量子コンピュータ入門 (情報科学セミナー)

情 ★報 ・科 ・学

Lヨ1躍 ゴン胃M …タ1尚 西嗣酋朗 暫

躍

Ｒ<日 本 複 写権 セ ン ター 委託 出版 物 ・特 別 扱 い> 本書 の 無 断複 写 は,著 作権 法 上 で の例 外 を除 き,禁 じられ て い ます 。 本 書 は,日 本 複 写権 セ ン ター 「出版 物 の 複 写 利用 規 程 」 で定 め る特別 許諾 を必要 とす る出 版物 です 。 本 書 を複 写 され る場 合 は,す で に 日本 複 写 権 セ ン ター と包 括 契約 を され て い る方 も事 前 に 日本 複写 権 セ ン タ ー(03-3401-2382)の

許 諾 を 得 て くだ さ い

。

は じめ に

  本 書 の 目的 は,最 近 話 題 に な っ て い る 量 子 コ ン ピュ ー タ の概 念 を,な るべ く多 くの 読 者 に正 し く理 解 して い た だ くこ とで あ る.そ の た め に,量 子 コ ン ピュ ー タ の 根 底 に あ る考 え 方 を,計 算 機 科 学 の 立 場 か ら な るべ く平 易 に解 説 す る こ と を心 が け た.ま た,量 子 コ ン ピ ュ ー タ上 にお け る効 率 的 な ア ル ゴ リズ ム 設計 法 や,量 子 コ ン ピュ ー タの 実 現 可 能 性 につ い て も紹 介 した.   実 は,量

子 コ ン ピ ュ ー タ は ま だ 実 現 で き て い な い し,近

も 考 え ら れ て い な い.現 な く,量

子Turing機

在 考 案 さ れ て い る の は,量

い 将 来 に実 用 に な る と

子 コ ン ピュ ー タそ の もの で は

械 と い う量 子 コ ン ピ ュ ー タ の 数 学 的 モ デ ル な の で あ る.

  理 論 の 重要 な役割 の 一 つ は未 来 を予 見 す る こ とで あ る.英 国 の数 学 者Alan  Turing が 偉 大 だ っ た の は,コ

ン ピュ ー タが 影 も形 もな か っ た1930年

ピュ ー タの 数 学 的 モ デ ルで あ るTuring機

代 に,現 在 の コ ン

械 を考 案 した 点 に あ る .

  とこ ろ で,現 在 の コ ン ピ ュ ー タの 数 学 的 モデ ルがTuring機 そ れ らの構 造 は あ ま り に異 な っ て い るの で,す

械 だ とい わ れ て も,

ぐ に は納 得 で き な い 方 が 多 い だ ろ

う.現 在 の 我 々で す らそ の よ うな状 況 な の だ か ら,Turing機

械が考案 された当時

の 人 々 に は,現 在 の コ ン ピ ュ ー タの 実 現 形 態 は ま っ た く想 像 で きな か っ た はず で あ る.そ れ と同 じ よ うに,量 子Turing機 に は,も

械 が 考 案 され て ま だ間 もな い現 在 の我 々

し量 子 コ ン ピュ ー タが 未 来 に 実 現 され る と して も,そ の 姿 が 想 像 で き な

い の は 当 然 の こ とで あ る.   本書 を読 ん で,量 子Turing機

械 に興 味 を持 た れ た ら,是 非,そ

方 法 に も思 い を はせ て い た だ きた い.世

の物理 的実現

界 初 の 量 子 コ ン ピュ ー タが 日本 で 開 発 さ

れ た ら,ど ん な に 素 晴 ら しい こ とで あ ろ うか.

本 書 の構 成   本 書 の 第 Ⅰ部(第1∼3章)は

イ ンフ ォー マ ル な解 説 にあ て た.第

Ⅰ部 を お 読 み

い た だ くだ け で,前 提 知 識 な しに,量 子 コ ン ピ ュ ー タ とは 何 か が お お む ね 理 解 で き る よ う に配 慮 した.第

Ⅰ部 の 記 述 は啓 蒙書 の レベ ル で あ る.

  理 論 を よ り正 確 に理 解 した い 方 は,続 ん で い た だ きた い.第

く第 Ⅱ 部(第4∼6章)の

各章 を読み進

Ⅱ 部 も,な るべ く記 述 が 平 易 にな る よ うに心 が け た.第

Ⅱ

部 の 記 述 の レベ ル は,啓 蒙 書 と学 術 論 文 の 中 間 程 度 の レベ ル で あ る.本 書 の 構 成 は 以 下 の とお りで あ る.

第 Ⅰ部   量 子 コ ン ピュ ー タの 初 歩 第 １章 新 た な計 算 モデ ル の 出現 量 子 コ ン ピ ュ ー タの 概 念 が 登 場 し た背 景 や,研 状 な ど に つ い て 述 べ る.さ

究 の 簡 単 な歴 史,研 究 の現

らに,量 子 コ ン ピ ュー タの 動 作 原 理 を直 観 的 に

説 明 す る. 第 ２章

量 子 コ ン ピ ュ ー タ と は?

一 般 読 者 向 け の イ ン フ ォー マ ル な 解 説 .量 子 コ ン ピ ュ ー タの 理 論 的 枠 組 み を,で

き るだ け わ か りや す く説 明 す る.Shorの

因 数 分 解 ア ル ゴ リズ ム を直

観 的 に理 解 す る こ と を 目 標 と した. 第 ３章 量 子 コ ン ピュ ー タの 実 現 に向 け て 量 子 コ ン ピ ュ ー タの 実 現 に 関 し,主

に物 理 学 者 た ち が 行 っ て い る基 礎 研 究

の現 状 を紹 介 す る.関 連 論 文 が 投 稿 され て い るWWWサ ど も紹 介 す る. 第 Ⅱ 部   量 子 コ ン ピュ ー タの理 論

第 ４章 計算論概 説

イ トの ア ド レス な

本 書 の 範 囲 で必 要 と な る,計 算 論 に 関 す る基 本 事 項 を解 説 す る.Turing機 械,ラ

ン ダム ・ア ル ゴ リズ ム,計 算 量 理 論 な どに つ い て,な

るべ く平 易 に説

明 す る. 第 ５章 量 子 コ ン ピ ュ ー タの 数 学 的 モ デ ル 量 子Turing機

械 の 定 義 と,そ の性 質 を紹 介 す る.さ

らに,そ の モ デ ル上 で

定 義 さ れ る計 算 量 ク ラ ス につ い て も述 べ る. 第 ６章 量 子 ア ル ゴ リズ ム の 設 計 法 最 近,話

題 に な っ て い る,Shorの

因 数 分 解 アル ゴ リズ ム の 詳 細 な 解 説 に 焦

点 を あ て て,量 子 コ ン ピュ ー タ 上 の 効 率 的 ア ル ゴ リズ ム の動 作 に つ い て 説 明 す る. あ とが き 量 子 コ ン ピュ ー タ研 究 の 進 め 方 や,今 後 の 展 望 に つ い て 述 べ る.論 文 や 書 籍 の 購 読 ガ イ ドも掲 載 し た. 文 献 リス ト

  量 子 コ ン ピュ ー タの研 究 は,ま だ始 ま った ばか りで あ る.こ の 時 期 に,こ の チ ャ ン ス に あ ふ れ た 分 野 を多 くの 方 々 に知 っ て い た だ き た い と思 い,と 書 を 出版 し よ う と心 が け た.そ の 結 果,多 な っ た の で は な い か と,少

に か く早 く本

少 荒 削 りな もの をお 目 に か け る結 果 に

し気 に な っ て い る.本 書 を 読 んで,１ 人 で も多 くの 方

が 量 子 コ ン ピュ ー タ に興 味 を持 っ て 下 され ば,筆 者 に と っ て は望 外 の 喜 びで あ る.   本 書 の 執 筆 に際 し,東 京 電 機 大 学 出版 局 の 植 村 八 潮 氏 に は い ろ い ろ な ご助 言 を い た だ い た.末 筆 な が ら深 く感 謝 申 し上 げ る. 1997年2月 付 記     山 口大 学 理 学 部 の 松 野 浩 嗣 先 生 に は,本 書 の 初 版 の誤 記 誤 植 を 多数 ご指 摘 い た だ い た.３ 刷 に あ た っ て 付 記 して 深 く感 謝 申 し上 げ る. 2001年11月

西野哲朗

次

目

は じめ に

ｉ

第 Ⅰ部 第 １章

量 子 コン ピュー タの初歩

新 た な計 算 モ デル の 出現

３

1.1

量 子 コ ン ピ ュ ー タの 定 義

４

1.2

半導体技術 の 限界

５

1.3

量子力 学

６

1.4

Feynmanの

1.5

量 子 コ ン ピ ュ ー タの 数 学 的 モ デ ル の 誕 生

1.6

量 子 コ ン ピ ュ ー タ研 究 の活 発 化

11

1.7

量 子 コ ン ピ ュ ー タへ の 期 待

13

量 子 コ ン ピ ュ ー タ と は?

15

2.1

Turing機

16

2.2

簡 単 な確 率 的Turing機

第 ２章

指摘

７ ９

械

械

18

2.2.1

記憶 容 量 １ ビ ッ トの 確 率 的Turing機

2.2.2

状 態 ベ ク トル と遷 移行 列

20

2.2.3

状 態の重 ね合 わせ

22

2.2.4

遷 移行列 が満 たす べ き条件

22

2.2.5

計算 木

23

械

18

2.2.6 2.3

2.4

第 ３章

計算 木が満 たすべ き条件

簡 単 な 量 子Turing機

26

械

27

2.3.1

記 憶 容 量 １ ビ ッ ト の 量 子Turing機

2.3.2

1QTMの

2.3.3

状態の干 渉

31

2.3.4

計算木が満 たす べ き条件

32

2.3.5

1QTMの

33

Shorの

因数 分 解 ア ル ゴ リズ ム の 動 作 原 理

36

2.4.1

因数 分 解 の 難 し さ

36

2.4.2

量 子Turing機

械 とは

37

2.4.3

離 散Fourier変

換

41

2.4.4

量子並列計 算

2.4.5

２段Fourier変

2.4.6

量 子 ｋ面 サ イ コ ロ投 げ

械

計算木

遷移行列

27 28

44 換

46 50

量 子 コ ン ピュー タの 実現 に向 け て

53

3.1

量子情報

54

3.2

量子 回路

56

3.3

量 子 系 の シ ミュ レ ー シ ョ ン

58

3.4

量 子 コ ン ピュ ー タの 実 現 に お け る問 題 点

60

3.5

研 究の ための情報 源

61

第 Ⅱ部

量子 コン ピュ ー タの理 論

計算論概説

67

4.1

計算 時間の測 り方

68

4.2

計算機 の物理的実現方法 と計算 時間

73

4.3

多 項 式 時 間 ア ル ゴ リズ ム

75

第 ４章

4.4

確 率 的 ア ル ゴ リズ ム

77

4.5

P=NP?問

80

4.6

形式言 語

4.7

Turing機

4.8

計算 量の概念

88

4.9

計算 量 の ク ラス と完 全 問題

90

量子 コ ン ピュー タの数 学 的 モデ ル

95

5.1

Turing機

96

5.2

量 子Turing機

第 ５章

5.3

第 ６章

題

83 85

械

械 の拡張

97

械

97

5.2.1

テ ン ソ ル積

5.2.2

量 子Turing機

械 の 物 理 的表 現

5.2.3

量子Turing機

械の定義

5.2.4

計算過程 と結果の観測

102

5.2.5

万 能 量 子Turing機

104

械

99

100

量 子 計 算 量 の クラ ス

105

量 子 ア ル ゴ リズムの 設計 法

109 110

6.1

DeutschとJozsaの

6.2

因 数 分 解 ア ル ゴ リズ ム の現 状

113

6.3

因数分解 の整数論的基礎

115

6.4

離 散Fourier変

120

6.5

Shorの

ア ル ゴ リズ ム(簡 単 な場 合)

122

6.6

Shorの

ア ル ゴ リ ズ ム(一

125

あ とが き

参考 文献 索    引

ア ル ゴ リズ ム

換

般 の 場 合)

129

136 ・142

第 Ⅰ 部 量 子 コンピュータの初 歩

量 子 コ ン ピ ュ ー タの 初 歩

第 Ⅰ部

  量 子Turing機

械 の 理論 を完 全 に理 解 す る こ とは,残 念 なが ら,非 常 に難 しい と

い わ ざ る を得 な い.こ の 理論 は,コ

ン ピュー タ ・サ イエ ンス の 基礎 理 論 で あ る理 論

計 算 機 科 学 と い う学 問 分 野 の最 先 端 の研 究 テ ー マ で あ る.理 論 計 算 機 科 学 の教 育 は,現 在,日

本 の幾 つ か の 大 学 の情 報 系 学 科 で 主 に行 われ てい るが,大

学 生 に理

論 計 算 機 科 学 の基 礎 を完 全 に 身 につ け て も ら う ため に は,や は り最 低 で も2∼3 年 の教 育 を必 要 とす る.一 方,社 の ため に2∼3冊

会 人 の 方 々 の場 合 に は,理 論 計 算 機 科 学 の 習 得

の 標 準 的 な教 科書 を読 む こ とが で きれ ば理 想 的 で あ る.し か し,

何 か と忙 しい この ご時 勢 で は,そ   そ こ で,本 書 の 第 ２章 は,い

の よ う な時 間 を確 保 す る こ と は非 常 に 難 しい.

ま まで 理 論 計 算 機 科 学 な ど聞 い た こ と もな い とい

う方 々 に も,量 子 コ ン ピュ ー タが どの よ うな動 作 原 理 で動 く機 械 なの か を,直 観 的 に,し か もで き る だけ 正確 に理 解 して い た だ くこ と を目 的 と して 書 い た.筆 者 の 乏 しい力 量 で そ の よ うな こ とが 可 能 と も思 わ れ な い が,本 章 の 記 述 に あ た って は,そ の 方 針 で で き る限 りの 努 力 を試 み た.   一般 読 者 を想 定 した 文 章 の 場 合,数 式 は極 力 書 か な い よ うに す るべ きだ が,量 子 コ ン ピ ュー タの 基 本 原 理 の 説 明 には,簡 単 な 数 式 は導 入 せ ざ る を得 な い.逆 に, 数 式 を使 わ ず にあ え て言 葉 で 説 明 す る と,か え って わ か り に く くな る よ うで あ る. そ こで,第

２章 で は,無 理 数 に関 す る 初 等 的 な計 算,２ 行 ２列 の 行 列 の 乗 算,級 数

の 和 の公 式,簡 単 な確 率 の 計 算 だ け は用 い る こ と に して記 述 を進 め た.こ 内 容 は お お む ね高 等 学校 で 習 得 す る もの だが,こ

れ らの

れ だ け の 前 提 知 識 で コ ン ピュ ー

タ ・サ イエ ン ス の最 先 端 の 話 題 を ご紹 介 す る わ け なの で,こ れ らの 数 学 的記 述 に つ い て は ど うか ご辛 抱 い た だ きた い .な お,上 記 の 数 学 的 事 項 に 関 して は,必 要 と な る箇 所 に な るべ く公 式 を掲 載 した の で,ご 参 照 い た だ き た い.   数 学 的 な詳 細 は と もか く,量 子 コ ン ピ ュー タが どの よ う な仕 組 み で動 作 す る の か は,第

Ⅰ部 の 内容 か ら だ い たい ご理 解 い た だけ る と思 う.も ち ろ ん,理 論 の詳

細 を完 全 に 理 解 す る こ と は,第

Ⅰ部 の 内容 だ け か らで は無 理 な の で,理

に 理 解 した い 方 は本 書 の 第 Ⅱ 部 を お読 み い ただ きた い.

論 を完 全

第 １章

新 た な計 算 モデ ル の 出現

  1994年

に,AT&TBell研

究 所 のP.  Shorは,量

子Turing機

数 の 因 数 分 解 を小 さ な 誤 り確 率 で 高 速 に 行 え る こ と を 示 し た.整 き く な る と,ス

の桁 数 が 大

ー パ ー コ ン ピ ュ ー タで さ え も 高 速 に は 行 え な い 作 業 で あ る と考 え ら れ て い る.

  も し量 子 コ ン ピ ュ ー タ を 実 際 に 作 る こ とが で き れ ば,Shorの 高 速 に 行 う こ と が で き る.と

こ ろ が,イ

て い る 公 開 鍵 暗 号 系 の 多 くは,現

ア ル ゴ リ ズ ム を用 い て 因 数 分 解 を

ン タ ー ネ ッ ト上 で セ キ ュ リテ ィを 確 保 す る た め に 使 わ れ

在 の コ ン ピ ュ ー タ が100桁

で き な い とい う事 実 に 基 づ い て い る.し ば,多

械 と い う計 算 モ デ ル 上 で,整 数 の 因 数 分 解 は,そ

た が っ て,量

以上 の 因数 を現実 的 時 間 内に は発 見

子 コ ン ピ ュ ー タ の ハ ッ カ ー が も し出 現 す れ

くの 人 々 に 不 安 を 与 え る こ と に な る で あ ろ う.

  こ の よ う な 報 道 が な さ れ た た め,米

国 で は量 子 コ ン ピュ ー タが 一 躍 注 目 を 集 め た.と

子 コ ン ピ ュ ー タが ど の よ う な 計 算 機 か と い う こ と は,意 本 章 で は,ま

ず 量 子 コ ン ピ ュ ー タ の 直 観 的 イ メ ー ジ と,量

つ い て 述 べ る.

こ ろ が,量

外 と正 確 に は 知 ら れ て い な い よ うで あ る. 子 コン ピュー タに 関す る研 究 の歴 史 に

1.1

量 子 コ ン ピュー タの定 義

  現 在 の コ ン ピ ュ ー タ は,Turing機 (計 算 モ デ ル)に

械(注  １)とい う コ ン ピ ュ ー タ の 数 学 的 モ デ ル

基 づ い て 構 築 さ れ て い る.理

見 す る こ と で あ る.英

国 の 数 学 者Alan 

Turingが

コ ン ピ ュ ー タ が 影 も 形 も な か っ た1936年 デ ル で あ るTuring機 物 理 学 者David  し た.本

偉 大 だ っ た の は,現

子Turing機

在 の よ うな

ご ろ に ,現 在 の コ ン ピ ュ ー タの 数 学 的 モ

械 を 考 案 し た 点 に あ る.1985年

Deutschは,量

書 で は,量

論 の 重 要 な役 割 の 一 つ は 未 来 を予

子Turing機

に, Turingと

同 じ英 国 人 の

械 とい う新 しい計 算 モ デ ル を提 案

械 をモ デ ル とす る コ ン ピ ュー タの こ と を量 子 コ

ン ピ ュ ー タ と 呼 ぶ.

  本 書 の 目的 は,最 近 話 題 に な って い る この 量 子 コ ン ピュ ー タの 理 論 的 枠 組 み を, な るべ く多 くの 読 者 に正 確 に 理 解 して い た だ くこ とで あ る.本 書 を お 読 み い た だ け れ ば わ か る が,量 子 コ ン ピュ ー タは まだ 実 現 され て い な い し,ま た,近 い 将 来 に実 用 に な る と もあ ま り考 え られ て い な い.現 在 ま で に量 子 コ ン ピ ュ ー タ につ い て 研 究 され て い る の は,そ の ほ とん どが,実 す る こ と で は な く,量 子Turing機

際 の 量 子 コ ン ピュ ー タの 設 計 法 に関

械 と い う計 算 モ デ ル の性 質 と,そ の モ デ ル 上

の 効 率 的 な ア ル ゴ リズ ム(問 題 の 解 法 手 続 き)の 設計 手 法 なの で あ る .本 書 で は, 量 子 コ ン ピュ ー タ の実 現 可 能性 につ い て も若 干 記 述 す るが,本 書 の 目的 は,あ

く

ま で, 量子Turing機

械 とい う ま っ た く新 しい 計 算 モ デ ル の 根底 にあ る考 え

方 を,理 論 計 算 機 科 学(注２)の 立 場 か ら解 説 す る こ と で あ る.あ わ せ て,量 子Turing機

械 上 に お け る,(理 論 上)効

率的 なアル ゴ

リズ ム の 設 計 法 に つ い て も紹 介 す る.   量 子 コ ン ピ ュー タ に関 す る研 究 は,ま だ 始 ま った ば か りで あ る.ご

く最 近 に なっ

て,量 子 コ ン ピ ュ ー タの 実現 に関 す る研 究 も盛 ん に な っ て きた し,理 論研 究 も加 速度 的 に件 数 が 増 え て い る の で,こ の 分 野 の 今 後 の進 展 に はお お い に 期待 で きる (注 １)Turing機 (注 ２)

械 につ い て は

第 ４章 参照.

,本

書 の 第 ２ 章 と 第 ４ 章 で 詳 し く述 べ る.

で あ ろ う.本 書 を読 ま れ た 多 くの 方 々が,そ

の よ うな研 究 の 本 質 的 な 意 味 を正 確

に理 解 で き る よ うに な っ て い た だ け れ ば幸 い で あ る.ま た,量 子 コ ン ピ ュ ー タの 理 論 や 実 現 に 関 す る研 究 に進 み た い 方 は,そ の た め に必 要 な 基 礎 知 識 が 本 書 か ら 得 られ る は ず で あ る.

1.2

半導体技術 の限界

  まず 最 初 に,量 子 コ ン ピ ュ ー タが提 案 され るに 至 っ た歴 史 的 背 景 を 簡 単 に述 べ て お く.コ ン ピュ ー タの誕 生 か ら今 日ま で の約50年

間,平 均 して 考 え れ ば,コ

ン

ピ ュ ー タ は ２年 ご と に そ の計 算 速 度 が ２倍 に 高 速 化 さ れ,し か も,そ の サ イ ズ は 半 分 に縮 小 化 さ れ て きた.50年

前,大 部 屋 を独 占 して い た初 期 の コ ン ピ ュ ー タ よ

り も,現 在 の パ ソ コ ンの 方 が 大 きな計 算 能 力 を持 って い る.し か し,こ の よ うな 急 速 な 進 歩 は つ い に終 わ り を告 げ,集 積 回 路 技 術 は そ の 限 界 に 直 面 して い る と い わ れ て い る.   現 在 の 集 積 回 路 は,人 で きて い る.さ

間 の 髪 の 毛 の 幅 よ り もは るか に小 さな トラ ン ジ ス タか ら

らに,最 先 端 の技 術 を用 い る と,現 在 の もの よ り も100倍

も小 さ

な ト ラ ン ジ ス タ を生 産 す る こ とが で き るそ うで あ る.し か し,そ の よ うな ミク ロ の 世 界 で は,個 々 の 原 子 が 姿 を現 す た め,現 在 の 理 論 に基 づ く集積 回 路 は 機 能 し な くな る とい わ れ て い る.し た が っ て,将 来 コ ン ピュ ー タ を ミク ロ化 した け れ ば, ま っ た く新 しい 理論 に基 づ く新 技 術 が 必 要 とな る.   そ も そ も,コ ま た,コ

ン ピ ュ ー タ を 構 成 す る 回 路 は ど こ ま で 小 さ くで き る の だ ろ う か?

ン ピ ュ ー タ の 計 算 過 程 に お い て,最

消 費 さ れ ね ば な ら な い の だ ろ う か? 

低 限 どの くら いの 量 の エ ネ ル ギ ーが

コ ン ピ ュ ー タ を ミ ク ロ 化 す る た め に は,こ

の よ う な 物 理 的 限 界 を 明 ら か に し て お か な け れ ば な ら な い.コ 化 に 関 す る こ の よ う な 問 題 に 答 え る た め に,IBMト ２人 の 先 駆 的 研 究 者Rolf  LandauerとCharles 

ー マ スJ.ワ H. Bennettは,計

ン ピ ュ ー タの 小 型 ト ソ ン研 究 所 の 算 の物理 学 に

つ い て の 研 究 を 数 十 年 前 か ら 今 日 に 至 る ま で 続 け て い る[9,30].

コ ン ピ ュ ー タは物 理 的 装 置 で あ るか ら,そ の 動 作 や性 質 は物 理 学 の 言 葉 で 記 述

す る こ とが で き る.こ の と き,コ

ン ピ ュー タが 非 常 に小 さ くな れ ば,そ

の動 作 の

記 述 は古 典 力 学 で は な く,量 子 力学 に よ って 与 え な け れ ば現 実 に そ ぐわ な くな る. 実 際,電

子 や 原 子 な どの ミク ロ な物 理 系 の 振 る舞 い は,古 典 力 学 で は 正 確 に表 現

で きな い が,量 子 力 学 を 用 い て 表 現 す る と実 験 事 実 を うま く説 明 で きる.し か し, 量 子 力 学 的 世 界 を支 配 す る確 率 法 則 は,マ

ク ロ な 世 界 に住 ん で い る 私 た ち人 間の

直 観 に は 反す る もの で あ る.こ の確 率 法 則 の違 い の た め に,量 子 力 学 的現 象 は,私 た ちが 慣 れ 親 し んで い る 古 典 力 学 的 現 象 とは ま っ た く異 な っ て い る.

1.3  量 子 力学   量 子 力 学 の 理 論 は,デ

ンマ ー ク の物 理 学 者Niels  Bohrら

よ く知 られ て い る よ うに,我

に よ って 構 築 され た.

々の 直観 に反 す る よ うな 多 くの 実 験 結 果 が,量 子 力

学 を用 い て説 明 した り,予 想 す る こ とが で きた.量 子 コ ン ピ ュ ー タの動 作 を正 し く理 解 す るた め に は,波 動 と粒 子 の 二 重 性 と呼 ば れ る 量 子 力 学 にお け る一 つ の 事 実 を理 解 して お け ば よい.波 動 と粒 子 の 二 重 性 は,非 常 に 大 雑 把 に い え ば,以 下 の こ とを 述 べ て い る. 原 子 の よ うな,我 々が 粒 子 と考 え て い る もの が,あ 波 の よ うに振 る 舞 い,逆 に,光 の よ うな,我 が,時

る環 境 の も とで は

々が 波 と考 えて い る もの

と し て粒 子 の よ う に振 る舞 う.

  量 子 力 学 の 理 論 は,ど

の よ うな 波 に 対 して,ど の よ うな 粒 子 が 対 応 す るか につ

い て 述 べ て い る と考 え る こ とが で き る.   波 動 と粒 子 の 二 重 性 か ら導 か れ る 第一 の 帰 結 は,原 子 の よ うな小 さな物 理系 は, 離 散 的 な エ ネ ル ギ ー 状態 の み を取 り得 る とい うこ とで あ る.原 子 が あ る エ ネ ル ギー 状 態 か ら他 の エ ネ ル ギ ー状 態 に移 る と きに は,光 子 と呼 ばれ る一 定量 のエ ネ ルギ ー の か た ま り を吸 収 また は 放 出 す る.こ の 光 子 は,光 い る.

を構 成 す る粒 子 と考 え られ て

  波 動 と粒 子 の 二 重 性 か らの 第二 の 帰 結 は,量 子 力 学 的 波 は水 面 の 波 の よ うに 重 ね 合 わ せ る(加

え合 わせ る)こ

とが で き る とい う こ とで あ る.こ の 場 合,重

ね合

わ さ れ る個 々の 波 は,あ る一 つ の 粒 子 の位 置 をお お まか に記 述 して い る.し か し， この よ う な波 が 二 つ 以 上 重 ね 合 わ され る と,各 粒 子 の 位 置 は不 確 か に な る.量 子 力 学 に お い て は,一 つ の粒 子 が 二 つ の位 置 に同 時 に存 在 す る と考 え る こ とが あ る. この よ う な粒 子 の位 置 は,例

え ば,光 子 が 電子 か ら飛 び 出す とい う よ うな,あ

る

種 の 相 互 作 用 に よ って,そ の粒 子 が ど ち らの位 置 に 存 在 す るか が 判 明 す る まで は, わ か らな い ま ま で あ る.   二 つ の 重 ね 合 わ され た 量 子 波 は,そ れ らが 一 つ の 波 の よ うに振 る 舞 う と き,コ ヒ ー レ ン トで あ る とい わ れ る.一 方,二 つ の コ ヒ ー レ ン トな 波 が,そ れ ぞ れ の 独 自性 を 回復 す る過 程 を,デ

コ ヒ ー レ ン ス とい う.一 般 にデ コ ヒ ー レ ンス に は,長

い 時 間 が か か る可 能性 が あ る.例 え ば,光 子 が 電 子 に衝 突 す る こ と に よ り,そ の 真 の 位 置 を明 ら か に す る まで に は,数

日 を 要す る 場 合 もあ る.原 理 的 に は,野 球

の ボ ー ル も二 つ の 位 置 に 同 時 に存 在 し得 るが,実 確 な 位 置 が す ぐ に検 出 で きて しま うた め に,そ 性 を持 つ の は,ミ

際 に は,ボ ー ル は 大 き過 ぎて 正 うは な らな い.波 動 と粒 子 の 二 重

ク ロ サ イズ の も の の み で あ る.

  量 子 力 学 につ い て の 教 科 書 や 啓 蒙書 は 多 数 出版 され て い る が,情 報 分 野 の研 究 者 に 理 解 しや す い もの と して は,[32,41，44，45,50]な

1.4 

Feynmanの an

一般 に

どが あ る.

の指 摘

,汎 用 コ ン ピュ ー タは 以 下 の 条件 を満 たす よ うな万 能 計 算 装 置 で あ る こ

とが 理 想 で あ る. 汎 用 コ ン ピ ュ ー タ は,任 意 の 物 理 的 計 算 装 置 を効 率 よ く シ ミュ レー シ ョ ン(模

倣)す

る こ と が で き る.

こ こで,「効 率 よ く」 とい うの は,「た か だ か 多 項 式 倍 の計 算 時 間 で 」 とい う意 味 で あ る.つ ま り,任 意 の 計 算装 置 Ｍ を考 え,Ｍ

が サ イズ ｎ の 入 力 に対 して,た か

だ かt(n)ス

テ ッ プ 以 内 に 計 算 を 終 了 す る と す れ ば,汎

と 同 じ計 算 を(t(n))κ

ス テ ッ プ 以 内 に 行 わ な け れ ば な ら な い(た

従 来 の 計 算 論 に お い て は,こ て い た.例

え ば,万

意 のTuring機

用 コンピュー タ Ｕ はそれ だ し κ は 定 数) .

の よ うな 汎 用 コ ン ピ ュ ー タの 数 学 的 モ デ ル が 存 在 し

能Turing機

械[27]と

い う 汎 用 コ ン ピ ュ ー タ の モ デ ル は,任

械 を 効 率 よ く模 倣 で き る こ と が 知 ら れ て い る.

  と こ ろ で,通 常 のTuring機

械 は,計 算 の 各 ス テ ップ や,テ ー プ へ の 情 報 の 書 き

込 み ・読 み 出 しが確 定 的 に行 わ れ るか ら,そ の 意 味 で は古 典 力 学 で 記 述 で き るモ デ ル で あ る.そ

こで,量 子 力 学 を考 慮 に 入 れ て も,上 の 命 題 が 同 様 に成 り立 つ か

とい う疑 問 が 生 じ る.   量 子 力 学 的 動 作 原 理 が 計 算 に どの よ うな影 響 を及 ぼ す か を 最初 に 問 題 に した の は,Richard  Ｐ.  Feynmanで

あ った[20 ,21].彼 は,古 典 的 な ノ イマ ン型 コ ン ピュー

タ を用 い て量 子 系 を シ ミュ レ ー シ ョ ンす る と,上 で 述 べ た確 率 法 則 の 違 い の ため に,非 常 に 多 くの 計 算 時 間 が必 要 と な る可 能 性 が あ る こ とを指 摘 した.彼 は また, この 問 題 を回 避 す る た め に,量 子 力 学 的 原 理 に基 づ くコ ン ピ ュ ー タが 利 用 で き る 可 能性 につ い て も述 べ た.つ ま り彼 は,量 子 コ ン ピ ュー タが(未 知 の 物 質 を も含 め た)量 子 系 の シ ミュ レー シ ョン に役 立 つ か も しれ な い とい う こ と を指 摘 した の だ . 見 方 を変 え れ ば,彼

は暗 に次 の よ うな問 題 を提 示 した と考 え る こ と もで きる.

量 子 力 学 的 動 作 原 理 に 基 づ くコ ン ピ ュー タは,古 典 的 コ ン ピ ュ ー タよ り も効 率 的 に計 算 が 行 え るか? この 問 題 につ い て は,第

４章 以 降 で 詳 し く述 べ る.

  アル ゴ ンヌ 国 立 研 究所 のPaul  Benioffは,通 学 を用 い て 表現 で きる こ とを,1980年

常 の コ ン ピュ ー タの 動 作 が 量 子 力

代 初 め に示 した[８].具 体 的 にはBenioffは,

量 子 力 学 の 最 も基 本 的 な枠 組 み で あ る量 子 過 程 の 可 逆 ユ ニ タ リ発 展 に よ っ て,通 常 のTuring機

械 が模 倣 で き る こ と を示 した.し か し,彼 は 量 子 力 学 的 動 作 原 理 を

用 い る こ と で,よ

り大 きな計 算 能 力 が 得 られ るか 否 か に つ い て は考 察 し なか った.

1.5

量子 コ ン ピュー タの数 学 的 モデ ルの誕 生

  最 近 話 題 に な って い る量 子 コ ン ピ ュー タの 明確 な数 学 的 モ デ ル を最 初 に 与 えた の は,Oxford大

学 数 理 研 究 所 の物 理 学 者David  Deutschで

量 子 コ ン ピ ュ ー タの 数 学 的 モ デ ル で あ る量 子Turing機 そ れ らの数 学 的 性 質 を研 究 した.そ

あ る[15,16].彼

は,

械 と量 子 回 路 を定 義 し,

して,そ れ らの モ デ ルが 現 在 の コ ン ピュー タの

数 学 的 モ デ ル とどの よ うに違 うの か を発 見 し よ う と試 み た.特 に彼 は,コ ン ピュー タの 計 算 速 度 を飛 躍 的 に向 上 させ るの に,量 子 力 学 的 効 果 が 利 用 で きる の で は な い か と考 え た.   こ こ で,量 f(x)の

子 コ ン ピ ュ ー タ の 直 観 的 イ メ ー ジ を 述 べ て お こ う.例

値 を コ ン ピ ュ ー タ に 計 算 させ る こ と を 考 え る.た

る 値 は,x1,x2,…,x7の

７通 り の み と す る.い

対 し て,f(xi)=aと   現 在 の(逐

ン ピ ュ ー タ を 用 い て,こ

７ 台 の コ ン ピ ュ ー タ を 用 意 し て,そ

数 ｘ が 取 り得

る 入 力xi(1〓2〓7)に

の 問 題 を な る べ く速 く解 く に は,

れ ら を 並 列 に 動 作 さ せ れ ば よ い.７

台 の コン

値 を計 算 す る た め の 同 じ プ ロ グ ラ ム に 従 っ て 動 作 す る が,７

へ の 入 力 は す べ て 違 え て お く.こ 1.1(ａ)参

数

な る こ と が あ る か ど う か を 知 り た い と し よ う(注 １).

次 型)コ

ピ ュ ー タ はf(ｘ)の

ま,あ

だ し,変

と し て,関

の よ う な 処 理 がtn時

台

間 で 行 え る と し よ う(図

照).

  こ れ と 同 じ作業 を,量 子 コ ン ピ ュ ー タな らば た っ た １台 で,し か も 同 じ計 算 時 間tnで

行 え る.ま ず,量 子 コ ン ピュ ー タに お い て は,通 常 の ７台 の コ ン ピ ュー タ

そ れ ぞ れ の 計 算 過 程 が,あ

る波 と して表 現 され る(図1.1(ｂ)参

照).こ

れ らの 波

の 波 長 や 振 幅 は,計 算 結 果 が 違 え ば異 な っ て い る もの とす る.ま た,同

じ計 算 結

果 に 対 応 す る波 で も,位 相 が異 な って い る こ と もあ る.例

え ば,図(ｂ)中

の出力

が ｂの 場 合 に 対 応 す る太 線 の二 つ の波 と,出 力 が ｃの 場 合 に対 応 す る点 線 の 二 つ の 波 は,そ れ ぞ れ位 相 が 逆 に な っ て い る.   量 子 コ ン ピ ュ ー タ で は,通

常 の ７台 の コ ン ピ ュ ー タが 別 々 に 行 う計 算 を,上

で述

べ た ７個 の 波 を 一 つ に 重 ね 合 わ せ て し ま う こ と に よ り,１ 台 で 行 う こ と が で き る. (注１)ここ で ７ とい う数 字 は本 質 的で は ない .こ こ での 議論 は,人 力 が 何 通 りの場 合 で も成 り 立つ.

(ａ)

(ｂ)

(ｃ)

図1.1

量 子 コ ン ピュー タの概 念 図.(ａ)通 常 の 並列計 算 の過 程,(ｂ)各 計算 過 程 の波 に よる表現 ,( ｃ)重ね 合 わ され た波.

しか も,こ の よ うに 波 を重 ね合 わせ た と きに,位 相 の異 な る 波(図1.1(ｂ)の の 波 や 点 線 の 波)は

太線

打 ち消 し合 っ て 消 え て しま う(負 の 干 渉) .一 方,図1.1(ｂ)

の 実 線 の 波 の よ うな,波 長 の 同 じ波 同士 は 強 め 合 う(正 の 干 渉) .   量 子 コ ン ピ ュ ー タ にお け る計 算 で は,所 望 の 結 果(図 過 程 が お互 い に強 め 合 い,そ きれ ば,計 算 終 了 後(図

の 例 で は ａ)を 出 す 計 算

の 他 の 計 算 過 程 は逆 に弱 め合 う よ うにす る こ とが で

の 時 刻tn)に

出 力 を観 測 した と きに,高 い確 率 で 所 望 の

結 果 を読 み 出せ る.例 え ば,図1.1(ｃ)に

お い て は,実 線 の波 同 士 は強 め合 っ て い

る の に対 し,太 線 の波 と点 線 の 波 は打 ち消 し合 っ て消 え て し まっ て い る.し た が っ て,時 刻tnに

出 力 結 果a(実

と結 果 ｃ(点 線 の波)を

線 の 波)を 読 み 出 す 確 率 は １,結 果 ｂ(太 線 の波)

読 み 出 す 確 率 は と も に ０ とな る.

量子 コ ン ピュ ー タ研 究 の活 発 化

1.6

  実 は,1980年 代 後 半 に,量 子 コ ン ピュ ー タの研 究 は 一 時 衰 え を見せ た.そ の 第 一の原因は ,こ の 分野 の研 究 者 が すべ て,量 子 コ ン ピュー タの 理 論 的 考 察 の み を行 い,そ

れ を実 現 す る た め の 物 理 的 研 究 を行 わ なか っ た こ とで あ る .こ の ア プ ロ ー

チ をIBMのLandauerは

特 に厳 し く批 判 した.ま た,量 子 コ ン ピ ュー タは エ ラー

を起 こ しや す く,誤 り訂 正 が 深 刻 な 問 題 に な る こ と も明 らか に な って きた.と ろ が,何

こ

か 具 体 的 な 数 学 的 問 題 を,量 子 コ ン ピュ ー タが現 在 の コ ン ピ ュー タ よ り

も実 際 に速 く解 け る か 否 か は 不 明 の ま ま で あ った.   と こ ろ が,こ

の 数 年 間 で 事 態 は 一 変 し た.1994年

にAT&T, 

Bell研

究所 の

Peter  W.  Shorが,

量 子Turing機

械 を用 い る と,因 数 分 解 問 題 と離 散 対 数 問 題 が非 常 に

小さな 誤 り確 率 で 高 速 に 解 け る こ と を示 し,大 き なブ レ ー クス ル ー を もた ら した.こ こで,因 数 分 解 問 題 とは ,「整 数 Ｎ が 与 え られ た と き に,Ｎ

の 非 自明 な(つ

ま り １と Ｎ 以 外 の)因 数 が 存 在

す る な らば,そ れ を １組 発 見 せ よ 」 とい う問 題 で あ る.ま た,離 散 対 数 問 題 とは, 「素 数 ｐ,整 数 ｇ と整 数 ｘ(mod  p)が 与 え られ た と きに,gr=x(mod 

p)と な

る整 数 γ を発 見 せ よ」 とい う問 題 で あ る.整 数 Ｎ の 因数 分 解 は,Ｎ

が比 較 的小

さ な数 の 場 合 に は,現 在 の コ ン ピ ュ ー タで も十 分 実 用 的 な時 間 内 に行 え る が,Ｎ が 大 き くな る に従 っ て膨 大 な計 算 時 間 が 必 要 とな り,現 在 最 も強 力 な ス ーパ ー コ ン ピ ュ ー タ を用 い て も行 え な くな る.同 様 に 離 散 対 数 問題 も,一 般 に,現 在 の コ ン ピ ュ ー タで は 効 率 よ く解 くこ と はで きな い と考 え ら れ て い る .効 率 的 な量 子 ア

ル ゴ リズ ム の 設 計 法 につ い て は,第   Shorの

この 結 果 は,1994年

６章 で詳 し く述 べ る.

に ア メ リカ で 大 反 響 を巻 き起 こ した.と

現 在 提 案 され て い るRSAな

い うの は,

どの 公 開 鍵 暗 号 系 の 代 表 的 な もの が,因 数 分解 問 題

と離 散 対 数 問題 の 難 し さ を前 提 と して 設 計 され て い る か らで あ る.つ

ま り,大 き

な 整 数 の 因数 分 解 の 難 し さが,暗 号 解 読 の 難 し さに 対 応 す る よ うに 暗 号 系 が 設 計 さ れ て い る の だ.公 開 鍵 暗号 は,こ れ か らの イ ン ター ネ ッ ト社 会 に お い て,情 報 セ キ ュ リテ ィの 要 に な る と考 え られ て い る.し た が って,も が 実 現 で きて しま うと,Shorの

し量 子 コ ン ピュ ー タ

ア ル ゴ リ ズム を用 い て,因 数 分 解 や 離 散 対 数 に基

づ い た 公 開鍵 暗 号 を高 い 確 率 で 破 れ る こ とに な り,大 きな 社 会 不 安 が もた ら され る可 能性 が あ る.し か し,現 在 ま で の研 究 成 果 か ら判 断 す る と,近 い 将 来 に そ の よ うな 社 会 不 安 が起 こ る可 能 性 は ほ とん ど な さそ うで あ る.実 は そ の く らい,量 子 コ ン ピ ュ ー タの 実 現 は難 しそ うな の で あ る.   上 で 述 べ たShorの だが,こ

結 果 は,量 子Turing機

こ で 注 意 す べ き こ とは,Shor自

で あ る.す な わ ち,最 初 はDeutschら 機 械 の 計 算 能 力 が,1990年

械 の計 算 能 力 を数 学 的 に示 した もの

身 は理 論 計 算 機 科 学 者 で あ る とい う こ と の 物 理 学 者 に よ って提 案 され た 量 子Turing

ご ろ か ら計 算 機 科 学 者 に よっ て も研 究 さ れ る よ う に

な っ たの だ.詳 しい こ とは後 の章 で紹 介 す る が,Shorの とVazirani, Yao, Simonら

結 果 以 外 に も,  Bernstein

の 理 論 計 算 機 科 学 者 が 優 れ た計 算 論 的研 究 成 果 を発 表

し,量 子 コ ン ピ ュー タの 計 算 論 的 基礎 を築 き上 げ た.本 書 の 目的 は,Shorの

因数

分 解 ア ル ゴ リズ ム の 解 説 を中 心 に,量 子 コ ン ピュ ー タ研 究 の計 算 論 的 基 礎 を解 説 す る こ とで あ る.   ま た 最 近 に な っ て,量

子 コ ン ピ ュ ー タ の 物 理 的 実 現 方 法 に つ い て も,幾

究 成 果 が 発 表 さ れ 始 め た.1993年

にMITのSeth 

し て 動 作 す る 可 能 性 が あ る 物 理 系 の 候 補 と し て,多 挙 し た.そ ま た,カ

れ ら の 物 理 系 は,Landauerの リ フ ォル ニ ア 工 科 大 学 のH.Jeff 

Institute  of Standards  ど が,量

Lloydは,量

つ か の研

子 コ ン ピュ ー タ と

くの よ く知 ら れ た 物 理 系 を 列

反 論 の 幾 つ か を 回 避 す る 形 で 動 作 す る. Kimbleの

and  Technology)のDavid 

グ ル ー プ や, NIST(National J. Winelandの

グ ループ な

子 コ ン ピ ュ ー タ の 実 現 方 式 に 関 す る 基 礎 実 験 を 行 っ て い る.さ

ら に,量

子 コ ン ピ ュー タの誤 り訂 正 に 関 す る理 論 的成 果 も,ご

く最 近 に な っ て活 発 に発 表

さ れ始 め た.

1.7

量 子 コ ン ピュ ー タへ の期待

  い ま ま で に,多

くの 計 算 機 科 学 者,物

デ ル で あ る 量 子Turing機

理 学 者 が,量 子 コ ン ピ ュ ー タの 数 学 的 モ

械 の 計 算 論 的 性 質 を明 らか に し て きた.理 論 上 は,量

子 コ ン ピ ュ ー タに は 以 下 の 三 つ の こ とが 期 待 で き る. １.任 意 の 物 理 系 の 効 率 的 な シ ミ ュ レ ー シ ョ ン

  BernsteinとVazirani[10],お 機 械 は,任

よ びYao[54]の

結 果 か ら, Deutschの

量 子Turing

意 の 物 理 系 を 効 率 的 に 模 倣 で き る こ と が わ か っ て い る.

２.発 熱 量 の 極 め て 少 な い コ ン ピュ ー タ の 実 現   計 算 過 程 を一 意 的 に逆 戻 りで き る計 算 シ ステ ムの こ とを,可 逆 的 計 算 シ ス テ ム とい う[40].量 子Turing機

械 は,定 義 か らた だ ちに可 逆 的計 算 シス テ ム で あ る こ

と が わ か る.一 般 に,可 逆 的計 算 シス テ ム をモ デ ル とす る コ ン ピ ュ ー タに お い て は,発

熱 量 を非 常 に 少 な くで き る との 指 摘 が あ る[9,40] .

  一 般 に,通

常 のTuring機

の 手 法[９]を

用 い る と,任

行 う可 逆Turing機

械 は 可 逆 で は な い.し 意 の(決

械 Ｍ'に

械 Ｍ

変 換 す る こ と が で き る.し

機 械 を モ デ ル と す る コ ン ピ ュ ー タ も,Bennettの 論 的 に は 発 熱 量 を 少 な く す る こ と が で き る.し ら れ たTuring機 と し,ま

械 Ｍ'は,も

と のTuring機

た 計 算 速 度 も 若 干 低 下 す る.一

ン ピ ュ ー タ は,そ

方,量

は ,そ

示 した 可 逆 化 れ と 同 じ計 算 を

た が っ て,通

常 のTuring

手 法 を 用 い て 可 逆 化 す れ ば,理 か し,Bennettの 械 Ｍ

手 法 に 従 っ て得

よ り も多 く の 記 憶 領 域 を 必 要

子Turing機

の 定義 か ら も と も と可 逆 な の で

化 す る 必 要 が な い.

か し, Bennettが

定 性)Turing機

,Bennettの

械 をモ デ ル とす る コ 手 法 を用 い て 可 逆

３.計 算 時 間の飛 躍 的短縮   Shorの

ア ル ゴ リズ ム[48]を 用 い れ ば,量 子Turing機

誤 り確 率 で高 速 に行 え る.通 常 のTuring機

械 上 で 因数 分解 を小 さな

械 上 で は,同 様 な こ と は行 え ない で あ

ろ うと予 想 され て い る ので(た だ し証 明 は され て い ない!),お 機 械 は 通 常 のTuring機

械 よ り も,(因 数 分 解 の よ う な)あ る種 の 計 算 は 高 速 に実

行 で きる で あ ろ うと予 想 され る.た だ し,量 子Turing機 題 が 効 率 的 に解 け るか 否 か は まだ わか っ て お らず,た な っ て い る(NP完

全 問題 に つ い て は,第

械 を用 い て, NP完

全問

いへ ん重 要 な未 解 決 問 題 と

４章 参 照).

 現 在 の コ ン ピ ュー タの数 学 的 モデ ル はTuring機 りに 異 な る の で,こ

そ ら く量 子Turing

械 で あ るが,両 者 の構 造 は あ ま

の こ と をす ぐ に は納 得 で きな い 方 も多 い だ ろ う.現 在 の 我 々

で す ら そ の よ うな状 況 な の だ か ら,Turing機

械 が 考 案 さ れ た1936年

当時 の人 々

に は,現 在 の コ ン ピュ ー タの 実 現 形 態 は ま っ た く想 像 で き なか っ た で あ ろ う.そ れ と同 じよ うに,量 子Turing機

械 が 考 案 さ れ て まだ 間 もな い現 在 の我 々 に は,も

し量 子 コ ン ピ ュ ー タが 未 来 に実 現 され る と して も,そ の姿 が想 像 で き な い の は し ご く当然 の こ とで あ る.   本 書 を読 ん で,も

し量 子Turing機

械 に興 味 を持 た れ た ら,そ れ に基 づ く量 子

コ ン ピ ュー タの 物 理 的 実 現 方 法 や,量 子 コ ン ピ ュ ー タ上 の 効 率 的 ア ル ゴ リ ズ ムの 設 計 手 法,さ

ら には 量 子 コ ン ピュ ー タの プ ロ グ ラ ミング 方 法 論 な どに つ い て,ぜ

ひ,思 い を はせ て い た だ きた い.世 界 初 の 量 子 コ ン ピ ュー タが 日本 で 開 発 され た ら どん な に 素 晴 ら しい こ とで あ ろ うか.

第 ２章 量 子 コ ン ピ ュ ー タ と は?

  前章 で述 べ た とお り,量 子 コ ンピュ ー タの数 学的 モデ ル は量 子Turing機 械で あ る.本 書 の 目標 の一 つは,こ の量子Turing機 械 を用 い る と,整 数の 因数 分解 が少 ない 誤 り確率 で高 速 に行 え る と い うShorの 結 果 を紹 介 する こ とであ る.し か し,こ の事実 を数学 的 に完全 に理 解 す るこ とは ,理 論 計 算機 科 学 に初 めて接 す る読者 に とっては,非 常 にたい へ んな作 業 とな るであ ろ う.そ こで,本 章 で は,量 子Turing機

械が 高速 に因数 分 解 を行 う際 の動作 を,直 観 的 に理 解 してい た だ こ うと思

う.第 ６章 で,こ の動作 を数 学 的 に厳密 に説 明 す るが,数 学 的 な詳細 に興味 の な い読 者 は,こ の 章 の 説 明 を理 解 して い ただ くだけ で も十分 だ と思 う.   さ っ そ く計 算 モ デ ル の 説 明 を 始 め る が,以 て,徐 →

記 憶 容 量 １ ビ ッ トの 確 率 的Turing機

械(1QTM)→

一 般 の 量 子Turing機

的Turing機

る べ く簡 単 な 計 算 モ デ ル の 説 明 か ら 始 め

に,1QTMが

械(1PTM)→

体 的 に は,Turing機

械(QTM)のUG順

番 に 説 明 し て い く.Turing機

械 が 得 ら れ る.1QTMは,1PTMを 理 解 で きれ ば,そ

つ い て は,本

械 と確 率

械 を拡 張 す る こ と に よ り確

少 し拡 張 す る だ け で 得 る こ と が で き る.さ

れ を 一 般 化 してQTMを

章 の 最 後 で 説 明 す る.

械(TM)

記 憶 容 量 １ ビ ッ トの 量 子Turing機

械 は 古 く か ら知 ら れ て い る計 算 モ デ ル で あ り, Turing機

率 的Turing機

QTMに

下 で は,な

々 に複 雑 な モ デ ル の 説 明 に 移 る よ う に話 を 進 め て い く.具

理 解 す る こ と は,そ

ら

れ ほ ど 難 し くな い.

2.1 

Turing機

  ま ず 最 初 に,簡 を 図2.1に

機械

単 なTuring機

示 す(注１).図2.1か

央 処 理 装 置(CPU)と,テ れ て お り,有

械(Ｔuring 

下TMと

略 す)の

例

有 限 制 御 部 と呼 ば れ る 中

ー プ か ら な っ て い る.有

限 制 御 部 に は ヘ ッ ド が接 続 さ

限 制 御 部 は ヘ ッドが そ の 時 点 で 位 置 して い る テ ー プ の マ ス 目 に書 か

れ た 記 号 を 読 む こ と が で き る.テ よ い が,本

Machine,以

ら わ か る よ う に,TMは

ー プ の マ ス 目 に 書 く記 号 は ど の よ う に 定 め て も

書 で は テ ー プ の １マ ス に 記 入 で き る の は,０

記 号 の み と す る.テ

ま た は １ と い う ２種 類 の

ー プ 記 号 を こ の よ う に 制 限 し て も,一

般 性 を 失 わ な い こ とが

知 ら れ て い る.

  有 限 制 御 部 は,そ の 名 の とお り,各 時点 に お い て有 限 個 の 状 態 の う ちの ど れ か 一 つ の 状 態 に あ る .TMの はTMの

動 作 は,状

態 遷 移 関 数 で 定 義 され る.状 態 遷 移 関数

プ ロ グ ラム と考 え る こ とが で き,図2.2の

よ うな 表 形 式 で 表 す こ とが で

き る.   図2.1の

よ うな構 造 を持 ち,図2.2の

Ｍ と呼 ぼ う.Ｍ 立 っ て,Ｍ

よ う に状 態 遷 移 関 数 を定 義 され たTMを

は以 下 の よ うに動 作 す る(図2.3参

照).ま

に は 入 力 が テ ー プ 上 に与 え られ る.図2.3の

100が 与 え られ て い る.起 動 前 に は,Ｍ

ず,動 作 の 開始 に先

場 合 に は,入 力 と して

の 有 限 制御 部 は 開始 状 態q0に

れ て お り,ヘ ッ ドは テ ー プ の 左 端 の 記 号(図2.3の

セ ットさ

場 合 に は １)を 読 ん で い る.こ

の と き,起 動 後 の Ｍ の 動 作 は以 下 の よ うに な る.   最 初,Ｍ

の 「現 在 の 状 態 」 はq0で,ヘ

な の で,図2.2の

ッ ドが 読 んで い る 「現 在 の 記 号 」 は １

状 態 遷 移 関 数 の 定 義 の １行 目 が適 用 さ れ る.そ の 結 果,Ｍ

態 を 「次 の 状 態 」 で あ るq1に

遷 移 させ,ヘ

は状

ッ ドが 位 置 して い る １マ ス 目 に 「書

き込 む記 号 」 で あ る ０を 上書 き し,「ヘ ッ ドの 移 動 方 向 」 で あ る Ｒ(右 側)に ヘ ッ ド を １マ ス 移 動 させ る.な お,ヘ 側)が

ッ ドの 移動 方 向 と して は,Ｌ(左

側)と

Ｒ(右

指 定 で き る.

(注１)本節 で単 にTuring機 る.

械 と呼 ん でい るの は ,通 常,決 定性Turing機

械 と呼 ば れてい る計 算 モデ ルで あ

図2.1 

Turing機

械 Ｍ

図2.2 

  上 の 遷 移 に よ り,Ｍ

の

図2.3  TMMの

動作

Ｍ の状 態遷 移 関数 の 表

「現 在 の 状 態 」 はq1,ヘ

ッ ドが 読 ん で い る 「現 在 の 記

号 」 は ０ に な っ た の で,今

度 は,図2.2の

状 態 をq2に

ッ ドが 位 置 し て い る ２ マ ス 目 に １ を 上 書 き し,ヘ

遷 移 させ,ヘ

２行 目 が 適 用 さ れ る.そ

の 結 果,Ｍ

は ッド

を １ マ ス 右 に 移 動 さ せ る.

 以 下 同様 に して,Ｍ

の 遷 移 は 進 む が,も

しあ る時 点 で, Ｍ の 「現 在 の 状 態 」

と 「現 在 の 記 号 」 の組 に対 して,状 態 遷 移 が 定義 され て い な い よ うな状 況 に到 達 した ら,そ の 時 点 で Ｍ は停 止 す る.そ る 内 容 を Ｍ の 出 力(計

して,そ

算 結 果)と 考 え る.

の と きテ ー プ 上 に記 入 され て い

2.2  簡 単 な確 率 的Turing機 2.2.1 

械

記 憶 容 量 １ ビ ッ ト の 確 率 的Turing機

  上 で 説 明 したTMは,現

械

在 の状 態 と,そ の と きヘ ッ ドが 読 ん で い る記 号 が 指 定

さ れれ ば,次 に 遷 移 す べ き状 態 が 一 意 に決 ま る の で,正 確 には 決 定 性Turing機 械 と呼 ば れ る.こ の 決 定 性 の 部 分 を拡 張 して,TMの

現 在 の 状 態 とヘ ッ ドが 読 ん

で い る 記 号 が 指 定 さ れ た と き に,次 の 動 作 が 確 率 的 に 決 定 され るTMを る こ とが で き る.こ の よ うなTMを Machine,以

下PTMと

  以 下 で は,話

略 す)と

確 率 的Turing機

定義す

械(ProbabilisticTuring

い う.

を簡 単 に す るた め に,テ ープ が １マ ス だ け か ら な る記 憶容 量 １ビ ッ

ト(注 １)の非常 に単 純 なPTMを を1PTM(1 

bit  PTMの

考 え る(図2.4参 略)と

照).本 書 で は,こ の よ う なPTM

呼 ぶ こ と にす る.以 下 で考 え る1PTMに

おい

て は,１ マ ス しか な い テ ー プ の マ ス 目 に ０が 書 き込 まれ て い る状 態 を 「状 態 ０」, マ ス 目 に １が 書 き込 まれ て い る状 態 を 「状 態 １」 と呼 ぶ こ と にす る.し た が って, この1PTMが

「状 態 ０」 の と きに は ヘ ッ ドは必 ず 記 号 ０を読 ん で お り,「状 態 １」

の と きに は ヘ ッ ド は必 ず 記 号 １ を読 ん で い る こ とに な る.こ の よ う に1PTMの 動 作 は,図2.5の

よ うな 状 態 遷 移 図 で 表 す こ とが で きる.図2.5の

遷移 図で注意

す べ き こ とは,矢 線 に付 け られ て い る ラベ ル が,そ の 矢 線 に 対 応 す る状 態 遷 移 が 起 こ る確 率 に な っ て い る こ とで あ る.   図2.4の

よ う な 構 造 を 持 ち,図2.5の

と 呼 ぼ う.Ｐ

は 以 下 の よ う に 動 作 す る.ま

力 が テ ー プ 上 に 与 え ら れ る.も で,入

よ う に 遷 移 関 数 を 指 定 さ れ た1PTMを

ち ろ ん,Ｐ

ず,動

作 の 開 始 に 先 立 っ て, Ｐ に は 入

の テ ー プ に は マ ス 目 が 一 つ しか な い の

力 と い っ て も ０ ま た は １ し か あ り得 な い.図2.4の

０ が 与 え ら れ て い る.し

た が っ て,図2.4で

態 ０」 に セ ッ ト さ れ て い る.ヘ (図2.4の

は,起

場 合 に は,入

力 と して

動 前 の Ｐ の 有 限 制 御 部 は 「状

ッ ドは テ ープ の た だ 一 つ の マ ス 目 に書 か れ た 記 号

場 合 に は ０)を 読 ん で い る.こ

の と き,起

動後 の Ｐ の動作 は以下の よ

(注１)情報 量の単 位 を ビ ッ トとい う.１ ビ ッ トの情 報 は ２進数 の １桁 で表 現 で き,二 つ の 選択 肢YesとNoの 区 別 を表 す.

Ｐ

図2.4記

憶 容 量 １ ビ ッ トの 確 率 的Turing機

図2.51PTMPの

械 Ｐ

状態 遷 移図

う に な る.   最 初,Ｐ

の 状 態 は ０ で あ る が,図2.5の

矢 線 は ２ 本 あ り,そ

の ど ち ら に も 確 率1/2が

と い っ た 記 号 は 後 で 必 要 に な る が,い Ｐ が

状態 遷移 図で ノー ド ０か ら出ている ラ ベ ル 付 け さ れ て い る(図

ま は 無 視 し て い た だ き た い).こ

「状 態 ０」 か ら 「状 態 ０」 に 遷 移 す る 確 率 は1/2で

ら 「状 態 １」 に 遷 移 す る 確 率 も1/2で

あ り,か

あ る と い う こ と で あ る.し

中 の α,c の 意 味 は,

つ,「 状 態 ０」 か た が っ て,Ｐ

を

「状 態 ０」 か ら起 動 し た と き に,１ 単 位 時 間 後 に Ｐ が 「状 態 ０」 に な っ て い る 確 率 は1/2で

あ り,「状 態 １」 に な っ て い る 確 率 も や は り1/2で

(注１)PTMPは

,１ 単 位 時 間 ご とに １回の状 態 遷移 を行 うもの とす る.

あ る こ と に な る(注１).

2.2.2 

状 態 ベ ク ト ル と遷 移 行 列

  この よ うな状 態 遷 移 を行 列 とベ ク トル を用 い て 表す 方法 が あ る.ま ず ， 上 で 述 べ た, Ｐ が 「状 態０ 」 に な っ て い る 確 率 が1/2で

て い る確 率 もや は り1/2で を,以

あ り,か つ 「状 態 １」 に な っ

ある

下 の よ う な ベ ク ト ル で 表 現 す る こ と に し よ う.

こ の ベ ク トル の 第 １行 成 分 は,Ｐ 成 分 は,Ｐ

が 「状 態 ０」 で あ る確 率 を 表 して お り,第 ２行

が 「状 態 １」 で あ る確 率 を 表 して い る.こ の よ うなベ ク トル を Ｐ の状

態 ベ ク トル とい う.し た が って,「状 態 ０」 は状 態 ベ ク トル

で 表 され る.と い うの は,「状 態 ０」 とは,Ｐ

が 「状 態 ０」 で あ る 確 率 が １で あ り,

か つ,「状 態 １」 で あ る確 率 が ０で あ る状 態 に ほ か な ら ない か らで あ る.同 様 の 理 由 に よ り,「状 態 １」 は状 態 ベ ク トル

で 表 さ れ る.

この と き,図2.5に

行 列 Ａ に お い て,第

示 され た状 態 遷 移 は次 の行 列 で 表 現 で きる.

１行 お よび 第 １列 が 「状 態 ０」 に,第

「状 態 １」 に対 応 して い る.こ

２行 お よ び第 ２列 が

の と き,行 列 Ａ の 第 ｉ行 第 ｊ 列 成 分 は,

Ｐ が 「状 態j-1」 を 表 し て い る.す

な わ ち,以

か ら 「状 態i-1」

に遷 移 す る確 率

下 の よ う な 対 応 関 係 に な る.

Ａ の 第 １行 第 １列 成 分:Ｐ

が 「状 態 ０」 か ら 「状 態 ０」 に遷 移 す る確 率

Ａ の 第 １行 第 ２列 成 分:Ｐ

が 「状 態 １」 か ら 「状 態 ０」 に遷 移 す る確 率

Ａ の 第 ２行 第 １列 成 分:Ｐ

が 「状 態 ０」 か ら 「状 態 １」 に遷 移 す る確 率

Ａ の 第 ２行 第 ２列 成 分:Ｐ

が 「状 態 １」 か ら 「状 態 １」 に遷 移 す る確 率

例 え ば,行 列 Ａ の 第 １行 第 ２列 成 分 は1/3で か ら 「状 態 ０」 に遷 移 す る確 率 で あ り,図2.5の

あ るが,こ

の 値 は Ｐ が 「状 態 １」

ノ ー ド １か ら ノ ー ド ０ に 向 か う

矢 線 に ラベ ル付 け され た値 と一 致 してい る.こ の よ うな行 列 Ａ を Ｐ の 状 態 遷 移 行 列 とい う.一 般 に,

を任 意 の状 態 ベ ク トル とす る と き,Ｐ

の 状 態 遷 移 は 以 下 の 式 で表 現 す る こ とが で

き る.

例 え ば,状

態 ベ ク ト ル υ0は 以 下 の よ う に 変 換 さ れ る.

す な わ ち,Ｐ

の最 初 の 状 態 が 「状 態 ０」 だ っ た と き に は,そ の 状 態 を 表 現 す る ベ

ク トル υ0に 遷 移 行 列 Ａ を左 か ら掛 け る こ とに よ り,Ｐ の １単位 時 間 後 の 状 態 を 表 す ベ ク トルuが

得 られ る.

  同 様 に して,Ｐ

を 「状 態 ０」 か ら ２単 位 時 間 動 作 させ た と きの 状 態 は,以 下 の

計 算 に よ り得 られ る.

す な わ ち,1PTMPは,「

状 態 ０」 か ら 動 作 を 開 始 す る と,２ 単 位 時 間 後 に は ,「状

態 ０」 で あ る 確 率 が5/12,「

2.2.3

状 態 １」 で あ る 確 率 が7/12に

な る.

状 態の重 ね合 わ せ

  上 で 述 べ た よ う に,1PTMPは,「

状 態 ０」 か ら動 作 を開 始 す る と,２ 単 位 時 間

後 に は,「状 態 ０」 で あ る確 率 が5/12,「 状 態 １」 で あ る確 率 が7/12と

なるわけだ

が,こ

箱 の 中に入

の こ との 意 味 を少 し考 え て み よ う.例 え ば,こ

の1PTM 

Pを

れ て蓋 を して し まい,「状 態 ０」 か ら ２単 位 時 間 だ け 動 作 させ る(こ の 間 ,箱 の 中 は 見 な い).そ

して,２ 単 位 時 間 後 に蓋 を 開 け て ,箱 の 中 の Ｐ が ど の状 態 にあ る

か を 「観 測 」 す る こ と に し よ う.   い う まで もな く,そ の よ うな 観 測 の 結 果 は,「状 態 ０」 ま た は 「状 態 １」 に確 定 す る.な ぜ な ら,機 械 で あ る1PTM 

Pが

あ る時 点 に お い て 取 り得 る状 態 は ,「状 態

０」 ま た は 「状 態 １」 の ２通 り しか あ り得 な い か らで あ る.そ れ で は ,上 の状 態 ベ ク トル ｗ は い っ た い何 を表 現 して い るの だ ろ うか?  状 態 ベ ク トル ｗ が 表 現 し て い る こ と を,確 率 の 立 場 か ら述 べ れ ば以 下 の よ うに な る. 「Ｐ を 「状 態 ０」 か ら ２単 位 時 間箱 の 中 で動 作 させ,そ

の後 ,蓋 を 開

け て Ｐ の 状 態 を観 測 す る 」 とい う試 行 を12回 行 えば,そ の うちの ５ 回 は 「状 態 ０」 が 観 測 さ れ,残

りの ７回 は 「状 態 １」が 観 測 され る .

この よ うな解 釈 を,重 ね合 わせ 状 態 の 確 率 的 解 釈 とい う.

2.2.4

遷移行列が満 たすべ き条件

  上 で 述 べ た よ うに,1PTM  定 す れ ば よい.と

Pを

一 つ 指 定 す る た め に は,遷 移行 列 Ａ を一 つ指

こ ろで 遷 移 行 列 Ａ と して は,ど の よ うな行 列 を指 定 して も構 わ

な い の で あ ろ うか?  答 え は 否 で あ る. 話 を簡 単 に す る ため に,上 の例 と同 じ記 憶 容 量 １ビ ッ トのPTMの て説 明 す る.こ の 場 合,1PTMの

場合 につい

状 態 遷 移 図 に対 応 す る遷 移 行 列 Ａ は ２行 ２列

に な る.そ

こ で,遷

と 置 こ う.ま

移行 列 Ａ の一般形 を

ず,a,b,c,dは

確 率 を 表 し て い る か ら,

a〓0,b〓0,c〓0,d〓0

を満 た さ な け れ ば な らな い.次

に,図2.5か

(１)

らわ か る よ う に,「状 態 ０」 に 対 応 す

る ノー ドか ら は ２本 の矢 線 が 出 て お り,そ れ ら には 確 率 ａ と ｃが ラベ ル付 け され て い る.「状 態 ０」 か らは,「状 態 ０」 また は 「状 態 １」 の ど ち らか に遷 移 しな け れ ば な ら ない か ら,こ れ ら ２通 りの 状 態 遷 移 が 起 こ り得 るす べ て の場 合 で あ る.し た が って,こ

の 二 つ の 状 態 遷 移 が 起 こ る確 率 を足 し合 わ せ る と,そ の 値 は １に な ら

な け れ ば な ら な い.す な わ ち, a+c=1

が 成 り 立 た な け れ ば な ら な い.ま

た,同

(２) 様 の 理 由 に よ り,

b+d=1 も成 り立 た な け れ ば な らな い.以

(３)

上 の(1)∼(3)式

が,遷 移 行 列 Ａ の 成 分 が 満

た さな け れ ば な ら ない 条 件 で あ る.逆 に,上 の(1)∼(3)式

を満 たすa,b,c,dを

勝 手 に １組 選 ん で 遷 移 行 列 Ａ を 指 定 す れ ば,必 ず そ れ に対 応 す る1PTMが

存在

す る.

2.2.5   PTMの

計算木 動 作 を 表 現 す る も う一 つ の 方 法 と して,計 算 木 を用 い る 方 法 を紹 介 し

よ う.例 と して,上 で 示 した1PTM 

Pを

「状 態 ０」 か ら起 動 して,２ 単 位 時 間

動 作 させ た と きの 計 算 木 を 図2.6に 示 す.計 算 木 は 幾 つ か の ノー ド と,そ れ らの ノ ー ド を結 ぶ 辺 か らな る.図2.6に

お い て は,ノ

ー ドは 丸 印 で 表 され てお り,辺

は 丸 印 を 結 ぶ 線 分 で 表 さ れ て い る.図 の 名 前 で あ る.各

ノ ー ド は,そ

中 のn1,n2,…,n7は

れ が 「状 態 ０」 に 対 応 す る ノ ー ド で あ る か ,「状 態

１」 に 対 応 す る ノ ー ド で あ る か に 従 っ て,そ て い る.二

つ の ノ ー ド を 結 ぶ 辺 に は,そ

付 け さ れ て い る.例

え ば,ノ

  本 書 で は,計

ー ドn1とn2は

と も に 「状 態 ０」 に 対 応 し て お り, Pが

「状 態 ０」 か ら 「状 態 ０」 に 遷 移

ラ ベ ル 付 け さ れ て い る. 算 木 を 図 示 した 場 合 に は,辺

か っ て い る も の と解 釈 す る.例 らn2に

れ ぞ れ ０ ま た は １で ラ ベ ル 付 け され

の 辺 に対 応 す る状 態 遷 移 の 確 率 が ラベ ル

そ れ ら 二 つ の ノ ー ド を結 ぶ 辺 に は,1PTM  す る 確 率1/2が

え ば,図2.6の

向 か っ て い る も の と 考 え る.二

は 上側 の ノー ドか ら下側 の ノー ドに向 ノ ー ドn1とn2を

ド の 子 と 呼 ぶ.例

で あ る.計 の,た

に,終

点 ノー ド を出 発 点 ノー

親 で あ り,n2はn1の

子 で あ る .計 算 木 に お

が １本 も 入 っ て こ な い ノ ー ド を 根 と 呼 び ,辺

が １本 も 出 て い か な い ノ ー

ド を 葉 と 呼 ぶ.例

え ば,n1はn2の

結 ぶ 辺 は , n1か

つ の ノー ドが 直 接 辺 で 結 ばれ て い る と き,

そ の 辺 の 出 発 点 ノ ー ド を 終 点 ノ ー ド の 親 と 呼 び,逆

い て,辺

計 算 木 内 の 各 ノー ド

え ば,図2.6の

計 算 木 に お い て は,n1が

算 木 内 の 各 ノ ー ド に は,根

え ば,図2．6の

葉

の よ う な辺 を つ なげ て得 られ る道 筋 を

計 算 木 の ノ ー ドn5の

た ど っ て 到 達 す る に は,n1→n2→n5と

場合

,根n1か

らn5に

辺 を

い うパ ス を必 ず 通 らな け れ ば な らな い .

根 か ら あ る ノ ー ド ｎ に 到 達 す る 際 の,こ

図2.6

,n6,n7が

か らそ の ノ ー ド に辺 を た ど って 到達 す る ため

だ １ 通 り の 道 筋 が 必 ず 存 在 す る.こ

パ ス と い う.例

根, n4,n5

の よ う な パ ス の 中 に 含 ま れ る 辺 の 本 数 を,

1PTM  Pの 計 算 木

ノ ー ド ｎ の レ ベ ル と い う.例

え ば,ノ

根 か ら の 唯 一 の パ ス で あ り,こ

の パ ス の 中 に は ２本 の 辺 が 含 ま れ て い る の で,n5

の レ ベ ル は ２ で あ る.図2.6の

計 算 木 の 場 合 に は,レ

ル １の ノ ー ド はn2,n3,レ

ー ドn5の

場 合 に は, n1→n2→n5が

ベ ル ０の ノ ー ド はn1,レ

ベ ル ２ の ノ ー ド はn4,n5,n6,n7で

  Ｐ を 「状 態 ０」 か ら 起 動 し て 箱 の 中 で 動 作 さ せ,２ の 状 態 を 観 測 す る 問 題 を,計 算 木 で は,一

表 し,一

ら に,上

あ る.

単位時間後 に箱 を開けてそ

算 木 の 視 点 か ら も う 一 度 考 え て み よ う.図2.6の

番 上 の ノ ー ドn1が

し て い る.さ

ベ

起 動 前 の Ｐ の 状 態(こ

か ら ２段 目 の ノ ー ドn2,n3は

番 下 の ノ ー ドn4,n5,n6,n7は

計

の 場 合 は 「状 態 ０」)を 表

１単 位 時 間 後 の Ｐ の 状 態 を

２ 単 位 時 間 後 の Ｐ の 状 態 を 表 し て い る.

  こ こ で,２ 単 位 時 間 後 に箱 を 開け て観 測 した と きに Ｐ が 「状 態 ０」 で あ る確 率 を,計 算 木 を用 い て 求 め て み よ う.ま ず,図2.6の

計 算 木 を見 る と,２ 単 位 時 間 後

に Ｐ が 「状 態 ０」 に な るの は,Ｐ

到 達 す る場 合 と,ノ ー ドn6に

が ノー ドn4に

到 達 す る場 合 の ２通 りが あ る こ とが わ か る.Ｐ

が ノー ドn4に

到 達 す る の は, Ｐ

の 状 態 遷 移 が, 「状 態 ０」(ノ ー ドn1)→ と 進 ん だ 場 合 で あ る.こ 移 し 」 か つ,そ

「状 態 ０」(ノ ー ドn2)→

の よ う な状 態 遷 移 が 起 こ る の は,Ｐ

れ に 引 き続 い て 「n2か

か らn2に

遷 移 す る 」 確 率 は,図2.6か

か らn4に

遷 移 す る 」 確 率 も1/2で

す る 確 率 は,こ

「状 態 ０」(ノ ー ドn4)

らn4に

が 「n1か

遷

遷 移 し た 」 と き に 限 る. Ｐ が 「n1

ら も わ か る よ う に1/2で あ る.し

らn2に

た が っ て, Ｐ がn1か

あ り, Ｐ が らn4に

「n2 到達

れ ら 二 つ の 確 率 の 積 に な る の で,

と な る.

  同 様 に して,Ｐ

がn１

る 」 確 率1/2と,「n3か

か らn6に らn6に

到 達 す る 確 率 は, Ｐ が 「n1か 遷 移 す る 」 確 率1/3の

らn3に

積 に な る の で,

遷移す

と な る.し

た が って,２ 単 位 時 間 後 に箱 を開 け て観 測 した と き に Ｐ が 「状 態 ０」

で あ る確 率 は,Ｐ

が 「n1か らn4に

到 達 す る 」事 象 と 「n1か らn6に

到 達 す る」

事 象 の確 率 の 和 に な るの で,

と 求 ま る.こ

の 値 は,2.2.2節

で 示 し た(*)式

の 状 態 ベ ク ト ル ｗ の 第 １行 成 分 の

値 と 一 致 し て い る.

計算木 が満 たすべ き条件

2.2.6   図2.6よ

うな木 を書 け ば,な

ん で もPTMに

答 え は 否 で あ る.計 算 木 がPTMの

対 す る 計 算 木 に な る の だ ろ うか?

状 態遷 移 を表 現 す る た め に は,以 下 の 三 つ の

条 件 を満 た さな け れ ば な らな い. １.

計 算 木 内 の 同 じラベ ル を持 つ ノー ド に お い て は,辺 の 枝 分 か れ の 仕 方 が 同 一 で な け れ ば な らな い .

２.

計 算 木 内 の親 か ら子へ の 遷 移 は,PTMの

対 応 す る状 態 遷 移 と して実 現 可 能

で な け れ ば な らな い. ３.

計 算 木 の 各 レベ ル に お い て,そ の レベ ル に現 れ るす べ て の ノ ー ドの発 生確 率 の 合 計 は,常

  ま ず,条

に １で な け れ ば な ら な い.

件 １ に つ い て 説 明 す る.図2.6に

ち ら も ラ ベ ル が ０ で あ る が,こ

お い て,例

か れ の 状 況 は 完 全 に 一 致 して い な け れ ば な ら な い.実 ら は,「状 態 ０」 の 子(n2)へ

の 確 率1/2の

1/2の

様 に,n2か

遷 移 が 起 こ り得 る.同

の 遷 移 と,「状 態 １」 の 子(n5)へ ドn1とn2に

つ い て は,条

ドn1とn2を

際,図2.6に

遷 移 が 起 こ り 得 る.よ

件 １が 満 た さ れ て い る.図2.6に

上 の 条 件 ２ も満 た し て い る.例 結 ぶ 辺 が あ る が,1PTM 

お い てn1か

ら も,「状 態 ０」 の 子(n4)へ

の 確 率1/2の

Pに

ど

お け る子 へ の 枝 分

遷 移 と,「状 態 １」 の 子(n3)へ

適 用 さ れ ね ば な ら な い ノ ー ド が な い の で,図2.6は   ま た,図2.6は

え ば ノ ー ドn1とn2は

の よ う な 場 合 に は,n1とn2に

は,ほ

の確 率 の 確 率1/2 っ て,ノ

ー

か に 条 件 １が

条 件 １ を 満 た し て い る. え ば,図2.6の

計 算 木 に は ノー

お い て は 「状 態 ０」 か ら 「状 態 １」

へ の 遷 移 が 確 か に可 能 で あ る.実 際,Ｐ

に お い て は,「状 態 ０」 と 「状 態 １」 の 間

の す べ て の 状 態 遷 移 が 可 能 だ か ら,条 件 ２は当 然 満 た され て お り,こ の 例 か らは 条件 ２の 本 質 が わ か りに くい.条 件 ２が 本 質 的 に意 味 を持 っ て くる の は,後 で 述 べ る 一 般 のPTMや   最 後 に,条

量 子Turing機

件 ３ に つ い て 見 て お こ う.図2.6の

ノ ー ド はn2,n3,レ

な っ て い る.ま

計 算 木 の 場 合 に は,レ

ベ ル ２ の ノ ー ド はn4∼n7で

て 考 え る と,n2とn3の

発 生 確 率 は と も に1/2で

た,レ

1/4,1/4,1/6,1/3で

あ る .ま あ り,そ

ベ ル ２ に つ い て は,n4,n5,n6,n7の あ り,こ

る こ と が わ か る.し 図2.6の

械の場合で ある.

ず,レ

ベ ル １に つ い

れ らの 和 は確 か に １に 発 生 確 率 は そ れ ぞ れ,

れ ら す べ て の 和 を 求 め る と,確

た が っ て,図2.6の

ベ ル １の

か に １に な っ て い

計 算 木 は 条 件 ３ も満 た し て い る .以

計 算 木 は 上 の 三 つ の 条 件 を す べ て 満 た し て お り,計

上 で,

算 木 と して 適 格 で あ

る こ と が 確 認 で き た.

2.3 2.3.1

機械

記 憶 容 量 １ ビ ッ ト の 量 子Turing機

  本 節 で は,量 す)の

機械

簡 単 な 量 子Turing機

子Turing機

械(Quantum 

Turing  Machine,以

直 観 的 イ メ ー ジ を持 っ て い た だ くた め に,最

同 様,記

憶 領 域(メ

以 下1QTMと 前 節 の1PTMと

モ リ)を

略 す)の

も 簡 単 なQTMと

１ ビ ッ ト しか 持 た な い 量 子Turing機

例 を 示 す.そ

の1QTMの

ま っ た く同 じで あ る.し

か し,後

下QTMと

略

し て,前 械(1bit 

節 と

QTM,

構 造 は 図2 .7の と お り で あ り, で わ か る こ と だ が,そ

の 機 能や

物 理 的 実 現 方 法 は ま っ た く異 な っ て い る.

  1QTMに

お い て は,テ ー プ の 一 つ の マ ス 目 は, ０が 書 き込 ま れ て い る状 態(前

節 の 「状 態0」)と,１

が 書 き込 まれ て い る状 態(前 節 の 「状 態 １」)の 任 意 の 重 ね

合 わ せ を保持 す る こ とが で き る.し た が って,1QTMの

ヘ ッ ドは,こ の よ うな状

態 の 重 ね 合 わ せ を読 み書 きす る こ とが で きる と仮 定 され て い る.こ の よ うな 「状 態 ０」 と 「状 態 １」 の任 意 の 重 ね 合 わ せ を保 持 で き る ビ ッ トを キ ュ ー ビ ッ ト(qubit

,

quantum 

bitの

2.3.2

1QTMの

  1QTMの

略)と

呼 ぶ.

計 算木

動 作 を,計 算 木 を用 い て 説 明 し よ う.図2.7の

2.8の よ うな計 算 木 に よ って動 作 を指 定 され た1QTMを 算 木 つ い て い え ば,1PTMと1QTMの 「1QTMの

よ うな構 造 を持 ち,図 Ｑ と呼 ぶ こ と にす る.計

違 い は,以 下 の た だ １点 の み で あ る.

場 合 に は,計 算 木 の枝 の ラベ ル と して(０ 以 上 の 実 数 ば か

りで な く),任 意 の 複 素 数 が 使 用 で き る.」   た だ し,1QTMの

計 算 木 の解 釈 は,前 節 で 述 べ た1PTMの

異 な って い る.す な わ ち,前 節 の1PTMに 「実 際 に動 作 して い る1PTMは,根

計 算 木 の 場 合 とは

対 す る計 算 木 の 場 合 に は, か ら葉 に至 る可 能 な ４通 りの計 算

パ ス の うち の た だ 一 つ を実 行 して い る 」 と解 釈 し た.し

か し,図2.8の

よ う な1QTMに

「実 際 に動 作 して い る1QTMは,根

対 す る 計 算 木 の 場 合 に は,

か ら葉 に至 る 可 能 な ４通 りの計

算 パ ス の す べ て を(一 つ のハ ー ド ウ ェ ア 上 で)同 時 に実 行 して い る 」 と解 釈 す る.   も う少 し詳 し く説 明 す る.ま ず,動 作 の 開 始 に先 立 っ て,Ｑ 上 に 与 え られ る.も ち ろ ん,Ｑ

図2.7

には入力が テープ

の テ ー プ には マ ス 目が 一 つ しか な い の で,入 力 と

記 憶 容 量 １ ビ ッ トの 量 子Turing機

械 Ｑ

(ａ) 図2.8

1QTM 

Qの

(ｂ)

計 算 木. (ａ) 「状態 ０」か ら起 動 した場 合, (ｂ) 「 状 態 １」か ら起動 した場合.

い っ て も ０ ま た は １ し か あ り得 な い.図2.7の れ て い る.ま

た 図2.7で

て い る と 考 え る.ヘ

は,起

場 合 に は ,入

動 前 の Ｑ の 有 限 制 御 部 は 「状 態 ０」 に セ ッ ト さ れ

ッ ド は テ ー プ の た だ 一 つ の マ ス 目 に 書 か れ た 記 号(図2.7の

場 合 に は ０)を 読 ん で い る.1QTMQも,１ う も の と す る.こ

  1QTMQを

力 と して ０が 与 え ら

の と き,起

単 位 時 間 ご と に １ 回 の 状 態 遷 移 を行

動 後 の Ｑ の 動 作 は 以 下 の よ う に な る.

「状 態 ０」 か ら起 動 して,２ 単 位 時 間動 作 させ た と きの 計 算 木 を図

2.8(a)に,「 状 態 １」か ら起動 して,２ 単 位 時 間動 作 させ た と きの計 算 木 を図2.8(b) に そ れ ぞ れ示 して あ る.計 算 木 の 表 記 法 は 図2.6の 場 合 とほ ぼ 同 様 で あ るが,た だ １点 異 な って い る の は,図2.8で

は辺 の ラベ ル と して負 の 実 数 が 現 れ て い る こ

とで あ る(注１).負 の 数 が 現 れ て い る こ とか ら も わ か る よ うに,辺 れ た こ れ らの 数 は確 率 で は な い.1QTMの は,対 応 す る1QTMの

に ラベ ル付 け さ

場 合 に は,各 辺 に ラベ ル付 け され た数

状 態 遷 移 の振 幅 と呼 ば れ る.振 幅 を ２乗 した値 が対 応 す

る状 態 遷 移 の 確 率 と な る.   例 え ば,図2.8(b)の

計 算 木 の ノ ー ドn2とn5を

ル 付 け され て い る が,こ (注 １)

の 値 がn2か

上で も述 べ た よ う に,1QTMに きる.し か し図2.8の

らn5へ

結 ぶ 辺 に は,-1/√2が

ラベ

の 状 態 遷 移 の 振 幅 で あ り,こ の 状

対 す る計 算 木 の辺 の ラ ベル と して は,任 意 の複 素 数 を 一般 に は使 用 で

例 で は,辺 の ラベ ル と して 正 と負 の実 数の み が用 い られ て い る.

態 遷 移 が 起 こ る確 率 は,

と な る.

  Ｑ を 「状 態 １」 か ら起 動 して 箱 の 中 で動 作 させ,２ 単 位 時 間 後 に箱 を 開 け て そ の 状 態 を観 測 す る こ とを考 え てみ よ う.図2.8(b)の ドn1が

起 動 前 の Ｑ の 状 態(こ

は な い.)を 表 して い る.さ

計 算 木 で は,レ ベ ル ０の ノ ー

の 場 合 は 「状 態 １」.こ れ は重 ね 合 わせ の 状 態 で

らに,レ ベ ル １の ノ ー ドn2とn3に

対 応 す る状 態 の

重 ね合 わ せ が １単 位 時 間後 の Ｑ の 状 態 を 表 し,レ ベ ル ２の ノー ドn4∼n7に

対

応 す る すべ ての 状 態 の 重 ね合 わせ が ２単 位 時 間後 の Ｑ の 状 態 を 表 し てい る.  こ こ で,２ 単 位 時 間 後 に箱 を開 け て観 測 した と き に Ｑ が 「状 態 １」 で あ る確 率 を求 め て み よ う.ま ず,図2.8の にな る の は,Ｑ

が ノー ドn5に

重 りが あ る こ とが わ か る.Ｑ 「状 態 １」 (ノ ー ドn1)→ と 進 ん だ 場 合 で あ る.こ 遷 移 し 」 か つ,そ 「n1か

らn2に

り,Ｑ

が

Ｑ がn1か

計 算 木 を見 る と,２ 単位 時 間 後 に Ｑ が 「状 態 １」 到 達 す る場 合 と,ノ ー ドn7に が ノー ドn5に 「状 態

到 達 す るの は, Ｑ の 状 態 遷 移 が,

０」(ノ ー ドn2)→

らn5に

遷 移 す る 」 事 象 の 振 幅 は,図2.8か

「n2か らn5に

らn5に

「状 態 １」(ノ ー ドn5)

の よ う な 状 態 遷 移 が 起 こ る の は,Ｑ

れ に 引 き 続 い て 「n2か

が 「n1か

らn2に

遷 移 し た 」 と き に 限 る. Ｑ が ら も わ か る よ う に1/√2で

遷 移 す る 」 事 象 の 振 幅 は-1/√2で

遷 移 す る 事 象 の 振 幅 は,こ

到 達 す る場 合 の ２

あ る.し

あ

た が っ て,

れ ら 二 つ の 振 幅 の 積 に な る の で,

と な る.   同 様 に し て,Ｑ

がn1か

遷 移 す る 」 振 幅1/√2と,「n3か

らn7に

遷 移 す る 事 象 の 振 幅 は, Q2が らn7に

遷 移 す る 」 振 幅1/√2の

「n1か

らn3に

積 に な る の で,

と な る.し た が っ て,２ 単 位 時 間 後 に 箱 を 開 け て 観 測 した と き に Ｑ が 「状 態 １」 で あ る事 象 の振 幅 は,Ｐ

が 「n1か らn5に

到 達 す る」 事 象 と 「n1か らn7に

到

達 す る」 事 象 の 振 幅 の 和 に な る の で,

と 求 ま る.ゆ し た が っ て,２

え に,２ 単 位 時 間 後 に Ｑ が 単 位 時 間後 に Ｑ が

「状 態 １」 で あ る 確 率 は02=0と

「状 態 ０」 で あ る 確 率 は1-0=1で

なる. あ る.

  こ こ で注 意 す べ き こ と は,も ち ろ ん,２ 単 位 時 間 後 に Ｑ が 「状 態 １」 で あ る確 率 が,０ に な っ て し まっ た こ とで あ る.こ れ は 次 の 理 由 に よる.１QTMの

状 態遷

移 の確 率 を 求 め る には,ま ず そ の 遷 移 の 振 幅 を求 め て か ら,そ の値 を ２乗 しな け れ ば な ら な いが,振

幅 を求 め る 際 には,正

の 数 ば か りで な く負 の数 も足 し合 わ せ

る こ とが あ る の で,振 幅 が ０ に な る可 能 性 が あ る .こ の よ うな こ とは,図2.6の よ うな1PTMに

お け る 状 態 遷 移 確 率 の 計 算 に お い て は 絶 対 に起 こ らな い こ と

に 注 意 され た い.   上 で 述 べ た こ とか ら,Ｑ

を 「状 態 １」 か ら起 動 して 箱 の 中 で動 作 させ,２ 単 位

時 間 後 に箱 を 開 け て そ の 状 態 を観 測 す る と,必 ず 「状 態 ０」 とな る こ と が わ か っ た.逆

に,Ｑ

を 「状 態 ０」 か ら起 動 して箱 の 中で 動 作 させ ,２ 単 位 時 間 後 に 箱 を

開 け て その 状 態 を観 測 す る と,必 ず 「状 態 １」 と な る こ とが 同様 の議 論 に よ りわ か る.以 上 の こ とか ら,1QTM 

Qは

２ス テ ップ か け て ,入 力 値 の 否 定(注１)を計

算 す る こ とが わ か る.し た が って Ｑ は,１ ス テ ップ で は 否 定 の 平 方 根 を計 算 して い る よ うに 見 え るの で,Square 

Root  of NOTと

呼 ば れ て い る.

状態の干渉

2.3.3

  上 の 計 算 に お い て注 意 す べ きこ とは,２ 単 位 時 間後 に Ｑ が 「状 態 １」 で あ る確 率 を,Ｑ

が 「n1か らn5に

到 達 す る 」振 幅 と 「n1か らn7に

の ２乗 と して求 め て い る こ とで あ る.見 方 を変 えれ ば,n5に で 現 れ る 「状 態 １」 と,n7に (注1)

０の 否 定 は1,1の

お い て 振 幅1/√2で

否 定 は ０で あ る．

到 達 す る」振 幅 の 和 お い て振 幅-1/√2

現 れ る 「状 態 １」 が 互 い に打 ち

消 し合 っ て,全 体 と して確 率 ０で 現 れ る 「状 態 １」 を 形 成 して い る と も考 え られ る.こ の よ う な状 態 の相 互 作 用 を状 態 の 干 渉 と呼 ぶ.こ の例 の場 合 に は,「状 態 １」 が 現 れ る確 率 が 弱 め られ て い る の で,こ の よ うな 形 の 干 渉 を負 の 干 渉 とい う.   ２単位 時 間 後 に Ｑ が 「状 態 ０」 で あ る こ とが 観 測 され る確 率 も,同 様 に して, Ｑ が 「n1か らn4に

到 達 す る」 事 象 の振 幅 と 「n1か らn6に

到 達 す る 」事 象 の

振 幅 の和 の ２乗 と して以 下 の よ うに求 め られ る.

こ こ で は 上 と は逆 に,あ る状 態 が 現 れ る確 率 が 強 め られ る 形 の,状 態 の正 の 干 渉 が 見 られ る.

計算木 が満 たすべき条件

2.3.4   1PTMの

場 合 と同様 に,図2.8の

よ う な計 算 木 が1QTMの

状 態 遷 移 を表 現 す

る た め に は,以 下 の 三 つ の 条 件 を満 た さな け れ ば な ら ない. １.

計 算 木 内 の 同 じラ ベ ル を持 つ ノ ー ドに お い て は,辺

の枝 分 か れ の 仕 方 が 同

一 で なけ れ ば な ら な い . ２.

計 算 木 内 の 親 か ら子 へ の遷 移 は,1QTMの

対 応 す る状 態 遷 移 と して 実現 可

能 で な け れ ば な らな い. ３.

計 算 木 の 各 レベ ル にお い て,そ の レベ ル に現 れ るす べ て の ノー ド の発 生確 率 の 合 計 は,常

に １で なけ れ ば な ら ない.

  こ れ ら の 条 件 は,1PTMの

場 合 と ま っ た く同 じ で あ る.例

計 算 木 は 上 の ３ 条 件 を す べ て 満 た し て い る.条 し て 確 認 で き る の で,こ 木 の 場 合 に は,レ る.ま

ず,レ

な の で,Ｑ

件 １と ２ につ い て は前 節 と同 様 に

こ で は 条 件 ３ に つ い て だ け 見 て お こ う.図2.8(b)の

ベ ル １ の ノ ー ド はn2,n3,レ

ベ ル １ に つ い て 考 え る と,n2とn3に がn2ま

え ば,図2.8(b)の

た はn3に

到 達 す る 確 率 は,

計算

ベ ル ２ の ノ ー ド はn4∼n7で 対 応 す る 振 幅 は と も に1/√2

あ

と な る.ま

た,レ

ベ ル ２ に つ い て は,n4,n5,n6,n7に

1/2,-1/2,1/2,1/2な

と な る.し

1PTMの

がn4か

た が っ て,図2.8(b)の

1QTMの

2.3.5

の で,Ｑ

らn7の

対 応 す る 振 幅 は そ れ ぞ れ, い ず れ か に 到 達 す る 確 率 は,

計 算 木 は 条 件 ３ を 満 た し て い る,

遷移 行列

場 合 と同様 に,1QTMの

状 態 遷 移 も遷 移 行 列 を用 い て表 す こ とが で

き る.前 節 と 同様 に,「状 態 ０」 は状 態 ベ ク トル

で,「 状 態 １」 は 状 態 ベ ク ト ル

で 表 す こ とに す る.   こ の と き,図2.8の

計 算 木 で 示 さ れ た状 態 遷 移 は次 の 状 態 遷 移 行 列 で 表 現 で

き る.

以 前 と ま っ た く同様 に,行 列AQに に,第

お い て は,第

１行 お よ び 第 １列 が 「状 態 ０」

２行 お よ び第 ２列 が 「状 態 １」 に対 応 して い る.こ

の と き,行 列AQの

ｉ行 第 ｊ列 成 分 は, Ｑ が 「状 態j-1」 を 表 し て い る.

か ら 「状 態i-1」

に遷 移 す る事 象 の 振 幅

第

例 え ば,状

態 ベ ク ト ル υ1は

同様 に して,Ｑ

Ａ に よ っ て 以 下 の よ う に 変 換 さ れ る.

を 「状 態 １」 か ら ２単 位 時 間動 作 させ た と きの 状 態 は,以 下 の 計

算 に よ り得 られ る.

す な わ ち,1QTM 

Qは,「

状 態 １」 か ら 動 作 を 開 始 す る と,２ 単 位 時 間 後 に は,確

率 １で 「状 態 ０」 に 遷 移 す る.こ

  次 に,1QTMの

の こ と は,上

で 述 べ た こ と と 一 致 して い る.

状 態 遷 移 行 列 が満 たす べ き条 件 に つ い て 考 えて み よ う.1QTM

の 状 態 遷 移行 列 Ａ は ２行 ２列 に な る.そ こで,遷 移 行 列 Ａ の 一 般 形 を

と置 こ う.す

る と 一 般 に,

を任 意 の 状 態 ベ ク トル とす る と き,Ｑ の 状 態 遷 移 は 以 下 の 式 で 表現 す る こ とがで きる.

(**)   今 度 の 場 合 に は,a,b,c,dは

確 率 で は な く振 幅 を表 して い るの で,任 意 の複 素

数 を値 と して取 れ る.し た が っ て,1PTMの

と きの よ う に簡 単 に結 論 は導 け な い.

実 は,上 の よ うな状 態 遷 移行 列 が,計 算 木 に 対 す る三 つ の 条 件 を満 た す よ うな変 換 を 定義 す る た め に は,以 下 の 条 件 を満 足 す れ ば よ い こ とが 知 られ て い る. QTMの

状 態 遷 移 行 列 は,ユ

ニ タ リ行 列 で な け れ ば な らな い.

行 列 Ａ が ユ ニ タ リ で あ る と は, AA+=A+A=I が 成 り 立 つ と き を い う.こ

こ で,A+は

行 列 Ａ の 転 置 共 役 行 列 を 表 す.つ

行 列 Ａ の ｉ行 ｊ 列 成 分 の 共 役 複 素 数(注1)が,行

列A+の

ｊ 行i列

ま り,

成 分 と な る.

例 え ば,

な ら ば,

とな る.こ 実 際,上

こで,ａ

は複 素 数 ａ の 共 役複 素 数 を表 して い る.

の行 列AQの

転 置 共 役 行 列 は以 下 の よ う に求 まる.

こ の と き,

と な り,同 様 に してA+QAQ=Iも

示 す こ とが で き る の で, AQは

リ行 列 で あ る.し た が って,AQは1QTMの

確 かにユニ タ

状 態 遷 移 行 列 と して適 格 で あ る こ と

が わ か る.   量 子 力 学 を ご存 じの 方 に は,前 ペ ー ジの(**)式 の 発 展 過 程 の時 間 推 移 行 列(ユ

ニ タ リ行 列)に

が,物 理 系(こ の 場 合 は1QTM) よ る表 現 に な っ てい る こ とが お わ

か りい た だ け る こ と と思 う. (注 １)

複 素数x+iyとx-iy(x,yは て,実 数xの 共 役 複 素数 はx自

実 数, ｉは 虚 数単位)は,  互いに他 の共 役 複 素 数で あ る.し たが っ 身 で あ るこ とに注 意 す る.

の因数 分 解 ア ル ゴ リズ ムの動 作 原理

Shor

2.4

  本 節 で は,AT&T, 

Bell研 究 所 のShorに

よ っ て 考案 され た,量 子Turing機

械 上 の 効 率 的 な 因数 分 解 ア ル ゴ リズ ムの 概 略 を直 観 的 に説 明す る.本 節 の詳 細 は, 第 ６章 に記 述 す る.

因数 分解 の難 しさ

2.4.1

  コ ン ピ ュ ー タ の 内 部 で は,整

数 を ２進 数 で 表 現 し て い る.し

を コ ン ピ ュ ー タの メモ リ 内 に 貯 え る に は,log  Nビ

た が っ て,整

ッ ト を 必 要 と す る(対

数 Ｎ 数 の底

は ２ と す る).

  ア ル ゴ リズ ム は,そ の実 行 ス テ ップ 数 が 入 力 長(ビ

ッ ト数)の 多 項 式 で押 さ え

られ る と きに,多 項 式 時 間 で 動 作 す る とい う． 因 数 分 解 問 題 の 場 合,入 与 え られ る 整 数Nはlog 

Nビ

ッ トで 表 現 され るか ら,因 数 分 解 の ア ル ゴ リズ ム

Ａ が 多 項 式 時 間 で動 作 す る と した ら,あ る 多項 式 Ｐ に対 し,Ａ 数 が Ｐ(log  N)以

力 と して

の 実 行 ス テ ップ

下 と な ら な け れ ば な らな い.理 論 上 は,多 項 式 時 間 で 動 作 す る

ア ル ゴ リズ ム が,効 率 の よ い ア ル ゴ リ ズ ム で あ る と考 え られ て い る.   例 え ば,１ 以 上 √N以 分 解 法(エ

下 の 各整 数 で Ｎ を割 って み る とい う,最 も素 朴 な 因 数

ラ トス テ ネ ス の ふ る い)を 考 え て み よ う.こ の 方法 は 少 な く と も √N

ス テ ップ を必 要 とす る.し か し,√N=21/2logNはlogNに

関 す る指 数 関 数 で

あ り,し たが っ て,こ の ア ル ゴ リズ ム は多 項 式 時 間 で は動 作 しな い.実 際,因 分 解 に対 す る効 率 的 な(通 常 の)ア

数

ル ゴ リズ ムは 知 られ て い な い.現 在 知 られ て

い る最 良の ア ル ゴ リズ ム は,

2(log  N)1/3(loglog 

N)2/3

の オ ー ダ の ス テ ップ 数 で 動 作 す る.し か し,逆 に因 数 分解 に対 す る効 率 的 な(通 常 の)ア

ル ゴ リズ ム が 存 在 しな い とい う証 明 が な され た わ け で もな い.

  現 在,200桁

の 整 数 を 因 数 分 解 し よ う と す る と,ス

い た と し て も,答

ー パ ー ・コ ン ピ ュ ー タ を 用

が 出 る ま で に は 数 十 億 年 も か か る と い わ れ て い る.こ

の ような

因数 分 解 の 難 し さ を よ りど こ ろ と して,RSAな れ,イ

2.4.2

ン ター ネ ッ ト上 な どで広 く利 用 され て い る.

量 子Turing機

械 とは

本 節 で は,量 子Turing機 1QTMの のQTMで

違 い は,1QTMで

械(QTM)の

直 観 的 説 明 を行 う.一 般 のQTMと

は 記 憶 容 量 が １ビ ッ トに制 限 され る の に 対 し,一 般

は,そ の よ うな制 限 が な い とい う点 の み で あ る.同 様 の 関 係 が,一 般

の 確 率 的Turing機 ずPTMに

どの 公 開 鍵 暗 号 シ ス テ ム が 実 現 さ

械(PTM)と1PTMの

間 に も成 り立 つ の で,以 下 で は,ま

つ い て 説 明 し,そ の 後 にPTMと

  まず,通 常 の 決 定 性Turing機 式 的 に は,図2.9の 定 性Turing機

の対 比 でQTMを

導 入 す る.

械 に よ る計 算 の様 子 を考 え て み よ う.そ れ は,図

よ うに 直 線 的 に 表 現 す る こ とが で きる.す

な わ ち,通 常 の 決

械 に よ る計 算 に お い て は,計 算 の 各 ス テ ップ に お い て,次

に 実行

可 能 な ステ ップ は,(存 在 す る な らば)一 意 的 に定 ま る.   これ に対 し,通 常 のPTMに

よ る計 算 の 様 子 は,図2.10の

よ うな木 の形 で 表 現

さ れ る.す な わ ち,こ の 場 合 に は,計 算 の 各 ステ ップ に お い て,次 に 実 行 可 能 な ス テ ップ は,一 般 に一 意 的 に は 定 ま らず,高

図2.9

々２つ の 可 能 な もの の 中 か ら,あ る

通常の決定性計算

図2.10

通常の確率的計算

確 率 に従 っ て 選 ば れ る.   例 え ば,計

算 の あ る ス テ ップ に到 達 した と き に,次

種 類 存 在 した 場 合,PTMは テ ップ を,さ

に実 行 可 能 なス テ ップ が ２

内 部 的 に コ イ ン投 げ を行 っ て,表 が 出 た ら第 １の ス

もな け れ ば 第 ２の ス テ ップ を実 行 す る ．

  逆 に,図2.10の

よ うな木 は,あ るPTMの

よ うな木 を描 い て も,そ れ が常 にPTMの 2.10の よ うな 木 がPTMの

計 算 過 程 を表 現 す る わ け だ が,ど の 計 算 過 程 を 表 現 す る とは 限 ら ない.図

計 算 過 程 を表 現 す る には,以

下の 三 つ の 条 件 を満 た さ

なけ れ ば な らな い. １.

同 じ 計 算 ス テ ッ プ か ら は,同 な い.例

え ば,図2.10の

で あ っ た と し よ う.こ

じ確 率 に 従 う状 態 遷 移 が 起 こ ら な け れ ば な ら

様 相(注１)Ａと Ｂ に お い て,と の と き,も

も に機 械 の 状 態 が ｑ

し様 相 Ａ か ら の 遷 移 が,

「状 態 を γ に変 え,ヘ ッ ドの あ るマ ス 目に 記 号 ｂを書 き込 み,そ の 後 ヘ ッ ド を右 に １マ ス動 か す 」 とい う遷 移 が 確 率1/2で

起こ

り, (注 １）あ

る時 刻 ｔ にお け る,Turing機

械 Ｍ の 有 限制 御 部の 状態,テ

む対 を,時 刻 ｔ にお け る Ｍ の様 相 とい う.

ー プ の内容,ヘ

ッドの 位 置 をす べ て 含

「状態 を ｓ に 変 え,ヘ

ッ ドの あ るマ ス 目 に記 号 ｃ を書 き込 み,そ

の 後 ヘ ッド を左 に １マ ス動 か す 」 とい う遷 移 が確 率1/2で

起 こる

の で あ れ ば,こ れ と ま っ た く同様 の 遷 移 が様 相 Ｂ に お い て も起 こ ら なけ れ ば な らな い. ２.

木の 中 の あ る 親 に付 随 した 様 相 か ら,そ の 子 に 付 随 した 様 相 へ は,決 定 性 Turing機

３.

械 の １ス テ ップ の動 作 で 遷 移 で きな け れ ば な らな い.

木 の レベ ル ご と に,そ の レベ ル の 頂 点 に 付 随 した様 相 の 発 生 確 率 を合 計 す る と,そ の和 は １にな ら なけ れ ば な らな い.例

え ば,図2．10の

場 合,レ ベ

ル ０に あ る 頂 点 は木 の根 Ａ だ け で あ り,そ の 発 生 確 率 は １だ か ら,明 らか に この 条 件 は 満 た され る.レ ベ ル １に は 頂 点 Ｂ と Ｃ が 存 在 す る.Ｂ

に対

応 す る様 相 の 発 生 確 率 は1/2,Ｃ

ある

に 対 応 す る様 相 の 発 生 確 率 は1/2で

か ら,そ の 合 計 は確 か に １に な って い る.レ ベ ル ２ には 頂 点D,E,  在 す る.例

え ば,頂 点 Ｄ に対 応 す る様 相 の 発 生 確 率 は

で あ る.同

様 に し て,頂

1/4,1/2で

点E,Fに

あ る か ら,そ

対 応 す る 様 相 の 発 生 確 率 は,そ

Fが

存

れ ぞ れ,

れ ら の 合 計 は や は り １ に な る.

  このPTMの

場 合 の よ うに, QTMに

よ る計 算 の 様 子 も,図2.11の

表 現 さ れ る.す

な わ ち,こ の 場 合 に も,計 算 の 各 ステ ップ にお い て,次

能 な ス テ ップ は,一 般 に 一 意 的 には 定 ま らず,幾

よ う な木 で に実 行 可

つ か の 可 能 な もの の 中 か ら,あ

る確 率 に従 っ て選 ば れ る.た だ し,今 度 の 場 合 は,そ

の確 率 が 通常 の確 率 で は な

く,い わ ゆ る量 子 確 率 に な っ て い る.   例 え ば,計 算 の あ る ス テ ップ に到 達 した と き に,次 に 実 行 可 能 な ス テ ップ が ２ 種 類 存 在 した 場 合,QTMも テ ップ を,さ

内 部 的 に コ イ ン投 げ を行 って,表

が 出 た ら第 １の ス

も な け れ ば 第 ２の ス テ ップ を実 行 す る.た だ し,こ の 場 合 の コ イ ン

は一 般 に通 常 の コ イ ンで は な く,量 子 コ イ ン とで も呼 べ る もの で あ る.   図2.11の

木 が,PTMに

ら れ た 値 が,対

対 す る 図2.10の

木 と唯 一 異 な る点 は,木 の 辺 に付 け

応 す る状 態 遷 移 の 確 率 で は な く,そ の 振 幅 で あ る とい うこ とで あ

図2.11

る.そ れ以 外 は,確 率 的Turing機

量子確率的計算 械 に 対 す る計 算 木 と量 子Turing機

計 算 木 は ま っ た く同 じで あ る.す な わ ち,図2.11の の計 算 過 程 を表 現 す る た め に は,以 １.

同 じ計 算 ス テ ップ か ら は,同 な い.例 え ば,図2.11の

械 に対す る

よ うな木 が 量 子Turing機

械

下 の 三 つ の 条 件 を満 た さ な け れ ば な ら ない. じ確 率 に 従 う状 態 遷 移 が 起 こ らな け れ ば な ら

様 相 Ａ と Ｂ に お い て は,図2.10の

場 合 と同様,

まっ た く同 じ遷 移 が 起 こ っ て い なけ れ ば な ら ない. ２.

木 の 中 の あ る 親 に 付 随 した 様 相 か ら,そ の子 に付 随 した 様 相 へ は,決 Turing機

３.

定性

械 の １ス テ ップ の動 作 で 遷 移 で き なけ れ ば な らな い.

木 の レベ ル ご と に,そ の レベ ル の 頂 点 に付 随 した 様 相 の 発 生 確 率 を 合 計 す る と,そ の 和 は １ に な らな け れ ば な らな い.例 え ば,図2.11の

場 合,レ ベ

ル ０に あ る頂 点 は木 の根 Ａ だ け で あ り,そ の 発 生 確 率 は １だか ら,明 らか に こ の条 件 は 満 た され る.レ ベ ル １には 頂 点 Ｂ と Ｃ が 存 在 す る.Ｂ 応 す る様 相 の 発 生 確 率 は

に対

Ｃ に対応す る様相 の発生確率 は

で あ る か ら,そ の 合 計 は確 か に １に な っ て い る.レ ベ ル ２ に は頂 点D,E, Fが

存 在 す る.例 え ば,頂 点 Ｄ に対 応 す る 様 相 の 発 生 確 率 は

で あ る.同 1/4,1/2で

様 に し て,頂 あ る か ら,そ

点E,Fに

対 応 す る 様 相 の 発 生 確 率 は,そ

れ ぞ れ,

れ ら の 合 計 は や は り １ に な る.

変換 換

2.4.3

離 散Fourier 散Fourier変

  Shorが

考 案 した 因数 分 解 の 量 子 ア ル ゴ リス ム に お い て 中心 的 な役 割 を果 た す

の が,次

の よ う な 離 散Fourier変

DFTと

略 す)で

あ る.DFTは

換(Discrete 

１ ビ ッ トの 状 態 空 間 に 対 して 適 用 さ れ る,以

行 列 Ａ で 表 現 さ れ る 変 換 で あ る.

この行 列 を ビ ッ ト ０を表 す状 態 ベ ク トル

に 適 用 し て み よ う.す

る と,

Fourier  Transformation,以

下 下 の

と な る.こ

の 式 の 右 辺 は,状

態 ベ ク トル

と

を,等

しい 振 幅 で 重 ね合 わ せ た 状 態 を表 して い る.つ

ま り,右 辺 の 状 態 に あ る １

ビ ッ トの 物 理 系 を観 測 す る と,そ れが ０で あ る こ とが ,確 率

で 観 測 され る.し た が っ て,そ の 物 理 系 が １で あ る こ と も,同

じ確 率

で観 測 さ れ る. 次 に,行 列 Ａ を ビ ッ ト １を表 す 状 態 ベ ク トル

に 適 用 し て み よ う.す

と な る.こ

る と,

の 式 の 右 辺 は,状

態 ベ ク トル

を,絶 対 値 は 等 しい が 符 号 が 異 な る振 幅 で重 ね 合 わせ た状 態 を表 して い る.し か し,こ の 場 合 も右 辺 の 状 態 に あ る １ビ ッ トの物 理 系 を観 測 す る と,そ れ が ０で あ る こ とが,確

率

で 観 測 さ れ,ま

た,そ

れ が １ で あ る こ と も,同

じ確 率

で 観 測 さ れ る こ とに な る.   以 上 を ま と め る と,あ す る と,最 と,変

る ビ ッ ト に 行 列 Ａ で 表 現 さ れ るDFTと

初 そ の ビ ッ ト に ０ が 書 き 込 ま れ て い よ う と,１

換 後 の ビ ッ ト を 読 め ば,０

の よ う な 性 質 が あ る た め,DFTは Flip)と

い う変 換 を適 用

が 書 き込 ま れ て い よ う

と １が 等 し い 確 率 で 読 み 出 せ る わ け で あ る.こ 別 名,量

子 コ イ ン 投 げ(Quantum 

Fair Coin

も呼 ば れ る.

  さ て,最

初 に ｎ 個 の マ ス 目 を 持 つ テ ー プ が 与 え ら れ,テ

に は ０ が 書 き 込 ま れ て い る と し よ う.こ 上 で 述 べ たDFT(量

子 コ イ ン投 げ)を

子 を 表 し た 計 算 木 が,図2.12に

  図2.12の

ープのすべ てのマス 目

の ｎ 個 の マ ス 目 に 対 して,左

適 用 して い く こ と を 考 え る.こ

か ら 順 に, の計 算 の様

示 さ れ て い る.

計 算 木 に お い て は,木 の 根 Ａ に対 応 す る初 期 状 態 の 第 １ビ ッ ト(最

も左 側 の ビ ッ ト)にDFTを

適 用 した 結 果 が,木 の 第 １ レベ ル の 二 つ の 頂 点B,C

に対 応 す る様 相 と して 現 れ て い る.こ の う ち頂 点 Ｂ は,量 子 コ イ ン投 げ の 結 果,

図2.12

ｎ ビ ッ トテ ー プ 上 のDFT

第 １ ビ ッ トの 値 が ０に な っ た様 相 に対 応 して お り,頂 点 Ｃ は,量 子 コ イン投 げ の 結 果,第

１ビ ッ トの 値 が １に な った様 相 に対 応 して い る.さ ら に,頂 点 Ｂ の 様 相

の 第 ２ ビ ッ トにDFTを お り,ま た,Ｃ 点F,Gに

適 用 した 結 果 得 られ る様 相 が,図 の 頂 点D,Eに

の様 相 の 第 ２ ビ ッ トにDFTを

現 れて い る.例

適 用 した結 果 得 られ る様 相 が,頂

え ば,頂 点 Ｅ に対 応 した様 相 は,第

を適 用 した結 果 が ０で あ り,か つ,第 た 様 相 で あ る.以 下 同 様 に して,木

現 れて

２ ビ ッ トにDFTを の 各 頂 点 にDFTを

１ビ ッ トにDFT

適 用 した結 果 が １で あ っ 適 用 した 結 果 の 様 相 が 対

応 して い る.   図2.12の 計 算 木 に は2n個

の葉 が あ るが,そ れ らの 葉 に は左 か ら順 に,000…0

(ｎ 個 す べ て の マ ス 目 に ０が 書 き込 まれ て い る)か

ら111…1(ｎ

個す べて のマ

ス 目 に １が 書 き込 まれ て い る)ま で の 状 態 が 現 れ て い る.こ れ らの 状 態 は,す べ て等 しい 振 幅

を持 って い る こ とに 注 意 す る.す

な わ ち,ｎ

番 に,量 子 コ イ ン投 げ(DFT)を

適 用 して い っ た結 果,最

す べ て の 状 態 が,等

2.4.4

終 的 に2n個

の可 能 な

しい 振 幅 で 重 ね 合 わ され た 状 態 が 得 られ た こ と を,図2.12の

計 算 木 は表 現 して い る.し か も,こ の2n個 の処 理(ｎ

ビ ッ トテ ー プ の 左 側 の マ ス 目 か ら順

回 のDFTの

の 状 態 の重 ね 合 わ せ が, ｎ ス テ ップ

適 用)で 得 られ て い る こ とが 重 要 な 点 で あ る.

量子並列計算

 Deutschに る 点 は,QTMで

よっ て 考 案 され たQTMが,通

械 と最 も大 き く異 な

は 単 一 プ ロセ ッサ 上 で 任 意 の 並 列 度 の 並 列 計 算 が 行 え る 点 で あ

る(量 子 力 学 の 理 論 的 枠 組 み に従 え ば,無   簡 単 な 例 で 説 明 す る.z=f(x1,x2,…,xn)を な わ ち,z,  x1,x2,…,xnの

の 値(０

限 の並 列 度 も許 され て い る). ｎ 変 数 ブ ー ル 関 数 と す る.す

値 は ０ ま た は １ で あ る と す る.異

X=(x1,x2,…,xn)とY=(y1,y2,…,yn)(X,  に 対 し て,ｚ

常 のTuring機

Yの

な る二つ の入力

各 成 分 は ０ ま た は １)

ま た は １)を 求 め る 必 要 が あ る と し よ う.

  こ の場 合,通

常 は まずf(X)の

れ ば な らな い.し

計 算 す る の に 必 要 な時 間 の,お   QTMで

値 を計 算 しな け

よそ ２倍 の 時 間 が か か っ て し ま う.

は,入 力 Ｘ と Ｙ の 両 方 を 同 時 に符 号 化 した 入 力 を 用 意 す る こ とが

で き る.こ れ は実 際 に は,Ｘ QTMにX+Yを

と Ｙ をある線形空 間内の点

Ｘ,  Ｙ と して 表 現 し,

入 力 す る こ とに相 当 す る.こ の 形 の 符 号 化 を, Ｘ と Ｙ の量

子 重 ね 合 わ せ(quantum 

superposition)と

す る通 常 の プ ログ ラ ム をQTM上 とf(Y)の

値 を計 算 し,そ の 後 にf(Y)の

か し,こ の よ う な計 算 を行 う と,ｆ の 値 を 一 つ の 入 力 に 対 して

呼 ぶ.こ の 入 力 に対 して, ｆ を計 算

で 走 らせ る と(注１),その 結 果,出 力 と してf(X)

量 子 重 ね 合 わせ が 得 られ る.こ の こ と を,も う少 し形 式 的 に述 べ よ う.

QTMは,実

際 に は ｆ の 計 算 に対 応 す る線 形 変 換(Ufと

の と き,Ufの

呼 ぼ う)を 実行 す る.こ

線 形 性 か ら以 下 が 成 り立 つ.

Uf(X+Y)=Uf(X)+Uf(Y) た だ し,Ｘ

と Ｙ の量 子 重 ね合 わせ をX+Yと

とf(Y)の

量 子 重 ね 合 わせ に相 当す る.こ の 計 算 にお い て は,ｆ の 計 算 プ ログ ラ

ム(す

なわ ち線 形 変 換Uf)は

表 して い る.こ の 式 の 右 辺 がf(X)

１回 しか 実 行 され て い な い の で,こ

の計算 に要す

る時 間 は,ｆ の 値 を 一 つ の 入 力 に 対 して 計 算 す る の に必 要 な時 間 の み で あ る.入 力 の 量 子 重 ね 合 わせ に 対 して行 わ れ る この よ うな計 算 を,量 子 並 列 計 算 と呼 ぶ.   さ らに好 都 合 な こ と に は,前 節 で 示 した よ う にDFTを

用 い る と, QTMは

指

数 個 の 入力 の 量 子 重 ね合 わせ を線 形 時 間(ｎ ス テ ップ)で 用 意 す る こ とが で きる. した が っ て,そ の 入 力 の 重 ね合 わ せ に対 して ｆ の プ ロ グ ラ ム を １回実 行 す れ ば, す べ て の 入 力 に 対 す る ｆ の 値 の量 子 重 ね合 わせ が得 られ る.   こ こ まで 読 まれ た 読 者 は,あ

ま りに も話 が うま過 ぎる と思 わ れ た だ ろ うが,現

在 の量 子 力 学 の枠 組 み に従 う限 り,こ こ まで の と こ ろ は一 応 問 題 な い.実 題 は そ の 後 で あ る.上 の よ うな 計 算 が 行 わ れ た後 に は,例 え ば,出 2n個

の ｆ の 値f(X1),f(X2),…,f(X2n)が

て い る こ と に な る.こ (注１)QTMは

は,問

力テープ上 に

量 子 重 ね合 わせ の 状 態 で 印刷 され

こ で再 び,現 在 の 量 子 力 学 の 枠 組 み に従 う と,出 力 テ ープ

,通 常 のTuring機

械 が実 行 可 能な すべ て の プ ログ ラム を実 行 で きる.

か らの 値 の 読 み 出 しに強 い制 限 が 課 され て しま うの で あ る.   今 の 例 で い え ば,出

力 の 可 能 な 観 測 方 法 と し て は,例

に 対 し て,「f(Xi)=1か?」(Xi∈{0,1}n)を

え ば,あ

るi,1〓i〓2n

観 測 す る こ と が で き る が,こ

の

場 合, １.実 際 にf(Xi)=0の

と き は,上

の 観 測 結 果 は 確 率 １ でNOと

  ２.実 際 にf(Xi)=1の

と き は,上

の 観 測 結 果 は 確 率1/2nでYESと

な り, なる

こ と し か 保 証 で き な い.

  この こ とは,QTMは

すべ て の 入力 値 に対 す る計 算 を効 率 よ く行 っ た の に,そ

の 結 果 を我 々人 間が 効 率 よ くは読 み 出 せ ない と い うジ レ ンマ を表 して い る.一 方, 因 数 分 解 問 題 や 離散 対 数 問 題 の よ うに,QTMが

通 常 のTMよ

り も高 速 に解 け そ

うな 問 題 が す で に知 られ て い る が,そ の よ うな問 題 は,量 子 並 列 計 算 と適 当 な観 測 方 法 とを う ま く組 み合 わせ れ ば,効 率 よ く解 け る よ うな構 造 を持 っ て い る こ と が わ か る.

2.4.5

２ 段Fourier変

換

  上 で 述 べ た量 子 並 列 計 算 の メカ ニ ズ ム を用 い て,図2.12の 2n個

の 状 態 の 重 ね 合 わせ 上 で,な

計 算 木 の 葉 に現 れ る

ん らか の 計 算 を行 う こ と を考 え よ う.例 え ば,

こ の計 算 木 の 葉 に現 れ る 様相 の 重 ね 合 わ せ が,

X1+X2+…+X2n

と 表 現 で き た と し よ う.た 目 の 葉 に 対 応 し たTMの   こ こ で は,TMの

だ し,Xi(1〓i〓2n)は,こ 様 相 を 表 現 す る ベ ク トル と す る.

様 相 を,そ

を ｎ ビ ッ トの ２進 列 と す る.さ 値 の 割 当 て と解 釈 し,あ

の 計 算 木 の 左 か ら ｉ番

の テ ー プ の 内 容 と 同 一 視 して,各Xi(1〓i〓2n) ら に,こ

れ を ブ ー ル 変 数x1,x2,…,xnに

対す る

る ｎ 変 数 ブ ー ル 関 数 ｆ の 値 を 求 め る こ と を 考 え よ う.ｆ

の 値 を 求 め る こ と に 対 応 す る ユ ニ タ リ変 換 をUfで

表 す と,Ufの

線 形 性 か ら,以

図2.13

下の 関

DFTを

用 いた 量子 並列 計 算

式 が 得 られ る. Uf(X1+X2+…+X2n)=Uf(X1)+Uf(X2)+…+Uf(X2n)

こ の 式 の 右 辺 は,f(X1),…,f(X2n)の

値 を 求 め た 後 のTuring機

械 の2n個

の様

相 の 重 ね 合 わ せ を 表 現 し て い る.以

上 の 計 算 の 様 子 が,図2.13に

  さ ら に 計 算 を 続 け よ う.図2.13の

葉 に 現 れ て い る 各 様 相 の 最 も左 側 の ビ ッ トか

ら,図2.12の

と き と ま っ た く 同 様 に,順

の 様 子 が,図2.14に

示 さ れ て い る.読

不 思 議 に 思 わ れ る か も し れ な い が,実 考 案 さ れ た ２ 段 フ ー リ エ 変 換(Fourier  が 離 散 対 数 問 題 に 対 す るShorの Shorは,こ

番 にDFTを 者 は,な

は,こ

示 さ れ て い る.

適 用 し て み よ う.こ

の計算

ぜ こ の よ う な 計 算 を 行 うの か と

の 計 算 方 法 はD.R.  Simonに

Twice)と

呼 ば れ る も の で,こ

ア ル ゴ リ ズ ム の 基 礎 と な っ て い る[49].そ

の 離 散 対 数 問 題 に 対 す る ア ル ゴ リ ズ ム を 少 し 変 形 す る こ と で,因

よ って の手法 し て, 数分

解 問 題 に 対 す る 量 子 ア ル ゴ リ ス ム を 得 た の で あ る[48].   ２ 段 フ ー リ エ 変 換 の 結 果 得 ら れ る 図2.14の て い る.関

数 ｆ が １ 対 １ の と き は,各(X,Y), 

計 算 木 は,次

の よ うな 性 質 を持 っ

X,Y∈{0,1}nに

対 し,各

組

図2.14

２段

(Y,f(X))は

す べ て異 な る.よ っ て計 算結 果 を観 測 す る と,各 組(Y,f(X))が

等

確率 1/22n

で 観 測 され る.す な わ ち,計 算 木 の 葉 の 部 分 で は 干 渉 は ま っ た く起 こ らな い.   しか し,ｆ が １対 １で ない 場 合 に は,組(Y,f(X))の た め,そ

中 に等 しい もの が現 れ る

の よ うな箇 所 で 干 渉 が起 き る こ とに な る.こ の 場 合,所

て い るf(X)に

望 の 結 果 を与 え

つ い て は 正 の 干 渉 が 起 こ る よ うに し,そ うで は な いf(X)に

つい

て は負 の 干 渉 が 起 こ る よ うに して,所 望 の 結 果 が 得 られ る確 率 を増 幅 させ よ う と い うの が,Shorの

2.4.6

一 連 の 量 子 ア ル ゴ リズ ム の 設 計 方 針 で あ る.

量 子 ｋ 面 サ イ コロ投 げ

  本 節 で は,因

数 分 解 問 題 に 対 す るShorの

流 儀 で 直 観 的 に 説 明 す る.Shorの 拡 張 し た,図2.15の Roll)を

ア ル ゴ リ ズ ム の 動 作 原 理 を,Simonの

ア ル ゴ リ ズ ム で は,DFT(量

子 コ イ ン投 げ)を

よ う な 量 子 ｋ 面 サ イ コ ロ 投 げ(Quantum 

k-sided 

Die

用 い る.

  オ イ ラー の φ 関 数 は 自然 数 上 で そ の 値 が 定 義 され,自 然 数 Ｎ に対 す る φ(Ｎ) の 値 は,「Ｎ と互 い に素 な Ｎ 以 下 の 整 数 の個 数 」 と定 義 され る. ａ と Ｎ が 互 い に 素 の と き,ａ

のmod 

Nの

aγ ≡1mod 

オ ー ダ γ と は,

N

を満 た す 最 小 の 整 数 γ の こ と をい う.ａ と Ｎ が 互 い に素 の と き,ａ のmodN

図2・15

量子 ｋ 面サ イ コロ投 げ

図2.16

の オ ー ダ を発 見 で きれ ば,Ｎ

Shorの 因 数分 解 ア ルゴ リズムの 動作

の 因 数 分 解 が 比 較 的 簡単 に行 え る こ とが,整 数 論 の

結 果 と して 知 られ て い る(詳 細 は本 書 の 第 ６章 参 照).実 ラ ンダ ム に選 ば れ た 整 数 ａ に対 し,ａ のmod  Nの

際,Shorが

示 した の は,

オ ー ダ γ を,小 さ な誤 り確 率

で 多 項 式 時 間 以 内 に発 見 す る量 子 ア ル ゴ リズ ム で あ る.   い ま,整

数 Ｎ

関 数 φ(N)の

値 が わ か っ て い た と し よ う(後

こ と は な い).こ が 図2.16で

を 因 数 分 解 し た い と き に,QTMの

の 仮 定 の も と で,Shorの

あ る.た

だ し,図2.16の

処 理 に 先 立 っ て, Eulerの

で も 述 べ る が,実

φ

際 に は この よ うな

ア ル ゴ リズ ムの 動 作 を説 明 して い るの

計 算 木 は,ａ

のmod 

Nの

オ ー ダ γ を求 め

る 計 算 に 対 す る も の で あ る. よ く見 て い た だ く と わ か る が,こ

の 図 は,図2.14の

２段Fourier変

換の計算木

にお い て,

１.DFTに

よ る 二 股 の 分 岐 が,量

岐 の 置 き換 え られ,

子 φ(n)面 サ イ コ ロ投 げ に よ る φ(n)個 の 分

２.さ ら に,量

子 並 列 計 算 を行 う関 数 ｆ と して,f(a,x)=axと

い う関 数 が 具

体 的 に指 定 され た も の で あ る.   こ の と き,ａ か も,γbが

と Ｎ が 互 い に 素 で あ り,γ が ａ のmodNの

φ(Ｎ)の

起 こ す.([a,b,x]と る.こ

こ で は,テ

倍 数 な ら ば,様

い う表 記 は,テ

相[a,b,x]に

対 応 す る葉 同士 は 正 の 干 渉 を

ー プ の 内 容 が “a,b,x” で あ る こ と を 表 して い

ー プ の 内 容 と様 相 を 同 一 視 し て い る こ と に 注 意.)し

以 外 の 様 相 に 対 応 す る 葉 同 士 は 負 の 干 渉 を起 こ し,そ る.し

オ ー ダ で あ り,し

た が っ て,図2.16の

プ を 観 測 す る と,あ

か し,そ

れ らの振 幅 の 合 計 は ０に な

計 算 木 で 表 さ れ る 計 算 が 終 了 し た 後 で,QTMの

る 整 数 ｋ に 対 し γb=kφ(Ｎ)を

関 係 式 か ら γ を 求 め る こ と が で き る.こ 越 え る こ と な の で 省 略 す る.詳

  実 は,上 記 の ア ル ゴ リズ ム はShorの

テ ー

満 た す ｂ が 観 測 で き,こ

の こ と の 詳 細 な 理 由 は,本

細 に つ い て は,第

れ

の

章 の レベ ル を

６章 を 参 照 さ れ た い.

ア ル ゴ リズ ム を非 常 に単 純 化 して 説 明 し

た もの で あ る が,以 下 の よ うな 問 題 点 が あ る. ● まず,整 数 Ｎ の 因 数 分 解 に先 立 って,φ(Ｎ)の が,そ

値 を知 ら なけ れ ば な らない

の 値 の 計 算 を多 項 式 時 間 で行 う方 法 は知 られ て い ない.

● さ ら に,量 子 φ(Ｎ)面 サ イ コ ロ投 げ は,QTMを

用 い て も多 項 式 時 間 で行

え る か ど うか は わ か ら ない. し たが っ て,上 記 の 簡 略 版 の ア ル ゴ リズ ム を そ の ま ま用 い た の で は,QTM上

で

因 数 分 解 が 多項 式 時 間 で 行 え る こ と は示 せ そ う も ない.   実 際,Shorが

行 っ た の は,こ の 簡 略 版 の アル ゴ リズ ムの 動 作 を確 率 的 に近 似 す

る こ とで あ っ た.そ の 結 果,若 干 の誤 り確 率 を伴 うが,因 数 分 解 を多 項 式 時 間で 行 え る量 子 ア ル ゴ リズ ム を設 計 す る こ とに成 功 した.し か も,こ の 誤 り確 率 は い く らで も小 さ くす る こ とが で きる.Shorが

行 った 近 似 の 方 法 は,本 書 の 第 ６章 で 詳

細 に説 明 す るの で,興 味 の あ る方 は そ ち ら を ご参 照 い た だ きた い.し か し,Shor の 因 数 分 解 ア ル ゴ リズ ム の 動 作 原 理 は,上 記 の 簡 略 版 ア ル ゴ リズ ム と基 本 的 に同 じ もの で あ る.

第 ３章 量 子 コ ン ピ ュ ー タの 実 現 に

向けて 本章 で は,前 章で 概 略 を紹 介 した量 子 コ ンピュ ー タの,実 現 に向 けて の研 究 を紹 介す る.量 子 コ ン ピュー タの 実現 に関 す る研 究 は,ま だ始 まっ たば か りだが,本 章 で は,そ の よ うな研 究 で何 が問題 にな っ てい るの か を列 挙 す る こ とに 主眼 を置 い た(量 子 コ ン ピュー タの 理論 にお け る未 解 決問題 に つい ては,第 ４章以 降 で述 べ る).こ の 分野 の研 究 は現 在進 行 中で あ り,日 々新 しい論 文 が発 表 され てい る.そ う した最 新情 報 を得 る には,イ ンタ ー ネ ッ トを利用 す るの が最 も効 率的 で ある.そ こで,本 章 の 最後 に,量 子 コ ンピュー タ関連 の論 文 が多 数登 録 されて い るWWWサ

イト

のア ドレス を掲 載 したの で,ご 活用 いた だ きたい.な お,本 章の 記 述の 多 くの 部 分 は,文 献[35] を参 考 に して い る.

3.1

量子情報

  情 報 量 の 単 位 は ビ ッ トで あ る.１ ビ ッ トの 情 報 は,二 つ の選 択 肢YesとNoの 別 を 表 す.す

区

な わ ち,情 報 は 離散 的 な単 位 の 集 ま り と して 表 現 され る.一 方,前

に も述 べ た よ うに,量 子 力 学 にお い て は 原 子 のエ ネ ル ギ ー ・レベ ル は 離 散 的 に な る.量 子 コ ン ピ ュ ー タの 基 本 的 な発 想 は, 今 日の デ ジ タ ル情 報 処 理 で 用 い られ て い る離 散 的 性 質 を,量 子 力 学 に お け る(特 殊 な)離 散 的 性 質 で 表現 し よ う と い う こ と で あ る.

現 在 のデ ジ タル ・コ ン ピュー タで は,キ

ャパ シ タ内 の極 板 間 の 電圧 に よ り １ビ ッ

トの 情 報 を表 現 して い る.す な わ ち,充 電 され た キ ャ パ シ タは １ を表 現 し,充 電 さ れ て い な い キ ャパ シ タは ０ を表 現 して い る と考 え る.こ れ と同様 に,水 素 原 子

(ａ)

(ｂ) 図3.1

水 素原 子 へ の情報 の 記憶. (ａ)情 報 の 反 転, (ｂ)情 報 の 読 み 出 し.

の列 も複 数 の ビ ッ ト を保 持 す る こ とが で き る.こ の 場 合 に は,基 底 状 態 に あ る原 子 は ０ を表 現 し,励 起 状 態 に あ る原 子 は １を表現 して い る と考 え る(図3.1参 この よ うな 形 で 水 素 原 子 を用 い,コ

ン ピ ュ ー タを 実 現 す る た め には,水

照).

素原子 に

貯 え ら れ た情 報 に対 して,読 み 出 し,書 き込 み,演 算 が 行 え な け れ ば な らな い.   量 子 系 に情 報 を書 き込 む方 法 を初 め て 示 した の は,ノ I.I.Rabiで

ーベ ル物 理 学 賞 受 賞 者 の

あ っ た.彼 の 方 法 を水 素 原 子 に適 用す る と以 下 の よ う にな る.

エ ネ ル ギ ー ・レベ ルがE0の

基 底 状 態 に あ る水 素 原 子 Ａ に, ０ を書

き込 む 場 合 に は何 も行 わ な くて よい が,１ を書 き込 む場 合 に は,Ａ よ り高 い エ ネ ル ギ ー 状 態E1に こ れ を 行 う に は,E1-E0に を,Ａ

を

励 起 させ る.

等 しい量 の エ ネ ルギ ー を持 つ 光 子 か ら な る レー ザ 光

に 注 げ ば よ い.

  も し レーザ 光 が 適 当 な強 さで適 当 な 時 間 だ け 照 射 され れ ば,Ａ る に 従 っ て,基 底 状 態E0か

ら励 起 状 態E1に

は 光 子 を吸 収 す

徐 々 に移 行 す る.一 方, Ａ が す で

に励 起 状 態E1に

あ る 場 合 に は,同

じ レーザ 光 が Ａ に 光 子 を放 出 させ る の で,Ａ

は基 底 状 態E0に

移 行 す る.す な わ ち,こ の レー ザ 光 に よ り,水 素 原子 Ａ が 保持

す る ビ ッ トが 反 転 さ れ る.   Ａ が 保 持 す る情 報 を ０か ら １に 反 転 させ る の に 要 す る時 間 を ｔ と し よ う.も し上 の 意 味 で 適 切 な レーザ 光 が,時 間t/2だ

け 照 射 され る と,Ａ

は,同

じ振 幅 を

持 っ た,０ に対 応 す る 波 と １に対 応 す る波 の 重 ね 合 わ せ に対 応 した状 態 に な る. この と き,Ａ が 保 持 して い る キ ュ-ビ

ッ ト(quantum 

bit)は,「 半 分 だ け 反 転 さ

れ て い る」 と考 え る こ とが で きる.こ れ に対 し,通 常 の ビ ッ トは ０ま た は １ を表 す こ と しか で き ない.   量 子 系 か らの情 報 の 読 み 出 し も,上 で述 べ た反 転 と同 様 に して行 う こ とが で き る.E2を, 

E1よ

り高 い が,よ

か ら情 報 を読 み 出 す に は,E2-E1に に照 射 して,Ａ E2に

を状 態E2に

励 起 さ れ る が,E2は

り不 安 定 な水 素 原 子 の エ ネ ル ギ ー状 態 とす る. Ａ 等 しい 量 の エ ネ ル ギ ー を持 つ レー ザ 光 を Ａ.

移 行 させ れ ば よい.Ａ

は,状 態E1に

不 安 定 なエ ネ ル ギ ー 状 態 な の で,Ａ

あ れ ば,状 態 は す ぐ に光 子 を

放 出 して 崩 壊 し状 態Elに

戻 る.一 方, Ａ が 基 底 状 態E0に

レ ーザ 光 を照 射 して も何 も起 こ らな い.も に あ れ ば,Ａ

あ れ ば,上 の よ うな

し,Ａ が 「半 分 だ け 反 転 さ れ た 」状 態

が 光 子 を放 出 して １を保 持 して い た こ と を示 す確 率 と,光 子 を放 出

せ ず に ０ を保 持 して い た こ と を示 す 確 率 は,と

もに1/2で

あ る.

量子 回路

3.2 3.2

  一 般 に 電 気 回 路 は,多 数 の 論 理 ゲ ー ト(素 子)か

ら構 成 され て い る.通 常,論

理 ゲ ー トは 数 種 類 存 在 し,そ の 種 類 ご とに,各 ゲ ー トが 行 うべ き単 純 な演 算 が 定 め られ て い る.回 路 に入 力 が 与 え られ る と,入 力 が 到 達 した ゲ ー トか ら順 に,そ の ゲ ー トが行 うべ き演 算 を行 っ て い き,最 終 的 に 回 路 全 体 が 複 雑 な計 算 を行 うよ う に設 計 され て い る.   通 常 の コ ン ピ ュ ー タ を 実 現 す る の に 用 い ら れ て い る 論 理 ゲ ー ト と し て は,AND, OR,  NOTゲ

ー ト な ど が あ る.例

種 類 の ゲ ー ト を用 い れ ば,任 路 を構 成 す る こ と が で き る.こ AND…

え ば, ANDとNOT,ま

意 のTuring機

た はORとNOTの

械 の 計 算(を シ ミ ュ レ ー シ ョ ン す る 回

れ ら の 論 理 ゲ ー トの 動 作 は,以

こ の 論 理 ゲ ー ト は ２ 入 力 １出 力 で あ る(図3.2(a)参 に お い て は,二

つ の 入 力 ビ ッ トx１

(ａ)

図3.2

通常 の論 理 ゲ ー トの動作. (ａ)ANDゲ

２

とx2の

下 の と お りで あ る. 照).  ANDゲ

ー ト

値 が と も に １ な ら ば,出

力 ビッ

(ｂ)

ー ト, (ｂ)ORゲ

(ｃ)

ー ト,

(ｃ)NOTゲ

ー ト.

トyの OR…

値 も １に な るが,そ

れ 以外 の 入 力 に対 して は ｙ の 値 は ０ に な る.

こ の 論 理 ゲ ー ト も ２ 入 力 １出 力 で あ る(図3.2(b)参 お い て は,二

つ の 入 力 ビ ッ トx1とx2の

ｙ の 値 も ０ に な る が,そ NOT…

値 が と も に ０ な ら ば,出

ー トに 力 ビット

れ 以 外 の 入 力 に 対 し て は ｙ の 値 は １ に な る.

こ の 論 理 ゲ ー トは １入 力 １出 力 で あ り,ビ ゲ ー ト に お い て は,入

照).ORゲ

ッ トの 反 転 演 算 を行 う.NOT

力 が １ の 場 合 に は 出 力 は ０ に な り,入

に は 出 力 は １に な る(図3.2(c)参

力 が ０の 場 合

照).

  と こ ろ で,前 節 で も述 べ た よ う に,量 子 計 算 は ユ ニ タ リ変 換 と呼 ばれ る線 形 変 換 で 表 現 され る が,ユ

ニ タ リ変換 は必 ず 逆 変 換 を持 つ.し

た が って,量 子 計 算 を

実 現 す る た め に は,逆

向 きに も動 作 す るゲ ー トしか 使 え な い.と

こ ろが,上

べ た 通 常 の ３種 類 の論 理 ゲ ー トの うち,逆 向 きに も動 作 可 能 な の はNOTゲ の み で あ り,ANDゲ す な わ ち,ANDゲ

ー トとORゲ

ート

ー トにお い て は逆 向 きの計 算 は実 行 で きな い.

ー ト(ま た はORゲ

ー ト)の 出力 ビ ッ ト ｙ の 値(０ ま た は １)

が 与 え られ て も,入 力 ビ ッ トx1,x2の   Deutsch[16]やYao[54]ら

で述

値 が 何 で あ っ たか を求 め る こ とはで き ない.

の 研 究 に よ っ て,量

子Turing機

械 の動作 は量子 回

路 で シ ミュ レー シ ョ ンで きる こ とが わ か って い る.最 近,量 子 回路 を実 現 す る た め の量 子 論 理 ゲ ー トにつ い て盛 ん に研 究 が 行 わ れ て い るが,現 在 まで に,例 え ば, 以 下 の よ うな 量 子 論 理 ゲ ー トが 考 案 され て い る.な お,量 子 論 理 ゲ ー トの 各 入 出 力 は,一 制 御NOT…

つ の キ ュ ー ビ ッ トに対 応 してい る. こ の ゲ ー ト は ２入 力 ２ 出 力 で あ る(図3.3(a)参

場 合 に つ い て 説 明 す る と,制 値 が ０ な ら ば,入 の 値 と な る が,x1値 す な わ ち,x1=1の

御NOTゲ

ー ト に お い て は,入

力 の 第 ２ ビ ッ トx2の が １ な らば,x2の と き に,x2の

の 場 合 に お い て も,y1=x1で

照).最

も単 純 な

力 ビ ッ トx1の

値 が そ の ま ま 出 力 の 第 ２ ビ ッ トy2 値 が 反 転 さ れ た 値 がy2の

否 定 がy2に

代 入 さ れ る.な

値 と な る. お,い

ずれ

あ る.

ユ ニ タ リ変 換 … この ゲ ー トは １入 力 １出 力 で あ り,入 力 に対 して 指 定 され たユ

(ａ) 図3.3

(ｂ)

量子論 理 ゲ ー トの 動作. (ａ)制 御NOTゲ

ニ タ リ変 換 Ｕ を 行 う(図3

.3(b)参

ー ト, (ｂ)ユ ニ タ リ 変 換 ゲ ー ト.

照).た

だ し,こ

の ユ ニ タ リ変 換 Ｕ は ,

行 列 式 が １で あ る よ う な,２ 行 ２列 の ユ ニ タ リ行 列 で 表 現 さ れ る も の で あ る .

  上 の例 か ら もわ か る よ うに,計 算 の 可 逆 性 を保 証 す る た め に,量 子 論 理 ゲ ー ト の 入 力 数 と出 力 数 は一 致 して い な け れ ば な らな い .原 理 的 には,量 子Turing機 の す べ て の動 作 は,制 御NOTゲ

械

ー ト とユ ニ タ リ変 換 ゲ ー トを用 い て 構 成 した 量

子 回 路 で シ ミュ レ ー シ ョ ンす る こ とが で きる[６].こ の結 果 は,任 意 の 量 子 回路 が た か だか ２入 力 ２出力 の 量 子 論 理 ゲ ー トで構 成 可 能 で あ る こ と を示 して お り,大 変 重 要 で あ る.量 子 論 理 ゲ ー トを用 い た 量子 回 路 の 構 成 法 に 関 す る わ か りやす い 解 説 が,[28]に

あ る.

  通 常 の コ ン ピ ュー タの 場 合 と同様 に,量 子 論 理 ゲ ー トを ワ イヤ で 結 合 す れ ば,量 子 回路 を作 る こ とが で きる.し か し,後 で述 べ る よ うに,「量 子 ワ イヤ 」 を構 成 す る こ とは非 常 に 難 しい こ とが 指 摘 され て い る.

3.3

量 子 系 の シ ミ ュ レー シ ョ ン

  今 の とこ ろ は,数 ビ ッ トの メモ リ上 で の 量 子計 算 しか行 え な いが,近 い 将 来,数 十 な い し数 百 ビ ッ トの メモ リ上 で の 量 子 計 算 が行 え る可 能 性 が あ る と い わ れ て い

る.現

在 の コ ン ピ ュ ー タ は 何 百 万 ビ ッ ト も の メ モ リ を 持 っ て い る の で,こ

つ ま ら な い と 考 え ら れ る 読 者 も 多 い だ ろ う.と 用 で き な く て も,量

こ ろ が 実 際 に は,１

れで は

ビ ッ ト しか 利

子 コ ン ピ ュー タ に は現 在 の コ ン ピ ュ ー タが行 え な い計 算 を実

行 で き る 可 能 性 が あ る.

  ０ と １の 状 態 が 等 しい 振 幅 で 重 ね 合 わ され た 状 態 に あ る 原 子 を考 え,そ れ が 表 現 す る ビ ッ トが ０で あ る か １で あ る か を,そ れ を 蛍 光 させ る こ と に よ り決 定 す る こ とを考 え よ う.こ の 場 合,２ 回 に １回 は,そ の 原 子 は 光 子 を放 出す る の で,そ の ビ ッ トは １で あ る こ とが わ か る.そ

うで な け れ ば,光 子 は 放 出 され ない の で,そ

の ビ ッ トは ０で あ る こ とが わ か る.す な わ ち,こ の 原 子 が 表 現 す る ビ ッ トを観 測 す る と,１ が 正確 に確 率1/2で

読 み 出 せ る.こ の よ うな ビ ッ トをラ ン ダ ム ・ビ ッ

ト とい う.現 在 の コ ン ピュ ー タを用 いて,理 想 的 な ラ ンダ ム ・ビ ッ トを作 り出 す 方 法 は知 られ て い な い.も

し量 子 コ ン ピュ ー タ を用 い て,理

想 的 な ラ ンダ ム ・ビ ッ

トを作 り出す こ とが で きれ ば,幅 広 い応 用 が 期 待 で き る で あ ろ う.   一 方,S.Lloydは,そ

れ ほ ど多 くの ビ ッ ト数 を使 わ ない で,量 子 コ ン ピュ ー タ

で任 意 の 量 子 系 の 動 作 が シ ミュ レー シ ョ ンで き る こ と を指 摘 して い る.こ の 量 子 コ ン ピ ュ ー タが 量 子 系 の 時 間 発 展 を記 録 す るの に要 す る ス テ ップ 数 は,そ の 系 の サ イズ に比 例 す る.Feynmanが

指 摘 した よ うに,量 子 系 を現在 の コ ン ピュ ー タで

模 倣 す る に は,一 般 に,そ の 系 の サ イズ に 関 す る指 数 関 数 的 な ス テ ップ 数 が 必 要 に な る.   Shorの

ア ル ゴ リズ ムで 動 作 す る量 子 コ ン ピュ ー タが,因 数 分 解 の 速 度 にお い て

現 在 の ス ーパ ー コ ンピ ュー タ を上 回 るた め に は,数 百 ビ ッ トの メモ リを数 千 ス テ ッ プ に わ た って 制 御 す る必 要 が あ り,そ の 間 中,コ ば な らな い.こ を,Landauerは   し か し,量 に は,わ

ヒー レ ン ト状 態 を維 持 しな け れ

の よ う な計 算 を行 う量 子 コ ン ピュ ー タの 実 現 が 非 常 に難 しい 理 由 幾 つ も指 摘 して い る.

子 系 の シ ミュ レー シ ョン にお い て現 在 の コ ン ピ ュ ー タ を しの ぐ た め

ず か 数 十 ビ ッ トの メ モ リ を数 十 ス テ ップ に わ た っ て 制 御 す る こ と が 要 求

さ れ る だ け で あ る.し

た が っ て,量

子 コ ン ピ ュ ー タ を 用 い て,例

重 粒 子 の 量 子 状 態 を シ ミ ュ レ ー シ ョ ン し,そ

え ば,未

知 の多

の 性 質 を 解 明 す る こ と な ど は,近

い

将 来 に達 成 で き るか も しれ な い 一 つ の 目標 で あ る.

3.4

量 子 コン ピュ ー タの実 現 に お け る問題 点

  本 節 で は,量 子 コ ン ピュ ー タ を実 現 し よ う とす る 際 に,克 服 しな け れ ば な らな い 問 題 点 を 簡 単 に列 挙 して お く. １.量 子 ワ イ ヤ の 構 成 …

量 子 論 理 ゲ ー トを ワ イヤ で 結 合 す れ ば,量

子 コン

ピュ ー タを作 る こ とが で き る はず で あ る.し か し,「量 子 ワ イヤ 」 を構成 す る こ とは 非常 に難 しい.現 在 の コ ン ピュ ー タで 用 い られ て い る ワ イヤ は,あ る ゲ ー トか ら他 の ゲ ー トに電 気 信 号 を伝 達 す る単 な る金 属 線 で あ る.一 方, 量 子 ワ イヤ を実 現 す る た め に は,電 子 と陽 子 を思 い の ま ま に移 動 させ る た め に,原 子 を分 解 で きな け れ ば な らな い し,ま た そ の後 で,粒 子 の ス ピ ン な ど をす べ て 乱 す こ と な く,原 子 を再 構 成 す る こ とが で きな け れ ば な らな い.こ れ は非 常 に難 しい こ とで あ る.   量 子 論 理 ゲ ー トを接 続 す る た め の,別

の 方 法 を提 案 して い る研 究 者 もい

る.光 フ ァ イバ ー や 空気 の 中 を通 過 す る光 子 は,あ る ゲ ー トか ら他 のゲ ー ト に情 報 を運 ぶ こ とが で きる.カ

リフ ォル ニ ア工 科 大 学 のH.J.Kimbleら

の

グ ル ー プ は,光 子 を 一 つ の 原 子 と と も に微 少 な体 積 の 中 に閉 じ こめ て,通 常 は小 さな 光 子 間 の 非 線 形 相 互 作 用 を増 強 す る こ とに成 功 した.Kimbleら は,こ の 作 用 を用 いて,量 子 論 理 ゲ ー トを構 成 す る方 法 を検 討 して い る.こ の種 の 量 子 光 ゲ ー トか ら構 成 され た量 子 コ ン ピ ュ ー タは,計 算 速 度 が速 く, しか も,コ

ヒー レ ンス を破 壊 す る よ う な環 境 か らの 影 響 を受 け付 け に くい

と期 待 され て い る.し か し,こ の 実 現 方 法 も非 常 な 困 難 を と もな う と考 え られ て い る.   ワ イ ヤ リ ン グ の 問 題 に 対 す る 別 の 試 み も あ る.ス Mancha大

学 のJ.I.Ciracと,Innsbruck大

ラ ップ 内 で 量 子 ビ ッ ト を孤 立 させ,外

ペ イ ン のCastilla-La

学 のP.Zollerは,イ 界 の い か な る 影 響 か ら も,量

を 隔 離 す る た め の 方 法 を 検 討 して い る.ま

た,NISTのD.J.Winelandの

オ ン ・ト 子 ビッ ト

グ ル ー プ は,イ オ ン に よ って 符 号 化 され た ビ ッ ト上 で 演 算 を行 う量 子 コ ン ピ ュ ー タの 実 現 につ い て検 討 して い る. ２.

デ コ ヒ ー レ ン ス の 問 題 … 量 子 系 の 状 態 の 重 ね 合 わ せ は,環 境 が そ の 系 の 状 態 に影 響 を与 え な い 場 合 に の み 保 存 され る.量 子 コ ン ピュ ー タ とい う系 は,数 百 万個 以 上 の 原 子 か ら構 成 され る可 能性 が あ る が,そ

れ らの 原 子 の

うち の た だ 一 つ で も乱 さ れ て 量 子 コ ヒ ー レ ンス が 破 壊 され る と,相 互 作 用 を 及 ぼ し合 っ て い る量 子 系 が,ど 態 を保 て るか は わ か らな い.一

の くら い の 時 間,真

方,Shorら

は,あ

の量 子 重 ね 合 わせ 状

る程 度 の デ コ ヒ ー レ ンス

に直 面 して も,彼 の ア ル ゴ リズ ム が 正 し く動 作 す る こ とを 示 して い る.こ の よ うな コ ヒー レ ンス とデ コ ヒー レ ンス の 問 題 に つ い て考 察 して お くこ と は,量 子 コ ン ピ ュ ー タの 設 計 に あ た っ て大 変 重 要 で あ る. ３.

誤 り訂 正 … 量 子 コ ン ピュ ー タの実 現 に 関す る も う一 つ の 深 刻 な問 題 は,誤 り訂 正 で あ る.一 般 に情 報 処 理 シス テ ム は,ビ

ッ トを ラ ン ダ ム に反 転 して

し ま う ノ イズ に敏 感 で あ る.通 常 の 誤 り訂 正 法 に お い て は,ビ して,そ

れ が 誤 りか ど う か を検 査 す るが,こ

ッ ト を観 測

の よ うな 方 法 を用 い る と,量

子 コ ン ピュ ー タ はデ コ ヒ ー レ ン ト状 態 に 陥 っ て し ま う.も し効 果 的 な 誤 り訂 正 が行 え な い と,た

と え量 子 コ ン ピュ ー タが 実現 で きた と して も,多

くの

メモ リ を必 要 とす る計 算 を長 時 間 に わ た っ て行 え な い可 能 性 が あ る .そ の よ うな わ け で,最 近,量

3.5

子 誤 り訂 正 に 関 す る研 究 が 盛 ん に行 わ れ て い る.

研 究の ための情 報源

  量 子 計 算 に 関 す る論 文 の 多 くは,論 文 誌 に 掲 載 され る前 に,WWWサ 登 録 され る こ とが 多 い.一

イ トに

般 に,そ の よ うな サ イ トか ら論 文 を取 っ て きた 方 が,

論 文 誌 へ の 掲 載 を待 つ よ り もは るか に 速 く情 報 に ア ク セ ス で きる.そ

こ で,ま ず

量 子 計 算,量 子 暗 号,量 子 通 信 な ど に 関 す る情 報 を提 供 して い る 主 な 公 的 機 関 の WWWサ

イ トのURLア

ド レス を紹 介 す る.

  最 も豊 富 な情 報 を提 供 して い るの は,

http://xxx.lanl.gov/archive/quant-ph Los  Alamos 

で あ る.こ

National 

Laboratoryの

の ア ー カ イ ブ か ら は,新

て も ら う こ と が で き る.そ

量 子 物 理 学 ア ー カ イブ

た に 登 録 さ れ た 論 文 の ア ブ ス トラ ク トを送 っ

の た め に は,

quant-ph＠xxx.lanl.gov

に 電 子 メ ー ル を 打 て ば よ い が,そ

の 際,subjectラ

イ ン に,

subscribe

と書 き,本

文 は 空 に し て お く.こ

の よ う に す る と,そ

の メー ルの 差 し出 し人 の 電

子 メ ー ル ア ド レ ス が 先 方 の メ ー リ ン グ リ ス ト に 登 録 さ れ,以 ス ト ラ ク ト が 送 ら れ て く る よ う に な る.た 文 数 は,平 で も,か

だ し,こ

均 し て 日 に 数 件 程 度 に な る の で,こ

後,新

着論文 のアブ

の ア ー カ イブ に 登 録 さ れ る 論

こ か らの 情 報 を フ ォロ ー す るだ け

な り 骨 が 折 れ る.

こ の ほ か の サ イ ト と して は,以

下 の も の が あ る.

http://eve.physics.ox.ac.uk/QChome.html 量 子 計 算,量

子 暗 号 に 関 す るOxford大

学の ホームペ ージ

http://aerodec.anu.edu.au/ qc/index.html 量 子 計 算 に 関 す るAustralian 

National 

Universityの

ホ ー ム ペ ー ジ

http://feynman.stanford.edu/qcomp/ Stanford大

学 の 量 子 計 算 ア ー カ イブ

こ こで 紹 介 したサ イ トに は,量 子 計 算 に関 す る計 算 機 科 学 寄 りの 論 文 と,物 理 寄 り の 論 文 の 両 方 が 登 録 さ れ て い る.ま た 最 近 は,量 子 計 算 な ど に関 す る個 人 の ホ ー ム ペ ー ジ も多 数 設 け ら れ て い る の で,興 味 の あ る方 は文 献[14]を 参 照 され たい.   量 子 計 算 に 関 す る理 論 計 算 機 科 学 の 論 文 は,上 の サ イ トの ほか に,以 下 の 国 際 会 議 のProceedingsに

も毎 回2∼3件

程 度 が 掲 載 され て い る.

ACM 

Symposium 

ACMの IEEE 

of Computing

計 算 理 論 に関 す る シ ンポ ジ ウ ム

Symposium 

IEEEの

on  Theory 

on  Foundations 

of  Computer 

Science

計 算 機 科 学 基 礎 理 論 に 関 す る シ ンポ ジ ウ ム

  ま た,量 子 計 算 に 関 す る物 理 寄 りの 論 文 が 数 多 く発 表 さ れ る 国 際 会 議 に は,以 下 の もの が あ る. Workshop 

on  Physics 

of  Computing

物 理 学 と 計 算 論 に 関 す る 国 際 ワ ー ク シ ョッ プ で あ り,略

称 をPhysCompと

い う.量 子 コ ン ピ ュ ー タの 実 現 可 能 性 な ど に つ い て ,盛

ん に 議 論 が 交 わ され

て い る.PhysCompのProceedingsはIEEE 

ら購 入 す る こ と が で

Pressか

き る. International 

Conference 

on  Quantum 

Communication&

Measurement 量 子 通 信 を メ イ ン に し た 国 際 会 議 で あ り,略 1996年

い う. QCMも

か ら 量 子 コ ン ピ ュ ー タ を 積 極 的 に ス コ ー プ に 含 め て い る .QCM'96

のProceedingsは, 

Plenum 

Publishing 

  量 子 コ ン ピ ュ ー タ に 関 す る研 究 は,ま WWWサ

称 をQCMと

Corporationか

ら出版 予 定 で あ る .

さ に 現 在 進 行 中 な の で,上

で紹 介 した

イ トや 国 際会 議 な どを通 じて,最 新 の 情 報 を得 る こ とが 大切 で あ る .残

念 なが ら,こ の 分 野 の 研 究 は 日本 で は ま だ あ ま り盛 ん で は な い が,今 後,チ ス に満 ち た こ の分 野 の研 究 が,日 本 で 活 発 に行 わ れ る こ と を期待 して い る .

ャン

第Ⅱ部 量子 コン ピュータの 理 論

第Ⅱ 部

量 子 コ ン ピ ュ ー タの 理 論

  量 子 コ ン ピ ュ ー タの研 究 者 を 目指 す 読 者 の 背 景 知 識 は,計 算 機 科 学,数

学,物

理 学 な ど ま ち ま ち で あ る.こ の よ うな 幅広 い 読 者 に 内 容 を理 解 して い た だ くた め に,第

Ⅱ 部 の 記 述 ス タ イル も,理 論 計 算 機 科 学 の テ キ ス トと して は,や や 厳 密 さ

に 欠 け る もの に な っ て い る.し か し,そ の 代 わ りに 幅広 い 読 者 が,内 容 を直 観 的 に 理 解 しや す くな っ た の で は ない か と思 っ て い る.   理 論 計 算 機 科 学 の 立 場 か ら量 子 計 算 の研 究 を行 い た い 読 者 は,本 書 の 内 容 を完 全 に理 解 さ れ た後,本 書 の 末 尾 に挙 げ た 参 考 文 献 や,第

３章 の 最後 にあ るWWW

サ イ トか ら最 新 の論 文 を取 り寄 せ て精 読 して い た だ き たい.本 書 の 内 容 が 理 解 で きて い れ ば,そ れ らの論 文 を読 み 始 め る際 の 苦 労 は か な り軽 減 され るは ず で あ る. な お,そ き た い.

の ため の ガ イ ド を,本 書 の 「あ とが き」 に掲 載 したの で,ご 一 読 い た だ

第

４章

計算論概説

 理 論計 算機 科学(Theoretical  Computer  Science)と

い う学 問分野 をご存 じだ ろ うか?  この

分 野 は,応 用 数 学 の 一分 野 に位 置 付 け る ことが で き,P=NP?問

題 な どの,フ ェル マー 予想

に匹敵 す る く らい の 大未 解 決 問題 を有 す る分 野 で あ る.海 外 で は,多 くの若 く優 秀 な頭 脳 が,こ の分 野 で 日夜 しの ぎを削 って研 究 競 争 を繰 り広げ てい る.し か し,残 念 なが ら 日本 で は,こ の分 野 は ま だあ ま り広 くは知 られて い ない よ うであ る.   おそ ら く読 者 の 皆 さん は,物 理 学 の 中に理 論 物理 学 とい う分 野 があ る こと はご 存 じだ ろ う.理 論物 理 学 は,物 理 学全 体 に対 す る理論 的 基礎 を与 え る学 問分 野 で あ る.実 は,理 論 計算 機 科学 も まった く同様 に,コ ン ピュー タを設計 した り,ソ フ トウェア を開 発す る際 の理 論 的基礎 を与 える学 問分 野 なので あ る.  本 章 で は,こ の 理論 計 算機 科 学 の 中心 的分 野 で あ る,ア ル ゴ リズム論,オ ー トマ トン理 論,計 算量 理 論 の要 点 を,本 書 の残 りの部 分 を読 む際 に必 要 とな る事 項 に焦点 を絞 って解 説 してい く.

計算時間の測 り方

4.1

  コ ン ピ ュ ー タ に問 題 を解 か せ る際 の計 算 時 間 は,ど の よ うに して 測 れ ば よい の だ ろ うか?  一 口 に コ ン ピュ ー タ とい っ て も,パ ー ソ ナ ル コ ン ピ ュ ー タか らス ー パ ー コ ン ピ ュ ー タ に至 る まで 機 種 は千 差 万 別 で あ る.各 ユ ーザ が ,自 分 の 使 用 し て い る コ ン ピュ ー タ上 で の計 算 時 間 を時 計 を 使 って 測 っ た の で は,使 用 機 種 に依 存 した 計 算 時 間 しか 得 られず,本

質 的 に問 題 が 速 く解 け て い る の か 否 か は わ か ら

な い.   そ こで,理 論 計 算 機 科 学 の 一 分野 で あ る計 算 量 理 論 で は,計 算 時 間 を実 際 の コ ン ピュ ー タ に依 存 し な い形 で 定 義 して い る.そ の 基 本 的 な考 え 方 は次 の とお りで あ る.ま ず コ ン ピ ュ ー タの 数 学 的 モ デ ル(計 算 モ デ ル と呼 ぶ)Ｍ の モデ ル が 実行 可 能 な基 本 操 作 の 集 合 を定 め る.通 常,こ して は,Turing機 Turing機

械 とい うモ デ ルが 採 用 さ れ る(第

を定 義 し,そ

の よ うな計 算 モ デ ル と

２章,お

よ び4.7節

参 照).

械 は 現 在 の コ ン ピ ュ ー タの数 学 的 モ デ ルで あ る.

  そ して,採 用 した計 算 モ デ ル の各 基 本 操 作 を １ス テ ップ と考 え て,あ

る問題 を

解 くた め に 必 要 な計 算 時 間 を,そ の 問 題 を解 くた め に Ｍ が 必 要 とす る ス テ ップ 数 と して評 価 す る.そ の 際,解

くべ き問題 Ｐ とそ の 解 法 手 続 き(ア ル ゴ リ ズ ム)

Ａ は 固 定 して考 え る が,ア ル ゴ リズ ム Ａ が 問 題 Ｐ を解 くの に 要 す る ス テ ップ 数 は問 題 の 入 力 サ イ ズ の 関数 と して表 現 す る.   話 を具 体 的 に す る た め に,コ ン ピュ ー タに解 かせ る問 題 Ｐ と して,次 の よ うな 整 数 の ソー テ ィング(並

べ 換 え)の 問 題 を考 え る.ソ ー テ ィ ング 問 題 は,例 え ば

受 験 生 を得 点順 に並 べ た 名 簿 を作 成 す る と き な ど,い ろ い ろ な状 況 で 解 く必 要 に 迫 られ る 問 題 で あ る. ソ ー テ ィ ング 問 題:入

力 と して ｎ 個 の 整 数 が 与 え られ た と き,そ

れ らの 数 を小 さな もの か ら順 に並 べ て 出 力せ よ. この 問 題 を解 くた め の ア ル ゴ リズ ム Ａ と して,バ

ブ ル ・ソ ー ト とい うよ く知 ら

れ た ア ル ゴ リズ ム を採 用 し,バ ブ ル ・ソー トの計 算 時 間 を 理 論 的 に 評 価 して み よ

う.ソ ー テ ィン グ問 題 の 入 力 サ イズ は,入 力 と して与 え られ る整 数 の 個 数 ｎ で あ る.結 論 を先 に述 べ て お く と,以 下 で 示 す バ ブ ル ・ソー トの 計 算 時 間 は,入 力 サ イズ が ｎ の と きに,n2ス

テ ップ よ り も小 さ くな る.

  ち な み に,計 算 時 間 を入 力 サ イズ の 関 数 と して 表 現 す る理 由 は 以 下 の とお りで あ る.例 え ば ソ ー テ ィン グ問 題 は,入 力 さ れ た整 数 の 個 数 が 数 十程 度 な らば 人 手 で も簡 単 に解 け る が,そ の 個 数 が 数 千,数 万 に な る と大 変 な作 業 に な る.一 般 に, 我 々は 問 題 Ｐ の 入 力 サ イズ ｎ が 増 加 した と きの,ア ル ゴ リズ ム Ａ の 計 算 時 間 の 増 え方 に興 味 が あ る の で,Ａ

の 計 算 時 間 を ｎ の 関数 と して 表 現 す る.そ

して,そ

の 関 数 が 値 の 小 さ な 関数 で あ るほ ど,ア ル ゴ リズ ム Ａ の 時 間効 率 が よい と判 断 す るの で あ る.   さ て,ソ ー テ ィ ング の 簡 単 な例 題 を考 え よ う.例 え ば,入 力 と して ５個 の整 数 ４,３,１,５,２ が この 順 番 で 与 え られ た とす る.こ れ らの数 を並 べ 換 えて,小

さい も

の か ら １,２,３,４,５の 順 で 出 力 した い.こ の 作 業 を,バ ブ ル ・ソ ー トとい うア ル ゴ リズ ム を用 い て行 った 様 子 が,図4.1(a)に

示 され てい る.こ の 例 に 沿 って,ア

ル ゴ リズ ム の動 作 を説 明 しよ う.

(ａ)

(ｂ)

図4.1 

バ ブ ル ・ソ ー トの 処 理 の 流 れ.(ａ)最 し た 数 を 表 して い る.

初 の 例 題.(ｂ)第

２の 例 題.太

字 の数 は位 置 が確 定

ま ず,図4.1(a)の

一 番左 の 行 に 入 力 43152

が 示 さ れ て い る(図4.1の と す る).図4.1で

は,入

列 を 横 書 き に す る と き に は,上

の 数 を左 側 に 書 く も の

力 は 与 え ら れ た 順 番 に 上 か ら書 か れ て い る.つ

ま り,こ

の 場 合 に は ４ が 入 力 の 最 初 の 数 で あ り,２ が 最 後 の 数 で あ る.   以 下 で は,バ

ブ ル ・ソ ー ト で 用 い られ る 基 本 操 作 を 次 の よ う に 定 め る(注 １)

基 本操 作: て,も

(図4.1の)あ

る列 の 数 ｘ を そ の 真 上 の数 ｙ と比 較 し

し ｘ が ｙ よ り小 さけ れ ば ｘ とyの

位 置 を入 れ 換 え る.さ

も

なけ れ ば,こ の 入 れ換 えは行 わ な い. バ ブ ル ・ソ ー トで は,こ

の 操 作 を 列 の 一 番 下 の 数 の 組(x,y)か

ら始 め て,次

第 に

列 の 上 の 数 の 組 に 適 用 し て い く.

  図4.1(a)の

例 で い え ば,ま ず 最 初 に,数

ｘ と して入 力 の 最 後 の数 ２が 取 られ,

数 ｙ と して は そ の 真 上 の 数 ５が 取 ら れ る.そ

して,上 の 基本 操 作 が適 用 され るが,

この 場 合 に は ２は ５よ り も小 さい か ら,そ れ らの 場 所 の 入 れ換 えが 行 わ れ,数 の 並 びは 43125 と な る.引

き続 き,同 様 の 操 作 を この 列 の 左 隣 の 数 の 組 に対 して 適 用 す る.す

わ ち,x=2,y=1と

な

取 って 基 本 操 作 を再 度 適 用 す る.し か し,今 回 は ｘ が ｙ

よ り小 さ くない の で,数 の 入 れ 換 え は 起 こ らず,数

の並び は

43125

の ま ま で あ る.さ ら に処 理 は左 に 進 み,x=1, 

y=3に

対 して 基 本 操 作 が 再 度 適

用 され る.今 度 は ｘ が ｙ よ りも小 さい か ら入 れ換 えが 行 わ れ,数 の 並 び は 41325 (注 １)この 基本 操作

は,Turing機

械 が １ステ ップ で実 行 可能 な もの で はな い.し か し,こ の操 作 はTuring機

械 が 定数 ス テ ップ で 実行 可能 なの で,話 を 簡潔 にす るた めに,便 宜 的 に １ステ ップ で実 行 可 能 と考 えて い る.

とな る.引 る.今

き続 き,処 理 は左 に進 み,x=1,y=4に

対 して基 本 操 作 が 適 用 され

回 も ｘ が ｙ よ りも小 さい か ら入 れ換 え が 行 わ れ,数 の並 び は 14325

とな る.以 上 で,処 理 が列 の左 端(図4.1(a)で

い え ば 上 端)ま で 進 ん だ の で,処

理 の 第 １ラ ウ ン ドが 終 了 した.こ の 第 １ラ ウ ン ド終 了 時 の 結 果 が,図4.1(a)の

左

か ら ２番 目の 列(こ の 列 を 「列 ２」 と呼 ぼ う)に 示 され て い る.  以 上 の よ う な処 理 を行 う と,第

１ラ ウ ン ド終 了 時 点 に は,「列 ２」 の 一 番 上 に 入

力 中 の 最 小 数 が現 れ る こ とが わ か る.そ こ で,こ の 最 小 数 １は も う固 定 して し ま い,「列 ２」 の 中の 残 りの 四 つ の 数 の並 び 4325

に対 して,第 す な わ ち,第

１ラ ウ ン ド と同 様 の処 理 を実 行 す る.こ ２ラ ウ ン ドはx=5.y=2に

処 理 が 始 ま る.第

れが 第 ２ ラ ウ ン ド で あ る.

対 して 基 本操 作 を適 用 す る と こ ろ か ら

２ ラ ウ ン ドが 第 １ラ ウ ン ド と最 も大 き く異 な る点 は,二 つ の数

の 比 較 の 回数 が １回減 る こ とで あ る.す な わ ち,「列 ２」 の 一 番 上 の 数 １は 最 小 数 で あ る こ とが す で にわ か っ て い る の で,第 しな い.つ て,第

ま り,y=1と

２ラ ウ ン ドで は も はや 比 較 の 対 象 とは

取 られ て基 本 操 作 が 適 用 され る こ とは な い.し

１ラ ウ ン ドで は 合 計 ４回 の 比 較 が 行 わ れ た が,第

の 比 較 しか行 わ れ ない.第

たが っ

２ ラ ウ ン ド で は 合 計 ３回

２ラ ウ ン ド終 了 時 の結 果 を,図4.1(a)の

左 か ら ３番 目

の列(「 列 ３」)に 示 した.   以 下 同 様 に,「列 ３」 の 上 か ら二 つ の 数 １,２は 固 定 して 考 え,「列 ３」 の 中の 残 り の三 つの数の並 び 435

に対 して,第

３ ラ ウ ン ドの 処 理 を 実 行 す る.第

作(比 較)が 行 わ れ る.第

３ラ ウ ン ドで は 合 計 ２回 の 基 本操

３ ラ ウ ン ド終 了 時 の結 果 は,図4.1(a)の

左 か ら ４番 目

の 列(「 列 ４」)に 示 さ れ て い る.最 後 に,「列 ４」 の 中 の残 りの 二 つ の 数 の 並 び 45

に 対 し て,第

４ ラ ウ ン ド の 処 理 を 実 行 す る.第

わ れ な い が,こ い る の で,数

の 例 の 場 合 に は,数

が す で に 小 さ い も の か ら順 に 並 ん で し ま っ て

の 入 れ 換 え は 起 こ ら な い.し

で 数 の 並 び に 変 化 は 起 き な い.第

４ ラ ウ ン ドで は １回の 比 較 しか行

た が っ て,第

４ ラ ウ ン ドの 実 行 の 前 後

４ ラ ウ ン ド終 了 時 の 結 果 が,図4.1(a)の

左 か ら

５番 目 の 列(「 列 ５」)に 示 さ れ て い る が,こ

れ が バ ブ ル ・ソ ー トの 実 行 結 果 で あ る.

  ち な み に,バ

ラ ウ ン ド に お い て処 理 対 象 とな る数 の

ブ ル ・ソ ー ト の 名 前 は,各

並 び の 中 の 最 小 数 が,(図4.1で い る.も

ち ろ ん,バ

  次 に,バ

の よ うに 上 が っ て くる こ と に 由来 して

ブ ル ・ソ ー トの ア ル ゴ リ ズ ム は,入

て も正 し く動 作 す る.例 図4.1(b)に

見 る と)泡

え ば,入

力 が5,4,3,2,1の

力 が ど の よ う な もの で あ っ

場 合の ア ル ゴ リズ ム の動 作 を

示 し た. ブ ル ・ソ ー ト の 計 算 時 間 を 評 価 し て み よ う.基

お り で あ る.上

の 例 か ら も わ か る よ う に,バ

力 さ れ た 整 数 の 個 数(入 理 が 実 行 さ れ る.そ

力 サ イ ズ)が

本操作 は上で定め た と

ブ ル ・ソ ー ト の 実 行 に お い て は,入

ｎ の と き に は,全

部 でn-1ラ

ウ ン ドの処

し て,

第 １ ラ ウ ン ドで は全 部 でn-1回

の 基 本 操 作 が 実 行 され,

第 ２ ラ ウ ン ドで は 全 部 でn-2回

の 基 本 操 作 が 実 行 され,

第 ３ ラ ウ ン ドで は全 部 でn-3回

の 基 本 操 作 が 実 行 さ れ,

第n-2ラ

ウ ン ドで は全 部 で ２ 回 の 基 本 操 作 が 実 行 さ れ,

第n-1ラ

ウ ン ドで は全 部 で １回 の 基 本 操 作 が 実 行 さ れ る.

した が って,入 力 サ イズ が ｎ の と きのバ ブ ル ・ソ ー トの 基 本 操 作 の 実行 回 数,す な わ ち ス テ ップ 数 は,

と な る.

数学 メモ １  等差 数 列の和

こ の 公 式 に お い てk=n-1と

  よ っ て,バ

置 く と 上 の 式 が 得 ら れ る.

ブ ル ・ソ ー ト の 計 算 時 間 は 入 力 サ イ ズ を ｎ と す る と き,n2ス

テ ッ

プ よ り も小 さ く な る こ と が わ か っ た.   実 は,ソ

ー テ ィ ン グ に 対 し て は,バ

ブ ル ・ソ ー ト よ り も 時 間 効 率 の よ い ク イ ッ

ク ・ソ ー ト と い う ア ル ゴ リ ズ ム が 知 ら れ て い る[３].ク

イ ッ ク ・ ソ ー トの 実 行 時

間 は,入

力 サ イ ズ を ｎ と す る と き,平

nス

定 数.以

後,こ

の よ う な 式 をcn  log nと

さ ら に,Turing機

で あ る.し

略 記 す る.)で

た が っ て,ク

か し,ク

低 限nlognス

テ ッ プ(た

だ し ｃは

あ る こ と が 知 ら れ て い る.

械 の よ う な 通 常 の 計 算 モ デ ル 上 で,２

ソ ー テ ィ ン グ を行 う た め に は,最 で き る[３].し

均 でC×n×log 

数 の大 小 比 較 に基 づ い て

テ ップ が 必 要 で あ る こ とが 証 明

イ ッ ク ・ソ ー ト は 最 良 の ソ ー テ ィ ン グ ・ア ル ゴ リ ズ ム

イ ッ ク ・ソ ー トを 紹 介 し よ う と す る と説 明 が 長 く な る の で,本

節 で は 簡 単 な バ ブ ル ・ソ ー ト を 紹 介 し た.

数学 メモ ２  対 数 2x=nの 書 く.例

と き, ｘ を,２

を 底 とす る ｎ の 対 数 と い い, x=log 

え ば,log  2=log 

本 書 で は,logは

21=1, 

log 4=log 

22=2な

底 ２ の 対 数 を 表 す の に 用 い る(底

用 対 数 と い うが,通

常 は,常

用 対 数 を 表 す 際 に,底

が10の

nと

ど と な る. 対 数 を常

を略 し てlognの

よ う に 書 く.)

4.2

計算機 の物理的実現方法 と計算時間

前 節 の 終 わ りで,Turing機

械 の よ う な通 常 の計 算 モ デ ル 上 で,２ 数 の 大 小 比 較

に基 づ い て ｎ 個 の 整 数 の ソ ー テ ィ ング を行 うた め には,最 低 限nlognス

テ ップ

が 必 要 で あ る と 述 べ た.と

こ ろ が,ソ

ー テ ィ ン グ 問 題 を ほ ぼ2nス

テ ップ で 解 く

次 の よ う な 方 法 が あ る(注１).   ま ず,ソ

ー トす べ き ｎ 個 の 整 数x1,x2,…xnが

入 力 と し て 与 え ら れ た ら,ゆ

で る 前 の 固 い ス パ ゲ ッ テ ィ を ｎ 本 用 意 す る(話 き 数 は す べ て ス パ ゲ ッ テ ィ の 長 さ(単 し て,１

位:㎜)以

本 目 の ス パ ゲ ッ テ ィ を 長 さxl  ㎜

を 長 さx2  ㎜

に 切 り,以

を 簡 単 に す る た め に ,ソ

ー トす べ

下 で あ る と仮 定 し て お く).そ

に 切 り,続

い て ２ 本 目 の ス パ ゲ ッテ ィ

下 同 様 に し て, ｎ 本 目 の ス パ ゲ ッ テ ィ を 長 さxn  ㎜

に 切 る ま で 同 じ作 業 を 繰 り返 す.こ ゲ ッ テ ィ を 束 に して つ か み,机

の 作 業 が 終 了 し た ら,切

り終 え た ｎ 本 の ス パ

の 上 に 片 側 を 揃 え て 立 て る.そ

の 結 果,一

番先端

が 飛 び 出 し て い る ス パ ゲ ッ テ ィの 表 現 し て い る 数 が 入 力 中 の 最 大 数 な の で ,ま ず そ の ス パ ゲ ッ テ ィ を 抜 き 出 し て 机 の 上 に 置 く.次 飛 び 出 し て い る ス パ ゲ ッ テ ィ を 取 り 出 し て,先 の 右 隣 に 置 く.以

下 同 様 の 作 業 を,束

上 の 作 業 が 終 了 した と き に は,机 順 に(左   さ て,こ

か ら)並

に,残

ほ ど机 の 上 に 置 い た ス パ ゲ ッテ ィ

の ス パ ゲ ッ テ ィが な く な る ま で 繰 り返 す .以

の 上 に は ｎ 本 の ス パ ゲ ッ テ ィが,長

の 手 続 き の ス テ ッ プ 数 を 考 え て み よ う〔 注2).ま ず,ｎ

の 上 に 立 て る の に １ ス テ ッ プ を 要 し,そ に 抜 き 出 し て い くの に,ｎ パ ゲ ッ テ ィが,そ す る か ら,全

に,ス

パ ゲ ッ テ ィの 束 を机

終 的 に机 の 上 に 並 ん だ ｎ 本 の ス

の ま ま 出 力 結 果 を 与 え て い る と 解 釈 す れ ば ,処

体 で は2n+1ス

本 の ス パ ゲ ッテ ィ

の 束 か ら ス パ ゲ ッ テ ィ を 長 い も の か ら順

ス テ ッ プ を 要 す る.最

理 は 以 上 で終 了

テ ッ プ で ソ ー テ ィ ン グ が 終 了 して い る こ と に な る.

ー テ ィ ン グ に は 最 低 で もnlognス

れ は 一 体 ど う し た こ と で あ ろ う か?nlognス プ で,ソ

い もの か ら

べ ら れ て い る は ず で あ る.

の 長 さ を 切 り揃 え る の に ｎ ス テ ッ プ が 必 要 で あ る .次

前 節 で,ソ

りの 束 の 中 で 先 端 が 最 も

テ ッ プ が 必 要 で あ る と 述 べ た が,こ テ ップ よ り も 少 な い2n+1ス

テ ッ

ー テ ィ ン グ が 行 え て し ま っ た!

  こ こ で 紹 介 し た ス パ ゲ ッ テ ィの よ う な 計 算 の 道 具 を,ア

ナ ロ グ ガ ジ ェッ ト と い

 (注１)２ 数の大小比較以外のある種の操作を仮定すれば,通 常のコンピュータにおいても,ソ ーテ ィングをcn   ステップで行 うこ とがで きるバケ ットソー トなどのアルゴリズムが知られている.  (注２)ここでのステ ップ数は,こ のアルゴリズムの実行者である人間が １ステップ とみなす基本操作 に基づい   て数 えられる.

う[18].ス

パ ゲ ッテ ィ ・ソ ー テ ィ ン グ は,人

行 で き る が,お

間 が 行 うの で あ れ ば非 常 に安 価 に実

そ ら く実 用 に は な ら な い.例

ち い ち 切 り刻 ん で,そ な い で あ ろ う.あ

え ば,１

れ ら を 束 に し て 立 て て,な

る い は,こ

万 本 もの スパ ゲ ッテ ィをい

ど と い う こ と を 行 う物 好 き は い

の ス パ ゲ ッ テ ィ ・ソ ー テ ィ ン グ を 実 行 す る ロ ボ ッ ト

を 作 成 す る こ と も 考 え ら れ る が,ソ

ー テ ィ ン グ と い う 一 つ の 作 業 だ け を 行 う特 殊

な ロ ボ ッ ト を 開 発 す る こ と は 大 変 不 経 済 で あ る.   しか し,ス

パ ゲ ッテ ィ ・ソ ー テ ィ ン グ の 話 は,理

論 的 に は 非 常 に 重 要 な 教 訓 を含

ん で い る.つ

ま り,ス

論 上 ソー テ ィ ング に 必 要 な最 低

パ ゲ ッ テ ィ を 用 い る と,理

限 の 計 算 時 間 よ り も,短

い 時 間 で ソ ー テ ィ ン グ が 行 え て し ま っ た の で あ る.な

こ の よ う な こ と が 起 き た の だ ろ う か?  と が 起 こ る の は,計 テ ィ)の

結 論 か ら い っ て し ま え ば ,こ

算 に 利 用 して い る 道 具(こ

ロ バ ン で あ る た め,立

ま り,Turing機

械 をモ デ ル と し

質 的 に ２進 数 を 取 り扱 う高 級 電 子 ソ

て た ス パ ゲ ッテ ィの 束 か ら 最 も 長 い も の を 選 び 出 し て い く

こ と に 相 当 す る 操 作 を,ｎ   以 上 の 話 は,以

の よ うな こ

の 場 合 は コ ン ピ ュ ー タ とス パ ゲ ッ

物 理 的 性 質 の 違 い に 原 因 が あ る の だ.つ

て 実 現 さ れ て い る 現 在 の コ ン ピ ュ ー タ は,本

ぜ

ス テ ップ で は実 行 で きな い の で あ る.

下 の よ う な 教 訓 を 含 ん で い る.

「コ ン ピ ュー タの 物 理 的 実 現 方 法 を本 質 的 に変 更 す れ ば,非 常 に高 速 な コ ン ピュ ー タが 実現 で き る可 能 性 が あ る.」 計 算 尺 か ら手 回 し計 算 機,さ

ら には電 子 計 算 機 へ とい う計 算 機 の発 展 の歴 史 は,ま

さに この 教 訓 の 実 践 の 過 程 で あ っ た と も考 え られ る.そ

して,コ

ン ピュ ー タ を量

子 力 学 の 原 理 に従 うシ ス テ ム と して実 現 で きれ ば,計 算 速 度 を現 在 よ り も飛 躍 的 に 向 上 させ る こ とが で き るの で は な い か と考 え た こ とが,量

子 コ ン ピ ュ ー タが 考

案 され た根 本 的 な 理 由 で あ ろ うと筆 者 は考 え て い る.

4.3 次 に,グ

多項 式 時 間 ア ル ゴ リズ ム ラ フ 理 論 の 問 題 に つ い て 考 え て み よ う.図4.2の

よ う な,頂

点 と辺 か

(ａ)

図4.2 

種 々 の グ ラ フ.(ａ)閉

路 的 グ ラ フ,(ｂ)ハ

ら な る 網 状 の 図 形 を グ ラ フ と い う.図4.2で を 結 ぶ 線 分 が 辺 を 表 し て い る.グ の こ と を い う.た

ミル ト ン グ ラ フ,(ｃ)非

は,黒

ラ フ Ｇ の 路 と は,Gの

つの黒丸

頂 点 の 列x0,x1,…,xl

Ｇ の辺 で 結 ば れ て い る もの

閉 路 で あ る と は,l〓3, 

x0=xlで

あ り,か

つ頂点

ミ ル ト ン グ ラ フ と は,そ

のすべ

互 い に 相 異 な る と き を い う.

  閉 路 を 含 む グ ラ フ を 閉 路 的 グ ラ フ と い う.ハ て の 頂 点 を 含 む 閉 路(ハ 連 結 グ ラ フ と は,そ

グ ラ フ だ が,ハ

存 在 す る よ う な グ ラ フ で あ る.ま

え ば,図4.2(a)の

ミ ル ト ン グ ラ フ で あ る.ま

た,

れ らを結 ぶ 路 が 存 在 す る

グ ラ フ は 閉 路1231を

ミ ル ト ン グ ラ フ で は な い.図4.2(b)の

含 む の で,ハ

ラ フ だ が,(ｃ)は

ミ ル ト ン 閉 路)が

の 相 異 な る 任 意 の ２頂 点 に 対 し,そ

よ う な グ ラ フ で あ る.例

123451を

連 結 グ ラ フ.

丸 が 頂 点 を 表 し,二

だ し,xiとxi+1(0〓i
と す る.路x0,xl,…xlが xi(0〓i
(ｃ)

(ｂ)

含 むの で 閉路 的

グ ラ フ は ハ ミル ト ン 閉 路 た,図4.2の(ａ),(ｂ)は

連 結グ

連 結 グ ラ フ で は な い.

  次 の よ う な 問 題 を 考 え よ う.

連 結 性 判 定 問 題(以

下CONNECTIVITYと

記 す):「 与 え られ た グ

ラ フ Ｇ が 連 結 で あ る か?」 こ の 問題 に対 して は,効 率 の よい ア ル ゴ リズ ムが 存 在 す る こ とが 知 られ て い る[３]. こ こ で 「効 率 の よ い ア ル ゴ リズ ム 」 とは,入 力 サ イ ズの 多 項 式 で表 され るス テ ッ プ数(多

項 式 時 間)で 実 行 で き る ア ル ゴ リズ ム の こ とを い う.す な わ ち,効 率 の

よい ア ル ゴ リズ ム の 実行 時 間 は,入 力 サ イズ(例

え ば,上 の 問 題 の 場 合 な ら ば与

え られ た グ ラフ の頂 点 数)を さ え る こ とが で きる.つ

ま り,実 行 時 間がn100の

が よい と考 え る が,2nの 指 数 関 数2nは

ｎ とす る と き,あ る定 数 ｋ に関 してnkで

大 す る か らで あ る.答 がYesま P=[多

ア ル ゴ リズ ム は(理 論 上)効 率

ア ル ゴ リズ ム は 効 率 が よい と は考 え な い.と

多項 式 関 数nkに

上 か ら押

い うの は,

比 べ て, ｎ が 大 き くな る に従 っ て急 速 に値 が 増 た はNoで

あ る問 題 を判 定 問 題 とい う.こ の と き,

項 式 時 間 ア ル ゴ リズ ムで 解 くこ とが で きる判 定 問 題 全 体 の 集 合]

と定 義 す る.例 え ば,CONNECTIVITYや,グ す る 問題 は Ｐ に属 す る が,グ

ラ フが 閉路 を含 む か 否 か を判 定

ラ フが ハ ミル トング ラ フで あ る か否 か を判 定 す る問

題 が Ｐ に属 す る か否 か は わ か っ て い な い.ま た,次 の 素 数 性 判 定 問 題 も Ｐ に属 す る か否 か は わ か っ て い な い. 素 数 性 判 定 問 題(以

下PRIMEと

記 す):「 与 え られ た 整 数 Ｎ が 素 数

で あ るか?」   た だ し,PRIMEの

よ うな 整 数 に 関 す る問 題 の 場 合 に は,入 力 と して 与 え られ

る整 数 Ｎ の サ イズ はlog Ｎ と定義 す る.こ の 値 は,整 数 Ｎ を ２進 数 で 表 現 し た と きの桁 数 に対 応 す る.

4.4

確 率 的 ア ル ゴ リズム

  通 常 の ア ル ゴ リズ ム(決 定 性 ア ル ゴ リ ズ ム)で

は,各 ス テ ップ にお い て,次 に

実 行 す べ きス テ ップ は 一 意 に決 まる が,確 率 的 ア ル ゴ リ ズ ム に お い て は,次 に ど の ス テ ップ を実 行 す る か を コ イ ン を投 げ て決 め る こ とが で きる.そ れ ぞ れ の ア ル ゴ リズ ム に お け る計 算 の 進 み 方 を図 式 的 に表 す と,図4.3の 図4.3(b)の

よ うに な る.例

え ば,

ス テ ップ Ｐ で は コ イ ン投 げ が 行 わ れ,表 が 出 た ら ス テ ップ Ｑ に,裏

が 出 た らス テ ップ Ｒ に進 む. 具 体 的 な イ メー ジ を持 っ て い た だ くた め に,次 の よ うな問 題 を 考 え よ う. 合 成 数 性 判 定 問 題(以

下COMPOSITEと

Ｎ が 合 成 数 で あ るか?」

記 す):「 与 え られ た 整 数

(ｂ)

(ａ)

図4.3  計 算 の進 み方.(ａ)決 定性 ア ル ゴ リズ ムの場 合,(ｂ)確 率 的 ア ル ゴ リズ ムの場 合.

以 下 で は,与 え られ た整 数 が 合成 数 で あ る か を多 項 式 時 間で 判 定 す る,Rabinの 率 的 ア ル ゴ リズ ム に つ い て説 明 し よ う.Ｎ

を与 え られ た整 数 とす る.1〓x
な る 各 整 数 ｘ に 対 す る以 下 の条 件 をW(x)で   

xN-1〓1(mod 

N)で

あ るか,ま

  

整 数 ｍ が 存 在 して,xm-1と

確

表 す.

た は, m=(N-1)/2iな

Ｎ が,１ とN以

る形 の

外 の 公 約 数 を持 つ.

ア ル ゴ リズ ム は次 の 性 質 に基 づ い て設 計 され て い る.       も し,あ る ｘ に対 してW(x)が      ら に,Ｎ   

が 合 成 数 な ら ば,１ 以 上 Ｎ 未 満 の 少 な く と も半 数 の整 数 ｘ

が 条 件W(x)を

Rabinの

成 り立 て ば, Ｎ は合 成 数 で あ る.さ

満 た す.

ア ル ゴ リズ ム を図4.4に 示 す.

  上 で述 べ た性 質 よ り,も しア ル ゴ リズ ム がYesを ｘ が 発 見 され た の だか ら,Ｎ Noを

出 力 す れ ば, W(x)を

は合 成 数 の は ず で あ る,一 方,も

満 たす

しア ル ゴ リズ ムが

出 力 す れ ば, Ｎ は 「お そ ら く」 素数 で あ る.こ の 場 合,実 際 には Ｎ が 合 成

数 で あ る の は,選

ば れ た す べ て のxjが

Ｎ が 合 成 数 で あ る こ と を示 す 証 拠 に な

ら な か っ た と きで あ る.半 数 の整 数 が こ の よ うな証 拠 で あ っ たか ら,こ の よ うな 誤 りを お か す 確 率 は(1/2)mよ

り も小 さい.

begin Ｎ を入 力 す る; ｍ

個 の 整 数x1,x2,…,xm(1〓xj
ラ ン ダ ム に 選 ぶ;

各xjに 対 し,W(xj)が 成 立 す るか 否 か を テ ス トす る; ifあ るxjに 対 してW(xj)が 成立す る then  Yesを 出 力 す る(Ｎ else Noを

出 力 す る(Ｎ

は合 成 数); は素 数);

end

図4.4 

合 成 数 性 の 判 定 を行 うRabinの

  Ａ をCOMPOSITEを

確 率 的 ア ル ゴ リズ ム.

解 く確 率 的 ア ル ゴ リズム と しよ う.Ａ は,以 下 の 二 つ の

条件 を満 足 す る と きに,「よ い ア ル ゴ リ ズ ム 」 で あ る とい わ れ る.   １.す べ ての 入 力 Ｎ に対 し,も し Ｎ が 合 成 数 な らば, Pr[Ａ がYesを

出力す

     る]〓2/3で あ り,か つ,も

出力す

し Ｎ が 合 成 数 で なけ れ ば, Pr[Ａ がYesを

     る]〓1/3で あ る(こ こでPr[P]は,命   ２.Ａ

題 Ｐ が 成 立 す る確 率 を表 して い る).

は 多 項 式 時 間 ア ル ゴ リ ズ ム で あ る.

  上 の 定 義 よ り,よ

い ア ル ゴ リズ ム の エ ラ ー 率 は1/3以 下 で あ る.そ

こ で,い

ま仮

に Ａ の エ ラ ー率 が ち ょ うど1/3だ った と しよ う.そ の と き,あ る特 定 の 入 力 Ｎ に 対 して,Ａ

を ５ 回繰 り返 し実 行 して, Yesま た はNoの

回 以 上)出 力 され た方 を答 え とす る こ とを 考 え る.Ｎ の ５回 の 繰 り返 しの 後 の最 終 的 な 答 えがNoに

と な り,1/3よ

り も小 さ くな る(Ｎ

う ち数 多 く(す な わ ち ３ が 合成 数 だ っ た と きに, Ａ

な って し ま う確 率(エ

が 合 成 数 で な い と き に,最

な っ て し ま う確 率 も ま っ た く同 じ計 算 に よ っ て 求 ま る).こ ズ ム は,繰

ラ ー率)は

,

終 的 な 答 え がYesに の よ うに よ い ア ル ゴ リ

り返 し 実 行 す る こ と に よ り エ ラ ー 率 を い く ら で も 小 さ く で き る と い う

性 質 を 持 っ て い る.

  こ こ で注 意 す べ き こ とは,上 の 定 義 で エ ラ ー率 は1/2よ り小 さ くな け れ ば な らな い と い う こ と で あ る.な

ぜ な ら,エ

ラ ー 率 が1/2よ

ム は ま っ た く使 い も の に な ら な い し,ま ど何 も 実 行 せ ず に,コ

た,正

り大 きけ れ ば ,そ

確 に1/ 2で

あ れ ば,ア

の ア ル ゴ リズ ル ゴ リズ ム な

イ ン を 投 げ て 答 え を 予 測 し て し ま え ば よ くな る か らで あ る .

BPP=[よ

い ア ル ゴ リズ ム で解 く こ とが で きる 判 定 問 題 全 体 の 集 合]

と 定 義 す る.BPPはBounded-error  定 確 率 的 多 項 式 時 間)の よ り小 さ く,そ

Probabilistic  Polynomial 

略 で あ る.こ

こ で,Bounded 

す な わ ち,以

対 し て は,よ

,以

形 式 的 定 義 は4.9節

ラ ー限

ラ ー 率 が1/2 ラ ー 率 をい く で 述 べ る.

い ア ル ゴ リ ズ ム が 存 在 す る こ と が 知 ら れ て い る.

下 の 関 係 が 成 り 立 つ. COMPOSITE 

一方

は,エ

の ア ル ゴ リ ズ ム を 繰 り返 し 実 行 す る こ と に よ り,エ

ら で も小 さ く で き る こ と を 表 し て い る.BPPの   COMPOSITEに

errorと

time(エ

∈ BPP

下 の 関 係 が 成 り立 つ こ と も 知 ら れ て い る[1,7,47](注 PRIME 

１).

∈ BPP

ま た,定 義 か ら明 らか に以 下 の 関 係 が 成 り立 つ. P⊆BPP

未 解 決 問 題 １  P〓BPP   が 成 り立 つ か 否 か を決 定 せ よ(例 え ば, PRIME〓P が 示 す こ とが で きれ ばP〓BPPが

4.5

P=NP? NP

?

証 明 で きた こ とに な る).

問題

  ハ ミル ト ン グ ラ フ とは,そ の すべ て の頂 点 を含 む閉 路(ハ つ グ ラ フ の こ とで あ っ た.図4.5(a)の

グ ラ フ Ｇ を見 て い た だ きた い.Ｇ

ハ ミル ト ン閉 路 は存 在 す る だ ろ うか? 

こ の くらい の サ イズ(頂

で あ れ ば,目 で 見 て 答 が わ か る か も しれ な い が,グ な る と,グ

ミル ト ン閉 路)を 持

点 数)の

の 中に グラフ

ラ フ の サ イ ズ が も っ と大 き く

ラ フ 内 に ハ ミル ト ン閉 路 が 存 在 す るか 否 か の判 定 は,非 常 に難 し くな

る こ とが 直 観 的 に お わ か りい た だ け る と思 う.   実 際,Ｇ (注１)PRIMEの

内 に は 図4.5(b)の

よ うなハ ミル ト ン閉路 が存 在 す る.こ こ で注 意 す べ

詳細 に つい て は ,例 え ば[31]の12章

を参 照 され た い.

(ａ)

図4.5 

(ｂ)

ハ ミル ト ン グ ラ フ.(ａ)グ

ラ フG,(b)G内

の ハ ミ ル ト ン 閉 路.

き こ とは,閉 路 が 一 つ示 され れ ば,そ れ が ハ ミル トン 閉路 か 否 か を確 認 す る こ と は 非 常 に容 易 で あ る とい う こ とで あ る.す な わ ち,示

され た 閉 路 を た どっ て,そ

れ が グ ラ フ内 の す べ て の頂 点 を通 過 す る 閉 路 に な っ て い る か否 か は,グ 点 数 に比 例 す る ス テ ップ 数(多 答 がYesま NP=[証

た はNOで

ラ フ の頂

項 式 時 間)で 確 認 す る こ とが で きる.

あ る 問題 を判 定 問 題 とい うの で あ っ た ． この と き,

拠 が 与 え られ れ ば,そ の 答 がYesで

あ る こ と を(問 題 の 入

力 サ イズ に 関 す る)多 項 式 時 間以 内 に確 認 す る こ とが で きる判 定 問題 全 体 の 集 合] と 定 義 す る(注 １).

HAMILTON:「

与 え られ た グ ラ フ Ｇ 内 に ハ ミル ト ン閉 路 が 存 在 す

るか?」 とい う判 定 問 題 を定 義 す る と,上 で述 べ た こ とか ら,以 下 の こ とが わ か る. HAMILTON 

∈ NP

また 定 義 か ら,次 の 関 係 は 明 らか で あ る. P⊂NP (注 １)NPはNondeterministic 

Polynomialtime(非

機 械 を用 い て 定 義 さ れ る.NPの

決 定 性 多 項 式 時 間)を

形 式 的 定 義 に つ い て は4.9節

表 し

,通 常,非

を 参 照 さ れ た い.

決 定 性Turing

す な わ ち,多 項 式 時 間 で 解 け る 問 題 な ら ば,そ の 問題 を(与 え られ た証 拠 を見ず に)多 項 式 時 間 以 内 に解 い て,問 題 の答 がYesと

な るか 否 か を確 認 す る こ とが で

き る はず で あ る ．   とこ ろ で,以 下 の よ うに す れ ば,Ｇ ず 判 定 で きる.Ｇ

内 にハ ミル トン 閉路 が存 在 す る か 否 か は必

の 頂 点 数 を ｎ とす る と き,ま ず Ｇ の 各頂 点 に １か ら ｎ まで の

異 な る番 号 を割 り当 て る.そ

して,１ か ら ｎ ま で の ｎ 個 の 整 数 か らな る順 列 を

次 々に 生 成 し,そ れ ぞ れ の 順 列 で 表 現 され たハ ミル トン閉 路 が Ｇ 内 に存 在 す る か 否 か を調 べ る の で あ る.し か し,こ の 手 続 きは多 項 式 時 間 ア ル ゴ リ ズ ムで は な い. な ぜ な ら,ｎ 頂 点 グ ラ フ内 の 長 さ ｎ の 閉路 の候 補 は 全 部 で n!∼2n

個 存 在 す る か らで あ る.今 の と こ ろ,ハ ル ゴ リズ ム は 知 られ て お らず,む

ミル トン 閉路 問題 に対 す る 多 項 式 時 間 ア

しろ,そ の よ うな ア ル ゴ リズ ム は 存 在 しな い の

で は な い か と予 想 さ れ て い る. 未 解 決 問 題2(P=NP?問   P=NP?問

題 は,コ

題): 

P⊂NP 〓

が 成 り立 つ か 否 か を決 定 せ よ.

ン ピュ ー タ ・サ イエ ンス に お け る最 も有 名 な未 解 決 問 題

で あ る.見 方 を 変 えれ ば,P=NP?間

題 は,「自分 で 答 を発 見 す る こ と」 と 「他

人 か ら与 え られ た答 の 正 し さ を確 認 す る こ と」 の どち らが,よ を本 質 的 に 問 うて い る 問 題 と い え る.例

り時 間 が か か る か

えば,も

しハ ミル トン 閉路 問 題 が 多 項 式

時 間で は解 け な い こ と(す な わ ちHAMILTON〓P)を

示 す こ とが で きれ ば, P

≠NPで   PRIMEに

あ る こ とが 証 明 で き た こ とに な る. つ い て は, Prattに

る[46].COMPOSITEは, 

よ っ てPRIME∈NPで

PRIMEと

反 対 の 内 容 を 問 う 問 題 な の で, PRIMEの

補 問 題 と 呼 ば れ る(COMPOSITE∈NPで

あ る こ と は 容 易 に わ か る).NPに

す る 問 題 の 補 問 題 全 体 か ら な る 集 合 をcoNPと で き る.定

あ る こ とが 示 され て い

義 か ら, coP=P,

記 す, coP, coBPPも

属

同 様 に定 義

coBPP=BPP

で あ る こ とは 容 易 に わか る(読 者 は 自 ら確 認 され たい).   一 方,NPに

つ い て 同様 な 関係 が 成 り立 つ か 否 か は わか って い な い.例 え ば,上

で 述 べ た よ うにHAMILTONはNPに

属 す る.と

題 で あ るNON-HAMILTONがNPに

こ ろ が, HAMILTONの

補問

属 す る か否 か は わか って い な い.す な わ ち,

グ ラ フが ハ ミル ト ン閉 路 を含 まな い こ と を,多 項 式 時 間で 確 認 で き る証 拠 が 存 在 す る か否 か は わ か っ て い な い. 未 解 決 問 題 ３  coNP=NPか   も し,coNP≠NPで

否 か を決 定 せ よ.

あ る こ と が 証 明 で き れ ば(coP=Pで

≠NPが

証 明 で き た こ と に な る.

4.6

形式言語

  本 章 の4.9節 で は,Ｐ やNPな た め に,形 式 言 語 やTuring機

あ る こ と よ り), P

どの計 算 量 ク ラ ス の 形 式 的 定 義 を述 べ る.そ の 械 の概 念 を導 入 す る必 要 が あ る.そ

こで 本 節 で は,

まず 形 式 言 語 につ い て 説 明 す る.   一 般 に,記

号 の 空 で な い 有 限 集 合 を ア ル フ ァ ベ ッ ト と い う(a∼zを

ル フ ァ ベ ッ ト と い う の と 同 様 で あ る).ア

ル フ ァベ ッ ト Σ の 記 号 を 重 複 を 許 し て 有

限 個 並 べ る こ と に よ り得 ら れ る 記 号 列x=a1a2…anを,Σ ｘ に 含 ま れ る 記 号 の 個 数 を ｘ の 長 さ と い い,｜x｜ で 表 す.特 空 語 と 呼 び,ε

上 の 語 と い う.語 に,長

さが ０の 語 を

で 表 す.

  二 つ の 語x=a1a2…anとy=b1b2…bmの 語x・y=a1a2…anb1b2…bmの あ る.任

英語の ア

連 接 と は, ｘ と ｙ を つ な い だ こ と を い う.x・yを,単

意 の 語 ｘ に 対 し て,εx=xε=xが

にxyと

記 す ことも

成 り立 つ こ と に 注 意 す る.語

の集合

L1,L2に

対 し,そ

れ ら の 連 接 を 以 下 の よ う に 定 義 す る.

ま た,語

の 集 合 Ｌ に 対 し,Ln(n≧0)を,

に よ っ て 定 義 す る.こ

と定 義 す る.Ｌ*を

の と き,

Ｌ のKleene閉

包 とい う.定 義 か らわ か る よ うに, Ｌ*は,

Ｌ に含 まれ る語 を ０個 以 上 の 任 意 個 連 接 す る こ と に よ り得 られ る語 全 体 の 集 合 で あ る.   ア ル フ ァベ ッ ト Σ 上 の 言 語 とは,Σ*の

任 意 の 部 分 集 合 の こ とで あ る.一 般 に

言 語 は無 限 集 合 で あ るが,言 語 を な ん らか の 有 限 な形 式 で 表現 した い場 合 に は,そ の 言 語 を規 定 す る規 則 の 有 限 な 記 述 を発 見 しな け れ ば な らな い.そ の た め に,語 の 認 識 過 程 に着 目 して,そ

の言 語 に属 す る 語 の み を受 理 す る 有 限 サ イズ の 機 械,す

な わ ち 有 限 オ ー ト マ ト ン を構 成 す る と い う考 え 方 が あ る.こ れ は ち ょ う ど,英 語 を母 国語 とす る 人 間 に基 づ い て,英 語 を 規 定 す る考 え 方 に類 似 して い る. 有 限 オ ー トマ ト ン は,図4.6の

よ う に 表 す こ と が で き る.形

式 的 に は,有

限オー

ト マ ト ン は 以 下 の よ う に 定 義 さ れ る.

定 義4.1

有 限 オ ー ト マ ト ン(Finite 

Automaton,以

下 の 条 件 を 満 た す ５項 組と １.

Ｑ は状 態 の 空 で ない 有 限 集 合,

２.

Σ は 入 力 ア ル フ ァ ベ ッ ト,

３.

δ:Q×

４.

q0∈Qは

初 期 状 態,

５.

F⊆Qは

最 終 状 態 の 集合 とす る.

Σ →Qは

状 態 遷 移 関 数,

下FAと

略 す)Ｍ

し て 定 義 さ れ る.た

だ し,

は,以

図4.6 

 FAは,初

期 状 態q0か

有 限 オ ー トマ ト ン

ら動 作 を開 始 し,Σ 上 の 入 力 語 ω=a1a2…anを

１記

号 ず つ 左 か ら順 に読 んで い く.そ して,状 態 ｐ で 記 号 ａ を読 む と,ｐ と ａ に よっ て 定 ま る次 の 状 態 ｑに遷 移 す る とい う形 で,次 々 と状 態 を変 化 させ る.FAは,入 力 語 を全 部 読 み 終 わ っ た と き に最 終 状 態 にあ れ ば,入 力語 を受 理 す る.   状 態 遷 移 関数 δ:Q×

Σ →Qの

定 義 域 を,通 常,以 下 の よ う に してQ×

へ 拡 大 して お く.す な わ ち,各p∈Q,w∈

と 定 義 す る.こ

の と き,δ(p,w)=qな

Σ*

Σ*,a∈ Σ に 対 して,

ら ば, FA  Ｍ

は 入 力 語 ω を読 む と状 態 ｐ

か ら ｑ へ 遷 移 す る.   入 力 語 ω は,δ(q0,ω)∈Fで 認 識 さ れ る と い う.FAMに

あ る と き, FA  Ｍ

に よ っ て 受 理 さ れ る,ま

たは

よ っ て 受 理 さ れ る 語 の 集 合T(M)を,

と定 義 す る.

4.7

Turing機

機,械

第 ２章 で も述 べ た よ う に,Turing機

械 は, A.M.  Turingが1936年

に考 案 した

図4.7Thring機

計 算 機 の 数 学 的 モ デ ル で あ る.Turing機

械

械 は,図4.7に

ド と有 限 制 御 部 か ら構 成 され て い る.テ ー プ は,同

示 す よ うにテ ー プ,ヘ

ッ

じ大 き さの 区 画 に 区切 られ て

お り,両 方 向 に無 限 に伸 び て い る.ヘ ッドは テ ー プ の 一 つ の 区画 に対 して記 号 の読 み 出 しや,書

き込 み を行 うこ とが で き,ま た,テ ー プ 上 を １区 画 ず つ左 右 に 移動

す る こ とが で き る.あ る 時 点 に お け る有 限 制 御 部 の 状 態 と,そ の 時 点 でヘ ッ ドが 読 ん で い る記 号 との 対 に依 存 して,機 械 の 次 の １ス テ ップ の 動 作,す 状 態 へ の 遷 移,テ

ープ へ の 記号 の書 き込 み,ヘ

形 式 的 に は,Turing機

定 義4.2

Turing機

な わ ち次 の

ッ ドの 移 動 の 仕 方 が すべ て定 ま る.

械 は 以 下 の よ う に 定 義 さ れ る.

械(Turing 

Machine,以

件 を 満 た す ７ 項 組と １.

Ｑ は状 態 の 有 限 集 合,

２.

Ｔ は テ ー プ 記 号 の 有 限 集 合,

３,

B∈rは

４.

Σ ⊆r-{B}は

５.

下TMと

略 す)Ｍ

し て 定 義 さ れ る.た

は,以

下の条

だ し,

空 白記 号, 入 力 ア ル フ ァ ベ ッ ト,

q0∈Qは

初 期 状 態,

６.

F⊆Qは

最 終 状 態 の 有 限 集 合,

７.

δ:Q×r→Q×

Γ ×{L，R}は,Ｍ

が 次 に 行 うべ き １ ス テ ッ プ の 動 作 を

指定 す る状 態遷 移関 数 である. TM,Mの

状 態 遷 移 の 式 δ(p,a)=(q,b,d)は

以 下 の こ と を 表 し て い る:

「Ｍ の 現 在 の 状 態 が ｐ で,ヘ ッ ドが 読 み 込 んだ 記 号 が ａ な らば,Ｍ は状 態 を ｑ に変 え,テ ー プ 上 の現 在 ヘ ッ ドが あ る 区 画 に記 号 ｂ を書 き込 み,ｄ の値 がR,Lの へ １区 画 移 動 す る,ま

うち の どれ で あ る か に従 って ヘ ッド を,右 た は,左 へ １区 画 移 動 す る とい う動 作 を実 行

す る.」 また,Ｍ

が δ の値 が 定 義 され てい な い組(p,a)に

る.ま た,最 終 状 態pf∈Fに

,0〓i〓m+1と

aiを

様 相 と い う.た

す る.こ

号 列a1a2…amは

こ で,ｐ

読 む 位 置 に あ る こ と を 示 す.ま

だ し, p∈Q,a1a2…am∈

は現 時 点 に お け る Ｍ

テ ー プ の 内 容 を 表 し て い る.ま

ド が 記 号 列a1a2…amに

は停止す

お い て も Ｍ は 停 止 す る.

  ３項 組(p,a1a2…am,i)をTMの T*

陥 っ た と きに は,Ｍ

た ｉ は,ヘ

た, i=0,m+1の

お け るa1の

す ぐ 左 隣,amの

の 状 態 を 表 し,記 ッ ドが テ ー プ 記 号

と き は,そ

れ ぞ れ,ヘ

ッ

す ぐ右 隣 の 空 白 を読 む位

置 に あ る こ と を 意 味 し て い る.   α,β を Ｍ と き,α

の 様 相 と す る.Ｍ

〓Mβ

と 書 く.様

を 満 た す と き,α0に α0に 対 す る Ｍ

の状 態 遷 移 関 数 δ に よ っ て α が β に遷 移 す る

相 の 列 α0,α1,α2,…,αnは,以

対す る Ｍ

の 計 算 過 程 と い わ れ る.ま

下 の 条 件(1)∼(3) た,こ

の と き αnは,

の 最 終 様 相 と い わ れ る.

(１) (２) (３)

  

あ るか,ま

Thring 

た は,αn〓Mβ

か つ αn≠ β で あ る よ う な β は 存 在 しな い.

械 Ｍ が 言 語 Ｌ を受 理 す る とは, Ｍ が Ｌ に属 す る記 号列 α1α2…am

に対 して の み 最 終 様 相 に到 達 で きる と き を い う.   非 決 定 性Turing機 決 定 性Turing機

械 の 場合 には,状 態 遷 移 関数 が 多 値 で あ る.す なわ ち,非

械 の 場 合 には,δ(p,a)の

値 は(q,b,R)の

よ うな一 つ の組 で あ る

必 要 は な く,そ の よ うな組 の 集 合 で よ い.し た が っ て,与

え られ た 一 つ の入 力 に

対 して,複 数 の 計 算 過 程 と出 力 値 が あ り得 る.こ の 場 合,機 械 が 入 力 を受 理 す る とは,少

な くと も一 つ の 最 終 様 相 に お い て 入 力 が 受 理 され て い る と きを い う.

4.8

計算量 の概念

  計 算 の複 雑 さ を表 す 尺 度 の こ と を計 算 量 とい う.代 表 的 な計 算 量 に は,問 題 を 解 くた め に必 要 な計 算 時 間 を表 す 時 間 計 算 量 と,問 題 を解 く際 に使 用 す る記 憶 容 量 の量 を表 す 領 域 計 算 量 とが あ る.計 算 量 理 論 の 主 な 目的 は, (１) 効率 の よい ア ル ゴ リ ズ ム を設 計 す る こ と (２) 問題 の本 質 的 な難 し さ を示 す こ と の 二 つ で あ る.

  別 な言 い 方 を す れ ば,(１)は,あ

る 問 題 Ｐ を解 くア ル ゴ リズ ム Ａ を設 計 して,

Ａ の 計 算 量 を評 価 す る こ とに よ り,問 題 Ｐ の計 算 量 の上 界 を求 め る こ とで あ る. 一 方,(２)は

,あ る 問 題 を解 くた め には,ど の よ うな ア ル ゴ リズ ム を用 い た と して

も,最 低 限 必 要 に な る計 算 量 の 下 界 を求 め る こ とで あ る.こ の よ うな 計 算 量 の上 界 や 下 界 は,Turing機

械 の よ うな計 算 モデ ル に 基 づ い て,実 際 の コ ン ピュ ー タの

ア ー キテ クチ ャ とは 独 立 に数 学 的 に評 価 さ れ る もの で あ る.し たが って,将 来 コ ン ピ ュ ー タが どの よ うに進 歩 した と して も,基 礎 と な る計 算 モ デ ル に 変 更 が ない 限 り変 わ る こ とは な い.   計 算 量 理 論 で は,問 題 は言 語 の 認 識 問 題 と して定 式 化 され る.Ｌ をア ル フ ァベ ッ ト Σ 上 の 言 語 とす る.言 語 Ｌ の 認 識 問 題 とは,Σ*の

元 ｘ が 与 え ら えた とき に,

ｘ が Ｌ に属 す る か 否 か を判 定 す る問 題 の こ とで あ る.   問 題 を言 語 の 認 識 問 題 と して 取 り扱 うた め に は,問 題 の 入 力 を符 号 化 しなけ れ ば な ら ない.ハ

ミル ト ン閉路 問 題(4.5節

ル トン閉 路 問 題 の 場 合,入 符 号 化 で きる.ま ず,グ して 表 現 す る.次

に,Ｇ

参 照)を 具 体 例 と して 説 明 しよ う.ハ ミ

力 と して 与 え ら れ る グ ラ フ は,例

え ば次 の よ うに して

ラ フ Ｇ の 頂 点 υ を,ア ル フ ァベ ッ ト{0,1}上 が ｍ 本 の 辺(ui,υi),1〓i〓mを

の語 〓 と

持 つ な らば,Ｇ

を

と表 現 す る.〓

は,ア

ル フ ァ ベ ッ ト{0,1,#}上

号 化 と 呼 ぶ.こ

の 符 号 化 に よ り,ハ

の 語 で あ る.こ

の Ｇ を Ｇ の符

ミル ト ン閉 路 問 題 を言 語

の認 識 問 題 と考 え る こ とが で きる.す

なわ ち,ハ

ラ フG0が

Ｌ に 属 す るか 否 か を 判 定 す る問 題 と考 え る

与 え られ た と き に, G0が

こ とが で き る.こ

こ で,グ

ラ フG0が

ミル トン 閉路 問 題 は,任 意 の グ

任 意 に一 つ 与 え られ る と,解

くべ きハ ミル

ト ン閉 路 問 題 が 具 体 的 に一 つ 固定 され る こ と に注 意 す る.こ の よ うな意 味 で,グ ラ フG0の

こ と を ハ ミル ト ン閉路 問 題 の イ ン ス タ ン ス とい う.

  問 題 の 時 間計 算 量 や領 域 計 算 量 は,通 常 そ の 問 題 に対 す る入 力 サ イズ の 関数 と して 表 され る.一 般 に,入 力 サ イ ズ とは,そ の 問 題 の イ ンス タ ンス を符 号 化 した と き の,符 号 列 の 長 さで あ る.例 え ば,ハ

ミル ト ン閉路 問 題 の 計 算 量 は,上

の言

語 Ｌ の 認 識 問 題 の 計 算 量 と して 測 ら れ る.計 算 量 は計 算 モ デ ル ご とに 測 り方 が 異 な る が,言 語 Ｌ をTMに TMの

認 識 させ る 場 合 に は,時 間計 算 量(領 域 計 算 量)は,

ヘ ッ ドが 動 い た 回 数 の 総 和(使

用 した 区 画 の 数)で

あ る.

  入 力 サ イズ を 大 き く して い っ た と きの,極 限 にお け る ア ル ゴ リズ ム の 時 間計 算 量(領

域 計 算 量)を 漸 近 的 時 間 計 算 量(漸

近 的 領 域 計 算 量)と

い う.コ ン ピュ ー

タの 資 源 が 限 定 され て い る と き に,あ る ア ル ゴ リズ ム に よ っ て解 くこ とが で きる 問 題 の最 大 サ イ ズ は,漸 近 的計 算 量 に よっ て 求 め る こ とが で き る.以 下 で は,こ の漸 近 的 計 算 量 に つ い て述 べ るが,そ の 際,次 の記 法 を用 い る.N={0,1,2...} とす る. 定 義4.3

f:N→Nとg:N→Nを

る(「f(n)は

オ ー ダg(n)で

し て,n0〓nな

関 数 とす る と き,f(n)=O(g(n))で あ る 」 と読 む)と

る 任 意 のn∈Nに

は,あ

るn0∈Nと

あ

定 数 ｃが 存 在

対 し,｜f(n)｜ 〓c・ ｜g(n)｜ と な る と き を い う.

  計 算 量 を定 義 す る際 に は,次 の ２通 りの 立 場 が あ る.ま ず,入 力 サ イズ が ｎ の と きの計 算 量 を,サ イズ ｎ のす べ て の 入 力 に対 す る計 算 量 の 最 大 値 で 定 義 す る場 合 を,最 大 計 算 量 とい う.こ れ に対 し,入 力 サ イ ズ が ｎ の と きの 計 算 量 を,サ イ ズ ｎ の す べ ての 入 力 に対 す る平 均 値 で 定 義 す る場 合 を,そ のサ イズ ｎ に 対 す る 平 均 計 算 量 とい う.以 下 で は,最 大 計 算 量 につ い て述 べ る.

4.9

計算 量 の クラ ス と完全 問 題

  本 節 で は,TM上

の 計 算 量 ク ラス を定 義 す る. S,  T:N→Nと

ま た は 非 決:定性TMMがT(n)時

間 内(S(n)領

域 内)で

す る.決 定性, 動 作 す る とは,長

ｎ の す べ て の入 力 記 号 列 ｗ に対 し}ｗ に 関 す る Ｍ の計 算 がP(n)ス に(S(n)個

さ

テ ップ 以 内

の 区 画 の み を使 用 して)停 止 す る と き をい う.時 間計 算 量 と領 域計 算

量 の クラ ス を,以 下 の よ うに定 義 す る.

DTIME(T(n)) ={L:あ

る決 定 性TMが

Ｌ をO(T(n))時

間 内 に 受 理 す る},

NTIME(P(n)) ={L:あ

る非 決 定 性TMが

Ｌ をO(T(n))時

間 内 に 受 理 す る} ,

DSPACE(S(n)) ={L:あ

る決 定 性TMが

Ｌ をO(S(n))領

域 内 で 受 理 す る},

NSPACE(S(n)) ={L:あ

る非 決 定 性TMが

Ｌ をO(S(n))領

域 内 で 受 理 す る}.

次 に,幾 つ か の 重 要 な計 算 量 ク ラ ス を定 義 す る. DL=DSPACE(logn):対

数 領 域 計 算 可 能 な 問 題 の ク ラ ス.す な わ ち,入 力 サ

イズ を ｎ とす る と き,決 定 性TMで 問 題 の ク ラ ス(こ NL=NSPACE(log 

た か だ かlog n個 の 区画 を使 っ て計 算 で きる

こで,「問 題 」 は 「言 語 」 の 意 味 で 用 い て い る.以 下 同様). n):非

決 定 性 対 数領 域 計 算 可 能 な問 題 の ク ラス.す な わ ち,

入 力 サ イズ を ｎ とす る と き,非 決 定 性TMで

た か だ かlog n個 の 区 画 を使 って計

算 で き る問 題 の ク ラス. P=UDTIME(nκ):多 TMで,入

項 式 時 間 計 算 可 能 な問 題 の ク ラ ス.す な わ ち,決 定 性

力 サ イズ ｎ の 多 項 式 時 間 で 計 算 で きる 問題 の ク ラ ス.

NP=UκNTIME(nκ):非

決 定 性 多 項 式 時 間 計 算 可 能 な 問 題 の ク ラス.す

わ ち,非 決 定 性TMで,入

力 サ イ ズ ｎ の 多 項 式 時 間 で 計 算 で き る問 題 の ク ラス.

PSPACE=UκDSPACE(nκ)=UκNSPACE(nκ):多 問 題 の ク ラス.す

な

項 式領 域 計算 可 能 な

な わ ち,決 定 性TMま

た は非 決定 性TMで,入

力 サ イズ ｎ の

多 項 式 領 域 で計 算 で き る問 題 の ク ラス. EXPTIME=UκDTIME(2nκ):指 ち,決 定 性TMで,入

数 時 間 計 算 可 能 な問 題 の ク ラ ス.す

なわ

力 サ イズ ｎ の 指 数 時 間 で計 算 で き る問 題 の ク ラ ス.

これ らの 計 算 量 ク ラ ス に 対 して は,以 下 の 包 含 関係 が 成 り立 つ. DL  ⊆ NL  ⊆ P ⊆ NP  ⊆ PSPACE 

⊆  EXPTIME

た だ し,こ の 式 の 中 で,狭 義 の 包含 関係 が わか って い るの は,次 の 二 つ だ け で あ る. DL  〓  PSPACE, 

P 〓  EXPTIME

未解 決 問題 ４ 上 の そ の 他 の 包 含 関 係 が 狭 義 に成 り立 つ か 否 か は まだ わか っ て お らず,い ず れ も重 要 な未 解 決 問 題 で あ る.特 に, P〓NP が 成 り立 つ か 否 か が4.5節

で 述 べ たP=NP?問

題 で あ る.

  あ る問 題 が 実 際 的 な 時 間内 で解 け る とい う意 味 で,実 際 的 に 計 算 可 能 な問 題 の ク ラス と して は,Ｐ が 妥 当 で あ ろ う と考 え られ て い る.す な わ ち,現 在 多 くの 研 究 者 が,Ｐ

に属 さな い 問 題 は 実 際 的 で は ない と考 え て い る.

定 義4.4

確 率 的Turing機

械(Probabilistic 

Turing  Machine,以

下PTMと

略 す)Ｍ

は,以

れ る.た

だ し,

下 の 条 件 を 満 た す ７ 項 組
１.

Ｑ は 状 態 の有 限 集 合,

２.

Γ は テ ー プ 記 号 の 有 限 集 合,

３.

B∈

４.

Σ ⊆ Γ-{B}は

５.

q0∈Qは

初 期 状 態,

６.

F⊆Qは

最 終 状 態 の有 限 集 合,

７.

δ:Q×

Γ× Γ ×Q×{L,R}→[0,1]は,Ｍ

B,q0,F>と

して 定 義 さ

Γ は 空 白 記 号, 入 力 ア ル フ ァ ベ ッ ト,

上 の 定 義 で,[0,1]は{x｜0〓x〓1}な と き,δ(p,a,b,q,d)は,以

の 状 態 遷 移 関 数 で あ る.

る 実 数 の 閉 区 間 を 表 し て い る.こ

の

下 の 事 象 が 起 こ る 確 率 を 与 え て い る:

「Ｍ の 現 在 の状 態 が ｐ で,ヘ

ッ ドが 読 み 込 ん だ 記 号 が ａ の と きに,

Ｍ は状 態 を ｑ に変 え,テ ー プ 上 の 現 在 ヘ ッ ドが あ る 区画 に 記号 ｂを 書 き込 み,ｄ の 値 が Ｌ,Rの

う ちの どれ で あ るか に 従 って ヘ ッ ドを,

右 へ １区 画 移 動 す る,ま た は,左 へ １区 画 移 動 す る と い う動 作 を実 行 す る.」 次 に,ク

ラスBPPの

定 義4.5 time)に

言 語

Ｌ

形 式 的 定 義 を述 べ る. が ク ラ スBPP(Bounded-error 

Probabilistic 

属 す る の は,特 別 な受 理 区 画 を持 っ た あ るPTMと,あ

在 して,任 意 の 入 力 記 号列xに Ｌ に属 す るか 否 か を2/3よ

対 し,受 理 区 画 を時 間p(n)に

Polynomial

る多項式 ｐが存 観 測 す る と,ｘ が

り大 きな確 率 で 正 し く判 定 で きる と きを い う.

  次 に,問 題 の相 対 的 難 し さを定 義 す る た め の 手 段 と して,帰 着 可 能 性 の 概 念 を 導 入す る.言 語L1がL2にf(n)帰 性TM  Mが

存 在 して,任 意 の 入 力x∈L1に

あ る た め の必 要 十 分 条件 がx∈L1で L1はL2に

着 可 能 で あ る とは,計 算 量f(n)の

あ る決 定

対 し Ｍ が ｙ を 出力 し, y∈L2で

あ る と き をい う.  f(n)が

多 項 式 時 間 帰 着 可 能 で あ る とい い,L1〓pL2と

多 項 式 時 間 の と き, 書 く.ま た,f(n)

が 対 数 領 域 の と き,L1はL2に

対 数 領 域 帰 着 可 能 で あ る と い い, L1〓log  L2と

書 く.

定 義4.6

Ｃ を 任 意 の 計 算 量 ク ラ ス と し,L1,L2を

件 １ を 満 た す と き,L2は と き,L2は

Ｃ 困 難 で あ る と い う.さ

ら に, L2が

以 下の条

条件 ２ も満 た す

Ｃ 完 全 で あ る と い う.

１.

す べ て のL1∈Cに

２.

L2∈C

対 し, L1〓L2.た

定 理4.1

Ｐ を Ｃ 完 全 問 題 とす る.も

な ら ば,Ｃ

⊆Pで

証明

言 語 と す る. L2が

だ し,〓

は 〓pま

た は 〓logと す る.

し Ｐ が 多 項 式 時 間 ア ル ゴ リズ ム で 解 け る

あ る.

例 え ば,文 献[３]な ど を参 照 せ よ.

  定 義 よ り,Ｃ 完 全 問 題 は,ク ラ ス Ｃ の 中 で最 も難 しい 問 題 と考 え る こ とが で き る.ハ

ミル トン閉 路 問 題 は,NP完

全 で あ る こ とが 知 られ て い る[３].  NP完

全問

題 は,計 算 機 科 学 の ほ とん どす べ て の 分 野 で 見 い だ す こ とが で き る.こ れ らの 問 題 の 中 に は,重 要 な もの が 数 多 くあ る に もか か わ らず,そ の うち の どの 問 題 に対 して も多 項 式 時 間 ア ル ゴ リズ ム は 見 つ か っ て い ない.定 つ のNP完

理4.1か

ら,も

全 問 題 が 多 項 式 時 間 ア ル ゴ リズ ム で解 け る な らば , NPに

て の 問 題 が 多 項 式 時 間 で解 け る こ と に な る.現 在,多 題 は多 項 式 時 間 で は 解 け ない と予 想 して い る の で,あ

しあ る一

属す るすべ

くの 研 究 者 が,NP完 る 問 題 がNP完

全問

全で あ るこ

と を示 す こ と は,そ の 問 題 が 実 際 的 に計 算 可 能 で は な い とい う強 い状 況 証 拠 を与 え る こ と に な る.   ク ラ ス Ｐ とNPの

関係 を図4.8に

示 し た.も ち ろ ん, P=NP?問

題 は未 解 決

な の で,こ の 図 の よ うな包 含 関係 が 成 り立 つ こ とが 証 明 さ れ て い る わ け で は な い. しか し,多 くの 研 究 者 が,こ の 図 の よ うな 関係 が 成 り立 つ と信 じて い る.た だ し, ハ ミル ト ン 閉 路 問 題(HAMILTON)がNP完 性 判 定 問 題(CONNECTTVITY)が

全 で あ る こ と と,グ ラ フ の 連 結 Ｐ に属 す る こ とは,す で に証 明 され て い る

図4.8ク

ラ ス Ｐ とNP.

[３].一 方,整 数 の 因 数 分 解 問 題 や 離 散 対 数 問 題 は, Ｐ に は 属 さな い がNP完 で も な い だ ろ う と強 く予 想 され て い る[29].

全

第 ５章 量 子 コ ン ピュ ー タの 数 学 的 モデ ル   本章 で は,ま ず,汎 用 コン ピュータのモデ ルが持 つべ き一 般的性 質 につい て考察 した後,Deutsch に よって 導 入 され た量 子Turing機 械 と万 能量 子Turing機 械 の形 式 的定 義 を述べ る.ま た,量 子 Turing機 械 の 物理 的 表現,計 算 過程 と,計 算 結 果の 観 測 につ い て も解 説 す る.さ らに,幾 つか の 量 子計 算 量 の ク ラス を定 義 し,量 子 計算 量理 論 の 未解 決 問題 を紹 介す る.

5.1

Turing機

機械 の 拡 張

  現 在 の コ ンピ ュ ー タの数 学 的 モデ ル は決 定 性Turing機 機 械 と記 す)で

あ るが,Turing機

械(以

械 は 巡 回 セ ー ル ス マ ン問 題 の よ うなNP完

問 題 を多 項 式 時 間 で解 くこ とは で きな い で あ ろ う と,多 る.そ

こで,適

下,単 にTuring

当 な拡 張 を ほ ど こ したTuring機

全

くの研 究 者 が 予 想 してい

械 上 でNP完

全 問 題 を効 率 よ く

解 こ う と,確 率 的 ア ル ゴ リ ズ ム や 近 似 ア ル ゴ リ ズ ム と い う方 法 が 考 案 され た が, 最 近 まで の研 究 成 果 か ら判 断 す る と,こ れ ら二 つ の 方 法 で も,お そ ら くNP完

全

問題 は効 率 的 に解 け な い だ ろ う と思 わ れ て い る.   まず,確 率 的 ア ル ゴ リズ ム に関 して は,BPP≠NPで (BPP,  NPに

つ い て は 第 ４章 参 照).す

あ ろ うと予 想 され て い る

な わ ち,確 率 的 ア ル ゴ リズ ム に よ っ て多

項 式 時 間で 解 くこ とが で き る 問 題 の クラ ス は,NP全

体 を含 ま な い で あ ろ うと信

じ られ て い る.一 方,近 似 ア ル ゴ リズ ム につ い て は,NP完

全 問 題 で あ る最 大 ク

リ ー ク 問 題 が 近 似 す る こ と さ え非 常 に 困 難 で あ ろ うと い う状 況 証 拠 が,最 近 証 明 さ れ た[4,43].つ の拡 張 版Turing機

ま り,こ れ は あ く まで も推 測 だ が,現 在 まで に提 案 され た種 々 械 に は, NP完

全 問題 を効 率 よ く解 くた め の 機 能 が 不 足 して い

る と考 え ら れ る.   こ こで 誤 解 の な い よ うに 断 っ て お くと,だ か ら と い っ てTuring機 算 モ デ ル だ とい って い る の で は な い.Turing機

械 が 悪 い計

械 は 非 常 に簡 潔 で,し か も理 論 的

に安 定 した モ デ ル で あ り,古 くは 計 算 可 能 性 の 理 論 か ら,最 近 の 計 算 量 理 論 に至 る まで の 理 論 計 算 機 科 学 にお い て,常 に 中 心 的 役 割 を果 た して きた 素 晴 ら しい計 算 モ デ ル で あ る.1935年

に はChurchの

「計 算 可 能 とは,Turing機

提 唱 が 行 わ れ,

械 で 計算 で きる とい う意 味 だ と考 え よ う」

とい う論 理 学 者 の 間 で の合 意 が得 られ た.こ れ は,決 して偶 然 で は な い.ラ ム ダ計 算 な ど,他 の 多 くの論 理 学 者 た ちが 独立 に考 えて い た計 算 モ デ ル が,す べ てTuring 機 械 と等 価 に な っ た た め で あ る.す な わ ち,当 時 の数 多 くの 優 れ た 論 理 学者 た ち が,懸 命 に考 え た末 に得 られ た形 式 化 が す べ て等 価 だ った とい う こ と は,計 算 可

能 とい う概 念 が 非 常 に安 定 した もの で あ る とい う こ との 証 で あ る.   した が っ て,新 た な計 算 モ デ ル を考 え る際 に,Turing機

械 の 考 え 方 を完 全 に 捨

て て し ま う こ と は,先 人 の努 力 をす べ て 無 駄 にす る とい う意 味 で 科 学 の 進 む 方 向 と して 不 自然 に思 え る し,実 際,そ の よ うな こ と は で きな い く らい に,Turing機 械 の 概 念 は安 定 した 自然 な もの で あ る.   そ こ で,Turing機 Turing機 ち,新

械 の 新 た な 拡 張 を 考 え よ う と い う こ と に な る.も

ち ろ ん,

械 に ど の よ う な 機 能 を 付 加 して も 構 わ な い と い う わ け で は な い.す し い 機 能 が 付 加 さ れ たTuring機

な ど を 失 っ て は な ら な い.1985年 化 機 能 を 付 加 し た,量

械 が,計

算 モ デ ル と し て の 自 然 さ,妥

にDeutschは,従

子Turing機

来 のTuring機

量 子Turing機

当性

械 に量 子 並 列

械 と い う計 算 モ デ ル を提 案 し た[15].前

述 べ た と お り,本 書 で は,Deutschの

なわ

に も

械 をモ デ ル とす る コ ン ピュー

タ の こ と を 量 子 コ ン ピ ュ ー タ と呼 ん で い る.

  量 子Turing機

械 は,現 在 の 量 子 力 学 に 基づ い て考 え る と自然 な計 算 モ デ ル で あ

り,電 子 な どの ミク ロ な物 理 系 の量 子効 果 を利 用 して,将 来,ま った く新 しい 動作 原 理 に基 づ くコ ン ピュ ー タが 実 現 で きる可 能 性 を示 唆 して い る.そ い こ とに,量 子Turing機

して 大 変 興 味深

械 も計 算 可 能 な関 数 しか 計 算 で きない こ とが, Deutsch

自 身 に よ っ て示 され て い る[15].つ

ま り,量 子Turing機

械 も,通 常 のTuring機

械 で計 算 で きる 関 数 しか 計 算 で きな い こ とが わ か っ た.し た が っ て,興 味 が あ る の は,同

じ計 算 を行 う場 合 に,量 子Turing機

械 の 方 が 従 来 のTuring機

械 よりも

高 速 に 計 算 が 行 え る か とい う点 で あ る.

5.2 5.2.1

量 子Turing機

機械

テ ンソル積

  量 子Turing機

械 は,物 理 的 に は,２ 状 態 物 理 系 の 合 成 系 と して テ ン ソル 積 を

用 い て表 現 され る.そ

こで,ベ

ク トル の テ ン ソ ル 積 に つ い て復 習 してお く(ご 存

じの 方 は 読 み飛 ば して い た だ き た い).ベ

ク トル 空 間VmとVnの

基 底 ベ ク トル

を,そ

れ ぞ れei,i=1,2,…,mお

m×n個

よ び,fj,j=1,2,…,nと

の 基 底 ベ ク ト ルeifjで

直 積 空 間 と い い,Vm〓Vnで

例5.1m=3,n=2の

と し,V2の

張 ら れ るmn次

元 ベ ク トル 空 間 を 塩

の と き, とVnの

表 す.

場 合 に つ い て 考 え る.V3の

基 底 ベ ク ト ル を,

基 底 ベ ク トル を,

と す る.こ

の と き,６ 次 元 の 直 積 空 間V3〓V2の

e2f2,e3fi,e3f2の

順 に 取 る. V3内

とす れ ば,

と な る.

,Vmか

らVmへ

基 底 ベ ク トル をe1f1,e1f2,e2f1,

の ベ ク トル ａ と, V2内

れ ぞ れ,

一般 に

す る.こ

の写像 Ａ が

A(ax+by)=aAx+bAy

の ベ ク ト ル ｂ を,そ

を 満 た す と き,Ａ x,y∈Vmと

をVmの

す る.以

 Ａ をVmの

線 形 作 用 素 と い う.た

下 で は,線

作 用 素,Ｂ

だ し, a,bは

ス カ ラ ー と し,

形 作 用 素 の こ と を 単 に作 用 素 と 呼 ぶ こ と に す る.

をVnの

作 用 素 とす る と き, Vm〓Vnの

作 用 素A〓B

を次 の よ うに定 義 す る.

(5,1)

(A〓B)(z〓w)=Az〓Bw

(5.2)

(A〓B)(ax+by)=a(A〓B)x+b(A〓B)y こ こ に,a,bは

ス カ ラ ー, x,y∈Vm〓Vn, 

算 の 基 本 原 理 は,上

w∈Vnと

え ば,ス

ピ ン-1/2系 な ど)で

の ２ 状 態 に 対 応 す る 物 理 状 態 を ｜0〉と ｜1〉で 表 す.量

ベ ク トル を ｜ ・ 〉 と表 記 し,ケ と 表 記 し,ブ

子並列計

械 の物理 的表 現

  情 報 の 最 小 単 位 で あ る １ ビ ッ ト を ２状 態 物 理 系(例 構 成 す る.こ

す る.量

の ２式 に よ っ て 説 明 さ れ る.

量子Turing機

5.2.2

z∈Vm, 

ッ ト ・ベ ク ト ル と 呼 ぶ(ち

ラ ・ベ ク ト ル と 呼 ぶ).通

な み に,行

子 論 で は,列 ベ ク トル は 〈・ ｜

常,

と 取 る.   ま た,複 る.そ

数 ビ ッ ト は,同

れ ゆ え,ｎ

時 に 観 測 可 能 な ２状 態 物 理 系 の 合 成 系 に よ り構 成 さ れ

ビ ッ ト に 対 応 す る 物 理 状 態 ｜x1,x2,…,xn〉

理 状 態 の テ ン ソ ル 積 と し て,以

た だ し,xi∈{0,1}, 

  量 子Turing機 テ ープ,お

i=1,2,…,ｎ

は,１

ビ ッ トの 物

下 の よ う に 表 現 さ れ る.

と す る.

械 Ｍ は,通 常 のTuring機

械 と同様 に,有 限 制 御 部,無 限 長 の

よび テ ー プ ヘ ッ ドか らな り,そ れ ぞ れ に対 応 す る物 理 系 の 合成 系 と して

構 成 さ れ る.有

限 制御 部 に対 応 す る物理 系 を ｜ Ｃ 〉,テ ー プ に 対 応 す る物 理 系 を ｜ Ｔ 〉,

テ ー プ ヘ ッ ド に対 応 す る物 理 系 を ｜ Ｈ 〉 とす る.こ

れ ら の 各 物 理 系 も ま た,１ ビ ッ トの

物 理 系 の 合 成 系 と し て 構 成 され る.す な わ ち,Ci∈{0,1},i=1,2,...,u=log  とす る と き(た

だ し,Ｑ

と表 現 で き る.ま S(n)個

は Ｍ の 状 態 の 集 合 とす る), ｜ Ｃ 〉=｜ Ｃ1〉〓 ｜C2〉〓 … 〓 ｜Cu〉

た,Ｍ

が Ｓ(n)-領 域 限 定(記

の マ ス 目 し か 使 え な い こ と)な

{0,1},i=1,2,．

．．,υ=S(n)と

Hi∈{0,1}, 

憶 領 域 と し て,テ

ら ば,｜T〉=｜T1〉

表 現 で き,ま

i=1,2,...,w=log 

  この と き,Ｍ

｜ Ｑ｜

S(n)と

ープ 上 の た か だか

〓 ｜T2〉 〓 … 〓 ｜Tυ 〉,Ti∈

た,｜Ｈ 〉=｜H1〉 〓 ｜H2〉〓 ．．． 〓 ｜Hw〉,

表 現 で き る.

を構 成 す る物 理 系 ｜ Ｍ 〉は,こ れ らの物 理 系 の 合 成 系 と して,以

下 の よ うに 表 現 さ れ る. ｜ Ｍ 〉=｜ Ｃ 〉〓 ｜ Ｈ 〉〓 ｜ Ｔ〉 よ っ て,Ｍ

の 状 態 は,

｜C;H;T〉=｜C1,．

と 表 現 さ れ る.こ

．．,Cu,H1,．

れ は,2u+υ+w次

．．,Hw,T1,...,Tυ

元 のHilbert空

〉

間 内 の 長 さ １の ベ ク ト ル と し

て 取 り扱 わ れ る.

5.2.3

量 子Turing機

定 義5.1[10]量 略 す)と

械 の定義

子Turing機

は,７

械(Quantum 

項 組M=(Q,Σ,Γ,δ,q0,B,F)の

Turing  Machine,以 こ と を い う.た

下QTMと だ し,

Ｑ は 状 態 の 有 限 集 合, Γ'はテ ー プ 記 号 の 有 限 集 合, B∈

Γ は空 白記 号,

Σ ⊂ Γ は 入 力 記 号 の 集 合, δ は 状 態 遷 移 関 数 で,Q× 体)へ

の 写 像,

Γ × Γ ×Q×{L,R}か

らC(複

素数全

図 8.1

QTMの

q0∈Qは

初 期 状 態,

F⊆Qは

受 理 状 態 の 集 合 とす る.

  δ(P,a,b,q,d)=cは 相 をc1と

，Ｍ

呼 ぶ)に,テ

を ｑ に 遷 移 さ せ,さ 様 相 をc2と

呼 ぶ)と

る(図5.1参

照).こ

る と定 義 す る(振

状 態 遷移

が 状 態 ｐ で 記 号 ａ を 読 ん で い る と き(Ｍ

の この 様

ー プ 上 の ヘ ッ ド の あ る マ ス 目 に 記 号 ｂ を 書 き込 み,状 ら に ヘ ッ ド を 方 向d∈{L,R}関

１マ ス 分 動 か す(Ｍ

い う事 象 の 振 幅(amplitude)が の と き ， Ｍ が 様 相c1か

幅 と い う概 念 の 導 入 や,振

らc2に

態

の この

ｃで あ る こ と を表 して い 遷 移 す る 確 率 は,￨c￨2で

幅 に 基 づ く確 率 の 定 義 な ど は,量

あ 子

力 学 の 流 儀 を 踏 襲 して い る).

  さ て,こ の 状 態 遷 移 関 数 δ は ， 以 下 の 行 列 はＭ δ で表 され る よ うな,Ｍ の 重 ね 合 わ せ の 線 形 空 間 にお け る線 形 写 像 を定義 す る.Mδ の 様 相 が 対 応 す る.Ci, cjを 分 は,cjか

らCiへ

の様相

の 各行,各 列 に は Ｍ

Ｍ の 二 つ の様 相 とす る と き, Mδ のCi行Cj列

成

の Ｍ の １ス テ ップ の 遷 移 と対 応 した δ の 値 で あ る.も

しこ

の よ うな 遷 移 が Ｍ に存 在 しな け れ ば,Mδ 制 約:QTMに

の対 応 す る成 分 は ０ とす る.

お い て は,時 間 推 移 行 列Mδ

は ユ ニ タ リ行 列 で な

け れ ば な ら ない. す な わ ち ，M〓δ をMδ Mδ   M〓δ=Iが

の転 置 共 役 行 列, Ｉ を 単 位 行 列 と す る と き ，M〓δ  Mδ 〓

成 り立 た なけ れ ば な ら な い.こ の 制約 も量 子 力 学 の枠 組 み を反 映

し た もの で あ る.

例 5.2

い ま,簡

単 の た め に,QTM 

Mの

可 能 な 様 相 がclとc2の

二 つ しか な い

相cjか

１ス テ ップ の

場 合 を考 え よ う.す な わ ち,

と す る.た

だ し,Mδ

の 各 成 分aijは,様

遷 移 に 対 応 し た δ の 値 とす る.こ る の で,c1か

ら のMの

こ の よ うに,Mδ

の と き,様

らCiへ

相Clは

１ ス テ ップ の 遷 移 は,以

が １回 作 用 す る た び にQTMの

のMの

ベ ク ト ルt(1,0)で

表 され

下 の よ う に 表 現 さ れ る,

状 態 が 変 化 し,計 算 が １ス テ ッ

プ 進 行 す る.上 の 遷 移 を,

と 表 す,こ

の 式 の 右 辺 は,様

相c1とc2を

そ れ ぞ れ 振 幅 ａll,ａ21で

重 ね合わせ

た状 態 を表 して い る.

計算過程 と結果の観測

5.2.4

 Ｍ に よ る計 算 は,ユ で あ る.Ｍ

ニ タ リ行 列Mδ

に よ って 定 義 され た物 理 状 態 の 発 展 過 程

の初期状 態 を ｌ ψ(0)〉と記 す.

と表せ る.こ こ で,T0は

Ｍ の 起 動 前 の テ ープ の 内容 で あ り,１ マ ス 目か ら入 力

が 記 入 され,そ の 入 力 の 右 側 に は無 限 に空 白 記 号Bが のs時

間後の状態 を ｌ ψ(ｓ)〉と記 す と,

並 ん で い る も の とす る.Ｍ

と な る.た だ し,Ｔ は Ｍ が １ス テ ップ の 実行 に要 す る時 間 で あ る.   量 子 力 学 にお い て は,外 部 か らの観 測 に よ って 物 理 系 の 状 態 が 変 化 して しま う の で,QTMで

は,計 算 が 終 了 す る まで はテ ープ の 内 容 を外 部 か ら観 測 す る こ と

が で き な い.そ

こ で,計 算 が 停 止 した こ と を外 部 に知 らせ るた め に,有 限 制御 部

の １ ビ ッ トを停 止 フ ラ グ と して 用 意 す る.こ の ビ ッ トの み,外 部 か ら観 測 して も 他 の 状 態 に 影響 を与 え な い もの とす る.停 止 フ ラ グ は 最 初 ０ に セ ッ ト され,計 算 が 終 了 す る と １に 変 化 す る.   さ て,停

止 フ ラ グ が １ に な っ た と き に,テ

測 す る こ と が で き る.テ い た と す る.こ 確 率￨(φ,ψ)｜2で は,確

ー プ 上 に 様 相 の 重 ね 合 わ せ ψ=ΣiαiCiが

の と き,任

意 の ベ ク トル φ に 対 し,ψ

正 し く観 測 す る こ とが で き る.特

記 入 され て

と φ が 平 行 で あ る こ と を,

に,ψ

とCiが

平行 であ ること

率 ｜ αi｜2で 正 し く観 測 で き る.

  こ こ で,QTMの QTM 

ープ 上 の 内 容 は以 下 の よ うに して観

Mが

動 作 が 通 常 の 確 率 法 則 に は 従 っ て い な い こ と を 見 て お こ う.

様 相c1お

よ びc2か

た と し よ う.こ の と き,c1ま

ら様 相 ｃに遷 移 す る振 幅 が,と

た はc2か

ら Ｍ を起 動 し,１ ス テ ップ後 に Ｍ の

様 相 を観 測 し た と き に,ｃ が観 測 され る確 率 は ｐ で あ る.次 ね合 わ せ α1c1+α2c2か

に, Ｍ を様 相 の 重

ら起 動 す る 場 合 を 考 え よ う.こ の 場 合,起 動 時 に Ｍ を

観 測 す れ ば,ｃ1が 観 測 され る確 率 は ｜ α1｜2であ り,c2が で あ る.ど

も に 凄 √pで あっ

観 測 され る確 率 は￨α2｜2

ち らの場 合 に も,そ の観 測 の １ステ ップ 後 に再 び Ｍ を観 測 す れ ば,ｃ

を観 測 す る条 件 付 き確 率 は ｐ で あ る.す な わ ち,Ｍ

の起 動 時 にc1を

の １ス テ ップ 後 に ｃ を観 測 す る条 件 付 き確 率 は ｐ で あ る(c2の

観 測 し,そ

場 合 も同様).一

方,起 動 時 の観 測 は行 わず に,１ ス テ ップ 後 に初 め て Ｍ を観 測 す れ ば,ｃ を観 測

す る確 率 は

で あ り,

で は な い.

通 常 の確 率 法 則 に従 っ て 考 え る と,１ ス テ ップ 後 に ｃが 観 測 され る確 率 は,起 動時 にc1が

観 測 され た １ス テ ップ 後 に ｃが 観 測 され る確 率p｜α1｜2と,起 動 時 に

c2が 観 測 され た １ス テ ップ 後 に ｃが観 測 され る確 率p｜α2｜2の和 に な る が,量 子 力学 に お け る確 率 法 則 に 従 うと,そ の よ うに は な ら な いの で あ る. こ の こ と は,c1か

らの計 算 とc2か

ら計 算 を同 時 に行 う と,そ れ らが 互 い に干

渉 す る こ とを意 味 して い る.例 え ば 極 端 な場 合 と して,α1=-α2な

らば,C1と

c2の 寄 与 は 相 殺 され て,１ ス テ ップ 後 に ｃ が 観 測 され る確 率 は ０ に な る.し た が っ て,QTMの

計 算 の 最 中 に 機 械 の様 相 を観 測 す る こ とは,計 算 の 流 れ を本 質

的 に変 え て しま うこ とに な る.

5.2.5

万 能 量 子Turing機

  Deutschが Turing機

械

導 入 した 万 能QTM 

〓 の プ ログ ラ ム の 記 述 に あ た って は,古 典 的

械 で 使 用 可 能 なす べ て の操 作 と,以 下 の ８種類 の操 作 が 使 用 可 能 で あ る

[15].こ れ ら ８種 類 の操 作 は,い ず れ も １ ビ ッ トの状 態 空 間 に対 す るユ ニ タ リ変 換 を表 して お り,通 常 のTuring機

  こ こで,α す るQTM 

械 に は な い もの で あ る.

は π の 任 意 の無 理 数 倍 数 とす る.通 常 の万 能Turing機 〓0は,  Deutschが

示 し た方 法 に よっ て構 成 で き[15],〓0は

じス テ ップ 数 で 動 作 す る.万 能QTM  行 す る機 能 を,〓0に 間 は,以

械 Ｕ を模 倣

付 加 したQTMで

Ｕ と同

〓 は,上 で述 べ た ８個 のユ ニ タ リ変 換 を実 あ る.そ こ で,〓

のプ ログラムの実行時

下 の 規 約 に従 っ て 数 え る もの とす る.

規 約:万

能QTM 

〓 は,古

典 的Turing機

械 の １ス テ ップ を １ス テ ッ

プ で 実行 し,ま た,上 記 ８種 類 の 各変 換 は 定 数 ステ ップ で実 行 す る.   一 般 に,Turing機

械 は 有 限 個 の 命令 しか持 つ こ とが で き な い.し か し,可 能 な

ユ ニ タ リ変 換 は 無 限 個 存 在 す る の で,万 能QTM〓

は,十 分 に長 い計 算 時 間 をか

け る こ と に よ り,与 え られ た ユ ニ タ リ変 換 を 近似 的 に 模倣 す る こ と しか で きな い.

とこ ろ で,上

の ８個 の ユ ニ タ リ変 換 は,合 成 演 算 の も とで,す べ て の ２次 元 ユ ニ

タ リ変 換 の 中 で稠 密 な群 を生 成 す る こ とが 知 られ て い る.さ リ変 換 Ｕ と ε>0が て,Ｕ

与 え られ た と き に,1/ε の 多 項 式 個 以 下 のViの

合成 によっ

を ε以 内 の 精 度 で 近 似 す る こ とが で きる.

  し た が っ て,Deutschの き る.し

ら に,任 意 の ユ ニ タ

か し,あ

万 能QTM〓

るQTMMに

は,任

対 し て は,〓

起 こ す こ とが 指 摘 さ れ て い る[10].そ ら に よ っ て,万

能QTMに

意 のQTM 

Mを

原 理 的 に模 倣 で

が模 倣 の 際 に 指 数 倍 の 速 度 低 下 を

の 後,BernsteinとVazirani[10], 

よ るQTMの

Yao[54]

模 倣 が 多項 式倍 の 速 度 低 下 で 行 え る こ と

が 示 さ れ た.

5.3

量子 計 算 量 の クラ ス

  QTMが,通

常 のTuring機

械 よ りも 強 力 な計 算 能 力 を持 つ か と い う問 題 は,

[10,17]に お い て提 出 さ れ た が,ま BPP(第

だ満 足 の い く解 答 が得 られ て い な い.例

４章 参 照)に 属 す る こ とが 知 られ て い ない 問 題 を, QTM上

間 で解 く方法 は 知 られ て い な い.逆 に,通 常 のTuring機

え ば,

で多項式時

械 を用 い て, QTMを

指

数 倍 の 速 度 低 下 な し に模 倣 す る方 法 も知 ら れ て い な い.   通 常 の計 算 量 ク ラ ス ｐ とBPPに お よ びBQpと

対 応 す る量子 計 算 量 ク ラス を,そ れ ぞ れEQP

い う, EQpとBQpは, 

QTM上

で 効 率 よ く解 け る 問 題 の クラ ス

と考 え る こ とが で き る. 定 義5.2[10]言

語 Ｌ が ク ラ スEQP(Exact 

属 す る の は,特

別 な 受 理 セ ル を 持 っ た あ るQTMと,あ

任 意 の 入 力 記 号 列 ｘ に 対 し,受

理 セ ル を 時 間p(n)に

る か 否 か を 正 し く判 定 で き る と き を い う.よ き な 確 率 で 正 し く行 わ れ る な ら ば,言 Polynomial 

Quantum 

time)に

属 す る と い う.

Polynomial 

time)に

る 多 項 式 ｐ が 存 在 し て, 観 測 す る と,ｘ

り一 般 的 に,こ

が Ｌ に属 す

の 判 定 が2/3よ

語 Ｌ はBQp(Bounded-error 

Quantum

り大

QTMは,通

常 の 意 味 で計 算 不 能 な 関 数 を計 算 す る こ と はで きな い.実 際, BQP⊆PSPACE

で あ る こ とが 知 られ て い る[10].こ

こでPSPACEと

力 サ イズ の 多 項 式 で 限 定 さ れ た 決 定 性Turing機 ラス で あ る(第

４章 参 照).一

は,記 憶 領 域 の サ イズ が 入 械 で 解 くこ と が で き る 問題 の ク

方, BPP  〓  BQP

は成 り立 つ だ ろ うか?直 観

に は ，こ の関 係 は成 立 しそ うだ が ， も しBPP  〓BQP

が 示 され れ ば,上 で 述 べ た 関係 か ら,長 年 の 未 解 決 問 題 で あ る BPP≠PSPACE も同 時 に示 され る こ とに な る ・ した が って ，BPP  〓  BQPを

示 す こ とは相 当 難 し

い と 考 え ら れ る.そ

下 の よ うな ア プ ロー

こ で,次

の 研 究 の ス テ ッ プ と し て は ,以

チ が 考 え ら れ る.

１.BQP⊆BPPが

成 り立 つ と仮 定 す る と,現 在 異 な る と信 じられ て い る計 算

量 ク ラ ス の 階 層 が 縮 退 す る(つ ぶ れ る)こ が で きれ ば,BQP⊆BPPと

と を示 す.こ の こ と を 示 す こ と

は な ら な い こ との 状 況 証 拠 が 得 られ た こ とに

な る. ２.NP⊆BQpで

あ る こ と を示 す こ とが で きれ ば, NP⊆BPPで

じら れ て い るの で ，BPP  〓  BQPの

状 況 証 拠 が 得 られ る.

３.多 項 式 時 間 ア ル ゴ リズ ムが 知 ら れ て い な い よ うな,よ がBQPに

は な い と信

く知 られ て い る 問 題

属 す る こ とを証 明 す る.そ の よ うな 結 果 が 証 明 で きれ ば,少 な く

と も,量 子 並 列 化 機 能 に よ っ て得 られ る計 算 能 力 を,通 常 の 計 算 に よ っ て 達 成 す るの が 難 しい こ とが 示 され た こ と にな る.BernsteinとVazirani[10] も,BPPに

属 す る こ とが 知 られ て い ない 問 題 に対 す るQTM上

間 ア ル ゴ リズ ム を与 え た が,彼

の多項式時

らの 問 題 は そ の 目的 の た め に 特 別 に 考 え ら

れ た もの で あ った.一 方,離 散 対 数 問 題 と整 数 の 因 数 分 解 問 題 は,盛

んに

研 究 さ れ て い る に もか か わ らず,多

項 式 時 間 ア ル ゴ リズ ム が 発 見 さ れ て い

な い数 論 の 問題 で あ る.事 実,こ れ らの 問 題 は 難 しい と広 く信 じ られ て い る の で,こ れ らの難 し さに基 礎 を置 い た 暗 号 系 が 提 案 され た.1994年 は,こ れ らの 問 題 がBQPに

にShor

属 す る こ と を証 明 した[48].

  量 子 コ ン ピ ュ ー タが 構築 さ れ て い な い 現 状 に お い て も,Shorの

結 果 は,以

下

の よ う な重 要 な 意 味 を持 っ て い る.任 意 の ハ ミル トニ ア ン を現 在 の コ ン ピ ュ ー タ 上 で 効 率 よ く模 倣 で きれ ば,量 子 コ ン ピ ュー タ を現 在 の コ ン ピ ュ ー タ上 で 効 率 的 に 模 倣 す る こ とが で き る.し た が って,た

か だか 多 項 式 倍 の 速 度 低 下 で 量 子 コ ン

ピュ ー タを模 倣 す る方 法 が発 見 で きれ ば,Shorの

結 果 を 用 い て ,整 数 の 因 数 分 解

を行 う(通 常 の 意 味 で の)多 項 式 時 間 ア ル ゴ リズ ム を導 く こ とが で き る.

第 ６章 量 子 ア ル ゴ リズ ム の 設 計 法

  本 章 で は,量

子Turing機

DeutschとR. 

Jozsaに

さ ら に,Shorに お,本

械 上 の ア ル ゴ リ ズ ム(量

子 ア ル ゴ リ ズ ム)の

設 計 例 と し て,ま

ずD.

よ っ て 示 さ れ た あ る 人 工 的 な 問 題 に 対 す る 量 子 ア ル ゴ リ ズ ム を紹 介 す る.

よ っ て 示 さ れ た,因

章 の 後 半 部 の 記 述 は[19]に

数 分 解 の 効 率 的 量 子 ア ル ゴ リ ズ ム に つ い て 詳 し く述 べ る.な

基 づ い て い る.

の ア ル ゴ リズ ム

DeutschとJozsa

6.1

  まず 最 初 に,D.  DeutschとR. 

Jozsaが1992年

対 す る量 子 ア ル ゴ リズ ム を紹 介 す る[17].た

に示 した,あ る人 工 的 な問 題 に

だ し,そ の 問 題 は,量 子 並 列 化 機 能

が 効 果 を発 揮 す る よ うに作 られ た,下 記 の よ うな特 殊 な問 題 で あ る.し か し,こ の 問 題 は 量 子 並 列 化 機 能 を説 明 す る際 の 最 も簡 潔 な 例 と な っ て い る.実 際,本 章 の次 節 以 降 で 述べ る よ う に,因 数 分 解 の よ うな現 実 的 な問 題 に 対 して も,量 子 並 列 化 機 能 を用 い た 効 率 的 アル ゴ リズ ム が す で に 知 られ てい る が,そ

の ア ル ゴ リズ

ム は 本 節 で示 す もの よ り もか な り複 雑 で あ る. 問 題Zi={0,1,...,i-1}と

す る.自

を計 算 す る オ ラ クルUfが

然 数

ｎ と,関

数

ｆ:Z2n→z2

与 え られ た と き に,以 下 の 二 つ の 文 の う ち

か ら真 で あ る もの を 一 つ 発 見 せ よ. (ａ)関数 ｆ は 定 数 関 数 ０ま た は １で は な い. (ｂ)関 数 ｆ の 値 の 列f(0),…,f(2n-1)は,正

確 に ｎ 個 の ０ を含

ん で い な い.

  こ こで,オ

ラ ク ル とは,常

えれ ば よい.た

に １ス テ ップ で答 を 返 して くれ る サ ブ ル ー チ ン と考

だ し,通 常 の サ ブ ル ー チ ン と は異 な り,そ の ソ ー ス コ ー ドな どは

見 る こ とが で き な い.そ の 意 味 で,オ ラ クル はブ ラ ックボ ッ クス で あ る.特 に,こ こ で の オ ラ クル は,量 子Turing機

械 か ら与 え ら れ る 量 子 重 ね 合 わ せ 状 態 の 入 力

に対 して 答 を返 さな け れ ば な ら な い の で,い わ ち,量 子Turing機   まず 最 初 に,問

ぜ な ら ば,も

あ る か ら,f(0),...,f(2n-1)の な く,し

た が っ て,(ｂ)が

の う ち の ち ょ う ど ｎ 個(半 ず,し

た が っ て(ａ)が

な

械 と同様 な入 出力 関係 を与 え る オ ラ ク ル で あ る.

題 の 定 義 か ら,(ａ)と(ｂ)の

る こ と に 注 意 す る.な

わ ば 「量 子 オ ラ クル 」 で あ る.す

う ち,少

な く と も一 方 は 常 に真 で あ

し(ａ)が 偽 な ら ば,ｆ う ち の ち ょ う ど ｎ 個(半

真 と な る.逆 数)が

真 と な る.

に,(ｂ)が

０ な の で,ｆ

は 定 数 関 数 ０ ま た は １で 数)が

０で あ る こ と は

偽 な ら ば,f(0),…,f(2n-1) は 定 数 関 数 ０ ま た は １で は あ り得

  QTMを

用 い た,上

の 問 題 に 対 す る 解 法 を 以 下 に 示 す が,そ

入 力 の 特 定 の ビ ッ ト に 作 用 す る 様 子 を,入 う.入

力 が ｘlx2の

様 相 とyiy2の

様 相(た

れ ら の 重 ね 合 わ せ に 対 し て,作

用 さ せ る と,以

下 の よ う に な る(第

用 素が

だ し,xl,x2,y1,y2∈{0,1})は,そ

れぞれ ｌ ｘ1〉〓 ｌx2〉,lｙ1〉 〓 ｌy2〉と 表 現 さ れ る(略 か れ る).こ

の 前 に,作

力 が ２ ビ ッ トの 簡 単 な 場 合 で 見 て お こ

記 法 で は ｌx１,x2〉,lyi,y2〉

用 素 Ａ 〓 Ｅ(Ｅ

は 恒 等 作 用 素)を

と書 作

５章 の 作 用 素 の 定 義 参 照).

(5.2)よ

(5.1)よ

り

り

Ｅが 恒 等 作 用 素 で あ る こ と よ り 上 の 式 は,作 用 素 Ａ が 入 力 の 第 １ ビ ッ トに対 して 線 形 に作 用 す る様 子 を表 して い る. 問 題 を解 くた め の計 算 を始 め る前 に,二 つ の ユ ニ タ リ行 列 を定 義 す る.

これ らの 行 列 は,QTMの

様 相 内 の1ビ

ッ トに対 して 以 下 の よ うに作 用 し,様 相

を遷 移 させ る.

QTMの

初期 様相 を

入力

と表 記 す る.こ れ は正 確 には,QTMの

出力

様 相 を,関 数 ｆ に対 す る入 力 ベ ク トル と

出 力 ベ ク トル の テ ン ソル 積 と して 表 示 して い る こ と に な る.   以 下 で は,QTMの そ の組 をQTMの

テ ー プ 上 に 書 か れ た 関 数 ｆ の 入 力 と出 力 を並 べ て 表 記 し, 様 相 と考 え る.つ ま り,QTMに

お け る計 算 の 進 行 を,そ の テ ー

プ 上 の 内 容 の み を表 記 して示 す.ま ず ，関 数 ｆ へ の 入 力 す べ ての 重 ね 合 わ せ を以 下 の よ うに し て用 意 す る.

こ こ で ，U2nはU2を

２値 の 場 合 か ら2n値

操 作 は ，log 2nス

テ ッ プ で 実 行 で き る.実

の 場 合 に拡 張 した 行 列 で あ る.上 の 際 に は,

で 定 義 され るユ ニ タ リ変 換 を行 う.   オ ラ クルUfが

与 え られ て い るの で, Uf, Ｓ,  Ufを

様 相 の 重 ね 合 わせ ψ は以 下 の よ うに遷 移 す る.こ

続 け て適 用 す る こ とに よ り，

こで,Ufは

２ ビ ッ トの 状 態 空

間 に対 す る作 用 素 で あ り,Ｓ は １ビ ッ トの状 態 空 間 に対 す る作 用 素 で あ る こ とに 注 意 す る(Ufは

ｆ の値 を可 逆 的 に設 定 す るた め に,排 他 的論 理和 を用 い て い る).

  この 時 点 でQTMは

停 止 す るの で,テ

ー プ 上 の ベ ク トル ψ と φ が 平 行 で あ る

か を観 測 す る.こ の 観 測 が 正 し く行 わ れ る確 率 は,

で あ る.φ

と ψ が 平行 で あ る と観 測 され た ら，(ｂ)が 真 で あ る と結 論 し,φ と ψ

が 平行 で な い と観 測 さ れ た ら,(ａ)が 真 で あ る と結 論 す る.

  以 下 で は,こ ず,上

の 方 法 に 従 う と,問 題 が 確 率 １で 正 し く解 け て い る こ と を 示 す.ま

で 述 べ た よ う に,常

意 す る.φ

に(ａ)ま

た は(ｂ)の

と ψ が 平 行 な と き は,(φ,ψ)=1な

ψ が 平 行 で あ る こ と が 観 測 さ れ る.し あ る こ と,す る(φ

の で,確

た が っ て,確

率 ｜(φ,ψ)｜2=1でφ

率 １で,(上

な わ ち(ａ)が 偽 で あ る こ と が わ か る の で,(ｂ)が

と ψ が 平 行 な と き が,(ａ)が

  一 方,φ

あ る.し たが っ て,φ

常 に(ｂ)が 偽(す

と

式 の 右 辺)=1で

真 で あ る と結 論 で き

偽 と な る 唯 一 の 場 合 で あ る こ と に 注 意 す る).

と ψ が 直 交 す る と きは,φ

(φ,ψ)￨2=0で

合(φ

少 な く と も一 方 は 真 で あ る こ と に 注

な わ ち(ａ)が 真)と

と ψ が 平 行 で あ る と観 測 され る確 率 は と ψ が 平 行 で な い と観 測 され た と き に は,

結 論 して お け ば,(ｂ)が 偽 で あ る唯 一 の 場

と ψ が 直交 す る と き)に 誤 っ た結 論 を 出す こ と は な い.最 後 に,φ

が 平 行 で は な く， しか も直 交 も しな い と き に は,(ａ)と(ｂ)は

とψ

両 方 と も真 な の で ，

ど ち らが 真 で あ る と答 え て も間 違 い は な い.   以 上 か ら 上 の 問 題 は,QTMを O(log  n)ス

用 い れ ば ２ 回 の オ ラ ク ル 呼び出

テ ップ で 解 く こ と が で き る.一

い る と ， 少 な く と もn+1回

方,こ

し を 用 い て,

の 問 題 の 解 法 に 決 定 性TMを

用

の オ ラ ク ル 呼 び 出 し が 必 要 と な る の で[17],QTM

の 場 合 と比 較 す る と 指 数 倍 の ス テ ッ プ 数 が か か る.   最 近,竹

内 は ， こ のDeutschとJozsaの

アル ゴ リ ズ ム

を 量 子 光 学 的 に実 現 す る

方 法 を 提 案 し た[51].

6.2

因数分解 ア ル ゴ リ ズ ム の現状

  コ ン ピュ ー タの メモ リ内 に整 数 Ｎ を記 憶 す る に は, log Nビ

ッ トの 記 憶 容 量

が 必 要 で あ る(第 ４章 で も述 べ た よ うに,本 書 を通 じて 対 数 の底 は ２ とす る).Ｐ を 多 項 式 とす る.入 力 と して 整 数 Ｎ が 与 え られ た と き に, Ｎ に 関 す る あ る問 題 を解 くた め の ア ル ゴ リズ ム Ａ の 実 行 ス テ ップ 数 が,P(log  N)以

下 と な る と き,

Ａ は多 項 式 時 間 で 動作 す る とい う.こ こで,整 数 Ｎ に関 す る問 題 の 場 合,そ 入 力 サ イズ はlog Nと

の

な る こ と に注 意 す る.多 項 式 時 間 で動 作 す る ア ル ゴ リズ ム

を,理 論 上 は効 率 的 ア ル ゴ リズ ム と考 え る(4.3節

参 照).

  ア ル ゴ リズ ム の 時 間計 算 量 を評 価 す る ため に は,計 算 の 基 本 ス テ ップ を定 義 し て お か な け れ ば な らな い.通 常,Turing機

械 が 実行 可 能 な １ス テ ップ を,一 つ の

計 算 ス テ ップ と考 え る.し か し,ア ル ゴ リズ ム の 時 間計 算 量 を評 価 す る 際 に,い ち い ちTuring機

械 の 基 本 命 令 に さか の ぼ っ て 考 え る の は 面 倒 な の で ，数 の 四 則

演 算 や代 入 演 算 の よ う に,す で に効 率 的 で あ る こ とが わ か っ て い る計 算 は す べ て, 便 宜 上,一

つ の 計 算 ス テ ップ と考 え る.

  さて ， 整 数

Ｎ を因 数 分 解 す る際 に,１ 以 上 の √N以下の 各 整 数 で Ｎ を割 って

み る とい う,素 朴 な因 数 分 解 ア ル ゴ リズ ム(エ ラ トス テ ネ ス の ふ る い 法)の 時 間 計 算 量 を 考 え て み よ う.す べ て の 合成 数 Ｎ は,こ

の 範 囲 内 に必 ず 因数 を持 つ こ

とに注 意 す る.こ の ア ル ゴ リズ ム の 実行 には,少 な くと も √Nス

テ ップ が 必 要 で

あ る.し か し,

はlog  Nに 関 す る指 数 関 数 で あ り,し たが っ て,エ ラ トス テ ネス の ふ るい 法 は多 項 式 時 間 ア ル ゴ リズ ム で は な い.   次 に,確

率1-ε

で 正 し く動 作 す る ア ル ゴ リ ズ ム Ａ を 考 え よ う.こ

こ で,ε

Ｎ と は 独 立 で あ る と す る. Ａ を κ 回 繰 り 返 し実 行 す る ア ル ゴ リ ズ ム をAκ ぶ.ア

ル ゴ リ ズ ムAκ

の 値1-ε

は,確

率1-ε

は

と呼

κ で ， 少 な く と も １ 回 は 正 し く動 作 す る.こ

κ は ， 定 数 κ を 十 分 大 き く取 る こ と に よ り,１ に い く ら で も 近 づ け る

こ とが で き る.さ

ら に,ア

Ｎ と は 独 立 な の で, Aκ

ル ゴ リズ ム Ａ が 多 項 式 時 間 ア ル ゴ リ ズ ム な ら ば,κ

は

も ま た 多 項 式 時 間 ア ル ゴ リ ズ ム で あ る.

 上 の 意 味 で確 率 的 で あ る こ と を許 した と して も,通 常 の 計 算 モデ ル 上 で は,因 数分 解 に対 す る多 項 式 時 間 ア ル ゴ リズ ム は 知 ら れ て い ない.ち

な み に,現 在 知 ら

れ て い る最 良 の ア ル ゴ リズ ム は,

の オ ー ダ の 時 間 計 算 量 を持 つ.し か し,因 数 分 解 に 対 す る多 項 式 ア ル ゴ リズ ムが 存 在 しな い とい う証 明 もな され て い な い.

  因数 分 解 に対 す るShorの

量 子 ア ル ゴ リ ズ ム は,上 の 意 味 で 確 率 的 な多 項 式 時

間 ア ル ゴ リズ ム で あ る.そ の よ うな ア ル ゴ リズ ム を設 計 す る 際 には,ア ム に お い て 使 用 す るす べ ての ユ ニ タ リ変 換 が,QTM上 は 多 項 式)で

でP(log  N)ス

実 行 可 能 で なけ れ ば な ら な い.万 能QTM(第

ル ゴ リズ テ ップ(ｐ

５章 参 照)は,そ

れ

ぞ れ が １計 算 ス テ ップ にあ た る ８個 の 固定 され た ユ ニ タ リ変 換 を実 行 可 能 で あ り, そ れ ら を合 成 す る こ と に よ り,他 の す べ て の ユ ニ タ リ変 換 を あ る 許 容 可 能 な精 度 ま で 近 似 しな け れ ば な らな い.   こ の こ とは ，QTMの TM上

時 間計 算 量 を解 析 す る際 に非 常 に重 要 な点 で あ り,通 常 の

の計 算 ス テ ップ を数 え る議 論 とま っ た く類 似 の もの で あ る.一 般 に, QTM

内 に整 数 Ｎ を記 憶 す る に は，Ｎ 個 の状 態 を区 別 可 能 にす る ため に, Hilbert空 間 内 の Ｎ 次 元 の 記 憶 領 域 が 必 要 とな る.原 理 的 に は,一 般 のN×Nユ が,任 意 の 精 度 で,し か も,Ｎ

に関 す る多 項 式 ス テ ップ でQTMに

で あ る こ と を示 す こ とが で き る.し か し,Ｎ に 関 す る指 数 ス テ ップ で あ る.し

ニ タ リ変 換 よ り模 倣 可 能

に関 す る 多 項 式 ス テ ップ は, log  N

たが っ て,因 数 分 解 に対 す る効 率 的量 子 ア ル ゴ

リズ ム にお い て は,使 用 す るユ ニ タ リ変 換 が,す べ てP(log  N)時 間(Ｐ 式)で

は多 項

実行 可 能 で あ る こ とを 示 さ なけ れ ば な らな い.

6.3

因数分解 の整数論的基礎

以 下 の 方 程 式 は,常

に 自 明 な 解x=±1mod 

Nを

x2≡1mod 

も し Ｎ

が 奇 素 数 ｐ な ら ば,こ

は 逆 元 を持 つ の で,割 x-1≡0modpま しか し,Ｎ

n1とn2の

N 

れ ら は 唯 一 の 解 で あ る.な

(＊)

ぜ な ら,modpの

り算 を 行 う と ，x2-1≡(x-1)(x+1)≡0modpよ た はx+1≡Omodpが

が 合 成 数 の 場 合 に は,他

ため に,N=n1n2,か

持 つ.

つ(n1,n2)=1の

積 り,

得 ら れ る か ら で あ る. の 非 自 明 な 解 も 存 在 す る.こ 場 合 を 考 え よ う.た

最 大 公 約 数 を 表 す も の と す る.具

の こ と を見 る

だ し,(n1,n2)は,

体 例 と して, n1=2,n2=3(す

な

わ ち,N=2×3=6)と

取 り,以

下 の 方 程 式 に つ い て 考 え て み よ う.

x2≡1mod 

6

こ の と き， 以 下 の 四 つ の 方 程 式 を考 え る.

{ {

x1≡lmod 

2

x1≡1mod 

3

(a)

χ2≡-1 

(b)

mod 

2

χ2≡-1mod 

{

x3≡1mod 

(c)

2

x3≡-1 

{

x4≡-1 

(d)

3

mod 

3

mod 

2

x4≡1mod 

ど の 場 合 も,x2i≡1mod 

(＊)を 満 た す.中

2か

3

つx2i≡1mod 

国 の 剰 余 定 理(下

記,数

3で

あ り ,し

学 メモ ３参 照)に

た が っ て,各xiは

よ り， 各 連 立 方程 式

はmod  6の 唯 一 の 解 を持 つ.   ま ず ，(ａ)と(ｂ)か と(ｄ)か

ら ，(＊)の

自 明 解x1=1,x2=-1が

ら ， 非 自 明 解 の 対x3=5mod 

(ｃ)よ り(5+1)(5-1)≡Omod  て,６

と5-1=4の

mod  6を 得 る.し

6を 得 る が,5-1≡Omod 

最 大 公 約 数 は,６

数 の 最 大 公 約 数 は,Euclidの 学 メ モ ４参 照).ま

得 ら れ る.ま

6 ,x4=-5 

の 非 自 明 な 因 数 で あ る .与

互 除 法 を 用 い て,効

と め る と,(＊)の

6で

た,(ｃ) た が っ て,

は な い.よ

っ

え られ た二 つ の

率 的 に 発 見 で き る(下

ｘ の 非 自 明 解 を 与 え ら れ れ ば,Ｎ

記 ,数 の因数 を

効 率 よ く発 見 す る こ と が で き る.   こ の よ う な ｘ は,以 を ラ ン ダ ム に 選 ぶ.い し,γ

を ｙ のmod 

下 の よ う に し て 発 見 で き る.Ｎ ま,ｙ

Nの

と Ｎ が 互 い に 素 ,す

オ ー ダ と し よ う(下

yγ ≡1mod 

な わ ち(y,N)=1で

記 ,数

N

が 与 え ら れ た ら, y
学 メ モ ５参 照).す

あったと なわ ち，

が 成 り立 つ も の と す る.も

し,γ

が 偶 数 な ら ば, γ/2x=y

と置 け ば，x2≡1mod 

Nと

る.実

満 た す ｙ を ラ ン ダ ム に 選 べ ば,

際,(y,N)=1を

な り ， し た が っ て,ｘ

Pr[γ が 偶 数 で あ り,か

つyγ/2〓

は(＊)の

±1 mod 

非 自明 解 の候 補 とな

N]>1/2

で あ る こ と を証 明 す る こ とが で きる[19].   1〓y〓Nが い(下

ラ ン ダ ム に 選 ば れ れ ば,Pr[(y,N)=1]は1/log 

記,数

学 メ モ ５ 参 照).し

た が っ て,も

Nよ

り も大 き

し ｙ の オ ー ダ が 計 算 で き れ ば,ラ

ン ダ ム な ｙ に 適 用 さ れ た 上 の 手 続 き か ら， Ｎ の 非 自 明 な 因 数 が,1/2logNよ

り

も大 き な 確 率 で 得 ら れ る こ と に な る.   Shorは 1な

， ラ ン ダ ム に 選 ば れ た ｙ の オ ー ダ γが 存 在 す る な ら ば(す

ら ば)， そ れ を 与 え る 量 子 ア ル ゴ リ ズ ム を 考 案 し た.そ

多 項 式 時 間,す

な わ ち ，P(log  N)ス

テ ップ で 動 作 す る(次

あ ら か じ め 定 め ら れ た 任 意 の 成 功 率1-ε(ε>0)で,γ

節 参 照).そ

中国 の剰余 定理

中 国の剰 余 定理 は，連立 合同式 x≡a1 

modγl

x≡aκmod 

が,条

γκ

件

「す べ て のi≠jに

対 し て(γi,γj)=1」

れ は ま た,

の 値 を与 え る確 率 的 ア

ル ゴ リ ズ ム で も あ る.

数 学 メモ ３

な わ ち(y,N)=

の 量 子 ア ル ゴ リズ ム は

  …(＊)

を 満 た す な ら ば ，1〓x〓

γ1,γ2， …， γκの範

囲 内 に,ｘ

に 対 す る唯

一 の 解 を持 つ こ と を 述 べ て い る .   さ ら に ， そ の 解 は 以 下 の よ う に 与 え ら れ る.R=γ1γ2… Ri=R/γiと Riは

置 く.す

逆si≡Ri‐1 

る と,条

件(＊)よ

mod  γiを 持 つ.こ

り(γi,Ri)=1と の と き,上

γκ と し, な る の で,

の連立合 同式の唯

一 の解 は 以 下 の よ う に与 受 られ る.

x≡alS1R1+a2S2R2+・

・・aκSκRκ   modR

さ ら に詳 細 な説 明 につ い て は,[23]な 数 学 メ モ ４  Euclidの

Euclidの

□

互除法

互 除 法 は, B.C.300年

た,二

どを 参 照 され た い. 

ご ろ に す で に ギ リ シ ャ で知 られ て い

つ の 正 整 数 の 最 大 公 約 数 を 求 め る ア ル ゴ リ ズ ム で あ る.

最 大 公 約 数 を 求 め る べ き 二 つ の 正 整 数 をn0,  n1と 一 般 性 を失 うこ と な く

,no〓n1と

た 商 をq1,余

り をn2と

す る.す

し よ う.た

仮 定 し て お く.n0をn1で

だ し, 割 っ

な わ ち,

n0=n1q1+n2,0〓n2
と置 く,こ こ で,n2≠0の n0=lc, 

n1=mcと

と な り,ｃ n2の

はn2の

表 せ る の で(l,mは

最 大 公 約 数 を ｃ とす る と, 正 整 数)，n2=(l-mn1)c

約 数 で も あ る こ と が わ か る.同

任 意 の 公 約 数 がn0の

が っ て,n0とn1の

と き,n0とn1の

様 に し て, n1と

約 数 で あ る こ と も 示 す こ と が で き る.し

最 大 公 約 数 と, n1とn2の

最 大 公 約 数 は 等 し い.

以 上 の議 論 を繰 り返す と,以 下 の 関 係 式 が 得 られ る. n0=n1q1+n2,0〓n2
n1=n2q2+n3，0〓n3
た

nκ-2=nκ-1qκ-1+nκ, 

0〓nκ
    nκ-1=nκqκ+nκ+1, 

最 後 の 関 係 式 は,nκ-1がnκ

nκ+1=0

で 割 り切 れ る こ と を 示 して い る が,

n0〓nl>n2>...>nκ

が 成 り立 つ の で,い き,nκ

が 求 め るn0とn1の

Euclidの ズ),た

つ か は 必 ず こ の よ う な 関 係 式 が 得 られ る.こ 最 大 公 約 数 で あ る.

互 除 法 は ，n=log  か だ か0(n)ス

Eulerの

数学 メモ ５

Eulerの

n0と

Eulerの

なわ ち ｎ が 入 力 サ イ □

φ 関 数 と素 数 定 理

φ(N)=(Ｎ と互 い

な 定理が 知ら れ

す る と き(す

テ ッ プ で 動 作 す る ア ル ゴ リ ズ ム で あ る. 

φ 関 数 φ(N)は,以

し た が っ て,Ｎ

の と

下 の よ う に定 義 さ れ る.

に素 な Ｎ よ り小 さ な整 数 の個 数)

が 素 数 な ら ば,φ(N)=N-1で

あ る・ 以 下 の よ う

てい る．  

定 理

(x,N)=1な

し た が っ て,(x,N)=1な

ら ば,xφ(N)≡1mod 

ら ば ，mod 

の べ キ が 存 在 し， し た が っ て,そ (x,N)=1と mod  1Nの

π(N)で,N以

す る と き,xγ

Nの

Nが

成 り 立 つ.

も とで １ に 等 しい ｘ

の よ う な べ キ の 最 小 値 が 存 在 す る.

≡1mod 

Nを

満 た す 最 小 の γ の こ と を,

ｘ の オ ー ダ と い う.

下 の 素数 の 個 数 を表 す.素 数 定 理 は,大 雑 把 に い え

ば,以 下 の こ と を述 べ て い る.

「十 分 大 き な す べ て の Ｎ に 対 し,π(N)∼N/log 

φ(N)〓

π(N)な

の で,以

下 が 成 り立 つ.

φ(N)〓N/log  し た が っ て,集

Ｎ と な る.」

合{1,…,N}か

N

ら ラ ンダ ム に 選 ば れ た 整 数 が Ｎ

互 い に 素 で あ る 確 率 φ(N)/Nは

，1/log(N)よ

と

り も大 き い こ と が わ

か る. 

6.4

□

離 散Fourier変

  Shorの す)と

換

因 数 分 解 ア ル ゴ リ ズ ム で は, mod  qの 離 散Fourier変

呼 ば れ るユ ニ タ リ変 換 が 用 い ら れ る.DFTqはq次

用 す る が,基

底

｜0>,・ ・ ・ ，｜q-1>に

換(DFTqと

元Hilbert空

記

間上で作

関 し て ， 次 の よ う に 定 義 さ れ る:

(１)

こ の と き,｜0>は,す 意 せ よ.実

は,Shorの

べ て のcmod 

困 難 は,以

等 しい 重 ね 合 わ せ に 変 換 さ れ る こ と に 注

ア ル ゴ リズ ム で は ，DFTqをq〓N2(qは

で あ る こ と を 表 し て い る)に な 方 法 で はlog  Nの

qの

適 用 す る 必 要 が あ る.ゆ

「お よ そ 」N2

え に,そ

多 項 式 時 間 で 実 行 す る こ と は で き な い(第

の 適 用 は,直 ５章 参 照).こ

接 的 の

下 の よ う に し て 克 服 さ れ る.

(２) を,ｑ

の 素 因 数 分 解 と し よ う. DFTqを

DFTqeiiを

ら,ｑ

，κ

に 対 し て,

連 続 し て 行 え ば よ い こ と を 以 下 で 示 す.

整 数 ｑは，そのすべて き に,滑

実 行 す る に は, i=1,…

素 因 数 べ キqeiiがA(log 

ら か で あ る と い わ れ る.た

が 滑 ら か な ら ば,DFTqは

だ し,Ａ,cは

q)cで

上 か ら押 さ え られ る と

ｑ と独 立 な 定 数 と す る.定

効 率 的 に 行 え る.

義 か

  ｑ と そ の 因 数 分 解 が,(２)の を 行 っ た 後 で,DFTqieiを

よ う な 形 で 与 え ら れ た と し よ う.状 態 名 の 付 け 換 え

方 法 を以 下 に 示 す.最

連 続 し て 行 う こ と に よ り,￨ａ 〉上 でDFTqを 初 に,各i=1,...,κ

実行 す る

に 対 し,

(３)

を 計 算 す る.こ り,効

の 計 算 は,Euclidの

率 よ く行 え る.次

互 除 法(数

に,各i=1,...,κ

学 メ モ ４ 参 照)を

用 いる ことによ

に 対 し,

(**) を 満 た す 剰 余a1,...,aκ

は,連

を計 算 す る.す

立 合 同 式(**)の

対 応 し,し

唯 一 の 解 で あ る.ゆ

た が っ て,ユ

る こ と が で き る.同

と書 く と,ac≡aici 

る と,中

国 の 剰 余 定 理 よ り,

と(a1,...,aκ)は

１対 １ に

ニ タ リ変 換 に よ っ て ラ ベ ル￨ａ 〉 を￨a1,...,aκ

〉に 変 換 す

様 に,任

意 のcmodqに

mod  qieiで あ り,し

え に,ａ

対 し,

た が っ て 中 国 の 剰 余 定 理 よ り,

(４)

が 成 り立 つ.￨ａ 〉上 でDFTqを

を 行 い,そ

行 うに は,最 初 に ラベ ル の 付 け 換 え

れ か ら,ｉ 番 目 の 区 画 をmod 

qieiで 計 算 し て,

と す る(こ

の 対 応 は,(３)よ

り 各riがmod 

qieiで 可 逆 な の で ,再

び １対 １ と

な る).

  次 に,i=1,...,ｋ

に 対 し,第

ｉ 区 画 上 でDFTqieiを

連 続 的 に行

う.(１)よ

り,

最 終 結 果 が 以 下 の よ うに な る こ とは 容 易 に わ か る.

こ の 式 は,(２)と(４)を

最 後 に,ラ

用 い る と 以 下 の よ う に 簡 略 化 さ れ る.

ベ ル の 付 け 換 えlc1,...,ck〉

換 は,ま

さ に(１)で

6.5

Shorの

示 し たDFTqで

→lｃ 〉 を 行 う と,全

体 と して行 わ れ た変

あ る.

ア ル ゴ リ ズ ム(簡

単 な場 合)

  因 数 分 解 す べ き整 数 Ｎ が 入 力 と し て 与 え ら れ た な ら ば,ま 間 の 滑 ら か な 整 数 ｑ を 選 ぶ.任 間 の 滑 ら か な 整 数 ｑ は,以

意の整数 Ｍ

ずpV2と2N2の

が 与 え ら れ た と き に,Ｍ

下 の よ う に し て 効 率 的 に 発 見 で き る.奇

と2Mの 素 数3,5,7,

11,...,Pkを,そ

の積が Ｍ

を 超 え る 直 前 ま で 掛 け 合 わ せ る.そ

の 得 られ た積 に,

3・5・7・11…pκ

・2β が Ｍ

を 超 え る よ う な 最 小 の ２ の ベ キ2β

を掛 け 合 わ せ る.

す る と,M〓q〓2Mで

あ り,か

つ ｑ は 滑 らか で あ る.こ

の 因 数 分 解 も 同 時 に わ か る の で,DFTqが q〓N2を

選 ぶ 理 由 は,最

  次 に,xmodNを

効 率 的 に計 算 で き る こ と に注 意 せ よ.

後 に 明 ら か に な る.

ラ ン ダ ム に 選 び,lN,x,q,0〉

計 算 を 始 め る.DFTqをQTMの

の 方 法 を 用 い る と ,ｑ

と ラベ ル付 け され た状 態 か ら

テ ー プ の 第 ４ 区 画 に 適 用 す る と 以 下 を 得 る.

次 に,xamodNを

計 算 し,そ

こ の 計 算 は,例

の 結 果 を 第 ５ 区 画 に 貯 え る と 以 下 を 得 る.

え ば 以 下 の よ うにす れ ば効 率 的 に行 え る.ｘ をmodNで

し二 乗 して い き,x2iの

値 の 集 合 を得 る.そ

して,そ

繰 り返

れ らの うちの,ａ

の二 進 展

開 に 対 応 した もの を掛 け 合 わせ る.   次 に,第

５ 区 画 の ラ ベ ル を 決 定 す る た め に,観

あ り,最 小 のlに xmodNの が って,観

い う形 を し て い る も の と し よ う.も

オ ー ダ で あ れ ば,す べ て の ｊ に 対 し,xl≡xjγ+lmodNで

し,γ が

あ る.し

た

測 に よ り,(第 ４区 画 に お い て)ａ の 値 と して,a=l,l+γ,l+2γ,...,l+Aγ

が 選 ば れ る.た 定 さ れ たl〓 q〓N2な

対 し て,xlmodNと

測 を 行 う.そ の 結 果 がymodNで

だ し,Ａ γ は,観

は(q-l)/γ

よ り小 さ な 最 大 の 整 数 と す る.こ

測 に よ っ て 本 質 的 に ラ ン ダ ム に 選 ば れ る.l〓

の で,A〓q/γ

で あ る こ と に 注 意 せ よ.こ

の と き,観

こ で,固

γ ＜Nか

つ

測 後 の状 態 は 次

の よ う に な る.

定 数 ラ ベ ルN,x,q,yは

省 略 し て,以

下 の よ う に 書 く こ と に す る.

(５)

 以 上 に よ り,ラ ベ ル付 け され た 基 底 状 態 の 一 様 な重 ね合 わせ が 得 ら れ た.た し,ラ ベ ル は γの 周 期 で 選 ば れ て い る,我 々 は,Ｎ

の サ イズ の 増 加 に と も な って

減少 し ない 確 率 で,こ の 状 態 か ら γ の 周 期 性 に 関 す る情 報 を 引 き出 した い.よ 厳密 に は,上 の 計 算 が た か だ かlogNの

り

多 項 式 回繰 り返 され る と き,γ の値 を定

数確 率 で 引 き 出 した い.ｘ を固 定 した と き,上 の 繰 り返 しに お い て,lの が っ て 最 終 状 態)は

だ

値(し

た

変 化 す るが,γ の値 は 変 化 し ない こ とに注 意 せ よ.

  γ の 値 の 取 り 出 し も,DFTqを 作 原 理 を 見 る た め に,最

適 用 す る こ と に よ り行 う こ と が で き る.こ

初 に,γ が ｑ を ち ょ う ど 整 除 し,し

た が っ てA=q/γ-1

の動

で あ る よ う な単 純 化 さ れ た 状 況 を考 え る.こ の と き,(５)に 対 応 した 最 終 状 態 は 次 の よ うに な る.

こ の 状 態 は,ラ

ベ ル を 一 巡 す る の で,厳

(５)に お い て は,最 れ る.M=q/γ

密 に 周 期 的 で あ る.こ

れ と は 対 照 的 に,

後 の ラ ベ ル か ら 最 初 の ラ ベ ル に 戻 る と き に 周 期 性 が 若 干 くず と書 く.DFTqを￨ψin〉

上 で 行 う と次 を 得 る.

以 下 が 成 り立 つ. ｃが Ｍ の倍 数 の と き そ れ 以外 の と き し た が っ て,￨ｃ 〉の 振 幅 は,次

の よ う に な る.

ｃが Ｍ の倍 数 の と き そ れ以 外 の と き す な わ ち,周

期 γ の 状 態 のFourier変

換 は,周

状 態 ラ ベ ル ｃ の 観 測 に よ っ て,λ=0,...,γ-1な れ る.最

初 の シ フ トlは,確

な い こ と に 注 意 せ よ.

率 の 中 に も,観

期M=q/γ

(６)

の 以 下 の 状 態 で あ る.

る 倍 数 λq/γ が 等 確 率 で 選 ば 測 さ れ る ラ ベ ル λq/γ の 中 に も現 れ

  ラ ベ ル を 観 測 し た 後 に は,c/q=λ/γ ｃ と ｑ は 既 知 で あ る.も に よ り,γ

し,(λ,γ)=1な

を 決 定 す る こ とが で き る.λ

き い γ に 対 し て は,(λ,γ)=1と 参 照).し を,い

を 満 た す 値 ｃ が 得 ら れ て い る.こ

た が っ て,上

ら ば,c/qを

こ で,

既 約 分 数 に まで 払 う こ と

は ラ ン ダ ム に 選 ば れ て い る の で,や

な る 確 率 は1/logγ

よ り も 大 き い(数

の 計 算 をO(logγ)＜O(logN)回

く ら で も １ に 近 づ け る こ とが で き る.以

繰 り返 せ ば,成

上 が,滑

や大

学 メモ ５ 功確率

らか な ｑ に対 す る γ の効

率 的 決 定 法 で あ る.

6.6

Shorの

  こ こで,や

ア ル ゴ リ ズ ム(一

般 の 場 合)

や 不 完 全 な周 期 性 を持 った,実 際 の 開 始 状 態(５)の 場 合 に話 を戻 そ

う.簡 単 の た め に,小

さな 丸 め 誤 差 を無 視 して, A=q/γ

と 置 く.(５)に

対 し てDFTqを

適 用 す る こ と に よ り,以

下 を 得 る.

た だ し,

とす る.こ

の と き,ラ

ベ ル ｃ を観 測 す る 確 率Prob(c)は

以 下 の と お り.

(７)

以 前 の 例 で は,ち こ っ た.(７)で に な る.こ

ょ う ど γc  modq=0を

は,rcmodqが

の と き,加

満 た す ｃ に 対 し て,正

十 分 小 さ い ｃの み を 考 え て,正

え 合 わ さ れ た 項 は す べ て,複

の 干 渉(６)が

起

の 干 渉 を探 す こ と

素 平 面 内 の 単 位 円￨z￨=1の

片 側 に 集 ま る.実

際,も

し ｃが -γ/2〓

を 満 た す な ら ば,Prob(c)内

γcmodq〓

の 項 は す べ て,た

は γ 個 の 非 零 の 項 が 存 在 す る の で,(８)を

γ/2

(８)

か だ か 半 円 の 上 に 分 布 す る.(６)に

満 た すcmodqは

ち ょ う ど γ個 存 在

す る.   こ の こ と を見 る た め に,同 γ の 倍 数0,γ,2γ,...,qγ

る ｑ の 各 倍 数 に 対 し て,± る.こ

れ が(８)の

  次 に,(８)を

一 直 線 上 に マ ー ク さ れ た ｑ の 倍 数0,q,2q,...,γqと,

を 考 え よ う,γ γ/2以

内 の 距 離 に,対

個 あ

応 す る一 つ の γ の 倍 数 が 存 在 す

γ 個 の 解 を 与 え る.

満 た す ｃ に 対 す るProb(c)を

書 く と,Prob(c)は

比 がexpiθcの

ベ ク トル と み な す と,θcが こ と は 明 ら か で あ る.ゆ

る と,(８)よ

評 価 す る.θc=2π(γc 

幾 何 級 数 を 含 む.こ

増 加 す る に 従 っ て,原

modq)/qと

れ ら の 項 を複 素 平 面 上 の

点 か らの 距 離 の 総 和 が 減 少 す る

え に,

Prob(c)〓Prob(許

で あ る.す

の 倍 数 は γ 離 れ て 分 布 す る の で,γ

さ れ る 最 大 の θcを 持 つ ｃ)

り θc〓 πγ/qで

あ り,θc=π

γ/qな

る幾 何 級 数 の 和 を 取

る こ と に よ り以 下 を 得 る.

(９)

た だ し,γ/qが

小 さ い と き に は,sin  πγ/2q〓

よ う な ｃ は γ 個 存 在 す る の で,(８)を

π γ/2qで

あ る こ と を 用 い た.こ

の

満 た す ｃ の 値 を 観 測 す る 確 率 は,4/π2よ

り も大 き い.

  最 後 に,(８)を 満 た す ｃ の 値 を与 え られ た と きに,γ の 値 に 関 す る 情 報 を取 り 出 した い.こ

れ を行 うた め に,(８)が 以 下 の式 と等 価 で あ る こ と に注 意 せ よ.

あ る0〓d〓

γ-1に

対 し,￨γc-dq￨〓

γ/2

(10)

ｄ の 異 な る γ 個 の 値 は,ｃ

の 可 能 な γ 個 の 値 に 対 応 す る.し

た が っ て,(９)よ

り,

ｄ の 各 値 に 対 して 以 下 が 成 り立 つ.

(11) (10)は

次 の よ う に も書 け る.

(12) こ こ で,ｃ

と ｑ は 既 知 で あ り,か

  し た が っ て,q〓N2な

の で,(12)で

の ち ょ う ど 一 つ の 分 数d/γ 数 学 メ モ ６参 照)を

つ,γ

こ で,も

あ る.

示 さ れ た 範 囲 の 中 に,分

が 存 在 す る.こ

用 い て,そ

す る こ と が で き る.こ

〓N,q〓N2で

の 分 数 は,c/qの

の 一 つ の 近 似(convergent)と し(d,γ)=1な

ら ば,γ

う な ｄ と互 い に 素 な 値 は φ(γ)個 存 在 す る の で,(11)よ

母 がたか だか Ｎ

連 分 数 展 開(下

記,

して効 率 的 に発 見 の 値 が 得 ら れ る.こ

の よ

り次 を 得 る.

Pr[ｄ は γ と 互 い に 素 で あ る]

大 き な γ に 対 し て は,φ(γ)/γ ＞1/logr＞1/logN(数 で,4/(π2logN)よ れ る.こ

り大 き な 確 率 で γ が 得 ら れ,し

学 メ モ ５参 照)と た が っ て,Ｎ

の 効 率 的 な 確 率 的 ア ル ゴ リズ ム をO(logN)回

の 因数 が 得 ら

繰 り 返 す こ と に よ り,任

意 に 高 い 成 功 確 率 を 持 っ た 効 率 的 な 因 数 分 解 ア ル ゴ リ ズ ム が 得 ら れ る.

数 学 メモ ６  連 分 数展 開 一般 に ,有 限 な連 分 数 は,以 下 の 形 の 式 で あ る.

た だ し,a0,...,aNは る.こ

正 整 数 と す る.上

の と き,[a0,...,an]を[a0,...,aN]の

vergent)と

い う.

な るの

の 式 を[a0,...,aN]と 第

ｎ 近 似(n-th 

略 記 す con-

  任 意 の 正 の 実 数 ｘ は,次 で き る(ｘ と,あ

る0〓t0＜1に

ら ば,a1=〓1/t0」 と表 せ る.も は,有

の 効 率 的 手 続 き に よ り連 分 数 と し て 表 現

以 下 の 最 大 の 整 数 を 〓x」で 表 す).ま 対 しx=a0+t0と と 置 け ば,あ

し,t1≠0な

ず,a0=〓x」

表 せ る.も

る0〓t1＜1に

ら ば,同

分 数 に 関 し て は,以

し,t0≠0な

対 し1/t0=a1+t1

様 の 操 作 を 繰 り返 す.こ

理 数 ｘ に 対 して 常 に 停 止 し,x=[a0,...,aN]と

得 ら れ る.連

と置 く

の手続 き

い う表現 が

下 の 命 題 が 知 ら れ て い る.

命 題p/qを,次

の 式 を満 た す任 意 の 有 理 数 とす る.

こ の と き,p/qは

ｘ の 連 分 数 の 近 似 で あ る.

口

あ とが き

  1994年

にShorの

因 数 分 解 ア ル ゴ リズ ム が発 表 され て以 来,計 算 機 科 学,情

報

理 論,物 理 学,数 学,デ バ イス工 学 な ど さ ま ざ まな 分野 の研 究 者 が 量 子 コ ン ピュ ー タに 興 味 を持 っ て い る.ま た,マ

ス コ ミに何 度 か 紹 介 され た た め,研 究 者 で は な

い 一 般 の 方 々 の 関 心 も高 い.筆 者 も,最 近,量 子 コ ン ピ ュ ー タに 関 す る 問 い 合 わ せ を数 多 く受 け るが,質

問者 の 背 景 知 識 が ま ち ま ち なの で,ど

の よ うな形 で 説 明

した ら よい か 戸 惑 うこ とが しば しば で あ る.   本 書 に は,筆 者 が そ の よ う な経 験 を 通 して得 た,多

くの 方 々 に量 子 コ ン ピ ュ ー

タの 正 確 な イ メ ー ジ を つ か ん で い た だ くた め の 工 夫 を,可 能 な 限 り盛 り込 ん だつ も りで あ る.し か し,出 来 上 が っ て み る と,い ろ い ろ な 問 題 点 が 目 に つ く.そ こ で,こ の 「あ とが き」 で は,ま ず 本 書 の 理 解 を助 け る ため の読 書 案 内 を して お き た い と思 う.   まず,理 論 計 算 機 科 学 につ い て学 習 され た い 方 は,と か らC5の

りあ えず,以 下 の 文 献C1

中 か ら,気 に 入 った もの を必 要 な 箇 所 だ け 読 んで い た だ け れ ば よい と

思 う. C1

足 立 暁 生,西 野 哲 朗:「 計 算 量 理 論 概 説 」,朝 倉 書 店,1988.

C2

A.V.エ

イ ホ ・J.E.ホ

ッ プ ク ロ フ ト ・J.D.ウ

平 共 訳,「 ア ル ゴ リ ズ ム の 設 計 と 解 析I,Ⅱ C3

グ レ ア ム ・ク ヌ ー ス ・パ タ シ ュ ニ ク 著,有 ン ピ ュ ー タ の 数 学 」,共

立 出 版,1993.

」,サ

ル マ ン 著,野

崎 昭 弘 ・野 下 浩

イ エ ン ス 社.

澤 ・安 村 ・萩 野 ・石 畑 共 訳,「 コ

C4

Ｊ.ホ ッ プ ク ロ フ ト ・Ｊ.ウ ル マ ン著,野 マ ト ン 言 語 理 論 計 算 論I,Ⅱ

C5

」,サ

崎 ・高 橋 ・町 由 ・山 崎 共 著:「 オ ー ト

イ エ ン ス 社,1984(I),1986(Ⅱ).

小 林 孝 次 郎:「 計 算 の複 雑 さ」,昭 晃 堂,1988.

  ま た,量 子 論 につ い て 勉 強 さ れ た い 方 は,ま ず は以 下 の 文 献Q1か か ら気 に入 っ た もの をお読 み い た だ きた い.こ れ らの書 物 は,Q5以

らQ6の

中

外 は おお むね

啓 蒙 書 の レベ ル な の で,量 子 論 に つ い て本 格 的 に勉 強 され た い 方 は,こ れ らの 文 献 の 末 尾 に揚 げ られ た標 準 的 な教 科書 をお 読 み い た だ きた い.

Q1

マ イ ケ ル ・ロ ッ ク ウ ッ ド著 ・奥 田 栄 訳:「 心 身 問 題 と 量 子 力 学 」,産 業 図 書, 1992.

Q2

並 木 美 喜 雄:「 量 子 力 学 入 門 」,岩 波 新 書,1992.

Q3

ロ ジ ャ ー ・ペ ン ロ ー ズ 著,林

Q4

J.C.ポ

一 訳:「 皇 帝 の 新 し い 心 」,み す ず 書 房,1994.

ー キ ン グ ホ ー ン著 ・宮 崎 忠 訳:「 量 子 力 学 の 考 え 方 」,講 談 社 ブ ル ー

バ ッ ク ス,1987.

Q5

竹 内外 史:「 線 形 代 数 と量 子 力 学 」,裳 華 房,1987.

Q6

和 田純 夫:「 量 子 力 学 が 語 る世 界像 」,講 談 社 ブ ルー バ ッ クス,1994.

量子 計 算量 理論 の研 究 ガ イド   本 書 は,さ ま ざ ま な背 景 知識 を持 った 方 に理 解 して い た だ け る よ う,記 述 に 配慮 した ため,理 論 計 算 機 科 学 者 に とっ て は,少

し深 ま りに欠 け る 内 容 と な って い る.

しか し,こ の よ う なス タ イル で記 述 した の に は も う一 つ の理 由 が あ る.す なわ ち, 量 子 計 算 論 は 日進 月 歩 で 発 展 して い る最 中 な の で,理 論 を どの よ うに 整 理 して提 示 す べ きか が,現 段 階 で は ま だ確 定 で きな い部 分 が 多 い の で あ る.そ は,Shorの

こで 本 書 で

因 数 分 解 ア ル ゴ リズ ム に 焦 点 を絞 っ て 解 説 す る とい う方 針 を取 った.

  本 書 を 読 まれ た 後 に,理 論 計 算 機 科 学 の 立 場 か ら量 子 計 算 論 の 研 究 に 進 まれ る 場 合 に は,ま ず,下 記 の 文 献T1,T6,T10を れ ば,文

献T5,T8,T9も

論 文T3,T4は,理

読 まれ る のが よい.さ

らに 時 間が あ

読 ん で お か れ る こ と を お勧 め す る.Deutschに

よ る原

論 の ル ー ツ を知 る とい う意 味 で は大 変 参 考 に な るが,物

理寄

りの 用 語 で 書 か れ て い る た め,計 算 機 科 学 者 に は読 む の に骨 が 折 れ る.   具 体 的 な 研 究 テ ー マ を探 す 際 に は,T2,T7な ACMのSTOCや,IEEEのFOCSと

ど が 参 考 に な る だ ろ う.ま た,

い った 国 際 会 議(第

と こ ろ 毎 回数 件 ず つ 優 れ た論 文が 発 表 され るの で,注 T1

E. Bernstein  25th  ACM 

T2

and  U.  Vazirani:"Quantum  Symposium 

on  Theory 

G.Brassard:"New  posium 

Trends 

on  Theoretical 

意 し て い た だ きた い.

Cpmplexity  of Computing, 

in Quantum 

Aspects 

３章 参 照)に は,こ の

Theory",Proc.

pp.11-20(1993).

Computing",Proc.13th 

of Computer 

Science, 

Sym-

Grenoble, 

France

Principle 

and  the

22-24February,1996. T3

D.Deutsch:"Quantum  Universal 

Quantum 

Theory, 

the  church-Turing 

Computer",Proc. 

R. Soc.  Lond., 

Vol.A 

400,  pp.97-

117(1985). T4

D.Deutsch:"Quantum  A425, 

T5

Networks",Proc. 

R. Soc.  Lond.,

pp.73-90(1989).

D.Deutsch 

and  R.  Jozsa:"Rapid 

Computation",Proc. 

T6

Computational 

A.Ekert 

R.  Soc.  Lond., 

and  R.  Jozsa:"Quantum 

algorithm",Reviews 

Solution 

of Modern 

of Problems 

by  Quantum

A  439,  pp.553-558(1992).

computation  Physics, 

and  Shor's 

Vo1.68, 

factoring

No.3,  pp.733-753, 

1996.

T7

西 野 哲 朗:量

子 コ ン ピ ュ ー タ,情

報 処 理,Vo1.36, 

No.4,  pp.337-347(1995).

July

T8

P.W. 

Shor:"Algorithms 

Factoring",Proc. 

for Quantum  of the  35th  Annual 

of Computer 

T9

D.R. 

Computation:Discrete  IEEE 

Symposium 

Log  and on  Foundations

Science,1994.

Simon:"On 

35th  Annual 

the  Power  IEEE 

Symposium 

of Quantum 

Computation", 

on  Foundations 

Proc.  of the

of  Computer 

Science,

1994. T10

A.Yao:"Quantum  Foundations 

量 子 力 学,計

Circuit  of Computer 

算 量,人

  次 に,量 子 力 学,計

Complexity", 

Science, 

pp.352-361, 

Proc.34th  IEEE 

Symposium 

on

Press(1993).

間 算 量 理 論 と人 間の 三 つ 巴 の 関 係 につ い て,簡 単 に触 れ て み

た い と思 う.最 初 に,量 子 力 学 の計 算 機 科 学 へ の 貢 献 につ い て 考 え て み よ う.本 文 で も述 べ た とお り,量 子 コ ン ピ ュ ー タ は可 逆 的 計 算 シス テ ム で あ るか ら,将 来, 発 熱 の 非 常 に少 な い計 算 機 を実 現 す る際 の ヒ ン トを与 え て くれ る だ ろ う.ま た,５ 章 と ６章 で 紹 介 した よ うに,量 子 コ ン ピ ュ ー タが 従 来 の コ ン ピュ ー タ よ り も高 速 に動 作 す る可 能 性 が 幾 つ か 指 摘 され て い る.   今 度 は逆 に,計 算 量 理 論 の 量 子 力 学へ の 貢 献 の 可 能 性 に つ い て考 え て み る.も しBPP=BQPが

証 明 で きれ ば,古 典 力 学 で量 子 力 学 を効 率 的 に模 倣 で きる こ と

に な る.一 方,BPP≠BQPが

証 明 で きれ ば,そ の こ とが,量 子 力 学 が 古 典 力 学

と真 に異 な っ て い る こ との証 拠 に な る.そ の 意 味 で,量 子 計 算 量 理 論 に お け る結 果 が,量 子 力 学 の成 り立 ち そ の もの に影 響 を与 え る こ と に な る.将 来,計

算機科

学 者 が ノーベ ル物 理 学賞 を授 賞 す るな ど とい う こ とは,起 こ らな い の で あ ろ うか?   次 に,計 算 量 理 論 や量 子 力 学 の観 点 か ら,人 間 につ い て考 え てみ よ う.人 間の脳 の 機 能 を計 算 機 に模 倣 させ よ う とい う研 究 は,人 工 知 能 や ニ ュ ー ラ ル ネ ッ トワー ク な どの 分 野 に お い て,ず いぶ ん昔 か ら活 発 に行 わ れ て い る.し か し,現 在,そ れ ぞ れ の分 野 で研 究 者 た ち は壁 に ぶ つ か っ て い る よ うで あ る.一 方,物 理 学 者 た ち

は,人 間 の脳 も一 つ の物 理 的 計 算 装 置 で あ るか ら,物 理 学 的 ア プ ロー チ に よ っ て, 人 間 の 脳 の メカ ニ ズ ム が解 明 で きる と考 えて い る よ うで あ る.Deutschは1985年 の 論 文 の 中 で,「量 子Turing機

械 に よ っ て,す べ て の 有 限 な 物 理 的 計 算 装 置 は完

全 に模 倣 で きる 」 と述 べ て い る.は た して,人 間 の 脳 は量 子 効 果 を利 用 して動 作 し て い る の だ ろ うか?こ

の こ と につ い て は,物 理 学 者 の あ い だ で も意 見 が 分 か れ

て い る よ うで あ る. 量 子 コ ンピュ ー タの実 現可 能性 につ い て   い ま の と こ ろ,量 子 コ ン ピ ュー タの 構築 法 は まだ 知 られ て い ない.現

在の量子

力 学 の 枠 組 み の 中 で 可 能 な量 子 コ ン ピ ュ ー タ の 設計 法 につ い て,幾 つ か の提 案 が な さ れ た が,そ

の う ちの どの 方法 を採 用 して も本 質 的 な 困 難 が あ る との 指 摘 も あ

る.量 子 コ ン ピ ュ ー タの 実 現 可 能性 につ い て は,ま

だ研 究 が ス ター ト した ば か り

で あ り,今 後 の研 究 成 果 を待 た な け れ ば確 実 な こ とは わか ら ない.い ず れ に して も,Shorの

論 文 の よ う な優 れ た 理 論 的 結 果 が 次 々 に示 され れ ば,量 子 コ ン ピ ュ ー

タの 実 現 可 能 性 に 関 す る研 究 は,い

ま に も増 して加 速 す る で あ ろ う.

  この 分 野 の 研 究 に興 味 の あ る方 は,以 下 の 文 献R1か だ き,さ

まず お 読 み い た

ら に進 ん だ 内 容 につ い て は,そ れ ら に 示 され た参 考 文 献 を参 照 して い た

だ きた い.ま Fourth 

た, Workshop 

Boston,22-24, 

で は,日

らR7を

on  Physics  November 

and  Computation:PhysComp96,

1996.

本 人 に よ る 優 れ た 関 連 研 究 が 多 数 発 表 さ れ て い る の で,こ

Proceedings(IEEE 

Pressか

ら 入 手 可 能)も

の 国 際 会議 の

ご 覧 い た だ き た い.

  近 年,量 子 効 果 デ バ イス の 研 究 が盛 ん で あ る.そ れ ら量 子 効 果 デ バ イス に 基 づ く計 算 機 の こ と を量 子 コ ン ピ ュ ー タ と呼 ぶ 場 合 が あ る よ うだ が,本 稿 で 述 べ た量 子 コ ン ピュー タ とは ま っ た く異 な る概 念 で あ る.前 者 の 量 子 コ ン ピュ ー タ とは,現 段 階 で は,量 子 効 果 デ バ イス に基 づ い て 古 典 的Turing機

械 の 動 作 を実 現 し よ う

とす るモ デ ル の よ うで あ る(筆 者 が 勉 強不 足 で 誤 解 して い た場 合 に は,ご 容 赦 い

た だ きた い).一 方,本 書 で紹 介 した 量 子 コ ン ピュ ー タは,量 子 力 学 的 効 果 をそ の ま ま計 算 の 原 理 と して 用 い よ う とい う計 算 機 モ デ ル で あ る.し か し,こ れ ら二 つ の 研 究 が ま っ た く独 立 で あ る とは 思 わ れ な い .本 稿 で 説 明 した 量 子 コ ン ピ ュ ー タ が'将

来,実 現 で き るか ど うか は ま っ た くわ か ら な い が,例 え ば,量 子 効 果 デ バ

イス の研 究 成 果 な どか ら何 ら か の ヒ ン トが 得 られ るの か も しれ ない. R1

Barenco,A., 

Bennett, 

N.,Shor, 

P.,  Sleator, 

gates  for  quantum 

C.H., 

Cleve, 

T.,  Smolin, 

R.,  DiVincenzo, 

J.,  and 

computation",Physical 

Weinfurter

D.P., 

Margolus

,

, H.:"Elementary

Review, 

Vol.A 

52,  pp.3457-

3467(1995). R2

A.Ekert 

and  R.  Jozsa:"Quantum 

algorithm",Reviews 

of  Modern 

computation  Physics,Vo1.68, 

and  Shor's  No.3,  pp

factoring

.733-753, 

July

1996. R3

細 谷 暁 夫:量

R4

S.Lloyd:"A  Vo1.261, 

R5

子 計 算 機 へ の 招 待,パ

Potentially 

リテ ィ,12月

Realizable 

号,pp.50-55(1996).

Quantum 

Computer", 

Science,

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S.Lloyd:"Envisioning 

a Quantum 

Supercomputer"

, Science, 

Vo1.263,

p.695(1994). R6

S.Lloyd:"Quantum-Mechanical 

tober,1995.日

R7

号.

S.Takeuchi:"A 

simple 

Deutsch-Jozsa 

algorithm 

1996.

tific American

本 語 訳:「 量 子 コ ン ピ ュ ー タ 」(西 野 哲 朗 訳),日

ス,1995年12月

on  Physics 

Computers",Scien 

quantum 

computer:physical 

with  linear  optics",in 

and  Computation:PhysComp96, 

,  Oc-

経 サ イエ ン

realization 

of the

Proc

.  Fourth 

Workshop

Boston

,22-24, 

November

  21世 紀 の 日本 経 済 に お い て は,量 子 科 学 ・工 学 を基 礎 と した 産 業 が柱 に な る と い う,量 子 立 国 の 話 を最 近 よ く耳 にす る.そ の こ との真 偽 は と もか く,量 子 コ ン ピ ュ ー タの 基 礎 研 究 に は,い

まか ら取 り組 ん で お くべ きで あ る.と い うの は,画

期 的 な 基 礎研 究 に は 時 間 が か か る もの だ か らで あ る.  量 子 コ ン ピュー タの研 究 は ま さ にい ま始 まった ば か りで あ り,こ の 分 野 は い ろ い ろ な 意 味 で チ ャ ンス に あ ふ れ て い る.本 書 を読 ま れ て,こ の 分 野 に 進 も う と決 意 さ れ る 方 が １人 で も多 く現 れ てい た だ け れ ば,筆 者 に とっ て は望 外 の 喜 びで あ る. 量 子 コ ン ピ ュ ー タの 世 界 第 １号 機 が 日本 で 開発 され る こ とを夢 見 て い る.

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Theory",in 

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on

索    引 ■あ

計算の基本 ステップ

ア ナ ロ グ ガ ジェ ツ ト

計算の物理学 計算モ デル

4,68

計算量 88 計算量理論

68,96

決 定 性Turing機

械

誤 り訂正

74

61

アル ゴ リズ ム

68

アル フ ァベ ッ ト

83

114

５

16,18,39,40,96

決 定性 ア ル ゴ リズ ム 1PTM

18

ケ ッ ト ・ベ ク トル

1QTM

27

言

99

１ ビッ ト

因数分解

語

77 99

84

言語の認識問題

88

114 11,47,94,106

因数分解問題

エ ラ トス テ ネ スの ふ る い 法

114

子

24

語

83

公 開鍵暗 号系 光子

12

６

77

オ ー ダ89,116

合成数性判 定問題

24 親 ■か

効 率 的 ア ル ゴ リズ ム

113

効 率 の よ い ア ル ゴ リズ ム コ ヒ ー レ ン ト

13

可逆的計算 システム 確 率 的Turing機

械

93

■ さ

77,96

確 率 的 ア ル ゴ リズ ム

確 率的解釈 重 ね合 わせ

困難

18,37

22

最終状態

84,86,92

7,55,101

最終様相

87

93

最 大 ク リー ク 問題

22,103,123

最大計算量 最大公約数

完全 観測

92

帰着可能 基本操作

36,76

７

96

90 115

作用素

99

68,70 27

キ ュー ビ ッ ト

近 似 ア ル ゴ リズ ム

ク イ ッ ク ・ソ ー ト

空語

直積空間 時間計算量

73

101 時間推移行列 時間内で動作す る 90

83 86,92,100 76 93

91

実際的に計算可能 受理 85

91

87

受理状 態

96,97

87 受理する 状熊 84,86,92,100

計 算可能性の 理論 計 算時間

36,114

45 指数個 指数時 間計算可能

グ ラフの連結性判定問題 計算過程 計 算可能

88

指数関数

空 白記号 グラフ

98

96

68

96

状 態遷移 関数

101

16,84,87,92,100

状 態 遷 移 行 列    21,33

入 力記 号    100

状態の干渉   32

入 力 サ イ ズ    68

常用対数   73

任意 の重 ね合 わせ  27 認識   85

初 期 状 態     84,86,92,101 振 幅     29,101

根   24 制御NOT   57 正 の干渉    10

■は

漸近的時間計 算量  89

葉24

漸近的領域計 算量  89 線形作用素   99

波動 と粒子の二重性   ６

線形写像   101

ハ ミル トング ラ フ    76

バ ブ ル ・ソー ト    68 ハ ミル トン閉 路    80

ソ ー テ ィ ン グ 問 題     68

ハ ミル トン閉 路 問 題     93

素 数性 判定 問題   77 素 数定理   119

判定問題  81 万 能Turing機

械    ８

■た 非 決 定 性Turing機

械     87

対 数   73

非決定性対数領域計算 可能  90

対 数領域帰着可能   93

非決定性多項式時 間計 算可能  91

対数領域計算可能   90

否定  31

互 い に素     116 多 項 式 時 間     36,76,113

複素数   28

多項式時聞帰着可能   92 多項式時間計算可 能  91

負 の干 渉     10,32 ブ ラ ・ベ ク トル    99

中 国 の剰 余 定 理     116,117

平均計算量   90

頂点   75 直積空間   98

閉路   76

停 止 フ ラ グ    103

辺

閉路 的 グ ラ フ    76 ヘ ツ ド   16   75

テ ー プ記 号     86,92,100 テ ー プ ヘ ツ ド    99

補問題   82

デ コ ヒ ー レ ンス     ７

■ ま

デ コ ヒ ー レ ンス の 問 題     61 テ ンソ ル積    97

無 限 長 の テ ー プ     99

転 置共 役行 列  35 ■や 動作   86 等差数列の和   73 ■な 長さ

  83

滑 らか    120

唯 一 の 解     115,116,121 有 限 オ ー トマ トン    84 有 限制 御 部     16,86,99 ユ ニ タ リ行 列    34,101 ユ ニ タ リ変 換     57

２段 フ ー リエ 変 換     47

よ い ア ル ゴ リズ ム     79

入 力 ア ル フ ァ ベ ッ ト    84,92

様相   87

■ ら

DFT 

ラ ベ ル 付 け   24

DL 

離 散Fourier変

Euclidの

換     41,120

  41   90

互 除 法     116,118

離 散対 数 問 題     11,47,94,106

Eulerの 定 理     119

領域計 算量   88 領域 内で動作す る   90

Eulerの

φ 関 数    119

EXPTIME 

 91

量 子 ｋ 面 サ イ コ ロ投 げ    50 量 子Turing機

械     4,9,27,37,97,99

Fourier 

Twice 

  47

量子誤 り訂正   61 量 子 ア ル ゴ リズ ム     115

KLeene閉

包    84

量 子 回路     9,57

量子確率   39

modNの

量子重 ね合わせ  45

Ｍ に よ る計 算     102

オ ー ダ    119

量 子 コ イ ン投 げ    43 量 子 コ ン ピュ ー タ    4,97

NL 

  90

量子並列化機能   97

NOT 

  57

量 早 並 列 計 算     45

NP    91

量子 ワイヤの構成    60 理論計算機科学   4,68

ｎ ビ ッ ト   99 OR 

  57

連結性判定問題   76

P 

 91

連 接

P=NP?問

題    82

PSPACE 

  91

連 結 グ ラ フ    76

   83

連 分数   127

PTM 

  18,37

QTM 

 27,37

論 理 ゲ ー ト    56

■ 英字

Quantum 

Ａ の 第 １行 第 １列 成 分     21

qubit 

k-sided  Die  Roll    27

Ａ の 第 １行 第 ２列成 分     21 Ａ の 第 ２行 第 １列 成 分     21

S(n)− 領 域 限 定     100

Ａ の 第 ２行 第 ２列 成 分    21

Square 

BPP 

TM 

  92

Root  of NOT 

  16

Turing機

Churchの

提 唱    96

  31

械     4,16,68,85

  50

〈 著者紹介〉

西 野哲朗 学

歴

職

歴

早 稲 田 大 学大 学 院   数学 専 攻 博 士前 期 課 程修 了(1984) 理 学 博 士(1991) 日 本 ア イ ・ ビ ー ・エ ム(株)入

社   東 京 基 礎 研 究 所(1984)

東 京 電 機 大学 理 学 部助 手(1987) 北陸 先 端 科 学 技術 大 学 院 大学 助 教 授(1992) 電 気 通信 大学 電 気 通信 学 部 助 教授(1994)

情 報 科 学 セ ミナ ー 量 子 コ ン ピ ュ ー タ入 門 1992年3月10日

 第 １版 １刷 発 行

2000年12月20日

 第 １版 ３刷 発 行

著

者 西 野 哲朗

発行者 学 校 法 人.東 京 電 機 大 学 代 表 者

丸 山 孝 一 郎

発行所 東 京 電 機 大 学 出 版 局 〒101-8457

東 京 都 千代 田区 神 田錦 町2-2 振 替 口座   00160-5- 

電話

印刷 三美印刷㈱ 製本 ㈱徳住製本所 装丁 高橋 壮一

ｩNishino 

Printed 

業)

(03)5280-3422(編

集)

Tetsuro 

1997

in Japan

*無 断 で転 載 す る こ と を禁 じます 。 *落 丁 ・乱 丁本 は お取 替 えいた し ます。 ISBN4-501-52650-5 

71715

(03)5280-3433(営

C3055

Ｒ 〈日本 複 写権 セ ンター 委託 出版 物 ・特 別 扱 い 〉