Исследование управляемости линейных уравнений соболевского типа(Автореферат)

УДК 517.9 На правах рукописи

Работа выполнена в Челябинском государственном университете на кафедре математического анализа.

Рузакова Ольга Александровна

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук, доцент Федоров Владимир Евгеньевич Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, пpофессоp Максимов Вячеслав Иванович

ИССЛЕДОВАНИЕ УПРАВЛЯЕМОСТИ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ СОБОЛЕВСКОГО ТИПА

кандидат физико-математических наук, доцент Макаров Анатолий Семенович Ведущая организация: Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН

01.01.02. — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Защита состоится "16" июня 2004 года в 13 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета К 212.286.01 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук при Уральском государственном университете им. А.М. Горького по адpесу: 620083, г. Екатеринбург, пр. Ленина, 51, а. 248. С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Уральского государственного унивеpситета им. А.М. Горького.

Автоpефеpат разослан "6" мая 2004 г.

ЕКАТЕРИНБУРГ — 2004

Ученый секpетаpь диссертационного совета доктор физико-математических наук, профессор

В.Г. Пименов

Актуальность темы. Уравнениями соболевского типа называются уравнения, не разрешенные относительно старшей производной по времени. Такие уравнения возникают при моделировании различных реальных процессов. В настоящее время уравнения соболевского типа изучаются в рамках двух подходов. К первому следует отнести работы С.Л. Соболева, С.А. Гальперна, А.Г. Костюченко, Г.И. Эскина и многих других. Данный подход предполагает непосредственное исследование начально-краевых задач для уравнений или систем уравнений в частных производных. Другой подход подразумевает изучение абстрактных операторных уравнений с дальнейшими приложениями к конкретным начально-краевым задачам. В настоящее время в этой области активно и плодотворно работают И.В. Мельникова, Н.А. Сидоров, R.E. Showalter, A. Favini, A. Yagi, Г.А. Свиридюк, В.Е. Федоров и многие другие. Одной из наиболее часто возникающих и важных задач прикладного характера является задача оптимального управления. Для линейного уравнения соболевского типа задача оптимального управления исследовалась в работах Г.А. Свиридюка и А.А. Ефремова. В конечномерных пространствах уравнения соболевского типа или так называемые алгебро-дифференциальные уравнения и, в частности, задачи оптимального управления для них, рассматриваются в работах Ю.Е. Бояринцева и В.Ф. Чистякова. Однако, решение задач оптимального управления имеет смысл лишь в случае существования множества управлений, то есть при возможности неоднозначного выбора управления, приводящего к желаемой цели. Поэтому необходимо, чтобы система обладала свойством управляемости1 . Управляемость уравнения, разрешенного относительно производной

по времени исследовали в своих работах Н.Н. Красовский, R.E. Kalman, Y.C. Ho, K.S. Narendra, H.O. Fattorini, R. Triggiani, Ф.А. Шолохович, А.Б. Куржанский, Л.М. Куперман, Ю.М. Репин, С.А. Нефедов и многие другие. Управляемость уравнений соболевского типа, ранее, по-видимому, не исследовалась. Цель работы. Пусть X, Y, U — банаховы пространства. Рассматривается задача Коши (1)

x(0) = x0 для линейного уравнения соболевского типа .

L x (t) = M x(t) + Bu(t),

0 ≤ t ≤ T.

(2)

Здесь операторы L ∈ L(X; Y), M ∈ Cl(X; Y), B ∈ L(U; Y), функция u(t) : [0, T ] → U обозначает управление. Цель работы — исследовать управляемость уравнения (2), то есть возможность приведения траектории его решения в наперед заданную точку или ε-окрестность заданной точки (ε-управляемость) в случае, когда kerL 6= {0}, а оператор M сильно (L, p)-радиален, то есть существует сильно непрерывная разрешающая полугруппа однородного уравнения (2). В предположении, что пространство управлений U коm P bi ui (t), уравнение (2) нечномерно, а оператор Bu(t) = i=1

принимает вид .

L x (t) = M x(t) +

m X

bi ui (t),

0 ≤ t ≤ T,

(3)

i=1

Шолохович Ф.А. Об управляемости линейных динамических систем // Изв. УрГУ. 1998. № 10. Вып. 1. С. 103 – 126.

где функции ui (t) : [0, T ] → R обозначают управления, векторы bi ∈ Y, 1 ≤ i ≤ m. Еще одной целью диссертационной работы является исследование конечномерной

3

4

1

ε-управляемости вырожденного уравнения (3) (kerL 6= {0}) с (L, σ)-ограниченным оператором M , L-резольвента которого имеет несущественную особую точку в бесконечности. Кроме того, нашей целью является исследование ε-управляемости уравнения .

L x (t) = M x(t) +

m X

bi (t)ui (t) + c(t),

0 ≤ t ≤ T,

(4)

i=1

содержащего вектор–функции bi (t), c(t) : [0, T ] → Y, 1 ≤ i ≤ m, с сильно (L, p)-радиальным оператором M . Методы исследования. В основе нашего подхода лежит метод фазового пространства2 . Суть метода заключается в редукции сингулярного уравнения (2) к паре эквивалентных ему уравнений x˙ 1 (t) = S1 x1 (t) + L−1 1 QBu(t),

оператором при производной. Полученные абстрактные результаты реализованы в конкретных начально-краевых задачах. Все результаты являются новыми. Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации имеют как теоретический, так и практический характер. К результатам теоретической значимости следует отнести найденные критерии ε-управляемости и управляемости абстрактных уравнений соболевского типа. Полученные результаты затем используются при исследовании управляемости начально-краевых задач для уравнения Баренблатта–Желтова–Кочиной, уравнения эволюции свободной поверхности фильтрующейся жидкости, уравнения стратификации объемного заряда в полупроводнике и многих других неклассических уравнений и систем уравнений математической физики.

Sviridyuk G.A., Fedorov V.E. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators. Utrecht; Boston: VSP, 2003.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, были представлены на Всероссийской научной конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач" (Екатеринбург, 2001, 2004) XXXIX Международной научной студенческой конференции "Студент и научно–технический прогресс" (Новосибирск, 2001), научных студенческих конференциях "Студент и научно–технический прогресс" (Челябинск, 2001 – 2003), Международных научных конференциях "Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели" (Челябинск, 2002), "Ill–posed and inverse problems" (Новосибирск, 2002), "Обратные задачи: теория и приложения" (Ханты–Мансийск, 2002), "Общие проблемы управления и их приложения. Проблемы преподавания математики" (Тамбов, 2003), Всероссийской конференции "Актуальные проблемы прикладной математики и механики" (Екатеринбург, 2003), на семинаре проф. Г.А. Свиридюка в Челябинском государственном университете.

5

6

0

0

H x˙ (t) = x (t) +

M0−1 (I

− Q)Bu(t),

определенных, однако, не на пространстве X, а на взаимно дополнительных подпространствах, одно из которых является фазовым пространством уравнения, а другое — ядром разрешающей полугруппы. Полученные уравнения затем исследуются методами функционального анализа, теории полугрупп операторов, теории управляемости эволюционных уравнений. При изучении прикладных задач используются классические методы теории уравнений в частных производных. Новизна полученных результатов. Основными результатами диссертации являются теоремы об управляемости и ε-управляемости дифференциального уравнения первого порядка в банаховом пространстве с вырожденным 2

Кроме того, данное исследование поддержано грантами Минобразования РФ № A03-2.8-82, Минобразования РФ и Правительства Челябинской области № 03-01-б, стипендией Президента РФ (2003) и стипендией Законодательного Собрания Челябинской области (2003). Публикации. По теме диссертации опубликовано 16 работ, список которых приводится в конце автореферата. Результаты, опубликованные в совместных с научным руководителем работах, получены автором самостоятельно; соавтору принадлежит постановка задачи и основное направление исследования. Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Объем диссертации составляет 110 страниц. Библиография содержит 127 наименований работ российских и зарубежных авторов. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обосновывается актуальность темы исследования, определяется цель работы, дается обзор литературы по исследуемой проблематике. Первая глава содержит предварительные сведения. В ней собраны факты, которые так или иначе используются при доказательстве основных результатов диссертации. В первом паpагpафе представлены сведения об относительных резольвентах. Второй и третий параграфы содержат соответственно основные факты об (L, σ)-огpаниченных и сильно (L, p)-радиальных операторах и соответствующих им аналитических группах и сильно непрерывных полугруппах опеpатоpов с ядрами, доказанные ранее в работах Г.А. Свиpидюка3 , В.Е. Федорова4 . В четвертом паpагpафе

представлены необходимые результаты по теории диффеpенциальных операторов в банаховых пространствах. Вторая глава посвящена исследованию бесконечномерной управляемости уравнения соболевского типа. В первом параграфе вводятся определения ε-управляемости из нуля, в нуль и из любой точки в любую для уравнения (2) с сильно (L, p)-радиальным оператором M . Кроме того, помимо ε-управляемости за время T вводится понятие ε-управляемости за свободное время. Изучается взаимосвязь данных определений для уравнения, определенного на фазовом пространстве уравнения (2) и суженного на ядро разрешающей полугруппы уравнения, приводятся необходимые условия ε-управляемости. Заметим, что в рассмотренных нами условиях решение задачи Коши содержит производные, поэтому в качестве класса функций управления нами выбран класс функций управления V (T ) = C p+1 ([0, T ]; U). Кроме того, функции управления должны удовлетворять условию согласования с начальным значением x0 задачи Коши (I − P )x0 = −

p X

H k M0−1 (I − Q)Bu(k) (0),

k=0

поэтому множество допустимых функций управления сужается до Vx0 (T ). Второй параграф содержит критерии ε-управляемости сужения уравнения (2) на его фазовое пространство, которое является разрешенным уравнением относительно производной, полученные ранее в работах H.O. Fattorini5 , R. Triggiani6 . Они сформулированы в адап-

Свиридюк Г.А. К общей теории полугрупп операторов // Успехи мат. наук. 1994. Т. 49, № 4. С. 47 – 74. 4 Федоров В.Е. Вырожденные сильно непрерывные полугруппы

операторов // Алгебра и анализ. 2000. Т. 12, вып. 3. С. 173 – 200. 5 Fattorini H.O. On complete controllability of linear systems // J. Different. Equat. 1967. V. 3. P. 391 – 402. 6 Triggiani R. Controllability and observability in Banach space with bounded operators // SIAM J. on Control, 1975. V. 13, № 2, 462 – 491.

7

8

3

тированном для нашего уравнения виде и доказаны для нашего класса функций управления. В третьем параграфе найдены критерии ε-управляемости уравнения на ядре разрешающей полугруппы и уравнения (2).

оператор–функции (µL − M )−1 , приведены в седьмом параграфе. (При этом используются результаты о точной управляемости разрешенного относительно производной уравнения, полученные ранее7 ).

Теорема 1. Пусть оператор M сильно (L, p)-радиален, оператор B непрерывно обратим. Система (2) ε-управляема за свободное время T в том и только в том случае, когда

Теорема 3. Пусть оператор M (L, σ)-ограничен, причем бесконечность является несущественной особой точкой порядка p оператор–функции (µL − M )−1 . Если система (2) управляема, тогда при некотором m ∈ N0

1 span{im X T L−1 1 QB, T ≥ 0} = X ,

span{im H k M0−1 (I − Q)B, 0 ≤ k ≤ p} = dom M0 .

1 span{im S1k L−1 1 QB, 0 ≤ k ≤ m} = X ,

Теорема 2. Пусть оператор M (L, σ)-ограничен, причем бесконечность является несущественной особой точкой порядка p оператор–функции (µL − M )−1 , оператор B непрерывно обратим. Система (2) ε-управляема в том и только в том случае, когда

span{im H k M0−1 (I − Q)B, 0 ≤ k ≤ p} = dom M0 .

1 span{im S1k L−1 1 QB, k ∈ N0 } = X ,

span{im H k M0−1 (I − Q)B, 0 ≤ k ≤ p} = dom M0 . В четвертом параграфе полученные абстрактные результаты применяются при изучении ε-управляемости уравнения эволюции свободной поверхности фильтрующейся жидкости. Полученные абстрактные результаты использованы при исследовании начально–краевой задачи для алгебро– дифференциальной системы уравнений с частными производными в пятом параграфе. В шестом параграфе вводятся понятия точной управляемости уравнения (2). Необходимые условия точной управляемости уравнения (2) в предположении, что оператор M (L, σ)-ограничен, а бесконечность является несущественной особой точкой порядка p 9

В восьмом параграфе исследуется точная управляемость уравнения (2) для случая переменного оператора управления B(t). Теорема 4. Пусть оператор M (L, σ)-ограничен, причем бесконечность является несущественной особой точкой порядка p оператор–функции (µL − M )−1 , оператор–функция B(t) аналитична в круге ST (0). Если система (2) управляема, тогда существует t0 такое, что QB(t0 ) 6= O, ( p ) X span im Ckl H k M0−1 (I − Q)B (k−l) (0), 0 ≤ l ≤ p = dom M0 k=l

и при некотором m ∈ N0 span{im Ak (T ), 0 ≤ k ≤ m} = X1 . 7

Коробов В.И., Рабах Р. Точная управляемость в банаховом пространстве // Дифференц. уравнения. 1979. Т. 15, № 12. С. 2142 – 2150.

10

В третьей главе изучается конечномерная управляемость уравнения соболевского типа. В первом параграфе приводится критерий конечномерной ε-управляемости для уравнения, определенного на фазовом пространстве уравнения (3) в предположении, что оператор M (L, σ)-ограничен, а бесконечность является несущественной особой точкой порядка p оператор–функции (µL − M )−1 . Нами показано, что полученный ранее А.Б. Куржанским8 критерий справедлив и в нашем случае при использовании более узкого класса функций управления. Во втором параграфе показано, что ε-управляемость суженного на ядро разрешающей полугруппы уравнения равносильна точной управляемости и получен ее критерий. Третий параграф содержит необходимое условие конечномерной ε-управляемости уравнения (3). Теорема 5. Пусть оператор M (L, σ)-ограничен, а бесконечность является несущественной особой точкой порядка p оператор–функции (µL − M )−1 . Если система (3) ε-управляема, то линейная оболочка векторов 1 {S1k L−1 1 bi , k ∈ N0 , 1 ≤ i ≤ m}

плотна в пространстве X1 , а система векторов {H k M0−1 b0i , 0 ≤ k ≤ p, 1 ≤ i ≤ m} является условным базисом в пространстве X0 . Отмечено, что в данной постановке задачи, найденное условие не является достаточным, в результате чего там же

рассмотрена задача с раздельными функциями управления, для которой сформулирован критерий ε-управляемости. В четвертом параграфе полученные абстрактные результаты применяются для исследования конечномерной ε-управляемости задачи Коши – Дирихле для уравнения Баренблатта – Желтова – Кочиной. Пятый параграф посвящен исследованию ε-управляемости более общего уравнения (4). Уравнение такого вида, разрешенное относительно производной, исследовано ранее9 . В предположении, что оператор M сильно (L, p)-радиален, найдены необходимые условия конечномерной ε-управляемости вырожденного уравнения (4) (ker L 6= {0}). Теорема 6. Пусть оператор M сильно (L, p)-радиален, вектор–функции bi (t), c(t) ∈ C p+1 ([0, T ]; Y0 ), 1 ≤ i ≤ m. Если система (4) ε-управляема за время T , тогда 1 1 span{X T −s L−1 1 bi (s), 0 ≤ s ≤ T, 1 ≤ i ≤ m} = X ,

пространство X0 не более, чем (p + 1)m-мерно, а система векторов ( p ) X 0(k−l) Ckl H k M0−1 bi (T ), 0 ≤ l ≤ p, 1 ≤ i ≤ m k=l

является в нем условным базисом. Шестой параграф содержит пример не ε-управляемой системы. В седьмом параграфе рассмотрена начально-краевая задача для уравнения, содержащего многочлены от эл9

Куржанский А.Б. К управляемости в банаховых пространствах // Дифференц. уравнения. 1969. Т. 5, № 9. C. 1715 – 1718.

Нефедов С.А., Шолохович Ф.А. Критерий ε-управляемости линейной системы // Дифференц. уравнения. 1976. Т. 12, № 4. С. 653 – 657.

11

12

8

липтического оператора высокого порядка, которая является обобщением некоторых задач, рассмотренных в предыдущих параграфах. Основные результаты диссертации.

2. Рузакова О.А. Управляемость неоднородного уравнения соболевского типа с сильно (L, p)-радиальным оператором // Студент и научно–технический прогресс. Тез. научн. студ. докл. Челябинск: ЧелГУ, 2001. С. 9 – 11.

1. Получены критерии ε-управляемости уравнения (2) с сильно (L, p)-радиальным оператором M и непрерывно обратимым оператором B.

3. Рузакова О.А. Об одномерной управляемости линейных уравнений соболевского типа // Уравнения соболевского типа. Сб. науч. работ. Челябинск: ЧелГУ, 2002. С. 215 – 219.

2. Найдены необходимые условия управляемости уравнения (2) в предположении, что оператор M (L, σ)ограничен, бесконечность является несущественной особой точкой порядка p оператор–функции (µL − M )−1 . 3. Получены критерии ε-управляемости уравнения (3) в предположении, что оператор M (L, σ)-ограничен, бесконечность является несущественной особой точкой порядка p оператор–функции (µL − M )−1 . 4. Найдены необходимые условия конечномерной ε-управляемости уравнения (4) с сильно (L, p)-радиальным оператором M . 5. Получены условия ε-управляемости для начально-краевых задач для некоторых неклассических уравнений в частных производных. СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ 1. Рузакова О.А. Управляемость неоднородного уравнения соболевского типа с сильно (L, p)-радиальным оператором // Студент и научно–технический прогресс. Тез. междунар. научн. студ. конф. Новосибирск, 2001. С. 127 – 128. 13

4. Рузакова О.А. Об одномерной управляемости линейных уравнений соболевского типа // Студент и научно–технический прогресс. Тез. науч. студ. докл. Челябинск: ЧелГУ, 2002. С. 5 – 6. 5. Рузакова О.А. Двумерная управляемость задачи Коши–Дирихле для уравнения Баренблатта–Желтова– Кочиной // Обратные задачи: теория и приложения: Тез. докл. междунар. науч. школы–конф. Часть 2. Ханты–Мансийск, 2002. С. 30 – 31. 6. Рузакова О.А. Конечномерная управляемость уравнений соболевского типа // Актуальные проблемы прикладной математики и механики. Тез. докл. Всеросс. конф. Екатеринбург. 2003. С. 65 – 66. 7. Рузакова О.А. Двумерная управляемость уравнения соболевского типа // Студент и научно–технический прогресс: Тез. науч. студ. докл. Челябинск: ЧелГУ, 2003. С. 6. 8. Рузакова О.А. Конечномерная управляемость уравнений соболевского типа // Вестн. ЧелГУ. Математика, механика, информатика. 2003, № 1. С. 127 – 135. 9. Рузакова О.А. К вопросу об одномерной управляемости линейных вырожденных уравнений // Вестник МаГУ. Сер. Математика. 2003, Вып. 4. С. 111 – 120. 14

10. Рузакова О.А. Конечномерная управляемость уравнений соболевского типа // Алгоритмический анализ неустойчивых задач: Тез. докл. Всерос. науч. конф. Екатеринбург. 2004. С. 216. 11. Рузакова О.А., Федоров В.Е. Об одномерной управляемости в гильбертовых пространствах линейных уравнений соболевского типа // Алгоритмический анализ неустойчивых задач. Тез. докл. Всеросс. научн. конф. Екатеринбург, 2001. С. 177 – 178. 12. Рузакова О.А., Федоров В.Е. Одномерная управляемость уравнений соболевского типа // Дифференц. и интегральные уравнения. Мат. модели. Тез. докл. междунар. науч. конф. Челябинск, 2002. С. 85. 13. Федоров В.Е., Рузакова О.А. Одномерная управляемость в гильбертовых пространствах линейных уравнений соболевского типа // Дифференц. уравнения. 2002. Т. 38, № 8. C. 1137 – 1139. 14. Федоров В.Е., Рузакова О.А. Управляемость линейных уравнений соболевского типа с относительно p-радиальными операторами // Изв. вузов. Математика. 2002. № 7. C. 54 – 57. 15. Федоров В.Е., Рузакова О.А. Одномерная и двумерная управляемость уравнений соболевского типа в банаховых пространствах // Мат. заметки. 2003. T. 74, № 4. С. 618 – 628. 16. Ruzakova O.A. Two–dimensional controllability of Sobolev type equation // Ill-posed and inverse problems: Abstracts of internat. conf. Novosibirsk, Sobolev Institute press, 2002. p. 140.

15

Подписано в печать 05.05.04. Формат 60 × 84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,0. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 115. Бесплатно. Челябинский государственный университет 454021 Челябинск, ул. Братьев Кашириных, 129 Полиграфический участок Издательского центра Челябинского государственного университета 454021 Челябинск, ул. Молодогвардейцев, 57б