Концептуальные и детальные модели электрической активности миокарда

1 Оглавление СПИСОК ОСНОВНЫХ ТЕРМИНОВ И СОКРАЩЕНИЙ, ИСПОЛЬЗОВАННЫХ В ДАННОЙ РАБОТЕ.................... 3 Обозначения мембранных ионных токов ...................................................................................... 4 Геометрия клетки ........................................................................................................................... 5 Концентрации ионов ....................................................................................................................... 5 Равновесные (реверсные) потенциалы .......................................................................................... 6 Внутриклеточная динамика кальция ............................................................................................ 6 Буферизация ионов кальция ............................................................................................................ 7 ВВЕДЕНИЕ ............................................................................................................................................. 11 Актуальность темы. .................................................................................................................... 11 ГЛАВА 1.

ЛИТЕРАТУРНЫЙ ОБЗОР............................................................................................. 15

КОНЦЕПТУАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ АВТОВОЛНОВЫХ СРЕД. ........................................................................... 15 ДЕТАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ КАРДИОЦИТОВ. .................................................................................................. 19 Модель Ходжкина-Хаксли ............................................................................................................ 23 Математическое моделирование кардиоцитов......................................................................... 28 Фазы потенциала действия кардиоцита ................................................................................... 37 Моделирование клеток синусового узла. ..................................................................................... 49 МОДЕЛИ СВЯЗНОСТИ И ГЕОМЕТРИЯ СРЕДЫ. ......................................................................................... 57 МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ АКТИВНОСТИ МИОКАРДА............................................................ 60 СОВРЕМЕННЫЕ МЕТОДИКИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ МИОКАРДА: ОПТИЧЕСКОЕ КАРТИРОВАНИЕ МИОКАРДА .................................................................................................................. 63

ГЛАВА 2.

КОНЦЕПТУАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ:

ИССЛЕДОВАНИЕ

АВТОВОЛНОВЫХ СРЕД..................................................................................................................... 69 АВТОВОЛНОВЫЕ СРЕДЫ. ...................................................................................................................... 69 ФОРМА ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ВИХРЯ. ........................................................................................................ 72 ГЛАВА 3.

ДВУХКОМПОНЕНТНАЯ МОДЕЛЬ МИОКАРДА И СВОЙСТВО

РЕСТИТУЦИИ ....................................................................................................................................... 81 ГЛАВА 4.

ДИНАМИКА АВТОВОЛНОВЫХ ВИХРЕЙ В МИОКАРДЕ ................................... 93

О модели и методе интегрирования. .......................................................................................... 95 Результаты ................................................................................................................................... 97 ГЛАВА 5.

ДИНАМИКА ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ВИХРЕЙ............................................. 105

ИЗУЧЕНИЕ ДИНАМИКИ ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ВИХРЕЙ НА БОЛЬШИХ РАССТОЯНИЯХ.................... 105 ИЗУЧЕНИЕ ДИНАМИКИ КВАДРУПОЛЬНОГО РЕЕНТРИ. ......................................................................... 107 Методы ........................................................................................................................................ 108 Результаты ................................................................................................................................. 111 ГЛАВА 6.

ДЕТАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ КЛЕТОК СИНОАТРИАЛЬНОГО УЗЛА ..................... 123

Мембранные токи ....................................................................................................................... 124

2 Внутриклеточная динамика ионов ............................................................................................ 140 ГЛАВА 7.

МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ АКТИВНОСТИ КЛЕТОК

СИНОАТРИАЛЬНОГО УЗЛА........................................................................................................... 151 ИССЛЕДОВАНИЕ ХРОНОТРОПНОГО ЭФФЕКТА В КЛЕТКАХ ИСТИННЫХ И ЛАТЕНТНЫХ ВОДИТЕЛЕЙ РИТМА СУ. .......................................................................................................................................... 151

ВЛИЯНИЯ АЦЕТИЛХОЛИНА НА ВНУТРИКЛЕТОЧНЫЙ ИОННЫЙ ГОМЕОСТАЗ. ...................................... 157 ПРЕАВТОМАТИЧЕСКАЯ ПАУЗА ........................................................................................................... 161 МОДЕЛИРОВАНИЕ ВАГУСНОЙ СТИМУЛЯЦИИ. ЗАВИСИМОСТЬ ОТКЛИКА ОТ ФАЗЫ ПРИЛОЖЕНИЯ СТИМУЛА. ........................................................................................................................................... 168

ВЛИЯНИЕ ФЛУКТУАЦИЙ ПОТЕНЦИАЛА НА АКТИВНОСТЬ КЛЕТОК СИНУСОВОГО УЗЛА ...................... 179 ОГРАНИЧЕНИЯ МОДЕЛЕЙ .................................................................................................................... 185 Основные результаты и выводы. .............................................................................................. 188 ПРИЛОЖЕНИЕ...................................................................................................................................... 190

3

Список основных терминов и сокращений, использованных в данной работе ACh

Acetylcholine

АЦХ, ацетилхолин

4 − AP

4Aminopyridine

4-Аминопидридин

AP

Action potential

ПД, Потенциал действия

APA

APamplitude

Амплитуда ПД

AP duration at 50%

Длительность ПД, измеренная при 50%

repolarization

реполяризации

Cycle length

ДЦ, длина цикла, период колебаний

Maximum diastolic

MDP, Максимальный диастолический

potential

потенциал

Maximum systolic

МСП, Максимальный систолический

potential

потенциал

POP

Peak overshoot potential

Пиковый потенциал

PA

Peak amplitude

Пиковая амплитуда

SA

Sinoatrial

SR

Sarcoplasmatic reticulum

Саркоплазматический ретикулум

t

Time

Время

T

Absolute temperature

Абсолютная температура

E

Membrane potemtial

Мембранный потенциал

F

Faraday constant

Постоянная Фарадея

R

Universal gas constant

Универсальная газовая постоянная

APD50 CL

MDP MSP

I

Current

Синусно-предсердный, синоатриальный

Ток ВВФСУ, время восстановления функции синусового узла ПАП, преавтоматическая пауза

Reentry

Реентри, автоволновой вихрь в миокарде

4

Обозначения мембранных ионных токов Ib,Ca

Background Ca2+ current

Фоновый кальциевый ток

Ib,K

Background K+ current

Фоновый калиевый ток

Ib, Na

Background Na+ current

Фоновый натриевый ток

I Ca , L

L-type Ca2+ channel current

Кальциевый ток L-типа

I Ca ,T

T-type Ca2+ channel current

Кальциевый ток Т-типа

Hyperpolarization-activated

Активированный при

current

гиперполяризации ток

If IK

Delayed rectifier K+ current

I K , ACh

Muscarinic K+ channel current

Калиевый ток задержанного выпрямления Чувствительный к ацетилхолину калиевый ток

Rapid component of the

Быстрая компонента калиевого

delayed rectifier K+ current

тока

Slow component of the delayed

Медленная компонента

rectifier K+ current

калиевого

I Na

Fast Na+ channel current

Быстрый натриевый ток

I NaCa

Na+/ Ca2+ exchanger current

I NaK

Na+/K+ pump current

Ток натрий-калиевого насоса

Sarcolemmal Ca2+ pump

Ток мембранного кальциевого

current

насоса

I Kr I Ks

I p ,Ca

I st

I sus Ito

Sustained inward current

тока

Ток натрий-кальциевого обменника

Непрерывный направленный внутрь (кальциевый) ток

Sustained component of the

Постоянная компонента

4-AP-sensitive current

4-AP-чувствительного тока

Transient component of the 4AP-sensitive current

Временная (переходная) компонента 4-APчувствительного тока

5

Геометрия клетки

Cm

Vcell

Cell membrane

Емкость клеточной мембраны

capacitance

Объем клетки

Cell volume Myoplasmic volume

Vi

available for

для диффузии кальция

Ca2+ diffusion

Vrel Vsub

Vup

Oбъем миоплазмы, доступный

Volume of junctional SR (Ca2+ release store) Subspace volume Volume of network SR (Ca2+ uptake store)

Объем соединительной части СР Объем (буферного диадического) подпространства в клетке Объем сетевой части СР

Концентрации ионов  Ca 2+  i  Ca 2+  o  Ca 2+  rel

Myoplasmic Ca2+

концентрация кальция в

concentration

миоплазме

Extracellular Ca

2+

concentration Ca2+ concentration in the junctional SR

 Ca 2+  Subspace Ca2+ concentration sub

 Ca 2+  up

Ca

2+

concentration in the

network SR

 K +  i

Intracellular K+ concentration

 K +  o

Extracellular K+ concentration

 Mg 2+  i

Intracellular Mg2+

Внеклеточная концентрация кальция Концентрация кальция в JSR Концентрация кальция в диадическом подпространстве Концентрация кальция NSR Внутриклеточная концентрация калия Внеклеточная концентрация калия Внутриклеточная

6 концентрация магния

concentration  Na +  i  Na +  o

Intracellular Na+ concentration

Внутриклеточная концентрация натрия

Extracellular Na+

Внеклеточная концентрация

concentration

натрия

Равновесные (реверсные) потенциалы ECa,L

Reversal potential of ICa,L

Равновесный потенциал ICa,L

ECa,T

Reversal potential of ICa,T

Равновесный потенциал ICa,T

Reversal potential for

Равновесный

K+

(Нернста) для K+

EKr

Reversal potential of I Kr

Равновесный потенциал I Kr

EKs

Reversal potential of I Ks

Равновесный потенциал I Ks

ENa

Reversal potential of I Na

Равновесный потенциал INa

Est

reversal potential of Ist

равновесный потенциал Ist

EK

потенциал

Внутриклеточная динамика кальция

jCa,dif

τ dif,Ca

Ca2+

diffusion

from

subspace

flux to

миоплазму

Time constant of Ca2+

Постоянная

diffusion

кальция

from

the

поток

кальция

времени из

диффузии

(диадического)

подпространства в миоплазму

Ca2+ release flux from the

Выброс

junctional SR subspace

(диадическое) подпространство

кальция

из

JSR

Ca2+ transfer flux from

jtr

the

network

junctional SR

to

из

(диадического) подпространства в

myoplasm

subspace to myoplasm

jrel

диффузный

Перенос кальция из NSR в JSR

в

7

jup

Ca2+ uptake flux from the

Захват кальция из миоплазмы в

myoplasm to network SR

NSR

Half-maximal [Ca2+]sub

Krel

Ca2+

for

release from the

Half-maximal [Ca2+]sub Ca2+

концентрация

[Ca2+]sub

кальция

для

высвобождения кальция из JSR

junctional SR

K up

Полумаксимальная

for

uptake by the Ca2+

pump in the network SR

Полумаксимальная кальция

[Ca2+]sub

концентрация для

захвата

SERCA2 насосом в NSR

Rate constant for Ca2+

Prel

release

from

the

Pup

constant

скорости

высвобождения кальция из JSR

junctional SR Rate

Постоянная

Ca2+

for

uptake bythe Ca2+ pump in

Постоянная скорости для захвата кальция в NSR

the network SR Time constant for Ca2+

τ tr

transfer

from

the

network to junctional SR

Постоянная

времени

для

переноса кальция из NSR в JSR

Буферизация ионов кальция [CQ]tot [CM]tot

Total calsequestrin

Суммарная концентрация

concentration

кальсеквестрина

Total calmodulin concentration Fractional occupancy of

fCMi

calmodulin by Ca2+ in myoplasm Fractional occupancy of

fCMs

f CQ

fTC

calmodulin by Ca

2+

in

Суммарная концентрация кальмодулина Фракция занятости кальмодулина в миоплазме Фракция занятости кальмодулина в

subspace

подпространстве

Fractional occupancy of

Фракция занятости

calsequestrin by Ca2+

кальсеквестрина

Fractional occupancy of the

Фракция занятости Ca-сайтов

8

fTMC fTMM

k bBAPTA

k bCM

kbCQ k bEGTA

k bTC

k bTMC

k bTMM k fBAPTA

k fCM

k fCQ

k f EGTA k fTC k fTMC

troponin-Ca site by Ca2+

тропонина кальцием

Fractional occupancy of the

Фракция занятости Mg-сайтов

troponin-Mg site by Ca

2+

тропонина кальцием

Fractional occupancy of the

Фракция занятости Mg-сайтов

troponin-Mg site by Mg 2+

тропонина магнием

Ca2+ dissociation constant for

Постоянная диссоциации

BAPTA

кальция для BAPTA

Ca2+ dissociation constant for

Постоянная диссоциации

calmodulin

кальция для кальмодулина

Ca2+ dissociation constant for

Постоянная диссоциации

calsequestrin

кальция для кальсеквестрина

Ca2+ dissociation constant for

Постоянная диссоциации

EGTA

кальция для EGTA

Ca2+ dissociation constant for the troponin-Ca site Ca2+ dissociation constant for the troponin-Mg site Mg 2+ dissociation constant for the troponin-Mg site

Постоянная диссоциации кальция для Ca-сайтов тропонина Постоянная диссоциации кальция для Mg-сайтов тропонина Постоянная магния

диссоциации для

Mg-сайтов

тропонина

Ca2+ association constant for

Постоянная связывания

BAPTA

кальция для BAPTA

Ca2+ association constant for

Постоянная связывания

calmodulin

кальция для кальмодулина

Ca2+ association constant for

Постоянная связывания

calsequestrin

кальция для кальсеквестрина

Ca2+ association constant for

Постоянная связывания

EGTA

кальция для EGTA

Ca2+ association constant for

Постоянная связывания

troponin

кальция для тропонина

Ca2+ association constant for

Постоянная связывания

9 the troponin-Mg site

кальция для тропонина, Caсайты

k fTMM [TC]tot

Mg 2+ association constant for the troponin-Mg site

Постоянная связывания кальция для тропонина, Mgсайты

Total concentration of the

Суммарная концентрация Ca-

troponin-Ca site

сайтов тропонина

[TMC]tot Total concentration of the troponin-Mg site

Суммарная концентрация Mgсайтов тропонина

10

11 Введение Актуальность темы. Причиной

заболеваний

сердечно-сосудистой

системы,

основного фактора смертности в развитых странах, часто становится нарушение генерации в синоатриальном узле и распространения потенциала действия (ПД) в миокарде. Для изучения причин и следствий подобных нарушений используют различные методы, в первую очередь – экспериментальные. Однако, некоторые задачи (например, неинвазивное картирование трансмурального проведения, измерение динамики сразу нескольких мембранных токов и др.), не имеют экспериментальных методов решения. Для решения таких задач используют математические модели. Одну из первых моделей распространения электрических волн возбуждения в миокарде построили Винер и Розенблют [449]. В этой модели постулируется, что возбудимая среда образована сетью из элементов, каждый из которых пребывает в одном из трёх состояний: покоя, возбуждения или рефрактерности; переходы между состояниями осуществляются скачком, подчиняясь определенным правилам. Подобные модели принято называть аксиоматическими. Эта модель способствовала созданию в 50-60е годы прошлого века понятийного аппарата для качественного описания автоволновых процессов в сердце и во многих других активных средах. Более точное описание генерации ПД возможно при использовании дифференциальных уравнений. Двухкомпонентная модель ФитцХью-Нагумо [135] и её вариации включают два уравнения, первое из которых имеет «N»-образную нуль-изоклину и описывает быструю динамику трансмембранного потенциала E, а второе описывает медленные трансмембранные токи:

12  dE  dt = f1 (E,g)   dg = ε f (E,g) 2  dt

(1.1)

На протяжении нескольких десятилетий эта модель оставалась наиболее используемой моделью для нелинейных процессов в различных физико-химических и биологических системах. Однако, количественно описать динамику ПД эта модель из двух уравнений не могла, поскольку ПД в клетке кардиоцита формируется согласованной работой более десятка различных мембранных токов. Для детального описания ПД используется подход Ходжкина и Хаксли, изначально предложенный для моделирования гигантского аксона кальмара [169]:  dE  dt   I  i  dα   dt   V 

=-

1 cm

∑I

i

= g i (∏ α ij )( E − Vi (C ))

(1.2)

α ( E , C , p) − α = ∞ τ ( E, C , p) =

C RT log( o ) zF Ci

В представлении (1.2), первое уравнение, приравнивая ёмкостный ток через мембрану сумме токов через каналы, описывает динамику трансмембранного потенциала Е; второе – зависимость от Е тока через каждый из каналов, третье – динамику регулирующих открытие/закрытие канала воротных параметров α; четвертое – равновесный

потенциал,

возникающий

из-за

неодинаковой

концентрации ионов по разные стороны мембраны. В оригинальном изложении концентрации ионов считались постоянными, однако в современной интерпретации учитывается изменение концентрации во время генерации ПД, а для ионов кальция и изменение концентрации внутри клетки за счет работы саркоплазматического ретикулума. Отличительной чертой моделей, использующих механизм Ходжкина-

13 Хаксли, является их способность описать форму и динамику ПД с высокой степенью детализации. Такие модели являются детальными моделями электрической активности клеток. Для сравнения, модели Винера-Розенблюта и ФитцХью-Нагумо являются концептуальными моделями, используемыми для изучения основных свойств широкого класса нелинейных систем, но редко применимыми для подробного описания количественной динамики конкретных объектов. Одной из целей настоящей работы было проиллюстрировать применение концептуальных и детальных моделей для изучения электрической активности миокарда. При моделировании распространения ПД в миокарде

необходимо

учитывать

передачу

электрического

возбуждения между клетками через особые каналы – щелевые контакты. Из-за неоднородного распределения щелевых контактов, электрическое сопротивление и скорость проведения неодинаковы в разных направлениях, т.е. среда анизотропна. Сердце, к тому же, обладает непростой топологией, неоднородно по свойствам, в том числе по анизотропии. При детальном моделировании необходимо учитывать все эти обстоятельства, а именно: (1) генерацию электрического потенциала действия кардиоцитами, (2) связь между кардиоцитами

(или

блоками

клеток

при

менее

детальном

моделировании), (3) подходящую геометрию модельной среды (Рис. 1.1).

14

Рис. 1.1. Три компоненты модели электрической активности миокарда: (1) генерация ПД кардиоцитом (слева, схематически представлены модели аксиоматическая, ФХН, ионная), (2) связь между кардиоцитами (середина: кабельное уравнение, двухкомпонентная схема, реалистичная динамика щелевых контактов), (3) геометрия среды (справа: 2D, 3D, реалистичная геометрия сердца).

15 Глава 1. Литературный обзор

Концептуальные модели автоволновых сред. Идея о том, что клетки сердца могут генерировать потенциал действия (ПД) в ответ на электрическое раздражение была известна ещё до того, как сами ПД были зарегистрированы. В 1871 году Г.Боудиц [50] установил, что при стимуляции сердечная ткань отвечает по принципу «всё-или-ничего», т.е. при надпороговом раздражении ответ слабо зависит от величины раздражения. Эта идея была использована Винером и Розенблютом, которые в 1946 г. разработали

первую

компьютерную

аксиоматическую

модель1

сердечной ткани [449]. Модель была задумана как инструмент для исследования фибрилляции, т.е. квазихаотических сокращений сердца, возникающих при некоторых сердечных заболеваниях. Эта модель способствовала созданию в 50-60е годы понятийного аппарата для качественного описания автоволновых процессов в сердце и во многих других активных средах. В частности, феномен возникновения вращающихся спиральных волн особенно удобно описывать в аксиоматической модели Винера и Розенблюта. Более потенциала

полное

описание

действия

генерации

возможно

и

распространения

при

использовании

дифференциальных уравнений. Одной из наиболее эффективных простых моделей, используемых для описания динамики потенциала действия в возбудимых средах, стала модель ФитцХью-Нагумо [135] и её вариации. Эта модель включают два уравнения, первое из которых имеет «N»-образную нуль-изоклину и описывает быструю

1

Формально, эту модель, подразумевающую, что клетка может находиться в одном из трех состояний: возбуждения, рефрактерности и покоя, стали рассчитывать на компьютерах не сами авторы, а их последователи.

16 динамику

трансмембранного потенциала E, а второе описывает

медленные трансмембранные токи (2.1.1):

dE = f 1(E , g ) dt dg = ε f 2 (E , g ) dt

(2.1.1)

Рис. 1.1 Нульизоклины (а) и эквивалентная электрическая схема (б) модели ФХН.

Изначально модель была предложена ФитцХью, как упрощение уравнений

Ходжкина-Хаксли,

описывающих

распространения

нервного импульса в аксоне кальмара. Формально, ФитцХью, используя редукцию Тихонова, устранил из оригинальной модели Ходжкина-Хаксли воротные переменные h и m, сохраняя лишь одну медленную переменную с динамикой, схожей с динамикой воротной переменной n; динамика этой медленной переменной описывается вторым уравнением ФХН. Результатом сделанных упрощений стала модель, схожая с моделью ВандерПоля [19], использовавшейся для описания автоколебаний. Немного

позже

японский

электрическую схему на

инженер

Нагумо

предложил

туннельном диоде, которая

хорошо

описывалась уравнениями ФитцХью. Таким образом, эту модель из

17 двух уравнений обычно называют моделью

ФитцХью-Нагумо.

Следует также отметить, что первое уравнение системы ФХН по сути эквивалентно уравнению Зельдовича и Франк-Каменецкого [497]. Это означает, что описание быстрых движений, деполяризации, фронта ПД в миокарде во многом сходно с описанием движения фронта пламени, изучавшемся в работах [516,497], а также динамики HBrO2 (быстрой переменной) в реакции Белоусова-Жаботинского [495,496], о чем будет сказано ниже. Второе уравнение системы ФХН позволяет описывать медленное восстановление среды, реполяризацию в миокарде. Конечное время, необходимое для восстановления среды, является

рефрактерностью.

Таким

образом,

концепция

рефрактерности, введённая Винером и Розенблютом в качестве аксиомы [449], в дифференциальных уравнениях типа ФХН является следствием

динамики

системы

и,

как

правило,

описывается

медленным уравнением восстановления. Ниже приведены уравнения для двухкомпонентной модели реакции Белоусова-Жаботинского в соответствие с работой Алиева и Ровинского [6]. ∂x 1  z x −µ =  x (1 − x ) − (2q α + β) ∂τ ε  1− z x + µ  ∂z z = x −α ∂τ 1− z

[Fe(phen)32+]=Cz; [HBrO2]=(k1A/2k4)x; ε= k1A/k4C; α=k4K8B/(k1Ah0)2; µ=2k4k7/k1k5; t=k4Cτ/(k1A)2h0;

β=2k4k13B/(k1A)2h0; C=[Fe(phen)32+]+[Fe(phen)33+]; A=[NaBrO3]; B=[CHBr(COOH)2];

(2.1.2)

18 Модель (2.1.2), также как и в случае модели ФХН, состоит из двух уравнений для переменных x и z, первое из которых – „быстрое”, описывающее динамику HBrO2 ; второе – «медленное», описывает динамику катализатора – ферроина, который в ходе реакции меняет цвет с красного до синего. Хотя внешне уравнения (2.1.2) кажутся существенно сложнее кубических и линейных уравнений ФХН, сходство

становится

очевидным при

построении

нульизоклин

моделей. На Рис. 1.2 показаны нульизоклины моделй ФХН [135], реакции Белоусова-Жаботинского [6]и обсуждаемой ниже модели ПД в миокарде [4].

Рис. 1.2 Схематическое изображение нульизоклин и предельного цикла в моделях (слева направо) Модель ФитцХью-Нагумо (FitzHugh, 1961) [135]; модифицированная модель ФХН. (Aliev, Panfilov 1996) [4]; модель реакции Белоусова-Жаботинского (Aliev, Rovinsky 1992) [6].

В итоге, благодаря её универсальности и удобству для вычислений и анализа, модель ФХН стали с очевидным успехом применять для описания различных нелинейных сред, в частности, миокарда. На протяжении нескольких десятилетий модель ФХН оставалась наиболее используемой моделью для описания широко класса нелинейных процессов в различных физико-химических и биологических

системах.

Существует

обширная

литература,

представленная, в основном, исследовательскими работами по применению модели ФХН и её модификаций для описания различных явлений в нелинейных физико-химических и биологических системах. Следует упомянуть авторов, внёсших большой вклад в применение

19 модели ФХН: B.C. Зыков, А.С. Михайлов, В.А. Давыдов, В.И. Кринский, А.М. Перцов, А.В. Панфилов, Н.И. Кукушкин, Р.Н. Храмов, Ю.М. Кокоз, О.А. Морнев, Иваницкий Г.Р., Сельков Е.Е., Смолянинов В.В. и др. Данный список авторов никоим образом не претендует на полноту, а лишь подчёркивает вклад отечественных учёных в исследование нелинейных систем с помощью модели ФитцХью-Нагумо; с некоторыми из работ этих авторов можно ознакомиться по ссылкам [498,505,503,517,500,493,515]. В качестве обзоров по применению концептуальных моделей типа ФитцХьюНагумо в биологических и физико-химических системах, даны ссылки на

статьи

и

монографии:

[495,496,498,499,504,483,513,506,509,510,512,514,501].

Детальные модели кардиоцитов. Для более детального описания формирования потенциала действия в электровозбудимых клетках необходимо учесть трансмембранные и внутриклеточные потенциалы и токи. В начале двадцатого века Бернштейн

[37,38]

обнаружил,

что

на

мембране,

селективно

проницаемой для ионов, возникает разность потенциалов (Рис. 1.3). Впоследствие выяснилось, что неравномерное распределение ионов Na+, К+, Са2+, Cl- между вне- и внутриклеточным пространством (Рис. 1.4) необходимо для формирования потенциала покоя клетки.

20

Рис. 1.3 Схематическое изображение “электрического двойного слоя” на поверхности мышечно волокна. Рисунок из оригинальной работы Бернштейна 1902 года [37].

Рис. 1.4 Содержание ионов в микрообъёмах по обе стороны мембраны клеток млекопитающих.

Движение ионов через мембрану происходит против градиента электрохимического потенциала (потенциала Нернста) µ: µ=RTlogC+zFφ Иными словами, из-за наличия электрического поля, ионы движутся не в сторону меньшей концентрации, а в сторону меньшего

21 электрохимического потенциала. При

равновесии,

электрохимический потенциал µ одинаков по обе стороны мембраны, а электрические потенциалы φ1 и φ2 могут быть различны. Таким образом,

при

равновесии

устанавливается

трансмембранный

(электрический) потенциал Е, равный разности (электрических) потенциалов по обе стороны мембраны: E = φ 2 − φ1 =

c RT log 1 zF c2

Этот потенциал между внутри- и внеклеточной средой возникает потому, что мембрана селективно проницаема для определённых ионов. Таблица 1-1 показывает типичные значения концентрации ионов в мышечной клетке и внеклеточной среде у млекопитающих в ммоль/л .

цитозоль

K+ Na+ Ca2+ ClK+ Na+ Ca2+ ClHCO3Mg2+

кровь

Аксон кальмара 400 20 50 440 0.0003 10 40–150 560 Клетки млекопитающих 139 4 12 145 <0.0002 1.8 4 116 12 29 0.8 1.5

Таблица 1-1 Концентрация ионов в клетках млекопитающих

вне/внутри

0.05 8.8 33000 3.7-14 0.029 12 >9000 29 2.4 1.9

22 При наличии нескольких ионов, например ионов калия, натрия и хлора, равновесный электрический потенциал вычисляют с помощью уравнения Гольдмана-Ходжкина-Каца: E =

P [ K ] + PNa [ Nao ] + PCl [Cl o ] RT log K o F PK [ K i ] + PNa [ Nai ] + PCl [Cl i ]

(2.1.3)

где E - разность электрических потенциалов на мембране, Px проницаемости соответствующих ионов X={K,Na,Cl}, индексы o и i относятся к концентрациям ионов в наружном и внутреннем компартментах

клетки.

При

выводе

уравнения

Гольдмана

предполагается существование стационарного состояния, в котором величина входящего тока равна величине выходящего тока, иными словами, полная плотность трансмембранного тока равна нулю. Уравнение (2.1.3) дает оценку трансмембранного потенциала, как взвешенное среднее потенциалов Нернста для отдельных ионов, в данном случае для ионов калия, натрия и хлора. Из-за большей проницаемости

мембраны

для

ионов

калия,

величина

соответствующего слагаемого во взвешенном среднем велика и, в грубом приближении, считают, что в нормальных условиях величина равновесного потенциал близка к потенциалу Нернста для ионов калия. Поскольку даже при равновесном потенциале (2.1.3) не достигается равновесие для отдельных ионов, существуют ненулевые потоки ионов через мембрану. Электродиффузионное уравнение НернстаПланка, выражающее поток ионов через мембрану при наличии концентрационного следующим образом:

и

электрического

градиентов

вычисляется

23 j = −uRT

dc dϕ − uczF dx dx

где j – поток ионов, u – подвижность ионов, с – концентрация ионов, z – валентность иона, T – абсолютная температура, R – универсальная газовая постоянная, F – число Фарадея,

dϕ - градиент потенциала, dx

напряженность поля внутри мембраны. Модель Ходжкина-Хаксли Впервые детальная модель, описывающая изменение во времени ионных токов, зависимость этого процесса от трансмембранного потенциала

и

хорошо

согласующаяся

с

экспериментальными

данными, была предложена Ходжкиным и Хаксли [169].

Рис. 1.5 Первые прямые измерения ПД в аксоне кальмара. (вверху) капилляр с морской водой вставлен в аксон для измерений. (внизу) Потенциал действия. Верхушки 500 Гц синусовой волны на осциллографе служат для оценки времени. [171].

24 В современной трактовке обоснование

уравнений

Ходжкина-Хаксли может быть следующим: перемещение ионов через мембрану осуществляется через каналы2; активацию канала при деполяризации мембраны можно рассматривать как вероятностный процесс, описываемый уравнением кинетики первого порядка: dc = α m (c 0 − c ) − β mc dt

где сo — общее число каналов, (сo-с) и с — число неактивных и активированных каналов соответственно, αm и βm — константы скоростей прямого и обратного процессов. Обозначим долю активных каналов через m=c/co, тогда доля неактивных каналов равна (1 - m). Разделив уравнение (3) на co и подставив m, получим: dm = α m (1 − m ) − β m m dt

Решением этого уравнения является функция m(t): m (t ) =

αm

αm + βm

[1 − exp( −(α m + β m )t )]

(2.1.4)

где при t=0, m=0; при t →∞, exp( −(α m + β m )t ) →0, откуда m ∞ =

Величина τ=

1 αm + βm

равновесия.

Используя

αm + βm

.

является постоянной времени установления введенные

подстановки,

функция

приобретает более простой вид: m (t ) = m ∞ (1 − e −t /τ )

2

αm

Во время создания модели в 50х годах наличие каналов в мембране клетки не было установленным фактом, а являлось темой дискуссии.

m(t)

25 Полученная

зависимость

m(t), однако,

не

слишком

хорошо

соответствует экспериментально измеренной динамике натриевого тока. Наилучшее соответствие теории и эксперимента достигается, если

предположить,

что

плотность

натриевого

тока

jNa

пропорциональна не m, а m в третьей степени,·m3. Тогда, для удельной проводимости можно записать: g Na = g Na m 3

где

g Na — максимальная удельная проводимость мембраны при

полностью

открытых

каналах.

По

определению

удельная

проводимость равна g = j/(Е-Еo), где Еo — равновесный потенциал; проводимость gNa связана с коэффициентом проницаемости РNа уравнением: gNa = РNаЕ. Способ составления уравнения, описывающего инактивацию натриевых каналов аналогичен. Инактивация рассматривается как мономолекулярная реакция, которой подвергаются в равной мере и открытые и закрытые каналы. Доля неинактивированных каналов принимается равной h, а инактивированных — (1-h). Процесс инактивации соответствует кинетике обратимой реакции: βh

[ h ] →[1 − h ] αh

[ h ] ←[1 − h ]

После рассуждений, аналогичных изложенным для случая активации, получаем (учитывая, что при t=0, h=ho, а при t→∞, h=h∞ ): h (t ) = h∞ − ( h∞ − h0 )e −t /τ

(2.1.5)

26 Где h∞ =

αh

αh + βh

, τ=

1 . αh + βh

Величины h∞ и τ можно найти из эксперимента. Зная h∞ и τh можно вычислить αh и βh. В итоге динамика натриевого тока описывается

уравнением:

jNa = jNa ⋅ m3 h ,

а

следовательно,

для

проводимости: g Na = g Na m 3h

Это уравнение можно интерпретировать так, что вероятность того, что канал открыт, равна произведению вероятностей независимых событий: того, что «открыты все замки» (m3) и того, что канал не инактивирован (h). Величины m и h меняются при этом во времени согласно уравнениям (2.1.4) и (2.1.5). Подобрав коэффициенты αm и βm, αh и βh, можно, таким образом, получить теоретическую кривую изменения во времени Na+-тока, которая, как оказалось, практически совпадает с экспериментальной. Подобные рассуждения применимы и к калиевым каналам. Для калиевых каналов получаются следующие выражения: g Na = g Na n 4

Здесь „воротная переменная” n аналогична переменной m для натриевой проводимости, и обозначает долю «открытых замков» в калиевых каналах. В отличие от натриевого тока, калиевый ток пропорционален четвертой степени этой переменной. В остальном, динамика этой переменной аналогична динамике переменной m для натриевого тока, однако, следует учесть, что характерное время активации калиевых каналов значительно больше:

27 n (t ) = n ∞ (1 − e −t /τ ) ,

где

n∞ =

αn

αn + βn

, τ=

1 . αn + βn

(2.1.6) αn и βn — константы скоростей прямого и обратного процессов активации калиевых каналов. Уравнение (2.1.6) при корректно подобранных

параметрах

αn

и

βn

хорошо

описывает

экспериментальную кривую.

Рис. 1.6 Эквивалентная электрическая схема модели Ходжкина-Хаксли.

Зная величины gNa, gk и gL (удельная проводимость «утечки»), а также удельную емкость мембраны с, можно найти плотность тока через мембрану в каждый момент времени jm: jm = C

dv + g Na m 3h ( E − E Na ) + g K n 4 ( E − E K ) + g L ( E − E L ) dt

(2.1.7)

где ЕNa, EK, EL — равновесные потенциалы для ионов К+, Na+ и Cl-.

28

Рис. 1.7 Потенциал действия (AP) и динамика воротных переменных (n, m, h) в модели Ходжкина-Хаксли.

Уравнение (2.1.7) описывает динамику в электрической схеме, представленной на. Рис. 1.6. Полученные кривые изменения тока во времени при определенном наборе параметров αm, βm, αn, βn, αh и βh практически совпадают с экспериментальными

при

всех

использованных

в

опытах

концентрациях внутри- и внеклеточного калия

Математическое моделирование кардиоцитов Пионерская работа Ходжкина и Хаксли по моделированию ионных токов

гигантского

аксона

кальмара

проложила

дорогу

математическому описанию электрической активности кардиоцитов. Модель

Ходжкина-Хаксли

детально

описывает

электрическую

29 активность гигантского аксона кальмара.

Для

моделирования

активности кардиоцитов были использованы схожие принципы построения

модели,

однако,

модель

кардиоцита

включает

существенно большее количество мембранных токов. В 1962г. Нобл показал, что, при определенных модификациях, формулировка Ходжкина и Хаксли может быть использована для описания потенциалов действия клеток рабочего миокарда и водителей ритма волокон Пуркинье [305]. Он полагался на идею о том, что ток передается ионами, движущимися против градиента электрохимического потенциала. В данной модели суммарный ток мембраны имеет три компонента: Na+, K+ и ток утечки, которая, по крайней

мере

частично,

объясняется

за

счет

ионов

хлора.

Соответствующая электрическая схема мембраны волокон Пуркинье была подобна описанной Ходжкиным и Хаксли для гигантского аксона кальмара. Единственной качественной разницей было то, что поток К+, как предполагалось, протекал через два нелинейных сопротивления в модели Нобла (Рис. 1.8). К+ проводимость gК1 считается мгновенной функцией потенциала действием мембраны, в то

время

как

gК2

медленно

увеличивается,

когда

мембрана

деполяризована. Позже, основываясь на экспериментах, проведенных Мак Аллистером (1966) [272], Ноблом и Тценом (1968) [306] было предложено свойств gК2.

усовершенствованное

описание

ректификационных

30

Рис. 1.8 Набор мембранных токов в модели Ходжкина–Хаксли (слева) был модифицирован для клетки Пуркинье (справа). Основным отличием стало то, что поток ионов К+, как предполагалось, протекал через два нелинейных сопротивления.

Новая формулировка принимает во внимание ректификацию gК2 в направлении «внутрь» для мгновенных изменений в потенциале мембраны. Было также замечено, что когда трансмембранный потенциал

достигает

-20 мВ,

появляются

дополнительные

компоненты тока. Нобл и Тцен сфокусировались на кинетических свойствах, проявляемых на средних уровнях деполяризации. В следующем году эта же группа проанализировала токи, извлеченные из экспериментальных записей при потенциалах, на которых появлялось плато потенциала действия. Т.е. в центре внимания были механизмы реполяризации мембраны. Для описания этих процессов ввели два новых тока (x1 и x2), каждый из которых контролировался переменной первого порядка с потенциал-зависимой кинетикой. И хотя К+ был основным ионом для этих новых токов, потенциал реверсии для тока x2 был положителен по отношению к потенциалу реверсии калия, предполагая, что это не были чисто калиевые токи. Основным выводом этого исследования стал факт наличия не одного, а трех время-зависимых потоков снаружи внутрь клетки. В то же время существовали подозрения о роли Ca2+ как важного деполяризующего тока. В 1975, Мак Аллистер, Нобл и Тцен (MNT) опубликовали реконструкцию потенциалов действия волокон

31 Пуркинье

с

использованием девяти ионных токов [273]. Эта

модель определила важную роль для Ca2+ в генерации ПД, в форме так называемого Isi (вторичного или медленного направленного внутрь

тока)

и

нового

Cl–

тока,

в

виде

кратковременного

направленного наружу тока Iqr, активированного во время сильных деполяризаций. Эти два новых набора уравнений были добавлены к уже существующим: быстрому направленному внутрь Na+ току (Ina), K+ току (IK2) и времязависимым K+ токам: Ix1 и Ix2, (предшественники введенных позже быстрых (Ikr) и медленных (IKs) компонент калиевого тока). Фоновый ток был составлен из времянезависимых K+ (IKb), направленных внутрь Na+ (INab) и CL- (IСlb) токов Рис 1.9. Модель MNT основывалась на результатах экспериментов и заключала в себе современные представления в то время. Эта модель дала объяснение большому разнообразию поведения электрического проведения в волокнах Пуркинье, включая хронотропный эффект внешнего Ca2+ и влияние адреналина на работу водителей ритма (описанное позднее путем объединения наблюдаемой смены напряжения на кинетических параметрах IK2 в ответ на действие адреналина).

Рис 1.9 Схема токов в модели волокна Пуркинье Мак Аллистера-Нобла-Тцена состояла из быстрого направленного внутрь Na+ тока (INa), вторичного направленного внутрь тока (IСa), кратковременного направленного наружу хлоридного тока (ICl), времянезависимого K+ тока (Ik1), кратковременного K+ тока (Ik2), ответственного за стимуляцию активности клетки. А также быстрые (IKr) и медленные (IKs) компоненты нового потока, наблюдаемого при высоком потенциале (плато ПД).

32 Наконец,

была

электрофизиологии

раскрыта ключевая роль ионов кальция в

клетки.

Увеличение

[Ca2+]i

приводило

к

увеличению проницаемости К+ (РK) и некоторые авторы утверждали о связи между Ca2+ и РК в кардиоцитах. Доказательство этой идеи было представлено Айзенбергом, который определил, что введение Ca2+ в волокна

Пуркинье

приводит

к

гиперполяризации

потенциала

мембраны и уменьшению длительности ПД. Вдобавок к этому, Бассингвайт открыл, что увеличение [Ca2+]i усиливало направленный во вне времянезависимый ток в миокарде. Этот эффект был более заметен при большой концентрации [Ca2+]0 и уменьшался при использовании блокаторов Ca2+ тока. Билер и Ройтер (1977) создали модель ПД желудочковых клеток миокарда [28]. Эта модель учитывала

функцию

Ca2+,

как

связующее

звено

между

электрическими событиями в мембране и сокращением кардиоцита. Связь между потенциалом мембраны и изменениями во внутреннем Ca2+ была двусторонне-направленная, так что [Ca2+]i воздействовал на ток IСa . Это также стало важным шагом для моделирования ионных токов не только как функции потенциалов, но и как функции концентрации ионов, изменяемой во время ПД. Модель включала четыре тока IK1, IX1, INa, ICa. Несмотря на свою простоту, такие экспериментальные явления, как медленное восстановление после инактивации, зависимость длительности ПД от частоты (реституция), процесс реполяризации и формирование ПД были адекватно описаны в модели. Изменение [Ca2+]i моделировалось как перетекание в малый буферный объем, распределенный внутри клетки, из которого Ca2+ затем

извлекается

при

помощи

механизма

захвата,

который

уменьшает концентрацию [Ca2+] экспоненциально во времени (τ = 70с),

пока

не

предположение

достигнет было

остаточного

сделано,

уровня

несмотря

на

10-7 М.

Это

недостаток

33 экспериментальных

данных,

с целью подтверждения идеи о том,

что межклеточное накопление или истощении ионов может возникать в клетках сердца. Однако, эта начальная попытка моделирования межклеточного Ca2+ потока создала почву для включения новых механизмов

в

дополнение

к

ионным

потокам,

например,

электрогенных насосов и буферов в цитоплазме. Объединение подобных механизмов впервые сделали Ди Франческо и Ноблом (1985) [106]. Они опубликовали модель электрической активности клетки сердца, объединяя мембранные токи, ионные насосы и учитывая изменения внутриклеточных концентраций ионов (Рис. 1.10).

Рис. 1.10 Модель Ди Франческо и Нобла. Помимо мембранных ионных токов она включала в себя ионные насосы и механизмы обмена ионов. Она также включала описание потоков Са2+ внутри саркоплазматического ретикулума клетки.

Эта модель добавила формулировки для Na+-K+ насоса (Na-K pump) и Na+-Ca2+ обменника. Саркоплазматический ретикулум был представлен двумя отделами: один для сбора и другой для выброса Са2+ .

34 Внешние

и

внутренние концентрации

ионов,

которые

включены в эту модель для воспроизведения экспериментальных результатов, теперь уже не являются константами, а меняются при генерации ПД. Эта

модель

была

первой,

объединившей

электрофизиологические описания мембранных токов с описанием ионного насоса и потоков ионов внутри клетки. В 1990-х Луо и Руди написали серию работ, описывающих расширенную

модель

клеток

желудочка

морской

свинки

[263,261,262].

Рис. 1.11 Модель Луо и Руди. Схематическая диаграмма, показывающая ионные токи, насосы и обменники. Внутриклеточный блок — это саркоплазматический ретикулум, который разделен на два отсека: сетевой СР (NSR) и соединительный СР (JSR).

Эта модель включает целый список новых ионных токов и новые

формулировки

динамических

изменений

в

ионной

концентрации и ионных потоков во время ПД (Рис. 1.11). Вычисления внутриклеточного Na+, K+, Ca2+ были возможны на каждом шагу расчетов, благодаря включению насосов и обменника находящегося в мембране в новом описании СР (по сравнению с моделью MNT). Модель СР, содержащая сетевой СР (NSR) в котором Са2+

35 захватывается

посредством насоса,

дейсттвующего

по

механизму Михаэлиса-Ментена, и соединительный СР (JSR), к которому Са2+ диффундирует для последующего высвобождения через рианодиновые рецепторы. Буферы кальция были включены в цитоплазму (тропонин и кальмодулин) и СР (кальсеквестрин) со стационарной

кинетикой,

благодаря

небольшим

различиям

полученным использованием динамического процесса буферизации и уменьшением времени на вычисления. Эта статья представляет тщательное преобразование большинства доступных данных по ионным токам и следуя Хильгеману и Ноблу (1987) [166] и Эрму и Ноблу (1990) [114] было дано тщательное рассмотрение Са2+-отделам и роли СР. Теория высвобождения Са2+ была эмпирической (высвобождение Са2+ имеет постоянную проводимость Grel разную для методов фиксации напряжения и фиксации тока), но тем не менее теория применима для расчетов. Впоследствии, принципы, заложенные в модели Луо-Руди, задуманную как модель электрической активности клеток желудочка млекопитающих,

стали

применят

для

создания

современных

детальных моделей кардиоцитов других отделов сердца. В настоящей работе, следует упомянуть модель клеток синусового узла, созданную Жангом и соавторами [478,479]. Оригинальная модель клеток синусового узла, описанная в данной работе ниже, строится на схожих предположениях, что видно, например, из сравнения общей схемы каналов и организации клетки (Рис. 1.11 и Рис. 1.12).

36

Рис. 1.12 Схема мембранных и внутриклеточных токов в модели клеток СУ кролика. Использованные сокращения: INa – натриевый ток, ICaT, ICaL – кальциевые токи Т и L типа, If – активируемый при гиперполяризации ток, Ibg – фоновый ток, IKr, IKs – быстрый и медленный калиевые токи задержанного выпрямления, Ito, Isus – компоненты чувствительного к 4аминопиридину тока, IKach – активируемый АЦХ калиевый ток, INaK – NaK насос, INaCa – Na-Ca обменник, ICПД – Ca насос; Irel – рианодиновый кальциевый ток, Iup – Ca насос саркоплазматического ретикулума, Itr – кальциевый ток внутри СР; NSR и JSR - сетевой СР и терминальные цистерны СР; TC, TMC, CM, CQ – тропонин, тропонин-Mg сайты, кальмодулин, кальсеквестрин.

При

этом

уравнение,

основное

описывающее

связь

трансмембранного потенциала и трансмембранных токов по своей структуре остается тем же, что и в простой модели Ходжкина-Хаксли. Однако,

количесво

трансмембранных

существенно

различаются,

кардиоцитов.

Основное

отражая

уравнение,

токов

и

их

описания

специфику

динамики

описывающее

генерацию

потенциала действия в кардиоците, утверждает, что скорость изменения

трансмембранного

электрической

ёмкостью

потенциала

мембраны

Сm,

V, и

определяется суммой

всех

трансмембранных токов. Для клетки водителя ритма синусового узла,

37 в

модели,

представленной схематически на Рис. 1.12, такое

уравнение выглядит следующим образом: −C m

dV = I Na + I CaL + I CaT + I f + I Kr + I Ks + I to + I sus + I KACh + I bNa + I bCa + I bK + I NaK + I NaCa + I pCa dt

,

Фазы потенциала действия кардиоцита Известно, что форма потенциала действия существенно зависит от раздела сердца, в котором зарегистрирован ПД (см. Рис. 1.13). Однако, безусловно, существуют общие черты, свойственные различным формам ПД кардиоцитов. Традиционно, для выявления общих черт ПД, используют деление цикла ПД на пять фаз.

Рис. 1.13 Сравнительная форма потенциала действия в различных отделах сердца: синоатриальном узле (СУ), предсердии (П), Атриовентрикулярном узле (АВ), волокнах Пуркинье (ВП), желудочке.

На Рис. 1.14 схематичное показана форма потенциала действия пейсмекерных клеток СУ и клеток рабочего миокарда предсердий и условное деление цикла на фазы.

38

Рис. 1.14 Схематичное представление пяти фаз ПД синоатриальной (слева) и предсердной (справа) клеток.

Каждая из фаз ПД характеризуется определенным набором мембранных токов. В таблице 2 представлены основные ионные токи, формирующие ПД в сердечных клетках. В зависимости от типа клеток форма ПД и вклад ионных токов в его формирование сильно меняется. Таблица 1-2 Основные ионные токи, формирующие ПД в сердечных клетках

Название

Обозначение

входящий/ выходящий/ смешанный

Наличие в Предсердн

пейсмекерно

ой клетке

й клетке

(фаза)

(фаза)

Быстрый натриевый

INa

входящий

+ (0)

ток

ист.

латент .

−

+

Входящий кальциевый ток (L- и Т-

ICaL , ICaT

входящий

+ (2)

+ (4)

If

входящий

−

+ (0,4)

типа) Активируем ый при гиперполяризации ток

39 Кратковреме нный выхо-

Itо

выходящий

+ (1)

+ (1)

IKr IKs IKur

выходящий

+ (2,3)

+ (2,3)

IK,Aсh

выходящий

+

+

ICl, INa, IK

смешанный

+

+

INaK

смешанный

+

+

ICap

выходящий

+

+

INa/Ca

смешанный

+ (0-2)

+ (0-2)

дящий ток Калиевый ток задержанного выпрямления (быстромедленноочень быстроактивируемый ) Выходящий калиевый ток, активируемы й ацетилхолин ом Токи утечки Натрийкалиевый насосный ток Кальциевый насосный ток Ток натрийкальциевого обмена

При описании токов, как правило, выделяют входящие и выходящие токи.

Ниже

кардиоцитов.

представлено

краткое

описание

основных

токов

40 Входящие токи

Рис. 1.15 Быстрый натриевый ток в клетке желудочка млекопитающих.

Быстрый натриевый ток, INa, является током, ответственным за быструю деполяризацию клеток рабочего миокарда предсердий и желудочков и проводящей системы Гиса-Пуркинье. Деполяризующий стимул

вызывает

быструю

активацию

каналов

и

несколько

задержанную, но также быструю инактивацию. Благодаря этому обеспечивается крутой передний фронт ПД (фаза 0) и высокая скорость проведения по миокарду [2]. При МП равном -40 мВ, эти каналы полностью инактивируются. INa не принимает участия в деполяризации истинных пейсмекерных клеток. Максимальный диастолический потенциал этих клеток может быть около -50 мВ.

41

Рис. 1.16 Кальциевый ток L-типа в клетке желудочка млекопитающих.

Рис. 1.17 Кальциевый ток T-типа в клетке желудочка млекопитающих.

Входящий кальциевый ток, ICa. В сердце существует, по крайней мере, два типа кальциевых каналов – L и T, активация и инактивация которых

происходит

при

различных

МП.

Эти

каналы

высокоселективны к ионам Ca2+. Амплитуда низкопорогового тока ICaT

составляет около 20 % от амплитуды высокопорогового тока ICa-L.

Высокопороговый ток ICa-L является кальциевым током, который активируется при относительно высоком пороговом потенциале -40 мВ и достигает максимума при МП от 0 до +10 мВ, после чего происходит инактивация. А в истинных пейсмекерных клетках ICa-L

42 полностью формирует передний фронт ПД (фаза 4), и в связи с тем, что ток активируется относительно медленно, передний фронт этих клеток СУ пологий (максимальная скорость нарастания фронта ПД от 0 до 3 В/с). ICa-L присутствует в клетках предсердий, желудочков и проводящей системы Гиса-Пуркинье, где участвует в формировании плато ПД (фаза 2). Он также является триггером для выхода Ca2+ из саркоплазматического ретикулума и, таким образом, обеспечивает электромеханическое сопряжение в кардиоцитах.

Рис. 1.18 Активируемый при гиперполяризации ток в клетке истинного водителя ритма СУ млекопитающих.

Ток, активируемый при гиперполяризации. If – этот ток, называемый

пейсмекерным

током,

активируется

при

гиперполяризации мембраны в клетках СУ, АВУ и клетках проводящей системы Гиса-Пуркинье. Порог активации тока If от -50 до -70 мВ. Он переносится преимущественно ионами Na+ и K+. Выходящие токи Кратковременный

выходящий

ток

Itо

–

этот

ток

быстро

активируется (20-30 мс) во время деполяризации мембраны и затем достаточно быстро инактивируется (20-30 мс). Таким образом, он

43 формирует фазу 1 ПД клеток рабочего

миокарда

Пуркинье.

двух

Ток

Itо

состоит

из

и

Гиса-

компонентов:

потенциалчувствительный калиевый ток Itо1 и [Ca2+]-зависимого хлорного тока Itо2. Плотность Itо1 может сильно отличаться в клетках из различных областей предсердий, что приводит к неоднородной длительности ПД. Itо1 также обнаружен в латентных пейсмекерных клетках СУ.

Рис. 1.19 Быстроактивируемый калиевый ток в клетке желудочка млекопитающих.

Рис. 1.20 Медленноактивируемый калиевый ток в клетке желудочка млекопитающих.

44

Рис. 1.21 Калиевый ток задержанного выпрямления (IK1) в клетке желудочка млекопитающих.

Калиевый ток IK – этот ток активируется во время плато ПД (фаза 2) и является основным током, вызывающем реполяризацию сердечных клеток (фаза 3). При потенциале ниже -50 мВ во время реполяризации наблюдается деактивация IK. Поскольку деактивация IK может продолжаться в течение секунды, он играет важную роль в формировании

медленной

диастолической

деполяризации

пейсмекерных клеток СУ. IK состоит из нескольких компонент: быстроактивируемый

IKr,

медленноактивируемый

и

IKs

очень

быстроактивируемый IKur, которые отличаются по временными потенциалзависимым свойствам, а также по фармакологической чувствительности. АТФ-чувствительный активируется,

калиевый

когда

аденозинтрифосфата

ток,

IK,ATP

внутриклеточная

становится

менее

0.1 мМ.

−

этот

ток

концентрация К+

каналы

закрываются, когда концентрация АТФ достигает физиологического уровня. IK,ATP вносит значительный вклад в уменьшение длительности ПД и усиливает накопление внеклеточного калия во время ишемии и при гипоксии миокарда.

45

Рис. 1.22 Активируемый ацетилхолином калиевый ток в клетке истинного водителя ритма СУ млекопитающих при концентрации АЦХ 20 нМ.

Выходящий калиевый ток, активируемый ацетилхолином, IK,AСh − этот

ток

возникает

при

активации

АЦХ

мускариновых

холинорецепторов. IK,AСh проходит через управляемый лигандом К+ канал, который активируется субъединицей ГТФ регулируемого Gбелка,

связанного

предсердных

с

клетках

холинорецептором. активация

В

пейсмекерных

IK,AСh вызывает

и

значительное

уменьшение длительности ПД и гиперполяризацию клеточной мембраны. Чувствительность IK,AСh к АЦХ в предсердных клетках в несколько раз выше по сравнению с желудочковыми. Хлорный ток, ICl – этот ток является током утечки, он активируется во время β-адренергической стимуляции. Активация ICl может привести к ускорению фазы реполяризации ПД, противодействуя, таким образом, увеличению длительности ПД, связанного с βадренергическим повышением ICa-L. Ионные насосы В сердечных клетках, кроме ионных каналов, важную роль в формировании ПД играют электрогенные насосы. Ионные насосы

46 обеспечивают

поддержание определённого

уровня

внутриклеточного содержания К+, Na+ и Са2+.

Рис. 1.23 Натрий-калиевый насосный ток в клетке желудочка млекопитающих.

Na-K насосный ток, INa/K pump – этот ток формируется за счёт работы электрогенного Na-K насоса, который осуществляет активный транспорт ионов Na+ и К+ через клеточную мембрану. За один цикл работы насоса переносится 3 иона Na+ из клетки и 2 иона К+ внутрь клетки, таким образом генерируя выходящий ток – INaK. INaK может приводить к укорочению длительности ПД, гиперполяризации и замедлению спонтанной активности. Работа насоса зависит от концентрации Na+ внутри клетки и от ПД. Ca2+ насосный ток, ICap - ток формируется за счёт работы электрогенного

Ca

насоса,

подобного

SERCA2

насосу

в

саркоплазматическом ретикулуме кардиоцита. Хотя этот насос формирует небольшие по величине токи, однако, его действие необходимо учитывать при учёте баланса ионов кальция при установлении внутриклеточного ионного гомеостаза.

47

Рис. 1.24 Ток натрий-кальциевого обменника в клетке желудочка млекопитающих.

Ток Na/Ca обмена, INa/Ca

– этот ток формируется за счёт

электрогенного Na/Ca транспорта, за один цикл работы которого происходит обмен через клеточную мембрану 3-х ионов Na+ на один ион Са2+. Интересной особенностью этого тока является то, что направление

тока

может

меняться

при

формировании

ПД.

Направление INa/Ca зависит от градиентов Na+ и Са2+ и мембранного потенциала. Во время 0 фазы Na/Ca обмен генерирует небольшой входящий ток. После быстрой деполяризации INa/Ca может на короткое время быть выходящим, затем, когда внутриклеточная концентрация Са2+ увеличивается, он становится входящим. Таким образом, INa/Ca принимает важное участие в формировании плато (фаза 2) ПД клеток рабочих кардиоцитов. Подавление INa/Ca приводит к укорочению длительности ПД. Суммарный ток, формируемый согласованной работой всех каналов, оказывается входящим во время фронта ПД и формируется в кардиоцитах, в основном, за счёт быстрого натриевого тока (Рис. 1.25); в клетках истинных водителей ритма этот ток формируется кальциевыми каналами L-типа.

48

Рис. 1.25 Общий ток при формировании ПД в клетке желудочка млекопитающих. Быстрый натриевый ток, формирующий фронт импульса и достигающий величины -400 pA/pF (см. Рис. 1.15) показан не полностью.

Изменение

трансмембранного

потенциала

из-за

трансмембранного тока показано на Рис. 1.26 и Рис. 1.27. Именно различие в трансмембранных токах в клетках различных разделов сердца приводит к количественным различиям в форме ПД в различных разделах сердца (сравните Рис. 1.26 и Рис. 1.27), а также к качественным различиям (наличие и отсутствие автоматии в кардиоцитах).

Рис. 1.26 Трансмембранный потенциал в клетке желудочка млекопитающих.

49

Рис. 1.27 Трансмембранный потенциал в клетке истинного водителя ритма СУ млекопитающих.

Моделирование клеток синусового узла. С момента идентификации местоположения синусно-предсердного узла Кейсом и Флаком [220], были изучены основные механизмы формирования ритма [193]. Клетки синусового узла, наряду с другими электровозбудимыми клетками, интенсивно изучаются в последнее время. Число изученных ионопередающих систем, играющих важную роль для стимуляции и/или нейро-гормонального контроля, постоянно растёт и в современные моделях включает такие токи, как: активируемый при гиперполяризации ток if , фоновые натриевый и калиевый токи ib,Na и ib,К; кальциевые токи L и T-типа iCa,T и iCa,L; кратковременный

выходящий

компоненты калиевого тока

ток

ito;

быструю

и

медленную

iK,r и iK,s; ток натриево-кальциевого

обменника, iNaCa и др. Как уже было сказано выше, большинство современных моделей опирается на формализм Ходжкина-Хаксли и на огромный опыт моделирования кардиоцитов, наработанный в 70-90е годы прошлого века. Согласно общепринятой схеме, динамика потенциала может быть рассчитана посредством аналитического описания

50 взаимозависимых

трансмембранных

ионных

потоков, причем, к настоящему времени большая часть значений параметров системы устанавливается не на основе предположений, а базируется на экспериментальных данных. Для иллюстрации точности и полезности детальных моделей в исследованиях, можно упомянуть проверку гипотезы и том, что токи if и ib,Na должны играть обоюдную роль в стабилизации показателей СУ [302]. Другие примеры полезности и предсказательной силы детальных моделей СУ в исследованиях можно найти в [250,88,230]. Ниже приведено сравнение современных моделей синусового узла, включая модели Calgary [102], Sydney [110] и Leeds [478], а также модель СУ из пакета Oxsoft HEART4.X [304] с улучшенной версией (включает iCa;L, iCa;T, iK;r и iK;s) [247] Оксфордской модели клеток СУ [303].

Рис. 1.28 Форма потенциала действия в различных моделях клеток СУ. Модели (сверху вниз): Oxford, Calgary, Sydney, Leeds – центральная клетка

51 (истинный водитель ритма) и Leeds –

периферическая клетка (латентный

водитель ритма).

Форма потенциала действия, вычисленные с использованием разных моделей клеток СУ, представлены на Рис. 1.28. Кроме модели Sydney, демонстрирующую необычно длинную фазу спонтанной диастолической деполяризации, все модели воспроизводят ПД, типично наблюдаемые в экспериментах в отдельных клетках. Для сравнения модельных данных с экспериментальными данными,

полезно

определить

«типичные

значения»

для

физиологически разумных параметров Следует отметить, что данные различны для клеток истинных и латентных водителей ритма. Для промежуточных клеток средние характеристики должны лежать гдето между типичными значениями для центральных и периферических клеток. Максимальный

диастолический

потенциал

(MDP),

амплитуда

потенциала действия (APA) и длина цикла (ДЦ) в модели Oxford показывают, что модель воспроизводит ПД клеток периферии СУ. Скорость нарастания фронта (UV) в 7 В/с не характерна для клеток центра, но и не экстремальна: этот параметр может достигать величины 60 В/с [228] Модель Calgary, судя по MDP, APA, UV, воспроизводит процессы в переходных клетках СУ. Относительно короткий период (ДЦ – 259 мс) скорее позволяет отнести её к моделям периферийных клеток СУ. Модель Sydney также отражает активность переходных клеток СУ, за исключением APA (74 мВ), которая мала и, таким образом, более типична для центральных клеток. Модель Leeds, на самом деле,– две похожие, но не идеентичные модели для центральной и периферической клеток-водителей ритма.

52 Параметры модели вычислены на основе данных

и,

таким

образом,

экспериментальных

подобраны

так,

чтобы

отражать

электрофизиологические показатели центральных и периферийных клеток. APA (75.6 мВ) центральной модели немного больше (по сравнению с 68 мВ, наблюдаемыми экспериментально), в то время как MDP периферийной модели более отрицательный (-77.8 мВ), чем экспериментальный результат (-70 мВ [228]). В

современных

моделях

либо

учитывают

изменению

концентраций ионов вследствии мембранных токов, либо считают эти значения

постоянными.

вычисляют

в

Внутриклеточные

большинстве

моделей.

концентрации Внеклеточные

ионов ионные

концентрации вычислены только в моделях Calgary и Sydney. Разные модели используют несколько отличающиеся наборы токов для расчётов: TTX-чувствительный натриевый ток, iNa. Все обсуждаемые модели содержат iNa. Уравнения Oxford, Calgary и Sydney основаны на работе Colatsky [85], в которой изучалось волокно Пуркинье кроликов. Уравнения Calgary потроены на основе данных Muramatsu и Nathan [291] по клеткам СУ кролика. Данные Muramatsu и Nathan совместно с данными Sakakibara et al. [375] по моделям кардиоцитов

предсердия

человека

были

использованы

для

конструирования компонента iNa в модели Sydney. Модель Leeds основывается на данных СУ кролика и желудочковых клетках крысы [24,55,292,173]. Экспериментальные данные по блокированию iNa. Полагаясь на данные Kodama et al. [228], блокировка iNa не отражалась на активности центральных клеток СУ, в то время как периферийные клетки показывают смещенный в положительную область потенциал старта, снижение скорости нарастания фронта и рост ДЦ. Блокировка

53 iNa в моделях Oxford и Sydney приводит к увеличению скорости нарастания фронта, в то время как этот параметр остаётся почти постоянным в модели Calgary. В дополнение, потенциал старта и ДЦ модели Calgary почти не меняются. И центральная, и периферийная версии модели Leeds адекватно воспроизводят экспериментальные данные. Кальциевые токи. В модели Oxford их описание основано на данных по клеткам СУ кроликов [248,249]. Уравнения Calgary основаны на данных по клеткам СУ кроликов и морских свинок [160,301,134]. Формулировки iCa;L в модели Sydney основаны на данных по клеткам СУ кроликов [160], в то время как данные по клеткам СУ кроликов и морских свинок

используются

для

формулировки

iCa;T

[160,301].

Моделирование iCa;L в модели Leeds основано на данных по клеткам СУ кроликов и морских свинок [160,301,134], в то время как iCa;T полностью

основано

на

данных

по

клеткам

СУ

кроликов

[248,249,160,301]. Экспериментальные данные по блокировке iCa;L и iCa;T. Используя данные по небольшим участкам ткани из центра и периферии СУ кролика, Kodama et al. [228] показали, что частичная блокировка iCa;L прекращает генерацию потенциала действия в центре СУ, в то же время снижается ДЦ, UV и MSP на периферии. Блокировка iCa;T показала рост ДЦ [248,160]. Модель Oxford не воспроизводит эти эффекты: ДЦ снижается после блокировки iCa;T, в то время как UV остаётся без изменений при частичной блокировке iCa;L. Количественно правильные реакции получены на модели Calgary, хотя генерация потенциала действия прекращается на более чем 2 с после блокировки iCa;T перед появлением правильно реакции. Модель

54 Sydney

верно

реагирует

на блокировку iCa;T, но не iCa;L (ДЦ

возрастает). Модель Leeds является единственной моделью, которая полностью верно воспроизводит эффекты. Калиевые токи iK;r и iK;s. Только модели Oxford и Leeds используют эти токи. Формулировки Oxford основаны на данных по клеткам СУ кроликов от Lei и Brown [248,249]. Эти данные, вместе с результатами по клеткам СУ кроликов и желудочковым клеткам морских свинок [195,316,163], составляют основу уравнений модели Leeds. Экспериментальные данные по блокировке iK;r и iK;s. Полная блокировка iK;r останавливает спонтанную активность в центральных и периферических клетках СУ кролика, в то время как частичная блокировка прекращает спонтанную активность в центре и увеличивает длительность потенциала действия и ДЦ, а также уменьшает MDP на периферии [228]. Модель Oxford адекватно реагирует на полную блокировку iK;r, но не на частичную (ритмоформирующая активность прекращается), в то время как реакция модели Leeds корректна как для полной, так и для частичной блокировки

iK;r.

Блокировка

iK;s

имеет

малый

эффект

на

ритмоформирующую активность клеток СУ кроликов, так как iK;r является основным компонентом калиевого тока. 4-AP-чувствительные токи, ito и isus. Только модель Leeds использует эти токи. Их формулировки основаны на данных по клеткам СУ кролика и crista terminalis [174]. Экспериментальные данные по блокировке ito и isus.

55 Блокировка максимальныхй

этих

токов увеличивает

систолический

потенциал

APD

и

MSP

сдвигает к

более

положительным значениям, как в центре, так и на периферии СУ. В то же время, ДЦ увеличивается на периферии и уменьшается в центре [51]. И центральная, и периферийная версии модели Leeds реагируют адекватно на данные воздействия. Активируемый при гиперполяризации ток, if (if;Na и if;K). Все модели включают этот ток, используя экспериментальные данные по клеткам СУ кроликов. Экспериментальные данные по блокировке if . Полная блокировка if увеличивает ДЦ, с большим эффектом на периферии СУ. Все модели правильно воспроизводят этот результат. Модель Calgary также воспроизводит эффект, но только после того, как генерация потенциалов действия прекращается почти на 2 с. Региональные различия Только модель Leeds моделирует региональные различия клеток центра и периферии СУ кролика [46], посредством создания отдельных моделей для центральной и периферийной клеток (истинного и латентного водителя ритма) СУ. Следует подчеркнуть, что современные экспериментальные данные доказывают наличие и важность учета различий центральных и периферических клеток в синусовом узле млекопитающих. Учет региональных различий важен еще и потому, что в настоящее время выдвинуты две альтернативные теории наблюдаемой пространственной неоднородности в характеристиках ПД в пределах СУ. Первая, известная как градиентная модель, предполагает, что неоднородность

возникает

из-за

плавной

пространственной

56 неоднородности,

градиента

в

основных

электрофизиологических показателях клеток. Экспериментальное доказательство такой градиентной модели основано на факте, что точно такое же изменение в характеристиках ПД может наблюдаться в небольших участках (шариках примерно 0.3 мм в диаметре), извлечённой из СУ ткани (Kodama and Boyett [227]), кроме того, наблюдается увеличение размеров кардиоцитов по направлению к периферии СУ, существует корреляция в характеристиках ПД с размером клеток в изолированных кардиоцитах СУ (Honjo et al. [173]). Альтернативная

теория

строения

синоатриального

узла

млекопитающих – мозаичная модель, в которой истинные и латентные водители ритма, а также предсердные кардиоциты распределены в пределах СУ, а их плотность меняется от центра к периферии. В этом случае, гетерогенность ПД возникает из-за взаимодействия различных типов клеток ритмоводителя и предсердных кардиоцитов. В качестве доказательства мозаичной гипотезы приводят тот факт, что из области СУ были изолированы лишь несколько явно различимых типов клеток. Это, по мнению авторов, предполагает, что источник пространственной неоднородности должен находиться в различиях между относительной плотностью всего двух типов клеток внутри синусового узла. Для того чтобы обосновать одну из гипотез организации СУ, детальное компьютерное моделирование связанных кардиоцитов может предоставить чрезвычайно полезные данные. Таким образом, представленное здесь сравнение некоторых современных

детальных

математических

моделей

клеток

СУ

сфокусировано на сравнении основных электрофизиологических параметров, воспроизводимых моделями и, что особенно важно, получаемых в результате экспериментальных измерений. Сумируя сказанное, у всех моделей есть достоинства и недостатки, некоторые воспроизводят лучше отдельные параметры,

57 но хуже другие. Если, все же, требуется выделить одну модель, то стоит отметить модель Leeds. Эта модель была разработана на основе современных экпериментальных данных (главным образом полученных командой Leeds). Более старые модели Oxford, Calgary и Sydney требуют пересмотра модели и расширения, например, роли токов iNa и ito . Кроме того, региональные различия, воспроизводимые в

модели

Leeds,

могут

быть

принципиально

важными

в

многоклеточных моделях СУ, посредством введения детальных описаний пространственных вариаций в индивидуальных параметрах. Модель Leeds, таким образом, оказывается лучшим кандидатом для многоклеточного моделирования ткани СУ. Следует отметить, что описанная в последующих главах данной работы модель, которая использовалась для исследования активности клеток СУ, опирается на описания модели Leeds при моделировании мембранных токов и расширяет ее путем включения в модель описания внутриклеточного ионного гомеостаза. Модели связности и геометрия среды. Для

описания

взаимодействия

между

клетками

чаще

всего

используют либо кабельное уравнение, либо двухкомпартментную (bidomain) модель. Кабельное уравнение, предложенное Лордом Кельвиным для описания тока в длинном кабеле с утечкой, предполагает,

что

цитоплазма

клеток

соединена

омическим

сопротивлением через щелевые контакты (Рис. 1.29), а снаружи клеток сопротивление среды пренебрежимо мало3. Такое допущение удачно

3

Кабельное уравнение применимо и при некоторых других условиях.

58

Рис. 1.29 Строение щелевых контактов. Щелевой контакт состоит из двух коннексонов, коннексон – из шести коннексинов, коннексин – из шести альфа-спиралей.

подходит для описания аксона кальмара [4] и приемлемо для сердечной ткани. При моделировании участка ткани, размер которого значительно превосходит размеры клеток (L >> h=0.1mm), разностные уравнения

хорошо

аппроксимируются

дифференциальными,

и

кабельное уравнение записывается в виде: dЕ/dt = ∇⋅D∇Е + f(Е,g) В

этом

уравнении

(2.1.8)

первый

член

описывает

диффузию

трансмембранного потенциала Е вдоль ткани, а второй – генерацию потенциала сопротивления

действия снаружи

отдельными

клетками.

пренебрежимо

мало,

Поскольку

можно

считать

внешнюю поверхность клеток эквипотенциальной с потенциалом

59 ϕe=0,

т.е.

трансмембранный потенциал

равен

Е

внутриклеточному потенциалу ϕi. Заметим, что уравнение (2.1.8) совпадает с известным уравнением химической кинетики типа «реакция-диффузия», широко применяемым для моделирования процессов распределенного катализа, например, в реакции БелоусоваЖаботинского.

Эта

соответствующем

аналогия

позволяет

перемасштабировании

надеяться, эффекты

что в

при

реакции

Белоусова-Жаботинского могут быть качественно и количественно соотнесены с эффектами в сердце. Подобный анализ приведён ниже.

Рис. 1.30 Эквивалентные электрические схемы моделей связности типа „кабельное уравнение”, слева, и „bidomain”, справа.

В

некоторых

задачах,

например

при

моделировании

дефибрилляции, когда сердце находится в сильном электромагнитном поле, необходимо учитывать неоднородное распределение потенциала ϕe≠0 на внешней поверхности клеток. Т.е. в дополнение к уравнению (2.1.8), описывающему динамику во «внутреннем компартменте» клетки, необходимо уравнение для «внешнего компартмента». Такая двухкомпартментная (bidomain) модель, применительно к сердцу (Рис. 1.30), была разработана в 70х годах прошлого века [418] и может быть записана в виде системы из двух уравнений: ∇·((gi+ge)∇ϕe) = –∇·(gi∇E) + Istimul ∇·(gi∇E) = – ∇·(gi∇ϕe) + β(Cm ∂E/∂t + f(Е,g)) –Istimul

(2.1.9)

60 Эти

описывают распределение внеклеточного ϕe

уравнения

и трансмембранного E=ϕi-ϕe потенциалов с учётом неодинаковой анизотропии внутриклеточного и внеклеточного компартментов, т.е. при произвольных тензорах проводимости gi и ge. Наконец, наиболее точным способом учета пространственного взаимодействия клеток было бы моделирование щелевых контактов с учетом их неодинаковой плотности вдоль поверхности кардиоцита, различной проводимости в зависимости от типа составляющих их белков коннексинов, зависимости проводимости от межклеточного потенциала и др. параметров. Однако этот путь пока является слишком ресурсоёмким для 2х и 3х мерного моделирования. При моделировании сердца, в зависимости от поставленной задачи, выбирают либо простую 2D полоску ткани, либо 3D куб, задавая

подходящие

распространения реалистичную

граничные

возбуждения геометрию

условия. в

целом

желудочков

При

моделировании

сердце

используют

млекопитающих

с

экспериментально измеренными тензорами проводимости gi и ge. В качестве

граничных

условий

обычно

предполагают

условие

непроницаемости для трансмембранного потенциала Е в (4) и для внутриклеточного потенциала ϕi в (5). Граничные условия для ϕe (5) определяются спецификой задачи.

Моделирование электрической активности миокарда Распространение

волн

возбуждения

было

исследовано

в

многочисленных экспериментальных и теоретических работах. В качестве обзоров отметим здесь работы Зыкова (1987), Кернера и Осипова (1991), Grindrod (1991), Meron (1992) [483,499,157,275]. Многие хорошо известные свойства автоволновых сред, такие как распространение с постоянной скоростью, независимо от начальных

61 условий,

аннигиляция сталкивающихся

волн,

зависимость скорости распространения от кривизны, возможность формирования

спиральных

волн

распространение

и

др.

рассматривались в работе Винера и Розенблюта [449], а также в многочисленных работах В. И. Кринского и сотрудников (напр. [498]). Работы этих авторов фактически заложили фундамент, сформировали язык и указали направления дальнейших исследований в этой области. Наиболее интересной и необычной формой динамики в миокарде, как и в большинстве других активных сред, является формирование вращающихся спиральных волн, или реентри (reentry) - термин установившийся в кардиологии. Начиная с пионерской работы Винера и Розенблюта [449], появления реентри в миокарде связывалось с фибрилляцией и различными аритмиями – опасными сердечными заболеваниями.

Рис. 1.31 Трехмерных вращающийся вихрь (реентри) в желудочках собаки, модель [4] и в реакции Белоусова-Жаботинского, эксперимент [485].

Экспериментальные

доказательства

наличия

вращающихся

спиральных волн или вихрей или реентри (еще раз напомним, что эти термины

–

синонимы)

были

впервые

представлены

экспериментировавшими с полосками предсердной ткани Allessie et al. [14]. Эти результаты были подтверждены многими исследователи, среди которых отметим работы Davidenko et al. [96,97] и Перцовым и др. [341]; исследование реентри в трехмерной среде Frazier et al. [138].

62 Современное

моделирование

реентри,

как

правило, происходит в трехмерных средах, в которых учитывается анатомические особенности миокарда, такие, как анизотропия и геометрия

среды.

анатомически

Большинство

реалистичных

работ средах

по

моделированию

были

выполнены

в с

использованием концептуальных моделей для описания ПД, как правило модификаций модели ФитцХью-Нагумо [4,33,333,82]. В большинстве моделей используют модели желудочков собаки, поскольку это была первая подробно исследованная структура сердца, подробно задокументированная и пригодная для использования в компьютерных

рассчетах

[246,245].

Наибольший

интерес

при

моделировании вызывает моделирование аномальной активности сердца,

поскольку

уникальный

именно

инструмент,

моделирование способный

предствляет

предоставлять

собой данные,

недоступные для экспериментальниой техники. Так, используя математическое моделирование удалось прояснить роль локальной неоднородности и системы проведения Пуркинье в формировании аритмий [4,33]. При исследовании фибрилляций в трехмерной среде, из-за сложности волновых картин, положение и динамика вихрей исследовалась с помощью выделения нити вихря. Динамике нити вихря

посвящено

Winfree&Strogatz,

много 1984;

работ,

Panfilov,

из 1999;

них

отметим

Clayton&Holden,

работы 2004

[453,333,82]. В последние годы, благодаря увеличению мощности компьютеров и алгоритмов рассчетов, стали появляться работы с использованием детальных ионных моделей для моделирования реентри и фибрилляций. Так, Xie et al. [471] использовали модель Луо-Руди-1 и трехмерную геометрию желудочков собаки. Они показали, что сложная геометрия желудочков и анизотропия миокарда способствуют образованию фибрилляции, поскольку расширяют границы области в параметрическом пространстве, где возможно

63 неустойчивое распространение и разрыв

спиральных

волн,

благодаря специальной форме кривой рестируции. Bernus et al. [39] использовал для моделирования геометрию человеческих желудочков совместно с упрощенной моделью формирования ПД в желудочках человека Priebe-Beuckelmann [40,351]. Bernus et al. [39,40] показали, что при формировании связанных с реентри аритмий, устойчивость реентри зависит от расположения реентри в стенке желудочка и показали, что динамика, подобная фибрилляции, возникает после применения к системе деблокатора калиевых каналов.

Современные методики экспериментального исследования миокарда: оптическое картирование миокарда

Экспериментальная

кардиология

обладает

обширным

набором

инструментов для изучения электрической активности миокарда. Во второй половине 20-го века значительный прогресс в исследованиях был достигнут благодаря использованию компьютеризированных методов измерения, в особенности картирования миокарда, т.е. получения информации не из отдельных пробных точек, а из областей миокарда, что особенно важно при изучении распространения ПД, т.е. пространственно-временных структур, формируемых при нормальном или при аномальном распространении ПД. Наиболее современным методом

картирования

картирование.

является

Флуоресцентные

флуоресцентное методы

позволяют

оптическое измерять

различные параметры живой системы с высокой чувствительностью и специфичностью. Так, современные методы позволяют обнаруживать присутствие единичных молекул в сложных физиологических

64 системах, измерять концентрации ионов

и

электрические

потенциалы внутри и на мембранах клеточных органелл во время сложных физиологических процессов.

Рис. 1.32 Схема измерения трансмембранного потенциала с помощью потенциалчувствительного красителя, встраиваемого в мембрану кардиоцита.

Оптические измерения трансмембранного потенциала были предложены Larry Cohen. Идея была основана на свойствах специально

синтезированных

молекул-флуорофоров,

которые,

связавшись с клеточной мембраной, способны поглощать и излучать свет с эффективностью, зависящей от величины электрического поля, в котором находится эта молекула. Таким образом, осветив сердце, прокрашенное флуорофором, можно оптически измерить динамику трансмембранного потенциала по изменениям интенсивности или длины волны флуоресценции. Более того, используя современные

65 методы

регистрации,

фотодиодные

матрицы,

т.е. используя можно

видеокамеры

составлять

карты

или

изменения

трансмембранного потенциала на поверхности сердца [108,118]. При экспериментальном исследовании удобно также то, что существует возможность изменять пространственное разрешение картирования сигналов посредством подстройки оптического увеличения системы. В настоящее время картирование трансмембранного потенциала осуществляется в широком диапазоне пространственного масштаба: от кардиоцита [452] до целого сердца [118]. В качестве обзоров можно порекомендовать работы [119-270]. Типичная схема современной установки оптического картирования представлена на Рис. 1.33.

Рис.

1.33

Схема

экспериментальной

установки

для

оптического

картирования

трансмембранного потенциала.

В качестве регистрирующего элемента может служить фотодиодная матрица, состоящая, например, из 256 фотодиодов, организованных в матрицу

16х16

высокоскоростная

элементов. CCD

Другим

камера,

при

вариантом этом

может

быть

пространственное

66 разрешение

увеличивается (типичные значения – 128х128

элементов), но ухудшается временное разрешение и некоторые другие характеристики. Примером установки оптического картирования, является установка, описанная в нашей работе [511]. Фотография установки и ее схематическое представление показаны на Рис. 1.34.

Рис. 1.34 Схема и фотография установки для оптического картирования сердца. Слева – схема установки. Картирование выполнялось с использованием Dalsa CCD камеры (500 кадров/с и 128x127 пикселей/кадр). Источники света состояли из 2-х

4x4 матриц

светодиодов, испускающих зеленый свет длиной волны 530± ±20 нм. Эмиссионный фильтр имел нижнюю границу пропускания 610 нм. Справа – фотография сердца и системы картирования во время проведения эксперимента [511].

Основным элементом системы является высокоскоростная CCD камера (Dalsa Inc., Канада), соединённая через плату АЦП (National Instruments, TX) с персональным компьютером PC/ATX (AMD Athlon XP 2500+). Для возбуждения молекул красителя использовали свет с длиной волны 530±20 нм от 32 светодиодов (SSL-LX50595UPGC125, Lumex), собранных в две матрицы. Испускаемый возбужденными молекулами красителя свет (710±50 нм) проходил через фильтр с нижней границей пропускания 610 нм. Длительность записей оптических сигналов составляла от 1 до 4 секунды. Для регистрации и последующей обработки данных оптического картирования использовали программное обеспечение, разработанное в системе LabVIEW (National Instruments). Оптические сигналы

67 регистрировали с разрешением 127х128

пикселей

или

16х16

пикселей (при усреднении сигнала из области 8х8 реальных пикселей) со скоростью от 460 до 500 кадров/сек. Площадь картируемой области составляла примерно 16х16 мм. Для уменьшения шума при обработке оптических сигналов использовали фильтрацию скользящего среднего значения по 3-7 кадрам или медианную фильтрацию 3х3х3, т.е. усреднение сигнала по пространству 3х3 пикселя и по времени 3 кадров. Для построения карт активации желудочков каждой из 127х128 точек картируемой области присваивали время активации Tact (x,y,t). Время активации определяли как момент достижения максимального значения производной инвертированного флуоресцентного сигнала (dF/dt)max

[511].

зарегистрированных

Примеры с

построения

помощью

карт

описанной

оптического картирования, приведены на Рис. 1.35.

выше

активации, системы

68

Рис. 1.35 Карты активации желудочков сердца летнего активного суслика во время синусового ритма и стимуляции при различных температурах. А - фотография изолированного перфузируемого по Лангендорфу сердца суслика Citellus Undulatus, окрашенного красителем di-4-ANEPPS. Регистрацию оптических сигналов проводили в области, ограниченной прямоугольником (16х16 мм). Штрихованной линией отмечена проекция межжелудочковой перегородки. ПП и ЛП – правое и левое предсердие; ПЖ и ЛЖ – правый и левый желудочки. Б - карты активации желудочков сердца летнего суслика (см. рис. А) во время синусового ритма при 37оС и при постепенном понижении температуры перфузируемого раствора до 17oC, 10oC и 3оС. Изохроны построены через 2 мс на картах 37oC, 17oC и 10oC и через 4 мс на карте температуры

3oC. Следует отметить, что при понижении

сохраняется общий характер активации сердца

- два участка выхода

возбуждения на эпикард в левом и правом желудочках. В - карты активации желудочков сердца летнего суслика (см. рис. А) во время стимуляции левого желудочка при 37оС (S1S1=200 мс), 17oC (S1-S1=1000 мс) и 10oC (S1-S1=2000 мс). На всех картах изохроны построены через 2 мс. Стрелкой показано направление, вдоль которого проводили измерение скорости проведения. Рисунок из работы [511].

69 Глава 2.

Концептуальные модели: исследование автоволновых сред

Автоволновые среды. Известно, что уравнения типа реакция-диффузия имеют решения в виде бегущих волн и используется для описания автоволновых процессов в различных средах. Для сравнения характеристик автоволн представлены значения, обнаруженные экспериментально в сердце, в модели ФитцХью-Нагумо (ФХН), в химической реакции БелоусоваЖаботинского и для внутриклеточных кальциевых волн (Таблица 2-1). Здесь Tfront – длительность фронта волны. В сердце эта величина определяется временем активации/инактивации натриевых каналов; vpulse – скорость распространения одиночной плоской волны; Tvortex, λvortex, vvortex – временной, пространственный периоды и скорость распространения импульса в спиральных волнах; dcore – размер ядра спиральной волны; D – эффективный коэффициент диффузии. Из-за сильной анизотропии в сердце для некоторых параметров указаны два значения: вдоль и поперек волокон. В таблице представлены параметры, которые, во-первых, измеримы экспериментально, вовторых,

остаются

постоянными

при

фиксированных

условиях

(например, период фокального источника в сердце и в реакции Белоусова-Жаботинского сильно зависит от местоположения и типа источника и потому не использован). Стоит отметить, что схожие характеристики отличаются по величине на несколько порядков в различных средах. Однако, если вместо размерных параметров сравнивать безразмерные характеристики сред [7]: pl = Tvortex/Tfront; p2 = λvortex/dcore; p3 = vpulse/vvortex; p4 = (vvortex λvortex)/D, то легко заметить, что различия в пределах одного порядка, что и позволяет отнести все эти среды к одному классу – классу автоволновых сред. Интересно, что в пространстве параметров p1-p4 точка, соответствующая модели ФХН

70 примерно столь же удалена от сердца, как и реакция БелоусоваЖаботинского, т.е. в качестве модели сердца реакция БелоусоваЖаботинского ничуть не хуже модели ФХН. Дальнейшее обсуждение физического смысла безразмерных параметров можно найти в работе [6]. Таблица 2-1 Основные характеристики автоволновых сред.

Реакция Сердце

Модель ФХН

БелоусоваЖаботинского

Внутриклеточные

Ca волны

Tfront

0.002 s

0.1 t.u.

20 s

0.2 s

Tvortex

0.13 s

13 t.u.

240 s

10 s

λvortex

7/3 cm

20 s.u.

0.5 cm

2.1·10-4 cm

dcore

2 cm

5 s.u.

0.12 cm

5·10-5 cm

Vpulse

63/22 cm/s

2 s.u./t.u.

3·10-3 cm/s

2.5·10-3 cm/s

Vvortex

53/23 cm/s

1.5 s.u./t.u.

2·10-3 cm/s

2.1·10-3 cm/s

1 cm2/s

1 s.u.2/t.u.

2·10-5 cm2/s

2.3·10-6 cm2/s

D

Таблица 2-2 Безразмерные характеристики автоволновых сред.

Реакция Сердце

Модель ФХН

БелоусоваЖаботинского

Внутриклеточные Ca волны

Pl

65

130

12

50

P2

2.5

4

4

4.2

Р3

1.2

1.3

1.5

1.2

P4

190

30

50

19

71 В

качестве

явлений

в

иллюстрации универсальности

разных

средах

можно

упомянуть

автоволновых исследование

распространения затухающих импульсов. В кардиологии десятки лет известна проблема уязвимости: в ответ на точечную электрическую стимуляцию распространяющегося импульса возможно появление необычных ответов, пары спиральных волн, которые приводят к хаотическим сокращениям сердца, фибрилляции. Пространственновременной интервал, в котором внешняя стимуляция приводит к уязвимости, был назван уязвимым окном. Это окно расположено вблизи

границы

абсолютной

рефрактерности.

Долгое

время

считалось, что при одиночной стимуляции (в одномерном случае) возможна одна из трёх ситуаций: два отклика (при стимуляции восстановившейся ткани), нет откликов (при стимуляции в зоне абсолютной рефрактерности) и один отклик при стимуляции в уязвимом окне. Компьютерные расчёты и эксперименты на реакции Белоусова-Жаботинского

показали,

что

подобная

динамика

существует и в этой среде. Кроме того, при стимуляции в уязвимом окне были обнаружены необычные режимы, когда в ответ на одиночную стимуляцию возникала последовательность нескольких откликов [5]. Исследования показали, что причиной подобной динамики являются затухающие волны, которые при определённых условиях

преобразуются

в

стационарно

распространяющиеся

импульсы. Теоретическое исследование этих эффектов в реакции Белоусова-Жаботинского послужило стимулом постановки прямых экспериментов на сердце, где исследование явления уязвимости представляет не только научную, но и практическую медицинскую ценность. Недавно эксперименты были поставлены с использованием специальных потенциал-чувствительных красителей, вживляемых в мембрану кардиоцитов и способных изменять свои флуоресцентные свойства в зависимости от трансмембранного потенциала, т.е.

72 визуализировать

распределение этого потенциала на поверхности

сердца.

(эпикарде)

Эксперименты

подтвердили

существование

затухающих волн в сердце [5], а их динамика оказалась весьма схожей с динамикой волн в реакции Белоусова-Жаботинского, несмотря на существенно разные пространственно-временные масштабы явлений. Схожесть динамики автоволн в миокарде и в реакции Белоусова-Жаботинского наблюдается и при сравнение динамики таких сложных образований, как трехмерные вихри (Рис. 1.31).

Форма вращающегося вихря. Вращающиеся автоволновыe вихри в активных средах притягивали внимание

исследователей

с

момента

появления

первых

аксиоматических моделей Винера и Розенблюта [449]. Часто такие вихри называли “вращающимися спиральными волнами”, потому что их

форма,

например,

наблюдаемая

в

реакции

Белоусова-

Жаботинского [495,496], напоминала форму архимедовой спирали. Долгое

время

считалось,

что

архимедова

спираль

является

единственно возможной формой для вихря в автоволновой среде4. В качестве теоретического обоснования этого факта обычно приводятся следующие рассуждения: рассмотрим положение фронта автоволны в полярных координатах на плоскости: x=r cos(θ(r)+ω@t), y=r cos(θ(r)+ω@t). Вдали от ядра форма вихря описывается уравнением [219]: r

r2  dψ = (1 + ψ 2 )  (ω ( k ) 1 + ψ 2 − ω@ ) − ψ  dr ε 

(2.1.10)

Где ψ/r=dθ/dr ;

4

Вихри в миокарде, реентри, обычно отличаются по форме от обычной архимедовой спирали тем, потому что имеют не круглое, а сильно вытянутое эллиптическое ядро, которое иногда называют “линейным”.

73 ω@ - частота вращения вихря, w(k)=w(1/r)

–

дисперсионное

соотношение (зависимость частоты вращения от волнового числа). Уравнение (2.1.10) основано на определённых допущениях, на том, что зависимость скорости распространения автоволны от кривизны носит линейный характер: v=v0+Dk где v0 – скорость плоских волн, k- кривизна фронта, D-малый параметр, обычно – коэффициент диффузии в среде [483,493]. Такая зависимость скорости распространения автоволны от кривизны свойственна возбудимым средам. Однако в автоколебательных средах эта зависимость, как и дисперсионное соотношение, имеют более сложный вид, что существенным образом сказывается на динамике автоволн [3] и на форму автоволнового вихря. Далее приведены результаты исследований автоволновых вихрей в колебательной среде реакции Белоусова-Жаботинского с помощью двухкомпонентной модели и в эксперименте. На Рис. 2.1, Рис. 2.6 показаны полученные нами экспериментальные данные, показывающие, что форма вихря изменяется существенным образом при сравнительно слабых воздействиях на ядро вихря [12]. Причем, в одной и той же среде возможно существование различных форм спиральной волны, как архимедовой, так и неархимедовой. Это наблюдение подтверждает сделанные ранее предсказания о наличие неархимедовой формы вихря в реакции Белоусова-Жаботинского [9]. На Рис. 2.2 показано дисперсионное соотношение, измеренное в модели автоколебательной среды. На этом рисунке видно, что изменение формы спиральной волны происходит вблизи точки перегиба дисперсионной кривой, где смыкаются ветви фазовых и релаксационных колебаний [3].

74

Рис. 2.1 Изменение формы автоволнового вихря в реакции Белоусова-Жаботинского при воздействии на ядро светом лазера (эксперимент). Слева вверху – архимедова спиральная волна, которая при увеличении ядра вихря преобразуется в логарифмическую спираль (слева внизу), а при восстановлении начальных экспериментальных условий, форма вихря возвращается к начальной – архимедовой спирали (справа внизу). Рисунок взят из работы [10].

Форма

дисперсионной

кривой

(Рис.

2.2)

была

подтверждена

экспериментально и показана на Рис. 2.3. Численные расхождения (значение волнового числа к, при котором наблюдается точка перегиба) объясняются различными концентрациями ингредиентов реакции Белоусова-Жаботинского, для которых выполнялись расчеты и ставился эксперимент. При проведении подробных вычислительных экспериментов, в которых моделировалось до тысячи оборотов вихря, были получены данные, хорошо согласующиеся с экспериментальными (Рис. 2.4, Рис. 2.5).

75

Рис. 2.2 Дисперсионное соотношение в колебательной среде. Результаты моделирования. Точка О соответствует объёмным колебаниям; С – точка, соответствующая максимальному волновому числу, k=kmax; I – точка перегиба, разделяющая фазовые волны (ветвь OI) и триггерные волны (ветвь IC). Точка R соответствует точке бифуркации, изменения формы спиральной волны с архимедовой на неархимедову [9].

Рис. 2.3 Дисперсионное соотношение в колебательной среде. Результаты эксперимента. Дисперсионная кривая показана в координатах v-T (a) и ω-k (b) [12].

76

Рис. 2.4 Изменение формы автоволнового вихря в реакции Белоусова-Жаботинского при увеличении размера ядра (моделирование). Слева вверху – архимедова спиральная волна, которая при увеличении ядра вихря преобразуется в логарифмическую спираль (справа внизу). Чёрный кружок в центре рисунка – ядро вихря. Рисунок взят из работы [12].

Рис. 2.5 Установившаяся форма логарифмической спиральной волны после 500 оборотов в вычислительном

эксперименте.

Слева

показано

распределение

HBrO2

–

быстрой

переменной, справа – распределение ферриина – медленной переменной в модели РБЖ. Рисунок взят из работы [12].

77

Рис. 2.6 Эволюция периода и длины волны вихря в эксперименте при незначительном увеличении ядра. Видно, что длина волны растёт неограниченно, что нехарактерно для архимедовой спирали, но типично для логарифмической спирали. Рисунок взят из работы [12].

Для того, чтобы установить форму вращающегося вихря, вспомним, что,

как

нами

автоколебательной

было

показано

реакции

[8,3],

малые

возмущения

Белоусова-Жаботинского

в

можно

описывать с помощью уравнения Бюргерса: ∂ϕ 2 = ω0 + A ∇ϕ + D ∇2ϕ ∂t

Где φ – фаза колебаний, k=∇φ – градиент фазы (волновой вектор) и ∇2φ – лапласиан, ω0 – частота автоколебаний в однородной среде, A и D – константы. Для оценки влияния дисперсионного соотношения ω(k) на динамику, удобно переписать уравнение Бюргерса в полярных координатах: ∂ϕ ∂ϕ ∂ 2ϕ  ∂ϕ  = ω0 + A  +D 2  + DK ∂t ∂r ∂r  ∂r  2

Далее предположим, что кривизна K=1/r – т.е. мы рассматриваем динамику вдали от ядра вихря. Введя частоту ω=∂φ/∂t и волновое

78 k=-∂φ/∂r

число

получим дисперсионное соотношение для

искривлённых волн: ω = ω0 + A k 2 − DKk

Чтобы применить это соотношение к изучаемому вихрю, заметим, что при стационарном вращении, линии изофазы, φ=const, имеют неизменную форму. Тогда волновое число можно оценить, как k=(rcosθ)-1 , где θ – угол между радиус-вектором r и касательной к линии изофазы. Используя это значение волнового числа, получим следующее уравнение, описывающее форму линий изофазы вихря: ω r cos θ = ω0 rθ +

A − DK r cos θ

(2.1.11)

Заметим, что на больших расстояниях от ядра, кривизна K стремится к нулю, что достигается при условии ω=ω0.

Это даёт условие на

кривизну, как функцию r и θ: K =

1 pr cos θ

(2.1.12)

Здесь параметр p=D/A. Теперь можно показать, что уравнение (2.1.11) имеет решение в логарифмической

спирали

r=r0exp(aψ).

логарифмической

спирали

кривизна

Действительно, и

угол

для

подчиняются

соотношениям: K =

1 r 1 + a2

; cos θ =

a 1 + a2

Видно, что эти соотношения удовлетворяют уравнению (2.1.12) при условии p=

1 + a2 a

(2.1.13)

Для того, чтобы применить сделанные аналитические оценки к данным, полученным в результате численного эксперимента, была

79 построена линия фронта вихря в полярных координатах (r,ψ) с полюсом в центре вращения вихря. Видно, что зависимость log(r) от ψ хорошо аппроксимируется прямой линией (Рис. 2.7). Коэффициент наклона этой прямой, |a|=0.76, соответствует параметру p=2.08 в уравнении (2.1.13). Интересно отметить, что параметр p можно оценить независимо, поскольку он равен отношению коэффициентов A и D в уравнение Бюргерса. Эти коэффициенты были оценены в результате независимых измерений в нашей работе [3], и их отношение оказалось близким к 2, что находится в хорошем согласии со сделанными выше аналитическими оценками.

Рис. 2.7 Фронт логарифмической спиральной волны (жирная линия). Фронт хорошо аппроксимируется прямой линией с наклоном -0.76 рад-1. Рисунок взят из работы [12].

Таким образом, существование неархимедовых спиральных волн показано в эксперименте, компьютерных вычисления и с помощью аналитических

оценок.

Такой

вихрь,

существование

которого

поддерживается благодаря фазовым волнам в автоколебательной среде, логично назвать фазовым ротором. Данное

исследование интересно

еще

и

потому, что

в

большинстве предыдущих исследованиях автоволновых вихрей, изучались вихри для которых отношение длины волны к диаметру ядра λ/dc~π [7]. Это соотношение верно для большинства возбудимых сред. Для применения этого соотношения к миокарду, следует

80 помнить, что из-за анизотропии и по

другим

причинам,

ядро

реентри в миокарде не круглое, а сильно вытянутое. Таким образом, для сопоставления динамики в средах с круглым ядром, например в реакции Белоусова-Жаботинского и в миокарде следует вычислить периметр ядра реентри и сравнить его с πdc, чтобы убедиться в схожести динамики. В данной работе исследована динамика вихрей, для которых λ/dc >>π. Существование таких вихрей возможно в автоколебательных средах. Эти вихри едва ли будут обнаружены в рабочем миокарде желудочков и предсердий, поскольку это – возбудимая среда. Но при изучении

микрореентри

автоколебательной

среде,

в

районе

синусового

существование

реентри

узла, в

в виде

логарифмической спирали вполне ожидаемо. Для проверки этой гипотезы

требуются

исследования.

дополнительные

экспериментальные

81 Глава 3. Двухкомпонентная модель миокарда и свойство реституции Детальные модели, способные точно воспроизвести большинство основные свойства сердечной

ткани, не

всегда

удобны для

моделирования таких важных проблем, как проблема сердечных аритмий.

Основная

трудность

заключается

в

том,

что

при

использовании детальных моделей, требуются очень маленькие пространственные и временные шаги, в то время как формирующие аритмию реентри занимают достаточно большие участки сердечной ткани. Например, типичное значение шага по пространству при интегрировании модели Луо-Руди составляет около 0.1 мм. Это означает, что требуется, по крайней мере, миллион клеток, чтобы представить один кубический сантиметр сердечной ткани. Чтобы в подобной ситуации избежать вычислительных трудностей, часто используют упрощенные модели сердечной ткани, например, двухпараметрическую модель ФицХью-Нагумо [135, 295]. Такие модели эффективны для численного моделирования 2D и 3D динамики проведения в сердце. Эти модели успешно справляются с описанием качественных способны

аспектов адекватно

распространения воспроизвести

возбуждения,

но

не

некоторые

важные

количественные параметры сердечной ткани, такие, как форма потенциала действия и динамику восстановление свойств ткани, реституцию

(restitution

property).

Реституция

сердечной

ткани

показывает, как длительность потенциала действия зависит от длины цикла, ДЦ [122]. В миокарде наблюдается достаточно сильная зависимость: например, ДПД в желудочке собаки уменьшается с 330 мс при ДЦ=5000 мс, до 150 мс при ДЦ=350 мс [122]. Такое укорочение ПД очень важно, особенно в начальный момент формирования аритмии, когда сердечный ритм резко возрастает.

82 Реституцию следует учитывать также для тех процессов, которые связаны с любыми изменениями периода сердечных возбуждений. Это происходит, например, при дрейфе вихря в миокарде, когда в результате доплеровского сдвига наблюдается изменение частоты; в процессе

подавляющей

антиаритмической

стимуляции,

когда

наблюдается интерференция внешних высокочастотных источников с собственной

частотой

аритмии.

Теоретические

исследования

показывают, что свойство реституции имеет важное значение для появления

неустойчивости

распространения

волны

в

квази-

одномерных системах [92]. Было предпринято несколько попыток улучшения FHN моделей, с тем чтобы они могли описывать количественные параметры, такие, как форма потенциала действия [423] и свойство реституции в миокарде [229]. Однако, в модифицированных моделях, результат достигался за счет дополнительных усложнений математического представления и количества уравнений, что затрудняет их использование для качественного анализа и интенсивных расчетов. Некоторые из этих моделей используют ступенчатые функций, что может привести к снижению стабильности при численном моделировании. В данной главе предложена относительно простая модель, которая учитывает свойство реституции миокарда, адекватно отражает форму потенциала действия и может быть эффективно использована в компьютерных вычислениях, особенно, при моделировании трехмерных участков миокарда и целого сердца. Особенностью предлагаемой модели является то, что она остается столь же простой, как и оригинальная модель FHN [135]. Заметим, что в предлагаемом подходе мы не попытаемся смоделировать в деталях внутренней динамики клетки, учитывать все мембранных токи кардиоцита, т.е. модель остается концептуальной по своей сути. Мы пытались сконструировать простые уравнения, которые адекватно

83 описывают

экспериментально измеренные

интегральные

характеристики распространения импульсов в миокарде. Иными словами, предложенный подход сродни решению «обратной задачи». Модель состоит из двух уравнений, первое из них описывает быстрые процессы изменения трансмембранного потенциала, а второе медленные процессы: ∂ ∂u  ∂u  ∂t = ∂x d ij ∂x − ku (u − a )(u − 1) − uv  i j   ∂v = ε(u , v)(−v − ku (u − a − 1))  ∂t

(2.1.14)

Где ε(u,v)=ε0+µ1v/(u+µ2), k=8, a=0.15, ε0=0.002, µ1 и µ2 - параметры, которые будут определены позднее и dij – тензор проводимости, с помощью которого задаётся анизотропия сердца. Модель предполагает безразмерные переменные u, v и t. Фактические значения потенциала E и времени t могут быть получены с помощью формул: E [мВ] = 100u-80;

t [мс] = 12.9t [t.u.]

В этом случае потенциал покоя Erest составляет –80 мВ и амплитуда импульса составляет 100 мВ. Временной масштаб был выбран с учетом того, что длительность APD, измеренная на уровне 90% составляет, APD0=330 мс [122].

84

Анализ нульизоклин.

Рис. 3.1 Нульизоклины быстрой (сплошная линия) и медленной (пунктир) переменных модели.

Нульизоклины модели показаны на Рис. 3.1 Правые части уравнений (2.1.14) модели аналогичны правым частям оригинальной модели FHN [135]. Нелинейная функция быстрой переменной u имеет форму кубической параболы [135]. В отличие от оригинального описания, мы использовали член uv вместо v. Это улучшает качество моделирования формы потенциала действия (Рис. 3.2). Отметим, что в модели (2.1.14) левая ветвь нульизоклины (ut=0) не заходит в область отрицательных значений переменной u. Это предохраняет систему от гиперреполяризации, дефекта, типичного для оригинальной модели FHN, но, известно, что этот эффект не существует в реальном миокарде.

85

Рис. 3.2 Профиль импульса в зависимости от периода стимуляции: (а): Т=∞ ∞; (b): T=2.5APD0; (c): T=APD0.

В отличие от линейной нульизоклины медленной переменной (vt=0) (FitzH6), мы использовали квадратичный член в модели (2.1.14). В связи с этим, нульизоклина (vt = 0) в большой области расположена параллельно

нульизоклине

быстрой

переменной

(ut=0).

Такая

геометрия нульизоклин оказалась более подходящей для сердечной ткани, чем оригинальная линейная нульизоклина (vt=0), которая обычно используется (сравните с экспериментально измеренными изоклинами [236]. Следует также отметить, что зависимость ε от переменных u и v, что отсутствует в оригинальной модели FHN, позволяет лучше аппроксимировать экспериментальные данные, подстраивая параметры модели µ1 и µ2.

86 Построение кривой реституции. Эльхаррар и Суравич (Elharrar and Surawicz [122]) показали, что форму кривой реституции для миокарда собаки можно хорошо аппроксимировать формулой: APD = CL/(a CL + b) Где APD обозначает длительность ПД, CL - длительность цикла. Эта формула может быть переписана в безразмерном виде, удобном для анализа:

1/apd = 1 + b/cl

(2.1.15)

Где apd = APD/APD0, cl = CL/APD0, APD0 обозначает ДПД свободно распространяющегося

импульса.

Используя

эту

формулу,

мы

вычислили несколько кривых реституции для различных значений параметров µ1 и µ2 и обнаружили, что наилучшее соответствие с экспериментальными данными наблюдается при µ1=0.2 и µ2=0.3. На Рис. 3.3 Показаны экспериментальные кривые, полученные в эксперименте [122] и вычисленная с помощью формулы (2.1.15). Видно, что форма кривой реституции в модели такая же, как в экспериментах и хорошо апроксимируется прямой 1/apd = k1 + k2/cl. Значения коэффициентов k1 и k2 в нашей модели составляют k1=1.016±0.0043 и k2=1.059±0.011. Параметр k2, то есть наклон прямой, отвечает за реституцию при малых CL. k1 отражает свойства реституции при больших CL. Полученные значения очень близки к экспериментально измеренным [122]. Незначительные ошибки в значениях параметров k1 и k2 в нашей модели (ошибки оценивались методом наименьших квадратов) показывают, что зависимость 1/apd

87 от 1/cl действительно является линейной с высокой степенью точности, что и подтверждается в экспериментах. Таким образом, полученная в модели реституция может с успехом применяться для моделирования этого свойства в миокарде.

Рис.

3.3

Реституция

миокарда.

(а,

слева):

сплошная

линия

–

усреднённые

экспериментальные данные по реституции желудочка собаки, построенные по данным из ссылки [122], кружки – результат моделирования. (б, справа): то же в других координатах, линеаризующих свойство реституции. Тонкие линии представляют экспериментальные данные [122], толстая сплошная линия – лучшая подгонка экспериментальных данных, пунктир – результат моделирования.

Было изучено распространение импульса в периодически стимулируемом одномерном кабеле, состоящем из четырёхсот элементов. Все распространяющиеся импульсы были стабильными, не было найдено какой бы то ни было неустойчивости импульсов при уменьшении периода стимуляции вплоть до минимально возможного значения. Период распространения волн был постоянным и был равен периоду стимуляции. Была измерена зависимость скорость-кривизна для двумерных волновых цугов и обнаружено, что для небольшой кривизны, к, зависимость описывается формулой с=c0+kD с хорошей точностью; здесь c0 - скорость плоской волны, D - эффективный коэффициент диффузии. Таким образом, период следования волн не

88 влияет на значение D которое было

принято

равным

1

в

безразмерных уравнений (2.1.14), при условии, что dij=1. Динамика реентри с учётом реституции. Свойство реституции оказывает значительное влияние на динамику вихря. Рис. 3.4 иллюстрирует инициацию вихря посредством стимуляции внутри уязвимого окна [238]. Экстра стимул (S2) был приложен в след проходящей волны (b), который привел к возникновению разрыва волны (c), который затем эволюционировал во

вращающийся

вихрь

(d).

Видно,

что

благодаря

эффекту

реституции, длительность импульса S1 (а) приблизительно два раза выше, чем длительность импульсов во вращающемся вихре (d).

Рис. 3.4 Рождение вихря в результате приложения экстрастимула. (а) – свободно распространяющийся импульс S1; (b) преждевременная стимуляция S2 (видна как короткая светлая полоска) в след уходящей волны S1; (c) образование разрыва волны из S2, который закручивается в вихрь (d). Обратите внимание на укорочение потенциала действия на (а) и (d) в результате реституции. Кадры представлены в моменты времени 0, 38.8, 51.8 и 245.9 мс.

Рис. 3.5 иллюстрирует изменение ДПД после инициации вихря. Волна была инициирована с использованием двух различных протоколов: стимуляции

внутри

уязвимого

окна

(треугольники

вверх)

и

возбуждение вихря от волнового разрыва (треугольники вниз). Оба

89 протокола приводят к одинаковой динамике

вихря.

После

нескольких оборотов APD сократилась до значения 0.53 APD0. Совершенно другая динамика (APD оставалась одинаковой как для свободно распространяющегося импульса, так и для волн вихря, Рис. 3.5, ромбы) наблюдалось в обычной модель FHN. Для оценки эффективности вычислительной модели мы провели моделирование 3D вихря (реентри) в модели желудочков сердца (Рис. 3.6).

Рис. 3.5 Динамика APD в процессе формирования вихря. По горизонтальной оси – номер оборота вихря. Вихрь был инициирован посредством процедуры преждевременной стимуляции внутри уязвимого окна (треугольники "вверх") и из разрыва волны (треугольники "вниз"). Линия, помеченная ромбами – результат моделирования в оригинальной модели ФХН. Заметим, что в последнем случае APD вихря не отличается от APD0, т.е. реституция отсутствует.

Мы использовали реалистичную компьютерную модель геометрии правого и левого желудочков сердца собаки. В этой модели при расчетах сердце было помещено в куб с регулярной сеткой 127*127*127 элементов. Геометрия сердца и свойства материала сердечной ткани (например, тензора проводимости dij в уравнении

90 (2.1.14) определены на основе анатомических геометрии

сердца

и

ориентации

волокон,

данных

по

полученными

в

экспериментах Нильсоном и др. [183,300]. Для инициации 3D реентри в правом желудочке (Рис. 3.6), был задан разрыв волны в частично восстановленной сердечной ткани. Такие начальные условия, аналогичные тем, которые используются в экспериментальной процедуре перекрестной стимуляции (cross field stimulation). Заметим, что в нашем случае ткань не может быть восстановлена

полностью.

Длина

импульса

в

полностью

восстановленной ткани очень велика и сравнимо с размером сердца. При

расчетах разрыв волн

совершал несколько оборотов и

превращался в стационарно вращающийся вихрь. Этот вихрь порождал

волны,

которые

распространялись

вокруг

полостей

желудочка и сталкивались вблизи поверхности левого желудочка (Рис. 3.6). Формой волн вихря была винтовая поверхность вблизи стенки правого желудочка; в левом желудочке форма была подобна искривленной поверхности.

Рис. 3.6 Реентри (вихрь) в реалистичной модели сердца. Обратите внимание на достаточно сложную форму вихря, возникающую из-за использования реалистичной геометрии желудочков и анизотропии. (a) и (b) – фронтальный и боковой вид желудочков сердца.

91 Обсуждаемые

вычисления выполнены

на

SGI

Indy

компьютере и требовали примерно 35 минут процессорного времени на один оборот волны, что аналогично соответствующим показателям с использованием классической модели FHN, что еще раз доказывает вычислительную эффективности предложенной модели. В качестве заключения следует отметить следующее: в данной работе предложена простая двухкомпонентная модель, которая позволяет адекватно моделировать форму ПД и реституцию миокарда. Эту модель, несмотря на её простоту, можно использовать, например, для

анализа

воздействия

лекарственных

препаратов

на

распространение в миокарде. Модель может быть использована следующим образом: (1) необходимо измерить экспериментально кривую

реституции,

форму

и

продолжительность

потенциала

действия в желаемых условиях; (2) подобрать параметры модели, соответствующие

соответствует

экспериментальным

кривым,

используя подход, предложенный в данной работе; (3) провести моделирование распространения ПД для выяснения особенностей и возможных аномалий.

92

93 Глава 4. Динамика автоволновых вихрей в миокарде Исследование динамики возбуждения сердца имеет важное значение для многих аспектов экспериментальной и медицинской кардиологии.

Предпочтительный

подход

к

проблеме

является

картирование распространения возбуждения во всем сердце. Однако существуют реализации

многочисленные исследований,

трудности

особенно

в

в

экспериментальной

связи

с

картирования

трехмерных волн. Альтернативный подход состоит в проведении компьютерного моделирования трансмурального распространения волн. До сих пор большая часть компьютерного моделирования была проведена в 2D или 3D среде, однако, без учета анизотропии ткани и фактической геометрии сердца. Недавно была разработана модель целого

сердца,

которая

основана

на

экспериментальных

анатомических данных, описывающих геометрию и ориентацию волокон [300,325,326]. В данной работе описано использование модификации этой модели для изучения 3D волн в сердце с учетом неоднородности ткани. Такая неоднородность может возникать при инфаркте миокарда, или в результате изменений свойств тканей, например при длинном QT синдроме, или неоднородность может возникнуть из-за других причин. В этой работе изучается неоднородность, параметры которой близки к параметрам сердечной ткани, которые наблюдаются при острой стадии инфаркта миокарда. Инфаркт считается одним из наиболее опасных заболеваний сердца. Обычно инфаркт развивается в результате закупорки коронарной артерии и приводит к повреждению ткани миокарда. Выделяют две основные фазы инфаркта миокарда: острую и хроническую [203]. Острая фаза наблюдается в течение первых нескольких минут после закупорки сосудов и очень опасна, потому что некоторые опасные аритмии и фибрилляции могут

94 зарождаться

на

этом

этапе инфаркта.

Эксперименты

показывают, что ряд важных параметров миокарда претерпевает изменения во время острой стадии. Основные изменения заключаются в следующем: (а) сокращение продолжительности потенциала действия, (б) сдвиг потенциала покоя, (в) увеличение скорости распространения

вблизи

границы

инфаркта,

изменение

(г)

рефрактерности. Изменение параметров тканей при инфаркте подразумевает наличие неоднородностей внутри сердца. Неоднородность обычно рассматривается как фактор, который способствует появлению новых нежелательных источников волн, либо фокальных, либо реентри (3D вихря). Есть несколько важных вопросов по динамике вихрей в таких средах: где находится источник волн? Какова его динамика? Какие картины возбуждений вихрь создает трансмурально и на поверхности сердца? Очевидно, что ответы на эти вопросы в значительной мере зависят от геометрии среды. Поэтому важно исследование проблемы с использованием

реалистичной

геометрии

среды,

при

наличии

реальных начальных условий и реалистичных моделей. Мы

попытались

учесть

все

перечисленные

факторы:

используются реальные модели сердца с реалистичными параметрами инфарктной

тканей;

для

инициации

возбуждения

сердца

используются экспериментальные данные из изохронных карт распространения волн, полученные Дюрером и др. [113]. В настоящей работе показано, что: два последовательных возбуждения с коротким интервалом следования могут генерировать 3D вихревое кольцо, с нитью, расположенной недалеко от границы неоднородности. несколькими

Время

оборотами.

жизни

такого

Непрерывная

вихря

ограничивается

стимуляция

с

высокой

частотой приводит к блоку проведения, в основе которого лежит известный механизм Венкебаха.

95

О модели и методе интегрирования. Динамика распространения возбуждения была описана с помощью уравнений ФицХью-Нагумо [135], используя кусочно-линейную кинетику: ∂ ∂E  ∂E  ∂t = ∂x d ij ∂x − f ( E ) − g  i j   ∂g = ε( E )( g E − g ) s  ∂t

(1)

Где:  f ( E ) = k1 E;   f ( E ) = − g f E + a;   f ( E ) = k3 ( E − 1);

ε(e) = ε1 ε (e) = ε 2

E1 ≤ E ≤ E2

ε ( e) = ε 3

E > E2

E < E1 (2)

Параметры, определяющие форму функции f(E) таковы: k1=20, gf=3, k3=15, а=0.15, gs=3, Е1=а/(k1+gf), E3=(k3+а)/(gf+k3). f(E) непрерывна при выбранных

параметрах.

ε1

определяет

длительность

хвоста

рефрактерности, ε3 – длительность возбужденного состояния. Мы считали, 1/ε1=1.3, 1/ε2=17, 1/ε3=0.1. dij - тензор диффузии, который определяет анизотропные свойства ткани. Тензор был рассчитан на основе экспериментальных измерений поля ориентации волокон в миокарде, выполненных Нильсоном и др. [300]. Уравнения (1,2) использовались для изучения распространения в нормальной ткани. Для изучения неоднородной ткани в зоне инфаркта, уравнения были модифицированы следующим образом:

96 ∂ ∂E  ∂E  ∂t = ∂x d ij ∂x − f ( E ) − g  i j   ∂g = ε( E )( g E − g − ∆Е ) s  ∂t

(3)

Где:  f ( E ) = k1 ( E − ∆Е );   f ( E ) = − g f ( E − ∆Е ) + a;   f ( E ) = k3 ( E − 1);

ε1inf=0.33ε1;

ε2inf=ε2;

ε(e) = ε1inf

E < E1inf

ε(e) = εinf 2

E1inf ≤ E ≤ E2inf

ε(e) = εinf 3

E > E2inf

ε3inf=1.25ε3;

∆E=0.6E1;

(4)

E1inf=E1+∆E;

E2inf=E2+gf∆E/(gf+k3). Остальные параметры остались теми же, что и для нормальной ткани. Основные изменения в уравнениях (3,4) по сравнению с уравнениями (1,2) следующие: изменение динамики восстановления (реполяризации), что учитывает сокращение продолжительности потенциала действия и увеличение рефрактерного периода; потенциал покоя сдвинут на величину ∆E для имитации деполяризации ишемической области. В результате изменений, скорость волны увеличивается вблизи границы неоднородности. Изменения в модели позволяют имитировать процессы, происходящие в миокарде во время острой фазы инфаркта [203]. Расчеты проводились с использованием реалистичной модели желудочков сердца, размещённых в кубе размером 128*128*128 элементов. Неоднородность занимала 10-20% от массы всего сердца, и находится в апексе сердца (Рис. 4.1). Возбудимая ткань описывалась либо уравнениями (1,2) в нормальном миокарде, либо уравнениями (3,4) в области неоднородности. Подробное описание вычислительной процедуры приводится в работе

97 Панфилова и Кинера [323].

Возбуждения были

Рис. 4.1 Зона неоднородности в районе апекса сердца. Два шарика у границы неоднородности обозначают положение точек, в которых регистрировались моменты активации, показанные на Рис. 4.7.

инициированы в соответствии с протоколом по данным изохронных карт волн, которые были экспериментально измерены Дюрером и др. [113].

По

этим

картам

были

определены

места

начальных

возбуждения, координаты которых были оцифрованы, введены в компьютер и использовались в качестве координат начальных условий для расчетов. Физические расстояния между точками в модели составляли 0.73 мм. Масштабирование по времени было осуществлено с использованием той же процедуре, что и в работе [323], что привело к масштабу 14 мс/t.u. Результаты В неоднородной среде распространение волн существенно зависит от частоты

стимуляции.

Одиночный

стимул

или

стимуляции

с

длительным периодом (в несколько раз выше рефрактерного периода) приводит в целом к схожим картинам распространения как в

98 нормальной,

так

и

в неоднородной сердечной ткани.

Наблюдаются лишь незначительные ускорения волн вблизи границы инфарктной

зоны

укорочения

периода

распространения

вследствие деполяризации следования

значительно

волн

меняется.

ткани. По

возбуждения, Мы

мере

динамика

рассмотрели

две

ситуации: распространение в результате применения двух стимулов, разделенных небольшим интервалом времени, и распространение в результате периодической высокочастотной стимуляции.

Рис. 4.2 Рисунок составлен из трёх панелей, каждая из которых разделена 12 секций. Каждая секция представляет сред сердца. На срезах a6,a7,c5-c7 виден разрыв волны в результате применения двух последовательно стимуляций. Обратите внимание, что разрывы видны на двух перпендикулярных панелях, т.е. полученных вихрь является трёхмерным вихревым кольцом.

Два стимула с интервалом между ними 150 мс приводили к созданию разрывов волны вблизи границы инфарктной зоны. На Рис.

99 4.2

показан

разрыв

фронта второго стимула. Разрыв волны

рассматриваются в двух перпендикулярных секциях (a6, a7 и c5-c7). Эти волновые разрывы формируют трёхмерный вихрь. Следует отметить, что в данном случае образуется особый тип вихря – вихревое кольцо. Динамика вихря показана на Рис. 4.3.

Рис. 4.3 Динамика вихревого кольца в сердце, поражённом инфарктом с момента инициации вихря (верхний левый кадр) до момента коллапса (нижний правый кадр). Двенадцать кадров ранжированы слева-направо, сверху-вниз. Интервал между кадрами 42 мс.

Вихрь оказался нестабильным; он сжимается и коллапсирует после трёх оборотов. Нить вихревого кольца находится внутри миокарда у границы инфарктной зоны (Рис. 4.4). Со временем нить сжимается и медленно дрейфует в неоднородной ткани (а-c) до полного схлопывания. Заметим, что в силу анизотропии ткани и сложной геометрии сердца, вихрь имеет непростую динамику, а нить -

100 сложную форму. На секциях (а) и

(с) рисунка, нить не

Рис. 4.4 Нить вихревого кольца в моменты времени (a) 357 мс, (b) 525 мс и (c) 735 мс; представлен вид сверху. Граница неоднородности показана светло-серой. Участки нити в нормальной

ткани

(над

границей

неоднородности)

окрашены

чёрным;

участки,

погружённые в зону инфаркта (под границей неоднородности) – темно-серые. Обратите внимание, что нить со временем сокращается. Нить незамкнута на кадрах (a) и (c), потому что в эти моменты времени касается границ сердца (эпикарда).

замкнута и касается границ сердца, в то время как на секции (b) видно, что нить отделяется от границ. Следует выделить четыре основных фактора, определяющих динамику вихря: 1) дрейф в параметрическом градиенте вблизи границы инфаркт (сравните с дрейфом вихря в химической активной среде вдоль границы неоднородности [6], 2) дрейф происходит в ткани со сложной картой анизотропии, 3) нить сокращается из-за

101 кривизны (сравните с коллапсом

вихря

сложной

формы

в

химической активной среде [335] и 4) влияние эпикарда и эндокарда, границ сердца. В рассматриваемом случае вовлечены все четыре фактора, что делает невозможным существенно упростить анализ за счёт выделения единственного главного факторов, определяющего динамику вихря. При этом время жизни вихря определяется в основном дрейфом вблизи границы инфаркта и сжатием нити вихря из-за эффекта кривизны. В нашем случае неоднородной среды время жизни вихря (три оборота) гораздо короче, чем в однородной среде. Это объясняется тем, что дрейф в неоднородности значительно сокращает время жизни вихря.

Рис. 4.5 Волновые фронты, сгенерированные вихрем на поверхности сердца, эпикарде и эндокарде. Цифры 1-4 обозначают положение фронта волны в моменты времени от t=399 мс (цифра "4") до 455 мс (цифра "1") с интервалом 42 мс. Обратите внимание, что картины распространения на поверхности сердца легко спутать с картинами, которые могли возникнуть от фокального источника, расположенного интрамурально в апексе.

102 Волновые

картины,

инициированные

вихрем,

представлены на Рис. 4.5 и Рис. 4.6. Заметим, что волны, которые видны на эпикарде и эндокарде (Рис. 4.5) по форме напоминают волны, обычно получаемые от интрамурального фокального

Рис. 4.6 Трехмерный вид распространяющихся трансмурально волновых фронтов, сгенерированных вихревым кольцом в момент t=525 мс. Видны два фронта внутри стенок желудочков сердца.

источника, который мог бы располагаться где-то внутри апекса сердца. Это внешнее сходство сохраняется и в случае общего трехмерного вида (Рис. 4.6). Однако, представленные на этих рисунках волновые фронты генерируются расположенным внутри миокарда трёхмерным вихрем, природа которого принципиально отлична от природы фокальных источников. Сокращение периода стимуляции до 100 мс и ниже приводит к хорошо известному эффекту Венкебаха [101], т.е. к тому, что внутри и снаружи

неоднородности

наблюдаются

неодинаковые

периоды

возбуждения. На Рис. 4.7 видна трансформация ритма в отношении 1:2, (т.е. только каждый второй импульс проникает в зону инфаркта).

103

Рис. 4.7 Эффект Венкебаха на границе инфарктной зоны: Только каждый второй импульс проникает в зону инфаркта. Вертикальные линии обозначают моменты прихода волны в точке внутри инфарктной зоны (a) и в нормальной ткани вблизи границы инфаркта (b). Расположение точек внутри сердца показано на Рис. 4.1.

Представленные в данной работе результаты получены с использованием двухкомпонентной модифицированной модели ФХН для моделирования распространения волн в неоднородном миокарде и реалистичную геометрию среды – желудочков сердца собаки. При моделировании неоднородности, модель была модифицирована так, чтобы включить известные из литературы экспериментальные результаты по свойствам неоднородности миокарда, возникающим при ишемия тканей, которая развивается при острой стадии инфаркта миокарда. Так, учитывалось, что при инфаркте рефрактерный период больше, чем в нормальной ткани [123,124,359]. Хотя, нужно отметить, что экспериментальные данные на этот счёт неполны, а порой и противоречивы, например, в работе [203] обсуждается альтернативное мнение. В целом, мы следовали устоявшемуся мнению об увеличении рефрактерности в зоне инфаркта, это особенно и объясняет причины потери проводимости ПД по мере развития инфаркта.

104 Многие

экспериментальные

исследования (см. напр. [203] для ссылок) утверждают о наличии пространственной неоднородность внутри ишемической зоны. В модели использовалась однородных по пространству ишемическая область не для упрощения вычислений, а для наглядности, поскольку в этом случае наблюдаемые картины распространения ПД становятся удобными для анализа и позволяют интерпретировать получающиеся трёхмерные автоволновые вихри как вихревые кольца. В случае сложной пространственной неоднородности, мы предполагаем, что механизм возникновения реентри будет тем же самым, однако его динамика будет намного сложнее. Наиболее важные результаты, полученные в данной работе, следующие: - Один

или

несколько

трехмерный

реентри

экстрастимулов на

границе

могут

инфарктной

вызвать зоны.

Возникающее реентри – вихревое кольцо. - Возникающее реентри имеет ограниченное время жизни; оно дрейфует и коллапсирует в течение нескольких оборотов. - Картины распространения, видимые на поверхности сердца, эпикарде

и

эндокарде

практически

неотличимы

от

вызываемых расположенным интрамурально фокальным источником. - Непрерывная стимуляция инфарктной зоны с высокой частотой приводит к эффекту Венкебаха. Таким образом, полученные в данной работе результаты достаточно общие, не зависят от конкретного вида задания и структуры неоднородности в инфарктной зоне.

105 Глава 5. Динамика взаимодействующих вихрей

Изучение динамики взаимодействующих вихрей на больших расстояниях. В этом разделе показано, что на больших расстояниях характер взаимодействия автоволновых вихрей определяется, в основном, разностью частот их вращения. Показано, что более медленный вихрь удаляется от более быстрого (Рис. 5.1), причем траекторией его движения является логарифмическая спираль.

Рис. 5.1 Моделирование взаимодействия автоволновых вихрей на больших расстояниях. Вихрь с меньшей частотой вращения (верхний на каждом рисунке) удаляется от вихря с большей частотой. Его траектория - логарифмическая спираль.

Взаимодействие источников автоволн на больших расстояниях определяется взаимодействием излучаемыми ими автоволн и, как правило,

происходит

дрейф

более

медленного

источника

в

направлении от более быстрого; этот эффект был впервые обнаружен Кринским и Агладзе на экспериментах в реакции БелоусоваЖаботинского. Целью настоящего исследования было определение вида траектории дрейфа автоволновых вихрей. Оказалось, что дрейф в двумерной среде происходит со скоростями:

•

x

• T − T  T −T ∝ 2 1 ;y ∝  2 1 T2  T2 

2/3

106 где T1 и T2 – периоды вращения Траектория

дрейфа

в

случае

вихрей. концентрических

волн

хорошо

описывается формулой: r=r0exp(aϕ). Здесь r и ϕ - радиус и угол в полярной системе координат, коэффициент а определяется по  3 T − T 1/ 3  формуле: a= 1/ tan  π 2 1   . T2    2 

Рис. 5.2 Траектория дрейфа вихрей (а) и изменение компонент траектории (b,c) со временем. Обратите внимание, x-компонента меняется линейно, а y-немонотонно.

Для применения этой формулы к автоволновым вихрям, стоит отметить, что в возбудимой среде форма вихря – архимедова спираль и вдали от центра форма автоволн хорошо апроксимируется окружностью. Таким образом, указанные выше формулы применимы

107 для

описания

взаимодействия

автоволновых вихрей в средах,

где форма автоволнового вихря – архимедова спираль, например, в реакции Белоусова-Жаботинского. Стоит также подчеркнуть, что скорость дрейфа вдоль разных направлений неодинакова (Рис. 5.2). Более подробно определение траектории дрейфа в компьютерных расчётах, в эксперименте и аналитически можно найти в работе [11]. Следует отметить, что в миокарде форма вихря отличается от архимедовой спирали, в частности, из-за анизотропии. В результате дрейф

вихрей

будет

иметь

форму

более

сложную,

чем

логарифмическая спираль.

Изучение динамики квадрупольного реентри. Спиральные волны вращаются вокруг ядра или, иными словами, вокруг некоторого центра, области возбудимой среды, которая, являясь

потенциально

невозбужденной.

возбудимой,

Многие

тем

характеристики

не

менее,

остается

динамики

вихря

определяются поведением волны вблизи ядра и динамикой самого ядра [187,483]. Внутри ядра существует точка сингулярности фазы, т.е. точка, где нельзя однозначно определить фазу автоволны. Такую точку сингулярности можно определить, вычисляя топологический заряд (см. реф. [147,274]: nt ≡

1 ∇φ ⋅ d ℓ , 2π ∫c

(4.1.1)

Здесь φ(r ) - фаза в данной точке, интеграл берется по пути ℓ вдоль замкнутой кривой c. Если интеграл берется вокруг топологического дефекта, сингулярности, то он отличен от нуля. Использование понятия

топологического

заряда

представляется

удoбным

для

исследования динамики ядра вихря в миокарде. Особенностью данной

108 техники является то, что она

может быть применена как к

компьютерным расчетам, так и к экспериментальным измерениям, когда

доступна

информация

лишь

об

одной

переменной,

тарнсмембранном потенциале. Методы Моделирование автоволновых сред на компьютере позволяет отследить пространственно-временную зависимость сразу нескольких переменных, одна из которых, как правило, быстрая, и, по крайней мере, одна – медленная. В этом случае определить фазу колебаний удобно, сопоставив фазе угол на фазовой плоскости, коодринатами которой

являются

экспериментальных

быстрая

и

исследованиях

медленная обычно

переменные. удаётся

В

измерить

динамику лишь одной переменной. При исследовании миокарда эта переменная – трансмембранный потенциал. Оптическое картирование позволяет оценить зависимость этого потенциала от пространства и времени V (r , t ) . Чтобы анализировать экспериментальные системы в фазовом пространстве, обычно вводят вторую переменную V '(r , t ) , сдвинутую по времени на фиксированную величину относительно первой: V '(r , t ) ≡ V (r , t + τ) ,

(4.1.2)

Где τ - задержка, которая обычно соответствует первому нулю автокорреляционной функции V (r , t ) , что формально указывает на независимость величин. С помощью этих двух величин можно отобразить временную динамику точки автоволновой среды в фазовом пространстве в виде (почти) замкнутой петли, которую обычно называют фазовой траекторией. Теперь можно определить фазу, φ (r , t ) , как угол в фазовом пространстве. Для вычисления

109 топологического

заряда

в

уравнении (4.1.1), градиент фазы,

который часто называют волновым вектором k , вычисляют как: k (r , t ) ≡ ∇φ(r , t ) =

∂ ∂ φ(r , t )i€+ φ(r , t ) €j , ∂x ∂y

(4.1.3)

Легко видеть, что вычисляя заряд nt с использованием пути в виде малой

окружности

пропорционален

радиуса

ротору

a,

волнового

топологический вектора.

Особый

заряд

nt

интерес

представляет компонента ротора, перпендикулярная плоскости, в которой лежит путь, использованный для вычисления интеграла (4.1.1), т.е.:

( ∇ × k ) ⋅ z€ ≡ lim π1a ∫ k ⋅ d ℓ . 2

a→ 0

(4.1.4)

c

Здесь k и d ℓ под интегралом лежат в плоскости xy. Поскольку k получен из градиента скалярного поля, то ротор k - нуль везде, где φ дифференцируема; ротор k принимает ненулевые значения в точках сингулярности фазы. Для вычисления интеграла была использована следующая процедура. Заметим, что вектор k может быть оценен на дискретной сетке (а именно дискретные изображения получаются при численном моделировании и в экспериментах по оптическому картированию) по распределению фазы φ [m, n] , где m, n – номера пикселей, посредством конечных разностей вдоль направлений x и y: k x [m, n] = ∇φx [m, n] = φ [m + 1, n] − φ [m, n]  k y [m, n] = ∇φ y [m, n] = φ[m, n + 1] − φ [m, n]

(4.1.5)

Если в результате вычислений на дискретной сетке абсолютные значения скачков фазы в соседних элементах превышают π, такие скачки корректируются, для получения непрерывной фазы. Тогда вычисление интеграла (4.1.1) в точке [m, n] может быть сделано с помощью операции конволюции:

( ∇ × k ) ⋅ z€∝ ∇

x

⊗ k y + ∇ y ⊗ kx ,

110 где

⊗

обозначает

оператор

конволюции и

 + 1 / 2 + 1 + 1 / 2  − 1 / 2 0 + 1 / 2   ∇ x =  − 1 0 + 1  и ∇ y =  0 0 0  − 1 / 2 0 + 1 / 2  − 1 / 2 − 1 − 1 / 2

Представленный алгоритм был использован для вычисления сингулярностей фазы изучаемого квадрупольного реентри. Квадрупольный

реентри

представляет

собой

четыре

близкорасположенных вихря и нередко возникает в миокарде из-за наличия эффектов байдомэйн связи. Задача данной работы – проанализировать динамику вихрей в квадрупольном реентри. Экспериментальный протокол подробно описан в ссылке [257] и состоит в следующем: высокоскоростная CCD камера, работающая со скоростью 267 кадров в секунду, была использована для регистрации флюоресценции, возникающей в результате облучения потенциалчувствительного кардиоцитов.

красителя, Сигнал

с

иммобилизованного камеры

был

в

мембрану

пропорционален

трансмембранному потенциалу. В целом использовались результаты экспериментов Лангендорфу

с

16ю

сердцами

изолированными, кроликов,

перфузируемыми

обработанных

по

потенциал-

чувствительным красителем di-4-ANEPPS. Для

инициации

квадрупольного

реентри

применялась

преждевременная катодная стимуляция с помощью униполярного точечного электрода во время уязвимого периода. Следует отметить, что получающиеся квадрупольные реентри не были устойчивыми образованиями, что, впрочем, типично для реентри в миокарде. Несмотря на то, что время жизни реентри обычно составляло нескольких оборотов, этого было вполне достаточно для регистрации динамики. Не в последнюю очередь успех исследования динамики короткоживущих вихрей был достигнут благодаря использованию методики вычисления сингулярностей фазы, описанной выше. Для

111 сравнения

результатов

экспериментов

и

вычислений,

данные были нормированы по амплитуде посредством деления амплитуды сигнала на амплитуду S1 импульса.

Результаты Предшествующие работы Грея и др. [154] и эта работа – одни из первых, в которых представлены количественные экспериментальные измерения динамики взаимодействия сразу нескольких вихрей в миокарде. Представленные ниже экспериментальные и теоретические измерения динамики четырех взаимодействующих вихрей дают возможность

собрать

необходимые

данные

для

анализа

их

взаимодействия. В модельной части данной работы среда моделировалась с помощью

концепции

“bidomain”,

т.е.

с

учетом

анизотропии

проводимости не только внутриклеточного, но и внеклеточного слоев. Среда моделировалась в двумерном и трехмерном вариантах с учетом цилиндрической симметрии ткани. В случае 3D для описания динамики

использовались

цилиндрические

координаты

(z,ρ,θ).

Цилиндрическая симметрия позволяет упростить рассмотрение, избавившись от угла θ. Трансмембранная динамика кардиоцитов была воспроизведена с помощью уравнений Билера-Рейтера, модифицированных так, чтобы скомпенсировать

нереалистичные

проводимости

при

гиперполяризации, возникающие в оригинальной модели, а также проводимость кальциевых каналов была увеличена для облегчения получения стабильно вращающейся спиральной волны. Упомянутые изменения и значения всех остальных параметров можно найти в работе [369].

112 На

Рис.

5.3

показаны

картины

динамики

квадрупольного реентри, полученные в результате численного моделирования и в эксперименте. Обе группы данных нормализованы масштабированием с помощью импульса S1, что позволило примемить единую шкалу (на рисунке справа) к обоим случаям. Предыдущие исследования указывали, что величина вариации ПД понижена в области блока проведения и в ядре вихря [339,257]. Таким образом, логично предположить, что вычисляя вариацию ПД и находя области пониженной вариации, можно идентифицировать области блока и ядра, вокруг которых вращаются вихри в пространстве. Эта задача интересна сама по себе в электрокардиологии. Мы же используем этот метод для дальнейшего исследования динамики вихрей.

Рис. 5.3 Динамика квадрупольного реентри (A) трансмембранный потенциал, полученный в модели;

(B)

карты

флюоресценции,

полученные

в

эксперименте.

Интенсивность

флюоресценции пропорциональна трансмембранному потенциалу. Линейка цветовой шкалы справа показывает масштабирование экспериментального сигнала: желтый (верх шкалы в чернобелом варианте) – полностью деполяризованная ткань, синий – гиперполяризованная (низ шкалы для ч/б варианта), фиолетовый (середина шкалы для ч/б варианта)– состояние покоя. Стрелки на кадрах указывают направление волокон.

113

Рис. 5.4 Пространственно-временная динамика квадрупольного реентри в численных расчётах (А) и в эксперименте (В). Пространственные координаты (x,y) лежат в горизонтальной плоскости, ось времени, t, - вертикальна. Сетка в центрах вихрей отображает зоны пониженной вариации. Видно, что эти зоны совпадают с ядрами вихрей.

На Рис. 5.4 показана пространственно-временная динамика формирующей реентри вращающейся волны и область пониженной

114 изменчивости

потенциала.

Видно, что как в численных

расчётах, так и в эксперименте области пониженной вариации фактически

совпадают

с

ядрами

вихрей,

формирующих

квадрупольный реентри. На этом рисунке область пониженной вариации показана сеткой и вычислялась на уровне 0.2 (A) и 0.06 (B) амплитуды. Очевидно, что точка сингулярности фазы, которая позволяет идентифицировать положение вихря, находится в внутри зоны пониженной вариации.

Рис. 5.5 Квадрупольное реентри в численном моделировании (левая колонка) и в эксперименте (правая колонка) как результат преждевременной электрической стимуляции в центре ткани. (A) нормализованное распределение трансмембранного потенциала в расчётах и интенсивность флюоресценции в эксперименте. Стрелками указано направление волокон. (B) распределение фазы для случая (A). (C) распределение ротора волнового вектора, вычисленного для случая (B). Обратите внимание, ротор не равен нулю лишь в четырёх точках и в расчётах и в эксперименте. Пары диполей, расположенных поперёк волокон (transverse pairs, TP), обозначены номерами 1-2 и 3-4, пары вдоль волокон (longitudinal pairs, LP) обозначены номерами 1-4 и 2-3.

На Рис. 5.5 показано сравнение результатов численного моделирования и экспериментов. Из этого рисунка также понятна

115 представленная

выше

схема

обработки данных: в каждый

момент времени фиксируется картина распределения автоволн (А). Затем вычисляется фаза (В) и находятся точки сингулярности распределения фазы (С). Обратите внимание, что каждый шаг позволяет улучшить изображение вихрей, а на последнем шаге (С) получены центры вращения вихрей, которые едва ли можно идентифицировать на зашумлённом экспериментальном изображении (А). Это подтверждает факт, что представленный выше алгоритм выделения сингулярностей фазы эффективен для поставленной задачи. Данные на Рис. 5.5 представляют двумерные изображения. Очевидно, что в трёхмерном миокарде вихри также трёхмерны и последовательность точек сингулярностей в пространстве образует нить

вихря,

расположенную

интрамурально.

Использую

компьютерное моделирование можно отследить расположение нити внутри миокарда, однако, это невозможно в эксперименте. Поэтому в данной работе мы сознательно ограничили применение методов к двумерным случаям. Таким образом, мы рассматриваем проекцию квадрупольного реентри на поверхности (эпикарде) сердца. Квадрупольное реентри, состоящее из четырёх вихрей, как показывают трёхмерные расчёты, как правило, разбито на две пары вихревых колец (точнее, полуколец, упирающихся в эпикард). Т.о. пара разнонаправленных вихрей на эпикарде может быть соединена нитью. В рамках данной работы такие пары были названы поперечными и продольными парами (transverse pair, TP и longitudinal pair, LP, см. Рис. 5.5). Используя данные Рис. 5.5С в каждый момент времени, можно построить траектории движения центров вращения (ядер) вихрей квадрупольного реентри на эпикарде (Рис. 5.6). Как видно из этого рисунка, в эксперименте не наблюдалось единой картины траекторий,

116 а

наблюдалось

несколько

сценариев.

Для

изучения

процессов были измерены расстояния между вихрями в продольных и поперечных парах. В эксперименте в большинстве случаев расстояние между вихрями в TP было меньше, чем в LP. Оказалось, что динамика TP и LP может быть разбита на три сценария, проиллюстрированных на Рис. 5.6А-С. Более подробно эти сценарии описаны ниже. Средние значения расстояний в TP и LP парах, полученные в двадцати экспериментах показаны на Рис. 5.7.

Рис. 5.6 Иллюстрация траекторий сингулярностей вихрей квадрупольного реентри в пространстве (x,y,t). Сингулярности отмечены цифрами 1-4 так же как и на Рис. 5.5. Ось времени начинается с момента окончания стимула S2. (A) взаимодействие типа I: за начальное монотонным расширением следует монотонное сжатие; (B) тип II: за начальное монотонным сжатием следует осциллирующее сжатие; (C) тип III: монотонным расширение продолжается все время наблюдения; (D) траектории, полученные в 3D расчётах.

Рис. 5.7 Среднее расстояние вихрей в TP и LP парах для 20 экспериментов, разбитые на три типа. (A) Тип I; (B) Тип II; (C) Тип III.

117 На Рис. 5.8 показаны усредненные по трём группам расстояния вихрей в TP и LP парах, а также полученные в 2D и 3D расчётах.

Рис. 5.8 Усреднённые по типам данные расстояния между вихрями S (мм) как функция безразмерного времени T (доли периода вращения). T=0 соответствует окончанию S2 стимула. Синие, зелёные и красные линии представляют соответственно разделение вихрей в TP, LP, и их среднее. (A) Тип I; (B) Тип II; (C) Тип III; (D) 2-D численная модель; (E) 3-D численная модель.

Таксономия динамики расстояний в парах вихрей квадрупольного реентри выглядит следующим образом: 1. Тип I (обнаружено в n=10 экспериментах) характеризуется начальным расширением TP пары со средней скоростью 0.20 мм/мс и сжатием LP пары, что в итоге приводи к формированию более симметричного расположения четырёх вихрей в квадрупольном реентри. Как в TP так и в LP парах заметны незначительные осцилляции расстояния между вихрями. 2. Тип II (n=4) характеризуется начальным сжатием как TP так и LP пар со средней скоростью 0.30 мм/мс. Затем как в TP так и в LP парах заметны значительные осцилляции расстояния между вихрями,

при

уменьшается.

этом

среднее

расстояние

между

вихрями

118 3. Тип III (n=6) характеризуется

начальным расширением как

TP так и LP пар со средней скоростью 0.83 мм/мс. Затем расширение продолжается, сопровождаясь осцилляциями в парах. Результаты экспериментов дают возможность сделать несколько интересных выводов. Так, на Рис. 5.6C, TP, помеченная цифрами 3 и 4, коллапсирует в самом начале. На рисунках А и В, LP, помеченные цифрами 2 и 3 коллапсирует после непродолжительной эволюции. Коллапс видимых на поверхности пар вихрей становится понятным, если предположить, что эти вихри связаны нитью в 3D миокарде. Тогда коллапс является следствием коллапса вихревого (полу) кольца. То, что в одном случае коллапсируют вихри TP, а в другом – LP пар, означает, что выбор пар вихрей, соединённых нитью интрамурально неоднозначен и может определяться, например, неоднородностью среды. Вышеописанное относится, в основном, к экспериментальным данным. Кроме экспериментов, были также проведены численные расчёты и все методики выявления сингулярностей фазы и их динамики были применены и к результатам вычислений. Оказалось, что, несмотря на то, что динамика вихрей на эпикарде достаточно хорошо

повторяет

экспериментально

измеренную

динамику,

результаты расчётов эволюции сингулярностей не слишком хорошо вписываются в приведённую выше классификацию, что видно из приведённых выше рисунков. Причиной этого является тот факт, что значительная часть динамики вихрей определяется интрамурально в неоднородном миокарде, в то время как в вычислениях предполагался хотя и анизотропный, но всё же идеализированный миокард. Для

проверки

сингулярностей,

периодичности

были

построены

движений, как показано на Рис. 5.9.

и

синхронности

функции

кросс

движений корреляции

119

Рис. 5.9 Кросс-корреляция расстояний между вихрями в TP и LP. (A) Тип I; (B) Тип II; (C) Тип III; (D) 2-D численные расчёты; (E) 3-D численные расчёты.

Видно, что осцилляционное поведение, характерное для типа II, проявляется и в форме функции кросс корреляции (Рис. 5.9B). Период колебаний, оценённый с помощью кросс корреляции, в этом случае составляет 133 мс. Вид корреляционной функции для типа III также предполагает наличие колебаний с большим периодом. Для типа I (Рис. 5.9А), однако, функция кросс корреляции не выявляет никакой простой взаимозависимости расстояний вихрей в продольных и поперечных парах. Особенностью кросс корреляции для численных экспериментов (Рис. 5.9C,D)является сильная корреляция в нуле. Теперь, когда мы идентифицировали и классифицировали динамику сингулярностей фазы четырёх вихрей, составляющих квадрупольное реентри, полезно вернуться к Рис. 5.4 и сравнить показанные на этом рисунке зоны пониженной вариабельности с кривыми движения точек сингулярностей (Рис. 5.6). На Рис. 5.10 показана крупным планом пространственно-временная динамика одного из четырёх вихрей квадрупольного реентри с наложенной зоной пониженной вариабельности (показана сеткой) и траекторией движения сингулярности фазы (белая линия). Как и ожидалось, сингулярность находится в пределах зоны малой вариабельности (белая линия заключена в сетку на Рис. 5.10).

120

Рис. 5.10 Пространственно-временная динамика одиночной спиральной волны в численных расчётах (А) и в эксперименте (В). Пространственные координаты (x,y) лежат в горизонтальной плоскости, ось времени, t, - вертикальна. Сетка в центрах вихрей отображает зоны пониженной вариации. Видно, что эти зоны совпадают с ядрами вихрей, как и на Рис. 5.4. Белая линия отображает траекторию сингулярности фазы.

Это полностью подтверждается в расчётах и верно в целом в экспериментах. В экспериментах в некоторые моменты времени точка сингулярности покидает "сетку" малой вариабельности, однако, это, видимо,

связано

с

зашумлённостью

обрабатываемых

экспериментальных данных. Следует сказать несколько слов о значимости результатов данной

работы:

Хотя

изначально

работа

задумывалась,

как

исследование закона взаимодействия вихрей в квадрупольном реентри на

поверхности

сердца,

эксперименты

показали,

что

такое

взаимодействие действительно есть, но не существует единой динамики

взаимодействия,

а

существует

несколько

сценариев

взаимодействия. Принципиальную роль в этом играет тот факт, что, видимо, в кардиологии нельзя рассматривать динамику 2D вихрей на поверхности (эпикарде и эндокарде) саму по себе, а следует учитывать интрамуральную динамику и тот факт, что пары противоположно вращающихся вихрей могут быть связаны нитями

121 [151]

имеющими

заметную

кривизну.

Более

того,

на

динамику вихрей на поверхности сердца заметно сказывается неоднородность ткани внутри миокарда. Кроме результатов исследования по динамике квадрупольного реентри значительный интерес представляют предложенные в данной работе алгоритмы обработки данных, выделения ядра вихря как зоны пониженной вариабельности потенциала и точки сингулярности как топологического заряда. Особую ценность представляет факт, что алгоритмы

применимы

как

для

компьютерных,

так

и

для

экспериментальных данных, которые, как правило, ограничены одной переменной и сильно зашумлены.

122

123 Глава 6. Детальная модель клеток синоатриального узла Недавно были опубликованы ионные модели СУ, достаточно подробно описывающие динамику ионных токов в отдельных клетках СУ кролика [478,102]. Однако эти модели не учитывают возможность парасимпатической стимуляции и влияния ацетилхолина; модели [241] игнорирует пространственную структуру СУ, т.е. не позволяют учитывать функциональное различие центральной и периферийной частей

СУ.

В

работе

[479]

показаны

пути

моделирования

парасимпатической стимуляции СУ кролика. В моделях [102,241] учтены изменения внутриклеточных концентраций ионов и функция саркоплазматического ретикулума, однако, эта модель не учитывает различий истинных и латентных водителей ритма. Все эти модели не учитывают процессы выделения АЦХ из нервных окончаний и его диффузию в межклеточном пространстве. Таким образом, каждая из упомянутых

современных

ионных

моделей

описывает

лишь

отдельные свойства электрической активности клеток водителей ритма СУ. Разработанная

нами

комбинированная

модель

реализует

наиболее удачные из подходов, использованных в современных моделях, и позволяет адекватно описать работу пятнадцати основных ионных каналов, внутриклеточные концентрации ионов калия, натрия, кальция, учитывает функцию саркоплазматического ретикулума, связывание

кальция

с

тропонином,

кальмодулином,

кальсеквестрином, учитывает влияние ацетилхолина на истинные и латентные водители ритма СУ. Эта модель успешно использовалась для исследования различных аспектов электрической активности клеток СУ [487-490]. Детальная модель клеток синоатриального узла разработана для истинных и латентных водителей ритма кролика при 37оС, используя

124 данные

экспериментальных

электрофизиологических

измерений. Формулировки токов, использованных в данной модели, были разработаны на основе существующих детальных моделей электрической активности СУ. Описание трансмембранных токов следует, в основном, работам [478,102], описание внутриклеточных токов и изменений внутриклеточных концентраций ионов – работе [241]. Мембранные токи На Рис. 6.1 показана эквивалентная электрическая схема мембранных токов модели клеток СУ. Ниже представлены описания токов и уравнения, использованные в модели.

Рис. 6.1 Эквивалентная электрическая схема мембранных токов модели клеток СУ кролика.

Быстрый натриевый ток. Долгое время считалось, что быстрый натриевый ток отсутствует в клетках СУ и большинство предшествующих моделей клеток СУ не включали

этот

ток

в

рассмотрение.

Однако

современные

экспериментальные данные показывают, что этот ток присутствует и физиологически значим [173,228]. Demir et al. [102] учли быстрый натриевый ток в своей модели; они основывались на данных, полученных из экспериментов на волокнах Пуркинье кролика. Однако, вычисленная с помощью модели Demir et al. динамика натриевого тока отличается от измеренной экспериментально для

125 клеток СУ [173]. Классическая

формулировка натриевого тока,

при использовании формализма Ходжкина-Хаксли, подразумевает, что проводимость тока пропорциональна m3h – произведению активационной

и

соответственной

инактивационной степени.

воротных

Большинство

переменных

предыдущих

в

моделей,

включая пионерскую работу Ходжкина и Хаксли использовали такую формулировку. Однако, современные измерения на клетках СУ кролика [173,292], как и эксперименты на других типах кардиоцитов, показали, что временной курс восстановления после инактивации лучше описывается не одной, а двумя экспонентами, подразумевая, что должна быть не одна, а две воротных переменных, описывающих инактивацию. Таким образом, в данной модели, следую работе [478], используются три воротные переменные для описания быстрого натриевого тока: m, h1 и h2 – переменные быстрой и медленной инактивации. Ниже представлены уравнения, описывающие кинетику быстрого натриевого тока, а на Рис. 6.2 и Рис. 6.3 зависимость натриевого тока от времени. i Na = g Na m 3 h[ Na + ]0

F 2 e (V − E Na )F / RT − 1 V RT eVF / RT − 1

h = (1 − FNa )h1 + FNa h2

−2

FNa

9.52 × 10 −2 × e −6.3×10 ×(V + 34.4 ) + 8.69 × 10 − 2 = − 0.225 (V + 63.7 ) 1 + 1.66e

1   m∞ =  −V / 5.46  1+ e 

τm =

1/ 3

0.6247 × 10 −3 + 4 × 10 −5 − 0.335 (V + 56.7 ) 0.082 (V + 65.01) 0.832e + 0.627e

126 dm m∞ − m = dt τm

h1∞ =

1 1+ e

(V + 66.1) / 6.4

h2∞ = h1∞

3.717 × 10 −6 × e −0.2815(V +17.11) τ h1 = + 5.977 × 10 −4 −3 −0.3426 (V + 37.76 ) 1 + 3.732 × 10 × e

τ h2 =

3.186 × 10 −8 × e −0.6219 (V +18.8) + 3.556 × 10 −3 1 + 7.189 × 10 −5 × e −0.6683(V +34.07 )

dh1 h1∞ − h1 = dt τ h1

dh2 h2∞ − h2 = τ h2 dt

Обратите внимание, что для истинных водителей ритма величина тока равна нулю, но для латентных водителей ток не равен нулю, а его характер напоминает натриевый ток предсердных клеток, хотя и уступает им по величине.

127

Рис. 6.2 Быстрый натриевый ток в модели клетки истинного водителя ритма СУ.

Рис. 6.3 Быстрый натриевый ток в модели клетки латентного водителя ритма СУ.

Кальциевые токи L и T типа. Уравнения для этих токов показаны ниже. Вычисленные кривые хорошо согласуются с экспериментальными, опубликованными в работах [160,134]. В целом, в модели мы опирались на формулировки этих токов, описанных Zhang et al. и Demir et al. в работах [478,102]. В модели учтено подавление кальциевого тока ацетилхолином, путем введения

зависимого

проводимость [479].

от

АЦХ

коэффициента,

уменьшающего

128 Ca 2+ ток L-типа (iCa , L )

0.006   (V − ECa,L ) iCa , L = g ACh g Ca , L  f L d L + 1 + e −(V +14.1)/ 6  

[ACh] 1.2 ×10 −7 + [ ACh ]

gACh = 1 − bACh ECa , L

= 46.4 mV

α d = −14.19 L

βd = L

τd = d L∞ =

e

−1

5.71(V − 5) e 0.4(V −5 ) − 1

αd

L

(V + 35)

− (V + 35 ) / 2.5

L

1 + β dL 1

1+ e

− (V + 23.1) / 6

d d L d L∞ − d L = dt τ dL

αf = L

βf = L

τf = L

f L∞ =

3.12(V + 28) e (V + 28 ) / 4 − 1 25

1+ e

αf

L

− (V + 28 ) / 4

1 + β fL 1

1+ e

(V + 45 ) / 5

fL − fL d fL = ∞ dt τ fL Ca 2+ ток T-типа (iCa ,T ) iCa ,T = gCa ,T dT f T (V − ECa ,T ) ECa ,T

= 45 mV

α d = 1068e (V +26.3) / 30 T

β d = 1068e − (V +26.3) / 30 T

−

42.45V e −1 − 0.208V

129 τd = T

d T∞ =

αd

T

1 + β dT

1

1+ e

− (V + 37 ) / 6.8

d d T d T∞ − d T = dt τ dT

α f = 15.3e − (V + 71.7 ) / 83.3 T

β f = 15e (V +71.7 ) / 15.38 T

τf = T

f T∞ =

αf

T

1 + β fT 1

1+ e

(V + 71) / 9

fT − fT d fT = ∞ τ fT dt

Рис. 6.4 Кальциевый ток L-типа в модели клетки истинного водителя ритма СУ.

130

Рис. 6.5 Кальциевый ток T-типа в модели клетки истинного водителя ритма СУ.

Чувствительный к 4-аминопиридину ток. Ранние детальные модели электрической активности клеток СУ не учитывали переходную компоненту выходящего тока ito, несмотря на то, что было известно, что эта компонента присутствует и играет существенной роль при формировании ПД [51,174]. Известно, что ток ito блокируется 4-аминопиридином. В клетках СУ кролика, как и в большинстве других кардиоцитов, 4-аминопиридин блокирует как переходную, так и постоянную компоненты выходящего тока, обозначаемые как ito и isus. До сих пор нет окончательных данных о том, представляют ли эти токи две фазы одного мембранного тока, либо это два отдельных тока [174]. В данной модели, как и в модели Zhang

et

al.

[478],

две

компоненты

чувствительного

к

4-

аминопиридину тока рассматриваются отдельно, однако, как показано в работе [174], эти токи имеют одинаковые кривые активации, и потому в модели используется общая воротная переменная r для обоих токов. В целом, уравнения, приведенные ниже, следуют работе Zhang et al. [478]. На Рис. 6.6 и Рис. 6.7 показан временной ход компонент чувствительного к 4-аминопиридину тока.

131 4-AP-чувствительные токи (ito и isus ) ito = g to qr (V − E K ) q∞ =

1

1+ e

(V +59.37 ) / 13.1

τ q = 1.01 × 10− 4 +

6.517 × 10−4 0.5686 × e − 0.08161(V + 49 ) + 0.7174 × e 0.2719(V + 50.93)

d q q∞ − q = dt τq r∞ =

1

1+ e

− (V −10.93 ) / 19.7

1.559 × 10−4 τ r = 2.98 × 10 + 1.037e0.09(V +30.61) + 0.369e −0.12(V +23.84) −3

d r r∞ − r = dt τr i sus = g sus r (V − E K )

Рис. 6.6 Переходная компонента чувствительного к 4-аминопиридину тока в модели клетки истинного водителя ритма СУ.

132

Рис. 6.7 Постоянная компонента чувствительного к 4-аминопиридину тока в модели клетки истинного водителя ритма СУ.

Быстрый калиевый ток. Согласно современным экспериментальным данным калиевый ток в клетках водителей ритма СУ имеет, по крайней мере, две компоненты, быструю и медленную. Уравнения для быстрой компоненты тока, iK,r, были предложены Shibasaki [393] и включают активационную и деактивационную переменные pa и pi. Экспериментальные данные предполагают,

что

и

активация

и

деактивация

iK,r

имеют

двухэкспоненциальную временную зависимость [247,316]. Чтобы учесть этот факт в модели, были введены две переменных активации, чтобы описать быстрые процессы активации, pa,f , и медленные процессы активации, pa,s . В таком рассмотрении воротная переменная активации, pa, представляет собой взвешенную сумму переменных pa,f и pa,s . Инактивация моделировалась в соответствии с данными работ Ito и Ono [316,195]. Константы времени переменных активации (τa,f и τa,s) вычислялись, основываясь на экспериментальных данных Ono и Ito [316]. При сравнении с динамикой других кардиоцитов, оказалось, что константы времени τa,f и τa,s в клетках СУ кролика меньше, чем, например в желудочковых кардиоцитах морских свинок. Что касается характерного времени инактивации, τp,i, нет данных указывающих на

133 зависимость этой величины от

мембранного

потенциала,

поэтому в данной модели ее величина считалась константой, как предложено Ono и Ito. Потенциал реверсии для этого тока был равен равновесному

потенциалу

для

ионов

калия,

что

полностью

согласуется с экспериментальными данными. В целом, в модели мы опирались на формулировки этих токов, описанных Zhang et al. [478]. Ниже приведены уравнения, описывающие быстрый калиевый ток и график зависимости этого тока от времени. Быстрый калиевый ток задержанного выпрямления (i K ,r ) i K ,r = g K ,r p a p i (V − E K ) pa = (1 − FK ,r )pa , f + FK ,r pa ,s

1

pa, f∞ =

1+ e

− (V +14.2 ) / 10.6

pa , s ∞ = pa , f ∞

τp

a, f

=

37.2e

τ pa , s = d pa, f dt

d pa ,s dt

pi∞ =

1 + 0.96e −(V −9 ) / 22.5

1

4.2e (V −9 ) / 17 + 0.15e −(V −9 ) / 21.6

=

=

(V − 9 ) / 15.9

pa, f∞ − pa, f

τp

a, f

p a,s ∞ − pa ,s

τp

a,s

1

1+ e

(V +18.6 ) / 10.1

τ p = 0.002 i

d pi pi ∞ − pi = dt τ pi

134

Рис. 6.8 Быстрый калиевый ток в модели клетки истинного водителя ритма СУ.

Медленный калиевый ток. При моделировании этого тока опирались на данные экспериментов с клетками СУ кролика при 37оС Lei и Brown [247]. Чтобы адекватно воспроизвести экспериментальные данные, использовалась воротная переменная xs во второй степени. Для описания константы времени активации, ввиду отсутствия надежных данных по водителям ритма СУ кролика, использовались аналогичные данные клеток рабочего миокарда морских свинок Heath и Terrar [163]. При измерениях потенциала реверсии было обнаружено, что этот потенциал выше потенциала

Нернста

для

ионов

калия,

подразумевая,

что

соответствующий канал проницаем не только для ионов калия. В данной модели считается, что канал в незначительной степени проницаем

для

ионов

натрия.

Ниже

приведены

уравнения,

описывающие медленный калиевый ток и график зависимости этого тока от времени. Медленный

K+

ток задержанного выпрямления (iK ,s )

i K , s = g K ,s x s2 (V − E K , s )

135 E K ,s =

αx = s

[ ] [ ]

[ [

RT  K + 0 + 0.12 Na + ln F  K + i + 0.12 Na +

] ]

0

i

  

14

1+ e

− (V − 40 ) / 9

β x = e −V / 45 s

x s∞ =

αx

s

αx + βx s

τx = s

s

1 α xs + β x s

d x s x s∞ − x s = dt τ xs

Рис. 6.9 Медленных калиевый ток в модели клетки истинного водителя ритма СУ.

Активируемый при гиперполяризации ток. Этот ток называют также “пейсмекерным током”, поскольку он, как правило, наблюдается в клетках, демонстрирующих спонтанную пейсмекерную активность. В данной модели, следую работе [478], учитывается натриевая и калиевая компоненты этого тока. В модели учтен

сдвиг

кривой

активации

этого

тока

под

действием

ацетилхолина, путем введения зависимого от АЦХ потенциала сдвига

136 Ниже

[479].

приведены

уравнения,

описывающие

активируемый при гиперполяризации ток и график зависимости этого тока от времени. Активируемый при гиперполяризации ток (i f ) if =if

, Na

+if

,K

i f , Na = g f , Na y (V − E Na ) i f , K = g f , K y (V − E K )

α y = e − (V +78.91−V β y = e (V +75.13−V

VACh = smax y∞ =

τy =

ACh

ACh

) / 26.62

) / 21.25

[ACh]nf

(1.26 × 10 ) + [ACh] −8 nf

nf

αy αy + βy 1 αy + βy

d y y∞ − y = τy dt

Рис. 6.10 Активируемый при гиперполяризации ток в модели клетки истинного водителя ритма СУ.

137 Фоновые токи. В модели фоновые токи учитывают три компоненты: токи натрия, калия, кальция. Уравнения для этих токов Написаны на основе закона Ома: ib, Na = g b, Na (V − E Na ) ib, K = g b , K (V − E K ) ib,Ca = gb,Ca (V − ECa )

Суммарный фоновый тока представлен на Рис. 6.11.

Рис. 6.11 Фоновый ток в модели клетки истинного водителя ритма СУ.

Насосы и обменники. В модели учтены натрий-калиевый и кальциевый насосы и натрийкальциевый обменник. Формулировка iNaK, iNaCa взята из работ [102,166], a ip,Ca из [102]. i NaK = i NaK∞

[

]

 Na + i  + K  m , Na + Na

[

]i

   

3

[

]

 K+ 0  + K  m ,K + K

[

2

]0

 1.6   1.5 + e − ( V + 60 ) / 40 

(74)

i NaCa = k NaCa

[Na + ]i3 [Ca 2 + ]0 e 0.03743Vγ − [Na + ]30 [Ca 2+ ]i e 0.03743V ( γ 3 3 1 + d NaCa ([Ca 2 + ]i [ Na + ]0 + [Ca 2 + ]0 [ Na + ]i ) NaCa

NaCa

−1 )

(75)

138

i p ,Ca =

1+

0.08 0.002

(76)

[Ca 2+ ]i

Зависимость этих токов от времени представлена на следующих рисунках.

Рис. 6.12 Ток натрий-кальциевого обменника в модели клетки истинного водителя ритма СУ.

Рис. 6.13 Ток натрий-калиевого насоса в модели клетки истинного водителя ритма СУ.

139

Рис. 6.14 Ток кальциевого насоса в модели клетки истинного водителя ритма СУ.

АЦХ-зависимый калиевый ток. Описание этого тока базируется на уравнениях проекта “Oxsoft Heart” для тока iK,1 [304]. Учитывается зависимость тока от концентрации внеклеточного калия [343] и динамика тока, описанная в работе [398]. В работе [398] показано, что инактивация тока описывается двухэкспоненциальным процессом, что в модели учтено введением двух инактивационных переменных j и k. Увеличение тока под действием ацетилхолина учтена введением коэффициента типа МихаэлисаМентена, увеличивающего проводимость с увеличением АЦХ. В целом, описание этого тока взято из работы [479].

[K ]   (V − E )  × (V − E −140) F / 2.5 RT    10 + [ K ]   1 + e 

iK , ACh = g K , ACh 

m

e

m

K

K

e

[ ACh ] + [ ACh ] n K , ACh

g K , ACh = g K , ACh ,max jk dj = α j (1 − j ) − β j j dt dk = α k (1 − k ) − β k k dt

βj =

120 1+ e

−(Vm +50 ) /15

n K , ACh

K 0.5, K , ACh

n K , ACh

140 βk =

5.82 − V +50 /15 1+ e ( m )

Рис. 6.15 Активируемый ацетилхолином калиевый ток в модели клетки истинного водителя ритма СУ при концентрации АЦХ 20 нМ.

Уравнения для вычисления трансмембранного потенциала, с учётом вышеописанных токов выглядит следующим образом:

−Cm

dV = INa +ICaL +ICaT +If +IKr +IKs +Ito +Isus +IKACh +IbNa +IbCa +IbK +INaK +INaCa +IpCa dt Внутриклеточная динамика ионов

В модели учитывается изменения внутриклеточных концентраций ионов натрия, калия и кальция. Для подсчета концентраций ионов натрия и калия подсчитывается баланс входящих и выходящих ионов за счет входящих и выходящих трансмембранных токов. При расчете концентраций ионов кальция, в дополнение к потокам через мембрану, учитывается функция саркоплазматического ретикулумума и связывание кальция с белками тропонином, кальмодулином и кальсеквестрином. Таким образом, для описания динамики ионов кальция, в отличие от ионов калия и натрия, вводятся четыре переменных, моделирующих концентрацию кальция в различных

141 отделах

клетки.

Внутриклеточные

потоки

кальция схематически изображены на Рис. 6.16.

Рис. 6.16 Схематическое изображение внутриклеточной динамики ионов кальция. В модели вычисляют концентрацию кальция в четырёх компартментах: цитоплазме ([Ca]i), в диадическом пространстве ([Ca]sub), в саркоплазматическом ретикулуме ([Ca]up) и ([Ca]rel).

При моделировании функции саркоплазматического ретикулума учитывался захват ионов кальция SERCA-2 насосом, при этом ионы кальция попадают в сетевую часть саркоплазматического ретикулума (NSR). Затем ионы кальция диффундируют в соединительную часть саркоплазматического ретикулума (JSR), откуда возможен их выброс в

диадическое

кальциевыми

пространство

каналами

и

(область

между

рианодиновыми

мембранными

рецепторами

СР)

посредством рианодиновых рецепторов. В целом описанная динамика описывает основные черты функционирования СР и является типичной при моделировании кардиоцитов. Подобная и даже более сложная динамика использовалась в моделях Luo-Rudy [261], Demir et al. [102]. При моделировании связывания ионов кальция буферами, учтено взаимодействие кальция с кальциевыми и магниевыми сайтами тропонина, кальмодулином и кальсеквестрином. Взаимодействие с

142 тропонином и кальмодулином

учитывалось в соответствие с

работами [102,258,366,]. Концентрация кальсеквестрина внутри СР считалась относительно низкой, около 10 мМ, что использовалось при моделировании кардиоцитов в работах [261,351,90]. Константы скоростей связывания с кальсеквестрином были взяты из работы [64] и масшатбированы к 37°C , считая Q10 равным 1.6, в соответствие с [258]. В целом, использованная в данной модели динамика взята из работы [241], где учтены современные сведения о динамике водителей ритма СУ

кролика.

Ниже

приведены

уравнения

рассчета

ионных

концентраций и внутриклеточной динамики кальция. Внутриклеточные концентрации ионов.

[

d Ca 2+ dt

[

d Ca 2 + dt

] = (j i

]

[

[

d Ca 2+

df df df   ⋅ Vsub − jup ⋅ Vup ) / Vi −  [CM ]tot ⋅ CMi + [TC ]tot ⋅ TC + [TMC ]tot ⋅ TMC  dt dt dt  

[(

]

)

= − I Ca , L + I Ca ,T − 2 I NaCa + I p ,Ca + I b,Ca / (2 F ) + jrel ⋅Vrel / Vsub − jCa , dif − [CM ]tot ⋅

sub

d Ca 2+ dt

Ca , dif

]

rel

]

up

dt

[ ]

= j tr − j rel − [CQ ]tot ⋅

df CQ dt

= jup − jtr ⋅ Vrel / Vup

d Na + i = − I Na + I f , Na + I b, Na + 3I NaK + 3I NaCa / (F ⋅Vi ) dt

[ ]

(

)

d K+ i = − I Kr + I Ks + I to + I sus + I f , K + I b, K + I K , ACh − 2 ⋅ I NaK / (F ⋅Vi ) dt

(

)

2+ Внутриклеточная динамика Ca

Диффузионный поток Ca 2+ .

([

jCa ,dif = Ca 2+

]

sub

[

− Ca 2+

] )/ τ i

dif ,Ca

Ca 2+ -удерживание в саркоплазматическом ретикулуме.

d f CMs dt

143

([

jrel = Prel ⋅ Ca 2 +

] − [Ca ] )/ 1 + (K /[Ca ] )  2+

[

jtr = Ca 2+

] − [Ca

]) ] )/ τ

jup = Pup / 1 + K up / Ca 2+

([

rel

sub

(

2+

up

2

2+

rel

rel

sub

i

tr

Накопление Ca 2+ в буферах.

[

]

d f TC = k fTC ⋅ Ca 2+ i ⋅ (1 − f TC ) − k bTC ⋅ f TC dt

[

]

d f TMC = k fTMC ⋅ Ca 2+ i ⋅ (1 − f TMC − f TMM ) − k bTMC ⋅ f TMC dt

[

]

d f TMM = k fTMM ⋅ Mg 2+ i ⋅ (1 − f TMC − f TMM ) − k bTMM ⋅ f TMM dt

[

]

[

]

d f CMi = k fCM ⋅ Ca 2+ i ⋅ (1 − f CMi ) − k bCM ⋅ f CMi dt d f CMs = k fCM ⋅ Ca 2+ dt

d f CQ dt

На

[

= k f CQ ⋅ Ca 2+

Рис.

sub

⋅ (1 − f CMs ) − k bCM ⋅ f CMs

] ⋅ (1 − f ) − k rel

6.17,

CQ

Рис.

bCQ

⋅ f CQ

6.18,

Рис.

6.19

показаны

изменения

внутриклеточной концентрации ионов калия, натрия и кальция в процессе колебаний в клетках водителей ритма. Для ионов кальция показана концентрация в миоплазме.

144

Рис. 6.17 Внутриклеточная концентрация калия в модели клетки истинного водителя ритма СУ.

Рис. 6.18 Внутриклеточная концентрация натрия в модели клетки истинного водителя ритма СУ.

Рис. 6.19 Внутриклеточная концентрация кальция в модели клетки истинного водителя ритма СУ.

145

Рис. 6.20 Фракции занятости кальций-связывающих белков. Сверху вниз: тропонина; тропонина,

магниевых

сайтов

кальцием;

тропонина,

магниевых

сайтов

магнием;

кальмодулина в миоплазме; кальмодулина в диадическом пространстве; кальсеквестрина.

На Рис. 6.20 показана динамика буферизации кальция за счет связывания с тропонином, кальмодулином, кальсеквестрином. Хотя использованы простые уравнения взаимодействия кальция с белками, модель позволяет оценить некоторые аспекты

биохимических

реакций, происходящих внутри клетки. Концентрация кальция в различных отделах клетки показана на Рис. 6.21. Обратите внимание: концентрация достигает миллимолярных значений в сетевой части СР, в то время как в миоплазме концентрация составляет лишь несколько микромолей.

146

Рис. 6.21 Концентрация кальция в различных отделах клетки. Сверху вниз: в миоплазме; в диадическом пространстве; в сетевой части СР; в соединительной части СР.

Как результат моделирования всех ионных токов, результирующий трансмембранный потенциал показан на Рис. 6.22. Результатом детального учета множества аспектов электрической активности водителя ритма, вычисленный трансмембранный потенциал совпадает с экспериментально измеренным на клетках истинных водителей ритма СУ кролика с точностью до экспериментальной ошибки измерения.

147

Рис. 6.22 Трансмембранный потенциал в модели клетки истинного водителя ритма СУ.

Суммируя, схематическое изображение детальной модели клеток СУ млекопитающих,

учитывающее

основные

трансмембранные

и

внутриклеточные токи, а также изменения концентраций основных ионов внутри клетки, показано на Рис. 6.23.

Рис. 6.23 Схема мембранных и внутриклеточных токов в модели клеток СУ кролика. Использованные сокращения: INa – натриевый ток, ICa,T, ICa,L – кальциевые токи Т и L типа, If – активируемый при гиперполяризации ток, Ibg – фоновый ток, IKr, IKs – быстрый и медленный

калиевые

токи

задержанного

выпрямления,

Ito,

Isus

–

компоненты

чувствительного к 4-аминопиридину тока, IKach – активируемый АЦХ калиевый ток, INaK – Na-K насос, INaCa – Na-Ca обменник, ICap – Ca насос; Irel – рианодиновый кальциевый ток, Iup – Ca насос саркоплазматического ретикулума, Itr – кальциевый ток внутри СР; NSR и JSR сетевой СР и терминальные цистерны СР; TC, TMC, CM, CQ – тропонин, тропонин-Mg сайты, кальмодулин, кальсеквестрин.

148 Для

моделирования

трансмембранного потенциала и

токов был разработан алгоритм и написана программа на языке "Си". Дифференциальные уравнения простой релаксации: dx/dt = (x∞-x)/τ, которые входят в описания большинства токов, функционирующих по механизму Ходжкина-Хаксли, решались прямым интегрированием, предполагая постоянные коэффициенты: x(t+∆t) = x∞-(x∞-x(t))exp(∆t/τ). Остальные уравнения интегрировались методом Эйлера. В целом выбранная схема интегрирования соответствовала первому порядку точности. При расчетах использовался автоматически подстраиваемый переменный шаг по времени в диапазоне 1-300 мкс. Вычисления производились на компьютере с процессором «пентиум4».

Рис. 6.24 Трансмембранный потенциал (Е) и токи (Ibg, ICa,L, ICa,T, Ibg, IK,r, IK,s, INa, INaCa, Ip, Isus, Ito, IKach) в клетке истинного водителя ритма СУ под действием 0.1 µM АЦХ. Вертикальная линия в момент t = 3320 мс обозначает момент максимальной крутизны фронта.

149 Как пример применения

модели, на Рис. 6.24 показаны

трансмембранный потенциал и токи в клетке истинного водителя ритма под действием 0.1 µM АЦХ, который вызвал увеличение периода спонтанных возбуждений от 0.31 с до 0.5 с. Более подробно использование модели для исследования электрической активности клеток СУ обсуждается в следующей главе.

150

151 Глава 7. Моделирование электрической активности клеток синоатриального узла

Исследование хронотропного эффекта в клетках истинных и латентных водителей ритма СУ.

Нейромедиатор

ацетилхолин

постганглионарными

выделяемый

(АЦХ),

парасимпатическими

терминалями,

играет

важную роль в регуляции спонтанной активности и распространении возбуждения в синусовом узле (СУ) млекопитающих в норме и при патологии. В представленной работе Показано, что АЦХ по-разному влияет на спонтанную активность клеток водителей ритма в зависимости от максимальной крутизны нарастания фронта (dV/dt max) их потенциала действия: при dV/dt max < 1.15 В/с спонтанная активность прекращалась без замедления исходного ритма, при больших значениях dV/dt max прекращение спонтанной активности происходило на фоне замедления исходного ритма, что связано с различным соотношением кальциевых токов - ICa,L и ICa,Т. Известно,

что

выделение

АЦХ

постганглионарными

парасимпатическими терминалями при вагусной стимуляции, а также перфузия

и

суперфузия

АЦХ,

приводит

к

отрицательному

хронотропному эффекту, вплоть до полного подавления спонтанной активности в СУ [107,52,425]. Недавно экспериментально показано, что прекращение активности водителей ритма СУ под действием АЦХ, зависит от крутизны нарастания фронта их потенциала действия (ПД) [425]. В клетках водителей ритма СУ основные эффекты АЦХ связаны с тем, что он подавляет кальциевый ток ICa,L, активирует мускариновый калиевый ток IKach и приводит к сдвигу активационной кривой тока If [479]. Изменения в работе этих АЦХ-чувствительных

152 каналов приводят к изменениям в

формирования

потенциала

действия, что, в свою очередь, вызывает изменения в работе остальных каналов, так как

проводимость большинства из них

зависит от потенциала и времени. Таким образом, для исследования влияния

АЦХ

на

активность

водителей

ритма

необходима

одновременная регистрация большого числа ионных токов, что невозможно сделать экспериментально. В связи с этим, в настоящей работе исследование влияния АЦХ на

клетки СУ выполнено с

помощью метода компьютерного моделирования. Для изучения влияния АЦХ в зависимости от крутизны фронта были промоделированы клетки истинных водителей ритма, у которых ток ICa,L составлял от 52 до 98 % общего кальциевого тока (ICa,L + ICa,Т). В норме доля тока ICa,L составляет около 80 % [52]. В модели варьировались не сами токи, которые асинхронно меняются во времени, а максимальная проводимость соответствующих токов. Типичные значения этих параметров: 7.6 nS и 2.1 nS для ICa,L и ICa,Т в клетках истинных водителей ритма. При моделировании влияния АЦХ на одиночные клетки истинных и латентных водителей ритма были найдены качественно схожие эффекты: в обоих случаях наблюдался отрицательный хронотропный эффект, гиперполяризация мембраны, уменьшение амплитуды и крутизны фронта. На Рис. 6.24 показаны трансмембранный потенциал и токи в клетке истинного водителя ритма под действием 0.1 µM АЦХ, который вызвал увеличение периода спонтанных возбуждений от 0.31 с до 0.5 с. В истинных водителях ритма быстрый натриевый ток либо отсутствует, либо слабо выражен. В таких клетках, в отличие от латентных водителей ритма и рабочих кардиоцитов, передний фронт формируется не быстрым натриевым током, а более медленным кальциевым током L типа (Рис. 7.1).

153

Рис. 7.2 Упорядоченные по силе абсолютные значения токов в момент максимальной крутизны фронта в клетке истинного (a) и латентного (b) водителя ритма. Контроль представлен пустыми столбиками, действие АЦХ – заштрихованными. Обратите внимание: наиболее сильный ток в случае (а) - ICa,L; в случае (b) - INa. В последнем случае ICa,L лишь в небольшой степени участвует в формировании фронта.

Это, в частности, приводит к значительно меньшей крутизне фронта у истинных водителей ритма. Больший ток ICa,L приводил к увеличению максимальной скорости деполяризации на переднем фронте ПД, которая измерялась как dV/dt max. Соответствующие значения крутизны фронта представлены на горизонтальной оси Рис. 7.3.

154 Оказалось,

что

максимальная

концентрация АЦХ, при которой

еще наблюдалась спонтанная активность, выше для клеток с большой крутизной фронта (верхняя кривая на Рис. 7.3).

Исключение

составляют две крайние правые точки, в которых обнаружено незначительное уменьшение АЦХ max; этот эффект может быть вызван аномально большой диспропорцией кальциевых токов L и Т типа (в последней точке ток ICa,L составляет 98 % всего кальциевого тока).

Рис. 7.3 Зависимости концентрации АЦХ, приводящей к потере спонтанной активности (верхняя кривая, 'о'),

а также

периода возбуждений

при действии максимальной

концентрации АЦХ (средняя кривая, '∆') и периода при отсутствии АЦХ (нижняя кривая, '∇') от крутизны фронта в

клетке истинного водителя ритма. Обратите внимание на

практическое совпадение периодов (отсутствие хронотропного эффекта) при малой крутизне фронта и их значительное расхождение при увеличении крутизны. Заштрихованная область иллюстрирует диапазон изменения периода; цифры рядом с верхней кривой указывают минимальную, нормальную и максимальную пропорцию ICa,L в кальциевом токе.

На Рис. 7.3 также представлена зависимости периода спонтанной активности клеток от их крутизны фронта при действии АЦХ max (средняя кривая) и в контроле (нижняя кривая). Видно, что в контроле

155 период практически не зависит

от

крутизны

фронта.

Это

объясняется тем фактом, что формирующий фронт ток ICa,L (см. Рис. 7.4а)

достаточно

быстро

инактивируется

и

принимает

незначительное участие в реполяризации ПД

лишь

и медленной

диастолической деполяризации. Под действием АЦХ период активности при крутизне фронта 1.3 В/с увеличивался почти на 400%. При меньшей крутизне фронта хронотропный эффект менее выражен и уменьшается до нуля при dV/dt < 1.15 В/с (Рис. 7.3). Эти данные позволяют сделать заключение о двух различных сценариях действия АЦХ на клетки истинных водителей ритма: 1) прекращение спонтанной активности после периода замедления ритма 2) прекращение спонтанной активности без предшествующего замедления ритма. Первый сценарий характерен для клеток с большой крутизной фронта, второй – с малой крутизной. При моделировании активности латентных водителей ритма под действием АЦХ был обнаружен лишь первый сценарий. Для понимания этих эффектов следует рассмотреть более детально влияние АЦХ на токи ICa,L, IKach и If и роль этих токов в формировании ПД. Для истинных водителей ритма ICa,L

является

основным током, формирующим фронт (Рис. 7.5а). За счет подавления этого тока происходит замедление скорости деполяризации, а при превышении пороговой концентрации АЦХ max полное подавление фронта и собственной активности истинных водителей ритма. Очевидно, что при увеличении тока ICa,L,

требуются большие

концентрации

Этим

АЦХ

для

его

подавления.

объясняются

зависимости, приведенные на Рис. 7.3: увеличение тока ICa,L приводит к большей крутизне фронта, что требует большей концентрации АЦХ для подавления спонтанной активности (Рис. 7.3, верхняя кривая). Токи IKach и If слабо влияют на формирование фронта ПД, однако при действии АЦХ

именно эти токи приводят к отрицательному

156 хронотропному эффекту. Таким

образом,

развивается

первый

сценарий действия АЦХ: подавление спонтанной активности после периода замедления ритма. Механизм второго сценария действия АЦХ связан с тем, что на каналы ICa,L и If АЦХ влияет при меньших концентрациях, чем на IKach [52]. H. Zhang с соавторами, показали, что замедлении синусового ритма при действии АЦХ, обусловлено в основном током IKach [479]. Таким образом, в клетках с относительно небольшим ICa,L он будет достаточно

подавлен при действии уже

низких концентрациях АЦХ, при которых активация IKach еще незначительна. В этом случае прекращение спонтанной активности под действием АЦХ разовьется раньше, чем произойдет замедление ритма. (рис. 4 при dV/dt max < 1.15 В/с). Таким образом, в компьютерной модели одиночных клеток истинных и латентных водителей ритма синусового узла кролика удалось подтвердить как хорошо известные экспериментальные данные о влиянии АЦХ на водителей ритма, так и сравнительно новые результаты о зависимости действия АЦХ от крутизны фронта [425]. Найден

ранее

прекращения

экспериментально спонтанной

необнаруженный

активности

без

режим

предварительного

замедления ритма. Главным достоинством метода математического моделирования является возможность одновременной оценки всех основных клеточных токов, трансмембранного потенциала и его производной в произвольный момент времени. Таким образом, современные методы компьютерного моделирования становятся мощным надежным инструментом, помогающим в исследовании сложных физиологических систем.

157 Влияния

ацетилхолина на

внутриклеточный ионный гомеостаз. В данной работе исследовано влияние АЦХ на внутриклеточный ионный гомеостаз. Измерено характерное время установления гомеостаза T1/2=34 с для ионов натрия и калия и T1/2=1 с для ионов кальция.

Существенная

разница

значений

обусловлена

функционированием саркоплазматического ретикулума (СР). Описание модели электрической активности мембраны клеток СУ,

действия

интегрирования

АЦХ

и

использованных

представлены

в

методов

предыдущих

численного

главах.

При

моделировании медленной динамики кальция был дополнительно учтен ток кальциевой АТФазы. Для моделирования внутриклеточного ионного гомеостаза было учтено изменение концентрации ионов Na+, K+

и

Ca2+

внутри

клетки.

Баланс

этих

ионов

определялся

соответствующими входящими и выходящими мембранными токами. Для учета баланса Ca2+ учитывалась функция СР: захват Ca2+ SERCA2 насосом, накопление кальция в NSR (Network SR), его диффузия в терминальные цистерны (JSR), освобождение через рианодиновые рецепторы; кроме того, учитывалось связывание кальция тропонином, кальмодулином

и

кальсеквестрином.

Более

подробно

модель

функционирования СР в клетке СУ кролика описана Курата и др. [5].

158 Результат кратковременного 10 с Рис.

воздействия АЦХ представлен на 7.6.

В

Рис. 7.6 Влияние АЦХ на внутриклеточные концентрации ионов Na+, K+, Ca2+ и на трансмембранный потенциал E. АЦХ=25нМ в интервале 5-15 с и АЦХ=0 в другое время.

интервале времени 5-15 с была установлена концентрация АЦХ 25 нМ, что приводило к незначительному уменьшению амплитуды колебаний и замедлению ритма. АЦХ оказывал разнонаправленное действие на концентрацию ионов внутри клетки: наблюдалось медленное повышение концентрации Na+, столь же медленное понижение K+

5)

и быстрая адаптация Ca2+ к новым условиям. Видно,

что натрий и калий, в отличие от кальция, не достигают равновесных значений за исследуемый промежуток времени. Динамика ионов кальция в саркоплазме и СР представлена на Рис. 7.7. Благодаря

5)

Для соблюдения электронейтральности клетки изменение концентрации ионов Na и K должны быть разными по знаку и приблизительно равными по величине.

159 специальной системе регуляции

СР, концентрация ионов кальция

Рис. 7.7 Влияние АЦХ на концентрацию ионов Ca2+ в саркоплазме (Cai), диадическом пространстве (Casub), в NSR и JSR отделах СР (Caup, Carel). АЦХ=25нМ в интервале 5-15 с и АЦХ=0 в другое время.

быстро

подстраивается

к

новым

стационарным

значениям,

обусловленным действием АЦХ. Следует обратить внимание, что наиболее низкая концентрация Ca2+ наблюдается в саркоплазме (Cai, 0.2-0.4 мкМ); в диадическом пространстве, т.е. в комплексах между рианодиновыми рецепторами и кальциевыми каналами L-типа, концентрация выше (Casub, 0.4-0.8 мкМ). В СР концентрация Ca2+ достигает миллимолярных значений (Caup, 1 мМ); в терминальных цистернах СР концентрация на порядок ниже (Carel, 0.02-0.1 мМ). Интересно отметить, что АЦХ приводит к неоднородным изменениям концентрации ионов Ca2+ в пределах СР: в NSR отделе СР наблюдается небольшое снижение Caup под действием АЦХ, в то же

160 время в терминальных цистернах

JSR

концентрация

Carel

Рис. 7.8 Установление внутриклеточного гомеостаза при действии АЦХ. АЦХ=25нМ в интервале 5-400 с и АЦХ=0 в другое время.

немного выше контроля (Рис. 7.7). Такая динамика объясняется сложной нелинейной работой СР. Поскольку процесс установления равновесия для ионов натрия и калия очень медленный, требуются более длительные измерения. На Рис. 7.8 представлены результаты моделирования воздействия АЦХ (25 нМ), который был «введен» в систему в интервале 5-400 с. Видно, что характерное время установления гомеостаза T1/2=34 с для ионов Na+ и K+ и около 1 с для ионов Ca2+.

Обсуждение. Влияние АЦХ на электрофизиологические параметры клеток СУ является предметом интенсивного экспериментального изучения на протяжении многих лет. О влияние АЦХ на внутриклеточный ионный

161 гомеостаз

известно

немного,

поскольку не существует точных

экспериментальных методов измерения концентраций ионов внутри живой

клетки.

Использование

компьютерного

моделирования

остается единственным доступным методом изучения эффекта. Моделирование позволило оценить величину и характерное время изменений концентрации основных ионов внутри клетки (Рис. 7.6, Рис. 7.7, Рис. 7.8). Большое характерное время установления равновесия для ионов Na+ и K+ подразумевает, что окончательное установление

основных

электрофизиологических

характеристик,

таких как амплитуда, период колебаний и др. происходит за время десятков секунд. Такие времена установления часто наблюдают при вагусной

стимуляции

или

перфузии/суперфузии

АЦХ.

Столь

медленные изменения обычно приписывают медленной диффузии АЦХ и его участию в цепочке биохимических реакций. Не ставя под сомнение правоту подобных объяснений, отметим, что установление внутриклеточного гомеостаза, описанное в данное работе, вносит свой вклад в явление. Изменения концентрации Na+ и K+ под действием 25 нМ АЦХ сравнительно невелики (Рис. 7.8) в процентном отношении и с точки зрения их влияния на равновесные потенциалы Нернста для этих ионов. Однако, столь небольшие изменения могут приводить к существенным качественным эффектам, например к возникновению преавтоматической паузы [490].

Преавтоматическая пауза

Преавтоматическая

пауза,

необходимая

для

восстановления

автоматизма в водителях ритма, играет важную роль в работе сердца. В представленной работе исследовано влияние ацетилхолина (АЦХ) и

162 роль внутриклеточного ионного

гомеостаза

на

возникновение

преавтоматической паузы в клетках истинных водителей ритма синусового узла кролика. Показано, что пауза при отсутствии АЦХ составляет лишь 0.4 с, а в присутствии АЦХ может длиться десятки секунд. Возникновение и выход из паузы обусловлен медленными изменениями внутриклеточных концентраций ионов Na+, K+ и Ca2+. Предвестником

восстановления

автоматизма

являются

увеличивающиеся в амплитуде подпороговые колебания мембранного потенциала.

Условия численных экспериментов. При исследовании электрической активности мембраны клеток СУ и действия АЦХ использовалась модель клетки СУ кролика [487,489]. При моделировании внутриклеточного ионного гомеостаза было учтено изменение концентрации ионов Na+, K+ и Ca2+ внутри клетки и функция

саркоплазматического

ретикулума.

Электростимуляция

клеток осуществлялась периодическими (Т=200 мс) 10 мс импульсами тока силой 80 пА. Общая длительность измерений составляла 265 с, что включало 5 с контроля, 60 с электростимуляции, 200 с наблюдения за развитием преавтоматической паузы.

Результаты. После длительной высокочастотной электростимуляции клеток СУ возникала преавтоматическая пауза, длительность которой зависела от АЦХ и внутриклеточного ионного гомеостаза (Рис. 7.9).

163

Рис. 7.9 Преавтоматическая пауза в отсутствии АЦХ, при АЦХ=20 нМ, и при фиксированных внутриклеточных концентрациях ионов Na+, K+, Ca2+. Видно, что длительная пауза развивается лишь в присутствии АЦХ и при изменении концентрации внутриклеточных ионов.

При отсутствии АЦХ или в модельных условиях при фиксированных внутриклеточных концентрациях Na+, K+ и Ca2+, длительность паузы составляла

примерно

120%

периода

нормального

ритма.

В

присутствии АЦХ длительность паузы составляла десятки секунд; на рис. 1 при АЦХ=20 нМ видно развитие такой паузы. Длительные измерения потенциала и внутриклеточных концентраций Na+, K+ и Ca2+ (Рис. 7.10) показывают, что во время электростимуляции концентрация ионов Na+ медленно растет, концентрация ионов K+ медленно падает, а подстраиваются

внутриклеточные колебания

Ca2+ быстро

164

Рис. 7.10 Внутриклеточные концентрации ионов и трансмембранный потенциал во время развития преавтоматической паузу и после восстановления автоматии.

к новым стационарным значениям и практически не изменяются до прекращения стимуляции (Рис. 7.10, t=5-65 с). После прекращения стимуляции направление изменений концентраций ионов Na+ и K+ меняется на противоположное, а колебания трансмембранного потенциал и внутриклеточного кальция не наблюдаются (t=65-132 с). Следует отметить, что установившийся трансмембранный потенциал, приблизительно

–40

мВ,

близок

к

потенциалу

инактивации

кальциевых каналов L-типа, что препятствует активации клеток СУ [478]. .

165

Рис.

7.11

Колебания

концентрации

ионов

и

трансмембранного

потенциала

при

восстановлении автоматии после преавтоматической паузы.

Медленный дрейф концентраций ионов Na+ и K+ приводит сначала к подпороговым,

а

затем

и

к

полноамплитудным

колебаниям

трансмембранного потенциала и Ca2+ (Рис. 7.10, t=132-250 с). Заметим, что после восстановления автоматии, концентрации ионов Na+ и K+ снова меняют направление дрейфа, медленно приближаясь к своим стационарным значениям [489]. Более подробно процесс выхода из преавтоматической паузы изображен на Рис. 7.11. На этом рисунке хорошо видны подпороговые колебания трансмембранного потенциала и Ca2+, предшествующие восстановлению автоматии, а также незначительные изменения концентрации ионов Na+ и K+ во время каждого цикла колебаний.

166 Длительность

преавтоматической

паузы

существенно зависит от концентрации АЦХ (Рис. 7.12), возрастая до десятков и сотен секунд, что практически означает остановку спонтанной активности.

Рис. 7.12 Длительность преавтоматической паузы в зависимости от концентрации АЦХ.

Преавтоматическая пауза зависит также от длительности стимуляции. Как видно на Рис. 7.13, характер этой зависимости – пороговый. Т.е. при непродолжительной стимуляции ПАП не превышает

одной

секунды,

однако

при

превышении

порога,

длительность ПАП увеличивается до десятков секунд и более. Величина порога, также как и длительность ПАП, зависит от концентрации АЦХ. При увеличении АЦХ требуется более короткий период стимуляции, а ПАП удлиняется (Рис. 7.13).

167

Рис. 7.13 Зависимость длительности преавтоматической паузы от длительности стимуляции при различных концентрациях АЦХ.

Преавтоматическая пауза длительностью в десятки секунд обычно наблюдается в водителях ритма второго и третьего порядка. Например, при подавлении автоматии желудочковых водителей ритма наблюдалась пауза длительностью до 60 с [492]. Столь длительная пауза

в

СУ

патологией.

млекопитающих,

Компьютерное

безусловно,

моделирование

является показало,

опасной что

при

отсутствии АЦХ преавтоматическая пауза не наблюдается. Однако, есть основания предполагать, что в естественных условиях работы клеток СУ за счет воздействий блуждающего нерва могут возникать в непосредственной близости от клеток СУ концентрации АЦХ сравнимые с используемыми в настоящей работе. В этом случае преавтоматическая пауза может возникать и в естественных условиях работы сердца. Длительность паузы во многом определяется концентрацией АЦХ. Угнетающая роль АЦХ на СУ хорошо известна; в малых концентрациях АЦХ приводит к замедлению ритма, а в больших – к прекращению спонтанной активности [487,488]. В настоящем

исследовании

показано,

что

механизмом

168 преавтоматической

паузы

является временное прекращение

спонтанной активности в клетках СУ под действием АЦХ. Из состояния

ареста клетки

изменению

СУ

внутриклеточных

происходящему

подобно

выходят благодаря медленному концентраций

процессам

ионов Na+

установления

и

K+,

гомеостаза,

описанным нами в публикации [489]. Следует также иметь в виду, что представленные результаты получены на одиночной клетке и длительность паузы экстремальна. Действительно, в группе клеток СУ, неоднородных по своим свойствам либо по внешним условиям, длительность

преавтоматической

паузы

будет

определяться

минимальной паузой среди всех клеток.

Моделирование вагусной стимуляции. Зависимость отклика от фазы приложения стимула.

Проведено математическое моделирование активности центральной клетки синоатриального узла и влияние на него стимуляции блуждающего

нерва.

Получены

как

положительный,

так

и

отрицательный хронотропные эффекты. Характер реакции клетки зависел от фазы стимуляции. Стимуляция в раннюю фазу активности вызывала укорочение цикла, тогда как стимуляция в позднюю фазу приводила к удлинению цикла. Известно, что перфузия и суперфузия ацетилхолина (АЦХ) приводит к отрицательному хронотропному эффекту, вплоть до полного подавления спонтанной активности в синусовом узле (СУ) [487,488]. Считается, что выделение АЦХ постганглионарными парасимпатическими

терминалями

при

вагусной

стимуляции

приводит к тому же эффекту. В представленном теоретическом анализе показано, что вагусная, как и электрическая стимуляция

169 водителя

ритма

СУ,

может

приводить

не

только

к

отрицательному, но и к положительному хронотропным эффектам. Характер эффекта зависит от фазы нанесения электрического стимула или раздражения вагусного нерва. Для моделирования влияния АЦХ на активность клеток СУ была использована описанная в предыдущей главе компьютерная модель, основанная

на

экспериментальных

данных,

полученных

при

регистрации электрической активности СУ у млекопитающих. Модель включает подробную расшифровку основных ионных токов в клетках СУ, учитывает функциональные различия клеток истинных и латентных водителей ритма, изменения в СУ при воздействии АЦХ, функцию саркоплазматического ретикулума. Фаза колебаний определялась следующим образом: в момент максимальной

Рис.

7.14

Схема

воздействия

ацетилхолина,

выделяемого

постганглионарными

парасимпатическими терминалями при вагусной стимуляции, на водители ритма СУ. Слева изображено нервное окончание радиуса r, удаленное на расстояние R от водителя ритма; выделение, диффузия и взаимодействие молекул ацетилхолина (ACh) с холинэстеразой (AChE). Для вычисления концентрации АЦХ в примембранной области водителя ритма (изображено

справа)

использовалось

диффузия» (слева вверху).

дифференциальное

уравнение

типа

«реакция-

170 крутизны

фронта

фаза

Φ

считалась равной нулю, в момент

следующей максимальной крутизны фронта фаза Φ считалась равной единице. Между этими событиями фаза равномерно возрастала от 0 до 1. Для вычисления фазы измерялся период невозмущенных колебаний водителя ритма T0 как время между точками максимальной крутизны фронта. Если при возмущении, т.е. при электрической или вагусной стимуляции, следующий фронт задерживался на время ∆T, то сдвиг фазы составлял ∆Φ = ∆T/T0; если следующий фронт опережал фронт невозмущенных колебаний на ∆T, то сдвиг фазы составлял

∆Φ = -∆T/T0.

Таким

образом,

фазу

Ф

можно

рассматривать как „безразмерное время”, или время, измеренное в единицах периода колебаний водителя ритма; изменение фазы на единицу соответствует полному циклу. Следует отметить, что традиционно в кардиологии цикл активности принято делить на пять дискретных фаз от 0 до 4. Принятое в данной статье определение непрерывной фазы необходимо для более точного количественного измерения явлений.

Электрическая стимуляция водителя ритма. На Рис. 7.15 представлены результаты приложения короткого гиперполяризующего электрического импульса в различные фазы цикла. Период невозмущенных колебаний Т0 = 340 мс. Видно, что при Φ = 0.2, т.е. при нанесении стимула 0.2*340=64 мс после фронта (что приблизительно

соответствует

фазе

«2»

в

традиционном

представлении), электрический импульс укорачивает потенциал действия (ПД), тем самым, уменьшая длительность цикла. Такая стимуляция приводит к положительному хронотропному эффекту. При Φ = 0.8 (что приблизительно соответствует фазе «4» в традиционном

представлении)

стимуляция

приводит

к

171 гиперполяризации

мембраны.

Следующий цикл оказывается

задержанным, поскольку активируемому при гиперполяризации току If требуется большее время для деполяризации. Такая стимуляция приводит к отрицательному хронотропному эффекту. Из этого рисунка видно, что одно и тоже воздействие на водитель ритма может приводить к разным эффектам в зависимости от фазы приложения. Результаты моделирования одиночной стимуляции в различные фазы представлены на Рис. 7.16. Чёрная кривая на Рис. 7.16а показывает сдвиг фазы колебаний под действием гиперполяризующего импульса. Видно, что наибольший отрицательный сдвиг фазы наблюдается при стимуляции с Φ = 0.2. Этот случай представлен на Рис. 7.15. При стимуляции с Φ = 0.62 результирующий сдвиг фазы равен нулю, т.е. стимуляция не изменяет

Рис. 7.15 Воздействие гиперполяризирующего импульса (0.05 нА, 10 мс) на клетку истинного водителя ритма СУ. В зависимости от фазы стимуляции наблюдается как укорочению цикла (Φ Φ=0.2, сплошная линия), так и удлинение цикла (Φ Φ=0.8, пунктирная линия).

длительности цикла колебаний. Такая точка называется точкой нулевой фазовой чувствительности. При стимуляции с Φ > 0.62 результирующий сдвиг фазы становится положительным, т.е. цикл удлиняется. На этом же рисунке сплошной тонкой линией показан

172 эффект одиночной стимуляции

на второй, а прерывистой линией

– на третий цикл колебаний. Видно, что второй цикл всегда слегка длиннее, а третий и последующие уже неотличимы от

Рис. 7.16 Сдвиг фазы под действием (а) гиперполяризирующего (0.05 нА, 10 мс) и (б) деполяризирующего (-0.05 нА, 10 мс) импульсов. По оси абсцисс отложена фаза приложения импульса, по оси ординат – результирующий сдвиг фазы. Сплошные жирная и тонкая, а также пунктирная линии иллюстрируют сдвиг фазы первого, второго и третьего циклов после стимуляции.

контрольных. Это означает, что эффект одиночного электрического импульса на водитель ритма полностью «забывается» после второго колебания. На Рис. 7.16б показан эффект деполяризующего импульса такой же амплитуды и длительности. Видно, что кривые на Рис. 7.16 (а) и (б) совершенно разные. При деполяризующей стимуляции в фазе 0.4 и большей, зависимость – линейная. Это означает, что фронт отклика следует непосредственно за стимулом, иными словами, стимул и отклик полностью синхронизованы. Фаза 0.4, или, во временном выражении 0.4*340=128 мс, соответствует рефрактерности водителя

ритма.

Иными

словами,

деполяризующий

импульс,

приложенный после рефрактерности, приводит к рождению нового цикла колебаний. Сплошная тонкая и прерывистая линии показывают сдвиг фазы второго и третьего цикла. Как и при гиперполяризующей

173 стимуляции (Рис. 7.16а), второй

цикл в целом слегка длиннее

контрольного, а третий и последующие практически неразличимы. Таким

образом,

«забывание»

деполяризующего

электрического

импульса происходит так же быстро, как и гиперполяризующего.

Вагусная стимуляция водителя ритма. Моделирование вагусной стимуляции выполнялось в два этапа. На первом

этапе

моделировалось

выделение

АЦХ

нервными

окончаниями, его диффузия в межклеточной среде, взаимодействие с холинэстеразой, и, наконец,

Рис. 7.17 Результат одиночного раздражения вагусного нерва в зависимости от фазы истинного водителя ритма. Наблюдается как удлинение цикла (Φ Φ=0.7, пунктирная линия), отрицательный хронотропный эффект, так и укорочение цикла (Φ Φ=0.1, сплошная линия), положительный хронотропный эффект.

взаимодействие с мускариновыми рецепторами водителя ритма (см. схему на Рис. 7.14). На втором этапе моделировался отклик мускаринового

калиевого,

кальциевых

и

активируемого

при

гиперполяризации токов в ответ на действие АЦХ, аналогично работам [487,488,489]. Влияние одиночного раздражения вагусного нерва на форму ПД проиллюстрировано

на

Рис.

7.17.

Как

и

при

воздействии

174 гиперполяризирующего

импульса

тока

(Рис.

7.15)

наблюдается укорочение цикла при нанесении раздражения в раннюю фазу (Рис. 7.17, черная линия) и удлинение цикла при раздражении в поздние фазы (Рис. 7.17, пунктирная линия). Иными словами, вагусная стимуляция может вызывать как положительный, так и отрицательный хронотропный эффекты в зависимости от фазы приложения. Следует также обратить внимание на схожесть формы ПД при стимуляции гиперполяризующим током и при вагусной стимуляции (Рис. 7.15 и Рис. 7.17). Сходство обусловлено тем фактом, что

Рис. 7.18 Сдвиг фазы при одиночном раздражении вагусного нерва. По оси абсцисс отложена фаза приложения стимула, по оси ординат – результирующий сдвиг фазы.

основным током при воздействии АЦХ на водитель ритма является мускариновый калиевый ток, гиперполяризующее действие которого общеизвестно. Различие в рисунках Рис. 7.15 и Рис. 7.17 состоит в более плавной форме отклика, что объясняется размытием импульса АЦХ во время диффузии от нервного окончания до мембраны клетки и не мгновенной активацией и инактивацией АЦХ-чувствительных токов по окончании вагусной стимуляции.

175 На рис. 7.18 показан сдвиг

фазы, как результат одиночного

раздражения вагусного нерва в разные фазы цикла. Вид этой зависимости похож на зависимость, полученную в результате воздействия гиперполяризирующего тока (Рис. 7.16а), однако, точка нулевой фазовой чувствительности значительно сдвинута влево (Φ = 0.22 на Рис. 7.18 и Φ = 0.62 на Рис. 7.16а). Это означает, что участок положительного хронотропного эффекта (участок кривой на Рис. 7.18 левее точки нулевой чувствительности) значительно короче участка отрицательного хронотропного эффекта.

Рис.

7.19

Результат

периодической

вагусной

стимуляции

водителя

ритма.

(а)

невозмущенный цикл, Т0=340 мс. Отрицательный хронотропный эффект, Тстимул=374 мс (б); Тстимул=510

мс

(в).

Положительный

хронотропный

эффект

Тстимул=323

мс

(г).

Десинхронизация колебаний, Тстимул=306 мс (д). Прерывистой линией показаны моменты вагусной стимуляции (б-д).

Кроме того, величина эффекта, т.е. сдвиг фазы в ответ на вагусное раздражение, значительно больше для отрицательного хронотропного

эффекта.

Вышесказанное

означает,

что

при

176 усреднении,

что,

например,

наблюдается при перфузии и

суперфузии АЦХ, будет наблюдаться отрицательный хронотропный эффект. То же будет в среднем наблюдаться при раздражении вагусного

нерва,

если

фаза

приложения

раздражение

не

контролируется. Для наблюдения положительного хронотропного эффекта необходимо синхронизировать вагусное раздражение с циклом водителей ритма СУ. При периодической вагусной стимуляции наблюдался как отрицательный, так и положительный хронотропные эффекты (Рис. 7.19). При стимуляции с периодом Тстимул, большим периода собственных

колебаний,

Т0,

фаза

колебаний

водителя

ритма

сдвигается, подстраиваясь под стимулирующие импульсы так, что моменты стимуляции приходятся на поздние моменты цикла 0.22<Ф<1 (Рис. 7.19 б,в). При стимуляции с периодом Тстимул немного меньшим Т0, наблюдается положительный хронотропный эффект, т.е. происходит синхронизация колебаний с периодом Т=Тстимул <Т0 (Рис. 7.19г). В этом случае стимулирующие импульсы происходят в более ранние фазы 0<Ф<0.22. При стимуляции с периодом, значительно меньшем Т0, синхронизации вагусной стимуляции и колебаний водителя

ритма

не

происходит,

стимуляция

приходится

на

произвольные фазы, что приводит к нерегулярным изменениям периода, т.е. наблюдается тахикардия (Рис. 7.19д).

Обсуждение. В пейсмекерных клетках СУ основные эффекты ацетилхолина связанны с тем, что он подавляет кальциевый ток ICa,L, активирует мускариновый калиевый ток IKach и приводит к сдвигу активационной кривой тока If. Эти токи приходятся на разные фазы цикла активности клетки. Поэтому обнаруженная в статье модальность действия АЦХ и электрической стимуляции связана не с тем, что в определённые фазы

177 клетка

подвержена

действию

этих факторов, а в другие фазы –

не подвержена, а с синхронной работой АЦХ-чувствительных и всех остальных каналов. Именно синхронная работа каналов как ансамбля является причиной обнаруженных эффектов. Таким образом, фаза, как простая мера временной динамики включения и выключения определённых каналов, конечно же не является единственным фактором, влияющим на ответ клетки при стимуляции блуждающего нерва. Более полное описание ответа можно найти при изучении влияния АЦХ на отдельные каналы. Однако, изучение токов отдельных каналов – чрезвычайно сложная задача, в то время как упрощенное описание динамики с помощью фазы – вполне реально измеримая

задача.

Таким

образом,

изучение

фазовой

чувствительности к внешним воздействиям является чрезвычайно полезным применимым на практике методом изучения действия АЦХ и других факторов на клетку СУ. Так, в работе Леви с соавторами [252] изучался эффект приложения одиночного вагусного стимула, приложенного в различные фазы сердечного цикла, применительно к активности атриовентрикулярного узла. Были построены кривые, которые

аналогично

представленным

выше,

указывали

на

постепенное уменьшение влияния стимуляции на второй, третий и последующие циклы. В статье описан только отрицательный хронотропный эффект. В другой работе того же автора [253] изучалась периодическая вагусная стимуляция. Было обнаружено, что при такой стимуляции происходит синхронизация ритма сердца со стимуляцией и «захват частоты». Иначе говоря, при небольших изменениях частоты стимуляции, ритм сердца следовал за этими изменениями. При этом при увеличении частоты стимуляции, ритм сердца становился чаще. Этот

эффект

был

назван

«парадоксальным»

[253].

Следует

подчеркнуть, что описанный в нашей статье положительный

178 хронотропный

эффект,

когда

вагусная стимуляция приводит к

частоте выше контрольной, лишь внешне и не более напоминает эффект, описанный в работе [253]. Неоднократно в литературе были описаны случаи тахикардии, которая следовала за стимуляцией вагусных нервных окончаний. Один из таких случаев описан в работе [58], когда тахикардия следовала за периодом брадикардии. Авторы объясняют эффект нарушением баланса ионов натрия в клетке, как результат достаточно длительной

стимуляции

нервных

окончаний.

Другой

пример

серьёзных изменений ритма в клетках СУ под влияния нарушения баланса ионов в присутствии АЦХ был нами описан в работе [489]. Однако, данные работ [58,489] имеют лишь косвенное отношение к представленным результатам. Компьютерное моделирование воздействия АЦХ, выделяемого постганглионарными парасимпатическими окончаниями, на истинные водители ритма СУ показало, что результирующий хронотропный эффект может быть как отрицательным, так и положительным. Сходный результат получен при стимуляции водителей ритма гиперполяризующими импульсами тока. Обнаруженная модальность реакции водителя ритма заставляет критически пересмотреть одну из парадигм физиологии о том, что парасимпатическая стимуляция СУ однозначно приводит к отрицательному хронотропному эффекту. Проведённые исследования показывают, что эта парадигма верна лишь

в

среднем, т.е.

при

неконтролируемой

фазе

вагусной

стимуляции, ответ СУ, как правило, состоит в удлинении периода активности. Не исключено, что исследователи могли наблюдать положительный хронотропный эффект в эксперименте, однако, поскольку подобные наблюдения были редкими и небольшими по величине (величина эффекта и его вероятность определяются кривой на Рис. 7.18), то наблюдения могли быть интерпретированы, как

179 «экспериментальная

ошибка».

Для

проведения

достоверных

экспериментальных измерений необходимо контролировать не только силу и период стимуляции, но и её фазу.

Влияние флуктуаций потенциала на активность клеток синусового узла . На модели водителя ритма СУ кролика исследовано воздействие флуктуаций

трансмембранного

потенциала

на

генерацию

ПД.

Показано, что эффект флуктуаций возрастает с увеличением концентрации АЦХ и наиболее заметен на границе потери спонтанной активности и после потери активности. При приложении и отмывании АЦХ обнаружен эффект гистерезиса. Известно, согласованной

что

потенциал

работой

функционирование

действия

(ПД)

многочисленных

многих

из

формируется

ионных

которых

каналов,

регулируется

трансмембранным потенциалом. Такая схема формирования ПД была предложена Ходжкиным и Хаксли и на протяжении многих лет успешно применяется для моделирования электровозбудимых клеток. Модели, основанные на подобных принципах, предполагают полную детерминированность в вычислении потенциалов и токов отдельной клетки

или

системы

клеток,

в

то

время

как

в

природе

внутриклеточный, внеклеточный и трансмембранный потенциалы подвержены

флуктуациям.

Причины

таких

флуктуаций

многочисленны: электротоническое воздействие соседних и дальних клеток в ткани, внешнее электромагнитное поле, флуктуации проводимости из-за движения жидкостей в организме, сокращения мускулатуры,

марковские

процессы

переключения

состояния

отдельных каналов и др. В данной работе на модели водителя ритма

180 синусового

узла

исследуется

влияние

флуктуаций

трансмембранного потенциала на формирование ПД в норме и под влиянием ацетилхолина (АЦХ). Для учёта флуктуаций на каждом шаге интегрирования к трансмембранному

потенциалу

добавлялась

малая

случайная

величина, равномерно распределённая на интервале [-15 мкВ, 15 мкВ]. Результаты. Экспериментально измеренная эволюция ПД под влиянием АЦХ [425] (см. Рис. 7.20) демонстрирует характерные черты действия АЦХ: уменьшение амплитуды колебаний, гиперполяризация мембраны, прекращение спонтанной активности при большой дозе АЦХ. Эти свойства воспроизводятся на модели одиночной клетки (Рис. 7.20, внизу).

Наиболее

заметные

различия

модельного

графиков

наблюдаются

спонтанной

активности

(последние

экспериментальной

записи

видны

экспериментального

после 20 с

на

потери Рис.

подпороговые

и

клетками 7.20).

На

нерегулярные

колебания трансмембранного потенциала, обычно интерпретируемые как наведённые соседними клетками флуктуации потенциала. Для исследования роли таких флуктуаций была смоделирована активность истинного водителя ритма на фоне АЦХ и при его отмывании (Рис. 7.20). При сравнении левой части этого рисунка (черная линия) с экспериментальными

181

Рис. 7.20

Трансмембранный потенциал истинного водителя ритма под

действием

АЦХ.

На

экспериментальной

записи

вверху

жирная

горизонтальная черта обозначает временной интервал действия АЦХ [425]. На модельном графике внизу АЦХ был приложен в интервале 10-60 с. Слева показаны экспериментально измеренный и смоделированный ПД истинного водителя ритма в норме.

данными (Рис. 7.20) заметно, что флуктуации потенциала слабо выражены при полномасштабных колебаниях и, так же как и в эксперименте, хорошо видны в подпороговых колебаниях потенциала после потери клетками спонтанной активности (см. Рис. 7.20 и 7.21). При

отмывании

АЦХ

(Рис.

7.21,

серая

линия)

происходит

восстановление колебаний; кривая справа (серая линия) похожа на левую

(черная

линия),

однако,

не

полностью

симметрична

относительно момента времени t=60 с. Видно, что восстановление спонтанной активности происходи за больший интервал времени, чем её потеря.

182 …

Рис. 7.21

Временная зависимость ПД при приложении АЦХ (t=10-60 с) и при

отмывании АЦХ (t=10-110 с) при наличии флуктуаций трансмембранного потенциала.

На графике зависимости ПД от концентрации АЦХ (Рис. 7.22) заметно

Рис. 7.22

Форма ПД в зависимости от концентрации АЦХ при приложении

АЦХ (черная линия) и при его отмывании (серая линия) при наличии флуктуаций трансмембранного потенциала. Обратите внимание, что потеря и возобновление спонтанной активности происходит при разных значениях АЦХ.

183 явление гистерезиса: при концентрации АЦХ около 150 нМ, водитель ритма водитель ритма может обладать спонтанной активностью или потерять её в зависимости от предистории приложения или отмывания АЦХ. Флуктуации трансмембранного потенциала по-разному сказываются

Рис. 7.23

Форма ПД при наличии флуктуаций трансмембранного потенциала

при концентрации АЦХ (слева направо) 0, 140, 220 нМ. Обратите внимание, что при повышении концентрации АЦХ увеличивается чувствительность клетки

к

флуктуациям

потенциала,

а

колебания

становятся

апериодическими.

на форме ПД в зависимости от концентрации АЦХ (Рис. 7.23). В нормальных условиях, без АЦХ, флуктуации едва заметны и практически не влияют ни на форму ПД, ни на период. При увеличении концентрации АЦХ, влияние флуктуаций становится явным. Форма ПД меняется от цикла к циклу, а колебания становятся апериодическими, т.е. возникает наведённая флуктуациями «ошибка» при измерении периода колебаний, даже в условиях численных экспериментов. При потере спонтанной активности из-за большой дозы АЦХ, подпороговые колебания носят случайный характер (Рис. 7.23). Следует обратить внимание, что даже при подпороговых колебаниях, их амплитуда около 2 мВ (Рис. 7.23) на два порядка

184 превышает

амплитуду

вызывающих

их

флуктуаций

потенциала (15 мкВ). Таким образом, стохастические подпороговые колебания на Рис. 7.23 - не график флуктуаций, а реакция водителя ритма, как нелинейной системы, на приложенные малоамплитудные флуктуации трансмембранного потенциала. Заключение. В последние годы при моделировании физиологических систем предпочтение отдают точным детальным моделям, например, при моделировании модели

электровозбудимых

мембранных

токов,

клеток

параметры

используют которых

ионные измерены

экспериментально. Величины, вычисленные с помощью таких моделей, с точностью до экспериментальной ошибки, неотличимы от измеренных в эксперименте. В этом смысле, модели можно считать точными. Как правило, такие модели построены с использование систем

дифференциальных

детерминированными.

уравнений

Для

и

моделирования

являются

абсолютно

реальных

систем

необходимо учитывать влияние шума при расчётах. Такой подход использован в данной статье. Реальные биологические системы подвержены воздействию многочисленных несинхронных малоамплитудных воздействий. В эксперименте результат воздействия таких флуктуаций на систему считают «экспериментальной ошибкой» и, обычно, идентифицируют с самим воздействием. При этом не учитывается способность сложных биологических систем усиливать и подавлять шумы, т.е. активно на них реагировать. Считается, что система в разных состояниях

демонстрирует

различные

по

величине

«экспериментальные ошибки», хотя внешнее воздействие остаётся неизменным. Пример подобной динамики приведен в данной работе: постоянные малые по величине флуктуации трансмембранного потенциала по-разному влияли на активность водителя ритма СУ в

185 зависимости

от

концентрации

наблюдалось

на

границе

АЦХ.

потери

Наибольшее

спонтанной

влияние

активности

под

действием АЦХ. На практике это означает, что, например, при длительной вагусной стимуляции возможно появление аритмии.

Ограничения моделей Представленные в данной работе детальные модели кардиоцитов основаны на формализме Ходжкина-Хаксли, предложенном пятьдесят лет

назад.

Этот

трансмембранных подбирается

формализм токов

подразумевает

гладкими

индивидуально

для

кривыми, каждого

аппроксимацию форма

тока

которых

на

основе

экспериментальных данных. С момента создания модели ХоджкинаХаксли, представления о функционировании мембраны существенно расширились, в частности, стало известно, что мембранные токи проходят через каналы, сложные белковые молекулы со множеством состояний. Согласно современным представлениям, канал может пребывать

в

нескольких

состояниях:

открытом,

закрытом,

инактивированным и др., причем переходы между этими состояниями происходят согласно определённым схемам состояний и константам скоростей перехода. Такие схемы перехода называют кинетическими схемами, или, менее удачно, в западной литературе называют "марковскими цепочками" состояний. Очевидно, что от схемы перехода и констант скоростей зависит проводимость канала, т.е. величина, входящая в модель Ходжкина-Хаксли. Не устарела ли модель Х-Х в связи с современными данными о функционировании каналов? Ответ: нет, не устарела, поскольку изначально уравнения модели строились на подгонке экспериментальных данных, т.е. уравнения

хорошо

описывают

экспериментальные

данные

трансмембранных токов, не претендуя на описание динамики

186 индивидуальных

каналов.

Формально,

классические

уравнения Х-Х можно представить в виде кинетической схемы с определённым набором констант скоростей, как это сделано на Рис. 7.24. Следует также отметить, что полные кинетические схемы известны лишь для некоторых каналов и при определённых условиях, поэтому

требуются

дополнительные

экспериментальные

исследования для включения кинетических схем в модели сложных систем, таких как кардиоцит.

n0

n0

α β 4α β

m0h1 αh β h

m0h0

I=g0n(V-V0) dn/dt=α(1-n)-βn

n1

n1 3αm βm 3αm βm

3α 2β

n2

m1h1 αh βh

m1h0

2α 3β

2αm 2βm 2αm 2βm

n3

α 4β

m2h1 αh β h

m2h0

I=g0n4(V-V0) dn/dt=α(1-n)-βn

n4 αm 3βm αm 3βm

3 m3h1 I=g0m h(V-V0)

αh β h

m3h0

dm/dt=αm(1-m)-βmm dh/dt=αh(1-h)-βhh

Рис. 7.24 Кинетические схемы для трансмембранных токов утечки, калиевого и натриевого в модели Ходжкина-Хаксли.

Всегда ли можно игнорировать кинетическую схему состояний канала при моделировании электрической активности кардиоцитов? Нет, не всегда. Так, например, при некоторых генетических мутациях, изменяется функционирование определённых каналов, например, натриевого (Рис. 7.25), что может приводить к аритмиям типа длинного QT-синдрома [79].

187

Рис. 7.25 Изменение кинетической схемы для натриевого канала в результате генетической мутации, описанной в работе [79].

Очевидно, в подобных специфических ситуациях учёт кинетических схем функционирования каналов необходим. Другой

важной

особенностью

модели

Ходжкина-Хаксли

является то, что мембранные токи аппроксимированы гладкими функциями и, считается, что проводимость канала является функцией и

непрерывно

зависит

от

трансмембранного

потенциала.

Современные экспериментальные данные, полученные на одиночных каналах, показывают, что открытые и закрытые состояния канала стохастически чередуются во времени (Рис. 7.26), т.е. канал скорее можно

описать

стохастическим

марковским

процессом,

чем

регулярной гладкой функцией.

Рис. 7.26 Экспериментальные записи активности калиевого канала при различны трансмембранных потенциалах [319].

188 Однако, модель всё же адекватно описывает мембранные токи, поскольку одновременно в клетке функционирует множество, десятки тысяч каналов, что приводит к усреднению по ансамблю каналов. Таким образом, модель, основанную на формализме ХоджкинаХаксли, следует считать моделью о средних значениях токов в мембране, содержащих большое количество каналов. Если же это предположение нарушается, как это бывает при моделировании токов через небольшое число каналов, тогда следует отказаться от формализма Х-Х и описывать эти токи, например, с помощью стохастических дифференциальных уравнений.

Основные результаты и выводы. 1.

Создана

простая

двухкомпонентная

модель

миокарда,

адекватно

воспроизводящая форму потенциала действия и свойство реституции миокарда. 2.

Показано, что на границе неоднородности, имитирующей инфарктную зону, образуется трёхмерное реентри типа "вихревое кольцо" с ограниченным временем жизни.

3.

Экспериментально

и

теоретически

исследовано

взаимодействие

и

определены траектории взаимодействующих вихрей на больших расстояниях и в случае квадрупольного реентри. 4.

Экспериментально и теоретически показано, что на границе уязвимой зоны единичное раздражение вызывает несколько откликов; предсказаны и экспериментально обнаружены затухающие волны во время переходного процесса.

5.

Впервые создана детальная математическая модель клеток синоатриального узла кролика, включающая: подробную расшифровку основных мембранных токов в клетках СУ, функциональные различия клеток истинных и латентных водителей ритма, изменения в клетках при воздействии АЦХ, изменения внутриклеточных концентраций ионов натрия, калия и кальция, функцию саркоплазматического ретикулума.

189 6.

При моделировании обнаружен и режим

прекращения

спонтанной

исследован активности

без

ранее

неизвестный

предварительного

замедления ритма и немонотонная зависимость порога возбуждения от концентрации АЦХ. 7.

Показано, что преавтоматическая пауза в синоатриальном узле при отсутствии АЦХ составляет лишь 0.4 с, а в присутствии АЦХ может длиться десятки секунд. Выявлен механизм формирования паузы, основанный на сдвиге ионного гомеостаза под действием АЦХ и высокочастотной стимуляции.

8.

Показано,

что

флуктуации

мембранного

потенциала

возрастают

с

увеличением концентрации АЦХ и наиболее заметны на границе потери спонтанной активности. Работа поддержана грантом РФФИ № 10-04-01311.

190 Приложение

Значения параметров модели клетки СУ (Глава 6). Модель клетки истинного водителя Модель клетки латентного водителя ритма

ритма

Коэффи циент лат/ист*

Cm

Абсолютное

Нормированное

Абсолютное

Нормированное

значение

значение

значение

значение

20 pF

65 pF

d NaCa

0.0001 0.0001

E Ca,L 46.4 mV

46.4 mV

45 mV

45 mV

E Ca,T 1.2 × 10 −6 µS

1.85 × 10 −8 µS/ pF

0S

0 µS/pF

g Ca,L

6.59 × 10 −2 µS

1.0 × 10 −3 µS/pF

0.58 × 10 −2 µS

2.90 × 10 −4 µS/pF

3.45

g Ca,T

1.39 × 10 −2 µS

2.14 × 10 −4 µS/pF

0.43 × 10 −2 µS

2.14 × 10 −4 µS/pF

1

g to

36.49 × 10 −3 µS

5.6 × 10 −4 µS/pF

4.91 × 10 −3 µS

2.5 × 10 −4 µS/pF

2.33

g sus

1.14 × 10 −2 µS

1.8 × 10 −4 µS/pF

6.65 × 10 −5 µS

3.3 × 10 −6 µS/pF

54.55

1.6 × 10 −2 µS

2.46 × 10 −4 µS/pF

7.97 × 10 −4 µS

3.99 × 10 −5 µS/pF

6.17

1.04 × 10 −2 µS

1.6 × 10 −4 µS/pF

5.18 × 10 −4 µS

2.59 × 10 −5 µS/pF

6.17

0.69 × 10 −2 µS

1.05 × 10 −4 µS/pF

0.0548 × 10 −2 µS

0.27 × 10 −4 µS/pF

3.93

0.69 × 10 −2 µS

1.05 × 10 −4 µS/pF

0.0548 × 10 −2 µS

0.27 × 10 −4 µS/pF

3.93

g b, Na

1.89 × 10 −4 µS

2.9 × 10 −6 µS/pF

5.8 × 10 −5 µS

2.91 × 10 −6 µS/pF

1

g b,Ca

4.3 × 10 −5 µS

6.61 × 10 −7 µS/pF

1.32 × 10 −5 µS

6.62 × 10 −7 µS/pF

1

∞

g Na

g K, r g K,s g f, Na

g f, K

191

g b,K ip

k NaCa

8.19 × 10 −5 µS

1.3 × 10 −6 µS/pF

2.52 × 10 −5 µS

1.3 × 10 −6 µS/pF

1

0.16 nA

2.46 × 10 −3 nA

4.78 × 10 −2 nA

2.46 × 10 −3 nA

1

0.88 × 10 −5 nA

1.36 × 10 −7 nA

0.27 × 10 −5 nA

1.36 × 10 −7 nA

1

[Na ]

140 mM

140 mM

[Na ]

8 mM

8 mM

+

0

+

i

[Ca ]

2 mM

2 mM

[Ca ]

0.0001 mM

0.0001 mM

[K ]

5.4 mM

5.4 mM

[K ]

140 mM

140 mM

K m, K

0.621

0.621

K m, Na

5.64

5.64

γ NaCa

0 .5

0 .5

bACh

0.56

0.14

smax

-7.5 mV

-7.5 mV

0.69

0.69

2+

2+

+

0

+

i

kp,Ca

nf

*Коэффициент «лат/ист» есть отношение величин нормированных значений в моделях латентных и истинных водителей ритма СУ.

192 Список

значений

параметров,

относящихся к внутриклеточной

динамике.

k bCQ , ms -1

0.445

k bCM , ms-1

0.542

k bTMM , ms-1

0.751

k bTMC , ms -1

0.00751

k bTC , ms-1

0.446

k fCQ , mM -1 ⋅ ms -1

0.534

k fCM , mM -1 ⋅ ms-1

227.7

k fTMC , mM ⋅ ms-1

227.7

k fTMM , mM ⋅ ms-1

2.277

k fTC , mM ⋅ ms-1

88.8

[CQ]tot , mM

10

[CM]tot , mM

0.045

[TMC]tot , mM

0.062

[TC]tot , mM

0.031

Vsub , pl

0.035

Vup , pl

0.0406

Vrel , pl

0.0042

Vi , pl

1.575

[Mg2]i , mM

2.5

K up , mM

0.0006

Prel , ms -1

5.0

Pup , mM/ms

0.005

K rel , mM

0.0012

193 τ tr , ms

60

τ dif,Ca , ms

0.04

194

Список цитируемой литературы. 1. Akar, F. G., Yan, G., Antzelevitch, C. & Rosenbaum, D. S. Unique Topographical Distribution of M Cells Underlies Reentrant Mechanism of Torsade de Pointes in the Long-QT Syndrome. Circulation 105: 1247-1253 (2002). 2. Aliev, R. R. & Panfilov, A. V. Modeling of Heart Excitation Patterns caused by a Local Inhomogeneity. J. theor. Biol. 181: 33-40 (1996a). 3. Aliev, R. R. and Biktashev, V. N. Dynamics of the Oscillation Phase Distribution in the BZ Reaction. J.Phys.Chem. 98(38), 9676 - 9681 (1994). 4. Aliev, R. R. and Panfilov, A. V. A simple two-variable model of cardiac excitation. Chaos, Solitons and Fractals, 7(3) 293-301 (1996). 5. Aliev, R. R. and Panfilov, A. V. Multiple responses at the boundaries of the vulnerable window in the Belousov-Zhabotinsky reaction. Phys. Rev. E 52(3), 2287-2293 (1995). 6. Aliev, R. R. and Rovinsky, A. B., Spiral waves in the homogeneous and inhomogeneous Belousov-Zhabotinsky reaction. J.Phys.Chem. 96, 732-736 (1992). 7. Aliev, R. R. Heart Tissue Simulations by Means of Chemical Excitable Media. Chaos, Solitons and Fractals 5(3,4), 567-574 (1995). 8. Aliev, R. R. Oscillation Phase Dynamics in the Belousov- Zhabotinsky reaction. Implementation to Image Processing. J.Phys.Chem. 98(15), 3999-4002 (1994). 9. Aliev, R. R. Phase-rotors in an active medium. Phys. of Alive, 4(1), 27-31 (1996). 10. Aliev, R. R., Amemiya, T. and Yamaguchi, T. Bifurcation of Vortices in the Light-Sensitive Oscillatory BZ Medium. Chem. Phys. Lett., 257(5,6), 552-556 (1996). 11. Aliev, R. R., Davydov, V. A., Kusumi, T. and Yamaguchi, T. Long Range Interaction of Vortices in a Chemical Active Medium. Netsu Sokutei 24(4), 194-198 (1997). 12. Aliev, R. R., Davydov, V. A., Ohmori, T., Nakaiwa, M. and Yamaguchi, T. Change of the shape of a chemical vortex due to a local disturbance. J. Phys. Chem. 101, 1313-1316 (1997). 13. Allen, D.G., Kurihara, S., 1982. The effects of muscle length on intracellular calcium transients in mammalian cardiac muscle. J. Physiol. 327, 79-94. 14. Allessie, M. A. F. I. M. Bonke, and F. J. G. Schopman, Circus movement in rabbit atrial muscle as a mechanism of tachycardia, Circ. Res., 33 (1973), pp. 54-62. 15. Allessie, M. A., Bonke, F. I. M. & Schopman, F. J. G. Circus movement in rabbit atrial muscle as a mechanism of tachycardia. Circ. Res. 33: 54-62 (1973).

195 16. Antzelevitch, C. & Fish, J. Electrical

heterogeneity within the ventricular wall.

Basic Res. Cardiol. 96: 517-527 (2001). 17. Antzelevitch, C., Shimizu, W., Yan, G.X., Sicouri, S., Weissenburger, J., Nesterenko, V., Burashnikov, A., Di Diego, J., 18. Antzelevitch, C., Yan, G. X., Shimizu, W. & A., Burashnikov. Electrical heterogeneity, the ECG, and cardiac arrhythmias. In Cardiac electrophysiology. From cell to bedside, 3rd edition, edited by D. P. Zipes & J. Jalife, pp. 222-238. Saunders, Philadelphia (1999). 19. Balthazar van der Pol and J van der Mark The Heartbeat considered as a Relaxation oscillation, and an Electrical Model of the Heart, Phil. Mag. Suppl. #6 pp 763—775 (1928). 20. Banville, I. & Gray, R. A. Effect of action potential duration and conduction velocity restitution and their spatial dispersion on alternans and the stability of arrhythmias. J. Cardiovasc. Electrophysiol. 13: 1141-1149 (2002). 21. Bar, M. & Or-Guil, M. Alternative scenarios of spiral breakup in a reaction-diffusion model with excitable and oscillatory dynamics. Phys. Rev. Lett. 82: 1160-1163 (1999). 22. Bar, M., Bangia, A. K., Kevrekidis, I. G., Haas, G., Rotermund, H. H. & Ertl, G. Compos ite catalyst surfaces: Effect of inert and active heterogeneities on pattern formation. J. Phys. Chem. 100: 19106-19117 (1996). 23. Bar, M., Meron, E. & Utzny, C. Pattern formation on anisotropic and heterogeneous cata lytic surfaces. Chaos 12: 204-214 (2002). 24. Baruscotti M, DiFrancesco D, Robinson RB. A TTX-sensitive inward sodium current contributes to spontaneous activity in newborn rabbit sino-atrial node cells. J Physiol 1996;492:21–30. 25. Bassani, J.W.M., Bassani, R.A., Bers, D.M., 1994. Relaxation in rabbit and rat cardiac cells: species-dependent differences in cellular mechanisms. J. Physiol. 476, 279-293. 26. Bassingthwaighte, J.B., Fry, C.H., McGuigan, J.A.S., 1976. Relationship between internal calcium and outward current in mammalian ventricular muscle; a mechanism for the control of the action potential duration j. Physiol. 262, 15-37. 27. Baxter, W. T., Mironov, S. F., Zaitsev, A. V., Jalife, J. & Pertsov, A. M. Visualizing Excitation Waves inside Cardiac Muscle Using Transillumination. Biophys. J. 80: 516-530 (2001). 28. Beeler, G. W. & Reuter, H. Reconstruction of the action potential of ventricular myocardial fibers. J. Physiol. (Lond.) 268: 177-210 (1977). 29. Behrens, S., Li, C. & Franz, M. R. Effects of myocardial ischemia on ventricular fibrillation inducibility and defibrillation efficiency. J. Am. Coll. Cardiol. 29: 817-824 (1997). 30. Belik, M.E., Michailova, A.P., Puglisi, J.L., Bers, D.M., McCulloch, A.D., 2003. Computational modeling of action potential heterogeneity in rabbit ventricular tissue. Biophys. J. 84 (2), 407a.

196 31. Bendall, J. K., Heymes, C., Ratajczak, P. &

Samuel, J. L. Extracellular matrix and

cardiac remodeling. Arch. Mal. Coeur 95: 1226-1229 (2002). 32. Benitah, J., Bailly, P., D'Agrosa, M., Da Ponte, J., Delgado, C. & Lorente, P. Slow inward current in single cells isolated from adult human ventricles. Pflugers Arch. 421: 176-187 (1992). 33. Berenfeld, O. & Jalife, J. Purkinje-Muscle Reentry as a Mechanism of Polymorphic Ventricular Arrhythmias in a 3-Dimensional Model of the Ventricles. Circ. Res. 82: 1063-1077 (1998). 34. Berenfeld, O. & Pertsov, A. M. Dynamics of intramural scroll waves in a 3-dimensional continuous myocardium with rotational anisotropy. J. theor. Biol 199: 383-394 (1999). 35. Berenfeld, O., Wellner, M., Jalife, J. & Pertsov, A. M. Shaping of a scroll wave filament by cardiac fibers. Phys. Rev. E 63: 061901 (2001). 36. Berne, R. M. & Levy, M. N. Physiology, chapter 24: The Cardiac Pump. Mosby Year Book (1993). 37. Bernstein, J. (1902): Untersuchungen zur Thermodynamik der bioelektrischen Strme. Pflgers Archiv 92: 521-562. 38. Bernstein, J. (1912): Elektrobiologie. Die Lehre von den elektrischen Vorgngen im Organismus auf moderner Grundlage dargestellt. Braunschweig: Vieweg & Sohn. 39. Bernus, O., Verschelde, H. & Panfilov, A. V. Reentry in an anatomical model of the human ventricles. Int. J. Bif. Chaos 13: 3693-3702 (2003). 40.

Bernus, O., Wilders, R., Zemlin, C. W., Verschelde, H. & Panfilov, A. V. A computation-

ally efficient electrophysiological model of human ventricular cells. Am. J. Physiol. Heart Circ. Physiol. 282: H2296-H2308 (2002). 41. Bers, D. M. Cardiac excitation-contraction coupling. Nature 415: 198-205 (2002). 42. Bers, D. M., Pogwizd, S. M. & Schlotthauer, K. Upregulated Na/Ca exchange is involved in both contractile dysfunction and arrhythmogenesis in heart failure. Basic Res. Cardiol. 97: S36S42 (2002). 43. Bers, D.M., 2001. Excitation-Contraction Coupling and Cardiac Contractile Force, 2nd Edition. Kluwer Academic Press, Dordrecht, Boston, London. 44. Bers, D.M., Peskoff, A., 1991. Diffusion around a cardiac calcium channel and the role of surface bound calcium. Biophys. J. 59, 703-721. 45. Beuckelmann, D. J., Nabauer, M. & Erdmann, E. Characteristics of Calcium-Current in Isolated Human Ventricular Myocytes from Patients with Terminal Heart Failure. J. Mol. Cell. Cardiol. 23: 929-937 (1991). 46. Beuckelmann, D. J., Nabauer, M. & Erdmann, E. Intracellular calcium handling in isolated ventricular myocytes from patients with terminal heart failure. Circulation 94: 992- 1002 (1992).

197 47. Beuckelmann, D.J., Erdmann, E., 1992.

Ca2+ currents and intracellular [Ca2+ ]i

transients in single ventricular myocytes isolated from terminally failing human myocardium. Basic Res. Cardiol. 87, I235-I243. 48. Beuckelmann, D.J., Nabauer, M., Erdmann, E., 1993. Alterations of K+ currents in isolated human ventricular myocytes from patients with terminal heart failure. Circ. Res. 73, 379-385. 49. Biktashev, V. N., Holden, A. V. & Zhang, H. Tension of organizing filaments of scroll waves. Phil. Trans. R. Soc. Lond. A 347: 611-630 (1994). 50. Bowditch, H. P. Über die Eigenthümlichkeiten der Reizbarkeit, welche die Muskelfasern des Herzens zeigen. Berichte über die Verhandlungen der Königlich-Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig: Mathematisch-Physische Klasse 23: 652-689 (1871). 51. Boyett MR, Honjo H, Yamamoto M, Niwa R, and Kodama I. Regional differences in the effects of 4-aminopyridine within the sinoatrial node. Am J Physiol Heart Circ Physiol 275: H1158– H1168, 1998. 52. Boyett MR, Kodama I, Honjo H, Arai A, Suzuki R, Toyama J: Ionic basis of the chronotropic effect of acetylcholine on the rabbit sinoatrial node. Cardiovasc Res 1995;29:867-878. 53. Boyett, M. R. & Fedida, D. A Computer Simulation of the Effect of Heart Rate on Ion Concentrations in the Heart. J. theor. Biol. 132: 15-27 (1988). 54. Bristow, D.G., Clark, J.W., 1982. A mathematical model of primary pacemaking cell in SA node of the heart. Am. J. Physiol. 243, H207-H218. 55. Brown AM, Lee KS, Powell T. Sodium current in single rat heart muscle cells. J Physiol 1981;318:479–500. 56. Bub, G. & Shrier, A. Propagation through heterogeneous substrates in simple excitable media models. Chaos 12: 747-753 (2002). 57. Bub, G., Shrier, A. & Glass, L. Spiral Wave Generation in Heterogeneous Excitable Media. Phys. Rev. Lett. 88: 058101-1-058101-4 (2002). 58. Burbe G.H., Calaresu F.R. An Experimental analysis of the tachycardia that follows vagal stimulation. J. Physiol. 226, 491-510 (1972). 59. Burton, F. L. & Cobbe, S. M. Dispersion of ventricular repolarization and refractory period. Cardiovasc. Res. 50: 10-23 (2001). 60. Byars, J. L., Smith, W. M., Ideker, R. E. & Fast, V. G. Development of an Optrode for Intramural Multisite Optical Recordings of Vm in the Heart. J. Cardiovasc. Electrophysiol. 14: 1196-1202 (2003). 61. Cabo, C., Boyden, P.A., 2003. Electrical remodeling of the epicardial border zone in the canine infarcted heart: a computational analysis. Am. J. Physiol. 284, H372-H384.

198 62. Cabo, C., Pertsov, A. M., Baxter, W. T.,

Davidenko, J. M., Gray, R. A. & Jalife, J.

Wavefront curvature as a cause of slow conduction and block in isolated cardiac muscle. Circ. Res. 75: 1014-1028 (1994). 63. Cabo, C., Pertsov, A. M., Davidenko, J. M., Baxter, W. T., Gray, R. A. & Jalife, J. Vortex shedding as a precursor of turbulent electrical activity in cardiac muscle. Biophys. J. 70: 11051111 (1996). 64. Cannell MB and Allen DG. Model of calcium movements during activation in the sarcomere of frog skeletal muscle. Biophys J 45: 913–925, 1984. 65. Cao, J., Qu, Z., Kim, Y., Wu, T., Garfinkel, A., Weiss, J. N., Karagueuzian, H. S. & Chen, P. Spatiotemporal Heterogeneity in the Induction of Ventricular Fibrillation by Rapid Pacing, Importance of Cardiac Restitution Properties. Circ. Res. 84: 1318-1331 (1999). 66. Chandra, R., Chauhan, V. S., Starmer, C. F. & Grant, A. O. -adrenergic action on wildtype and KPQ mutant human cardiac N a+ channels: shift in gating but no change in C a2+ : N a+ selectivity. Cardiovasc. Res. 42: 490-502 (1999). 67. Chen, F.F-T., Vaughan-Jones, R.D., Clarke, K., Noble, D., 1998. Modelling myocardial ischaemia and reperfusion. Prog. Biophys. Mol. Biol. 69, 515-538. 68. Chen, J., Mandapati, R., Berenfeld, O., Skanes, A. C. & Jalife, J. High-Frequency Periodic Sources Underlie Ventricular Fibrillation in the Isolated Rabbit Heart. Circ. Res. 86: 86- 89 (2000). 69. Chen, P. S., Wolf, P., Dixon, E. G., Danieley, N. D., Frazier, D. W., Smith, W. M. & Ideker, R. E. Mechanism of ventricular vulnerability to single premature stimuli in open-chest dogs. Circ. Res. 62: 1191-1209 (1988). 70. Chen, P., Chen, L. S., Cao, J., Sharifi, B., Karagueuzian, H. S. & Fishbein, M. C. Sympathetic nerve sprouting, electrical remodeling and the mechanisms of sudden cardiac death. Cardiovasc. Res. 50: 409-416 (2001). 71. Chen, P., Garfinkel, A., Weiss, J. N. & Karagueuzian, H. S. Computerized mapping of fibrillation in normal ventricular myocardium. Chaos 8 (1998). 72. Cheng, H., Fill, M., Valdivia, H., Lederer, W.J., 1995. Models of Ca release channel adaptation. Science 267, 2009-2010. 73. Cherry, E. M. & Fenton, F. H. Suppression of alternans and conduction blocks despite steep APD restitution: Electrotonic, memory and conduction velocity effects. Am. J. Physiol. Heart Circ. Physiol. 286: H2332-H2341 (2004). 74. Choi, B., Burton, F. & Salama, G. Cytosolic C a2+ triggers early afterdepolarizations and torsade de pointes in rabbit hearts with type 2 long QT syndrome. J. Physiol. 543: 615- 631 (2002a).

199 75. Choi, B., Nho, W., Liu, T. & Salama, G.

Life span of ventricular fibrillation

frequencies. Circ. Res. 91: 339-345 (2002b). 76. Chudin, E., Goldhaber, J., Garfinkel, A. Weiss, J. & Kogan, B. Intracellular C a2+ Dynamics and the Stability of Ventricular Tachycardia. Biophys. J. 77: 2930-2941 (1999). 77. Chudin, E., Goldhaber, J., Garfinkel, A., Weiss, J., Kogan, B., 1999. Intracellular Ca dynamics and the stability of ventricular tachycardia. Biophys. J. 77, 2930-2941. 78. Chung, M. K., Pogwizd, S. M., Miller, D. P. & Cain, M. E. Three-dimensional mapping of the initation of nonsustained ventricular tachycardia in the human heart. Circulation 95: 2517-2527 (1997). 79. Clancy CE, Rudy Y. Linking a genetic defect to its cellular phenotype in a cardiac arrhythmia. Nature. 1999 Aug 5;400(6744):566-9. 80. Clancy, C. E. & Rudy, Y. N a+ Channel Mutation That Causes Both Brugada and Long-QT Syndrome Phenotypes, A Simulation Study of Mechanism. Circulation 105: 1208-1213 (2002). 81. Clayton, R. H. & Holden, A. V. Effect of regional differences in cardiac cellular electrophysiology on the stability of ventricular arrhythmias: a computational study. Phys. Med. Biol. 48: 95-111 (2003). 82. Clayton, R. H. & Holden, A. V. Filament Behaviour in a Computational Model of Ventricular Fibrillation in the Canine Heart. IEEE Trans. Biom. Eng. 51: 28-34 (2004). 83. Clayton, R. H., Murray, A. & Campbell, R. W. Analysis of the body surface ECG measured in independent leads during ventricular fibrillation in humans. Pacing Clin. Electrophysiol. 18: 1876-1881 (1995a). 84. Clayton, R. H., Murray, A. & Campbell, R. W. Objective features of the surface electrocardiogram during ventricular tachyarrhythmias. Eur. Heart J. 16: 1115-1119 (1995b). 85. Colatsky TJ. Voltage clamp measurements of sodium channel properties in rabbit cardiac Purkinje fibres. J Physiol London 1980;305:215–34. 86. Colli-Franzone, P., Guerri, L. & Taccardi, B. Modeling ventricular excitation: axial and orthotropic anisotropy effects on wavefronts and potential. Math. Biosci. 188: 191-205 (2004). 87. Compton, S. Ventricular Tachycardia [online] <www.emedicine.com/med/topic2367.html> (2002). 88. Cooper P, Lei M, Cheng L-X, Kohl P. Positive chronotropic response to stretch in spontaneously beating rabbit sino-atrial node pacemaker cells. J Appl Physiol 2000;89:2099– 104. 89. Cortassa, S., Aon, M.A., Marban, E., Winslow, R.L., O'Rourke, B., 2003. An integrated model of cardiac mitochondrial energy metabolism and calcium dynamics. Biophys. J. 84, 2734-2755.

200 90. Courtemanche M, Ramirez RJ, and Nattel

S. Ionic mechanisms underlying human

atrial action potential properties: insights from a mathematical model. Am J Physiol Heart Circ Physiol 275: H301–H321, 1998. 91. Courtemanche, M. & Winfree, A. T. Re-entrant rotating waves in a Beeler-Reuter based model of two-dimensional cardiac activity. Int. J. Bif. Chaos 1: 431-444 (1991). 92. Courtemanche, M., Glass, L. & Keener, J. P. Instabilities of a propagating pulse in a ring of excitable media. Phys. Rev. Lett. 70: 2182-2185 (1993). 93. Courtemanche, M., Keener, J. P. & Glass, L. A delay equation representation of pulse circulation on a ring of excitable media. SIAM J. Appl. Math. 56: 119-142 (1996). 94. Courtemanche, M., Ramirez, R. J. & Nattel, S. Ionic mechanisms underlying human atrial action potential properties: insights from a mathematical model. Am. J. Physiol. Heart Circ. Physiol. 275: H301-H321 (1998). 95. Csordas, G., Thomas, A. P. & Hajnoczky, G. Calcium Signal Transmission between Ryanodine Receptors and Mitochondria in Cardiac Muscle. Trends Cardiovasc. Med. 11: 269-275 (2001). 96. Davidenko, J. M., Kent, P. F., Chialvo, D. R., Michaels, D. C. & Jalife, J. Sustained vortex-like waves in normal isolated ventricular muscle. Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 87:8785-8789 (1990). 97. Davidenko, J. M., Pertsov, A. M., Salomonsz, R., Baxter, W. & Jalife, J. Stationary and drifting spiral waves of excitation in isolated cardiac muscle. Nature 355: 349-351 (1992). 98. De Bakker, J. M. T., Van Capelle, F. J. L & Janse, M. J. Reentry as a cause of ventricular tachycardia in patients with chronic ischemic heart disease: electrophysiologic and anatomic correlation. Circulation 68: 518-533 (1988). 99. de Tombe, P.P., Solaro, R.J., 2000. Integration of cardiac myofilament activity and regulation with pathways signaling hypertrophy and failure. Ann. Biomed. Eng. 28, 991-1001. 100.

de Tombe, P.P., ter Keurs, H.J., 1991. Sarcomere dynamics in cat cardiac trabeculae.

Circulation Res. 68, 588-596. 101.

Delmar, M. & Jalife, J. (1990). Wenckeback periodicity: from deductive

electrocardiographic analysis to ionic mechanism. In Cardiac electrophysiology . (Zipes, D. P. & Jalife, J., eds) From Cell to Beside . Philadelphia: W. B. Saunders Co. 102.

Demir SS, Clark JW, Murphey CR, and Giles WR. A mathematical model of a rabbit

sinoatrial node cell. Am J Physiol Cell Physiol 266: C832 - C852, 1994. 103.

Despa, S., Islam, M.A., Pogwizd, S.M., Bers, D.M., 2002. Intracellular [Na+ ] and Na+

pump rate in rat and rabbit ventricular myocytes. J. Physiol. 539.1, 133-143.

201 104.

Di Diego, J. M., Cordeiro, J. M.,

Goodrow, R. J., Fish, J. M., Zygmunt, A.

C., Perez, G. J., Scornik, F. S. & Antzelevitch, C. Ionic and Cellular Basis for the Predominance of the Brugada Syndrome Phenotype in Males. Circulation 106: 2004-2011 (2002). 105.

Diaz, M. E., O'Neill, S. C. & Eisner, D. A. Sarcoplasmic reticulum calcium content

fluctuation is the key to cardiac alternans. Circ. Res. 94: 650-656 (2004). 106.

DiFrancesco, D. & Noble, D. A model of cardiac electrical activity incorporating ionic

pumps and concentration changes. Phil. Trans. R. Soc. Lond. B 307: 353-398 (1985). 107.

DiFrancesco, D. Current If and the neuronal modulation of heart rate. In: Cardiac

Electrophysiology, edited by D. Zipes and J. Jalife. Philadelphia, PA: Saunders, 1990, chapt. 4, p.28-35. 108.

Dillon S., Morad M.A New Laser Scanning System for Measuring Action Potential

Propagation in the Heart. Science 1981; 214 (4519): 453-6. 109.

Dobrzynski H et al., Circulation 2005; 111:846-854.

110.

Dokos S, Celler B, Lovell N. Ion currents underlying sinoatrial node pacemaker activity: a

new single cell mathematical model.J Theor Biol 1996;181:245–72. 111.

Drouin, E., Charpentier, F., Gauthier, C., Laurent, K. & Le Marec, H. Electrophysiologic

characteristics of cells spanning the left ventricular wall of human heart: evidence for the presence of M cells. J. Am. Coll. Cardiol. 26: 185-192 (1995). 112.

Drouin, E., Lande, G. & Charpentier, F. Amiodarone Reduces Transmural Heterogeneity of

Repolarization in the Human Heart. J. Am. Coll. Cardiol. 32: 1063-1067 (1998). 113.

Durrer, D., Van Dam, R. T., Freud, G. E., Janse, M. J., Meijler, F. L. & Arzbaecher, R. C.

Total excitation of the isolated human heart. Circulation 41: 899-912 (1970). 114.

Earm, Y.E., Noble, D., 1990. A model of the single atrial cell: relation between calcium

current and calcium release. Proc. Roy. Soc. London B 240, 83-96. 115.

Ebihara, L. & Johnson, E. A. Fast Sodium Current in Cardiac Muscle, A Quantitative

Description. Biophys. J. 32: 779-790 (1980). 116.

Ebihara, L., Shigeto, N., Lieberman, M. & Johnson, E. A. The Initial Inward Current in

Spherical Clusters of Chick Embryonic Heart Cells. J. Gen. Physiol. 75: 437-456 (1980). 117.

Eckert, R., Randall, D. & Augustine, G. Animal Physiology, Mechanisms and Adaptations,

chapter 13: Circulation of the blood. W. H. Freeman and Company (1988). 118.

Efimov I.R., Huang D.T., Rendt J.M., Salama G. Optical Mapping of Repolarization and

Refractoriness From Intact Hearts. Circulation 1994; 90 (3): 1469-80. 119.

Efimov I.R., Sidorov V.Y. Optical Mapping of the Cardiac Electrical Activity. Kardiologiya

2000; 40 (8): 38-52.

202 120.

Efimov, I. R., Krinsky, V. I. & Jalife,

J. Dynamics of Rotating Vortices in the

Beeler-Reuter Model of Cardiac Tissue. Chaos, Solitions and Fractals 5: 513-526 (1995). 121.

Efimov, I. R., Sidorov, V. Y., Cheng, Y. & Wollenzier, B. Evidence of 3D scroll waves

with ribbon-shaped filament as a mechanism of ventricular tachycardia in the isolated rabbit heart. J. Cardiovasc. Electrophysiol. 10: 1452-1462 (1999). 122.

Elharrar V. and B. Surawicz. Cycle length effect on restitution of action potential duration

in dog cardiac fibers. Am. J. Physiol., 244:H782- H792, 1983. 123.

El-Sherif, N. R., Hope, R., Scherlag, B. J. & Lazzara, R. (1977). Re-entrant ventricular

arrhythmias in the late myocardial infarction period. 2. patterns of initiation and termination of re-entry. Circ . 55, 702-718. 124.

El-Sherif, N. R., Scherlag, B. J. & Lazzara, R. (1975). Electrode catheter recordings during

malignant ventricular arrhythmia following experimental acute myocardial ischemia. Evidence for re-entry due to conduction delay and block in ischemic myocardium. Circulation , 51, 10031014. 125.

El-Sherif, N., Chinushi, M., Caref, E. B. & Restivo, M. Electrophysiological Mechanism of

the Characteristic Electrocardiographic Morphology of Torsade de Pointes Tachyarrhythmias in the Long-QT Syndrome. Circulation 96: 4392-4399 (1997). 126.

Endresen, L. P. & Skarland, N. Limit cycle oscillations in pacemaker cells. IEEE Trans.

Biomed. Eng. 47: 1134-1137 (2000). 127.

Endresen, L. P., Hall, K., Hoye, J. S. & Myrheim, J. A theory for the membrane potential of

living cells. Eur. Biophys. J. 29: 90-103 (2000). 128.

Fabiato, A., Fabiato, F., 1975. Contractions induced by a calcium-triggered release of

calcium from the sarcoplasmic reticulum of single skinned cardiac cells. J. Physiol. 249, 469495. 129.

Fast, V. G. & Kleber, A. G. Role of wavefront curvature in propagation of cardiac impulse.

Cardiovasc. Res. 33: 258-271 (1997). 130.

Fast, V. G. & Pertsov, A. M. Drift of a vortex in the myocardium. Biophysics 35: 489-494

(1990). 131.

Fast, V. G., Efimov, I. R. & Krinsky, V. I. Transition from circular to linear cores in

excitable media. Phys. Lett. A 151: 157-161 (1990). 132.

Fenton, F. & Karma, A. Vortex dynamics in three-dimensional continuous myocardium

with fiber rotation: Filament instability and fibrillation. Chaos 8: 20-47 (1998). 133.

Fenton, F., Evans, S. J. & Hastings, H. M. Memory in an excitable medium: A mechanism

for spiral wave breakup in the low-excitability limit. Phys. Rev. Lett. 83: 3964-3967 (1999).

203 134.

Fermini B and Nathan RD. Removal of

sialic acid alters both T- and L-type

calcium currents in cardiac myocytes. Am J Physiol Heart Circ Physiol 260: H735 - H743, 1991. 135.

FitzHugh, R. Impulses and physiological states in theoretical models of nerve membrane,

Biophysical J, 1, 445-466 (1961). 136.

Ford, L.E., 1991. Mechanical manifestations of activation in cardiac muscle. Circ. Res. 68,

621-637. 137.

Franzone, P. C., Guerri, L. & Tentoni, S. Mathematical modeling of the excitation process

in myocardial tissue: influence of fiber rotation on wavefront propagation and potential field. Math. Biosci. 101: 155-235 (1990). 138.

Frazier, D. W., Wolf, P. D., Wharton, J. M., Tang, A. S. L., Smith, W. M. & Ideker, R. E.

Stimulus-induced critical point. Mechanism for electrical initiation of reentry in normal canine myocardium. J. Clin. Invest. 83: 1039-1052 (1989). 139.

Garfinkel, A. & Qu, Z. Nonlinear dynamics of excitation and propagation in cardiac tissue.

In Cardiac electrophysiology. From cell to bedside, 3rd edition, edited by D. P. Zipes & J. Jalife, pp. 315-320. Saunders, Philadelphia (1999). 140.

Garfinkel, A., Kim, Y. H., Voroshilovsky, O., Qu, Z., Kil, J. R., Lee, M. H., Karagueuzian,

H. S., Weiss, J. N. & Chen, P. S. Preventing ventricular fibrillation by flattening cardiac restitution. Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 97: 6061-6066 (2000). 141.

Gerisch, G. Standienspezifische aggregationsmuster bei Dictyostelium discoideum.

Wilhelm Roux Arch. Entwick. Org. 156: 127-144 (1965). 142.

Gettes, L. S. & Reuter, H. Slow recovery from inactivation of inward currents in

mammalian myocardial fibres. J. Physiol. 240: 703-724 (1974). 143.

Gintant, G. A. Characterization and functional consequences of delayed rectifier current

transient in ventricular repolarization. Am. J. Physiol. Heart Circ. Physiol. 278: H806- H817 (2000). 144.

Girouard, S. D., Pastore, J. M., Laurita, K. R., Gregory, K. W. & Rosenbaum, D. S. Optical

Mapping in a New Guinea Pig Model of Ventricular Tachycardia Reveals Mechanisms for Multiple Wavelengths in a Single Reentrant Circuit. Circulation 93: 603-613 (1996). 145.

Gopalakrishnan, M. & Malkin, R. A. Two-dimensional Analysis of Ventricular Fibrillation

in the Guinea Pig. J. Electrocardiol. 36: 147-153 (2003). 146.

Gorelova, N. A. & Bures, J. J. Spiral waves of spreading depression in the isolated chicken

retina. J. Neurobiol. 14: 353-363 (1983). 147.

Goryachev A, Kapral R: Spiral waves in chaotic systems. Phys Rev Lett 1996; 76: 1619-

1622.

204 148.

Gourdie, R. G., Harris, B. S., Bond, J.,

Justus, C., Hewett, K. W., O'Brien, T. X.,

Thompson, R. P. & Sedmera, D. Development of the cardiac pacemaking and conduction system. Birth Defects Research 69: 46-57 (2003). 149.

Grant, A. O., Carboni, M. P., Neplioueva, V., Starmer, C. F., Memmi, M., Napolitano, C. &

Priori, S. Long QT syndrome, Brugada syndrome, and conduction system disease are linked to a single sodium channel mutation. J. Clin. Invest. 110: 1201-1209 (2002). 150.

Grantham, C. J. & Cannell, M. B. C a2+ Influx During the Cardiac Action Potential in

Guinea Pig Ventricular Myocytes. Circ. Res. 79: 194-200 (1996). 151.

Gray RA, Jalife J, Panfilov A, Baxter WT, Cabo C, Davidenko JM, Pertsov AM:

Nonstationary vortexlike reentrant activity as a mechanism of polymorphic ventricular tachycardia in the isolated rabbit heart. Circulation 1995; 91: 2454-2469. 152.

Gray, R. A. & Jalife, J. Ventricular fibrillation and atrial fibrillation are two different beasts.

Chaos 8: 65-78 (1998). 153.

Gray, R. A., Jalife, J., Panfilov, A. V., Baxter, W. T., Cabo, C., Davidenko, J. M. & Pertsov,

A. M. Mechanisms of cardiac fibrillation. Science 270: 1222-1223 (1995b). 154.

Gray, R. A., Pertsov, A. M. & Jalife, J. Spatial and temporal organization during cardiac

fibrillation. Nature 392: 75-78 (1998). 155.

Greenstein, J. L. & Winslow, R. L. An Integrative Model of the Cardiac Ventricular

Myocyte Incorporating Local Control of C a2+ Release. Biophys. J. 83: 2918-2945 (2002). 156.

Greenstein, J. L., Wu, R., Po, S., Tomaselli, G. F. & Winslow, R. L. Role of the

CalciumIndependent Transient Outward Current Ito1 in Shaping Action Potential Morphology and Duration. Circ. Res. 87: 1026-1033 (2000). 157.

Grindrod, P. Patterns and waves: The theory and application of reaction-diffusion equations.

Claredon Press, Oxford (1991). 158.

Guatimosim, S., Dilly, K., Santana, L. F., Jafri, M. S., Sobie, E. A. & Lederer, W. J. Local

C a2+ Signalling and EC Coupling in Heart: C a2+ Sparks and the Regulation of the [C a2+ ]i Transient. J. Mol. Cell. Cardiol. 34: 941-950 (2002). 159.

Guevara, M.R., Ward, A., Shrier, A. & Glass, L. Electrical alternans and period doubling

bifurcations. IEEE Comp. Cardiol. 562: 167-170 (1984). 160.

Hagiwara N, Irisawa H, and Kameyama M. Contribution of two types of calcium currents to

the pacemaker potentials of rabbit sino-atrial node cells. J Physiol (Lond) 395: 233 - 253, 1988. 161.

Hassaguerre, M., Shah, D. C., Jas, P., Shoda, M., Kautzner, J., Arentz, T., Kalushe, D.,

Kadish, A., Griffith, M., Gata, F., Yamane, T., Garrigue, S., Hocini, M. & Clemente, J. Role of Purkinje conducting system in triggering of idiopathic ventricular fibrillation. The Lancet 359: 677-678 (2002).

205 162.

Hayashi, H., Wang, C., Miyauchi, Y.,

Omichi, C., Pak, H. N., Zhou, S., Ohara,

T., Mandel, W. J., Lin, S. F., Fishbein, M. C., Chen, P. C. & Karagueuzian, H. S. Aging-related increase to inducible atrial fibrillation in the rat model. J. Cardiovasc Electrophysiol 13: 801-808 (2002). 163.

Heath BM and Terrar DA. The deactivation kinetics of the delayed rectifier components iKr

and iKs in guinea-pig isolated ventricular myocytes. Exp Physiol 81: 605–621, 1996. 164.

Hein, S., Arnon, E., Kostin, S., Schonburg, M., Elsasser, A., Polyakova, V., Bauer, E. P.,

Klovekorn, W. P. & Schaper, J. Progression from compensated hypertrophy to failure in the pressure overloaded human heart. Circulation 107: 984-991 (2003). 165.

Henry, H. & Rappel, W. J. The role of M cells in the long QT syndrome in cardiac

arrhythmias: Simulation studies of reentrant excitations using a detailed electrophysiological model. Chaos 14: 172-182 (2004). 166.

Hilgemann DW and Noble D. Excitation-contraction coupling and extracellular calcium

transients in rabbit atrium: reconstruction of basic cellular mechanisms. Proc R Soc Lond B Biol Sci 230: 163–205, 1987. 167.

Hill, J. A. Electrical Remodeling in Cardiac Hypertrophy. Trends Cardiovasc. Med. 13:

316- 322 (2003). 168.

Hill, R. W. & Wyse, G. A. Animal Physiology, chapter Circulation. Harper & Row (1989).

169.

Hodgkin, A. L. and Huxley, A. F. A quantitative description of membrane current and its

application to conduction and excitation in nerve, J. Physiol., v.117, 500-544, (1952). 170.

Hodgkin, A.L., 1951. The ionic basis of electrical activity in nerve and muscle. Biol. Rev.

26, 339-409. 171.

Hodgkin, AL, and AF Huxley. Action potentials recorded from inside a nerve fiber. Nature,

144: 710-712. (1939). 172.

Hoffman, A., Levchenko, A., Scott, M.L., Baltimore, D., 2002. The I[kappa]B-NF-[kappa]B

signaling module: temporal control and selective gene activation. Science 298, 1241-1245. 173.

Honjo H, Boyett MR, Kodama I, and Toyama J. Correlation between electrical activity and

the size of rabbit sinoatrial node cells. J Physiol (Lond) 496: 795 - 808, 1996. 174.

Honjo H, Lei M, Boyett MR, and Kodama I. Heterogeneity of 4-aminopyridine-sensitive

current in rabbit sinoatrial node cells. Am J Physiol Heart Circ Physiol 276: H1295–H1304, 1999. 175.

Hooks, D. A., LeGrice, I. J., Harvey, J. D. & Smaill, B. H. Intramural Multisite Recording

of Transmembrane Potential in the Heart. Biophys. J. 81: 2671-2680 (2001).

206 176.

Hooks, D. A., Tomlinson, K. A.,

Marsden, S. G., LeGrice, I. J., Smaill, B.

H., Pullan, A. J. & Hunter, P. Cardiac microstructure: implications for electrical propagation and defibrillation in the heart. Circ. Res. 23: 331-338 (2002). 177.

Hort, W. Untersuchungen uber die muskelfaserdehnung und das gefuge des myokards in der

rechten herzkammerwand des meerschweinchens. Virchows. arch 329: 694-731 (1957). 178.

Hren, R. A realistic model of the human ventricular myocardium: Application to the study

of ectopic activation. PhD thesis, Dalhouse University, Halifax (1996). 179.

Hsia, H. H. & Marchlinski, F. E. Characterization of the electroanatomic substrate for

Monomorphic Ventricular Tachycardia in Patients with Nonischemic Cardiomyopathy. Pacing Clin. Electrophysiol. 25: 1114-1127 (2002). 180.

Huang, J., Rogers, J. M., Killingsworth, C. R., Walcott, G. P., KenKnight, B. H., Smith, W.

M. & Ideker, R. E. Improvement of Defibrillation Efficiency and Quantification of Activation Patterns During Ventricular Fibrillation in a Canine Heart Failure Model. Circulation 103: 14731478 (2001). 181.

Huang, J., Skinner, J. L., Rogers, J. M., Smith, W. M., Holman, W. L. & Ideker, R. E. The

Effects of Acute and Chronic Amiodarone on Activation Patterns and Defibrillation Threshold During Ventricular Fibrillation in Dogs. J. Am. Coll. Cardiol. 40: 375-383 (2002). 182.

Hund, T. J., Kucera, J. P., Otani, N. F. & Rudy, Y. Ionic Charge Conservation and

LongTerm Steady State in the Luo-Rudy Dynamic Cell Model. Biophys. J. 81: 3324-3331 (2001). 183.

Hunter, P. J., Smail, B. H., Nielson, P. M. F. & LeGrice, I. J. A mathematical model of

cardiac anatomy. In Computational Biology of the Heart, edited by A. V. Panfilov & A. V. Holden, pp. 171-215. Wiley, Chichester (1997). 184.

Huxley, A.F., 1957. Muscle structure and theories of contraction. Progr. Biophys. Chem. 7,

255-318. 185.

Huxley, A.F., 1974. Muscle contraction. J. Physiol. 243, 1-43.

186.

Ideker, R. E., Huang, J., Fast, V. & Smith, W. M. Recent fibrillation studies, Attempts to

wrest order from disorder. Circ. Res. 89: 1089-1091 (2001). 187.

Ikeda T, Uchida T, Hough D, Lee JJ, Fishbein MC, Mandel WJ, Chen P-S, Karagueuzian

HS: Mechanism of spontaneous termination of functional reentry in isolated canine right atrium. Evidence for the presence of an excitable but nonexcited core. Circulation 1996; 94: 1962-1973. 188.

Ikeda, T., Czer, L., Trento, A., Hwang, C., Ong, J. J. C., Hough, D., Fishbein, M. C.,

Mandel, W. J., Karagueuzian, H. S. & Chen, P. Induction of Meandering Functional Reentrant Wave Front in Isolated Human Atrial Tissues. Circulation 96: 3013-3020 (1997).

207 189.

Imbihl, R. & Ertl, G. Oscillatory

kinetics in heterogeneous catalysis. Chem.

Rev. 95: 697- 733 (1995). 190.

Inhomogeneous transmural conduction during early ischemia in patients with coronary

artery disease. J. Mol. Cell. Cardiol. 32: 621-639 (2000). 191.

Insel, P.A., 2003. Location, location, location. Trends Endocrinol. Metab. 14, 100-102.

192.

Iost, N., Virag, L., Opincariu, M., Szecsi, J., Varro, A. & Papp, J. G. Delayed rectifier

potassium current in undiseased human ventricular myocytes. Cardiovasc. Res. 40: 508- 515 (1998). 193.

Irisawa, H., Noma, A., 1982. Pacemaker mechanisms of rabbit sinoatrial node cells. In:

Bouman, L.N., Jognsma, H.J. (Eds.), Cardiac Rate and Rythm. Martinus Nijhof, London, pp. 3551. 194.

Isenberg, G., 1975. Is potassium conductance of cardiac Purkinje fibers controlled by [Ca]i

Nature 253, 273-274. 195.

Ito H and Ono K. A rapidly activating delayed rectifier K1 channel in rabbit sinoatrial node

cells. Am J Physiol Heart Circ Physiol 269: H443–H452, 1995. 196.

Ito, H. & Glass, L. Spiral breakup in a new model of discrete excitable media. Phys. Rev.

Lett. 66: 671-674 (1991). 197.

Ivanitsky, G. R., Krinsky, V. I., Panfilov, A. V. & Tsyganov, M. A. Two Regimes of Drift

of Reverberators in Heterogeneous Active Media. Biophysics. 34: 319-322 (1989). 198.

Izu, L.T., Wier, W.G., Balke, C.W., 2001. Evolution of cardiac calcium waves from

stochastic calcium sparks. Biophys. J. 80, 103-120. 199.

Jafri, M.S., Rice, J.J., Winslow, R.L., 1998. Cardiac Ca2+ dynamics: the roles of ryanodine

receptor adaptation and sarcoplasmic reticulum load. Biophys. J. 74, 1149-1168. 200.

Jalife, J. Experimental and clinical AF mechanisms: Bridging the divide. J. Interv. Card.

Electrophysiol. 9: 85-92 (2003). 201.

Jalife, J. Ventricular fibrillation: mechanisms of initiation and maintenance. Annu. Rev.

Physiol. 62: 25-50 (2000). 202.

Jalife, J., A., Gray. R., Morley, G. E. & Davidenko, J. M. Self-organization and the

dynamical nature of ventricular fibrillation. Chaos 8: 79-93 (1998). 203.

Janse, M. J. & Wit, A. L. (1989). Electrophysiological mechanisms of ventricular

arrhythmias resulting from myocardial ischemia and infarction. Physiological Reviews , 69, 1049-1169 . 204.

Janvier, N. C. & Boyett, M. R. The role of the Na-Ca exchange current in the cardiac action

potential. Cardiovasc. Res. 32: 69-84 (1996).

208 205.

Jeffrey, F.M., Reshtov, A., Storey,

C.J., Carvalho, R.A., Sherry, A.D., Malloy,

C.R., 1999. Use of a single (13)C NMR resonance of glutamate for measuring oxygen consumption in tissue. Am. J. Physiol. 277, E1111-E1121. 206.

Johnson, J. P., Mullins, F. M. & Bennet, P. B. Human Ether-a-go-go-related Gene K +

Channel Gating Probed with Extracellular C a2+ , evidence for Two Distinct Voltage Sensors. J. Gen. Physiol. 113: 565-580 (1999). 207.

Jongsma, H. J. & Wilders, R. Gap junctions in cardiovascular disease. Circ. Res. 86: 1193-

1197 (2000). 208.

Joyner, R. W. Modulation of repolarization by electrotonic interactions. Jpn. Heart J. Suppl

1: 167-183 (1986). 209.

Jugdutt, B. I. Remodelling of the myocardium and potential targets in the collagen synthesis

pathways. Curr. Drug Targets Cardiovasc. Haematol. Disord. 3: 1-30 (2003). 210.

Kambouris, N. G., Nuss, H. B., Johns, D. C., Marban, E., Tomaselli, G. F. & Balser, J. R. A

revised view of cardiac sodium channel `blockade' in the long-QT syndrome. J. Clin. Invest. 105: 1133-1140 (2000). 211.

Kanno, S. & Saffitz, J. E. The role of myocardial gap junctions in electrical conduction and

arrhythmogenesis. Cardiovasc. Pathol. 10: 169-177 (2001). 212.

Karma, A. Electrical alternans and spiral wave breakup in cardiac tissue. Chaos 4: 461-472

(1994). 213.

Karma, A. Spiral breakup in model equations of action potential propagation in cardiac

tissue. Phys. Rev. Lett. 71: 1103-1106 (1993). 214.

Kawara, T., Derksen, R., De Groot, J. R., Coronel, R., Tasseron, S., Linnenbank, A. C.,

Hauer, R. N. W., Kirkels, H., J., Janse M. & De Bakker, J. M. T. Activation Delay After Premature Stimulation in Chronically Diseased Human Myocardium Relates to the Architecture of Interstitial Fibrosis. Circulation 104: 3069-3075 (2001). 215.

Keener, J. & Sneyd, J. Mathematical physiology. Springer-Verlag, New York, Heidelberg,

Berlin (1998). 216.

Keener, J. P. An eikonal equation for action potential propagation in myocardium. J. Math.

Biol. 29: 629-651 (1991). 217.

Keener, J. P. Propagation of waves in an excitable medium with discrete release sites. SIAM

J. Appl. Math. 61: 317-334 (2000). 218.

Keener, J. P. The dynamics of three-dimensional scroll waves in excitable media. Physica D

31: 269-276 (1988). 219.

Keener, J.P. The core of the spiral. SIAM J. Appl. Math. 52(5) 1370-1390 (1992).

209 220.

Keith A, Flack M. The form and nature

of the muscular connections between the

primary division of the vertebrate heart. J Anat Physiol 1907;41:172–89. 221.

Kentish, J.C., ter Keurs, H.J., Ricciardi, L., Bucx, J.J., Noble, M.M., 1986. Comparison

between the sarcomere length- force relations of intact and skinned trabeculae from rat right ventricle. Circ. Res. 58, 755-768. 222.

Kim, D. T., Kwan, Y., Lee, J. L., Ikeda, T., Uchida, T., Kamjoo, K., Kim, Y., Ong, J. J. C.,

Athill, C. A., Wu, T., Czer, L., Karagueuzian, H. S. & Chen, P. Patterns of spiral tip motion in cardiac tissue. Chaos 8: 137-148 (1998). 223.

Kim, Y., Yashima, M., Wu, T., Doshi, R., Chen, P. & Karagueuzian, H. R. Mechanism of

Procainamide-Induced Prevention of Spontaneous Wave Break During Ventricular Fibrillation, Insight Into the Maintenance of Fibrillation Wave Fronts. Circulation 100: 666-674 (1999a). 224.

Kim, Y., Yashima, M., Wu, T., Doshi, R., Chen, P. & Karagueuzian, H. R. Role of Papillary

Muscle in the Generation and Maintenance of Reentry During Ventricular Tachycardia and Fibrillation in Isolated Swine Right Ventricle. Circulation 100: 1450-1459 (1999b). 225.

Kirchhof, P. F., Fabritz, C. L., Zabel, M. & Franz, M. R. The vulnerable period for low and

high energy T-wave shocks: Role of dispersion of repolarisation and effect of d-solatol. Cardiovasc. Res. 31: 953-962 (1996). 226.

Kneller, J., Ramirez, R.J., Chartier, D., Courtemanche, M., Nattel, S., 2002. Time-

dependent transients in an ionically based mathematical model of the canine atrial action potential. Am. J. Physiol. 282, H1437-H1451. 227.

Kodama I, Boyett MR. Regional differences in the electrical activity of the rabbit sinus

node. Pfluegers Arch 1985;404:214–26. 228.

Kodama I, Nikmaram MR, Boyett MR, Suzuki R, Honjo H, and Owen JM. Regional

differences in the role of the Ca2 and Na currents in pacemaker activity in the sinoatrial node. Am J Physiol Heart Circ Physiol 272: H2793 - H2806, 1997. 229.

Kogan, B. Y., Karplus, W. J., Billett, B. S., Pang, A. T., Karagueuzian, H. S., & Khan, S. S.

The simplified FitzHugh-Nagumo model with action potential duration restitution: effects on 2D wave propagation. Physica D 50: 327-340 (1991). 230.

Kohl P, Noble D, Winslow RL, Hunter PL. Integrative modelling of biological systems:

tools and visions. Philos Trans R Soc London A 2000;358:579–610. 231.

Kohl, P., Hunter, P. J. & Noble, D. Stretch-induced changes in heart rate and rhythm:

clinical observations, experiments and mathematical models. Prog. Biophys. Mol. Biol. 71: 91138 (1999). 232.

Kohn, M.C., Achs, M.J., Garfinkel, D., 1979. Computer simulation of metabolism in

pyruvate-perfused rat heart. I. Model construction. Am. J. Physiol. 237, R153-R158.

210 233.

Kohn, M.C., Garfinkel, D., 1983.

Computer simulation of metabolism in

palmitated-perfused rat heart. I. Palmitate oxidation. Ann. Biomed. Eng. 11, 361-384. 234.

Koller, M. L., Riccio, M. L. & Gilmour Jr., R. F. Dynamic restitution of action potential

duration during electrical alternans and ventricular fibrillation. Am. J. Physiol. Heart Circ. Physiol. 275: H1635-H1642 (1998). 235.

Koumi, S., Backer, C. L. & Arentzen, C. E. Characterization of Inwardly Rectifying K +

Channel in Human Cardiac Myocytes. Circulation 92: 164-174 (1995). 236.

Krinsky V. I. and V. I. Poroticov. Method for analysis of drug actionon muscle and nerve

membranes from voltage clamp data (nullclines method). Studia Biophys., 39(2):69-80, 1973. 237.

Krinsky, V. I. Mathematical models of cardiac arrhythmias (spiral waves). Pharm. Ther. B.

3: 539-555 (1978). 238.

Krinsky, V. I. Spread of excitation in an inhomogeneous medium (state similar to cardiac

fibrillation). Biophysics 11: 776-784 (1966). 239.

Krinsky, V. I., Biktashev, V. N. & Efimov, I. R. Autowave principles for parallel image

processing. Physica D 49: 247-253 (1991). 240.

Krinsky, V.I. Autowaves: Results, problems, outlooks. In Self-Organization. Autowaves

and Structures far from equilibrium, edited by V. I. Krinsky, pp. 9-18. Springer-Verlag, Heidelbeg (1984). 241.

Kurata, Y, Hisatome, I, Imanishi, S, Shibamoto, T. Dynamical description of sinoatrial

node pacemaking: improved mathematical model for primary pacemaker cell. Am.J.Physiol., 283, H2074-2101(2002). 242.

Leblanc, N., Hume, J.R., 1990. Sodium current-induced release of calcium from cardiac

sarcoplasmic reticulum. Science 248, 372-376. 243.

Lechleiter, J., Girard, S., Peralta, E. & Clapham, D. Spiral calcium wave propagation and

annihilation in Xenopus laevis oocytes. Science 252: 123-126 (1991). 244.

Lee, J. J., Kamjoo, K., Hough, D., Hwang, C., Fan, W., Fishbein, M. C., Bonometti, C.,

Ikeda, T., Karagueuzian, H. S. & Chen, P. S. Reentrant wave fronts in Wiggers' stage II ventricular fibrillation. Characteristics and mechanisms of termination and spontaneous regeneration. Circ. Res. 78: 660-675 (1996). 245.

LeGrice, I. J., Hunter, P. J. & Smaill, B. H. Laminar structure of the heart a mathematical

model. Am. J. Physiol. Heart Circ. Physiol. 272: H2466-H2476 (1997). 246.

LeGrice, I. J., Smaill, B. H., Chai, L. Z., Edgar, S. G., Gavin, J. B. & Hunter, P. J. Laminar

structure of the heart: ventricular myocyte arrangement and connective tissue architecture in the dog. Am. J. Physiol. Heart Circ. Physiol. 269: H571-H582 (1995).-

211 247.

Lei

M

and

Brown

HF.

Two

components

of

the

delayed

rectifier

potassium current, IK, in rabbit sino-atrial node cells. Exp Physiol 81: 725–741, 1996. 248.

Lei M, Brown HF, Noble D. Contribution of T-type calcium current to the pacemaker

depolarization of rabbit SA node cells. J Physiol 1995;487:148P. 249.

Lei M, Brown HF, Noble D. What role do T-type calcium channels play in cardiac

pacemaker activity. International Electrophysiology Meeting, 1998; Montpellier. p. 103–9. 250.

Lei M, Kohl P. Swelling-induced decrease in spontaneous pacemaker activity of rabbit

isolated sino-atrial node cells. Acta Physiol Scand 1998;164:1–12. 251.

Lemery, R. Atrial fibrillation: Mechanistic insights from biatrial (and triatrial) mapping. J.

Cardiovasc. Electrophysiol. 14: 1248-1251 (2003). 252.

Levy M.N., Martin P.J., Iano P., Zieske H. Effects of single vagal stimuli on heart rate and

atrioventricular conduction. Am. J. Physiol. 21(5), 1256-1262 (1970). 253.

Levy M.N., Martin P.J., Iano P., Zieske H. Paradoxal effect of vagus nerve stimulation on

heart rate in dogs. Circ. Res. 25(3), 303-314 (1965). 254.

Li, G. R. & Nattel, S. Properties of human atrial IC a at physiological temperatures and

relevance to action potential. Am. J. Physiol. Heart Circ. Physiol. 272: H227-H235 (1997). 255.

Li, G. R., Feng, J., Yue, L. & Carrier, M. Transmural heterogeneity of action potentials and

Ito1 in myocytes isolated from the human right ventricle. Am. J. Physiol. Heart Circ. Physiol. 275: H369-H377 (1998). 256.

Li, G. R., Feng, J., Yue, L., Carrier, M. & Nattel, S. Evidence for Two Components of

Delayed Rectifier K + Current in Human Ventricular Myocytes. Circ. Res. 78: 689-696 (1996). 257.

Lin S-F, Roth BJ, Wikswo JP, Jr.: Quatrefoil reentry in myocardium: An optical imaging

study of the induction mechanism. J Cardiovasc Electrophysiol 1999; 10: 574-586. 258.

Lindblad DS, Murphey CR, Clark JW, and Giles WR. A model of the action potential and

underlying membrane currents in a rabbit atrial cell. Am J Physiol Heart Circ Physiol 271: H1666–H1696, 1996. 259.

Liu, D. W. & Antzelevitch, C. Characteristics of the delayed rectifier current ( IKr and IK s

) in canine ventricular epicardial, midmyocardial, and endocardial myocytes. A weaker IK s contributes to the longer action potential of the M cell. Circ. Res. 76: 351-365 (1995). 260.

Liu, Y., Wu, C., Lu, L., Su, M., Lin, C., Lin, S., Chen, L. S., Fishbein, M. C., Chen, P. &

Lee, Y. Sympathetic nerve sprouting, electrical remodelling, and increased vulnerability to ventricular fibrillation in hypercholesterolemic rabbits. Circ. Res. 92: 1145-1152 (2003). 261.

Luo, C. & Rudy, Y. A Dynamic Model of the Cardiac Ventricular Action Potential I

Simulations of Ionic Currents and Concentration Changes. Circ. Res. 74: 1071-1096 (1994).

212 262.

Luo, C. & Rudy, Y. A Model of the

Ventricular Cardiac Action Potential,

Depolarization, Repolarization, and Their Interaction. Circ. Res. 68: 1501-1526 (1991). 263.

Luo, C.H., Rudy, Y., 1991. A model of the ventricular cardiac action potential,

depolarization, repolarization and their interaction. Circ. Res. 68, 1501-1526. 264.

Magyar, J., Szentandrassy, N., Banyasz, T., Fulop, L., Varro, A. & Nanasi, P. P. Effects of

thymol on calcium and potassium currents in canine and human ventricular cardiomyocytes. Br. J. Pharmacol. 136: 330-338 (2002). 265.

Makita, N., Shirai, N., Wang, D. W., Sasaki, K., George, A. L., Kanno, M. & Kitabatake, A.

Cardiac N a+ Channel Dysfunction in Brugada Syndrome Is Aggravated by 1 Subunit. Circulation 101: 54-60 (2000). 266.

Mandapati, R., Asano, Y., Baxter, W. T., Gray, R., Davidenko, J. & Jalife, J. Quantification

of Effects of Global Ischemia on Dynamics of Ventricular Fibrillation in Isolated Rabbit Heart. Circulation 98: 1688-1696 (1973). 267.

Manz, N., Davydov, V. A., Zykov, V. S. & Muller, S. C. Excitation fronts in a spatially

modulated light-sensitive Belousov-Zhabotinsky system. Phys. Rev. E 66: 036207-1- 036207-5 (2002). 268.

Maree, A. F. M. & Panfilov, A. V. Spiral breakup in excitable tissue due to lateral

instability. Phys. Rev. Lett. 78: 1819-1822 (1997). 269.

Mason W.T. Fluorescent and Luminescent Probes for Biological Activity: A practical Guide

to Technology for Quantitative Real-Time Analysis. 2nd ed. San Diego: Academic Press; 1999. 270.

Mason W.T., Fluorescent and Luminescent Probes for Biological Activity: A practical

Guide to Technology for Quantitative Real-Time Analysis. San Diego: Academic Press; 1993. 271.

Matsuoka, S., Sarai, N., Kuratomi, S., Ono, K., Noma, A., 2003. Role of individual ionic

current systems in ventricular cells hypothesized by a model study. Jpn J. Physiol. 53, 105-123. 272.

McAllister, R.E., Noble, D., Tsien, R.W., 1966. The time and voltage dependence of the

slow outward current in cardiac Purkinje fibres. J. Physiol. 186, 632-662. 273.

McAllister, R.E., Noble, D., Tsien, R.W., 1975. Reconstruction of the electrical activity of

cardiac Purkinje fibres. J. Physiol. 251, 1-59. 274.

Mermin ND: The topological theory of defects in ordered media. Reviews of Modern

Physics 1979; 51: 591-648. 275.

Meron, E. Pattern formation in excitable media. Phys. Rep. 218: 1-66 (1992).

276.

Meunier, C., Segev, I., 2002. Playing the devil's advocate: is the Hodgkin-Huxley model

useful. Trends Neurosci. 25, 558-563. 277.

Mewes, T. & Ravens, U. L-type Calcium Currents of Human Myocytes from Ventricle of

Non-Failing and Failing Hearts and Atrium. J. Mol. Cell. Cardiol. 26: 1307-1320 (1994).

213 278.

Michailova, A.P., Del Principe, F.,

Egger, M., Niggli, E., 2002.

Spatiotemporal features of Ca buffering and diffusion in atrial cardiac myocytes with inhibited sarcoplasmic reticulum. Biophys. J. 83 (6), 3134-3151. 279.

Michailova, A.P., McCulloch, A., 2001. Model study of ATP and ADP buffering, transport

of Ca and Mg and regulation of ion pumps in ventricular myocyte. Biophys. J. 81, 614-629. 280.

Michailova, A.P., Spassov, V.Z., 1992. Theoretical model and computer simulation of

excitation-contraction coupling of mammalian cardiac muscle. J. Mol. Cell. Cardiol. 24 (1), 97104. 281.

Michailova, A.P., Spassov, V.Z., 1997. Computer simulation of excitation-contraction

coupling in cardiac muscle. A study of the regulatory role of calcium binding to troponin C. Gen. Physiol. Biophys. 16 (1), 29-38. 282.

Michel, J.J., Scott, J.D., 2002. AKAP mediated signal transduction. Ann. Rev. Pharmacol.

Toxicol. 42, 235-257. 283.

Mikhailov, A. S., Davydov, V. A. & Zykov, V. S. Complex dynamics of spiral waves and

motion of curves. Physica D 70: 1-39 (1994). 284.

Mines, G. R. On dynamic equilibrium in the heart. J. Physiol. (London) 46: 349-382 (1913).

285.

Moe, G. K., Rheinboldt, W. C. & Abildskov, J. A. A computer model of atrial fibrillation.

Am. Heart J. 67: 200-220 (1964). 286.

Moore, E. Shortest path through a maze. Annals Comp. Lab. Harvard Univ. 30: 285-292

(1959). 287.

Moorman, A. F. M. & Christoffels, V. M. Cardiac Chamber Formation: Development,

Genes, and Evolution. Phys. Rev. 83: 1223-1267 (2003). 288.

Morad, M., Greenspan, A.M., 1973. Excitation-contraction coupling as a possible site for

the action of digitalis on heart muscle. In: Dreifus, L.S., Likoff, W. (Eds.), Arrhythmias. Grune and Stratton. New York, London, pp. 479-489. 289.

Morgan, J. M., Cunningham, D. & Rowland, E. Dispersion of monophasic action potential

duration: demonstrable in humans after premature ventricular extrastimulation but not in steady state. J. Am. Coll. Cardiol. 19: 1244-1253 (1992). 290.

Moubarak, J. B., Karasik, P. E., Fletcher, R. D. & Franz, M. R. High Dispersion of

Ventricular Repolarization After an Implantable Defibrillator Shock Predicts Induction of Ventricular Fibrillation As Well As Unsuccessful Defibrillation. J. Am. Coll. Cardiol. 35: 422427 (2000). 291.

Muramatsu H, Nathan R. Role of a TTX-sensitive sodium current in primary pacemaker

cells of the rabbit sinoatrial node. Biophys J 1992;61:A306.

214 292.

Muramatsu H, Zou A-R, Berkowitz

GA, and Nathan RD. Characterization of a

TTX-sensitive Na current in pacemaker cells isolated from rabbit sinoatrial node. Am J Physiol Heart Circ Physiol 270: H2108 - H2119, 1996. 293.

Nabauer, M., Beuckelmann, D. J., Uberfuhr, P. & Steinbeck, G. Regional Differences in

Current Density and Rate-Dependent Properties of the Transient Outward Current in Subepicardial and Subendocardial Myocytes of Human Left Ventricle. Circulation 93: 168-177 (1996). 294.

Nagatomo, T., Fan, Z., Ye, B., Tonkovich, G. S., January, C. T., Kyle, J. W. & Makielski, J.

C. Temperature dependence of early and late currents in human cardiac wild-type and long-QT KPQ N a+ channels. Am. J. Physiol. Heart Circ. Physiol. 275: H2016-H2024 (1998). 295.

Nagumo J., Arimoto S. and Yoshizawa S., An active pulse transmission line simulating

nerve axon. Proc. Inst. Radio Eng., 50(1962), pp. 2061 - 2070. 296.

Nanthakumar, K., Walcott, G. P., Melnick, S., Rogers, J. M., Kay, M. W., Smith, W. M.,

Ideker, R. E. & Holman, W. Epicardial organization of human ventricular fibrillation. Heart Rhythm 1: 14-23 (2004). 297.

Nash, M. P., Bradley, C. P. & Paterson, D. J. Imaging electrocardiographic dispersion of

depolarization and repolarization during ischemia: simultaneous body surface and epicardial mapping. Circulation 107: 2257-2263 (2003). 298.

Negroni, J.A., Lascano, E.C., 1996. A cardiac muscle model relating sarcomere dynamics to

calcium kinetics. J. Mol. Cell Cardiol. 28, 915-929. 299.

Negroni, J.A., Lascano, E.C., 1999. Concentration and elongation of attached cross-bridges

as pressure determinants in a ventricular model. J. Mol. Cell Cardiol. 31, 1509-1526. 300.

Nielson P. M. F., I. J. LeGrice, B. H. Smail, and P. J. Hunter. A mathematical model of the

geometry and fibrous structure of the heart. Am. J. Physiol., 260:H1365-H1378, 1991. 301.

Nilius B. Possible functional significance of a novel type of cardiac calcium channel.

Biomed Biochim Acta 1986;45:K37–45. 302.

Noble D, Denyer JC, Brown HF, DiFrancesco D. Reciprocal role of the inward currents ib,

Na and if in controlling and stabilizing pacemaker frequency of rabbit sino-atrial node cells. Proc R Soc London B 1992;250:199–207. 303.

Noble D, DiFrancesco D, Denyer JC. Ionic mechanisms in normal and abnormal cardiac

pacemaker activity. In: Cellular and neuronal oscillators. New York: Dekker; 1989. p. 59–85. 304.

Noble D: Oxsoft HEART version 4.8 manual. Oxsoft, Oxford, 1990.

305.

Noble, D. A modification of the Hodgkin-Huxley equations applicable to Purkinje fibres

action and pacemaker potential. J. Physiol. (Lond.) 160: 317-352 (1962).

215 306.

Noble, D., Tsien, R.W., 1968. The

kinetics and rectifier properties of the slow

potassium current in cardiac Purkinje fibers. J. Physiol. 195, 185-214. 307.

Noble, D., Varghese, A., Kohl, P. & Noble, P. Improved guinea-pig ventricular cell model

incorporating a diadic space, IKr and IK s , and length- and tension-dependent processes. Can. J. Cardiol. 14: 123-134 (1998). 308.

Nolasco, J.B. & Dahlen, R.W. A graphic method for the study of alternation in cardiac

action potentials. J. Appl. Physiol. 25: 191-196 (1968). 309.

Nordin, C., 1993. Computer model of membrane current and intracellular Ca flux in the

isolated guinea pig ventricular myocyte. Am. J. Physiol. 34, H2117-H2136. 310.

Nordin, C., Ming, Z., 1995. Computer model of current-induced early afterdepolarizations

in guinea pig ventricular myocytes. Am. J. Physiol. 37, H2440-H2459. 311.

Nygren, A., Fiset, C., Firek, L., Clark, J.W., Lindblad, D.S., Clark, R.B., Giles, W.R., 1998.

Mathematical model of an adult human atrial cell: the role of K+ currents in repolarization. Circ. Res. 82, 63-81. 312.

Obel, O. A. & Camm, A. J. Supraventricular tachycardia. ECG diagnosis and anatomy. Eur.

Heart J. 18: C2-C11 (1997). 313.

Oehmen, C.S., Giles, W.R., Demir, S.S., 2002. Mathematical model of the rapidly

activating delayed rectifier potassium current IKr in rabbit sinoatrial node. J. Cardiovas. Electrophysiol. 13, 1131-1140. 314.

Ohtani, K., Yutani, C., Nagata, S., Koretsune, Y., Hori, M. & Kamada, T. High prevalence

of atrial fibrosis in patients with dilated cardiomyopathy. J. Am. Coll. Cardiol. 25: 1162- 1169 (1995). 315.

Omichi, C., Lamp, S. T., Lin, S., Yang, J., Baher, A., Zhou, S., Attin, M., Lee, M.,

Karagueuzian, H. S., Kogan, B., Qu, Z., Garfinkel, A., Chen, P. & Weiss, J. N. Intracellular Ca Dynamics in Ventricular Fibrillation. Am. J. Physiol. Heart Circ. Physiol. 286: H1836- H1844 (2004). 316.

Ono K and Ito H. Role of rapidly activating delayed rectifier K1 current in sinoatrial node

pacemaker activity. Am J Physiol Heart Circ Physiol 269: H453–H462, 1995. 317.

Optical mapping of cardiac excitation and arrhythmias. Armonk, NY: Futura Publishing;

2002. 318.

Ouyang, F., Cappato, R., Ernst, S., Goya, M., Volkmer, M., Hebe, J., Antz, M., Vogtmann,

T., Schaumann, A., Fotuhi, P., Hoffman-Riem, M. & Kuck, K. Electroanatomic substrate of idiopathic left ventricular tachycardia, Unidirectional block and macroreentry within the Purkinje network. Circulation 105: 462-469 (2002).

216 319.

Pallotta BS, Magleby KL, Barrett JN

(1981) Single channel recordings of Ca2+ -

activated K+ currents in rat muscle cell culture. Nature 293: 471-474. 320.

Pandit, S.V., Clark, R.B., Giles, W.R., Demir, S.S., 2001. A mathematical model of action

potential heterogeneity in adult rat left ventricular myocytes. Biophys. J. 81, 3029-3051. 321.

Pandit, S.V., Giles, W.R., Demir, S.S., 2003. A mathematical model of the

electrophysiological alterations in rat ventricular myocytes in type-I diabetes. Biophys. J. 84, 832-841. 322.

Panfilov, A. V. & Holden, A. V. Self-generation of turbulent vortices in a two-dimensional

model of cardiac tissue. Phys. Lett. A 147: 463-466 (1990). 323.

Panfilov, A. V. & Keener, J. P. (1995). Re-entry in an anatomical model of the heart. Chaos

Solitons and Fractals , 5, 681-689. 324.

Panfilov, A. V. & Keener, J. P. Effects of high frequency stimulation on cardiac tissue with

an inexcitable obstacle. J. theor. Biol. 163: 439-448 (1993a). 325.

Panfilov, A. V. & Keener, J. P. Re-entry generation in anisotropic twisted myocardium. J.

Cardiovasc. Electrophys. 4: 412-421 (1993b). 326.

Panfilov, A. V. & Keener, J. P. Re-entry in three-dimensional Fitzhugh-Nagumo medium

with rotational anisotropy. Physica D 84: 545-552 (1995). 327.

Panfilov, A. V. & Keener, J. P. Twisted scroll waves in heterogeneous excitable media. Int.

J. Bif. Chaos 3: 445-450 (1993c). 328.

Panfilov, A. V. & Pertsov, A. M. Ventricular fibrillation: evolution of the multiple wavelet

hypothesis. Phil. Trans. R. Soc. Lond. A 359: 1315-1325 (2001). 329.

Panfilov, A. V. & Rudenko, A. N. Two regimes of the scroll ring drift in the three

dimensional active media. Physica D 28: 215-218 (1987). 330.

Panfilov, A. V. & Vasiev, B. N. Vortex initiation in a heterogeneous excitable medium.

Physica D 49: 107-113 (1991). 331.

Panfilov, A. V. Modelling of reentrant patterns in an anatomical model of the heart. In

Computational Biology of the Heart, edited by A. V. Panfilov & A. V. Holden, pp. 259-276. Wiley, Chichester (1997). 332.

Panfilov, A. V. Spiral breakup in an array of coupled cells: the role of the intercellular

conductance. Phys. Rev. Lett. 88: 118101-1-118101-4 (2002). 333.

Panfilov, A. V. Three-dimensional organization of electrical turbulence in the heart. Phys.

Rev. E 59: R6251-R6254 (1999). 334.

Panfilov, A. V. Three-dimensional vortices in active media. In Nonlinear wave processes in

excitable media, edited by A. V. Holden, M. Markus & H. G. Othmer, pp. 361-382. Plenum Press, New York (1991).

217 335.

Panfilov, A. V., Aliev, R. R. &

Mushinsky, A. V. An integral invariant for

scroll rings in a reaction-diffusion system. Physica D 36: 181 188 (1989). 336.

Pelzmann, B., Schaffer, P., Bernhart, E., Lang, P., Machler, H., Rigler, B. & Koidl, B. L-

type calcium current in human ventricular myocytes at a physiological temperature from children with tetralogy of Fallot. Cardiovasc. Res. 38: 424-432 (1998). 337.

Pereon, Y., Demolombe, S., Baro, I., Drouin, E., Charpentier, F. & Escande, D. Differential

expression of KvLQT1 isoforms across the human ventricular wall. Am. J. Physiol. Heart Circ. Physiol. 278: H1908-H1915 (2000). 338.

Perez-Munuzuri, V., Aliev, R., Vasiev, B. and Krinsky, V. I. Electric current control of

spiral waves dynamics. Physica D56, 229-234 (1992). 339.

Pertsov AM, Davidenko JM, Salomonsz R, Baxter WT, Jalife J: Spiral waves of excitation

underlie reentrant activity in isolated cardiac muscle. Circ Res 1993; 72: 631-650. 340.

Pertsov, A. M. & Jalife, J. Scroll waves in three-dimensional cardiac muscle. In Cardiac

electrophysiology. From cell to bedside, 3rd edition, edited by D. P. Zipes & J. Jalife, pp. 336344. Saunders, Philadelphia (1995). 341.

Pertsov, A. M., Davidenko, J. M., Salomonsz, R., Baxter, W. T. & Jalife, J. Spiral waves of

excitation underlie reentrant activity in isolated cardiac muscle. Circ. Res. 72: 631-650 (1993). 342.

Pertsov, A. Scale of Geometric Structures Responsible for Discontinuous Propagation in

Myocardial Tissue. In Discontinuous Conduction in the Heart., edited by P.M. Spooner, R. W. Joyner & J. Jalife. Futura Publishing Company, Armonk, NY (1997). 343.

Pfafinger PJ, Martin JM, Hunter DD, Nathanson NM, Hille B: GTPbinding proteins couple

cardiac muscarinic receptors to a K channel. Nature 1985;317:536-538. 344.

Piacentino III, V., Weber, C.R., Chen, X., Weisser-Thomas, J., Margulies, K.B., Bers,

D.M., Houser, S.R., 2003. Circ. Res. 92, 651-658. 345.

Pieske, B., Maier, L. S., Bers, D. M. & Hasenfuss, G. C a2+ Handling and Sarcoplasmic

Reticulum C a2+ Content in Isolated Failing and Non-Failing Human Myocardium. Circ. Res. 85: 38-46 (1999). 346.

Pieske, B., Maier, L. S., Piacentino, V., Weisser, J., Hasenfuss, G. & Houser, S. Rate

Dependence of [ N a+ ]i and Contractility in Nonfailing and Failing Human Myocardium. Circ. Res. 106: 447-453 (2002). 347.

Pinto, J. M. B. & Boyden, P. A. Electrical remodeling in ischemia and infarction.

Cardiovasc. Res. 42: 284-297 (1999). 348.

Plonsey, R. & Barr, R.C. Bioelectricity. Plenum Publishing Corporation, NY (1989).

218 349.

Pogwizd, S. M., McKenzie, J. P. &

Cain, M. E. Mechanisms underlying

spontaneous and induced ventricular arrhythmias in patients with idiopathic dilated cardiomyopathy. Circulation 98: 2404-2414 (1998). 350.

Prasad, K., 1970. Influence of energy supply and calcium on the low sodium-induced

changes in the transmembrane potential and contraction of guinea pig papillary muscle. Can. J. Physiol. Pharmacol. 48, 241-253. 351.

Priebe, L. & Beuckelmann, D. J. Simulation Study of Cellular Electric Properties in Heart

Failure. Circ. Res. 82: 1206-1223 (1998). 352.

Pruvot, E. J., Katra, R. P., Rosenbaum, D. S. & Laurita, K. R. Role of calcium cycling

versus restitution in the mechanism of repolarization alternans. Circ. Res. 94: 1083-1090 (2004). 353.

Puglisi, J.L., Bassani, R.A., Bassani, J.W.M., Amin, J.N., Bers, D.M., 1996. Temperature

and relative con- tributions of Ca transport systems in cardiac myocyte relaxation. Am. J. Physiol. Heart Circ. Physiol. 39, H1772-H1778. 354.

Puglisi, J.L., Bers, D.M., 2001. LabHEART: an interactive computer model of rabbit

ventricular myocyte ion channels and Ca transport. Am. J Physiol. Cell Physiol. 281, C2049C2060. 355.

Qu, Z., Kil, J., Xie, F., Garfinkel, A. & Weiss, J. N. Scroll wave dynamics in a

threedimensional cardiac tissue model: Roles of restitution, thickness, and fiber rotation. Biophys. J. 78: 2761-2775 (2000). 356.

Qu, Z., Weiss, J. N. & Garfinkel, A. Cardiac electrical restitution properties and stability of

reentrant spiral waves: a simulation study. Am. J. Physiol. Heart Circ. Physiol 276: H269-H283 (1999). 357.

Ramirez, R.J., Nattel, S., Courtemanche, M., 2000. Mathematical analysis of canine atrial

action potential. Am. J. Physiol. 279, H1767-H1767. 358.

Razumova, M.V., Bukatina, A.E., Campbell, K.B., 1999. Stiffness-distorsion sarcomere

model for muscle simulation. J. Appl. Physiol. 87, 1861-1876. 359.

Restivo, M., Gough, W. B. & El-Sherif, N. (1990). Ventricular arrhythmias in the subacute

myocardial infarction period. High-resolution activation and refractory patterns of reentrant rhythms. Circ . Res . 66, 1310-1327. 360.

Reuter, H., 1967. The dependence of the slow inward current on external calcium

concentration in Purkinje fibers. J. Physiol. 192, 479-492. 361.

Riccio, M.L., Koller, M.L. & Gilmour Jr, R.F. Electrical restitution and spatiotemporal

organization during ventricular fibrillation. Circ. Res. 84: 955-963 (1999). 362.

Rice, J. J., Jafri, M. S. & Winslow, R. L. Modeling gain and gradedness of C a2+ release in

the functional unit of the cardiac diadic space. Biophys. J. 77: 1871-1884 (1999).

219 363.

Rice, J. J., Winslow, R. L., Dekanski,

J. & McVeigh, E. Model Studies of the

Role of Mechano-sensitive Currents in the Generation of Cardiac Arrhythmias. J. theor. Biol. 190: 295-312 (1998). 364.

Rice, J.J., Jafri, M.S., Winslow, R.L., 2000. Modeling short-term interval-force relations in

cardiac muscle. Am. J. Physiol. 278, H913-H931. 365.

Rice, J.J., Stolovitzky, G., Tu, Y., de Tombe, P.P., 2003. Ising model of cardiac thin

filament activation with nearest- neighbor cooperative interactions. Biophys. J. 84, 897-909. 366.

Robertson SP, Johnson JD, and Potter JD. The timecourse of Ca2_ exchange with

calmodulin, troponin, parvalbumin, and myosin in response to transient increases in Ca2_. Biophys J 34: 559–569, 1981. 367.

Rogers, J. M., Huang, J., Melnick, S. B. & Ideker, R. E. Sustained reentry in the left

ventricle of fibrillating pig hearts. Circ. Res. 92: 539-545 (2003). 368.

Rogers, J. M., Huang, J., Smith, W. M. & Ideker, R. E. Incidence, Evolution, and Spatial

Distribution of Functional Reentry During Ventricular Fibrillation in Pigs. Circ. Res. 84: 945954 (1999). 369.

Roth BJ: Nonsustained reentry following successive stimulation of cardiac tissue through a

unipolar electrode. J Cardiovasc Electrophysiol 1997; 8: 768-778. 370.

Roth, B. J. & Wikswo, J. P. A bidomain model for the extracellular potential and magnetic

field of cardiac tissue. IEEE Trans. Biomed. Eng. 33: 467-469 (1986). 371.

Roth, B. J. & Wikswo, J. P. Electrical stimulation of cardiac tissue: a bidomain model with

active membrane properties. IEEE Trans. Biomed. Eng. 41: 232-240 (1994). 372.

Rudenko, A. N. & Panfilov, A. V. Drift and interaction of vortices in two-dimensional

heterogeneous active medium. Studia Biophysica 98: 183-188 (1983). 373.

Rush, S. & Larsen, H. A practical algorithm for solving dynamic membrane equations.

IEEE Trans. Biomed. Eng. 25: 389-392 (1978). 374.

Saffitz, J., Thomas, G.P., 1999. The M cell: its contribution to the ECG and to normal and

abnormal electrical function of the heart. J. Cardiovasc. Electrophysiol. 10, 1124-1152. 375.

Sakakibara, Y., Wasserstrom, J. A., Furukawa, T., Jia, H., Arentzen, C. E., Hartz, R. S. &

Singe, D. H. Characterization of the Sodium Current in Single Human Atrial Myocytes. Circ. Res. 71: 535-546 (1992). 376.

Sakmann, B. F. A. S., Spindler, A. J., Bryant, S. M., Linz, K. W. & D., Noble. Distribution

of a Persistent Sodium Current Across the Ventricular Wall in Guinea Pig. Circ. Res. 87: 910914 (2000).

220 377.

Salata, J.J., Jurkiewicz, N.K., Jow, B.,

Folander, K., Guinoso, P.J., Raynor, B.,

Swanson, R., Fermini, B., 1996. IK of rabbit ventricular is composed of two currents: evidence for IKs. Am. J. Physiol. 271, H2477-H2489. 378.

Samie, F. H., Berenfeld, O., Anumonwo, J., Mironov, S. F., Udassi, S., Beaumont, J.,

Taffet, S., Pertsov, A. M. & Jalife, J. Rectification of the background potassium current: a determinant of rotor dynamics in ventricular fibrillation. Circ. Res. 89: 1216-1223 (2001). 379.

Sandstede, B. & Scheel, A. Absolute versus convective instability of spiral waves. Phys.

Rev. E 62: 7708-7714 (2000). 380.

Sarai, N., Matsuoka, S., Kuratomi, S., Ono, K., Noma, A., 2003. Role of individual ionic

current systems in the SA node hypothesized by a model study. Jpn. J. Physiol. 53, 124-134. 381.

Saucerman, J.J., Brunton, L.L., Michailova, A.P., McCulloch, A.D., 2003. Modeling b-

adrenergic control of cardiac myocyte contractility in silico. J. Biochem. 278 (48), 47997-48003. 382.

Saumarez, R. C. & Grace, A. A. Paced ventricular electrogram fractionation and sudden

death in hypertrophic cardiomyopathy and other non-coronary heart diseases. Cardiovasc. Res. 47: 11-22 (2000). 383.

Schmidt, U., J., Hajjar. R., Helm, P. A., Kim, C. S., Doye, A. A. & Gwathmey, J. K.

Contribution of Abnormal Sarcoplasmic Reticulum ATPase Activity to Systolic and Diastolic Dysfunction in Human Heart Failure. J. Mol. Cell. Cardiol. 30: 1929-1937 (1998). 384.

Schneider, M., Proebstle, T., Hombach, V., Hannekum, A. & Rudel, R. Characterization of

the sodium currents in isolated human cardiocytes. Pflugers Arch. 428: 84-90 (1994). 385.

Schram, G., Pourrier, M., Melnyk, P. & Nattel, S. Differential Distribution of Cardiac Ion

Channel Expression as a Basis for Regional Specialization in Electrical Function. Circ. Res. 90: 939-950 (2002). 386.

Selfridge, O. Studies on flutter and fibrillation V. Some notes on the theory of flutter. Arch.

Inst. Cardiol. de Mexico 18: 177-187 (1948). 387.

Sepulveda, N. G., Roth, B. J. & Wikswo, J. P. Current injection into a two-dimensional

anisotropic bidomain. Biophys. J. 55: 987-999 (1989). 388.

Setayeshgar, S & Bernoff, AJ. Scroll waves in the presence of slowly varying anisotropy

with application to the heart. Phys. Rev. Lett. 88: 028101 (2002). 389.

Severs, N. J. Gap Junction Remodeling in Heart Failure. J. Card. Fail. 8: S293-S299 (2002).

390.

Shannon, T., Bers, D.M., 2001. A mathematical model describes the SR load-dependence of

Ca dynamics in cardiac myocytes. Biophys. J. 80, 594a. 391.

Shaw, R.M., Rudy, Y., 1997. Electrophysiologic effects of acute myocardial ischemia: a

theoretical study of altered cell excitability and action potential duration. Cardiovas. Res. 35, 256-272.

221 392.

Shepard, R. K., Wood, M. A., Dan, D.,

Clemo, H. F., Gilligan, D. M. &

Ellenbogen, K. A. Induction of Ventricular Fibrillation by T Wave Shocks: Observations from Monophasic Action Potential Recordings. J. Interv. Card. Electrophysiol. 3: 335-340 (1999). 393.

Shibasaki T. Conductance and kinetics of delayed rectifier potassium channels in nodal cells

of the rabbit heart. J Physiol (Lond) 387: 227–250, 1987. 394.

Shiferaw, Y., Watanabe, M. A., Garfinkel, A., Weiss, J. N. & Karma, A. Model of

intracellular calcium cycling in ventricular myocytes. Biophys. J. 85: 3666-3686 (2003). 395.

Shimizu, H., Ohnishi, Y., Inoue, T. & Yokoyama, M. QT and JT Dispersion in Patients

With Monomorphic or Polymorphic Ventricular Tachycardia/Ventricular Fibrillation. J Electrocard. 34: 119-125 (2001). 396.

Shimizu, W. & Antzelevitch, C. Cellular and ionic basis for T-wave alternans under longQT

conditions. Circulation 99: 1499-1507 (1999). 397.

Siegert, F. & Weijer, C. J. Three dimensional scroll waves organize dictyostelium slugs.

Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 89: 6433-6437 (1992). 398.

Simmons MA, Hartzell HC: A quantitative analysis of the acetylcholine-activated

potassium current in single cells from frog atrium.Pflugers Arch 1987;409:454-461. 399.

Smirnov, V. I. A course on higher mathematics. Pergamon Press, New York (1964).

400.

Smith, P. L. & Yellen, G. Fast and Slow Voltage Sensor Movements in HERG Potassium

Channels. J. Gen. Physiol. 119: 275-293 (2002). 401.

Soeller, C., Cannel, M.B., 1997. Numerical simulation of local calcium movements during

L-type calcium channel gating in the cardiac diad. Biophys. J. 73, 97-111. 402.

Starmer, C. F., Lastra, A. A., Nesterenko, V. V. & Grant, A. O. Proarrhythmic response to

sodium channel blockade. Theoretical model and numerical experiments. Circulation. 84: 13641377 (1991). 403.

Steinberg, S.F., Brunton, L.L., 2001. Compartmentation of G protein-coupled signalling

pathways in cardiac myocytes. Ann. Rev. Pharmacol. Toxicol. 41, 751-773. 404.

Steinbock, O., Kettunen, P. & Showalter, K. Anisotropy and spiral organizing centers in

patterned excitable media. Science 269: 1857-1860 (1995). 405.

Stellbrink, C., Mischke, K., Stegemann, E., Killmann, R., Minkenberg, R., Lu, X., Schutt,

H. & Hanrath, P. Spatial features in body surface potential maps of patients with ventricular tachyarrhythmias with or without coronary artery disease. Int. J. Cardiol. 70: 109-118 (1999). 406.

Stern, M.D., Lakatta, E.G., 1992. Excitation-contraction coupling in the heart: the state of

the question. FASEB J. 6, 3092-3100.

222 407.

Streeter, D. D. Jr. Gross morphology

and fiber geometry of the heart. In

Handbook of physiology. - Section 2: The cardiovascular system, Volume I: The heart, pp. 61112. Am. Physiol. Soc., Bethesda, MD (1979). 408.

Streeter, D. D., Spotnitz, M. M., Patel, D. P., Ross, J. & Sonnenblick, E. H. Fiber

orientation in the canine left ventricle during diastole and systole. Circ. Res. 24: 339-347 (1969). 409.

Sun, H., Leblanc, N. & Nattel, S. Mechanisms of inactivation of L-type calcium channels in

human atrial myocytes. Am. J. Physiol. Heart Circ. Physiol. 272: H1625-H1635 (1997). 410.

Swynghedauw, B. Molecular mechanisms of myocardial remodeling. Physiol. Rev. 79: 215-

262 (1999). 411.

Taggart, P., Sutton, P., Chalabi, Z., Boyett, M. R., Simon, R., Elliott, D. & Gill, J. S. Effect

of Adrenergic Stimulation on Action Potential Duration Restitution in Humans. Circ. Res. 33: 54-62 (1973). 412.

Ten Tusscher, K. H. W. J. & Panfilov, A. V. Influence of nonexcitable cells on spiral

breakup in two-dimensional and three-dimensional excitable media. Phys. Rev. E 68: 062902-1062902-4 (2003a). 413.

Ten Tusscher, K. H. W. J. & Panfilov, A. V. Reentry in heterogeneous cardiac tissue

described by the Luo-Rudy ventricular action potential model. Am. J. Physiol. Heart Circ. Physiol. 284: H542-H548 (2003b). 414.

Ten Tusscher, K. H. W. J., Noble, D., Noble, P. J. & Panfilov, A. V. A model for human

ventricular tissue. Am. J. Physiol. Heart Circ. Physiol. 286: H1573-H1589 (2004). 415.

Thomas, C. E. The muscular architecture of the ventricles of hog and dog hearts. Am. J.

Anat. 101: 17-57 (1957). 416.

Tolkacheva, E. G., Schaeffer, D. G., Gauthier, D. J. & Krassowska, W. Condition for

alternans and stability of the 1:1 response pattern in a `memory' model of paced cardiac dynamics. Phys. Rev. E 67: 031904-1-031904-10 (2003). 417.

Trepanier-Boulay, V., Chantale, S., Tremblay, A., Fiset, C., 2001. Gender-based differences

in cardiac repolarization in mouse ventricle. Circ. Res. 89, 437-444. 418.

Tung L. A bidomain model for describing ischemic myocardial D.C. potentials. PdD

dissertation, Massachusetts Inst. Techn., Cambridge, MA, (1978). 419.

Ujhelyi, M. R., Sims, J. J. & Winecoff Miller, A. Induction of electrical heterogeneity

impairs ventricular defibrillation. Circulation 100: 2534-2540 (1999). 420.

Unger V.M., Kumar,N.M., Gilula,N.B. and Yeager,M. (1999) Three-dimensional structure

of a recombinant gap junction membrane channel. Science, 283, 1176–1180

223 421.

Valderrabano, M., Lee, M. H., Ohara,

T., Lai, A. C., Fishbein, M. C., Lin, S. F.,

Karagueuzian, H. S. & Chen, P. S. Dynamics of intramural and transmural reentry during ventricular fibrillation in isolated swine ventricles. Circ. Res. 88: 839-848 (2001). 422.

Valderrabano, M., Yang, J., Omichi, C., Kil, J., Lamp, S. T., Qu, Z., Lin, S., Karagueuzian,

H. S., Garfinkel, A., Chen, P. & Weiss, J. N. Frequency analysis of ventricular fibrillation in swine ventricles. Circ. Res. 90: 213-222 (2002). 423.

Van Capelle F. J. L. and D. Durrer. Computer simulation of arrhythmias in a network of

coupled excitable elements. Circ. Res., 47:454-466, 1980. 424.

Varnava, A. M., Elliott, P. M., Mahon, N., Davies, M. J. & McKenna, W. J. Relation

between Myocyte Disarray and Outcome in Hypertrophic Cardiomyopathy. Am. J. Cardiol. 88: 275-279 (2001). 425.

Vinogradova TM, Fedorov VV, Yuzyuk TN, Zaitsev AV, Rosenshtraukh LV: Local

cholinergic suppression of pacemaker activity in the rabbit sinoatrial node. J Cardiovasc Pharmacol 1998;32:413-424. 426.

Virag, L., Iost, N., Opincariu, M., Szolnoky, J., Szecsi, J., Bogats, G., Szenohradszky, P.,

Varro, A. & Papp, J. G. The slow component of the delayed rectifier potassium current in undiseased human ventricular myocytes. Cardiovasc. Res. 49: 790-797 (2001). 427.

Viswanathan, P. C. & Rudy, Y. Cellular arrhythmogenic effects of congenital and acquired

long-QT syndrome in the heterogeneous myocardium. Circulation 101: 1192- 1198 (2000). 428.

Viswanathan, P. C., Bezzina, C. R., George, A. L., Roden, D. M., Wilde, A. A. M. &

Balser, J. R. Gating-Dependent Mechanism for Flecainide Action in SCN5A-Linked Arrhythmia Syndromes. Circulation 104: 1200-1205 (2001). 429.

Viswanathan, P. C., Shaw, R. M. & Rudy, Y. Effects of IKr and IK s Heterogeneity on

Action Potential Duration and Its Rate Dependence, A Simulation Study. Circulation 99: 24662474 (1999). 430.

Volders, P. G. A., Sipido, K. R., Carmeliet, E., Spatjens, R. L. H. M. G., Wellens, H. J. J. &

Vos, M. A. Repolarizing K + Currents Ito1 and IK s Are Larger in Right Than Left Canine Ventricular Myocardium. Circulation 99: 206-210 (1999). 431.

Volders, P. G. A., Vos, M. A., Szabo, B., Sipido, K. R., De Groot, S. H. M., Gorgels, A. P.

M., Wellens, H. J. J. & Lazarra, R. Progress in the understanding of cardiac early afterdepolarizations and torsade de pointes: time to revise current concepts. Cardiovasc. Res. 46: 376-392 (2000). 432.

Walcott, G. P., Kay, G. N., Plumb, V. J., Smith, W. M., Rogers, J. M., Epstein, A. E. &

Ideker, R. E. Endocardial Wave Front Organization During Ventricular Fibrillation in Humans. J. Am. Coll. Cardiol. 39: 109-115 (2002).

224 433.

Waldo, A. L. Mechanisms of atrial

fibrillation. J. Cardiavasc. Electrophysiol.

14: S267-S274 (2003). 434.

Wan, X., Chen, S., Sadeghpour, A., Wang, Q. & Kirsch, G. E. Accelerated inactivation in a

mutant N a+ channel associated with idiopathic ventricular fibrillation. Am. J. Physiol. Heart Circ. Physiol. 280: H354-H360 (2001). 435.

Wang, D. W., Makita, N., Kirabatake, A., Balser, J. R. & George, A. L. Enhanced N a+

Channel Intermediate Inactivation in Brugada Syndrome. Circ. Res. 87: e37-e43 (2000). 436.

Wang, Z., Feng, J., Shi, H., Pond, A., Nerbonne, J.M., Nattel, S., 1999. Potential molecular

basis of different physiological properties of the transient outward K+ current in rabbit and human atrial myocytes. Circ. Res. 84, 551-561. 437.

Wang, Z., Fermini, B. & Nattel, S. Rapid and slow components of delayed rectifier current

in human atrial myocytes. Cardiovasc. Res. 28: 1540-1546 (1994). 438.

Warren, M., Guha, P. K., Berenfeld, O., Zaitsev, A., Anumonwo, J. M. B., Dhamoon, A. S.,

Bagwe, S., Taffet, S. M. & Jalife, J. Blockade of the Inward Rectifying Potassium Current Terminates Ventricular Fibrillation in the Guinea Pig. J. Cardiovasc. Electrophysiol. 14: 621631 (2003). 439.

Watanabe, M. A., Fenton, F. H., Evans, S. J., Hastings, H. M. & Karma, A. Mechanisms for

Discordant Alternans. J. Cardiovasc. Electrophysiol. 12: 196-206 (2001). 440.

Wehrens, X. H. T., Abriel, H., Cabo, C., Benhorin, J. & Kass, R. S. Arrhythmogenic

Mechanism of an LQT-3 Mutation of the Human Heart N a+ Channel -Subunit. Circulation 102: 584-590 (2000). 441.

Wehrens, X. H. T., Vos, M. A., Doevendans, P. A. & Wellens, H. J. J. Novel Insights in the

Congenital Long QT Syndrome. Ann. Intern. Med. 137: 981-992 (2002). 442.

Weidmann, S. The electrical constants of Purkinje fibres. J. Physiol. 118: 348-360 (1952).

443.

Weiss, J. N., Chen, P., Qu, Z., Karagueuzian, H. S., Lin, S. & Garfinkel, A. Electrical

restitution and cardiac fibrillation. J. Cardiovasc. Electrophysiol. 13: 292-295 (2002). 444.

Wellner, M., Berenfeld, O. & Pertsov, A. M. Predicting filament drift in twisted anisotropy.

Phys. Rev. E 61: 1845-1850 (2000). 445.

Wellner, M., Berenfeld, O., Jalife, J. & Pertsov, A. M. Minimal principle for rotor filaments.

Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 99: 8015-8018 (2002). 446.

Wellner, M., Pertsov, A. M. & Jalife, J. Spiral drift and core properties. Phys. Rev. E 59:

5192-5204 (1999). 447.

Werner, C. D., Sachse, F. B. & Dossel, O. Electrical Excitation Propagation in the Human

Heart. International Journal of Bioelectromagnetism 2 (2000).

225 448.

Wettwer, E., Amos, G. J., Posival, H.

& Ravens, U. Transient Outward Current

in Human Ventricular Myocytes of Subepicardial and Subendocardial Origin. Circ. Res. 75: 473- 482 (1994). 449.

Wiener N, Rosenblueth A. The Mathematical Formulation of the Problem of Conduction of

Impulses in a Network of Connected Excitable Elements, Specifically in Cardiac Muscle. Arch.Inst.Cardiologia de Mexico; 16 (3-4): 205-65 (1946). 450.

Wilders, R., Jongsma, J., van Ginneken, C.G., 1991. Pacemaker activity of the rabbit

sinoatrial node. A comparison of mathematical models. Biophys. J. 60, 1202-1216. 451.

Wilders, R., Wagner, M. B., Golod, D. A., Kumar, R., Wang, Y., Goolsby, W. N., Joyner,

R. W. & Jongsma, H. J. Effects of anisotropy on the development of cardiac arrhythmias associated with focal activity. Pflugers Arch., Eur J Physiol 441: 301-312 (2000). 452.

Windisch H., Ahammer H., Schaffer P. et al. Optical Multisite Monitoring of Cell

Excitation Phenomena in Isolated Cardiomyocytes. Pflugers Archiv - European Journal of Physiology 1995; 430 (4): 508-18. 453.

Winfree, A. T. & Strogatz, S. H. Organizing centers for three-dimensional chemical waves.

Nature 311: 611-615 (1984). 454.

Winfree, A. T. Electrical instability in cardiac muscle: phase singularities and rotors. J.

theor. Biol. 138: 353-405 (1989). 455.

Winfree, A. T. Electrical turbulence in three-dimensional heart muscle. Science 266: 1003-

1006 (1994). 456.

Winfree, A. T. Scroll-shaped waves of chemical activity in three dimensions. Science 181:

937-939 (1973). 457.

Winfree, A. T. The geometry of biological time. Springer-Verlag, New York, USA (1980).

458.

Winslow, R. L., Rice, J., Jafri, S., Marban, E. & O'Rourke, B. Mechanisms of Altered

Excitation-Contraction Coupling in Canine Tachycardia-Induced Heart Failure, II Model studies. Circ. Res. 84: 571-586 (1999). 459.

Winslow, R.L., Kimball, A., Varghese, A., Noble, D., 1993. Simulating cardiac sinus and

atrial network dynamics on the connection machine. Physica D: Non linear phenomena 64, 281298. 460.

Winslow, R.L., Rice, J., Jafri, S., Marb!an, E., O'Rourke, B., 1999. Mechanisms of altered

excitation-contraction coupling in canine tachycardia-induced heart failure, II--Model studies. Circ. Res. 84, 571-586. 461.

Withers, P. C. Comparative Animal Physiology, chapter Circulation. Saunders College

Publishing (1992).

226 462.

Witkowski, F. X., Leon, L. J.,

Penkoske, P. A., Giles, W. R., Spano, M.

L., Ditto, W. L. & Winfree, A. T. Spatiotemporal evolution of ventricular fibrillation. Nature 392: 78-82 (1998). 463.

Wu, J. & Zipes, D. P. Transmural reentry during acute global ischemia and reperfusion in

canine ventricular muscle. Am. J. Physiol. Heart Circ. Physiol. 280: H2717-H2725 (2001). 464.

Wu, J. & Zipes, D. P. Transmural reentry triggered by epicardial stimulation during acute

ischemia in canine ventricular tissue. Am. J. Physiol. Heart Circ. Physiol. 283: H2004- H2011 (2002). 465.

Wu, R. & Patwardhan, A. Restitution of action potential duration during sequential changes

in diastolic interval shows multimodal behavior. Circ. Res. 94: 634-641 (2004). 466.

Wu, T. J., Ong, J. J. C., Hwang, C., Lee, J. J., Fishbein, M. C., Czer, L., Trento, A.,

Blanche, C., Kass, R. M., Mandel, W.J., Karagueuzian, H. S. & Chen, P. Characteristics of Wave Fronts During Ventricular Fibrillation in Human Hearts With Dilated Cardiomyopathy: Role of Increased Fibrosis in the Generation of Reentry. J. Am. Coll. Cardiol. 32: 187-196 (1998). 467.

Wu, T., Lin, S., Weiss, J. N., Ting, C. & Chen, P. Two Types of Ventricular Fibrillation in

Isolated Rabbit Hearts. Circulation 106: 1859-1866 (2002). 468.

Xie, F., Qu, Z., Garfinkel, A. & Weiss, J. N. Effects of simulated ischemia on spiral wave

stability. Am. J. Physiol. Heart Circ. Physiol. 280: H1667-H1673 (2001a). 469.

Xie, F., Qu, Z., Garfinkel, A. & Weiss, J. N. Electrophysiological heterogeneity and

stability of reentry in simulated cardiac tissue. Am. J. Physiol. Heart. Circ. Physiol. 280: H535H545 (2001b). 470.

Xie, F., Qu, Z., Garfinkel, A., Weiss, J.N., 2002. Electrical refractory period restitution and

spiral wave reentry in simulated cardiac tissue. Am. J. Physiol. 283, H448-H460. 471.

Xie, F., Qu, Z., Yang, J., Baher, A., Weiss, J. N. & Garfinkel, A. A simulation study of the

effects of cardiac anatomy in ventricular fibrillation. J. Clin. Invest. 113: 686-693 (2004). 472.

Yan, G., Wu, Y., Liu, T., Wang, J., Marinchak, R. A. & Kowey, P. R. Phase 2 early

afterdepolarization as a trigger of polymorphic ventricular tachycardia in acquired long-QT syndrome. Circulation 103: 2851-2856 (2001). 473.

Yue, L., Feng, J., Li, G. R. & Nattel, S. Transient outward and delayed rectifier currents,

properties and role of isolation methods. Am. J. Physiol. Heart Circ. Physiol. 270: H2157- 68 (1996). 474.

Zaikin, A. N. & Zhabotinsky, A. M. Concentration wave propagation in two-dimensional

liquid-phase self-organizing system. Nature 225: 535-537 (1970).

227 475.

Zaitsev, A.V., Berenfeld, O., Mironov,

S.F., Jalife, J. & Pertsov, A.M. Distribution

of excitation frequencies on the epicardial and endocardial surfaces of fibrillating ventricular wall of the sheep heart. Circ. Res. 86: 408-417 (2000). 476.

Zang, H., Holden, A.V., Kodama, I., Honjo, H., Lei, M., Varghese, T., Boyett, M.R., 2000.

Mathematical models of action potentials in the periphery and center of the rabbit sinoatrial node. Am. J. Physiol. 279, H397-H421. 477.

Zeng, J., Laurita, K. R., Rosenbaum, D. S. & Rudy, Y. Two components of the delayed

rectifier K + current in ventricular myocytes of the guinea pig type. Theoretical formulation and their role in repolarization. Circ. Res. 77: 140-152 (1995). 478.

Zhang H, Holden AV, Kodama I, Honjo H, Lei M, Varghese T, Boyett MR: Mathematical

models of action potentials in the periphery and center of the rabbit sinoatrial node. Am J Physiol 2000;279:H397-H421. 479.

Zhang H, Holden AV, Noble D, Boyett MR: Analysis of the Chronotropic Effect of

Acetylcholine on Sinoatrial Node Cells. J. Cardiovasc. Electrophysiol. 2002; 13:465-474. 480.

Zhou, Z., Gong, Q., Ye, B., Fan, Z., Makielski, J. C., Robertson, G. A. & January, C. T.

Properties of HERG Channels Stably Expressed in HEK 293 Cells Studied at Physiological Temperatures. Biophys. J. 74: 230-241 (1998). 481.

Zygmunt, A. C., Eddlestone, G. T., Thomas, G. P., Nesterenko, V. V. & Antzelevitch, C.

Larger late sodium conductance in M cells contributes to electrical heterogeneity in canine ventricle. Am. J. Physiol. Heart. Circ. Physiol. 281: H689-H697 (2001). 482.

Zygmunt, A. C., Goodrow, R. J. & Antzelevitch, C. IN aC a contributes to electrical

heterogeneity within the canine ventricle. Am. J. Physiol. Heart. Circ. Physiol. 278: H1671H1678 (2000). 483.

Zykov V. S. Simulation of Wave Processes in Excitable Media. Manchester: University

Press, 1988. 484.

Zykov, V. S. Analytical evaluation of the dependence of the speed of an excitation wave in

a two dimensional excitable medium on the curvature of its front. Biophys. 25: 906-911 (1980). 485.

Алиев Р. Р. Изучение динамики автоволновых вихрей в химической возбудимой

среде на основе реакции Белоусова-Жаботинского. Канд. Дисс., Пущино, 1994. 486.

Алиев Р.Р., Л.В. Розенштраух. Теоретический анализ модальности реакций водителя

ритма синусового узла в зависимости от временных характеристик действия на них ацетилхолина. Росс.Физиол.Ж. 92(9), 1069-1077 (2006). 487.

Алиев Р.Р., Федоров В.В., Розенштраух Л.В. Исследование влияния ацетилхолина на

ионные токи в одиночных клетках истинных и латентных водителей ритма синусового узла кролика методом компьютерного моделирования. ДАН 397(5), стр. 697-700 (2004).

228 488.

Алиев

Р.Р.,

Федоров

В.В.,

Розенштраух

Л.В.

Исследование

влияния ацетилхолина на возбудимость клеток истинных водителей ритма синусового узла кролика методом компьютерного моделирования. ДАН 402(4), 548-550 (2005). 489.

Алиев Р.Р., Чайлахян Л.М. Исследование влияния ацетилхолина на внутриклеточный

гомеостаз истинных водителей ритма синусового узла кролика методом компьютерного моделирования. ДАН 402(5), 689-692 (2005). 490.

Алиев Р.Р., Чайлахян Л.М. Исследование преавтоматической паузы под действием

ацетилхолина в клетках истинных водителей ритма синусового узла кролика методом компьютерного моделирования. ДАН 402(6), 828-830 (2005). 491.

Алипов Н.Н. Пейсмекерные клетки сердца: электрическая активность и влияние

вегетативных нейромедиаторов. Успехи физиол. наук, 1993, т.24 N2, с. 37—69. 492.

Бабский ЕБ, Саидкаримов СК: Влияние аденозинтрифосфата и оуабаина на

подавление автоматии потенциальных водителей ритма сердца высокой частотой возбуждения. ДАН 191(6), 1420-1423 (1970). 493.

Давыдов В.А., Зыков B.C., Михайлов А.С., Кинематика автоволновых структур в

возбудимых средах УФН, 1991, с. 45-85. 494.

Ефимов, И. Р., Самбелашвили, А. Т., Никольский, В. Н., Прогресс в изучении

механизмов электрической стимуляции сердца (часть 1). Вестник аритмологии, 26, 91-96 (2002). 495.

Жаботинский А.М. – Автоволны в биофизике. /В кн. “Нелинейный волны.

Самоорганизация”. М.: Наука, 1983, 16-25 496.

Заикин А.Н. – Формирование, распространение, взаимодействие экситонов (автоволн

- квазичастиц) в активной среде. /Физическая мысль России, 1995, 1, 54-63 497.

Зельдович Я.Б, Франк-Каменецкий Д.А. - Теория равномерного распространения

пламени. / ДАН СССР, 1938, 19, 693. 498.

Иваницкий Г.Р., Кринский В.И., Сельков Е.Е. - Математическая биофизика клетки.

М.: Наука, 1978. 499.

Кернер Б.С., Осипов В.В. – Автосолитоны. М.: Наука, 1991.

500.

Кокоз, Ю.М. Кринский, В.И., Морнев О.А. Анализ уравнений возбудимых мембран.

IV. Применение метода нуль-изоклин для анализа мембраны волокна Пуркинье. Биофизика, 1974, 19, с. 493-498. 501.

Колебания и бегущие волны в химических системах. (ред. Р.Филд и М.Бургер) М.:

Мир, 1988.

229 502.

Колмогоров А.Н., Петровский И.Е.,

Пискунов Н.С. Изучение уравнения

диффузии с источником вещества и его приложение к биологическим проблемам. /Вест. Моск. Университета. Сер.Мат.Мех., 1937, 1 (6), 1 503.

Кукушкин, Н.И., Саксон, М.Е. Предсказание аритмии в миокарде лягушки.

Биофизика, 1971, 16, с. 904-910. 504.

Лоскутов А.Ю., Михайлов А.С. – Введение в синергетику. М.: “Наука”, 1980.

505.

Перцов, А.М., Кринский, В.И. Проведение в электрически связанных клетках:

мембранный механизм латентностии сердечные аритмии. Биофизика, 1973, 18, с. 688-693. 506.

Полак Л.С., Михайлов А.С. – Самоорганизация в неравновесных физико-химических

системах. М.: Наука, 1983. 507.

Полежаев А.А. – Альтернативные подходы к моделированию упорядоченных

пространственных структур. /Математическое моделирование, 1991, т.3 (3), 62-69. 508.

Полуэктов Р.А., Пых Ю.А., Швытов И.А. - Динамические модели экологических

систем. /Л: Гидрометеоиздат, 1980. 509.

Пригожин И. - От существующего к возникающему. М.: Наука,1985.

510.

Ризниченко Г.Ю. – Лекции по математическим моделям в биологии. Москва-Ижевск:

Изд-во РХД, 2002. 511.

Розенштраух Л.В., В.В. Федоров, Р.Р. Алиев, А.В. Глухов, Т.В.Михеева, А.В.Резник,

Ефимов И.Р. Изучение характера активации изолированного сердца гибернирующего суслика undulatus. Первый опыт оптического картирования сердца в России. Кардиология 4, 4-10 (2005). 512.

Романовский Ю.М. - Процессы cамоорганизации в физике, химии и биологии. М.:

Знание,1981. 513.

Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С. - Математическая биофизика.

М.:Наука,1984. 514.

Рубин А.Б. – Биофизика. Москва, “Высшая школа”,1992; М. Наука, МГУ, 2004.

515.

Смолянинов В.В. - Математические модели биологических тканей. М.: Наука, 1980.

516.

Франк-Каменецкий Д.А. Диффузия и теплопередача в химической кинетике. М. Изд.

АН СССР, 1947. 517.

Храмов, Р.Н. Исследование уравнений перехвата Ранвье с помощью метода малого

параметра. Материалы конференции “Математическая теория биологических процессов”, Калининград, 1976, с. 430-431.

230

Список публикаций автора по теме работы в рецензируемых журналах. 1) Panfilov, A. V., Aliev, R. R. and Mushinsky, A. V. An integral invariant for scroll rings in a reaction-diffusion system. Physica D36, 181-188 (1989). 2) Pertsov, A. M., Aliev, R. R. and Krinsky, V. I. Three-dimensional twisted vortices in an excitable chemical media. Nature 345, 419-421 (1990). 3) Aliev, R. R. and Agladze, K. I. Critical conditions of chemical wave propagation in gel layers with an immobilized catalyst. Physica D50, 6570 (1991). 4) Perez-Munuzuri, V., Aliev, R., Vasiev, B., Perez-Vilar, V. and Krinsky, V. I. Super-spiral structures in an excitable medium. Nature 353, 740-742 (1991). 5) Aliev, R. R. and Rovinsky, A. B., Spiral waves in the homogeneous and inhomogeneous Belousov-Zhabotinsky reaction. J.Phys.Chem. 96, 732736 (1992). 6) Perez-Munuzuri, V., Aliev, R., Vasiev, B. and Krinsky, V. I. Electric current control of spiral waves dynamics. Physica D56, 229-234 (1992). 7) Mornev. O. A., Panfilov, A. V. and Aliev, R. R. FitzHugh-Nagumo equations are a gradient system. Biofizika (Rus.), 37(1), 123-125 (1992). 8) Aliev, R. R. Oscillation Phase Dynamics in the Belousov- Zhabotinsky reaction. Implementation to Image Processing. J.Phys.Chem. 98(15), 3999-4002 (1994).

231 9) Aliev, R. R. and Biktashev, V.

N. Dynamics of the Oscillation

Phase Distribution in the BZ Reaction. J.Phys.Chem. 98(38), 9676 - 9681 (1994). 10)

Aliev, R. R. Heart Tissue Simulations by Means of Chemical

Excitable Media. Chaos, Solitons and Fractals 5(3,4), 567-574 (1995). 11)

Aliev, R. R. and Vasiev, B. N. Phase Breaks and Chaos in a Chain

of Diffusively Coupled Oscillators. Chaos, Solitons and Fractals 5(3,4), 439-445 (1995). 12)

Aliev, R. R. and Panfilov, A. V. Multiple responses at the

boundaries of the vulnerable window in the Belousov-Zhabotinsky reaction. Phys. Rev. E 52(3), 2287-2293 (1995). 13)

Mornev, O. A. and Aliev, R. R. Local variational principle of

minimum dissipation in the dynamics of reaction-diffusion systems. Russ. J. Phys. Chem. 69(8), 1325-1328 (1995). 14)

Aliev, R. R. Phase-rotors in an active medium. Phys. of Alive, 4(1),

27-31 (1996). 15)

Aliev, R. R. and Panfilov, A. V. A simple two-variable model of

cardiac excitation. Chaos, Solitons and Fractals, 7(3) 293-301 (1996). 16)

Aliev, R. R. and Panfilov, A. V. Modeling of Heart Excitation

Patterns caused by a Local Inhomogeneity. J. Theor. Biol., 181(1), 33-40 (1996). 17)

Aliev, R. R., Amemiya, T. and Yamaguchi, T. Bifurcation of

Vortices in the Light-Sensitive Oscillatory BZ Medium. Chem. Phys. Lett., 257(5,6), 552-556 (1996).

232 18)

Mornev, O. A., Aslanidi, O.

V., Aliev, R. R. and Chailakhian,

L. M. Soliton-like regime in FitzHugh-Nagumo equations: reflection of colliding pulses of excitation. Proc. Russ. Acad. Sci., 347(1), 123-125 (1996). 19)

Tsyganov, I. M., Aliev, R. R. and Ivanitsky, G. R. Dissipative

pulsars in excitable media. Proc. Russ. Acad. Sci. 352(5), 699-703 (1997). 20)

Agladze, K. I., Aliev, R. R., Yamaguchi, T. and Yoshikawa, K.

Chemical Diode. J. Phys. Chem. 100(33), 13895-13897 (1996). 21)

Aliev, R. R., Davydov, V. A., Ohmori, T., Nakaiwa, M. and

Yamaguchi, T. Change of the shape of a chemical vortex due to a local disturbance. J. Phys. Chem. 101, 1313-1316 (1997). 22)

Aliev, R. R., Davydov, V. A., Kusumi, T. and Yamaguchi, T. Long

Range Interaction of Vortices in a Chemical Active Medium. Netsu Sokutei 24(4), 194-198 (1997). 23)

Aliev, R. R., Yamaguchi, T. and Kuramoto, Y. On the Phase

Dynamics in the BZ Reaction J. Phys. Chem. A, 101 (42), 7691-7694 (1997). 24)

Agladze, K., Magome, N., Aliev, R., Yamaguchi, T., Yoshikawa, K.

Finding the optimal path with the aid of chemical wave. Physica D106 (34) 247-254 (1997). 25)

Kusumi, T., Yamaguchi, T., Aliev, R.R., Amemiya, T., Ohmori, T.,

Hashimoto, H. and Yoshikawa, K. Numerical study on time delay for chemical wave transmission via an inactive gap. Chem. Phys. Lett., 271(4-6), 355-360 (1997). 26)

Yamaguchi, T., Kusumi, T., Aliev, R. R., Amemiya, T., Ohmori, T.,

Nakaiwa, M., Urabe, K., Kinugasa, S., Hashimoto, H. and Yoshikawa, K.

233 Unidirectionality of Chemical

Diode. ACH - Models in

Chemistry, 135 (3), 401-408 (1998). 27)

Aliev, R., Richards, W., Wikswo, J. A Simple Nonlinear Model of

Electrical Activity in the Intestine. J. Theor. Biol., 204, 21-28 (2000). 28)

Bray, M., Shien-Fong Lin, Aliev, R., Roth, B., Wikswo, J.,

Experimental and Theoretical Analysis of Phase Singularity Dynamics in Cardiac Tissue J. Cardiovasc. Electrophysiology, 12(6), 716-722 (2001). 29)

Русаков А.В., Алиев Р.Р., Панфилов А.В., Медвинский А.Б.

Неустойчивость трехмерного свитка в простой модели гетерогенной возбудимой среды. Биофизика. 2002. Т. 47. В. 1. С. 111-115. 30)

V. Y. Sidorov, R. R. Aliev, M. C. Woods, F. Baudenbacher, P.

Baudenbacher, and J. P. Wikswo. Spatiotemporal Dynamics of Damped Propagation in Excitable Cardiac Tissue. Phys. Rev. Lett., 91(20), 208104-4 (2003). 31)

Алиев Р.Р., Федоров В.В., Розенштраух Л.В. Исследование

влияния ацетилхолина на ионные токи в одиночных клетках истинных и латентных водителей ритма синусового узла кролика методом компьютерного моделирования. ДАН 397(5), стр. 697-700 (2004). 32)

Алиев Р.Р., Федоров В.В., Розенштраух Л.В. Исследование

влияния ацетилхолина на возбудимость клеток истинных водителей ритма синусового узла кролика методом компьютерного моделирования. ДАН 402(4), 548-550 (2005). 33)

Алиев Р.Р., Чайлахян Л.М. Исследование влияния ацетилхолина

на внутриклеточный гомеостаз истинных водителей ритма

234 синусового узла кролика

методом компьютерного

моделирования. ДАН 402(5), 689-692 (2005). 34)

Алиев Р.Р., Чайлахян Л.М. Исследование преавтоматической

паузы под действием ацетилхолина в клетках истинных водителей ритма синусового узла кролика методом компьютерного моделирования. ДАН 402(6), 828-830 (2005). 35)

Л.В. Розенштраух, В.В. Федоров, Р.Р. Алиев, А.В. Глухов,

Т.В.Михеева, А.В.Резник, Ефимов И.Р. Изучение характера активации изолированного сердца гибернирующего суслика undulatus. Первый опыт оптического картирования сердца в России. Кардиология 4, 4-10 (2005). 36)

VV. Fedorov, Li Li, A Glukhov, I Shishkina, RR. Aliev, T

Mikheeva, VP Nikolski, LV. Rosenshtraukh, IR Efimov. Hibernator Citellus undulatus maintains safe cardiac conduction and is protected against tachyarrhythmias during extreme hypothermia: Possible role of Cx43 and Cx45 up-regulation. Heart Rhythm 2, 966-975 (2005). 37)

Р.Р. Алиев, Л.В. Розенштраух. Теоретический анализ

модальности реакций водителя ритма синусового узла в зависимости от временных характеристик действия на них ацетилхолина. Росс.Физиол.Ж. 92(9), 1069-1077 (2006). 38)

Р.Р. Алиев. Влияние флуктуаций потенциала на активность

клеток синусового узла. Биофизика 51(6), 1087-1091 (2006). 39)

Л.В. Розенштраух, Р.Р. Алиев, Г.Г. Белошапко, А.В. Юшманова

Экспериментальный и теоретический анализ роли локальной невозбудимости холинергической природы в возникновении мерцания и трепетания предсердий. Кардиология, 4, 4-17 (2007).