Методические указания и дидактические материалы по теории вероятностей

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОСТОЧНО-СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ДИДАКТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ для студентов всех специальностей дневного и заочного обучения

Составили: Петрова С.С., Ошорова Т.Я, Батомункуева Е.С.

Улан-Удэ –2001

1 Раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов, называется комбинаторикой. Она возникла в ХY1 веке и касалась в основном азартных игр. За последние годы комбинаторика переживает период бурного развития, связанного с проблемами дискретной математики, линейного программирования, статистики, теории информации. 1. Общие правила комбинаторики Правило суммы. Если объект А можно выбрать m способами, а другой объект В можно выбрать n способами, то выбор "либо А", "либоВ " можно осуществить m+n способами. Задача: на одной полке книжного магазина стоит 20 различных книг, а на другой - 40 различных книг (и не таких, как на первой полке). Сколькими способами можно выбрать одну книгу? Решение. Выбрать одну книгу из стоящих на этих полках можно выбрать по правилу суммы 20+30 =50 способами. Правило произведения( принцип умножения). Если объект А1 можно выбрать m1 способами, объект А2 можно выбрать m2 способами, и так далее, объект Ап можно выбрать mп способами, то выбор кортежа (п-упорядоченных объектов): (А1,А2,…,Ап) можно осуществить m1⋅ m2⋅⋅⋅ mп способами. Задача1.Пусть существует три кандидата на место президента фирмы К1,К2,К3 и два кандидата на место вице-президента. Сколькими способами можно осуществить выбор руководящего состава фирмы? Решение. Президента фирмы можно выбрать тремя способами. После выбора президента еще двумя способами можно выбрать вице- президента, поэтому общее число способов, которыми можно составить дирекцию фирмы, находится произведением 3⋅2=6.Приведем графическую иллюстрацию. Схему, построенную на рисунке, называют деревом. Исходную точку обозначим О. Двигаясь всевозможными путями из точки О к правым крайним вершинам, мы получим 6 способов, которыми можно составить руководство фирмой. Все они перечислены в правом столбце.

2 Выбор вице-президента Выбор президента

В1

Руководство (П1,В1)

П1 В2

Начало В1 О

П2

(П1,В2)

(П2,В1)

В1

(П2,В2)

В1

(П3,В1)

П3 В2

(П3,В2) Задача2. Наряд студентки состоит из блузки, юбки и туфель. Девушка имеет в своем гардеробе четыре блузки, пять юбок и трое туфель. Сколько нарядов может иметь студентка? Решение: Пусть сначала студентка выбирает блузку. Этот выбор может быть совершен четырьмя способами, так как студентка имеет четыре блузки, затем пятью способами произойдет выбор юбки и тремя способами выбор туфель. По принципу умножения получается 4×5×3=60 нарядов (комбинаций). Задача 3. В столовой предлагают два различных первых блюда, три различных вторых блюда и два вида десерта. Сколько различных обедов из трех блюд может предложить столовая? Решение. По принципу умножения получаем 2×3×2=12.

3 2.Размещения . Размещениями из "n" элементов по "m" элементов называются такие соединения из "m" элементов, которые отличаются друг от друга либо самими элементами, либо их порядком. Число размещений из "n" элементов по "m" элементов Аnm = п ⋅ (п − 1) ⋅ (п − 2) ⋅ ⋅ ⋅ [п − (т − 1)] , Аnm =

п! (п − т)!

Задача. Сколько гербариев по три цветка в каждом можно составить из четырех цветков: орхидеи, лилии, гладиолуса, розы. Решение. Составим, например, такие гербарии1 гербарий: орхидея, лилия, гладиолус. 2 гербарий: орхидея, гладиолус, лилия. 3 гербарий: лилия, гладиолус, орхидея. 4 гербарий: лилия, орхидея, гладиолус. 5 гербарий: гладиолус, орхидея, лилия. 6 гербарий: гладиолус, лилия, орхидея. В этих шести гербариях состав элементов-цветков один и тот же, меняется только порядок расположения элементов. Изменяя состав: орхидею заменим на розу, а остальные цветки оставим прежними, получим опять шесть гербариев. 7 гербарий: роза, лилия, гладиолус. 8 гербарий: роза, гладиолус, лилия. 9 гербарий: лилия, гладиолус, роза. 10 гербарий: лилия, роза, гладиолус. 11гербарий: гладиолус, роза, лилия. 12 гербарий: гладиолус, лилия, роза. Таким образом, состав элементов гербария изменяется четырьмя способами. Итак, общее количество всевозможных гербариев получается по принципу умножения: 6×4=24. Гербарии отличаются либо цветками, либо порядком расположения этих цветков, поэтому коротко задача решается так, используя формулу: число размещений из "n" элементов по "m" элементов, находим: А43 = 4 ⋅ 3 ⋅ 2 = 24 . Задача. Студенты института изучают в каждом семестре по десять дисциплин. В расписание занятий включаются каждый день по 3 дисциплины. Сколько различных расписаний может составить диспетчерская?

4 Решение. Расписание на каждый день может отличаться либо предметами, либо порядком расположения этих предметов, поэтому имеем размещения: А103 = 10 ⋅ 9 ⋅ 8 = 720. Задача. Сколько было участников конференции, если известно, что при регистрации использованы все трехзначные номера, не содержащие ни одной восьмерки. Решение: Перечислим однозначные номера, не содержащие восьмерку: 0,1,2,3,4,5,6,7,9 - таких номеров 9. Далее, найдем все двузначные номера, не содержащие восьмерки. Их можно составить так: взять любой из найденных однозначных номеров и написать после него любую из десяти допустимых цифр. В результате из каждого однозначного номера получится девять двузначных, а так как однозначных номеров тоже 9, то получится 92=81 двузначный номер без восьмерки, но за каждым из этих номеров можно поставить любую из допускаемых цифр. В результате получится 93=729 трехзначных номеров. Значит, участников конференции было 729. Задачи для самостоятельного решения на темы: принцип умножения и на размещения: Задача 1.В группе 25 студентов. Сколькими способами можно выбрать старосту, профорга и казначея? Задача 2. Код в сейфе состоит из трех букв и двух цифр. Сколько существует возможностей набирания кода, если буквы и цифры не повторяются. В русском алфавите 33 буквы Задача 3. Сколько трехзначных цифр можно составить из цифр 0,1,2,3,4 ( без повторений). Задача 4. В шахматном турнире участвуют 5 мужчин и 8 женщин. Сколькими способами можно составить 3 смешанные пары? Задача 5. В восьмиместный автомобиль садятся 8 пассажиров, среди которых два инвалида, 3 ребенка, 2 человека с водительскими правами. В автомобиле два места для детей, одно место для инвалидов. Сколькими способами займут свои места пассажиры? Задача 6. В забеге участвуют 7 спортсменов. Сколькими способами распределятся первые три места? Задача 7. Сколько различных трехцветных флагов можно изготовить, комбинируя синий, красный и зеленый цвет?

5 Задача 8. На железной дороге 20 станций на каждом билете печатаются названия станций отправления и прибытия. Сколько различных билетов можно напечатать? Задача. 9. Читатель отобрал в библиотеке 6 книг, но разрешалось отдавать на дом не более трех книг. Сколько способов отбора по три книги из шести имеется у читателя? Задача 10. Бросаются три игральные кости. Сколько при этом будет возможных исходов? Задача 11. Имеется 5 различных кресел и 8 рулонов обивочной ткани различных цветов. Сколькими способами можно осуществить обивку кресел? 3.Перестановки Если брать размещения из "п" по "п" элементов, то они могут отличаться друг от друга только порядком входящих в них элементов. Такие соединения называются перестановками из "п" элементов. Pп = Аnn = п ⋅ (п − 1) ⋅ (п − 2) ⋅ ⋅ ⋅ 1 = n! Задача 1. Сколько различных цифр можно составить из цифр 1,2,3,4,5 так, чтобы ни одна цифра не повторялась дважды в одном числе? Р= 5!=120. Задача 2. 30 книг стоит на книжной полке, из них 27 различных книг и одного автора три книги. Сколькими способами можно расставить эти книги на полке так, чтобы книги одного автора стояли рядом? Решение. Будем считать три книги одного автора за одну книгу, тогда число перестановок будет Р28 . А три книги можно переставлять между собой Р3 способами, тогда по правилу произведения имеем, что искомое число способов равно: Р3 × Р28 =3!×28! Задачи для самостоятельного решения на тему: перестановки Задача1.Сколькими способами могут сесть в автомобиль 6 человек, каждый из которых может быть водителем? Задача2. Собрание сочинений известного бурятского писателя Вампилова А. состоит из 8 книг. Сколькими способами можно разместить эти книги на книжной полке? Задача3. Команда шахматистов состоит из 7 спортсменов. Перед игрой нужно выбрать шахматиста, выступающего на первой дос

6 ке, и шахматиста, играющего на второй доске. Остальные пять шахматистов произвольным образом играют на 3-7 досках. Сколько имеется различных вариантов выступления команды на 7 досках? 4. Сочетания без повторений Сочетаниями из "n" элементов по "m" элементов называются такие соединения из "m" элементов, которые отличаются друг от друга составом, но не порядком элементов. Число сочетаний из "n" элементов по "m" элементов С

m n

=

Аnm Рm

п! п ⋅ (п − 1) ⋅ (п − 2) ⋅ ⋅ ⋅ [п − (т − 1)] m , Cn = = m! m!(п − т)!

Справедливо следующее свойство: С nm = С nn − m . Задача. В классе 20 учеников. Сколькими способами можно выбрать из них трех человек для участия в олимпиаде? Решение. Искомое число способов выбора учеников равно 3 С 20 =

3 А20 20 ⋅ 19 ⋅ 18 6840 = = = 1140. Р3 3! 6

Задача. В поисковой группе 6 человек. Для поисков группа разбивается на отряды, но так, чтобы в них было не менее двух человек и не более пяти человек. Сколько различных отрядов можно образовать? Решение. Определим количество отрядов по два человека: С 62 = 15 . Определим количество отрядов по три человека: С 63 = 20 . Количество отрядов по четыре человека: С 64 = 15 . Количество отрядов по пять человек: С 65 = С 61 = 6 . Общее число отрядов по правилу суммы будет: 15+20+15+6=56. Задача. Некоторое акционерское общество состоит из 12 человек. Минимальный кворум для принятия решения должен насчитывать 8 человек. 1)Сколькими способами может быть достигнут минимальный кворум?

7 Решение.

С128 = С124 =

12 ⋅ 11 ⋅ 10 ⋅ 9 = 495 4!

2)Сколькими способами может быть достигнут кворум, если на заседаниях присутствует 8, 9,10,11 или 12 акционеров? Решение: Кворум достигается, если на заседаниях присутствует 8,9,10,11 или 12 акционеров. Согласно правилу суммы искомое число равно 11 1 С128 + С129 + С1210 + С12 + С1212 = С124 + С123 + С122 + С12 + С120 =

495 +

12 ⋅ 11 ⋅ 10 12 ⋅ 11 12 + + + 1 = 794 3! 2! 1!

Задача. 6 мужчин и 11 женщин в цехе заболели неизвестным заболеванием. Чтобы поставить диагноз, следует взять выборочный анализ у 3 женщин и 2 мужчин. Сколькими способами можно это сделать? Решение. Из 6 мужчин выбрать двух мож-

6⋅5 = 15 способами. Из 11 женщин выбрать трех мож2! 11 ⋅ 10 ⋅ 9 = 165 способами. Согласно правилу произведено С113 = 3!

но С 62 =

ния имеется 15⋅165=2475 способов выбора двух мужчин и трех женщин. Задача. В магазине работает 20 продавцов, из которых 6 мужчин. В смене занято 6 продавцов. Сколько различных смен можно составить, если в каждую смену работает: 3 мужчин. Решение. По принципу умножения перемножаем числа способов отбора мужчин и женщин: п= С 63 ⋅ С143 =7280. 5.Сочетания с повторениями. Имеются предметы п различных типов. Сочетаниями с повторениями из "n" элементов по "m" элементов называются такие соединения из "m" элементов, которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом.

С nm = С mm+ n −1 =

(п + т − 1)! m!(n − 1)!

8 Задача. Сколькими способами можно составить набор из 9 конфет, если имеются 4 сорта конфет? Решение. Искомое число наборов из 8 конфет равно:

С 49 = С 49+9−1 = С129 = С123 =

12 ⋅ 11 ⋅ 10 = 220 . 3!

Задачи для самостоятельного решения на тему сочетания. 1. Сколько прямых можно провести через восемь точек, из которых 3 точки лежат на одной прямой, а остальные пять расположены таким образом, что любые три из них не лежат на одной прямой? 2.Определить число диагоналей выпуклого восьмиугольника. 3.Сколькими способами можно выбрать четыре подарка из 9 различных предметов? 4.Сколькими способами можно распределить 10 различных цветков между тремя студентками? 5.Сколькими способами можно составить набор из 8 пирожных, если имеется 4 сорта пирожных? 6. Из 10 роз и 8 георгинов нужно составить букет, содержащий 2 розы и 3 георгина. Сколько различных букетов можно составить? 7. В урне m белых и n черных шаров. Сколькими способами можно выбрать из урны r шаров, из которых белых будет k штук? Считается, что шары каждого цвета различны, например, перенумерованы. 8. Сколькими способами из колоды в 52 карты можно вынуть 6 карт, содержащих туз и короля одной масти? 6.Случайные события, их классификация Определение. Событие называется случайным, если в результате данного испытания оно может как произойти, так и не произойти. Примеры: А- появление герба при бросании монеты, В- попадание в мишень при выстреле, С- обрыв нити с течение часа работы ткацкого станка. Определение. Событие, которое в результате опыта непременно должно произойти, называется достоверным событием.

9 Пример. А- выпадение не более шести очков при бросании одной игральной кости Определение. Назовем алгеброй событий любое множество F с выделенной в нем совокупностью подмножеств М, такое что: а) вместе с подмножеством А в М входит дополнение А . б) вместе с любой счетной совокупностью подмножеств ∞

А1,А2,…,Ап,…в М входит их объединение

UА

п

.

п =1

Если множество F конечно, условие б) заменяем более простым условием: вместе с подмножествами А и В в М входит их объединение. Определение. Выбор элемента х в F назовем испытанием или опытом. Если х ∈ А, А ∈ М, то говорят что при этом испытании произошло событие А Определение . Объединением двух подмножеств А и В из совокупности М называется суммой соответствующих событий и обозначается А+В. Событие А+В происходит тогда, когда происходит хотя бы одно из событий А или В. Пример. Пусть в урне находятся шары синего, зеленого, красного и черного цветов. Событие А состоит в вынимании синего шара из урны после предварительного перемешивания в ней шаров. Событие В состоит в вынимании зеленого шара , событие С- в вынимании синего шара. Тогда событие Д=А+В+С состоит в том, что из урны наудачу вынимается шар или синего, или зеленого, или белого цвета. Определение. Пересечением подмножеств А и В из совокупности М называется произведением соответствующих событий и обозначается А ⋅ В . Событие А ⋅ В происходит тогда и только тогда, когда происходят события А и В. Пример. Событие А-" появление туза при вынимании карты из колоды", событие В-" появление карты бубновой масти", то событие С= А ⋅ В -есть появление бубнового туза. Определение . Полной группой событий называется несколько событий таких, что в результате опыта непременно должно произойти хотя бы одно из них. Примеры событий, образующих полную группу:

10 1)попадание и промах при выстреле; 2)играется партия в шахматы с участием шахматистов 1 и 2. Событие А- партию выиграл 1 шахматист, событие В- партию выиграл 2 шахматист, событие С - партия закончилась вничью. События А,В,С составляют полную группу событий. Определение .Если А ⋅ В = ∅ , то события А и В называются несовместными, т.е. одновременно события А и В произойти не могут. Если А ⋅ В ≠ ∅ ,то события А и В называются совместными. Примеры: выпадение герба и выпадение цифры ("решки") при бросании игральной кости, 2) попадание и промах при выстреле. Определение. Несколько событий называются независимыми, если появление или не появление одного из них не влияет на появление или не появление каждого из остальных. Определение. Два единственно возможных событий, образующих полную группу, называются противоположными. А - обозначение противоположного события А. Пример1.Событие А означает, что хотя бы одна пуля при трех выстрелах попадет в цель, т.е. цель будет поражена. Что означает событие А ? Решение. Событие А означает, что ни одна из трех пуль не попала в цель. Пример 2.Пусть А,В,С - три произвольных события. Выразить формулами, что из событий А,В,С: 1)появляется только одно, 2)появляются только два, 3)появляются три, 4)не появляется ни одно из событий 5) появляются хотя бы два, 6) появляется хотя бы одно. Решение: 1) А ⋅ В ⋅ С + А ⋅В ⋅ С + А ⋅ В ⋅ С , 2) А ⋅ В ⋅ С + А ⋅В ⋅ С + А ⋅ В ⋅ С 3) АВС 4) А ⋅ В ⋅ С 5) А ⋅ В ⋅ С + А ⋅В ⋅ С + А ⋅ В ⋅ С + АВС 6) А ⋅ В ⋅ С

11 Классическое определение вероятности Определение: Несколько событий в данном опыте называются равновозможными, если при условии симметрии опыта нет оснований считать какое-либо из них более возможным, чем любое другое. Примеры: 1) выбор какой-либо урны из трех одинаковых урн, 2) появление 1,3,4 очков при бросании игральной кости. Определение. Если несколько несовместных, равновозможных событий образуют полную группу, то они называются случаями. Случай называется благоприятным ( благоприятствующим), некоторому событию, если появление этого случая влечет за собой появление данного события. Пример: при бросании игральной кости возможны 6 случаев: появление 1,2,3,4,5,6 очков. Из них событию А- появлению четного числа очков- благоприятны три случая: появление 2,4,6 очков, и не благоприятны остальные три. Рассматривая многочисленные события, мы видим, что события обладают той или иной степенью возможности. Чтобы количественно сравнить между собой события по их степени возможности, нужно с каждым событием связывать определенное число, которое называют вероятностью события. Вероятность события - есть численная мера степени объективной возможности этого события. Вероятность любых событий изменяется от 0 до 1, вероятность невозможного события принимается за 0, а вероятность достоверного события - за 1. Определение: классическое определение вероятности. Вероятностью события А называется отношение числа случаев, благоприятствующих этому событию, к общему числу несовместных, равновозможных и единственно возможных случаев Р(А)=

m n

Пример 1.Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры и набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

12 Решение. По принципу умножения общее число таких чисел равно п=10⋅10=100, а число случаев, благоприятствующих данному событию: "цифры набраны правильно", равно1. Р(А)=

1 . 100

Пример2. Одновременно бросаются две игральные кости. Какова вероятность того, что сумма очков, выпавших на двух костях, равна 8? Решение. По принципу умножения общее число случаев п=6⋅6=36; число случаев, благоприятствующих данному событию: m=5; ( 2+6; 3+5; 4+4; 5+3; 6+2). Р(А) =

m 5 = . n 36

Пример 3. На книжной полке стоят 30 различных книг. Читатель, просмотрев их, обнаружил, что 10 книг он уже прочитал раньше. После этого он попросил библиотекаря снять с полки наугад любые три книги. Какова вероятность события А: "все три предъявленные книги читатель уже прочитал раньше"? Решение. Опыт состоит в выборке трех книг из 30 стоящих на книжной полке. Слово "наугад" означает симметрию этого опыта, т.е. никакая тройка книг не имеет преимуществ перед любой другой. Поэтому все его исходы равновозможны. Определим число исходов этого опыта. Из 30 книг 3 книги можно выбрать числом способов, равных числу сочетаний из 30 по 3,т.е. 3 п= С 30 =

30 ⋅ 29 ⋅ 28 = 4060 .Событие А наступает только тогда, 1⋅ 2 ⋅ 3

когда 3 книги выбираются только из тех 10 книг, которые читатель уже прочитал, и поэтому число исходов опыта, благоприятствующих событию А, будет равно числу сочетаний из 10 по 3,т.е. m= С103 =

10 ⋅ 9 ⋅ 8 m С3 120 = 120 . Р(А)= = 103 = = 0.03. 1⋅ 2 ⋅ 3 n С 30 4060

Пример 4. На хоккейный матч заявлено 20 полевых хоккеистов и вратарь. Среди полевых хоккеистов 7 хоккеистов- мастера спорта. Какова вероятность того, что в случайно выбранной стартовой пятерке окажется три мастера спорта? Решение. Опыт состоит в выборе 5 хоккеистов из заявленных 20. " Случайный выбор " означает, что все исходы этого опыта

13 равновозможны. Подсчитаем их число п: 5 хоккеистов из 20 можно выбрать числом способов, равных числу сочетаний из 20 по 5, т.е. 5 = п= С 20

20 ⋅ 19 ⋅ 18 ⋅ 17 ⋅ 16 = 15648. Через А обозначим событие: 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5

"в стартовой пятерке оказалось три мастера спорта". Трех мастеров спорта из имеющихся семи можно выбрать числом способов, равных числу сочетаний из 7 по 3,т.е.

С 73 =

7⋅6⋅5 = 35 способами. После того, как выбраны три мас1⋅ 2 ⋅ 3

тера спорта, следует выбрать еще двух хоккеистов, мастерами спорта не являющихся. Таких хоккеистов равно 13.Это можно сделать числом способов, равных числу сочетаний из 13 по 2,т.е.

С132 =

13 ⋅ 12 = 78 способами. Поскольку каждый из 35 способов 1⋅ 2

выбора трех мастеров спорта можно сочетать с каждым из 78 способов выбора двух хоккеистов, мастерами спорта не являющихся, то по принципу умножения число исходов, благоприятствующих событию, равно их произведению 3 2 m= С 7 ⋅ С13 = 35 ⋅ 78 = 2730.

m С 73 ⋅ С132 2730 = = 0,174. Р(А)= = 5 15648 n С 50 Пример5.Из колоды карт(36карт) наудачу вынимают три карты. Найти вероятность того, что среди них окажется: 1)только один туз( событие А) 2)хотя бы один туз( событие В) 3 Решение. С 36 -полная группа равновероятных и несовместных событий. Число благоприятствующих событий: один туз можно выбрать С 41 различными способами, а две другие карты можно 2 различными способами. Так как для каждого опревыбрать С 32

деленного туза две остальные карты

могут быть выбра-

2 способами, то всего благоприятствующих случаев будет ны С 32

14

С 41 ⋅ С 322 .Искомая вероятность Р(А)=

С ⋅С С 363 1 4

2 32

≈ 0.2778

б) В= В1 +В2+В3, где В1-появление одного туза, В2-появление двух тузов, В3-появление трех тузов. Р(В)= Р(В1) +Р(В2)+ Р(В3)= 1 С 41 ⋅ С 322 С 42 ⋅ С 32 С 43 ⋅ С 320 + + ≈ 0.3053 С 363 С 363 С 363

7.Теоремы сложения и умножения вероятностей Теорема сложения вероятностей Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: Р(А+В)=Р(А)+Р(В). В случае. Когда А и В совместны, вероятность суммы выражается формулой: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А⋅В), где А⋅В- произведение событий А и В. Следствие 1. Если события А1, А2, ..., Аn образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице: n

∑ Р ( Аi ) = 1 .

i =1

Так как противоположные события являются несовместными и образуют полную группу, то Р(А) + Р( А ) = 1. Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице: Р(А) + Р( А ) = 1. Пример 1. Из колоды карт(36карт) наудачу вынимают три карты. Найти вероятность того, что среди них окажется: хотя бы один туз( событие В). 2способ решения предыдущей задачи: Событие В , противоположное событию В, состоит в том, что среди вынутых карт не окажется ни одного туза. Очевидно, что три карты, не являющимися тузами, можно вынуть из коло3 ды С 32 способами, поэтому Р( В )=

С 323 ≈ 0,6947. А тогда Р(В)=1- Р( В )=1-0,6947=0,3053. С 363

15 Задача2. В денежно-вещевой лотерее на каждые 10000 билетов разыгрываются 200 вещевых и 100 денежных выигрышных. Чему равна вероятность выигрыша безразлично денежного или вещевого для владельца одного билета? Решение. Пусть А- событие " владелец билета имеет вещевой выигрыш", В- событие " владелец билета имеет денежный выигрыш". Для одного билета эти события несовместны, поэтому Р(А+В)=Р(А)+Р(В)=

200 100 + = 0,003 10000 10000

Задача 3.В партии из 50 изделий содержится 5 бракованных. Какова вероятность того, что из выбранных наудачу 3 изделий не более одного бракованного? Решение. Пусть А- событие, состоящее в том, что 3 изделия выборки качественные, событие В- "в рассматриваемой выборке из 3 изделий только одно бракованное", С- "не более одного бракованного". Тогда, очевидно, С=А+В. Найдем вероятность событий А и В.

45 ⋅ 44 ⋅ 43 3 С 45 Р ( А) = 3 = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 = 0,724 С 50 50 ⋅ 49 ⋅ 48 1⋅ 2 ⋅ 3 45 ⋅ 44 ⋅5 С ⋅С 1 ⋅ 2 Р(В)= =0,253. = 50 ⋅ 49 ⋅ 48 С 503 1⋅ 2 ⋅ 3 2 45

1 5

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)=0,724+0,253=0,977 Перед тем как изложить теорему умножения вероятностей, напомним понятия о зависимых и независимых величинах. СОБЫТИЯ А и В НАЗЫВАЮТСЯ НЕЗАВИСИМЫМИ, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

16 Примеры. 1. Опыт состоит в бросании двух монет, рассматриваются события: А - "появление герба на первой монете", В - "появление герба на второй монете". В данном случае вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет, событие А независимо от события В. 2. В урне два белых и один черный шар, два лица вынимают по одному шару, рассматриваются события: А -" появление белого шара у первого лица", В - "появление белого шара у второго лица". Вероятность события А до того, как известно что-либо о событии В, равна

2 . 3

Если стало известно, что событие В про-

изошло, то вероятность события А становится равной

1 , из чего 2

заключаем, что событие А зависит от события В. Вероятность события А, вычисленная при условии, что имело место другое событие В, называется условной вероятностью события А. Обозначается Р(А/В) или РВ(А). При условии последнего примера Р(А) =

2 1 , Р(А/В) = . 3 2

Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения двух событий равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность другого при наличии первого: Р(А * В) = Р(А) * Р(В/А) или Р(А * В) = Р(В) * Р(А/В). Для независимых событий формула теоремы будет выглядеть так: Р(А * В) = Р(А) * Р(В). Задача4. Студент пришел на экзамен, зная лишь 20 вопросов из 25. Какова вероятность того, что студент знает каждый из двух вопросов, заданных ему преподавателем? Решение. А - событие, состоящее в том, что первый заданный вопрос студент знает.

17 В - событие, состоящее в том, что второй заданный вопрос студент знает. Событие В зависит от А, т.к. знание второго вопроса зависит от того, какой попался первый вопрос. Отсюда вероятность знания двух вопросов Р(А * В) = Р(А) * Р(В/А), где Р(А) =

20 19 19 , Р(В/А) = , Р(А * В) = . 25 24 30

Задача5 В трамвайном парке имеются 15 трамваев маршрута №1 и 10 трамваев маршрута №2. Какова вероятность того, что вторым по счету на линию выйдет трамвай маршрута №1? Решение. Пусть А - событие, состоящее в том, что на линию вышел трамвай маршрута №1, В - маршрута №2. Рассмотрим все события, которые могут при этом быть (в условиях нашей задачи): АА, АВ, ВА, ВВ. Из них нас будут интересовать только первое и третье и т.к. все эти события несовместны, то: Р(АА) = Р(А) * РА(А) = =

15 14 * ; 25 24

Р(ВА) = Р(В) * РВ(А) =

10 15 15 14 10 15 * ; отсюда Р(АА) + Р(ВА) = * + * 25 24 25 24 25 24

= 0,6

Задача6 Два станка работают независимо друг от друга. Вероятность бесперебойной работы первого станка в течение некоторого времени t равна р1 = 0,9, второго р2 = 0,8. Какова вероятность бесперебойной работы обоих станков в течение указанного промежутка времени? Решение. Рассмотрим следующие события: А1 и А2 - бесперебойная работа соответственно первого и второго станков в течение времени t; А - бесперебойная работа обоих станков в течение указанного времени. Тогда событие А есть совмещение событий А1 и А2, т.е. А = А1 * А2. Так как события А1 и А2 независимы (станки работают независимо друг от друга), получаем Р(А) = Р(А1) * Р(А2) = 0,9 * 0,8 = 0,72 Задача7

18 В условиях предыдущей задачи определить вероятность бесперебойной работы хотя бы одного из двух станков в течение времени t (событие В). Решение. I способ. Рассмотрим противоположное событие В, означающее простой обоих станков в течение времени t. Очевидно, что событие

В

А1 и А2 В = А1 А2 . Т.к. события А1 и А2

- есть совмещение событий

простоев 1 и 2 станков, т.е. независимы,

Р( В ) = Р( А1 ) * Р( А2 ) = ((1 - Р(А1)(1 - Р(А2)) = 0,1 * 0,2 = 0,02 отсюда Р(В) = 1 - Р( В ) = 0,98. 2 способ. Событие В происходит в том случае, когда имеет место одно из следующих трех несовместных событий: либо А 1 ⋅ А2 совмещение событий А 1и А2 (первый станок работает, второй не работает), либо

А1 ⋅ А 2 - совмещение событий А1 и А 2

(пер-

вый станок не работает, второй работает), либо А 1 * А 2 - совмещение событие А 1 и А 2 (оба станка работают), т.е. В = А 1 * А2 +

А1 * А 2 + А 1 * А 2

Р(В) = Р( А 1) * Р( А2 ) + Р( А1 ) * Р( А 2) + Р( А 1 * А 2) В силу того, что события А 1 и А2 , а следовательно

А1 и А 2,

А 1 и А 2 независимы, имеем: Р(В) = 0,9 * 0,2 + 0,1 * 0,8 + 0,9 * 0,8 = 0,98 Задача8 Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие нестандартно, равна 0,1. Найти вероятность того, что: а) из трех проверенных изделий только одно окажется нестандартным, б) из трех проверенных деталей только два окажутся нестандартными, с) все три изделия окажутся нестандартными, д) ни одно изделие не будет нестандартным, z) хотя бы одно изделие окажется нестандартным. Решение. Пусть А - "первое проверяемое изделие нестандартное", В - "второе изделие нестандартное", С - "третье изделие нестандартное", тогда:

19 а)

АВС

- событие -"первое изделие из трех проверяемых не-

стандартное", АВС - "второе нестандартное", АВС - "третье нестандартное". Каждое из этих событий означает, что из трех проверяемых только одно нестандартное и эти события несовместны. Р( АВС + АВС + АВС ) = 0,1 * 0,9 * 0,9 + 0,9 * 0,1 * 0,9 + 0,9 * 0,9 * 0,1 = 0,243 б) Аналогично с предыдущим имеем: Р( АВС + АВС + * 0,1 * 0,1 = 0,027

АВС ) = 0,1 * 0,1 * 0,9 + 0,1 * 0,9 * 0,1 +0,9 *

с) Р( АВС ) = 0,1 * 0,1 * 0,1 = 0,001 д) Р(АВС) = 0,9 * 0,9 * 0,9 = 0,729 е) Пусть Д = АВС - событие," ни одно изделие не будет нестандартным", тогда

Д = АВС - событие, являющееся противоположным Д ("хотя бы одно изделие окажется нестандартным"). Тогда Р( Д ) = 1 - Р(Д) = 1 - 0,9 * 0,9 * 0,9 = 0,271 Задача9 Игральная кость брошена четыре раза. Найти вероятность того, что каждый раз выпадала цифра 1. Решение. Задачу можно решить, используя только классическое определение вероятности, однако, целесообразнее воспользоваться теоремой умножения вероятностей. Вероятность выпадения цифры 1 при каждом бросании равна

1 . Нас интересует вероят6

ность совмещения четырех таких выпадений, которые оказываются независимыми друг от друга. По теореме умножения для независимых событий находим: Р=

1 1 1 1 * * * 6 6 6 6

=

1 1296

Задача10 Какова вероятность того, что 2 карты, вынутые из колоды в 36 карт, окажутся одной масти?

20 Решение. Сначала подсчитаем вероятность того, что две карты окажутся одной определенной масти (например "пики"). Пусть А - "появление первой карты такой масти", В - "появление второй карты той же масти". Событие В зависит от события А, т.к. его вероятность меняется от того, произошло или нет событие А. Поэтому придется воспользоваться теоремой умножения в ее общей форме: Р(А * В) = Р(А) * Р(В/А), Р(А) =

1 8 , Р(В/А) = 4 35 1 8 * 4 35

=

2 35

События, состоящие в том, что будут вынуты две карты масти "пики", масти "треф", и т.д., несовместны друг с другом, и, следовательно, для нахождения вероятности их объединения воспользуемся теоремой сложения Р=

2 2 2 2 + + + 35 35 35 35

=

8 35

8.Формула полной вероятности Следствием обеих основных теорем является так называемая формула полной вероятности. Если событие В может произойти совместно с одним из событий А1,А2,А3,…,Ап, образующих полную группу несовместных событий, то Р(В)=Р(А1)⋅Р(А/ А1)+ Р(А2)⋅Р(А/ А2)+…+Р(Ап)⋅Р(А/ n

Ап)=

∑ Р( А ) ⋅ Р( В / А ) i =1

I

формулу вероятности: Р(А1)=

i

Задача1 Из урны содержащей 1 белый и 3 черных шара, переложен один шар в урну с тремя белыми и одним черным шаром, после чего из второй урны был вынут один шар. Какова вероятность того. Что вынутый шар оказался белым?

1 3 4 , Р(А2)= , Р(В/ А1)= , 4 4 5

(после перекладывания во вторую урну там стало 4 белых и 1 черный шар, Р(В/ А2)=

(после вынимания первой карты осталось 35 карт, из них той же масти, что и первая - 8). Получим Р(А * В) =

21 Решение. Рассмотрим следующие события: А- "из первой урны переложен во вторую белый шар, В- "из второй урны был вынут белый шар. Все условия формулы полной вероятности выполняются, поэтому Р(В)= Р(А1)⋅Р(В/ А1)+ Р(А2)⋅Р(В/ А2). Подсчитаем входящие в эту

3 1 4 3 3 13 ,Р(В)= ⋅ + ⋅ = . 5 4 5 4 5 20

Задача 2 На трех автоматических станках изготовляются одинаковые детали. Известно, что 30 % продукции производится первым станком, 25% - вторым.45%- третьим. Вероятность изготовления детали, отвечающей стандарту, на первом станке равна 0.99, на тором -0.988 и на третьем-0.98 .Изготовленные в течение дня на трех станках не рассортированные детали находятся на складе. Определить вероятность того, что наудачу взятая деталь не соответствует стандарту. Решение. Пусть событие В -" наудачу выбранная деталь". Гипотезы:А1-" выбранная деталь изготовлена на первом станке", А2- "выбранная деталь изготовлена на втором станке". А3- "выбранная деталь изготовлена на третьем станке". Р(А1)=

30 25 45 = 0,3 ; Р(А2)= = 0,25 ; Р(А3)= = 0,45 ; 100 100 100

Р(В/А1)=1-0.99=0.01; Р(В/А2)=1-0.988=0.012; Р(В/А3)=1-0.98=0.02; По формуле полной вероятности находим вероятность того, что наудачу взятая деталь не соответствует стандарту: Р(В)= Р(А1)⋅Р(В/ А1)+ Р(А2)⋅Р(В / А2)=0.3⋅0.01+0.25⋅0.012+0.45⋅0.02=0.015. Задача3 Из двух колод по 36 карт и одной в 52 карты наудачу выбрана колода. А из колоды наудачу взята карта. Какова вероятность того, что это оказался туз:

22 Решение.ПустьАi-событие, состоящее в том, что карту брали из наудачу взятой колоды под номером i( i=1,2,3). В - событие, состоящее в том, что взятая карта- туз. События А1,А2,А3 равновозможны, отсюда

1 4 1 1 ; Р(В/А1)= = ; Р(В/А2)= ; Р(В/А3)= 3 36 9 9 4 1 1 1 1 1 1 1 35 . = ; Р(В)= ⋅ + ⋅ + ⋅ = 52 13 3 9 3 9 3 13 351

Р(А1)= Р(А2)= Р(А3)=

8.Теорема гипотез.(Формула Байеса). Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности является так называемая теорема гипотез или формула Байеса. Поставим задачу: имеется полная группа несовместных гипотез А1,А2,А3,…,Ап Произведен опыт, в результате которого наблюдено появление некоторого события В. Спрашивается, как следует изменить вероятности гипотез в связи с появлением этого события? Т.е., найти условную вероятность Р(Аi/В) находится по формуле Байеса: Р(Аi/В)=

Р ( Аi ) ⋅ Р ( В / Аi )

n

∑ Р( А ) ⋅ Р( В / А ) i =1

I

i

Задача1 Телеграфное сообщение состоит из сигналов "точка" и " тире". Статистические свойства помех таковы, что искажаются в среднем

2 1 сообщений "точка" и сообщений " тире". Известно, что 5 3

среди передаваемых сигналов "точка" и "тире" встречаются в отношении5:3. Определить вероятность того, что принят передаваемый сигнал, если: а)принят сигнал "точка"; б) принят сигнал "тире". Решение. Пусть событие А: -"принят сигнал "точка" "; В-" принят сигнал "тире"". Можно сделать две гипотезы: А1-"передан сигнал "точка""; А2-"передан сигнал "тире" ". По условию Р(А1): Р(А2)=5:3.

23

5 8

Кроме того, Р(А 1)+ Р(А2)=1. Поэтому Р(А1)= , Р(А2)=

3 , Р(А/ А2)= 5 2 Р(В/ А1)= , Р(В/ А2)= 5 Р(А/ А1)=

3 8

3 , 5 2 . 3

Вероятности событий А и В находим по формуле полной вероятности: Р(А)=

5 3 3 1 1 5 2 3 2 1 ⋅ + ⋅ = , Р(В)= ⋅ + ⋅ = . 8 5 8 3 2 8 5 8 3 2

Искомые вероятности будут вычислены по формуле Байеса:

5 3 ⋅ Р( А1 ) ⋅ Р( А / А1 ) 8 5 3 Р(А1/А)= = = 1 Р ( А) 4 2

3 2 ⋅ Р( А2 ) ⋅ Р ( В / А2 ) 8 3 1 = Р(А2/В)= = 1 Р( В) 2 2 Задача2. 70% деталей, поступающих на сборку, изготовлены автоматом, дающим 2% брака, а 30% - автоматом, дающим 5% брака. Наудачу взятая деталь оказалась бракованной. Какова вероятность того, что эта деталь изготовлена первым автоматом? Решение. Пусть событие А1 -" деталь изготовлена первым автоматом", А2 "деталь изготовлена вторым автоматом". Тогда

Р ( А1 ) = 70

100

= 0,7;

Р ( А2 ) = 30

100

= 0,3 . Пусть В - собы-

тие, заключающееся в том, что деталь бракованная. По условию

Р ( В / А1 ) = 2

100

= 0,02; Р ( В / А2 ) = 5

100

= 0,05 . Тогда

24

0,7 ⋅ 0,02 14 Р(А1) ⋅ Р(В/ А1) = = . Р(А1/В)= Р(А1) ⋅ Р(В/ А1) + Р(А2 ) ⋅ Р(В/ А2 ) 0,7 ⋅ 0,02+ 0,3⋅ 0,05 29 Формула Байеса позволяет "переоценить вероятность каждой из гипотез после поступления новой "информации" относительно осуществления тех или иных наблюдаемых событий. В нашем примере апостериорная ( послеопытная ) вероятность того, что бракованная деталь изготовлена первым автоматом меньше априорной (доопытной) вероятности гипотезы А1 (деталь изготовлена первым автоматом), что явилось следствием поступившей информации (деталь бракованная). Задача3. Один из трех стрелков вызывается на линию огня и производит два выстрела. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,3, для второго - 0,5; для третьего - 0,8. Мишень не поражена. Найти вероятность того, что выстрелы произведены первым стрелком. Решение. Возможны три гипотезы: А1 -" на линию огня вызван первый стрелок", А2 -" на линию огня вызван второй стрелок", А3 - "на линию огня вызван третий стрелок". Так как вызов на линию огня любого стрелка равновозможен, то Р(А1)= Р(А2)= Р(А3)=1/3. В результате опыта наблюдалось событие В -" после произведенных выстрелов мишень не поражена". Условные вероятности этого события при сделанных гипотезах равны:

Р ( В / А1 ) = 0,7 ⋅ 0,7 = 0,49; Р( В / А2 ) = 0,5 ⋅ 0,5 = 0,25; Р ( В / А3 ) = 0,2 ⋅ 0,2 = 0,04. по формуле Байеса находим вероятность гипотезы А1 после опыта: Р(А1/В) =

0,49⋅ 1/ 3 0,49 = = 0,628 . 1/ 3 ⋅ 0,49+ 1/ 3 ⋅ 0,25+ 1/ 3 ⋅ 0,04 0,78

9.Повторение опытов (формула Бернулли).

25 Если при одних и тех же условиях определенный опыт повторяется n раз и если вероятность появления некоторого события А в каждом опыте равна p, то вероятность того, что событие А в серии из n испытаний произойдет ровно k раз, находится по формуле Бернулли Pn (k ) = Cnk ⋅ p k ⋅ q n − k , где q = 1 − p . Данной формулой пользуются при небольших значениях числа независимых испытаний n. Задача1. Вероятность брака в данной партии деталей p = 0,1 . Какова вероятность того, что в партии из трех деталей будет k = 0,1, 2, 3 бракованных деталей? Решение.

P3 (0) = C30 p 0 q 3 = 1 ⋅ 0,93 = 0,729 3 ⋅ 0,1 ⋅ 0,9 2 = 0,243 1 3⋅ 2 P3 (2) = C32 p 2 q = ⋅ 0,12 ⋅ 0,9 = 0,027 1⋅ 2 P3 (3) = C33 p 3q 0 = 1 ⋅ 0,13 = 0,001.

P3 (1) = C31 p q 2 =

Задача2. Среди деталей, обрабатываемых рабочим, бывает в среднем 4% нестандартных. Найти вероятность того, что среди взятых на испытание 30 деталей две будут нестандартными. Решение. Здесь опыт заключается в проверке каждой из 30 деталей на качество. Событие А - " появление нестандартной детали", его вероятность p = 0,04 , тогда q = 0,96 . Отсюда по формуле 2 0,042 ⋅ 0,9628 ≈ 0,202 . Бернулли находим P30 (2) = C30

Задача3. Что вероятнее: выиграть у равносильного противника (ничейный вариант исключен) три партии из четырех или пять из восьми?

26 Решение. Т.к. противники равносильные, то вероятности выигрыша и проигрыша каждой партии одинаковы и равны p = q = 1 / 2 . Вероятность выиграть три партии из четырех

⎛1⎞ P4 (3) = C43 ⎜ ⎟ ⎝2⎠

3

1 ⎛1⎞ ⎜ ⎟ = . Вероятность выиграть пять партий из 4 ⎝2⎠ 5

⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎝2⎠ ⎝2⎠

3

восьми P8 (5) = C85 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =

7 1 7 . Поскольку > , то веро32 4 32

ятнее выиграть три партии из четырех. Задача4. Всхожесть семян пшеницы оценивается с вероятностью, равной 0,8. Найти вероятность того, что из 8 посеянных семян взойдет не менее шести. Решение. По формуле Бернулли с учетом теоремы сложения вероятностей несовместных событий искомая вероятность равна

P8 (k ≥ 6) = P8 (6) + P8 (7) + P8 (8) = C86 ⋅ 0,86 ⋅ 0,22 + + C87 ⋅ 0,87 ⋅ 0,2 + C86 ⋅ 0,88 = 0,86 (28 ⋅ 0,04 + 8 ⋅ 0,16 + 0,64) = = 0,798. Задача5. При каждом отдельном выстреле из орудия вероятность поражения цели равна 0,9. Найти вероятность того, что из 20 выстрелов число удачных будет не менее 16 и не более 19. Решение.

P20 (16 ≤ k ≤ 19) = P20 (16) + P20 (17) + P20 (18) + P20 (19) =

16 17 18 = C20 ⋅ 0,916 ⋅ 0,14 + C20 ⋅ 0,917 ⋅ 0,13 + C20 ⋅ 0,918 ⋅ 0,12 + 19 + C20 ⋅ 0,919 ⋅ 0,1 = 4,508 ⋅ 0,9 = 0,834

Варианты для контрольной работы Вариант1 1. Код в сейфе состоит из двух букв и трех цифр. Сколько существует возможностей набирания кода, если буквы и цифры не повторяются. В русском алфавите 33 буквы.

27 2. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков не меньше пяти. 3. В декабре было двенадцать солнечных дней. Какова вероятность, что 10 декабря - солнечный день. 4. В коробке 6 изделий, причем три из них окрашены. Наудачу извлечены два изделия. Найти вероятность того, что оба изделия окрашены. 5. На столе лежат 35 экзаменационных билетов. Студент берет три любых билета . Какова вероятность , что они из первых пяти? 6. В трамвайном парке 14 трамваев маршрута № 4 и 10 трамваев маршрута № 7 . Какова вероятность того, что вторым на линию выйдет трамвай маршрута № 4? 7.Вероятность того, что при одном выстреле стрелок попадает в цель равна 0.7. Какова вероятность того, что он попадет в цель при трех выстрелах хотя бы один раз? Вариант 2 1. Сколько прямых можно провести через десять точек, из которых 3 точки лежат на одной прямой , а остальные семь расположены таким образом, что любые три из них не лежат на одной прямой? 2. В коллекции 200 монет, из которых 25 монет 18 века. Какова вероятность того, что наудачу выбранная монет датирована 18 веком? 3..Из шести карточек с буквами " в ", " а ", " л" ," е" ," р" ," а" наудачу последовательно выбираются три и раскладываются в ряд. Какова вероятность получения слова " вар "? 4. В урне 10 белых и 9 черных шаров. Наудачу отобраны 4 шара. Найти вероятность того, что наудачу отобран хотя бы один белый шар. 5. В первом ящике содержится 25 деталей, из них 15 стандартных, во втором 30 деталей, из них 24 стандартных, в третьем 10 деталей, из них 6 стандартных. Из каждого ящика наудачу выбирают по одной детали. Найти вероятность того, что извлеченные детали - стандартные? 6.В первой коробке лежат 15 шоколадных конфет и 3 вафли. Во второй коробке лежат 20 шоколадных конфет и 4 вафли.

28 Из первой коробки во вторую переложили 1 конфету или 1 вафлю неизвестно что конкретно. Затем из второй коробки наудачу извлекли 1 вафлю. Найти вероятность этого события. 7.Вы играете с равным по силе партнером в шахматы. Чего следует больше ожидать: три победы в 4 партиях или 5 побед в 7 партиях? Вариант 3 1. Определить число диагоналей выпуклого десятиугольника. 2. Из колоды в 36 карт наудачу извлечены три карты. Найти вероятность того, что в выборке все карты одной масти. 3. Ящик содержит 6 деталей, среди которых две нестандартных. Найти вероятность того, что в наудачу отобранных четырех деталях окажется менее двух стандартных. 4. В вазе находятся 5 яблок, две груши и 8 апельсинов. Студент наудачу берет один плод. Какова вероятность того, что это будет груша или апельсин? 5. Три стрелка произвели залп по цели. Вероятность поражения цели первым стрелком равна 0,9, для 2-го и 3-го стрелков эти вероятности равны соответственно 0,8 и 0,7. Найти вероятность того, что: а) только один из стрелков поразит цель, б) только два стрелка поразят цель, в) все три стрелка поразят цель. 6. В телевизионном ателье имеются 4 телевизора. Вероятность того, что телевизоры выдержат гарантийный срок службы соответственно, равны 0.8, 0.9 ,0.7,0.6. Какова вероятность того, что наудачу взятый телевизор выдержит гарантийный срок службы. 7. В старом исправном телевизоре 12 ламп. Для любой из ламп вероятность безотказной работы в течение года равна 0.7. Найти вероятность выхода из строя в течение года двух ламп. Вариант 4 1.В забеге участвуют 6 мальчиков. Сколькими способами распределятся первые три места? 2.У сборщика имеются 10 деталей с завода №1 и 4 детали с завода № 2. Он наудачу берет две детали. Какова вероятность того, что хотя бы одна из них окажется изготовленной заводом №2. 3.В лотерее выпущено 10000 билетов и установлено 10 выигрышей по 200 рублей , 100- по 100 рублей, 500- по 25 рублей, 1000по 5 рублей. Куплен один билет. Какова вероятность того, что на него выпадет выигрыш не менее 25 рублей?

29 4. Три стрелка производят по одному выстрелу в мишень. Вероятности попадания в мишень при одном выстреле для каждого из стрелков соответственно равны 0.7, 0.8, 0.9. Какова вероятность того , что второй стрелок промахнулся, если после стрельбы в мишени оказалось две пробоины. 5. В 2000 году три месяца были очень морозными. Какова вероятность того, что декабрь был очень морозный? 6. В ящик, содержащий две одинаковые детали, брошены три стандартных детали, а затем наудачу извлечена одна деталь. Найти вероятность того, что извлечена стандартная деталь. Равновероятны все возможные предположения о числе стандартных деталей, первоначально находившихся в ящике. 7. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того , что изделие стандартно равно 0.9. Найти вероятность того, что из трех проверенных изделий 1)только два стандартны 2) хотя бы одно стандартно. Вариант 5 1. В теннисном турнире участвуют 10 мужчин и 6 женщин. Сколькими способами можно составить 4 смешанные пары? 2. В партии из 20 деталей 4 бракованных. Наудачу извлечены 14 изделий. Найти вероятность того, что среди них не более 4 бракованных. 3. В течение 30 дней сентября было 12 дождливых дней,8 ветреных и 4 холодных . В течение скольких дней в сентябре стояла хорошая погода? 4. Для сообщения об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора- автомата. Вероятность того, что при аварии сработает первый сигнализатор, равна 0.95, второй0.9.Найти вероятность того, что при аварии поступит сигнал 1)хотя бы от одного сигнализатора, 2) только от одного сигнализатора. 5. В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бегуна. Вероятность выполнить квалификационную норму такова: для лыжников 0.8, для велосипедистов- 0.6 и для бегунов - 0.75. Найти вероятность того, что спортсмен, вызванный наудачу, выполнит норму?

30 7.Предполагается , что вероятность выздоровления больного в течение недели равна 0.8. Какова вероятность того, что в течение недели двое больных из пяти выздоровеют? Вариант 6 1. Сколько всевозможных четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, чтобы в каждом числе содержалась цифра 1 ? Цифры в числе не могут повторяться. 2.

Игральный кубик подбрасывается три раза. Какова вероятность того, что цифра 4 выпадет:1) все три раза, 2) хотя бы один раз? 3.Упрощенная мишень в тире состоит из яблочка и двух концентрических колец. Вероятность попадания одним выстрелом в яблочко 1/10,в первое кольцо 1/5, во второе 2/5, промаха 3/10. Какова вероятность попадания в яблочко и одного попадания во второе кольцо, если произведено 5 выстрелов. 4. Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры, и помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры. 5. Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0.8, второй 0.7, третий- 0.6. Вычислить вероятность того, что: 1)хотя бы два экзамена будут сданы, 2) только один экзамен будет сдан 7. Два контролирующих устройства проверяют детали на стандартность, причем количество поступающих к ним изделий одинаково. Надежность первого 0.9, второго -0.95. Деталь признана стандартной. Какова вероятность того, что эту деталь проверило второе устройство? Вариант 7 1.В группе 30 студентов. Сколькими способами можно выбрать старосту, профорга и казначея? 2.В классе 25 учеников. Сколькими способами можно выбрать из них трех человек для участия в олимпиаде? 3.Студент пришел на экзамен, зная лишь 20 вопросов из 30. Какова вероятность того, что студент знает каждый из трех вопросов, заданных ему преподавателем?

31 4.В двух ящиках имеются радиолампы. В первом ящике содержится 15 ламп, из них 2- нестандартные, во втором 12 ламп, из них тоже 2 лампы нестандартные. Из первого ящика взята лампа и переложена во второй. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная из второго ящика лампа будет нестандартной. 5.Пусть вероятность того, что покупателю необходима обувь 41 размера, равна 0,8. Найти вероятность того, из 6 покупателей менее трем понадобится обувь 41 размера. 6.Набирая номер телефона, абонент забыл три последние цифры, и набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры. 7.Вероятность хотя бы одного попадания при двух выстрелах равна 0.99.Найти вероятность четырех попаданий при пяти выстрелах. Вариант 8 1. На железной дороге 10 станций на каждом билете печатаются названия станций отправления и прибытия. Сколько различных билетов можно напечатать? 2. В денежно-вещевой лотерее на каждые 1000 билетов разыгрываются 300 вещевых и 100 денежных выигрышных. Чему равна вероятность выигрыша безразлично денежного или вещевого для владельца одного билета? 3. Какова вероятность того, что 3 карты, вынутые из колоды в 36 карт, окажутся одной масти? 4.Из двух колод по 36 карт и одной в 52 карты наудачу выбрана колода. А из колоды наудачу взята карта. Какова вероятность того, что это оказался валет?. 5.В урне 3 белых и 7 черных шаров. Какова вероятность того. что из трех вынутых шаров окажется три белых? 6.Всхожесть семян некоторого растения составляет 70 %.Какова вероятность того, что из 10 посеянных семян взойдет не менее трех? 7. Имеется 7различных кресел и 10 рулонов обивочной ткани различных цветов. Сколькими способами можно осуществить обивку кресел? Вариант 9 1.В турпоход студенты взяли с собой 25 банок тушенки, 20 банок рыбных консервов и 10 банок компота. Сколькими

32 способами можно составить набор продуктов, включающих 2 банки тушенки,2 банки рыбных консервов и 1 банку компота? 2.Партия из 100 деталей проверяется контролером, который наугад отбирает 10 деталей и определяет их качество. Если среди выбранных контролером изделий нет ни одного бракованного, то вся партия изделий принимается, в противном случае не принимается. Какова вероятность того, что партия деталей, содержащая 10 бракованных изделий, будет принята контролером? 3.В группе спортсменов 20 лыжников, 7 велосипедистов, 4 бегуна. Вероятность выполнить квалификационную норму равна: для лыжника 0.9, для велосипедиста- 0.8, для бегуна- 0.7.вызванный наудачу спортсмен выполнил норму. Какова вероятность, что это -велосипедист? 4.Ящик содержит 10 кубиков и 3 шарика. Какова вероятность, что среди отобранных наудачу 5 предметов окажется не более одного шарика? 5.Какова вероятность составления слова "кол" из букв "к", "о", "л", "о", "б", "о", "к" ? 6.Имеется 10 кроликов, необходимо посадить их в 4 клетки. Сколькими способами это можно сделать? 7. Какова вероятность того, что в семье из трех детей не меньше 2 мальчиков? Вариант 10 1. Определить число диагоналей выпуклого семиугольника. 2. Из колоды в 36 карт наудачу извлечены две карты. Найти вероятность того, что в выборке все карты одной масти. 3..Из шести карточек с буквами " в "," а ", " л" ," е" ," р" ," о" "ч", "к", "а" наудачу последовательно выбираются три и раскладываются в ряд. Какова вероятность получения слова " вар "? 4. В вазе находятся 15 яблок, две груши и 9 апельсинов. Студент наудачу берет 2 плода. Какова вероятность того, что это будет груша и апельсин? 5. Три стрелка произвели залп по цели. Вероятность поражения цели первым стрелком равна 0,9, для 2-го и 3-го стрелков эти вероятности равны соответственно 0,8 и 0,7. Найти вероятность того, что: а) хотя бы один из стрелков поразит цель, б) хотя бы два стрелка поразят цель.

33 6.В телевизионном ателье имеются 3 телевизора различных марок "Фунай", " Самсунг", "Сони" Вероятность того, что телевизоры выдержат двойной гарантийный срок службы соответственно, равны 0.9, 0.9 ,0.8. Наудачу взятый телевизор выдержал двойной гарантийный срок службы. Какова вероятность того, что это телевизор марки "Сони"? 7. В старом исправном телевизоре 8 ламп. Для любой из ламп вероятность безотказной работы в течение года равна 0.9. Найти вероятность выхода из строя в течение года трех ламп.