx + N )( x − 1) 2 .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в обеих частях равенства, получим систему уравнений ⎧ A + M = 2, ⎪− A + B + N − 2 M = 2, ⎪ ⎨ ⎪ A − 2 N + M = 0, ⎪⎩− A + B + N = 2. Решив эту систему, получим А = 2, В = 3, М = 0, N = 1. Итак, 2x5 − x 4 + 4x 2 − 4x + 5 ∫ ( x − 1) 2 ( x 2 + 1) dx =

⎛ 2 3 1 ⎞⎟ = ∫ ⎜⎜ 2 x + 3 + + + dx = 2 2 ⎟ x − 1 ( x − 1) x + 1⎠ ⎝ 3 = x 2 + 3x + 2 ln x − 1 − + arctgx + C , x −1 где С - произвольная постоянная. 34

При разложении правильной рациональной дроби на простейшие, могут быть применены различные искусственные приемы. Пример. Вычислить dx ∫ x2 1+ x2 .

(

)

В данном случае для разложения подынтегральной функции на простейшие сначала добавим и отнимем в числителе x2, а затем поделим почленно на знаменатель. Получим dx

∫ x 2 (1 + x 2 ) = ∫

1+ x2 − x2 2

(

x 1+ x

2

)

dx =

1 ⎞ 1 ⎛ 1 = ∫⎜ 2 − = − − arctgx + C , dx ⎟ 2 x ⎝x 1+ x ⎠ где С - произвольная постоянная.

§9. Интегрирование рациональных выражений от тригонометрических функций и некоторых иррациональных выражений Под рациональным выражением от тригонометрических функций понимается выражение, в котором тригонометрические функции входят рационально, т.е. над ними выполняется только конечное число арифметических действий. Так как 1 1 cos x sin x , tgx = , cos ecx = , sec x = , ctgx = sin x cos x sin x cos x то, не умоляя общности, можно ограничиться рассмотрением рациональных выражений от sin x и cos x , которые символически записываются в виде R( sin x, cos x ), где R означает рациональную функцию от двух аргументов. Для вычисления интеграла вида x ∫ R( sin x, cos x)dx введем подстановку t = tg 2 , которая называется универсальной и которая позволяет выразить sin x, cos x и dx рационально через переменную t. 35

x Действительно, используя подстановку t = tg , можем написать 2 x x x 2 sin cos 2tg 2 2 = 2 = 2t , sin x = (1.43) 2 2 x 2 x 2 x 1 + t cos 1 + tg + sin 2 2 2 x x x cos 2 − sin 2 1 − tg 2 1− t2 2 2 2 cos x = . (1.44) = = 2 2 x 2 x 2 x 1 + t cos 1 + tg + sin 2 2 2

Далее из равенства x = 2 arctg t, которое следует из подстановки, получим после дифференцирования dx =

2 2

dt.

(1.45)

1+ t Выполняя подстановку, сможем написать ⎛ 2t 1 − t 2 ⎞ 2 ∫ R(sin x, cos x)dx = ∫ R⎜⎜ 1 + t 2 , 1 + t 2 ⎟⎟ 1 + t 2 dt = ∫ R1 (t )dt , ⎠ ⎝ где R1 (t ) - рациональная функция переменной t. Для интегрирования рациональной функции R1 (t ) следует использовать изложенные выше приемы. Пример. Вычислить dx ∫ 1 − sin x + cos x . x Полагая t = tg и используя равенства (1.43), (1.44), (1.45), полу2 чим 2 dt 2 dx 2dt 1+ t = = ∫ 1 − sin x + cos x = ∫ ∫ 2 2 2 2t 1− t 1 + t − 2t + 1 − t 1− + 1+ t2 1+ t2 dt x = −∫ = − ln t − 1 + C = − ln tg − 1 + C. t −1 2

36

x иногда приводит к интегралам от громоздких 2 алгебраических выражений и с этой точки зрения не всегда бывает наилучший. Например, в случае интеграла вида ∫ R( sin 2 x, cos 2 x)dx, т.е. интеграла от рационального выражения, содержащего только четные степени тригонометрических функций, целесообразно применить подстановку t = tgx . Действительно, при такой подстановке

Подстановка t = tg

tg 2 x

2

sin x =

2

1 + tg x

=

t2 1+ t

cos 2 x =

, 2

dx =

1 2

1 + tg x

=

1 1+ t

2

,

dt 2

(1.46)

1+ t и, следовательно, получаем интеграл от рациональной функции переменной t. Пример. Вычислить dx ∫ cos 2 x + 4 sin 2 x .

Применив подстановку t = tgx и используя формулы (1.46), получим 1 dt 2 1 dx dt dt 1+ t = = = = ∫ cos 2 x + 4 sin 2 x ∫ 1 ∫ ∫ 2 2 1 4 1 + 4t t + t2 4 + 4 1+ t2 1+ t2 1 1 ⋅ 2arctg 2t + C = arctg (2tgx) + C. 4 2 вычисления интегралов вида ∫ R ( sin x) cos xdx =

Для

∫ R(cosx) sin x)dx

и

разумно применить соответственно подстановки sin х = t и cos x = t. Иррациональные алгебраические выражения в общем случае не интегрируются в конечном виде. Однако, некоторые иррациональные выражения допускают интегрирование в конечном виде. Рассмотрим, например, интегрирование выражений, рационально зависящих от

37

ax + b (a, b, c, d - произвольные вещестcx + d m m m венные числа) в рациональных степенях 1 , 2 , " , k , т.е. n1 n2 nk

дробно-линейной функции

mk m1 m2 ⎡ ⎤ n n nk + + + ax b ax b ax b 1 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎥dx, J = ∫ R ⎢⎜ , ⎜ , ", ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎢⎝ cx + d ⎠ ⎝ cx + d ⎠ ⎝ cx + d ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ де R означает рациональную функцию от своих аргументов. В этом случае разумно ввести подстановку ax + b = t p, cx + d m m m где р - общий знаменатель дробей 1 , 2 , " , k . n1 n2 nk Действительно, при такой подстановке

x=

p

dt − b a − ct

p

m2 ⎛ ax + b ⎞ n2

⎟ ⎜ cx d + ⎠ ⎝

, dx =

=t

p

m2 n2

ad − bc

(a − ct )

p 2

m1 ⎛ ax + b ⎞ n1

pt p −1dt , ⎜ ⎟ ⎝ cx + d ⎠ mk ⎛ ax + b ⎞ nk

= t p2 , " , ⎜ ⎟ cx d + ⎠ ⎝

=t

p

mk nk

=t

p

m1 n1

= t p1 ,

= t pk ,

где p1 ,p2,…,pk – целые числа. В результате получим J = ∫ R (t p1 , t p2 ,..., t pk ) ⋅

ad − bc pt p −1dt = p(ad − bc) ∫ R1 (t )dt , p 2 (a − ct )

где R1 (t ) - рациональная функция переменной t. Пример. Вычислить dx

∫ x1 / 2 + x1 / 3 . Здесь общий знаменатель показателей степеней у x1 2 и x1 3 равен 6, поэтому применяем подстановку x = t 6 , считая t > 0. Ясно, что dx= 6t5dt и, следовательно, сможем написать dx

∫ x 1 / 2 + x1 / 3

6t 5 dt

t3 = ∫ 3 2 = 6∫ dt. t +1 t +t 38

Для вычисления последнего интеграла сначала добавим и отнимем в числителе единицу, воспользуемся тождеством t 3 + 1 = = (t + 1)(t 2 − t + 1) , а затем почленно поделим числитель на знаменатель. Получим t3 t3 +1−1 1 ⎞ ⎛ 2 dt dt t t = = − + 1 − ⎜ ⎟dt. ∫ t +1 ∫ t +1 ∫⎝ t + 1⎠ Выполняя интегрирование и возвращаясь к старой переменной, будем иметь окончательно dx ⎡1 3 1 2 ⎤ = 6 ∫ x1/ 2 + x1/ 3 ⎢⎣ 3 t − 2 t + t − ln t + 1 ⎥⎦ + C =

(

)

= 2 x − 33 x + 66 x − 6 ln 6 x + 1 + C.

§10. Вычисление неопределенных интегралов

Продемонстрируем применение изложенных методов вычисления неопределенных интегралов на конкретных примерах. Примеры: 1. Вычислить dx ∫ sin 2 x cos 2 x . Используя тождество 1 = sin2 x + cos2 x, можем написать dx sin 2 x + cos 2 x ∫ sin 2 x cos 2 x = ∫ sin 2 x cos 2 x dx . Произведя почленное деление под интегралом в правой части и используя таблицу основных интегралов, получим 1 ⎞ dx ⎛ 1 ∫ sin 2 x cos 2 x = ∫ ⎜⎝ cos 2 x + sin 2 x ⎟⎠dx = dx dx =∫ + = tgx − ctgx + C. ∫ 2 2 cos x sin x 2. Вычислить 2

x x⎞ ⎛ − sin cos ⎜ ⎟ dx . ∫⎝ 2 2⎠ 39

Используя формулу квадрата разности, а также формулы x x x x 1 = sin 2 + cos 2 , sin x = 2sin ⋅ cos , будем иметь 2 2 2 2 2

x x⎞ x x ⎛ ⎛ 2x dx = − + cos 2 − sin cos sin 2 sin cos ⎜ ⎟ ⎜ ∫⎝ 2 ∫ 2⎠ 2 2 2 ⎝

x⎞ ⎟dx = 2⎠

= ∫ (1 − sin x )dx = ∫ dx − ∫ sin xdx = x + cos x + C.

3. Вычислить x4

∫ 1 + x 2 dx .

Добавив и отняв в числителе сумму x2 + 1, сможем написать x4 x4 + x2 − x2 −1+1 x4 + x2 x2 +1 dx = ∫ dx − ∫ dx + ∫ 1 + x 2 dx = ∫ 2 2 2 1+ x 1+ x 1+ x x3 ∫ 1 + x 2 dx = ∫ x dx − ∫ dx + ∫ 1 + x 2 dx = 3 − x − arctgx + C. 4. Вычислить 1

1

2

∫ sin

3

x cos xdx.

Введем подстановку t = sin x, тогда dt = cosxdx и, следовательно, будем иметь t4 ∫ sin x cos xdx = ∫ t dt = 4 + C. Возвращаясь к старой переменной, получим 1 4 3 x xdx = sin x + C. sin cos ∫ 4 5. Вычислить sin 2 xdx . ∫ 2 1 + sin x 3

3

Введем подстановку t = 1 + sin 2 x , тогда t 2 = 1 + sin 2 x , a 2tdt = 2 sin x cos xdx , откуда следует 2tdt = sin 2 xdx . Переходя к новой переменной, сможем написать sin 2 xdx 2tdt = ∫ ∫ t = 2∫ dt = 2t + C. 2 1 + sin x Возвращаясь к старой переменной, будем иметь 40

∫

sin 2 xdx

= 2 1 + sin 2 x + C.

1 + sin 2 x 6.Вычислить

x 3 dx

∫ x8 + 1 . Введем подстановку х4 = t, тогда 4x3dx = dt, откуда x3dx = реходя к новой переменной, получим 1 x 3 dx 1 dt = = ∫ x 8 + 1 4 ∫ t 2 + 1 4 arctgt + C или, возвращаясь к старой переменной x 3 dx 1 4 ∫ x 8 + 1 = 4 arctgx + C . 7.Вычислить e x dx . ∫ 2x 4−e х Введем подстановку у= е , тогда dy= ех dx; и, следовательно,

∫

ex 2x

dx = ∫

4−e 8. Вычислить

1 dt. Пе4

y ex = arcsin + C = arcsin + C. 2 2 2 4− y dy

∫x

2

arctgxdx . Этот интеграл будем вычислять с помощью метода интегриро1 вания по частям, положив arctg x = и, dv=x2dx. Тогда du = dx , 2 1+ x 3 x v= и в согласии с формулой интегрирования по частям будем 3 иметь

41

x3 x3 x3 1 ∫ x arctgxdx = 3 arctgx − ∫ 3 1 + x 2 dx = 3 arctgx − 2

1 x3 + x − x x3 1 ⎛ x ⎞ − ∫ = − − dx arctgx x ⎜ ⎟dx = ∫ 2 2 3 1+ x 3 3 ⎝ 1+ x ⎠

(

x3 1 ⎡ x2 1 = arctgx − ⎢ − ln 1 + x 2 3 3⎣ 2 2

)⎤⎥ + C. ⎦

9. Вычислить x

∫ sin 2 x dx .

Воспользуемся методом интегрирования по частям, полагая u = x, dx dv = , тогда du = dx, v = - ctgx и, следовательно, 2 sin x x ∫ sin 2 x dx = − xctgx − ∫ (− ctgx )dx = − xctgx + ∫ ctgxdx . Для вычисления интеграла ∫ ctgxdx введем подстановку sin x = t , тогда cos xdx = dt и, переходя к новой переменной, получим dt cos x ∫ ctgxdx = ∫ sin x dx = ∫ t = ln t + C = ln sin x + C. Используя последний результат, будем иметь окончательно x ∫ sin 2 x dx = − xctgx + ln sin x + C. 10. Вычислить dx ∫ 2 . x x −3 Интеграл существует при − ∞ < x < − 3, 3 < x < +∞. Используем

π 3 при 0 < t < . Тогда cos t 2 2 2 3 1 − cos t sin t x2 − 3 = − = = = 3tg 2 t , 3 3 3 2 2 2 cos t cos t cos t sin t x 2 − 3 = 3tgt , dx = 3 dt. 2 cos t

для второго случая подстановку x =

Тогда

42

3

sin t

cos 2 t dt = 1 dt = 1 t + C. ∫ 2 ∫ 3 3 3 x x −3 3tgt cos t 3 3 Выражая t через x, получим cos t = , t = arccos . x x dx 1 3 ∫ 2 = 3 arccos x + C. x x −3 dx

=∫

Глава П. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

§1. Определение определенного интеграла Прежде чем дать определение определенного интеграла рассмотрим одну задачу (определение площади криволинейной трапеции,) которая естественным образом приведет к понятию определенного интеграла. Пусть на промежутке y f ( x1 ) [а, b] дана неотрицаf ( x2 ) f ( x0 ) тельная непрерывная f ( xn −1 ) функция f(x). Рассмотрим фигуру, ограниченную графиком этой y = f ( x) функции, осью Ох и прямыми х = а, х = b (рис.3). Такая фигура называется криволиx x1 x2 xn −1 a 0 b x нейной трапецией, ограниченной графиком x0 x1 x2 x3 xn −1 xn функции f(x). Требуется Ðè ñ.3 найти площадь S этой трапеции. Для этого разобьем промежуток [а, b] произвольным образом точками x0 , x1 , x 2 ", x n на п частей, считая a = x0 < x1 < x 2 < " " < x n−1 < x n = b , и проведем через них вертикальные прямые x = x k (k = 0,1,2, " , n ). Тогда рассматриваемая криволинейная тра-

пеция разобьется на п частичных трапеций, построенных на частичных промежутках [x k , x k +1 ] (k = 0,1,2, " , n − 1). Выберем на каж43

дом из частичных промежутков [x k , x k +1 ] по произвольной точке x k , вычислим значения f( x k ) функции f(х) в этих точках и введем обозначения Δx k = x k +1 − x k . Легко видеть, что каждое из произведений f ( x0 )Δx0 , f ( x1 )Δx1 , fx 2 Δx 2 , " , f ( x n−1 )Δx n−1 , равно площади прямоугольника, опирающегося соответственно на частичные промежутки [x0 , x1 ], [x1 , x 2 ], [x 2 , x3 ], ", [x n−1 , x n ] и имеющего высоты f ( x0 ), f ( x1 ), f ( x 2 ), " , f ( x n−1 ) . Сумма Sn =

n −1

∑ f (xk )Δxk

k =0

равна площади ступенчатой (заштрихованной) фигуры, составленной из указанных прямоугольников. При неограниченном увеличении числа точек дробления промежутка [а, b] на частичные промежутки и притом так, чтобы длина самого большого частичного промежутка стремилась к нулю, естественно считать, что величина Sn будет стремиться к S независимо от способа разбиения промежутка [а, b] на частичные промежутки и от выбора точек x0 , x1 , x 2 , " , x n−1 , , так что S=

lim

n −1

∑ f (xk )Δxk .

max Δxk →0 k =0

(2.1)

Итак, искомая площадь криволинейной трапеции равна пределу (2.1). Решение многих практических задач (определение массы стержня переменной плотности, определение работы силы при прямолинейном движении точки и др.) сводится к вычислению пределов вида (2.1). Это обусловило введение понятия определенного интеграла - одного из фундаментальных понятий математики. Перейдем к его определению, отвлекаясь от конкретного содержания задачи. Пусть на конечном замкнутом промежутке [а, b], где а < b определена ограниченная функция f(x). Проделаем пять операций: 1) разобьем промежуток [а, b] произвольным образом на п частей точками x0 , x1 , x2 " , xn −1 , xn , следующими друг за другом, так что a = x0 < x1 < x 2 < " < x n−1 < x n = b (для удобства записи точки а и b обозначены соответственно через x0 и хп и введем обозначения Δx k = x k +1 − x k (k = 0,1,2, " , n − 1). Назовем рангом (шагом) дробления число λ = max{Δx k }; k

44

2) в каждом частичном промежутке ⎡⎣ xk , xk +1 ( k = 0,1, 2," , n − 1) ⎤⎦ выберем произвольно по точке x k ; 3) вычислим значения f ( x0 ), f ( x1 ), f ( x 2 ), " , f ( x n−1 ) функции f(x) в выбранных точках; 4)составим сумму n −1

σ n = ∑ f ( x k )Δx k , k =0

называемую интегральной суммой (суммой Римана) функции f(x) на промежутке [а, b], отвечающей данному разбиению промежутка [а, b] на п частей и данному выбору точек x k ; 5) вычислим предел (при этом число частичных промежутков неограниченно возрастает)

σ n = lim

n −1

∑ f (xk )Δxk .

λ →0 k = 0

(2.2)

Если существует конечный предел (2.2), который не зависит ни от способа разбиения промежутка [а, b] на части, ни от выбора промежуточных точек x k , то он называется определенным интегралом от функции f(x) на промежутке [а, b] и обозначается символом b

∫ f ( x ) dx.

(2.3)

a

Таким образом, по определению b

n −1

a

k =0

∑ f (xk )Δxk . ∫ f (x )dx = λlim →0

В символе определенного интеграла (2.3) приняты следующие наименования: f(x) - подинтегральная функция, f(x)dx подинтегральное выражение, х - переменная интегрирования, а нижний предел интегрирования, b - верхний предел интегрирования. Промежуток [а, b] называется промежутком интегрирования. Если для функции f(x) существует интеграл по промежутку [а, b] , то ее называют интегрируемой на этом промежутке.

45

В определении интеграла (2.3) предполагалось, что а < b. Снимем это ограничение, положив по определению если b < а,

то

b

∫ a

b

f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx, a

b

если b = а, то

∫ f (x )dx = 0 .

a

Определение. Функция f(x) называется кусочно-непрерывной на некотором промежутке, если она на этом промежутке ограничена и имеет лишь конечное число точек разрыва. Из определения следует, что кусочно-непрерывная функция может иметь точки разрыва только первого рода. Геометрически кусочнонепрерывная функция изображается линией, состоящей из конечного числа непрерывных участков. Очевидно, что непрерывная функция является частным случаем кусочно-непрерывной функции. Теорема. Если функция f(x) кусочно-непрерывна на промежутке [а, b] , то она на нем интегрируема. Из изложенного следует, что формула (2.1), дающая выражение для площади S криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком неотрицательной непрерывной функции f(x), может быть записана в виде b

S = ∫ f ( x )dx . a

В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла от неотрицательной непрерывной функции f(x) на промежутке [а, b]. Чтобы дать геометрическую интерпретацию определенному интегралу от непрерывной функции, принимающей положительные и отрицательные значения, достаточно площадям криволинейных трапеций, ограничиваемых графиком функции, приписывать знак, а именно: положительными считать площади тех трапеций, которые расположены над осью Ох, а отрицательными - под y осью Ох (рис.4) Геометрический смысл определенного интеграла теперь можно сформулировать слеy = f ( x) + x ++ + дующим образом: определен− a b 46

O

Ðèñ.4

ный интеграл от непрерывной функции равен алгебраической сумме площадей криволинейных трапеций, ограниченных графиком этой функции, осью абсцисс, а так же прямыми х = а и х = b, причем площади трапеций, расположенных над осью абсцисс, берутся со знаком +, а площади трапеций, расположенных под осью абсцисс - со знаком -.

§2. Основные свойства определенного интеграла Перейдем теперь к рассмотрению основных свойств определенного интеграла. Свойство 1. Если функция f(x) интегрируема на промежутке [а, b] и с - некоторая постоянная, то функция с f(x) также интегрируема на [а, b], причем b

b

∫ cf (x )dx = c ∫ f (x )dx .

a

(2.4)

a

Доказательство. Вначале составим интегральную сумму для функции сf(x) на промежутке [а, b], а затем вынесем общий множитель с всех слагаемых за знак суммы. Получим n −1

∑ cf (xk )Δxk

k =0

n −1

= c ∑ f ( x k )Δx k . k =0

Переходя в этом равенстве к пределу при λ = 0 , получим равенство (2.4). Свойство 2. Если функции f1(x) и f2(x) интегрируемы на промежутке [а, b], то их сумма f1(x) + f2(x) также интегрируема на промежутке [а, b], причем b

b

b

∫ [ f1 (x ) + f 2 (x )]dx = ∫ f1 (x )dx + ∫ f 2 (x )dx .

a

a

(2.5)

a

Доказательство. Вначале составим интегральную сумму для функции f1(x) + f2(x) на промежутке [а, b], а затем представим ее в виде суммы интегральных сумм для слагаемых, т.е. 47

n −1

∑ [ f1 (xk ) + f 2 (xk )]Δxk

=

k =0

n −1

n −1

k =0

k =0

∑ f1 (xk )Δxk + ∑ f 2 (xk )Δxk .

Переходя в этом равенстве к пределу при λ → 0 , получим равенство (2.5). Легко видеть, что свойство 2 справедливо для любого конечного числа слагаемых. Заметим, что свойства 1 и 2 выражают свойство линейности определенного интеграла относительно подинтегральной функции: определенный интеграл от линейной комбинации конечного числа интегрируемых функций равен соответствующей (т.е. с теми же коэффициентами) линейной комбинации определенных интегралов от этих функций: b

b

b

a

a

a

∫ [c1 f1 (x ) + c2 f 2 (x ) + " + cn f n (x )]dx = c1 ∫ f1 (x )dx + " + cn ∫ f n (x )dx .

Свойство З. (Аддитивность относительно промежутка интегрирования). Если функция f(x) интегрируема в наибольшем по длине промежутке, определяемом любыми числами а, b, с, то имеет место равенство b

c

b

a

a

c

∫ f (x )dx = ∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx .

Это свойство принимаем без доказательства. Свойство 4. Если а < b и на промежутке [а, b] функция f(x) интегрируема, причем всюду в [а, b] выполняется неравенство f ( x) ≥ 0 ( f ( x) ≤ 0 ), то ⎛b ⎞ ⎜ f ( x )dx ≤ 0 ⎟ . ( ) f x dx 0 (2.6) ≥ ∫ ⎜∫ ⎟ ⎝a ⎠ a Доказательство. Составим интегральную сумму для функции f(x) на промежутке [а,b] b

n −1

∑ f (xk )Δxk .

(2.7)

k =0

В согласии с условием при любом x из [a, b] имеем f ( x) ≥ 0 . В частности, сможем написать f ( x k ) ≥ 0 . Так как при любом k имеем 48

Δx k > 0 , то значит, что для каждого слагаемого в сумме (2.7) будем иметь f ( x k )Δx k ≥ 0 . Отсюда следует, что для любой интегральной суммы (2.7) имеет место неравенство n −1

∑ f (xk )Δxk

≥ 0.

k =0

Переходя к пределу при λ → 0 , получим (2.6). Свойство 5. Если а < b и на промежутке [а, b] функции f(x) и g(х) интегрируемы, причем всюду в [а, b] выполняется неравенство f(x) ≤ g(х), то b

b

∫ f (x )dx = ∫ g (x )dx .

a

(2.8)

a

Доказательство. Введем в рассмотрение функцию ϕ ( x) = g ( x) − f ( x) . В согласии с условием справедливо неравенство b

c

b

a

a

c

I( ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx x) > 0 всюду в [а, b] и, следовательно, b

в согласии со свойством 4, будем иметь ∫ ϕ ( x)dx ≥ 0 , или в таком виb

a b

b

a

a

a

де ∫ [ g ( x) − f ( x) ] dx ≥ 0 , а затем в виде ∫ g ( x)dx ≥ ∫ f ( x)dx , т.е. мы и получили что требуется. Свойство 6. Если a < b и на промежутке [ a, b ] функция f ( x) интегрируема, причем всюду в [ a, b ] выполняется неравенство m ≤ f ( x) ≤ M ,

(2.9)

где т и М - некоторые постоянные, то m ( b − a ) ≤ f ( x)dx ≤ M ( b − a ) .

(2.10)

Доказательство. Так как для функции f ( x) всюду в [ a, b ] выполняется неравенство (2.9), то, используя дважды свойство 5, можем написать

49

b

b

b

a

a

a

∫ mdx ≤ ∫ f ( x)dx ≤ ∫ Mdx .

Вынося постоянные множители m и М за знак интеграла и учитывая, b

что ∫ dx = b − a , получаем неравенство (2.10). a

Свойство 7. (Теорема о среднем). Если функция f ( x) непрерывна на промежутке [ a, b ] , то в этом промежутке найдется хотя бы одна такая точка с, что будет иметь место равенство b

∫ f ( x)dx = f (c)(b − a) .

(2.11)

a

Доказательство. Рассмотрим лишь случай a < b . Так как функция f ( x) непрерывна на промежутке [ a, b ] , то она достигает на этом промежутке своих наименьшего и наибольшего значений, которые обозначим соответственно через m и М. Это значит, что всюду в [ a, b ] выполняется неравенство m ≤ f ( x) ≤ M и, следовательно, в согласии со свойством 6 можем написать b

m ( b − a ) ≤ ∫ f ( x)dx ≤ M ( b − a ) . a

Разделив все части неравенств на положительное число b − a , получим 1 b m≤ ∫ f ( x)dx ≤ M . b−a a Так как функция f ( x) непрерывна на промежутке [ a, b ] , то она принимает в этом промежутке все значения между т и М и, в частности, значение 1 b (2.12) ∫ f ( x)dx . b−a a Обозначим через с точку, в которой функция f ( x) принимает значение, равное (2.12), т.е. 1 b f (c ) = ∫ f ( x)dx . b−aa Умножив обе части последнего равенства на b − a , получим (2.11). 50

Теорема о среднем в случае неотрицательной функции f ( x) имеет простой геометрический смысл: площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f ( x) , равна площади прямоугольника с основанием длины b − a и высотой длины f (c) (рис.5).

Свойство 8. Если а < b и на промежутке [ a, b] функция f ( x) интегрируема, то

y y = f ( x)

f (c )

b

b

a

a

∫ f ( x)dx ≤ ∫ f ( x) dx .

Свойство 9. Изменение значений функции f ( x) в любом конечном числе точек промежутка интегрирования не влияет ни на интегрируемость функции, ни

x O

a

c b Ðèñ.5

на значение интеграла. Два последних свойства принимаем без доказательств. В заключение сделаем еще одно замечание: определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е. b

b

b

a

a

a

∫ f ( x)dx = ∫ f (t )dt = ∫ f (α )dα = ".

§3. Формула Ньтона-Лейбница Рассмотрим основной способ вычисления определенного интеграла, основанный на связи определенного интеграла от данной функции с ее неопределенным интегралом. Пусть функция f ( x) интегрируема на промежутке [ a, b ] . Возьмем произвольное значение x ∈ [ a, b ] и рассмотрим определенный интеграл x

∫ f (t )dt ,

(2.13)

a

где переменная интегрирования обозначена через t, чтобы не путать ее с выбранным значением х. Очевидно, что величина интеграла (2.13) за51

висит от выбранного значения х, т.е. является функцией х. Обозначив эту функцию через F ( x) , будем иметь x

F ( x) = ∫ f (t )dt . a

Функцию F ( x) называют определенным интегралом с переменным верхним пределом. Теорема. (Барроу). Если функция f ( x) непрерывна на промежутке [ a, b ] , то интеграл с переменным верхним пределом x

F ( x) = ∫ f (t )dt a

имеет производную, равную значению подынтегральной функции при верхнем пределе, т.е. ⎛x ⎞′ ′ F ( x) = ⎜ ∫ f (t )dt ⎟ = f ( x) . ⎝a ⎠ Доказательство. Вычислим производную функции F ( x) , исходя из определения производной. Для этого зафиксируем произвольное значение х из [ a, b ] , дадим ему некоторое приращение Δx и найдем соответствующее ему приращение функции F ( x) , используя свойство аддитивности определенного интеграла относительно промежутка интегрирования x + Δx

x

ΔF ( x) = F ( x + Δx ) − F ( x) = ∫ f (t )dt − ∫ f (t )dt = a

a

x

x + Δx

x

x + Δx

a

x

a

x

= ∫ f (t )dt + ∫ f (t )dt − ∫ f (t )dt = ∫ f (t )dt .

Применяя к последнему интегралу теорему о среднем, получим ΔF ( x) = f (c)Δx , где с - некоторая точка между х и х + Δx . Из последнего равенства следует ΔF ( x) = f (c ) . Δx Замечая, что при Δx → 0 точка с стремится к точке х, и учитывая непрерывность функции f ( x) , получим окончательно 52

ΔF ( x) = lim f (c) = f ( x) . Δx → 0 c→ x Δx Доказанную теорему можно сформулировать иначе: если функция f ( x) непрерывна на промежутке [ a, b ] , то определенный интеграл с переменным верхним пределом есть одна из ее первообразных на этом промежутке. Отсюда следует, что F ′( x) = lim

x

∫ f ( x)dx = ∫ f (t )dt + C . a

Теорема. (основная теорема интегрального исчисления). Если функция f ( x) непрерывна на промежутке [ a, b ] и Φ ( x) - ее любая первообразная на этом промежутке, то имеет место равенство b

∫ f ( x)dx = Φ(b) − Φ (a) .

(2.14)

a

Эта формула называется формулой Ньютона-Лейбница1. x

Доказательство. Каждая из функций Φ ( x) и ∫ f (t )dt является a

первообразной для f ( x) на промежутке [ a, b ] и, следовательно, они различаются друг от друга на некоторую определенную постоянную C1 , так что x

∫ f (t )dt = Φ ( x) + C1 .

(2.15)

a

Для определения C1 положим в этом равенстве x = a ; тогда получим C1 = − Φ (a ) . Используя это, запишем равенство (2.15) в виде x

∫ f (t )dt = Φ ( x) − Φ(a) .

a

Положив теперь x = b и возвращаясь к прежнему обозначению переменной интегрирования, получим равенство (2.14). Примечание. Для краткости записи часто употребляют обозначение (знак двойной подстановки) Φ (b) − Φ ( a ) = Φ ( x ) a . b

Учитывая это, формулу Ньютона-Лейбница можно записать в виде

1

И. Ньютон (1643-1727) – английский физик и математик, Г.В.Лейбниц (1646-1716) – немецкий физик и математик 53

b

∫ f ( x)dx = Φ ( x ) a b

(2.16)

a

Примеры: 1. Вычислить 1

2 ∫ x dx. 0

3

x является первообразной для х2 на промежутке [0,1]. По 3 формуле Ньютона-Лейбница имеем

Функция

x3 2 ∫ x dx = 3 0

1

2. Вычислить

1

0

1 = . 3

π

∫ sin xdx.

0

Функция − cos x является первообразной для sin x на промежутке [0,π ] и, следовательно, по формуле (2.16) π

π

∫ sin xdx = − cos x 0 = − cos π + cos 0 = 1 + 1 = 2.

0

3. Вычислить dx . ∫ 2 1 + x −1 1

Функция arctgx является первообразной для функции

1 на 2 1+ x

промежутке [1,-1] и, следовательно, 1 π ⎛ π⎞ π dx 1 = = −⎜− ⎟ = . arctgx ∫ 2 −1 4 ⎝ 4⎠ 2 −1 1 + x Примечание. Если функция f(x) имеет на промежутке [ a, b ] конечное число точек разрыва первого рода, то для вычисления интеграла b

∫ f ( x)dx следует использовать вначале свойство аддитивности инте-

a

грала относительно промежутка интегрирования. В этом случае промежуток [ a, b ] разбивается точками разрыва на частичные промежутки, в каждом из которых функция непрерывна (за исключением разве лишь концов). Затем на каждом из них вычисляются интегралы и складываются. 54

2

Пример. Вычислить ∫ f ( x)dx , где 0

⎧ x 2 0 ≤ x < 1, f ( x) = ⎨ ⎩3 − x 1 ≤ x ≤ 2.

Данная функция имеет один конечный разрыв на точке х = 1. Поэтому 2

1

0

0

2

∫ f ( x)dx = ∫ x dx + ∫ ( 3 − x ) dx = 2

1

2

1

⎛ x3 x2 ⎞ 1 5 11 = + ⎜ 3x − ⎟ = + 4 − = . 3 0 ⎝ 2 ⎠1 3 2 6 1

Отметим, что при вычислении интеграла ∫ x 2 dx для обеспечения не0

прерывности подынтегральной функции на промежутке [0,1] мы считали, что на правом конце промежутка значение функции равно lim x 2 = 1. x →1− 0

§4. Формула замены переменной в определенном интеграле

Одним из эффективных методов вычисления определенных интегралов является метод замены переменной интегрирования (метод подстановки), Выведем формулу замены переменной в определенном интеграле. Теорема. Если функция f ( x) непрерывна на промежутке [ a, b ] , а функция ϕ ( t ) непрерывно дифференцируема на промежутке [α , β ] , причем промежуток [α , β ] отображается функцией ϕ ( t ) в промежуток [ a, b] , так что ϕ (α ) = a, ϕ ( β ) = b , то b

β

a

α

∫ f ( x)dx = ∫ f ⎡⎣ϕ ( t ) ⎤⎦ ϕ ′ ( t ) dt.

(2.17)

Эта формула называется формулой замены переменной интегрирования (подстановки). 55

Доказательство. Пусть F ( x) - какая-либо первообразная для функции f ( x) на промежутке [α , β ] . Тогда по формуле НьютонаЛейбница имеем b

∫ f ( x)dx = F (b) − F (a).

(2.18)

a

Вычислим производную сложной функции F ⎡⎣ϕ ( t ) ⎤⎦ , используя правило дифференцирования сложной функции и то, что F ′ ( x ) = f ( x ) . Получим ′ F ⎡⎣ϕ ( t ) ⎤⎦ = F ′ ⎡⎣ϕ ( t ) ⎤⎦ ϕ ′ ( t ) = f ⎡⎣ϕ ( t ) ⎤⎦ ϕ ′ ( t ) . (2.19) Из равенства (2.19) следует, что функция F ⎡⎣ϕ ( t ) ⎤⎦ является первообраз-

(

)

ной для функции f ⎡⎣ϕ ( t ) ⎤⎦ ϕ ′ ( t ) и, следовательно, по формуле НьютонаЛейбница имеем β

β

∫ f ⎡⎣ϕ ( t ) ⎤⎦ ϕ ′ ( t ) dt = F ⎡⎣ϕ ( t ) ⎤⎦ α =

(2.20)

α

= F ⎡⎣ϕ ( β ) ⎤⎦ − F ⎡⎣ϕ (α ) ⎤⎦ = F (b) − F (a ).

Из совпадения правых частей равенства (2.18) и (2.20) следует совпадение левых, т.е. справедливость формулы (2.17). Примечание. Для вычисления определенного интеграла могут применяться подстановки в виде t = Ψ ( x), ϕ (t ) = Ψ ( x) , а также в виде уравнения Φ (t , x) = 0 , определяющего одну переменную как неявную функцию другой. Примеры: 1. Вычислить 1

J = ∫ 1 − x 2 dx. 0

⎡ π⎤ Сделаем подстановку x = sin t , считая t ∈ ⎢0, ⎥ . Проверим соответ⎣ 2⎦

ствие пределов. При t = 0 имеем x = 0 , при t =

π

имеем x = 1 , 2 следовательно, в соответствии с формулой (2.17) можем написать π

1

2

2

J = ∫ 1 − x dx = ∫ cos t cos tdt. 0

0

56

Для вычисления последнего интеграла воспользуемся тем, что 1 1 cos 2 t = (1 + cos 2t ) и тем, что функция sin at является первооб2 a разной для функции cos at . Итак, π

π

12 J = ∫ cos tdt = ∫ (1 + cos 2t ) dt = 20 0 π π ⎤ 1⎛π 1⎡ 2 1 ⎞ π 2 = ⎢t 0 + sin 2t 0 ⎥ = ⎜ + 0 ⎟ = . 2 ⎣⎢ 2 ⎠ 4 ⎦⎥ 2 ⎝ 2 2

2

2. Вычислить dx

4

∫

0 1+

.

x Сделаем подстановку x = t , считая t ≥ 0 . Найдем новые пределы интегрирования: при x = 0 имеем t = 0 , при x = 4 имеем t = 2 . Таким образом, имеем 4 2 2 2 dx t +1−1 2tdt 1 ⎞ ⎛ dt = 2 ∫ ⎜1 − =∫ = 2∫ ∫ ⎟ dt = 1+ t ⎠ 0 1+ x 0 1+ t 0 1+ t 0⎝ 2

(

)

= 2 t 0 − ln(1 + t ) 0 = 2 ( 2 − ln 3) = 4 − ln 9. 2

2

3. Вычислить ln 2

x ∫ e − 1 dx.

0

Попытаемся упростить подынтегральное выражение, положив ex −1 = t .

(

)

Иначе

говоря,

сделаем

замену

переменной

x = ln 1 + t 2 . С помощью формулы t = e x − 1 найдем новые преде-

лы интегрирования: при x = 0 имеем t = 0 , при x = ln 2 имеем t = 1. В согласии с формулой (2.17) имеем ln 2 1 2t x dt = ∫ e − 1 dx = ∫ t ⋅ 2 0 0 1+ t 1 2 1 t + 1 −1 1 ⎞ ⎛ = 2∫ 2 dt = 2∫ ⎜1 − dt = 2 ⎟ + + t t 1 1 ⎝ ⎠ 0 0 π 1 1 ⎛ π⎞ = 2 t 0 − arctgt 0 = 2 ⎜1 − ⎟ = 2 − . 2 ⎝ 4⎠ 4. Вычислить

(

)

57

2

2

x ∫ e x dx.

0

Чтобы упростить подинтегральное выражение, попробуем положить x 2 = t , т.е. сделаем замену переменной x = t , считая t ≥ 0 . С помощью формулы x 2 = t найдем новые пределы интегрирования: при x = 0 имеем t = 0 , при x = 2 имеем t = 4 . Используя формулу (2.17), получим 2 4 dt 14 t 1 4 1 x2 t = ∫ e dt = et = e4 − 1 . ∫ e x dx = ∫ e t 2 0 2 2 t 20 0 0 В заключение заметим, что подбор удачной подстановки бывает не так очевиден, как в простейших случаях. Все зависит от навыка и изобретательности того, кто выполняет интегрирование, ибо общих правил отыскания удачных подстановок не существует.

(

)

§5. Формула интегрирования по частям для определенного интеграла Одним из основных методов вычисления определенных интегралов является метод интегрирования по частям. Выведем формулу интегрирования по частям для определенного интеграла. Теорема. Если функции u = u ( x) и v = v( x) непрерывны вместе со своими производными на промежутке [ a, b ] , то b

b

a

a

b

∫ u ( x)v′( x)dx = u ( x)v( x) − ∫ v( x)u′( x)dx

(2.21)

a

Эта формула называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла. Доказательство. Заменим подынтегральную функцию в интеграле b

∫ [u ( x)v( x) ]′ dx

a

правой частью тождества

[u ( x)v( x)]′ = u′( x)v( x) + u ( x)v′( x) . Будем иметь b

∫

a

( uv )′ dx =

b

b

b

a

a

a

∫ ( u′v + uv′ ) dx = ∫ u′vdx + ∫ uv′dx . 58

Заметим, что для функции ( uv′ ) первообразной является функция uv и, следовательно, по формуле Ньютона-Лейбница имеем b

∫ ( uv )′ dx = uv a . b

a

Из последних двух равенств следует b

b

b

a

a

uv a = ∫ u ′vdx + ∫ uv′dx

откуда и получается равенство (2.21). Примечание. Часто равенство (2.21) записывается в виде b

b

b

∫ udv = uv a − ∫ vdu .

a

a

В этом случае следует иметь ввиду, что в обоих определенных интегралах интегрирование производится по переменной х, а не v и и, как это формально следует из формы записи интегралов. Примеры: 1. Вычислить 2

∫ x ln xdx .

1

1 x2 Полагаем u = ln x, dv = xdx; тогда du = dx, v = , следовательно, 2 x по формуле (2.21) имеем 2 2 2 x2 x 1 2 ∫ x ln xdx = ln x 1 − ∫ ⋅ dx = x 2 1 1 2 12 x2 = 2 ln 2 − ∫ xdx = 2 ln 2 − 21 4

2

1

3 = ln 4 − . 4

2. Вычислить 1

∫ xarctgxdx . 0

Этот интеграл тоже будем вычислять с помощью метода интегрироваdx ния по частям, положив u = arctgx, dv = xdx Тогда du = , 2 1+ x 2 x v= и в согласии с формулой (2.21) сможем написать 2 1 1 2 x2 x dx 1 == − ⋅ = xarctgxdx arctgx ∫ ∫ 2 0 2 2 + x 1 0 0 59

1 π 1 1 x2 = ⋅ − ∫ dx. 2 4 2 0 1 + x2 Для вычисления последнего интеграла сначала добавим и отнимем в числителе по единице, а затем произведем почленное деление 1 1 2 x2 x +1−1 1 ⎛ 1 ⎞ dx = dx 1 − dx = ∫ ∫ ∫ ⎜ 2 2 2 ⎟ 1+ x ⎠ 0 1+ x 0 1+ x 0⎝ 1

= ( x − arctgx) 0 = 1 − В результате будем иметь 1

∫ xarctgxdx = 0

π

4

.

π

1⎛ π ⎞ π −2 . − ⎜1 − ⎟ = 8 2⎝ 4⎠ 4

3. Вычислить e

2 ∫ ln xdx .

1

Положим u = ln 2 x, dv = dx; тогда du = 2 ln x

dx , v = x . В соответстx

вии с формулой (2.21) сможем написать e e e 1 e 2 2 ∫ ln xdx = x ln x 1 − 2∫ ln x ⋅ xdx = e − 2∫ ln xdx. 1 1 x 1

(2.22)

e

Для вычисления интеграла ∫ ln xdx снова используем метод интегриро1

вания по частям, положив u = ln x, dv = dx . Тогда du = следовательно,

1 dx, v = x и, x

e 1 ∫ ln xdx = x ln x 1 − ∫ xdx = e − ∫ dx = 1 1 x 1 e

e

e

= e − x 1 = e − ( e − 1) = 1. Подставляя (2.23) в (2.22), получим окончательно e

e

2 ∫ ln xdx = e − 2.

1

4. Вычислить

π

x ∫ e sin xdx .

0

60

(2.23)

Полагаем u = sin x, dv = e x dx; òî ãäà du = cos xdx, v = e x и в согласии с формулой (2.21) получим π

x

π

x

π

π

x ∫ e sin xdx = e sin x 0 − ∫ e co s xdx = − ∫ e co s xdx.

0

x

0

(2.24)

0

К последнему интегралу снова применяем формулу интегрирования по частям, полагая u = co s x, dv = e x dx. Òî ãäà du = − sin xdx, v = e x и, следовательно, π

x

π

x

π

π

π

x ∫ e co s xdx = e cos x 0 + ∫ e sin xdx = −e − 1 + ∫ e sin xdx.

0

x

0

0

Подставив (2.25) в (2.24), будем иметь π

π

π

x

(2.25)

x ∫ e sin xdx = e + 1 − ∫ e sin xdx,

0

Откуда

0

π

x ∫ e sin xdx =

0

1 π e +1 . 2

(

)

§6. Несобственные интегралы

При определении определенного интеграла предполагалось, что промежуток интегрирования конечен и функция на этом промежутке ограничена. Однако, исходя из теоретических и практических соображений, целесообразно обобщить понятие определенного интеграла на случай, когда указанные ограничения не выполняются. Несобственные интегралы с бесконечными пределами. Пусть функция f ( x) определена и непрерывна в промежутке [ a, +∞ ) . Выберем произвольное число А из промежутка [ a, +∞ ) . Так как функция f ( x) непрерывна на промежутке [ a, A] , то существует A

интеграл ∫ f ( x)dx , который зависит от выбранного значения А. a

Определение. Несобственным интегралом от функции f ( x) no промежутку [ a, +∞ ) называется предел A

lim ∫ f ( x)dx

A →+∞ a

61

+∞

и обозначается символом ∫ f ( x)dx . Таким образом, по определению a

+∞

A

a

a

∫ f ( x)dx = Alim ∫ f ( x)dx →+∞

(2.26)

Несобственный интеграл (2.26) называется сходящимся, если указанный предел конечен, и расходящимся, если он равен бесконечности или не существует. Факт сходимости интеграла записывается в виде неравенства +∞

∫ f ( x)dx < ∞

a

Несобственный интеграл от функции f ( x) по промежутку ( −∞, a ] определяется аналогично a

a

−∞

A

∫ f ( x)dx = Alim ∫ f ( x)dx. →−∞

Наконец, несобственный интеграл от функции f ( x) по промежутку ( −∞, +∞ ) определяется с помощью следующего равенства ∞

a

+∞

−∞

−∞

a

∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx

(2.27)

где а - произвольное число. Интеграл в левой части равенства (2.27) считается сходящимся, если сходятся оба интеграла в правой части; если хотя бы один из этих ∞

интегралов расходится, то расходится и интеграл ∫ f ( x)dx . Можно −∞

показать, что сходимость интеграла (2.27) и его значение не зависят от выбора числа а. Ниже рассматриваются несобственные интегралы вида

+∞

∫ f ( x)dx , так как теория несобственных интегралов вида

a a

∞

−∞

−∞

∫ f ( x)dx и ∫ f ( x)dx аналогична. +∞

С геометрической точки зрения несобственный интеграл ∫ f ( x)dx a

от непрерывной неотрицательной функции f ( x) можно интерпретировать как площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f ( x) и простирающиеся в бесконечность (рис.6). 62

y y = f ( x)

x a

O

Ðèñ.6

промежутке [ a, +∞ ) , то +∞

a

a

A

Если интеграл (2.26) сходится, то этой трапеции приписывается конечная площадь, равная значению интеграла. На несобственный интеграл может быть распространена формула Ньютона-Лейбница. Если F ( x ) первообразная для f ( x) на

[ F ( A) − F (a)] = F (+∞) − F (a), ∫ f ( x)dx = Alim ∫ f ( x)dx = Alim →+∞ →+∞

где F (+∞) = lim F ( x) . x →+∞

+∞

Пример. Вычислить ∫ 1

dx . 1 + x2

dx π π π +∞ arctg x arctgx arctg = = lim − 1 = − = . ∫ 2 1 x →+∞ 2 4 4 x + 1 1

+∞

Часто бывает достаточно лишь ответить на вопрос: сходится или расходится данный интеграл. Для этой цели существуют несколько признаков. +∞

Определение. Несобственный интеграл ∫ f ( x)dx называa

ется

абсолютно

сходящимся,

+∞

+∞

a +∞

a

∫ f ( x) dx . Если интеграл

если

сходится

интеграл

∫ f ( x)dx сходится, а интеграл

∫ f ( x) dx расходится, то он называется неабсолютно (или ус-

a

ловно) сходящимся. Теорема 1. (Признак сходимости). Несобственный инте+∞

грал ∫ f ( x)dx сходится, если он абсолютно сходится. a

Теорема 2. Если на промежутке [ a, +∞ ) функции ϕ ( x ) и f ( x) непрерывны, неотрицательны и ϕ ( x ) ≤ f ( x) , то из сходимо63

+∞

+∞

сти интеграла ∫ f ( x)dx следует сходимость ∫ ϕ ( x)dx , a из расхоa

a

+∞

+∞

a

a

димости ∫ ϕ ( x)dx следует расходимость ∫ f ( x)dx . Теорему 1 примем без доказательства, а теореме 2 дадим геометрическую иллюстрацию. Пусть l1 и l2 означают графики функций соответственно ϕ ( x ) и f ( x) (рис.7). Так как ϕ ( x ) ≤ f ( x) , то кривая l1 расположена не выше кривой +∞

l2 . Очевидно, что если интеграл ∫ f ( x)dx сходится, то кривая l2 a

ограничивает конечную площадь, тогда и кривая l1 ограничива+∞

ет конечную площадь, т.е. интеграл ∫ ϕ ( x)dx сходится. С другой a

+∞

стороны, если интеграл ∫ ϕ ( x)dx расходится, то криволинейная a

трапеция, ограниченная кривой l1 не имеет конечной площади, а тогда и подавно криволинейная трапеция, ограниченная кривой l2 , не имеет конечной площади, а это и значит, что интеграл +∞

∫ f ( x)dx расходится.

a

Пример. Исследовать сходимость инте-

y

+∞

грала ∫ 1

Так как при всех рассматриваемых х выполняется неравенство

l2 l1

O

a

sin x dx . 1 + x2

x

Ðèñ.7

sin x 1 , ≤ 1 + x2 1 + x2 +∞ dx а интеграл ∫ схо2 1 + x 1

дится (см. пример выше), то данный интеграл сходится и притом абсолютно. 64

Несобственный интеграл от неограниченной функции.

Пусть функция f ( x) непрерывна на промежутке [ a, b ) , а в точке b неограничена, т.е. в этой точке она имеет бесконечный разрыв: lim f ( x) = +∞ èëè

lim f ( x) = −∞.

x →b − 0

x →b − 0

Определение. Несобственным интегралом от функции f ( x) no промежутку [ a, b ) называется предел A

lim ∫ f ( x)dx

A→b − 0 a b

и обозначается символом ∫ f ( x)dx . Таким образом, по определению a

b

A

a

a

∫ f ( x)dx = Alim ∫ f ( x)dx. →b − 0

(2.28)

Несобственный интеграл (2.28) называется сходящимся, если указанный предел конечен, и расходящимся, если он не существует или равен бесконечности. Аналогично определяется несобственный интеграл от функции f ( x) по промежутку [ a, b ) , когда функция имеет бесконечный разрыв в точке а b

b

a

A

∫ f ( x)dx = Alim ∫ f ( x)dx. →a +0

Если функция f ( x) имеет бесконечные разрывы на обоих концах промежутка ( a, b ) , то несобственный интеграл от нее определяется равенством b

c

b

a

a

c

∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx,

(2.29) b

где с - произвольная точка промежутка ( a, b ) . Интеграл ∫ f ( x)dx считаa

ется сходящимся, если сходятся оба несобственных интеграла в правой части (2.29). Выбор точки с в этом случае не имеет значения. Теория несобственных интегралов по бесконечному промежутку аналогична теории несобственных интегралов от неограниченных функций. 65

С геометрической точки зрения

y

b

несобственный интеграл ∫ f ( x)dx a

y = f ( x)

от неотрицательной функции, неограниченной в точке b , можно x интерпретировать как площадь криволинейной трапеции с верхb a O ней границей, простирающейся в Ðèñ.8 бесконечность (рис.8). Если интеграл сходится, то этой трапеции приписывается конечная площадь. На несобственный интеграл от неограниченной функции распространяется формула Ньтона-Лейбница. Так, если F ( x) - первообразная для f ( x) на промежутке [ a, b ) (в точке b функция f ( x) имеет бесконечный разрыв), то b

A

a

a

[ F ( A) − F (a)] = F (b − 0) − F (a), ∫ f ( x)dx = Alim ∫ f ( x)dx = Alim →b − 0 →b − 0

где F (b − 0) = lim F ( A). A→b − 0

Понятие абсолютной сходимости для несобственного интеграла от неограниченной функции определяется точно также как и для несобственного интеграла по бесконечному промежутку. Для несобственных интегралов от неограниченных функций имеют место признаки сходимости, аналогичные признакам сходимости интегралов по бесконечному промежутку. Замечание. Остановимся на одном из средств представления функций. Рассмотрим функцию Φ n ( t , x )( n = 1, 2,3, 4,...) , которая задана в квадрате ( a ≤ t ≤ b, a < x < b ) и такая, что для любых α и β , удовлетворяющих условию a ≤ α < x < β ≤ b выполняется равенство β

lim ∫ Φ n ( t , x )dt = 1.

n →∞ α

Интеграл вида b

∫ Φ n ( t , x ) f ( t ) dt ,

a

где f ( t ) интегрируемая на [ a, b ] функция называется сингулярным интегралом, а Φ n ( t , x ) - ядром. При этом выполняется равенство 66

lim f n ( x ) = f ( x ) .

n →∞

Наиболее изучены сингулярные интегралы, отвечающие следующим ядрам 2n + 1 sin (t − x ) 2 Dn ( t , x ) = - ядро Дирихле, t−x 2sin 2 n +1 sin 2 (t − x ) 2 Fn ( t , x ) = - ядро Фейера. − t x 2 ( n + 1) sin 2 2 Сингулярные интегралы возникают при представлении функций того или иного класса посредством более простых функций (например, полиномов) и используются при решении задач гидродинамики, теории упругости и др. §7. Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения Рассмотрим применение определенных интегралов для вычисления площадей плоских фигур и объемов тел вращения. Вычисление площади плоской фигуры в прямоугольных координатах. Ранее было показано, что площадь S криволинейной трапеции, ограниченной графиком неотрицательной функции f ( x) , осью Ох и вертикальными прямыми x = a, x = b ( a < b ) определяется формулой b

S = ∫ f ( x)dx. a

Если фигура ограниченна сверху графиком функции y = f ( x) , а снизу графиком функции y = ϕ ( x) (рис.9), то ее площадь S находится по формуле b

S = ∫ [ f ( x) − ϕ ( x) ] dx , (2.30) a

y = f ( x)

y = ϕ ( x)

так как она представляет собой разность площадей криволинейных трапеций ограниченных графиком 67

функции y = f ( x) и y = ϕ ( x) . Формула (2.30) справедлива при любом расположении кривых y = f ( x) и y = ϕ ( x) относительно оси Ох (естественно, при сохранении условия f ( x) ≥ ϕ ( x) ). Вычисление площади более сложной фигуры может быть выполнено при помощи формулы (2.30) путем предварительного разбиения фигуры на соответствующие части и суммирования их площадей. Пример. Вычислить площадь S фигуры, ограниченной гиперболой 1 y = − и прямыми y = − x, x = 2 . x Сделаем сначала чертеж, на котором изобразим данные линии (рис.10). Из чертежа видно, y x что данная фигура огра1 2 ниченна сверху линией O 1 1 y = − , а снизу - линией y=− x x y = − x . Найдем сначала −1 A x=2 абсциссу точки А - точки пересечения указанных y = −x линий. Имеем в точке А −2 1 − = − x , откуда x 2 = 1 x и, следовательно, x = 1 , так как точка А имеет Ðèñ.10 положительную абсциссу. В согласии с формулой (3.30) можем написать

2 ⎛x 1⎞ ⎡ 1 ⎤ ⎛ S = ∫ ⎢ − − (− x) ⎥ dx = ∫ ⎜ x − ⎟ dx = ⎜ ⎜ x⎠ ⎦ 1⎣ x 1⎝ ⎝ 2

. Вычисление площади плоской фигуры в полярных координатах. Пусть фигура ограниченна двумя лучами ϕ = α , ϕ = β и кривой, заданной в 68

полярных координатах непрерывной функцией ρ = f (ϕ ), ϕ ∈ [α , β ] (рис.11). Такую фигуру называют криволинейным сектором. Для отыскания площади S данного криволинейного сектора разобьем данный сектор на более узкие секторы при помощи лучей ϕ = ϕk ( k = 0,1, 2,..., n ) при условии α = ϕ0 < ϕ1 < ϕ2 < ... < ϕn −1 < ϕn = β . Внутри каждого отрезка [ϕk + ϕk +1 ] ( k = 0,1, 2,..., n − 1) выберем произвольно по значению ck и будем считать, что площадь частичного криволинейного сектора рассматриваемой фигуры, ограниченного лучами ϕ = ϕk è ϕ = ϕk +1 , приближенно равна площади кругового сектора, ограниченного теми же лучами и окружностью радиуса ρ = f ( ck ) . Из курса средней школы известно, что площадь указанного кругового сектора 1 2 равна f ( ck ) Δϕk , где введено обозначение 2 Δϕk = ϕk +1 − ϕk ( k = 0,1, 2,..., n − 1) . Естественно считать, что n −1 1 S = lim ∑ f 2 ( ck ) Δϕk (2.31) λ →0 k = 0 2 где λ = max {Δϕk } . Сумма, стоящая в правой части равенства (2.31), 1 2 представляет собой интегральную сумму для функции f (ϕ ) на 2 β 1 промежутке [α , β ] , а ее предел равен интегралу ∫ f 2 (ϕ ) dϕ . Таким α2 образом, 1β 2 (2.32) S = ∫ f (ϕ ) d ϕ 2α Пример. Вычислить площадь круга радиуса R. В полярной системе координат уравнение окружности с центром в полюсе имеет вид ρ = R . В согласии с формулой (2.32) имеем

( )

1 2π 2 R2 2π ϕ 0 = R 2 2π = π R 2 . S = ∫ R dϕ = 2 0 2

Вычисление объема тела вращения. 69

Рассмотрим вначале вспомогательную задачу. Пусть дано тело конечных размеров, для которого известны площади всех сечений, перпендикулярных некоторой прямой. Выведем формулу для вычисления объема V этого тела. Примем указанную прямую за ось Ох и обозначим через а и b (при условии, что а < b) абсциссы точек пересечения с осью перпендикулярных ей крайних плоскостей, ограничивающих тело. По условию задачи площадь сечения тела плоскостью, проходящей через точку с абсциссой х перпендикулярно оси абсцисс, является известной функцией S(x). Разобьем данное тело на п слоев при помощи плоскостей, перпендикулярных оси Ох и проходящих через точки с абсциссами x1, x2 ,..., xn −1 так, чтобы a = x0 < x1 < x2 < ... < xn −1 < xn = b и выберем внутри каждого промежутка [ xk , xk +1 ] ( k = 0,1, 2,..., n − 1) произвольно по точке ck . Будем считать объем слоя, ограниченного сечениями x = xk è x = xk +1 , приближенно равным объему такого прямого цилиндра, высота которого равна Δxk = xk +1 − xk , a основанием служит фигура, которая получается в сечении тела плоскостью x = ck . Как известно, объем такого цилиндра равен произведению площади основания на высоту. Таким образом, объем рассматриваемого слоя приближенно равен произведению S ( ck ) Δxk , а для искомого объема тела сможем написать n −1

V ≈ ∑ S ( ck ) Δxk . k =0

(2.33)

Обозначим через λ - ранг дробления промежутка [ a, b ] на части, т.е. λ = max {Δxk } . Естественно считать, что погрешность приближенного равенства (2.33) будет стремиться к нулю при безграничном увеличении числа секущих плоскостей и стремлении всех расстояний между ними к нулю, т.е. при λ → 0 . Таким образом, n −1

V = lim ∑ S ( ck ) Δxk . λ →0 k =0

(2.34)

Сумма, стоящая в правой части равенства (2.34), представляет собой интегральную сумму для функции S ( x) на промежутке [ a, b ] , а ее b

предел равен интегралу ∫ S ( x)dx , т.е. имеем окончательно a

70

b

V = ∫ S ( x)dx .

(2.35)

a

Если, в частности, тело образованно вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f ( x) прямыми x = a и x = b (считая, что a < b ), то поперечное сечение этого тела плоскостью, проходящей через точку с абсциссой х и перпендикулярно оси Ох, представляет собой круг радиуса f ( x) площадью

y y = f ( x) f ( x)

a

O

x

x

b

Ðèñ.12

S ( x) = π f 2 ( x) (рис.12). Следовательно, в согласии с формулой (2.35) для объема тела вращения имеем b

V = π ∫ f 2 ( x)dx .

(2.36)

a

Пример. Найти объем V шара радиуса r.

Введем в рассмотрение полуокружность y = r 2 − x 2 при x ∈ [ − r , r ] . Если смотреть на шар как на тело, образованное вращением введенной полуокружности вокруг оси ox , то по формуле (2.36) получим r

(

2

2

)

2

V = π ∫ r − x dx = π r x −r

r −r

x3 −π 3

r

r3 r3 4 3 = πr +πr −π −π = πr 3 3 3 3

−r

71

3

§8. Вычисление длины дуги кривой и площади поверхности вращения

Вычисление длины дуги кривой. В дифференциальном исчислении функции одной переменной было дано определение длины дуги кривой как предела длин вписанных в нее ломаных при стремлении к нулю длины наибольшей стороны ломаной. Там же было получено выражение для дифференциала длины дуги кривой, ограниченной фиксированной точкой А и переменной (текущей) точкой М. Если плоская дуга АВ задана параметрическими уравнениями x = ϕ (t ), y = ψ (t ) (α ≤ t ≤ β ) , (2.37) где функции ϕ (t ) и ψ (t ) имеют непрерывные производные, не обращающиеся в нуль одновременно, то дифференциал длины дуги S(t) от точки А до переменной точки М(t) находится по формуле dS = [ϕ ′(t )] + [ψ ′(t ) ] dt . В частности, если дуга АВ задана в явном виде уравнением y = f ( x) ( a ≤ x ≤ b ) , 2

2

(2.38) (2.39)

то dS = 1 + [ f ′( x) ] dx . 2

(2.40)

Интегрируя выражения (2.38) и (2.40), можно получить формулы для длины дуги. Действительно, если дуга задана параметрическими уравнениями (2.37), то, пользуясь формулой (2.38), получим β

S=∫

α

[ϕ ′(t )]2 + [ψ ′(t )]2 dt .

(2.41)

Если же дуга задана в явном виде уравнением (2.39), то в согласии с формулой (2.40) будем иметь b

S = ∫ 1 + [ f ′( x) ] dx . 2

a

Примечание. Выше рассматривался случай плоских кривых. Если же требуется найти длину S пространственной гладкой кривой, которая задана параметрическими уравнениями x = ϕ (t ), y = ψ (t ), z = λ (t ) (α ≤ t ≤ β ) , то можно показать, что имеет место формула 72

β

S=∫

α

[ϕ ′(t )]2 + [ψ ′(t )]2 + [ λ ′(t )]2 dt .

(2.42)

Пример. Найти длину дуги винтовой линии x = 3cos t , y = 3sin t , z = 4t ( 0 ≤ t ≤ 2π ) Вычислим сначала производные x′ = −3sin t , y′ = 3cos t , z′ = 4 , а затем в согласии с формулой (2.42) будем иметь 2π

S= ∫

0

( −3sin t )

2

2π

2π

+ ( 3cos t ) + 4 dt = ∫ 5dt = 5t 0 = 10π . 2

2

0

Выведем теперь формулу для длины дуги плоской кривой, которая задана в полярных координатах с помощью уравнения ρ = ρ (ϕ ) , где функция ρ (ϕ ) - непрерывно дифференцируема на промежутке [α , β ] , а начальная и конечная точки имеют полярные углы а и β соответственно. Для решения задачи выпишем формулы перехода от полярных координат к прямоугольным x = ρ (ϕ ) cos ϕ , y = ρ (ϕ ) sin ϕ , (α ≤ ϕ ≤ β ) . (2.43) Рассматривая формулы (2.43) как параметрические уравнения дуги с параметром ϕ и используя формулу (2.41), будем последовательно иметь x′ = ρ ′ cos ϕ − ρ sin ϕ , y′ = ρ ′ sin ϕ + ρ cos ϕ , откуда следует

( x′)2 + ( y′)2 = ( ρ ′ cos ϕ − ρ sin ϕ )2 + ( ρ ′ sin ϕ + ρ cos ϕ )2 = 2 = ( ρ ′ ) cos 2 ϕ − 2 ρρ ′ cos ϕ sin ϕ + ρ 2 sin 2 ϕ + 2 + ( ρ ′ ) sin 2 ϕ + 2 ρρ ′ cos ϕ sin ϕ + ρ 2 cos 2 ϕ = 2 2 = ( ρ ′ ) ( cos 2 ϕ + sin 2 ϕ ) + ρ 2 ( sin 2 ϕ + cos 2 ϕ ) = ( ρ ′ ) + ρ 2 . Итак, окончательно

β

S=∫

α

( ρ ′ ) 2 + ρ 2 dϕ .

(2.44)

Пример. Вычислить длину окружности радиуса R. Если центр окружности совместить с полюсом, то ее уравнение имеет вид ρ = R , а тогда ρ ′ = 0 и по формуле (2.44) находим 2π

( ) = 2π R . 2π

S = ∫ Rdϕ = R ϕ 0 0

73

Вычисление площади поверхности вращения. Пусть на плоскости дана дуга АВ, уравнение которой y = f ( x) ( a ≤ x ≤ b ) , причем функция f ( x) неотрицательна на [ a, b ] и имеет непрерывную производную. Требуется вычислить площадь Q поверхности, получающейся при вращении дуги АВ вокруг оси Ох (рис.13). Разобьем промежуток [ a, b ] точками x1, x2 ,..., xn −1 и проведем через каждую из точек по прямой перпендикулярной оси Ох до пересечения с кривой АВ. Соединив последовательно полученные точки пересечения, получим ломанную. Учитывая, что площадь боковой поy верхности усеченного yk +1 = f ( xk +1 ) yk = f ( xk ) конуса, имеющего раB диусы оснований r и R , а образующую y = f ( x) длиной l , равна проA изведению π ( r + R ) l , можем утверждать, x a O b xk xk +1 что площадь Qn поверхности, полученной при вращении указанной ломанной вокруг оси Ох, может Ðèñ.13 быть вычислена по формуле n −1

Qn = π ∑ ⎡⎣ f ( xk ) + f ( xk +1 ) ⎤⎦ Δxk2 + Δyk2 , k =0

где положено Δxk = xk +1 − xk , Δyk = yk +1 − yk . Устремляя ранг дробления λ = max {Δxk } к нулю, можно показать (мы этого делать не будем), что имеет место формула b

Q = 2π ∫ f ( x) 1 + [ f ′( x) ] dx . 2

a

74

ЛИТЕРАТУРА Основная: 1. Потапенко А.А. Неопределенный и определенный интегралы: Учебное пособие.- Л.: СЗПИ, 2000. 2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. T.I.- М.: Наука, 1970-1985. 3. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. Под ред. Демидовича Б.П.,- М.: Наука, 1964-1978. Дополнительная: 4. Бугров Я.С, Никольский СМ. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление.- М.: Наука, 1980, 1988. 5. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. 4.1,- М.: Высш. школа, 1980.

75