Тригонометрические ряды Фурье

Московский физико-технический институт

(государственный университет)

О.В. Бесов

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ

Учебно-методическое пособие

Москва, 2004

Составитель О.В.Бесов УДК 517.

Тригонометрические ряды Фурье. Учебно-методическое пособие (для студентов 2-го курса). МФТИ. М., 2004. 31 с.

В соответствии с программой кафедры высшей математики МФТИ излагаются начальные сведения по теории тригонометрических рядов Фурье, теоремы о сходимости и равномерной сходимости рядов Фурье, теоремы Вейерштрасса об аппроксимации непрерывных функций. В центре внимания вопросы равномерной сходимости ряда Фурье. В отличие от многих курсов математического анализа, равномерная сходимость ряда Фурье непрерывной и кусочногладкой функции доказывается с неулучшаемой оценкой скорости сходимости ряда Фурье. Зависимость скорости сходимости ряда Фурье функции от ее гладкости также устанавливается вместе с точными оценками.

c Московский физико-технический институт, 2004

c О.В.Бесов, 2004

3

Содержание § 1. Определение ряда Фурье и принцип локализации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 2. Сходимость ряда Фурье . . . . . . . . . . . . . § 3. Равномерная сходимость ряда Фурье . . . . . § 4. Приближение непрерывных функций многочленами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 5. Почленное дифференцирование тригонометрических рядов. Скорость стремления к нулю коэффициентов и остатка ряда Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Заключительное замечание . . . . . . . . . . .

4 10 13 18

22 30

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ § 1. Определение ряда Фурье и принцип локализации Определение 1.1. Ряд вида ∞

a0 X + ak cos kx + bk sin kx (ak , bk ∈ R) 2 k=1

называется тригонометрическим рядом. Множество функций 1 , cos x, sin x, cos2x, sin 2x, cos 3x, sin 3x, . . . 2 называется тригонометрической системой. Тригонометрическая система функция является ортогональной системой в том смысле, что Z π cos kx cos mx dx = 0, k, m ∈ N0 , k 6= m, −π Z π sin kx sin mx dx = 0, k, m ∈ N0 , k 6= m, Z −π π cos kx sin mx dx = 0, k, m ∈ N0 , m ∈ N. −π

Кроме того, Z π Z 2 cos kx dx = −π

π

sin2 kx dx = π,

k ∈ N.

−π

Лемма 1.1. Пусть ∞

f (x) =

a0 X + ak cos kx + bk sin kx, 2 k=1

(1.1)

§1. Определение ряда Фурье и принцип локализации.

и этот ряд сходится равномерно на R. Тогда Z 1 π a0 = f (x) dx, π −π Z 1 π ak = f (x) cos kx dx, π −π Z π 1 bk = f (x) sin kx dx, k ∈ N. π −π

5

(1.2)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Функция f непрерывна на [−π, π] как сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций. Домножим равенство (1.1) почленно на cos nx или sin nx (n ∈ N). Полученные ряды также будут сходиться равномерно и их почленное интегрирование с использованием свойства ортогональности функций системы дает Z π Z π f (x) cos nx dx = an cos2 nx dx = πan , −π −π Z π Z π f (x) sin nx dx = bn sin2 nx dx = πbn , −π

−π

откуда получаем вторую и третью формулы из (1.2). Первая из формул (1.2) получается почленным интегрированием ряда (1.1). Заметим, что члены тригонометрического ряда являются определенными на действительной оси 2π-периодическими функциями. Поэтому и сумма тригонометрического ряда (если этот ряд сходится) также является 2π-периодической функцией. Определение 1.2. Пусть f — 2π-периодическая функция, абсолютно интегрируемая на отрезке [−π, π]. Тригонометрический ряд с коэффициентами ak , bk , определенными формулами (1.2), называется (тригонометрическим) рядом Фурье функции f , а коэффициенты ak , bk — коэффициентами ряда Фурье функции f .

6

О. В. Бесов. Тригонометрические ряды Фурье

В этом случае пишут ∞

a0 X f (x) ∼ + ak cos kx + bk sin kx, 2

(1.3)

k=1

понимая под такой записью, что функции f поставлен в соответствие ее ряд Фурье. Лемму 1.1 можно переформулировать так: равномерно сходящийся тригонометрический ряд является рядом Фурье своей суммы. Упражнение 1.1. Показать, что тригонометрический ряд ∞ P sin kx , ε > 0, является рядом Фурье. 1+ε k=1

k

Заметим, что если 2π-периодическая функция f абсолютно интегрируема на каком-либо отрезке [a, a+2π] длины 2π, то она будет абсолютно интегрируемой и на любом сдвинутом отрезке [b, b + 2π] и при этом Z b+2π Z a+2π f (x) dx = f (x) dx. b

a

Это свойство, очевидное с геометрической точки зрения, без труда можно доказать и аналитически. В частности, коэффициенты Фурье 2π-периодической функции f можно вычислять, заменив в формулах (1.2) интеграл по отрезку [−π, π] на интеграл по любому отрезку [a, a + 2π]. С другой стороны, каждую заданную на [a − π, a + π] абсолютно интегрируемую функцию можно (изменив при необходимости ее значение в точке a − π или в точке a + π, или и в той и в другой точке) продолжить до определенной на всей оси 2π-периодической функции. При этом изменение ее значения в одной или двух точках не изменит коэффициентов Фурье ее 2πпериодического продолжения (1.2), а значит, и ряда Фурье (1.3). Поэтому сходимость и другие свойства ряда Фурье можно изучать, считая, что функция f задана лишь на отрезке длиной 2π, например, на [−π, π].

§1. Определение ряда Фурье и принцип локализации.

7

Мы будем изучать в первую очередь вопросы сходимости ряда Фурье в данной точке, на отрезке, равномерной сходимости на всей числовой оси и т.п. Наибольший интерес представляет случай, когда ряд Фурье функции f сходится в том или ином смысле к функции f . В этом случае говорят, что функция f разложена в ряд Фурье. Теорема 1.1 (Римана об осцилляции). Пусть функция f абсолютно интегрируема на конечном или бесконечном интервале (a, b). Тогда Z b Z b lim f (x) cos λx dx = lim f (x) sin λx dx = 0. λ→∞ a

λ→∞ a

Д о к а з а т е л ь с т в о. Без ограничения общности будем считать, что (a, b) = (−∞, +∞) (если это не так, то функцию f можно доопределить нулем на (−∞, +∞) \ (a, b)). Известно, что всякая абсолютно интегрируемая на (−∞, ∞) функция f является непрерывной по сдвигу в среднем, т.е. Z +∞ |f (x + h) − f (x)| dx → 0 при h → 0. (1.4) −∞

Это свойство можно доказать, аппроксимируя f в среднем непрерывной финитной функцией. Заменив переменную x на x + π λ , получаем: Z +∞ Z +∞  π I(λ) B f (x) cos λx dx = − f x+ cos λx dx = λ −∞ −∞ Z i 1 +∞ h  π =− f x+ − f (x) cos λx dx. 2 −∞ λ В силу (1.4) Z 1 +∞  π |I(λ)| 6 f x + − f (x) dx → 0 (λ → ∞). 2 −∞ λ R +∞ Для интеграла −∞ f (x) sin λx dx доказательство аналогично.

8

О. В. Бесов. Тригонометрические ряды Фурье

Следствие 1. Коэффициенты Фурье (1.2) абсолютно интегрируемой на отрезке [−π, π] функции стремятся к нулю при k → ∞. Пусть 2π-периодическая функция f абсолютно интегрируема на [−π, π]. Частичная сумма ряда Фурье n

a0 X Sn (x; f ) B + ak cos kx + bk sin kx 2 k=1

называется суммой ряда Фурье порядка n ∈ N0 функции f . Приведем ее к компактному виду, удобному для дальнейших исследований. Назовем ядром Дирихле функцию   1 x n sin n + X 1 2 Dn (x) B + cos kx = . (1.5) x 2 2 sin 2 k=1

Последнее равенство (правая часть понимается при x = = 2mπ, m ∈ Z, как предел частного при x → 2mπ) устанавливается следующим образом. При x 6= 2mπ ! n 1 x X x Dn (x) = sin + 2 sin cos kx = 2 sin x2 2 2 k=1 ! n 1 x X 2k + 1 2k − 1 = sin + sin x − sin x = 2 sin x2 2 2 2 k=1   sin n + 12 x = . 2 sin x2 Ядро Дирихле (1.5) является, очевидно, 2π-периодической, четной, непрерывной функцией, 1 max |Dn (x)| = Dn (0) = n + , 2 Z Z 1 π 2 π Dn (x) dx = Dn (x) dx = 1. (1.6) π 0 π −π

§1. Определение ряда Фурье и принцип локализации.

9

Преобразуем сумму Фурье Sn (x; f ), подставив в нее вместо коэффициентов Фурье их выражения (1.2). Получим Sn (x; f ) = Z π Z n X 1 π 1 f (t) dt + f (t)(cos kt cos kx + sin kt sin kx) dt = = 2π −π π −π k=1 " # Z n 1 X 1 π f (t) + cos k(t − x) dt = π −π 2 k=1 Z 1 π Dn (t − x)f (t) dt. (1.7) = π −π Произведя в последнем интеграле (называемом интегралом Дирихле) замену переменной t на t + x и сдвиг отрезка интегрирования, получим Z 1 π Sn (x; f ) = Dn (t)f (x + t) dt = π −π Z 0 Z π  1 = + D(t)f (x + t) dt = π −π 0 Z π 1 = Dn (t)[f (x + t) + f (x − t)] dt. (1.8) π 0 Для произвольного δ, 0 < δ < π, представим последний интеграл в виде    Z δ Z π  1 1 f (x + t) + f (x − t) Sn (x; f ) = sin n+ t dt. + 2 π 2 sin 2t 0 δ Во втором из этих интегралов знаменатель дроби 2 sin 2t > > 2 sin 2δ > 0, поэтому сама дробь абсолютно интегрируема как функция t. Следовательно, второй интеграл стремится к нулю при n → → ∞ по теореме Римана об осцилляции. Мы приходим, таким образом, к следующему утверждению.

10

О. В. Бесов. Тригонометрические ряды Фурье

Теорема 1.2 (принцип локализации). Пусть 2π-периодическая функция f абсолютно интегрируема на отрезке [−π, π], x0 ∈ R, 0 < δ < π. Пределы lim Sn (x; f ),

n→∞

1 lim n→∞ π

Z

δ

f (x0 + t) + f (x0 − t)



1 n+ 2

  t dt

sin 2 sin 2t существуют или не существуют одновременно и совпадают в случае их существования. Мы видим, таким образом, что сходимость ряда Фурье функции f в точке x0 и величина его суммы в случае сходимости определяются поведением функции f на интервале (x0 − − δ, x0 + δ), т.е. в сколь угодно малой окрестности точки x0 . 0

§ 2. Сходимость ряда Фурье Пусть x0 — точка разрыва первого рода функции f . Введем следующие обобщения односторонних производных: f (x0 + h) − f (x0 + 0) f+0 (x0 ) = lim , h→0+0 h f (x0 − h) − f (x0 − 0) , f−0 (x0 ) = lim h→0+0 −h которые также будем называть односторонними производными. Определение 2.1. Точку x0 назовем почти регулярной точкой функции f , если существуют f (x0 + 0), f (x0 − 0), f+0 f (x − 0) + f (x + 0)

0 0 , то x0 +(x0 ), f−0 (x0 ). Если при этом f (x0 ) = 2 назовем регулярной точкой функции f . Если функция f непрерывна в точке x0 и имеет в ней правую и левую производные, то x0 — регулярная точка функции f .

Теорема 2.1. Пусть 2π-периодическая функция f абсолютно интегрируема на отрезке [−π, π], и x0 — ее почти регулярная точка. Тогда ряд Фурье функции f сходится в точке x0 к

f (x0 − 0) + f (x0 + 0) . Если же при этом x0 — регулярная 2

§2. Сходимость ряда Фурье.

11

точка f (в частности, если f непрерывна в точке x0 ), то ряд Фурье в точке x0 сходится к f (x0 ). Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть x0 — почти регулярная точка функции f . Из формулы (1.8) с помощью (1.6) получаем f (x0 − 0) + f (x0 + 0) = Z π2 1 = Dn (t)[f (x0 + t) + f (x0 − t)] dt− π 0 Z f (x0 + 0) + f (x0 − 0) 2 π − Dn (t) dt = 2 π 0    Z π 1 f (x0 + t) + f (x0 − t) − 2f (x0 ) 1 = sin n+ t dt = π 0 2 2 sin 2t Z  1 π f (x0 + t) − f (x0 + 0) = + π 0 t      1 f (x0 − t) − f (x0 − 0) t sin n + t dt. + 2 t 2 sin 2t

Sn (x; f ) −

t , доопределенная единицей при t = 0, явля2 sin 2t f (x0 + t) − f (x0 + 0) ется непрерывной на [0, π] функцией. Дробь t

Дробь

является абсолютно интегрируемой на [0, π] функцией, поскольку таковой является ее числитель, и при t → 0+0 она имеет конечный предел. То же относится и ко второй  дроби в  квадрат 1 ной скобке. Следовательно, множитель при sin n + 2 t в подынтегральном выражении последнего интеграла представляет собой абсолютно интегрируемую на [0, π] функцию. По теореме Римана об осцилляции, последний интеграл стремится к нулю при n → ∞, т.е. f (x0 − 0) − f (x0 + 0) Sn (x0 ; f ) → при n → ∞. 2 З а м е ч а н и е 2.1. Требование существования f+0 +(x0 ), f−0 (x0 ) в условии теоремы можно (как это видно из до-

12

О. В. Бесов. Тригонометрические ряды Фурье

казательства) заменить более слабым требованием выполнения неравенств |f (x0 + h) − f (x0 + 0)| 6 M hα , α

|f (x0 − h) − f (x0 − 0)| 6 M h ,

∀ h ∈ (0, δ), ∀ h ∈ (0, δ),

(2.1)

при некоторых α ∈ (0, 1], δ > 0, M > 0. Условия (2.1) называются (односторонними) условиями Гёльдера степени α, а при α = 1 еще и (односторонними) условиями Липшица. Следствие 1. Пусть 2π-периодическая функция f абсолютно интегрируема на отрезке [−π, π], и существует f 0 (x0 ). Тогда ряд Фурье функции f сходится в точке x0 к f (x0 ). З а м е ч а н и е 2.2. Непрерывность на R 2π-периодической функции не является достаточным условием сходимости ее ряда Фурье в данной точке x0 . Существуют примеры 2π-периодической непрерывной на R функций, ряды Фурье которых расходятся в каждой рациональной точке. В теореме 2.1, замечании 2.1 и следствии приводятся достаточные условия сходимости ряда Фурье в данной точке. Существуют и значительно более общие достаточные условия такой сходимости. З а м е ч а н и е 2.3. Пусть функция f задана и абсолютно интегрируема на отрезке длиной 2π, например на [−π, π]. Для выяснения сходимости ее ряда Фурье в концах отрезка можно применить теорему 2.1, продолжив функцию f (изменив при необходимости ее значения на одном или обоих концах) до 2π-периодической функции. После такого продолжения точка x = −π будет почти регулярной тогда и только тогда, когда ∃ f+0 (−π), f−0 (π). В этом случае ряд Фурье функции f f (−π + 0) + f (π − 0)

сходится в точке x0 = −π к . 2 Аналогично решается вопрос о сходимости ряда Фурье в точке x0 = π. x Пример 2.1. Найдем ряд Фурье функции f (x) = π − 2 ,x∈ ∈ [0, 2π].

§3. Равномерная сходимость ряда Фурье.

13

Пусть f˜: R → R — 2π-периодическая функция, f˜(x) = f (x) при 0 < x < 2π, f˜(0) = 0. Как мы знаем, коэффициенты Фурье функции f˜ можно вычислить по формулам (1.2) либо отличающихся от них сдвигом отрезка интегрирования. В силу нечетности f˜, ak = 0 ∀ k ∈ N0 . Интегрируя по частям, получаем Z 1 2π π − x bk = sin kx dx = π 0 2 Z 2π 1 cos kx 2π 1 1 = − (π − x) − cos kx dx = . π x 0 2πk 0 k Заметим, что всякая точка x ∈ R является регулярной точкой функции f˜. Следовательно, f˜(x) =

∞ X sin kx k=1

k

∀ x ∈ R.

(2.2)

Итак, на отрезке [0, 2π] сумма ряда Фурье f˜ функции f совпадает с f на интервале (0, 2π) и отличается от f в концах интервала.

§ 3. Равномерная сходимость ряда Фурье Определение 3.1. Функцию f называют кусочно-непрерывно дифференцируемой на отрезке [a, b], если существует такое разбиение {ai }m i=0 отрезка [a, b] (a = a0 < a1 < a2 < · · · < < bm = b), что: 1.◦ Производная f 0 непрерывна на каждом интервале (ai−1 , ai ); 2.◦ Существуют односторонние пределы f 0 (ai−1 + 0), f 0 (ai − − 0) для i = 1, 2, . . . , m. 2π-периодическую функцию будем называть кусочно-непрерывной (кусочно-непрерывно дифференцируемой), если она кусочно-непрерывна (кусочно-непрерывно дифференцируема) на отрезке [−π, π].

14

О. В. Бесов. Тригонометрические ряды Фурье

Теорема 3.1. Пусть f — 2π-периодическая непрерывная и кусочно-непрерывно дифференцируемая функция. Тогда ряд Фурье функции f сходится к f равномерно на R и ln n sup |Sn (x; f ) − f (x)| 6 C при n > 2, n x∈R где C не зависит от n. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть M0 = max |f |, M1 = max |f 0 |, f (x + t) + f (x − t) − 2f (x) gx (t) B . 2 sin 2t С помощью теоремы Лагранжа о конечных приращениях получаем, что при 0 < t 6 π |f (x + t) + f (x − t) − 2f (x)| 6 2M1 t. Следовательно, |gx (t)| 6

2M1 t 2 sin 2t

6 πM1 ,

d gx (t) 6 |f 0 (x + t) − f 0 (x − t)| 1 + dt 2 sin t 2

+|f (x + t) + f (x − t) − 2f (x)|

cos 2t

6 4 sin2 2t

πM1 π 2 M1 π 2 M1 + 6 . t 2t t Пусть 0 < δ = δn < π. Как и при доказательстве теоремы 2.1 Z δ Z π     1 1 Sn (x; f )−f (x) = + gx (t) sin n+ t dt = In +Jn . π 2 0 δ Очевидно, что |In | 6 δM1 . C помощью интегрирования по частям имеем     1 t π 1 t Z π cos n + cos n + 1 1 d 2 2 Jn = − gx (t) − gx (t) dt. 1 1 π π δ dt n+ 2 n+ 2 δ 6

§3. Равномерная сходимость ряда Фурье.

15

Отсюда |Jn | 6

M1

 nM π 1  1  = 1+ + M1 . 1 δ n+ 2 n + 12 δ n + 12

1 , получаем, что при n > 2 Полагая δ = δn = n

sup |Sn (x; f ) − f (x)| 6 |In | + |Jn | 6 x∈R

C ln n , n

где C не зависит от n. Из последнего неравенства следует утверждение теоремы. Подчеркнем, что теорема 3.1 не только устанавливает равномерную сходимость ряда Фурье, но и дает оценку быстроты стремления к нулю остатка этого ряда. Равномерная сходимость ряда Фурье периодической функции может быть установлена и при условиях более общих, чем в теореме 3.1, например, для функций, удовлетворяющих условию Гёльдера. Определение. Говорят, что функция f : [a, b] → R удовлетворяет условию Гёльдера степени α, 0 < α 6 1 (или условию Липшица в случае α = 1), если ∃ Mα > 0: |f (x) − f (y)| 6 Mα |x − y|α

∀ x, y ∈ [a, b].

Заметим, что функции, удовлетворяющие условию Гёльдера, непрерывны м что класс функций, удовлетворяющих условию Гёльдера степени α сужается при увеличении α. Если функция f непрерывна и кусочно-непрерывно дифференцируема на [a, b], то она удовлетворяет на [a, b] условию Липшица. Следующая теорема обобщает теорему 3.1. Теорема 3.2. Пусть 2π-периодическая функция f удовлетворяет на R условию Гёльдера степени α, 0 < α 6 1. Тогда ее ряд Фурье сходится к ней равномерно на R и ln n sup |Sn (x; f ) − f (x)| 6 Cα α ∀ n > 2, n x

16

О. В. Бесов. Тригонометрические ряды Фурье

где Cα не зависит от n. Д о к а з а т е л ь с т в о. Воспользуемся формулой (2.1) в виде    Z 1 π f (x + t) − f (x) 1 sin n+ t dt. Sn (x; f ) − f (x) = π −π 2 2 sin t 2

Положим hx (t) =

f (x + t) − f (x) 2 sin 2t

,

λ = λn = n +

1 , 2

δ>

8 π >2 . n λ

Так же, как при доказательстве теоремы Римана об осцилляции, получаем Z 1 π  π |Sn (x; f ) − f (x)| 6 − hx (t) dt = hx t + 2 −π λ Z −δ Z π  Z 1 δ 1 = . . . dt + + . . . dt = Iδ,n (x) + Jδ,n (x). (3.1) 2 −δ 2 −π δ Напомним, что π2 t < sin t < t при 0 < t < π2 . Заметим, что при |t| 6 2δ Mα |t|α π |hx (t)| 6 = Mα |t|α−1 , 2|t| 2 так что Z 2δ π π Iδ,n (x) 6 Mα tα−1 dt = M α 2α δ α . (3.2) 2 2α 0 Если же |t| > δ, то 

hx t +

π λ

− hx (t) =



=

  f x+t+ π λ − f (x) t+ π 2 sin 2 λ





f x+t+ π λ − f (x) t+ π 2 sin 2 λ

−

1  2

−

f (x + t) − f (x) 2 sin 2t

=

 1

1 

 − t × t+ π sin 2 sin 2 λ ×(f (x + t) − f (x)),

(3.3)

§3. Равномерная сходимость ряда Фурье.

17

так что

 α π π π 2 M |t|α   π 2 sin 2λ M α λ α π + − hx (t) 6 6 hx t + π |t| λ 2 t + π 2 t + λ λ 6 C2 Z Jδ,n (x) 6 δ

π

Mα , |t|λα

C2 Mα dt C2 Mα 1 6 ln . λα t λα δ

8 и собирая оценки, приходим к утверждению теПолагая δ = n

оремы. Часть теоремы 3.1, касающаяся лишь факта равномерной сходимости, допускает следующее обобщение. Теорема 3.3. Пусть 2π-периодическая функция f абсолютно интегрируема на [−π, π]. Пусть на некотором интервале (a0 , b0 ) f непрерывна и f 0 кусочно-непрерывна. Тогда ряд Фурье функции f равномерно сходится к f на любом отрезке [a, b] ⊂ (a0 , b0 ). 8 6 δ < δ, [a − 2δ, b + 2δ] ⊂ Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть n ⊂ (a0 , b0 ), x ∈ [a, b]. Воспользуемся оценкой (3.1). В силу (3.2) при α = 1 Iδ,n (x) 6 C1 M1 δ. Для получения оценки Jδ,n используем преобразование (3.3) разности в подынтегральном выражении. Тогда Z π  1 π Jδ,n (x) 6 − f (u) du+ f u + 4πδ −π λ ! Z π π3 + 2 |f (u)| du + 2π sup |f | . 4δ λ −π [a,b]

Пусть задано ε > 0. Тогда существует такое достаточно малое δ = δ(ε) > 0, что sup Iδ,n < 2ε . При выбранном δ [a,b]

∃ nδ ∈ N : sup Jδ,n < [a,b]

ε 2

∀ n > nδ .

18

О. В. Бесов. Тригонометрические ряды Фурье

Тогда из (3.1) и полученных оценок следует, что sup |Sn (x; f ) − f (x)| → 0 при n → ∞ x∈[a,b]

и теорема установлена. Отметим, что теорема 3.3 расширяет сформулированный ранее принцип локализации, показывая, что для утверждения о равномерной сходимости ряда Фурье на отрезке [a, b] достаточно знать поведение этой функции лишь на окрестности (a − ε, b + ε) этого отрезка при сколь угодно малом ε > 0. ∞ P sin kx на люИз теоремы 3.3 следует, например, что ряд k k=1

бом отрезке [ε, 2π − ε], ε > 0, равномерно сходится к функции x f (x) = π − 2 . Теорему 3.3 можно обобщить, заменив условие кусочнонепрерывной дифференцируемости на условие Гёльдера степени α > 0 на [a0 , b0 ].

§ 4. Приближение непрерывных функций многочленами Определение 4.1. Функция вида n A0 X + Ak cos kx + Bk sin kx (A2n + Bn2 > 0) 2 k=1

называется тригонометрическим многочленом (тригонометрическим полиномом) степени n. Теорема 4.1 (Вейерштрасса). Пусть f — 2π-периодическая непрерывная функция. Тогда для каждого ε > 0 существует такой тригонометрический многочлен T , что max |f (x) − T (x)| < ε. x∈R

Д о к а з а т е л ь с т в о. Зададим ε > 0. Пусть τ = {xj }Jj=0 , xj = −π + j 2π J , — разбиение отрезка [−π, π]. Построим ломаную (вписанную в график функции f ), соединив отрезками

§4. Приближение непрерывных функций многочленами.

19

последовательно точки (xj , f (xj )) графика f . Обозначим через ΛJ : R → R 2π-периодическую непрерывную функцию, график которой совпадает на [−π, π] с построенной ломаной. Очевидно, ΛJ — кусочно линейная на [−π, π] функция, а значит, и кусочнонепрерывно дифференцируемая (т.е. Λ0J кусочно-непрерывна). Непрерывная функция f является равномерно непрерывной. Поэтому |f (x0 ) − f (x00 )| <

ε 4

при |x0 − x00 | 6

2π , J

если J = J(ε) ∈ N достаточно велико. Тогда ε max |f (x) − ΛJ (x)| < . 2 Функция ΛJ удовлетворяет условиям теоремы 2.1, поэтому ее ряд Фурье сходится к ней равномерно на R. Следовательно, существует такое n = n(ε), что ε max |Λj (x) − Sn (x; ΛJ )| < . x∈R 2 Из последних двух неравенств получаем, что max |f (x) − Sn (x; ΛJ )| < ε, x∈R

т.е. утверждение теоремы при T (x) = Sn (x; ΛJ ). Теорему 4.1 в эквивалентной форму можно сформулировать следующим образом: Теорема 4.10 . (Вейерштрасса). Пусть функция f непрерывна на отрезке [−π, π] и f (−π) = f (π). Тогда для каждого ε > 0 существует такой тригонометрический многочлен T , что max |f (x) − T (x)| < ε.

−π6x6π

20

О. В. Бесов. Тригонометрические ряды Фурье

Упражнение 4.1. Показать, что последняя теорема перестает быть верной, если отбросить условие f (−π) = f (π). Заметим, что в теореме 4.1 в качестве тригонометрического многочлена T нельзя (вообще говоря) взять Sn (x; f ) (частичную сумму ряда Фурье функции f ), поскольку ряд Фурье непрерывной функции не обязан равномерно сходиться (не обязан даже и поточечно сходиться) к функции f . Однако, в качестве T можно взять σn (x; f ) (сумму Фейера функции f ) при достаточно большом n, где S0 (x; f ) + S1 (x; f ) + · · · + Sn (x; f ) σn (x; f ) = n+1 — среднее арифметическое сумм Фурье, как это следует из теоремы Фейера: Теорема 4.2 (Фейера). Пусть f — 2π-периодическая непрерывная функция. Тогда σn (x; f ) ⇒ f (x) при n → ∞. R

Доказательства этой теоремы приводить не будем. Факт сходимости последовательности сумм Фейера в теореме Фейера выражают еще и следующим образом: Ряд Фурье 2π-периодической непрерывной функции f суммируем к f (x) методом средних арифметических. Метод суммирования ряда средними арифметическими (последовательности его частичных сумм) дает возможность и для некоторых расходящихся рядов определить понятие их суммы как предела последовательности этих средних арифметических. Для сходящегося ряда это понятие совпадает с понятием суммы ряда. Пример 4.1. Расходящийся ряд 1−1+1−1+. . . суммируем методом средних арифметических к числу 12 . С помощью теоремы 4.1 (Вейерштрасса) доказывается и возможность приближения с любой точностью непрерывной на отрезке функции подходящим алгебраическим многочленом P .

§4. Приближение непрерывных функций многочленами.

21

Теорема 4.3 (Вейерштрасса). Пусть функция f непрерывна на отрезке [a, b]. Тогда для любого ε > 0 существует такой алгебраический многочлен P , что max |f (x) − P (x)| < ε.

a6x6b

Д о к а з а т е л ь с т в о. Отобразим линейно отрезок [0, π] на отрезок [a, b]: b−a x=a+ t, 0 6 t 6 π, a 6 x 6 b, π   a t , 0 6 t 6 π. Продолжим ее чети положим f ∗ (t) = f a + b − π ным образом на отрезок [−π, 0] и затем на всю ось с периодом 2π, сохранив обозначение f ∗ . Полученная функция f ∗ : R → R является 2π-периодической и непрерывной на R. По теореме 4.1 для каждого ε > 0 найдется такой тригонометрический многочлен T , что ε max |f ∗ (t) − T (t)| 6 max |f ∗ (t) − T (t)| < . 06t6π x∈R 2 Функции cos kt, sin kt (а значит и T (t)) раскладываются в степенные ряды с радиусом сходимости R = +∞, и, следовательно, равномерно сходящиеся на каждом отрезке. Поэтому существует такой номер n = n(ε), что ε max |T (t) − Pn (t)| < , 06t6π 2 где Pn — многочлен Тейлора функции T . Из последних двух неравенств получаем, что ε ε max |f ∗ (t) − Pn (t)| < + = ε, 06t6π 2 2 или (возвращаясь к переменной x)   x − a max f (x) − Pn π < ε. a6x6b b−a Теорема доказана. Теорему 4.3 можно переформулировать следующим образом:

22

О. В. Бесов. Тригонометрические ряды Фурье

Всякая непрерывная на отрезке [a, b] функция является равномерным пределом некоторой последовательности алгебраических многочленов.

§ 5. Почленное дифференцирование тригонометрических рядов. Скорость стремления к нулю коэффициентов и остатка ряда Фурье Теорема 5.1. Пусть 2π-периодическая функция f непрерывна и кусочно-непрерывно дифференцируема и пусть ∞ a0 X + ak cos kx + bk sin kx f (x) = 2 k=1

— ее разложение в ряд Фурье. Тогда ∞ X f 0 (x) ∼ −kak sin kx + kbk cos kx, k=1

т.е. ряд Фурье производной получается из ряда Фурье функции почленным дифференцированием. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ∞ α0 X f 0 (x) ∼ + αk cos kx + βk sin kx. 2 k=1

Тогда, интегрируя по частям, получим Z 1 π 0 1 α0 = f (x) dx = [f (π) − f (−π)] = 0, π −π π Z π 1 αk = f 0 (x) cos kx dx = π −π π Z 1 k π = f (x) cos kx + f (x) sin kx dx = kbk , π π −π −π Z 1 π 0 βk = f (x) sin kx dx = π −π π Z k π 1 = f (x) sin kx − f (x) cos kx dx = −kak . π π −π −π

§5. Почленное дифференцирование рядов Фурье.

23

Лемма 5.1. Пусть 2π-периодическая функция f имеет непрерывные производные до порядка m − 1 включительно и кусочно-непрерывную производную порядка m ∈ N. Тогда для коэффициентов Фурье функции f выполняются оценки   1 |ak | + |bk | = o при k → ∞. (5.1) km Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть m > 1 и ∞ X f (m) (x) ∼ αk cos kx + βk sin kx. k=1

Применяя m раз теорему 5.1, получаем, что |αk | + |βk | = k m (|ak | + |bk |),

k ∈ N0 .

Поскольку αk , βk → 0 (k → ∞) по лемме о стремлении к нулю коэффициентов Фурье, из последнего равенства получаем (5.1). Лемма 5.1 показывает, что коэффициенты Фурье функции f тем быстрее стремятся к нулю, чем лучше дифференциальные свойства функции f . Утверждение леммы 5.1 можно несколько усилить, если использовать неравенства Бесселя для кусочно-непрерывных 2πпериодических функций: Z ∞ 1 π 2 a0 X 2 + (ak + b2k ) 6 f (x) dx. (5.2) 2 π −π k=1

Это неравенство будет установлено ниже. Применяя (5.2) к производной f (m) , получаем, что в условиях леммы 5.1 Z ∞ X 1 π (m) 2m 2 2 k (ak + bk ) 6 (f (x))2 dx < ∞. π −π k=1

Установим оценки скорости приближения функции ее суммами Фурье в зависимости от дифференциальных свойств функции. Изучим для этого характер сходимости ряда, сопряжен-

24

О. В. Бесов. Тригонометрические ряды Фурье

ного с рядом Фурье 2π-периодической непрерывной и кусочнонепрерывно дифференцируемой функции f , т.е. ряда ∞ X ˜ f) B S(x; ak sin kx − bk cos kx, (5.3) k=1

где ak , bk — коэффициенты Фурье функции f . Сопряженным ядром Дирихле называется   x − cos n + 1 x n cos X 2 2 ˜ n (x) = D sin kx = . x 2 sin 2 k=1

Последнее равенство устанавливается так же, как (1.5). Так же, как (1.8) устанавливается, что частичную сумму n X ˜ S n (x; f ) = ak sin kx − bk cos kx k=1

ряда (5.3) можно представить в виде Z π ˜ n (t)[f (x + t) − f (x − t)] dt = S˜n (x; f ) = − D 0

1 = π где

π

 hx (t) cos

0

1 n+ 2

f (x + t) − f (x − t)

hx (t) B 1 f˜(x) B − π

Z

2 sin 2t

Z 0

π

,

f (x + t) − f (x − t) 2 tg 2t

  t dt + f˜(x),

dt.

Лемма 5.2. Пусть 2π-периодическая функция f непрерывна и кусочно-непрерывно дифференцируема, ak , bk — ее коэффициенты Фурье. Тогда при некотором C > 0 и ∀ n > 2 ∞ X ln n sup ak sin kx − bk cos kx 6 C . (5.4) n x∈R n+1

§5. Почленное дифференцирование рядов Фурье.

25

Д о к а з а т е л ь с т в о. Положим M1 B max |f 0 |. С помоR

щью теоремы Лагранжа о конечных приращениях получаем |f (x + t) − f (x − t)| 6 2M1 t,

0 < t 6 π,

откуда следует, в частности, что f˜(x) существует для каждого x (как интеграл от непрерывной на (0, π] и ограниченной функции). Оценим   Z 1 1 π ˜ ˜ hx (t) cos n + t dt, f (x) − S n (x; f ) = − π 0 2 используя оценки |hx (t)| 6 πM1 , d hx (t) 6 |f 0 (x + t) + f 0 (x − t)| 1 + dt 2 sin t 2

+|f (x + h) − f (x − h)|

cos 2t

6 4 sin2 2t

πM1 π 2 M1 π 2 M1 + 6 . t 2t t

Так же, как при доказательстве теоремы 1.2 получаем ln n sup |f˜(x) − S˜n (x; f )| 6 C n x∈Rn

при n > 2,

откуда следует (5.4). Теорема 5.2. Пусть при m ∈ N 2π-периодическая функция f имеет непрерывные производные до порядка m − 1 включительно и кусочно-непрерывную производную f (m) . Тогда ряд Фурье функции f сходится к f равномерно и   ln n max |f (x) − Sn (x; f )| = O = x∈R nm   1 =o при n → ∞ и ∀ ε > 0. nm−ε

26

О. В. Бесов. Тригонометрические ряды Фурье

Д о к а з а т е л ь с т в о. Случай m = 1 совпадает с теоремой 3.1. Пусть ϕ B f (m−1) и αk , βk — коэффициенты Фурье функции ϕ. По теореме 3.1 ∞ X ln n sup ∀ n > 2. (5.5) αk cos kx + βk sin kx 6 C n x∈R k=n+1

Пусть ak , bk — коэффициенты Фурье функции f . Пусть сначала m−1 — четно. Тогда в силу m−1 раз примененной теоремы 5.1 при x ∈ R имеем ∞ X |rn (x; f )| = ak cos kx + bk sin kx = k=n+1 ∞ X 1 = (α cos kx + β sin kx) . k k k m−1 k=n+1

Применим к последнему ряду преобразование Абеля, учиты∞ P вая сходимость ряда αk cos kx + βk sin kx и оценку (устаk=n+1

новленные в случае m = 1 данной теоремы) ∞ X ln n sup αk cos kx + βk sin kx 6 C . n x∈R k=n+1

Получим   ∞ ∞ X X  |rn (x; f )| = αj cos jx + βj sin jx × j=n+1 k=n+1   ∞ X 1 1 ln n 1 1 × − 6 C − = (k + 1)m−1 k m−1 n (k + 1)m−1 k m−1 k=n+1

=C и (5.5) в этом случае установлено.

ln n 1 ln n 6C m , m−1 n (n + 1) n

§5. Почленное дифференцирование рядов Фурье.

27

Пусть теперь m − 1 нечетно. Тогда ∞ X |rn (x; f )| = ak cos kx + bk sin kx = k=n+1 ∞ X 1 = (α sin kx − β cos kx) . k k k m−1 k=n+1

Ряд

∞ P

αk sin kx − βk cos kx сходится по лемме 5.2. Приме-

k=n+1

няя преобразование Абеля и оценку (5.5), получим, что   ∞ ∞ X X  |rn (x; f )| = αj sin jx − βj cos jx × k=n+1 j=n+1   1 1 ln n 1 ln n × − m−1 6 C 6C m , m−1 m−1 (k + 1) k n (n + 1) n и теорема доказана. Теорема 5.2 показывает, что чем больше производных имеет функция f , тем с большей скоростью сходится ее ряд Фурье. З а м е ч а н и е. Лемму 5.1 и теорему 5.2 можно переформулировать для функции f , заданной лишь на отрезке [−π, π], добавив условия в концах отрезка, гарантирующие выполнение для ее 2π-периодического продолжения условий соответственно леммы 5.1 и теоремы 5.2. Именно, следует для функции f : [−π, π] → R считать выполненными следующие дополнительные условия на односторонние производные: f (j) (−π) = f (j) (π) при j = 0, 1, . . . , m − 1. При соответствующей переформулировке теоремы 3.1 и теоремы 5.1 для функции f : [−π, π] → R следует считать выполненным равенство f (−π) = f (π). Наряду с теоремой 5.2 установим и другую теорему 5.20 , хотя и менее сильную, но также указывающую на связь между диф-

28

О. В. Бесов. Тригонометрические ряды Фурье

ференциальными свойствами 2π-периодической функции и скоростью сходимости ее ряда Фурье. Доказательство теоремы 5.20 в отличие от теоремы 5.2 опирается не на анализ сходимости сопряженного с рядом Фурье ряда, а на неравенство Бесселя (5.2), которое будет предварительно установлено. Читатель может по своему усмотрению ограничиться изучением одной из этих двух теорем. Лемма 5.3. Пусть f — 2π-периодическая и кусочно-непрерывная функция, ak , bk — ее коэффициенты Фурье. Тогда справедливо неравенство Бесселя (5.2). Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть сначала f является 2π-периодической непрерывной и кусочно-непрерывно дифференцируемой функцией. По теореме 5.2, она раскладывается в равномерно сходящийся ряд Фурье: ∞

f (x) =

a0 X + ak cos kx + bk sin kx. 2

(5.6)

k=1

Домножим равенство (5.6) почленно на f (x) и проинтегрируем полученный ряд (также равномерно сходящийся) почленно. Получим в силу формул (1.2) для коэффициентов Фурье равенство Z ∞ a0 X 2 1 π 2 2 + (ak + bk ) = f (x) dx, (5.7) 2 π −π k=1

следствием которого является (2.2) Равенство Парсеваля (5.7) и неравенство Бесселя (5.2) будут позднее распространены на функции f со значительно более общими свойствами. Пусть теперь функция f удовлетворяет условиям леммы и ΛJ : R → R — 2π-периодическая непрерывная функция, кусочно линейная на [−π, π], построенная при доказательстве теоремы Вейерштрасса 4.1 (график ΛJ представляет собой вписанную в

§5. Почленное дифференцирование рядов Фурье.

29

график f ломаную). Обозначим через ak (f ), bk (f ) — коэффициенты Фурье функции f . Из (5.2) следует неравенство n a20 (ΛJ ) X 2 + (ak (ΛJ ) + b2k (ΛJ )) 6 2 k=1 Z 1 π 2 Λ (x) dx ∀ n ∈ N. (5.8) 6 π −π J Пусть n ∈ N фиксировано, а J → ∞. Тогда, как легко видеть, Z π Z π 2 ak (ΛJ ) → ak (f ), bk (ΛJ ) → bk (f ), ΛJ (x) dx → f 2 (x) dx. −π

−π

Переходя к пределу в неравенстве (5.5), получаем, что Z n 1 π 2 a0 (f ) X 2 2 + (ak (f ) + bk (f )) 6 f (x) dx. 2 π −π k=1

Переходя в последнем неравенстве к пределу при n → ∞, приходим к утверждению леммы. Теорема 5.20 . Пусть при m ∈ N 2π-периодическая функция f имеет непрерывные производные до порядка m − 1 включительно и кусочно-непрерывную производную f (m) . Тогда ряд Фурье функции f сходится к ней равномерно на Rи   1 max |f (x) − Sn (x; f )| = o при n → ∞. (5.9) 1 x∈R nm− 2 Д о к а з а т е л ь с т в о. Равномерная сходимость к функции f ее ряда Фурье установлена в теореме 3.1. Оценим остаток ее ряда Фурье. ∞ X |rn (x; f )| = ak cos kx + bk sin kx 6 k=n+1

6

∞ X k=n+1

(|ak | + |bk |) 6

∞ X k=n+1

(|αk | + |βk |)

1 , km

30

О. В. Бесов. Тригонометрические ряды Фурье

где αk , βk — коэффициенты Фурье функции f (m) , а последнее неравенство получено m-кратным применением теоремы 5.1. В силу неравенства Коши–Шварца v v u N u N N X u X u X 1 1 t 2 (|αk | + |βk |) m 6 (|αk | + |βk |) t . k k 2m k=n+1

k=n+1

k=n+1

Предельный переход в последнем неравенстве при N → ∞ показывает, что оно остается верным, если в нем вместо N поставить ∞. Используя его, получаем, что v v u X u X ∞ u u ∞ 1 2 2 t |rn (x; f )| 6 2 (αk + βk )t = 2m k k=n+1 k=n+1 v u X u ∞ 1 = εn t , (5.10) 2m k k=n+1

причем εn → 0 (n → ∞) в силу сходимости ряда

∞ P k=1

(αk2 +

+ βk2 ), вытекающей из неравенства Бесселя для функции f (m) (см. лемму 5.3). Заметим, что Z ∞ ∞ ∞ Z m X X 1 dx dx 1 6 6 = . 2m 2m 2m k (2m − 1)n2m−1 k−1 x n x k=n+1

k=n+1

Отсюда и из (5.10) следует (5.9).

Заключительное замечание В этом пособии не рассмотрены вопросы почленного интегрирования рядов Фурье, рядов Фурье 2l-периодических функций и комплексной формы рядов Фурье. Стандартное изложение этих вопросов можно найти во многих учебниках. Мы не коснулись также вопросов сходимости рядов Фурье в смысле среднего квадратичного, в которых в полной мере про-

Заключительное замечание

31

является свойство ортогональности функций тригонометрической системы.