Алгебра и логика, 39, N 1 (2000), 104-118
УДК 512.572
МНОГООБРАЗИЯ, ОПРЕДЕЛИМЫЕ ПОДСТАНОВКАМИ
Д . М. СМИРНОВ Памяти Виктора Александровича Горбунова
Введение
По аналогии с многообразиями пермутативных полугрупп (см. [1]) в настоящей статье рассматриваются многообразия пермутативных пгруппоидов и изучаются их типы представимости. Расширяется серия най денных в [2] конечно базируемых многообразий конечной размерности. Напомним, что многообразие V сигнатуры Q, представимо (или ин терпретируемо) в многообразии V сигнатуры Г2', если для каждого опе ратора / ( a ? i , . . . , хп) из Q существует fi'-терм / ( # i , . . . , хп) такой, что для всякой алгебры (A, О') из V производная алгебра (А, {/ | / G 0} при надлежит многообразию V. Отношение представимости V -> V является квазипорядком, а его классы эквивалентности называются типами пред ставимости. Полагая для типов представимости [U] < [V] тогда и только тогда, когда U —)• V, получим решетку с нулем 0 и единицей 1. Ее принято обозначать через L m t . Нулем решетки L m t служит тип представимости многообразия Sem всех полугрупп или многообразия Gr всех группоидов. Единицей решетки L m t является тип представимости любого тривиального многообразия, т. е. какого-либо многообразия Е одноэлементных алгебр.
©
Сибирский фонд алгебры и логики, 2000
Многообразия, определимые подстановками
105
§ 1. Условие представимости многообразия nG^ Пусть S n — симметрическая группа конечной степени n ^ 2 над мно жеством {1,2, . . . , п } . Для произвольной подстановки 7г из S n через „G*. обозначим многообразие n-группоидов (А, / ) , удовлетворяющих тожде ству f(xU
Х2у...,
Хп) = / ( # „ ( 1 ) , 3^(2), . . . ,
Хп(п)).
По аналогии с многообразиями пермутативных полугрупп (см. [1]), много образие nGn назовем многообразием пермутативных п-группоидов (крат ко — многообразием, определимым подстановкой я*). Через „Мтг обозначается строгое условие Мальцева (СУМ) ( 3 / ) / ( я ? 1 , «2, . . . , « « ) = / ( » » ( ! ) , ^ ( 2 ) , • • • , Я?1г(п))-
Ясно, что многообразие nGV представимо в каком-либо многообразии У тогда и только тогда, когда в V выполнимо СУМ пМ*, т - е - существует V-терм / ( a ? i , . . . , ж п ), для которого в V справедливо тождество
Ддя цикла С = (12...п) степени п ) 2 и любого многообразия ал гебр V обобщенная теорема Гумма (см. [2, 3]) утверждает равносильность следующих трех условий: (a) в V выполнимо СУМ пЖ^} (b) каждый автоморфизм <р любой алгебры А из V, n-я степень ко торого имеет неподвижную точку, обладает неподвижной точкой; (c) каждый автоморфизм <р порядка п любой алгебры А из V имеет неподвижную точку. Ддя нетривиального многообразия V каждое из условий (а), (Ь) и (с) равносильно условию (d) в Т^-свободной алгебре F с ^-свободным базисом a?i,a?2» •••»£?» автоморфизм С, определяемый подстановкой
106
Д. М. Смирнов
xi »С(1) имеет неподвижную точку.
х2
...
Ф)
-
Х
хп
\
х
С(п) I
Поскольку выполнимость СУМ пЖ{ в каком-либо многообразии V равносильна представимости в V многообразия n G^, то (а), (Ь), (с), (d) можно рассматривать как условия представимости многообразия
nG^.
На протяжении всей статьи многообразие п<2(12...п) будем записывать кратко в виде Gn. В сигнатуре {/}, состоящей из одного n-арного символа / , оно задается тождеством /(a?i, х2}...,
хп) = f(x2,...,
хп, х\).
Многообразия Gn для разных п ) 2 и условия (a)—(d) были ис пользованы в [2] для построения счетной серии многообразий произвольно заданной конечной размерности г. Естественно рассмотреть условия представимости многообразия n G>, определяемого произвольной подстановкой я- из S n . Т Е О Р Е М А 1. При п ^ 2 многообразие nGn представимо в нетри виальном многообразии V тогда и только тогда} когда в V-свободной алгебре F с V-свободным базисом # i , . . . , хп автоморфизм тг, определяемый подстановкой
(
х\
х2
...
хп
\
3ir(l)
Ятг(2)
•••
^тг(п)
/
имеет неподвижную точку. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть автоморфизм к обладает неподвиж ной точкой а в F. Поскольку элемент а выразим некоторым термом t(x\i...,
ж п ), равенство а — аж можно записать в виде
Так как # i , . . . , £„ образуют свободный базис в F, равенство (1) явля ется тождественным соотношением в V'. Следовательно, в V представимо многообразие „(7*. Обратно, если существует терм £ ( x i , . . . , хп) в языке V такой, что в V истинно тождество (1), то элемент а = t(x\y х2,...,
#„) из ^-свободной
алгебры F является неподвижным относительно автоморфизма тг.
Многообразия, определимые подстановками
107
Однако, в общем случае для подстановки 7г степени n ^ 2 и порядка J7r| выполнимость СУМ ПЖП в многообразии не влечет условие (с) как для автоморфизмов порядка п, так и для автоморфизмов порядка |7г|. ПРИМЕР 1. Пусть 7Г = (12) — цикл степени 3. Покажем, что мно гообразие 3^5(12) содержит алгебру А с автоморфизмом 2-го порядка без неподвижных точек и алгебру В с автоморфизмом 3-го порядка, также без неподвижных точек. Пусть А = ({0, /}, / ) — алгебра с операцией /(а?1,ж(2),ж3) = х\ +#2 + яз (mod2). Тогда алгебра А принадлежит многообразию з и циклическая под становка <р = (01) из Зг является ее автоморфизмом порядка 2 без непо движных точек. Действительно,
= / ( у # ь 4>хъЧ>%ъ)-> так как
1 + я?1 + х2 + х3 = (1 + a?i) + (1 + а?2) + (1 + ж3 )(mod2). Многообразие 3G(12) содержит также 3-группоид В = ({0,1,2},#) с операцией Sf(a?i, з 2 , я?з) = ^з (mod 3). Циклическая подстановка ф = (012) из 8з является автоморфизмом тре тьего порядка 3-группоида В, поскольку для любого х £ {0,1,2} имеем фх = 1 + х (mod 3) и Фд(хг,х2,х3)
= 1 + я?з = г ( ^ 1 , # 2 , ^ 3 ) (mod3).
При этом ф не имеет неподвижных точек. С Л Е Д С Т В И Е 1.1. Если подстановка п степени n ^ 2 оставляет неподвижным некоторое число а £ {1,2,,.., п}} то многообразие nGn представимо в любом многообразии V', т.е. является нулем решетки L i n t . В частности, для любого l-цикла (iii2 .. .г/) степени п > / имеем:
Д, М. Смирнов
108
§ 2* Ц и к л и ч е с к и е многообразия Подвергнем теорему Гумма (см. [2, 3]) дальнейшему обобщению на случай произвольных тг-циклов степени п ^ 2* Это позволит указать новую серию конечно базируемых многообразий конечной размерности, Т Е О Р Е М А 2, Для любого п-ццкла А = (t'it2."ft) степени п ^ 2 гшеет место равенство типов представимости
[nGA] - [С]. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть F — свободная алгебра в многообразии Gn с С п -свободным базисом #1, ^ 2 , . . . , хп. В силу упомянутой выше обоб щенной теоремы Гумма всякий автоморфизм а 6 Aut (F) порядка п имеет неподвижную точку. Автоморфизм, определяемый подстановкой xi
х2
...
ЯА(1)
ЯА(2)
—
хп ш
А(п)
имеет порядок п и поэтому обладает неподвижной точкой. По теореме 1 многообразие nG\ представимо в Gn. Отсюда [nG\] < [Gn]. Для доказательства представимости Gn в nG\ рассмотрим произ вольную алгебру А Е nG\. В ней истинно тождество /(«1,
а? 2 , • . . , Ж„) = /(я?л(1)»
Ж
А(2)7 • • • 1 ЯА(п))-
(2)
Пусть а Е Aut (А) и а п имеет неподвижную точку х. Покажем, что суще ствует перестановка ifci, k2l...,
кп чисел 0, 1 , . . . , п — 1, для которой элемент
а = / ( * " \ *"*»,..., * • * )
(3)
неподвижен относительно а. В силу (2) получаем
аа = /(х« к 1 + \Х 2 + \...,^ п + 1 ) = / ( Х М 1 ) + \ ^ Л ( 2 ) + \ . . . , ^ Л ( " ) + 1 ) .
Многообразия, определимые подстановками
109
Для достижения равенства aa = а достаточно, чтобы по модулю га выполнялись равенства: *А(1) + 1 = *1, *А(2) + 1 = *2,
ф
*Л(п) + 1 = AnМожно считать, что fci = 0. Тогда k\(\) = га — 1. Принимая также ii = 1, получаем А(1) = %2 и fc,2 = гс — 1. Из строки с номером %2 следует *Л(|2) + 1 = п - 1, откуда kiz = fcA(i2) = n -• 2 и т. д. Так как А(г„) = «i = 1 и fci = 0, из строки с номером in вытекает Ьп = fcA(in) + 1 = fci + 1 = 1. Таким образом, неподвижная точка для автоморфизма а существует, и условие (Ь) обобщенной теоремы Гумма выполняется. Поскольку условие (Ь) равносильно условию (а), то в nG\ выполняется СУМ n3VC(i2...n)* А это означает, что в nG\ представимо многообразие Gn. Приведенный в доказательстве алгоритм вычисления неподвижной точки автоморфизма а по неподвижной точке х для о:" проиллюстрируем на следующем примере. ПРИМЕР 2. Пусть А = (1423) - цикл степени 4 , А б 4 С д ^ 6 Aut (A) 4
и а имеет неподвижную точку х. Поскольку А(1) = 4, А(2) = 3, А(3) = 1, А(4) = 2, то система уравнений (4) для вычисления показателей при к\ = 0 запишется в виде к4 + 1 =
0,
А?з + 1 =
к2,
1 =
к3.
Получаем: к± = 3, к$ = 1, k
степени
110
Д. М. Смирнов Таким образом, теорема Гумма верна для любого га-цикла А =
= («1*2 • • • in) степени га ^ 2. Многообразие nG\, определимое га-циклом А, назовем
циклическим.
Найденную в [2] серию многообразий Gn конечной размерности мы можем пополнить теперь циклическими многообразиями nG\ по произ вольным га-циклам А = (iii2..
Лп) степени га ^ 2. Действительно, в силу
следствия 3 из [2] справедливо С Л Е Д С Т В И Е 2.2. Для любого п-цикла А = ( i i i 2 . . . i n ) степени га ^ 2 циклическое многообразие nG\ имеет конечную размерность, рав ную числу простых делителей числа га. Если при этом все простые дели тели числа га составляют множество {рг^ъ,...
,j?r}> frao в решетке L m t
имеет место несократимое разложение UGA] = [Gp 1 ]V[Gp a ]V...V[G Pp ], члены которого являются V -примарными элементами решетки L m t , omлггчнылсгг о т нуля. Остается заметить, что равенство типов представимости в теореме 2 не означает равенства многообразий nG\ и Gn. Покажем, например, что многообразия 4^(1243)
и
G* различны. Ддя этого укажем алгебру А
в 4^(1243)» которая не принадлежит многообразию G±, и алгебру В в G*, которая не принадлежит многообразию 4^(1243) • Пусть А = (Z, / ) — алгебра с операцией / ( x l 7 х 2 , х 3 , а?4) = х\Х\ + хгх 3 . Тогда А удовлетворяет тождеству / ( х ь х 2 , х 3 , х4) = / ( х 2 , х 4 , х ь х3)
(5)
и не удовлетворяет тождеству / ( х ь х 2 , х 3 , х 4 ) = / ( х 2 , х 3 , х 4 , х х ). Напротив, алгебра В = (Z, / ) с операцией / ( х 1 , х 2 , х 3 , х 4 ) = (xi + x 3 )(x 2 + x 4 )
(6)
Многообразия, определимые подстановками
111
удовлетворяет тождеству (6)., но не удовлетворяет тождеству (5).
§ 3. Многообразия, определимые однородными подстановками Пусть 7Г — однородная подстановка степени гс, т. е. все ее независимые циклы имеют одну и ту же длину /. Т Е О Р Е М А 3. Если яг — однородная подстановка степени п с неза висимыми циклами длины I ^ 2, то [„
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО аналогично доказательству теоремы 2. 1) г&ж -> G/. Пусть F — свободная алгебра в многообразии G\ с С?/-свободным базисом a?i, х^ ...,ж„. По обощенной теореме Гумма всякий автоморфизм а 6 Aut (F) порядка / обладает неподвижной точкой. Авто морфизм /3, определяемый подстановкой Х\ ж
тг(1)
Х2
...
Я*г(2)
-
Хп х
тг(п)
имеет порядок / и поэтому также обладает неподвижной точкой. По тео реме 1 многообразие nG^ представимо в G/. 2) Gi -» „GTT. Пусть алгебра А = (А,/) принадлежит многообра зию n G f f , а € Aut (А) и а1 имеет неподвижную точку х 6. А. Покажем, что существуют такие числа fc1? k2,..>,kn, принадлежащие множеству {О, 1,..., I — 1}, для которых элемент w=
f(x"h\xa'*,...}xakn)
неподвижен относительно автоморфизма с*. Тогда в силу обобщенной те оремы Гумма получим представимость G\ в ПОСКОЛЬКУ А |= f{xUX2)
=
nGv.
. . . , « „ ) = / ( £ „ ( ! ) , Хп{2), . . . , £„(„)), ТО
/(X* ( l ) + \*« f c , r ( > ) + 1 f .. M a: e l , , r ( " , + 1 ).
112
Д. М. Смирнов Для достижения равенства wa
=
w достаточно, чтобы числа
& i , . . . , fcn удовлетворяли условиям: ^Tr(t) + 1 = fci (mod /), t = 1 , . . . , п. Разложим подстановку тг в произведение независимых циклов 7Г = (ап...ац)(а21
. . . а д ) . . . ( a r i . . .а г /).
Тогда для каждого t = 1,2, ...,г числа fc*7 = fcatj должны удовлетворять сравнениям: K(atj) + 1 = *tj (mod /), j = 1, . . . , /. Следовательно, должна быть совместна система сравнений: fci2 + I = hi (mod/), fct3+ 1 = **2 (mod/),
kn + 1 = fc«/(mod/), Выберем fcfi = 0. Тогда из первых / — 1 сравнений следует *« = / - 1 , *« = / - 2 , . . . , Аг« = / — (I — 1) = 1. Значения Ли = 0 и кц = 1 удовлетворяют также последнему сравнению в системе (7). Представимость G\ в n G> доказана. С Л Е Д С Т В И Е 3.1. Если яг — однородная подстановка степени п с независимыми циклами длины I ^ 2, то [nG>] > 0 и многообразие
nGn
имеет конечную размерность, равную числу простых делителей числа L ПРИМЕР 3. Подстановка я* = (13)(24)(56) степени 6 удовлетворяет условиям теоремы 3. Поэтому [eGn] = [СУ 2]. Легко проверить, что представлением для eGn в G2 служит терм t(xi,X2>X3,X4,Xb,Xe)
=
((Ж1Ж 3 )(Ж234))(&5Ж6),
а представлением для
Многообразия, определимые подстановками
113
§ 4. Многообразия, определимые неоднородными подстановками ТЕОРЕМА 4. Пусть ж — подстановка степени п без неподвиж ных элементов. Если л* имеет независимый цикл длины 1} то О < [„СУ < [Gil
(8)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По условию, п ^ / ^ 2. Для доказательства представимости многообразия „
*{1)
ж
Х2
...
*г(2)
—
Хп
(9)
х
*(п)
обладает неподвижной точкой. Пусть (г*1, г2 . . . ц) — независимый /-цикл подстановки 7г и / — основ ная операция /-группоида F. Тогда элемент w = / ( ж ^ , ^ , . . . ,ж^) из F неподвижен относительно автоморфизма а, так как wa = / ( я » 2 , . . . . ..^jpXiJ =
= гу (в силу основного тождества в Gj: / ( y i , J/2? • • ->У/) =
/(y2i-.-iW»yi))-
Для доказательства неравенства [« 0 рассмотрим многообразие U унаров (А, / ) , удовлетворяющих тождеству f(x) = ж. [/-свободный унар Ft/, с базисом х\,...,
хп имеет своим носителем множество {яь #2» • • • > ж " } *
Подстановка (9) является автоморфизмом унара ¥и и по условию не имеет неподвижных точек. По теореме 1 многообразие [nG„] не представимо в U, откуда [nGn] > 0. Покажем, что в зависимости от л- знак < в двойном неравенстве (8) может оказаться знаком строгого неравенства и знаком равенства. ПРИМЕР 4. Пусть яг — подстановка степени п = 2/ + 1, разложимая в произведение двух независимых циклов длины / + 1 и / ^ 2: 7г = ( a u . . . a 1 ) ; + 1 ) ( a 2 i . . . a 2 / ) . Покажем, что 0 < [nGn] < [Gi] и 0 < [nGn] < [G/+i].
Д. М. Смирнов
114
В силу теоремы 4 достаточно установить, что многообразия Gi и (7/4-1 не представимы в nG„. Докажем, что в многообразии nGn не представимо никакое циклическое многообразие Gm с индексом га ^ 2. Возьмем произвольное число га ^ 2. В силу обобщенной теоремы Гумма достаточно построить алгебру А в n G>, обладающую автоморфиз мом порядка га без неподвижных точек. Для каждого числа a tJ выберем переменную а?в£., которую будем записывать в виде ж^. Многообразие „G^ задается тождеством / ( # 1 Ъ #12, • - • > #1/+Г> #2Ъ #22, • • • ? #2/) = / ( # 1 2 , . . . , 3 l /+1, #11! #22, • • м #2/, # 2 l ) .
Алгебра А с носителем А = {0,1,..., га — 1} и операцией / ( # 1 Ь - - - , # 1 Л - Г > # 2 Ь - . , # 2 / ) = (#11 + - . . + ^ i / + i )
- (x2i + . . . + x2i) (mod m) удовлетворяет выписанному тождеству и поэтому принадлежит многооб разию nGrr. Подстановка
(
О 1 ... 1 2 ...
га-2
га-
га-1
1 \ О
J
действующая на множестве А по правилу ах = х + 1 (mod га), является автоморфизмом алгебры А порядка га, так как 4-1
f(axn,...,
/
ax2i) = Е (#Ъ + 1) - Е («2i + 1) i=i
i=i
= / ( ж п , . . . , x2i) + 1 = а / ( х ц , . . . , x2i) (modm). Поскольку a не имеет неподвижных точек, утверждение доказано. ПРИМЕР 5. Для неоднородной подстановки 7Г = (1234)(56) степени 6, имеющей порядок [4,2] = 4, справедливы равенства
[ 6 сд = [с4] = [G2]. Ддя доказательства достаточно установить, что многообразие G2 коммутативных группоидов представимо в eGn.
Многообразия, определимые подстановками
115
Многообразие eGn с оператором / задается тождеством f(xu
х2, х3, х4, а?5, х6) - /(ж 2 , я 3 , %4, 2ихв,
хъ).
Полагая х\ = х% = х$ = ж и #2 = #4 = Х6 = У? получаем равенство /(ж, у, ж, у, х, у) = /(у, ж, у, х, у, ж). Следовательно, для терма ху.= /(ж, у, ж, у, ж, у) в eG* истинно тождество жу = уж , и G2 представимо в eG*. В частности, для 7г = (1234) (56) многообразие eGn в решетке L m t определяет V-примарный элемент [G2], и поэтому dimeG*- = 1. С Л Е Д С Т В И Е 4 . 1 . -Бслг^ подстановка ж G S„ разлагается в про изведение независимых циклов, имеющих длины 1\ ^ /2 ^ • • • ^ ^r ^ 2, то 0<[nG„]<[G,1]A[G|a]A...A[Gir]. В частности, для подстановки 7Г из примера 4 имеем 0<[„Gw]<[G,]A[G{+1]. Могут ли быть строгими оба неравенства при некотором / ^ 2, неизвестно. С Л Е Д С Т В И Е 4.2. Пусть п Е S n — неоднородная подстановка без неподвижных элементов и т — ее порядок. Тогда О < [„GJ < [G m ]. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть / — длина какого-либо независимого цикла подстановки тг. Тогда га кратно /, и поэтому многообразие Gi пред ставимо в G w . Действительно, G m , рассматриваемое с основной операцией / , обладает термом t(xu . . . , « / ) = / ( ж ь . . . , ж/; я ь . . . , xi]...; хх,...,
яг,),
для которого Gm )r:t(xi1X2j...,xi)
= t(a? 2 ,...,«/»«i)-
По теореме 4 имеем [nGn] < [G/] < [G m ], откуда [„G*] < [Gm].
116
Д. М. Смирнов § 5. Многообразия, определимые квазиоднородными подстановками Подстановку 7Г Е S n назовем квазиоднородной типа га, если длины
всех ее независимых циклов являются положительными степенями чис ла гаРаспространим теорему 3 на квазиоднородные подстановки без непо движных элементов. Т Е О Р Е М А 5. Если п Е S„ — квазиоднородная подстановка типа га ^ 2, то [»G*] = [Gm]. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть длины /, независимых циклов подста новки 7Г удовлетворяют неравенствам 1\ ^ 1^ ^ . . . ^ lr ^ 2. По условию каждое число /; имеет вид /,- = mki. Если л* — однородная подстановка, то все ki равны некоторому числу к ^ 1 и, по теореме 3, [nC?*] = [Gmk]. По теореме 2 из [2] имеет место равенство [Gmk] = [G m ], откуда [nG>] = [Gm]. Пусть 7г — неоднородная подстановка, ее порядок равен наименьшему общему кратному чисел / ь . . . , / г , т. е. числу га*1. По теореме 4 справедливо [nGir] < [Gmkx] = [Gm]. Остается доказать, что многообразие Gm представимо в nGn. Подстановку 7г запишем в виде произведения независимых циклов г
Yl(ailai2---aili)-
7Г = *=1
В силу независимости циклов выполняется 1х + . . . + / г = п. Различные между собой числа ау из множества {1,2,..., п) расположим в таблицу с г строками, выписывая в г-й строке числа г-ro независимого цикла подста новки тг в порядке возрастания второго индекса: а ц . . . a i m a i m + i . . . а\ 2 m . . . а ^ , (Ю) ar\ ... arm Переменную xaij условимся записывать в виде хц. Для каждого s = = 1,..., га выделим множество М* переменных # a j, для которых число a,j
Многообразия, определимые подстановками
117
принадлежит какому-либо столбцу таблицы (10) с номером j = s (mod m). Пусть терм £(уь2/2> •••>!&») получается из терма /(a?ii,...,o;i/n...,ari,...,xr/r) заменой каждой переменной Xij £ М8 переменной у3 для 6 = 1,2,..., га. Поскольку многообразие „,6V с оператором / задается тождеством / ( Ж Ь . . . , Хп) = / ( ^ ( i ) , . . . , Ж»(п)),
в котором каждая переменная с индексом ау заменяется переменной с индексом atj4-i при j < m** и переменной с индексом ац при j = га*1*, в пСтг истинно тождество / ( # 1 1 , # 1 2 , • . . , Х\ h ; Я?21? # 2 2 , • • • , Х212; . . . ; Хг\,Хг2,
. . . , 3rJr)
= /0&12» . • - , ^ 1 / i , ХЦ] Х 2 2 , • • м ж 2/ 2 > # 2 i ; • • • #, ЖГ2, . - - , # г / г , X r i ) .
После замены каждой хц £ М8 на у$ по всем 5 = 1,2, . . . , т имеем тождество / ( y i , У2,. • •, у™; yi, 2/2,. • •, у™; •. •; уь Уг, • ••, У™) = /(У2, • • • , Ут> У\; У2, . . • , Ут? У15 . . . ; У2, . . . , Ут, У1). в котором слева чередуется блок переменных Уь Уг> • • • ,Ут> а справа — блок у2> • • • , Ут? Уь Таким образом, п
и поэтому G m представимо в nGn. С Л Е Д С Т В И Е 5.1. Если я £ S n — подстановка без неподвижных элементов и ее порядок является степенью простого числа р, то [nGn] = - [Gp] и dim ( n G f ) = 1. Действительно, если порядок 7Г = pfc, то длина каждого независимого цикла, будучи делителем числа рк, равна степени р, т. е. 7г — квазиодно родная подстановка типа р. По теореме 5, [nG*] = [Gp].
Д. М. Смирнов
118
Из теоремы 5 и следствия 3 [2] получаем С Л Е Д С Т В И Е 5.2* Для любой квазиоднородной подстановки к £ 6 S n типа т ^ 2 многообразие nGn имеет конечную размерность, равную числу простых делителей числа т. Остается открытым ВОПРОС. Всякая ли подстановка тг 6 S n без неподвижных элементов определяет многообразие nGn конечной размерности?
ЛИТЕРАТУРА 1. P.Perkins, Bases for equtional theories of semigroups, J. Algebra, 11, N 2 (1968), 298—314 (имеется русский перевод в кн.: Кибернетический сб., 11, М., Мир, 1974, 5-23). 2. Д. М. Смирнов, Алгоритм построения многообразия произвольно заданной конечной размерности, Алгебра и логика, 37, N 2 (1998), 167—180. 3. О. С. Garcia, W. Taylor, The lattice of interpretability types of varieties (Mem. Am. Math. Soc, 50, (305)), Providence, RI, AM, Math. Soc, 1984.
Адрес автора: СМИРНОВ Дмитрий Матвеевич, РОССИЯ, 630090, Новосибирск, ул. Воеводского, д. 5, кв. 1. тел.: 30-07-99
Поступило 18 августа 1999 г.
