М И Н И СТ Е РСТ В О О БРА ЗО В А Н И Я РО ССИ Й СК О Й Ф Е Д Е РА Ц И И В О РО Н Е Ж СК И Й ГО СУ Д А РСТ В Е Н Н Ы Й У...
19 downloads
152 Views
223KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
М И Н И СТ Е РСТ В О О БРА ЗО В А Н И Я РО ССИ Й СК О Й Ф Е Д Е РА Ц И И В О РО Н Е Ж СК И Й ГО СУ Д А РСТ В Е Н Н Ы Й У Н И В Е РСИ Т Е Т
В Ы С Ш АЯ М АТ Е М АТ И К А П о со бие для ст у де нт о в С пеци а ль н о ст и : 022600 -"Т еорияи метод ика препод аванияиност ранны х язы кови культ ур", 022900 -"П еревод и перевод овед ение", 021800 "Т еоретич ескаяи приклад наялингвист ика"
В оронеж – 2003
2
У т верж д ено науч но-метод ич еским советом ф акульт ета, прот окол№ 2 от 2 сент ября2003г.
мат емат ич еского
Сост авит ели: Г. Б. Савч енко, Н .А . Я рцева
П особие под гот овлено на каф ед ре мат емат ич еского мод елирования мат емат ич еского ф акульт ета В оронеж ского госуд арст венного университ ета. Рекоменд уетсядля ст уден т о в 1 кур са дн евн о го о т делен и я фа куль т ет а р о ма н о -гер ма н ско й фи ло ло ги и , о буча ющи хся по специ а ль н о ст ям: 022600 "Т еорияи метод ика препод аванияиност ранны х язы кови культ ур", 022900 "П еревод и перевод овед ение", 021800 -"Т еоретич ескаяи приклад ная лингвист ика"
3 В ведение Н аст оящ еепособиепред назнач ено д ля ст уд ент ов 1 курса ф акульт ета романо-германской ф илологии и сод ерж ит общ ие указания по изуч ению разд елов вы сш ей мат емат ики « А налит ич еская геометрия» , « В ы сш ая алгебра» , « М ат емат ич еский анализ» в об ъеме программы д ля указанной специальност и, а т акж еконт рольны езад ания. П особ ие сод ерж ит необход имы е т еоретич еские свед ения, а т акж е под робны ереш еният ипич ны х примеровпо каж д омуизразд елов.
1. Анал и т ическаягеомет рияна пл оскост и Расст ояние d меж д ут оч ками M 1 ( x1 ; y1 ) и M 2 ( x2 ; y2 ) на плоскост и: d=
( x2 − x1 )2 + ( y1 − y2 )2
= M 1M 2 .
(1)
Д елениеот резка вд анном от нош ении. Д аны т оч ки M 1 ( x1 ; y1 ) и M 2 ( x2 ; y2 ) . Говорят , ч т о т ретьяточ ка M ( x; y ) , леж ащ ая на д анной прямой , д елит от резок M 1M 2 в от нош ении λ , если M 1M
( λ - полож ит ельно, если т оч ка M леж ит меж д ут оч ками MM 2 M 1 и M 2 , и от рицат ельно, если т оч ка M леж ит вне от резка M 1M 2 . К оорд инат ы т оч ки M ( x; y ) , д елящ ей от резок M 1 M 2 в от нош ении λ, опред еляю т сяпо ф ормулам: x + λx2 y + λy 2 x= 1 (2) ; y= 1 , (λ ≠ −1) . 1+ λ 1+ λ К оорд инат ы серед ины от резка опред еляю т сяпо ф ормулам: x +x y + y2 x= 1 2;y= 1 . (3) 2 2 П лощ ад ь т реугольника с верш инами A(x1 ; y1 ) , B ( x 2 ; y 2 ) , C ( x3 ; y 3 ) наход ит сяпо ф ормуле 1 S = x1 ( y 2 − y3 ) + x2 ( y3 − y1 ) + x3 ( y1 − y 2 ) . (4) 2 λ =±
О бщ ееуравнениепрямой . У равнениевид а Ax + By + C = 0,
(5)
гд е A, B, C - постоянны е коэ ф ф ициент ы , A 2 + B 2 ≠ 0 ; x и yкоорд инат ы лю бой т оч ки, опред еляет на плоскост и некот орую прямую .
4 У равнение(5) назы ваетсяобщ им уравнением прямой . У равнениепрямой сугловы м коэ ф ф ициент ом. У равнениевид а y = kx + b (6) назы вается уравнением прямой с угловы м коэ ф ф ициент ом. k – угловой коэ ф ф ициент , k = tgα ( α - угол меж д у прямой и полож ит ельны м направлением оси Ox ). У гол меж д упрямы ми. О ст ры й угол ϕ меж д у прямы ми опред еляетсяпо ф ормуле k − k1 tgϕ = 2 , k1k 2 ≠ −1 . 1 + k1k 2 У словиепараллельност и прямы х: k1 = k 2 . У словиеперпенд икулярност и прямы х: 1 k1 = − или k1 k2 = −1 . k2
y = k1 x + b1
и
y = k 2 x + b2
(7)
(8) (9)
У равнение прямой с угловы м коэ ф ф ициент ом k , проход ящ ей ч ере з д анную т оч ку M 0 ( x0 ; y0 ) , имеет вид y − y 0 = k ( x − x0 ), k ≠ 0 . ( 10 ) У равнениепрямой , проход ящ ей ч ерезд вет оч ки. У равнениепрямой , проход ящ ей ч ерезд везад анны ет оч ки, M 1 ( x1 ; y1 ) и M 2 ( x 2 ; y 2 ) , имеет вид y − y1 x − x1 = ; x2 ≠ x1 ; y2 ≠ y1 . ( 11 ) y2 − y1 x2 − x1 У гловой коэ ф ф ициент э т ой прямой опред еляетсяпо ф ормуле y − y1 k= 2 . x2 − x1 У равнениепрямой вот резках. У равнениевид а x y + = 1; a ≠ 0; b ≠ 0 ( 12 ) a b назы ваетсяуравнением прямой вот резках. Зд есь a и b - абсцисса и орд инат а т оч ки пересеч енияпрямой с осью Ox и осью Oy соот ветст венно.
5 Н ормальноеуравнениепрямой . У равнениевид а x cosα + y sin α − p = 0 ( 13 ) назы вается нормальным уравнением прямой . Зд есь p - д лина перпенд икуляра, опущ енного из нач ала коорд инат на прямую , α -угол меж д уэ т им перпенд икуляром и полож ит ельны м направлением оси Ox . Ч т обы общ ееуравнениепрямой (1) привест и к нормальномувид у (13), над о все ч лены уравнения (1) умнож ит ь на нормирую щ ий множ ит ель 1 M = . ± A2 + B 2 Д ля M над о взят ь « +» , если C < 0 ; знак« - » , если C > 0 . Расст ояниеот т оч ки д о прямой . Расст ояние d от д анной т оч ки M 0 ( x0 , y0 ) д о прямой Ax + By + C = 0 опред еляетсяпо ф ормуле Ax 0 + By 0 + C . ( 14 ) d= 2 2 A +B О круж ност ь. О круж ност ь – э т о множ ест во т оч ек плоскост и равноуд аленны х от д анной т оч ки C (a; b ) . У равнениеокруж ност и имеет вид ( x − a )2 + ( y − b )2 = R 2 , ( 15 ) C (a; b ) - цент р окруж ност и; R - рад иусокруж ност и.
M ( x; y ) ,
Э ллипс. Э ллипс – э т о множ ест во т оч ек плоскост и M ( x; y ) , сумма расст ояний кот оры х д о д вух т оч ек F1 (− c;0 ) и F2 (c;0 ) ест ь велич ина пост оянная, равная 2a (2a > 2c ) . К анонич еское(прост ей ш ее) уравнениеэ ллипса имеет вид : x2 y2 + =1. ( 16 ) a 2 b2 Зд есь a, b - полуоси э ллипса; F1 и F2 - ф окусы э ллипса, a 2 = c 2 + b 2 . c Ч исло = ε < 1 (т аккак a > c ) назы ваетсяэ ксцент рисит етом э ллипса. a Ф окальны е рад иусы r1 = F1 M и r2 = F2 M опред еляю т ся по ф ормулам: r1 = a + εx; r2 = a − εx.
6 Гипербола. Гипербола – э т о множ ест во т оч ек плоскост и M ( x; y ) , абсолю т ная велич ина разност и расст ояний кот оры х д о д вух т оч ек F1 (− c;0 ) и F2 (c;0 ) ест ь велич ина пост оянная, равная 2 a (2a < 2c) . F1 M − F2 M = 2a . F1 и F2 - ф окусы гиперболы ; r1 = F1 M и r2 = F2 M - ф окальны ерад иусы . К анонич ескоеуравнениегиперболы : x2 y2 − = 1. ( 17 ) a 2 b2 Зд есь a, b - полуоси гиперболы (д ей ст вит ельнаяи мнимаясоот ветст венно) c2 = a2 + b2 . c Ч исло = ε > 1 (т аккак a < c ) – э ксцент рисит ет гиперболы . a Ф окальны ерад иусы опред еляю т сяпо ф ормулам r1 = εx + a ; r2 = εx − a . Гипербола сост оит из д вух ветвей , располож енны х от носит ельно осей коорд инат . Т оч ка O - цент р гиперболы . Т оч ки пересеч ения с осью Ox A1 (− a;0) и A2 (a;0 ) - верш ины гиперболы . Гипербола имеет д веасимпт от ы b y = ± x . Е сли a = b , т о гиперб ола назы ваетсяравност оронней . a Гиперболы
x2 y2 y2 x2 − = 1 − =1 и a 2 b2 b2 a2 назы ваю т сясопряж енны ми. П арабола. П арабола – э т о множ ест во т оч екплоскост и M ( x; y ) , равноуд аленны х от p p д анной т оч ки F ,0 , назы ваемой ф окусом, и д анной прямой x=− , 2 2 назы ваемой д ирект рисой . К анонич ескоеуравнениепараболы имеет вэ т ом случ аевид : y 2 = 2 px , FM = r - ф окальны й рад иусопред еляетсяпо ф ормуле p r = x + , ( p > 0) . 2 2. В ысш аяал гебра
7 О пред елит ели. О пред елит елем вт орого поряд ка назы вается ч исло, обознач аемое a11 a12 символом и опред еляемоеравенст вом: a 21 a 22 a11
a12
= a11a 22 − a 21a12 . ( 1) a 21 a22 О пред елит елем т ретьего поряд ка назы вается ч исло, опред еляемое равенст вом: a11 a12 a13 a21 a22 a21 a23 a22 a23 a21 a22 a23 = a11 − a12 + a13 .( 2 ) a31 a32 a31 a33 a32 a33 a31 a32 a33 Сист емы д вух линей ны х уравнений сд вумянеизвест ны ми. Сист ема a11 x + a12y = b 1 (3) a 21 x + a22y = b 2 имеет реш ение
x=
гд е ∆ =
b1
a12
b2
a 22
a11
a12
a 21
a 22
a11
a12
a 21
a 22
a11 ,
y=
b1
a 21 b2 , a11 a12 a 21
(4)
a 22
.
Сист ема д вух од нород ны х линей ных уравнений ст ремянеизвест ны ми a11 x + a12 y + a13 z = 0 (5) a 21 x + a 22 y + a 23 z = 0 имеет реш ение a12 a13 a11 a13 a11 a12 , y = −t , z=t , x=t a22 a 23 a 21 a23 a 21 a 22 гд е t - произвольноеч исло. Сист ема т рех од нород ных линей ны х уравнений ст ремянеизвест ны ми
8 a11 x + a12 y + a13 z = 0 a 21 x + a 22 y + a 23 z = 0 a x + a y + a z = 0 31 32 33 имеет от лич ны еот нуля реш ения т огд а и т олько т огд а, когд а опред елит ель сист емы a11 a12 a13 ∆ = a 21
a22
a 23 = 0.
a31
a32
a33
(7)
Сист ема т рех линей ны х уравнений сд вумянеизвест ны ми a11 x + a12 y = b1 (8) a 21 x + a 22 y = b2 a x + a y = b 31 32 3 совмест на, когд а
a11
a12
b1
a 21
a 22
b2 = 0
a31 a32 прот ивореч ивы х уравнений .
и сист ема несод ерж ит попарно
b3
Сист ема т рех уравнений ст ремянеизвест ны ми a11 x + a12 y + a13 z = b1 a 21 x + a 22 y + a 23 z = b2 a x + a y + a z = b 31 32 33 3 при условии, ч т о a11 a12 a13 ∆ = a 21
a22
(9)
a23 ≠ 0
a 31 a32 a33 имеет ед инст венноереш ение ∆y ∆ ∆ x= x , y= , z= z , ∆ ∆ ∆ гд е b1 a12 a13 a11
( 10 ) b1
a13
a11
a12
b1
∆ x = b2
a 22
a 23 , ∆ y = a 21
b2
a 23 , ∆ z = a 21
a 22
b2 .
b3
a32
a33
b3
a33
a32
b3
a 31
a31
Н есовмест ны еи неопред еленны есист емы . П уст ь опред елит ель сист емы (9) ∆ = 0 . Т огд а возмож ны след ую щ ие случ аи: 1. Э лемент ы д вух ст рок опред елит еля пропорциональны , например:
9 a11 a12 a13 = = = m . Т огд а a 21 a 22 a 23 а) если b1 ≠ mb2 , т о сист ема несовмест на; б) если b1 = mb2 , т о сист ема неопред еленна (если первоеи т ретье уравнениянепрот ивореч ивы ). 2. В опред елит еле ∆ нет строк с пропорциональными э лемент ами. Т огд а сущ ест вую т ч исла C1 и C 2 (от лич ные от нуля), при кот оры х mL1 + nL2 = L3 и а) если mb1 + nb2 ≠ b3 , т о сист ема несовмест на; б) если mb1 + nb2 = b3 , т о сист ема неопред еленна, гд е Li (i = 1,2,3) левы еч аст и уравнения(9). К омплексны еч исла. О пред еление. К омплексным ч ислом назы ваю т ч исла вид а a + ib , гд е a и b - д ей ст вит ельны еч исла, а i 2 = −1 (мнимаяед иница). i 3 = − i; i 4 = 1; i 5 = i и т .д . ( 11 ) Слож ение, вы ч ит ание, умнож ениеи возвед ениевст епень комплексны х ч исел вы полняю т по правилам э т их д ей ст вий над многоч ленами с заменой ст епеней ч исла i по ф ормулам (11). Т ригонометрич ескаяф орма комплексного ч исла. К омплексное ч исло z = a + ib опред еляется парой вещ ест венны х ч исел (a; b ) и поэ т омуизоб раж ается т оч кой M (a; b ) плоскост и или ее рад иусом вект ором r = OM . Д лина э т ого вект ора назы вается мод улем комплексного ч исла r = a 2 + b 2 , а угол ϕ с осью Ox назы вается аргумент ом комплексного ч исла. Т аккак x = r cos ϕ , y = r sin ϕ , т о z = r (cos ϕ + i sin ϕ ) . ( 12 ) Д ей ст виянад комплексны ми ч ислами вт ригонометрич еской ф орме. 1)
r1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 ) ⋅ r2 (cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 ) = r1 ⋅ r2 [cos(ϕ1 + ϕ 2 ) + i sin (ϕ1 + ϕ 2 )]
,
( 13 )
2)
r1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 ) r1 = [cos(ϕ1 − ϕ 2 ) + i sin (ϕ 1 − ϕ 2 )] , ( 14 ) r2 (cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 ) r2
3)
[r (cos ϕ + i sin ϕ )]n = r n (cos nϕ + i sin nϕ ) ,
( 15 )
10 ϕ + 2 kπ ϕ + 2 kπ + i sin 4) Wk = n r (cos ϕ + i sin ϕ ) = n r cos n n гд еk = 0,1,2,..., (n − 1) .
,( 16 )
3. М ат емат ический анал из П ред елы . Ч исло A назы вается пред елом ф ункции f (x) при x → a , если д ля лю бого сколь угод но малого ε > 0 най д ется т акое δ > 0 , ч т о при 0 < x − a < δ ⇒ f ( x) − A < ε . П иш ут lim f ( x ) = A . П ракт ич еское x→ a
вы ч ислениепред еловосновы ваетсяна след ую щ их т еоремах: Е сли сущ ест вую т конеч ны епред елы lim f ( x ) и lim g ( x ) , т о x→a
1)
2) 3)
lim[ f ( x ) + g ( x )] = lim f ( x ) + lim g ( x ) ,
x →a
x→ a
x→a
x →a
- 10 lim[ f ( x ) ⋅ g ( x) ] = lim f ( x ) ⋅ lim g ( x ) ,
x →a
lim x→ a
x→ a
x→ a
f ( x) f ( x ) lim (при lim g ( x ) ≠ 0 ) . = x →a x →a g ( x ) lim g ( x )
1 α
lim (1 + α ) = e ,
α →0
5)
4)
x→a
(3)
aα − 1 = ln a α →0 α
m ( 1+ α ) −1 lim =m
α →0
(4)
lim
α Зд есь α = α (x) - бесконеч но малаяф ункция lim α (x ) = 0 .
(
(2)
x →a
И спользуят акж еслед ую щ иепред елы : sin α ln(1 + α ) = 1, 3) lim =1 , 1) lim α →0 α α →0 α 2)
(1)
.
)
Сравнениебесконеч но малы х. П уст ь α (x) и β (x) бесконеч но малы е при x → a . Е сли α ( x) lim = 1 , т о бесконеч но малы е назы ваю т ся э квивалент ными. П иш ут : x→ a β ( x ) α~β. Т еорема. Е сли от нош ениед вух бесконеч но малы х имеет пред ел, т о
11 э т от предел не изменит ся при замене каж д ой
из бесконеч но малы х α э квивалент ной ей бесконеч но малой , т о ест ь если lim = m,α ~ α 1 , β ~ β 1 , x→ a β то α α lim 1 = lim = m . (5) x →a β x→ a β 1 П олезно использоват ь э квивалент ност ь след ую щ их бесконеч но малы х: если α → 0 , т о sin α ~ α , tgα ~ α , arcsin α ~ α , arctgα ~ α , ln(1 + α ) ~ α ,
aα − 1 ~ α ln a,
(1 + α )m − 1 ~ α ⋅ m.
( 5/ )
Д иф ф еренцированиеф ункций . О пред еление. П роизвод ной от ф ункции назы ваетсяконеч ны й пред ел f ( x + ∆x ) − f ( x) ∆y lim = lim = f / ( x) . ∆x →0 ∆x →0 ∆x ∆x
y = f (x)
в т оч ке x (6)
Н ахож д ениепроизвод ной назы ваетсяд иф ф еренцированием ф ункции. О сновныеправила д иф ф еренцирования. П уст ь C = const , u = u(x ), v = v (x ) - д иф ф еренцируемы еф ункции. Т огд а: / / 1) C / = 0; 2) (Cu ) = Cu / ; 3) (u ± v ) = u / ± v / ; /
u / v − uv / u 5) = ; 4) (uv ) = u v + uv ; v2 v если y = f (u ), u = u(x), т о y / ( x) = y / (u ) ⋅ u / ( x) (правило д иф ф еренцированияслож ной ф ункции). /
/
/
(7)
П роизвод наяст епенно-показат ельной ф ункции.
(u )
v /
= v ⋅ u v −1 ⋅ u / + u v ⋅ ln u ⋅ v / , гд е u = u ( x), v = v( x) - д иф ф еренцируемы еф ункции.
(8)
Зад ач и среш ением Зад ач а 1. Н ай т и уголмеж д упрямы ми А ) 4x + 2 y − 5 = 0 и 6 x + 3 y + 1 = 0 Б)
3x − y − 2 = 0 и
3x + y − 1 = 0 .
Реш ение. П ривед ем уравнения к вид ууравнений прямы х с угловы м коэ ф ф ициент ом (п. 1 (6)).
12
5 ⇒ k1 = −2 2 1 6 x + 3 y + 1 = 0 ⇒ y = −2 x − ⇒ k 2 = −2 . 3 У гловы е коэ ф ф ициент ы э т их прямы х равны, след оват ельно, прямы е параллельны , ϕ = 0. А ) 4 x + 2 y − 5 = 0 ⇒ y = −2 x +
Б)
3 x + y − 2 = 0 ⇒ y = 3 x − 2 ⇒ k1 = 3
3x + y − 1 = 0 ⇒ y = − 3x + 1 ⇒ k 2 = − 3 . П о ф ормуле(п. 1 (7)) получ им: − 3− 3 −2 3 = tgϕ = = 3; ϕ = 60 o. −2 1− 3 ⋅ 3
Зад ач а 2. Э ксцент рисит ет гиперболы равен 2 . Н ай т и прост ей ш ее уравнениегиперболы , проход ящ ей ч ерезт оч куM 2 ;1 .
(
)
c = 2 или c 2 = 2a 2 . Т ак a 2 2 2 2 2 2 2 2 как c = a + b , т о a + b = 2a или a = b . След оват ельно, гипербола равност оронняя. M 2 ;1 в уравнение (п.1 (17)), 2. П од ст авим коорд инат ы т оч ки Реш ение. 1. Э ксцент рисит ет гиперболы
(
( )
2 − (1) = a 2 или a 2 = 1 . получ им 3. И скомоеуравнениегиперболы имеет вид 2
)
2
Зад ач а 3. Н ай т и всезнач ения
6
x2 − y 2 = 1.
1.
Реш ение. Т ригонометрич ескаяф орма z = 1 имеет вид z = 1 cos 0 o + i sin 0 o
(
)
0 + 2 kπ 0 + 2 kπ Wk = 6 z = 6 1 cos + i sin = 6 6 2 kπ 2 kπ kπ kπ = cos + i sin = cos + i sin , k = 0,1,2,...5 6 6 3 3 Зад ач а 4. Реш ит ь сист емууравнений 3 x + 2 y − z = 0 x + 2 y + 9 z = 0. x + y + 2z = 0
13 Реш ение. И меем 3 2 −1 1 9 1 2 2 9 1 2 9 =3 −2 −1 = −15 + 14 + 1 = 0. 1 2 1 1 1 2 1 1 2 След оват ельно, сист ема имеет реш ения, от лич ны еот нулевого. Реш аем сист емупервы х д вух уравнений . Т ретьеуравнениеявляетсяих след ст вием 3 x + 2 y − z = 0 . x + 2 y + 9z = 0 П о ф ормулам (п. 2 (5)) получ им x=t
2 −1 2
9
= 20t ; y = −t
3 −1 1
9
= −28t ; z = t
3 2 1 2
= 4t.
sin ( x − 3) . x→ 3 x 2 − 4 x + 3
Зад ач а 5. Н ай т и lim
Реш ение. П ри x → 3 x − 3 → 0 , след оват ельно, sin(x − 3) ~ x − 3 (п. 3 (5 )) . И спользуя (п. 3 (5)) т еоремуоб э квивалент ност и бесконеч но малы х, имеем x−3 1 1 sin ( x − 3) = lim lim 2 = lim = . x→ 3 x − 4 x + 3 x→ 3 ( x − 3)( x − 1) x →3 x − 1 2 /
cos 4 x − cos 2 x . x →0 arcsin 2 3x
Зад ач а 6. Н ай т и lim
Реш ение. П о ф ормулет ригонометрии 4 x + 2x 4x − 2x cos 4 x − cos 2 x = −2 sin sin = −2 sin 3 x sin x. 2 2 2 2 П ри x → 0 sin 3x ~ 3x , sin x ~ x , arcsin 3x ~ 3x т о ест ь (arcsin 3 x ) ~ (3x ) . П оэ т ому cos 4 x − cos 2 x − 2 sin 3 x sin x − 2 ⋅ 3x ⋅ x 2 lim = lim = lim = − . x →0 x →0 x →0 3 arcsin 2 3x arcsin 2 3 x (3 x)2 Зад ач а 7. Н ай т и производ ны еф ункций :
(
1) y = 2 x 3 + 5
(
)
4
2) y = ln x 2 + 5 2
3) y = x x .
)
14 Реш ение. 1. О бознач им 2 x 3 + 5 = u , т огд а y = u 4 . П о д иф ф еренцированияслож ной ф ункции (параграф 3 (7)) имеем
( ) ⋅ (2 x
y/ = u4
(ln(x
2.
/ u
2
+5
3
+5
/
=
))
)
/ x
( )
(
)
x2
/
x2
/
2
⋅ xx
x 2 +1
2
−1
3
= 4u 3 6 x 2 = 24 x 2 2 x 3 + 5 .
2x . x +5 2
3. Зд есь основание и показат ель зависят от ф ормуле(8) получ аем
(x ) = x (x ) = x
правилу
x ;
u = x; v = x 2 . П о
2
⋅ 1 + x x ⋅ ln x ⋅ 2 x
(1 + 2 ln x ) К онт рол ьн ые задания
В ариант 1 1. Н аписат ь уравнение окруж ност и, касаю щ ей ся осей проход ящ ей ч ерезт оч ку A(1;2) 2. Реш ит ь уравнение x 4 + 81 = 0 3. Реш ит ь сист емууравнений 7x − 4 y − z = 3 2 x + 3 y + 4 z = −1 − x + y + 2 z = −2 4. Н ай т и: а) lim n + 1 − n n →∞
(
)
x −1 x→1 x − 1 x −1 в) lim 3 x→1 x − 1 sin x − sin a г) lim x →a x−a x x д ) lim x →∞ x + 1 5. Н ай т и производ ны еф ункций : б ) lim
а)
y=
1 ln x x
коорд инат
и
15 3 x − x3 б ) y = arctg 1 − 3x 2 1 1 в) y = ln1 − + x x г)
y = ln sin x tg x − x
д ) y = 2 xtg 2 x + ln cos 2 x − 2 x 2 .
1.
2. 3.
4.
В ариант 2 Э ллипс, симметрич ны й от носит ельно осей коорд инат , проход ит ч ере з т оч ки M 2; 3 и B (0;2) . Н аписат ь его уравнениеи най т и расст ояние т оч ки M от ф окуса. Реш ит ь уравнение x5 − 32 = 0 (най т и пят ь корней ) Реш ит ь сист емууравнений − 5 x + y + z = 0 x − 6y + z = 0 x + y − 7z = 0 Н ай т и: 2x + 3 а) lim x → +∞ x + 3 x
(
)
x 2 − 23 x + 1 б ) lim x→1 ( x − 1)2 3
x 2 − 2 x + 6 − x 2 + 2x − 6 x→ 3 x 2 − 4x + 3 cos mx − cos nx г) lim x→ 0 x2 tgπx д ) lim x →−2 x + 2 5. Н ай т и производ ны еф ункций : а) y = cos5 ( 7 x + 9) в) lim
б)
y=3 x+
в)
y = ln 3 (5 x + 1) x y= sin 3 x + 9
г) д)
y = (ctgx )
x +1
x3
16
4. И н т еграл ьное исчисл ение П .1. П ервообразнаяи неопред еленны й инт еграл
f (x) назы вается т акая П ервообразной ф ункцией д ля ф ункции ф ункция F (x ) , производ наякот орой равна д анной ф ункции F / ( x) = f ( x) . О бознач ение
∫
f ( x ) dx = F ( x) + C ,
гд е F / ( x ) = f ( x ) . Ф ункция f ( x ) называется под ы нт егральной ф ункцией , а вы раж ение f ( x)dx - под ы нт егральны м вы раж ением. П .2. Свой ст ва неопред еленного инт еграла о
1 . П роизвод ная неопред еленного инт еграла равна под ы нт егральной ф ункции; д иф ф еренциал от неопред еленного инт еграла равен под ы нт егральномувы раж ению , т .е.
∫
/
∫
f ( x ) dx = f ( x ); d f ( x) dx = f ( x) dx . 2о. Н еопред еленны й инт еграл от д иф ф еренциала некот орой ф ункции равен суммеэ т ой ф ункции и произвольной пост оянной , т .е.
∫
dF ( x ) = F ( x ) + C .
3о. П ост оянны й множ ит ель мож но вы нест и изпод знака инт еграла, т .е. если k = const ≠ 0 , т о
∫ kf (x)dx = k ∫ f (x)dx
.
4о. Н еопред еленны й инт еграл от алгебраич еской суммы д вух ф ункций равен алгебраич еской суммеинт еграловот э т их ф ункций вот д ельност и П .3. Т аб лица основны х инт егралов 1. 2.
∫ ∫
x n dx =
x n +1 + C , n ≠ −1 ; n +1
dx = ln x + C ; x
17 3. 4.
5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
dx 2
1+ x dx
= arctgx + C = −arcctgx + C1;
(a ≠ 0 ) ;
= arcsin x + C = − arccos x + C1;
1 − x2
ax a dx = + C, ln a x
(a > 0 ) ;
(0 < a ≠ 1) ;
e x dx = e x + C ;
sin xdx = − cos x + C ; cos xdx = sin x + C ; dx
= tgx + C ;
cos 2 x dx
= −ctgx + C ;
2
sin x dx 2
x −a dx
2
x2 + k dx
=
1 x−a + C, ln 2a x + a
(a ≠ 0 ) ;
= ln x + x 2 + k + C ;
1 x 1 x arctg + C = − arcctg + C1, (a ≠ 0) ; a a a x 2 + a2 a dx x x = arcsin + C = − arccos + C1, (a > 0 ) . a a a2 − x2 =
П .4. Н епосред ст венноеинт егрирование В ы ч ислениеинт егралов с помощ ью непосред ст венного использования т аблицы прост ей ш их инт егралов и основны х свой ст в неопред еленны х инт еграловназы ваетсянепосред ст венны м инт егрированием. П римеры 1.
∫
x 4 − 2x 3 + 3x 2 x
2
dx =
( x 2 − 2 x + 3)dx = x 2 dx − 2 xdx + ∫ ∫ ∫
18
∫
+ 3 dx =
2.
∫
x3 − x 2 + 3x + C 3 2
∫
1 = 1 − x2
2 1 dx = 1 − + x2 x4
∫
∫
dx − 2 x − 2 dx +
∫
x − 4 dx =
1 2 1 x + 2 x −1 − x − 3 + C = x + − +C x 3x 3 3 3.
∫
ctg 2 xdx =
∫
1 − 1dx = sin 2 x
∫
dx sin 2 x
−
∫
dx = −ctgx − x + C
dx cos2 x + sin 2 x dx dx 4. ∫ 2 =∫ =∫ 2 +∫ = 2 2 2 sin x cos x sin x cos x sin x cos2 x
− ctgx + tgx + C 5.
∫
x 1 cos 2 dx = 2 2
∫
(1 + cos x )dx = 1
2
∫
dx +
1 2
∫
cos xdx =
1 1 = x + sin x + C 2 2 П .5. И нт егрированиепутем под вед енияпод знакд иф ф еренциала Е сли
∫
f ( x ) dx = F ( x) + C и u = ϕ (x) , т о
∫
f (u ) du = F (u ) + C .
Н еобход имо иметь ввид упрост ей ш иепреоб разованияд иф ф еренциала 1. dx = d ( x + b), b = const 1 2. dx = d (ax + b ), a = const ≠ 0 a 1 3. xdx = d x2 + b 2 4. sin xdx = −d (cos x)
(
)
19 5. cos xdx = d (sin x) В общ ем случ ае ϕ / ( x) dx = dϕ ( x ) . П римеры Н ай т и инт егралы 1.
∫
(2 x + 3)2 dx
Н а основании преобразования2 д иф ф еренциала имеем dx =
∫
(2 x + 3) dx = 1 2 1 = (2 x + 3)2 + C 6
2.
∫
2
x + 4dx =
∫(
∫
1 (2 x + 3)2 (2 x + 3) d (2 x + 3) = +C = 2 3
x + 4)
2
1 2
3 2 2 d (x + 4 ) = (x + 4 ) + C = 3
2 = ( x + 4) x + 4 + C 3
3.
∫
4.
∫
5.
∫
tgxdx =
6.
∫
x x x x cos dx = 4 cos d = 4 sin + C 4 4 4 4
7.
∫ 1 + 4 x ∫ 1 + (2 x)
dx = ax + b xdx x2 + 1
=
∫
1 d ( ax + b) 1 a = ax + b a
1 2
∫
∫
(
d x2 + 2 x2 + 2
∫
d ( ax + b) 1 = ln ax + b + C ax + b 2
) = 1 d (x 2 + 2) = 1 ln(x 2 + 2)+ C 2
∫
x2 + 2
2
∫
sin x d (cos x ) dx = − = − ln cos x + C cos x cos x
∫
dx
2
=
1
2
dx =
1 2
∫
d (2 x)
1 = arctg 2 x + C 1 + (2 x)2 2
1 d (2 x + 3) 2
20 П .6. М етод под ст ановки И нт егрирование путем введ ения под ст ановки) основано на ф ормуле
∫
f ( x ) dx =
∫
новой
1.
∫ xe
x2
(метод
f [ϕ (t )]ϕ / (t ) dt ,
гд е x = ϕ (t ) - д иф ф еренцируемаяф ункцияпеременной П римеры .
переменной
t.
Н ай т и инт еграл
dx
dt , под ст авляяполуч енны е 2 знач ениявпод ы нт егральноевы раж ение, получ им 2 dt 1 1 1 2 xe x dx = e t = et dt = e t + C = e x + C . 2 2 2 2 Э т от примермож но реш ит ь и по-д ругому(см.п.5) 2 2 1 2 1 1 2 xe x dx = e x d x 2 = ex d x2 = ex + C 2 2 2 П олож им x 2 = t , т огд а 2 xdx = dt ,
2.
∫
∫
∫
∫
∫
( )
xdx =
∫ ()
∫ x x − 2dx
Ч т обы избавит ьсяот корня, полож им x−2 =t В озвод явквад рат э т о равенст во, най д ем x : x = t 2 + 2, dx = 2tdt . П од ст авляя получ енны е равенст ва в под ы нт егральное вы раж ение, получ им
∫
x x − 2dx =
( t 2 + 2 )⋅ t ⋅ 2tdt = (2t 4 + 4t 2 )dt = ∫ ∫
∫
∫
∫
cos x dx 1 + 4 sin x
5
3
2 2 t5 t3 2 4 = 2 t 4 dt + 4 t 2 dt = 2 + 4 + C = ( x − 2 ) + ( x − 2 ) + C 5 3 5 3
3.
П олож им
1 + 4 sin x = t , от куд а 1 + 4 sin x = t 2 , 4 cos xdx = 2tdt ,
21
1 cos xdx = tdt . 2 След оват ельно,
∫ 4.
cos x 1 + 4 sin x
∫
dx =
∫
1 tdt 1 2 = t 2
∫
1 1 dt = t + C = 1 + 4 sin x + C . 2 2
ln 7 x dx x
1 dx = dt, след оват ельно, x ln 7 x t8 ln8 x dx = t 7 dt = + C = +C . x 8 8
П олож им ln x = t ,
∫ 5.
∫
∫
dx sin x cos x
Разд елим ч ислит ель и знаменат ель на cos 2 x , получ им 1 1 2 2 1 = cos x = cos x . sin x cos x sin x cos x tgx cos2 x П олож им tgx = t , т огд а Т аким образом,
dx cos 2 x
= dt .
dx
∫
dx = sin x cos x
∫
cos 2 x = tgx
∫
dt = ln t + C = ln tgx + C . t
∫
dx sin x x П олагая = t , получ аем 2
6.
∫
dx = sin x
∫
dx = x x 2 sin cos 2 2
∫
x d 2 = x x sin cos 2 2
∫
dt x = ln tgt + C = ln tg + C . sin t cos t 2
22 Т ригонометрич ескиепод ст ановки 1) Е сли инт еграл сод ерж ит рад икал a 2 − x 2 , т о полагаю т x = a sin t , от сю д а a 2 − x 2 = a cos t . x 2 − a 2 , т о полагаю т x =
2) Е сли инт еграл сод ерж ит рад икал от сю д а
a , cos t
x 2 − a 2 = atgt . 3) Е сли инт еграл сод ерж ит рад икал от сю д а
x 2 + a2 =
П ример. Н ай т и
∫
x2 + 1 x2
a . cos t
dx .
П олож им x = tgx , след оват ельно, dx =
∫
x2 + 1 dx = ∫ x2
x 2 + a 2 , т о полагаю т x = atgt ,
dt
cos 2 t tg 2t + 1 dt cos2 t dt ⋅ = ⋅ = tg 2t cos2 t ∫ cos t sin 2 t cos2 t
sin 2 t + cos2 t cos t dt dt =∫ 2 =∫ + ∫ 2 dt = dt = ∫ 2 sin t cos t sin t cos t cos t sin t 1 1 1 d (sin t ) = ln tgt + +∫ = ln tgt + − +C = 2 cos t cos t sin t sin t = ln tgt + 1 + tg 2 t −
1 + tg 2t + C = ln x + x 2 + 1 − tgt
.
x2 + 1 +C x
П .7. И нт егрированиепо ч аст ям Е сли u = ϕ (x) и v = ψ (x) - д иф ф еренцируемы еф ункции, т о
∫
udv = uv −
∫
vdu .
( 7.1.)
Э т а ф ормула применяется в случ ае, когд а под ы нт егральная ф ункция пред ст авляет произвед ениеалгебраич еской и т рансценд ент ной ф ункции. В кач ест ве u обы ч но вы б ирается ф ункция, кот орая упрощ ается
23 д иф ф еренцированием, в кач ест ве dv - ост авш аяся ч аст ь под ы нт егрального вы раж ения, сод ерж ащ ая dx , из кот орой мож но опред елит ь v путем инт егрирования. П римеры . 1. Н ай т и
∫
x ln xdx .
П олагая u = ln x, dv = xdx , имеем du =
dx , v= x
О т сю д а
∫ 2. Н ай т и
x ln xdx =
x2 ln x − 2
∫
∫
xdx =
x2 . 2
x 2 dx x 2 x2 ⋅ = ln x − +C . 2 x 2 4
∫ xsin xdx
П олагаем x = u , sin dx = dv , от сю д а, du = dx, v = − cos x , получ им
∫
x sin xdx = x ( − cos x ) −
3. Н ай т и И меем
∫
∫
= −e x cos x + След оват ельно,
О т куд а
( − cos x ) dx = − x cos x + sin x + C .
e x sin xdx
∫ ∫
e x sin xdx =
∫
∫
e x d ( − cos x ) = −e x cos x +
∫
e x cos xdx =
e x d (sin x) = − e x cos x + e x sin x −
∫
∫
. e x sin xdx
e x sin xdx = e x sin x − e x cos x − e x sin xdx .
∫ ∫
2 e x sin xdx = e x (sin x − cos x ) + C ex e sin xdx = (sin x − cos x ) + C 2 x
.
24 П .8. П рост ей ш иеинт егралы , сод ерж ащ иеквад рат ны й т рехч лен о
1 . И нт егралвид а
∫ px + qx + r dx
2
путем д ополненияквад рат ного т рехч лена д о полного квад рат а по ф ормуле
[
]
px 2 + qx + r = p ( x + k )2 ± a 2 свод ит сякод номуизд вух инт егралов du 1 u = arctg + C , ( 8.1. ) a u 2 + a2 a du 1 u−a ln ( 8.2. ) = +C , u 2 − a 2 2a u + a гд е u = x + k .
∫ ∫
о
2 . И нт еграл
∫ px + qx + r dx mx + n 2
свод ит сякинт егралувид а (8.1) или (8.2) и инт егралу
∫
udu u 2 ± a2
=
∫
d u2 ± a2
=
1 2
∫
П римеры . 1.
∫
=
dx 2x 2 − 5x + 7
1 2
∫
(
1 2
5 d x − 4 2
u 2 ± a2
∫
6x + 5 2
x + 4x + 9
2
( 8.3. )
dx = 5 25 7 25 2 x − 2⋅ x + + − 4 16 2 16
=
5 31 x− + 4 16 2 4x − 5 = arctg +C 31 31 2.
) = 1 ln u 2 ± a2 + C .
1 1 ⋅ arctg 2 31 4
5 4 +C = 31 4
x−
dx
x 2 + 4 x + 9 = ( x + 2 )2 + 5 . В ы д елим в знаменат еле полны й квад рат Сд елаем под ст ановку x + 2 = t , от куд а x = t − 2, dx = dt , поэ т ому
25
∫
∫( ∫
6x + 5 x2
+ 4x + 9
∫
2tdt
=
6x + 5 x+2
)2
+5
(
dt
dx =
∫
6 (t − 2 ) + 5 t2
)
+5
dt =
∫
6t − 7 t2 + 5
dt =
7 t =3 −7 = 3 ln t 2 + 5 − arctg +C 5 5 t2 + 5 t2 + 5 В озвращ аясь к переменной x , получ аем 7 6x + 5 x+2 dx = 3 ln x 2 + 4 x + 9 − arctg +C. 5 5 x 2 + 4x + 9
(
∫
3о. И нт еграл
∫
)
dx px 2 + qx + r
свод ит сякод номуизинт егралов: du u = arcsin + C , a a2 − u2 du = ln u + u 2 + a + C . u2 + a о 4 . И нт егралвид а
∫ ∫
∫
( 8.4. ) ( 8.5. )
px 2 + qx + r dx
свод ит сякод номуизд вух инт егралов u 2 k u 2 + k du = u + k + ln u + u 2 + k + C , 2 2
∫ ∫
2 u 2 u 2 a a − u du = a −u + arcsin + C . 2 2 a 2
2
5о. И нт егралвид а
∫
mx + n
∫
dx
( 8.6. ) ( 8.7. )
px 2 + qx + r свод ит сякразобранны м вы ш еинт егралам. П римеры . 3.
∫
dx 2 + 3x − 2 x 2
=
1 2
25 3 2 − x − 16 4
=
1 4x − 3 arcsin +C 5 2
.
26 4.
∫
x +3 2
x + 2x + 2
dx =
1 2
∫
2x + 2 x2 + 2x + 2
∫
dx + 2
dx
)2
(x + 1
+1
=
= x 2 + 2 x + 2 + 2 ln x + 1 + x 2 + 2 x + 2 + C 5.
∫
1 − 2 x − x 2 dx =
+ arcsin
∫
2 − (1 + x )2 d (1 + x ) =
1+ x 1 − 2x − x 2 + 2
1+ x +C 2
6о. И нт егралы вид а
∫
dx
( mx + n ) px 2 + qx + r 1 спомощ ью обрат ной под ст ановки = t привод ят ся к инт егралам вид а mx + n 5о. П ример 6.
Н ай т и
∫(
dx
x + 1) x 2 + 1 1 dt И меем П олагаем x + 1 = , dx = − t t2
∫(
dx x + 1) x 2 + 1
=−
=−
1 2
∫
=
∫
−
1 1 t − + 4 2
(
t2 2
1 1 − 1 + 1 t t
dt 2
dt
=−
=−
∫
dt 1 − 2t + 2t 2
. 1 1 1 ln t − + t 2 − t + + C = 2 2 2
)
1 − x + 2 x2 + 1 1 ln +C x +1 2
П .9. И нт егрированиет ригонометрич еских ф ункций о
1 . И нт егралы вид а
=
27
∫
sin ax cos bxdx,
∫
sin ax sin bxdx,
∫
cos ax cos bxdx
наход ят сяспомощ ью т ригонометрич еских ф ункций 1 sin a sin b = [cos( a − b ) − cos( a + b) ] 2 1 cos a cos b = [cos( a − b) + cos( a + b )] . 2 1 sin a cos b = [sin( a − b) + sin( a + b) ] 2 2о. И нт егралы вид а I m, n =
∫
sin m x cos n xdx ,
гд еm и n - ч етны еч исла наход ят сяспомощ ью ф ормулпониж енияст епени 1 1 1 sin 2 x = (1 − cos 2 x ), cos 2 x = (1 + cos 2 x), sin x cos x = sin 2 x . 2 2 2 Е сли хот ябы од но изч исел m или n - неч етное, т о полагаю т (пуст ь m = 2k + 1) I m, n =
∫(
∫
∫
sin 2k +1 x cos n xdx = − sin 2k x cos n d (cos x ) = 2
)
1 2
k
.
= − 1 − cos x cos xd (cos x ) n
П римеры . 1.
∫
sin 9 x sin xdx =
∫
2.
∫
cos 2 3 x sin 4 3 xdx =
=
∫
[cos 8 x − cos10 x]dx =
∫
(cos 3x sin 3 x )2 sin 2 3 xdx =
sin 2 6 x 1 − cos 6 x 1 ⋅ dx = 4 2 8
∫
( sin 2 6 x − sin 2 6 x cos 6 x )dx = ∫
1 1 − cos12 x − sin 2 6 x cos 6 x dx = 8 2 1 x sin 12 x 1 = − − sin 3 6 x + C 8 2 24 18 =
1 1 sin 8 x − sin 10 x + C . 16 20
.
3.
∫
sin 10 x cos3 xdx =
=
(
)
sin 10 x 1 − sin 2 x d (sin x ) =
. sin11 x sin13 x − +C 11 13
3о. Е сли ч етност и, т о I m, n =
=
∫
28
∫
m = − µ , n = −ν
∫
dx sin µ x cosν x
=
∫
- целы еот рицат ельныеч исла од инаковой 1 sin µ x cosν − 2 x
ν −2 µ 2 2 1 + 1 1 + tg 2 x d (tgx ) = tg 2 x
(
)
∫
d (tgx) =
(1 + tg 2 x )
µ +ν −1 2
.
d (tgx) µx tg В ч аст ност и, к э т омуслуч аю свод ят сяинт егралы π x d d x + 1 dx dx 2 2 и . = µ −1 = ν π µ x µ x ν sin µ x 2 cos x sin cos sin x + 2 µ 2 П римеры .
∫
∫
4.
∫
5.
∫
dx cos 4 x dx sin 3 x
=
=
∫ 1 23
∫
1 cos 2 x
∫
d (tgx ) =
∫
1 ( 1 + tg 2 x )d (tgx ) = tgx + tg 3 x + C . ∫ 3
∫
dx 1 x dx = tg − 3 ⋅ = x x 8 x 2 3 3 6 sin cos cos 2 2 2
2
2 x 1 + tg 1 dx 2 x 2 x x 2 = ∫ ⋅ = ∫ tg − 3 + + tg d tg = . x x 8 8 2 tg x 2 2 tg 3 cos2 2 2 2 2 x tg 1 1 x 2 + C. = − + 2 ln tg + 4 2tg 2 x 2 2 2 о
4 . И нт егралы вид а
29
∫
R (sin x cos x ) dx ,
гд е R - рациональнаяф ункцияот sin x и cos x , привод ят сяк инт егралам от x рациональны х ф ункций новой переменной спомощ ью под ст ановки tg = t , 2 при э т ом sin x =
2t 1+ t2
, cos x =
1 − t2 1+ t2
, dx =
2dt 1+ t2
.
R (− sin x, cos x) = R (sin x, cos x) , т о целесообразно применит ь Е сли под ст ановку tgx = t , при э т ом sin x =
t 1+ t
2
, cos x =
1 1+ t
2
,
x = arctgt, dx =
dt 1 + t2
.
П римеры .
∫
dx 3 + sin x + cos x Зд есь под ы нт егральная ф ункция является рациональной ф ункцией от x sin x и cos x . П рименяем под ст ановку tg = t 2 dx 2t 1+ t2 2 dt 1 = ⋅ = ⋅ = 2 2 2 3 + sin x + cos x 2t 1−t 1+t 2 t + t + 2 1 + t2 3+ + 1 + t2 1 + t 2 1 1 d t + t+ dt dt 2 2 2 + C =. = = = = arctg 2 2 2 2 7 7 t +t+2 1 7 1 7 t + + t + + 2 2 2 4 2 6.
∫
∫
∫
=
∫
∫
)
∫
2 2t + 1 2 arctg arctg +C = 7 7 7 7.
∫(
2tg
x +1 2 +C 7
dx
5 cos 2 x + 9 sin 2 x П од ы нт егральная ф ункция неменяется от замены sin x на (− sin x) , cos x на (− cos x) , т о ест ь R (− sin x, cos x) ≡ R(sin x, cos x) . П рименим
30 под ст ановку tgx = t :
∫
dx 5 cos 2 x + 9 sin 2 x
=
∫
1+ t2
⋅
dt
5 + 9t 2 1 + t 2
=
∫
dt 5 + 9t 2
=
1 3
∫(
d (3t )
5
)2 + (3t )2
= .
1 1 3t 1 3tgx = ⋅ arctg +C= arctg +C 3 5 5 3 5 3
И спол ьзуемаял и т ерат ура 1. Баврин И .И . В ы сш аямат емат ика./И .И . Баврин. – М .: Academia, 2000. – 611с. 2. Ш ипач евВ .С. В ы сш аямат емат ика./В .С.Ш ипач ев. – М .: В ы сш . ш к., 2001. – 479с. 3. Ш ипач евВ .С. Сборникзад ач по вы сш ей мат емат ике./ В .С.Ш ипач ев – М .: В ы сш . ш к., 1993. – 192с.
31
Сост авит ели: Савч енко Галина Борисовна Я рцева Н ат алияА лексеевна Ред акт ор Т ихомирова О .А .