Διαφορικές μορφές. Θεωρία και εφαρμογές

ÐáíåðéóôçìéáêÜ ÌáèçìáôéêÜ Êåßìåíá

9 ÅðéìÝëåéá ÓåéñÜò: Íßêïò Ìáñìáñßäçò ÊáèçãçôÞò Ìáèçìáôéêþí Ðáíåðéóôçìßïõ Éùáííßíùí

ÁÈÇÍA 2005

Ðáíåðéóôçìéáêá Ìáèçìáôéêá Êåéìåíá

1. Rotman, J. J.: Èåùñßá Galois, xii+185 óåëßäåò, Ýôïò åêäüóåùò 2000. 2. Rudin, W.: Áñ·Ýò ÌáèçìáôéêÞò Áíáëýóåùò, xvi+524 óåëßäåò, Ýôïò åêäüóåùò 2000. 3. Fine, B. & Rosenberger, G.: Ôï Èåìåëéþäåò Èåþñçìá ôÞò ¢ëãåâñáò, xix+264 óåëßäåò, Ýôïò åêäüóåùò 2001. 4. Armstrong, M. A.: ÏìÜäåò êáé Óõììåôñßá, xxx+264 óåëßäåò, Ýôïò åêäüóåùò 2002. 5. Bak, J. & Newman, D. J.: ÌéãáäéêÞ ÁíÜëõóç, xiv+320 óåëßäåò, Ýôïò åêäüóåùò 2004. 6. Íôïýãéá, Ó. Ê.: Áðåéñïóôéêüò Ëïãéóìüò É, ix+483 óåëßäåò, Ýôïò åêäüóåùò 2003. 7. Ôóïëïìýôç, Á.: Óýíïëá êáé Áñéèìïß (Ìéá ÅéóáãùãÞ óôá ÌáèçìáôéêÜ), xx+246 óåëßäåò, Ýôïò åêäüóåùò 2004. 8. Íôïýãéá, Ó. Ê.: Áðåéñïóôéêüò Ëïãéóìüò ÉI, xi+438 óåëßäåò, Ýôïò åêäüóåùò 2005.

Manfredo P. do Carmo

ÄÉÁÖÏÑÉÊÅÓ ÌÏÑÖÅÓ ÈÅÙÑÉÁ ÊÁÉ ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ

ÌåôÜöñáóç áðü ôá ÁããëéêÜ êáé ðñüëïãïò óôçí åëëçíéêÞ Ýêäïóç: ÄçìÞôñéïò É. ÍôáÞò

Ôßôëïò Ðñùôïôýðïõ: ÓõããñáöÝáò: ¸êäïóç: c Copyright °1994: c Copyright °2005 ãéá ôçí ÅëëçíéêÞ Ãëþóóá: ÌåôÜöñáóç áðü ôá ÁããëéêÜ êáé ÇëåêôñïíéêÞ Åðåîåñãáóßá:

ÃëùóóéêÞ ÅðéìÝëåéá:

Ôå·íéêÞ ÅðéìÝëåéá Ó·çìÜôùí êáé ÕðïóôÞñéîç Ëïãéóìéêïý:

Differential Forms and Applications Ìanfredo P. do Carmo 1994, Springer - Verlag, New York, Berlin, Heidelberg Springer-Verlag New York, Inc. Leader Books A.E.

ÄçìÞôñéïò ÍôáÞò Äñ. Ðáí/ìßïõ Âüííçò ÁíáðëçñùôÞò êáèçãçôÞò ôïý ÔìÞìáôïò Ìáèçìáôéêþí ôïý Ðáí/ìßïõ ÊñÞôçò e-mail: [email protected] Êáôåñßíá Ëáãïý Öéëüëïãïò, e-mail: [email protected]

ÁëÝîáíäñïò Ðïëýìåñïò Öõóéêüò, Åéäéêüò ÁíÜðôõîçò Ëïãéóìéêïý e-mail: [email protected]

ÓåéñÜ:

ÐáíåðéóôçìéáêÜ ÌáèçìáôéêÜ Êåßìåíá

ÅðéóôçìïíéêÞ ÅðéìÝëåéá ÓåéñÜò:

Íßêïò Ìáñìáñßäçò ÊáèçãçôÞò ôïý ÔìÞìáôïò Ìáèçìáôéêþí ôïý Ðáíåðéóôçìßïõ Éùáííßíùí e-mail: [email protected]

1ç ¸êäïóç ãéá ôçí ÅëëÜäá:

2005

ISBN

960 - 7901 - 55 - X

Åêäüóåéò LEADER BOOKS A.E. ÐáíáãÞ Êõñéáêïý 17, Áìðåëüêçðïé, 11521 ÁèÞíá Ôçë.: 210-6452825, Fax: 210-6449924 web-page: http://www.leaderbooks.com, e-mail: [email protected]

Áðáãïñåýåôáé êÜèå ìïñöÞò áíáðáñáãùãÞ ìÝñïõò Þ üëïõ ôïý âéâëßïõ ìå ïðïéïäÞðïôå ìÝóï ·ùñßò ôçí Ýããñáöç Üäåéá ôïý åêäüôç êáé ôïý óõããñáöÝá.

Ðñüëïãïò ôïý ìåôáöñáóôÞ

• Åí åßäåé ðñïïéìßïõ. ÊáôÜ ôç äéÜñêåéá ôùí ðñþôùí åôþí ôùí ðñïðôõ·éáêþí ôïõ óðïõäþí, êÜèå öïéôçôÞò ôùí Ìáèçìáôéêþí ïöåßëåé íá ðáñáêïëïõèÞóåé ìéá óåéñÜ ðáñáäüóåùí ðïõ áöïñïýí óå äéÜöïñïõò êëÜäïõò ôÞò ÁíÜëõóçò (ìåôáîý ôùí ïðïßùí óõãêáôáëÝãïíôáé, ùò åßèéóôáé, ï Áðåéñïóôéêüò êáé ï Ïëïêëçñùôéêüò Ëïãéóìüò, ï Äéáíõóìáôéêüò Ëïãéóìüò, ç ÐñáãìáôéêÞ êáé ç ÌéãáäéêÞ ÁíÜëõóç, ç ÓõíáñôçóéáêÞ ÁíÜëõóç ê.Ü.). Åí óõíå·åßá, Ý·åé ôç äõíáôüôçôá, åÜí ôï åðéèõìåß, íá åìâáèýíåé ðåñéóóüôåñï óå áõôïýò Þ/êáé íá áêïëïõèÞóåé äñüìïõò ðïõ èá ôïí ïäçãÞóïõí óå óõíáöåßò Þ üìïñåò ìáèçìáôéêÝò ðåñéï·Ýò. Ç ýëç ç ó·åôéæüìåíç ìå ôéò äéáöïñéêÝò ìïñöÝò, êáßôïé áíÞêåé êáô' åîï·Þí óôïí êïñìü ïñéóìÝíùí ìáèçìÜôùí ÁíÜëõóçò (êáé óõìðåñéëáìâÜíåé, ìåôáîý Üëëùí, ôá êëáóéêÜ èåùñÞìáôá ôùí Gauss, Green êáé Stokes), åßíáé áõôÞ ðïõ äéáóöáëßæåé êáôÜ ôïí ðëÝïí «öõóéïëïãéêü» ôñüðï ôç ìåôÜâáóç ôùí åíäéáöåñïìÝíùí áíáãíùóôþí óå êåöÜëáéá ðïõ åìðßðôïõí óôç ÄéáöïñéêÞ Ãåùìåôñßá êáé óôç ÄéáöïñéêÞ Ôïðïëïãßá. Ôï ïëéãïóÝëéäï áõôü âéâëßï ôïý äéáêåêñéìÝíïõ âñáæéëéÜíïõ åñåõíçôÞ êáé äéäáóêÜëïõ Ì. do Carmo, óõããñáöÝá êáé ôïý ðáóßãíùóôïõ ‘‘Differential Geometry of Curves and Surfaces '' (âë.1 ¥3]), åêêéíþíôáò áðü ìéá üóï ôï äõíáôüí ðéï áðëÞ êáé êáôáíïçôÞ åéóáãùãÞ ôÞò åííïßáò ôÞò äéáöïñéêÞò ìïñöÞò áðïóêïðåß óôçí áíÜäåéîç ïñéóìÝíùí ôå·íéêþí ãéá ôçí áíôéìåôþðéóç ðñïâëçìÜôùí ôïðéêÞò êáé ïëïìåñïýò öýóåùò ðïõ óõíáíôþíôáé óôç ÄéáöïñéêÞ Ãåùìåôñßá Åðéöáíåéþí. Ôï êåßìåíï åßíáé áñêåôÜ ðåñéåêôéêü êáé ïé êáôáëçêôéêÝò óôï·åýóåéò ôïý óõããñáöÝá õøçëÞò ìáèçìáôéêÞò êáé áéóèçôéêÞò áîßáò. ÅíäåéêôéêÜ, áíáöÝñïõìå ôá åîÞò: (á) Ç ðñáãìÜôåõóç ôùí äéáöïñéêþí ìïñöþí ôåëåßôáé ·ùñßò ôç äéáìåóïëÜâçóç 1 Áñéèìïß åõñéóêüìåíïé åíôüò áãêõëþí ðáñáðÝìðïõí óôç âéâëéïãñáößá ðïõ ðáñáôßèåôáé óôï ôÝëïò ôïý ðáñüíôïò âéâëßïõ.

viii «âáñÝùí» áëãåâñéêþí ìåèüäùí ðïõ èá áðáéôïýóáí ãíþóåéò õðåñâáßíïõóåò ü,ôé ìáèáßíåé êáíåßò ìÝóù ôùí óõíÞèùí ðáñáäüóåùí ÃñáììéêÞò ¢ëãåâñáò. (â) Ôá åðéêáìðýëéá ïëïêëçñþìáôá ·ñçóéìïðïéïýíôáé ùò «ðñïðïìðüò» ôùí ãåíéêüôåñùí ïëïêëçñùìÜôùí ðïõ åéóÜãïíôáé óôï êåöÜëáéï 4. (ã) Ôá äéáöïñßóéìá ðïëõðôýãìáôá (differentiable manifolds2 ) äåí «ðßðôïõí åî ïõñáíïý», áëëÜ ïñßæïíôáé ìÝóù óõóôçìÜôùí óõíôåôáãìÝíùí, åìöáíéæüìåíá ùò öõóéêÝò ãåíéêåýóåéò ôùí êáíïíéêþí åðéöáíåéþí. (ä) Ôï èåþñçìá ôïý Stokes áðïäåéêíýåôáé êÜíïíôáò ·ñÞóç ðáñáëëçëåðéðÝäùí, åí áíôéèÝóåé ðñïò ôï ¥18] êáé Üëëá óõããñÜììáôá ðïõ ·ñçóéìïðïéïýí -êáôÜ êýñéï ëüãï- óõó·åôéêÝò áëõóßäåò. (å) H ìÝèïäïò ôùí êéíïõìÝíùí ðëáéóßùí ôïý E. Cartan åöáñìüæåôáé ôüóï ãéá ôçí áðüäåéîç ôÞò éó·ýïò ôùí åîéóþóåùí äïìÞò üóï êáé ãéá ôç ìåëÝôç ðñùôåõïõóþí åííïéþí áðü ôç ÄéáöïñéêÞ Ãåùìåôñßá Åðéöáíåéþí, üðùò áõôþí ôÞò êáìðõëüôçôáò ôïý Gauss, ôÞò ìÝóçò êáìðõëüôçôáò, ôùí êýñéùí êáìðõëïôÞôùí ê.Ü. (óô) Ðáñáðëåýñùò ôùí äéáöïñïãåùìåôñéêþí áðïôåëåóìÜôùí äåí ðáñáëåßðåôáé ç ìíåßá óçìáíôéêþí ôïðïëïãéêþí åííïéþí êáé áðïôåëåóìÜôùí, üðùò ð.·. ôÞò ïìïôïðßáò êáìðõëþí, ôïý ëÞììáôïò ôïý Lebesgue, ôùí ðñïóáíáôïëßóéìùí äéðëþí åðéêáëýøåùí, ôïý ëÞììáôïò ôïý Poincarª, ôïý èåùñÞìáôïò óôáèåñïý óçìåßïõ ôïý Brouwer, ôÞò êáôÜ Euler êáé Poincarª ·áñáêôçñéóôéêÞò, ôïý ôñéãùíéóìïý óõìðáãþí åðéöáíåéþí, ôïý èåùñÞìáôïò ôïý Sard ê.Ü. (æ) Óôï ôåëåõôáßï êåöÜëáéï, êáéíïöáíÞ éäéáéôåñüôçôá áðïôåëåß ç ðáñÜèåóç ôÞò -êáôÜ S.S. Chern- áðüäåéîçò ôïý èåùñÞìáôïò ôùí Gauss êáé Bonnet ãéá óõìðáãåßò ðñïóáíáôïëéóìÝíåò åðéöÜíåéåò, êáèþò êáé ôÞò áðüäåéîçò ôïý èåùñÞìáôïò ôïý Morse (ðïõ èá ìðïñïýóå íá ðñïêáëÝóåé ôï åíäéáöÝñïí ôïý áíáãíþóôç ãéá êáôïðéíÞ åíáó·üëçóÞ ôïõ ìå ôï âéâëßï ¥13] ôïý J. Milnor). • Éäéáßôåñá ·áñáêôçñéóôéêÜ ôïý ðáñüíôïò âéâëßïõ. Ï óõããñáöÝáò, áðïöåýãïíôáò ôïí äõóêßíçôï óôõëéóôéêü ó·ïëáóôéêéóìü êáôÜ ôçí áíÜðôõîç ôùí åðéìÝñïõò èåìÜôùí, õðåéóÝñ·åôáé áðåõèåßáò óôï æçôïýìåíï, Þôïé óôçí áðüäåéîç ëßáí óçìáíôéêþí èåùñçìÜôùí ìå óáöÞíåéá êáé ëéôüôçôá. ÅðéðñïóèÝôùò, ôï âéâëßï, ëüãù ôÞò éäéïìåñïýò äüìçóÞò ôïõ, ùèåß ôïí áíáãíþóôç óôçí áõôåíÝñãåéá êáé óôçí ðïëýðëåõñç áíáæÞôçóç. Ç ýëç ôïõ, êáôáíåìçìÝíç óå 6 óýíôïìá êåöÜëáéá, ìðïñåß íá êáëõöèåß (ìå êáíïíéêü ñõèìü ðáñïõóßáóçò) óå ðáíåðéóôçìéáêÝò ðñïðôõ·éáêÝò ðáñáäüóåéò äéáñêåßáò åíüò êáé ìüíïí áêáäçìáúêïý åîáìÞíïõ° åîÜëëïõ, åßíáé êáôÜëëçëç áêüìç êáé ãéá êáô' éäßáí ìåëÝôç, êáèüóïí ðåñéëáìâÜíåé: (á) ðëçèþñá åõóôü·ùò åðéëåãìÝíùí ðáñáäåéãìÜôùí êáé åöáñìïãþí, (â) Üíù ôùí 75 áóêÞóåùí (êõìáéíïìÝíïõ âáèìïý äõóêïëßáò, ìå ðïëëÝò åî áõôþí óõíïäåõüìåíåò áðü ëåðôïìåñåßò õðïäåßîåéò), ïé ïðïßåò Üëëïôå óõìðëçñþíïõí ôéò 2 Ç áéôéïëüãçóç ôÞò åðéëïãÞò ôÞò ëÝîçò ðïëýðôõãìá ãéá ôçí áðüäïóç ôïý «manifold» óôá ÅëëçíéêÜ äßíåôáé óå Ýíá áðü ôá åðüìåíá åäÜöéá.

ix ãíþóåéò ðïõ áðïêôþíôáé åíôüò ôïý êõñßùò êåéìÝíïõ êáé Üëëïôå ïäçãïýí óå åõñýôåñïõò èåùñçôéêïýò ðñïâëçìáôéóìïýò3 , êáé (ã) áñêåôÜ ãåùìåôñéêÜ ó·Þìáôá ðïõ äéåõêïëýíïõí ôçí áíÜðôõîç ôÞò ãåùìåôñéêÞò åíüñáóçò ôïý áíáãíþóôç. Ïé üðïéåò «Ýîùèåí ðáñåìâÜóåéò» óôçí åëëçíéêÞ Ýêäïóç ðåñéïñßóèçêáí: (i) óôçí ðñüóèåóç äéåõêñéíéóôéêþí ó·ïëßùí áíáöåñïìÝíùí óôç äõíáôüôçôá éó·ýïò êÜðïéùí èåùñçôéêþí áðïôåëåóìÜôùí ãéá ó·åôéêþò «äéåõñõìÝíåò» åêäï·Ýò ôïý ïñéóìïý ôÞò åííïßáò ôÞò «äéáöïñéóéìüôçôáò» (âë. óåë. 5 êáé 50), (ii) óôçí ðáñÜèåóç ïñéóìÝíùí õðïóçìåéþóåùí åðåîçãçìáôéêïý Þ åíçìåñùôéêïý ·áñáêôÞñá, (iii) óôçí ôïðïèÝôçóç óçìáíôéêþí ìáèçìáôéêþí ôýðùí óå ðëáßóéá êáé (iv) óôç äéðëïøÞöéá áñßèìçóç ôùí åäáößùí ôïý âéâëßïõ. • Ðñïáðáéôïýìåíåò ãíþóåéò. ÁõôÝò åßíáé åí ðåñéëÞøåé ïé áêüëïõèåò:

(á) Áðü ôç ÃñáììéêÞ ¢ëãåâñá. Äéáíõóìáôéêïß ·þñïé êáé õðü·ùñïé. ÃñáììéêÞ åîÜñôçóç êáé áíåîáñôçóßá, âÜóåéò äéáíõóìáôéêþí ·þñùí êáé äéÜóôáóç äéáíõóìáôéêþí ·þñùí. ÃñáììéêÝò áðåéêïíßóåéò êáé éóïìïñöéóìïß äéáíõóìáôéêþí ·þñùí. Ðßíáêåò (ìå ôéò åããñáöÝò ôïõò åéëçììÝíåò êõñßùò áðü ôïõò ðñáãìáôéêïýò Þ ôïõò ìéãáäéêïýò áñéèìïýò) êáé âáèìßäá ðéíÜêùí. Ïñßæïõóåò: õðïëïãéóìüò êáé åöáñìïãÝò áõôþí. ÌÝèïäïé åðßëõóçò ãñáììéêþí óõóôçìÜôùí. ÉäéïôéìÝò êáé éäéïäéáíýóìáôá. Äéáãùíéïðïßçóç ôåôñáãùíéêþí ðéíÜêùí. ÃñáììéêÝò ìïñöÝò êáé äõúêüò ·þñïò. ÄéãñáììéêÝò, ôåôñáãùíéêÝò êáé åíáëëÜóóïõóåò ìïñöÝò. ÅóùôåñéêÜ ãéíüìåíá. Ïñèüôáêôåò (= «ïñèïêáíïíéêÝò») âÜóåéò (ðñáãìáôéêþí) äéáíõóìáôéêþí ·þñùí ìå åóùôåñéêü ãéíüìåíï. ÓõììåôñéêÝò êáé ïñèïãþíéåò áðåéêïíßóåéò (êáé ïé ìÝóù áõôþí êáèïñéæüìåíïé ðßíáêåò). (â) Áðü ôçí ÁíáëõôéêÞ Ãåùìåôñßá. ÈåùñçôéêÝò ãíþóåéò ðïõ áðáéôïýíôáé ãéá ôç ìåëÝôç ôùí âáóéêþí ãåùìåôñéêþí éäéïôÞôùí ôùí êáìðõëþí åíôüò ôïý R2 êáé ôùí åðéöáíåéþí åíôüò ôïý R3 . (ã) Áðü ôïí Äéáöïñéêü êáé ôïí Äéáíõóìáôéêü Ëïãéóìü. Áðåéêïíßóåéò4 ìßáò êáé ðïëëþí (ðñáãìáôéêþí) ìåôáâëçôþí, äéáöüñéóç, ìåñéêÝò ðáñÜãùãïé, ôï èåþñçìá ôÞò 3 Ç åðßëõóç üóï ôï äõíáôüí ðåñéóóïôÝñùí áóêÞóåùí (åê ìÝñïõò ôïý áíáãíþóôç) óõíéóôÜôáé åíèÝñìùò, êáèüôé áðïôåëåß ìéá åíôåëþò áðáñáßôçôç äéáäéêáóßá ãéá ôçí åìðÝäùóç ôÞò áíáðôõóóïìÝíçò èåùñßáò. 4 ÕðÜñ·ïõí óõããñáöåßò ðïõ äåí êÜíïõí äéÜêñéóç ìåôáîý ôùí üñùí áðåéêüíéóç (map) êáé óõíÜñôçóç (function) êáé Üëëïé ðïõ ðñïóäßäïõí óå áõôïýò äéáöïñåôéêÝò Ýííïéåò. Óôï ðáñüí âéâëßï, ï óõããñáöÝáò (áêïëïõèþíôáò ìéá ìáêñÜ ðáñÜäïóç ðïëëþí áíáëõóôþí êáé äéáöïñïãåùìåôñþí) ·ñçóéìïðïéåß ôïí üñï áðåéêüíéóç f : A −→ B (áðü Ýíá óýíïëï A óå Ýíá óýíïëï B) ãéá ïéáäÞðïôå äéìåëÞ ó·Ýóç Γ = Γf ⊆ A × B ìå ðåäßï ïñéóìïý ôçò ôï A êáé ðåäßï ôéìþí ôçò ôï B, ç ïðïßá ðëçñïß ôç «óõíèÞêç ôïý ìïíïóçìÜíôïõ» (Þôïé (∀a ∈ A) (∃!b ∈ B : (a, b) ∈ Γf )). Êáô' áõôüí, ïé ðñáãìáôéêÝò óõíáñôÞóåéò (n ìåôáâëçôþí) åßíáé áðåéêïíßóåéò f : A −→ B ìå ðåäßï ïñéóìïý ôïõò êÜðïéï õðïóýíïëï A ôïý Rn êáé ðåäßï ôéìþí ôïõò ôï B = R. (Áíôéóôïß·ùò ïñßæïíôáé êáé ïé ìéãáäéêÝò óõíáñôÞóåéò ìå ðåäßï ïñéóìïý ôïõò êÜðïéï õðïóýíïëï A ôïý Cn êáé ðåäßï ôéìþí ôïõò ôï B = C.) Ðáñåìðéðôüíôùò, áîßæåé íá óçìåéùèåß üôé ç ôñéÜäá üñùí injective/surjective/bijective map áðïäüèçêå óôá ÅëëçíéêÜ ùò åíñéðôéêÞ/åðéññéðôéêÞ/áìöéññéðôéêÞ áðåéêüíéóç (Þ áðëþò ùò Ýíñéøç/åðßññéøç/áìößññéøç, êáôÜ ôá injection/surjection/bijection ).

x áíôéóôñüöïõ ìéáò áðåéêüíéóçò, ôï èåþñçìá ôïý Taylor, áêñüôáôá ðñáãìáôéêþí óõíáñôÞóåùí ê.Ü. (Âë., ð.·., Rudin ¥18], êåöÜëáéï 9, êáé Marsden-Tromba ¥11], êåöÜëáéá 2 êáé 4, Þ Spivak ¥20], êåöÜëáéá 1, 2 êáé 3.) ÏëïêëÞñùóç óõíáñôÞóåùí, äéáíõóìáôéêþí áðåéêïíßóåùí êáé åðéêáìðýëéá ïëïêëçñþìáôá (Âë., ð.·., Rudin ¥18], êåöÜëáéï 6, êáé Marsden-Tromba ¥11], êåöÜëáéá 5, 6 êáé åíüôçôåò 7.1 êáé 7.2, Þ Spivak ¥20], êåöÜëáéï 3.) ¥Ïé åíäéáöåñüìåíïé áíáãíþóôåò èá ìðïñïýóáí, åðßóçò, íá ðáñáâÜëïõí ôçí ýëç ôùí êåöáëáßùí 2, 3 êáé 4, êáé ôÞò åíüôçôáò 6.1 ôïý ðáñüíôïò âéâëßïõ ìå ôçí ýëç ôïý êåöáëáßïõ 10 ôïý Rudin ¥18], ôùí êåöáëáßùí 7 êáé 8 ôùí Marsden êáé Tromba ¥11], êáé ôùí êåöáëáßùí 4 êáé 5 ôïý Spivak ¥20], ëáìâÜíïíôáò -åê ðáñáëëÞëïõõð' üøéí üôé ïé åí ëüãù ðáñïõóéÜóåéò ôÞò èåùñßáò äéáöÝñïõí áéóèçôÜ ôüóï áðü õöïëïãéêÞò üóï êáé áðü ôå·íéêÞò ðëåõñÜò.] (ä) Áðü ôç Óôïé·åéþäç ÄéáöïñéêÞ Ãåùìåôñßá. Ôá ìüíá ðïõ èá ìðïñïýóáí íá èåùñçèïýí ùò ðñïáðáéôïýìåíá åßíáé ç Ýííïéá ôÞò (óõíå·ïýò/äéáöïñßóéìçò) êáìðýëçò åíôüò åíüò åõêëåßäåéïõ ·þñïõ êáé ç Ýííïéá ôÞò êáíïíéêÞò (ðáñáìåôñçìÝíçò) åðéöáíåßáò (âë., ð.·., Do Carmo ¥3], êåöÜëáéï 2, O' Neil ¥16], êåöÜëáéï 5, Þ Thorpe ¥21], êåöÜëáéá 14 êáé 15.) (å) Áðü ôç ÃåíéêÞ Ôïðïëïãßá. Ìåôñéêïß ·þñïé, äéáíõóìáôéêïß ·þñïé ìå óôÜèìç (Þ «íüñìá») êáé éóïìåôñßåò. Ôïðïëïãéêïß ·þñïé, áíïéêôÜ êáé êëåéóôÜ óýíïëá, ãåéôïíéÝò óçìåßùí, ïñéáêÜ óçìåßá. Åóùôåñéêü, ìåèüñéïò êáé êëåéóôÞ èÞêç Þ «êëåéóôü ðåñßâëçìá» Þ «(ôïðïëïãéêü) Ýãêëåéóìá» õðïóõíüëùí ôïðïëïãéêþí ·þñùí. ÂÜóåéò ôïðïëïãéêþí ·þñùí êáé õðü·ùñïé. ÓõíÝ·åéá êáé ïìïéïìïñöéóìïß. µþñïé ãéíïìÝíùí êáé ôáõôéóìéêïß ·þñïé (Þ «ðçëéêü·ùñïé»). Äéá·ùñéóôéêÜ áîéþìáôá êáé áîéþìáôá áñéèìçóéìüôçôáò. ÓõìðÜãåéá êáé óõíåêôéêüôçôá ôïðïëïãéêþí ·þñùí. (Âë., ð.·., Armstrong ¥1], êåöÜëáéá 2, 3 êáé 4, êáé Munkres ¥14], êåöÜëáéá 2, 3 êáé 4, Þ Singer-Thorpe ¥19], êåöÜëáéá 1 êáé 2.) • ÐñïôÜóåéò ãéá ðáñÜëëçëç êáé ðåñáéôÝñù ìåëÝôç. Ôá óõããñÜììáôá êáé ôá Üñèñá ðïõ ðáñáôßèåíôáé áðü ôïí óõããñáöÝá óôï ôÝëïò ôïý âéâëßïõ, êáèþò êáé åêåßíá ðïõ ðñïóåôÝèçóáí óôçí åëëçíéêÞ Ýêäïóç, áñêïýí ãéá íá éêáíïðïéÞóïõí ôéò áíÜãêåò êáé ôùí ðëÝïí áðáéôçôéêþí áíáãíùóôþí (óå ðñïðôõ·éáêü åðßðåäï). Ãéá ðåñáéôÝñù åöáñìïãÝò ôùí äéáöïñéêþí ìïñöþí óôçí ÁíÜëõóç êáé óôç ÄéáöïñéêÞ Ôïðïëïãßá ðñïôåßíïíôáé ôá áêüëïõèá: Cartan H.: Formes Diffªrentielles, Hermann, 1967. Edwards H.M.: Advanced Calculus: A Differential Forms Approach, Third Ed., Birkh¨ auser,1994. Darling R.W.R.: Differential Forms and Connections, Cambridge University Press, 1994. Madsen I., Tornehave J.: From Calculus to Cohomology, Cambridge University Press, 1997.

xi Morita Sh.: Geometry of Differential Forms, TMM, Vol. 201, A.M.S., 2001. ÐÝñáí ôïý Warner ¥22], âéâëßá ôá ïðïßá ðñïóöÝñïõí ìéá óõóôçìáôéêÞ êáé ïëïêëçñùìÝíç åéóáãùãÞ óôç èåùñßá äéáöïñéóßìùí ðïëõðôõãìÜôùí (differentiable manifolds), óå åðßðåäï ìåôáðôõ·éáêþí óðïõäþí, åßíáé ôá åîÞò: Auslander L., MacKenzie R.E.: Introduction to Differentiable Manifolds, Dover Pub. Co., 1963. Bishop R.L., Crittenden R.J.: Geometry of Manifolds, Academic Press, 1964. Brickell F., Clark R.S.: Differentiable Manifolds. An Introduction, Van Nostrand Reinhold Co., 1970. Matsushima Y.: Differentiable Manifolds, Marcel Dekker, Inc., 1972. Lang S.: Differentiable Manifolds, Second Ed., Springer-Verlag, 1985. Boothby W.M.: An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry, Second Ed., Academic Press, 1986. Choquet-Bruhat Y., De Witt-Morette C.: Analysis, Manifolds and Physics, two volumes, Elsevier, Inc., 1988. Ábraham R., Marsden J.E., Ratiu T.: Manifolds, Tensor Analysis, and Applications, Second Ed., Springer-Verlag, 1993. Conlon L.: Differentiable Manifolds. An Introduction, Birkh¨ auser, 1993. Kosinski A.A.: Differentiable Manifolds, Academic Press, 1993. Nicolaescu L.I.: Lectures on the Geometry of Manifolds, World Scientific, 1996. Barden D., Thomas Ch.: An Introduction to Differentiable Manifolds, Imperial College Press, 2003. Lee J.M.: Introduction to Smooth Manifolds, GTM, Vol. 218, Springer, 2003. Wasserman R.H.: Tensors and Manifolds, with Applications to Physics, Second Ed., Oxford University Press, 2004. ÔÝëïò, ãéá ôéò èåìåëéþäåéò áñ·Ýò ôÞò ÑçìáííéáíÞò Ãåùìåôñßáò, âë.: Gromoll D., Klingeberg W.P.A., Meyer W.: Riemannsche Geometrie im Grossen, LNM, Vol. 55, Springer-Verlag, 1973. Gallot S., Hulin D., Lafontaine J.: Riemannian Geometry, Universitext, Springer-Verlag, 1987. Do Carmo M.P.: Riemannian Geometry, Birkh¨auser, 1992. Chavel I.: Riemannian Geometry. A Modern Introduction, Cambridge University Press, 1993. Jost J.: Riemannian Geometry and Geometric Analysis, Universitext, SpringerVerlag, 1995. Klingeberg W.P.A.: Riemannian Geometry, Second Ed., W. de Gruyter, 1995. Lee J.M.: Riemannian Manifolds: An Introduction to Curvature, GTM, Vol. 176, Springer-Verlag, 1997. Berger M.: A Panoramic View of Riemannian Geometry, Springer-Verlag, 2003.

xii • ÐáñáôçñÞóåéò åðß ôÞò ïñïëïãßáò. Áêïëïõèïýí óýíôïìïé ó·ïëéáóìïß áðáñáßôçôùí äéïñèùôéêþí ðáñåìâÜóåùí ðïõ åêôåëÝóèçêáí ãéá ôçí åðßëõóç åíüò, Ýóôù êáé ðåñéïñéóìÝíïõ, áñéèìïý åôõìïëïãéêþí Þ ìïñöïëïãéêþí ðñïâëçìÜôùí ôÞò êáèåóôçêõßáò ïñïëïãßáò. (á) Óðåßñá, êñßêïò, Ýëéî êáé ôüñïò 5 . Ïé äýï ðñþôïé üñïé åßíáé óõíþíõìïé êáé ï ïñéóìüò ôïõò (ùò ãåùìåôñéêüò ôüðïò) ðáñáôßèåôáé óôï åäÜöéï 97 ôïý âéâëßïõ ôùí Ïñéóìþí ôïý ¹ñùíïò ôïý Áëåîáíäñéíïý: Óôïí ôñéóäéÜóôáôï åõêëåßäåéï ·þñï, êÜèå åðéöÜíåéá ðáñáãïìÝíç áðü ìßá ðëÞñç ðåñéóôñïöÞ ðåñéöåñåßáò êýêëïõ C ðåñß Ýíáí Üîïíá ôïý åðéðÝäïõ ôçò ðïõ äåí ôçí ôÝìíåé, ïýôùò þóôå ôï êÝíôñï ôçò íá äéáãñÜöåé ìéá ðåñéöÝñåéá åíüò êýêëïõ C 0 êáé ôï åðßðåäï ôïý C íá åßíáé êÜèåôï ðñïò ôï åðßðåäï ôïý C 0 , êáëåßôáé óðåßñá Þ êñßêïò. ÌÜëéóôá, óôï áñ·áßï êåßìåíï6 , ìßá ðáñÜãñáöïò åßíáé áñêåôÞ ãéá íá óõíïøßóåé ôéò êýñéåò ãåùìåôñéêÝò éäéüôçôåò ôÞò óðåßñáò:

Åí óõíå·åßá, óôá ÌåôñéêÜ 7 ôïõ ï ¹ñùí åöáñìüæåé ôç ìÝèïäï ôïý Äéïíõóïäþñïõ ãéá ôïí õðïëïãéóìü ôïý üãêïõ ôÞò óðåßñáò. (Áõôüò éóïýôáé ìå ôï ãéíüìåíï ôïý åìâáäïý ôïý êýêëïõ C ðïõ ôçí ðáñÜãåé åðß ôï ìÞêïò ôÞò ðåñéöåñåßáò ôïý êýêëïõ C 0 .) ÅðéðëÝïí, åßíáé Üîéï áíáöïñÜò ôï üôé, óýìöùíá ìå ìáñôõñßåò ôïý Ðñüêëïõ, ï ìáèçìáôéêüò Ðåñóåýò åß·å óõããñÜøåé Ýíá ïëüêëçñï âéâëßï ðåñß óðåéñïåéäþí Þ óðåéñéêþí ãñáììþí (ðïõ äåí Ý·åé äéáóùèåß), óôï ïðïßï ìåëåôïýóå ëåðôïìåñþò ôéò êáìðýëåò ðïõ ðñïêýðôïõí ùò ôïìÝò ìéáò óðåßñáò êáé åðéðÝäùí äéåñ·ïìÝíùí áðü ôïí ÜîïíÜ ôçò Þ åðéðÝäùí êáèÝôùí ðñïò áõôüí. Áðü ôçí Üëëç ìåñéÜ, ç Ýëéî (Ýëéêá ) äéáöÝñåé áðü ôïõò äýï ðñïçãçèÝíôåò üñïõò, ðáñÜãåôáé áðü ôï ñÞìá åëßóóïìáé (= ðåñéóôñÝöïìáé ãýñù áðü Ýíá êÝíôñï Þ Ýíáí Üîïíá, ìå âáèìéáßá ìåôáâïëÞ êáôåýèõíóçò) êáé åêöñÜæåé ïéáäÞðïôå óðåéñïåéäÞ ãñáììÞ /êáìðýëç ðïõ âñßóêåôáé åßôå åðß åíüò åðéðÝäïõ åßôå åðß åðéöáíåßáò êõëßíäñïõ Þ êþíïõ. (ÃíùóôÝò áðü ôçí ÁíáëõôéêÞ êáé ôç Óôïé·åéþäç ÄéáöïñéêÞ Ãåùìåôñßá åßíáé: ç Ýëéî ôïý Áñ·éìÞäïõò, ç ëïãáñéèìéêÞ Ýëéî, ç õðåñâïëéêÞ Ýëéî, ç êïéíÞ óôåñåÜ Ýëéî ê.Ü.) Ùóôüóï, ðñÝðåé íá 5 ÓçìåéùôÝïí üôé, ðÝñáí ôïý üðïéïõ áöáéñåôéêïý ìáèçìáôéêïý ôïõò íïÞìáôïò, ïé åí ëüãù ëÝîåéò áðïôåëïýí êáé èåìåëéþäåéò áñ·éôåêôïíéêïýò üñïõò ðïõ óõíáíôïýìå óå ðëçèþñá áñ·áéïåëëçíéêþí êåéìÝíùí. Ð.·., óðåßñá = ç âÜóç ôïý éùíéêïý êßïíá, ïé åóï·Ýò êáé ïé åîï·Ýò ôÞò ïðïßáò äçìéïõñãïýí ôçí åíôýðùóç üôé ðñüêåéôáé ãéá ó·Ýäéï ðïõ ðåñéåëßóóåôáé ãýñù áðü ôïí êßïíá, êñßêïò = äáêôýëéïò ðáñáðåôÜóìáôïò, Ýëéî = ôï óðåéñïåéäÝò êüóìçìá êéïíïêñÜíùí éùíéêïý ñõèìïý, ôïñåýù = äéáôñõðþ, äéáðåñíþ, ãëýöù (åðß ìåôÜëëïõ, ëßèïõ, îýëïõ ê.ëð.), ôïñåýò = óìßëç, åãêïðåýò Þ ãëõößò ôïñåõôïý, ôïñåõôéêÞ = ç ôÝ·íç ôïý ôïñåýåéí, ôüñïò = ôñýðáíï, öñåùñõ·éêü åñãáëåßï Þ ëéèïêïðôéêü óêåýïò. (Ðñâë. Á.Ê. ÏñëÜíäïõ êáé É.Í. Ôñáõëïý: Ëåîéêüí Áñ·áßùí Áñ·éôåêôïíéêþí ¼ñùí, ÂéâëéïèÞêç ôÞò åí ÁèÞíáéò Áñ·áéïëïãéêÞò Åôáéñåßáò, Áñ. 94, 1986.) 6 Âë. Selections illustrating the History of Greek Mathematics, Vol. II (From Aristarchus to Pappus), with an english translation by Ivor Thomas, Harvard University Press, 1980, óåë. 468. 7 Ôá ÌåôñéêÜ áíáêáëýöèçêáí ôï 1896 óå Ýíá ·åéñüãñáöï ôïý åíäåêÜôïõ (Þ äùäåêÜôïõ) áéþíá ì.µ. óôç ÂéâëéïèÞêç åíüò óïõëôáíéêïý áíáêôüñïõ ôÞò Êùíóôáíôéíïýðïëçò áðü ôïí R. Sch­ne êáé äçìïóéåýèçêáí áðü ôïí õéü ôïõ, H. Sch­ne (Heronis Alexandrini opera quae supersunt omnia, Band 3, Teubner, Leipzig, 1903).

xiii åðéóçìáíèåß üôé ôüóï ç óõíå·Þò êáôÜ·ñçóç óõíåêäï·þí üóï êáé ïñéóìÝíåò åõñÝùò äéáäåäïìÝíåò áíôéäÜíåéåò ëÝîåéò (üðùò óðéñÜë 8 ê.Ü.) åß·áí ùò áðïôÝëåóìá ôï íá êáôáóôÞóïõí ôç äéáöïñÜ ìåôáîý óðåßñáò êáé óðåéñïåéäïýò ãñáììÞò/êáìðýëçò ôïõëÜ·éóôïí óõíåéñìéêÜ äõóäéÜêñéôç (ùóÜí ç óðåßñá íá ìçí üöåéëå ðïôÝ íá åêöñÜæåé áö' åáõôÞò ìéá åðéöÜíåéá). Óôï ðáñüí âéâëßï (âë. ðáñáôÞñçóç 3.8, óåë. 56), ï torus ïñßæåôáé ôïðïëïãéêþò ùò ôáõôéóìéêüò ·þñïò (ðñïåñ·üìåíïò áðü ôçí ôáýôéóç ôùí áíôéêåéìÝíùí ðëåõñþí åíüò ïñèïãùíßïõ ðáñáëëçëïãñÜììïõ, óõíáêïëïõèïýìåíç áðü ôçí ôáýôéóç ôùí áêñáßùí óôïìßùí ôïý ó·çìáôéæïìÝíïõ «óùëÞíá»). Êáô' ïõóßáí, ï ïñéóìüò ôïõ äßíåôáé «ùò ðñïò ïìïéïìïñöéóìü», ·ùñßò íá êáôáöåýãïõìå óôç äåóìåõôéêÞ ·ñÞóç åîßóùóçò Þ, Ýóôù, óôçí ðåñéãñáöÞ ôïõ ùò ãåùìåôñéêïý ôüðïõ. Áðü ôïðïëïãéêÞ Üðïøç, ôï óçìáíôéêüôåñï åßíáé üôé äéáèÝôåé ìßá ôñýðá (Þôïé üôé áðïôåëåß ìéá èåìåëéáêÞ ðñïóáíáôïëßóéìç åðéöÜíåéá ãÝíïõò 1). ¢ñá ç ëÝîç ôüñïò 9 (torus ), Ý·ïíôáò ôéò ÉÅ ñßæåò *tere /*ôÝñ-jù, åî ïõ êáé ôá áñ·áéïåëëçíéêÜ ñÞìáôá ôåôñáßíù êáé ôåßñù, áð' üðïõ ðáñÜãïíôáé ðÜìðïëëåò ëÝîåéò êáé ôùí íÝùí Åëëçíéêþí (üðùò, ð.·., ïé: äéÜôïñïò, äéÜôñçôïò, ôñõðþ, ôñýðá, ôñõðÜíé (áñ·. ôÝñåôñïí ), ôüñíïò, ôåñçäüíá ê.Ü.), üíôùò åêöñÜæåé ìå ôïí êáëýôåñï äõíáôü ôñüðï áõôÞí ôçí éäéüôçôá êáé -ùò åê ôïýôïõ- ðñïôéìÜôáé (åí ðñïêåéìÝíù) ç ·ñÞóç ôçò áíôß ôÞò óðåßñáò ãéá åõíüçôïõò ëüãïõò10 . (â) Ïé üñïé cover êáé covering Ý·ïõí ðñïêáëÝóåé äéêáéïëïãçìÝíç óýã·õóç åîáéôßáò ôïý üôé ðïëëïß óõããñáöåßò ôïýò ·ñçóéìïðïéïýí Üëëïôå åíáëëáêôéêþò êáé Üëëïôå êáôÜ ôñüðï áìößóçìï. Áò óçìåéùèåß, ëïéðüí, üôé ï ìåí ðñþôïò áíôéóôïé·åß óôïí ãåñìáíéêü üñï ¨ Uberdeckung (ðïõ ìðïñåß íá ìåôáöñáóèåß ùò êÜëõììá Þ ðåñéêÜëõììá ), ï äå äåýôåñïò ¨ óôïí (åíôåëþò äéáöïñåôéêü, áðü ìáèçìáôéêÞ Üðïøç) üñï Uberlagerung (ìåôáöñáæüìåíïò ùò åðéêÜëõøç 11 êáé åêöñÜæùí ôçí áñ·éêÞ Ýííïéá ôÞò áñ·áéïåëëçíéêÞò ëÝîçò åðßèåóç ). (ã) ¼ðùò åîçãÞèçêå ëåðôïìåñþò óôïí ðñüëïãï ôïý 4ïõ ôüìïõ ôùí Ð.Ì.Ê., áðü ôá åðßèåôá regular, canonical êáé normal ìüíïí ôï ðñþôï ìðïñåß íá áðïäïèåß ùò êáíïíéêüò 12 . (Ð.·., regular surface = êáíïíéêÞ åðéöÜíåéá.) Ãéá ôï äåýôåñï ·ñçóéìïðïéïýìå ôï êáíïíéóôéêüò (õðü ôçí Ýííïéá ôïý: ñõèìéóôéêüò, èåóìéêüò, åêåßíïò ðïõ ó·åôßæåôáé ìå ôçí åðéâïëÞ Þ ôçí ôÞñçóç åíüò êáíüíá/êáíïíéóìïý Þ èåóìïý), äåäïìÝíïõ üôé ôï åðßèåôï canonical ðñïÝñ·åôáé áðü ôçí åêêëçóéáóôéêÞ ïñïëïãßá (êáíïíéêü äßêáéï, êáíïíéêÜ âéâëßá ) êáé åðÝ·åé èÝóç óõíùíýìïõ ôïý íïìïêáíïíéêüò. (Ð.·., canonical isomorphism = êáíïíéóôéêüò éóïìïñöéóìüò.) Óôï ðáñüí âéâëßï, ôï åðßèåôï normal ôï óõíáíôïýìå óôïõò üñïõò normal vector êáé normal curvature, ïé ïðïßïé áðïäßäïíôáé ùò ïñèüèåôï äéÜíõóìá êáé ïñèüèåôç êáìðõëüôçôá, áíôéóôïß·ùò13 . Åí ðñïêåéìÝíù, ôï åðßèåôï ïñèüèåôïò (= ï ïñèþò ôéèÝìåíïò) ·ñçóéìïðïéåß8 Ð.·., ôåôñÜäéï óðéñÜë = ôåôñÜäéï, ôá öýëëá ôïý ïðïßïõ óõãêñáôïýíôáé áðü åõëýãéóôï óðåéñïåéäÝò ó·Þìá (õðü ôç ìïñöÞ ìéáò Ýëéêïò åðß ôìÞìáôïò åðéöáíåßáò êõëßíäñïõ!) 9 Ç áñ·áéïåëëçíéêÞ ëÝîç ôüñïò (õðü ôçí ôå·íéêÞ ôçò Ýííïéá) ìáñôõñåßôáé Þäç óå åëåõóßíéåò êáé Üëëåò áôôéêÝò åðéãñáöÝò ôïý 5ïõ áéþíá ð.µ. 10 ¸íáò ðñüóèåôïò ëüãïò ðïõ õðáãïñåýåé ôç ·ñÞóç ôïý ôüñïõ áíôß ôÞò óðåßñáò (óå ïñéóìÝíïõò ðéï óýã·ñïíïõò ìáèçìáôéêïýò êëÜäïõò) åßíáé ç ðáñáôçñïõìÝíç ðåñáéôÝñù ãåíßêåõóç êáé áõôïíüìçóç ôïý ðñïêåßìåíïõ üñïõ (ðñâë. algebraic tori ê.Ü.). 11

Êáô' áíáëïãßáí, ï üñïò covering space ìåôáöñÜæåôáé ùò åðéêáëõðôéêüò ·þñïò Þ ·þñïò åðéêÜëõøçò.

12

Ôï åðßèåôï regular åßíáé ï üñïò ìå ôïí ïðïßï ïé ¢ããëïé áíÝêáèåí áðÝäéäáí ôï áñ·áßï åëëçíéêü «êáíïíéêüò»° êé áõôü ðñéí êáí åéóá·èïýí óôï ìáèçìáôéêü éäßùìá ïé óõíáöåßò ðñïò áõôüí üñïé canonical, normal êáé standard. 13

Ðñïóï·Þ! Ï éäéùìáôéêüò üñïò orthonormal áðïäßäåôáé ùò ïñèüôáêôïò (áíôß ôïý ïñèïêáíïíéêüò ).

xiv ôáé êáé ìå ôçí êáèáñþò ãåùìåôñéêÞ ôïõ óçìáóßá, áöïý ð.·. Ýíá ïñèüèåôï äéÜíõóìá åðß ìéáò åðéöáíåßáò M óå Ýíá óçìåßï14 p åßíáé Ýíá äéÜíõóìá, ï öïñÝáò ôïý ïðïßïõ ó·çìáôßæåé ïñèÞ ãùíßá ìå ôï åöáðôüìåíï åðßðåäï Tp M ôÞò M óôï p. (ä) Ãßíåôáé äéÜêñéóç ìåôáîý ôùí üñùí solid êáé rigid, ïé ïðïßïé ìåôáöñÜæïíôáé ùò óôåñåüò êáé Üêáìðôïò 15 , áíôéóôïß·ùò. (Ð.·., solid angle = óôåñåÜ ãùíßá, rigid motion = Üêáìðôç êßíçóç.) (å) Êáô' áíáëïãßáí, ãßíåôáé äéÜêñéóç (ëüãù ôÞò äéáöïñåôéêÞò ôïõò ·ñÞóçò) ìåôáîý ôùí üñùí angle êáé corner, ïé ïðïßïé ìåôáöñÜæïíôáé ùò ãùíßá êáé áãêùíÞ, áíôéóôïß·ùò. (óô) Ç ôñéÜäá ôùí üñùí multiplicity/manifold/variety óõãêáôáëÝãåôáé áíáìöéâüëùò óå åêåßíåò ôéò ïìÜäåò üñùí ðïõ Ý·ïõí êáôáôáëáéðùñçèåß óôç óýã·ñïíç åëëçíéêÞ ìáèçìáôéêÞ âéâëéïãñáößá êáé áñèñïãñáößá° ç ·ñÞóç äå ôÞò ëÝîçò ðïëëáðëüôçôá ãéá ôçí áðüäïóç êáé ôùí ôñéþí (!) óõíÝôåéíå óå ìéá óåéñÜ ëßáí åðéæçìßùí ðáñáíïÞóåùí, ðïëõóçìéþí êáé Üêïìøùí ìåôáöñáóôéêþí åðéëïãþí åíôüò ôùí ôåëåõôáßùí åîÞíôá åôþí16 . Óôçí ðñáãìáôéêüôçôá, ç ìüíç åî áõôþí ôùí ëÝîåùí ðïõ ïöåßëåé íá áðïäßäåôáé ùò ðïëëáðëüôçôá åßíáé ç ëÝîç multiplicity. Ïé Üëëåò äýï åéóÞ·èçóáí óôçí áããëéêÞ ìáèçìáôéêÞ âéâëéïãñáößá áðëþò êáé ìüíïí ýóôåñá áðü ìåôÜöñáóç ôÞò ãåñìáíéêÞò ëÝîçò Mannigfaltigkeit êáé ôÞò ãáëëéêÞò ëÝîçò variªtª, ç ·ñÞóç ôùí ïðïßùí ðñïçãåßôáé åðß ôç âÜóåé ôùí éóôïñéêþí äåäïìÝíùí. Ðñïôïý ðñïâïýìå óôçí áêñéâÞ áðüäïóç áõôþí (óôçñéæüìåíïé óôçí åôõìïëïãßá ôïõò, ç ïðïßá, åí ðñïêåéìÝíù, ìáò ïäçãåß êáé óôçí ïñèÞ óôü·åõóç ôÞò ìáèçìáôéêÞò äéåñìçíåõôéêÞò êáôÜëçîÞò ôïõò), åßìáóôå õðï·ñåùìÝíïé íá ó·ïëéÜóïõìå, Ýóôù êáé áäñïìåñþò, ïñéóìÝíåò áðü ôéò óçìáíôéêüôåñåò ôùí äéáäï·éêþí íïçìáôéêþí ìåôáëëÜîåùí ðïõ õðÝóôçóáí áðü ôçí åðï·Þ ôïý Gauss ìÝ·ñé ôá ìÝóá ôÞò ôñßôçò äåêáåôßáò ôïý 20ïõ áéþíá, ïðüôå êáé ðáãéþèçêáí õðü ôç ìïñöÞ ðïõ ôïõò ãíùñßæïõìå óÞìåñá, ðáñáðÝìðïíôáò (ãéá äéåîïäéêüôåñç ðëçñïöüñçóç) ôïõò åíäéáöåñïìÝíïõò áíáãíþóôåò óôá Ýñãá ôùí éóôïñéêþí Scholz êáé Sakharia17 . H äéáöïñïãåùìåôñéêÞ åñãáóßá ôïý C.-F. Gauss Þôáí êáôÜ êýñéï ëüãï åðéêåíôñùìÝíç óôéò åðéöÜíåéåò (Fl¨ achen). Óôçí ðáñÜäïóÞ ôïõ ðåñß ôùí åëá·ßóôùí ôåôñáãþíùí18 (ðïõ Ýëáâå ·þñá ôï ·åéìåñéíü åîÜìçíï 1850-51), åñãáæüìåíïò ìüíïí ìå ãñáììéêÝò åîéóþóåéò êáé 14 Óôç ÄéáöïñéêÞ Ãåùìåôñßá, áíôß ôÞò öñÜóçò «ïñèüèåôï äéÜíõóìá åðß ôÞò M óôï óçìåßï p» (normal vector to M at the point p), óõ·íÜ ·ñçóéìïðïéåßôáé (ùò óõíþíõìÞ ôçò) ç öñÜóç «äéÜíõóìá êÜèåôï ðñïò ôçí M óôï óçìåßï p» (a vector which is perpendicular to M at the point p). Ùóôüóï, óå Üëëïõò êëÜäïõò ôùí Ìáèçìáôéêþí, ôï åðßèåôï normal äåí ó·åôßæåôáé ìå ôï perpendicular. 15 Óå ðáëáéüôåñç âéâëéïãñáößá (êõñßùò ôÞò ÈåùñçôéêÞò ÖõóéêÞò) ãéá ôçí áðüäïóç ôïý üñïõ rigid óôá ÅëëçíéêÜ ·ñçóéìïðïéåßôáé åíßïôå êáé ôï áñ·áéïðñåðÝò åðßèåôï óôåññüò (ðïõ ìáñôõñåßôáé Þäç óôïõò «Á·áñíåßò» ôïý ÁñéóôïöÜíïõò êáé óôçí «ÅêÜâç» êáé ôéò «ÉêÝôéäåò» ôïý Åõñéðßäïõ). 16 ¼ðùò èá äïýìå óå ü,ôé áêïëïõèåß, Ýíá åßäïò ·áïôéêÞò ðïëõóçìßáò ãé' áõôïýò ôïõò üñïõò åß·å åðéêñáôÞóåé êáé óôç äéåèíÞ âéâëéïãñáößá êáé áñèñïãñáößá, áëëÜ ìüíïí ãéá üóï äéÜóôçìá ïé ìáèçìáôéêïß êëÜäïé ðïõ ôïõò ·ñçóéìïðïéïýóáí âñßóêïíôáí «åí ôç ãåíÝóåé» ôïõò Þ -ôïõëÜ·éóôïí- üôáí Ýêáíáí ôá ðñþôá ôïõò âÞìáôá. Åíôïýôïéò, êáèÝíáò áðü ôïõò åí ëüãù üñïõò Ý·åé ðëÝïí ëÜâåé Ýíá ïñéóôéêü, ìïíïóÞìáíôï êáé åõäéÜêñéôï íüçìá Þäç áðü ôéò áñ·Ýò ôÞò äåêáåôßáò ôïý 1940 (êé áõôü áöïñÜ ôþñá ðéá óå üëá ôá óýã·ñïíá îåíüãëùóóá ìáèçìáôéêÜ Üñèñá êáé âéâëßá). Ðñïò ôé ëïéðüí ç åììïíÞ ìáò óôç äéáôÞñçóç «êáêïðïéçìÝíùí» áðïäüóåþí ôïõò óôá ÅëëçíéêÜ; 17 Âë. Å. Scholz: Geschichte des Mannigfaltigkeitsbegriffs von Riemann bis Poincarª, Birkh¨ auser, 1980. Åðßóçò, âë. ôïý éäßïõ: T he concept of manifold, 1850-1950, in: «History of Topology», Ed. by I.M. James, North-Holland, 1999, óåë. 25-64, êáé óôïí ßäéï ôüìï ôï Üñèñï ôïý K.S. Sakharia: T he topological work of Henri Poincarª, óåë. 123-167. 18 ¨ C.-F. Gauss, Vorlesung: Uber die Methode der kleinsten Quadrate, Wintersemester 1850-51, Mitschrift: A. Ritter. (Werke 10.1, Leipzig 1917, 473-481.)

xv áíéóüôçôåò, ·ñçóéìïðïéåß ôç ëÝîç Mannigfaltigkeit õðü ôç óôåíÞ Ýííïéá åíüò óõó·åôéêïý õðï·þñïõ ôïý Rn (affiner Unterraum des Rn ). Ôï 1854, ï B. Riemann, óôçí ðáóßãíùóôç (åðß õöçãåóßá) ïìéëßá ôïõ19 ðåñß íÝùí èåìåëéþóåùí ôÞò Ãåùìåôñßáò, áóêåß êñéôéêÞ óôçí ðñïóÝããéóÞ ôçò ìÝóù ôÞò ðáñáäïóéáêÞò áîéùìáôéêÞò ìåèüäïõ êáé ðñïóäßäåé óôïí üñï Mannigfaltigkeit (Üëëïôå ùò diskrete Mannigfaltigkeit êáé Üëëïôå ùò stetige Mannigfaltigkeit) ôïí ñüëï ôïý «åñãáóéáêïý ðëáéóßïõ» Þ ôïý «íåùôåñéóôéêïý ·þñïõ áíáöïñÜò», åíôüò ôïý ïðïßïõ áíáðôýóóåé ôéò êáéíïôüìåò ãåùìåôñéêÝò ôïõ éäÝåò (ðåñß äéåõñõìÝíùí ìåôñéêþí ó·Ýóåùí, áëëçëåðßèåóçò óõãêñéíïìÝíùí ìåãåèþí ê.Ü.), ðáñüôé äåí ôïí ïñßæåé ìå ôç äÝïõóá ìáèçìáôéêÞ áõóôçñüôçôá, êáôáöåýãïíôáò åíßïôå óå êáèáñþò öéëïóïöéêÜ åðé·åéñÞìáôá. Êáé åíþ óõíå·ßæåé ìå æÞëï ôçí ðáñáãùãÞ Ýñãïõ èáõìáóôïý êáé ðñùôïðüñïõ (ñçìáííéáíÞ ìåôñéêÞ, äéåîïäéêÞ ìåëÝôç êáìðõëïôÞôùí, äéáöïñéêÝò åîéóþóåéò Cauchy-Riemann, èåùñßá áâåëéáíþí óõíáñôÞóåùí, åöáñìïãÝò óôç ÖõóéêÞ ê.Ü.) Ýùò ôïí ðñüùñï èÜíáôü ôïõ (ôï 1866), äåí áó·ïëåßôáé ìå ìéá ðéèáíÞ åðáíåîÝôáóç ôïý ïñéóìïý, ü·é ìüíïí ëüãù ôÞò éäéïóõãêñáóßáò ôïõ20 áëëÜ êáé ëüãù ôùí áíôéêåéìåíéêþí äõóêïëéþí ôùí ó·åôéæïìÝíùí ìå ôçí êáôáíüçóç ôùí «áëëáãþí21 ðáñáìÝôñùí». ÊáôÜ ôï äåýôåñï Þìéóõ ôïý 19ïõ áéþíá ç ãåñìáíéêÞ ìáèçìáôéêÞ ïñïëïãßá äéÝðåôáé áðü Ýíá êáèåóôþò «ñåõóôüôçôáò» êáé áëëåðÜëëçëùí áíáèåùñÞóåùí. Ç ëÝîç Mannigfaltigkeit Ýöôáóå íá åêöñÜæåé ïéáäÞðïôå ðïëõåéäÞ /ðïëýðôõ·ç Þ ðïëõó·éäÞ ïéêïãÝíåéá ìáèçìáôéêþí ïíôïôÞôùí ìå ôçí üðïéá åéäéêÞ íïçìáôïäüôçóÞ ôçò ðñïóäéïñéæüìåíç áðü ôïí åêÜóôïôå óõããñáöÝá êáôÜ ôï äïêïýí. Åíäåéêôéêü ãé' áõôÞí ôç óõãêõñßá åßíáé ôï üôé áêüìç êáé ï G. Cantor, ðïëëÜ ·ñüíéá ìåôÜ ôïí èÜíáôï ôïý Riemann êáé ðñéí áðü ôçí ôåëéêÞ êáèéÝñùóç ôïý üñïõ Menge (= óýíïëï, êáôÜ ôï ãáëëéêü ensemble), áñÝóêåôáé íá áíáöÝñåôáé óå «Mannigfaltigkeiten». ¢ëëï Ýíá ðáñÜäåéãìá ðïõ êáôáãñÜöåôáé óôá éóôïñéêÜ ·ñïíéêÜ åßíáé ç åê ìÝñïõò ôïý F. Klein ðáñáíüçóç ôùí üóùí Ýãñáöå ï F.-Å. Prym (ðïõ õðÞñîå ìáèçôÞò ôïý Riemann) ðåñß ôïý êáôáëëçëüôåñïõ ôñüðïõ ãåíßêåõóçò ôÞò ñçìáííéáíÞò åðéöáíåßáò 22 . (Ôåëéêþò, ï éó·õñéóìüò ôïý Klein äéáøåýóèçêå áðü ôïí Prym23 , êáèüóïí ïöåéëüôáí êáé áõôüò óå ïñéóìïëïãéêü óöÜëìá.) Ðåñß ôá ìÝóá ôÞò äåêáåôßáò ôïý 1880 áñ·ßæåé íá áíáôÝëëåé ôï Üóôñï ôïý Poincarª, ôï Ýñãï ôïý ïðïßïõ Ýìåëëå íá óöñáãßóåé (óôéò åðüìåíåò ôñåéò äåêáåôßåò) ôç ñáãäáßá áíÜðôõîç ôÞò ëåãïìÝíçò Analysis Situs (ðïõ õðÞñîå ï ðñüäñïìïò ôÞò óçìåñéíÞò Ôïðïëïãßáò). µñçóéìïðïéþíôáò ôïí üñï variªtª 24 , ï ïðïßïò áðïäßäåôáé óôá ÅëëçíéêÜ ùò ðïéêéëüôçôá 25 (êáé 19 ¨ B. Riemann: Uber die Hypothesen, welche der Geometrie zugrunde liegen, Habilitationsvortrag (1854), G¨ ott. Abh. 13, 1867, 272-287. 20 Ãéá ïñéóìÝíá âéïãñáöéêÜ óôïé·åßá ôïý Riemann âë. E.T. Bell: Ïé Ìáèçìáôéêïß (Ôüìïò ÉÉ, Áðü ôïí Lobatchewsky Ýùò ôïí Cantor ), ÐáíåðéóôçìéáêÝò Åêäüóåéò ÊñÞôçò, óå ìåôÜöñáóç Í. ÓôáìáôÜêç, 1993, Êåö. 26, óåë. 323-362. Ãéá ðåñáéôÝñù ðëçñïöïñßåò, âë. D. Laugwith: Berhard Riemann 1826-1866. Wendepunkte in der Auffassung der Mathematik, Birkh¨ auser, 1996. 21

Ðñâë. ôá ó·üëéá ôÞò åéóáãùãÞò ôïý êåö. 3 ôïý ðáñüíôïò âéâëßïõ (óåë. 50).

22

Ç Ýííïéá áõôÞ êáôÝëçîå íá ëÜâåé ôçí ïñéóôéêÞ ôçò ìïñöÞ ìüëéò ôï Ýôïò 1912. (Âë. H. Weyl: Die Idee der Riemannschen Fl¨ ache, Teubner, 1913.) 23

Âë. F. Klein: Gesammelte Abhandlungen, Berlin, Band 3, óåë. 479.

24

Âë. H. Poincarª: Analysis Situs, J. Ec. Pol. 1, 1895, 1-121 (êáé Oeuvres 6, Paris, 1953, 193-288).

25

Ç ëÝîç ðïéêéëüôçôá ìáñôõñåßôáé áðü ôï 1728. Óôçí ïñïëïãßá ôÞò Âéïëïãßáò óçìáßíåé «ç ýðáñîç ðáñáëëáãþí óôïí ðëçèõóìü åíüò åßäïõò», åíþ, óôï ðëáßóéï ôÞò ìáèçìáôéêÞò ïñïëïãßáò, íïåßôáé (óôçí êëáóéêÞ ôçò åêäï·Þ) ùò

xvi åêöñÜæåé ôçí éäéüôçôá ôïý ðïéêßëïõ, äéá·ùñéæüìåíç áðü ôçí êïéíü·ñçóôç «ðïéêéëßá»), ï Poincarª åðéäéþêåé íá «õðïôÜîåé» -ìÝóù åðéâïëÞò åéäéêþí óõíèçêþí åðß åíüò óõíüëïõ åîéóþóåùí êáé áíéóïôÞôùí- ôç ãåùìåôñéêÞ ôïõ åíüñáóç óôçí áíáëõôéêÞ åñìçíåßá êáé íá öùôßóåé ïñéóìÝíåò óêïôåéíÝò ðëåõñÝò ôÞò èåùñßáò ôïý Riemann. Ìïëáôáýôá, áêüìç êáé ç variªtª êáôÜ Poincarª äåí Ýìåéíå áëþâçôç áðü ïñéóìÝíåò íïçìáôéêÝò ìåôáëëÜîåéò. ÓõãêåêñéìÝíá, Üëëïôå åêöñÜæåé ü,ôé (óÞìåñá óôá ÁããëéêÜ) áðïêáëïýìå closed pseudomanifold, Üëëïôå Ýíá closed manifold (reseaux connexe) êáé Üëëïôå ôéò local parametrizations Þ êáé ôéò smooth chains åíüò manifold. Ùóôüóï, ç áñ·Þ ôïý ôÝëïõò ôÞò ðåñéðÝôåéáò ãéá ôçí áíáæÞôçóç ìéáò ïñéóôéêÞò åííïéïäüôçóÞò ôçò Þôáí óáöþò ðñïäéáãåãñáììÝíç, åÜí ìÜëéóôá êáíåßò áíáëïãéóèåß êáé ôá åðéôåýãìáôá ôùí M. Dehn, L.E.J. Brouwer, Ç. Tietze, F. Hausdorff 26 êáé H. Weyl ðïõ áêïëïýèçóáí óôéò äýï ðñþôåò äåêáåôßåò ôïý 20ïõ áéþíá. Ç «ôåëåõôáßá ðñÜîç ôïý Ýñãïõ» äéáäñáìáôßæåôáé êÜðïõ ìåôáîý Princeton êáé Ïîöüñäçò. Ï áìåñéêáíüò ãåùìÝôñçò O. Veblen, êáèçãçôÞò óôï Princeton, èáõìáóôÞò ôùí åêðñïóþðùí ôÞò êëáóéêÞò ó·ïëÞò ôïý G­ttingen êáé óôåíüò óõíåñãÜôçò ôïý H. Weyl, áðü êïéíïý ìå ôïí Üããëï ìáèçôÞ ôïõ J.H.C. Whitehead27 , ·ñçóéìïðïéïýí êÜðïéåò éäÝåò ôïý D. Hilbert28 ðåñß ôïý ïñèïý ·åéñéóìïý ôùí óõóôçìÜôùí óõíôåôáãìÝíùí óå óõíäõáóìü ìå ôéò ôïðïëïãéêÝò èåìåëéþóåéò ôïý F. Hausdorff êáé êáôïñèþíïõí íá ðáñïõóéÜóïõí (áñ·éêþò óå Ýíá åñåõíçôéêü ôïõò Üñèñï29 ðïõ äçìïóéåýèçêå ôï 1931 êáé êáôüðéí -êáôÜ ôé äéáóêåõáóìÝíïíóôï âéâëßï ôïõò ðåñß ÄéáöïñéêÞò Ãåùìåôñßáò30 ) ôïí áîéùìáôéêü ïñéóìü ôÞò åííïßáò ôïý manifold. Ï ïñéóìüò áõôüò (Þ -ôïõëÜ·éóôïí- êÜðïéïò éóïäýíáìüò ôïõ) ðáñáìÝíåé åí ·ñÞóåé31 ìÝ·ñé ôùí çìåñþí ìáò. Âåâáßùò, ðñéí áðü ôï êëåßóéìï áõôÞò ôÞò ðáñåíèåôéêÞò åíüôçôáò ðñÝðåé íá ôïíéóèåß üôé ï (åííïéïëïãéêþò ðáãéùìÝíïò ðëÝïí) áããëéêüò üñïò manifold (êáé, áíôéóôïß·ùò, ï ãåñìáíéêüò üñïò Mannigfaltigkeit) ·ñçóéìïðïéåßôáé äéáöïñåôéêÜ 32 áð' ü,ôé ï üñïò variety (ãåñì. «ôï óýíïëï (Þ ï ·þñïò) ôùí êïéíþí óçìåßùí (Þ èÝóåùí) ìçäåíéóìïý ôùí ìåëþí ìéáò ïéêïãåíåßáò ðïéêßëùí/ðïëõåéäþí (óõíÞèùò ðñáãìáôéêþí Þ ìéãáäéêþí) áðåéêïíßóåùí». 26 Ï ïñéóìüò ôïý ôïðïëïãéêïý ·þñïõ (õðü ôç óçìåñéíÞ ôïõ Ýííïéá) ðñùôïäüèçêå áðü ôïí F. Hausdorff (ìÝóù óõóôçìÜôùí ãåéôïíéþí) óôï óýããñáììÜ ôïõ Grundz¨ uge der Mengenlehre ôï Ýôïò 1914. 27 Ï Veblen õðÞñîå êáèçãçôÞò ôïý Ðáíåðéóôçìßïõ ôïý Princeton áðü ôï 1910 Ýùò ôï 1931 êáé ôïý Éíóôéôïýôïõ Ðñïêå·ùñçìÝíùí Óðïõäþí (IAS) áðü ôï 1932 Ýùò ôç óõíôáîéïäüôçóÞ ôïõ. Ôï 1929, åíüóù Þôáí åðéóêÝðôçò êáèçãçôÞò óôï ÐáíåðéóôÞìéï ôÞò Ïîöüñäçò, äéïñãÜíùóå Ýíá óåìéíÜñéï ÄéáöïñéêÞò Ãåùìåôñßáò êáé Ýðåéóå ôïí ôüôå íåáñü öïéôçôÞ Whitehead (ðïõ óõììåôåß·å óå áõôü) íá ôïí áêïëïõèÞóåé óôï Princeton ðñïêåéìÝíïõ íá ãñÜøåé õðü ôçí åðßâëåøÞ ôïõ äéäáêôïñéêÞ äéáôñéâÞ, üðåñ êáé åãÝíåôï. Ç óõíåñãáóßá ôïý Whitehead ôüóï ìå ôïí Veblen üóï êáé ìå ôïí Lefschetz õðÞñîå åðïéêïäïìçôéêÞ êáé ôá áðïôåëÝóìáôÜ ôçò åßíáé ðëÝïí êëáóéêÜ åíôüò ôùí ðëáéóßùí ôÞò ÄéáöïñéêÞò Ãåùìåôñßáò êáé ôÞò Èåùñßáò Ïìïôïðßáò. Ï Whitehead ãýñéóå óôçí Ïîöüñäç ôï 1933 êáé ôï 1947 åîåëÝãç êáèçãçôÞò ôïý Ðáíåðéóôçìßïõ ôçò. 28

¨ Âë. D. Hilbert: Uber die Grundlagen der Geometrie, Math. Annalen 56 (1902) 381-422.

29

O. Veblen & J.H.C. Whitehead: A set of axioms of differential geometry, Proceedings of National Academy of Sciences, Vol. 17 (1931), pp. 551-561. 30

O. Veblen & J.H.C. Whitehead: T he Foundations of Differential Geometry, Cambridge University Press, 1932.

31

Ï ïñéóìüò ôùí Veblen êáé Whitehead éóïäõíáìåß ìå ôéò óõíèÞêåò 1)-3) ôïý ïñéóìïý 3.1 ôïý ðáñüíôïò âéâëßïõ (âë. óåë. 50) óõìðåñéëáìâáíïìÝíïõ ôïý áîéþìáôïò ôïý Hausdorff (âë. óçìåßùóç 3.4 (á), óåë. 52). ÓçìåéùôÝïí üôé, åêôüò ôùí differentiable manifolds, åõñÝùò ·ñçóéìïðïéïýìåíá åßíáé êáé ôá topological manifolds (ìå ôéò åêÜóôïôå áðåéêïíß−1 ◦ fβ áðü ôïí Ýíáí ·Üñôç óôïí Üëëïí íá åßíáé åî ïñéóìïý ïìïéïìïñöéóìïß ), óåéò ìåôÜâáóÞò ôïõò fβ−1 ◦ fα êáé fα êáèþò êáé ôá complex manifolds (Þôïé åêåßíá ôá ïðïßá åßíáé åöïäéáóìÝíá ìå ìéãáäéêÞ äïìÞ ). 32 Ï üñïò variety (ãåñì. Variet¨ at) åßèéóôáé -óôçí êëáóéêÞ ôïõ åêäï·Þ, ùò algebraic variety- íá ïñßæåôáé ùò ôï õðïóýíïëï ôïý kn (Þ ôïý ðñïâïëéêïý ·þñïõ Pn k ) ôï áðáñôéæüìåíï áðü ôá êïéíÜ óçìåßá ìçäåíéóìïý ôùí ìåëþí ìéáò

xvii Variet¨ at) ðïõ áíôéóôïé·åß óôïí ãáëëéêü üñï variªtª (= ðïéêéëüôçôá). Ùóôüóï, ïé ÃÜëëïé, ìç äéáèÝôïíôáò üñï áíôßóôïé·ï ôïý áããëéêïý manifold êáé ôïý ãåñìáíéêïý Mannigfaltigkeit, ·ñçóéìïðïéïýí ôïí üñï variªtª êáé óôéò äýï ðåñéðôþóåéò (áñêïýìåíïé óå äéá·ùñéóìïýò ôïý ôýðïõ: vari´et´e diff´erentielle/vari´et´e analytique complexe/vari´et´e alg´ebrique/vari´et´e sans singularit´es/vari´et´e singuli`ere/vari´et´e abstraite ê.ëð.). Áðü ðëåõñÜò åôõìïëïãßáò, ç ëÝîç Mannigfaltigkeit (áããë. manifold) ðáñÜãåôáé áðü ôï ñÞìá falten (áããë. fold33 ) ðïõ áíôéóôïé·åß óôï áñ·áéïåëëçíéêü ñÞìá ðôýóóù, èÝôïíôáò ùò ðñüèçìÜ ôïõ ôï åðßèåôï ðïëýò. ÓçìåéùôÝïí üôé áðü ôá åéò -óóù êáé -ôôù ëÞãïíôá ñÞìáôá ôÞò áñ·áßáò åëëçíéêÞò ãëþóóáò, ç ðëåéïíüôçôá ôùí ïðïßùí äéáôçñÞèçêå êáé óôá ÍÝá ÅëëçíéêÜ, ðáñÜãïíôáé äýï ·áñáêôçñéóôéêÜ ïõóéáóôéêÜ34 . Ôï ðñþôï åî áõôþí ëáìâÜíåé ôçí êáôÜëçîç -îç Þ -óç (Þ, ïñéóìÝíåò öïñÝò, óå äéðëïýò ó·çìáôéóìïýò, ôçí êáôÜëçîç -ãç Þ -·ç ) êáé åêöñÜæåé ôçí åíÝñãåéá Þ ôçí ðñÜîç ôç äçëïýìåíç ìÝóù ôïý åêÜóôïôå èåùñïýìåíïõ ñÞìáôïò, åíþ ôï äåýôåñï ëáìâÜíåé ôçí êáôÜëçîç -ãìá Þ -óìá êáé äçëïß ôï áðïôÝëåóìá ôÞò åí ëüãù ðñÜîçò (Ý·ïíôáò, ùò åðß ôï ðëåßóôïí, ôç äõíáôüôçôá íá åìöáíßæåôáé ùò óõíþíõìï ôÞò ìåóïðáèçôéêÞò ìåôï·Þò ôïý ñÞìáôïò ôéèÝìåíçò óå ïõäÝôåñï ãÝíïò). Ùò åê ôïýôïõ, ç áêñéâÞò áðüäïóç ôÞò ëÝîçò Mannigfaltigkeit åßíáé: ðïëýðôõãìá 35 (ðïõ, áðü ìáèçìáôéêÞ ïðôéêÞ ãùíßá, óõíÜäåé ðëÞñùò ðñïò ôç ãåùìåôñéêÞ éäéüôçôá ôïý õðïêåéìÝíïõ ôïðïëïãéêïý ·þñïõ íá åßíáé ìüíïí ôïðéêþò ïìïéïìïñöéêüò Þ äéáöïñïìïñöéêüò ìå Ýíá áíïéêôü õðïóýíïëï åíüò åõêëåßäåéïõ ·þñïõ, åíþ ìáêñïóêïðéêþò íá ìðïñåß íá äéáèÝôåé ðïëëÝò ðôõ·Ýò/ðôõ·þóåéò). Åßíáé ôïõëÜ·éóôïí ðáñÞãïñï ôï üôé ç áíùôÝñù áðüäïóç ôÞò ëÝîçò Mannigfaltigkeit (áããë. manifold) óôá ÅëëçíéêÜ Ý·åé ðñïôáèåß êáé áðü ôïí éäéáßôåñá äéïñáôéêü ëåîéêïãñÜöï Ì. ÊïëáÀôç36 (áíôß ôïý «ðïëýðôõ·ï»37 ) áðü ôñéáêïíôáåôßáò, Ý·åé ïéêïãåíåßáò ðïëõùíýìùí (êáé, áíôéóôïß·ùò, ïìïãåíþí ðïëõùíýìùí ) ìå ôïõò óõíôåëåóôÝò ôïõò åéëçììÝíïõò áðü Ýíá (óõíÞèùò áëãåâñéêþò êëåéóôü) óþìá k. ¼ìùò, áêüìç êáé üôáí k = C, õðÜñ·ïõí (complex) manifolds ðïõ äåí ìðïñïýí íá åßíáé algebraic varieties, áëëÜ êáé algebraic varieties ìå singularities (= éäéþìáôá) ðïõ öõóéêÜ äåí åßíáé manifolds. Áðü ôçí Üëëç ìåñéÜ, ç êëÜóç ôùí ëåãïìÝíùí abstract varieties over C (= integral separated schemes of finite type over C) åìðåñéÝ·åé êáè' ïëïêëçñßáí ôçí êëÜóç ôùí complex manifolds! 33 Ôá ñÞìáôá fold êáé falten Ý·ïõí ôçí êïéíÞ éíäïåõñùðáúêÞ ñßæá *pel (ðïõ óçìáßíåé «ðôýóóù», «äéðëþíù»), åî ïõ êáé ôï áñ·áßï ãåñìáíéêü ñÞìá faldan, ôï ãïôèéêü falpan, ôï ìåóáéùíéêü valten, ôï óïõçäéêü falla ê.Ü. (Ðñâë. Das Herkunftsw¨ orterbuch (Etymologie der deutschen Sprache), Duden, Band 7, zweite Auflage, 1989, óåë. 174.) 34 Ôá êõñéüôåñá åî áõôþí (ìáæß ìå ôá óõíçèÝóôåñá ðñïèÞìáôÜ ôïõò, ç åöáñìïãÞ ôùí ïðïßùí ìðïñåß -óå ïñéóìÝíåò ðåñéðôþóåéò- íá åðéöÝñåé êáé áíáâßâáóç ôïý ôüíïõ) åßíáé ôá áêüëïõèá: (åí+, áð+, áíô+, ìåô+) áëëÜóóù → áëëáãÞ/Üëëáîç, Üëëáãìá, áìýóóù → áìõ·Þ, Üìõãìá, (áí+, åî+, ðåñé+) åëßóóù → Ýëéîç, Ýëéãìá, (áí+, äé+, åî+) ïñýóóù → üñõîç, üñõãìá, (äéá+, êáôá+, ðñï+) ðëÜóóù → ðëÜóç, ðëÜóìá, (áíá+, äéá+, ðåñé+) ðôýóóù → ðôýîç/ðôõ·Þ, ðôýãìá, (áíá+, êáôá+) óðáñÜóóù → óðÜñáîç, óðÜñáãìá, (áíá+, äéá+, óõí+) ôáñÜóóù → ôÜñáîç/ôáñá·Þ, ôÜñáãìá, (áíáêáôá+, áíáóõí+, áíôéðáñá+, áðï+, äéá+, åí+, êáôá+, ìåôá+, ðáñá+, óõí+, õðï+) ôÜóóù → ôÜîç, ôÜãìá, (áíá+, áðï+, åê+) ôéíÜóóù → ôßíáîç, ôßíáãìá, (åê+, ðåñé+) ôõëßóóù → ôýëéîç, ôýëéãìá, (äéá+, åðé+, ðáñá+, ðñï+) öõëÜóóù → öýëáîç, öýëáãìá, (äéá+, åã+, ðáñá+, ðåñé+) ·áñÜóóù → ·Üñáîç/·áñáãÞ, ·Üñáãìá, êáèþò êáé ôá: (áíá+, áðï+, äéá+, åðé+, ðñï+) êçñýôôù → êÞñõîç, êýñõãìá, (åê+, åðé+, êáôá+) ðëÞôôù → ðëÞîç/ðëçãÞ, ðëÞãìá, (áíôé+, äéá+, åéó+, ðñïåéó+, óõì+) ðñÜôôù → ðñÜîç, ðñÜãìá.

35 Ç ëÝîç ðôýãìá (ùò ðôýîç/äßðëùóç ðÝðëïõ) ìáñôõñåßôáé áðü ôïí 2ï áéþíá ð.µ. (óå åðéãñÜììáôá ôïý Öáéäßìíïõ). Åßíáé ìÜëéóôá åíôõðùóéáêü êáé -ôáõôï·ñüíùò- äçëùôéêü ôÞò äõíáìéêüôçôáò ðïõ äéáèÝôåé ç ãëþóóá ìáò ôï ðüóï ·ñçóôéêÞ (ãéá ôçí ôå·íïëïãßá êáé ôçí åðéóôÞìç) Ý·åé êáôáóôåß åðß ôùí çìåñþí ìáò ç óýíèåôç (áëëÜ êïéíÞ) ëÝîç áíÜðôõãìá (= áíÜ+ðôýãìá). ÅîÜëëïõ, ôï ñÞìá ðôýóóù, ôï ïõóéáóôéêü ðôõ·Þ êáé ôï åðßèåôï ðïëýðôõ·ïò /ïò /ïí ·ñçóéìïðïéïýíôáé ìå ìåãÜëç óõ·íüôçôá áêüìç êáé óôá ÏìçñéêÜ ¸ðç.

36 Âë. Ì. ÊïëáÀôç: Áããëïåëëçíéêüí Ëåîéêüí ôùí Èåùñçôéêþí êáé ÅöçñìïóìÝíùí Ìáèçìáôéêþí, 2 ôüìïé, ¸êäïóéò Ôå·íéêïý Åðéìåëçôçñßïõ ôÞò ÅëëÜäïò, ÁèÞíáé, 1976. 37

¼ôáí ãéá ôçí Ýêöñáóç ôïý áðïôåëÝóìáôïò ôÞò ðñÜîçò ôÞò äçëïýìåíçò ìÝóù åíüò ñÞìáôïò Ý·åé êáíåßò óôç äéÜèåóÞ

xviii õéïèåôçèåß óôá óõããñÜììáôá ôïý êáèçãçôÞ Ä. Êïõôñïõöéþôç38 êáé åîáêïëïõèåß íá ·ñçóéìïðïéåßôáé áðü áñêåôïýò Ýëëçíåò äéáöïñïãåùìÝôñåò ðïõ óõìâáßíåé íá åðéêñßíïõí ôá «êáêþò êåßìåíá» êáé íá äéáôçñïýí áõîçìÝíåò åõáéóèçóßåò óå ü,ôé áöïñÜ óå ðñïâëÞìáôá -áêïõóßùò Þ åêïõóßùò- óôñåâëùìÝíçò ïñïëïãßáò.

• Ãëþóóá êáé óýóôçìá ôïíéóìïý. Ôüóï ç ãñáììáôéêÞ üóï êáé ç ïñèïãñáöéêÞ êáé ç õöïëïãéêÞ äüìçóç ôïý êåéìÝíïõ ôÞò åëëçíéêÞò ìåôÜöñáóçò åíáñìïíßóèçêáí ìå ôéò óõìâÜóåéò ôéò óõíáöèåßóåò óôïí 4ï ôüìï ôùí Ð.Ì.Ê. Ôï ßäéï ßó·õóå êáé ãéá ôçí åðéëïãÞ ôïý ìïíïôïíéêïý óõóôÞìáôïò39 , 40 ìå êÜðïéåò åëáöñÝò ôñïðïðïéÞóåéò, ïé ïðïßåò41 åöáñìüóèçêáí ôá ôåëåõôáßá ·ñüíéá (ìå åëÜ·éóôåò ðáñáëëáãÝò) áðü ôïí êáèçãçôÞ Ãåþñãéï Ä. Ìðáìðéíéþôç êáé ôïõò óõíåñãÜôåò ôïõ42 . ôïõ Ýíá ïõóéáóôéêïðïéçìÝíï åðßèåôï, áðü ôç ìéá ìåñéÜ, êáé Ýíá áìéãÝò ïõóéáóôéêü, áðü ôçí Üëëç, ôüôå åßíáé ðñïöáíþò ðñïôéìüôåñï íá åðéëÝãåé ôï äåýôåñï. ÅðéðñïóèÝôùò, ôï ðïëýðôõ·ï (åêëáìâáíüìåíï ùò ïõóéáóôéêü) åßèéóôáé íá ·ñçóéìïðïéåßôáé óôç âõæáíôéíÞ áãéïãñáößá ãéá íá åííïåß ðïëëÝò ðéíáêßäåò ðïõ åßíáé åíùìÝíåò ìåôáîý ôïõò, ìå ôéò üøåéò ôïõò êïóìçìÝíåò ìå æùãñáöéóìÝíåò åéêüíåò ôïý µñéóôïý, ôÞò Ðáíáãßáò Þ/êáé äéáöüñùí áãßùí. 38

Âë., ð.·., Ä. Êïõôñïõöéþôç: ÄéáöïñéêÞ Ãåùìåôñßá, Åêäüóåéò Ðáíåðéóôçìßïõ Éùáííßíùí, 1994.

39

ÄéÜöïñåò óïâáñÝò ðñïôÜóåéò ãéá ôçí êáôÜñãçóç ôïý ðïëõôïíéêïý óõóôÞìáôïò êáé ôçí áðáëïéöÞ ôùí ðíåõìÜôùí óõíáíôïýìå Þäç áðü ôïí 19ï áéþíá. Ïé ãíùóôüôåñåò åî áõôþí åßíáé ïé åîÞò: ôï áôïíéêü óýóôçìá ôïý É. ÂçëáñÜ (1814), ôï óýóôçìá ôïý äõíáìéêïý ôïíéóìïý ôïý Ì. ÖéëÞíôá (1927), ôï ìïíïôïíéêü óýóôçìá ðïõ ðñüôåéíå ï Ç. Âïõôéåñßäçò óôç ÃñáììáôéêÞ ôïõ ôï 1932 (êáé åßíáé ôï ðëÝïí áõôïìáôéêü), ïé äýï ðáñáëëáãÝò ôïý ìïíïôïíéêïý ôïý Å. Ãéáíßäç (êáðÝëùìá ôùí ôüíùí/óõãêüëëçóç ôùí ëÝîåùí), ç ôñïðïðïßçóÞ ôïõ -ôï Ýôïò 1976- áðü ôï ßäñõìá Ì. Ôñéáíôáöõëëßäç (ìå ôç ·ñÞóç åíùôéêþí) êáé ôï «åðßóçìï» ìïíïôïíéêü óýóôçìá (ôï åéóá·èÝí áðü åííåáìåëÞ åðéôñïðÞ, ðñïåäñåýïíôïò ôïý Å. ÊñéáñÜ) ðïõ ôåëéêþò åðåâëÞèç ôï 1982. 40 Ï ðñïâëçìáôéóìüò ãéá Ýíá «íÝï óýóôçìá ôïíéóìïý», áí êáé åß·å äéáóôáõñùèåß -êáôÜ êáéñïýò- ìå ôç äßíç ôïý ëåãïìÝíïõ «ãëùóóéêïý æçôÞìáôïò» (ðïõ ôáëÜíéóå åðß áéþíåò ôïí ôüðï), áêïëïýèçóå ìéá áíåîÜñôçôç éóôïñéêÞ äéáäñïìÞ êáôáëÞãïíôáò óå Ýíáí (åí ìÝñåé áôõ·Þ) óõìâéâáóìü (Þôïé ôï ÐÄ 207/1982, åðß õðïõñãßáò Å. ÂåñõâÜêç). 41 Áêüìç êáé óÞìåñá, åßêïóé êáé ðëÝïí Ýôç ìåôÜ ôç èÝóðéóÞ ôïõ, ïé åðéêñéôÝò ôïý «åðéóÞìïõ» ìïíïôïíéêïý ðëçèýíïíôáé, êáèüôé ç åöáñìïãÞ ôïõ êáôÝäåéîå ïñéóìÝíá âáóéêÜ ìåéïíåêôÞìáôá ôá ïðïßá ·ñÞæïõí áíáèåùñÞóåùí. ÁöÞíïíôáò êáôÜ ìÝñïò ôéò åêäçëïýìåíåò áêñáßåò äéáìáñôõñßåò (áâÜóéìï áßôçìá ãéá êáôÜñãçóç üëùí ôùí ôïíéêþí óçìáäéþí ïé ìåí, áíõðüóôáôç êéíäõíïëïãßá ãéá äÞèåí åðéâïëÞ ãëùóóéêïý ·Üïõò êáé âåâÞëùóç ôÞò åèíéêÞò ìáò êëçñïíïìéÜò ïé äå) áò áíôéìåôùðßóïõìå ìå ðñïóÞêïõóá íçöáëéüôçôá ôá äýï êõñéüôåñá ôå·íéêÜ ðñïâëÞìáôá ðïõ îåðñïâÜëëïõí: Ôï ðñþôï åßíáé ç ïñèÞ ìåôáôñïðÞ ôïý ô óå è êáé ôïý ð óå ö êáôÜ ôïí ó·çìáôéóìü óõíèÝôùí ëÝîåùí, ôï â0 óõíèåôéêü ôùí ïðïßùí åßíáé äáóõíüìåíç ëÝîç (ð.·., áíôß+õãéåéíüò = áíèõãéåéíüò, åðß+ïäüò = Ýöïäïò)° ôï äåýôåñï åßíáé ç Ýëëåéøç áõôïìáôéóìïý óôïí äéá·ùñéóìü ðñïêëéôéêþí êáé åãêëéôéêþí áíôùíõìéþí, êáé éäéáéôÝñùò ôÞò ãåíéêÞò ôïý ïñéóôéêïý Üñèñïõ êáé ôùí áíôéóôïß·ùí êôçôéêþí (êÜôé ãéá ôï ïðïßï ôï «åðßóçìï» ìïíïôïíéêü óõíéóôÜ êáôÜ ðåñßðôùóç áíôéìåôþðéóÞ ôïõ, åîáíáãêÜæïíôáò ôüóï ôïí ãñÜöïíôá üóï êáé ôïí áíáãíþóôç íá õðïâÜëëïíôáé óå áôÝñìïíåò äïêéìáóßåò). Êé åíþ ãéá ôçí åðßëõóç ôïý ðñþôïõ ðñïâëÞìáôïò áñêåß ç åêìÜèçóç ôïý êáôáëüãïõ ôùí äáóõíüìåíùí ëÝîåùí (üðùò ð.·. óõìâáßíåé ìå ôïí ðßíáêá ôùí ·çìéêþí óôïé·åßùí) ·ùñßò ôçí êáô' áíÜãêçí åðéóôñïöÞ ìáò óôá ðíåýìáôá, ç åðßëõóç ôïý äåõôÝñïõ ðñïâëÞìáôïò åßíáé êáô' ïõóßáí áíÝöéêôç ·ùñßò ôçí áõôüìáôç ôïíïäüôçóç ïñéóìÝíùí åðéðñïóèÝôùí ìïíïóýëëáâùí ëÝîåùí. ÅðåéäÞ äå, åî üóùí âéþíù áó·ïëïýìåíïò åðß ìáêñüí ìå äéÜöïñá ìáèçìáôéêÜ êåßìåíá (ðïõ âñßèïõí ðÜóçò öýóåùò ãåíéêþí ðôþóåùí êáé óõìâüëùí), áäõíáôþ íá óõììåñéóèþ ôçí åììïíÞ ôïý Å. ÊñéáñÜ óôçí ðñüôáîç ôÞò ðÜóåé èõóßá åîïéêïíüìçóçò ôüíùí (ðñâë. ôïý éäßïõ: Ç óçìåñéíÞ ìáò ãëþóóá, åêä. ÌáëëéÜñçò-Ðáéäåßá, ÁèÞíá, 1984, óåë. 248-250 êáé 257-260), üôáí ìÜëéóôá ùò áðïôÝëåóìÜ ôçò êáôáöáßíåôáé ìéá óõóóþñåõóç íïçìáôéêþí áóáöåéþí, Ý·ù ðñïó·ùñÞóåé óå åêåßíïõò ðïõ õéïèåôïýí ôç íåüôåñç «óõìâéâáóôéêÞ ëýóç» êáôÜ Ã. Ìðáìðéíéþôç. 42 Ôá ìïíïóýëëáâá ôïõ /ôçò /ôïõ ôïíßæïíôáé áõôïìÜôùò üôáí åðÝ·ïõí èÝóç ãåíéêÞò ôïý ïñéóôéêïý Üñèñïõ ãéá íá äéá·ùñßæïíôáé åõ·åñÝóôåñá áðü ôá áíôßóôïé·á êôçôéêÜ êáé íá äéåõêïëýíïíôáé ôüóï ç åñãáóßá ôïý åêÜóôïôå ãñÜöïíôïò üóï êáé ç ñïÞ ôÞò áíÜãíùóçò. (Ç ëÝîç «ôùí» èá åðÝ·åé ðÜíôïôå èÝóç Üñèñïõ êáé, ùò åê ôïýôïõ, äåí êñßíåôáé ùò áíáãêáßá ç ôïíïäüôçóÞ ôçò). Óôéò ëïéðÝò ðåñéðôþóåéò åìöÜíéóçò äéöïñïýìåíùí ìïíïóõëëÜâùí ðñïóùðéêþí áíôùíõìéþí (åííïåßôáé óå ó·Ýóç ìå ôéò ãåéôïíéêÝò ôïõò ëÝîåéò åíôüò ôïý êåéìÝíïõ) ï ôüíïò óçìåéþíåôáé óýìöùíá ìå ôïí (áðü ðïëëïýò óðáíßùò åöáñìïæüìåíï) «êáíüíá» 2 (ã) ôïý «åðéóÞìïõ» ìïíïôïíéêïý. (Âë. ÍåïåëëçíéêÞ ÃñáììáôéêÞ, ÁíáðñïóáñìïãÞ ôÞò ÍåïåëëçíéêÞò ÃñáììáôéêÞò ôïý Ì. Ôñéáíôáöõëëßäç, Ï.Å.Ä.Â., Åêä. È0 , 1986, óåë. 24.)

xix • Åõ·áñéóôßåò. Èåùñþ õðï·ñÝùóÞ ìïõ íá áðåõèýíù èåñìÝò åõ·áñéóôßåò óôïõò êáëïýò ìïõ ößëïõò êáé óõíåñãÜôåò: Á. Ðïëýìåñï (ãéá ôçí ðïëýôéìç ôå·íéêÞ âïÞèåéÜ ôïõ êáôÜ ôç óôïé·åéïèÝôçóç ôïý âéâëßïõ êáé ôçí åðåîåñãáóßá ðïëëþí ó·çìÜôùí) êáé Ê. Ëáãïý (ãéá ôçí ôüóï õðåýèõíç ôåëéêÞ ãëùóóéêÞ åðéìÝëåéá ôïý êåéìÝíïõ êáé ôïõò ëåðôïëüãïõò ó·ïëéáóìïýò ôçò). Åðßóçò, èá Þèåëá íá åêöñÜóù ôçí åõãíùìïóýíç ìïõ óôïõò åîÞò êáèçãçôÝò: (á) Óôïí êáèçãçôÞ ôïý ÔìÞìáôïò Ìáèçìáôéêþí ôïý Ðáíåðéóôçìßïõ Éùáííßíùí, È. µáóÜíç, ï ïðïßïò, Ý·oíôáò êáôÜ êáéñïýò äéäÜîåé ôìÞìáôá ôïý âéâëßïõ áõôïý óôï ðëáßóéï ôïý ìáèÞìáôïò «ÅéäéêÜ ÈÝìáôá Ãåùìåôñßáò» êáé äéáèÝôïíôáò ðïëõåôÞ ðåßñá óôçí ðáñïõóßáóç óõíáöïýò èåìáôéêÞò, êáôá·þñéóå, åðß ôç åõêáéñßá ôÞò åðéêåéìÝíçò ìåôÜöñáóçò, óå ìßá åêôåíÞ åðéóôïëÞ ôïõ (ëçöèåßóá ðñï ïëßãùí ìçíþí) ëõóéôåëåßò ðáñáôçñÞóåéò êáé åðéóçìÜíóåéò, åðéôñÝðïíôÜò ìïõ ôçí åêôÝëåóç ðåñáéôÝñù âåëôéùôéêþí åñãáóéþí óôï ôüôå Þäç õðÜñ·ïí õëéêü. (â) Óôïí áíáðëçñùôÞ êáèçãçôÞ ôïý éäßïõ ÔìÞìáôïò, È. ÂëÜ·ï, ãéá ôç óõììåôï·Þ ôïõ óôéò äéïñèþóåéò ôùí áñ·éêþí äïêéìßùí êáé ãéá ôéò ðïëõðïßêéëåò õðïäåßîåéò ôïõ êáôÜ ôç óýíôáîç ïñéóìÝíùí óçìáíôéêþí õðïóçìåéþóåùí. (ã) Óôïí óõíÜäåëöï, áíáðëçñùôÞ êáèçãçôÞ ôïý ÔìÞìáôïò Ìáèçìáôéêþí ôïý Ðáíåðéóôçìßïõ ÊñÞôçò, Ê. Áèáíáóüðïõëï, ·ùñßò ôéò ïõóéáóôéêÝò ðáñåìâÜóåéò ôïý ïðïßïõ (óôçí ôåëåõôáßá öÜóç åðåîåñãáóßáò êåéìÝíïõ êáé åííïéþí) ôï ôåëéêü áðïôÝëåóìá (éäùìÝíï áðü äéáöïñïôïðïëïãéêÞ ïðôéêÞ ãùíßá) èá áðåß·å ðáñáóÜããáò ôïý åðéèõìçôïý. Last, but not least, åõ·áñéóôþ ôïí Ó. ÊáñÝãëç ðïõ âñßóêåé êÜèå öïñÜ ôïí ôñüðï íá ìå ðåßèåé ãéá ôçí åíäå·üìåíç ·ñçóéìüôçôá ôùí (Üêñùò ·ñïíïâüñùí) ìåôáöñáóôéêþí ìïõ åíáó·ïëÞóåùí. Ìéá ôõ·üí áíÝëðéóôç åðáëÞèåõóç ôùí ðñïóäïêéþí ôïõ (åê ìÝñïõò ôïý áíáãíùóôéêïý êïéíïý) èá ìå ·áñïðïéïýóå.

Ä. É. ÍôáÞò ÇñÜêëåéï ÊñÞôçò, ÉáíïõÜñéïò ôïý 2005

Óôïõò ößëïõò ìïõ áíÜ ôïí êüóìï, ·ùñßò ôç âïÞèåéá ôùí ïðïßùí ïýôå áõôü ôï âéâëßï ïýôå ï óõããñáöÝáò èá åß·áí áíôéêñßóåé ôï öùò .

Ðñüëïãïò ôïý óõããñáöÝá

Ôï áíÜ ·åßñáò óýããñáììá ðåñéÝ·åé ìéá åëåýèåñç ìåôÜöñáóç êÜðïéùí óçìåéþóåþí ìïõ, ïé ïðïßåò åß·áí åêäïèåß áñ·éêþò óôá ÐïñôïãáëéêÜ ôï 1971. Ç ìåôÜöñáóÞ ôïõò Ýãéíå åðß ôç åõêáéñßá ìéáò óåéñÜò ðáñáäüóåþí ìïõ åíôüò ôïý ðëáéóßïõ ôïý «Êïëåãßïõ ôÞò ÄéáöïñéêÞò Ãåùìåôñßáò», ôï ïðïßï äéïñãáíþèçêå áðü ôï ÄéåèíÝò ÊÝíôñï ÈåùñçôéêÞò ÖõóéêÞò (ICTP) ôÞò ÔåñãÝóôçò ôï Ýôïò 1989. Óôçí áããëéêÞ ìåôÜöñáóç Ý·åé áöáéñåèåß Ýíá êåöÜëáéï ðïõ áöïñïýóå óôï èåþñçìá ôïý Frobenius, êáèþò êáé Ýíá ðáñÜñôçìá ãéá ôç ìç ýðáñîç ðëÞñùí õðåñâïëéêþí åðéðÝäùí óôïí ôñéóäéÜóôáôï åõêëåßäåéï ·þñï (èåþñçìá ôïý Hilbert). Ùóôüóï, óôçí ðáñïýóá Ýêäïóç Ý·åé ðñïóôåèåß Ýíá íÝï êåöÜëáéï ðåñß ôùí åðéêáìðõëßùí ïëïêëçñùìÜôùí. ÓõãêåêñéìÝíá, ôï âéâëßï åßíáé äïìçìÝíï ùò áêïëïýèùò: Óôï êåöÜëáéï 1 åéóÜãïíôáé ïé äéáöïñéêÝò ìïñöÝò óôïí Rn . Ôï ìüíï ðñïáðáéôïýìåíï åßíáé ïñéóìÝíåò óôïé·åéþäåéò ãíþóåéò áðü ôïí Äéáöïñéêü Ëïãéóìü. Ùò åê ôïýôïõ, áõôü ôï êåöÜëáéï ìðïñåß íá ·ñçóéìïðïéçèåß ùò õðüâáèñï ãéá ôïí ó·åäéáóìü ìéáò óåéñÜò ðáñáäüóåùí åðß ôùí äéáöïñéêþí ìïñöþí áðåõèõíüìåíçò óå ïéïõóäÞðïôå «·ñÞóôåò» ôùí Ìáèçìáôéêþí. Óôï êåöÜëáéï 2 îåêéíÜ ç ïëïêëÞñùóç ôùí äéáöïñéêþí ìïñöþí âáèìïý 1 êáôÜ ìÞêïò êáìðõëþí åíôüò ôïý Rn . ÁõôÞ åðéôñÝðåé ïñéóìÝíåò åöáñìïãÝò ôùí üóùí åêôßèåíôáé óôï êåöÜëáéï 1, áí êáé ç ýëç ôïý êåöáëáßïõ 2 äåí ·ñçóéìïðïéåßôáé óôï õðüëïéðï âéâëßï. Óôï êåöÜëáéï 3 ðáñïõóéÜæïíôáé ïé ðëÝïí èåìåëéþäåéò Ýííïéåò ôÞò èåùñßáò ôùí äéáöïñéóßìùí ðïëõðôõãìÜôùí. Èá Þôáí ·ñÞóéìï (ü·é üìùò êáé ïõóéáóôéêü) ôï íá ðñïûðÜñ·åé ìéá êÜðïéá åîïéêåßùóç ôïý áíáãíþóôç ìå ôçí Ýííïéá ôÞò êáíïíéêÞò åðéöáíåßáò åíôüò ôïý R3 . Óôï êåöÜëáéï 4 åéóÜãåôáé ç Ýííïéá ôïý äéáöïñéóßìïõ ðïëõðôýãìáôïò ìå óýíïñï êáé áðïäåéêíýïíôáé ôï èåþñçìá ôïý Stokes êáé ôï ëÞììá ôïý Poincarª. ¸·ïíôáò ùò áöåôçñßá ôïõ áõôÞí ôç âáóéêÞ ýëç ôùí ôåóóÜñùí ðñþôùí êåöá-

xxiv ëáßùí, èá ìðïñïýóå êáíåßò íá áíáôñÝîåé óå åöáñìïãÝò ðñïåñ·üìåíåò áðü äéáöüñïõò ìáèçìáôéêïýò êëÜäïõò, üðùò åßíáé ç Ôïðïëïãßá, ç ÄéáöïñéêÞ Ãåùìåôñßá, ç ÈåùñçôéêÞ Ìç·áíéêÞ, ç èåùñßá ôùí ïìÜäùí Lie ê.Ü. Åäþ åðåëÝãç ç ÄéáöïñéêÞ Ãåùìåôñßá. µÜñéí áðëüôçôáò, ç üëç ðáñïõóßáóç ðåñéïñßæåôáé ìüíïí óôç èåþñçóç åðéöáíåéþí. ¸ôóé ëïéðüí, óôï êåöÜëáéï 5, áíáðôýóóåôáé ç ìÝèïäïò ôùí êéíïõìÝíùí ðëáéóßùí ôïý Elie Cartan ãéá åðéöÜíåéåò, ìå ôçí ðñáãìÜôåõóç ôùí åìâáðôéóìÝíùí åðéöáíåéþí íá ðñïçãåßôáé åêåßíçò ôÞò åóùôåñéêÞò ãåùìåôñßáò åðéöáíåéþí. ÔÝëïò, óôï êåöÜëáéï 6, áðïäåéêíýåôáé ôï èåþñçìá ôùí Gauss êáé Bonnet ãéá óõìðáãåßò ðñïóáíáôïëéóìÝíåò åðéöÜíåéåò. Ç áðüäåéîç ðïõ ðáñáôßèåôáé ïöåßëåôáé êáô' ïõóßáí óôïí S.S. Chern. ÅðéðñïóèÝôùò, ðáñáôßèåôáé Ýíáò éäéáßôåñïò óõó·åôéóìüò ôùí êñéóßìùí óçìåßùí êÜðïéáò êëÜóçò óõíáñôÞóåùí åðß ïéáóäÞðïôå óõìðáãïýò åðéöáíåßáò M 2 ìå ôçí êáôÜ Euler êáé Poincarª ·áñáêôçñéóôéêÞ ¢ ¡ ôçò χ M 2 . Ç äéáôýðùóç êáé ç áðüäåéîÞ ôïõ ïöåßëïíôáé óôïí M. Morse. ¼ðùò êáé ç ðëåéïíüôçôá ôùí óõããñáöÝùí, åßìáé åõãíþìùí ãéá ôçí Üíôëçóç ðïëõôßìùí ðëçñïöïñéþí áðü ðçãÝò ðïõ åßíáé ôüóï ðïëëÝò, þóôå íá åßíáé áíèñùðßíùò áäýíáôï íá áðáñéèìçèïýí êáé íá áíáöåñèïýí ·ùñéóôÜ. Áò ìïõ åðéôñáðåß, ùóôüóï, íá ìíçìïíåýóù ôï üôé êáôÜ ôç óõããñáöÞ ôùí ôåóóÜñùí ðñþôùí êåöáëáßùí åðçñåÜóèçêá áðü ôéò óçìåéþóåéò êáé ôá Üñèñá ôïý ößëïõ êáé óõíáäÝëöïõ ìïõ Elon Lima, êáèþò êáé ôï üôé óôá ôåëåõôáßá äýï êåöÜëáéá åßíáé óáöþò áíáãíùñßóéìç ç áíáìöéóâÞôçôç åðßäñáóç ðïõ ìïõ Üóêçóå ï äéäÜóêáëïò êáé ößëïò ìïõ S.S. Chern. Åðßóçò, ãéá ôçí ðáñïýóá ìïñöÞ ôïý âéâëßïõ, åêöñÜæù ôçí åõãíùìïóýíç ìïõ óôïõò óõíáäÝëöïõò ìïõ M. Dajczer, L. Rodrigez êáé W. Santos ãéá ôçí êñéôéêÞ áíÜãíùóç ôïý áñ·éêïý ·åéñïãñÜöïõ êáé ôçí ðáñï·Þ ðëÞèïõò ·ñçóßìùí õðïäåßîåùí. ÔÝëïò, éäéáßôåñåò åõ·áñéóôßåò ïöåßëù óôïí Lucio Rodrigez ãéá ôçí ðñïóï·Þ ðïõ åðÝäåéîå êáôÜ ôçí ôõðïãñáöéêÞ åðåîåñãáóßá ôïý ôåëéêïý êåéìÝíïõ.

Manfredo Perdige ao do Carmo Rio de Janeiro, ÖåâñïõÜñéïò ôïý 1994

Ðåñéå·üìåíá

1 2 3 4 4. 1 4. 2 4. 3 5 5. 1 5. 2 5. 3 6 6. 1 6. 2

Ðñüëïãïò ôïý ìåôáöñáóôÞ . . . . . . . . Ðñüëïãïò ôïý óõããñáöÝá . . . . . . . . . ÄéáöïñéêÝò ìïñöÝò óôïí Rn . . . . . . . Åðéêáìðýëéá ïëïêëçñþìáôá . . . . . . . Äéáöïñßóéìá ðïëõðôýãìáôá . . . . . . . ÏëïêëÞñùóç åðß ðïëõðôõãìÜôùí . . . . ÏëïêëÞñùóç äéáöïñéêþí ìïñöþí . . . . Ôï èåþñçìá ôïý Stokes . . . . . . . . . . Ôï ëÞììá ôïý Poincar´e . . . . . . . . . . ÄéáöïñéêÞ ãåùìåôñßá åðéöáíåéþí . . . . Ïé åîéóþóåéò äïìÞò ôïý Rn . . . . . . . . ÅðéöÜíåéåò åíôüò ôïý R3 . . . . . . . . . ÅóùôåñéêÞ ãåùìåôñßá åðéöáíåéþí . . . . Ôï èåþñçìá ôùí Gauss êáé Bonnet êáé Ôï èåþñçìá ôùí Gauss êáé Bonnet . . . Ôï èåþñçìá ôïý Morse . . . . . . . . . . Âéâëéïãñáößá . . . . . . . . . . . . . . . . ÅõñåôÞñéï . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ôï èåþñçìá ôïý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Morse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

vii xxiii 1 27 49 81 81 87 96 109 109 116 125 139 139 149 159 161

ÊÅÖÁËÁÉÏ 1

ÄéáöïñéêÝò ìïñöÝò óôïí Rn

Óêïðüò ôïý ðáñüíôïò êåöáëáßïõ åßíáé ï åíôüò ôïý Rn ïñéóìüò «ðåäßùí åíáëëáóóïõóþí ìïñöþí», ôá ïðïßá åí óõíå·åßá èá ·ñçóéìïðïéçèïýí ðñïêåéìÝíïõ íá ðñïêýøïõí èåùñçôéêÜ áðïôåëÝóìáôá ãåùìåôñéêÞò öýóåùò. Ãéá ôç äéáóöÜëéóç ìéáò âáèìéáßáò åîïéêåßùóçò ìå ôéò ðñïò ôïýôï áðáéôïýìåíåò Ýííïéåò, èá åñãáóèïýìå åí ðñþôïéò ìå ôïí ôñéóäéÜóôáôï ·þñï R3 . ¸óôù p Ýíá óçìåßï ôïý R3 . Ôï óýíïëï ôùí äéáíõóìÜôùí { q − p | q ∈ R3 } (ðïõ Ý·ïõí ôï p ùò áðáñ·Þ ôïõò) êáëåßôáé åöáðôüìåíïò ·þñïò ôïý R3 óôï óçìåßï p êáé óõìâïëßæåôáé ùò R3p . Ôá äéáíýóìáôá e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0) êáé e3 = (0, 0, 1) ôÞò óõíÞèïõò âÜóçò ôïý R30 ôáõôßæïíôáé ìå ôá ìåôáèÝìáôÜ ôïõò1 (e1 )p , (e2 )p , (e3 )p óôï óçìåßï p. ¸íá äéáíõóìáôéêü ðåäßï óôïí R3 åßíáé ìéá áðåéêüíéóç v ç ïðïßá áíôéóôïé·ßæåé óå êÜèå óçìåßï p ∈ R3 Ýíá äéÜíõóìá v (p) ∈ R3p . Tï v (p) ìðïñåß íá ãñáöåß ùò Üèñïéóìá v (p) = a1 (p) e1 + a2 (p) e2 + a3 (p) e3 , ìå ôéò åí ëüãù ïñéæüìåíåò ôñåéò óõíáñôÞóåéò ai : R3 −→ R, i = 1, 2, 3, íá ·áñáêôçñßæïõí (ðëÞñùò) ôï äéáíõóìáôéêü ðåäßï v. ËÝìå üôé ôï v åßíáé äéáöïñßóéìï üôáí ïé óõíáñôÞóåéò ai , i = 1, 2, 3, åßíáé äéáöïñßóéìåò2 . 1 (Ó.ô.Ì.): ÅÜí ôï x åßíáé Ýíá óôïé·åßï ôïý R3 (Þ -ãåíéêüôåñá- ôïý Rn ), ôüôå ôï ìåôÜèåìÜ ôïõ xp óå Ýíá óçìåßï p åßíáé ôï äéÜíõóìá ôï ïðïßï Ý·åé ùò áðáñ·Þ ôïõ ôï p êáé ùò ðÝñáò ôïõ ôï p + x. 2

(Ó.ô.Ì.): Ãéá ôéò óõìâÜóåéò ðåñß äéáöïñéóéìüôçôáò âë. ôç óçìåßùóç ðïõ ðáñáôßèåôáé ìåôÜ ôïí ïñéóìü 1.4.

äéáöïñéêåò ìïñöåò. èåùñéá êáé åöáñìïãåò

2

Ãéá êÜèå åöáðôüìåíï ·þñï R3p ïñßæåôáé ï äõúêüò ôïõ (äéáíõóìáôéêüò) ·þñïò ï ïðïßïò éóïýôáé ìå ôï óýíïëï ôùí ãñáììéêþí áðåéêïíßóåùí ϕ : R3p −→ R. Ìéá âÜóç ôïý (R3p )∗ ìðïñåß íá áðïêôçèåß, åÜí èåùñÞóïõìå ôá (dxi )p , i = 1, 2, 3, üðïõ ç xi : R3 −→ R åßíáé ç óõíÜñôçóç ðïõ óôÝëíåé êÜèå óçìåßï ôïý R3 íá áðåéêïíßæåôáé óôçí i-ïóôÞ ôïõ óõíôåôáãìÝíç. Óôçí ðñáãìáôéêüôçôá, ôï óýíïëï (R3p )∗ ,

{ (dxi )p | 1 ≤ i ≤ 3} áðïôåëåß ôç äõúêÞ âÜóç ôÞò { (ei )p | 1 ≤ i ≤ 3}, êáèüôé éó·ýåé ∂xi (dxi )p (ej ) = = ∂xj

½

1, üôáí i = j, 0, üôáí i 6= j.

1.1 Ïñéóìüò. ¸íá ðåäßï ãñáììéêþí ìïñöþí (Þ ìéá åîùôåñéêÞ ìïñöÞ âáèìïý 1) óôïí R3 åßíáé ìéá áðåéêüíéóç ω ç ïðïßá áíôéóôïé·ßæåé óå êÜèå p ∈ R3 Ýíá óôïé·åßï ω (p) ∈ (R3p )∗ . Ìéá ôÝôïéá áðåéêüíéóç ω ìðïñåß íá ãñáöåß ùò ω(p) = a1 (p) (dx1 )p + a2 (p) (dx2 )p + a3 (p) (dx3 )p Þ -åí óõíôïìßá- ùò ω=

3 X

ai dxi ,

i=1

üðïõ ïé ai åßíáé ðñáãìáôéêÝò óõíáñôÞóåéò : R3 −→ R. ÅÜí ïé óõíáñôÞóåéò ai åßíáé äéáöïñßóéìåò3 , ôüôå ç ω êáëåßôáé äéáöïñéêÞ ìïñöÞ âáèìïý 1. V2 3 ∗ (Rp ) ôï óýíïëï ôùí áðåéêïíßóåùí ÅöåîÞò èá óõìâïëßæïõìå ùò ϕ : R3p × R3p −→ R,

ïé ïðïßåò åßíáé äéãñáììéêÝò (Þôïé ãñáììéêÝò ùò ðñïò êÜèå ìåôáâëçôÞ) êáé åíáëëÜóóïõóåò (Þôïé ϕ (v1 , v2 ) = − ϕ (v2 , v1 ), ∀ (v1 , v2 ) ∈ R3p × R3p ). Ùò ðñïò ôéò óõV2 ¡ 3 ¢∗ íÞèåéò (óçìåéáêÝò) ðñÜîåéò áðåéêïíßóåùí, ôï óýíïëï Rp êáèßóôáôáé Ýíáò (ðñáãìáôéêüò) äéáíõóìáôéêüò ·þñïò. ¼ôáí ïé ϕ1 êáé ϕ2 áíÞêïõí óôïí (R3p )∗ , V2 3 ∗ ëáìâÜíïõìå Ýíá óôïé·åßï ϕ1 ∧ ϕ2 ôïý (Rp ) èÝôïíôáò ³ ´ (ϕ1 ∧ ϕ2 ) (v1 , v2 ) = det (ϕi (vj ))1≤i,j≤2 .

Èá óçìåéþíïõìå, éäéáéôÝñùò, ôï óôïé·åßï (dxi )p ∧ (dxj )p ôïý äéáíõóìáôéêïý V ·þñïõ 2 (R3p )∗ ùò (dxi ∧ dxj )p . Åßíáé åýêïëï íá äéáðéóôùèåß üôé ôï óýíïëï 3

(Ó.ô.Ì.): Ãéá ôéò óõìâÜóåéò ðåñß äéáöïñéóéìüôçôáò âë. ôç óçìåßùóç ðïõ ðáñáôßèåôáé ìåôÜ ôïí ïñéóìü 1.4.

1. äéáöïñéêåò ìïñöåò óôïí Rn

3

V2 3 ∗ { (dxi ∧ dxj )p | i < j, i, j ∈ {1, 2, 3}} óõíéóôÜ ìéá âÜóç ôïý (Rp ) . (Ôïýôï èá áðïäåé·èåß óå ìéá ðéï ãåíéêåõìÝíç ôïõ åêäï·Þ óôçí ðñüôáóç 1.3 ðïõ áêïëïõèåß.) ÅðéðñïóèÝôùò, üôáí i 6= j, Ý·ïõìå (dxi ∧ dxj )p = −(dxj ∧ dxi )p , åíþ, üôáí i = j, (dxi ∧ dxi )p = 0. 1.2 Ïñéóìüò. ¸íá ðåäßï äéãñáììéêþí åíáëëáóóïõóþí ìïñöþí (Þ ìéá åîùôåñéêÞ ìïñöÞ âáèìïý 2) óôïí R3 åßíáé ìéá áðåéêüíéóç ω ç ïðïßá áíôéóôïé·ßæåé óå êÜèå V2 3 ∗ (Rp ) . Ìéá ôÝôïéá áðåéêüíéóç ω ìðïñåß íá ãñáöåß p ∈ R3 Ýíá óôïé·åßï ω (p) ∈ ùò ω (p) = a12 (p) (dx1 ∧ dx2 )p + a13 (p) (dx1 ∧ dx3 )p + a23 (p) (dx2 ∧ dx3 )p Þ -åí óõíôïìßá- ùò ω=

X i<j

aij dxi ∧ dxj , i, j = 1, 2, 3,

üðïõ ïé aij åßíáé ðñáãìáôéêÝò óõíáñôÞóåéò : R3 −→ R. ÅÜí ïé óõíáñôÞóåéò aij åßíáé äéáöïñßóéìåò4 , ôüôå ç ω êáëåßôáé äéáöïñéêÞ ìïñöÞ âáèìïý 2. Ôþñá èá ãåíéêåýóïõìå ôçí Ýííïéá ôÞò äéáöïñéêÞò ìïñöÞò ïñßæïíôÜò ôçí êáé óôïí Rn (ãéá ïéïíäÞðïôå öõóéêü áñéèìü n ≥ 1). ¸óôù p ∈ Rn êáé Ýóôù Rnp ï ¡ ¢∗ åöáðôüìåíïò ·þñïò5 ôïý Rn óôï óçìåßï p. ÅÜí ï Rnp åßíáé ï äõúêüò ·þñïò6 ôïý V ¡ ¢∗ Rnp , ôüôå ãéá êÜèå öõóéêü áñéèìü k ≥ 1 ïñßæïõìå ùò k Rnp ôï óýíïëï üëùí ôùí k-ãñáììéêþí åíáëëáóóïõóþí áðåéêïíßóåùí ϕ : Rnp × · · · × Rnp −→ R, | {z } k öïñÝò

üðïõ ìå ôïí üñï åíáëëÜóóïõóá åííïïýìå üôé ìéá ôÝôïéá ϕ áëëÜæåé ðñüóçìï êÜèå öïñÜ ðïõ åíáëëÜóóïõìå ôç èÝóç äýï (äéáöïñåôéêþí) äéáäï·éêþò ðáñáôåôáãìÝíùí ìåôáâëçôþí, Þôïé ϕ (v1 , . . . , vi , . . . , vj , . . . , vk ) = −ϕ (v1 , . . . , vj , . . . , vi , . . . , vk ) , ãéá êÜèå (v1 , . . . , vk ) ∈ Rnp × · · · × Rnp , üðïõ 1 ≤ i < j ≤ k. Ùò ðñïò ôéò óõ| {z } k öïñÝò

íÞèåéò (óçìåéáêÝò) ðñÜîåéò áðåéêïíßóåùí, ôï óýíïëï

Vk ¡ n ¢∗ Rp êáèßóôáôáé Ýíáò

4

(Ó.ô.Ì.): Ãéá ôéò óõìâÜóåéò ðåñß äéáöïñéóéìüôçôáò âë. ôç óçìåßùóç ðïõ ðáñáôßèåôáé ìåôÜ ôïí ïñéóìü 1.4.

5

3 (Ó.ô.Ì.): Ï Rn p ïñßæåôáé êáô' áíáëïãßáí ðñïò ôïí Rp .

6

∗ n (Ó.ô.Ì.): Ï (Rn p ) ïíïìÜæåôáé -éäéáéôÝñùò- êáé óõíåöáðôüìåíïò ·þñïò ôïý R óôï óçìåßï p.

äéáöïñéêåò ìïñöåò. èåùñéá êáé åöáñìïãåò

4

¡ ¢∗ (ðñáãìáôéêüò) äéáíõóìáôéêüò ·þñïò. ¼ôáí ïé ϕ1 , . . . , ϕk áíÞêïõí óôïí Rnp , V ¡ ¢∗ ëáìâÜíïõìå Ýíá óôïé·åßï ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕk ôïý k Rnp èÝôïíôáò ³ ´ (ϕ1 ∧ ϕ2 ∧ · · · ∧ ϕk ) (v1 , v2 , . . . , vk ) = det (ϕi (vj ))1≤i,j≤k . Áðü ôéò éäéüôçôåò ôùí ïñéæïõóþí Ýðåôáé üôé ç áðåéêüíéóç ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕk åßíáé üíôùò k-ãñáììéêÞ êáé åíáëëÜóóïõóá. ÉäéáéôÝñùò, ïöåßëïõìå íá óçìåéþóïõìå üôé ^k ¡ ¢∗ Rnp , (dxi1 )p ∧ (dxi2 )p ∧ · · · ∧ (dxik )p ∈

üôáí ij ∈ {1, . . . , n}, ∀j ∈ {1, . . . , k}. Áðü ôïýäå êáé óôï åîÞò ôï åí ëüãù óôïé·åßï èá óõìâïëßæåôáé -ãéá ëüãïõò áðëïýóôåõóçò- ùò (dxi1 ∧ dxi2 ∧ · · · ∧ dxik )p . 1.3 Ðñüôáóç. Ôï óýíïëï ⎧ ⎨ (dx ∧ dxi2 ∧ · · · ∧ dxik )p ⎩ i1

¯ ⎫ ¯ i1 < i2 < · · · < ik , ⎬ ¯ ¯ üðïõ ij ∈ {1, . . . , n}, ¯ ⎭ ¯ ∀j ∈ {1, . . . , k} V ¡ ¢∗ áðïôåëåß ìéá âÜóç 7 ôïý äéáíõóìáôéêïý ·þñïõ k Rnp .

Áðïäåéîç. Ôá óôïé·åßá ôïý áíùôÝñù óõíüëïõ åßíáé ãñáììéêþò áíåîÜñôçôá. ÐñÜãìáôé° åÜí ç8 X ai1 ,...,ik dxi1 ∧ · · · ∧ dxik = 0 i1 <···
åöáñìïóèåß óôï (ej1 , . . . , ejk ) ,

j1 < j2 < · · · < jk ,

üðïõ j ∈ {1, . . . , n}, ∀ ∈ {1, . . . , k}, ôüôå (êáôÜ ôçí Üóêçóç 1-2) ëáìâÜíïõìå X ai1 ,...,ik dxi1 ∧ · · · ∧ dxik (ej1 , . . . , ejk ) = aj1 ,...,jk = 0. i1 <···
Vk ¡ n ¢∗ Rp åßíáé Ýíáò ãñáììéêüò óõíÁðïìÝíåé ëïéðüí íá äåßîïõìå üôé êÜèå f ∈ äõáóìüò ôÞò ìïñöÞò X ai1 ,...,ik dxi1 ∧ · · · ∧ dxik . f= i1 <···
7 8

(Ó.ô.Ì.): Ùò åê ôïýôïõ, ï äéáíõóìáôéêüò ·þñïò

Vk ³

Rn p

´∗

Ý·åé äéÜóôáóç

¡ n¢ k

=

n! k!(n−k)! .

(Ó.ô.Ì.): Åäþ ôá ai1 ,...,ik åßíáé ðñáãìáôéêïß áñéèìïß, ïé ïðïßïé åìöáíßæïíôáé ùò óõíôåëåóôÝò åíüò ôõ·üíôïò ãñáììéêïý óõíäõáóìïý ôùí óôïé·åßùí ôïý áíùôÝñù óõíüëïõ.

1. äéáöïñéêåò ìïñöåò óôïí Rn

Ðñïò ôïýôï ïñßæïõìå ôçí X g=

i1 <···
ÓçìåéùôÝïí üôé g ∈

Vk ¡

Rnp

¢∗

5

f (ei1 , . . . , eik ) dxi1 ∧ · · · ∧ dxik .

êáé üôé éó·ýåé ç éóüôçôá

g(ei1 , . . . , eik ) = f (ei1 , . . . , eik )

ãéá üëá ôá i1 , . . . , ik , ïðüôå f = g. ÈÝôïíôáò ai1 ,...,ik = f (ei1 , . . . , eik ), ëáìâÜíïõìå ôçí ùò Üíù åðéèõìçôÞ Ýêöñáóç ãéá ôçí f . ¤ 1.4 Ïñéóìüò. ¸óôù k Ýíáò öõóéêüò áñéèìüò ≥ 1. Ìéá åîùôåñéêÞ ìïñöÞ âáèìïý k (Þ -åí óõíôïìßá- ìéá åîùôåñéêÞ k-ìïñöÞ) óôïí Rn åßíáé ìéá áðåéêüíéóç ω ç ïðïßá Vk ¡ n ¢∗ áíôéóôïé·ßæåé óå êÜèå óçìåßï p ∈ Rn Ýíá óôïé·åßï ω (p) ∈ Rp . ÊáôÜ ôçí ðñüôáóç 1.3 ìéá ôÝôïéá áðåéêüíéóç ω ìðïñåß íá ãñáöåß ùò åîÞò: ω(p) =

X

i1 <···
ai1 ,...,ik (p) (dxi1 ∧ · · · ∧ dxik )p , ij ∈ {1, .., n}, ∀j ∈ {1, .., k},

üðïõ ïé ai1 ,...,ik åßíáé ðñáãìáôéêÝò óõíáñôÞóåéò : Rn −→ R. ÅÜí ïé óõíáñôÞóåéò ai1 ,...,ik åßíáé äéáöïñßóéìåò, ôüôå ç ω êáëåßôáé äéáöïñéêÞ k-ìïñöÞ.

ÅðéëÝãïíôáò Ýíáí êáôÜ ôé ðéï âïëéêü óõìâïëéóìü, èá óõìâïëßæïõìå ùò I ôç äéáôåôáãìÝíç k-Üäá (i1 , i2 , ..., ik ), i1 < i2 < · · · < ik , üðïõ ij ∈ {1, . . . , n} ãéá êÜèå j ∈ {1, . . . , k}, êáé ôçí ω ùò åîÞò: ω=

X

aI dxI .

I

Åðßóçò, ãéá ôçí ôÞñçóç ìéáò äéåõêïëõíôéêÞò óýìâáóçò, êÜèå äéáöïñßóéìç óõíÜñôçóç f : Rn −→ R èá åêëáìâÜíåôáé ùò äéáöïñéêÞ 0-ìïñöÞ. ¥(Ó.ô.Ì.) Äéåõêñéíéóç: ËÝìå üôé ìéá áðåéêüíéóç f : U ⊆ Rn −→ Rm áíÞêåé óôçí êëÜóç C Þ üôé åßíáé C -äéáöïñßóéìç (üðïõ Ýíáò öõóéêüò áñéèìüò ≥ 1) üôáí äéáèÝôåé óõíå·åßò ìåñéêÝò ðáñáãþãïõò ôÜîçò ≤ . (Êáô' áíáëïãßáí, ìéá ôÝôïéá f êáëåßôáé C ∞ -äéáöïñßóéìç üôáí äéáèÝôåé óõíå·åßò ìåñéêÝò ðáñáãþãïõò ôÜîçò ãéá êÜèå öõóéêü áñéèìü ≥ 1.) ÅÜí óå ìéá åîùôåñéêÞ ìïñöÞ P ai1 ,...,ik dxi1 ∧ · · · ∧ dxik ω= i1 <···
âáèìïý k (ðïõ åßíáé ïñéóìÝíç óôïí Rn Þ -ãåíéêüôåñá- óå Ýíá áíïéêôü õðïóýíïëï U ôïý Rn ) ïé ai1 ,...,ik åßíáé C -äéáöïñßóéìåò (êáé, áíôéóôïß·ùò, C ∞ -äéáöïñßóéìåò)

äéáöïñéêåò ìïñöåò. èåùñéá êáé åöáñìïãåò

6

óõíáñôÞóåéò, ôüôå ëÝìå üôé ç ω åßíáé ìéá C -äéáöïñéêÞ k-ìïñöÞ (êáé, áíôéóôïß·ùò, ìéá C ∞ -äéáöïñéêÞ k-ìïñöÞ). ¼ëåò ïé ðñïôÜóåéò êáé ôá èåùñÞìáôá ôïý ðáñüíôïò âéâëßïõ ðïõ áíáöÝñïíôáé óôç «äéáöïñéóéìüôçôá» áðåéêïíßóåùí êáé åîùôåñéêþí ìïñöþí éó·ýïõí ðÜíôïôå üôáí ï üñïò «äéáöïñßóéìç áðåéêüíéóç» ·ñçóéìïðïéåßôáé ùò óõíþíõìï ôïý üñïõ «C ∞ -äéáöïñßóéìç áðåéêüíéóç» êáé ï üñïò «äéáöïñéêÞ ìïñöÞ» ùò óõíþíõìï ôïý üñïõ «C ∞ -äéáöïñéêÞ ìïñöÞ» (õðü ôçí ùò Üíù Ýííïéá). Ìéá ôÝôïéïõ åßäïõò óéùðçñÞ óýìâáóç åßíáé óõíÞèçò óå ðïëëÜ âéâëßá ÄéáöïñéêÞò Ãåùìåôñßáò êáé ìáò áðáëëÜóóåé áðü ôçí õðï·ñÝùóç íá åîåôÜæïõìå ôï ðüóåò öïñÝò ðáñáãùãßæåôáé ìéá áðåéêüíéóç åíôüò ôïý ðëáéóßïõ ìéáò áðïäåéêôéêÞò äéáäéêáóßáò. Ùóôüóï, åðåéäÞ ïñéóìÝíá èåùñçôéêÜ áðïôåëÝóìáôá åîáêïëïõèïýí íá éó·ýïõí ãåíéêüôåñá êáé ãéá C -äéáöïñßóéìåò áðåéêïíßóåéò êáé C -äéáöïñéêÝò ìïñöÝò áêüìç êáé ãéá ðïëý ìéêñïýò (ð.·. ãéá = 1 Þ = 2), êáé åðåéäÞ ïñéóìÝíïé áíáãíþóôåò åíäÝ·åôáé åê ðáñáëëÞëïõ ìå ôï ðáñüí óýããñáììá íá ·ñçóéìïðïéïýí êáé Üëëá âïçèÞìáôá (ÁíÜëõóçò Þ ÄéáöïñéêÞò Ôïðïëïãßáò), óôá ïðïßá äßíåôáé Ýìöáóç óå áõôÞí ôçí ðéï äéåõñõìÝíç èåþñçóç, êñßèçêå óêüðéìç (ãéá ôá ðñþôá äýï êåöÜëáéá ôÞò åëëçíéêÞò Ýêäïóçò) ç åíóùìÜôùóç ôùí ðñïáðáéôïýìåíùí áóèåíÝóôåñùí åéäþí «äéáöïñéóéìüôçôáò» óôç äéáôýðùóç ôùí ðñïôÜóåùí, èåùñçìÜôùí, áóêÞóåùí ê.Ü. Óôá êåöÜëáéá 3-6 ç «äéáöïñéóéìüôçôá» óçìáßíåé «C ∞ -äéáöïñéóéìüôçôá» (ðñâë. ôçí õðïóçìåßùóç óôïí ïñéóìü 3.1, óåë. 50). ] 1.5 ÐáñÜäåéãìá. Óôïí R4 Ý·ïõìå ôïõò áêüëïõèïõò ôýðïõò åîùôåñéêþí ìïñöþí (üðïõ ìå ôá ai , aij ê.ëð. óõìâïëßæïõìå óõíáñôÞóåéò: R4 −→ R): ÅîùôåñéêÝò ìïñöÝò óôïí R4 0-ìïñöÝò 1-ìïñöÝò 2-ìïñöÝò 3-ìïñöÝò 4-ìïñöÝò

Ï ôýðïò áõôþí ôùí ìïñöþí óõíáñôÞóåéò: R4 −→ R a1 dx1 + a2 dx2 + a3 dx3 + a4 dx4 a1,2 dx1 ∧ dx2 + a1,3 dx1 ∧ dx3 + a1,4 dx1 ∧ dx4 +a2,3 dx2 ∧ dx3 + a2,4 dx2 ∧ dx4 + a3,4 dx3 ∧ dx4 a1,2,3 dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 + a1,2,4 dx1 ∧ dx2 ∧ dx4 +a1,3,4 dx1 ∧ dx3 ∧ dx4 + a2,3,4 dx2 ∧ dx3 ∧ dx4 a1,2,3,4 dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 ∧ dx4

1.6 Óçìåßùóç. (Ó.ô.Ì.) Áðü åäþ êáé óôï åîÞò èá ðåñéïñéóèïýìå óôç ìåëÝôç äéáöïñéêþí ìïñöþí êáé, óôá êåöÜëáéá 1 êáé 2, ãéá ëüãïõò óõíôïìßáò, ìå ôïí üñï k-ìïñöÞ èá åííïïýìå C 1 -äéáöïñßóéìç k-ìïñöÞ , åíþ óôéò ðåñéðôþóåéò êáôÜ ôéò ïðïßåò èá ·ñçóéìïðïéïýìå Üëëï åßäïò äéáöïñéóéìüôçôáò (âÜóåé ôùí ùò Üíù ëå·èÝíôùí), èá ôï áíáöÝñïõìå äéåîïäéêÜ!

1. äéáöïñéêåò ìïñöåò óôïí Rn

7

Oñßæïõìå êÜðïéåò èåìåëéþäåéò ðñÜîåéò åðß ôïý óõíüëïõ ôùí k-ìïñöþí (óôïí Rn ) ùò åîÞò: Êáô' áñ·Üò, åÜí ïé ω êáé ϕ åßíáé äõï k-ìïñöÝò óôïí Rn : X X aI dxI , ϕ = bI dxI , ω= I

I

Ý·ïõìå ôç äõíáôüôçôá ïñéóìïý ôïý áèñïßóìáôüò ôïõò X ω+ϕ= (aI + bI ) dxI . I

Êáôüðéí ôïýôïõ, åÜí ç ω åßíáé ìéá k-ìïñöÞ êáé ç ϕ ìéá s-ìïñöÞ, ìðïñïýìå íá ïñßóïõìå ôï åîùôåñéêü ãéíüìåíï9 ω ∧ ϕ, ôï ïðïßï áðïôåëåß ìéá (k + s)-ìïñöÞ, ùò áêïëïýèùò: 1.7 Ïñéóìüò. ÅÜí X aI dxI , ω=

I = (i1 , i2 , ..., ik ),

i1 < i2 < · · · < ik ,

J = (j1 , j2 , ..., js ),

j1 < j2 < · · · < js ,

I

êáé

ϕ=

X

bJ dxJ ,

J

ôüôå åî ïñéóìïý

ω∧ϕ=

X IJ

aI bJ dxI ∧ dxJ .

1.8 ÐáñÜäåéãìá. ¸óôù ω ç 1-ìïñöÞ ω = x1 dx1 + x2 dx2 + x3 dx3 óôïí R3 êáé Ýóôù ϕ ç 2-ìïñöÞ ϕ = x1 dx1 ∧ dx2 + dx1 ∧ dx3 óôïí R3 . Ôüôå, åðåéäÞ dxi ∧ dxi = 0,

dxi ∧ dxj = −dxj ∧ dxi , i 6= j,

ëáìâÜíïõìå ùò åîùôåñéêü ãéíüìåíü ôïõò ôï ω ∧ ϕ = x2 dx2 ∧ dx1 ∧ dx3 + x3 x1 dx3 ∧ dx1 ∧ dx2 = (x1 x3 − x2 ) dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 . 1.9 ÐáñáôÞñçóç. Ï ïñéóìüò ôïý åîùôåñéêïý ãéíïìÝíïõ åéóÞ·èç êáôÜ ôÝôïéïí ôñüðï, þóôå ôï åîùôåñéêü ãéíüìåíï ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕk ïéùíäÞðïôå 1-ìïñöþí ϕ1 , ..., ϕk íá ôáõôßæåôáé ìå ôçí k-ìïñöÞ ôçí ïñéóèåßóá ðñïçãïõìÝíùò ìÝóù ôïý ôýðïõ ³ ´ (ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕk ) (v1 , . . . , vk ) = det (ϕi (vj ))1≤i,j≤k . Ôïýôï Ýðåôáé Üìåóá áðü ôïí ïñéóìü êáé áöÞíåôáé ùò Üóêçóç ãéá ôïí áíáãíþóôç (âë. Üóêçóç 1-3).

9 (Ó.ô.Ì.): Ëüãù ôïý ó·Þìáôïò ôïý óõìâüëïõ «∧», ìÝóù ôïý ïðïßïõ åßèéóôáé íá õðïäçëïýìå ôïí åí ëüãù ðïëëáðëáóéáóìü ìïñöþí, ðïëëïß óõããñáöåßò áíôß ôïý üñïõ «åîùôåñéêü ãéíüìåíï» (exterior product) ·ñçóéìïðïéïýí ôïí üñï «óöçíïåéäÝò ãéíüìåíï» Þ «ãéíüìåíï óöçíßóêïõ» (wedge product).

äéáöïñéêåò ìïñöåò. èåùñéá êáé åöáñìïãåò

8

Ôï åîùôåñéêü ãéíüìåíï ìïñöþí óôïí Rn Ý·åé ôéò áêüëïõèåò éäéüôçôåò: 1.10 Ðñüôáóç. Áò õðïèÝóïõìå üôé ç ω åßíáé ìéá k-ìïñöÞ, ç ϕ ìéá s-ìïñöÞ êáé ç θ ìéá r-ìïñöÞ. Ôüôå éó·ýïõí ïé áêüëïõèåò éóüôçôåò : (a) Ï åîùôåñéêüò ðïëëáðëáóéáóìüò ìïñöþí åßíáé ðñïóåôáéñéóôéêüò, Þôïé (ω ∧ ϕ) ∧ θ = ω ∧ (ϕ ∧ θ) . (b) Ïé ω ∧ ϕ êáé ϕ ∧ ω óõó·åôßæïíôáé ìÝóù ôïý áêüëïõèïõ ôýðïõ : (ω ∧ ϕ) = (−1)ks (ϕ ∧ ω). (c) ÅÜí r = s, ôüôå ω ∧ (ϕ + θ) = ω ∧ ϕ + ω ∧ θ. Áðïäåéîç. Ôá (a) êáé (c) Ýðïíôáé Üìåóá áðü ôïí ïñéóìü ôïý åîùôåñéêïý ãéíïìÝíïõ. Ãéá ôçí áðüäåéîç ôïý (b) ãñÜöïõìå ôéò áíùôÝñù ìïñöÝò ùò X aI dxI , I = (i1 , i2 , ..., ik ), i1 < i2 < · · · < ik , ω= I

êáé ϕ=

X

bJ dxJ ,

J = (j1 , j2 , ..., js ),

J

j1 < j2 < · · · < js ,

áíôéóôïß·ùò, ïðüôå X ω∧ϕ = aI bJ dxi1 ∧ · · · ∧ dxik ∧ dxj1 ∧ · · · ∧ dxjs I J

=

X I J

=

X I J

bJ aI (−1) dxi1 ∧ · · · ∧ dxik−1 ∧ dxj1 ∧ dxik ∧ · · · ∧ dxjs k

bJ aI (−1) dxj1 ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxik ∧ dxj2 ∧ · · · ∧ dxjs .

ÅðåéäÞ ôï J Ý·åé s óôïé·åßá, åðáíáëáìâÜíïíôáò ôçí ùò Üíù åðé·åéñçìáôïëïãßá ãéá êáèÝíá åê ôùí dxj , j ∈ J, ëáìâÜíïõìå ω∧ϕ=

X I J

bJ aI (−1)ks dxj1 ∧ · · · ∧ dxjs ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxik , ks

üðïõ ôï äåîéü ìÝëïò éóïýôáé ìå ôï (−1)

(ϕ ∧ ω).

¤

1. äéáöïñéêåò ìïñöåò óôïí Rn

9

1.11 ÐáñáôÞñçóç. Ðáñüôé dxi ∧ dxi = 0, äåí éó·ýåé åí ãÝíåé ω ∧ ω = 0 ãéá ïéáäÞðïôå ìïñöÞ ω. Ãéá ðáñÜäåéãìá, åÜí ω = x1 dx1 ∧ dx2 + x2 dx3 ∧ dx4 , ôüôå ω ∧ ω = 2x1 x2 dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 ∧ dx4 . Ç Üóêçóç 1-4 ðåñéãñÜöåé ìéá éêáíÞ óõíèÞêç ãéá ôïí ìçäåíéóìü ôïý åîùôåñéêïý ãéíïìÝíïõ ìéáò k-ìïñöÞò ìå ôïí åáõôü ôçò. ¸íá áðü ôá ðëÝïí óçìáíôéêÜ ãíùñßóìáôá ôùí äéáöïñéêþí ìïñöþí åßíáé ï ôñüðïò ìå ôïí ïðïßï óõìðåñéöÝñïíôáé êáôüðéí åöáñìïãÞò C 2 -äéáöïñéóßìùí áðåéêïíßóåùí. ¸óôù f : Rn −→ Rm ìéá C 2 -äéáöïñßóéìç áðåéêüíéóç. Ç f åðÜãåé ìéá áðåéêüíéóç f ∗ , ç ïðïßá óôÝëíåé k-ìïñöÝò ïñéæüìåíåò óôïí Rm íá áðåéêïíßæïíôáé óå k-ìïñöÝò ïñéæüìåíåò óôïí Rn : ÅÜí ç ω åßíáé ìéá k-ìïñöÞ óôïí Rm , ôüôå ç10 f ∗ ω åßíáé ç k-ìïñöÞ óôïí Rn ðïõ ðáñÝ·åôáé åî ïñéóìïý áðü ôïí ôýðï11 (f ∗ ω) (p) (v1 , . . . , vk ) = ω (f (p)) (dfp (v1 ) , . . . , dfp (vk )) , ãéá ïéáäÞðïôå p ∈ Rn êáé v1 , . . . , vk ∈ Rnp , üðïõ ùò dfp : Rnp −→ Rm f (p) óõìâïëßæïõìå ôï äéáöïñéêü ôÞò áðåéêüíéóçò f óôï óçìåßï p. Åðßóçò, ãéá ôçí ôÞñçóç ìéáò äéåõêïëõíôéêÞò óýìâáóçò, åÜí ç g åßíáé ìéá 0-ìïñöÞ, èÝôïõìå f ∗ (g) = g ◦ f. Ðñüêåéôáé íá äåßîïõìå üôé ç åöáñìïãÞ ôÞò f ∗ éóïäõíáìåß ìå «áëëáãÞ ôùí ìåôáâëçôþí». ¼ìùò ðñéí áðü áõôü ·ñåéáæüìáóôå ôçí ðáñÜèåóç ïñéóìÝíùí éäéïôÞôùí ôÞò f ∗ . 1.12 Ðñüôáóç. ¸óôù f : Rn −→ Rm ìéá C 2 -äéáöïñßóéìç áðåéêüíéóç.

(a) ÅÜí ïé ω êáé ϕ åßíáé äõï k-ìïñöÝò óôïí Rm , ôüôå Ý·ïõìå f ∗ (ω + ϕ) = f ∗ ω + f ∗ ϕ.

(b) ÅÜí ç g : Rm −→ R åßíáé ìéá 0-ìïñöÞ êáé ç ω ìéá k-ìïñöÞ, ôüôå f ∗ (gω) = f ∗ (g)f ∗ (ω). 10 (Ó.ô.Ì.): H f ∗ ω ïíïìÜæåôáé -éäéáéôÝñùò- êáé áíÜóõñóç (pull-back) ôÞò ω ìÝóù ôÞò f. (Óôçí åëëçíéêÞ ìåôÜöñáóç ôïý ¥16], áíôß ôïý «áíÜóõñóç» ·ñçóéìïðïéåßôáé ç ëÝîç «áíÜêëçóç», ðïõ ìÜëëïí óõíéóôÜ áôõ·Þ åðéëïãÞ.) 11 (Ó.ô.Ì.): Âåâáßùò, ç áíÜóõñóç f ∗ ω ôÞò k-ìïñöÞò ω ìðïñåß íá ïñéóèåß (ìÝóù ôïý éäßïõ ôýðïõ) áêüìç êáé üôáí ç f åßíáé ìéá C 1 - (ü·é êáô' áíÜãêçí C 2 -) äéáöïñßóéìç áðåéêüíéóç. Ùóôüóï, óôçí ðåñßðôùóç áõôÞ, ç f ∗ ω åßíáé ìéá åîùôåñéêÞ k-ìïñöÞ, ïé ïñßæïõóåò óõíáñôÞóåéò ôÞò ïðïßáò åßíáé óõíå·åßò (ü·é êáô' áíÜãêçí C 1 -äéáöïñßóéìåò). Ãéá ðáñÜäåéãìá, ç ãåíßêåõóç áõôÞ ·ñçóéìïðïéåßôáé óôïí ïñéóìü ôïý ïëïêëçñþìáôïò ìéáò 1-ìïñöÞò êáôÜ ìÞêïò ìéáò ôåìá·çäüí C 1 -äéáöïñßóéìçò êáìðýëçò. (Âë. êåöÜëáéï 2.)

äéáöïñéêåò ìïñöåò. èåùñéá êáé åöáñìïãåò

10

(c) Ãéá ïéåóäÞðïôå 1-ìïñöÝò ϕ1 , . . . , ϕk óôïí Rm Ý·ïõìå f ∗ (ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕk ) = f ∗ ϕ1 ∧ · · · ∧ f ∗ ϕk . Áðïäåéîç. Ç áðüäåéîÞ ôïõò åßíáé ðïëý åýêïëç. ÐñÜãìáôé° ãéá ïéïäÞðïôå p ∈ Rn êáé ïéáäÞðïôå v1 , . . . , vk ∈ Rnp Ý·ïõìå: (a)

f ∗ (ω + ϕ) (p) (v1 , . . . , vk ) = (ω + ϕ) (f (p)) (dfp (v1 ) , . . . , dfp (vk )) = (f ∗ ω) (p) (v1 , . . . , vk ) + (f ∗ ϕ) (p) (v1 , . . . , vk ) = (f ∗ ω + f ∗ ϕ) (p) (v1 , . . . , vk ) . (b) f ∗ (gω) (p) (v1 , . . . , vk ) = (gω) (f (p)) (dfp (v1 ) , . . . , dfp (vk )) = (g ◦ f ) (p) · (f ∗ ω) (p) (v1 , . . . , vk ) = f ∗ g (p) · (f ∗ ω) (p) (v1 , . . . , vk ) .

(c) ÅÜí -ãéá ëüãïõò áðëïýóôåõóçò ôïý óõìâïëéóìïý- ðáñáëåßøïõìå ôçí åíäéÜìåóç áíáöïñÜ ìáò óôï óçìåßï p, ôüôå ëáìâÜíïõìå f ∗ (ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕk ) (v1 , . . . , vk ) = (ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕk ) (dfp (v1 ) , . . . , dfp (vk )) ³ ´ = det (ϕi (dfp (vj )))1≤i,j≤k = det((f ∗ ϕi (vj ))1≤i,j≤k )

= (f ∗ ϕ1 ∧ · · · ∧ f ∗ ϕk ) (v1 , . . . , vk ) , ïðüôå üíôùò f ∗ (ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕk ) = f ∗ ϕ1 ∧ · · · ∧ f ∗ ϕk .

¤

1.13 ÐáñáôÞñçóç. ¼ðùò èá äåßîïõìå ðáñáêÜôù (âë. ðñüôáóç 1.16), ç éó·ýò ôÞò éäéüôçôáò (c) ôÞò 1.12 äåí ðåñéïñßæåôáé ìüíïí óôéò 1-ìïñöÝò, áëëÜ ãåíéêåýåôáé êáé ãéá ôõ·ïýóåò k-ìïñöÝò. Ôþñá äéáèÝôïõìå ôá ìÝóá ãéá íá ðáñïõóéÜóïõìå ôçí õðïó·åèåßóá (áíáëõôéêÞ) åñìçíåßá ôÞò f ∗ . Áò õðïèÝóïõìå üôé ïé (x1 , . . . , xn ) åßíáé ïé óõíôåôáãìÝíåò óôïí Rn , ïé (y1 , . . . , ym ) ïé óõíôåôáãìÝíåò óôïí Rm , êáé üôé -ìå ôç âïÞèåéÜ ôïõòç áðåéêüíéóç f : Rn −→ Rm ãñÜöåôáé ùò åîÞò: y1 = f1 (x1 , . . . , xn ), . . . , ym = fm (x1 , . . . , xn ).

(*)

P ¸óôù ω = I aI dyI ìéá k-ìïñöÞ óôïí Rm . µñçóéìïðïéþíôáò ôéò áíùôÝñù éäéüôçôåò ôÞò f ∗ ëáìâÜíïõìå X f ∗ω = f ∗ (aI ) (f ∗ dyi1 ) ∧ · · · ∧ (f ∗ dyik ) . I

1. äéáöïñéêåò ìïñöåò óôïí Rn

11

ÅðåéäÞ (f ∗ dyi ) (v) = dyi (df (v)) = d (yi ◦ f ) (v) = dfi (v) , Ý·ïõìå f ∗ω =

X I

aI (f1 (x1 , . . . , xn ), . . . , fm (x1 , . . . , xn )) dfi1 ∧ · · · ∧ dfik ,

üðïõ ïé fi êáé dfi åßíáé óõíáñôÞóåéò ìå ôá x1 , . . . , xn ùò ìåôáâëçôÝò ôïõò. Ùò åê ôïýôïõ, ç åöáñìïãÞ ôÞò f ∗ óôçí ω éóïäõíáìåß ìå ôçí «áíôéêáôÜóôáóç» ôùí ìåôáâëçôþí y1 , . . . , ym êáé ôùí äéáöïñéêþí ôïõò áðü ôéò óõíáñôÞóåéò ôùí x1 , . . . , xn êáé dx1 , . . . , dxn ôéò ðñïêýðôïõóåò áðü ôéò (*). 1.14 Óçìåßùóç. Åíßïôå åßíáé êáôáëëçëüôåñç ç èåþñçóç äéáöïñéêþí ìïñöþí ïé ïðïßåò ïñßæïíôáé ìüíïí åðß åíüò áíïéêôïý óõíüëïõ U $ Rn êáé ü·é åðß ïëïêëÞñïõ ôïý Rn . Åßíáé, âåâáßùò, ðñüäçëï üôé üóá Ý·ïõìå áíáöÝñåé -ìÝ·ñé óôéãìÞò- ãéá ôéò k-ìïñöÝò óôïí Rn åðåêôåßíïíôáé êáôÜ ôñüðï ôåôñéììÝíï áêüìç êáé óå áõôÞí ôçí ðåñßðôùóç. 1.15 ÐáñÜäåéãìá. (ÐïëéêÝò óõíôåôáãìÝíåò). ¸óôù ω ç 1-ìïñöÞ ç ïñéæüìåíç åðß ôïý R2 r{(0, 0)} ùò áêïëïýèùò: ω=−

x y dx + 2 dy. x2 + y 2 x + y2

ÅÜí åíôüò ôïý åðéðÝäïõ ìå ðïëéêÝò óõíôåôáãìÝíåò (r, θ) ôï U åßíáé ôï óýíïëï U = { (r, θ) | r > 0, 0 < θ < 2π} êáé f : U −→ R2 ç C 2 -áðåéêüíéóç f (r, θ) = (x, y) = (r cos θ, r sin θ), èá õðïëïãßóïõìå ôçí f ∗ ω. ÅðåéäÞ dx = cos θ dr − r sin θ dθ, dy = sin θ dr + r cos θ dθ, ëáìâÜíïõìå f ∗ω = −

r sin θ r cos θ (cos θ dr − r sin θ dθ) + (sin θ dr + r cos θ dθ) = dθ. r2 r2

ÓçìåéùôÝïí üôé, óýìöùíá ìå ôï (a) ôÞò ðñüôáóçò 1.12, ç ðñüóèåóç k-ìïñöþí åßíáé ìåôáèÝóéìç ýóôåñá áðü ôçí «áëëáãÞ ôùí ìåôáâëçôþí». Èá äåßîïõìå üôé ôï ßäéï éó·ýåé êáé ãéá ôï åîùôåñéêü ãéíüìåíï.

äéáöïñéêåò ìïñöåò. èåùñéá êáé åöáñìïãåò

12

1.16 Ðñüôáóç. ¸óôù f : Rn −→ Rm ìéá C 2 -äéáöïñßóéìç áðåéêüíéóç. Ôüôå éó·ýïõí ôá áêüëïõèá : (a) Ãéá ïéáäÞðïôå k-ìïñöÞ ω êáé s-ìïñöÞ ϕ óôïí Rm Ý·ïõìå f ∗ (ω ∧ ϕ) = f ∗ (ω) ∧ f ∗ (ϕ) . (b) ÅÜí ç g : Rp −→ Rn åßíáé ìéá C 2 -äéáöïñßóéìç áðåéêüíéóç, ôüôå ∗

(f ◦ g) ω = g ∗ (f ∗ ω) ãéá ïéáäÞðïôå k-ìïñöÞ ω óôïí Rm . Áðïäåéîç. (a) ÈÝôïíôáò (y1 , . . . , ym ) = (f1 (x1 , . . . , xn ), . . . , fm (x1 , . . . , xn )) , ∀(x1 , . . . , xn ) ∈ Rn , P P êáé ãñÜöïíôáò ôéò åí ëüãù ìïñöÝò ùò ω = I aI dxI êáé ϕ = J bJ dxJ , áíôéóôïß·ùò, ëáìâÜíïõìå à ! X ∗ ∗ f (ω ∧ ϕ) = f aI bJ dxI ∧ dxJ X

=

IJ

IJ

aI (f1 , . . . , fm ) bJ (f1 , . . . , fm ) dfI ∧ dfJ

à X

=

aI (f1 , . . . , fm ) dfI

I

!

∧

= f ∗ (ω) ∧ f ∗ (ϕ) .

à X

bJ (f1 , . . . , fm ) dfJ

J

!

(b) Ðñïöáíþò, ∗

(f ◦ g) ω

=

X I

=

X

aI ((f ◦ g)1 , . . . , (f ◦ g)m ) d (f ◦ g)I aI (f1 (g1 , . . . , gn ), . . . , fm (g1 , . . . , gn )) dfI (dg1 , . . . , dgn ),

I

üðïõ áõôü ôï ôåëåõôáßï Üèñïéóìá éóïýôáé ìå ôçí g ∗ (f ∗ ω).

¤

Åí óõíå·åßá, åðßêåéôáé íá ïñßóïõìå Ýíáí ôåëåóôÞ åðß ôïý óõíüëïõ ôùí C äéáöïñéêþí ìïñöþí ãåíéêåýïíôáò ôçí Ýííïéá ôïý äéáöïñéêïý óõíáñôÞóåùí. Ùò ãíùóôüí, åÜí ç g : Rn −→ R åßíáé ìéá C -äéáöïñßóéìç óõíÜñôçóç, üðïõ ≥ 2, ôï äéáöïñéêü ôçò dg =

n X ∂g dxi ∂xi i=1

1. äéáöïñéêåò ìïñöåò óôïí Rn

13

åßíáé ìéá 1-ìïñöÞ áíÞêïõóá óôçí êëÜóç C −1 . ÐñüèåóÞ ìáò ëïéðüí åßíáé íá ãåíéêåýóïõìå áõôÞí ôç äéáäéêáóßá ó·çìáôéóìïý ôïý äéáöïñéêïý êáé íá ïñßóïõìå Ýíáí ôåëåóôÞ d, ï ïðïßïò èá óôÝëíåé êÜèå k-ìïñöÞ óå ìéá (k + 1)-ìïñöÞ. P 1.17 Ïñéóìüò. ¸óôù ω = I aI dxI ìéá C -äéáöïñéêÞ k-ìïñöÞ óôïí Rn , Ôï åîùôåñéêü äéáöïñéêü dω ôÞò ω åßíáé åî ïñéóìïý ôï dω =

X I

Þôïé ìéá C

−1

≥ 2.

daI ∧ dxI ,

-äéáöïñéêÞ (k + 1)-ìïñöÞ óôïí Rn .

1.18 ÐáñÜäåéãìá. Áò õðïèÝóïõìå üôé ω = xyz dx + yz dy + (x + z) dz êé áò õðïëïãßóïõìå ôï dω: dω

= d(xyz) ∧ dx + d(yz) ∧ dy + d(x + y) ∧ dz

= (yz dx + xz dy + xy dz) ∧ dx + (z dy + y dz) ∧ dy + (dx + dz) ∧ dz

= −xz dx ∧ dy + (1 − xy) dx ∧ dz − y dy ∧ dz.

Óôï óçìåßï áõôü ðáñáèÝôïõìå ïñéóìÝíåò éäéüôçôåò ôÞò åîùôåñéêÞò äéáöüñéóçò. Ç (c) åßíáé ðéèáíþò ç óçìáíôéêüôåñç åî áõôþí, åíþ ç (d) äåß·íåé üôé ï ôåëåóôÞò d åßíáé ìåôáèÝóéìïò ýóôåñá áðü áëëáãÞ ôùí ìåôáâëçôþí ìáò. 1.19 Ðñüôáóç. (a) Ãéá ïéåóäÞðïôå C -äéáöïñéêÝò k-ìïñöÝò ω 1 , ω 2 , üðïõ Ý·ïõìå

≥ 2,

d(ω 1 + ω 2 ) = dω 1 + dω 2 . (b) Ãéá ïéáäÞðïôå k-ìïñöÞ ω êáé ïéáäÞðïôå s-ìïñöÞ ϕ (áðü ôçí êëÜóç C , ≥ 2) Ý·ïõìå d (ω ∧ ϕ) = (dω) ∧ ϕ + (−1)k ω ∧ (dϕ) . (c) Ãéá ïéáäÞðïôå C -äéáöïñéêÞ k-ìïñöÞ ω =

P

I

aI dxI , üðïõ ≥ 2, Ý·ïõìå

d(dω) = d2 ω = 0. (d) ÅÜí ç ω åßíáé ôõ·ïýóá C -äéáöïñéêÞ k-ìïñöÞ êáé ç f : Rn −→ Rm ìéá C äéáöïñßóéìç áðåéêüíéóç, üðïõ ≥ 2, ôüôå d (f ∗ ω) = f ∗ (dω) .

äéáöïñéêåò ìïñöåò. èåùñéá êáé åöáñìïãåò

14

Áðïäåéîç. Ôï (a) Ýðåôáé Üìåóá áðü ôïí ïñéóìü ôïý åîùôåñéêïý äéáöïñéêïý. P P (b) ÅÜí ω = I aI dxI êáé ϕ = J bJ dxJ , ôüôå d (ω ∧ ϕ) =

=

X I J

X I J

d(aI bJ ) dxI ∧ dxJ

bJ daI dxI ∧ dxJ +

= (dω) ∧ ϕ + (−1)k

X I J

X I J

aI dbJ ∧ dxI ∧ dxJ

aI dxI ∧ dbJ ∧ dxJ

= (dω) ∧ ϕ + (−1)k ω ∧ (dϕ) . (c) Áò õðïèÝóïõìå, êáô' áñ·Üò, üôé ç ω åßíáé ìéá C -äéáöïñßóéìç óõíÜñôçóç f : Rn −→ R ç ïðïßá áíôéóôïé·ßæåé óå êÜèå óçìåßï (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn ôçí ôéìÞ f (x1 , . . . , xn ) ∈ R. Ôüôå ⎞ ⎛ µ ¶ n n X X ∂f ∂f dxj ⎠ = d d(df ) = d ⎝ ∧ dxj ∂xj ∂xj j=1 j=1 à n ! n X X ∂2f = dxi ∧ dxj . ∂xi ∂xj j=1 i=1 ÅðåéäÞ (âÜóåé ôùí ðñïûðïôåèåéóþí óõíèçêþí12 ) ∂2f ∂2f = ∂xi ∂xj ∂xj ∂xi êáé dxi ∧ dxj = −dxj ∧ dxi , üôáí i 6= j, ëáìâÜíïõìå ¶ X µ ∂2f ∂2f d(df ) = − dxi ∧ dxj = 0. ∂xi ∂xj ∂xj ∂xi 1≤i<j≤n

Åí óõíå·åßá, áò õðïèÝóïõìå üôé ç ω åßíáé ôõ·ïýóá C -äéáöïñéêÞ k-ìïñöÞ X ω= aI dxI . I

ÂÜóåé ôïý (a) ìðïñïýìå (äß·ùò âëÜâç ôÞò ãåíéêüôçôáò) íá ðåñéïñéóèïýìå óôçí ðåñßðôùóç êáôÜ ôçí ïðïßá ω = aI dxI , üðïõ aI 6= 0. Óýìöùíá ìå ôï (b), dω = daI ∧ dxI + aI d(dxI ). 12

(Ó.ô.Ì.): Åäþ åöáñìüæïõìå ôï áêüëïõèï èåþñçìá: ÅÜí ç f : Rn −→ R åßíáé ìéá äéáöïñßóéìç óõíÜñôçóç ìå ôéò

∂f ∂xj

, 1 ≤ j ≤ n, äéáöïñßóéìåò êáé ôéò

∂2 f ∂xi ∂xj

, 1 ≤ i, j ≤ n, óõíå·åßò, ôüôå

∂2 f ∂xi ∂xj

=

∂2 f ∂xj ∂xi

.

1. äéáöïñéêåò ìïñöåò óôïí Rn

15

¼ìùò d(dxI ) = d(1) ∧ dxI = 0. ÊáôÜ óõíÝðåéáí, d(dω) = d (daI ∧ dxI + aI d(dxI ))

= d(daI ) ∧ dxI − daI ∧ d(dxI ) = 0,

ëüãù ôïý üôé d(daI ) = 0 êáé d(dxI ) = 0, ðñÜãìá ðïõ áðïäåéêíýåé ôï (c). (d) Êáé óôçí ðñïêåéìÝíç ðåñßðôùóç èá áðïäåßîïõìå -óå ðñþôç öÜóç- ôïí éó·õñéóìü ìüíïí ãéá ôéò C -äéáöïñßóéìåò óõíáñôÞóåéò. ¸óôù g : Rm −→ R ìéá äéáöïñßóéìç óõíÜñôçóç áíÞêïõóá óôçí êëÜóç C , ç ïðïßá áíôéóôïé·ßæåé óå êÜèå (y1 , . . . , ym ) ∈ Rm ôçí ôéìÞ g(y1 , . . . , ym ) ∈ R. Ôüôå Ãm ! Ãm ! n X ∂g X X ∂g ∂fi dyi = dxj f (dg) = f ∂yi ∂yi ∂xj i=1 j=1 i=1 ∗

∗

n X ∂(g ◦ f )

=

j=1

∂xj

dxj = d (g ◦ f ) = d (f ∗ g) .

Åí óõíå·åßá, áò õðïèÝóïõìå üôé ç ϕ åßíáé ôõ·ïýóá C -äéáöïñéêÞ k-ìïñöÞ X ϕ= aI dxI . I

µñçóéìïðïéþíôáò ü,ôé áðïäåßîáìå ìÝ·ñé ôïýäå, óå óõíäõáóìü ìå ôï ãåãïíüò üôé ç f ∗ ìðïñåß íá ìåôáôåèåß åöáñìïæüìåíç óôï åîùôåñéêü ãéíüìåíï ïéùíäÞðïôå ìïñöþí, ëáìâÜíïõìå à ! X ∗ ∗ ∗ (f aI ) (f dxI ) d (f ϕ) = d =

X I

= f∗

I

d ((f ∗ aI ) ∧ (f ∗ dxI )) =

à X I

daI ∧ dxI

ðñÜãìá ðïõ áðïäåéêíýåé êáé ôï (d).

!

X I

f ∗ (daI ) ∧ f ∗ (dxI )

= f ∗ (dϕ) , ¤

1.20 Óçìåßùóç. Óôéò áóêÞóåéò ðïõ áêïëïõèïýí èá êÜíïõìå óõ·íÜ ·ñÞóç ôïý êáíïíéóôéêïý éóïìïñöéóìïý ìåôáîý ôïý äéáíõóìáôéêïý ·þñïõ Rnp êáé ôïý äõú¡ ¢∗ êïý ôïõ Rnp , ï ïðïßïò êáèïñßæåôáé ìÝóù ôïý (óõíÞèïõò) åóùôåñéêïý ãéíïìÝíïõ h , i ôïý Rn . Áò áíáêáëÝóïõìå óôç ìíÞìç ìáò üôé, åÜí ç { ei | 1 ≤ i ≤ n} åßíáé ç óõíÞèçò âÜóç ôïý Rn (ç áðáñôéæüìåíç áðü ôá n ìïíáäéáßá äéáíýóìáôá) êáé ôá

äéáöïñéêåò ìïñöåò. èåùñéá êáé åöáñìïãåò

16

v1 =

n P

ai ei êáé v2 =

i=1

n P

i=1

bi ei áíÞêïõí óôïí Rnp , ôüôå hv1 , v2 i =

n X

ai bi .

i=1

Ï åí ëüãù êáíïíéóôéêüò éóïìïñöéóìüò óôÝëíåé êÜèå äéÜíõóìá v ∈ Rnp íá áðåéêï¡ ¢∗ íßæåôáé óå Ýíá óôïé·åßï ω ∈ Rnp , ôï ïðïßï ðáñÝ·åôáé áðü ôïí ôýðï ω (u) = hv, ui , ∀u ∈ Rnp .

ÌåôáâáëëïìÝíïõ ôïý óçìåßïõ p, ï ðñïêåßìåíïò éóïìïñöéóìüò (ðñáãìáôéêþí) äéáíõóìáôéêþí ·þñùí äçìéïõñãåß ìéá 1-1 áíôéóôïß·éóç (:áìößññéøç) ìåôáîý ôïý óõíüëïõ ôùí äéáíõóìáôéêþí ðåäßùí ôùí ïñéæïìÝíùí óôïí Rn êáé ôïý óõíüëïõ ôùí åîùôåñéêþí 1-ìïñöþí óôïí Rn . Åßíáé ìÜëéóôá åýêïëï íá åëåã·èåß ôï üôé áõôÞ ç áíôéóôïß·éóç óôÝëíåé (C -)äéáöïñßóéìá äéáíõóìáôéêÜ ðåäßá íá áðåéêïíßæïíôáé óå (C -)äéáöïñéêÝò 1-ìïñöÝò (êáé áíôéóôñüöùò).

ÁóêÞóåéò 1-1. Áðïäåßîôå üôé ìéá äéãñáììéêÞ ìïñöÞ ϕ : R3 × R3 −→ R åßíáé åíáëëÜóóïõóá åÜí êáé ìüíïí åÜí ϕ (v, v) = 0, ∀v ∈ R3 . 1-2. ÅÜí i1 < i2 < · · · < ik êáé j1 < j2 < · · · < jk , áðïäåßîôå üôé (dxi1 ∧ · · · ∧ dxik ) (ej1 , . . . , ejk ) =

(

üôáí i1 = j1 , . . . , ik = jk , óôçí áíôßèåôç ðåñßðôùóç.

1, 0,

Õðüäåéîç : ÈåùñÞóôå ôÞí ïñßæïõóá µ³ ´ α = det dxi (ejn )

1≤ ,n≤k

¶

.

ÅÜí i1 > j1 , ôüôå ik > · · · > i2 > i1 > j1 =⇒ dxi (ej1 ) = 0, ∀ ∈ {1, . . . , k}. Êáé, åÜí i1 < j1 , ôüôå jk > · · · > j2 > j1 > i1 =⇒ dxi1 (ejn ) = 0, ∀n ∈ {1, . . . , k}.

1. äéáöïñéêåò ìïñöåò óôïí Rn

17

Ùò åê ôïýôïõ, êáé óôéò äýï áõôÝò ðåñéðôþóåéò Ý·ïõìå α = 0. Åí óõíå·åßá, õðïèÝóôå üôé i1 = j1 áëëÜ i2 6= j2 , êáé äåßîôå êáé ðÜëé üôé α = 0. Ç ßäéá åðé·åéñçìáôïëïãßá, åðáíáëáìâáíïìÝíç, åöáñìüæåôáé åýêïëá êáé óôïõò åðïìÝíïõò äåßêôåò. 1-3. Áðïäåßîôå üóá éó·õñéóèÞêáìå óôçí ðáñáôÞñçóç 1.9. 1-4. ¸óôù ϕ ìéá åîùôåñéêÞ k-ìïñöÞ, üðïõ k Ýíáò ðåñéôôüò öõóéêüò áñéèìüò. Äåßîôå üôé ϕ ∧ ϕ = 0. 1-5. Áò õðïèÝóïõìå üôé ïé ϕ, ψ êáé θ åßíáé ïé áêüëïõèåò äéáöïñéêÝò ìïñöÝò óôïí R3 : ϕ = x dx − y dy, ψ = z dx ∧ dy + x dy ∧ dz, θ = z dy. Õðïëïãßóôå ôéò ϕ ∧ ψ, θ ∧ ϕ ∧ ψ, dϕ, dψ êáé dθ. 1-6. ¸óôù f : U ⊆ Rm −→ Rn ìéá C 2 -äéáöïñßóéìç áðåéêüíéóç. ÕðïèÝôïíôáò üôé m < n êáé üôé ç ω åßíáé ìéá k-ìïñöÞ óôïí Rm ìå k > m, äåßîôå üôé f ∗ ω = 0. 1-7. ¸óôù ω ç 2-ìïñöÞ óôïí R2n ç ïðïßá ïñßæåôáé ìÝóù ôïý ôýðïõ ω = dx1 ∧ dx2 + dx3 ∧ dx4 + · · · + dx2n−1 ∧ dx2n . Õðïëïãßóôå ôï åîùôåñéêü ãéíüìåíï n áíôéôýðùí ôÞò ω. 1-8. ¸óôù f : Rn −→ Rn ìéá C 2 -äéáöïñßóéìç áðåéêüíéóç ç ïðïßá ïñßæåôáé ìÝóù ôïý ôýðïõ f (x1 , . . . , xn ) = (y1 , . . . , yn ) êáé Ýóôù ω = dy1 ∧ · · · ∧ dyn . Äåßîôå üôé éó·ýåé ç éóüôçôá f ∗ ω = det (df ) dx1 ∧ · · · ∧ dxn . 1-9. ¸óôù ν ç n-ìïñöÞ óôïí Rn ç ïñéæüìåíç ìÝóù ôÞò ν (e1 , . . . , en ) = 1, üðïõ ç { ei | 1 ≤ i ≤ n} åßíáé ç óõíÞèçò âÜóç ôïý Rn . Äåßîôå üôé éó·ýïõí ôá åîÞò: n P (a) ÅÜí vi = aij ej , ôüôå j=1

³ ´ ν (v1 , . . . , vn ) = det (aij )1≤i,j≤n = vol (v1 , . . . , vn ) .

(Ç ìïñöÞ ν êáëåßôáé óôïé·åßï üãêïõ ôïý Rn .) (b) ν = dx1 ∧ dx2 ∧ · · · ∧ dxn .

äéáöïñéêåò ìïñöåò. èåùñéá êáé åöáñìïãåò

18

1-10. ÔåëåóôÞò Üóôñïõ ôïý Hodge. Ãéá ïéáäÞðïôå äïèåßóá k-ìïñöÞ ω óôïí Rn ïñßæïõìå ìéá (n − k)-ìïñöÞ ∗ ω èÝôïíôáò ¡ ¢ ∗ (dxi1 ∧ dxi2 ∧ · · · ∧ dxik ) = (−1)σ dxj1 ∧ dxj2 ∧ · · · ∧ dxjn−k

êáé ·ñçóéìïðïéþíôáò ãñáììéêÞ åðÝêôáóç, üðïõ

i1 < i2 < · · · < ik , j1 < j2 < · · · < jn−k , êáé ç (i1 , . . . , ik , j1 , . . . , jn−k ) åßíáé ìéá êõêëéêÞ ìåôÜôáîç ôïý óõíüëïõ {1, 2, ..., n}, ìå ôï σ ßóï ìå ôï 0 üôáí ç åí ëüãù ìåôÜôáîç åßíáé Üñôéá êáé ßóï ìå ôï 1 üôáí åßíáé ðåñéôôÞ. Äåßîôå üôé: (a) ÅÜí ç ω = a12 dx1 ∧ dx2 + a13 dx1 ∧ dx3 + a23 dx2 ∧ dx3 åßíáé ìéá 2-ìïñöÞ óôïí R3 , ôüôå ∗ ω = a12 dx3 − a13 dx2 + a23 dx1 . (b) ÅÜí ç ω = a1 dx1 + a2 dx2 åßíáé ìéá 1-ìïñöÞ óôïí R2 , ôüôå ∗ ω = a1 dx2 − a2 dx1 . (c) Ãéá ïéáäÞðïôå k-ìïñöÞ ω óôïí Rn Ý·ïõìå ∗ ∗ ω = (−1)k(n−k) ω. 1-11. ÊÜèå C 2 -äéáöïñßóéìï äéáíõóìáôéêü ðåäßï v óôïí Rn ìðïñåß íá èåùñçèåß ùò ìéá C 2 -äéáöïñßóéìç áðåéêüíéóç v : Rn −→ Rn . Ç áðüêëéóç13 åíüò ôÝôïéïõ v åßíáé ç óõíÜñôçóç div v : Rn −→ R ç ïñéæüìåíç áðü ôïí ôýðï (div v) (p) = tr((dv)p ), ∀p ∈ Rn , üðïõ ôï óýìâïëï tr (= trace) äçëïß ôï ß·íïò ôïý äéáöïñéêïý (dv)p : Rnp −→ Rnp ôïý v óôï óçìåßï p. Äåßîôå üôé éó·ýïõí ôá áêüëïõèá: n P ai ei , üðïõ { ei | 1 ≤ i ≤ n} åßíáé ç óõíÞèçò âÜóç ôïý Rn , (a) ÅÜí v = i=1

ôüôå

div v =

n X ∂ai i=1

13

(Ó.ô.Ì.): Ðñâë. Marsden-Tromba ¥11], åíüôçôåò 3.4 êáé 3.5.

∂xi

.

1. äéáöïñéêåò ìïñöåò óôïí Rn

19

(b) ÅÜí ùò ω óõìâïëßóïõìå ôç C 2 -äéáöïñéêÞ 1-ìïñöÞ, ôçí ïðïßá áðïêôïýìå áðü ôçí v ìÝóù ôïý êáíïíéóôéêïý éóïìïñöéóìïý ôïý åðáãïìÝíïõ áðü ôï åóùôåñéêü ãéíüìåíï h , i, êáé ùò ν ôï óôïé·åßï üãêïõ ôïý Rn (âë. Üóêçóç 1-9), ôüôå ç áðüêëéóç14 ìðïñåß íá ëçöèåß ùò áêïëïýèùò: v 7−→ ω 7−→ ∗ ω 7−→ d (∗ ω) = (div v) ν, üðïõ óå áõôÝò ôéò áðåéêïíßóåéò ãßíåôáé ·ñÞóç ôïý ôåëåóôÞ Üóôñïõ ôïý åéóá·èÝíôïò óôçí Üóêçóç 1-10. 1-12. Ôï êëßôïò (Þ, êáô' Üëëïõò, ç êëßóç) ïéáóäÞðïôå äïèåßóáò C 2 -äéáöïñßóéìçò óõíÜñôçóçò f : Rn −→ R åßíáé ôï C 1 -äéáíõóìáôéêü ðåäßï grad f óôïí Rn ôï ïñéæüìåíï ìÝóù ôïý ôýðïõ15 hgrad f (p), ui = dfp (u), ∀p ∈ Rn êáé ∀u ∈ Rnp . ÓçìåéùôÝïí üôé ôï grad f åßíáé åêåßíï ôï äéáíõóìáôéêü ðåäßï16 , ôï ïðïßï, ìÝóù ôïý êáíïíéóôéêïý éóïìïñöéóìïý, áíôéóôïé·åß óôçí 1-ìïñöÞ df . Äåßîôå üôé éó·ýïõí ôá åîÞò: (a) Ùò ðñïò ôç óõíÞèç âÜóç { ei | 1 ≤ i ≤ n} ôïý Rn Ý·ïõìå n X ∂f grad f = ei . ∂x i i=1

(b) ÅÜí ãéá êÜðïéï p ∈ Rn éó·ýåé grad f (p) 6= 0, ôüôå ôï grad f (p) åßíáé êÜèåôï ðñïò ôï «åðßðåäï äéáâáèìßóåùí» { q ∈ Rn | f (q) = f (p)}.

(c) Ç ãñáììéêÞ áðåéêüíéóç dfp : Rnp −→ R, ðåñéïñéæïìÝíç åðß ôÞò ìïíáäéáßáò óöáßñáò ìå êÝíôñï ôï p, ëáìâÜíåé ôç ìåãßóôç äõíáôÞ ôéìÞ ôçò üôáí grad f v = |grad f| .

1-13. Ç ëáðëáóéáíÞ óõíÜñôçóç (Þ óõíÜñôçóç ôïý Laplace) 4 f : Rn −→ R ïéáóäÞðïôå äïèåßóáò C 2 -äéáöïñßóéìçò óõíÜñôçóçò f : Rn −→ R ïñßæåôáé ìÝóù ôïý ôýðïõ 4f = div (grad f ) . Äåßîôå ôçí éó·ý ôùí áêïëïýèùí éóïôÞôùí: 14

(Ó.ô.Ì.): Âåâáßùò, ç áðüêëéóç div v ôïý v ìðïñåß íá ïñéóèåß (ìÝóù ôÞò éäßáò äéáäéêáóßáò) áêüìç êáé üôáí ôï v åßíáé Ýíá C 1 - (ü·é êáô' áíÜãêçí C 2 -) äéáöïñßóéìï äéáíõóìáôéêü ðåäßï. Ùóôüóï, óôçí ðåñßðôùóç áõôÞ, ç ω åßíáé ìéá åîùôåñéêÞ ìïñöÞ âáèìïý 1, ïé ïñßæïõóåò óõíáñôÞóåéò ôÞò ïðïßáò åßíáé óõíå·åßò (ü·é êáô' áíÜãêçí C 1 -äéáöïñßóéìåò). 15 16

(Ó.ô.Ì.): Ðñâë. Marsden-Tromba ¥11], åíüôçôåò 2.5 êáé 3.5.

(Ó.ô.Ì.): Êáô' áíáëïãßáí, êáé ôï grad f åßíáé äõíáôüí íá ïñéóèåß (ìÝóù ôïý éäßïõ ôýðïõ) áêüìç êáé üôáí ç f åßíáé ìéá C 1 - (ü·é êáô' áíÜãêçí C 2 -) äéáöïñßóéìç óõíÜñôçóç. Ùóôüóï, óôçí ðåñßðôùóç áõôÞ, ç df åßíáé ìéá åîùôåñéêÞ ìïñöÞ âáèìïý 1, ïé ïñßæïõóåò óõíáñôÞóåéò ôÞò ïðïßáò åßíáé óõíå·åßò (ü·é êáô' áíÜãêçí C 1 -äéáöïñßóéìåò).

äéáöïñéêåò ìïñöåò. èåùñéá êáé åöáñìïãåò

20

(a) 4 f =

n P

i=1

∂2f . ∂x2i

(b) 4 (f g) = f 4 g + g4 f + 2 hgrad f, grad gi .

(c) d ∗ (df ) = (4f ) ν, üðïõ ν ôï óôïé·åßï üãêïõ ôïý Rn . 1-14. ¸óôù v Ýíá C 2 -äéáöïñßóéìï äéáíõóìáôéêü ðåäßï óôïí Rn . Ç ðåñéóôñïöÞ (Þ ï óôñïâéëéóìüò) rot v ôïý v åßíáé17 ç (n − 2)-ìïñöÞ18 ç êáèïñéæïìÝíç ìÝóù ôùí v 7−→ ω 7−→ dω 7−→ ∗ (dω) = rot v, üðïõ ç v 7−→ ω åßíáé ç áíôéóôïß·éóç (:áìößññéøç) ìåôáîý ôùí C 2 äéáöïñéêþí 1-ìïñöþí êáé ôùí C 2 -äéáöïñéóßìùí äéáíõóìáôéêþí ðåäßùí ç åðáãïìÝíç áðü ôï åóùôåñéêü ãéíüìåíï. (a) Áðïäåßîôå üôé rot(gradf ) = 0. (b) Óôçí åéäéêÞ ðåñßðôùóç üðïõ n = 3, ç 1-ìïñöÞ rot v áíôéóôïé·åß óå Ýíá äéáíõóìáôéêü ðåäßï, ôï ïðïßï (ãéá ëüãïõò áðëïýóôåõóçò) óõìâïëßæåôáé ùóáýôùò ùò rot v. ¼ôáí n = 3, äåßîôå ôÞí éó·ý ôùí áêïëïýèùí éóïôÞôùí: ³ ³ ³ ´ ´ ´ 3 P ∂a3 ∂a2 ∂a1 ∂a3 ∂a2 ∂a1 − + − + − e e i) rot( ai ei ) = ∂x 1 2 ∂x3 ∂x3 ∂x1 ∂x1 ∂x2 e3 . 2 i=1

ii) div (rot v) = 0.

1-15. ¸íáò ãåùìåôñéêüò ïñéóìüò ôïý ôåëåóôÞ Üóôñïõ ∗. V ¡ ¢∗ ¸íá óôïé·åßï ϕ ôïý k Rnp êáëåßôáé áðïóõíôåèåéìÝíï óôïé·åßï üôáí ϕ = ϕ1 ∧ ϕ2 ∧ · · · ∧ ϕk ,

üðïõ ôá { ϕ | 1 ≤ i ≤ k} åßíáé ãñáììéêþò áíåîÜñôçôá óôïé·åßá ôïý V1 ¡ n ¢∗ ∼ ¡ i n ¢∗ Rp = Rp . Áðïäåßîôå üôé éó·ýïõí ôá áêüëïõèá:

(a) ÅÜí

ϕi =

k X

aij β j , i = 1, . . . , k,

j=1

17 18

(Ó.ô.Ì.): Ðñâë. Marsden-Tromba ¥11], åíüôçôåò 3.4 êáé 3.5.

(Ó.ô.Ì.): Êáô' áíáëïãßáí ðñïò ôçí áðüêëéóç êáé ôï êëßôïò, êáé ç ðåñéóôñïöÞ rot v ôïý v ìðïñåß íá ïñéóèåß áêüìç êáé üôáí ôï v åßíáé Ýíá C 1 - (ü·é êáô' áíÜãêçí C 2 -) äéáöïñßóéìï äéáíõóìáôéêü ðåäßï. Ùóôüóï, óôçí ðåñßðôùóç áõôÞ, ç rot v åßíáé ìéá åîùôåñéêÞ ìïñöÞ âáèìïý 1, ïé ïñßæïõóåò óõíáñôÞóåéò ôÞò ïðïßáò åßíáé óõíå·åßò (ü·é êáô' áíÜãêçí C 1 -äéáöïñßóéìåò).

1. äéáöïñéêåò ìïñöåò óôïí Rn

21

³ ´ ¡ ¢∗ β j ∈ Rnp êáé det (aij )1≤i,j≤k = 1, ôüôå

ϕ1 ∧ ϕ2 ∧ · · · ∧ ϕk = β 1 ∧ β 2 ∧ · · · ∧ β k .

Ùò åê ôïýôïõ, Ýíá áðïóõíôåèåéìÝíï óôïé·åßï ϕ åßíáé äõíáôüí íá äéáèÝôåé ðåñéóóüôåñåò ôÞò ìßáò «åêðñïóùðÞóåéò» (ãñáöüìåíï ùò åîùôåñéêü ãéíüìåíï V ¡ ¢∗ ¡ n ¢∗ k ãñáììéêþò áíåîáñôÞôùí óôïé·åßùí ôïý 1 Rnp ∼ = Rp ). (b) ÅÜí -áíôéóôñüöùò- ïé

ϕ1 ∧ ϕ2 ∧ · · · ∧ ϕk = β 1 ∧ β 2 ∧ · · · ∧ β k = ϕ åßíáé äõï åêðñïóùðÞóåéò ôïý ϕ, ôüôå ϕi =

k X j=1

³ ´ aij β j , i = 1, . . . , k, üðïõ det (aij )1≤i,j≤k = 1.

ª © Õðüäåéîç : Åðåêôåßíåôå ôï óýíïëï β 1 , β 2 , . . . , β k−1 , β k óå ìéá âÜóç ª ¡ ¢∗ © β 1 , . . . , β k , β k+1 , . . . , β n ïëïêëÞñïõ ôïý äéáíõóìáôéêïý ·þñïõ Rnp êáé åêöñÜóôå ôÜ ϕi ùò ãñáììéêïýò óõíäõáóìïýò ϕi =

k X

aij β j +

j=1

n X

biη β η .

η=k+1

ÐáñáôçñÞóôå üôé β 1 ∧ β 2 ∧ · · · ∧ β k ∧ ϕi = ϕ1 ∧ ϕ2 ∧ · · · ∧ ϕk ∧ ϕi = 0. Åî áõôïý óõíÜãåôáé üôé n X

η=k+1

biη β 1 ∧ β 2 ∧ · · · ∧ β k ∧ β η = 0.

Êáé, åðåéäÞ ôá ©

¯ ª β1 ∧ β2 ∧ · · · ∧ βk ∧ βη ¯ k + 1 ≤ η ≤ n

åßíáé ãñáììéêþò áíåîÜñôçôá, Ý·ïõìå

biη = 0, ∀η ∈ {k + 1, . . . , n}. (c) ÅÜí ôï ϕ = ϕ1 ∧ ϕ2 ∧ · · · ∧ ϕk åßíáé Ýíá áðïóõíôåèåéìÝíï óôïé·åßï ôïý Vk ¡ n ¢∗ Rp , ôüôå ôá äéáíýóìáôá v1 , . . . , vk ∈ Rnp ôá êáèïñéæüìåíá ìÝóù ôÞò áíôéóôïß·éóçò (: áìößññéøçò) vi ←→ ϕi , ∀i ∈ {1, ..., k},

22

äéáöïñéêåò ìïñöåò. èåùñéá êáé åöáñìïãåò ôÞò åðáãïìÝíçò áðü ôï åóùôåñéêü ãéíüìåíï h , i ôïý Rn , åßíáé ãñáììéêþò áíåîÜñôçôá êáé ï õðü·ùñïò ôïý Rn , ôïí ïðïßï ðáñÜãïõí, äåí åîáñôÜôáé áðü ôçí åêÜóôïôå åêðñïóþðçóç ôïý ϕ. (Ï åí ëüãù õðü·ùñïò êáëåßôáé õðü·ùñïò ôïý ϕ.) (d) ÅÜí ôï ϕ = ϕ1 ∧ ϕ2 ∧ · · · ∧ ϕk åßíáé Ýíá áðïóõíôåèåéìÝíï óôïé·åßï ôïý Vk ¡ n ¢∗ Rp , ôüôå ï k-üãêïò ôïý óôåñåïý ôïý ðáñáãïìÝíïõ áðü ôá äéáíýóìáôá { vi | 1 ≤ i ≤ k} äåí åîáñôÜôáé áðü ôçí åêÜóôïôå åêðñïóþðçóç ôïý ϕ êáé êáëåßôáé üãêïò ôïý ϕ. (e) ÅÜí ôï ϕ = ϕ1 ∧ ϕ2 ∧ · · · ∧ ϕk åßíáé Ýíá áðïóõíôåèåéìÝíï óôïé·åßï ôïý Vn−k ¡ n ¢∗ Vk ¡ n ¢∗ Rp , ôüôå ïñßóôå ôü ∗ ϕ ùò Ýíá óôïé·åßï ôïý Rp ìå ôéò áêüëïõèåò éäéüôçôåò: i) Ï õðü·ùñïò ôïý ∗ ϕ åßíáé êÜèåôïò ðñïò ôïí õðü·ùñï ôïý ϕ. ii) Ï üãêïò ôïý ∗ ϕ éóïýôáé ìå ôïí üãêï ôïý ϕ. iii) Ôï ϕ ∧ ∗ ϕ åßíáé èåôéêü, äçëáäÞ, åöáñìïæüìåíï óå ìéá èåôéêÞ âÜóç ôïý Rnp , ëáìâÜíåé èåôéêÞ ôéìÞ. Áðïäåßîôå üôé ôï ∗ ϕ åßíáé êáëþò ïñéóìÝíï ìÝóù ôùí éäéïôÞôùí i), ii) êáé iii). Õðüäåéîç : ÕðïèÝóôå üôé vi ↔ ϕi , i = 1, ..., k, üðùò óôï (c), êáé üôé ï W åßíáé ï õðü·ùñïò ôïý Rnp ï ðáñáãüìåíïò áðü ôá äéáíýóìáôá { vi | 1 ≤ i ≤ k}. ÈåùñÞóôå ìéá ïñèüôáêôç âÜóç {ek+1 , . . . , en } ôïý ïñèïãùíßïõ óõìðëçñþìáôïò W ⊥ ôïý W , ïýôùò þóôå ç âÜóç {v1 , . . . , vk , ek+1 , . . . , en } ôïý Rnp íá ¡ ¢∗ åßíáé èåôéêÞ. Åí óõíå·åßá, ãéá êÜèå j ∈ {k + 1, . . . , n}, ïñßóôå ôÜ ϕj ∈ Rnp ìÝóù ôÞò áíôéóôïß·éóçò ϕj ↔ ej ôÞò ðñïáíáöåñèåßóáò óôï (c), êáé óõìâïëßóôå ùò λ > 0 ôïí üãêï ôïý W. Áñêåß íá åëÝãîåôå üôé ôï λ ϕk+1 ∧ · · · ∧ ϕn éêáíïðïéåß ôéò i), ii) êáé iii). (f) ÕðïèÝóôå üôé ôá v1 , v2 åßíáé äõï ôõ·üíôá äéáíýóìáôá ôïý R3 êáé üôé ïé ϕ1 ↔ v1 êáé ϕ2 ↔ v2 åßíáé ïé 1-ìïñöÝò ïé êáèïñéæüìåíåò ìÝóù ôÞò áíôéóôïß·éóçò ôïý (c). Ïñßóôå ôü äéáíõóìáôéêü (åîùôåñéêü) ãéíüìåíï v1 × v2 ôùí v1 êáé v2 ìÝóù ôÞò v1 × v2 ←→ ∗ (ϕ1 ∧ ϕ2 ) êáé äþóôå ìéá ãåùìåôñéêÞ ðåñéãñáöÞ ôïý äéáíýóìáôïò v1 × v2 .

(g) Ìéá k-ìïñöÞ ω óôïí Rn ïíïìÜæåôáé áðïóõíôåèåéìÝíç ìïñöÞ üôáí ïé Vk ¡ n ¢∗ Rp , ∀p ∈ Rn . ÊÜèå ôéìÝò ω (p) åßíáé áðïóõíôåèåéìÝíá óôïé·åßá ôïý n k-ìïñöÞ óôïí R ãñÜöåôáé ùò Ýíáò ãñáììéêüò óõíäõáóìüò áðïóõíôåèåéìÝíùí k-ìïñöþí ôïý ôýðïõ dxi1 ∧ dxi2 ∧ · · · ∧ dxik . Åöáñìüæïíôáò ôïí ùò Üíù ïñéóìü, äåßîôå üôé ç ìïñöÞ ∗ (dxi1 ∧ dxi2 ∧ · · · ∧ dxik ) äéáèÝôåé ôçí ßäéá Ýêöñáóç ìå åêåßíç ðïõ äüèçêå ðñïçãïõìÝíùò óôçí Üóêçóç 1-10.

1. äéáöïñéêåò ìïñöåò óôïí Rn

23

1-16. Ôï ëÞììá ôïý Poincarª ãéá 1-ìïñöÝò. ¸óôù ω = a(x, y, z) dx + b(x, y, z) dy + c(x, y, z) dz ìéá 1-ìïñöÞ óôïí R3 , ôÝôïéá þóôå íá éó·ýåé dω = 0. Ïñßæïíôáò ôç óõíÜñôçóç f : R3 −→ R ìÝóù ôïý ôýðïõ f (x, y, z) =

Z

1

(a(tx, ty, tz) x + b(tx, ty, tz) y + c(tx, ty, tz) z) dt, 0

äåßîôå üôé df = ω. (Ôïýôï óçìáßíåé üôé ç óõíèÞêç dω = 0, ç ïðïßá éêáíïðïéåßôáé üôáí ω = df , åßíáé êáé éêáíÞ ãéá ôçí ýðáñîç ìéáò C 1 -äéáöïñßóéìçò óõíÜñôçóçò f : R3 −→ R, ïýôùò þóôå íá éó·ýåé ç éóüôçôá ω = df . Åí ðñïêåéìÝíù, Ý·ïõìå ·ñçóéìïðïéÞóåé ôï R3 ãéá ëüãïõò ðïõ ìáò åîõðçñåôïýí êáôÜ ôçí åðéëïãÞ åíüò âïëéêïý óõìâïëéóìïý° ùóôüóï, ôï áðïôÝëåóìá ðáñáìÝíåé åí éó·ý áêüìç êáé ãéá ôï Rn , üðïõ n ïéïóäÞðïôå öõóéêüò áñéèìüò.) Õðüäåéîç : ÐáñáôçñÞóôå üôé áðü ôçí éóüôçôá dω = 0 óõíÜãïíôáé ïé ∂b ∂a ∂c ∂a ∂b ∂c = , = , = , ∂x ∂y ∂x ∂z ∂z ∂y êáé ·ñçóéìïðïéÞóôå ôÞí ôáõôüôçôá Z

1

d (a(tx, ty, tz) t) dt, 0 dt Z 1 Z 1 a(tx, ty, tz) dt + t(a1 x + a2 y + a3 z) dt, =

a(x, y, z) =

0

0

üðïõ ïé a1 , a2 êáé a3 óõìâïëßæïõí ôéò ìåñéêÝò ðáñáãþãïõò ôÞò a(x, y, z) ùò ðñïò ôçí ðñþôç, ôç äåýôåñç êáé ôçí ôñßôç ìåôáâëçôÞ, áíôéóôïß·ùò. 1-17. ËÝìå üôé Ýíá C 1 -äéáöïñßóéìï äéáíõóìáôéêü ðåäßï v ïñéæüìåíï åðß åíüò áíïéêôïý óõíüëïõ U ⊆ Rn ðñïÝñ·åôáé ôïðéêþò áðü Ýíá äõíáìéêü üôáí ãéá êÜèå p ∈ U õðÜñ·åé ìéá ãåéôïíéÜ V 3 p, V ⊆ U, êáèþò êáé ìéá C 2 -äéáöïñßóéìç óõíÜñôçóç g : V −→ R (ðïõ ïíïìÜæåôáé äõíáìéêü), ïýôùò þóôå íá éó·ýåé v = grad g. (a) ¸óôù v Ýíá C 1 -äéáöïñßóéìï äéáíõóìáôéêü ðåäßï ïñéæüìåíï åðß åíüò áíïéêôïý óõíüëïõ U ⊂ Rn êáé Ýóôù ω ç 1-ìïñöÞ ç áíôéóôïé·ïýóá óôï v, Þôïé ω (u) = hv, ui , ∀u ∈ Rn .

äéáöïñéêåò ìïñöåò. èåùñéá êáé åöáñìïãåò

24

Äåßîôå üôé ôï v ðñïÝñ·åôáé ôïðéêþò áðü Ýíá äõíáìéêü åÜí êáé ìüíïí åÜí dω = 0. Õðüäåéîç : µñçóéìïðïéÞóôå ôÞí ôïðéêÞ åêäï·Þ ôïý ëÞììáôïò ôïý Poincarª ôÞò Üóêçóçò 1-16. (b) Äåßîôå üôé ôï v ðñïÝñ·åôáé ôïðéêþò áðü Ýíá äõíáìéêü åÜí êáé ìüíïí åÜí rot v = 0. (c) ¸óôù v ôï äéáíõóìáôéêü ðåäßï (ôÞò çëåêôñéêÞò Ýëîçò): v(p) = −

1 (x2

+

y2

+

3

z2) 2

(x, y, z), ∀p ∈ R3 r{(0, 0, 0)}.

Äåßîôå üôé ôï v ðñïÝñ·åôáé ôïðéêþò áðü Ýíá äõíáìéêü g, üðïõ g=

1 1

(x2

+ y2 + z2 ) 2

+ (êÜðïéá óôáèåñÜ),

êáé üôé 4g = 0. 1-18. Ìéá óõíÜñôçóç g : R3 −→ R ïíïìÜæåôáé ïìïãåíÞò âáèìïý k (üðïõ k Ýíáò ìç áñíçôéêüò áêÝñáéïò) üôáí ãéá ïéïíäÞðïôå ðñáãìáôéêü áñéèìü t > 0 êáé ãéá ïéáäÞðïôå ôñéÜäá (x, y, z) ∈ R3 éó·ýåé ç éóüôçôá g(tx, ty, tz) = tk g(x, y, z). Áðïäåßîôå ôá áêüëïõèá: (a) ÅÜí ç g : R3 −→ R åßíáé ïìïãåíÞò âáèìïý k, ôüôå ðëçñïß ôç ëåãïìÝíç ôáõôüôçôá ôïý Euler, Þôïé x gx + y gy + z gz = k g. Õðüäåéîç : Ðáñáãùãßóôå áìöüôåñá ôá ìÝëç ôÞò g(tx, ty, tz) = tk g(x, y, z) ùò ðñïò t êáé èÝóôå: t = 1. (b) ÅÜí ç ω åßíáé ìéá 1-ìïñöÞ ω = a dx + b dy + c dz, óôçí ïðïßá ïé a, b êáé c åßíáé ïìïãåíåßò óõíáñôÞóåéò âáèìïý k êáé ãéá ôçí ïðïßá éó·ýåé ç éóüôçôá dω = 0, ôüôå ω = df , üðïõ f (x, y, z) =

x a(x, y, z) + y b(x, y, z) + z c(x, y, z) . k+1

Õðüäåéîç : ÐáñáôçñÞóôå üôé áðü ôçí éóüôçôá dω = 0 Ýðïíôáé ïé ∂a ∂c ∂a ∂b ∂c ∂b = , = , = , ∂x ∂y ∂x ∂z ∂z ∂y

1. äéáöïñéêåò ìïñöåò óôïí Rn

25

êáé åöáñìüóôå ôÞí ôáõôüôçôá ôïý Euler. (c) ÅÜí ç σ åßíáé ìéá äéáöïñéêÞ ìïñöÞ σ = a dy ∧ dz + b dy ∧ dx + c dx ∧ dy, óôçí ïðïßá ïé a, b êáé c åßíáé ïìïãåíåßò óõíáñôÞóåéò âáèìïý k êáé ãéá ôçí ïðïßá éó·ýåé ç éóüôçôá dσ = 0, ôüôå σ = dγ, üðïõ γ=

(zb − yc) dx + (xc − za) dy + (ya − xb) dz . k+2

ÊÅÖÁËÁÉÏ 2

Åðéêáìðýëéá ïëïêëçñþìáôá

ÕðÜñ·åé äõíáôüôçôá ïëïêëÞñùóçò ôùí äéáöïñéêþí ìïñöþí. Ôïýôï èá åðåîçãçèåß ëåðôïìåñþò ëßãï áñãüôåñá (óôï êåöÜëáéï 4) êáé áöïý èá Ý·ïõìå åí ðñþôïéò ðáñáèÝóåé ïñéóìÝíá ðñïêáôáñêôéêÜ óôïé·åßá ðåñß ôïý «öõóéêïý ðåñéâÜëëïíôïò» ôùí äéáöïñéêþí ìïñöþí (óôï êåöÜëáéï 3). Ùóôüóï, ç åéäéêÞ ðåñßðôùóç ôÞò ïëïêëÞñùóçò 1-ìïñöþí êáôÜ ìÞêïò êáìðõëþí (Þôïé ç ðåñßðôùóç ôÞò èåþñçóçò ôùí ëåãïìÝíùí åðéêáìðõëßùí ïëïêëçñùìÜôùí) åßíáé ôüóï áðëÞ, þóôå ç ðñáãìÜôåõóÞ ôçò íá åßíáé äõíáôÞ áíåîáñôÞôùò ôÞò ãåíéêüôåñçò èåùñßáò° áõôÞ ç åéäéêÞ ðåñßðôùóç èá åßíáé ôï áíôéêåßìåíï ìåëÝôçò ôïý ðáñüíôïò êåöáëáßïõ1 . Ðáñüôé èá ðåñéïñéóèïýìå óå êáìðýëåò åíôüò ôïý Rn , ïé áðïäåßîåéò ðïõ áêïëïõèïýí åßíáé äïìçìÝíåò êáôÜ ôÝôïéïí ôñüðï, þóôå íá ðáñáìÝíïõí éó·ýïõóåò áêüìç êáé ãéá ôï ãåíéêüôåñï åñãáóéáêü ðëáßóéï ðïõ èá åðéëåãåß óôá êáôïðéíÜ êåöÜëáéá. n P ai dxi ìéá 1-ìïñöÞ ïñéóìÝíç óå Ýíá áíïéêôü óýíïëï U ⊆ Rn ¸óôù ω = i=1

êáé Ýóôù c : [a, b] −→ U ìéá êáôÜ ôìÞìáôá C 1 -äéáöïñßóéìç êáìðýëç åíôüò ôïý U. Õðåíèõìßæïõìå üôé ç c åßíáé êáôÜ ôìÞìáôá (Þ ôåìá·çäüí) C 1 -äéáöïñßóéìç üôáí åßíáé óõíå·Þò êáé õðÜñ·åé ìéá äéáìÝñéóç a = t0 , t1 , . . . , tk , tk+1 = b ôïý êëåéóôïý äéáóôÞìáôïò [a, b], ôÝôïéá þóôå ï ðåñéïñéóìüò c|[tj ,tj+1 ] = cj íá åßíáé ìéá C 1 -äéáöïñßóéìç áðåéêüíéóç ãéá êÜèå j ∈ {0, 1, . . . , k}. ÓçìåéùôÝïí üôé, óå êÜèå êëåéóôü õðïäéÜóôçìá [tj , tj+1 ] ôïý [a, b], ç áíÜóõñóç c∗j ω ôÞò ω ìÝóù ôÞò cj óôïí 1 Ç ýëç ôïý ðáñüíôïò êåöáëáßïõ äåí ðñüêåéôáé íá ·ñçóéìïðïéçèåß óôï õðüëïéðï âéâëßï êáé -ùò åê ôïýôïõ- ìðïñåß íá ðáñáëåéöèåß êáôÜ ôçí ðñþôç áíÜãíùóç.

äéáöïñéêåò ìïñöåò. èåùñéá êáé åöáñìïãåò

28

R (ðñâë. õðïóçìåßùóç ôÞò óåë. 9) ðáñÝ·åôáé áðü ôïí ôýðï c∗j ω =

n X

ai (x1 (t), . . . , xn (t))

i=1

dxi dt, dt

üðïõ c(t) = (x1 (t), . . . , xn (t)) . Ïñßæïõìå ôï ïëïêëÞñùìá2 ôÞò ω êáôÜ ìÞêïò ôÞò c(t) ùò áêïëïýèùò3 : Z

ω := c(t)

k Z X j=0

tj+1

c∗j ω tj

=

Z

b a

à n X

dxi ai (t) dt i=1

!

dt.

Ìéá áëëáãÞ ôÞò ðáñáìÝôñçóçò (Þ áíáðáñáìÝôñçóç) ôÞò c : [a, b] −→ U åßíáé Ýíáò C 1 -äéáöïñßóéìïò ïìïéïìïñöéóìüò ϕ : [c, d] −→ [a, b]. ËÝìå üôé ç ϕ äéáôçñåß ôïí ðñïóáíáôïëéóìü üôáí åßíáé áýîïõóá° åéäÜëëùò, ç ϕ áíôéóôñÝöåé ôïí ðñïóáíáôïëéóìü. ÅÜí t = ϕ (τ ) êáé åÜí ç ϕ åßíáé áýîïõóá, ôüôå -·ñçóéìïðïéþíôáò ôüí ôýðï áëëáãÞò ìåôáâëçôþí ãéá ïëïêëçñþìáôá- ëáìâÜíïõìå Z

ω

=

Zb ÃX n a

c(t)

=

dxi ai (t) dt i=1

Zd ÃX n c

!

dxi ai (τ ) dτ i=1

dt =

!

Zb ÃX n a

dτ =

Z

dxi dτ ai (ϕ (τ )) dτ dt i=1

!

dt

ω,

c(τ )

³ R ´ R Þôïé êÜôé ðïõ äåß·íåé üôé ôï ïëïêëÞñùìá c ω := c(t) ω åßíáé áíáëëïßùôï ùò ðñïò ïéáäÞðïôå áëëáãÞ ðáñáìÝôñçóçò ðïõ äéáôçñåß ôïí ðñïóáíáôïëéóìü. Êáô' R áíáëïãßáí, åÜí ç ϕ áíôéóôñÝöåé ôïí ðñïóáíáôïëéóìü, ôüôå ôï ïëïêëÞñùìá c ω áëëÜæåé ðñüóçìï. Ìå ôï c èá óõìâïëßæïõìå -áðü åäþ êáé óôï åîÞò- ôï ß·íïò ôÞò c(t) åöïäéáóìÝíï ìå Ýíáí äïèÝíôá ðñïóáíáôïëéóìü, åíþ ìå ôï −c èá óõìâïëßæïõìå ôçí ßäéá êáìðýëç åöïäéáóìÝíç ìå ôïí áíôßèåôï ðñïóáíáôïëéóìü. Êáô' áõôüí ôïí ôñüðï, R ôï ïëïêëÞñùìá c ω åßíáé êáëþò ïñéóìÝíï êáé éó·ýåé ç éóüôçôá Z Z ω = − ω. Pn

−c

c

n Ìéá 1-ìïñöÞ ω = i=1 ai dxi , ïñéóìÝíç óå Ýíá áíïéêôü óýíïëï U ⊆ R , ëÝìå üôé åßíáé êëåéóôÞ üôáí dω = 0, êáé üôé åßíáé áêñéâÞò óå Ýíá óýíïëï V ⊆ U üôáí 2 (Ó.ô.Ì.): Ç óõíÜñôçóç ðïõ åìöáíßæåôáé ùò óõíôåëåóôÞò ôïý dt óå êáèåìéÜ ôùí áíáóýñóåùí c∗ j ω, üíôáò óõíå·Þò åðß ôïý [tj , tj+1 ] , åßíáé êáé ïëïêëçñþóéìç (âë. ¥18], èåþñçìá 6.8). 3 (Ó.ô.Ì.): Áðü åäþ êáé óôï åîÞò ï óõããñáöÝáò ·ñçóéìïðïéåß ôï ai (t) ùò óõìâïëéóôéêÞ óõíôüìåõóç ôïý ai (x1 (t), . . . , xn (t)).

2. åðéêáìðõëéá ïëïêëçñùìáôá

29

õðÜñ·åé ìéá C 1 -äéáöïñßóéìç óõíÜñôçóç f : V −→ R, ôÝôïéá þóôå íá éó·ýåé ç éóüôçôá ω = df åðß (ïëïêëÞñïõ) ôïý V. ÓçìåéùôÝïí üôé, åÜí ç ω åßíáé áêñéâÞò åðß ôïý V êáé ç c : [a, b] −→ V ìéá ôåìá·çäüí C 1 -äéáöïñßóéìç êáìðýëç, ôüôå Z

c

ω=

Z

c

df =

Zb

a

c∗ (df ) = f (c(b)) − f (c(a)),

R ðñÜãìá ðïõ óçìáßíåé üôé ôï ïëïêëÞñùìá c ω åîáñôÜôáé ìüíïí áðü ôá ëçêôéêÜ óçìåßá ôÞò c. ÅîÜëëïõ, åÜí ç ω åßíáé áêñéâÞò óôï V êáé ç c ìéá êëåéóôÞ êáìðýëç, R ôüôå c ω = 0. Óôçí ðñáãìáôéêüôçôá, áõôÝò ïé ôñåéò éäéüôçôåò åßíáé éóïäýíáìåò. Pn 2.1 Ðñüôáóç. ¸óôù ω = i=1 ai dxi ìéá 1-ìïñöÞ ïñéóìÝíç óå Ýíá áíïéêôü óýíïëï U ⊂ Rn . Ïé áêüëïõèåò éäéüôçôåò åßíáé éóïäýíáìåò :

(i) Ç ω åßíáé áêñéâÞò óå Ýíá óõíåêôéêü áíïéêôü óýíïëï V ⊆ U. R (ii) Ôï ïëïêëÞñùìá c ω åîáñôÜôáé ìüíïí áðü ôá ëçêôéêÜ óçìåßá ôÞò c, ãéá êÜèå c åíôüò ôïý V . R (iii) c ω = 0 ãéá êÜèå êëåéóôÞ êáìðýëç c åíôüò ôïý V .

Áðïäåéîç. ¼ðùò Ý·ïõìå Þäç åîçãÞóåé óå áäñÝò ãñáììÝò, éó·ýïõí ïé óõíåðáãùãÝò (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii). Ôï üôé éó·ýåé êáé ç (iii) ⇒ (ii) åßíáé Üìåóá äéáðéóôþóéìï. ¢ñá ïõóéáóôéêþò åíáðïìÝíåé íá áðïäåé·èåß ç óõíåðáãùãÞ (ii) ⇒ (i). Áò ðñïûðïèÝóïõìå ëïéðüí ôçí éó·ý ôÞò (ii) êé áò èåùñÞóïõìå Ýíá ðáãéùìÝíï óçìåßï p ∈ V. Ãéá êÜèå x ∈ V, èåùñïýìå ìéá ôåìá·çäüí C 1 -äéáöïñßóéìç êáìðýëç cx ç ïðïßá óõíäÝåé ôï p ìå ôï x. Åí óõíå·åßá, ïñßæïõìå ôçí f : V −→ R ìÝóù ôïý ôýðïõ R f (x) = ω, ∀x ∈ V. cx

Ëüãù ôïý (ii), ç f åßíáé ìéá êáëþò ïñéóìÝíç óõíÜñôçóç. Éó·õñéæüìáóôå üôé éó·ýåé ç éóüôçôá df = ω, áð' üðïõ Ýðåôáé ôï (i). ÅðåéäÞ df =

n X ∂f dxi , ∂xi i=1

ãéá ôçí åðáëÞèåõóç ôïý éó·õñéóìïý ìáò áñêåß íá äåé·èåß üôé ∂f (x) = ai (x) , ∀i ∈ {1, ..., n}. ∂xi ÅÜí ei = (0, 0, ..., 0, 1, 0, ..., 0, 0), üðïõ ôï 1 âñßóêåôáé óôçí i-ïóôÞ èÝóç, êáé åÜí èåùñÞóïõìå ôçí êáìðýëç ci : (−ε, ε) −→ V, ci (t) := x + tei , ∀t ∈ (−ε, ε) ,

äéáöïñéêåò ìïñöåò. èåùñéá êáé åöáñìïãåò

30

ç ïðïßá óõíäÝåé ôï x ìå ôï x + tei êáé ç åéêüíá ôÞò ïðïßáò ðåñéÝ·åôáé óôï V, ãéá áñêïýíôùò ìéêñü ε > 0, ôüôå Ý·ïõìå ∂f (x) = ∂xi = = = =

lim

1

{f (x + tei ) − f (x)} Z Z 1 lim { ω− ω} t−→0 t cx Z cx +ci 1 ω lim t−→0 t ci Z 1 t lim ai (s) ds t−→0 t 0 ai (ci (0)) = ai (x) , t−→0 t

¤

Þôïé ôçí áðüäåéîç ôùí áíùôÝñù éóïôÞôùí. 2.2 ÐáñÜäåéãìá. Èåùñïýìå ôç ìïñöÞ ω0 = −

y x dx + 2 dy x2 + y 2 x + y2

ôçí ïñéæüìåíç óôï óýíïëï U = R2 r{(0, 0)}. ¸íáò Üìåóïò õðïëïãéóìüò ìÜò äßíåé dω 0 = 0. Áíôß íá åêôåëÝóïõìå áðåõèåßáò ôïí åí ëüãù õðïëïãéóìü, èá ðñïôéìÞóïõìå íá áêïëïõèÞóïõìå ìéá ãåùìåôñéêÞ ðñüóâáóç óå áõôüí. Ðñïò ôïýôï åðéëÝãïõìå ìéá çìéåõèåßá L ìå áðáñ·Þ ôçò ôï 0 = (0, 0) êáé èåùñïýìå ðïëéêÝò óõíôåôáãìÝíåò (ρ, θ) ãéá ôï R2 rL. ÅðåéäÞ x = ρ cos (θ + θ0 ) ,

y = ρ sin (θ + θ0 ) ,

Ý·ïõìå ω 0 = dθ åíôüò ôïý R2 rL. Åí ðñïêåéìÝíù, ôï θ0 óõìâïëßæåé ôç ãùíßá −→ ^(0 x, L). ÅðåéäÞ ç L åßíáé áõèáéñÝôùò åðéëåãïìÝíç, Ý·ïõìå dω 0 = d2 θ = 0, ïðüôå ç ω 0 åßíáé êëåéóôÞ. ÅðéðñïóèÝôùò, ôïýôï áðïäåéêíýåé üôé ç ìïñöÞ ω 0 éóïýôáé ôïðéêþò (Þôïé óå ìéá ãåéôïíéÜ V ïéïõäÞðïôå óçìåßïõ ôïý U ) ìå ôï äéáöïñéêü − → ôÞò óõíÜñôçóçò θ, ç ïðïßá êáôáìåôñÜ ôç ãùíßá ^(0 p, L), üðïõ p ∈ V. Ç θ êáëåßôáé ãùíéáêÞ óõíÜñôçóç êáé ç ω 0 ãùíéáêü óôïé·åßï óôï óçìåßï 0 = (0, 0). Ðáñüôé ç ìïñöÞ ω 0 åßíáé êëåéóôÞ êáé ôïðéêþò áêñéâÞò, äåí åßíáé áêñéâÞò åðß ïëïêëÞñïõ ôïý U = R2 r{0}. ÐñÜãìáôé° èåùñþíôáò ôüí ìïíáäéáßï êýêëï c(t) = (cos t, sin t), t ∈ [0, 2π] , ìå êÝíôñï ôïõ ôï 0, õðïëïãßæïõìå ôï ïëïêëÞñùìá ôÞò ìïñöÞò ω 0 êáôÜ ìÞêïò ôïý c : [0, 2π] −→ U ùò åîÞò: Z Z 2π Z 2π ω0 = c∗ ω 0 = dt = 2π. c(t)

0

0

2. åðéêáìðõëéá ïëïêëçñùìáôá

31

¸ôóé, óýìöùíá ìå ôï (3) ôÞò ðñüôáóçò 2.1, ç ω 0 äåí åßíáé áêñéâÞò åðß ïëïêëÞñïõ ôïý U = R2 r{0}. Ôïýôï óçìáßíåé üôé äåí åßíáé äõíáôÞ ç êïéíÞ óõññáöÞ ôùí ôïðéêþò ïñéóìÝíùí ãùíéáêþí óõíáñôÞóåùí ðñïêåéìÝíïõ íá ó·çìáôéóèåß ìéá ãùíéáêÞ óõíÜñôçóç ïëïìåñþò ïñéæüìåíç åðß ôïý U = R2 r{0}. 2.3 ÐáñáôÞñçóç. (Ï áñéèìüò ðåñéÝëéîçò). Ðáñüôé ç ω 0 äåí åßíáé áêñéâÞò óôï R2 r{(0, 0)}, ðñïóäéïñßæåé êáôÜ ìÞêïò ïéáóäÞðïôå äïèåßóáò äéáöïñßóéìçò êáìðýëçò γ : [0, 1] −→ R2 r{(0, 0)} ìéá êáëþò ïñéóìÝíç ãùíéáêÞ óõíÜñôçóç ϕ (t) , t ∈ [0, 1] , üðïõ ϕ (t) =

Z

0

1

xy 0 − yx0 dt + ϕ0 , x2 + y 2

γ (t) = (x(t), y(t)).

ÈÝôïíôáò x y a(t) = p (t), b(t) = p (t), x2 + y 2 x2 + y 2

åßíáé åýêïëï íá äéáðéóôþóïõìå ôçí éóüôçôá γ ∗ ω 0 = (ab0 −ba0 )dt, üðïõ a2 +b2 = 1. Åðßóçò, åÜí ãéá ôçí ùò Üíù ϕ0 Ý·ïõìå cos ϕ0 = a (0) , sin ϕ0 = b(0), åßíáé äõíáôüí íá áðïäåé·èïýí ïé éóüôçôåò cos ϕ (t) = a (t) , sin ϕ (t) = b(t) (ãéá ðåñáéôÝñù ëåðôïìÝñåéåò âë. M. do Carmo ¥3], ëÞììá 1, óåëßäá 250, Þ ôï ëÞììá 5.11 ôïý êåöáëáßïõ 5). ÊáôÜ óõíÝðåéáí, ç ϕ (t) ìÜò ðáñÝ·åé Ýíáí óõíå·Þ ðñïóäéïñéóìü ôÞò ãùíßáò ^(γ (t) , γ (0)). ÅÜí ç γ åßíáé êëåéóôÞ (Þôïé γ (0) = γ (1)), ôüôå Ý·ïõìå ϕ (0) 6= ϕ (1) êáé, åðåéäÞ cos ϕ (0) = cos ϕ (1) , sin ϕ (0) = sin ϕ (1) , óõìðåñáßíïõìå üôé ç äéáöïñÜ ϕ (1) − ϕ (0) åßíáé Ýíá áêÝñáéï ðïëëáðëÜóéï ôïý 2π. Áõôüò ï áêÝñáéïò áñéèìüò êáëåßôáé áñéèìüò ðåñéÝëéîçò ôÞò γ ðåñß ôï óçìåßï 0. Ôï ãåãïíüò üôé ç êëåéóôÞ 1-ìïñöÞ ω 0 ôïý ðáñáäåßãìáôïò 2.2 åßíáé ôïðéêþò áêñéâÞò åíôÜóóåôáé óôï ðëáßóéï åíüò ãåíéêüôåñïõ èåùñÞìáôïò. ÓõãêåêñéìÝíá, éó·ýåé ôï áêüëïõèï èåþñçìá:

äéáöïñéêåò ìïñöåò. èåùñéá êáé åöáñìïãåò

32

Pn 2.4 Èåþñçìá. (ËÞììá ôïý Poincarª ãéá 1-ìïñöÝò) ¸óôù ω = i=1 ai dxi ìéá 1ìïñöÞ ïñéóìÝíç óå Ýíá áíïéêôü óýíïëï U ⊆ Rn . Ôüôå dω = 0 åÜí êáé ìüíïí åÜí ç ω åßíáé ôïðéêþò áêñéâÞò, Þôïé åÜí êáé ìüíïí åÜí ãéá êÜèå p ∈ U õðÜñ·åé ìéá ãåéôïíéÜ V ⊆ U ôïý p êáé ìéá C 1 -äéáöïñßóéìç óõíÜñôçóç f : V −→ R, ôÝôïéá þóôå íá éó·ýåé ç éóüôçôá ω = df åðß ôïý V . Áðïäåéîç. ÅÜí ç ω åßíáé ôïðéêþò áêñéâÞò, ôüôå ðñïöáíþò dω = 0. Áò õðïèÝóïõìå ôþñá -áíôéóôñüöùò- üôé dω = 0 êáé (ãéá ëüãïõò áðëïðïßçóçò ôïý óõìâïëéóìïý ìáò) áò ðåñéïñéóèïýìå, ·ùñßò âëÜâç ôÞò ãåíéêüôçôáò, óôçí ðåñßðôùóç êáôÜ ôçí ïðïßá n = 3 êáé ç ω = a dx + b dy + c dz åßíáé ïñéóìÝíç óôï U ⊆ R3 . Ãéá êÜèå p ∈ U, Ýóôù B (p) ìéá áíïéêôÞ ìðÜëá ìå êÝíôñï ôçò ôï p = (x0 , y0 , z0 ) ðåñéå·üìåíç óôï U êáé, ãéá êÜèå q = (x, y, z) ∈ B (p), Ýóôù β(t) = p + t (q − p) , t ∈ [0, 1] , ôï åõèýãñáììï ôìÞìá ðïõ óõíäÝåé ôá p êáé q. ÅðåéäÞ ç B (p) åßíáé áíïéêôÞ ìðÜëá, Ý·ïõìå β (t) ∈ B (p). Ïñßæïíôáò ôçí C 1 -äéáöïñßóéìç óõíÜñôçóç Z Z 1 f (q) = ω= {a (β(t)) (x − x0 ) + b (β(t)) (y − y0 ) + c (β(t)) (z − z0 )} dt, β(t)

0

ðñïôéèÝìåèá íá äåßîïõìå üôé éó·ýåé ç éóüôçôá df = ω, Þ -éóïäõíÜìùò- üôé ∂f (q) = a (q) , ∂x

∂f (q) = b (q) , ∂y

∂f (q) = c (q) . ∂z

Ðñïò ôïýôï óçìåéþíïõìå üôé ç óõíèÞêç dω = 0 éóïäõíáìåß ìå ôéò éóüôçôåò: ∂a ∂b = , ∂y ∂y

∂a ∂c = , ∂z ∂x

∂b ∂c = . ∂z ∂y

Áñ·éêþò èá áðïäåßîïõìå üôé ∂f ∂x (q) = a (q). ÐñÜãìáôé° ðáñáãùãßæïíôáò ôçí f êáé ·ñçóéìïðïéþíôáò ôéò ðñþôåò äýï áðü ôéò áíùôÝñù éóüôçôåò, ëáìâÜíïõìå ¾ Z 1½ ∂f ∂b ∂c ∂a (q) = t (x − x0 ) + a + t (y − y0 ) + t (z − z0 ) dt ∂x ∂x ∂x ∂x 0 ¶ ¾ ½µ Z 1 ∂b ∂c ∂a (x − x0 ) + (y − y0 ) + (z − z0 ) t + a dt = ∂x ∂x ∂x 0 ¶ ¾ Z 1 ½µ d = (a (β (t))) t + a dt dt 0 =

Z

1 0

d (a (β (t)) t) dt = a (β (1)) = a(q). dt

2. åðéêáìðõëéá ïëïêëçñùìáôá

33

Êáô' áíáëïãßáí áðïäåéêíýïíôáé êáé ïé éóüôçôåò ∂f ∂y (q) = b (q) êáé ¸ôóé ïëïêëçñþíåôáé ç áðüäåéîç ôïý èåùñÞìáôïò.

∂f ∂z

(q) = c (q). ¤

Ìßá áðü ôéò åíäéáöÝñïõóåò åöáñìïãÝò ôïý èåùñÞìáôïò 2.4 åßíáé ç åðÝêôáóç ôïý ïñéóìïý ôïý ïëïêëçñþìáôïò ìéáò êëåéóôÞò 1-ìïñöÞò êáôÜ ìÞêïò êáìðõëþí ïé ïðïßåò åßíáé áðëþò êáé ìüíïí óõíå·åßò. Ãéá ôçí õëïðïßçóç áõôÞò ôÞò åðÝêôáóçò ôïý ïñéóìïý ðáñáôçñïýìå åí ðñþôïéò üôé, ãéá ïéáäÞðïôå êëåéóôÞ 1-ìïñöÞ ω ðïõ åßíáé ïñéóìÝíç óôï U ⊆ Rn êáé ãéá ïéáäÞðïôå C 1 -äéáöïñßóéìç êáìðýëç c : [0, 1] −→ U, Ý·ïõìå ôç äõíáôüôçôá åðéëïãÞò ìéáò äéáìÝñéóçò 0 = t0 < t1 < · · · < tk < tk+1 = 1 ôïý [0, 1] êáôÜ ôÝôïéïí ôñüðï, þóôå ï ðåñéïñéóìüò c|[ti ,ti+1 ] = ci , i = 0, 1, ..., k, íá ðåñéÝ·åôáé óå ìéá áíïéêôÞ ìðÜëá Bi åðß ôÞò ïðïßáò ç ω åßíáé áêñéâÞò. Áõôü óõíåðÜãåôáé ôçí ýðáñîç ìéáò óõíÜñôçóçò fi : Bi −→ R, ãéá ôçí ïðïßá éó·ýåé dfi = ω, ïðüôå Z

ω= c

k Z X

i=0 c i

ω=

k X i=0

[fi (ti+1 ) − fi (ti )] .

(1)

Áêüìç êáé óôçí ðåñßðôùóç êáôÜ ôçí ïðïßá ç êáìðýëç c : [0, 1] −→ U åßíáé áðëþò êáé ìüíïí óõíå·Þò, ìéá ôÝôïéïõ åßäïõò äéáìÝñéóç õðÜñ·åé ðÜíôïôå, ïðüôå R ôï ïëïêëÞñùìá c ω ïñßæåôáé ìÝóù ôïý ôýðïõ (1). ÁðïìÝíåé íá áðïäåé·èåß üôé ï åí ëüãù ôýðïò äåí åîáñôÜôáé áðü ôçí åêÜóôïôå åðéëåãïìÝíç äéáìÝñéóç. Ç áðüäåéîç Ýðåôáé áðü ìéá êïéíüôïðç åðé·åéñçìáôïëïãßá êáé èá ðáñáôåèåß åäþ ìüíïí ãéá ëüãïõò ðëçñüôçôáò. Ãéá ïéáäÞðïôå äïèåßóá äéáìÝñéóç P ôïý [0, 1], ìéá åêëÝðôõíóç ôÞò P åßíáé ìéá íÝá äéáìÝñéóç ðïõ ó·çìáôßæåôáé áðü ôçí P ýóôåñá áðü ðñïóèÞêç íÝùí óçìåßùí óå áõôÞí. ÐñïóèÝôïíôáò Ýíá óçìåßï t0 ∈ (ti , ti+1 ) , Ý·ïõìå c(t0 ) ∈ Bi êáé, åðåéäÞ [fi (ti+1 ) − fi (t0 )] + [fi (t0 ) − fi (ti )] = [fi (ti+1 ) − fi (ti )] , ç ôéìÞ ôïý ïëïêëçñþìáôïò ùò ðñïò áõôÞí ôç íÝá äéáìÝñéóç äåí áëëÜæåé. Ùò åê ôïýôïõ, ôï ïëïêëÞñùìá (1) ðáñáìÝíåé áìåôÜâëçôï ùò ðñïò ïéåóäÞðïôå åêëåðôýíóåéò ìéáò äïèåßóáò äéáìÝñéóçò P ôïý [0, 1]. ÅîÜëëïõ, åÜí äïèïýí äýï äéáöïñåôéêÝò äéáìåñßóåéò ôïý [0, 1], õðÜñ·åé ç äõíáôüôçôá ó·çìáôéóìïý ìéáò ôñßôçò ýóôåñá áðü ôçí ðñüóèåóç ôùí óçìåßùí ôÞò äåýôåñçò óôçí ðñþôç° ðñüêåéôáé ãéá ìéá êïéíÞ åêëÝðôõíóç, ùò ðñïò ôçí ïðïßá ôï ïëïêëÞñùìá (1) ïöåßëåé íá éóïýôáé ìå ôá ïëïêëçñþìáôá ùò ðñïò ôçí ðñþôç êáé ùò ðñïò ôç äåýôåñç äéáìÝñéóç. Áõôü áðïäåéêíýåé ôçí áðáéôçèåßóá áíåîáñôçóßá ôïý (1) áðü ôçí åêÜóôïôå åðéëåãïìÝíç äéáìÝñéóç ôïý [0, 1].

äéáöïñéêåò ìïñöåò. èåùñéá êáé åöáñìïãåò

34

Ôï èåþñçìá 2.4 åãåßñåé, åðéðñïóèÝôùò, ôï áêüëïõèï åñþôçìá: Ãíùñßæïõìå üôé êÜèå êëåéóôÞ ìïñöÞ åßíáé ôïðéêþò áêñéâÞò. Õðü ðïéåò ðñïûðïèÝóåéò êáèßóôáôáé ìéá äåäïìÝíç êëåéóôÞ 1-ìïñöÞ êáé ïëïìåñþò áêñéâÞò; Åßíáé áõôïíüçôï üôé ðñïò ôïýôï áðáéôåßôáé êÜðïéïò ðåñéïñéóìüò ôïý ðåäßïõ ïñéóìïý ôÞò êëåéóôÞò ìïñöÞò, áöïý, ð.·., ç êëåéóôÞ 1-ìïñöÞ ω 0 ôïý ðáñáäåßãìáôïò 2.2 åßíáé ôïðéêþò áêñéâÞò óôï U = R2 r{0}, áëëÜ ü·é êáé ïëïìåñþò áêñéâÞò. Ç áðÜíôçóç óå áõôü ôï åñþôçìá åîáñôÜôáé áðü ôï ðþò ôï ïëïêëÞñùìá ôÞò èåùñïõìÝíçò êëåéóôÞò 1-ìïñöÞò êáôÜ ìÞêïò ìéáò óõíå·ïýò êáìðýëçò ìåôáâÜëëåôáé ýóôåñá áðü óõíå·Þ ðáñáìüñöùóç ôÞò åí ëüãù êáìðýëçò. Ãéá íá êáôáóôÞóïõìå áõôÞí ôçí Ýííïéá ôÞò «óõíå·ïýò ðáñáìüñöùóçò» ðéï áêñéâÞ èá ðñïâïýìå óôçí åéóáãùãÞ ôïý ïñéóìïý ôÞò åííïßáò ôÞò ïìïôïðßáò. 2.5 Ïñéóìüò. Äõï óõíå·åßò êáìðýëåò c0 , c1 : [a, b] −→ U ⊂ Rn åßíáé ïìïôïðéêÝò üôáí õðÜñ·åé ìéá óõíå·Þò áðåéêüíéóç H : [a, b] × [0, 1] −→ U,

(s, t) ∈ [a, b] × [0, 1] ,

ôÝôïéá þóôå íá éó·ýåé H(s, 0) = c0 (s),

H (s, 1) = c1 (s)

(2)

H (b, t) = c0 (b) = c1 (b).

(3)

êáé H(a, t) = c0 (a) = c1 (a),

Ùò åê ôïýôïõ, ç ïìïôïðßá H(s, t) = Ht (s) åßíáé ìéá óõíå·Þò ïéêïãÝíåéá êáìðõëþí ðáñáìåôñçìÝíùí áðü ôïí áñéèìü t ∈ [0, 1], ç ïðïßá ðáñáìïñöþíåé ôçí êáìðýëç H0 (s) = c0 (s) ìåôáöÝñïíôÜò ôç óôçí êáìðýëç H1 (s) = c1 (s) (âÜóåé ôÞò óõíèÞêçò (2)) êáé äéáôçñåß ôá ëçêôéêÜ óçìåßá Ht (a) êáé Ht (b) óôáèåñÜ (âÜóåé ôÞò óõíèÞêçò (3)). Åíßïôå åßèéóôáé íá ðáñáëåßðïõìå ôç óõíèÞêç (3) áðü ôïí ïñéóìü ôÞò H êáé íá åðéôñÝðïõìå ôç ìåôáâïëÞ ôùí ëçêôéêþí óçìåßùí. Óå áõôÞí ôçí ðåñßðôùóç, ëÝìå üôé ç H åßíáé ìéá åëåýèåñç ïìïôïðßá ìåôáîý ôùí c0 êáé c1 . Ôá åðéêáìðýëéá ïëïêëçñþìáôá êëåéóôþí ìïñöþí åßíáé áíáëëïßùôá ùò ðñïò ôéò ïìïôïðßåò. ÓõãêåêñéìÝíá, éó·ýåé ôï áêüëïõèï èåþñçìá: 2.6 Èåþñçìá. ¸óôù ω ìéá êëåéóôÞ 1-ìïñöÞ ïñéóìÝíç óå Ýíá áíïéêôü õðïóýíïëï U ôïý Rn . ÅÜí ïé c0 , c1 : [a, b] −→ U åßíáé äõï óõíå·åßò ïìïôïðéêÝò êáìðýëåò åíôüò ôïý U, ôüôå Z Z ω = ω. (4) c0

c1

2. åðéêáìðõëéá ïëïêëçñùìáôá

35

Áðïäåéîç. ÅðåéäÞ dω = 0, ç ω åßíáé ôïðéêþò áêñéâÞò. ¸óôù H ìéá ïìïôïðßá ìåôáîý ôùí c0 êáé c1 , êáé Ýóôù {Bi } Ýíá êÜëõììá ôïý H ([a, b] × [0, 1]) ⊆ U áðáñôéæüìåíï áðü áíïéêôÝò ìðÜëåò Bi , ôÝôïéï þóôå ïé ðåñéïñéóìïß ω |Bi ôÞò ω åðß ôùí Bi íá åßíáé áêñéâåßò. ÅðåéäÞ ôï êáñôåóéáíü ãéíüìåíï [a, b] × [0, 1] = R åßíáé óõìðáãÝò, ôï êÜëõììá {Wi }, Wi = H −1 (Bi ), ôïý R äéáèÝôåé4 Ýíáí áñéèìü Lebesgue d (ïðüôå êÜèå õðïóýíïëï ôïý R äéáìÝôñïõ < d ðåñéÝ·åôáé óå êÜðïéï Wi ). Õðïäéáéñþíôáò ôü ïñèïãþíéï ðáñáëëçëüãñáììï R óå ìéêñÜ ïñèïãþíéá ðáñáëëçëüãñáììá Rjk ïñéæüìåíá áðü ôéò åõèåßåò s = (ìéá óôáèåñÜ) êáé t = (ìéá óôáèåñÜ), êáôÜ ôÝôïéïí ôñüðï, þóôå ç äéÜìåôñïò êáèåíüò åê ôùí Rjk íá åßíáé ìéêñüôåñç ôïý R d, ëáìâÜíïõìå ∂Rjk ω = 0 ùò åðáêüëïõèï ôÞò ôïðéêÞò áêñéâåßáò ôÞò ω.

Ó·Þìá 2.1

ÅðéðñïóèÝôùò, åÜí õðïèÝóïõìå üôé ôï Rjk Ý·åé ùò ðëåõñÝò ôïõ ôá åõèýãñáììá ôìÞìáôá αj k , β j,k+1 , αj+1,k , β j k êáé üôé áõôÜ åßíáé åöïäéáóìÝíá ìå ôïí öõóéêü ðñïóáíáôïëéóìü ðïõ åðÜãåôáé áõîáíïìÝíïõ ôïý s êáé áõîáíïìÝíïõ ôïý t, üðùò óôï ó·Þìá 2.1, ôüôå ëáìâÜíïõìå ) ( Z Z Z X Z XZ ω= ω+ ω− ω− ω . 0= jk

∂Rjk

jk

αj k

β j k+1

αj+1 k

βj k

¼ìùò ïé ðëåõñÝò êáèåíüò Rjk , ïé ïðïßåò âñßóêïíôáé óôï åóùôåñéêü ôïý R, åìöáíßæïíôáé óôï áíùôÝñù Üèñïéóìá äýï öïñÝò ìå áíôéèÝôïõò ðñïóáíáôïëéóìïýò. ÅðïìÝíùò, ôá áíôßóôïé·á ïëïêëçñþìáôá áðáëåßöïíôáé êáé Ý·ïõìå Z Z Z Z ω+ ω− ω− ω, (5) 0= c0

βb

c1

βa

4 (Ó.ô.Ì.) Ôïýôï Ýðåôáé áðü ôï ëåãüìåíï ëÞììá ôïý Lebesgue. Ãéá ìéá áðüäåéîÞ ôïõ âë. ð.·. ¥1], åíüôçôá 3.3, Þ ¥14], ëÞììá 27.5, óåë. 175.

36

äéáöïñéêåò ìïñöåò. èåùñéá êáé åöáñìïãåò

üðïõ ç β a åßíáé ç êáìðýëç H(a, t) êáé ç β b ç êáìðýëç H(b, t). ÅðåéäÞ áõôÝò ïé êáìðýëåò êáôáëÞãïõí íá åßíáé óçìåßá, ôá áíôßóôïé·á ïëïêëçñþìáôá ìçäåíßæïíôáé, ïðüôå ç (4) Ýðåôáé Üìåóá áðü ôçí (5). ¤ Ïöåßëïõìå íá ðáñáôçñÞóïõìå üôé áêüìç êáé óôçí ðåñßðôùóç êáôÜ ôçí ïðïßá ïé êáìðýëåò c0 êáé c1 åßíáé êëåéóôÝò (Þôïé c0 (a) = c0 (b), c1 (a) = c1 (b)) êáé åëåõèÝñùò ïìïôïðéêÝò, ïé êáìðýëåò β a êáé β b åßíáé ßóåò, ðáñüôé äåí êáôáëÞãïõí íá åßíáé êáô' áíÜãêçí óçìåßá. ÅðïìÝíùò, ëüãù ôÞò (5), ç (4) ðáñáìÝíåé åí éó·ý. Ãéá íá äéáóöáëéóèåß ç ðåñáéôÝñù óõóôçìáôéêÞ ·ñÞóç üóùí åéðþèçêáí åäþ, ôá óõíïøßæïõìå óôçí áêüëïõèç ðñüôáóç: 2.7 Ðñüôáóç. ¸óôù ω ìéá êëåéóôÞ 1-ìïñöÞ ïñéóìÝíç óå Ýíá áíïéêôü õðïóýíïëï U ôïý Rn . ÅÜí ïé c0 , c1 åßíáé äõï êëåéóôÝò êáìðýëåò åëåõèÝñùò ïìïôïðéêÝò åíôüò ôïý U, ôüôå Z Z ω = ω. c0

c1

Êáé åÜí, éäéáéôÝñùò, ç c0 åßíáé åëåõèÝñùò ïìïôïðéêÞ ìå Ýíá óçìåßï, ôüôå Z ω = 0. c0

2.8 Ïñéóìüò. ¸íá ·ùñßï, Þôïé Ýíá áíïéêôü êáé óõíåêôéêü óýíïëï U ⊆ Rn , êáëåßôáé áðëÜ óõíåêôéêü üôáí êÜèå óõíå·Þò êëåéóôÞ êáìðýëç åíôüò ôïý U åßíáé åëåõèÝñùò ïìïôïðéêÞ ìå Ýíá óçìåßï. Ôï íá åßíáé Ýíá ·ùñßï áðëÜ óõíåêôéêü áðïôåëåß ìéá ôïðïëïãéêÞ éäéüôçôá. Ãéá ðáñÜäåéãìá, ï ßäéïò ï ·þñïò Rn , ïé áíïéêôÝò ìðÜëåò åíôüò ôïý Rn , êáèþò êáé ïé åéêüíåò ôïõò ìÝóù ïìïéïìïñöéóìþí åßíáé áðëÜ óõíåêôéêÜ ·ùñßá åíôüò ôïý Rn . Áðü ôçí Üëëç ìåñéÜ, üðùò èá äåßîïõìå åíôüò ïëßãïõ, ôï R2 r{0} äåí åßíáé áðëÜ óõíåêôéêü. Ôïýôï èá ðñïêýøåé áðü ôçí ðñüôáóç 2.9 êáé ôï ðáñÜäåéãìá 2.2. Ôï íá åßíáé Ýíá ·ùñßï áðëÜ óõíåêôéêü áðïôåëåß ìéá éêáíÞ óõíèÞêç ðñïêåéìÝíïõ ïéáäÞðïôå êëåéóôÞ 1-ìïñöÞ (ïñéæïìÝíç åðß ôïý U ) íá åßíáé áêñéâÞò. 2.9 Ðñüôáóç. ÊÜèå êëåéóôÞ 1-ìïñöÞ, ç ïðïßá ïñßæåôáé óå Ýíá áðëÜ óõíåêôéêü ·ùñßï U ôïý Rn , åßíáé áêñéâÞò. R Áðïäåéîç. Óýìöùíá ìå ôçí ðñüôáóç 2.7, c ω = 0 ãéá ïéáäÞðïôå êëåéóôÞ êáìðýëç c åíôüò ôïý ·ùñßïõ U . ÅðïìÝíùò, êáôÜ ôçí ðñüôáóç 2.1, ç ω ïöåßëåé íá åßíáé áêñéâÞò. ¤

2. åðéêáìðõëéá ïëïêëçñùìáôá

37

Ìéá åðéðñüóèåôç åöáñìïãÞ ôÞò «éäéüôçôáò ôïý áíáëëïéþôïõ» ôïý ïëïêëçñþìáôïò ìéáò êëåéóôÞò ìïñöÞò, ôï ïðïßï ïñßæåôáé êáôÜ ìÞêïò ìéáò êëåéóôÞò êáìðýëçò, ìðïñåß íá ëçöèåß ùò áêïëïýèùò: ¸óôù F : U ⊆ R2 −→ R2 ìéá C 2 -äéáöïñßóéìç áðåéêüíéóç. ËÝìå üôé Ýíá p ∈ U åßíáé óçìåßï ìçäåíéóìïý ôÞò F üôáí F (p) = 0. ÅÜí õðÜñ·åé ìéá ãåéôïíéÜ V ôïý p, ç ïðïßá äåí ðåñéÝ·åé êáíÝíá óçìåßï ìçäåíéóìïý ôÞò F ðÝñáí ôïý p, ôüôå ôï p êáëåßôáé éäéáéôÝñùò ìåìïíùìÝíï óçìåßï ìçäåíéóìïý. ÅÜí ôï äéáöïñéêü dFp ôÞò F óôï óçìåßï p åßíáé ìç éäéÜæïí, ôüôå ëÝìå üôé ôï p åßíáé Ýíá áðëü óçìåßï ìçäåíéóìïý ôÞò F . Óýìöùíá ìå ôï ëåãüìåíï èåþñçìá ôÞò áíôéóôñüöïõ ìéáò áðåéêüíéóçò 5 , ç F åßíáé åíñéðôéêÞ (Þôïé Ýíá ðñïò Ýíá) óå ìéá êáôÜëëçëç ãåéôïíéÜ ïéïõäÞðïôå áðëïý óçìåßïõ ìçäåíéóìïý ôçò, ïðüôå êÜèå áðëü óçìåßï ìçäåíéóìïý ôçò åßíáé ìåìïíùìÝíï. µñçóéìïðïéþíôáò ôç äéåîïäéêÞ ãñáöÞ F (x, y) = (f (x, y), g(x, y)) ãéá ìéá ôÝôïéá F êáé õðïèÝôïíôáò üôé ôï D ⊂ U åßíáé Ýíáò êëåéóôüò äßóêïò, ìå ôï óýíïñü ôïõ ∂D = C ìç ðåñéÝ·ïí êáíÝíá óçìåßï ìçäåíéóìïý ôÞò F, èåùñïýìå ôçí 1-ìïñöÞ θ=

f dg − gdf f 2 + g2

ðïõ ïñßæåôáé ãéá üëá ôá óçìåßá ôïý U ãéá ôá ïðïßá f 2 + g 2 6= 0. Ôï Z 1 θ =: n (F ; D) 2π ∂D êáëåßôáé äåßêôçò ôÞò F åíôüò ôïý D. Éó·õñéæüìáóôå üôé ï äåßêôçò n (F ; D) åßíáé Ýíáò áêÝñáéïò áñéèìüò. Ãéá ôçí åðáëÞèåõóç ôïý éó·õñéóìïý ìáò èÝôïõìå u = f (x, y) êáé v = g(x, y), du êáé èåùñïýìå ôç ìïñöÞ ω 0 = u dv−v u2 +v2 ùò ôï ãùíéáêü óôïé·åßï ôïý åðéðÝäïõ (u, v) ∗ óôï óçìåßï (0, 0). Ôüôå θ = F ω 0 êáé Z Z Z 1 1 1 n (F ; D) = θ= F ∗ ω0 = ω0, 2π 2π 2π C

C

F ◦C

ïðüôå ï äåßêôçò n (F ; D) éóïýôáé ìå ôïí áñéèìü ðåñéÝëéîçò ôÞò êëåéóôÞò êáìðýëçò F ◦ C ðåñß ôï (0, 0) óôï åðßðåäï (u, v) (âë. ðáñáôÞñçóç 2.3). Ôïýôï áðïäåéêíýåé üôé ï n (F ; D) åßíáé üíôùò Ýíáò áêÝñáéïò áñéèìüò. ¢ìåóï åðáêüëïõèï ôÞò «éäéüôçôáò ôïý áíáëëïéþôïõ» ôïý ïëïêëçñþìáôïò θ ùò ðñïò ôéò åëåýèåñåò ïìïôïðßåò åßíáé ôï åðüìåíï õðáñîéáêü áðïôÝëåóìá, C ôï ïðïßï áöïñÜ óôéò ëýóåéò ôÞò åîßóùóçò F = 0.

R

5

(Ó.ô.Ì.): Âë. ¥3], óåë. 131, ¥11], åí. 4.4, èåþñçìá 12, ¥18], èåþñçìá 9.24, Þ ¥20], èåþñçìá 2-11.

äéáöïñéêåò ìïñöåò. èåùñéá êáé åöáñìïãåò

38

2.10 Ðñüôáóç. ÅÜí n (F ; D) 6= 0, ôüôå õðÜñ·åé êÜðïéï óçìåßï q ∈ D, ôÝôïéï þóôå íá éó·ýåé F (q) = 0. Áðïäåéîç. Áò õðïèÝóïõìå üôé äåí õðÜñ·åé ôÝôïéï óçìåßï q êáé üôé ôï p åßíáé ôï êÝíôñï ôïý êëåéóôïý äßóêïõ D, êáé C = ∂D. Ôüôå ç áðåéêüíéóç H : [0, 2π] × [0, 1] −→ R2 r{0},

(s, t) ∈ [0, 2π] × [0, 1] ,

ç ïñéæïìÝíç ìÝóù ôïý ôýðïõ H (s, t) = F ((1 − t) C(s) + tp) åßíáé ìéá åëåýèåñç ïìïôïðßá ìåôáîý ôÞò êáìðýëçò F ◦ C êáé ôÞò óôáèåñÞò êáìðýëçò F (p). Óõíåðþò, Z Z 1 1 θ= ω 0 = 0, n (F ; D) = 2π ∂D 2π F ◦C êÜôé ðïõ ðñïöáíþò áíôéöÜóêåé ðñïò ôçí õðüèåóÞ ìáò.

¤

ÅÜí èåùñÞóïõìå Ýíáí Üëëï êëåéóôü äßóêï D1 ⊇ D, ôÝôïéïí þóôå ç F íá ìçí äéáèÝôåé óçìåßá ìçäåíéóìïý óôï D1 r int(D) , åßíáé óáöÝò üôé n (F ; D1 ) = n (F ; D) . Ôïýôï Ýðåôáé áðü ôçí ðñïöáíÞ ýðáñîç ìéáò åëåýèåñçò ïìïôïðßáò ìåôáîý ôùí F (∂D) êáé F (∂D1 ). ÅðéðñïóèÝôùò, åÜí ïé F1 , F2 : U ⊆ R2 −→ R2 åßíáé äõï C 2 -äéáöïñßóéìåò áðåéêïíßóåéò, ìå êáíÝíá óçìåßï ìçäåíéóìïý ôïõò áíÞêïí óôï óýíïñï C = ∂D, D ⊂ U, êáé åÜí õðÜñ·åé ìéá óõíå·Þò áðåéêüíéóç H : C × [0, 1] −→ R2 r{(0, 0)} ìå H(q, 0) = F1 (q), H(q, 1) = F2 (q), H (q, t) 6= 0 ãéá üëá ôá q ∈ C êáé üëá ôá t ∈ [0, 1] , ôüôå n (F1 ; D) = n (F2 ; D) . Ôïýôï Ýðåôáé áðü ôï üôé ïé êáìðýëåò F1 ◦C êáé F2 ◦C åßíáé ìåôáîý ôïõò åëåõèÝñùò ïìïôïðéêÝò ìÝóù ôÞò K : [0, 2π] × [0, 1] −→ R2 r{(0, 0)},

K (s, t) = H(C(s), t).

Ìéá áêüìç ðéï åíäéáöÝñïõóá åöáñìïãÞ ôïý äåßêôç n (F ; D) åßíáé ï ôýðïò ðïõ ðáñÝ·åôáé óôï êáôùôÝñù èåþñçìá 2.11 êáé áðïäßäåôáé óôïí Kronecker. (Ðñâë.

2. åðéêáìðõëéá ïëïêëçñùìáôá

39

E. Picard ¥17], óåë. 103-105. Ç êáôùôÝñù áðüäåéîç åßíáé åéëçììÝíç áðü ôï âéâëßï ¥9] ôïý E. Lima, óåë. 229-230.) Áò óçìåéùèåß üôé Ýíá áðëü óçìåßï ìçäåíéóìïý p ∈ U ìéáò C 2 -äéáöïñßóéìçò áðåéêüíéóçò F : U ⊆ R2 −→ R2 êáëåßôáé èåôéêü üôáí éó·ýåé ç áíéóüôçôá det(dFp ) > 0. ÅéäÜëëùò, êáëåßôáé áñíçôéêü. ÅðåéäÞ ôá áðëÜ óçìåßá ìçäåíéóìïý ôÞò F åßíáé ìåìïíùìÝíá, óå êÜèå óõìðáãÝò õðïóýíïëï ôïý R2 õðÜñ·åé ìüíïí Ýíáò ðåðåñáóìÝíïò áñéèìüò åî áõôþí. 2.11 Èåþñçìá. Áò õðïèÝóïõìå üôé ç F : U ⊆ R2 −→ R2 äéáèÝôåé ìüíïí áðëÜ óçìåßá ìçäåíéóìïý óå Ýíáí êëåéóôü äßóêï D ⊂ U, êáé üôé êáíÝíá åî áõôþí äåí áíÞêåé óôï ∂D. Ôüôå n (F ; D) = P − N, üðïõ ôï P åßíáé ôï ðëÞèïò ôùí èåôéêþí óçìåßùí ìçäåíéóìïý êáé ôï N ôï ðëÞèïò ôùí áñíçôéêþí óçìåßùí ìçäåíéóìïý ôÞò F óôïí D. Ãéá ôçí áðüäåéîç ôïý èåùñÞìáôïò 2.11 èá ·ñåéáóèïýìå ôï áêüëïõèï ëÞììá: 2.12 ËÞììá. Áò õðïèÝóïõìå üôé ç F äéáèÝôåé Ýíá êáé ìüíïí áðëü óçìåßï ìçäåíéóìïý p ∈ D ⊆ U. Ôüôå ( 1, üôáí det (dFp ) > 0, n (F ; D) = −1, üôáí det (dFp ) < 0. Áðïäåéîç. Ðñïöáíþò ìðïñïýìå, ·ùñßò åðçñåáóìü ôÞò ãåíéêüôçôáò, íá õðïèÝóïõìå üôé p = (0, 0). ÂÜóåé ôïý ôýðïõ ôïý Taylor ëáìâÜíïõìå F (q) = T q + R(q) |q| ,

lim R(q) = 0,

q−→0

üðïõ T = dFp . Åí óõíå·åßá, èåùñïýìå ôçí áðåéêüíéóç H : U × [0, 1] −→ R2 ôçí ïñéæïìÝíç ìÝóù ôïý ôýðïõ H (q, t) = T q + (1 − t) R(q) |q| , ∀q ∈ U êáé ∀t ∈ [0, 1]. ÅÜí, ãéá áñêïýíôùò ìéêñü êëåéóôü äßóêï D, äåßîïõìå üôé H (q, t) 6= 0, ãéá êÜèå q ∈ D, ôüôå èá óõìðåñÜíïõìå üôé ç H(C(s), t) åßíáé ìéá åëåýèåñç ïìïôïðßá ìåôáîý ôùí êáìðõëþí F ◦ C êáé T ◦ C, ïðüôå n (F ; D) = n (T ; D) . ÅðåéäÞ ç T åßíáé åíñéðôéêÞ (Þôïé Ýíá ðñïò Ýíá), ç ìÝóù áõôÞò åéêüíá ïéïõäÞðïôå êýêëïõ êÝíôñïõ p äéáãñÜöåôáé ôï ðïëý ìßá öïñÜ. ¢ñá êáôáëÞãïõìå óôï áðïäåéêôÝï: n (F ; D) = n (T ; D) = ±1. Óõíåðþò, áñêåß íá äåßîïõìå ôçí ýðáñîç åíüò ε > 0, ôÝôïéïõ þóôå H (q, t) 6= 0, ∀q ∈ Bε r{0} êáé ∀t ∈ [0, 1],

äéáöïñéêåò ìïñöåò. èåùñéá êáé åöáñìïãåò

40

© ª üðïõ Bε = q ∈ R2 : |q| < ε åßíáé ç áíïéêôÞ ìðÜëá êÝíôñïõ 0 êáé áêôßíáò ε. Ðñïò ôïýôï, èÝôïíôáò k := |T 1−1 | , ðáñáôçñïýìå üôé ãéá üëá ôá q ∈ U éó·ýåé ¯ ¯ ¯ ¯ 1 |q| = ¯T −1 T q ¯ ≤ ¯T −1 ¯ |T q| = |T q| , k

ïðüôå |T q| ≥ k |q|. ÅðåéäÞ lim R(q) = 0, Ý·ïõìå ôç äõíáôüôçôá åðéëïãÞò åíüò q−→0

êáôÜëëçëïõ ε > 0, ïýôùò þóôå óôïí êëåéóôü äßóêï D áêôßíáò ε íá éó·ýåé ç áíéóïúóüôçôá |R(q)| ≤ k2 . Åðüìåíùò, ãéá êÜèå q ∈ Bε r{0} Ý·ïõìå |H(q, t)| = |T q + (1 − t) R(q) |q|| ≥ |T q| − (1 − t) |R(q)| |q| ≥ k |q| −

k |q| > 0, 2 ¤

üðùò áêñéâþò éó·õñéóèÞêáìå.

Áðïäåéîç ôïõ èåùñçìáôïò 2.11: ¸óôù üôé ôá p1 , ..., pk åßíáé ôá óçìåßá ìçäåíéóìïý ôÞò F óôïí D. ÌÝóù ïìïôïðßáò ìðïñïýìå íá åðéöÝñïõìå ìéá åëáöñÜ ðáñáëëáãÞ ôïý D. Ùò åê ôïýôïõ, ìðïñïýìå åöåîÞò íá õðïèÝôïõìå üôé êáìßá áêôßíá ôïý D äåí ðåñéÝ·åé ðåñéóóüôåñá ôïý åíüò óçìåßá ìçäåíéóìïý ôÞò F . Äéáéñïýìå ôïí D óå k êõêëéêïýò ôïìåßò Si , i = 1, ..., k, ïýôùò þóôå êáèÝíáò åî áõôþí íá ðåñéÝ·åé áêñéâþò Ýíá óçìåßï ìçäåíéóìïý ôÞò F (âë. ó·. 2.2).

Ó·Þìá 2.2

¸óôù Ci Ýíáò êýêëïò ìå êÝíôñï ôïõ ôï pi , êáé ìÜëéóôá ôüóï ìéêñüò, þóôå íá åìðåñéÝ·åôáé óôïí êõêëéêü ôïìÝá Si . ÕðÜñ·åé ìéá ðñïöáíÞò åëåýèåñç ïìïôïðßá ðïõ áðåéêïíßæåé ôïí Ci óôï óýíïñï ∂Si ôïý Si . ÊáôÜ óõíÝðåéáí, ï áñéèìüò n (F ; D)

2. åðéêáìðõëéá ïëïêëçñùìáôá

41

äßíåôáé áðü ôïí ôýðï 1 2π

Z

C

θ=

Z Z k k k X X X 1 1 θ= θ= (±1) = P − N, 2π ∂Si 2π Ci i=1 i=1 i=1

áð' üðïõ Ýðåôáé êáé ç åðéèõìçôÞ éóüôçôá.

¤

ÁóêÞóåéò

2-1. Äåßîôå üôé ç ìïñöÞ ω = 2xy 3 dx + 3x2 y 2 dy R åßíáé êëåéóôÞ êáé õðïëïãßóôå ôü åðéêáìðýëéï ïëïêëÞñùìá c ω, üðïõ ç c åßíáé ôï ôüîï ôÞò ðáñáâïëÞò y = x2 áðü ôï (0, 0) ìÝ·ñé ôï (x, y). 2-2. (a) ÅÜí ç ω åßíáé ìéá 1-ìïñöÞ, ç ïðïßá åßíáé ïñéóìÝíç óôï áíïéêôü óýíïëï U ⊂ Rn , êáé ç c : [a, b] −→ U ìéá C 1 -äéáöïñßóéìç êáìðýëç, ôÝôïéá þóôå |ω (c (t))| ≤ M, ∀t ∈ [a, b] , ãéá êÜðïéïí ðñáãìáôéêü áñéèìü M, äåßîôå üôé éó·ýåé ç áíéóïúóüôçôá6 ¯Z ¯ ¯ ¯

üðïõ L ôï ìÞêïò ôÞò c.

c

¯ ¯ ω ¯¯ ≤ M L,

(b) ¸óôù ω ìéá êëåéóôÞ 1-ìïñöÞ ïñéóìÝíç óôï R2 r{(0, 0)}. ÕðïèÝôïíôáò üôé ç ω åßíáé öñáãìÝíç (Þôïé üôé üëïé ïé óõíôåëåóôÝò ôçò åßíáé öñáãìÝíïé) óå Ýíáí äßóêï ìå êÝíôñï ôïõ ôï (0, 0), áðïäåßîôå üôé ç ω åßíáé áêñéâÞò óôï R2 r{(0, 0)}. (c) Äåßîôå üôé ôï áðïôÝëåóìá ôïý (b) ðáñáìÝíåé åí éó·ý áêüìç êáé áí õðïèÝóïõìå üôé éó·ýïõí ìüíïí ïé éóüôçôåò dω = 0 êáé lim 2

x2 +y −→0

´ ³p x2 + y 2 ω = 0.

6 (Ó.ô.Ì.): Ç óôÜèìç (íüñìá) ôÞò ω óå êÜðïéï óçìåßï åßíáé ç óôÜèìç ôÞò ôéìÞò ôïý áíôéóôïß·ïõ äéáíõóìáôéêïý ðåäßïõ óôï åí ëüãù óçìåßï (âë. óåë. 16).

äéáöïñéêåò ìïñöåò. èåùñéá êáé åöáñìïãåò

42 2-3. ÈåùñÞóôå ôÞ ìïñöÞ ω=

ex {(x cos y + y sin y) dy + (x sin y − y cos y) dx} x2 + y 2

ôçí ïñéæüìåíç óôï R2 r{(0, 0)}. (a) Äåßîôå üôé ç ω ìðïñåß íá ãñáöåß ùò ω = ex cos y ω 0 + ex sin y d(log r), üðïõ ôï ω 0 åßíáé ôï ãùíéáêü óôïé·åßï óôï (0, 0) êáé r = ìÝóù õðïëïãéóìþí ôçí éó·ý ôÞò éóüôçôáò dω = 0.

p x2 + y 2 . ÅëÝãîôå

(b) Äåßîôå üôé ç äéáöïñÜ ω − ω 0 éêáíïðïéåß ôç óõíèÞêç ôÞò Üóêçóçò 2-2 (c), ðñÜãìá ðïõ óçìáßíåé üôé åßíáé áêñéâÞò. R (c) Õðïëïãßóôå ôü c ω, üðïõ ç c åßíáé ìéá áðëÞ (Þôïé ·ùñßò áõôïäéáôïìÝò) êëåéóôÞ êáìðýëç óôï R2 r{(0, 0)}. 2-4. ¸óôù üôé ç ω åßíáé ìéá 1-ìïñöÞ ïñéæüìåíç óôï áíïéêôü óýíïëï U ⊂ Rn . R ÕðïèÝôïíôáò üôé ôï ïëïêëÞñùìá c ω åßíáé Ýíáò ñçôüò áñéèìüò ãéá êÜèå êëåéóôÞ äéáöïñßóéìç êáìðýëç c åíôüò ôïý U , áðïäåßîôå üôé ç ω åßíáé êëåéóôÞ. 2-5. ¸óôù üôé ôá U, V ⊂ Rn åßíáé äõï áðëÜ óõíåêôéêÜ áíïéêôÜ óýíïëá, ôÝôïéá þóôå ç ôïìÞ ôïõò U ∩V íá áðïôåëåß Ýíá óõíåêôéêü óýíïëï. ÅÜí ç ω åßíáé ìéá êëåéóôÞ 1-ìïñöÞ, ç ïðïßá åßíáé áêñéâÞò ôüóï óôï U üóï êáé óôï V, áðïäåßîôå üôé ç ω åßíáé áêñéâÞò êáé óôçí Ýíùóç U ∪ V. 2-6. ÅöáñìïãÝò óôç Èåùñßá Ìéãáäéêþí ÓõíáñôÞóåùí7 . Ôá åðéêáìðýëéá ïëïêëçñþìáôá åßíáé ëßáí ·ñÞóéìá êáôÜ ôç ìåëÝôç ìéãáäéêþí óõíáñôÞóåùí f : C −→ C. Åí ðñïêåéìÝíù, ôï ìéãáäéêü åðßðåäï C èåùñåßôáé ùò ôáõôéæüìåíï ìå ôï R2 õðü ôçí ðñïûðüèåóç üôé èÝôïõìå z = x + iy, z ∈ C, üðïõ (x, y) ∈ R2 . ÅðéðñïóèÝôùò, åßèéóôáé íá ïñßæïõìå ôç ìéãáäéêÞ äéáöïñéêÞ ìïñöÞ dz = dx + idy êáé íá êÜíïõìå ·ñÞóç ôÞò ãñáöÞò f (z) = u (x, y) + iv(x, y) = u + iv. Ùò åê ôïýôïõ, ç ìéãáäéêÞ ìïñöÞ f (z)dz = (u + iv)(dx + idy) = (udx − vdy) + i(udy + vdx) 7

(Ó.ô.Ì.): Ãéá ôçí åðßëõóç áõôÞò ôÞò Üóêçóçò ïé áíáãíþóôåò èá ìðïñïýóáí (ãéá ðëçñÝóôåñç åíçìÝñùóÞ ôïõò) íá áíáôñÝîïõí êáé óôá êåöÜëáéá 3, 4 êáé 6 ôÞò ÌéãáäéêÞò ÁíÜëõóçò ôùí J. Bak êáé D.J. Newman (ðïõ êõêëïöïñåß êáé óôá ÅëëçíéêÜ, óå ìåôÜöñáóç Á. Ãéáííüðïõëïõ, ÐÌÊ ô. 5, áðü ôéò åêäüóåéò «Leader Books»).

2. åðéêáìðõëéá ïëïêëçñùìáôá

43

Ý·åé ùò ðñáãìáôéêü ìÝñïò ôçò ôï udx − vdy êáé ùò öáíôáóôéêü ìÝñïò ôçò R ôï udy + vdx. ÓçìåéùôÝïí üôé ôá åðéêáìðýëéá ïëïêëçñþìáôá c f (z)dz ôÞò f (z)dz ïñßæïíôáé ùò áêïëïýèùò: Z

c

f (z)dz =

Z

c

(udx − vdy) + i

Z

(udy + vdx).

c

Áò õðïèÝóïõìå üôé u êáé v áíÞêïõí óôçí êëÜóç C 1 . Õðåíèõìßæïõìå üôé ç f åßíáé ïëüìïñöç åÜí êáé ìüíïí åÜí éó·ýïõí ïé åîéóþóåéò ôùí Cauchy êáé Riemann: ux = vy ,

uy = −vx .

Íá áðïäåé·èïýí ôá áêüëïõèá: (a) Ìéá ìéãáäéêÞ óõíÜñôçóç f : C −→ C åßíáé ïëüìïñöç åÜí êáé ìüíïí åÜí ôüóï ôï ðñáãìáôéêü üóï êáé ôï öáíôáóôéêü ìÝñïò ôÞò f (z)dz åßíáé êëåéóôÜ. (b) Èåþñçìá ôïý Cauchy. ÅÜí ç f : C −→ C åßíáé ïëüìïñöç óå Ýíá áðëÜ óõíåêôéêü ·ùñßï U ⊆ C êáé ç c åßíáé ìéá êëåéóôÞ êáìðýëç åíôüò ôïý U, ôüôå Z f (z)dz = 0. c

(c) ÅÜí ç f : C −→ C åßíáé ïëüìïñöç, ôüôå ç óõíÜñôçóç f 0 (z) (ç ìéãáäéêÞ ðáñÜãùãïò ôÞò f óôï z) ðïõ äßíåôáé áðü ôïí ôýðï df = du + idv = f 0 (z)dz ïñó

åßíáé êáëþò ïñéóìÝíç êáé éó·ýåé: f 0 (z) = ux − iuy . (d) ÅÜí ç f åßíáé ïëüìïñöç óå Ýíá áíïéêôü óýíïëï U ⊆ C êáé f 0 (z) 6= 0 ãéá êÜðïéï z ∈ U, ôüôå üëá ôá óçìåßá ìçäåíéóìïý ôÞò f åßíáé áðëÜ êáé èåôéêÜ. ÅðéðñïóèÝôùò, åÜí ôï D ⊆ U åßíáé Ýíáò êëåéóôüò äßóêïò ãéá ôïí ïðïßï äåí õðÜñ·ïõí óçìåßá ìçäåíéóìïý ôÞò f óôï ∂D, ôüôå ôï ðëÞèïò

# (ôùí óçìåßùí ìçäåíéóìïý ôÞò f óôïí D) =

1 2πi

Z

∂D

df . f

äéáöïñéêåò ìïñöåò. èåùñéá êáé åöáñìïãåò

44

Õðüäåéîç : Ôï üôé ôá óçìåßá ìçäåíéóìïý ôÞò f åßíáé áðëÜ êáé èåôéêÜ Ýðåôáé áðü ôï üôé 2

det (df ) = u2x + u2y = |f 0 (z)| > 0. ÅîÜëëïõ, Ýíáò Üìåóïò õðïëïãéóìüò ìÜò äßíåé df f

udv − vdu du + idv udv + vdu +i 2 = 2 2 u + iv u +v u + v2 ¢ ¡ 1 udv − vdu . d(log u2 + v 2 ) + i 2 2 u + v2

= =

Óõíåðþò, âÜóåé ôïý ôýðïõ ôïý Kronecker, Z Z 1 1 df udv−vdu f = 2π u2 +v 2 = # (ôùí óçìåßùí ìçäåíéóìïý ôÞò f óôïí D) . 2πi ∂D

∂D

2-7. ÈåùñÞóôå ôÞ ìïñöÞ ω=

¢ ¡ 2 x2 − y 2 − 1 dy − 4xydx (x2 + y 2 − 1)2 + 4y 2

ôçí ïñéæüìåíç óôï R2 r{p1 , p2 }, üðïõ p1 = (1, 0), p2 = (−1, 0). ¸óôù üôé ïé D1 êáé D2 åßíáé êëåéóôïß äßóêïé ìå êÝíôñá ôïõò ôá p1 êáé p2 , áíôéóôïß·ùò, / D1 êáé p1 ∈ / D2 . êáé áñêïýíôùò ìéêñïß, ïýôùò þóôå íá éó·ýåé p2 ∈ (a) Äåßîôå üôé

1 2π

Z

ω = +1,

∂D1

1 2π

Z

ω = −1,

∂D2

õðü ôçí ðñïûðüèåóç üôé ôá óýíïñá ∂D1 , ∂D2 ôùí ùò Üíù äßóêùí åßíáé ðñïóáíáôïëéóìÝíá óýìöùíá ìå ôçí öïñÜ ôùí äåéêôþí ôïý ñïëïãéïý (Þôïé äåîéïóôñüöùò). ¢ ¡ Õðüäåéîç : ÈÝóôå F = (f, g) = x2 + y 2 − 1, 2y êáé ðáñáôçñÞóôå üôé ω=

f dg − gdf . f 2 + g2

ÓçìåéùôÝïí üôé ôá p1 êáé p2 åßíáé ôá ìüíá óçìåßá ìçäåíéóìïý ôÞò F , êáé ìÜëéóôá, ôï p1 èåôéêü êáé ôï p2 áñíçôéêü. (b) ÓõìðåñÜíåôå ìÝóù êáôáóêåõÞò êáôÜëëçëçò ïìïôïðßáò üôé ôï ïëïêëÞñùìá ôÞò ω êáôÜ ìÞêïò ôÞò êáôùôÝñù êáìðýëçò C ôïý ó·Þìáôïò 2.3 éóïýôáé ìå 4π, õðü ôçí ðñïûðüèåóç üôé ç C åßíáé åöïäéáóìÝíç ìå ôïí åðáãüìåíï

2. åðéêáìðõëéá ïëïêëçñùìáôá

45

ðñïóáíáôïëéóìü.

Ó·Þìá 2.3

2-8. ÅÜí ç áðåéêüíéóç F : U ⊆ R2 −→ R2 (âë. óåë. 37) éêáíïðïéåß ôçí F (−q) = −F (q), ∀q ∈ D ⊆ U, üðïõ ôï D óõìâïëßæåé Ýíáí êëåéóôü äßóêï ìå êÝíôñï ôïõ ôï óçìåßï (0, 0), êáé -ôáõôï·ñüíùò- ç F äåí äéáèÝôåé óçìåßá ìçäåíéóìïý áíÞêïíôá óôï ∂D, íá áðïäåé·èåß üôé ï n(F ; D) åßíáé Ýíáò ðåñéôôüò áêÝñáéïò áñéèìüò êáé üôé, éäéáéôÝñùò, åÜí éó·ýåé n(F ; D) 6= 0, ôüôå ç F äéáèÝôåé Ýíá ôïõëÜ·éóôïí óçìåßï ìçäåíéóìïý ôï ïðïßï áíÞêåé óôïí äßóêï D. 2-9. Åðéêáìðýëéá ïëïêëçñþìáôá C 1 -äéáöïñéóßìùí äéáíõóìáôéêþí ðåäßùí. ¸óôù v Ýíá C 1 -äéáöïñßóéìï äéáíõóìáôéêü ðåäßï ôï ïðïßï åßíáé ïñéóìÝíï óå Ýíá áíïéêôü óýíïëï U ⊆ Rn . Óôï ôÝëïò ôïý êåöáëáßïõ 1 (âë. óçìåßùóç 1.20) áíôéóôïé·ßóáìå óôï v ìéá äéáöïñéêÞ 1-ìïñöÞ ω èÝôïíôáò ω (u) = hv, ui , ∀u ∈ Rn . ¸óôù c : [a, b] −→ U ìéá êáôÜ ôìÞìáôá C 1 -äéáöïñßóéìç êáìðýëç. Ïñßæïíôáò ôï ïëïêëÞñùìá ôïý v êáôÜ ìÞêïò ôÞò c ùò áêïëïýèùò: Z Z v= ω c

c

åßíáé äõíáôüí íá ìåôáöÝñïõìå ôá èåùñçôéêÜ áðïôåëÝóìáôá ðïõ ðñáãìáôåõèÞêáìå óôï ðáñüí êåöÜëáéï óå éäéüôçôåò ôùí ïëïêëçñùìÜôùí C 1 äéáöïñéóßìùí äéáíõóìáôéêþí ðåäßùí êáôÜ ìÞêïò êáìðõëþí. ÅíäåéêôéêÜ

46

äéáöïñéêåò ìïñöåò. èåùñéá êáé åöáñìïãåò áíáöÝñïõìå ôéò åîÞò éäéüôçôåò: (a) ÕðïèÝóôå üôé n = 3, üôé ôï U ⊆ R3 åßíáé áðëÜ óõíåêôéêü êáé üôé rotv = 0. (Ãéá ôïí ïñéóìü ôïý rot v âë. Üóêçóç 1-14.) Áðïäåßîôå ôÞí ýðáñîç ìéáò C 1 -äéáöïñßóéìçò óõíÜñôçóçò f : U −→ R ãéá ôçí ïðïßá éó·ýåé v = gradf (ðñâë. Üóêçóç 1-12). Åðßóçò, áðïäåßîôå üôé ãéá êÜèå êáôÜ ôìÞìáôá C 1 äéáöïñßóéìç êáìðýëç c ðïõ óõíäÝåé ôá óçìåßá p1 , p2 ∈ U, Ý·ïõìå Z

c

v = f (p1 ) − f (p2 ).

(ÅÜí ôï v áíáðáñéóôÜ Ýíá ðåäßï äõíÜìåùí, ôüôå ç f, Þ áêñéâÝóôåñá ç −f , êáëåßôáé äõíáìéêÞ åíÝñãåéá ôïý v êáé ç áíùôÝñù Ýêöñáóç éóïäõíáìåß ìå ôï üôé ôï Ýñãï ôï ðáñáãüìåíï áðü ôï v êáôÜ ìÞêïò ôÞò c éóïýôáé ìå ôç äéáöïñÜ ôÞò äõíáìéêÞò åíåñãåßáò ìåôáîý ôùí p1 êáé p2 .) (b) Ôçñþíôáò ôÜ äåäïìÝíá ôïý (a) êáé õðïèÝôïíôáò -åðéðñïóèÝôùò- üôé éó·ýåé divv = 0 (âë. Üóêçóç 1-11), äåßîôå üôé ôï äõíáìéêü åßíáé ìéá áñìïíéêÞ óõíÜñôçóç, Þôïé üôé éó·ýåé ç éóüôçôá fxx + fyy + fzz = 0. 2-10. ¸óôù ω ìéá 1-ìïñöÞ ç ïðïßá åßíáé ïñéóìÝíç óå Ýíá áíïéêôü óýíïëï U ⊆ R2 . ¸íáò ôïðéêüò ïëïêëçñùôéêüò ðáñÜãïíôáò ãéá ôçí ω óôï óçìåßï p ∈ U åßíáé ìéá óõíÜñôçóç g : V −→ R ïñéæüìåíç óå ìéá ãåéôïíéÜ V ⊆ U ôïý p, ôÝôïéá þóôå ç ìïñöÞ gω íá åßíáé áêñéâÞò óôï V, Þôïé íá õðÜñ·åé ìéá C 1 äéáöïñßóéìç óõíÜñôçóç f : V −→ R ìå gω = df. (a) ÅÜí ω (p) 6= 0, äåßîôå üôé ç 1-ìïñöÞ ω åðéäÝ·åôáé Ýíáí ôïðéêü ïëïêëçñùôéêü ðáñÜãïíôá óôï óçìåßï p. Õðüäåéîç : Ç óõíèÞêç ω (v) = 0 ðñïóäéïñßæåé Ýíá C 1 -äéáöïñßóéìï äéáíõóìáôéêü ðåäßï v óå ìéá ãåéôïíéÜ ôïý p, óôçí ïðïßá ôï v äåí äéáèÝôåé êáíÝíá óçìåßï ìçäåíéóìïý. ÂÜóåé ôïý èåìåëéþäïõò èåùñÞìáôïò ôùí óõíÞèùí

2. åðéêáìðõëéá ïëïêëçñùìáôá

47

äéáöïñéêþí åîéóþóåùí õðÜñ·åé ìéá ãåéôïíéÜ V ôïý p êáé ìéá óõíÜñôçóç f : V −→ R (ôï ëåãüìåíï ðñþôï ïëïêëÞñùìá ôïý v), ïýôùò þóôå ç f íá åßíáé óôáèåñÞ êáôÜ ìÞêïò ôùí ôñï·éáóìÜôùí (= áíïéêôþí ôñï·éþí) ôïý v. Ùò åê ôïýôïõ, df (v) = 0 = ω (v) , áð' üðïõ Ýðåôáé üôé df = gω. (b) ÅÜí ç g : V −→ R åßíáé Ýíáò ôïðéêüò ïëïêëçñùôéêüò ðáñÜãïíôáò óôï p ∈ V, Þôïé df = gω, êáé ç θ : V −→ R ôõ·ïýóá äéáöïñßóéìç óõíÜñôçóç, áðïäåßîôå üôé êáé ç ge : V −→ R, ç ïðïßá ïñßæåôáé ìÝóù ôïý ôýðïõ ge (p) = dθ (f (p)) · g(p),

ðáñáìÝíåé ïëïêëçñùôéêüò ðáñÜãïíôáò óôï p.

Õðüäåéîç : Äéáôçñþíôáò ôüí óõìâïëéóìü ôÞò õðüäåéîçò ãéá ôï (a), ç θ (f ) ðáñáìÝíåé ïëïêëçñùôéêüò ðáñÜãïíôáò ôïý v. ÊáôÜ óõíÝðåéáí, dθ (f ) = geω =⇒ dθ · gω = geω,

üðïõ ç ge åßíáé Ýíáò íÝïò ïëïêëçñùôéêüò ðáñÜãïíôáò ôïý v. ÅðåéäÞ ω 6= 0, Ý·ïõìå dθ · g = ge.

ÊÅÖÁËÁÉÏ 3

Äéáöïñßóéìá ðïëõðôýãìáôá

Ïé äéáöïñéêÝò ìïñöÝò åéóÞ·èçóáí óôï êåöÜëáéï 1 ùò áíôéêåßìåíá ðïõ ïñßæïíôáé óôïí Rn . Ùóôüóï, ôüóï áõôÝò üóï êáé ïôéäÞðïôå Üëëï ó·åôéæüìåíï ìå ôç äéáöïñéóéìüôçôá, æïõí êáôÜ ôñüðï öõóéêü óå Ýíá äéáöïñßóéìï ðïëýðôõãìá, ìéá Ýííïéá ìå ôçí ïðïßá ðñüêåéôáé íá áó·ïëçèïýìå óôï ðáñüí êåöÜëáéï. Èá èåùñÞóïõìå ùò áöåôçñßá ìáò ôï ðëÝïí ïéêåßï ðáñÜäåéãìá äéáöïñéóßìïõ ðïëõðôýãìáôïò, Þôïé ìéá êáíïíéêÞ åðéöÜíåéá åíôüò ôïý R3 . Óå ü,ôé áêïëïõèåß ·ñçóéìïðïéïýìå ùò áíáöïñÜ ôï âéâëßï ¥3]. Áò õðåíèõìßóïõìå êáô' áñ·Üò (ðñâë. [3], êåöÜëáéï 2, åíüôçôá 2.2) üôé Ýíá õðïóýíïëï S ⊂ R3 åßíáé ìéá êáíïíéêÞ åðéöÜíåéá üôáí ãéá êÜèå p ∈ S õðÜñ·åé ìéá ãåéôïíéÜ V ôïý p åíôüò ôïý R3 , êáèþò êáé ìéá áðåéêüíéóç fα : Uα ⊆ R2 −→ V ∩ S áðü Ýíá áíïéêôü õðïóýíïëï Uα ôïý R2 åðß ôïý V ∩ S, ôÝôïéá þóôå íá éó·ýïõí ôá áêüëïõèá: 1) Ç fα åßíáé Ýíáò äéáöïñßóéìïò1 ïìïéïìïñöéóìüò.

2) Ôï äéáöïñéêü (dfα )q : Tq (Uα ) −→ R3 åßíáé ìéá Ýíñéøç ãéá êÜèå q ∈ Uα .

Ìéá ôÝôïéá áðåéêüíéóç fα : Uα −→ S êáëåßôáé ðáñáìÝôñçóç ôÞò åðéöáíåßáò S ðåñß ôï óçìåßï p. Ôï óçìáíôéêüôåñï åðáêüëïõèï ôïý áíùôÝñù ïñéóìïý åßíáé ôï ãåãïíüò üôé ç áëëáãÞ ðáñáìÝôñùí åßíáé Ýíáò äéáöïñïìïñöéóìüò. ÓõãêåêñéìÝíá, åÜí ïé fα : Uα −→ S êáé fβ : Uβ −→ S åßíáé äõï ðáñáìåôñÞóåéò ôÞò S, ôÝôïéåò 1

(Ó.ô.Ì.): Áðü åäþ êáé óôï åîÞò ôï åðßèåôï «äéáöïñßóéìïò» èá óçìáßíåé «C ∞ -äéáöïñßóéìïò».

äéáöïñéêåò ìïñöåò. èåùñéá êáé åöáñìïãåò

50 þóôå íá éó·ýåé

fα (Uα ) ∩ fβ (Uβ ) =: W 6= ∅, ôüôå ïé áðåéêïíßóåéò fβ−1 ◦ fα : fα−1 (W ) −→ R2 , fα−1 ◦ fβ : fβ−1 (W ) −→ R2 , åßíáé äéáöïñßóéìåò (âë. ôï èåþñçìá ôÞò åíüôçôáò 2.5 ôïý ¥3]). Åî áõôïý Ýðåôáé üôé åðß ìéáò êáíïíéêÞò åðéöáíåßáò Ý·åé íüçìá íá ïìéëïýìå ãéá äéáöïñßóéìåò áðåéêïíßóåéò êáé íá åöáñìüæïõìå ôéò ãíùóôÝò ìåèüäïõò ôïý Äéáöïñéêïý Ëïãéóìïý. Ôï óïâáñüôåñï ðñüâëçìá ðïõ áíôéìåôùðßæåé êáíåßò ìå ôç èÝóðéóç ôïý ùò Üíù ïñéóìïý åßíáé ç åîÜñôçóç áðü ôïí ðåñéâÜëëïíôá ·þñï R3 . ÐñÜãìáôé° ôï üëï óêåðôéêü, ôï ïðïßï ìáò ïäçãåß óå Ýíáí öõóéêü ïñéóìü ôùí áöçñçìÝíùí åðéöáíåéþí, âáóßæåôáé óôï üôé ôï æçôïýìåíï åßíáé, õðü ìßá Ýííïéá, êÜôé ôï äéóäéÜóôáôï, åðß ôïý ïðïßïõ åßíáé ôïðéêþò äõíáôÞ ç åöáñìïãÞ ôùí áðïôåëåóìÜôùí ôïý Äéáöïñéêïý Ëïãéóìïý óôïí R2 . Ìéá ôÝôïéïõ åßäïõò åííïéïëüãçóç ìéáò áöçñçìÝíçò åðéöáíåßáò (·ùñßò íá ãßíåôáé ìíåßá ïéïõäÞðïôå ðåñéâÜëëïíôïò ·þñïõ) åß·å Þäç ðñïâëåöèåß áðü ôçí åðï·Þ ôïý Gauss, áí êáé áðáéôÞèçêå ðåñßðïõ ìßá åðéðëÝïí åêáôïíôáåôßá Ýùò üôïõ ï æçôïýìåíïò ïñéóìüò êáôáëÞîåé íá ëÜâåé ôçí ïñéóôéêÞ ôïõ ìïñöÞ. ¸íáò áðü ôïõò ëüãïõò áõôÞò ôÞò êáèõóôÝñçóçò Þôáí ôï üôé, áêüìç êáé ãéá ôéò åðéöÜíåéåò åíôüò ôïý R3 , ï áêñéâÞò ñüëïò ðïõ äéáäñáìáôßæïõí ïé áëëáãÝò ðáñáìÝôñùí äåí åß·å ãßíåé ðëÞñùò êáôáíïçôüò (âë. ðáñáôÞñçóç 3.2). ÅðåéäÞ ôßðïôá äåí ìáò åîáíáãêÜæåé íá ðåñéïñéóèïýìå ìüíïí óôç äéÜóôáóç äýï, ðáñïõóéÜæïõìå ôïí ïñéóìü ãéá ïéáäÞðïôå äéÜóôáóç n. 3.1 Ïñéóìüò. ¸íá n-äéÜóôáôï äéáöïñßóéìï ðïëýðôõãìá åßíáé Ýíá óýíïëï M ìáæß ìå ìéá ïéêïãÝíåéá åíñéðôéêþí áðåéêïíßóåùí fα : Uα ⊆ Rn −→ M áðü áíïéêôÜ õðïóýíïëá Uα ôïý Rn óôï M, ïýôùò þóôå íá éó·ýïõí ôá áêüëïõèá: [ 1) fα (Uα ) = M. α

2) Ãéá êÜèå æåýãïò α, β ãéá ôï ïðïßï ôï óýíïëï fα (Uα ) ∩ fβ (Uβ ) =: W åßíáé ìç êåíü, ôá óýíïëá fα−1 (W ) êáé fβ−1 (W ) åßíáé áíïéêôÜ õðïóýíïëá ôïý Rn êáé ïé áðåéêïíßóåéò fβ−1 ◦ fα êáé fα−1 ◦ fβ åßíáé (C ∞ -) äéáöïñßóéìåò2 (âë. ó·Þìá 3.1). 2 (Ó.ô.Ì.): ¼ðùò Þäç ðñïáíáöÝñèçêå, óôá êåöÜëáéá 3-6 «äéáöïñéóéìüôçôá» óçìáßíåé «C ∞ -äéáöïñéóéìüôçôá». Âåâáßùò, êáô' áíáëïãßáí ðñïò ôá ðïëõðôýãìáôá áõôÜ åßíáé äõíáôüí íá ïñéóèïýí êáé C -äéáöïñßóéìá ðïëõðôýãìáôá (üðïõ ïéïóäÞðïôå öõóéêüò áñéèìüò ≥ 1) üôáí êáíåßò áîéþíåé áðü ôéò áðåéêïíßóåéò ìåôÜâáóçò fβ−1 ◦ fα êáé

−1 fα ◦ fβ íá åßíáé (áðëþò êáé ìüíïí) C -äéáöïñßóéìåò. Áîßæåé íá óçìåéùèåß, üôé ìðïñïýìå íá åêëÜâïõìå êÜèå C -äéáöïñßóéìï ðïëýðôõãìá ùò C ∞ -äéáöïñßóéìï ðïëýðôõãìá, ìå ìüíç «åðéâÜñõíóÞ» ìáò ôï üôé (åí ãÝíåé) ïé C ∞ äéáöïñßóéìåò áðåéêïíßóåéò, ïé ïñéæüìåíåò åð' áõôïý, èá åßíáé ëéãüôåñåò áðü ôéò áñ·éêÝò C -äéáöïñßóéìåò áðåéêïíßóåéò.

ÓõãêåêñéìÝíá, éó·ýåé ôï áêüëïõèï èåþñçìá, ôï ïðïßï ïöåßëåôáé óôïí Whitney: ¸óôù (M, {(Uα , fα )α∈A }) Ýíá C -äéáöïñßóéìï ðïëýðôõãìá. Ôüôå õðÜñ·åé Ýíá õðïóýíïëï Γ ôïý A, ôÝôïéï þóôå ôï (M, {(Uα , fα )α∈Γ }) íá åßíáé Ýíá C ∞ -äéáöïñßóéìï ðïëýðôõãìá. (Âë. H. Whitney: Differentiable Manifolds, Annals of Mathematics, Vol. 37 (1937),

3. äéáöïñéóéìá ðïëõðôõãìáôá

51

3) Ç ïéêïãÝíåéá3 {(Uα , fα )} åßíáé ìåãéóôïôéêÞ ùò ðñïò ôçí ðëÞñùóç ôùí éäéïôÞôùí 1) êáé 2).

Ó·Þìá 3.1

ÅÜí p ∈ fα (Uα ) , ôüôå ôï æåýãïò (Uα , fα ) êáëåßôáé ðáñáìÝôñçóç (Þ óýóôçìá óõíôåôáãìÝíùí) ôïý M ðåñß ôï p. Åí ðñïêåéìÝíù, ëÝìå üôé ôï fα (Uα ) åßíáé ìéá ãåéôïíéÜ óõíôåôáãìÝíùí ôïý p. ÊÜèå ïéêïãÝíåéá {(Uα , fα )} ðïõ éêáíïðïéåß ôéò óõíèÞêåò 1) êáé 2) êáëåßôáé äéáöïñéêÞ äïìÞ (Þ Üôëáò) åðß ôïý M . Ç 3) åßíáé ìéá êáèáñþò ôå·íéêÞ óõíèÞêç. Óôçí ðñáãìáôéêüôçôá, ìðïñïýìå ðÜíôïôå íá åðåêôåßíïõìå ïéáäÞðïôå äïèåßóá äéáöïñéêÞ äïìÞ êáèéóôþíôáò ôç ìåãéóôïôéêÞ, áðëþò êáé ìüíïí ìå ôï íá ðñïóáñôÞóïõìå óå áõôÞí üëåò åêåßíåò ôéò áðáñáßôçôåò ðáñáìåôñÞóåéò, ïé ïðïßåò, áðü êïéíïý ìå êÜðïéåò ðáñáìåôñÞóåéò ðïõ ôÞò áíÞêïõí, éêáíïðïéïýí ôç óõíèÞêç 2). ÅðïìÝíùò, åéñÞóèù åí ðáñüäù, ìðïñïýìå íá èåùñïýìå Ýíá äéáöïñßóéìï ðïëýðôõãìá ùò Ýíá óýíïëï åöïäéáóìÝíï ìå ìéá äéáöïñéêÞ äïìÞ, õðïèÝôïíôáò óéùðçñÜ ôçí åðÝêôáóÞ ôçò óå ìéá ìåãéóôïôéêÞ, üðïõ áõôü áðáéôåßôáé. 3.2 ÐáñáôÞñçóç. Óõãêñßíïíôáò ôïí ïñéóìü ìéáò êáíïíéêÞò åðéöáíåßáò åíôüò ôïý R3 ìå ôïí ïñéóìü åíüò äéáöïñéóßìïõ ðïëõðôýãìáôïò äéáðéóôþíïõìå üôé ç êýñéá äéáöïñÜ ôïõò Ýãêåéôáé óôçí åéóáãùãÞ ôÞò èåìåëéþäïõò éäéüôçôáò ôÞò áëëáãÞò ôùí ðáñáìåôñÞóåùí (ðïõ áðïôåëåß Ýíá èåþñçìá ãéá ôéò åí ëüãù åðéöÜíåéåò) ùò áîéþìáôïò óôïí ïñéóìü 3.1. ¼ðùò èá äïýìå åíôüò ïëßãïõ, áõôü áêñéâþò åßíáé ü,ôé áðáéôåßôáé ãéá ôç ìåôáöïñÜ üëùí ôùí åííïéþí ôïý óõíÞèïõò Äéáöïñéêïý Ëïãéóìïý åðß ôïý Rn óå ôõ·üíôá äéáöïñßóéìá ðïëõðôýãìáôá. pp. 645-680.) Ìéá êáôÜ ôé ðéï áõóôçñÞ äéáôýðùóÞ ôïõ åßíáé ç åîÞò: ÊÜèå C -äéáöïñßóéìï ðïëýðôõãìá åßíáé C äéáöïñïìïñöéêü ìå Ýíá C ∞ -äéáöïñßóéìï ðïëýðôõãìá. (Ãéá ìéá áðü ôå·íéêÞ óêïðéÜ óôõëéæáñéóìÝíç áðüäåéîç, âë. ¥7], èåþñçìá 2.10, óåë. 52). ¼ðùò ôïíßæåé ï M.W. Hirsch (óôï ¥7], óåë. 52): Ç C ∞ -êáôçãïñßá ðáñïõóéÜæåé áñêåôÜ ðëåïíåêôÞìáôá óõãêñéíüìåíç ìå ôéò C -êáôçãïñßåò (áíáöåñüìåíïò óôï èåþñçìá ôùí Morse êáé Sard ê.Ü.) 3 (Ó.ô.Ì.): ÁõôÞ ç ïéêïãÝíåéá {(Uα , fα )} êáëåßôáé åíßïôå êáé n-äéÜóôáôïò ìåãéóôïôéêüò Üôëáò åðß ôïý M (êáé ôá ìÝëç ôçò n-äéÜóôáôïé ·Üñôåò).

52

äéáöïñéêåò ìïñöåò. èåùñéá êáé åöáñìïãåò

3.3 Óçìåßùóç. ÊÜèå äéáöïñéêÞ äïìÞ åðß åíüò óõíüëïõ M åðÜãåé -êáôÜ öõóéêü ôñüðï- ìéá ôïðïëïãßá åð' áõôïý. Ðñïò ôïýôï áñêåß íá ïñéóèåß Ýíá A ⊆ M ùò áíïéêôü óýíïëï üôáí ç áíôßóôñïöç åéêüíá fα−1 (A ∩ fα (Uα )) ôÞò ôïìÞò A∩fα (Uα ) åßíáé Ýíá áíïéêôü óýíïëï ôïý Rn (ùò ðñïò ôç óõíÞèç ôïðïëïãßá ôïý Rn ) ãéá üëá ôá α. Åßíáé åýêïëï íá åëåã·èåß ôï üôé, ùò ðñïò ôçí êáô' áõôüí ôïí ôñüðï ïñéæïìÝíç ôïðïëïãßá åðß ôïý M, ôá óýíïëá fα (Uα ) åßíáé áíïéêôÜ êáé ïé áðåéêïíßóåéò fα óõíå·åßò. 3.4 Óçìåßùóç. Ç öõóéêÞ ôïðïëïãßá, ìå ôçí ïðïßá åßíáé åöïäéáóìÝíï Ýíá äéáöïñßóéìï ðïëýðôõãìá M , ìðïñåß íá åßíáé áñêïýíôùò éäéüôõðç. ÉäéáéôÝñùò, åßíáé äõíáôüí íá ìçí ðëçñïß Ýíá (Þ êáé êáíÝíá) áðü ôá áêüëïõèá áîéþìáôá (ðñâë. Üóêçóç 3-17): (a) Áîßùìá ôïý Hausdorff. ÄïèÝíôùí äýï äéáöïñåôéêþí óçìåßùí p1 , p2 ôïý M, õðÜñ·åé ìéá ãåéôïíéÜ V1 ôïý p1 êáé ìéá ãåéôïíéÜ V2 ôïý p2 ìå V1 ∩ V2 6= ∅. (b) Áîßùìá ôÞò áñéèìÞóéìçò âÜóçò. Ôï M ìðïñåß íá êáëõöèåß áðü áñéèìçóßìïõ ðëÞèïõò ãåéôïíéÝò óõíôåôáãìÝíùí. (Åí ðñïêåéìÝíç ðåñéðôþóåé, ëÝìå üôé ôï M äéáèÝôåé ìéá áñéèìÞóéìç âÜóç.) Ôï áîßùìá (a) åßíáé ïõóéáóôéêü êáôÜ ôçí áðüäåéîç ôïý üôé ôï üñéï ìéáò óõãêëßíïõóáò áêïëïõèßáò åßíáé ìïíïóçìÜíôùò ïñéóìÝíï, åíþ ôï áîßùìá (b) åßíáé ïõóéáóôéêü ãéá ôçí ýðáñîç äéáìåñßóåùí ôÞò ìïíÜäáò (âë. êåöÜëáéï 4), êÜôé ôï ïðïßï åßíáé ùò åðß ôï ðëåßóôïí áðáñáßôçôï ãéá ôç ìåëÝôç ôùí ôïðïëïãéêþí éäéïôÞôùí ôùí ðïëõðôõãìÜôùí. Ùò åê ôïýôïõ, èá õðïèÝôïõìå åöåîÞò üôé üëá ôá èåùñïýìåíá ðïëõðôýãìáôá åßíáé ðïëõðôýãìáôá Hausdorff êáé äéáèÝôïõí ìéá áñéèìÞóéìç âÜóç. Ðñïöáíþò, ìéá êáíïíéêÞ åðéöÜíåéá åßíáé Ýíá ðáñÜäåéãìá åíüò äéóäéáóôÜôïõ äéáöïñéóßìïõ ðïëõðôýãìáôïò. Åðßóçò, Ýíá ôåôñéììÝíï ðáñÜäåéãìá åíüò näéáóôÜôïõ äéáöïñéóßìïõ ðïëõðôýãìáôïò áðïôåëåß ï ßäéïò ï åõêëåßäåéïò ·þñïò Rn åöïäéáæüìåíïò ìå ôç äéáöïñéêÞ äïìÞ ðïõ ðáñÝ·åôáé ìÝóù ôÞò ôáõôïôéêÞò áðåéêüíéóçò. Ïëéãüôåñï ôåôñéììÝíá ðáñáäåßãìáôá åßíáé ôá áêüëïõèá: 3.5 ÐáñÜäåéãìá. (Ôï ðñáãìáôéêü ðñïâïëéêü åðßðåäï). Èá óõìâïëßóïõìå ùò P2 (R) ôï óýíïëï üëùí ôùí åõèåéþí ôïý R3 ôùí äéåñ·ïìÝíùí áðü ôçí áñ·Þ ôùí óõíôåôáãìÝíùí (0, 0, 0) ôïý R3 . ¸ôóé, ôï P2 (R) åßíáé ôï óýíïëï ôùí «äéåõèýíóåùí» åíôüò ôïý R3 . ÐñüèåóÞ ìáò åßíáé íá êáôáóôÞóïõìå ôï P2 (R) Ýíá äéáöïñßóéìï ðïëýðôõãìá. Ðñïò ôïýôï ðáñáôçñïýìå üôé, ãéá (x, y, z) ∈ R3 , ôï P2 (R) åßíáé ï ôáõôéóìéêüò ·þñïò (Þ «ðçëéêü·ùñïò») ôïý R3 r{(0, 0, 0)} ùò ðñïò ôç ó·Ýóç

3. äéáöïñéóéìá ðïëõðôõãìáôá

53

éóïäõíáìßáò ‘‘∼'' ôçí ïñéæïìÝíç ùò áêïëïýèùò: (x, y, z) ∼ (λx, λy, λz), ∀λ ∈ Rr{0}. Ôá óçìåßá (= êëÜóåéò éóïäõíáìßáò ùò ðñïò ôçí ‘‘∼'') ôïý P2 (R) èá óçìåéþíïíôáé ùò [x, y, z]. Ïñßæïõìå ôá õðïóýíïëá V1 , V2 , V3 ôïý P2 (R): ¯ © ª V1 = [x, y, z] ∈ P2 (R) ¯ x 6= 0 , ¯ © ª V2 = [x, y, z] ∈ P2 (R) ¯ y 6= 0 , ¯ © ª V3 = [x, y, z] ∈ P2 (R) ¯ z 6= 0 ,

êáèþò êáé ôéò áðåéêïíßóåéò fi : R2 −→ Vi , i = 1, 2, 3, ìÝóù ôùí ôýðùí:

f1 (u, v) = [1, u, v] , f2 (u, v) = [u, 1, v] , f3 (u, v) = [u, v, 1] , ãéá ïéáäÞðïôå æåýãç (u, v) ∈ R2 . Ãéá ðáñÜäåéãìá, ãåùìåôñéêþò ôï V2 áðïôåëåß ôï óýíïëï üëùí ôùí åõèåéþí ôïý R3 ôùí äéåñ·ïìÝíùí áðü ôçí áñ·Þ ôùí óõíôåôáãìÝíùí O = (0, 0, 0) ôïý R3 êáé ìç áíçêïõóþí óôï åðßðåäï xOz. Éó·õñéæüìáóôå üôé ¢ ¡ ç ïéêïãÝíåéá { R2 , fi 1≤i≤3 } åßíáé ìéá äéáöïñéêÞ äïìÞ ãéá ôï P2 (R). ÐñÜãìáôé° êÜèå fi , i = 1, 2, 3, åßíáé ðñïöáíþò áìöéññéðôéêÞ êáé ¡ ¢ S fi R2 . P2 (R) = 1≤i≤3

ÁðïìÝíåé ëïéðüí íá áðïäåé·èåß üôé ïé áíôßóôñïöåò åéêüíåò fi−1 (Vi ∩ Vj ) åßíáé áíïéêôÜ õðïóýíïëá ôïý R2 êáé üôé ïé fj−1 ◦ fi åßíáé äéáöïñßóéìåò. Äß·ùò âëÜâç ôÞò ãåíéêüôçôáò, èåùñïýìå ôçí ðåñßðôùóç êáôÜ ôçí ïðïßá i = 1 êáé j = 2 (êáèüôé ç ðñáãìÜôåõóç ôùí Üëëùí ðåñéðôþóåùí ãßíåôáé áíáëüãùò). Ôá óçìåßá ðïõ áíÞêïõí óôçí áíôßóôñïöç åéêüíá f1−1 (V1 ∩ V2 ) åßíáé ôÞò ìïñöÞò (u, v), üðïõ u 6= 0. ÊáôÜ óõíÝðåéáí, ôï f1−1 (V1 ∩ V2 ) åßíáé áíïéêôü õðïóýíïëï ôïý R2 êáé ç µ∙ ¸¶ µ ¶ 1 v 1 v −1 −1 −1 f2 ◦ f1 (u, v) = f2 ([1, u, v]) = f2 , 1, = , u u u u åßíáé ðñïöáíþò äéáöïñßóéìç (áêñéâþò üðùò åß·áìå éó·õñéóèåß).

3.6 ÐáñÜäåéãìá. (Ï ðñáãìáôéêüò ðñïâïëéêüò ·þñïò). Ôï ðáñÜäåéãìá 3.5 ìðïñåß åýêïëá íá ãåíéêåõèåß óå ïéáäÞðïôå äéÜóôáóç. ÅÜí (x1 , . . . , xn+1 ) ∈ Rn+1 , ôüôå ïñßæïõìå ôïí n-äéÜóôáôï ðñáãìáôéêü ðñïâïëéêü ·þñï Pn (R) ùò ôïí ôáõôéóìéêü ·þñï («ðçëéêü·ùñï») ôïý Rn+1 r{(0, . . . , 0)} ùò ðñïò ôç ó·Ýóç éóïäõíáìßáò ‘‘∼'': (x1 , . . . , xn+1 ) ∼ (λx1 , . . . , λxn+1 ), ∀λ ∈ Rr{0}. Ôá óçìåßá (= êëÜóåéò éóïäõíáìßáò ùò ðñïò ôçí ‘‘∼'') ôïý Pn (R) óçìåéþíïíôáé ùò [x1 , . . . , xn+1 ]. Ïñßæïíôáò ôá õðïóýíïëá Vi $ Pn (R), i = 1, . . . , n + 1, ùò Vi = { [x1 , . . . , xn+1 ] ∈ Pn (R) | xi 6= 0} ,

äéáöïñéêåò ìïñöåò. èåùñéá êáé åöáñìïãåò

54

êáèþò êáé ôéò áðåéêïíßóåéò fi : Rn −→ Vi , i = 1, . . . , n + 1, ìÝóù ôùí ôýðùí: fi (y1 , . . . , yn ) = [y1 , . . . , yi−1 , 1, yi+1 , . . . , yn ] , êáé åðé·åéñçìáôïëïãþíôáò üðùò êáé óôï ðáñÜäåéãìá 3.5, äéáðéóôþíïõìå åýêïëá üôé ç ïéêïãÝíåéá {(Rn , fi )1≤i≤n+1 } åßíáé ìéá äéáöïñéêÞ äïìÞ ãéá ôïí Pn (R). (Âë. Üóêçóç 3-1.) 3.7 ÐáñÜäåéãìá. (Ç öéÜëç ôïý Klein). Ç ëåãïìÝíç öéÜëç ôïý Klein åßíáé Ýíá õðïóýíïëï ôïý R4 (ðñâë. ó·Þìá 3.2) ïñéæüìåíï ùò åîÞò: ÅÜí õðïèÝóïõìå üôé ïé Üîïíåò ôùí óõíôåôáãìÝíùí ôïý R4 åßíáé ïé Ox, Oy, Oz êáé Ow êáé üôé ôï S åßíáé ï êýêëïò áêôßíáò r, ï ïðïßïò ðåñéÝ·åôáé óôï åðßðåäï xOy ìå êÝíôñï ôïõ ôï C áíÞêïí óôïí Üîïíá Ox, ïýôùò þóôå ôï C íá âñßóêåôáé óå áðüóôáóç a > r áðü ôï O, ôüôå ç öéÜëç ôïý Klein ðáñÜãåôáé êáôüðéí ðåñéóôñïöÞò ôïý S ðåñß ôïí Oz êáé ìÜëéóôá êáôÜ ôÝôïéïí ôñüðï, þóôå, üôáí ôï êÝíôñï C Ý·åé äéáãñÜøåé ìßá óôñïöÞ ãùíßáò u óôï åðßðåäï xOy, ôï åðßðåäï ôïý S íá Ý·åé äéáãñÜøåé óôñïöÞ ãùíßáò u2 ðåñß ôïí ôñéóäéÜóôáôï ·þñï OCOzOw. (Ôïýôï åßíáé åöéêôü åðåéäÞ âñéóêüìáóôå óôïí R4 .)

Ó·Þìá 3.2

Áò õðïèÝóïõìå üôé ôá u êáé v åßíáé áõôÜ ôïý ó·Þìáôïò 3.2 êáé üôé ôï U1 $ R2 äßíåôáé ùò áêïëïýèùò: ¯ ª © U1 = (u, v) ∈ R2 ¯ 0 < u < 2π, 0 < v < 2π .

Ïñßæïõìå ôçí áðåéêüíéóç

f1 : U1 −→ R4 , (u, v) 7−→ f1 (u, v) = (x, y, z, w) ,

3. äéáöïñéóéìá ðïëõðôõãìáôá

55

üðïõ ⎧ x = (r cos v + a) cos u, ⎪ ⎪ ⎨ y = (r cos v + a) sin u, ⎪ z = r sin v cos u2 , ⎪ ⎩ w = r sin v sin u2 .

Åßíáé óáöÝò üôé ç åéêüíá f1 (U1 ) ôïý U1 ìÝóù ôÞò f1 ðåñéÝ·åé ôá óçìåßá ôÞò öéÜëçò ôïý Klein ôá ïðïßá äåí âñßóêïíôáé åðß ôùí êýêëùí u = 0 êáé v = 0. Éó·õñéæüìáóôå üôé ç f1 åßíáé åíñéðôéêÞ. Ãéá íá áðïäåßîïõìå áõôüí ôïí éó·õñéóìü, õðïèÝôïõìå åí ðñþôïéò üôé z 6= 0. Ôüôå áìöüôåñá ôá sin v êáé cos u2 åßíáé äéÜöïñá ôïý ìçäåíüò. ÅðåéäÞ 0 < u2 < π2 , ç ãùíßá u ðñïóäéïñßæåôáé áðü ôçí åîßóùóç wz = tan u2 . Ãíùñßæïíôáò ôçí u ìðïñïýìå íá ·ñçóéìïðïéÞóïõìå ôéò éóüôçôåò p w x2 + y 2 − a , sin v = u , cos v = r sin 2 r ðñïêåéìÝíïõ íá ðñïóäéïñßóïõìå êáé ôçí v. Ôïýôï áðïäåéêíýåé ôïí éó·õñéóìü ìáò üôáí z 6= 0. ÅîÜëëïõ, üôáí z = 0, Ý·ïõìå v = π Þ u = π, ïðüôå êáé ðÜëé ç åíñéðôéêüôçôá åßíáé åýêïëá äéáðéóôþóéìç. Åðßóçò, ìðïñåß íá áðïäåé·èåß üôé, êáôüðéí áëëáãÞò ôùí áñ·þí ôùí u êáé v, åßíáé äõíáôüí íá êáëýøïõìå ïëüêëçñç ôç öéÜëç ôïý Klein ìÝóù ôùí åéêüíùí áðåéêïíßóåùí ðïõ åßíáé ðáñüìïéåò ôÞò Üíùèé. Ãéá ðáñÜäåéãìá, åÜí ïñßóïõìå ôçí áðåéêüíéóç f2 : U2 −→ R4 , (u, v) 7−→ f2 (u, v) = (x, y, z, w) , ìå ⎧ x = −(r cos v + a) sin u, ⎪ ⎪ ⎨ y = (r cos v + a) cos u, ¡u π¢ ⎪ ⎪ z = r sin v cos ¡ 2 + 4 ¢ , ⎩ w = r sin v sin u2 + π4

(êÜôé ôï ïðïßï, áðü ãåùìåôñéêÞ óêïðéÜ, óçìáßíåé üôé ìåôñïýìå ôç ãùíßá u áðü ôïí Oy), âëÝðïõìå üôé ç åéêüíá f2 (U2 ) ôïý U2 ìÝóù ôÞò f2 ðåñéÝ·åé ôá óçìåßá ôÞò öéÜëçò ôïý Klein, ãéá ôá ïðïßá u = 0. Ï Ýëåã·ïò ôÞò åíñéðôéêüôçôáò ôÞò f2 åßíáé åýêïëïò. ÅîÜëëïõ, ðáñáôçñïýìå üôé ç ôïìÞ W = f1 (U1 ) ∩ f2 (U2 ) äåí åßíáé óõíåêôéêÞ, áëëÜ Ý·åé äýï óõíåêôéêÝò óõíéóôþóåò: n n o π πo W1 = f1 (u, v) | . < u < 2π , W2 = f1 (u, v) | 0 < u < 2 2 Ç áëëáãÞ óõíôåôáãìÝíùí äßíåôáé áðü ôïí ôýðï

f2−1 ◦ f1 (u, v) = (u, v) ,

äéáöïñéêåò ìïñöåò. èåùñéá êáé åöáñìïãåò

56 üðïõ

¡ ¢ ⎧ π ⎨ (u, v) = u − 2 , v , ⎩

¡ (u, v) = u +

3π 2 , 2π

êáé åßíáé ðñïöáíþò äéáöïñßóéìç.

üôáí f1 (u, v) ∈ W1 , ¢ − v , üôáí f1 (u, v) ∈ W2 ,

Êáô' áíáëïãßáí, ìðïñïýìå íá ðñïóäéïñßóïõìå ìéá åíñéðôéêÞ áðåéêüíéóç f3 : U3 −→ R4 , ç åéêüíá ôÞò ïðïßáò êáëýðôåé ôç öéÜëç ôïý Klein åîáéñïõìÝíïõ ôïý êýêëïõ ìå v = 0 (ôïýôï éóïäõíáìåß ìå ôçí áëëáãÞ ôÞò áñ·Þò ôÞò v). ÅðéðñïóèÝôùò, äåí åßíáé äýóêïëï íá áðïäåé·èåß üôé ïé áëëáãÝò óõíôåôáãìÝíùí fj−1 ◦fi , 1 ≤ i, j ≤ 3, åßíáé äéáöïñßóéìåò, êÜôé ðïõ óçìáßíåé üôé ç ïéêïãÝíåéá {(Ui , fi )1≤i≤3 } åßíáé ìéá äéáöïñéêÞ äïìÞ åðß ôÞò öéÜëçò ôïý Klein. 3.8 ÐáñáôÞñçóç. Ìðïñåß êáíåßò íá åêëÜâåé ôç öéÜëç ôïý Klein ùò Ýíáí óõíåóôñáììÝíï ôüñï õðü ôçí áêüëïõèç Ýííïéá: Ï ôüñïò êáôáóêåõÜæåôáé áðü Ýíá ïñèïãþíéï ðáñáëëçëüãñáììï ýóôåñá áðü ôáýôéóç ôùí áíôéêåéìÝíùí ðëåõñþí ôïõ. Óôç öéÜëç ôïý Klein, áðü ôçí Üëëç ìåñéÜ, ìßá áðü ôéò ðëåõñÝò ôïý èåùñïõìÝíïõ ïñèïãùíßïõ ðáñáëëçëïãñÜììïõ êáôïðôñßæåôáé ùò ðñïò ôï êÝíôñï ôïõ ðñéí áðü ôçí åêôÝëåóç ôÞò åðéèõìçôÞò ôáýôéóçò (âë. ó·Þìá 3.3). Áðïäåéêíýåôáé üôé ç öéÜëç ôïý Klein äåí åßíáé êáíïíéêÞ åðéöÜíåéá åíôüò ôïý R3 . Ðñïöáíþò ôï ðñüôõðü ôçò ôï åéêïíéæüìåíï ìÝóù ôïý ó·Þìáôïò 3.3 äéáèÝôåé «áõôïäéáôïìÝò».

Ó·Þìá 3.3

3. äéáöïñéóéìá ðïëõðôõãìáôá

57

Ðñïôïý ðáñïõóéÜóïõìå ðåñáéôÝñù ðáñáäåßãìáôá, åßíáé áíáãêáßá ç ìåôáöïñÜ ïñéóìÝíùí ôïðéêþí éäéïôÞôùí ôïý óõíÞèïõò Äéáöïñéêïý Ëïãéóìïý åðß ôïý Rn óå ôõ·üíôá äéáöïñßóéìá ðïëõðôýãìáôá. Áðü åäþ êáé óôï åîÞò èá óõìâïëßæïõìå Ýíá äéáöïñßóéìï ðïëýðôõãìá êáé ùò M n , üðïõ ìå ôïí õðåñäåßêôç n -åí åßäåé äõíÜìåùò- èá õðïíïïýìå ôç äéÜóôáóç ôïý M = M n . 3.9 Ïñéóìüò. ¸óôù üôé ôá M1 = M1n êáé M2 = M2m åßíáé äõï äéáöïñßóéìá ðïëõðôýãìáôá. Ìéá áðåéêüíéóç ϕ : M1 −→ M2 åßíáé äéáöïñßóéìç óôï óçìåßï p ∈ M1 üôáí, ãéá ïéáäÞðïôå äïèåßóá ðáñáìÝôñçóç g : V ⊆ Rm −→ M2 ðåñß ôï ϕ (p) , õðÜñ·åé ìéá ðáñáìÝôñçóç f : U ⊆ Rn −→ M1 ðåñß ôï p, ïýôùò þóôå íá éó·ýåé ï åãêëåéóìüò ϕ (f (U )) ⊆ g (V ) êáé ç áðåéêüíéóç g −1 ◦ ϕ ◦ f : U ⊆ Rn −→ Rm íá åßíáé äéáöïñßóéìç (õðü ôç óõíÞèç Ýííïéá) óôï f −1 (p). ÅðéðñïóèÝôùò, ìéá áðåéêüíéóç ϕ : M1 −→ M2 åßíáé äéáöïñßóéìç óå Ýíá áíïéêôü óýíïëï ôïý M1 üôáí åßíáé äéáöïñßóéìç óå üëá ôá óçìåßá áõôïý ôïý óõíüëïõ. ËÝìå üôé ç áðåéêüíéóç g −1 ◦ ϕ ◦ f åßíáé ç Ýêöñáóç ôÞò ϕ ùò ðñïò ôéò ðáñáìåôñÞóåéò f êáé g. ÅðåéäÞ ç áëëáãÞ ðáñáìÝôñùí åßíáé äéáöïñßóéìç, ôï êáôÜ ðüóïí ç ϕ åßíáé äéáöïñßóéìç äåí åîáñôÜôáé áðü ôçí åðéëïãÞ ôùí ðáñáìåôñÞóåùí. ÉäéáéôÝñùò, áðü ôá áíùôÝñù Ýðåôáé üôé ìðïñïýìå íá ïìéëïýìå ãéá äéáöïñßóéìåò óõíáñôÞóåéò (ϕ : M n → R) êáé ãéá äéáöïñßóéìåò êáìðýëåò (ϕ : I ⊆ R → M n ) åðß åíüò äéáöïñéóßìïõ ðïëõðôýãìáôïò. (To I ⊆ R èá óõìâïëßæåé ðÜíôïôå Ýíá áíïéêôü äéÜóôçìá ôÞò ðñáãìáôéêÞò åõèåßáò, ôï ïðïßï ðåñéÝ·åé ôï 0 ∈ R.) Åí óõíå·åßá, ðñïôéèÝìåèá íá ïñßóïõìå ôçí Ýííïéá ôïý åöáðôïìÝíïõ äéáíýóìáôïò ìéáò äéáöïñßóéìçò êáìðýëçò åðß åíüò äéáöïñéóßìïõ ðïëõðôýãìáôïò. Óôçí ðåñßðôùóç êáôÜ ôçí ïðïßá èåùñïýìå ìéá äéáöïñßóéìç êáìðýëç α : I ⊆ R −→ S ⊆ R3 åðß ìéáò êáíïíéêÞò åðéöáíåßáò S åíôüò ôïý R3 , ôï åöáðôüìåíï äéÜíõóìá α0 (t) åßíáé ôï äéÜíõóìá ôá·ýôçôáò ôÞò α. ¼ìùò óôç ãåíéêÞ ðåñßðôùóç, åðåéäÞ äåí ìðïñïýìå íá âïçèçèïýìå áðü Ýíáí üìïñöï ðåñéâÜëëïíôá ·þñï, ïöåßëïõìå íá êáôáöýãïõìå óå ìéá ·áñáêôçñéóôéêÞ éäéüôçôá ôïý åöáðôïìÝíïõ äéáíýóìáôïò, ç ïðïßá íá åßíáé áíåîÜñôçôç ïéïõäÞðïôå ðåñéâÜëëïíôïò ·þñïõ. Ðñïò ôïýôï, áò õðïèÝóïõìå üôé ç α : (−ε, ε) −→ Rn , ε > 0,

äéáöïñéêåò ìïñöåò. èåùñéá êáé åöáñìïãåò

58

åßíáé ìéá äéáöïñßóéìç êáìðýëç óôïí Rn ìå α (0) =: p. ÃñÜöïíôÜò ôçí ùò α (t) = (x1 (t) , . . . , xn (t)) , t ∈ (−ε, ε) , (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn , ëáìâÜíïõìå α0 (0) = (x01 (0) , . . . , x0n (0)) =: v ∈ Rn . ÅÜí ç ϕ : Rn −→ R åßíáé ìéá ðñáãìáôéêÞ óõíÜñôçóç äéáöïñßóéìç óå ìéá ãåéôïíéÜ ôïý p, ôüôå ç ðáñÜãùãïò ôÞò ϕ êáôÜ ìÞêïò ôïý v äßíåôáé áðü ôïí ôýðï ¯ à n ! ¯ n ¯ X X ¯ ∂ ∂ϕ dx d ¯ i 0 = = xi (0) ϕ. (ϕ ◦ α)¯¯ ¯ dt ∂xi dt ¯ ∂xi t=0 i=1 i=1 t=0

Ùò åê ôïýôïõ, ç «äéåõèõíôéêÞ ðáñÜãùãïò êáôÜ ìÞêïò ôïý v» (Þ «ðáñÜãùãïò êáôÜ ôç äéåýèõíóç ôïý v») áðïôåëåß Ýíáí ôåëåóôÞ åðß ôùí äéáöïñéóßìùí óõíáñôÞóåùí, ï ïðïßïò åîáñôÜôáé ìüíïí áðü ôï v. ÁõôÞ åßíáé ç æçôïõìÝíç ·áñáêôçñéóôéêÞ éäéüôçôá, ôçí ïðïßá åðßêåéôáé íá ·ñçóéìïðïéÞóïõìå ãéá íá åðåêôåßíïõìå ôçí Ýííïéá ôïý åöáðôïìÝíïõ äéáíýóìáôïò óå äéáöïñßóéìåò êáìðýëåò êåßìåíåò åðß ôõ·üíôïò ðïëõðôýãìáôïò. 3.10 Ïñéóìüò. ¸óôù α : I −→ M ìéá äéáöïñßóéìç êáìðýëç åðß åíüò äéáöïñéóßìïõ ðïëõðôýãìáôïò M, üðïõ α (0) =: p ∈ M, êáé Ýóôù Dp (M ) ôï óýíïëï ôùí óõíáñôÞóåùí ϕ : M −→ R ðïõ åßíáé äéáöïñßóéìåò óôï p. Ôï åöáðôüìåíï äéÜíõóìá ôÞò êáìðýëçò α óôï p åßíáé ç áðåéêüíéóç α0 (0) : Dp (M ) −→ R ðïõ äßíåôáé áðü ôïí ôýðï ¯ ¯ d α (0) (ϕ) = , ∀ϕ ∈ Dp (M ) . (ϕ ◦ α)¯¯ dt t=0 0

Ãåíéêüôåñá, Ýíá åöáðôüìåíï äéÜíõóìá óå Ýíá óçìåßï p ôïý M åßíáé ôï åöáðôüìåíï äéÜíõóìá êÜðïéáò äéáöïñßóéìçò êáìðýëçò α : I −→ M ìå α (0) = p. Èá äåßîïõìå üôé ôï óýíïëï ôùí åöáðôïìÝíùí äéáíõóìÜôùí óå Ýíá p ∈ M n óõãêñïôåß Ýíáí n-äéÜóôáôï ðñáãìáôéêü äéáíõóìáôéêü ·þñï. Ðñïò ôïýôï åðéëÝãïõìå ìéá ðáñáìÝôñçóç f : U ⊆ Rn −→ M ðåñß ôï p = f (0, ..., 0). Ôüôå, ùò ðñïò áõôÞ, ìéá äéáöïñßóéìç êáìðýëç α : I −→ M êáé ìéá óõíÜñôçóç ϕ ∈ Dp (M ) åêöñÜæïíôáé ùò f −1 ◦ α (t) = (x1 (t) , . . . , xn (t))

3. äéáöïñéóéìá ðïëõðôõãìáôá

59

êáé ϕ ◦ f (x1 , . . . , xn ) =: F (x1 , . . . , xn ) ,

∀ (x1 , . . . , xn ) ∈ U,

áíôéóôïß·ùò. ÊáôÜ óõíÝðåéáí, ¯ ¯ ¯ ¢¢¯ ¡ −1 d d ¡ ¯ α (0) (ϕ) = = (ϕ ◦ α)¯ F ◦ f ◦ α ¯¯ dt dt t=0 t=0 ¯ n X ¯ d ∂F = = x0i (0) (0) (F (x1 (t) , . . . , xn (t)))¯¯ dt ∂xi t=0 i=1 à n µ ¶ ! X ∂ x0i (0) (ϕ), = ∂xi 0 i=1 0

ïðüôå ôï åöáðôüìåíï äéÜíõóìá α0 (0) óôï p ìðïñåß íá ãñáöåß ùò 0

α (0) =

n X i=1

ÓçìåéùôÝïí üôé ôï

³

∂ ∂xi

´

0

x0i

(0)

µ

∂ ∂xi

¶

.

0

åßíáé ôï åöáðôüìåíï äéÜíõóìá ôÞò «êáìðýëçò óõíôå-

ôáãìÝíùí» xi 7−→ f (0, ..., 0, xi , 0, ..., 0) óôï p. 3.11 ËÞììá. Ôï óýíïëï Tp M ôùí åöáðôïìÝíùí äéáíõóìÜôùí ôïý M óôï óçìåßï p äéáíõóìáôéêüò ·þñïò ðïõ ðáñÜéóïýôáé ìå ôïí Tf , üðïõ ¯ ï ðñáãìáôéêüò n ³ï Tf´åßíáé o ¯ ∂ ãåôáé áðü ôï óýíïëï ¯ 1≤i≤n . ∂xi 0

Áðïäåéîç. ¸·ïõìå Þäç äåßîåé üôé Tp M ⊆ Tf . Êáé áíôéóôñüöùò° åÜí v ∈ Tf , ôüôå µ ¶ n P ∂ v= λi . ∂xi 0 i=1

Êáé, åÜí ç α : I −→ M äßíåôáé ùò ðñïò ôçí ðáñáìÝôñçóç f áðü ôéò xi = λi t, ôüôå ¤ α0 (0) = v, Þôïé v ∈ Tp M. Åî áõôïý Ýðåôáé üôé ôï Tp M åßíáé Ýíáò ðñáãìáôéêüò äéáíõóìáôéêüò ·þñïò. o ç åðéëïãÞ ìéáò ðáñáìÝôñçóçò f ðñïóäéïñßæåé ìéá âÜóç ´ ¯ n ³ ÅðéðñïóèÝôùò, ¯ ∂ 1 ≤ i ≤ n ôïý Tp M. Óõíåðþò ï Tp M åßíáé Ýíáò n-äéÜóôáôïò ðñá㯠∂xi 0

ìáôéêüò ·þñïò, o ï ëåãüìåíïò åöáðôüìåíïò ·þñïò ôïý M óôï p. Ç n ³äéáíõóìáôéêüò ´ ¯ ¯ ∂ âÜóç ¯ 1 ≤ i ≤ n åßíáé ç âÜóç ç áíôéóôïé·éæüìåíç óôçí ðáñáìÝôñçóç ∂xi 0 f. ¸·ïíôáò ïñßóåé ôçí Ýííïéá ôïý åöáðôïìÝíïõ ·þñïõ, ìðïñïýìå íá ïñßóïõìå êáé ôçí Ýííïéá ôïý äéáöïñéêïý ìéáò äéáöïñßóéìçò áðåéêüíéóçò ϕ : M1n −→ M2m .

60

äéáöïñéêåò ìïñöåò. èåùñéá êáé åöáñìïãåò

3.12 Ïñéóìüò. ¸óôù üôé ôá M1n êáé M2m åßíáé äõï äéáöïñßóéìá ðïëõðôýãìáôá êáé üôé ç ϕ : M1 −→ M2 åßíáé ìéá äéáöïñßóéìç áðåéêüíéóç. Ãéá êÜèå p ∈ M1 , ôï äéáöïñéêü ôÞò ϕ óôï p åßíáé ç ãñáììéêÞ áðåéêüíéóç

dϕp : Tp M1 −→ Tϕ(p) M2 ,

0

v 7−→ dϕp (v) = (ϕ ◦ α) (0) ,

üðïõ ç α : (−ε, ε) −→ M1 åßíáé ìéá äéáöïñßóéìç êáìðýëç ãéá ôçí ïðïßá éó·ýåé α (0) = p êáé α0 (0) = v. Ãéá íá Ý·åé ï ùò Üíù ïñéóìüò íüçìá åßíáé áíáãêáßï íá äåé·èåß üôé ôï (ϕ ◦ α)0 (0) åßíáé áíåîÜñôçôï ôÞò åðéëïãÞò ôÞò α, êáèþò êáé üôé ç dϕp åßíáé ãñáììéêÞ. Ôïýôï áðïäåéêíýåôáé èåùñþíôáò ðáñáìåôñÞóåéò ðåñß ôá p êáé ϕ (p) êáé áíÜãïíôáò ôï ðñüâëçìá óôç ìåëÝôç ìéáò áðåéêüíéóçò áðü ôïí Rn óôïí Rm , ãéá ôçí ïðïßá áõôÝò ïé éäéüôçôåò åßíáé ãíùóôü üôé éó·ýïõí (êáé åßíáé äõíáôüí íá áðïäåé·èïýí åýêïëá). Ãéá ôçí ðåñßðôùóç üðïõ n = 2 êáé m = 3, âë. [3], åíüôçôá 2.4. 3.13 Ïñéóìüò. ¸óôù üôé ôá M1 êáé M2 åßíáé äõï äéáöïñßóéìá ðïëõðôýãìáôá. Ìéá áðåéêüíéóç ϕ : M1 −→ M2 êáëåßôáé äéáöïñïìïñöéóìüò4 üôáí åßíáé äéáöïñßóéìç (åðß ôïý M1 ) êáé áìöéññéðôéêÞ ìå ôçí áíôßóôñïöü ôçò ϕ−1 ùóáýôùò äéáöïñßóéìç. Ç áðåéêüíéóç ϕ : M1 −→ M2 êáëåßôáé ôïðéêüò äéáöïñïìïñöéóìüò óôï p ∈ M1 üôáí õðÜñ·ïõí ãåéôïíéÝò U ôïý óçìåßïõ p êáé V ôïý óçìåßïõ ϕ (p) , ôÝôïéåò þóôå ï ðåñéïñéóìüò ϕ|U : U −→ V ôÞò ϕ åðß ôïý U íá åßíáé äéáöïñïìïñöéóìüò. Ç ãñáììéêÞ áðåéêüíéóç dϕp ìðïñåß íá åêëçöèåß ùò ìéá ðñïóÝããéóç ðñþôçò ôÜîçò ôÞò áðåéêüíéóçò ϕ ðåñß ôï p. Ðéèáíþò ôï ðëÝïí óçìáíôéêü «ôïðéêü èåþñçìá» ôïý Äéáöïñéêïý Ëïãéóìïý åßíáé ôï ëåãüìåíï èåþñçìá ôÞò áíôéóôñüöïõ ìéáò áðåéêüíéóçò, ôï ïðïßï äçëïß üôé, åÜí ç dϕp åßíáé Ýíáò éóïìïñöéóìüò, ôüôå ç ϕ åßíáé Ýíáò ôïðéêüò äéáöïñïìïñöéóìüò óôï p êáé ôï ïðïßï, üíôáò ôïðéêü èåþñçìá, åðåêôåßíåôáé Üìåóá êáé ãéá äéáöïñßóéìá ðïëõðôýãìáôá5 . 3.14 ÐáñÜäåéãìá. (Ç åöáðôïìÝíç äÝóìç). ¸óôù M = M n Ýíá äéáöïñßóéìï ðïëýðôõãìá êáé Ýóôù

T M = {(p, v) | p ∈ M, v ∈ Tp M } 4 (Ó.ô.Ì.): Óôçí åëëçíéêÞ âéâëéïãñáößá, áíôß ôïý äéáöïñïìïñöéóìïý (diffeomorphism), ·ñçóéìïðïéåßôáé åíßïôå êáé ï üñïò áìöéäéáöüñéóç. 5

(Ó.ô.Ì.): Âë. ¥19], êåö. 5, èåþñçìá 3, óåë. 134, Þ ¥22], Cor. (a), óåë. 24.

3. äéáöïñéóéìá ðïëõðôõãìáôá

61

ôï óýíïëï üëùí ôùí åöáðôoìÝíùí äéáíõóìÜôùí óôï M . Åðßêåéôáé íá åéóáãÜãïõìå ìéá äéáöïñéêÞ äïìÞ (äéÜóôáóçò 2n) åðß ôïý T M . ÅöïäéáóìÝíï ìå áõôÞí ôç äïìÞ, ôï T M êáëåßôáé åöáðôïìÝíç äÝóìç õðåñÜíù ôïý M. α ¸óôù fα : Uα ⊆ Rn −→ M ìéá ðáñáìÝôñçóç ôïý M ìå (xα 1 , . . . , xn ) ∈ Uα . ÅÜí w ∈ Tfα (q) M, üðïõ q ∈ Uα , ôüôå

w=

n P

i=1

Ïñßæïíôáò ôçí áðåéêüíéóç

yiα

∂ . ∂xα i

Fα : Uα × Rn −→ T M ìÝóù ôïý ôýðïõ Fα (xα 1,...

α , xα n , y1 , . . .

, ynα )

=

µ

fα (xα 1,...

, xα n) ,

n P

i=1

yiα ∂x∂α i

¶

éó·õñéæüìáóôå üôé, üôáí ç ïéêïãÝíåéá {(Uα , fα )} åßíáé ìéá äéáöïñéêÞ äïìÞ ãéá ôï M, ç ïéêïãÝíåéá {(Uα × Rn , Fα )} åßíáé ìéá äéáöïñéêÞ äïìÞ ãéá ôï T M. Áðü ãåùìåôñéêÞ óêïðéÜ, ôïýôï óçìáßíåé üôé ùò óõíôåôáãìÝíåò ïéïõäÞðïôå óçìåßïõ (p, v) ∈ T M èåùñïýìå ôéò óõíôåôáãìÝíåò ôïý p ìáæß ìå ôéò óõíôåôáãìÝíåò ôïý v ùò ðñïò ôçí áíôéóôïé·éæüìåíç âÜóç. ÅÜí ëïéðüí (p, v) ∈ Fα (Uα × Rn ) ∩ Fβ (Uβ × Rn ) , ôüôå (p, v) = (fα (qα ) , dfα (vα )) = (fβ (qβ ) , dfβ (vβ )) , ãéá êÜðïéá qα ∈ Uα , qβ ∈ Uβ êáé vα , vβ ∈ Rn , ïðüôå ³ ³ ´ ´ Fβ−1 ◦ Fα (qα , vα ) = Fβ−1 (fα (qα ) , dfα (vα )) = fβ−1 ◦ fα (qα ) , d fβ−1 ◦ fα (vα ) . ³ ´ ÅðåéäÞ ç fβ−1 ◦ fα åßíáé äéáöïñßóéìç, ç d fβ−1 ◦ fα åßíáé ùóáýôùò äéáöïñßóéìç,

ïðüôå êáé ç Fβ−1 ◦ Fα åßíáé äéáöïñßóéìç. Ôïýôï áðïäåéêíýåé ôçí éó·ý ôÞò óõíèÞêçò 2) ôïý ïñéóìïý 3.1. ÅðåéäÞ ç óõíèÞêç 1) åßíáé ðñïöáíÞò, ï éó·õñéóìüò ìáò åßíáé áëçèÞò.

3.15 Ïñéóìüò. ÅÜí ôá M = M m êáé N = N n åßíáé äõï äéáöïñßóéìá ðïëõðôýãìáôá, ôüôå ìéá äéáöïñßóéìç áðåéêüíéóç ϕ : M −→ N åßíáé ìéá åìâÜðôéóç üôáí ç dϕp : Tp M −→ Tϕ(p) N åßíáé åíñéðôéêÞ ãéá êÜèå p ∈ M. ¼ôáí ç ϕ åßíáé, åðéðñïóèÝôùò, êáé ïìïéïìïñöéóìüò åðß ôÞò åéêüíáò ϕ (M ) ⊆ N, ìå ôçí ϕ (M ) åöïäéáóìÝíç ìå ôçí ôïðïëïãßá ôçí åðáãïìÝíç áðü ôï N, ç ϕ êáëåßôáé åìöýôåõóç. ÉäéáéôÝñùò, üôáí M ⊆ N êáé ç åíèåôéêÞ áðåéêüíéóç i : M → N åßíáé åìöýôåõóç, ëÝìå üôé ôï M åßíáé Ýíá õðïðïëýðôõãìá ôïý N.

62

äéáöïñéêåò ìïñöåò. èåùñéá êáé åöáñìïãåò

3.16 Ðáñáäåßãìáôá. (a) Ç êáìðýëç ¡ ¢ α : R −→ R2 , t 7−→ α (t) = t3 , t2 ,

(âë. ó·Þìá 3.4) åßíáé äéáöïñßóéìç, áëëÜ äåí åßíáé åìâÜðôéóç.

Ó·Þìá 3.4

Óôçí ðñáãìáôéêüôçôá, ç óõíèÞêç ôïý íá åßíáé åìâÜðôéóç éóïäõíáìåß ìå ôï üôé α0 (t) 6= 0, êÜôé ðïõ äåí ôçñåßôáé üôáí t = 0. (b) Ç êáìðýëç ¡ ¢ α : R −→ R2 , t 7−→ α (t) = t3 − 4t, t2 − 4 ,

ôïý ó·Þìáôïò 3.5 åßíáé åìâÜðôéóç, áëëÜ äåí åßíáé åìöýôåõóç, äéüôé Ý·åé ìéá áõôïäéáôïìÞ óôï óçìåßï (0, 0) (ãéá t = 2 êáé t = −2).

Ó·Þìá 3.5

3. äéáöïñéóéìá ðïëõðôõãìáôá

63

(c) Ç êáìðýëç ç ïñéæïìÝíç ìÝóù ôïý ôýðïõ ⎧ ⎪ (0, −(t + 2)) , üôáí t ∈ (−3, −1) , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ¡ ¢ a(t) = ìéá êáìðýëç üðùò áõôÞ ôïý ó·. 3.6, üôáí t ∈ −1, − π1 , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ¡ ¢ ⎪ ⎩ ¡−t, − sin( 1 )¢ , üôáí t ∈ − π1 , 0 , t

áðïôåëåß ìéá åìâÜðôéóç α : (−3, 0) −→ R2 ·ùñßò áõôïäéáôïìÝò.

Ó·Þìá 3.6

Ùóôüóï, ç α äåí åßíáé åìöýôåõóç, êáèüôé, ùò ðñïò ôçí ôïðïëïãßá ôïý R2 , ìéá ãåéôïíéÜ åíüò óçìåßïõ p ôïý êáôáêïñýöïõ ôìÞìáôïò ôÞò êáìðýëçò äéáèÝôåé Üðåéñåò óõíåêôéêÝò óõíéóôþóåò, åíþ áíôéèÝôùò, ùò ðñïò ôçí ôïðïëïãßá ôçí åðáãïìÝíç áðü ôçí α (Þôïé ùò ðñïò ôçí ôïðïëïãßá ôÞò åõèåßáò), áõôÞ åßíáé Ýíá áíïéêôü äéÜóôçìá, äçëáäÞ Ýíá óõíåêôéêü óýíïëï. (d) Ç åíèåôéêÞ áðåéêüíéóç i : S → R3 ìéáò êáíïíéêÞò åðéöáíåßáò åíôüò ôïý R3 åßíáé ìéá åìöýôåõóç (ïðüôå ç S åßíáé Ýíá õðïðïëýðôõãìá ôïý R3 ). Ôïýôï Ýðåôáé áðü ôéò óõíèÞêåò 1) êáé 2) ôïý ïñéóìïý ìéáò êáíïíéêÞò åðéöáíåßáò ðïõ äþóáìå óôçí áñ·Þ ôïý ðáñüíôïò êåöáëáßïõ. 3.17 ÐáñÜäåéãìá. (ÊáíïíéêÜ õðïðïëõðôýãìáôá ôïý Rn ). Ç öõóéêÞ ãåíßêåõóç ôÞò åííïßáò ôÞò êáíïíéêÞò åðéöáíåßáò åíôüò ôïý R3 åßíáé áõôÞ ôïý k-äéÜóôáôïõ êáíïíéêïý õðïðïëõðôýãìáôïò ôïý Rn (ðïõ êáëåßôáé, åíáëëáêôéêþò, êáé ãåíéêåõìÝíç k-äéÜóôáôç êáíïíéêÞ åðéöÜíåéá åíôüò ôïý Rn ). ¸íá õðïóýíïëï M = M k ôïý Rn êáëåßôáé k-äéÜóôáôï êáíïíéêü õðïðïëýðôõãìá üôáí ãéá êÜèå p ∈ M õðÜñ·åé ìéá ãåéôïíéÜ V ôïý p åíôüò ôïý Rn êáé ìéá áðåéêüíéóç f : U ⊆ Rk −→ M ∩ V áðü Ýíá áíïéêôü õðïóýíïëï U ôïý Rk åðß ôïý M ∩ V, ïýôùò þóôå

äéáöïñéêåò ìïñöåò. èåùñéá êáé åöáñìïãåò

64

1) ç f íá åßíáé Ýíáò äéáöïñßóéìïò ïìïéïìïñöéóìüò, êáé 2) ç (df )q : Rk −→ Rn íá åßíáé åíñéðôéêÞ ãéá êÜèå q ∈ U. ÅÜí åîáéñÝóïõìå ôéò êõìáéíüìåíåò äéáóôÜóåéò k êáé n (≥ k) , ï áíùôÝñù ïñéóìüò äåí äéáöÝñåé áðü åêåßíoí ôùí êáíïíéêþí åðéöáíåéþí åíôüò ôïý R3 . ÌÜëéóôá, åßíáé äõíáôüí íá áðïäåé·èåß üôé, äïèåéóþí äõï ðáñáìåôñÞóåùí f1 : U1 ⊆ Rk −→ M,

f2 : U2 ⊆ Rk −→ M,

ìå f1 (U1 ) ∩ f2 (U2 ) =: W 6= ∅, ç áëëáãÞ ðáñáìÝôñùí f1−1 ◦ f2 : f2−1 (W ) −→ f1−1 (W ) åßíáé Ýíáò äéáöïñïìïñöéóìüò. (Ç áðüäåéîç åßíáé áíÜëïãç åêåßíçò ðïõ äßíïõìå óôçí ðåñßðôùóç ôùí êáíïíéêþí åðéöáíåéþí, âë. ¥3], óåë. 71.) 3.18 ÐáñÜäåéãìá. Ìðïñåß íá áðïäåé·èåß üôé ïé áðåéêïíßóåéò fi , i = 1, 2, 3, ïé ïðïßåò äüèçêáí óôï ðáñÜäåéãìá 3.7, Ý·ïõí åíñéðôéêÜ äéáöïñéêÜ. Áõôü óçìáßíåé üôé ç öéÜëç ôïý Klein åßíáé Ýíá äéóäéÜóôáôï êáíïíéêü õðïðïëýðôõãìá ôïý R4 . 3.19 ÐáñÜäåéãìá. (ÁíáèåùñçìÝíç åêäï·Þ ôïý ðñáãìáôéêïý ðñïâïëéêïý åðéðÝäïõ). Ôï óýíïëï üëùí ôùí åõèåéþí ôïý R3 ôùí äéåñ·ïìÝíùí áðü ôçí áñ·Þ ôùí óõíôåôáãìÝíùí ìðïñåß íá éäùèåß ùò ï ôáõôéóìéêüò ·þñïò (Þ ï «ðçëéêü·ùñïò») ôÞò ìïíáäéáßáò óöáßñáò S2 = {p ∈ R3 : |p| = 1} ùò ðñïò åêåßíç ôç ó·Ýóç éóïäõíáìßáò, ç ïðïßá ôáõôßæåé êÜèå p ∈ S2 ìå ôï áíôéðïäéêü ôïõ óçìåßï −p. ÓçìåéùôÝïí üôé êÜèå åõèåßá äéåñ·ïìÝíç áðü ôçí áñ·Þ ôùí óõíôåôáãìÝíùí ôÝìíåé ôçí S2 óå äýï áíôéðïäéêÜ óçìåßá, ïðüôå ç êáô' áõôüí ôïí ôñüðï ðñïêýðôïõóá áíôéóôïé·ßá åßíáé ðñïöáíþò ìéá áìößññéøç. ËáìâÜíïíôáò õð' üøéí áõôÞí ôçí åíáëëáêôéêÞ ðåñéãñáöÞ ôïý P2 (R), èá åéóáãÜãïõìå ìéá äéáöïñåôéêÞ äéáöïñéêÞ äïìÞ åð' áõôïý. Ðñïò ôïýôï, ðáñáôçñïýìå üôé ìðïñïýìå íá êáëýøïõìå ôçí êáíïíéêÞ åðéöÜíåéá S2 ⊂ R3 ìÝóù ôÞò áêüëïõèçò ïéêïãåíåßáò ðáñáìåôñÞóåùí: fi+ : Ui −→ S2 ,

fi− : Ui −→ S2 ,

i = 1, 2, 3,

üðïõ ⎧ ¯ © ª ⎪ U1 = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 ¯ x1 = 0, x22 + x23 < 1 , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ f1+ (0, x2 , x3 ) = (D1 , x2 , x3 ) , f1− (0, x2 , x3 ) = (−D1 , x2 , x3 ) , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ p ⎪ ⎩ D1 = 1 − (x22 + x23 ),

3. äéáöïñéóéìá ðïëõðôõãìáôá

65

êáé ⎧ ¯ © ª ⎪ U2 = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 ¯ x2 = 0, x21 + x23 < 1 , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ f2+ (x1 , 0, x3 ) = (x1 , D2 , x3 ) , f2− (x1 , 0, x3 ) = (x1 , −D2 , x3 ) , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ p ⎪ ⎩ D2 = 1 − (x21 + x23 ),

êáé, áíôéóôïß·ùò (ãéá i = 3, âë. ó·. 3.7), ⎧ ¯ © ª ⎪ U2 = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 ¯ x3 = 0, x21 + x22 < 1 , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ f3+ (x1 , x2 , 0) = (x1 , x2 , D3 ) , f3− (x1 , x2 , 0) = (x1 , x2 , −D3 ) , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ p ⎪ ⎩ D3 = 1 − ( x21 + x22 ).

Ó·Þìá 3.7

¸óôù π : S2 −→ P2 (R) ç öõóéêÞ ðñïâïëÞ, Þôïé ç π (p) = {p, −p}, ∀p ∈ S2 . ¢ ¡ ¢ ¡ Ðñïöáíþò, π fi+ (Ui ) = π fi− (Ui ) , ∀i ∈ {1, 2, 3} . ÅÜí ïñßóïõìå ùò gi ôéò óõíèÝóåéò ôùí áðåéêïíßóåùí gi = π ◦ fi+ : Ui −→ P2 (R), ∀i ∈ {1, 2, 3} , êáé ëÜâïõìå õð' üøéí üôé ïé ðåñéïñéóìïß π|f + (Ui ) ôÞò π åðß ôùí fi+ (Ui ) åßíáé åíñéi ðôéêïß, äéáðéóôþíïõìå üôé ¡ ¢−1 ¡ ¢ ¡ ¢−1 ◦ π ◦ fj+ = fi+ ◦ fj+ , gi−1 ◦ gj = π ◦ fi+ ïðüôå ïé gi−1 ◦ gj åßíáé äéáöïñßóéìåò ãéá üëá ôá i, j, üðïõ 1 ≤ i, j ≤ 3, êáé ç ïéêïãÝíåéá { (Ui , gi ) | i ∈ {1, 2, 3}} áðïôåëåß ìéá äéáöïñéêÞ äïìÞ åðß ôïý ðñáãìáôéêïý

66

äéáöïñéêåò ìïñöåò. èåùñéá êáé åöáñìïãåò

ðñïâïëéêïý åðéðÝäïõ P2 (R). Óôçí ðñáãìáôéêüôçôá, ôüóï áõôÞ ç äéáöïñéêÞ äïìÞ üóï êáé ç äéáöïñéêÞ äïìÞ ðïõ ïñßóèçêå óôï ðáñÜäåéãìá 3.5 êáèïñßæïõí ôçí ßäéá ìåãéóôïôéêÞ äïìÞ åðß ôïý P2 (R). Ôïýôï Ýãêåéôáé óôï üôé ïé èåùñïýìåíåò ãåéôïíéÝò óõíôåôáãìÝíùí åßíáé ôáõôüóçìåò êáé óôï üôé ïé áëëáãÝò óõíôåôáãìÝíùí ⎧ ³ ´ x2 x3 ⎪ , 1, ⎪ x1 x1 ←→ (D1 , x2 , x3 ) , ⎪ ⎪ ⎨ ³ ´ x1 x3 , 1, x2 x2 ←→ (x1 , D2 , x3 ) , ⎪ ⎪ ³ ´ ⎪ ⎪ ⎩ x1 , x2 , 1 ←→ (x1 , x2 , D3 ) x31 x3

åßíáé ðñïöáíþò äéáöïñßóéìåò. ÓçìåéùôÝïí üôé ç áíùôÝñù ïñéóèåßóá öõóéêÞ ðñïâïëÞ π : S2 −→ P2 (R) åßíáé Ýíáò ôïðéêüò äéáöïñïìïñöéóìüò óå êÜèå óçìåßï ôÞò ìïíáäéáßáò óöáßñáò S2 . 3.20 Óçìåßùóç. Åßíáé äõíáôüí íá áðïäåé·èåß üôé ôï ðñáãìáôéêü ðñïâïëéêü åðßðåäï äåí ìðïñåß íá åìöõôåõèåß åíôüò ôïý R3 . Ôï ó·Þìá 3.8 ðåñéãñÜöåé ìéá äéáöïñßóéìç áðåéêüíéóç áðü ôï ðñáãìáôéêü ðñïâïëéêü åðßðåäï óôïí R3 , ç ïðïßá ïäçãåß óôïí ó·çìáôéóìü ìéáò áõôïäéáôåìíüìåíçò åðéöáíåßáò êáôÜ ìÞêïò åíüò ïëïêëÞñïõ ôüîïõ (ìå äýï éäéÜæïíôá óçìåßá óôá ëçêôéêÜ óçìåßá ôïý åí ëüãù ôüîïõ). Áðü ôçí Üëëç ìåñéÜ, ìÝóù ìéáò ðéï êïðéþäïõò êáôáóêåõÞò, åßíáé äõíáôÞ ç ðåñéãñáöÞ ìéáò åìâÜðôéóçò ôïý P2 (R) åíôüò ôïý R3 . (Êáô' áõôüí ôïí ôñüðï ðñïêýðôåé ç ëåãïìÝíç åðéöÜíåéá ôïý Boy, ç ïðïßá, âåâáßùò, Ý·åé áõôïäéáôïìÝò.) Ãéá ðåñéóóüôåñåò ðëçñïöïñßåò ï áíáãíþóôçò ðáñáðÝìðåôáé óôï Üñèñï Modelle der reellen projektiven Ebene ôïý U. Pinkall, ôï ïðïßï åßíáé äçìïóéåõìÝíï óôï êåöÜëáéï 6 ôïý ôüìïõ ôùí ó·ïëßùí ôïý ¥5], óåë. 69-73.

Ó·Þìá 3.8

3. äéáöïñéóéìá ðïëõðôõãìáôá

67

3.21 ÐáñÜäåéãìá. (ÅìâÜðôéóç ôïý ðñáãìáôéêïý ðñïâïëéêïý åðéðÝäïõ åíôüò ôïý R4 ). ÕðïèÝôïõìå üôé ç ϕ : R3 −→ R4 åßíáé ç áðåéêüíéóç ðïõ ïñßæåôáé áðü ôïí ôýðï ¢ ¡ ϕ (x, y, z) = x2 − y 2 , xy, xz, yz , ∀ (x, y, z) ∈ R3 . ¸óôù S2 ⊂ R3 ç ìïíáäéáßá óöáßñá êáé Ýóôù

π : S2 −→ P2 (R) ç öõóéêÞ ðñïâïëÞ ôÞò S2 åðß ôïý ðñáãìáôéêïý ðñïâïëéêïý åðéðÝäïõ (âë. ðáñÜäåéãìá 3.19). Ðáñáôçñïýìå üôé ϕ (p) = ϕ (−p) ãéá êÜèå p = (x, y, z) ∈ R3 êáé ïñßæïõìå ôçí áðåéêüíéóç θ : P2 (R) −→ R4 , θ ({p, −p}) = ϕ (p) . ÅðåéäÞ ç π åßíáé Ýíáò ôïðéêüò äéáöïñïìïñöéóìüò, ãéá íá áðïäåßîïõìå üôé ç θ åßíáé åìâÜðôéóç áñêåß íá äåßîïõìå üôé ï ðåñéïñéóìüò ϕ|S2 ôÞò ϕ åðß ôÞò S2 åßíáé åìâÜðôéóç. Ðñïò ôïýôï åðéëÝãïõìå ôéò ðáñáìåôñÞóåéò ôÞò S2 ôéò äïèåßóåò óôï ðáñÜäåéãìá 3.19. Ð.·., ç f3+ äßíåôáé áðü ôïí ôýðï p f3+ (x, y) = (x, y, D) , D := D3 = 1 − (x2 + y 2 ), êáé

¡ ¢ ϕ ◦ f3+ (x, y) = x2 − y 2 , xy, xD, yD . ¢ ¡ Ãéá íá äåßîïõìå üôé ç d ϕ ◦ f3+ åßíáé åíñéðôéêÞ, áñêåß íá äåßîïõìå üôé ç âáèìßäá ôïý (2 × 4)-ðßíáêá ! à y ∂D 2x y D + x ∂D ∂x ∂x −2y x x ∂D D + y ∂D ∂y ∂y éóïýôáé ìå äýï, êÜôé ðïõ åðéâåâáéþíåôáé åýêïëá. Áíáëüãùò äéáðéóôþíïõìå üôé ôï ßäéï éó·ýåé êáé ãéá üëåò ôéò Üëëåò ðáñáìåôñÞóåéò. Óôçí ðñáãìáôéêüôçôá, ç ùò Üíù θ åßíáé åìöýôåõóç. Ïé ëåðôïìÝñåéåò áöÞíïíôáé ùò Üóêçóç ãéá ôïí áíáãíþóôç (âë. Üóêçóç 3-5). 3.22 Óçìåßùóç. ¸íá öõóéêü ðñüâëçìá, ôï ïðïßï åãåßñåôáé åíôüò ôïý ðëáéóßïõ ôÞò èåùñßáò ôùí äéáöïñéóßìùí ðïëõðôõãìÜôùí, åßíáé ôï êáôÜ ðüóïí Ýíá äïèÝí äéáöïñßóéìï ðïëýðôõãìá åßíáé Þ äåí åßíáé åìâáðôéóìÝíï Þ åìöõôåõìÝíï óå êÜðïéïí åõêëåßäåéï ·þñï. ¸íá èåìåëéþäåò èåþñçìá ïöåéëüìåíï óôïí Whitney äçëïß üôé êÜèå n-äéÜóôáôï äéáöïñßóéìï ðïëýðôõãìá (Hausdorff ìå áñéèìÞóéìç âÜóç) ìðïñåß íá åìâáðôéóèåß åíôüò ôïý R2n êáé íá åìöõôåõèåß åíôüò ôïý R2n+1 (âë. M.W. Hirsch ¥7], óåë. 23-27).

äéáöïñéêåò ìïñöåò. èåùñéá êáé åöáñìïãåò

68

Åí óõíå·åßá, èá åðåêôåßíïõìå ôçí Ýííïéá ôÞò äéáöïñéêÞò ìïñöÞò åðß ôõ·üíôùí äéáöïñéóßìùí ðïëõðôõãìÜôùí. ÄïèÝíôïò åíüò ðñáãìáôéêïý äéáíõóìáôéêïý ·þVk ∗ V ôï óýíïëï ôùí åíáëëáóñïõ V, óõìâïëßæïõìå ùò V ∗ ôïí äõúêü ôïõ êáé ùò óïõóþí k-ãñáììéêþí áðåéêïíßóåùí w:V · · × V} −→ R. | × ·{z k öïñÝò

3.23 Ïñéóìüò. ¸óôù M = M n Ýíá äéáöïñßóéìï ðïëýðôõãìá. Ìéá åîùôåñéêÞ kìïñöÞ w (0 ≤ k ≤ n) óôï M åßíáé ìéá åðéëïãÞ åíüò óôïé·åßïõ w(p) ôïý ·þñïõ Vk (Tp M )∗ ôùí åíáëëáóóïõóþí k-ãñáììéêþí ìïñöþí ôïý åöáðôïìÝíïõ ·þñïõ Tp M ãéá êÜèå p ∈ M. ÅÜí ìáò äïèåß ìéá åîùôåñéêÞ k-ìïñöÞ w êáé ìéá ðáñáìÝôñçóç fα : Uα −→ M n ðåñß ôï óçìåßï p ∈ fα (Uα ) , ôüôå ç ðáñÜóôáóç ôÞò w ùò ðñïò áõôÞí ôçí ðáñáìÝôñçóç åßíáé åî ïñéóìïý åêåßíç ç åîùôåñéêÞ k-ìïñöÞ wα óôï Uα ⊆ Rn , ç ïðïßá ðáñÝ·åôáé áðü ôïí ôýðï

wα (v1 , . . . , vk ) = w (dfα (v1 ) , . . . , dfα (vk )) , v1 , . . . , vk ∈ Rn . ÁëëÜæïíôáò óõíôåôáãìÝíåò ìÝóù ìéáò íÝáò ðáñáìÝôñçóçò fβ : Uβ −→ M n ðåñß ôï óçìåßï p ∈ fβ (Uβ ) , ëáìâÜíïõìå ´ ³ (fβ−1 ◦ fα )∗ (wβ (v1 , . . . , vk )) = wβ d(fβ−1 ◦ fα ) (v1 ) , . . . , d(fβ−1 ◦ fα ) (vk ) ³ ´ = w dfβ ◦ d(fβ−1 ◦ fα ) (v1 ) , . . . , dfβ ◦ d(fβ−1 ◦ fα ) (vk )

= wα (v1 , . . . , vk ) , Þôïé (fβ−1 ◦ fα )∗ wβ = wα .

3.24 Ïñéóìüò. Ìéá äéáöïñéêÞ ìïñöÞ âáèìïý k (Þ ìéá äéáöïñéêÞ k-ìïñöÞ) óå Ýíá äéáöïñßóéìï ðïëýðôõãìá M n åßíáé ìéá åîùôåñéêÞ k-ìïñöÞ, ç ðáñÜóôáóç ôÞò ïðïßáò ùò ðñïò êÜðïéï óýóôçìá óõíôåôáãìÝíùí (êáé, êáôÜ óõíÝðåéáí, ùò ðñïò ïéïäÞðïôå óýóôçìá óõíôåôáãìÝíùí) åßíáé äéáöïñßóéìç. Åî áõôïý Ýðåôáé üôé ìéá äéáöïñéêÞ k-ìïñöÞ óôï M = M n åßíáé ìéá åðéëïãÞ, ãéá êÜèå ðáñáìÝôñçóç (Uα , fα ) ôïý M, ìéáò äéáöïñéêÞò k-ìïñöÞò wα ïñéóìÝíçò óôï Uα ⊆ Rn , ïýôùò þóôå ãéá ïéáäÞðïôå ðáñáìÝôñçóç (Uβ , fβ ) ôïý M ìå fα (Uα ) ∩ fβ (Uβ ) 6= ∅

3. äéáöïñéóéìá ðïëõðôõãìáôá

69

íá Ý·ïõìå wα = (fβ−1 ◦ fα )∗ wβ .

Åßíáé ðïëý óçìáíôéêü ãåãïíüò ôï üôé üëåò ïé ðñÜîåéò ðïõ ïñßæïíôáé ìåôáîý äéáöïñéêþí ìïñöþí óôïí Rn ìðïñïýí íá åðåêôáèïýí êáé ãéá ôéò äéáöïñéêÝò ìïñöÝò óå n-äéÜóôáôá äéáöïñßóéìá ðïëõðôýãìáôá ìÝóù ôùí ôïðéêþí ôïõò ðáñáóôÜóåùí. Ãéá ðáñÜäåéãìá, åÜí ç w åßíáé ìéá äéáöïñéêÞ ìïñöÞ óôï M, ôüôå ç dw åßíáé ç äéáöïñéêÞ ìïñöÞ ìå ôïðéêÞ ðáñÜóôáóÞ ôçò ôçí dwα . ÐñÜãìáôé° åðåéäÞ dwα = d(fβ−1 ◦ fα )∗ (wβ ) = (fβ−1 ◦ fα )∗ (dwβ ) , ç dw åßíáé ìéá êáëþò ïñéóìÝíç äéáöïñéêÞ ìïñöÞ óôï M. ÓôåíÜ óõíäåäåìÝíç ìå ôéò äéáöïñéêÝò ìïñöÝò åßíáé ç Ýííïéá ôïý äéáíõóìáôéêïý ðåäßïõ. 3.25 Ïñéóìüò. ¸íá äéáíõóìáôéêü ðåäßï X åðß åíüò äéáöïñéóßìïõ ðïëõðôýãìáôïò M åßíáé ìéá áðåéêüíéóç, ç ïðïßá áíôéóôïé·ßæåé óå êÜèå óçìåßï p ôïý M Ýíá äéÜíõóìá X(p) ∈ Tp M. ¸íá äéáíõóìáôéêü ðåäßï X åðß ôïý M åßíáé äéáöïñßóéìï üôáí ãéá êÜèå äéáöïñßóéìç óõíÜñôçóç ϕ : M −→ R ç óõíÜñôçóç6 Xϕ : M −→ R, Xϕ (p) := X(p)(ϕ), ∀p ∈ M, åßíáé äéáöïñßóéìç. ¯ o n ∂ ¯ ¸óôù fα : Uα −→ M n ìéá ðáñáìÝôñçóç ôïý M êáé Ýóôù ∂x 1 ≤ i ≤ n ç ¯ i âÜóç ç áíôéóôïé·éæüìåíç óôçí fα . Ôüôå êÜèå äéáöïñßóéìï äéáíõóìáôéêü ðåäßï X åðß ôïý M, ðåñéïñéæüìåíï óôï fα (Uα ) , ãñÜöåôáé ùò X=

n X i=1

ai

∂ ∂xi

(1)

(üðïõ ïé ai = Xxi : fα (Uα ) −→ R åßíáé êÜðïéåò äéáöïñßóéìåò óõíáñôÞóåéò). ¸óôù D (M ) ôï óýíïëï ôùí äéáöïñéóßìùí óõíáñôÞóåùí ϕ : M −→ R. ÊÜèå äéáöïñßóéìï äéáíõóìáôéêü ðåäßï X åðß ôïý M êáèïñßæåé ôçí áðåéêüíéóç7 D (M ) 3 ϕ 7−→ Xϕ ∈ D (M ) ,

¯ o ¯ ¯ 1≤i≤n ç âÜóç ç áíôéóôïé·éæüìåíç óôçí fα , ôüôå êÜèå äéáöïñßóéìï äéáíõóìáôéêü ðåäßï X åðß ôïý M, ðåñéïñéæüìåíï óôï fα (Uα ) , ãñÜöåôáé õðü ôç ìïñöÞ ôïý áèñïßóìáôïò (1). Ùò åê ôïýôïõ, 6

(Ó.ô.Ì.): ÅÜí ç fα : Uα −→ M n åßíáé ìéá ðáñáìÝôñçóç ôïý M ðåñß ôï p ∈ fα (Uα ) êáé ç

n

∂ ∂xi

n n X X ∂ ∂ϕ ai (p) ) (ϕ) = ai (p) . Xϕ (p) = X(p)(ϕ) = ( ∂xi ∂xi i=1 i=1 7 (Ó.ô.Ì.): Ðñïóï·Þ! Ìç óõã·Ýåôå ôéò áðåéêïíßóåéò Xϕ êáé ϕX. Ç äåýôåñç åî áõôþí äçëïß ôïí óõíÞèç ðïëëáðëáóéáóìü (p 7−→ ϕX (p) := ϕ (p) X (p)).

äéáöïñéêåò ìïñöåò. èåùñéá êáé åöáñìïãåò

70

ç ïðïßá åßíáé R-ãñáììéêÞ, äçëáäÞ X (λϕ + µθ) = λ Xϕ + µ Xθ, ∀ (λ, µ) ∈ R2 , ∀ (ϕ, θ) ∈ D (M ) × D (M ) , êáé ðáñáãþãéóç, Þôïé X (ϕθ) = (Xϕ) θ + ϕ (Xθ) , ∀ (ϕ, θ) ∈ D (M ) × D (M ) . ÓçìåéùôÝïí üôé, äïèÝíôùí äýï äéáöïñéóßìùí äéáíõóìáôéêþí ðåäßùí X êáé Y åðß ôïý M êáé ìéáò ϕ ∈ D (M ) , åßíáé äõíáôüò ï ïñéóìüò ôùí óõíáñôÞóåùí Y (Xϕ) êáé X(Y ϕ), êáèþò êáé üëùí ôùí óõíáñôÞóåùí ðïõ ðñïêýðôïõí êáôüðéí åðáíáëáìâáíïìÝíçò åöáñìïãÞò ôïõò, ïé ïðïßåò üìùò äåí ïäçãïýí ðÜíôïôå óôç äçìéïõñãßá (íÝùí) äéáíõóìáôéêþí ðåäßùí (êáèüôé åêöñÜæïíôáé ôïðéêþò ìÝóù ðáñáãþãùí ôÜîçò õøçëüôåñçò ôïý 1). Ùóôüóï, éó·ýåé ôï áêüëïõèï ëÞììá: 3.26 ËÞììá. ÅÜí ôá X êáé Y åßíáé äõï äéáöïñßóéìá äéáíõóìáôéêÜ ðåäßá åðß åíüò äéáöïñéóßìïõ n-äéáóôÜôïõ ðïëõðôýãìáôïò M, ôüôå õðÜñ·åé Ýíá ìïíïóçìÜíôùò ïñéóìÝíï äéáöïñßóéìï äéáíõóìáôéêü ðåäßï Z åðß ôïý M, ôÝôïéï þóôå íá éó·ýåé ç éóüôçôá Zϕ = (XY − Y X) ϕ,

∀ϕ ∈ D (M ) .

Áðïäåéîç. Êáô' áñ·Üò èá áðïäåßîïõìå üôé, åÜí Ýíá ôÝôïéï Z õðÜñ·åé, ôüôå åßíáé ìïíïóçìÜíôùò ïñéóìÝíï. Ðñïò ôïýôï õðïèÝôïõìå üôé ç f : U −→ M åßíáé ìéá ðáñáìÝôñçóç êáé üôé ïé X=

n P

ai

i=1

∂ , ∂xi

Y =

n P

i=1

bi

∂ ∂xi

åßíáé ïé åêöñÜóåéò ôùí X êáé Y ùò ðñïò áõôÞí. Ôüôå µn ¶ P ∂ϕ P ∂b ∂ϕ XY ϕ = X bi ∂xi = ai ∂xji ∂x + j i=1

Y Xϕ = Y ïðüôå

µ

n P

i=1

1≤i,j≤n

∂ϕ ai ∂x i

¶

(XY − Y X) ϕ =

P

=

1≤i,j≤n

n P

i=1

µ

∂a

bj ∂xjj

∂ϕ ∂xi

+

P

1≤i,j≤n

P

1≤i,j≤n

2

ϕ ai bj ∂x∂i ∂x , j

2

ϕ ai bj ∂x∂i ∂x , j

µ ¶ ¶ ∂bj ∂aj ∂ − bi ai ϕ. ∂xi ∂xj ∂xj i=1 n P

Åî áõôïý Ýðåôáé üôé, åÜí Ýíá Z ìå ôçí áðáéôïýìåíç éäéüôçôá õðÜñ·åé, ôüôå ïöåßëåé íá åêöñÜæåôáé êáô' áõôüí ôïí ôñüðï ùò ðñïò ïéïäÞðïôå óýóôçìá óõíôåôáãìÝíùí, ïðüôå åßíáé ìïíïóçìÜíôùò ïñéóìÝíï.

3. äéáöïñéóéìá ðïëõðôõãìáôá

71

Ãéá íá áðïäåßîïõìå ôçí ýðáñîç, áðëþò ïñßæïõìå ôï Zα óå ïéáäÞðïôå ãåéôïíéÜ óõíôåôáãìÝíùí fα (Uα ) ⊆ M êÜíïíôáò ·ñÞóç ôÞò áíùôÝñù Ýêöñáóçò. Ëüãù ôÞò ìïíáäéêüôçôáò Ý·ïõìå Zα = Zβ óôçí ôïìÞ fα (Uα )∩fβ (Uβ ) , ïðüôå ôï ðñïêýðôïí Z åßíáé êáëþò ïñéóìÝíï åðß ïëïêëÞñïõ ôïý M. ¤ 3.27 Ïñéóìüò. Ôï äéáíõóìáôéêü ðåäßï ôï ïñéæüìåíï óôï ëÞììá 3.26 êáëåßôáé áãêýëç

[X, Y ] = XY − Y X ôùí X êáé Y, êáé åßíáé ðñïöáíþò äéáöïñßóéìï. 3.28 Ðñüôáóç. ÅÜí ôá X, Y, Z åßíáé äéáöïñßóéìá äéáíõóìáôéêÜ ðåäßá åðß åíüò äéáöïñéóßìïõ ðïëõðôýãìáôïò M, ïé a êáé b ðñáãìáôéêïß áñéèìïß, êáé ϕ, θ ∈ D (M ) , ôüôå éó·ýïõí ôá áêüëïõèá : (a) [X, Y ] = −[Y, X],

(b) [aX + bY, Z] = a[X, Z] + b[Y, Z], (c) [[X, Y ] , Z] + [[Y, Z] , X] + [[Z, X] , Y ] = 0 (ôáõôüôçôá ôïý Jacobi), (d) [θX, ϕY ] = θϕ [X, Y ] + θ (Xϕ) Y − ϕ (Y θ) X. Áðïäåéîç. Ïé áðïäåßîåéò ôùí (a) êáé (b) åßíáé Üìåóåò. Ãéá ôçí áðüäåéîç ôïý (c) ðáñáôçñïýìå üôé [[X, Y ] , Z] = [XY − Y X, Z]

= XY Z − Y XZ − ZXY + ZY X = [X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]]

êáé êáôüðéí åöáñìüæïõìå ôï (a). ÅîÜëëïõ, åðåéäÞ [θX, ϕY ] = θX (ϕY ) − ϕY (θX)

= θϕXY + θ (Xϕ) Y − ϕθY X − ϕ (Y θ) X = θϕ [X, Y ] + θ (Xϕ) Y − ϕ (Y θ) X,

êáé ç éóüôçôá (d) åßíáé áëçèÞò.

¤

Ìåôáîý ôÞò åîùôåñéêÞò äéáöüñéóçò äéáöïñéêþí ìïñöþí êáé ôÞò áãêýëçò äéáöïñéóßìùí äéáíõóìáôéêþí ðåäßùí õößóôáôáé ìéá åíäéáöÝñïõóá ó·Ýóç, ç ïðïßá,

äéáöïñéêåò ìïñöåò. èåùñéá êáé åöáñìïãåò

72

óôçí ðåñßðôùóç ôùí 1-ìïñöþí, äéáôõðþíåôáé ùò áêïëïýèùò8 : 3.29 Ðñüôáóç. ¸óôù üôé ç ω åßíáé ìéá äéáöïñéêÞ 1-ìïñöÞ êáé üôé ôá X êáé Y åßíáé äéáöïñßóéìá äéáíõóìáôéêÜ ðåäßá åðß åíüò äéáöïñéóßìïõ ðïëõðôýãìáôïò M. Ôüôå éó·ýåé ç éóüôçôá dω (X, Y ) = X ω (Y ) − Y ω (X) − ω ([X, Y ]) .

(2)

Áðïäåéîç. ÕðïèÝôïõìå üôé ç f : U −→ M åßíáé ìéá ðáñáìÝôñçóç êáé üôé ïé X=

n P

ai

i=1

∂ , ∂xi

Y =

n P

i=1

bi

∂ ∂xi

åßíáé ïé åêöñÜóåéò ôùí X êáé Y ùò ðñïò áõôÞí. Êáô' áñ·Üò ðáñáôçñïýìå üôé, åÜí ç éóüôçôá (2) éó·ýåé ãéá äéáöïñßóéìá äéáíõóìáôéêÜ ðåäßá X1 , . . . , Xν êáé Pν Y1 , . . . , Yξ åðß ôïý M, ôüôå èá éó·ýåé êáé ãéá ôá áèñïßóìáôÜ ôïõò i=1 Xi êáé Pξ j=1 Yj . Åí óõíå·åßá, éó·õñéæüìáóôå üôé, åÜí ç (2) éó·ýåé ãéá ôá X êáé Y, ôüôå èá éó·ýåé êáé ãéá ôá θX êáé ϕY, üðïõ θ, ϕ ∈ D (M ) . EðåéäÞ áðü ôçí õðüèåóÞ ìáò Ý·ïõìå dω (θX, ϕY ) = θϕ dω (X, Y ) = θϕ {X ω(Y ) − Y ω (X) − ω ([X, Y ])} , êÜíïíôáò ·ñÞóç ôïý (d) ôÞò ðñüôáóçò 3.28 áðïêïìßæïõìå ôéò éóüôçôåò (θX) ω (ϕY ) − ϕY ω (θX) − ω ([θX, ϕY ])

= θ (Xϕ) ω (Y ) + (θϕX) ω (Y ) − ϕ (Y θ) ω (X) − (ϕθY ) ω (X) −θϕ ω ([X, Y ]) − θ (Xϕ) ω (Y ) + ϕ (Y θ) ω (X) = θϕ {X ω(Y ) − Y ω (X) − ω ([X, Y ])} = dω (θX, ϕY ) ,

ïðüôå ï éó·õñéóìüò ìáò åßíáé áëçèÞò. Ùò åê ôïýôïõ, áñêåß íá äåßîïõìå ôçí éó·ý ∂ ∂ êáé ∂x . Êáé åðåéäÞ ôÞò éóüôçôáò (2) ãéá ôá äéáíýóìáôá ∂x i j ∙

∂ ∂ , ∂xi ∂xj

¸

= 0,

8 (Ó.ô.Ì.): ÅÜí ç ω åßíáé ìéá äéáöïñßóéìç k-ìïñöÞ êáé ôá X1 , . . . , Xk äéáöïñßóéìá äéáíõóìáôéêÜ ðåäßá åðß åíüò äéáöïñéóßìïõ ðïëõðôýãìáôïò M, ôüôå ·ñçóéìïðïéåßôáé ï óõìâïëéóìüò ω (X1 , . . . , Xk ) ãéá ôç óõíÜñôçóç

ω (X1 , . . . , Xk ) : M −→ R, p 7−→ ω (p) (X1 (p) , . . . , Xk (p)) .

3. äéáöïñéóéìá ðïëõðôõãìáôá

áñêåß íá áðïäåé·èåß ç éóüôçôá µ µ µ ¶ ¶ ¶ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ dω , ω ω = − . ∂xi ∂xj ∂xi ∂xj ∂xj ∂xi

73

(3)

Ðáñáôçñïýìå üôé, åÜí ç (3) éó·ýåé ãéá äõï äéáöïñéêÝò 1-ìïñöÝò ω 1 êáé ω 2 , ôüôå èá éó·ýåé êáé ãéá ôï ÜèñïéóìÜ ôïõò ω 1 + ω 2 . ¢ñá, ôåëéêþò áñêåß íá äåßîïõìå ôçí éó·ý ôÞò éóüôçôáò µ ¶ µ ¶ µ ¶ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ , a dxk a dxk = − , (4) d (a dxk ) ∂xi ∂xj ∂xi ∂xj ∂xj ∂xi ãéá ïéáäÞðïôå äéáöïñßóéìç óõíÜñôçóç a : f (U ) −→ R. ¼ìùò ç (4) éóïäõíáìåß ìå ôçí µ ¶ ∂ ∂ ∂a ∂a (da ∧ dxk ) , − δ ki , = δ kj ∂xi ∂xj ∂xi ∂xj ç ïðïßá, ìå ôç óåéñÜ ôçò, åßíáé öõóéêÞ áðüññïéá ôïý ðñùôáñ·éêïý ïñéóìïý ôïý åîùôåñéêïý ãéíïìÝíïõ. ¤ 3.30 Óçìåßùóç. Áêïëïõèþíôáò ôçí ßäéá áðïäåéêôéêÞ äéáäéêáóßá ìðïñåß êáíåßò íá êáôáëÞîåé óôçí áêüëïõèç ãåíßêåõóç ôÞò ðñüôáóçò 3.29: ÅÜí ç ω åßíáé ìéá äéáöïñéêÞ k-ìïñöÞ êáé ôá X1 , . . . , Xk+1 äéáöïñßóéìá äéáíõóìáôéêÜ ðåäßá åðß åíüò äéáöïñéóßìïõ ðïëõðôýãìáôïò M, ôüôå dω (X1 , .., Xk+1 )

=

k+1 P i=1

+

bi , . . . , Xk+1 ) (−1)i+1 Xi ω(X1 , . . . , X

P

i<j

bi , .., X bj , . . . , Xk+1 ), (−1)i+j Xi ω([Xi , Xj ] , X1 , . . . , X

bi äçëïß üôé ôï Xi ðáñáëåßðåôáé. üðïõ ôï óýìâïëï X

Êëåßíïõìå ôï ðáñüí êåöÜëáéï ìå ôçí ðáñÜèåóç ôïý ïñéóìïý ôÞò ïëïìåñïýò åííïßáò ôÞò ðñïóáíáôïëéóéìüôçôáò äéáöïñéóßìùí ðïëõðôõãìÜôùí.

3.31 Ïñéóìüò. ¸íá äéáöïñßóéìï ðïëýðôõãìá M åßíáé ðñïóáíáôïëßóéìï üôáí äéáèÝôåé ìéá äéáöïñéêÞ äïìÞ {(Uα , fα )}, ôÝôïéá þóôå ãéá êÜèå æåýãïò α, β, ãéá ôï ïðïßï fα (Uα ) ∩ fβ (Uβ ) 6= ∅, ôï äéáöïñéêü ôÞò áëëáãÞò ôùí óõíôåôáãìÝíùí fβ−1 ◦ fα íá Ý·åé èåôéêÞ ïñßæïõóá. ÅéäÜëëùò, ôï M êáëåßôáé ìç ðñïóáíáôïëßóéìï. ÅÜí ôï M åßíáé ðñïóáíáôïëßóéìï, ç åðéëïãÞ ìéáò äéáöïñéêÞò äïìÞò ç ïðïßá éêáíïðïéåß ôçí áíùôÝñù óõíèÞêç ëÝãåôáé9 ðñïóáíáôïëéóìüò ôïý M. Ðáñáäåßãìáôá ðñïóáíáôïëßóéìùí êáé ìç ðñïóáíáôïëßóéìùí ðïëõðôõãìÜôùí äßíïíôáé óôéò áóêÞóåéò ðïõ áêïëïõèïýí. 9

(Ó.ô.Ì.): Áöüôïõ èá Ý·åé ðáãéùèåß ìéá ôÝôïéá äéáöïñéêÞ äïìÞ, ôï M èá êáëåßôáé ðñïóáíáôïëéóìÝíï.

äéáöïñéêåò ìïñöåò. èåùñéá êáé åöáñìïãåò

74

3.32 ÐáñáôÞñçóç. Åßíáé äõíáôüí íá áðïäåé·èåß üôé ïéáäÞðïôå óõìðáãÞò êáíïíéêÞ åðéöÜíåéá åíôüò ôïý R3 åßíáé ðñïóáíáôïëßóéìç. Ìéá üìïñöç êáé áðëÞ áðüäåéîç áõôïý ôïý áðïôåëÝóìáôïò åíôïðßæåôáé óôï Üñèñï ¥10] ôïý Elon Lima. ¼ðùò èá äéáðéóôþóïõìå óôéò áóêÞóåéò 3-10 êáé 3-11, ôüóï ôï ðñáãìáôéêü ðñïâïëéêü åðßðåäï üóï êáé ç öéÜëç ôïý Klein åßíáé ìç ðñïóáíáôïëßóéìá ðïëõðôýãìáôá° êáôÜ óõíÝðåéáí, áäõíáôïýí íá åìöõôåõèïýí óôïí R3 , êÜôé ðïõ Þäç ðñïáíáöÝñáìå óôçí ðáñáôÞñçóç 3.8 êáé óôç óçìåßùóç 3.20.

ÁóêÞóåéò

3-1. Áðïäåßîôå ëåðôïìåñþò üôé ï ðñáãìáôéêüò ðñïâïëéêüò ·þñïò Pn (R) åßíáé Ýíá äéáöïñßóéìï ðïëýðôõãìá. 3-2. ¸óôù üôé ôá M êáé N åßíáé äõï äéáöïñßóéìá ðïëõðôýãìáôá êáé üôé ç {(Uα , fα )} åßíáé ìéá äéáöïñéêÞ äïìÞ ãéá ôï M êáé ç {(Vβ , gβ )} ìéá äéáöïñéêÞ äïìÞ ãéá ôï N. ÈåùñÞóôå ôü êáñôåóéáíü ãéíüìåíï M × N êáé ôéò áðåéêïíßóåéò hαβ : Uα × Vβ −→ M × N ôéò ïñéæüìåíåò áðü ôïí ôýðï hαβ (x, y) = (fα (x), gβ (y)), ∀ (x, y) ∈ Uα × Vβ . Äåßîôå üôé ç {(Uα × Vβ , hαβ )} åßíáé ìéá äéáöïñéêÞ äïìÞ ãéá ôï M × N , ôï ïðïßï êáëåßôáé ðïëýðôõãìá ãéíïìÝíïõ ôùí M êáé N . Åí óõíå·åßá, ðåñéãñÜøôå ôü ðïëýðôõãìá ãéíïìÝíïõ S1 × S1 äõï êýêëùí, üðïõ ï S1 öÝñåé ôç óõíÞèç äéáöïñéêÞ äïìÞ. 3-3. ¸óôù ϕ : M −→ N ìéá äéáöïñßóéìç áðåéêüíéóç. Äåßîôå üôé ï ïñéóìüò ôïý äéáöïñéêïý dϕp : Tp M −→ Tϕ(p) N ôÞò ϕ óå ïéïäÞðïôå p ∈ M (âë. ïñéóìü 3.12) äåí åîáñôÜôáé áðü ôçí åðéëïãÞ ôÞò åêÜóôïôå ·ñçóéìïðïéïýìåíçò äéáöïñßóéìçò êáìðýëçò (åíôüò ôïý M ). ÅðéðñïóèÝôùò, äåßîôå üôé ç dϕp åßíáé ìéá ãñáììéêÞ áðåéêüíéóç. 3-4. ¸óôù ϕ : M −→ N ìéá åìâÜðôéóç êáé Ýóôù p Ýíá óçìåßï ôïý M . Äåßîôå üôé õðÜñ·åé ìéá ãåéôïíéÜ V ⊂ M ôïý p, ôÝôïéá þóôå ï ðåñéïñéóìüò ϕ|V ôÞò ϕ óôçí V íá åßíáé ìéá åìöýôåõóç. (Âåâáßùò, ôïýôï óçìáßíåé üôé êÜèå åìâÜðôéóç åßíáé ôïðéêþò ìéá åìöýôåõóç.)

3. äéáöïñéóéìá ðïëõðôõãìáôá

75

3-5. Áðïäåßîôå üôé ç åìâÜðôéóç ôïý P2 (R) åíôüò ôïý R4 , ç äïèåßóá óôï ðáñÜäåéãìá 3.21, áðïôåëåß ìéá åìöýôåõóç. Õðüäåéîç : Ãéá íá áðïäåé·èåß üôé ç θ åßíáé åíñéðôéêÞ, èÝóôå x2 − y 2 = a, xy = b, xz = c, yz = d.

(*)

Áñêåß, õðü ôçí ðñïûðüèåóç üôé éó·ýåé x2 + y 2 + z 2 = 1, íá äéáðéóôùèåß üôé ïé áíùôÝñù åîéóþóåéò äéáèÝôïõí ìüíïí äýï êïéíÝò ëýóåéò ôïý ôýðïõ (x, y, z) êáé (−x, −y, −z). Ïé ôåëåõôáßåò ôñåéò åîéóþóåéò äßíïõí: x2 d = bc, y 2 c = bd, z 2 b = cd.

(**)

ÅÜí b = c = d = 0, ôüôå ïé åîéóþóåéò (*) äåß·íïõí üôé ôïõëÜ·éóôïí äýï áðü ôéò óõíôåôáãìÝíåò x, y, z ïöåßëïõí íá åßíáé ßóåò ìå ôï ìçäÝí, ïðüôå ç ôñßôç èá éóïýôáé êáô' áíÜãêçí ìå 1 Þ ìå −1, êáèüôé x2 + y 2 + z 2 = 1. Áðü ôçí Üëëç ìåñéÜ, åÜí êÜðïéï áðü ôá b, c, d åßíáé äéÜöïñï ôïý ìçäåíüò, ôüôå ïé åîéóþóåéò (**), áðü êïéíïý ìå ôçí x2 + y 2 + z 2 = 1, êáèïñßæïõí ôéò ôéìÝò ôùí x2 , y 2 , z 2 . Óå áõôÞí ôçí ðåñßðôùóç, åëÝã·åôáé åýêïëá (ìÝóù ôùí åîéóþóåùí (*)) ôï üôé ôï ðñüóçìï ôïý åíüò åê ôùí x, y, z ðñïóäéïñßæåé ôï ðñüóçìï ôùí Üëëùí äýï. 3-6. ÈåùñÞóôå ôïí êýëéíäñï ¯ C = { (x, y, z) ∈ R3 ¯ x2 + y 2 = 1}

êáé ôáõôßóôå êÜèå óçìåßï ôïõ (x, y, z) ìå ôï áíôßèåôü ôïõ (−x, −y, −z). Åí óõíå·åßá, äåßîôå üôé ï ðñïêýðôùí ôáõôéóìéêüò ·þñïò (Þ «ðçëéêü·ùñïò») ôïý C ùò ðñïò áõôÞí ôç ó·Ýóç éóïäõíáìßáò ìðïñåß íá åöïäéáóèåß ìå ìéá äéáöïñéêÞ äïìÞ (êáèéóôÜìåíïò, êáô' áõôüí ôïí ôñüðï, ìéá «åð' Üðåéñïí åêôåéíïìÝíç ôáéíßá ôïý M­bius»). 3-7. Äåßîôå üôé ç åöáðôïìÝíç äÝóìç ïéïõäÞðïôå äéáöïñéóßìïõ ðïëõðôýãìáôïò M åßíáé ðñïóáíáôïëßóéìç (áêüìç êáé üôáí ôï ßäéï ôï M äåí åßíáé ðñïóáíáôïëßóéìï). 3-8. ¸óôù M Ýíá äéáöïñßóéìï ðïëýðôõãìá, ôï ïðïßï ìðïñåß íá êáëõöèåß áðü äýï ãåéôïíéÝò óõíôåôáãìÝíùí V1 êáé V2 êáôÜ ôÝôïéïí ôñüðï, þóôå ç ôïìÞ ôïõò V1 ∩ V2 íá åßíáé óõíåêôéêÞ. Äåßîôå üôé ôï M ïöåßëåé íá åßíáé ðñïóáíáôïëßóéìï.

äéáöïñéêåò ìïñöåò. èåùñéá êáé åöáñìïãåò

76

3-9. Äåßîôå üôé ç ìïíáäéáßá óöáßñá Sn = {p ∈ Rn+1 : |p| = 1} åßíáé ðñïóáíáôïëßóéìç. 3-10. Äåßîôå üôé ôï ðñáãìáôéêü ðñïâïëéêü åðßðåäï P2 (R) äåí åßíáé ðñïóáíáôïëßóéìï. Õðüäåéîç : Äåßîôå áñ·éêþò üôé, åÜí Ýíá ðïëýðôõãìá M åßíáé ðñïóáíáôïëßóéìï, ôüôå êáé êÜèå áíïéêôü õðïóýíïëï ôïý M áðïôåëåß Ýíá ðñïóáíáôïëßóéìï ðïëýðôõãìá. Êáôüðéí ôïýôïõ, áðïäåßîôå üôé ôï P2 (R) ðåñéÝ·åé ùò áíïéêôü ôïõ õðïóýíïëï ìéá ôáéíßá ôïý M­bius, ç ïðïßá äåí åßíáé ðñïóáíáôïëßóéìç (ðñâë. ¥3], åíüôçôá 2.6, ðáñÜäåéãìá 3). 3-11. Äåßîôå üôé ç öéÜëç ôïý Klein äåí åßíáé ðñïóáíáôïëßóéìç. 3-12. ¸íá ðåäßï åðéðÝäùí óå Ýíá áíïéêôü óýíïëï U ⊂ R3 åßíáé ìéá áðåéêüíéóç P ç ïðïßá áíôéóôïé·ßæåé óå êÜèå p ∈ U Ýíá åðßðåäï P (p) äéåñ·üìåíï áðü ôï p. ¸íá ôÝôïéï ðåäßï P åßíáé äéáöïñßóéìï üôáí ïé óõíôåëåóôÝò ôÞò åîßóùóçò ôïý P (p) åßíáé äéáöïñßóéìåò óõíáñôÞóåéò óôï p, ãéá êÜèå p ∈ U . Ìéá åðéöÜíåéá S ⊂ R3 êáëåßôáé ïëïêëçñùôéêÞ åðéöÜíåéá ôïý P üôáí Tq S = P (q) ãéá êÜèå q ∈ S, Þôïé üôáí óå êáèÝíá ôùí óçìåßùí ôÞò S, ç S åöÜðôåôáé ôïý åðéðÝäïõ ôïý ðåäßïõ ðïõ ðåñíÜ áðü áõôü. ¸óôù ω ìéá äéáöïñéêÞ 1-ìïñöÞ óôï U ⊂ R3 ìå ω (q) 6= 0 ãéá êÜèå q ∈ U. Áðïäåßîôå ôá áêüëïõèá: (a) Ç ω ðñïóäéïñßæåé Ýíá äéáöïñßóéìï ðåäßï åðéðÝäùí P ìÝóù ôÞò óõíèÞêçò v ∈ P (p) ⊂ R3 ⇐⇒ ω p (v) = 0. (b) ÅÜí ç S åßíáé ìéá ïëïêëçñùôéêÞ êáìðýëç ôïý ùò Üíù ïñéóèÝíôïò P, ç ïðïßá äéÝñ·åôáé áðü ôï p, ôüôå éó·ýåé i∗ ω = 0, üðïõ ç i : S → R3 óõìâïëßæåé ôç óõíÞèç Ýíèåóç. (c) ÅÜí õðÜñ·åé ìéá ïëïêëçñùôéêÞ êáìðýëç S ôïý P, ç ïðïßá äéÝñ·åôáé áðü ôï p, ãéá êÜèå p ∈ U, ôüôå õðÜñ·åé ìéá 1-ìïñöÞ σ óå ìéá ãåéôïíéÜ V ⊂ U ôïý p, ïýôùò þóôå íá éó·ýåé dω = ω ∧ σ.

Õðüäåéîç ãéá ôï (c): ÈåùñÞóôå äõï 1-ìïñöÝò ω 2 , ω 3 , ïýôùò þóôå ïé ôñåéò ìïñöÝò ω = ω 1 , ω 2 , ω 3 íá åßíáé ãñáììéêþò áíåîÜñôçôåò óôçí V, êáé ãñÜøôå ôü dω ùò åîÞò: dω = α ω 2 ∧ ω 3 + β ω 3 ∧ ω 1 + γ ω 1 ∧ ω 2 . Åí óõíå·åßá, ·ñçóéìïðïéþíôáò ôü ãåãïíüò üôé d (i∗ ω) = i∗ dω = 0

3. äéáöïñéóéìá ðïëõðôõãìáôá

77

êáé üôé ç 2-ìïñöÞ ω 2 ∧ ω 3 åßíáé ìç ìçäåíéêÞ, óõìðåñÜíåôå üôé α = 0, ïðüôå dω = ω 1 ∧ (γω 2 − βω 3 ) . (d) ÅÜí õðÜñ·åé ìéá ïëïêëçñùôéêÞ åðéöÜíåéá ôïý P ãéá êÜèå óçìåßï p ∈ U êáé ω = a dx + b dy + c dz, ôüôå ¶ µ ¶ µ ¶ µ ∂b ∂a ∂c ∂b ∂a ∂c − − − a+ b+ c = 0. ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y 3-13. ¸óôù ω ç äéáöïñéêÞ ìïñöÞ ω = xdx + ydy + zdz óôïí R3 êáé Ýóôù P ôï ðåäßï ôùí åðéðÝäùí óôïí R3 r{(0, 0, 0)}, ôï ïðïßï ðñïóäéïñßæåôáé áðü ôçí ω. Äåßîôå üôé ç ïëïêëçñùôéêÞ åðéöÜíåéá ôïý P, ç ïðïßá äéÝñ·åôáé áðü ôï óçìåßï p = (x, y, z), åßíáé ç óöáßñá ðïõ Ý·åé ôï (0, 0, 0) ùò êÝíôñï ôçò êáé äéÝñ·åôáé áðü ôï p. 3-14. ¸óôù ω ç äéáöïñéêÞ ìïñöÞ ω = zdx + xdy + ydz. Äåßîôå üôé ôï ðåäßï åðéðÝäùí ôï ðñïóäéïñéæüìåíï áðü ôçí ω äåí äéáèÝôåé êáìßá ïëïêëçñùôéêÞ åðéöÜíåéá. 3-15. Åðß ôÞò ðñáãìáôéêÞò åõèåßáò R èåùñÞóôå ôéò áêüëïõèåò äéáöïñéêÝò äïìÝò: 1) ôçí (R, f1 ), üðïõ f1 (x) = x, êáé 2) ôçí (R, f2 ), üðïõ f2 (x) = x3 . Áðïäåßîôå üôé éó·ýïõí ôá åîÞò: (a) Ç ôáõôïôéêÞ óõíÜñôçóç Id: (R, f1 ) −→ (R, f2 ) äåí åßíáé äéáöïñïìïñöéóìüò (ïðüôå ïé ìåãéóôïôéêÝò äïìÝò, ïé ïðïßåò ðñïóäéïñßæïíôáé áðü ôéò (R, f1 ) êáé (R, f2 ), åßíáé äéáöïñåôéêÝò). (b) Ç óõíÜñôçóç ϕ : (R, f1 ) −→ (R, f2 ), üðïõ ϕ (x) = x3 , åßíáé äéáöïñïìïñöéóìüò. (Ùò åê ôïýôïõ, ðáñüôé ïé åí ëüãù äéáöïñéêÝò äïìÝò åßíáé äéáöïñåôéêÝò, ïñßæïõí äéáöïñßóéìá ðïëõðôýãìáôá ðïõ åßíáé äéáöïñïìïñöéêÜ.) 3-16. Ç ðñïóáíáôïëßóéìç äéðëÞ åðéêÜëõøç. ¸óôù M Ýíá óõíåêôéêü äéáöïñßóéìï ðïëýðôõãìá. Ãéá êÜèå p ∈ M óõìâïëßóôå ùò Op ôïí ôáõôéóìéêü ·þñï (Þ «ðçëéêü·ùñï») ôïý óõíüëïõ üëùí ôùí äéáôåôáãìÝíùí âÜóåùí ôïý åöáðôïìÝíïõ ·þñïõ Tp M ùò ðñïò ôçí áêüëïõèç ó·Ýóç éóïäõíáìßáò: äýï äéáôåôáãìÝíåò âÜóåéò ëïãßæïíôáé ùò éóïäýíáìåò üôáí ï ðßíáêáò ìåôáâßâáóçò

äéáöïñéêåò ìïñöåò. èåùñéá êáé åöáñìïãåò

78

ôÞò ìéáò óôçí Üëëç Ý·åé èåôéêÞ ïñßæïõóá. Ðñïöáíþò ï Op äéáèÝôåé ìüíïí äýï óôïé·åßá, êáé êÜèå óôïé·åßï Op ôïý Op êáëåßôáé ðñïóáíáôïëéóìüò óôï óçìåßï p. Ïñßæïíôáò ôï e = { (p, Op ) | p ∈ M, Op ∈ Op } M

õðïèÝóôå üôé ç fα : Uα −→ M åßíáé ìéá ðáñáìÝôñçóç ôïý M ìå p ∈ fα (Uα ) e åßíáé ç áðåéêüíéóç ðïõ ðáñÝ·åôáé áðü ôïí ôýðo êáé üôé ç feα : Uα −→ M µ ∙ ¸¶ ∂ ∂ feα (x1 , . . . , xn ) = fα (x1 , . . . , xn ) , ,... , , ∂x1 ∂xn h i ∂ ∂ , . . . , ãéá êÜèå (x1 , . . . , xn ) ∈ Uα , üðïõ ôï ∂x ∂xn óõìâïëßæåé ôï óôïé·åßï 1 ôïý Op ôï ðñïóäéïñéæüìåíï áðü ôçí ðñïêåéìÝíç âÜóç ôïý T(x1 ,... ,xn ) M . Íá áðïäåé·èïýí ôá áêüëïõèá: ³ ´ (a) ÅÜí ç {(Uα , fα )} åßíáé ìéá äéáöïñéêÞ äïìÞ ãéá ôï M , ôüôå ç { Uα , feα } e ðïõ ôï êáèéóôÜ ðñïóáíáôïëßóéìï ðïëýåßíáé ìéá äéáöïñéêÞ äïìÞ ãéá ôï M ðôõãìá (áêüìç êáé üôáí ôï M äåí åßíáé ðñïóáíáôïëßóéìï). (b) Ç áðåéêüíéóç ðñïâïëÞò

e −→ M, π (p, Op ) = p, π :M

åßíáé äéáöïñßóéìç êáé åðéññéðôéêÞ, êáé êÜèå óçìåßï p ∈ M Ý·åé ìéá ãåéôïíéÜ V, ìå ôçí áíôßóôñïöç åéêüíá π−1 (V ) ôÞò V ìÝóù ôÞò π áðáñôéæïìÝíç áðü ôçí áðïóõíäåôÞ Ýíùóç äýï áíïéêôþí óõíüëùí, êáèÝíá åê ôùí ïðïßùí äéáe èÝôåé åéêüíá ìÝóù ôÞò π äéáöïñïìïñöéêÞ ìå ôçí V. Ãé' áõôüí ôïí ëüãï, ôï M êáëåßôáé ðñïóáíáôïëßóéìç äéðëÞ åðéêÜëõøç ôïý M.

e äåí åßíáé óõíå(c) Ôï M åßíáé ðñïóáíáôïëßóéìï åÜí êáé ìüíïí åÜí ôï M êôéêü. Õðüäåéîç : ÅÜí ôï M åßíáé ðñïóáíáôïëßóéìï, ðáñáôçñÞóôå üôé ôá M1 = {(p, ðñïóáíáôïëéóìüò ôïý M óôï p)} êáé M2 = {(p, ðñïóáíáôïëéóìüò áíôßèåôïò åêåßíïõ ôïý M óôï p)}

e . Ãéá ôçí åßíáé äõï ìç êåíÜ, óáöþò äéáêåêñéìÝíá, áíïéêôÜ õðïóýíïëá ôïý M áðüäåéîç ôïý áíôéóôñüöïõ ðñÝðåé íá áðïäåé·èåß üôé ç åéêüíá π(F ) ïéïõäÞe ìÝóù ôÞò π åßíáé Ýíá êëåéóôü õðïóýíïëï ôïý ðïôå êëåéóôïý óõíüëïõ F ⊂ M M. Ôïýôï üìùò åßíáé áðüññïéá ôïý üôé ãéá êÜèå p ∈ M, ç áíôßóôñïöç åéêüíá

3. äéáöïñéóéìá ðïëõðôõãìáôá

79

e äåí åßíáé óõíåêôéêü, π −1 (p) äéáèÝôåé áêñéâþò äýï óôïé·åßá. ÅÜí ôþñá ôï M e . Ç åéêüíá π (C) óõìâïëßóôå ùò C ìéá ôõ·ïýóá óõíåêôéêÞ óõíéóôþóá ôïý M ôÞò C ìÝóù ôÞò π åßíáé Ýíá áíïéêôü, êëåéóôü êáé ìç êåíü õðïóýíïëï ôïý M, e áíáðáñéóôÜôáé ùò áðïóõíäåôÞ ïðüôå π (C) = M . ÊáôÜ óõíÝðåéáí, ôï M Ýíùóç äýï óõíåêôéêþí óõíéóôùóþí êáé ç π áðåéêïíßæåé êáèåìéÜ åî áõôþí äéáöïñïìïñöéêþò åðß ôïý M . Åî áõôïý Ýðåôáé üôé ôï M åßíáé ðñïóáíáôïëßóéìï. (d) Ç ìïíáäéáßá óöáßñá S2 åßíáé ç ðñïóáíáôïëßóéìç äéðëÞ åðéêÜëõøç ôïý P2 (R), åíþ ï (äéóäéÜóôáôïò) ôüñïò (âë. 3.8) åßíáé ç ðñïóáíáôïëßóéìç äéðëÞ åðéêÜëõøç ôÞò öéÜëçò ôïý Klein. 3-17. ¸íá ðïëýðôõãìá ðïõ äåí åßíáé Hausdorff. ¸óôù S ôï óýíïëï ðïõ áðïôåëåßôáé áðü ôçí áðïóõíäåôÞ Ýíùóç ôïý R2 êáé åíüò óçìåßïõ p∗ . ÅÜí ïé f1 , f2 : R2 −→ S åßíáé ïé áðåéêïíßóåéò ðïõ êáèïñßæïíôáé áðü ôïõò ôýðïõò: ⎧ 2 ⎨ f1 (u, v) = f2 (u, v), ∀ (u, v) ∈ R r{(0, 0)}, f (0, 0) = (0, 0), ⎩ 1 f2 (0, 0) = p∗ , ¡ ¢ ¡ ¢ áðïäåßîôå üôé ç { R2 , f1 , R2 , f2 } åöïäéÜæåé ôï S ìå ìéá äéáöïñéêÞ äïìÞ, ðáñüôé ç ôïðïëïãßá ôïý S äåí éêáíïðïéåß ôï áîßùìá ôïý Hausdorff.

ÊÅÖÁËÁÉÏ 4

ÏëïêëÞñùóç åðß ðïëõðôõãìÜôùí

4. 1 ÏËÏÊËÇÑÙÓÇ ÄÉÁÖÏÑÉÊÙÍ ÌÏÑÖÙÍ Óôçí ðáñïýóá åíüôçôá èá ïñßóïõìå ôï ïëïêëÞñùìá ìéáò äéáöïñéêÞò n-ìïñöÞò åðß åíüò äéáöïñéóßìïõ n-äéáóôÜôïõ ðïëõðôýãìáôïò, åêêéíþíôáò, ùò åßèéóôáé, áðü ôï ôé óõìâáßíåé óôïí åõêëåßäåéï ·þñï Rn . Áò õðïèÝóïõìå üôé ç ω åßíáé ìéá äéáöïñéêÞ ìïñöÞ ïñéóìÝíç óå Ýíá áíïéêôü óýíïëï U ⊆ M n . Ôï óôÞñéãìá1 K ôÞò ω åßíáé ç êëåéóôÞ èÞêç ôïý óõíüëïõ A = { p ∈ U | ω (p) 6= 0} (óôï U ). ÅÜí ç ω åßíáé ìéá äéáöïñéêÞ n-ìïñöÞ åðß ôïý M n = Rn , ôüôå ω = a(x1 , x2 , . . . , xn ) dx1 ∧ dx2 ∧ · · · ∧ dxn , üðïõ ç a : U −→ R, (x1 , . . . , xn ) 7−→ a (x1 , . . . , xn ) , åßíáé ìéá äéáöïñßóéìç óõíÜñôçóç. Áò õðïèÝóïõìå üôé ôï óôÞñéãìá K ôÞò ω åßíáé óõìðáãÝò êáé ðåñéÝ·åôáé 1 (Ó.ô.Ì.): Óôçí åëëçíéêÞ ìåôÜöñáóç ôïý ¥18], áíôß ôïý üñïõ «óôÞñéãìá» ·ñçóéìïðïéåßôáé ï üñïò «öïñÝáò» ãéá ôçí áðüäïóç ôïý support.

äéáöïñéêåò ìïñöåò. èåùñéá êáé åöáñìïãåò

82

åíôüò ôïý U. Ïñßæïõìå ôï ïëïêëÞñùìá Z

ω=

U

Z

a dx1 · · · dxn ,

K

üðïõ óôï äåîéü ìÝëïò ðáñáèÝôïõìå ôï óýíçèåò ðïëëáðëü ïëïêëÞñùìá óôïí Rn . Åí óõíå·åßá, èá ìåôáâïýìå óôïí ïñéóìü ôïý ïëïêëçñþìáôïò ìéáò äéáöïñéêÞò n-ìïñöÞò åðß ôõ·üíôïò äéáöïñéóßìïõ n-äéáóôÜôïõ ðïëõðôýãìáôïò M = M n . Ãéá íá áðïöýãïõìå ïñéóìÝíá ðñïâëÞìáôá ó·åôéæüìåíá ìå ôç óýãêëéóç, ìáò äéåõêïëýíåé ôï íá õðïèÝóïõìå üôé ôï M åßíáé óõìðáãÝò. ¼ðùò èá äïýìå åíôüò ïëßãïõ, åßíáé åîßóïõ áíáãêáßï ôï íá õðïèÝóïõìå üôé ôï M åßíáé êáé ðñïóáíáôïëßóéìï, Þôïé üôé ôï M êáëýðôåôáé áðü ìéá ïéêïãÝíåéá ãåéôïíéþí óõíôåôáãìÝíùí {Vα }, ïýôùò þóôå ïé áëëáãÝò óõíôåôáãìÝíùí íá Ý·ïõí éáêùâéáíïýò ðßíáêåò ìå èåôéêÝò ïñßæïõóåò. Êáô' áñ·Üò, áò õðïèÝóïõìå üôé ôï óôÞñéãìá K ôÞò ω ðåñéÝ·åôáé óå êÜðïéá ãåéôïíéÜ óõíôåôáãìÝíùí Vα = fα (Uα ). ÊÜíïíôáò ·ñÞóç ôÞò ôïðéêÞò ðáñÜóôáóçò ω α ôÞò ω óôï Uα : ω α = aα dx1 ∧ dx2 ∧ · · · ∧ dxn , ïñßæïõìå ôï ïëïêëÞñùìá Z

M

ω=

Z

Vα

ωα =

Z

aα dx1 · · · dxn ,

Uα

üðïõ óôï äåîéü ìÝëïò ðáñáèÝôïõìå ôï áíôßóôïé·ï óýíçèåò ðïëëáðëü ïëïêëÞñùìá óôï Uα . ÅðåéäÞ åíäÝ·åôáé ôï óôÞñéãìá K ôÞò ω íá ðåñéÝ·åôáé êáé óå êÜðïéá Üëëç ãåéôïíéÜ óõíôåôáãìÝíùí Vβ = fβ (Uβ ) ôÞò éäßáò ïéêïãåíåßáò, ïöåßëïõìå íá áðïäåßîïõìå üôé ï áíùôÝñù ïñéóìüò åßíáé áíåîÜñôçôïò ôÞò åêÜóôïôå åðéëïãÞò ôÞò ãåéôïíéÜò óõíôåôáãìÝíùí. Ðñïò ôïýôï ìðïñïýìå íá õðïèÝóïõìå, åí áíÜãêç Ýðåéôá áðü êáôÜëëçëç óõóôïëÞ ôùí Uα êáé Uβ , üôé Vα = Vβ . ÅÜí ç áëëáãÞ óõíôåôáãìÝíùí äßíåôáé áðü ôéò xi = fi (y1 , . . . , yn ) , i = 1, . . . , n, üðïõ (x1 , . . . , xn ) ∈ Uα êáé (y1 , . . . , yn ) ∈ Uβ , ôüôå, ëüãù ôÞò éóüôçôáò ω β = f ∗ ω α , ëáìâÜíïõìå ω β = det (df ) aβ dy1 ∧ · · · ∧ dyn , üðïõ aβ = aα (f1 (y1 , . . . , yn ) , . . . , fn (y1 , . . . , yn )) .

4. ïëïêëçñùóç åðé ðïëõðôõãìáôùí

83

ÅîÜëëïõ, áðü ôïí ôýðï áëëáãÞò óõíôåôáãìÝíùí ðïõ éó·ýåé ãéá ôá óõíÞèç ðïëëáðëÜ ïëïêëçñþìáôá óôïí Rn ëáìâÜíïõìå Z Z aα dx1 · · · dxn = det (df ) aβ dy1 · · · dyn , Uα

Uβ

áð' üðïõ Ýðåôáé ç åðéèõìçôÞ áíåîáñôçóßá Z Z ωα = ωβ , Vα

Vβ

ëüãù ôïý üôé det (df ) > 0. ÓçìåéùôÝïí üôé, åÜí äåí ðñïûðïèÝóïõìå ôçí ðñïóáíáôïëéóéìüôçôá ôïý M, ôï ðñüóçìï ôïý áíùôÝñù ïëïêëçñþìáôïò ôÞò ω äåí åßíáé êáëþò ïñéóìÝíï. Ç åðéëïãÞ åíüò ðñïóáíáôïëéóìïý ãéá ôï M ðáãéþíåé Ýíá ðñüóçìï ãéá ôï åí ëüãù ïëïêëÞñùìá, ôï ïðïßï áëëÜæåé üôáí áëëÜæåé ï ðñïóáíáôïëéóìüò. Áò Ýëèïõìå ôþñá óôçí åîÝôáóç ôÞò ðåñßðôùóçò êáôÜ ôçí ïðïßá ôï óôÞñéãìá K ôÞò ω äåí ðåñéÝ·åôáé óå êáìßá ãåéôïíéÜ óõíôåôáãìÝíùí. Ãé' áõôÞí èá ·ñåéáóèïýìå ïñéóìÝíá ðñïêáôáñêôéêÜ ó·üëéá êáé, ùò åê ôïýôïõ, ðñïôïý ðñï·ùñÞóïõìå óôçí ðáñÜèåóç ëåðôïìåñåéþí èá óêéáãñáöÞóïõìå ôï ôé ðñïôéèÝìåèá íá ðñÜîïõìå. ÄïèÝíôïò åíüò áíïéêôïý êáëýììáôïò {Vα } åíüò óõìðáãïýò äéáöïñéóßìïõ ðïëõðôýãìáôïò M, èá êáôáóêåõÜóïõìå ìéá ïéêïãÝíåéá äéáöïñéóßìùí óõíáñôÞóåùí ϕ1 , . . . , ϕm , ôÝôïéùí þóôå íá éó·ýïõí ôá áêüëïõèá: m P ϕi = 1 êáé (a) i=1

(b) 0 ≤ ϕi ≤ 1, ìå ôï óôÞñéãìá ôÞò ϕi íá ðåñéÝ·åôáé åíôüò êÜðïéïõ Vαi =: Vi , ãéá êÜèå i ∈ {1, . . . , m} .

Ìéá ôÝôïéïõ åßäïõò ïéêïãÝíåéá { ϕi | 1 ≤ i ≤ m} êáëåßôáé äéáöïñßóéìç äéáìÝñéóç ôÞò ìïíÜäáò õðáãïìÝíç óôï êÜëõììá {Vα }. (¼ôáí ôï M åßíáé ðñïóáíáôïëßóéìï, Ý·ïõìå ôç äõíáôüôçôá åðéëïãÞò ôïý {Vα } êáôÜ ôÝôïéïí ôñüðï, þóôå áõôü íá åßíáé óõìâáôü ìå ôïí èåùñïýìåíï ðñïóáíáôïëéóìü.) Áò ðñïûðïèÝóïõìå åðß ôïý ðáñüíôïò ôçí ýðáñîç ìéáò ôÝôïéáò ïéêïãåíåßáò, êáèþò êáé ôçí ðñïóáíáôïëéóéìüôçôá ôïý M. Ôï ïëïêëÞñùìá ìéáò äéáöïñéêÞò nìïñöÞò ω åðß ôïý M n èá ïñéóèåß ùò áêïëïýèùò: Ôï óôÞñéãìá ôÞò ìïñöÞò ϕi ω ðåñéÝ·åôáé óôï Vi . Âáóéæüìåíïé ëïéðüí óôïí ðñïçãçèÝíôá ïñéóìü, Ý·åé íüçìá íá ãñÜøïõìå Z

M

ω=

m Z X

i=1 M

ϕi ω,

äéáöïñéêåò ìïñöåò. èåùñéá êáé åöáñìïãåò

84

êáé íá áðáíôÞóïõìå óôï åñþôçìá ôïý êáôÜ ðüóïí áõôüò ï ïñéóìüò åßíáé áíåîÜñôçôïò ôùí åðéëïãþí ìáò. Èåùñþíôáò Ýíá Üëëï áíïéêôü êÜëõììá {Wβ } ôïý M, ôï ïðïßï ðñïóäéïñßæåé åðß ôïý M ôïí ßäéï ðñïóáíáôïëéóìü ìå áõôüí ðïõ ¯ôïý ðñïóäßäåé ôï {Vα }, ê᪠© èþò êáé ìéá äéáöïñßóéìç äéáìÝñéóç ôÞò ìïíÜäáò ψ j ¯ 1 ≤ j ≤ s õðáãïìÝíç óôï Ýíá áíïéêôü êÜëõììá {Wβ }, ðáñáôçñïýìå üôé ç ïéêïãÝíåéá ¯ {Vα ∩ Wβ } áðïôåëåß ª © ôïý M êáé üôé ç ïéêïãÝíåéá ϕi ψ j ¯ 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ s åßíáé ìéá äéáöïñßóéìç äéáìÝñéóç ôÞò ìïíÜäáò õðáãïìÝíç óôï {Vα ∩ Wβ }. ÊáôÜ óõíÝðåéáí, ⎛ ⎞ Z m Z m Z s X X X X ϕi ω = ϕi ⎝ ψj ⎠ ω = ϕi ψ j ω, i=1 M

i=1 M

j=1

1≤i≤m,1≤j≤s M

üðïõ, ãéá ôçí ôåëåõôáßá éóüôçôá, ·ñçóéìïðïéÞèçêå ôï ãåãïíüò üôé, ãéá êÜèå (õðï)äåßêôç i ∈ {1, . . . , m}, ïé óõíáñôÞóåéò ϕi ψ j åßíáé ïñéóìÝíåò óôï Vi . Ðáñïìïßùò, Ãm ! Z s Z s Z X X X X ψj ω = ϕi ψ j ω = ϕi ψ j ω, j=1 M

j=1 M

i=1

1≤i≤m,1≤j≤s M

áð' üðïõ Ýðåôáé ç áðáéôïõìÝíç áíåîáñôçóßá. 4.1 ÐáñáôÞñçóç. ÌÝ·ñé ôïýäå ðáñáôçñÞóáìå üôé ôï ïëïêëÞñùìá ìéáò äéáöïñéêÞò n-ìïñöÞò, ç ðåñéï·Þ ïëïêëÞñùóçò ôÞò ïðïßáò ðåñéÝ·åôáé óå ìéá ãåéôïíéÜ óõíôåôáãìÝíùí, áíÜãåôáé óå Ýíá óýíçèåò ðïëëáðëü ïëïêëÞñùìá. Ãéá ôçí ïëïêëÞñùóç äéáöïñéêþí ìïñöþí óå ðéï ðåñßðëïêåò ðåñéï·Ýò õðÜñ·ïõí äýï ìÝèïäïé ðñüóâáóçò: Þ õðïäéáéñïýìå ôçí ðåñßðëïêç ðåñéï·Þ ïëïêëÞñùóçò óå áðëïýóôåñåò êáé ìåôÜ áèñïßæïõìå ôá åðéìÝñïõò áðïôåëÝóìáôá Þ áðïóõíèÝôïõìå ôç äéáöïñéêÞ ìïñöÞ óå ìïñöÝò ðïõ åßíáé ìçäåíéêÝò åêôüò ïñéóìÝíùí áðëïýóôåñùí ðåñéï·þí êáé áèñïßæïõìå ôá ó·çìáôéæüìåíá ïëïêëçñþìáôá. ÅðåéäÞ ôï íá åñãáæüìáóôå ìå óõíáñôÞóåéò åßíáé åõêïëüôåñï ôïý íá åñãáæüìáóôå ìå ðåñéï·Ýò, ç äåýôåñç ìÝèïäïò åßíáé óõíÞèùò ðñïôéìüôåñç ôÞò ðñþôçò, êáé ãé' áõôü êáé ôç ·ñçóéìïðïéÞóáìå óôïí áíùôÝñù ïñéóìü. Åí óõíå·åßá, åðßêåéôáé íá äþóïõìå ôçí áðüäåéîç ôÞò ýðáñîçò ìéáò äéáöïñßóéìçò äéáìÝñéóçò ôÞò ìïíÜäáò õðáãïìÝíçò óå Ýíá áíïéêôü êÜëõììá ðïõ áðáñôßæåôáé áðü ãåéôïíéÝò óõíôåôáãìÝíùí åíüò óõìðáãïýò äéáöïñéóßìïõ ðïëõðôýãìáôïò M n . (Åí ðñïêåéìÝíù, äåí èá áðáéôçèåß ç ðñïóáíáôïëéóéìüôçôá ôïý M n .) Óå ü,ôé áêïëïõèåß óõìâïëßæïõìå ùò Br (0) ôçí áíïéêôÞ ìðÜëá {p ∈ Rn : |p| < r}, üðïõ r > 0.

4. ïëïêëçñùóç åðé ðïëõðôõãìáôùí

85

4.2 ËÞììá. ÕðÜñ·åé ìéá äéáöïñßóéìç óõíÜñôçóç ϕ : B3 (0) −→ R, ôÝôïéá þóôå íá éó·ýïõí ôá áêüëïõèá : (a) ϕ (p) = 1 üôáí p ∈ B1 (0) ,

(b) 0 < ϕ (p) ≤ 1 üôáí p ∈ B2 (0) , êáé

(c) ϕ (p) = 0 üôáí p ∈ B3 (0) rB2 (0) .

Áðïäåéîç. Êáô' áñ·Üò, ïñßæïõìå ôç óõíÜñôçóç α : R −→ R ôïý ó·Þìáôïò 4.1 (a) ìÝóù ôïý ôýðïõ ( 1 − (t+1)(t+2) , üôáí t ∈ (−2, −1), e α(t) = 0, üôáí t ∈ Rr(−2, −1). ÓçìåéùôÝïí üôé ç α åßíáé ìéá áðëÞ ðáñáëëáãÞ ôÞò ðïëý ãíùóôÞò óõíÜñôç1

óçò e− x2 . Åí ðñïêåéìÝíù, ôï óçìáíôéêüôåñï åßíáé üôé ç α åßíáé ðáíôïý C ∞ äéáöïñßóéìç. Tï ïëïêëÞñùìá Z t α (s) ds γ (t) = −∞

ìáò ðáñÝ·åé ìéá äéáöïñßóéìç óõíÜñôçóç γ (âë. ó·Þìá 4.1 (b)), ç ìåãßóôç ôéìÞ ôÞò R −1 ïðïßáò åßíáé ç −2 α (s) ds =: A (êáé ëáìâÜíåôáé ãéá t = −1). Ðáñáôçñïýìå üôé ç β(t) =

γ(t) A

åßíáé ìéá äéáöïñßóéìç óõíÜñôçóç ìå ôéò áêüëïõèåò éäéüôçôåò: ⎧ üôáí t ≤ −2, ⎨ β(t) = 0, 0 ≤ β(t) ≤ 1, üôáí t ∈ (−2, −1), ⎩ β(t) = 1, üôáí t ≥ −1.

Ç áðáéôïõìÝíç óõíÜñôçóç ϕ : B3 (0) −→ R åßíáé ç ϕ (p) := β (− |p|) , ∀p ∈ ¤ B3 (0) . (¼ôáí n = 2, ç ϕ åßíáé áõôÞ ðïõ äßíåôáé óôï ó·Þìá 4.1 (c).)

Ó·Þìá 4.1

äéáöïñéêåò ìïñöåò. èåùñéá êáé åöáñìïãåò

86

4.3 ËÞììá. ¸óôù üôé ôï M = M n åßíáé Ýíá äéáöïñßóéìï ðïëýðôõãìá, ôï p ∈ M êáé ç g : U ⊆ Rn −→ M åßíáé ìéá ðáñáìÝôñçóç ðåñß ôï p. Ôüôå åßíáé äõíáôÞ ç êáôáóêåõÞ ìéáò ðáñáìÝôñçóçò f : B3 (0) −→ M ðåñß ôï p, ïýôùò þóôå íá éó·ýåé ï åãêëåéóìüò f (B3 (0)) ⊆ g (U ) êáé íá Ý·ïõìå f −1 (p) = (0, . . . , 0). Áðïäåéîç. ¸óôù (x01 , . . . , x0n ) Ýíá óçìåßï ôïý óõíüëïõ U, ôÝôïéï þóôå íá éó·ýåé g(x01 , . . . , x0n ) = p. ÅðåéäÞ ôï U åßíáé áíïéêôü, õðÜñ·åé êÜðïéï r > 0, ïýôùò þóôå íá éó·ýåé ï åãêëåéóìüò ¯ ¡ ¡ ¢ ¢¯ Br x01 , . . . , x0n = {q ∈ Rn : ¯q − x01 , . . . , x0n ¯ < r} ⊆ U.

¡ ¢ ¸óôù T ç ìåôáöïñÜ óôïí Rn ðïõ óôÝëíåé ôï x01 , . . . , x0n óôï 0 = (0, . . . , 0) êáé Ýóôù H : Rn −→ Rn ç áðåéêüíéóç Rn 3 p 7−→ 3r p ∈ Rn . Ôüôå ç óýíèåóç H ◦ T ¡ ¢ áðåéêïíßæåé ôçí áíïéêôÞ ìðÜëá Br x01 , . . . , x0n åðß ôÞò áíïéêôÞò ìðÜëáò B3 (0) . Ïñßæïíôáò ôçí ðáñáìÝôñçóç f : B3 (0) −→ M ðåñß ôï p ìÝóù ôïý ôýðïõ f = g ◦ T −1 ◦ H −1 , äéáðéóôþíïõìå åýêïëá üôé ç f éêáíïðïéåß ôéò áðáéôïýìåíåò óõíèÞêåò.

¤

4.4 Ðñüôáóç. (¾ðáñîç ìéáò äéáöïñßóéìçò äéáìÝñéóçò ôÞò ìïíÜäáò) ¸óôù üôé ôï M åßíáé Ýíá óõìðáãÝò äéáöïñßóéìï ðïëýðôõãìá êáé üôé ôï {Vα } åßíáé Ýíá áíïéêôü êÜëõììá ôïý M áðáñôéæüìåíï áðü ãåéôïíéÝò óõíôåôáãìÝíùí. Ôüôå õðÜñ·ïõí äéáöïñßóéìåò óõíáñôÞóåéò ϕ1 , . . . , ϕm , ôÝôïéåò þóôå íá éó·ýïõí ôá áêüëïõèá : m P ϕi = 1 êáé (a) i=1

(b) 0 ≤ ϕi ≤ 1, ìå ôï óôÞñéãìá ôÞò ϕi íá ðåñéÝ·åôáé åíôüò êÜðïéïõ ìÝëïõò Vαi ôïý êáëýììáôïò {Vα }, ∀i ∈ {1, . . . , m} . Áðïäåéîç. Ãéá êÜèå p ∈ M èåùñïýìå ôçí ðáñáìÝôñçóç fp : B3 (0) −→ M ðïõ äßíåôáé óôï ëÞììá 4.3 ìå fp (B3 (0)) = Vp ⊆ Vα , ãéá êÜðïéï ìÝëïò ôïý êáëýììáôïò {Vα }, êáé èÝôïõìå Wp = fp (B1 (0)) ⊂ Vp . Ç ïéêïãÝíåéá {Wp } åßíáé Ýíá áíïéêôü êÜëõììá ôïý M. ÅðåéäÞ ôï M åßíáé óõìðáãÝò, ìðïñïýìå íá åðéëÝîïõìå áðü ôá ìÝëç ôïý {Wp } Ýíá ðåðåñáóìÝíï áíïéêôü êÜëõììá {W1 , . . . , Wm } ôïý M. Ùò åê ôïýôïõ, êáé ôï áíôßóôïé·ï óýíïëï {V1 , . . . , Vm } óõãêñïôåß Ýíá áíïéêôü êÜëõììá ôïý M. Åí óõíå·åßá, ïñßæïõìå ôéò óõíáñôÞóåéò θi : M −→ R, i = 1, . . . , m, ìÝóù ôïý ôýðïõ ⎧ −1 ⎨ ϕ ◦ fi (p) , üôáí p ∈ Vi , θi (p) = ⎩ 0, üôáí p ∈ M rVi ,

4. ïëïêëçñùóç åðé ðïëõðôõãìáôùí

87

üðïõ ç ϕ : B3 (0) −→ R åßíáé ç óõíÜñôçóç ðïõ äßíåôáé óôï ëÞììá 4.2. ÊÜèå θi åßíáé äéáöïñßóéìç êáé ôï óôÞñéãìÜ ôçò ðåñéÝ·åôáé óôï Vi . ÔÝëïò, ïñßæïõìå ôéò óõíáñôÞóåéò ϕi : M −→ R,

θi (p) p 7−→ ϕi (p) := P . m θj (p) j=1

Åßíáé Üìåóïò ï Ýëåã·ïò ôïý üôé ïé óõíáñôÞóåéò ϕi , ïé ïðïßåò êáôáóêåõÜæïíôáé êáô' áõôüí ôïí ôñüðï, éêáíïðïéïýí ôéò óõíèÞêåò (a) êáé (b). ¤ 4.5 Óçìåßùóç. Ç ýðáñîç ìéáò äéáöïñßóéìçò äéáìÝñéóçò ôÞò ìïíÜäáò áðïôåëåß Ýíá áðü ôá ðéï ·ñÞóéìá áðïôåëÝóìáôá ðïõ åöáñìüæïíôáé êáôÜ ôç ìåëÝôç ïëoìåñïýò öýóåùò ðñïâëçìÜôùí åðß äéáöïñéóßìùí ðïëõðôõãìÜôùí. Ç ðñüôáóç 4.4 åîáêïëïõèåß íá éó·ýåé êáé ãéá ìç óõìðáãÞ äéáöïñßóéìá ðïëõðôýãìáôá (Hausdorff ðïõ äéáèÝôïõí áñéèìÞóéìç âÜóç), êáèüôé õðÜñ·åé ç äõíáôüôçôá èåþñçóçò ôïðéêþò ðåðåñáóìÝíùí áíïéêôþí êáëõììÜôùí («ôïðéêþò ðåðåñáóìÝíùí», õðü ôçí Ýííïéá ôïý üôé êÜèå óçìåßï ôïý ðïëõðôýãìáôïò Ý·åé ìéá ãåéôïíéÜ, ç ïðïßá ôÝìíåé ìüíïí ðåðåñáóìÝíïõ ðëÞèïõò ìÝëç ôïý êáëýììáôïò), ïðüôå ç áðüäåéîÞ ôçò ðáñáìÝíåé êáô' ïõóßáí ç ßäéá. Ãéá ôï üôé êÜèå ðïëýðôõãìá (áõôïý ôïý åßäïõò) Ý·åé Ýíá ôïðéêþò ðåðåñáóìÝíï áíïéêôü êÜëõììá, ï áíáãíþóôçò ðáñáðÝìðåôáé, ãéá ðáñÜäåéãìá, óôï âéâëßï ¥22] ôïý F.W. Warner, ëÞììá 1.9, óåë. 9-10.

4. 2 ÔÏ ÈÅÙÑÇÌÁ ÔÏÕ STOKES Óôçí ðáñïýóá åíüôçôá èá áðïäåßîïõìå ôï ëåãüìåíï èåþñçìá ôïý Stokes. Ðñïò ôïýôï áðáéôåßôáé åí ðñþôïéò ç ðáñÜèåóç ìéáò óåéñÜò ïñéóìþí, ïé ïðïßïé èá êáôáóôÞóïõí åöéêôÞ ôçí áêñéâÞ äéáôýðùóÞ ôïõ. ¢ðáî êáé áðïóáöçíéóèïýí ïé Ýííïéåò ðïõ õðåéóÝñ·ïíôáé óôç äéáôýðùóÞ ôïõ, ç áðïäåéêôéêÞ ìÝèïäïò ðïõ èá áêïëïõèçèåß äåí èá åßíáé éäéáßôåñá äýóêïëç. Óôç äéÜóôáóç 2, ìéá ðåñéãñáöÞ áõôïý ôïý èåùñÞìáôïò óå áäñÝò ãñáììÝò Ý·åé ùò åîÞò: ¸óôù ω ìéá äéáöïñéêÞ 1-ìïñöÞ ïñéóìÝíç åðß åíüò äéóäéáóôÜôïõ ðñïóáíáôïëéóìÝíïõ ðïëõðôýãìáôïò M êáé Ýóôù dω ôï åîùôåñéêü äéáöïñéêü ôçò. Èåùñïýìå ìéá ðåñéï·Þ2 R åíôüò ôïý M ìå óýíïñü ôçò ìéá êëåéóôÞ êáíïíéêÞ êáìðýëç C = ∂R. Ï ðñïóáíáôïëéóìüò ìå ôïí ïðïßï åßíáé åöïäéáóìÝíç ç R åðÜãåé Ýíáí ðñïóáíáôïëéóìü åðß ôÞò C. ÅðéðñïóèÝôùò, ìÝóù ôÞò åíèåôéêÞò áðåéêüíéóçò i : C → R ⊆ M ìáò åðéôñÝðåôáé ç èåþñçóç ôïý ðåñéïñéóìïý i∗ ω ôÞò ω åðß ôÞò C. Õðü áõôÝò ôéò óõíèÞêåò, ôï èåþñçìá ôïý Stokes äçëïß üôé ôï ïëïêëÞñùìá ôÞò 2-ìïñöÞò dω óôçí R éóïýôáé ìå ôï ïëïêëÞñùìá ôÞò i∗ ω óôçí C = ∂R. Õðü ìßá, 2

(Ó.ô.Ì.): Åí ðñïêåéìÝíù, ï óõããñáöÝáò ìå ôïí üñï ðåñéï·Þ õðïíïåß ôçí Ýíùóç åíüò ·ùñßïõ êáé ôïý óõíüñïõ ôïõ.

äéáöïñéêåò ìïñöåò. èåùñéá êáé åöáñìïãåò

88

ëïéðüí, Ýííïéá, ïé ôåëåóôÝò d (åöáñìïæüìåíïò óå ìïñöÝò) êáé ∂ (åöáñìïæüìåíïò óå ðåñéï·Ýò) åßíáé ìåôáîý ôïõò äõúêïß. ÅÜí, ìÜëéóôá, ôï M åßíáé ôï åõêëåßäåéï åðßðåäï R2 êáé ω = P dx + Qdy, ôï èåþñçìá ôïý Stokes êáôáëÞãåé íá ìáò äßíåé ôï èåþñçìá ôïý Gauss 3 : ZZ µ R

∂Q ∂P − ∂x ∂y

¶

dxdy =

Z

P dx + Qdy.

C

Áêïëïõèåß ç ðáñïõóßáóç ôùí ðñïáíáããåëèÝíôùí ïñéóìþí, ïé ïðïßïé áðáéôïýíôáé ôüóï ãéá ôçí áðüäåéîç ôïý èåùñÞìáôïò ôïý Stokes üóï êáé ãéá ðåñáéôÝñù ·ñÞóç. Ï ðñþôïò åî áõôþí áðïôåëåß ìéá åðÝêôáóç ôÞò åííïßáò ôïý ðïëõðôýãìáôïò, óôçí ïðïßá óõìðåñéëáìâÜíïíôáé êáé ðïëõðôýãìáôá «ìå óýíïñï». Ï ïñéóìüò 3.1ôïý äéáöïñéóßìïõ ðïëõðôýãìáôïò äåí óõìðåñéëáìâÜíåé, ãéá ðáñÜäåéãìá, ôï (êëåéóôü) óýíïëï ¯ ª © M = (x, y, z) ∈ R3 ¯ z = x2 + y 2 , z ≤ z0 , z0 > 0

åíôüò ôïý R3 , ôï ïðïßï åêöñÜæåé Ýíá (åê ðåñéóôñïöÞò ó·çìáôéæüìåíï) ðáñáâïëïåéäÝò ðïõ öñÜóóåôáé åê ôùí Üíù áðü ôï åðßðåäï z = z0 , äéüôé ç ôïìÞ V ∩ M ïéáóäÞðïôå ãåéôïíéÜò V åíüò óçìåßïõ p = (x, y, z0 ) ôïý «óõíüñïõ» ôïý M ìå ôï M äåí ìðïñåß íá åßíáé ïìïéïìïñöéêÞ ìå êÜðïéï áíïéêôü óýíïëï ôïý R2 (âë. ó·Þìá 4.2).

Ó·Þìá 4.2 3 (Ó.ô.Ì.): Óå ðïëëÜ âéâëßá áõôü áíáöÝñåôáé êáé ùò èåþñçìá ôïý Green. (Âë. ð.·. ¥18], èåþñçìá 10.45, Þ ¥20], èåþñçìá 5-7.)

4. ïëïêëçñùóç åðé ðïëõðôõãìáôùí

89

Ùóôüóï, ðñÝðåé íá óçìåéùèåß üôé ç åí ëüãù ôïìÞ V ∩ M åßíáé ìå ¯ ïìïéïìïñöéêÞ ª © Ýíá áíïéêôü óýíïëï ôïý (êëåéóôïý) çìé·þñïõ (x1 , x2 ) ∈ R2 ¯ x1 ≤ 0 . ÁíôéèÝôùò, ôá óçìåßá ôïý M ðïõ äåí âñßóêïíôáé óôï óýíïñü ôïõ óõìðåñéöÝñïíôáé ùò óçìåßá åíüò «óõíÞèïõò» äéóäéáóôÜôïõ äéáöïñéóßìïõ ðïëõðôýãìáôïò. Ôïýôï ôï ðáñÜäåéãìá õðïäåéêíýåé ôïí ôñüðï ìå ôïí ïðïßï ïöåßëåé íá åéóá·èåß ï áðáéôïýìåíïò íÝïò ïñéóìüò ìáò. B Ïñßæïõìå ôïí (êëåéóôü, êÜôù) çìß·ùñï Hn åíôüò ôïý Rn ùò ôï óýíïëï Hn = {(x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn | x1 ≤ 0} . B ¸íá õðïóýíïëï ôïý Hn åßíáé áíïéêôü óýíïëï üôáí éóïýôáé ìå ôçí ôïìÞ Hn ∩ U, üðïõ ôï U åßíáé Ýíá áíïéêôü õðïóýíïëï ôïý Rn . B Ìéá óõíÜñôçóç f : V −→ R ïñéóìÝíç óå Ýíá áíïéêôü óýíïëï V ôïý Hn êáëåßôáé äéáöïñßóéìç üôáí õðÜñ·åé Ýíá áíïéêôü óýíïëï U ⊇ V ôïý Rn êáé ìéá äéáöïñßóéìç óõíÜñôçóç (õðü ôç óõíÞèç Ýííïéá) f : U −→ R, ôÝôïéá þóôå íá éó·ýåé ¯ ¯ f V = f. Åí ðñïêåéìÝíù, ôï äéáöïñéêü dfp ôÞò f óå Ýíá óçìåßï p ∈ V ïñßæåôáé íá åßíáé ôï dfp = dfp . ¼ôáí ôï V äåí ðåñéÝ·åé óçìåßá ôÞò ìïñöÞò (0, x2 , . . . , xn ), ôüôå ôï V åßíáé Ýíá áíïéêôü õðïóýíïëï ôïý Rn êáé ï áíùôÝñù ïñéóìüò ôïý dfp óõìðßðôåé ìå ôïí óõíÞèç. ¼ôáí ôï p åßíáé ôÞò ìïñöÞò (0, x2 , . . . , xn ), ôüôå ôï dfp ïñßæåôáé ãéá üëá ôá åöáðôüìåíá äéáíýóìáôá êáìðõëþí åíôüò ôïý U ïé ïðïßåò äéÝñ·ïíôáé áðü ôï p, Þôïé ãéá üëá ôá äéáíýóìáôá ôïý Rn ðïõ Ý·ïõí ôï p ùò áðáñ·Þ ôïõò. µñçóéìïðïéþíôáò ôÝôïéåò êáìðýëåò åßíáé åýêïëï íá áðïäåé·èåß üôé ï ïñéóìüò ôïý dfp äåí åîáñôÜôáé áðü ôçí åðÝêôáóç f ôÞò f. B Káô' áíáëïãßáí ïñßæåé êáíåßò êáé äéáöïñßóéìåò áðåéêïíßóåéò f : V −→ Rn . 4.6 Ïñéóìüò. ¸íá n-äéÜóôáôï äéáöïñßóéìï ðïëýðôõãìá ìå (ïìáëü) óýíïñï åßíáé Ýíá óýíïëï M ìáæß ìå ìéá ïéêïãÝíåéá åíñéðôéêþí áðåéêïíßóåùí fα : Uα ⊆ Hn −→ M áðü áíïéêôÜ õðïóýíïëá Uα ôïý Hn óôï M, ïýôùò þóôå íá éó·ýïõí ôá áêüëïõèá: [ fα (Uα ) = M. 1) α

2) Ãéá êÜèå æåýãïò α, β ãéá ôï ïðïßï fα (Uα ) ∩ fβ (Uβ ) =: W 6= ∅, ôá óýíïëá fα−1 (W ) êáé fβ−1 (W ) åßíáé áíïéêôÜ õðïóýíïëá ôïý çìé·þñïõ Hn , êáé ïé áðåéêïíßóåéò fβ−1 ◦ fα êáé fα−1 ◦ fβ åßíáé äéáöïñßóéìåò.

3) Ç ïéêïãÝíåéá {(Uα , fα )} åßíáé ìåãéóôïôéêÞ ùò ðñïò ôçí ðëÞñùóç ôùí éäéïôÞôùí 1) êáé 2).

B ¸íá óçìåßï p ∈ M ïíïìÜæåôáé óõíïñéáêü óçìåßï ôïý M üôáí ãéá êÜðïéá ðáñáìÝôñçóç f : U ⊆ Hn −→ M ðåñß ôï p Ý·ïõìå f (0, x2 , . . . , xn ) = p.

90

äéáöïñéêåò ìïñöåò. èåùñéá êáé åöáñìïãåò

4.7 ËÞììá. Ï ùò Üíù ïñéóìüò ôùí óõíïñéáêþí óçìåßùí ôïý M äåí åîáñôÜôáé áðü ôçí åêÜóôïôå åðéëïãÞ ôùí ðáñáìåôñÞóåùí. Áðïäåéîç. ¸óôù f1 : U1 −→ M ìéá ðáñáìÝôñçóç ðåñß ôï p, ôÝôïéá þóôå íá éó·ýåé f1 (q) = p, üðïõ q = (0, x2 , . . . , xn ). Áò õðïèÝóïõìå üôé, åí áíôéèÝóåé ðñïò ôïí éó·õñéóìü, õðÜñ·åé ìéá ðáñáìÝôñçóç f2 : U2 −→ M ðåñß ôï p, ôÝôïéá þóôå íá éó·ýåé f2−1 (p) = q2 , üðïõ q2 = (x1 , x2 , . . . , xn ) ìå x1 6= 0 (âë. ó·Þìá 4.3). ¸óôù W = f1 (U1 ) ∩ f2 (U2 ) . Ç áðåéêüíéóç f1−1 ◦ f2 : f2−1 (W ) −→ f1−1 (W ) åßíáé Ýíáò äéáöïñïìïñöéóìüò. ÅðåéäÞ x1 6= 0, õðÜñ·åé ìéá ãåéôïíéÜ U ôïý q2 ìå U ⊆ f2−1 (W ) ç ïðïßá äåí ôÝìíåé ôïí Üîïíá ôùí x1 . Ðåñéïñßæïíôáò ôçí f1−1 ◦ f2 åðß ôÞò U áðïêôïýìå ìéá äéáöïñßóéìç áðåéêüíéóç f1−1 ◦ f2 : U −→ Hn ,

¡ ¢ ãéá ôçí ïðïßá ç ïñßæïõóá ôïý ðßíáêá d f1−1 ◦ f2 q2 åßíáé äéÜöïñç ôïý ìçäåíüò. ÂÜóåé ôïý èåùñÞìáôïò ôÞò áíôéóôñüöïõ ìéáò áðåéêüíéóçò, ç f1−1 ◦ f2 óôÝëíåé ìéá ãåéôïíéÜ V ⊆ U ôïý q2 íá áðåéêïíéóèåß äéáöïñïìïñöéêþò åðß ôïý f1−1 ◦ f2 (V ) .

Ó·Þìá 4.3

ÁëëÜ ôüôå ôï f1−1 ◦ f2 (V ) èá ðñÝðåé íá ðåñéÝ·åé óçìåßá (x1 , x2 , . . . , xn ) ìå x1 > 0, ôá ïðïßá äåí áíÞêïõí óôïí Hn , ðñÜãìá ðïõ ïäçãåß óå áíôßöáóç. ¢ñá, ï ùò Üíù ïñéóìüò ôùí óõíïñéáêþí óçìåßùí ôïý M åßíáé üíôùò áíåîÜñôçôïò ôÞò åêÜóôïôå åðéëïãÞò ôùí ðáñáìåôñÞóåùí. ¤ 4.8 Ïñéóìüò. Ôï óýíïëï ôùí óõíïñéáêþí óçìåßùí ôïý M åßíáé êáëþò ïñéóìÝíï ìÝóù ôïý ëÞììáôïò 4.7 êáé êáëåßôáé óýíïñï ôïý M, óõìâïëéæüìåíï ùò ∂M. ¼ôáí

4. ïëïêëçñùóç åðé ðïëõðôõãìáôùí

91

∂M = ∅, ï ïñéóìüò 4.6 ôáõôßæåôáé ìå ôïí ïñéóìü 3.1 ðïõ äüèçêå óôï êåöÜëáéï 3. Åðßóçò, ïé ïñéóìïß ôùí äéáöïñéóßìùí óõíáñôÞóåùí, ôïý åöáðôïìÝíïõ ·þñïõ, ôÞò ðñïóáíáôïëéóéìüôçôáò ê.Ü. ãéá äéáöïñßóéìá ðïëõðôýãìáôá ìå óýíïñï åéóÜãïíôáé êáôÜ ôïí ßäéï ôñüðï ìå ôïí ïðïßï åéóÞ·èçóáí êáé ãéá ôá óõíÞèç äéáöïñßóéìá ðïëõðôýãìáôá, áñêåß -âåâáßùò- íá ãßíåé áíôéêáôÜóôáóç ôïý Rn ìå ôïí Hn . 4.9 Ðñüôáóç. ÅÜí ôï M åßíáé Ýíá n-äéÜóôáôï äéáöïñßóéìï ðïëýðôõãìá ìå óýíïñï, ôüôå ôï óýíïñü ôïõ ∂M áðïôåëåß Ýíá äéáöïñßóéìï ðïëýðôõãìá äéÜóôáóçò n − 1. ÅðéðñïóèÝôùò, üôáí ôï M åßíáé ðñïóáíáôïëßóéìï, Ýíáò (ðáãéùìÝíïò) ðñïóáíáôïëéóìüò ãéá ôï M åðÜãåé Ýíáí ðñïóáíáôïëéóìü ãéá ôï ∂M. Áðïäåéîç. ¸óôù p ∈ M Ýíá óõíïñéáêü óçìåßï ôïý M êáé Ýóôù fα : Uα ⊂ Hn −→ M ìéá ðáñáìÝôñçóç ðåñß ôï p. Ôüôå fα−1 (p) = q = (0, x2 , . . . , xn ) ∈ Uα . ÅÜí Uα = Uα ∩ { (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn | x1 = 0} , ôáõôßæïíôáò ôï óýíïëï { (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn | x1 = 0} ìå ôïí Rn−1 âëÝðïõìå üôé ôï Uα åßíáé Ýíá áíïéêôü õðïóýíïëï ôïý Rn−1 . ÅðéðñïóèÝôùò, êáôÜ ôï ëÞììá 4.7 ¡ ¢ Ý·ïõìå fα Uα ⊆ ∂M, üðïõ fα = fα |Uα . ÔÝëïò, áöÞíïíôáò ôï p íá äéáôñÝ·åé ¢ª ©¡ üëá ôá óçìåßá ôïý ∂M, äéáðéóôþíïõìå åýêïëá üôé ç ïéêïãÝíåéá Uα , fα åßíáé ìéá äéáöïñéêÞ äïìÞ åðß ôïý M. Ôïýôï áðïäåéêíýåé ôï ðñþôï ìÝñïò ôÞò ðñüôáóçò. Ãéá ôçí áðüäåéîç ôïý äåõôÝñïõ ìÝñïõò, õðïèÝôïõìå üôé ôï M åßíáé ðñïóáíáôïëßóéìï êáé åðéëÝãïõìå Ýíáí ðñïóáíáôïëéóìü ãéá ôï M, Þôïé ìéá äéáöïñéêÞ äïìÞ {(Uα , fα )} , ôÝôïéá þóôå ïé áëëáãÝò ôùí óõíôåôáãìÝíùí íá Ý·ïõí éáêùâéáíïýò ðßíáêåò ìå èåôéêÝò ïñßæïõóåò. ÅÜí èåùñÞóïõìå åêåßíá ôá óôïé·åßá ôÞò ðñïêåéìÝíçò ïéêïãåíåßáò, ôá ïðïßá éêáíïðïéïýí ôç óõíèÞêç fα (Uα ) ∩ ∂M 6= ∅, ôüôå ¢ª ©¡ ç ïéêïãÝíåéá Uα , fα ç ðåñéãñáöåßóá óôï ðñþôï ìÝñïò ôÞò ðñüôáóçò åßíáé ìéá ¡ ¢ ¡ ¢ äéáöïñéêÞ äïìÞ åðß ôïý ∂M. ÅÜí fα Uα ∩ fβ Uβ 6= ∅, áñêåß íá äåßîïõìå üôé ç ïñßæïõóá ôïý éáêùâéáíïý ðßíáêá ôÞò áíôßóôïé·çò áëëáãÞò óõíôåôáãìÝíùí åßíáé èåôéêÞ, Þôïé üôé det(d(fα

−1

◦ fβ )q ) > 0,

ãéá êÜèå óçìåßï q, ç åéêüíá ôïý ïðïßïõ (ìÝóù êÜðïéáò ðáñáìÝôñçóçò) åßíáé Ýíá óõíïñéáêü óçìåßï ôïý M. Ðáñáôçñïýìå üôé ç áëëáãÞ óõíôåôáãìÝíùí fα−1 ◦ fβ óôÝëíåé êÜèå óçìåßï ôÞò α ìïñöÞò (0, xβ2 , . . . , xβn ) íá áðåéêïíéóèåß óå Ýíá óçìåßï ôÞò ìïñöÞò (0, xα 2 , . . . , xn ). ÊáôÜ óõíÝðåéáí, ãéá êÜèå óçìåßï q, ç åéêüíá ôïý ïðïßïõ åßíáé Ýíá óõíïñéáêü óçìåßï ôïý M, Ý·ïõìå det(d(fα−1 ◦ fβ )) =

∂xα 1 ∂xβ 1

det(d(fα

−1

◦ fβ )).

äéáöïñéêåò ìïñöåò. èåùñéá êáé åöáñìïãåò

92 ¼ìùò

∂xα 1 ∂xβ 1

α α α > 0, äéüôé xα 1 = 0 óôï q = (0, x2 , . . . , xn ), êáé áìöüôåñá ôá x1 êáé

xβ1 åßíáé áñíçôéêÜ óå êÜðïéá ãåéôïíéÜ ôïý p. ÅðåéäÞ ëïéðüí áðü ôçí õðüèåóÞ ìáò −1 Ý·ïõìå det(d(fα−1 ◦ fβ )) > 0, óõíÜãïõìå üôé det(d(fα ◦ fβ )q ) > 0, üðùò áêñéâþò åðéèõìïýóáìå. ¤ Åí óõíå·åßá äéáôõðþíïõìå êáé áðïäåéêíýïõìå ôï èåþñçìá ôïý Stokes. 4.10 Èåþñçìá. (Èåþñçìá ôïý Stokes) ¸óôù M Ýíá n-äéÜóôáôï óõìðáãÝò êáé ðñïóáíáôïëéóìÝíï äéáöïñßóéìï ðïëýðôõãìá ìå óýíïñï. ÅÜí ç ω åßíáé ìéá äéáöïñéêÞ (n − 1)-ìïñöÞ åðß ôïý M êáé ç i : ∂M → M ç åíèåôéêÞ áðåéêüíéóç ôïý ∂M åíôüò ôïý M, ôüôå éó·ýåé ç éóüôçôá Z

∗

i ω=

∂M

Z

dω.

M

Áðïäåéîç. ¸óôù K ôï óôÞñéãìá ôÞò ω. Èá åîåôÜóïõìå ôéò áêüëïõèåò ðåñéðôþóåéò: A) ÕðïèÝôïõìå üôé ôï K ðåñéÝ·åôáé óå êÜðïéá ãåéôïíéÜ óõíôåôáãìÝíùí V = f (U ) ìéáò ðáñáìÝôñçóçò f : U ⊆ Hn −→ M. Ôüôå óôï U ç ω ãñÜöåôáé ùò ω=

n X j=1

aj dx1 ∧ · · · ∧ dxj−1 ∧ dxj+1 ∧ · · · ∧ dxn ,

üðïõ ç aj : U −→ R, (x1 , . . . , xn ) 7−→ aj (x1 , . . . , xn ) , åßíáé ìéá äéáöïñßóéìç óõíÜñôçóç. Óõíåðþò, ⎞ ⎛ n X ∂a j⎠ dx1 ∧ · · · ∧ dxn . (−1)j−1 dω = ⎝ ∂x j j=1

A1 ) Áò õðïèÝóïõìå, åðéðñïóèÝôùò, üôé f (U )∩∂M = ∅. Ôüôå ç ω éóïýôáé ìå ìçäÝí óôï óýíïñï ∂M ôïý M êáé i∗ ω = 0. ÅðïìÝíùò, Z i∗ ω = 0. ∂M

Áðü ôçí Üëëç ìåñéÜ, èá äåßîïõìå üôé éó·ýåé êáé ç éóüôçôá ⎛ ⎞ Z X Z n ∂a j⎠ j−1 dω = ⎝ (−1) dx1 . . . dxn = 0. ∂x j j=1 M

U

4. ïëïêëçñùóç åðé ðïëõðôõãìáôùí

93

Ðñïò ôïýôï, åðåêôåßíïõìå ôéò óõíáñôÞóåéò aj óôïí çìß·ùñï Hn èÝôïíôáò e aj (x1 , . . . , xn ) =

½

aj (x1 , . . . , xn ) , üôáí (x1 , . . . , xn ) ∈ U, 0, üôáí (x1 , . . . , xn ) ∈ Hn rU.

ÅðåéäÞ f −1 (K) ⊆ U, ïé óõíáñôÞóåéò e aj åßíáé äéáöïñßóéìåò óôïí Hn . ¸óôù ôþñá n Q ⊂ H Ýíá ðáñáëëçëåðßðåäï ðïõ ïñßæåôáé áðü ôéò áíéóïúóüôçôåò x1j ≤ xj ≤ x0j , ∀j ∈ {1, . . . , n} ,

êáé ðåñéÝ·åé ôçí áíôßóôñïöç åéêüíá f −1 (K) óôï åóùôåñéêü ôïõ (âë. ó·Þìá 4.4).

Ó·Þìá 4.4

Ôüôå ôï ïëïêëÞñùìá Z Ã U

=

n P

j−1

(−1)

j=1

n P

j=1

(−1)j−1

Z

Q

∂aj ∂xj

!

dx1 . . . dxn =

n P

(−1)j−1

j=1

Z

∂e aj dx1 . . . dxn ∂xj

Q

¡ ¢ [e aj x1 , ..., xj−1 , x0j , xj+1 , ..., xn

¡ ¢ −e aj x1 , ..., xj−1 , x1j , xj+1 , ..., xn ] dx1 ...dxj−1 dxj+1 ...dxn

éóïýôáé ìå ôï ìçäÝí, äéüôé

¡ ¢ ¡ ¢ aj x1 , .., xj−1 , x1j , xj+1 , .., xn = 0, ∀j ∈ {1, . . . , n} . e aj x1 , .., xj−1 , x0j , xj+1 , .., xn = e

A2 ) Áò õðïèÝóïõìå üôé f (U ) ∩ ∂M 6= ∅. Ôüôå ç åíèåôéêÞ áðåéêüíéóç i ìðïñåß íá åêëçöèåß ùò ç áðåéêüíéóç (x2 , . . . , xn ) 7−→ (0, x2 , . . . , xn ) . ÅðïìÝíùò, ·ñçóéìïðïéþíôáò ôïí åðáãüìåíï ðñïóáíáôïëéóìü åðß ôïý óõíüñïõ ∂M ôïý M ëáìâÜíïõìå i∗ ω = a1 (0, x2 , . . . , xn ) dx2 ∧ · · · ∧ dxn .

äéáöïñéêåò ìïñöåò. èåùñéá êáé åöáñìïãåò

94

Åí óõíå·åßá èåùñïýìå ôéò åðåêôÜóåéò e aj ôùí óõíáñôÞóåùí aj , üðùò óôçí ðåñßðôùóç A1 ), êáèþò êáé Ýíá ðáñáëëçëåðßðåäï Q ⊂ Hn ðïõ ïñßæåôáé áðü ôéò áíéóïúóüôçôåò x11 ≤ x1 ≤ 0, x1j ≤ xj ≤ x0j , ∀j ∈ {2, . . . , n} , êáé åßíáé ôÝôïéï, þóôå ç Ýíùóç ôïý åóùôåñéêïý ôïõ ìå ôï õðåñåðßðåäï x1 = 0 íá ðåñéÝ·åé ôçí áíôßóôñïöç åéêüíá f −1 (K). Ôüôå Z

dω =

(−1)j−1

j=1

M n P

(−1)j−1

j=1

+

n P

n P

(−1)j−1

ÅðåéäÞ

∂e aj dx1 . . . dxn ∂xj

Q

Z

Q

j=2

Z

£ ¡ ¢¤ e aj (0, x2 , . . . , xn ) − e aj x11 , x2 , . . . , xn dx2 . . . dxn

Z

Q

£ ¡ ¢ ¡ ¢¤ e aj x1 , .., x0j , .., xn − e aj x1 , .., x1j , .., xn dx1 . . . dxj−1 dxj+1 . . . dxn .

¡ ¢ ¡ ¢ aj x1 , .., xj−1 , x1j , xj+1 , .., xn = 0, ∀j ∈ {2, . . . , n} , e aj x1 , .., xj−1 , x0j , xj+1 , .., xn = e

¡ ¢ êáé e a1 x11 , x2 , . . . , xn = 0, ëáìâÜíïõìå ôåëéêþò Z Z Z dω = a1 (0, x2 , . . . , xn ) dx2 . . . dxn = i∗ ω. M

U

∂M

Â) Áò Ýëèïõìå ôþñá óôçí ðëÝïí ãåíéêÞ ðåñßðôùóç. ¸óôù {Vα } Ýíá áíïéêôü êÜëõììá ôïý M óõãêñïôïýìåíï áðü ãåéôïíéÝò óõíôåôáãìÝíùí, ïé ïðïßåò åßíáé óõìâáôÝò ìå ôïí ðñïóáíáôïëéóìü, êáé Ýóôù { ϕi | 1 ≤ i ≤ m} ìéá äéáöïñßóéìç äéáìÝñéóç ôÞò ìïíÜäáò õðáãïìÝíç óôï {Vα }. Ïé ìïñöÝò ω j = ϕj ω, j = 1, . . . , m, ðëçm P dϕj = 0 Ý·ïõìå ñïýí ôéò óõíèÞêåò ôÞò ðåñßðôùóçò Á). ÅðéðñïóèÝôùò, åðåéäÞ j=1

m P

ω j = ω,

j=1

ÊáôÜ óõíÝðåéáí, Z

dω

=

m Z X

=

dω j = dω.

j=1

dω j =

j=1 M

M

m P

m Z X

dω j =

j=1 M

m Z X

⎛ ⎞ Z Z m X i∗ ⎝ ωj ⎠ = i∗ ω,

∂M

j=1

i∗ ω j

j=1 ∂M

∂M

êÜôé ðïõ áðïäåéêíýåé ðëÞñùò ôï èåþñçìá ôïý Stokes.

¤

4. ïëïêëçñùóç åðé ðïëõðôõãìáôùí

95

4.11 ÐáñÜäåéãìá. ¸óôù M ìéá öñáãìÝíç ðåñéï·Þ ôïý R3 , ôÝôïéá þóôå ôï óýíïñü ôçò ∂M íá åßíáé ìéá êáíïíéêÞ õðåñåðéöÜíåéá ôïý R3 . Ôüôå ç M åßíáé Ýíá óõìðáãÝò ôñéóäéÜóôáôï ðïëýðôõãìá ìå ôï ∂M ùò óýíïñü ôïõ. ¸óôù v Ýíá äéáöïñßóéìï äéáíõóìáôéêü ðåäßï óôïí R3 êáé Ýóôù ω ìéá äéáöïñéêÞ 1-ìïñöÞ óôïí R3 , ç ïðïßá áðïôåëåß ôï äõúêü óôïé·åßï ôïý v ùò ðñïò ôï óýíçèåò åóùôåñéêü ãéíüìåíï ôïý R3 (ðñâë. 1.20). Ôüôå (âë. Üóêçóç 1-11 (b)) d (∗ ω) = (div v) ν, üðïõ ôï ν óõìâïëßæåé ôï óôïé·åßï üãêïõ ôïý R3 . Ðáãéþíïíôáò Ýíáí ðñïóáíáôïëéóìü ãéá ôïí R3 , óõìâïëßæïõìå ùò N ôï ìïíáäéáßï ïñèüèåôï äéÜíõóìá åðß ôïý óõíüñïõ ∂M ùò ðñïò ôïí åðáãüìåíï ðñïóáíáôïëéóìü4 êáé èåùñïýìå óå ìéá ãåéôïíéÜ U ⊆ R3 åíüò p ∈ M ôá áíôßóôïé·á äéáöïñßóéìá äéáíõóìáôéêÜ ðåäßá e1 , e2 , N, ïýôùò þóôå ôá e1 , e2 íá åöÜðôïíôáé ôùí óçìåßùí ôïý ∂M. Ôüôå i∗ ∗ ω (e1 , e2 ) = ω (N ) = hv, N i , Þôïé i∗ ∗ ω = hv, N i σ, üðïõ ôï σ óõìâïëßæåé ôï óôïé·åßï åìâáäïý ôïý ∂M. ÊáôÜ óõíÝðåéáí, óå áõôÞí ôçí ðåñßðôùóç ôï èåþñçìá ôïý Stokes Z Z d (∗ ω) = i∗ (∗ ω) M

∂M

ãéá ôçí ∗ ω ìðïñåß íá åêöñáóèåß ùò áêïëïýèùò: Z

(div v) ν =

M

Z

hv, N i σ,

∂M

êÜôé ôï ïðïßï åßíáé ãíùóôü áðü ôçí ÁíÜëõóç ùò èåþñçìá ôÞò áðüêëéóçò. 4.12 Óçìåßùóç. Óôçí ÁíÜëõóç ôï èåþñçìá ôÞò áðüêëéóçò áðïôåëåß Ýíá èåìåëéþäåò ôå·íéêü åñãáëåßï. (Ãéá ìéá üìïñöç ðåñéãñáöÞ ôïõ ðáñáðÝìðïõìå, ãéá ðáñÜäåéãìá, óôï âéâëßï ¥8] ôïý O. Kellog.) Ðáñüôé åäþ ôï áðïäåßîáìå ìüíïí ãéá ïìáëÜ óýíïñá êáé ãéá äéáöïñßóéìåò óõíáñôÞóåéò, åðéäÝ·åôáé äéÜöïñåò óçìáíôéêÝò ãåíéêåýóåéò (âë. ð.·. D. Figueiredo ¥4]). 4 (Ó.ô.Ì.): ¸óôù (U, f ) ìéá ðáñáìÝôñçóç ôïý ∂M ðåñß ôï óçìåßo p ∈ ∂M, üðïõ f (p) = (u(p), v(p)) êáé f (U ) Ýíá áíïéêôü êáé óõíåêôéêü õðïóýíïëï ôïý R2 . Ôüôå ôï N åßíáé ôï ìïíïóçìÜíôùò ïñéóìÝíï äéÜíõóìá, ôï ïðïßï åßíáé êÜèåôï ðñïò ôïí õðü·ùñï Tp (∂M ) ⊂ Tp R3 («ïñèüèåôï» åðß ôïý ∂M óôï óçìåßo p), ïýôùò þóôå ôï {e1 , e2 , N} (ìå ∂ ∂ Ýíá ðëáßóéï óôï p åöïäéáóìÝíï ìå Ýíáí ðñïóáíáôïëéóìü ôáõôüóçìï ∂u = (df ) (e1 ) êáé ∂v = (df ) (e2 )) íá åßíáé o n ∂ ∂ ∂ ôïý R3 . , ∂x , ∂x åêåßíïõ ôïý óõíÞèïõò ïñèüôáêôïõ ðëáéóßïõ ∂x 1

2

3

äéáöïñéêåò ìïñöåò. èåùñéá êáé åöáñìïãåò

96

´ 4. 3 ÔÏ ËÇÌÌÁ ÔÏÕ POINCARE ¸óôù M n Ýíá äéáöïñßóéìï ðïëýðôõãìá. Ìéá äéáöïñéêÞ k-ìïñöÞ ω êáëåßôáé áêñéâÞò üôáí õðÜñ·åé ìéá (k − 1)-ìïñöÞ β, ôÝôïéá þóôå íá éó·ýåé dβ = ω, êáé êëåéóôÞ üôáí dω = 0. ÅðåéäÞ d2 = d ◦ d = 0, êÜèå áêñéâÞò äéáöïñéêÞ ìïñöÞ åßíáé êëåéóôÞ. Ôï áíôßóôñïöï äåí åßíáé ðÜíôïôå áëçèÝò, üðùò ãéá ðáñÜäåéãìá óôçí ðåñß2 ðôùóç ôÞò ω = xdy−ydx x2 +y2 ôÞò ïñéæïìÝíçò óôï U = R r{(0, 0)}. Åßíáé åýêïëï íá äéáðéóôùèåß üôé dω = 0, Þôïé üôé ç ω åßíáé êëåéóôÞ. Ùóôüóï, äåí õðÜñ·åé äéáöïñßóéìç óõíÜñôçóç g : U −→ R, ôÝôïéá þóôå íá éó·ýåé dg = ω. ÐñÜãìáôé° åÜí õðÞñ·å ôÝôïéá óõíÜñôçóç g, ôüôå, åðß ôç âÜóåé ôïý èåùñÞìáôïò ôïý Stokes, èá åß·áìå Z Z Z ¯ © ª ω= dg = g = 0, üðïõ C = (x, y) ∈ R2 ¯ x2 + y 2 = 1 , C

C

∂C

R êÜôé ðïõ èá áíôÝöáóêå ðñïò ôï ãåãïíüò üôé C ω = 2π. Ìïëáôáýôá, åßíáé äõíáôüí íá áðïäåé·èåß üôé ãéá êÜèå p ∈ U õðÜñ·åé ìéá ãåéôïíéÜ V $ U ôïý p êáé ìéá äéáöïñßóéìç óõíÜñôçóç gV : V −→ R, ôÝôïéá þóôå íá éó·ýåé dgV = ω. Óôçí ðáñïýóá åíüôçôá èá äåßîïõìå üôé áõôü ðïõ óõìâáßíåé óôï áíùôÝñù ðáñÜäåéãìá åðéäÝ·åôáé ðëÞñç ãåíßêåõóç, Þôïé üôé ç óõíèÞêç dω = 0 åßíáé ìéá éêáíÞ óõíèÞêç, ïýôùò þóôå ç ω íá åßíáé ôïðéêþò áêñéâÞò. (Åêåßíïé ïé ïðïßïé åßíáé åîïéêåéùìÝíïé ìå ôçí ýëç ôïý êåöáëáßïõ 2 èá áíáãíùñßóïõí üôé ãåíéêåýïõìå ôï èåþñçìá 2.4.) Óôçí ðñáãìáôéêüôçôá, èá áðïäåßîïõìå ìéá ðéï ãåíéêÞ åêäï·Þ ôïý ëåãïìÝíïõ ëÞììáôïò ôïý Poincarª, ç ïðïßá åßíáé ðéï ðñüóöïñç ãéá ôéò åöáñìïãÝò. 4.13 Ïñéóìüò. ¸íá äéáöïñßóéìï ðïëýðôõãìá M ëÝãåôáé óõóôáëôü (óå êÜðïéï óçìåßï p0 ∈ M ) üôáí õðÜñ·åé ìéá äéáöïñßóéìç áðåéêüíéóç H : M × R −→ M,

(p, t) 7−→ H(p, t),

ôÝôïéá þóôå íá éó·ýïõí ïé éóüôçôåò H(p, 1) = p,

H (p, 0) = p0 ,

∀p ∈ M.

Åßíáé åýêïëï íá äïýìå üôé ï åõêëåßäåéïò ·þñïò Rn åßíáé óõóôáëôüò óå ïéïäÞðïôå óçìåßï ôïõ p0 . Ðñïò ôïýôï áñêåß íá ïñßóïõìå ôçí H ìÝóù ôïý ôýðïõ H(p, t) = p0 + (p − p0 ) t,

∀ (p, t) ∈ Rn × R.

Åöáñìüæïíôáò ôçí ßäéá åðé·åéñçìáôïëïãßá áðïäåéêíýïõìå üôé ç áíïéêôÞ ìðÜëá Br (0) = {p ∈ Rn : |p| < r}, r > 0, åßíáé óõóôáëôÞ óôçí áñ·Þ ôùí áîüíùí 0 ôïý Rn . Åî áõôïý Ýðåôáé üôé êÜèå äéáöïñßóéìï ðïëýðôõãìá åßíáé ôïðéêþò óõóôáëôü.

4. ïëïêëçñùóç åðé ðïëõðôõãìáôùí

97

4.14 Èåþñçìá. (ËÞììá ôïý Poincarª) ¸óôù M Ýíá n-äéÜóôáôï óõóôáëôü ðïëýðôõãìá êáé Ýóôù ω ìéá äéáöïñéêÞ k-ìïñöÞ åðß ôïý M ìå dω = 0. Ôüôå ç ω åßíáé áêñéâÞò, Þôïé õðÜñ·åé ìéá äéáöïñéêÞ (k − 1)-ìïñöÞ α åðß ôïý M, ôÝôïéá þóôå íá éó·ýåé dα = ω. Áðüäåéîç. ¸óôù π : M × R −→ M ç ðñïâïëÞ π (p, t) = p ãéá êÜèå æåýãïò (p, t) ∈ M × R êáé Ýóôù ω ç äéáöïñéêÞ k-ìïñöÞ åðß ôïý êáñôåóéáíïý ãéíïìÝíïõ M × R ðïõ ïñßæåôáé ùò ç áíÜóõñóç ω = H ∗ ω ôÞò ω ìÝóù ôÞò H, üðïõ ç H åßíáé ç áðåéêüíéóç ðïõ äßíåôáé óôïí ïñéóìü 4.13. Åí ðñþôïéò, èá êÜíïõìå ·ñÞóç ôïý åðïìÝíïõ ëÞììáôïò. 4.15 ËÞììá. ÊÜèå äéáöïñéêÞ k-ìïñöÞ ω åðß ôïý M × R ìðïñåß íá ãñáöåß ìïíïóçìÜíôùò ùò ω = ω 1 + dt ∧ η,

(1)

üðïõ ç ω 1 åßíáé ìéá äéáöïñéêÞ k-ìïñöÞ åðß ôïý M × R ìå ôçí éäéüôçôá ω 1 (v1 , . . . , vk ) = 0, üôáí êÜðïéï vi , i ∈ {1, . . . , k}, áíÞêåé óôïí ðõñÞíá ôïý äéáöïñéêïý dπ, êáé ç η ìéá äéáöïñéêÞ (k − 1)-ìïñöÞ åðß ôïý M × R ìå ôçí áíÜëïãç éäéüôçôá. Áðüäåéîç ôïõ ëçììáôïò 4.15. ¸óôù p ∈ M êáé Ýóôù f : U −→ M ìéá ðáñáìÝôñçóç ðåñß ôï p. Ôüôå ôï f (U ) × R åßíáé ìéá ãåéôïíéÜ óõíôåôáãìÝíùí ôïý M × R. ÅÜí ùò (x1 , . . . , xn , t) óõìâïëßóïõìå ôéò óõíôåôáãìÝíåò ôïý f (U ) × R, ç ω|f (U )×R ìðïñåß íá ãñáöåß ùò áêïëïýèùò: X ω= ai1 ,...,ik dxi1 ∧ · · · ∧ dxik i1 <···
+ dt ∧

X

j1 <···<jk−1

bj1 ,...,jk−1 dxj1 ∧ · · · ∧ dxjk−1

(2)

= ω 1 + dt ∧ η, üðïõ ω1 =

X

i1 <···
êáé η=

X

j1 <···<jk−1

ai1 ,...,ik dxi1 ∧ · · · ∧ dxik

bj1 ,...,jk−1 dxj1 ∧ · · · ∧ dxjk−1 .

Ðñïöáíþò, ïé ìïñöÝò ω 1 êáé η éêáíïðïéïýí ôéò áðáéôïýìåíåò éäéüôçôåò. ÅðéðñïóèÝôùò, åÜí ç éóüôçôá (1) éó·ýåé åðß ïëïêëÞñïõ ôïý M, ïöåßëåé íá ãñÜöåôáé ôïðéêþò üðùò ç (2), ïðüôå åßíáé ìïíïóçìÜíôùò ïñéóìÝíç. Ãéá ôçí áðüäåéîç ôÞò ýðáñîçò ôÝôïéùí ìïñöþí ω 1 êáé η åðß ïëïêëÞñïõ ôïý M, áñêåß íá ïñßóïõìå ôéò ω 1 êáé

äéáöïñéêåò ìïñöåò. èåùñéá êáé åöáñìïãåò

98

η óå êÜèå ãåéôïíéÜ óõíôåôáãìÝíùí ìÝóù åêöñÜóåùí üðùò ç (2), íá ðáñáôçñÞóïõìå üôé áõôÝò ôáõôßæïíôáé óôéò ôïìÝò ôùí ãåéôïíéþí óõíôåôáãìÝíùí (ëüãù ôÞò ìïíïóçìáíôüôçôáò) êáé íá ôéò åðåêôåßíïõìå åðß ïëïêëÞñïõ ôïý M, ëáìâÜíïíôáò ùò áðïôÝëåóìá ôçí ïëïìåñÞ éó·ý ôÞò éóüôçôáò (1). ¤ Ôþñá Ýóôù it ç áðåéêüíéóç it : M −→ M ×R, p 7−→ it (p) = (p, t), ç ïðïßá áðïôåëåß ôçí Ýíèåóç ôïý M óôï M × R óôç «äéáâÜèìéóç» t. Ïñßæïõìå ìéá áðåéêüíéóç I ðïõ óôÝëíåé äéáöïñéêÝò k-ìïñöÝò åðß ôïý M × R óå äéáöïñéêÝò (k − 1)-ìïñöÝò åðß ôïý M ùò áêïëïýèùò: ÅÜí p ∈ M êáé v1 , . . . , vk ∈ Tp M, ôüôå óôï óçìåßï p: I (ω) (v1 , . . . , vk−1 ) :=

Z

1 0

{η(p, t) (dit (v1 ) , . . . , dit (vk−1 ))} dt,

üðïõ ç η åßíáé áõôÞ ðïõ ðñïêýðôåé áðü ôçí éóüôçôá (1) ôïý ëÞììáôïò 4.15. Ôï óçìáíôéêüôåñï âÞìá ãéá ôçí áðüäåéîç ôïý èåùñÞìáôïò 4.14 ðåñéÝ·åôáé óôï åðüìåíï ëÞììá. 4.16 ËÞììá. i∗1 ω − i∗0 ω = d (I (ω)) + I (dω) . Áðüäåéîç ôïõ ëçììáôïò 4.16. ¸óôù p ∈ M. Èá ·ñçóéìïðïéÞóïõìå ôï óýóôçìá óõíôåôáãìÝíùí (x1 , . . . , xn , t) ôï åéóá·èÝí óôï ëÞììá 4.15. Êáô' áñ·Üò, ðáñáôçñïýìå üôé ç I åßíáé ðñïóèåôéêÞ, Þôïé üôé ãéá ïéåóäÞðïôå äéáöïñéêÝò k-ìïñöÝò ω 1 , ω 2 åðß ôïý M × R éó·ýåé ç éóüôçôá I (ω 1 + ω 2 ) = I (ω 1 ) + I (ω 2 ) . Áðü áõôÞí ôçí éäéüôçôá óõíÜãïõìå üôé áñêåß ç åîÝôáóç äýï ðåñéðôþóåùí: (a) ω = f dxi1 ∧ · · · ∧ dxik êáé (b) ω = f dt ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxik−1 .

Ðåñßðôùóç (a). ÅÜí ω = f dxi1 ∧ · · · ∧ dxik , ôüôå µ ¶ ∂f üñïé ðïõ äåí dω = . dt ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxik + ðåñéÝ·ïõí ôï dt ∂t

ÓçìåéùôÝïí üôé, ùò ðñïò ôï óýóôçìá óõíôåôáãìÝíùí (x1 , . . . , xn , t), ç åöáñìïãÞ ôÞò I éóïäõíáìåß ìå ôçí ïëïêëÞñùóç ôùí ôïðéêþí ðáñáóôÜóåùí ôÞò ω êáôÜ ìÞêïò ôïý äåõôÝñïõ ðáñÜãïíôá t. ÊáôÜ óõíÝðåéáí, µZ 1 ¶ ∂f dt dxi1 ∧ · · · ∧ dxik I (dω) (p) = ∂t 0

= (f (p, 1) − f (p, 0))dxi1 ∧ · · · ∧ dxik = i∗1 ω (p) − i∗0 ω (p) .

ÅðåéäÞ I (ω) = 0, óõìðåñáßíïõìå üôé ç åðéèõìçôÞ éóüôçôá åßíáé üíôùò áëçèÞò óôçí ðåñßðôùóç (a).

4. ïëïêëçñùóç åðé ðïëõðôõãìáôùí

99

Ðåñßðôùóç (b). ÅÜí ω = f dt ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxik−1 , ôüôå i∗1 ω = 0 = i∗0 ω. Áðü ôçí P ∂f dxα ∧ dt ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxik−1 . Óõíåðþò, Üëëç ìåñéÜ, dω = nα=1 ∂x α I (dω) (p) = − êáé

n µZ X

α=1

d (I (ω)) (p) = d =

½µZ

0

n µZ X

α=1

¶ ∂f dt dxα ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxik−1 ∂xα

1

1

¶ ¾ f dt dxi1 ∧ · · · ∧ dxik−1

0 1 0

¶ ∂f dt dxα ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxik−1 , ∂xα

ïðüôå ï éó·õñéóìüò åßíáé áëçèÞò êáé óôçí ðåñßðôùóç (b).

¤

Óõìðëçñùóç ôçò áðïäåéîçò ôïõ èåùñçìáôïò 4.14. ÅðåéäÞ ôï M åßíáé óõóôáëôü, Ý·ïõìå H ◦ i1 = IdM ,

H ◦ i0 = (óôáèåñÞ áðåéêüíéóç) = {p0 } , p0 ∈ M.

ÅðïìÝíùò, ∗

ω = (H ◦ i1 ) ω = i∗1 (H ∗ ω) = i∗1 ω, ∗

0 = (H ◦ i0 ) ω = i∗0 (H ∗ ω) = i∗0 ω.

Êáé åðåéäÞ dω = 0 (êÜôé ôï ïðïßï äåí åß·áìå ·ñçóéìïðïéÞóåé ìÝ·ñé óôéãìÞò), ëáìâÜíïõìå dω = H ∗ dω = 0. Áðü ôï ëÞììá 4.16 Ýðåôáé üôé ω = i∗1 ω = d (I (ω)) = dα, ¤

üðïõ α := I (ω) .

ÁóêÞóåéò 4-1. ¸óôù f : R3 −→ R ìéá äéáöïñßóéìç óõíÜñôçóç êáé Ýóôù ω ç 2-ìïñöÞ óôïí R3 , ç ïðïßá äßíåôáé áðü ôïí ôýðï ω=

fx dy∧dz+fy dz∧dx+fz dx∧dy √ 2 2 2 . fx +fy +fz

Ùò ãíùóôüí, åÜí ôï a ∈ R åßíáé ìéá êáíïíéêÞ ôéìÞ ôÞò f (äçëáäÞ, åÜí ãéá êÜèå óçìåßï p ∈ f −1 (a) ç dfp åßíáé åðéññéðôéêÞ), ôüôå ôï ¯ © ª M 2 = (x, y, z) ∈ R3 ¯ f (x, y, z) = a

äéáöïñéêåò ìïñöåò. èåùñéá êáé åöáñìïãåò

100

åßíáé ìéá êáíïíéêÞ ðñïóáíáôïëéóìÝíç åðéöÜíåéá åíôüò ôïý R3 (ðñâë. ¥3], åíüôçôá 2.2). Äåßîôå üôé ï ðåñéïñéóìüò ôÞò ω åðß ôÞò M 2 åßíáé ôï óôïé·åßï åìâáäïý5 ôÞò M 2 . Õðüäåéîç : Áñêåß íá äåé·èåß üôé, åÜí ç {v1 , v2 } åßíáé ìéá âÜóç ôïý Tp M 2 , üðïõ p ∈ M 2 , ôüôå ç ôéìÞ ω (v1 , v2 ) éóïýôáé ìå ôï åìâáäüí ôïý ðáñáëëçëïãñÜììïõ ôïý ó·çìáôéæïìÝíïõ áðü ôá v1 êáé v2 . ÅðéëÝîôå ìéá ðáñáìÝôñçóç g(u, v) ôÞò M 2 ðåñß ôï p, ç ïðïßá íá åßíáé óõìâáôÞ ìå ôïí ðñïóáíáôïëéóìü, êáé ðáñáôçñÞóôå üôé à 3 ! X ∗ (gu ∧ gv )i du ∧ dv, g (dy ∧ dz + dz ∧ dx + dx ∧ dy) = i=1

üðïõ ôï (gu ∧ gv )i õðïäçëïß ôçí i-ïóôÞ óõíôåôáãìÝíç ôïý åîùôåñéêïý (äéáíõóìáôéêïý) ãéíïìÝíïõ gu ∧ gv ùò ðñïò ôç óõíÞèç âÜóç ôïý R3 . ÅðåéäÞ ôþñá f (x, y, z) = ìéá óôáèåñÜ, ôï A = (fx , fy , fz ) êåßôáé åðß ôïý èåôéêïý ïñèüèåôïõ äéáíýóìáôïò åðß ôÞò M 2 . ÊáôÜ óõíÝðåéáí, ω=

hA,gu ∧gv i det(A)

du ∧ dv = det (gu ∧ gv ) du ∧ dv.

Åßíáé ôþñá åýêïëï íá äéáðéóôùèåß üôé ç ôéìÞ ω (gu , gv ) éóïýôáé ìå ôï åìâáäüí ôïý ðáñáëëçëïãñÜììïõ ôïý ó·çìáôéæïìÝíïõ áðü ôá gu êáé gv , ïðüôå ç ôéìÞ ω (v1 , v2 ) éóïýôáé ðñÜãìáôé ìå ôï åìâáäüí ôïý ðáñáëëçëïãñÜììïõ ôïý ó·çìáôéæïìÝíïõ áðü ôá v1 êáé v2 . 4-2. (a) ¸óôù ω = xdy − ydx êáé Ýóôù j : M → R2 ç Ýíèåóç ìéáò ðåñéï·Þò ìå ïìáëü óýíïñï ∂M 6= ∅ åíôüò ôïý R2 . Äåßîôå üôé Z 1 j ∗ ω. (ôï åìâáäüí ôÞò M ) = 2 ∂M (b) ¸óôù ω = x dy ∧ dz − y dx ∧ dz + z dx ∧ dy êáé Ýóôù j : M → R3 ç Ýíèåóç ìéáò ðåñéï·Þò ìå ïìáëü óýíïñï ∂M 6= ∅ åíôüò ôïý R3 . Äåßîôå üôé Z 1 j ∗ ω. (ï üãêïò ôÞò M ) = 3 ∂M (c) Ãåíéêåýóôå ôÜ (a), (b) óôïí Rn . 5 (Ó.ô.Ì.): ÅÜí ç R ⊆ M åßíáé ìéá êëåéóôÞ êáé öñáãìÝíç ðåñéï·Þ ìéáò êáíïíéêÞò åðéöáíåßáò M, ç ïðïßá ðåñéÝ·åôáé ðñáãìáôéêüò óôï ðåäßï ôéìþí ìéáò f : U ⊆ R2 −→ M, (u, v) 7−→ f (u, v), ôüôå ï èåôéêüò ¯ ðáñáìÝôñçóçò ¯ ¯ ¯ RR ¯ ∂f ¯ ∂f ¯ ∂f ¯ × × ∂f dudv åßíáé ôï åìâáäüí ôÞò R, åíþ ç ïëïêëçñùôÝá ðïóüôçôá ¯ ∂u áñéèìüò ¯ ¯ ∂v ∂v ¯ dudv f −1 (R) ∂u åßíáé ôï óôïé·åßï åìâáäïý (Þ ôï åìâáäéêü óôïé·åßï) ôÞò M ùò ðñïò ôçí ðáñáìÝôñçóç (U, f ) (ðïõ ìÝíåé áìåôÜâëçôï ùò ðñïò ïéåóäÞðïôå «áíáðáñáìåôñÞóåéò»). Ãéá Ýíáí Üëëï, éóïäýíáìï ïñéóìü ôïý óôïé·åßïõ åìâáäïý ôÞò M ìÝóù êáôáëëÞëùí êéíïõìÝíùí ðëáéóßùí, âë. óåë. 129.

4. ïëïêëçñùóç åðé ðïëõðôõãìáôùí

101

4-3. ¸óôù ω ç 2-ìïñöÞ ω=

x dy∧dz+y dz∧dx+z dx∧dy 3

(x2 +y2 +z 2 ) 2

,

ç ïðïßá åßíáé ïñéóìÝíç óôï R3 r{(0, 0, 0)}, êáé Ýóôù M 2 ⊂ R3 ìéá ðñïóáíáôïëéóìÝíç åðéöÜíåéá, ç ïðïßá äåí äéÝñ·åôáé áðü ôçí áñ·Þ ôùí áîüíùí 0 = (0, 0, 0). Äåßîôå üôé éó·ýïõí ôá áêüëïõèá: (a) Ï ðåñéïñéóìüò ôÞò ω óôçí M 2 éóïýôáé ìå cos θ σ, r2 üðïõ ôï σ åßíáé ôï óôïé·åßï åìâáäïý ôÞò M 2 , ôï r ç áðüóôáóç ôïý 0 áðü Ýíá óçìåßï p ∈ M 2 êáé ôï θ ç èåôéêÞ ãùíßá ôïý 0p êáé ôïý ìïíáäéáßïõ ïñèüèåôïõ äéáíýóìáôïò N åðß ôÞò M 2 óôï óçìåßï p. Õðüäåéîç : Ðïñåõèåßôå üðùò êáé óôçí Üóêçóç 4-1. ÈÝôïíôáò p = (x, y, z), r2 = x2 + y 2 + z 2 ,

p = v, r

ëáìâÜíåôå ω=

1 r3

hp, gu ∧ gv i du ∧ dv =

1 r2

hv, N i det (gu ∧ gv ) du ∧ dv =

cos θ r2

σ.

(b) Ïñßóôå ôÞ óôåñåÜ ãùíßá õðü ôçí ïðïßá ç M 2 èåÜôáé áðü ôï 0 ùò ôï ïëïêëÞñùìá: Ω=

Z

ω. M2

(Áéôéïëüãçóç ôÞò åéóáãùãÞò áõôÞò ôÞò ïñïëïãßáò: ÐáñáôçñÞóôå üôé, åÜí ôï p ∈ M 2 , cos θ 6= 0, êáé ôï δM 2 óõìâïëßæåé ìéá ìéêñÞ ãåéôïíéÜ ôïý p, ôüôå ôï ãéíüìåíï r12 cos θ (åìâáäüí ôÞò δM 2 ) éóïýôáé ìå ôï åìâáäüí åêåßíçò ôÞò ðåñéï·Þò ôÞò ìïíáäéáßáò óöáßñáò S2 = {p ∈ R3 : |p| = 1}, ç ïðïßá êáèïñßæåôáé áðü ôéò áêôßíåò ðïõ óõíäÝïõí ôï 0 ìå ôá óçìåßá ôÞò δM 2 . Ç åí ëüãù ðåñéï·Þ ïíïìÜæåôáé óõíÞèùò óôåñåÜ ãùíßá õðü ôçí ïðïßá ç M 2 èåÜôáé áðü ôï 0.) Ôþñá õðïèÝóôå üôé ç Ξ åßíáé ìéá ðåñéï·Þ åíôüò ôïý R3 ìå (ïìáëü, äéóäéÜóôáôï) óýíïñï ∂Ξ êáé üôé 0 ∈ / ∂Ξ. Óõìâïëßæïíôáò ùò Ω ôç óôåñåÜ ãùíßá, õðü ôçí ïðïßá ôï ∂Ξ èåÜôáé áðü ôï 0, äåßîôå üôé ½ 0, üôáí 0 ∈ / Ξ, Ω= 4π, üôáí 0 ∈ Ξ. Õðüäåéîç : ÐáñáôçñÞóôå üôé, üôáí 0 ∈ / Ξ, ôüôå dω = 0 êáé åöáñìüóôå ôü èåþñçìá ôïý Stokes.

äéáöïñéêåò ìïñöåò. èåùñéá êáé åöáñìïãåò

102

4-4. ¸óôù ϕ : R3 −→ R ìéá äéáöïñßóéìç óõíÜñôçóç, ç ïðïßá åßíáé ïìïãåíÞò âáèìïý k (âë. Üóêçóç 1-18). Äåßîôå üôé éó·ýïõí ôá áêüëïõèá: (a) ÅÜí ç B = {p ∈ R3 : |p| ≤ 1} åßíáé ç êëåéóôÞ ìðÜëá ðïõ Ý·åé ôç ìïíáäéáßá óöáßñá S2 ùò óýíïñü ôçò, ôüôå Z Z 4ϕ dx ∧ dy ∧ dz = kϕ σ, S2

B

üðïõ ùò σ óçìåéþíïõìå, åí ðñïêåéìÝíù, ôï óôïé·åßï åìâáäïý ôÞò S2 êáé ùò 4ϕ = ϕxx + ϕyy + ϕzz ôç ëáðëáóéáíÞ ôÞò ϕ (âë. Üóêçóç 1-13). Õðüäåéîç : Åöáñìüóôå ôÞí ôáõôüôçôá ôïý Euler xϕx + yϕy + zϕz = kϕ ãéá ôçí ϕ (âë. Üóêçóç 1-18 (a)) êáé ·ñçóéìïðïéÞóôå ôü èåþñçìá ôÞò áðüêëéóçò. (b) Ãéá ôçí ϕ (x, y, z) = a1 x4 + a2 y 4 + a3 z 4 + 3a4 x2 y 2 + 3a5 y 2 z 2 + 3a6 x2 z 2 ëáìâÜíïõìå Z

ϕσ=

S2

6 4π X aj . 5 j=1

4-5. ¸óôù üôé ïé g : R3 −→ R êáé f : R3 −→ R åßíáé äõï äéáöïñßóéìåò óõíáñôÞóåéò êáé üôé ôï M ⊂ R3 åßíáé Ýíá ôñéóäéÜóôáôï óõìðáãÝò äéáöïñßóéìï ðïëýðôõãìá ìå óýíïñï ∂M 6= ∅. Áðïäåßîôå ôéò áêüëïõèåò «ôáõôüôçôåò ôïý Green»: (a) Ðñþôç ôáõôüôçôá ôïý Green: Z Z Z hgrad f, grad gi ν + f (4g) ν = M

M

∂M

f hgrad g, N i σ,

üðïõ ôï ν åßíáé ôï óôïé·åßï üãêïõ ôïý M , ôï σ ôï óôïé·åßï åìâáäïý ôïý ∂M êáé ôï N ôï ìïíáäéáßï ïñèüèåôï äéÜíõóìá åðß ôïý ∂M. Õðüäåéîç : Åöáñìüóôå ôü èåþñçìá áðüêëéóçò èÝôïíôáò v = f grad g. (b) Äåýôåñç ôáõôüôçôá ôïý Green: Z Z (f (4g) − g (4f )) ν = (f hgrad g, N i − g hgrad f, N i) σ. M

∂M

4. ïëïêëçñùóç åðé ðïëõðôõãìáôùí

103

4-6. Åßíáé äõíáôÞ ç åýñåóç åíüò ôñéóäéáóôÜôïõ ðñïóáíáôïëéóßìïõ äéáöïñéóßìïõ ðïëõðôýãìáôïò M 3 , ôï óýíïñï ôïý ïðïßïõ åßíáé ôï ðñáãìáôéêü ðñïâïëéêü åðßðåäï; 4-7. ¸óôù üôé ïé ω 1 êáé ω 2 åßíáé äõï äéáöïñéêÝò ìïñöÝò åðß åíüò äéáöïñéóßìïõ ðïëõðôýãìáôïò M. ÕðïèÝôïíôáò üôé ïé ω 1 êáé ω 2 åßíáé êëåéóôÝò êáé ç ω 2 áêñéâÞò, äåßîôå üôé ç ω 1 ∧ ω 2 åßíáé êáé êëåéóôÞ êáé áêñéâÞò. 4-8. ¸óôù M = M n Ýíá óõìðáãÝò, ðñïóáíáôïëßóéìï äéáöïñßóéìï ðïëýðôõãìá ·ùñßò óýíïñï (Þôïé ìå ∂M = ∅) êáé Ýóôù ω ìéá äéáöïñéêÞ (n − 1)-ìïñöÞ åðß ôïý M . Äåßîôå üôé õðÜñ·åé Ýíá óçìåßï p ∈ M , ôÝôïéï þóôå íá éó·ýåé dω (p) = 0. 4-9. Äåßîôå üôé äåí õðÜñ·ïõí åìâáðôßóåéò f : S1 −→ R ôïý ìïíáäéáßïõ êýêëïõ S1 åíôüò ôÞò ðñáãìáôéêÞò åõèåßáò R. Õðüäåéîç : µñçóéìïðïéÞóôå ôÞí Üóêçóç 4-8. 4-10. ¸óôù M = M 2 ⊂ R3 ìéá óõìðáãÞò, ðñïóáíáôïëéóìÝíç, êáíïíéêÞ åðéöÜíåéá ìå ïìáëü óýíïñï ∂M êáé Ýóôù v Ýíá äéáöïñßóéìï äéáíõóìáôéêü ðåäßï óå Ýíá áíïéêôü õðïóýíïëï ôïý R3 ôï ïðïßï ðåñéÝ·åé ôçí M. (a) Áðïäåßîôå ôÞí éóüôçôá Z

M

hrot v, N i σ =

Z

∂M

D E − → v, t ds,

üðïõ ôï N åßíáé ôï ìïíáäéáßï ïñèüèåôï ðåäßï, ôï σ ôï óôïé·åßï åìâáäïý ôÞò − → M, ôï t ôï ìïíáäéáßï åöáðôüìåíï äéÜíõóìá óôï ∂M êáé ôï ds ôï óôïé·åßï ôüîïõ6 ôïý ∂M . Õðüäåéîç : ÐáñáôçñÞóôå üôé rot v = ∗ (dω), üðïõ ç ω åßíáé ç 1-ìïñöÞ ç äõúêÞ ôïý v ùò ðñïò ôï óýíçèåò åóùôåñéêü ãéíüìåíï ôïý R3 (âë. Üóêçóç 1-14). ÅðéëÝãïíôáò ôïðéêÜ ïñèüôáêôá ðåäßá e1 , e2 , N, ïýôùò þóôå ôá e1 êáé e2 íá åßíáé åöáðôüìåíá óôçí M êáé ôï e1 åöáðôüìåíï óôï ∂M , ëáìâÜíåôå dω (e1 , e2 ) = ∗ (dω) D (N ) =E hrot v, N i , − → ω (e1 ) = hv, e1 i = v, t ,

D E − → ïðüôå dω = hrot v, N i σ êáé i∗ ω = v, t ds. Áñêåß ëïéðüí íá åöáñìïóèåß ôï èåþñçìá ôïý Stokes. → r åßíáé Ýíá ìïíáäéáßï (b) ¸óôù p Ýíá óçìåßï ôïý R3 . ÕðïèÝóôå üôé ôï − äéÜíõóìá ôïý R3p êáé ôï P ôï åðßðåäï ôï ïðïßï äéÝñ·åôáé áðü ôï p êáé åßíáé

6

(Ó.ô.Ì.): Ôï óôïé·åßï ôüîïõ åßíáé åî ïñéóìïý ôï åîùôåñéêü äéáöïñéêü ôïý ìÞêïõò ôüîïõ s.

104

äéáöïñéêåò ìïñöåò. èåùñéá êáé åöáñìïãåò → êÜèåôï ðñïò ôï − r . ÅðéðñïóèÝôùò, õðïèÝóôå üôé ï ðñïóáíáôïëéóìüò ôïý − → P , ìáæß ìå ôï r , êáèïñßæïõí ôïí ðñïóáíáôïëéóìü ôïý R3 . Åí óõíå·åßá, èåùñÞóôå Ýíáí êëåéóôü äßóêï D ⊂ P ìå ôï p ùò êÝíôñï ôïõ êáé åöáñìüóôå ôü (a) ãéá ôçí åðéöÜíåéá ôçí áðïôåëïýìåíç áðü ôïí D ìáæß ìå ôï óýíïñü ôïõ ∂D ðñïêåéìÝíïõ íá êáôáëÞîåôå óôçí éóüôçôá → hrot v, − r i (p) = lim

1 D−→p (åìâáäüí ôïý D)

Z

D E − → v, t ds,

∂D

üðïõ ìå ôïí óõìâïëéóìü ôïý äåîéïý ìÝëïõò ôçò õðïíïåßôáé üôé ôï üñéï åßíáé åéëçììÝíï üôáí ï D äéáôñÝ·åé ìéá ïéêïãÝíåéá ïìïêÝíôñùí êëåéóôþí äßóêùí, ïé ïðïßïé ðñïóåããßæïõí ôï óçìåßï p. 4-11. ÅéóáãùãÞ óôç Èåùñßá Äõíáìéêïý óôïí R3 . Ìéá äéáöïñßóéìç óõíÜñôçóç g : R3 −→ R êáëåßôáé áñìïíéêÞ óå Ýíá õðïóýíïëï B ôïý R3 üôáí 4g = 0 ãéá üëá ôá p ∈ B. ¸óôù M ìéá ðåñéï·Þ åíôüò ôïý R3 ìå ìç êåíü, ïìáëü óýíïñï ∂M. Íá áðïäåé·èïýí ôá áêüëïõèá: (a) ÅÜí ïé óõíáñôÞóåéò g1 : R3 −→ R êáé g2 : R3 −→ R åßíáé áñìïíéêÝò óôï M êáé éó·ýåé g1 |∂M = g2 |∂M , ôüôå g1 |M = g2 |M . Õðüäåéîç : Ná ·ñçóéìïðïéçèåß ç ðñþôç ôáõôüôçôá ôïý Green (âë. Üóêçóç 4-5 (a)) èÝôïíôáò f = g = g1 − g2 .

(b) ÅÜí ç g : R3 −→ R åßíáé áñìïíéêÞ óôï M êáé éó·ýåé ∂g = hgrad g, N i = 0 ∂N ïñó

óôï ∂M , üðïõ ìå ôï N óõìâïëßæåôáé ôï ìïíáäéáßï ïñèüèåôï äéÜíõóìá åðß ôïý ∂M , ôüôå ï ðåñéïñéóìüò g|M ôÞò g óôï M åßíáé ìéá óôáèåñÞ óõíÜñôçóç. Õðüäåéîç : µñçóéìïðïéÞóôå ôÞí ðñþôç ôáõôüôçôá ôïý Green (âë. Üóêçóç 4-5) èÝôïíôáò f = g. (c) ÅÜí ïé óõíáñôÞóåéò g1 : R3 −→ R êáé g2 : R3 −→ R åßíáé áñìïíéêÝò óôï M êáé éó·ýåé ∂g2 ∂g1 = ∂N ∂N óôï ∂M , ôüôå g1 |M = g2 |M + (êÜðïéá óôáèåñÜ).

(d) ÅÜí ç g : R3 −→ R åßíáé áñìïíéêÞ óôï M , ôüôå

(e) Ç óõíÜñôçóç g ðïõ ðáñÝ·åôáé áðü ôïí ôýðï g(x, y, z) =

1 1

(x2 + y 2 + z 2 ) 2

R

∂g ∂M ∂N

σ = 0.

4. ïëïêëçñùóç åðé ðïëõðôõãìáôùí

105

åßíáé áñìïíéêÞ óôï R3 r{(0, 0, 0)}. (f) Èåþñçìá ôÞò ìÝóçò ôéìÞò: ¸óôù f ìéá áñìïíéêÞ óõíÜñôçóç óôï óýíïëï Br = {p ∈ R3 : |p − p0 |2 ≤ r2 }, ôï óýíïñï ôïý ïðïßïõ åßíáé ç óöáßñá Sr ìå ôï p0 ùò êÝíôñï ôçò. Ôüôå Z 1 f (p0 ) = 4πr f σ. 2 Sr

Õðüäåéîç : µñçóéìïðïéÞóôå ôÞ äåýôåñç ôáõôüôçôá ôïý Green ãéá ôçí ðåñéï·Þ M = Br rBρ , ãéá êÜðïéï ρ < r, èÝôïíôáò g = 1r . ÅðåéäÞ ïé g êáé f åßíáé áñìïíéêÝò, µ ¶ ¶ µ ¶ ¶ Z µ Z µ ∂g 1 ∂g 1 1 ∂f 1 ∂f f f − σ= − σ. ∂N r r ∂N ∂N r r ∂N Sρ

Sr

Áðü ôçí Üëëç ìåñéÜ, åðåéäÞ µ ¶ µ ¶ 1 ∂ 1 1 ∂ = = − 2, ∂N r ∂r r r ìÝóù ôïý (d) Ý·åôå 1 4πρ2

Z

Sρ

fσ=

1 4πr2

Z

f σ.

Sr

Áñêåß ëïéðüí íá èåùñÞóåôå ôï üñéï êáèþò ôï ρ −→ 0 (ôåßíåé óôï ìçäÝí) ðñïêåéìÝíïõ íá öèÜóåôå óôï åðéèõìçôü óõìðÝñáóìá. (g) Áñ·Þ ôïý ìåãßóôïõ: ¸óôù f : R3 −→ R ìéá áñìïíéêÞ óõíÜñôçóç óå Ýíá õðïóýíïëï M ôïý R3 , ôï ïðïßï ãñÜöåôáé ùò Ýíùóç åíüò áíïéêôïý óõíåêôéêïý óõíüëïõ (ðïõ äéáèÝôåé ìç êåíü óýíïñï) êáé ôïý (éäßïõ ôïý) óõíüñïõ ôïõ, ôï ïðïßï äåí åßíáé êáô' áíÜãêçí ïìáëü. Ôüôå ç f ëáìâÜíåé ôüóï ôç ìåãßóôç üóï êáé ôçí åëá·ßóôç äõíáôÞ ôéìÞ ôçò óôï óýíïñï ∂M ôïý M . Õðüäåéîç : ÕðïèÝóôå üôé ç f (p) åßíáé ç ìåãßóôç äõíáôÞ ôéìÞ ôÞò óõíÜñôçóçò f , üðïõ p ∈ M r∂M , êáé èåùñÞóôå ìéá êëåéóôÞ ìðÜëá B ⊂ M r∂M ìå êÝíôñï ôçò ôï p, ôÝôïéá þóôå f (p) ≥ f (q) ãéá êÜèå q ∈ B. Êáôüðéí ôïýôïõ, êáôáëÞîôå óå áíôßöáóç ·ñçóéìïðïéþíôáò ôü (f). 4-12. ¸óôù M = M n Ýíá óõìðáãÝò äéáöïñßóéìï ðïëýðôõãìá ·ùñßò óýíïñï. Äåßîôå üôé ôï M åßíáé ðñïóáíáôïëßóéìï åÜí êáé ìüíïí åÜí õðÜñ·åé ìéá äéáöïñéêÞ n-ìïñöÞ ω ïñéóìÝíç åðß ôïý M, ç ïðïßá äåí åßíáé ðïõèåíÜ ìçäåíéæüìåíç.

äéáöïñéêåò ìïñöåò. èåùñéá êáé åöáñìïãåò

106

Õðüäåéîç : Ãéá íá äåßîåôå ôç óõíåðáãùãÞ ãéá ôï «ìüíïí åÜí», ·ñçóéìïðïéÞóôå ìéá êáôÜëëçëç äéáìÝñéóç ôÞò ìïíÜäáò, ìÝóù ôÞò ïðïßáò äéáóöáëßæåôáé ç êáôáóêåõÞ ìéáò ìç ìçäåíéêÞò n-ìïñöÞò ïñéæïìÝíçò åðß ïëïêëÞñïõ ôïý M . 4-13. ¸óôù M Ýíá óõìðáãÝò, ðñïóáíáôïëéóìÝíï, äéáöïñßóéìï ðïëýðôõãìá ·ùñßò óýíïñï. Äåßîôå üôé ôï M äåí åßíáé óõóôáëôü óå Ýíá óçìåßï. Õðüäåéîç : µñçóéìïðïéÞóôå ôÞí Üóêçóç 4-12, óå óõíäõáóìü ìå ôï ëÞììá ôïý Poincarª êáé ôï èåþñçìá ôïý Stokes. 4-14. ¸óôù üôé ïé A, B êáé C åßíáé äéáöïñßóéìåò óõíáñôÞóåéò : R3 −→ R. ÈåùñÞóôå ôï óýóôçìá ôùí äéáöïñéêþí åîéóþóåùí ¾ ½ ∂P ∂R ∂Q ∂P ∂R ∂Q − = A, − = B, − =C , ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y üðïõ ïé P, Q êáé R óõìâïëßæïõí, åí ðñïêåéìÝíù, ôñåéò Üãíùóôåò äéáöïñßóéìåò óõíáñôÞóåéò : R3 −→ R. (a) Äåßîôå üôé ìéá éêáíÞ êáé áíáãêáßá óõíèÞêç ãéá ôçí ýðáñîç ëýóçò ôïý áíùôÝñù óõóôÞìáôïò åîéóþóåùí åßíáé ç áêüëïõèç: ∂C ∂A ∂B + + = 0. ∂x ∂y ∂z Õðüäåéîç : ÈåùñÞóôå óôïí R3 ôç äéáöïñéêÞ ìïñöÞ ω = A dy ∧ dz + B dz ∧ dx + C dx ∧ dy êáé ðáñáôçñÞóôå üôé dω =

µ

∂C ∂A ∂B + + ∂x ∂y ∂z

¶

dx ∧ dy ∧ dz.

Åðß ôç âÜóåé ôïý ëÞììáôïò ôïý Poincarª Ý·ïõìå: dω = 0 åÜí êáé ìüíïí åÜí õðÜñ·åé ìéá ìïñöÞ α = P dx + Qdy + Rdz ãéá ôçí ïðïßá éó·ýåé dα = ω. ¼ìùò áõôÞ ç ôåëåõôáßá óõíèÞêç éóïäõíáìåß ìå ôï ùò Üíù óýóôçìá åîéóþóåùí. (b) ÐñïûðïèÝôïíôáò üôé ç óõíèÞêç ðïõ ðåñéãñÜöåôáé óôï (a) éó·ýåé, ðñïóäéïñßóôå ôéò óõíáñôÞóåéò P, Q êáé R. Õðüäåéîç : ÈåùñÞóôå ôÞ óõóôïëÞ H(p, t) = tp ôïý R3 óôï (0, 0, 0). Ôüôå µ ¶ üñïé ðïõ äåí ∗ ω = H ω = A(tx, ty, tz)(ytdt ∧ dz − ztdt ∧ dy) + ... + . ðåñéÝ·ïõí ôï dt Óõíåðþò, ç æçôïõìÝíç ìïñöÞ α (ðïõ ïñßóèçêå óôï (a)) äßíåôáé áðü ôïí ôýðï µZ 1 ¶ A(tx, ty, tz)tdt (ydz − zdy) + · · · · · · α = Iω = 0

4. ïëïêëçñùóç åðé ðïëõðôõãìáôùí

107

4-15. ¸óôù v Ýíá äéáöïñßóéìï äéáíõóìáôéêü ðåäßï óôïí R3 . Áðïäåßîôå üôé éó·ýïõí ôá åîÞò: (a) ÅÜí div v = 0, ôüôå õðÜñ·åé Ýíá äéáíõóìáôéêü ðåäßï u óôïí R3 , ôÝôïéï þóôå íá éó·ýåé rot u = v. (b) ÅÜí rot v = 0, ôüôå õðÜñ·åé ìéá óõíÜñôçóç f : R3 −→ R, ôÝôïéá þóôå íá éó·ýåé grad f = v. 4-16. Ôï èåþñçìá óôáèåñïý óçìåßïõ ôïý Brouwer. (a) ¸óôù M = M n Ýíá óõìðáãÝò, ðñïóáíáôïëéóìÝíï, äéáöïñßóéìï ðïëýðôõãìá ìå óýíïñï ∂M 6= ∅. Äåßîôå üôé äåí õðÜñ·åé êáìßá äéáöïñßóéìç áðåéêüíéóç f : M −→ ∂M, ôÝôïéá þóôå ï ðåñéïñéóìüò f |∂M ôÞò f åðß ôïý ∂M íá åßíáé ç ôáõôïôéêÞ áðåéêüíéóç Id∂M . Õðüäåéîç (êáôÜ ôïí E. Lima): ÕðïèÝóôå ôÞí ýðáñîç ìéáò ôÝôïéáò áðåéêüíéóçò f êáé èåùñÞóôå ìéá ìç ìçäåíéêÞ (n − 1)-ìïñöÞ ω ïñéæüìåíç åðß ôïý óõíüñïõ ∂M ôïý M (âÜóåé ôÞò Üóêçóçò 4-12). Ðñïöáíþò, d(f ∗ ω) = f ∗ (dω) = 0. Ùò åê ôïýôïõ, êáôáëÞãïõìå óôçí áêüëïõèç áíôßöáóç: Z Z Z ∗ ∗ ∗ 0= d(f ω) = i f ω= ω 6= 0. M

∂M

∂M

(b) Áðïäåßîôå ôü èåþñçìá óôáèåñïý óçìåßïõ ôïý Brouwer7 : ÅÜí ôï õðïóýíïëï B ⊂ Rn åßíáé ç êëåéóôÞ ìðÜëá {p ∈ Rn : |p| ≤ 1}, ôüôå êÜèå äéáöïñßóéìç áðåéêüíéóç g : B −→ B äéáèÝôåé Ýíá óôáèåñü óçìåßï, Þôïé õðÜñ·åé Ýíá q ∈ B, ôÝôïéï þóôå íá éó·ýåé g(q) = q. Õðüäåéîç : ÅÜí õðïôåèåß üôé g(p) 6= p ãéá üëá ôá óçìåßá p ∈ B, ôüôå ãéá êÜèå p ∈ B ç çìéåõèåßá ðïõ îåêéíÜ áðü ôï g(p) êáé äéÝñ·åôáé áðü ôï p ôÝìíåé ôï óýíïñï ∂B ôÞò B óå Ýíá ìïíïóçìÜíôùò ïñéóìÝíï óçìåßï, áò ôï ðïýìå qp . Ç êáô' áõôüí ôïí ôñüðï ïñéæüìåíç áðåéêüíéóç f : B −→ ∂B ìå f (p) = qp , ãéá êÜèå p ∈ B, éêáíïðïéåß ôéò óõíèÞêåò ôïý (a), ðñÜãìá ðïõ ïäçãåß óå áíôßöáóç.

7 (Ó.ô.Ì.): Ãéá äéáöïñåôéêÝò, êáèáñþò ôïðïëïãéêÝò áðïäåßîåéò ôïý åí ëüãù èåùñÞìáôïò âë. Armstrong ¥1], åíüôçôåò 8.6 êáé 9.4, Þ Gullemin-Pollack ¥6], óåë. 65-66.

ÊÅÖÁËÁÉÏ 5

ÄéáöïñéêÞ ãåùìåôñßá åðéöáíåéþí

5. 1 ÏÉ ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ ÄÏÌÇÓ ÔÏÕ Rn Ïé ìÝ·ñé ôïýäå áðïêôçèåßóåò ãíþóåéò ðåñß ôùí äéáöïñéêþí ìïñöþí åðßêåéôáé íá åöáñìïóèïýí êáôÜ ôç ìåëÝôç ïñéóìÝíùí èåìåëéùäþí áðïôåëåóìÜôùí ôÞò ÄéáöïñéêÞò Ãåùìåôñßáò. Îåêéíïýìå ìå ôçí ðáñÜèåóç êÜðïéùí âáóéêþí ïñéóìþí. ¸íá ðïëýðôõãìá (ôïý) Riemann Þ ñçìáííéáíü ðïëýðôõãìá åßíáé Ýíá äéáöïñßóéìï ðïëýðôõãìá M, óå êÜèå óçìåßï p ôïý ïðïßïõ áíôéóôïé·ßæïõìå Ýíá èåôéêþò ïñéóìÝíï åóùôåñéêü ãéíüìåíï h , ip åðß ôïý Tp M, ïýôùò þóôå, ìåôáâáëëïìÝíïõ ôïý p, ôï h , ip íá «ìåôáâÜëëåôáé äéáöïñéóßìùò» õðü ôçí åîÞò Ýííïéá: ÅÜí ôá X êáé Y åßíáé äõï äéáöïñßóéìá äéáíõóìáôéêÜ ðåäßá åðß ôïý M, ôüôå ç óõíÜñôçóç M 3 p 7−→ hX, Y ip ∈ R åßíáé äéáöïñßóéìç. ¸íá êáô' áõôüí ôïí ôñüðï ïñéæüìåíï åóùôåñéêü ãéíüìåíï h , i ïíïìÜæåôáé ìåôñéêÞ (ôïý) Riemann Þ ñçìáííéáíÞ ìåôñéêÞ åðß ôïý M. Ç Ýííïéá ôÞò «éóïäõíáìßáò» óôçí êáôçãïñßá ôùí ñçìáííéáíþí ðïëõðôõãìÜôùí ôáõôßæåôáé ìå ôçí Ýííïéá ôÞò éóïìåôñßáò. ¸íáò äéáöïñïìïñöéóìüò ϕ : M −→ M 0 ìåôáîý äõï ñçìáííéáíþí ðïëõðôõãìÜôùí M êáé M 0 êáëåßôáé éóïìåôñßá üôáí ãéá

110

äéáöïñéêåò ìïñöåò. èåùñéá êáé åöáñìïãåò

êÜèå óçìåßï p ∈ M êáé ãéá êÜèå æåýãïò x, y ∈ Tp M éó·ýåé ç éóüôçôá ­ ® hx, yip = dϕp (x), dϕp (y) ϕ(p) .

Ç óðïõäáéüôçôá ôÞò åííïßáò ôïý ñçìáííéáíïý ðïëõðôýãìáôïò Ýãêåéôáé óôï üôé åð' áõôïý Ý·ïõìå ôç äõíáôüôçôá ïñéóìïý ôùí óõíÞèùí ìåôñéêþí åííïéþí (üðùò áõôþí ôïý ìÞêïõò, ôïý åìâáäïý, ôùí ãùíéþí ê.Ü.) ðïõ óõíáíôïýìå óôçí Åõêëåßäåéá Ãåùìåôñßá. Óôçí ðñáãìáôéêüôçôá, ç Åõêëåßäåéá Ãåùìåôñßá äåí åßíáé ôßðïôá Üëëï ðáñÜ ç ìåëÝôç ôùí ìåôñéêþí éäéïôÞôùí ôÞò áðëïýóôåñçò äõíáôÞò «ÑçìáííéáíÞò Ãåùìåôñßáò», Þôïé ôÞò Ãåùìåôñßáò ôïý Rn üôáí áõôü åöïäéÜæåôáé ìå ôï óýíçèåò åóùôåñéêü ãéíüìåíï: hx, yi =

n P

xi yi ,

i=1

ãéá êÜèå x = (x1 , . . . , xn ) êáé y = (y1 , . . . , yn ) ∈ Rn . Ðáñüôé ôï Rn åßíáé ôï áðëïýóôåñï ñçìáííéáíü ðïëýðôõãìá, åðÝ·åé, õðü ìßá Ýííïéá, ôç èÝóç ôïý «êáèïëéêïý ñçìáííéáíïý ðïëõðôýãìáôïò», êÜôé ôï ïðïßï åëðßæïõìå íá ãßíåé óáöÝò ëßãï áñãüôåñá. Ãé' áõôüí ôïí ëüãï, ùò áöåôçñßá ìáò ãéá ü,ôé èá áêïëïõèÞóåé óôï ðáñüí êåöÜëáéï èåùñïýìå ôçí áðüäåéîç ôÞò éó·ýïò ôùí ëåãïìÝíùí åîéóþóåùí äïìÞò ôïý åõêëåéäåßïõ ·þñïõ Rn . ¸óôù üôé ôï U åßíáé Ýíá áíïéêôü óýíïëï ôïý Rn êáé üôé ôï {e1 , . . . , en } åßíáé Ýíá óýíïëï äéáíõóìáôéêþí ðåäßùí åðß ôïý U, ôÝôïéï þóôå ãéá êÜèå p ∈ U íá Ý·ïõìå hei , ej i = δ ij :=

½

0, üôáí i 6= j, 1, üôáí i = j.

¸íá ôÝôïéïõ åßäïõò óýíïëï äéáíõóìáôéêþí ðåäßùí êáëåßôáé ïñèüôáêôï êéíïýìåíï ðëáßóéï. (ÅöåîÞò, ãéá ëüãïõò ïéêïíïìßáò, èá ðáñáëåßðïõìå ùò åðß ôï ðëåßóôïí ôï åðßèåôï «ïñèüôáêôï».) ÄïèÝíôïò åíüò êéíïõìÝíïõ ðëáéóßïõ {e1 , . . . , en } , ìðïñïýìå íá ïñßóïõìå äéáöïñéêÝò 1-ìïñöÝò ω 1 , . . . , ω n óôï U ìÝóù ôÞò óõíèÞêçò ω i (ej ) = δ ij , ∀j, 1 ≤ j ≤ n. Ôïýôï óçìáßíåé üôé ãéá êÜèå p ∈ U ç âÜóç {(ω 1 )p , . . . , (ω n )p } åßíáé ç äõúêÞ ôÞò âÜóçò {(e1 )p , . . . , (en )p }. ËÝìå üôé ôï óýíïëï ìïñöþí { ω i | 1 ≤ i ≤ n} åßíáé ôï óõìðëáßóéï ðïõ áíôéóôïé·åß óôï { ei | 1 ≤ i ≤ n} . ÊÜèå äéáíõóìáôéêü ðåäßï ei , üíôáò ìéá äéáöïñßóéìç áðåéêüíéóç ei : U ⊆ Rn −→ Rn ,

5. äéáöïñéêç ãåùìåôñéá åðéöáíåéùí

111

äéáèÝôåé Ýíá äéáöïñéêü (dei )p : Rn −→ Rn ãéá êÜèå p ∈ U, ôï ïðïßï åßíáé ìéá ãñáììéêÞ áðåéêüíéóç. ÊáôÜ óõíÝðåéáí, ãéá êÜèå p ∈ U êáé ãéá êÜèå v ∈ Rn ìðïñïýìå íá ãñÜöïõìå ôï (dei )p (v) ùò (dei )p (v) =

n P

(ω ij )p (v) ej , ∀i, 1 ≤ i ≤ n.

n P

ω ij ej , ∀i, 1 ≤ i ≤ n.

j=1

Ìðïñåß åýêïëá íá äéáðéóôùèåß üôé ïé ðñïêýðôïõóåò åêöñÜóåéò (ω ij )p (v) åîáñôþíôáé ãñáììéêþò áðü ôï v. Ùò åê ôïýôïõ, êÜèå (ω ij )p åßíáé ìéá ãñáììéêÞ ìïñöÞ ôïý Rn êáé, ëüãù ôÞò äéáöïñéóéìüôçôáò ôïý äéáíõóìáôéêïý ðåäßïõ ei , êÜèå ω ij åßíáé ìéá äéáöïñéêÞ 1-ìïñöÞ. Õðü áõôÜ ôá äåäïìÝíá, óõíôïìïãñáöïýìå ôéò áíùôÝñù éóüôçôåò ùò åîÞò: dei =

j=1

(1)

Ïé êáô' áõôüí ôïí ôñüðï ðñïóäéïñéæüìåíåò äéáöïñéêÝò (åí óõíüëù n2 ) 1ìïñöÝò ω ij êáëïýíôáé ìïñöÝò óõíï·Þò ôïý U ùò ðñïò ôï êéíïýìåíï ðëáßóéï { ei | 1 ≤ i ≤ n} . ÓçìåéùôÝïí üôé ôï óýíïëï { ω ij | 1 ≤ i, j ≤ n} äåí åßíáé ãñáììéêþò áíåîÜñôçôï. ÐñÜãìáôé° åÜí ðáñáãùãßóïõìå ôï hei , ej i = δ ij , ëáìâÜíïõìå 0 = hdei , ej i + hei , dej i = ω ij + ω ji =⇒ ω ij = −ω ji , ïðüôå ïé ìïñöÝò ω ij êáé ω ji åßíáé áíôéóõììåôñéêÝò ùò ðñïò ôïõò õðïäåßêôåò i, j. Ðñùôåýïõóáò óçìáóßáò ãéá ôç ëåãïìÝíç «ìåèüäï ôùí êéíïõìÝíùí ðëáéóßùí», ôçí ïöåéëïìÝíç óôïí Elie Cartan, åßíáé ôï üôé ïé ìïñöÝò ω i êáé ω ij éêáíïðïéïýí ôéò åîéóþóåéò äïìÞò. 5.1 Ðñüôáóç. (Ïé åîéóþóåéò äïìÞò ôïý Rn ) ¸óôù { ei | 1 ≤ i ≤ n} Ýíá êéíïýìåíï ðëáßóéï óå Ýíá áíïéêôü óýíïëï U ⊆ Rn . ÅÜí ôï { ω i | 1 ≤ i ≤ n} åßíáé ôï óõìðëáßóéï ðïõ áíôéóôïé·åß óôï { ei | 1 ≤ i ≤ n} êáé ïé ω ij ïé ìïñöÝò óõíï·Þò ôïý U ùò ðñïò ôï { ei | 1 ≤ i ≤ n} , ôüôå

dω i =

n X

k=1

ω k ∧ ω ki ,

1 ≤ i ≤ n,

(2)

1 ≤ i, j ≤ n.

(3)

êáé

dω ij =

n X

k=1

ω ik ∧ ω kj ,

äéáöïñéêåò ìïñöåò. èåùñéá êáé åöáñìïãåò

112

Áðïäåéîç. ¸óôù a1 = (1, . . . , 0), . . . , an = (0, . . . , 1) ç óõíÞèçò âÜóç ôïý Rn êáé Ýóôù xi : U −→ R ç óõíÜñôçóç ðïõ óôÝëíåé êÜèå óçìåßï (x1 , . . . , xn ) ∈ U íá áðåéêïíßæåôáé óôçí i-ïóôÞ ôïõ óõíôåôáãìÝíç. Ôüôå ôï äéáöïñéêü dxi åßíáé ìéá äéáöïñéêÞ 1-ìïñöÞ óôï U êáé, ëüãù ôïý üôé dxi (aj ) = δ ij , ôï { dxi | 1 ≤ i ≤ n} åßíáé ôï óõìðëáßóéï ðïõ áíôéóôïé·åß óôï { ai | 1 ≤ i ≤ n} . ÃñÜöïíôáò êÜèå ei ùò ãñáììéêü óõíäõáóìü n P

ei =

(4)

β ij aj ,

j=1

üðïõ ïé β ij : U −→ R åßíáé äéáöïñßóéìåò óõíáñôÞóåéò êáé, ãéá êÜèå p ∈ U, ï ¢ ¡ ðßíáêáò β ij (p) 1≤i,j≤n åßíáé ïñèïãþíéïò, Ý·ïõìå n P

ωi =

j=1

(5)

β ij dxj ,

ëüãù ôïý üôé ω i (ej ) = δ ij . ÅîÜëëïõ, âÜóåé ôÞò (1), à ! n n n P P P ω ik ek = ω ik β kj aj = dei = k=1

j=1

k=1

êáé, åðåéäÞ áðü ôçí (4) óõíÜãïõìå üôé

n P

dei =

P

ω ik β kj aj ,

(7)

dβ ij aj ,

j=1

(6)

1≤j,k≤n

áðëÞ óýãêñéóç ôùí (6) êáé (7) ìáò ïäçãåß óôçí éóüôçôá n P

dβ ij =

(8)

ω ik β kj .

k=1

Ãéá ôçí áðüäåéîç ôÞò ðñþôçò åîßóùóçò äïìÞò (2) ðáñáãùãßæïõìå ôçí (5) êáé ·ñçóéìïðïéïýìå ôçí (8): dω i =

n P

j=1

dβ ij ∧ dxj =

P

1≤j,k≤n

ω ik β kj ∧ dxj =

n P

k=1

ω k ∧ ω ki .

Ãéá ôçí áðüäåéîç ôÞò äåýôåñçò åîßóùóçò äïìÞò (3) ðáñáãùãßæïõìå ôçí (8) ëáìâÜíïíôáò 0=

n P

k=1

Þôïé n P

k=1

dω ik β kj −

dω ik β kj =

n P

k=1

n P

k=1

ω ik ∧ dβ kj ,

ω ik ∧

n P

s=1

ω ks β sj .

Ãéá ôçí áðüêôçóç ôÞò (3) áñêåß íá åêôåëÝóïõìå ðïëëáðëáóéáóìü ìå ôïí áíôß¡ ¢ ¤ óôñïöï ôïý ðßíáêá β kj 1≤k,j≤n .

5. äéáöïñéêç ãåùìåôñéá åðéöáíåéùí

113

5.2 Óçìåßùóç. ÅÜí óõìâïëßóïõìå ùò x : U → Rn ôçí åíèåôéêÞ áðåéêüíéóç, ôï íá åßíáé ôï óýíïëï ôùí ìïñöþí { ω i | 1 ≤ i ≤ n} äõúêü ôïý ðëáéóßïõ { ei | 1 ≤ i ≤ n} Pn éóïäõíáìåß ìå ôçí éóüôçôá dx = i=1 ω i ei . Åíïñáôéêþò, ïé åêöñÜóåéò ïñéóìïý ôùí ω i êáé ω ij , Þôïé ïé dx =

n P

ω i ei ,

dei =

i=1

n P

ω ij ej ,

j=1

ðåñéãñÜöïõí ôï ðþò ôï êéíïýìåíï ðëáßóéï {x, e1 , . . . , en } ìåôáâÜëëåôáé êáèþò êéíïýìáóôå (êáôÜ ìÞêïò ìéáò êáìðýëçò x(t)) åíôüò ôïý U. Áõôüò Þôáí ï ôñüðïò åéóáãùãÞò ôÞò ìåèüäïõ ôùí êéíïõìÝíùí ðëáéóßùí åê ìÝñïõò ôïý Elie Cartan. Ùò åê ôïýôïõ, ïé åîéóþóåéò äïìÞò Þôáí ôá åðáêüëïõèá ôùí «áíáãêáßùí» ó·Ýóåùí: d(dx) = 0,

d(dei ) = 0, ∀i, 1 ≤ i ≤ n.

Ãéá ðáñÜäåéãìá, ç ðñþôç åîßóùóç äïìÞò ìðïñåß íá åîá·èåß ùò áêïëïýèùò: 0 = d(dx) =

n P

i=1

=

n P

j=1

ïðüôå dω j =

n P

i=1

äïìÞò.

dω j ej −

dω i ei − n P

i=1

ωi ∧

n P

i=1 n P

ω i ∧ dei

j=1

ω ij ej =

n P

j=1

µ

dω j −

n P

i=1

¶

ω i ∧ ω ij ej ,

ω i ∧ ω ij . Áíáëüãùò ìðïñåß íá åîá·èåß êáé ç äåýôåñç åîßóùóç

Ôï êýñéï ãíþñéóìá ôÞò ìåèüäïõ ôïý Cartan ãéá ôç ìåëÝôç ôÞò ãåùìåôñßáò ôùí õðïðïëõðôõãìÜôùí ìðïñåß íá ðåñéãñáöåß ùò áêïëïýèùò: ¸óôù x : M n → Rn+k ìéá åìâÜðôéóç åíüò äéáöïñéóßìïõ ðïëõðôýãìáôïò M = M n åíôüò ôïý åõêëåéäåßïõ ·þñïõ Rn+k . ¼ðùò Ýðåôáé áðü ôï èåþñçìá ôÞò áíôéóôñüöïõ ìéáò áðåéêüíéóçò, ãéá êÜèå ðáãéùìÝíï óçìåßï p ∈ M õðÜñ·åé ìéá ãåéôïíéÜ U ⊂ M ôïý p, ôÝôïéá þóôå ï ðåñéïñéóìüò x|U : U → Rn+k ôÞò x åðß ôÞò U íá åßíáé ìéá åìöýôåõóç (âë. Üóêçóç 3-4). ¸óôù V ⊂ Rn+k ìéá ãåéôïíéÜ ôïý x(p) åíôüò ôïý Rn+k , ôÝôïéá þóôå íá éó·ýåé x(U ) ⊆ V ∩ x(M ). Áò õðïèÝóïõìå üôé ç V åßíáé êáôÜ ôÝôïéïí ôñüðï åðéëåãìÝíç, þóôå íá õðÜñ·åé Ýíá êéíïýìåíï ðëáßóéï {e1 , . . . , en , en+1 , . . . , en+k } óôçí V ìå ôçí åîÞò éäéüôçôá: üôáí áõôü ðåñéïñßæåôáé åðß ôÞò åéêüíáò x(U ), ôá äéáíýóìáôá e1 , . . . , en åßíáé åöáðôüìåíá ôÞò x(U ). ÊÜèå êéíïýìåíï ðëáßóéï áõôïý ôïý åßäïõò êáëåßôáé ðñïóáñìïóìÝíï ðëáßóéï. Óôçí V, áíôéóôïé·ïýóåò óôï ðëáßóéï { ei | 1 ≤ i ≤ n + k} , Ý·ïõìå ôéò ìïñöÝò óõìðëáéóßïõ ω i êáé ôéò ìïñöÝò óõíï·Þò ω ij , ïé ïðïßåò éêáíïðïéïýí ôéò åîéóþóåéò äïìÞò (2) êáé (3). Ç áðåéêüíéóç x : M ⊃ U −→ V ⊂ Rn+k åðÜãåé ôéò ìïñöÝò x∗ (ω i ) êáé x∗ (ω ij ) óôçí U. ÅðåéäÞ ç x∗ åßíáé ìåôáèÝóéìç ôüóï ìå ôçí åîùôåñéêÞ

äéáöïñéêåò ìïñöåò. èåùñéá êáé åöáñìïãåò

114

ðáñáãþãéóç üóï êáé ìå ôá åîùôåñéêÜ ãéíüìåíá, ïé x∗ (ω i ) êáé x∗ (ω ij ) óôçí U éêáíïðïéïýí ùóáýôùò ôéò åîéóþóåéò äïìÞò (2) êáé (3). Ôïýôï ìáò ïäçãåß óôç äéáðßóôùóç ôïý üôé ç ôïðéêÞ ìåôñéêÞ ãåùìåôñßá ôÞò U ⊂ M åíóùìáôþíåôáé óôéò åîéóþóåéò äïìÞò, ðñÜãìá ðïõ áíôéêáôïðôñßæåé êáé ôïí «êáèïëéêü ·áñáêôÞñá» ôïý Rn . Óôçí åðïìÝíç åíüôçôá èá åöáñìüóïõìå ôç ìÝèïäï ôùí êéíïõìÝíùí ðëáéóßùí óå ìéá áðëÞ, áëë' åíôïýôïéò óçìáíôéêÞ êëÜóç äéáöïñéóßìùí ðïëõðôõãìÜôùí, Þôïé óôçí êëÜóç ôùí åðéöáíåéþí åíôüò ôïý R3 . Ðñïò ôïýôï, èá ·ñåéáóèïýìå êÜðïéá ðñïðáñáóêåõáóôéêÜ ëÞììáôá, ôá ïðïßá êáé ðñïôÜóóïõìå åäþ. 5.3 ËÞììá. (ËÞììá ôïý Cartan) ¸óôù üôé ï V åßíáé Ýíáò ðñáãìáôéêüò äéáíõóìáôéêüò ·þñïò äéÜóôáóçò n êáé üôé ïé ω 1 , . . . , ω r : V −→ R, üðïõ r ∈ {1, . . . , n}, åßíáé ãñáììéêÝò ìïñöÝò åðß ôïý V, ïé ïðïßåò åßíáé ãñáììéêþò áíåîÜñôçôåò. ÅÜí õðïèÝóïõìå üôé õðÜñ·ïõí ìïñöÝò θ1 , . . . , θr : V −→ R, ôÝôïéåò þóôå íá éó·ýåé ç éóüôçôá

r P

i=1

ω i ∧ θi = 0, ôüôå

θi =

r P

aij ω j ,

j=1

üðïõ aij = aji .

Áðïäåéîç. Óõìðëçñþíïíôáò (åí áíÜãêç) ôï óýíïëï ôùí äïèåéóþí äéáöïñéêþí ìïñöþí {ω 1 , . . . , ω r } ìå óôïé·åßá ω r+1 , . . . , ω n , êáôáóêåõÜæïõìå ìéá âÜóç {ω 1 , . . . , ω r , ω r+1 , . . . , ω n } ôïý äõúêïý äéáíõóìáôéêïý ·þñïõ V ∗ ôïý V êáé åêöñÜæïõìå ôéò θi ùò ãñáììéêïýò óõíäõáóìïýò θi =

r P

aij ω j +

j=1

l=r+1

Áðü ôçí õðüèåóÞ ìáò óõíÜãïõìå üôé 0=

r P

i=1

=

P

ω i ∧ θi =

1≤i<j≤r

n P

P

1≤i,j≤r

bil ω l , ∀i, 1 ≤ i ≤ r.

aij ω i ∧ ω j +

(aij − aji ) ω i ∧ ω j +

P

1≤i≤r,r+1≤l≤n

P

1≤i≤r,r+1≤l≤n

bil ω i ∧ ω l

bil ω i ∧ ω l .

ÅðåéäÞ ôï óýíïëï { ω k ∧ ω s | 1 ≤ k, s ≤ n, k < s} åßíáé ãñáììéêþò áíåîÜñôçôï, ¤ óõìðåñáßíïõìå üôé bil = 0 êáé aij = aji .

5. äéáöïñéêç ãåùìåôñéá åðéöáíåéùí

115

5.4 ËÞììá. ¸óôù üôé ïé ω 1 , . . . , ω n åßíáé n ãñáììéêþò áíåîÜñôçôåò äéáöïñéêÝò 1ìïñöÝò ïñéóìÝíåò óå Ýíá áíïéêôü õðïóýíïëï U ôïý Rn . Áò õðïèÝóïõìå üôé õðÜñ·åé Ýíá óýíïëï äéáöïñéêþí 1-ìïñöþí { ω ij | 1 ≤ i, j ≤ n} , ôï ïðïßï éêáíïðïéåß ôéò óõíèÞêåò ω ij = −ω ji , ãéá ïéáäÞðïôå i, j, 1 ≤ i, j ≤ n, êáé dω j =

n P

k=1

ω k ∧ ω kj

ãéá êÜèå j, 1 ≤ j ≤ n. Ôüôå ïéïäÞðïôå êáô' áõôüí ôïí ôñüðï äïìïýìåíï óýíïëï åßíáé ìïíïóçìÜíôùò ïñéóìÝíï. Áðïäåéîç. Áò õðïèÝóïõìå ôçí ýðáñîç åíüò Üëëïõ óõíüëïõ { ω ij | 1 ≤ i, j ≤ n} ôï ïðïßï éêáíïðïéåß ôéò áíôßóôïé·åò óõíèÞêåò ω ij = −ω ji ,

dω j =

n P

k=1

ω k ∧ ω kj .

Ôüôå n P

k=1

ω k ∧ (ω kj − ω kj ) = 0,

êáé, äõíÜìåé ôïý ëÞììáôïò 5.3 ôïý Cartan, ω kj − ω kj =

n P

i=1

j Bki ωi ,

j j = Bik . Ðáñáôçñïýìå üôé üðïõ Bki

ω kj − ω kj =

n P

i=1

j Bki ω i = − (ω jk − ω jk ) = −

n P

i=1

k Bji ωi ,

j k = −Bji . µñçóéêáé, ëüãù ôÞò ãñáììéêÞò áíåîáñôçóßáò ôùí ω 1 , . . . , ω n , üôé Bki ìïðïéþíôáò ôéò áíùôÝñù óõììåôñßåò ëáìâÜíïõìå ôåëéêþò j j k i i k k = −Bki = −Bik = Bjk = Bkj = −Bij = −Bji , Bji k = 0, ïðüôå ω kj = ω kj . ¢ñá, Bji

¤

116

äéáöïñéêåò ìïñöåò. èåùñéá êáé åöáñìïãåò

5. 2 ÅÐÉÖÁÍÅÉÅÓ ÅÍÔÏÓ ÔÏÕ R3 Óôçí ðáñïýóá åíüôçôá èá åöáñìüóïõìå ôç «ìÝèïäï ôùí êéíïõìÝíùí ðëáéóßùí» óôçí åéäéêÞ êëÜóç ôùí åðéöáíåéþí åíôüò ôïý R3 . ¸óôù x : M 2 −→ R3 ìéá åìâÜðôéóç åíüò äéóäéáóôÜôïõ äéáöïñéóßìïõ ðïëõðôýãìáôïò åíôüò ôïý R3 . ÌÝóù ôïý ôýðïõ hv1 , v2 ip = hdxp (v1 ) , dxp (v2 )ix(p) ïñßæåôáé Ýíá åóùôåñéêü ãéíüìåíï h , ip åðß ôïý Tp M 2 ãéá êÜèå óçìåßï p ∈ M 2 , üðïõ ôï åóùôåñéêü ãéíüìåíï ôïý äåîéïý ìÝëïõò åßíáé ôï óýíçèåò åóùôåñéêü ãéíüìåíï ôïý R3 . Åßíáé Üìåóïò ï Ýëåã·ïò ôïý üôé ôï h , ip åßíáé äéáöïñßóéìï êáé áðïôåëåß ìéá ñçìáííéáíÞ ìåôñéêÞ åðß ôïý M 2 . ËÝìå üôé áõôÞ ç ìåôñéêÞ åßíáé ç ìåôñéêÞ ç åðáãïìÝíç åðß ôïý M 2 ìÝóù ôÞò åìâÜðôéóçò x. Èá ìåëåôÞóïõìå ôçí ôïðéêÞ ãåùìåôñßá ôïý M 2 ãýñù áðü Ýíá óçìåßï p ∈ M 2 . ¸óôù U ⊂ M 2 ìéá ãåéôïíéÜ ôïý p, ôÝôïéá þóôå ï ðåñéïñéóìüò x|U ôÞò x åðß ôÞò U íá åßíáé ìéá åìöýôåõóç. ÕðïèÝôïõìå üôé ç V ⊂ R3 åßíáé ìéá ãåéôïíéÜ ôïý p óôïí R3 , ôÝôïéá þóôå íá éó·ýåé x(U ) ⊆ V ∩ x(M ) êáé íá åßíáé äõíáôÞ ç åðéëïãÞ åíüò ðñïóáñìïóìÝíïõ êéíïõìÝíïõ ðëáéóßïõ {e1 , e2 , e3 } óôçí V. Ôïýôï óçìáßíåé üôé, üôáí ôï åí ëüãù ðëáßóéï ðåñéïñßæåôáé åðß ôÞò x(U ), ôá e1 êáé e2 åöÜðôïíôáé ôÞò x(U ) (ïðüôå ôï e3 åßíáé êÜèåôï ðñïò ôçí x(U )). Óôçí V, áíôéóôïé·ïýóåò óôï ðëáßóéï { ei | 1 ≤ i ≤ 3} , Ý·ïõìå ôéò ìïñöÝò óõìðëáéóßïõ ω i , i = 1, 2, 3, êáé ôéò ìïñöÝò óõíï·Þò ω ij = −ω ji , i, j = 1, 2, 3, ïé ïðïßåò éêáíïðïéïýí ôéò åîéóþóåéò äïìÞò: dω 1 = ω 2 ∧ ω 21 + ω 3 ∧ ω 31 , dω 2 = ω 1 ∧ ω 12 + ω 3 ∧ ω 32 , dω 3 = ω 1 ∧ ω 13 + ω 2 ∧ ω 23 , dω 12 = ω 13 ∧ ω 32 , dω 13 = ω 12 ∧ ω 23 , dω 23 = ω 21 ∧ ω 13 . Ç åìâÜðôéóç x : M 2 ⊃ U −→ V ⊂ R3 åðÜãåé ôéò ìïñöÝò x∗ (ω i ) êáé x∗ (ω ij ) óôçí U. ÅðåéäÞ ç x∗ åßíáé ìåôáèÝóéìç ìå ôéò d êáé ∧, ïé x∗ (ω i ) êáé x∗ (ω ij ) óôçí U éêáíïðïéïýí ùóáýôùò ôéò åîéóþóåéò äïìÞò. ÓçìåéùôÝïí üôé x∗ (ω 3 ) = 0, åðåéäÞ ãéá êÜèå q ∈ U êáé êÜèå v ∈ Tp M 2 Ý·ïõìå x∗ (ω 3 ) (v) = ω 3 (dx (v)) = ω 3 (a1 e1 + a2 e2 ) = 0, üðïõ v = a1 e1 + a2 e2 . Êáôá·ñþìåíïé åëáöñþò ôïí åéóá·èÝíôá óõìâïëéóìü ãñÜöïõìå x∗ (ω i ) = ω i ,

x∗ (ω ij ) = ω ij .

5. äéáöïñéêç ãåùìåôñéá åðéöáíåéùí

117

Ôïýôï éóïäõíáìåß ìå ôç èåþñçóç ôÞò U ùò õðïóõíüëïõ ôïý R3 ìÝóù ôÞò Ýíèåóçò x : U → R3 (áöïý ç x|U åßíáé åìöýôåõóç) êáé ìå ôç èåþñçóç ôùí ω i êáé ω ij ùò ìïñöþí ðåñéïñéóìÝíùí åðß ôïý U. ÁõôÝò ïé ðåñéïñéóìÝíåò ìïñöÝò éêáíïðïéïýí ôéò áíùôÝñù åîéóþóåéò äïìÞò ìå ôçí åðéðñüóèåôç óõíèÞêç ω 3 = 0. ÅðåéäÞ ω 3 = 0, Ý·ïõìå dω 3 = ω 1 ∧ ω 13 + ω 2 ∧ ω 23 = 0, ïðüôå, óýìöùíá ìå ôï ëÞììá 5.3 ôïý Cartan, ω 13 = h11 ω 1 + h12 ω 2 , ω 23 = h21 ω 1 + h22 ω 2 , üðïõ ïé hij = hji : U −→ R åßíáé äéáöïñßóéìåò óõíáñôÞóåéò. Åðßêåéôáé íá ðáñïõóéÜóïõìå ìéá ãåùìåôñéêÞ åñìçíåßá ôùí óõíáñôÞóåùí hij . Ðñïò ôïýôï, ðáñáôçñïýìå üôé ïé ôéìÝò ôÞò áðåéêüíéóçò e3 : U −→ R3 áíÞêïõí óôç ìïíáäéáßá óöáßñá S2 ⊂ R3 , êáèüôé |e3 | = 1. Ðáãéþíïíôáò ðñïóáíáôïëéóìïýò ãéá ôá U êáé R3 ìðïñïýìå íá åðéëÝîïõìå Ýíá ðëáßóéï { ei | 1 ≤ i ≤ 3} êáôÜ ôÝôïéïí ôñüðï, þóôå ôï {e1 , e2 } íá åßíáé óõìâáôü ìå ôïí ðñïóáíáôïëéóìü ôïý U êáé ôï {e1 , e2 , e3 } íá åßíáé óõìâáôü ìå ôïí ðñïóáíáôïëéóìü ôïý R3 . Óå áõôÞí ôçí ðåñßðôùóç, ç e3 : U −→ S2 ⊂ R3 åßíáé êáëþò ïñéóìÝíç, äåí åîáñôÜôáé áðü ôçí åðéëïãÞ ôïý ðëáéóßïõ êáé ïíïìÜæåôáé áðåéêüíéóç ôïý Gauss óôï U (âë. ó·Þìá 5.1).

Ó·Þìá 5.1

Áîßæåé íá áíáöåñèåß üôé, üôáí ôï M 2 åßíáé ðñïóáíáôïëéóìÝíï, ç áðåéêüíéóç ôïý Gauss ìðïñåß íá ïñéóèåß åðß ïëïêëÞñïõ ôïý M 2 . Ôþñá, åðåéäÞ de3 = ω 31 e1 + ω 32 e2 , ëáìâÜíïõìå µ ¶µ ¶ h11 h12 a1 de3 (v) = − h21 h22 a2

118

äéáöïñéêåò ìïñöåò. èåùñéá êáé åöáñìïãåò

ãéá êÜèå q ∈ U êáé ãéá êÜèå v = a1 e1 + a2 e2 ∈ Tq M 2 . Åî áõôïý åîÜãåôáé ç æçôïõìÝíç ãåùìåôñéêÞ åñìçíåßá ôùí áíùôÝñù äéáöïñéóßìùí óõíáñôÞóåùí: ï ðßíáêáò (−hij )1≤i,j≤2 åßíáé ï ðßíáêáò ôïý äéáöïñéêïý ôÞò áðåéêüíéóçò e3 : U −→ S2 ôïý Gauss ùò ðñïò ôç âÜóç {e1 , e2 } . ÅðåéäÞ ï ðßíáêáò (hij )1≤i,j≤2 åßíáé óõììåôñéêüò, êáôáëÞãïõìå Üìåóá óôï üôé ôï äéáöïñéêü de3 : T M 2 −→ T S2 ôÞò áðåéêüíéóçò e3 : U −→ S2 ôïý Gauss åßíáé ìéá áõôïðñïóáñôçìÝíç ãñáììéêÞ áðåéêüíéóç. ¼ìùò, åðß ôç âÜóåé åíüò ãíùóôïý áðïôåëÝóìáôïò ôÞò ÃñáììéêÞò ¢ëãåâñáò ìéá ôÝôïéïõ åßäïõò áðåéêüíéóç ìðïñåß íá äéáãùíéïðïéçèåß äéáèÝôïíôáò ðñáãìáôéêÝò éäéïôéìÝò −λ1 , −λ2 êáé ïñèïãþíéá éäéïäéáíýóìáôá. Åßèéóôáé ç êáìðõëüôçôá Gauss K ôïý M 2 óôï óçìåßï p íá ïñßæåôáé ìÝóù ôïý ôýðïõ K = det (de3 )p = λ1 λ2 = h11 h22 − h212 êáé ç ìÝóç êáìðõëüôçôá H ôïý M 2 óôï óçìåßï p ìÝóù ôïý ôýðïõ 1 λ1 + λ2 h11 + h22 H = − (ß·íïò ôïý de3 )p = = , 2 2 2 üðïõ -åí ðñïêåéìÝíù- õðïíïïýìå üôé ïé ìåôÝ·ïõóåò óõíáñôÞóåéò åßíáé áðïôéìçìÝíåò óôï p. Ðñïöáíþò, ïé K êáé H äåí åîáñôþíôáé áðü ôçí åðéëïãÞ ôïý êéíïõìÝíïõ ðëáéóßïõ. ÓçìåéùôÝïí üôé ç H áëëÜæåé ôï ðñüóçìü ôçò êáôüðéí áëëáãÞò ôïý ðñïóáíáôïëéóìïý ôïý M 2 , åíþ ç K ðáñáìÝíåé áìåôÜâëçôç. Ïé åêöñÜóåéò ôùí K êáé H óõíáñôÞóåé åíüò êéíïõìÝíïõ ðëáéóßïõ óõíÜãïíôáé Üìåóá: ¡ ¢ dω 12 = ω 13 ∧ ω 32 = − h11 h22 − h212 ω 1 ∧ ω 2 = −Kω 1 ∧ ω 2 , ω 13 ∧ ω 2 + ω 1 ∧ ω 23 = − (h11 + h22 ) ω 1 ∧ ω 2 = 2Hω 1 ∧ ω 2 .

ÌÜëéóôá, ç éóüôçôá dω 12 = −Kω 1 ∧ ω 2 ìáò åðéôñÝðåé íá áðïäåßîïõìå Ýíá áðü ôá ðéï óçìáíôéêÜ áðïôåëÝóìáôá ôÞò èåùñßáò ôùí åðéöáíåéþí åíôüò ôïý R3 . 5.5 Èåþñçìá. (Gauss) Ç K åîáñôÜôáé ìüíïí áðü ôçí åðáãïìÝíç ìåôñéêÞ åðß ôïý M 2 , ðñÜãìá ðïõ óçìáßíåé üôé ãéá äõï ôõ·ïýóåò åìâáðôßóåéò x, x0 : M 2 −→ R3 ìå ôéò ßäéåò åðáãüìåíåò ìåôñéêÝò Ý·ïõìå K (p) = K 0 (p) , ∀p ∈ M 2 , üðïõ ïé K êáé K 0 åßíáé ïé êáìðõëüôçôåò Gauss ôùí x êáé x0 , áíôéóôïß·ùò.

5. äéáöïñéêç ãåùìåôñéá åðéöáíåéùí

119

Áðïäåéîç. ¸óôù p ôõ·üí óçìåßï ôïý M 2 . ÕðïèÝôïõìå üôé ç U ⊂ M 2 åßíáé ìéá ãåéôïíéÜ ôïý p êáé èåùñïýìå Ýíá êéíïýìåíï ðëáßóéï {e1 , e2 } óôçí U, ôï ïðïßï åßíáé ïñèüôáêôï ùò ðñïò ôçí åðáãïìÝíç ìåôñéêÞ. Ôï óýíïëï {dx(e1 ), dx(e2 )} ìðïñåß íá åðåêôáèåß óå Ýíá ðñïóáñìïóìÝíï ðëáßóéï óôçí V ⊇ x(U ) êáé, êáô' áíáëïãßáí, ôï óýíïëï {dx0 (e1 ), dx0 (e2 )} ìðïñåß íá åðåêôáèåß óå Ýíá ðñïóáñìïóìÝíï ðëáßóéï óôçí V 0 ⊇ x0 (U ). Aò óõìâïëßóïõìå ôéò ãåùìåôñéêÝò ïíôüôçôåò ðïõ áöïñïýí óôçí åìâÜðôéóç x0 êÜíïíôáò ·ñÞóç åíüò ôüíïõ. Ôüôå, ëüãù äõúóìïý, ω 1 = ω 01 êáé ω 2 = ω 02 . Åðßóçò, êáôÜ ôï ëÞììá 5.4 (ðïõ äéáóöáëßæåé ôo ìïíïóÞìáíôï), ω 12 = ω 012 . Åî áõôïý Ýðåôáé üôé dω 12 = dω 012 = −Kω 1 ∧ ω 2 = −K 0 ω 1 ∧ ω 2 , ¤

Þôïé üôé K = K 0 .

Óõíåðåßá ôïý áíùôÝñù èåùñÞìáôïò ôïý Gauss, ç êáìðõëüôçôá Gauss, óôïí ïñéóìü ôÞò ïðïßáò õðåéóÞëèå ï ðåñéâÜëëùí ·þñïò R3 , åîáñôÜôáé ìüíïí áðü ôéò ìåôñéêÝò éäéüôçôåò ôÞò èåùñçèåßóáò åðéöáíåßáò. Ôïýôï ïäÞãçóå ôïí Gauss (ðåñß ôï Ýôïò 1827) óôï íá óõëëÜâåé ôï åíäå·üìåíï ýðáñîçò ãåùìåôñéþí áíåîáñôÞôùí ôïý ðåñéâÜëëïíôïò ·þñïõ. Ùóôüóï, ôçí åðï·Þ åêåßíç, ëüãù ôÞò Ýëëåéøçò åðáñêþí ôå·íéêþí ìÝóùí (êáé -êõñßùò- ôÞò åííïßáò ôïý äéáöïñéóßìïõ ðïëõðôýãìáôïò), äåí áíáðôý·èçêáí ðåñáéôÝñù áõôÝò ôïõ ïé éäÝåò, êÜôé ðïõ óõíÝâç áñãüôåñá (êáé óõãêåêñéìÝíá, ôï 1852) ìå ôç óõíÝ·éóç ôùí äéáöïñïãåùìåôñéêþí åñãáóéþí ôïõ áðü ôïí Riemann. Åí ãÝíåé, ïé ãåùìåôñéêÝò ïíôüôçôåò åðß ôïý M 2 , ïé ïðïßåò õðïëïãßæïíôáé ìå ôç âïÞèåéá ôùí ω 1 , ω 2 êáé ω 12 , åîáñôþíôáé ìüíïí áðü ôçí åðáãïìÝíç ìåôñéêÞ õðü ôçí Ýííïéá ðïõ ôïõò ðñïóäþóáìå óôá üóá ðñïáíáöÝñáìå êáé, ùò åê ôïýôïõ, èá ïöåßëáìå íá Ý·ïõìå ôç äõíáôüôçôá ïñéóìïý ôïõò ·ùñßò ôç äéáìåóïëÜâçóç ôÞò åìâÜðôéóçò x. Èá åðáíÝëèïõìå åð' áõôïý óôçí åðïìÝíç åíüôçôá. 5.6 ÐáñÜäåéãìá. Èåùñïýìå ôçí åìâÜðôéóç x : U ⊆ R2 −→ R3 , üðïõ ¯ ª © U = (s, v) ∈ R2 ¯ − ∞ < s < ∞, 0 < v < 2π

êáé

x (s, v) = (h(s) sin v, g(s), h(s) cos v) , ∀ (s, v) ∈ U. Åí ðñïêåéìÝíù, ïé h(s) êáé g(s) óõìâïëßæïõí äõï äéáöïñßóéìåò óõíáñôÞóåéò, ìå ôçí h(s) ·ùñßò óçìåßá ìçäåíéóìïý, ãéá ôéò ïðïßåò éó·ýåé ç éóüôçôá µ

dh ds

¶2

+

µ

dg ds

¶2

= 1.

äéáöïñéêåò ìïñöåò. èåùñéá êáé åöáñìïãåò

120

Ç åéêüíá x(U ) ôïý U ìÝóù ôÞò x åßíáé ìéá åê ðåñéóôñïöÞò ðñïêýðôïõóá åðéöÜíåéá ìå ÜîïíÜ ôçò ôïí Oz êáé ðáñÜãïõóá êáìðýëç y = h(s), z = g(s) ðáñáìåôñçìÝíç áðü ôï ìÞêïò ôüîïõ s (âë. ó·Þìá 5.2).

Ó·Þìá 5.2

Èá äåßîïõìå üôé ç êáìðõëüôçôá Gauss áõôÞò ôÞò åðéöáíåßáò äßíåôáé áðü ôïí ôýðï K = − (h00 /h) , üðïõ êÜèå ôüíïò õðïäçëïß ôçí ðáñÜãùãï ùò ðñïò ôï s. Ðáñáôçñïýìå üôé ç vh ìåôñÜ ôï ìÞêïò ôÞò ðáñáëëÞëïõ x(ìéá óôáèåñÜ, v). ÊáôÜ óõíÝðåéáí, ôá äéáíýóìáôá ¡∂¢ ¡ ∂¢ , e2 = dx h1 ∂v e1 = dx ∂s åßíáé ïñèüôáêôá êáé åöáðôüìåíá ôÞò x(U ). ÁõôÜ, áðü êïéíïý ìå Ýíá ìïíáäéáßï äéÜíõóìá e3 , ôï ïðïßï åßíáé êÜèåôï ðñïò ôçí x(U ), óõãêñïôïýí Ýíá ðëáßóéï ðñïóáñìïóìÝíï óôçí åìâÜðôéóç x. Åßíáé ìÜëéóôá Üìåóïò ï Ýëåã·ïò ôÞò éó·ýïò ôùí éóïôÞôùí ω 1 = ds êáé ω 2 = hdv. Áðü ôçí Üëëç ìåñéÜ, èÝôïíôáò ω 12 = ads + bdv ëáìâÜíïõìå bds ∧ dv = ds ∧ ω 12 = ω 1 ∧ ω 12 = dω 2 = dh ∧ dv = h0 ds ∧ dv êáé ahds ∧ dv = ω 12 ∧ hdv = ω 12 ∧ ω 2 = dω 1 = 0. ÅðïìÝíùò, ω 12 = h0 dv êáé dω 12 = h00 ds ∧ dv =

h00 ω 1 ∧ ω 2 = −Kω 1 ∧ ω 2 , h

5. äéáöïñéêç ãåùìåôñéá åðéöáíåéùí

121

ïðüôå öèÜíïõìå óôïí áðáéôïýìåíï ôýðï K = − (h00 /h) . Áõôüò, åöáñìïæüìåíïò óôçí ðåñßðôùóç ôÞò óöáßñáò áêôßíáò R, ìáò äßíåé h(s) = R cos (s/R) =⇒ K =

1 . R2

Ãåíéêüôåñá, óå ïéáäÞðïôå äïèåßóá åìâÜðôéóç x : M 2 −→ R3 áíôéóôïé·ßæïõìå äýï ôåôñáãùíéêÝò ìïñöÝò óôïí Tp M 2 ãéá êÜèå p ∈ M 2 , ïé ïðïßåò ïñßæïíôáé êáôÜ ôïí áêüëïõèï ôñüðï: B Ç ðñþôç ôåôñáãùíéêÞ ìïñöÞ Þ ðñþôç èåìåëéþäçò ìïñöÞ Ip åßíáé áðëþò êáé ìüíïí ç ôåôñáãùíéêÞ ìïñöÞ ðïõ áíôéóôïé·åß óôç äéãñáììéêÞ ìïñöÞ Tp M 2 × Tp M 2 3 (v1 , v2 ) 7−→ hv1 , v2 ip ∈ R, Þôïé ç

Ip (v) = hv, vip , ∀v ∈ Tp M 2 . Ùò ðñïò ôï ðñïóáñìïóìÝíï ðëáßóéï {e1 , e2 , e3 } , ç ôåôñáãùíéêÞ ìïñöÞ Ip åêöñÜæåôáé ùò ¡ ¢ Ip (v) = (ω 1 ω 1 + ω 2 ω 2 ) (v) = ω 21 + ω 22 (v) ,

( )

üðïõ ôï ω i ω i , i = 1, 2, åßíáé ôï óõììåôñéêü ãéíüìåíï (ü·é ôï åîùôåñéêü ãéíüìåíï!) ôÞò ω i ìå ôïí åáõôü ôçò, Þôïé ω i ω i (v) = ω i (v) · ω i (v). Ãéá íá áðïäåßîïõìå ôçí ( ) ãñÜöïõìå ôï v ùò ãñáììéêü óõíäõáóìü: v = a1 e1 + a2 e2 . Ôüôå Ip (v) = ω 1 (v) · ω 1 (v) + ω 2 (v) · ω 2 (v) = a21 + a22 = hv, vi , ∀v ∈ Tp M 2 . ¢ñá, ç ôåôñáãùíéêÞ ìïñöÞ I äßíåôáé áðü ôïí ôýðï

I = ω 21 + ω 22 ,

óôïí ïðïßï, ùò óõíÞèùò, ðáñáëåßðïõìå ôçí ðåñß ôïý p Ýíäåéîç. B Ç äåýôåñç ôåôñáãùíéêÞ ìïñöÞ Þ äåýôåñç èåìåëéþäçò ìïñöÞ ïñßæåôáé ìå ôç âïÞèåéá åíüò ðñïóáñìïóìÝíïõ ðëáéóßïõ ùò åîÞò: IIp (v) = (ω 13 ω 1 + ω 23 ω 2 ) (v) =

P

1≤i,j≤2

hij ω i ω j ,

äéáöïñéêåò ìïñöåò. èåùñéá êáé åöáñìïãåò

122

üðïõ êáé ðÜëé êÜíïõìå ·ñÞóç óõììåôñéêþí ãéíïìÝíùí äéáöïñéêþí ìïñöþí. Åí ðñïêåéìÝíù, ðñÝðåé íá áðïäåßîïõìå üôé ç IIp äåí åîáñôÜôáé áðü ôçí åðéëïãÞ ôïý ðëáéóßïõ. ¼ìùò ç áðüäåéîç åßíáé Üìåóç, êáèüóïí ç IIp áðïôåëåß ôçí ôåôñáãùíéêÞ ìïñöÞ ðïõ ïñßæåé ôï áíôßèåôï ôïý äéáöïñéêïý ôÞò áðåéêüíéóçò ôïý Gauss, Þôïé ôçí IIp (v) = − hde3 (v), vi , ∀v ∈ Tp M 2 . Ùóôüóï, áêüìç ðéï ðñüóöïñç ãéá ôéò åöáñìïãÝò åßíáé ìéá Üëëç, åíáëëáêôéêÞ ðåñéãñáöÞ ôÞò IIp , ç ïðïßá Ý·åé ùò åîÞò: ¸óôù α : (−ε, ε) −→ M 2 , ε > 0, ìéá êáìðýëç åíôüò ôïý M 2 ìå ðáñÜìåôñü ôçò ôï ìÞêïò ôüîïõ s êáé α (0) = p, α0 (0) = v ∈ Tp M 2 . Ôüôå, ãñÜöïíôáò x ◦ α (s) = x (s) ,

e3 ◦ α (s) = e3 (s) ,

ëáìâÜíïõìå ¿

À dx , e3 (s) = 0, ds

ïðüôå ¿

À¯ ¯ d2 x , e3 (s) ¯¯ 2 ds s=0

= −

¿

À¯ dx de3 ¯¯ = − hdx(v), de3 (v)ip , ds ds ¯s=0

= − hω 1 e1 + ω 2 e2 , ω 31 e1 + ω 32 e2 i (v) = (ω 13 ω 1 + ω 23 ω 2 ) (v) = IIp (v) .

Áðü ôçí Üëëç ìåñéÜ, óõìâïëßæïíôáò ùò k(s) ôçí êáìðõëüôçôá ôÞò êáìðýëçò α (s) êáé ùò n(s) ôï êýñéï ïñèüèåôï äéÜíõóìá ôÞò α (s) , Ý·ïõìå À ¿ 2 d x (0) , e3 (0) = k(0) hn(0), e3 (0)i . ds2 Ç ôéìÞ k hn, e3 i (p) óõìâïëßæåôáé ùò kn (v) êáé êáëåßôáé ïñèüèåôç êáìðõëüôçôá ôÞò èåùñïõìÝíçò åðéöáíåßáò êáôÜ ôç äéåýèõíóç v = α0 (0) óôï óçìåßï p. ÅðåéäÞ IIp (v) = kn (v), ç kn (v) ðáñáìÝíåé áìåôÜâëçôç ãéá üëåò ôéò êáìðýëåò α (s) ðïõ äéáèÝôïõí ôï ßäéï åöáðôüìåíï äéÜíõóìá v óôï p. Åí êáôáêëåßäé, ëáìâÜíïíôáò õð' üøéí áìöüôåñåò ôéò ðñïáíáöåñèåßóåò åñìçíåßåò ôÞò IIp , óõìðåñáßíïõìå üôé

IIp (v) = − hde3 (v), vi = kn (v), ∀v ∈ Tp M 2 .

5. äéáöïñéêç ãåùìåôñéá åðéöáíåéùí

123

Áðü ôç ÃñáììéêÞ ¢ëãåâñá ãíùñßæïõìå üôé ç ìåãßóôç, êáé áíôéóôïß·ùò ç åëá·ßóôç, ôéìÞ ðïõ ëáìâÜíåé ç IIp (v) êáèþò ôï v äéáôñÝ·åé ôïí ìïíáäéáßï êýêëï S1 ⊂ Tp M 2 éóïýôáé ìå ôçí éäéïôéìÞ −λ1 , êáé áíôéóôïß·ùò ìå ôçí éäéïôéìÞ −λ2 , ôïý (−de3 ) êáé üôé ôá äéáíýóìáôá ðïõ áíôéóôïé·ïýí óå áõôÝò ðáñÜãïõí ôïõò éäéü·ùñïõò ôÞò (−de3 ). Ïé áêñüôáôåò ïñèüèåôåò êáìðõëüôçôåò (−λ1 ) =: k1 êáé (−λ2 ) =: k2 êáëïýíôáé êýñéåò êáìðõëüôçôåò óôï p êáé ïé áíôßóôïé·åò äéåõèýíóåéò êýñéåò äéåõèýíóåéò óôï p. Ç óðïõäáéüôçôá ôùí äýï èåìåëéùäþí ìïñöþí Ip êáé IIp Ýãêåéôáé óôï üôé ðñïóäéïñßæïõí ðëÞñùò ôçí «ôïðéêÞ ãåùìåôñßá» ôùí åðéöáíåéþí åíôüò ôïý R3 . ÅîÜëëïõ, óôï ßäéï ðíåýìá ìå ü,ôé ðñïçãÞèçêå åßíáé äõíáôÞ ç ðñáãìÜôåõóç êáé Üëëùí ôìçìÜôùí ôÞò ôïðéêÞò ãåùìåôñßáò ôùí åðéöáíåéþí åíôüò ôïý R3 (âë. ð.·. ¥3], êåöÜëáéï 3). Ðñïôïý äéáêüøïõìå ôçí åíáó·üëçóÞ ìáò ìå ôéò èåìåëéþäåéò ìïñöÝò, ìå ôçí åëðßäá üôé ç ìÝèïäïò ìå ôçí ïðïßá åöáñìüæïíôáé åßíáé áñêåôÜ óáöÞò, èá ðáñáèÝóïõìå Ýíá èåþñçìá êáé Ýíá ðüñéóìá, âÜóåé ôùí ïðïßùí èá åîçãåßôáé ôï ôé áêñéâþò åííïïýìå üôáí ëÝìå üôé ïé Ip êáé IIp ðñïóäéïñßæïõí ðëÞñùò ôçí ôïðéêÞ ãåùìåôñßá ôùí åðéöáíåéþí åíôüò ôïý R3 . 5.7 Èåþñçìá. Áò õðïèÝóïõìå üôé ôá U êáé U 0 åßíáé äõï äéóäéÜóôáôá õðïðïëõðôýãìáôá ôïý R3 êáé üôé õðÜñ·ïõí ðñïóáñìïóìÝíá ðëáßóéá {e1 , e2 , e3 } óôï U êáé {e01 , e02 , e03 } óôï U 0 , êáèþò êáé Ýíáò äéáöïñïìïñöéóìüò f : U −→ U 0 , ôÝôïéïò þóôå íá éó·ýïõí ïé éóüôçôåò f ∗ ω 0i = ω i ,

f ∗ ω 0ij = ω ij , ∀i, j ∈ {1, 2, 3}.

Ôüôå õðÜñ·åé ìéá Üêáìðôç êßíçóç1 ρ : R3 −→ R3 ìå ρ|U = f. Áðïäåéîç. ¸óôù p ∈ U. ÅÜí ç T åßíáé ç ìåôáöïñÜ óôïí R3 ðïõ áðåéêïíßæåé ôï p óôï p0 = f (p) ∈ U 0 , ç R ç ðåñéóôñïöÞ ðïõ áðåéêïíßæåé ôï ðñïóáñìïóìÝíï ðëáßóéï {e1 , e2 , e3 } óôï ðñïóáñìïóìÝíï ðëáßóéï {e01 , e02 , e03 } êáé ρ := R ◦ T, èá äåßîïõìå üôé ç g = f ◦ ρ−1 : ρ (U ) −→ U 0 åßíáé ç ôáõôïôéêÞ áðåéêüíéóç IdU 0 , êÜôé ðïõ èá áðïäåéêíýåé ôï èåþñçìá. ÅðåéäÞ ç ρ åßíáé ìéá éóïìåôñßá ôïý R3 , ïñßæïõìå ùò eei ôï äéáöïñéêü dρ (ei ) ãéá êÜèå i ∈ {1, 2, 3}, èåùñïýìå ôï ïñèüôáêôï êéíïýìåíï ðëáßóéï {e e1 , ee2 , ee3 } óôï ρ (U ) êáé õðïäçëïýìå ôéò ãåùìåôñéêÝò ïíôüôçôåò ðïõ ôïý áíôéóôïé·ïýí ðñïóèÝôïíôáò ìéá ðåñéóðùìÝíç. Åî ïñéóìïý, (de ei )q (v) =

3 P

j=1

(e ω ij )q (v) (e e j )q ,

1 (Ó.ô.Ì.): Ùò Üêáìðôç êßíçóç óôïí Rn ïñßæåôáé êÜèå áðåéêüíéóç ρ : Rn −→ Rn ç ïðïßá äéáôçñåß ôéò áðïóôÜóåéò ìåôáîý óçìåßùí (äçëáäÞ, êÜèå áðåéêüíéóç ãéá ôçí ïðïßá éó·ýåé |ρ (p) − ρ (q)| = |p − q| ãéá ïéáäÞðïôå p, q ∈ Rn ).

äéáöïñéêåò ìïñöåò. èåùñéá êáé åöáñìïãåò

124

ãéá êÜèå q ∈ ρ (U ) êáé ãéá êÜèå v ∈ Tq (ρ (U )) . Ïñßæïíôáò ôç óýíèåóç e0i ◦ g ìÝóù ôïý ôýðïõ (e0i ◦ g) (q) = e0i (g(q)) ëáìâÜíïõìå d (e0i ◦ g)q (v) = (de0i )g(q) (dg(v)) = =

3 ¡ ¡ ¢ ¢ P ω 0ij g(q) (dg(v)) e0j g(q)

j=1

3 ¡ 3 ¡ ¢ ¡ ¢ ¢ P P (e ω ij )q (v) e0j ◦ g q , g ∗ ω 0ij q (v) e0j ◦ g q =

j=1

j=1

üðïõ ç ôåëåõôáßá éóüôçôá Ýðåôáé áðü ôï üôé ¡ ¡ ¡ ¢∗ ¢∗ ¢∗ g ∗ ω 0ij = f ◦ ρ−1 ω 0ij = ρ−1 f ∗ ω 0ij = ρ−1 ω ij = ω e ij .

ÅðåéäÞ ôá q êáé v åßíáé áõèáéñÝôùò åðéëåãìÝíá, ïé äéáöïñÝò eei − e0i ◦g éêáíïðïéïýí ôï áêüëïõèï óýóôçìá óõíÞèùí äéáöïñéêþí åîéóþóåùí: d (e ei − e0i ◦ g) =

3 P

j=1

¢ ¡ ω e ij eej − e0j ◦ g = 0,

ìå áñ·éêÝò óõíèÞêåò óôï óçìåßï ρ (q) ðåñéãñáöüìåíåò áðü ôéò: (e ei − e0i ◦ g) (ρ (q)) = 0. Åöáñìüæïíôáò ôï èåþñçìá ôïý ìïíïóçìÜíôïõ ôùí ëýóåùí ãéá óõóôÞìáôá óõíÞèùí äéáöïñéêþí åîéóþóåùí ëáìâÜíïõìå eei = e0i ◦ g. Êáô' áíáëïãßáí, ìðïñïýìå íá äåßîïõìå üôé d (e x − x0 ◦ g) =

3 P

i=1

ω e i (e ei − e0i ◦ g) ,

üðïõ x e : ρ (U ) → R3 êáé x0 : U 0 → R3 åßíáé ïé áíôßóôïé·åò åíèÝóåéò (ìå ôçí ôåëåõôáßá éóüôçôá éó·ýïõóá ëüãù ôïý üôé eei = e0i ◦g). ÅðåéäÞ ïé áñ·éêÝò óõíèÞêåò óôï óçìåßï ρ (q) ðåñéãñÜöïíôáé áðü ôéò (e x − x0 ◦ g) (ρ (q)) = 0, óõìðåñáßíïõìå üôé e êáé x0 åßíáé åíèÝóåéò, ôïýôï óçìáßíåé üôé g = IdU 0 . ¤ x e = x0 ◦ g. Êáé åðåéäÞ ïé x

5.8 Ðüñéóìá. Áò õðïèÝóïõìå üôé ôá U êáé U 0 åßíáé äõï äéóäéÜóôáôá õðïðïëõðôýãìáôá ôïý R3 êáé üôé õðÜñ·åé Ýíáò äéáöïñïìïñöéóìüò f : U −→ U 0 ðïõ äéáôçñåß ôéò èåìåëéþäåéò ìïñöÝò, Þôïé ôÝôïéïò, þóôå íá éó·ýïõí ïé éóüôçôåò Ip (v) = I0f (p) (df (v)) , IIp (v) = II0f (p) (df (v)) , ãéá êÜèå óçìåßï p ∈ U êáé ãéá êÜèå v ∈ Tp U. Ôüôå õðÜñ·åé ìéá Üêáìðôç êßíçóç ρ : R3 −→ R3 ìå ρ|U = f.

5. äéáöïñéêç ãåùìåôñéá åðéöáíåéùí

125

Áðïäåéîç. Óôï U èåùñïýìå Ýíá ðñïóáñìïóìÝíï ðëáßóéï {e1 , e2 , e3 } êáé óôï U 0 ôï ðëáßóéï {df (e1 ), df (e2 ), df (e3 )} . ÅðåéäÞ ï äéáöïñïìïñöéóìüò f äéáôçñåß ôá åóùôåñéêÜ ãéíüìåíá, ôï {df (e1 ), df (e2 ), df (e3 )} åßíáé ùóáýôùò ðñïóáñìïóìÝíï ðëáßóéï êáé éó·ýåé f ∗ ω 0i = ω i , i = 1, 2, 3. ÅîÜëëïõ, åðåéäÞ ïé äåýôåñåò èåìåëéþäåéò ìïñöÝò äéáôçñïýíôáé áìåôÜâëçôåò ìÝóù ôïý f, Ý·ïõìå ¡ ¢ (hij )1≤i,j≤2 = h0ij ◦ f 1≤i,j≤2 =⇒ f ∗ ω 013 = ω 13 , f ∗ ω 023 = ω 23 . ÔÝëïò, âÜóåé ôïý ëÞììáôïò 5.4 (ðïõ äéáóöáëßæåé ôç ìïíïóçìáíôüôçôá ôùí ìïñöþí óõíï·Þò), âëÝðïõìå üôé éó·ýåé êáé ç éóüôçôá f ∗ ω 012 = ω 12 . ÁðïìÝíåé íá åöáñìüóïõìå ôï èåþñçìá 5.7. ¤

5. 3 ÅÓÙÔÅÑÉÊÇ ÃÅÙÌÅÔÑÉÁ ÅÐÉÖÁÍÅÉÙÍ ÊáôÜ ôç ìåëÝôç åðéöáíåéþí M 2 åíôüò ôïý R3 óõíáíôÞóáìå ïñéóìÝíåò ãåùìåôñéêÝò ïíôüôçôåò, üðùò ð.·. ôçí êáìðõëüôçôá ôïý Gauss, ïé ïðïßåò åîáñôþíôáé ìüíïí áðü ôçí ðñþôç èåìåëéþäç ìïñöÞ, Þôïé ìüíïí áðü ôç èåùñïõìÝíç ñçìáííéáíÞ ìåôñéêÞ. Ðáñïìïßùò, õðÜñ·ïõí êáé ðÜñá ðïëëÝò ãåùìåôñéêÝò éäéüôçôåò ãåíéêïôÝñùí åðéöáíåéþí (ü·é êáô' áíÜãêçí åìâáðôéóìÝíùí åíôüò ôïý R3 ), ïé ïðïßåò åîáñôþíôáé ìüíïí áðü ôç èåùñïõìÝíç ñçìáííéáíÞ ìåôñéêÞ êáé óõíéóôïýí ôç ëåãïìÝíç åóùôåñéêÞ ãåùìåôñßá ôùí åðéöáíåéþí. Ç ðáñïýóá åíüôçôá èá áöéåñùèåß óôç óõóôçìáôéêÞ ìåëÝôç ôÝôïéùí éäéïôÞôùí êÜíïíôáò ·ñÞóç ôÞò ìåèüäïõ ôùí êéíïõìÝíùí ðëáéóßùí. Ùò áíôéêåßìåíï áíáöïñÜò ìáò èá èåùñÞóïõìå Ýíá äéóäéÜóôáôï äéáöïñßóéìï ðïëýðôõãìá M = M 2 åöïäéáóìÝíï ìå ìéá ñçìáííéáíÞ ìåôñéêÞ h , i . Ãéá êÜèå óçìåßï p ∈ M åðéëÝãïõìå ìéá ãåéôïíéÜ U ⊂ M ôïý p, ïýôùò þóôå íá ìðïñïýí íá ïñéóèïýí ïñèüôáêôá äéáíõóìáôéêÜ ðåäßá e1 êáé e2 åðß ôÞò U. Èåùñþíôáò ôü êéíïýìåíï ðëáßóéï {e1 , e2 } , Ý·ïõìå ôç äõíáôüôçôá ïñéóìïý ôïý óõìðëáéóßïõ {ω 1 , ω 2 } ðïõ ôïý áíôéóôïé·åß ìÝóù ôùí éóïôÞôùí ω i (ej ) = δ ij , i = 1, 2. Ôï åñþôçìá ðïõ åãåßñåôáé åßíáé ôï êáôÜ ðüóïí ìðïñïýìå íá ïñßóïõìå äéáöïñéêÝò ìïñöÝò ïé ïðïßåò íá ðáßæïõí ôïí ñüëï ôùí ìïñöþí óõíï·Þò. Ç åðéëïãÞ óôçí ïðïßá èá ðñïâïýìå õðáãïñåýåôáé áðü ôï áêüëïõèï óêåðôéêü: ÅÜí ç U ìðïñïýóå íá åìöõôåõèåß éóïìåôñéêþò (Þôïé êáôÜ ôÝôïéïí ôñüðï, þóôå ôï ñçìáííéáíü åóùôåñéêü ãéíüìåíï h , i åðß ôïý M íá åßíáé áõôü ðïõ åðÜãåôáé áðü ôïí R3 ), èá êáôáëÞãáìå óôç äçìéïõñãßá åíüò êéíïõìÝíïõ ðëáéóßïõ {e1 , e2 , e3 } óå Ýíá áíïéêôü óýíïëï V ⊇ U ôïý R3 , ôï ïðïßï èá åðåîÝôåéíå ôï áñ·éêü ìáò ðëáßóéï {e1 , e2 } (ôï ïñéæüìåíï óôçí U ). ¼ìùò, áðü ôéò ìïñöÝò ω 1 , ω 2 , ω 12 , ω 13 , ω 23 êáé ôéò

äéáöïñéêåò ìïñöåò. èåùñéá êáé åöáñìïãåò

126 åîéóþóåéò äïìÞò

dω 1 = ω 12 ∧ ω 2 , dω 2 = ω 21 ∧ ω 1 , dω 12 = ω 13 ∧ ω 32 , dω 13 = ω 12 ∧ ω 23 , dω 23 = ω 21 ∧ ω 13 , ìüíïí ïé ìïñöÝò ω 1 , ω 2 , ω 12 êáé ïé ðñþôåò äýï åîéóþóåéò äåí ðåñéÝ·ïõí óôïé·åßá ó·åôéæüìåíá ìå ôï «åîùôåñéêü» äéÜíõóìá e3 . Ùò åê ôïýôïõ, åßíáé ëïãéêü íá ðñïóâëÝðïõìå óôçí ýðáñîç ìéáò ìïíïóçìÜíôùò ïñéóìÝíçò äéáöïñéêÞò 1-ìïñöÞò ω 12 = −ω 21 , ç ïðïßá èá éêáíïðïéåß ôéò ðñþôåò äýï åîéóþóåéò. Ôï áêüëïõèï ëÞììá ìÜò åããõÜôáé ôçí ýðáñîç ìéáò ôÝôïéáò äéáöïñéêÞò ìïñöÞò. 5.9 ËÞììá. (Èåþñçìá ôïý Levi-Civita) ¸óôù M Ýíá äéóäéÜóôáôï ñçìáííéáíü ðïëýðôõãìá. ÅÜí ôï U ⊆ M åßíáé Ýíá áíïéêôü óýíïëï óôï ïðïßï ïñßæåôáé Ýíá ïñèüôáêôï êéíïýìåíï ðëáßóéï {e1 , e2 } (êáé ôï {ω 1 , ω 2 } åßíáé ôï óõìðëáßóéï ðïõ ôïý áíôéóôïé·åß), ôüôå õðÜñ·åé ìéá ìïíïóçìÜíôùò ïñéóìÝíç äéáöïñéêÞ 1-ìïñöÞ ω 12 = −ω 21 , ôÝôïéá þóôå dω 1 = ω 12 ∧ ω 2 ,

dω 2 = ω 21 ∧ ω 1 .

Áðïäåéîç. Ç ìïíïóçìáíôüôçôá Ý·åé Þäç áðïäåé·èåß ìÝóù ôïý ëÞììáôïò 5.4. Ãéá ôçí áðüäåéîç ôÞò ýðáñîçò áñêåß íá ïñßóïõìå ôçí ω 12 ìÝóù ôùí ôýðùí ω 12 (e1 ) = dω 1 (e1 , e2 ) ,

ω 12 (e2 ) = dω 2 (e1 , e2 ) ,

êáé íá åëÝãîïõìå áðåõèåßáò ôçí éó·ý ôùí áðáéôïõìÝíùí éäéïôÞôùí. Ãéá ðáñÜäåéãìá, dω 1 (e1 , e2 ) = ω 12 (e1 ) = ω 12 (e1 ) ω 2 (e2 ) − ω 12 (e2 ) ω 2 (e1 ) = (ω 12 ∧ ω 2 ) (e1 , e2 ) . (Êáô' áíáëïãßáí áðïäåéêíýåôáé êáé ç äåýôåñç éóüôçôá.)

¤

Ôï åðüìåíï ðñüâëçìá Ýãêåéôáé óôï ðþò ðñïóäéïñßæåé êáíåßò ãåùìåôñéêÝò ïíôüôçôåò ìç åîáñôþìåíåò áðü ôçí åðéëïãÞ ôùí åêÜóôïôå èåùñïõìÝíùí êéíïõìÝíùí ðëáéóßùí ìÝóù ôùí ìïñöþí ω 1 , ω 2 , ω 12 . Ãéá ôçí áíôéìåôþðéóÞ ôïõ, åßíáé åí ðñþôïéò åõíüçôï ôï üôé èá ðñÝðåé íá åîåôÜóïõìå ôï ðþò ìåôáâÜëëïíôáé ïé åí ëüãù äéáöïñéêÝò ìïñöÝò êáôüðéí áëëáãÞò ôïõ ðëáéóßïõ áíáöïñÜò ìáò. ¸óôù ëïéðüí {e1 , e2 } Ýíá êéíïýìåíï ðëáßóéï äéÜöïñï ôïý {e1 , e2 } . ÅÜí ôá {e1 , e2 } êáé {e1 , e2 } Ý·ïõí ôïí ßäéï ðñïóáíáôïëéóìü, ôüôå e1

= f e1 + ge2 ,

e2

= −ge1 + f e2 ,

5. äéáöïñéêç ãåùìåôñéá åðéöáíåéùí

127

ãéá êÜðïéåò äéáöïñßóéìåò óõíáñôÞóåéò f, g : U −→ R ìå f 2 + g 2 = 1. ÅÜí, áðü ôçí Üëëç ìåñéÜ, ôá {e1 , e2 } êáé {e1 , e2 } åßíáé åöïäéáóìÝíá ìå áíôéèÝôïõò ðñïóáíáôïëéóìïýò, ôüôå e1

= f e1 + ge2 ,

e2

= ge1 − f e2 .

5.10 ËÞììá. ÅÜí ôá {e1 , e2 } êáé {e1 , e2 } Ý·ïõí ôïí ßäéï ðñïóáíáôïëéóìü, ôüôå ω 12 = ω 12 − τ , üðïõ τ := f dg − gdf, åíþ, åÜí ôá {e1 , e2 } êáé {e1 , e2 } åßíáé åöïäéáóìÝíá ìå áíôéèÝôïõò ðñïóáíáôïëéóìïýò, ôüôå Ý·ïõìå ω 12 = −ω 12 − τ . Áðïäåéîç. ÅÜí ôá {e1 , e2 } êáé {e1 , e2 } Ý·ïõí ôïí ßäéï ðñïóáíáôïëéóìü, ôüôå ω1 = f ω1 − g ω2

(1)

ω2 = g ω1 + f ω2 .

(2)

êáé

Ðáñáãùãßæïíôáò ôçí (1) ëáìâÜíïõìå dω 1 = df ∧ ω 1 + f dω 1 − dg ∧ ω 2 − g dω 2 . µñçóéìïðïéþíôáò ôéò åîéóþóåéò äïìÞò ãéá ôá dω 1 êáé dω 2 , êáèþò êáé ôçí éóüôçôá ω 12 = −ω 21 , óõíÜãïõìå üôé dω 1 = ω 12 ∧ ω 2 + (f df + g dg) ∧ ω 1 + (g df − f dg) ∧ ω 2 . ÅðåéäÞ f 2 + g 2 = 1, Ý·ïõìå f df + g dg = 0. Óõíåðþò, dω 1 = ω 12 ∧ ω 2 − τ ∧ ω 2 = (ω 12 − τ ) ∧ ω 2 . Ðáñïìïßùò, ýóôåñá áðü ðáñáãþãéóç ôÞò (2) ëáìâÜíïõìå dω 2 = − (ω 12 − τ ) ∧ ω 1 .

äéáöïñéêåò ìïñöåò. èåùñéá êáé åöáñìïãåò

128

Ëüãù ôÞò ìïíïóçìáíôüôçôáò ôÞò áíùôÝñù ìïñöÞò óõíï·Þò, óõìðåñáßíïõìå ôåëéêþò üôé ω 12 = ω 12 − τ . Ãéá ôçí áðüäåéîç ôÞò áíôßóôïé·çò éóüôçôáò óôçí ðåñßðôùóç êáôÜ ôçí ïðïßá ôá {e1 , e2 } êáé {e1 , e2 } åßíáé åöïäéáóìÝíá ìå áíôéèÝôïõò ðñïóáíáôïëéóìïýò, åöáñìüæïõìå áíÜëïãç óõëëïãéóôéêÞ. ¤ Ôï ëÞììá ðïõ áêïëïõèåß ìáò ðáñÝ·åé ìéá ãåùìåôñéêÞ åñìçíåßá ôÞò äéáöïñéêÞò 1-ìïñöÞò τ , âÜóåé ôÞò ïðïßáò ç τ éóïýôáé ìå ôï äéáöïñéêü ìéáò «ãùíéáêÞò óõíÜñôçóçò» (ó·çìáôéæïìÝíçò áðü ôá e1 êáé e1 ) êáôÜ ìÞêïò ìéáò êáôÜëëçëçò êáìðýëçò. ÅðéðñïóèÝôùò, ìáò ðëçñïöïñåß üôé åßíáé äõíáôüò ï ïñéóìüò ôÞò ãùíéáêÞò óõíÜñôçóçò ϕ (t) êáôÜ ôÝôïéïí ôñüðï, þóôå ç ϕ (t) íá åßíáé äéáöïñßóéìç. 5.11 ËÞììá. ¸óôù Ýíá óçìåßï p ∈ M 2 êáé Ýóôù ìéá äéáöïñßóéìç êáìðýëç γ : I −→ U, ôÝôïéá þóôå íá éó·ýåé ç éóüôçôá γ (t0 ) = p ãéá êÜðïéï t0 ∈ I. ÅÜí ç ϕ0 åßíáé ç ãùíßá ^ (e1 (p), e1 (p)) , ôüôå ç ¶ Z tµ dg df ϕ (t) = f −g dt + ϕ0 dt dt t0 åßíáé ìéá äéáöïñßóéìç óõíÜñôçóç ìå cos ϕ (t) = f (t) , sin ϕ (t) = g (t) ,

ϕ (t0 ) = ϕ0 ,

dϕ = γ ∗ τ .

Áðïäåéîç. Êáô' áñ·Üò èá äåßîïõìå üôé f (t) cos ϕ (t) + g(t) sin ϕ (t) = 1.

(3)

Ðáñáôçñïýìå üôé áðü ôïí ïñéóìü ôÞò ϕ éó·ýåé ç éóüôçôá ϕ0 = f g 0 −gf 0 . ÅðïìÝíùò, (f cos ϕ + g sin ϕ)

0

= f 0 cos ϕ − f sin ϕ ϕ0 + g 0 sin ϕ + g cos ϕ ϕ0 ¡ ¢ = (g 0 + f gf 0 − f 2 g 0 ) sin ϕ + f 0 − g 2 f 0 + gf g 0 cos ϕ = 0,

üðïõ óôçí ôåëåõôáßá éóüôçôá ·ñçóéìïðïéÞóáìå ôéò f 2 + g 2 = 1 êáé f f 0 + g g 0 = 0. ¢ñá f cos ϕ + g sin ϕ = ìéá óôáèåñÜ êáé, åðåéäÞ ¡ ¢ f (t0 ) cos ϕ (t0 ) + g(t0 ) sin ϕ (t0 ) = f 2 + g 2 (t0 ) = 1,

5. äéáöïñéêç ãåùìåôñéá åðéöáíåéùí

129

óõìðåñáßíïõìå üôé ç (3) åßíáé áëçèÞò. Åî áõôÞò Ýðåôáé üôé (f − cos ϕ)2 + (g − sin ϕ)2 = f 2 + g 2 − 2f cos ϕ − 2g sin ϕ + 1 = 0, ïðüôå Ý·ïõìå cos ϕ (t) = f (t) , sin ϕ (t) = g (t) . Oé ëïéðïß éó·õñéóìïß åßíáé Üìåóá åðáëçèåýóéìïé. ¤ Ôþñá ðëÝïí åßìáóôå óå èÝóç íá õðåéóÝëèïõìå êáôÜ ôñüðï ïõóéáóôéêü óôçí åóùôåñéêÞ ãåùìåôñßá ôùí åðéöáíåéþí. Êáô' áñ·Üò, ðáñáôçñïýìå üôé, ëüãù ôùí (1) êáé (2), óå ìéá ðñïóáíáôïëéóìÝíç åðéöÜíåéá M 2 ç äéáöïñéêÞ 2-ìïñöÞ ω 1 ∧ ω 2 = ω 1 ∧ ω 2 =: σ äåí åîáñôÜôáé áðü ôçí åêÜóôïôå åðéëïãÞ ôþí ðëáéóßùí êáé åßíáé ïñéóìÝíç óå ïëüêëçñç ôçí M 2 . Ç ãåùìåôñéêÞ åñìçíåßá ôÞò σ åßíáé ç áêüëïõèç: ÅÜí ôá v1 = a11 e1 + a12 e2 ,

v2 = a21 e1 + a22 e2

åßíáé äõï ãñáììéêþò áíåîÜñôçôá äéáíýóìáôá óôï óçìåßï p ∈ M 2 , ôüôå

³ ´ µ åìâáäüí ôïý ðáñáëëçëïãñÜììïõ ¶ . σ (v1 , v2 ) = det (aij )1≤i,j≤2 = ðïõ ðáñÜãåôáé áðü ôá v1 êáé v2

Ëüãù áõôÞò ôçò ôÞò éäéüôçôáò, ç σ êáëåßôáé óôïé·åßï åìâáäïý (Þ åìâáäéêü óôïé·åßï) ôÞò M 2 . Ôï åðüìåíï áðïôÝëåóìá ôÞò åóùôåñéêÞò ãåùìåôñßáò åðéöáíåéþí Ý·åé ùò õðüäåéãìÜ ôïõ ôï èåþñçìá 5.5 ôïý Gauss. 5.12 Ðñüôáóç. ¸óôù M Ýíá äéóäéÜóôáôï ñçìáííéáíü ðïëýðôõãìá. Ãéá êÜèå óçìåßï p ∈ M ïñßæïõìå Ýíáí ðñáãìáôéêü áñéèìü K(p) åðéëÝãïíôáò Ýíá êéíïýìåíï ðëáßóéï {e1 , e2 } ðåñß ôï p êáé èÝôïíôáò dω 12 (p) = −K(p) (ω 1 ∧ ω 2 ) (p) . Ï áñéèìüò K(p) äåí åîáñôÜôáé áðü ôçí åðéëïãÞ ôïý êéíïõìÝíïõ ðëáéóßïõ êáé ïíïìÜæåôáé êáìðõëüôçôá Gauss ôïý M óôï óçìåßï p. Áðïäåéîç. ¸óôù {e1 , e2 } Ýíá êéíïýìåíï ðëáßóéï äéÜöïñï ôïý {e1 , e2 } . ÅÜí ôá {e1 , e2 } êáé {e1 , e2 } Ý·ïõí ôïí ßäéï ðñïóáíáôïëéóìü, ôüôå ω 12 = ω 12 − τ .

äéáöïñéêåò ìïñöåò. èåùñéá êáé åöáñìïãåò

130

ÅðåéäÞ τ = f dg − gdf êáé dτ = 0 Ý·ïõìå dω 12 = dω 12 êáé −Kω 1 ∧ ω 2 = dω 12 = dω 12 = −Kω 1 ∧ ω 2 , ïðüôå K = K, üðùò éó·õñéóèÞêáìå. ÅÜí ôá {e1 , e2 } êáé {e1 , e2 } åßíáé åöïäéáóìÝíá ìå áíôéèÝôïõò ðñïóáíáôïëéóìïýò, ôüôå ω 12 = −ω 12 − τ =⇒ dω 12 = −dω 12 , ω 1 ∧ ω 2 = −ω 1 ∧ ω 2 , ïðüôå êáôáëÞãïõìå óôï ßäéï óõìðÝñáóìá.

¤

¢ëëç ìßá ãåùìåôñéêÞ ïíôüôçôá ðïõ åßíáé áíåîÜñôçôç ôÞò åðéëïãÞò ôùí åêÜóôïôå èåùñïõìÝíùí êéíïõìÝíùí ðëáéóßùí åßíáé ç óõíáëëïßùôç ðáñÜãùãïò ôùí äéáöïñéóßìùí äéáíõóìáôéêþí ðåäßùí. 5.13 Ïñéóìüò. ¸óôù M Ýíá äéóäéÜóôáôï ñçìáííéáíü ðïëýðôõãìá êáé Ýóôù Y Ýíá äéáöïñßóéìï äéáíõóìáôéêü ðåäßï ïñéóìÝíï åðß ôïý M. ÕðïèÝôïõìå üôé p ∈ M, ôï x ∈ Tp M êáé ç α : (−ε, ε) −→ M, ε > 0, åßíáé ìéá êáìðýëç ìå α (0) = p êáé α0 (0) = x. Ãéá íá ïñßóïõìå ôç óõíáëëïßùôç ðáñÜãùãï2 (∇x Y ) (p) ôïý Y ùò ðñïò ôï x óôï óçìåßï p, åðéëÝãïõìå Ýíá êéíïýìåíï ðëáßóéï {e1 , e2 } ðåñß ôï p, åêöñÜæïõìå ôçí åéêüíá Y (α(t)) ùò ðñïò áõôü ôï ðëáßóéï ùò ãñáììéêü óõíäõáóìü: Y (α(t)) = y1 (t)e1 + y2 (t)e2 êáé èÝôïõìå

(∇x Y ) (p) =

P

1≤i≤2

Ã

! P dyi ω ji (x) yj (0) ei , (0) + dt 1≤j≤2

õéïèåôþíôáò ôÞ äéåõêïëõíôéêÞ óýìâáóç ω 11 = ω 22 = 0. 5.14 ËÞììá. Ç óõíáëëïßùôç ðáñÜãùãïò äåí åîáñôÜôáé áðü ôçí åðéëïãÞ ôïý ðëáéóßïõ {e1 , e2 } . Áðïäåéîç. ¸óôù {e1 , e2 } Ýíá êéíïýìåíï ðëáßóéï (ðåñß ôï p) äéÜöïñï ôïý {e1 , e2 } . Áò õðïèÝóïõìå üôé ôá {e1 , e2 } êáé {e1 , e2 } Ý·ïõí ôïí ßäéï ðñïóáíáôïëéóìü. Ôüôå ⎧ ⎧ ⎨ e1 = f e1 − g e2 , ⎨ y1 = f y 1 − g y 2 , (4) ⎩ ⎩ y2 = g y 1 + f y 2 , e2 = g e1 + f e2 ,

2 (Ó.ô.Ì.): Åßíáé öáíåñü üôé ç óõíáëëïßùôç ðáñÜãùãïò (∇x Y ) (p) åîáñôÜôáé ìüíïí áðü ôï x êáé áðü ôéò ôéìÝò ôïý Y êáôÜ ìÞêïò ïéáóäÞðïôå êáìðýëçò α : (−ε, ε) −→ M, ε > 0, ìå α (0) = p êáé α0 (0) = x.

5. äéáöïñéêç ãåùìåôñéá åðéöáíåéùí

131

üðïõ Y (α(t)) = y1 (t)e1 + y2 (t)e2 = y 1 (t)e1 + y 2 (t)e2 êáé ïé f, g åßíáé äéáöïñßóéìåò óõíáñôÞóåéò ìå f 2 + g 2 = 1. Åî ïñéóìïý, µ µ ¶ ¶ dy1 dy2 + ω 21 (x) y2 e1 + + ω 12 (x) y1 e2 , ∇x Y = dt dt üðïõ ïé ìåôÝ·ïõóåò óõíáñôÞóåéò áðïôéìþíôáé óôï t = 0. µñçóéìïðïéþíôáò ôéò (4), êáèþò êáé ôéò ω 12 = ω 12 − τ ,

f f 0 + g g 0 = 0,

êáôáëÞãïõìå -ýóôåñá áðü Ýíáí ìáêñü, áëëÜ åíôïýôïéò áðåõèåßáò åêôåëïýìåíï õðïëïãéóìü- óôçí éóüôçôá µ µ ¶ ¶ dy 1 dy 2 + ω 21 (x) y 2 e1 + + ω 12 (x) y 1 e2 , ∇x Y = dt dt ç ïðïßá åðáëçèåýåé ôïí éó·õñéóìü ìáò. ÅÜí ôá {e1 , e2 } êáé {e1 , e2 } åßíáé åöïäéáóìÝíá ìå áíôéèÝôïõò ðñïóáíáôïëéóìïýò, ôüôå ç áðüäåéîç åßíáé ðáñüìïéá. ¤ Ç Ýííïéá ôÞò óõíáëëïßùôçò ðáñáãþãïõ ìðïñåß íá ·ñçóéìïðïéçèåß ðñïêåéìÝíïõ íá ðñïóäþóïõìå ìéá ãåùìåôñéêÞ åñìçíåßá ôÞò ìïñöÞò óõíï·Þò ω 12 ðïõ áíôéóôïé·åß óôï êéíïýìåíï ðëáßóéï {e1 , e2 } . ÐñÜãìáôé° åðåéäÞ e1 = 1 · e1 + 0 · e2 , Ý·ïõìå ∇x e1 = ω 12 (x) e2 =⇒ ω 12 (x) = h∇x e1 , e2 i . Ùò åê ôïýôïõ, ç äéáöïñéêÞ ìïñöÞ ω 12 , åöáñìïæïìÝíç óôï äéÜíõóìá x, áðïôåëåß ôçí e2 -óõíéóôþóá ôÞò óõíáëëïßùôçò ðáñáãþãïõ ∇x e1 . 5.15 Óçìåßùóç. Ç óõíáëëïßùôç ðáñÜãùãïò ∇x Y åéóÞ·èç áðü ôïí Levi-Civita ôï Ýôïò 1916. Åßíáé åýêïëï íá áðïäåé·èåß (âë. Üóêçóç 5-7) üôé ãéá ôçí åðáãïìÝíç ìåôñéêÞ åðéöáíåéþí M 2 → R3 ç óõíáëëïßùôç ðáñÜãùãïò åßíáé áðëþò êáé ìüíïí ç ðñïâïëÞ ôÞò óõíÞèïõò ðáñáãþãïõ ôïý Y êáôÜ ìÞêïò ìéáò êáìðýëçò åöáðôïìÝíçò ôïý x åðß ôïý åöáðôïìÝíïõ åðéðÝäïõ ôïý M 2 . ¸ôóé, õðü ìßá Ýííïéá, ç ∇x Y åßíáé ç ðáñÜãùãïò ôïý Y üðùò áõôÞ ãßíåôáé «ïñáôÞ áðü ôçí åðéöÜíåéá». 5.16 Ïñéóìüò. ËÝìå üôé Ýíá äéáíõóìáôéêü ðåäßï Y êáôÜ ìÞêïò ìéáò äéáöïñßóéìçò êáìðýëçò α : I −→ M 2 åßíáé ðáñÜëëçëï ðåäßï êáôÜ ìÞêïò ôÞò α üôáí Ý·ïõìå ∇α0 (t) Y = 0 ãéá êÜèå t ∈ I.

äéáöïñéêåò ìïñöåò. èåùñéá êáé åöáñìïãåò

132

5.17 Ïñéóìüò. Méá äéáöïñßóéìç êáìðýëç α : I −→ M 2 êáëåßôáé ãåùäáéóéáêÞ üôáí ç ßäéá ç ðáñÜãùãüò ôçò α0 (t) åßíáé Ýíá ðáñÜëëçëï ðåäßï êáôÜ ìÞêïò ôÞò α. 5.18 Ïñéóìüò. ÕðïèÝôïõìå üôé ôï M 2 åßíáé ðñïóáíáôïëéóìÝíï ñçìáííéáíü ðïëýðôõãìá êáé üôé ç α : I −→ M 2 åßíáé ìéá äéáöïñßóéìç êáìðýëç ðáñáìåôñçìÝíç ìÝóù ôïý ìÞêïõò ôüîïõ s. Óå ìéá ãåéôïíéÜ åíüò óçìåßïõ α (s) ∈ M 2 èåùñïýìå Ýíá êéíïýìåíï ðëáßóéï {e1 , e2 } óõìâáôü ìå ôïí ðñïóáíáôïëéóìü ôïý M 2 êáé ôÝôïéï, þóôå, üôáí ôï ðåñéïñßæïõìå óôçí α, íá éó·ýåé ç éóüôçôá e1 (s) = α0 (s) . Ç ãåùäáéóéáêÞ êáìðõëüôçôá kg ôÞò α åíôüò ôïý M 2 ïñßæåôáé ìÝóù ôïý ôýðïõ

kg = (α∗ ω 12 )

üðïõ ôï ìïíïóýíïëï

©

d ds

ª

¡

d ds

¢

,

åßíáé ç óõíÞèçò âÜóç ôïý äéáíõóìáôéêïý ·þñïõ R.

5.19 Ðñüôáóç. ¸óôù üôé ôá α : I −→ M 2 êáé {e1 , e2 } åßíáé äåäïìÝíá üðùò êáé óôïí ïñéóìü 5.18, ·ùñßò üìùò íá ðñïûðïèÝôïõìå ôçí ðñïóáíáôïëéóéìüôçôá ôïý M 2 (ïðüôå õðÜñ·ïõí äýï äõíáôÝò åðéëïãÝò ãéá ôï e2 ). Ôüôå ôï e1 åßíáé ðáñÜëëçëï ðåäßï êáôÜ ìÞêïò ôÞò α åÜí êáé ìüíïí åÜí α∗ ω 12 = 0. Áðïäåéîç. To e1 åßíáé ðáñÜëëçëï ðåäßï êáôÜ ìÞêïò ôÞò α åÜí êáé ìüíïí åÜí ∇e1 e1 = 0. ÅðåéäÞ h∇e1 e1 , e1 i = 0, ç óõíèÞêç ∇e1 e1 = 0 åßíáé éóïäýíáìç ìå ôçí 0 = h∇e1 e1 , e2 i = ω 12 (e1 ), ¤

Þôïé ìå ôçí α∗ ω 12 = 0.

5.20 Ðüñéóìá. Méá äéáöïñßóéìç êáìðýëç α : I −→ M 2 åßíáé ãåùäáéóéáêÞ åÜí êáé ìüíïí åÜí ç ãåùäáéóéáêÞ êáìðõëüôçôÜ ôçò ìçäåíßæåôáé ðáíôïý. Ìéá ãåùìåôñéêÞ åñìçíåßá ôÞò ãåùäáéóéáêÞò êáìðõëüôçôáò äßíåôáé áðü ôçí åðïìÝíç ðñüôáóç. 5.21 Ðñüôáóç. ¸óôù üôé ôï M 2 åßíáé ðñïóáíáôïëéóìÝíï êáé üôé ç α : I −→ M 2 åßíáé ìéá äéáöïñßóéìç êáìðýëç ðáñáìåôñçìÝíç ìÝóù ôïý ìÞêïõò ôüîïõ s. ÅÜí ôï V åßíáé Ýíá ðáñÜëëçëï ìç ìçäåíéêü äéáíõóìáôéêü ðåäßï êáôÜ ìÞêïò ôÞò α êáé ç ãùíßá ϕ = ^(V, α0 (s)) ìåôñÜôáé êáôÜ ôïí äïèÝíôá ðñïóáíáôïëéóìü, ôüôå

kg =

dϕ . ds

5. äéáöïñéêç ãåùìåôñéá åðéöáíåéùí

133

Áðïäåéîç. ÅðéëÝãïõìå äýï êéíïýìåíá ðëáßóéá {e1 , e2 } êáé {e1 , e2 } ðåñß ôï α (s) ìå e1 = |VV | , e1 = α0 (s) , ïýôùò þóôå ôï e2 íá åßíáé êÜèåôï ðñïò ôï e1 (êáôÜ ôç èåôéêÞ äéåýèõíóç) êáé ôï e2 íá åßíáé êÜèåôï ðñïò ôï e1 (êáôÜ ôç èåôéêÞ äéåýèõíóç). Ùò óõíÞèùò, áõôÜ ïñßæïíôáé áñ·éêþò êáôÜ ìÞêïò åíüò ìéêñïý äéáóôÞìáôïò ôÞò åéêüíáò ôÞò êáìðýëçò α ðåñß ôï α (s) êáé êáôüðéí åðåêôåßíïíôáé óå ìéá ïëüêëçñç ãåéôïíéÜ ôïý α (s) åíôüò ôïý M 2 . Åí óõíå·åßá, óõìâïëßæïõìå ùò ω 12 êáé ω 12 ôéò ìïñöÝò óõíï·Þò ôéò áíôéóôïé·ïýóåò óôá êéíïýìåíá ðëáßóéá {e1 , e2 } êáé {e1 , e2 } . Ç ãùíßá ϕ (áðü ôï e1 óôï e1 ) åßíáé ïñéóìÝíç ìüíïí ìå áêñßâåéá ðñüóèåóçò ìå ìßá óôáèåñÜ, áëëÜ ôï äéáöïñéêü ôçò dϕ åßíáé êáëþò ïñéóìÝíï êáé éóïýôáé ìå ôç äéáöïñÜ dϕ = α∗ ω 12 − α∗ ω 12 . ÅðåéäÞ ôï e1 åßíáé Ýíá ðáñÜëëçëï äéáíõóìáôéêü ðåäßï êáôÜ ìÞêïò ôÞò α, Ý·ïõìå α∗ ω 12 = 0. ÅðéðñïóèÝôùò, åðåéäÞ e1 = α0 (s) , ëáìâÜíïõìå µ ¶ µ ¶ d d dϕ kg = (α∗ ω 12 ) = dϕ = , ds ds ds Þôïé ôïí åðéèõìçôü ôýðï Ýêöñáóçò ôÞò kg óõíáñôÞóåé ôÞò ϕ.

¤

Ç áðüäåéîç ôÞò áíùôÝñù ðñüôáóçò óõìðåñéëáìâÜíåé ôçí áêüëïõèç Ýêöñáóç ôÞò êáìðõëüôçôáò ôïý Gauss óõíáñôÞóåé ðáñáëëÞëùí ìåôáôïðßóåùí: ¸óôù ôõ·üí óçìåßï p ∈ M 2 êáé Ýóôù D ⊂ M ìéá ãåéôïíéÜ ôïý p, ç ïðïßá åßíáé ïìïéïìïñöéêÞ ìå Ýíáí êëåéóôü äßóêï Ý·ïíôá ïìáëü óýíïñï ∂D. Áò õðïèÝóïõìå üôé q ∈ ∂D êáé üôé V0 ∈ Tq M 2 ìå |V0 | = 1. Èåùñïýìå ìéá ðáñáìÝôñçóç ôïý óõíüñïõ ∂D ùò α (s) , üðïõ ôï s åßíáé ôï ìÞêïò ôüîïõ ôïý ∂D ìå q = α (s0 ) . Ôüôå õðÜñ·åé Ýíá ìïíïóçìÜíôùò ïñéóìÝíï äéáíõóìáôéêü ðåäßï V (s) ìå V (s0 ) = V0 , ôï ïðïßï åßíáé ðáñÜëëçëï êáôÜ ìçêïò ôÞò êëåéóôÞò êáìðýëçò α(s), äçëáäÞ ∇α0 (s) V = 0. Åðáíåñ·üìåíï ôï äéÜíõóìá V (s) óôï q ó·çìáôßæåé ìéá ãùíßá ϕ ìå ôï «áñ·éêü äéÜíõóìá» V0 = V (s0 ) ∈ Tq M 2 . Xåéñéæüìåíïé ëïéðüí ôá êéíïýìåíá ðëáßóéá {e1 (s) = α0 (s), e2 (s)} êáé {e1 (s) = V (s), e2 (s)} üðùò åêåßíá ôÞò ðñïçãçèåßóáò áðüäåéîçò, ëáìâÜíïõìå Z Z ∗ α ω 12 = dϕ = ϕ. − ∂D

∂D

Áðü ôçí Üëëç ìåñéÜ, ôï èåþñçìá ôïý Stokes ìáò äßíåé Z Z Z ∗ ϕ=− α ω 12 = − dω 12 = Kσ, ∂D

D

D

ïðüôå, âÜóåé ôïý èåùñÞìáôïò ôÞò ìÝóçò ôéìÞò ôïý Ïëïêëçñùôéêïý Ëïãéóìïý, êá-

äéáöïñéêåò ìïñöåò. èåùñéá êáé åöáñìïãåò

134 ôáëÞãïõìå óôïí ôýðï

K(p) = lim

D→p

ϕ . (åìâáäüí ôïý D)

Ùò åê ôïýôïõ, ç êáìðõëüôçôá ôïý Gauss óôï óçìåßï p ìåôñÜ ôï ðüóï äéáöÝñåé ç ôáõôïôéêÞ óõíÜñôçóç áðü ôéò ðáñÜëëçëåò ìåôáôïðßóåéò êáôÜ ìÞêïò ìéêñþí êýêëùí ðåñß ôï p.

ÁóêÞóåéò 5-1. Ï (éóüðåäïò) ôüñïò. ¸óôù f : R2 −→ R4 ç áðåéêüíéóç ç ïñéæïìÝíç áðü ôïí ôýðï f (x, y) = (cos x, sin x, cos y, sin y), ∀ (x, y) ∈ R2 . Áðïäåßîôå üôé éó·ýïõí ôá áêüëïõèá: (a) Ç f åßíáé ìéá åìâÜðôéóç êáé ç åéêüíá f (R2 ) åßíáé ïìïéïìïñöéêÞ ìå Ýíáí ôüñï. (b) Ôï ðëáßóéï ½ ¾ ∂f ∂f e1 = , e2 = ∂x ∂y åíôüò ôÞò åéêüíáò f (R2 ) ⊂ R4 åßíáé ïñèüôáêôï ùò ðñïò ôç ìåôñéêÞ ôÞò f (R2 ) ôçí åðáãïìÝíç áðü ôïí ðåñéâÜëëïíôá ·þñï R4 . Õðïëïãßóôå ôéò ω 1 , ω 2 êáé ω 12 . (c) Ç êáìðõëüôçôá Gauss ôÞò åðáãïìÝíçò ìåôñéêÞò åßíáé ôáõôïôéêþò ßóç ìå ôï ìçäÝí. 5-2. ¸óôù H2 ⊂ R2 ôï Üíù çìéåðßðåäï, Þôïé ôï ¯ ª © H2 = (x, y) ∈ R2 ¯ y > 0 .

Óôï H2 èåùñÞóôå ôü áêüëïõèï åóùôåñéêü ãéíüìåíï: hu, vip =

u·v , y2

5. äéáöïñéêç ãåùìåôñéá åðéöáíåéùí

135

ãéá êÜèå p = (x, y) ∈ H2 êáé êÜèå u, v ∈ Tp H2 , üðïõ ìå ôï u · v óçìåéþíïõìå, åí ðñïêåéìÝíù, ôï óýíçèåò åóùôåñéêü ãéíüìåíï ôùí u êáé v åíôüò ôïý R2 . Áðïäåßîôå üôé ôï åóùôåñéêü ãéíüìåíï hu, vip ïñßæåé ìéá ñçìáííéáíÞ ìåôñéêÞ åðß ôïý H2 ìå êáìðõëüôçôá Gauss K ≡ −1. Ôï H2 , åöïäéáóìÝíï ìå áõôÞí ôç ñçìáííéáíÞ ìåôñéêÞ, êáëåßôáé õðåñâïëéêü åðßðåäï. 5-3. ¸óôù M 2 Ýíá äéóäéÜóôáôï ñçìáííéáíü ðïëýðôõãìá êáé Ýóôù f : U ⊂ R2 −→ M 2 ìéá ðáñáìÝôñçóç ôïý M 2 , ôÝôïéá þóôå ôá µ ¶ µ ¶ ∂ ∂ , fv = df , ∀(u, v) ∈ U, fu = df ∂u ∂v íá åßíáé ìåôáîý ôïõò ïñèïãþíéá. ÈÝóôå E = hfu , fu i , G = hfv , fv i , êáé åðéëÝîôå ùò ðëáßóéï áíáöïñÜò ôï fu fv {e1 = √ , e2 = √ }. E G Åí óõíå·åßá áðïäåßîôå ôá áêüëïõèá: (a) Ôï áíôßóôïé·ï óõìðëáßóéï {ω 1 , ω 2 } äßíåôáé áðü ôïõò ôýðïõò ω1 =

√ √ E du, ω 2 = G dv.

(b) Ç ìïñöÞ óõíï·Þò ôïý M 2 äßíåôáé áðü ôïí ôýðï

ω 12

³√ ´ ³√ ´ E G = − √ v du + √ u dv. G E

Õðüäåéîç : µñçóéìïðïéÞóôå ôÞí éóüôçôá ω 12 (ei ) = dω i (e1 , e2 ) , i = 1, 2. (c) Ç êáìðõëüôçôá Gauss ôïý M 2 åßíáé ç ⎧⎛ ³√ ´ ⎞ ⎛ ³√ ´ ⎞ ⎫ ⎬ E G 1 ⎨⎝ √ v⎠ +⎝ √ u⎠ . K = −√ ⎭ EG⎩ G E v

u

¯ 5-4. ¸óôù S2 = { (x, y, z) ∈ R3 ¯ x2 + y 2 + z 2 = 1}. Áðïäåßîôå üôé äåí õðÜñ·ïõí äéáöïñßóéìá ìç ìçäåíéêÜ äéáíõóìáôéêÜ ðåäßá X åðß ôÞò ìïíáäéáßáò óöáßñáò S2 .

136

äéáöïñéêåò ìïñöåò. èåùñéá êáé åöáñìïãåò Õðüäåéîç : ÕðïèÝóôå ôÞí ýðáñîç åíüò ìç ìçäåíéêïý äéáíõóìáôéêïý ðåäßïõ X êáé èåùñÞóôå Ýíá ïñèüôáêôï ðñïóáíáôïëéX åðß ôÞò S2 , èÝóôå e1 = |X| óìÝíï ðëáßóéï {e1 , e2 }. Ôüôå dω 12 = −K dω 1 ∧ dω 2 = −σ, ïðüôå êáôáëÞãåôå óôçí áíôßöáóç Z Z Z (åìâáäüí ôÞò S2 ) = σ=− dω 12 = − S2

S2

ω 12 = 0. ∂S2

5-5. Óôïí R2 èåùñÞóôå ôü åóùôåñéêü ãéíüìåíï hu, vip =

u·v , (g(p))2

ãéá êÜèå p = (x, y) ∈ R2 êáé êÜèå u, v ∈ Tp R2 , üðïõ ìå ôï u · v óçìåéþíïõìå, åí ðñïêåéìÝíù, ôï óýíçèåò åóùôåñéêü ãéíüìåíï ôùí u êáé v åíôüò ôïý R2 êáé ùò g : R2 −→ R óõìâïëßæïõìå ìéá äïèåßóá äéáöïñßóéìç èåôéêÞ óõíÜñôçóç. Áðïäåßîôå üôé ç êáìðõëüôçôá Gauss ôÞò ñçìáííéáíÞò ìåôñéêÞò ôÞò êáèïñéæïìÝíçò áðü ôï åóùôåñéêü ãéíüìåíï hu, vip åßíáé ç ¡ ¢ K = g (gxx + gyy ) − gx2 + gy2 .

5-6. ¸óôù M 2 → R3 ìéá åðéöÜíåéá åöïäéáóìÝíç ìå ôçí åðáãïìÝíç ìåôñéêÞ. Ãéá ïéáäÞðïôå p ∈ M 2 , x ∈ Tp M 2 , êáé ãéá ïéïäÞðïôå äéáíõóìáôéêü ðåäßï Y åöáðôüìåíï óôï M 2 , äåßîôå üôé (∇x Y ) (p) = ðñïâïëÞ ôïý

µ

dY (α (s)) ds

¶

(0) åðß ôïý Tp M 2 ,

üðïõ ç α : I −→ M 2 åßíáé ìéá äéáöïñßóéìç êáìðýëç, s ∈ I, êáé ç dY ds óõì3 âïëßæåé ôç óõíÞèç äéáíõóìáôéêÞ ðáñÜãùãï óôïí R . ÓõìðåñÜíåôå üôé ìéá êáìðýëç γ (s) åíôüò ôïý M 2 , ðáñáìåôñçìÝíç áðü ôï ôüîï ìÞêïõò s, åßíáé ìéá ãåùäáéóéáêÞ åíôüò ôïý M 2 åÜí êáé ìüíïí åÜí ôï «äéÜíõóìá åðéôÜ·õíóçò» d2 γ 3 2 ds2 óôïí R êåßôáé ðáíôïý êáèÝôùò ðñïò ôï M . ¯ 5-7. ¸óôù S2 = { (x, y, z) ∈ R3 ¯ x2 + y 2 + z 2 = 1} ç ìïíáäéáßá óöáßñá åöïäéáóìÝíç ìå ôç ìåôñéêÞ ôçí åðáãïìÝíç áðü ôïí R3 . Äåßîôå üôé éó·ýïõí ôá åîÞò: (a) Ïé ãåùäáéóéáêÝò ôÞò S2 åßíáé ïé ìåãÜêõêëïß ôçò3 .

3 (Ó.ô.Ì.): Ùò ìåãÜêõêëïò ôÞò S2 ïñßæåôáé ç ôïìÞ åíüò äéóäéáóôÜôïõ äéáíõóìáôéêïý õðï·þñïõ ôïý R3 , Þôïé åíüò åðéðÝäïõ äéåñ·ïìÝíïõ áðü ôçí áñ·Þ ôùí áîüíùí, ìå ôç óöáßñá.

5. äéáöïñéêç ãåùìåôñéá åðéöáíåéùí

137

(b) Ç áíôéðïäéêÞ áðåéêüíéóç A : S2 −→ S2 ðïõ äßíåôáé áðü ôïí ôýðï A(x, y, z) = (−x, −y, −z), ∀(x, y, z) ∈ S2 , åßíáé ìéá éóïìåôñßá. (c) Ôï ðñáãìáôéêü ðñïâïëéêü åðßðåäï P2 (R) (âë. ðáñÜäåéãìá 3.19) ìðïñåß íá åöïäéáóèåß ìå ìéá ñçìáííéáíÞ ìåôñéêÞ, ïýôùò þóôå ç öõóéêÞ ðñïâïëÞ π : S2 −→ P2 (R) íá åßíáé ìéá ôïðéêÞ éóïìåôñßá (Þôïé ãéá êÜèå p ∈ S2 íá õðÜñ·åé ìéá ãåéôïíéÜ V, ïýôùò þóôå ï ðåñéïñéóìüò π |V ôÞò π åðß ôÞò V íá åßíáé ìéá éóïìåôñßá). 5-8. ¸óôù M 2 Ýíá äéóäéÜóôáôï ñçìáííéáíü ðïëýðôõãìá. Óêïðüò ôÞò ðáñïýóáò Üóêçóçò åßíáé ç áðüäåéîç ôïý üôé ç êáìðõëüôçôá Gauss K ôïý M 2 åßíáé ôáõôïôéêþò ßóç ìå ôï ìçäÝí åÜí êáé ìüíïí åÜí ôï M 2 åßíáé ôïðéêþò åõêëåßäåéï, äçëáäÞ åÜí êáé ìüíïí åÜí õðÜñ·ïõí ôïðéêÝò óõíôåôáãìÝíåò (u, v) ãýñù áðü êÜèå óçìåßï ôïõ, ïýôùò þóôå ç áíôßóôïé·ç ðñþôç èåìåëéþäçò ìïñöÞ I íá éóïýôáé ìå du2 + dv 2 . Ðñïöáíþò, åÜí I = du2 + dv 2 ãéá êÜèå óçìåßï ôïý M 2 ìå ôïðéêÝò óõíôåôáãìÝíåò (u, v), ôüôå K ≡ 0. Ãéá ôçí áðüäåéîç ôïý áíôéóôñüöïõ, ðïñåõèåßôå ùò áêïëïýèùò: (a) ÅðéëÝîôå Ýíá ðëáßóéï {e1 , e2 } ðåñß ôï óçìåßï p ∈ M 2 . ÅðåéäÞ dω 12 = −K dω 1 ∧ dω 2 = 0, õðÜñ·åé (åðß ôç âÜóåé ôïý ëÞììáôïò ôïý Poincarª) ìéá óõíÜñôçóç θ ïñéæïìÝíç óå ìéá ãåéôïíéÜ V ôïý p, ôÝôïéá þóôå íá éó·ýåé dθ = ω 12 . (b) ÅðéëÝîôå Ýíá äéáöïñåôéêü ðëáßóéï {e1 , e2 } ìå e1 = cos θ e1 − sin θ e2 , e2 = sin θ e1 + cos θ e2 . Äåßîôå üôé ç ìïñöÞ óõíï·Þò ω 12 áõôïý ôïý ðëáéóßïõ åßíáé ôáõôïôéêþò ßóç ìå ôï ìçäÝí. (c) Äåßîôå ôç óõíåðáãùãÞ ω 12 = 0 =⇒ dω 1 = dω 2 = 0 êáé ·ñçóéìïðïéÞóôå åê íÝïõ ôï ëÞììá ôïý Poincarª ðñïêåéìÝíïõ íá áðïêôÞóåôå ôéò áðáéôïýìåíåò ôïðéêÝò óõíôåôáãìÝíåò.

ÊÅÖÁËÁÉÏ 6

Ôï èåþñçìá ôùí Gauss êáé Bonnet êáé ôï èåþñçìá ôïý Morse

6. 1 ÔÏ ÈÅÙÑÇÌÁ ÔÙÍ GAUSS ÊÁÉ BONNET Ïé èåùñÞóåéò ôïý ðñïçãçèÝíôïò êåöáëáßïõ Þôáí áõóôçñþò ôïðéêÞò öýóåùò. Ùóôüóï, Ýíá áðü ôá ðéï åíäéáöÝñïíôá áíôéêåßìåíá ìåëÝôçò ôÞò ÄéáöïñéêÞò Ãåùìåôñßáò åßíáé ï óõó·åôéóìüò ôùí ôïðéêþí éäéïôÞôùí êáé ôùí éäéïôÞôùí ðïõ åîáñôþíôáé áðü ïëüêëçñç ôç èåùñïõìÝíç åðéöÜíåéá. ÌÜëéóôá, Ýíá áðü ôá ðëÝïí åíôõðùóéáêÜ áðïôåëÝóìáôá áõôïý ôïý óõó·åôéóìïý åßíáé ôï ëåãüìåíï èåþñçìá ôùí Gauss êáé Bonnet, ôï ïðïßï ðñïôéèÝìåèá íá áðïäåßîïõìå óôçí ðáñïýóá åíüôçôá. Ôï 1827, óôç èåìåëéþäç ôïõ åñãáóßá Disquisitiones generales circa superficies curvas (ÃåíéêÝò Ýñåõíåò åðß ôÞò èåùñßáò ôùí êáìðõëùôþí åðéöáíåéþí 1 ), ï Gauss áðÝäåéîå ìéá åéäéêÞ ðåñßðôùóç ôïý åí ëüãù èåùñÞìáôïò ãéá ãåùäáéóéáêÜ ôñßãùíá êáé ðñïÝâëåøå ôç óðïõäáéüôçôÜ ôïõ ãéá ôçí ðåñáéôÝñù åîÝëéîç ôÞò ÄéáöïñéêÞò Ãåùìåôñßáò. Ç áðüäåéîç ìéáò ãåíéêüôåñçò åêäï·Þò ôïý èåùñÞìáôïò (ãéá ðéï ãåíéêÝò ðåñéï·Ýò) ïöåßëåôáé óôïí O. Bonnet (Jour. Ecole Polytechn. 19, (1848), óåë. 1 (Ó.ô.Ì.): Ï Gauss ðáñïõóßáóå áõôÞí ôçí åñãáóßá óôçí ÅðéóôçìïíéêÞ Åôáéñåßá ôïý G¨ ottingen ôçí 28ç Ïêôùâñßïõ 1827 êáé ôç äçìïóßåõóå ôï åðüìåíï Ýôïò óôïí äåýôåñï ôüìï ôùí «Ðñáêôéêþí» ôçò.

äéáöïñéêåò ìïñöåò. èåùñéá êáé åöáñìïãåò

140

1-146). Ìå ôçí åìöÜíéóç ôïý êëÜäïõ ôÞò Ôïðïëïãßáò êáôÝóôç óáöÝò üôé ìéá ïëïìåñïýò öýóåùò äéáôýðùóç ôïý èåùñÞìáôïò ôùí Gauss êáé Bonnet èá áðïôåëïýóå Ýíá óçìáíôéêü óçìåßï æåýîçò ôÞò Ãåùìåôñßáò êáé ôÞò Ôïðïëïãßáò. Ùò åê ôïýôïõ, ç äéåñåýíçóç ìéáò ðéèáíÞò åðÝêôáóçò ôïý èåùñÞìáôïò êáé óå õøçëÝò äéáóôÜóåéò êáôÝëçîå íá óõãêáôáëÝãåôáé óôá ìáèçìáôéêÜ ðñïâëÞìáôá ðñùôßóôçò ðñïôåñáéüôçôáò ãéá ðïëëÝò äåêáåôßåò. ¾óôåñá áðü êÜðïéåò ðñïêáôáñêôéêÝò åñãáóßåò ôùí Allendoerfer êáé Weil åð' áõôïý, ôï ðñüâëçìá âñÞêå ôåëéêþò ìéá éêáíïðïéçôéêÞ ëýóç ôï 1944, ïöåéëïìÝíç óôïí S.S. Chern, êáôüðéí åöáñìïãÞò ôÞò ìåèüäïõ ôùí êéíïõìÝíùí ðëáéóßùí. (Èá åðáíÝëèïõìå óå áõôü óôç óçìåßùóç 6.8.) ¼ìùò, ðñïôïý ðñï·ùñÞóïõìå óôç äéáôýðùóç ôïý èåùñÞìáôïò ôùí Gauss êáé Bonnet (ãéá ôç äéÜóôáóç 2), ðñÝðåé íá áíáöÝñïõìå üôé êÜèå äéáöïñßóéìï ðïëýðôõãìá M n (Hausdorff ìå áñéèìÞóéìç âÜóç) ìðïñåß íá åöïäéáóèåß ìå ìéá ñçìáííéáíÞ ìåôñéêÞ. Ç áðüäåéîç áõôÞò ôÞò ðñüôáóçò åîáñôÜôáé áðü ôçí ýðáñîç ìéáò äéáöïñßóéìçò äéáìÝñéóçò ôÞò ìïíÜäáò. Óôçí ðåñßðôùóç ôùí óõìðáãþí M n (óôçí ïðïßá èá ðåñéïñéóèïýìå åäþ), áñêåß íá ïñßóïõìå áõèáéñÝôùò êÜðïéï åóùôåñéêü α ãéíüìåíï h , i óå êÜèå ãåéôïíéÜ óõíôåôáãìÝíùí fα (Uα ) ìéáò ðåðåñáóìÝíçò äéáöïñéêÞò äïìÞò ôïý M n êáé íá èÝóïõìå X α h , ip = ϕα (p) h , ip , ∀p ∈ M n , α

üðïõ ç ϕα åßíáé ìéá äéáöïñßóéìç äéáìÝñéóç ôÞò ìïíÜäáò õðáãïìÝíç óôï (êáô' áíÜãêçí ðåðåñáóìÝíï) áíïéêôü êÜëõììá {fα (Uα )} ôïý M n . Áðü åäþ êáé óôï åîÞò ìå ôï M èá óõìâïëßæïõìå Ýíá äéóäéÜóôáôï óõìðáãÝò ðñïóáíáôïëéóìÝíï äéáöïñßóéìï ðïëýðôõãìá. ¸óôù X Ýíá äéáöïñßóéìï äéáíõóìáôéêü ðåäßï åðß ôïý M. ¸íá óçìåßï p ∈ M åßíáé éäéÜæïí óçìåßï ôïý X üôáí X(p) = 0. ¸íá éäéÜæïí óçìåßï p ôïý X åßíáé ìåìïíùìÝíï üôáí õðÜñ·åé êÜðïéá ãåéôïíéÜ V ⊂ M ôïý p ðïõ äåí ðåñéÝ·åé Üëëï éäéÜæïí óçìåßï ôïý X ðÝñáí ôïý éäßïõ ôïý p. Óå ü,ôé áêïëïõèåß, ãéá ëüãïõò äéåõêüëõíóÞò ìáò, åðéëÝãïõìå ôçí V êáôÜ ôÝôïéïí ôñüðï, þóôå íá åßíáé ïìïéïìïñöéêÞ ìå êÜðïéïí áíïéêôü äßóêï ôïý åðéðÝäïõ. ÓçìåéùôÝïí üôé ôï ðëÞèïò ôùí ìåìïíùìÝíùí éäéáæüíôùí óçìåßùí ôïý X åßíáé ðåðåñáóìÝíï, êáèüôé ôï M åßíáé óõìðáãÝò. Óå êÜèå ìåìïíùìÝíï éäéÜæïí óçìåßï p ôïý X åðßêåéôáé íá áíôéóôïé·ßóïõìå Ýíáí áêÝñáéï áñéèìü, ôïí ëåãüìåíï äåßêôç ôïý X óôï p, ùò áêïëïýèùò: Êáô' áñ·Üò, åðéëÝãïõìå ìéá ñçìáííéáíÞ ìåôñéêÞ åðß ôïý M êáé èåùñïýìå ôï êéíïýìåíï X êáé ôï e2 åßíáé Ýíá ìïíáäéáßï äéáíõóìáôéêü ðåðëáßóéï {e1 , e2 }, üðïõ e1 = |X| äßï, êÜèåôï ðñïò ôï e1 ùò ðñïò ôïí ðñïóáíáôïëéóìü ôïý M. Ôïýôï ðñïóäéïñßæåé äéáöïñéêÝò ìïñöÝò ω 1 , ω 2 , ω 12 óôï V r{p}. Åí óõíå·åßá, èåùñïýìå Ýíá Üëëï êéíïýìåíï ðëáßóéï {e1 , e2 } åöïäéáóìÝíï ìå ôïí ßäéï ðñïóáíáôïëéóìü êáé ïñéæüìåíï åðß ïëüêëçñçò ôÞò ãåéôïíéÜò V ôïý p, ïðüôå ðñïóëáìâÜíïõìå äéáöïñéêÝò ìïñöÝò ω 1 , ω 2 , ω 12 óôçí V. Ç äéáöïñÜ ω 12 − ω 12 =: τ åßíáé ïñéóìÝíç óôï óõíïëï V r{p}.

6. ôá èåùñçìáôá ôùí gauss-bonnet êáé morse

141

¸óôù ôþñá C ìéá áðëÞ êëåéóôÞ êáìðýëç ðïõ áðïôåëåß ôï óýíïñï ìéáò óõìðáãïýò ðåñéï·Þò, ç ïðïßá ðåñéÝ·åôáé óôçí V êáé ðåñéÝ·åé ôï óçìåßï p óôï åóùôåñéêü ôçò. (Ç C, üíôáò ôï óýíïñï ôÞò åí ëüãù ðåñéï·Þò, åßíáé ðñïóáíáôïëéóìÝíç.) ÊáôÜ ôï ëÞììá 5.11 ï ðåñéïñéóìüò ôÞò äéáöïñéêÞò ìïñöÞò τ åðß ôÞò C éóïýôáé ìå ôï äéáöïñéêü ôÞò ãùíßáò ϕ (t) ôÞò ó·çìáôéæïìÝíçò áðü ôá e1 êáé e1 êáôÜ ìÞêïò ôÞò C. Óõíåðþò, Z

τ= C

Z

dϕ = 2πI. C

Ï ðñïêýðôùí áêÝñáéïò áñéèìüò I êáëåßôáé äåßêôçò ôïý X óôï óçìåßï p. Óôïí áíùôÝñù ïñéóìü ôïý I õðåéóÝñ·ïíôáé äéÜöïñåò åðéëïãÝò, üðùò åêåßíç ôÞò ñçìáííéáíÞò ìåôñéêÞò, ôïý ðëáéóßïõ {e1 , e2 } êáé ôÞò êáìðýëçò C. Åßíáé ëïéðüí áíáãêáßï íá áðïäåé·èåß üôé ï äåßêôçò I äåí åîáñôÜôáé áðü áõôÝò ôéò åðéëïãÝò° ùóôüóï, ðñïôïý óõìâåß áõôü, èá ðáñáèÝóïõìå ïñéóìÝíá ðáñáäåßãìáôá éäéáæüíôùí óçìåßùí äéáíõóìáôéêþí ðåäßùí óôï åõêëåßäåéï åðßðåäï. Åíïñáôéêþò, ï äåßêôçò éóïýôáé ìå ôïí áñéèìü ôùí «ãõñéóìÜôùí» ðïõ åêôåëïýíôáé óôï äéáíõóìáôéêü ðåäßï êáèþò ðåñéôñÝ·ïõìå ìéá êëåéóôÞ áðëÞ êáìðýëç ãýñù áðü ôï åêÜóôïôå éäéÜæïí óçìåßï. ÌÝóù ôïý ó·Þìáôïò 6.1 åéêïíïãñáöïýíôáé ôÝôïéá ðáñáäåßãìáôá äéáíõóìáôéêþí ðåäßùí (ðåñéãñáöüìåíá äéÜ ôùí «ôñï·éáóìÜôùí» ôïõò, Þôïé äéÜ ôùí áíïéêôþí ôïõò ôñï·éþí) ìå ìåìïíùìÝíá éäéÜæïíôá óçìåßá êáé ðáñáôßèåíôáé ïé áíôßóôïé·ïé äåßêôåò ôïõò óå áõôÜ ôá óçìåßá.

Ó·Þìá 6.1

äéáöïñéêåò ìïñöåò. èåùñéá êáé åöáñìïãåò

142

6.1 ËÞììá. Ï ïñéóìüò ôïý I äåí åîáñôÜôáé áðü ôçí åðéëïãÞ ôÞò êáìðýëçò C. Áðïäåéîç. ¸óôù üôé ïé C1 , C2 åßíáé äõï áðëÝò êëåéóôÝò êáìðýëåò ðåñß ôï p, üðùò áõôÞ ôïý ïñéóìïý ôïý äåßêôç. Áò õðïèÝóïõìå êáô' áñ·Üò üôé ïé C1 êáé C2 äåí ôÝìíïíôáé ìåôáîý ôïõò êé áò èåùñÞóïõìå ôç äáêôõëéùôÞ ðåñéï·Þ ∆, ôï óýíïñï ôÞò ïðïßáò êáèïñßæåôáé áðü ôéò C1 êáé C2 . ÅÜí ï I1 (êáé áíôéóôïß·ùò, ï I2 ) åßíáé ï äåßêôçò ðïõ ïñßæåôáé ìå ôç âïÞèåéá ôÞò C1 (êáé áíôéóôïß·ùò, ôÞò C2 ), ôüôå áðü ôï èåþñçìá ôïý Stokes êáé áðü ôï ãåãïíüò üôé dτ = 0 óõìðåñáßíïõìå ôçí éó·ý ôùí éóïôÞôùí Z Z Z 1 1 1 τ− τ= dτ = 0 =⇒ I1 = I2 . I1 − I2 = 2π C1 2π C2 2π ∆ ÅÜí, áðü ôçí Üëëç ìåñéÜ, Ý·ïõìå C1 ∩ C2 6= ∅, åðéëÝãïõìå ìéá áðëÞ êëåéóôÞ êáìðýëç C3 ðïõ äåí äéáèÝôåé êïéíÜ óçìåßá ïýôå ìå ôçí C1 ïýôå ìå ôçí C2 , åöáñìüæïõìå ãéá ôá æåýãç C1 , C3 êáé C2 , C3 ôïí ùò Üíù óõëëïãéóìü êáé êáôáëÞãïõìå ¤ óôéò éóüôçôåò I1 = I3 = I2 . 6.2 ËÞììá. Ï ïñéóìüò ôïý I äåí åîáñôÜôáé áðü ôçí åðéëïãÞ ôïý ðëáéóßïõ {e1 , e2 }. ÓõãêåêñéìÝíá, åÜí ï êýêëïò Sr = ∂Br åßíáé ôï óýíïñï ôïý êëåéóôïý äßóêïõ Br ìå êÝíôñï ôïõ ôï p êáé áêôßíá r, êáé åÜí ôï {e1 , e2 } åßíáé ôï êéíïýìåíï ðëáßóéï ðïõ åìöáíßæåôáé óôïí ïñéóìü, ôüôå ôï üñéï Z 1 ω 12 = I lim r−→0 2π S r õðÜñ·åé êáé I = I. Áðïäåéîç. Áò õðïèÝóïõìå üôé ïé Sr1 , Sr2 åßíáé äõï ïìüêåíôñïé êýêëïé, üðïõ r2 < r1 , êáé üôé ç ∆ åßíáé åêåßíç ç äáêôõëéùôÞ ðåñéï·Þ, ôï óýíïñï ôÞò ïðïßáò êáèïñßæåôáé áðü ôïõò Sr1 êáé Sr2 . ÊáôÜ ôï èåþñçìá ôïý Stokes Ý·ïõìå Z Z Z ω 12 − ω 12 = dω 12 , (1) Sr1

Sr2

∆

Þôïé Ýíá ïëïêëÞñùìá ðïõ ôåßíåé óôï ìçäÝí üôáí ïé r1 êáé r2 ôåßíïõí óôï ìçäÝí. ÓçìåéùôÝïí üôé ç ω 12 äåí ïñßæåôáé åðß ïëïêëÞñïõ ôïý Br2 , åíþ áíôéèÝôùò ôï äéáöïñéêü dω 12 = −Kσ ïñßæåôáé ðáíôïý. Ùò åê ôïýôïõ, êÜèå áêïëïõèßá ïëïêëçñùìÜôùí Z Z ω 12 , . . . , ω 12 , . . . Sr1

Srn

ìå {rn } → 0, åßíáé ìéá áêïëïõèßá Cauchy, ïðüôå óõãêëßíåé. ÅðïìÝíùò ôï üñéï Z 1 lim ω 12 = I r−→0 2π S r

6. ôá èåùñçìáôá ôùí gauss-bonnet êáé morse

143

õðÜñ·åé. Añêåß ëïéðüí íá äåßîïõìå üôé I = I. Ðñïò ôïýôï, ðáãéþíïõìå óôçí (1) ôï r1 êáé èåùñïýìå ôï üñéï êáèþò ôï r2 ôåßíåé óôï ìçäÝí, ïðüôå ëáìâÜíïõìå Z Z Z ω 12 − 2πI = dω 12 = − K ω1 ∧ ω2 . (2) Sr1

Br1

Br1

Áðü ôçí Üëëç ìåñéÜ, åðåéäÞ ω 12 = ω 12 + τ , Ý·ïõìå Z Z Z Z Z Z ω 12 = ω 12 + τ= dω 12 + τ =− Sr1

Sr1

Sr1

Br1

Sr1

Br1

K ω 1 ∧ ω 2 + 2πI.

Ç åðéèõìçôÞ éóüôçôá I = I óõíÜãåôáé áðü ôéò (2) êáé (3).

(3) ¤

6.3 ËÞììá. Ï ïñéóìüò ôïý I äåí åîáñôÜôáé áðü ôçí åðéëïãÞ ôÞò ìåôñéêÞò. Áðïäåéîç. Áò õðïèÝóïõìå üôé ïé h , i0 êáé h , i1 åßíáé äõï ñçìáííéáíÝò ìåôñéêÝò åðß ôïý M. ÈÝôïíôáò h , it := t h , i1 + (1 − t) h , i0 , ∀t ∈ [0, 1] , åßíáé åýêïëï íá äéáðéóôþóïõìå üôé ç h , it áðïôåëåß Ýíá èåôéêþò ïñéóìÝíï åóùôåñéêü ãéíüìåíï åðß ôïý M, ôï ïðïßï, ìåôáâáëëïìÝíïõ ôïý p, ìåôáâÜëëåôáé äéáöïñéóßìùò. ÊáôÜ óõíÝðåéáí, ç { h , it | t ∈ [0, 1]} áðïôåëåß ìéá ìïíïðáñáìåôñéêÞ ïéêïãÝíåéá ñçìáííéáíþí ìåôñéêþí åðß ôïý M, ç ïðïßá îåêéíÜ áðü ôçí h , i0 êáé ëÞãåé óôçí h , i1 . ¸óôù üôé ïé I0 , It êáé I1 åßíáé ïé áíôßóôïé·ïé äåßêôåò. µñçóéìïðïéþíôáò ôá áíùôÝñù ëÞììáôá 6.1 êáé 6.2 åßíáé åýêïëï íá áðïäåé·èåß üôé ï It ìðïñåß íá éäùèåß ùò ìéá óõíå·Þò óõíÜñôçóç ôïý t ∈ [0, 1] . EðåéäÞ ï äåßêôçò åßíáé Ýíáò áêÝñáéïò áñéèìüò, ôïýôï óçìáßíåé üôé It = ìßá óôáèåñÜ ãéá êÜèå t ∈ [0, 1] . ¤ ÅðïìÝíùò, I0 = I1 . Ôþñá åßìáóôå óå èÝóç íá äéáôõðþóïõìå êáé íá áðïäåßîïõìå ôçí áêüëïõèç åêäï·Þ ôïý èåùñÞìáôïò ôùí Gauss êáé Bonnet: 6.4 Èåþñçìá. (Èåþñçìá ôùí Gauss êáé Bonnet) ¸óôù M Ýíá äéóäéÜóôáôï óõìðáãÝò ðñïóáíáôïëéóìÝíï äéáöïñßóéìï ðïëýðôõãìá. ÅÜí ôï X åßíáé Ýíá äéáöïñßóéìï äéáíõóìáôéêü ðåäßï åðß ôïý M ìå ìåìïíùìÝíá éäéÜæïíôá óçìåßá ôïõ ôá p1 , . . . , pκ , óôá ïðïßá Ý·åé äåßêôåò I1 , . . . , Iκ , áíôéóôïß·ùò, ôüôå ãéá ïéáäÞðïôå ñçìáííéáíÞ ìåôñéêÞ åðß ôïý M éó·ýåé ç éóüôçôá Z

M

K σ = 2π

κ X i=1

Ii ,

(4)

äéáöïñéêåò ìïñöåò. èåùñéá êáé åöáñìïãåò

144

üðïõ ç K åßíáé ç êáìðõëüôçôá Gauss ôÞò åí ëüãù ìåôñéêÞò êáé ôï σ ôï óôïé·åßï åìâáäïý ôïý M. Áðïäåéîç. Óôï M r{p1 , . . . , pκ } èåùñïýìå ôï êéíïýìåíï ðëáßóéï {e1 , e2 }, üðïõ X e1 = |X| êáé ôï e2 åßíáé Ýíá ìïíáäéáßï äéáíõóìáôéêü ðåäßï, êÜèåôï ðñïò ôï e1 ùò ðñïò ôïí ðñïóáíáôïëéóìü ôïý M. Ãéá êÜèå i ∈ {1, ..., κ} áò óõìâïëßóïõìå ùò Bi ìéá êëåéóôÞ ìðÜëá êÝíôñïõ pi , ç ïðïßá åßíáé êáôÜ ôÝôïéïí ôñüðï åðéëåãìÝíç, þóôå íá ìçí ðåñéÝ·åé Üëëï éäéÜæïí óçìåßï ôïý X ðÝñáí ôïý éäßïõ ôïý pi . Ôüôå, óýìöùíá ìå ôï èåþñçìá ôïý Stokes, Ý·ïõìå Z Z Z κ Z X K ω1 ∧ ω2 = − dω 12 = ω 12 = ω 12 , i=1 κ κ κ S S S ∂Bi Mr

Bi

Mr

i=1

Bi

∂Bi

i=1

i=1

üðïõ ôï óýíïñï ∂Bi åßíáé åöïäéáóìÝíï ìå ôïí ðñïóáíáôïëéóìü ôïí åðáãüìåíï áðü ôçí Bi (ï ïðïßïò, âåâáßùò, åßíáé áíôßèåôïò ôïý ðñïóáíáôïëéóìïý ôïý κ S Mr Bi , ðñÜãìá óôï ïðïßï ïöåßëåôáé êáé ç áëëáãÞ ðñïóÞìïõ óôç äåýôåñç éóüi=1

ôçôá). Áñêåß ç ëÞøç ôïý ïñßïõ ôùí ìåëþí ôùí áíùôÝñù éóïôÞôùí êáèþò ïé áêôßíåò üëùí ôùí Bi ôåßíïõí óôï ìçäÝí êáé ç åöáñìïãÞ ôïý ëÞììáôïò 6.2, ïýôùò þóôå íá êáôáëÞîïõìå óôçí Z κ X K ω 1 ∧ ω 2 = 2π Ii , i=1

M

áðü ôçí ïðïßá Ýðåôáé ç åðéèõìçôÞ éóüôçôá (4).

¤

6.5 Óçìåßùóç. Ôï äåîéü ìÝëïò ôÞò éóüôçôáò (4) äåí åîáñôÜôáé áðü ôï äéáíõóìáôéêü ðåäßï X, åíþ ôï áñéóôåñü ìÝëïò ôÞò (4) äåí åîáñôÜôáé áðü ôç èåùñïõìÝíç ñçìáííéáíÞ ìåôñéêÞ. Ùò åê ôïýôïõ, êáôáëÞãïõìå óôï åíôõðùóéáêü óõìðÝñáóìá κ P Ii ðáñáìÝíåé ôï ßäéï ãéá êÜèå äéáíõóìáôéêü ðåäßï X åðß ôïý üôé ôï Üèñïéóìá i=1 R M ìå ìåìïíùìÝíá éäéÜæïíôá óçìåßá êáé üôé ôï ïëïêëÞñùìá M K σ ðáñáìÝíåé ôï ßäéï ãéá êÜèå ñçìáííéáíÞ ìåôñéêÞ åðß ôïý M. Ï áêÝñáéïò áñéèìüò

χ (M ) :=

κ X i=1

Ii

êáëåßôáé ç êáôÜ Euler êáé Poincarª ·áñáêôçñéóôéêÞ ôïý M. ÂÜóåé ôùí ðñïáíáöåñèÝíôùí, ç ·áñáêôçñéóôéêÞ χ (M ) ðáñáìÝíåé áíáëëïßùôç ùò ðñïò ôïõò äéáR 1 K σ, ôï ïðïßï äåí åîáñôÜôáé áðü ôç öïñïìïñöéóìïýò êáé éóïýôáé ìå ôï 2π M èåùñïõìÝíç ñçìáííéáíÞ ìåôñéêÞ åðß ôïý M.

6. ôá èåùñçìáôá ôùí gauss-bonnet êáé morse

145

6.6 Óçìåßùóç. ¸íáò äéáöïñåôéêüò ôñüðïò ïñéóìïý ôÞò ·áñáêôçñéóôéêÞò χ (M ) ãéá óõìðáãåßò åðéöÜíåéåò M åßíáé åöéêôüò åÜí åêêéíÞóïõìå áðü ôçí áðïóýíèåóç ìéáò M óå ðåðåñáóìÝíïõ ðëÞèïõò êáìðõëüãñáììá ôñßãùíá, ïýôùò þóôå ç ôïìÞ äõï ôÝôïéùí ôñéãþíùí íá åßíáé åßôå êåíÞ åßôå ìéá êïéíÞ áêìÞ Þ ìéá êïéíÞ êïñõöÞ áõôþí. Ìéá ôÝôïéïõ åßäïõò áðïóýíèåóç êáëåßôáé ôñéãùíéóìüò (Þ, êáô' Üëëïõò, ôñéãùíïðïßçóç) ôÞò M. Ç ýðáñîç ôñéãùíéóìþí ïéáóäÞðïôå óõìðáãïýò åðéöáíåßáò M åßíáé Ýíá ãíùóôü ôïðïëïãéêü áðïôÝëåóìá2 . ÅÜí óõìâïëßóïõìå ùò F, V êáé A ôï óõíïëéêü ðëÞèïò ôùí ôñéãþíùí, ôùí êïñõöþí êáé ôùí áêìþí, áíôéóôïß·ùò, åíüò äïèÝíôïò ôñéãùíéóìïý, ôüôå ç êáôÜ Euler êáé Poincarª ·áñáêôçñéóôéêÞ χ (M ) ïñßæåôáé ùò áêïëïýèùò:

χ (M ) := V − A + F. Óôçí ðåñßðôùóç êáôÜ ôçí ïðïßá ç åðéöÜíåéá M åßíáé ðñïóáíáôïëßóéìç, ï ïñéóìüò áõôüò éóïäõíáìåß ìå ôïí ðñïçãçèÝíôá (óôçí 6.5). ÐñÜãìáôé° åðéëÝãïíôáò Ýíáí ôñéãùíéóìü ôÞò M êáé èåùñþíôáò ôü äéáíõóìáôéêü ðåäßï X åðß ôÞò M, ôï ïðïßï õðïäçëïýôáé ìÝóù ôùí ôñï·éáóìÜôùí ôïõ (êáé åéêïíïãñáöåßôáé óå äýï åê ôùí ôñéãþíùí ôïý åðéëå·èÝíôïò ôñéãùíéóìïý) óôï ó·Þìá 6.2, ïé äåßêôåò ôïý X óôá óçìåßá B, C êáé D åßíáé ßóïé ìå 1, 1 êáé −1, áíôéóôïß·ùò.

Ó·Þìá 6.2

ÊáôÜ óõíÝðåéáí, ôï óõíïëéêü Üèñïéóìá ôùí äåéêôþí ôïý X óå üëá ôá ìåìïíùìÝíá éäéÜæïíôá óçìåßá ôïõ (ôá ïðïßá áðáñéèìïýìå êáé ðÜëé ìÝóù ôïý i = 1, ..., κ) åßíáé 2 (Ó.ô.Ì.): Ôï üôé êÜèå óõìðáãÞò åðéöÜíåéá åðéäÝ·åôáé ôñéãùíéóìü áðïôåëåß Ýíá êëáóéêü ôïðïëïãéêü áðïôÝëåóìá, ¨ ïöåéëüìåíï óôïí ïýããñï ìáèçìáôéêü Tibor Radü, êáé áðïäåß·èçêå (ãéá ðñþôç öïñÜ) ôï Ýôïò 1924. (Âë. Uber den Begriff der Riemannschen Fl¨ ache, Acta Univ. Szeged Sci. Math., Vol. 2, 1924, pp. 101-121.). Ãéá ìéá ðéï óýíôïìç áðüäåéîç ï áíáãíþóôçò ðáñáðÝìðåôáé óôï Üñèñï ôùí P.H. Doyle êáé D.A. Moran: A short proof that compact 2manifolds can be triangulated, Inventiones Mathematicae, Vol. 5, 1968, pp. 160-162.

äéáöïñéêåò ìïñöåò. èåùñéá êáé åöáñìïãåò

146 ßóï ìå

κ X i=1

Ii = V − A + F.

P ÅðåéäÞ ëïéðüí ôï κi=1 Ii = χ (M ) äåí åîáñôÜôáé áðü ôï èåùñïýìåíï äéáíõóìáôéêü ðåäßï, óõìðåñáßíïõìå ôåëéêþò üôé V − A + F = χ (M ) . 6.7 Ðáñáäåßãìáôá. Áò õðïëïãßóïõìå ôçí êáôÜ Euler êáé Poincarª ·áñáêôçñé© ª óôéêÞ ôÞò ìïíáäéáßáò óöáßñáò S2 = p ∈ R3 : |p| = 1 êáé ôïý (äéóäéÜóôáôïõ) ôüñïõ T (âë. ó·. 3.3). ÅðéëÝãïíôáò åðß ôÞò S2 ôç ìåôñéêÞ ôçí åðáãïìÝíç áðü ôïí R3 , ãéá ôçí ïðïßá K ≡ 1 (âë. ðáñÜäåéãìá 5.6), ëáìâÜíïõìå Z ¡ ¢ 2 K σ = åìâáäüí ôÞò S2 = 4π =⇒ χ(S2 ) = 2. 2π χ(S ) = S2

Áðü ôçí Üëëç ìåñéÜ, åßíáé ãíùóôü üôé åðß ôïý ôüñïõ T ìðïñåß íá åéóá·èåß ìéá ìåôñéêÞ ìå K ≡ 0 (âë. Üóêçóç 5-1 (c)). ÅðåéäÞ ç ·áñáêôçñéóôéêÞ χ(T ) åßíáé áíåîÜñôçôç ôÞò èåùñïõìÝíçò ìåôñéêÞò, Ý·ïõìå ðñïöáíþò χ(T ) = 0.

6.8 Óçìåßùóç. Ç áðüäåéîç ôïý èåùñÞìáôïò ôùí Gauss êáé Bonnet ðïõ ðáñïõóéÜóáìå åäþ ïöåßëåôáé êáô' ïõóßáí óôïí S.S. Chern. Ç áðüäåéîç áõôÞ óôçñßæåôáé óôçí ýðáñîç ìéáò äéáöïñéêÞò ìïñöÞò ω 12 óôï M r{p1 , . . . , pκ }, ç ïðïßá íáé ìåí åîáñôÜôáé áðü ôï äéáíõóìáôéêü ðåäßï X, áëëÜ äéáèÝôåé äéáöïñéêü dω 12 = −Kσ ïñéóìÝío åðß ïëïêëÞñïõ ôïý M êáé ìç åîáñôþìåíï áðü ôï X. Ç åí ëüãù éäéüôçôá Þôáí áõôÞ ðïõ ïäÞãçóå ôïí Chern óôï íá áðïäåßîåé ìéá ðïëý ãåíéêüôåñç åêäï·Þ ôïý èåùñÞìáôïò ôùí Gauss êáé Bonnet óôï Üñèñï ôïõ ¥2] êáé íá èÝóåé ôéò âÜóåéò ãéá ôçí êáôïðéíÞ äçìéïõñãßá ôùí ëåãïìÝíùí êëÜóåùí ôïý Chern. 6.9 Óçìåßùóç. ÅÜí ïé M êáé M 0 åßíáé äõï óõíåêôéêÝò, óõìðáãåßò êáé ðñïóáíáôïëßóéìåò åðéöÜíåéåò, ôüôå ïé M êáé M 0 åßíáé ïìïéïìïñöéêÝò åÜí êáé ìüíïí åÜí χ (M ) = χ (M 0 ) . Ãéá ìéá áðüäåéîç áõôïý ôïý èåùñÞìáôïò ï áíáãíþóôçò ðáñáðÝìðåôáé óôï êåöÜëáéï 7 ôïý ¥1] Þ óôéò åíüôçôåò 7 êáé 8 ôïý êåöáëáßïõ 1 ôïý ¥12]. Åí óõíå·åßá, èá ìåôáâïýìå óå ìéá åêäï·Þ ôïý èåùñÞìáôïò ôùí Gauss êáé Bonnet ðïõ áöïñÜ óôéò åðéöÜíåéåò ìå óýíïñï. 6.10 Èåþñçìá. (Èåþñçìá ôùí Gauss êáé Bonnet ãéá åðéöÜíåéåò ìå óýíïñï) ¸óôù M Ýíá äéóäéÜóôáôï óõìðáãÝò ðñïóáíáôïëéóìÝíï äéáöïñßóéìï ðïëýðôõãìá ìå (ïìáëü) óýíïñï ∂M êáé Ýóôù X Ýíá äéáöïñßóéìï äéáíõóìáôéêü ðåäßï åðß ôïý

6. ôá èåùñçìáôá ôùí gauss-bonnet êáé morse

147

M ðïõ åßíáé ôïðïèåôçìÝíï åãêáñóßùò ùò ðñïò ôï ∂M (Þôïé ðïõèåíÜ åöáðôüìåíï ôïý óõíüñïõ ∂M ). Áò õðïèÝóïõìå üôé ôá ìåìïíùìÝíá éäéÜæïíôá óçìåßá p1 , . . . , pκ ôïý X äåí áíÞêïõí óôï óýíïñï ∂M ôïý M êáé üôé ïé äåßêôåò ôïý X óå áõôÜ åßíáé ïé I1 , . . . , Iκ , áíôéóôïß·ùò. Ôüôå ãéá ïéáäÞðïôå ñçìáííéáíÞ ìåôñéêÞ åðß ôïý M éó·ýåé ç éóüôçôá Z

Kσ+

M

Z

kg ds = 2π

κ X i=1

∂M

Ii ,

(5)

üðïõ ç kg åßíáé ç ãåùäáéóéáêÞ êáìðõëüôçôá ôïý ∂M êáé ôï ds ôï óôïé·åßï ôüîïõ ôïý ∂M. Áðïäåéîç. ÅðéëÝãïõìå ìéá ñçìáííéáíÞ ìåôñéêÞ åðß ôïý M r{p1 , . . . , pκ } êáé X , e2 } ôïý M. Åðéèåùñïýìå Ýíá ïñèüôáêôï ðñïóáíáôïëéóìÝíï ðëáßóéï {e1 = |X| ðñïóèÝôùò, óå ìéá ãåéôïíéÜ V ⊂ M ôïý ∂M èåùñïýìå Ýíá åðéðëÝïí ðñïóáíáôïëéóìÝíï ðëáßóéï {e1 , e2 }, ïýôùò þóôå, åÜí áõôü ðåñéïñéóèåß óôï óýíïñï ∂M ôïý M, ôï e1 íá åßíáé åöáðôüìåíï ôïý ∂M. Ôüôå i∗ ω 12 = i∗ ω 12 + dϕ, üðïõ i : ∂M → M ç óõíÞèçò åíèåôéêÞ áðåéêüíéóç êáé ϕ ç ãùíßá ç ó·çìáôéæïìÝíç áðü ôá e1 êáé e1 êáôÜ ìÞêïò ôïý óõíüñïõ ∂M ôïý M. ÅÜí ãéá êÜèå i ∈ {1, ..., κ} óõìâïëßóïõìå ùò Bi ìéá êëåéóôÞ ìðÜëá êÝíôñïõ pi , ç ïðïßá åßíáé êáôÜ ôÝôïéïí ôñüðï åðéëåãìÝíç, þóôå íá ìçí ðåñéÝ·åé Üëëï éäéÜæïí óçìåßï ôïý X ðÝñáí ôïý éäßïõ ôïý pi , ôüôå Z Z Z Z K ω1 ∧ ω2 = − dω 12 = ω 12 − i∗ ω 12 , κ κ κ S S S ∂M Mr

Bi

Mr

i=1

Bi

∂Bi

i=1

i=1

ïðüôå

Z Mr

κ S

K ω1 ∧ ω2 +

Z

∗

i ω 12 =

κ Z X

i=1∂B

∂M Bi

ω 12 . i

i=1

¼ìùò, áðü ôïí ïñéóìü ôÞò ãåùäáéóéáêÞò êáìðõëüôçôáò, Z Z Z Z Z i∗ ω 12 = i∗ ω 12 + dϕ = kg ds + dϕ. ∂M

∂M

∂M

∂M

∂M

(6)

äéáöïñéêåò ìïñöåò. èåùñéá êáé åöáñìïãåò

148

R X ÅðåéäÞ ôï e1 = |X| äåí åöÜðôåôáé ðïõèåíÜ ôïý ∂M, Ý·ïõìå ∂M dϕ = 0. ÊáôÜ óõíÝðåéáí, õðïëïãßæïíôáò ôï üñéï ôùí äýï ìåëþí ôÞò éóüôçôáò (6) êáé áíôéêáèéóôþíôáò óå áõôÞí ôï Z Z ∗ i ω 12 = kg ds ∂M

∂M

¤

ëáìâÜíïõìå ôçí åðéèõìçôÞ éóüôçôá (5).

P Ï áñéèìüò κi=1 Ii åßíáé êáé ðÜëé áíáëëïßùôïò ùò ðñïò ôïõò äéáöïñïìïñöéóìïýò óõìðáãþí, ðñïóáíáôïëéóìÝíùí åðéöáíåéþí M ìå (ïìáëü) óýíïñï ∂M, êáëåßôáé êáé ðÜëé ç êáôÜ Euler êáé Poincarª ·áñáêôçñéóôéêÞ êáé óõìâïëßæåôáé ùò χ (M ) . Áò õðïëïãßóïõìå êÜðïéá ðáñáäåßãìáôá: 6.11 ÐáñÜäåéãìá. ¸óôù M ôï ôìÞìá åíüò ïñèïý êõêëéêïý êõëßíäñïõ ôï ïðïßï ïñéïèåôåßôáé áðü äýï äéáêåêñéìÝíïõò ðáñÜëëçëïõò êýêëïõò. Ç ìåôñéêÞ åðß ôïý M ç åðáãïìÝíç áðü ôïí R3 Ý·åé ìçäåíéêÞ êáìðõëüôçôá Gauss êáé ïé äýï óõíïñéáêïß êýêëïé ðïõ óõíéóôïýí ôï ∂M åßíáé ãåùäáéóéáêÝò åíôüò ôïý M. ÅðïìÝíùò, ⎞ ⎛ Z Z 1 ⎝ χ (M ) = Ii = Kσ+ kg ds⎠ = 0. 2π i=1 κ X

M

∂M

6.12 ÐáñÜäåéãìá. Ç êáôÜ Euler êáé Poincarª ·áñáêôçñéóôéêÞ χ (D) åíüò êëåéóôïý äßóêïõ D ôïý åõêëåéäåßïõ åðéðÝäïõ áêôßíáò r éóïýôáé ìå Ýíá. ÐñÜãìáôé° èåùñþíôáò ôÞ óõíÞèç ìåôñéêÞ åðß ôïý D (ôçí åðáãïìÝíç áðü ôï åðßðåäï) ëáì1 âÜíïõìå K ≡ 0, åíþ ç ãåùäáéóéáêÞ êáìðõëüôçôá ôïý ∂D éóïýôáé ìå kg = . r ÅðïìÝíùò, κ X

1 Ii = χ (D) = 2π i=1

Z

kg ds =

1 1 2πr = 1. 2π r

∂D

6.13 Óçìåßùóç. Ôï èåþñçìá ôùí Gauss êáé Bonnet åîáêïëïõèåß íá éó·ýåé êáé ãéá óõìðáãåßò åðéöÜíåéåò ìå óýíïñá «ðïõ öÝñïõí áãêùíÝò», Þôïé ãéá åêåßíåò ôéò óõìðáãåßò åðéöÜíåéåò, ôá óýíïñá ôùí ïðïßùí äåí åßíáé ïìáëÜ óå ðåðåñáóìÝíïõ ðëÞèïõò óçìåßá ðïõ êáëïýíôáé áãêùíÝò. Óå êÜèå áãêùíÞ qj , j = 1, ..., n, áíôéóôïé·ßæåôáé ìéá åîùôåñéêÞ ãùíßá αj (ðïõ åßíáé ç èåôéêÞ ãùíßá ðïõ ó·çìáôßæåôáé áðü ôéò åöáðôïìÝíåò ôÞò áãêùíÞò qj ). Ïé åîùôåñéêÝò ãùíßåò ïöåßëïõí íá óõíáèñïéóèïýí óôç óõíïëéêÞ ãåùäáéóéáêÞ êáìðõëüôçôá, ïðüôå ç íÝá åêäï·Þ ôïý èåù-

6. ôá èåùñçìáôá ôùí gauss-bonnet êáé morse

149

ñÞìáôïò ôùí Gauss êáé Bonnet Ý·åé ùò åîÞò: Z

Kσ+

M

Z

kg ds +

n X

αj = 2π

j=1

∂M

κ X i=1

Ii .

Óôçí áðüäåéîç áõôÞò ôÞò éóüôçôáò ìåôÝ·åé Ýíáò óåâáóôüò áñéèìüò ôå·íéêþí ëåðôïìåñåéþí, óôéò ïðïßåò äåí ðñüêåéôáé íá õðåéóÝëèïõìå åäþ (âë. ¥3], óåë. 274282).

6. 2 ÔÏ ÈÅÙÑÇÌÁ ÔÏÕ MORSE ÓôåíÜ óõíõöáóìÝíïò ìå ôï èåþñçìá ôùí Gauss êáé Bonnet åßíáé Ýíáò éäéáßôåñïò óõó·åôéóìüò ôùí êñéóßìùí óçìåßùí êÜðïéáò êëÜóçò óõíáñôÞóåùí åðß ïéáóäÞðïôå óõìðáãïýò åðéöáíåßáò M 2 ìå ôçí ôïðïëïãßá ôÞò M 2 . Ç äéáôýðùóç êáé ç áðüäåéîÞ ôïõ, ïé ïðïßåò ïöåßëïíôáé óôïí Marston Morse, èá ðáñïõóéáóèïýí óôçí ðáñïýóá åíüôçôá. Ç õðü ìåëÝôç êëÜóç óõíáñôÞóåùí ðåñéãñÜöåôáé ùò áêïëïýèùò: Óõìâïëßæïíôáò åöåîÞò ùò M = M 2 Ýíá ðñïóáíáôïëéóìÝíï, óõìðáãÝò, äéóäéÜóôáôï äéáöïñßóéìï ðïëýðôõãìá, ïíïìÜæïõìå Ýíá p ∈ M êñßóéìï óçìåßï ìéáò äéáöïñßóéìçò óõíÜñôçóçò f : M −→ R (ïñéóìÝíçò åðß ïëïêëÞñïõ ôïý M ) üôáí dfp = 0. ÌÜëéóôá, åðéëÝãïíôáò ôõ·ïýóá ìåôñéêÞ åðß ôïý M êáé ïñßæïíôáò ôï äéáíõóìáôéêü ðåäßï gradf ìÝóù ôÞò hgradf (p) , vi = dfp (v) , ∀v ∈ Tp M, äéáðéóôþíïõìå üôé ôï p åßíáé êñßóéìï óçìåßï ôÞò óõíÜñôçóçò f åÜí êáé ìüíïí åÜí ôï p åßíáé éäéÜæïí óçìåßï ôïý äéáíõóìáôéêïý ðåäßïõ gradf (ãéá ïéáäÞðïôå ìåôñéêÞ åðß ôïý M ). ¸íá êñßóéìï óçìåßï p ìéáò äéáöïñßóéìçò óõíÜñôçóçò f : M −→ R êáëåßôáé ìç åêöõëéóìÝíï üôáí ãéá êÜðïéá ðáñáìÝôñçóç g : U ⊆ R2 −→ M ðåñß ôï p = g (0, 0) Ý·ïõìå det (A) 6= 0, üðïõ A ï ðßíáêáò ⎞ ⎛ ∂ 2 (f ◦g) ∂ 2 (f ◦g) ⎜ A=⎝

∂x2

2

∂ (f ◦g) ∂y∂x

∂x∂y

2

∂ (f ◦g) ∂y2

⎟ ⎠ (0, 0) ,

(x, y) ∈ U ⊆ R2 .

ÅðåéäÞ óå êÜèå êñßóéìï óçìåßï ïé ðñþôåò ðáñÜãùãïé ôÞò f ìçäåíßæïíôáé, åßíáé åýêïëï íá åëÝãîåé êáíåßò ôï üôé ç óõíèÞêç det (A) 6= 0 åßíáé áíåîÜñôçôç ôÞò åêÜóôïôå åðéëïãÞò ôÞò ðáñáìÝôñçóçò g.

äéáöïñéêåò ìïñöåò. èåùñéá êáé åöáñìïãåò

150

Ôá ìç åêöõëéóìÝíá êñßóéìá óçìåßá áðáñôßæïõí ôï áðëïýóôåñï åßäïò êñéóßìùí óçìåßùí ôÞò f . Ôï ðþò óõìðåñéöÝñåôáé ç óõíÜñôçóç f ◦g = h óå ìéá ãåéôïíéÜ åíüò ìç åêöõëéóìÝíïõ êñéóßìïõ óçìåßïõ p = g (0, 0) ôÞò f ðåñéãñÜöåôáé åýêïëá åöüóïí êÜíïõìå ·ñÞóç ôïý êáôÜ Taylor áíáðôýãìáôïò3 : d

= =

h (x, y) − h (0, 0) ! Ã ¡ ∂2h ¢ ¡∂ 2 h¢ 2 o üñïé õøçëüôåñçò 1 n¡∂ 2 h¢ 2 . x + 2 ∂x∂y xy + ∂y2 y + 2 0 0 2 ∂x 0 ôÜîçò

ÐñÜãìáôé° ëáìâÜíïíôáò ôï Üèñïéóìá x2 + y 2 áñêïýíôùò ìéêñü êáé det (A) 6= 0, ôï ðñüóçìï ôÞò áíùôÝñù äéáöïñÜò d êáèïñßæåôáé áðü ôï ðñüóçìï ôÞò ôåôñáãùíéêÞò ìïñöÞò ôïý äåîéïý ìÝëïõò. ¼ôáí det (A) > 0, äéáêñßíïõìå äýï åíáëëáêôéêÝò ðåñéðôþóåéò: (a) ÅÜí d < 0 óå êÜðïéá ãåéôïíéÜ ôïý p, ôüôå ôï p êáëåßôáé óçìåßï ìåãßóôïõ ôÞò f. (b) ÅÜí d > 0 óå êÜðïéá ãåéôïíéÜ ôïý p, ôï p êáëåßôáé óçìåßï åëá·ßóôïõ ôÞò f. Áðü ôçí Üëëç ìåñéÜ, üôáí det (A) < 0, õðÜñ·ïõí áêñéâþò äýï äéáöïñåôéêÝò êáôåõèýíóåéò ãéá ôéò ïðïßåò ç åí ëüãù ôåôñáãùíéêÞ ìïñöÞ ìçäåíßæåôáé. Ðñïò üëåò ôéò Üëëåò êáôåõèýíóåéò ç d Üëëïôå åßíáé èåôéêÞ (ïðüôå ïìéëïýìå ãéá êáôåõèýíóåéò åëá·ßóôïõ) êáé Üëëïôå áñíçôéêÞ (ïðüôå ïìéëïýìå ãéá êáôåõèýíóåéò ìåãßóôïõ). ÊÜèå óçìåßï p = g (0, 0) ìå det (A) < 0 êáëåßôáé óáãìáôéêü óçìåßï. Ôþñá ìðïñïýìå íá äéáôõðþóïõìå ôï ðñïáíáããåëèÝí áðïôÝëåóìá ôïý Morse: 6.14 Èåþñçìá. (Morse) ¸óôù f : M −→ R ìéá äéáöïñßóéìç óõíÜñôçóç, üðïõ M = M 2 åßíáé ìéá óõìðáãÞò ðñïóáíáôïëéóìÝíç åðéöÜíåéá. ÅÜí õðïèÝóïõìå üôé ôá êñßóéìá óçìåßá ôçò åßíáé ìç åêöõëéóìÝíá êáé üôé ôï µ åßíáé ôï ðëÞèïò ôùí óçìåßùí ìåãßóôïõ, ôï m ôï ðëÞèïò ôùí óçìåßùí åëá·ßóôïõ êáé ôï s ôï ðëÞèïò ôùí óáãìáôéêþí óçìåßùí ôÞò f, ôüôå ï áñéèìüò µ − s + m äåí åîáñôÜôáé áðü ôçí f. ÓõãêåêñéìÝíá, éó·ýåé ç éóüôçôá

µ − s + m = χ (M ) . Ðñïôïý äþóïõìå ôçí áðüäåéîç ôïý èåùñÞìáôïò, èá ·ñåéáóèïýìå ïñéóìÝíåò ðñïðáñáóêåõáóôéêÝò Ýííïéåò. Áðü åäþ êáé óôï åîÞò õðïèÝôïõìå üôé Ý·ïõìå åðéëÝîåé êÜðïéá ñçìáííéáíÞ ìåôñéêÞ åðß ôïý ðïëõðôýãìáôïò M 2 . ¼ðùò åßäáìå ðñïçãïõìÝíùò, ôï p åßíáé êñßóéìï óçìåßï ôÞò f : M 2 −→ R åÜí êáé ìüíïí åÜí åßíáé éäéÜæïí óçìåßï ôïý äéáíõóìáôéêïý ðåäßïõ gradf. ÅÜí ôï p Ý·åé, åðéðñïóèÝôùò, êáé ôçí éäéüôçôá íá åßíáé ìç åêöõëéóìÝíï, ðþò åêöñÜæåôáé áõôÞ ç éäéüôçôá ìå ôç âïÞèåéá ôïý äéáíõóìáôéêïý ðåäßïõ gradf ; 3

(Ó.ô.Ì.): Ðñâë. Marsden-Tromba ¥11], êåöÜëáéï 4.

6. ôá èåùñçìáôá ôùí gauss-bonnet êáé morse

151

Ãéá ôçí áðÜíôçóç óå áõôü ôï åñþôçìá èá ·ñåéáóèïýìå Ýíáí åðéðëÝïí ïñéóìü: ¸óôù üôé ôï X åßíáé Ýíá äéáöïñßóéìï äéáíõóìáôéêü ðåäßï åðß ôïý M 2 , ôï p Ýíá 2 2 éäéÜæïí óçìåßï ôïý X êáé ç g : Un⊆ R2 −→ o M ìéá ðáñáìÝôñçóç ôïý M ðåñß ∂ ∂ , ∂y , (x, y) ∈ U, ç ïðïßá áíôéóôïé·åß óôçí ôï p = g (0, 0) . Ùò ðñïò ôç âÜóç ∂x ðáñáìÝôñçóç g, ôï X ãñÜöåôáé ùò áêïëïýèùò: X = α (x, y)

∂ ∂ + β (x, y) , ∂x ∂y

üðïõ ïé α, β : U −→ R åßíáé äéáöïñßóéìåò ìå α (x, y) = β (x, y) = 0 (áöïý ôï p åßíáé éäéÜæïí óçìåßï). ¸óôù Ag ï ðßíáêáò ôïý ãñáììéêïý ìÝñïõò ôïý X, Þôïé ï ðßíáêáò ³ ´ ⎞ ⎛ ¡ ¢ ∂α

⎜ ∂x 0 Ag = ⎜ ⎝ ³ ´ ∂β ∂x

0

∂α ∂y

³

∂β ∂y

0

´

0

⎟ ⎟. ⎠

ËÝìå üôé ôï p åßíáé Ýíá áðëü éäéÜæïí óçìåßï ôïý X üôáí det (Ag ) 6= 0. Áõôüò ï ïñéóìüò äåí åîáñôÜôáé áðü ôçí g, äéüôé ãéá ïéáäÞðïôå Üëëç ðáñáìÝôñçóç ge äéáðé−1 óôþíïõìå åýêïëá ôçí éó·ý ôÞò éóüôçôáò Aeg = dh ◦ Ag ◦ (dh) , üðïõ ç h óõìâïëßæåé ôçí áëëáãÞ óõíôåôáãìÝíùí. Ôþñá åßìáóôå óå èÝóç íá äþóïõìå ôçí áðÜíôçóç óôï ùò Üíù åñþôçìá. 6.15 Ðñüôáóç. ¸óôù p ∈ M 2 Ýíá êñßóéìï óçìåßï ìéáò äéáöïñßóéìçò óõíÜñôçóçò f : M 2 −→ R, üðïõ ôï M 2 åßíáé Ýíá ñçìáííéáíü ðïëýðôõãìá. Ôüôå ôï p åßíáé ìç åêöõëéóìÝíï êñßóéìï óçìåßï ôÞò f åÜí êáé ìüíïí åÜí åßíáé áðëü éäéÜæïí óçìåßï ôïý gradf. 2 ôïý M 2 ðåñß ôï óçìåßï Áðïäåéîç. ¸óôù g : U ⊆ R2 −→ M E D ìéá ðáñáìÝôñçóç ∂ ∂ , ∂y = 0 ãéá êÜèå (x, y) ∈ U. (Ãéá ôçí p = g (0, 0) , ôÝôïéá þóôå íá éó·ýåé ∂x áðüäåéîç ôïý üôé õðÜñ·åé ðÜíôïôå ìéá ôÝôïéá ðáñáìÝôñçóç âë. ¥3], åíüôçôá 3.4.) Áò õðïëïãßóïõìå ôï gradf ùò ðñïò áõôÞí ôçí ðáñáìÝôñçóç. ∂ ∂ ∂ ∂ + β ∂y êáé Y = y1 ∂x + y2 ∂y ôõ·üí äéÜíõóìá ôïý Tg(x,y) M 2 , ÅÜí gradf = α ∂x ôüôå åî ïñéóìïý Ý·ïõìå hgradf, Y i = df (Y ), ïðüôå D E ­∂ ∂® ∂ ∂ , ∂x + βy2 ∂y , ∂y αy1 ∂x = ∂(f∂x◦g) y1 + ∂(f∂y◦g) y2 ,

ãéá êÜèå æåýãïò (y1 , y2 ). ÅðïìÝíùò, èÝôïíôáò ëáìâÜíïõìå gradf =

­

∂ ∂ ∂x , ∂x

®

= g11 êáé

∂ (f ◦ g) 1 ∂ ∂ (f ◦ g) 1 ∂ + . ∂x g11 ∂x ∂y g22 ∂y

D

∂ ∂ ∂y , ∂y

E

= g22 ,

äéáöïñéêåò ìïñöåò. èåùñéá êáé åöáñìïãåò

152

ÓçìåéùôÝïí üôé õðÜñ·åé ç äõíáôüôçôá åðéëïãÞò ôÞò ðáñáìÝôñçóçò g êáôÜ ôÝôïéïí ôñüðï, þóôå óôï p íá éó·ýïõí ïé éóüôçôåò g11 (p) = g22 (p) = 1. Ùò ðñïò áõôÞí ôçí ðáñáìÝôñçóç, ôï ãñáììéêü ìÝñïò ôïý gradf ðáñÝ·åôáé áðü ôïí ðßíáêá ⎛

⎜ Ag = ⎝

∂ 2 (f ◦g) ∂x2 2

∂ (f ◦g) ∂y∂x

∂ 2 (f ◦g) ∂x∂y 2

∂ (f ◦g) ∂y2

⎞

⎟ ⎠ (0, 0) .

Áñêåß íá ðáñáôçñÞóïõìå üôé áìöüôåñåò ïé óõíèÞêåò óôç äéáôýðùóç ôÞò ðñüôᤠóçò éóïäõíáìïýí ìå ôç óõíèÞêç det (Ag ) 6= 0. 6.16 ËÞììá. ¸óôù p ∈ M 2 Ýíá áðëü éäéÜæïí óçìåßï åíüò äéáöïñéóßìïõ äéáíõóìáôéêïý ðåäßïõ X ïñéóìÝíïõ åðß ôïý M 2 . Ôüôå ôï p åßíáé ìåìïíùìÝíï éäéÜæïí óçìåßï ôïý X. Áðïäåéîç. ¸óôù üôé ç g : U ⊆ R2 −→ M 2 åßíáé ìéá ðáñáìÝôñçóç ôïý M 2 ðåñß ôï p = g (0, 0) êáé üôé ôï X åêöñÜæåôáé ùò áêïëïýèùò: ∂ ∂ + β ∂y X = α ∂x

ùò ðñïò áõôÞí ôçí ðáñáìÝôñçóç. Èåùñïýìå ôçí áðåéêüíéóç ϕ : U ⊆ R2 −→ R2 ôçí ïñéæïìÝíç áðü ôïí ôýðï ϕ (x, y) = (α (x, y) , β (x, y)) , ∀ (x, y) ∈ U. ÅðåéäÞ ôï p åßíáé Ýíá áðëü éäéÜæïí óçìåßï ôïý X, Ý·ïõìå det (dϕ0 ) = det (Ag ) 6= 0 (óôï p). Áðü ôï èåþñçìá ôÞò áíôéóôñüöïõ ìéáò áðåéêüíéóçò, õðÜñ·åé ìéá ãåéôïíéÜ V ⊆ U ôïý óçìåßïõ 0 = (0, 0) óôçí ïðïßá ç ϕ åßíáé áìöéññéðôéêÞ. Óõíåðþò, åÜí Ý·ïõìå α (x, y) = β (x, y) = 0 ãéá êÜðïéï (x, y) ∈ V, ôüôå x = y = 0, ïðüôå óôçí åéêüíá g(V ) ôÞò V ìÝóù ôÞò g äåí ðåñéÝ·åôáé Üëëï éäéÜæïí óçìåßï ôïý X ðÝñáí ôïý éäßïõ ôïý óçìåßïõ p. ¤ 6.17 Ðüñéóìá. ÊÜèå ìç åêöõëéóìÝíï êñßóéìï óçìåßï ìéáò äéáöïñßóéìçò óõíÜñôçóçò f : M 2 −→ R åßíáé ìåìïíùìÝíï. ÄõíÜìåé ôïý ëÞììáôïò 6.16 Ý·åé íüçìá íá ïìéëïýìå ãéá äåßêôåò äéáöïñéóßìùí äéáíõóìáôéêþí ðåäßùí (ïñéóìÝíùí åðß ôïý M 2 ) óå áðëÜ éäéÜæïíôá óçìåßá. ¼ðùò èá äïýìå óôçí åðïìÝíç ðñüôáóç, áõôïß ïé äåßêôåò åßíáé åýêïëá õðïëïãßóéìïé.

6. ôá èåùñçìáôá ôùí gauss-bonnet êáé morse

153

6.18 Ðñüôáóç. ¸óôù p ∈ M 2 Ýíá áðëü éäéÜæïí óçìåßï åíüò äéáöïñéóßìïõ äéáíõóìáôéêïý ðåäßïõ X ïñéóìÝíïõ åðß ôïý M 2 . Ôüôå ï äåßêôçò ôïý X óôï p éóïýôáé åßôå ìå +1 (üôáí ç ïñßæïõóá ôïý ãñáììéêïý ìÝñïõò ôïý X åßíáé èåôéêÞ) åßôå ìå −1 (üôáí ç ïñßæïõóá ôïý ãñáììéêïý ìÝñïõò ôïý X åßíáé áñíçôéêÞ). Áðïäåéîç. ÅðåéäÞ ï äåßêôçò ïñßæåôáé ôïðéêþò êáé äåí åîáñôÜôáé áðü ôçí åðéëïãÞ ôÞò ñçìáííéáíÞò ìåôñéêÞò, ìðïñïýìå äß·ùò âëÜâç ôÞò ãåíéêüôçôáò íá õðïèÝóïõìå üôé M 2 = R2 êáé üôé p = (0, 0) = 0. ¸ôóé, ôï X : R2 −→ R2 ìðïñåß íá èåùñçèåß ùò ìéá äéáöïñßóéìç áðåéêüíéóç ìå X(0) = 0 êáé ìå ãñáììéêü ìÝñïò (= äéáöïñéêü) óôï óçìåßï 0 ôï dX0 : R2 −→ R2 , dX0 (p) = lim t→0

X (tp) , ∀p ∈ R2 . t

Éó·õñéæüìáóôå üôé ç áðåéêüíéóç F : R2 × [0, 1] −→ R2 ðïõ ïñßæåôáé áðü ôïí ôýðï ⎧ X(tp) ⎪ üôáí t 6= 0 ⎨ t , ∀ (p, t) ∈ R2 × [0, 1] , F (p, t) = ⎪ ⎩ dX (p) , üôáí t = 0 0

åßíáé óõíå·Þò. Ãéá ôçí áðüäåéîç ôïý éó·õñéóìïý ·ñçóéìïðïéïýìå ôçí áêüëïõèç ðñüôáóç áðü ôïí Äéáöïñéêü Ëïãéóìü: ÅÜí ç óõíÜñôçóç f : Rn −→ R åßíáé äéáöïñßóéìç êáé f (0, 0, . . . , 0) = 0, ôüôå Z 1 Z 1 n P df (tx1 ,... ,txn ) ∂f f (x1 , . . . , xn ) = dt = xi dt ∂xi (tx1 , . . . , txn )dt, i=1

0

0

ïðüôå èÝôïíôáò

hi (x1 , . . . , xn ) :=

Z

0

1

∂f (tx1 , . . . , txn )dt, ∂xi

êÜèå hi , 1 ≤ i ≤ n, åßíáé äéáöïñßóéìç ìå hi (0, . . . , 0) = f (x1 , . . . , xn ) =

n X

∂f ∂xi (0, . . .

, 0) êáé

xi hi (x1 , . . . , xn ).

i=1

ÅÜí ëïéðüí ãñÜøïõìå ôçí áðåéêüíéóç X : R2 −→ R2 ùò X(x1 , x2 ) = (α(x1 , x2 ), β(x1 , x2 )) , ∀(x1 , x2 ) ∈ R2 , ãéá êÜðïéåò äéáöïñßóéìåò óõíáñôÞóåéò α, β : R2 −→ R ìå α(0, 0) = β(0, 0) = 0, ôüôå ( α(x1 , x2 ) = x1 h11 (x1 , x2 ) + x2 h12 (x1 , x2 ), β(x1 , x2 ) = x1 h21 (x1 , x2 ) + x2 h22 (x1 , x2 ),

äéáöïñéêåò ìïñöåò. èåùñéá êáé åöáñìïãåò

154

üðïõ ïé h11 , h12 , h21 , h22 : R2 −→ R åßíáé äéáöïñßóéìåò óõíáñôÞóåéò. ÅðåéäÞ ãéá êÜèå t ∈ [0, 1] , F ((x1 , x2 ), t) = (

P

1≤i≤2

xi h1i (tx1 , tx2 ),

P

xi h2i (tx1 , tx2 )),

1≤i≤2

óõìðåñáßíïõìå üôé ç F åßíáé ðñÜãìáôé óõíå·Þò. Ùò åê ôïýôïõ, ç F áðåéêïíßæåé ôï äéáíõóìáôéêü ðåäßï dX0 = F (p, 0) óõíå·þò åðß ôïý äéáíõóìáôéêïý ðåäßïõ X = F (p, 1), ïðüôå ï äåßêôçò ôïý X óôï 0 éóïýôáé ìå ôïí äåßêôç ôïý dX0 óôï 0. Áñêåß ëïéðüí íá õðïëïãßóïõìå ¯ôïí äåßêôç ôïý dX0 óôï 0. Ðñïò ôïýôï èåùñïýìå ª © ôïí êýêëï C = (x1 , x2 ) ∈ R2 ¯ x21 + x22 = 1 . ÅðåéäÞ ôï äéáöïñéêü dX0 åßíáé ìç éäéÜæïí, ãéá ïéáäÞðïôå q1 , q2 ∈ C ìå q1 6= q2 Ý·ïõìå dX0 (q1 ) 6= dX0 (q2 ). ÅÜí det (dX0 ) > 0, ôüôå ï äåßêôçò I ôïý dX0 åßíáé èåôéêüò êáé, âÜóåé ôùí üóùí ðñïáíáöÝñáìå, äåí ìðïñåß íá åßíáé ìåãáëýôåñïò ôïý Ýíá. ¢ñá I = 1. ÅÜí det (dX0 ) < 0, ôüôå ï äåßêôçò I ôïý dX0 åßíáé áñíçôéêüò êáé (ãéá ôïõò ßäéïõò ëüãïõò) äåí ìðïñåß íá åßíáé ìéêñüôåñïò ôïý −1. ¢ñá I = −1. Ôïýôï áðïðåñáôþíåé ôçí áðüäåéîç ôÞò ðñüôáóçò. ¤ 6.19 ÐáñáôÞñçóç. ÌÝóù ôÞò ðñüôáóçò 6.18 áðïêôïýìå êáé ìéá åíáëëáêôéêÞ áðüäåéîç ãéá ôï ëÞììá 2.12, ôï ïðïßï ·ñçóéìïðïéÞóáìå ãéá íá áðïäåßîïõìå ôï èåþñçìá 2.11. ÂÜóåé ôùí ùò Üíù äåäïìÝíùí, ç áðüäåéîç ôïý èåùñÞìáôïò ôïý Morse åßíáé ó·åäüí Üìåóç. Áðïäåéîç ôïõ èåùñçìáôïò 6.14: ÅðéëÝãïõìå ìéá ñçìáííéáíÞ ìåôñéêÞ åðß ôÞò åðéöáíåßáò M. ÅðåéäÞ ôá êñßóéìá óçìåßá ôÞò f åßíáé ìç åêöõëéóìÝíá, ôá éäéÜæïíôá óçìåßá ôïý äéáíõóìáôéêïý ðåäßïõ gradf åßíáé ìåìïíùìÝíá êáé áðëÜ. ÊáôÜ óõíÝðåéáí, ï äåßêôçò ôïý gradf éóïýôáé ìå 1 óå êÜèå óçìåßï ìåãßóôïõ Þ åëá·ßóôïõ ôÞò f êáé ìå −1 óå êÜèå óáãìáôéêü óçìåßï ôÞò f. Åî áõôïý Ýðåôáé üôé ôï µ − s + m éóïýôáé ìå ôï óõíïëéêü Üèñïéóìá ôùí äåéêôþí ôùí éäéáæüíôùí óçìåßùí ôïý gradf. ¼ìùò, óýìöùíá ìå ôï èåþñçìá ôùí Gauss êáé Bonnet (âë. 6.4 êáé 6.5), Ýíá ôÝôïéïõ åßäïõò Üèñïéóìá åßíáé áíåîÜñôçôï ôüóï áðü ôçí åðéëå·èåßóá ñçìáííéáíÞ ìåôñéêÞ üóï êáé áðü ôï äéáíõóìáôéêü ðåäßï gradf, êáé éóïýôáé ìå ôçí êáôÜ Euler êáé Poincarª ·áñáêôçñéóôéêÞ χ (M ). ¤ 6.20 Óçìåßùóç. Ôï èåþñçìá 6.14 áðïôåëåß ìüíïí Ýíá äåßãìá ôùí ðïëõó·éäþí óõó·åôéóìþí ôÞò ôïðïëïãßáò äéáöïñéóßìùí ðïëõðôõãìÜôùí êáé ôùí êñéóßìùí óçìåßùí êÜðïéùí êëÜóåùí äéáöïñéóßìùí óõíáñôÞóåùí, ïé áðïäåßîåéò ôùí ïðïßùí ïöåßëïíôáé óôïí M. Morse. Ãéá ìéá ðáíÝìïñöç åéóáãùãÞ óôç Èåùñßá ôïý Morse ï áíáãíþóôçò ðáñáðÝìðåôáé óôï âéâëßï ¥13] ôïý J. Milnor.

6. ôá èåùñçìáôá ôùí gauss-bonnet êáé morse

155

ÁóêÞóåéò 6-1. Õðïëïãßóôå ôÞí êáôÜ Euler êáé Poincarª ·áñáêôçñéóôéêÞ: (a) åíüò åëëåéøïåéäïýò,

¯ ª © (b) ôÞò åðéöáíåßáò M = (x, y, z) ∈ R3 ¯ x2 + y 4 + z 6 = 1 .

6-2. Áðïäåßîôå üôé äåí õðÜñ·åé êáìßá ñçìáííéáíÞ ìåôñéêÞ åðß ôïý ôüñïõ T, ôÝôïéá þóôå ç K íá ìçí åßíáé ìçäåíéêÞ êáé -ôáõôï·ñüíùò- íá ìçí áëëÜæåé ôï ðñüóçìü ôçò åðß ôïý T. 6-3. ¸óôù M 2 ìéá óõíåêôéêÞ, óõìðáãÞò êáé ðñïóáíáôïëßóéìç åðéöÜíåéá. Èåùñþíôáò ùò ãíùóôü üôé äõï óõíåêôéêÝò, óõìðáãåßò êáé ðñïóáíáôïëßóéìåò 2 åðéöÜíåéåò M 2 êáé M åßíáé ïìïéïìïñöéêÝò åÜí êáé ìüíïí åÜí éó·ýåé ç éóü¡ 2¢ 2 ôçôá χ M = χ(M ), áðïäåßîôå ôÞí éóïäõíáìßá ôùí êáôùôÝñù óõíèçêþí: (a) ÕðÜñ·åé Ýíá äéáöïñßóéìï äéáíõóìáôéêü ðåäßï åðß ôÞò M 2 , ôï ïðïßï äåí åßíáé ðïõèåíÜ ìçäåíéæüìåíï. ¢ ¡ (b) χ M 2 = 0. (c) Ç M 2 åßíáé ïìïéïìïñöéêÞ ìå Ýíáí ôüñï.

6-4. ¸óôù M 2 ⊂ R3 ìéá êáíïíéêÞ åðéöÜíåéá åíôüò ôïý R3 . ÕðïèÝôïíôáò üôé ç M 2 åßíáé óõìðáãÞò, ðñïóáíáôïëéóìÝíç êáé ìç ïìïéïìïñöéêÞ ìå ôç óöáßñá, áðïäåßîôå ôçí ýðáñîç óçìåßùí ôÞò M 2 , ãéá ôá ïðïßá ç êáìðõëüôçôá Gauss ìðïñåß íá åßíáé èåôéêÞ, áñíçôéêÞ Þ áêüìç êáé ßóç ìå ôï ìçäÝí. 6-5. ¸óôù M 2 Ýíá äéóäéÜóôáôï óõíåêôéêü, óõìðáãÝò, ðñïóáíáôïëßóéìï ñçìáííéáíü ðïëýðôõãìá, ôÝôïéï þóôå ç êáìðõëüôçôá Gauss K íá åßíáé ðáíôïý èåôéêÞ. Áðïäåßîôå üôé äõï ôõ·ïýóåò ãåùäáéóéáêÝò åíôüò ôïý M 2 äéáèÝôïõí ðÜíôïôå Ýíá êïéíü óçìåßï. 6-6. ¸óôù f : R2 −→ R ç óõíÜñôçóç ðïõ äßíåôáé áðü ôïí ôýðï f (x, y) = x3 − 3xy 2 , ∀ (x, y) ∈ R2 , ãíùóôÞ (ëüãù ôÞò ãñáöéêÞò ðáñÜóôáóÞò ôçò óå ìéá ãåéôïíéÜ ôÞò áñ·Þò ôùí áîüíùí) êáé ùò óÜãìá ôïý ðéèÞêïõ. ÅÜí p = (0, 0), íá áðïäåßîåôå ôá áêüëïõèá: (a) Ôï p åßíáé Ýíá ìåìïíùìÝíï êñßóéìï óçìåßï ôÞò f. (b) Ôï p åßíáé Ýíá åêöõëéóìÝíï êñßóéìï óçìåßï ôÞò f . (c) Ï äåßêôçò ôïý grad f óôï óçìåßï p éóïýôáé ìå −2.

156

äéáöïñéêåò ìïñöåò. èåùñéá êáé åöáñìïãåò

6-7. ¸óôù x : M 2 −→ R3 ìéá åìâÜðôéóç åíüò äéóäéáóôÜôïõ äéáöïñéóßìïõ ðïëõðôýãìáôïò M 2 åíôüò ôïý R3 (Þôïé ìéá åðéöÜíåéá åíôüò ôïý R3 ) êáé, ãéá êÜðïéï ðáãéùìÝíï ìïíáäéáßïõ ìÞêïõò äéÜíõóìá v ∈ R3 , Ýóôù hv : M 2 −→ R ç óõíÜñôçóç ýøïõò hv (p) = hx(p), vi , ∀p ∈ M 2 , ôïý x ùò ðñïò ôï v. (ÓçìåéùôÝïí üôé ç ôéìÞ hv (p) ìåôñÜ ôï «ýøïò» ôïý x(p) ó·åôéêþò ðñïò ôï åðßðåäï ôï ïðïßï äéÝñ·åôáé áðü ôçí áñ·Þ ôùí áîüíùí êáé åßíáé êÜèåôï ðñïò ôïí öïñÝá ôïý äéáíýóìáôïò v.) (a) Äåßîôå üôé ôï p ∈ M 2 åßíáé Ýíá êñßóéìï óçìåßï ôÞò hv åÜí êáé ìüíïí åÜí Tp M 2 ⊥ v.

(b) Äåßîôå üôé Ýíá êñßóéìï óçìåßï p ôÞò hv åßíáé ìç åêöõëéóìÝíï åÜí êáé ìüíïí åÜí ç êáìðõëüôçôá Gauss K(p) ôÞò M 2 óôï p åßíáé ìç ìçäåíéêÞ. Õðüäåéîç : ÅðéëÝîôå ìéá ðáñáìÝôñçóç g : U ⊂ R2 −→ M 2 ôïý M 2 ðåñß ôï óçìåßï p, ïýôùò þóôå íá éó·ýåé g(0, 0) = p. ÅÜí ¶ µ³³ ´ ´ ∂(hv ◦g) , (0, 0) A= ∂xi ∂xj 1≤i,j≤2

ôüôå ç óõíèÞêç det(A) 6= 0 éóïäõíáìåß ìå ôï üôé ôï p äåí åßíáé åêöõëéóìÝíï óçìåßï p ôÞò hv . ÅðåéäÞ µ ¶ ¿µ ¶ À ∂ (hv ◦ g) ∂ (x ◦ g) (0, 0) = (0, 0) , v (p) , ∂xi ∂xj ∂xi ∂xj ï A åßíáé ï ðßíáêáò ôÞò äåýôåñçò èåìåëéþäïõò ìïñöÞò ôÞò åðéöáíåßáò M 2 óôï óçìåßï p ùò ðñïò ôçí ðáñáìÝôñçóç g. Ùò åê ôïýôïõ, det(A) = ±K(p).

(c) Ãé' áõôü ôï ôìÞìá ôÞò Üóêçóçò èåùñÞóôå ùò ãíùóôÞ ôçí áêüëïõèç åêäï·Þ ôïý èåùñÞìáôïò ôïý Sard : ¸óôù f : M n −→ N n ìéá äéáöïñßóéìç áðåéêüíéóç êáé Ýóôù q ∈ N n . Ôï q êáëåßôáé êáíïíéêÞ ôéìÞ ôÞò f üôáí óå êÜèå óçìåßï p ∈ f −1 (q) ôï äéáöïñéêü dfp åßíáé ìç éäéÜæïí. (ÓçìåéùôÝïí üôé åÜí q ∈ / f (M n ), ôüôå ôï q åßíáé êáô' áíÜãêçí ìéá êáíïíéêÞ ôéìÞ ôÞò f.) Ôï èåþñçìá ôïý Sard4 äçëïß üôé ôï óýíïëï ôùí êáíïíéêþí ôéìþí ôÞò f åßíáé Ýíá áíïéêôü êáé ðõêíü õðïóýíïëï ôïý N n . µñçóéìïðïéÞóôå ôü èåþñçìá ôïý Sard êáé ôï (b) ðñïêåéìÝíïõ íá áðïäåßîåôå üôé õðÜñ·åé Ýíá áíïéêôü êáé ðõêíü õðïóýíïëï U ôÞò ìïíáäéáßáò óöáßñáò åíôüò ôïý R3 , ôÝôïéï þóôå ç óõíèÞêç v ∈ U íá óõíåðÜãåôáé üôé üëá ôá êñßóéìá óçìåßá ôÞò hv åßíáé ìç åêöõëéóìÝíá. 4

(Ó.ô.Ì.): Âë. Guillemin-Pollack ¥6], App. 1, óåë. 202-207.

6. ôá èåùñçìáôá ôùí gauss-bonnet êáé morse

157

6-8. Ìéá (èåìåëéáêÞ) ðñïóáíáôïëßóéìç åðéöÜíåéá ãÝíïõò g (üðïõ g Ýíáò ìç áñíçôéêüò áêÝñáéïò áñéèìüò) åßíáé ìéá óõìðáãÞò ðñïóáíáôïëßóéìç åðéöÜíåéá M , ç ïðïßá åßíáé äéáöïñïìïñöéêÞ ôÞò åðéöáíåßáò ôÞò åìöáíéæïìÝíçò óôï ó·Þìá 6.3. ÈåùñÞóôå ôÞ óõíÜñôçóç ýøïõò hv ôçí ïñéæïìÝíç åðß ìéáò ôÝôïéáò åðéöáíåßáò M (êáôÜ ôçí Üóêçóç 6-7) êáé åðéëÝîôå êáôÜëëçëï v, ïýôùò þóôå êáíÝíá áðü ôá êñßóéìá óçìåßá ôÞò hv íá ìçí åßíáé åêöõëéóìÝíï (âë. Üóêçóç 6-7 (c)). Êáôüðéí ôïýôïõ, ·ñçóéìïðïéÞóôå ôü èåþñçìá ôïý Morse ãéá íá äåßîåôå üôé ç êáôÜ Euler êáé Poincarª ·áñáêôçñéóôéêÞ ïéáóäÞðïôå (èåìåëéáêÞò) ðñïóáíáôïëßóéìçò åðéöáíåßáò ãÝíïõò g éóïýôáé5 ìå 2 − 2g.

Ó·Þìá 6.3

6-9. ¸óôù M 2 ⊂ R3 ìéá êáíïíéêÞ åðéöÜíåéá åíôüò ôïý R3 êáé Ýóôù q ∈ R3 rM 2 . ÅÜí ç fq : M 2 −→ R åßíáé ç óõíÜñôçóç ðïõ äßíåôáé áðü ôïí ôýðï fq (p) = (ç áðüóôáóç ôïý p áðü ôï q), ∀p ∈ M 2 , íá áðïäåßîåôå üôé: (a) ç fq åßíáé äéáöïñßóéìç, (b) Ýíá óçìåßï p ∈ M 2 åßíáé êñßóéìï óçìåßï ôÞò fq åÜí êáé ìüíïí åÜí ç åõèåßá ãñáììÞ ç êáèïñéæïìÝíç áðü ôï åõèýãñáììï ôìÞìá pq åßíáé êÜèåôç ðñïò ôï M 2 , êáèþò êáé üôé (c) Ýíá êñßóéìï óçìåßï p ∈ M 2 ôÞò fq åßíáé åêöõëéóìÝíï åÜí êáé ìüíïí åÜí fq (p) =

1 1 = , k1 k2

üðïõ ïé k1 êáé k2 åßíáé ïé êýñéåò êáìðõëüôçôåò ôÞò M 2 óôï óçìåßï p ùò ðñïò → ôï ïñèüèåôï äéÜíõóìá − pq.

5

(Ó.ô.Ì.): Ðñâë. Armstrong ¥1], ðñüâëçìá 11 ôÞò åíüôçôáò 9.2, Þ Massey ¥12], êåöÜëáéï 1, åíüôçôá 8.

Âéâëéïãñáößá

[1] Armstrong, M.A.: Basic Topology, UTM, Springer-Verlag, 1983. (Åðßêåéôáé ç ìåôÜöñáóÞ ôïõ óôá ÅëëçíéêÜ óôç óåéñÜ ôùí «ÐÌÊ» áðü ôïí åêäïôéêü ïßêï «Leader Books».) [2] Chern, S.S.: A simple intrinsic proof of Gauss-Bonnet formula for closed Riemannian manifolds, Annals of Math. 45, (1944), pp. 747-752. [3] do Carmo, M.: Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice-Hall, 1976. [4] Figueiredo, D.: A simplified proof of the divergence theorem, American Math. Monthly 71, (1964), pp. 619-622. [5] Fischer, G. (ed.): Mathematische Modelle, Vieweg, Wiesbaden, 1986. [6] Guillemin, V.-Pollack, A.: Differential Topology, Prentice-Hall Inc., 1974. [7] Hirsch, M.W.: Differential Topology, GTM, Vol. 33, Springer-Verlag, 1976. [8] Kellog, O.: Foundations of Potential T heory, Dover Publications, New York, 1954. [9] Lima, E.: Curso de An´ alise, Vol. 2, Projeto Euclides, IMPA, Rio de Janeiro, 2nd edition, 1985 (óôá ÐïñôïãáëéêÜ). [10] Lima, E.: Orientability of smooth hypersurfaces and the Jordan-Brouwer separation theorem, Expo. Math. 5, (1987), pp. 283-286.

160

âéâëéïãñáößá

[11] Marsden, J.-Tromba, A.: Vector Calculus, W.H. Freeman Co., 1988. (Êõêëïöïñåß êáé óôá ÅëëçíéêÜ, óå ìåôÜöñáóç ôïý Á. Ãéáííüðïõëïõ êáé åð. åðéìÝëåéá ôïý Ä. ÊáñáãéáííÜêç, áðü ôéò «ÐáíåðéóôçìéáêÝò Åêäüóåéò ÊñÞôçò», ÇñÜêëåéï ÊñÞôçò, 1992.) [12] Massey, W.: Algebraic Topology. An Introduction, GTM, Vol. 56, SpringerVerlag, 1977. [13] Milnor, J.: Morse T heory, Princeton University Press, 1963. [14] Munkres, J.R.: Topology, 2nd edition, Prentice-Hall, Inc., 2000. [15] Munkres, J.R.: Analysis on Manifolds, Addison-Wesley Pub. Co., 1991. [16] O' Neil, B.: Elementary Differential Geometry, 2nd edition., Academic Press, 1997. (Êõêëïöïñåß êáé óôá ÅëëçíéêÜ, óå ìåôÜöñáóç êáé åð. åðéìÝëåéá ôùí Ë. ÐáðáëïõêÜ êáé Á. ÌåëÜ, áðü ôéò «ÐáíåðéóôçìéáêÝò Åêäüóåéò ÊñÞôçò», ÇñÜêëåéï ÊñÞôçò, 2002.) [17] Picard, E.: Traitª d' Analyse, Toure I, Gauthier-Villars, Paris, 3eme ed., 1922. [18] Rudin, W.: Principles of Mathematical Analysis, 3rd edition, McGraw-Hill Co., 1976. (Êõêëïöïñåß êáé óôá ÅëëçíéêÜ óôç óåéñÜ ôùí «ÐÌÊ», óå ìåôÜöñáóç ôïý Ä.Ê. Óôáëßäç, áðü ôïí åêäïôéêü ïßêï «Leader Books», ÁèÞíá, 2000.) [19] Singer, I.M.-Thorpe, J.A.: Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry, UTM, Springer-Verlag, 1967. [20] Spivak, Ì.: Calculus on Manifolds, Benjamin-Cummings Pub. Co., 1965. (Êõêëïöïñåß êáé óôá ÅëëçíéêÜ, óå ìåôÜöñáóç êáé åð. åðéìÝëåéá ôïý Ì. Ìáãåéñüðïõëïõ, áðü ôéò «ÐáíåðéóôçìéáêÝò Åêäüóåéò ÊñÞôçò», ÇñÜêëåéï ÊñÞôçò, 1994.) [21] Thorpe, J.A.: Elementary Topics in Differential Geometry, UTM, SpringerVerlag, 1979. [22] Warner, F.: Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, 2nd edition, GTM, Vol. 94, Springer-Verlag, 1983.

(Ôá ¥1], ¥6], ¥11], ¥14], ¥15], ¥16], ¥18], ¥19], ¥20] êáé ¥21] ðñïóåôÝèçóáí óôçí åëëçíéêÞ Ýêäïóç.)

ÅõñåôÞñéï 1-ìïñöÞ áêñéâÞò, 28 êëåéóôÞ, 28 áãêýëç, 71 áãêùíÝò, 148 Üèñïéóìá k-ìïñöþí, 7 Üêáìðôç êßíçóç, 123, 124 áëëáãÞ ðáñáìåôñÞóåùí, 51 áëëáãÞ ðáñáìÝôñçóçò êáìðýëçò, 28 áìößññéøç, ix áíáðáñáìÝôñçóç êáìðýëçò, 28 áíÜðôõãìá êáôÜ Taylor, 150 áíÜóõñóç äéáöïñéêþí ìïñöþí, 9 áîßùìá ôÞò áñéèìÞóéìçò âÜóçò, 52 ôïý Hausdorff, 52 áðåéêüíéóç, ix áìöéññéðôéêÞ, ix áíôéðïäéêÞ, 137 áõôïðñïóáñôçìÝíç ãñáììéêÞ, 118 äéáöïñßóéìç ðïëõðôõãìÜôùí óå êÜðïéï óçìåßï, 57 åíáëëÜóóïõóá (k-ãñáììéêÞ), 3 åíñéðôéêÞ, ix åðéññéðôéêÞ, ix ôïý Gauss, 117 áðüêëéóç äéáíõóìáôéêïý ðåäßïõ

óôïí Rn , 18 áðïóõíôåèåéìÝíï óôïé·åßï, 20 áñéèìÞóéìç âÜóç, 52 áñéèìüò Lebesgue, 35 áñéèìüò ðåñéÝëéîçò, 31, 37 áñìïíéêÞ óõíÜñôçóç, 46, 104, 105 áñ·Þ ôïý ìåãßóôïõ, 105 âÜóç ðïõ áíôéóôïé·åß óå ìéá ðáñáìÝôñçóç, 59 ãåéôïíéÜ óõíôåôáãìÝíùí, 51 ãåùäáéóéáêÞ äéáöïñßóéìç êáìðýëç, 132, 136 êáìðõëüôçôá, 132, 133, 148 ãåùìåôñéêüò ïñéóìüò ôïý ôåëåóôÞ Üóôñïõ, 20 ãéíüìåíï äéáíõóìáôéêü åîùôåñéêü äõï 1-ìïñöþí, 22 åóùôåñéêü óôïí Rn , 15 óöçíïåéäÝò k-ìïñöþí, 7 C -äéáöïñéóéìüôçôá, 5 C ∞ -äéáöïñéóéìüôçôá, 5 ãñáììéêü ìÝñïò åíüò äéáöïñéóßìïõ äéáíõóìáôéêïý ðåäßïõ, 151 ãùíßá åîùôåñéêÞ, 148 óôåñåÜ, 101 ãùíéáêÞ óõíÜñôçóç, 30, 31

162 ãùíéáêü óôïé·åßï, 30 äåßêôçò äéáíõóìáôéêïý ðåäßïõ óå êÜðïéï óçìåßï, 141 äéáöïñßóéìçò áðåéêüíéóçò (óôïí R2 ), 37 äéáìÝñéóç ôÞò ìïíÜäáò äéáöïñßóéìç, 83, 106 äéÜíõóìá åðéôÜ·õíóçò, 136 ïñèüèåôï, 157 ïñèüèåôï ìïíáäéáßï, 95, 101, 102 äéáíõóìáôéêü ðåäßï äéáöïñßóéìï, 1 åðß åíüò äéáöïñéóßìïõ ðïëõðôýãìáôïò, 69 åðß åíüò äéáöïñéóßìïõ ðïëõðôýãìáôïò, 69 óôïí R3 , 1 ôïðéêþò ðñïåñ·üìåíï áðü Ýíá äõíáìéêü, 23 äéáöïñéêÞ äïìÞ, 51 ìåãéóôïôéêÞ, 51 äéáöïñéêÞ ìïñöÞ áêñéâÞò (âáèìïý k) åðß äéáöïñéóßìïõ ðïëõðôýãìáôïò, 96 áíÞêïõóá óôçí êëÜóç C (êáé, áíôéóôïß·ùò, óôçí C ∞ ), 5 âáèìïý 0, 5 âáèìïý k, 5 óå Ýíá äéáöïñßóéìï ðïëýðôõãìá, 68 C - (êáé, áíôéóôïß·ùò, C ∞ -) âáèìïý k, 5 êëåéóôÞ (âáèìïý k) åðß äéáöïñéóßìïõ ðïëõðôýãìáôïò, 96 ôïðéêþò áêñéâÞò åðß äéáöïñéóßìïõ ðïëõðôýãìáôïò, 96 äéáöïñéêü äéáöïñßóéìçò áðåéêüíéóçò

åõñåôçñéï ìåôáîý ðïëõðôõãìÜôùí, 60 åîùôåñéêü ìéáò k-ìïñöÞò, 13 ìéáò 0-ìïñöÞò, 12 äéáöïñßóéìç áðåéêüíéóç ìåôáîý ðïëõðôõãìÜôùí, 57 äéáöïñßóéìï ðïëýðôõãìá n-äéÜóôáôï, 50 ìå (ïìáëü) óýíïñï, 89 äéáöïñïìïñöéóìüò (Þ áìöéäéáöüñéóç) ìåôáîý ðïëõðôõãìÜôùí, 60 äõíáìéêÞ åíÝñãåéá, 46 äõíáìéêü, 23 Ýêöñáóç áðåéêüíéóçò ùò ðñïò ðáñáìåôñÞóåéò, 57 åìâáäüí, 100, 136, 146 åìâÜðôéóç, 61 åìöýôåõóç, 61 Ýíñéøç (Þ Ýññéøç), ix åîéóþóåéò ôùí Cauchy êáé Riemann, 43 åîéóþóåéò äïìÞò ôïý Rn , 110, 111, 113 åîùôåñéêü ãéíüìåíï k-ìïñöþí, 7 åîùôåñéêü äéáöïñéêü ìéáò k-ìïñöÞò, 13 åðßðåäï ðñáãìáôéêü ðñïâïëéêü, 52, 64, 66, 67, 74, 76, 137 õðåñâïëéêü, 135 åðßðåäï äéáâáèìßóåùí, 19 åðßññéøç, ix åðéöÜíåéá áöçñçìÝíç, 50 êáíïíéêÞ, 49 ïëïêëçñùôéêÞ, 76, 77 ðñïóáíáôïëßóéìç (èåìåëéáêÞ) ãÝíïõò g, 157 ôïý Boy, 66 åóùôåñéêÞ ãåùìåôñßá åðéöáíåéþí, 125 åóùôåñéêü ãéíüìåíï

åõñåôçñéo óôïí Rn , 15 åöáðôüìåíç äÝóìç õðåñÜíù åíüò ðïëõðôýãìáôïò, 61 åöáðôüìåíï äéÜíõóìá äéáöïñéóßìïõ ðïëõðôýãìáôïò óå êÜðïéï óçìåßï, 58 êáìðýëçò óå êÜðïéï óçìåßï, 58 åöáðôüìåíïò ·þñïò, 1 óå êÜðïéï óçìåßï åíüò äéáöïñéóßìïõ ðïëõðôýãìáôïò, 59 çìß·ùñïò (êëåéóôüò, êÜôù), 89 èåþñçìá (èåìåëéþäåò) ôùí óõíÞèùí äéáöïñéêþí åîéóþóåùí, 46 ìÝóçò ôéìÞò, 105 óôáèåñïý óçìåßïõ ôïý Brouwer, 107 ôÞò áíôéóôñüöïõ ìéáò áðåéêüíéóçò, 37, 60, 90, 113, 152 ôÞò áðüêëéóçò, 95, 102 ôÞò ìÝóçò ôéìÞò ôïý Ïëïêëçñùôéêïý Ëïãéóìïý, 133 ôïý Cauchy, 43 ôïý Gauss (ðåñß êáìðõëïôÞôùí), 118, 129 ôïý Gauss (ðåñß ïëïêëçñùìÜôùí), 88 ôïý Green, 88 ôïý Levi-Civita, 126 ôïý ìïíïóçìÜíôïõ ôùí ëýóåùí ãéá óõóôÞìáôá óõíÞèùí Ä.Å., 124 ôïý Morse, 150, 154, 157 ôïý Sard, 156 ôïý Stokes, 87, 92–96, 101, 103, 106, 133, 142, 144 ôïý Whitney ðåñß C -äéáöïñéóßìùí ðïëõðôõãìÜôùí, 50 ðåñß åìâÜðôéóçò êáé åìöýôåõóçò, 67

163 ôùí Gauss êáé Bonnet, 139, 140, 143, 146, 154 ãéá åðéöÜíåéåò ìå ïìáëü óýíïñï, 146 ãéá åðéöÜíåéåò ìå óýíïñï êáé áãêùíÝò, 149 éäéÜæïí óçìåßï åíüò äéáíõóìáôéêïý ðåäßïõ, 140 áðëü, 151 éäéïäéáíýóìáôá ïñèïãþíéá, 118 éóïìåôñßá ìåôáîý äõï ñçìáííéáíþí ðïëõðôõãìÜôùí, 109 ôïðéêÞ, 137 ß·íïò êáìðýëçò, 28 k-ìïñöÝò óå Ýíá äéáöïñßóéìï ðïëýðôõãìá, 68 k-ìïñöÝò (óôá êåö. 1 êáé 2), 6 êáìðýëåò ïìïôïðéêÝò, 34 êáìðýëç áðëÞ êëåéóôÞ, 42 êáôÜ ôìÞìáôá (Þ ôåìá·çäüí) äéáöïñßóéìç, 27 êëåéóôÞ, 29 ðïõ áíôéóôñÝöåé ôïí ðñïóáíáôïëéóìü, 28 ðïõ äéáôçñåß ôïí ðñïóáíáôïëéóìü, 28 êáìðõëüôçôá êáôÜ Gauss ìéáò åðéöáíåßáò, 118–120, 125, 129, 133–137, 144, 148, 155, 156 ãåùäáéóéáêÞ, 132, 133, 148 ìÝóç ìéáò åðéöáíåßáò, 118 ïñèüèåôç, 122 êáìðõëüôçôåò êýñéåò, 123, 157 êáíïíéêÞ åðéöÜíåéá, 49

164 êáíïíéêÞ ôéìÞ äéáöïñßóéìçò áðåéêüíéóçò ìåôáîý ðïëõðôõãìÜôùí, 156 äéáöïñßóéìçò óõíÜñôçóçò, 99 êáíïíéóôéêüò éóïìïñöéóìüò, xiii, 15, 19 êéíïýìåíï ðëáßóéï ïñèüôáêôï, 110 êëÜóåéò ôïý Chern, 146 êëßôïò (Þ êëßóç) äéáöïñßóéìçò óõíÜñôçóçò, 19 êñßóéìï óçìåßï ìç åêöõëéóìÝíï, 149, 155–157 ìéáò äéáöïñßóéìçò óõíÜñôçóçò, 149–152, 154, 155 êõêëéêüò êýëéíäñïò ïñèüò, 148 êýñéåò äéåõèýíóåéò, 123 êýñéåò êáìðõëüôçôåò, 123, 157 ëáðëáóéáíÞ äéáöïñßóéìçò óõíÜñôçóçò, 19 ëÞììá ôïý Cartan, 114, 115, 117 ôïý Poincarª ãéá 1-ìïñöÝò, 23, 32 ãéá óõóôáëôÜ ðïëõðôýãìáôá, 96–99, 106, 137 ìåãÜêõêëïé ôÞò ìïíáäéáßáò óöáßñáò, 136 ìåôáèÝìáôá óôïé·åßùí ôïý Rn , 1 ìåôñéêÞ åðáãïìÝíç åðß ìéáò åðéöáíåßáò åìâáðôéóìÝíçò óôïí R3 , 116 ñçìáííéáíÞ (ôïý Riemann), 109 ìÞêïò ôüîïõ, 120 ìïñöÝò óõíï·Þò, 111 ìïñöÞ áðïóõíôåèåéìÝíç, 22 äåýôåñç ôåôñáãùíéêÞ (Þ äåýôåñç èåìåëéþäçò), 121 äéáöïñéêÞ

åõñåôçñéï âáèìïý 0, 5 âáèìïý 1, 2 âáèìïý 2, 3 âáèìïý k (k-ìïñöÞ), 5 âáèìïý k óå Ýíá äéáöïñßóéìï ðïëýðôõãìá, 68 åîùôåñéêÞ âáèìïý 1, 2 âáèìïý 2, 3 âáèìïý k (k-ìïñöÞ), 5 âáèìïý k óå Ýíá äéáöïñßóéìï ðïëýðôõãìá, 68 ìéãáäéêÞ, 42 ðñþôç ôåôñáãùíéêÞ (Þ ðñþôç èåìåëéþäçò), 121 ôåôñáãùíéêÞ, 121 üãêïò áðïóõíôåèåéìÝíïõ óôïé·åßïõ, 22 ðïëõðôýãìáôïò, 100 ïëïêëÞñùìá åðéêáìðýëéï, 27 äéáíõóìáôéêïý ðåäßïõ, 45 ìéãáäéêÞò óõíÜñôçóçò, 43 ïëïêëçñùôéêÞ åðéöÜíåéá, 76, 77 ïìïãåíÞò óõíÜñôçóç âáèìïý k, 24 ïìïôïðßá, 34 åëåýèåñç, 34 ïìïôïðéêÝò êáìðýëåò, 34 ðáñáãþãéóç, 70 ðáñáìÝôñçóç äéáöïñéóßìïõ ðïëõðôýãìáôïò, 51 åðéöáíåßáò, 49 ðåäßï ãñáììéêþí ìïñöþí, 2 äéáíõóìáôéêü åðß åíüò äéáöïñéóßìïõ ðïëõðôýãìáôïò, 69 óôïí R3 , 1 äéãñáììéêþí åíáëëáóóïõóþí ìïñöþí, 3 åðéðÝäùí, 76

åõñåôçñéo äéáöïñßóéìï, 76 ìïíáäéáßï ïñèüèåôï, 103 ïñèüôáêôï, 103 ðáñÜëëçëï (êáôÜ ìÞêïò ìéáò êáìðýëçò), 131 ðåñéï·Þ åíôüò äéóäéáóôÜôïõ ðñïóáíáôïëéóìÝíïõ ðïëõðôýãìáôïò, 87 ðåñéóôñïöÞ (Þ óôñïâéëéóìüò) åíüò äéáíõóìáôéêïý ðåäßïõ óôïí Rn , 20 ðëáßóéï êéíïýìåíï ïñèüôáêôï, 110 ïñèüôáêôï ðñïóáíáôïëéóìÝíï, 136 ðñïóáñìïóìÝíï, 113 ðïëýðôõãìá ãéíïìÝíïõ, 74 äéáöïñßóéìï n-äéÜóôáôï, 50 n-äéÜóôáôï ìå (ïìáëü) óýíïñï, 89 ìç ðñïóáíáôïëßóéìï, 73 ðïõ äåí åßíáé Hausdorff, 79 ðñïóáíáôïëßóéìï, 73 ðñïóáíáôïëéóìÝíï, 73 ñçìáííéáíü (ôïý Riemann), 109 óõóôáëôü, 96 ôïðéêþò óõóôáëôü, 96 ðñáãìáôéêü ðñïâïëéêü åðßðåäï, 52, 64, 66, 67, 74, 76, 137 ðñáãìáôéêüò ðñïâïëéêüò ·þñïò, 53, 74 ðñïóáíáôïëßóéìç äéðëÞ åðéêÜëõøç, 77, 78 ðñïóáíáôïëéóìüò ðïëõðôýãìáôïò, 73 ðñïóáíáôïëéóìüò óçìåßïõ óõíåêôéêïý äéáöïñéóßìïõ ðïëõðôýãìáôïò, 78 ðñïóáñìïóìÝíï ðëáßóéï, 113 óÜãìá ôïý ðéèÞêïõ, 155 óáãìáôéêü óçìåßï ìéáò äéáöïñßóéìçò óõíÜñôçóçò, 150

165 óçìåßï åëá·ßóôïõ ìéáò äéáöïñßóéìçò óõíÜñôçóçò, 150 éäéÜæïí åíüò äéáíõóìáôéêïý ðåäßïõ, 140 ìåìïíùìÝíï, 140 êñßóéìï ìéáò äéáöïñßóéìçò óõíÜñôçóçò, 149 ìåãßóôïõ ìéáò äéáöïñßóéìçò óõíÜñôçóçò, 150 óçìåßï ìçäåíéóìïý äéáöïñßóéìçò áðåéêüíéóçò, 37 áðëü, 37 áñíçôéêü, 39 èåôéêü, 39 ìåìïíùìÝíï, 37 óôåñåÜ ãùíßá, 101 óôÞñéãìá äéáöïñéêÞò n-ìïñöÞò åðß äéáöïñéóßìïõ ðïëõðôýãìáôïò, 81 óôïé·åßï ãùíéáêü, 30 åìâáäïý, 95, 100–103, 129 ôüîïõ, 103 óôïé·åßï üãêïõ óôïí Rn , 17, 95, 102 óõìðëáßóéï, 110 óõíáëëïßùôç ðáñÜãùãïò, 130, 131, 136 óõíáñôÞóåéò ìéãáäéêÝò, ix ðñáãìáôéêÝò, ix óõíÜñôçóç áñìïíéêÞ, 46, 104, 105 ãùíéáêÞ, 30, 31 ìéãáäéêÞ ïëüìïñöç, 43 óõíÜñôçóç ýøïõò, 156, 157 óýíïëï áíïéêôü

166 ôïý êëåéóôïý êÜôù çìé·þñïõ, 89 óõíïñéáêÜ óçìåßá ðïëõðôýãìáôïò, 89 óýíïñï ðïëõðôýãìáôïò, 90 óõóôáëôü ðïëýðôõãìá, 96 óýóôçìá óõíôåôáãìÝíùí, 51 óöáßñá ìïíáäéáßá, 64, 76, 101, 102, 135, 136, 146 óöçíïåéäÝò ãéíüìåíï k-ìïñöþí, 7 ôáéíßá ôïý M−bius, 76 åð' Üðåéñïí åêôåéíïìÝíç, 75 ôáõôüôçôá ôïý Euler, 24, 102 ôïý Green äåýôåñç, 102, 105 ðñþôç, 102, 104 ôåëåóôÞò Üóôñïõ ôïý Hodge, 18 ôïðéêÞ éóïìåôñßá, 137 ôïðéêüò äéáöïñïìïñöéóìüò, 60 ôïðéêüò ïëïêëçñùôéêüò ðáñÜãïíôáò äéáöïñéêÞò 1-ìïñöÞò, 46 ôïðéêþò åõêëåßäåéï äéóäéÜóôáôï ñçìáííéáíü ðïëýðôõãìá, 137 ôïðéêþò ðåðåñáóìÝíá êáëýììáôá, 87 ôïðïëïãßá åðáãüìåíç áðü äéáöïñßóéìç äïìÞ, 52 ôüñïò, 56, 155 éóüðåäïò, 134 ôñéãùíéóìïß (Þ ôñéãùíïðïéÞóåéò) óõìðáãþí åðéöáíåéþí, 145 ôñï·éÜóìáôá äéáíõóìáôéêïý ðåäßïõ, 47, 141 ôýðïò ôïý Kronecker, 44 õðåñâïëéêü åðßðåäï, 135 õðïðïëýðôõãìá

åõñåôçñéï åíüò ðïëõðôýãìáôïò, 61 êáíïíéêü, 63 õðü·ùñïò áðïóõíôåèåéìÝíïõ óôïé·åßïõ, 22 öéÜëç ôïý Klein, 54–56, 64, 74, 76 ·áñáêôçñéóôéêÞ êáôÜ Euler êáé Poincarª ìéáò óõìðáãïýò åðéöáíåßáò, 144–146, 148, 154, 155, 157 ·ùñßï, 36 áðëÜ óõíåêôéêü, 36 ·þñïò äõúêüò (åíüò äéáíõóìáôéêïý ·þñïõ), 2, 3 åöáðôüìåíïò, 1 ðñáãìáôéêüò ðñïâïëéêüò, 53, 74