О РАВН0ВМ1И И ДВИЖЕНШ ЖИДКОСТИ
ПРИ В З А Ш Д Ш Т В И ЕЯ ЧАСТЙЦЪ.
При изученш и изсл1>доваши вопроса о фигур* земли при шлось мн* заняться общею Teopiero равнов!>е1я и движешя жидкости при взаимодФйствш ея частицъ и придти къ н*которымъ выводамъ, относящимся къ этой теорш. Не встречая ихъ въ изв'Ьстныхъ MHt трудахъ ученыхъ по гидростатика и гидродинамика и признавая ихъ не лишенными интереса, я решаюсь обратить на нихъ внимаше публики.
1. Пусть требуется определить положешя равнов*с1я сплош ной однородной жидкой массы М, частицы которой взаимно притягиваются пропорщонально разстояшямъ и, кром* того, подвержены д*йетв1ю тяжести. Возмемъ систему осей х, у, z такъ, чтобъ направлеше оси % было противоположно направлешю тяжести; означимъ чрезъ Д плотность жидкости, чрезъ [л притяжеше единицы массы на разстояши равномъ единиц*. Известное дифференщальное уравнеше свободной поверхности жидкости въ равHOBtcin
1 <иг
2
Xdx -f- Ydy + Zdz = 0 въ нашемъ случае приметъ видъ dx j I if/A (ж'—ж) dx'dy'dz' -f- ^У S ! {Н^СУ'—y)dx'dy'dz' -\4- ds — g- - f j J j {лД (а'—я)
dx'dy'dz
= 0
(1)
^> У> s суть координаты какой бы то ни было точки свобод ной поверхности жидкости; х', у1, z' — координаты какой бы то ни было точки жидкости; интегрировашя распростра няются на всю массу жидкости. Выводя х, у и z въ ур. (!) изъ подъ знаковъ интеграловъ, замечая, что I I I [/Л dx'dy'dz J
i^Ax'dx'dy'dz
= рЖ, и обозначая
чрезъ р.Щ, I I I pAy'dx'dy'dz'чрезъ
J | J р.Д z'dx'dydz
рЩ,
чрезъ рЩ, - | ~ чрезъ А, получаемъ
Со — #) dx -f- (y —y) % + (* — А — Ä) r/z = 0 Интегращя даетъ
{x-xf
+ (y-y)2
+ ( ï - A - * ) 8 = г«,
где г — произвольное постоянное. Итакъ свободная поверхность жидкости должна быть по верхностью сферы. Задача решена, но не вполне: не определены еще поетоянныя г, х, у, z. Для определения г, Ъ, у и 1 нужно, очевидно, воспользо ваться уравнешями М=
( Г ) Д dx'dy'dz',
Mi= )|Г
Ьх'dx'dy'dz,
— 3 —
Щ= \ \ \ ày'dx'di/dz',
м: =
\ \ \ bz'dx'dy'dx,
который по выполненш ннтеграцШ примутъ видъ
(2) y — fi^tx, z
у, z),
— fAr>x
z)-
Уравнения (2) могутъ иметь несколько системъ решешй: каждая система дейетвительныхъ решенш будетъ соответ ствовать особому положешю равновешя жидкости. Разсмотримъ некоторые частные случаи. a) Жидкость свободна (не заключена въ сосудъ). Вся по верхность жидкости будетъ въ этомъ случае свободною по верхностью: жидкая масса должна быть жидкою сферою. Урав нения (2) обращаются въ 4>
М== ~ъаг\
X — OÙ,
у = у, z = z—h
Первое изъ этихъ уравненш определяете г, послелнее по казываете, что равновееае возможно только тогда, когда Л=0, когда g = О, когда тяжесть на частицы жидкости не дей ствуете, я, у и 1 остаются совершенно произвольными. b) Жидкость не свободна. Несвободною поверхностью жид кости, внутреннею поверхностью заключающаго жидкость сосуда, пусть будетъ горизонтальная плоскость. Примемъ эту плоскость за плоскость ху. Жидкая масса въ настоящемъ случае должна иметь форму сферическаго сегмента. Уравнешя (2) обращаются въ M
: тсД U ^3 — (h—z)
г?
+ -3 (*—*)* h * = х, у=^у,
('+»-'./ 7 = 7 _ J + ' 34 (2г +А—7) Первое и последнее изъ этихъ уравненШ опред'Ьляютъ г и 7; второе и трет1е показываютъ, что œ шу суть величи ны совершенно произвольные. До сихъ поръ мы разсматривали жидкость однородную. Положить теперь, что данная намъ жидкость разнородна, что она состоитъ изъ двухъ жидкостей, изъ которыхъ одна им1>етъ массу M и плотность а, другая — массу М' и боль шую плотность Д'. -— Зная, что частицы разнородной жид кой массы въ paBHOBtcin составляютъ однородные слои уров ня и проч., заключаемъ, что уравнеше свободной поверхно сти будетъ
(*_*)* + Су-уУ + Çz-h - zf = r\ что уравнеше поверхности, отделяющей массу M отъ массы М', будетъ Постоянныя г, г, w, у, 1 определятся изъ уравненШ M' = frfM', M = Г dU,
х (м + м') = Г х m + Çx'dW, (3)
У(М+М')= ( V dm + Г y' dwr, ~z (M 4- M') == Г z'd M +
fz'tfM'.
Если жидкая масса свободна и частицы ея не подвержены д1зйствт тяжести, то
м'=|тгду з ,м=-^ А 0 3 — 0> * = *, » = », 1 = т
_ 5 — Вотъ какъ легко и полно решаются вопросы о равнов^сш жидкости, частицы которой взаимно притягиваются пропорцюнально разетояшямъ! Столь же полно, но не столь же легко, путемъ сейчасъ указанньшъ решаются вопросы о равновъсш жидкости при другихъ законахъ взаимод,Ьйств1я ея частицъ. Пусть, на прим'бръ, требуется определить положешя равHOB^cifl однородной жидкой массы, частицы которой взаимно притягиваются пропорцюнально кубамъ ^разетояшй. Дифференщальное уравнеше свободной поверхности жид кости будетъ dx\\
Cr2 (V — х) dx'dydz +ау\\
J г2 {у — у) dxdy'dz' +
+ dz Г Г \r2 (z—z) dx'dt/dz = О, (4) гд* г2 = (x'-xf 4- (Г—У)2 + (*' - *)2Взявши начало координатъ въ центр* тяжести жидкости, оси координатъ по направленш главныхъ осей инерщи жид кой массы, выведя ху у и s въ ур. (4) изъ подъ знаковъ интеграловъ и положивши [{[xndxrdyrdzf ÇÇÇy'*dx'dy'dz
= A, =В,
ÇÇÇz'*dx'dy'dz' = C>
ЯР
{хп + ул + s'2) x'dx'dy'dz' = D,
(хп + у" + zn) y'dx'dy'dz = Е, (хп + уп + zn) z'dx'dy'dz' = F,
(5)
— 6— получимъ M - (хй + у2 + zs) (xdx + y(fy H- «&) -j+ (A H- В -f- C) (жЖв + tjdij + zrfz) -f + 2 (Aa;«fcc + Byrfy _|_ Czdz) — Ddx — Edy — Fdz = 0. Интегращя даетъ M + 4 (A^r2 -f By2 + (V) — 4 (Da; + Ey + F*) = G. Вотъ уравнеше свободной поверхности жидкости. Для определешя постоянныхъ А, В, С, D, Е, F и G должны послужить ур. (5) и уравнеше
2. Положешя равновешя системы отличаются, какъ известно, отъ другихъ возможныхъ для системы положешй гЬмъ, что при нихъ функщя силъ имеетъ наибольшую или наимень шую величину, — Попытаемся на основанш этого свойства определить положешя равновешя свободной однородной жид кой массы М, частицы которой взаимно притягиваются пропорщально разетояшямъ. Для п точекъ, взаимно притягивающихся пропорцюнально разетояшямъ, функщя силъ U, какъ не трудно убедиться, определится уравнешемъ п
и
п
k l кУ+(îfi tjkf+{Zi ZkY = - lZm*lr &* °° ~ ~ î î
l
Въ случае непрерывной однородной массы, плотность ко торой есть Д,
— 7 —
Заменивши въ этомъ уравненш прямолинейныя координаты сферическими, положивши: х. = г cos fcos I, y.=r cos f sin I, zi = r sin f, xh == p cos 9 cos \ yk == p cos cp sm X, г& = p sin 9, получимъ U = —i^(T(V2cos/d/Wdr Г(Т|г2+р2 — — 2rp {cosfcoslcos 9 cos X -f~ cosfsinlcos 9 smÀ-f -f- sm / ш Ф) [ p2 cos 9 dodXdp.
(6)
Допуетимъ, что начало осей координата взято внутри мас сы и что каждый рад1усъ векторъ встречаете поверхность массы въ одной только точке. Решеше задачи, которую мы себе предложили, должно со стоять въ определенш частныхъ значешй изменяющихся по виду функщй г и р подъ услов!ями; а) чтобъ вар!ащя шестикратнаго интеграла U (ур. 6) равнялась нулю; Ъ) чтобъ шести кратный интегралъ I I I Дг2 cos f dfdldr J I j A^cos^d^dldp равнялся M2; с) чтобъ г и ея вар!ащя были точно такими же функщями f и I, какими функщями <р и X будутъ р и ея вар!ащя. Взявъ <5 (U + с I S I àr2 cos fdfdldr
I j j Др2 cos çdçdîXdp),
где с неопределенный множитель, и приравнявъ ее нулю, получимъ j j г2 cosfdfdlSr
И^ j j р3 cos 9 dcp dl —
г cos Lfcos l jС jСр*, - *ç V - , л со§ со§ л dç ад —»
— 8— r cos fsin " ' 1С Г 4 2 -| j j p cos
4- j j p2 cos
p
-
L
1
cosfdfdl
—
p cos Ф cos >. Г Г 4 , £ 1 I I r4 cos^ f cosldfdl ~ -11Ц™* _pJpjj^cosfsinfdfdl
ffSco.'f +
JJ^
unlaw+e)co,
fdfd/~U
о
Отсюда, принявши во внииаше связь между функциями г и ор и ихъ BapianbiMH, заключимъ, что г2 С С 1 fjfjt ! _ j J r» во*Л*Л«
rcosfcoslCCt 1 J J r* cos* f
+ J J ( r g + в ) CO* fd/Vtf
=
cosldfdl-^
0,
иди, положивъ I ГГг3 coefd/d/ = A, ijCr*cos'fcosldfdl K
-Ç(r" cos'fsin Idf dl = D, IjJ^cos
fsinfdfdl = £,
J J ^ +Aco,fdfdl = F, что
= B, (7)
_ 9— Ar2 — Br cos fcosl — Dr cos f sin l — Er sin f -j- F = 0. (8) Вотъ уравнеше свободной поверхности жидкости. Для опре« делешя постоянныхъ А, В, D, Е й F должны послужить ур. (7) и уравнеше
ш
àr2cosfdfdldr^M.
Уравнеше (8), какъ не трудно убедиться, есть уравнеше сферы въ сферическихъ координатахъ. Результату къ которому мы теперь пришли, не особенно интерееенъ, потому что не новъ, но путь, которымъ мы къ нему пришли, не лишенъ, кажется, интереса.
3. При рЪшенш вопросовъ о движенш жидкости, частицы ко торой взаимно притягиваются по некоторому закону, встре чается точно такое же затруднеше, какъ при решенш вопро совъ о равновесия ея: X, У и Z въ уравнешяхъ движешя Ф — \(\ à
^- V
d x
"\
Ф_ à
df)^~ \
А
/у y
d
*y\
Ф — A (l
--3?J'S-4
d Z
"\
df)
суть функщи не извеетныя, — функщи зависящ1я отъ формы движущейся жидкой массы и отъ закона изменешя въ ней плот ности. Извеетнымъ намъ способомъ можно, очевидно, и здесь устранить затруднеше. Такъ уравнешямъ движешя жидкой массы М, частицы которой взаимно притягиваются пропорщонально разетояшямъ,
1=д [fjjw-»)****-$]
— 10
t-'fflf^e—w«-!?] можно дать видъ
|=*Н-*)-§]. Для опред^лешя ж, у и 7 поелужатъ уравнешя М = ÇÇÇkdx'dydz',
Ш—ÇÇÇbx'dafdydz',
Му= ÇÇÇày'dx'dij'dz, М7= [ГГДА'*Ж%'<&'. Чтобъ пояснить возможно простымъ прим'Ьромъ сказанное сейчаеъ, рфшимъ вопросъ о форм1> поверхности свободной, вращающейся около оси, однородной жидкой массы М, ча стицы которой взаимно притягиваются пропорцюнально разстояшямъ. Иримемъ ось вращешя жидкости за ось z и означимъ чрезъ to угловую скорость вращешя. Дифференщальное уравнеше свободной поверхности будетъ (™ _ Цх) dx + (£•— k\j) dij + (7— z) dz = 0,
Интегрируя уравнеше (9), получаемъ -а*
(9)
— il — Вотъ уравнеше свободной поверхности,—уравнеше элли псоида вращешя. Для опред'Ьлешя Ф, у", 7 и а будемъ им^ть уравнешя д,
л»
M = gîcAifea, œ=j^,
у
У=^Т>
*= * •
Первое уравнеше опредФляетъ а; два ел^дующихъ даютъ: J * = 0, t/"= 0; последнее ноказываетъ, что 7 есть величина совершенно произвольная.
4. Интересно наследовать болФе сложные случаи движешя жидкости, частицы которой взаимно притягиваются пропорцюнально разстояшямъ. Для такого изслЪдовашя необходимо познакомиться съ некоторыми общими свойствами равнов'ЬЫя и движешя жидкости. Познакомимся же съ ними. Пусть мы имФемъ жидкую массу въ равнов^сш. Возмемъ внутри ея какую нибудь точку т. Отъ точки m проведемъ рядъ какихъ нибудь лиши siy s 2 ,.... къ свободной поверхности. На основаши того, что давлеше во ве£хъ точкахъ свободной поверхности одинаково по величин* (равно нулю, если нФтъ вн^шняго давленш), заключимъ, что интегралы
Л*"/!** • взятые по лишямъ *4, s2, отъ точки m до свободной по верхности, равны между собою (каждый изъ интеграловъ ра вняется давлешю на свободной поверхности безъ давлешя въ точк* т). Уравнешя равнов^шя жидкости ах
dy
заключаюгщяея въ одномъ уравнения
dz
— 12 —
убФдятъ за тФмъ въ равенства между собою интеграловъ
JAS,*,, pà$ ds , 2
2
Если лишя sn перееФкаетъ въ двухъ точкахъ свободную поверхность, то J ASnc/5n, взятый между точками свободной поверхности, равенъ нулю. Пусть жидкость свободна. На основанш сказаннаго сейчасъ заключаемъ: а) о равенства нулю интеграловъ \aXdx,
iäYdy,
\tJLdz4
взятыхъ между точками поверхности жидкости по лишямъ параллельнымъ осямъ координатъ; Ь) о равенств* нулю интеграловъ
Г XüXdxdy, f ïàXdxdz, J \Mdxdtj,
J iùJdydz,
I |AZ(tedi8,| J \Mdydz, взятыхъ между точками поверхности жидкости по плоскостящъ параллельнымъ плоскостямъ координатъ; с) о равенств* нулю интеграловъ I | | äXdxdydz,
| I J àYdœdydz,
I | l àZdxdydz,
распространенныхъ на всю массу яшдкоети.
— 13 — Прим^неше сд^ланныхъ сейчасъ выводовъ къ двяжешю сво бодной жидкой массы приводитъ къ уравнешямъ
| А ( х -ж)* с = 0 '
K Y -^> = °-
(Ю)
/ / Д ( X -^) r f ^=JJ A (Y-J)H=,.MI (11)
HfA(Y~^f)dxdydz^>
(12)
JJJ A ( z ~S) da; ^ 2==o 5. Воспользуемся выводами предыдущего параграфа такой задачи: определить движеше свободной о Г Р *" ДНо Р°Дн о й жидкой массы М, частицы которой вза И м н о пп ° ЯГИва ются пропорцюнально разстояшямъ и которой в ъ „ ~ жея1Я Дана форма эллипсоида вращешя (начальны«ZT ***' ск частицъ жидкости, положимъ, равны ну д ю ). <>рости
Шен1я
На
основаншур- (12), обращающихся для нашего с
лг_0 ъ .яключимъ,
n
лучаявъ
dv
что центръ тяжести ж И д К о с т и
^ о с р « « -
"
«
^
Въ
начал.
Д ш ш ^ Г ^ ^
_ и— тяжести жидкости былъ центръ эллипсоида, служившаго на чальною поверхностью жидкости; эта точка будетъ следова тельно центромъ тяжести жидкости во все время движешя. Примемъ ее, для упрощешя формулъ, за начало координатъ. Уравнешя (10) для нашего случая обращаются въ etх
,-—, d y
d z
_____
и даютъ по интеграцш и по надлежащемъ определенш npt)извольныхъ постоянныхъ 7=Г 0 со*(/\/(/Л1), ^f=^\cos(t\/ijM)}
l7=70cos(t\/iLM).
(13)
Время I считаемъ мы отъ момента начала движешя. Уравнешя (13) даютъ возможность определять движешя центровъ тяжести частицъ жидкости, находящихся на лшияхъ параллельныхъ осямъ координатъ, находящихся на какихъ бы то нибыло прямыхъ лишяхъ. Прежде чемъ пойдемъ далее въ решепш задачи, упростимъ ее. Весьма легшясоображешя приводятъ къ тому заключенно, что поверхность жидкой массы во все время движешя будетъ поверхностью вращешя около оси вращешя начальной по верхности. Если такъ, то решете вопроса о движенш жид кости, объ измененш со временемъ формы ея поверхности, приводится къ решешю вопроса объ измененш со временемъ формы одного изъ мерщданныхъ сеченШ. Возмемъ ось z по оси вращешя. Плоскость, заключающую мерид!анное сечеше, изменеше формы котораго со временемъ мы хотимъ определить, примемъ за плоскость xz. Уравнеше начальнаго меридшннаго еечешя будетъ
Въ плоскости xz возмемъ новую систему осей ££, имеющихъ тоже начало, но наклоненныхъ къ осямъ х и z на уголъ ср. Формулы преобразования координатъ даютъ
_
45 —
x — \cos^ — £smç
\ — xcos(% 4~ zsin(f
£ = Свшр + ('COS©
£ = — xsino 4~ zcos'$
Зам'Ьнивъ а? и z въ ур. (14) ихъ величинами изъур. (15), получимъ Ьй [l2cos2<ç — 2<&sm
2
(16)
Возмемъ на оси z какую нибудь точку А и координату ея z означимъ чрезъ zk. Чрезъ точку А проведемъ прямую AN па раллельно оси Ç. Движете центра тяжести частицъ жидко сти, находящихся на прямой AN, определится, какъ мы знаемъ ; уравнешемъ
(17>
X'=t\co*W'eM>
Го есть координата начальнаго положешя центра тяжести, есть полусумма координатъ Ç, и £„ точекъ пересЬчешя лиши AN съ начальнымъ мерид1аннымъ сЬчешемъ. '(, и '(„ суть кор ни квадратнаго уравнешя 62[Ддаг2ссо52<р — 254sm2
=a2b\
a потому ___ Vf ц» о
(j2—au)sin2®cosQ T *• b^sin^o + ^2cos2cp*
JL.
, лч f 18^ ^
'
Пусть точкою А будетъ точка лежащая на поверхности жидкости въ моментъ t. Пользуясь уравнешями (17) и (18), мы опред'Ьлимъ для того же момента положеше другой точки В поверхности жидкости, лежащей на лиши AN*), опреде люсь положеше ряда точекъ поверхности жидкости, лежащихъ *) JraiH AN съ поверхностью жидкости можетъ шгвть вообще бол^е чЪмъ дв-в обпця точки, но въ нашемъ случат*, какъ не трудно убедиться, она им-ьетъ только двт> общ!я точки.
_
16 —
на лишяхъ проходящихъ чрезъ А, определимъ меридианное еечеше жидкой массы. Неизвестная намъ величина zi опре делится за темъ по данной массе жидкости. Изменеше со временемъ формы мерид1аннаго сечешя жидкости будетъ такимъ образомъ найдено. * Выполнимъ сказанное сейчаеъ. Координаты ~Я и Т центра тяжести частицъ жидкости, лежащихъ въ моментъ t на прямой AN, определятся уравнешями Г
. , 1
T
(б2—а*)$т*осо$(1\/Щ~\
f
Г, , (£2— a9)cos9ocos(t\/^M)l L b'sm <ç +~ a cosy J
Координаты x ш z точки В определятся уравнешями (б2 — а 2 >ш 2 ? cos (tsf~yM)~\ — p ^ q r ^ Ä J>
Г x = 2œ =%zisin^cos^
z + «,=27' = SzMn'o 1 + -
ri—l—r-i—hr^
* ^9 )
Чтобъ найти уравнеше мерид!аннаго сечешя жидкой массы въ моментъ t, нужно исключить <р изъ ур. (19). Изъ ур. (19) получаемъ X
Давши второму изъ ур. (19) видъ
ИЛИ
(*+*,)(* + ^ ? ) (*V
2
2
2
__
=2 Zl ty
— 17 — и внеся сюда найденную величину tgy, получимъ (z + Zi) [(Zj
_ zy + а?\ [6 V + a\zt - zf) =
=%Zix* [6 V + a' (a, — zf + (62 — a2) (z, — zfcos ( V P O l , или ( ^ _ ** _ я-») [6V + *«(*, - s)2] = 2 Zi ( Äi _ z)x\b" — a*)cos(t\/vM).
(20)
Вотъ уравнеше мерщданнаго сФчешя жидкости для всякаго момента времени. 6. Чтобъ не усложнить задачи предыдущаго параграфа и не затемнить ГЁМЪ способа ея решетя, мы положили начальный скорости частицъ жидкости равными нулю. Для пополнешя пробела перер'Ёшимъ нашу задачу, изменивши ее такимъ образомъ: въ начала движешя жидкости дана форма сферы и частицамъ ея сообщены н'Ькоторыя начальныя скорости. Начальныя скорости точекъ системы не суть величины со вершенно произвольные: он* должны быть совместны съ услов!ями системы. Жидкость мы разсматриваемъ какъ систему несжимаемую и неразрываемую; начальныя скорости частицъ жидкости должны удовлетворять услов1ямъ несжимаемости и неразрываемое™ массы жидкости. Пусть въ нашемъ случае начальныя скорости частицъ жидкости будутъ таковы, что жидкость въ момента ti будетъ имФть форму эллипсоида вращенш, центръ котораго будетъ совпадать съ центромъ сферы, служившей начальной поверхностью жидкости. Уравнешя (12), по прим1шенш къ нашему случаю и по интегрированш, дадутъ * = a + ßt, ~~у = a, - f ßkt, 7 = a u +
ßtlt. 2
_
18 —
Такъ какъ центръ тяжести жидкости занимаетъ въ про странства одно и то же положешевъ моменты времени 0 и tu то ß=ßi = ßu = 0. Принявъ центръ тяжести за начало осей координатъ, будемъ им^ть: <Х = 0, ai — 0, а14 = 0. Уравнешя (10), по прим^неши къ нашему случаю и по интегрированш, дадутъ "7=
A,
cos (t \/
pJl) +
B4
sin (t \/ (JLM),
У = А14 cos(t \/ (хМ) + В 41 sin (* VVM)> 7 = k{iicos (t y pjf) + BUisin (t y (xM). Вопросъ объ изм*неши со временемъ формы поверхности жидкости приведемъ опять къ вопросу объ измЗшенш со вре менемъ формы одного изъ мерщцанныхъ сЪчешй. Этотъ посл'ЬднхИ вопросъ р'Ешимъ также, какъ въ предыдущемъ па раграфа. Для опред^лешя движешя центра тяжести частицъ жидко сти, находящихся на лиши AN, будемъ им1>ть уравнеше , 1' = A cos (t V'fxM) -+- В sin {l y/fxM). Такъ какъ ~£0 -= 0, то А = 0« В определится на основанш того, что "£' при t равномъ ti есть полусумма корней квадратнаго уравнешя Ь2 [z^in2^ cos^f— 2zisin2
-J- 2js1sm2cp cosy'Ç + coè2
Если такъ, то (à2 — a2) sin'cf сочо (b2sm2o -f- a 2 co5 2 o)s^ (V, V F-W) Идя далее тФмъ же путемъ, какъ въ предыдущее парагра-
_
19 —
ф*, найдемъ9 что уравнеше мерщданнаго сЬчешя жидкости для всякаго момента времени t будетъ sm (f4 VVM) (%2 — z* ~ ^) Р V + а2 О, — zf\ = 2*,
(Ä4
=
— z) x2 (б2 — а2) sin (t V W ) . 7.
Выводами параграфа четвертаго можно пользоваться не толь ко для рЪшешя вопросовъ о движеши жидкости, но и для рфшешя вопросовъ о равнов-Ьсш ея. Для примера опре» дфлимъ на основанш ихъ форму поверхности однородно! жидкой массы, находящейся въ равновЪсш при взаимномъ притяженш ея частицъ, пропорщональномъ разстояшямъ* Примемъ центръ тяжести жидкости за начало осей ко ордината. Изсл'Ьдуемъ форму сЬчешя жидкости какою нибудь пло скостью, проходящею чрезъ центръ тяжести, сохранивъ при этомъ обозначешя параграфа пятаго«, При равновФсш жидкости центры тяжести частицъ ея, л ежащихъ на прямыхъ проходящихъ чрезъ точку А (какую бы то ни было точку поверхности), не перемещаются. ~£'0 дол жна следовательно равняться нулю, каковъ бы ни былъ уголъ о. Мы знаемъ, что ~х 0 = — — zi §гщ C05Ç — £'0 sin's
"*'о = -^V11 = M***? + To
G0S
9
Отсюда слФдуетъ £^ о = (z + z{) coso — х smç. 1акъ какъ tgy == :
ос
-,
— 2U
*удетъ р а в н я т ь с я ' 7 - ^ 1 Г Л р 1 — : ^ - „удетъ равняться нулю к ™ " P ™ > » / M a r t к 0 0 р д и м т ъ . Hie будетъ круга, ™ * т п и центръ въ Тать какъ сданный сейяасъ выводъ относуся кь к-«о Л 4 М Я ! Й жидкости плоскостями, проходящими F S T — " нужно з а н я т ь , ,то искомая фор«, поверхности жидкости есть сфера. Tl
