Частичные порядки на группах Длаба

Алгебра и логика,, 40, N 2 (2001), 135-157

УДК 512.54

ЧАСТИЧНЫЕ П О Р Я Д К И НА ГРУППАХ Д Л А Б А Н. Я. МЕДВЕДЕВ

Для любой подгруппы Н ранга 1 мультипликативной группы поло­ жительных действительных чисел дается полное описание максимальных частичных порядков и минимальных изолированных частичных поряд­ ков групп Длаба [1] D#(I), £>#*(!), Д,#(1), 1)#(1) единичного интерва­ ла I = [0,1] и Он, -D#* расширенной действительной прямой R. Бо­ лее точно, покажем, что 1) любая группа, изоморфно вложимая в одну из вышеперечисленных групп Длаба, не имеет нетривиальных минималь­ ных частичных порядков (предложение 1.1); 2) группы £>я(1) и D # име­ ют 4 максимальных частичных порядка и 4 нетривиальных минималь­ ных изолированных частичных порядка; 3) группы D#*(I), !>*#(!) и £)#* имеют 10 максимальных частичных порядков и 8 нетривиальных мини­ мальных изолированных частичных порядков; 4) у группы Р#(1) — 16 нетривиальных минимальных изолированных частичных порядков и 40 максимальных частичных порядков (теор. 2.1—3.4). Отметим, что ранее Холланд [2] получил описание минимальных и максимальных частичных порядков группы А(К) всех порядковых автоморфизмов линейно упоря­ доченного множества действительных чисел R.

*) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаменталь­ ных исследований, проект N 99-01-00156, и Министерства образования РФ.

©

Сибирский фонд алгебры и логики, 2001

136

Я. Я. Медведев § 1. Определения и вспомогательные результаты Группа G называется частично упорядоченной, если на ней опреде­

лено отношение частичного порядка <, устойчивое относительно умноже­ ния слева и справа на элементы группы G, т.е. для любых ж , у , 2 б С и з х < у сдедуют zx < zy и xz < yz. Хорошо известно, что любой частич­ ный порядок группы G единственным образом определяется полугруппой положительных элементов и что любая чистая инвариантная полугруп­ па Р группы G определяет единственным образом частичный порядок на группе G, при котором Р является полугруппой положительных элементов [3, теор. 1.5.1]. Поэтому в дальнейшем мы задаем частичные порядки на группе посредством отношения < либо при помощи чистой инвариантной полугруппы. Все необходимые факты по упорядоченным группам можно найти в [3—5], а по теории групп — в [6]. Всюду в работе R обозначает естественно линейно упорядоченное множество действительных чисел, I = [0,1] — замкнутый единичный ин­ тервал множества R, R = - o o U R U +oo — естественно линейно упоря­ доченное расширенное множество действительных чисел, N — множество натуральных чисел. Символ SG(M) обозначает инвариантную полугруппу группы С?, по­ рожденную подмножеством М. Для любого подмножества X группы G положим 1(Х) = {g eG \дп б X для некоторого п G N } . Через S обозначим множество всех монотонно возрастающих (не бо­ лее чем счетных) последовательностей s

= {& I 1 <

l

< r> г Д е hт ~ ординалы, £ £ I(R)}

всех возможных типов т вполне упорядоченных последовательностей, обладающих наибольшим элементом и таких, что 0 < £у (~оо < ^ ) , £г = sup{£t \ i < а} для каждого предельного числа а, а < г. Пусть

Частичные порядки на группах Длаба,

137

Н — произвольная подгруппа мультипликативной группы положительных действительных чисел. Через £)#(I) (DH) обозначим множество всех моно­ тонно возрастающих функций (x)f из группы порядковых автоморфизмов I(R) таких, что для / существует последовательность S / , Е/ = {£t | i < г } , из S такая, что (£)/ = £ для всех £, £ £ [Сь£т], 0 < &, £ т < 1 (-оо < £ ь £ г < +оо), и / — линейная функция на каждом отрезке [&,&+i], причем значения правой производной (ж)/' функции / в точках £А содержатся в подгруппе Я . Числа £t называем точками излома функции / . Эти упоря­ дочиваемые группы определены Длабом в [1]. Подгруппы DH(I) (DH), DH*{I)

(£>Я*), D*H(I)

(£>* Я ) В группе

DH(l)

(DH) определяются следующим образом: a) неединичный элемент / принадлежит J9#(I) (DH) тогда и только тогда, когда 0 < & < £ г < 1 (-ос < £i < £ г < +ос), b) неединичный элемент / принадлежит Л3я*(1) (DH*) тогда и только тогда, когда 0 < fi < £т < 1 (-ос < & < £ г < +оо), c) неединичный элемент / принадлежит D*#(I) (D*H) тогда и только тогда, когда 0 < £i < £ г < 1 (-ос < £i < fr < +оо). Очевидно, что подгруппы D#(I), £>*я(1)> #я*(1) (£>я, £>*я, DH*) являются собственными нормальными подгруппами в группе DH(1) (DH)Длаб [1] показал, что для любой подгруппы Н ранга 1 мультиплика­ тивной группы положительных действительных чисел группа е (/ >' е) при порядке Р0 (PQ1) В ТОМ И только в том случае, когда значение правой производной (£i)/ /IT в первой точке излома £i G Е/ больше (меньше) 1 при линейном порядке группы Я . Автор и Зенков в [7] показали, что для любой подгруппы Н ранга 1 мультипли­ кативной группы положительных действительных чисел группы £)д*(1) и DH* имеют в точности два различных линейных порядка, определяемых (как и в группах D#(I), DH) значением правой производной в первой точ­ ке излома. Эти порядки обозначим Р* и Р~1 соответственно. В этой же

Я. Я. Медведев

138

работе получено, что группы Z?*#(I) И J D # ( I ) имеют 4 различных линей­ ных порядка, а мощность множества различных линейных порядков групп DH и D*fj несчетна. Открытый интервал (6, с) С I(R) называется опорным интервалом функции (ж)/, если (b)f — Ь, (c)f = с и (x)f ф х для любого х е (Ь^с). Числа Ь и с соответственно будем называть левым и правым концом опор­ ного интервала (6, с). Очевидно, что для всех точек х из опорного интер­ вала (6, с) выполняется (x)f > х или (x)f < x. Естественно упорядоченное множество концов опорных интервалов функции (x)f обозначим через Af. В дальнейшем точку первого излома (левый конец первого опорного ин­ тервала) функции (x)f будем обозначать через Ь\ или £хПусть G - одна из групп 1)*д(1), DH*(1), &н{1), DH(I),

DH*, DH-

Будем говорить, что элементы / и g из G имеют одинаковые базисные характеристики, (Af)h

если существует элемент h из группы G такой, что

= А 5 , (Ь а )/ / П = ((ba)h)gf ? г Д е &а — левый конец опорного ин­

тервала (Ь а >с а ) € А/ функции (x)f. В [1, 4] доказано, что элементы / и g группы G сопряжены тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые базисные характеристики. Хорошо известно, что множество всех частичных порядков в любой группе замкнуто относительно произвольных пересечений и, следователь­ но, образует полную нижнюю полурешетку относительно пересечения. Из леммы Цорна следует, что любой частичный порядок содержится в неко­ тором максимальном частичном порядке. Те же самые утверждения вы­ полняются и для изолированных частичных порядков группы. Тривиальный частичный порядок Р = {е} является наименьшим частичным порядком в любой группе и наименьшим изолированным час­ тичным порядком в любой упорядочиваемой группе* В общем случае ми­ нимальных (изолированных) нетривиальных частичных порядков может и не быть, как, например, для аддитивной группы целых чисел, но ес­ ли они есть, то мощность множества всех минимальных (изолированных) нетривиальных частичных порядков либо четное натуральное число, либо бесконечна. Отметим также, что любая нильпотеитная группа без круче-

139

Частичные порядки на, группах Длаба ния не имеет минимальных нетривиальных частичных порядков.

Следующее предложение показывает, что в группах Длаба отсутству­ ют нетривиальные минимальные частичные порядки. П Р Е Д Л О Ж Е Н И Е 1.1. Для любой подгруппы Н

мультиплика­

тивной группы положительных действительных чисел любая подгруппа групп Z?#(I), DJJ* не имеет нетривиальных минимальных

частичных

порядков. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть G — произвольная группа из условия леммы и Р — ее минимальный частичный порядок. Тогда, очевидно, что Р =z Soigne) для некоторого элемента g € G. Пусть, для определенности, £i — первая точка излома функции g и (£\)gf

> 1 в естественно упорядо­

ченной мультипликативной подгруппе Я положительных действительных чисел. Тогда g $ Pj = S G ( # 2 , e), поскольку значение правой производной в первой точке излома любого неединичного элемента из инвариантной по­ лугруппы SG(g2,e)

больше либо равно ((£i)tf' n ) 2 и ( ( б ) / 1 ) 2 > ( ( б ) / 1 ) -

п

С Л Е Д С Т В И Е 1.1. Свободная группа Fn конечного или счетного ранга и группа Томпсона G
140

Я. Я. Медведев

дем называть изолированным частичным порядком, порожденным эле­ ментом д. Теперь для произвольного элемента д упорядочиваемой группы G рассмотрим следующие подмножества: Ji = I(g,e),

J2 = 5 G ( J I ) , • • • , Лп = SG{J2n-i),

« W i = /(J 2 n) (n € N).

Очевидно, что Ji С J 2 С . . . С Jfc С J* +1 С . . . . Положим Q(g) ~ (J J*.. fc€N

П Р Е Д Л О Ж Е Н И Е 1.2. Пусть G — упорядочиваемая группа и g — произвольный неединичный элемент группы G. Тогда Q(g) = ISG(<7). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Очевидно, что Q(g) присутствует в любом изолированном частичном порядке группы G, содержащем элементы g и е. Значит, Q(g) С ISG(#). Покажем, что Q(#) является изолированным ча­ стичным порядком группы G, Действительно, если для некоторого натурального числа к выполня­ ется равенство J^ = Jk+i, то Jfc является одновременно изолированным множеством в группе G и инвариантной полугруппой в группе G, а кроме того, содержит элементы g и е. В этом случае <2(#) является изолирован­ ным частичным порядком и Q(g) = ISG(#). Пусть теперь J* 7^ Л+1 А л я любого к Е N и # n E <2(#). Тогда p n E Jfc для некоторого нечетного натурального числа к. В силу изолиро­ ванности подмножества Jk в группе G имеем g E Jk и> значит, у G Q(<7)« Пусть теперь g,h E Q(
Частичные порядки на группах Длаба

141

Пусть 0 < 6 < с < 1 и г G Я , г > 1. Пусть (x)qi — произ­ вольная функция из группы £>#(!), удовлетворяющая следующим усло­ виям: 1) supp(gi) = (ft,с), 2) (b)q[n = г, г G Я , г > 1. Обозначим через Q x = Is£)H(i)(gi) изолированный частичный порядок группы D#(I), поро­ жденный элементом q\. ЛЕММА

2.1. Изолированный

частичный

порядок Q\

£?#(1), порожденный элементом q\} является минимальным

группы нетриви­

альным изолированным частичным порядком в группах £)*#(!), AfiT*(I)> 2?я(1),Оя(1). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть / — произвольный элемент группы D#(I) такой, что носитель supp(/) состоит из одного опорного интерва­ ла (6i,ci), 0 < Ь\ < с\ < 1 и k = (bi)ff

> 1. Поскольку группа Я" имеет

ранг 1, то для некоторых натуральных чисел m и / выполняется равен­ ство кт = г'. Тогда элементы (#)#i и (x)fm

имеют одинаковые базисные

характеристики и, следовательно, сопряжены в группе J D # ( I ) . Используя предложение 1.2, легко заметить, что изолированный частичный порядок Qi группы JD#(I) состоит из элементов группы, являющихся произведени­ ями конечного числа элементов, чей носитель состоит из одного опорного интервала и значение правой производной в первой точке излома больше 1. Пусть g — произвольный неединичный элемент из Q\. Если supp(^) состоит из одного опорного интервала, то Is/}H(i)(ff) = Q\. Если supp(^) содержит более одного опорного интервала, то по предложению 3.3 [1] су­ ществует сопряженный элемент gz такой, что произведение g • gz обладает следующими свойствами: 1) supp(g-gz) = (Ь, c)U(c, d), где 0 < 6 < c < d < l , 2) (b)(g-g*y

= r\ > 1, (с)(#-#*)' п = r 2 > 1. Выберем числа Ь ь с ь rfi

такие, что Ь < Ь\ < с < с\ < d < d\1 и положим (ж)/ равной произволь­ ной функции из группы D H ( I ) такой, что: 1) supp(/) = (&i, cx) U (ci,di), 2) {b\)f

= rf, (с!)/' == r 2 . Элементы g - gz и f имеют одинаковые базис­

ные характеристики и, следовательно, сопряжены в группе £>я(1)- Носи­ тель их произведения состоит из одного опорного интервала, и значение правой производной в первой точке излома больше 1. Поэтому изолиро­ ванный частичный порядок, порожденный любым неединичным элемен-

Я. Я. Медведев

142

том #, g £ Qi, содержит элемент qi и, следовательно, частичный порядок Qi. Значит, частичный изолированный порядок Q\ минимален в группе D # ( I ) . Минимальность порядка Qi в группах Л*# (I), D#*(I), £># (I) оче­ видна. • Выберем числа 6, с, d из интервала I — [0,1] такие, что 0 < Ь < < с < d < 1, и положительные действительные числа r*i, г2 £ Я такие, что г\ > 1, г 2 < 1. Положим (x)q2 равной произвольной функции из группы Ан"(1)> удовлетворяющей следующим условиям: 1) supp(#2J = (b, с) U (с, d), 2) (%2 П = П, ( с ) й " = г 2 , Г Ы 2 G Я , гх > 1, г2 < 1. Л Е М М А 2.2. Инвариантная полугруппа SDH(I)(Q2)

группы D # ( I ) ,

порожденная элементом {x)q2, содержит все элементы g группы Z)#(I), удовлетворяющие следующим условиям: 1) supp(#) = (&i,ci) U $2,02), где b\j c\} &2.» ^2 — произвольные числа из интервала I = [0,1] такие, что 0 < bi < ci == Ь2 < с 2 < 1; 2) (fti)flr'

= r i 2 u (b2)gf

= й, г
-

произвольный элемент Н, h < 1. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть а — произвольное действительное чис­ ло такое, что 0 < а < | . Рассмотрим на главной диагонали действительной плоскости хОу точки А(а,а), D{\, | ) , Я ( 1 - а, 1 - а). Выберем точку С в первой четверти плоскости такую, что 1) она лежит выше главной диагонали, 2) тангенс угла наклона отрезка АС с осью Ох равен г\ (г\ > 1), 3) тангенс угла наклона отрезка CD с осью Ох равен г2 (г2 < 1). Рассмотрим треугольник DGH, симметричный треугольнику ACD относительно точки D. Выберем на отрезке АС произвольную точку В (ф А,С)

и проведем отрезок BF так, что BF будет параллелен CG, а

точка F лежит на продолжении прямой, проходящей через точки G и Я . Обозначим через В, С, F , G точки, симметричные точкам Я, С, F, G отно­ сительно главной диагонали. Обозначим также через М точку пересечения отрезков BF и CG (очевидно, что точка М лежит ниже главной диагона­ ли). Обозначим через (х)д кусочно-линейную функцию из группы D # ( I ) , график которой совпадает с ломаной линией OABFHE,

где 0 ( 0 , 0 ) ,

Частичные порядки на группах Длаба £7(1,1). Через (x)f

143

обозначим кусочно-линейную функцию из группы

£)# (I), график которой совпадает с ломаной линией OACGHE.

По опреде­

лению, функции (х)д и (ж)/ сопряжены с функцией {х)ц2 в группе £>#(1). а график обратной функции (x)f~l совпадает с ломаной

OACGHE.

Рассмотрим функцию {x)gf. Она имеет единственную неподвижную точку внутри интервала [а, 1 - а], ее носитель supp(gf)

состоит из двух

опорных интервалов (a, a) U (а, 1 - а), где (а)д = (а)/"" 1 . Обозначим через К точку плоскости, "достаточно близкую" к точке М и такую, что 1) тангенс угла наклона отрезка МК с осью Ох равен fc, к £ Я ,

к > г2,

2) существует точка U пересечения прямой, проходящей через точку К параллельно отрезку J3JP, и отрезка GH. Пусть U, К, М — точки плоскости, симметричные точкам (7, К и М относительно главной диагонали. Обозначим через (x)f\ функцию из группы 1>я(1), график которой совпадает с ломаной линией

OACMKUH.

Очевидно, что функция (x)/i сопряжена с функцией (я)
= г J, (of)(#/i)' n = r 2 * Jf 1 . В силу произвола

при выборе числа к можно считать, что к = h~l • г 2 . •

144

Н. Я. Медведев Пусть (х) fa — произвольная функция из группы D # ( I ) , удовлетво­

ряющая следующим условиям: 1) supp(? 2 ) = (Ь, с) U (с, d) (0
< 1),

) (*)^ П = П, (c)qf2U = r 2 , fi,f 2 eH,rx>

1, f2 < 1.

Из леммы 2.2 непосредственно следует, что 1&DH(I)(Q2) = Is#f/(i)(н(1)(92) изолированный частичный поря­ док группы D#(I), порожденный элементом д2. Л Е М М А 2.3, Изолированный частичный порядок Q 2 является ми­ нимальным нетривиальным изолированным частичным порядком в группах £> я (1), Д * Я ( 1 ) , £>Я*(1),

DH{1).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. С учетом предложения 1.2 непосредственная проверка показывает, что носитель supp(p) любого элемента g £ Q 2 облада­ ет первым и последним опорными интервалами (&i,ci) и (Ь а ,с а ), причем (bi)^' 11 > 1, (Ь а )#' П < 1. В силу предложения 3.3 [1] для любого нееди­ ничного элемента g £ Q2 существует сопряженный элемент #* такой, что носитель их произведения / = g • gz состоит из двух опорных интерва­ лов {Ь'ис\)

U (Ь' 2 ,с' 2 ), где с\ = Ъ'2 и (fcx)/'" > 1, (Ь 2 )/' п < 1. Применяя

лемму 2.2, получаем, что изолированный частичный порядок Isj[)H(i)(<7), порожденный элементом 1 . Положим (x)q^ равной произ­ вольной функции из группы J9#*(I), удовлетворяющей следующим усло­ виям: 1) supp((fe) = (Ь, 1), 2) (Ь)^з

= г, г 6 Я , г > 1. Обозначим через

Q3 — lsDH^(i)(q3) изолированный частичный порядок группы £>#*(1), по­ рожденный элементом #зЛ Е М М А 2.4. Изолированный частичный порядок Q 3 является ми­ нимальным нетривиальным изолированным частичным порядком в групnaxDH*(I),DH(I). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО аналогично доказательству леммы 2.1. • Выберем числа 6, с из интервала I = [0,1] такие, что 0 < b < с < 1.

Частичные порядки на группах Длаба,

145

Пусть (x)q4 — произвольная функция из группы D#*(I), удовлетворяющая следующим условиям: 1) supp(#4) = (b?c)U(c, 1), 2) (b)qf4 = г ь ( с ) ^ г

= г2?

ь г 2 £ Я"? r i > 1» r 2 < 1. Обозначим через Q± = bi>H.(i)(94) изолирован­

ный частичный порядок группы-D#*(I)? порожденный элементом q±. Л Е М М А 2.5. Изолированный частичный порядок Q± является минимальным нетривиальным изолированным частичным порядком в груп­ пах £>н*(1), Atf(I). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО аналогично доказательству леммы 2.3. • Пусть 0 < с < 1 и г Е Я , г > 1. Пусть (ж)*#(!) такая, что supp(g5) = (0, с) U (с, 1) и (О)^" = г Для чисел 6, с таких, что 0 < 6 < с < 1 и r i , r 2 Е # , гх > 1, Г2 < 1, через (ж)<7б обозначим функцию из группы D*#(I) такую, что: 1) з и р р Ы = (0,6) U (Ь,с), 2) ( 0 ) ^ п = п , ( Ь ) ^ п = г 2 . Обозначим через <2б и (?б изолированные частичные порядки группы D#*(I)? порожденные элементами д5 и #6 соответственно. Л Е М М А 2.6. Изолированные частичные порядки Q$ и Q^ являют­ ся минимальными

нетривиальными изолированным частичными поряд­

ками в группах £>*#(I), J9#(I). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО аналогично доказательству лемм 2.1 и 2.3. • Для произвольного числа г £ Н рассмотрим функцию q? такую, что supp(#7) = (0,1) и (0)(?7П = г - Через Qt обозначим изолированный частич­ ный порядок группы l)#(I), порожденный элементом #7Через Qs обозначим изолированный частичный порядок группы Дг/(Х), порожденный элементом q$ таким, что: 1) supp(^s) = (0,Ь) U (Ь, 1) (0 < Ь < 1), 2) (0)q'sn = Г1, (b)q^n = г2 ( п , г2 € Я , п > 1, г2 < 1). Следующее утверждение доказывается аналогично предыдущим. Л Е М М А 2,7. Изолированные частичные порядки Q*? и Q$ являют­ ся минимальными

нетривиальными изолированным частичными поряд­

ками в группе Z)#(I). ТЕОРЕМА 2.1. 1) Любой минимальный нетривиальный

изолиро-

146

Н. Я. Медведев

ванный частичный порядок группы D#(I) совпадает с одним из порядков Ч\

} Q2

•

2) Любой минимальный нетривиальный изолированный порядок группы £>#*(1) совпадает с одним из порядков Qf1,

частичный Qf1)

Qf\

Qf13) Любой минимальный нетривиальный изолированный 1

порядок группы £)*#(!) совпадает с одним из порядков Qf ,

частичный Qf1,

Qf1,

Qf1. 4) Любой минимальный нетривиальный изолированный 1

частичный 1

порядок группы £)#(!) совпадает с одним из порядков Qf , Qf 4 Qf11 Qfl> Чь * Q% у Чч 5 Qs • ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Покажем, что любой нетривиальный изолиро­ ванный частичный порядок Р группы 1># (I) содержит один из перечис­ ленных порядков. Достаточно показать, что инвариантная полугруппа SDH(1)(9)

группы JD#(I), порожденная произвольным неединичным эле­

ментом g € -Р, содержит неединичный элемент, по крайней мере, из одного порядка Qf1 (г = 1 , . . . , 8). Пусть g — произвольный неединичный элемент группы l ) # ( I ) , И предположим для определенности, что значение правой производной (£i)g,n в первой точке излома £i больше 1. Если носитель supp(#) состоит из одного опорного интервала, то эле­ мент g принадлежит одному из порядков Qi, Q3> Qs> Qi в зависимости от вида опорного интервала. Поэтому считаем, что supp(#) содержит два или более опорных интервалов. В этом случае по предложению 3.3 из [1] следует, что для неединичного элемента g существует сопряженный эле­ мент gz такой, что носитель их произведения / = g • gz состоит из двух опорных интервалов (6i,ci) U (62^2), где с\ = 62, (bi)ffU — ((£i)g'U)2 > 1?" (^2)/ /П < 1 и bi — £1 — первая точка излома, а С2 = £ а ™ последняя точка излома элемента д. Рассмотрим возможные случаи. Если bi = О, C2 = 1 и (&2)//П > 1> то рассуждения, проведенные при доказательстве леммы 2.7, показывают, что SpH
содержит некоторый элемент вида 47 • Если (&2)/'П < 1?

то

Частичные порядки на, группах Длаба

147

$ВН(1)(Л содержит некоторый элемент вида q$. Аналогично разбираются случаи Ь\ > О, с2 = 1 и Ь\ > 0, с2 < 1. О Л Е М М А 2.8, Пусть G — одна из групп Длаба D#(I), D*#(I), DH*(I),

DH(I),

a M ~~ произвольный максимальный частичный порядок

группы G, изолированнный в G. Тогда для любого минимального

изоли­

рованного частичного порядка Р группы G выполняется одно из включе­ ний Р С М, Р-1 С М. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Поскольку М изолирован и Р £ М, то МПР тоже является изолированным частичным порядком. Так как М П Р С Р , Р ф М П Р , то в силу минимальности Р выполняется М П Р = {е}. Тогда М-Р"1

является частичным порядком. Поскольку М максимален, т о М =

^ М-Р-1

и МЭР'1.

•

Л Е М М А 2.9. Пусть G — одна из групп Длаба D#(I), D*#(I), DH*(1),

DH(1),

a Mi, M2 — максимальные частичные порядки группы G,

причем Mi, М 2 изолированы в G. Если множества минимальных

изоли­

рованных частичных порядков, содержащихся в Mi и М2, совпадают, то Мг

=М2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть G = £>#(1), Мх ф М2 и g е Мх \ М2.

Тогда в силу максимальности порядка М2 выполняется е £

SjjH^(g^M2),

1

Поэтому т 6 5£>H(i)(fif"" ) для некоторого элемента т Е М 2 . Тогда для некоторого минимального изолированного частичного порядка Р выпол­ няются включения Р С IsjDH(i)(m) С IsD^ig-1)

С М~х.

Таким образом, Р " 1 С Mi и по нашему предположению, Р " 1 С М2. Это невозможно, поскольку Р С l&£>H(i)(m) С М 2 . Справедливость утвержде­ ния для остальных групп рассматривается аналогично. • Таким образом, в группах Z?#(I), J D * # ( I ) , D#*(I), Д#(1) может быть соответственно не более 4, 16, 16 и 256 различных частичных порядков, являющихся одновременно максимальными и изолированными. В группе 1)#(1) определим частичный порядок Д4" = { j E Dfj{I) \ За е (0,1)((а)д > а и V/3 G (0,1), /3 > а, 0 % > /3)}.

148

Я. Я. Медведев Т Е О Р Е М А 2.2. Группа D#(I) имеет в точности 4 различных час­

тичных порядка, являющихся максимальными и изолированными. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть М — произвольный максимальный и изолированный частичный порядок. Как отмечалось ранее, возможны 4 различных случая. 1) Выполняется М D Q*1, Q^1 • Тогда М = Ро. Максимальность и изолированность линейного порядка Ро очевидны. 2) Выполняется М Э Q~[*, Q^"1. Тогда М = Р$1. Максимальность и изолированность линейного порядка PQ"1 очевидны. 3) Выполняется М Э Q*1, QJ 1 . Рассмотрим частичный порядок i?+ _ = R+ п DH(1) группы Z?#(I). Очевидно, что J?J ^ч является изо­ лированным частичным порядком группы D#(I). Покажем, что этот по­ рядок максимален. Достаточно заметить, что инвариантная полугруппа Sj9 H (i)(P + ,
TO э т о

очеви

Д н о - Считаем, что

> 1. Множество опорных интервалов эле­

мента g не имеет наибольшего элемента, содержит счетную строго возра­ стающую последовательность {(bi(k),Ci(k)) I & G N} опорных интервалов такую, что (Ь,-(й))<7/П > 1, и содержит счетную строго возрастающую по­ следовательность {(bj(k)icj(k)) ! ^ G N} опорных интервалов такую, что (bj(k))9fU < 1 и s a p ( ^ ) = sup({ci(ib) | k £ N}) = sup{{cj{k)

\ k e N}).

По предложению 3.3 [1] в группе £)#(!) существует элемент г такой, что носитель произведения / — g • gz состоит из двух опорных интервалов ( f t ' b d ) U (&' 2 ,с' 2 ), где с\ = Ь'2, (6Ч)/' П = ( ( б ) / 1 ) 2 > 1, (Ь'2)/' П < 1 и Ь'г = £i — первая точка излома функции / , а с'2 = £ a = sup(A fl ). Зна­ чит, / G ( й ^ (i))~l SoH(i){R+,g)

— ^ # (i)- Отсюда непосредственно получаем, что

содержит единичный элемент е. Случай (£i)#' n < 1 рассма­

тривается аналогично. Поэтому М = Д + . 4) Выполняется М Э Q\~1) Q f l 2 - Рассматривается аналогично слу­ чаю 3, причем М = #b H (l)

=

(^н(1))_1* °

Т Е О Р Е М А 2.3, Группа £>#*(!) имеет в точности 10 различных

Частичные порядки на, группах Длаба

149

частичных порядков, являющихся максимальными и изолированными. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть М — произвольный максимальный и изолированный частичный порядок. Как отмечалось ранее, возможны 16 различных случаев. 1) Выполняется М Э Q ^ \ Q$l, Q j 1 , Q j 1 . Тогда М = Р*. Макси­ мальность и изолированность линейного порядка Р* очевидны. 2) Выполняется М Э Qjf1, Q 2 *, QJ 1 , Q4 1 .

Tor

^a

M

= P*_1- Макси­

мальность и изолированность линейного порядка Р~х очевидны. 3) Выполняется М Э Qi*S Q j S Q3"1» ФГ1- Определим частичный порядок М на группе Дя*00 по следующему правилу: g 6 М, если либо # G -Dtf(X) и # е Р 0? либо я*(1) \ Atf (I) и j G й + . Непосредственная проверка показывает, что М является максимальным и изолированным частичным порядком на группе Х?я*(1). 4) Выполняется М Э QjJ*1, Q j 1 , Q j 1 , Q j 1 - Тогда М совпадает с порядком, обратным к порядку, определенному в случае 3. 5) Выполняется М Э Qjf"1, Q^ 1 , Q3"1, Q^ 1 - Определим частичный порядок М на группе Дя*(1) по следующему правилу: # € М, если либо # € ДетОО и у € Ро, либоflfG £>я*(1) \ £*#(!) и ^ Е Й " . Непосредственная проверка показывает что М является максимальным и изолированным частичным порядком на группе 1?я*(1). 6) Выполняется М Э Qj" 1 , Q^ 1 , Q j 1 , Q j 1 - Тогда М совпадает с порядком, обратным к порядку, определенному в случае 5. 7) Выполняется М Э Qfl,

Q ~ \ Q j 1 , Q 4 M . Такой порядок нельзя

задать. 8) Выполняется М Э Q~l, Q j 1 , Q^1, Q±l. Такой порядок нельзя задать. 9) Выполняется М Э Qjf1, Q^ 1 , Qj 1 * Ф^1* Такой порядок нельзя задать. 10) Выполняется М Э Q* 1 , Q^"1, Q j \ Q^1* Такой порядок нельзя задать. 11) Выполняется М Э Q+ 1 , Q+ 1 , Q" 1 , Qi"1- Такой порядок нельзя задать.

150

Н. Я. Медведев 12) Выполняется М О Qf 1 , Q^\

Qf1, Qtl• Такой порядок нельзя

задать. 13) Выполняется М Э Qf\

Q^\

Qt\

Q j 1 - Положим М = Р+ П

ГШ#*(1). Непосредственная проверка показывает что М является макси­ мальным и изолированным частичным порядком на группе 1>я*(1)14) Выполняется М

Э

Q~\

Q j 1 , Q^1,

Q+ 1 . Тогда М

=

15) Выполняется М Э Qjf1, Q j 1 , Q j 1 ' Q^1* Определим частичный порядок М на группе £>я*(1) по следующему правилу: g £ М, если либо 9 6 Д # ( I ) и § G Д~, либо р G А#*(1) \ DH{1) И g £ R+. Непосредственная проверка показывает, что М является максимальным и изолированным частичным порядком на группе Оя*(1). 16) Выполняется М Э Q+ 1 , QJ 1 , Q j \ Q+ 1 . Тогда М совпадает с порядком, обр>атным к порядку, определенному в случае 15. О Т Е О Р Е М А 2.4. Группа D*JJ(I) имеет в точности 10 различных частичных порядков, являющихся максимальными и

изолированными.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть М — произвольный максимальный и изолированный частичный порядок. Как отмечалось ранее, возможны 16 различных случаев. 1) Выполняется MDQ+1,

Q j 1 , Q%\ Q%1. В этом случае М совпада­

ет с линейным порядком *Р, определяемым полугруппой положительных элементов, состоящей из элементов, значение правой производной которых в первой точке излома больше либо равно 1. Максимальность и изолиро­ ванность линейного порядка *Р очевидна. 2) Выполняется М Э Q±l, QJ 1 , QjT \ Q^1. Тогда М = «Р""1. Макси­ мальность и изолированность линейного порядка * Р - 1 очевидны. 3) Выполняется М Э Q*1, Q j 1 , Q5"1, Qg 1 . Такой порядок нельзя задать. 4) Выполняется М Э Qj" 1 , Q j 1 , Q51» Qe"1* Такой порядок нельзя задать. 5) Выполняется М Э Q\l, задать.

Q^ 1 , Q^ 1 , Q^ 1 . Такой порядок нельзя

Частичные порядки на, группах Длаба

151

6) Выполняется М Э Q~[l, Q^ 1 , Q5"1, Qe 1 . Такой порядок нельзя задать. 7) Выполняется М Э Q^ 1 , Q.J1, Q5"1, QQ1- Определим частичный порядок М на группе £)*я(1) ПО правилу: g £ М, если либо (0) 1, либо g £ DH(I) и # £ R+. Непосредственная проверка показывает, что М является максимальным и изолированным частичным порядком на группе А,я(1). 8) Выполняется М Э QJ"1, Q j 1 , Qg 1 , Qg 1 . Тогда М совпадает с порядком, обратным к порядку, определенному в случае 7. 9) Выполняется М Э Qj" 1 , Q^ 1 , Q5"1, Q j 1 . Определим частичный порядок М на группе £>*я(1) по правилу: g £ М, если либо (0)gf > 1, либо g £ £)я(1) и g £ Д~. Непосредственная проверка показывает, что М является максимальным и изолированным частичным порядком на группе 1>*л(1). 10) Выполняется М Э Q+ 1 , QJ 1 , Q5"1, Qe"1- Тогда М совпадает с порядком, обратным порядку, определенному в случае 9. 11) Выполняется М Э Qfl,

Q^ 1 , QjT1, Qg 1 - Определим линейный

порядок М на группе 25*я(1) по правилу: # £ М, если либо (О)д' < 1, либо g £ DH(!) И g £ PQ. Максимальность и изолированность линейного порядка М очевидны. 12) Выполняется М Э Q^11 Q j 1 , Q5"1? Qe"1- Тогда М совпадает с порядком, обратным порядку, определенному в случае 11. 13) Выполняется М D Q+ 1 , Q" 1 , Q + \ Q^ 1 . Положим М = Д+ П Н.О*я(1)- Непосредственная проверка показывает, что М является макси­ мальным и изолированным частичным порядком на группе £)*#(1). 14) Выполняется М Э Q]" 1 , Q^ 1 , Q^~\ Q^ 1 . Тогда М совпадает с порядком, обратным порядку, определенному в случае 13. 15) Выполняется М Э Q" 1 , Q+ 1 , Q^ 1 , Q^1. Такой порядока нельзя задать. 16) Выполняется М D Q*1, QJ 1 , Q5"1» Qe"1* Такой порядок нельзя задать. D Т Е О Р Е М А 2.5. Группа DH(1) имеет в точности 40 различных

152

Я. Я. Медведев

частичных порядков, являющихся максимальными и

изолированными.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть М — произвольный максимальный и изолированный частичный порядок группы D#(I). Как отмечалось ранее, возможны 256 различных случаев. Доказательство состоит в детальном рассмотрении всех этих случаев и проводится аналогично доказательству теорем 2.2—2.4. Ограничимся лишь тем, что приведем список всех макси­ мальных частичных изолированных порядков группы 1)#(Г). Список фак­ тически совпадает со списком максимальных частичных порядков группы A(R), приведенным в [2] при соответствующей модификации. Введем еле1

?,

3

4

5

6

7

8

Максимальные частичные порядки

-

-

-

-

-

-

-

longL- U (ЬЬ П longiZ") U (Ь П Ь~)

+

-

-

+ +

--

-

-

-

longL~ U (6Lf)longi?")U (ЬГ) R+)

-

-

-

-

-

-

-

-

L~

-

-

+

-

-

-

-

--

+

-

+

-

-

+ + +

+

+ + + + + + +

-

+

-

-

-

+

+ +

-

-

-

+

-

-

+

-

-

+

+ + -

+ -

-

-

-

longL" U (ЬЬ П longi?+) U (Ь П L") longL" U (ЬЬ П longi2 + ) U (6 П Л+)

+ + +

-

-

-

-

longL" U (ЬЬ П longiT) U (b П R~)

-

-

-

-

longL" U (ЬЬ П l o n g R ~ ) u ( b n L + )

-

-

-

-

longL" U(bLC\L+)

+ - - + - - + - 4- + + + + + + + - - -

-

-

+ + +

-

-

-

-

+

+

+ -

-

-

+

+ + -

+ +

long!" U (ЬЬ PilongR+)U

(bHR~)

longL" U (ЬЬ П longi2+)

U{bnL+)

longi?" U (bR П longL") U (b П R~) j longi?" U (bR П longL~) U ( b n l + )

R~

+ +

long/Г U (bR П longL+) U (b П R")

4-

longi?" U (bR П longL+) U (6 П L+)

+ + +

long Д " U

+ +

(bRПlongL")u(6ni")

longR~ U (bR П longl") U (Ь П i?+) \ongR-\j(bRnR+) longR~ U (bRП longL+

)\j(bnL~)

longR~ U(bRH longL+) U (b П J? + )

Частичные порядки яа группах Длаба,

153

дующие обозначения: L+ = {.? е DH(l) | (^i)y'11 > l } ; longX+ = {g € Л н (I) \ 1>я.(1)} П L+; bL = DH*(I),b = D„(I); R+ = {g 6 £>я(1) | 3a(a 6 (0,1), {a)g > а и V/3 e (0,1), /3 > a,

1оп8Я+ = { f i 6 D W (I) \ £>*я(1)} П Д+; Ы1 = £>»H(I), b~ = ( £ + ) _ 1 , Л" = (Д+)- 1 . В таблице используются обозначения: слева стоят знаки, при кото­ рых минимальный изолированный порядок Q, (1 ^ г ^ 8) содержится в максимальном изолированном частичном порядке М, а справа — описание этого максимального изолированного частичного порядка. Кроме этих двадцати частичных порядков следует добавить еще два­ дцать порядков, являющихся обратными к приведенным в таблице (необ­ ходимо везде в таблице + заменить на - ) . D ЗАМЕЧАНИЕ. В таблице максимальных частичных порядков груп­ пы А(И) из [2, с. 207], восьмая строка сверху приведена неверно: вместо longL+ U (6 П L + ) должно быть longjC+ U (bL П L + ) (иначе частичный по­ рядок, описанный в строке 7, строго содержит порядок из строки 8).

§ 3. Группы Длаба числовой прямой Для групп D # , DH* рассуждения аналогичны проведенным. Рассмо­ трим #*• Теперь определим функции (x)q£ и (я)?4- Пусть —ос < b < с = +оо и г Е Я , г > 1. Положим (ж)«и равной произвольной функции из груп­ пы !>#*, удовлетворяющей следующим условиям: 1) supp(g|) = (Ь,+оо),

154

Я. Я. Медведев

2) (Ь)Яз' = г, г € Д", г > 1. Обозначим через Q 3 = ^sDHm(Qs) изолирован­ ный частичный порядок группы Д#*, порожденный элементами q£ и е. Выберем действительные числа Ь, с такие, что —оо < b < с < +оо. Положим (#) 1, г2 < 1. Обозначим через Q4 изоли­ рованный частичный порядок группы £>#*(1), порожденный элементами Отметим, что в [4, гл. VI, § 4, лемма 3] для группы D # доказана спра­ ведливость утверждения, аналогичного предложению 3.3 [1]. Для груп­ пы 1?#* выполнимость аналога предложения 3.3 [1] проверяется непосред­ ственно. Т Е О Р Е М А 3.1. 1) Любой минимальный нетривиальный

изолиро­

ванный частичный порядок группы DJJ совпадает с одним из порядков

Qt, Qt2) Любой минимальный нетривиальный изолированный

частичный

порядок группы DH* совпадает с одним из порядков Qf, Q^, Qf, Q^ . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО аналогично доказательству теоремы 2.1. • Т Е О Р Е М А 3.2. 1) Группа DH имеет в точности 4 различных частичных порядка, являющихся максимальными и

изолированными.

2) Группа D#* имеет в точности 10 различных частичных поряд­ ков, являющихся максимальными и изолированными. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО аналогично доказательству теорем 2.2 и 2.3. • В [7] доказано, что группы Длаба расширенной числовой прямой D*# и Dfj имеют несчетное множество различных линейных порядков, поэтому результат, аналогичный теореме 2.3, для них неверен. Покажем, что требование изолированности в условиях теорем 2.2, 2.3 и 3.1 на самом деле излишне. Т Е О Р Е М А 3.3. Для любой подгруппы Н ранга 1 тивной группы положительных

действительных

мультиплика­

чисел любой макси-

Частичные порядки на, группах Длаба

155

мальный порядок на группах Z)#(I), D#*(I), £)*# (I), DH(J)} ляется

D#*, D # яв­

изолированным.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По критерию Холлистера [8], в упорядочива­ емой группе G любой максимальный частичный порядок является изо­ лированным тогда и только тогда, когда для любых неединичного эле­ мента g Е С?, натурального числа п и элемента t Е So{g) выполняется So(gn) П SG(t) Ф 0 . Дальнейшее доказательство состоит в непосредствен­ ной проверке выполнимости этого критерия. Пусть G = D#(I), g Е Aff(I) и

(£i)#' > 1* Рассмотрим возможные случаи. 1) Выполняется включение g Е R^

,^ = i? + П D#(I), и носитель

supp(#) состоит из одного интервала. Тогда gn,te

R^

,^ и supp(g n ) так­

же состоит из одного опорного интервала. Если носитель supp(t) состоит только из одного опорного интервала, то Si>H(i)(<7n) П S]jH^(t)

ф 0 . Если

носитель supp(£) содержит более одного опорного интервала, то рассуж­ дения, аналогичные проведенным в доказательстве леммы 2.1, позволяют утверждать, что 5ЪН(1)(£) содержит элемент, носитель которого имеет в точности один опорный интервал. Следовательно, SoH(i)(gn)^Si)H^(t)

ф

ф 0. Пусть теперь g Е R j ,^ и носитель supp(g) содержит более одного опорного интервала. В этом случае # n , t Е Д^ / ^ и значения их правых производных в первых точках излома также больше 1. С учетом предложе­ ния 3.3 [1] можно утверждать., что инвариантные полугруппы 5£>K(i)(pn), SoH(l)(t) содержат элементы вида q\. Поскольку ранг подгруппы Н равен liTo5DH(i)(sn)n5DH(i)(t)^0. 2) Имеет место g Е R^

,гу Рассуждения аналогичны вышеприведен­

ным. 3) Имеет место g £ R^ ^ U R^ ,jv. В силу изолированности поряд­ ка R+ в группе JDH(I) элемент дп также обладает этими же свойствами. С учетом предложения 3.3 [1] можно утверждать, что Sz)H(i)(gn) содер­ жит элементы вида qi,q2- Относительно элемента t можно утверждать, что (£])£' > 1, где £[ — первая точка излома элемента t. Применяя пред­ ложение 3.3 [1], можно считать, что Sjr>H(i)(£) содержит либо элемент ви~

156

Я. Я. Медведев

да gi, либо элемент вида #2- Теперь, как и в предыдущем случае, можно утверждать, что SDam(gn)

nSDll{l){t) n

4) Случаи, когда {£i)g'

ф 0.

< 1, рассматриваются аналогично.

Доказательство выполнимости критерия Холлистера для оставшихся групп проводится аналогично рассмотренному. • Из теоремы 3.3. непосредственно следует Т Е О Р Е М А 3.4. 1) Группы D # и # я (I) имеют в точности 4 различных максимальных частичных порядка и 4 различных

минимальных

изолированных частичных порядка. 2) Группы DH*, £>я*(1) и D*H(1) имеют в точности 10 различных максимальных

частичных порядков и 8 различных минимальных

изоли­

рованных частичных порядков. 3) Группа DH(I) имеет в точности 40 различных максимальных ча­ стичных порядков и 16 различных минимальных изолированных

частич­

ных порядков.

ЛИТЕРАТУРА 1. V. Dlab, On a family of simple ordered groups, J. Aust. Math. Soc, Ser. A, 8, N 3 (1968), 591-608. 2. C, W. Holland, Partial orders of the group of automorphisms of the real line, in: Algebra, Proc. int. conf. memory A.I.Mal'cev (Contemp. Math., 131), part 1, Providence, RI, Am. Math. Soc, 1992, 197-207. 3. В. M. Копытов,

H. Я. Медведев, Правоупорядоченные группы, Новоси­

бирск, Научная книга (НИИ МИОО НГУ), 1996. 4. В. М. Копытов, Решеточно упорядоченные группы, М., Наука, 1984. 5. V. М. Kopytov,

N. Ya. Medvedev,

The

theory

of lattice-ordered

groups,

Dordrecht-Boston-New York, Kluwer Academic Publisher, 1994. 6. М.И. Каргаполов, Ю. И. Мерзляков, Основы теории групп, М., Наука, 1977. 7. А. В. Зенков, Н. Я. Медведев, О группах Длаба, Алгебра и логика, 38, N 5 (1999), 531-548. 8. H.A.Hollister,

Groups in which every maximal partial order is isolated, Proc,

Am. Math. Soc, 19, N 2 (1968), 467-469.

Частичные порядки на группах Длаба

157

9. М. G. Brin, С. С, Squier, Groups of piecewise linear homeomorphisms of the real line, Invent. Math., 79 (1985), 485-498.

Адрес автора: МЕДВЕДЕВ Николай Яковлевич, РОССИЯ, 656010, г. Барнаул, ул. Горно-Алтайская, д. 21, кв. 100. Тел. (дом.): (3852) 77-70-21.

Поступило 5 октября 1999 г. Окончательный вариант 10 января 2000 г,