Цифровое моделирование в статистической радиотехнике

4) отыскание алгоритма для моделирования нормального процесса | « ( 0 с корреляционной функцией Ro{x). После того как подготовительная работа закончена, моделирование случайного процесса с требуемыми характеристиками сводится к формированию дискретных реализаций нормального случайного процесса £о(О и преобразованию этих реализаций по формуле Д л я простоты выберем преобразование y=f(x) монотонным и положим, что моделируемый и исходный процессы имеют параметры (0, 1), так что R(x)=r(x), #о(т) = г 0 ( т ) . 1. Функция y = f(x) должна удовлетворять очевидному равенству Wtf(x)]=W0(x)=(x), (2.85) где W (у) и Wg (jt) — интегральные законы распределения случайных процессов £(/) и £„(/) соответственно; ф ( х ) = х — —L= С е~' ! / 2 dt — интеграл вероятностей (функция ЛапV^J —so

ласа). Уравнению (2.85) соответствует нелинейное дифференциальное уравнение, связывающее функции f(x) и w (x): w[f(x)\d^ = w9(x)=-l=e-™, 8-16Р

(2.86) ИЗ

Уравнения (2.85) и (2.86) в редких случаях удается решить аналитически. Д л я получения преобразования y = f(x) можно использовать численное решение уравнения (2.85) на ЦВМ. Д л я этого нормальную функцию плотности с параметрами (0, 1) следует заменить усеченной функцией, ограничив интервал возможных значений аргумента х в (2.85) некоторыми пределами (—х с , хс), вероятность выхода за которые пренебрежимо мала, например взяв лгс = 4. Задавшись дискретными значениями Xk аргумента х из интервала (—х с , хс), для получения таблицы значений уи=1(х к ) искомой функции нужно для каждого хи подобрать такой уи, чтобы W(yk)=0(xh). Последнее можно сделать методом итераций. 2. При известном преобразовании y=j(x) зависимость г=ф(Го) в соответствии с определением корреляционной функции как математического ожидания произведения | ( / ) ! ( / + т ) = Я Ы 0 Ж М ^ + т ) ] имеет вид 00 ОС

r=

2л

j j f {х,) f (х2) w0 (х„ х2, го) dx,dx2 —00 —со

YYZT? 1

2(1 -гЬ °

dx,dx2,

=

(2.87)

где w0(Xi, х2, г0) — двумерная нормальная функция плотности вероятностей значений Xi и х2 исходного случайного процесса в сечениях, отстоящих друг от друга на величину т, такую, что коэффициент корреляции между Xi и х2 равен г0. Выражение (2.87) неудобно для дальнейшего использования, так как интеграл в нем часто не удается вычислить в конечном виде, к тому же функция f(x) чаще всего будет задана в виде таблицы значений, получаемых на первом этапе. Более приемлемой формой задания функции г = ф ( г 0 ) является представление ее в виде ряда по степеням г0. Этот ряд нетрудно получить, если разложить двумерную функцию w 0 (x\, Хъ го) в ряд по орто114

гональным полиномам Зрмита. Искомое функции ср(г0) имеет вид [50] ю т

разложение

(2 88)

-

-ят—0 где

ее "т (X) е - * 1 ' 2 dx;

Cm=y=l№

(2.89)

—00 Н т (л;) — полиномы Эрмита. Для нахождения полиномов Нт (х) существует рентная формула И т+1 (х) = хНт (х) — тНт_, (JC),

рекур-

причем первые три полинома таковы: / / , ( * ) = 1,

Н

1

( х ) =

х ,

Н

2

( х ) =

х > -

1.

Поскольку предполагается, что моделируемый процесс g ( 0 имеет параметры (0, 1), то в ряде (2.88) с2 = 0 и Оо

^J

о

С™ ml

1.

т=I Д л я нахождения зависимости г=<р(г 0 ) в общем случае нужно путем численного интегрирования выражения (2.89) на Ц В М с использованием таблицы значений yk = f{Xh) найти коэффициенты ст. При этом бесконечный ряд (2.88) приближенно заменяется конечным. В качестве номера т, на котором следует остановить процесс вычисления коэффициентов ст, можно взять то значение т = тс, когда впервые выполнится неравенство т 2

•-Ет

где е — достаточно малая величина, например е = 0 , 0 1 . 3. При известных коэффициентах ст для получения коэффициента корреляции г 0 (т) исходного нормального случайного процесса нужно решить уравнение Ш с 2 IП i » L m 2j т\ Го т=1 8* 115

относительно г0. Численное решение этого уравнений с целью нахождения таблицы значений функции г0— =<р~ 1 (г) можно осуществить на Ц В М методом итераций. По найденной зависимости q> _1 C) легко определяется корреляционная функция исходного процесса: ro(T)=qr'{r(T)]. Функция г 0 (т) ввиду численного решения уравнений для ее получения будет таблично заданной. 4. Д л я нахождения алгоритма, позволяющего формировать на Ц В М дискретные реализации стационарного нормального процесса с корреляционной функцией г 0 (х), таблично заданную функцию г 0 (т) нужно аппроксимировать функцией вида (2.50)*), чтобы получить потом рекуррентный моделирующий алгоритм, или решить нелинейную систему типа (2.9) для моделирования исходного процесса путем скользящего суммирования. Можно использовать т а к ж е алгоритм скользящего суммирования с весовой функцией, полученной путем разложения в ряд Фурье квадратного корня из спектральной функции исходного процесса | о ( 0 . 110 Д л я этого требуется найти преобразование Фурье от таблично заданной корреляционной функции г 0 (т). Д л я проведения подготовительной работы в данном случае можно составить стандартную программу. Алгоритм этой программы следует из приведенных выше соотношений. Затруднение принципиального характера состоит в том, что в общем случае не представляется возможным доказать существование решения уравнения (2.88) относительно г 0 . В тех случаях, когда заданная корреляционная функция неотрицательна, решение уравнения (2.88) как легко видеть, всегда существует. Ввиду того что подготовительная работа при данном способе моделирования ненормальных стационарных случайных процессов, вообще говоря, довольно трудоемкая, моделирование процессов с распространенными типами одномерных законов распределения целесообразно рассмотреть специально. Подготовительную работу для моделирования этих процессов, как показано в следующем параграфе, можно существенно упростить, если *> С п о с о б такой те [56].

U6

аппроксимации имеется

в приложении

к рабо-

в конкретных случаях использовать особенности функции г = ф ( г 0 ) и применять несколько отличные от описанных нелинейные преобразования исходных нормальных случайных процессов, в частности одновременное нелинейное преобразование двух нормальных случайных процессов. 2.8. М о д е л и р о в а н и е стационарных случайных процессов с р а с п р о с т р а н е н н ы м и о д н о м е р н ы м и законами распределения

В этом п а р а г р а ф е рассматриваются возможные алгоритмы для моделирования на Ц В М ненормальных стационарных случайных процессов с часто встречающимися одномерными законами распределения и заданными корреляционными функциями. 1. Случайный процесс с р а в н о м е р н ы м

распределением

Пусть требуется формировать на Ц В М дискретные реализации стационарного случайного процесса, равномерно распределенного в интервале (—а, а) и имеющего корреляционную функцию /?( т ) = ^ - г ( т ) ,

(2.90)

где г(т) — коэффициент корреляции процесса. Д л я получения случайного процесса £(/) с равномерным распределением из нормального случайного процесса | о ( 0 достаточно, как известно, подвергнуть последний нелинейному преобразованию с характеристикой нелинейности типа «сглаженный ограничитель». Точное выражение для функции f(x) в случае, когда исходный нормальный процесс имеет параметры (0, 1) и требуется получить равномерно распределенный в интервале (—а, а) процесс, имеет вид / ( * ) = 2 а [ ф ( д : ) - - 4 - ] = ^ j e 2dt, (2.91) о где Ф(х)—функция Лапласа. Корреляционную функцию случайного процесса ! ( / ) , получаемого с помощью преобразования (2.91), удается 117

выразить я замкнутой форме через корреляционную функцию Го(т) исходного нормального случайного процесса (см., например, [80], стр. 213—214): D1\ К. М =

•id' • I arcsm Я

i.

Отсюда, для того чтобы получить заданную корреляционную функцию R (т) равномерно распределенного случайного процесса, нужно брать исходный случайный процесс с коэффициентом корреляции г0 (т) = 2 sin

R (т) ] = 2 sin [ ~

г (т) ] •

(2.92)

Легко видеть, что коэффициент корреляции г 0 (т) почти совпадает в (2.92) с коэффициентом корреляции г ( т ) . Действительно, поскольку аргумент у синуса в (2.92) изменяется в пределах от —л/6 до л;/6, замена функции синуса на этом интервале прямой линией внесет несущественную погрешность. Поэтому практически можно считать, что г0(т)=г(т), т. е. сглаженный ограничитель, превращающий нормальный случайный процесс в процесс с равномерным распределением, почти не искажает энергетический спектр исходного процесса. Оценим искажения корреляционной функции но величине максимума разности Д г (г0) = г0

arcsin Ц - -

Исследование функции Аг(г 0 ) на экстремум показывает, что максимум ошибки Дг в интервале (—1, 1) наблюдается при ^ = ± 2 / 1 - ^

=

^0,6,

причем величина максимума равна Дг макс = 0,6 — — arcsin l / l — А = 0,016. ТС f 71*

Отсюда видим, что максимальная погрешность в коэффициенте корреляции менее 2%'. Такой погрешностью во многих практических случаях можно пренебречь. График ошибки А г как функции г0 показан на рис. 2.6. Т а к ^ м образом, можно использовать следуюДг-ю~г г -

Рис. 2.6.

щий алгоритм моделирования случайного процесса с равномерным в интервале (—а, а) распределением и заданной корреляционной функцией (2.90): на Ц В М формируются реализации стационарного нормального случайного процесса £ 0 (О с параметрами (0, I) и коэффициентами корреляции /"(т), которые путем нелинейного безынерционного преобразования (2.91) превращаются в реализации процесса с ж е л а е м ы м и характеристиками. 2, Релеевский случайный процесс

Одномерная функция плотности, среднее значение и дисперсия процесса этого типа определяются соотношениями: и'

(2.93) где о 0 — параметр распределения. В з а д а ч а х статистической радиотехники релеевский случайный процесс появляется обычно при рассмотрении огибающей стационарного узкополосного нормального шума [50, 80]. В связи с этим релеевский процесс £(/) выражается через два одинаковых независимых стацнот

нариых нормальных случайных процесса £,(/) и ^ ( 0 с параметрами (О, 0О2) (квадратурные составляющие узкополосного нормального шума с симметричным энергетическим спектром) в виде (2.94) При этом корреляционная функция R (т) релеевского случайного процесса (имеется в виду корреляционная функция нецентрированного релеевского процесса, такая, что R(0) = —jn 2 y ~\~Gl = 2 3 о ) связана с нормированной корреляционной функцией го (т) процессов | i ( / ) и £ 2 (/) зависимостью (см., например, [80]):

где r ( т ) — н о р м и р о в а н н а я корреляционная функция центрированного релеевского процесса. В задачах, не требующих высокой точности решения, ряд (2.95) ввиду быстрой его сходимости можно ограничить лишь первыми двумя членами и считать, что г (г) совпадает с (т), т. е.

Отсюда Г (Х) =

°

/

^ ( ^ f -

1

)

= ^

(2.96)

Это открывает следующий простой путь приближенного моделирования релеевского случайного процесса с корреляционной функцией /?(т) и одномерной плотностью вероятностей (2.93): на Ц В М одним из изложенных ранее способов формируются дискретные реализации двух независимых стационарных случайных процессов gi(/) и | 2 ( 0 с параметрами (0, 1) и с коэффициентом 1?0

корреляции г 0 (т), определяемым а из них по формуле Цп]=*oV^

соотношением

(2.96),

N + ^ W

формируются реализации релеевского случайного процесса. Погрешность метода при этом будет незначительно!!. ДЛЯ оценки погрешности найдем разность между заданным коэффициентом корреляции г(т) и получаемым л 0 (т). Зависимость R(r0), определяемую рядом (2.95), удаетсй выразить в замкнутом вйде следующим образом: =

(''о) — (I — r j ) Я" (г.)],

где Е(г 0 ) и К(г 0 ) — полные эллиптические первого и второго рода [92]. Отсюда r(ro)=

Я(г.)-*' - = 7

2Я

интегралы

(г«) — С — ''о) * (г»1 й

\

В результате упрощений, сделанных при выводе формулы (2.96), заданный коэффициент корреляции г(г„) приближенно заменяется величиной г20, что приводит к ошибке 2£ (г0) — (1 — rg) К (г.) — Ьг (го) = rl — r (г«) = г\ 2—2" Используя таблицы полных эллиптических интегралов [92], можно найти зависимость ошибки Ат как функцию г0. На рис. 2.7 показан график ошибки Дг(г 0 ), из которого видно, что максимальная погрешность формирования коэффициента корреляции составляет 2,5%. Т а к а я ошибка во многих практических задачах является вполне допустимой. Заметим, что описываеРис. 2.7. мый способ моделирова-

Мия пригоден лишь для случаев, когда заданный коэффициент корреляции г (т) не принимает отрицательных значений, иначе в формуле (2.96) появятся мнимые величины. Пример 1. П у с т ь д л я м о д е л и р о в а н и я з а д а н релеевскнй с л у чайный процесс, 'корреляционную ф у н к ц и ю которого м о ж н о аппрокс и м и р о в а т ь экспонентой: г (х) = е Подставляя корреляционную цессов

111 .

(2.97)

(2.97) в ф о р м у л у (2.96), н а й д е м н о р м и р о в а н н у ю ф у н к ц и ю и с х о д н ы х нормальных с л у ч а й н ы х проr 0 (х) = e - m « I ^ 1/2 .

И с п о л ь з у я готовый алгоритм д л я м о д е л и р о в а н и я нормального случайного процесса с экспоненциальной корреляционной функцией (табл. 2 . 2 ) , получим с л е д у ю щ и й алгоритм д л я м о д е л и р о в а н и я д а н н о го релеевского с л у ч а й н о г о процесса:

I [п] = °о У = «о

1] [n]+li [п]

=

[я] + p6i [rt-1]) 2 + ( / ь ^ * , м + р Ы « - 1 ] ) а ,

где р = е — ш « 4 ' / 2 ; х , [и], х2 [я] — последовательности нормальных случайных чисел с параметрами ( 0 , 1 ) .

(2.98) независимых

3. Случайный процесс с показательным р а с п р е д е л е н и е м

Одномерная функция плотности этого процесса, среднее значение и дисперсия соответственно равны «_ ® (У) = т? 2о„

е

2,

° •

щ = 2а 2 , а 2 = 4 з 2 ,

(2.99)

в

где ао — параметр распределения. Показательный процесс можно рассматривать как квадрат релеевского случайного процесса (квадрат огибающий узкополосного нормального ш у м а ) . В связи с этим показательный процесс можно представить как сумму квадратов двух одинаковых независимых стационарных нормальных случайных процессов с параметрами (0, а 2 ) : « ( ' ) = * ! ( 0 + 3 юКорреляционная функция R(т) нецентрированного показательного случайного процесса в ы р а ж а е т с я через 122

нормированную корреляционную функцию г 0 (с) процессов С1 (/) И g2 (О в виде {50, 80]: * W

=

4з40 [ 1 +

г (х)] =

[1+

где г ( т ) — к о э ф ф и ц и е н т корреляции показательного процесса. Отсюда

г20 ( х ) ] ,

центрированного

г0(х)=1/7^). (2.100) Равенство (2.100) в отличие от равенства (2.96) является точным. Таким образом, можно использовать следующий способ моделирования показательного случайного процесса £(/) с одномерной функцией плотности (2.99) и заданной нормированной корреляционной функцией г(т) По известным правилам на Ц В М формируются дискретные реализации Ц/г] и п] нормальных случайных процессов с коэффициентом корреляции т 0 ( т ) = Vr(t), а из них по формуле т=%№+%{*] образуются реализации требуемого показательного случайного процесса. Так, например, если корреляционная функция показательного случайного процесса экспоненциальная вида (2.97), то алгоритм для выработки последовательностей gij/i] и У[п] будет таким же, как и в рассмотренном выше примере моделирования релеевского случайного процесса [выражение (2.98)]. Заметим, что аналогичным путем, суммируя несколько (более двух) квадратов нормальных случайных процессов, можно моделировать случайные процессы с законом распределения (см. § 1.4, п. 4). 4. Л о г а р и ф м и ч е с к и - н о р м а л ь н ы й

случайный

процесс

Одномерная плотность вероятностей, среднее значение и дисперсия логарифмически-нормального случайного процесса имеют вид 1п' у 2 1 °о е ® = — . /ео„ с2=е(е-1)02, где ао — параметр распределения.

Логарифмически-нормальный случайный процесс часто используется в качестве модели атмосферных и индустриальных помех [4]. Данный случайный процесс можно рассматривать как нелинейное безынерционное преобразование стационарного нормального случайного процесса с параметрами (0, ajj) звеном с характеристикой нелинейности у = [(х) = е х . В дальнейшем, не нарушая общности, положим <то=1. Д л я получения зависимости /?=<р(г 0 ) подставим функцию f ( x ) = e * в двойной интеграл (2.87). В данном случае функция f(x) такова, что интеграл (2.87) удается выразить в конечном виде. Последнее легко сделать, так как интегрирование по переменным xt и х2 сводится к вычислению табличных интегралов вида [25] 00 >— dje =

XJLe

^

.

—со В результате получим tf(r0) = e r ° + l ,

г(г 0 ) = ^

-

(2.101)

Отсюда г0 = 1п[1 + (е—1)г]. Таким образом, для моделирования стационарного логарифмически-нормального случайного процесса с коэффициентом корреляции г(т) нужно сформировать нормальный стационарный случайный процесс с коэффициентом корреляции Го(т) =1п[1 + (е—1)г(т)],

(2.102)

а затем пропустить его через нелинейный элемент с экспоненциальной характеристикой у=ех. Оценим, к каким корреляционным искажениям приводит замена требуемого коэффициента корреляции Го(т), определяемого формулой (2.102), коэффициентом корреляции г(т) моделируемого процесса. Величина ошибки согласно (2.101) равна г 1 е о Дг(г,) = гв — Т 1 Г Г '

График функции Дг{г0) показан на рис. 2.8, из которого видно, что максимальная ошибка состаапкет 2 0 % при г0=

0,37. Если возможные значент

коэффици-

ента корреляции л е ж а т в интервале (—0,2; 1), то ошибка не превышает 10%. Как видно, в этом случае корреля-

V

-

10

-0,5

0 --10

0,5

f fО

--го Рис. 2.8.

ционные искажения довольно большие, поэтому чаще приходится пользоваться точным выражением для коэффициента корреляции исходного процесса. 5. Случайный процесс с о д н о м е р н ы м р а с п р е д е л е н и е м по закону арксинуса

Рассмотрим случайный процесс | ( 0 в виде следующего преобразования нормального стационарного случайного процесса | 0 ( 0 с параметрами (0, 1): 6(0 = Sin К ? . (01.

(2- ЮЗ)

где оо — некоторая константа. В данном случае нелинейное преобразование (/ = = f(x) = s i n ооХ немонотонное и является периодической функцией. Если функцию f (х) = sin сг0 х подставить в формулу (2.87) и при интегрировании по переменным Х\ и Хп воспользоваться табличным интегралом [25] оо

j

sin [q (Л- +

—OO

ОО = j e"^

А)] dx

=

— sin qxdx =

< f ^ s i f l qU

то для функции выражение:

R —
? (r,)=e

- ° о

получить

2

sh Зц г 0 .

следующее

(2.104)

Согласно (2.104) коэффициент корреляции случайного процесса | ( t ) с в я з а н с коэффициентом корреляции исходного процесса g 0 ( 0 соотношением sh оf.r0

Отсюда г

о (О = - у arcsh [(sh о||) г].

(2.105)

Р а с с м о т р и м теперь п р е о б р а з о в а н и е з а к о н о в распределения. В общем случае закон р а с п р е д е л е н и я процесса l ( t ) к а к з а к о н р а с п р е д е л е н и я периодической функции у — = s i n a o x от н о р м а л ь н о распределенной случайной величины х в ы р а ж а е т с я с л о ж н ы м о б р а з о м через закон р а с п р е д е л е н и я а р г у м е н т а . О д н а к о при достаточно большом п а р а м е т р е оо р а с п р е д е л е н и е н о р м а л ь н о й случайной величины Х = а0х, приведенное к и н т е р в а л у периодичности функции z/ = s i n X , т. е. к и н т е р в а л у ( — л , я ) , к а к п о к а з а н о в [51], будет весьма б л и з к и м к р а в н о м е р н о м у на и н т е р в а л е периодичности. Тогда распределение случайной величины */ = s i n a 0 * будет подчинено з а к о н у арксинуса: w(y)=

' - , * V1 — у2

\у\<\.

(2.106)

Д л я этого вполне достаточно взять п а р а м е т р а 0 = 2л, что приводит к погрешности в равномерном з а к о н е всего л и ш ь п о р я д к а 10 - 8 [51]. С л у ч а й н ы е процессы с распределением (2.106) могут иметь место на выходе схем с ф а з о в ы м детектором. Таким о б р а з о м , для м о д е л и р о в а н и я с т а ц и о н а р н о г о случайного процесса с коэффициентом к о р р е л я ц и и г ( т ) и законом р а с п р е д е л е н и я арксинуса (2.106) нужно 1.26

сформировать стационарный нормальный процесс с коэффициентом корреляции г

о

=

~~2 °o

случайный

arcs 1

' l r С1) s h 3 „ ] .

а затем пропустить нормальный процесс через нелинейный элемент с синусоидальной характеристикой у= = s i n a o * , положив, например, сго=2л. Если допустима меньшая точность воспроизведения закона распределения, то параметр о 0 можно уменьшить. Удовлетворительная точность получается при а о = л . Заметим, что нелинейное преобразование (2.103) при о 0 > 1 вносит большие корреляционные искажения {зависимость (2.105) явно нелинейная], поэтому при моделировании исходный нормальный случайный процесс £о(О нужно брать с корреляционной функцией, определяемой точным выражением {формула (2.105)]. 2.9. М о д е л и р о в а н и е м н о г о м е р н ы х стационарных нормальных случайных процессов

Многомерный стационарный случайный процесс определяется как совокупность N стационарных и стационарно связанных между собой случайных процессов lh(t), k = 1, N. Такой процесс принято обозначать в виде случайного вектора-столбца, зависящего от времени: \\щ

II = 11 М О II ы т г л г

Многомерные случайные процессы используются при описании многомерных (многоканальных) систем. В настоящем п а р а г р а ф е рассматривается задача цифрового моделирования нормальных многомерных стационарных случайных процессов. Результатом решения этой задачи, как и в одномерном случае, является алгоритм, позволяющий формировать на Ц В М многомерные дискретные реализации заданного процесса. /V-мерный непрерывный нормальный стационарный случайный процесс 111(011 задается обычно либо в виде его корреляционной матрицы {35, 70] н ж - . ) 11 = ц

ад

и

k = 1, N,

рЫвного фильтра описывается с ИоМощью матрицы в виде

передаточной

II Y(P) II = 11 К(Р) II Ц Х ( Р ) 1 Ь где \\Х(р) Ц = || Хк(р).||

и || У(р) || = || Yk(p) II >

k=l, N — изображения входного и выходного сигналов соответственно в смысле преобразования Лапласа; || К (р) || = = || Км (р) II 1 ~ ll-H — передаточная матрица /V-мерного k = 1, N фильтра, у которой элементы Км(р) являются передаточными функциями каналов 1-й вход — k-й выход. Аналогично описывается связь вход<—выход в дискретных Af-мерных линейных фильтрах: и

ад

И = I I к * (*) и и

ад

и >

где ||^*(z)|| и || К. (z) II—изображения в смысле дискретного преобразования Л а п л а с а входного и выходного сигналов; ||/(»(z)|| — передаточная матрица дискретного Af-мерного фильтра. Структурная схема многомерного фильтра на примере двумерного фильтра приведена на рис. 2.9, согласно которому Yy{p)=Ku{p) Хь(р)+Кк{р)Ыр), Уг{р) ='Х 2 1 (р) Х,(р) + Кп(р)

Хг(р).

(2

Ш7)

Видим, что каждый из выходных сигналов y\(t) и y2(t) является суммой линейных операторов от входных сигналов Xi(t) и x2(t). Аналогичные соотношения имеют место и в общем случае. В этом и состоит идентификация передаточных матриц [35]. Пусть воздействие на входе jV-мерного линейного фильтра представляет собой N-мерный белый шум, т. е. случайный процесс с корреляционной матрицей вида I I W ) || < = k=

1,

^ N

для непрерывного времени и

i w 'k=- HN

для дискретного времени, 9—160

1,

129

рЫвного фильтра описывается с ИоМощью матрицы в виде

передаточной

II Y(P) II = 11 К(Р) II Ц Х ( Р ) 1 Ь где \\Х(р) Ц = || Хк(р).||

и || У(р) || = || Yk(p) II >

k=l, N — изображения входного и выходного сигналов соответственно в смысле преобразования Лапласа; || К (р) || = = || Км (р) II 1 ~ ll-H — передаточная матрица /V-мерного k = 1, N фильтра, у которой элементы Км(р) являются передаточными функциями каналов 1-й вход — k-й выход. Аналогично описывается связь вход<—выход в дискретных Af-мерных линейных фильтрах: и

ад

И = I I к * (*) и и

ад

и >

где ||^*(z)|| и || К. (z) II—изображения в смысле дискретного преобразования Л а п л а с а входного и выходного сигналов; ||/(»(z)|| — передаточная матрица дискретного Af-мерного фильтра. Структурная схема многомерного фильтра на примере двумерного фильтра приведена на рис. 2.9, согласно которому Yy{p)=Ku{p) Хь(р)+Кк{р)Ыр), Уг{р) ='Х 2 1 (р) Х,(р) + Кп(р)

Хг(р).

(2

Ш7)

Видим, что каждый из выходных сигналов y\(t) и y2(t) является суммой линейных операторов от входных сигналов Xi(t) и x2(t). Аналогичные соотношения имеют место и в общем случае. В этом и состоит идентификация передаточных матриц [35]. Пусть воздействие на входе jV-мерного линейного фильтра представляет собой N-мерный белый шум, т. е. случайный процесс с корреляционной матрицей вида I I W ) || < = k=

1,

^ N

для непрерывного времени и

i w 'k=- HN

для дискретного времени, 9—160

1,

129

t, i<1=1, 8 (т) — дельта-функция. /V-мерный белый k Ф i, шум определен здесь как совокупность N независимых между собой б-коррелированных случайных процессов. - Можно показать (см., например, [35]), что при воз-

где 8hi

x,(t) Кц(Р)

К nip)

K2,(P)

Кгг(Р) V,(t)

*MV Рис. 2.9.

действии белого шума спектральная матрица процесса на выходе N-мерного фильтра для непрерывного и дискретного времени соответственно связана с передаточной матрицей фильтра соотношениями G (со) || = || К ( И II

|| К (— j«>) || "

(2.108)

Ц К / Ж 1 I I * . ( г - 1 ) II Г>

где символом Т обозначена транспонированная матрица. Следовательно, для получения iV-мерного случайного процесса с заданной спектральной матрицей нужно пропустить yV-мерный белый шум через jV-мерный формирующий фильтр, передаточная матрица которого удовлетворяет уравнениям (2.108). Д л я нахождения передаточной матрицы по заданной спектральной матрице требуется разбиение последней на два сомножителя вида (2.108). Эта процедура называется факторизацией спектральных матриц. Она может быть реализована по известным алгоритмам [35, 70]. Многомерная фильтрация белого шума осуществляется достаточно 130

просто:

каждая составляющая Eft(/), k=\,

N

случайного процесса

]| 6 (t) || на выходе Д/'-мерного фильтра

с передаточной матрицей

|| К ы (Р) || ' ~

получается пу-

k =

\, N-

тем с у м м и р о в а н и я по I с о с т а в л я ю щ и х Xi(t), 1=1, N входного процесса ||х;(/) | | / = 1, N, п р о ф и л ь т р о в а н н ы х одномерными ф и л ь т р а м и с передаточными функциями Кы(р) [см. ф о р м у л у (2.107)]. Алгоритмы одномерной ф и л ь т р а ц и и рассмотрены выше. При данном способе м о д е л и р о в а н и я в о з м о ж н ы два пути: 1) з а д а н н у ю с п е к т р а л ь н у ю матрицу непрерывного /V-мерного случайного процесса м о ж н о непосредственно подвергнуть ф а к т о р и з а ц и и д л я получения передаточной м а т р и ц ы непрерывного ф о р м и р у ю щ е г о ф и л ь т р а , а затем, используя описанные выше точные или п р и б л и ж е н ные методы д и с к р е т и з а ц и и непрерывных ф и л ь т р о в , осуществить многомерную ф и л ь т р а ц и ю непрерывного белого ш у м а ; 2) по з а д а н н о й спектральной м а т р и ц е ||G(o3)|| непрерывного N-мерного процесса |[£(/)И> используя z - п р е о б р а з о в а н и е , м о ж н о найти с п е к т р а л ь н у ю матрицу | | F ( z ) || соответствующего дискретного случайного процесса Щл]|| (см. § 2.3), д а л е е путем ф а к т о р и з а ц и и | | F ( z ) | | найти передаточную ф у н к ц и ю дискретного формирующего ф и л ь т р а , а з а т е м произвести многомерную ф и л ь т р а ц и ю дискретного белого ш у м а . Н а и б о л ь ш и е трудности встречаются при ф а к т о р и з а ции с п е к т р а л ь н ы х матриц. В н а с т о я щ е е в р е м я р а з р а б о таны а л г о р и т м ы факторизации лишь рациональных с п е к т р а л ь н ы х матриц, т. е. т а к и х матриц, элементы которых являются дробно-рациональными функциями аргументов р или z. Опишем, опуская д о к а з а т е л ь с т в а , один из алгоритмов ф а к т о р и з а ц и и р а ц и о н а л ь н ы х с п е к т р а л ь н ы х матриц, взятый из [70]. П у с т ь з а д а н а р а ц и о н а л ь н а я с п е к т р а л ь н а я матрица On g

n\

• GIAf (•) •

g

nn(»)

М а т р и ц а ||G({o)ll м о ж е т быть приведена к виду ||G(ffl)IMIK(j®)ll IIK(-jco)|| путем следующих 9*

преобразований.

1. Определяется ранг матрицы т, затем один из главных миноров порядка т р а с п о л а г а е т с я в левом верхнем углу матрицы ||G(to)||. 2. М а т р и ц а ||G(co)|| приводится к д и а г о н а л ь н о м у виду. Д л я этого к ik-й строке матрицы l|G(co)||, £ = 2, N, п р и б а в л я е т с я первая строка, у м н о ж е н н а я на — G u t f G u , затем к /-му столбцу п р и б а в л я е т с я первый столбец, умноженный на — G u / G u ; получается матрица || G O

||

И

Gn (ш)

=

О

(2.109)

2

О

£( ) (to)

где элементы матрицы II Е

2)

=

И

11 Em(rn)

11

||

/ =

k = 2,

^

N

имеют вид G XI - -

М

'kiGu

(2.110)

С матрицей ||£<2>((i)) || проделываются те ж е преобразования, что с исходной матрицей ||£W(G)) || = ||G(CO) ||. П р и продолжении этого процесса на т-м ш а г е получается д и а г о н а л ь н а я матрица G'm> (ш)

Я И

|| =

||

Dhl(со)

такая, что = 0,

6 = w + 1, N.

3. Находится вспомогательная матрица || в И ц = || я ы < « )

= Д = 1, N,

элементы которой имеют следующий вид: Я ы (ю) = 0, l > k , д (/) (2.111)

fin W = 1.

где В<1) определяются из рекуррентных соотношении B[\>=Gkl, м М

fcl

B (i-D. i—1,

(2.112) >—1

4. Находите л вспомогательные полиномы

где ю«>, v = 1, 2 , . . . , —нули полиномов Qhi{®), k = \ , т , л е ж а щ и х в нижней полуплоскости, считаемые столько раз, какова их максимальная кратность, причем Qfc;(w) — з н а м е н а т е л и дробно-рациональных функций, представляющих собой элементы матрицы ||£?(<о)||: Вы О»)

"

Ру Qxi

( » ) ( ® )

5. П о способу, рассмотренному в § 2.9, п. 2, дробнорациональные функции М <•>)

£>„ (со)

С,

(®)

представляются в виде Я, (и)

4 («•>) = Q, («) где полиномы Р;(о>) и Q;(ы) не имеют нулей в нижней полуплоскости. На этом процесс факторизации заканчивается. Окончательно передаточная матрица формирующего фильтра записывается в виде К ( р ) 11 = 11 КыО»)

/ = 1, т k=

1, N

I = Т7~т k = \7N.

(2.113)

Здесь описан алгоритм факторизации рациональных спектральных матриц непрерывных многомерных про-

цессов. Факторизация спектральных матриц дискретных процессов осуществляется аналогично, только вместо корней, расположенных в нижней полуплоскости, берутся корни, расположенные в единичном круге. П р и м е р 1. П у с т ь з а д а н д в у м е р н ы й н е п р е р ы в н ы й с т а ц и о н а р н ы й ц е н т р и р о в а н н ы й с л у ч а й н ы й п р о ц е с с |Ц(<)11 с к о р р е л я ц и о н н о й матрицей

|G(o,) || =

G„(«>)

G„(
0 г 1 (©)

G „ (<о)

(2.114)

г д е им, Ь к k = \ , 2 , / = 1, 2 , — н е к о т о р ы е п о л о ж и т е л ь н ы е к о н с т а н т ы , п р и ч е м «12 = 021, &12 = ^21. Корреляционная матрица, соответствующая спектральной матрице (2.114), имеет вид

I r м н =; 2 где о , |

=

2Ьп '

«21 е - 6 ' 1 1 1 1

.2 _ а " "22 - 262г

и

2 °12

4 е-6- Ш Й12 26,,

: в

(2.115)

н®22''.—автокор-

реляционные и взаимно корреляционный моменты процессов |i(/) и | 2 ( 0 соответственно; г — коэффициент взаимной корреляции проц е с с о в gi (/) и | г ( 0 в с о в п а д а ю щ и е м о м е н т ы в р е м е н и . К о э ф ф и ц и е н т ы b l t , b22 и fei2 п р е д с т а в л я ю т с о б о й в д а н н о м с л у ч а е ш и р и н у ( н а у р о в н е 0 , 5 ) э н е р г е т и ч е с к и х с п е к т р о в G U ( t o ) , G 2 2 ((i>) и в з а и м н о г о э н е р г е т и ч е с к о г о с п е к т р а Gi2(
|| Щ») II = || О*) (•) 11 = Gn

12

О

G , , -

Gn

Я2 2 Ь\г + «»*

а?2 + <->8) г аи(Ь 12+уу

3. В с о о т в е т с т в и и с в ы р а ж е н и я м и тельная м а т р и ц а ||В((о)|| имеет в и д

II 1

(2.111)

и

1

1

0

G 21

1

.0

№>Нк 1

(2.112)

вспомога-

О

(ьи +<•>')

1

(bi2+)

4. В р а с с м а т р и в а е м о м с л у ч а е н у ж н о н а й т и л и ш ь о д и н в с п о м о г а т е л ь н ы й п о л и н о м Ci((i>). Д л я э т о г о т р е б у е т с я н а й т и к о р н и з н а м е н а т е л я у э л е м е н т а B 2 i ( b ) ) м а т р и ц ы | | В ( ш ) | | , т . е. к о р н и п о л и н о м а to 2 + b\2.

Эти корни

равны

» i ' J = ± J 6„. Следовательно, C i ( ( . ) ) = M + jftl2. 5. Н а з а к л ю ч и т е л ь н о м э т а п е т р е б у е т с я п р о и з в е с т и дробно-рациональных функций

л I \_

л

* W

A

-

(W) =

Д

" (")

£и

| С , (<о)| 2

D i 2 (со)

=

(Ь*И +

где a = altan 2

2

„.)

6
ь

w

j

((0 +

М

_

(<0

М

с

6

пХ Т2+ T( s2+w 2 )

й = 2яця2г6^2——а?2^22»

—

j

a?2 (6?l + *>s)

Д22 622 + <»2 au>* +

я

факторизацию

с =

12 —

2

— в126п622В данном случае корни числителей и знаменателей у дробно-рациональных функций Л ^ ш ) и Л2(to) легко вычисляются. Используя корни, л е ж а щ и е в в е р х н е й п о л у п л о с к о с т и ( к о р н и с положительными мнимыми частями), получим

л, и

= (ш — jfr,,) (ш — jft ) 12 I Y a (to —о.) (<•> — <02)

г д е «о, и iiig — э т о т е и з

корней

— Ь ± V Ь*

«1.2.1.4= ± полинома часть.

аш4 + &о)2+с,

2

которые

4 ас

2а имеют

положительную

мнимую

Окончательно передаточная матрица в с о о т в е т с т в и и с ('2.113) з а п и ш е т с я в в и д е

формирующего

фильтра

II * (]«)« = / д

м

(co + j f e 1 2 )

Q

(to — j f e „ ) ( c o — j & , 2 ) flia ^ i i flu (bis +

(6ii+®2) ( ю + j bis) ь>2)

/а~(со—cOi)(cQ—co2)

j b u ) (to—j 61S)

( и — j 6 1 2 ) 2 (to — ] 6 2 2 )

^ ^

П е р е д а т о ч н у ю ф у н к ц и ю /<"21, f j со) в м а т р и ц е | | ^ ( j t o ) | | м о ж н о н е с к о л ь к о у п р о с т и т ь , у м н о ж и в ч и с л и т е л ь и з н а м е н а т е л ь п а ( c o + j f e n ) (со— —j&,2) и с о к р а т и в полученное в ы р а ж е н и е на ( & н + с о 2 ) и (&i2-RO2), тогда К 2 1 ( j со) = •

Путем непосредственной р и ц а ||/((j
All

co + j&i (0>-j6, 2 ) 2

подстановки легко условию

II K ( j со) IIII К ( — J ® ) | | ' К и (].«) Ksi(jw)

0

к

(-jco)

п

К 2 2 ( jco)

0

К

п

убедиться,

что

мат-

= (-jco)

IG(co)

К22(—)и>)

Э л е м е н т ы /C*r(j
К (р) I

и

Ь1г)

) (р + Ь

fli2 СР — Va„

(р + М

fen) 2

о

12)

Vа (р—j "•) (р — j®2) Кв„

(р+Ь12)*

(р+ 6 22 )

Н а р и с . 2.9 п о к а з а н а с т р у к т у р н а я с х е м а д в у м е р н о г о ф о р м и р у ю щего фильтра, на выходе которого образуется двумерный случайный процесс с т р е б у е м ы м и с п е к т р а л ь н ы м и х а р а к т е р и с т и к а м и , если на вход фильтра воздействует белый шум. З а м е н я я непрерывный двумерный фильтр соответствующим дискретным фильтром, получим алгоритм для формирования на Ц В М дискретных 'реализаций двум е р н о г о с л у ч а й н о г о н о р м а л ь н о г о п р о ц е с с а , т . е. д и с к р е т н ы х р е а л и заций двух стационарных и стационарно-связанных нормальных случайных процессов с экспоненциальными авто- и взаимно корреляционными ф у н к ц и я м и в и д а (2.115). При другом подходе к синтезу формирующего фильтра нужно сначала найти спектральную матрицу соответствующего дискретн о г о м н о г о м е р н о г о с л у ч а й н о г о п р о ц е с с а ||£[я]||. В р а с с м а т р и в а е м о м

примере эта матрица имеет в и д

F (*) II =

F„ (2)

F12(z)

Fti (г)

f 2 2 (2)

1 — PuZ|

— Pl2?

12 1 — р, 2 г|

"22 — р22г |

где «11 = (1 — Pi|) «Tl; a12 = С — Pj2> " ч 3 ' a 2 2 = (• —P22) P h

,=e

.

Произведя факторизацию спектральной матрицы || F ( г ) ф а к т о р и з а ц и и с п е к т р а л ь н о й м а т р и ц ы || G (ш) || , п о л у ч и м

• ТЛхц (г — Pi г )

(1 — К,(г)

||

р„г)

О

(1 — р 1 2 г )

=

«12(2 —Ри) Г с п (1 — р12г)г

аналогично

22) /«11 (1-р

1 3

2 ) г ( 1 — Р2 2 г)

(2.116) З д е с ь г , и г 2 — э т о т е из корней

2 . , 2, 3,4 ~

v — ±

У

.Г~йг — —

1. V

— Р ± /Рг — М 2Р

а б с о л ю т н а я величина которых больше единицы,

где

a = a2n a 222 pj2 2 —al24 p,,p32, Р = a},, [р„ (1 + 4 ) + рь2 (I + pf,)] - 2а^|Я22 р12 (1 + р»а); т = «V22 С + Р?2)г -

0 - Рм) С + Р22) •

П е р е д а т о ч н о й м а т р и ц е (2.116) с о о т в е т с т в у е т с л е д у ю щ и й р е к у р рентный алгоритм формирования дискретных реализаций процессов gi[п] и и з р е а л и з а ц и й н е з а в и с и м ы х п о с л е д о в а т е л ь н о с т е й xi(п] и х2[п] н е з а в и с и м ы х н о р м а л ь н ы х с л у ч а й н ы х ч и с е л с п а р а м е т р а м и (0, 1) (дискретный двумерный белый шум)

5. [«] = ?.. [»]. 1г ["] = £21 ["] + 5а2 [л]. где

l u N = — р!2 К«цХ, [л] + / а „ Х , \п — 1] + + (рп + Р и ) 5 п М — P11P12SH [« — 2];

$21 И

^ L r р„Х, [Я] + - j T ^ - X , [я — 1] + K<*,1 V «и + 2р,г62, [Я — 1] — pf2g2, [Я — 2];

Е п [я] = +

(2р,2 +

х 2 [я] -

Y j ~ -

Ргг) S22 [п — 1] — 2 р , г ( р 1 г +

x

(г, +

2р2г)

z2) х , [ я - 1 ] +

S22 { « — 2 ] +

х3 [я—2]

р^Ргг&г

+

["—3J.

Написанные рекуррентные уравнения легко получить, если произвести идентификацию передаточных функций ^С.ц(г), К . 2 i ( z ) и К.22 (г) м а т р и ц ы (2.11G).

Рассмотренный пример показывает, что факторизация спектральных матриц осуществляется сравнительно просто, если удается аналитически найти нули соответствующих полиномов. При факторизации спектральной матрицы непрерывного двумерного процесса это не представляло труда, так как для определения нулей требовалось решать только квадратные и биквадратные уравнения. При факторизации спектральной матрицы дискретного двумерного процесса были квадратные уравнения и возвратное уравнение четвертой степени, т а к ж е допускающее аналитическое решение. В других, более сложных случаях нули полинома не всегда удается найти аналитически. В этих случаях прибегают к численным методам решения уравнений п-й степени. В общем виде процесс факторизации можно реализовать на Ц В М как стандартную программу. Д л я этой цели кроме приведенного здесь могут быть использованы и другие алгоритмы факторизации [91, 95, 97]. Следует заметить, что все существующие в настоящее время алгоритмы факторизации спектральных матриц, вообще говоря, весьма трудоемки. 2.10. М о д е л и р о в а н и е нестационарных нормальных случайных процессов со с т а ц и о н а р н ы м и п р и р а щ е н и я м и

В данном п а р а г р а ф е рассматривается моделирование специального класса нестационарных нормальных случайных процессов, а именно случайных процессов со стационарными приращениями (СПСП). 138

По определению [71, 90], случайный процесс £(/) сб стационарными k - ш приращениями (СПСП-fe) — это такой случайный процесс, k-я разность которого е ^ ' (t) является стационарным случайным процессом, где

•^(о^-^'Чо—до. Такому определению, как нетрудно видеть, удовлетворяют случайные процессы, у которых математическое ожидание m(t) является полиномом к-й степени и к-я производная | < h ) ( 0 представляет собой стационарный случайный процесс. В дальнейшем положим m ( i ) s O . С П С П используются, например, при описании траекторий движения некоторых целей в радиолокации [2], когда скорость, ускорение или более высокие производные закона движения целей можно считать стационарными случайными процессами. Другим примером С П С П является набег фазы генератора, модулированного по частоте стационарным случайным процессом [59, 71]. С точки зрения цифрового моделирования в качестве основной характеристики СПСП-Л удобно использовать корреляционную функцию \k-\\ разности процесса: R[k){t,

At) = M{^i{t)^{t-\)}.

(2.117)

Рассмотрим моделирование случайных процессов со стационарными Л-ми приращениями по заданным корреляционным функциям их k-x приращений. Д л я получения моделирующих алгоритмов выразим k-ю разность , (0

СПСП-& через значения самого процесса

Для СПСП-1 для СПСП-2 «2' (0 = 1 (0 -2Ц1-

At) + |(/ - 2 At),

вообще, для СПСП-Й, как нетрудно показать,

т=0

c,(t).

Где С™ =

——биномиальные

коэффициенты.

От-

сюда ^ С) =

(0 - S

6 (t -

m\t).

т= I Переходя к лучим

соответствующим

5 [я] =

дискретным

функциям, по-

£ ( - 1 )тС™ 61п - т]. т=1

Iп] -

(2.118)

Например, для случайного процесса со стационарными третьими приращениями * [я] = «2» И] + 36 [я -

1] — 35 [я — 21 + 6 [я — 3].

Согласно (2.118) передаточная функция дискретного линейного фильтра, формирующего из k-a разности СПСП-fe дискретные значения самого процесса, имеет вид =

(2-119)

Итак, дискретные реализации СПСП-& можно формировать по рекуррентному алгоритму, используя дискретные значения [/г] й-й^разности^ процесса.^Поскольку /г-я разность является стационарным случайным процессом с корреляционной функцией (2.117), для формирования ее дискретных значений можно использовать рассмотренные выше алгоритмы. Таким образом, для моделирования случайного процесса со стационарными к-ми приращениями можно использовать следующий способ. На Ц В М с помощью рассмотренных выше алгоритмов моделируется стационарный дискретный случайный процесс е ^ ' [ и ] с корреляционной функцией Я?'[л.

1 \=R[k){nU,

At),

а из него согласно рекуррентному уравнению (2.118) формируется требуемый случайный процесс. При выработке начального значения £(0] процесса £[/г] предыдущие 140

efo значения —л], п = 1, k, можно либо положить равными нулю, либо задаться ими, исходя из начальных условий решаемой задачи, например при моделировании траекторий целей, движущихся, со случайным стационарным ускорением ( С П С П - 2 ) , для нахождения £[—il], |[—2] можно использовать заданные в качестве исходных начальные значения положения цели и ее скорости. На практике случайный процесс со стационарными приращениями не всегда удобно характеризовать с помощью корреляционной функции его fe-й разности. В ряде случаев в качестве основной характеристики С П С П - 6 целесообразно использовать корреляционную функцию k-и производной процесса, являющейся стационарным случайным процессом. В связи с этим представляет интерес рассмотреть моделирование С П С П - 6 по их заданной k-й производной. Пусть (х) и G "> ( ш ) — корреляционная функция и энергетический спектр £-й производной случайного процесса S (t) со стационарными 6-ми приращениями. Требуется, используя (т) или G^ft> (со), найти алгоритм для формирования на ЦВМ дискретных реализаций случайного процесса S (t). Д л я получения такого алгоритма достаточно найти связь между корреляционной функцией №>(х) А-й производной С П С П - 6 и корреляционной функцией R[ k) (т) k-н разности процесса, чтобы потом воспользоваться рекуррентной формулой (2.118). Эту связь можно найти следующим образом. Случайный процесс который является 6-й производной от СПСП-6, наблюдается на выходе линейной системы с передаточной функцией К \ { р ) = р к , когда на вход системы воздействует процесс £(•/). Обратно, з н а я l w ( t ) , можно восстановить исходный случайный процесс £(t) (с точностью до начальных условий, которые в дальнейшем положим нулевыми), пропуская |<*>(/) через линейную систему с передаточной функцией

т. е. через интегрирующее звено 6-го порядка. В свою очередь, /г-я разность г ^ ' (t) процесса 5(0 может быть получена путем пропускания его через линейную

систему из одинаковых последовательно соединенных звеньев, состоящих из элемента з а д е р ж к и на At и вычитающего элемента (рис. 2.10) Передаточная функция такого звена К(р)=1

е~р".

—

Следовательно, передаточная функция фильтра, преобразующего (t) в s ^ 1 (t), имеет вид е~рЫ)к =

(Р) = КШ (р) К* (р) = -L (1 а частотная характеристика

Отсюда

получаем,

k-й разности ром G (ш)

что энергетический

спектр

Gj*' (ю, Дt)

(t) СПСП-А связан с энергетическим спектпроизводной соотношением sin—\ • (2.120)

Нетрудно убедиться, что корреляционная функция R[ (х, At) является при этом многократной сверткой вида k)

R[k)(z, = RW (,) %А„(х, Ы)*

А0

А. (X, At) * ... * А, (х, At) = 2£

=

=

раз

Д 0 * А , ( * . Д О * - * Л , ( х , ДО, £

раз

где л0(х,

| х | < 4

до=/''

\

0.

'

А

|,|>Л/

(2.121)

Таким образом, для моделирования СПСП-6 по его k-и производной, имеющей энергетический спектр G ( h ) (<ю), можно использовать следующий способ. На ЦВМ моделируется дискретный случайный процесс бд*' \п, 1] = 4 / ° ( " М ' порождаемый непрерывным стационарным случайным процессом с энергетическим спектром G[k) (ю, Д£) и функцией корреляции R[k) (т, Д^),

1

г

.

к

Рис. 2.10.

определяемыми выражениями (2.120), (2.121), а затем по рекуррентному алгоритму (2.И8) формируется дискретный случайный процесс и з о б р а ж а ю щ и й требуемый непрерывный случайный процесс £(•/) со стационарными 6-ми приращениями. Д л я описания случайных процессов со стационарными первыми приращениями в теоретических исследованиях обычно используется так н а з ы в а е м а я структурная функция [59,71] D(b) — M {[е<" (?)]'} =М{[&(t)

- t ( t - 6)]=},

которая представляет собой зависимость дисперсии разности значений процесса, разделенных интервалом времени Д^ = 0. Структурная функция D (0) является четной функцией, причем D (0) = 0.

Корреляционная

ности s С П С П - 1

функция

R[l' (т, 0) раз-

связана со структурной функцией за-

висимостью [59, 71] R[ l ) К

в) = 4 " IО (х -

0) + Z) (т + 6) - 2D (%)].

Отсюда получаем, что если требуется синтезировать случайный процесс со стационарными первыми приращениями и с заданной структурной функцией D(Q), то для этого можно использовать следующий алгоритм:

где e^ 1 [и] — дискретный случайный процесс с корреляционной функцией l]=-Y{D[n-l]

+

D[n+l]£2D[n]}.

Полученные алгоритмы для моделирования СПСП-6 не обладают методической погрешностью, если алгоритм формирования k-ц разности процесса не имеет методической погрешности. При моделировании СПОП-й по его k-vi производной нетрудно получить приближенные алгоритмы. Действительно, поскольку случайный процесс со стационарными /г-ми приращениями можно рассматривать как fe-кратный интеграл по его k-я производной, то, формируя дискретные реализации производной и подвергая их ^-кратному суммированию (дискретному интегрированию), получим приближенные значения процесса Например, приближенны» алгоритм формирования случайного процесса со стационарными первыми приращениями при замене непрерывного интегрирования дискретным по способу прямоугольников имеет вид а л ] = 1 А И № } + в « — 1]. (2.122) Уравнению (2.122) соответствует дискретная передаточная функция * * . ( 2 ) = 1 ( 2 - 1 2 3 ) В качестве дискретного интегрирующего звена k-vo порядка при приближенном моделировании СПОП-& можно использовать цепочки, состоящие из k звеньев с передаточными функциями (2.123), т. е. фильтр с передаточной функцией

Тогда рекуррентный алгоритм для формирования 5 [я] из V ' [л] запишется в виде к \[п] = £<*> [п] Д*» — 2 ( - 1 )тС™ l[n — k). т= I Это наиболее простой, но наименее точный алгоритм, так как повторное приближенное интегрирование спо144

собом'прямоугольников приводит к довольно быстрому накоплению Ошибок. Д л я уменьшения ошибок нужно использовать Другие известные алгоритмы 6-кратного дискретного интегрирования повышенной точности. Дискретные передаточные функции интегрирующих звеньев 6-го порядка этого типа даны в табл. 3.1. Приближенные алгоритмы моделирования СПСП-6, основанные на интегрировании 6-й производной процесса, неудобно использовать в случаях, когда производная Q k ) (t) представляет собой белый шум. Процессы с 6-й производной в виде белого шума являются частным случаем СПСП-6. Это т а к называемые винеровские процессы 6-со порядка [7, 8]. Моделирование винеровских процессов целесообразно производить с помощью точных алгоритмов, приведенных раньше. Рассмотрим теперь примеры моделирования случайных процессов со стационарными приращениями. П р и м е р 1. П у с т ь д л я м о д е л и р о в а н и я з а д а н н о р м а л ь н ы й с л у ч а й ный процесс | ( t ) со стационарными первыми приращениями и с корреляционной функцией производной (2.124) В соответствии с (2.121) корреляционная ний

разности

е ^ ' (0

процесса

| (0

функция

дискретных

в т о ч к а х tn — пМ

значе-

равна

оо

/?<') f п , 1] = /?<'> (пМ. Д

[ R0) (пМ — 9 ) /г, (0) d 8

=

—00

t

=

ДО =

02e-

m

« I л 4 ' - в | (М — | 8 | ) d 8 =

—'д t

1 =

А 2 Д< 2

J Е-'0'1*-"

1

(I — | * | )

dx,

—1 где co t = v>tAt,

х =

Ь/М.

Полученный интеграл легко вычисляется.

_2 о

2

—

(е—.

/?<»[«, 1] = e t f O ) [n] =

19—160

+ „—ф _ 1 ) , 2в2 со

—

В результате

имеем

п = О, (2.125)

— ( c h c o t — 1) е

—511 п I .

\ п \ > \ ,

145

где 2

-

chlD с = ^=2~ * — '); to (

/?< l )[rt]=/?c») —корреляционная п р о и з в о д н о й п р о ц е с с а £•(/). Отсюда ' [я,

видно, что в

данном

/

функция случае

1] с т о ч н о с т ь ю д о м н о ж и т е л я

с

дйскрегных

корреляционная

совпадает с

ф у н к ц и е й /?<*>[я] п р и в с е х п, к р о м е л = 0 . убедиться,

(2.126) значений функция

корреляционной

В точке я = 0 , как

нетрудно

Р. 1] < / ? о [0]. В связи с

этим м о ж н о R[l)

записать

[я,

с о 2 ( е - " 7 * I " I — ад [ я ] ) ,

1] =

(2.127)

где Я < > ) [ 0 ] - / ? < " [0, 1] я

=

sh

« О Щ

— и ,

c h t o . - l

•

Д и с к р е т н ы й с л у ч а й н ы й п р о ц е с с е & 1 [л] с к о р р е л я ц и о н н о й (2,127) имеет,

очевидно,

спектральную

(2-128) функцией

плотность

F, (г) = со' [F ( г ) - а ] , где F (г) о п р е д е л я е т с я ф о р м у л о й (2.69) при р = е - ' 0 * . Путем несложных преобразований можно произвести факторизацию спектральной плотности F t (г), в резу ш т а т е получим

М

г

)

=

(

1 _

р г ) (

, _

р г

- . )

>

(2.129)

где

в,= = ]| / / ссо'

2

» (2.130)

асо'р Й

» = - Н Г '

(2.131)

И з ф о р м у л ы (2.129) н е п о с р е д с т в е н н о с л е д у е т в ы р а ж е н и е д л я передаточной ф у н к ц и и дискретного фильтра, ф о р м и р у ю щ е г о из дис к р е т н о г о б е л о г о ш у м а АГ[Л] с п а р а м е т р а м и (0, 1) п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь значений *Л/ [ я] первой разности моделируемого процесса:

а, + а,г

(г) =

i_pz

Поскольку в соответствии с (2.119) передаточная функция ф о р м и р у ю щ е г о из з н а ч е н и й р а з н о с т и ш л / [я] з н а ч и н и я £ [я] е м о г о п р о ц е с с а g (<), р а в н а (2) =

Г=Г£»

т о с к в о з н а я п е р е д а т о ч н а я ф у н к ц и я о т х \п\

* * М =

фильтра' моделиру-

к |

[я] и м е е т в и д

<*) * 4 <*> =

Таким образом, приходим к следующему рекуррентному алгор и т м у ф о р м и р о в а н и я д и с к р е т н ы х з н а ч е н и й £[л] с л у ч а й н о г о п р о ц е с с а со с т а ц и о н а р н ы м и п е р в ы м и п р и р а щ е н и я м и и э к с п о н е н ц и а л ь н о й к о р р е л я ц и о н н о й ф у н к ц и е й п р о и з в о д н о й {см. 1(2.124)]:

=

и + 6

«ДО [П] = а„х [ я ] + в , * [/г -

[«-lb 1] + р«ДО [п -

1]

или [ я ] = а0х

[я] + в , х [я -

1] +

(I +

Р)

£ [я -

1] -

р$ [я -

2],

(2.132)

г д е х[п] — д и с к р е т н ы й б е л ы й ш у м с п а р а м е т р а м и (0, 1 ) ; ао и а{ — к о э ф ф и ц и е н т ы , о п р е д е л я е м ы е по ф о р м у л а м (2.130), (2:131) и '(2.128). Р е з у л ь т а т ы , п о л у ч е н н ы е из р а с с м о т р е н и я д а н н о г о примера, будут использованы в четвертой главе. П р и м е р 2. Р а с с м о т р и м М о д е л и р о в а н и е в и н е р о в с к о г о с л у ч а й н о г о процесса 1-го п о р я д к а . П е р в а я п р о и з в о д н а я его я в л я е т с я б е л ы м ш у м о м с о с п е к т р а л ь н о й п л о т н о с т ь ю No. Поскольку корреляционная функция производной процесса является 6-функцией .

fl<0(t)=tfoA(T),

то, очевидно, с о г л а с н о 1(2.121)

Отсюда

...

I N0At, 1

"-

1 1

=

{

0,

я = 0, | я | > 0 .

К а к и следовало о ж и д а т ь , случайный процесс [п] я в л я е т с я в д а н н о м с л у ч а е д и с к р е т н ы м б е л ы м ш у м о м с д и с п е р с и е й NaAt. Использ у я это, в с о о т в е т с т в и и с о б щ и м а л г о р и т м о м (2.118) п о л у ч а е м след у ю щ и й алгоритм д л я ф о р м и р о в а н и я д и с к р е т н ы х р е а л и з а ц и й винер о в с к о г о с л у ч а й н о г о процесса 1-го п о р я д к а :

%[n\=\[n-\\ 10*

+

YN^tx{n]. 147

П р и м е р 3. Н а й д е м п а р а м е т р ы р е к у р р е н т н о г о а л / о р и Т м й ДЛя а е л и р о в а н и я в и н е р о в с к о г о с л у ч а й н о г о п р о ц е с с а 2?то п о р я д к а . г л а с н о ф о р м у л е 1 ( 2 . 1 2 1 ) , п о л а г а я R f ' (х) = N0S ( t ) , п о т у ч и м

моСо-

Я<2)[я, l] = iV, А,(яД/—в)А1(8)
(2.133)

N0 J (Д< —в) (в —Д/) М. о

| л [ = 1,

0

|я|>1.

После вычисления элементарных интегралов в (2.133)

найдем

г

2ЫЛ1 3 : /?<2»[я. I]

Корреляционной функции

F (z) =

]У„Д/'

(2.134)

ность дискретного случайного

я = О,

6

|я|=1,

О,

|Я|>1.

соответствует

процесса е^2'

АГ,Д<« (1 + - f

(2.134)

спектральная

плот-

вида

1 «о + Д.г | 2 ,

=

где д» = /

2 - / 3 /6

«1 =Т7= : "

Отсюда для формирования последовательности чаем следующее

рекуррентное

значений е ^ ' [я]

полу-

уравнение:

4 2 ) [я] = а«х [л] +

а,х

[я — 1).

Окончательно для моделирования винеровского процесса в соответствии с (2,118) имеем алгоритм

2-го

I [Я] = .g> [я] + 2 $ [ Я - 1] - Б [Я - 2 ] = = д0х [л] + а , х [ л - 1] + 2 6 [л - 11 — е [ Я - 2 ] .

порядка

2.11. М о д е л и р о в а н и е

марковских

случайных

процессов

В а ж н о е теоретическое и практическое значение имеют марковские случайные процессы {7, 18]. С точки зрения моделирования на Ц В М марковские случайные процессы — это одни из наиболее простых процессов. Действительно, марковским называется случайный процесс £;((), у которого условная плотность вероятностей w ( l n , t n |£„_ь /„_ ь . . . , l\, 11) значений | „ = = в произвольный момент времени tn>tn-i удовлетворяет соотношению tn_t,..., =

f,) = a>(6n, /„_,),

= (2.135)

т. е. зависит лишь от значения процесса в один из предшествующих моментов времени [78]. Время t может быть как непрерывным, т а к и дискретным. Условная плотность вероятностей (2.135) называется плотностью вероятностей перехода из состояния | n _ i в момент времени tn—\ в состояние в момент времени tn• В общем случае — это функция четырех переменных. Д л я моделирования марковского случайного процесса достаточно знать условную плотность вероятностей перехода (2.135) и плотность вероятностей ге»(|0, to) начального значения в момент времени t0, при этом получение дискретных реализаций процесса сводится, очевидно, к следующему. Формируется реализация случайной величины с функцией плотности ш(|о. А>), з а _ тем формируется реализация случайной величины | i с функцией плотности ш ( | ь U) и т. д. В результате • получается последовательность чисел

и з о б р а ж а ю щ а я дискретную реализацию Ч(^п) марковского случайного процесса £(•/) с заданной условной плотностью вероятностей перехода i n - i , t„, tn-1). Д л я получения следующей реализации процесса повторяется та ж е операция; в результате получается последовательность чисел 2 £ ( 4 ) . . . . и т. д. При моделировании марковских случайных процессов для формирования на Ц В М случайных чисел с заданным 149

законом распределения могут быть использованы методы, рассмотренные в § 1.4. В более общем случае рассматриваются N-мерные марковские процессы, т. е. N взаимосвязанных между собой процессов l\{t), ..., £ п ( 0 . в совокупности обладающих марковскими свойствами. Эти процессы характеризуются условной плотностью вероятностей перехода из состояния п-1, • •., |лгп-1 в момент времени /„-1 в состояние h „, . . . , „ в момент времени tn, которая имеет вид i f ( ? , „ , . . . , lNп, = ay0(5, „,..., tNn,

„ _ , , . . . , бд, л _,, £ , „ _ „ ...,

tn-i)~ tn, /„_,).

(2.136)

Моделирование iV-мерных марковских процессов по заданной условной плотности вероятностей перехода (2.136) в принципе не отличается от моделирования рассмотренных выше одномерных (простейших) марковских процессов, однако получение ^ - м е р н ы х дискретных реализаций с ростом N усложняется, так как на каждом шаге требуется формировать реализации TV-мерных случайных векторов. Последнее, как было показано в § 1.5, вообще говоря, является непростой задачей. Другим обобщением одномерных марковских процессов являются одномерные марковские процессы N-го порядка, отличающиеся от простейших марковских процессов тем, что плотность вероятностей перехода в очередное состояние зависит не от одного, а от N предшествующих состояний. П о к а з а н о (78], что марковский процесс N-го порядка можно рассматривать как компоненту TV-мерного марковского процесса, поэтому моделирование марковских процессов N-го порядка может быть сведено к моделированию TV-мерных марковских процессов. Выше шла речь о моделировании марковских процессов общего вида: на характеристики процессов не накладывалось других ограничений, кроме указанных выше. В приложениях распространенными являются марковские процессы, которые удовлетворяют дополнительным условиям, чаще всего, условию нормальности распределения, стационарности (однородности), а т а к ж е условию нормальности и стационарности одновременно. 150

В этих случаях моделирование марковских процессов упрощается. Действительно, у стационарных марковских случайных процессов плотность вероятностей перехода вида (2.135) и (2.136) зависит лишь от разности ^t n _ x . Это упрощает процесс моделирования (в особенности для одномерных марковских процессов), так как уменьшается число аргументов функции w<э(£п> ь tn. t п—1 ) , которую требуется хранить в памяти Ц В М при моделировании. Число аргументов при переменном ш а г е дискретизации уменьшается на одну, а при постоянном — на две единицы. Функция до0 имеет в этих случаях вид а>о(!„, ln-и Мп) и Шо(|б„, | „ _ ь АО соответственно, где M=const. При моделировании нормальных марковских процессов, у которых плотности, вероятностей перехода вида (2.135) и (2.136) являются нормальными, на каждом шаге требуется формировать реализации только нормальных случайных величин (одномерных или iV-мерных соответственно), что осуществляется, как было п о к а з а н о в первой главе, сравнительно просто. М о ж н о показать (78], что нормальные марковские процессы N-го порядка являются нормальными случайными процессами, 6-е производные которых стационарны и имеют рациональный спектр (см. § 2.10), а при 6 = 0 — просто стационарными нормальными случайными процессами с рациональным спектром. Методы моделирования таких процессов по их корреляционно-спектральным характеристикам были рассмотрены в § 2.3; 2.4; 2.6; 2.9; 2.10. В частности, марковским стационарным нормальным процессом 1-го порядка является экспоненциально-коррелированный процесс, который неоднократно упоминался выше (§ 2.3, пример 2; § 2.6, табл. 2.2, № 1 и др.). Этим единственным процессом и исчерпывается класс марковских стационарных нормальных процессов 1-го порядка (78]. К марковским стационарным нормальным процессам относятся процессы № 2—5 в т а б л . 4.2, § 2.6 (процессы 2-то порядка). Три примера марковских нормальных нестационарных процессов рассмотрены в §2.10 (случайный процесс со стационарной экспоненциально-коррелированной первой производной и винеровские процессы 1-го и 2-го порядк а ) . Вопросы моделирования марковских стационарных

нормальных случайных процессов N-го порядка с переменнпым шагом рассмотрены в работе [66]. Специальным классом марковских случайных процессов являются марковские цепи [7]. Они отличаются от рассмотренных выше марковских процессов тем, что множество возможных состояний их является дискретным и, в частности, конечным (конечные цепи М а р к о в а ) . Марковские цепи характеризуются матрицей вероятностей перехода =

II

i = 1, 2, ...

(2.137)

из состояния i£/(i n -i) в момент времени /„-1 в состояние U(tn) в момент времени /„, где — величина с дискретным множеством значений t, 2 .. Моделирование марковских цепей по заданной матрице вероятностей перехода (2.137) в принципе осуществляется т а к же, как и моделирование марковских процессов по заданной условной плотности вероятностей перехода. Отличие состоит только в том, что вместо реализаций непрерывных случайных величин на каждом шаге требуется ф о р м и р о в а т ь . р е а л и з а ц и и дискретных случайных величин (с бесконечным или конечным множеством значений). 2.12. М о д е л и р о в а н и е случайных потоков

Потоки событий, происходящих в случайные моменты времени i u t 2 > t x , . . . , / п > / „ _ ь . . . , являются специфичным классом случайных процессов. Случайные потоки широко используются в качестве математических моделей в задачах, связанных с исследованием систем массового обслуживания [10, 39], в задачах приема импульсных сигналов [6, 73], в з а д а ч а х надежности [89] и т. п. Возможны различные эквивалентные способы задания случайных потоков [6, 39]. Наиболее удобным для моделирования способом задания потоков общего вида является з а д а н и е их с помощью многомерной плотности вероятностей интервалов между моментами наступления событий w(x т„), (2.138) где Тй = t h — 4 - ь щ

4 = 0.

При таком задании случайных потоков моделирование их в общем случае сводится, очевидно, к формированию на Ц В М реализаций случайных векторов ||ть1|А = =il,п с законом распределения (2.138), для чего могут быть использованы методы, описанные в § 1.5, 1.6. Моменты наступления событий получаются при этом по простой рекуррентной формуле 4 = 4 - i+Tft. Случайные .потоки столь общего вида встречаются в приложениях весьма редко. Обычно рассматриваются так называемые потоки с ограниченным последействием [39], у которых интервалы Х\, ..., хп между событиями статистически независимы в совокупности, т, е. ьа>

(*„ ..., tn)I=a» 1 К )

К ) •••

Ы-

Эти потоки задаются последовательностью одномерных законов распределения wh(x), k=\, 2, . . . Потоки с ограниченным последействием, у которых до^(т) =да»(т) = . . . wn\(x) = ш ( т ) , называются рекуррентными (стационарными) потоками. Они задаются двумя законами распределения ay j (т) и ал(т). Потоки, у которых W\(т) = ш ( т ) , определяются единственным законом распределения w(т) и называются просто рекуррентными (стационарными) потоками [39]. К таким потокам относится, в частности, широко распространенный пуассоновский (простейший) поток, у которого закон распределения интервалов между событиями показательный w (т) = Ze~u,

х>0.

(2.139)

Видим, что потоки с ограниченным последействием в соответствии с терминологией § 1 . 1 являются непосредственно заданными случайными процессами, поэтому моделирование их является довольно простой задачей. Действительно, для получения реализаций последовательности моментов наступления событий 4 , k = \, 2,..., в этих случаях достаточно сформировать последовательность реализаций Xk, k = \ , 2, . . . , случайных величин с заданными законами распределения Доь(т) соответственно и вычислить моменты наступления событий по формуле 4 = 4-i+Tfc. Моделирование рекуррентных потоков упрощается еще и тем, что случайные величины (кро-

Me, может быть, t i ) имеют одинаковый закон распределения. Д л я формирования на Ц В М реализаций случайных .величин с заданными законами распределения можно использовать методы, рассмотренные в § 1.4. В частности, при моделировании пуассоновского потока реализации случайных величин ть с показательным законом распределения (2.139) можно получать с помощью алгоритма (см. § 1.4) 4=—Y

l n X f t

'

где х к — независимые случайные числа, равномерно распределенные в интервале (0, 1). Таковы методологические основы моделирования случайных потоков. Более подробные сведения о моделировании потоков и конкретные примеры моделирующих алгоритмов имеются, например, в (10]. 2.13. М о д е л и р о в а н и е случайных полей

Случайными полями называются случайные функции многих переменных [71]. В дальнейшем будут рассматриваться четыре переменные: координаты х, у, z, определяющие положение точки в пространстве, и время t. Случайное поле будет обозначаться как £(г, У• z, t)*\ Случайные поля могут быть скалярными (одномерными) и векторными (Л^-мерными). В общем случае скалярное поле | ( г , /) задается совокупностью своих N-мерных распределений

v = iT а векторное поле ||Sft(r, А^Х^гмерных распределений

1.W, —совокупностью своих

k=\,N.. *> В э т о м п а р а г р а ф е в е к т о р ы о б з н а ч а ю т с я так, как это принято в векторной алгебре. Такое обозначение в теории полей явл я е т с я б о л е е п р и в ы ч н ы м и н а г л я д н ы м , чем м а т р и ч н о е обозначение.

Если статистические характеристики поля не изменяются при изменении начала отсчета времени, т. е. они зависят только от разности т = / г — U , то такое поле называется стационарным. Если перенос начала координат не влияет на статистические характеристики поля, т. е. они зависят только от разности р = г 2 — г ь то такое поле называется однородным по пространству. Однородное поле изотропно, если его статистические характеристики не изменяются при изменении направления вектора р = г 2 — г ь т. е. зависят лишь от длины р = | р | этого вектора. Примерами случайных полей являются электромагнитное поле при распространении электромагнитной волны в статистически неоднородной среде, в. частности электромагнитное поле сигнала, отраженного от флюктуирующей цели (это, вообще говоря, векторное случайное поле); объемные диаграммы направленности антенн и д и а г р а м м ы вторичного излучения целей, на формирование которых оказывают влияние случайные параметры; статистически неровные поверхности, в частности земная поверхность и поверхность моря при волнениях, и ряд других примеров. В данном п а р а г р а ф е рассматриваются некоторые вопросы моделирования случайных полей на ЦВМ. Как и ранее, под задачей моделирования понимается разработка алгоритмов для формирования на Ц В М дискретных реализаций поля, т. е. совокупностей выборочных значений поля 5 ( r m , tn) = * (xit

itj, zk,

tn),

где тт= (xi, yjt zk) — дискретная пространственная координата; tn — дискретное время. П р и этом полагается, что исходными при моделировании случайного поля являются независимые случайные числа. Совокупность таких чисел будет рассматриваться как случайное б - к о р р е л и р о в а н н о е поле, называемое в дальнейшем Ъ-полем. Случайное б-поле — это элементарное обобщение дискретного белого шума на случаи нескольких переменных. Моделирование б-поля на Ц В М осуществляется весьма просто: пространственновременной координате (r m , tn) ставится в соответствие выборочное значение хъ (r m , tn) числа из датчика нормальных случайных чисел с параметрами (0, 1).

З а д а ч а цифрового моделирования случайных полей является новой в общей проблеме разработки системы эффективных алгоритмов для имитации различного рода случайных функций, ориентированной на решение статистических з а д а ч радиотехники, радиофизики,-акустики и т. д. методом моделирования на ЦВМ. В самом общем виде, если известен N или TV Х и мерный закон распределения, случайное поле можно моделировать на Ц В М как случайный TV или TVxTVi-мерный вектор, используя приведенные в первой главе алгоритмы. Однако ясно, что этот путь д а ж е при сравнительно небольшом числе дискретных точек по каждой координате является очень сложным. Например, моделирование плоского (не зависящего от г) скалярного случайного поля в 10 дискретных точках по координатам х и у и для 10 моментов времени сводится к формированию на Ц В М реализаций 1000-мерного случайного вектора. Упрощения алгоритма и сокращения объема вычислений можно достичь, если, подобно тому, как это было сделано по отношению к случайным процессам, разрабатывать алгоритмы для моделирования специальных классов случайных полей. Рассмотрим возможные алгоритмы моделирования стационарных однородных скалярных нормальных случайных полей. Случайные поля этого класса так же, как и стационарные нормальные случайные процессы, играют очень в а ж н у ю роль в приложениях [71]. Такие поля полностью задаются своими пространственно-временными корреляционными функциями (Здесь и в дальнейшем предполагается, что среднее значение поля равно нулю.) Столь ж е полной характеристикой рассматриваемого класса случайных полей является функция спектральной плотности поля G(s, со), п р е д с т а в л я ю щ а я собой четырехмерное преобразование Фурье от корреляционной функции /?(р, т) (обобщение теоремы Винера—Хинчина [71]): j J / ? ( P l х) e - J ( s P + < " ) dpd-z, —ОО —00 где sp — скалярное произведение векторов s = (s x . sy, sz) G(s,

ш)=

Р = (Рх» Р». Pz); dp = dpxdpvdpz. 156

При этом

и

—00 —00 Ф у н к ц и я с п е к т р а л ь н о й п л о т н о с т и G ( s , <о) с л у ч а й н о г о п о л я и э н е р г е т и ч е с к и й с п е к т р G(
00 00

и п е р е д а т о ч н о йК ф ункц ии = (is, jco)

—СО —00 00 Г оо j" h ( г ,

(sr+<

t)

"°dsdto.

—ос — ОС Процесс линейной пространственно-временной фильтрации £м'г, можно записать в виде четырехмерной свертки: 00

Ь(Г, 0 = 1, (Г. О * А (г. 0 =

ноля

со

J 5 I i ( r - p . / - t ) A ( p , x)dpdx = —oo —ос

oo oo =

J

j

I , (p,

x)A(r-p,

t - x ) d p d x ,

(2.140)

—CO —00 г д е £ 2 ( r . t)—иоле на выходе П В Ф р а к т е р и с т и к о й Л (г, / ) . П р и э т о м

RAp, где

с

переходной

ха-

G 2 ( S , to) =

G, ( s , t o ) | / C ( j s , jco) I ' ,

(2.141)

*)=*.(P.

t) > | c * ( p .

(2.142)

G , ( s , t o ) , G s ( s , t o ) , R, ( p , x ) , R2(p,

плотности

импульсной

и корреляционные

функции

P. - * ) . x) — ф у н к ц и и полей

на

спектральной

входе и на. выходе

П В Ф соответственно. Д о к а з а т е л ь с т в о с о о т н о ш е н и й (2.141), (2.142) п о л н о с т ь ю с о в п а дает с доказательством аналогичных соотношений для стационарных случайных процессов.

Аналогия гармонического разложения и фильтрации случайных полей с гармоническим разложением и фильтрацией случайных процессов позволяет предложить для их моделирования аналогичные алгоритмы. Пусть требуется построить алгоритмы д л я моделирования на Ц В М стационарного однородного по пространству скалярного нормального поля t) с заданной корреляционной функцией R ( p , т ) или функцией спектральной плотности G(s, ю). Если поле £(r, t) задано в конечном пространстве, ограниченном пределами О ^ х ^ Х , О ^ г / ^ У , O ^ z ^ Z , и рассматривается на конечном интервале времени (О, Т), то для формирования на Ц В М дискретных реализаций этого поля можно использовать алгоритм, основанный на каноническом разложении поля в пространственно-временной ряд Фурье и являющийся обобщением алгоритма (1.31): оо

S(rm,

= £ k=0 + Bksm(kslrm

Akcos{ks1rm-\-kw1tn)-{+ k<s>ltn).

(2.143)

Здесь Л ц и Вк— случайные независимые между собой нормально распределенные числа с параметрами (0, о2) каждое, 2 И причем дисперсии о^ определяются из соотношении: Rт 2

3

о

1

1_

TXYZ J оо 'X Y 1 T

x)drdx

=

'TXYZ j j j" j" R (x, y, z, x) dxdydzdx; 0 0 00 Rт

(2.144)

2

О h —TWz J оо

*)cos(As,r+ft.1*)drAf

k

=l>

2,...,

где R == (X, У, Z) — вектор, изображающий предел интег1 / kn Ь fe \ . kn рирования по пространству; « s , = ( - у , - у - j , — дискретные частоты гармоник, по которым производится 158

Каноническое разложение корреляционной функции в пространственно-временной р я д Фурье. Если область разложения поля во много раз больше его пространственно-временного интервала корреляции, то дисперсии легко в ы р а ж а ю т с я через спектральную функцию поля (см. § 1.6, п. 3) 2 °о =

G (0, 0) 2TXYZ

2 '

G{k s,. =

TXYZ

feto.) 1

9

1.

0

]4г,

A -

Формирование дискретных реализаций £(г„„ / п ) при моделировании случайных полей по данному методу осуществляется путем непосредственного вычисления их значений по ф о р м у л е (2.143), в которой в качестве А* и В к берутся выборочные значения нормальных случайных чисел с параметрами (0, о 2 л), при этом бесконечный ряд (2.143) приближенно заменяется усеченным рядом. Дисперсии о 2 ^ вычисляются предварительно но ф о р м у л а м (2.144) или (2Л45). Рассмотренный алгоритм хотя и не позволяет формировать реализации случайного поля, неограниченные по пространству и по времени, однако подготовительная работа для его получения довольно простая, в особенности при использовании формул (2.145), и этот алгоритм позволяет формировать дискретные значения поля в (произвольных точках пространства и времени выбранной области. При формировании дискретных реализаций поля с постоянным шагом по одной или нескольким координатам для сокращенного вычисления тригонометрических функций целесообразно использовать рекуррентный алгоритм вида (1.3). Неограниченные дискретные реализации однородного стационарного случайного поля можно формировать с помощью алгоритмов пространственно-временного скользящего суммирования б-поля, аналогичных алгоритмам скользящего суммирования для моделирования случайных процессов. Если h(r, t)—импульсная переходная характеристика ПВФ, формирующего из б-поля поле с заданной функцией спектральной плотности G(s, со) (функцию h(r, t), можно получить путем четырехмерной трансформации Фурье функции K G ( s , <о), см. § 2.2, п. 2), то, подвергая процесс пространственно-временной

фильтрации 6-полЯ дискретизации, поЛучиМ 5 [/, j к, п]=

ArAt s S £ 2 / г \Р> я, /. «] X р

у x^i—p,

q

I

т

j—q, k—l,

я—яг],

(2.146)

где ДгДТ = AxAyAzAt — константа, определяемая выбором шага дискретизации по всем переменным х, у, z, t\ хь [г, / , яг] — дискретное 8-поле. Суммирование в формуле (2.146) осуществляется по всем значениям р, q, I, т, при которых слагаемые не являются пренебрежимо малыми или равными нулю. Подготовительная работа при данном методе моделирования заключается в нахождении соответствующей весовой функции h(г, t) пространственно-временного формирующего фильтра. Подготовительная работа и процесс суммирования в алгоритме (2.146) упрощаются, если функцию h(x, у, z, t) можно представить в виде произведения h(x,

у, z, t) = h1(x)hi(y)h3(z)h4(t).

(2.147)

В этом случае, как это следует из (2.144), корреляционная функция поля является произведением вида R (х, у, z, х) = Д, (х) R2 (у) R, (z) R, (х),

(2.148)

где Rh{u) — hh(u) ")• 1,4. Если разложение корреляционной функции на множители вида (2.148) в строгом смысле невыполнимо, его можно сделать с некоторой степенью приближения, в частности, положив R(x,

у, z, т) = /?(*, О, 0, 0 ) Д ( 0 , у, О, 0 ) Х X R ( 0 , 0, г, 0 ) Д ( 0 , 0, 0, х).

(2.149)

При разложении на произведение (2.149) пространственных корреляционных функций изотропных случайных полей, у которых R (р, х) == R (р, х), р = Ух* -}- у2 -j- z2, частичные корреляционные функции RI(JC), Яд (у) и Rsiz) будут, очевидно, одинаковыми. П р и этом, ввиду приближенности формулы (2.149), пространственная корреляционная 160

функция R*(x, у, 2)=R1(x)R2(y)R3(z) будет соответствовать, вообще говоря, некоторому неизотропному случайному полю. Так, например, если R(р) является экспоненциальной функцией вида R(P)==R(x,

у, z) = е - |р ' = е

-

,

(2.150)

w то согласно (2.149) R, {х)=е~ , R, {у) = е~ Rs (г) =* |г = е '. В этом случае заданная корреляционная функция /?(р) аппроксимируется корреляционной функцией

R„(x,

у, г ) = е - ( | < 1

+ ы + |4,)

.

(2.151)

Случайное поле с корреляционной функцией (2.151) неизотропно. Действительно, если у поля с корреляционной функцией (2Л50) поверхность постоянной корреляции (геометрическое место точек пространства, в которых значения поля имеют одинаковую корреляцию со значением поля в некоторой произвольной фиксированной точке пространства) является сферой, то в случае (2.151) поверхность постоянной корреляции есть поверхность куба, вписанного в указанную сферу. (Максимальное расстояние между этими поверхностями может служить мерой погрешности аппроксимации). Примером, в котором разложение (2.149) является точным, может служить корреляционная функция вида R(x,

у, = e ~ a , J t l e~b,yl

е~с>г\

Р а з л о ж е н и е (2.149) позволяет свести довольно сложный процесс четырехкратного суммирования в алгоритме (2Л46) к повторному применению однократного скользящего суммирования. Таковы основные принципы моделирования нормальных однородных стационарных случайных полей. Моделирование ненормальных однородных стационарных полей с заданным одномерным законом распределения можно осуществить путем соответствующего нелинейного преобразования нормальных однородных стационарных полей, используя методы, рассмотренные в § 2.7. 11—160 161

П р и м е р 1. П у с т ь и м п у л ь с н а я П е р е х о д н а я х а р а к т е р и с т и к а П р о с т р а н с т в е н н о г о ф и л ь т р а д л я ф о р м и р о в а н и я плоского с к а л я р н о г о постоянного во времени поля имеет вид

h(x,

e-(a*

у) =

+ b

v)= e-"xe-bv,

Х3?0,

i/>0.

Тогда ее

оо

Е [i. /I = ЛхЛ
по

переменным

х

и у

соответ-

00

[«'. /]=Д
[i,

i-q].

«=0 И з полученных ф о р м у л видно, что д л я получения дискретных лизаций плоского поля можно сначала с помощью скользящего р о в а н и я с в е с о в о й ф у н к ц и е й h 2 [д] = ности независимых дискретных цесса

с

корреляционной

номер реализации сти,

а

ций

по

затем

с

i

реализаций

сформировать Л ' а [г, j ]

=hi(x)

функцией

в совокупности, j — н о м е р

помощью

индексу

Дуй~Ьч

с

скользящего

весовой

-Х"Лг(—*),

суммирования

функцией

совокуп-

случайного

дискреты

/tilp]=Axe~aP

в

реа-

сумми-

где

про-

i—

совокупно-

этих

реализа-

сформировать

дискретные реализации поля. Процесс такого двукратного

сглажива-

н и я б - п о л я п о я с н я е т рис. 2.11.

В рассматриваемом примере процесс скользящего суммирования легко сводится к вычислению в соответствии с рекуррентными ф о р м у л а м и (§ 2.3) Xb[i,

Л = Д y x b \ i , / ] , + e-_*X[t\ / - 1 ] ,

И ' - Я =*xXt[i,

;] +

e

-a6[t-l,

j].

Этот пример допускает обобщения. Во-первых, аналогичным образом, очевидно, можно формировать реализации более сложных полей, чем плоское, постоянное во времени поле. Во-вторых, пример подсказывает возможность применения рекуррентных алгоритмов д л я моделирования случайных полей. Действительно, если импульсную переходную характеристику ПВФ, формирующего из 6-поля поле с заданной корреляционной функцией, представить как произведение вида (2.151), то, как 162

было показано, формирование реализаций поля сводится к повторному применению алгоритмов для моделирования стационарных случайных процессов с корреляционными функциями R h ( u ) , £ = 1 , 4 . Эти алгоритмы могут быть сделаны рекуррентными, если корреляционные функции Rk(u), k=\,4, имеют вид (2.50) (случайные процессы с рациональным спектром). т

Рис. 2.11.

В заключение следует заметить, что в этом параграфе были рассмотрены только основные принципы цифрового моделирования случайных полей и даны некоторые возможные моделирующие алгоритмы. Целый ряд вопросов остался незатронутым, например: моделирование векторных (в частности, комплексных), нестационарных, неоднородных, ненормальных случайных полей; вопросы нахождения весовой функции пространственно-временного формирующего фильтра по заданным корреляционноспектральным характеристикам поля (в частности, возможность применения метода факторизации для многомерных спектральных функций); примеры применения цифровых моделей случайных полей при решении конкретных з а д а ч и т. д. Изложение этих вопросов выходит за рамки данной книги. Многие из них являются предметом будущих исследований.

Глава

третья

М О Д Е Л И Р О В А Н И Е ПРОЦЕССОВ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ПОМЕХ ЛИНЕЙНЫМИ

И НЕЛИНЕЙНЫМИ

СИГНАЛОВ

СИСТЕМАМИ

3.1. Введение

'При решении радиотехнических з а д а ч методами моделирования на Ц В М наряду с моделированием радиосигналов и радиопомех возникает необходимость в построении цифровых моделей процессов преобразования сигналов и помех различными линейными и нелинейными радиосистемами. З а д а ч а при этом заключается в нахождении алгоритмов, позволяющих получать на Ц В М дискретные значения v[ri\=v(nkt) процесса v(t) на выходе данной системы по известным дискретным значениям u{n) = u(nb.t) входного процесса и известным характеристикам системы, например передаточным функциям и характеристикам нелинейности его отдельных звеньев. Основными требованиями к таким алгоритмам являются минимальный объем вычислений при реализации их на Ц В М и простота подготовительной работы к моделированию. Эти алгоритмы в дальнейшем называются цифровыми моделями радиосистем. В целом ряде практических з а д а ч блок-схемы исследуемых радиосистем можно представить в виде соединения двух основных типов звеньев: линейных инерционных (динамических) звеньев (усилители, фильтры, следящие системы и т. д.) и нелинейных безынерционных звеньев (детекторы, ограничители, логические устройства и т. д.). Причем во многих случаях можно полагать, что между звеньями системы имеется развязка, т а к что свойства каждого звена практически не изменяются при присоединении к нему других звеньев, если это специально не предусмотрено. Из двух названных типов функциональных единиц можно строить линейные и нелинейные радиосистемы любой сложности путем наращивания блок-схемы. Такие системы в дальнейшем называются функциональными. Разбиение функциональной системы 164

на отдельные звенья обычно не является предметом самостоятельного исследования, так как обычно оно з а д а но; это облегчает задачу моделирования. Процесс прохождения сигналов и помех со входа на выход функциональных радиосистем состоит- из ряда отдельных преобразований сигналов и помех звеньями систем. В соответствии с этим моделирующий алгоритм для всей системы можно найти, зная моделирующие алгоритмы для отдельных звеньев. Последнее' наиболее просто осуществляется при моделировании разомкнутых систем, содержащих только последовательно включенные звенья. Моделирующие алгоритмы для таких систем получаются путем суперпозиции (типа «функция от функции») алгоритмов, моделирующих отдельные звенья систем. Выходной сигнал в этих случаях выражается в явном виде через входной сигнал. Более сложной является задача моделирования замкнутых нелинейных функциональных систем, содержащих один или несколько контуров обратной связи. Алгоритмы, описывающие функционирование замкнутых систем в целом, т а к ж е получаются путем соответствующей комбинации алгоритмов, описывающих отдельные звенья систем, но при этом выходной сигнал, вообще говоря, не выражается в явном виде через входное воздействие. Значения выходного сигнала при моделировании замкнутых нелинейных систем могут быть найдены путем решения на каждом шаге нелинейных алгебраических уравнений. Однако это затруднение, как будет показано ниже, во многих случаях можно обойти путем введения в цепи обратной связи элемента запаздывания на величину шага дискретизации. При этом моделирование замкнутых нелинейных функциональных систем принципиально не отличается от моделирования разомкнутых систем. В данной главе рассматриваются вопросы цифрового моделирования линейных динамических звеньев (или систем в целом, если эти системы линейны), нелинейных безынерционных звеньев и нелинейных систем, содержащих линейные динамические и нелинейные безынерционные звенья. Моделирование последних рассматривается как при отсутствии, т а к и при наличии замкнутых контуров.

В этой <главе основное внимание уделено з а д а ч е цифрового моделирования непрерывных систем как наиболее сложной и важной задаче. Импульсные системы можно рассматривать как разновидность непрерывных систем, у которых воздействия прерываются во времени (чаще всего периодически). Поэтому для моделирования импульсных систем, в особенности тех, у которых интервалы между воздействиями (импульсами) соизмеримы с длительностями импульсов (системы с малой скважностью или квазинепрерывные системы), можно применять те ж е методы, что и для моделирования непрерывных систем. З а д а ч а моделирования т а к называемых амплитудноимпульсных систем 1-го рода (85], у которых информация заключена лишь в амплитудах импульсных сигналов, является, по существу, упрощенным вариантом задачи моделирования непрерывных систем, когда з а д а н шаг дискретизации и метод дискретной аппроксимации (см. § 3 . 2 , п. 2, § 3.3). Какие-либо специальные методы моделирования импульсных систем в этой главе не рассматриваются. 3.2. Ц и ф р о в ы е м о д е л и непрерывных линейных динамических систем, основанные на д и с к р е т н о й свертке

Рассмотрим непрерывную линейную динамическую систему с постоянными параметрами. В качестве основных характеристик системы обычно используются передаточная функция К(р) в смысле преобразования Лапласа и импульсная переходная характеристика h(t), представляющая собой реакцию системы на б-функцию. В общем случае функции К(р) и h(t) являются, как известно, парой функций, сопряженных по Л а п л а с у : ее

К(р)=

J

h(t)e-p'dt, (3.1)

J С— j<0

K(p)eptdp.

Если функция h(t) абсолютно интегрируема, то характеристики К(р) и h(t) связаны прямым и обратным преобразованиями Фурье;

K(ja>)=

Jh(t)e4°" —oo

dt, (3.2)

j /с (jto) e^'rfco. Формулы (3.2) являются частным случаем формул (3.1). Д л я того чтобы при нулевых начальных условиях определить реакцию линейной системы на сигнал произвольного вида, достаточно иметь характеристики К(р) или h (t). При моделировании в качестве основной характеристики линейной системы удобно использовать импульсную переходную характеристику h(t), с помощью которой можно довольно просто выразить сигнал v(t) на выходе системы через входной сигнал u(t): со

v(t)—u(t)^h(t)=

ju(x)A(f —i)rfx = —со ОО = J u ( f — х)Л(х) dx. (3.3) —оо Согласно формуле (3.3) сигнал на выходе линейной системы является результатом скользящего интегрирования входного сигнала с весовой функцией h(t). Формула (3.3) называется, как известно, интегралом Д ю а м е л я , а т а к ж е формулой свертки. В дальнейшем будет использоваться последний термин. В формуле (3.3) предполагается, что подынтегральные функции з а д а н ы на всей оси, при этом они могут быть неограниченными и ограниченными во времени. В последнем случае значения функций вне области з а дания полагаются тождественно равными нулю. При различных односторонних и двусторонних ограничениях в о в р е м е н и ф у н к ц и й u(t) и h(t) пределы интегрирования можно уточнить. В наиболее р а с п р о с т р а н е н н ы х частных с л у ч а я х ограничений по в р е м е н и ф о р м у л а (3.3), к а к н е т р у д н о п о к а з а т ь , имеет следующий вид. 1. С и г н а л u(t) н е о г р а н и ч е н в о в р е м е н и . Ф у н к ц и я h(t) имеет одностороннее ограничение: h ( 0 = 0 при < < 0 (это условие всегда имеет место д л я физически осуществимых линейных систем),

»(0=

t 00 ^ u(x)h(t — x)dx = ^h(x)u(t

— x)dx.

(3.4)

2. С и г н а л u(t) неограничен во времени. Функция двустороннее ограничение: Л ( 0 = 0 при f < 0 и t>T,

t о ( 0 =

J

т и(х)

h(t

— х) пх —

Г Л (х) и (t — т ) d x .

t-T о 3. Ф у н к ц и и u(t) и h(t) имеют одностороннее " ( 0 = 0 при и Л ( 0 = 0 п р и t<О,

1

0,

HMeet

h(t)

(3.5) ограничение:

Г с О,

Г

С — х) dx = О\ h (х) и (t — х) dx, t > 0. 4. С и г н а л ц ( 0 и м е е т д в у с т о р о н н е е о г р а н и ч е н и е : « ( 0 = 0 t<0 и п р и 1>Т, ф у н к ц и я hit) ограничена с одной стороны: при / < 0 , ^ <(т) /; (t О

О, t

при ft(0=0

<<0, t

j и (x) h (t — x) dx =

f(0 =

(3.6)

О

С h (x) и (t — x)dx,

0 <

t <

T,

о

т

t

j u(x)h(t

— x) dx=

[

h (x) и (t — x) d x ,

t >

T.

t-T (3.7) 5. Ф у н к ц и и u(t) и h(t) имеют одинаковое н и ч е н и е : м ( 0 =h(t) = = 0 п р и t<0 и п р и t>T,

0,

двустороннее

огра-

<<0,

t

t

j ' и (х) h (t — х) dx =

j h (x) и (t—x)dx,

0 < t <

T,

ио = j

u(x)h(t

— x)dx =

j

h (x) и (t—x)

dx,

T<,t<2T,

t-T

t-T />2Г.

(3.8) Ф о р м у л а <(3.8) и с п о л ь з у е т с я , н а п р и м е р , п р и а н а л и з е п р о х о ж д е ния импульсного сигнала через согласованный с ним оптимальный ф и л ь т р [88].

В ы р а ж е н и я (3.4) — (3.8) представляют собой непрерывные математические модели линейных динамических систем с постоянными параметрами. Одним из принципов получения цифровых моделей непрерывных систем является переход от уравнений (3.3) — (3.8) к соответствующим дискретным эквивалентам. Рассмотрим методы дискретизации этих уравнений. 168

1. Дискретизация с использованием ф о р м у л численного интегрирования

Наиболее простым по своей идее способом получения цифровых моделей непрерывных систем является замена интегралов вида (3.3) — (3.8) соответствующими суммами. Д л я замены интегралов суммами существует большое количество методов (методы численного интегрирования). Рассмотрим применение формул численного интегрирования на примере выражения (3.5), когда функция h(t) имеет двустороннее ограничение (функцию h(t), неограниченную вправо, можно приближенно заменить ограниченной, если h(t)—>-0 при t—>-оо). Дискретные значения сигнала на выходе системы в точках tn = nAt равны т v [«] = J h (х)'и (пАt — т) dx. о Пусть дискретный входной сигнал u[n]=u(nAt) задан с тем ж е шагом At и пусть At в целое число раз меньше Т, т. е. T/At — N. При достаточно малом Atf последовательность проще всего найти, заменяя интеграл суммой по способу прямоугольников, основанному на замене подынтегральной функции ступенчатой кривой: N-1 о [/г] s r [л] = At 2 h [k] и \п — k], (3.9) k=0 где h[,k]=h(kAt)—дискретная импульсная переходная характеристика. Аналогично осуществляется дискретизация и других уравнений (3.4) — (3.8). Например, уравнению (3.4) соответствует следующий дискретный эквивалент: и-1 iU«l--=A'2

h\k\u[n — k\. (3.10) k=0 Согласно алгоритму (3.9) преобразование дискретного входного процесса и{п\ в дискретный выходной процесс t«[n] осуществляется путем скользящего суммирования первого с весовой функцией d$\=Ath[k], равной g точностью до множителя At дискретной импульсной

переходной характеристике системы, другими словами, путем дискретной свертки функций и[п] и а[п}=Mh[ri], Существует ряд других методов численного интегрирования, более точных по сравнению со способом прямоугольников (см., например, [3]). И з них часто применяются метод трапеций и метод Симпсона (формула пар а б о л ) . При использовании метода трапеций формулы (3.9) и (3.10) имеют соответственно вид N

И = 2 С [к] НЩ и \п — к], 4=О п ["] = 2 с [к] h [к] и[п — к], 4=0

(3.11)

(3.12)

где e[k] = -~ce[k],

с,

ОД=1,2,2

2,2,1.

При использовании метода Симпсона нужно выбрать параметр N четным и вычисления производить по формуле N

« U * ] = E c[k\h[k]u[n 4=0

— k],

(3.13)

где с[к\=-^-с0Щ,

с0[к] = 1, 4, 2, 4 , . . . , 2, 4, 1.

В общем случае применение методов численного интегрирования сводится к различному выбору коэффициентов (Щ. Это относится и к методу прямоугольников, для которого согласно (3.9) c[k]=AtcJ[k],

c0[k]=[

1, 1,..., 1, 1, 0,

т. е. все С(ЩУ кроме последнего, равны единице; последний коэффициент равен нулю. В задачах, не требующих большой точности решения, удобно использовать формулу прямоугольников как наиболее простую. Погрешность интерполяции систем по способу прямоугольников будет оценена ниже. К а к было показано в § 2.2, п. 2, аппроксимация .по способу прямоугольников не сопровождается погрешностью, если функции u(t) nh(t) имеют спектры, ограниченные часто170

той We = л/Аit, что соответствует случаю, когда спектр входного сигнала и полоса пропускания системы строго ограничены частотой со с ,а шаг дискретизации Д^ выбран в соответствии с теоремой Котельникова. Следует заметить, что если подынтегральная функция на концах интервала интегрирования обращается в нуль, например при h[0]=M[N]—0, формула прямоугольников и формула трапеций дают совершенно одинаковый результат. Такой вывод с очевидностью следует из формул (3.9) и (3.11). Формулы (3.9) — (3.13) описывают поведение некоторых дискретных линейных фильтров (см. § 2.1). Передаточные функции этих фильтров, определяемые как отношение z-преобразования дискретного выходного сигнала vt[n) к z-преобразованию дискретного входного сигнала ф г ] имеют вид [85]: СО

00

c [ k ] h [k]

к*

= Yi А=0 при одностороннем ограничении, * W

N с

S ft=0

-

k=0

N К

(3 14)

М

W

=

ГО

z*

(3.15)

k=0

при двустороннем ограничении по времени импульсной переходной характеристики системы. Формулы (3.14), (3.15) непосредственно получаются из формул (3.9) — (3.13), если zk рассматривать как оператор з а д е р ж к и последовательности й[п] на k периодов. Отсюда следует, что передаточные функции K*(z) являются ^-преобразованием от весовой функции а[А], представляющей собой последовательность значений импульсной переходной характеристики системы с весом c[k]. Структурная схема дискретного фильтра с передаточной функцией (3.15) изображена на рис. 2.1 (если заменить x[ti\, c[k], §[и]на и[п], afife], v*\n] соответственно). Согласно этой схеме последовательность дискретных значений входного сигнала поступает на линию з а д е р ж ки с N отводами, з а д е р ж к а между которыми равна А/. К отводам подключены весовые усилители с коэффициентами усиления a[k\ = (\k]h[k\ Д л я образования ди-

скрегного сигнала на выходе системы выходы в е с о в Ш усилителей суммируются. Процесс дискретной фильтрации по схеме рис. 2.1 можно легко р е а л и з о в а т ь на Ц В М в виде стандартной программы, входными п а р а м е т р а м и которой являются N и a[k], k—l, N. Коэффициенты а[£] д о л ж н ы быть вычислены заранее. З н а ч е н и я их при выбранном Дt определяются дискретной импульсной переходной характеристикой системы и выбранным способом численного интегрирования. В простейшем случае a[k] = Д / / # ] . Л и н и ю з а д е р ж к и можно имитировать на Ц В М , используя операцию пересылки содержимого ячеек оперативной памяти, х р а н я щ и х текущие значения входного сигнала от и[п] до и[п—N], Вычисления по схеме рис. 2.1 можно производить т а к ж е с помощью готовой стандартной операции перемножения матриц. Действительно, пусть входной дискретный сигнал и[п], п = О, N, и дискретная импульсная переходная характеристика системы h[n], п = О, N, причем J V + I ^ ^ V I + 1 ограничены во времени. Тогда, очевидно, выходной дискретный сигнал будет последовательностью из N2 = Ni + N-\-l чисел, которая удовлетворяет следующему матричному равенству: v[0] V[1J

ufoj u[1]

0 u[0]

... ...

о о

u[N-17 ... U[1] u[N] u[N+1] u[N] ... u[2j

V[N1+N]

0' 0

а[1]

u[Oj u[1]

u[Nrl]

... u[HrN-l]

u[NrN]

0

u[Hi]

... u[NrN-2]

u[NrN-l]

0 0

0 0

... ...

u[Nj

0

а [О]

a[N-l] a[N]

где а[п] = с{п] h[ti\, п = 0, N. (3.16) З а п и с ь матриц д л я случая Л^<Л/ аналогична. В выражении (3.16) матрица порядка ( J V + 1 ) X X(N + N 1 + 1), составленная из элементов и[п], п = О, Nu формируется следующим образом: к а ж д а я строка полу172

чается из предыдущей строки сдвигом на один элемент вправо. Так, например, если Ni = N2=2, то матричная запись будет иметь вид: ИО]

и

о [ij

к[1]

и[0]

и[ 2 ] |0

и[ Ц и [2]

0

0

v[2] v И 0

=

[4]

[0]

0

О О в[0] X "[1]

а[0]| а 14 в [21

и [ 2]

Б изложенной процедуре замены непрерывной системы эквивалентной дискретной системой использован косвенный путь, основанный на применении методов численного интегрирования к интегралам свертки (3.4) — (3.8). Дискретный фильтр, приближенно заменяющий непрерывный фильтр, можно получить т а к ж е несколько иным путем: непосредственно из рассмотрения импульсной системы, эквивалентной непрерывной системе. 2. Дискретизация по методу замены непрерывных систем эквивалентными импульсными системами

На рис. 3.1 показан пример линейной системы (а) и ее импульсного эквивалента ( б ) . И м п у л ь с н а я система работает следующим образом [85]. Входной сигнал u(t) подается на импульсный эле мент ( И Э ) , который превращает его в последователь ность импульсов, следующих с периодом повторения At, равным шагу дискретизации, и промодулированных по амплитуде сигналом u(t), т. е. 00 ".(*) =

Е ut[n)\k0(t — nAt), /!=— оо

где k0(t)—функция, описывающая форму импульса. Импульсный элемент можно представить в виде последовательного соединения простейшего импульсного элемента, преобразующего сигнал u(t) в модулированную последовательность мгновенных импульсов (6-функций) вида 00 И u(t)b{t «=—00

— nAt)

ii интерполирующего фильтра ( И Ф ) , представляющего собой линейную непрерывную систему с импульсной переходной характеристикой k0(t) (рис. 3.1,в). Выбирая шаг дискретизации Ait и функцию k0(t), можно с достаточной точностью аппроксимировать непрерывную функцию u(t) функцией u*(t) (см. § 1.7). На рис. 1.5 показаны примеры ступенчатой аппроксимации функции utt)

K(P)

v(t)

u(t)

a)

43

ujt)

K(P)

if) г

8) Рис. 3.1.

u(t) и аппроксимации ее отрезками прямых (линейная интерполяция в точках tn=n>At). В первом случае импульсная переходная характеристика интерполирующего фильтра представляет собой прямоугольный импульс с единичной амплитудой длительностью At, а во втор о м — симметричный импульс треугольной формы с единичной амплитудой длительностью 2At. Аналитические выражения импульсных переходных характеристик для этих случаев приведены в табл. 1.1. При других более точных видах интерполяции, например при квадратичной интерполяции, форма импульсной переходной характеристики интерполирующего фильтра будет более сложной [49]. Интерполирующий фильтр и система с передаточной функцией К(р) образуют так называемую приведенную непрерывную часть [85] (на рис. 3.1 показана пунктиром). Импульсная переходная характеристика приведенной непрерывной части, как нетрудно видеть, равна свертке функций k0(t) и h(t): К (0 = К (t) * h (t) =

j А-. (x) h(t — z) dx, —oo

где h(t) ~ импульсная переходная характеристика непрерывной системы. Поскольку приведенная непрерывная часть находится под воздействием б-импульсов, сигнал у * ( t ) па выходе импульсной системы можно представить в виде М0=

§ u[nYh.(t-nbt). Л=— 00 В дискретных точках /„ = «А/ выходной сигнал импульсной системы равен А 2 " М К\п - Щ= 2 » 1*1" l« - к\> ( 3 - 1 7 ) k=—eo k——oo т. е. последовательность дискретных значений выходного сигнала выражается в виде дискретной свертки последовательности значений входного сигнала и дискретной импульсной переходной характеристики ht[k] приведенной непрерывной части. Суммирование в формуле (3.17) распространяется на всю область существования дискретных значений, стоящих под знаком суммы. В частном случае, когда u(t)=iko(t)=h(t)=0, t<0, формула (3.17) запишется в виде п 0* l«] = 2 К ДО U[n — k]. (3.18)

о* 1«] =

k-0

Если, кроме того, импульсная переходная характеристика приведенной непрерывной части ограничена справа, т. е. имеет конечную длительность, равную Т, то N vAn] = J ^ h , \ k ] u [ n - k ] , (3.19) k-0

Передаточные функции дискретных фильтров, описываемых формулами (3.18) и (3.19), имеют соответственно вид К*(2) = 2

K\k\z\

(3.20)

k-0

K . ( z ) = E K\k\z\ k-o

(3-21)

Структурная схема дискретного фильтра с передаточной функцией (3.20) будет такой же, как и схема фильтра, представленного на рис. 2.1, если в ней заменить коэффициенты на h*[k]. Подготовительная работа к моделированию при использовании алгоритмов дискретной свертки рассмотренного типа сложнее подготовительной работы при использовании алгоритмов дискретной свертки, основанных на методах численного интегрирования, так как по заданной импульсной переходной характеристике системы требуется еще находить импульсную переходную характеристику h*[k] приведенной непрерывной части, задавшись формой импульсной переходной характеристики k 0 (I) интерполирующего фильтра. Наиболее просто функция h*(t) находится в случае, когда интерполирующий фильтр представляет собой просто безынерционный усилитель с коэффициентом передачи, равным Дt (непрерывный входной сигнал u(t) заменяется при этом модулированной последовательностью б-функций с огибающей М и[п}), а именно h„(t) = -Ath(t). Тогда согласно (3.18) п »Л/г] = Д/Е

h[k]u[n

— k],

(3.22)

Сравнивая (3.22) с (3.10), у б е ж д а е м с я , что т а к а я ж е дискретная свертка получается из непрерывной свертки при использовании метода прямоугольников. Дискретная аппроксимация непрерывных систем по принципу замены их эквивалентными импульсными системами имеет самостоятельное значение при получении рекуррентных моделирующих алгоритмов (§ 3.3). 3. П р и м е н е н и е к системам с п е р е м е н н ы м и п а р а м е т р а м и

Одним из преимуществ метода цифрового моделирования линейных динамических систем, основанного на дискретизации непрерывной свертки, является возможность простого обобщения его на случай моделирования линейных систем с переменными параметрами (нестационарных во времени систем). Связь вход — выход в системах с переменными параметрами, как известно, можно з а д а т ь с помощью им-

пульсной переходной характеристики h(t, т ) , зависящей от двух переменных и описывающей реакцию системы на б-функцию, поданную на вход в момент времени t, где t — текущее время, т — в р е м я , прошедшее с момента подачи б-импульса [45]. На рис. 3.2 дан пример реакции oft)

uft)

aft) *•

ДА vft)

hit,г) Рис. 3.2.

системы с переменными параметрами на импульсное воздействие, поданное в моменты времени 11 и t2>t При таком определении импульсной переходной характеристики нестационарной системы реакция ее на сигнал u(t) запишется в виде v{t)=

JU(X)A;(X,

t

—

z)'dx.

—00 В дискретной форме w* [«1 = S " ГО h ГО n — k\c\n — /г], к ИЛИ

["] = Е " ГО К ГО П — k], к

где (\k\ — коэффициенты, зависящие от метода численного интегрирования; h t ( t , т) — и м п у л ь с н а я переходная характеристика приведенной непрерывной части нестационарной системы. Таким образом, цифровые модели нестационарных линейных систем, основанные на дискретной свертке, представляют собой формулы скользящего суммирования с переменным весом (весом, зависящим от текущего значения дискретного времени). 12—160 177

4. Заключительные

замечания

Рассмотренные выше методы моделирования, использующие дискретную свертку, удобны в тех случаях, когда известна (или легко находится) импульсная переходная характеристика линейной системы (функция Грина дифференциального уравнения, связывающего входной й выходной процессы). Метод дискретной свертки одинаково успешно мож е т быть применен для цифрового моделирования линейных систем как с постоянными (сосредоточенными и распределенными), так и с переменными параметрами. Недостатком метода дискретной свертки является относительно большой объем вычислений. Действительно, если импульсная переходная характеристика системы имеет ограниченную длительность (или допускает ограничение), то для получения одного значения выходного сигнала требуется произвести, как это следует, например, из (3.9), 2N элементарных операций: N умножений и N сложений, не считая операций пересылки. При большом отношении длительности импульсной переходной характеристики к шагу дискретизации число N велико, что и приводит к большим вычислительным затратам. Если ж е импульсную переходную характеристику нельзя аппроксимировать ограниченной, то объем вычислений на одну дискрету выходного сигнала растет пропорционально ее номеру п [см. формулу (3.18)]. Другим распространенным методом описания радиосистем является частотный метод (метод Фурье). При использовании этого метода для цифрового моделирования линейных систем требуется произвести три основные операции: 1) численное преобразование Фурье входного сигнала (задание входного сигнала в виде суперпозиции гармоник; 2) умножение спектра входного сигнала на частотную характеристику системы /С(jo>) (изменение амплитуд и ф а з входных гармоник в соответствии с амплитудно- и фазо-частотной характеристиками системы); 3) обратное преобразование Фурье спектра выходного сигнала (суммирование выходных гармоник). Частотный метод цифрового моделирования обычно требует значительных вычислений. Однако в последнее 178

время Кули и Таки (100] предложили алгоритм так называемого «быстрого» преобразования Фурье на Ц В М . Применение этого алгоритма позволяет существенно сократить объем вычислений при прямом и обратном преобразованиях Фурье дискретного сигнала, что в некоторых случаях делает частотный метод цифрового моделирования более экономичным, чем метод дискретной свертки. На практике широкое распространение имеют линейные системы, которые можно считать системами с постоянными сосредоточенными параметрами. При цифровом моделировании систем этого класса значительную (для систем невысокого п о р я д к а весьма значительную) экономию вычислительных з а т р а т дает применение разностных рекуррентных методов. Эти методы являются усовершенствованными методами численного интегрирования дифференциальных уравнений [29]. Вначале эти методы, используемые в основном для исследования дискретных линейных систем, были применены для численного анализа переходных процессов в непрерывных системах автоматического регулирования. Впоследствии они о к а з а л и с ь эффективными методами цифрового моделирования динамических систем и были подвергнуты некоторой модернизации; в частности, автором эти методы были распространены на случай цифрового моделирования избирательных высокочастотных радиосистем, описываемых по методу огибающих [17]. Разностные методы цифрового моделирования динамических систем рассмотрены ниже. 3.3. М о д е л и р о в а н и е линейных непрерывных динамических систем с п о м о щ ь ю р е к у р р е н т н ы х разностных уравнений

Сущность разностных методов [85] состоит в замене процессов в непрерывных линейных системах процессами в эквивалентных импульсных линейных системах, поведение которых можно описать довольно простыми рекуррентными соотношениями (уравнениями в конечных разностях). Математическим аппаратом при этом служит дискретное преобразование Л а п л а с а (z-преобразование). К а к было показано в § 3.2 [см. формулы (3.20), (3.21)], передаточная функция K*(z) эквивалентной им12*

.

179

пульсной системы в смысле дискретного преобразовй* ния Л а п л а с а является ^-преобразованием от импульсной переходной характеристики h*(t) приведенной непрерывной части, т. е. К # ( г ) = Д{А # [я1} : *= f n]zn. п=0 Д л я линейных систем с постоянными сосредоточенными параметрами дискретные передаточные функции эквивалентных импульсных систем обычно удается найти в замкнутой форме в виде дробно-рациональной функции [85] I Ц-йцг" К

IS—

_

пг 1 + Ц ь„2*

A + A Z + . . . + Д,г'

0 , +blZ+ ...1 +bmZ
/О Z6 OQ\

V- >

Структурная схема дискретного фильтра с передаточной функцией (3.23) показана на рис. 2.2. Производя идентификацию передаточной функции (3.23), приходим к следующему рекуррентному алгоритму формирования дискретных значений выходного сигнала: v

* М =

—

а и

ч ["] + a

t

u

\п — /] —

[а — 1] —... — bmv„ [п. — т].

(3.24)

Полученное уравнение во многих случаях значительно сокращает вычисления по сравнению с формулами дискретного свертывания, что показано на приведенных ниже примерах. К настоящему времени предложено большое количество методов аппроксимации передаточной функции К{р) непрерывной динамической системы дробно-рациональной дискретной передаточной функцией К * ( г ) . Выражения д л я K*{z) в этих методах получаются непосредственно из рассмотрения различных способов интерполяции входного сигнала, а т а к ж е другими путями. Описания методов дискретной аппроксимации непрерывных систем в том или ином виде приводятся, кроме первоисточников, т а к ж е в работах [49, 63, 85, 109]. 180

Ниже дается систематизированное изложение основных методов дискретной аппроксимации в принятых в данной книге обозначениях и с рациональными выводами формул. Менее перспективные методы вынесены в петит. Сравнительная характеристика методов дана в заключительном пункте этого п а р а г р а ф а . 1. М е т о д ^ - п р е о б р а з о в а н и я В х о д н о й с и г н а л и(1), д е й с т в у ю щ и й н а л и н е й н у ю с и с т е м у с передаточной функцией К'(р), при достаточно малом ш а г е дискретизации можно приближенно заменить модулированной последовательн о с т ь ю 6 - ф у н к ц и й с о г и б а ю щ е й Atu{n\ и п е р и о д о м At. Э т о в с х е м е р и с . 3.1 с о о т в е т с т в у е т в ы б о р у в к а ч е с т в е и н т е р п о л и р у ю щ е г о ф и л ь т р а б е з ы н е р ц и о н н о г о у с и л и т е л я с к о э ф ф и ц и е н т о м у с и л е н и я k0=At, т . е. в ы б о р у д л я а п п р о к с и м а ц и и в х о д н о г о с и г н а л а u(t) функции и.!(<)=Д(ф}6

(t—nAl).

При таком виде интерполяции импульсная переходная характеристика приведенной непрорывной части, как уже отмечалось в § 2 . 3 , с т о ч н о с т ь ю д о м н о ж и т е л я At с о в п а д а е т с и м п у л ь с н о й п е р е ходной х а р а к т е р и с т и к о й непрерывной системы. Следовательно, дис к р е т н а я п е р е д а т о ч н а я ф у н к ц и я K.(z) эквивалентной импульсной системы равна z-преобразованию дискретной импульсной переходн о й х а р а к т е р и с т и к и н е п р е р ы в н о й с и с т е м ы , у м н о ж е н н о м у н а Д^:

00 K t ( z ) = btD

{h[n]}

h[n]zn,

= MYi

z =

(3.25)

л=0 (отсюда и название метода). Импульсную переходную характеристику непрерывной системы с постоянными сосредоточенными параметрами, у которой передаточная функция ,

к А р ) _

K{p) =

имеет в общем случае s + у р а в н е н и я /С 2 ( р ) =

A0 + AlP

KAir

+

...+AlP«

B, + BlP + ... + Bmp^ 1 различных полюсов

_

v = 0,s

(3-26> (корн ч

0) к р а т н о с т и г у к а ж д ы й , т а к ч т о г 0 + . . . + л , = / и ,

согласно известной теореме разложения (см., например,

[41]),

можно

представить в виде s

а(/)

г

» -

1

(3 27)

=Е £ »=0 Ц-О

где _d ( r v

_

H L

_ i

)

Г» -1» —1

,

В дальнейшем положим р„ = О

(*

w - л > ' 1 u - v •

(3-28)

Из (3.27)

следует

r.-lя (3.29)

»=0 ц=0 где

qv — p^At.

П о д с т а в л я я р а з л о ж е н и е (3.29) в формулу (3.25) и используя свойство линейности г-преобразования, получим г

-

»"-1

= J] J]

С

«=0 ц = 0

Г.-1 Кщ

(3.30)

(г).

v=0 (i=0 Передаточную функцию (г) (z-преобразование от / е ' ' " ) можно н а й т и п о т а б л и ц а м д и с к р е т н о г о п р е о б р а з о в а н и я Л а п л а с а [85] и л и ж е , поскольку

u Я*п пге

=

т о на основании т е о р е м ы д и ф ф е р е н ц и р о в а н и я z - п р е о б р а з о в а н и я по р а м е т р у ~[85] м о ж н о з а п и с а т ь

d» W - j f D b » ) В ч а с т н о с т и , п р и }J. = табл.

0,5

выражения

(3.31) для

К ^ (г)

приведены

И 0

1 / 0 - Р , * ) . р, = е " ' = е * А '

1

Р, Z/(1—PVZ)2

2

Р, 2 ( 1 + р, 2 ) / ( 1 - р , 2 ) '

3

P,z(l + 4pvz + p ^ ) / ( l - p > z ) *

5

в

3.1. Т а б л и ц а

4

па-

Pvz

(1 + 11 p,z + 11

+ рЗг»)/(1 _ ру2)«

p,z (1 + 26pvz + 66р2г' + 26рЗг» +P4
3.1

И т а к , о к о н ч а т е л ь н о е в ы р а ж е н и е д л я К.(г) разоваиия дается следующей общей формулой:

f, ^ ' V

4

*

1

d

*

по

методу

г-преоб-

1

(з з2)

s - v ^ ^

-

v=0 ц=0 где

<7V =

p^At — нормированные значения полюсов п е р е д а т о ч н о й

ц и и с и с т е м ы , а к о э ф ф и ц и е н т ы CV|A о п р е д е л я ю т с я п о

функ-

(3.28).

П р и отсутствии к р а т н ы х полюсов у передаточной функции сис т е м ы ф о р м у л а (3.27) д л я и м п у л ь с н о й п е р е х о д н о й характеристики является суперпозицией экспонент:

hit)-s'so^'.

ад

v=0

где Cv0 = [ * ( / > ) (/>-/>,)],=„,• В соответствии с этим формула

т—1

*.(*> = J

(3-34)

(3.32) переходит в формулу

т—1

Cv0/C,0(z)=2] C v o - Г Г ^ Г '

(3-35)

где P, =

e"v.

(3.36)

Нулевой полюс передаточной функции с простыми (если такой имеется) м о ж н о в ы д е л и т ь особо, тогда

К(р)

= ~ у К ,

полюсами

(р),

т—1 =

(3.37)

»=i

V=1 Если полюсы p v ,

v — 1tm,

передаточной

один из них не р а в е н н у л ю , т о формула

т

т

__ V=I

функции

простые и

(3.38) принимает

_ С, о • p„Z

»=1

вид

ни

2. М е т о д Ц ы п к и н а — Г о л ь д е н б е р г а [86]

Метод основан на ступенчатой интерполяции входного сигнала с помощью интерполирующего фильтра с импульсной переходной характеристикой вида (рис. 1.5, а)

= ('• \ 0, f < 0 , / > Д * .

(3.39)

Наиболее простым путем для нахождения общего выражения для передаточной функции K*(z) эквивалентной импульсной системы в этом случае является следующий. Возьмем в качестве входного сигнала u(t) единичную ступеньку, т. е. положим

1,

1

О,

<о.

Интерполяция такого сигнала по его дискретным

значе-

ниям

и [ л | = и(лД0 = 1 Ы = Л ' '

/г>0,

I 0,

/г<0

с помощью интерполирующего фильтра с импульсной переходной характеристикой (3.39) осуществляется, очевидно, точно: "* (0 = S " \п\ k'o (t — nAt) = ' т 1 = £ ["] k'o (t — nAt) = 1 (t) = u (]t). n Следовательно, в рассматриваемом случае реакции на единичную ступеньку непрерывной системы и эквивалентной импульсной системы в точности совпадают: •v.(t)

=

v(t).

Нетрудно найти общие выражения для этих реакций, зная полюсы передаточной функции К(р). Действительно, поскольку изображение по Л а п л а с у единичной ступеньки есть \/р, то изображение реакции v(t) равно _ LAк t п \ — _ ! _ Ш в ) _ 1 \ 'Л + Л Р + ••• + A,pi р W — 'p Кг[(р\— р j В0 + В,р + ... + ВщРЩ '

Отсюда вытекает, что функция v(t) определяется формулой (3.27), если в ней число нулевых полюсов положить на единицу больше (за счет множителя 1 !р перед К ( р ) ) , т. е.

»=0 |л=0 где

[ г 4 - 1, v = 0,

i,

m — степень полинома К 2 ( р ) \ C V - F r ^ r j ^ r - [ т * W (' -

Л)"' ]

P=PV

(3.41) v = 07s, —полюсы передаточной функции /С (р) ности rv каждый, причем /70 = 0.

крат-

Передаточная функция /С» (z) равна отношению z-преобразования v[n\ к z-преобразованию 1 [п]. Поскольку

а z-преобразование v\n\ дается формулой (3.30) при r v = — г\ и = [сравни (3.40) и (3.27)], то окончательно получим

»=о ц=о К

Выражения для

ы

[

>

/(^(z)

(3.42)

— — . dqv-

при

— ,

jj.

!

— • _е
= 0,5 даны в табл.

3.1.

Если полюсы /7v, v = l ~ j n , передаточной функции К {р) простые и ни один из них не равен нулю, то выходной 185

сигнал v(l)

согласно (3.37) можно записать в виде т 2С,0еР У (/) = / ( ( 0 ) + »=i

где I р=р» г-преобразование от этой функции имеет вид т D f r l . D - l ' a + V c . - J — v=i Следовательно, дискретная передаточная функция K*(z) по методу Цыпкина — Гольденберга в этом случае равна т К, (г) = К (0) + У. Сл - Ц ^ . 1 —е г V=1 3. М е т о д Рагаззини —

(3.43)

Бергена

В основу метода [104] положена линейная интерполяция входного сигнала с помощью интерполирующего фильтра с импульсной переходной характеристикой вида (рис. 1.5,в) ж дt

г". ( 0==1| о

(3.44)

, |/|>д*

Д л я нахождения передаточной функции K*(z) эквивалентной импульсной системы пойдем таким ж е путем, как и при получении передаточной функции K*(z) в предыдущем методе. Возьмем в качестве входного сигнала u(t) линейную функцию 10,

<<0.

Интерполяция ее по дискретным точкам и[п]=>Мп,

/г^0,

с помощью интерполирующего фильтра с импульсной переходной характеристикой (3.44) осуществляется точно. И з о б р а ж е н и я входного сигнала в смысле преобразования Л а п л а с а и дискретного преобразования Л а п л а са соответственно равны !{«(/)}

= !{ 1

(t)t}=±,

D {« [«]} = AtD {1 [л] п} = Ы

•

Изображение по Лапласу выходного сигнала v (t) в этом случае

где К(р)—передаточная функция непрерывной системы. Отсюда при известных полюсах передаточной функции К(р) общий вид функции будет определяться формулой (3.27), если число нулевых полюсов в ней положить на два больше (за счет множителя 1 /р2), т. е. ft, j •е v=0

,

(1=0

где (г 4-2, г

Н

v = 0,

v = u' ' v=0s l »' m — степень полинома K 2 {p)', т II 1! / ' Г" — vi* ( r " v — н. — I)! dp

r

"'=m+2; ц, 1 ^ V -v— I ^ p=pi

(3.45)

где p v = l 7 s , — полюсы передаточной функции К (р) кратности г, каждый, причем р0 = 0. Теперь, аналогично тому, как это было сделано при рассмотрении предыдущего метода, можно с р а з у запи. сать окончательную общую формулу для дискретной передаточной функции K*(z) эквивалентной импульс187

нон системы при линейной интерполяции входного сигнала

v —0 |л=0

Выражения для

при v = 0,5 помещены в табл. 3.1.

4. М е т о д , п р е д л о ж е н н ы й а в т о р о м [17]

Метод основан на замене формулы свертки рекуррентным уравнением. Сущность его состоит в следующем. Выразим сигнал v(i) на выходе системы с помощью сЬормулы свертки t о (f) = f и (х) h {t — х) dx, (3.47) о где u(t) — сигнал на входе системы. Предположим сначала, что полюсы ру, v —О, т-\-\, передаточной функции системы простые, тогда импульсная переходная характеристика системы является суперпозицией экспонент [формула (3.33)]: т-1 Л ( 0 = 2 М 0 .

hjt)=cy* ,

(3.48)

v=0

где коэффициенты C v0 определяются формулой (3.34). Р а з л о ж е н и ю (3.48) соответствует разложение выходного сигнала в виде t

m—l

О (0 =

S »=0

о,(0.

(0 = J « М Л V

(3.49)

0

Экспоненциальная форма весовой функции ht(t) в формуле (3.48) позволяет найти простое рекуррентное уравнение для вычисления дискретных значений сигнала vt(t) (см. § 2.3,

п. 2). Действительно, дискретные значения сигнала uv (/) в точках tn — nAt равны nAt . . . Т p v "Д( (nAt—i) „ Г , ^ Pv — , = "We ^ или, после замены т на

xht,

«V [«] = <°v0 j " (*) е

(3.50)

rf

*>

где C ^ C J U , q, = p b t . Значение сигнала УДЯ] на /г шагов вперед, т. е. в точке n - \ - k равно П+k

ъ

\

о, [« + * ! = С* { « W e ' ' (3.51) б Производя интегрирование в формуле (3.51) в два этапа: сначала по промежутку (0, я ) , а затем по промежутку (я, п+it), придем к рекуррентной фоомуле: о

+

[n +

П+k J и(х)

<jv

n+k

+

S

k] =

U(X)

(n+k—x)


e

C.v0

dx

(n+k-x)

—6 »0

dx

qv (n+k—x) ,

dx-{-


, ,
= e * 4 [ « ] + M « + * l . Г3.52)

где — я+ft r


n Положив, в частности, k — 1 и применив к интегралу / v [лг —— J 1 ] формулу трапеций с шагом 1, получим у, [я + 1 ] ( и

[я] е * +

и [п

+

I))

+ е'*

У, [Я]

или У, [я] =

С

-£ (и [я] + и [я -

11 е * ' ) + е * У, [я — 1 ]. (.3.53) 189

Дискретные значения v\n] сигнала v (t) согласно (3.49) являются суммой дискретных значений его составляющих и, ((), следовательно, m—l = ^ ^ и [п - 1 ] ) . + е " ' о, [ я - 1 ] ] • {и [ п ] + »=о

(3.54) Уравнение (3.53) описывает поведение дискретного фильтра с передаточной функцией L. 1 — е "z

(3.55)

Уравнению (3.54) соответствует, очевидно, дискретный фильтр с передаточной функцией в виде суммы передаточных функций /C,(z). Поэтому окончательно дискретная передаточная функция К* (г), аппроксимирующая непрерывную передаточную функцию, имеющую простые полюсы /?v, v = = 0, т — 1, в рассматриваемом общей формулой: =

LJ

г

случае

дается следующей

'+еГг . 1 _ е^ z

(3.56)

v=0

где Ov0 = Cv0A>, CM = \K(p)(p-pJ)\p=Pi, q = p \ t . (3.57) Если в формуле (3.52) положить k — 2 и для вычисления интеграла 7"v [/г —— J 2] использовать метод Симпсона [3], то по аналогии с предыдущим получим передаточную функцию /С.х. (г) в виде m—I т—1 „ +

= v=0

»=0

^ '

(3-58) е

z2

Увеличивая значение k в формуле (3.52) и используя для вычисления интеграла [п k] более сложные и более точные алгоритмы численного интегрирования, например способ 3 / 8 Симпсона при k = 3, легко можно продолжить отыскание ряда дискретных передаточных функций K*(z), начатого формулами (3.56) и (3.58). 190

Д а н н ы й метод допускает обобщение на случай кратных полюсов, когда импульсную переходную характеристику системы согласно (3.27) можно представить как суперпозицию составляющих вида *

(3.59)

Можно показать, что при использовании этого метода в сочетании со способом трапеций для нахождения ^передаточных функций соответствующих непрерывным фильтрам с импульсной переходной характеристикой вида (3.59), получаются результаты, совпадающие при (х>0 с результатами применения метода z-преобразования. Поэтому рассматриваемый метод при наличии

кратных полюсов можно применить совместно с методом г-преобразования, находя /С, (г) по формулам (3.55) или (3.58), a Kvy. (г), 2 —по формуле (3.31) или по табл. 3.1. В заключение заметим, что изложенный метод несколько расширен по сравнению с [17]. П р е ж д е чем переходить к характеристике других методов дискретной аппроксимации, необходимо сделать некоторые замечания к перечисленным методам. Все описанные методы требуют отыскания полюсов передаточной функции К(р), после чего дискретная передаточная функция K*{z) находится непосредственно по соответствующим формулам. Преобразование ее к дробно-рациональному виду (3.23) осуществляется с помощью простых алгебраических операций (приведение суммы рациональных функций К ( г ) к общему знаменателю и приведение подобных членов). Полюсы передаточных функций систем невысокого порядка отыскиваются легко. При нахождении полюсов для систем высокого порядка встречаются большие трудности. В этих случаях дискретную передаточную K.(z) К (р) Метод г-преобразовання

1

1

z (1-z)2

p*At2

1

1 2

p>At>

1

1 p'At*

Z 1—Z

1 1— z

pAt

p*Ai*

Метод Цыпкина—Гольденберга

1 6

z(l+z) (1 — z ) s z (2 + 4z + z 2 ) ( 1 — z)*

1 z(l + llz+llz2+zs) 24 (I—z)5

1 2 1 6

Z(l+Z) (1-z)2

z ( l + 4 z + z2) (1 — z) s

1 2 ( 1 + 1 1 Z + l l Z 2 + 2») 24 ( 1 — г)* 1 2(l+26z+66z2+26z3+2*) 120 (1 — z ) 6

функцию K*(z) всей системы можно найти по дискретным передаточным функциям ее отдельных звеньев, полюсы которых легко определяются, пользуясь при этом обычными правилами получения передаточной функции системы д л я различного соединения ее звеньев [85]. В качестве элементарных звеньев системы удобно использовать интегрирующие звенья k-ro порядка. Д л я этого передаточную функцию (3.26) путем деления числителя и знаменателя на рт нужно привести к виду рт

А, р

lis • •

(3.60)

\р t" „ТП-1+ Это преобразование эквивалентно замене системы с передаточной функцией К{р) системой с такой ж е передаточной функцией, но с другой структурой, включающей лишь интегрирующие звенья различного порядка с различными коэффициентами передачи, соединенные Таблица

3.2

К.(г> Метод Рагаззнни—Бергена (Мадведа—Траксела)

Метод Тастина

1 1+2 2 1 —z 1

6

1 + 4z + г г

1 + l l z + 11гг + г'

24

(1— г)'

1

l+26z+66z2+262'+z4

120

(1-г)*

1 1 +57z+302z2+302z'+57z*+z (1-г)« 720 13—160

1 1 + z

1 1+г

2 1—z

2

1 1+ 2 у

(1— г)г

1

М е т о д Боксера—Талера

1— г

2

)

(

V

1

1 + Юг + г г

12

(1—г) 2

1 г (1 — г2) 2 (1 —г)'

1 1 + г \* 12 1 - z )

(

1 — 2

г 1 1 + 2 У 1 г (1+4г+г ) 2

/1 \2

Х

~ Ч

1+гУ l - z )

6

(1—г)*

1_ 720

1 г(1+11г+112г+г') 24 (1 — г)» 193

по схеме, которая показана на рис. 3.3. Звенья с пере- : даточными функциями вида 1 Jph имеют только нулевые полюсы кратности г 0 =Л. Дискретные передаточные функции этих звеньев можно легко найти по формулам (3.30), (3.42) и (3.46), положив s = 0, r0=ik, K(p) = \/ph. Этим самым операторы непрерывного интегрирования заменяются операторами дискретного интегрирования. Операторы дискретного интегрирования, полученные различными методами для звеньев с передаточными функциями \/(pAt)k=l/qk, даны в табл. 3.2. При таком расчленении системы на отдельные звенья не требуется знать полюсы передаточной функции. Н и ж е описываются методы дискретной аппроксимации, использующие принцип замены операторов непрерывного интегрирования операторами дискретного интегрирования. 5. М е т о д Тастина [111] Это один из первых методов дискретного представления операторов интегрирования. Метод Тастина в конечном счете соответствует повторному применению формулы трапеций для вычисления интеграла. Возьмем интегрирующее звено 1-го порядка. Сигнал и(1) преобразуется этим звеном в сигнал v(t) по формуле

о В равны

дискретные

о

моменты

времени

tn=n&i

о

значения

(71—1) и

= о [я — 1J + Л [я]. Вычисляя интеграл

(л-1) дt по формуле трапеций с шагом At, получим Л М = — (и\п] +

и[п-\\).

сигнала

Таким образом, для вычисления последовательности v[n] имеем рекуррентное уравнение

v [ n ] r , ~ ( u [ л ] + и [ л - 1 ] ) + о[л—1], которому соответствует дискретная передаточная функция (36,)

rfJ'M-T-Tir

Интегрирующее звено fe-ro порядка можно представить как последовательное соединение из k интегрирующих звеньев 1-го порядка. Заменяя в этой цепочке интегрирующие звенья первого порядка дискретными звеньями с передаточными функциями (3.61), получим следующую дискретную аппроксимацию интегрирующего звена k-то порядка:

Операторы (3.62) помещены в табл. 3.2. 6. М е т о д М а д в е д а — Т р а к с е л а [102, 110} Метод сводится к замене непрерывной системы с передаточной функцией 1 lp h импульсной системой по схеме рис. 3.2 с интерполирующим фильтром, имеющим треугольную импульсную переходную характеристику (линейная интерполяция входного сигнала). Поэтому дискретная аппроксимация операторов интегрирования в методе Мадведа—Траксела в точности совпадает с дискретной аппроксимацией этих операторов по методу Ратаззини—Бергена (табл. 3.2). 7. М е т о д Б о к с е р а — Талера [94] Этот метод аппроксимации передаточной функции К(р) непрерывной динамической системы дискретной передаточной функции К . (г) по своей идее отличается от описанных выше методов. Переход от К(р) и К . ( г ) по этому методу осуществляется из следующих соображений. По методу z-преобразования, как показано выше, передаточная функция эквивалентной импульсной системы имеет вид

ОО К*(г) = . К * ( е - « ) =

Л[л]е-«», я=о

где h[n] — дискретные значения импульсной переходной характеристики h(t) непрерывной системы. Поскольку оо

13*

К(р)= Jft(/)e-»w, О

(3.63) 195

то, вычисляя интеграл '(3.63) по методу прямоугольников с шагом At, получим

оо к (р)

Л< У,

h [л]

.

(3.64)

п-0

При малом At формулы (3.63) и (3.64) дают близкий результат. Сравнивая (3.64) и (3.25), видим, что передаточная функция К , ( е ~ ч ) при малом шаге Дt приблизительно равна передаточной функции К(р), если в ней переменную р заменить на q/\t: К* (е-«)а* или

К* (г) ^ К Функция л I

д р I — трансцендентная функция от г . Требуется ж е

получить дробно-рациональную функцию от г. Д л я этого авторами метода предложено выразить операторы вида '1 fqh, входящие в передаточную функцию K(qlAt), через е - « , используя известное [25] разложение In е« в ряд I n Е« =

q =

2

+

XS +

Н=-Х5

+

(3.65)

где

1 —е1+е-«

1 + г

Согласно (3.65) (3.66) Выполняя деление в (3.66), получим 1 1 44 1/1 4 .. . Т Ж " " 2 " ( " З Г " " г Г * - 45 * , - 9 4 5 * 1 — • ) '

<3-67>

Ввиду быстрой сходимости ряда (3.67) можно пренебречь членами с положительными степенями х , тогда

1

1 1 1

1+2

Приближенные выражения (г) д л я <\/qk получаются путем возведения ряда (3.67) в k-ю степень и отбрасывания в результирующем ряде членов с положительными степенями х. Эти в ы р а ж е ния для £ = 1 , 5 приведены в табл. 3.2. Заметим, что аппроксимация в данном методе производится, по существу, в частотной области, а не во временной, к а к это было в описанных выше методах дискретной аппроксимации. Итак, для получения дискретной передаточной функции по методу Боксера — Талера н у ж н о заменить в передаточной функции К(р), представленной в виде (3.60), операторы интегрирования 1 /рн операторами Боксера — Т а л е р а из табл. 3.2.

8. П р и м е р ы Пусть задана линейная система с передаточной 2

К,К К (р) =

п

(1 у

функцией

+рТж)

Такую передаточную функцию имеет разомкнутая следящая система радиолокационного автодальномера с двумя интеграторами, коэффициент передачи которых К2 [сек~2], и корректирующей цепью с постоянной времени Г1; [2]; Ко — безразмерный коэффициент усиления. Найдем для нее эквивалентные дискретные передаточные функции и рекуррентные моделирующие алгоритмы, используя различные методы дискретной аппроксимации. Передаточная функция К(р) имеет только нулевой полюс кратности г а = 2 . По методу z-преобразования нахождение дискретной передаточной функции К* (г) сводится к применению формулы (3.30) при s = 0 , г 0 = 2 с учетом формулы (3.28) и табл. 3.1. Согласно 1(3.28) получаем Со

°-

d dp

KoKl (1 +/>г к ) р=о

= КоК2аТк,

(3.68)

с . , = KoKl [1 + Ртл]|р=0 = KoKl . По формуле (3.30) находим Я* ( г ) = СюКоо (г) + С., К 0 1 ( г ) ,

(3.69)

где в соответствии с табл. 3.1 К» (О =

К» (г) =

(1

_!g)t •

(3.70)

Подставляя (3.68) и (3.70) в (3.69) и производя элементарные преобразования, окончательно получим К* (*> =

1

'

=

«. = « . - КоК 2 и №.

(3.71)

Отсюда согласно общей формуле 1(3.24) непосредственно получаем рекуррентное уравнение, связывающее дискретный сигнал i>„[n] на выходе системы с дискретным сигналом и м[л] на входе системы v t [л] = я„м [л] + в , в [л - 1] + 2в. [л - 1] - У, [л - 2]. (3.72) Совершенно аналогично, используя формули (3.42) и (3.46) с учетом формул (3.41), (3.45) и табл. 3.1. найдем дискретные передаточные функции по методу Цьгпкина — Гольденберга:

aiz + a2z1 — 1 _ 2 z + z* ' а , = К\К\

(№+

Т,Д<). "г = КХИ

(Д
7.ДО

(3.73) 197

и по методу Рагаззини—Бергена

:

ав + а,г + 1?гг2 (г) =

я. ==

1 — 2z + г г

Г А<) ( л'' г ++ ЗЗ^ДО. * ' а«1 ' == " О Г4

(4 2

-j-

л/г

.

(3.74)

(Д<г-зг,д/). Передаточным функциям 1(3.73) и (3.74) соответствуют рекуррентные алгоритмы: 0

* И =

следующие

[я — 1] + аги [я — 2] + 2v, [п — I] — о, [п — 2],

(3.75)

р . [я] = а,и [я] + а , и [я — 1] + а2и [я — 2] + 2и0 [п — 1J — и, [я — 2J. (3.76) Д л я использования метода Боксера — Талера поделим тель и знаменатель передаточной функции К(р) на р2\

K.Kl , K.Kl тж KoKfa * ( / » = — + J—=—i

+

числи-

K0K2aTKAt -q—.

где q=pAt. Заменив операторы интегрирования \/q и l/q2 соответствующими дискретными операторами интегрирования из табл. 3.2, запишем

/C.Xfa' 12

*

l + lte + (1—2)2

к*к*тя и 1 + 2 + 2 1—г

После элементарных преобразований получим ,,

, „

К * (z) = а, =

й 0 + ахг + аггг

1_

2г

+ г»

К.К 2 а A t»,

'

й

1

,

» = "Г/С«/Сн(Д^ + (Д<г -

а2 =

Отсюда находим рекуррентный моделирующий

67

'КД0.

6Г.Д/).

(3.77) (3.78)

алгоритм (3.76)

Если рассматривать замкнутую следующую систему автодалыюмера, т о ее передаточная функция в линейном режиме имеет вид

г / i

KlP)

Аналогичной формулой в ы р а ж а е т с я дискретная передаточная функция импульсной системы, эквивалентной замкнутой непрерывной системе,

«*«(*>= 1 + где К . (г) — дискретная стемы. 198

передаточная

(3 79)

' функция

'

разомкнутой

си-

Подставляя в формулу (3.7ч) выражения для К,(г), мые

формулами

(3.71),

(3.73),

(3.74)

и

(3.77),

определяе-

легко найдем

ди-

скретные передаточные функции замкнутой системы автодальномера при различных методах дискретной аппроксимации и соответствующие им рекуррентные алгоритмы. Приведенные примеры показывают, что для линейных систем невысокого порядка, таких, как следящие системы радиоустройств, могут быть получены весьма простые рекуррентные цифровые модели. Д е й с т в и т е л ь н о ,

согласно

алгоритмам

(3.72),

(3.75),

(3.76)

и

(3.78) для вычисления одного дискретного значения сигнала на выходе следящей системы автодальномера с двумя интеграторами требуется произвести всего лишь 6—8 элементарных операций. При этом количество операций не зависит от выбранного шага моделирования. Использование дискретной свертки в качестве алгоритма цифровой модели в данном случае потребовало бы 2п элементарных операции на одну дискрету, где п — номер дискреты. В самом деле, импульсная переходная характеристика разомкнутой системы согласно формуле I(3J27) имеет вид

А ( 0 = С и + С.1* = К.К2(Г. + 0.

t > 0,

(3.80)

где Соо и Coi определяются формулой (3.68). Импульсную переходную характеристику (3.80) нельзя заменить ограниченной во времени. Поэтому вычисление выходного сигнала у,[я] п о методу дискретной свертки нужно производить согласно алгоритму [см., на-

п пример, (3.12)] v, [л]

£

С [k\ h [k] и [л — k], где h [л] = К„К2НТЖХ

А=0

X (' + A tn/TK). Отсюда следует, что в рассматриваемом случае для получения цифровой модели системы на основе дискретной свертки объем вычислений значительно больше, чем при моделировании с помощью рекуррентных цифровых моделей. 9. С р а в н и т е л ь н а я х а р а к т е р и с т и к а м е т о д о в аппроксимации

дискретной

Приведенные методы не охватывают всех известных к настоящему времени методов. Сюда не вошли методы, которые можно использовать только при типовых воздействиях на входе системы, такие, как метод Красовского — Поспелова [44], требующий, чтобы изображение по Л а п л а с у входного сигнала было дробно-рациональной функцией; метод Андерсона — Б о л л а — Босса [93], в котором входной сигнал аппроксимируется полиномом; метод оптимального цифрового моделирования Сейджа и Б а р т а [108] и другие методы, нашедшие ограниченное применение.

Рассмотренные выше методы являются универсальными в том смысле, что они могут быть применены при произвольных входных сигналах и к любым линейным системам с постоянными сосредоточенными параметрами. Независимо от метода дискретной аппроксимации (исключение составляет лишь метод автора при использовании формул численного интегрирования повышенной точности) рекуррентные алгоритмы при моделировании одной и той ж е системы получаются одинаковыми по сложности: порядок рекуррентного уравнения вида (3.24) совпадает с порядком моделируемой системы (см. п. 8). Различные методы дискретизации дают лишь различные значения коэффициентов н Ь к в формуле (3.24), при этом будет различной точность аппроксимации при выбранном шаге дискретизации. Изложенные методы различаются еще и по объему подготовительной работы. Выбор того или иного метода дискретной аппроксимации в конкретной задаче должен производиться с учетом указанных соображений. Подготовительная работа при всех методах дискретной аппроксимации упрощается и имеет практически одинаковый объем, если дискретизация осуществляется по принципу замены операторов непрерывного интегрирования операторами дискретного интегрирования, так как при этом не требуется отыскивать полюсы передаточной функции моделируемой системы. Методы Тастина, Мадведа — Траксела и Боксера — Талера могут быть использованы только таким образом. Однако в этих случаях снижается точность аппроксимации. Действительно, при дискретной аппроксимации с использованием полюсов всей системы, погрешность выходного сигнала возникает только в результате неточной интерполяции входного сигнала импульсным элементом, включенным на входе системы (см. рис. 3.1). Дискретная аппроксимация по принципу замены операторов непрерывного интегрирования операторами дискретного интегрирования означает, по существу, замену непрерывной системы импульсной системой с многими импульсными элементами, по одному на к а ж д о е интегрирующее звено, подвергаемое дискретизации [49, 63]. Такое многократное прерывание и с г л а ж и в а н и е входного сигнала при прохождении его через систему увеличивает погрешность выходного сигнала. 200

Д л я увеличения точности следует стремиться применять методы дискретной аппроксимации, позволяющие использовать информацию о полюсах передаточной функции (методы дискретной аппроксимации повышенной точности). К ним относятся методы, описанные в пп. 1—4 этого п а р а г р а ф а . Если передаточная функция имеет высокий порядок и нахождение ее полюсов связано с большими трудностями, то методы повышенной точности следует применять к отдельным звеньям системы, полюсы которых известны или легко находятся. Подготовительная работа при этом усложняется незначительно, ибо она, как у ж е отмечалось, сводится к расчету по готовым формулам. В тех случаях, когда полюсы найти не удается и в качестве элементарных звеньев системы приходится использовать интегрирующие звенья, методы дискретной аппроксимации повышенной точности теряют свои заметные преимущества в точности; однако возможность применения их не исключается (табл. 3.2). В этом смысле методы повышенной точности являются универсальными и более перспективными. При прочих равных условиях наибольшей точностью среди описанных методов дискретной аппроксимации обладают, по-видимому, метод Рагаззини — Бергена и метод, предложенный автором, в случае, когда интеграл / v [ n + 2] вычисляется способом Симпсона [формула (3.58)], так как первый основан на линейной интерполяции, а второй — на квадратичной интерполяции функций по дискретным точкам. Эти виды интерполяции обладают большей точностью, чем ступенчатая интерполяция (метод Цыпкина — Гольденберга) и интерполяция с помощью б-функций (метод 2-преобразования), и могут быть рекомендованы как наиболее перспективные. Метод Цыпкина — Гольденберга несколько уступает им по точности. Наименьшей точностью при аппроксимации интегрирующих звеньев порядка выше 1-го обладает метод Тастина, так как он соответствует повторному применению формулы трапеций. Д л я увеличения точности дискретной аппроксимации непрерывных передаточных функций в принципе возможно применение интерполирующих функций более высокого порядка, чем линейная и квадратичная [49, 63]. Однако при этом заметно усложняются алгоритмы. Поэтому приемы дальнейшего уве-

личения точности дискретной аппроксимации часто не оправдывают себя. Практически бывает выгоднее несколько уменьшить шаг дискретизации, чем применять алгоритмы, основанные на высших интерполяционных формулах. Заметим, что приведенная здесь сравнительная характеристика методов дискретной аппроксимации основана на качественной оценке их точности. З а д а ч а количественной оценки погрешности различных методов дискретной аппроксимации является довольно сложной. Методы решения этой задачи излагаются в § 3.7. 3.4. М о д е л и р о в а н и е у з к о п о л о с н ы х линейных систем

Рассмотренные выше алгоритмы позволяют находить мгновенные значения сигнала на выходе линейной динамической системы по известным мгновенным значениям сигнала на входе и удобны для применения при цифровом моделировании видеотрактов радиоустройств, следящих систем и т. д. В радиотехнической практике широко распространены узкополосные высокочастотные линейные системы типа резонансных усилителей и фильтров промежуточной частоты. Узкополосные (избирательные) линейные системы можно определить как системы, у которых импульсная переходная характеристика представляет собой колебание с некоторой средней частотой со0, равной средней (резонансной) частоте системы, и с медленно меняющимися по сравнению с coscod/ огибающей H(t) и фазой фт,(0 h(t)=H

(t) cos [
(3.81)

где H (t) = H (t) e —комплексная огибающая импульсной переходной характеристики. При исследовании процессов в избирательных системах, как правило, рассматриваются случаи, когда входной сигнал u(t) [а следовательно, и выходной сигнал v (/)] также представляют собой колебания с медленно меняющимися комо плексными огибающими U° (t) = U0 (t) е1'" и V°(f) = о = V e (<)e i l f t ' ( 0 и с некоторой средней (несущей) частотой ш,, мало отличающейся от резонансной частоты и>0, т. е.

о и (t) = Re IP (t) e , a > , ' = R e U ( t ) e * u

m

e%w;

» ( 0 = Re V» (f) e j(01 ' = Re V (<) e i f ° ( 0 e jS 'e J> °', где О = о), — u) 0 —расстройка несущей частоты входного сигнала относительно резонансной частоты системы, причем 0<<в0; U(t),f°(t), V(t), f°{t) — законы амплитудной и фазовой модуляции входного и выходного сигналов. В дальнейшем расстройку частоты сигнала будем учитывать как дополнительное линейно изменяющееся слагаемое закона фазовой модуляции. Комплексный закон модуляции сигнала будем записывать в виде U(/) = f / ( f ) е1ф" где

Vu(f)=9°m(t)

+ Clt,

, V(0=V(/) е*'т,


(3.82)

Qt.

При исследовании избирательных систем обычно интересуются не мгновенными значениями сигнала на выходе системы, а мгновенными значениями его медленно меняющихся параметров — огибающей V(/) и фазы<р„(/), т. е. мгновенными значениями его комплексной огибающей \ ( t ) . В связи с этим з а д а ч у цифрового моделирования избирательных линейных систем целесообразно ставить как задачу нахождения алгоритмов, позволяющих вычислять на Ц В М дискретные значения V[«] = = V(n\t) комплексной огибающей сигнала на выходе системы по известным дискретным значениям U[«] = = U ( n M ) входного сигнала и заданным характеристикам системы. Д л я вычисления дискретной комплексной огибающей выходного сигнала в принципе можно использовать описанные выше алгоритмы, с помощью которых можно найти последовательность мгновенных значений выходного сигнала, а затем, воспроизводя на Ц В М операции амплитудного и фазового детектирования, можно найти дискретную огибающую V[n] и дискретную фазу <рг{и] выходного сигнала. Однако такой путь связан с большим объемом вычислений. Во-первых, для обеспечения требуемой точности при дискретном представлении быстро осциллирующих функций нужно выбирать очень малый шаг 203

дискретизации, который часто во много раз меньше времени наблюдения процессов в моделируемой системе, что приводит к необходимости формирования очень большого числа дискретных значений процессов. Так, например, для воспроизведения на Ц В М одной реализации узкополосного сигнала длительностью 10 мксек, имеющего среднюю частоту /о = 30 Мгц, при шаге дискретизации М = 1/2/о, т. е. при двух выборках на период средней частоты, требуется вычислить 600 дискретных значений сигнала. Во-вторых, моделирование операций детектирования требует дополнительных вычислений. Ясно, что такой прием моделирования обладает явной избыточностью, т. е. значительная часть операций является излишней. Весьма эффективным способом сокращения объема вычислений при цифровом 'моделировании избирательных радиосистем является применение метода огибающих, позволяющего свести преобразование узкополосных процессов при их прохождении через избирательные линейные системы к преобразованию медленно меняющихся комплексных амплитуд. 1. М е т о д о г и б а ю щ и х . Комплексные линейные фильтры

Приведем некоторые, необходимые для дальнейшего сведения, относящиеся к методу огибающих. Согласно методу огибающих [31] комплексная амплитуда V(t) сигнала на выходе узкополосной линейной системы выражается через комплексную амплитуду U (t) входного сигнала следующим интегральным соотношением: (3.83) —ее где Н (t) — комплексная огибающая импульсной переходной характеристики системы. Выражение (3.83) является комплексным аналогом интеграла свертки (3.3) (интеграла Д ю а м е л я ) . Простой вывод формулы (3.83) имеется в работе [88]. В частном случае, когда входной сигнал точно настроен на среднюю частоту системы и имеет лишь ампли204

тудную модуляцию (ф^ы = 0 ] , а импульсная переходная характеристика системы не имеет фазовой модуляции ( < p h ( f ) = 0 ) , огибающие в выражении (3.83) будут вещественными: 00 —00 В этом случае формула свертки для амплитуд отличается от формулы свертки для мгновенных значений лишь множителем '/гСледует отметить, что равенство (3.83) является приближенным. Однако погрешностью метода огибающих можно пренебречь, если функции U (t) и V(t) медленно меняются по сравнению с coscoo^. Это условие выполняется, если ширина спектра колебания « ( / ) , ширина полосы пропускания линейной системы, на которую оно воздействует, и расстройка частоты входного сигнала по отношению к средней частоте системы малы по сравнению с частотой шо- Абсолютные значения полосы и расстройки роли не играют. Если функции U (t) и Н (t) имеют рассмотренные в § 3.2 односторонние или двусторонние ограничения по времени, то пределы в интеграле (3.83) будут иметь такой ж е вид, как и в интегралах (3.4) — (3.8). В частности, если U ( i ) = 0 при и узкополосная система физически осуществима ( Н ( / ) = 0 при ^ < 0 ) , то V(0=-i-jH(T)Utf:-T)A. •о

(3.84)

Если ж е импульсная переходная характеристика системы имеет конечную длительность (или допускает аппроксимацию функцией, ограниченной во времени), то г V ( 0 = 4 " j"H(x)0(f — ( 3 . 8 5 ) о где Т — длительность импульсной переходной характеристики. Существенным достоинством формулы комплексной свертки (3.83) является то, что она позволяет при линейных преобразованиях высокочастотных процессов 205

о п е р и р о в а т ь л и ш ь с их медленно м е н я ю щ и м и с я з а к о н а ми модуляции практически без потери точности и информации, заключенной в высокочастотных колебаниях. П р и этом несущая частота, не с о д е р ж а щ а я информации, исключается из рассмотрения. В этом и состоит сокращение избыточности при использовании метода огибающих. К о м п л е к с н у ю свертку (3.83) м о ж н о р а с с м а т р и в а т ь к а к описание поведения так н а з ы в а е м о г о линейного комплексного фильтра [34, 43], п р е о б р а з у ю щ е г о комплексный сигнал \J(t) в комплексный сигнал У ( 7 ) , п р и этом Н и ( / ) = = - ^ - H ( f ) — и м п у л ь с н а я переходная х а р а к т е р и с т и к а

ком-

плексного ф и л ь т р а . В операторной ф о р м е процесс комплексной ф и л ь т р а ц и и м о ж н о з а п и с а т ь в виде V(P) =

K(P)V(P),

где U ( р ) и М(р) — и з о б р а ж е н и я по Л а п л а с у входного и выходного комплексных сигналов соответственно; К ( р ) — п е р е д а т о ч н а я функция комплексного ф и л ь т р а [ и з о б р а ж е н и е по Л а п л а с у функции Н°(/)]. Комплексный сигнал U ( t ) имеет вполне определенный физический смысл, если его р а с с м а т р и в а т ь к а к пару вещественных сигналов: U,(0=ReU(/).

U2(/)=ImU(0,

п р е д с т а в л я ю щ и х собой вещественную и мнимую части комплексного с и г н а л а ( к в а д р а т у р н ы е компоненты сигнала) . П р е д с т а в л я я выходной комплексный сигнал V(t) и импульсную переходную х а р а к т е р и с т и к у Н°(^) комплексного ф и л ь т р а в виде к в а д р а т у р н ы х компонент, з а п и ш е м ф о р м у л у (3.83) в виде V(0=V,(t)+jV2(t)=

j [Hl ( x ) + j / / 2 ( x ) ] [(/, ( f — 0 +

—00 + jt/ a Отсюда CO Vt(t) = §H1(*)Ul(t-x)dx—00

(t-x))dx. 00 J —CO

Ht(x)U2(t-x)dx,

VM)=

J t f . W ^ (f — x)dx +

—oo

(3-86)

Jtf,(%)Ut(t—*)fo

—00

или в операторной форме V, (р) =

Кг

(p)U1(p)-Kt(P)UAP)<

v, (Р) = к, (р) и2 (р) + К2 (р) Ut (р), г д е Ui(p),

U2(p),

Vi(р),

V2(p)

(3.87)

— и з о б р а ж е н и я по Л а п л а -

су квадратурных компонент входного и выходного сигналов соответственно; Ki(p) п.К2(р)— передаточные функции линейных фильтров с импульсными переходными характеристиками Ht(t) и H2(t) соответственно. Огибающая и ф а з а колебания u(t) в ы р а ж а ю т с я через его квадратурные компоненты известными формулами V(t) = Vv;(ty+V;(t)

,
acrtg^-

Система уравнений (3.87) легко приводится к матричной форме "t (Р) КАР) - К АР) V. ( р ) (3.88) X V, (р)

К, (г) *,(/>)

U2

(Р)

Из соотношений (3.86) — (3.88) следует, что комплексный фильтр является частным случаем двумерного линейного вещественного фильтра (см. § 2.8). Если в общем случае элементы передаточной матрицы !!*(/>) 11=

К и { р )

к , А р )

двумерного линейного фильтра могут быть произвольными, то элементы передаточной матрицы комплексного фильтра обладают свойством симметрии: К,,(Р)=к22(Р)=К,(р),

К21

(р)=-К„(Р)=К

г

(Р).

Структурная схема двумерного фильтра, эквивалентного комплексному фильтру, показана на рис. 3.4. Такой двумерный фильтр называется фильтром с антисимметричными прямыми перекрестными связями [43]. В дальнейшем мы будем пользоваться в основном комплексной формой записи, переходя к вещественной лишь на последних этапах. Комплексная форма записи 207

узкополосной фильтрации по методу огибающих п р е д - 1 почтительнее, чем матричная форма записи, так как первая полностью совпадает с обычной формой записи одномерной вещественной фильтрации. Использование ее

Рис. 3.4.

позволяет обобщить данные выше методы цифрового моделирования линейных динамических систем на случай моделирования узкополосных линейных систем, описываемых по методу огибающих. 2. Ц и ф р о в ы е м о д е л и у з к о п о л о с н ы х линейных систем, основанные на д и с к р е т н о й к о м п л е к с н о й свертке

Рассмотрим наиболее распространенный случай, когда импульсная переходная характеристика системы имеет одностороннее или двустороннее ограничение. Подвергнув формулы (3.84), (3.85) дискретизации, используя при этом, как и ранее, методы численного интегрирования, .получим следующие алгоритмы вычисления дискретных значений комплексной огибающей на выходе системы: п п

v,

[п] =

Ц-

J]

[k]

Н [к] и

\п -

k=0

к) =

a [k\ и

Y

\п -

k\,

k=0 (3.89) N

v* М =

J ] с0 [к] H\k]V\n-k]

N

= £&

[k] и

[n-k], (3.90)

где Ai — шаг дискретизации; N—T/At\ cd[k] — коэффициенты, зависящие от метода численного интегрирования; Н[&] = Н ( k A t ) —дискретные значения комплексной огибающей импульсной переходной характеристики системы; U[n]— дискретные значения комплексной огибающей входного сигнала; a \k\ — — С 0 [fe] Н [k]. Величина шага At в ф о р м у л а х (3.89), (3.90) определяется величиной верхней частоты в спектре модуляции высокочастотных колебаний, а не в спектре самих высокочастотных колебаний, к а к это было бы без привлечения метода огибающих. Это обычно дает возможность значительно увеличить шаг дискретизации и тем самым сократить вычислительные затраты. З а м е н а непрерывных сверток (3.84) и (3.85) дискретными свертками (3.89) и (3.90) соответственно означает замену непрерывных комплексных фильтров эквивалентными дискретными комплексными фильтрами с передаточными функциями K*(z) = V a [ £ ] 2 > , Ш

(3.91)

K*(*) = S a l k\z\ (3.92) k=0 Отличие формул (3.91) и (3.92) от формул (3.14) и (3.15) состоит лишь в том, что коэффициенты перед zh в формулах (3.91) и (3.92) являются, вообще говоря, •комплексными. Структурные схемы фильтров с передаточными функциями (3.15) и (3.92) одинаковы (см. рис. 2.1). Процесс дискретной комплексной фильтрации дискретного сигнала U{n] фильтром с передаточной функцией (3.92) в соответствии с рис. 2.1 состоит в следующем. Последовательность комплексных чисел 1){я], порождаемая непрерывной комплексной огибающей входного сигнала, поступает на линию з а д е р ж к и с N отводами, з а д е р ж к а между которыми равна At. Отводы линии з а д е р ж к и подключены к весовым усилителям с комплексными коэффициентами усиления а[£]. Выходы весовых усилителей суммируются, в результате чего образуется последовательность комплексных чисел V{/i], представляющая собой дискретные значения комплексной огибающей вы14—100 Щ

ходного сигнала. Т а к а я схема вычислений может быть реализована в виде стандартной программы. Операции сложения и умножения комплексных чисел осуществляются на Ц В М по стандартной подпрограмме. Вычисления в соответствии с алгоритмом (3.90) можно проводить и без привлечения операций над комплексными числами. Д л я этого нужно выразить дискретные комплексные огибающие через дискретные квадратурные компоненты в виде V*, И = £ ГО k=0

и

>

I"

v* 2 [«] = S а , го и 2 \

ГО ^ И• k=0 ЛГ (3-93) + 2 «2ГОг/, [« - Л].

п

где £/,„ |л] = (лД/), V . , . , [л] == V # b I (лД*) — дискретные значения квадратурных составляющих входного и выходного сигналов соответственно; с , . , [£] = (At/2)c0 [k\ Я , \ k ] . Н Н i ^ k A t ) — дискретные квадратурные составляю-' щие импульсной переходной характеристики. Последнее означает замену дискретного комплексного фильтра двумерным вещественным дискретным фильтром с передаточной матрицей К*[г)=

К.1 (г)

(г)

-к.г

(г)

/С», (г)

где (2) = Е a . k=0

ГО

(2) = £ k=0

И г".

Структурная схема этого двумерного дискретного фильтра показана на рис. 3.5. Она является эквивалентом схемы рис. 3.4 так же, как и формулы (3.93) являются дискретным эквивалентом формул (3.86). Из (3.93) видно, что осуществление дискретной комплексной свертки при прочих равных условиях требует в общем случае в четыре раза больше операций, чем осуществление вещественной дискретной свертки. В частных случаях количество операций может быть меньшим. Так, если ф л ( / ) = 0 (в этом случае узкополосная система 210

имеет, как известно, линейную фазовую характеристику), то a$k]=О, К»2(2) = 0 и, следовательно, N

N

V*. [»] = S л, Щ £/, [n-k],

V*2 [п] = S а, [к] U2

[n-k],

А=0

k=0 ai\k)=a[k\

= ^-ct[k]H[k\.

(3.94)

При этом в двумерном дискретном фильтре на рис. 3.5 отсутствуют перекрестные связи. Операций здесь только вдвое больше по сравнению с вещественной сверткой. и,[п

K*t (г)

Ы*]

-К*г(г)

игЫ Рис. 3.5.

Столько ж е операций требуется, если входной сигнал промодулирован лишь по амплитуде и не имеет расстройки ( q > u ( ^ ) = 0 ) : м а д

[«-*].

v«A"\

*=0

а^щилп-к],

Ux\n\=U[n\.

(3.95)

k=0 В этом случае сигнал U2[n] на втором входе двумерного фильтра на рис. 3.5 равен нулю. Если одновременно выполняются два указанных условия, то N

V*. [л] = V [п] = 2 а [k] и [п - k\. 14*

(3.96) 211

В этом случае свертка огибающих является вещественной, и двумерный фильтр превращается в одномерный. В некоторых случаях д л я вычислений удобна тригонометрическая форма записи комплексной свертки (3.90) в виде N v

*..21«] = У.а [к] U [п | - k) c o s (?„ [п] + ? „ [ « - к}). (3.97) sin k=0 Если использовать метод дискретизации комплексной свертки, основанный на принципе замены непрерывного комплексного фильтра эквивалентным импульсным фильтром, то по аналогии с дискретизацией вещественной свертки (§ 3.2) получим алгоритмы вида (3.89)(3.90) с той лишь разницей, что вместо весовой функции a[k] будет использоваться весовая функция Н,[&]— дискретная импульсная переходная характеристика приведенной непрерывной части комплексного фильтра. Тогда V* И = Е Н , [k]V[n-k\, k=0

(3.98)

V,l"]=S

(3.99)

Н#[*1Щл-Л].

Из формул (3.98), (3.99) можно легко получить алгоритмы, аналогичные алгоритмам (3 93) — (3.97), заменив в последних а,[к], a2[k] и а [к] на / / . , [к] = Re Н* [k], Я^ 2 [k] = — Im Н.х. [/г] и Я,, [&] == | Нх. [fe] | соответственно. 3. М о д е л и р о в а н и е у з к о п о л о с н ы х линейных систем с п о м о щ ь ю комплексных р е к у р р е н т к ы / разностных уравнений

Оказывается, что алгоритмы вида (3.98» при определенных условиях можно заменить более экономичными рекуррентными алгоритмами [17], т. е. разн стные методы, описанные в § 3.3, допускают обобщение па случай цифрового моделирования комплексных линейных фильтров, к которым по методу огибающих свод 1тся узкополосные линейные системы.

Такое обобщение возможно, если передаточная функция комплексного фильтра является дробно-рациональной функцией вида К (п\ —

А

° + А ' Р + --- + А)Р' В„ + В1р + ... + В т р'« '

где A i = J, /, Bj, / = 1 , т — в общем случае комплексные коэффициенты. Последнее имеет место в целом ряде практически важных случаев. Действительно, передаточная функция К{р) есть не что иное, как укороченная передаточная функция узкополосной системы, которая является операторной записью укороченного дифференциального уравнения, связывающего комплексные огибающие U ( f ) и \ (t) и приближенно заменяющего полное дифференциальное уравнение узкополосной системы {31]. Укороченную передаточную функцию узкополосной системы можно получить {31], зная комплексный коэффициент передачи системы /C(jQ), записанный как функция сравнительно небольших расстроек Q = to—шо, где о>— частота входного гармонического сигнала, соо — средняя (резонансная) частота системы, путем простой замены аргу мента j£2 на р, т. е. К ( / > ) = * (jO)|JB=, Так. например, комплексный коэффициент передачи усилителя промежуточной частоты (УПЧ) с одиночными настроенными в резонанс контурами равен [27] * . 0 ° ) = ( г ( З -

1

0

0

)

где п — число каскадов; ko\ — коэффициент усиления на резонансной частоте; Д о — полоса пропускания одного контура на уровне 0,7. Комплексные коэффициенты передачи У П Ч с попарно расстроенными контурами и УПЧ с двухконтурными полосовыми фильтрами имеют одинаковый вид

где ko2—коэффициент, определяющий усиление УПЧ на резонансной частоте; До) — полоса пропускания одного 213

контура на уровне 0,7; т — число пар расстроенных каскадов в первом случае и число каскадов во втором случае; Q 0 — расстройка контуров в первом случае, Qo= ='РД<)> — во втором случае ф — фактор связи, равный произведению коэффициента связи между контурами на добротность). Передаточные функции К ( р ) , соответствующие формулам (3.100), (3.101), имеют вид

Таким образом, получили, что передаточные функции комплексных фильтров в данных примерах являются дробно-рациональными. Это имеет место и в других случаях. Д л я получения рекуррентных уравнений, моделирующих процессы комплексной фильтрации, нужно, как и в случае вещественной фильтрации, перейти от непрерывных дробно-рациональных передаточных функций комплексных фильтров к эквивалентным дискретным передаточным функциям. Д л я этой цели полностью пригодны все методы дискретной аппроксимации, описанные в § 3.3. Применяя их, придем к дробно-рациональным дискретным укороченным передаточным функциям и рекуррентным уравнениям вида

V * [ " ] = a 0 U [«] + ... + а г и [п — 1] — — b,V* [п — 1] — ... — b m V* [п —

от].

(3.103)

Здесь в отличие от (3.23) и (3.24) коэффициенты b j и последовательности Ufn], V*[/i] являются, вообще говоря, комплексными. Структурная схема дискретного комплексного фильтра с передаточной функцией (3.102) будет такой же, как схема, п о к а з а н н а я на рис. 2.2, если в последней заменить вещественные дискретные сигналы х[п] и на комплексные сигналы U(/j] и V,{«], а коэффициенты усиления а; и bj — на коэффициенты а* и bj. 214

Пример 1. Пусть в качестве узкополосной системы задан однокаскадный УПЧ с двухконтурным полосовым фильтром при оптимальной связи между контурами ( P = l , £2о=Ла>). В этом случае, как известно [27]. получается предельная одногорбая частотная характеристика. Согласно (3.101) укороченная передаточная функция такого УПЧ имеет вид Кг

^

=

1 + (I +

р Аш)2'

Выберем для простоты величину так, чтобы коэффициент усиления УПЧ на резонансной частоте равнялся единице ( | К 2 ( 0 ) | = 1), тогда 2 Кг

^

=

1 + (1 +

р/Аы)*'

Пусть на входе УПЧ действует некоторый непрерывный узкополосный сигнал и (0 = Re U (t) е 1ш °' = Re U (t)

( 0

eJ4

где U(i) и ф и | ( 0 — з а к о н ы амплитудной и фазовой модуляции сигнала соответственно; <Оо—несущая частота, совпадающая с резонансной частотой УПЧ [расстройка частоты согласно (3.82) включена в ф„(/)]. Реакцию УПЧ на сигнал u(t) обозначим как 5

eJ4

v (0 = Re V (0 е "»' = Re V (t) е'*»

где V(t) и ф » ( < ) — з а к о н ы амплитудной и фазовой модуляции выходного сигнала ((фаза выходного сигнала рассматривается здесь относительно фазы немодулированной несущей вида costoo/)• Для получения рекуррентного моделирующего алгоритма воспользуемся, например, методом Цыпкина — Гольде1гберга (см. §3.3). Передаточная функция К2(Р) имеет два простых комплексносопряженных полюса /71,2 = —A(l)±jA0). Следовательно, К г Ы =

2Дюг ( / > - / > . ) (Р~Рг)

'

Д л я нахождения дискретной передаточной функции К» 2 (г), аппроксимирующей передаточную функцию Кг(р), в данном случае целесообразно использовать формулу i(3.43), согласно которой К , г (г) =

К г (0) +

+

Т Г ^ Г )

(

1

_ z ) >

где q,

С,.,

2

= p,,2At

[ у

= — ДсоД/ ± ]ДшД< = — Дш + jAw; К (р) (Р -

/>.,2)] | р = / > 1

г

Y С

±

Учитывая, что Кг (0) = 1 и то, что величины qu комплексно-сопряженные, запишем K.,W=» + (l-z)2Re

х

С, _"Ч1г

q2 и С 1 0 , С г о

-

После элементарных преобразований окончательно получим

К„ И

=

где А ,

=

1

— е ~ 4 ш (sin

а, = е—Дш(е

Аш

Д Ш

+

СОЕ

ДСО);

-(- sin Да> — cos Д<о);

Ь, = — 2е~ Л ш cos Дсо;

Ь2 = е —2Дш

Идентифицируя передаточную функцию К*2(2), найдем следующее рекуррентное уравнение, связывающее последовательность значений У.[я] комплексной амплитуды сигнала на выходе У П Ч с последовательностью значений U(«] комплексной амплитуды входного сигнала V , [л] = a , U [л — 1 ] + a 2 U [л — 2] — - b , V , [л— I] — Ь 2 У ф [ л — 2 ] .

(3.104)

В данном случае коэффициенты а ь а 2 , Ь ь Ь2 — вещественные числа.

Уравнение (3.104) является простым алгоритмом, моделирующим процесс 'преобразования колебания с произвольными законами амплитудной и фазовой модуляции при прохождении его через У П Ч со связанными контурами. Формула (3.104) в отличие от формулы дискретного свертывания (3.89), которую т а к ж е можно было бы .применить в данном случае, при любом шаге At требует одинакового количества операций для вычисления одной дискреты комплексной амплитуды выходного сигнала. При дискретной свертке количество операций на одну дискрету растет пропорционально величине отношения постоянной времени моделируемой системы к шагу дискретизации. В случаях, когда это отношение составляет десятки и сотни, формулы дискретного свертывания потребовали бы на 1—2 порядка операций больше, чем это требует рекуррентная формула (3.89).

3.5. М о д е л и р о в а н и е нелинейных систем 1. Классификация нелинейных систем

При рассмотрении способов цифрового моделирования нелинейных систем целесообразна следующая их классификация. Во-первых, нелинейные системы можно разделить на два основных класса: безынерционные нелинейные системы (класс I) и инерционные нелинейные системы. // ult)

ult)

Uft)

НЭ

к,!Р)

н7~|-

Vlt) кг(Р)

///

a(t)

нэ

W

кIP)

vlt)

Рис. 3.6.

Среди инерционных нелинейных систем можно выделить системы, которые являются комбинацией из двух типов развязанных между собой отдельных функциональных звеньев: линейных инерционных и нелинейных безынерционных (функциональные системы), и системы, которые не являются таковыми (инерционные нелинейные нефункциональные системы — класс IV). Класс II образуют функциональные системы, у которых нелинейные звенья не включены .в контуры с обратной связью (инерционные нелинейные функциональные замкнутые системы). Класс III образуют функциональные системы с нелинейностями в контурах с обратной связью (инерционные нелинейные ( ф у н к ц и о н а л ь н ы е замкнутые системы) . На рис. 3.6 приведены примеры функциональных нелинейных систем I, II и III классов, где НЭ — нелинейный безынерционный элемент, Ki(p) и Кг(р)—передаточные функции линейных динамических звеньев. Схема II на рис. 3.6 попользуется, например, как типовое радиотехническое звено, при этом Ki(p) — передаточная функция радиоусилителя (УПЧ), НЭ —детектор, К2(р) — передаточная функция видеофильтра. К схе217

ме Ш сводятся обычно следящие системы радиоустройств, при этом характеристика нелинейного элемента описывает дискриминационную кривую. Нелинейные системы IV класса могут быть заданы в виде принципиальной схемы, как, например, схемы амплитудного и частотного детекторов, у которых существенно влияние реактивной нагрузки на нелинейные элементы (диоды), или в виде нелинейных дифференциальных уравнений (системы уравнений), описывающих процессы в системе, например аэродинамические дифференциальные уравнения движения летательного аппарата. Приведенная классификация нелинейных систем является в определенном смысле условной. Одну и ту ж е систему можно отнести к тому или другому классу, в зависимости от существа решаемой задачи, т. е. в зависимости от характера ее постановки, целей решения, точности воспроизведения процессов в системе, наличия априорных сведений о характеристиках системы и т. п. Так, например, амплитудный детектор в случаях, когда емкостный фильтр не имеет развязки с нелинейным элементом, строго говоря, является нелинейной системой IV класса, однако при определенном выборе параметров его можно отнести к системам II класса '[80] (типовое радиотехническое звено), а по характеру преобразования огибающей входного колебания — к системам I класса, т. е. к безынерционному нелинейному звену, преобразующему огибающую У(/) в напряжение v(t) = Ы У ( / ) ] , где / д — детекторная характеристика. В последнем случае детектор выполняет свое функциональное назначен и е — выделение огибающей или ж е некоторой функции от огибающей. При такого рода эквивалентных преобразованиях нелинейных систем используются заранее известные характеристики этих систем, полученные теми или иными методами. Эти преобразования позволяют упростить цифровые модели. Д л я преобразования нелинейных систем IV класса в эквивалентные системы III класса можно использовать богатый опыт составления функциональных электронных схем для решения нелинейных дифференциальных уравнений на аналоговых вычислительных машинах 140, 52]. Рассмотрим возможные способы цифрового моделирования нелинейных систем различных классов. 218

2. М о д е л и р о в а н и е

безынерционных

нелинейных

систем

Моделирование нелинейных безынерционных звеньев осуществляется весьма просто: на Ц В М производится нелинейное функциональное преобразование входного сигнала u{t) в соответствии с характеристикой нелинейности звена y=f(x) в виде v[n]=f[u[n]]. Способы нелинейных преобразований входной величины и{п] в выходную величину фг], используемые для имитации на Ц В М нелинейных звеньев, зависят от того, в какой форме задана характеристика нелинейности. Если характеристика нелинейности задана в виде аналитического выражения (например, полинома), то преобразование осуществляется путем вычисления по формуле. Если функция y = f(x) з а д а н а таблицей или графически, то в Ц В М вводятся ее табличные значения и преобразование производится путем выборки из таблиц с использованием интерполяции. 3. М о д е л и р о в а н и е и н е р ц и о н н ы х н е л и н е й н ы х разомкнутых функциональных систем

Моделирование нелинейных систем II класса т а к ж е не встречает затруднений. В этом случае дискретные функции, соответствующие непрерывным сигналам в р а з личных точках системы, вычисляются последовательно путем применения описанных выше алгоритмов моделирования к отдельным линейным динамическим звеньям и нелинейным безынерционным звеньям. Пример 1. Пусть требуется получить алгоритм преобразования дискретных значений входного сигнала и[п], действующего на нелинейную систему, блок-схема которой показана на рис. 3.7,а, в дискретные значения выходного сигнала Положим, что динамические звенья Ki(p) и К*(р) являются линейными звеньями с постоянными сосредоточенными параметрами первого и второго порядка соответственно. Положим также для определенности, что характеристика нелинейного элемента является экспоненциальной вида

Для построения цифровой модели системы заменим непрерывные фильтры Ki(p) и Кг(р) соответствующими дискретными фильтрами, используя методы дискретной аппроксимации, данные в § 3.3. В результате непрерывной н е л и н е й н о й системе будет поставлена

в соответствие эквивалентная дискретная нелинейная система, у ко- 1 торой передаточные функции K»i(z) и K.z(z) в общем случае имеют вид A.ilzj-

»

1 + b " , z + &" 2 z*

'

где постоянные коэффициенты перед z k определяются параметрами непрерывных фильтров, шагом дискретизации и методом дискретной итпроксимации.

u(t).

o(t)\ u(t)

К,(р)

u,(t)

a2ft) нэ

*г(Я

а)

vft)

ж

U»[n]

и[п]\

dill и[п)-

а,[п]

az[n]

НЭ

к.,(г)

uJn]

6) Рис. 3.7. Переходя от передаточных функций K . | ( z ) и к рекуррентным уравнениям, получим следующую последовательность операций преобразования сигнала ц[л] в сигнал ф г ] '(рис. 3.8,6): и, [/г] = а \ и

[л] -\-a\u

[л—

1] —

[

л

— 1],

и2 [л] = е а и ' [ л > ,

(3.105)

vt [л] = а " 0 и 2 [«] + a " i « 2 [л — 1] + д " г и 2 [/г — 2J —

[я— 1

[л-2].

Д л я осуществления на быстродействующей Ц В М преобразований 1(3.105) требуется весьма немного времени. Это дает возможность в короткий срок производить многократные вычисления, например в целях получения статистических характеристик при случайном воздействии на входе нелинейной системы. При однократных вычислениях, например при построении переходного процесса в нелинейной системе, уравнения (3.105) можно использовать п качестве экономичных расчетных формул д л я реализации на клавишных вычислительных машинах (в данном случае с использованием таблиц функции е х ) .

4. М о д е л и р о в а н и е и н е р ц и о н н ы х функциональных замкнутых

нелинейных систем

С л о ж н е е обстоит дело с ц и ф р о в ы м м о д е л и р о в а н и е м з а м к н у т ы х ф у н к ц и о н а л ь н ы х нелинейных систем (системы III к л а с с а ) . Пример 2. Рассмотрим нелинейную систему, показанную на рис. 3.8,а, у которой нелинейный элемент стоит в прямой цепи петли обратной связи. Положим, что линейный фильтр с передаточной функцией К(р) является системой второго порядка. Заменив этот фильтр дискретным фильтром (рис. 3.8,6) с передаточной функцией +
Л, (z)=

{+Ь12 +

аггг

ь 2 г*'

получим следующие уравнения, описывающие преобразования сигнала фг] в эквивалентной дискретной нелинейной системе: е [я] = и [я] — о , [я], е, [я] = f (. [я]) = f (и [я] V, [л] = д . е , [л] + а,г, [л - 1] + а г е , [ л - 2 ] — — 6,v, [я — 1] — 62У, [л — 2] = a„f (и [л] — у, [л]) -f+ а, е, [я — 1] + а г еi [я — 2] — b t v t [л — 1] — b a v t [я — 2 ] .

(3.106)

Поскольку вычисления производятся рекуррентно, все величины в последнем уравнении в (3.106), кроме и,[л], можно считать известными. Поэтому для нахождения интересующего нас неизвестного значения и,[л] требуется решить относительно и.[я] нелинейное уравнение о , И = «of (и [я] - V, [л]) + с„ , где с„ = я,в, [л — 1] + а 2 е, [л — 2] —

(3.107)

[л — 1] — b 2 v, [л— 2].

Уравнение (3.107) требуется решать на каждом шаге. Наиболее общим методом решения является метод итераций. Для простых нелинейностей решение этого уравнения иногда удается записать в виде формулы, например, если f(x)=x2, то о , [я] = а , (и* [я] — 2и [л] о, [л] + v] [л]) + с„ или

At? [я] - Bnvt [ л ] + С п = 0, где А = а 0 , Вп = 1 + 2и [л], Ся = а 0 и 2 [л] + с„. Отсюда

Вп±У

&п-4АСп

Т а к и м о б р а з о м , приходим к выводу, что особенностью цифровой модели данной нелинейной системы, со-

держащей нелинейный элемент в замкнутом контуре, является необходимость решать на каждом шаге нелинейное алгебраическое уравнение при условии, если линейные динамические звенья системы моделируются с помощью рекуррентных уравнений. Нетрудно убедиться, что такое положение всегда имеет место при цифровом моделировании замкнутых функциональных нелинейных систем. Необходимость решения нелинейных уравнений усложняет цифровые модели замкнутых нелинейных систем но сравнению с цифровыми моделями разомкнутых нелинейных систем. Это затруднение легко обойти, если в цепь обратной связи эквивалентной импульсной системы ввести дополнительно элемент задержки на один период (рис. 3.8,в). Тогда необходимость решения уравнения вида (3.107) отпадает, и цифровая модель замкнутой нелинейной системы оказывается почти столь же •простой, как и модель разомкнутой системы. Действительно, уравнение (3.107) в этом случае принимает вид

И = a,f (и [я] - о, [я - 1])

(3.108)

Вычисление текущего значения сигнала на выходе замкнутой системы по уравнению (3.108) сводится к нелинейному преобразованию известных (и[л], и\п—1], и[п—2]) и заранее вычисленных (ггДя—1], v*[n—2]) величин. Следует заметить, что введение элемента запаздыв .ния вносит дополнительную погрешность в цифровую модель. Однако при достаточно малом шаге дискретизации влияние этой погрешности практически незначительно. При Дt—>-0 эквивалентная дискретная система с элементом задержки (рис. 3.8,в) так же, как и эквивалентная дискретная система без элемента задержки (рис. 3.8,6), совпадает с исходной непрерывной системой (рис. 3.8,а). В настоящее время не представляется возможным дать некоторые единые рекомендации для выбора шага дискретизации At, при котором можно пренебречь влиянием элемента запаздывания па величину погрешности моделирования. Это обусловлено как большим разнообразием нелинейных систем, так и недостаточной изученностью рассматриваемого вопроса. Опыт моделирования 222

замкнутых нелинейных систем радиоавтоматики (следящих координаторов), содержащих один нелинейный элемент с характеристикой нелинейности в виде дискриминационной кривой, показал, что влияние элемента запаздывания практически не ощущается при А / ^ 7 У 1 0 , где Тэ — постоянная времени замкнутой следящей систе-

а)

6)

в) мы в линейном режиме (см. § 4.3). Это соотношение, по-видимому, можно использовать д л я ориентировочного выбора шага дискретизации и при моделировании других замкнутых нелинейных систем. Увеличения точности при заданном шаге дискретизации в системе с элементом з а д е р ж к и можно достичь, используя метод фирмы IBM, основанный на сочетании метода корневых годографов с методом z-преобразования или ж е метод квазилинеаризации. Примеры применения этих методов даны в (109]. 5. М о д е л и р о в а н и е инерционных нелинейных нефункциональных систем

Моделирование на Ц В М нелинейных систем IV класса в общем случае может быть осуществлено с помощью стандартных алгоритмов численного интегрирования систем нелинейных дифференциальных уравнений, таких, как метод Рунге—Кутта, метод Адамса и др. Метод Рунге—Кутта является одним из наиболее известных методов численного интегрирования дифференциальных уравнений. Приведем наиболее распространенную фор-

мулировку этого метода (метод Рунге—Кутта четвертого порядка). Пусть задана система нелинейных дифференциальных уравнений первого .порядка (З- 1 0 9 )

*)•

где х ( / ) — N - м е р н ы й вектор (вектор-фуикция). Значения неизвестной вектор-функции x(t) в дискретных точках tn = riAt ,по методу Рунге—Кутта вычисляются рекуррентно: х [га] = х [ г а - 1] - Ц - К [га

-

1] + 2а 2 [га — 2] +

-f- 2а, [га — 1] -(- а 4 [га — 1]), где х [и] = х (гаД*);

(3.110)

а , [я] = Дtf (nAt, х [и]);

а 2 [га] = Дtf (nAt - f At/2,

х \п] + а , [п]/2),

а, [га] = Д tf (nAt + At 12, x [га] + а 2 [га]/2), «4 [«] = AtflnAt

+ At, х [га] + а , [га]).

Если нелинейная динамическая система описывается одним или несколькими дифференциальными уравнениями порядка выше первого, то для использования алгоритма (3.110) требуется свести уравнения высших порядков к системе (3.109) уравнений первого порядка. Такое преобразование, как известно [3], всегда возможно и осуществляется достаточно просто. Дискретная аппроксимация по методу Рунге—Кутта применима, конечно, и д л я систем II и III классов, а такж е для линейных систем. Однако этот метод, как и другие стандартные методы численного интегрирования, при той ж е точности по объему вычислений обычно менее эффективен, чем рассмотренные выше методы цифрового моделирования [109]; к тому ж е стандартные методы не обладают той физической наглядностью, какую имеют методы дискретной аппроксимации по принципу замены непрерывных систем дискретными системами. 224

3.6. М о д е л и р о в а н и е т и п о в ы х н е л и н е й н ы х п р е о б р а з о в а н и й сигналов и п о м е х в р а д и о с и с т е м а х

Типовыми нелинейными операциями в радиосистемах являются операции модуляции, преобразования частоты (в том числе и умножения частоты) и демодуляции (детектирования). Д л я физического осуществления этих операций используются, как известно, различные нелинейные управляемые элементы совместно с фильтрами. Одним из принципов моделирования на Ц В М нелинейных систем, осуществляющих указанные операции, с целью получения алгоритмов преобразования сигналов и помех в этих системах является воспроизведение на Ц В М нелинейных уравнений, описывающих динамику рассматриваемых систем. При этом в зависимости от обстоятельств конкретной задачи могут быть использованы те или иные ранее описанные общие методы моделирования нелинейных систем. В связи с тем, что задача разработки моделирующих алгоритмов по такому принципу ближе примыкает к вопросам математического обеспечения при использовании цифровых вычислительных машин для анализа нелинейных ценей, мы не будем останавливаться на подробностях ее решения. Рассмотрим моделирование на Ц В М типовых нелинейных .преобразований радиосигналов и радиопомех, основанное на функциональном принципе. 1. М о д у л я ц и я Операции модуляции входят в математические модели радиосигналов и радиопомех. Поэтому воспроизведение на ЦВМ. операций модуляции осуществляется, в сущности, при реализации цифровых моделей радиосигналов и радиопомех (§ 1.1). 2. П р е о б р а з о в а н и е

частоты

Назначением операций преобразования частоты является неискаженный перенос спектра сигнала с одной средней частоты <0о (несущей) на другую среднюю частоту <впр (промежуточную). С функциональной точки зрения такое преобразование, очевидно, сводится просто к замене в математической модели сигнала с частотой о>0 сигналом с частотой шПр. При описании радиосистем по методу огибающих эта замена эквивалентна тождественному преобразованию. Если требуется с помощью ЦВМ исследовать более детальные изменения в сигналах, происходящие в конкретной схеме преобразо15—160 225

t?at ел я частоты, например Нелинейные искажения, появление дополнительных гармоник и т. п., то в этом случае нужно воспроизвести на ЦВМ цифровую модель нелинейной динамической системы, каковой является данный преобразователь частоты, используя описанные выше методы цифрового моделирования. 3. Д е т е к т и р о в а н и е

Рассмотрим теперь возможные способы моделирования нелинейных операций, осуществляемых над радиосигналами и помехами при различных видах детектирования, основанные на функциональном подходе и методе огибающих. Пусть задан некоторый узкополосный процесс и (0 = Re U (/) eJm°' = Re U (f) e ( " e j M ° '

(3.111)

в виде последовательности дискретных значений U[n] его комплексной амплитуды U ( f ) или ж е в виде последовательностей значений U\[n] и Uj^n] его квадратурных компонент U.i(4)= Re U (t) и U2(t) = I m U ( / ) . Требуется найти алгоритмы, которые позволяли бы но известному дискретному комплексному процессу U{/i] получать последовательности значений процессов U(t), ф u(t), cos

( 0 , sin

*Ри (0» выделяемых при раз-

личных видах идеального детектирования: амплитудного фазового и частотного. Такие алгоритмы легко предложить, используя известные формулы, в ы р а ж а ю щ и е параметры колебания (3.111) (амплитуду U ( t ) , фазу ф u ( t ) , частоту Q'(0 и ДР-) через комплексную огибающую U ( f ) и квадратурные составляющие Ut(t), U2(t), а именно: u{t)=\u(t)\=vu\(t)+u\(t), t cpu (t) = arg U (/) = arctg ^

cos T t t (0 = cos arctg

. Y

=

j" Q (t) dt, о "At)\ . (0 + u 2 (0

(3.112)

Sin V u ( 0 = sin a r c t g ^ = - = M L = = ,

" ( / ) - rfT

arct

§ UTU)

1/? (0 + 1^(0

'

П о д в е р г а я ф о р м у л ы (3.112) дискретизации и з а м е н я я при этом интеграл суммой, а производные — их первыми разностями, получим искомые алгоритмы: и[п\ = уи\

[п] + и\

<р„ [я] cos ? ц [га] = ^ У

О [га]

Г

И,

[«] + ?„ [« - 1], ~

,

, sin Г и [га] =

1

О Ш

Y U

и* [„] + (/* [п]

[ " J

_

| / с/2 [п] + с/2 [„]

(3.113) 1 и, [я] (U2 [п] — и2 [я - !])-£/, [я] (С/, [л] — С/, [я-1]) _ _

1 £/, [ я Щ И - ! ] — t / , [ я ] Ц , [ я - 1 ] С/? [л] + "t/| [я]

Следует сделать некоторые з а м е ч а н и я к ф о р м у л а м (3.113). Эти ф о р м у л ы являются простыми алгоритмами п р е о б р а з о в а н и я дискретных к в а д р а т у р н ы х компонент узкополосного процесса в дискретные значения изменяющихся во времени п а р а м е т р о в процесса, д л я выделения которых с л у ж а т различные виды детекторов. Р е а л ь н ы е детекторы реализуют преобразования (3.113) приближенно. Так, например, амплитудный детектор практически выделяет не саму о г и б а ю щ у ю U{t), а некоторую функцию от нее. Эта функция д л я детектора на вакуумном диоде при большом сопротивлении нагрузки хорошо аппроксимируется в ы р а ж е н и е м [27] Л = ln

\0{U),

где 1Й(Х)—модифицированная функция Бесселя нулевого порядка. Р е а л ь н ы й амплитудный детектор о б л а д а е т т а к ж е инерционностью. Аналогичным о б р а з о м отличаются от 15* 227

идеальных реальные фазовые и частотные детекторы. У реального частотного детектора нелинейная зависимость выходного эффекта от частоты входного сигнала имеет вид дискриминационной кривой. Реальные фазовые детекторы обычно выделяют фазу сигнала по модулю 2л или я (приведенная ф а з а ) и обладают нелинейностью. Все априорно известные отличия реальных детекторов от идеальных в случае необходимости нетрудно учесть при цифровом моделировании, подвергнув идеальные параметры, получаемые по формулам (3.113), нелинейному преобразованию в соответствии с нелинейной зависимостью выходного эффекта детектора от соответствующего входного параметра. Д л я имитации инерционности можно использовать линейный фильтр с соответствующей постоянной времени. Достоинством алгоритмов идеального детектирования и алгоритмов, полученных на основе алгоритмов идеального детектирования путем введения коррекции с учетом характеристик реальных детекторов, является возможность исключить из рассмотрения трудоемкие операции нелинейных инерционных преобразований быстроосциллирующих функций и оперировать лишь с медленно меняющимися квадратурными компонентами детектируемых колебании. Алгоритмы формирования дискретной ф а з ы и дискретной частоты [вторая и пятая формулы из (1.113)] можно уточнить, если использовать более точные формулы численного интегрирования и дифференцирования. В приведенных формулах дискретные фильтры, осуществляющие дифференцирование. и интегрирование, имеют простейшие передаточные функции соответственно:

Более точные операторы дискретного интегрирования помещены в табл. 3.2. В частности, повышенной точностью о б л а д а е т оператор дискретного интегрирования и 1 к +г которому соответствует оператор дифференцирования к *Д \м— г ) —

А

2 1 д/ 1

— 2-

+

г

При использовании этих операторов алгоритмы формирования дискретной фазы и дискретной частоты запишутся в виде: ?и

(*) = - ^ - 0 [ я ] + - £ 0 [

Л

- 1] +

[я-1],

?и

[П] Ш г W

~ U * М At/, [я] О?[л]+0|[п] '

О [Я1 =

J14)

(3

где ДС/, [«] = - I r ^ w Д^а 1л] = ъ

и* [п] -

тги*

Iя -

и2[п-

п ~ 1] -

дс/

. [ « • - Ч;

&иш[п--

I].

Рассмотрим еще одну распространенную операцию детектирования, а именно фазовое детектирование в случаях, когда в качестве опорного колебания в фазовом детекторе используется не чисто гармоническое колебание, а модулированное колебание uonr(9=ReUon(f)ew,

(3.115)

где U o n (t) — комплексный закон модуляции опорного колебания (предполагается, что функция U o n '(0 медленно меняется по сравнению с e'Wo/). Операцию фазового детектирования обычно можно представить как умножение входного колебания ( 3 . 1 1 1 ) па опорное колебание ( 3 . 1 1 5 ) с последующей фильтрацией низкочастотной составляющей спектра произведения. Такое представление позволяет найти простой алгоритм для моделирования фазового детектора. Действительно, при принятых условиях выходной эффект фазового детектора имеет вид о (t) = Re U (t) e J V Re U o n (t) e

w

/

(3.116)

где черта сверху означает операцию выделения низкочастотной части спектра. Согласно известному тождеству Re z, Re z 2 =

Re z.z*, + ~

Re z,z 2

выражение (3.116) преобразуется к виду « ( 0 = 4 - Re и (t) U* on (t) -I- 4 - Re U (t) U on (t) e 12 "" .

(3.117) 229

Второе слагаемое в формуле (3.117) как высокочастотное отфильтровывается. Тогда, если положить, что первое низкочастотное слагаемое выделяется фильтром без искажений, окончательно получим v

(t) = -?г Re U (/) U* ou (t)

(3.118)

или в дискретной форме y[/z] = 4

R e U

H

U

*onM.

(З-119)

Таким образом, операцию фазового детектирования можно рассматривать как выделение реальной части произведения комплексной амплитуды входного колебания на комплексно-сопряженную амплитуду опорного колебания. В частном случае, если опорное колебание не модулировано и его комплексная амплитуда равна 1 или е'" 12 , фазовый детектор согласно формуле (3.118) выделяет квадратурные компоненты входного колебания U, (t) = Re U (t), Ua (t) = Re U,(0 e ~

j

— Im U (f).

(3.120)

В ы р а ж е н и е (3.118) часто используется при описании процессов обработки сигналов в приемниках моноимпульсных радиолокаторов [84]. Формулу (3.118) и алгоритм (3.119) можно использовать т а к ж е для описания и цифрового моделирования процессов корреляционной обработки узкополосных сигналов. Д л я применения алгоритмов (3.113), (3.114) и (3.119) требуется знать квадратурные составляющие Ui(t) и или, что то же самое, комплексный закон модуляции U ( / ) детектируемого колебания u(t). При использовании метода огибающих для описания процессов в узкополосном преддетекторном фильтре квадратурные составляющие колебания u(t) оказываются известными непосредственно. Если ж е колебание и(t) з а д а н о последовательностью своих мгновенных значений, то для использования алгоритмов (3.113), (3.114) и (3.119) нужно каким-то образом, зная u(t), выделить его квадратурные компоненты Ui(t) и Д л я этой цели предлагается использовать следующий прием. Рассмотрим аналитическое выражение колебания u(t) — U (t) cos [
функция sin wo/ в моменты времени tn = n&t0, где Д/о= = 2л/coo, равна нулю. В эти ж е моменты времени функция cos cW равна единице, следовательно, и [п\ = и (пМ0) = U, (пЫ0) = £/, [п\. Аналогично и |~п — ^ = и = <73

Д/0

=

^пМ0—

1- Д ^ =

(3.121а)

[/г

1- j •

(3.1216)

Иначе говоря, существуют последовательности равноотстоящих точек tn = nkt0 н tn_4==(n — 1/4)At0 оси времени, в которых графики функций и (t), U, (t) и графики функций u(t), U2(t) соответственно пересекаются. Этот факт иллюстрирует рис. 3.9 на примере частотномодулированного но линейному закону радиоимпульса

«(*) = c o s ^ + ^ - Z 2 ) , | f | < 7 7 2 , где Т — длительность импульса; частоты.

Д£2 = 2лДF — девиация

График построен для ДЙ'=соо/2 и Д / Т = 1 0 . ром даны квадратурные компоненты U, (/) = cos

1\

(3.122)

Пункти-

Ut (t) = sin g - 1 \

Сигналы, показанные пунктиром, реально являются выходным эффектом при фазовом детектировании частотно-модулированного колебания (3.122) двумя фазовыми детекторами, у которых опорные колебания когерентны и сдвинуты но ф а з е на 90° (см. (3.120)]. Таким образом, для выделения дискретных к в а д р а турных составляющих некоторого узкополоспого процес-

са достаточно 'произвести выборки значений этого процесса в точках tn и Поскольку квадратурные составляющие Ui(t), Uzii) узкополосного .процесса практически очень мало изменяются в течение четверти периода Л4, то в алгоритме (3.1216) можно приближенно считать t / . K - ^ V J=«/.[«]•

(3.123)

Тогда окончательный алгоритм выделения дискретных квадратурных составляющих можно записать в виде UJLn] = iAnl

UAn]=u[n—'/*]

(3.124)

Если погрешностью замены (3.123) пренебречь нельзя, значение Uj_n] можно уточнить, используя интерполяцию, например, между Ut[n

J-] и

=

Д л я увеличения точности алгоритмов дискретного выделения квадратурных составляющих имеется возможность уменьшения шага дискретизации вдвое по сравнению с А4о=2я/(Ло. При этом, как легко видеть, С/, [ Я ] = ( _ ! ) » и TJL |, in

г

. 1

(3-125)

f - l — 4 - ] - ( - i r « [ - f - J - ] -

Если шаг дискретизации Д 4 весьма мал (при весьма узкополосном процессе), так что представление квадратурных составляющих оказывается излишне подробным, то можно увеличить шаг Мо в целое число раз. Тогда алгоритм выделения квадратурных составляющих запишется в виде Ut[n] = u[nk\,

U*[n]=

—VJ.

1. 2 > -

(3-126)

Итак, для моделирования на Ц В М операций детектирования узкополосного процесса u(t) согласно предложенному методу требуется два основных вида преобразований: выборка значений колебания u(t) в дискретных равноотстоящих точках по формулам (3.124) — (3.126) и вычисление дискретных последовательностей 232

значений параметров этого колебания (амплитуды, фазы и т. д.) в соответствии с алгоритмами (3.113), (3.119). З а к а н ч и в а я рассмотрение данного метода, целесообразно сделать следующее замечание. Рассмотренные алгоритмы позволяют по имеющейся записи узкополосного процесса выделить в дискретной форме его заранее неизвестные законы модуляции. При этом должно быть точно зафиксировано начало отсчета времени, т. е. положение нуля на оси времени при модуляции и при детектировании должно быть одним и тем же. Реально это соответствует когерентному детектированию, когда в качестве опорного н а п р я ж е н и я в фазочувствительных детекторах используется высокостабильная несущая. Оценим, к чему приведет детектирование по описанному методу при произвольном выборе начала отсчета времени, эквивалентном тому, что вместо точек фиксации tn = nAtc, t

, = {п —- - j - ^ At0 мгновенных

значений колебания и (t)

берутся точки t'n = tn-j-6, = f „ _ v < + ®> г д е ®— П Р°" извольно взятое значение временного сдвига из интервала времени (О, Дt0). Сдвиг точек фиксации равносилен замене колебания на входе цифрового детектора u(t)=U

(t) cos К * + ? „ ( ' ) ]

колебанием u{t — b) — U(t — 0)cos [ < V - f ч>„(t — 0) - o ) 0 6 ] . Поскольку функции U(t) и q>u {t) медленно меняются по сравнению с cos соо/, погрешностью за счет временного сдвига этих функций на величину, не большую периода несущей, практически можно пренебречь, т. е. можно считать, что и (t -

6) = U (0 cos Ы + > „ (t) - <р„1,

где фо=>шо0 — случайная ф а з а , равномерно распределенная в интервале (0, 2 л ) . Следовательно, цифровое детектирование по данному методу при произвольном выборе начала отсчета времени эквивалентно детектированию колебания с неизвест233

ной (случайной) начальной фазой несущей частоты, что реально соответствует детектированию, когда в фазочувствительных детекторах вместо высокостабилыюй несущей в качестве опорного напряжения попользуется гармоническое колебание высокостабильного источника, независимого от генератора несущей. При таком детектировании амплитудные и частотные законы модуляции выделяются, очевидно, с той ж е точностью как и при строго когерентном детектировании, а фазовый закон модуляции может быть выделен лишь с точностью до постоянной составляющей <р0- При детектировании колебаний со случайной равномерно распределенной начальной фазой нестабильность нуля времени, очевидно, никак не сказывается на статистических характеристиках выходного эффекта цифрового детектора. 3.7. О ц е н к а п о г р е ш н о с т и д и с к р е т н о й аппроксимации непрерывных систем

При приближенной замене непрерывных систем дискретными системами возникает погрешность, в результате которой истинные значения v[ri\ сигнала v(t) на выходе непрерывной системы в точках tn = nAt отличаются от вычисленных значений на выходе дискретной системы. Ошибка Афг] = фг]—v t [n], обусловленная дискретизацией, будет, вообще говоря, тем меньше, чем меньше шаг дискретизации At. В пределе при —>-0 процессы в непрерывной и эквивалентной дискретной системах совпадают. Однако при уменьшении шага дискретизации увеличивается объем вычислений, поэтому шаг At целесообразно выбирать как можно большим, но удовлетворяющим заданной точности вычислений. В настоящее время, к сожалению, не представляется возможным указать достаточно простой общий способ выбора значения шага дискретизации, обеспечивающего заданную точность при различных методах дискретизации. Можно лишь сказать, что ошибка вычисления дискретных значений сигнала па выходе непрерывной системы будет мала, если шаг дискретизации приближенно удовлетворяет условиям теоремы Котельникова. Д л я использования этой теоремы нужно знать ширину спектра сигнала и ширину полосы пропускания системы. Однако эта теорема не дает ответа на вопрос, какова 234

будет величина ошибки при заданном шаге дискретизации в реальных условиях, когда функции не имеют строго ограниченного спектра. Поэтому задача оценки погрешности дискретизации является предметом самостоятельных исследований. В общем случае погрешность дискретной аппроксимации непрерывных систем зависит от шага дискретизации, метода дискретизации, вида входного сигнала, характеристик системы и, наконец, от выбранной числовой меры погрешности. Такое разнообразие факторов, влияющих на погрешность, существенно затрудняет ее количественную оценку. Поэтому обычно задачу оценки погрешности дискретной аппроксимации сужают. В первую очередь это относится к ограничению класса входных сигналов: оценку погрешности проводят при некоторых типовых (стандартных) воздействиях. Часто погрешность дискретной аппроксимации непрерывных систем оценивают при воздействии в виде единичного скачка (оценка погрешности путем сравнения переходных процессов в непрерывной и дискретной системах [85, 109]). Суть такого метода состоит в следующем. При выбранном шаге дискретизации вычисляется переходная характеристика дискретной системы и сравнивается с аналогичной переходной характеристикой непрерывной системы. В качестве меры погрешности может быть выбрано, например, среднеквадратпческое отклонение кривых. Если при выбранном шаге дискретизации различие переходных процессов велико, то, уменьшая шаг, можно добиться приемлемой точности дискретной аппроксимации. Переходная характеристика дискретной линейной системы строится путем расчета по рекуррентным формулам вида (3.24) при u [ n ] = l , п = 0, 1, 2, . . . и нулевых начальных условиях, что легко осуществляется, например, с помощью настольной клавишной вычислительной машины. Д л я построения переходной характеристики непрерывной системы могут быть использованы хорошо известные из теории линейных систем автоматического регулирования методы (см., например, [45]), в частности метод получения переходной характеристики путем отыскания оригинала изображения —К{р), где К(р)—передаточная функция системы.

Если построение переходного процесса в непрерывной системе затруднительно, то шаг дискретизации практически можно выбрать следующим образом. Строится последовательность переходных характеристик дискретной системы для ряда уменьшающихся (например, в два р а з а ) значений шага дискретизации At. После этого выбирается то значение At, начиная с которого переходная характеристика практически не изменяется с уменьшением At. В основу такого приема положен тот факт, что при At—>-0 процессы в эквивалентной импульсной системе совпадают с процессами в непрерывной системе. В качестве стандартного сигнала используется т а к ж е гармоническое колебание (оценка погрешности путем сравнения частотных характеристик непрерывной и дискретной систем {85]). Нетрудно найти общую формулу для такого сравнения. Действительно, частотная характеристика непрерывной системы с передаточной функцией К(р) есть /((jco). Частотная характеристика эквивалентной дискретной системы с передаточной функцией К* (г), как известно (85], получается из K*{z) путем замены z на е _ ] ш А ' , т. е. К* (joj) = К* (z) при z = e~ jffl4 '. Функции К (ju>) и /С # (е~ 1шЛ ') имеют аналогичный смысл: для непрерывных систем К ( р ) означает то, что гармоническое колебание поданное на вход системы, вызывает на выходе в установившемся режиме гармоническую реакцию v(t) = K (jco) eJ<°'; для дискретных систем К* (е~ ,шЛ ') означает то, что дискретная гармоника е ! Ш п на входе системы вызывает на выходе сиогемы в установившемся режиме дискретную гармонику v [п] = К* (e~jl*A') е' ш4 "\ О погрешности дискретной аппроксимации можно судить по отношению частотных характеристик

=

(3.127)

которое при выбранном шаге дискретизации равно отношению комплексной амплитуды гармоники на выходе дискретной системы к комплексной амплитуде гармони236

кн на выходе исходной непрерывной системы при одном и том ж е гармоническом воздействии с частотой <о на входах обеих систем. В области частот, где Ь К (j®, Ы) =

1-\к()а,

a r g t f (joi, М) в* О, будут малы соответственно амплитудные и фазовые погрешности дискретной аппроксимации. З н а я 'передаточную функцию К(р) и ее дискретный эквивалент K*(z) при различных методах дискретной аппроксимации (§ 3.2; 3.3), в каждом конкретном случае по формуле (3.127) можно довольно просто рассчитать 'погрешность дискретизации в частотной области. Примеры использования формулы (3.127) для оценки погрешности различных методов дискретной аппроксимации интегрирующего звена первого порядка даны в [85]. В некоторых работах [20, 26] оценивается ошибка дискретной аппроксимации непрерывных систем при стационарном случайном воздействии на входе. Поскольку случайный процесс представляет собой целый ансамбль сигналов, оценка погрешности при случайном воздействии дает некоторую усредненную величину погрешности по ансамблю сигналов, а не по одному какому-нибудь элементарному сигналу. Это является важным доводом в пользу такого рода оценок. Н и ж е рассматриваются вопросы оценки среднеквадратической погрешности дискретной аппроксимации непрерывных систем, когда в качестве стандартного входного сигнала используется стационарный случайный процесс. Случайный сигнал является более сложным по структуре, чем элементарные стандартные сигналы в виде единичной ступеньки или гармонического колебания, но, несмотря на это, он позволяет найти довольно простые оценки погрешности, а при некоторых условиях д а ж е более простые, чем при классических стандартных сигналах. Пусть з а д а н а некоторая линейная непрерывная система с постоянными п а р а м е т р а м и с передаточной функцией К{р) и импульсной переходной характеристикой ft(0, на вход которой воздействует стационарный случайный процесс ! ( / ) с энергетическим спектром G ( a ) . 237

Рассмотрим методы дискретизации заданной системы, которые соответствуют замене ее эквивалентной импульсной системой но схеме, представленной на рис. 3.1 (§ 3.2). К таким методам относятся метод гпреобразования (§ 3.3), который эквивалентен дискретизации непрерывной свертки с использованием формулы прямоугольников (§ 3.2); метод Цыпкина—-Гольденберга; метод Рагаззини—Бергена (§ 3.3). Avft)

U(t) К(Р)

Ф1

ИФ

ujt)

К(Р)

*)

6) Рис. 3.10.

Различие между выходными сигналами непрерывной и эквивалентной импульсной системы образуется .в результате неточного восстановления входного сигнала интерполирующим фильтром в схеме рис. 3.1. Ошибку выходного сигнала Av(i) =v(t)—v*(/) в этом случае можно рассматривать как выходной сигнал схемы, показанной на рис. 3.10,а, которая, очевидно, эквивалентна схеме, представленной на рис. 3.10,6. Ошибка ДУ(/) является результатом преобразования ошибки интерполяции входного сигнала \и(1) заданной линейной системой. Корреляционно-спектральные характеристики ошибки *Д«(/) при различных видах интерполяции стационарных случайных сигналов были найдены в § 1.7. З н а я их, легко можно найти характеристики ошибки выходного сигнала.

Действительно, если GAU (ш) — энергетический спектр ошибки интерполяции входного сигнала, то дисперсия искомой ошибки равна 00 со 2

о» -

\ О

d

н

w

= 4 - 1 О

<•> I к о » ) I2 d<°>

где GAV (m) = GAU (ш) | К (j®) | 2 — энергетический спектр искомой ошибки. Учитывая, что дисперсия выходного сигнала в рассматриваемом случае равна =

-LjG(»)lK(H|y«o,

и используя формулу (1.42) для вычисления энергетического спектра ошибки интерполяции входного сигнала, получим следующее общее выражение для нахождения относительной среднеквадратической погрешности выходного сигнала, возникающей в результате замены непрерывной линейной системы эквивалентной импульсной системой A3 = з. 2 /з ,2 = ДД V* „ G

и (' —5?

Re К

°(jt0) )

+

"ST ф

I^U»)! 1 ] \К

и 00 G (w)|К (j(0)|2d(0 о

>

(3.128) где /Co(jco)—частотная характеристика интерполирующего фильтра; Ф(ш) —энергетический спектр дискретного случайного процесса и[п]. Величину А2 целесообразно принять в качестве меры погрешности дискретной аппроксимации непрерывных линейных систем. Формула (3.128) позволяет найти точное значение этой меры в виде зависимости от шага дискретизации At, от метода дискретизации (характеризуемого типом передаточной функции /Co(j
/ ( ( j o ) заданной непрерывной системы. К сожалению,это выражение является довольно громоздким. Однако имеется возможность найти более 'простые приближенные оценки величины А2. Действительно, если частота дискретизации входного сигнала в несколько раз превышает полосу пропускания системы, а спектр сигнала в области высоких частот убывает достаточно медленно, то в пределах полосы пропускания энергетический спектр ошибки интерполяции входного сигнала можно принять постоянным и равным ^ди (0) ( с м - Р и с - 1-7, на котором оплошными линиями (О, 1, 2, 3, 4) показаны примеры энергетических спектров £?Лц (со) и пунктиром — частотная характеристика системы). Тогда ОО

4

00

2

~ Сды (0) •~ j I к (j®) I rf®= С д „ (0) f If (t) dt, о о оо J|A'(j®)| 2 c/a>

(3.129)

Д2~0Ди(0 ) ^ (3.130) J G (ю)|| К (jto)l2 d«> о Величина С?Ди(0) может быть вычислена по формуле (1.44). Поскольку у наиболее распространенных типов интерполирующих фильтров коэффициенты передачи на нулевой частоте Ло(0) одинаковы и равны At (см. табл. 1.1), то согласно формуле (1.44) 04в(0) = д<ф(0)~-0(0):

(3.131)

И з соотношений (1.129) — (1.131) следует, что погрешность дискретной аппроксимации слабо зависит от типа интерполирующего фильтра. На это указывалось в [18]. Однако этот эффект не имеет абсолютного характера: он наблюдается только при выполнении указанных выше условий. В частности, им нельзя пользоваться в случаях, когда спектр входного сигнала в области частот выше частоты дискретизации резко убывает или ж е равен нулю. 240

Дополнительное упрощение оценки величины Д3 можно получить, если учесть следующее обстоятельство. Пусть Д о ~ З дц/ З ц—отношение дисперсии ошибки интерполяции входного сигнала к дисперсии самого сигнала. После прохождения процессов Au(t) и u(t) через заданную линейную систему отношение их дисперсий будет равно искомой величине Д2. Спектр ошибки интерполяции входного сигнала обычно в несколько раз шире спектра самого сигнала, следовательно, у процесса Au(t) доля дисперсии, приходящаяся на высокочастотные составляющие, больше чем у процесса u(t). При прохождении этих процессов через заданную систему (при условии, что она пропускает в основном низкие частоты) высокочастотные составляющие отфильтровываются (см. рис. 1.7), так что отношение дисперсии этих процессов уменьшается. Следовательно, в этих случаях Д2<Д„.

(3.132)

Таким образом, при достаточно широких условиях относительная погрешность выходного сигнала Д2, возникающая в результате замены непрерывной [системы дискретной системой, не превышает относительной погрешности интерполяции входного сигнала А20. Величина А20 может быть найдена по формулам, выведенным в § 1.7, в"частности]по) формулам (1.48). Рассмотрим теперь несколько иное использование приведенной здесь методики нахождения погрешности дискретной аппроксимации непрерывных систем. Пусть в качестве моделируемой системы з а д а н а некоторая линейная непрерывная следящая система с передаточной функцией К{р). Если u(t) и v(t)—входной и выходной сигналы системы соответственно, то ошибка слежения будет равна Д«о(0 =«•'(*)—'v(t). При замене непрерывной следящей системы эквивалентной импульсной следящей системой ошибка слежения будет равна Д и.(*)=»(0—МОПогрешность дискретной аппроксимации в этом случае можно оценить, сопоставляя дисперсии Здц и ошибок Дц0 (0 и Ди^ (t) при случайном стационарном входном сигнале. 10—160 241

Дисперсию ошибки Дu 0 {t) можно, очевидно, выразить в виде 00

° L o = V J g ( « > ) | 1 — 7C(j«») о Д л я вычисления дисперсии ошибки Д«*(/) можно воспользоваться формулой (1.42), если заменить в ней /Со(jto) произведением ЛГ0(jo>)/С(jо>), т. е. заменить передаточную функцию интерполирующего фильтра переда-

Рис. 3.11.

точной функцией приведенной непрерывной части. В этом легко убедиться, сравнивая рис. 3.11 и 1.6, на которых показаны схемы формирования ошибок Дн.(^) и Д«о(0 (на рис. 1.6 это Ды(01 соответственно. Отношение искомых дисперсий будет равно 2 Д'2„* = * = DO J J o (СО) ( I -

- f t Re К . (jco) К (jco)^ +

Ф («) J X

_o oo J G (oo) |1— К (jw)|2 dco

"

*

6

, x I /С, (Jco) К (jco) |»d€B

(3

133^

2 Величина Д наряду с величиной Д2 может служить еще одной мерой погрешности дискретной аппроксимации непрерывных следящих систем. Пример 1. Рассмотрим применение полученных выше шений для оценки погрешности цифрового интегрирования нарного экспоненциально-коррелированного случайного u(t). Корреляционная функция и энергетический спектр его,

соотностациопроцесса а также

энергетический спектр соответствующего дискретного процесса и[п] выражаются формулами >(1.47). Величину интеграла

случайного

т v=\u(t)dt

(3.134)

можно рассматривать как величину сигнала v(i) в точке t=T, наблюдаемого на выходе непрерывной линейной системы, импульсная переходная характеристика и передаточная функция которой имеют соответственно вид П, 0 < / < 7 \ Г sin 2 «0772 ' ,, h(t) = { К(jw) = / т оч2 е~]шГ/2. (3.135) V J 2 v ' | 0 , t<0,t>T, ' ("Г/2) > Вычисление интеграла (3.134) по различным формулам численного интегрирования с равным шагом дискретизации соответствует, как легко видеть, замене данной непрерывной системы эквивалентной импульсной системой по схеме рис. 1.4 с различными типами интерполирующих фильтров. В частности, при использовании формулы прямоугольников и формулы трапеций передаточные функции интерполирующих. фильтров будут иметь вид, показанный в табл. 1.1 (№ 1, 2, 3). В 'результате дискретизации вычисленное значение У. интеграла (1. 134) будет отличаться от его истинного значения v. Приведенных характеристик достаточно, чтобы, подставив их в выражения '(3.129)—1(3.132), найти соответствующие оценки погрешности цифрового интегрирования случайного процесса. Рассмотрим, в частности, случай, когда интервал интегрирования Т в несколько раз больше времени корреляции процесса u(t). Это означает, что полоса пропускания системы с передаточной функцией (3 135) существенно меньше ширины спектра входного сигнала u(t) и тем более меньше ширины спектра ошибки интерполяции этого сигнала (§ 1.7, рис. 1.7). В таком случае согласно формулам (3.129). (3.131) дисперсия ошибки цифрового интегрирования (дисперсия разности \v=v—у.) не зависит от типа интерполирующего фильтра (т. е. метода интегрирования) и равна

т = [Д'Ф (0) - G (0)] J Л2 (0 dt = [Ш (0) - G (0)] Т. о Отсюда, используя выражения (1.47) и (3.135),

А. = ™ ( т о — г ) '

е

легко получим

(3- ,36 >

=

Дисперсия самого интеграла (1.134) равна

09 02

ОС

= 4 " J o ( a ) | Я ( И |2rf
sin2 (0)7-/2) rfco _

- Г Т - -(ОЖ )" " 5 T ( « J + e — гUJ -«оТ 7(1Т +2(0 * 2

16*

2

т

*Г-1)243

В рассматриваемом

случае

следовательно, е

и

Используя (3.136) и (3.137), относительную среднеквадратическую погрешность цифрового интегрирования можно выразить в виде (3.138)

где О =<|)Л' — безразмерный параметр, равный отношению времени интегрирования ко времени корреляции случайного процесса (на <( уровне 1/е). При малых е выражение (3.138) ^принимает вид ' (3.139) Рассмотрим численный пример. Пусть е = 0 , 7 (при этом коэффициент корреляции между соседними дискретами входного сигнала равен 0,5) и 6 = 3 , 5 . Согласно (3.138) и '(3.139) получаем соответственно Д 2 =0,07 и А 2 =0,11. Видим, что формула (3.139) дает несколько завышенный результат. Сравнивая эти результаты с результатами § 1.7, убеждаемся, что относительная погрешность цифрового интегрирования значительно меньше относительной погрешности интерполяции входного сигнала [формула (1.48)]. Заметим, что данный численный пример рассматривался в работе {13], где иным методом получена формула оценки погрешности цифрового интегрирования случайных процессов. Сравнение численных результатов показывает полное их совпадение.

В заключение этого п а р а г р а ф а необходимо сделать некоторые замечания. Полученные формулы позволяют оценить среднеквадратическую погрешность выходного сигнала при наиболее распространенных методах дискретной аппроксимации непрерывных линейных систем, подверженных стационарному случайному воздействию. В ряде случаев полученные аналитические выражения для оценки отличаются простотой [формулы (3.129) —• (3.132), (3.136) —(3.139)], что существенно облегчает их практическое использование. В общих случаях выражения для оценок оказываются более громоздкими. При решении практических з а д а ч методом цифрового моделирования рассмотренные выше приемы оценки погрешности дают скорее лишь некоторое представление 244

6 величине погрешности результатов, чем конкретную ее величину, так как практически решаемые задачи содерж а т обычно значительно более сложные преобразования сигналов и помех, чем простые линейные преобразования. Чтобы получить дискретную модель сложной непрерывной системы, о б л а д а ю щ у ю требуемой точностью, практически можно использовать следующий довольно эффективный прием. Сначала шаг дискретизации выбирается ориентировочно, исходя из данных выше оценок. Окончательно шаг дискретизации выбирается при реализации цифровой модели на Ц В М путем проведения нескольких пробных решений задачи для различных последовательно уменьшающихся, например в два раза, значений шага дискретизации, начиная с выбранного значения шага и кончая тем значением шага, когда результаты решения практически перестают изменяться. Разница в результатах решения при выбранном и при минимальном Щагах дискретизации дает величину погрешности дискретной аппроксимации. В некоторых случаях оценку погрешности цифрового моделирования удобно производить путем сравнения результатов при выбранном шаге дискретизации с результатами аналитического решения задачи, если это решение нетрудно получить при некоторых упрощающих условиях. Этот вопрос будет рассмотрен в § 4.2.

Глава ПРИМЕНЕНИЕ НЕКОТОРЫХ

ЦИФРОВОГО ЗАДАЧ

ч е т в е р т а я МОДЕЛИРОВАНИЯ

СТАТИСТИЧЕСКОЙ

ДЛЯ

РЕШЕНИЯ

РАДИОТЕХНИКИ

4.1. Предварительные замечания

В данной главе приводятся примеры применения изложенных выше методов цифрового моделирования для решения сложных статистических задач радиотехники. На этих примерах показаны принципы реализации цифровых моделей на вычислительной машине для решения задач в целом, показаны преимущества и недостатки метода цифрового моделирования по сравнению с другими методами исследований. Кроме этого, даны результаты решения задач, представляющих интерес для специалистов. П р е ж д е чем переходить к изложению конкретных примеров, целесообразно рассмотреть некоторые общие вопросы цифрового моделирования радиосистем. Д а н н ы е выше алгоритмы цифрового моделирования радиосигналов, помех, различных классов случайных процессов и процессов преобразования сигналов и помех при прохождении через линейные и нелинейные системы являются основными. Они о т р а ж а ю т в удобной для реализации на Ц В М форме поведение целого ряда наиболее распространенных объектов моделирования. Однако эти алгоритмы непосредственно позволяют получить описание поведения лишь отдельных элементов радиосистем или их параметров. Алгоритм функционирования всей заданной системы получается обычно путем комбинации основных алгоритмов. Наиболее важным требованием к основным алгоритмам при их разработке было требование минимальных вычислительных затрат. Это ж е требование остается и при составлении комплексных алгоритмов для моделирования сложных систем в целом. Д л я сокращения вычислительных затрат при решении всей задачи требуется не только выбирать в качестве основных экономичные 246

моделирующие алгоритмы, но еще и эффективно их использовать. Вычислительные затраты при реализации на Ц В М модели некоторой системы, процессы в которой протекают во времени, удобно характеризовать масштабом времени Mt, равным отношению времени / м , необходимого для воспроизведения на Ц В М процессов в системе, к реальному времени протекания этих процессов, т. е. m = t j t Хотя при моделировании на цифровых вычислительных машинах, вообще говоря, не существует такого однозначного понятия масштаба времени, как это имеют место при моделировании на аналоговых вычислительных машинах, однако нетрудно ввести некоторый вполне естественный масштаб времени и при цифровом моделировании. Действительно, воспроизведение на Ц В М процессов, протекающих в моделируемой системе, осуществляется путем расчета по определенным алгоритмам значений, принимаемых этими процессами в дискретные моменты времени t ь fa>ti, t3>i2, ..., tn>tn-1, . . . Чаще всего моменты фиксации процессов берутся с постоянным шагом At, т. е. tn = tiAt. Время Л/ м , необходимое для завершения на Ц В М всех расчетов на к а ж д о м шаге, обычно примерно одинаковое (при переменном времени расчета можно взять среднюю величину времени на один ш а г ) . Поскольку после завершения расчетов на данном шаге сразу ж е производится расчет на следующем шаге, то, очевидно, масштаб времени при цифровом моделировании равен Mt = AtjAt. Если Fм — быстродействие машины, равное количеству элементарных операций в секунду (иногда эта величина обозначается как частота, например, в килогерцах или мегагерцах), а № л —количество элементарных операций, затрачиваемых при расчете на одном шаге, то A t M = N ^ / F м и, следовательно,

где /с=2д7 — частота дискретизации

процессов.

Общее

время, затрачиваемое на реализацию цифровой модели, равно Т, к где Т — реальный временной интервал наблюдения процессов в системе. Чем меньше величина Mt, тем меньше вычислительные затраты. При M t = \ цифровое моделирование осуществляется в реальном масштабе времени, а при M t > 1 и М ( < 1 — в замедленном и ускоренном масштабах времени соответственно. Поскольку минимальное значение равно единице, а удвоенная частота дискретизации процессов в соответствии с теоремой Котельникова выбирается порядка ширины спектра процессов, то в реальном масштабе времени могут быть смоделированы лишь те радиосистемы или их отдельные элементы, у которых процессы, подлежащие воспроизведению, занимают полосу частот А/, не превышающую быстродействие Ц В М FM. Большинство современных универсальных Ц В М имеют быстродействие десятки и реже сотни килогерц, поэтому в настоящий период в реальном или ж е ускоренном масштабе времени могут быть смоделированы сравнительно низкочастотные радиосистемы, такие, как системы передачи речевых сигналов, следящие системы радиолокационных станций и др. Типичными примерами радиосистем, которые невозможно в настоящее время смоделировать на Ц В М в реальном масштабе времени, являются системы внутриимпульсной обработки сложных радиолокационных сигналов с шириной спектра десятки и сотни мегагерц. Согласно формуле (4.1) для уменьшения масштаба времени нужно при заданном быстродействии Ц В М стремиться к уменьшению количества операций на к а ж д о м шаге и увеличению шага моделирования, при сохранении, конечно, допустимой точности моделирования. Р а з личные способы сокращения вычислительных з а т р а т при разработке основных моделирующих алгоритмов рассмотрены выше. Имеются определенные возможности экономии в вычислениях и при составлении комплексных алгоритмов для моделирования систем в целом. Эти возможности Tu

24?

= MtT = NA

г

Сводятся в основном к следующему. При цифровом моделировании радиосистем, в которых протекают процессы, лежащие в различных участках частотного диапазона, целесообразно использовать различный шаг дискретизации для соответствующих диапазонов частот. Например, при цифровом моделировании радиолокационного импульсного автодальномера 'процессы внутриимпульснон обработки сигнала (процессы в приемнике и дискриминаторе) целесообразно воспроизводить с шагом, выбранным исходя из полосы пропускания приемника и ширины спектра сигнала, а процессы слежения — с естественным шагом, равным периоду повторения зондирующих импульсов. Такое положение является характерным при моделировании импульсных радиосистем, относящихся к классу дискретно-непрерывных систем (дискретных при наблюдении от периода к периоду и непрерывных при наблюдении внутри импульсов). Шаги дискретизации могут отличаться при этом на несколько порядков. Шагом моделирования следует считать здесь наибольший шаг, который является основным в том смысле, что расчеты процессов с мелкими шагами (подробное воспроизведение) служат обычно для обеспечения расчетов с наиболее крупным шагом. Необходимый интервал наблюдения процессов в системе при подробном воспроизведении обычно меньше, а в ряде случаев гораздо меньше основного шага дискретизации; например, при моделировании стробируемого приемника импульсных сигналов подробное воспроизведение процессов необходимо только в пределах строба, длительность которого часто во много раз меньше периода повторения. Последнее дает возможность исключить из рассмотрения межпериодные промежутки при моделировании импульсных радиосистем. Заметное сокращение вычислительных затрат дает также экономичная организация расчетов при цифровом моделировании по методу Монте—Карло, который требует многократного вопроизведения процессов, использование эффекта нормализации случайных величин и другие приемы. Все указанные приемы сокращенного моделирования радиосистем в целом продемонстрированы на приведенных ниже примерах. Метод цифрового моделирования используется в этих примерах для анализа радиосистем. Полученные модели

й известной мере могут быть использованы и для синтеза радиосистем путем перебора различных вариантов с целью выбора наилучшего. Синтез радиосистем с помощью ЦВМ является очень важным направлением научных исследований, но в этой книге какие-либо специальные методы синтеза радиосистем с помощью Ц В М не рассматриваются. 4.2. Исследование воздействия колебаний с ш у м о в о й м о д у л я ц и е й на р а д и о п р и е м н ы е устройства 1. Постановка задачи

Р а с с м а т р и в а е м а я ниже задача в общем виде формулируется следующим образом. Приемник, упрощенная функциональная схема которого состоит из линейного высокочастотного фильтра (радиофильтра), детектора и видеофильтра (рис. 4.1,а), находится под воздействием колебаний, модулированных случайным процессом по амплитуде и частоте. Требуется определить интенсивность, т. е. дисперсию (мощность) или среднеквадратическое значение и законы распределения флюктуаций на выходе приемника в зависимости от глубины амплитудной модуляции и девиации частоты входного колебания, ширины спектра модулирующего шума и величины расстройки входного воздействия по отношению к резонансной частоте приемника. При решении задачи были сделаны следующие допущения. 1. Амплитудная и частотная модуляция входного колебания осуществляется одними и теми ж е реализациями видеочастотного стационарного нормального центрированного шума g(f) с экспоненциальной корреляционной функцией R ( т ) = е,-<•>. I *, I где со* = 2 л A F m — ширина энергетического спектра шума на уровне 0,5. Характеристики модуляторов полагались линейными. Таким образом рассматривалось входное колебание вида м а = Re U ( 0

(4.2)

где Uо — амплитуда колебания в режиме покоя; та — коэффициент амплитудной модуляции, равный отношению среднеквадратического значения флюктуаций амплитуды к среднему значению амплитуды Uo~, Зш — = 2лOf — среднеквадратическое значение девиации частоты; б(о = 2я6/ — расстройка несущей частоты входного

vor(t)

i/,(t) uz(t)

v0(i)

Vo(t)

v0(t)

Vlt)

Комплекс ный фильтЦНИ)

N

Блок выделения модуля

v(t)

vM

vA(t) Нелинейный элемент,

\

Видеофильтр

v(t)

6) u,[n7

V[n]

/Ып]

llIIlL Ulltt

VozCJ

A*

УоСп] ДискретU[n] ный комплексный фильгпрзН[п]

\

Ы"] Нелинейный элемент,

Блок Выделения модуля

В) Рис, 4.1,

и

*Д[П]

\

Дискретный видеофильтр

v[n]

к о л е б а н и я относительно резонансной частоты приемника. 2. Амплитудно-частотная х а р а к т е р и с т и к а радиофильтра приемника является комплексно-сопряженной со спектром импульсного сигнала, п р е д с т а в л я ю щ е г о собой либо обычный р а д и о и м п у л ь с с гауссовой огибающей, либо прямоугольный радиоимпульс с линейной внутриимпульсной частотной модуляцией, т. е. р а д и о ф и л ь т р приемника я в л я е т с я о п т и м а л ь н ы м ф и л ь т р о м (ОФ). В первом случае приемник н а з в а н о п т и м а л ь н ы м A M приемником, а во втором случае — о п т и м а л ь н ы м Ч М приемником. И м п у л ь с н ы е п е р е х о д н ы е х а р а к т е р и с т и к и о п т и м а л ь н ы х ф и л ь т р о в приемников приняты соответственно р а в н ы м и Л, (0 = ReH, (t) e J ' V ,

ht (t) = Re H a (t) e j ' V

где H, {t) = kx*r

18 ( /r-I/2)!

'

,

0
— огибающая импульсной переходной AM приемника;

характеристики 0
(4.3) ОФ (4.4)

— к о м п л е к с н а я о г и б а ю щ а я импульсной переходной характеристики О Ф Ч М приемника; ki, — некоторые постоянные коэффициенты; Т — длительность импульсной переходной х а р а к т е р и с т и к и (для A M п р и е м н и к а на уровне е _ 4 ' 5 = 0 , 0 1 ) ; /Сук = 2А/ д Г — коэффициент укорочения импульса с линейной Ч М при оптимальной ф и л ь т р а ц и и в Ч М приемнике; 2Д/ д — д в у х с т о р о н н я я д е в и а ц и я частоты сигнала при линейной ЧМ. 3. Д е т е к т о р п р и е м н и к а я в л я е т с я либо линейным, либо к в а д р а т и ч н ы м детектором огибающей, в ы д е л я ю щ и м б е з и с к а ж е н и й о г и б а ю щ у ю или к в а д р а т о г и б а ю щ е й кол е б а н и я на его входе. 4. В и д е о ф и л ь т р п р е д с т а в л я е т собой двойную RC-цепь с передаточной функцией

где Тф — постоянная времени RC-цепи. Т а к а я з а д а ч а встречается во многих о т р а с л я х радиотехники и частично у ж е р а с с м а т р и в а л а с ь в ряде р а б о т 252

[61, 74, 75]. Полное решение этой задачи аналитическими методами, >в особенности для случаев, когда берутся произвольные значения ширины спектра модулирующего шума и рассматриваются флюктуации на выходе Ч М приемника, связано со значительными математическими трудностями, причем наибольшие трудности встречаются при нахождении законов распределения флюктуаций на выходе приемника. Л и ш ь в некоторых предельных случаях задачу удается довести до конца аналитически [61, 74, 75]. Экспериментальное исследование задачи, хотя в принципе вполне возможно, однако требует больших з а т р а т времени и средств. Применение ж е цифрового моделирования в сочетании с методом Монте-Карло позволяет довольно просто решить эту задачу. 2. Ц и ф р о в а я м о д е л ь

приемника

Сущность метода Монте-Карло, как известно [10], состоит в построении с помощью средств вычислительной техники случайного процесса с параметрами, равными искомым величинам решаемой задачи, и в вычислении статистических характеристик этого процесса, приближенно равных искомым п а р а м е т р а м . В рассматриваемой задаче интересующий нас случайный процесс представляет собой флюктуации на выходе приемника, находящегося под воздействием колебаний с шумовой модуляцией. Д л я формирования этих флюктуаций н а Ц В М построим цифровую модель приемника, используя методы моделирования, описанные в первых трех главах. Представим приемник в виде эквивалентной функциональной схемы (рис. 4.1,6), заменив радиофильтр комплексным фильтром (§ 3.4), а детектор — последовательным соединением блока выделения модуля и нелинейного безынерционного элемента с характеристикой нелинейности f{x)=x\ где v = l , 2 . Д л я получения цифровой модели приемника непрерывные фильтры заменим соответствующими дискретными фильтрами (рис. 4.1,в), а затем, начиная с выхода приемника, опишем к а ж д ы й блок соответствующим дискретным алгоритмом функционирования, используя при этом обозначения, показанные на рис. 4.1. Поскольку видеофильтр является линейной системой с дробно-рациональной передаточной функцией второго порядка [формула (4.5)], 253

для моделирования его воспользуемся рекуррентным алгоритмом, что в данном случае будет наиболее экономичной дискретной аппроксимацией (см. § 3.3). Тогда дискретный процесс изображающий непрерывный процесс и ( 0 на выходе приемника в точках tn = nAt, где At — шаг дискретизации видеофильтра, выразится в виде у [п\ =a0vj\n\

+ > , у д [п — 1] + а,0д[га — 2] —

— bxv\n — \ \ - b j j \ n — 2],

(4.6)

где Vjln]—. дискретные значения флюктуаций на выходе детектора; аи, £ = 0, 1, 2, bh=\, 2, — постоянные коэффициенты, определяемые при заданной передаточной функции видеофильтра шагом дискретизации и методом дискретной аппроксимации. Д л я получения конкретных значений коэффициентов ак и Ьи воспользуемся методом Рагаззини-Бергена (метод дискретной аппроксимации повышенной точности, основанный на линейной интерполяции входного сигнал а ) . Согласно этому методу, учитывая, что передаточная функция видеофильтра имеет только один полюс pi = = — 1/тф кратности ri = 2, используя (3.45), (3.46), легко найдем

ДГф

Ьг'= 1;

Ыф = Д / / 1 ф ;

"Iф

Рф = е" Д ' ф .

Далее, очевидно, о л [п] = Г [ п ) , v = 1,2;

V [«] = | V [л]|.

Комплексный фильтр, эквивалентный ОФ приемника, не является в данном случае системой с рациональной передаточной функцией. Поэтому алгоритм комплексной фильтрации запишем в виде комплексной свертки (формула (3.90)], основанной па применении к интегралу 254

Д ю а м е л я для Огибающих методов численного Интегрирования (§ 3.4, п. 2). Тогда N V [п] =

£

N с 0 [k] H W U [ « - f t l =

k=0

J ] a [к] и [п - к ] ,

k=0 (4.7)

где &Щ

= Ц-с0

[к]Н[к\;

с0[/е] — коэффициенты, определяемые методом численного интегрирования; Н(/г] — дискретные значения импульсной переходной характеристики комплексного фильтра; N=T/At; Т — длительность импульсной переходной характеристики комплексного фильтра. В более общем случае, когда шаг дискретизации радиофильтра At' не равен основному шагу дискретизации At, а в I раз меньше его, алгоритм (4.7) записывается в виде N'

V [ « ] = E a'[k]li'[nl k—0

-k],

N' = NI.

(4.8)

Здесь и в дальнейшем штрихом помечены дискретные функции, порождаемые непрерывными при шаге дискретизации |Д/'. Положим, что дискретная аппроксимация ОФ производится с использованием формулы' прямоугольников, тогда с'ДО=И, k = \, N'—ll; c'[N'}=0. Конкретные численные значения комплексной весовой функции найдем из выражений (4.3) и (4.4) для комплексной огибающей Н ( / ) импульсной переходной характеристики ОФ: н', Щ

Н

'

з

т = к * г * »

Окончательно весовые множители а ' [А] в формуле (4.8) равны =

(4.9) .

(4.10) 255

Дискретная комплексная огибающая входного колебания в соответствии с выражением (4.2) запишется в виде и'[«]=^(1+/гаа5'[«])е5,е',п,+Гшл,)

(4.11)

где £'[/;] и 0' [//] —дискретные][случайные процессы, порождаемые непрерывными случайными процессами £ (/) и 0 ( t ) = о Д л я формирования на Ц В М дискретных реализаций случайного процесса | ( / ) воспользуемся готовым алгоритмом (№ 1) из табл. 2.2: 5' [/г] = у Т ^ р х [п] + рб' [п — 1],

(4.12)

—2Дi — 2чАТ ш ш где р = е = е ; х[п\— последовательность независимых нормальных случайных чисел с параметрами (0,1). Случайный процесс 9(/) является здесь нормальным нестационарным процессом со стационарными приращениями. Производная этого процесса равна Алгоритм для формирования реализаций такого процесса был получен в примере 1 § 2.9 и имеет вид 6' [п\ = а \ х [п] + а ' , х [п — 1] + ( ! ] + > ) 8' \п — Рв'[« —2],

1]

(4.13)

где коэффициенты а'0 и а\ определяются формулами (2.131), (2.130), (2.126), (2.128) п р и з = зш, = = Н а д о отметить, что, поскольку случайный процесс 9 ( / ) является преобразованием от случайного процесса l{t), то случайные числа х[п] в алгоритмах (4.12) и (4.13) должны быть одними и теми ж е случайными числами. Алгоритм (4ЛЗ) не имеет методической погрешности. Приближенный алгоритм формирования процесса О ' М можно легко получить, заменив интеграл суммой. Тогда 0'[«] = *. 6 » + 6 ' [ « - П .

\

=

(4.14)

Н а этом составление цифровой модели приемника, по существу, заканчивается. П о л у ч е н а последовательность отдельных алгоритмов [формулы (4.6) — (4.14)], позвол я ю щ и х п р е о б р а з о в ы в а т ь на Ц В М дискретные р е а л и з а ции | ' [ п ] модулирующего процесса £(/) в дискретные реализации v[n] флюктуаций v(i) на выходе п р и е м н и к а . Алгоритмы я в л я ю т с я рекуррентными, отличаются простотой и легко реализуются на Ц В М . Основными параметрами рассматриваемой модели являются величины т а , зщ, AFm, Во>, Т, Кук, т ф . От выбора их значений зависит результат решения задачи. П а р а м е т р ы At, At', N', р, k\, k2, U0 я в л я ю т с я вспомогательными; они определяют погрешность дискретизации и масштаб процессов. Д л я решения з а д а ч и в общем виде удобнее пользоваться безразмерными и несколько отличными от указанных п а р а м е т р а м и . Д л я получения таких п а р а м е т р о в выразим шаг дискретизации At' через частоту дискретизации f с в виде At'=\/2f'c, а частоту дискретизации свяж е м с полосой пропускания 2Аf р а д и о ф и л ь т р а приемника, положив / c = y A f , где у — некоторый коэффициент, определяющий погрешность дискретизации. Тогда = af At' = р/2у,

AFm = &FmAt' = р/2 щ,

8/ = 8/Д<' = 8/2у;

Д?ф = ДГ/х ф = / / Т / г ф ,

= а/т; (4.15)

где р = Of/Af -—отношение среднеквадратического значения девиации частоты входного воздействия к полуполосе пропускания р а д и о ф и л ь т р а ; a = AFm/2Af — отношение ширины спектра модулирующего шума к полуполосе радиофильтр'а; m j = (jf/AF u l — индекс частотной модуляции входного колебания; 6 = 6//А/ — относительная расстройка; £ ф = 1 / 2 Д / т ф = А / у 2 Д / — отношение полосы пропускания видеофильтра (на уровне 0,5) к полосе пропускания радиофильтра. Выберем теперь вполне определенный м а с ш т а б моделируемых процессов. П о л о ж и м , не н а р у ш а я общности, амплитуду U0 и коэффициент передачи приемника Кп равными единице. Поскольку коэффициенты передачи детектора и видеофильтра у ж е выбраны единичными, д л я обеспечения i ( n = l надо п р и р а в н я т ь единице коэффициент передачи оптимального фильтра k 0 . Величина k 0 определяется значениями коэффициентов k\ и k2 в формулах (4.3) и (4.4). 17—160

257

Д л я AM приемника частотная характеристика как преобразов а н и е Ф у р ь е о т и м п у л ь с н о й п е р е х о д н о й х а р а к т е р и с т и к и hi(t), если пренебречь погрешностью отсечки гауссовой огибающей функции hi(t) (в д а н н о м с л у ч а е н а у р о в н е 0,01), имеет в и д

Кг

( И

= Ко

(jco -

jco.)

Ко

* +

(jco + j(0„)

'»,

где

/

71 —

1

—Ш'/2ДЩ5.

V^T к„ —

—

—

к о э ф ф и ц и е н т п е р е д а ч и р а д и о ф и л ь т р а на р е з о н а н с -

н о й ч а с т о т е ; Дсо = 2 п Д / — п о л у ш и р и н а ной х а р а к т е р и с т и к и

р а д и о ф и л ь т р а на

гауссовой уровне 1 j V ь

чина с в я з а н а с д л и т е л ь н о с т ь ю и м п у л ь с н о й р а д и о ф и л ь т р а на у р о в н е е ~ 4 . 5 =

амплитудно-частот=0,61

переходной

(эта

вели-

характеристики

0 , 0 1 с о о т н о ш е н и е м Дш = 6 / Г ) .

Чтобы

,/~2~ 6 п о л у ч и т ь k0 =

1, н у ж н о в ы б р а т ь к , — у

——j-'

При этом

формула

( 4 . 9 ) д л я р а с ч е т а в е с о в ы х м н о ж и т е л е й а \ [k\ п р и м е т в и д А м п л и т у д н о - ч а с т о т н а я х а р а к т е р и с т и к а О Ф Ч М п р и е м н и к а при К у к 3 > 1 , к а к и з в е с т н о [53], п о ч т и п р я м о у г о л ь н а я ш и р и н о й 2Af=2Afa. Д л я п е р е х о д а от к о э ф ф и ц и е н т а k2 к с р е д н е м у к о э ф ф и ц и е н т у перед а ч и О Ф в п р е д е л а х полосы п р о п у с к а н и я п о с т у п и м с л е д у ю щ и м обр а з о м . Н а й д е м п л о щ а д ь п о д к р и в о й К г (®) = I Кг (jco) 1 2 , т . е . в е л и ч и н у

ОО s2 =

оо

J Kl (co)dco =

—OS

2*

J К?2 ( f ) d f ,

—00

где

Ki(je>)—частотная характеристика О Ф Ч М приемника. Согласно равенству Парсеваля величину s2 м о ж н о представить в виде

оо s., =

T o +

т

= j [Re H2 (0 e ^ j 2 dt = 0 T COS2 [u.f + ? Л 2 (01 dt = -L f H\ (t) dt 4и T j h\ —00

T" j о

H

(t) dt

lcos212й)о< +

г д е H2(t) и фл2(0 огибающая и характеристики О Ф соответственно.

285

фаза

(01 dt, импульсной

переходной

П о с к о л ь к у п р е д п о л а г а е т с я , что Н2(1) м е д л е н н о и з м е н я е т с я по с р а в н е н и ю с cos[o)o/+q>ft2(01. т о и н т е г р а л о м от б ы с т р о о с ц и л л и р у ю щей ф у н к ц и и во втором с л а г а е м о м последней ф о р м у л ы м о ж н о пренебречь. Тогда

т 5 , - 4 " ] я 2 ( 0 < « = 4"fe2rО

(4Л7)

Заменяя функцию K2(f) двумя эквивалентными по площади п р я м о у г о л ь н и к а м и ш и р и н о й 2 Д / = 2 Д / д (в о б л а с т и п о л о ж и т е л ь н ы х и отрицательных частот), согласно (4.17) п о л у ч и м выражение для высоты этих прямоугольников, которая равна некоторому усреднен ному коэффициенту передачи ОФ, в виде h2

_

«0 Отсюда

для

обеспечения

k0=\

формула

((4.10)

л е й a'2 [k] п р и м е т

для

8Д/д

нужно

k2 = Тогда

т

ь22 4 AAf „f s - '« 2

выбрать

k2 из

условия

VWJr.

расчета

комплексных

весовых

множите-

вид

Учитывая, что полоса пропускания радиофильтра A M и Ч М п р и е м н и к о в р а в н а с о о т в е т с т в е н н о 2Afi=6/nT и 2Д/г=2Д/д, параметр N ' в ф о р м у л а х (4.9) и (4.10) м о ж н о в ы р а з и т ь в в и д е

АГ'.-вг/и, N'2 = iK Jx . Теперь, после всех нормировок, окончательный алгоритм цифровой модели приемника можно записать в следующем формульном виде: v[n] = a0 | V [п] Г - f а , | V [ я - 1] Г + а , | V [ я - 2 ]

f -

— bfl [я — 1] — 6 2 и [ я — 2 ] ; N'-1

V [я] = 2

a ' [£] (1 + w a 6' \nl —k\)

j U ' 1Ы-Й1+

Xe 6' [и] = S'

17*

(nl-k) ll

1

]/ 1 — =

X

; 2

p x [я] + М

+

pv [n -

1];

6 ' [ Я - 1 ] .

259

П а р а м е т р ы do, аи а2, bu b2, N'l>2, а ' Ы Н РФ остаются неизменными при решении конкретного варианта задачи и вычисляются перед началом реализации модели по формулам, приведенным в данном параграфе, параметр р определяется но 'формуле

При этом параметры а, р, у, m a , tn,, /, исходные данные.

задаются как

3. О р г а н и з а ц и я расчетов на Ц В М для вычисления статистических характеристик

Д л я получения интересующих нас статистических характеристик флюктуаций на выходе приемника кроме описанной выше цифровой модели приемника целесообразно запрограммировать и процесс статистической обработки результатов по методу Монте-Карло. В данном случае статистическая обработка состоит в накоплении первых нескольких степеней случайных чисел v[n] для определения моментов распределения флюктуаций на выходе приемника, в частности для определения интенсивности флюктуаций, а т а к ж е в построении гистограмм распределения случайных чисел v[n] для оценки законов распределения флюктуаций на выходе приемника. Возможность осуществлять моделирование и одновременно без особого труда производить необходимую обработку результатов является важным преимуществом использования для моделирования универсальных ЦВМ. При моделировании эргодических систем, т. е. систем, процессы которых таковы, что усреднение их характеристик по времени равносильно усреднению по множеству (именно этот случай имеет место в рассматриваемой задаче), вычисление статических характеристик процессов целесообразно производить параллельно, чтобы избежать накопления больших массивов чисел, подлежащих статистической обработке. В частности, в рассматриваемой задаче нет необходимости запоминать последовательность v[n], чтобы потом найти ее статистические характеристики: среднее, дисперсию, корреляционную функцию и т. д. Можно, получив очередное значение v[n], сразу ж е подвергнуть его соответствующей обработке и в дальнейшем не использовать его или исполь260

зовать только на ближайших нескольких шагах модели. Процесс параллельного вычисления моментов распределения и законов распределения последовательности v[ri] очевиден: каждое очередное значение г[п] возводится в соответствующую степень и накапливается в некоторой ячейке, где хранится предыдущее значение степени числа v[n] (вычисление моментов), и каждое очередное значение v[n] анализируется с целью определения разряда гистограммы, в который оно попадает, а затем в ячейку, соответствующую полученному разряду, добавляется единица (построение законов распределения), после чего производится переход к расчетам на следующем шаге по алгоритму модели. Такой способ общеизвестен и часто используется при моделировании. Менее известным является метод параллельного (рекуррентного) вычисления корреляционной функции. Пусть требуется вычислить корреляционную функцию / ? „ [ т ] последовательности v[ri\ для т=О, NR, где Nn — число дискретных значений корреляционной функции. Обычная формула вычисления R v [ m ] имеет вид N

Rv м

= J ^

У V [«] о \п -

и],

(4.18)

п=\

где N—количество точек у [я] (длина реализации дискретного процесса и[п]). По этой формуле путем суммирования по п произведений v[n]v\n—m] для п= 1, N при фиксированном т осуществляется вычисление корреляционной функции, когда задана вся последовательность v[ri]. Д л я рекуррентного вычисления / ? , [ т ] формулу (4.48) нужно использовать несколько иначе: получив очередное значение v [гг], нужно при данном п вычислить произведения v[ri\v[ti—т] для т — О, Nn, а затем присуммировать полученные произведения к содержимому ячеек, хранящих накопленные на предыдущих шагах суммы вида Sv [0, п -

1] = "s о" \k], ft=0

МЛ^-1,

Sv [1, п -

1] =

№ ° k-0

=

v\k]v[k~(NR-\)]. к=I)

.... (4.19)

Несуществующие значения чисел v [k] в формулах (4.19), например у{0] при вычислении S [ l , 1], приравниваются нулю. Окончательно корреляционная функция R v [ m ] получается как Rv{m]=Sv[m,

N]!(N-m).

При вычислении корреляционной функции по данному алгоритму требуется помнить NR предыдущих значений последовательности v[n\. Число NR обычно гораздо меньше N, что дает большую экономию ячеек памяти машины при использовании рекуррентного алгоритма вычисления корреляционной функции. Д л я параллельного построения гистограммы распределения желательно заранее ориентировочно знать диапазон наиболее вероятных значений случайных чисел, чтобы выбрать приемлемый размер и количество разрядов гистограммы. В рассматриваемой задаче примерный диапазон значений флюктуаций v(t) нетрудно определить. Действительно, поскольку в алгоритме принято Uо=1 и то максимальное значение флюктуаций на выходе при отсутствии амплитудной модуляции на входе ( т я = 0) будет близко к единице. Минимальное значение, очевидно, равно нулю. П р и наличии амплитудной модуляции максимальный размах флюктуаций на выходе увеличится примерно до 1 +3тя, т а к как амплитуда колебания на входе, флюктуирующая по нормальному закону с параметрами (1, т ), с вероятностью, близкой к единице, заключена в интервале от 0 до 1 + 3 т„. 4. Н е к о т о р ы е аналитические о ц е н к и для к о н т р о л я д о с т о в е р н о с т и и точности результатов м о д е л и р о в а н и я

Одним из важнейших вопросов при решении статистических з а д а ч методом цифрового моделирования является вопрос о выборе критерия оценки достоверности и точности получаемых результатов. П р и решении рассматриваемой задачи точность результатов можно проконтролировать методом сравнения с аналитическим решением. Сущность метода состоит в следующем. Выбирается такой вариант входных параметров алгоритма, при которых исследуемая задача допускает достаточно простое аналитическое решение. Затем проЖ

изводится сравнение результатов аналитического решения с результатами решения на Ц В М при тех ж е параметрах. В качестве меры погрешности выбирается величина расхождения этих результатов. Аналитическое решение исследуемой здесь з а д а ч и легко получ и т ь к в а з и с т а ц и о н а р н ы м м е т о д о м [24] д л я с л у ч а я , к о г д а с п е к т р м о дулирующего процесса значительно у ж е полосы пропускания прие м н и к а ( a < C l ) , к о э ф ф и ц и е н т а м п л и т у д н о й м о д у л я ц и и т а = 0 и вид е о ф и л ь т р н е в н о с и т и с к а ж е н и й , т . е. v(t) = v a ( t ) . Д е й с т в и т е л ь н о , при а < С 1 к а ч а н и е частоты входного воздействия п р о и з в о д и т с я достаточно медленно и поэтому м о ж н о полагать, что переходные процессы в радиофильтре приемника, с в я з а н н ы е с изменением частоты, не о к а з ы в а ю т влияния на п а р а м е т р ы о г и б а ю щ е й выходного колебания. П о с л е д н е е означает, что о г и б а ю щ у ю на в ы х о д е р а д и о ф и л ь т р а можно находить как и в случае стационарного (установившегося) р е ж и м а , п о л ь з у я с ь его статической амплитудно-частотной характерис т и к о й , т . е. п о ф о р м у л е

V ( 0 = Ко [Q (01 = Ко К б ( 0 + »«] = ехр [ - (9Ш1 ( 0 + 8Ш)72Д<0*]. Отсюда выходное напряжение v ( t ) , выходе детектора, запишется в виде

равное

напряжению

va(t)

на

MO = V ( 0 = * o P ( 0 ] . где v = l в случае линейного и v = 2 в случае квадратичного детектора. Н а й д е м п л о т н о с т ь в е р о я т н о с т е й ф л ю к т у а ц и й v ( ( ) . С л у ч а й н а я вел и ч и н а v п р е д с т а в л я е т с о б о й ф у н к ц и ю от с л у ч а й н о й в е л и ч и н ы Q с гауссовым законом распределения: ( g — S
Используя известные способы нахождения плотности стей функции от случайного аргумента, получим

вероятно-

X " ( 0 ) ~ 2 ( « v ) '/2р(_1„ 0 у/2 : [(_2int,)l/2_,l/28i,

+'e

Z

В частности, при отсутствии

расстройки

; |e

2v?

W ( 0 )

'

- M'^C-lny)"2 •

I,

*S" (S

|

0<о<1.

= 0 )

0 < о < 1.

(4.20) 263

Начальные моменты распределения нарном случае равны

флюктуации

0Х

М

= М {,"} =

т

Г К""(2) wK 0 (QdQ =

v{t)

в

квазистацио-

рГ- , 1

1

г

2 (l + V

, "p2)

J

(1+wtP 2 ) 1 ' 2

J

•

(4.21)

Отсюда интенсивности флюктуации (мощность переменной со с т а в л я ю щ е й ) на в ы х о д е A M п р и е м н и к а с л и н е й н ы м и к в а д р а т и ч н ы м детектором соответственно выражаются в виде 2

„

„г

ехр[-8'/(1+2р')|

0, - ли - М, = 2

2^

,,

,д 4

2

ехр[—8'/(1 +

(1+2р)172

ехр [ - 28V(I +

(1+4^/2

р»)1

нтр Щ ]

...

ехр [ - 28'/(1 +

2р)]

1+2р (4.23)

И н т е р е с н о с р а в н и в а т ь и н т е н с и в н о с т ь ф л ю к т у а ц и и на н ы х о д е A M приемника в к в а з и с т а ц и о н а р н о м с л у ч а е при воздействии на в х о д е колебаний с шумовой частотной модуляцией с интенсивностью флюкт у а ц и и при воздействии с т а ц и о н а р н о г о н о р м а л ь н о г о с л у ч а й н о г о процесса. мощности и энергетические спектры которых с о в п а д а ю т . Н а зовем воздействия, удовлетворяющие этому условию, спектрально эквивалентными. Ф о р м а энергетического спектра колебания, модулированного по частоте нормальными флюктуациями, зависит, вообще говоря, от формы спектра модулирующего процесса. Однако в случаях, когда индекс частотной модуляции / П / ^ 1 , влияние формы энергетического спектра модулирующего ш у м а практически незначительно и высокочастотный спектр частотно-модулированного колебания- (исключая внеполосное излучение) хорошо аппроксимируется своей асимптотической кривой, полученной при т t — - о о , к о т о р а я п р е д с т а в л я е т соб о й г а у с с о в у к р и в у ю с в е р ш и н о й в т о ч к е (о = м 0 + б и [14]. П р и э т о м ш и р и н а с п с к т р а ' ( н а у р о в н е 1 / V ^ e ) р а в н а 28ш . Д л я с р а в н е н и я о г р а ничимся случаем и п р е д п о л о ж и м , что энергетический с п е к т р прямошумового воздействия совпадает с асимптотическим спектром частотно-модулированных колебаний и оба воздействия одинаковы по м о щ н о с т и . Д и с п е р с и и ф л ю к т у а ц и й н а в ы х о д е р а д и о ф и л ь т р а приемника при с п е к т р а л ь н о э к в и в а л е н т н ы х в о з д е й с т в и я х будут, очев и д н о , о д и н а к о в ы м и и р а в н ы в е л и ч и н е гг2 = М 2 / 2 . г д е М г — с р е д н е е з н а ч е н и е к в а д р а т а о г и б а ю щ е й к о л е б а н и я на в ы х о д е р а д и о ф и л ь т р а , о п р е д е л я е м о е ф о р м у л о й ( 4 . 2 1 ) п р и v = l , п=1. Поскольку огибающ а я колебания н а выходе р а д н о ф и л ь т р а при п р я м о ш у м о в о м воздействии р а с п р е д е л е н а по з а к о н у Р е л е я с п а р а м е т р о м а, т о интенсивность п р я м о ш у м о в ы х флюктуаций на выходе приемника с линейным и квадратичным детекторами, равная соответственно дисперсии релеевской амплитуды и дисперсии квадрата релеевской амплитуды, выражается в виде

хе»Р

[-»'/(•+У)1(1 +

2

.

02

4

(4.24)

2Рг)'/2 е

=М2=

х

р

[

-

Г+2^

2

8

У

(

1

+

2

5

Р а с с м о т р и м т е п е р ь в о з д е й с т в и е Ч М ш у м о в о г о к о л е б а н и я на Ч М приемник в квазистационарном случае. При прямоугольной аппроксимации амплитудно-частотной характеристики р а д и о ф и л ь т р з н а п р я ж е н и е на выходе ЧМ приемника с линейным (квадратичным) детектором в квазистацнонарном случае будет, очевидно, принимать только два значения: v=vn=k^kvA ( о = Уко = £ к в ( & р . 4 ) 2 ) при п о п а д а н и и ч а с т о т ы в х о д н о г о колебания в полосу пропускания приемника и а = 0 — в противном случае, где fep. kn. &кв — к о э ф ф и ц и е н т ы п е р е д а ч и р а д и о ф и л ь т р а , л и н е й н о г о д е тектора н квадратичного детектора соответственно, А — амплитуда входного колебания. П о с к о л ь к у п р и н я т о k f , = k„ = kKB=A= 1, и л = Укв = 1. С л е д о в а т е л ь но. в р а с с м а т р и в а е м о м с л у ч а е ф у н к ц и и п л о т н о с т и ф л ю к т у а ц и й н а выходе Ч М приемника с линейным и квадратичным детекторами будут одинаковыми и данными w(o)= где р ния

(I —

в (о) + Я

окажется

в полосе приемника;

модуляции

видеть, в ы р а ж а е т с я

г д е Ф(х)

нормальным

—функция

величина

распределение

0 флюктуаций спектрально

колеба-

Pw,

как

легко

Лапласа. которых

| = P,~

P?„.

'0

Р ш , т о отношение выходной в

подчинено

/<м

М\ = J V-ш (о) dv •— I [ vw (о) dv

Поскольку M , =

входного

5(дг)—дельта-функция.

шумом

оо

<,2 2 = Mt -

(4.26)

формулой

Интенсивность флюктуаций. з а к о н у (4.26), р а в н а

ности

в (о—1).

— в е р о я т н о с т ь того, что мгновенная частота

При

мовых

в

квазистационарном

эквивалентных

мощности Ч М

случае к

прямошумовых

линейном и квадратичном детекторах соответственно

«1

®2

1-Я-

шу-

выходной

мощ-

флюктуаций

при

равно

(4.27)

4 Полученные аналитические результаты позволяют осуществить контроль правильности решения задачи способом цифрового моделирования.

5. Выбор исходных данных и результаты моделирования

цифрового

Составленный выше алгоритм цифровой модели приемника был запрограммирован и реализован на Ц В М М-20. Н и ж е приводятся исходные данные, принятые при расчетах на ЦВМ, и результаты нахождения интенсивностей и законов распределения флюктуаций на выходе приемника в предположении, что видеофильтр не вносит искажений [«(i) = у д ( / ) ] и что входное колебание модулировано только по частоте ( т а = 0 ) . Исследование проводилось путем просчета на Ц В М и последующего анализа различных вариантов задачи. Варианты отличались значениями входных параметров а, р, у, N', I. Выходными результатами в к а ж д о м варианте были первые два момента распределения и гистограммы распределения флюктуаций на выходе приемника для линейного и квадратичного детекторов одновременно. AM и ЧМ приемники исследовались отдельно. Д л я получения необходимых числовых характеристик формировались дискретные реализации v[ri\ выходного эффекта приемника длиной N0 значений. Усреднение производилось шаг за шагом параллельно, как это описано в п. 2. Д л я повышения точности статистических оценок при данном N0 шаг At выбирался равным постоянной времени радиофильтра с тем, чтобы дискреты у [я] были почти некоррелированными. При этом l=N'. П а р а м е т р у, характеризующий погрешность дискретизации, для AM приемника выбирался равным 2я. П р и этом iV'] = T/At'= 12, что обеспечивало достаточную точность для всех решаемых вариантов одновременно. Д л я Ч М приемника этот параметр выбирался в зависимости от варианта решения из условия у = 3р, но не меньше 2 и таким, чтобы N'2 было целым числом. Таким образом, частота дискретизации оптимального фильтра Ч М приемника выбиралась либо вдвое больше полосы пропускания фильтра (на уровне 0,5), либо вдвое больше ширины спектра Ч М шумового колебания (на уровне 1/ V е), смотря по тому, что было более широкополосным: частотная характеристика приемника или спектр входного колебания. Расчеты для Ч М приемника производились при /Су К =25, т а к что N'2мин=|50 и ЛР2макс = = 225 (при р = 3). 266

Величина No для AM приемника бралась равной 1000, а для Ч М приемника, моделирование которого требовало большего количества машинного времени, в целях сокращения вычислительных затрат параметр Na принимался равным 400—500. При этом для просчета одного варианта на Ц В М М-20 требовалось 3—5 мин в случае AM приемника я около 20 мин в случае ЧМ приемника. Точность статистических оценок в первом и во втором случае соответственно составляла 5—10% и 10-15%. Д л я оценки законов распределения флюктуаций в области малых вероятностей (порядка 10~ 3 —Ю - 4 ) для Ч М приемника объем статистики в некоторых вариантах увеличивался до N 0 = 1 0 000, при этом на решение одного варианта затрачивалось около четырех часов машинного времени. Проверка правильности цифровых моделей AM и Ч М приемников осуществлялась следующими путями. Д л я AM приемника были получены гистограммы распределения флюктуаций на выходе нри отсутствии расстройки в условиях, близких к квазистационарным, т. е. при узком спектре модулирующего шума (а<С'1). Эти гистограммы вместе с другими гистограммами, построенными с использованием 1000 значений v [л], представлены на рис. 4.12 (крайние с п р а в а ) . Плавной линией показаны аналитические кривые плотности вероятностей для квазистационарного случая, рассчитанные по формуле (4.20). Из рисунков видно хорошее совпадение законов распределения, вычисленных на Ц В М , с аналитическими законами распределения. Д л я Ч М приемника были сняты амплитудно-частотные характеристики. Д л я этого в алгоритме параметр р приравнивался нулю, з а д а в а л и с ь различные значения п а р а метра б и вычислялось установившееся значение выходного сигнала v[n]. Физически это соответствовало пропусканию через приемник гармонического колебания с фиксированной амплитудой с различными частотами юо + б(о. Зависимость выходного напряжения v[n] от fi д а в а л а амплитудно-частотную характеристику приемника. На рис. 4.2 показаны амплитудно-частотные характеристики Ч М приемника, вычисленные при коэффициенте укорочения 15 и 60. На этом же рисунке показаны ам-

плитудно-частотные характеристики прямоугольной формы^, эквивалентные реальным в смысле равенства площадей под квадратами кривых. На рис. 4.3 показана реакция ЧМ приемника на воздействие полезного сигнала, вычисленная путем замены

Рис. 4.2.

в алгоритме дискретной фазы ЧМ шумового колебания дискретной фазой полезного сигнала при /С у к =15. Сравнение полученных результатов с известными (53] характеристиками оптимального Ч М приемника убеждает в правильности цифровой модели. Приведем теперь некоторые окончательные результа-

На рис. 4.4 представлена зависимость мощности флюктуаций на выходе AM приемника с линейным детектором от относительной девиации частоты входного Ч М колебания в отсутствие расстройки (6 = 0). Кривые получены при фиксированных значениях отношения ширины спектра модулирующего шума к полосе пропускания радиофильтра (a = c o n s t ) . Пунктиром показана зависимость для квазистационарного случая, полученная по формуле (4.22). Д л я сравнения приведена зависимость мощности флюктуаций при спектрально эквивалентном прямошумовом воздействии (кривая / ) , рассчитанная по формуле (4.24). Кривые на рис. 4.4 нормированы по отношению к максимальному значению флюктуаций при прямошумовом воздействии, т. е. к величине о^ которая при принятых здесь условиях равна (1—л/4) и наблюдается при 6 = 0 и (3—>-0.

Как было показано в п. 4, мощность <з0) прямошумовых флюктуации на выходе приемника может быть выражена через средний квадрат М 2 флюктуаций на выходе при воздействии Ч М шумового колебания в квазистационарном случае по формуле (4.24). Этот факт позволил контролировать точность решения задачи путем подсчета среднего значения величины v?[n] и сравнения при ct
ного и квадратичного детекторов соответственно. Все обозначения на этих рисунках такие же, как и на рис. 4.4 и 4.5. Из рисунков следует, что при относительной расстройке порядка единицы мощность ЧМ шумовых флюктуаций несколько выше, чем без расстройки. Это объясняется тем, что при некотором значении расстройки улучшаются условия преобразования частотной модуля?

,вг>

^01 МЛ КС

60?nAKL

в,

Рис. 4.6.

Рис. 4.7.

ции входного колебания в амплитудную модуляцию при прохождении его через радиофильтр. При прямошумовом воздействии такого эффекта не наблюдается (рис. 4.6 и 4.7, кривые 1). Следует заметить, что результаты, полученные здесь для AM приемника с квадратичным детектором, хорошо согласуются с соответствующими результатами, полученными в работах [74, 75]. Н а рис. 4.8 и 4.9 даны зависимости отношения мощности ЧМ шумовых флюктуаций к мощности спектрально эквивалентных прямошумовых флюктуаций на выходе линейного и квадратичного детекторов соответственно от параметра а при 6 = 0 и различных значениях (5. И з рисунков видно, что увеличение а приводит к уменьшению мощности флюктуаций на выходе приемника. На рис. 4.10,а и 4.11 даны аналогичные кривые для ЧМ приемника в случае линейного и квадратичного детекторов соответственно в зависимости от ао=аКук при

различных р. В отличие от AM приемника здесь наблюдается в принципе другая картина, а именно: при определенном значении параметра ао имеет место максимум

интенсивности ЧМ шумовых флюктуаций, который наиболее ярко выражен для приемника с квадратичным детектором. Наличие максимума обусловлено тем, что при некотором значении а 0 в оптимальном фильтре приемника создаются хорошие условия для превращения частот-

Рис. 4.10.

ной модуляции входного колебания в амплитудную. Этот эффект можно объяснить следующим образом. Преобразование частотной модуляции в амплитудную при прохождении оптимального фильтра Ч М приемника будет

тем эффективнее, чем чаще закон частотной модуляции входного колебания приближается к линейному закону изменения частоты полезного сигнала. У входного Ч М колебания отклонение частоты от средней изменяется по закону Д/чм (0 =

^(0,

где l ( t ) — м о д у л и р у ю щ и й шумовой процесс. Если в некотором интервале времени реализация процесса Д / ч м (t), пересекая нулевой уровень, изменяется приблизительно линейно и имеет наклон, близкий к наклону функции, модулирующей сигнал по частоте, то, очевидно, отрезок Ч М колебания, соответствующий этому интервалу, будет восприниматься приемником как некоторое подобие полезного сигнала. В результате укороче18—160 273

ния на выходе оптимального фильтра появится большой выброс амплитуды. Д л я оценки того, при каких условиях эффект укорочения будет наблюдаться наиболее часто и, следовательно, будет наблюдаться повышенная мощность флюктуации на выходе приемника, предположим, что средняя величина наклона реализаций процесса Д / ч м (t) при п е ресечении нулевого уровня приближенно равна наклону эквивалентного процессу Д / ч м (/) гармонического колебания с амплитудой а/ и частотой ДF m , равной ширина спектра модулирующего шума. Тогда приближенным условием указанного экстремума должно быть равенство (рис. 4.10,6): ^/Г^Д/д/Г. Отсюда значение параметра а, при котором д о л ж е » наблюдаться экстремум кривых интенсивностей на рис. 4Л0 и 4.11, равно а* = \/л$Кук. Если кривые мощности строить в зависимости от нормированного п а р а метра а, т. е. от ао = а / ( у к , то положение экстремума д л я ЧМ приемников с различными К у к будет практически неизменным и будет наблюдаться при а \ = 1 / ф

(4.28).

В этом и состоит смысл нормировки параметра а на рис. 4.10 и 4.lil. Легко видеть, что положения экстремумов кривых на рис. 4.10 и 4.1)1 примерно удовлетворяютусловию (4.28). Ярко выраженный эффект увеличения интенсивности флюктуаций на выходе ЧМ приемника с квадратичным детектором по сравнению со случаем линейного детектора объясняется тем, что квадратичный детектор «подчеркивает» большие выбросы. Другое отличие ЧМ приемника с квадратичным детектором от Ч М приемника с линейным детектором состоит в том, что при 1 выходная мощность флюктуаций ЧМ шумового колебания, нормированная по отношению к выходной мощности флюктуаций спектрально эквивалентного прямошумового воздействия, в экстремальных точках больше, чем в квазнстационарных точках (ао—»-0), рассчитанных в предположении, что амплитудно-частотная характеристика Ч М приемника пря-

моугольная и ширина ее равна 2Д/ д , где Д/ д — односторонняя девиация частоты Ч М сигнала (см. рис. 4.2). Расчет производился по формулам (4.27). Н а рис. 4.12 показаны гистограммы распределения Ч М шумовых флюктуаций на выходе AM приемника с линейным детектором при 6 = 0 для различных значеос.- 2

а. = 1 р

0,8

0,8

О,в

0,6 •

0,8

0,8

OA -

OA

0,4

0,2

0,2

л=0,5
о,г

0,2

о р*

0

;

0,2

О

J3-2

•J.

Р' OA

S--0 0,2

/

S=0 0,2 О

J

/7

О

J

0,8 -

0,8

0,8 •

OA

OA •

OA

0,2

0,2

0• J

v Р*

Ofi

Ofi

о,*

О,"

0,2

0,2

0,2

0,2

v_О

о,и

OA

_о Р* OA

V

Р*

_О v Р*

0,2

0,2

Р* 0,4

0,2

^ 0,2

К ПVо

О Р* 0,4

0,8

v Р*

Р* О," S-0

16

р< 0,8

Р* OA

р*

OA

v

Р*

0 V

р*

Я* 0,2 О

О р*

OA

OA

0,2

0,2

v Р* OA

V

U

p*

OA

0,2

0.2

_О r v ;

v

v Рис. 4.12.

кий параметров а и p. Интервал возможных значений н а п р я ж е н и я v[n] был разбит на восемь одинаковых частей ( р а з р я д о в ) . По оси ординат отложена вероятность (точнее, относительная частота) попадания случайной величины и [я] в каждый из разрядов, вычисленная на Ц В М с использованием 1 000 значений чисел v[n].

Гистограммы в левом нижнем углу подтверждают эффект нормализации ЧМ шумового колебания в радиофильтре приемника (закон распределения огибающей близок к релеевскому з а к о н у ) . Законы распределения флюктуаций Ч М шумового колебания на выходе Ч М приемника т а к ж е имеют различную форму в зависимости от параметров колебания

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

v

а) Рис. 4.13.

на входе. В области малых значений а плотности вероятностей напряжения на выходе Ч М приемника имеют вид двух дельта-функций в точках 0 и 1 для линейного и квадратичного детекторов. Эти точки соответствуют двум значениям огибающей на выходе ОФ в квазистационарном случае [формула (4.26)]. При большие а происходит нормализация ЧМ шумового колебания в ОФ. Область нормализации, как и следовало ожидать, соответствует значениям ^ 2 / 2 = I на рис. 4.10 и 4.11. Распределение флюктуаций на выходе Ч М приемника в этих случаях приблизительно релеевское и показательное соответственно. Наибольший интерес представляет распределение флюктуаций на выходе ЧМ приемника для промежуточ276

пых Значений а, в частности в экстремальных точках. На рис. 4.13,а показана типичная кривая плотности вероятностей флюктуаций па выходе ЧМ приемника с линейным детектором для экстремальной точки ао = 0,2, Р = 2, построенная по 10 000 реализаций (сплошная линия). Пунктиром д л я сравнения д а н а кривая плотности релеевского распределения флюктуаций при воздействии спектрально эквивалентного нормального шума. На рис. 4.13,6 показаны эти ж е кривые в области больших выбросов напряжения в логарифмическом масштабе. И з рис. 4.13 видно, что кривая плотности вероятности флюктуаций Ч М шумового колебания образуется путем «размывания» дельта-функций, расположенных в точках 0 и 1. Из рис. 4Л3,6 следует, что плотность вероятностей больших выбросов у Ч М шумового колебания на выходе ЧМ приемника на несколько порядков превышает плотность вероятностей больших выбросов при воздействии спектрально эквивалентного нормального шума. 4.3. П р и м е н е н и е ц и ф р о в о г о м о д е л и р о в а н и я для исследования вопросов р а д и о л о к а ц и о н н о г о с о п р о в о ж д е н и я на фоне ш у м о в 1. Постановка задачи

Среди большого числа разнообразных радиосистем одними из наиболее распространенных являются системы радноавтоматики. В этом п а р а г р а ф е рассматриваются вопросы цифрового моделирования систем радиоавтоматики на примере радиолокационного автодальномера, приемник которого содержит либо инерционную систему АРУ, либо нелинейную систему, обеспечивающую логарифмическую амплитудную характеристику приемника. В качестве объекта моделирования был выбран автодальномер, упрощенная функциональная схема которого показана на рис. 4.14. Схема, показанная на рис. 4.14, является наиболее распространенной схемой автодальномера, в котором напряжение ошибки вырабатывается путем вычитания площадей участков импульса сигнала, совпадающих по времени с двумя селектирующими импульсами (полустробами). Эта схема имеет характеристики, близкие к по19—160 277

тенциально достижимым [2] и в настоящее время широко используется на практике. Конечной целью решения рассматриваемой здесь задачи было определение среднего времени до срыва слежения в автодальномере при воздействии шумовой стационарной помехи с учетом, с одной стороны, влияния АРУ и логарифмического УПЧ, применяемых для обеспечения широкого динамического диапазона и снижения

rGZh I I i

II

-

>CZ>r

Г

УПЧ r2- амплитудный детектор, 3 - цепь обратной связи АРу, 4- каскады совпадения, 5-в^!чи'та'к>сй,ее устройство, 6 - сгложи воющий фильтр, 7-управляемый генератор полустробов Рис. 4.14.

уровня амплитудных флюктуаций сигнала, а с другой стороны, влияния динамических ошибок в следящей системе, возникающих при движении цели. В качестве промежуточных результатов требовалось получить дискриминационные и флюктуационные характеристики дискриминатора с А Р У и с логарифмическим УПЧ. При решении задачи сделаны следующие предположения. il. Отраженный от цели сигнал представляет собой гауссов радиоимпульс. Амплитуда сигнала флюктуирует по закону Релея, а начальная фаза — по равновероятному в интервале (0, 2я) закону. Корреляционная функция амплитудных флюктуаций сигнала аппроксимируется экспонентой. На сигнал накладывается аддитивная шумовая помеха, эквивалентная нормальному белому шуму со спектральной плотностью N0. 2. УПЧ представляет собой обычный многокаскадный полосовой усилитель с колокольной частотной характеристикой, согласованной со спектром гауссова радиоимпульса. УПЧ содержит либо систему А Р У и тогда он имеет регулируемый коэффициент усиления и стробируется следящим стробом, длительность которого в не278

сколько р а з превышает д л и т е л ь н о с т ь импульса сигнала, либо нелинейную систему, о б е с п е ч и в а ю щ у ю л о г а р и ф м и ческую амплитудную х а р а к т е р и с т и к у приемника, причем систему настолько быстродействующую, что ее влияние можно свести к безынерционному л о г а р и ф м и ч е с к о м у прео б р а з о в а н и ю о г и б а ю щ е й колебания на входе У П Ч . 3. Д е т е к т о р я в л я е т с я линейным безынерционным детектором о г и б а ю щ е й . 4. Система А Р У описывается уравнением первого пор я д к а . Ц е п ь обратной с в я з и А Р У п р е д с т а в л я е т собой последовательное соединение однозвенного ^ С - ф и л ь т р а с передаточной функцией 1/(1 +рхА) и безынерционного усилителя А Р У с коэффициентом усиления (к такой схеме можно привести большинство р е а л ь н ы х схем А Р У первого п о р я д к а [19]). 5. Генератор полустробов в ы д а е т п р я м о у г о л ь н ы е сел е к т и р у ю щ и е импульсы. 6. С л е д я щ а я система д а л ь н о м е р а имеет а с т а т и з м второго п о р я д к а . П е р е д а т о ч н а я функция ее в разомкнутом виде

(Электронный д а л ь н о м е р с д в у м я и н т е г р а т о р а м и и коррекцией [2], где Тк — п о с т о я н н а я времени корректирующей цепи, — коэффициент передачи д в у х интеграторов.) П о л н о е решение поставленной з а д а ч и аналитическим путем с в я з а н о со з н а ч и т е л ь н ы м и трудностями, т а к к а к исследуемая система нелинейная и н а х о д и т с я под воздействием неаддитивных (по отношению к и з м е р я е м о м у п а р а м е т р у ) флюктуаций. Э к с п е р и м е н т а л ь н о е исследование этой з а д а ч и требует больших з а т р а т времени и средств, в особенности на э т а п е проектирования, когда д л я эксперимента требуется создание физического макета а в т о д а л ь н о м е р а . Н и ж е р а с с м а т р и в а е т с я решение этой з а д а ч и методом цифрового моделирования, который позволил сравнительно быстро получить необходимые р е з у л ь т а т ы . Задача р е ш а л а с ь в д в а э т а п а : с н а ч а л а исследовались х а р а к т е ристики д и с к р и м и н а т о р а , т. е. высокочастотной части д а л ь н о м е р а от входа п р и е м н и к а до выхода вычитающего устройства, а з а т е м процессы с л е ж е н и я и срыва в сле19*

279

дящей системе. На выходе дискриминатора снимались зависимости величины постоянной составляющей от величины рассогласования между центром импульса и серединой селектирующих импульсов для различных значений отношения помеха/сигнал (дискриминационные характеристики) и аналогичные зависимости флюктуа-: ционной составляющей (флюктуационные характеристики). Эти характеристики были входными данными при цифровом моделировании следящей системы. 2. Ц и ф р о в а я м о д е л ь д и с к р и м и н а т о р а с АРУ

автодальномера

Пусть V (t) =

V (п, t — п,Ти) — стробированнач огибап ю щ а я смеси сигнала с помехой на выходе УПЧ, где V(n, t)—огибающая в п-м стробе; Т п — период повторения импульсов; t — время, отсчитываемое от момента прихода импульса сигнала, отождествляемого с моментом прохождения огибающей импульса на выходе УПЧ через максимум. Н а п р я ж е н и е на выходе дискриминатора в п-м периоде повторения пропорционально величине г \п, -с] = г, [п, х] — г 2 \п — и] = fi + r i + i :

j

7,+Г, + т

V (п, t)\dt - Ь-

j'

V (n,t) dt,

(4.30)

где Zi и z 2 — напряжения на выходе соответствующих каскадов совпадения; т — величина рассогласования между центром отраженного импульса и положением селекторных импульсов; k\ и k2— коэффициенты передачи каскадов совпадения (в общем случае неодинаковые); t u Т1 и t2, Т2 — положение начала и длительность левого и правого селектирующих импульсов при нулевом рассогласовании соответственно. В результате влияния шумов и флюктуаций сигнала последовательность z[n, т] будет дискретным случайным процессом с периодом повторения ТП (если пренебречь небольшим искажением периода за счет рассогласования т). Зависимость среднего значения mz( т) процесса 280

z[n, x] от величины т есть дискриминационная характеристика, а зависимость дисперсии

(т)—флюктуацион-

ная характеристика дискриминатора. Под крутизной дискриминатора /Сл понимается значение производной dmz(x)/dx при т = 0 . Целью исследования дискриминатора является получение указанных характеристик. В дискретной форме величина z{ti, т] выразится в виде m,+N, + r

•г[ n,r] = ±-

m, + N, + г

£ V[«,/n]-A J ] V[ п , т ] , m—mi+r т=тя+г

где V[n, m]=V(n, mAt)—дискретная огибающая в п-м стробе с шагом Дt; N1 = Ti/-At, N2 = T2/At — число дискрет в пределах левого и правого полустробов соответственно; m] = ti/At, m2=t2/At— начальные положения полустробов в дискретном времени; r=x/At — дискретное рассогласование. В дальнейшем для удобства представим УПЧ в виде последовательного соединения линейного оптимального фильтра, частотная характеристика которого сопряжена со спектром гауссова радиоимпульса, а коэффициент передачи на резонансной частоте равен единице, и безынерционного усилителя с регулируемым коэффициентом усиления. Такое представление позволяет записать V(n,f) = ka\n]E(n,f),

V[n,m] = ka [п\Е[п, т],

(4.31)

где «и {«] — значение коэффициента усиления УПЧ в п-м периоде повторения (предполагается, что в течение строба коэффициент усиления остается практически неизменным); Е(п, I), Е\п, т] — непрерывная и дискретная огибающие на выходе ОФ соответственно. Огибающую Е(п, t) выразим через квадратурные составляющие сигнала и шума по известной формуле Е(п, t) == [(£С1 {п, t )-|- Emi(n,t)f + (Есг(п,Ц + ЕШ2(п,ти\

+ (4.32)

где индекс ш относится к шуму, а индекс с — к сигналу. 281

При принятом законе флюктуаций сигнала для составляющих EcU2(n, t) справедливы выражения ECl (n,t) = Eei

[n]s(t),

EC2(n,t) = EC2 [п\ s (t). Здесь E cX [n], E c 2 [n]—независимые между собой дискретные нормальные случайные процессы с нулевым средним значением, дисперсией з* и экспоненциальной корреляционной функцией

/ ? c [ « ] = o 2 e x p f - - Ц - |/»|V с

J V ° j где Т с — интервал корреляции амплитудных флюктуаций сигнала (на уровне 1/е); s(t) — функция, описывающая закон изменения огибающей импульса на выходе фильтра УПЧ. Положим, что функция s (t) нормирована, так что s M a K C = = s (0) = 1, ;тогда а2 есть средняя'мощность сигнала в максимуме импульса на выходе фильтра УПЧ. Поскольку гауссов импульс после оптимальной фильтрации сохраняет свою форму, то можно записать

s(f)=ехр ( - ^ / х в ) ,

(4.33)

СО

где

т в = Г s (t) dt — длительность импульса на выходе —00 фильтра УПЧ. В дальнейшем функция s(t) называется сигнальной функцией. Квадратурные составляющие шума на выходе ОФ при принятых допущениях являются, как известно, независимыми между собой нормальными случайными процессами с одинаковыми корреляционными функциями, совпадающими по форме с сигнальной функцией, т. е. —«>/ч2 = Л ".'

(4.34)

Поскольку период повторения импульсов сигнала PJIC обычно гораздо больше интервала корреляции шума на выходе УПЧ, то можно считать, что реализации Еш\(п, t) и Em2(n, t) квадратурных составляющих шума на выходе ОФ независимы от периода к периоду. 282

Теперь нетрудно получить алгоритмы для формирования на Ц В М дискретных квадратурных составляющих сигнала и шума в формуле (4.32), т. е. дискретных процессов. [п,т]=Ес[п\ s [т Дt), [". т ] = Е ш , ( я , mAt). При экспоненциальной корреляционной функции флюктуаций сигнала последовательности ЕсЛ[п] и Ес2{п\ удовлетворяют рекуррентным уравнениям (см. алгоритм № 1 в табл. 2.2): " Ее,. , [«1 = • V

1 -

РI х,,

и

Р с

£

с

, . , [в -

11,

—Г / Г п 0

где рс == е — коэффициент корреляции между соседними импульсами сигнала; Х\ [л], х2[п]—последовательности независимых между собой нормальных случайных чисел с параметрами (0, 1). Д л я вычисления значений s[m] в соответствии с (4.33) получаем формулу s [m] = ехр (— %т*1т 2 к ), где m „ = x J A t — к о л и ч е с т в о дискретных значений сигнальной функции s(t) в пределах длительности импульса. Д л я формирования дискретных квадратурных составляющих шума, имеющих гауссову корреляционную функцию вида (4.34), воспользуемся готовым алгоритмом 11 (алгоритм № 7 в табл. 2.1), положив в нем г Еш Ь2 [«, т] = 2 с [k] хш , \п, тгС— k], (4.35) —р V 2г. -2Т».6» , Д< где с rn [£;] = з ш е '*; ^ = ъх —=—— т 7/

It

и

п

хШ1,2 [«, w ] — независимые между собой последовательности независимых нормальных случайных чисел с параметрами (0, 1); р — параметр, выбираемый исходя из точности формирования корреляционной функции (см. § 2.2, п. 2). Аргумент п у последовательностей x m \ t 2 [n, т ] в формуле (4.35) указывает на то, что последовательности *т1.г[я-И, т], т— 1, 2, . . . , формируются независимо от последовательностей хщХЛ[п, т\ т= 1, 2, . . .

Н а й д е м теперь алгоритм ф о р м и р о в а н и я коэффициента усиления приемника k a [ti], о п р е д е л я е м о г о действием АРУ, к а к функцию номера п е р и о д а повторения. Д л я этого аппроксимируем регулировочную х а р а к т е р и с т и к у У П Ч линейной. Тогда зависимость коэффициента усиления от н а п р я ж е н и я регулирования и р будет иметь вид К = / Ы , / К ) = f ' - 6"р' I О

' ОМР>Й0.

(4-36)

где b — коэффициент наклона регулировочной х а р а к т е ристики. Величина k u к а к функция номера периода повторения равна

(4.37) где ир[п]=ир(пТп) — в е л и ч и н а регулировочного н а п р я ж е н и я к моменту прихода я-то импульса. Н а п р я ж е н и е регулирования з а в и с и т от времени по закону t uv(t)=kA [hA(i)uA (t — x) dx, о где hA(t)—импульсная переходная характеристика ф и л ь т р а АРУ, р а в н а я Т

Л

ТА — постоянная времени ф и л ь т р а А Р У . В р а с с м а т р и в а е м о й здесь инерционной схеме А Р У постоянная времени т.\ значительно б о л ь ш е периода повторения. П о с к о л ь к у в импульсных PJ1C длительность импульса обычно во много раз меньше периода повторения, то сигнал ЫА(0 на входе А Р У м о ж н о р а с с м а т р и в а т ь как последовательность дельта-функций, с л е д у ю щ и х через п р о м е ж у т о к времени Т„ и имеющих о г и б а ю щ у ю uA[n]=V[n]T, где Г +Т N +Г <Г Г v М = 4-

f -

Т г

V(n,t)dt^±.

+|t

£

V[n,m\, N

m=-T+r

(4.38) — среднее значение огибающей смеси сигнала с помехой на в ы х о д е У П Ч в п р е д е л а х строба. 284

П р и периодическом воздействии в виде дельта-функций з н а ч е н и я регулировочного н а п р я ж е н и я на выходе ф и л ь т р а А Р У в моменты времени tn = пТп м о ж н о выразить в виде гп

Ф о р м у л е дискретной свертки (4.39), к а к у ж е неоднократно отмечалось, соответствует рекуррентное разностное уравнение первого п о р я д к а : "Р И

А

РЛи \ n -

У ["] =

1] +

V М .

(4.40)

T

- где рЛ = е Н е о б х о д и м о т а к ж е ввести коэффициент усиления &о(>р в петле обратной с в я з и А Р У . П о д этой величиной понимается отношение п р и р а щ е н и я коэффициента усиления У П Ч к п р и р а щ е н и ю н а п р я ж е н и я V[n] на входе цени обратной связи А Р У в установившемся режиме, т. е. при F [ t t ] = c o n s t . К о э ф ф и ц и е н т передачи цепи о б р а т н о й связи АРУ, поведение которой описывается у р а в н е н и я м и (4.36), (4.37) Т 1 и (4.40), к а к нетрудно п о к а з а т ь , равен kA — - , следоА

"А

вательно, ko6v = bkxl'/(1

— р д ) хА.

Теперь, после того к а к выяснена зависимость напряж е н и я р е г у л и р о в а н и я от сигнала на в ы х о д е У П Ч , м о ж но найти величину коэффициента усиления приемника в к а ж д о м периоде. Д л я этого необходимо решить относительно V[n] у р а в н е н и е (см. § 3.5): V [я] == Е \n\ (&о — Ьир [/?]) = =

Е [ я ] [ k0 -

bkx I - ( р л о \ n - 1] +

V [я]) j ,

(4.41)

где Г/2

Е[п] = 4 "

J

N/2+r

j j

E(n,t)dt^-L

—T/2 — среднее значение о г и б а ю щ е й фильтра УПЧ.

в

E\n,m]

m-— N12+ г стробе на

выходе

Уравнение (4.41) составлено в соответствии с выражениями (4.31), (4.36), (4.37) и (4.40). Оно описывает процессы в замкнутой системе АРУ. Б л а г о д а р я замене дискретной свертки (4.39) рекуррентной формулой (4.40) это уравнение легко решается. В результате получим

Таким образом, основные процессы в дискриминаторе с А Р У полностью формализованы. Окончательно, объединяя алгоритмы, моделирующие отдельные звенья и процессы, получим следующую дискретную математическую модель дискриминатора с АРУ, предназначенную для реализации на Ц В М : z[n, /]=z, [n,r] — z2 [п,г], Щ, 2 + ^1,2 + т m=m | > \ + r ,

feo —

— ^ospPA (' — PA) 0 и — '] 1+йовр(1-Рд)ЕМ

v[n—l]=ku[n—l]E[n—

1 ] + р д и [ я — 2],

N/2+r

Ё \ п \ ~

J] Е [я, ml т=-Я/2+г

(4.43)

Е [я ,m\ = oc [(£° и [я, m\ + QE0^ [я, яг])2 + -{-(E'jn.ml+QElj^miy]"2,

Е°с,

2

[я] = у т ^ 7 х р

Е°ш 1 2 [Я, m] =

S

с

[я]+

Рс £° с , 2

[я -

1],

[я, яг — /г],

х(;[п], хш[п, яг]—независимые (при различных я и яг и при различных индексах) случайные нормальные числа с п а р а м е т р а м и (0, 1). 28С

Коэффициенты s[m], c[k], p c , рд остаются неизменными при решении данного варианта задачи и вычисляются перед началом решения по формулам s [т] = ехр ( — i t m * l m 2 J ,

c[k)

Рс =

- 4 7 - = ехр (—2у 2 *& 2 ), V 71

ехр(-^-),

Р д

=

е х

р ( - ^ ) .

(4.44)

, (4.45) (4.46)

Т т 6 обр ; N; mK\ -j-;c Q A являются исходными данными. Требует пояснения дополнительно введенный параметр Q. Он равен отношению мощности шума на выходе ОФ К дисперсии сигнала (отношение шум/сигнал). П а р а м е т р Q, как известно, может быть представлен в следующем виде: Параметры

Nu2;

да,.,;

Q2=N0/9U,

(4.47)

где N0 и Э„ спектральная плотность шума и средняя энергия сигнала в имнульсе на входе приемника соответственно. 3. Цифровая модель дискриминатора автодальномера с логарифмическим п р и е м н и к о м \

Эта модель в данном случае является более простой, чем модель дискриминатора с АРУ. П р и принятых допущениях цифровую модель дискриминатора с логарифмическим приемником можно легко получить из цифровой модели дискриминатора с АРУ [формулы (4.43) — (4.46)], если положить в последней Щ ,2 +

.2 +

г

m=m\ 2 + г (4.48) где р — параметр логарифмической кривой. Во всем остальном алгоритм такой же, как и (4.43) — (4.46). При этом величина Е[п] не вычисляется. П а р а метр р можно рассматривать как безразмерный. Он характеризует отношение среднеквадратического значения 287

сигнала GC К размаху линейного участка логарифмической характеристики *\ поэтому его можно назвать уровнем ограничения (чем больше (}, тем сильнее проявляются нелинейные свойства логарифмического приемника). 4. Э к в и в а л е н т н а я ф у н к ц и о н а л ь н а я с х е м а а в т о д а л ь н о м е р а как с л е д я щ е й с и с т е м ы

При исследовании процессов в следящей системе удобно ввести относительное рассогласование e = t[tH, т. е. измерять рассогласование в длительностях импульса; вместо характеристик тх (т) и а" (т) ввести характеристики mz (е) и з 2 (е) и, наконец, поскольку обычно частота повторения PJIC

Рис.

4.15.

гораздо больше полосы пропускания следящей системы, можно пренебречь дискретностью измерения дальности. Тогда с точки зрения теории автоматического регулирования рассматриваемая здесь схема дальномера эквивалентна непрерывной нелинейной следящей системе, функциональная схема которой представлена на рис. 4.15. Обозначения на этом рисунке следующие. R(t)—нормированный измеряемый параметр (дальность), равный отношению истинной дальности к величине элемента разрешения по дальности, т. е. к величине сТи/2, где с —скорость света; R*(t)—измеренное значение нормированной дальности; e = i ? — — ошибка измерения нормированной дальности, равная временному рассогласованию х между центром сигнального импульса и серединой полустробов, выраженному в длигельно*) Л и н е й н ы й у ч а с т о к а м п л и т у д н о й х а р а к т е р и с т и к и в и д а с о о т в е т с т в у е т з н а ч е н и я м х от 0 д о 1—1.5.

1п(1-К«)

стях сигнального импульса, т. е. R — R * = т / т и ; НЭ — нелинейный безынерционный элемент с характеристикой нелинейности mo(e, Q), представляющей собой дискриминационную кривую m 2 (e, Q), нормированную так, что крутизна ее равна единице ( д т 0 ( е , Q)/dе=1 при е = 0); Q 2 — отношение помеха/сигнал (см. формулу (4.47)]; ГШ — управляемый генератор шума с дисперсией флюктуаций 3^(e,Q), равной дисперсии флюктуаций на выходе дискриминатора, пересчитанных во флюктуации измеряемого параметра R: о л ( е , Q ) = a r ( e , Q)/Km, К№= = dmz(e, 0)/дг при е = 0; l(t) — б е з р а з м е р н ы й случайный uir\\ процесс с единичной дисперсиеи; л(ц>) = drn — t(a,Q) ^

^1

коэффициент усиления в контуре слежения за параметром R, зависящий от отношения помеха/сигнал, так что K(Q) = 1 при Q = 0 и K(Q) < 1 при Q > 0 ; Km — номинальная крутизна дискриминатора при отсутствии помехи; Ко— номинальный коэффициент усиления по измеряемому параметру R в петле обратной связи при отсутствии помехи; К(р)—передаточная функция сглаживающего фильтра автодальномера. Эквивалентная схема автодальномера представлена в таком виде, что все ее переменные и постоянные параметры являются безразмерными, хотя имеют вполне определенный физический смысл. Это делает схему более обобщенной и упрощает ее математический анализ. Важной особенностью эквивалентной схемы следящей системы является зависимость ее характеристик от отношения шум/сигнал Q 2 , и в первую очередь зависимость коэффициента усиления K{Q), который изменяется (уменьшается с ростом Q) в весьма больших пределах. Последнее обусловлено уменьшением крутизны дискриминатора, которое вызывается нормирующим действием нелинейных элементов приемника (детектор, АРУ, логарифмический У П Ч ) . Форма дискриминационной кривой ша{г, Q), как показано ниже, при воздействии шума изменяется незначительно. В результате нормирующего действия А Р У и логарифмического приемника незначительно изменяется т а к ж е и дисперсия a2R флюктуаций на выходе дискриминатора. Флюктуации на выходе дискриминатора в общем случае коррелированы от периода к периоду. Это отно-

сится лишь к так называемой параметрической составляющей флюктуации 12], вызванной медленными замираниями амплитуды сигнала. Составляющую флюктуаций, вызванную шумовой помехой, можно считать некоррелированной, поскольку обычно период повторения зондирующих импульсов Р Л С гораздо больше интервала корреляции помехи. К а к будет показано, интенсивность параметрических флюктуаций д а ж е при малых отношениях помеха/сигнал составляет небольшую долю общей интенсивности флюктуаций на выходе дискриминатора; к тому ж е параметрические флюктуации значительно ослабляются демодулирующим действием АРУ или системы логарифмической нормировки. Поэтому в дальнейшем предполагается, что медленными параметрическими флюктуациями можно пренебречь, т. е. считать флюктуации на выходе дискриминатора некоррелированными. В таком предположении случайный процесс l ( i ) , который является непрерывным эквивалентом нормированных флюктуаций на выходе дискриминатора, в соответствии с теоремой Котельникова, обобщенной на случайные процессы, представляет собой шум с равномерной в полосе (-FJ2, FJ2) спектральной плотностью, равной °2R(',Q)IFa

=

TjR(e,Q),

где Fa и Тп—частота и период повторения Р Л С соответственно. Напомним, что в этой книге всюду используется двусторонняя спектральная плотность мощности шума (для положительных и отрицательных частот). 5. Ц и ф р о в а я м о д е л ь следящей системы автодальномера

Д л я дискретного представления следящей системы заменим в эквивалентной схеме автодальномера непрерывной сглаживающий фильтр с передаточной функцией (4.29) эквивалентным дискретным фильтром. Используя результаты примера 1 § 3.3, можно сразу записать рекуррентное уравнение д л я вычисления дискретных значений •/?*[«] параметра R*(t) на выходе следящей системы: R, [п] =а0№ [п] .+ aAR [п - 1] + [п - 2] +

где AR[n] и # * [ « ] — з н а ч е н и я сигналов на входе и выходе сглаживающего фильтра соответственно в моменты времени n c А 4 — ш а г дискретизации следящей системы, ah, &=0, 2 — коэффициенты, определяемые методом дискретной аппроксимации [их можно вычислить по ф о р м у л а м (3.71), (3.73), (3.74), (3.77)] Поскольку = (Q) + 0 (е R (е [я],

t =nAt \

АЦ [П] т [п], Q) к

o

Q) \[п\,

где e[tt]=i/?W—i/?*[n], то при вычислении последовательности /?*[н], вообще говоря, следовало бы решать на каждом шаге относительно Я* [я] нелинейное уравнение /?» [я] = а„ -

{т0 (R [л] - R, [я], Q) К (Q) + cR (R [л]

R* и . Q) И " ] } + a£R

[я -

1] + аМ

[ я - 2] +

+ 2 ^ [ я - 1 ] - / ? , [лг — 2], используя

aR(e,Q)

при этом нелинейные как функции е.

-

зависимости

(4.49) яг 0 (е, Q) и

Чтобы не решать нелинейное уравнение (4.49), введем в цепь обратной связи эквивалентной дискретной следящей системы элемент запаздывания на время Д/ с (см. § 3.6, п. 3); тогда цифровая модель следящей системы автодальномера примет следующий простой вид:

Я, [л] = a0AR [л] + a,AR [я - 1] + a2AR [л — 2] + 2Я.И-

[л-2],

(4.50)

где

ДR \п\ = ягс (R [я] -

R, [я - 1], Q) К (Q) + + cr(R [n]-R.[n-l],Qfi [«].

Остановимся теперь на выборе шага дискретизации At0 и алгоритме формирования дискретного случайного процесса | [ я ] . В рассматриваемой системе наиболее высокочастотным процессом является шум £(•/). Если исходить из спектра этого процесса, то нужно было бы в соответствии с теоремой Котельникова брать шаг Atc равным периоду повторения импульсов Ти. Однако, поскольку Тп во много раз меньше постоянной времени следящей си29!

стемы, выбор At c из указанного условия требовал бы • большего количества вычислений при цифровом модели- i ровании процессов в следящей системе. В р а с с м а т р и в а в - | мом случае можно сократить вычислительные затраты путем увеличения шага дискретизации. Действительно, поскольку спектр шума £(/) равномерный и значительно

шире полосы пропускания сглаживающего фильтра следящей системы, действие этого шума практически эквивалентно действию более низкочастотного шума , ширина спектра которого порядка полосы пропускания системы, а спектральная плотность такая же, как и у шума s ( t ) . Это положение иллюстрирует рис. 4.16, где сплошным и пунктирным прямоугольниками показаны спектр шума £(/) и спектр эквивалентного шума t,°(t) соответственно, \ F C — полоса пропускания следящей системы. Исходя из этих соображений, можно положить A 4 = 4 / 2 A F C , тогда случайные величины £°[/г] нужно брать не с единичной дисперсией, как это было бы при Atc = Tn, а с дисперсией, равной Tn/Atc. Ввиду нормализации шума в с г л а ж и в а ю щ е м фильтре следящей системы закон распределения случайных величин |°[п] можно принять нормальным. Эти величины должны быть, очевидно, независимыми. Итак, цифровое моделирование следящей системы автодальномера сводится к расчетам по формуле (4.50), где последовательность независимых случайных величин с параметрами (0, TjJAtc). 6. Аналитические о ц е н к и влияния ш у м а на характеристики автодальномера П р и о п р е д е л е н н ы х д о п у щ е н и я х в л и я н и е ш у м а на х а р а к т е р и с т и к и дискриминатора автодальномера с А Р У и логарифмическим приемником м о ж н о оценить аналитически. Приведем аналитические оценки, которые позволят в дальнейшем проконтролировать, а в некоторых случаях дополнить результаты исследования характеристик автодальномера методом моделирования.

Возьмем наиболее распространенный случай, когда селектирующие импульсы дискриминатора имеют одинаковую длительность, р а в н у ю д л и т е л ь н о с т и и м п у л ь с а iTi = T2=xn), и р а с п о л о ж е н ы в п л о т ную i(
2 = Д. [V (t)]=z1-zt=~

J и

V

E

V <е+» j V (0 dt.

V(t)dt--^ И

-'>

V (4.51)

В с о о т в е т с т в и и с о п р е д е л е н и я м и , д а н н ы м и в п . 2, д и с к р и м и н а ционные и флюктуационные характеристики дискриминатора — это з а в и с и м о с т и с р е д н е г о з н а ч е н и я mz(e) и д и с п е р с и и O 2 I(E) [ и л и о р е д н е к в а д р а т и ч е с к о г о з н а ч е н и я (Тг»(е)] н а п р я ж е н и я н а в ы х о д е д и с к р и м и н а т о р а о т р а с с о г л а с о в а н и я е = т / т я , т . е.

»г(0 = О{Д,П / (0]}-

(•) = А4 {Д. [V (0]}. Используя свойство в ы р а ж е н и я (4.92) м о ж н о т

г

(в)=Д

е

К

г д е mv(t)—математическое V°(t)—центрированный

линейности записать (01.

операции

а | (в) =

(4-52)

дискриминирования,

£ ) { Д е [V» ( 0 ] } ,

ожидание случайного случайный процесс V(t).

(4.53)

процесса

V(t); п

Н о р м и р о в а н н ы е д и с к р и м и н а ц и о н н ы е х а р а к т е р и с т и к и т0 (е) и а т а к ж е з а в и с и м о с т ь K(Q) получаются, по определению, мированных характеристик по следующим формулам: т

а (•) = тг (е) Л'д;

к

,

т

к

_

из

ненор-

"г (е) 4R (<0 = -J7— ; dm

i (О i-O

Д и с к р и м и н а т о р

с

А Р У

С и с т е м а А Р У в н о р м а л ь н о м р е ж и м е в с о о т в е т с т в и и с ее наз н а ч е н и е м п о д д е р ж и в а е т с р е д н и й у р о в е н ь н а п р я ж е н и я V [см. ( 4 . 3 8 ) ] постоянным, а медленные флюктуации этого н а п р я ж е н и я сглаживает. Сглаживающие свойства АРУ определяются отношением времени корреляции флюктуаций напряжения V к эквивалентной постоянной времени АРУ. При отсутствии помехи ширина спектра флюктуаций Г р а в н а ширине спектра медленных а м п л и т у д н ы х ф л ю к т у а ц и й сигн а л а AFс. С_увеличением интенсивности помехи ширина спектра ф л ю к т у а ц и й V увеличивается, в пределе (при Q — " о о ) в Fn/Afc раз, где F п — частота повторения импульсов. Поскольку, к а к правило, F n / A F c ^ l , т о А Р У н е с г л а ж и в а е т быстрые флюктуации, вы-

званные помехой. В связи с этим рассмотрим следующий режим работы А Р У , а именно положим, что А Р У с г л а ж и в а е т параметрические ф л ю к т у а ц и и настолько, что ими м о ж н о пренебречь, н о совсем не с г л а ж и в а е т быстрые ф л ю к т у а ц и и помехи. Такое п р е д п о л о ж е н и е дает возможность довольно просто найти необходимые характеристики дискриминатора в двух крайних случаях: при отсутствии помех и при больших помехах, так как в обоих случаях коэффициент передачи приемника постоянен во времени и определяется в ы р а ж е нием

кп

[л]

=kn=

С;М {£} = С/тЕ

(0,

(4.54)

г д е С — н е к о т о р а я к о н с т а н т а (в д а л ь н е й ш е м п о л о ж и м С = 1 ) ; М{Е}— м а т е м а т и ч е с к о е о ж и д а н и е усредненной по с т р о б у о г и б а ю щ е й на выходе О Ф , р а в н о е усредненному по стробу м а т е м а т и ч е с к о м у о ж и д а нию огибающей на выходе ОФ. v П р и более общих предположениях коэффициент передачи приемника с А Р У изменяется от периода к периоду и находится в с л о ж н о й статистической зависимости от значения н а п р я ж е н и я Е в д а н н о м п е р и о д е и п р е д ы д у щ и х периодах, что весьма з а т р у д н я е т а н а л и т и ч е с к о е и с с л е д о в а н и е ф л ю к т у а ц и й на в ы х о д е д и с к р и м и н а т о р а . С о г л а с н о (4.31) и (4.54) напряжение на выходе приемника равно

V(t) = E (t)/mJW-

(4.55)

П р и н о р м а л ь н о м ш у м е и принятом законе ф л ю к т у а ц и й сигнала огиб а ю щ а я E(t) смеси сигнала с ш у м о м , к а к известно, распределена по р е л е е в с к о м у з а к о н у с п а р а м е т р а м и

тЕ (t) = [-J- (»2 (0 + °2Ш) ]1/2 , 4 (0 = ( 2 - "J") (°с (0 + »ш) • где

(4-5б)

= 0 2 s s (/). Положим, не нарушая

общности,

о2 =

1.. Т о г д а

тЕ (0 = [ 4 f - ( s J (0 + Q 2 )] 1 / 2 . 4 (t) = ( 2 - - J - j (s2 (/)+ Q2). (4.57) П о д с т а в л я я mE(t) из (4.57) в (4.55) и у ч и т ы в а я с о о т н о ш е н и е (4.53), для дискриминационной кривой получим следующее выражение:

д. \Vs* ( 0 + Q2]= * 00 = — =— У S' (0 + Q2 где г/, (/, Q) = fs4t)+
А. [
т

Отсюда при отсутствии тг

(.) =

помех

Д , [s ( 0 ] / М 0 =

^Г

A. U ( 0 1 .

(4.58)

а +

при

больших

S ! ( 0 / 2 Q И Q2 +

помехах

(Q »

S2(0=BQ2,

mI(0=At[s При

выводе формулы

1),

поскольку

У

Q2 +

s 2 (t)

Q +

то 2

(0]/2Q

(4.58) учтено,

2

.

(4.59)

что

j

s(t)dt=^

если и м п у л ь с не в ы х о д и т за п р е д е л ы

строба.

Задаваясь конкретными аппроксимациями сигнальной функции s ( l ) , м о ж н о по ф о р м у л а м (4.58) и (4.59) н а й т и к о н к р е т н ы е д и с к р и минационные кривые. Однако можно сделать некоторые выводы, с п р а в е д л и в ы е при л ю б ы х ф о р м а х сигнальной функции. Д е й с т в и т е л ь н о , и з ф о р м у л (4.58) и (4.59) в и д н о , что д и с к р и минационная к р и в а я деформируется в результате воздействия пом е х : п р и п е р е х о д е от Q = 0 к Q » 1 д и с к р и м и н а ц и о н н а я к р и в а я изм е н я е т с я так, к а к если бы вместо с и г н а л ь н о й ф у н к ц и и s(<) в з я т ь s2(t). Э т о , в о о б щ е г о в о р я , п р и в о д и т к н е к о т о р о м у с у ж е н и ю д и с к р и минационной кривой, например при гауссовой форме кривой s(t) сужение будет в У 2 раз. О д н а к о это с у ж е н и е незначительно (при прямоугольной аппроксимации сигнальной функции сужения, очевидно, вообще не происходит). Д л я нахождения крутизны дискриминатора при произвольной форме сигнальной функции воспользуемся следующим допущением. П р и Г 1 = 7 ' 2 = Т н с и г н а л ь н а я ф у н к ц и я s(t) обычно полностью «вмещ а е т с я » в и н т е р в а л ( — т и , т и ) , т а к что м о ж н о с ч и т а т ь s ( f ) ~ 0 п р и Тогда
const =

ss (0 +

Q2

С4-60*

const,

Q.

Н е т р у д н о п о к а з а т ь , что п р и в ы п о л н е н и и у с л о в и я (4.60) независимо от ф о р м ы сигнальной ф у н к ц и и крутизна д и с к р и м и н а ц и о н н о й к р и в о й Ae{yi(f, Q ) ] р а в н а у д в о е н н о й р а з н о с т и i/i(0, Q ) — f / i fxe, Q) т. е. _

•gr для сти

(< • Q)] |.=о =

2

V^+Q* - Q-

Используя это свойство, легко получим следующие выражения крутизны дискриминатора, номинальной крутизны и зависимоK(Q): 2

„

2(/r+Q -Q) „

/ЛЧ (

% 15

2

Ki+Q2-Q = ШШ—

27\

Для

в ы ч и с л е н и я i/, (t,Q)

ф у н к ц и ю s (t)

бзз существенной

ности м о ж н о заменить эквивалентным по п л о щ а д и

погреш-

прямоугольником

длительностью тя, тогда у Ж Q ) =

Q +

Ц-

(КГ+О"

2

-0).

Отсюда

K(Q) = В случае больших

q~

т 1 +

%

V 1+

Q2— Q

помех /C(Q) =

2 ^ T -

(4-61)

Т а к и м образом, при б о л ь ш и х п о м е х а х крутизна д и с к р и м и н а т о р а с А Р У изменяется обратно пропорционально отношению шум/сигнал по м о щ н о с т и . Рассмотрим флюктуационяые характеристики дискриминатора с А Р У . Д л я н а х о ж д е н и я их с о г л а с н о (4.53) т р е б у е т с я вычислить д и с п е р с и ю р а з н о с т и и н т е г р а л о в Zi и z 2 о т ц е н т р и р о в а н н о г о с л у ч а й н о г о п р о ц е с с а V*{t). Нестационарность этого процесса существенно з а т р у д н я е т н а х о ж д е н и е интенсивности ф л ю к т у а ц и й на в ы х о д е дискриминатора аналитическим путем. О д н а к о в двух к р а й н и х случ а я х — при отсутствии помех и при б о л ь ш и х п о м е х а х — это н е т р у д но с д е л а т ь . П р и отсутствии помех ввиду того, что приняты идеальные с г л а ж и в а ю щ и е свойства А Р У , флюктуации на в ы х о д е дискриминатора пренебрежимо малы. П р и больших помехах влиянием сигнала на величину дисперсии ф л ю к т у а ц и и н а в ы х о д е д и с к р и м и н а т о р а м о ж н о п р е н е б р е ч ь , т . е. п о л о ж и т ь п р о ц е с с E(t) стационарным с параметрами, определяемым и ф о р м у л а м и i(4.56) п р и а с = 0. Т о г д а , у ч и т ы в а я ' ( 4 . 5 5 ) , н а й д е м , ч т о д и с п е р с и я п р о ц е с с а К°<(0 р а в н а

Дисперсия разности г л а с н о [62] р а в н а

®S(0 =

интегралов

Z\

и г2

2.»f?(l—г«).

в

формуле

2Y о 2 — 1 .

(4.51)

со-

(4.62)

г д е Yi и Y2 — к о э ф ф и ц и е н т ы у с р е д н е н и я ф л ю к т у а ц и й V"(t) при интегрировании их по интервалам длиной т и и 2 т и соответственно; г г — к о э ф ф и ц и е н т к о р р е л я ц и и и н т е г р а л о в Z\ и г 2 . З н а ч е н и я у ь г и г * определяются произведением т и А f v , где A / v — ш и р и н а спектра флюктуаций В оптимальном приемнике T , , A / v ~ l , тогда согласно [ 6 2 ] Yj = 0 , 5 , тг — 0 , 1 5 . О т с ю д а s 2 (е) =

0 , 8 5 а 2 == а 2

(4.63)

и среднеквадратическое значение флюктуаций на выходе дискриминатора, пересчитанных во флюктуации измеряемого п а р а м е т р а R. равно

V

°v

z a . = 0 , 2 6 —jr

4 я — 1 тн ~2Т

(4.64)

Т а к и м о б р а з о м , п о л у ч и л и , ч т о п р и д е й с т в и и м о щ н о г о ш у м а инт е н с и в н о с т ь ф л ю к т у а ц и й на в ы х о д е д и с к р и м и н а т о р а с А Р У с т р е мится к постоянной величине, определяемой ф о р м у л о й (4.64). Д и с к р и м и н а т о р с л о г а р и ф м и ч е с к и м п р и е м н и к о м Н а п р я ж е н и е V(f) в этом случае имеет вид

V(0=ln[l + p£(0]. Д л я нахождения дискриминационных характеристик согласно в ы р а ж е н и ю (4.53) т р е б у е т с я з н а т ь м а т е м а т и ч е с к о е о ж и д а н и е н а п р я ж е н и я V(t), т. е. в е л и ч и н у mv

(t) =

М {in[ 1 +

П о с к о л ь к у при принятых д о п у щ е н и я х процесс с плотностью вероятностей

|i£ ( 0 ] } . £(/)—релеевский

случайный

w(E, то м о ж н о

(4.65)

записать СО

Щ

(0 =

j

00

- ^ у - In (1 +

Е

2

р£) е ~ ' ' ° ' m

d E

=

о

J I n [1

+

о +

B(t)]c-**'2ydy,

(4.66)

где

°г (0 =

(0 + Q2. 5 ( 0 = МО-

Интеграл (4.66) не в ы р а ж а е т с я в замкнутом виде в элементарных или р а н е е т а б у л и р о в а н н ы х ф у н к ц и я х . Величина э т о г о интеграла, к а к п о к а з а н о в [64J п у т е м в ы ч и с л е н и я н а Ц В М , л е ж и т в п р е д е л а х о т I n (1 + В) V r ' I / 2 д о I n (1 + В) п р и О < ^ В < о о , п р и ч е м о т н о ш е н и е з н а чения интеграла к величине 1 п ( 1 + В ) тем б л и ж е к е д и н и ц е , чем б о л ь ш е В, и у ж е п р и В = 1 с о с т а в л я е т 1,1. С л у ч а й 5 ^ 1 в р е ш а е м о й з а д а ч е с л е д у е т с ч и т а т ь т и п о в ы м , т а к к а к он с о о т в е т с т в у е т т а к о й интенсивности сигнала и шума, когда наиболее вероятные значения их а м п л и т у д ы в ы х о д я т з а п р е д е л ы л и н е й н о г о у ч а с т к а а м п л и т у д н о й характеристики логарифмического приемника и начинает сказываться действие логарифмической нормировки. Поэтому без существенной п о г р е ш н о с т и м о ж н о п о л о ж и т ь

mv 20—160

(0 =

I n [1 +

В (<)] =

I n [1 +

р

Vs* ( 0 +

Q2]

. 297

Отсюда m

z (•) =

\

[In (1 +

Р V*

2

(0 +

Q 2 ) ] = 4 е ft/ 2 (t, Q ) ] ,

(4.67)

где Уг (Л Q ) =

In (1 +

рf V

Q2).

(0 +

(4.68)

К а к и в д и с к р и м и н а т о р е с АРУ, с увеличением у р о в н я ш у м а дискриминационная кривая здесь имеет тенденцию к сужению. Дейс т в и т е л ь н о , с о г л а с н о (4.67) д и с к р и м и н а ц и о н н а я к р и в а я и з м е н я е т с я от m t (с) =

Д , [In (1 +

ps (<))],

Q =0.

(4.69а)

ДО д е [s 2 (<)]

Р 2Q(l+pQ)

Д

.

2Q}

(4'6Эб)

'

Д л и т е л ь н о с т ь ф у н к ц и и 1п(1 + р ® ( / ) ) ^ н а п р и м е р , н а у р о в н е 0 , 5 ) , о ч е в и д н о , б о л ь ш е д л и т е л ь н о с т и ф у н к ц и и s2(t). В результате размах линейного участка дискриминационной кривой при Q = 0 будет больше, чем при Q » ' l . И з м е н е н и е ф о р м ы д и с к р и м и н а ц и о н н о й к р и в о й тем меньше, чем к р у ч е ф р о н т ы сигнальной функции. П р и п р я м о у г о л ь н о й а п п р о к с и м а ц и и с и г н а л ь н о й ф у н к ц и и s(t) деформации кривой в о о б щ е н е происходит. Крутизну дискриминатора, как и в случае приемника с АРУ, м о ж н о найти независимо от ф о р м ы с и г н а л ь н о й функции по ф о р м у л е Кд =

2 \Уг ( 0 , Q ) — уг ( т и , Q ) ] ,

е с л и п р и н я т ь , ч т о y2{t, Q ) = c o n s t при в и я (4.60) п о о т н о ш е н и ю к ф у н к ц и и в '(4.70), п о л у ч и м Яд =

2 [In (1 - f P ^ r + Q

2

(4.70)

[при в ы п о л н е н и и у с л о Q)]. П о д с т а в л я я (4.68)

y2(t,

) — l n ( l -HQ)].

(4.71)

Отсюда к Адн =

9i„ п м п 21п (1 + Р),

к tax д (Q) =

'"(' +

P ^ H r Q ^ ) - l n ( l ПГ(Г+7)

+

PQ) (4-72)

Р

К (Q) ^

2 Q (1 +

PQ) I n (1 +

1 Р) ^

21n (1 +

р) Q 2 1

( 4 7 3 )

Видим, что при большом уровне ш у м а крутизна дискриминатора с л о г а р и ф м и ч е с к и м приемником гак же, кач крутизна д и с к р и м и н а т о ра с АРУ, изменяется обратно пропорционально отношению помеха/сигнал по мощности, причем к о э ф ф и ц и е н т пропорциональности о п р е д е л я е т с я о т н о с и т е л ь н ы м у р о в н е м с и г н а л а р. Заметим, что формулы (4.71) и 1(4.72) в о т л и ч и е о т с л у ч а я дискриминатора с А Р У справедливы при любых отношениях помех а / с и г н а л , если в ы п о л н я е т с я у с л о в и е (4.60). Флюктуационные характеристики дискриминатора с логарифмическим У П Ч ввиду нестационарности процесса V°(f) н е представляется возможным аналитически в полной мере исследовать. Про-

ведем л и ш ь оценку дисперсии ф л ю к т у а ц и й на в ы х о д е д и с к р и м и н а т о ра при б о л ь ш о м уровне ш у м а , к о г д а м о ж н о пренебречь сигнальной составляющей флюктуаций. Положив в формулах (4.65) и (4.66) Q » l , д и с п е р с и ю н а п р я ж е н и я V(t) можно выразить в виде

Р а з н о с т ь и н т е г р а л о в ( 4 . 7 4 ) к а к ф у н к ц и я п а р а м е т р а (5Q в ы ч и с л е н а в {64]. С о г л а с н о [64] п р и и з м е н е н и и (5Q в п р е д е л а х о т 3 д о 1000 в е л и ч и н а a v и з м е н я е т с я о т 0,31n (1 + P Q ) д о 0 , 1 l m ( l + P Q ) , т . е. о т 0 , 4 д о 0 , 6 . П р а к т и ч е с к и в в е с ь м а ш и р о к о м д и а п а з о н е з н а ч е н и й Q м о ж н о п о л о ж и т ь c i v = 0 , 5 . З н а я (Ту, п о а н а л о г и и с i(4.62) — (4.64) н а й д е м с р е д н е к в а д р а т и ч е с к о е з н а ч е н и е ф л ю к т у а ц и й н а в ы х о д е д и с к р и м и н а т о р а с логарифмическим приемником при большом отношении шум/сигнал

Итак, интенсивность флюктуаций на в ы х о д е дискриминатора с л о г а р и ф м и ч е с к и м п р и е м н и к о м при б о л ь ш о м у р о в н е ш у м а остается почти неизменной и о п р е д е л я е т с я ф о р м у л о й (4.75). В заключение заметим, что полученные аналитические оценки характеристик дискриминатора автодальномера кроме того что они используются в дальнейшем представляют также и самостоятельный интерес.

7. Н е к о т о р ы е результаты исследования характеристик авгодальномера методом цифрового моделирования

Алгоритм цифровой модели дискриминатора автодальномера с АРУ, описываемый ф о р м у л а м и (4.43) — (4.46), был реализован на Ц В М М-20. Дискриминационные и флюктуационные характеристики снимались путем нахождения статистического среднего и дисперсии случайной величины 4 " ] Д л я различных значений дискретного рассогласования г и для различных отношений помеха/сигнал Q одновременно. При этом [дискретные квадратурные компоненты шума Е°ш , 2 \п, /га] для данного п в целях экономии вычислений оставались неизменными при различных значениях параметров г и Q. Замена дискретных реализаций Ь°т, 2 [я,/га] статистически независимыми реализациями производилась только при переходе от п к п -(- 1. Решение осуществлялось при следующих параметров. 20*

значениях 299

Дискриминатор принимался симметричным (/г1 = &2 = 1 ) . Длительность полустробов 'полагалась равной длительности импульса сигнала (Г] = Т2—хи). -Полустробы располагались вплотную = — т „ и i ^ = 0 ) . Отношение длительности строба к длительности импульса 7/т„ было равно либо 4, либо 2. Шаг дискретизации процессов внутри • строба был принят равным Д|/=т и /12, что дало =|

*fv[n]] 1

0,5

Ю'3

>0*

Ю ififn])

W

Рис. 4.17.

возможность весьма подробно воспроизводить реализации процессов. П р и этом нормированные значения параметров т и ; Т; Г,, 2 ; txi2 были соответственно равны ш„=( 12, 7"=24 и Г = 4 8 , 7^2=12, mi = 12, m 2 = 0. Отношение времени корреляции сигнала к периоду повторения 7УГ П ='25. Параметры АРУ были такими: k 0 = k O o P = 1000, отношение постоянной времени фильтра АРУ ко времени корреляции сигнала xjJTc=\. На рис. 4.17 показана амплитудная характеристика УПЧ с АРУ (зависимость среднего значения М{Щп]} сигнала на выходе УПЧ от среднего значения М {£[«]} сигнала на входе У П Ч ) , построенная по формуле [79]

*{*>!) =

1+fe JW]}

при /г 0 =^обр= Ю00. Известно, что эквивалентная постоянная времени замкнутой системы АРУ определяется выражением [79] Аэ "

\+k0Ji{E[n]}

'

(4"76)

При моделировании величина а с выбиралась такой, чтобы М Щ я ] } = 10~2 (точка А на рис. 4.17), что соответст300

вовало рабочему участку амплитудном характеристики приемника с А Р У и обеспечивало хорошее сглаживание амплитудных флюктуаций сигнала, так как эквивалентная постоянная времени АРУ в соответствии с (4.76) была в 10 раз меньше времени корреляции сигнала. Заметим, что указанные значения параметров АРУ и уровня сигнала взяты не в связи с какой-либо конкретной схемой АРУ, а выбраны лишь с точки зрения обеспечения типичных свойств приемника с АРУ (вид амплитудной характеристики, степень сглаживания флюктуаций сигнала). Цифровая модель дискриминатора с логарифмическим приемником получалась путем внесения изменений (4.48) в цифровую модель дискриминатора с АРУ. Моделирование производилось при различных значениях параметра р (относительный уровень сигнала). При моделировании автодальномера на первом этапе для вычисления дискриминационных и флюктуационных кривых на Ц В М М-20 для 6 значений отношения помеха/сигнал одновременно требовалось в среднем 15 мин машинного времени. При моделировании на втором этапе однократное воспроизведение процесса слежения в течение интервала времени, равного 20 постоянным времени следящей системы, для 6 значений отношения помеха/сигнал одновременно вместе со статистической обработкой результатов з а н и м а л о всего лишь около 1 сек машинного времени. Х а р а к т е р и с т и к и

д и с к р и м и н а т о р а

с

АРУ

Исследование методом моделирования показало, что влияние шума на форму дискриминационных кривых незначительно. Нормированные дискриминационные характеристики т0(г, Q) при различных значениях отношения помеха/сигнал показаны на рис. 4.18,а. Большое влияние оказывает шумовая помеха на крутизну дискриминатора с АРУ. На рис. 4.18,6 показано отношение крутизны дискриминатора к номинальной крутизне в зависимости от Q (зависимость K(Q) — и з м е нение коэффициента усиления в петле обратной связи автодальномера под влиянием ш у м а ) . Пунктиром даны аналитические оценки при большом уровне помех, вычисленные по формуле (4.61). Значения кривых ЛГ(Q), 301

снятые на ЦВМ, были найдены путем усреднения по 200 реализациям. Д л я малых и средних значений отношения помеха/сигнал это количество реализаций обеспечивало достаточную точность. При больших Q для оценки дискриминационных кривых требуется весьма большое количество реализаций, так как постоянная составх/0)

1

<0 510

2

ю- 2 5W

3

о

1

г

J

«

а

б) Рис. 4.18.

л я ю щ а я на выходе дискриминатора гораздо меньше флюктуационной составляющей. Поэтому кривые K(Q) для больших Q были рассчитаны аналитически и на рис. 4.18 показаны пунктиром. Интенсивность флюктуаций на выходе дискриминатора с АРУ, как показали расчеты, слабо зависит от рассогласования е, т. е. малы параметрические флюктуации. Это является результатом нормирующего действия АРУ. Флюктуационные характеристики оя(е, Q) для различных Q представлены на рис. 4.19. На рис. 4.20 показаны зависимости величины Оя(0, Q). Пунктиром даны аналитические оценки при Q » 1 [фор302

мула (4.64)], которые, как видно из рисунка, довольно точно совпадают с предельными значениями о я , полученными при моделировании.

Рис. 4.19.

И з рис. 4.18 и 4.20 видно, что увеличение длительности строба приводит, к уменьшению крутизны дискриминатора с АРУ при одновременном уменьшении oR — ин' М 0,1

0,05

О

тенсивности флюктуаций на выходе Дискриминатора, пересчитанных во флюктуации дальности, что является следствием нормирующего действия АРУ.

Х а р а к т е р и с т и к и с

д и с к р и м и й а т о р э

л о г а р и ф м и ч е с к и м

п р и е м н и к о м

Моделирование показало, что дискриминационные кривые m 0 (e, Q) (рис. 4.21,а) и зависимости K(Q) (рис. 4.21,6) при различных р практически не отличаются от аналитических оценок этих характеристик [формулы (4.69), (4.72)]. т

ю-'

W2

Ю' О

I

?

3

*

5

в

7

8

9

Ю

Ц

б) Рис.

4.21.

На рис. 4.22 представлены нормированные флюктуационные характеристики, полученные путем моделирования на Ц В М при различных значениях параметра р. Из рисунка видно, что параметрические флюктуации, величина которых определяется разностью между максимальным значением функции o R ( e ) и ее значением при е = 0, составляют при 'Q —0,5 около 30%', а при Q = 1 око-, ло 10% от общей интенсивности флюктуаций. На рис. 4.23 показаны зависимости интенсивности флюктуаций при нулевом рассогласовании от отношения шум/сигнал при различных р. Пунктиром даны аналитические оценки (формула (4.75)]. И з рисунка видно, что 304

при больших р (больших урбвнях сигнала) оценка оказывается заниженной. Расхождение обусловлено ошибкой в вычислении номинальной крутизны дискриминато-

Q--1 л-f

А

г

Ч

п WS

Nч

0,5 Л

к

0

£

ра по формуле (4.72), которая выведена в предположении, что сигнальная функция полностью вмещается в интервал (—т и , т и ). Однако при большом уровне сигнала

за счет ограничения в логарифмическом приемнике гауссов импульс искажается и становится шире, в результате он не вмещается в указанный интервал и возникает по305

грешность в вычислении крутизны дискриминатора по формуле (4.72) в сторону завышения значений. Что касается предположения о возможности замены величины oz в формуле (4.75) на ov, то оно, как показали результаты цифрового моделирования, оказалось практически безошибочным. Таким образом, оценка (4.75) при использовании точного значения /Сдн является вполне удовлетворительной. Сравнение характеристик дискриминатора с А Р У и логарифмическим приемником показывает, что они во многом сходны. Действительно, кривые m 0 (e, Q) на рис. 4.18,а и 4.21,а мало отличаются. Зависимости K(Q) на рис. 4.18,6 при Г / т и = 2 и Т\ти—4 аналогичны зависимостям K{Q) на рис. 4.21,6 при р = 3 и 10 соответственно. Почти при одинаковом значении Q происходит насыщение кривых на рис. 4.20 и 4.23. Примерно совпадают на этих рисунках значения величины а я ( 0 , Q) в области, где Q > 1 , для TJти=2, 7 7 т и = 4 и р = 3, р = 10 соответственно. Х а р а к т е р и с т и к и в

с р ы в а

с л е ж е н и я

а в т о д а л ь н о м е р е

Моделирование процессов слежения в автодальномере производилось в соответствии с алгоритмом (4.50), причем зависимости m 0 (e, Q) и а л ( е , Q) как функции е при заданном Q вводились в Ц В М в виде таблицы значений. При вводе табличных значений этих функций использовались результаты исследования характеристик дискриминатора. Значение K(Q) при заданном Q вводилось в виде константы, взятой из графиков, представленных на рис. 4.18,6. Считалось, что срыв слежения произошел в момент времени t—Tср, если в этот момент ошибка рассогласования по абсолютной величине становилась больше ширины дискриминационной кривой, т. е. АЯ[л]>1, и остав а л а с ь больше этого значения в течение постоянной времени следящей системы. Постоянная времени корректирующей цепи сглаживающего фильтра дальномера выбиралась из условия ] f K t K B T к — = 1, которое обеспечивает минимум эффективной полосы ДЯэф замкнутой следящей системы автодальномера, 306

h следовательно, минимум флюктуационной ошибки [2]. При этом 00 = 5Г \ I (j"») Г du= о где /(зам(jw) — частотная характеристика замкнутой системы слежения (в линейном режиме). Ш а г моделирования Atc выбирался равным 0,1 ТЭф= = 0,1 /2Д770ф, где ГЭф = Г„ — эффективная постоянная времени следящей системы дальномера. Отношение периода повторения .к постоянной времени следящей системы принималось равным 10^2 и 10~3. П р и моделировании з а д а в а л с я следующий закон изменения дальности: Д^эф

Do

и

И

VR

U

H

U

Vl

где D 0 — начальная дальность; VR— р а д и а л ь н а я скорость; Ан — радиальное ускорение; Dn=cxJ2. Предполагалось, что до момента времени t = 0 переходные процессы в следящей системе закончились и шло точное сопровождение по дальности при отсутствии шумов. Д л я имитации этого соответствующим образом выбирались начальные условия в рекуррентных уравнениях (4.50). Н а ч а л о отсчета времени при моделировании отождествлялось с моментом / = 0 . В этот момент в дополнение к линейному закону изменения дальности з а д а вался скачок ускорения величиной A R , что приводило к появлению динамической ошибки. Можно показать, что величина динамической ошибки, возникающей в дальномере с двумя интеграторами за счет ускорения Л л , в установившемся режиме при отсутствии шума равна A\RR=2AR/DaKokn. В дальномере с минимальной эффективной полосой ДЯд = 2ART2JDH = 2 A f j D * . При моделировании процесса слежения величина ArT2Эф выбиралась так, чтобы динамическая ошибка

равнялась заданному значению (напомним, что ошибка ЛЯ Д численно равна рассогласованию по времени между центром отраженного сигнала и положением центра следящих полустробов, выраженному в длительностях импульса). В результате воздействия шума, как было показано выше, происходит значительное уменьшение коэффици-

м(гс} 10 8 В 4> 2

Рис. 4.24.

ента усиления в петле обратной связи автодальномера, что приводит к пропорциональному росту динамической ошибки. Вместе с этим появляются флюктуационные ошибки. При определенном значении отношения помеха/сигнал эти ошибки приводят к срыву слежения. Н а р и с . 4.24 даны зависимости среднего времени до срыва слежения от параметра Q при различных значениях ДЯд, Т/т п , Тп/Тэф. Среднее время до срыва слежения дано на рис. 4.24. в долях постоянной времени следящей системы.

Из рис. 4.24 видно, что срыв слежения носит пороговый характер. Начиная с некоторого значения отношеI ния помеха/сигнал, увеличение интенсивности шума не приводит к уменьшению среднего времени до срыва. Исследование показало, что основной причиной срыва слежения в рассматриваемом случае является динамическая ошибка, в о з р а с т а ю щ а я вследствие значительного уменьшения крутизны дискриминатора при воздействии шума. Поэтому характеристики срыва слежения в автодальномере с логарифмическим приемником практически не отличаются от описанных выше характеристик срыва слежения в автодальномере с АРУ, если при прочих равных условиях совпадают значения K(Q). Заключение

З а к а н ч и в а я рассмотрение примеров применения цифрового моделирования, необходимо сделать некоторые общие замечания. Р а з р а б о т а н н ы е цифровые модели отличаются достаточной гибкостью. Диапазон изменения входных параметров практически неограничен. Так, например, полож и в в модели приемных устройств р = 0 и т а ф О , получим вариант, когда входное колебание имеет только амплитудную шумовую модуляцию. Такой случай не рассматривался, но легко может быть рассмотрен. М о ж н о на этой ж е модели проанализировать влияние реакции видеофильтра на характеристики выходных флюктуаций приемника при произвольном отношении полос пропускания видеофильтра и радиофильтра (путем вариации параметра йф). Нетрудно ввести нелинейное преобразование модулирующего шума для рассмотрения варианта, когда входное колебание модулировано либо по частоте, либо по амплитуде или одновременно по частоте и амплитуде т а к называемым «подрезанным» шумом (80]. Кроме интенсивности и законов распределения флюктуаций на выходе приемника, можно одновременно получить корреляционные характеристики флюктуаций и т . д . Аналогично цифровая модель авт'одальномера при изменении только входных параметров позволяет получить в дополнение к имеющимся целый ряд других важных результатов. Например, положив ki=£k 2 и можно получить характеристики дискриминатора для

различных случаев его несимметрии; варьируя /1 и можно получить характеристики дискриминатора с разнесенными и перекрывающимися полустробами; нетрудно ввести нелинейность в приемнике, отличающуюся от логарифмической (например, ограничитель); легко получить характеристики срыва слежения при других законах движения цели и т. д. Моделирование автодальномера производилось в два этапа. Это было целесообразно при принятой постановке задачи, так как кроме характеристик срыва слежения ! ставилась задача получения дискриминационных и флюктуационных характеристик дискриминатора, а такж е статистического эквивалента автодальномера [5]. Однако нетрудно построить цифровую модель автодальномера в целом; для этого нужно объединить модель дискриминатора с моделью следящей системы. При этом модель дискриминатора нужно несколько изменить путем введения з а д е р ж к и сигнального импульса, пропорциональной изменяющейся дальности. Цифровое моделирование автодальномера в целом в некоторых з а д а ч а х более целесообразно, чем раздельное, например при исследовании влияния нестационарных помех, когда трудно найти статистический эквивалент. Полученная выше статистически эквивалентная схема автодальномера справедлива при стационарных сигнале и шуме, а т а к ж е когда отношение сигнал/помеха изменяется медленно. Эту схему можно использовать в моделях более сложных хистем радиоавтоматики. Характеристики статистически эквивалентной схемы могут быть полезны как исходные данные для аналитических исследований процессов автосопровождения, например методом дифференциальных уравнений Фоккера—Планка [65]. И з сказанного следует, что цифровое моделирование, которое позволяет получить единую программу решения при сравнительно небольшом числе допущений, дает универсальное решение задачи. При аналитическом исследовании изменение условий задачи часто влечет за собой изменение метода решения, например при введении в линейную систему нелинейных звеньев. Однако если аналитический метод позволяет находить достаточно универсальные и простые формулы, то при моделировании для получения каждого нового кон310

кретного результата для иной комбинации численных значений параметров требуется снова обращаться к Ц В М и при необходимости производить перестройки в программе. В этом смысле цифровое моделирование имеет меньшую общность и гибкость, чем аналитический метод. Возможность единым образом исследовать различные варианты задачи (изменяя лишь входные параметры и' не изменяя модели по существу) сближает метод цифрового моделирования с физическим экспериментом и натурным испытанием, однако если в цифровой модели изменение входных параметров осуществляется весьма просто и возможно практически в неограниченном диапазоне, то в натурном испытании вариация входных параметров и характеристик часто сопряжена с большими трудностями. Основным ж е преимуществом цифрового моделирования перед натурным является то, что оно может быть применено на более ранних стадиях разработки аппаратуры, когда реальные макеты этой аппаратуры еще отсутствуют. Однако цифровое моделирование не исключает полностью экспериментальных исследований и натурных испытаний, которые могут быть необходимы, например, в силу принятых при моделировании идеализаций. Исследование рассмотренных выше задач методом цифрового моделирования требовало сравнительно небольших з а т р а т машинного времени. Решение одного варианта задачи при исследовании радиоприемных устройств на Ц В М М-20 требовало, как отмечалось выше, от 3 до 20 мин машинного времени и лишь оценка весьма малых вероятностей (порядка Ю - 3 —10~ 4 ) требовала нескольких часов машинного времени. Суммарное время, которое требовалось для вычисления совокупности всех кривых и гистограмм на рис. 4.4—4.13 составило около 15 часов. Моделирование автодальномера требовало меньших з а т р а т машинного времени. Суммарное время для получения совокупности кривых, представленных на рис. 4.18—4.24, составило около 5 час. Уменьшению вычислительных з а т р а т способствовало применение следующих основных приемов сокращенного моделирования. При моделировании радиоприемных устройств ис-

пользовался метод огибающих и рекуррентные алгоритмы формирования реализаций случайных процессов. Кро ме того, было рационально организовано вычисление искомых статистических характеристик (§ 4.2, п. 3). При моделировании автодальномера процесс прохождения шума и сигнала через лйнейную высокочастотную часть приемника не воспроизводился, так как заранее известны характеристики сигнала и шума на выходе линейной части. В других, более сложных случаях, например при исследовании влияния помех, рассмотренных в § 4.2, п. 1, это было бы невозможно и потребовалось бы моделировать процесс преобразования помех при прохождении их через линейную часть приемника. Стробируемый приемник с АРУ является в данной задаче, строго говоря, нелинейной импульсно-непрерывной динамической системой со случайной формой импульса (случайная огибающая в стробе). Процессы в этой системе очень сложны для аналитического исследования и довольно сложны для цифрового моделирования, так как в общем случае требуется подробное воспроизведение процессов в контуре А Р У с учетом формы импульса на входе цепи обратной связи. Однако при принятых условиях система со случайной формой импульса ввиду кратковременности этого импульса эквивалентна с достаточной точностью более простой систем е — с и с т е м е с «мгновенными» импульсами (8-функциями), имеющими случайную амплитуду, пропорциональную среднему значению огибающей смеси сигнала и шума на выходе УПЧ в пределах строба. Упростило модель т а к ж е применение метода огибающих и применение удобных аппроксимаций (аппроксимация регулировочной характеристики УПЧ линейной зависимостью, позволившая получить явное решение уравнения (4.41); экспоненциальная аппроксимация корреляционной функции амплитудных флюктуаций сигнал а ; аппроксимация частотной характеристики гауссовой кривой У П Ч ) , которые позволили применить для формирования реализаций коррелированных случайных процессов готовые и достаточно простые алгоритмы. Эквивалентные упрощающие преобразования функциональных схем исследуемых радиосистем и применение удачных аппроксимаций вообще являются важными моментами в процессе цифрового моделирования.

Важным моментом при цифровом моделировании является т а к ж е использование там, где это возможно, аналитических оценок, которые позволяют проконтролировать правильность моделирования, упростить и дополнить цифровые модели (§ 4.2, п. 4; § 4.3, п. 6). Последнее в какой-то мере компенсирует основной недостаток метода цифрового моделирования — невозможность получить общее решение. Используя аналитические оценки, можно сочетать в исследованиях общность аналитического метода с преимуществами цифрового моделирования при решении наиболее сложных задач. Накопленный опыт применения Ц В М для решения радиотехнических з а д а ч позволяет сделать следующие основные выводы. Методом цифрового моделирования целесообразно решать многие сложные линейные и нелинейные, стационарные и нестационарные задачи статистической радиотехники, решение которых другими методами либо недоступно, либо малоэффективно. Цифровое моделирование является мощным методом научных исследований. г

31—161)

Литература 1. А к и м о в J I . П . , Г о р о д е ц к и й Ю . М . , Ш у к у р ь я я С . И . О моделировании гауссовых случайных последовательностей на цифровых вычислительных машинах. «Автоматика и телемеханика», 1969, № 1. 2. Б а к у т 1П. А., Б о л ь ш а к о в И . А. и др. В о п р о с ы с т а т и с т и ч е с к о й т е о р и и р а д и о л о к а ц и и , т. II. И з д - в о « С о в е т с к о е р а д и о » , 1964. 3. Б е р е з и н И . С., Ж и д к о в Н. П. Методы вычислений, т . I I , Ф и з м а т г и з , 1962. 4. Б о б н е в М . П . Г е н е р и р о в а н и е с л у ч а й н ы х с и г н а л о в и изм е р е н и е и х п а р а м е т р о в . И з д - в о « Э н е р г и я » , 1966. 5. Б о б н е в М . П . , К р и в и ц к и й 'Б. Х „ Я р л ы к о в М. С. Комплексные системы радиоавтоматики. Изд-во «Советское радио», 1968. 6. Б о л ь ш а к о в И . А. С т а т и с т и ч е с к и е п р о б л е м ы в ы д е л е н и й п о т о к а с и г н а л о в и з ш у м а . И з д - в о « С о в е т с к о е р а д и о » , 1969. 7. Б о л ь ш а к о в И . А., Г у т к и н Л . С. и др. Математические основы современной радиоэлектроники. Изд-во «Советское рад и о » , 1968. 8. Б о л ь ш а к о в И . А., Х о м я к о в Э. Н . Н е к о т о р ы е з а д а ч и многомерной фильтрации процессов со стационарными производным и . « И з в е с т и я А Н С С С Р » , Т е х н и ч е с к а я к и б е р н е т и к а , 1966, № 6 . 9. Б у с л е н к о Н. П. Математическое моделирование произв о д с т в е н н ы х п р о ц е с с о в . И з д - в о « Н а у к а » , 1964. 10. Б у с л е н к о Н. П., Г о л е н к о Д. И. и др. Метод статистических испытаний (метод Монте-Карло) и его приложения. Ф и з м а т г и з , 1962. 11. Б у с л е н к о Н . П., Ш р е й д е р Ю . А. Метод статистических испытаний (метод М о н т е - К а р л о ) и его р е а л и з а ц и я в цифр о в ы х м а ш и н а х . Ф и з м а т г и з , '1961. 12. Б ы к о в В. В. О б о д н о м м е т о д е м о д е л и р о в а н и я н а Э Ц В М стационарного нормального шума. «Электросвязь», 1965, № 2. 13. Б ы к о в В. В., М а л а й ч у к В . П . О п о г р е ш н о с т и ц и ф р о в о го интегрирования стационарного случайного процесса. «Автоматика и т е л е м е х а н и к а » , 1966. № 2 . 14. Б ы к о в В . В., М а л а й ч у к В. П . К в о п р о с у о вычислении энергетического спектра колебания, м о д у л и р о в а н н о г о по частот е с т а ц и о н а р н ы м н о р м а л ь н ы м ш у м о м . « Э л е к т р о с в я з ь » , 1966, № 7 . 15. Б ы к о в В. В., М а л а й ч у к В. П. П р и м е н е н и е метода Монте-Карло для исследования реакции амплитудного приемника на колебания, модулированные ф л ю к т у а ц и я м и по частоте. «Радиол т е х н и к а и э л е к т р о н и к а » , '1967, т . 12, № 8. 16. Б ы к о в В . В. А л г о р и т м ы д л я ц и ф р о в о г о моделирования некоторых типов стационарных нормальных случайных процессор. « Э л е к т р о с в я з ь » , 1967, № 9 .

17. Б ы к о в Ё. В. Ц и ф р о в о е м о д е л и р о в а н и е процессов в л и н е й н ы х и н е л и н е й н ы х н е п р е р ы в н ы х с и с т е м а х . « Р а д и о т е х н и к а » , 1968, т. 2 3 , № 5. 18. Б ы к о в Ю. М. О статистической точности восстанавливающих элементов при импульсной передаче с л у ч а й н ы х сигналов. « И з в е с т и я А Н С С С Р » , Т е х н и ч е с к а я к и б е р н е т и к а , 1965, № 1. 19. Б ы к о в Ю . М . , Е н и к е е в LLI. Г . и д р . В о п р о с ы п р и м е н е ния Ц В М при статистических исследованиях объектов управления. Приборостроение, средства автоматизации и системы управления. «Труды I конференции молодых ученых и специалистов». Изд-во « Н а у к а » , 1967. 20. В и л е и к и н С. Я., Т р а х т е и б е р г Э. А. О ц е н к а т о ч н о сти выходного сигнала при 'моделировании динамических процессов и а Ц В М . « А в т о м а т и к а и т е л е м е х а н и к а » , 1965, т. 2 6 , № 12. 21. В и н е р Н . К и б е р н е т и к а . И з д - в о « С о в е т с к о е р а д и о » , 1958. 22. В у д в о р д Ф. М. Теория вероятностей и теория информац и и с п р и м е н е н и я м и в р а д и о л о к а ц и и . П е р . с англ. п о д ред. Г. С . Гор е л и к а . И з д - в о « С о в е т с к о е р а д и о » , 1955. 23. Г о л е и к о Д . И . М о д е л и р о в а н и е и с т а т и с т и ч е с к и й а н а л и з псевдослучайных чисел н а электронных вычислительных машинах. И з д - в о « Н а у к а » , 1965. 24. Г о н о р о в с к и й С. И . Р а д и о с и г н а л ы и п е р е х о д н ы е я в л е н и я в р а д и о ц е п я х . С в я з ь и з д а т , 1954. 25. Г р а д ш т е й н И . С., Р ы ж и к И. М. Таблицы интегралов, с у м м , р я д о в и п р о и з в е д е н и й . Ф . и з м а т г и з , 1962. 26. Г у с е в А . Г. А н а л и з п о г р е ш н о с т е й , в о з н и к а ю щ и х в а в т о м а т и ч е с к о й системе при р е а л и з а ц и и з а к о н а у п р а в л е н и я н а ц и ф р о вой вычислительной м а ш и н е при гармоническом и случайном входн ы х в о з д е й с т в и я х . « А в т о м а т и к а и т е л е м е х а н и к а » , 1968, № 9. •27. Г у т к и н J I . С., Л е б е д е в В. Л., С и ф о р о в В. И. Р а д и о п р и е м н ы е у с т р о й с т в а . И з д - в о « С о в е т с к о е р а д и о » , 1961. 28. Д а в е н п о р т В . »Б., Р у т В. Л . В в е д е н и е в т е о р и ю с л у чайных сигналов и шумов. Изд-во иностранной литературы, I960. 29. Д ж у р и Э. Импульсные системы автоматического регулир о в а н и я . П е р . с а н г л . « Ф и з м а т г и з » , 1963. 30. Д у б Д ж . Л. Вероятностные процессы. Изд-во иностранной л и т е р а т у р ы , 1956. 31. Е в т я н о в С. И. П е р е х о д н ы е процессы в п р и е м н о - у с и л и т е л ь н ы х с х е м а х . С в я з ь и з д а т , 1948. 32. K a r a н Б. М. Применение цифровых вычислительных машин для решения научно-технических задач электромеханики и для автоматического управления. В сб. «Автоматизированный электроп р и в о д п р о и з в о д с т в е н н ы х м е х а н и з м о в » , т . 1, 1965. 33. К а г а н о в а Н. А., Д у б р о в и н Е. П., К о р и н е н к о Н. Г. Опыт проведения расчетов на Ц В М установившихся реж и м о в энергосистем Украинской С С Р . В сб. « М о д е л и р о в а н и е и а в томатизация электрических систем». Киев. Изд-во «Наукова Д у м к а » , 1966. 34. К а з а м а р о в А. А., П а л а т н и к А. М., Р о д н я н с к и й Л. О. Д и н а м и к а двумерных систем автоматического регулир о в а н и я . И з д - в о « Н а у к а » , 1967. 35. К а т к о в н и к В . Я., П о л у э к т о в Р. А. Многомерные д и с к р е т н ы е с и с т е м ы у п р а в л е н и я . И з д - в о « Н а у к а » , 1966. 21*

315

36. К а т к о в н и к В. Я.. П о л у э к т о в

Р. А. Об оптимальной

Передаче н е п р е р ы в н о г о с и г н а л а через и м п у л ь с н у ю цепь. « А в т о м а т и к а и т е л е м е х а н и к а » , 1964, № 2 . 37. К е н д а л л М., С т ь ю а р т Л. Теория распределений. Пер. с а н г л . , п о д р е д . А . Н . К о л м о г о р о в а . И з д - в о « Н а у к а » , 1966. 38. К и т о в А. И., К р и н и ц к и й Н. А. Э л е к т р о н н ы е цифров ы е м а ш и н ы и п р о г р а м м и р о в а н и е , и з д . 2. Ф и з м а т г и з , 1961. 39. К л и м о в Г. П . С т о х а с т и ч е с к и е системы обслуживания. И з д - в о « Н а у к а » , 1966. 40. К о г а н Б. Я. Электронные моделирующие устройства и их п р и м е н е н и е д л я и с с л е д о в а н и я систем а в т о м а т и ч е с к о г о регулиров а н и я . Ф и з м а т г и з , 1963. 41. К о н т о р о в и ч М . И . О п е р а ц и о н н о е исчисление и нестац и о н а р н ы е п р о ц е с с ы в э л е к т р и ч е с к и х ц е п я х . Г о с т е х н з д а т , 1955. 42. К о р и Г. М о д е л и р о в а н и е с л у ч а й н ы х п р о ц е с с о в н а аналог о в ы х и а н а л о г о - ц и ф р о в ы х м а ш и н а х . И з д - в о « М и р » , 1968. 43. К р а с о в с к и й А. А. О д в у х к а н а л ь н ы х с и с т е м а х автоматического регулирования с антисимметричными связями. «Автоматик а и т е л е м е х а н и к а » , 1 9 5 7 , т . 18, № 2 . 44. К р а с о в с к и й А. А., П о с п е л о в Г. С. Н е к о т о р ы е м е т о д ы вычисления п р и б л и ж е н н ы х временных х а р а к т е р и с т и к л и н е й н ы х систем автоматического регулирования. «Автоматика и телемеханика». 1953, т . 14, № 6 . 4 5 . К р а с о в с к и й А. А., П о с п е л о в Г. С . О с н о в ы а в т о м а т и к и и т е х н и ч е с к о й к и б е р н е т и к и . Г о с э н е р г о и з д а т , 1962. 46. К р ы л о в А. Н . Л е к ц и и о п р и б л и ж е н н ы х вычислениях. Гост е х н з д а т , 1950. 47. К р ы л о в В. И. Приближенное вычисление интегралов. Ф и з м а т г и з , 1959. 4 8 . К у р о ш А . Г . К у р с в ы с ш е й а л г е б р ы . Ф и з м а т г и з , 1963. 49. К р ю к ш е н к Д . Д ж . М е т о д ы анализа линейных и нелинейных систем р е г у л и р о в а н и я , о с н о в а н н ы е на применении в р е м е н н ы х последовательностей и г;преобразований. Труды первого конгресса И Ф А К . И з д - в о А Н С С С Р , 1961, т . 2. 50. Л е в и н Б . Р . Т е о р е т и ч е с к и е о с н о в ы с т а т и с т и ч е с к о й р а д и о т е х н и к и . И з д - в о « С о в е т с к о е р а д и о » , 1969, т. 1. 51. Л е в и н Б . Р., С е р о в В. В. О р а с п р е д е л е н и и п е р и о д и ч е ской функции случайной величины. «Радиотехника и электроника», 1964, т . 9 , № 6 . 52. Л е в и н Л . М е т о д ы решения технических задач с использ о в а н и е м а н а л о г о в ы х в ы ч и с л и т е л ь н ы х м а ш и н . И з д - в о « М и р » , 1966. 53. Л е з и н Ю . С . О п т и м а л ь н ы е ф и л ь т р ы и н а к о п и т е л и и м п у л ь с н ы х с и г н а л о в . И з д - в о « С о в е т с к о е р а д и о » , 1969. 54. Л е й т е с Р. Д. Методика математического моделирования с и с т е м п е р е д а ч и р е ч е в о г о с и г н а л а . « Э л е к т р о с в я з ь » , 1963, l№ 8. 55. Л и х а р е в В. А., А в д е е в В. В. М е т о д и к а м о д е л и р о в а ния задач статистической радиолокации на электронных цифровых вычислительных м а ш и н а х . В сб. «Вопросы помехоустойчивости и разрешающей способности радиотехнических систем (телевидение и радиолокация)». Рязанский радиотехнический институт, вып. 10. И з д - в о « Э н е р г и я » , 1967. 56. Л э н и н г Д ж . 1Г., Б э т т и н Р . Г. С л у ч а й н ы е процессы в задачах автоматического управления. Изд-во иностранной литерат у р ы , 1958.

57. Л ю б и м о в Ю . К. П о л у ч е н и е на Ц В М д и с к р е т н ы х значений с т а ц и о н а р н о г о с л у ч а й н о г о п р о ц е с с а в н е р а в н о о г с т о я щ и х т о ч к а х . « А в т о м а т и к а и т е л е м е х а н и к а » , '1965, т . 2 6 , № 12. 58. Л я ш е н к о В. Ф. П р о г р а м м и р о в а н и е д л я ц и ф р о в ы х в ы ч и с лительных м а ш и н М-20, Б Э С М 3M, Б Э С М - 4 , М-220. И з д - в о «Сов е т с к о е р а д и о » , 1967. 59. М а л а х о в А. Н . Ф л ю к т у а ц и и в а в т о к о л е б а т е л ь е к и х систем а х . И з д - в о « Н а у к а » . 1968. 60. М е л е н ь т ь е в П . В. П р и б л и ж е н н ы е в ы ч и с л е н и я . Ф и з м а т г и з , 1962. 61. М и д д л т о и Д. Введение в статистическую теорию связи, т. 2 , И з д - в о « С о в е т с к о е р а д и о » , 1962. 62. М и т я ш е в Б. Н. О п р е д е л е н и е в р е м е н н о г о п о л о ж е н и я имп у л ь с о в п р и н а л и ч и и п о м е х . И з д - в о « С о в е т с к о е р а д и о » , 1962. 63. Н а у м о в Б. Н. Переходные процессы в линейных системах а в т о м а т и ч е с к о г о р е г у л и р о в а н и я . Г о с э н е р г о и з д а т , 1960. 64. Н е р о н е к и й Н. Б . П р о х о ж д е н и е сигнала и ш у м а через приемные устройства с нелинейной амплитудной характеристикой. « И з в е с т и я в у з о в » , Р а д и о т е х н и к а , 1964, т . 7, № 6. 65. О б р е з к о в Г . В., П е р в а ч е в С. В. С р ы в с л е ж е н и я в с и стеме с астатизмом второго порядка. «Автоматика и телемеханика», 1966, № 3. 66. П о л л я к Ю . Г. М о д е л и р о в а н и е п о с л е д о в а т е л ь н о с т и н е р а в н о о т с т о я щ и х по в р е м е н и в ы б о р о к из г а у с с о в а с л у ч а й н о г о п р о ц е с с а « И з в е с т и я А Н С С С Р » Т е х н и ч е с к а я к и б е р н е т и к а , 1969, l№ 1. 67. П р о х о р о в Ю . В., Р о з а н о в Ю . А. Т е о р и я вероятнос т е й , С М Б . И з д - в о « Н а у к а » , 1967. 68. П у г а ч е в В. С. Т е о р и я с л у ч а й н ы х ф у н к ц и й . Ф и з м а т г и з , 1962. 69. Р а к о в Г. К- В ы р а б о т к а с л у ч а й н о й к о р р е л и р о в а н н о й в е л и чины на б ы с т р о д е й с т в у ю щ и х э л е к т р о н н ы х с ч е т н ы х м а ш и н а х . Автоматическое управление и вычислительная техника (сборник трудов). Г о с т е х и з д а т , 1958. 70. Р о з а н о в Ю . А. С т а ц и о н а р н ы е с л у ч а й н ы е п р о ц е с с ы . Ф и з м а т г и з , 1963. 71. Р ы т о в С. М Введение в статистическую радиофизику. И з д - в о « Н а у к а » , 1966. 72. С а ф р о н о в Г. С . К о р р е л я ц и о н н ы е ф у н к ц и и и с п е к т р а л ь ные плотности разности двух случайных функций, квантованных пэ в р е м е н и . « А в т о м а т и к а и т е л е м е х а н и к а » , 1962, № 6 . 73. С е д я к и н Н . М . Э л е м е н т ы т е о р и и с л у ч а й н ы х и м п у л ь с н ы х п о т о к о в . И з д - в о « С о в е т с к о е р а д и о » , 1965. 74. С е р г и е в е к и й Б . Д . Р е а к ц и я п р и е м н и к а с к в а д р а т и ч н ы м д е т е к т о р о м на к о л е б а н и я , м о д у л и р о в а н н ы е ф л ю к т у а ц и я м и по ф а з е и л и ч а с т о т е . « Р а д и о т е х н и к а и э л е к т р о н и к а » , 1962, т . 7, № 5 . 75. С е р г и е в с к и й Б . Д . Р е а к ц и я а м п л и т у д н о г о приемника н а к о л е б а н и я , м о д у л и р о в а н н ы е п о ф а з е или частоте, при р а с с т р о й к е несущей частоты относительно приемника. «Радиотехника и электрон и к а » , 1963, т . 8, № 12. 76. С м и р н о в В. Н . К у р с в ы с ш е й м а т е м а т и к и , т . 2, Ф и з м а т гиз, 1958. 77. С р а г о в и ч В. Г. М о д е л и р о в а н и е н е к о т о р ы х к л а с с о в с л у чайных процессов. « Ж у р н а л вычислительной математики и математ и ч е с к о й ф и з и к и » , 1963, т . 3, № 3.

78. С т р а г о н о 6 и ч Р . Л . И з б р а н н ы е в о п р о с ы т е о р и и ф л ю к т у а ц и й в р а д и о т е х н и к е . И з д - в о « С о в е т с к о е р а д и о » , 1961. 79. Т а р т а к о в с к и й Г. П . Д и н а м и к а с и с т е м а в т о м а т и ч е с к о й р е г у л и р о в к и у с и л е н и я . Г о с э н е р г о и з д а т , 1957. 80. Т и х о н о в В . И . С т а т и с т и ч е с к а я р а д и о т е х н и к а . И з д - в о « С о в е т с к о е р а д и о » , 1966. 81. Т у Ю . Ц и ф р о в ы е и и м п у л ь с н ы е с и с т е м ы у п р а в л е н и я . М а ш г и з , 1964. 82. X а р к е в и ч А . А . О т е о р е м е К о т е л ь н и к о в а . « Р а д и о т е х н и к а » , 1958, т . 13, № 8 . 83. Х а р к е в и ч А . А . С п е к т р ы и а н а л и з . Ф и з м а т г и з , 1962. 84. Х е л л г р е н Г. В о п р о с ы т е о р и и ' м о н о и м п у л ь с н о й р а д и о л о к а ц и и « З а р у б е ж н а я р а д и о э л е к т р о н и к а » , 1962, № 12; 1963, № 1. 85. Ц ы п к и н Я . 3 . Т е о р и я л и н е й н ы х и м п у л ь с н ы х с и с т е м . Ф и з м а т г и з , 1963. 86. Ц ы п к и н Я . 3 . , Г о л ь д е н б е р г Л . М . П о с т р о е н и е п е р е х о д н о г о п р о ц е с с а в с и с т е м а х а в т о м а т и ч е с к о г о р е г у л и р о в а н и я по характеристикам отдельных звеньев. Труды всесоюзного заочного энерг е т и ч е с к о г о и н с т и т у т а , в ы п . 7 . « Э л е к т р о т е х н и к а » , Г Э И , 1957. 87. Ш е с т о в Н . С. В ы д е л е н и е о п т и ч е с к и х с и г н а л о в на ф о н е с л у ч а й н ы х п о м е х . И з д - в о « С о в е т с к о е р а д и о » , 1967. 88. Ш и р м а н Я- Д . , Г о л и к о в В. Н . О с н о в ы т е о р и и о б н а р у ж е н и я р а д и о л о к а ц и о н н ы х с и г н а л о в и и з м е р е н и я их п а р а м е т р о в . И з д - в о « С о в е т с к о е р а д и о » . 1963. 89. Ш и т о н о к Н . А., Р е п к и н В. Ф., Б а р в и н е к и й Л . А. О с н о в ы т е о р и и н а д е ж н о с т и . И з д - в о « С о в е т с к о е р а д и о » , 1964. 90. Я г л о м А. М . К о р р е л я ц и о н н а я т е о р и я п р о ц е с с о в с о с т а ц и о н а р н ы м и я-ми п р и р а щ е н и я м и . М а т е м а т и ч е с к и й сб. ( н о в а я с е р и я ) , 1955, 3 7 ( 7 9 ) , № 1. 91. Я г л о м А. М . Э ф ф е к т и в н о е р е ш е н и е л и н е й н ы х а п п р о к с и м а ционных задач для многомерных стационарных процессов с рацион а л ь н ы м с п е к т р о м . Т е о р и я в е р о я т н о с т е й и е е п р и м е н е н и я , 1960, т . 5, в ы п . 3. 92. Я н к е Е., Э м д е Ф., Л е ш Ф. Специальные функции. И з д - в о « Н а у к а » , М . , 1964. 93. A n d e r s o n W . Н „ В а 11 R . В . , V о s s I. R . A n u m e r i c a l method for solving differential on digital computers. IACM, 1960, v o l . 7. J a n u a r y . 9 4 . В о x e г R . , T h a 1 e r S . A s i m p l i f i e d m e t h o d of s o l v i n g lin e a r a n d n o n l i n e a r s y s t e m s . P r o c . I R E , 1956, v o l . 4 4 , № 1. 95. D a v i s M . C . O n f a c t o r i n g of s p e c t r a l m a t r i x . I E E E T r a n s , o n A u t o m a t i c C o n t r o l , 1963, A G - 8 , № 4 . 96. D u j a c k R . L . , E p s t e i n D . I. D i g i t a l c o m p u t e r s i m u l a t i o n of c o m m u n i c a t i o n n e t w o r k . I R E T r a n s . C o m m u n s . s y s t . 1962, v o l . 10, № 1. 9 7 . Y o u l a D . C . O n t h e f a c t o r i z a t i o n of R a t i o n a l m a t r i c e s . I R E P G I T T r a n s . 1961, J u l y . 98. К a t z e n e 1 s о n J. A E D N E T : A simulator for nonlinear n e t w o r k . P r o c I E E , 1966, v o l . 5 4 , № 11. 9 9 . К у о. А н а л и з ц е п е й с п о м о щ ь ю ц и ф р о в ы х в ы ч и с л и т е л ь н ы х м а ш и н . Т И И Э Р , 1966, т . 5 4 , № 6 . 100. C o ' o l e y 1. W . , T u k e y I. W . A n a l g o r i t h m f o r t h e m a c h i n e c a l c u l a t i o n of c o m p l e x F o u r i e r s e r i e s . M a t h , of C o m p u t . .1965, v o l . 19, A p r i l .

101. L e v i n JVV. I. G e n e r a t i o n of a s a m p l e d ries h a v i n g a specified correlation function. Trans. № 5.

G a u s s i a n lime seI R E , 1960, v o l . 6 0 ,

102. M a d w e d A . N u m b e r s e r i e s m e t h o d of s o l v i n g l i n e a r a n d n o n l i n e a r s y s t e m . P r o c . I R E , 1956, v o l . 4 4 , № 1. 103. N e u m a n n I. V a r i o n s t e c h n i q u e s i n c o n n e c t i o n w i t h r a n d o m d i g i t s . N B S A p p l . M a t h , 1951, s e r . 12. 104. R a g a z z i n i I. R „ B e r g e n A. R. A m a t h e m a t i c a l t e c h n i q u e f o r t h e a n a l y s i s of l i n e a r s y s t e m s . P r o c . I R E , 1956, v o l . 4 2 ,

№ 11.

105. R e a b o d y P . R., A d o r n o D . S . D i g i t a l s y n t h e s i s of correlated stationary noise. C o m u n s , Assoc. C o m p u t . Mach. 1962, v o l . 5, № 7 . 106. R o h r e r R. A. Fully a u t o m a t h e d n e t w o r k d i s i g n by d i g i t a l c o m p u t e r : P r e l i m i n a r y c o n s i d e r a t i o n s . P r o c . of t h e I E E E , 1967, v o l . 5 5 , № .11. 1107. R o l l . Computer — Technik fur Trickfilme Kino — Techn. ( B . R . D . ) , 1967, 2 1 , № 12. 108. S a g e A. P., В u r t R. W . O p t i m u m d e s i g n a n d e r r o r a n a l y s i s of d i g i t a l i n t e g r a t o r s f o r d i s c r e t e s y s t e m s i m u l a t i o n , 1965, A F I P S , c o n f . P r o c . v o l . 2 7 , p t . 1. 109. S a g e A. P., S m i t h S. L„ R e a l - t i m e d i g i t a l s i m u l a t i o n f o r s y s t e m s c o n t r o l . P r o c of t h e I E E E , 1966, v o l . 5 4 , № 12. 1.10. T r u x a l I. G . N u m e r i c a l a n a l y s i s f o r n e t w o r k d e s i g n . I R E T r a n s , o n C i r c u i t . T h e o r y , 1954, v o l . C T - l ! 111. T u s t i n A . A m e t h o d of a n a l y s i n g t h e b e h a v i o n systems i n t e r m s of t i m e s e r . J I E E , 1947, v o l . 9 4 , p t . I I - A .

П р е д м е т н ы й указатель А в т о д а л ь н о м е р 197, 2 7 7 — эквивалентная схема 288 автоматическая регулировка у с и л е н и я ( А Р У ) 277, 280 А п п р о к с и м а ц и я д и с к р е т н а я 166, 180 Безынерционное нелинейное з в е н о 8, 2 1 9 Б е л ы й ш у м н е п р е р ы в н ы й 63, д и с к р е т н ы й 15, 2 7 Взаимная корреляционная ф у н к ц и я 128 Винеровский случайный проц е с с 145 В о с с т а н а в л и в а ю щ и й элемент 42 Г а м м а - ф у н к ц и я 26 Г и с т о г р а м м а 261, 275 Д а т ч и к с л у ч а й н ы х ч и с е л 14 Д е т е к т и р о в а н и е 226 — а м п л и т у д н о е 226 — — к в а д р а т и ч н о е 252 л и н е й н о е 229, 252 — ф а з о в о е 226 — частотное 226 — цифровое 233 Детерминированный процесс 15 Д и с к р е т и з а ц и я 4, 13 Д и с к р и м и н а т о р 226 Д и с п е р с и я 19, 2 5 D-преобразование ^-преобраз о в а н и е ) 5 7 , 171 Идентификация передаточных ф у н к ц и й 5 9 , 180 — — м а т р и ц 129 Индекс частотной модуляции 257 И м п у л ь с с е л е к т и р у ю щ и й 277 Импульсная переходная характ е р и с т и к а 43, 64

комплексного

фильтра

206 И н т е г р а л в е р о я т н о с т е й 113 — Д ю а м е л я 167 — с в е р т к и 167 — Ф у р ь е 166 И н т е г р и р у ю щ е е з в е н о 141, — — д и с к р е т н о е 194 — н е п р е р ы в н о е 194 Интерполирующий фильтр 174 оптимальный 48 И н т е р п о л я ц и я 42 Квадратурная

193

42,

составляющая

120, 206 К л а с с и ф и к а ц и я н е л и н е й н ы х систем 217 К о г е р е н т н о с т ь 231, 233 К о м п л е к с н а я о г и б а ю щ а я 203 К о о р д и н а т н а я ф у н к ц и я 32, 34 К о э ф ф и ц и е н т амплитудной мод у л я ц и и 251 — к о р р е л я ц и и 5 4 , 114 — у к о р о ч е н и я 252 Л и н е й н а я с и с т е м а 164, 167 д и с к р е т н а я 5 7 , 171 н е п р е р ы в н а я 166 н е с т а ц и о н а р н а я 176 с переменными параметр а м и 176 с постоянными параметр а м и 166 1 — — у з к о п о л о с н а я 202 — — физически осуществимая 167 Линия

задержки

171

М а р к о в с к а я ц е п ь 152 М а р к о в с к и й п р о ц е с с 149 Матрица вероятностей перех о д а 152 — к о р р е л я ц и о н н а я 127 — п е р е д а т о ч н а я 129, 2 0 7

— с п е к т р а л ь н а я 128 Метод дискретной аппроксим а ц и и 166, 180 — к а н о н и ч е с к и х р а з л о ж е н и й 32 — кусочной а п п р о к с и м а ц и и 22 — М о н т е - К а р л о 253 — Н е й м а н а 21 — о г и б а ю щ и х 204 — прямоугольников 169 — С и м п с о н а 170 — т р а п е ц и й 170 — ф а к т о р и з а ц и и 74 Моделирование аналоговое 10 •— м а т е м а т и ч е с к о е 3 — случайных векторов 27 — с л у ч а й н ы х в е л и ч и н 18 — случайных событий 23 — ц и ф р о в о е 3, 6 М о д у л я ц и я 225 — а м п л и т у д н а я 250 — частотная 250 — ш у м о в а я 250 М о м е н т ы к о р р е л я ц и о н н ы е 29 Несущая частота 202 Н о р м а л и з а ц и я случайного процесса на в ы х о д е линейной системы 270 О г и б а ю щ а я сигнала 202 — комплексная 203 Опорное колебание 229 О п т и м а л ь н ы й фильтр 252 Ортогональность 66 О т н о ш е н и е ш у м / с и г н а л 287 П е р е д а т о ч н а я ф у н к ц и я 8, 166 — — дискретной системы 57 комплексного фильтра

206 н е п р е р ы в н о й с и с т е м ы 166 укороченная 213 П л о т н о с т ь в е р о я т н о с т е й 13 п е р е х о д а 149 П о г р е ш н о с т ь д и с к р е т и з а ц и и 42 — интерполяции 43 П о л о с а п р о п у с к а н и я 213, 257 Помеха ш у м о в а я 278 Последовательность случайная

6 —

импульсов модулирования 173 П о с т о я н н а я с о с т а в л я ю щ а я 280 П о т о к с л у ч а й н ы й 152 — п р о с т е й ш и й 153 — рекуррентный 53

•— с о г р а н и ч е н н ы м п о с л е д е й с т в и е м 153 Преобразование Лапласа 166 д и с к р е т н о е (см. г - п р е о б р а з о в а н и е ) 5 7 , 8 2 , 8 5 , 179 — д в у с т о р о н н е е 82, 8 3 —, обратное функции распределения 19 — Ф у р ь е 166 П р и е м н и к 250 — A M 252 — л о г а р и ф м и ч е с к и й 277 —• о п т и м а л ь н ы й 2 5 0 — Ч М 252 Производная случайного проц е с с а 139 Радиолокация 4 Радиотехника 5 Радиотехника статистическая 5 Радиофизика 4 Р а с п р е д е л е н и е в е р о я т н о с т е й 13 — а р к с и н у с а 20 — К о ш и 20 — логарифмически-нормальное 123 — м н о г о м е р н о е 12, 2 7 — н о р м а л ь н о е 19, 2 5 — п о к а з а т е л ь н о е 20 — р а в н о м е р н о е 18 — Раиса 25 — р е л е е в с к о е 19 — X2 26 Рассогласование 280 Реализация случайного проц е с с а 12 Р е к у р р е н т н ы й а л г о р и т м 16 — уравнение 56 Сигнал о п о р н ы й 229 — узкополосный 215 Синтез радиосистем 250 — случайных процессов 6 — формирующих фильтров 59 Система амплитудная импульсн а я 166 — д и с к р е т н а я 14 — замкнутая 165 — и м п у л ь с н а я 166 — импульсно-непрерывная со случайной формой импульса 312 — квазинепрсрывная 166 — л и н е й н а я 166

—- М а с с о в о г о о б с л у ж и в а н и я 10 152 — многоканальная 127 — м н о г о м е р н а я 127 — нелинейная 217 — н е п р е р ы в н а я 166 — н е ф у н к ц и о н а л ь н а я 217 — р а д и о а в т о м а т и к и 277 — разомкнутая 165 — следящая 288 — со многими импульсными э л е м е н т а м и 201 — с переменными параметрам и 176 — функциональная 164 — цифровая 14 С к в а ж н о с т ь 166 Случайный вектор 27 С л у ч а й н о е п о л е 154 изотропное 155 н о р м а л ь н о е 156 о д н о р о д н о е 155 с т а ц и о н а р н о е 155 С л у ч а й н ы й п о т о к 152 простейший (пуассоновский) 153 • р е к у р р е н т н ы й 153 — — с ограниченным послед е й с т в и е м 153 Случайный процесс винеровский 145 дискретный 6 многомерный 127 непосредственно заданн ы й 13 непрерывный 6 нормальный 60 параметрически заданн ы й 12 с рациональным спектром 75 со стационарными приращениями 139 С п е к т р м о д у л я ц и и 209 Спектральная плотность случ а й н о г о п о л я 156 Среднее время до срыва 308 —г с л е ж е н и я 308 Стробирование 278 Схема восстановления 43 Теория случайных процессов

11 Усилитель промежуточной стоты ( У П Ч ) 278

ча-

У с л о в и я н а ч а л ь н ы е 56 Уравнение дифференциальное 113 — разностное 179 — р е к у р р е н т н о е 56 Факторизация спектральных м а т р и ц 130 функций 75 Ф и л ь т р и н т е р п о л и р у ю щ и й 42 — с о г л а с о в а н н ы й 168 — оптимальный 168 — оптимальный интерполир у ю щ и й 42 — формирующий 59 Флюктуации параметрические 302 Функция корреляционная пространственно-временная 156 — д и с к р е т н а я 16 •— н е п р е р ы в н а я 16 — передаточная дискретной системы 57 — передаточная непрерывной системы 166 — п л о т н о с т и 13 — с ограниченным спектром 49 — с п е к т р а л ь н о й плотности поля 156 — структурная 143 Характеристика дискриминац и о н н а я 281 — а м п л и т у д н а я 277 — импульсная п е р е х о д н а я 43, 64 — срыва слежения 306 — флюктуационная 281 — ч а с т о т н а я 236 — частотная

оптимальная

48

Цифровое детектирование 233 — м о д е л и р о в а н и е 3, 6 г - п р е о б р а з о в а н и е 11, 5 7 , 180 Ч а с т о т а д и с к р е т и з а ц и и 46, 52 — н е с у щ а я 251 — п р о м е ж у т о ч н а я 202 Часть непрерывная приведенн а я 174 Ш а г д и с к р е т и з а ц и и 13, 41 Элемент импульсный 173 п р о с т е й ш и й 173 — з а п а з д ы в а н и я 220 Э л л и п т и ч е с к и й и н т е г р а л 121 Энергия сигнала 287

СОДЕРЖАНИЕ Предисловие Введение

3 .

.

.

6 Глава

МОДЕЛИРОВАНИЕ

первая

РАДИОСИГНАЛОВ

И

РАДИОПОМЕХ

1.1. П о с т а н о в к а з а д а ч и 1.2. М о д е л и р о в а н и е н е п р е р ы в н ы х д е т е р м и н и р о в а н н ы х п р о цессов 1.3. М о д е л и р о в а н и е ф у н к ц и й , з а в и с я щ и х о т с л у ч а й н ы х п а раметров и случайных процессов 1.4. М о д е л и р о в а н и е с л у ч а й н ы х в е л и ч и н с з а д а н н ы м з а к о ном распределения 1. М е т о д нелинейного преобразования, обратного функции распределения 2. М е т о д Н е й м а н а 3. М е т о д к у с о ч н о й а п п р о к с и м а ц и и 4. Н е к о т о р ы е с п е ц и а л ь н ы е м е т о д ы м о д е л и р о в а н и я с л у чайных величин 5. З а к л ю ч и т е л ь н ы е з а м е ч а н и я 1.5. М о д е л и р о в а н и е с л у ч а й н ы х векторов по заданным многомерным распределениям 1. М е т о д у с л о в н ы х р а с п р е д е л е н и й 2. М е т о д Н е й м а н а 1.6. М о д е л и р о в а н и е с л у ч а й н ы х в е к т о р о в в р а м к а х к о р р е ляционной теории 1. М е т о д л и н е й н о г о п р е о б р а з о в а н и я 2. М е т о д к а н о н и ч е с к и х р а з л о ж е н и й 3. М е т о д р а з л о ж е н и я в р я д Ф у р ь е 1.7. П о г р е ш н о с т ь в о с с т а н о в л е н и я н е п р е р ы в н ы х с и г н а л о в п о дискретным данным 1. О с н о в н ы е с о о т н о ш е н и я 2. О п т и м а л ь н ы е и н т е р п о л и р у ю щ и е ф и л ь т р ы . . . 3. Ч а с т н ы е с л у ч а и Глава МОДЕЛИРОВАНИЕ

ТИПОВЫХ

12 15 17 18 19 21 22 24 26 27 27 28 29 30 32 37 41 44 48 49

вторая СЛУЧАЙНЫХ

ПРОЦЕССОВ

2.1. П о с т а н о в к а з а д а ч и 2.2. М о д е л и р о в а н и е стационарных случайных процессов методом скользящего суммирования 1. П о л у ч е н и е в е с о в ы х к о э ф ф и ц и е н т о в п у т е м р е ш е н и я нелинейной алгебраической системы уравнений . . 2. П о л у ч е н и е в е с о в ы х к о э ф ф и ц и е н т о в п у т е м р а з л о ж е ния ф у н к ц и и с п е к т р а л ь н о й п л о т н о с т и в р я д Ф у р ь е

55 60 62 63

2.3.

2.4. 2.5. 2.6.

2.7. 2.8.

2.9. 2.10. 2.11. 2.12. 2.13.

3. П о л у ч е н и е в е с о в ы х к о э ф ф и ц и е н т о в м е т о д о м ф а к т о ризации 4. Н е к о т о р ы е с п е ц и а л ь н ы е с п о с о б ы п о л у ч е н и я весовых коэффициентов Моделирование стационарных случайных процессов с помощью рекуррентных разностных уравнений . . 1. П о л у ч е н и е параметров рекуррентных алгоритмов методом факторизации 2. П о л у ч е н и е параметров рекуррентных алгоритмов методом дискретизации непрерывных формирующих фильтров Моделирование стационарных нормальных случайных процессов в неравноотстоящих точках . . . . Сравнительная характеристика методов моделирования с т а ц и о н а р н ы х н о р м а л ь н ы х случайных процессов Алгоритмы для цифрового моделирования стационарных н о р м а л ь н ы х с л у ч а й н ы х процессов с часто встречающимися типами корреляционных функций . . . Моделирование ненормальных стационарных случайных процессов Моделирование стационарных случайных процессов с распространенными одномерными законами распределения 1. С л у ч а й н ы й процесс с равномерным распределением . . 2. Р е л е е в с к и й с л у ч а й н ы й п р о ц е с с 3. С л у ч а й н ы й п р о ц е с с с п о к а з а т е л ь н ы м распределением 4. Л о г а р и ф м и ч е с к и - н о р м а л ь н ы й случайный процесс 5. С л у ч а й н ы й п р о ц е с с с о д н о м е р н ы м распределением по з а к о н у а р к с и н у с а Моделирование многомерных стационарных нормальных случайных процессоз Моделирование нестационарных нормальных случайных процессов со с т а ц и о н а р н ы м и п р и р а щ е н и я м и . Моделирование марковских случайных процессов. . Моделирование случайных потоков Моделирование случайных полей Глава

МОДЕЛИРОВАНИЕ СИГНАЛОВ

79 80 81

89 96 97

99 111

117 117 119 122 123 125 127 138 149 152 154

третья

ПРОЦЕССОВ

И ПОМЕХ

74

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

ЛИНЕЙНЫМИ

И

НЕЛИНЕЙНЫМИ

СИСТЕМАМИ 3.1. В в е д е н и е 3.2. Ц и ф р о в ы е м о д е л и н е п р е р ы в н ы х л и н е й н ы х д и н а м и ч е ских систем, основанные на дискретной свертке . . 1. Д и с к р е т и з а ц и я с и с п о л ь з о в а н и е м ф о р м у л ч и с л е н ного интегрирования 2. Д и с к р е т и з а ц и я п о м е т о д у з а м е н ы н е п р е р ы в н ы х с и стем э к в и в а л е н т н ы м и импульсными системами . . 3. П р и м е н е н и е к с и с т е м а м с п е р е м е н н ы м и параметрами 4. З а к л ю ч и т е л ь н ы е з а м е ч а н и я , . . . . .

164 166 169 173 176 178

3.3. М о д е л и р о в а н и е л и н е й н ы х н е п р е р ы в н ы х д и н а м и ч е с к и х систем с п о м о щ ь ю рекуррентных разностных уравнений 1. М е т о д z - п р е о б р а з о в а н и я 2. М е т о д Ц ы п к и н а — Г о л ь д е н б е р г а (86] . . . . 3. М е т о д Р а г а з з и н и — Б е р г е н а 4. М е т о д , п р е д л о ж е н н ы й а в т о р о м [17] . . . . 5. М е т о д Т а с т и н а [111] 6. М е т о д М а д в е д а — Т р а к с е л а [102, 110] . . . . 7. М е т о д Б о к с е р а — Т а л е р а [94] 8. П р и м е р ы 9. С р а в н и т е л ь н а я х а р а к т е р и с т и к а м е т о д о в д и с к р е т н о й аппроксимации 3.4. М о д е л и р о в а н и е у з к о п о л о с н ы х л и н е й н ы х с и с т е м . . 1. М е т о д о г и б а ю щ и х . К о м п л е к с н ы е л и н е й н ы е ф и л ь т р ы 2. Ц и ф р о в ы е м о д е л и у з к о п о л о с н ы х л и н е й н ы х с и с т е м , основанные на дискретной комплексной свертке . . 3. М о д е л и р о в а н и е узкополосных линейных систем с помощью комплексных рекуррентных разностных уравнений 3.5. М о д е л и р о в а н и е н е л и н е й н ы х с и с т е м 1. К л а с с и ф и к а ц и я н е л и н е й н ы х с и с т е м 2. М о д е л и р о в а н и е безынерционных нелинейных систем 3. М о д е л и р о в а н и е и н е р ц и о н н ы х н е л и н е й н ы х р а з о м к н у тых функциональных систем 4. М о д е л и р о в а н и е и н е р ц и о н н ы х н е л и н е й н ы х ф у н к ц и о нальных замкнутых систем 5. М о д е л и р о в а н и е и н е р ц и о н н ы х н е л и н е й н ы х нефункциональных систем 3.6. М о д е л и р о в а н и е т и п о в ы х н е л и н е й н ы х преобразований сигналов и помех в радиосистемах 1. М о д у л я ц и я 2. П р е о б р а з о в а н и е ч а с т о т ы 3. Д е т е к т и р о в а н и е 3.7. О ц е н к а п о г р е ш н о с т и д и с к р е т н о й а п п р о к с и м а ц и и непрерывных систем Глава ПРИМЕНЕНИЕ

181 184 186 188 194 195 195 197 199 202 204 208

212 217 217 219 219 221 223 225 225 22о 226 234

четвертая

ЦИФРОВОГО

Д Л Я Р Е Ш Е Н И Я НЕКОТОРЫХ

МОДЕЛИРОВАНИЯ

ЗАДАЧ

СТАТИСТИЧЕСКОЙ

РАДИОТЕХНИКИ 4.1. П р е д в а р и т е л ь н ы е з а м е ч а н и я 4.2. И с с л е д о в а н и е в о з д е й с т в и я к о л е б а н и й с ш у м о в о й м о д у л я ц и е й на р а д и о п р и е м н ы е устройства . . . . 1. П о с т а н о в к а з а д а ч и 2. Ц и ф р о в а я М о д е л ь п р и е м н и к а 3. О р г а н и з а ц и я р а с ч е т о в н а Ц В М д л я вычисления статистических характеристик 4. Н е к о т о р ы е а н а л и т и ч е с к и е о ц е н к и д л я к о н т р о л я д о стоверности и точности результатов моделирования

5. Выбор исходных данных и результаты моделирования . . . . . . . .

цифрового . . .

246 250 250 253 260 262

266

4.3. П р и м е н е н и е ц и ф р о в о г о м о д е л и р о в а н и я д л я исследования вопросов радиолокационного сопровождения на фоне шумов 1. П о с т а н о в к а з а д а ч и 2. Ц и ф р о в а я м о д е л ь д и с к р и м и н а т о р а автодалыюмера с АРУ 3. Ц и ф р о в а я м о д е л ь д и с к р и м и н а т о р а автодалыюмера с логарифмическим приемником 4. Э к в и в а л е н т н а я ф у н к ц и о н а л ь н а я с х е м а а в т о д а л ь н о мера как следящей системы 5. Ц и ф р о в а я м о д е л ь с л е д я щ е й с и с т е м ы автодальномера 6. А н а л и т и ч е с к и е о ц е н к и в л и я н и я ш у м а н а х а р а к т е ристики автодальномера 7. Н е к о т о р ы е результаты исследования характеристик автодальномера методом цифрового моделирования

277 277 280 287 288 290 292

299

Заключение

309

Литература

314

Предметный

указателе

320

Виталий Васильевич Быков ЦИФРОВОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАДИОТЕХНИКЕ

Редактор Художественный

Е.

В.

В я з о в а

редактор 3 . Е. В е и д р о в а

Художник

Б.

К.

Николаев

Т е х н и ч е с к и й р е д а к т о р А . А. Корректоры Л.

В СТАТИСТИЧЕС.КОП

А.

Е.

П.

Б е л о у с

О з е р е ц к а я ,

М а к с и м о в а

Сдано в набор 16/111-1971 г. Подписано в печать 1/V1I1971 г. Т-10542 Формат 84X108/32 Бумага типографская № 2 Объем 17,22 усл. п. л. 17,710 уч. изд. л. Тираж 9 500 экз. Зак. 100 Издательство .Советское радио", Москва, Главпочтамт, п / я 693. Цена 1 р. 01 к. Московская типография № 10 Главполиграфпрома Комитета по печати при Совете Министров СССР Москва, Шлюзовая наб., д. 10

Готовятся к в ы х о д у в свет в издательстве «СОВЕТСКОЕ

РАДИО»

Г о л о в к и н Б . А. М а ш и н н о е р а с п о з н а в а н и е и л и н е й н о е программирование. Приводятся различные методы обучения, самообучения и принятия решения при м а ш и н н о м распознавании объектов ( о б р а з о в ) из к л а с с о в с п е р е с е к а ю щ и м и с я и . н е п е р е с е к а ю щ и м и ся собственными областями. Правила классификации вырабат ы в а ю т с я в р е з у л ь т а т е р е ш е н и я э к с т р е м а л ь н ы х з а д а ч по соотв е т с т в у ю щ и м а л г о р и т м а м , к о т о р ы е и з л а г а ю т с я с у ч е т о м их машинной реализации. Основное внимание уделяется рассмотрению естественных связей м е ж д у задачами распознаван и я и линейного п р о г р а м м и р о в а н и я . П о к а з ы в а е т с я , что многие задачи распознавания сводятся к задачам линейного программирования и могут быть решены с помощью соответствующих типовых программ для задач линейного программирования, р е а л и з о в а н н ы х на р а з л и ч н ы х серийных Ц В М . Книга предназначена для инженеров и научных работников, с п е ц и а л и з и р у ю щ и х с я в области вычислительной техники и автоматического управления, для преподавателей и студентов.

О б н а р у ж е н и е и исправление ошибок в дискретных устройс т в а х . П о д р е д . В. С. Т о л с т я к о в а . Рассматриваются различные методы введения избыточности с целью повышения надежности дискретных устройств обработки информации. Основное внимание уделяется вопросам оптимизации параметров резервированных дискретных устройств, разработке эффективных методов использования корректирующих кодов, синтезу устройств повышенной надежности, проведенному с учетом статистики ошибок. Рассматриваются методы коррекции отказов и ошибок, основанные на использовании функциональных особенностей различных устройств. Текст иллюстрируется примерами. Приводится р я д к о н к р е т н ы х схем, к о т о р ы е могут быть и с п о л ь з о в а н ы во вновь проектируемой аппаратуре. Книга рассчитана на и н ж е н е р о в , научных работников, аспирантов и студентов старших курсов, специализирующихся по технической кибернетике.

Заказы на указанные книги направляйте в местные магазины или магазины «Книга — почтой»: Москва, К-50, ул. Медведева 1, отдел «Книга — почтой»; Ленинград J1-216, пр. Героев, 26, магазин № 63 «Родина».