Компьютерная математика

МАТЕМАТИКА КОМПЬЮТЕРНАЯ МАТЕМАТИКА В. П. ДЬЯКОНОВ Смоленский государственный педагогический университет

ВВЕДЕНИЕ

THE COMPUTER MATHEMATICS V. P. DYAKONOV

Systems of computer mathematics provide new facilities for automating execution of numerical as well as analytical calculations. They present to users numerous possibilities accumulated during the multiancient development of mathematics and have beautiful colour graphics. They allow to prepare electronic lessons and books with “live” examples and present great interest for the education.

© Дьяконов В.П., 2001

Системы компьютерной математики – новые средства, автоматизирующие выполнение как численных, так и аналитических вычислений. Они аккумулируют и предоставляют пользователю возможности, накопленные за многовековой опыт развития математики, имеют прекрасную цветную графику. Позволяют готовить электронные уроки и книги с живыми примерами и представляют большой интерес для системы образования.

116

www.issep.rssi.ru

В последнее время мы стали свидетелями появления нового, актуального и полезного научного направления – компьютерной математики. Ее можно определить как совокупность теоретических, алгоритмических, аппаратных и программных средств, предназначенных для эффективного решения на компьютерах всех видов математических задач с высокой степенью визуализации всех этапов вычислений. Последнее играет решающую роль во внедрении систем компьютерной математики (СКМ) в образование – как высшее, так и начальное. Системы компьютерной математики уже используются для решения учебных, научных и инженерных задач, наглядной визуализации данных и результатов вычислений и в качестве удобных и полных справочников по математическим вычислениям. Они стали мощным инструментом для подготовки электронных уроков, курсов лекций и электронных книг с живыми примерами, которые учащийся может менять. СРЕДСТВА КОМПЬЮТЕРНОЙ МАТЕМАТИКИ Средства компьютерной математики применяются в современных микрокалькуляторах, персональных компьютерах (ПК), в математических сопроцессорах, звуковых и видеопроцессорах. Они включены в состав новейших микропроцессоров Pentium MMX, Pentium II, Pentium III, K6 и др. А новые поколения программируемых микрокалькуляторов освоили аналитические (символьные) вычисления и графику (рис. 1). Однако главной ударной силой этого направления стали современные программные СКМ. Пользователиматематики с их помощью способны решать очень сложные математические задачи. К сожалению, новаторские работы школы советского академика В.М. Глушкова в области создания компьютеров для аналитических вычислений (серии “Мир”) в бывшем СССР не были поддержаны. Поэтому сейчас системы компьютерной математики представлены разработками крупных западных фирм (MathSoft, MathWorks, Waterloo Maple, Wolfram и др.). Учитывая присущее открытому обществу стремление к интеграции в области передовых

С О Р О С О В С К И Й О Б РА З О В АТ Е Л Ь Н Ы Й Ж У Р Н А Л , Т О М 7 , № 1 , 2 0 0 1

МАТЕМАТИКА раничивают, но к нему добавляют библиотеки более редких процедур и функций. Кардинальное расширение возможностей систем и их адаптация к решаемым конкретными пользователями задачам достигаются за счет пакетов расширения систем. Эти пакеты (нередко и библиотеки) пишутся на собственном языке программирования той или иной СКМ, что делает возможным их подготовку обычными пользователями.

Отраженное в работах [1–5] и других исследование современных СКМ позволяет оценить их возможности в образовании и науке. Соответствующие данные представлены в табл. 2. Таблица 1. Аппаратные требования для СКМ

Библиотеки Ядро

Интерфейс

Справочная система

СКМ

Пакеты расширения Центральное место занимает ядро системы – коды множества заранее откомпилированных функций и процедур, обеспечивающих достаточно представительный набор встроенных функций и операторов системы. Интерфейс дает пользователю возможность обращаться к ядру со своими запросами и получать результат решения на экране дисплея. Интерфейс современных СКМ основан на средствах популярных операционных систем Windows 95/98/NT и обеспечивает присущие им удобства работы. Функции и процедуры, включенные в ядро, выполняются предельно быстро. Поэтому объем ядра ог-

Derive 4.02 Derive 4.11 MuPAD 1.4 Mathcad 8/2000 Maple V R4 Maple V R5 Mathematica 2 Mathematica 3 Mathematica 4 MATLAB 5.2

386 2/4 7,7 386/486 3/8 31,7 386/486 –/8 10 Pentium 90 16/32 30/80 486DX 8/16 16/30 486DX 8/16 32/80 386 8/12 14 386 8/16 24/120 386 16/24 40/156 486 16/24 30/395

Необходимость в Internet-браузере

Каждая система компьютерной математики имеет нюансы в своей архитектуре или структуре. Тем не менее можно прийти к выводу, что у современных универсальных СКМ следующая типовая структура:

Особенности современных СКМ

Необходимость в драйве CD-ROM

В настоящее время СКМ можно подразделить на семь основных классов: системы для численных расчетов, табличные процессоры, матричные системы, системы для статистических расчетов, системы для специальных расчетов, системы для аналитических расчетов (компьютерной алгебры), универсальные системы.

На возможность применения той или иной СКМ решающее влияние имеют минимальные аппаратные требования к ПК, на которые могут устанавливаться СКМ (табл. 1).

Емкость жесткого диска, Мбайт*

КЛАССИФИКАЦИЯ И СТРУКТУРА СКМ

ВОЗМОЖНОСТИ СИСТЕМ КОМПЬЮТЕРНОЙ МАТЕМАТИКИ

Объем ОЗУ, Мбайт*

информационных, образовательных и научных технологий, а также растущее значение фундаментальной компоненты образования, актуально знакомство научно-педагогической общественности и учащихся с поистине уникальными возможностями СКМ.

Тип микропроцессора ПК

Рис. 1. Программируемый графический микрокалькулятор TI-92 фирмы Texas Instruments со средствами графики и встроенной системой символьной математики Derive

Ядро, библиотеки, пакеты расширения и справочная система современных СКМ аккумулируют знания в области математики, накопленные за тысячелетия ее развития.

Нет Нет Нет Есть Есть Есть Есть Есть Есть Есть

Нет Нет Нет Есть Есть Есть Есть Есть Есть Есть

* В числителе – минимальное значение параметра, в знаменателе – рекомендуемое для уверенной работы системы.

Д Ь Я К О Н О В В . П . К ОМ П Ь Ю Т Е Р Н А Я М А Т Е М А Т И К А

117

МАТЕМАТИКА Таблица 2. Основные характеристики СКМ Система Derive 4.01/4.11

MuPAD 1.41

Mathcad 7/8/2000

Maple V R4/R5

Mathematica 2/3/4

MATLAB 5.0–5.3.1

Назначение и достоинства

Ограничения и недостатки

Начальное образование, первые курсы вузов нематематического профиля. Обучение функциональному программированию. Аналитические вычисления. Скромные требования к аппаратным ресурсам. Наличие русифицированных версий Начальное и высшее образование. Хорошая графика. Развитые средства программирования. Документы в стиле notebook (блокнот). Умеренные требования к аппаратным ресурсам Система на “все случаи жизни”. Прекрасная графика и визуализация на всех этапах вычислений, включая ввод. Образцовый интерфейс. Ввод данных с помощью палитр математических знаков. Удачный отбор операторов и функций. Множество электронных книг и библиотек

Слабая графика и визуализация, отсутствие средств операторного программирования. Слабая поддержка специальных функций в символьных расчетах Сложное форматирование графиков. Скромная система помощи. Малое время апробации Ограниченные средства символьной математики. Примитивные средства программирования. Повышенные требования к аппаратным ресурсам. Дороговизна электронных книг и библиотек. Отсутствие последних на русском языке Повышенные требования к аппаратным ресурсам. Отсутствие синтеза звуков. Доступность для опытных пользователей и специалистов по математике Высокие требования к аппаратным ресурсам. Чрезмерная защита от копирования. Слабая защита от “дураков”. Ориентация на опытных пользователей Чрезмерно высокие требования к аппаратным ресурсам. Скромные возможности символьных вычислений. Дороговизна как самой системы, так и особенно пакетов ее расширения. Чрезмерная элитарность

Университетское высшее образование и научные расчеты. Уникальное ядро символьных вычислений. До 2700 функций. Мощнейшая графика. Удобная система помощи. Документы в стиле notebook Высшее образование и научные расчеты. Совместимость с разными компьютерными платформами. Уникальная 3D-графика. Поддержка синтеза звука. Документы в стиле notebook Университетское образование (в том числе техническое), научные расчеты, численное моделирование. Уникальные матричные средства, обилие численных методов, описательная (дескрипторная) графика, высокая скорость вычислений, легкость адаптации к задачам пользователя и множество пакетов расширения системы

ПРИМЕРЫ РАБОТЫ С СИСТЕМАМИ КОМПЬЮТЕРНОЙ МАТЕМАТИКИ Благодаря мощной графике, средствам визуального программирования и использованию техники мультимедиа (рис. 2) роль СКМ далеко выходит за пределы автоматизации только математических расчетов. Они уже широко используются в образовании в качестве

Рис. 2. Mathcad позволяет одновременно вести математические расчеты с высокой степенью визуализации и просматривать видеофильмы на любую тематику

118

инструментальных средств для подготовки высококачественных электронных примеров, уроков и даже книг. Удобные средства для этого предоставляет система “для всех” Mathcad (последняя версия 2000) [1]. На рис. 3 представлен простой документ этой системы в стиле notebook (блокнот), поясняющий геометрический смысл вычисления определенных интегралов. Видны задание интегралов в естественной форме и простота

Рис. 3. Иллюстрация к вычислению интегралов (система Mathcad)

С О Р О С О В С К И Й О Б РА З О В АТ Е Л Ь Н Ы Й Ж У Р Н А Л , Т О М 7 , № 1 , 2 0 0 1

МАТЕМАТИКА их вычислений (как в численном, так и в аналитическом виде) средствами системы Mathcad. Документы класса notebook содержат одновременно текстовые пояснения, математические формулы и результаты решения в различной форме. В обучении, например, основам геометрии достаточно сложным является восприятие трехмерных поверхностей и образов, особенно при различном их положении в пространстве и при взаимном пересечении. Построение графика даже одной поверхности отнимает уйму времени и потому практикуется в обучении крайне редко. Между тем все современные СКМ имеют развитые средства для построения как двумерных, так и трехмерных графиков. Стоит просто задать матрицы высот поверхностей и выбрать подходящие средства построения (рис. 4). В числе таких средств функциональная окраска поверхностей, учет световых эффектов, перспективы, расположения поверхностей и т.д. Многие системы (та же Mathcad или Maple V R5) позволяют вращать 3D-графики мышкой, добиваясь оптимального вида фигур и имеют упрощенные средства построения 3D-графиков.

ру, выглядит диалог в системе начального уровня Derive: 1: “Вычисление факториала и гамма-функции” 2: 5! 3: 120 4: 0.5! 5: 0.886226 6: GAMMA (− 3.2) 7: 0.689056 8: “Вычисление сумм и произведений в символьном виде” n

9:

∑i

2

i=1

n ⋅ (n + 1) ⋅ (2 ⋅ n + 1) 10: -----------------------------------------------------6 n

11:

∏i i=1

12: n! 13. “Вычисление предела” x 14: lim ----------------SIN ( x ) x->0

15: 1 16: “Вычисление производной” 17. DIF (SIN(a x^2),x) 18: 2 a x COS (a x2) 19: “Решение системы линейных уравнений” 20: SOLVE ([3 a+2 b+c=4, a+b−c=1, a−2 b+c= 3], [a, b, c]) 21: [a=1.7 b=−0.6 c=0.1] 22: “Реализация метода наименьших квадратов” Рис. 4. Построение графиков трехмерных поверхностей, пересекающихся в пространстве (система Mathcad)

Долгое время математические программы (Eureka, Mercury, ранние версии Mathcad и MATLAB) развивались как системы для численных расчетов. Однако в начале 90-х годов XX века быстрое развитие получили системы символьной математики (компьютерной алгебры). Им подвластны такие интеллектуальные виды аналитических вычислений, как нахождение пределов функций и их производных, вычисление определенных и неопределенных интегралов, разложение функций в ряд, подстановки и комбинирование и т.д. В большинстве систем вычисления реализуется по методу: задал вопрос – получил ответ. Вот так, к приме-

/ | FIT | 23: | \

x 1 2 1 2

y a x + b EXP(y) + c 1 9.43 1 10.4 2 18.8 2 19.8

\ | | | /

y 24: 2.00930 #e + 0.985000 x + 2.97562 Здесь каждый пример представлен коротким комментарием (в кавычках), строкой ввода и строкой вывода результата вычислений. Строки нумеруются подряд. Почти аналогично происходит диалог в куда более мощной системе Mathematica 3 или Mathematica 4 (последняя имеет повышенную скорость численных расчетов) [2]:

Д Ь Я К О Н О В В . П . К ОМ П Ь Ю Т Е Р Н А Я М А Т Е М А Т И К А

119

МАТЕМАТИКА “Задание функции пользователя”; fun[x]:=x^3−2*x^2−3*x−4 “Вычисление производной функции fun[x]”; D[fun[x],x] − 3 − 4x + 3x2 “Вычисление производной от явного выражения”; D[x^3−2*x^2−3*x−4,x] − 3 − 4x + 3x2 “Вычисление неопределенного интеграла в символьном виде”;

∫ fun [ x ] dx 2

3

Рис. 5. Пример решения системы из двух дифференциальных уравнений в форме фазовых портретов на фоне векторного поля – система Maple V

4

3x 2x x – 4x – -------- – -------- + ----2 3 4 “Вычисление двойного определенного интеграла”; 2 5

∫ ∫ (x

3

– 2y – 3x – 4 ) dy dx 2

0 1

808 – --------3 “Вычисление корней уравнения fun[x]”; Solve[fun[x]==0,x]  1⁄3 1⁄3 2 1 1   x → --3- + --3- ( 89 – 6 159 ) + --3- ( 89 + 6 159 ) ,    1⁄3 2 1  x → --3- – --6- ( 1 + I 3 ) ( 89 – 6 159 ) –  1⁄3  1 2 1 – --- ( 1 – I 3 ) ( 89 + 6 159 ) ,  x → --- – --- ( 1 – I 3 ) × 6 3 6  

× ( 89 – 6 159 )

1⁄3

1⁄3  1 – --- ( 1 + I 3 ) ( 89 + 6 159 )   6 

(здесь I – мнимая единица, I 2 = −1). Большие возможности открывает система Maple V R5 (и новая реализация Maple 6) [3]. В ней ввод можно задавать как в форме записей функций, так и в виде операторов, привычных математикам (например, в виде знака интеграла при задании вычисления интеграла). Как и в системах Mathcad и Mathematica, в Maple широко используются палитры математических знаков, с помощью которых можно с помощью мышки легко задавать ввод математических знаков. Наряду с решением многих классов дифференциальных уравнений в аналитическом виде СКМ позволяют решать системы дифференциальных уравнений и численными методами. На рис. 5 дан пример решения

120

классической задачи из биологии на изменение популяции хищников и жертв в среде их обитания – модель Лотка–Вольтерра. Самой мощной из численных СКМ для ПК является матричная система MATLAB 5.0/5.3.1 [4, 5]. В нее входит уникальная система блочного моделирования Simulink с примерами на моделирование автопилотов для самолетов и вертолетов, систем телекоммуникаций, систем управления химическим производством и даже сливной системы унитаза (с соответствующим звуком). ЗАКЛЮЧЕНИЕ Любой серьезный научный и образовательный проект в области естествознания сейчас просто немыслим без применения СКМ. Уже в нынешнем виде они способны помочь пользователю в выполнении как простых, так и сложных расчетов, которые ранее были доступны лишь математикам-аналитикам. Возможность подготовки в СКМ документов и электронных книг в стиле notebook (блокнот), снабженных наглядными графическими иллюстрациями и живыми примерами, делает данные системы незаменимыми в образовании, в том числе дистанционном. Этому и способствует и возможность прямой работы некоторых СКМ в Internet и возможность совместной работы над исследовательскими и учебными проектами коллективов ученых из разных стран. Появление в вузах и школах современных ПК делает применение СКМ не только полезным, но и необходимым несмотря на определенные недостатки таких систем. К ним следует отнести отказ от решения порой даже тривиальных задач, необходимость настройки под решение отдельных классов задач, вывод решений, порой отличных от их представления в справочниках, разбухание результатов некоторых аналитических расчетов и др. Однако многие из этих недостатков устраняются

С О Р О С О В С К И Й О Б РА З О В АТ Е Л Ь Н Ы Й Ж У Р Н А Л , Т О М 7 , № 1 , 2 0 0 1

МАТЕМАТИКА в новых реализациях систем компьютерной математики, и они становятся удобными помощниками для опытных пользователей и средствами предоставления математических знаний для начинающих.

5. Потемкин В.Г. Система инженерных и научных расчетов MATLAB 5.x. М.: Диалог-МИФИ, 1999. Т. 1. 366 с.; Т. 2. 304 с.

Рецензент статьи Ю.Г. Мартыненко ***

ЛИТЕРАТУРА 1. Дьяконов В.П. Компьютерная математика. Теория и практика. М.: Нолидж, 2001. 1296 c. 2. Дьяконов В.П. Системы символьной математики Mathematica 2 и Mathematica 3. М.: СК ПРЕСС, 1998. 328 с. 3. Дьяконов В.П. Математическая система Maple V R3/R4/R5. М.: Солон, 1998. 400 c. 4. Дьяконов В.П., Абраменкова И.В. MATLAB 5.0/5.3. Система символьной математики. М.: Нолидж, 1999. 640 c.

Владимир Павлович Дьяконов, доктор технических наук, профессор, зав. кафедрой физической и информационной электроники Смоленского государственного педагогического университета, действительный член Международной академии наук педагогического образования. Область научных интересов – компьютерная математика и применение ее систем для решения фундаментальных задач естествознания и образования. Автор свыше 450 научных работ, включая 32 книги и 61 авторское свидетельство на изобретения.

Д Ь Я К О Н О В В . П . К ОМ П Ь Ю Т Е Р Н А Я М А Т Е М А Т И К А

121