О решетках доминионов в квазимногообразиях абелевых групп

Алгебра и логика, 44, № 2 (2005), 238—251

УДК 512.54.01

О РЕШЁТКАХ ДОМИНИОНОВ В КВАЗИМНОГООБРАЗИЯХ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП С. А. ШАХОВА Введение Понятие доминиона было введено в [1] для изучения эпиморфизмов. Доминионом подалгебры H универсальной алгебры A в полной категории M (A ∈ M), обозначаемым domM A (H), называется множество элементов a ∈ ∈ A таких, что ϕ(a) = ψ(a) для любых двух морфизмов ϕ, ψ : A → M (M ∈ ∈ M), совпадающих на H. Нетрудно заметить, что ϕ : A → B (A, B ∈ M) является эпиморфизмом в M тогда и только тогда, когда domM B (ϕ(A)) = B. Понятие доминиона тесно связано с понятием амальгамы [2]. Амальгама [A, B; H] — это пара универсальных алгебр A, B с общей подалгеброй H. Амальгама [A, B; H] называется специальной, если существует изоморфизм между универсальными алгебрами A и B, оставляющий неподвижными элементы H. Если в M для специальной амальгамы [A, B; H] существует свободное амальгамированное произведение, обозначаемое A ∗M H B, т. е. найдутся канонические инъективные морфизмы λ : A → A ∗M H B, ρ : B → A ∗M H B, причём A и λ(A), B и ρ(B) отождествляются, то domM A (H) = λ(A) ∩ ρ(B) (см. [2, 3]). Доминионы изучались в различных классах универсальных алгебр [3—5]. Однако, среди аксиоматизируемых классов только квазимногообразия обладают полной теорией определяющих соотношений, позволяющей определить в них свободное амальгамированное произведение для любой амальгамы [6, см. также 7]). Это является важным аргументом в пользу исследования доминионов в квазимногообразиях универсальных алгебр, c Сибиpский фонд алгебpы и логики, 2005

О решётках доминионов в квазимногообразиях абелевых групп

239

впервые предпринятого в [8]. В [8] понятие доминиона распространено на случай A 6∈ M, что оказалось полезным при изучении доминионов в квазимногообразиях. Появилась возможность ввести в рассмотрение множество L(A, H, M) = = {domN A (H) | N ∈ Lq (M)}, где Lq (M) — решётка подквазимногообразий квазимногообразия M. Там же найдены условия, при которых множество L(A, H, M) образует решётку относительно теоретико множественного включения, а также поставлена проблема изучения связей между решётками Lq (M) и L(A, H, M), в частности, сформулирован вопрос, какие условия необходимы, чтобы отображение ϕ : Lq (M) → L(A, H, M), при котором ϕ(N) = domN A (H) для любого N ∈ Lq (M), являлось антигомоморфизмом решётки Lq (M) на решётку L(A, H, M)? Исследованию этой проблемы для случая произвольного квазимногообразия абелевых групп посвящена основная часть настоящей работы. Доказывается, что доминион подгруппы H группы G в произвольном квазимногообразии абелевых групп M совпадает с наименьшей нормальной подгруппой группы G, содержащей H, фактор-группа по которой принадлежит M. Устанавливается: если G/domM G (H) — конечно порождённая группа, то множество L(G, H, M) образует полную решётку относительно теоретико множественного включения. И, наконец, находятся необходимые и достаточные условия, при которых отображение ϕ : Lq (M) → L(G, H, M), если ϕ(N) = domN G (H) для любого квазимногообразия N ∈ Lq (M), является антигомоморфизмом решётки Lq (M) на решётку L(G, H, M).

§ 1. Предварительные замечания Пусть M — квазимногообразие групп, G — группа, H — подгруппа группы G. Следуя [8], доминион подгруппы H группы G в квазимногообразии M определяется как domM G (H) = {g ∈ G | ∀M ∈ M ∀ϕ, ψ : G → M из ϕ|H = ψ|H вытекает ϕ(g) = ψ(g)},

240

С. А. Шахова

где ϕ, ψ : G → M — гомоморфизмы группы G в группу M ; ϕ|H , ψ|H — сужение ϕ, ψ на H. Очевидно, что доминион является подгруппой группы G, содержащей H. Более того, если M — произвольное квазимногообразие абелевых групп, то domM G (H) является нормальной подгруппой, содержащей коммутант группы G. Нетрудно также заметить, что для произвольных кваN зимногообразий M, N из N ⊆ M вытекает domM G (H) ⊆ domG (H).

В работе будут использоваться следующие обозначения: N — множество натуральных чисел; (n, r) — наибольший общий делитель чисел n, r ∈ N; H ≤ G означает, что H является подгруппой группы G; H  G означает, что H является нормальной подгруппой G; G/H — фактор-группа группы G по нормальной подгруппе H; g — элемент gH фактор-группы G/H; gr(H) — подгруппа группы G, порождённая H; E = {e} — единичная группа; Z — бесконечная циклическая группа; Zn — циклическая группа порядка n; Zp∞ — квазициклическая группа типа p∞ , p — простое число; G′ — коммутант группы G; ker ϕ — ядро гомоморфизма ϕ; ψϕ(g) = ψ(ϕ(g)) — образ элемента g при произведении двух гомоморфизмов ϕ, ψ. Через M(G, H) обозначается наименьшая нормальная подгруппа группы G, содержащая H, фактор-группа по которой принадлежит квазимногообразию M. Несложно показать, что для произвольного квазимногообразия M групп имеет место M(G, H) = {g ∈ G | ∀M ∈ M ∀ϕ : G → M из H ⊆ ker ϕ вытекает ϕ(g) = e}, где ϕ — гомоморфизм группы G в группу M . Через IsG (H) = gr(g | g ∈ G & (∃n)(n ∈ N & g n ∈ H)) обозначается изолятор подгруппы H в группе G. Если G′ ⊆ H, то IsG (H) = {g | g ∈ ∈ G & (∃n)(n ∈ N & g n ∈ H)} и IsG (H)  G.

О решётках доминионов в квазимногообразиях абелевых групп

241

Через q(G1 , . . . , Gn ) обозначается квазимногообразие, порождённое группами G1 , . . . , Gn . Согласно [9], два квазимногообразия абелевых групп совпадают тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые пересечения с множеством групп Q, состоящим из групп Z, E и циклических p-групп, где p пробегает множество всех простых чисел. Из результатов [9] вытекает, что произвольное квазимногообразие M абелевых групп представимо в виде M = q(S) для некоторого S ⊆ Q, а циклическая p-группа принадлежит квазимногообразию q(S) в том и только том случае, если она изоморфна W подходящей подгруппе некоторой группы из S. Кроме того, из M = Mi , i∈I   S Si . Отметим также: если группа Mi = q(Si ) (Si ⊆ Q) вытекает M = q i∈I

Z не принадлежит квазимногообразию M = q(S), то множество S состоит из конечного числа неизоморфных циклических p-групп, а M является многообразием. Отображение ϕ решетки (L1 , ∧, ∨) в решетку (L2 , ∧, ∨) назовем антигомоморфизмом, если ϕ(a ∨ b) = ϕ(a) ∧ ϕ(b), ϕ(a ∧ b) = ϕ(a) ∨ ϕ(b) для любых a, b ∈ L1 . Взаимнооднозначный антигомоморфизм называется антиизоморфизмом. Решетка называется полной, если для любого непустого подмножества этой решетки существуют точная верхняя и точная нижняя грани. Отображение полной решетки в полную решетку называется полным антигомоморфизмом, если оно точные нижние (верхние) грани непустых подмножеств переводит в точные верхние (нижние) грани их образов. Используемые в работе сведения из теории квазимногообразий и теории решёток содержатся в [7, 10, 11]. Опишем строение доминиона в произвольном квазимногообразии абелевых групп. ТЕОРЕМА 1. Доминион подгруппы H группы G в произвольном квазимногообразии абелевых групп M совпадает с наименьшей нормальной подгруппой группы G, содержащей H, фактор-группа по которой принадлежит M, т. е. domM G (H) = M(G, H).

242

С. А. Шахова ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что a ∈ domM G (H), ϕ : G →

→ M (M ∈ M) — гомоморфизм, удовлетворяющий условию H ⊆ ker ϕ. Рассмотрим гомоморфизм ψ : G → M , при котором ψ(g) = e для любого элемента g ∈ G. Поскольку ϕ|H = ψ|H и по определению доминиона имеем ϕ(a) = ψ(a). Значит, ϕ(a) = e и a ∈ M(G, H). Докажем обратное включение. Пусть a ∈ M(G, H), ϕ, ψ : G → → M (M ∈ M) — гомоморфизмы такие, что ϕ|H = ψ|H . Рассмотрим отображение

ϕ ψ

: G → M , определенное как

ко проверить, что

= ϕ(g)ψ(g)−1 . Лег-

является гомоморфизмом и H ⊆ ker ψϕ . Поскольку

ϕ ψ (a) = e. Значит, domM G (H). 2

a ∈ M(G, H), то доминиона, a ∈

ϕ ψ

ϕ ψ (g)

ϕ(a) = ψ(a) и, согласно определению

СЛЕДСТВИЕ 1. Пусть M — произвольное квазимногообразие абелевых групп, G — группа, H ≤ G. Тогда domM G (H) = H в том и только том случае, если H  G и G/H ∈ M. СЛЕДСТВИЕ 2. Пусть M — квазимногообразие абелевых групп без кручения, G — группа, H ≤ G. Тогда domM G (H) = H в том и только том случае, если H  G и IsG (H) = H. СЛЕДСТВИЕ 3. Пусть M — произвольное многообразие абелевых групп, G ∈ M, H  G. Тогда domM G (H) = H. Отметим, что теорема 1 при H = E ранее была доказана в [8], а следствие 3 вытекает из [3, лемма 2.6]. Для неабелевых квазимногообразий групп теорема 1 неверна, согласно [8], имеет место лишь включение domM G (H) ⊆ M(G, H). Например, пусть G = S3 — симметрическая группа 3-й степени, элементами которой являются подстановки 3-й степени, H = gr((12)) ≤ G, M = qG. Ясно, что M(G, H) = G, а отображение ϕ : G → G, при котором ϕ((12)) = (12), ϕ((13)) = (23), ϕ((23)) = (13), ϕ((123)) = (132), ϕ((132)) = (123), является гомоморфизмом. Поскольку ϕ|H = ψ|H , где ψ — тождественное отображение группы G в себя, то domM G (H) = H.

О решётках доминионов в квазимногообразиях абелевых групп

243

§ 2. Основной результат ЛЕММА 1. Пусть M — произвольное квазимногообразие абелевых групп, G — группа, H ≤ G, G/domM G (H) — конечно порождённая группа. Для любого множества квазимногообразий Ni ∈ Lq (M) (i ∈ I) имеет место равенство Ni

(H) = domi∈I G

\

i domN G (H).

i∈I

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если I — конечное множество, то требуемое W вытекает из [8, лемма 4.2]. Пусть I бесконечно. Положим N = Ni . Поi∈I

Ni скольку Ni ⊆ N, то domN G (H) ⊆ domG (H) для любого i ∈ I. Значит, T i domN domN G (H) ⊆ G (H). i∈I T N i Пусть a ∈ domN G (H). Докажем, что a ∈ domG (H). Рассмотi∈I

рим произвольный гомоморфизм ϕ : G → N ∈ N, удовлетворяющий условию H ⊆ ker ϕ. Поскольку G/ ker ϕ ∈ N ⊆ M и по теореме 1, domM(H) ⊆ ker ϕ. Имеют место изоморфизмы ϕ(G) ∼ = G/ ker ϕ ∼ = G

M ∼ = (G/domM G (H))/(ker ϕ/domG (H)). Значит, ϕ(G) является конечно по-

рождённой группой и разлагается, согласно [12], в прямое произведение циклических p-групп и бесконечных циклических групп. Предположим, что ϕ(a) 6= e. Покажем, что при данном предполоi жении a 6∈ domN G (H) для некоторого i ∈ I. Рассмотрим сначала случай,

когда существует проектирование π группы ϕ(G) на одну из циклических p-групп в разложении ϕ(G), при котором πϕ(a) 6= e. Поскольку ϕ(G) ∈ N, эта циклическая p-группа содержится в некотором квазимногообразии Ni , i i ∈ I. Из a 6∈ ker(πϕ) и теоремы 1 получаем a 6∈ domN G (H).

Осталось рассмотреть случай, когда πϕ(a) 6= e лишь при проектировании группы ϕ(G) на бесконечную циклическую группу в разложении. Если Z ∈ Ni для некоторого i ∈ I, то, применяя аналогичные предыдуi щим рассуждения, получим a 6∈ domN G (H). Пусть Z 6∈ Ni для любого i ∈ I.

Обозначим через b порождающий фиксированной группы Z в разложении ϕ(G), при проектировании π на которую выполняется πϕ(a) = bn 6= e для некоторого n ∈ N. Пусть n = pl11 . . . plkk — разложение n в произведе-

244

С. А. Шахова

ние степеней различных простых чисел p1 , . . . , pk . Поскольку Z ∈ N, то q(Zpl1 , . . . , Zplk ) 6= N и найдётся группа Zpsj ∈ N такая, что sj > lj для 1

j

k

некоторого j, 1 6 j 6 k, или Zqs ∈ N, где q — простое число, q 6= pi для любого i = 1, . . . , k. Пусть Zpsj = gr(c) ∈ N. Рассмотрим естественный гомоморфизм ψ : j

s

Z → Z/gr(b

pj j

lj

) = Zpsj . Тогда ψπϕ(a) = ψ(bn ) = cn = cpj

n′

6= e, т. к.

j

sj > lj и (pj , n′ ) = 1. Если Zqs = gr(c) ∈ N, то рассмотрим гомоморфизм s

ψ : Z → Z/gr(bq ) = Zqs . Поскольку (q, n) = 1, то ψπϕ(a) = ψ(bn ) = cn 6= e. Каждая из групп Zpsj , Zqs принадлежит некоторому квазимногообразию j

i Ni , откуда, по теореме 1, a 6∈ domN G (H). i Итак, из предположения ϕ(a) 6= e вытекает, что a 6∈ domN G (H) для T i некоторого i ∈ I. Значит, a 6∈ domN G (H). Это противоречит исходному

i∈I

предположению относительно элемента a. Следовательно, ϕ(a) = e, и, по

теореме 1, a ∈ domN G (H). 2 Следующая лемма является аналогом [8, теор. 4.4] и вытекает из леммы 1. ЛЕММА 2. Пусть M — произвольное квазимногообразие абелевых групп, G — группа, H ≤ G, G/domM G (H) — конечно порождённая группа. Множество L(G, H, M) = {domN G (H) | N ∈ Lq (M)} образует полную решётку относительно теоретико множественного включения. Для произвольного квазимногообразия абелевых групп M рассмотрим следующие подрешётки решётки Lq (M): L1q (M) = {N | N ∈ Lq (M), Z 6∈ N}, L2q (M) = {N | N ∈ Lq (M), Z ∈ N}. Для каждого i = 1, 2 определим множество i Li (G, H, M) = {domN G (H) | N ∈ Lq (M)}.

ЛЕММА 3. Пусть M — произвольное квазимногообразие абелевых групп, G — группа, H ≤ G, G/domM G (H) — конечно порождённая груп(H) = па. Для N, R ∈ Liq (M), i = 1, 2, выполняется равенство domN∧R G R = domN G (H)domG (H).

О решётках доминионов в квазимногообразиях абелевых групп

245

R ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Включение domN∧R (H) ⊇ domN G G (H)domG (H)

вытекает из определения доминиона. Докажем обратное включение. Рассмотрим произвольный элемент a ∈ domN∧R (H) и покажем, что найдутся G R r числа n, r ∈ N такие, что an ∈ domN G (H), a ∈ domG (H). R Пусть N, R ∈ L1q (M). Тогда G/domN G (H) ∈ N, G/domG (H) ∈ R по R теореме 1. Значит, G/domN G (H), G/domG (H) — периодические группы и

такие n, r существуют. Пусть N, R ∈ L2q (M). Поскольку G/IsG (gr(G′ , H)) ∈ qZ ⊆ N ∧ R, то, по теореме 1, domN∧R (H) ⊆ IsG (gr(G′ , H)). Из включений gr(G′ , H) ⊆ G R N ′ n r ⊆ domN G (H), gr(G , H) ⊆ domG (H) вытекает, что a ∈ domG (H), a ∈

∈ domR G (H) для некоторых n, r ∈ N. Пусть n, r ∈ N — наименьшие числа такие, что an ∈ domN G (H) и N R ar ∈ domR G (H). Если (n, r) = 1, то a ∈ domG (H)domG (H) и лемма до-

казана. Предположим, что (n, r) 6= 1, p — некоторое простое число, являющееся делителем (n, r). Группа G/domM G (H) — конечно порождённая, R значит, G/domN G (H), G/domG (H) также конечно порождены. Рассмотрим R проектирования π1 : G/domN G (H) → Zps ∈ N и π2 : G/domG (H) → Zpt ∈ R R на p-компоненты в разложениях G/domN G (H), G/domG (H) в прямые про-

изведения циклических групп такие, что π1 θ1 (a) 6= e, π2 θ2 (a) 6= e, где R θ1 : G → G/domN G (H), θ2 : G → G/domG (H) — естественные гомо-

морфизмы. Не теряя общности, можно предполагать, что s 6 t. Тогда Zps ∈ N ∧ R. Поскольку H ⊆ ker(π1 θ1 ), π1 θ1 (a) 6= e и по теоре(H). Полученное противоречие означает, что (n, r) = 1, ме 1, a 6∈ domN∧R G R a ∈ domN G (H)domG (H). Итак, обратное включение доказано, т. е. выполR няется равенство domN∧R (H) = domN G G (H)domG (H). 2

ЛЕММА 4. Пусть M — произвольное квазимногообразие абелевых групп, G — группа, H ≤ G, G/domM G (H) — конечная группа. Тогда R domN∧R (H) = domN G G (H)domG (H) для N, R ∈ Lq (M).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Достаточно

показать

domN∧R (H) G

⊆

R ⊆ domN G (H)domG (H). Из леммы 3 вытекает, что можно ограничить-

ся случаем Z 6∈ N, Z ∈ R. Пусть m — порядок группы G/domM G (H), mk 1 m = pm — разложение числа m в произведение степеней раз1 . . . pk

246

С. А. Шахова

личных простых чисел p1 , . . . , pk . Легко заметить, что R = R1 ∨ R2 , где R1 = q(Z, Zql1 , . . . , Zqsls , . . .), R2 = q(Zpr1 , . . . , Zprk ), q1 , . . . , qs , . . . — 1

1

k

простые числа, не являющиеся делителями m; l1 , . . . , ls , . . . , r1 , . . . , rk ∈ ∈ N ∪ {∞} ∪ {0}. 1 Заметим, что domR G (H) = G. Действительно, пусть ϕ : G → R ∈

∈ R1 — произвольный гомоморфизм, удовлетворяющий условию H ⊆ ⊆ ker ϕ. Поскольку G/ ker ϕ ∈ R1 ⊆ M и по теореме 1, domM G (H) ⊆ ker ϕ. Отображение ψ : G/domM G (H) → R, заданное по правилу ψ(g) = ϕ(g) для любого элемента g ∈ G, является гомоморфизмом. Ясно, что ϕ = ψθ, где θ : G → G/domM G (H) — естественный гомоморфизм. Из описания квазимногообразия R1 получаем ϕ(G) = ψθ(G) = ψ(G/domM G (H)) = E. По 1 теореме 1, domR G (H) = G.

R1 ∨R2 R2 1 По лемме 1, domR (H) = domR G (H) = domG G (H)∩domG (H) = G∩ R2 2 ∩domR G (H) = domG (H). Используя свойство дистрибутивности решётки

квазимногообразий абелевых групп [10], получаем N∧(R1 ∨R2 )

domN∧R (H) = domG G

(N∧R1 )∨(N∧R2 )

(H) = domG

(H)

N∧R1 N∧R2 N∧R2 N∧R2 = domG (H) ∩ domG (H) = G ∩ domG (H) = domG (H).

Положим s1

= min(mk , rk ). Рассмот-

= min(m1 , r1 ), . . . , sk

рим квазимногообразие R′2 = q(Zps1 , . . . , Zpsk ). Очевидно, R′2 = R2 ∧ 1

R′

k

R2 M 2 ∧q(G/domM G (H)), domG (H) ⊆ domG (H). Поскольку q(G/domG (H)) является многообразием, то, используя изоморфизм G/domR2 (H)) ∼ = G

R2 R2 M ∼ = (G/domM G (H))/(domG (H)/domG (H)), получим G/domG (H) ∈ R2 ∧ R′

R2 ′ 2 ∧q(G/domM G (H)) = R2 . По теореме 1, domG (H) ⊆ domG (H), откуда R′

2 2 domR G (H) = domG (H).

Применяя лемму 3, получаем N∧R′2

domN∧R (H) = domN∧R2 ⊆ domG G

R′

2 (H) = domN G (H)domG (H)

R2 N R = domN G (H)domG (H) = domG (H)domG (H). 2

ЛЕММА 5. Пусть M — произвольное квазимногообразие абелевых групп, G — группа, H ≤ G, G/domM G (H) — конечно порождённая группа. Если M = q(G/domM G (H)), то для произвольных квазимногообразий

О решётках доминионов в квазимногообразиях абелевых групп

247

N, R ∈ Lq (M) выполняется N = q(G/domN G (H)) и справедливо равенство R N∧R domN (H). G (H) ∨ domG (H) = domG

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По теореме 1, q(G/domN G (H)) ⊆ N. Предположим, что N 6= q(G/domN G (H)). Рассмотрим возможные случаи. Пусть Z 6∈ q(G/domN G (H)), Z ∈ N. Обозначим через a порождающий некоторой группы Z в разложении G/domM G (H) в прямое произведение циклических групп, π : G/domM G (H) → Z ∈ N — проектирование групM пы G/domM G (H) на эту компоненту, θ : G → G/domG (H) — естественный

гомоморфизм, a — некоторый прообраз элемента a при естественном гомоморфизме θ. Для любого n ∈ N выполняются πθ(an ) = π(an ) = (π(a))n 6= e и H ⊆ ker(πθ), следовательно, по теореме 1, an 6∈ domN G (H) для любого n ∈ N. Отсюда вытекает Z ∈ q(G/domN G (H)), что противоречит предположению. Значит, случай Z 6∈ q(G/domN G (H)), Z ∈ N невозможен. Предположим, что Zpl 6∈ q(G/domN G (H)), Zpl ∈ N, Zpl+1 6∈ N. Пусть a — порождающий группы Zpm (m > l) в разложении группы G/domM G (H) в прямое произведение циклических групп. Рассмотрим подp группу (G/domM G (H))

m−l

p группы G/domM G (H), и пусть a

дающий группы Zpl в разложении группы

m−l

pm−l (G/domM G (H))

— порожв прямое

произведение циклических групп. Построим следующую цепочку гомоморфизмов: θ : G → G/domM G (H) — естественный гомоморфизм, ϕ : M p G/domM G (H) → (G/domG (H))

дый элемент в свою

pm−l -ю

m−l

— гомоморфизм, отображающий каж-

p степень, π : (G/domM G (H))

p проектирование группы (G/domM G (H)) pm−l

жении, порождённую элементом a

m−l

m−l

→ Zpl ∈ N —

на компоненту Zpl в её разло-

.

Пусть a — некоторый прообраз элемента a при естественном гомоморфизме θ. Поскольку πϕθ(ap = π(ap

m−1

) = ap

m−1

l−1

) = πϕ(ap

6= e, H ⊆ ker(πϕθ), то ap

l−1

l−1

) = π((ap

m−l

)p

l−1

) =

6∈ domN G (H). Из Zpl ∈ N

l

и Zpl+1 6∈ N следует, что ψ(ap ) = e при любом гомоморфизме ψ : G → l

N → N ∈ N. По теореме 1, ap ∈ domN G (H), откуда Zpl ∈ q(G/domG (H)).

Полученное противоречие означает, что случай Zpl 6∈ q(G/domN G (H)), Zpl ∈ N, Zpl+1 6∈ N также невозможен. Следовательно, N = q(G/domN G (H)).

248

С. А. Шахова R N∧R Докажем, что domN (H) для произвольG (H) ∨ domG (H) = domG

ных квазимногообразий N, R ∈ Lq (M). В силу определения доминиона R из N ⊆ R вытекает domN G (H) ⊇ domG (H). Покажем, что N ⊆ R, есR N R R ли domN G (H) ⊇ domG (H). Имеем domG (H) ∩ domG (H) = domG (H) =

= domN∨R (H). Из первого утверждения данной леммы вытекает, что разG ные подквазимногообразия квазимногообразия M обладают разными доминионами. Значит, R = N ∨ R и N ⊆ R. R По определению точной верхней грани domN G (H) ∨ domG (H) =

= domK G (H), где K — квазимногообразие, порождённое множеством всех квазимногообразий Ni ∈ Lq (M) (i ∈ I), удовлетворяющих условию N R i domN G (H) ⊇ domG (H) ∪ domG (H). Тогда Ni ⊆ N ∧ R, откуда K = N ∧ R. 2

ЛЕММА 6. Пусть M — произвольное квазимногообразие абелевых групп, G — группа, H ≤ G, G/domM G (H) — конечно порождённая группа и выполняется одно из условий 1) G/domM G (H) — конечная группа; 2) M = q(G/domM G (H)). Тогда для любого множества квазимногообразий Ni ∈ Lq (M) (i ∈ I) справедливы равенства ^

i∈I

Ni

i∈I i (H), domN G (H) = domG

_

Ni

i∈I i (H). domN G (H) = domG

i∈I

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Справедливость первого равенства уже доказана в лемме 1. Если M = q(G/domM G (H)), то решётка Lq (M) конечна и второе равенство выполняется в силу леммы 5. Пусть G/domM G (H) — конечная группа. Положим R = q(G/ domM G (H)). Применяя лемму 4 для любого квазимногообразия N ∈ Lq (M) получим N M N domN∧R (H) = domNdomR G G (H) = domG (H)domG (H) = domG (H).

Из конечности решётки Lq (R) следует, что для любого множества квазимногообразий Ni ∈ Lq (M) (i ∈ I) найдётся конечное подмножество индексов

О решётках доминионов в квазимногообразиях абелевых групп

249

J ⊆ I такое, что {Ni ∧ R | i ∈ I} = {Ni ∧ R | i ∈ J}. По лемме 4 _

Ni domG (H) =

i∈I

_

i ∧R domN (H) = G

i∈I

i∈J i ∧R domN (H) = domG G

(Ni ∧R)

(H)

i∈J Ni ∧R

(Ni ∧R)

= domi∈I G

_

(H) = domG

i∈J

(H) = domi∈J G

Ni

(H). 2

ТЕОРЕМА 2. Пусть M — произвольное квазимногообразие абелевых групп, G — группа, H ≤ G, G/domM G (H) — конечно порожденная группа. Отображение ϕ : Lq (M) → L(G, H, M), при котором ϕ(N) = = domN G (H) для любого квазимногообразия N ∈ Lq (M), является антигомоморфизмом решётки Lq (M) на решётку L(G, H, M) в том и только том случае, когда выполняется одно из условий 1) G/domM G (H) — конечная группа; 2) M = q(G/domM G (H)). Если условия 1, 2 выполняются, то отображение ϕ является полным антигомоморфизмом. Отображение ϕ является антиизоморфизмом в том и только том случае, если M = q(G/domM G (H)). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть выполняется одно из условий 1, 2. По лемме 6, ϕ является полным антигомоморфизмом решётки Lq (M) на решётку L(G, H, M). Предположим теперь, что ни одно из условий 1, 2 не выполняется. Положим R = q(G/domM G (H)), тогда M 6= R, Z ∈ R. Значит, найдётся группа Zpm ∈ R такая, что Zpm+1 6∈ R, Zpm+1 ∈ M, где m > 0. Квазимногообразие R представимо в виде R = q(Z) ∨ R′ , где R′ — квазимногообразие, порождённое всеми периодическими абелевыми группами из разложения группы G/domM G (H) в прямое произведение циклических групп. M Пусть N = q(Zpm+1 ) ∨ R′ . Нетрудно заметить, что domR G (H) = domG (H) ⊆ ′ ⊆ domN G (H), N ∧ R = R . ′

R Покажем, что domN G (H) 6= domG (H). Действительно, пусть a — один

из порождающих циклической группы бесконечного порядка из разложения группы G/domM G (H) в прямое произведение циклических групп. По-

250

С. А. Шахова

скольку N, R′ — многообразия абелевых групп, то можно выбрать наи′

N n меньшие числа l, n ∈ N со свойствами al ∈ domR G (H), a ∈ domG (H). Из

Zpm+1 6∈ R′ , Zpm+1 ∈ N, Zpm+2 6∈ N следует, что pm+1 делит n, но не делит ′

R N∧R l, откуда domN (H) = G (H) 6= domG (H). Таким образом, ϕ(N ∧ R) = domG ′

N N M N R = domR G (H) 6= domG (H) = domG (H) ∨ domG (H) = domG (H) ∨ domG (H) =

= ϕ(N) ∨ ϕ(R). Значит, ϕ не является антигомоморфизмом. Докажем последнюю часть теоремы. Пусть M = q(G/domM G (H)). R По лемме 5, N 6= R влечёт domN G (H) 6= domG (H). Значит, ϕ — ан-

тиизоморфизм. Обратно, пусть ϕ — антиизоморфизм. Из domM G (H) = q(G/domM G (H))

= domG

(H) получаем M = q(G/domM G (H)). 2

В заключение автор выражает благодарность А. И. Будкину за ценные замечания и советы, высказанные в ходе подготовки статьи.

ЛИТЕРАТУРА 1. J. R. Isbell, Epimorphisms and dominions, Proc. Conf. Categor. Algebra, La Jolla 1965, Springer-Verlag, New York, 1966, 232—246. 2. P. V. Higgins, Epimorphisms and amalgams, Colloq. Math., 56, N 1 (1988), 1—17. 3. A. Magidin, Dominions in varieties of nilpotent groups, Commun. Algebra, 28, N 3 (2000), 1241—1270. 4. D. Wasserman, Epimorphisms and dominions in varieties of lattices, Ph.D. thesis, Univ. California, Berkeley, 2001. 5. G. Bergman, Ordering coproducts of groups and semigroups, J. Algebra, 133, N 2 (1990), 313—339. 6. А. И. Мальцев, Алгебраические системы, М., Наука, 1970. 7. В. А. Горбунов, Алгебраическая теория квазимногообразий (Сиб. школа алгебры и логики), Новосибирск, Научная книга (ИДМИ), 1999. 8. A. Budkin, Dominions in quasivarieties of universal algebras, Stud. Log., 78, N 1-2 (2004), 120—127. 9. А. А. Виноградов, Квазимногообразия абелевых групп, Алгебра и логика, 4, № 6 (1965), 15—19. 10. А. И. Будкин, Квазимногообразия групп, Барнаул, Алтайский гос. ун-т, 2002.

О решётках доминионов в квазимногообразиях абелевых групп

251

11. Г. Биркгоф, Теория решёток, М., Наука, 1984. 12. М. И. Каргаполов, Ю. И. Мерзляков, Основы теории групп, М., Наука, 1982.

Поступило 20 апреля 2004 г. Адрес автора: ШАХОВА Светлана Александровна, пр-т. Социалистический, д. 59, кв. 94, г. Барнаул, 656049, РОССИЯ. Тел.: (3852) 26-25-08. e-mail: [email protected]