Числовые системы: Рабочая учебная программа дисциплины

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный педагогический университет» Факультет ____математический___ Кафедра __алгебры и теории чисел УТВЕРЖДАЮ: Проректор по учебной работе УрГПУ ____________________ Т.Н. Шамало «____» _____________________2007 г.

РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА

по дисциплине ___«Числовые системы» для специальности 032100 «Математика» по циклу___«Дисциплины предметной подготовки» Очная форма обучения

Заочная форма обучения

Курс – 4 Семестр – 7 Объѐм в часах всего – 117 в т. ч.: лекции – 30 практические занятия – 30 лабораторные занятия – 0 самостоятельная работа – 57 Экзамен – 7 семестр

Курс – 5 Семестр – 10 Объѐм в часах всего – 117 в т. ч.: лекции – 10 практические занятия – 4 лабораторные занятия – 0 самостоятельная работа –103 Экзамен – 11 семестр

Екатеринбург 2007

Рабочая учебная программа по дисциплине «Числовые системы» ГОУ ВПО «Уральский государственный педагогический университет» Екатеринбург, 2007, 7 с. Составитель: Коробков С.С., доцент кафедры алгебры и теории чисел, к.ф.-м.н., доцент Рабочая программа обсуждена на заседании кафедры алгебры и теории чисел УрГПУ Протокол от__7 апреля 2006_ г. № __8_ . Зав. кафедрой А.П. Ильиных Отделом нормативного обеспечения образовательного процесса УрГПУ выдан сертификат № ____ от ________ г. Начальник отдела ______________Р.Ю. Шебалов

2

1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Понятие числа является одним из основных понятий в математике. В алгебре, геометрии, математическом анализе и других математических дисциплинах без доказательства используются основные свойства чисел, такие, как например, коммутативность и ассоциативность сложения и умножения чисел. В конце XIX века в работах Дж. Пеано и Р. Дедекинда были предложены аксиомы для системы натуральных чисел. Из этих аксиом в курсе «Числовые системы» выводятся основные свойства чисел. Вначале рассматривается аксиоматическое построение системы натуральных чисел, Затем последовательно изучаются кольцо целых чисел, поле рациональных чисел и поле действительных чисел. Комплексные числа рассматриваются в обзорном порядке, поскольку они уже изучены в курсе «Алгебра». Промежуточная аттестация состоит из двух контрольных работ. В качестве итоговой аттестации по данному курсу предусматривается экзамен.

2. УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ 2.1. Учебно-тематический план очной формы обучения Аудиторные Всего занятия № Наименование труПрап/п раздела, темы доем- Все- Лек- ктикость го ции ческие 1 Натуральные числа 32 16 8 8 2 Целые числа 23 12 6 6 3 Рациональные числа 8 4 2 2 4 Действительные числа 40 20 10 10 5 Комплексные числа 4 2 0 2 6 Кватернионы и теорема 10 6 4 2 Фробениуса Итого 117 60 30 30

СамостоятельЛаная бораработа торные 16 11 4 20 2 4 57

Учебно-тематический план заочной формы обучения

№ п/п

Наименование раздела, темы

1 2 3 4 5

Натуральные числа Целые числа Рациональные числа Действительные числа Комплексные числа

Аудиторные Всего занятия труПрадоем- Все- Лек- ктикость го ции ческие 32 4 2 2 23 2 2 8 2 2 40 4 2 2 4 0 0 3

СамостоятельЛаная бораработа торные 28 21 6 36 4

Кватернионы и теорема Фробениуса Итого

6

10

2

2

117

14

10

8 4

103

3. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ 1. Натуральные числа. Аксиомы Пеано. Определение множества натуральных чисел. Сложение натуральных чисел. Коммутативность и ассоциативность операции сложения. Существование и единственность операции сложения. Умножение натуральных чисел. Коммутативность и ассоциативность операции умножения. Существование и единственность операции умножения. Отношение > для натуральных чисел и его свойства. Разность и частное натуральных чисел. Три разновидности принципа математической индукции. 2. Целые числа. Отношения эквивалентности и конгруэнтности. Построение кольца целых чисел. Стандартная запись множества целых чисел. Упорядоченные кольца и их свойства. Упорядоченность кольца целых чисел. 3. Рациональные числа. Вложение области целостности в поле. Построение поля рациональных чисел. Отношение > для рациональных чисел и его свойства. Упорядоченность поля рациональных чисел. 4. Действительные числа. Различные способы построения действительных чисел. Абсолютная величина в упорядоченных полях и ее свойства. фундаментальные последовательности в упорядоченных полях. Свойства фундаментальных и нулевых последовательностей. Построение поля действительных чисел. Упорядоченность поля действительных чисел. Архимедовская упорядоченность поля действительных чисел. Десятичные дроби. Аксиоматическая характеризация поля действительных чисел. 5. Комплексные числа (повторение). 6. Кватернионы и теорема Фробениуса. Тело кватернионов. Теорема Фробениуса.

4. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА И ОРГАНИЗАЦИЯ КОНТРОЛЬНО-ОЦЕНОЧНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ Темы, вынесенные на самостоятельное обучение: 1. Комплексные числа (повторение). 2. Кватернионы и теорема Фробениуса. Примерные темы курсовых работ. 1. 2. 3. 4. 5.

Действительные числа. Тело кватернионов. Кватернионы, октавы, алгебры с делением. Алгебры с делением над полем . Кватернионы. Октавы.

4

Примерные вопросы экзаменационных билетов: 1. Аксиомы Пеано. Простейшие свойства натуральных чисел. 2. Сложение натуральных чисел. Свойства сложения. 3. Существование и единственность операции сложения. 4. Умножение натуральных чисел. Свойства умножения. 5. Существование и единственность операции умножения. 6. Отношение > для натуральных чисел и его свойства. 7. Теорема о минимальном элементе. 8. Различные формы принципа математической индукции. 9. Построение кольца целых чисел. 10. Упорядоченные кольца. Свойства упорядоченных колец. 11. Упорядоченность кольца целых чисел. 12. Вложение алгебры натуральных чисел в кольцо Z. Стандартная форма записи целых чисел. 13. Архимедовская упорядоченность кольца целых чисел. 14. Построение поля рациональных чисел. 15. Упорядоченность поля рациональных чисел. 16. Стандартная форма записи рациональных чисел. Архимедовская упорядоченность поля рациональных чисел. 17. Сходящиеся и фундаментальные последовательности в упорядоченных полях. Критерий сходимости. 18. Свойства фундаментальных последовательностей. 19. Нулевые, положительные, отрицательные последовательности и их свойства. 20. Построение поля действительных чисел. 21. Упорядоченность поля действительных чисел. 22. Архимедовская упорядоченность поля действительных чисел. 23. Десятичные дроби. 24. Полнота поля действительных чисел. 25. Аксиоматическая характеризация поля действительных чисел 26. Кватернионы. 27. Линейные алгебры над полем. Теорема Фробениуса

5. ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ОСВОЕНИЯ СОДЕРЖАНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ Студент, изучивший дисциплину, должен знать: как строить основные числовые системы: N, Z, Q, R, C; знать их основные свойства. Студент, изучивший дисциплину, должен уметь: решать задачи по следующим темам: 1. 2. 3. 4. 5.

Свойства арифметических операций в множестве N. Метод математической индукции. Свойства упорядоченных колец. Свойства арифметических операций в кольце Z. Свойства арифметических операций в поле Q.

5

6. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ 6.1. Рекомендуемая литература Основная 1. Демидов Т.И. Основания арифметики [Текст]: учеб.пособие для физ.-мат. фак. пед. ин-тов. – М.: Учпедгиз, 1963. – 159 с. 2. Ершова Т.И. Числовые системы [Текст]: метод. разработка для практических занятий / Т.И. Ершова; Свердл. пед. ин-т. – Свердловск: [б.и.], 1981. – 81 с. 3. Ершова Т.И. Построение систем целых и рациональных чисел [Текст]: метод. разработка для практических занятий / Т.И. Ершова; Свердл. пед. ин-т. – Свердловск: [б.и.], 1988. – 4. Ильиных А.П. Числовые системы [Текст]: учебное пособие / А.П. Ильиных; Урал. гос. пед. ун-т. – Екатеринбург: [б.и.], 2003. – 92 c.

Дополнительная 1. Ларин С.В. Числовые системы [Текст]: учеб. пособие для спец. «032100 – Математика» / С.В. Ларин. - М.: Академия, 2001. – 160 с. 2. Ляпин Е.С. Алгебра и теория чисел: в 2-х ч. Ч.1: Числа [Текст]: учеб. пособие для физ.-мат. фак. пед. ин-тов. / Е.С. Ляпин, А.Е. Евсеев. – М.: Просвещение, 1974. – 383 с. 3. Нечаев В.И. Числовые системы [Текст]: учеб. пособие для физ.-мат. фак. пед. интов / В.И. Нечаев. – М., Просвещение, 1975. – 199 с. 4. Феферман С. Числовые системы [Текст] / С. Феферман. – М.: Наука, 1971. –

6.2. Информационное обеспечение дисциплины Локальная сеть математического факультета УрГПУ, сайт кафедры алгебры и теории чисел, «Информационная обучающая среда».

7. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ И ДИДАКТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ Компьютерные классы математического факультета.

8. СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРЕ ПРОГРАММЫ Коробков Сергей Самсонович.

доцент кафедры алгебры и теории чисел УрГПУ Рабочий телефон: 371-12-61

6

РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА

по дисциплине ___«Числовые системы » для специальности 032100 «Математика» по циклу______«Дисциплины предметной подготовки»

Подписано в печать

Формат 60х84/16

Бумага для множительных аппаратов. Усл. печ. л. Тираж

экз.

Заказ

Уральский государственный педагогический университет. 620017 Екатеринбург, пр. Космонавтов, 26.

7