Теория игр

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ФОНД ПОДГОТОВКИ КАДРОВ ИННОВАЦИОННЫЙ ПРОЕКТ РАЗВИТИЯ ОБРАЗОВАНИЯ Субпроект «Создание центра повышения квалификации преподавателей по экономике»

Государственный Университет – Высшая Школа Экономики

Программа дисциплины

«Теория игр»

Москва 2004

2 Программа учебно-методического комплекта «Теория игр» составлена в соответствии с требованиями (федеральный компонент) к обязательному минимуму содержания и уровню подготовки дипломированного специалиста (бакалавра, магистра) по

циклу

«Общие

гуманитарные

и

социально-экономические

дисциплины»

государственных образовательных стандартов высшего профессионального образования второго поколения, а также требованиями, предъявляемыми НФПК к новым и модернизированным программам учебных курсов, разработанным в рамках субпроекта «Создание

центра

повышения

квалификации

преподавателей

по

экономике»

Инновационного проекта развития образования. Программа подготовлена при содействии НФПК – Национального Фонда подготовки кадров в рамках субпроекта «Создание центра повышения квалификации преподавателей по экономике» Инновационного проекта развития образования.

Авторы:

Бусыгин В.П., к.ф.-м.н., доцент ГУ–ВШЭ Левина Е.А., преподаватель ГУ–ВШЭ

3 I.

Организационно-методический раздел

1.

Цель курса

Основная цель учебно-методического комплекта – создание методической базы для формирования курса, являющегося, на наш взгляд, одним из базовых в микроэкономическом блоке, и направленного на решение перечисленных ниже задач.

2.

Задачи курса

Задача учебно-методического комплекта заключается в том, чтобы помочь преподавателям организовать курс, направленный на достижение следующих целей: •

знакомство с базовыми концепциями теории игр;

•

освоение методов анализа ситуаций стратегического взаимодействия, когда

индивидуумы принимают решения, осознавая, что их действия влияют друг на друга, и когда каждый индивидуум учитывает это. Именно взаимодействие между принимающими решение участниками, все из которых ведут себя целенаправленно и чьи решения влияют на других участников, делает стратегические решения отличными от других решений; •

развитие навыков стратегического мышления;

•

подготовка

студентов

к

самостоятельной

работе

с

современной

экономической литературой по соответствующим разделам микроэкономики, а также к исследовательской работе по тематике курса.

3.

Методическая новизна курса

Подготовляемый учебно-методический

комплект поможет преподавателям

реализовать индивидуально-дифференцированное обучение. Разнообразные упражнения и задания в рамках одной темы позволят преподавателю выбрать те виды работ, которые отвечают возможностям и уровню подготовки студентов его потока или группы. На ряду с достаточно простыми примерами и задачами, разобранными в курсе, будут приведены примеры задач, представляющих собой развитие базовых примеров с целью продемонстрировать, как переход от упрощенных к более реалистичным моделям должен

быть

соответствующим

образом

представлен

в

виде

более

сложных

4 математических моделей, требующих углубленного знания теории игр. Таким образом, в зависимости от предварительной подготовки слушателей некоторые разделы курса могут быть опущены или же, наоборот, усилены. Подбор ситуаций, иллюстрирующих приемы анализа примеров, ориентируется, прежде всего, на развитие у студентов навыков стратегического мышления и освоение методов

анализа

ситуаций,

возникающих

при

стратегическом

взаимодействии

экономических агентов. Сами примеры взяты из широкого спектра приложения теории игр (экономики, политологии и др.). Однако, освоение курса не предполагает каких-либо начальных знаний в областях, использующих инструментария теории игр. Все базовые понятия вводятся и поясняются примерами, что делает курс замкнутым.

4.

Место курса в системе социогуманитарного образования

Поскольку язык теории игр стал фактически языком современной экономической теории, предлагаемый учебно-методический комплект может быть использован для подготовки к лекциям и семинарам не только преподавателями теории игр, но и преподавателями других курсов: микроэкономики (различных уровней), прикладных микроэкономических курсов (таких, как теория отраслевых рынков, экономика труда, теория

контрактов,

рентоориентированного

экономика поведения),

неопределенности институциональной

и

информации,

экономики,

теория

политологии,

общественного выбора, новой политической экономии.

5.

Требования к уровню освоения содержания курса

Предполагается, что преподаватели смогут, используя методические материалы, подготовить курс, при этом самостоятельно формировать степень сложности курса, с учетом специализации и потребностей слушателей, приобретут навыки подготовки типовых заданий и экспериментов для студентов. Минимальные требования, предъявляемые к студентам – знание основ математического анализа функций одной и многих переменных, теории оптимизации и теории вероятностей. Желательно, чтобы слушали курса были знакомы с основами микроэкономики и элементами макроэкономики.

5 II.

Содержание курса 1.

Новизна курса

Впервые на русском языке разрабатывается пакет учебно-методических материалов по теории игр, включающий программу курса, список основных учебников по курсу, перечень тем рефератов и курсовых работ, аннотированную библиографию, хрестоматию и методические рекомендации преподавателю. Тем самым впервые в учебнометодической литературе на русском языке осуществляется системный подход к разработке рассматриваемого курса, с единых методических позиций, что позволит использовать новые подходы в экономическом образовании. 2.

Разделы курса

•

Основные идеи некооперативной теории игр и примеры игр

•

Статические игры с полной информацией

•

Динамические игры в условиях совершенной информации

•

Динамические игры с несовершенной информацией

•

Повторяющиеся игры

•

Статические игры с неполной информацией

•

Динамические игры с неполной информацией

•

Усиление концепций равновесия *

•

Приложение. Основания теории игр

3.

Темы и краткое содержание

1. ОСНОВНЫЕ ИДЕИ ТЕОРИИ ИГР И ПРИМЕРЫ ИГР * Стратегии

и

исходы,

выигрыши,

рациональность,

информированности участников, концепция общего знания Классификация игр Часть I. Игры с полной информацией 2. СТАТИЧЕСКИЕ ИГРЫ С ПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИЕЙ Примеры игр с одновременными ходами

и

предположение

об

6 Нормальная форма представления игры Концепция доминирования: доминирующие, доминируемые и недоминируемые стратегии Равновесие в доминирующих стратегиях Последовательное удаление доминируемых стратегий Равновесие по Нэшу Связь концепций равновесия по Нэшу, равновесия в доминирующих стратегиях и исходов, полученных в результате последовательного элиминирования доминируемых стратегий Понятие смешанных стратегий Равновесие по Нэшу в смешанных стратегиях Свойства и условия существования равновесия по Нэшу в смешанных стратегиях ** Свойства равновесия по Нэшу в играх с нулевой суммой ** Примеры и приложения 3. ДИНАМИЧЕСКИЕ ИГРЫ В УСЛОВИЯХ СОВЕРШЕННОЙ ИНФОРМАЦИИ Примеры игр с последовательными ходами Представление игр в развернутой и нормальной форме Равновесие по Нэшу и неправдоподобные угрозы Алгоритм обратной индукции и свойства исходов, полученных в результате его применения Свойства равновесий по Нэшу, полученных в результате применения алгоритма обратной индукции Понятие подыгры Концепция совершенных в подыграх равновесий по Нэшу Связь концепции совершенных в подыграх равновесий по Нэшу и метода обратной индукции Критика концепции совершенного в подыграх равновесия и алгоритма обратной индукции Структура игр с риском недобросовестности контрагента: монопольный случай ** Примеры и приложения 4. ДИНАМИЧЕСКИЕ ИГРЫ С НЕСОВРЕШННОЙ ИНФОРМАЦИЕЙ Информационные множества и представление игры в развернутой форме Совершенная память

7 Поведенческие и смешанные стратегии. Теорема Куна** Игры с почти совершенной информацией Повторяющиеся игры Совершенные в подыграх равновесия в динамических играх с несовершенной информацией Игры с риском недобросовестности контрагента ** Примеры и приложения 5. ПОВТОРЯЮЩИЕСЯ ИГРЫ* Множество стратегий в повторяющихся игр «Зуб за зуб», тригерная стратегия Множество равновесий и народная теорема Примеры и приложения Часть II. Игры с неполной (асимметричной) информацией 6. СТАТИЧЕСКИЕ ИГРЫ С НЕПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИЕЙ Примеры игр с неполной информацией Нормальная форма представления игры Концепция равновесия Байеса-Нэша Смешанные стратегии в играх с полной информацией и игры с неполной информацией Примеры и приложения 7. ДИНАМИЧЕСКИЕ ИГРЫ С НЕПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИЕЙ Критика концепции совершенных в подыграх равновесий Концепция вероятностных ожиданий (вер, beliefs) и совершенное Байесовское равновесие Игры и решения для ситуаций с неблагоприятным отбором: монопольный и конкурентный случаи ** Примеры и применение 8. УСИЛЕНИЕ КОНЦЕПЦИИ РАВНОВЕСИЯ* Равновесие по Нэшу как совокупность эволюционно-устойчивых стратегий

8 Усиление концепции равновесия по Нэшу в статических играх: равновесие дрожащей руки Связь концепций совершенного Байесовского равновесия и равновесия, совершенного в подыграх. Критика концепции совершенного Байесовского равновесия Последовательное равновесие как усиление концепции совершенного Байесовского равновесия Методы прямой индукции Критерий Хо-Крепса Примеры и применение 9. ПРИЛОЖЕНИЕ. ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ИГР** Концепции рациональности и решения игр Экономическое поведение в условиях неопределенности * - звездочкой отмечены темы, которые могут быть опущены при формировании преподавателем своего варианта курса, в частности, в связи с нехваткой времени ** - двумя звездочками отмечены темы, относящиеся к основаниям теории игр, которые мы рекомендуем включить в курсы для лиц, специализирующихся в экономической теории, математических методах в экономике.

4.

Перечень

примерных

контрольных

вопросов

и

заданий

для

самостоятельной работы

Одна из задач учебно-методического комплекта – помочь преподавателю сформировать оригинальные авторские курсы, обеспечив преподавателей и студентов материалами для эффективной работы над этими курсами. В частности, такая эффективная работа предполагает самостоятельную работу студентов с современной экономической литературой с целью их подготовки к исследовательской работе по тематике

курса.

Поэтому

программа

курса

предполагает

несколько

вариантов

самостоятельной работы. Первый вид такой самостоятельной работы обеспечиваемый материалами курса – самостоятельное решение задач по курсу теории игр. В связи с этим одним из подготавливаемых методических материалов является задачник по теории игр, цель которого обеспечить тренинг активного владения методами и инструментарием теории игр.

9 Поэтому, в качестве самостоятельной работы преподавателям мы предлагаем прорешать задания, предложенные в качестве методического обеспечения готовящегося комплекта. Ниже предложен ряд репрезентативных задач, решение которых поможет преподавателям ориентироваться в курсе и в дальнейшем оценивать степень сложности составленных ими заданий. 1. Два игрока размещают некоторый объект на плоскости, то есть выбирают его координаты (x,y). Игрок 1 находится в точке (x1,y1), а игрок 2 — в точке (x2,y2). Игрок 1 выбирает координату x, а игрок 2 — координату y. Каждый стремиться, чтобы объект находился как можно ближе к нему. Покажите, что в этой игре у каждого игрока есть строго доминирующая стратегия 2.Докажите, что если в некоторой игре у каждого из игроков существует строго доминирующая стратегия, то эти стратегии составляют единственное равновесие Нэша. 3. Каждый из двух игроков (i=1,2) имеет по 3 стратегии: a, b, c и x, y, z соответственно. Взяв свое имя как бесконечную последовательность символов типа машамашамаша..., задайте выигрыши первого игрока так: u1(a, x)=”м”, u1(a, y)=”а”, u1(a, z)=”ш”, u1(b, x)=”а”, u1(b, y)=”м”, u1(b, z)=”а”, u1(c, x)=”ш”, u1(c, y)=”а”, u1(c, z)=”м”. Подставьте вместо каждой буквы имени ее номер в алфавите, для чего воспользуйтесь Таблицей 1. Аналогично используя фамилию, задайте выигрыши второго игрока, u2(.). 1) Есть ли в Вашей игре доминирующие и строго доминирующие стратегии? Если есть, то образуют ли они равновесие в доминирующих стратегиях? 2) Каким будет результат последовательного отбрасывания строго доминируемых стратегий? 3) Найдите равновесия Нэша этой игры.

Таблица 1

0 0 1 2 3

и т ь

1 а й у э

2 б к ф ю

3 в л х я

4 г м ц

5 д н ч

6 е о ш

7 ё п щ

8 ж р ъ

9 з с ы

4.Составьте по имени, фамилии и отчеству матричную игру трех игроков, у каждого из которых по 2 стратегии. Ответьте на вопросы предыдущей задачи.

10

5.1) Объясните, почему в любом равновесии Нэша выигрыш i-го игрока не может быть меньше, чем min max ui ( xi , x− i ) .

x− i ∈X − i xi ∈ X i

2) Объясните, почему в любом равновесии Нэша выигрыш i-го игрока не может быть меньше, чем max min ui ( xi , x− i ) . xi ∈ X i x− i ∈ X − i

6. «Камень - ножницы – бумага» (Вильямс Дж.Д. Совершенный стратег, с.123) Два игрока играют в следующую игру. Каждый называет один из трех предметов: «камень», «ножницы» или «бумага». Игрок, назвавший камень, выигрывает игрока, назвавшего ножницы (ножницы тупятся о камень), игрок, назвавший ножницы, выигрывает игрока, назвавшего бумагу (ножницы режут бумагу), а игрок, назвавший бумагу, выигрывает игрока, назвавшего камень (камень можно завернуть в бумагу). Выигравший игрок получает 1, проигравший получает −1. Если названные предметы совпали, то каждый игрок получает 0. 7. Война между синими и красными. Генерал синих хочет занять город красных, имея две роты. К городу можно подойти по одной из двух дорог. Генерал синих каждую свою роту может послать по любой из дорог. Генерал красных располагает тремя ротами и может приказать любой роте оборонять любую дорогу. Синие займут город в том случае, если на одной из дорог у них будет больше рот, чем у красных. При этом синие получат 1, а красные — -2. Если синие не займут город, то выигрыши составят -1 и 1 соответственно. 8. Два школьника играют в следующую игру. Каждый из кучки, состоящей из 6 камней, берет по очереди один или два камня. Проигрывает тот, кто взял последний камень. Найдите решение, используя обратную индукцию. 9. «Справедливый дележ пирога» В игре участвуют n игроков. Нужно разделить пирог между игроками, то есть n

выбрать вектор ( α1 ,..., α n ) , где αi > 0, ∑ α i = 1 . i =1

11 Предлагается следующая процедура дележа. Игрок с номером 1 режет пирог. Остальные игроки по порядку номеров берут любой из кусков по выбору. Последний кусок достается 1-му игроку. (1) Нарисуйте дерево игры при n = 3 . Опишите множество стратегий каждого из игроков. (2) Найдите совершенное в подыграх равновесие. Докажите, что справедливый дележ αi = 1 / n будет единственным равновесием. Таблица 2

нарушать Проверяемый

не нарушать

Инспектор Не проверять проверять 0 1+ε2 -1 1+ε1 -1 0 0 0

10. В Таблице 2 показана «возмущенная» игра «Инспекция». В ней ε1 и ε2 — случайные возмущения, соответствующие типу 1-го и 2-го игрока соответственно, причем ε1 и ε2 равномерно распределены на отрезке [0, δ]

(δ > 0)

и независимы между собой.

Найдите байесовское равновесие (в чистых стратегиях) в этой игре. Докажите, что при δ → 0 найденное байесовское равновесие стремится к равновесию в смешанных

стратегиях исходной игры. [Указание: Подскажем, равновесие какого вида здесь искать. Каждый игрок выбирает некоторый пороговый уровень, εi . Равновесные стратегии выглядят следующим образом: если ε1 < ε1 , то первый игрок выбирает стратегию «нарушать», а если ε1 > ε1 — то стратегию «не нарушать» (вероятность того, что ε1 = ε1 1 равна нулю, поэтому этот случай можно не рассматривать); аналогичным образом второй игрок выбирает стратегию «проверять», если ε 2 < ε2 и стратегию «не проверять», если ε 2 > ε2 .] 11. Рассмотрите модель рынка страхования. На рынке есть два вида потребителей: с высоким риском (агенты типа «Н») и с низким риском (агенты типа «L»). Каждый агент первоначально имеет богатство w , но с вероятностью pt , t = L , H часть первоначального богатства, стоимостью L, может быть утрачена (например, в силу пожара), причем вероятность потерь выше для агента с высоким риском: p H > p L . Потребители обоих типов имеют одинаковые элементарные функции полезности

12

u( w ), u ′( w ) > 0 , u ′′( w ) < 0 для всех w и максимизируют ожидаемую полезность. На рассматриваемом рынке действуют две нейтральные к риску страховые компании. В контракте специфицируется сумма, которую потребитель платит за страховку q и сумма выплаты, осуществляемой страховой компанией при наступлении страхового случая R . Предположим, что потребители не могут купить больше одного страхового полиса. Страховые компании одновременно предлагают набор страховых полисов (контрактов). а) найдите равновесные контракты при симметричной информации и изобразите графически. б) докажите, что при асимметричной информации не существует объединяющего равновесия. в)

найдите

разделяющее

равновесие

при

асимметричной

информации

(аргументируйте каждый шаг). г) всегда ли разделяющее равновесие существует? 12. Рассмотрите рынок кредитов для финансирования инвестиционных проектов. Все инвестиционные проекты требуют вложений в размере $1. Среди инвестиционных проектов есть хорошие проекты, которые принесут положительную прибыль π с вероятностью pG и нулевую прибыль с вероятностью ( 1 − pG ) и плохие, которые принесут положительную прибыль π с вероятностью p B < pG и нулевую прибыль с вероятностью ( 1 − p B ) . Долю хороших проектов обозначим через λ ∈ ( 0 ,1 ) . Предприниматели занимают в банке сумму, равную вложениям в проект. В банковском контракте на заем специфицируется величина R , которая должна быть возвращена банку. Предприниматели знают тип инвестиционного проекта, для которого они занимают средства, но банки этой информации не имеют. В случае, если проект принес нулевую прибыль, предприниматель отказывается возвращать деньги и банк ничего не получает. Банки конкурентны и нейтральны к риску. Обозначим безрисковую ставку процента (ставку процента, по которой сами банки занимают средства) через r и будем считать, что: pG π − ( 1 + r ) > 0 > p B π − ( 1 + r ) а) Найдите равновесную величину R и множество проектов, которые будут реализованы. Как эти величины зависят от pG , p B ,λ , π , r ? б) Предположим, что предприниматель может предложить вложить часть своих средств в финансирование инвестиционного проекта и обозначим долю его вложений через x ∈ [ 0 ,1 ] . В силу ограничения ликвидности издержки, связанные с этими вложения для предпринимателя выше, чем для банка: эти вложения для предпринимателя будут стоить ( 1 + ρ )x , где ρ > r .

13 (1) Каков

ожидаемый

чистый

доход

(прибыль)

от

проекта

для

предпринимателя, как функция типа его проекта, величины выплаты по кредиту R и величины собственного вклада x ? (2) Опишите наилучшее (с точки зрения благосостояния) разделяющее совершенное Байесовское равновесие для игры, в которой сначала предприниматель предлагает величину собственного вклада

x , затем банки реагируют, предлагая

R , и, наконец, предприниматель либо

кредитный контракт, специфицирующий

соглашается на предложенный контракт, либо отказывается от реализации своего инвестиционного проекта. Как величина собственного вклада x для предпринимателей с хорошими проектами изменяется при малых изменениях p B , pG ,λ , π , r ? (3) Сравните равновесие пункта б(2) с равновесием без рыночных сигналов из пункта (а). 13. Данная задача проверяет не только знание определений основных концепций, но и умение логически мыслить и анализировать имеющуюся информацию. Рассмотрите игру, изображенную на рисунке и найдите ошибку(ки) в нижеследующих рассуждениях: 1 не входить

входить 1

(0, 2)

µ=1 война

(-3, -1)

война

мир

2

2 мир

война

(1, -2) (-2, -1)

1−µ=0 мир

(3, 1)

Выигрыши: (Игрок 1, Игрок 2). Обозначим стратегии игрока 1 (σ 0 В , σ 0 М , σ В В , σ В М ) , где σ 0 М - вероятность выбора стратегии (Не входить, Мир), σ 0 В - вероятность выбора стратегии (Не входить, Война),

σ ВВ - вероятность выбора стратегии (Входить, Война), σ ВM - вероятность выбора (Входить, Мир). Стратегии игрока 2 (σ В , σ М ) - выбор игроком 2 войны и мира, соответственно. Рассмотрим теперь (слабое) Байесовское равновесие. При системе вероятностных оценок, обозначенной на рисунке (т.е. игрок 2 считает, что если он должен ходить, значит

14 игрок 1 отклонился и выбрал стратегию (Входить, Война)) профиль стратегий, соответствующий концепции (слабого) Байесовского равновесия – это ((Не входить, Мир),

(Война)), т.е. (σ 0 В , σ 0 М , σ В В , σ В М ) = (0, 1, 0, 0) и (σ В , σ М ) = (1, 0) . Таким образом, профиль стратегий не является совершенно равновесным. Это равновесие также является и последовательным равновесием, поскольку, вопервых, профиль стратегий удовлетворяет требованию последовательной рациональности при заданной системе вероятностных представлений µ. А во-вторых, Существует

{ }∞

последовательность полностью смешанных стратегий σ K k =1 такая, что lim σ K = σ и k →∞

µ = lim µ К, где µK обозначает вероятностные представления, полученные из профиля k →∞

стратегий σK с помощью правила Байеса. В качестве такой последовательности возьмем

(σ

0В

1 1 n −1 1   1 , σ 0М , σ В В , σ В М )=  2 ,1 − − 2 , 2 , 2  n n n n  n

и

(σ В , σ М ) = 1 − 1 , 1  . 

n n

Тогда

n −1 n −1 n2 lim µ = lim = lim = 1. n →∞ n →∞ n − 1 n →∞ 1 n + 2 n2 n Таким образом, (слабое) совершенное Байесовское равновесие является также и последовательным равновесием в этой игре. 14. Объясните, почему равновесие в доминирующих стратегиях должно быть также равновесием в смысле Нэша. Приведите пример игры, в которой существует равновесие в доминирующих стратегиях, и, кроме того, существуют равновесия Нэша, не совпадающие с равновесием в доминирующих стратегиях. Найдите в играх 2-4 все равновесия Нэша 15. Два преподавателя экономического факультета пишут учебник. Качество учебника (q) зависит от их усилий (e1 и e2, соответственно) по функции q = 2 ( e1 + e2 ) .

Целевая функция каждого имеет вид

ui = q − ei — качество минус усилия. Можно выбрать усилия на уровне 1, 2 или 3.

15 16. «Третий лишний». Каждый из трех игроков выбирает одну из сторон монеты: «орёл» или «решка». Если выборы игроков совпали, то каждому выдается по 1 рублю. Если выбор одного из игроков отличается от выбора двух других, то он выплачивает им по 1 рублю. 17. Два мороженщика в жаркий день продают на пляже мороженое. Пляж можно представить как единичный отрезок. Мороженщики выбирают, в каком месте пляжа им находиться, т.е. выбирают координату xi ∈ [0, 1] . Покупатели равномерно рассредоточены по пляжу и покупают мороженое у ближайшего к ним продавца. Если x1 < x2 , то первый обслуживают

x1 + x2 x +x долю пляжа, а второй — 1 − 1 2 . Будем считать, что в случае, 2 2

если они расположатся в одной и той же точке ( x1 = x2 ), покупатели поровну распределятся между ними. Каждый мороженщик стремиться обслуживать как можно большую долю пляжа. 18. Предположим, что в некоторой игре двух игроков, каждый из которых имеет 2 стратегии, существует единственное равновесие Нэша. Покажите, что в этой игре хотя бы у одного из игроков есть доминирующая стратегия. 19. Задача относится к свойствам антагонистических игр двух лиц. Антагонистической игрой двух лиц называется игра, в которой сумма выигрышей обоих игроков постоянна: u1 ( x1 , x2 ) + u2 ( x1 , x2 ) = C .

(В частном случае, когда C = 0 , такая игра называется игрой с нулевой суммой.) Объясните,

почему

множество

седловых

точек

функции

ui ( x1 , x2 )

в

антагонистической игре двух лиц совпадает с множеством равновесий Нэша. (Седловой точкой функции ui ( x1 , x2 ) , называют такую точку ( x1* , x2* ) ∈ X 1 × X 2 , что для любых x1 ∈ X 1 и x2 ∈ X 2 выполнено ui ( x1 , x2* ) < ui ( x1* , x2* ) < ui ( x1* , x2 ) ) Проверьте, что в следующих играх нет равновесия Нэша в чистых стратегиях. Найдите равновесие Нэша в смешанных стратегиях.

16 20. Муж и жена выбирают, провести вечер дома или у друзей, причем друзья у них разные. Выигрыши заданы следующей матрицей (Таблица 3), где a, b, c, d > 0 — параметры. Жена делает свой выбор первой. Найдите решение, используя обратную индукцию. При каких условиях на параметры супруги проведут вечер дома вместе? Таблица 3 муж дома дома жена

у друзе й

у друзей b

a

0 d

c 0

c d

21. «Трудовое соглашение» (В. Леонтьев) Профсоюз заключает с фирмой контракт на несколько лет, в котором оговаривается уровень заработной платы ( w > 0 ). Предполагается, что профсоюз достаточно мощный, чтобы навязать фирме любой уровень заработной платы. Найдите решение, используя обратную индукцию. Фирма в течении срока действия контракта не может изменить уровень заработной платы, но может выбирать количество нанимаемых работников ( l > 0 , в тыс. чел.). Профсоюз максимизирует следующую целевую функцию: u ( w, l ) = wl − 2l 2 ,

где 2l 2 — издержки работы для членов профсоюза. Фирма максимизирует свою прибыль:

π ( w, l ) = 2 l − wl .

22. «Раз-два-три». Каждый из двух игроков одновременно называет одно из трех чисел: 1, 2 или 3. При совпадении второй игрок дает первому названное и совпавшее число (при несовпадении никто не платит). Дополнительно игроки получают удовольствие от участия в игре, которые они оценивают в ½. Какую сумму x первый игрок должен заплатить второму до начала игры, чтобы тот согласился играть? Нарисуйте дерево, описывающее данную ситуацию. 23. (Morris S. Microeconomics II: Game theory, choice under uncertainty and info economics, 1996) Богатство отца составляет $3 с вероятностью 1 / 5 , $6 с вероятностью 1 / 5 ⋅ 4 / 5 , $12 с вероятностью 1 / 5 ⋅ ( 4 / 5 ) , и т.д. (то есть, $3 × 2 k с вероятностью 2

17 1 / 5 ⋅ ( 4 / 5 ) для каждого k > 0 ). В один конверт он кладет две трети своего богатства, в k

другой — одну треть. Он дает по конверту каждому из двух сыновей (каждый из сыновей с одинаковой вероятностью получит любой конверт). Каждый из сыновей видит, сколько денег в его собственном конверте, но не знает, сколько денег в конверте брата. Каждый из сыновей имеет функцию полезности от богатства ln( w) . [ Подсказка: 39 > 214 ]. (A) Рассмотрим следующую игру. Каждый из братьев решает, разделить ли деньги, находящиеся в конвертах. Таким образом каждый из братьев говорит «Да» или «Нет» (одновременно). Если оба говорят «Да», они делят деньги поровну. Если хотя бы один из братьев говорит «Нет», то они остаются с деньгами, находящимися в их собственных конвертах. (i) Каждый брат знает только количество денег в его собственном конверте. Таким образом тип каждого брата — это элемент множества

{1; 2; 4; 8; ...} .

Каково

распределение вероятностей по типам? (ii) Опишите эту ситуацию формально как игру с неполной информацией. (iii) Опишите равновесие (Байеса-Нэша) в чистых стратегиях, в котором братья делят деньги. Проверьте, что это действительно равновесие. Существует ли в этой игре другое равновесие? (B) Предположите теперь, что отец объявил, что ни в одном из конвертов не может находиться больше чем $3 × 2 K

(для некоторого

K > 1 ). Охарактеризуйте

равновесия Байеса-Нэша в чистых стратегиях получившейся в результате игры. 24. «Карточный блеф» В начале игры игроки (A и B) вносят по 1 руб. После этого с равной вероятностью игрок A получает одну из двух возможных карт, «старшую» или «младшую». Далее игрок может A повысить ставку, добавив 2 руб. Если он этого не сделает, то игра заканчивается и деньги забирает игрок В. Если А повышает, то делает ход игрок В. Он либо уравнивает, добавляя 2 руб.., либо пасует. В первом случае карта открывается и деньги забирает игрок А, если карта старшая, и игрок В, если карта младшая. Во втором случае деньги забирает игрок А. Покажите, что в этой игре нет совершенного байесовского равновесия в чистых стратегиях. Найдите равновесие в смешанных стратегиях. Как часто игрок А будет блефовать, т.е. повышать, имея младшую карту? Как часто игрок В будет уравнивать? 25. Товар может быть низкого или высокого качества, затраты на производство которого равны, соответственно сL и cH, при этом c H > c L > 0 . Потребители покупают единицу товара в период, а время жизни потребителей – два периода. Потребители узнают

18 о качестве товара, только купив товар в первый период. Фирма не может изменить качество своего товара во втором периоде, таким образом, потребитель может использовать информацию о качестве продукта, полученную в первом периоде, чтобы решить покупать ли ему товар во втором. Кроме того, фирмы могут различать потребителей первого и второго периодов и предлагать разные цены в двух периодах, например, предоставляя предварительное предложение новому потребителю. Предположим, что ценность товара высокого качестве для потребителя составляет h, ценность товара низкого качества составляет 0, потребитель будет покупать товар только если это не повлечет за собой затрат и фирма будет продавать товар только если это даст ей положительную прибыль. Мы будем говорить, что отрасль находится в разделяющем равновесии, если выбор цен фирмой, производящей низкокачественный товар, и фирмой с высококачественным товаром будет различным. Если это не так, то будем говорить, что равновесие объединяющее. В условиях задачи, это должно означать, что продавать товар будет только фирма, товар которой высокого качества. Пусть δ коэффициент дисконтирования потребителя. а) Покажите, что если

h > c H + (c H − c L )δ , то существует разделяющее

равновесие. б) Каковы будут цены в разделяющем равновесии? в) Покажите, что каждый потребитель выиграет

(h − c L )

в разделяющем

равновесии, и фирмы выиграют c L − c H + (c H − c L )δ на каждого потребителя.

26. (скрининг: случай монополии для рынка страхования) Рассмотрите несклонного к риску индивида с элементарной функцией полезности u( ⋅ ) . Индивидуум обладает первоначальным богатством W и с вероятностью p может понести потери величиной L, где W > L > 0 . Страховой контракт может быть описан парой (c1 , c2 ), где c1 -потребление при отсутствии потерь, а c 2 - потребление в случае потерь. Таким образом, при отсутствии потерь потребитель платит страховой компании ( W − c1 ) , а в случае потерь он получит от страховой компании сумму, равную ( c 2 − ( W − L )) .

а) Предположим, что потребитель может застраховаться только в одной фирме, которая является монополистом на рынке страховых услуг и нейтральна к риску. Охарактеризуйте контракт, который предложит монополист, если вероятность потерь для данного потребителя известна монополисту.

19 б) Предположим, что каждый потребитель знает свою вероятность потерь, но для монополиста это величина ненаблюдаемая. Однако известно, что в экономике есть потребители двух типов: с высокой вероятностью потерь p H и с низкой вероятностью потерь p L < p H . Известно также, что доля потребителей с низкой вероятностью потерь равна

λ.

Охарактеризуйте

контракты,

максимизирующие

ожидаемую

прибыль

монополиста. Можно ли сказать, что для покупателей какого-то типа имеет место рационирование при покупке страховки в том смысле, что он бы предпочел приобрести больше справедливой страховки, если бы была такая возможность. Объясните интуитивно, почему такое рационирование имеет место.

5. Примерная тематика рефератов, курсовых работ

Другим видом самостоятельной работы является написание рефератов. В качестве тем рефератов предлагаются статьи из научных журналов, посвященных соответствующей тематике: Gale I.L., M. Stegeman (2001) Sequential auctions of endogenously valued objects // Games and economic behavior, vol. 36, pp.74 – 103. Manzini P., M. Mariotti (2001) Perfect equilibria in a model of bargaining with arbitration // Games and economic behavior, vol. 37, pp. 170 – 195 Avery C., P. Zensky (1994) Money burning and multiple equilibria in bargaining // Games and economic behavior, vol. 7, pp. 154 – 168 + Holden S. Bargaining and commitment in a permanent relationship // Games and economic behavior, vol. 7, pp. 169 – 176 Rubinstein A., A. Wolinsky (1995) Remarks on infinitely repeated extensive-form games // Games and economic behavior, vol. 9, pp. 110-115 + Sorin S. (1995) A note on repeated extensive games // Games and economic behavior, vol.9., pp. 116 – 123 Cheng L.K., M. Zhu (1995) May mixed-strategy Nash equilibrium based upon expected utility and quadratic utility // Games and economic behavior, vol. 9, pp. 139 – 150 Jehiel P., B. Walliser (1995) How to select a dual Nash equilibrium // Games and economic behavior, vol. 10 , pp. 333-354

20 6.Примерный перечень вопросов к зачету (экзамену) по всему курсу повышения квалификации преподавателей

В связи с тем, что курс теории игр направлен на формирование навыков практического анализа стратегических ситуаций, представляется важным в течение курса контролировать успешность освоения этих навыков у слушателей курса, а также насколько слушатели способны самостоятельно составлять задания, позволяющие осуществлять эту проверку. В своих курсах слушателям мы предлагаем делать это в следующих формах. Во-первых, периодически даваемые домашние работы по материалам каждого раздела курса. Во-вторых, периодические краткие самостоятельные работы по отдельным

темам.

отличающиеся

от

В-третьих,

промежуточные

самостоятельных

работ

контрольные

более

широким

работы

по

охватом

курсу, тем

и

продолжительностью. В-четвертых, самостоятельные работы в форме реферата, с целью выявить умение работать с современными журнальными публикациями, активно использовать методы теории игр для анализа не модельных примеров, а реальных ситуаций и связно излагать выводы анализа в структурированном виде. Эти формы упорядочены по сложности, и последний вид мы предлагаем для работы со слушателями, предполагающими работать со студентами, специализирующимися в экономической теории и математических методах в экономике. Наиболее значимый критерий восприятия слушателями материала курса – умение решать задачи. Поэтому предполагается проводить тесты по курсу в письменной форме. Наряду с задачами, позволяющими определить степень ориентации преподавателей в концепциях теории игр, включены также задания проверяющие методическую подготовку преподавателей.

Примеры

задач

к

промежуточному

или

итоговому

контрольному

мероприятию.

1. Существует десять полей сражения, ценность взятия которых ранжирована a1 < ... < a10 . У каждого игрока ni < 10 солдат (i=1, 2). Стратегии игроков – распределить своих солдат по этим полям сражения. Игроки могут отправить на одно поле сражения максимум одного солдата. Игрок выигрывает битву (т.е. получает a j ) на всех полях сражений, где у него есть солдат, а у его противника нет. Войну выигрывает тот,

21 суммарная ценность выигранных сражений которого выше. Покажите, что в этой игре существует единственное равновесие в доминирующих стратегиях. 2. Два игрока делят между собой 4 ореха. Каждый делает свою заявку на орехи: xi = 1, 2 или 3. Если x1 + x2 < 4 , то каждый получает сколько просил, в противном случае оба не получают ничего. Найдите все равновесия Нэша. 3. Формируются два избирательных блока, которые будут претендовать на места в законодательном собрании города N-ска. Каждый из блоков может выбрать одну из трех ориентаций: «левая» (L), «правая» (R) и «экологическая» (E). Каждая из ориентаций может привлечь 50, 30 и 20% избирателей соответственно. Известно, что если интересующая их ориентация не представлена на выборах, то избиратели из соответствующей группы не будут голосовать. Если блоки выберут разные ориентации, то каждый получит соответствующую долю голосов. Если блоки выберут одну и ту же ориентацию, то голоса соответствующей группы избирателей разделятся поровну между ними. Цель каждого блока — получить наибольшее количество голосов. Найдите все равновесия Нэша. 4. Два игрока размещают точку на плоскости. Один игрок выбирает абсциссу, другой — ординату. Их выигрыши заданы функциями: а) u x ( x, y ) = − x 2 + x ( y + a ) + y 2 , u y ( x, y ) = − y 2 + y ( x + b) + x 2 , б) u x ( x, y ) = − x 2 − 2ax( y + 1) + y 2 , u y ( x, y ) = − y 2 + 2by ( x + 1) + x 2 в) u x ( x, y ) = − x − y / x + 1 / 2 y 2 , u y ( x, y ) = − y − x / y + 1 / 2x 2 (a, b – коэффициенты). Найдите все равновесия Нэша. 5. Заполните пропущенные выигрыши в следующей таблице так, чтобы в получившейся игре. (0) не было ни одного равновесия Нэша, (1) было одно равновесие Нэша, (2) было два равновесия Нэша, (3) было три равновесия Нэша,

Таблица 4 1 ?

? 2

? 4

0 ?

(4) было четыре равновесия Нэша.

22 6. В некоторой игре двух игроков, каждый из которых имеет 2 стратегии, у каждого из игроков все выигрыши различны, и существует ровно два равновесия Нэша. Покажите, что в этой игре есть еще равновесие в невырожденных смешанных стратегиях. 7. Барин выбирает, какую долю τ стоимости y урожая забирать у крестьянина в виде издольщины. Он при этом максимизирует функцию вида

τy − τ2 , то есть желает побольше получить, но не желает прослыть жадным, что возможно при слишком большом τ (τ∈ [0, 1] ). Крестьянин имеет целевую функцию ( 1 − τ ) y − y 2 , то есть максимизирует прибыль по y ( y > 0 ) при квадратичной функции затрат. Найдите решение, используя обратную индукцию. 8. 50 пиратов делят добычу в 100 дукатов. Правило дележа следующее. В порядке старшинства каждый пират предлагает свою схему дележа. Если большинство пиратов (не менее половины, включая пирата, который предлагает дележ) принимает предложение, то оно выполняется и процедура дележа заканчивается. Если предложение отвергается, то пират, который его сделал, исключается из числа участвующих в дележе, и тогда настает очередь следующего по старшинству пирата предложить схему дележа между оставшимися пиратами. Объясните, почему описанная игра является игрой с почти совершенной информацией. Как будет поделена добыча? Будет ли равновесие единственным? 9. Рассмотрите следующую игру с сигналами. В игре принимают участие два игрока: истец и ответчик. Истец точно знает, выиграет ли он дело, если оно будет передано в суд, ответчик не обладает данной информацией, но он знает, что этой информацией обладает истец. У ответчика есть некоторые исходные предположения о том, как завершится дело в суде: он считает, что с вероятностью 1/3 дело будет решено в его пользу и с вероятностью 2/3 в пользу истца, причем эти предположения известны и истцу. Если истец выиграет, то он получит $3, а ответчик должен будет заплатить $4. Если истец проиграет, то ему придется заплатить $1, а ответчик ничего не получит, но и ничего не потеряет (эта ситуация соответствует тому, что ответчик выплатит компенсацию ущерба истцу в размере $3, если истец выиграет дело, и проигравшая сторона должна возместить судебные издержки в размере $1). У истца есть две линии поведения в досудебном урегулировании вопроса: он может просить о большом возмещении m=2 или о маленьком возмещении m=1. Если

23 ответчик согласится удовлетворить требования истца до суда, то он заплатит истцу сумму, равную m. Если ответчик не согласится, то дело будет передано в суд. а) Изобразите дерево игры. б) Найдите все объединяющие совершенные Байесовские равновесия (в чистых стратегиях). в) Найдите все разделяющие совершенные Байесовские равновесия (в чистых стратегиях). 10. Найдите все совершенные Байесовские равновесия (в чистых стратегиях) для следующей игры: игрок 1 L

R

M

игрок 2 a 4 1

11.

b 0 0

Придумайте

a

2 2

b 3 0

0 1

три

стратегических

ситуации,

которые

могут

быть

ситуации,

которые

могут

быть

смоделированы как «Дилемма заключенных». 12.

Придумайте

три

стратегических

смоделированы как координационная игра «Семейный спор». 13. Подберите примеры из повседневной жизни, которые могут служить иллюстрациями к проблеме неполноты информации и, в частности, играм с сигналами. 14. Придумайте эксперимент (правила игры, структуру выигрышей и др.) результаты проведения которого, могли бы служить для студентов иллюстрациями к теме «Критика концепции совершенного в подыграх равновесия».

III.

Распределение часов курса по темам и видам работ

Для программы повышения квалификации преподавателей предусмотрено большее количество часов на практические занятия, чем на лекции, поскольку, даже если современные

учебники

попадают

в

библиотеки

региональных

преподавателей возникают затруднения при решении задач.

вузов,

часто

у

24 № п/ п

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

IV.

Наименование тем и разделов

Основные идеи некооперативной теории игр и примеры игр Статические игры с полной информацией Динамические игры в условиях совершенной информации Динамические игры с несовершенной информацией Повторяющиеся игры Статические игры с неполной информацией Динамические игры с неполной информацией Усиление концепций равновесия ИТОГО:

ВСЕГО (часов)

Аудиторные занятия (час)

Самостоят ельная работа

2

1

1

6 6

4 4

2 2

6

4

2

6 8

4 5

2 3

8

6

2

6 48

4 32

2 16

Форма итогового контроля

В связи с тем, что курс направлен на формирование навыков практического анализа стратегических ситуаций, наиболее значимый критерий восприятия студентами материала курса – умение решать задачи. Поэтому предполагается проводить тесты по курсу в письменной форме, с проставлением набранных баллов. Кроме того, для определения степени методической подготовки преподавателей предполагается, что каждый из них подготовит план одного занятия с указанием собственных методических разработок. Этот этап должен оцениваться всеми слушателями, которые будут проставлять оценки анонимно. V.

Учебно-методическое обеспечение курса 1.

Основная литература

•

Бусыгин

В.П.,

Коковин

С.Г.,

Желободько

Е.В.,

Цыплаков

А.А.

Микроэкономический анализ несовершенных рынков. (2000) Новосибирск

•

Конспект лекций по курсу "Экономические приложения теории игр".

Подготовлен при содействии НФПК в рамках программы "Совершенствование преподавания социально-экономических дисциплин в вузах" Инновационного проекта развития образования."

25 2. Дополнительная литература

1. ОСНОВНЫЕ ИДЕИ ТЕОРИИ ИГР И ПРИМЕРЫ ИГР

•

Aliprantis, Subir K. Chakrabarti. Games and Decision making. Oxford University

Press, 2000.

•

Dixit, A., Skeath, S. Games of Strategy, Norton Press, 1999

•

Dutta P. K. Strategies and Games (theory and practice). MIT Press, 1999.

•

Fudenberg, D., J. Tirole. Game Theory. MIT Press, 2002. (Chapter 1– 2)

•

Gibbons P. “A Primer in game Theory”, Harvester Wheatsheaf, 1992 (Part 1)

•

Mas-Colell A., Whinston M.D., Green J. R. “Microeconomic Theory”, Oxford

University Press, 1995 (Chapters 7).

•

Osborne M. J., Rubinstein A. A Course in Game Theory, The MIT Press, 1994.

(Introduction)

•

Rasmusen “Games and Information. An introduction to Game Theory”, Third

edition, Blackwell, 2001 (Introduction)

Часть I. Игры с полной информацией

2. СТАТИЧЕСКИЕ ИГРЫ С ПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИЕЙ

•

Aliprantis Ch., Chakrabarti S. K. Games and Decision Making. Oxford University

Press, 2000.

•

Dixit, A., Skeath, S. Games of Strategy, Norton Press, 1999 (Chapters 4 –5)

•

Dutta P. K. Strategies and Games (theory and practice). MIT Press, 1999.

•

Fudenberg, D., J. Tirole. Game Theory. MIT Press, 2002. (Chapter 1– 2)

•

Gibbons P. “A Primer in game Theory”, Harvester Wheatsheaf, 1992 (Part 1)

•

Mas-Colell A., Whinston M.D., Green J. R. “Microeconomic Theory”, Oxford

University Press, 1995 (Chapters 8, 8A – 8D).

•

Osborne M. J., Rubinstein A. A Course in Game Theory, The MIT Press, 1994.

(Chapter 2, 2.1 – 2.5; chapter 3 – 5).

•

Rasmusen “Games and Information. An introduction to Game Theory”, Third

edition, Blackwell, 2001 (part 1, chapters 1,3)

26

3. ДИНАМИЧЕСКИЕ ИГРЫ В УСЛОВИЯХ СОВЕРШЕННОЙ ИНФОРМАЦИИ

•

Dixit, A., Skeath, S. Games of Strategy, Norton Press, 1999 (Chapters 3)

•

Fudenberg, D., J. Tirole. Game Theory. MIT Press, 2002. (Chapter 3).

•

Gibbons P. “A Primer in game Theory”, Harvester Wheatsheaf, 1992 (Part 2,

chapters 2.1)

•

Mas-Colell A., Whinston M.D., Green J. R. “Microeconomic Theory”, Oxford

University Press, 1995 (Chapters 9B).

•

Osborne M. J., Rubinstein A. A Course in Game Theory, The MIT Press, 1994.

(Chapter 6 – 7). Отдельно литература по теории переговоров

•

Binmore K “Fun and Games. A Text on Game Theory”, Heath, 1992 (Part 5,

chapters 5.3 – 5.8)

•

Osborne, M.J., A.Rubinstein. Bargaining and Markets. Academic Press, 1990

(Chapter 3)

•

Mas-Colell A., Whinston M.D., Green J. R. “Microeconomic Theory”, Oxford

University Press, 1995 (Chapters 9, Appendix А). 4. ДИНАМИЧЕСКИЕ ИГРЫ С НЕСОВРЕШННОЙ ИНФОРМАЦИЕЙ

•

Dixit, A., Skeath, S. Games of Strategy, Norton Press, 1999 (Chapter 6)

•

Fudenberg, D., J. Tirole. Game Theory. MIT Press, 2002. (Chapter 4)

•

Gibbons P. “A Primer in game Theory”, Harvester Wheatsheaf, 1992 (Part 2,

chapter 2.2)

•

Osborne M. J., Rubinstein A. A Course in Game Theory, The MIT Press, 1994.

(Chapter 11). 5. ПОВТОРЯЮЩИЕСЯ ИГРЫ

•

Fudenberg, D., J. Tirole. Game Theory. MIT Press, 2002. (Chapter 5)

•

Gibbons P. “A Primer in game Theory”, Harvester Wheatsheaf, 1992 (Part 2,

chapter 2.3)

•

Mas-Colell A., Whinston M.D., Green J. R. “Microeconomic Theory”, Oxford

University Press, 1995 (Chapters 12, Appendix).

•

Rasmusen “Games and Information. An introduction to Game Theory”, Third

edition, Blackwell, 2001 (Part 1, chapter 5)

27

•

Osborne M. J., Rubinstein A. A Course in Game Theory, The MIT Press, 1994.

(Chapter 8). Часть II. Игры с неполной (асимметричной) информацией

6. СТАТИЧЕСКИЕ ИГРЫ С НЕПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИЕЙ

•

Fudenberg, D., J. Tirole. Game Theory. MIT Press, 2002. (Chapter 6 – 7)

•

Gibbons P. “A Primer in game Theory”, Harvester Wheatsheaf, 1992 (Part 3)

•

Mas-Colell A., Whinston M.D., Green J. R. “Microeconomic Theory”, Oxford

University Press, 1995 (Chapter 8E).

•

Osborne M. J., Rubinstein A. A Course in Game Theory, The MIT Press, 1994.

(Section 2.6).

•

Rasmusen “Games and Information. An introduction to Game Theory”, Third

edition, Blackwell, 2001 (Part 3, chapter 13) 7. ДИНАМИЧЕСКИЕ ИГРЫ С НЕПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИЕЙ

•

Bierman, H.S., L.Fernandez. Game Theory with Economic Applications.

Addison-Wesley, 1998 (Part V)

•

Fudenberg, D., J. Tirole. Game Theory. MIT Press, 2002.( Section 8.2, chapter 9

•

Gibbons P. “A Primer in game Theory”, Harvester Wheatsheaf, 1992 (part 4,

– 10) chapters 4.1 - 4.3)

•

Mas-Colell A., Whinston M.D., Green J. R. “Microeconomic Theory”, Oxford

University Press, 1995 (Chapter 9C).

•

Rasmusen “Games and Information. An introduction to Game Theory”, Third

edition, Blackwell, 2001 (Part 2, chapters 9, 11)

•

Osborne M. J., Rubinstein A. A Course in Game Theory, The MIT Press, 1994.

(Sections 12.1 – 12.3). 8. УСИЛЕНИЕ КОНЦЕПЦИИ РАВНОВЕСИЯ*

•

Fudenberg, D., J. Tirole. Game Theory. MIT Press, 2002. (Sections 8.3 – 8.4,

chapter 11)

• chapter 4.4)

Gibbons P. “A Primer in game Theory”, Harvester Wheatsheaf, 1992 (part 4,

28

•

Mas-Colell A., Whinston M.D., Green J. R. “Microeconomic Theory”, Oxford

University Press, 1995 (Chapters 8E, 9C- 9D)

•

Rasmusen “Games and Information. An introduction to Game Theory”, Second

edition, Blackwell, 1994 (Part 2, chapters 7 – 10)

•

Osborne M. J., Rubinstein A. A Course in Game Theory, The MIT Press, 1994.

(Section 12.4 – 12.5).