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LEADER BOOKS A.E. ∞£∏¡∞
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1 Rotman Joseph: £ÂˆÚ›· Galois, xii, 185 ÛÂÏ›‰Â˜, ¤ÙÔ˜ ÂΉfiÛˆ˜ 2000
Walter Rudin
∞Ú¯¤˜ ª·ıËÌ·ÙÈ΋˜ ∞ӷχÛˆ˜ ªÂÙ¿ÊÚ·ÛË ·fi Ù· ·ÁÁÏÈο: ¢ËÌÔÛı¤Ó˘ K. ™Ù·Ï›‰Ë˜
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Copyright © 1964, 1976: Copyright © 2000 ÁÈ· ÙËÓ ÂÏÏËÓÈ΋ ÁÏÒÛÛ·: ªÂÙ¿ÊÚ·ÛË ·fi Ù· ·ÁÁÏÈο: °ÏˆÛÛÈ΋ ∂È̤ÏÂÈ·: ™ÂÈÚ¿: ∂ÈÛÙËÌÔÓÈ΋ ∂È̤ÏÂÈ· ™ÂÈÚ¿˜:
1Ë ¤Î‰ÔÛË ÁÈ· ÙËÓ ∂ÏÏ¿‰·: ISBN
Principles of Mathematical Analysis Walter Rudin Third Edition 1976, McGraw–Hill Book Co.–Singapore McGraw–Hill, Inc. Leader Books A.E. ¢ËÌÔÛı¤Ó˘ ∫. ™Ù·Ï›‰Ë˜ ª·ıËÌ·ÙÈÎfi˜ ∫ˆÓÛÙ·ÓÙ›ÓÔ˜ °. ™Ù·Ï›‰Ë˜ ¶·ÓÂÈÛÙËÌȷο ª·ıËÌ·ÙÈο ∫›ÌÂÓ· ¡›ÎÔ˜ ª·ÚÌ·Ú›‰Ë˜ ∫·ıËÁËÙ‹˜ ª·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ ¶·ÓÂÈÛÙËÌ›Ô˘ πˆ·ÓÓ›ÓˆÓ 2000
960–7901–16–9
∂ΉfiÛÂȘ LEADER BOOKS A.E. ¶. ∫˘ÚÈ·ÎÔ‡ 17, ∞ÌÂÏfiÎËÔÈ, 115 21 ∞ı‹Ó· TËÏ. : 64.52.825-64.50.048, Fax.: 64.49.924
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AÔÙÂÏ› ȉȷ›ÙÂÚË ÙÈÌ‹ Ë ·Ó¿ıÂÛË Û ̤ӷ, ÂΠ̤ÚÔ˘˜ ÙÔ˘ ÂΉÔÙÈÎÔ‡ Ô›ÎÔ˘ Leader Books, Ù˘ ÌÂÙ·ÊÚ¿Ûˆ˜ ÛÙËÓ ÂÏÏËÓÈ΋ ÁÏÒÛÛ· ÙÔ˘ ÊËÌÈṲ̂ÓÔ˘ ‚È‚Ï›Ô˘ «Principles of Mathematical Analysis» ÙÔ˘ Walter Rudin, ηıËÁËÙ‹ ÛÙÔ ¶·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ ÙÔ˘ Wisconsin. O ηıËÁËÙ‹˜ Rudin Â›Ó·È ‰È·ÎÂÎÚÈ̤ÓÔ˜ ÂÚ¢ÓËÙ‹˜ Ù˘ AӷχÛˆ˜, ·ÏÏ¿ Â›Ó·È ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔ ÁÓˆÛÙfi˜ ÛÙË Ì·ıËÌ·ÙÈ΋ ÎÔÈÓfiÙËÙ· ˆ˜ ¤ÍÔ¯Ô˜ ‰È‰¿ÛηÏÔ˜. EÎÙfi˜ ·fi ÙÔ ·ÚfiÓ ‚È‚Ï›Ô, Ô Î·ıËÁËÙ‹˜ Rudin ¤¯ÂÈ Û˘ÁÁÚ¿„ÂÈ ‰‡Ô ·ÎfiÌ· ÊËÌÈṲ̂ӷ ‚È‚Ï›·, Ù· ÔÔ›· ÙÈÙÏÔÊÔÚÔ‡ÓÙ·È «Real and Complex Analysis» Î·È «Functional Analysis». T· ÙÚ›· ·˘Ù¿ ‚È‚Ï›· ¤¯Ô˘Ó Û˘Ì‚¿ÏÂÈ Ù· ̤ÁÈÛÙ· ÛÙËÓ ÓÂ˘Ì·ÙÈ΋ ·Ó·ÙÚÔÊ‹ ÔÏÏÒÓ ÁÂÓÂÒÓ Ó¤ˆÓ Ì·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ Î·È ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÛÙËÓ ÚÒÙË ÁÚ·ÌÌ‹ ·Ó·ÊÔÚ¿˜ ÙˆÓ Î·ÙÔÈÓÒÓ Û˘ÁÁÚ·ÌÌ¿ÙˆÓ Û ·ÚÂÌÊÂÚ›˜ ÎÏ¿‰Ô˘˜ ÙˆÓ M·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ. TÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ Î·Ù¿ ÙËÓ ÚÔÛˆÈ΋ ÌÔ˘ ÂÎÙ›ÌËÛË, ÙÔ ‚È‚Ï›Ô ·˘Ùfi ·ÔÙÂÏ› ¤Ó· Ù·¯‡Ù·ÙÔ Ù·Í›‰È ÚÒÙ˘ ı¤Ûˆ˜ ÛÙ· ‚·ÛÈο ı¤Ì·Ù· Ù˘ M·ıËÌ·ÙÈ΋˜ AӷχÛˆ˜. Œ¯ÔÓÙ·˜ ÙËÓ ·ÌÂٷΛÓËÙË ÂÔ›ıËÛË fiÙÈ Ë ÁÓÒÛË Ù˘ ÈÛÙÔÚÈ΋˜ ÂÍÂϛ͈˜ ÂÓfi˜ (fi¯È ηÙ' ·Ó¿ÁÎË ÂÈÛÙËÌÔÓÈÎÔ‡) ·ÓÙÈÎÂÈ̤ÓÔ˘ Î·È ÙˆÓ ‚›ˆÓ ÙˆÓ ÚˆÙÂÚÁ·ÙÒÓ ÙÔ˘ Â›Ó·È ÛËÌ·ÓÙÈÎfi˜ ·Ú¿ÁÔÓÙ·˜ ÁÈ· ÙË ‰È·ÌfiÚʈÛË Ô˘ÛÈÒ‰Ô˘˜ ·fi„ˆ˜, ·ÔÊ¿ÛÈÛ· Ó· Û˘ÌÂÚÈÏ¿‚ˆ ÛÙË ÌÂÙ¿ÊÚ·ÛË ‚ÈÔÁÚ·ÊÈο ÛËÌÂÈÒÌ·Ù· ÙˆÓ Ì·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ Ô˘ ·Ó·Ê¤ÚÔÓÙ·È ÛÙÔ Î›ÌÂÓÔ. ™Â η̛· ÂÚ›ÙˆÛË ‰ÂÓ ‰È·Ù›ÓÔÌ·È ÙËÓ ·˘ıÂÓÙ›· ÌÔ˘ Û ı¤Ì·Ù· ÈÛÙÔÚ›·˜ ÙˆÓ M·ıËvii
Ì·ÙÈÎÒÓ, ·ÏÏ¿ ÌfiÓÔÓ ÙËÓ ÂÚ·ÛÈÙ¯ӛ· ÌÔ˘, ˘fi ÙËÓ Î˘ÚÈÔÏÂÎÙÈ΋ ÂÚÌËÓ›· Ù˘ Ϥ͈˜ (‹ÙÔÈ ¤ÚˆÙ·˜ ÚÔ˜ ÙË Ù¤¯ÓË). £· ıˆڋۈ ˆ˜ ÂÈ‚Ú¿‚¢ÛË ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ Â¿Ó Ô ·Ó·ÁÓÒÛÙ˘ ·Ú·ÎÈÓËı› Ó· ·Û¯ÔÏËı›, ¤ÛÙˆ Î·È Û ÌÈÎÚfi ‚·ıÌfi, Ì ÙËÓ ÈÛÙÔÚ›· ÙˆÓ M·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ Î·È, ÁÈ·Ù› fi¯È, Ó· ÂÓÛÙÂÚÓÈÛı› ÙËÓ ¿Ô„‹ ÌÔ˘ ÂÚ› ÈÛÙÔÚÈ΋˜ ÁÓÒÛˆ˜ Î·È Ó· ·Û¯ÔÏËı› Ì ÙËÓ ÈÛÙÔÚ›· ÂÓfi˜ ·ÓÙÈÎÂÈ̤ÓÔ˘ Ô˘ ÙÔÓ ÂӉȷʤÚÂÈ. TȘ ÏËÚÔÊÔڛ˜ ÁÈ· Ù· ‚ÈÔÁÚ·ÊÈο ÛËÌÂÈÒÌ·Ù· ¿ÓÙÏËÛ· ·fi ÙȘ ÂÍ‹˜ ‚È‚ÏÈÔÁÚ·ÊÈΤ˜ ËÁ¤˜: • BELL, E. T.: OÈ ª·ıËÌ·ÙÈÎÔ›, ¶·ÓÂÈÛÙËÌȷΤ˜ EΉfiÛÂȘ KÚ‹Ù˘ (2 ÙfiÌÔÈ), HÚ¿ÎÏÂÈÔ 1992, 1993. • BOYER, C. B. Î·È MERZBACH, U.C.: H πÛÙÔÚ›· ÙˆÓ M·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ, EΉfiÛÂȘ °. A. ¶ÓÂ˘Ì·ÙÈÎÔ‡ (‰Â‡ÙÂÚË ¤Î‰ÔÛË), Aı‹Ó· 1997. • DAVIS, P. J. Î·È HERSH, R.: H ª·ıËÌ·ÙÈ΋ ∂ÌÂÈÚ›·, EΉfiÛÂȘ TÚÔ¯·Ï›·, Aı‹Ó·. • PIER, J. P.: Development of Mathematics 1900-1950, Birkhäuser publications, Basel, Switzerland 1994. • LORIA, G.: IÛÙÔÚ›· ÙˆÓ M·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ, EΉfiÛÂȘ ¶··˙‹ÛË, Aı‹Ó· 1971. • SMITH, D. E.: History of Mathematics, Dover publications (2 ÙfiÌÔÈ), New York. E›Û˘, ¿ÓÙÏËÛ· ÏËÚÔÊÔڛ˜ ·fi ÙËÓ ÈÛÙÔÛÂÏ›‰· «The MacTutor History of Mathematics archive», Ë ÔÔ›· ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙËÓ ËÏÂÎÙÚÔÓÈ΋ ‰È‡ı˘ÓÛË http:// www-history.mcs.st-and.ac.uk / history, Ù˘ Û¯ÔÏ‹˜ M·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ Î·È ™Ù·ÙÈÛÙÈ΋˜ ÙÔ˘ ¶·ÓÂÈÛÙËÌ›Ô˘ ÙÔ˘ St. Andrews Ù˘ ™ÎˆÙ›·˜. ™ÙË ‰È¿ÚÎÂÈ· Ù˘ ÚÔÛ¿ıÂÈ¿˜ ÌÔ˘ ·Ó·Î¿Ï˘„· fiÙÈ Ë ÌÂÙ¿ÊÚ·ÛË ÂÓfi˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎÔ‡ ÎÂÈ̤ÓÔ˘ Â›Ó·È Ì›· ·ÚÎÔ‡ÓÙˆ˜ ‰‡ÛÎÔÏË ˘fiıÂÛË, Ë ÔÔ›· fï˜ ÎÚ·Ù¿ Û ÂÈÛÙËÌÔÓÈ΋ ÂÁÚ‹ÁÔÚÛË ÙÔÓ ÌÂÙ·ÊÚ·ÛÙ‹. ¶ÚÔÛ¿ıËÛ· Ó· Ì›ӈ ηٿ ÙÔ ‰˘Ó·ÙfiÓ ÈÛÙfi˜ ÛÙÔ ·˘ıÂÓÙÈÎfi ΛÌÂÓÔ. ™Â ÔÚÈṲ̂ӷ ÛËÌ›· fï˜ ‹Ù·Ó ··Ú·›ÙËÙ˜ ÂÏ·ÊÚ¤˜ ÙÚÔÔÔÈ‹ÛÂȘ ÁÈ· ¯¿ÚË Ù˘ ÏËÚ¤ÛÙÂÚ˘ viii
·ÚÔ˘ÛÈ¿Ûˆ˜. EÈı˘ÌÒ Ó· ηٷÛÙ‹Ûˆ ÁÓˆÛÙfi ÛÙÔÓ ·Ó·ÁÓÒÛÙË fiÙÈ ÂÈÛÙÚ¿ÙÂ˘Û· fiϘ ÌÔ˘ ÙȘ ‰˘Ó¿ÌÂȘ Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ ÙÔ ÙÂÏÈÎfi ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· Ó· Â›Ó·È fiÛÔ ÙÔ ‰˘Ó·ÙfiÓ ¿ÚÙÈÔ, ‚‚·›ˆ˜ ηٿ ÙËÓ ÚÔÛˆÈ΋ ÌÔ˘ ·ÈÛıËÙÈ΋ Î·È ÂÈÛÙËÌÔÓÈ΋ ÎÚ›ÛË. ™ÙÔ Ó‡̷ ·˘Ùfi ÂÈı˘ÌÒ Ó· ‰Â¯ıÒ ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ۯfiÏÈÔ Â› Ù˘ ÌÂÙ·ÊÚ¿Ûˆ˜, ÙˆÓ ‚ÈÔÁÚ·ÊÈÎÒÓ ÛËÌÂÈˆÌ¿ÙˆÓ Î·ıÒ˜ Î·È ÙˆÓ ÚÔÛˆÈÎÒÓ ÚÔÛıËÎÒÓ ÂÓ Â›‰ÂÈ ˘ÔÛËÌÂÈÒÛˆ˜ ÛÙËÓ ËÏÂÎÙÚÔÓÈ΋ ‰È‡ı˘ÓÛË
[email protected] . ∂ÈϤÔÓ, ı· Â›Ì·È Â˘ÁÓÒÌˆÓ Û ÔÔÈÔÓ‰‹ÔÙ ÂÓÙÔ›ÛÂÈ ÂӉ¯fiÌÂÓ· Ï¿ıË Î·È ÌÔ˘ Ù· ÁÓˆÛÙÔÔÈ‹ÛÂÈ. AÈÛı¿ÓÔÌ·È ÙËÓ ˘Ô¯Ú¤ˆÛË Ó· ¢¯·ÚÈÛÙ‹Ûˆ ÙÔÓ Î·ıËÁËÙ‹ ÙÔ˘ ¶·ÓÂÈÛÙËÌ›Ô˘ Iˆ·ÓÓ›ÓˆÓ NÈÎfiÏ·Ô M·ÚÌ·Ú›‰Ë ÁÈ· ÙËÓ ·ÓÙÔÂȉ‹ ‚Ô‹ıÂÈ· ÙÔ˘ Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ ӷ Ú·ÁÌ·ÙÔÔÈËı› ·˘Ù‹ Ë ÌÂÙ¿ÊÚ·ÛË, ÙÔÓ Î·ıËÁËÙ‹ ÙÔ˘ ¶·ÓÂÈÛÙËÌ›Ô˘ Iˆ·ÓÓ›ÓˆÓ £Âfi‰ˆÚÔ ªfiÏË Î·È ÙÔÓ Â›ÎÔ˘ÚÔ Î·ıËÁËÙ‹ ÙÔ˘ ¶·ÓÂÈÛÙËÌ›Ô˘ Iˆ·ÓÓ›ÓˆÓ £Âfi‰ˆÚÔ µÏ¿¯Ô ÁÈ· ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÙÔ˘˜ ÛÙË ‰ÈfiÚıˆÛË ÙÔ˘ ÙÂÏÈÎÔ‡ ÎÂÈ̤ÓÔ˘, ÙÔÓ Î·ıËÁËÙ‹ ÙÔ˘ ¶·ÓÂÈÛÙËÌ›Ô˘ Iˆ·ÓÓ›ÓˆÓ £ˆÌ¿ ÷ۿÓË Î·È ÙÔÓ ÂÈÛΤÙË–ÂÚ¢ÓËÙ‹ ÛÙÔ ¶·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ Iˆ·ÓÓ›ÓˆÓ ¢ËÌ‹ÙÚÈÔ NÙ·‹ ÁÈ· ÙÔÓ ÁÂÓÈÎfiÙÂÚÔ Û¯ÔÏÈ·ÛÌfi ÙÔ˘˜ Î·È ÙȘ ‡ÛÙԯ˜ ·Ú·ÙËÚ‹ÛÂȘ ÙÔ˘˜. ∂›Û˘, ı¤Ïˆ Ó· ¢¯·ÚÈÛÙ‹Ûˆ ÙÔÓ Â›ÎÔ˘ÚÔ Î·ıËÁËÙ‹ IÛÙÔÚ›·˜ ÙˆÓ M·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ ÙÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ M·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ ÙÔ˘ ¶·ÓÂÈÛÙËÌ›Ô˘ Ù˘ KÔÂÁ¯¿Á˘ Jesper Lützen ÁÈ· ÙËÓ Â˘ÁÂÓ‹ ÙÔ˘ ÚÔÛÊÔÚ¿ Ó· ÌÔ˘ ‰È·ı¤ÛÂÈ ÏËÚÔÊÔڛ˜ Û¯ÂÙÈο Ì ÙÔÓ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi Johannes Mollerup. ∂Ó Î·Ù·ÎÏ›‰È, ı¤Ïˆ Ó· ÂÎÊÚ¿Ûˆ ÙËÓ Â˘ÁÓˆÌÔÛ‡ÓË ÌÔ˘ ÛÙÔ˘˜ ·ÓıÚÒÔ˘˜ ÙÔ˘ ÂΉÔÙÈÎÔ‡ Ô›ÎÔ˘ Leader Books ÁÈ· ÙËÓ ÔχÙÈÌË Â˘Î·ÈÚ›· Ô˘ ÌÔ˘ ·Ú›¯·Ó Ó· ÌÂÙ·ÊÚ¿Ûˆ ·˘Ùfi ÙÔ ‚È‚Ï›Ô, ȉȷÈÙ¤Úˆ˜ ‰Â ÛÙÔÓ £Âfi‰ˆÚÔ ¢ÚÂ Î·È ÛÙÔÓ ™ˆÙ‹ÚÈÔ ∫·Ú¤ÁÏË. ¢HMO™£ENH™ K. ™TA§I¢H™ IÔ‡ÏÈÔ˜ ÙÔ˘ 2000
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TÔ ·ÚfiÓ ‚È‚Ï›Ô ¤¯ÂÈ Û˘ÁÁÚ·Ê› Ì ÛÎÔfi Ó· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈËı› ˆ˜ ‰È‰·ÎÙÈÎfi ΛÌÂÓÔ ÁÈ· Ì›· ÛÂÈÚ¿ Ì·ıËÌ¿ÙˆÓ ÛÙËÓ AÓ¿Ï˘ÛË Î·È ·Â˘ı‡ÓÂÙ·È Û ÚÔ¯ˆÚË̤Ó˘ ÚÔÙ˘¯È·Î‹˜ ηٷÚÙ›Ûˆ˜ ÊÔÈÙËÙ¤˜ ηıÒ˜ ›Û˘ Î·È Û ڈÙÔÂÙ›˜ ÊÔÈÙËÙ¤˜ Ô˘ ÂӉȷʤÚÔÓÙ·È ÁÈ· ÙË ÌÂϤÙË Ù˘ M·ıËÌ·ÙÈ΋˜ EÈÛÙ‹Ì˘. H ·ÚÔ‡Û· ¤Î‰ÔÛË1 ηχÙÂÈ Ù· ›‰È· ı¤Ì·Ù· Ì ÙË ‰Â‡ÙÂÚË, Ì οÔÈ· ÂÈϤÔÓ ÛÙÔȯ›·, ·Ú·Ï›„ÂȘ Î·È ÛËÌ·ÓÙÈΤ˜ ·ÏÏ·Á¤˜ ÛÙËÓ ·ÚÔ˘Û›·Û‹ ÙÔ˘˜. ¢È·ÙËÚÒ ÙËÓ ÂÏ›‰· fiÙÈ ·˘Ù¤˜ ÔÈ ·ÏÏ·Á¤˜ ı· ηٷÛÙ‹ÛÔ˘Ó ÙÔ ÂÚȯfiÌÂÓÔ ÙÔ˘ ‚È‚Ï›Ô˘ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔ ÚÔÛ‚¿ÛÈÌÔ Î·È ÂÏ΢ÛÙÈÎfi ÛÙÔ˘˜ ÊÔÈÙËÙ¤˜ Ô˘ ·Â˘ı‡ÓÂÙ·È. H ÂÌÂÈÚ›· Ì ¤¯ÂÈ Â›ÛÂÈ fiÙÈ Â›Ó·È ·È‰·ÁˆÁÈο ÂÛÊ·Ï̤ÓÔ (·Ó Î·È ÏÔÁÈο ÔÚıfi) ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ Ó· ÍÂÎÈÓ¿ ηÓ›˜ Ì ÙËÓ Î·Ù·Û΢‹ ÙˆÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ ·fi ÙÔ˘˜ ÚËÙÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜. ™ÙËÓ ·Ú¯‹, ÔÈ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔÈ ÊÔÈÙËÙ¤˜ ·ÏÒ˜ ·ÔÙ˘Á¯¿ÓÔ˘Ó Ó· ÂÎÙÈÌ‹ÛÔ˘Ó ÙËÓ ·Ó·ÁηÈfiÙËÙ· ·˘Ù‹˜ Ù˘ ‰È·‰Èηۛ·˜. ™Â ·Ó·ÏÔÁ›· Ì ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ ·˘Ùfi, ÙÔ Û‡ÛÙËÌ· ÙˆÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ ÂÈÛ¿ÁÂÙ·È ˆ˜ ¤Ó· ‰È·ÙÂÙ·Á̤ÓÔ ÛÒÌ· Ì ÙËÓ È‰ÈfiÙËÙ· ÙÔ˘ ÂÏ·¯›ÛÙÔ˘ ¿Óˆ ÊÚ¿ÁÌ·ÙÔ˜, Î·È ·Ì¤Ûˆ˜ Ï·Ì‚¿ÓÔ˘Ó ¯ÒÚ· ÔÚÈṲ̂Ó˜ ÂӉȷʤÚÔ˘Û˜ ÂÊ·ÚÌÔÁ¤˜ Ì ¯Ú‹ÛË ·˘Ù‹˜ Ù˘ ıˆڋÛˆ˜. ¶·Ú' fiÏ· ·˘Ù¿, Ë Î·Ù·Û΢‹ 1
™. Ù. M.: H ÙÚ›ÙË ¤Î‰ÔÛË ÙÔ˘ ‚È‚Ï›Ô˘ ÛÙËÓ ·ÁÁÏÈ΋ ÁÏÒÛÛ·, ÂÓ ¤ÙÂÈ 1976, ·fi ÙÔÓ ÂΉÔÙÈÎfi Ô›ÎÔ McGraw-Hill.
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ÙÔ˘ Dedekind ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ ·Ú·ÏÂÈÊı›, ·ÏÏ¿ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÙÒÚ· Û ¤Ó· ·Ú¿ÚÙËÌ· ÙÔ˘ KÂÊ·Ï·›Ô˘ 1, fiÔ˘ Ô ·Ó·ÁÓÒÛÙ˘ ÌÔÚ› Ó· ÙË ÌÂÏÂÙ‹ÛÂÈ Î·È Ó· ÙËÓ ·ÔÏ·‡ÛÂÈ Û οÔÈ· ηٿÏÏËÏË ÛÙÈÁÌ‹. H ‡ÏË Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› ÛÙȘ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ ÔÏÏÒÓ ÌÂÙ·‚ÏËÙÒÓ ¤¯ÂÈ Û¯Â‰fiÓ Î·ı' ÔÏÔÎÏËÚ›· ·Ó·Û˘ÁÁÚ·Ê›, Ì ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ˜ ÏÂÙÔ̤ÚÂȘ Î·È ·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù·. H ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊ˘ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜, ÙÔ ·ÓÙÈΛÌÂÓÔ-ÎÏÂȉ› ÙÔ˘ KÂÊ·Ï·›Ô˘ 9, ¤¯ÂÈ ·ÏÔÔÈËı› ηٿ Ôχ Ì ÙË ¯Ú‹ÛË ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ ÛÙ·ıÂÚÔ‡ ÛËÌ›Ԣ ÂÚ› Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ Û˘ÛÙÔÏ‹˜. OÈ ‰È·ÊÔÚÈΤ˜ ÌÔÚʤ˜ ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙ÔÓÙ·È Ôχ ÈÔ ·Ó·Ï˘ÙÈο. E›Û˘, ÂÚÈÏ·Ì‚¿ÓÔÓÙ·È ·ÚÎÂÙ¤˜ ÂÊ·ÚÌÔÁ¤˜ ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ ÙÔ˘ Stokes. ™Â fi,ÙÈ ·ÊÔÚ¿ ¿ÏϘ ·ÏÏ·Á¤˜, ¤¯ÂÈ ·Ó·‰ÈÔÚÁ·Óˆı› ÙÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ Ô˘ Û¯ÂÙ›˙ÂÙ·È Ì ÙÔ Î·Ù¿ Riemann-Stieltjes ÔÏÔÎϋڈ̷. ™ÙÔ KÂÊ¿Ï·ÈÔ 8 ¤¯ÂÈ ÚÔÛÙÂı› Ì›· ÂÓfiÙËÙ· ·ÊÈÂڈ̤ÓË ÛÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË Á¿ÌÌ·, ·Ú¤¯ÔÓÙ·˜ ÛÙÔÓ ·Ó·ÁÓÒÛÙË ÙËÓ Â˘Î·ÈÚ›· Ó· ·Û¯ÔÏËı› ÌfiÓÔ˜ ÙÔ˘ Ì ÙȘ Û¯ÂÙÈΤ˜ ÏÂÙÔ̤ÚÂȘ. E›Û˘, ¤¯ÂÈ ÂÚÈÏËÊı› ¤Ó·˜ ÌÂÁ¿ÏÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ ÂÈÚfiÛıÂÙˆÓ ·Û΋ÛˆÓ. °È· ÙȘ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ˜ ·fi ·˘Ù¤˜ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÏÂÙÔÌÂÚÂȷΤ˜ Î·È Î·Ù·ÙÔÈÛÙÈΤ˜ ˘Ô‰Â›ÍÂȘ. E›Û˘, ¤¯ˆ Û˘ÌÂÚÈÏ¿‚ÂÈ ·ÚÎÂÙ¤˜ ·Ó·ÊÔÚ¤˜ Û ¿ÚıÚ· Ô˘ ÂÌÊ·Ó›˙ÔÓÙ·È ÛÙ· ÂÚÈÔ‰Èο American Mathematical Monthly Î·È Mathematics Magazine, Ì ÙËÓ ÂÏ›‰· fiÙÈ ÔÈ ÊÔÈÙËÙ¤˜ ı· ·Ó·Ù‡ÍÔ˘Ó ÙË Û˘Ó‹ıÂÈ· Ó· ·Ó·ÙÚ¤¯Ô˘Ó ÛÙËÓ ÂÚÈÔ‰È΋ ‚È‚ÏÈÔÁÚ·Ê›· ÙˆÓ M·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ. OÈ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ˜ ·fi ·˘Ù¤˜ ÙȘ ·Ó·ÊÔÚ¤˜ ¤¯Ô˘Ó ¢ÁÂÓÒ˜ ˘Ô‰Âȯı› ·fi ÙÔÓ R. B. Burckel. M ÙÔ ¤Ú·ÛÌ· ÙˆÓ ¯ÚfiÓˆÓ ÔÏÏÔ›, ÊÔÈÙËÙ¤˜ ηıÒ˜ Î·È Î·ıËÁËÙ¤˜, ÌÔ˘ ¤¯Ô˘Ó ·ÔÛÙ›ÏÂÈ ‰ÈÔÚıÒÛÂȘ, ÎÚÈÙÈΤ˜ Î·È ¿ÏÏ· Û¯fiÏÈ· Ô˘ ·ÊÔÚÔ‡Ó ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ˜ ÂΉfiÛÂȘ ÙÔ˘ ‚È‚Ï›Ô˘. Œ¯ˆ ·ÍÈÔÔÈ‹ÛÂÈ Î·Ù·Ïϋψ˜ ÙȘ ·Ú·ÙËÚ‹ÛÂȘ ·˘Ù¤˜ Î·È ‰Ú¿ÙÙÔÌ·È Ù˘ ¢ηÈÚ›·˜ Ó· ÂÎÊÚ¿Ûˆ ÙȘ ÂÈÏÈÎÚÈÓ›˜ ÌÔ˘ ¢¯·ÚÈÛٛ˜ Û fiÏÔ˘˜ fiÛÔ˘˜ ÌÔ˘ ¤ÁÚ·„·Ó. WALTER RUDIN
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1 ∆∞ ™À™∆∏ª∞∆∞ ∆ø¡ ¶ƒ∞°ª∞∆π∫ø¡ ∫∞π ªπ°∞¢π∫ø¡ ∞ƒπ£ªø¡
1
∂ÈÛ·ÁˆÁ‹ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
¢È·ÙÂÙ·Á̤ӷ Û‡ÓÔÏ· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
™ÒÌ·Ù· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
∆Ô ÛÒÌ· ÙˆÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ . . . . . . . . . . . . . . . 12 ∆Ô ÂÎÙÂٷ̤ÓÔ ·ÚÈıÌËÙÈÎfi Û‡ÛÙËÌ· ÙˆÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ 16 ∆Ô ÛÒÌ· ÙˆÓ ÌÈÁ·‰ÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ∂˘ÎÏ›‰ÂÈÔÈ ¯ÒÚÔÈ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ¶·Ú¿ÚÙËÌ· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2 µ∞™π∫∂™ ∆√¶√§√°π∫∂™ £∂øƒ∏™∂π™
37
¶ÂÂÚ·Ṳ̂ӷ, ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌ· Î·È ˘ÂÚ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌ· Û‡ÓÔÏ· . . . . 37 ªÂÙÚÈÎÔ› ¯ÒÚÔÈ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ™˘Ì·Á‹ Û‡ÓÔÏ· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 ∆¤ÏÂÈ· Û‡ÓÔÏ· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 ™˘ÓÂÎÙÈο Û‡ÓÔÏ· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3 AKO§OY£IE™ KAI ™EIPE™
75
™˘ÁÎÏ›ÓÔ˘Û˜ ·ÎÔÏÔ˘ı›Â˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 xiii
À·ÎÔÏÔ˘ı›Â˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 ∞ÎÔÏÔ˘ı›Â˜ Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 ∞ÓÒÙÂÚ· Î·È Î·ÙÒÙÂÚ· fiÚÈ· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 √ÚÈṲ̂Ó˜ ÂȉÈÎÔ‡ Ù‡Ô˘ ·ÎÔÏÔ˘ı›Â˜ . . . . . . . . . . . . . . 90 ™ÂÈÚ¤˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 ™ÂÈÚ¤˜ ÌË ·ÚÓËÙÈÎÒÓ fiÚˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 √ ·ÚÈıÌfi˜ e
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
∆· ÎÚÈÙ‹ÚÈ· Ù˘ Ú›˙·˜ Î·È ÙÔ˘ ÏfiÁÔ˘ . . . . . . . . . . . . . . . 102 ¢˘Ó·ÌÔÛÂÈÚ¤˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 ÕıÚÔÈÛË Î·Ù¿ ̤ÚË . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 ∞fiÏ˘ÙË Û‡ÁÎÏÈÛË . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 ¶ÚfiÛıÂÛË Î·È ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜ ÛÂÈÚÒÓ . . . . . . . . . . . . 111 ∞Ó·‰È·Ù¿ÍÂȘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4 ™YNEXEIA
129
ŸÚÈ· Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 ™˘Ó¯›˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 ™˘Ó¤¯ÂÈ· Î·È Û˘Ì¿ÁÂÈ· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 ™˘Ó¤¯ÂÈ· Î·È Û˘ÓÂÎÙÈÎfiÙËÙ· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 ∂›‰Ë ·Û˘Ó¯ÂÈÒÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 ªÔÓfiÙÔÓ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 ÕÂÈÚ· fiÚÈ· Î·È fiÚÈ· ÛÙÔ ¿ÂÈÚÔ . . . . . . . . . . . . . . . . 149 5 ¢IAºOPI™H
159
∏ ·Ú¿ÁˆÁÔ˜ Ú·ÁÌ·ÙÈ΋˜ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜ . . . . . . . . . . . . 159 £ÂˆÚ‹Ì·Ù· ̤Û˘ ÙÈÌ‹˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 ™˘Ó¤¯ÂÈ· ÙˆÓ ·Ú·ÁÒÁˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 √ ηÓfiÓ·˜ ÙÔ˘ L' Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 ¶·Ú¿ÁˆÁÔÈ ·ÓÒÙÂÚ˘ ٿ͈˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 ∆Ô ıÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 ¶·Ú·ÁÒÁÈÛË ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎÒÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ . . . . . . . . . . . 171 xiv
6 TO KATA RIEMANN-STIELTJES O§OK§HPøMA
189
√ÚÈÛÌfi˜ Î·È ‡·ÚÍË ÙÔ˘ ÔÏÔÎÏËÚÒÌ·ÙÔ˜ . . . . . . . . . . . . 190 π‰ÈfiÙËÙ˜ ÙÔ˘ ÔÏÔÎÏËÚÒÌ·ÙÔ˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 √ÏÔÎÏ‹ÚˆÛË Î·È ·Ú·ÁÒÁÈÛË . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 √ÏÔÎÏ‹ÚˆÛË ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎÒÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ . . . . . . . . . . . 211 ∂˘ı˘ÁÚ·ÌÌ›ÛÈ̘ η̇Ϙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 7 AKO§OY£IE™ KAI ™EIPE™ ™YNAPTH™EøN
223
£ÂÒÚËÛË ÙÔ˘ ‚·ÛÈÎÔ‡ ÚÔ‚Ï‹Ì·ÙÔ˜ . . . . . . . . . . . . . . . 224 √ÌÔÈfiÌÔÚÊË Û‡ÁÎÏÈÛË . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 √ÌÔÈfiÌÔÚÊË Û‡ÁÎÏÈÛË Î·È Û˘Ó¤¯ÂÈ· . . . . . . . . . . . . . . . 231 √ÌÔÈfiÌÔÚÊË Û‡ÁÎÏÈÛË Î·È ÔÏÔÎÏ‹ÚˆÛË . . . . . . . . . . . . . 235 √ÌÔÈfiÌÔÚÊË Û‡ÁÎÏÈÛË Î·È ·Ú·ÁÒÁÈÛË . . . . . . . . . . . . . 236 πÛÔÛ˘Ó¯›˜ ÔÈÎÔÁ¤ÓÂȘ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ . . . . . . . . . . . . . . 240 ∆Ô ıÂÒÚËÌ· ÙˆÓ Stone Î·È Weierstrass . . . . . . . . . . . . . 246 8 OPI™MENE™ EI¢IKOY TY¶OY ™YNAPTH™EI™
267
¢˘Ó·ÌÔÛÂÈÚ¤˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 ∏ ÂÎıÂÙÈ΋ Î·È Ë ÏÔÁ·ÚÈıÌÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË . . . . . . . . . . . . 276 √È ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈΤ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 ∏ ·ÏÁ‚ÚÈ΋ ÏËÚfiÙËÙ· ÙÔ˘ ÛÒÌ·ÙÔ˜ ÙˆÓ ÌÈÁ·‰ÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ 285 ™ÂÈÚ¤˜ Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 ∏ Û˘Ó¿ÚÙËÛË Á¿ÌÌ· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 9 ™YNAPTH™EI™ ¶O§§øN METAB§HTøN
319
°Ú·ÌÌÈÎÔ› ÌÂÙ·Û¯ËÌ·ÙÈÛÌÔ› . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 ¢È·ÊfiÚÈÛË . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330 √ ηÓfiÓ·˜ Ù˘ Û˘ÛÙÔÏ‹˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342 ∆Ô ıÂÒÚËÌ· ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊ˘ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜ . . . . . . . . . . . . . 344 ∆Ô ıÂÒÚËÌ· ÂÏÂÁ̤Ó˘ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜ . . . . . . . . . . . . . 347 ∆Ô ıÂÒÚËÌ· Ù˘ ‚·ıÌ›‰·˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353 √Ú›˙Ô˘Û˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359 ¶·Ú¿ÁˆÁÔÈ ·ÓÒÙÂÚ˘ ٿ͈˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364 xv
¶·Ú·ÁÒÁÈÛË ÔÏÔÎÏËÚˆÌ¿ÙˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367 10 O§OK§HPø™H ¢IAºOPIKøN MOPºøN √ÏÔÎÏ‹ÚˆÛË . . . . . . . . . . . . . . . . ¶ÚˆÙ·Ú¯ÈΤ˜ ·ÂÈÎÔÓ›ÛÂȘ . . . . . . . . ¢È·ÌÂÚ›ÛÂȘ Ù˘ ÌÔÓ¿‰·˜ . . . . . . . . . ∞ÏÏ·Á‹ ÌÂÙ·‚ÏËÙÒÓ . . . . . . . . . . . . ¢È·ÊÔÚÈΤ˜ ÌÔÚʤ˜ . . . . . . . . . . . . ªÔÓfiÏÔη Î·È ·Ï˘Û›‰Â˜ . . . . . . . . . ∆Ô ıÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Stokes . . . . . . . . . . ∫ÏÂÈÛÙ¤˜ Î·È ·ÎÚȂ›˜ ÌÔÚʤ˜ . . . . . . ¢È·Ó˘ÛÌ·ÙÈ΋ ·Ó¿Ï˘ÛË . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
11 H £EøPIA TOY LEBESGUE ™˘ÓÔÏÔÛ˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ . . . . . . . . . . . . . H ηٷÛ΢‹ ÙÔ˘ ̤ÙÚÔ˘ Lebesgue . . . . . ÃÒÚÔÈ Ì¤ÙÚÔ˘ . . . . . . . . . . . . . . . . ªÂÙÚ‹ÛÈ̘ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ . . . . . . . . . . ∞Ϥ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ . . . . . . . . . . . . . √ÏÔÎÏ‹ÚˆÛË . . . . . . . . . . . . . . . . . ™‡ÁÎÚÈÛË Ì ÙÔ Î·Ù¿ Riemann ÔÏÔÎϋڈ̷ √ÏÔÎÏ‹ÚˆÛË ÌÈÁ·‰ÈÎÒÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ . . . ™˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ ÎÏ¿Ûˆ˜ L2 . . . . . . . . . . µπµ§π√°ƒ∞ºπ∞
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
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. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
381 382 386 390 391 393 411 421 425 433
. . . . . . . . .
463 464 467 478 478 482 484 495 498 499 515
xvi
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 1
∆∞ ™À™∆∏ª∞∆∞ ∆ø¡ ¶ƒ∞°ª∞∆π∫ø¡ ∫∞π ªπ°∞¢π∫ø¡ ∞ƒπ£ªø¡
∂π™∞°ø°∏
ª›· ÂÌÂÚÈÛٷو̤ÓË Ú·ÁÌ·Ù›· Û¯ÂÙÈο Ì ÙȘ ·ÚȘ ¤ÓÓÔȘ Ù˘ AӷχÛˆ˜ (fiˆ˜ Ë Û‡ÁÎÏÈÛË, Ë Û˘Ó¤¯ÂÈ·, Ë ‰È·ÊfiÚÈÛË Î·È Ë ÔÏÔÎÏ‹ÚˆÛË) Ú¤ÂÈ ··Ú·Èًو˜ Ó· ‚·ÛÈÛı› Û ̛· ·ÎÚÈ‚Ò˜ ηıÔÚÈṲ̂ÓË ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡. ŸÌˆ˜, Û ·˘Ùfi ÙÔ ‚È‚Ï›Ô ‰ÂÓ ı· ÂÈÛ¯ˆÚ‹ÛÔ˘Ì Û ı¤Ì·Ù· Ù·
2
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
ÔÔ›· Û¯ÂÙ›˙ÔÓÙ·È Ì ·ÍÈÒÌ·Ù· Ô˘ ‰È¤Ô˘Ó ÙËÓ ·ÚÈıÌËÙÈ΋ ÙˆÓ ·ÎÂÚ·›ˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ Î·È ı· ıˆڋÛÔ˘Ì ‰Â‰Ô̤ÓË ÙËÓ ÔÈÎÂÈfiÙËÙ· ÙÔ˘ ·Ó·ÁÓÒÛÙË Ì ÙÔ˘˜ ÚËÙÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ (‰ËÏ·‰‹ Ì ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ m/n, fiÔ˘ m, n Â›Ó·È ·Î¤Ú·ÈÔÈ ·ÚÈıÌÔ› Ì n = 0). ∆Ô ·ÚÈıÌËÙÈÎfi Û‡ÛÙËÌ· ÙˆÓ ÚËÙÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ Â›Ó·È ·Ó·ÚΤ˜ ÁÈ· ÏËıÒÚ· ÏfiÁˆÓ, ÂÍ›ÛÔ˘ ˆ˜ ÛÒÌ· Î·È ˆ˜ ‰È·ÙÂÙ·Á̤ÓÔ Û‡ÓÔÏÔ. (√È fiÚÔÈ ·˘ÙÔ› ı· ÔÚÈÛıÔ‡Ó ÛÙȘ ∂ÓfiÙËÙ˜ 1.6 Î·È 1.12). ∂› ·Ú·‰Â›ÁÌ·ÙÈ, ‰ÂÓ ˘¿Ú¯ÂÈ ÚËÙfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ p Ì p 2 = 2. (£· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì ·˘Ùfi ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ Û‡ÓÙÔÌ·). ∞˘Ùfi ÙÔ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· Ô‰ËÁ› ÛÙËÓ ÂÈÛ·ÁˆÁ‹ ÙˆÓ ÏÂÁÔÌ¤ÓˆÓ «·ÚÚ‹ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ», ÔÈ ÔÔ›ÔÈ ÁÚ¿ÊÔÓÙ·È Û˘¯Ó¿ ˆ˜ ¿ÂÈÚ· ‰Âη‰Èο ·Ó·Ù‡ÁÌ·Ù· Î·È ıˆÚÂ›Ù·È fiÙÈ ÚÔÛÂÁÁ›˙ÔÓÙ·È ·fi Ù· ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÂÂÚ·Ṳ̂ӷ ‰Âη‰Èο ·Ó·Ù‡ÁÌ·Ù·. ŒÙÛÈ, Ë ·ÎÔÏÔ˘ı›· 1, 1, 4, 1, 414, 1, 4142, . . . √ «Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÚÔ˜ ÙÔ 2». ŸÌˆ˜, ÂÎÙfi˜ Ù˘ ÂÚÈÙÒÛˆ˜ fiÔ˘ Ô ¿ÚÚËÙÔ˜ √ ·ÚÈıÌfi˜ 2 ¤¯ÂÈ ÔÚÈÛı› Ï‹Úˆ˜, ÚÔ·ÙÂÈ ÙÔ ÂÍ‹˜ ÂÚÒÙËÌ·: ÙÈ Â›Ó·È ·˘Ùfi ÚÔ˜ ÙÔ ÔÔ›Ô Ù›ÓÂÈ Ë ·ÎÔÏÔ˘ı›· ·˘Ù‹; ∆¤ÙÔÈÔ˘ ›‰Ô˘˜ ÂÚˆÙ‹ÛÂȘ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ··ÓÙËıÔ‡Ó fiÙ·Ó ‰ÔÌËı› ÙÔ ÏÂÁfiÌÂÓÔ «·ÚÈıÌËÙÈÎfi Û‡ÛÙËÌ· ÙˆÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ». ¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 1.1. £· ‰Â›ÍÔ˘Ì ÙÒÚ· fiÙÈ Ë Â͛ۈÛË p2 = 2
(1)
‰ÂÓ ÈηÓÔÔÈÂ›Ù·È ·fi Î·Ó¤Ó·Ó ÚËÙfi ·ÚÈıÌfi p. E¿Ó ˘‹Ú¯Â Ù¤ÙÔÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ p, ÙfiÙ ı· ÌÔÚÔ‡Û·Ì ӷ ÁÚ¿„Ô˘Ì p = m/n, fiÔ˘ m, n Â›Ó·È ·Î¤Ú·ÈÔÈ ·ÚÈıÌÔ› ÔÈ ÔÔ›ÔÈ ÂÈϤÔÓ ‰ÂÓ ¤¯Ô˘Ó ˆ˜ ÎÔÈÓfi ·Ú¿ÁÔÓÙ· ÙÔ 2. ∆fiÙÂ, Ë (1) Û˘Ó¿ÁÂÙ·È fiÙÈ m 2 = 2n 2 .
(2)
A˘Ùfi Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ Ô m 2 , Î·È ÂÔ̤ӈ˜ Ô m, Â›Ó·È ¿ÚÙÈÔ˜. (E¿Ó Ô m ‹Ù·Ó ÂÚÈÙÙfi˜, ÙfiÙÂ Ô m 2 ı· ‹Ù·Ó ›Û˘ ÂÚÈÙÙfi˜). ÕÚ·, Ô m 2 ‰È·ÈÚÂ›Ù·È ·fi ÙÔ 4. ∞fi ·˘Ùfi ¤ÂÙ·È fiÙÈ Ë ‰ÂÍÈ¿ ÏÂ˘Ú¿ Ù˘ (2) ‰È·ÈÚÂ›Ù·È ·fi ÙÔ 4, Û˘ÓÂÒ˜ Ô n 2 Â›Ó·È ¿ÚÙÈÔ˜. ∞˘Ùfi ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ ¤¯ÂÈ ˆ˜ Û˘Ó¤ÂÈ· fiÙÈ Ô n Â›Ó·È ¿ÚÙÈÔ˜.
∆∞ ™À™∆∏ª∞∆∞ ∆ø¡ ¶ƒ∞°ª∞∆π∫ø¡ ∫∞π ªπ°∞¢π∫ø¡ ∞ƒπ£ªø¡ 3
∏ ˘fiıÂÛË ÂÚ› Ù˘ ÈÛ¯‡Ô˜ Ù˘ (1) Ì·˜ Ô‰‹ÁËÛ ÛÙÔ Û˘Ì¤Ú·ÛÌ· fiÙÈ ÔÈ m, n Â›Ó·È ¿ÚÙÈÔÈ, ÁÂÁÔÓfi˜ Ô˘ ·ÓÙÈ‚·›ÓÂÈ ÛÙËÓ ·Ú¯È΋ ÂÈÏÔÁ‹ ÙˆÓ m, n. ∂Ô̤ӈ˜, Ë (1) Â›Ó·È ·‰‡Ó·ÙË, ÁÈ· ÔÔÈÔÓ‰‹ÔÙ ÚËÙfi ·ÚÈıÌfi p. ∂Ó Û˘Ó¯›·, ı· ÂÍÂÙ¿ÛÔ˘Ì ÙËÓ Î·Ù¿ÛÙ·ÛË ÏÂÙÔÌÂÚ¤ÛÙÂÚ·. ∞˜ Â›Ó·È ∞ ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ıÂÙÈÎÒÓ ÚËÙÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ p Ì p 2 < 2 Î·È B ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ıÂÙÈÎÒÓ ÚËÙÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ p Ì p 2 > 2. £· ‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ ∞ ‰ÂÓ ÂÚȤ¯ÂÈ ·ÚÈıÌfi ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ ·fi fiÏÔ˘˜ ÙÔ˘˜ ˘fiÏÔÈÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ÙÔ˘ Î·È fiÙÈ ÙÔ B ‰ÂÓ ÂÚȤ¯ÂÈ ·ÚÈıÌfi ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ·fi fiÏÔ˘˜ ÙÔ˘˜ ˘fiÏÔÈÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ÙÔ˘. ™˘ÁÎÂÎÚÈ̤ӷ, ÁÈ· ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ÛÙÔÈ¯Â›Ô p ÙÔ˘ ∞ ÌÔÚԇ̠ӷ ‚Úԇ̠ÛÙÔÈ¯Â›Ô q ÙÔ˘ ∞ Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ p < q Î·È ÁÈ· ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ÛÙÔÈ¯Â›Ô p ÙÔ˘ µ ÌÔÚԇ̠ӷ ‚Úԇ̠ÛÙÔÈ¯Â›Ô q ÙÔ˘ µ Ì q < p. ¶ÚÔ˜ ·˘Ùfi, Û οı ÚËÙfi ·ÚÈıÌfi p > 0 ·ÓÙÈÛÙÔȯ›˙Ô˘Ì ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi q = p−
p2 − 2 2p + 2 = . p+2 p+2
(3)
2( p 2 − 2) . ( p + 2)2
(4)
TfiÙÂ, q2 − 2 =
E¿Ó Ô p ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙÔ ∞, ÙfiÙ p 2 − 2 < 0, Ë (3) Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ q > p Î·È Ë (4) Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ q 2 < 2. ÕÚ·, Ô q ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙÔ ∞. E¿Ó Ô p ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙÔ B, ÙfiÙ p 2 − 2 > 0, Ë (3) Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ 0 < q < p Î·È Ë (4) Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ q 2 > 2. ÕÚ·, Ô q ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙÔ B. ¶·Ú·Ù‹ÚËÛË 1.2. H ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË ·ÚÔ˘Û›·ÛË Â›¯Â ˆ˜ ÛÎÔfi Ó· ηٷ‰Â›ÍÂÈ ÙËÓ ‡·ÚÍË ÔÚÈÛÌ¤ÓˆÓ ¯·ÛÌ¿ÙˆÓ ÛÙÔ ·ÚÈıÌËÙÈÎfi Û‡ÛÙËÌ· ÙˆÓ ÚËÙÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ, ÌÔÏÔÓfiÙÈ ˘¿Ú¯ÂÈ ¿ÓÙÔÙ ¤Ó·˜ ÚËÙfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ ÌÂٷ͇ ÔÔȈӉ‹ÔÙ ‰‡Ô ¿ÏÏˆÓ ÚËÙÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ: Â¿Ó r < s, ÙfiÙ r < (r + s)/2 < s. TÔ ·ÚÈıÌËÙÈÎfi Û‡ÛÙËÌ· ÙˆÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ Ô˘ÛÈ·ÛÙÈο «ÁÂÌ›˙ÂÈ» Ù· ¯¿ÛÌ·Ù· ·˘Ù¿. ∞˘Ùfi˜ Â›Ó·È Î·È Ô ‚·ÛÈÎfi˜ ÏfiÁÔ˜ ÁÈ· ÙÔ ıÂÌÂÏÈÒ‰Ë ÚfiÏÔ Ô˘ η٤¯ÂÈ ÙÔ ·ÚÈıÌËÙÈÎfi Û‡ÛÙËÌ· ÙˆÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ ÛÙËÓ ∞Ó¿Ï˘ÛË.
4
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
¶ÚÔÎÂÈ̤ÓÔ˘ Ó· ‰È·Û·Ê‹ÛÔ˘Ì ÙË ‰ÔÌ‹ ÙÔ˘ ·ÚÈıÌËÙÈÎÔ‡ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ ÙˆÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ, ηıÒ˜ Î·È ·˘ÙÔ‡ ÙˆÓ ÌÈÁ·‰ÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ, ı· ÍÂÎÈÓ‹ÛÔ˘Ì Ì ̛· Û‡ÓÙÔÌË Ú·ÁÌ¿Ù¢ÛË ÙˆÓ ÁÂÓÈÎÒ˜ ÙÈı¤ÌÂÓˆÓ ÂÓÓÔÈÒÓ ÙÔ˘ ‰È·ÙÂÙ·Á̤ÓÔ˘ Û˘ÓfiÏÔ˘ Î·È ÙÔ˘ ÛÒÌ·ÙÔ˜. ¶·Ú·Î¿Ùˆ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ¤Ó· ̤ÚÔ˜ Ù˘ Û˘Ó‹ıÔ˘˜ ÔÚÔÏÔÁ›·˜ Ô˘ ı· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈËı› Û fiÏË ÙËÓ ¤ÎÙ·ÛË ÙÔ˘ ‚È‚Ï›Ô˘. OÚÈÛÌfi˜ 1.3. E¿Ó ∞ Â›Ó·È ¤Ó· ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ۇÓÔÏÔ (ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ Ù· ÛÙÔȯ›· ÌÔÚÔ‡Ó Ó· Â›Ó·È ·ÚÈıÌÔ› ‹ ¿ÏÏ· ·ÓÙÈΛÌÂÓ·), ÙfiÙ ÁÚ¿ÊÔ˘Ì x ∈ A ÁÈ· Ó· ‰ËÏÒÛÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ x Â›Ó·È Ì¤ÏÔ˜ (‹ ·ÏÏÈÒ˜ ÛÙÔȯ›Ô) ÙÔ˘ ∞. °Ú¿ÊÔ˘Ì x ∈ / A Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ÙÔ x ‰ÂÓ Â›Ó·È ÛÙÔÈ¯Â›Ô ÙÔ˘ ∞. ∆Ô Û‡ÓÔÏÔ Ô˘ ‰ÂÓ ÂÚȤ¯ÂÈ Î·Ó¤Ó· ÛÙÔÈ¯Â›Ô ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÙÔ ÎÂÓfi Û‡ÓÔÏÔ. ŒÓ· Û‡ÓÔÏÔ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÌË ÎÂÓfi Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ÂÚȤ¯ÂÈ ¤Ó· ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ ÛÙÔȯ›Ô. E¿Ó ∞ Î·È µ Â›Ó·È ‰‡Ô Û‡ÓÔÏ·, ÙfiÙ ÙÔ ∞ ϤÁÂÙ·È ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ µ Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ Î¿ı ÛÙÔÈ¯Â›Ô ÙÔ˘ ∞ Â›Ó·È ÛÙÔÈ¯Â›Ô ÙÔ˘ µ, Î·È ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ ·˘Ùfi Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì A ⊂ B ‹ ·ÏÏÈÒ˜ µ ⊃ A. E¿Ó, ÂÈÚfiÛıÂÙ·, ˘¿Ú¯ÂÈ ¤Ó· ÛÙÔÈ¯Â›Ô ÙÔ˘ µ Ô˘ ‰ÂÓ ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙÔ ∞, ÙfiÙÂ, Î·È ÌfiÓÔÓ ÙfiÙÂ, ÙÔ A ϤÁÂÙ·È ÁÓ‹ÛÈÔ ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ µ. ™ËÌÂÈÒÓÔ˘Ì fiÙÈ ÈÛ¯‡ÂÈ A ⊂ A ÁÈ· οı ۇÓÔÏÔ ∞. °Ú¿ÊÔ˘Ì A = B Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó A ⊂ B Î·È µ ⊂ A. ™ÙËÓ ·ÓÙ›ıÂÙË ÂÚ›ÙˆÛË ÁÚ¿ÊÔ˘Ì ∞ = B. OÚÈÛÌfi˜ 1.4. ™Â fiÏË ÙËÓ ¤ÎÙ·ÛË ÙÔ˘ ∫ÂÊ·Ï·›Ô˘ 1, ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÚËÙÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ ı· Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È ˆ˜ Q.
¢π∞∆∂∆∞°ªE¡∞ ™À¡√§∞ OÚÈÛÌfi˜ 1.5. ∞˜ Â›Ó·È S ¤Ó· Û‡ÓÔÏÔ. ¢È¿Ù·ÍË ÛÙÔ S Â›Ó·È Ì›· Û¯¤ÛË, Ô˘ Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È ˆ˜ <, Ë ÔÔ›· η٤¯ÂÈ ÙȘ ‰‡Ô ·ÎfiÏÔ˘ı˜ ȉÈfiÙËÙ˜: (i) E¿Ó x, y ∈ S, ÙfiÙ ̛· Î·È ÌfiÓÔ Ì›· ·fi ÙȘ Û¯¤ÛÂȘ x < y,
x = y,
y<x
∆∞ ™À™∆∏ª∞∆∞ ∆ø¡ ¶ƒ∞°ª∞∆π∫ø¡ ∫∞π ªπ°∞¢π∫ø¡ ∞ƒπ£ªø¡ 5
Â›Ó·È ·ÏËı‹˜. (ii) E¿Ó x, y, z ∈ S Ì x < y Î·È y < z, ÙfiÙ x < z. ∏ ÚfiÙ·ÛË «x < y» ‰È·‚¿˙ÂÙ·È ˆ˜ «Ô x Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ˜ ÙÔ˘ y» ‹ ·ÏÏÈÒ˜ «Ô x ÚÔËÁÂ›Ù·È ÙÔ˘ y». OÚÈṲ̂Ó˜ ÊÔÚ¤˜ ‰È¢ÎÔχÓÂÈ Ó· ÁÚ¿ÊÔ˘Ì y > x ·ÓÙ› Ù˘ x < y. √ Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌfi˜ x ≤ y ‰ËÏÒÓÂÈ fiÙÈ x < y ‹ x = y, ‰›¯ˆ˜ Ó· ÚÔÛ‰ÈÔÚ›˙ÂÙ·È ÔÈ· ·fi ÙȘ ‰‡Ô ÚÔÙ¿ÛÂȘ Â›Ó·È ·ÏËı‹˜. ªÂ ‰È·ÊÔÚÂÙÈ΋ ‰È·Ù‡ˆÛË, Ë x ≤ y ·ÔÙÂÏ› ÙËÓ ¿ÚÓËÛË Ù˘ x > y. OÚÈÛÌfi˜ 1.6. ŒÓ· ‰È·ÙÂÙ·Á̤ÓÔ Û‡ÓÔÏÔ Â›Ó·È ¤Ó· Û‡ÓÔÏÔ S ÛÙÔ ÔÔ›Ô ¤¯ÂÈ ÔÚÈÛı› Ì›· ‰È¿Ù·ÍË. ¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ‰È·ÙÂÙ·Á̤ÓÔ˘ Û˘ÓfiÏÔ˘ ·ÔÙÂÏ› ÙÔ Q, fiÔ˘ ÁÈ· r, s ∈ Q Ë Û¯¤ÛË r < s ÛËÌ·›ÓÂÈ ÂÍ ÔÚÈÛÌÔ‡ fiÙÈ Ô s − r Â›Ó·È ıÂÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜. OÚÈÛÌfi˜ 1.7. ÀÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ S Â›Ó·È ¤Ó· ‰È·ÙÂÙ·Á̤ÓÔ Û‡ÓÔÏÔ Î·È fiÙÈ E ⊂ S. TÔ ∂ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ¿Óˆ ÊÚ·Á̤ÓÔ Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ˘¿Ú¯ÂÈ β ∈ S Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ x ≤ β ÁÈ· οı x ∈ E. ™Â ·˘Ù‹Ó ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË, ÙÔ β ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ¿Óˆ ÊÚ¿ÁÌ· ÙÔ˘ ∂. ∏ ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ οو ÊÚ¿ÁÌ·ÙÔ˜ ÔÚ›˙ÂÙ·È ·ÚÔÌÔ›ˆ˜ (Ì ÙËÓ ≥ ÛÙË ı¤ÛË Ù˘ ≤). OÚÈÛÌfi˜ 1.8. ÀÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ S Â›Ó·È ¤Ó· ‰È·ÙÂÙ·Á̤ÓÔ Û‡ÓÔÏÔ, fiÙÈ E ⊂ S Î·È fiÙÈ ÙÔ ∂ Â›Ó·È ¿Óˆ ÊÚ·Á̤ÓÔ. ∂›Û˘, ˘Ôı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ ˘¿Ú¯ÂÈ α ∈ S Ì ÙȘ ·ÎfiÏÔ˘ı˜ ȉÈfiÙËÙ˜: (i) TÔ α Â›Ó·È ¿Óˆ ÊÚ¿ÁÌ· ÙÔ˘ ∂. (ii) E¿Ó γ Â›Ó·È ÛÙÔÈ¯Â›Ô ÙÔ˘ S Ì γ < α, ÙfiÙ ÙÔ γ ‰ÂÓ Â›Ó·È ¿Óˆ ÊÚ¿ÁÌ· ÙÔ˘ ∂. ∆fiÙÂ, Î·È ÌfiÓÔÓ ÙfiÙÂ, ÙÔ α ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÙÔ ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ ¿Óˆ ÊÚ¿ÁÌ· ÙÔ˘ ∂ (Ë ÌÔÓ·‰ÈÎfiÙËÙ· Û˘Ó¿ÁÂÙ·È ·fi ÙÔ (ii)) ‹ ·ÏÏÈÒ˜ ÙÔ supremum ÙÔ˘ ∂ Î·È ÁÚ¿ÊÔ˘Ì α = sup E.
6
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
TÔ Ì¤ÁÈÛÙÔ Î¿Ùˆ ÊÚ¿ÁÌ·, ‹ ·ÏÏÈÒ˜ ÙÔ infimum, ÂÓfi˜ οو ÊÚ·Á̤ÓÔ˘ Û˘ÓfiÏÔ˘ ∂ ÔÚ›˙ÂÙ·È ·Ó·ÏfiÁˆ˜: Ë ÚfiÙ·ÛË α = inf E ‰ËÏÒÓÂÈ fiÙÈ ÙÔ α Â›Ó·È Î¿Ùˆ ÊÚ¿ÁÌ· ÙÔ˘ ∂ Î·È ‰ÂÓ ˘¿Ú¯ÂÈ Î¿Ùˆ ÊÚ¿ÁÌ· β ÙÔ˘ ∂ Ì β > α. ¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 1.9. (·) £ÂˆÚԇ̠ٷ Û‡ÓÔÏ· ∞ Î·È µ ÙÔ˘ ¶·Ú·‰Â›ÁÌ·ÙÔ˜ 1.1 ˆ˜ ˘ÔÛ‡ÓÔÏ· ÙÔ˘ ‰È·ÙÂÙ·Á̤ÓÔ˘ Û˘ÓfiÏÔ˘ Q. ∆Ô Û‡ÓÔÏÔ ∞ Â›Ó·È ¿Óˆ ÊÚ·Á̤ÓÔ. ™˘ÁÎÂÎÚÈ̤ӷ, Ù· ¿Óˆ ÊÚ¿ÁÌ·Ù· ÙÔ˘ ∞ Â›Ó·È ·ÎÚÈ‚Ò˜ Ù· ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘ µ. ∂ÊfiÛÔÓ ÙÔ µ ‰ÂÓ ÂÚȤ¯ÂÈ ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ ÛÙÔȯ›Ô, ÙÔ ∞ ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ ¿Óˆ ÊÚ¿ÁÌ· ÛÙÔ Q. ¶·ÚÔÌÔ›ˆ˜, ÙÔ µ Â›Ó·È Î¿Ùˆ ÊÚ·Á̤ÓÔ: ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ Î¿Ùˆ ÊÚ·ÁÌ¿ÙˆÓ ÙÔ˘ µ ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi fiÏ· Ù· ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘ ∞ Î·È fiÏÔ˘˜ ÙÔ˘˜ ÚËÙÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ r Ì r ≤ 0. ∂ÊfiÛÔÓ ÙÔ A ‰ÂÓ ÂÚȤ¯ÂÈ Ì¤ÁÈÛÙÔ ÛÙÔȯ›Ô, ÙÔ µ ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ Ì¤ÁÈÛÙÔ Î¿Ùˆ ÊÚ¿ÁÌ· ÛÙÔ Q. (‚) E¿Ó ˘¿Ú¯ÂÈ ÙÔ α = sup E, ÙfiÙ ·˘Ùfi ÌÔÚ› ÂÍ ›ÛÔ˘ Ó· ·Ó‹ÎÂÈ ‹ fi¯È ÛÙÔ ∂. ø˜ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, ·˜ Â›Ó·È E 1 ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÚËÙÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ r Ì r < 0. ∂›Û˘, ·˜ Â›Ó·È E 2 ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÚËÙÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ r Ì r ≤ 0. TfiÙÂ, sup E 1 = sup E 2 = 0 Î·È 0 ∈ / E 1 ÂÓÒ 0 ∈ E 2 . (Á) ∞˜ Â›Ó·È ∂ ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ 1/n, fiÔ˘ n = 1, 2, 3, . . . . ∆fiÙ sup E = 1, ÙÔ ÔÔ›Ô ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙÔ ∂, Î·È inf E = 0, ÙÔ ÔÔ›Ô ‰ÂÓ ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙÔ ∂. OÚÈÛÌfi˜ 1.10. ŒÓ· ‰È·ÙÂÙ·Á̤ÓÔ Û‡ÓÔÏÔ S ϤÁÂÙ·È fiÙÈ ¤¯ÂÈ ÙËÓ È‰ÈfiÙËÙ· ÙÔ˘ ÂÏ·¯›ÛÙÔ˘ ¿Óˆ ÊÚ¿ÁÌ·ÙÔ˜ Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó Ë ·ÎfiÏÔ˘ıË ÚfiÙ·ÛË ·ÏËı‡ÂÈ: E¿Ó E ⊂ S Î·È Â¿Ó ÙÔ ∂ Â›Ó·È ÌË ÎÂÓfi Î·È ¿Óˆ ÊÚ·Á̤ÓÔ, ÙfiÙ ÙÔ sup E ˘¿Ú¯ÂÈ ÛÙÔ S.
∆∞ ™À™∆∏ª∞∆∞ ∆ø¡ ¶ƒ∞°ª∞∆π∫ø¡ ∫∞π ªπ°∞¢π∫ø¡ ∞ƒπ£ªø¡ 7
∆Ô ¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 1.9(·) Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ ÙÔ Q ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ ÙËÓ È‰ÈfiÙËÙ· ÙÔ˘ ÂÏ·¯›ÛÙÔ˘ ¿Óˆ ÊÚ¿ÁÌ·ÙÔ˜. £· ‰Â›ÍÔ˘Ì ÙÒÚ· fiÙÈ ˘¿Ú¯ÂÈ ÛÙÂÓ‹ Û¯¤ÛË ÌÂٷ͇ ÌÂÁ›ÛÙˆÓ Î¿Ùˆ ÊÚ·ÁÌ¿ÙˆÓ Î·È ÂÏ·¯›ÛÙˆÓ ¿Óˆ ÊÚ·ÁÌ¿ÙˆÓ Î·È fiÙÈ Î¿ı ‰È·ÙÂÙ·Á̤ÓÔ Û‡ÓÔÏÔ Ì ÙËÓ È‰ÈfiÙËÙ· ÙÔ˘ ÂÏ·¯›ÛÙÔ˘ ¿Óˆ ÊÚ¿ÁÌ·ÙÔ˜ ¤¯ÂÈ Â›Û˘ ÙËÓ È‰ÈfiÙËÙ· ÙÔ˘ ÌÂÁ›ÛÙÔ˘ οو ÊÚ¿ÁÌ·ÙÔ˜. £ÂÒÚËÌ· 1.11. ÀÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ S Â›Ó·È ¤Ó· ‰È·ÙÂÙ·Á̤ÓÔ Û‡ÓÔÏÔ Ì ÙËÓ È‰ÈfiÙËÙ· ÙÔ˘ ÂÏ·¯›ÛÙÔ˘ ¿Óˆ ÊÚ¿ÁÌ·ÙÔ˜ Î·È fiÙÈ B ⊂ S, fiÔ˘ ÙÔ µ Â›Ó·È ÌË ÎÂÓfi Î·È Î¿Ùˆ ÊÚ·Á̤ÓÔ. £ÂˆÚԇ̠ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ L ÙˆÓ Î¿Ùˆ ÊÚ·ÁÌ¿ÙˆÓ ÙÔ˘ µ. ∆fiÙÂ, ÙÔ α = sup L ˘¿Ú¯ÂÈ ÛÙÔ S Î·È ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ α = inf B. π‰È·ÈÙ¤Úˆ˜, ÙÔ inf B ˘¿Ú¯ÂÈ ÛÙÔ S. Afi‰ÂÈÍË. ∂ÊfiÛÔÓ ÙÔ B Â›Ó·È Î¿Ùˆ ÊÚ·Á̤ÓÔ, ÙÔ L Â›Ó·È ÌË ÎÂÓfi. ∆Ô L ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi fiÏ· Ù· ÛÙÔȯ›· y ∈ S Ô˘ ÈηÓÔÔÈÔ‡Ó ÙËÓ ·ÓÈÛfiÙËÙ· y ≤ x, ÁÈ· οı x ∈ B, ÂÔ̤ӈ˜ οı x ∈ B Â›Ó·È ¿Óˆ ÊÚ¿ÁÌ· ÙÔ˘ L. ÕÚ·, ÙÔ L Â›Ó·È ¿Óˆ ÊÚ·Á̤ÓÔ. ∂Í ˘Ôı¤Ûˆ˜, ÙÔ L ¤¯ÂÈ supremum ÛÙÔ S, ÙÔ ÔÔ›Ô Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì ˆ˜ α. E¿Ó γ Â›Ó·È ÛÙÔÈ¯Â›Ô ÙÔ˘ S Ì γ < α, ÙfiÙ (·Ó·ÙÚ¤ÍÙ ÛÙÔÓ √ÚÈÛÌfi 1.8) ÙÔ γ ‰ÂÓ Â›Ó·È ¿Óˆ ÊÚ¿ÁÌ· ÙÔ˘ L, ÁÂÁÔÓfi˜ Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ γ ∈ / B. ÕÚ·, α ≤ x ÁÈ· οı x ∈ B. ™˘ÓÂÒ˜, α ∈ L. E¿Ó β Â›Ó·È ÛÙÔÈ¯Â›Ô ÙÔ˘ S ÌÂα < β, ÙfiÙ β ∈ / L, ÂÊfiÛÔÓ ÙÔ α Â›Ó·È ¿Óˆ ÊÚ¿ÁÌ· ÙÔ˘ L. Aԉ›ͷÌ fiÙÈ α ∈ L ÂÓÒ β ∈ L fiÙ·Ó β ∈ S Ì β > α. ¢ËÏ·‰‹, ÙÔ α Â›Ó·È Î¿Ùˆ ÊÚ¿ÁÌ· ÙÔ˘ B, ÂÓÒ ÙÔ β ‰ÂÓ Â›Ó·È, fiÙ·Ó β > α. A˘Ùfi ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ α = inf B.
™øª∞∆∞
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∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
OÚÈÛÌfi˜ 1.12. ™ÒÌ· Â›Ó·È ¤Ó· Û‡ÓÔÏÔ F ÂÊԉȷṲ̂ÓÔ Ì ‰‡Ô Ú¿ÍÂȘ, ÙËÓ ÚfiÛıÂÛË Î·È ÙÔÓ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi, ÔÈ Ôԛ˜ ÈηÓÔÔÈÔ‡Ó Ù· ÏÂÁfiÌÂÓ· «·ÍÈÒÌ·Ù· ÛÒÌ·ÙÔ˜» (A), (ª), (D): (∞) ∞ÍÈÒÌ·Ù· Ù˘ ÚÔÛı¤Ûˆ˜ (A1) E¿Ó x, y ∈ F, ÙfiÙ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙÔ˘˜ x + y ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙÔ F. (A2) ∏ ÚfiÛıÂÛË Â›Ó·È ÌÂÙ·ıÂÙÈ΋: x + y = y + x ÁÈ· ÔÔÈ·‰‹ÔÙ x, y ∈ F. (A3) ∏ ÚfiÛıÂÛË Â›Ó·È ÚÔÛÂÙ·ÈÚÈÛÙÈ΋: (x + y) + z = x + (y + z) ÁÈ· ÔÔÈ·‰‹ÔÙ x, y, z ∈ F. (A4) To F ÂÚȤ¯ÂÈ ¤Ó· ÛÙÔÈ¯Â›Ô 0, Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ 0 + x = x ÁÈ· οı x ∈ F. (A5) ™Â οı x ∈ F ·ÓÙÈÛÙÔȯ› ¤Ó· ÛÙÔÈ¯Â›Ô −x ∈ F Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ x + (−x) = 0. (ª) ∞ÍÈÒÌ·Ù· ÙÔ˘ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌÔ‡ (M1) E¿Ó x, y ∈ F, ÙfiÙ ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÙÔ˘˜ x y ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙÔ F. (M2) √ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜ Â›Ó·È ÌÂÙ·ıÂÙÈÎfi˜: x y = yx ÁÈ· ÔÔÈ·‰‹ÔÙ x, y ∈ F. (M3) √ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜ Â›Ó·È ÚÔÛÂÙ·ÈÚÈÛÙÈÎfi˜: (x y)z = x(yz) ÁÈ· ÔÔÈ·‰‹ÔÙ x, y, z ∈ F. (M4) To F ÂÚȤ¯ÂÈ ¤Ó· ÛÙÔÈ¯Â›Ô 1 Ì 1 = 0 Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ 1x = x ÁÈ· οı x ∈ F. (M5) ™Â οı x ∈ F Ì x = 0 ·ÓÙÈÛÙÔȯ›˙ÂÙ·È ¤Ó· ÛÙÔÈ¯Â›Ô 1/x ∈ F Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ x(1/x) = 1. (D) ∂ÈÌÂÚÈÛÙÈÎfi˜ ÓfiÌÔ˜ °È· ÔÔÈ·‰‹ÔÙ x, y, z ∈ F ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ x(y + z) = x y + x z. ¶·Ú·Ù‹ÚËÛË 1.13. (·) ™Â ¤Ó· ÛÒÌ· Û˘Ó‹ıˆ˜ ÁÚ¿ÊÔ˘Ì x − y,
x , x + y + z, x yz, x 2 , x 3 , 2x, 3x, . . . y
∆∞ ™À™∆∏ª∞∆∞ ∆ø¡ ¶ƒ∞°ª∞∆π∫ø¡ ∫∞π ªπ°∞¢π∫ø¡ ∞ƒπ£ªø¡ 9
ÛÙË ı¤ÛË ÙˆÓ x + (−y), x · (1/y), (x + y) + z, (x y)z, x x, x x x, x + x, x + x + x, . . . . (‚) ∆· ·ÍÈÒÌ·Ù· ÛÒÌ·ÙÔ˜ ÈÛ¯‡Ô˘Ó ÂÌÊ·ÓÒ˜ ÛÙÔ Q, ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÚËÙÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ, Â¿Ó Ë ÚfiÛıÂÛË Î·È Ô ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜ η٤¯Ô˘Ó ÙÔ Û‡ÓËı˜ ÓfiËÌ· ÙÔ˘˜. ™˘ÓÂÒ˜, ÙÔ Q Â›Ó·È ÛÒÌ·. (Á) ∞Ó Î·È ‰ÂÓ ·ÔÙÂÏ› ÛÎÔfi Ì·˜ Ë ÌÂϤÙË ÙˆÓ ÛˆÌ¿ÙˆÓ (‹ ¿ÏÏˆÓ ·ÏÁ‚ÚÈÎÒÓ ‰ÔÌÒÓ) ÏÂÙÔÌÂÚÂȷο, ·Í›˙ÂÈ Ó· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ ÔÚÈṲ̂Ó˜ ÁÓˆÛÙ¤˜ ȉÈfiÙËÙ˜ ÙÔ˘ Q Û˘Ó¿ÁÔÓÙ·È ·fi Ù· ·ÍÈÒÌ·Ù· ÙÔ˘ ÛÒÌ·ÙÔ˜. ŒÙÛÈ, ı· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÔ˘Ì ÙȘ ȉÈfiÙËÙ˜ ·˘Ù¤˜ Î·È ÛÙ· ÛÒÌ·Ù· ÙˆÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ Î·È ÌÈÁ·‰ÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ.
¶ÚfiÙ·ÛË 1.14. ∆· ·ÍÈÒÌ·Ù· Ù˘ ÚÔÛı¤Ûˆ˜ Û˘Ó¿ÁÔÓÙ·È ÙȘ ·ÎfiÏÔ˘ı˜ ÚÔÙ¿ÛÂȘ, ÁÈ· ÔÔÈ·‰‹ÔÙ x, y, z ∈ F: (·) E¿Ó x + y = x + z, ÙfiÙ y = z. (‚) E¿Ó x + y = x, ÙfiÙ y = 0. (Á) E¿Ó x + y = 0, ÙfiÙ y = −x. (‰) −(−x) = x. ∏ ÚfiÙ·ÛË (·) Â›Ó·È ¤Ó·˜ ÓfiÌÔ˜ ‰È·ÁÚ·Ê‹˜. ¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ Ë (‚) ‚‚·ÈÒÓÂÈ ÙË ÌÔÓ·‰ÈÎfiÙËÙ· ÙÔ˘ ÛÙÔÈ¯Â›Ô˘, ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ Ë ‡·ÚÍË ˘ÔÙ›ıÂÙ·È ÛÙÔ (A4) Î·È fiÙÈ Ë (Á) ‚‚·ÈÒÓÂÈ ÙÔ ›‰ÈÔ ÁÈ· ÙÔ (A5). Afi‰ÂÈÍË. E¿Ó x + y = x + z, ÙfiÙ ·fi Ù· ·ÍÈÒÌ·Ù· (∞) Ï·Ì‚¿ÓÔ˘Ì fiÙÈ y = 0 + y = (−x + x) + y = −x + (x + y) = −x + (x + z) = (−x + x) + z = 0 + z = z. ∞˘Ùfi ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÈ ÙÔ (·). °È· ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ (‚), ·ÏÒ˜ ı¤ÙÔ˘Ì z = 0 ÛÙÔ (·). E¿Ó ı¤ÛÔ˘Ì z = −x ÛÙÔ (·), ÙfiÙ ·ÔÎÙԇ̠ÙÔ (Á). ∂ÊfiÛÔÓ −x + x = 0, ÙÔ (Á) (Ì ÙÔ −x ÛÙË ı¤ÛË ÙÔ˘ x) ¯ÔÚËÁ› ÙÔ (‰).
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∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
¶ÚfiÙ·ÛË 1.15. ∆· ·ÍÈÒÌ·Ù· ÙÔ˘ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌÔ‡ Û˘Ó¿ÁÔÓÙ·È ÙȘ ·ÎfiÏÔ˘ı˜ ÚÔÙ¿ÛÂȘ, ÁÈ· ÔÔÈ·‰‹ÔÙ x, y, z ∈ F: (·) E¿Ó x = 0 Î·È x y = x z, ÙfiÙ y = z. (‚) E¿Ó x = 0 Î·È x y = x, ÙfiÙ y = 1. (Á) E¿Ó x = 0 Î·È x y = 1, ÙfiÙ y = 1/x. (‰) E¿Ó x = 0, ÙfiÙ 1/(1/x) = x. ∏ ·fi‰ÂÈÍË Â›Ó·È ·ÚÂÌÊÂÚ‹˜ Ì ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË Ù˘ ¶ÚÔÙ¿Ûˆ˜ 1.14 Î·È ¤ÙÛÈ ·Ú·Ï›ÂÙ·È. ¶ÚfiÙ·ÛË 1.16. ∆· ·ÍÈÒÌ·Ù· ÛÒÌ·ÙÔ˜ Û˘Ó¿ÁÔÓÙ·È ÙȘ ·ÎfiÏÔ˘ı˜ ÚÔÙ¿ÛÂȘ, ÁÈ· οı x, y, z ∈ F. (·) 0x = 0. (‚) E¿Ó x = 0 Î·È y = 0, ÙfiÙ x y = 0. (Á) (−x)y = −(x y) = x(−y). (‰) (−x)(−y) = x y. Afi‰ÂÈÍË. ∂›Ó·È 0x + 0x = (0 + 0)x = 0x. ÕÚ·, Ë 1.14(‚) ¤¯ÂÈ ˆ˜ Û˘Ó¤ÂÈ· ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ 0x = 0 Î·È Ì ·˘Ùfi ÚÔ·ÙÂÈ ÙÔ (·). EÓ Û˘Ó¯›·, ˘Ôı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ x = 0, y = 0, ·ÏÏ¿ x y = 0. TfiÙÂ, Ë (·) ¯ÔÚËÁ› ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· 1 1 1 1 1= xy = 0 = 0, y x y x ÁÂÁÔÓfi˜ Ô˘ Û˘ÓÈÛÙ¿ ·ÓٛʷÛË. ÕÚ·, ÈÛ¯‡ÂÈ Ë (‚). ∏ ÚÒÙË ÈÛfiÙËÙ· Ù˘ (Á) ¤ÂÙ·È ·fi ÙËÓ (−x)y + x y = (−x + x)y = 0y = 0, Û˘Ó‰˘·˙fiÌÂÓË Ì ÙËÓ 1.14(‚). ∏ ‰Â‡ÙÂÚË ÈÛfiÙËÙ· ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È Ì ÙÔÓ ›‰ÈÔ ÙÚfiÔ. ∂Ó Ù¤ÏÂÈ, (−x)(−y) = −[x(−y)] = −[−(x y)] = x y, Û‡Ìʈӷ Ì ÙË (Á) Î·È ÙËÓ 1.14(‰).
∆∞ ™À™∆∏ª∞∆∞ ∆ø¡ ¶ƒ∞°ª∞∆π∫ø¡ ∫∞π ªπ°∞¢π∫ø¡ ∞ƒπ£ªø¡ 11
OÚÈÛÌfi˜ 1.17. ¢È·ÙÂÙ·Á̤ÓÔ ÛÒÌ· Â›Ó·È ¤Ó· ÛÒÌ· F, ÙÔ ÔÔ›Ô Â›Ó·È Â›Û˘ ‰È·ÙÂÙ·Á̤ÓÔ Û‡ÓÔÏÔ, Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ ӷ ÈÛ¯‡Ô˘Ó Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ: (i) E¿Ó x, y, z ∈ F Î·È y < z, ÙfiÙ x + y < x + z. (ii) E¿Ó x, y ∈ F Ì x > 0 Î·È y > 0, ÙfiÙ x y > 0. OÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ÙÔ x ıÂÙÈÎfi Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó x > 0. OÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ÙÔ x ·ÚÓËÙÈÎfi Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó x < 0. ¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ‰È·ÙÂÙ·Á̤ÓÔ˘ ÛÒÌ·ÙÔ˜ ·ÔÙÂÏ› ÙÔ Q. ŸÏÔÈ ÔÈ ÁÓˆÛÙÔ› ηÓfiÓ˜ Ô˘ Û¯ÂÙ›˙ÔÓÙ·È Ì ÙË ¯Ú‹ÛË ·ÓÈÛÔÙ‹ÙˆÓ ÂÊ·ÚÌfi˙ÔÓÙ·È Û οı ‰È·ÙÂÙ·Á̤ÓÔ ÛÒÌ·: ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜ Ì ıÂÙÈΤ˜ (·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜ ·ÚÓËÙÈΤ˜) ÔÛfiÙËÙ˜ ‰È·ÙËÚ› (·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜ ·ÓÙÈÛÙÚ¤ÊÂÈ) ÙȘ ·ÓÈÛfiÙËÙ˜, Ù· ÙÂÙÚ¿ÁˆÓ· ÛÙÔȯ›ˆÓ ÙÔ˘ ÛÒÌ·ÙÔ˜ Â›Ó·È ÌË ·ÚÓËÙÈο, Î. Ï. .. ∏ ·ÎfiÏÔ˘ıË ÚfiÙ·ÛË Î·Ù·ÁÚ¿ÊÂÈ ÔÚÈṲ̂ÓÔ˘˜ ·fi ·˘ÙÔ‡˜ ÙÔ˘˜ ηÓfiÓ˜. ¶ÚfiÙ·ÛË 1.18. √È ·ÎfiÏÔ˘ı˜ ÚÔÙ¿ÛÂȘ ·ÏËıÂ‡Ô˘Ó Û οı ‰È·ÙÂÙ·Á̤ÓÔ ÛÒÌ· F, ÁÈ· ÔÔÈ·‰‹ÔÙ x, y, z ∈ F. (·) x > 0 Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó −x < 0. (‚) E¿Ó x > 0 Î·È y < z, ÙfiÙ x y < x z. (Á) E¿Ó x < 0 Î·È y < z, ÙfiÙ x y > x z. (‰) E¿Ó x = 0, ÙfiÙ x 2 > 0. I‰È·ÈÙ¤Úˆ˜, ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ 1 > 0. (Â) E¿Ó 0 < x < y, ÙfiÙ 0 < 1/y < 1/x. Afi‰ÂÈÍË. (·) E¿Ó x > 0, ÙfiÙ 0 = −x + x > −x + 0 Î·È ÂÔ̤ӈ˜ −x < 0. E¿Ó x < 0, ÙfiÙ 0 = −x + x < −x + 0 Î·È ÂÔ̤ӈ˜ −x > 0. A˘Ùfi ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÈ ÙÔ (·). (‚) ∂ÊfiÛÔÓ z > y, ¤ÂÙ·È fiÙÈ z − y > y − y = 0, ¿Ú· x(z − y) > 0 Î·È ÂÔ̤ӈ˜ x z = x(z − y) + x y > 0 + x y = x y. (Á) §fiÁˆ ÙˆÓ (·), (‚) Î·È Ù˘ ¶ÚÔÙ¿Ûˆ˜ 1.16(Á) ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ −[x(z − y)] = (−x)(z − y) > 0, ÁÂÁÔÓfi˜ Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ x(z − y) < 0 Î·È Û˘ÓÂÒ˜ x z < x y.
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∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
(‰) E¿Ó x > 0, ÙfiÙ ÙÔ Ì¤ÚÔ˜ (ii) ÙÔ˘ √ÚÈÛÌÔ‡ 1.17 Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ x 2 > 0. E¿Ó x < 0, ÙfiÙ −x > 0, ¿Ú· (−x)2 > 0. ŸÌˆ˜, ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ x 2 = (−x)2 , Û‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ ¶ÚfiÙ·ÛË 1.16(‰). ∂ÊfiÛÔÓ 12 = 1, ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ 1 > 0. (Â) E¿Ó y > 0 Î·È v ≤ 0, ÙfiÙ yv ≤ 0. ÕÚ·, ÂÊfiÛÔÓ y · (1/y) = 1 > 0, ¤ÂÙ·È fiÙÈ 1/y > 0. ¶·ÚÔÌÔ›ˆ˜, 1/x > 0. E¿Ó ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿ÛÔ˘ÌÂ Î·È ÙȘ ‰‡Ô Ï¢ڤ˜ Ù˘ ·ÓÈÛfiÙËÙ·˜ x < y Ì ÙË ıÂÙÈ΋ ÔÛfiÙËÙ· (1/x) · (1/y), Ï·Ì‚¿ÓÔ˘Ì ÙËÓ ·ÓÈÛfiÙËÙ· 1/y < 1/x.
∆√ ™øª∞ ∆ø¡ ¶ƒ∞°ª∞∆π∫ø¡ ∞ƒπ£ªø¡ ¢È·Ù˘ÒÓÔ˘Ì ÙÒÚ· ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ˘¿Ú͈˜, ÙÔ ÔÔ›Ô ·ÔÙÂÏ› Î·È ÙÔÓ ˘Ú‹Ó· ·˘ÙÔ‡ ÙÔ˘ ÎÂÊ·Ï·›Ô˘. £ÂÒÚËÌ· 1.19. À¿Ú¯ÂÈ ¤Ó· ‰È·ÙÂÙ·Á̤ÓÔ ÛÒÌ· R Ì ÙËÓ È‰ÈfiÙËÙ· ÙÔ˘ ÂÏ·¯›ÛÙÔ˘ ¿Óˆ ÊÚ¿ÁÌ·ÙÔ˜. ∂ÈϤÔÓ, ÙÔ R ÂÚȤ¯ÂÈ ÙÔ Q ˆ˜ ˘fiۈ̷. ªÂ ÙË ‰Â‡ÙÂÚË ÚfiÙ·ÛË ÂÓÓÔÂ›Ù·È fiÙÈ Q ⊂ R Î·È fiÙÈ fiÙ·Ó ÔÈ Ú¿ÍÂȘ Ù˘ ÚÔÛı¤Ûˆ˜ Î·È ÙÔ˘ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌÔ‡ ÂÊ·ÚÌÔÛıÔ‡Ó Û ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘ Q, ÙfiÙÂ Û˘Ì›ÙÔ˘Ó Ì ÙȘ Û˘Ó‹ıÂȘ Ú¿ÍÂȘ › ÙˆÓ ÚËÙÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ. ∂›Û˘, ÂÓÓÔÂ›Ù·È ÔÈ ıÂÙÈÎÔ› ÚËÙÔ› ·ÚÈıÌÔ› Â›Ó·È ıÂÙÈο ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘ R. ∆· ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘ R ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›. ∏ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 1.19 Â›Ó·È ÂÎÙÂٷ̤ÓË Î·È Û¯ÂÙÈο ÎÔÈ·ÛÙÈ΋. °È· ÙÔ˘˜ ÏfiÁÔ˘˜ ·˘ÙÔ‡˜ ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙ÂÙ·È Û ¤Ó· ·Ú¿ÚÙËÌ·, ÛÙÔ Ù¤ÏÔ˜ ÙÔ˘ ∫ÂÊ·Ï·›Ô˘ 1. ™ÙËÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfiÙËÙ·, ÂΛ ηٷÛ΢¿˙ÂÙ·È ÙÔ R ·fi ÙÔ Q. ∆Ô ÂfiÌÂÓÔ ıÂÒÚËÌ· ÌÔÚ› Ó· ÂÍ·¯ı› ·fi ·˘Ù‹Ó ÙËÓ Î·Ù·Û΢‹, Ì ϛÁË ÂÈϤÔÓ ÚÔÛ¿ıÂÈ·. ŸÌˆ˜, ÚÔÙÈÌԇ̠ӷ ÙÔ ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 1.19. ∞˘Ùfi ·Ú¤¯ÂÈ Ì›· ηϋ ¤Ó‰ÂÈÍË Û¯ÂÙÈο Ì ÙÔ Ò˜ ÌÔÚ› Ó· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈËı› Ë È‰ÈfiÙËÙ· ÙÔ˘ ÂÏ·¯›ÛÙÔ˘ ¿Óˆ ÊÚ¿ÁÌ·ÙÔ˜. £ÂÒÚËÌ· 1.20.
∆∞ ™À™∆∏ª∞∆∞ ∆ø¡ ¶ƒ∞°ª∞∆π∫ø¡ ∫∞π ªπ°∞¢π∫ø¡ ∞ƒπ£ªø¡ 13
(·) E¿Ó x, y ∈ R Ì x > 0, ÙfiÙ ˘¿Ú¯ÂÈ ¤Ó·˜ ıÂÙÈÎfi˜ ·Î¤Ú·ÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ n Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ nx > y. (‚) E¿Ó x, y ∈ R Ì x < y, ÙfiÙ ˘¿Ú¯ÂÈ p ∈ Q Ì x < p < y. ∆Ô Ì¤ÚÔ˜ (·) ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Û˘Ó‹ıˆ˜ ∞Ú¯ÈÌ‹‰ÂÈ· ȉÈfiÙËÙ· ÙÔ˘ R. ∆Ô Ì¤ÚÔ˜ (‚) ‰È·Ù˘ÒÓÂÙ·È Ï¤ÁÔÓÙ·˜ fiÙÈ ÙÔ Q Â›Ó·È ˘ÎÓfi ÛÙÔ R: ÌÂٷ͇ ÔÔȈӉ‹ÔÙ ‰‡Ô Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ¿ÓÙÔÙ ¤Ó·˜ ÚËÙfi˜ ·ÚÈıÌfi˜. Afi‰ÂÈÍË. (·) ∞˜ Â›Ó·È ∞ ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ nx, fiÔ˘ ÙÔ n ‰È·ÙÚ¤¯ÂÈ fiÏÔ˘˜ ÙÔ˘˜ ıÂÙÈÎÔ‡˜ ·Î¤Ú·ÈÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜. E¿Ó ÙÔ (·) Â›Ó·È „¢‰¤˜, ÙfiÙ ÙÔ y Â›Ó·È ¿Óˆ ÊÚ¿ÁÌ· ÙÔ˘ ∞. ÕÚ·, ÙÔ ∞ ¤¯ÂÈ ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ ¿Óˆ ÊÚ¿ÁÌ· ÛÙÔ R. £¤ÙÔ˘Ì α = sup A. EÊfiÛÔÓ x > 0, Â›Ó·È α − x < α Î·È ÂÔ̤ӈ˜ ÙÔ α − x ‰ÂÓ ·ÔÙÂÏ› ¿Óˆ ÊÚ¿ÁÌ· ÙÔ˘ ∞. ÕÚ·, Â›Ó·È α − x < mx ÁÈ· οÔÈÔÓ ıÂÙÈÎfi ·Î¤Ú·ÈÔ ·ÚÈıÌfi m. TfiÙÂ, ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ α < (m + 1)x ∈ A, ÁÂÁÔÓfi˜ Ô˘ Â›Ó·È ·‰‡Ó·ÙÔ, ‰ÈfiÙÈ ÙÔ α Â›Ó·È ¿Óˆ ÊÚ¿ÁÌ· ÙÔ˘ ∞. (‚) ∂ÊfiÛÔÓ x < y, Â›Ó·È y − x > 0 ηÈ, ÏfiÁˆ ÙÔ˘ (·), ˘¿Ú¯ÂÈ ıÂÙÈÎfi˜ ·Î¤Ú·ÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ n Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ n(y − x) > 1. EÊ·ÚÌfi˙ÔÓÙ·˜ ¿ÏÈ ÙÔ (·), ·ÔÎÙԇ̠ıÂÙÈÎÔ‡˜ ·Î¤Ú·ÈÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ m 1 , m 2 Ì m 1 > nx Î·È m 2 > −nx. TfiÙÂ, −m 2 < nx < m 1 . ∂Ô̤ӈ˜, ˘¿Ú¯ÂÈ ·Î¤Ú·ÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ m (Ì −m 2 ≤ m ≤ m 1 ) Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ m − 1 ≤ nx < m. E¿Ó Û˘Ó‰˘¿ÛÔ˘Ì ·˘Ù¤˜ ÙȘ ·ÓÈÛfiÙËÙ˜, ÙfiÙ ·ÔÎÙԇ̠fiÙÈ nx < m ≤ 1 + nx < ny. ∂ÊfiÛÔÓ n > 0, ¤ÂÙ·È fiÙÈ
m < y. n ∞˘Ùfi ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÈ ÙÔ (‚), Ì p = m/n. x<
14
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
£· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì ÙÒÚ· ÙËÓ ‡·ÚÍË n-ÔÛÙÒÓ ÚÈ˙ÒÓ ıÂÙÈÎÒÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ. ∏ ·fi‰ÂÈÍË Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ ÙÔÓ ÙÚfiÔ Ì ÙÔÓ ÔÔ›Ô ÌÔÚԇ̠ӷ ¯ÂÈÚÈÛÙԇ̠ÛÙÔ R ÙË ‰˘ÛÎÔÏ›· Ô˘ ÂÌÊ·Ó›˙ÂÙ·È ÛÙËÓ ∂ÈÛ·ÁˆÁ‹ (·ÚÚËÙfiÙËÙ· √ ÙÔ˘ 2). £ÂÒÚËÌ· 1.21. °È· οı ıÂÙÈÎfi Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi x Î·È Î¿ı ıÂÙÈÎfi ·Î¤Ú·ÈÔ ·ÚÈıÌfi n ˘¿Ú¯ÂÈ ¤Ó·˜ Î·È ÌfiÓÔÓ ¤Ó·˜ ıÂÙÈÎfi˜ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ y Ì y n = x. √ ·ÚÈıÌfi˜ ·˘Ùfi˜ Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È ˆ˜
√ n
x ‹ ·ÏÏÈÒ˜ x 1/n .
Afi‰ÂÈÍË. ∏ ÌÔÓ·‰ÈÎfiÙËÙ· ÙÔ˘ y Â›Ó·È Û·Ê‹˜, ‰ÈfiÙÈ Â¿Ó y1 , y2 Â›Ó·È Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› Ì 0 < y1 < y2 , ÙfiÙ y1n < y2n . ∞˜ Â›Ó·È ∂ ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ıÂÙÈÎÒÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ t Ì t n < x. E¿Ó t = x/(1 + x), ÙfiÙ 0 < t < 1. EÔ̤ӈ˜, t n < t < x. ÕÚ·, t ∈ E Î·È Û˘ÓÂÒ˜ ÙÔ ∂ ‰ÂÓ Â›Ó·È ÎÂÓfi. ∞Ó t > 1 + x, ÙfiÙ t n > t > x, ÂÔ̤ӈ˜ t ∈ / E. ÕÚ·, ÙÔ 1 + x Â›Ó·È ¿Óˆ ÊÚ¿ÁÌ· ÙÔ˘ ∂. ∫·Ù¿ Û˘Ó¤ÂÈ·, ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 1.19 Û˘Ó¿ÁÂÙ·È ÙËÓ ‡·ÚÍË ÙÔ˘ y = sup E. °È· ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË Ù˘ Û¯¤Ûˆ˜ y n = x ı· ‰Âȯı› fiÙÈ Î¿ı ̛· ·fi ÙȘ ·ÓÈÛfiÙËÙ˜ y n < x Î·È y n > x Ô‰ËÁ› Û ·ÓٛʷÛË. Afi ÙËÓ Ù·˘ÙfiÙËÙ· bn − a n = (b − a)(bn−1 + bn−2 a + · · · + ba n−2 + a n−1 ) ÚÔ·ÙÂÈ Ë ·ÓÈÛfiÙËÙ· bn − a n < (b − a)nbn−1 , fiÙ·Ó a, b Â›Ó·È Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› Ì 0 < a < b. ÀÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ y n < x. ∂ÈϤÁÔ˘Ì ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi h Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ 0 < h < 1 Î·È x − yn h< . n(y + 1)n−1 £¤ÙÔ˘Ì a = y, b = y + h. TfiÙÂ, (y + h)n − y n < hn(y + h)n−1 < hn(y + 1)n−1 < x − y n .
∆∞ ™À™∆∏ª∞∆∞ ∆ø¡ ¶ƒ∞°ª∞∆π∫ø¡ ∫∞π ªπ°∞¢π∫ø¡ ∞ƒπ£ªø¡ 15
ÕÚ·, (y + h)n < x Î·È Û˘ÓÂÒ˜ y + h ∈ E. EÂȉ‹ fï˜ y + h > y, ·˘Ùfi ·ÓÙ›ÎÂÈÙ·È ÛÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ ÙÔ y Â›Ó·È ¿Óˆ ÊÚ¿ÁÌ· ÙÔ˘ ∂. ÀÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ y n > x. £¤ÙÔ˘Ì k=
yn − x . ny n−1
TfiÙÂ, 0 < k < y. ∞Ó Â›Ó·È t ≥ y − k, ÙfiÙÂ Û˘Ó¿ÁÔ˘Ì fiÙÈ y n − t n ≤ y n − (y − k)n < kny n−1 = y n − x. ÕÚ·, t n > x Î·È Û˘ÓÂÒ˜ t ∈ / E. Afi ·˘Ùfi ¤ÂÙ·È fiÙÈ ÙÔ y − k Â›Ó·È ¿Óˆ ÊÚ¿ÁÌ· ÙÔ˘ ∂. ŸÌˆ˜ y − k < y, Û¯¤ÛË Ô˘ ·ÓÙ›ÎÂÈÙ·È ÛÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ ÙÔ y Â›Ó·È ÙÔ ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ ¿Óˆ ÊÚ¿ÁÌ· ÙÔ˘ ∂. ∫·Ù·Ï‹ÁÔÓÙ·˜, ¤¯Ô˘Ì fiÙÈ y n = x Î·È Ë ·fi‰ÂÈÍË Â›Ó·È Ï‹Ú˘. ¶fiÚÈÛÌ·. E¿Ó a, b Â›Ó·È ıÂÙÈÎÔ› Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› Î·È n Â›Ó·È ıÂÙÈÎfi˜ ·Î¤Ú·ÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜, ÙfiÙ (ab)1/n = a 1/n b1/n .
Afi‰ÂÈÍË. £¤ÙÔ˘Ì α = a 1/n , β = b1/n . TfiÙÂ, ab = α n β n = (αβ)n , ÂÊfiÛÔÓ Ô ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜ Â›Ó·È ÌÂÙ·ıÂÙÈÎfi˜. (∞Í›ˆÌ· (M2) ÛÙÔÓ √ÚÈÛÌfi 1.12). √ ÈÛ¯˘ÚÈÛÌfi˜ ÂÚ› ÌÔÓ·‰ÈÎfiÙËÙ·˜ ÛÙÔ £ÂÒÚËÌ· 1.21 Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ (ab)1/n = αβ = a 1/n b1/n .
1.22 ¢Âη‰Èο ·Ó·Ù‡ÁÌ·Ù·. ∫Ï›ÓÔ˘Ì ·˘Ù‹Ó ÙËÓ ÂÓfiÙËÙ· ÂÈÛËÌ·›ÓÔÓÙ·˜ ÙË Û¯¤ÛË ÌÂٷ͇ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ Î·È ‰Âη‰ÈÎÒÓ ·Ó·Ù˘ÁÌ¿ÙˆÓ. £ÂˆÚԇ̠¤Ó·Ó Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi x > 0. ∞˜ Â›Ó·È n 0 Ô ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˜ ·Î¤Ú·ÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ Ì n 0 ≤ x. (™ËÌÂÈÒÓÔ˘Ì fiÙÈ Ë ‡·ÚÍË ÙÔ˘ n 0 ‚·Û›˙ÂÙ·È
16
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
ÛÙËÓ ∞Ú¯ÈÌ‹‰ÂÈ· ȉÈfiÙËÙ· ÙÔ˘ R). Œ¯ÔÓÙ·˜ ÂÈϤÍÂÈ ÙÔ˘˜ n 0 , n 1 , . . . , n k−1 , ·˜ Â›Ó·È n k Ô ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˜ ·Î¤Ú·ÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ Ì n1 nk n0 + + · · · + k ≤ x. 10 10 £ÂˆÚԇ̠∂ ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ n1 nk n0 + (5) + · · · + k (k = 0, 1, 2, . . . ). 10 10 ∆fiÙÂ, x = sup E. ∆Ô ‰Âη‰ÈÎfi ·Ó¿Ù˘ÁÌ· ÙÔ˘ x Â›Ó·È ÙÔ n0, n1n2n3 · · · .
(6)
∞ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜, ÁÈ· οı ¿ÂÈÚÔ ‰Âη‰ÈÎfi ·Ó¿Ù˘ÁÌ· (6), ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ∂ ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ (5) Â›Ó·È ¿Óˆ ÊÚ·Á̤ÓÔ Î·È ÙÔ (6) Â›Ó·È ÙÔ ‰Âη‰ÈÎfi ·Ó¿Ù˘ÁÌ· ÙÔ˘ sup E. ∂ÊfiÛÔÓ ‰ÂÓ ÚfiÎÂÈÙ·È Ó· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÔ˘Ì ٷ ‰Âη‰Èο ·Ó·Ù‡ÁÌ·Ù· ÂÚ·ÈÙ¤Úˆ, ‰ÂÓ ı· ÂÈÛ¤ÏıÔ˘Ì Û ÏÂÙÔÌÂÚ¤ÛÙÂÚË ·Ó¿Ï˘ÛË.
∆√ ∂∫∆∂∆∞ª∂¡√ ∞ƒπ£ª∏∆π∫√ ™À™∆∏ª∞ ∆ø¡ ¶ƒ∞°ª∞∆π∫ø¡ ∞ƒπ£ªø¡ OÚÈÛÌfi˜ 1.23. ∆Ô ÂÎÙÂٷ̤ÓÔ ·ÚÈıÌËÙÈÎfi Û‡ÛÙËÌ· ÙˆÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ ··ÚÙ›˙ÂÙ·È ·fi ÙÔ ÛÒÌ· R ÙˆÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ Ì·˙› Ì ٷ ‰‡Ô ۇ̂ÔÏ· +∞ Î·È −∞. ¢È·ÙËÚԇ̠ÙËÓ ·Ú¯È΋ ‰È¿Ù·ÍË ÛÙÔ R Î·È ÔÚ›˙Ô˘Ì −∞ < x < +∞, ÁÈ· οı x ∈ R. ∂›Ó·È ÙÒÚ· ÂÌÊ·Ó¤˜ fiÙÈ ÙÔ +∞ Â›Ó·È ¿Óˆ ÊÚ¿ÁÌ· ÁÈ· οı ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ ÂÎÙÂٷ̤ÓÔ˘ ·ÚÈıÌËÙÈÎÔ‡ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ ÙˆÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ Î·È fiÙÈ Î¿ı ÌË ÎÂÓfi ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ ¤¯ÂÈ ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ ¿Óˆ ÊÚ¿ÁÌ·. E› ·Ú·‰Â›ÁÌ·ÙÈ, Â¿Ó ∂ Â›Ó·È ¤Ó· ÌË ÎÂÓfi ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ, ÙÔ ÔÔ›Ô ‰ÂÓ Â›Ó·È ¿Óˆ ÊÚ·Á̤ÓÔ, ÙfiÙ ÛÙÔ ÂÎÙÂٷ̤ÓÔ ·ÚÈıÌËÙÈÎfi Û‡ÛÙËÌ· ÙˆÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ sup E = +∞. √È ›‰È˜ ·Ú·ÙËÚ‹ÛÂȘ ÂÊ·ÚÌfi˙ÔÓÙ·È Û ۯ¤ÛË Ì ٷ οو ÊÚ¿ÁÌ·Ù·.
∆∞ ™À™∆∏ª∞∆∞ ∆ø¡ ¶ƒ∞°ª∞∆π∫ø¡ ∫∞π ªπ°∞¢π∫ø¡ ∞ƒπ£ªø¡ 17
∆Ô ÂÎÙÂٷ̤ÓÔ ·ÚÈıÌËÙÈÎfi Û‡ÛÙËÌ· ÙˆÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ ‰ÂÓ ·ÔÙÂÏ› ÛÒÌ·, fï˜ ·ÔÙÂÏ› Û‡ÓËı˜ ÁÂÁÔÓfi˜ Ë ·Ô‰Ô¯‹ ÙˆÓ ·ÎÔÏÔ‡ıˆÓ ÈÛÔًوÓ: (·) E¿Ó Ô x Â›Ó·È Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜, ÙfiÙ x + ∞ = +∞, x − ∞ = −∞,
x x = = 0. +∞ −∞
(‚) E¿Ó x > 0, ÙfiÙ x · (+∞) = +∞, x · (−∞) = −∞. (Á) E¿Ó x < 0, ÙfiÙ x · (+∞) = −∞, x · (−∞) = +∞. ŸÙ·Ó ÂÈı˘Ìԇ̠ӷ οÓÔ˘Ì ‰È¿ÎÚÈÛË ÌÂٷ͇ ÙˆÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ Î·È ÙˆÓ Û˘Ì‚fiÏˆÓ +∞ Î·È −∞, ÙfiÙ ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ÙÔ˘˜ ÚÒÙÔ˘˜ ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ˘˜.
∆√ ™øª∞ ∆ø¡ ªπ°∞¢π∫ø¡ ∞ƒπ£ªø¡ OÚÈÛÌfi˜ 1.24. ŒÓ·˜ ÌÈÁ·‰ÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ Â›Ó·È ¤Ó· ‰È·ÙÂÙ·Á̤ÓÔ ˙‡ÁÔ˜ (a, b) Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ. M ÙË Ï¤ÍË «‰È·ÙÂÙ·Á̤ÓÔ» ÂÓÓÔԇ̠fiÙÈ Ù· (a, b) Î·È (b, a) ‰È·Ê¤ÚÔ˘Ó ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ fiÙ·Ó a = b. ∞˜ Â›Ó·È x = (a, b), y = (c, d) ‰‡Ô ÌÈÁ·‰ÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›. °Ú¿ÊÔ˘Ì x = y Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó a = c Î·È b = d. (™ËÌÂÈÒÓÔ˘Ì fiÙÈ Ô ÔÚÈÛÌfi˜ ·˘Ùfi˜ ‰ÂÓ Â›Ó·È ¿ÛÎÔÔ˜. £˘ÌËı›Ù ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· ÙˆÓ ÚËÙÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ, Ô˘ ·Ó··ÚÈÛÙÒÓÙ·È ˆ˜ Ëϛη ·ÎÂÚ·›ˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ.) √Ú›˙Ô˘Ì x + y = (a + c, b + d), x y = (ac − bd, ad + bc). £ÂÒÚËÌ· 1.25. √È ·Ú·¿Óˆ ÔÚÈÛÌÔ› Ù˘ ÚÔÛı¤Ûˆ˜ Î·È ÙÔ˘ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌÔ‡ ‰ÔÌÔ‡Ó ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÌÈÁ·‰ÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ Û ÛÒÌ·, Ì ٷ (0, 0) Î·È (1, 0) ÛÙË ı¤ÛË ÙˆÓ 0 Î·È 1 ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜. Afi‰ÂÈÍË. £· ·ÏËı‡ÛÔ˘Ì ·ÏÒ˜ Ù· ·ÍÈÒÌ·Ù· ÙÔ˘ ÛÒÌ·ÙÔ˜, fiˆ˜ ηٷÁÚ¿ÊÔÓÙ·È ÛÙÔÓ √ÚÈÛÌfi 1.12. (º˘ÛÈο, ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÙȘ ȉÈfiÙËÙ˜ ÙÔ˘ R ˆ˜ ÛÒÌ·ÙÔ˜.)
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∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
A˜ Â›Ó·È x = (a, b), y = (c, d), z = (e, f ), fiÔ˘ a, b, c, d, e, f Â›Ó·È Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›. (A1) E›Ó·È ۷ʤ˜. (A2) x + y = (a + c, b + d) = (c + a, d + b) = y + x. (A3) Œ¯Ô˘Ì (x + y) + z = = = =
(a + c, b + d) + (e, f ) (a + c + e, b + d + f ) (a, b) + (c + e, d + f ) x + (y + z).
(A4) x + 0 = (a, b) + (0, 0) = (a, b) = x. (A5) £¤ÙÔ˘Ì −x = (−a, −b). ∆fiÙÂ, x + (−x) = (0, 0) = 0. (M1) E›Ó·È ۷ʤ˜. (M2) x y = (ac − bd, ad + bc) = (ca − db, da + cb) = yx. (M3) Œ¯Ô˘Ì (x y)z = = = =
(ac − bd, ad + bc)(e, f ) (ace − bde − ad f − bc f, ac f − bd f + ade + bce) (a, b)(ce − d f, c f + de) x(yz).
(M4) 1x = (1, 0)(a, b) = (a, b) = x. (M5) E¿Ó x = 0, ÙfiÙ (a, b) = (0, 0), ÁÂÁÔÓfi˜ ÙÔ ÔÔ›Ô ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ ¤Ó·˜ ·fi ÙÔ˘˜ a, b Â›Ó·È ‰È¿ÊÔÚÔ˜ ÙÔ˘ 0. ÕÚ·, a 2 + b2 > 0, Û‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ ¶ÚfiÙ·ÛË 1.18(‰). ™˘ÓÂÒ˜, ÌÔÚԇ̠ӷ ÔÚ›ÛÔ˘Ì 1 −b a , ). =( 2 x a + b2 a 2 + b2 ∆fiÙÂ, x·
−b 1 a , 2 ) = (1, 0) = 1. = (a, b)( 2 2 x a + b a + b2
∆∞ ™À™∆∏ª∞∆∞ ∆ø¡ ¶ƒ∞°ª∞∆π∫ø¡ ∫∞π ªπ°∞¢π∫ø¡ ∞ƒπ£ªø¡ 19
(D) Œ¯Ô˘Ì x(y + z) = = = =
(a, b)(c + e, d + f ) (ac + ae − bd − b f, ad + a f + bc + be) (ac − bd, ad + bc) + (ae − b f, a f + be) x y + x z.
H ·fi‰ÂÈÍË Â›Ó·È Ï‹Ú˘. £ÂÒÚËÌ· 1.26. °È· ÔÔÈÔ˘Û‰‹ÔÙ ڷÁÌ·ÙÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ a, b ¤¯Ô˘Ì fiÙÈ (a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0),
(a, 0)(b, 0) = (ab, 0).
∏ ·fi‰ÂÈÍË Á›ÓÂÙ·È Î·Ù¿ ÙÂÙÚÈÌ̤ÓÔ ÙÚfiÔ. ∆Ô £ÂÒÚËÌ· 1.26 Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ ÔÈ ÌÈÁ·‰ÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ (a, 0) ¤¯Ô˘Ó ÙȘ ›‰È˜ ·ÚÈıÌËÙÈΤ˜ ȉÈfiÙËÙ˜ Ì ÙÔ˘˜ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô˘˜ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ a. ∂Ô̤ӈ˜, ÌÔÚԇ̠ӷ Ù·˘Ù›ÛÔ˘Ì ÙÔ (a, 0) Ì ÙÔ a. ∏ Ù·˘ÙÔÔ›ËÛË ·˘Ù‹ ·ÚÈÛÙ¿ ÙÔ ÛÒÌ· ÙˆÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ ˆ˜ ˘fiۈ̷ ÙˆÓ ÌÈÁ·‰ÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ. √ ·Ó·ÁÓÒÛÙ˘ ›Ûˆ˜ ¤¯ÂÈ ·Ú·ÙËÚ‹ÛÂÈ fiÙÈ ÔÈ ÌÈÁ·‰ÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› ¤¯Ô˘Ó ÔÚÈÛı› ·Ú·¿Óˆ ‰›¯ˆ˜ η̛· ·Ó·ÊÔÚ¿ ÛÙË «Ì˘ÛÙËÚÈ҉˻ ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈ΋ Ú›˙· ÙÔ˘ −1. £· ‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ Ô Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌfi˜ (a, b) Â›Ó·È ÈÛÔ‰‡Ó·ÌÔ˜ Ì ÙÔÓ Î·ÙÂÛÙË̤ÓÔ Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌfi a + bi. OÚÈÛÌfi˜ 1.27. √Ú›˙Ô˘Ì i = (0, 1). £ÂÒÚËÌ· 1.28. IÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ i 2 = −1. Afi‰ÂÈÍË. i 2 = (0, 1)(0, 1) = (−1, 0) = −1. £ÂÒÚËÌ· 1.29. E¿Ó a, b Â›Ó·È Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›, ÙfiÙ (a, b) = a + bi. Afi‰ÂÈÍË. a + bi = (a, 0) + (b, 0)(0, 1) = (a, 0) + (0, b) = (a, b).
20
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
OÚÈÛÌfi˜ 1.30. E¿Ó a, b Â›Ó·È Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› Î·È z = a + bi, ÙfiÙÂ Ô ÌÈÁ·‰ÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ z = a − bi ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È o Û˘˙˘Á‹˜ ÙÔ˘ z. √È ·ÚÈıÌÔ› a Î·È b ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜ ÙÔ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ̤ÚÔ˜ Î·È ÙÔ Ê·ÓÙ·ÛÙÈÎfi ̤ÚÔ˜ ÙÔ˘ z. K·Ù¿ ÂÚ›ÛÙ·ÛË ÁÚ¿ÊÔ˘Ì a = Re(z), b = Im(z). £ÂÒÚËÌ· 1.31. E¿Ó z, w Â›Ó·È ÌÈÁ·‰ÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›, ÙfiÙ (·) z + w = z + w, (‚) zw = z · w, (Á) z + z = 2Re(z), z − z = 2iIm(z), (‰) o zz Â›Ó·È Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜. I‰È·ÈÙ¤Úˆ˜, Â›Ó·È ıÂÙÈÎfi˜, ÂÎÙfi˜ Ù˘ ÂÚÈÙÒÛˆ˜ z = 0. Afi‰ÂÈÍË. ∏ ·fi‰ÂÈÍË ÙˆÓ (·), (‚), (Á) Á›ÓÂÙ·È Î·Ù¿ ۯ‰fiÓ ÙÂÙÚÈÌ̤ÓÔ ÙÚfiÔ. °È· ÙÔ (‰), ÁÚ¿ÊÔ˘Ì z = a + bi, fiÔ˘ a, b Â›Ó·È Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›, Î·È ·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ zz = a 2 + b2 . OÚÈÛÌfi˜ 1.32. ø˜ ·fiÏ˘ÙË ÙÈÌ‹ |z| ÂÓfi˜ ÌÈÁ·‰ÈÎÔ‡ ·ÚÈıÌÔ‡ z ÔÚ›˙Ô˘Ì ÙË ÌË ·ÚÓËÙÈ΋ ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈ΋ Ú›˙· ÙÔ˘ zz. ¢ËÏ·‰‹, |z| = (zz)1/2 . ∏ ‡·ÚÍË (Î·È Ë ÌÔÓ·‰ÈÎfiÙËÙ·) ÙÔ˘ |z| ¤ÂÙ·È ·fi ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 1.21 Î·È ÙÔ Ì¤ÚÔ˜ (‰) ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 1.31. ™ËÌÂÈÒÓÔ˘Ì fiÙÈ Â¿Ó x Â›Ó·È ¤Ó·˜ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜, ÙfiÙ x = x Î·È √ ÂÔ̤ӈ˜ |x| = x 2 . ÕÚ·, |x| = x Â¿Ó x ≥ 0 Î·È |x| = −x Â¿Ó x < 0. £ÂÒÚËÌ· 1.33. ∞˜ Â›Ó·È z, w ÌÈÁ·‰ÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›. ∆fiÙÂ: (·) |z| > 0, ÂÎÙfi˜ Ù˘ ÂÚÈÙÒÛˆ˜ z = 0, |0| = 0. (‚) |z| = |z|. (Á) |zw| = |z||w|. (‰) |Re(z)| ≤ |z|. (Â) |z + w| ≤ |z| + |w|.
∆∞ ™À™∆∏ª∞∆∞ ∆ø¡ ¶ƒ∞°ª∞∆π∫ø¡ ∫∞π ªπ°∞¢π∫ø¡ ∞ƒπ£ªø¡ 21
Afi‰ÂÈÍË. ∏ ·fi‰ÂÈÍË ÙˆÓ (·) Î·È (‚) Á›ÓÂÙ·È Î·Ù¿ ÙÂÙÚÈÌ̤ÓÔ ÙÚfiÔ. £¤ÙÔ˘Ì z = a + bi, w = c + di, fiÔ˘ a, b, c, d Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›. ∆fiÙÂ, |zw|2 = (ac − bd)2 + (ad + bc)2 = (a 2 + b2 )(c2 + d 2 ) = |z|2 |w|2 , ‰ËÏ·‰‹ |zw|2 = (|z||w|)2 . TÒÚ·, ÙÔ (Á) ¤ÂÙ·È ·fi ÙÔÓ ÈÛ¯˘ÚÈÛÌfi ÂÚ› ÌÔÓ·‰ÈÎfiÙËÙ·˜, ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 1.21. °È· ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ (‰), ·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ a 2 ≤ a 2 + b2 Î·È ÂÔ̤ӈ˜ |a| =
a 2 ≤ a 2 + b2 .
°È· ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ (Â), ·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ Ô zw Â›Ó·È Ô Û˘˙˘Á‹˜ ÙÔ˘ zw Î·È ÂÔ̤ӈ˜ zw + zw = 2Re(zw). ÕÚ·, |z + w|2 = (z + w)(z + w) = zz + zw + wz + ww = |z|2 + 2Re(zw) + |w|2 ≤ |z|2 + 2|zw| + |w|2 = |z|2 + 2|z||w| + |w|2 = (|z| + |w|)2 . ∆ÒÚ·, ÙÔ (Â) ¤ÂÙ·È Ï·Ì‚¿ÓÔÓÙ·˜ ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈΤ˜ Ú›˙˜. ™˘Ì‚ÔÏÈÛÌfi˜ 1.34. E¿Ó x1 , . . . , xn Â›Ó·È ÌÈÁ·‰ÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›, ÙfiÙ ÁÚ¿ÊÔ˘ÌÂ1 n
x j = x1 + x2 + · · · + xn .
j=1
H ÂÓfiÙËÙ· ·˘Ù‹ ÎÏ›ÓÂÈ Ì ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË Ì›·˜ ÛËÌ·ÓÙÈ΋˜ ·ÓÈÛfiÙËÙ·˜, Ë ÔÔ›· Û˘Ó‹ıˆ˜ Â›Ó·È ÁÓˆÛÙ‹ ˆ˜ ·ÓÈÛfiÙËÙ· ÙÔ˘ Schwarz 2 . ™. Ù. M.: ™Â ·˘Ùfi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô Ú¤ÂÈ Ó· ‰Ôı› Î·È Ô ÔÚÈÛÌfi˜ ÙÔ˘ Û˘Ì‚fiÏÔ˘ : Â¿Ó n x1 , . . . , xn Â›Ó·È ÌÈÁ·‰ÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›, ÙfiÙ ÔÚ›˙Ô˘Ì j=1 x j = x1 · x2 · . . . · xn . 2 ™. Ù. M.: Karl Hermann Amandus Schwarz (1843-1921). °ÂÚÌ·Ófi˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi˜. TÔ Â‰›Ô ÂÚÁ·Û›·˜ ÙÔ˘ ‹Ù·Ó Ë AÓ¿Ï˘ÛË Î·È Ë °ÂˆÌÂÙÚ›·. TÔ ¤ÙÔ˜ 1860 Ô Schwarz ÂÈÛ‹¯ıË ÛÙÔ ¶·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ ÙÔ˘ BÂÚÔÏ›ÓÔ˘ ÁÈ· Ó· ÛÔ˘‰¿ÛÂÈ XËÌ›·. 1
22
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
£ÂÒÚËÌ· 1.35. E¿Ó a1 , . . . , an Î·È b1 , . . . , bn Â›Ó·È ÌÈÁ·‰ÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›, ÙfiÙ 2 n n n 2 a b ≤ |a | |b j |2 . j j=1 j j j=1 j=1 Afi‰ÂÈÍË. £¤ÙÔ˘Ì A = nj=1 |a j |2 , B = nj=1 |b j |2 , C = nj=1 a j b j . E¿Ó B = 0, ÙfiÙ b1 = · · · = bn = 0 Î·È ÙÔ Û˘Ì¤Ú·ÛÌ· Â›Ó·È ÚÔÊ·Ó¤˜. ÀÔı¤ÙÔ˘Ì ÂÔ̤ӈ˜ fiÙÈ B > 0. ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 1.31 ¤¯Ô˘Ì n j=1
|Ba j − Cb j |2 =
n
(Ba j − Cb j )(Ba j − Cb j )
j=1
= B2
n
|a j |2 − BC
j=1
n j=1
a j b j − BC
n j=1
a j b j + |C|2
n
|b j |2
j=1
= B A − B|C| 2
2
= B(AB − |C|2 ). ∂ÊfiÛÔÓ Î¿ı fiÚÔ˜ ÙÔ˘ ÚÒÙÔ˘ ·ıÚÔ›ÛÌ·ÙÔ˜ Â›Ó·È ÌË ·ÚÓËÙÈÎfi˜, ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì fiÙÈ B(AB − |C|2 ) ≥ 0. EÊfiÛÔÓ B > 0, ¤ÂÙ·È fiÙÈ AB − |C|2 ≥ 0. ŸÌˆ˜, ·˘Ù‹ Â›Ó·È Ë ÂÈı˘ÌËÙ‹ ·ÓÈÛfiÙËÙ·.
EYK§EI¢EIOI Ãøƒ√𠙇ÓÙÔÌ· fï˜ ÂËÚ¿ÛıËΠ·fi ÙÔ˘˜ ‰·ÛοÏÔ˘˜ ÙÔ˘ Karl Weierstrass (1815-1897) Î·È Ernst Eduard Kummer (1810-1893), Ì ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· Ó· ÛÙÚ·Ê› ÚÔ˜ Ù· M·ıËÌ·ÙÈο. O Schwarz ·¤ÎÙËÛ ·ÚÁfiÙÂÚ· Î·È È‰È·›ÙÂÚË Û¯¤ÛË Ì ÙÔÓ Kummer ‰ÈfiÙÈ ·ÓÙÚ‡ÙËΠÙËÓ ÎfiÚË ÙÔ˘. ŒÏ·‚ ÙÔ ‰È‰·ÎÙÔÚÈÎfi ÙÔ˘ ‰›ÏˆÌ· ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1864. TÔ ¤ÙÔ˜ 1866 Ô Schwarz η٤Ϸ‚ ̛· ı¤ÛË ˘ÊËÁËÙ‹ ÛÙÔ ›‰ÈÔ ·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ. K·Ù¿ ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1867 ÎÏ‹ıËΠÛÙÔ ¶·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ Ù˘ Halle ˆ˜ ¤ÎÙ·ÎÙÔ˜ ηıËÁËÙ‹˜ Î·È ‰›‰·Í ÂΛ ÁÈ· Ì›· ‰ÈÂÙ›·. TÔ 1869 Ô Schwarz ·Ó¤Ï·‚ ηı‹ÎÔÓÙ· ˆ˜ Ù·ÎÙÈÎfi˜ ηıËÁËÙ‹˜ ÛÙÔ ¶ÔÏ˘Ù¯ÓÂ›Ô Ù˘ Z˘Ú›¯Ë˜. K·Ù¿ ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1875, η٤Ϸ‚ ·Î·‰ËÌ·˚΋ ı¤ÛË ÛÙÔ ¶·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ ÙÔ˘ Göttingen. TÔ ¤ÙÔ˜1892 Ô Schwarz ‰È·‰¤¯ıËΠÙÔÓ Weierstrass ÛÙÔ BÂÚÔÏ›ÓÔ, fiÔ˘ Î·È ·Ú¤ÌÂÈÓ ¤ˆ˜ ÙÔ 1917. O Schwarz ›¯Â ÔÏÏ¿ ¿ÏÏ· ÂӉȷʤÚÔÓÙ· ÂÎÙfi˜ ÙˆÓ M·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ. E›¯Â ÂÚÁ·Ûı› ˆ˜ ÂıÂÏÔÓÙ‹˜ ˘ÚÔÛ‚¤ÛÙ˘ Û ‰ÈÔÈÎËÙÈ΋ ı¤ÛË Î·È ˆ˜ ÛȉËÚÔ‰ÚÔÌÈÎfi˜ ˘¿ÏÏËÏÔ˜.
∆∞ ™À™∆∏ª∞∆∞ ∆ø¡ ¶ƒ∞°ª∞∆π∫ø¡ ∫∞π ªπ°∞¢π∫ø¡ ∞ƒπ£ªø¡ 23
OÚÈÛÌfi˜ 1.36. °È· ÔÔÈÔÓ‰‹ÔÙ ıÂÙÈÎfi ·Î¤Ú·ÈÔ ·ÚÈıÌfi k Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì ˆ˜ R k ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ fiÏˆÓ ÙˆÓ ‰È·ÙÂÙ·ÁÌ¤ÓˆÓ k-¿‰ˆÓ x = (x1 , . . . , xk ), fiÔ˘ x1 , . . . , xk Â›Ó·È Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›, ÔÈ ÔÔ›ÔÈ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ ÙÔ˘ x. T· ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘R k ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ÛËÌ›· ‹ ‰È·Ó‡ÛÌ·Ù·, ΢ڛˆ˜ fiÙ·Ó k > 1. £· Ù· Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì Ì ¤ÓÙÔÓ· ÁÚ¿ÌÌ·Ù·. E¿Ó y = (y1 , . . . , yk ) Î·È Â¿Ó a Â›Ó·È Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜, ÙfiÙ ÔÚ›˙Ô˘Ì x + y = (x1 + y1 , . . . , xk + yk ), ax = (ax1 , . . . , axk ). ¶ÚÔÊ·ÓÒ˜, x + y ∈ R k Î·È ax ∈ R k . M ÙȘ ÈÛfiÙËÙ˜ ·˘Ù¤˜ ÔÚ›˙ÂÙ·È ÚfiÛıÂÛË ‰È·Ó˘ÛÌ¿ÙˆÓ Î·È ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜ ‰È·Ó‡ÛÌ·ÙÔ˜ Ì ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi (‚·ı̈Ùfi ̤ÁÂıÔ˜). √È ‰‡Ô ·˘Ù¤˜ Ú¿ÍÂȘ ÈηÓÔÔÈÔ‡Ó ÙÔÓ ÌÂÙ·ıÂÙÈÎfi, ÙÔÓ ÚÔÛÂÙ·ÈÚÈÛÙÈÎfi Î·È ÙÔ˘˜ ÂÈÌÂÚÈÛÙÈÎÔ‡˜ ÓfiÌÔ˘˜ (Ë ·fi‰ÂÈÍË Á›ÓÂÙ·È ÙÂÙÚÈÌ̤ӷ, οÓÔÓÙ·˜ ¯Ú‹ÛË ÙˆÓ ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆÓ ȉÈÔÙ‹ÙˆÓ ÙˆÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ) Î·È ‰ÔÌÔ‡Ó ÙÔ R k Û ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎfi ¯ÒÚÔ ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ ÛÒÌ·ÙÔ˜ ÙˆÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ. ∆Ô ÌˉÂÓÈÎfi ÛÙÔÈ¯Â›Ô ÙÔ˘ R k (ÙÔ ÔÔ›Ô ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Î·È ·Ú¯‹ ‹ ÌˉÂÓÈÎfi ‰È¿Ó˘ÛÌ·) Â›Ó·È ÙÔ ÛËÌÂ›Ô 0, ÙÔ ÔÔ›Ô ¤¯ÂÈ fiϘ ÙȘ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ ÙÔ˘ ›Û˜ Ì 0. ∂›Û˘, ÔÚ›˙Ô˘Ì ÙÔ ÏÂÁfiÌÂÓÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÁÈÓfiÌÂÓÔ (‹ ·ÏÏÈÒ˜ ‚·ı̈Ùfi ÁÈÓfiÌÂÓÔ) ÙˆÓ x Î·È y ˆ˜ k x·y= xi yi i=1
Î·È ÙË ÛÙ¿ıÌË ÙÔ˘ x ˆ˜ |x| = (x · x)
1/2
=
n
1/2 xi2
.
i=1
H ·Ú·¿Óˆ ‰oÌ‹ (Ô ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ R k ÂÊԉȷṲ̂ÓÔ˜ Ì ÙÔ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÁÈÓfiÌÂÓÔ Î·È ÙË ÛÙ¿ıÌË) ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Ô E˘ÎÏ›‰ÂÈÔ˜ k-¯ÒÚÔ˜.
24
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
£ÂÒÚËÌ· 1.37. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ x, y, z ∈ R k Î·È fiÙÈ a Â›Ó·È Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜. ∆fiÙÂ: (·) |x| ≥ 0. (‚) |x| = 0 Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó x = 0. (Á) |ax| = |a||x|. (‰) |x · y| ≤ |x||y|. (Â) |x + y| ≤ |x| + |y|. (ÛÙ) |x − z| ≤ |x − y| + |y − z|. Afi‰ÂÈÍË. ∆· (·), (‚) Î·È (Á) Â›Ó·È ÚÔÊ·Ó‹ Î·È ÙÔ (‰) Â›Ó·È ¿ÌÂÛË Û˘Ó¤ÂÈ· Ù˘ ·ÓÈÛfiÙËÙ·˜ ÙÔ˘ Schwarz. Afi ÙÔ (‰) Ï·Ì‚¿ÓÔ˘Ì fiÙÈ |x + y|2 = (x + y) · (x + y) = x · x + 2x · y + y · y ≤ |x|2 + 2|x||y| + |y|2 = (|x| + |y|)2 , Î·È Î·Ù' ·˘ÙfiÓ ÙÔÓ ÙÚfiÔ ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È ÙÔ (Â). ∂Ó Ù¤ÏÂÈ, ÙÔ (ÛÙ) ¤ÂÙ·È ·fi ÙÔ (Â) Â¿Ó ·ÓÙÈηٷÛÙ‹ÛÔ˘Ì ÙÔ x Ì ÙÔ x − y Î·È ÙÔ y Ì ÙÔ y − z. ¶·Ú·Ù‹ÚËÛË 1.38. ∆· (·), (‚) Î·È (ÛÙ) ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 1.37 ı· Ì·˜ ÂÈÙÚ¤„Ô˘Ó Ó· ıˆڋÛÔ˘Ì ÙÔ R k ˆ˜ ÌÂÙÚÈÎfi ¯ÒÚÔ (·Ó·ÙÚ¤ÍÙ ÛÙÔ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2). ∆Ô R 1 (‰ËÏ·‰‹ ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ) Û˘Ó‹ıˆ˜ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ ¢ı›·. √ÌÔ›ˆ˜, ÙÔ R 2 Û˘Ó‹ıˆ˜ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÌÈÁ·‰ÈÎfi Â›Â‰Ô (Û˘ÁÎÚ›ÓÂÙ ÙÔ˘˜ √ÚÈÛÌÔ‡˜ 1.24 Î·È 1.36). ™ÙȘ ‰‡Ô ·˘Ù¤˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ, Ë ÛÙ¿ıÌË Ù·˘Ù›˙ÂÙ·È Ì ÙËÓ ·fiÏ˘ÙË ÙÈÌ‹ ÙˆÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ Î·È ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜ ÙˆÓ ÌÈÁ·‰ÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ.
¶AP∞ƒ∆∏ª∞
∆∞ ™À™∆∏ª∞∆∞ ∆ø¡ ¶ƒ∞°ª∞∆π∫ø¡ ∫∞π ªπ°∞¢π∫ø¡ ∞ƒπ£ªø¡ 25
™ÙÔ ·Ú¿ÚÙËÌ· ·˘Ùfi ı· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 1.19, ηٷÛ΢¿˙ÔÓÙ·˜ ÙÔ R ·fi ÙÔ Q. ∏ ηٷÛ΢‹ ı· ‰È·ÈÚÂı› Û ·ÚÎÂÙ¿ › ̤ÚÔ˘˜ ‚‹Ì·Ù·. µ‹Ì· 1. ∆· ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘ R Â›Ó·È ›Û· ÌÂ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ӷ ˘ÔÛ‡ÓÔÏ· ÙÔ˘ Q, Ù· ÔÔ›· ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ÙÔ̤˜. ª›· ÙÔÌ‹ ›ӷÈ, ÂÍ ÔÚÈÛÌÔ‡, ¤Ó· ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ α ÙÔ˘ Q Ô˘ η٤¯ÂÈ ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÙÚÂȘ ȉÈfiÙËÙ˜: (π) To α Â›Ó·È ÌË ÎÂÓfi Î·È α = Q. (πI) E¿Ó p ∈ α, q ∈ Q Î·È q < p, ÙfiÙ q ∈ α. (πII) E¿Ó p ∈ α, ÙfiÙ p < r ÁÈ· οÔÈÔ r ∈ α. ∆· ÁÚ¿ÌÌ·Ù· p, q, r, . . . ı· Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ó ¿ÓÙÔÙ ÚËÙÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Î·È Ù· ÁÚ¿ÌÌ·Ù· α, β, γ , . . . ı· Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ó ÙÔ̤˜. ™ËÌÂÈÒÓÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ (III) ·ÏÒ˜ ‰ËÏÒÓÂÈ fiÙÈ ÙÔ α ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ Ì¤ÁÈÛÙÔ ÛÙÔȯ›Ô. TÔ (II) Û˘Ó¿ÁÂÙ·È ‰‡Ô ÁÂÁÔÓfiÙ·, Ù· ÔÔ›· Î·È ı· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÔ˘Ì ηٿ ÙË ‰È¿ÚÎÂÈ· Ù˘ ·Ô‰Â›Íˆ˜: E¿Ó p ∈ α Î·È q ∈ / α, ÙfiÙ p < q. E¿Ó r ∈ / α Î·È r < s, ÙfiÙ s ∈ / α. µ‹Ì· 2. °Ú¿ÊÔ˘Ì α < β Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ÙÔ α Â›Ó·È ÁÓ‹ÛÈÔ ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ β. ¶·Ú·Î¿Ùˆ ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì fiÙÈ Ë Û¯¤ÛË ·˘Ù‹ ÈηÓÔÔÈ› ÙȘ ··ÈÙ‹ÛÂȘ ÙÔ˘ √ÚÈÛÌÔ‡ 1.5. E›Ó·È ۷ʤ˜ fiÙÈ Â¿Ó α < β Î·È β < γ , ÙfiÙ α < γ . (ŒÓ· ÁÓ‹ÛÈÔ ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÂÓfi˜ ÁÓËÛ›Ô˘ ˘ÔÛ˘ÓfiÏÔ˘ Â›Ó·È ÁÓ‹ÛÈÔ ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ.) ∂›Ó·È ›Û˘ ۷ʤ˜ fiÙÈ ÙÔ Ôχ Ì›· ·fi ÙȘ ÙÚÂȘ Û¯¤ÛÂȘ α < β, α = β, β < α ÌÔÚ› Ó· ÈÛ¯‡ÂÈ, ÁÈ· ÔÔÈÂÛ‰‹ÔÙ ÙÔ̤˜ α, β. °È· Ó· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ Ì›· ÈÛ¯‡ÂÈ, ı· ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ ÔÈ ÚÒÙ˜ ‰‡Ô Â›Ó·È „¢‰Â›˜. ∆fiÙÂ, ÙÔ α ‰ÂÓ Â›Ó·È ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ β. ÕÚ·, ˘¿Ú¯ÂÈ p ∈ α Ì p ∈ / β. E¿Ó q ∈ β, ÙfiÙ q < p (ÂÊfiÛÔÓ p ∈ / β) Î·È ÂÔ̤ӈ˜ q ∈ α, ‚¿ÛÂÈ ÙÔ˘ (II). ÕÚ·, β ⊂ α. EÊfiÛÔÓ β = α, ηٷϋÁÔ˘Ì ÛÙËÓ β < α.
26
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
™˘ÓÂÒ˜, ÙÔ R Â›Ó·È ‰È·ÙÂÙ·Á̤ÓÔ Û‡ÓÔÏÔ. B‹Ì· 3. ∆Ô ‰È·ÙÂÙ·Á̤ÓÔ Û‡ÓÔÏÔ R ¤¯ÂÈ ÙËÓ È‰ÈfiÙËÙ· ÙÔ˘ ÂÏ·¯›ÛÙÔ˘ ¿Óˆ ÊÚ¿ÁÌ·ÙÔ˜. °È· ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ·˘ÙÔ‡, ıˆÚԇ̠¤Ó· ÌË ÎÂÓfi Î·È ¿Óˆ ÊÚ·Á̤ÓÔ ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ A ÙÔ˘ R. ÀÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ β Â›Ó·È ¤Ó· ¿Óˆ ÊÚ¿ÁÌ· ÙÔ˘ A. √Ú›˙Ô˘Ì ˆ˜ γ ÙËÓ ¤ÓˆÛË fiÏˆÓ ÙˆÓ α ∈ A. M ¯Ú‹ÛË ‰È·ÊÔÚÂÙÈ΋˜ ‰È·Ù˘ÒÛˆ˜, ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ p ∈ γ Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó p ∈ α ÁÈ· οÔÈÔ α ∈ A. £· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ γ ∈ R Î·È fiÙÈ γ = sup A. EÊfiÛÔÓ ÙÔ A Â›Ó·È ÌË ÎÂÓfi, ˘¿Ú¯ÂÈ α0 ∈ A. To α0 Â›Ó·È Ê˘ÛÈο ÌË ÎÂÓfi. ∂ÊfiÛÔÓ α0 ⊂ γ , ÙÔ γ Â›Ó·È ÌË ÎÂÓfi. K·ÙfiÈÓ, γ ⊂ β (‰ÈfiÙÈ α ⊂ β, ÁÈ· οı α ∈ A) Î·È ÂÔ̤ӈ˜ γ = Q. ÕÚ·, ÙÔ γ ÈηÓÔÔÈ› ÙËÓ È‰ÈfiÙËÙ· (π). °È· ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ÙˆÓ (II) Î·È (III), ıˆÚԇ̠p ∈ γ . ∆fiÙÂ, p ∈ α1 ÁÈ· ηٿÏÏËÏÔ α1 ∈ A. E¿Ó q < p, ÙfiÙ q ∈ α1 Î·È Û˘ÓÂÒ˜ q ∈ γ . A˘Ùfi ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÈ ÙÔ (II). E¿Ó Â›Ó·È r ∈ α1 Ì r > p, ÙfiÙ r ∈ γ (‰ÈfiÙÈ α1 ⊂ γ ). A˘Ùfi ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÈ ÙÔ (III). ™˘ÓÂÒ˜, γ ∈ R. ∞fi Ù· ·Ú·¿Óˆ Â›Ó·È Û·Ê¤˜ fiÙÈ α ≤ γ , ÁÈ· οı α ∈ A. ÀÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ δ < γ . ∆fiÙÂ, ˘¿Ú¯ÂÈ s ∈ γ Ì s ∈ / δ. EÊfiÛÔÓ s ∈ γ , ¤ÂÙ·È fiÙÈ s ∈ α ÁÈ· ηٿÏÏËÏÔ α ∈ A. ÕÚ·, δ < α Î·È ÂÔ̤ӈ˜ ÙÔ δ ‰ÂÓ ·ÔÙÂÏ› ¿Óˆ ÊÚ¿ÁÌ· ÙÔ˘ ∞. ∞fi ·˘Ù¿ ÚÔ·ÙÂÈ Ë ÂÈı˘ÌËÙ‹ Û¯¤ÛË γ = sup A. µ‹Ì· 4. E¿Ó α, β ∈ R, ÙfiÙ ÔÚ›˙Ô˘Ì ˆ˜ α +β ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ r + s, fiÔ˘ r ∈ α Î·È s ∈ β. √Ú›˙Ô˘Ì ˆ˜ 0 ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ·ÚÓËÙÈÎÒÓ ÚËÙÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ. ∂›Ó·È ۷ʤ˜ fiÙÈ ·˘Ùfi ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ Â›Ó·È ÙÔÌ‹. £· ·ÏËı‡ÛÔ˘Ì ٷ ·ÍÈÒÌ·Ù· ÚÔÛı¤Ûˆ˜ ÛÙÔ R (·Ó·ÙÚ¤ÍÙ ÛÙÔÓ √ÚÈÛÌfi 1.12), Ì ÙÔ 0 ÛÙË ı¤ÛË ÙÔ˘ 0. (A1) Œ¯Ô˘Ì ӷ ‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ α + β Â›Ó·È ÙÔÌ‹. ∂›Ó·È ÚÔÊ·Ó¤˜ fiÙÈ ÙÔ / α, s ∈ / β. TfiÙÂ, ÁÈ· οı r ∈ α Î·È s ∈ β, α + β Â›Ó·È ÌË ÎÂÓfi. ∞˜ Â›Ó·È r ∈ Ï·Ì‚¿ÓÔ˘Ì fiÙÈ r + s > r + s. ÕÚ·, r + s ∈ / α + β. ™˘ÓÂÒ˜, ÙÔ α + β ÈηÓÔÔÈ› ÙËÓ È‰ÈfiÙËÙ· (π).
∆∞ ™À™∆∏ª∞∆∞ ∆ø¡ ¶ƒ∞°ª∞∆π∫ø¡ ∫∞π ªπ°∞¢π∫ø¡ ∞ƒπ£ªø¡ 27
£ÂˆÚԇ̠p ∈ α + β. TfiÙÂ, p = r + s Ì r ∈ α Î·È s ∈ β. E¿Ó q < p, ÙfiÙ q − s < r Î·È ÂÔ̤ӈ˜ q − s ∈ α. ÕÚ·, q = (q − s) + s ∈ α + β. ™˘ÓÂÒ˜, ÈÛ¯‡ÂÈ Î·È Ë (II). £ÂˆÚԇ̠ÙÒÚ· t ∈ α Ì t > r . TfiÙÂ, p < t + s Î·È t + s ∈ α + β. M ·˘Ùfi ÈÛ¯‡ÂÈ Î·È Ë (III). (A2) ∆Ô α + β Â›Ó·È ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ r + s, fiÔ˘ r ∈ α Î·È s ∈ β. ¶·ÚÔÌÔ›ˆ˜, ÙÔ β + α Â›Ó·È ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ s + r , fiÔ˘ s ∈ β Î·È r ∈ α. ∂ÊfiÛÔÓ r + s = s + r , ÁÈ· οı r, s ∈ Q, ¤¯Ô˘Ì fiÙÈ α + β = β + α. (A3) Ÿˆ˜ Î·È ·Ú·¿Óˆ, ÙÔ ˙ËÙÔ‡ÌÂÓÔ ¤ÂÙ·È ·fi ÙÔÓ ÚÔÛÂÙ·ÈÚÈÛÙÈÎfi ÓfiÌÔ ÛÙÔ Q. (A4) E¿Ó r ∈ α Î·È s ∈ 0 , ÙfiÙ r + s < r , ¿Ú· r + s ∈ α. ™˘ÓÂÒ˜, α + 0 ⊂ α. °È· ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË Ù˘ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊ˘ ÂÁÎϛۈ˜ ıˆÚԇ̠p ∈ α. A˜ Â›Ó·È r ∈ α Ì r > p. ∆fiÙÂ, p − r ∈ 0 Î·È p = r + ( p − r ) ∈ α + 0 . ÕÚ·, α ⊂ α + 0 . K·Ù' ·˘ÙfiÓ ÙÔÓ ÙÚfiÔ Î·Ù·Ï‹ÁÔ˘Ì ÛÙËÓ α + 0 = α. (A5) £ÂˆÚԇ̠α ∈ R. A˜ Â›Ó·È β ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÚËÙÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ p Ì ÙËÓ ·ÎfiÏÔ˘ıË È‰ÈfiÙËÙ·: À¿Ú¯ÂÈ ÚËÙfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ r > 0 Ì − p − r ∈ / α. ¢ËÏ·‰‹, ˘¿Ú¯ÂÈ Î¿ÔÈÔ˜ ÚËÙfi˜ ·ÚÈıÌfi˜, ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ˜ ÙÔ˘ − p, o ÔÔ›Ô˜ ‰ÂÓ ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙÔ α. £· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ β ∈ R Î·È α + β = 0 . E¿Ó Â›Ó·È s ∈ / α Î·È p = −s − 1, ÙfiÙ − p − 1 ∈ / α Î·È ÂÔ̤ӈ˜ p ∈ β. ÕÚ·, ÙÔ β Â›Ó·È ÌË ÎÂÓfi. E¿Ó Â›Ó·È q ∈ α, ÙfiÙ −q ∈ / β Î·È ÂÔ̤ӈ˜ β = Q. ™˘ÓÂÒ˜, ÙÔ β ÈηÓÔÔÈ› ÙȘ ··ÈÙ‹ÛÂȘ ÙÔ˘ (π). £ÂˆÚԇ̠p ∈ β Î·È r > 0, Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ − p − r ∈ / α. E¿Ó Â›Ó·È q < p, ÙfiÙ −q − r > − p − r , Û˘ÓÂÒ˜ −q − r ∈ / α. ÕÚ·, q ∈ β Î·È ÂÔ̤ӈ˜ ÈÛ¯‡ÂÈ ÙÔ (II). £¤ÙÔ˘Ì t = p + (r/2). TfiÙÂ, t > p Î·È −t − (r/2) = − p − r ∈ / α. EÔ̤ӈ˜, t ∈ β. K·Ù¿ Û˘Ó¤ÂÈ·, ÙÔ β ÈηÓÔÔÈ› ÙÔ (III). Œ¯Ô˘Ì ·Ô‰Â›ÍÂÈ fiÙÈ β ∈ R. E¿Ó Â›Ó·È r ∈ α Î·È s ∈ β, ÙfiÙ −s ∈ / α Î·È ÂÔ̤ӈ˜ r < −s, ‰ËÏ·‰‹ r + s < 0. ÕÚ·, α + β ⊂ 0 . °È· ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË Ù˘ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊ˘ ÂÁÎϛۈ˜, ıˆÚԇ̠v ∈ 0 Î·È ı¤ÙÔ˘Ì w = −v/2. ∆fiÙÂ, Â›Ó·È w > 0 Î·È ÂÈϤÔÓ ˘¿Ú¯ÂÈ ·Î¤Ú·ÈÔ˜
28
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
·ÚÈıÌfi˜ n Ì nw ∈ α ·ÏÏ¿ (n + 1)w ∈ / α. (™ËÌÂÈÒÓÔ˘Ì fiÙÈ ·˘Ùfi ‚·Û›˙ÂÙ·È ÛÙËÓ ∞Ú¯ÈÌ‹‰ÂÈ· ȉÈfiÙËÙ· ÙÔ˘ Q.) £¤ÙÔ˘Ì p = −(n + 2)w. ∆fiÙÂ, p ∈ β, ÂÊfiÛÔÓ − p − w ∈ / α. EÈϤÔÓ v = nw + p ∈ α + β. ÕÚ·, 0 ⊂ α + β. ªÂ ·˘Ùfi ηٷϋÁÔ˘Ì ÛÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· α + β = 0 . º˘ÛÈο, ÙÔ β, fiˆ˜ ¤¯ÂÈ ÔÚÈÛı› ·Ú·¿Óˆ, ı· Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì −α. µ‹Ì· 5. Œ¯ÔÓÙ·˜ ·Ô‰Â›ÍÂÈ fiÙÈ Ë ÚfiÛıÂÛË, fiˆ˜ ·˘Ù‹ ÔÚ›˙ÂÙ·È ÛÙÔ µ‹Ì· 4, ÈηÓÔÔÈ› Ù· ·ÍÈÒÌ·Ù· (∞) ÙÔ˘ √ÚÈÛÌÔ‡ 1.12, Û˘Ó¿ÁÔ˘Ì fiÙÈ Ë ¶ÚfiÙ·ÛË 1.14 ·ÏËı‡ÂÈ ÛÙÔ R Î·È ÌÔÚԇ̠ӷ ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì ̛· ·fi ÙȘ Û˘Óı‹Î˜ ÙÔ˘ √ÚÈÛÌÔ‡ 1.17: E¿Ó α, β, γ ∈ R Î·È β < γ , ÙfiÙ α + β < α + γ . ŸÓÙˆ˜, ·fi ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi Ù˘ ÚÔÛı¤Ûˆ˜ ÛÙÔ R Â›Ó·È Û·Ê¤˜ fiÙÈ α + β ⊂ α + γ . E¿Ó Â›Ó·È α + β = α + γ , ÙfiÙÂ Ô ÓfiÌÔ˜ ·ÏÔÔÈ‹Ûˆ˜ (¶ÚfiÙ·ÛË 1.14) Û˘Ó¿ÁÂÙ·È fiÙÈ β = γ , ÁÂÁÔÓfi˜ ·‰‡Ó·ÙÔ. ∂›Û˘, ¤ÂÙ·È fiÙÈ α > 0 Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó −α < 0 . µ‹Ì· 6. √ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜ ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙ÂÈ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚË ‰˘ÛÎÔÏ›· ·fi ÙËÓ ÚfiÛıÂÛË, ÏfiÁˆ ÙÔ˘ ÁÂÁÔÓfiÙÔ˜ fiÙÈ ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ‰‡Ô ·ÚÓËÙÈÎÒÓ ÚËÙÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ Â›Ó·È ıÂÙÈÎfi. ∞Ú¯Èο, ı· ÂÚÈÔÚÈÛÙԇ̠ÛÙÔ R + , ‰ËÏ·‰‹ ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ α ∈ R Ì α > 0 . E¿Ó Â›Ó·È α, β ∈ R + , ÙfiÙ ÔÚ›˙Ô˘Ì ˆ˜ ÁÈÓfiÌÂÓÔ αβ ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÚËÙÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ p Ì p ≤ r s, ÁÈ· οÔÈ· r ∈ α Ì r > 0 Î·È s ∈ β Ì s > 0. √Ú›˙Ô˘Ì ˆ˜ 1 ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÚËÙÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ q Ì q < 1. T· ·ÍÈÒÌ·Ù· (ª) Î·È (D) ÙÔ˘ √ÚÈÛÌÔ‡ 1.12 ÈÛ¯‡Ô˘Ó Ì ÙÔ R + ÛÙË ı¤ÛË ÙÔ˘ R Î·È Ì ÙÔ 1 ÛÙË ı¤ÛË ÙÔ˘ 1. √È ·Ô‰Â›ÍÂȘ Â›Ó·È ÙfiÛÔ ·ÚÂÌÊÂÚ›˜ Ì ·˘Ù¤˜ ÙÔ˘ µ‹Ì·ÙÔ˜ 4 Î·È ÁÈ· ·˘ÙfiÓ ÙÔÓ ÏfiÁÔ ÙȘ ·Ú·Ï›ԢÌÂ. π‰È·ÈÙ¤Úˆ˜, ÛËÌÂÈÒÓÔ˘Ì fiÙÈ ÈÛ¯‡ÂÈ Ë ‰Â‡ÙÂÚË Û˘Óı‹ÎË ÙÔ˘ √ÚÈÛÌÔ‡ 1.17: Â¿Ó α > 0 Î·È β > 0 , ÙfiÙ αβ > 0 . µ‹Ì· 7.
™˘ÌÏËÚÒÓÔ˘Ì ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi ÙÔ˘ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌÔ‡ ÔÚ›˙ÔÓÙ·˜
∆∞ ™À™∆∏ª∞∆∞ ∆ø¡ ¶ƒ∞°ª∞∆π∫ø¡ ∫∞π ªπ°∞¢π∫ø¡ ∞ƒπ£ªø¡ 29
α0 = 0 α = 0 ηÈ
(−α)(−β) Â¿Ó α < 0 , β < 0 , αβ = −[(−α)β] Â¿Ó α < 0 , β > 0 , −[α(−β)] Â¿Ó α > 0 , β < 0 .
∆· ÁÈÓfiÌÂÓ· ÛÙË ‰ÂÍÈ¿ ÏÂ˘Ú¿ ÔÚ›˙ÔÓÙ·È fiˆ˜ ÛÙÔ µ‹Ì· 6. Œ¯ÔÓÙ·˜ ·Ô‰Â›ÍÂÈ (ÛÙÔ µ‹Ì· 6) fiÙÈ Ù· ·ÍÈÒÌ·Ù· (ª) ÈÛ¯‡Ô˘Ó ÛÙÔ + R , Â›Ó·È Ï¤ÔÓ ·Ïfi Ó· ·Ô‰ÂȯıÔ‡Ó, ÛÙË ÁÂÓÈÎfiÙËÙ· ÙÔ˘˜, ÛÙÔ R Ì ·ÓÂÈÏËÌ̤ÓË ¯Ú‹ÛË Ù˘ Ù·˘ÙfiÙËÙ·˜ γ = −(−γ ), Ë ÔÔ›· ·ÔÙÂÏ› ̤ÚÔ˜ Ù˘ ¶ÚÔÙ¿Ûˆ˜ 1.14. (¢Â›Ù ÙÔ µ‹Ì· 5.) ∏ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ ÂÈÌÂÚÈÛÙÈÎÔ‡ ÓfiÌÔ˘ α(β + γ ) = αβ + αγ ‰È·¯ˆÚ›˙ÂÙ·È Û ÂÚÈÙÒÛÂȘ. ∂› ·Ú·‰Â›ÁÌ·ÙÈ, ˘Ôı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ α > 0 , β < 0 , β + γ > 0 . ∆fiÙÂ, γ = (β + γ ) + (−β) Î·È ÂÔ̤ӈ˜ (ÂÊfiÛÔÓ ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì fiÙÈ Ô ÂÈÌÂÚÈÛÙÈÎfi˜ ÓfiÌÔ˜ ÈÛ¯‡ÂÈ ÛÙÔ R + ) αγ = α(β + γ ) + α(−β). ŸÌˆ˜, Â›Ó·È α(−β) = −(αβ). ÕÚ·, αβ + αγ = α(β + γ ). ÃÂÈÚÈ˙fiÌ·ÛÙ ÙȘ ˘fiÏÔȘ ÂÚÈÙÒÛÂȘ ·ÚÔÌÔ›ˆ˜. Œ¯Ô˘Ì ÔÏÔÎÏËÚÒÛÂÈ ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË fiÙÈ ÙÔ R Â›Ó·È ‰È·ÙÂÙ·Á̤ÓÔ ÛÒÌ· Ì ÙËÓ È‰ÈfiÙËÙ· ÙÔ˘ ÂÏ·¯›ÛÙÔ˘ ¿Óˆ ÊÚ¿ÁÌ·ÙÔ˜. B‹Ì· 8. ™Â οı r ∈ Q ·ÓÙÈÛÙÔȯ›˙Ô˘Ì ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ r ÙˆÓ ÚËÙÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ p Ì p < r . ∂›Ó·È ۷ʤ˜ fiÙÈ, ÁÈ· r ∈ Q, ÙÔ r Â›Ó·È ÙÔÌ‹, ‰ËÏ·‰‹ r ∈ R. OÈ ÙÔ̤˜ ·˘Ù¤˜ ÈηÓÔÔÈÔ‡Ó ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ Û¯¤ÛÂȘ: (·) r + s = (r + s) , (‚) r s = (r s) , (Á) r < s Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó r < s. °È· ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË Ù˘ (·), ıˆÚԇ̠p ∈ r + s . TfiÙÂ, p = u + v, Ì u < r Î·È v < s. ÕÚ·, p < r + s ‰ËÏ·‰‹ p ∈ (r + s) .
30
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
∞ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜, ·˜ Â›Ó·È p ∈ (r + s) . ∆fiÙÂ, p < r + s. £ÂˆÚԇ̠t Ì 2t = r + s − p. £¤ÙÔ˘Ì r = r − t, s = s − t. ∆fiÙÂ, r ∈ r , s ∈ s Î·È p = r + s . ™˘ÓÂÒ˜, p ∈ r + s . ∞˘Ùfi ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÈ ÙÔ (·). ∆Ô (‚) ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È ·ÚÔÌÔ›ˆ˜. / r . ÕÚ·, r < s . E¿Ó Â›Ó·È r < s, ÙfiÙ r ∈ s , ÂÓÒ r ∈ E¿Ó Â›Ó·È r < s , ÙfiÙ ˘¿Ú¯ÂÈ p ∈ s Ì p ∈ / r . ÕÚ·, r ≤ p < s Î·È ÂÔ̤ӈ˜ r < s. ∞˘Ùfi ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÈ ÙÔ (Á). B‹Ì· 9. ™ÙÔ µ‹Ì· 8 ‰È·ÈÛÙÒÛ·Ì fiÙÈ Ë ·ÓÙÈηٿÛÙ·ÛË ÙˆÓ ÚËÙÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ r ·fi ÙȘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ «ÚËÙ¤˜ ÙÔ̤˜» r ∈ R ‰È·ÙËÚ› Ù· ·ıÚÔ›ÛÌ·Ù·, Ù· ÁÈÓfiÌÂÓ· Î·È ÙË ‰È¿Ù·ÍË. ∆Ô ÁÂÁÔÓfi˜ ·˘Ùfi ÌÔÚ› Ó· ÂÎÊÚ·Ûı› ϤÁÔÓÙ·˜ fiÙÈ ÙÔ ‰È·ÙÂÙ·Á̤ÓÔ ÛÒÌ· Q Â›Ó·È ÈÛfiÌÔÚÊÔ ÚÔ˜ ÙÔ ‰È·ÙÂÙ·Á̤ÓÔ ÛÒÌ· Q , ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ Ù· ÛÙÔȯ›· Â›Ó·È ÔÈ ÚËÙ¤˜ ÙÔ̤˜. º˘ÛÈο, ηٿ ηӤӷ ÙÚfiÔ ÙÔ r ‰ÂÓ Â›Ó·È ›‰ÈÔ Ì ÙÔ r , fï˜ ÔÈ È‰ÈfiÙËÙ˜ Ô˘ Ì·˜ ÂӉȷʤÚÔ˘Ó (·ÚÈıÌËÙÈΤ˜ ȉÈfiÙËÙ˜ Î·È È‰ÈfiÙËÙ˜ ‰È·Ù¿Íˆ˜) Â›Ó·È ÎÔÈÓ¤˜ ÛÙ· ‰‡Ô ÛÒÌ·Ù·. ∞˘Ù‹ Ë Ù·˘ÙÔÔ›ËÛË ÙÔ˘ Q Ì ÙÔ Q Ì·˜ ÂÈÙÚ¤ÂÈ Ó· ıˆÚԇ̠ÙÔ Q ˆ˜ ˘fiۈ̷ ÙÔ˘ R. ∆Ô ‰Â‡ÙÂÚÔ Ì¤ÚÔ˜ ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 1.19 Ú¤ÂÈ Ó· Á›ÓÂÈ ·ÓÙÈÏËÙfi ‚¿ÛÂÈ ·˘Ù‹˜ Ù˘ Ù·˘ÙÔÔÈ‹Ûˆ˜. ™ËÌÂÈÒÓÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ ›‰ÈÔ Ê·ÈÓfiÌÂÓÔ ÂÌÊ·Ó›˙ÂÙ·È fiÙ·Ó ÙÔ ÛÒÌ· ÙˆÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ ıˆÚÂ›Ù·È ˆ˜ ˘fiۈ̷ ÙÔ˘ ÛÒÌ·ÙÔ˜ ÙˆÓ ÌÈÁ·‰ÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ Î·È Â›Û˘ ÂÌÊ·Ó›˙ÂÙ·È, Û ÛÙÔȯÂȈ‰¤ÛÙÂÚÔ Â›Â‰Ô, fiÙ·Ó ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ·ÎÂÚ·›ˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ Ù·˘Ù›˙ÂÙ·È Ì ¤Ó· ÔÚÈṲ̂ÓÔ ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ Q. ∂›Ó·È ÁÂÁÔÓfi˜, ÙÔ ÔÔ›Ô fï˜ ‰ÂÓ ı· ·Ô‰Âȯı› ‰Ò, fiÙÈ ‰‡Ô ‰È·ÙÂÙ·Á̤ӷ ÛÒÌ·Ù· Ì ÙËÓ È‰ÈfiÙËÙ· ÙÔ˘ ÂÏ·¯›ÛÙÔ˘ ¿Óˆ ÊÚ¿ÁÌ·ÙÔ˜ Â›Ó·È ÈÛfiÌÔÚÊ·. ∂Ô̤ӈ˜, ÙÔ ÚÒÙÔ Ì¤ÚÔ˜ ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 1.19 ¯·Ú·ÎÙËÚ›˙ÂÈ Ï‹Úˆ˜ ÙÔ ÛÒÌ· ÙˆÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ. ∆· ‚È‚Ï›· ÙˆÓ Landau Î·È Thurston, Ù· ÔÔ›· ·Ó·Ê¤ÚÔÓÙ·È ÛÙË BÈ‚ÏÈÔÁÚ·Ê›·, ·Û¯ÔÏÔ‡ÓÙ·È ·ÔÎÏÂÈÛÙÈο Ì ·ÚÈıÌËÙÈο Û˘ÛÙ‹Ì·Ù·. ∆Ô ÚÒÙÔ
∆∞ ™À™∆∏ª∞∆∞ ∆ø¡ ¶ƒ∞°ª∞∆π∫ø¡ ∫∞π ªπ°∞¢π∫ø¡ ∞ƒπ£ªø¡ 31
ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ ÙÔ˘ ‚È‚Ï›Ô˘ ÙÔ˘ Knopp ÂÚȤ¯ÂÈ ·Ó·Ï˘ÙÈÎfiÙÂÚË ÂÚÈÁÚ·Ê‹ Ù˘ ηٷÛ΢‹˜ ÙÔ˘ R ·fi ÙÔ Q. ™ÙËÓ ¤ÌÙË ÂÓfiÙËÙ· ÙÔ˘ ‚È‚Ï›Ô˘ ÙˆÓ Hewitt Î·È Stromberg Ú·ÁÌ·ÙÔÔÈÂ›Ù·È Ì›· ‰È·ÊÔÚÂÙÈ΋ ηٷÛ΢‹ ÙÔ˘ ÛÒÌ·ÙÔ˜ ÙˆÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ, fiÔ˘ οı ڷÁÌ·ÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ ÔÚ›˙ÂÙ·È ˆ˜ Ì›· ÎÏ¿ÛË ÈÛÔ‰˘Ó·Ì›·˜ ·ÎÔÏÔ˘ıÈÒÓ Cauchy Ì fiÚÔ˘˜ ÚËÙÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜. (¢Â›Ù ÙÔ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 3). ∏ ̤ıÔ‰Ô˜ ÁÈ· ÙËÓ Î·Ù·Û΢‹ ÙÔ˘ R Ô˘ ·Ó·Ù‡¯ıËÎÂ Â‰Ò ÔÊ›ÏÂÙ·È ÛÙÔÓ Dedekind 3 . H ηٷÛ΢‹ ÙÔ˘ R ·fi ÙÔ Q Ì ¯Ú‹ÛË ·ÎÔÏÔ˘ıÈÒÓ Cauchy oÊ›ÏÂÙ·È ÛÙÔÓ Cantor. ∫·È ÔÈ ‰‡Ô ÙÔ˘˜ Âͤ‰ˆÛ·Ó ÙȘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ ÂÚÁ·Û›Â˜ ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1872.
3
™. Ù. M.: Julius Wilhelm Richard Dedekind (1831-1916). ™Ô˘‰·›Ô˜ °ÂÚÌ·Ófi˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi˜. EÚÁ¿ÛıËΠ΢ڛˆ˜ ÛÙË £ÂˆÚ›· AÚÈıÌÒÓ. MÂٷ͇ ¿ÏψÓ, ¤‰ˆÛ ÙÔÓ ·˘ÛÙËÚfi ÔÚÈÛÌfi ÙÔ˘ ¿ÚÚËÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡, Ì ÙËÓ ÂÈÛ·ÁˆÁ‹ ÙˆÓ ÙÔÌÒÓ Dedekind, ÌÂϤÙËÛ ÙËÓ ÏËÚfiÙËÙ· Ù˘ ¢ı›·˜ ÙˆÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ Î·È ÂÈÛ‹Á·Á ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ȉÂÒ‰Ô˘˜. E›Û˘, ·Û¯ÔÏ‹ıËΠ̠ÙËÓ ‰È·Û¿ÊËÛË Ù˘ ¤ÓÓÔÈ·˜ ÙÔ˘ ·Â›ÚÔ˘, ̤ۈ Ù˘ £ÂˆÚ›·˜ ™˘ÓfiψÓ. £ÂˆÚÂ›Ù·È ¤Ó·˜ ·fi ÙÔ˘˜ ÈÔ ÚˆÙfiÙ˘Ô˘˜ Î·È ÁfiÓÈÌÔ˘˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎÔ‡˜ Ù˘ ÂÔ¯‹˜ ÙÔ˘. ø˜ Ì·ıËÙ‹˜, Ô Dedekind ÊÔ›ÙËÛ ÛÙË ÁÂÓ¤ÙÂÈÚ¿ ÙÔ˘, Braunschweich. K·Ù¿ ÙÔ ¤ÙÔ˜1848 ÂÈÛ‹Ïı ÛÙÔ KÔϤÁÈÔ ÙÔ˘ Caroline, Î·È ÂΛ ›¯Â ÙËÓ Â˘Î·ÈÚ›· Ó· ÌÂÏÂÙ‹ÛÂÈ ÁÈ· ÚÒÙË ÊÔÚ¿ ·ÓÒÙÂÚ· M·ıËÌ·ÙÈο. EÈÛ‹¯ıË ÛÙÔ ¶·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ ÙÔ˘ Göttingen, ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1850, fiÔ˘ ÊÔ›ÙËÛ ˘fi ÙÔ˘˜ Carl Friedrich Gauss (1777-1855), Wilhelm Eduard Weber (1804-1891) Î·È Moritz Abraham Stern (1807-1894). O Dedekind ¤Ï·‚ ÙÔ ‰È‰·ÎÙÔÚÈÎfi ÙÔ˘ ‰›ÏˆÌ· ·fi ÙÔÓ Gauss, Û ¤Ó· ı¤Ì· Ù˘ AӷχÛˆ˜, ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1852. ¢ÈÔÚ›ÛıËΠ˘ÊËÁËÙ‹˜ ÛÙÔ Göttingen ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1855 Î·È ‡ÛÙÂÚ· ·fi Ì›· ‰ÈÂÙ›· ‰ÈÔÚ›ÛıËΠٷÎÙÈÎfi˜ ηıËÁËÙ‹˜ ÛÙÔ ¶ÔÏ˘Ù¯ÓÂ›Ô Ù˘ Z˘Ú›¯Ë˜, ı¤ÛË ÙËÓ ÔÔ›· ÎÚ¿ÙËÛ ÁÈ· ¤ÓÙ ¤ÙË. O Dedekind ¤ÛÙÚ„ ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1862 ÛÙÔ Braunschweich ˆ˜ ηıËÁËÙ‹˜ ̤Û˘ Âηȉ‡Ûˆ˜ Û ̛· Ù¯ÓÈ΋ Û¯ÔÏ‹, fiÔ˘ Î·È ·Ú¤ÌÂÈÓ ¤ˆ˜ ÙÔ Ù¤ÏÔ˜ Ù˘ ˙ˆ‹˜ ÙÔ˘. O Dedekind ›¯Â ·ÔÎÙ‹ÛÂÈ ıÚ˘ÏÈ΋ Ê‹ÌË Î·È ÁÈ· ·˘ÙfiÓ ÙÔÓ ÏfiÁÔ ÔÏÏÔ› ÙÔÓ Î·Ù¤Ù·ÛÛ·Ó ÛÙÔ˘˜ ÌÂÁ¿ÏÔ˘˜ ı·ÓfiÓÙ˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎÔ‡˜ ÂÓfiÛˆ ‹Ù·Ó ·ÎfiÌË ÂÓ ˙ˆ‹. X·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈÎfi Â›Ó·È ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ Â›¯Â ÂΉÔı› ¤Ó· ËÌÂÚÔÏfiÁÈÔ ÙˆÓ M·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ ÙÔ ÔÔ›Ô ·Ó¤ÊÂÚ ˆ˜ ̤ڷ ı·Ó¿ÙÔ˘ ÙÔ˘ Dedekind ÙËÓ 4Ë ™ÂÙÂÌ‚Ú›Ô˘ ÙÔ˘ 1899. O ›‰ÈÔ˜ ‰È·ÛΤ‰·Û ·Ê¿ÓÙ·ÛÙ· Ì ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ ·˘Ùfi Î·È ¤ÁÚ·„ ÛÙÔÓ ÂΉfiÙË ÙÔ˘ ËÌÂÚÔÏÔÁ›Ô˘ fiÙÈ ÙËÓ Ë̤ڷ ÂΛÓË ÙËÓ ¤Ú·ÛÂ Û˘˙ËÙÒÓÙ·˜ Ì ÙÔÓ Î·Ïfi ÙÔ˘ Ê›ÏÔ Georg Cantor (1845-1918). O Dedekind, Ì ÙË ‰ÈÔÚ·ÙÈÎfiÙËÙ· Ô˘ ÙÔÓ ‰È¤ÎÚÈÓÂ, ‹Ù·Ó Î·È ¤ÓıÂÚÌÔ˜ ˘ÔÛÙËÚÈÎÙ‹˜ Ù˘ «ÂÚÈıˆÚȷ΋˜» £ÂˆÚ›·˜ ™˘ÓfiÏˆÓ ÙÔ˘ Cantor. O Dedekind ˘‹ÚÍ ›Û˘ ηÏfi˜ Ê›ÏÔ˜ Ì ÙÔÓ Bernhard Riemann (1826-1866).
32
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
A™KH™EI™ ∂ÎÙfi˜ Î·È Â¿Ó ‰ËÏÒÓÂÙ·È ÚËÙ¿ οÙÈ ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎfi, fiÏÔÈ ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› Ô˘ ·Ó·Ê¤ÚÔÓÙ·È ÛÙȘ ÂfiÌÂÓ˜ ·Û΋ÛÂȘ ıˆÚÔ‡ÓÙ·È Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ›. ÕÛÎËÛË 1. E¿Ó Ô r Â›Ó·È ÚËÙfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ (r = 0) Î·È Ô x Â›Ó·È ¿ÚÚËÙÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ (x = 0), ÙfiÙ ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ ÔÈ r + x Î·È r x Â›Ó·È ¿ÚÚËÙÔÈ ·ÚÈıÌÔ›. ÕÛÎËÛË 2. ∞ԉ›ÍÙ fiÙÈ ‰ÂÓ ˘¿Ú¯ÂÈ ÚËÙfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ Ì ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ›ÛÔ Ì 12. ÕÛÎËÛË 3. ∞ԉ›ÍÙ ÙËÓ ¶ÚfiÙ·ÛË 1.15. ÕÛÎËÛË 4. ∞˜ Â›Ó·È E ¤Ó· ÌË ÎÂÓfi ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÂÓfi˜ ‰È·ÙÂÙ·Á̤ÓÔ˘ Û˘ÓfiÏÔ˘. ÀÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ α Â›Ó·È Î¿Ùˆ ÊÚ¿ÁÌ· ÙÔ˘ E Î·È β Â›Ó·È ¿Óˆ ÊÚ¿ÁÌ· ÙÔ˘ E. ∞ԉ›ÍÙ fiÙÈ α ≤ β. ÕÛÎËÛË 5. A˜ Â›Ó·È A ¤Ó· ÌË ÎÂÓfi Î·È Î¿Ùˆ ÊÚ·Á̤ÓÔ Û‡ÓÔÏÔ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ. ∞˜ Â›Ó·È −A ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ −x, fiÔ˘ x ∈ A. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ inf A = − sup(−A). ÕÛÎËÛË 6. £ÂˆÚԇ̠b > 1. (·) E¿Ó m, n, p, q Â›Ó·È ·Î¤Ú·ÈÔÈ ·ÚÈıÌÔ› Ì n > 0, q > 0 Î·È Â¿Ó Â›Ó·È r = m/n = p/q, ÙfiÙ ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ (bm )1/n = (b p )1/q . M ·˘Ùfi, ¤¯ÂÈ ÓfiËÌ· Ô ÔÚÈÛÌfi˜ br = (bm )1/n . (‚) ∞ԉ›ÍÙ fiÙÈ br +s = br bs , fiÔ˘ ÔÈ r, s Â›Ó·È ÚËÙÔ› ·ÚÈıÌÔ›. (Á) E¿Ó x Â›Ó·È Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜, ÙfiÙ ÔÚ›˙Ô˘Ì ˆ˜ B(x) ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ bt , fiÔ˘ Ô t Â›Ó·È ÚËÙfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ Ì t ≤ x. ∞ԉ›ÍÙ fiÙÈ br = sup B(r ),
∆∞ ™À™∆∏ª∞∆∞ ∆ø¡ ¶ƒ∞°ª∞∆π∫ø¡ ∫∞π ªπ°∞¢π∫ø¡ ∞ƒπ£ªø¡ 33
Â¿Ó r Â›Ó·È ¤Ó·˜ ÚËÙfi˜ ·ÚÈıÌfi˜. ∂Ô̤ӈ˜, ¤¯ÂÈ ÓfiËÌ· Ô ÔÚÈÛÌfi˜ b x = sup B(x), ÁÈ· οı ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi x. (‰) ∞ԉ›ÍÙ fiÙÈ b x+y = b x b y , ÁÈ· ÔÔÈÔ˘Û‰‹ÔÙ ڷÁÌ·ÙÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ x, y. ÕÛÎËÛË 7. £ÂˆÚԇ̠b > 1, y > 0. ∞ԉ›ÍÙ fiÙÈ ˘¿Ú¯ÂÈ ¤Ó·˜ ÌÔÓ·‰ÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ x Ì b x = y, Û˘ÌÏËÚÒÓÔÓÙ·˜ ÙÔ ·Ú·Î¿Ùˆ ·Ô‰ÂÈÎÙÈÎfi ۯ‰ȿÁÚ·ÌÌ·. (∆Ô x ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÏÔÁ¿ÚÈıÌÔ˜ ÙÔ˘ y Ì ‚¿ÛË b.) (·) °È· οı ıÂÙÈÎfi ·Î¤Ú·ÈÔ ·ÚÈıÌfi n ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ bn − 1 ≥ n(b − 1). (‚) ∞fi ÙËÓ ·Ú·¿Óˆ Û¯¤ÛË ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ b − 1 ≥ n(b1/n − 1). (Á) E¿Ó Â›Ó·È t > 1 Î·È n > (b − 1)/(t − 1), ÙfiÙ b1/n < t. (‰) E¿Ó w Â›Ó·È Ù¤ÙÔÈÔ˜ ÒÛÙ bw < y, ÙfiÙ bw+(1/n) < y, ÁÈ· ÔÔÈÔÓ‰‹ÔÙ ·ÚÎÒ˜ ÌÂÁ¿ÏÔ ıÂÙÈÎfi ·Î¤Ú·ÈÔ ·ÚÈıÌfi n. °È· Ó· ÙÔ ·Ô‰Â›ÍÂÙ ·˘Ùfi, ÂÊ·ÚÌfiÛÙ ÙÔ Ì¤ÚÔ˜ (Á) Ì t = yb−w . (Â) E¿Ó w Â›Ó·È Ù¤ÙÔÈÔ˜ ÒÛÙ bw > y, ÙfiÙ bw−(1/n) > y, ÁÈ· ÔÔÈÔÓ‰‹ÔÙ ·ÚÎÒ˜ ÌÂÁ¿ÏÔ ıÂÙÈÎfi ·Î¤Ú·ÈÔ ·ÚÈıÌfi n. (ÛÙ) ∞˜ Â›Ó·È ∞ ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ w Ì bw < y. ∞ԉ›ÍÙ fiÙÈ Â¿Ó x = sup A, ÙfiÙ b x = y. (˙) ∞o‰Â›ÍÙ fiÙÈ ·˘Ùfi˜ Ô ·ÚÈıÌfi˜ x Â›Ó·È ÌÔÓ·‰ÈÎfi˜. ÕÛÎËÛË 8. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ ÛÙÔ ÛÒÌ· ÙˆÓ ÌÈÁ·‰ÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ ‰ÂÓ ÌÔÚ› Ó· ÔÚÈÛı› ‰È¿Ù·ÍË Ë ÔÔ›· Ó· ÙÔ Î·ıÈÛÙ¿ ‰È·ÙÂÙ·Á̤ÓÔ ÛÒÌ·. Yfi‰ÂÈÍË: TÔ –1 Â›Ó·È ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ. ÕÛÎËÛË 9. ÀÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ z = a + bi, w = c + di. √Ú›˙Ô˘Ì z < w Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó a < c ‹ a = c Î·È b < d. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ Ë Û¯¤ÛË ·˘Ù‹ ‰ÔÌ› ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÌÈÁ·‰ÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ Û ‰È·ÙÂÙ·Á̤ÓÔ Û‡ÓÔÏÔ. (∞˘ÙÔ‡ ÙÔ˘ ›‰Ô˘˜ Ë ‰È¿Ù·ÍË ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÏÂÍÈÎÔÁÚ·ÊÈ΋ ‰È¿Ù·ÍË, ÁÈ· ÙÔ˘˜ ÚÔÊ·Ó›˜ ÏfiÁÔ˘˜. Œ¯ÂÈ ÙÔ ‰È·ÙÂÙ·Á̤ÓÔ ·˘Ùfi Û‡ÓÔÏÔ ÙËÓ È‰ÈfiÙËÙ· ÙÔ˘ ÂÏ·¯›ÛÙÔ˘ ¿Óˆ ÊÚ¿ÁÌ·ÙÔ˜;
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∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
ÕÛÎËÛË 10. ÀÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ z = a + bi, w = u + vi Î·È fiÙÈ |w| + u 1/2 |w| − u 1/2 a= , b= . 2 2 ∞ԉ›ÍÙ fiÙÈ z 2 = w Â¿Ó v ≥ 0 Î·È fiÙÈ (z)2 = w Â¿Ó v ≤ 0. ™˘ÌÂÚ¿ÓÂÙ fiÙÈ Î¿ı ÌÈÁ·‰ÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ (Ì ̛· Î·È ÌÔÓ·‰È΋ ÂÍ·›ÚÂÛË!) ¤¯ÂÈ ‰‡Ô ÌÈÁ·‰ÈΤ˜ ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈΤ˜ Ú›˙˜. ÕÛÎËÛË 11. E¿Ó z Â›Ó·È ÌÈÁ·‰ÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜, ÙfiÙ ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ ˘¿Ú¯Ô˘Ó r ≥ 0 Î·È ÌÈÁ·‰ÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ w Ì |w| = 1 Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ z = r w. ∂›Ó·È ÔÈ r, w ÌÔÓÔÛ‹Ì·ÓÙ· ηıÔÚÈṲ̂ÓÔÈ ·fi ÙÔ z; ÕÛÎËÛË 12. E¿Ó z 1 , . . . , z n Â›Ó·È ÌÈÁ·‰ÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›, ÙfiÙ ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ |z 1 + · · · + z n | ≤ |z 1 | + · · · + |z n |. ÕÛÎËÛË 13. E¿Ó x, y Â›Ó·È ÌÈÁ·‰ÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›, ÙfiÙ ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ ||x| − |y|| ≤ |x − y|. ÕÛÎËÛË 14. E¿Ó z Â›Ó·È ÌÈÁ·‰ÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ Ì |z| = 1, ‰ËÏ·‰‹ zz = 1, ÙfiÙ ˘ÔÏÔÁ›ÛÙ ÙËÓ ·Ú¿ÛÙ·ÛË |1 + z|2 + |1 − z|2 . ÕÛÎËÛË 15. Àfi ÔȘ Û˘Óı‹Î˜ ÈÛ¯‡ÂÈ Ë ÈÛfiÙËÙ· ÛÙËÓ ·ÓÈÛfiÙËÙ· ÙÔ˘ Schwarz; ÕÛÎËÛË 16. ÀÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ k ≥ 3, fiÙÈ x, y ∈ R k Ì |x − y| = d > 0 Î·È fiÙÈ r > 0. ∞ԉ›ÍÙ fiÙÈ: (·) E¿Ó 2r > d, ÙfiÙ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ·Â›Úˆ˜ ÔÏÏ¿ z ∈ R k Ì |z − x| = |z − y| = r. (‚) E¿Ó 2r = d, ÙfiÙ ˘¿Ú¯ÂÈ ·ÎÚÈ‚Ò˜ ¤Ó· z Ì ÙËÓ È‰ÈfiÙËÙ· ·˘Ù‹. (Á) E¿Ó 2r < d, ‰ÂÓ ˘¿Ú¯ÂÈ z Ì ÙËÓ È‰ÈfiÙËÙ· ·˘Ù‹. ¶Ò˜ Ú¤ÂÈ Ó· ÙÚÔÔÔÈËıÔ‡Ó ÔÈ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ˜ ÚÔÙ¿ÛÂȘ Â¿Ó Ô k ÈÛÔ‡Ù·È Ì 1 ‹ 2;
∆∞ ™À™∆∏ª∞∆∞ ∆ø¡ ¶ƒ∞°ª∞∆π∫ø¡ ∫∞π ªπ°∞¢π∫ø¡ ∞ƒπ£ªø¡ 35
ÕÛÎËÛË 17. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ |x + y|2 + |x − y|2 = 2|x|2 + 2|y|2 , ÁÈ· οı x, y ∈ R k . ∂ÚÌËÓ‡ÛÙ ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ ·˘Ùfi ÁˆÌÂÙÚÈο, ˆ˜ Ì›· ÚfiÙ·ÛË Û¯ÂÙÈ΋ Ì ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌ·. ÕÛÎËÛË 18. E¿Ó k ≥ 2 Î·È x ∈ R k , ÙfiÙ ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ ˘¿Ú¯ÂÈ y ∈ R k Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ y = 0 Î·È x · y = 0. ∞ÏËı‡ÂÈ ·˘Ùfi Î·È ÁÈ· k = 1; ÕÛÎËÛË 19. ÀÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ a, b ∈ R k . µÚ›Ù c ∈ R k Î·È r > 0 Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ |x − a| = 2|x − b| Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó |x − c| = r . (§‡ÛË: 3c = 4b − a, 3r = 2|b − a|.) ÕÛÎËÛË 20. ™Â Û¯¤ÛË Ì ÙÔ ¶·Ú¿ÚÙËÌ·, ˘Ôı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ Ë È‰ÈfiÙËÙ· (III) ÙÔ˘ ÔÚÈÛÌÔ‡ Ù˘ ÙÔÌ‹˜ ·Ú·Ï›ÂÙ·È. ¢È·ÙËÚԇ̠ÙÔ˘˜ ›‰ÈÔ˘˜ ÔÚÈÛÌÔ‡˜ ÚÔÛı¤Ûˆ˜ Î·È ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌÔ‡. ∞ԉ›ÍÙ fiÙÈ ÙÔ ÚÔ·ÙÔÓ ‰È·ÙÂÙ·Á̤ÓÔ Û‡ÓÔÏÔ ¤¯ÂÈ ÙËÓ È‰ÈfiÙËÙ· ÙÔ˘ ÂÏ·¯›ÛÙÔ˘ ¿Óˆ ÊÚ¿ÁÌ·ÙÔ˜ Î·È fiÙÈ Ë ÚfiÛıÂÛË ÈηÓÔÔÈ› Ù· ·ÍÈÒÌ·Ù· (A1) ¤ˆ˜ (A4) (Ì ÂÏ·ÊÚÒ˜ ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎfi ÌˉÂÓÈÎfi ÛÙÔȯ›Ô!), fï˜ ‰ÂÓ ·ÏËı‡ÂÈ ÙÔ (A5).
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 2
µ∞™π∫∂™ ∆√¶√§√°π∫∂™ £∂øƒ∏™∂π™
¶∂¶∂ƒ∞™ª∂¡∞, ∞ƒπ£ª∏™πª∞ ∫∞π À¶∂ƒ∞ƒπ£ª∏™πª∞ ™À¡√§∞ •ÂÎÈÓԇ̠·˘Ù‹Ó ÙËÓ ÂÓfiÙËÙ· Ì ÙËÓ ÂÈÛ·ÁˆÁ‹ Ù˘ ¤ÓÓÔÈ·˜ Ù˘ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜. OÚÈÛÌfi˜ 2.1. £ÂˆÚԇ̠‰‡Ô Û‡ÓÔÏ· ∞ Î·È µ, Ì ÛÙÔȯ›· ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ·ÓÙÈΛÌÂÓ·, Î·È ˘Ôı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ Û οı ÛÙÔÈ¯Â›Ô x ÙÔ˘ ∞ ·ÓÙÈÛÙÔȯ›˙ÂÙ·È, Ì ÔÚÈṲ̂ÓÔ ÙÚfiÔ, ¤Ó· ÛÙÔÈ¯Â›Ô ÙÔ˘ µ, ÙÔ ÔÔ›Ô Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì ˆ˜ f (x).
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∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
∆fiÙÂ, ·˘Ù‹ Ë ·ÓÙÈÛÙÔȯ›· f ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Û˘Ó¿ÚÙËÛË ·fi ÙÔ ∞ ÛÙÔ µ (‹ ·ÂÈÎfiÓÈÛË ÙÔ˘ ∞ ÛÙÔ µ). ∆Ô Û‡ÓÔÏÔ ∞ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Â‰›Ô ÔÚÈÛÌÔ‡ Ù˘ f (ÈÛÔ‰‡Ó·Ì· ϤÁÂÙ·È fiÙÈ Ë f ÔÚ›˙ÂÙ·È ÛÙÔ ∞). ∆· ÛÙÔȯ›· Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ f (x), fiÔ˘ x ∈ A, ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ÙÈ̤˜ Ù˘ f Î·È ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ fiÏˆÓ ÙˆÓ ÙÈÌÒÓ Ù˘ f ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Â‰›Ô ÙÈÌÒÓ Ù˘ f . OÚÈÛÌfi˜ 2.2. ∞˜ Â›Ó·È ∞, µ ‰‡Ô Û‡ÓÔÏ· Î·È f Ì›· ·ÂÈÎfiÓÈÛË ÙÔ˘ ∞ ÛÙÔ µ. E¿Ó E ⊂ A, ÙfiÙ ÙÔ f (E) ÔÚ›˙ÂÙ·È ˆ˜ ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ f (x) Ì x ∈ E. OÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ·˘Ùfi ÂÈÎfiÓ· ÙÔ˘ ∂ ̤ۈ Ù˘ f . ªÂ ¯Ú‹ÛË ·˘ÙÔ‡ ÙÔ˘ Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌÔ‡, ÙÔ f (A) Â›Ó·È ÙÔ Â‰›Ô ÙÈÌÒÓ Ù˘ f . ∂›Ó·È ÚÔÊ·Ó¤˜ fiÙÈ f (A) ⊂ B. H f ϤÁÂÙ·È ·ÂÈÎfiÓÈÛË ÙÔ˘ ∞ › ÙÔ˘ µ Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó f (A) = B. (M ·˘Ùfi, Ë ¤ÎÊÚ·ÛË «Ë f ·ÂÈÎÔÓ›˙ÂÈ ÙÔ ∞ › ÙÔ˘ µ» ˘ÔÓÔ› οÙÈ ÂÈϤÔÓ ·fi ÙËÓ ¤ÎÊÚ·ÛË «Ë f ·ÂÈÎÔÓ›˙ÂÈ ÙÔ ∞ ÛÙÔ µ». E¿Ó E ⊂ B, ÙfiÙÂ Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì Ì f −1 (E) ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ x ∈ A Ì f (x) ∈ E. ∆Ô Û‡ÓÔÏÔ ·˘Ùfi ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊË ÂÈÎfiÓ· ÙÔ˘ ∂ ̤ۈ Ù˘ f . E¿Ó y ∈ µ, ÙfiÙ Ì f −1 (y) Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ x ∈ A Ì f (x) = y. H f ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È 1-1 (¤Ó·-ÚÔ˜-¤Ó·) ·ÂÈÎfiÓÈÛË ÙÔ˘ ∞ ÛÙÔ µ Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ÙÔ f −1 (y) ÂÚȤ¯ÂÈ ÙÔ Ôχ ¤Ó· ÛÙÔȯ›Ô. ∆Ô ÙÂÏÂ˘Ù·›Ô ÌÔÚ› Ó· ÂÎÊÚ·Ûı› ˆ˜ ·ÎÔÏÔ‡ıˆ˜: Ë f Â›Ó·È 1-1 ·ÂÈÎfiÓÈÛË ÙÔ˘ ∞ ÛÙÔ µ Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó f (x1 ) = f (x2 ) ÁÈ· οı x1 , x2 ∈ A Ì x1 = x2 . ( √ Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌfi˜ x1 = x2 ‰ËÏÒÓÂÈ fiÙÈ Ù· x1 , x2 Â›Ó·È Û·ÊÒ˜ ‰È·ÎÂÎÚÈ̤ӷ. ™ÙËÓ ·ÓÙ›ıÂÙË ÂÚ›ÙˆÛË, x1 = x2 .) OÚÈÛÌfi˜ 2.3. ∆· Û‡ÓÔÏ· ∞ Î·È µ ϤÁÔÓÙ·È fiÙÈ Ù›ıÂÓÙ·È Û 1-1 ·ÓÙÈÛÙÔȯ›· ‹ fiÙÈ ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓfi ÏËıÈÎfi ·ÚÈıÌfi ‹, ÂÓ Û˘ÓÙÔÌ›·, ϤÁÔÓÙ·È ÈÛÔ‰‡Ó·Ì· Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ˘¿Ú¯ÂÈ Ì›· 1-1 ·ÂÈÎfiÓÈÛË ÙÔ˘ ∞ › ÙÔ˘ µ1 . ∆Ô ÁÂÁÔÓfi˜ ·˘Ùfi Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì A ∼ B. ∞˘Ù‹ Ë Û¯¤ÛË ¤¯ÂÈ ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ȉÈfiÙËÙ˜: ∂›Ó·È ·Ó·ÎÏ·ÛÙÈ΋: ∞ ∼ A. 1
™. Ù. M.: M›· Û˘Ó¿ÚÙËÛË f ·fi ¤Ó· Û‡ÓÔÏÔ A Û ¤Ó· Û‡ÓÔÏÔ B ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ·ÓÙÈÛÙÚ¤„ÈÌË Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó Â›Ó·È 1-1 Î·È Â› ÙÔ˘ B. ™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹ ˘¿Ú¯ÂÈ ÌÔÓ·‰È΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË g ·fi ÙÔ B ÛÙÔ A, ÙËÓ ÔÔ›· Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì Ì f −1 , Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ ӷ ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ g( f (x)) = x ÁÈ· οı x ∈ A Î·È f (g(y)) = y ÁÈ· οı y ∈ B. H g ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Ë ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊË ·ÂÈÎfiÓÈÛË Ù˘ f .
µ∞™π∫∂™ ∆√¶√§√°π∫∂™ £∂øƒ∏™∂π™ 39
∂›Ó·È Û˘ÌÌÂÙÚÈ΋: E¿Ó ∞ ∼ B, ÙfiÙ B ∼ A. ∂›Ó·È ÌÂÙ·‚·ÙÈ΋: E¿Ó A ∼ B Î·È B ∼ C, ÙfiÙ A ∼ C. K¿ı ۯ¤ÛË Ì ÙȘ ·Ú·¿Óˆ ȉÈfiÙËÙ˜ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Û¯¤ÛË ÈÛÔ‰˘Ó·Ì›·˜. OÚÈÛÌfi˜ 2.4. °È· οı ıÂÙÈÎfi ·Î¤Ú·ÈÔ ·ÚÈıÌfi n Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì Ì Jn ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ Ì ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘˜ ·Î¤Ú·ÈÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ 1, 2, . . . , n. ∂›Û˘, Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì Ì J ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ fiÏˆÓ ÙˆÓ ıÂÙÈÎÒÓ ·ÎÂÚ·›ˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ. E¿Ó ∞ Â›Ó·È ¤Ó· Û‡ÓÔÏÔ, ÙfiÙ ÙÔ ∞ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È: (·) ¶ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ∞ ∼ Jn , ÁÈ· οÔÈÔÓ ıÂÙÈÎfi ·Î¤Ú·ÈÔ ·ÚÈıÌfi n (ÙÔ ÎÂÓfi Û‡ÓÔÏÔ Â›Û˘ ıˆÚÂ›Ù·È ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ). (‚) ∞¤Ú·ÓÙÔ Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ‰ÂÓ Â›Ó·È ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ. (Á) ∞ÚÈıÌ‹ÛÈÌÔ Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó A ∼ J . (‰) YÂÚ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌÔ Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ‰ÂÓ Â›Ó·È Ô‡Ù ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ Ô‡Ù ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌÔ. (Â) ∆Ô Ôχ ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌÔ Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó Â›Ó·È ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ ‹ ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌÔ. ∆· ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌ· Û‡ÓÔÏ· ϤÁÔÓÙ·È Â›Û˘ Î·È ··ÚÈıÌËÙ¿. °È· ‰‡Ô ÂÂÚ·Ṳ̂ӷ Û‡ÓÔÏ· ÈÛ¯‡ÂÈ ÚÔÊ·ÓÒ˜ fiÙÈ A ∼ B Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó Ù· ∞ Î·È µ ¤¯Ô˘Ó ÙÔÓ ›‰ÈÔ ·ÚÈıÌfi ÛÙÔȯ›ˆÓ. ŸÌˆ˜, ÁÈ· ·¤Ú·ÓÙ· Û‡ÓÔÏ·, Ë ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ «È‰›Ô˘ ·ÚÈıÌÔ‡ ÛÙÔȯ›ˆÓ» Â›Ó·È ·Û·Ê‹˜, ÂÓÒ Ë ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ 1-1 ·ÓÙÈÛÙÔȯ›·˜ ‰È·ÙËÚ› ÙË ‰È·‡ÁÂÈ¿ Ù˘. ¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 2.5. ∞˜ Â›Ó·È ∞ ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ fiÏˆÓ ÙˆÓ ·ÎÂÚ·›ˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ. ∆fiÙÂ, ÙÔ ∞ Â›Ó·È ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌÔ. ¢ÈfiÙÈ ÌÔÚԇ̠ӷ ıˆڋÛÔ˘Ì ÙËÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ·ÓÙÈÛÙÔȯ›· ÌÂٷ͇ ÙˆÓ Û˘ÓfiÏˆÓ ∞ Î·È J : A: J:
0, 1, −1, 2, −2, 3, −3, . . . 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . .
™ÙÔ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ·˘Ùfi ÌÔÚ› Ó· ‰Ôı› ¤Ó·˜ Û·Ê‹˜ Ù‡Ô˜ Ô˘ ÔÚ›˙ÂÈ Ì›· Û˘Ó¿ÚÙËÛË f , Ë ÔÔ›· ηıÔÚ›˙ÂÈ ÙËÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË 1-1 ·ÓÙÈÛÙÔȯ›·: n Â¿Ó n Â›Ó·È ¿ÚÙÈÔ˜ ·Î¤Ú·ÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜, 2 f (n) = −n − 1 Â¿Ó n Â›Ó·È ÂÚÈÙÙfi˜ ·Î¤Ú·ÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜. 2
40
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
¶·Ú·Ù‹ÚËÛË 2.6. ŒÓ· ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ Û‡ÓÔÏÔ ‰ÂÓ ÌÔÚ› Ó· Â›Ó·È ÈÛÔ‰‡Ó·ÌÔ Ì οÔÈÔ ÁÓ‹ÛÈÔ ˘ÔÛ‡ÓÔÏfi ÙÔ˘. ŸÌˆ˜, ·˘Ùfi Â›Ó·È ‰˘Ó·Ùfi ÁÈ· ·¤Ú·ÓÙ· Û‡ÓÔÏ·, fiˆ˜ Ê·ÓÂÚÒÓÂÙ·È ÛÙÔ ¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 2.5, fiÔ˘ ÙÔ J Â›Ó·È ÁÓ‹ÛÈÔ ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ A. ™ÙËÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfiÙËÙ·, ÌÔÚԇ̠ӷ ·ÓÙÈηٷÛÙ‹ÛÔ˘Ì ÙÔÓ √ÚÈÛÌfi 2.4(‚) ·fi ÙËÓ ÚfiÙ·ÛË: ÙÔ ∞ Â›Ó·È ·¤Ú·ÓÙÔ Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó Â›Ó·È ÈÛÔ‰‡Ó·ÌÔ Ì οÔÈÔ ÁÓ‹ÛÈÔ ˘ÔÛ‡ÓÔÏfi ÙÔ˘. OÚÈÛÌfi˜ 2.7. ªÂ ÙÔÓ fiÚÔ ·ÎÔÏÔ˘ı›· ÂÓÓÔԇ̛̠· Û˘Ó¿ÚÙËÛË f , ÔÚÈṲ̂ÓË ÛÙÔ Û‡ÓÔÏÔ J ÙˆÓ ıÂÙÈÎÒÓ ·ÎÂÚ·›ˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ. E¿Ó f (n) = xn , ÁÈ· οı n ∈ J , ÙfiÙÂ Â›Ó·È Û‡ÓËı˜ Ó· Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì ÙËÓ ·ÎÔÏÔ˘ı›· f ˆ˜ {xn } (n = 1, 2, 3, . . . ) ‹ ·ÏÔ‡ÛÙÂÚ· {xn }, ‹ ·ÏÏÈÒ˜ x1 , x2 , x3 , . . . . √È ÙÈ̤˜ Ù˘ f , ‰ËÏ·‰‹ Ù· ÛÙÔȯ›· Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ xn Ì n ∈ J , ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È fiÚÔÈ Ù˘ ·ÎÔÏÔ˘ı›·˜. E¿Ó ∞ Â›Ó·È ¤Ó· Û‡ÓÔÏÔ Î·È Â¿Ó xn ∈ A ÁÈ· οı n ∈ J , ÙfiÙÂ Ë {xn } (n = 1, 2, 3, . . . ) ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ·ÎÔÏÔ˘ı›· ÙÔ˘ ∞ ‹ ·ÎÔÏÔ˘ı›· ÛÙÔȯ›ˆÓ ÙÔ˘ ∞. ™ËÌÂÈÒÓÔ˘Ì fiÙÈ ÔÈ fiÚÔÈ x1 , x2 , x3 , . . . ‰ÂÓ Â›Ó·È ··Ú·Èًو˜ ‰È·ÎÂÎÚÈ̤ÓÔÈ. EÊfiÛÔÓ Î¿ı ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌÔ Û‡ÓÔÏÔ Â›Ó·È ÙÔ Â‰›Ô ÙÈÌÒÓ Î¿ÔÈ·˜ 1-1 Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜ ÔÚÈṲ̂Ó˘ ÛÙÔ J , ÌÔÚԇ̠ӷ ıˆڋÛÔ˘Ì ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌÔ Û‡ÓÔÏÔ ˆ˜ ÙÔ Â‰›Ô ÙÈÌÒÓ Î¿ÔÈ·˜ ·ÎÔÏÔ˘ı›·˜ ‰È·ÎÂÎÚÈÌ¤ÓˆÓ fiÚˆÓ. B¿ÛÂÈ ·˘ÙÔ‡ ÙÔ˘ ÁÂÁÔÓfiÙÔ˜, ϤÁÂÙ·È Û˘¯Ó¿ fiÙÈ Ù· ÛÙÔȯ›· ÂÓfi˜ ·ÚÈıÌËÛ›ÌÔ˘ Û˘ÓfiÏÔ˘ «ÙÔÔıÂÙÔ‡ÓÙ·È Û ·ÎÔÏÔ˘ı›·». √ÚÈṲ̂Ó˜ ÊÔÚ¤˜ Â›Ó·È ÈÔ ÚfiÛÊÔÚÔ Ó· ·ÓÙÈηıÈÛÙԇ̠ÙÔ J ÛÙÔÓ ·Ú·¿Óˆ ÔÚÈÛÌfi Ì ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ fiÏˆÓ ÙˆÓ ÌË ·ÚÓËÙÈÎÒÓ ·ÎÂÚ·›ˆÓ, ‰ËÏ·‰‹ Ó· ÍÂÎÈÓԇ̠̠ÙÔ 0 ·ÓÙ› ÙÔ˘ 1. £ÂÒÚËÌ· 2.8. ∫¿ı ·¤Ú·ÓÙÔ ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÂÓfi˜ ·ÚÈıÌËÛ›ÌÔ˘ Û˘ÓfiÏÔ˘ ∞ Â›Ó·È ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌÔ. Afi‰ÂÈÍË. ÀÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ ∂ Â›Ó·È ·¤Ú·ÓÙÔ ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ A. ∆ÔÔıÂÙԇ̠ٷ ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘ ∞ Û ̛· ·ÎÔÏÔ˘ı›· {xn } (n = 1, 2, 3, . . . ) ‰È·ÎÂÎÚÈÌ¤ÓˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ. ∫·Ù·Û΢¿˙Ô˘Ì ̛· ·ÎÔÏÔ˘ı›· ·ÎÂÚ·›ˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ {n k } (k = 1, 2, 3, . . . ) ˆ˜ ÂÍ‹˜:
µ∞™π∫∂™ ∆√¶√§√°π∫∂™ £∂øƒ∏™∂π™ 41
∞˜ Â›Ó·È n 1 Ô ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ˜ ıÂÙÈÎfi˜ ·Î¤Ú·ÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ n 1 Ì xn 1 ∈ E. Œ¯ÔÓÙ·˜ ÂÈϤÍÂÈ ÙÔ˘˜ ıÂÙÈÎÔ‡˜ ·Î¤Ú·ÈÔ˘˜ n 1 , . . . , n k−1 , ·˜ Â›Ó·È n k Ô ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ˜ ıÂÙÈÎfi˜ ·Î¤Ú·ÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ Ô ÔÔ›Ô˜ Â›Ó·È ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˜ ·fi ÙÔÓ n k−1 Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ xn k ∈ E. £ÂˆÚÒÓÙ·˜ ÙËÓ ·ÂÈÎfiÓÈÛË f ·fi ÙÔ J ÛÙÔ E Ì f (k) = xn k (k = 1, 2, 3, . . . ), ·ÔÎÙԇ̛̠· 1-1 ·ÓÙÈÛÙÔȯ›· ÌÂٷ͇ ÙˆÓ ∂ Î·È J . ªÂ ¯Ú‹ÛË ÏÈÁfiÙÂÚÔ ·˘ÛÙËÚÒÓ fiÚˆÓ, ÙÔ ıÂÒÚËÌ· Ô˘ÛÈ·ÛÙÈο Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ Ù· ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌ· Û‡ÓÔÏ· ·Ó··ÚÈÛÙÔ‡Ó ÙËÓ «ÌÈÎÚfiÙÂÚË» Ù¿ÍË ·ÂÈÚ›·˜: ¤Ó· ˘ÂÚ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌÔ Û‡ÓÔÏÔ ‰ÂÓ ÌÔÚ› Ó· Â›Ó·È ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ·ÚÈıÌËÛ›ÌÔ˘ Û˘ÓfiÏÔ˘. OÚÈÛÌfi˜ 2.9. £ÂˆÚԇ̠‰‡Ô Û‡ÓÔÏ· ∞ Î·È ÁÈ· Ù· ÔÔ›· ˘Ôı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ Û οı ÛÙÔÈ¯Â›Ô α ÙÔ˘ ∞ ·ÓÙÈÛÙÔȯ›˙ÂÙ·È ¤Ó· ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ , ÙÔ ÔÔ›Ô Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì Ì E α . ∆· Û‡ÓÔÏÔ ÙÔ ÔÔ›Ô ¤¯ÂÈ ÛÙÔȯ›· Ù· Û‡ÓÔÏ· Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ E α , fiÔ˘ α ∈ A, ı· Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì {E α } (α ∈ A) ‹ ÈÔ ·Ï¿ {E α }. AÓÙ› ÙÔ˘ fiÚÔ˘ «Û‡ÓÔÏÔ Û˘Ófiψӻ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡ÌÂ Û˘Ó‹ıˆ˜ ÙÔÓ fiÚÔ Û˘ÏÏÔÁ‹ Û˘ÓfiÏˆÓ ‹ ÔÈÎÔÁ¤ÓÂÈ· Û˘ÓfiψÓ. ∏ ¤ÓˆÛË Ù˘ Û˘ÏÏÔÁ‹˜ {E α } (α ∈ A) ÔÚ›˙ÂÙ·È ˆ˜ ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ S ÙÔ Ôo›Ô ¤¯ÂÈ ÙËÓ ÂÍ‹˜ ȉÈfiÙËÙ·: x ∈ S Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó x ∈ E α ÁÈ· οÔÈÔ α ∈ A. ™˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ·˘Ùfi ˆ˜ S=
Eα .
(1)
α∈A
E¿Ó ÙÔ ∞ ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi ÙÔ˘˜ ·Î¤Ú·ÈÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ 1, 2, . . . , n, ÙfiÙÂ Û˘Ó‹ıˆ˜ ÁÚ¿ÊÔ˘Ì S=
n
Em ,
(2)
m=1
‹ S = E1 ∪ E2 ∪ · · · ∪ En .
(3)
42
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
E¿Ó ∞ Â›Ó·È ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ıÂÙÈÎÒÓ ·ÎÂÚ·›ˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ, ÙfiÙÂ Û˘Ó‹ıˆ˜ ÁÚ¿ÊÔ˘Ì S=
∞
Em ,
(4)
m=1
∆Ô Û‡Ì‚ÔÏÔ ∞ ÛÙËÓ (4) ·ÏÒ˜ ‰ËÏÒÓÂÈ fiÙÈ Ï·Ì‚¿ÓÂÙ·È ¤ÓˆÛË ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌ˘ Û˘ÏÏÔÁ‹˜ Û˘ÓfiÏˆÓ Î·È ‰ÂÓ Ú¤ÂÈ Ó· Û˘Á¯¤ÂÙ·È Ì ٷ ۇ̂ÔÏ· +∞ Î·È −∞ Ù· ÔÔ›· ¤¯Ô˘Ó ÂÈÛ·¯ı› ÛÙÔÓ √ÚÈÛÌfi 1.23. ∏ ÙÔÌ‹ Ù˘ Û˘ÏÏÔÁ‹˜ {E α } (α ∈ A) ÔÚ›˙ÂÙ·È ˆ˜ ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ P ÁÈ· ÙÔ Ôo›Ô ÈÛ¯‡ÂÈ ÙÔ ÂÍ‹˜: x ∈ P Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó x ∈ E α ÁÈ· οı α ∈ A. ™˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ·˘Ùfi ˆ˜ P= Eα , (5) α∈A
‹ P=
n
Em = E1 ∩ E2 ∩ · · · ∩ En ,
(6)
m=1
‹ P=
∞
Em ,
(7)
m=1
·ÚÔÌÔ›ˆ˜ fiˆ˜ ÛÙȘ ÂÓÒÛÂȘ. °È· ‰‡Ô Û‡ÓÔÏ· A, B ϤÁÂÙ·È fiÙÈ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ÙÔ A ∩ µ Â›Ó·È ÌË ÎÂÓfi. ™ÙËÓ ·ÓÙ›ıÂÙË ÂÚ›ÙˆÛË, Ù· ∞, µ ϤÁÔÓÙ·È ·ÔÛ˘Ó‰ÂÙ¿ ‹ ·ÏÏÈÒ˜ ͤӷ ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ ‹ ͤӷ ηٿ ˙‡ÁË. ¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 2.10. (·) ÀÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ∂1 ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi Ù· ÛÙÔȯ›· 1, 2, 3 Î·È ÙÔ ∂2 ·fi Ù· ÛÙÔȯ›· 2, 3, 4. ∆fiÙÂ, ÙÔ E 1 ∪ E 2 ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi Ù· ÛÙÔȯ›· 1, 2, 3, 4 ÂÓÒ ÙÔ E 1 ∩ E 2 ·fi Ù· ÛÙÔȯ›· 2, 3. (‚) ∞˜ Â›Ó·È ∞ ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ x Ì 0 < x ≤ 1. °È· οı x ∈ A, ·˜ Â›Ó·È E x ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ y Ì 0 < y < x. ∆fiÙÂ,
µ∞™π∫∂™ ∆√¶√§√°π∫∂™ £∂øƒ∏™∂π™ 43
(i) ∂x ⊂ E z Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó 0 < x ≤ z ≤ 1. (ii) x∈A E x = E 1 . (iii) To x∈A E x Â›Ó·È ÎÂÓfi. ∆· (i) Î·È (ii) Â›Ó·È Û·Ê‹. °È· ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ (iii) ÛËÌÂÈÒÓÔ˘Ì fiÙÈ ÁÈ· οı ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi y Ì y > 0 ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ y ∈ / E x Â¿Ó x < y. ÕÚ·, y∈ / x∈A E x . ¶·Ú·Ù‹ÚËÛË 2.11. ¶ÔÏϤ˜ ȉÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ ÂÓÒÛÂˆÓ Î·È ÙˆÓ ÙÔÌÒÓ Â›Ó·È ·ÚÂÌÊÂÚ›˜ Ì ·˘Ù¤˜ ÙˆÓ ·ıÚÔÈÛÌ¿ÙˆÓ Î·È ÙˆÓ ÁÈÓÔ̤ӈÓ. ™ÙËÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfiÙËÙ·, ÔÈ Ï¤ÍÂȘ ¿ıÚÔÈÛÌ· Î·È ÁÈÓfiÌÂÓÔ ¤¯Ô˘Ó ¯ÚËÛÈÌÔÔÈËı› Ì ‚¿ÛË ·˘ÙfiÓ ÙÔ Û˘Û¯ÂÙÈÛÌfi Î·È Ù· ۇ̂ÔÏ· Î·È ¤¯Ô˘Ó ¯ÚËÛÈÌÔÔÈËı› ÛÙË ı¤ÛË ÙˆÓ Î·È . √ ÌÂÙ·ıÂÙÈÎfi˜ Î·È Ô ÚÔÛÂÙ·ÈÚÈÛÙÈÎfi˜ ÓfiÌÔ˜ ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÔÓÙ·È ÙÂÙÚÈÌ̤ӷ: A ∪ B = B ∪ A,
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C,
A ∩ B = B ∩ A.
(8)
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C.
(9)
ªÂ ·˘ÙfiÓ ÙÔÓ ÙÚfiÔ ‰ÈηÈÔÏÔÁÂ›Ù·È Ë ·Ú¿ÏÂÈ„Ë ÙˆÓ ·ÚÂÓı¤ÛÂˆÓ ÛÙȘ (3) Î·È (6). πÛ¯‡ÂÈ Â›Û˘ Ô ÂÈÌÂÚÈÛÙÈÎfi˜ ÓfiÌÔ˜: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
(10)
°È· Ó· ÙÔ ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì ·˘Ùfi, Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì Ì E ÙËÓ ·ÚÈÛÙÂÚ‹ ÏÂ˘Ú¿ Ù˘ (10) Î·È Ì F ÙË ‰ÂÍÈ¿. ÀÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ x ∈ E. ∆fiÙÂ, x ∈ A Î·È x ∈ B ∪ C, ‰ËÏ·‰‹ x ∈ B ‹ x ∈ C (‹ Î·È Ù· ‰‡Ô). ÕÚ·, x ∈ A ∩ B ‹ x ∈ A ∩ C, ÂÔ̤ӈ˜ x ∈ F. ¢ËÏ·‰‹, E ⊂ F. ∂Ó Û˘Ó¯›·, ˘Ôı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ x ∈ F. TfiÙÂ, x ∈ A ∩ B ‹ x ∈ A ∩ C. ¢ËÏ·‰‹, x ∈ A Î·È x ∈ B ∪ C. ™˘ÓÂÒ˜, x ∈ E. ¢ËÏ·‰‹, F ⊂ E. ∞fi Ù· ·Ú·¿Óˆ ¤ÂÙ·È fiÙÈ E = F.
44
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
¶·Ú·ı¤ÙÔ˘Ì ÔÚÈṲ̂Ó˜ ·ÎfiÌË Û¯¤ÛÂȘ, ÔÈ Ôԛ˜ Î·È Â·ÏËı‡ÔÓÙ·È ‰›¯ˆ˜ ‰˘ÛÎÔÏ›·. ∞ ⊂ A ∪ B,
(11)
A ∩ B ⊂ A.
(12)
E¿Ó ÙÔ 0 Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÈ ÙÔ ÎÂÓfi Û‡ÓÔÏÔ, ÙfiÙ A ∪ 0 = A,
A ∩ 0 = 0.
(13)
A ∪ B = B,
A ∩ B = A.
(14)
E¿Ó A ⊂ B, ÙfiÙÂ
£ÂÒÚËÌ· 2.12. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ {E n } (n = 1, 2, 3, . . . ) Â›Ó·È Ì›· ·ÎÔÏÔ˘ı›· ·ÚÈıÌËÛ›ÌˆÓ Û˘ÓfiψÓ. £¤ÙÔ˘Ì S=
∞
En .
(15)
n=1
TfiÙÂ, ÙÔ S Â›Ó·È ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌÔ. Afi‰ÂÈÍË. ∆ÔÔıÂÙԇ̠ٷ ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘ ∂n Û ̛· ·ÎÔÏÔ˘ı›· {xnk } (k = 1, 2, 3, . . . ) Î·È ıˆÚԇ̠ÙÔ ‰È¿ÁÚ·ÌÌ· x11 x12 x13 x14 . . . x21 x22 x23 x24 . . . x31 x32 x33 x34 . . . x41 x42 x43 x44 . . . .....................
(16)
ÛÙÔ ÔÔ›Ô Ù· ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘ E n η٤¯Ô˘Ó ÙËÓ n ÁÚ·ÌÌ‹. ∆Ô ‰È¿ÁÚ·ÌÌ· ÂÚȤ¯ÂÈ fiÏ· Ù· ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘ S. ∆· ÛÙÔȯ›· ·˘Ù¿ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ÙÔÔıÂÙËıÔ‡Ó ÛÙËÓ ·ÎÔÏÔ˘ı›· x11 : x21 , x12 : x31 , x22 , x13 : x41 , x32 , x23 , x14 : . . .
(17)
µ∞™π∫∂™ ∆√¶√§√°π∫∂™ £∂øƒ∏™∂π™ 45
E¿Ó ‰‡Ô ·fi Ù· Û‡ÓÔÏ· ∂n ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓ¿ ÛÙÔȯ›·, ·˘Ù¿ ı· ÂÌÊ·ÓÈÛıÔ‡Ó ·Ú·¿Óˆ ·fi Ì›· ÊÔÚ¿ ÛÙË (17). ÕÚ·, ˘¿Ú¯ÂÈ ¤Ó· ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ∆ ÙÔ˘ Û˘ÓfiÏÔ˘ ÙˆÓ ıÂÙÈÎÒÓ ·ÎÂÚ·›ˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ S ∼ T , ÁÂÁÔÓfi˜ ÙÔ ÔÔ›Ô Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ ÙÔ S Â›Ó·È ÙÔ Ôχ ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌÔ (£ÂÒÚËÌ· 2.8). ∂ÊfiÛÔÓ E 1 ⊂ S Î·È ÙÔ ∂1 Â›Ó·È ·¤Ú·ÓÙÔ, ¤ÂÙ·È fiÙÈ ÙÔ S Â›Ó·È ·¤Ú·ÓÙÔ Î·È ÂÔ̤ӈ˜ ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌÔ. ¶fiÚÈÛÌ·. ÀÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ ∞ Â›Ó·È ¤Ó· ÙÔ Ôχ ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌÔ Û‡ÓÔÏÔ Î·È ÁÈ· οı α ∈ A ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ Bα Â›Ó·È ÙÔ Ôχ ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌÔ. ∆fiÙÂ, ÙÔ Bα T = α∈A
Â›Ó·È ÙÔ Ôχ ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌÔ. ¢ÈfiÙÈ ÙÔ ∆ Â›Ó·È ÈÛÔ‰‡Ó·ÌÔ Ì ¤Ó· ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÂÓfi˜ Û˘ÓfiÏÔ˘ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ (15). £ÂÒÚËÌ· 2.13. ∞˜ Â›Ó·È ∞ ¤Ó· ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌÔ Û‡ÓÔÏÔ Î·È Bn ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ n-¿‰ˆÓ (a1 , . . . , an ) Ì ak ∈ A (k = 1, 2, . . . , n). (T· ÛÙÔȯ›· a1 , . . . , an ‰ÂÓ Â›Ó·È ··Ú·Èًو˜ ‰È·ÎÂÎÚÈ̤ӷ.) ∆fiÙÂ, ÙÔ Bn Â›Ó·È ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌÔ. Afi‰ÂÈÍË. ∂›Ó·È ÚÔÊ·Ó¤˜ fiÙÈ ÙÔ µ1 Â›Ó·È ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌÔ. ÀÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ Bn−1 (n = 2, 3, 4, . . . ) Â›Ó·È ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌÔ. ∆· ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘ Bn Â›Ó·È Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ (b, a)
(b ∈ Bn−1 , a ∈ A).
(18)
°È· οı ÛÙÔÈ¯Â›Ô b ÙÔ˘ µn−1 , ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ˙¢ÁÒÓ (b, a) Â›Ó·È ÈÛÔ‰‡Ó·ÌÔ Ì ÙÔ ∞ Î·È ÂÔ̤ӈ˜ ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌÔ. ∂Ô̤ӈ˜, ÙÔ Bn ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙËÓ ¤ÓˆÛË ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌ˘ Û˘ÏÏÔÁ‹˜ ·ÚÈıÌËÛ›ÌˆÓ Û˘ÓfiψÓ. ∞fi ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 2.12 ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ ÙÔ Bn Â›Ó·È ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌÔ. ∆Ô ıÂÒÚËÌ· ¤ÂÙ·È Ì ¯Ú‹ÛË Â·ÁˆÁ‹˜. ¶fiÚÈÛÌ·. ∆Ô Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÚËÙÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ Â›Ó·È ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌÔ. Afi‰ÂÈÍË. ∂Ê·ÚÌfi˙Ô˘Ì ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 2.13 Ì n = 2, ÛËÌÂÈÒÓÔÓÙ·˜ fiÙÈ Î¿ı ÚËÙfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ r ¤¯ÂÈ ÙË ÌÔÚÊ‹ b/a, fiÔ˘ ÔÈ a, b Â›Ó·È ·Î¤Ú·ÈÔÈ ·ÚÈıÌÔ›.
46
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
∆Ô Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ˙¢ÁÒÓ (a, b), Î·È ÂÔ̤ӈ˜ ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÎÏ·ÛÌ¿ÙˆÓ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ b/a, Â›Ó·È ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌÔ. ™ÙËÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfiÙËÙ·, ·ÎfiÌË Î·È ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ·ÏÁ‚ÚÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ Â›Ó·È ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌÔ (·Ó·ÙÚ¤ÍÙ ÛÙËÓ ÕÛÎËÛË 2). ŸÌˆ˜, fiˆ˜ ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì ·fi ÂfiÌÂÓÔ ıÂÒÚËÌ·, ˘¿Ú¯Ô˘Ó ·¤Ú·ÓÙ· Û‡ÓÔÏ· Ù· ÔÔ›· ‰ÂÓ Â›Ó·È ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌ·. £ÂÒÚËÌ· 2.14. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ ∞ Â›Ó·È ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ·ÎÔÏÔ˘ıÈÒÓ Ì fiÚÔ˘˜ Ù· 0 Î·È 1. ∆fiÙÂ, ÙÔ ∞ Â›Ó·È ˘ÂÚ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌÔ. ∆· ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘ ∞ Â›Ó·È ·ÎÔÏÔ˘ı›Â˜ fiˆ˜ Ë 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, . . . . Afi‰ÂÈÍË. ∞˜ Â›Ó·È ∂ ¤Ó· ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌÔ ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ ∞. ÀÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ ∂ ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi ÙȘ ·ÎÔÏÔ˘ı›Â˜ s1 , s2 , s3 , . . . . ∫·Ù·Û΢¿˙Ô˘Ì ̛· ·ÎÔÏÔ˘ı›· s ˆ˜ ÂÍ‹˜: Â¿Ó Ô n ٿ͈˜ fiÚÔ˜ Ù˘ sn Â›Ó·È 1, ÙfiÙ ÔÚ›˙Ô˘Ì ÙÔÓ n ٿ͈˜ fiÚÔ Ù˘ s ˆ˜ ÙÔ 0 Î·È ·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜. ∆fiÙÂ, Ë ·ÎÔÏÔ˘ı›· s ‰È·Ê¤ÚÂÈ ·fi οı ̤ÏÔ˜ ÙÔ˘ ∂. ¢ËÏ·‰‹, s ∈ / E. ¶ÚÔÊ·ÓÒ˜ s ∈ A, ÂÔ̤ӈ˜ ÙÔ ∂ Â›Ó·È ÁÓ‹ÛÈÔ ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ ∞. ™˘ÓÂÒ˜, ·Ô‰Â›Í·Ì fiÙÈ Î¿ı ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌÔ ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ ∞ Â›Ó·È ÁÓ‹ÛÈÔ ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ ∞. ∂Ô̤ӈ˜, ÙÔ ∞ Â›Ó·È ˘ÂÚ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌÔ (·ÏÏÈÒ˜ ı· ‹Ù·Ó ÁÓ‹ÛÈÔ ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ ·˘ÙÔ‡ ÙÔ˘.) ∏ ȉ¤· ÛÙËÓ ·Ú·¿Óˆ ·fi‰ÂÈÍË ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ıËΠÁÈ· ÚÒÙË ÊÔÚ¿ ·fi ÙÔÓ Cantor 2 Î·È ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Ë ‰È·ÁÒÓÈ· ̤ıÔ‰Ô˜ ÙÔ˘ Cantor : Â¿Ó ÔÈ 2
™. Ù. M.: Georg Cantor (1845-1918). E‚Ú·˚΋˜ ηٷÁˆÁ‹˜ °ÂÚÌ·Ófi˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi˜, ÁÂÓÓË̤ÓÔ˜ ÛÙË PˆÛ›·. O Cantor ıˆÚÂ›Ù·È ˆ˜ Ô ıÂÌÂÏȈً˜ Ù˘ £ÂˆÚ›·˜ ™˘ÓfiψÓ. O Cantor ÍÂΛÓËÛ ÙȘ ·Î·‰ËÌ·˚Τ˜ ÙÔ˘ ÛÔ˘‰¤˜ ÛÙË M˯·ÓÈ΋, ÛÙÔ ¶ÔÏ˘Ù¯ÓÂ›Ô Ù˘ Z˘Ú›¯Ë˜, ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1862, Î·È ÙȘ Û˘Ó¤¯ÈÛ ÛÙ· M·ıËÌ·ÙÈο, ÛÙÔ ¶·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ ÙÔ˘ BÂÚÔÏ›ÓÔ˘, ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1863. E›¯Â ˆ˜ ‰·ÛοÏÔ˘˜ ÙÔ˘˜ ÛÔ˘‰·›Ô˘˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎÔ‡˜ Ernst Kummer (18101893), Karl Weierstrass (1815-1897) ηıÒ˜ Î·È ÙÔÓ ÌÂÙ¤ÂÈÙ· ÂÈÛÙËÌÔÓÈÎfi ÙÔ˘ ·ÓÙ›·ÏÔ (›Ûˆ˜ Ë Ï¤ÍË «Â¯ıÚfi˜» Â›Ó·È ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔ Ù·ÈÚÈ·ÛÙ‹) Leopold Kronecker (1823-1891). ŒÏ·‚ ÙÔÓ Ù›ÙÏÔ ÙÔ˘ ‰È‰¿ÎÙÔÚ· ÙÔ˘ ¶·ÓÂÈÛÙËÌ›Ô˘ ÙÔ˘ BÂÚÔÏ›ÓÔ˘ ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1867. TÔ ı¤Ì· Ù˘ ‰È‰·ÎÙÔÚÈ΋˜ ÙÔ˘ ‰È·ÙÚÈ‚‹˜ ‹Ù·Ó ÛÙË £ÂˆÚ›· AÚÈıÌÒÓ. E›Û˘, ÂËÚ·Ṳ̂ÓÔ˜ ·fi ÙÔÓ Weierstrass, ·Û¯ÔÏ‹ıËÎÂ Î·È Ì ÙË ÌÂϤÙË ÙˆÓ TÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÒÓ ™ÂÈÚÒÓ. O Cantor η٤Ϸ‚ ·Î·‰ËÌ·˚΋ ı¤ÛË ÛÙÔ ¶·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ Ù˘ Halle ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1869, fiÔ˘ ηÈ
µ∞™π∫∂™ ∆√¶√§√°π∫∂™ £∂øƒ∏™∂π™ 47
·ÎÔÏÔ˘ı›Â˜ s1 , s2 , s3 , . . . ÙÔÔıÂÙËıÔ‡Ó Û ¤Ó· ‰È¿ÁÚ·ÌÌ· fiˆ˜ ÙÔ (16), ÙfiÙ ÛÙËÓ Î·Ù·Û΢‹ ÙÔ˘ ÚÔËÁÔ˘Ì¤ÓÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ ÂÌϤÎÔÓÙ·È Ù· ‰È·ÁÒÓÈ· ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘ ‰È·ÁÚ¿ÌÌ·ÙÔ˜. √ ·Ó·ÁÓÒÛÙ˘ Ô˘ Â›Ó·È ÂÍÔÈÎÂȈ̤ÓÔ˜ Ì ÙË ‰˘·‰È΋ ·Ó··Ú¿ÛÙ·ÛË ÙˆÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ (·Ó··Ú¿ÛÙ·ÛË Ì ‚¿ÛË ÙÔ 2 Î·È fi¯È ÙÔ 10) ı· ·Ú·ÙËÚ‹ÛÂÈ fiÙÈ ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 2.14 Û˘Ó¿ÁÂÙ·È fiÙÈ ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ Â›Ó·È ˘ÂÚ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌÔ. £· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì ·˘Ùfi ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ ÛÙÔ £ÂÒÚËÌ· 2.43 Ì ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎfi ÙÚfiÔ.
ª∂∆ƒπ∫√π Ãøƒ√π OÚÈÛÌfi˜ 2.15. ŒÓ· Û‡ÓÔÏÔ X , ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ Ù· ÛÙÔȯ›· ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ÛËÌ›·, ϤÁÂÙ·È ÌÂÙÚÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó Û οı ˙‡ÁÔ˜ ÛËÌ›ˆÓ ( p, q) ÙÔ˘ X ·ÓÙÈÛÙÔȯ›˙ÂÙ·È ¤Ó·˜ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ d( p, q), Ô ÔÔ›Ô˜ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ·fiÛÙ·ÛË ÙÔ˘ p ·fi ÙÔ q, Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ ÁÈ· οı p, q, r ∈ X Ó· ÈÛ¯‡ÂÈ: (·) d( p, q) > 0, Â¿Ó p = q. ∂›Û˘, d( p, p) = 0. (‚) d( p, q) = d(q, p). (Á) d( p, q) ≤ d( p, r ) + d(r, q). ª›· Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ì ·˘Ù¤˜ ÙȘ ȉÈfiÙËÙ˜ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Û˘Ó¿ÚÙËÛË ·ÔÛÙ¿Ûˆ˜ ‹ ·ÏÏÈÒ˜ ÌÂÙÚÈ΋. ¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 2.16. ∆· ÈÔ ÛËÌ·ÓÙÈο ·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù· ÌÂÙÚÈÎÒÓ ¯ÒÚˆÓ ÁÈ· ÙÔ ·ÚfiÓ ‚È‚Ï›Ô Â›Ó·È ÔÈ ∂˘ÎÏ›‰ÂÈÔÈ ¯ÒÚÔÈ R k , ȉȷÈÙ¤Úˆ˜ Ô R 1 (Ë Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ ·Ú¤ÌÂÈÓ ¤ˆ˜ ÙË Û‡ÓÙ·Í‹ ÙÔ˘ ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1913. ¢ÂÓ Î·Ù¿ÊÂÚ ÔÙ¤ Ó· ·ÔÎÙ‹ÛÂÈ ·Î·‰ËÌ·˚΋ ¤‰Ú· ÛÙÔ ¶·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ ÙÔ˘ BÂÚÔÏ›ÓÔ˘, fiˆ˜ ÂÈı˘ÌÔ‡ÛÂ, Î·È ‰È·ÙÂÈÓfiÙ·Ó fiÙÈ Ô Kronecker ÙÔ˘ ÙË ÛÙÂÚÔ‡Û Ì ÙËÓ ÂÈÚÚÔ‹ ÙÔ˘, ÏfiÁˆ Ù˘ ÂÈÛÙËÌÔÓÈ΋˜ ·ÓÙÈ·ÏfiÙËÙ·˜, Î·È ÂÓ Ì¤ÚÂÈ ÚÔÛˆÈ΋˜ ¤¯ıÚ·˜, Ô˘ ›¯Â ÚÔ˜ ÙÔÓ Cantor. O Cantor ‰ËÌÔÛ›Â˘Û ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1874 ÙËÓ Î·ÈÓÔÙfiÌÔ ÂÚÁ·Û›· ÙÔ˘ ÛÙË £ÂˆÚ›· ™˘ÓfiψÓ, Ô˘ ¤ÌÂÏÏ ӷ ·ÔÙÂϤÛÂÈ Ì›· ·fi ÙȘ ÈÔ ÚÈ˙ÔÛ·ÛÙÈΤ˜ Î·È ÛËÌ·ÓÙÈΤ˜ ‰ËÌÈÔ˘ÚÁ›Â˜ ÛÙËÓ ÈÛÙÔÚ›· ÙˆÓ M·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ. O Cantor ›¯Â ˘ÂÚ¢·›ÛıËÙÔ ¯·Ú·ÎÙ‹Ú·. Œ·Û¯Â ·fi ÎÚ›ÛÂȘ ηٷıÏ›„ˆ˜ Î·È ·fi ¤ÏÏÂÈ„Ë ·˘ÙÔÂÔÈı‹Ûˆ˜, ÁÈ· ÙËÓ ÔÔ›· ¢ı‡ÓÂÙ·È Î·È Ë Â›ıÂÛË Ô˘ ‰Â¯fiÙ·Ó ·fi ÙË Ì·ıËÌ·ÙÈ΋ ÎÔÈÓfiÙËÙ· ÁÈ· ÙȘ ÚˆÙÔfiÚ˜ Ì·ıËÌ·ÙÈΤ˜ ıˆڛ˜ ÙÔ˘. T· ÙÂÏÂ˘Ù·›· ¯ÚfiÓÈ· Ù˘ ˙ˆ‹˜ ÙÔ˘ Ù· ¤Ú·Û Û „˘¯È·ÙÚÈ΋ ÎÏÈÓÈ΋ ÛÙË Halle, fiÔ˘ Î·È ¤ı·ÓÂ.
48
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
¢ı›·) Î·È Ô R 2 (ÙÔ ÌÈÁ·‰ÈÎfi ›‰Ô). ∏ ·fiÛÙ·ÛË d ÛÙÔÓ R k ÔÚ›˙ÂÙ·È Ì¤Ûˆ Ù˘ Û¯¤Ûˆ˜ d(x, y) = |x − y|
(x, y ∈ R k ).
(19)
™‡Ìʈӷ Ì ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 1.37, ÔÈ ··ÈÙ‹ÛÂȘ ÙÔ˘ √ÚÈÛÌÔ‡ 2.15 ÈηÓÔÔÈÔ‡ÓÙ·È ·fi ÙË (19). ∂›Ó·È ÛËÌ·ÓÙÈÎfi Ó· ·Ú·ÙËÚ‹ÛÔ˘Ì fiÙÈ Î¿ı ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ Y ÂÓfi˜ ÌÂÙÚÈÎÔ‡ ¯ÒÚÔ˘ Â›Ó·È Â›Û˘ ÌÂÙÚÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ Ì ÙËÓ ›‰È· Û˘Ó¿ÚÙËÛË ·ÔÛÙ¿Ûˆ˜. ¢ÈfiÙÈ Â›Ó·È Û·Ê¤˜ fiÙÈ Â¿Ó ÈÛ¯‡Ô˘Ó ÔÈ Û˘Óı‹Î˜ (·) ¤ˆ˜ (Á) ÙÔ˘ √ÚÈÛÌÔ‡ 2.15 ÁÈ· οı p, q, r ∈ X , ÙfiÙ ÈÛ¯‡Ô˘Ó Î·È ÁÈ· οı p, q, r ∈ À. ™˘ÓÂÒ˜, οı ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÂÓfi˜ E˘ÎÏÂÈ‰Â›Ô˘ ¯ÒÚÔ˘ Â›Ó·È ÌÂÙÚÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜. ÕÏÏ· ·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù· ÌÂÙÚÈÎÒÓ ¯ÒÚˆÓ ·ÔÙÂÏÔ‡Ó ÔÈ ¯ÒÚÔÈ C(K ) Î·È L2 (µ), ÔÈ ÔÔ›ÔÈ ··ÓÙÒÓÙ·È ÛÙ· ∫ÂÊ¿Ï·È· 7 Î·È 11 ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜. OÚÈÛÌfi˜ 2.17. ªÂ ÙÔÓ fiÚÔ ·ÓÔÈÎÙfi ‰È¿ÛÙËÌ· (a, b) ÂÓÓÔԇ̠ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ x Ì a < x < b. ªÂ ÙÔÓ fiÚÔ ÎÏÂÈÛÙfi ‰È¿ÛÙËÌ· [a, b] ÂÓÓÔԇ̠ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ x Ì a ≤ x ≤ b. ∫·Ù¿ ÂÚ›ÛÙ·ÛË ı· ıˆڋÛÔ˘Ì ٷ ËÌÈ·ÓÔÈÎÙ¿ ‰È·ÛÙ‹Ì·Ù· [a, b) Î·È (a, b]: ÙÔ ÚÒÙÔ ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi ÙÔ˘˜ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ x Ì a ≤ x < b. ∆Ô ‰Â‡ÙÂÚÔ ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi ÙÔ˘˜ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ x Ì a < x ≤ b. ™ËÌÂÈÒÓÔ˘Ì fiÙÈ ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ۇÓÔÏÔ ·fi Ù· ·Ú·¿Óˆ ÌÔÚ› Ó· ·Ó·Ê¤ÚÂÙ·È ·ÏÒ˜ ˆ˜ ‰È¿ÛÙËÌ·. E¿Ó ai < bi ÁÈ· i = 1, 2, . . . , k, ÙfiÙ ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ x = (x1 , . . . , xk ) ∈ R k Ì ai ≤ xi ≤ bi (1 ≤ i ≤ k) ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È k-‰È¿ÛÙËÌ·. ∂Ô̤ӈ˜, ¤Ó· 1-‰È¿ÛÙËÌ· Â›Ó·È ¤Ó· ÎÏÂÈÛÙfi ‰È¿ÛÙËÌ·, ¤Ó· 2-‰È¿ÛÙËÌ· Â›Ó·È ¤Ó· ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ Î. Ï. .. E¿Ó Â›Ó·È x ∈ R k Î·È r > 0, ÙfiÙ ÔÚ›˙Ô˘Ì ÙËÓ ·ÓÔÈÎÙ‹ (·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜ ÎÏÂÈÛÙ‹) ÛÊ·ÈÚÈ΋ ÂÚÈÔ¯‹ Ì ΤÓÙÚÔ ÙÔ x Î·È ·ÎÙ›Ó· r ˆ˜ ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ y ∈ R k Ì |y − x| < r (·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜ |y − x| ≤ r ). √ÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ¤Ó· Û‡ÓÔÏÔ ∂ ⊂ R k ΢ÚÙfi Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó λx + (1 − λ)y ∈ E
µ∞™π∫∂™ ∆√¶√§√°π∫∂™ £∂øƒ∏™∂π™ 49
fiÙ·Ó x, y ∈ E Î·È λ ∈ R 1 Ì 0 < λ < 1. ∂› ·Ú·‰Â›ÁÌ·ÙÈ, ÔÈ ÛÊ·ÈÚÈΤ˜ ÂÚÈÔ¯¤˜ Â›Ó·È Î˘ÚÙ¿ Û‡ÓÔÏ·. ¢ÈfiÙÈ Â¿Ó Â›Ó·È x, y, z ∈ R k , r > 0 Î·È λ ∈ R 1 Ì |y − x| < r , |z − x| < r Î·È 0 < λ < 1, ÙfiÙ |λy + (1 − λ)z − x| ≤ |λ(y − x) + (1 − λ)(y − z)| ≤ λ|y − x| + (1 − λ)|z − x| < λr + (1 − λ)r = r. ∏ ›‰È· ·fi‰ÂÈÍË ÂÊ·ÚÌfi˙ÂÙ·È Û ÎÏÂÈÛÙ¤˜ ÛÊ·ÈÚÈΤ˜ ÂÚÈÔ¯¤˜. ¢È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì ‡ÎÔÏ· fiÙÈ Ù· k-‰È·ÛÙ‹Ì·Ù· Â›Ó·È Î˘ÚÙ¿ Û‡ÓÔÏ·. OÚÈÛÌfi˜ 2.18. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ X Â›Ó·È ¤Ó·˜ ÌÂÙÚÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜. ∆· ÛËÌ›· Î·È Ù· Û‡ÓÔÏ· Ô˘ ·Ó·Ê¤ÚÔÓÙ·È ÛÙ· ÂfiÌÂÓ· ıˆÚÔ‡ÓÙ·È ÛÙÔȯ›· Î·È ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜ ˘ÔÛ‡ÓÔÏ· ÙÔ˘ X . (·) OÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ÂÚÈÔ¯‹ ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ p ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ Nr ( p) Ô˘ ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi Ù· ÛËÌ›· q Ì d( p, q) < r . √ ·ÚÈıÌfi˜ r oÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ·ÎÙ›Ó· Ù˘ Nr ( p). (‚) ŒÓ· ÛËÌÂ›Ô p ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÔÚÈ·Îfi ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ E (‹ ·ÏÏÈÒ˜ ÛËÌÂ›Ô Û˘ÛÛˆÚ‡Ûˆ˜ ÙÔ˘ E) Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó Î¿ı ÂÚÈÔ¯‹ ÙÔ˘ p ÂÚȤ¯ÂÈ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô q ÙÔ˘ E, ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎfi ·fi ÙÔ p. (Á) E¿Ó p ∈ E, ÙfiÙ ÙÔ p ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÌÂÌÔӈ̤ÓÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ E Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ‰ÂÓ Â›Ó·È ÔÚÈ·Îfi ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ E. (‰) ∆Ô Û‡ÓÔÏÔ E ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÎÏÂÈÛÙfi Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó Î¿ı ÔÚÈ·Îfi ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ E ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙÔ E. (Â) ŒÓ· ÛËÌÂ›Ô p ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ E Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ˘¿Ú¯ÂÈ Ì›· ÂÚÈÔ¯‹ N ÙÔ˘ p Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ N ⊂ E. (ÛÙ) ∆Ô Û‡ÓÔÏÔ E ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ·ÓÔÈÎÙfi Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó Î¿ı ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ E Â›Ó·È ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ E. (˙) ∆Ô Û˘Ìϋڈ̷ ÙÔ˘ E Â›Ó·È ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ fiÏˆÓ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ p ∈ X Ì p∈ / E. (Ë) ∆Ô Û‡ÓÔÏÔ E ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Ù¤ÏÂÈÔ Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ÙÔ E Â›Ó·È ÎÏÂÈÛÙfi Î·È Î¿ı ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ E Â›Ó·È ÔÚÈ·Îfi ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ E.
50
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
(ı) ∆Ô Û‡ÓÔÏÔ E ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÊÚ·Á̤ÓÔ Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ˘¿Ú¯ÂÈ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ M Î·È q ∈ X Ì d( p, q) < M, ÁÈ· οı p ∈ E. (È) ∆Ô Û‡ÓÔÏÔ E ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ˘ÎÓfi ÛÙÔÓ Ã Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó Î¿ı ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ X Â›Ó·È ÔÚÈ·Îfi ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ E ‹ ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙÔ E (‹ Î·È Ù· ‰‡Ô). ™ËÌÂÈÒÓÔ˘Ì fiÙÈ ÛÙÔÓ R 1 ÔÈ ÂÚÈÔ¯¤˜ Â›Ó·È ·ÓÔÈÎÙ¿ ‰È·ÛÙ‹Ì·Ù· Î·È ÛÙÔÓ R 2 ÔÈ ÂÚÈÔ¯¤˜ Â›Ó·È ÂÛˆÙÂÚÈο ·ÎψÓ. £ÂÒÚËÌ· 2.19. ∫¿ı ÂÚÈÔ¯‹ ÙÔ˘ X Â›Ó·È ·ÓÔÈÎÙfi Û‡ÓÔÏÔ. Afi‰ÂÈÍË. £ÂˆÚԇ̛̠· ÂÚÈÔ¯‹ E = Nr ( p) ( p ∈ X, r > 0). ∞˜ Â›Ó·È q ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ∂. ∆fiÙÂ, ˘¿Ú¯ÂÈ ıÂÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ h Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ d( p, q) = r − h. °È· ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ÛËÌÂ›Ô s Ì d(q, s) < h ¤¯Ô˘Ì fiÙÈ d( p, s) ≤ d( p, q) + d(q, s) < r − h + h = r Î·È ÂÔ̤ӈ˜ s ∈ E. ÕÚ·, ÙÔ q Â›Ó·È ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ∂. £ÂÒÚËÌ· 2.20. E¿Ó p Â›Ó·È ¤Ó· ÔÚÈ·Îfi ÛËÌÂ›Ô ÂÓfi˜ Û˘ÓfiÏÔ˘ E, ÙfiÙ οı ÂÚÈÔ¯‹ ÙÔ˘ p ÂÚȤ¯ÂÈ ·Â›ÚÔ˘ Ï‹ıÔ˘˜ ÛËÌ›· ÙÔ˘ ∂. Afi‰ÂÈÍË. ÀÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ ˘¿Ú¯ÂÈ Ì›· ÂÚÈÔ¯‹ N ÙÔ˘ E Ë ÔÔ›· ÂÚȤ¯ÂÈ ÌfiÓÔÓ ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ˘ Ï‹ıÔ˘˜ ÛËÌ›· ÙÔ˘ E. ∞˜ Â›Ó·È q1 , . . . , qn Ù· ‰È·ÎÂÎÚÈ̤ӷ ·fi ÙÔ p ÛËÌ›· ÙÔ˘ N ∩ E. £¤ÙÔ˘Ì r = min d( p, qm ). 1≤m≤n
(XÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠·˘ÙfiÓ ÙÔ Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌfi ÁÈ· Ó· ‰ËÏÒÛÔ˘Ì ÙÔÓ ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ ·fi ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ d( p, q1 ), . . . , d( p, qn ).) ∆Ô ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ ÂÓfi˜ ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ˘ Û˘ÓfiÏÔ˘ ıÂÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ Â›Ó·È Û·ÊÒ˜ ıÂÙÈÎfi, ÂÔ̤ӈ˜ r > 0. ∆ÒÚ·, Ë ÂÚÈÔ¯‹ Nr ( p) ‰ÂÓ ÂÚȤ¯ÂÈ ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ E ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎfi ·fi ÙÔ p Î·È ÂÔ̤ӈ˜ ÙÔ p ‰ÂÓ Â›Ó·È ÔÚÈ·Îfi ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ E. ∏ ·ÓٛʷÛË ·˘Ù‹ ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÈ ÙÔ ıÂÒÚËÌ·.
µ∞™π∫∂™ ∆√¶√§√°π∫∂™ £∂øƒ∏™∂π™ 51
¶fiÚÈÛÌ·. ÛËÌ›·.
ŒÓ· ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ Û‡ÓÔÏÔ ÛËÌ›ˆÓ ‰ÂÓ ÂÚȤ¯ÂÈ ÔÚȷο
¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 2.21. £ÂˆÚԇ̠ٷ ·ÎfiÏÔ˘ı· ˘ÔÛ‡ÓÔÏ· ÙÔ˘ R 2 : (·) ∆Ô Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÌÈÁ·‰ÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ z Ì |z| < 1. (‚) ∆Ô Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÌÈÁ·‰ÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ z Ì |z| ≤ 1. (Á) ŒÓ· ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ Û‡ÓÔÏÔ. (‰) ∆Ô Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ·ÎÂÚ·›ˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ. (Â) ∆Ô Û‡ÓÔÏÔ Ô˘ ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ 1/n, n = 1, 2, 3, . . . . ™ËÌÂÈÒÓÔ˘Ì fiÙÈ ·˘Ùfi ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ E ¤¯ÂÈ ÔÚÈ·Îfi ÛËÌÂ›Ô (ÙÔ 0), fï˜ ‰ÂÓ ˘¿Ú¯ÂÈ ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ∂ ÙÔ ÔÔ›Ô Ó· Â›Ó·È ÔÚÈ·Îfi ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ E. M ·˘Ùfi ÂÈı˘Ìԇ̠ӷ ÙÔÓ›ÛÔ˘Ì ÙË ‰È·ÊÔÚ¿ ·Ó¿ÌÂÛ· ÛÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ Ó· ‰È·ı¤ÙÂÈ ¤Ó· Û‡ÓÔÏÔ ÔÚÈ·Îfi ÛËÌÂ›Ô Î·È ÛÙÔ Ó· ·Ó‹ÎÂÈ ÙÔ ÔÚÈ·Îfi ÛËÌÂ›Ô ÛÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ·˘Ùfi. (ÛÙ) ∆Ô Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÌÈÁ·‰ÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ (‰ËÏ·‰‹ ÙÔ R 2 ). (˙) ∆Ô ·ÓÔÈÎÙfi ‰È¿ÛÙËÌ· (a, b). ™ËÌÂÈÒÓÔ˘Ì fiÙÈ Ù· (‰), (Â) Î·È (˙) ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ıˆÚËıÔ‡Ó ˆ˜ ˘ÔÛ‡ÓÔÏ· ÙÔ˘ R 1 . √ÚÈṲ̂Ó˜ ·fi ÙȘ ȉÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ ·Ú·¿Óˆ Û˘ÓfiÏˆÓ ‰›‰ÔÓÙ·È ÛÙÔÓ ∫ÏÂÈÛÙfi ∞ÓÔÈÎÙfi ∆¤ÏÂÈÔ ºÚ·Á̤ÓÔ (·) Ÿ¯È ¡·È Ÿ¯È ¡·È (‚) ¡·È Ÿ¯È ¡·È ¡·È (Á) ¡·È Ÿ¯È Ÿ¯È ¡·È ÂfiÌÂÓÔ ›Ó·Î·: (‰) ¡·È Ÿ¯È Ÿ¯È Ÿ¯È (Â) Ÿ¯È Ÿ¯È Ÿ¯È ¡·È (ÛÙ) ¡·È ¡·È ¡·È Ÿ¯È (˙) Ÿ¯È Ÿ¯È ¡·È ™ÙÔ (˙) ¤¯Ô˘Ì ·Ê‹ÛÂÈ ÎÂÓ‹ ÙË ‰Â‡ÙÂÚË ı¤ÛË. ∞˘Ùfi Û˘Ì‚·›ÓÂÈ ‰ÈfiÙÈ ÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· (a, b) ‰ÂÓ Â›Ó·È ·ÓÔÈÎÙfi Â¿Ó ıˆÚËı› ˆ˜ ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ R 2 , ÂÓÒ Â›Ó·È ·ÓÔÈÎÙfi Â¿Ó ıˆÚËı› ˆ˜ ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ R 1 .
£ÂÒÚËÌ· 2.22. ∞˜ Â›Ó·È {E α } (α ∈ A), Ì›· (ÂÂÚ·Ṳ̂ÓË ‹ ·¤Ú·ÓÙË)
52
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
Û˘ÏÏÔÁ‹ Û˘ÓfiψÓ. ∆fiÙÂ,
α∈A
c Eα
=
α∈A
E αc .
(20)
Afi‰ÂÈÍË. ∞˜ Â›Ó·È A Ë ·ÚÈÛÙÂÚ‹ Î·È B Ë ‰ÂÍÈ¿ ÏÂ˘Ú¿ Ù˘ (20). E¿Ó x ∈ A, ÙfiÙ x ∈ / α∈A E α Î·È ÂÔ̤ӈ˜ x ∈ / E α ÁÈ· ÔÔÈÔÓ‰‹ÔÙ ‰Â›ÎÙË α ∈ A. c ™˘ÓÂÒ˜, x ∈ E α ÁÈ· ÔÔÈÔÓ‰‹ÔÙ ‰Â›ÎÙË α ∈ A, ‰ËÏ·‰‹ x ∈ α∈A E αc . ÕÚ·, A ⊂ B. ∞ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜, Â¿Ó x ∈ B, ÙfiÙ x ∈ E αc ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË α ∈ A, ÂÔ̤ӈ˜ c x ∈ / E α ÁÈ· ÔÔÈÔÓ‰‹ÔÙ ‰Â›ÎÙË α ∈ A. ∫·Ù¿ Û˘Ó¤ÂÈ·, x ∈ α∈A E α . ÕÚ·, B ⊂ A. ∆ÂÏÈο, A = B. £ÂÒÚËÌ· 2.23. ŒÓ· Û‡ÓÔÏÔ E Â›Ó·È ·ÓÔÈÎÙfi Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ÙÔ Û˘Ìϋڈ̿ ÙÔ˘ Â›Ó·È ÎÏÂÈÛÙfi. Afi‰ÂÈÍË. ∞Ú¯Èο, ˘Ôı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ E c Â›Ó·È ÎÏÂÈÛÙfi. £ÂˆÚԇ̠x ∈ E. ∆fiÙÂ, x ∈ / E c , ‰ËÏ·‰‹ ÙÔ x ‰ÂÓ Â›Ó·È ÔÚÈ·Îfi ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ E c . ™˘ÓÂÒ˜, ˘¿Ú¯ÂÈ Ì›· ÂÚÈÔ¯‹ N ÙÔ˘ x Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ ÙÔ E c ∩ N Ó· Â›Ó·È ÎÂÓfi. ∞˘Ùfi ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ N ⊂ E. ÕÚ·, ÙÔ x Â›Ó·È ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ E. K·Ù¿ Û˘Ó¤ÂÈ·, ÙÔ E Â›Ó·È ·ÓÔÈÎÙfi. ∞ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜, ˘Ôı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ E Â›Ó·È ·ÓÔÈÎÙfi. ∞˜ Â›Ó·È x ¤Ó· ÔÚÈ·Îfi ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ E c . TfiÙÂ, οı ÂÚÈÔ¯‹ ÙÔ˘ x ÂÚȤ¯ÂÈ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ E c , ÁÂÁÔÓfi˜ Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ ÙÔ x ‰ÂÓ Â›Ó·È ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ E. ∂ÊfiÛÔÓ ÙÔ E Â›Ó·È ·ÓÔÈÎÙfi, ¤ÂÙ·È fiÙÈ x ∈ E c . ÕÚ·, ÙÔ E c Â›Ó·È ÎÏÂÈÛÙfi. ¶fiÚÈÛÌ·. ŒÓ· Û‡ÓÔÏÔ F Â›Ó·È ÎÏÂÈÛÙfi Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ÙÔ Û˘Ìϋڈ̷ ÙÔ˘ Â›Ó·È ·ÓÔÈÎÙfi. £ÂÒÚËÌ· 2.24. (·) °È· οıÂ Û˘ÏÏÔÁ‹ {G α } (α ∈ A) ·ÓÔÈÎÙÒÓ Û˘ÓfiψÓ, ÙÔ α∈A G α Â›Ó·È ·ÓÔÈÎÙfi. (‚) °È· οıÂ Û˘ÏÏÔÁ‹ {Fα } (α ∈ A) ÎÏÂÈÛÙÒÓ Û˘ÓfiψÓ, ÙÔ α∈A Fα Â›Ó·È ÎÏÂÈÛÙfi.
µ∞™π∫∂™ ∆√¶√§√°π∫∂™ £∂øƒ∏™∂π™ 53
ÂÂÚ·Ṳ̂ÓË Û˘ÏÏÔÁ‹ G 1 , . . . , G n ·ÓÔÈÎÙÒÓ Û˘ÓfiψÓ, ·ÓÔÈÎÙfi. ÂÂÚ·Ṳ̂ÓË Û˘ÏÏÔÁ‹ F1 , . . . , Fn ÎÏÂÈÛÙÒÓ Û˘ÓfiψÓ, ÎÏÂÈÛÙfi. Afi‰ÂÈÍË. £¤ÙÔ˘Ì G = α∈A G α . E¿Ó x ∈ G, ÙfiÙ x ∈ G α , ÁÈ· οÔÈÔ ‰Â›ÎÙË α. ∂ÊfiÛÔÓ ÙÔ x Â›Ó·È ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ G α , Â›Ó·È Â›Û˘ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ G. ∂Ô̤ӈ˜ ÙÔ G Â›Ó·È ·ÓÔÈÎÙfi. ∞˘Ùfi ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÈ ÙÔ (·). §fiÁˆ ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 2.22, ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ c Fα = Fαc (21) (Á) °È· n ÙÔ i=1 G i (‰) °È· n ÙÔ i=1 Fi
οıÂ Â›Ó·È Î¿ı ›ӷÈ
α∈A
α∈A
Î·È ÙÔ Fαc Â›Ó·È ·ÓÔÈÎÙfi ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË α, Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 2.23. ™˘ÓÂÒ˜, ÙÔ (·) Û˘Ó¿ÁÂÙ·È fiÙÈ ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ (21) Â›Ó·È ·ÓÔÈÎÙfi, ¿Ú· ÙÔ α∈A Fα Â›Ó·È ÎÏÂÈÛÙfi. n ∂Ó Û˘Ó¯›·, ı¤ÙÔ˘Ì ∏ = i=1 G i . °È· οı x ∈ H ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÂÚÈÔ¯¤˜ Ni ÙÔ˘ x Ì ·ÎÙ›Ó· ri Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ Ni ⊂ G i , ÁÈ· οı i = 1, 2, . . . , n. £¤ÙÔ˘Ì r = min{r1 , . . . , rn } Î·È ıˆÚԇ̠ÙËÓ ÂÚÈÔ¯‹ N ÙÔ˘ x Ì ·ÎÙ›Ó· r . ∆fiÙÂ, N ⊂ G i ÁÈ· οı i = 1, 2, . . . , n. ÕÚ·, N ⊂ H Î·È ÂÔ̤ӈ˜ ÙÔ H Â›Ó·È ·ÓÔÈÎÙfi. §·Ì‚¿ÓÔÓÙ·˜ Û˘ÌÏËÚÒÌ·Ù·, ÙÔ (‰) ¤ÂÙ·È ·fi ÙÔ (Á): c n n Fi = Fic . i=1
i=1
¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 2.25. ™Ù· ̤ÚË (Á) Î·È (‰) ÙÔ˘ ÚÔËÁÔ˘Ì¤ÓÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜, Ë Û˘Óı‹ÎË ÂÚ› ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ˘ Ï‹ıÔ˘˜ Â›Ó·È Ô˘ÛÈ҉˘. °È· Ó· ÙÔ ‰ÈηÈÔÏÔ Á‹ÛÔ˘Ì ·˘Ùfi, ·˜ ı¤ÛÔ˘Ì G n ÙÔ ·ÓÔÈÎÙfi ‰È¿ÛÙËÌ· − n1 , n1 (n = 1, 2, 3, . . . ). TfiÙÂ, ÙÔ G n Â›Ó·È ·ÓÔÈÎÙfi ‰È¿ÛÙËÌ· ÙÔ˘ R 1 ÁÈ· οı n = 1, 2, 3, . . . . ŸÌˆ˜, ∞ ÙÔ G = i=1 G i ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi ¤Ó· Î·È ÌfiÓÔ ÛËÌÂ›Ô (ÙÔ 0) Î·È ÂÔ̤ӈ˜ ‰ÂÓ Â›Ó·È ·ÓÔÈÎÙfi ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ R 1 .
54
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
∂Ô̤ӈ˜, Ë ÙÔÌ‹ ·¤Ú·ÓÙ˘ Û˘ÏÏÔÁ‹˜ ·ÓÔÈÎÙÒÓ Û˘ÓfiÏˆÓ ‰ÂÓ Â›Ó·È ¿ÓÙÔÙ ·ÓÔÈÎÙfi Û‡ÓÔÏÔ. ¶·ÚÔÌÔ›ˆ˜, Ë ¤ÓˆÛË ·¤Ú·ÓÙ˘ Û˘ÏÏÔÁ‹˜ ÎÏÂÈÛÙÒÓ Û˘ÓfiÏˆÓ ‰ÂÓ Â›Ó·È ¿ÓÙÔÙ ÎÏÂÈÛÙfi Û‡ÓÔÏÔ. OÚÈÛÌfi˜ 2.26. ∞˜ Â›Ó·È X ¤Ó·˜ ÌÂÙÚÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ Î·È E ⊂ X . E¿Ó E ‰ËÏÒÓÂÈ ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÔÚÈ·ÎÒÓ ÛËÌ›ˆÓ ÙÔ˘ ∂, ÙfiÙÂ Ë ÎÏÂÈÛÙ‹ ı‹ÎË (‹ ·ÏÏÈÒ˜ (ÙÔÔÏÔÁÈÎfi) Î¿Ï˘ÌÌ·) ÙÔ˘ ∂ ÔÚ›˙ÂÙ·È ˆ˜ ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ E = E ∪ E . £ÂÒÚËÌ· 2.27. E¿Ó X Â›Ó·È ¤Ó·˜ ÌÂÙÚÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ Î·È E ⊂ X , ÙfiÙ (·)∆Ô E Â›Ó·È ÎÏÂÈÛÙfi. (‚) E = E Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ÙÔ ∂ Â›Ó·È ÎÏÂÈÛÙfi. (Á) E ⊂ F ÁÈ· οı ÎÏÂÈÛÙfi Û‡ÓÔÏÔ F ⊂ X Ì E ⊂ F. ∞fi Ù· (·) Î·È (Á) ¤ÂÙ·È fiÙÈ ÙÔ E Â›Ó·È ÙÔ ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ÎÏÂÈÛÙfi ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ Ã Ô˘ ÂÚȤ¯ÂÈ ÙÔ ∂. Afi‰ÂÈÍË. (·) E¿Ó p ∈ X Î·È p ∈ / E, ÙfiÙ ÙÔ p ‰ÂÓ Â›Ó·È ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ E Ô‡Ù ÔÚÈ·Îfi ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ E. ÕÚ·, ÙÔ p ¤¯ÂÈ Ì›· ÂÚÈÔ¯‹ Ë ÔÔ›· ‰ÂÓ Ù¤ÌÓÂÈ ÙÔ E. ∂Ô̤ӈ˜, ÙÔ Û˘Ìϋڈ̷ ÙÔ˘ E Â›Ó·È ·ÓÔÈÎÙfi, ‰ËÏ·‰‹ ÙÔ E Â›Ó·È ÎÏÂÈÛÙfi. (‚) E¿Ó E = E, ÙfiÙ ÙÔ (·) Û˘Ó¿ÁÂÙ·È fiÙÈ ÙÔ E Â›Ó·È ÎÏÂÈÛÙfi. E¿Ó ÙÔ E Â›Ó·È ÎÏÂÈÛÙfi, ÙfiÙ E ⊂ E (Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ˘˜ √ÚÈÛÌÔ‡˜ 2.18(‰) Î·È 2.26) Î·È ÂÔ̤ӈ˜ E = E. (Á) E¿Ó ÙÔ F Â›Ó·È ÎÏÂÈÛÙfi Û‡ÓÔÏÔ Ì E ⊂ F, ÙfiÙ F ⊂ F, ¿Ú· E ⊂ F. ∫·Ù¿ Û˘Ó¤ÂÈ·, E ⊂ F. £ÂÒÚËÌ· 2.28. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ ∂ Â›Ó·È ¤Ó· ÌË ÎÂÓfi Î·È ¿Óˆ ÊÚ·Á̤ÓÔ Û‡ÓÔÏÔ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ. E¿Ó y = sup E, ÙfiÙ y ∈ E. (™˘ÓÂÒ˜ y ∈ E, Â¿Ó ÙÔ ∂ Â›Ó·È ÎÏÂÈÛÙfi). ™˘ÁÎÚ›ÓÂÙ ÙÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· ·˘Ùfi Ì ٷ ·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù· ÛÙËÓ ∂ÓfiÙËÙ· 1.9. / E. °È· οı Afi‰ÂÈÍË. E¿Ó y ∈ E, ÙfiÙ y ∈ E. ÀÔı¤ÙÔ˘Ì ÏÔÈfiÓ fiÙÈ y ∈ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi h Ì h > 0 ˘¿Ú¯ÂÈ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô x ∈ E Ì y − h < x < y,
µ∞™π∫∂™ ∆√¶√§√°π∫∂™ £∂øƒ∏™∂π™ 55
·ÏÏÈÒ˜ ÙÔ y − h ı· ‹Ù·Ó ¿Óˆ ÊÚ¿ÁÌ· ÙÔ˘ ∂. ™˘ÓÂÒ˜, ÙÔ y Â›Ó·È ÔÚÈ·Îfi ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ∂, ÁÂÁÔÓfi˜ Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ y ∈ E. ¶·Ú·Ù‹ÚËÛË 2.29. ÀÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ E ⊂ Y ⊂ X , fiÔ˘ X Â›Ó·È ¤Ó·˜ ÌÂÙÚÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜. §¤ÁÔÓÙ·˜ fiÙÈ ÙÔ E Â›Ó·È ·ÓÔÈÎÙfi ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ X ÂÓÓÔԇ̠fiÙÈ ÁÈ· οı ÛËÌÂ›Ô p ∈ E ˘¿Ú¯ÂÈ ıÂÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ r Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙÂ Â¿Ó q ∈ X Î·È d( p, q) < r , ÙfiÙ q ∈ E. ŸÌˆ˜, ¤¯Ô˘Ì ‹‰Ë ·Ú·ÙËÚ‹ÛÂÈ (∂ÓfiÙËÙ· 2.16) fiÙÈ Ô Y Â›Ó·È Â›Û˘ ÌÂÙÚÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ Î·È ÂÔ̤ӈ˜ ÔÈ ·Ú·¿Óˆ ÔÚÈÛÌÔ› ÂÊ·ÚÌfi˙ÔÓÙ·È ÂÍ›ÛÔ˘ ÛÙÔÓ Y . °È· Ó· Á›ÓÔ˘Ì ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔ Û·Ê›˜, ÔÚ›˙Ô˘Ì ÁÈ· ÙÔ E Ó· ϤÁÂÙ·È ·ÓÔÈÎÙfi ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔÓ À Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ÁÈ· οı ÛËÌÂ›Ô p ∈ E ˘¿Ú¯ÂÈ ıÂÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ r Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙÂ Â¿Ó q ∈ À Î·È d( p, q) < r , ÙfiÙ q ∈ E. ™ÙÔ ¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 2.21(˙) Ê·›ÓÂÙ·È fiÙÈ ¤Ó· Û‡ÓÔÏÔ ÌÔÚ› Ó· Â›Ó·È ·ÓÔÈÎÙfi ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔÓ À ‰›¯ˆ˜ Ó· Â›Ó·È ·ÓÔÈÎÙfi ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ Ã. ŸÌˆ˜, ˘¿Ú¯ÂÈ Ì›· ·Ï‹ Û¯¤ÛË ÌÂٷ͇ ·˘ÙÒÓ ÙˆÓ ÂÓÓÔÈÒÓ, fiˆ˜ ‰È·Ù˘ÒÓÂÙ·È ·Ú·Î¿Ùˆ. £ÂÒÚËÌ· 2.30. ÀÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ Y ⊂ X . ŒÓ· ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ E ÙÔ˘ Y Â›Ó·È ·ÓÔÈÎÙfi ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔÓ Y Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó E = Y ∩ G ÁÈ· οÔÈÔ ·ÓÔÈÎÙfi ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ G ÙÔ˘ X . Afi‰ÂÈÍË. ÀÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ ∂ Â›Ó·È ·ÓÔÈÎÙfi ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔÓ Y . °È· οı p ∈ E ˘¿Ú¯ÂÈ ¤Ó·˜ ıÂÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ r p Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙÂ Â¿Ó q ∈ Y Ì d( p, q) < r p , ÙfiÙ q ∈ E. A˜ Â›Ó·È V p ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ q ∈ X Ì d( p, q) < r p . √Ú›˙Ô˘Ì Vp. G= p∈E
TfiÙÂ, ÙÔ G Â›Ó·È ·ÓÔÈÎÙfi ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ Ã, Û‡Ìʈӷ Ì ٷ £ÂˆÚ‹Ì·Ù· 2.19 Î·È 2.24. ∂ÊfiÛÔÓ p ∈ V p ÁÈ· οı p ∈ E, Â›Ó·È Û·Ê¤˜ fiÙÈ E ⊂ G ∩ Y . ∂Í ÔÚÈÛÌÔ‡ ÙˆÓ V p ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ V p ∩ Y ⊂ E ÁÈ· οı p ∈ E Î·È ÂÔ̤ӈ˜ G ∩ Y ⊂ E. ÕÚ·, E = G ∩ Y . ∞ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ , Â¿Ó G Â›Ó·È ·ÓÔÈÎÙfi ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ Ã Î·È E = G ∩ Y , ÙfiÙ οı p ∈ E ¤¯ÂÈ Ì›· ÂÚÈÔ¯‹ V p ⊂ G. ÕÚ·, V p ∩ Y ⊂ E Î·È ÂÔ̤ӈ˜ ÙÔ E Â›Ó·È ·ÓÔÈÎÙfi ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔÓ À.
56
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
™Àª¶∞°∏ ™À¡√§∞ OÚÈÛÌfi˜ 2.31. ªÂ ÙÔÓ fiÚÔ ·ÓÔÈÎÙ‹ Î¿Ï˘„Ë ÂÓfi˜ Û˘ÓfiÏÔ˘ E Û ¤Ó·Ó ÌÂÙÚÈÎfi ¯ÒÚÔ X ÂÓÓÔԇ̛̠· Û˘ÏÏÔÁ‹ {G α } (α ∈ A) ·ÓÔÈÎÙÒÓ ˘ÔÛ˘ÓfiÏˆÓ ÙÔ˘ à ԇو˜ ÒÛÙ E ⊂ α∈A G α . OÚÈÛÌfi˜ 2.32. ŒÓ· ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ K ÂÓfi˜ ÌÂÙÚÈÎÔ‡ ¯ÒÚÔ˘ ϤÁÂÙ·È Û˘Ì·Á¤˜ Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó Î¿ı ·ÓÔÈÎÙ‹ Î¿Ï˘„Ë ÙÔ˘ K ¤¯ÂÈ ÂÂÚ·Ṳ̂ÓË ˘ÔÎ¿Ï˘„Ë. ¶ÈÔ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ӷ, Ë ··›ÙËÛË ÙÔ˘ ÔÚÈÛÌÔ‡ Â›Ó·È Ë ÂÍ‹˜: Â¿Ó {G α } (α ∈ A) Â›Ó·È ·ÓÔÈÎÙ‹ Î¿Ï˘„Ë ÙÔ˘ K , ÙfiÙ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ‰Â›ÎÙ˜ α1 , . . . , αn Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ K ⊂ G α1 ∪ · · · ∪ G αn . ∏ ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ Û˘Ì¿ÁÂÈ·˜ η٤¯ÂÈ ıÂÌÂÏÈÒ‰Ë ÚfiÏÔ ÛÙËÓ AÓ¿Ï˘ÛË, ȉȷÈÙ¤Úˆ˜ Û ۯ¤ÛË Ì ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· (∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 4). ∂›Ó·È ۷ʤ˜ fiÙÈ Î¿ı ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ Û‡ÓÔÏÔ Â›Ó·È Û˘Ì·Á¤˜. ∞fi ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 2.41 ÚÔ·ÙÂÈ Ë ‡·ÚÍË Â˘Ú›·˜ ÎÏ¿Ûˆ˜ ·¤Ú·ÓÙˆÓ Û˘Ì·ÁÒÓ ˘ÔÛ˘ÓfiÏˆÓ ÙÔ˘ R k . Œ¯Ô˘Ì ‰È·ÈÛÙÒÛÂÈ ÛÙËÓ ∂ÓfiÙËÙ· 2.29 fiÙÈ Â¿Ó E ⊂ Y ⊂ X , ÙfiÙ ÙÔ ∂ ÌÔÚ› Ó·È Â›Ó·È ·ÓÔÈÎÙfi ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔÓ À ‰›¯ˆ˜ Ó· Â›Ó·È ·ÓÔÈÎÙfi ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔÓ Ã. ∂Ô̤ӈ˜, Ë È‰ÈfiÙËÙ· ÙÔ˘ ·ÓÔÈÎÙÔ‡ Û˘ÓfiÏÔ˘ ÂÍ·ÚÙ¿Ù·È ·fi ÙÔÓ ÂÚÈ‚¿ÏÏÔÓÙ· ¯ÒÚÔ ÙÔ˘ ∂. ∆Ô ›‰ÈÔ ·ÏËı‡ÂÈ Î·È ÁÈ· Ù· ÎÏÂÈÛÙ¿ Û‡ÓÔÏ·. ŸÌˆ˜, fiˆ˜ ı· ‰È·ÈÛÙÒÛÔ˘Ì ÛÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ·, Ù· Û˘Ì·Á‹ Û‡ÓÔÏ· ¤¯Ô˘Ó ÔÌ·ÏfiÙÂÚË Û˘ÌÂÚÈÊÔÚ¿. ¶ÚÔÛˆÚÈÓ¿, ÙÔ ∫ ı· ϤÁÂÙ·È Û˘Ì·Á¤˜ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔÓ Ã Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ÈηÓÔÔÈÔ‡ÓÙ·È ÔÈ Û˘Óı‹Î˜ ÙÔ˘ √ÚÈÛÌÔ‡ 2.32. £ÂÒÚËÌ· 2.33. ÀÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ K ⊂ Y ⊂ X . ∆fiÙÂ, ÙÔ ∫ Â›Ó·È Û˘Ì·Á¤˜ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔÓ Ã Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó Â›Ó·È Û˘Ì·Á¤˜ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔÓ À. ÿÚË Û ·˘Ùfi ÙÔ ıÂÒÚËÌ·, ÌÔÚԇ̠ӷ ıˆÚԇ̠ٷ Û˘Ì·Á‹ Û‡ÓÔÏ· ˆ˜ ÌÂÙÚÈÎÔ‡˜ ¯ÒÚÔ˘˜, ‰›¯ˆ˜ Ó· ‰›‰Ô˘Ì ÚÔÛÔ¯‹ ÛÙÔÓ ÂÚÈ‚¿ÏÏÔÓÙ· ¯ÒÚÔ. π‰È·ÈÙ¤Úˆ˜, ·Ó Î·È ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ ÓfiËÌ· Ë ¤ÓÓÔÈ· ÙˆÓ ·ÓÔÈÎÙÒÓ ‹ ÎÏÂÈÛÙÒÓ ¯ÒÚˆÓ (οı ÌÂÙÚÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ Â›Ó·È ·ÓÔÈÎÙfi Î·È ÎÏÂÈÛÙfi ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ ·˘ÙÔ‡ ÙÔ˘), ¤¯ÂÈ ÓfiËÌ· Ë ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ Û˘Ì·ÁÔ‡˜ ¯ÒÚÔ˘.
µ∞™π∫∂™ ∆√¶√§√°π∫∂™ £∂øƒ∏™∂π™ 57
Afi‰ÂÈÍË. ÀÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ K Â›Ó·È Û˘Ì·Á¤˜ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔÓ Ã. ∞˜ Â›Ó·È {Vα } (α ∈ A) Ì›· Û˘ÏÏÔÁ‹ ·ÓÔÈÎÙÒÓ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔÓ Y Û˘ÓfiÏˆÓ Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ ∫ ⊂ α∈A Vα . ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 2.30, ˘¿Ú¯ÂÈ Û˘ÏÏÔÁ‹ Û˘ÓfiÏˆÓ {G α } (α ∈ A), ·ÓÔÈÎÙÒÓ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔÓ Ã, Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ Vα = Y ∩ G α ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË α ∈ A. EÊfiÛÔÓ ÙÔ K Â›Ó·È Û˘Ì·Á¤˜ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔÓ Ã, ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ K ⊂ G α1 ∪ · · · ∪ G αn
(22)
ÁÈ· οÔÈÔ˘˜ ‰Â›ÎÙ˜ α1 , . . . , αn . ∂ÊfiÛÔÓ K ⊂ Y , Ë (22) Û˘Ó¿ÁÂÙ·È fiÙÈ K ⊂ Vα1 ∪ · · · ∪ Vαn .
(23)
A˘Ùfi ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÈ fiÙÈ ÙÔ ∫ Â›Ó·È Û˘Ì·Á¤˜ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔÓ À. ∞ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜, ˘Ôı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ ∫ Â›Ó·È Û˘Ì·Á¤˜ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔÓ À. £ÂˆÚԇ̛̠· Û˘ÏÏÔÁ‹ {G α } (α ∈ A) ·ÓÔÈÎÙÒÓ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔÓ X Û˘ÓfiÏˆÓ Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ ∫ ⊂ α∈A G α . £¤ÙÔ˘Ì Vα = Y ∩ G α ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË α ∈ A. ∆fiÙÂ, ÈÛ¯‡ÂÈ Ë (23) ÁÈ· οÔÈÔ˘˜ ‰Â›ÎÙ˜ α1 , . . . , αn . ∂ÊfiÛÔÓ Vα ⊂ G α ÁÈ· οı α ∈ A, Ë (23) Û˘Ó¿ÁÂÙ·È ÙËÓ (22). ∞˘Ùfi ÔÏÔÎÏËÚÒÓÂÈ ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË. £ÂÒÚËÌ· 2.34. K¿ıÂ Û˘Ì·Á¤˜ ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÂÓfi˜ ÌÂÙÚÈÎÔ‡ ¯ÒÚÔ˘ Â›Ó·È ÎÏÂÈÛÙfi. Afi‰ÂÈÍË. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ K Â›Ó·È ¤Ó· Û˘Ì·Á¤˜ ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÂÓfi˜ ÌÂÙÚÈÎÔ‡ ¯ÒÚÔ˘ X . £· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ Û˘Ìϋڈ̷ ÙÔ˘ ∫ Â›Ó·È ·ÓÔÈÎÙfi ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ X . £ÂˆÚԇ̠p ∈ X Ì p ∈ / K . E¿Ó q ∈ K , ÙfiÙ ıˆÚԇ̠ÙȘ ÂÚÈÔ¯¤˜ Vq ÙÔ˘ p Î·È Wq ÙÔ˘ q ·ÎÙ›Ó·˜ ÌÈÎÚfiÙÂÚ˘ ·fi ÙÔÓ 12 d( p, q) (·Ó·ÙÚ¤ÍÙ ÛÙÔÓ √ÚÈÛÌfi 2.18(·)). ∂ÊfiÛÔÓ ÙÔ K Â›Ó·È Û˘Ì·Á¤˜, ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÛËÌ›· q1 , . . . , qn ÙÔ˘ K Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ K ⊂ Wq1 ∪ · · · ∪ Wqn = W. E¿Ó V = Vq1 ∩ · · · ∩ Vqn , ÙfiÙ ÙÔ V Â›Ó·È ÂÚÈÔ¯‹ ÙÔ˘ p Ë ÔÔ›· ‰ÂÓ Ù¤ÌÓÂÈ ÙÔ W . ∫·Ù¿ Û˘Ó¤ÂÈ·, V ⊂ K c , ‰ËÏ·‰‹ ÙÔ p Â›Ó·È ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ K c . M ·˘Ùfi ¤ÂÙ·È ÙÔ ıÂÒÚËÌ·.
58
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
£ÂÒÚËÌ· 2.35. K¿ı ÎÏÂÈÛÙfi ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÂÓfi˜ Û˘Ì·ÁÔ‡˜ Û˘ÓfiÏÔ˘ Û ¤Ó·Ó ÌÂÙÚÈÎfi ¯ÒÚÔ Â›Ó·È Û˘Ì·Á¤˜. Afi‰ÂÈÍË. ÀÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ F ⊂ K ⊂ X , fiÔ˘ ÙÔ F Â›Ó·È ÎÏÂÈÛÙfi (ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔÓ Ã) Î·È ÙÔ K Â›Ó·È Û˘Ì·Á¤˜. £ÂˆÚԇ̛̠· ·ÓÔÈÎÙ‹ Î¿Ï˘„Ë {Vα } (α ∈ A) ÙÔ˘ F. E¿Ó ÙÔ F c ÚÔÛ·ÚÙËı› ÛÙË Û˘ÏÏÔÁ‹ {Vα } (α ∈ A), ÙfiÙ Ϸ̂¿ÓÔ˘Ì ̛· ·ÓÔÈÎÙ‹ Î¿Ï˘„Ë ÙÔ˘ K . ∂ÊfiÛÔÓ ÙÔ ∫ Â›Ó·È Û˘Ì·Á¤˜, ˘¿Ú¯ÂÈ Ì›· ÂÂÚ·Ṳ̂ÓË ˘ÔÛ˘ÏÏÔÁ‹ Ù˘ Ë ÔÔ›· ηχÙÂÈ ÙÔ K , ¿Ú· Î·È ÙÔ F. E¿Ó ÙÔ F c Â›Ó·È Ì¤ÏÔ˜ Ù˘ , ÙfiÙ ÙÔ ÂÍ·ÈÚԇ̠·fi ·˘Ù‹Ó Î·È ¤¯Ô˘Ì ¿ÏÈ Ì›· ·ÓÔÈÎÙ‹ Î¿Ï˘„Ë ÙÔ˘ F. ™˘ÓÂÒ˜, ¤¯Ô˘Ì ·Ô‰Â›ÍÂÈ fiÙÈ Ì›· ÂÂÚ·Ṳ̂ÓË ˘ÔÛ˘ÏÏÔÁ‹ Ù˘ {Vα } (α ∈ A) ηχÙÂÈ ÙÔ F. ¶fiÚÈÛÌ·. E¿Ó ÙÔ F Â›Ó·È ÎÏÂÈÛÙfi Î·È ÙÔ ∫ Û˘Ì·Á¤˜, ÙfiÙ ÙÔ F ∩ K Â›Ó·È Û˘Ì·Á¤˜. Afi‰ÂÈÍË. ∆· £ÂˆÚ‹Ì·Ù· 2.24(‚) Î·È 2.34 Ê·ÓÂÚÒÓÔ˘Ó fiÙÈ ÙÔ F ∩ K Â›Ó·È ÎÏÂÈÛÙfi. ∂ÊfiÛÔÓ F ∩ K ⊂ K , ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 2.35 Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ ÙÔ F ∩ K Â›Ó·È Û˘Ì·Á¤˜.
£ÂÒÚËÌ· 2.36. E¿Ó {K α } (α ∈ A) Â›Ó·È Ì›· Û˘ÏÏÔÁ‹ Û˘Ì·ÁÒÓ ˘ÔÛ˘ÓfiÏˆÓ ÂÓfi˜ ÌÂÙÚÈÎÔ‡ ¯ÒÚÔ˘ X Ì ÙËÓ È‰ÈfiÙËÙ· fiÙÈ Ë ÙÔÌ‹ οı ÂÂÚ·Ṳ̂Ó˘ ˘ÔÛ˘ÏÏÔÁ‹˜ Ù˘ {K α } (α ∈ A) Â›Ó·È ÌË ÎÂÓ‹, ÙfiÙ ÙÔ α∈A K α Â›Ó·È ÌË ÎÂÓfi. Afi‰ÂÈÍË. £ÂˆÚԇ̠¤Ó· ̤ÏÔ˜ K 1 Ù˘ {K α } (α ∈ A) Î·È ı¤ÙÔ˘Ì G α = K αc (α ∈ A). ÀÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ Î·Ó¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ K 1 ‰ÂÓ ·Ó‹ÎÂÈ Û οı ۇÓÔÏÔ K α . TfiÙÂ, Ë Û˘ÏÏÔÁ‹ {G α } (α ∈ A) Â›Ó·È ·ÓÔÈÎÙ‹ Î¿Ï˘„Ë ÙÔ˘ K 1 . ∂ÊfiÛÔÓ ÙÔ K 1 Â›Ó·È Û˘Ì·Á¤˜, ˘¿Ú¯Ô˘Ó ‰Â›ÎÙ˜ α1 , . . . , αn Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ K 1 ⊂ G α1 ∪ · · · ∪ G αn . ∞˘Ùfi ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ ÙÔ K 1 ∩ K α1 ∩ · · · ∩ K αn Â›Ó·È ÎÂÓfi, ÁÂÁÔÓfi˜ Ô˘ ·ÓÙÈ‚·›ÓÂÈ ÛÙËÓ ˘fiıÂÛË Ì·˜.
µ∞™π∫∂™ ∆√¶√§√°π∫∂™ £∂øƒ∏™∂π™ 59
¶fiÚÈÛÌ·. E¿Ó {K n } (n = 1, 2, 3, . . . ) Â›Ó·È Ì›· Û˘ÏÏÔÁ‹ ÌË ÎÂÓÒÓ Û˘Ì·ÁÒÓ ˘ÔÛ˘ÓfiÏˆÓ ÂÓfi˜ ÌÂÙÚÈÎÔ‡ ¯ÒÚÔ˘ Ì K n+1 ⊂ K n (n = 1, 2, 3, . . . ), ÙfiÙ ÙÔ ∞ n=1 K n ‰ÂÓ Â›Ó·È ÎÂÓfi. £ÂÒÚËÌ· 2.37. E¿Ó E Â›Ó·È ¤Ó· ·¤Ú·ÓÙÔ ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÂÓfi˜ Û˘Ì·ÁÔ‡˜ Û˘ÓfiÏÔ˘ K , ÙfiÙ ÙÔ E ¤¯ÂÈ ¤Ó· ÔÚÈ·Îfi ÛËÌÂ›Ô ÛÙÔ K . Afi‰ÂÈÍË. E¿Ó ηӤӷ ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ K ‰ÂÓ Â›Ó·È ÔÚÈ·Îfi ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ E, ÙfiÙ οı q ∈ K ¤¯ÂÈ Ì›· ÂÚÈÔ¯‹ Vq Ë ÔÔ›· ÂÚȤ¯ÂÈ ÙÔ Ôχ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ E (ÙÔ q, Â¿Ó q ∈ E). ∂›Ó·È ۷ʤ˜ ÙÒÚ· fiÙÈ Î·Ì›· ÂÂÚ·Ṳ̂ÓË ˘ÔÛ˘ÏÏÔÁ‹ Ù˘ {Vq } (q ∈ K ) ‰ÂÓ ÌÔÚ› Ó· ηχ„ÂÈ ÙÔ E Î·È ÂÔ̤ӈ˜ ÙÔ K , ÂÊfiÛÔÓ E ⊂ K . ∞˘Ùfi fï˜ ·ÓÙÈ‚·›ÓÂÈ ÛÙËÓ ˘fiıÂÛË ÂÚ› Û˘Ì¿ÁÂÈ·˜ ÙÔ˘ K . £ÂÒÚËÌ· 2.38. E¿Ó {In } (n = 1, 2, 3, . . . ) Â›Ó·È Ì›· Û˘ÏÏÔÁ‹ ÎÏÂÈÛÙÒÓ ‰È·ÛÙËÌ¿ÙˆÓ ÙÔ˘ R 1 Ì In+1 ⊂ In (n = 1, 2, 3, . . . ), ÙfiÙ ÙÔ ∞ n=1 In ‰ÂÓ Â›Ó·È ÎÂÓfi. Afi‰ÂÈÍË. ÀÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ In = [an , bn ] ÁÈ· οı n = 1, 2, 3, . . . . ∞˜ Â›Ó·È E ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ an , fiÔ˘ n = 1, 2, 3, . . . . TfiÙÂ, ÙÔ E Â›Ó·È ÌË ÎÂÓfi Î·È ¿Óˆ ÊÚ·Á̤ÓÔ (·fi ÙÔ b1 ). A˜ Â›Ó·È x = sup E. E¿Ó m, n Â›Ó·È ıÂÙÈÎÔ› ·Î¤Ú·ÈÔÈ ·ÚÈıÌÔ›, ÙfiÙ an ≤ am+n ≤ bm+n ≤ bm , ÂÔ̤ӈ˜ x ≤ bm ÁÈ· οı ıÂÙÈÎfi ·Î¤Ú·ÈÔ ·ÚÈıÌfi m. ∂ÊfiÛÔÓ ÈÛ¯‡ÂÈ Â›Û˘ am ≤ x, ÁÈ· οı ıÂÙÈÎfi ·Î¤Ú·ÈÔ ·ÚÈıÌfi m, ¤ÂÙ·È fiÙÈ x ∈ Im , ÁÈ· m = 1, 2, 3, . . . . £ÂÒÚËÌ· 2.39. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ k Â›Ó·È ¤Ó·˜ ıÂÙÈÎfi˜ ·Î¤Ú·ÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜. E¿Ó {In } (n = 1, 2, 3, . . . ) Â›Ó·È Ì›· Û˘ÏÏÔÁ‹ k-‰È·ÛÙËÌ¿ÙˆÓ Ì In+1 ⊂ In (n = 1, 2, 3, . . . ), ÙfiÙ ÙÔ ∞ n=1 In ‰ÂÓ Â›Ó·È ÎÂÓfi. Afi‰ÂÈÍË. ÀÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ In ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi Ù· ÛËÌ›· x = (x1 , . . . , xk ) Ì an, j ≤ x j ≤ bn, j (1 ≤ j ≤ k, n = 1, 2, 3, . . . )
60
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
Î·È ı¤ÙÔ˘Ì In, j = [an, j , bn, j ]. °È· οı ‰Â›ÎÙË j, Ë Û˘ÏÏÔÁ‹ {πn, j } (n = 1, 2, 3, . . . ) ÈηÓÔÔÈ› ÙȘ ˘Ôı¤ÛÂȘ ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 2.38. ™˘ÓÂÒ˜, ˘¿Ú¯Ô˘Ó Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› x j (1 ≤ j ≤ k), Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ an, j ≤ x j ≤ bn, j
(1 ≤ j ≤ k, n = 1, 2, 3, . . . ).
£¤ÙÔÓÙ·˜ x = (x1 , . . . , xk ) ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì fiÙÈ x ∈ In ÁÈ· οı n = 1, 2, 3, . . . . M ·˘Ùfi ¤¯Ô˘Ì ÙÔ ˙ËÙÔ‡ÌÂÓÔ. £ÂÒÚËÌ· 2.40. ∫¿ı k-‰È¿ÛÙËÌ· Â›Ó·È Û˘Ì·Á¤˜. Afi‰ÂÈÍË. £ÂˆÚԇ̠¤Ó· k-‰È¿ÛÙËÌ· I , ·ÔÙÂÏÔ‡ÌÂÓÔ ·fi Ù· ÛËÌ›· x = (x1 , . . . , xk ) Ì a j ≤ x j ≤ b j (1 ≤ j ≤ k). £¤ÙÔ˘Ì 1/2 k (b j − a j )2 . δ= j=1
TfiÙÂ, |x − y| ≤ δ ÁÈ· οı x, y ∈ I . ÀÔı¤ÙÔ˘ÌÂ, ÁÈ· Ó· ηٷϋÍÔ˘Ì Û ·ÓٛʷÛË, fiÙÈ ˘¿Ú¯ÂÈ Ì›· ·ÓÔÈÎÙ‹ Î¿Ï˘„Ë {G α } (α ∈ A) ÙÔ˘ I Ë ÔÔ›· ‰ÂÓ ÂÚȤ¯ÂÈ Î·Ì›· ÂÂÚ·Ṳ̂ÓË ˘ÔÎ¿Ï˘„Ë ÙÔ˘ I . £¤ÙÔ˘Ì c j = (a j +b j )/2 (1 ≤ j ≤ k). ∆fiÙÂ, Ù· ‰È·ÛÙ‹Ì·Ù· [a j , c j ] Î·È [c j , b j ] ηıÔÚ›˙Ô˘Ó 2k k-‰È·ÛÙ‹Ì·Ù· Q i (i = 1, 2, . . . 2k ), Ë ¤ÓˆÛË ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ Â›Ó·È ÙÔ π. ∆Ô˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ ¤Ó· ·fi ·˘Ù¿ Ù· Û‡ÓÔÏ·, ÙÔ ÔÔ›Ô ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì I1 , ‰ÂÓ Î·Ï‡ÙÂÙ·È ·fi η̛· ÂÂÚ·Ṳ̂ÓË ˘ÔÛ˘ÏÏÔÁ‹ Ù˘ {G α } (α ∈ A) (·ÏÏÈÒ˜ ı· ÌÔÚÔ‡Û ӷ Î·Ï˘Êı› Î·È ÙÔ π). AÎÔÏÔ‡ıˆ˜, ˘Ô‰È·ÈÚԇ̠ÙÔ I1 Ì ÙÔÓ ›‰ÈÔ ÙÚfiÔ Î·È Â·Ó·Ï·Ì‚¿ÓÔ˘Ì ·˘Ù‹Ó ÙË ‰È·‰Èηۛ·. ∆fiÙÂ, ·ÔÎÙԇ̛̠· ·ÎÔÏÔ˘ı›· k-‰È·ÛÙËÌ¿ÙˆÓ {In } (n = 1, 2, 3, . . . ) Ì ÙȘ ·ÎfiÏÔ˘ı˜ ȉÈfiÙËÙ˜: (·) · · · ⊂ I3 ⊂ I2 ⊂ I1 ⊂ I . (‚) To In ‰ÂÓ Î·Ï‡ÙÂÙ·È ·fi η̛· ÂÂÚ·Ṳ̂ÓË ˘ÔÛ˘ÏÏÔÁ‹ Ù˘ {G α } (α ∈ A). (Á) E¿Ó x, y ∈ In , ÙfiÙ |x − y| ≤ 2−n δ (n = 1, 2, 3, . . . ). ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔ (·) Î·È ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 2.39, ˘¿Ú¯ÂÈ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô x ÙÔ ÔÔ›Ô ‚Ú›ÛÎÂÙ·È Û οı In . °È· οÔÈÔ ‰Â›ÎÙË α ∈ A Â›Ó·È x ∈ G α . ∂ÊfiÛÔÓ ÙÔ
µ∞™π∫∂™ ∆√¶√§√°π∫∂™ £∂øƒ∏™∂π™ 61
G α Â›Ó·È ·ÓÔÈÎÙfi, ˘¿Ú¯ÂÈ r > 0 Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙÂ Â¿Ó |y − x | < r , ÙfiÙ y ∈ G α . E¿Ó ÂÈϤÍÔ˘Ì ıÂÙÈÎfi ·Î¤Ú·ÈÔ ·ÚÈıÌfi n ·ÚÎÔ‡ÓÙˆ˜ ÌÂÁ¿ÏÔ Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ 2−n δ < r (·ÚÈıÌfi˜ n Ì ·˘Ù‹Ó ÙËÓ È‰ÈfiÙËÙ· ˘¿Ú¯ÂÈ, ‰ÈfiÙÈ ·ÏÏÈÒ˜ ı· ›Û¯˘Â 2n ≤ δ/r ÁÈ· οı ıÂÙÈÎfi ·Î¤Ú·ÈÔ ·ÚÈıÌfi n, ÁÂÁÔÓfi˜ Ô˘ ·ÓÙÈ‚·›ÓÂÈ ÛÙËÓ ∞Ú¯ÈÌ‹‰ÂÈ· ȉÈfiÙËÙ· ÙÔ˘ R 1 ), ÙfiÙÂ Ë (Á) Û˘Ó¿ÁÂÙ·È fiÙÈ In ⊂ G α , Û¯¤ÛË Ë ÔÔ›· ·ÓÙ›ÎÂÈÙ·È ÛÙÔ (‚). ∞˘Ùfi ÔÏÔÎÏËÚÒÓÂÈ ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË. ∏ ÈÛÔ‰˘Ó·Ì›· ÙˆÓ (·) Î·È (‚) ÙÔ˘ ÂÔ̤ÓÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ Â›Ó·È ÁÓˆÛÙ‹ ˆ˜ ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ÙˆÓ Heine3 Î·È Borel4 . £ÂÒÚËÌ· 2.41. E¿Ó ¤Ó· ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ E ÙÔ˘ R k ¤¯ÂÈ Ì›· ·fi ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ȉÈfiÙËÙ˜, ÙfiÙ ¤¯ÂÈ Î·È ÙȘ ˘fiÏÔȘ ‰‡Ô: 3
™. Ù. M.: Eduard Heine (1821-1881). °ÂÚÌ·Ófi˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi˜, Ô ÔÔ›Ô˜ Û˘ÓÂÈÛ¤ÊÂÚ ÛËÌ·ÓÙÈο ÛÙËÓ AÓ¿Ï˘ÛË. Y‹ÚÍ ̷ıËÙ‹˜ ÙÔ˘ Carl Friedrich Gauss (1777-1855) Î·È ÙÔ˘ Gustav Peter Lejeune Dirichlet (1805-1859). 4 ™. Ù. M.: Felix Édouard Justin Émile Borel (1871-1956). °¿ÏÏÔ˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi˜ Ô ÔÔ›Ô˜ ÂÚÁ¿ÛıËΠÛÙËÓ AÓ¿Ï˘ÛË Î·È ·Ó¤Ù˘Í ÙËÓ ÚÒÙË ·ÔÙÂÏÂÛÌ·ÙÈ΋ £ÂˆÚ›· M¤ÙÚÔ˘ (ηٿ ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1898). H ÂÚÁ·Û›· ÙÔ˘, Ì·˙› Ì ÙȘ ÂÚÁ·Û›Â˜ ÙˆÓ Henri Léon Lebesgue (1875-1941) Î·È René Louis Baire (1874-1932), ÛËÌ·ÙÔ‰fiÙËÛ ÙËÓ ·Ú¯‹ Ù˘ Û‡Á¯ÚÔÓ˘ ¶Ú·ÁÌ·ÙÈ΋˜ AӷχÛˆ˜ Î·È £ÂˆÚ›·˜ M¤ÙÚÔ˘. E›Û˘, ‹Ù·Ó Ô ÚÒÙÔ˜ Ô˘ ·Ó¤Ù˘Í ̛· Û˘ÛÙËÌ·ÙÈ΋ ıˆڛ· ÁÈ· ÙȘ ·ÔÎÏ›ÓÔ˘Û˜ ÛÂÈÚ¤˜. EÎÙfi˜ ·˘ÙÒÓ, ›¯Â ÛËÌ·ÓÙÈ΋ ÂÚ¢ÓËÙÈ΋ ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ· ÛÙË £ÂˆÚ›· ¶Èı·ÓÔÙ‹ÙˆÓ Î·È ÛÙË £ÂˆÚ›· ¶·ÈÁÓ›ˆÓ. O Borel ‹Ù·Ó Ì·ıËÙ‹˜ ÙÔ˘ ÛÔ˘‰·›Ô˘ Ì·ıËÌ·ÙÈÎÔ‡ Charles Hermite (1822-1901). K·Ù¤Ï·‚ ·Î·‰ËÌ·˚΋ ı¤ÛË ÛÙËÓ École Normale Supérieure ÛÙÔ ¶·Ú›ÛÈ, ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1896. K·Ù¤Ï·‚ ÙËÓ ¤‰Ú· Ù˘ £ÂˆÚ›·˜ ™˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1909, Ë ÔÔ›· ‰ËÌÈÔ˘ÚÁ‹ıËΠ·ÔÎÏÂÈÛÙÈο ÁÈ· ·˘ÙfiÓ, ÛÙÔ ¶·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ Ù˘ ™ÔÚ‚fiÓÓ˘. TÔ ¤ÙÔ˜ 1918, Ô Borel ·Ú·ÛËÌÔÊÔÚ‹ıËΠ̠ÙÔÓ ™Ù·˘Úfi ÙÔ˘ ¶ÔϤÌÔ˘ ÁÈ· ÙȘ ˘ËÚÂۛ˜ Ô˘ ÚÔÛ¤ÊÂÚ ÛÙËÓ ·ÙÚ›‰· ÙÔ˘, ηٿ ÙË ‰È¿ÚÎÂÈ· ÙÔ˘ ¶ÚÒÙÔ˘ ¶·ÁÎÔÛÌ›Ô˘ ¶ÔϤÌÔ˘. EÎÙfi˜ ·fi ‰Ú·ÛÙ‹ÚÈ· ·Î·‰ËÌ·˚΋ ÛÙ·‰ÈÔ‰ÚÔÌ›·, Ô Borel ›¯Â Î·È ¤ÓÙÔÓË ÔÏÈÙÈ΋ ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ·. K·Ù›¯Â ÂÓÂÚÁ‹ ı¤ÛË ÛÙËÓ °·ÏÏÈ΋ ÔÏÈÙÈ΋ ÛÎËÓ‹, ˆ˜ ̤ÏÔ˜ Ù˘ BÔ˘Ï‹˜ ÙˆÓ AÓÙÈÚÔÛÒˆÓ, ·fi ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1924 ¤ˆ˜ ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1936, Î·È ˆ˜ YÔ˘ÚÁfi˜ ÙÔ˘ N·˘ÙÈÎÔ‡, ·fi ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1925 ¤ˆ˜ ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1940. TÔ ¤ÙÔ˜ 1940 Ô Borel Û˘ÓÂÏ‹ÊıË ·fi ÙÔ Á·ÏÏÈÎfi ·˘ÙfiÓÔÌÔ (Ê·ÛÈÛÙÈÎfi) ηıÂÛÙÒ˜ ÙÔ˘ Vichy Î·È Ê˘Ï·Î›ÛıËΠÁÈ· ÌÈÎÚfi ¯ÚÔÓÈÎfi ‰È¿ÛÙËÌ·. K·Ù¿ ÙÔ ›‰ÈÔ ¤ÙÔ˜ ÂÓÙ¿¯ıËΠÛÙË °·ÏÏÈ΋ AÓÙ›ÛÙ·ÛË Î·Ù¿ ÙˆÓ N·˙›. TÔ ¤ÙÔ˜ 1945 ¤Ï·‚ ÙÔ MÂÙ¿ÏÏÈÔ Ù˘ AÓÙÈÛÙ¿Ûˆ˜ Î·È ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1950 ¤Ï·‚ ÙÔÓ M¤Á· ™Ù·˘Úfi Ù˘ §ÂÁÂÒÓ·˜ Ù˘ TÈÌ‹˜. ŸÛÔÓ ·ÊÔÚ¿ ÙÔ ÂÈÛÙËÌÔÓÈÎfi ÙÔ˘ ¤ÚÁÔ, Ô Borel ¤Ï·‚ ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1955 ÙÔ XÚ˘Ûfi MÂÙ¿ÏÏÈÔ ÙÔ˘ EıÓÈÎÔ‡ K¤ÓÙÚÔ˘ EÈÛÙËÌÔÓÈ΋˜ ŒÚ¢ӷ˜ (CNRS) Ù˘ °·ÏÏ›·˜.
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∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
(·) ∆Ô E Â›Ó·È ÎÏÂÈÛÙfi Î·È ÊÚ·Á̤ÓÔ. (‚) ∆Ô E Â›Ó·È Û˘Ì·Á¤˜. (Á) ∫¿ı ·¤Ú·ÓÙÔ ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ E ¤¯ÂÈ ÔÚÈ·Îfi ÛËÌ›Ô. Afi‰ÂÈÍË. E¿Ó ÈÛ¯‡ÂÈ ÙÔ (·), ÙfiÙ E ⊂ I ÁÈ· οÔÈÔ k-‰È¿ÛÙËÌ· I Î·È ÙÔ (‚) ¤ÂÙ·È ·fi Ù· £ÂˆÚ‹Ì·Ù· 2.40 Î·È 2.35. ∆Ô £ÂÒÚËÌ· 2.37 Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ ÙÔ (‚) Û˘Ó¿ÁÂÙ·È ÙÔ (Á). ∞Ô̤ÓÂÈ Ë ·fi‰ÂÈÍË Ù˘ Û˘Ó·ÁˆÁ‹˜ ÙÔ˘ (·) ·fi ÙÔ (Á). E¿Ó ÙÔ E ‰ÂÓ Â›Ó·È ÊÚ·Á̤ÓÔ, ÙfiÙ ÙÔ E ÂÚȤ¯ÂÈ ÛËÌ›· xn (n = 1, 2, 3, . . . ) Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ |xn | > n
(n = 1, 2, 3, . . . ).
∆Ô Û‡ÓÔÏÔ ÙÔ ÔÔ›Ô ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi ·˘Ù¿ Ù· ÛËÌ›· ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ ÔÚÈ·Îfi ÛËÌÂ›Ô ÛÙÔÓ R k Î·È ÂÔ̤ӈ˜ Ô‡Ù ÛÙÔ ∂. K·Ù¿ Û˘Ó¤ÂÈ·, ÙÔ (Á) Û˘Ó¿ÁÂÙ·È fiÙÈ ÙÔ ∂ Â›Ó·È ÊÚ·Á̤ÓÔ. E¿Ó ÙÔ E ‰ÂÓ Â›Ó·È ÎÏÂÈÛÙfi, ÙfiÙ ˘¿Ú¯ÂÈ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô x0 ∈ R k ÙÔ ÔÔ›Ô Â›Ó·È ÔÚÈ·Îfi ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ E Î·È ‰ÂÓ ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙÔ E. °È· n = 1, 2, 3, . . . , ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÛËÌ›· xn ∈ E Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ |xn − x0 | < 1/n. A˜ Â›Ó·È S ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ·˘ÙÒÓ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ. ∆fiÙÂ, ÙÔ S Â›Ó·È ·¤Ú·ÓÙÔ (·ÏÏÈÒ˜ Ë ÔÛfiÙËÙ· |xn − x0 | ı· ›¯Â ÛÙ·ıÂÚ‹ ıÂÙÈ΋ ÙÈÌ‹ ÁÈ· ·Â›ÚÔ˘ Ï‹ıÔ˘˜ ‰Â›ÎÙ˜ n). ∂›Û˘ ÙÔ S ¤¯ÂÈ ˆ˜ ÔÚÈ·Îfi ÛËÌÂ›Ô ÙÔ x0 Î·È ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ ¿ÏÏÔ ÔÚÈ·Îfi ÛËÌ›Ô. ¢ÈfiÙÈ Â¿Ó y ∈ R k Ì y = x0 , ÙfiÙ |xn − y| ≥ |x0 − y| − |xn − x0 | 1 ≥ |x0 − y| − n 1 ≥ |x0 − y| 2 ÁÈ· fiÏÔ˘˜ ÙÔ˘ ‰Â›ÎÙ˜ n ÂÎÙfi˜ ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ˘ Ï‹ıÔ˘˜. ∞˘Ùfi Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ ÙÔ y ‰ÂÓ Â›Ó·È ÔÚÈ·Îfi ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ S (£ÂÒÚËÌ· 2.20). ™˘ÓÂÒ˜, ÙÔ S ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ ÔÚÈ·Îfi ÛËÌÂ›Ô ÛÙÔ E. ÕÚ·, Â¿Ó Ë (Á) ÈÛ¯‡ÂÈ, ÙfiÙ ÙÔ ∂ Â›Ó·È ÎÏÂÈÛÙfi.
µ∞™π∫∂™ ∆√¶√§√°π∫∂™ £∂øƒ∏™∂π™ 63
¶Ú¤ÂÈ Ó· ÛËÌÂÈÒÛÔ˘Ì fiÙÈ Ù· (‚) Î·È (Á) Â›Ó·È ÈÛÔ‰‡Ó·Ì· Û ÔÔÈÔÓ‰‹ÔÙ ÌÂÙÚÈÎfi ¯ÒÚÔ (ÕÛÎËÛË 26). ŸÌˆ˜, ÙÔ (·) ‰ÂÓ Û˘Ó¿ÁÂÙ·È ··Ú·Èًو˜ Ù· (‚) Î·È (Á). ¶·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù· ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÛÙËÓ ÕÛÎËÛË 16. ∂›Û˘, ˘¿Ú¯Ô˘Ó ·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù· Û¯ÂÙÈο Ì ÙÔÓ ¯ÒÚÔ L2 , Ô ÔÔ›Ô˜ ÂÌÊ·Ó›˙ÂÙ·È ÛÙÔ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 11. £ÂÒÚËÌ· 2.42 5
(Weierstrass5 ). ∫¿ı ÊÚ·Á̤ÓÔ ·¤Ú·ÓÙÔ ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ
™. Ù. M.: Karl Wilhelm Theodor Weierstrass (1815-1897). KÔÚ˘Ê·›Ô˜ °ÂÚÌ·Ófi˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi˜. EÚÁ¿ÛıËΠÛÙËÓ AÓ¿Ï˘ÛË Î·È ¤ıÂÛ ÙȘ ‚¿ÛÂȘ ÁÈ· ÙËÓ ·˘ÛÙËÚ‹ ıÂÌÂÏ›ˆÛ‹ Ù˘. H ÂÚÁ·Û›· ÙÔ˘ ¿ÛÎËÛ ÛËÌ·ÓÙÈ΋ ÂÈÚÚÔ‹ ÛÙËÓ ÂͤÏÈÍË ÙˆÓ M·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ. O Weierstrass ÊÔ›ÙËÛ Û ηıÔÏÈÎfi Û¯ÔÏ›Ô, fiÔ˘ ‹Ù·Ó Ï·ÌÚfi˜ Ì·ıËÙ‹˜. O ÌÈÎÚÔ·ÛÙÈ΋˜ ÚÔÂχۈ˜ Î·È ÓÔÔÙÚÔ›·˜ ·Ù¤Ú·˜ ÙÔ˘ ÚÔfiÚÈ˙ ÙÔÓ Weierstrass ÁÈ· ‰ÈÎËÁfiÚÔ Î·È, ‚¿ÛÂÈ ·˘ÙÔ‡ ÙÔ˘ ۯ‰›Ô˘, Ô Weierstrass ¤ÁÈÓ ‰ÂÎÙfi˜ ÛÙÔ ÙÌ‹Ì· NÔÌÈ΋˜ ÙÔ˘ ¶·ÓÂÈÛÙËÌ›Ô˘ Ù˘ BfiÓÓ˘ ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1834. MËÓ ¤¯ÔÓÙ·˜ ˆ˜ ÂӉȷʤÚÔÓ ÙËÓ NÔÌÈ΋, Ô Weierstrass ·ÊȤڈÛ ٷ Ù¤ÛÛÂÚ· ¯ÚfiÓÈ· Ù˘ ÊÔÈÙ‹ÛÂÒ˜ ÙÔ˘ ÛÙËÓ ÍÈÊ·ÛΛ·, fiÔ˘ ‹Ù·Ó ‰ÂÈÓfi˜ ·ıÏËÙ‹˜, ÛÙȘ ÎÔÈÓˆÓÈÎÔ‡ ¯·Ú·ÎÙ‹Ú· Ó˘¯ÙÂÚÈÓ¤˜ ·ÔÏ·‡ÛÂȘ Î·È ÛÙË ÌÂϤÙË ÙˆÓ M·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ, ¯ˆÚ›˜ ÔÙ¤ Ó· Ï¿‚ÂÈ ÙÔ Ù˘¯›Ô Ù˘ NÔÌÈ΋˜. K·Ù¿ ÚÔÙÚÔ‹ ÂÓfi˜ ÔÈÎÔÁÂÓÂÈ·ÎÔ‡ Ê›ÏÔ˘, Ô Weierstrass ÂÓÂÁÚ¿ÊË ÛÙËÓ Aη‰ËÌ›· ÙÔ˘ Münster Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ ӷ ÚÔÂÙÔÈÌ·ÛÙ› ÁÈ· ÙȘ ÂÍÂÙ¿ÛÂȘ ÙˆÓ Î·ıËÁËÙÒÓ Ì¤Û˘ Âηȉ‡Ûˆ˜. ™ÙÔ Münster, Ô Weierstrass ÂËÚ¿ÛıËΠ·fi ÙÔÓ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi Christoph Gudermann (1798-1851), Ô ÔÔ›Ô˜ ¤Û΢„ Ì ÂӉȷʤÚÔÓ ¿Óˆ ·fi ÙÔÓ Ó·Úfi Weierstrass. O Weierstrass ¤Ù˘¯Â ÛÙȘ ÂÍÂÙ¿ÛÂȘ ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1841, ˘Ô‚¿ÏÏÔÓÙ·˜ ÛÙËÓ ÂÈÙÚÔ‹ ÎÚ›Ûˆ˜, ÌÂٷ͇ ¿ÏψÓ, Ì›· ÚˆÙfiÙ˘Ë ÂÚÁ·Û›· ÛÙ· M·ıËÌ·ÙÈο. O Gudermann ÂÈÛËÁ‹ıËÎÂ, fï˜ ‰ÂÓ ÂÈÛ·ÎÔ‡ÛıËÎÂ, Ó· ‰Ôı› ÛÙÔÓ Weierstrass ·Î·‰ËÌ·˚΋ ı¤ÛË. O Weierstrass ÂÚÁ¿ÛıËΠˆ˜ ηıËÁËÙ‹˜ ̤Û˘ Âηȉ‡Ûˆ˜ ÂÚ›Ô˘ ÁÈ· Ì›· ‰ÂηÂÓÙ·ÂÙ›·. ™ÙË ‰È¿ÚÎÂÈ· ·˘ÙÒÓ ÙˆÓ ¯ÚfiÓˆÓ Û˘Ó¤ÁÚ·„ ÔÏϤ˜ ·fi ÙȘ ÛËÌ·ÓÙÈΤ˜ ÂÚÁ·Û›Â˜ ÙÔ˘ Î·È ÙȘ ‰ËÌÔÛ›Â˘ÛÂ. TÔ ¶·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ ÙÔ˘ Königsberg, ·Ó·ÁÓˆÚ›˙ÔÓÙ·˜ ÙÂÏÈο ÙËÓ ·Í›· ÙÔ˘, ·Ó·Î‹Ú˘Í ÙÔÓ Weierstrass ›ÙÈÌÔ ‰È‰¿ÎÙÔÚ· ÂÚ› ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1855. O Weierstrass ‰ÈÔÚ›ÛıËΠÙÔ ¤ÙÔ˜ 1856 ηıËÁËÙ‹˜ M·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ ÛÙË B·ÛÈÏÈ΋ ¶ÔÏ˘Ù¯ÓÈ΋ ™¯ÔÏ‹ ÙÔ˘ BÂÚÔÏ›ÓÔ˘. ¢È·ÙËÚÒÓÙ·˜ ·˘Ù‹Ó ÙË ı¤ÛË, Ô Weierstrass ÙÔÔıÂÙ‹ıËΠÙÔ ›‰ÈÔ ¤ÙÔ˜ ›ÎÔ˘ÚÔ˜ ηıËÁËÙ‹˜ ÙˆÓ M·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ ÛÙÔ ¶·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ ÙÔ˘ BÂÚÔÏ›ÓÔ˘ Î·È ÂÍÂϤÁË Ì¤ÏÔ˜ Ù˘ Aη‰ËÌ›·˜ ÙˆÓ EÈÛÙËÌÒÓ ÙÔ˘ BÂÚÔÏ›ÓÔ˘. Afi ÙÔÓ ÊfiÚÙÔ ÂÚÁ·Û›·˜, Ô Weierstrass ˘¤ÛÙË ˘ÂÚÎfiˆÛË Î·È ¤Ó·Ó ÌÈÎÚfi Ó¢ÚÈÎfi ÎÏÔÓÈÛÌfi, Î·È Ù·Ï·ÈˆÚÔ‡ÓÙ·Ó ·fi ÙËÓ ˘Á›· ÙÔ˘ ÛÙËÓ ˘fiÏÔÈË ˙ˆ‹ ÙÔ˘. O Weierstrass ·Ú¤ÌÂÈÓ ÛÙÔ BÂÚÔÏ›ÓÔ ˆ˜ ηıËÁËÙ‹˜ ÙÔ˘ ÙÔÈÎÔ‡ ·ÓÂÈÛÙËÌ›Ô˘ ¤ˆ˜ ÙÔÓ ı¿Ó·Ùfi ÙÔ˘. Y‹ÚÍ ÛÔ˘‰·›Ô˜ ‰È‰¿ÛηÏÔ˜. MÂٷ͇ ÙˆÓ ÔÏ˘·Ú›ıÌˆÓ Ì·ıËÙÒÓ ÙÔ˘ Û˘ÁηٷϤÁÔÓÙ·È ÔÈ Hermann Amandus Schwarz (1843-1921), Gösta Magnus Mittag-Leffler (1846-1927), Sonja Kowalewski (1850-1891) (Ì ÙËÓ ÔÔ›· ›¯Â ȉȷ›ÙÂÚË Û¯¤ÛË), Immanuel Lazarus Fuchs (1833-1902), Georg Ferdinand Frobenius (1849-1917), Carl David Runge (18561927), Wilhelm Karl Joseph Killing (1847-1923) Î·È Hans von Mangoldt (1824-1868).
64
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
ÙÔ˘ R k ¤¯ÂÈ ÔÚÈ·Îfi ÛËÌÂ›Ô ÛÙÔÓ R k . Afi‰ÂÈÍË. ∞˜ Â›Ó·È E ¤Ó· ÊÚ·Á̤ÓÔ ·¤Ú·ÓÙÔ ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ R k . ŸÓÙ·˜ ÊÚ·Á̤ÓÔ, Â›Ó·È ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÂÓfi˜ k-‰È·ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ I ⊂ R k . ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 2.40, ÙÔ I Â›Ó·È Û˘Ì·Á¤˜ Î·È ÂÔ̤ӈ˜ ÙÔ E ¤¯ÂÈ ÔÚÈ·Îfi ÛËÌÂ›Ô ÛÙÔ I , ‚¿ÛÂÈ ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 2.37.
∆∂§∂π∞ ™À¡√§∞ £ÂÒÚËÌ· 2.43. ∞˜ Â›Ó·È P ¤Ó· ÌË ÎÂÓfi Ù¤ÏÂÈÔ ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ R k . ∆fiÙÂ, ÙÔ P Â›Ó·È ˘ÂÚ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌÔ. Afi‰ÂÈÍË. ∂ÊfiÛÔÓ ÙÔ P ¤¯ÂÈ ÔÚȷο ÛËÌ›·, Â›Ó·È ·¤Ú·ÓÙÔ. ÀÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ P Â›Ó·È ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌÔ. ¢È·Ù¿ÛÛÔ˘Ì ٷ ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘ P Û ̛· ·ÎÔÏÔ˘ı›· x1 , x2 , x3 , . . . . £· ηٷÛ΢¿ÛÔ˘Ì ̛· ·ÎÔÏÔ˘ı›· ÂÚÈÔ¯ÒÓ {Vn } (n = 1, 2, 3, . . . ) ˆ˜ ÂÍ‹˜: ∞˜ Â›Ó·È V1 Ì›· ÂÚÈÔ¯‹ ÙÔ˘ x1 . E¿Ó Ë V1 ¤¯ÂÈ ·ÎÙ›Ó· r > 0, ÙfiÙÂ Ë ÎÏÂÈÛÙ‹ ı‹ÎË V1 ÙÔ˘ V1 Â›Ó·È ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ y ∈ R k Ì |y − x1 | ≤ r . ÀÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ ÁÈ· οÔÈÔÓ ıÂÙÈÎfi ·Î¤Ú·ÈÔ ·ÚÈıÌfi n Ë Vn ¤¯ÂÈ Î·Ù·Û΢·Ûı› Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ ÙÔ Vn ∩ P Ó· ÌËÓ Â›Ó·È ÎÂÓfi. ∂ÊfiÛÔÓ Î¿ı ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ P Â›Ó·È ÔÚÈ·Îfi ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ P, ˘¿Ú¯ÂÈ Ì›· ÂÚÈÔ¯‹ Vn+1 Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ (i) Vn+1 ⊂ Vn , (ii) xn ∈ / Vn+1 , (iii) ÙÔ Vn+1 ∩ P ‰ÂÓ Â›Ó·È ÎÂÓfi. ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔ (iii), Ë Vn+1 ÈηÓÔÔÈ› ÙËÓ Â·ÁˆÁÈ΋ ˘fiıÂÛË Î·È Ë Î·Ù·Û΢‹ ÌÔÚ› Ó· Û˘Ó¯ÈÛı›. °È· οı ıÂÙÈÎfi ·Î¤Ú·ÈÔ ·ÚÈıÌfi n ı¤ÙÔ˘Ì K n = Vn ∩ P. ∂ÊfiÛÔÓ ÙÔ Vn Â›Ó·È ÎÏÂÈÛÙfi Î·È ÊÚ·Á̤ÓÔ, Â›Ó·È Û˘Ì·Á¤˜. ∂ÊfiÛÔÓ xn ∈ / K n+1 , ηӤӷ ∞ ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ P ‰ÂÓ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙÔ n=1 K n . ∂ÊfiÛÔÓ K n ⊂ P, ¤ÂÙ·È fiÙÈ ÙÔ ∞ n=1 K n Â›Ó·È ÎÂÓfi. ŸÌˆ˜, ηӤӷ K n ‰ÂÓ Â›Ó·È ÎÂÓfi, Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ (iii), Î·È K n+1 ⊂ K n (n = 1, 2, 3 . . . ), Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ (i). ∞˘Ùfi ·ÓÙ›ÎÂÈÙ·È ÛÙÔ ¶fiÚÈÛÌ· ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 2.36. ¶fiÚÈÛÌ·. ∫¿ı ‰È¿ÛÙËÌ· [a, b] (a < b) Â›Ó·È ˘ÂÚ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌÔ. π‰È·ÈÙ¤Úˆ˜, ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ Â›Ó·È ˘ÂÚ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌÔ.
µ∞™π∫∂™ ∆√¶√§√°π∫∂™ £∂øƒ∏™∂π™ 65
2.44 ∆Ô Û‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ Cantor. To Û‡ÓÔÏÔ Ô˘ ÚfiÎÂÈÙ·È Ó· ηٷÛ΢¿ÛÔ˘Ì ʷÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ ˘¿Ú¯Ô˘Ó Ù¤ÏÂÈ· ˘ÔÛ‡ÓÔÏ· ÙÔ˘ R 1 Ù· ÔÔ›· ‰ÂÓ ÂÚȤ¯Ô˘Ó οÔÈÔ ‰È¿ÛÙËÌ·. A˜ Â›Ó·È E 0 ÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· [0, 1]. AÊ·ÈÚԇ̠·fi ·˘Ùfi ÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· 13 , 23 . A˜ Â›Ó·È E 1 Ë ¤ÓˆÛË ÙˆÓ ‰È·ÛÙËÌ¿ÙˆÓ 1 2 0, , ,1 . 3 3 AÊ·ÈÚԇ̠·fi ·˘Ù¿ Ù· ‰È·ÛÙ‹Ì·Ù· ÙÔ ÌÂÛ·›Ô ÙˆÓ ÙÚ›ÙˆÓ ÙÔ˘˜. A˜ Â›Ó·È E 2 Ë ¤ÓˆÛË ÙˆÓ ‰È·ÛÙËÌ¿ÙˆÓ 1 2 3 6 7 8 0, , , , , , ,1 . 9 9 9 9 9 9 ™˘Ó¯›˙ÔÓÙ·˜ Ì ·˘ÙfiÓ ÙÔÓ ÙÚfiÔ, ηٷÛ΢¿˙Ô˘Ì ̛· ·ÎÔÏÔ˘ı›· Û˘Ì·ÁÒÓ Û˘ÓfiÏˆÓ E n (n = 1, 2, 3, . . . ) Ì ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ȉÈfiÙËÙ˜: (·) · · · ⊂ E 3 ⊂ E 2 ⊂ E 1 . (‚) TÔ E n ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙËÓ ¤ÓˆÛË 2n ‰È·ÛÙËÌ¿ÙˆÓ, ηı¤Ó· Ì‹ÎÔ˘˜ 3−n . TÔ Û‡ÓÔÏÔ ∞ P= En n=1
ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ Cantor. ¶ÚÔÊ·ÓÒ˜, ÙÔ P Â›Ó·È Û˘Ì·Á¤˜ Î·È ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 2.36 Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ Â›Ó·È ÌË ÎÂÓfi. E›Ó·È ۷ʤ˜ fiÙÈ Î·Ó¤Ó· ‰È¿ÛÙËÌ· Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ 3k + 1 3k + 1 (24) , 3m 3m ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ ÎÔÈÓ¿ ÛËÌ›· Ì ÙÔ P, fiÔ˘ k, m Â›Ó·È ıÂÙÈÎÔ› ·Î¤Ú·ÈÔÈ. E¿Ó 3−m <
b−a , 6
ÙfiÙ ÙÔ P ‰ÂÓ ÌÔÚ› Ó· ÂÚȤ¯ÂÈ ‰È·ÛÙ‹Ì·Ù· ‰ÈfiÙÈ Î¿ı ‰È¿ÛÙËÌ· (a, b) ÂÚȤ¯ÂÈ ¤Ó· ‰È¿ÛÙËÌ· Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ (24). °È· Ó· ‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ P Â›Ó·È Ù¤ÏÂÈÔ, ·ÚΛ Ó· ‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ P ‰ÂÓ ÂÚȤ¯ÂÈ Î·Ó¤Ó· ÌÂÌÔӈ̤ÓÔ ÛËÌ›Ô. A˜ Â›Ó·È x ∈ P. £ÂˆÚԇ̠¤Ó· ·ÓÔÈÎÙfi
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∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
‰È¿ÛÙËÌ· S ÙÔ ÔÔ›Ô ÂÚȤ¯ÂÈ ÙÔ x. A˜ Â›Ó·È In ÙÔ ÎÏÂÈÛÙfi ‰È¿ÛÙËÌ· ÙÔ˘ E n ÙÔ ÔÔ›Ô ÂÚȤ¯ÂÈ ÙÔ x. EÈϤÁÔ˘Ì ıÂÙÈÎfi ·Î¤Ú·ÈÔ ·ÚÈıÌfi n ·ÚÎÔ‡ÓÙˆ˜ ÌÂÁ¿ÏÔ Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ In ⊂ S. A˜ Â›Ó·È xn ¤Ó· ·ÎÚ·›Ô ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ In Ì xn = x. Afi ÙË ‰ÔÌ‹ ÙÔ˘ P Û˘Ó¿ÁÔ˘Ì fiÙÈ xn ∈ P. K·Ù¿ Û˘Ó¤ÂÈ·, ÙÔ x Â›Ó·È ÔÚÈ·Îfi ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ P. ÕÚ·, ÙÔ P Â›Ó·È Ù¤ÏÂÈÔ. M›· ·fi ÙȘ ÈÔ ÂӉȷʤÚÔ˘Û˜ ȉÈfiÙËÙ˜ ÙÔ˘ Û˘ÓfiÏÔ˘ ÙÔ˘ Cantor Â›Ó·È ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ ·ÔÙÂÏ› ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ÂÓfi˜ ˘ÂÚ·ÚÈıÌËÛ›ÌÔ˘ Û˘ÓfiÏÔ˘ Ì ÌˉÂÓÈÎfi ̤ÙÚÔ (Ë ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ̤ÙÚÔ˘ ı· ÔÚÈÛı› ÛÙÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ 11).
™YNEKTIKA ™YNO§A OÚÈÛÌfi˜ 2.45. ¢‡Ô ˘ÔÛ‡ÓÔÏ· A, B ÂÓfi˜ ÌÂÙÚÈÎÔ‡ ¯ÒÚÔ˘ X ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ‰È·¯ˆÚÈṲ̂ӷ Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó Ù· A ∩ B Î·È A ∩ B Â›Ó·È ÎÂÓ¿. ¢ËÏ·‰‹, ηӤӷ ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ A ‰ÂÓ ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙËÓ ÎÏÂÈÛÙ‹ ı‹ÎË ÙÔ˘ B Î·È Î·Ó¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ B ‰ÂÓ ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙËÓ ÎÏÂÈÛÙ‹ ı‹ÎË ÙÔ˘ A. ŒÓ· Û‡ÓÔÏÔ E ⊂ X ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Û˘ÓÂÎÙÈÎfi Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ‰ÂÓ ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙËÓ ¤ÓˆÛË ‰‡Ô ÌË ÎÂÓÒÓ ‰È·¯ˆÚÈÛÌ¤ÓˆÓ Û˘ÓfiψÓ. ¶·Ú·Ù‹ÚËÛË 2.46. ¢‡Ô ‰È·¯ˆÚÈṲ̂ӷ Û‡ÓÔÏ· Â›Ó·È ÚÔÊ·ÓÒ˜ ·ÔÛ˘Ó‰ÂÙ¿ ·ÏÏ¿ ‰‡Ô ·ÔÛ˘Ó‰ÂÙ¿ Û‡ÓÔÏ· ‰ÂÓ Â›Ó·È ··Ú·Èًو˜ ‰È·¯ˆÚÈṲ̂ӷ. E› ·Ú·‰Â›ÁÌ·ÙÈ, Ù· ‰È·ÛÙ‹Ì·Ù· [0, 1], (1, 2) ‰ÂÓ Â›Ó·È ‰È·¯ˆÚÈṲ̂ӷ, ‰ÈfiÙÈ ÙÔ 1 Â›Ó·È ÔÚÈ·Îfi ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ (1, 2). fï˜, Ù· ‰È·ÛÙ‹Ì·Ù· (0, 1), (1, 2) Â›Ó·È ‰È·¯ˆÚÈṲ̂ӷ. T· Û˘ÓÂÎÙÈο ˘ÔÛ‡ÓÔÏ· Ù˘ Ú·ÁÌ·ÙÈ΋˜ ¢ı›·˜ ‰È·ı¤ÙÔ˘Ó Ì›· ȉȷÈÙ¤Úˆ˜ ·Ï‹ ‰ÔÌ‹: £ÂÒÚËÌ· 2.47. ŒÓ· ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ E ÙÔ˘ R 1 Â›Ó·È Û˘ÓÂÎÙÈÎfi Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ¤¯ÂÈ ÙËÓ ·ÎfiÏÔ˘ıË È‰ÈfiÙËÙ·: Â¿Ó x, y ∈ E Î·È z ∈ R 1 Ì x < z < y, ÙfiÙ z ∈ E. Afi‰ÂÈÍË. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ ˘¿Ú¯Ô˘Ó x, y ∈ E Î·È z ∈ (x, y) Ì z ∈ / E. TfiÙÂ, E = A z ∪ Bz , fiÔ˘ A z = E ∩ (−∞, z),
Bz = E ∩ (z, +∞).
µ∞™π∫∂™ ∆√¶√§√°π∫∂™ £∂øƒ∏™∂π™ 67
EÊfiÛÔÓ x ∈ A z Î·È y ∈ Bz , Ù· A z , Bz ‰ÂÓ Â›Ó·È ÎÂÓ¿. EÊfiÛÔÓ A z ⊂ (−∞, z) Î·È Bz ⊂ (z, +∞), Ù· A z , Bz Â›Ó·È ‰È·¯ˆÚÈṲ̂ӷ. ™˘ÓÂÒ˜, ÙÔ E ‰ÂÓ Â›Ó·È Û˘ÓÂÎÙÈÎfi. °È· ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ ·ÓÙÈÛÙÚfiÊÔ˘, ˘Ôı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ E ‰ÂÓ Â›Ó·È Û˘ÓÂÎÙÈÎfi. TfiÙÂ, ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÌË ÎÂÓ¿ ‰È·¯ˆÚÈṲ̂ӷ Û‡ÓÔÏ· A, B Ì E = A∪ B. £ÂˆÚԇ̠x ∈ A, y ∈ B Î·È ˘Ôı¤ÙÔ˘Ì (‰›¯ˆ˜ ·ÒÏÂÈ· Ù˘ ÁÂÓÈÎfiÙËÙ·˜) fiÙÈ x < y. OÚ›˙Ô˘Ì z = sup(A ∩ [x, y]). ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 2.28, ¤¯Ô˘Ì fiÙÈ z ∈ A Î·È Û˘ÓÂÒ˜ z ∈ / B. I‰È·ÈÙ¤Úˆ˜, x ≤ z < y. E¿Ó z ∈ / A, ÙfiÙ ¤ÂÙ·È fiÙÈ x < z < y Î·È z ∈ / E. E¿Ó z ∈ A, ÙfiÙ z ∈ / B Î·È ÂÔ̤ӈ˜ ˘¿Ú¯ÂÈ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ z 1 Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ z < z 1 < y Î·È z 1 ∈ / B. ÕÚ·, x < z 1 < y Î·È z 1 ∈ / E.
A™KH™EI™ ÕÛÎËÛË 1. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ ÙÔ ÎÂÓfi Û‡ÓÔÏÔ Â›Ó·È ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ Î¿ıÂ Û˘ÓfiÏÔ˘. ÕÛÎËÛË 2. ŒÓ·˜ ÌÈÁ·‰ÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ z ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ·ÏÁ‚ÚÈÎfi˜ Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ˘¿Ú¯Ô˘Ó ·Î¤Ú·ÈÔÈ ·ÚÈıÌÔ› a0 , a1 , . . . , an , fi¯È fiÏÔÈ ÌˉÂÓÈÎÔ›, Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ a0 z n + a1 z n−1 + · · · + an−1 z + an = 0. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ·ÏÁ‚ÚÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ Â›Ó·È ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌÔ. Yfi‰ÂÈÍË: °È· οı ıÂÙÈÎfi ·Î¤Ú·ÈÔ ·ÚÈıÌfi N ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ˘ Ï‹ıÔ˘˜ ÂÍÈÛÒÛÂȘ Ù˘ ·Ú·¿Óˆ ÌÔÚÊ‹˜ Ì n + |a0 | + |a1 | + · · · + |an | = N . ÕÛÎËÛË 3. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ ˘¿Ú¯Ô˘Ó Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› ÔÈ ÔÔ›ÔÈ ‰ÂÓ Â›Ó·È ·ÏÁ‚ÚÈÎÔ›. ÕÛÎËÛË 4. E›Ó·È ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ·ÚÚ‹ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌÔ;
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∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
ÕÛÎËÛË 5. K·Ù·Û΢¿ÛÙ ¤Ó· ÊÚ·Á̤ÓÔ Û‡ÓÔÏÔ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ Ì ·ÎÚÈ‚Ò˜ ÙÚ›· ÔÚȷο ÛËÌ›·. ÕÛÎËÛË 6. A˜ Â›Ó·È E ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÔÚÈ·ÎÒÓ ÛËÌ›ˆÓ ÂÓfi˜ Û˘ÓfiÏÔ˘ E. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ ÙÔ E Â›Ó·È ÎÏÂÈÛÙfi. Aԉ›ÍÙ ›Û˘ fiÙÈ Ù· E Î·È E ¤¯Ô˘Ó Ù· ›‰È· ÔÚȷο ÛËÌ›·. (YÂÓı˘Ì›˙Ô˘Ì fiÙÈ E = E ∪ E .) E›Ó·È ··Ú·›ÙËÙÔ Ó· ¤¯Ô˘Ó Ù· E Î·È E Ù· ›‰È· ÔÚȷο ÛËÌ›·; ÕÛÎËÛË 7. A˜ Â›Ó·È A1 , A2 , A3 , . . . ˘ÔÛ‡ÓÔÏ· ÂÓfi˜ ÌÂÙÚÈÎÔ‡ ¯ÒÚÔ˘. n n Ai , ÙfiÙ ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ Bn = i=1 Ai (n = 1, 2, 3, . . . ). (·) E¿Ó Bn = i=1 ∞ ∞ (‚) E¿Ó B = i=1 Ai , ÙfiÙ ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ i=1 Ai ⊂ B. ¢Â›ÍÙ Ì ÙËÓ Î·Ù·Û΢‹ ÂÓfi˜ ·Ú·‰Â›ÁÌ·ÙÔ˜ fiÙÈ Ë ÙÂÏÂ˘Ù·›· ¤ÁÎÏÂÈÛË ÌÔÚ› Ó· Â›Ó·È ÁÓ‹ÛÈ·. ÕÛÎËÛË 8. E›Ó·È οı ÛËÌÂ›Ô ÂÓfi˜ ·ÓÔÈÎÙÔ‡ Û˘ÓfiÏÔ˘ E ⊂ R 2 ÔÚÈ·Îfi ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ E; A·ÓÙ‹ÛÙ ÛÙÔ ›‰ÈÔ ÂÚÒÙËÌ· ÁÈ· ÎÏÂÈÛÙ¿ ˘ÔÛ‡ÓÔÏ· ÙÔ˘ R 2 . ÕÛÎËÛË 9. ™˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì Ì E ◦ ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÂÛˆÙÂÚÈÎÒÓ ÛËÌ›ˆÓ ÂÓfi˜ Û˘ÓfiÏÔ˘ E. (AÓ·ÙÚ¤ÍÙ ÛÙÔÓ OÚÈÛÌfi 2.18(Â). TÔ E ◦ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÙÔ˘ E.) (·) Aԉ›ÍÙ fiÙÈ ÙÔ E ◦ Â›Ó·È ·ÓÔÈÎÙfi. (‚) Aԉ›ÍÙ fiÙÈ ÙÔ E Â›Ó·È ·ÓÔÈÎÙfi Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó E ◦ = E. (Á) Aԉ›ÍÙ fiÙÈ Â¿Ó G ⊂ E Î·È ÙÔ G Â›Ó·È ·ÓÔÈÎÙfi, ÙfiÙ G ⊂ E ◦ .6 (‰) Aԉ›ÍÙ fiÙÈ ÙÔ Û˘Ìϋڈ̷ ÙÔ˘ E ◦ ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙËÓ ÎÏÂÈÛÙ‹ ı‹ÎË ÙÔ˘ Û˘ÌÏËÚÒÌ·ÙÔ˜ ÙÔ˘ E. (Â) Œ¯Ô˘Ó Ù· E Î·È E ¿ÓÙÔÙ ÙÔ ›‰ÈÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi; (ÛÙ) Œ¯Ô˘Ó Ù· E Î·È E ◦ ¿ÓÙÔÙ ÙËÓ ›‰È· ÎÏÂÈÛÙ‹ ı‹ÎË; ™. Ù. M.: ¢ËÏ·‰‹, ÙÔ E ◦ Â›Ó·È ÙÔ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ ·ÓÔÈÎÙfi ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ ÌÂÙÚÈÎÔ‡ ¯ÒÚÔ˘ ÙÔ ÔÔ›Ô ÂÚȤ¯ÂÙ·È ÛÙÔ E. ™˘ÁÎÚ›ÓÂÙ Ì ÙÔ Û¯fiÏÈÔ ·Ì¤Ûˆ˜ ÌÂÙ¿ ·fi ÙË ‰È·Ù‡ˆÛË ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 2.27. MÂٷ͇ ÙˆÓ ÂÓÓÔÈÒÓ ÙÔ˘ ÂÛˆÙÂÚÈÎÔ‡ Î·È Ù˘ ÎÏÂÈÛÙ‹˜ ı‹Î˘ ‰È·ÎÚ›ÓÂÙ·È ¤Ó· ›‰Ô˜ «‰˘˚ÎfiÙËÙ·˜», ÁÂÁÔÓfi˜ ÙÔ ÔÔ›Ô Û˘Ó‰¤ÂÙ·È ¿ÌÂÛ· Ì ÙÔ (‰) Ù˘ ·ÚÔ‡Û·˜ ·Û΋Ûˆ˜. Y¿Ú¯Ô˘Ó ÔÏÏ¿ Ù¤ÙÔÈ· ˙‡ÁË «‰˘˚ÎÒÓ» Û˘ÌÂÚ·ÛÌ¿ÙˆÓ Ô˘ Û¯ÂÙ›˙ÔÓÙ·È Ì ÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi Î·È ÙËÓ ÎÏÂÈÛÙ‹ ı‹ÎË Û˘ÓfiÏÔ˘. 6
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ÕÛÎËÛË 10. A˜ Â›Ó·È X ¤Ó· ·¤Ú·ÓÙÔ Û‡ÓÔÏÔ. °È· p, q ∈ X ÔÚ›˙Ô˘Ì 1 Â¿Ó p = q, d( p, q) = 0 Â¿Ó p = q. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË ·˘Ù‹ Â›Ó·È Ì›· ÌÂÙÚÈ΋. ¶ÔÈ· ˘ÔÛ‡ÓÔÏ· ·˘ÙÔ‡ ÙÔ˘ ÌÂÙÚÈÎÔ‡ ¯ÒÚÔ˘ Â›Ó·È ·ÓÔÈÎÙ¿; ¶ÔÈ· Â›Ó·È ÎÏÂÈÛÙ¿; ¶ÔÈ· Â›Ó·È Û˘Ì·Á‹; ÕÛÎËÛË 11. °È· x, y ∈ R 1 ÔÚ›˙Ô˘Ì d1 (x, y) = (x − y)2 , √ d2 (x, y) = |x − y|, d3 (x, y) = |x 2 − y 2 |, d4 (x, y) = |x − 2y|, d5 (x, y) =
|x − y| . 1 + |x − y|
K·ıÔÚ›ÛÙ ÔȘ ·fi ÙȘ ·Ú·¿Óˆ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ Â›Ó·È ÌÂÙÚÈΤ˜. ÕÛÎËÛË 12. A˜ Â›Ó·È K ⊂ R 1 ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ Ô˘ ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ 0 Î·È 1/n, fiÔ˘ n = 1, 2, 3, . . . . Aԉ›ÍÙ fiÙÈ ÙÔ K Â›Ó·È Û˘Ì·Á¤˜ ·' ¢ı›·˜ ·fi ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi (‰›¯ˆ˜ ¯Ú‹ÛË ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ ÙˆÓ Heine Î·È Borel). ÕÛÎËÛË 13. K·Ù·Û΢¿ÛÙ ¤Ó· Û˘Ì·Á¤˜ Û‡ÓÔÏÔ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ Ì ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌÔ Û‡ÓÔÏÔ ÔÚÈ·ÎÒÓ ÛËÌ›ˆÓ. ÕÛÎËÛË 14. ¢ÒÛÙ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· Ì›·˜ ·ÓÔÈÎÙ‹˜ ηχ„ˆ˜ ÙÔ˘ (0, 1) Ë ÔÔ›· ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ ·ÓÔÈÎÙ‹ ˘ÔÎ¿Ï˘„Ë. ÕÛÎËÛË 15. ¢Â›ÍÙ fiÙÈ ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 2.36 Î·È ÙÔ ¶fiÚÈÛÌ¿ ÙÔ˘ ‰ÂÓ ·ÏËıÂ‡Ô˘Ó (› ·Ú·‰Â›ÁÌ·ÙÈ ÛÙÔÓ R 1 ) Â¿Ó Ë Ï¤ÍË «Û˘Ì·Á¤˜» ·ÓÙÈηٷÛÙ·ı› ·fi ÙË Ï¤ÍË «ÎÏÂÈÛÙfi» ‹ «ÊÚ·Á̤ÓÔ».
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ÕÛÎËÛË 16. £ÂˆÚԇ̠ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÚËÙÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ Q ˆ˜ ÌÂÙÚÈÎfi ¯ÒÚÔ Ì ÌÂÙÚÈ΋ ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË d( p, q) = | p − q| ( p, q ∈ Q). A˜ Â›Ó·È E ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ p ∈ Q Ì 2 < p 2 < 3. ¢Â›ÍÙ fiÙÈ ÙÔ E Â›Ó·È ÎÏÂÈÛÙfi, ÊÚ·Á̤ÓÔ fï˜ fi¯È Û˘Ì·Á¤˜. E›Ó·È ÙÔ E ·ÓÔÈÎÙfi; ÕÛÎËÛË 17. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ E Â›Ó·È ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ x ∈ [0, 1] Ì ‰Âη‰ÈÎfi ·Ó¿Ù˘ÁÌ· ÙÔ ÔÔ›Ô ÂÚȤ¯ÂÈ ÌfiÓÔÓ Ù· „ËÊ›· 4 Î·È 7. E›Ó·È ÙÔ E ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌÔ; E›Ó·È ÙÔ E ˘ÎÓfi ÛÙÔ [0, 1]; E›Ó·È ÙÔ E Û˘Ì·Á¤˜; E›Ó·È ÙÔ E Ù¤ÏÂÈÔ; ÕÛÎËÛË 18. Y¿Ú¯ÂÈ Ù¤ÏÂÈÔ ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ R 1 ÙÔ ÔÔ›Ô ‰ÂÓ ÂÚȤ¯ÂÈ ÚËÙÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜; ÕÛÎËÛË 19. £ÂˆÚԇ̠¤Ó·Ó ÌÂÙÚÈÎfi ¯ÒÚÔ X . (·) E¿Ó A, B Â›Ó·È ·ÔÛ˘Ó‰ÂÙ¿ ÎÏÂÈÛÙ¿ ˘ÔÛ‡ÓÔÏ·, ÙfiÙ ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ Â›Ó·È ‰È·¯ˆÚÈṲ̂ӷ. (‚) Aԉ›ÍÙ ÙÔ ›‰ÈÔ ÁÈ· ·ÓÔÈÎÙ¿ ·ÔÛ˘Ó‰ÂÙ¿ Û‡ÓÔÏ·. (Á) £ÂˆÚԇ̠p ∈ X , δ > 0 Î·È ÔÚ›˙Ô˘Ì ˆ˜ A ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ q ∈ X Ì d( p, q) < δ Î·È ÔÚ›˙Ô˘Ì ·ÚÔÌÔ›ˆ˜ ÙÔ B Ì ÙË Û¯¤ÛË > ÛÙË ı¤ÛË Ù˘ Û¯¤Ûˆ˜ <. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ Ù· A, B Â›Ó·È ‰È·¯ˆÚÈṲ̂ӷ. (‰) Aԉ›ÍÙ fiÙÈ Î¿ıÂ Û˘ÓÂÎÙÈÎfi˜ ÌÂÙÚÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ Ì ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ ‰‡Ô ÛËÌ›· Â›Ó·È ˘ÂÚ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌÔ˜. Yfi‰ÂÈÍË: XÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÙ ÙÔ (Á). ÕÛÎËÛË 20. E›Ó·È Ë ÎÏÂÈÛÙ‹ ı‹ÎË Î·È ÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÂÓfi˜ Û˘ÓÂÎÙÈÎÔ‡ Û˘ÓfiÏÔ˘ Û˘ÓÂÎÙÈο Û‡ÓÔÏ·; (EÚ¢ӋÛÙ ÙÔ ·Ú¯Èο ÁÈ· ˘ÔÛ‡ÓÔÏ· ÙÔ˘ R 2 .) ÕÛÎËÛË 21. A˜ Â›Ó·È A, B ‰È·¯ˆÚÈṲ̂ӷ ˘ÔÛ‡ÓÔÏ· ÂÓfi˜ E˘ÎÏÂÈ‰Â›Ô˘ ¯ÒÚÔ˘ R k . £ÂˆÚԇ̠a ∈ A, b ∈ B Î·È ÔÚ›˙Ô˘Ì p(t) = (1 − t)a + tb ÁÈ· t ∈ R 1 . £¤ÙÔ˘Ì A0 = p−1 (A), B0 = p−1 (B). (EÔ̤ӈ˜, t ∈ A0 Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó p(t) ∈ A Î·È ·ÚÔÌÔ›ˆ˜ ÁÈ· ÙÔ B0 .)
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(·) Aԉ›ÍÙ fiÙÈ Ù· A0 , B0 Â›Ó·È ‰È·¯ˆÚÈṲ̂ӷ ˘ÔÛ‡ÓÔÏ· ÙÔ˘ R 1 . (‚) Aԉ›ÍÙ fiÙÈ ˘¿Ú¯ÂÈ t0 ∈ (0, 1) Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ p(t0 ) ∈ / A ∪ B. k (Á) Aԉ›ÍÙ fiÙÈ Î¿ı ΢ÚÙfi ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ R Â›Ó·È Û˘ÓÂÎÙÈÎfi. ÕÛÎËÛË 22. ŒÓ·˜ ÌÂÙÚÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ‰È·¯ˆÚ›ÛÈÌÔ˜ Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ÂÚȤ¯ÂÈ ¤Ó· ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌÔ ˘ÎÓfi ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ. ¢Â›ÍÙ fiÙÈ Ô R k Â›Ó·È ‰È·¯ˆÚ›ÛÈÌÔ˜ ¯ÒÚÔ˜. Yfi‰ÂÈÍË: £ÂˆÚ‹ÛÙ ٷ ÛËÌ›· ÌÂ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ ÌfiÓÔ ÚËÙÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜. ÕÛÎËÛË 23. M›· Û˘ÏÏÔÁ‹ {Vα } (α ∈ A) ·ÓÔÈÎÙÒÓ ˘ÔÛ˘ÓfiÏˆÓ ÂÓfi˜ ÌÂÙÚÈÎÔ‡ ¯ÒÚÔ˘ X ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È (ÙÔÔÏÔÁÈ΋) ‚¿ÛË ÙÔ˘ X Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ·ÏËı‡ÂÈ ÙÔ ÂfiÌÂÓÔ: ÁÈ· οı x ∈ X Î·È Î¿ı ·ÓÔÈÎÙfi Û‡ÓÔÏÔ G ⊂ X Ì x ∈ G ˘¿Ú¯ÂÈ ‰Â›ÎÙ˘ α Ì x ∈ Vα . ¢ËÏ·‰‹, οı ·ÓÔÈÎÙfi ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ X ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙËÓ ¤ÓˆÛË Ì›·˜ ˘ÔÛ˘ÏÏÔÁ‹˜ Ù˘ {Vα } (α ∈ A). Aԉ›ÍÙ fiÙÈ Î¿ı ‰È·¯ˆÚ›ÛÈÌÔ˜ ÌÂÙÚÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ ¤¯ÂÈ ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌË ‚¿ÛË. Yfi‰ÂÈÍË: £ÂˆÚ‹ÛÙ fiϘ ÙȘ ÂÚÈÔ¯¤˜ Ì ·ÎÙ›Ó· ÚËÙfi ·ÚÈıÌfi, Ù· ΤÓÙÚ· ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ ·Ó‹ÎÔ˘Ó Û οÔÈÔ ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌÔ ˘ÎÓfi ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ X . ÕÛÎËÛË 24. A˜ Â›Ó·È X ¤Ó·˜ ÌÂÙÚÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ ÁÈ· ÙÔÓ ÔÔ›ÔÓ ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ Î¿ı ·¤Ú·ÓÙÔ ˘ÔÛ‡ÓÔÏfi ÙÔ˘ ¤¯ÂÈ ÔÚÈ·Îfi ÛËÌ›Ô. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ Ô X Â›Ó·È ‰È·¯ˆÚ›ÛÈÌÔ˜. Yfi‰ÂÈÍË: £ÂˆÚ‹ÛÙ δ > 0 Î·È x1 ∈ X . Œ¯ÔÓÙ·˜ ÂÈϤÍÂÈ x1 , . . . , x j ∈ X , ÂÈϤÍÙ x j+1 ∈ X , Â¿Ó Â›Ó·È ‰˘Ó·Ùfi, Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ d(xi , x j+1 ) ≥ δ ÁÈ· οı i = 1, . . . , j. ¢Â›ÍÙ fiÙÈ ·˘Ù‹ Ë ‰È·‰Èηۛ· ı· ÛÙ·Ì·Ù‹ÛÂÈ ·Ó·ÁηÛÙÈο ¤ÂÈÙ· ·fi ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ˘ Ï‹ıÔ˘˜ ‚‹Ì·Ù· Î·È ÂÔ̤ӈ˜ Ô X ÌÔÚ› Ó· Î·Ï˘Êı› ·fi ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ˘ Ï‹ıÔ˘˜ ÂÚÈÔ¯¤˜ ·ÎÙ›Ó·˜ δ. §¿‚ÂÙ δ = 1/n (n = 1, 2, 3, . . . ) Î·È ıˆڋÛÙ ٷ ΤÓÙÚ· ÙˆÓ ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆÓ ÂÚÈÔ¯ÒÓ. ÕÛÎËÛË 25. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ Î¿ıÂ Û˘Ì·Á‹˜ ÌÂÙÚÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ K ¤¯ÂÈ ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌË ‚¿ÛË Î·È Û˘ÓÂÒ˜ Â›Ó·È ‰È·¯ˆÚ›ÛÈÌÔ˜. Yfi‰ÂÈÍË: °È· οı ıÂÙÈÎfi ·Î¤Ú·ÈÔ ·ÚÈıÌfi n ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ˘ Ï‹ıÔ˘˜ ÂÚÈÔ¯¤˜ ·ÎÙ›Ó·˜ 1/n, Ë ¤ÓˆÛË ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ ηχÙÂÈ ÙÔ K .
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ÕÛÎËÛË 26. A˜ Â›Ó·È X ¤Ó·˜ ÌÂÙÚÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ ÁÈ· ÙÔÓ ÔÔ›ÔÓ ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ Î¿ı ·¤Ú·ÓÙÔ ˘ÔÛ‡ÓÔÏfi ÙÔ˘ ¤¯ÂÈ ÔÚÈ·Îfi ÛËÌ›Ô. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ Ô X Â›Ó·È Û˘Ì·Á‹˜. Yfi‰ÂÈÍË: Afi ÙȘ AÛ΋ÛÂȘ 23 Î·È 24 ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ Ô X ¤¯ÂÈ ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌË ‚¿ÛË. Afi ·˘Ùfi ¤ÂÙ·È fiÙÈ Ô X ¤¯ÂÈ Ì›· ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌË ·ÓÔÈÎÙ‹ Î¿Ï˘„Ë {G n } (n = 1, 2, 3, . . . ). E¿Ó ‰ÂÓ ˘¿Ú¯ÂÈ ÂÂÚ·Ṳ̂ÓË ˘ÔÎ¿Ï˘„‹ Ù˘, ÙfiÙ ÙÔ Û˘Ìϋڈ̷ Fn ÙÔ˘ G 1 ∪ · · · ∪ G n Â›Ó·È ÌË ÎÂÓfi ÁÈ· οı ıÂÙÈÎfi ·Î¤Ú·ÈÔ ·ÚÈıÌfi n, fï˜ ÙÔ ∞ n=1 Fn Â›Ó·È ÎÂÓfi. E¿Ó E Â›Ó·È ¤Ó· Û‡ÓÔÏÔ ÙÔ ÔÔ›Ô ÂÚȤ¯ÂÈ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ·fi οı ۇÓÔÏÔ Fn , ÙfiÙ ıˆڋÛÙ ¤Ó· ÔÚÈ·Îfi ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ E Î·È Î·Ù·Ï‹ÍÙ Û ·ÓٛʷÛË. ÕÛÎËÛË 27. ŒÓ· ÛËÌÂ›Ô p ∈ X ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÛËÌÂ›Ô Û˘Ì˘ÎÓÒÛˆ˜ ÙÔ˘ Û˘ÓfiÏÔ˘ E ⊂ X Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó Î¿ı ÂÚÈÔ¯‹ ÙÔ˘ p ÂÚȤ¯ÂÈ ˘ÂÚ·ÚÈıÌËÛ›ÌÔ˘ Ï‹ıÔ˘˜ ÛËÌ›· ÙÔ˘ E. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ E ⊂ R k Î·È fiÙÈ ÙÔ E Â›Ó·È ˘ÂÚ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌÔ. A˜ Â›Ó·È P ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ Û˘Ì˘ÎÓÒÛˆ˜ ÙÔ˘ E. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ ÙÔ P Â›Ó·È Ù¤ÏÂÈÔ Î·È fiÙÈ ÙÔ Ôχ ·ÚÈıÌËÛ›ÌÔ˘ Ï‹ıÔ˘˜ ÛËÌ›· ÙÔ˘ E ‰ÂÓ ·Ó‹ÎÔ˘Ó ÛÙÔ P. M ‰È·ÊÔÚÂÙÈ΋ ‰È·Ù‡ˆÛË, ‰Â›ÍÙ fiÙÈ ÙÔ P c ∩ E Â›Ó·È ÙÔ Ôχ ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌÔ. Yfi‰ÂÈÍË: A˜ Â›Ó·È {Vn } (n = 1, 2, 3, . . . ) Ì›· ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌË ‚¿ÛË ÙÔ˘ R k Î·È W Ë ¤ÓˆÛË ÙˆÓ Û˘ÓfiÏˆÓ Vn Ù˘ ‚¿Ûˆ˜ ·˘Ù‹˜ Ì ÙËÓ È‰ÈfiÙËÙ· fiÙÈ ÙÔ E ∩ Vn Â›Ó·È ÙÔ Ôχ ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌÔ. ¢Â›ÍÙ fiÙÈ P = W c . ÕÛÎËÛË 28. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ Î¿ı ÎÏÂÈÛÙfi ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÂÓfi˜ ‰È·¯ˆÚ›ÛÈÌÔ˘ ÌÂÙÚÈÎÔ‡ ¯ÒÚÔ˘ ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙËÓ ¤ÓˆÛË ÂÓfi˜ (Èı·ÓÒ˜ ÎÂÓÔ‡) Ù¤ÏÂÈÔ˘ Û˘ÓfiÏÔ˘ Î·È ÂÓfi˜ ·ÚÈıÌËÛ›ÌÔ˘ Û˘ÓfiÏÔ˘. (¶fiÚÈÛÌ·: οı ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌÔ ÎÏÂÈÛÙfi ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ R k ¤¯ÂÈ ÌÂÌÔӈ̤ӷ ÛËÌ›·.) Yfi‰ÂÈÍË: XÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÙ ÙËÓ ÕÛÎËÛË 27. ÕÛÎËÛË 29. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ Î¿ı ·ÓÔÈÎÙfi ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ R 1 ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙËÓ ¤ÓˆÛË Ì›·˜ ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌ˘ Û˘ÏÏÔÁ‹˜ ·ÔÛ˘Ó‰ÂÙÒÓ ·ÓÔÈÎÙÒÓ ‰È·ÛÙËÌ¿ÙˆÓ. Yfi‰ÂÈÍË: XÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÙ ÙËÓ ÕÛÎËÛË 22.
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ÕÛÎËÛË 30. AÓÙÈÁÚ¿„Ù ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 2.43 ÁÈ· Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ ÙÔ ·ÎfiÏÔ˘ıÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ·: E¿Ó R k = ∞ n=1 Fn , fiÔ˘ οı ۇÓÔÏÔ Fn (n = 1, 2, 3, . . . ) Â›Ó·È ÎÏÂÈÛÙfi ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ R k , ÙfiÙ ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ ¤Ó· Fn ¤¯ÂÈ ÌË ÎÂÓfi ÂÛˆÙÂÚÈÎfi. IÛÔ‰‡Ó·ÌË ‰È·Ù‡ˆÛË: E¿Ó {G n } (n = 1, 2, 3, . . . ) Â›Ó·È Ì›· ·ÎÔÏÔ˘ı›· ·ÓÔÈÎÙÒÓ ˘ÎÓÒÓ ˘ÔÛ˘ÓfiÏˆÓ ÙÔ˘ R k , ÙfiÙ ÙÔ ∞ n=1 G n ‰ÂÓ Â›Ó·È ÎÂÓfi. (A˘Ùfi ·ÔÙÂÏ› ÂȉÈ΋ ÂÚ›ÙˆÛË ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ ÙÔ˘ Baire7 . AÓ·ÙÚ¤ÍÙ ÛÙËÓ ÕÛÎËÛË 22 ÙÔ˘ KÂÊ·Ï·›Ô˘ 3 ÁÈ· ÙË ÁÂÓÈ΋ ÂÚ›ÙˆÛË.)
7
™. Ù. M.: René Louis Baire (1874-1932). ™ËÌ·ÓÙÈÎfi˜ °¿ÏÏÔ˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi˜, Ô ÔÔ›Ô˜ ÂÚÁ¿ÛıËΠÛÙË £ÂˆÚ›· ™˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ Î·È ÌÂϤÙËÛ ı¤Ì·Ù· Û¯ÂÙÈο Ì ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ÔÚ›Ô˘. O Baire ÛÔ‡‰·Û ÛÙËÓ École Normale Supérieure ÛÙÔ ¶·Ú›ÛÈ, ·fi fiÔ˘ Î·È ·ÂÊÔ›ÙËÛ ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1895. ºÔ›ÙËÛ ˘fi ÙÔÓ Vito Volterra (1860-1940). °È· ÙË Ï‹„Ë ÙÔ˘ ‰È‰·ÎÙÔÚÈÎÔ‡ ÙÔ˘ ‰ÈÏÒÌ·ÙÔ˜, ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1899, ÂÍÂÙ¿ÛıËΠ·fi ÙÔÓ Gaston Darboux (1842-1917). TÔ ·ÓÙÈΛÌÂÓÔ Ù˘ ‰È‰·ÎÙÔÚÈ΋˜ ÙÔ˘ ‰È·ÙÚÈ‚‹˜ ‹Ù·Ó Ë ÌÂϤÙË Ì›·˜ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤Ó˘ ÎÏ¿Û˘ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛˆÓ, ÔÈ Ôԛ˜ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È Û‹ÌÂÚ· Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ ÙÔ˘ Baire. §fiÁˆ Ù˘ η΋˜ ÙÔ˘ ˘Á›·˜, Ô Baire ¤ÂÈÙ· ·fi ÙËÓ ÂÎfiÓËÛË Ù˘ ‰È‰·ÎÙÔÚÈ΋˜ ÙÔ˘ ‰È·ÙÚÈ‚‹˜ ‰ÂÓ Û˘ÓÂÈÛ¤ÊÂÚ ·Ú¿ ÌfiÓÔ ·ÔÛ·ÛÌ·ÙÈο, ·ÏÏ¿ Ô˘ÛȈ‰Ò˜, ÛÙ· M·ıËÌ·ÙÈο. To ¤ÙÔ˜ 1902, Ô Baire η٤Ϸ‚ ·Î·‰ËÌ·˚΋ ı¤ÛË ÛÙÔ ¶·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ ÙÔ˘ Montpellier Î·È ÙÚ›· ¤ÙË ÌÂÙ¿ ÛÙÔ ¶·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ Ù˘ Dijon. ™˘Ó¤ÁÚ·„ ÛËÌ·ÓÙÈο ‚È‚Ï›· AӷχÛˆ˜, Ù· ÔÔ›· ¤‰ˆÛ·Ó ÛËÌ·ÓÙÈ΋ ÒıËÛË ÛÙË ‰È‰·Ûηϛ· Ù˘ AӷχÛˆ˜ Î·È ¤¯Ô˘Ó ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛı› ϤÔÓ ÎÏ·ÛÈο.
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AKO§OY£IE™ KAI ™EIPE™
TÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ ·˘Ùfi Ú·ÁÌ·Ù‡ÂÙ·È Î˘Ú›ˆ˜ ·ÎÔÏÔ˘ı›Â˜ Î·È ÛÂÈÚ¤˜ ÌÈÁ·‰ÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ. T· ‚·ÛÈο ÁÂÁÔÓfiÙ· ÂÚ› Û˘ÁÎϛۈ˜ ÌÔÚÔ‡Ó fï˜ Ó· Á›ÓÔ˘Ó Î·Ù·ÓÔËÙ¿ fiÙ·Ó ÙÂıÔ‡Ó Û ¤Ó· ÁÂÓÈÎfiÙÂÚÔ Ï·›ÛÈÔ. OÈ ÙÚÂȘ ÚÒÙ˜ ÂÓfiÙËÙ˜ ¤¯Ô˘Ó Ó· οÓÔ˘Ó ÏÔÈfiÓ Ì ·ÎÔÏÔ˘ı›Â˜ Û E˘ÎÏ›‰ÂÈÔ˘˜ ¯ÒÚÔ˘˜ Î·È Û ÌÂÙÚÈÎÔ‡˜ ¯ÒÚÔ˘˜.
™Y°K§INOY™E™ AKO§OY£IE™ OÚÈÛÌfi˜ 3.1. M›· ·ÎÔÏÔ˘ı›· { pn } (n = 1, 2, 3, . . . ) ÂÓfi˜ ÌÂÙÚÈÎÔ‡ ¯ÒÚÔ˘ X ϤÁÂÙ·È fiÙÈ Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ˘¿Ú¯ÂÈ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô p ∈ X Ì ÙËÓ
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∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
·ÎfiÏÔ˘ıË È‰ÈfiÙËÙ·: ÁÈ· οı ε > 0 ˘¿Ú¯ÂÈ ·Î¤Ú·ÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ N Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙÂ Ë ·ÓÈÛfiÙËÙ· n ≥ N Ó· Û˘Ó¿ÁÂÙ·È ÙËÓ d( pn , p) < ε. (M d Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì ÙË ÌÂÙÚÈ΋ ÙÔ˘ X .) ™ÙËÓ ·Ú·¿Óˆ ÂÚ›ÙˆÛË Ï¤ÁÂÙ·È Â›Û˘ fiÙÈ Ë { pn } (n = 1, 2, 3, . . . ) Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÚÔ˜ ÙÔ p ‹ ·ÏÏÈÒ˜ fiÙÈ ÙÔ p Â›Ó·È ÙÔ fiÚÈÔ Ù˘ { pn } (n = 1, 2, 3, . . . ). (AÓ·ÙÚ¤ÍÙ ÛÙÔ £ÂÒÚËÌ· 3.2(‚).) °Ú¿ÊÔ˘Ì pn → p ηıÒ˜ n → ∞ ‹ lim pn = p.
n→∞
H { pn } (n = 1, 2, 3, . . . ) ϤÁÂÙ·È fiÙÈ ·ÔÎÏ›ÓÂÈ Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ‰ÂÓ Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ. £· Ú¤ÂÈ Ó· ÂÈÛËÌ¿ÓÔ˘Ì fiÙÈ Ô ·Ú·¿Óˆ ÔÚÈÛÌfi˜ Ù˘ «Û˘ÁÎÏ›ÓÔ˘Û·˜ ·ÎÔÏÔ˘ı›·˜» ‰ÂÓ ÂÍ·ÚÙ¿Ù·È ÌfiÓÔÓ ·fi ÙËÓ ·ÎÔÏÔ˘ı›· ·ÏÏ¿ Î·È ·fi ÙÔÓ ÂÚÈ‚¿ÏÏÔÓÙ· ¯ÒÚÔ X . E› ·Ú·‰Â›ÁÌ·ÙÈ, Ë ·ÎÔÏÔ˘ı›· {1/n} (n = 1, 2, 3, . . . ) Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÛÙÔÓ R 1 (ÚÔ˜ ÙÔ 0), fï˜ ‰ÂÓ Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÛÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ıÂÙÈÎÒÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ (Ì ÙËÓ Û˘Ó‹ıË ·fiÛÙ·ÛË ÙÔ˘ R 1 ). ™Â ÂÚÈÙÒÛÂȘ fiÔ˘ ÌÔÚ› Ó· ˘¿ÚÍÂÈ Û‡Á¯˘ÛË, ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÙÔÓ ·ÎÚÈ‚¤ÛÙÂÚÔ fiÚÔ «Û˘ÁÎÏ›ÓÔ˘Û· ÛÙÔÓ X » ·Ú¿ ÙÔÓ fiÚÔ «Û˘ÁÎÏ›ÓÔ˘Û·». YÂÓı˘Ì›˙Ô˘Ì fiÙÈ ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ pn (n = 1, 2, 3, . . . ) ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Â‰›Ô ÙÈÌÒÓ Ù˘ { pn } (n = 1, 2, 3, . . . ). TÔ Â‰›Ô ÙÈÌÒÓ Ì›·˜ ·ÎÔÏÔ˘ı›·˜ ÌÔÚ› Ó· Â›Ó·È ÂÍ›ÛÔ˘ ·¤Ú·ÓÙÔ ‹ ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ Û‡ÓÔÏÔ. H ·ÎÔÏÔ˘ı›· { pn } (n = 1, 2, 3, . . . ) ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÊÚ·Á̤ÓË Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ÙÔ Â‰›Ô ÙÈÌÒÓ Ù˘ Â›Ó·È ÊÚ·Á̤ÓÔ. ø˜ ·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù·, ıˆÚԇ̠ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ·ÎÔÏÔ˘ı›Â˜ ÌÈÁ·‰ÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ (‰ËÏ·‰‹ ıˆÚԇ̠fiÙÈ X = R 2 ): (·) E¿Ó sn = 1/n (n = 1, 2, 3, . . . ), ÙfiÙ limn→∞ sn = 0. TÔ Â‰›Ô ÙÈÌÒÓ Ù˘ Â›Ó·È ·¤Ú·ÓÙÔ Î·È Ë ·ÎÔÏÔ˘ı›· Â›Ó·È ÊÚ·Á̤ÓË. (‚) E¿Ó sn = n 2 (n = 1, 2, 3, . . . ), ÙfiÙÂ Ë ·ÎÔÏÔ˘ı›· {sn } (n = 1, 2, 3, . . . ) Â›Ó·È ÌË ÊÚ·Á̤ÓË, ·ÔÎÏ›ÓÔ˘Û· Ì ·¤Ú·ÓÙÔ Â‰›Ô ÙÈÌÒÓ. (Á) E¿Ó sn = 1 + [(−1)n /n] (n = 1, 2, 3, . . . ), ÙfiÙ limn→∞ sn = 1. H ·ÎÔÏÔ˘ı›· Â›Ó·È ÊÚ·Á̤ÓË Ì ·¤Ú·ÓÙÔ Â‰›Ô ÙÈÌÒÓ. (‰) E¿Ó sn = i n (n = 1, 2, 3, . . . ), ÙfiÙÂ Ë ·ÎÔÏÔ˘ı›· {sn } (n = 1, 2, 3, . . . ) Â›Ó·È ·ÔÎÏ›ÓÔ˘Û·, ÊÚ·Á̤ÓË Ì ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ Â‰›Ô ÙÈÌÒÓ.
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(Â) E¿Ó sn = 1 (n = 1, 2, 3, . . . ), ÙfiÙÂ Ë ·ÎÔÏÔ˘ı›· {sn } (n = 1, 2, 3, . . . ) Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÚÔ˜ ÙÔ 1, Â›Ó·È ÊÚ·Á̤ÓË Ì ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ Â‰›Ô ÙÈÌÒÓ. ™ÙÔ ÂfiÌÂÓÔ ıÂÒÚËÌ· ηٷÁÚ¿ÊÔ˘Ì ÔÚÈṲ̂Ó˜ ÛËÌ·ÓÙÈΤ˜ ȉÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ Û˘ÁÎÏÈÓÔ˘ÛÒÓ ·ÎÔÏÔ˘ıÈÒÓ Û ÌÂÙÚÈÎfi ¯ÒÚÔ. £ÂÒÚËÌ· 3.2. £ÂˆÚԇ̛̠· ·ÎÔÏÔ˘ı›· { pn } (n = 1, 2, 3, . . . ) Û ¤Ó·Ó ÌÂÙÚÈÎfi ¯ÒÚÔ X . (·) H { pn } (n = 1, 2, 3, . . . ) Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÚÔ˜ ÙÔ p Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó Î¿ı ÂÚÈÔ¯‹ ÙÔ˘ p ÂÚȤ¯ÂÈ fiÏÔ˘˜ ÙÔ˘˜ fiÚÔ˘˜ Ù˘ { pn } (n = 1, 2, 3, . . . ) ÂÎÙfi˜ ·fi ÙÔ Ôχ ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ˘ Ï‹ıÔ˘˜ fiÚÔ˘˜. (‚) E¿Ó p, p ∈ X Î·È Â¿Ó Ë { pn } (n = 1, 2, 3, . . . ) Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÚÔ˜ Ù· p Î·È p , ÙfiÙ p = p . (Á) E¿Ó Ë { pn } (n = 1, 2, 3, . . . ) Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ, ÙfiÙÂ Â›Ó·È ÊÚ·Á̤ÓË. (‰) E¿Ó E ⊂ X Î·È Â¿Ó p Â›Ó·È ÔÚÈ·Îfi ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ E, ÙfiÙ ˘¿Ú¯ÂÈ Ì›· ·ÎÔÏÔ˘ı›· { pn } (n = 1, 2, 3, . . . ) ÙÔ˘ X Ì p = limn→∞ pn . Afi‰ÂÈÍË. (·) YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ pn → p ηıÒ˜ n → ∞ Î·È ıˆÚԇ̛̠· ÂÚÈÔ¯‹ V ÙÔ˘ p. Y¿Ú¯ÂÈ ‰ËÏ·‰‹ ¤Ó· ε > 0 Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙÂ Â¿Ó q ∈ X Ì d(q, p) < ε, ÙfiÙ q ∈ V . EÍ ÔÚÈÛÌÔ‡ Ù˘ Û˘ÁÎϛۈ˜, ˘¿Ú¯ÂÈ ·Î¤Ú·ÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ N Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙÂ Â¿Ó n ≥ N , ÙfiÙ d( pn , p) < ε. ÕÚ·, Â¿Ó n ≥ N , ÙfiÙ pn ∈ V . AÓÙÈÛÙÚfiʈ˜, ˘Ôı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ Î¿ı ÂÚÈÔ¯‹ ÙÔ˘ p ÂÚȤ¯ÂÈ fiÏÔ˘˜ ÙÔ˘˜ fiÚÔ˘˜ Ù˘ { pn } (n = 1, 2, 3, . . . ) ÂÎÙfi˜ ·fi ÙÔ Ôχ ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ˘ Ï‹ıÔ˘˜ fiÚÔ˘˜. A˜ Â›Ó·È ε > 0. £ÂˆÚԇ̠ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ V ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ q ∈ X Ì d(q, p) < ε. EÍ ˘Ôı¤Ûˆ˜, ˘¿Ú¯ÂÈ ·Î¤Ú·ÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ N Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ pn ∈ V Â¿Ó n ≥ N . ™˘ÓÂÒ˜, d( pn , p) < ε Â¿Ó n ≥ N . ¢ËÏ·‰‹, pn → p ηıÒ˜ n → ∞. (‚) A˜ Â›Ó·È ε > 0. TfiÙÂ, ˘¿Ú¯Ô˘Ó ·Î¤Ú·ÈÔÈ ·ÚÈıÌÔ› N , N Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙÂ Â¿Ó n ≥ N , ÙfiÙ d( pn , p) < ηÈ
ε 2
ε Â¿Ó n ≥ N , ÙfiÙ d( pn , p ) < . 2
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™˘ÓÂÒ˜, Â¿Ó n ≥ max(N , N ), ÙfiÙ d( p, p ) ≤ d( p, pn ) + d( pn , p ) < ε. TÔ ÙÂÏÂ˘Ù·›Ô Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ d( p, p ) = 0, ÂÊfiÛÔÓ Ô ε Â›Ó·È Ù˘¯ÒÓ ıÂÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜. (Á) YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ pn → p ηıÒ˜ n → ∞. TfiÙÂ, ˘¿Ú¯ÂÈ ¤Ó·˜ ·Î¤Ú·ÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ N Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙÂ Â¿Ó n > N , ÙfiÙ d( pn , p) < 1. £¤ÙÔ˘Ì r = max{1, d( p1 , p), . . . , d( p N , p)}. TfiÙÂ, d( pn , p) ≤ r ÁÈ· οı ıÂÙÈÎfi ·Î¤Ú·ÈÔ ·ÚÈıÌfi n. (‰) °È· οı ıÂÙÈÎfi ·Î¤Ú·ÈÔ ·ÚÈıÌfi n ˘¿Ú¯ÂÈ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô pn ∈ E Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ d( pn , p) < 1/n. E¿Ó ε > 0, ÂÈϤÁÔ˘Ì ·Î¤Ú·ÈÔ ·ÚÈıÌfi N Ì N ε > 1. E¿Ó n > N , ÙfiÙ ¤ÂÙ·È fiÙÈ d( pn , p) < ε. ™˘ÓÂÒ˜, pn → p ηıÒ˜ n → ∞. A˘Ùfi ÔÏÔÎÏËÚÒÓÂÈ ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË. °È· ·ÎÔÏÔ˘ı›Â˜ ÙÔ˘ R k ÌÔÚԇ̠ӷ ÌÂÏÂÙ‹ÛÔ˘Ì ÙË Û¯¤ÛË Ô˘ ˘Ê›ÛÙ·Ù·È ÌÂٷ͇ Ù˘ Û˘ÁÎϛۈ˜ Î·È ÙˆÓ ·ÏÁ‚ÚÈÎÒÓ Ú¿ÍˆÓ. AÚ¯Èο ıˆÚԇ̠·ÎÔÏÔ˘ı›Â˜ ÌÈÁ·‰ÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ. £ÂÒÚËÌ· 3.3. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ {sn }, {tn } (n = 1, 2, 3, . . . ) Â›Ó·È ·ÎÔÏÔ˘ı›Â˜ ÌÈÁ·‰ÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ Ì limn→∞ sn = s Î·È limn→∞ tn = t. TfiÙÂ: (·) limn→∞ (sn + tn ) = s + t. (‚) limn→∞ csn = cs, limn→∞ (c + sn ) = c + s, ÁÈ· ÔÔÈÔÓ‰‹ÔÙ ÌÈÁ·‰ÈÎfi ·ÚÈıÌfi c. (Á) limn→∞ sn tn = st. (‰) limn→∞ s1 = 1s , Â¿Ó sn = 0 ÁÈ· οı ıÂÙÈÎfi ·Î¤Ú·ÈÔ ·ÚÈıÌfi n n Î·È s = 0. Afi‰ÂÈÍË. (·) °È· ε > 0 ˘¿Ú¯Ô˘Ó ·Î¤Ú·ÈÔÈ ·ÚÈıÌÔ› N1 , N2 Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙÂ Â¿Ó n ≥ N1 , ÙfiÙ |sn − s| < ηÈ
ε 2
ε Â¿Ó n ≥ N2 , ÙfiÙ |tn − t| < . 2
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™˘ÓÂÒ˜, Â¿Ó N = max(N1 , N2 ), ÙfiÙ ÁÈ· n ≥ N ¤¯Ô˘Ì fiÙÈ |(sn + tn ) − (s + t)| ≤ |sn − s| + |tn − t| < ε. A˘Ùfi ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÈ ÙÔ (·). H ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ (‚) Â›Ó·È ÙÂÙÚÈÌ̤ÓË. (Á) K¿ÓÔ˘Ì ¯Ú‹ÛË Ù˘ ÈÛfiÙËÙ·˜ sn tn − st = (sn − s)(tn − t) + s(tn − t) + t (sn − s),
(1)
Ë ÔÔ›· ÈÛ¯‡ÂÈ ÁÈ· οı n = 1, 2, 3, . . . . °È· ε > 0 ˘¿Ú¯Ô˘Ó ·Î¤Ú·ÈÔÈ ·ÚÈıÌÔ› N1 , N2 Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ √ Â¿Ó n ≥ N1 , ÙfiÙ |sn − s| < ε Î·È Â¿Ó n ≥ N2 , ÙfiÙ |tn − t| <
√
ε.
EÔ̤ӈ˜, Â¿Ó Ï¿‚Ô˘Ì N = max(N1 , N2 ), ÙfiÙ ÁÈ· n ≥ N ¤¯Ô˘Ì fiÙÈ |(sn − s)(tn − t)| < ε. TÔ ÙÂÏÂ˘Ù·›Ô Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ lim (sn − s)(tn − t) = 0.
n→∞
E¿Ó ÂÊ·ÚÌfiÛÔ˘Ì ٷ (·) Î·È (‚) ÛÙËÓ (1), Û˘Ó¿ÁÔ˘Ì fiÙÈ lim (sn tn − st) = 0.
n→∞
(‰) EÈϤÁÔÓÙ·˜ ·Î¤Ú·ÈÔ ·ÚÈıÌfi m Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ |sn − s| < 12 |s| Â¿Ó n ≥ m, ·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ 1 |sn | > |s| (n ≥ m). 2 E¿Ó ε > 0, ÙfiÙ ˘¿Ú¯ÂÈ ·Î¤Ú·ÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ N > m Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙÂ Â¿Ó n ≥ N , ÙfiÙ 1 |sn − s| < |s|2 ε. 2 K·Ù¿ Û˘Ó¤ÂÈ·, ÁÈ· n ≥ N ¤¯Ô˘Ì fiÙÈ sn − s 1 1 < 2 |sn − s| < ε. − = s s sn s |s|2 n
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∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
£ÂÒÚËÌ· 3.4. (·) YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ xn ∈ R k (n = 1, 2, 3, . . . ) Ì xn = (α1,n , . . . , αk,n ) ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË n. TfiÙÂ, Ë ·ÎÔÏÔ˘ı›· {xn } (n = 1, 2, 3, . . . ) Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÚÔ˜ ÙÔ x = (α1 , . . . , αk ) Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó lim α j,n = α j
(1 ≤ j ≤ k).
n→∞
(2)
(‚) YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ {xn }, {yn } (n = 1, 2, 3, . . . ) Â›Ó·È ·ÎÔÏÔ˘ı›Â˜ ÙÔ˘ Î·È {βn } (n = 1, 2, 3, . . . ) Â›Ó·È Ì›· ·ÎÔÏÔ˘ı›· Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ xn → x, yn → y Î·È βn → β ηıÒ˜ n → ∞. TfiÙÂ, Rk
lim (xn + yn ) = x + y,
n→∞
lim (xn · yn ) = x · y,
lim (βn xn ) = βx.
n→∞
n→∞
Afi‰ÂÈÍË. (·) E¿Ó xn → x ηıÒ˜ n → ∞, ÙfiÙ ÔÈ ·ÓÈÛfiÙËÙ˜ |α j,n − α j | ≤ |xn − x|
(n = 1, 2, 3, . . . , 1 ≤ j ≤ k),
ÔÈ Ôԛ˜ ÚÔ·ÙÔ˘Ó ·fi ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi Ù˘ ÛÙ¿ıÌ˘ ÙÔ˘ R k , Ê·ÓÂÚÒÓÔ˘Ó fiÙÈ Ë (2) ÈÛ¯‡ÂÈ. AÓÙÈÛÙÚfiʈ˜, Â¿Ó ÈÛ¯‡ÂÈ Ë (2) ÙfiÙ ÁÈ· οı ε > 0 ˘¿Ú¯ÂÈ ·Î¤Ú·ÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ N Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙÂ Â¿Ó n ≥ N , ÙfiÙ ε |α j,n − α j | < √ k
(1 ≤ j ≤ k).
EÔ̤ӈ˜, Â¿Ó n ≥ N , ÙfiÙ |xn − x| =
k
1/2 |α j,n − α j |
2
<ε
j=1
‰ËÏ·‰‹ xn → x ηıÒ˜ n → ∞. A˘Ùfi ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÈ ÙÔ (·). TÔ Ì¤ÚÔ˜ (‚) ¤ÂÙ·È ·fi ÙÔ (·) Î·È ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 3.3.
AKO§OY£IE™ KAI ™EIPE™ 81
Y¶AKO§OY£IE™ OÚÈÛÌfi˜ 3.5. ¢Â‰Ô̤Ó˘ Ì›·˜ ·ÎÔÏÔ˘ı›·˜ { pn } (n = 1, 2, 3, . . . ), ıˆÚԇ̛̠· ·ÎÔÏÔ˘ı›· {n i } (i = 1, 2, 3, . . . ) ıÂÙÈÎÒÓ ·ÎÂÚ·›ˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ Ì n 1 < n 2 < n 3 < · · · . TfiÙÂ, Ë ·ÎÔÏÔ˘ı›· { pni } (i = 1, 2, 3, . . . ) ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ˘·ÎÔÏÔ˘ı›· Ù˘ { pn } (n = 1, 2, 3, . . . ). ™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË fiÔ˘ Ë { pni } (i = 1, 2, 3, . . . ) Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ, ÙÔ fiÚÈÔ ·˘Ù‹˜ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ˘·ÎÔÏÔ˘ıÈ·Îfi fiÚÈÔ Ù˘ { pn } (n = 1, 2, 3, . . . ). E›Ó·È ۷ʤ˜ fiÙÈ Ë { pn } (n = 1, 2, 3, . . . ) Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÚÔ˜ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô p Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó Î¿ı ˘·ÎÔÏÔ˘ı›· Ù˘ Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÚÔ˜ ÙÔ p. OÈ ÏÂÙÔ̤ÚÂȘ ÙȘ ·Ô‰Â›Íˆ˜ ·Ê‹ÓÔÓÙ·È ÛÙÔÓ ·Ó·ÁÓÒÛÙË.
£ÂÒÚËÌ· 3.6. (·) E¿Ó { pn } (n = 1, 2, 3, . . . ) Â›Ó·È Ì›· ·ÎÔÏÔ˘ı›· Û ¤Ó·Ó Û˘Ì·Á‹ ÌÂÙÚÈÎfi ¯ÒÚÔ X , ÙfiÙ ·˘Ù‹ ¤¯ÂÈ Û˘ÁÎÏ›ÓÔ˘Û· ˘·ÎÔÏÔ˘ı›· ÛÙÔÓ X . (‚) K¿ı ÊÚ·Á̤ÓË ·ÎÔÏÔ˘ı›· ÙÔ˘ R k ¤¯ÂÈ Û˘ÁÎÏ›ÓÔ˘Û· ˘·ÎÔÏÔ˘ı›·. Afi‰ÂÈÍË. (·) A˜ Â›Ó·È E ÙÔ Â‰›Ô ÙÈÌÒÓ Ù˘ { pn } (n = 1, 2, 3, . . . ). E¿Ó ÙÔ E Â›Ó·È ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ, ÙfiÙ ˘¿Ú¯ÂÈ p ∈ E Î·È ·ÎÔÏÔ˘ı›· ıÂÙÈÎÒÓ ·ÎÂÚ·›ˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ {n i } (i = 1, 2, 3, . . . ) Ì n 1 < n 2 < n 3 < · · · Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ pn 1 = pn 2 = · · · = p. H ˘·ÎÔÏo˘ı›· Ô˘ Ï·Ì‚¿ÓÂÙ·È Ì ·˘ÙfiÓ ÙÔÓ ÙÚfiÔ Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÚÔÊ·ÓÒ˜ ÚÔ˜ ÙÔ p. E¿Ó ÙÔ E Â›Ó·È ·¤Ú·ÓÙÔ, ÙfiÙ ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 2.37 Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ ÙÔ E ¤¯ÂÈ ¤Ó· ÔÚÈ·Îfi ÛËÌÂ›Ô p ∈ X . EÈϤÁÔ˘Ì ıÂÙÈÎfi ·Î¤Ú·ÈÔ ·ÚÈıÌfi Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ d( p, pn 1 ) < 1. Œ¯ÔÓÙ·˜ ÂÈϤÍÂÈ ıÂÙÈÎÔ‡˜ ·Î¤Ú·ÈÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ n 1 , . . . , n i−1 , ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ·fi ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 2.20 ÙËÓ ‡·ÚÍË ıÂÙÈÎÔ‡ ·ÎÂÚ·›Ô˘ ·ÚÈıÌÔ‡ n i Ì n i > n i−1 Î·È d( p, pni ) < 1/i. TfiÙÂ, Ë { pni } (i = 1, 2, 3, . . . ) Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÚÔ˜ ÙÔ p.
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TÔ (‚) ¤ÂÙ·È ·fi ÙÔ (·), ÂÊfiÛÔÓ ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 2.41 Û˘Ó¿ÁÂÙ·È fiÙÈ Î¿ı ÊÚ·Á̤ÓÔ ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ R k ÂÚȤ¯ÂÙ·È Û ¤Ó· Û˘Ì·Á¤˜ ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ Rk . £ÂÒÚËÌ· 3.7. TÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ˘·ÎÔÏÔ˘ıÈ·ÎÒÓ ÔÚ›ˆÓ Ì›·˜ ·ÎÔÏÔ˘ı›·˜ { pn } (n = 1, 2, 3, . . . ) Û ¤Ó·Ó ÌÂÙÚÈÎfi ¯ÒÚÔ X Â›Ó·È ÎÏÂÈÛÙfi ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ X . Afi‰ÂÈÍË. ™˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì Ì E ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ˘·ÎÔÏÔ˘ıÈ·ÎÒÓ ÔÚ›ˆÓ Ù˘ ·ÎÔÏÔ˘ı›·˜ { pn } (n = 1, 2, 3, . . . ) Î·È ıˆÚԇ̠¤Ó· ÔÚÈ·Îfi ÛËÌÂ›Ô q ÙÔ˘ E . £· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ q ∈ E . EÈϤÁÔ˘Ì ıÂÙÈÎfi ·Î¤Ú·ÈÔ ·ÚÈıÌfi n 1 Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ pn 1 = q. (E¿Ó ‰ÂÓ ˘¿Ú¯ÂÈ Ù¤ÙÔÈÔ˜ ·Î¤Ú·ÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜, ÙfiÙ ÙÔ E ¤¯ÂÈ ˆ˜ ÌÔÓ·‰ÈÎfi ÙÔ˘ ÛËÌÂ›Ô ÙÔ q.) £¤ÙÔ˘Ì δ = d(q, pn 1 ). YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ ¤¯Ô˘Ó ÂÈÏÂÁ› ÔÈ ıÂÙÈÎÔ› ·Î¤Ú·ÈÔÈ ·ÚÈıÌÔ› n 1 , . . . , n i−1 . EÊfiÛÔÓ ÙÔ q Â›Ó·È ÔÚÈ·Îfi ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ E , ˘¿Ú¯ÂÈ x ∈ E Ì d(x, q) < 2−i δ. EÊfiÛÔÓ x ∈ E , ˘¿Ú¯ÂÈ ıÂÙÈÎfi˜ ·Î¤Ú·ÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ n i Ì n i > n i−1 Î·È d(x, pni ) < 2−i δ. ÕÚ·, d(q, pni ) ≤ 21−i δ ÁÈ· i = 1, 2, 3, . . . . A˘Ùfi Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ Ë { pni } (i = 1, 2, 3, . . . ) Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÚÔ˜ ÙÔ q. ™˘ÓÂÒ˜, q ∈ E .
AKO§OY£IE™ CAUCHY OÚÈÛÌfi˜ 3.8. M›· ·ÎÔÏÔ˘ı›· { pn } (n = 1, 2, 3, . . . ) Û ¤Ó·Ó ÌÂÙÚÈÎfi ¯ÒÚÔ X ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ·ÎÔÏÔ˘ı›· Cauchy 1 Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ÁÈ· οı ε > 0 ˘¿Ú¯ÂÈ ·Î¤Ú·ÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ N Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙÂ Â¿Ó n, m ≥ N , ÙfiÙ d( pn , pm ) < ε. 1
™. Ù. M.: Augustin Louis Cauchy (1789-1857). ¢È·Ú‹˜ °¿ÏÏÔ˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi˜. EÎÙfi˜ ·fi ÙËÓ AÓ¿Ï˘ÛË, fiÔ˘ ˘‹ÚÍ ڈÙÔfiÚÔ˜, Û˘ÓÂÈÛ¤ÊÂÚ ٷ ̤ÁÈÛÙ· Û ÔÏÏÔ‡˜ ÎÏ¿‰Ô˘˜ ÙˆÓ M·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ Î·È Ù˘ º˘ÛÈ΋˜. O Cauchy ÁÂÓÓ‹ıËΠ̛۠· ÔÏÈÙÈο, Î·È Û˘ÓÂÒ˜ ÎÔÈÓˆÓÈο, Ù·Ú·Á̤ÓË ÂÚ›Ô‰Ô Ù˘ °·ÏÏ›·˜ Ì ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· Ó· ˙‹ÛÂÈ ‰‡ÛÎÔÏ· ·È‰Èο ¯ÚfiÓÈ· Î·È Ó· ÎÏÔÓÈÛı› ·ÓÙÔÙÈÓ¿ Ë ˘Á›· ÙÔ˘ ÏfiÁˆ ˘ÔÛÈÙÈÛÌÔ‡. ¶·Ú' fiÏ· ·˘Ù¿, Ô ·Ù¤Ú·˜ ÙÔ˘ ÊÚfiÓÙÈÛ ӷ ÂÍ·ÛÊ·Ï›ÛÂÈ ÛÙÔÓ Cauchy ·ÍÈÔÚ‹ ÌfiÚʈÛË. O ·Ù¤Ú·˜ ÙÔ˘ Cauchy ›¯Â ÛÙÂÓ¤˜ Û¯¤ÛÂȘ Ì ÙÔ˘˜ Pierre
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™Â fi,ÙÈ ·ÊÔÚ¿ ÛÙȘ ·ÎÔÏÔ˘ı›Â˜ Cauchy, ηıÒ˜ ›Û˘ Î·È Û ¿ÏϘ ηٷÛÙ¿ÛÂȘ, ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È ¯Ú‹ÛÈÌË Ë ÂfiÌÂÓË ÁˆÌÂÙÚÈ΋ ¤ÓÓÔÈ·.
Simon Laplace (1749-1827), Joseph Louis Lagrange (1736-1813) Î·È ÙÔÓ ¯ËÌÈÎfi Claude Louis Berthollet (1748-1822), ÔÈ ÔÔ›ÔÈ Â›¯·Ó ‰È·‚Ϥ„ÂÈ ·fi Ôχ ÓˆÚ›˜ ÙÔ Ï·ÌÚfi ̤ÏÏÔÓ ÙÔ˘ Cauchy. O Cauchy ÊÔ›ÙËÛ ÛÙÔ KÂÓÙÚÈÎfi ™¯ÔÏÂ›Ô ÙÔ˘ Panthéon, fiÔ˘ Î·È Â¤‰ÂÈÍ ÙË Ï·ÌÚfiÙËÙ¿ ÙÔ˘ ˆ˜ Ì·ıËÙ‹˜ ÎÂÚ‰›˙ÔÓÙ·˜ ‰È¿ÊÔÚ· ‚Ú·‚›·. TÔ ¤ÙÔ˜ 1805 ÂÈÛ‹¯ıË ÛÙÔ ¶ÔÏ˘Ù¯ÓÂ›Ô ÙˆÓ ¶·ÚÈÛ›ˆÓ Î·È ‡ÛÙÂÚ· ·fi ÙÚ›· ¯ÚfiÓÈ· ÂÈÛ‹¯ıË ÛÙË ™¯ÔÏ‹ ¶ÔÏÈÙÈÎÒÓ M˯·ÓÈÎÒÓ fiÔ˘ ÔÏÔÎÏ‹ÚˆÛ ÙȘ ÛÔ˘‰¤˜ ÙÔ˘ ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1810. K·Ù¿ Ù· ¤ÙË 1810 ¤ˆ˜ Î·È 1813, Ô Cauchy ÂÚÁ¿ÛıËΠÛÙÔ Cherbourg ˆ˜ ÛÙÚ·ÙȈÙÈÎfi˜ Ì˯·ÓÈÎfi˜, ÛÙȘ Ù¿ÍÂȘ ÙÔ˘ ÛÙÚ·ÙÔ‡ ÙÔ˘ N·ÔϤÔÓÙ·, ÁÈ· ÙËÓ Ú·ÁÌ·ÙÔÔ›ËÛË ÙÔ˘ (ÂÓ Ù¤ÏÂÈ ·ÔÙ˘¯Ë̤ÓÔ˘) ۯ‰›Ô˘ ÂÈÛ‚ÔÏ‹˜ ÙÔ˘ N·ÔϤÔÓÙ· ÛÙËÓ AÁÁÏ›·. TËÓ ÂÚ›Ô‰Ô ·˘Ù‹ ·Û¯ÔÏÔ‡ÓÙ·Ó ·Ú·Ïϋψ˜ Ì ٷ M·ıËÌ·ÙÈο Î·È ‰ËÌÔÛ›Â˘Û ÔÚÈṲ̂Ó˜ ÂÚÁ·Û›Â˜. O Cauchy ¤ÛÙÚ„ ÛÙÔ ¶·Ú›ÛÈ, ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1813, Î·È ·ÊÈÂÚÒıËΠÛÙ· M·ıËÌ·ÙÈο, ηٿ ÙËÓ ÚÔÙÚÔ‹ ÙˆÓ Laplace Î·È Lagrange. O Cauchy ÂÍÂϤÁË Ì¤ÏÔ˜ Ù˘ Aη‰ËÌ›·˜ ÙˆÓ EÈÛÙËÌÒÓ ÙˆÓ ¶·ÚÈÛ›ˆÓ ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1816, ‡ÛÙÂÚ· ·fi ¯ËÚ›· ı¤ÛˆÓ, ÏfiÁˆ Ù˘ ·ÔÔÌ‹˜ (‚·ÛÈ˙fiÌÂÓ˘ Û ÔÏÈÙÈο ÎÚÈÙ‹ÚÈ·) ÙˆÓ Gaspard Monge (1746-1818) Î·È Lazare Nicolas Marguerite Carnot (1753-1823), Î·È ¤Ï·‚ ȉȷÈÙ¤Úˆ˜ ÂÈÎÚÈÙÈο Û¯fiÏÈ· ÁÈ· ·˘Ùfi ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜. EÓ Û˘Ó¯›·, η٤Ϸ‚ ·Î·‰ËÌ·˚Τ˜ ¤‰Ú˜ ÛÙÔ ¶ÔÏ˘Ù¯ÓÂ›Ô ÙˆÓ ¶·ÚÈÛ›ˆÓ, ÛÙÔ °·ÏÏÈÎfi KÔϤÁÈÔ Î·È ÛÙÔ ¶·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ Ù˘ ™ÔÚ‚fiÓÓ˘. EÓ Ì¤Ûˆ ÙˆÓ Ì·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ ÙÔ˘ ‰Ú·ÛÙËÚÈÔًوÓ, ·ÓÙÚ‡ÙËΠÙÔ ¤ÙÔ˜ 1818. M ÙËÓ ¿ÓÔ‰Ô ÙÔ˘ §Ô˘‰Ô‚›ÎÔ˘ ºÈÏ›Ô˘ ÛÙËÓ ÂÍÔ˘Û›· ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1830, Ô Cauchy ¤¯·Û fiϘ ÙȘ ı¤ÛÂȘ ÙÔ˘, ÏfiÁˆ Ù˘ ·ÚÓ‹ÛÂÒ˜ ÙÔ˘ Ó· Ï¿‚ÂÈ fiÚÎÔ ˘ÔÙ·Á‹˜ ÛÙÔ Ó¤Ô Î·ıÂÛÙÒ˜, Î·È ·˘ÙÔÂÍÔÚ›ÛıËΠ·ÎÔÏÔ˘ıÒÓÙ·˜ ÛÙËÓ EÏ‚ÂÙ›· ÙÔÓ ÔÏÈÙÈÎfi ÂÎÊÚ·ÛÙ‹ ÙÔ˘, ¤ÎÙˆÙÔ ‚·ÛÈÏÈ¿ K¿ÚÔÏÔ. ⁄ÛÙÂÚ· ·fi Ì›· ÌÈÎÚ‹ ÂÚ›Ô‰Ô ÂΛ, ‰¤¯ıËΠ̛· ı¤ÛË Î·ıËÁËÙ‹ M·ıËÌ·ÙÈ΋˜ º˘ÛÈ΋˜ ÛÙÔ ¶·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ ÙÔ˘ Torino. TÔ ¤ÙÔ˜ 1833, Ô Cauchy ÂÈÊÔÚÙ›ÛıËΠ̠ÙÔ Î·ı‹ÎÔÓ Ù˘ Âηȉ‡Ûˆ˜ ÙÔ˘ ˘ÈÔ‡ ÙÔ˘ K·ÚfiÏÔ˘, Ô ÔÔ›Ô˜ ‚ÚÈÛÎfiÙ·Ó ÛÙË ¶Ú¿Á·, ÁÂÁÔÓfi˜ Ô˘ ·Ó¤ÎÔ„Â ÙËÓ ÂÈÛÙËÌÔÓÈ΋ ÙÔ˘ ¤Ú¢ӷ. O Cauchy ¤ÛÙÚ„ ÛÙÔ ¶·Ú›ÛÈ ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1838. §fiÁˆ Ù˘ ›ÌÔÓ˘ ·ÚÓ‹Ûˆ˜ ÙÔ˘ Ó· Ï¿‚ÂÈ fiÚÎÔ ˘ÔÙ·Á‹˜ ÛÙÔ Î·ıÂÛÙÒ˜, ‰ÂÓ ·Ó¤Ï·‚ ÙȘ ·Î·‰ËÌ·˚Τ˜ ÙÔ˘ ı¤ÛÂȘ. AӤϷ‚ fï˜ Í·Ó¿ ÙË ı¤ÛË ÙÔ˘ ÛÙËÓ Aη‰ËÌ›· ÙˆÓ EÈÛÙËÌÒÓ ÙˆÓ ¶·ÚÈÛ›ˆÓ (‰ÈfiÙÈ, ηÙ' ÂÍ·›ÚÂÛË, Ù· ̤ÏË Ù˘ ‰ÂÓ ˘Ô¯ÚÂÒÓÔÓÙ·Ó ÛÙË Ï‹„Ë ÙÔ˘ fiÚÎÔ˘ ˘ÔÙ·Á‹˜). E›Û˘, ¤Ï·‚ ̛· ı¤ÛË ÛÙÔ °Ú·ÊÂ›Ô M¤ÙÚˆÓ Î·È ™Ù·ıÌÒÓ. M ÙËÓ ÙÒÛË ÙÔ˘ §Ô˘‰Ô‚›ÎÔ˘ ºÈÏ›Ô˘, o Cauchy ¤ÛÙÚ„ ÛÙËÓ ·Ï·È¿ ÙÔ˘ ı¤ÛË ÛÙÔ ¶·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ Ù˘ ™ÔÚ‚fiÓÓ˘, ÙËÓ ÔÔ›· ‰È·Ù‹ÚËÛ ¤ˆ˜ ÙÔÓ ı¿Ó·Ùfi ÙÔ˘. O Cauchy ‹Ù·Ó ‚·ıÈ¿ ıÚËÛ΢fiÌÂÓÔ˜ (ÛÙÔÓ K·ıÔÏÈÎÈÛÌfi) Î·È ˘‹ÚÍ ÌÂÁ¿ÏÔ˜ ÊÈÏ¿ÓıÚˆÔ˜. ŸÌˆ˜, ηÙËÁÔÚ‹ıËΠÔÏÏ¿ÎȘ ÁÈ· ÌÂÚÔÏË„›·, ÏfiÁˆ ÙˆÓ ¿Î·ÌÙˆÓ ÔÏÈÙÈÎÒÓ Î·È ıÚËÛ΢ÙÈÎÒÓ ÂÔÈı‹ÛÂÒÓ ÙÔ˘. Y¿Ú¯Ô˘Ó ‰Âη¤ÍÈ ¤ÓÓÔȘ Î·È ıˆڋ̷ٷ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó Ì›ÓÂÈ ÛÙËÓ ÈÛÙÔÚ›· ʤÚÔÓÙ·˜ ÙÔ fiÓÔÌ· ÙÔ˘ Cauchy, ηٿ Ôχ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ· ·fi ÔÔÈÔÓ‰‹ÔÙ ¿ÏÏÔÓ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi.
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OÚÈÛÌfi˜ 3.9. A˜ Â›Ó·È E ¤Ó· ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÂÓfi˜ ÌÂÙÚÈÎÔ‡ ¯ÒÚÔ˘ X Î·È S ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ d( p, q) Ì p, q ∈ E. TÔ ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ ¿Óˆ ÊÚ¿ÁÌ· ÙÔ˘ Û˘ÓfiÏÔ˘ S ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ‰È¿ÌÂÙÚÔ˜ ÙÔ˘ E Î·È Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì diamE. E¿Ó { pn } (n = 1, 2, 3, . . . ) Â›Ó·È ·ÎÔÏÔ˘ı›· ÙÔ˘ X Î·È Â¿Ó ÁÈ· N = 1, 2, 3, . . . ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ p N , p N +1 , p N +2 , . . . Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì E N , ÙfiÙ ·fi ÙÔ˘˜ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ˘˜ ÔÚÈÛÌÔ‡˜ ηı›ÛÙ·Ù·È Û·Ê¤˜ fiÙÈ Ë { pn } (n = 1, 2, 3, . . . ) Â›Ó·È ·ÎÔÏo˘ı›· Cauchy Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó lim diamE N = 0.
N →∞
£ÂÒÚËÌ· 3.10. (·) E¿Ó E Â›Ó·È Ë ÎÏÂÈÛÙ‹ ı‹ÎË ÂÓfi˜ Û˘ÓfiÏÔ˘ E Û ¤Ó· ÌÂÙÚÈÎfi ¯ÒÚÔ X , ÙfiÙ diamE = diamE. (‚) E¿Ó {K n } (n = 1, 2, 3, . . . ) Â›Ó·È Ì›· ·ÎÔÏÔ˘ı›· Û˘Ì·ÁÒÓ ˘ÔÛ˘ÓfiÏˆÓ ÙÔ˘ X Ì K n+1 ⊂ K n (n = 1, 2, 3, . . . ) Î·È Â¿Ó lim diamK n = 0,
n→∞
ÙfiÙÂ ÙÔ
∞
n=1
K n ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi ¤Ó· Î·È ÌÔÓ·‰ÈÎfi ÛËÌ›Ô.
Afi‰ÂÈÍË. (·) EÊfiÛÔÓ E ⊂ E, Â›Ó·È Û·Ê¤˜ fiÙÈ diamE ≤ diamE. £ÂˆÚԇ̠ε > 0 Î·È p, q ∈ E. EÍ ÔÚÈÛÌÔ‡ ÙÔ˘ E, ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÛËÌ›· ∈ E Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ d( p, p ) < ε, d(q, q ) < ε. EÔ̤ӈ˜,
p , q
d( p, q) ≤ d( p, p ) + d( p , q ) + d(q , q) < 2ε + d( p , q ) ≤ 2ε + diamE.
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Afi ·˘Ùfi ¤ÂÙ·È fiÙÈ diamE ≤ 2ε + diamE. EÊfiÛÔÓ Ô ε Â›Ó·È Ù˘¯ÒÓ ıÂÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜, ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È ÙÔ (·). (‚) £¤ÙÔ˘Ì K = ∞ n=1 K n . ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 2.36, ÙÔ K Â›Ó·È ÌË ÎÂÓfi. E¿Ó ÙÔ K ÂÚȤ¯ÂÈ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ· ·fi ¤Ó· ÛËÌ›·, ÙfiÙ diamK > 0. ŸÌˆ˜, ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË n ¤¯Ô˘Ì fiÙÈ K ⊂ K n Î·È ÂÔ̤ӈ˜ diamK ≤ diamK n . TÔ ÙÂÏÂ˘Ù·›Ô ·ÓÙÈ‚·›ÓÂÈ ÛÙËÓ ˘fiıÂÛË fiÙÈ limn→∞ diamK n = 0.
£ÂÒÚËÌ· 3.11. (·) ™Â ¤Ó·Ó ÌÂÙÚÈÎfi ¯ÒÚÔ X , οıÂ Û˘ÁÎÏ›ÓÔ˘Û· ·ÎÔÏÔ˘ı›· Â›Ó·È ·ÎÔÏÔ˘ı›· Cauchy. (‚) E¿Ó X Â›Ó·È ¤Ó·˜ Û˘Ì·Á‹˜ ÌÂÙÚÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ Î·È Â¿Ó { pn } (n = 1, 2, 3, . . . ) Â›Ó·È ·ÎÔÏo˘ı›· Cauchy ÙÔ˘ X , ÙfiÙÂ Ë { pn } (n = 1, 2, 3, . . . ) Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÚÔ˜ οÔÈÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ X . (Á) K¿ı ·ÎÔÏÔ˘ı›· Cauchy ÙÔ˘ R k Â›Ó·È Û˘ÁÎÏ›ÓÔ˘Û·. ™ËÌ›ˆÛË: M›· ‰È·ÊÔÚ¿ ÌÂٷ͇ ÙÔ˘ ÔÚÈÛÌÔ‡ Ù˘ Û˘ÁÎϛۈ˜ Î·È ÙÔ˘ ÔÚÈÛÌÔ‡ Ù˘ ·ÎÔÏÔ˘ı›·˜ Cauchy Â›Ó·È ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ ÛÙËÓ ÚÒÙË ÂÚ›ÙˆÛË ÂÌϤÎÂÙ·È ÙÔ fiÚÈÔ ÂÓÒ ‰ÂÓ Û˘Ì‚·›ÓÂÈ ÙÔ ›‰ÈÔ ÛÙË ‰Â‡ÙÂÚË. EÔ̤ӈ˜, ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 3.11(‚) ÌÔÚ› Ó· ¯ÚËÛÈ̇ÛÂÈ ˆ˜ ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ Û˘ÁÎϛۈ˜ Ì›·˜ ·ÎÔÏÔ˘ı›·˜, ‰›¯ˆ˜ ÙËÓ ÂÎ ÙˆÓ ÚÔÙ¤ÚˆÓ ÁÓÒÛË ÙÔ˘ ÔÚ›Ô˘. TÔ ÁÂÁÔÓfi˜ (ÙÔ ÔÔ›Ô ÂÚȤ¯ÂÙ·È ÛÙÔ £ÂÒÚËÌ· 3.11) fiÙÈ Ì›· ·ÎÔÏÔ˘ı›· Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÛÙÔÓ R k Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó Â›Ó·È ·ÎÔÏÔ˘ı›· Cauchy ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Û˘Ó‹ıˆ˜ ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ Û˘ÁÎϛۈ˜ ÙÔ˘ Cauchy. Afi‰ÂÈÍË. (·) E¿Ó limn→∞ pn = p Î·È Â¿Ó ε > 0, ÙfiÙ ˘¿Ú¯ÂÈ ¤Ó·˜ ·Î¤Ú·ÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ N Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙÂ Â¿Ó n ≥ N , ÙfiÙ d( pn , p) < ε. EÔ̤ӈ˜, d( pn , pm ) ≤ d( pn , p) + d( p, pm ) < 2ε Â¿Ó n, m ≥ N . ÕÚ·, Ë { pn } (n = 1, 2, 3, . . . ) Â›Ó·È ·ÎÔÏo˘ı›· Cauchy.
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(‚) A˜ Â›Ó·È { pn } (n = 1, 2, 3, . . . ) Ì›· ·ÎÔÏo˘ı›· Cauchy Û ¤Ó·Ó Û˘Ì·Á‹ ÌÂÙÚÈÎfi ¯ÒÚÔ X . °È· N = 1, 2, 3, . . . ·˜ Â›Ó·È E N ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ p N , p N +1 , p N +2 , . . . . TfiÙÂ, lim diamE N = 0,
N →∞
(3)
Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ OÚÈÛÌfi 3.9 Î·È ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 3.10(·). ŸÓÙ·˜ ÎÏÂÈÛÙfi Û‡ÓÔÏÔ Û˘Ì·ÁÔ‡˜ ¯ÒÚÔ˘, οı ۇÓÔÏÔ E N Â›Ó·È Û˘Ì·Á¤˜ (£ÂÒÚËÌ· 2.35). EÊfiÛÔÓ E N +1 ⊂ E N , ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ E N +1 ⊂ E N ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË N . TÒÚ·, ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 3.10(‚) Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ ˘¿Ú¯ÂÈ ÌÔÓ·‰ÈÎfi ÛËÌÂ›Ô p ∈ X Ô˘ ÂÚȤ¯ÂÙ·È Û οı ۇÓÔÏÔ E N . £ÂˆÚԇ̠ε > 0. ™‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ (3), ˘¿Ú¯ÂÈ ·Î¤Ú·ÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ N0 Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙÂ Â¿Ó N ≥ N0 , ÙfiÙ diamE N < ε. EÊfiÛÔÓ p ∈ E N , ¤ÂÙ·È fiÙÈ d( p, q) < ε ÁÈ· οı q ∈ E N Î·È ÂÔ̤ӈ˜ ÁÈ· οı q ∈ E N . M ‰È·ÊÔÚÂÙÈ΋ ‰È·Ù‡ˆÛË, d( p, pn ) < ε Â¿Ó n ≥ N0 . A˘Ùfi ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ limn→∞ pn = p. (Á) A˜ Â›Ó·È {xn } (n = 1, 2, 3, . . . ) Ì›· ·ÎÔÏo˘ı›· Cauchy ÛÙÔÓ R k . OÚ›˙Ô˘Ì ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ E N fiˆ˜ ÛÙÔ (‚), Ì ÙÔ xi ÛÙË ı¤ÛË ÙÔ˘ pi . °È· οÔÈÔÓ ·Î¤Ú·ÈÔ ·ÚÈıÌfi N ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ diamE N < 1. TÔ Â‰›Ô ÙÈÌÒÓ Ù˘ ·ÎÔÏÔ˘ı›·˜ Â›Ó·È Ë ¤ÓˆÛË ÙÔ˘ E N Ì ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ {x1 , . . . , x N −1 }. ™˘ÓÂÒ˜, Ë {xn } (n = 1, 2, 3, . . . ) Â›Ó·È ÊÚ·Á̤ÓË. EÊfiÛÔÓ Î¿ı ÊÚ·Á̤ÓÔ ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ R k ¤¯ÂÈ Û˘Ì·Á‹ ÎÏÂÈÛÙ‹ ı‹ÎË (£ÂÒÚËÌ· 2.41), ÙÔ (Á) ¤ÂÙ·È ·fi ÙÔ (‚).
OÚÈÛÌfi˜ 3.12. ŒÓ·˜ ÌÂÙÚÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ ϤÁÂÙ·È Ï‹Ú˘ Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó Î¿ı ·ÎÔÏÔ˘ı›· Cauchy ·˘ÙÔ‡ ÙÔ˘ ¯ÒÚÔ˘ Â›Ó·È Û˘ÁÎÏ›ÓÔ˘Û·. ™˘ÓÂÒ˜, ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 3.11 ·Ó·‰È·Ù˘ÒÓÂÙ·È Ï¤ÁÔÓÙ·˜ fiÙÈ Î¿ıÂ Û˘Ì·Á‹˜ ÌÂÙÚÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ Â›Ó·È Ï‹Ú˘. TÔ £ÂÒÚËÌ· 3.11 Û˘Ó¿ÁÂÙ·È Â›Û˘ fiÙÈ Î¿ı ÎÏÂÈÛÙfi ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ E ÂÓfi˜ Ï‹ÚÔ˘˜ ÌÂÙÚÈÎÔ‡ ¯ÒÚÔ˘ X Â›Ó·È Ï‹Ú˜. (K¿ı ·ÎÔÏÔ˘ı›· Cauchy ÙÔ˘ E Â›Ó·È ·ÎÔÏÔ˘ı›· Cauchy ÛÙÔÓ X Î·È ÂÔ̤ӈ˜ Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÚÔ˜ οÔÈÔ ÛËÌÂ›Ô p ∈ X . EÊfiÛÔÓ ÙÔ E Â›Ó·È ÎÏÂÈÛÙfi, p ∈ E.) ¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ÌË Ï‹ÚÔ˘˜ ÌÂÙÚÈÎÔ‡ ¯ÒÚÔ˘ ·ÔÙÂÏ› Ô ¯ÒÚÔ˜ ÙˆÓ ÚËÙÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ Ì ·fiÛÙ·ÛË ÙËÓ d(x, y) = |x − y| (x, y ÚËÙÔ› ·ÚÈıÌÔ›).
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TÔ £ÂÒÚËÌ· 3.2(Á) Î·È ÙÔ ¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· (‰) ÙÔ˘ OÚÈÛÌÔ‡ 3.1 Ê·ÓÂÚÒÓÔ˘Ó fiÙÈ ÔÈ Û˘ÁÎÏ›ÓÔ˘Û˜ ·ÎÔÏÔ˘ı›Â˜ Â›Ó·È ÊÚ·Á̤Ó˜, ·ÏÏ¿ ÊÚ·Á̤Ó˜ ·ÎÔÏÔ˘ı›Â˜ ÙÔ˘ R k ‰ÂÓ Â›Ó·È ··Ú·Èًو˜ Û˘ÁÎÏ›ÓÔ˘Û˜. ŸÌˆ˜, ˘¿Ú¯ÂÈ Ì›· ÂÚ›ÙˆÛË fiÔ˘ Ì›· ·ÎÔÏÔ˘ı›· Â›Ó·È Û˘ÁÎÏ›ÓÔ˘Û· Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó Â›Ó·È ÊÚ·Á̤ÓË. A˘Ùfi Û˘Ì‚·›ÓÂÈ ÁÈ· ÙȘ ÌÔÓfiÙÔÓ˜ ·ÎÔÏÔ˘ı›Â˜ ÛÙÔÓ R 1 . OÚÈÛÌfi˜ 3.13. M›· ·ÎÔÏÔ˘ı›· Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ {sn } (n = 1, 2, 3, . . . ) ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È (·) ·‡ÍÔ˘Û· Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó sn ≤ sn+1 ÁÈ· οı n = 1, 2, 3, . . . , (‚) Êı›ÓÔ˘Û· Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó sn ≥ sn+1 ÁÈ· οı n = 1, 2, 3, . . . . H ÎÏ¿ÛË ÙˆÓ ÌÔÓfiÙÔÓˆÓ ·ÎÔÏÔ˘ıÈÒÓ ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·ÎÚÈ‚Ò˜ ·fi ÙȘ ·‡ÍÔ˘Û˜ Î·È Êı›ÓÔ˘Û˜ ·ÎÔÏÔ˘ı›Â˜. £ÂÒÚËÌ· 3.14. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ Ë ·ÎÔÏÔ˘ı›· {sn } (n = 1, 2, 3, . . . ) Â›Ó·È ÌÔÓfiÙÔÓË. TfiÙÂ, Ë {sn } (n = 1, 2, 3, . . . ) Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó Â›Ó·È ÊÚ·Á̤ÓË. Afi‰ÂÈÍË. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ sn ≤ sn+1 ÁÈ· οı n = 1, 2, 3, . . . (Ë ·fi‰ÂÈÍË Á›ÓÂÙ·È ·Ó·ÏfiÁˆ˜ Î·È ÛÙËÓ ¿ÏÏË ÂÚ›ÙˆÛË). A˜ Â›Ó·È E ÙÔ Â‰›Ô ÙÈÌÒÓ Ù˘ {sn } (n = 1, 2, 3, . . . ). YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ Ë ·ÎÔÏÔ˘ı›· {sn } (n = 1, 2, 3, . . . ) Â›Ó·È ÊÚ·Á̤ÓË Î·È Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì ˆ˜ s ÙÔ ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ ¿Óˆ ÊÚ¿ÁÌ· ÙÔ˘ E. TfiÙÂ, sn ≤ s
(n = 1, 2, 3, . . . ).
°È· οı ε > 0 ˘¿Ú¯ÂÈ ·Î¤Ú·ÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ s − ε < s N ≤ s, ·ÏÏÈÒ˜ ÙÔ s − ε ı· ‹Ù·Ó ¿Óˆ ÊÚ¿ÁÌ· ÙÔ˘ E. EÊfiÛÔÓ Ë {sn } (n = 1, 2, 3, . . . ) Â›Ó·È ·‡ÍÔ˘Û·, ÁÈ· n ≥ N ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ s − ε < sn ≤ s, ÙÔ ÔÔ›Ô Î·È Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ Ë {sn } (n = 1, 2, 3, . . . ) Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ (ÚÔ˜ ÙÔ s). TÔ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ ¤ÂÙ·È ·fi ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 3.2(Á).
88
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
ANøTEPA KAI KATøTEPA OPIA OÚÈÛÌfi˜ 3.15. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ {sn } (n = 1, 2, 3, . . . ) Â›Ó·È Ì›· ·ÎÔÏÔ˘ı›· Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ. °Ú¿ÊÔ˘Ì sn → +∞ Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ÁÈ· οı ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi M ˘¿Ú¯ÂÈ ·Î¤Ú·ÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ N Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙÂ Â¿Ó n ≥ N , ÙfiÙ sn ≥ M. AÓ·ÏfiÁˆ˜, ÁÚ¿ÊÔ˘Ì sn → −∞ Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ÁÈ· οı ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi M ˘¿Ú¯ÂÈ ·Î¤Ú·ÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ N Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙÂ Â¿Ó n ≥ N , ÙfiÙ sn ≤ M. ¶Ú¤ÂÈ Ó· ÛËÌÂȈı› fiÙÈ ÙÒÚ· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÙÔ Û‡Ì‚ÔÏÔ → ( ÙÔ ÔÔ›Ô ¤¯ÂÈ ÂÈÛ·¯ı› ÛÙÔÓ OÚÈÛÌfi 3.1) ÁÈ· ÔÚÈṲ̂ÓÔ˘˜ Ù‡Ô˘˜ ·ÔÎÏÈÓÔ˘ÛÒÓ ·ÎÔÏÔ˘ıÈÒÓ, ηıÒ˜ Î·È ÁÈ· ÙȘ Û˘ÁÎÏ›ÓÔ˘Û˜ ·ÎÔÏÔ˘ı›Â˜. ŸÌˆ˜, ÔÈ ÔÚÈÛÌÔ› Ù˘ Û˘ÁÎϛۈ˜ Î·È ÙÔ˘ ÔÚ›Ô˘, fiˆ˜ ‰›‰ÔÓÙ·È ÛÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi 3.1, ‰ÂÓ ·ÏÏ¿˙Ô˘Ó Î·ıfiÏÔ˘. OÚÈÛÌfi˜ 3.16. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ {sn } (n = 1, 2, 3, . . . ) Â›Ó·È Ì›· ·ÎÔÏÔ˘ı›· Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ. £ÂˆÚԇ̠ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ E ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ x (ÛÙÔ ÂÎÙÂٷ̤ÓÔ Û‡ÛÙËÌ· ÙˆÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ) Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ sn k → x ÁÈ· οÔÈ· ˘·ÎÔÏÔ˘ı›· {sn k } (k = 1, 2, 3, . . . ). TÔ Û‡ÓÔÏÔ ·˘Ùfi ÂÚȤ¯ÂÈ fiÏ· Ù· ˘·ÎÔÏÔ˘ıȷο fiÚÈ·, fiˆ˜ ¤¯Ô˘Ó ÔÚÈÛı› ÛÙÔÓ OÚÈÛÌfi 3.5, Î·È ÂӉ¯Ô̤ӈ˜ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ +∞, −∞. AӷηÏÒÓÙ·˜ ÙÔ˘˜ OÚÈÛÌÔ‡˜ 1.8 Î·È 1.23, ı¤ÙÔ˘Ì s = sup E, s = inf E. OÈ ·ÚÈıÌÔ› s , s ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜ ÙÔ ·ÓÒÙÂÚÔ Î·È ÙÔ Î·ÙÒÙÂÚÔ fiÚÈÔ Ù˘ {sn } (n = 1, 2, 3, . . . ). XÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÙÔ˘˜ Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌÔ‡˜ lim sup sn = s , n→+∞
lim inf sn = s . n→+∞
AKO§OY£IE™ KAI ™EIPE™ 89
£ÂÒÚËÌ· 3.17. £ÂˆÚԇ̛̠· ·ÎÔÏÔ˘ı›· {sn } (n = 1, 2, 3, . . . ) Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ Î·È ˘Ôı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ E Î·È s ¤¯Ô˘Ó ÙÔ ›‰ÈÔ ÓfiËÌ· fiˆ˜ ÛÙÔÓ OÚÈÛÌfi 3.16. TfiÙÂ, ÙÔ s ¤¯ÂÈ ÙȘ ‰‡Ô ·ÎfiÏÔ˘ı˜ ȉÈfiÙËÙ˜: (·) s ∈ E. (‚) E¿Ó x > s , ÙfiÙ ˘¿Ú¯ÂÈ ·Î¤Ú·ÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ N Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙÂ Â¿Ó n ≥ N , ÙfiÙ sn < x. EÈÚÔÛı¤Ùˆ˜, Ô s Â›Ó·È Ô ÌÔÓ·‰ÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ Ô ÔÔ›Ô˜ η٤¯ÂÈ ·˘Ù‹Ó ÙËÓ È‰ÈfiÙËÙ·. B‚·›ˆ˜, ÈÛ¯‡ÂÈ ÙÔ ·Ó¿ÏÔÁÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· ÁÈ· ÙÔÓ s . Afi‰ÂÈÍË. (·) E¿Ó s = +∞, ÙfiÙ ÙÔ E ‰ÂÓ Â›Ó·È ¿Óˆ ÊÚ·Á̤ÓÔ. EÔ̤ӈ˜, Ë {sn } (n = 1, 2, 3, . . . ) ‰ÂÓ Â›Ó·È ¿Óˆ ÊÚ·Á̤ÓË. ™˘ÓÂÒ˜, ˘¿Ú¯ÂÈ Ì›· ˘·ÎÔÏÔ˘ı›· {sn k } (k = 1, 2, 3, . . . ) Ì sn k → +∞. E¿Ó Ô s Â›Ó·È Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜, ÙfiÙ ÙÔ E Â›Ó·È ¿Óˆ ÊÚ·Á̤ÓÔ Î·È ÂÔ̤ӈ˜ ˘¿Ú¯ÂÈ ¤Ó· ˘·ÎÔÏÔ˘ıÈ·Îfi fiÚÈÔ. TÔ ˙ËÙÔ‡ÌÂÓÔ ¤ÂÙ·È ÌÂ Û˘Ó‰˘·ÛÌfi ÙˆÓ £ÂˆÚËÌ¿ÙˆÓ 3.7 Î·È 2.28. E¿Ó s = −∞, ÙfiÙ ÙÔ E ÂÚȤ¯ÂÈ ˆ˜ ÌÔÓ·‰ÈÎfi ÙÔ˘ ÛÙÔÈ¯Â›Ô ÙÔ −∞ Î·È ‰ÂÓ ˘¿Ú¯ÂÈ ˘·ÎÔÏÔ˘ıÈ·Îfi fiÚÈÔ. ÕÚ·, ÁÈ· οı ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi M ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ sn > M ÁÈ· ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ Ï‹ıÔ˜ ÙÈÌÒÓ ÙÔ˘ ‰Â›ÎÙË n Î·È Û˘ÓÂÒ˜ sn → −∞. K·Ù¿ Û˘Ó¤ÂÈ·, ÙÔ (·) ÈÛ¯‡ÂÈ Û οı ÂÚ›ÙˆÛË. (‚) YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ ˘¿Ú¯ÂÈ ·ÚÈıÌfi˜ x Ì x > s Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ sn ≥ x ÁÈ· ¿ÂÈÚÔ Ï‹ıÔ˜ ÙÈÌÒÓ ÙÔ˘ ‰Â›ÎÙË n. ™Â ·˘Ù‹Ó ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË, ˘¿Ú¯ÂÈ ·ÚÈıÌfi˜ y ∈ E Ì y ≥ x > s , ÁÂÁÔÓfi˜ Ô˘ ·ÓÙÈ‚·›ÓÂÈ ÛÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi ÙÔ˘ s . °È· ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË Ù˘ ÌÔÓ·‰ÈÎfiÙËÙ·˜ ˘Ôı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ‰‡Ô ·ÚÈıÌÔ› p, q ÔÈ ÔÔ›ÔÈ ÈηÓÔÔÈÔ‡Ó Ù· (·) Î·È (‚) ÛÙË ı¤ÛË ÙÔ˘ s . £ÂˆÚԇ̠fiÙÈ p < q Î·È ÂÈϤÁÔ˘Ì ·ÚÈıÌfi x Ì p < x < q. EÊfiÛÔÓ Ô p ÈηÓÔÔÈ› ÙÔ (‚), ˘¿Ú¯ÂÈ ·Î¤Ú·ÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ N Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙÂ Â¿Ó n ≥ N , ÙfiÙ sn < p. TfiÙÂ, Ô q ‰ÂÓ ‰‡Ó·Ù·È Ó· ÈηÓÔÔÈ› ÙÔ (·). ¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 3.18.
90
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
(·) YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ Ë ·ÎÔÏÔ˘ı›· {sn } (n = 1, 2, 3, . . . ) ÂÚȤ¯ÂÈ ˆ˜ fiÚÔ˘˜ Ù˘ fiÏÔ˘˜ ÙÔ˘˜ ÚËÙÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜. TfiÙÂ, οı ڷÁÌ·ÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ Â›Ó·È ˘·ÎÔÏÔ˘ıÈ·Îfi Ù˘ fiÚÈÔ Î·È lim sup sn = +∞, n→+∞
lim inf sn = −∞. n→+∞
(‚) YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ sn = (−1)n /[1 + (1/n)] (n = 1, 2, 3, . . . ). TfiÙÂ, lim sup sn = 1, n→+∞
lim inf sn = −1. n→+∞
(Á) °È· Ì›· ·ÎÔÏÔ˘ı›· Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ {sn } (n = 1, 2, 3, . . . ), ÈÛ¯‡ÂÈ limn→+∞ sn = s Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó lim sup sn = lim inf sn = s. n→+∞
n→+∞
H ÂÓfiÙËÙ· ·˘Ù‹ ÎÏ›ÓÂÈ Ì ¤Ó· ¯Ú‹ÛÈÌÔ ıÂÒÚËÌ·, Ë ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ Â›Ó·È ÙÂÙÚÈÌ̤ÓË: £ÂÒÚËÌ· 3.19. E¿Ó {sn }, {tn } (n = 1, 2, 3, . . . ) Â›Ó·È ·ÎÔÏÔ˘ı›Â˜ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ Ì sn ≤ tn ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË n Ì n ≥ N , fiÔ˘ Ô N Â›Ó·È ÛÙ·ıÂÚfi˜ ıÂÙÈÎfi˜ ·Î¤Ú·ÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜, ÙfiÙ lim infn→+∞ sn ≤ lim infn→+∞ tn , lim supn→+∞ sn ≤ lim supn→+∞ tn .
OPI™MENE™ EI¢IKOY TY¶OY AKO§OY£IE™ ™Â ·˘Ù‹Ó ÙËÓ ÂÓfiÙËÙ· ı· ˘ÔÏÔÁ›ÛÔ˘Ì ٷ fiÚÈ· ÔÚÈÛÌ¤ÓˆÓ ·ÎÔÏÔ˘ıÈÒÓ, ÔÈ Ôԛ˜ Û˘Ó·ÓÙÒÓÙ·È Û˘¯Ó¿. OÈ ·Ô‰Â›ÍÂȘ ı· ‚·ÛÈÛıÔ‡Ó ÛÙËÓ ÂÍ‹˜ ·Ú·Ù‹ÚËÛË: Â¿Ó 0 ≤ xn ≤ sn ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË n Ì n ≥ N , fiÔ˘ Ô N Â›Ó·È ÛÙ·ıÂÚfi˜ ıÂÙÈÎfi˜ ·Î¤Ú·ÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ Î·È Â¿Ó limn→∞ sn = 0, ÙfiÙ limn→∞ xn = 0. £ÂÒÚËÌ· 3.20. (·) E¿Ó p > 0, ÙfiÙ limn→∞ 1p = 0. n
AKO§OY£IE™ KAI ™EIPE™ 91
(‚) E¿Ó p > 0, ÙfiÙÂ limn→∞ (Á) limn→∞
√ n
√ n
p = 1.
n = 1.
(‰) E¿Ó p > 0 Î·È α ∈ R 1 , ÙfiÙ limn→∞
nα = 0. (1 + p)n
(Â) E¿Ó |x| < 1, ÙfiÙ limn→∞ x n = 0. Afi‰ÂÈÍË. (·) £ÂˆÚԇ̠ε > 0 Î·È Ï·Ì‚¿ÓÔ˘Ì n > (1/ε)1/ p . (E‰Ò ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÂ›Ù·È Ë AÚ¯ÈÌ‹‰ÂÈ· ȉÈfiÙËÙ· ÙˆÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ.) √ (‚) E¿Ó p > 1, ÙfiÙ ı¤ÙÔ˘Ì xn = n p − 1 (n = 1, 2, 3, . . . ). TfiÙÂ, ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË n Â›Ó·È xn > 0 ηÈ, Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ‰˘ˆÓ˘ÌÈÎfi ıÂÒÚËÌ·, 1 + nxn ≤ (1 + xn )n = p. EÔ̤ӈ˜ 0 < xn ≤
p−1 n
(n = 1, 2, 3, . . . ).
ÕÚ·, limn→∞ xn = 0. E¿Ó p = 1, ÙfiÙ ÙÔ (‚) Â›Ó·È ÙÂÙÚÈÌ̤ÓÔ. E¿Ó 0 < p < 1, ÙfiÙ ÙÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· ÚÔ·ÙÂÈ ·fi ÙÔ (·) Ï·Ì‚¿ÓÔÓÙ·˜ ·ÓÙÈÛÙÚfiÊÔ˘˜. √ (Á) £¤ÙÔ˘Ì xn = n n − 1 (n = 1, 2, 3, . . . ). TfiÙÂ, ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË n Â›Ó·È xn ≥ 0 ηÈ, Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ‰˘ˆÓ˘ÌÈÎfi ıÂÒÚËÌ·, n = (1 + xn )n ≥ ÕÚ·,
0 ≤ xn ≤
n(n − 1) 2 xn . 2
2 n−1
(n ≥ 2).
(‰) £ÂˆÚԇ̠¤Ó·Ó ıÂÙÈÎfi ·Î¤Ú·ÈÔ ·ÚÈıÌfi k Ì k > α. °È· n > 2k, n k n(n − 1) · · · (n − k + 1) k n k pk (1 + p) > p = p > k . k! 2 k! k n
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∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
ÕÚ·, 0<
2k k! α−k nα < n (1 + p)n pk
(n > 2k).
EÊfiÛÔÓ α − k < 0, ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ n α−k → 0 ηıÒ˜ n → ∞, Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ (·). (Â) §·Ì‚¿ÓÔ˘Ì α = 0 ÛÙÔ (‰).
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™EIPE™ ™ÙÔ ˘fiÏÔÈÔ ·˘ÙÔ‡ ÙÔ˘ ÎÂÊ·Ï·›Ô˘ fiϘ ÔÈ ˘fi ıÂÒÚËÛË ·ÎÔÏÔ˘ı›Â˜ Î·È ÛÂÈÚ¤˜ ı· ¤¯Ô˘Ó ÌÈÁ·‰ÈÎÔ‡˜ fiÚÔ˘˜, ÂÎÙfi˜ Î·È Â¿Ó ·Ó·Ê¤ÚÂÙ·È Û·ÊÒ˜ οÙÈ ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎfi. OÚÈṲ̂Ó˜ ÂÂÎÙ¿ÛÂȘ ÙˆÓ ıˆÚËÌ¿ÙˆÓ Ô˘ ·ÎÔÏÔ˘ıÔ‡Ó, ÛÙÔÓ R k , ·Ó·Ê¤ÚÔÓÙ·È ÛÙËÓ ÕÛÎËÛË 15. OÚÈÛÌfi˜ 3.21. ¢Â‰Ô̤Ó˘ Ì›·˜ ·ÎÔÏÔ˘ı›·˜ {an } (n = 1, 2, 3, . . . ), ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÙÔ Û‡Ì‚ÔÏÔ q an ( p ≤ q) n= p
ÁÈ· Ó· ‰ËÏÒÛÔ˘Ì ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· a p +a p+1 +. . .+aq . ™ÙËÓ {an } (n = 1, 2, 3, . . . ) ·ÓÙÈÛÙÔȯ›˙Ô˘Ì ÙËÓ ·ÎÔÏÔ˘ı›· {sn } (n = 1, 2, 3, . . . ), fiÔ˘ sn =
n
(n = 1, 2, 3, . . . ).
ak
k=1
°È· ÙËÓ {sn } (n = 1, 2, 3, . . . ) ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠›Û˘ ÙËÓ Û˘Ì‚ÔÏÈ΋ ¤ÎÊÚ·ÛË a1 + a2 + a3 . . . ‹, ÈÔ Û˘ÓÔÙÈο, ∞
an .
(4)
n=1
OÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ÙÔ Û‡Ì‚ÔÏÔ ÛÙËÓ (4) ¿ÂÈÚË ÛÂÈÚ¿ ‹ ·ÏÒ˜ ÛÂÈÚ¿. OÈ fiÚÔÈ Ù˘ {sn } (n = 1, 2, 3, . . . ) ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È Ù· ÌÂÚÈο ·ıÚÔ›ÛÌ·Ù· Ù˘ ÛÂÈÚ¿˜. §¤ÁÂÙ·È fiÙÈ Ë ÛÂÈÚ¿ Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó Ë {sn } (n = 1, 2, 3, . . . ) Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÚÔ˜ ÙÔ s. ™Â ·˘Ù‹Ó ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ÁÚ¿ÊÔ˘Ì ∞
an = s.
n=1
O ·ÚÈıÌfi˜ s ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· Ù˘ ÛÂÈÚ¿˜. ¶Ú¤ÂÈ fï˜ Ó· ηٷÛÙ› Ï‹Úˆ˜ ηٷÓÔËÙfi fiÙÈ Ô s Â›Ó·È ÙÔ fiÚÈÔ Ù˘ ·ÎÔÏÔ˘ı›·˜ ·ıÚÔÈÛÌ¿ÙˆÓ Î·È fiÙÈ ‰ÂÓ ÚÔ·ÙÂÈ ·ÏÒ˜ Ì ÚfiÛıÂÛË fiÚˆÓ.
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∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
£· ϤÁÂÙ·È fiÙÈ Ë ÛÂÈÚ¿ ·ÔÎÏ›ÓÂÈ Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó Ë {sn } (n = 1, 2, 3, . . . ) ·ÔÎÏ›ÓÂÈ. OÚÈṲ̂Ó˜ ÊÔÚ¤˜, ÁÈ· ‰È¢ÎfiÏ˘ÓÛË, ı· ıˆÚԇ̠ÛÂÈÚ¤˜ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ ∞
an .
(5)
n=0
™˘¯Ó¿, fiÙ·Ó ‰ÂÓ ˘¿Ú¯ÂÈ ÂÚ›ÙˆÛË Û˘Á¯‡Ûˆ˜ ‹ fiÙ·Ó ‰ÂÓ Â›Ó·È ··Ú·›ÙËÙË Ë ‰È¿ÎÚÈÛË ÙÔ˘ ·Ú¯ÈÎÔ‡ fiÚÔ˘, ı· ÁÚ¿ÊÔ˘Ì ·ÏÒ˜ an ÛÙË ı¤ÛË Ù˘ (4) ‹ Ù˘ (5). E›Ó·È ۷ʤ˜ fiÙÈ Î¿ı ıÂÒÚËÌ· Û¯ÂÙÈÎfi Ì ·ÎÔÏÔ˘ı›Â˜ ÌÔÚ› Ó· ‰È·Ù˘ˆı› Ì fiÚÔ˘˜ ÛÂÈÚÒÓ (ı¤ÙÔÓÙ·˜ a1 = s1 Î·È an = sn − sn−1 , ÁÈ· n > 1) Î·È ·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜. E›Ó·È ¯Ú‹ÛÈÌÔ Ó· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡ÌÂ Î·È ÙȘ ‰‡Ô ·˘Ù¤˜ ÚÔÛÂÁÁ›ÛÂȘ. TÔ ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ ÙÔ˘ Cauchy (£ÂÒÚËÌ· 3.11) ÌÔÚ› Ó· ·Ó·‰È·Ù˘ˆı› ÛÙËÓ ·ÎfiÏÔ˘ıË ÌÔÚÊ‹: ∞ £ÂÒÚËÌ· 3.22. H ÛÂÈÚ¿ n=1 an Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ÁÈ· οı ε > 0 ˘¿Ú¯ÂÈ ·Î¤Ú·ÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ N Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ m ak ≤ ε, (6) k=n Â¿Ó m ≥ n ≥ N . I‰È·ÈÙ¤Úˆ˜, Ï·Ì‚¿ÓÔÓÙ·˜ n = m, Ë (6) ÌÂÙ·ÙÚ¤ÂÙ·È ÛÙË |an | ≤ ε
(n ≥ N ).
¢ËÏ·‰‹: £ÂÒÚËÌ· 3.23. E¿Ó Ë ÛÂÈÚ¿
∞
Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ, ÙfiÙ lim→∞ an = 0.
n=1 an
ŸÌˆ˜, Ë Û˘Óı‹ÎË limn→∞ an = 0 ‰ÂÓ Â›Ó·È Â·Ú΋˜ ÁÈ· ÙËÓ ÂÍ·ÛÊ¿ÏÈÛË Ù˘ Û˘ÁÎϛۈ˜ Ù˘ ÛÂÈÚ¿˜ ∞ n=1 an . E› ·Ú·‰Â›ÁÌ·ÙÈ, Ë ÛÂÈÚ¿ ∞ 1 n=1
n
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·ÔÎÏ›ÓÂÈ. °È· ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ·˘ÙÔ‡ ÙÔ˘ ÁÂÁÔÓfiÙÔ˜ ·Ú·¤ÌÔ˘Ì ÛÙÔ £ÂÒÚËÌ· 3.28. TÔ ıÂÒÚËÌ· 3.14, ÙÔ ÔÔ›Ô ·ÊÔÚ¿ ÌÔÓfiÙÔÓ˜ ·ÎÔÏÔ˘ı›Â˜, ¤¯ÂÈ Â›Û˘ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë ·Ó·‰È·Ù‡ˆÛË ÁÈ· ÛÂÈÚ¤˜. TÔÓ›˙Ô˘Ì fiÙÈ Ë ¤ÎÊÚ·ÛË «ÌË ·ÚÓËÙÈÎfi˜» ·Ó·Ê¤ÚÂÙ·È ¿ÓÙÔÙ Û ڷÁÌ·ÙÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜. £ÂÒÚËÌ· 3.24. M›· ÛÂÈÚ¿ ÌË ·ÚÓËÙÈÎÒÓ fiÚˆÓ Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó Ë ·ÎÔÏÔ˘ı›· ÙˆÓ ÌÂÚÈÎÒÓ ·ıÚÔÈÛÌ¿ÙˆÓ Ù˘ Â›Ó·È ÊÚ·Á̤ÓË. £· ‰È·Ù˘ÒÛÔ˘ÌÂ Î·È ı· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì ÙÒÚ· ¤Ó· ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ Û˘ÁÎϛۈ˜ ÛÂÈÚÒÓ ‰È·ÊÔÚÂÙÈ΋˜ ʇÛˆ˜ ·fi Ù· ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ·, ÙÔ ÏÂÁfiÌÂÓÔ «ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ Û˘ÁÎÚ›Ûˆ˜». £ÂÒÚËÌ· 3.25. (·) E¿Ó |an | ≤ cn ÁÈ· n ≥ N0 , fiÔ˘ N0 Â›Ó·È ÛÙ·ıÂÚfi˜ ·Î¤Ú·ÈÔ˜ ∞ ∞ ·ÚÈıÌfi˜, Î·È Â¿Ó Ë n=1 cn Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ, ÙfiÙÂ Î·È Ë n=1 an Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ. (‚) E¿Ó an ≥ dn ≥ 0 ÁÈ· n ≥ N0 , fiÔ˘ N0 Â›Ó·È ÛÙ·ıÂÚfi˜ ·Î¤Ú·ÈÔ˜ ∞ ∞ ·ÚÈıÌfi˜, Î·È Â¿Ó Ë n=1 dn ·ÔÎÏ›ÓÂÈ, ÙfiÙÂ Î·È Ë n=1 an ·ÔÎÏ›ÓÂÈ. ™ËÌÂÈÒÓÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ (‚) ÂÊ·ÚÌfi˙ÂÙ·È ÌfiÓÔÓ Û ÛÂÈÚ¤˜ ÌË ·ÚÓËÙÈÎÒÓ fiÚˆÓ. Afi‰ÂÈÍË. ¢Â‰Ô̤ÓÔ˘ ε > 0, ˘¿Ú¯ÂÈ ·Î¤Ú·ÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ N ≥ N0 Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙÂ Â¿Ó m ≥ n ≥ N , ÙfiÙ m cn ≤ ε, k=n
Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ ÙÔ˘ Cauchy. ™˘ÓÂÒ˜, m m m ak ≤ |ak | ≤ ck ≤ ε k=n k=n k=n Î·È ·fi ·˘Ùfi ¤ÂÙ·È ÙÔ (·).
∞ TÔ (‚) ¤ÂÙ·È ·fi ÙÔ (·), ‰ÈfiÙÈ Â¿Ó Ë n=1 an Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ, ÙfiÙÂ Î·È Ë ∞ n=1 dn ı· Ú¤ÂÈ Ó· Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ. (™ËÌÂÈÒÓÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ (‚) Û˘Ó¿ÁÂÙ·È Î·È ·fi ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 3.24.)
96
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
™ËÌÂÈÒÓÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ Û˘ÁÎÚ›Ûˆ˜ Â›Ó·È Ôχ ¯Ú‹ÛÈÌÔ. °È· ÙËÓ ·ÔÙÂÏÂÛÌ·ÙÈ΋ ¯Ú‹ÛË ÙÔ˘, Ô ·Ó·ÁÓÒÛÙ˘ Ú¤ÂÈ Ó· ÂÍÔÈÎÂȈı› Ì ¤Ó·Ó ·ÚÈıÌfi ÛÂÈÚÒÓ ÌË ·ÚÓËÙÈÎÒÓ fiÚˆÓ Ì ÁÓˆÛÙ‹ Û˘ÌÂÚÈÊÔÚ¿ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙË Û‡ÁÎÏÈÛË.
™EIPE™ MH APNHTIKøN OPøN
H ·ÏÔ‡ÛÙÂÚË ÛÂÈÚ¿ ÌË ·ÚÓËÙÈÎÒÓ fiÚˆÓ Â›Ó·È Èı·ÓÒ˜ Ë ÁˆÌÂÙÚÈ΋ ÛÂÈÚ¿. £ÂÒÚËÌ· 3.26. E¿Ó 0 ≤ x < 1, ÙfiÙ ∞
xn =
n=0
1 . 1−x
E¿Ó x ≥ 1, ÙfiÙÂ Ë ÛÂÈÚ¿ ·ÔÎÏ›ÓÂÈ. Afi‰ÂÈÍË. E¿Ó x = 1, ÙfiÙ sn =
n
xk =
k=0
1 − x n+1 1−x
(n = 1, 2, 3, . . . ).
TÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· ¤ÂÙ·È Â¿Ó Ï¿‚Ô˘Ì n → ∞. °È· x = 1 ÚÔ·ÙÂÈ Ë ÛÂÈÚ¿ 1 + 1 + 1 + ... , Ë ÔÔ›· ÚÔÊ·ÓÒ˜ ·ÔÎÏ›ÓÂÈ. ™Â ·ÚÎÂÙ¤˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ Ô˘ ÂÌÊ·Ó›˙ÔÓÙ·È ÛÙȘ ÂÊ·ÚÌÔÁ¤˜, ÔÈ fiÚÔÈ ÙˆÓ ÛÂÈÚÒÓ Â›Ó·È Êı›ÓÔÓÙ˜. TÔ ·ÎfiÏÔ˘ıÔ ıÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Cauchy Â›Ó·È ÂÔ̤ӈ˜ ȉȷÈÙ¤ÚÔ˘ ÂӉȷʤÚÔÓÙÔ˜. TÔ ÂÓÙ˘ˆÛÈ·Îfi ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈÎfi ÙÔ˘ Â›Ó·È ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ Ì›· ·ÚÎÂÙ¿ «·Ú·È‹» ˘·ÎÔÏÔ˘ı›· Ù˘ {an } (n = 1, 2, 3, . . . ) ηıÔÚ›˙ÂÈ ÙË Û‡ÁÎÏÈÛË ‹ ·fiÎÏÈÛË Ù˘ ∞ n=1 an .
AKO§OY£IE™ KAI ™EIPE™ 97
£ÂÒÚËÌ· 3.27. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ · · · ≥ 0. TfiÙÂ, Ë ÛÂÈÚ¿ ∞ n=1 an Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó Ë ÛÂÈÚ¿ ∞
2k a2k = a1 + 2a2 + 4a4 + 8a8 + · · ·
(7)
k=0
Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ. Afi‰ÂÈÍË. ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 3.24, ·ÚΛ Ó· ÂϤÁÍÔ˘Ì ·ÏÒ˜ fiÙ ÔÈ ·ÎÔÏÔ˘ı›Â˜ ÙˆÓ ÌÂÚÈÎÒÓ ·ıÚÔÈÛÌ¿ÙˆÓ Â›Ó·È ÊÚ·Á̤Ó˜ ‹ fi¯È. A˜ Â›Ó·È sn = a1 + a2 + · · · + an (n = 1, 2, 3, . . . ), tk = a1 + 2a2 + · · · + 2k a2k (k = 1, 2, 3, . . . ). °È· n < 2k , sn ≤ a1 + (a2 + a3 ) + · · · + (a2k + · · · + a2k+1 −1 ) ≤ a1 + 2a2 + · · · + 2k a2k = tk , ‰ËÏ·‰‹ sn ≤ tk .
(8)
Afi ÙËÓ ¿ÏÏË ÏÂ˘Ú¿, Â¿Ó n > 2k , ÙfiÙ sn ≥ a1 + a2 + (a3 + a4 ) + · · · + (a2k−1 +1 + · · · + a2k ) 1 ≥ a1 + a2 + 2a4 + · · · + 2k−1 a2k 2 1 = tk , 2 ‰ËÏ·‰‹ 2sn ≥ tk .
(9)
™‡Ìʈӷ Ì ÙȘ (8) Î·È (9), ÔÈ ·ÎÔÏÔ˘ı›Â˜ {sn } (n = 1, 2, 3, . . . ) Î·È {tk } (k = 1, 2, 3, . . . ) Â›Ó·È Ù·˘ÙÔ¯ÚfiÓˆ˜ ÊÚ·Á̤Ó˜ ‹ ÌË ÊÚ·Á̤Ó˜. A˘Ùfi ÔÏÔÎÏËÚÒÓÂÈ ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË.
98
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
£ÂÒÚËÌ· 3.28. H ÛÂÈÚ¿ Â¿Ó p ≤ 1.
∞
n=1
1 Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ Â¿Ó p > 1 Î·È ·ÔÎÏ›ÓÂÈ np
Afi‰ÂÈÍË. E¿Ó p ≤ 0, ÙfiÙÂ Ë ·fiÎÏÈÛË Ù˘ ÛÂÈÚ¿˜ ÚÔ·ÙÂÈ ·fi ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 3.23. E¿Ó p > 0, ÙfiÙ ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 3.27 ÌÔÚ› Ó· ÂÊ·ÚÌÔÛı› Î·È Ì ·˘Ùfi Ô‰ËÁԇ̷ÛÙ ÛÙË ÛÂÈÚ¿ ∞ k=1
2k
∞ 1 = 2(1− p)k . 2kp k=1
TÒÚ·, ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ 21− p < 1 Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó 1 − p < 0 Î·È ÙÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· ¤ÂÙ·È Ì ¯Ú‹ÛË Ù˘ ÁˆÌÂÙÚÈ΋˜ ÛÂÈÚ¿˜ (Ï·Ì‚¿ÓÔ˘Ì x = 21− p ÛÙÔ £ÂÒÚËÌ· 3.26). ø˜ Ì›· ·ÎfiÌË ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 3.27, ·Ô‰ÂÈÎÓ‡Ô˘Ì ÙÔ ·Ú·Î¿Ùˆ: £ÂÒÚËÌ· 3.29. E¿Ó p > 1, ÙfiÙÂ Ë ÛÂÈÚ¿ ∞ n=2
1 n(log n) p
(10)
Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ. E¿Ó p ≤ 1, ÙfiÙÂ Ë ÛÂÈÚ¿ ·ÔÎÏ›ÓÂÈ. ¶·Ú·Ù‹ÚËÛË. M log n Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì ÙÔÓ ÏÔÁ¿ÚÈıÌÔ ÙÔ˘ n Ì ‚¿ÛË e (Û˘ÁÎÚ›ÓÂÙ Ì ÙËÓ ÕÛÎËÛË 7 ÙÔ˘ KÂÊ·Ï·›Ô˘ 1). O ·ÚÈıÌfi˜ e ı· ÔÚÈÛı› ·Ú·Î¿Ùˆ (·Ó·ÙÚ¤ÍÙ ÛÙÔÓ OÚÈÛÌfi 3.30). H ÛÂÈÚ¿ ÍÂÎÈÓ¿ Ì n = 2, ‰ÈfiÙÈ log 1 = 0. Afi‰ÂÈÍË. H ÌÔÓÔÙÔÓ›· Ù˘ ÏÔÁ·ÚÈıÌÈ΋˜ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜ (Ë ÔÔ›· ı· ÌÂÏÂÙËı› ÏÂÙÔÌÂÚ¤ÛÙÂÚ· ÛÙÔ KÂÊ¿Ï·ÈÔ 8) Û˘Ó¿ÁÂÙ·È fiÙÈ Ë ·ÎÔÏÔ˘ı›· {log n} (n = 1, 2, 3, . . . ) Â›Ó·È ·‡ÍÔ˘Û·. ™˘ÓÂÒ˜, Ë ·ÎÔÏÔ˘ı›· {1/n log n} (n = 2, 3, . . . ) Â›Ó·È Êı›ÓÔ˘Û·. MÔÚԇ̠ӷ ÂÊ·ÚÌfiÛÔ˘Ì ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 3.27 ÛÙËÓ (10). A˘Ùfi Ì·˜ Ô‰ËÁ› ÛÙË ÛÂÈÚ¿ ∞ k=1
2k
∞ ∞ 1 1 1 1 = = k k p p p 2 (log 2 ) (k log 2) (log 2) k=1 k p k=1
Î·È ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 3.29 ¤ÂÙ·È ·fi ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 3.28.
(11)
AKO§OY£IE™ KAI ™EIPE™ 99
H ‰È·‰Èηۛ· ·˘Ù‹ ÌÔÚ› Ó· Û˘Ó¯ÈÛı›. E› ·Ú·‰Â›ÁÌ·ÙÈ, Ë ÛÂÈÚ¿ ∞
1 n log n log log n
(12)
1 n log n(log log n)2
(13)
n=3
·ÔÎÏ›ÓÂÈ, ÂÓÒ Ë ÛÂÈÚ¿ ∞ n=3
Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ. ¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ÔÈ fiÚÔÈ Ù˘ ÛÂÈÚ¿˜ (12) ‰È·Ê¤ÚÔ˘Ó Ôχ Ï›ÁÔ ·fi ÙÔ˘˜ fiÚÔ˘˜ Ù˘ ÛÂÈÚ¿˜ (13). ¶·Ú' fiÏ· ·˘Ù¿, Ë Ì›· ·ÔÎÏ›ÓÂÈ Î·È Ë ¿ÏÏË Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ. E¿Ó Û˘Ó¯›ÛÔ˘Ì ÙËÓ ‰È·‰Èηۛ· Ô˘ Ì·˜ Ô‰‹ÁËÛ ·fi ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 3.28 ÛÙÔ £ÂÒÚËÌ· 3.29 Î·È ¤ÂÈÙ· ÛÙËÓ (12) Î·È ÛÙËÓ (13) Ï·Ì‚¿ÓÔ˘Ì ˙‡ÁË Û˘ÁÎÏÈÓÔ˘ÛÒÓ Î·È ·ÔÎÏÈÓÔ˘ÛÒÓ ÛÂÈÚÒÓ, ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ ÔÈ fiÚÔÈ ‰È·Ê¤ÚÔ˘Ó ·ÎfiÌË ÏÈÁfiÙÂÚÔ ·fi ·˘ÙÔ‡˜ ÙˆÓ (12) Î·È (13). EÔ̤ӈ˜ ÌÔÚ› ηÓ›˜ Ó· Ô‰ËÁËı› ÛÙËÓ ÂÈηۛ· fiÙÈ ˘¿Ú¯ÂÈ Î¿ÔÈÔ˘ ›‰Ô˘˜ ÔÚȷ΋ ηٿÛÙ·ÛË, ¤Ó· «Û‡ÓÔÚÔ» Ô˘ ‰È·¯ˆÚ›˙ÂÈ ÙȘ Û˘ÁÎÏ›ÓÔ˘Û˜ ·fi ÙȘ ·ÔÎÏ›ÓÔ˘Û˜ ÛÂÈÚ¤˜, ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ Û fi,ÙÈ ·ÊÔÚ¿ ÛÙȘ ÛÂÈÚ¤˜ Ì ÌÔÓfiÙÔÓÔ˘˜ fiÚÔ˘˜. B‚·›ˆ˜, Ë ¤ÓÓÔÈ· ·˘Ù‹ ÙÔ˘ «Û˘ÓfiÚÔ˘» Â›Ó·È ·ÚÎÂÙ¿ ·Û·Ê‹˜. A˘Ùfi Ô˘ ı¤ÏÔ˘Ì ӷ ηٷ‰Â›ÍÔ˘ÌÂ Â›Ó·È ÙÔ ÂÍ‹˜: ·Û¯¤Ùˆ˜ Â¿Ó ‰È·Û·Ê‹ÛÔ˘Ì ·˘Ù‹Ó ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ·, Ë ÂÈηۛ· ‰ÂÓ ·ÏËı‡ÂÈ. OÈ AÛ΋ÛÂȘ 11(‚) Î·È 12(‚) ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈËıÔ‡Ó ˆ˜ ÂÚ·ÈÙ¤Úˆ ÂÚÈÁڷʤ˜ ÙˆÓ ·Ú·¿Óˆ. ¢ÂÓ ÂÈı˘Ìԇ̠ӷ ÂÌ‚·ı‡ÓÔ˘Ì ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔ Û ·˘Ùfi ÙÔ ı¤Ì· Ù˘ ıˆڛ·˜ Û˘ÁÎϛۈ˜ ÛÂÈÚÒÓ. ¶·Ú·¤ÌÔ˘Ì ÙÔÓ ·Ó·ÁÓÒÛÙË ÛÙÔ ‚È‚Ï›Ô ÙÔ˘ Knopp «Theory and Application of Infinite Series», ÛÙÔ KÂÊ¿Ï·ÈÔ IX Î·È È‰È·ÈÙ¤Úˆ˜ ÛÙËÓ ÂÓfiÙËÙ· 41.
100
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
O API£MO™ e OÚÈÛÌfi˜ 3.30. OÚ›˙Ô˘Ì e =
∞
n=0
1 n! .
™Ù· ·Ú·¿Óˆ Â›Ó·È n! = 1 · 2 · 3 · · · n Â¿Ó n ≥ 1 Î·È 0! = 1. EÊfiÛÔÓ ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË n ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ 1 1 1 + + ··· + 1·2 1·2·3 1 · 2···n 1 1 1 < 1 + 1 + + 2 + · · · + n−1 < 3, 2 2 2
sn = 1 + 1 +
Ë ÛÂÈÚ¿ Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ Î·È Ô ÔÚÈÛÌfi˜ ¤¯ÂÈ ÓfiËÌ·. ™ÙËÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfiÙËÙ·, Ë ÛÂÈÚ¿ Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ Ù·¯‡Ù·Ù·, ÁÂÁÔÓfi˜ Ô˘ Ì·˜ ÂÈÙÚ¤ÂÈ Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÔ˘Ì ÙÔÓ e Ì ÌÂÁ¿ÏË ·ÎÚ›‚ÂÈ·. E›Ó·È ÂӉȷʤÚÔÓ ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ Ô e ÌÔÚ› Ó· ÔÚÈÛı› Î·È Ì¤Ûˆ Ì›·˜ ¿ÏÏ˘ ‰È·‰Èηۛ·˜ Ï‹„ˆ˜ ÔÚ›Ô˘. H ·fi‰ÂÈÍË ·Ú¤¯ÂÈ ¤Ó· ηÏfi ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ÙÔ˘ ¯ÂÈÚÈÛÌÔ‡ ÙˆÓ Ú¿ÍÂˆÓ ÙˆÓ ÔÚ›ˆÓ. n £ÂÒÚËÌ· 3.31. IÛ¯‡ÂÈ Ë ÈÛfiÙËÙ· limn→∞ 1 + n1 = e. Afi‰ÂÈÍË. £¤ÙÔ˘Ì n 1 , sn = k! k=0
1 tn = 1 + n
n (n = 1, 2, 3, . . . ).
™‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ‰˘ˆÓ˘ÌÈÎfi ıÂÒÚËÌ·, ÁÈ· n = 1, 2, 3, . . . ¤¯Ô˘Ì fiÙÈ 1 1 1 2 1 1− + 1− 1− + ··· tn = 1 + 1 + 2! n 3! n n 1 2 n−1 1 1− 1− ··· 1 − . + n! n n n ÕÚ·, tn ≤ sn ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË n Î·È ÂÔ̤ӈ˜ lim sup tn ≤ e, n→∞
Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 3.19. EÓ Û˘Ó¯›·, Â¿Ó n ≥ m, ÙfiÙ 1 1 1 m−1 1 1− + ··· + 1− ··· 1 − . tn ≥ 1 + 1 + 2! n m! n n
(14)
AKO§OY£IE™ KAI ™EIPE™ 101
§·Ì‚¿ÓÔÓÙ·˜ n → ∞ Î·È ÎÚ·ÙÒÓÙ·˜ ÙÔ m ÛÙ·ıÂÚfi ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ lim inf tn ≥ 1 + 1 + n→∞
1 1 + ··· + 2! m!
‰ËÏ·‰‹ sm ≤ lim inf tn . n→∞
£ÂˆÚÒÓÙ·˜ m → ∞ Ï·Ì‚¿ÓÔ˘Ì ÙËÓ ·ÓÈÛfiÙËÙ· e ≤ lim inf tn .
(15)
n→∞
TÔ ıÂÒÚËÌ· ÚÔ·ÙÂÈ ·fi ÙȘ (14) Î·È (15). 1 H Ù·¯‡ÙËÙ· Ì ÙËÓ ÔÔ›· Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ Ë ÛÂÈÚ¿ ∞ n=0 n! ÌÔÚ› Ó· ˘ÔÏÔÁÈÛı› ˆ˜ ÂÍ‹˜: Â¿Ó ÙÔ sn ÂÍ·ÎÔÏÔ˘ı› Ó· ¤¯ÂÈ ÙÔ ›‰ÈÔ ÓfiËÌ· fiˆ˜ ÚÔËÁÔ˘Ì¤Óˆ˜, ÙfiÙ ¤¯Ô˘Ì fiÙÈ 1 1 1 + + + ··· (n + 1)! (n + 2)! (n + 3)! 1 1 1 1+ < + · · · + (n + 1)! n + 1 (n + 1)2 1 . = n!n
e − sn =
¢ËÏ·‰‹ 0 < e − sn <
1 n!n
(n = 1, 2, 3, . . . ).
(16)
E› ·Ú·‰Â›ÁÌ·ÙÈ, Ô s10 ÚÔÛÂÁÁ›˙ÂÈ ÙÔÓ e Ì ÛÊ¿ÏÌ· ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ·fi 10−7 . H ·ÓÈÛfiÙËÙ· (16) ¤¯ÂÈ Â›Û˘ Î·È ıˆÚËÙÈÎfi ÂӉȷʤÚÔÓ ‰ÈfiÙÈ Ì·˜ ‚ÔËı¿ Ó· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì ÙËÓ ·ÚÚËÙfiÙËÙ· ÙÔ˘ e Ì Ôχ ·Ïfi ÙÚfiÔ. £ÂÒÚËÌ· 3.32. O ·ÚÈıÌfi˜ e Â›Ó·È ¿ÚÚËÙÔ˜. Afi‰ÂÈÍË. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ Ô e Â›Ó·È ÚËÙfi˜. TfiÙÂ, e = p/q fiÔ˘ ÔÈ p, q Â›Ó·È ıÂÙÈÎÔ› ·Î¤Ú·ÈÔÈ ·ÚÈıÌÔ›. ™‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ (16), 0 < q!(e − sq ) <
1 . q
(17)
102
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
§fiÁˆ Ù˘ ˘Ôı¤Ûˆ˜ Ì·˜, Ô q!e Â›Ó·È ·Î¤Ú·ÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜. EÊfiÛÔÓ Ô 1 1 q!sq = q! 1 + 1 + + · · · + 2! q! Â›Ó·È ·Î¤Ú·ÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜, ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì fiÙÈ Ô q!(e − sq ) Â›Ó·È ·Î¤Ú·ÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜. EÊfiÛÔÓ q ≥ 1, Ë (17) ˘Ô‰ËÏÒÓÂÈ ÙËÓ ‡·ÚÍË ·ÎÂÚ·›Ô˘ ·ÚÈıÌÔ‡ ÌÂٷ͇ ÙˆÓ 0 Î·È 1. ™˘ÓÂÒ˜, ηٷϋͷÌ Û ·ÓٛʷÛË. ™ÙËÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfiÙËÙ·, Ô e ‰ÂÓ Â›Ó·È Ô‡ÙÂ Î·Ó ·ÏÁ‚ÚÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜. °È· Ì›· ·Ï‹ ·fi‰ÂÈÍË ·˘ÙÔ‡, ·Ó·ÙÚ¤ÍÙ ÛÙË ÛÂÏ›‰· 25 ÙÔ˘ ‚È‚Ï›Ô˘ ÙÔ˘ Niven ‹ ÛÙË ÛÂÏ›‰· 176 ÙÔ˘ ‚È‚Ï›Ô˘ ÙÔ˘ Herstein, Ù· ÔÔ›· ·Ó·Ê¤ÚÔÓÙ·È ÛÙËÓ BÈ‚ÏÈÔÁÚ·Ê›·.
TA KPITHPIA TH™ PIZA™ KAI TOY §O°OY ∞ £ÂÒÚËÌ· 3.33. (KÚÈÙ‹ÚÈÔ Ù˘ Ú›˙·˜.) ¢Â‰Ô̤Ó˘ Ì›·˜ ÛÂÈÚ¿˜ n=1 an , √ ı¤ÙÔ˘Ì α = lim supn→∞ n |an |. ∞ (·) E¿Ó α < 1, ÙfiÙÂ Ë n=1 an Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ. ∞ (‚) E¿Ó α > 1, ÙfiÙÂ Ë n=1 an ·ÔÎÏ›ÓÂÈ. (Á) E¿Ó α = 1, ÙfiÙ ÙÔ ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ ‰ÂÓ ·Ú¤¯ÂÈ Î·Ì›· ÏËÚÔÊÔÚ›·. Afi‰ÂÈÍË. E¿Ó α < 1, ÙfiÙ ÌÔÚԇ̠ӷ ÂÈϤÍÔ˘Ì ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi β Ì α < β < 1 Î·È ¤Ó·Ó ·Î¤Ú·ÈÔ ·ÚÈıÌfi N Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙÂ Â¿Ó n ≥ N , ÙfiÙ n |an | < β (Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 3.17(‚)). ¢ËÏ·‰‹, Â¿Ó n ≥ N , ÙfiÙ |an | < β n . ∞ n EÊfiÛÔÓ 0 < β < 1, Ë ∞ n=0 β Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ. H Û‡ÁÎÏÈÛË Ù˘ n=1 an Û˘Ó¿ÁÂÙ·È ÙÒÚ· ·fi ÙÔ ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ Û˘ÁÎÚ›Ûˆ˜. E¿Ó α > 1, ÙfiÙÂ, ¿ÏÈ ·fi ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 3.17, ˘¿Ú¯ÂÈ Ì›· ·ÎÔÏÔ˘ı›· {n k } (k = 1, 2, 3, . . . ) Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ √ an k → α,
nk
AKO§OY£IE™ KAI ™EIPE™ 103
ηıÒ˜ k → ∞. ™˘ÓÂÒ˜, ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ |an | > 1 ÁÈ· ¿ÂÈÚÔ Ï‹ıÔ˜ ÙÈÌÒÓ ÙÔ˘ ‰Â›ÎÙË n, ÂÔ̤ӈ˜ ‰ÂÓ Â›Ó·È ‰˘Ó·Ùfi Ó· ÈÛ¯‡ÂÈ limn→∞ an = 0, Û˘Óı‹ÎË Ë ÔÔ›· Â›Ó·È ·Ó·Áη›· ÁÈ· ÙË Û‡ÁÎÏÈÛË Ù˘ ∞ n=1 an (£ÂÒÚËÌ· 3.23). °È· ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ (Á), ıˆÚԇ̠ÙȘ ÛÂÈÚ¤˜ ∞ 1 n=1
n
,
∞ 1 , n2 n=1
ÂÎ ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ Ë ÚÒÙË ·ÔÎÏ›ÓÂÈ ÂÓÒ Ë ‰Â‡ÙÂÚË Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ Î·È ÁÈ· οı ̛· ·fi ·˘Ù¤˜ Â›Ó·È α = 1. ∞ £ÂÒÚËÌ· 3.34. (KÚÈÙ‹ÚÈÔ ÙÔ˘ ÏfiÁÔ˘.) n=1 an H ÛÂÈÚ¿ an+1 (·) Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ Â¿Ó lim supn→∞ a < 1, n an+1 (‚) ·ÔÎÏ›ÓÂÈ Â¿Ó a ≥ 1 ÁÈ· n ≥ n 0 , fiÔ˘ n 0 Â›Ó·È ÛÙ·ıÂÚfi˜ n ·Î¤Ú·ÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜. Afi‰ÂÈÍË. E¿Ó ÈÛ¯‡ÂÈ Ë Û˘Óı‹ÎË (·), ÙfiÙ ˘¿Ú¯ÂÈ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ β Ì β < 1 Î·È ·Î¤Ú·ÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ N Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙÂ Â¿Ó n ≥ N , ÙfiÙ an+1 a < β. n I‰È·ÈÙ¤Úˆ˜, |a N +1 | < β|a N |, |a N +2 | < β|a N +1 | < β 2 |a N |, .......................... |a N + p | < β p |a N |. ¢ËÏ·‰‹, |an | < |a N |β −N β n , ÁÈ· ÔÔÈÔÓ‰‹ÔÙ ‰Â›ÎÙË n Ì n ≥ N . TÔ (·) ¤ÂÙ·È ·fi ÙÔ ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ n Û˘ÁÎÚ›Ûˆ˜, ÂÊfiÛÔÓ Ë ∞ n=0 β Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ. E¿Ó |an+1 | ≥ |an | ÁÈ· n ≥ n 0 , ÙfiÙ ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì ·Ï¿ fiÙÈ Ë Û˘Óı‹ÎË limn→∞ an = 0 ‰ÂÓ ÈηÓÔÔÈÂ›Ù·È Î·È Ì ·˘ÙfiÓ ÙÔÓ ÙÚfiÔ ÚÔ·ÙÂÈ ÙÔ (‚).
104
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
a ™ËÌ›ˆÛË: H Û˘Óı‹ÎË limn→∞ an+1 = 1 ‰ÂÓ Ì·˜ ÂÍ·ÛÊ·Ï›˙ÂÈ Î¿ÔÈÔ n ∞ 1 Û˘Ì¤Ú·ÛÌ· Û¯ÂÙÈÎfi Ì ÙË Û‡ÁÎÏÈÛË Ù˘ ∞ n=1 an . OÈ ÛÂÈÚ¤˜ n=1 n Î·È ∞ 1 n=1 2 ηٷ‰ÂÈÎÓ‡Ô˘Ó ·˘Ù‹Ó ÙËÓ Î·Ù¿ÛÙ·ÛË. n ¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 3.35. (·) £ÂˆÚԇ̠ÙË ÛÂÈÚ¿ 1 1 1 1 1 1 1 1 + + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 + 4 + ··· , 2 3 2 3 2 3 2 3 ÁÈ· ÙËÓ ÔÔ›· ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ n a lim infn→∞ an+1 = limn→∞ 23 = 0, n
lim infn→∞
√ n a = lim n n→∞
lim supn→∞
2n
√ n a = lim n n→∞
1 = √1 , 3n 3
2n
1 = √1 , 2n 2
n a lim supn→∞ an+1 = limn→∞ 3 = +∞. n 2 TÔ ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ Ù˘ Ú›˙·˜ Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ ÙË Û‡ÁÎÏÈÛË Ù˘ ÛÂÈÚ¿˜. TÔ ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ ÙÔ˘ ÏfiÁÔ˘ ‰ÂÓ ÌÔÚ› Ó· ÂÊ·ÚÌÔÛı›. (‚) T· ›‰È· ÈÛ¯‡Ô˘Ó ÁÈ· ÙË ÛÂÈÚ¿ 1 1 1 1 1 1 1 +1+ + + + + + + ··· , 2 8 4 32 16 128 64 fiÔ˘
a lim infn→∞ an+1 = 1 , n 8 a lim supn→∞ an+1 = 2, n
ÂÓÒ
√ 1 n an = . n→∞ 2 lim
AKO§OY£IE™ KAI ™EIPE™ 105
¶·Ú·Ù‹ÚËÛË 3.36. TÔ ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ ÙÔ˘ ÏfiÁÔ˘ Â›Ó·È Û˘¯Ó¿ ¢ÎÔÏfiÙÂÚÔ ÛÙËÓ ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ ÙÔ˘ ·fi ÙÔ ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ Ù˘ Ú›˙·˜, ‰ÈfiÙÈ Â›Ó·È Û˘Ó‹ıˆ˜ ÈÔ Â‡ÎÔÏÔ Ó· ˘ÔÏÔÁÈÛıÔ‡Ó ÏfiÁÔÈ ·Ú¿ n ٿ͈˜ Ú›˙˜. ŸÌˆ˜, ÙÔ ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ Ù˘ Ú›˙·˜ ¤¯ÂÈ Â˘Ú‡ÙÂÚÔ Â‰›Ô ÂÊ·ÚÌÔÁ‹˜. AÎÚÈ‚¤ÛÙÂÚ·, fiÙ·Ó ÙÔ ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ ÙÔ˘ ÏfiÁÔ˘ Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ Û‡ÁÎÏÈÛË, ÙfiÙÂ Î·È ÙÔ ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ Ù˘ Ú›˙·˜ οÓÂÈ ÙÔ ›‰ÈÔ. ŸÙ·Ó ÙÔ ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ Ù˘ Ú›˙·˜ ‰ÂÓ ·Ú¤¯ÂÈ ÏËÚÔÊÔÚ›·, ÙfiÙÂ Û˘Ì‚·›ÓÂÈ ÙÔ ›‰ÈÔ Î·È Ì ÙÔ ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ ÙÔ˘ ÏfiÁÔ˘. TÔ ÁÂÁÔÓfi˜ ·˘Ùfi Â›Ó·È Û˘Ó¤ÂÈ· ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 3.37 Î·È Ù· ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ· ¯ÚËÛÈÌÂ‡Ô˘Ó ˆ˜ ·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù·. K·Ó¤Ó· ·fi Ù· ‰‡Ô ÎÚÈÙ‹ÚÈ· ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ ·˘ÍË̤ÓË Â˘·ÈÛıËÛ›· Û¯ÂÙÈο Ì ÙËÓ ·fiÎÏÈÛË. K·È ·fi Ù· ‰‡Ô ÎÚÈÙ‹ÚÈ· Û˘Ó¿ÁÂÙ·È Ë ·fiÎÏÈÛË ·fi ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ Ë {an } (n = 1, 2, 3, . . . ) ‰ÂÓ Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÚÔ˜ ÙÔ 0 ηıÒ˜ n → ∞. £ÂÒÚËÌ· 3.37. °È· ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ·ÎÔÏÔ˘ı›· {cn } (n = 1, 2, 3, . . . ) ıÂÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ lim inf n→∞
Î·È lim sup
√ cn+1 ≤ lim inf n cn n→∞ cn √ n
n→∞
cn ≤ lim sup n→∞
cn+1 . cn
Afi‰ÂÈÍË. £· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì ÙË ‰Â‡ÙÂÚË ·ÓÈÛfiÙËÙ·. H ·fi‰ÂÈÍË Ù˘ ÚÒÙ˘ Â›Ó·È ·ÚÂÌÊÂÚ‹˜. £¤ÙÔ˘Ì α = lim sup n→∞
cn+1 . cn
E¿Ó α = +∞, ÙfiÙÂ Ë ÚÔ˜ ·fi‰ÂÈÍË Û¯¤ÛË Â›Ó·È ÚÔÊ·Ó‹˜. E¿Ó ÙÔ α Â›Ó·È ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ, ÙfiÙ ıˆÚԇ̠ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi β Ì β > α. EÔ̤ӈ˜, ˘¿Ú¯ÂÈ ·Î¤Ú·ÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ N Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙÂ Â¿Ó n ≥ N , ÙfiÙ cn+1 ≤ β. cn I‰È·ÈÙ¤Úˆ˜, ÁÈ· οı ıÂÙÈÎfi ·Î¤Ú·ÈÔ ·ÚÈıÌfi p ¤¯Ô˘Ì c N +k+1 ≤ βc N +k
(k = 0, 1, . . . , p − 1).
106
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙ÔÓÙ·˜ ÙȘ ·ÓÈÛfiÙËÙ˜ ·˘Ù¤˜ Ï·Ì‚¿ÓÔ˘Ì cN + p ≤ β p cN , ‹ ·ÏÏÈÒ˜ cn ≤ c N β −N β n
(n ≥ N ).
ÕÚ·, ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË n Ì n ≥ N ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ cn ≤
n c N β −N β
lim sup
√ n cn ≤ β,
√ n Î·È ÂÔ̤ӈ˜
n→∞
(18)
Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 3.20(‚). EÊfiÛÔÓ Ë (18) ·ÏËı‡ÂÈ ÁÈ· οı ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi β Ì β > α, ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì fiÙÈ lim sup n→∞
√ n
cn ≤ α.
¢YNAMO™EIPE™ OÚÈÛÌfi˜ 3.38. ¢Â‰Ô̤Ó˘ Ì›·˜ ·ÎÔÏÔ˘ı›·˜ {cn } (n = 0, 1, 2, . . . ) ÌÈÁ·‰ÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ, Ë ÛÂÈÚ¿ ∞
cn z n ,
(19)
n=0
fiÔ˘ z Â›Ó·È ÌÈÁ·‰ÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜, ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ‰˘Ó·ÌÔÛÂÈÚ¿. OÈ ·ÚÈıÌÔ› cn (n = 0, 1, 2, . . . ) ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ÔÈ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ¤˜ Ù˘ ÛÂÈÚ¿˜. ™ÙË ÁÂÓÈÎfiÙËÙ¿ Ù˘, Ë ·Ú·¿Óˆ ÛÂÈÚ¿ ı· Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ‹ ı· ·ÔÎÏ›ÓÂÈ, ·Ó·ÏfiÁˆ˜ Ì ÙËÓ ÂÈÏÔÁ‹ ÙÔ˘ z. ¶ÈÔ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ӷ, Û οı ‰˘Ó·ÌÔÛÂÈÚ¿ ·ÓÙÈÛÙÔȯ›˙ÂÙ·È Ì›· ΢ÎÏÈ΋ ÂÚÈʤÚÂÈ·, Ô ÏÂÁfiÌÂÓÔ˜ ·ÎÏÔ˜ Û˘ÁÎϛۈ˜, fiÔ˘ Ë (19) ı· Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ Â¿Ó Ô z ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ηÈ
AKO§OY£IE™ KAI ™EIPE™ 107
ı· ·ÔÎÏ›ÓÂÈ Â¿Ó Ô z ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙÔ Â͈ÙÂÚÈÎfi ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘. (ÁÈ· ÙËÓ Î¿Ï˘„Ë fiÏˆÓ ÙˆÓ ÂÚÈÙÒÛˆÓ, ıˆÚԇ̠ÙÔ Â›Â‰Ô ˆ˜ ÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ·ÎÏÔ˘ ¿ÂÈÚ˘ ·ÎÙ›Ó·˜ Î·È ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ˆ˜ ·ÎÏÔ ·ÎÙ›Ó·˜ 0). H Û˘ÌÂÚÈÊÔÚ¿ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ Û˘ÁÎϛۈ˜ Â›Ó·È ·ÚÎÂÙ¿ ÔχÏÔÎË Î·È ‰ÂÓ ÌÔÚ› Ó· ÂÚÈÁÚ·Ê› ÙfiÛÔ ·Ï¿. £ÂÒÚËÌ· 3.39. ¢Â‰Ô̤Ó˘ Ù˘ ‰˘Ó·ÌÔÛÂÈÚ¿˜ α = lim sup n→∞
n
|cn |,
∞
R=
n=0 cn z
n,
ı¤ÙÔ˘ÌÂ
1 . α
(E¿Ó α = 0, ÙfiÙ R = +∞. E¿Ó α = +∞, ÙfiÙ R = 0.) ∞ n n=0 cn z Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ Â¿Ó |z| < R Î·È ·ÔÎÏ›ÓÂÈ Â¿Ó |z| > R.
TfiÙÂ, Ë
Afi‰ÂÈÍË. £¤ÙÔ˘Ì an = cn z n (n = 0, 1, 2, . . . ) Î·È ÂÊ·ÚÌfi˙Ô˘Ì ÙÔ ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ Ù˘ Ú›˙·˜: |z| . lim sup n |an | = |z| lim sup n |cn | = R n→∞ n→∞
™ËÌ›ˆÛË: Ô R ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Ë ·ÎÙ›Ó· Û˘ÁÎϛۈ˜ Ù˘
∞
n=0 cn z
n.
¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 3.40. n n z n ¤¯ÂÈ ·ÎÙ›Ó· Û˘ÁÎϛۈ˜ R = 0. (·) H ÛÂÈÚ¿ ∞ n=1 zn (‚) H ÛÂÈÚ¿ ∞ n=1 n! ¤¯ÂÈ ·ÎÙ›Ó· Û˘ÁÎϛۈ˜ R = +∞. (™Â ·˘Ù‹Ó ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË Â›Ó·È ÈÔ ·Ïfi Ó· ÂÊ·ÚÌÔÛı› ÙÔ ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ ÙÔ˘ ÏfiÁÔ˘.) n (Á) H ÛÂÈÚ¿ ∞ n=0 z ¤¯ÂÈ ·ÎÙ›Ó· Û˘ÁÎϛۈ˜ R = 1. E¿Ó |z| = 1, ÙfiÙÂ Ë ÛÂÈÚ¿ ·ÔÎÏ›ÓÂÈ, ÂÊfiÛÔÓ Ë {z n } (n = 0, 1, 2, . . . ) ‰ÂÓ Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÚÔ˜ ÙÔ 0 ηıÒ˜ n → ∞. zn (‰) H ÛÂÈÚ¿ ∞ n=1 n ¤¯ÂÈ ·ÎÙ›Ó· Û˘ÁÎϛۈ˜ R = 1. AÔÎÏ›ÓÂÈ Â¿Ó z = 1. °È· οı ¿ÏÏÔÓ ÌÈÁ·‰ÈÎfi ·ÚÈıÌfi z Ì |z| = 1 Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ. (O ÙÂÏÂ˘Ù·›Ô˜ ÈÛ¯˘ÚÈÛÌfi˜ ı· ·Ô‰Âȯı› ÛÙÔ £ÂÒÚËÌ· 3.44.) zn (Â) H ÛÂÈÚ¿ ∞ n=1 2 ¤¯ÂÈ ·ÎÙ›Ó· Û˘ÁÎϛۈ˜ R = 1. ™˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÁÈ· οı n ÌÈÁ·‰ÈÎfi ·ÚÈıÌfi z Ì |z| = 1, Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ Û˘ÁÎÚ›Ûˆ˜, ÂÊfiÛÔÓ |z n /n 2 | = 1/n 2 ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË n.
108
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
A£POI™H KATA MEPH £ÂÒÚËÌ· 3.41. ¢Â‰ÔÌ¤ÓˆÓ ‰‡Ô ·ÎÔÏÔ˘ıÈÒÓ {an }, {bn } (n = 0, 1, 2, . . . ), ı¤ÙÔ˘Ì n An = ak , k=0
fiÙ·Ó n ≥ 0 Î·È Â›Û˘ ı¤ÙÔ˘Ì A−1 = 0. E¿Ó 0 ≤ p ≤ q, ÙfiÙ ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ q
a n bn =
n= p
q−1
An (bn − bn+1 ) + Aq bq − A p−1 b p .
(20)
n= p
Afi‰ÂÈÍË. E›Ó·È q n= p
an bn =
q
(An − An−1 )bn =
n= p
q n= p
A n bn −
q−1
An bn+1
n= p−1
Î·È Ë ÙÂÏÂ˘Ù·›· ¤ÎÊÚ·ÛË ÛÙË ‰ÂÍÈ¿ ÏÂ˘Ú¿ Â›Ó·È Û·ÊÒ˜ ›ÛË Ì ÙË ‰ÂÍÈ¿ ÏÂ˘Ú¿ Ù˘ (20). O Ù‡Ô˜ (20), Ô ÏÂÁfiÌÂÓÔ˜ «Ù‡Ô˜ Ù˘ ÌÂÚÈ΋˜ ·ıÚÔ›Ûˆ˜», Â›Ó·È ¯Ú‹ÛÈÌÔ˜ ÁÈ· ÙË ‰ÈÂÚ‡ÓËÛË ÛÂÈÚÒÓ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ ∞ n=1 an bn , ȉȷÈÙ¤Úˆ˜ ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË fiÔ˘ Ë {bn } (n = 1, 2, 3, . . . ) Â›Ó·È ÌÔÓfiÙÔÓË. ¶·Ú·Î¿Ùˆ ‰›‰ÔÓÙ·È ÂÊ·ÚÌÔÁ¤˜. £ÂÒÚËÌ· 3.42. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ: (·) T· ÌÂÚÈο ·ıÚÔ›ÛÌ·Ù· An (n = 1, 2, 3, . . . ) Ù˘ Ù›˙Ô˘Ó Ì›· ÊÚ·Á̤ÓË ·ÎÔÏÔ˘ı›·.
∞
n=1 an
Û¯ËÌ·-
(‚) b1 ≥ b2 ≥ b3 ≥ · · · . (Á) limn→∞ bn = 0. ∞ TfiÙÂ, Ë n=1 an bn Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ. Afi‰ÂÈÍË. EÈϤÁÔ˘Ì ·ÚÈıÌfi M Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ |An | ≤ M ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË n. ¢Â‰Ô̤ÓÔ˘ ε > 0, ˘¿Ú¯ÂÈ ·Î¤Ú·ÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ N Ì b N ≤ (ε/2M). °È·
AKO§OY£IE™ KAI ™EIPE™ 109
·ÎÂÚ·›Ô˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ p, q Ì N ≤ p ≤ q ¤¯Ô˘Ì q q−1 a b = An (bn − bn+1 ) + Aq bq − A p−1 b p n= p n n n= p q−1 ≤ M (bn − bn+1 ) + bq + b p n= p = 2Mb p ≤ 2Mb N ≤ ε. TÒÚ·, Ë Û‡ÁÎÏÈÛË ÚÔ·ÙÂÈ ·fi ÙÔ ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ ÙÔ˘ Cauchy. ™ËÌÂÈÒÓÔ˘Ì fiÙÈ Ë ÚÒÙË ·ÓÈÛfiÙËÙ· ÛÙȘ ·Ú·¿Óˆ Û¯¤ÛÂȘ ‚·Û›˙ÂÙ·È ÛÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ bn − bn+1 ≥ 0 ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË n.
£ÂÒÚËÌ· 3.43. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ: (·) |c1 | ≥ |c2 | ≥ |c3 | ≥ · · · . (‚) c2m−1 ≥ 0, c2m ≤ 0 (m = 1, 2, 3, . . . ). (Á) limn→∞ cn = 0. ∞ TfiÙÂ, Ë n=1 cn Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ. OÈ ÛÂÈÚ¤˜ ÁÈ· ÙȘ Ôԛ˜ ÈÛ¯‡ÂÈ ÙÔ (‚) ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È «ÂÓ·ÏÏ·ÛÛfiÌÂÓ˜ ÛÂÈÚ¤˜». TÔ ıÂÒÚËÌ· ·˘Ùfi ‹Ù·Ó ÁÓˆÛÙfi ÛÙÔÓ Leibniz2 . 2
™. Ù. M.: Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716). °ÂÚÌ·Ófi˜ ·ÓÂÈÛÙ‹ÌÔÓ·˜. EÎÙfi˜ ÙˆÓ M·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ, ‰È¤ÚÂ„Â Î·È Û˘ÓÂÈÛ¤ÊÂÚ ԢÛȈ‰Ò˜ ÛÙË º˘ÛÈ΋, ÛÙË ºÈÏÔÛÔÊ›·, ÛÙË §ÔÁÈ΋, ÛÙË NÔÌÈ΋, ÛÙË £ÂÔÏÔÁ›·, ÛÙËÓ IÛÙÔÚ›·, ÛÙËÓ ¶ÔÏÈÙÈ΋ EÈÛÙ‹ÌË, ÛÙË §ÔÁÔÙ¯ӛ·. £ÂˆÚÂ›Ù·È ˆ˜ ¤Ó· ·fi Ù· ÈÔ È‰ÈÔÊ˘‹ Ó‡̷ٷ Ù˘ ÈÛÙÔÚ›·˜. ™ÙËÓ ÂÔ¯‹ ÙÔ˘ ıˆÚÔ‡ÓÙ·Ó ˆ˜ «Ô ÔÏ˘Ì·ı¤ÛÙÂÚÔ˜ ¿ÓıÚˆÔ˜ ÌÂÙ¿ ÙÔÓ AÚÈÛÙÔÙ¤ÏË». M·˙› Ì ÙÔÓ Isaac Newton (1642-1727) ıˆÚÂ›Ù·È Ô ÂÈÓÔËÙ‹˜ ÙÔ˘ AÂÈÚÔÛÙÈÎÔ‡ §ÔÁÈÛÌÔ‡. E›Û˘, ıˆÚÂ›Ù·È Ô ıÂÌÂÏȈً˜ Ù˘ ™˘Ó‰˘·ÛÙÈ΋˜ AӷχÛˆ˜. E›¯Â ÔÚ·Ì·ÙÈÛı› Î·È Â›¯Â ÂÚÁ·Ûı› ÚÔ˜ ÙËÓ ÂÈÓfiËÛË ÂÓfi˜ ηıÔÏÈÎÔ‡ Û˘Ì‚ÔÏÈÎÔ‡ ÏÔÁÈÛÌÔ‡ Ì ÛÎÔfi ÙËÓ ÂÓÔÔ›ËÛË ÙˆÓ M·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ. MfiÏȘ ÛÙȘ ·Ú¯¤˜ ÙÔ˘ ÂÈÎÔÛÙÔ‡ ·ÈÒÓ· Ú·ÁÌ·ÙÔÔÈ‹ıËΠÌÂÚÈÎÒ˜ ·˘Ùfi ÙÔ fiÚ·Ì· ÙÔ˘ Leibniz ·fi ÙÔ˘˜ Alfred North Whitehead (1861-1947) Î·È Bertrand Russell (1872-1970), ÔÈ ÔÔ›ÔÈ Û˘Ó¤¯ÈÛ·Ó ÙÔ ¤ÚÁÔ ÙÔ˘ George Boole (1815-1864). ™Ù· ‰Ò‰Âη ÙÔ˘ ¯ÚfiÓÈ· Ô Leibniz ÁÓÒÚÈ˙ ¿Ù·ÈÛÙ· §·ÙÈÓÈο Î·È EÏÏËÓÈο, ̤ۈ ·˘Ùԉȉ·Ûηϛ·˜. EÈÛ‹¯ıË ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1661 ÛÙÔ ·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ Ù˘ ÁÂÓ¤ÙÂÈÚ¿˜ ÙÔ˘ fiÏ˘ §ÂÈ„›·˜ ˆ˜ ÊÔÈÙËÙ‹˜ Ù˘ NÔÌÈ΋˜, fiÔ˘ Û˘Á¯ÚfiÓˆ˜ ÌÂϤÙËÛÂ Î·È º˘ÛÈ΋ ºÈÏÔÛÔÊ›·. ŒÏ·‚ ÙÔ Ù˘¯›Ô ÙÔ˘ ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1663. TÔ ÂfiÌÂÓÔ ¤ÙÔ˜, ¤Ï·‚ ÌÂÙ·Ù˘¯È·Îfi ‰›ÏˆÌ· ÛÙË NÔÌÈ΋ ηÈ
110
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
Afi‰ÂÈÍË. EÊ·ÚÌfi˙Ô˘Ì ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 3.42 Ì an = (−1)n+1 , bn = |cn | (n = 1, 2, 3, . . . ). ∞ £ÂÒÚËÌ· 3.44. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ Ë ·ÎÙ›Ó· Û˘ÁÎϛۈ˜ Ù˘ n=0 cn z n ÈÛÔ‡Ù·È Ì 1 Î·È fiÙÈ c0 ≥ c1 ≥ c2 ≥ · · · , limn→∞ cn = 0. TfiÙÂ, Ë ∞ n=0 cn z n Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ Û οı ÛËÌÂ›Ô z ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ |z| = 1, ÂÎÙfi˜ ›Ûˆ˜ ·fi ÙÔ z = 1. Afi‰ÂÈÍË. £¤ÙÔ˘Ì an = z n , bn = cn (n = 1, 2, 3, . . . ). OÈ ˘Ôı¤ÛÂȘ ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 3.42 ÂÍ·ÛÊ·Ï›˙ÔÓÙ·È, ÂÊfiÛÔÓ n 1 − z n+1 2 m ≤ z = |An | = (n = 1, 2, 3, . . . ) m=0 1 − z |1 − z| Â¿Ó Â›Ó·È |z| = 1 Ì z = 1.
A¶O§YTH ™Y°K§I™H H ÛÂÈÚ¿ ∞ n=1 an ϤÁÂÙ·È fiÙÈ Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ·Ôχو˜ Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó Ë ∞ ÛÂÈÚ¿ n=1 |an | Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ. ÛÙË ºÈÏÔÛÔÊ›·. TÔ ¤ÙÔ˜ 1666, ÙÔ ¶·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ Ù˘ §ÂÈ„›·˜ ·ÚÓ‹ıËΠӷ ÙÔÓ ·Ó·ÎËÚ‡ÍÂÈ ‰È‰¿ÎÙÔÚ·. O Leibniz ¤Ï·‚ ÙÔÓ Ù›ÙÏÔ ÙÔ˘ ‰È‰¿ÎÙÔÚ·, ÙÔ ›‰ÈÔ ¤ÙÔ˜, ·fi ÙÔ ¶·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ ÙÔ˘ Altdorf. E›Û˘, ÙÔ˘ ÚÔÛÂʤÚıË Ì›· ı¤ÛË Î·ıËÁËÙ‹ ÛÙË NÔÌÈ΋, ÙËÓ ÔÔ›· ·ÚÓ‹ıËÎÂ. O Leibniz ·ÎÔÏÔ‡ıËÛ ÙË ‰ÈÎËÁÔÚÈ΋ Î·È ‰Èψ̷ÙÈ΋ ÛÙ·‰ÈÔ‰ÚÔÌ›· ÛÙËÓ ·˘Ï‹ ÙÔ˘ Ú›ÁÎÈ· ÙÔ˘ Mainz ¤ˆ˜ ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1672. TÔ ¤ÙÔ˜ ·˘Ùfi ÂÈÛΤÊıËΠÙÔ ¶·Ú›ÛÈ ˘fi ÙËÓ È‰ÈfiÙËÙ· ÙÔ˘ ‰Èψ̿ÙË Î·È ·Ú¤ÌÂÈÓ ÂΛ ¤ˆ˜ ÙÔ 1676. ™ÙÔ ¶·Ú›ÛÈ, Ô Leibniz ÌÂϤÙËÛ M·ıËÌ·ÙÈο Î·È º˘ÛÈ΋ ˘fi ÙË Î·ıÔ‰‹ÁËÛË ÙÔ˘ Ê˘ÛÈÎÔ‡ Christiaan Huygens (1629-1695). TÔ ¤ÙÔ˜ 1673, Ô Leibniz ÂÍÂϤÁË Ì¤ÏÔ˜ Ù˘ B·ÛÈÏÈ΋˜ EÙ·ÈÚ›·˜ ÙÔ˘ §ÔÓ‰›ÓÔ˘. O Leibniz ¤ÛÙÚ„ ÛÙË °ÂÚÌ·Ó›· ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1676 Î·È ÂÙ¤ıË ˘fi ÙËÓ ˘ËÚÂÛ›· ÙÔ˘ ‰Ô‡Î· ÙÔ˘ Braunschweich-Lüneberg. ø˜ ηı‹ÎÔÓ Â›¯Â, ÌÂٷ͇ ¿ÏψÓ, ÙË Û˘ÁÁÚ·Ê‹ Ù˘ ÈÛÙÔÚ›·˜ ÙÔ˘ Ô›ÎÔ˘ Braunschweich-Lüneberg. EÚÁ¿ÛıËΠ˘fi ÙÔÓ Ô›ÎÔ Braunschweich-Lüneberg ¤ˆ˜ ÙÔ Ù¤ÏÔ˜ Ù˘ ˙ˆ‹˜ ÙÔ˘. O Leibniz ›‰Ú˘Û ÙËÓ Aη‰ËÌ›· EÈÛÙËÌÒÓ ÙÔ˘ BÂÚÔÏ›ÓÔ˘ ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1700 Î·È ˘‹ÚÍÂ Ô Ô ÚÒÙÔ˜ Úfi‰Úfi˜ Ù˘. TÔ ›‰ÈÔ ¤ÙÔ˜ Ô Leibniz ÂÍÂϤÁË Ì¤ÏÔ˜ Ù˘ Aη‰ËÌ›·˜ ÙˆÓ EÈÛÙËÌÒÓ ÙˆÓ ¶·ÚÈÛ›ˆÓ.
AKO§OY£IE™ KAI ™EIPE™ 111
£ÂÒÚËÌ· 3.45. E¿Ó Ë Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ.
∞
n=1 an
Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ·Ôχو˜, ÙfiÙ Ë
∞
n=1 an
Afi‰ÂÈÍË. TÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· ÚÔ·ÙÂÈ ·fi ÙËÓ ·ÓÈÛfiÙËÙ· m m ≤ a |ak | (m ≥ n) k k=n k=n Î·È ÙÔ ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ ÙÔ˘ Cauchy. ¶·Ú·Ù‹ÚËÛË 3.46. °È· ÛÂÈÚ¤˜ Ì ıÂÙÈÎÔ‡˜ fiÚÔ˘˜, Ë ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ ·fiÏ˘Ù˘ Û˘ÁÎϛۈ˜ Ù·˘Ù›˙ÂÙ·È Ì ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ Û˘ÁÎϛۈ˜. §¤ÁÂÙ·È fiÙÈ Ë ÛÂÈÚ¿ ∞ n=1 an Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÌË ·Ôχو˜ Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ∞ Ë n=1 an Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÂÓÒ Ë ∞ n=1 |an | ·ÔÎÏ›ÓÂÈ. E› ·Ú·‰Â›ÁÌ·ÙÈ, Ë ÛÂÈÚ¿ ∞ (−1)n n=1
n
Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÌË ·Ôχو˜ (£ÂÒÚËÌ· 3.43). T· ÎÚÈÙ‹ÚÈ· Û˘ÁÎÚ›Ûˆ˜, Ú›˙·˜ Î·È ÏfiÁÔ˘ Â›Ó·È ÎÚÈÙ‹ÚÈ· ·fiÏ˘Ù˘ Û˘ÁÎϛۈ˜ Î·È Û˘ÓÂÒ˜ ‰ÂÓ ·Ú¤¯Ô˘Ó ÏËÚÔÊÔڛ˜ ÁÈ· ÙËÓ ÌË ·fiÏ˘ÙË Û‡ÁÎÏÈÛË. H ÙÂÏÂ˘Ù·›· ÂÚ›ÙˆÛË ÌÔÚ› ÔÚÈṲ̂Ó˜ ÊÔÚ¤˜ Ó· ·ÓÙÈÌÂÙˆÈÛı› Ì ÙËÓ ¿ıÚÔÈÛË Î·Ù¿ ̤ÚË. I‰È·ÈÙ¤Úˆ˜, ÔÈ ‰˘Ó·ÌÔÛÂÈÚ¤˜ Û˘ÁÎÏ›ÓÔ˘Ó ·Ôχو˜ ÛÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ Û˘ÁÎÏ›ÛÂÒ˜ ÙÔ˘˜. ¶·Ú·Î¿Ùˆ, ı· ‰È·ÈÛÙÒÛÔ˘Ì fiÙÈ ÌÔÚԇ̠ӷ ¯ÂÈÚÈÛıԇ̠ÙȘ ·Ôχو˜ Û˘ÁÎÏ›ÓÔ˘Û˜ ÛÂÈÚ¤˜ ·ÚÔÌÔ›ˆ˜ fiˆ˜ Ù· ÂÂÚ·Ṳ̂ӷ ·ıÚÔ›ÛÌ·Ù·. MÔÚԇ̠ӷ ÙȘ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿ÛÔ˘Ì fiÚÔ ÚÔ˜ fiÚÔ Î·È Ó· ·ÏÏ¿ÍÔ˘Ì ÙË ÛÂÈÚ¿ ÂÎÙÂϤÛˆ˜ ÙˆÓ ÚÔÛı¤ÛÂˆÓ ‰›¯ˆ˜ Ó· ÌÂÙ·‚ÏËı› ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· Ù˘ ÛÂÈÚ¿˜. ŸÌˆ˜, ÁÈ· ÌË ·Ôχو˜ Û˘ÁÎÏ›ÓÔ˘Û˜ ÛÂÈÚ¤˜, Ù· ·Ú·¿Óˆ ‰ÂÓ ÈÛ¯‡Ô˘Ó ÛÙË ÁÂÓÈÎfiÙËÙ¿ ÙÔ˘˜ Î·È Ú¤ÂÈ Ó· ‰›‰ÂÙ·È ÂÚÈÛÛfiÙÂÚË ÚÔÛÔ¯‹ ÛÙÔÓ ¯ÂÈÚÈÛÌfi ÙÔ˘˜.
¶PO™£E™H KAI ¶O§§A¶§A™IA™MO™ ™EIPøN ∞ ∞ ∞ £ÂÒÚËÌ· 3.47. E¿Ó n=1 an = A Î·È n=1 bn = B, ÙfiÙ n=1 (an + ∞ bn ) = A + B Î·È n=1 can = c A, ÁÈ· οı ÛÙ·ıÂÚfi ÌÈÁ·‰ÈÎfi ·ÚÈıÌfi c.
112
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
Afi‰ÂÈÍË. A˜ Â›Ó·È An =
n
ak ,
Bn =
k=1
n
bk
(n = 1, 2, 3, . . . ).
k=1
TfiÙÂ, An + Bn =
n (ak + bk )
(n = 1, 2, 3, . . . ).
k=1
EÊfiÛÔÓ limn→∞ An = A Î·È limn→∞ Bn = B, ·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ lim (An + Bn ) = A + B.
n→∞
H ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ ‰Â˘Ù¤ÚÔ˘ ÈÛ¯˘ÚÈÛÌÔ‡ Â›Ó·È ·ÎfiÌË ·ÏÔ‡ÛÙÂÚË. ™˘ÓÂÒ˜, ‰‡Ô Û˘ÁÎÏ›ÓÔ˘Û˜ ÛÂÈÚ¤˜ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ÚÔÛÙÂıÔ‡Ó fiÚÔ ÚÔ˜ fiÚÔ Î·È Ë ÚÔ·ÙÔ˘Û· ÛÂÈÚ¿ Ó· Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÚÔ˜ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ‰‡Ô ÛÂÈÚÒÓ. H ηٿÛÙ·ÛË ÂÚÈϤÎÂÙ·È fiÙ·Ó ıˆڋÛÔ˘Ì ÙÔÓ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi ‰‡Ô ÛÂÈÚÒÓ. AÚ¯Èο, Ú¤ÂÈ Ó· ÔÚ›ÛÔ˘Ì ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ. A˘Ùfi ÌÔÚ› Ó· Á›ÓÂÈ Ì ·ÚÎÂÙÔ‡˜ ÙÚfiÔ˘˜. ŒÓ·˜ ·fi ·˘ÙÔ‡˜ Â›Ó·È ÙÔ «Î·Ù¿ Cauchy ÁÈÓfiÌÂÓÔ». ∞ OÚÈÛÌfi˜ 3.48. ¢Â‰ÔÌ¤ÓˆÓ ÙˆÓ ÛÂÈÚÒÓ ∞ n=0 an Î·È n=0 bn , ı¤ÙÔ˘Ì cn =
n
ak bn−k
(n = 0, 1, 2, . . . )
k=0
Î·È ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ÙË ÛÂÈÚ¿ ∞ n=0 cn ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÙˆÓ ‰Â‰ÔÌ¤ÓˆÓ ÛÂÈÚÒÓ. O ÔÚÈÛÌfi˜ ·˘Ùfi˜ ¤¯ÂÈ ÙÔ ÂÍ‹˜ ΛÓËÙÚÔ: Â¿Ó ıˆڋÛÔ˘Ì ‰‡Ô ‰˘Ó·ÌÔ ∞ n n ÛÂÈÚ¤˜ ∞ n=0 an z Î·È n=0 bn z , ÙȘ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿ÛÔ˘Ì fiÚÔ ÚÔ˜ fiÚÔ Î·È Û˘ÁÎÂÓÙÚÒÛÔ˘Ì ÙÔ˘˜ fiÚÔ˘˜ Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔÈ¯Ô‡Ó ÛÙËÓ ›‰È· ‰‡Ó·ÌË ÙÔ˘ z, ÙfiÙ Ϸ̂¿ÓÔ˘Ì ÙËÓ ∞ n=0
an z n ·
∞
bn z n = (a0 + a1 z + a2 z 2 + · · · )(b0 + b1 z + b2 z 2 + · · · )
n=0
= a0 b0 + (a0 b1 + a1 b0 )z + (a0 b2 + a1 b1 + a2 b0 )z 2 + · · · = c0 + c1 z + c2 z 2 + · · · . £¤ÙÔÓÙ·˜ z = 1, ηٷϋÁÔ˘Ì ÛÙÔÓ ·Ú·¿Óˆ ÔÚÈÛÌfi.
AKO§OY£IE™ KAI ™EIPE™ 113
¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 3.49. E¿Ó An =
n
ak ,
Bn =
k=0
n
bk ,
Cn =
k=0
n
ck (n = 0, 1, 2, . . . )
k=0
Î·È An → A, Bn → B ηıÒ˜ n → ∞, ÙfiÙ ‰ÂÓ Â›Ó·È Û·Ê¤˜ fiÙÈ Ë ·ÎÔÏÔ˘ı›· {Cn } (n = 0, 1, 2, . . . ) ı· Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÚÔ˜ ÙÔ AB, ÂÊfiÛÔÓ ‰ÂÓ ÈÛ¯‡ÂÈ (··Ú·Èًو˜) fiÙÈ Cn = An Bn ÁÈ· οı ıÂÙÈÎfi ·Î¤Ú·ÈÔ ·ÚÈıÌfi n. H ÂÍ¿ÚÙËÛË Ù˘ {Cn } (n = 0, 1, 2, . . . ) ·fi ÙȘ {An } (n = 0, 1, 2, . . . ) Î·È {Bn } (n = 0, 1, 2, . . . ) Â›Ó·È ÂÚ›ÏÔÎË (·Ó·ÙÚ¤ÍÙ ÛÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 3.50). £· ‰Â›ÍÔ˘Ì ÙÒÚ· fiÙÈ ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ‰‡Ô Û˘ÁÎÏÈÓÔ˘ÛÒÓ ÛÂÈÚÒÓ ÌÔÚ› Ó· ·ÔÎÏ›ÓÂÈ. H ÛÂÈÚ¿ ∞ 1 (−1)n 1 1 = 1 − √ + √ − √ + ··· √ n+1 3 4 2 n=0 Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ (£ÂÒÚËÌ· 3.43). ™¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ì ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ Ù˘ ÛÂÈÚ¿˜ ·˘Ù‹˜ Ì ÙÔÓ Â·˘Ùfi Ù˘ Î·È ·ÔÎÙԇ̠ÙËÓ ∞ 1 1 1 1 1 cn = 1 − √ + √ + √ +√ √ +√ 3 3 2 2 2 2 n=0 1 1 1 1 + ··· − √ +√ √ +√ √ +√ 4 4 3 2 2 3 ¢ËÏ·‰‹, cn = (−1)n
n k=0
√
1 (n − k + 1)(k + 1)
(n = 0, 1, 2, . . . ).
EÊfiÛÔÓ (n − k + 1)(k + 1) =
n 2
2
+1
−
n 2
−k
2
≤
n 2
2
+1
,
¤¯Ô˘Ì fiÙÈ |cn | ≥
n k=0
2(n + 1) 2 = (n = 0, 1, 2, . . . ), n+2 n+2
ÂÔ̤ӈ˜ Ë Û˘Óı‹ÎË cn → 0 ηıÒ˜ n → ∞, Ë ÔÔ›· Â›Ó·È ·Ó·Áη›· ÁÈ· ÙËÓ Û‡ÁÎÏÈÛË Ù˘ ∞ n=0 cn , ‰ÂÓ ÈηÓÔÔÈ›ٷÈ.
114
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
™Â ·ÓÙȉȷÛÙÔÏ‹ Ì ÙÔ ÂfiÌÂÓÔ ıÂÒÚËÌ·, ÙÔ ÔÔ›Ô ÔÊ›ÏÂÙ·È ÛÙÔÓ Mertens3 , ÛÙÔ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ıˆڋ۷Ì ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÌË ·Ôχو˜ Û˘ÁÎÏÈÓÔ˘ÛÒÓ ÛÂÈÚÒÓ. £ÂÒÚËÌ· 3.50. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ: ∞ (·) H n=0 an Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ·Ôχو˜. ∞ (‚) n=0 an = A. ∞ (Á) n=0 bn = B. (‰) cn = nk=0 ak bn−k (n = 0, 1, 2, . . . ). TfiÙÂ,
∞
cn = AB.
n=0
¢ËÏ·‰‹, ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ‰‡Ô Û˘ÁÎÏÈÓÔ˘ÛÒÓ ÛÂÈÚÒÓ Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ, Î·È Ì¿ÏÈÛÙ· ÛÙËÓ ÂÈı˘ÌËÙ‹ ÙÈÌ‹, Â¿Ó ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ Ì›· ·fi ·˘Ù¤˜ Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ·Ôχو˜. Afi‰ÂÈÍË. £¤ÙÔ˘Ì An =
n k=0
ak ,
Bn =
n k=0
bk ,
Cn =
n
ck ,
βn = Bn − B (n = 0, 1, 2, . . . ).
k=0
TfiÙÂ, ÁÈ· οı n = 0, 1, 2, . . . ¤¯Ô˘Ì fiÙÈ Cn = a0 b0 + (a0 b1 + a1 b0 ) + · · · + (a0 bn + a1 bn−1 + · · · + an b0 ) = a0 Bn + a1 Bn−1 + · · · + an B0 = a0 (B + βn ) + a1 (B + βn−1 ) + · · · + an (B + β0 ) = An B + a0 βn + a1 βn−1 + · · · + an β0 . £¤ÙÔ˘Ì γn = a0 βn + a1 βn−1 + · · · + an β0 (n = 0, 1, 2, . . . ). 3
™. Ù. M.: Franz Mertens (1840-1927). ¶ÚÒÛÔ˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi˜ Ô˘ ÂÚÁ¿ÛıËΠÛÙË £ÂˆÚ›· AÚÈıÌÒÓ Î·È ÛÙËÓ ÕÏÁ‚ڷ. E›¯Â ˆ˜ ‰·ÛοÏÔ˘˜ ÙÔ˘˜ Leopold Kronecker (1823-1891) Î·È Ernst Kummer (1810-1893).
AKO§OY£IE™ KAI ™EIPE™ 115
EÈı˘Ìԇ̠ӷ ‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ Cn → AB ηıÒ˜ n → ∞. EÊfiÛÔÓ An B → AB ηıÒ˜ n → ∞, ·ÚΛ Ó· ‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ lim γn = 0.
n→∞
£¤ÙÔ˘Ì α=
∞
(21)
|an |.
n=0
(E‰Ò Â›Ó·È ÙÔ ÛËÌÂ›Ô Ô˘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÙÔ (·).) A˜ Â›Ó·È ε > 0. ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔ (Á), βn → 0 ηıÒ˜ n → ∞. ™˘ÓÂÒ˜, ˘¿Ú¯ÂÈ ·Î¤Ú·ÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ N Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙÂ Â¿Ó n ≥ N , ÙfiÙ |βn | ≤ ε. ™Â ·˘Ù‹Ó ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË, ÁÈ· n ≥ N ¤¯Ô˘Ì |γn | ≤ |β0 an + · · · + β N an−N | + |β N +1 an−N −1 + · · · + βn a0 | ≤ |β0 an + · · · + β N an−N | + εα. ¢È·ÙËÚÒÓÙ·˜ ÙÔÓ N ÛÙ·ıÂÚfi Î·È Ï·Ì‚¿ÓÔÓÙ·˜ n → ∞ ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ lim sup |γn | ≤ εα, n→∞
‰ÈfiÙÈ ak → 0 ηıÒ˜ k → ∞. EÊfiÛÔÓ Ô ε Â›Ó·È Ù˘¯ÒÓ ıÂÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜, ¤ÂÙ·È Ë (21). ŒÓ· ¿ÏÏÔ ÂÚÒÙËÌ· Ô˘ ÚÔ·ÙÂÈ Â›Ó·È Â¿Ó Ë ÛÂÈÚ¿ ∞ n=0 cn ¤¯ÂÈ ˆ˜ 4 ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙÔ AB fiÙ·Ó Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ. O Abel ·¤‰ÂÈÍ fiÙÈ Ë ·¿ÓÙËÛË Â›Ó·È Î·Ù·Ê·ÙÈ΋. 4
™. Ù. M.: Niels Henrik Abel (1802-1829). ¢È¿ÛËÌÔ˜ ȉÈÔÊ˘‹˜ NÔÚ‚ËÁfi˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi˜, Ô ÔÔ›Ô˜ ¤ı·Ó Û Ôχ Ó·ڋ ËÏÈΛ· ·fi Ê˘Ì·Ù›ˆÛË. K·Ù·ÁfiÌÂÓÔ˜ ·fi ȉȷÈÙ¤Úˆ˜ ÊÙˆ¯‹ ÔÈÎÔÁ¤ÓÂÈ·, Ô Abel ˆ̛ÛıËΠ·fi ÌÈÎÚfi˜ ÙËÓ Â˘ı‡ÓË ÁÈ· ÙË ÊÚÔÓÙ›‰· Ù˘ ÔÈÎÔÁÂÓ›·˜ ÙÔ˘, ÏfiÁˆ ÙÔ˘ ÚoÒÚÔ˘ ı·Ó¿ÙÔ˘ ÙÔ˘ ·Ù¤Ú· ÙÔ˘, Î·È ÔÙ¤ ‰ÂÓ Î·Ù¿ÊÂÚ ӷ ··ÏÏ·Á› ·fi ÙÔ ‚·Ú‡ ÊÔÚÙ›Ô Ù˘ ÊÙÒ¯ÂÈ·˜. TÔ ¤ÙÔ˜ 1821 Ô Abel ÂÈÛ‹Ïı ÛÙÔ ¶·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ Ù˘ XÚÈÛÙÈ·Ó›·˜ (ÛËÌÂÚÈÓfi Oslo), ·fi fiÔ˘ Î·È ·ÂÊÔ›ÙËÛ ÙÔ 1822. ø˜ fiÓÂÈÚfi ÙÔ˘ ›¯Â ÙËÓ Î·Ù¿ÎÙËÛË Ì›·˜ ·Î·‰ËÌ·˚΋˜ ı¤Ûˆ˜ Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ ӷ χÛÂÈ ÙȘ ‚ÈÔÔÚÈÛÙÈΤ˜ ÙÔ˘ ·Ó¿ÁΘ Î·È Ó· ÂÓÙÚ˘Ê‹ÛÂÈ ·ÚfiÛÎÔÙ· ÛÙȘ Ì·ıËÌ·ÙÈΤ˜ ÙÔ˘ ¤Ú¢Ó˜. ¶·Ú¿ ÙȘ ÚÔÛ¿ıÂȤ˜ ÙÔ˘, ηıÒ˜ Î·È ÙȘ ÚÔÛ¿ıÂȘ ÙÔ˘ ‰·ÛοÏÔ˘ ÙÔ˘, Bernt Michael Holmboë (1795-1850), Ô Abel ‰ÂÓ Î·Ù¿ÊÂÚ ӷ Ú·ÁÌ·ÙÔÔÈ‹ÛÂÈ ÙÔ fiÓÂÈÚfi ÙÔ˘. ŒÏ·‚ ̛· ˘ÔÙÚÔÊ›· ÁÈ· ÛÔ˘‰¤˜ ÛÙË °·ÏÏ›· Î·È ÛÙË °ÂÚÌ·Ó›· ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1824, fiÔ˘ ηÈ
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∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
∞ ∞ ∞ £ÂÒÚËÌ· 3.51. E¿Ó ÔÈ ÛÂÈÚ¤˜ n=0 an , n=0 bn , n=0 cn Û˘ÁÎÏ›ÓÔ˘Ó ÚÔ˜ Ù· A, B, C ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜ Î·È cn = a0 bn + · · · + an b0 (n = 0, 1, 2, . . . ), ÙfiÙ C = AB. ™ÙÔ ·Ú·¿Óˆ ‰ÂÓ Á›ÓÂÙ·È Î·Ì›· ˘fiıÂÛË Û ۯ¤ÛË Ì ÙËÓ ·fiÏ˘ÙË Û‡ÁÎÏÈÛË. £· ·ÚÔ˘ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ̛· ·Ï‹ ·fi‰ÂÈÍË (Ë ÔÔ›· ‚·Û›˙ÂÙ·È ÛÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· ÙˆÓ ‰˘Ó·ÌÔÛÂÈÚÒÓ) ‡ÛÙÂÚ· ·fi ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 8.2.
ANA¢IATA•EI™ η٤ıÂÛ ̛· ‰È·ÙÚÈ‚‹ ÙÔ˘ ÛÙÔÓ ÎÔÚ˘Ê·›Ô Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi Ù˘ ÂÔ¯‹˜ Carl Friedrich Gauss (17771855). ™ÙË ‰È·ÙÚÈ‚‹ ·˘Ù‹ ·ÚÔ˘Û›·˙ ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ÁÈ· ÙÔ ·‰‡Ó·ÙÔ Ù˘ ÂÈχÛˆ˜ Ù˘ ÁÂÓÈ΋˜ ÂÌÙÔ‚¿ıÌÈ·˜ ÔÏ˘ˆÓ˘ÌÈ΋˜ ÂÍÈÛÒÛˆ˜, ¤Ó· ÛËÌ·ÓÙÈÎfi Úfi‚ÏËÌ· Ô˘ ··Û¯fiÏËÛ ÙÔ˘˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎÔ‡˜ ÁÈ· ·ÈÒÓ˜, Î·È Â›¯Â ÙËÓ ÂÔ›ıËÛË fiÙÈ Ô Gauss, Ì ÙËÓ ÂÈÚÚÔ‹ Ô˘ ›¯Â, ı· ¿ÓÔÈÁ ÙËÓ Ô‰fi ÛÙË Ì·ıËÌ·ÙÈ΋ ÛÙ·‰ÈÔ‰ÚÔÌ›· ÙÔ˘ Abel. O Gauss, ÏfiÁˆ Ù˘ ÊËÌÈṲ̂Ó˘ ˘ÂÚÔ„›·˜ ÙÔ˘ Î·È ÂӉ¯Ô̤ӈ˜ ÙÔ˘ Êfi‚Ô˘ ÂÚ› ·ÓÙ·ÁˆÓÈÛÌÔ‡, ··Í›ˆÛ ӷ ‰È·‚¿ÛÂÈ ÙËÓ ÂÚÁ·Û›· ÙÔ˘ Abel, ·ÔÚÚ›ÙÔÓÙ¿˜ ÙËÓ ·Ì¤Ûˆ˜. ™ÙË °·ÏÏ›·, Ô Abel ˘¤‚·Ï ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1826 ÛÙËÓ Aη‰ËÌ›· EÈÛÙËÌÒÓ ÙˆÓ ¶·ÚÈÛ›ˆÓ Ì›· ÂÚÁ·Û›· ÂÚ› ˘ÂÚ‚·ÙÈÎÒÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛˆÓ. ø˜ ÎÚÈÙ¤˜ Ù˘ ÂÚÁ·Û›·˜ ·˘Ù‹˜ ÔÚ›ÛıËÎ·Ó ÔÈ ‰È¿ÛËÌÔÈ Ì·ıËÌ·ÙÈÎÔ› Adrien Marie Legendre (1752-1833) Î·È Augustin Louis Cauchy (1789-1857). O ÙÂÏÂ˘Ù·›Ô˜ ¤¯·Û ÙËÓ ÂÚÁ·Û›· ÙÔ˘ Abel. ø˜ ¿ÏÏÔıÈ, ÚÔ‚Ï‹ıËÎÂ Ô ÈÛ¯˘ÚÈÛÌfi˜ fiÙÈ Ë ÂÚÁ·Û›· ‹Ù·Ó ηÎÔÁÚ·Ì̤ÓË Î·È ‰˘Û·Ó¿ÁÓˆÛÙË. ZËÙ‹ıËΠ·fi ÙÔÓ Abel Ë ˘Ô‚ÔÏ‹ Ó¤Ô˘ ·ÓÙÈÙ‡Ô˘, ÁÂÁÔÓfi˜ Ô˘ ‰ÂÓ ¤ÁÈÓ ÔÙ¤. §fiÁˆ ÙˆÓ ÔÈÎÔÓÔÌÈÎÒÓ ‰˘ÛÎÔÏÈÒÓ, Ô Abel ¤ÛÙÚ„ ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1827 ÛÙËÓ XÚÈÛÙÈ·Ó›· fiÔ˘ ÂȉfiıËΠÛÙËÓ È‰ÈˆÙÈ΋ ‰È‰·Ûηϛ· Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ ӷ ÂÍ·ÛÊ·Ï›ÛÂÈ Ù· ̤۷ Û˘ÓÙËÚ‹ÛÂÒ˜ ÙÔ˘. TÔ ¶·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ Ù˘ XÚÈÛÙÈ·Ó›·˜ ÙÔ˘ ÚÔÛ¤ÊÂÚ ̛· ÚÔÛˆÚÈÓ‹ ı¤ÛË ‰È‰·ÎÙÈÎÒÓ Î·ıËÎfiÓÙˆÓ ·ÓÙ› ÈӷΛԢ ʷ΋˜. ™Ù· Ù¤ÏË ÙÔ˘ ¤ÙÔ˘˜ 1828 Ô Abel ‹Á ÛÙË Florand, ÁÈ· Ó· Â›Ó·È ÎÔÓÙ¿ ÛÙË ÌÓËÛÙ‹ ÙÔ˘, fiÔ˘ Î·È ¤ı·ÓÂ. ¢‡Ô ̤Ú˜ ÌÂÙ¿ ÙÔ ı¿Ó·ÙÔ ÙÔ˘ Abel, o August Leopold Crelle (1780-1856), Ô È‰Ú˘Ù‹˜ ÙÔ˘ ÊËÌÈṲ̂ÓÔ˘ Ì·ıËÌ·ÙÈÎÔ‡ ÂÚÈÔ‰ÈÎÔ‡ Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, ÙÔ˘ ÚÒÙÔ˘ ·ÊÈÂڈ̤ÓÔ˘ ÂÍ ÔÏÔÎÏ‹ÚÔ˘ ÛÙ· M·ıËÌ·ÙÈο ÂÈÛÙËÌÔÓÈÎÔ‡ ÂÚÈÔ‰ÈÎÔ‡, ÙÔ˘ ¤ÛÙÂÈÏ ̛· ÂÈÛÙÔÏ‹ ÂÓËÌÂÚÒÓÔÓÙ¿˜ ÙÔÓ fiÙÈ ÙÔ ¶·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ ÙÔ˘ BÂÚÔÏ›ÓÔ˘ ÙÔ˘ ÚÔÛ¤ÊÂÚ ÙËÓ ¤‰Ú· M·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ. ™‡Ìʈӷ Ì ÙË Ú‹ÛË ÙÔ˘ ‰È·ÚÂÔ‡˜ °¿ÏÏÔ˘ Ì·ıËÌ·ÙÈÎÔ‡ ÙÔ˘ ‰ÂοÙÔ˘ ÂÓ¿ÙÔ˘ ·ÈÒÓ· Charles Hermite (1822-1901), «ÙÔ ¤ÚÁÔ ÙÔ˘ Abel Â›Ó·È ÈηÓfi Ó· ··Û¯ÔÏ‹ÛÂÈ ÙÔ˘˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎÔ‡˜ ÁÈ· ÙÔ˘˜ ÂfiÌÂÓÔ˘˜ ¤ÓÙ ·ÈÒÓ˜».
AKO§OY£IE™ KAI ™EIPE™ 117
OÚÈÛÌfi˜ 3.52. A˜ Â›Ó·È {kn } (n = 1, 2, 3, . . . ) Ì›· ·ÎÔÏÔ˘ı›· ·ÎÂÚ·›ˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ, ÛÙËÓ ÔÔ›· οı ·Î¤Ú·ÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ ÂÌÊ·Ó›˙ÂÙ·È ˆ˜ fiÚÔ˜ Ù˘ Ì›· Î·È ÌfiÓÔ Ì›· ÊÔÚ¿ (‰ËÏ·‰‹ Ë {kn } Â›Ó·È 1-1 Û˘Ó¿ÚÙËÛË ·fi ÙÔ J › ÙÔ˘ J , Ì ¯Ú‹ÛË ÙÔ˘ Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌÔ‡ ÛÙÔÓ OÚÈÛÌfi 2.2). £¤ÙÔÓÙ·˜ an = akn
(n = 1, 2, 3, . . . ), ∞ Ë ÛÂÈÚ¿ ∞ n=1 an ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ·Ó·‰È¿Ù·ÍË Ù˘ n=1 an . E¿Ó {sn }, {sn } (n = 1, 2, 3, . . . ) Â›Ó·È ÔÈ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ ·ÎÔÏÔ˘ı›Â˜ ÙˆÓ ∞ ÌÂÚÈÎÒÓ ·ıÚÔÈÛÌ¿ÙˆÓ ÙˆÓ ∞ n=1 an Î·È n=1 an , ÙfiÙ ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì ‡ÎÔÏ· fiÙÈ, Û ÁÂÓÈΤ˜ ÁÚ·Ì̤˜, ÔÈ ·ÎÔÏÔ˘ı›Â˜ ·˘Ù¤˜ ··ÚÙ›˙ÔÓÙ·È ·fi ÂÓÙÂÏÒ˜ ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜. ™˘ÓÂÒ˜, Ô‰ËÁԇ̷ÛÙ ÛÙÔ Úfi‚ÏËÌ· ηıÔÚÈÛÌÔ‡ Û˘ÓıËÎÒÓ ˘fi ÙȘ Ôԛ˜ ·Ó·‰È·Ù¿ÍÂȘ Û˘ÁÎÏÈÓÔ˘ÛÒÓ ÛÂÈÚÒÓ Û˘ÁÎÏ›ÓÔ˘Ó Î·È ÛÙÔ Â¿Ó Ù· ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ·ıÚÔ›ÛÌ·Ù· Ù·˘Ù›˙ÔÓÙ·È. ¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 3.53. £ÂˆÚԇ̠ÙË ÛÂÈÚ¿ 1−
1 1 1 1 1 + − + − + ··· 2 3 4 5 6
(22)
Î·È Ì›· ·Ó·‰È¿Ù·Í‹ Ù˘ 1 1 1 1 1 1 1 1 − + + − + + − + ··· , (23) 3 2 5 7 4 9 11 6 ÛÙËÓ ÔÔ›· ‰‡Ô ıÂÙÈÎÔ› fiÚÔÈ ·ÎÔÏÔ˘ıÔ‡ÓÙ·È ·fi ¤Ó·Ó ·ÚÓËÙÈÎfi fiÚÔ. E¿Ó s Â›Ó·È ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· Ù˘ (22), ÙfiÙ 1+
s <1−
1 1 5 + = . 2 3 6
EÊfiÛÔÓ 1 1 1 + − >0 4k − 3 4k − 1 2k ÁÈ· k ≥ 1, ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì fiÙÈ s3 < s6 < s9 < · · · , fiÔ˘ sn Â›Ó·È ÙÔ n ٿ͈˜ ÌÂÚÈÎfi ¿ıÚÔÈÛÌ· Ù˘ (23). ÕÚ·, 5 lim sup sn > s3 = , 6 n→∞ ÂÔ̤ӈ˜ Ë (23) ‰ÂÓ Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÚÔ˜ ÙÔ s. (H ·ϋı¢ÛË Ù˘ Û˘ÁÎϛۈ˜ Ù˘ (23) ·Ê‹ÓÂÙ·È ÛÙÔÓ ·Ó·ÁÓÒÛÙË).
118
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
TÔ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ·˘Ùfi Â›Ó·È ‰È¢ÎÚÈÓÈÛÙÈÎfi Û ۯ¤ÛË Ì ÙÔ ÂfiÌÂÓÔ ıÂÒÚËÌ·, ÙÔ ÔÔ›Ô ÔÊ›ÏÂÙ·È ÛÙÔÓ Riemann5 . £ÂÒÚËÌ· 3.54. £ÂˆÚԇ̛̠· ÛÂÈÚ¿ 5
∞
n=1 an
Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ Ô˘
™. Ù. M: Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866). ™Ô˘‰·›Ô˜ °ÂÚÌ·Ófi˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi˜. EÚÁ¿ÛıËΠÛÙËÓ AÓ¿Ï˘ÛË, ÛÙË °ÂˆÌÂÙÚ›· Î·È ÛÙË M·ıËÌ·ÙÈ΋ º˘ÛÈ΋. Afi ÙËÓ ÂÚÁ·Û›· ÙÔ˘ Riemann ÂËÚ¿ÛıËÎÂ Ô Albert Einstein (1879-1955) Î·È ÂÌÓ‡ÛıËΠÙË °ÂÓÈ΋ £ÂˆÚ›· Ù˘ ™¯ÂÙÈÎfiÙËÙ·˜. O Riemann ‹Ù·Ó ·˘Ùfi˜ Ô˘ ¤ıÂÛ ÙË ÁÓˆÛÙ‹ ˘fiıÂÛË Ô˘ ʤÚÂÈ ÙÔ fiÓÔÌ¿ ÙÔ˘, ÁÈ· ÙȘ ı¤ÛÂȘ ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ Ù˘ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜ ˙‹Ù·. O Riemann ηٷÁfiÙ·Ó ·fi ÊÙˆ¯‹ ÔÈÎÔÁ¤ÓÂÈ·. OÈ ÛÙÂÚ‹ÛÂȘ ÛÙË ·È‰È΋ ËÏÈΛ· ÙÔ˘ ›¯·Ó ˆ˜ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· Ó· ·ÔÎÙ‹ÛÂÈ ·ÛıÂÓÈ΋ ÎÚ¿ÛË. Afi ÌÈÎÚfi˜ ¤‰ÂÈÍ ÂӉȷʤÚÔÓ Î·È È‰È·›ÙÂÚË ÎÏ›ÛË ÚÔ˜ Ù· M·ıËÌ·ÙÈο, ·Ê‹ÓÔÓÙ·˜ ¤ÎÏËÎÙÔ˘˜ ÙÔ˘˜ ‰·ÛοÏÔ˘˜ ÙÔ˘. ¶ÚÔ˜ ÂÈı˘Ì›· ÙÔ˘ ·Ù¤Ú· ÙÔ˘, Ô ÔÔ›Ô˜ ‹Ù·Ó ÈÂÚ¤·˜ ÙˆÓ ¢È·Ì·ÚÙ˘ÚÔÌ¤ÓˆÓ XÚÈÛÙÈ·ÓÒÓ, Ô Riemann ÂÈÛ‹Ïı ÛÙÔ ¶·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ ÙÔ˘ Göttingen ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1846 Ì ÛÎÔfi Ó· ÛÔ˘‰¿ÛÂÈ £ÂÔÏÔÁ›· Î·È ºÈÏÔÛÔÊ›·. ⁄ÛÙÂÚ· ·fi ¤Ó· ¤ÙÔ˜ ÛÔ˘‰ÒÓ, Ô Riemann ÂÛÙÚ¿ÊË ÛÙË ÛÔ˘‰‹ ÙˆÓ M·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ, Ï·Ì‚¿ÓÔÓÙ·˜ ÚÒÙ· ÙËÓ ¿‰ÂÈ· ÙÔ˘ ·Ù¤Ú· ÙÔ˘. ŒÊ˘Á ÁÈ· ÙÔ BÂÚÔÏ›ÓÔ, fiÔ˘ ÊÔ›ÙËÛ ÛÙÔ ÙÔÈÎfi ·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ ˘fi ÙÔ˘˜ Gustav Peter Lejeune Dirichlet (1805-1859), Jacob Steiner (1796-1863), Carl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851) Î·È Ferdinand Gotthold Max Eisenstein (1823-1852). O Riemann ¤ÛÙÚ„ ÛÙÔ Göttingen ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1849 ÁÈ· Ó· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÈ ÙȘ ÛÔ˘‰¤˜ ÙÔ˘ Î·È Ó· ÂÙÔÈÌ¿ÛÂÈ ÙË ‰È‰·ÎÙÔÚÈ΋ ÙÔ˘ ‰È·ÙÚÈ‚‹. TÔ ¤ÙÔ˜ 1851 Ô Riemann ˘¤‚·Ï ÙËÓ ‰È‰·ÎÙÔÚÈ΋ ÙÔ˘ ‰È·ÙÚÈ‚‹ ÚÔ˜ ÎÚ›ÛË ÛÙÔÓ Carl Friedrich Gauss (17771855), Ô ÔÔ›Ô˜ Î·È ÂÓıÔ˘ÛÈ¿ÛÙËÎÂ, ÁÂÁÔÓfi˜ Û¿ÓÈÔ ÁÈ· ·˘ÙfiÓ. TÚ›· ¤ÙË ÌÂÙ¿, Ô Riemann ‰ÈÔÚ›ÛıËΠ̛۠· ¿ÌÈÛıË ı¤ÛË ˘ÊËÁËÙ‹ ÛÙÔ Göttingen, ‡ÛÙÂÚ· ·fi ¤ÓıÂÚÌË ÚfiÙ·ÛË ÙÔ˘ Gauss. ŸÙ·Ó ¤ı·ÓÂ Ô Gauss ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1855, ÙÔÓ ‰È·‰¤¯ıËÎÂ Ô Dirichlet Î·È ÙÔ ¶·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ ÙÔ˘ Göttingen ÂÓ¤ÎÚÈÓ ̛· ÂÙ‹ÛÈ· ÂȯÔÚ‹ÁËÛË ÛÙÔÓ Riemann. H ÎÔÈ·ÛÙÈ΋ ÂÚÁ·Û›·, Û˘Ó‰˘·Ṳ̂ÓË Ì ÙËÓ Î·Î‹ ˘Á›·, Ô‰‹ÁËÛ ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1856 ÙÔÓ Riemann Û ηٿÚÚ¢ÛË. TÔ ÂfiÌÂÓÔ ¤ÙÔ˜ Ô Riemann ¤ÁÈÓ ›ÎÔ˘ÚÔ˜ ηıËÁËÙ‹˜ ÛÙÔ Göttingen Î·È ‰‡Ô ¤ÙË ·ÚÁfiÙÂÚ· ‰È·‰¤¯ıËΠÙÔÓ Dirichlet ÛÙË ı¤ÛË ÙÔ˘ Ù·ÎÙÈÎÔ‡ ηıËÁËÙ‹, ‡ÛÙÂÚ· ·fi ÙÔÓ ı¿Ó·ÙÔ ÙÔ˘ ÙÂÏÂ˘Ù·›Ô˘. TÔ ¤ÙÔ˜ 1862 Ô Riemann ·ÓÙÚ‡ÙËÎÂ Î·È ÙÔÓ ›‰ÈÔ ¯ÚfiÓÔ ÚÔÛ‚ϋıË ·fi Ê˘Ì·Ù›ˆÛË. °È· Ó· ·Ó·ÚÚÒÛÂÈ, ‹Á ÛÙËÓ IÙ·Ï›·. EΛ ÁÓÒÚÈÛ ÔÚÈṲ̂ÓÔ˘˜ ·fi ÙÔ˘˜ ÛÔ˘‰·›Ô˘˜ IÙ·ÏÔ‡˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎÔ‡˜ Ù˘ ÂÔ¯‹˜. TÔ˘ ÚÔÛÂʤÚıË Ì›· ¤‰Ú· ÛÙÔ ¶·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ Ù˘ Pisa, ÙËÓ ÔÔ›· ·ÚÓ‹ıËÎÂ. E¤ÛÙÚ„ ۇÓÙÔÌ· ÛÙË °ÂÚÌ·Ó›·, ·ÏÏ¿ ·ÚÚÒÛÙËÛ ͷӿ Î·È ‹Á ¿ÏÈ ÛÙËÓ IÙ·Ï›· ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1863, fiÔ˘ Î·È ÁÂÓÓ‹ıËÎÂ Ë ÎfiÚË ÙÔ˘. ŒÎ·Ó ·ÎfiÌË Ì›· ÊÔÚ¿ ÙÔ Ù·Í›‰È ÌÂٷ͇ IÙ·Ï›·˜ Î·È °ÂÚÌ·Ó›·˜, Î·È ÙÂÏÈο ¤ÛÙÚ„ ÛÙËÓ IÙ·Ï›·, fiÔ˘ Î·È ¿ÊËÛ ÙËÓ ÙÂÏÂ˘Ù·›· ÙÔ˘ ÓÔ‹ ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1866. TÈÌÒÓÙ·˜ ÙËÓ ıÂÔÛ¤‚ÂÈ· ÙÔ˘ Riemann, ÔÈ IÙ·ÏÔ› Ê›ÏÔÈ ÙÔ˘ ·Ó¤ÁÂÈÚ·Ó Ì›· ÂÈه̂ȷ ÛÙ‹ÏË Ì ÙËÓ ÂÍ‹˜ ÂÈÁÚ·Ê‹: «ŸÏ· Ù· Ú¿ÁÌ·Ù· Û˘ÓÂÚÁÔ‡Ó ÚÔ˜ ÙÔ Î·Ïfi ÁÈ· ÂΛÓÔ˘˜ Ô˘ ·Á·Ô‡Ó ÙÔÓ £Âfi».
AKO§OY£IE™ KAI ™EIPE™ 119
Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÌË ·Ôχو˜. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ −∞ ≤ α ≤ β ≤ +∞. ∞ TfiÙÂ, ˘¿Ú¯ÂÈ Ì›· ·Ó·‰È¿Ù·ÍË n=1 an Ì ·ÎÔÏÔ˘ı›· ÌÂÚÈÎÒÓ ·ıÚÔÈ ÛÌ¿ÙˆÓ ÙËÓ sn (n = 1, 2, 3, . . . ) Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ lim inf sn = α, n→∞
lim sup sn = β.
(24)
n→∞
Afi‰ÂÈÍË. £¤ÙÔ˘Ì pn =
|an | + an , 2
qn =
|an | − an 2
(n = 1, 2, 3, . . . ).
TfiÙÂ, pn − qn = an , pn + qn = |an |, pn ≥ 0, qn ≥ 0, ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË n. OÈ ∞ ÛÂÈÚ¤˜ ∞ n=1 pn Î·È n=1 qn Ú¤ÂÈ Ó· ·ÔÎÏ›ÓÔ˘Ó Î·È ÔÈ ‰‡Ô. E¿Ó Û˘Ó¤ÎÏÈÓ·Ó Î·È ÔÈ ‰‡Ô, ÙfiÙÂ Î·È Ë ∞ ∞ ( pn + q n ) = |an | n=1
n=1
ı· Û˘Ó¤ÎÏÈÓÂ, ÁÂÁÔÓfi˜ Ô˘ ·ÓÙÈ‚·›ÓÂÈ ÛÙËÓ ˘fiıÂÛË. EÊfiÛÔÓ N n=1
an =
N N N ( pn − q n ) = pn − qn n=1
n=1
(N = 1, 2, 3, . . . ),
n=1
∞ ·fiÎÏÈÛË Ù˘ ∞ n=1 pn Î·È Û‡ÁÎÏÈÛË Ù˘ n=1 qn (Î·È ·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜) Û˘ÓÂ∞ ¿ÁÂÙ·È ·fiÎÏÈÛË Ù˘ n=1 an , ÁÂÁÔÓfi˜ Ô˘ ·ÓÙÈ‚·›ÓÂÈ ÛÙËÓ ˘fiıÂÛË. ∞ A˜ Â›Ó·È ÙÒÚ· P1 , P2 , P3 , . . . ÔÈ ÌË ·ÚÓËÙÈÎÔ› fiÚÔÈ Ù˘ n=1 an , Ì ÙË ÛÂÈÚ¿ Ô˘ ÂÌÊ·Ó›˙ÔÓÙ·È, Î·È Q 1 , Q 2 , Q 3 , . . . ÔÈ ·fiÏ˘Ù˜ ÙÈ̤˜ ÙˆÓ ·ÚÓËÙÈÎÒÓ fiÚˆÓ Ù˘ ∞ n=1 an , ›Û˘ Ì ÙË ÛÂÈÚ¿ Ô˘ ÂÌÊ·Ó›˙ÔÓÙ·È. ∞ ∞ OÈ ÛÂÈÚ¤˜ n=1 Pn , ∞ n=1 Q n ‰È·Ê¤ÚÔ˘Ó ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜ ·fi ÙȘ n=1 pn , ∞ n=1 qn ÌfiÓÔÓ Î·Ù¿ ÌˉÂÓÈÎÔ‡˜ fiÚÔ˘˜ Î·È Û˘ÓÂÒ˜ Â›Ó·È ·ÔÎÏ›ÓÔ˘Û˜. £· ηٷÛ΢¿ÛÔ˘Ì ·ÎÔÏÔ˘ı›Â˜ ıÂÙÈÎÒÓ ·ÎÂÚ·›ˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ {m n }, {kn } (n = 1, 2, 3, . . . ) Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙÂ Ë ÛÂÈÚ¿ P1 + · · · + Pm 1 − Q 1 − · · · − Q k1 + +Pm 1 +1 + · · · + Pm 2 − Q k1 +1 − · · · − Q k2 + · · · ,
(25)
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∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
Ë ÔÔ›· Â›Ó·È ÚÔÊ·ÓÒ˜ ·Ó·‰È¿Ù·ÍË Ù˘ ∞ n=1 an , Ó· ÈηÓÔÔÈ› ÙËÓ (24). EÈϤÁÔ˘Ì ·ÎÔÏÔ˘ı›Â˜ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ {αn }, {βn } (n = 1, 2, 3, . . . ) Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ αn → α, βn → β ηıÒ˜ n → ∞, Ì αn < βn ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË n Î·È β1 > 0. A˜ Â›Ó·È m 1 , k1 ÔÈ ÌÈÎÚfiÙÂÚÔÈ ıÂÙÈÎÔ› ·Î¤Ú·ÈÔÈ ·ÚÈıÌÔ› Ì P1 + · · · + Pm 1 > β1 , P1 + · · · + Pm 1 − Q 1 − · · · − Q k1 < α1 . A˜ Â›Ó·È m 2 , k2 ÔÈ ÌÈÎÚfiÙÂÚÔÈ ıÂÙÈÎÔ› ·Î¤Ú·ÈÔÈ ·ÚÈıÌÔ› Ì P1 + · · · + Pm 1 − Q 1 − · · · − Q k1 + Pm 1 +1 + · · · + Pm 2 > β2 , P1 + · · · + Pm 1 − Q 1 − · · · − Q k1 +Pm 1 +1 + · · · + Pm 2 − Q k1 +1 − · · · − Q k2 < α2 . ™˘Ó¯›˙Ô˘Ì Ì ·˘ÙfiÓ ÙÔÓ ÙÚfiÔ. A˘Ùfi Â›Ó·È ‰˘Ó·Ùfi ‰ÈfiÙÈ ÔÈ ÛÂÈÚ¤˜ ∞ n=1 Pn ∞ Î·È n=1 Q n ·ÔÎÏ›ÓÔ˘Ó. E¿Ó xn , yn Â›Ó·È Ù· n ٿ͈˜ ÌÂÚÈο ·ıÚÔ›ÛÌ·Ù· Ù˘ (25), ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ ÔÈ ÙÂÏÈÎÔ› fiÚÔÈ Â›Ó·È ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜ ÔÈ Pm n , −Q kn , ÙfiÙ |xn − βn | ≤ Pm n ,
|yn − αn | ≤ Q kn
ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË n. EÊfiÛÔÓ Pn → 0, Q n → 0 ηıÒ˜ n → ∞, ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì fiÙÈ xn → β, yn → α ηıÒ˜ n → ∞. K·Ù·Ï‹ÁÔÓÙ·˜, Â›Ó·È Û·Ê¤˜ fiÙÈ ‰ÂÓ ˘¿Ú¯ÂÈ ·ÚÈıÌfi˜ ÌÂٷ͇ ÙˆÓ α Î·È β Ô ÔÔ›Ô˜ Ó· Â›Ó·È ˘·ÎÔÏÔ˘ıÈ·Îfi fiÚÈÔ ÙˆÓ ÌÂÚÈÎÒÓ ·ıÚÔÈÛÌ¿ÙˆÓ Ù˘ (25). ∞ £ÂÒÚËÌ· 3.55. E¿Ó n=1 an Â›Ó·È ÛÂÈÚ¿ ÌÈÁ·‰ÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ Ë ÔÔ›· ∞ Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ·Ôχو˜, ÙfiÙ οı ·Ó·‰È¿Ù·ÍË Ù˘ n=1 an Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÚÔ˜ ÙÔ ·Ú¯ÈÎfi ¿ıÚÔÈÛÌ·. Afi‰ÂÈÍË. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ sn Â›Ó·È ÙÔ n ٿ͈˜ ÌÂÚÈÎfi ¿ıÚÔÈÛÌ· Ù˘ ∞ ∞ n=1 an . A˜ Â›Ó·È n=1 an Ì›· ·Ó·‰È¿Ù·ÍË Ì ÌÂÚÈÎfi ¿ıÚÔÈÛÌ· n ٿ͈˜ ÙÔ sn . °È· ε > 0 ˘¿Ú¯ÂÈ ·Î¤Ú·ÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ N Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙÂ Â¿Ó m ≥ n ≥ N , ÙfiÙ m i=n
|ai | ≤ ε.
(26)
AKO§OY£IE™ KAI ™EIPE™ 121
£ÂˆÚԇ̠¤Ó·Ó ·Î¤Ú·ÈÔ ·ÚÈıÌfi p Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ ÔÈ ·Î¤Ú·ÈÔÈ ·ÚÈıÌÔ› 1, 2, . . . , N Ó· ÂÚȤ¯ÔÓÙ·È ÛÙÔ˘˜ k1 , k2 , . . . , k p (Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌfi ÙÔ˘ OÚÈÛÌÔ‡ 3.52). TfiÙÂ, Â¿Ó n > p, ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› a1 , . . . , a N ı· ·Ó·ÈÚÔ‡ÓÙ·È ÛÙË ‰È·ÊÔÚ¿ sn − sn Î·È ÂÔ̤ӈ˜ |sn − sn | ≤ ε, ÏfiÁˆ Ù˘ (26). ™˘ÓÂÒ˜, Ë {sn } (n = 1, 2, 3, . . . ) Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÚÔ˜ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· Ù˘ {sn } (n = 1, 2, 3, . . . ) ηıÒ˜ n → ∞.
A™KH™EI™ ÕÛÎËÛË 1. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ Ë Û‡ÁÎÏÈÛË Ù˘ {sn } (n = 1, 2, 3, . . . ) Û˘Ó¿ÁÂÙ·È ÙË Û‡ÁÎÏÈÛË Ù˘ {|sn |} (n = 1, 2, 3, . . . ). AÏËı‡ÂÈ ÙÔ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ; √ ÕÛÎËÛË 2. YÔÏÔÁ›ÛÙ ÙÔ limn→∞ ( n 2 + n − n). √ 2 Î·È √ sn+1 = 2 + sn
ÕÛÎËÛË 3. E¿Ó s1 =
(n = 1, 2, 3, . . . ),
ÙfiÙ ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ Ë {sn } (n = 1, 2, 3, . . . ) Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ Î·È fiÙÈ sn < 2 ÁÈ· n = 1, 2, 3, . . . . ÕÛÎËÛË 4. YÔÏÔÁ›ÛÙ ٷ ·ÓÒÙÂÚ· Î·È Î·ÙÒÙÂÚ· fiÚÈ· Ù˘ ·ÎÔÏÔ˘ı›·˜ {sn } (n = 1, 2, 3, . . . ), Ë ÔÔ›· ÔÚ›˙ÂÙ·È ·fi ÙȘ Û¯¤ÛÂȘ s1 = 0,
s2m =
s2m−1 , 2
s2m+1 =
1 + s2m 2
(m = 1, 2, 3, . . . ).
ÕÛÎËÛË 5. °È· ‰‡Ô ÔÔÈÂÛ‰‹ÔÙ ·ÎÔÏÔ˘ı›Â˜ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ {an }, {bn } (n = 1, 2, 3, . . . ) ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ lim sup(an + bn ) ≤ lim sup an + lim sup bn , n→∞
n→∞
n→∞
Ì ‰Â‰Ô̤ÓÔ fiÙÈ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÛÙË ‰ÂÍÈ¿ ÏÂ˘Ú¿ ‰ÂÓ Â›Ó·È Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ ∞ − ∞.
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∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
ÕÛÎËÛË 6. ¢ÈÂÚ¢ӋÛÙ ÙË Û˘ÌÂÚÈÊÔÚ¿ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙË Û‡ÁÎÏÈÛË ‹ ·fiÎÏÈÛË Ù˘ ÛÂÈÚ¿˜ ∞ an , Â¿Ó √n=1 √ (·) an = √n + 1 − √n, (‚) an = n + n1 − n , √ (Á) an = ( n n − 1)n , (‰) an = 1 n , fiÔ˘ z Â›Ó·È Î·Ù¿ÏÏËÏÔ˜ ÌÈÁ·‰ÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ 1+z Ó· ÔÚ›˙ÂÙ·È Ë ·Ú¿ÛÙ·ÛË. ÕÛÎËÛË 7. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ Ë Û‡ÁÎÏÈÛË Ù˘ Ù˘ ∞ √ an n n=1
∞
n=1 an
Û˘Ó¿ÁÂÙ·È ÙË Û‡ÁÎÏÈÛË
fiÙ·Ó an ≥ 0 ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË n. ∞ ÕÛÎËÛË 8. E¿Ó Ë n=1 an Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ Î·È Ë {bn } (n = 1, 2, 3, . . . ) Â›Ó·È ÊÚ·Á̤ÓË, ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ Ë ∞ n=1 an bn Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ. ÕÛÎËÛË 9. YÔÏÔÁ›ÛÙ ÙËÓ ·ÎÙ›Ó· Û˘ÁÎϛۈ˜ οı ̛·˜ ·fi ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÛÂÈÚ¤˜: 3 n (·) ∞ n=0 n z . (‚)
∞ 2n n n=0 n! z .
(Á)
∞ 2n n n=1 2 z . n
(‰)
∞ n 3 n n=0 3n z .
n ÕÛÎËÛË 10. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ ÔÈ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ¤˜ Ù˘ ‰˘Ó·ÌÔÛÂÈÚ¿˜ ∞ n=0 an z Â›Ó·È ·Î¤Ú·ÈÔÈ ·ÚÈıÌÔ›, ·fi ÙÔ˘˜ ÔÔ›Ô˘˜ ¿ÂÈÚÔÈ ÛÙÔ Ï‹ıÔ˜ Â›Ó·È ‰È¿ÊÔÚÔÈ ·fi ÙÔ 0. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ Ë ·ÎÙ›Ó· Û˘ÁÎϛۈ˜ Ù˘ ‰˘Ó·ÌÔÛÂÈÚ¿˜ Â›Ó·È ÙÔ Ôχ ›ÛË Ì 1.
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ÕÛÎËÛË 11. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ an > 0 Î·È sn = a1 + . . . + an ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË n Î·È fiÙÈ Ë ∞ n=1 an ·ÔÎÏ›ÓÂÈ. an (·) Aԉ›ÍÙ fiÙÈ Ë ∞ n=1 1 + a ·ÔÎÏ›ÓÂÈ. n (‚) Aԉ›ÍÙ fiÙÈ a N +1 a N +k sN + ··· + ≥1− s N +1 s N +k s N +k ÁÈ· ÔÔÈÔ˘Û‰‹ÔÙ ıÂÙÈÎÔ‡˜ ·ÎÂÚ·›Ô˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ N Î·È k Î·È Û˘ÌÂÚ¿ÓÂÙ an fiÙÈ Ë ∞ n=1 sn ·ÔÎÏ›ÓÂÈ. (Á) Aԉ›ÍÙ fiÙÈ an 1 1 ≤ − 2 sn sn−1 sn an ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË n Î·È Û˘ÌÂÚ¿ÓÂÙ fiÙÈ Ë ∞ n=1 2 Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ. sn (‰) TÈ ÌÔÚ› Ó· ÂȈı› ÁÈ· ÙȘ ÛÂÈÚ¤˜ ∞ n=1
∞ an an Î·È ; 1 + nan 1 + n 2 an n=1
ÕÛÎËÛË 12. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ an > 0 (n = 1, 2, 3, . . . ) Î·È fiÙÈ Ë Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ. £¤ÙÔ˘Ì rn =
∞
am
∞
n=1 an
(n = 1, 2, 3, . . . ).
m=n
(·) Aԉ›ÍÙ fiÙÈ am an rn + ··· + >1− , rm rn rm ÁÈ· ÔÔÈÔ˘Û‰‹ÔÙ ‰Â›ÎÙ˜ m, n Ì m < n Î·È Û˘ÌÂÚ¿ÓÂÙ fiÙÈ Ë ·ÔÎÏ›ÓÂÈ. (‚) Aԉ›ÍÙ fiÙÈ √ an √ √ < 2( rn − rn+1 ), rn √an Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ. ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË n Î·È Û˘ÌÂÚ¿ÓÂÙ fiÙÈ Ë ∞ n=1 rn
∞ an n=1 rn
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ÕÛÎËÛË 13. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ ÙÔ Î·Ù¿ Cauchy ÁÈÓfiÌÂÓÔ ‰‡Ô ·Ôχو˜ Û˘ÁÎÏÈÓÔ˘ÛÒÓ ÛÂÈÚÒÓ Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ·Ôχو˜. ÕÛÎËÛË 14. E¿Ó {sn } (n = 0, 1, 2, . . . ) Â›Ó·È Ì›· ·ÎÔÏÔ˘ı›· ÌÈÁ·‰ÈÎÒÓ fiÚˆÓ, ÙfiÙ ÔÚ›˙Ô˘Ì ÙÔÓ ·ÚÈıÌËÙÈÎfi ̤ÛÔ Ù˘, σn (n = 0, 1, 2, . . . ), ·fi ÙË Û¯¤ÛË σn =
s0 + s1 + · · · + sn , n+1
(n = 0, 1, 2, . . . ).
(·) E¿Ó limn→∞ sn = s, ÙfiÙ ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ limn→∞ σn = s. (‚) K·Ù·Û΢¿ÛÙ ̛· ·ÔÎÏ›ÓÔ˘Û· ·ÎÔÏÔ˘ı›· {sn } (n = 0, 1, 2, . . . ) ÁÈ· ÙËÓ ÔÔ›· Ó· ÈÛ¯‡ÂÈ limn→∞ σn = 0. (Á) E›Ó·È ‰˘Ó·Ùfi Ó· Û˘Ì‚·›ÓÂÈ sn > 0 ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË n Î·È lim supn→∞ sn = ∞, ·Ú¿ ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ limn→∞ σn = 0; (‰) £¤ÙÔ˘Ì an = sn − sn−1 ÁÈ· n = 1, 2, 3, . . . . ¢Â›ÍÙ fiÙÈ n 1 kak s n − σn = n + 1 k=1
ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË n. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ limn→∞ (nan ) = 0 Î·È fiÙÈ Ë {σn } (n = 0, 1, 2, . . . ) Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ Ë {sn } (n = 0, 1, 2, . . . ) Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ. (A˘Ùfi ·Ú¤¯ÂÈ ¤Ó· ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ ÙÔ˘ (·), ˘fi ÙËÓ ÂÈÚfiÛıÂÙË ˘fiıÂÛË nan → 0 ηıÒ˜ n → ∞.) (Â) Aԉ›ÍÙ ÙÔ ÙÂÏÂ˘Ù·›Ô Û˘Ì¤Ú·ÛÌ· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ Ì›· ·ÛıÂÓ¤ÛÙÂÚË ˘fiıÂÛË: YÔı¤ÛÙ fiÙÈ M Â›Ó·È ¤Ó·˜ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ Ì |nan | ≤ M ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË n, Î·È fiÙÈ limn→∞ σn = σ . ™Â ·˘Ù‹Ó ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË, ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ limn→∞ sn = σ , Û˘ÌÏËÚÒÓÔÓÙ·˜ ÙÔ ·ÎfiÏÔ˘ıÔ ·Ô‰ÂÈÎÙÈÎfi ۯ‰ȿÁÚ·ÌÌ·: E¿Ó m < n, ÙfiÙ s n − σn =
n m+1 1 (sn − si ). (σn − σm ) + n−m n − m i=m+1
°È· ‰Â›ÎÙË i Ì i ≥ m, |sn − si | ≤
(n − i)M (n − m − 1)M ≤ . i +1 m+2
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£ÂˆÚ‹ÛÙ ε > 0 Î·È ·ÓÙÈÛÙÔȯ›ÛÙ Û οı ·Î¤Ú·ÈÔ ·ÚÈıÌfi n ÙÔÓ ·Î¤Ú·ÈÔ ·ÚÈıÌfi m Ô˘ ÈηÓÔÔÈ› ÙËÓ m≤
n−ε < m + 1. 1+ε
TfiÙÂ, (m + 1)/(n − m) ≤ 1/ε Î·È |sn − si | < Mε. ™˘ÓÂÒ˜, lim sup |sn − σ | ≤ Mε. n→∞
EÊfiÛÔÓ Ô ε Â›Ó·È Ù˘¯ÒÓ ıÂÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜, limn→∞ sn = σ . ÕÛÎËÛË 15. O OÚÈÛÌfi˜ 3.21 ÌÔÚ› Ó· ÂÂÎÙ·ı› ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË fiÔ˘ Ë ·ÎÔÏÔ˘ı›· {an } (n = 1, 2, 3, . . . ) ‚Ú›ÛÎÂÙ·È Û οÔÈÔÓ E˘ÎÏ›‰ÂÈÔ ¯ÒÚÔ ∞ R k . H ·fiÏ˘ÙË Û‡ÁÎÏÈÛË ÔÚ›˙ÂÙ·È ˆ˜ Û‡ÁÎÏÈÛË Ù˘ n=1 |·n |. ¢Â›ÍÙ fiÙÈ Ù· £ÂˆÚ‹Ì·Ù· 3.22, 3.23, 3.25(·), 3.33, 3.34, 3.42, 3.45, 3.47 Î·È 3.55 ·Ú·Ì¤ÓÔ˘Ó ·ÏËı‹ Û ·˘Ùfi ÙÔ ÁÂÓÈÎfiÙÂÚÔ Ï·›ÛÈÔ. (A·ÈÙÔ‡ÓÙ·È ÌfiÓÔÓ ÂÏ·ÊÚ¤˜ ÙÚÔÔÔÈ‹ÛÂȘ ÛÙȘ ·Ô‰Â›ÍÂȘ.) ÕÛÎËÛË 16. £ÂˆÚԇ̠¤Ó· ıÂÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi α. EÈϤÁÔ˘Ì x1 > ÔÚ›˙Ô˘Ì ÙÔ˘˜ x2 , x3 , x4 , . . . ̤ۈ Ù˘ ·Ó·‰ÚÔÌÈ΋˜ Û¯¤Ûˆ˜ 1 α xn + (n = 1, 2, 3, . . . ). xn+1 = 2 xn
√
α ηÈ
(·) Aԉ›ÍÙ fiÙÈ Ë {xn } (n = 1, 2, 3, . . . ) Â›Ó·È Êı›ÓÔ˘Û· Î·È fiÙÈ √ limn→∞ xn = α. √ (‚) £¤ÙÔ˘Ì εn = xn − α (n = 1, 2, 3, . . . ). Aԉ›ÍÙ fiÙÈ εn+1 =
εn2 ε2 < √n 2xn 2 α
√ ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË n Î·È ÂÔ̤ӈ˜, ı¤ÙÔÓÙ·˜ β = 2 α, εn+1 < β
ε1 β
2n (n = 1, 2, 3, . . . ).
(Á) TÔ ·Ú·¿Óˆ ·ÔÙÂÏ› ¤Ó·Ó ηÏfi ·ÏÁfiÚÈıÌÔ ÁÈ· ÙÔÓ ˘ÔÏÔÁÈÛÌfi ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈÎÒÓ ÚÈ˙ÒÓ, ÂÊfiÛÔÓ Ë ·Ó·‰ÚÔÌÈ΋ Û¯¤ÛË Â›Ó·È ·Ï‹ Î·È Ë Û‡ÁÎÏÈÛË
126
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
ÂÍ·ÈÚÂÙÈο Ù·¯Â›·. E› ·Ú·‰Â›ÁÌ·ÙÈ, Â¿Ó α = 3 Î·È x1 = 2, ÙfiÙ ‰Â›ÍÙ fiÙÈ ε1 /β < 1/10 Î·È ÂÔ̤ӈ˜ ε5 < 4 · 10−16 ,
ε6 < 4 · 10−32 .
ÕÛÎËÛË 17. £ÂˆÚԇ̠α > 1. EÈϤÁÔ˘Ì x1 > xn+1 =
α + xn α − xn2 = xn + 1 + xn 1 + xn
√ α Î·È ÔÚ›˙Ô˘ÌÂ
(n = 1, 2, 3, . . . ).
(·) Aԉ›ÍÙ fiÙÈ x1 > x3 > x5 > · · · . (‚) Aԉ›ÍÙ fiÙÈ x2 < x4 < x6 < · · · . √ (Á) Aԉ›ÍÙ fiÙÈ limn→∞ xn = α. (‰) ™˘ÁÎÚ›ÓÂÙ ÙËÓ Ù·¯‡ÙËÙ· Û˘ÁÎϛۈ˜ ·˘Ù‹˜ Ù˘ ÌÂıfi‰Ô˘ Ì ·˘Ù‹Ó Ô˘ ÂÚÈÁÚ¿ÊÂÙ·È ÛÙËÓ ÕÛÎËÛË 16. ÕÛÎËÛË 18. AÓÙÈηٷÛÙ‹ÛÙ ÙËÓ ·Ó·‰ÚÔÌÈ΋ Û¯¤ÛË ÛÙËÓ ÕÛÎËÛË 16 Ì ÙËÓ xn+1 =
p−1 α xn + xn− p+1 p p
(n = 1, 2, 3, . . . ),
fiÔ˘ p Â›Ó·È ÛÙ·ıÂÚfi˜ ıÂÙÈÎfi˜ ·Î¤Ú·ÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜, Î·È ÂÚÈÁÚ¿„Ù ÙË Û˘ÌÂÚÈÊÔÚ¿ Ù˘ ÚÔ·ÙÔ˘Û·˜ ·ÎÔÏÔ˘ı›·˜ {xn } (n = 1, 2, 3, . . . ). ÕÛÎËÛË 19. ™Â οı ·ÎÔÏÔ˘ı›· a = {αn } (n = 1, 2, 3, . . . ), fiÔ˘ οı αn ÈÛÔ‡Ù·È Ì 0 ‹ 2, ·ÓÙÈÛÙÔȯ›˙Ô˘Ì ÙÔÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi x(a) =
∞ αn n=1
3n
.
Aԉ›ÍÙ fiÙÈ ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ x(a) Â›Ó·È ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ Cantor Ô˘ ÂÚÈÁÚ¿ÊÂÙ·È ÛÙËÓ EÓfiÙËÙ· 2.44. ÕÛÎËÛË 20. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ { pn } (n = 1, 2, 3, . . . ) Â›Ó·È Ì›· ·ÎÔÏÔ˘ı›· Cauchy Û ¤Ó·Ó ÌÂÙÚÈÎfi ¯ÒÚÔ X Î·È fiÙÈ Î¿ÔÈ· ˘·ÎÔÏÔ˘ı›· Ù˘ { pni } (i = 1, 2, 3, . . . ) Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÚÔ˜ οÔÈÔ ÛËÌÂ›Ô p ∈ X . Aԉ›ÍÙ fiÙÈ Ë { pn } Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÚÔ˜ ÙÔ p.
AKO§OY£IE™ KAI ™EIPE™ 127
ÕÛÎËÛË 21. Aԉ›ÍÙ ÙÔ ·ÎfiÏÔ˘ıÔ ·Ó¿ÏÔÁÔ ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 3.10(‚): E¿Ó {E n } (n = 1, 2, 3, . . . ) Â›Ó·È Ì›· ·ÎÔÏÔ˘ı›· ÎÏÂÈÛÙÒÓ Î·È ÊÚ·ÁÌ¤ÓˆÓ Û˘ÓfiÏˆÓ Û ¤Ó·Ó Ï‹ÚË ÌÂÙÚÈÎfi ¯ÒÚÔ X , Â¿Ó E n+1 ⊂ E n ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË n Î·È Â¿Ó lim diamE n = 0,
n→∞
ÙfiÙÂ ÙÔ
∞
n=1
E n ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi ·ÎÚÈ‚Ò˜ ¤Ó· ÛËÌ›Ô.
ÕÛÎËÛË 22. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ X Â›Ó·È ¤Ó·˜ Ï‹Ú˘ ÌÂÙÚÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ Î·È fiÙÈ {G n } (n = 1, 2, 3, . . . ) Â›Ó·È Ì›· ·ÎÔÏÔ˘ı›· ˘ÎÓÒÓ Î·È ·ÓÔÈÎÙÒÓ ˘ÔÛ˘ ÓfiÏˆÓ ÙÔ˘ X . Aԉ›ÍÙ ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Baire ‰ËÏ·‰‹ fiÙÈ ÙÔ ∞ n=1 G n Â›Ó·È ÌË ÎÂÓfi. (™ÙËÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfiÙËÙ·, Â›Ó·È ˘ÎÓfi ÛÙÔÓ X .) Yfi‰ÂÈÍË: BÚ›Ù ̛· Û˘ÚÚÈÎÓÔ‡ÌÂÓË ·ÎÔÏÔ˘ı›· ÂÚÈÔ¯ÒÓ {E n } (n = 1, 2, 3, . . . ) Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ E n ⊂ G n ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË n Î·È ÂÊ·ÚÌfiÛÙ ÙËÓ ÕÛÎËÛË (21). ÕÛÎËÛË 23. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ { pn }, {qn } (n = 1, 2, 3, . . . ) Â›Ó·È ·ÎÔÏÔ˘ı›Â˜ Cauchy Û ¤Ó·Ó ÌÂÙÚÈÎfi ¯ÒÚÔ X . ¢Â›ÍÙ fiÙÈ Ë ·ÎÔÏÔ˘ı›· {d( pn , qn )} (n = 1, 2, 3, . . . ) Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ. Yfi‰ÂÈÍË: °È· ÔÔÈÔ˘Û‰‹ÔÙ ‰Â›ÎÙ˜ n, m ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ d( pn , qn ) ≤ d( pn , pm ) + d( pm , qm ) + d(qm , qn ). Afi ·˘Ùfi ¤ÂÙ·È fiÙÈ Ë ÔÛfiÙËÙ· |d( pn , qn ) − d( pm , qm )| Â›Ó·È Â·ÚÎÒ˜ ÌÈÎÚ‹, fiÙ·Ó ÔÈ n, m Â›Ó·È Â·ÚÎÒ˜ ÌÂÁ¿ÏÔÈ. ÕÛÎËÛË 24. A˜ Â›Ó·È X ¤Ó·˜ ÌÂÙÚÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜. (·) OÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ‰‡Ô ·ÎÔÏÔ˘ı›Â˜ Cauchy { pn }, {qn } (n = 1, 2, 3, . . . ) ÛÙÔÓ X ÈÛÔ‰‡Ó·Ì˜ Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó lim d( pn , qn ) = 0.
n→∞
128
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
Aԉ›ÍÙ fiÙÈ Ë Û¯¤ÛË ·˘Ù‹ ·ÔÙÂÏ› Û¯¤ÛË ÈÛÔ‰˘Ó·Ì›·˜. (‚) A˜ Â›Ó·È X ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÎÏ¿ÛÂˆÓ ÈÛÔ‰˘Ó·Ì›·˜6 Ù˘ ·Ú·¿Óˆ Û¯¤Ûˆ˜. E¿Ó P ∈ X , Q ∈ X Ì { pn } ∈ P, {qn } ∈ Q, ÙfiÙ ÔÚ›˙Ô˘Ì (P, Q) = lim d( pn , qn ). n→∞
™‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ ÕÛÎËÛË 23, ÙÔ fiÚÈÔ ˘¿Ú¯ÂÈ. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ Ô ·ÚÈıÌfi˜ (P, Q) ·Ú·Ì¤ÓÂÈ ·ÌÂÙ¿‚ÏËÙÔ˜ Â¿Ó ÔÈ { pn }, {qn } (n = 1, 2, 3, . . . ) ·ÓÙÈηٷÛÙ·ıÔ‡Ó ·fi ÈÛÔ‰‡Ó·Ì¤˜ ÙÔ˘˜ ·ÎÔÏÔ˘ı›Â˜ Î·È fiÙÈ Ë Â›Ó·È ÌÂÙÚÈ΋ ÛÙÔ X . (Á) Aԉ›ÍÙ fiÙÈ Ô ÚÔÎ‡ÙˆÓ ÌÂÙÚÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ X Â›Ó·È Ï‹Ú˘. (‰) °È· οı p ∈ X ˘¿Ú¯ÂÈ Ì›· ·ÎÔÏÔ˘ı›· Cauchy, Ù˘ ÔÔ›·˜ fiÏÔÈ ÔÈ fiÚÔÈ ÈÛÔ‡ÓÙ·È Ì p. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ Pp Â›Ó·È ÙÔ ÛÙÔÈ¯Â›Ô ÙÔ˘ X Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› Û ·˘Ù‹Ó ÙËÓ ·ÎÔÏÔ˘ı›·. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ (Pp , Pq ) = d( p, q) ÁÈ· οı p, q ∈ X . M ‰È·ÊÔÚÂÙÈ΋ ‰È·Ù‡ˆÛË, Ë ·ÂÈÎfiÓÈÛË ϕ Ô˘ ÔÚ›˙ÂÙ·È Ì¤Ûˆ Ù˘ Û¯¤Ûˆ˜ ϕ( p) = Pp ( p ∈ X ) Â›Ó·È ÈÛÔÌÂÙÚ›· (‰ËÏ·‰‹ ·ÂÈÎfiÓÈÛË Ô˘ ‰È·ÙËÚ› ÙȘ ·ÔÛÙ¿ÛÂȘ) ·fi ÙÔÓ X ÛÙÔÓ X . (Â) Aԉ›ÍÙ fiÙÈ ÙÔ ϕ(X ) Â›Ó·È ˘ÎÓfi ÛÙÔÓ X Î·È fiÙÈ ϕ(X ) = X Â¿Ó Ô X Â›Ó·È Ï‹Ú˘. ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔ (‰), ÌÔÚԇ̠ӷ Ù·˘Ù›ÛÔ˘Ì ÙÔ ϕ(X ) Ì ÙÔ X Î·È Ó· ıˆڋÛÔ˘Ì ÙÔÓ X ÂÓÙfi˜ ÙÔ˘ Ï‹ÚÔ˘˜ ÌÂÙÚÈÎÔ‡ ¯ÒÚÔ˘ X . OÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ÙÔÓ X Ï‹ÚˆÛË ÙÔ˘ X . ÕÛÎËÛË 25. A˜ Â›Ó·È X Ô ÌÂÙÚÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ ÙˆÓ ÚËÙÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ, Ì ÌÂÙÚÈ΋ ÙËÓ d(x, y) = |x − y| (x, y ∈ X ). ¶ÔÈ· Â›Ó·È Ë Ï‹ÚˆÛË ·˘ÙÔ‡ ÙÔ˘ ¯ÒÚÔ˘; (™˘ÁÎÚ›ÓÂÙ Ì ÙËÓ ÕÛÎËÛË 24.)
™. Ù. M.: A˜ Â›Ó·È ∼ Ì›· Û¯¤ÛË ÈÛÔ‰˘Ó·Ì›·˜ Û ¤Ó· Û‡ÓÔÏÔ E Î·È x ∈ E. TÔ Û‡ÓÔÏÔ C x fiÏˆÓ ÙˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ y ∈ E Ì y ∼ x ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÎÏ¿ÛË ÈÛÔ‰˘Ó·Ì›·˜ ÙÔ˘ x (ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ ∼). 6
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 4
™YNEXEIA
H ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜ ηıÒ˜ Î·È ÔÚÈṲ̂Ó˜ ·fi ÙȘ Û¯ÂÙÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ ·ÚÔ˘ÛÈ¿ÛÙËÎ·Ó ÛÙÔ˘˜ OÚÈÛÌÔ‡˜ 2.1 Î·È 2.2. AÓ Î·È ÛÙ· ÂfiÌÂÓ· ÎÂÊ¿Ï·È· ı· ·Û¯ÔÏËıԇ̠΢ڛˆ˜ Ì ڷÁÌ·ÙÈΤ˜ Î·È ÌÈÁ·‰ÈΤ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ (‰ËÏ·‰‹ ÌÂ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ Ô˘ Ï·Ì‚¿ÓÔ˘Ó ˆ˜ ÙÈ̤˜ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ‡˜ Î·È ÌÈÁ·‰ÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜), ı· ÂӉȷÊÂÚıԇ̠›Û˘ Î·È ÁÈ· ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈΤ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ (‰ËÏ·‰‹ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ Ô˘ Ï·Ì‚¿ÓÔ˘Ó ÙÈ̤˜ ÛÙÔÓ R k ) fiˆ˜ Î·È ÁÈ· Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ Ì ÙÈ̤˜ ÛÂ Ù˘¯fiÓÙ· ÌÂÙÚÈÎfi ¯ÒÚÔ. T· ıˆڋ̷ٷ Ù· ÔÔ›· ı· Ú·ÁÌ·Ù¢ıԇ̠۠·˘Ùfi ÙÔ ÁÂÓÈÎfi Ï·›ÛÈÔ ‰ÂÓ ·ÏÔÔÈÔ‡ÓÙ·È Â¿Ó ÂÚÈÔÚÈÛıÔ‡ÌÂ, ÁÈ· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, Û ڷÁÌ·ÙÈΤ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ. AÎfiÌË, Ë ‰È·Ù‡ˆÛË Î·È Ë ·fi‰ÂÈÍË ÙˆÓ ıˆÚËÌ¿ÙˆÓ ÛÙË ÁÂÓÈÎfiÙËÙ¿ ÙÔ˘˜ ‰È·ÊˆÙ›˙ÂÈ ÙËÓ ÂÈÎfiÓ· Ô˘ ¤¯Ô˘ÌÂ Î·È Ì·˜ ‰È¢ÎÔχÓÂÈ Ó· ·ÁÓÔ‹ÛÔ˘Ì ÂÈÚfiÛıÂÙ˜ ˘Ôı¤ÛÂȘ.
130
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
T· ‰›· ÔÚÈÛÌÔ‡ ÙˆÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ Ô˘ ÂÌÊ·Ó›˙ÔÓÙ·È ı· Â›Ó·È Â›Û˘ ÌÂÙÚÈÎÔ› ¯ÒÚÔÈ, ÂÈÏÂÁ̤ÓÔÈ Î·Ù·Ïϋψ˜ ÁÈ· ÙȘ ‰È¿ÊÔÚ˜ ÂÚÈÛÙ¿ÛÂȘ.
OPIA ™YNAPTH™EøN OÚÈÛÌfi˜ 4.1. £ÂˆÚԇ̠‰‡Ô ÌÂÙÚÈÎÔ‡˜ ¯ÒÚÔ˘˜ X, Y . YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ E ⊂ X , fiÙÈ Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË f ·ÂÈÎÔÓ›˙ÂÈ ÙÔ E ÛÙÔÓ Y Î·È fiÙÈ p Â›Ó·È ¤Ó· ÔÚÈ·Îfi ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ E. °Ú¿ÊÔ˘Ì f (x) → q ηıÒ˜ x → p ‹ ·ÏÏÈÒ˜ lim f (x) = q
x→ p
(1)
Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ˘¿Ú¯ÂÈ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô q ∈ Y Ì ÙËÓ ·ÎfiÏÔ˘ıË È‰ÈfiÙËÙ·: ÁÈ· οı ε > 0 ˘¿Ú¯ÂÈ δ > 0 Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ dY ( f (x), q) < ε
(2)
0 < d X (x, p) < δ.
(3)
ÁÈ· οı x ∈ E ÌÂ
(E‰Ò, Ì d X , dY Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì ÙȘ ÌÂÙÚÈΤ˜ ÙˆÓ X, Y ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜.) ™Â ·˘Ù‹Ó ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË, Ô q ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È fiÚÈÔ Ù˘ f ÛÙÔ p. E¿Ó Ô X ηÈ/‹ Ô Y Â›Ó·È Ë Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ ¢ı›·, ÙÔ ÌÈÁ·‰ÈÎfi Â›Â‰Ô ‹ οÔÈÔ˜ E˘ÎÏ›‰ÂÈÔ˜ ¯ÒÚÔ˜ R k , ÙfiÙ ÔÈ d X , dY Â›Ó·È Ê˘ÛÈο ÔÈ Î·Ù¿ÏÏËϘ ÌÂÙÚÈΤ˜ (·Ó·ÙÚ¤ÍÙ ÛÙËÓ EÓfiÙËÙ· 2.16). ¶Ú¤ÂÈ Ó· ‰Ôı› ¤ÌÊ·ÛË ÛÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ p ∈ X , ·ÏÏ¿ ÙÔ p ‰ÂÓ Â›Ó·È ··Ú·Èًو˜ ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ E. EÈϤÔÓ, ·ÎfiÌË Î·È ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË Ô˘ p ∈ E, ÌÔÚԇ̠οÏÏÈÛÙ· Ó· ¤¯Ô˘Ì f ( p) = limx→ p f (x). MÔÚԇ̠ӷ ·Ó·Û¯Â‰È¿ÛÔ˘Ì ÙÔÓ ·Ú·¿Óˆ ÔÚÈÛÌfi Ì ¯Ú‹ÛË ÔÚ›ˆÓ ·ÎÔÏÔ˘ıÈÒÓ: £ÂÒÚËÌ· 4.2. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ Ù· X, Y, E, f Î·È p ¤¯Ô˘Ó ÙÔ ›‰ÈÔ ÓfiËÌ· fiˆ˜ ÛÙÔÓ OÚÈÛÌfi 4.1. TfiÙÂ, lim f (x) = q
x→ p
(4)
™YNEXEIA 131
Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó lim f ( pn ) = q
(5)
n→∞
ÁÈ· οı ·ÎÔÏÔ˘ı›· { pn } (n = 1, 2, 3, . . . ) ÙÔ˘ E Ì pn = p
(n = 1, 2, 3, . . . ),
lim pn = p.
n→∞
(6)
Afi‰ÂÈÍË. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ Ë ÈÛ¯‡ÂÈ Ë (4). £ÂˆÚԇ̛̠· ·ÎÔÏÔ˘ı›· { pn } (n = 1, 2, 3, . . . ) ÙÔ˘ E, Ë ÔÔ›· ÈηÓÔÔÈ› ÙËÓ (6). A˜ Â›Ó·È ε > 0. TfiÙÂ, ˘¿Ú¯ÂÈ δ > 0 Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ dY ( f (x), q) < ε Â¿Ó x ∈ E Î·È 0 < d X (x, p) < δ. E›Û˘, ˘¿Ú¯ÂÈ ·Î¤Ú·ÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ N Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙÂ Â¿Ó n > N , ÙfiÙ 0 < d X ( pn , p) < δ. ™˘ÓÂÒ˜, ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË n Ì n > N ¤¯Ô˘Ì fiÙÈ dY ( f ( pn ), q) < ε, ÁÂÁÔÓfi˜ ÙÔ ÔÔ›Ô Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ ÈÛ¯‡ÂÈ Ë (5). AÓÙÈÛÙÚfiʈ˜, ˘Ôı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ Ë (4) Â›Ó·È „¢‰‹˜. TfiÙÂ, ˘¿Ú¯ÂÈ Î¿ÔÈÔ ε > 0 Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ ÁÈ· οı δ > 0 ˘¿Ú¯ÂÈ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô x ∈ E (ÙÔ Ôo›Ô ÂÍ·ÚÙ¿Ù·È ·fi ÙÔ δ), ÁÈ· ÙÔ ÔÔ›Ô ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ dY ( f (x), q) ≥ ε Î·È Â›Û˘ 0 < d X (x, p) < δ. §·Ì‚¿ÓÔÓÙ·˜ δn = 1/n (n = 1, 2, 3, . . . ), ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ̛· ·ÎÔÏÔ˘ı›· ÙÔ˘ E Ô˘ ÈηÓÔÔÈ› ÙËÓ (6) ·ÏÏ¿ fi¯È ÙËÓ (5). ¶fiÚÈÛÌ·. E¿Ó Ë f ¤¯ÂÈ fiÚÈÔ ÛÙÔ p, ÙfiÙ ·˘Ùfi Â›Ó·È ÌÔÓ·‰ÈÎfi. A˘Ùfi ¤ÂÙ·È ·fi Ù· £ÂˆÚ‹Ì·Ù· 3.2(‚) Î·È 4.2. OÚÈÛÌfi˜ 4.3. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ ¤¯Ô˘Ì ‰‡Ô ÌÈÁ·‰ÈΤ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ f, g, ÔÚÈṲ̂Ó˜ ÛÙÔ Û‡ÓÔÏÔ E. ø˜ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· f + g ÂÓÓÔԇ̠ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› ÛÙÔ x ∈ E ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi f (x) + g(x). M fiÌÔÈÔ ÙÚfiÔ ÔÚ›˙Ô˘Ì ÙË ‰È·ÊÔÚ¿ f − g, ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ f g Î·È ÙÔ ËÏ›ÎÔ f /g ÙˆÓ ‰‡Ô Û˘Ó·ÚÙ‹ÛˆÓ, ˘fi ÙËÓ ÚÔ¸fiıÂÛË fiÙÈ ÙÔ ËÏ›ÎÔ ÔÚ›˙ÂÙ·È ÌfiÓÔ ÛÙ· ÛËÌ›· x ÙÔ˘ E Ì g(x) = 0. H f ϤÁÂÙ·È ÛÙ·ıÂÚ‹ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ‹ ·Ï¿ ÛÙ·ıÂÚ‹ Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ·ÓÙÈÛÙÔȯ›˙ÂÈ Û οı ÛËÌÂ›Ô x ∈ E ÙÔÓ ›‰ÈÔ ·ÚÈıÌfi c. ™Â ·˘Ù‹Ó ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ÁÚ¿ÊÔ˘Ì f = c. E¿Ó ÔÈ f, g Â›Ó·È Ú·ÁÌ·ÙÈΤ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ, ÙfiÙ ÁÚ¿ÊÔ˘Ì f ≥ g Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó f (x) ≥ g(x) ÁÈ· οı x ∈ E. ¶·ÚÔÌÔ›ˆ˜, Â¿Ó ÔÈ f, g ·ÂÈÎÔÓ›˙Ô˘Ó ÙÔ E ÛÙÔÓ R k , ÙfiÙ ÔÚ›˙Ô˘Ì ÙȘ f + g Î·È f · g ̤ۈ ÙˆÓ Û¯¤ÛÂˆÓ (f + g)(x) = f(x) + g(x),
(f · g)(x) = f(x) · g(x)
(x ∈ E).
132
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
E¿Ó λ Â›Ó·È Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜, ÙfiÙ ÔÚ›˙Ô˘Ì ÙËÓ λf ̤ۈ Ù˘ Û¯¤Ûˆ˜ (λf)(x) = λf(x) (x ∈ E). £ÂÒÚËÌ· 4.4. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ X Â›Ó·È ¤Ó·˜ ÌÂÙÚÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜, fiÙÈ E ⊂ X , fiÙÈ p Â›Ó·È ¤Ó· ÔÚÈ·Îfi ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ E, fiÙÈ f, g Â›Ó·È ÌÈÁ·‰ÈΤ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ ÛÙÔÓ E Î·È fiÙÈ lim f (x) = A,
x→ p
lim g(x) = B.
x→ p
TfiÙÂ: (·) limx→ p ( f + g)(x) = A + B. (‚) limx→ p (f g)(x) = AB. f A Â¿Ó B = 0. (Á) limx→ p g (x) = B Afi‰ÂÈÍË. B¿ÛÂÈ ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 4.2, ÔÈ ÈÛ¯˘ÚÈÛÌÔ› ¤ÔÓÙ·È ·Ì¤Ûˆ˜ ·fi ÙȘ ·Ó¿ÏÔÁ˜ ȉÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ ·ÎÔÏÔ˘ıÈÒÓ (£ÂÒÚËÌ· 3.3). ¶·Ú·Ù‹ÚËÛË. E¿Ó ÔÈ f, g ·ÂÈÎÔÓ›˙Ô˘Ó ÙÔ E ÛÙÔÓ R k , ÙfiÙ ÙÔ (·) ·Ú·Ì¤ÓÂÈ ·ÏËı¤˜ Î·È ÙÔ (‚) ÌÂÙ·ÙÚ¤ÂÙ·È ÛÙÔ (‚') limx→ p (f · g)(x) = A · B. (™˘ÁÎÚ›ÓÂÙ Ì ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 3.4.)
™YNEXEI™ ™YNAPTH™EI™ OÚÈÛÌfi˜ 4.5. A˜ Â›Ó·È X, Y ÌÂÙÚÈÎÔ› ¯ÒÚÔÈ, E ⊂ X , p ∈ E Î·È f Ì›· Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ô˘ ·ÂÈÎÔÓ›˙ÂÈ ÙÔ E ÛÙÔÓ Y . H f ϤÁÂÙ·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ p Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ÁÈ· οı ε > 0 ˘¿Ú¯ÂÈ δ > 0 Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ dY ( f (x), f ( p)) < ε ÁÈ· οı x ∈ E Ì d X (x, p) < δ. H f ϤÁÂÙ·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ E Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ Û οı ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ E.
™YNEXEIA 133
A˜ ÛËÌÂȈı› fiÙÈ Ë ÁÈ· Ó· Â›Ó·È Ë f Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ p, Ú¤ÂÈ ÚÒÙ· Ó· ÔÚ›˙ÂÙ·È ÛÙÔ p. (™˘ÁÎÚ›ÓÂÙ ·˘Ùfi ÙÔ Û¯fiÏÈÔ Ì ÙËÓ ·Ú·Ù‹ÚËÛË ¤ÂÈÙ· ·fi ÙÔÓ OÚÈÛÌfi 4.1.) E¿Ó ÙÔ p Â›Ó·È ÌÂÌÔӈ̤ÓÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ E, ÙfiÙ ·fi ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi ¤ÂÙ·È fiÙÈ Î¿ıÂ Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ì ‰›Ô ÔÚÈÛÌÔ‡ ÙÔ E (Ô˘ Ï·Ì‚¿ÓÂÈ ÙÈ̤˜ Û ¤Ó· ÌÂÙÚÈÎfi ¯ÒÚÔ) Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜. ¢ÈfiÙÈ, ·Û¯¤Ùˆ˜ Ù˘ ÂÈÏÔÁ‹˜ ÙÔ˘ ε > 0, ÌÔÚԇ̠ӷ ‚Úԇ̠δ > 0 Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ ÙÔ ÌÔÓ·‰ÈÎfi ÛËÌÂ›Ô x ÙÔ˘ E Ì d X (x, p) < δ Ó· Â›Ó·È ÙÔ x = p. TfiÙÂ, dY ( f (x), f ( p)) = 0 < ε.
£ÂÒÚËÌ· 4.6. ™ÙËÓ Î·Ù¿ÛÙ·ÛË ÙÔ˘ OÚÈÛÌÔ‡ 4.5, ˘Ôı¤ÙÔ˘Ì ÂÈϤÔÓ fiÙÈ ÙÔ p Â›Ó·È ÔÚÈ·Îfi ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ E. TfiÙÂ, Ë f Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ p Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó limx→ p f (x) = f ( p). Afi‰ÂÈÍË. A˘Ùfi Â›Ó·È Û·Ê¤˜ Â¿Ó Û˘ÁÎÚ›ÓÔ˘Ì ÙÔ˘˜ OÚÈÛÌÔ‡˜ 4.1 Î·È 4.5. ™ÙÚÂÊfiÌ·ÛÙ ÙÒÚ· ÛÙË Û‡ÓıÂÛË Û˘Ó·ÚÙ‹ÛˆÓ. M›· Û‡ÓÙÔÌË ‰È·Ù‡ˆÛË ÙÔ˘ ÂÔ̤ÓÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ Â›Ó·È Ë ÂÍ‹˜: Û˘Ó¯‹˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË Û˘Ó¯ԇ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜ Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË. £ÂÒÚËÌ· 4.7. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ X, Y, Z Â›Ó·È ÌÂÙÚÈÎÔ› ¯ÒÚÔÈ, fiÙÈ E ⊂ X , fiÙÈ f Â›Ó·È Ì›· Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ô˘ ·ÂÈÎÔÓ›˙ÂÈ ÙÔ E ÛÙÔÓ Y , fiÙÈ g Â›Ó·È Ì›· Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ô˘ ·ÂÈÎÔÓ›˙ÂÈ ÙÔ Â‰›Ô ÙÈÌÒÓ Ù˘ f , f (E), ÛÙÔÓ Z Î·È fiÙÈ h Â›Ó·È Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ô˘ ÔÚ›˙ÂÙ·È ·fi ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· h(x) = g( f (x))
(x ∈ E).
E¿Ó Ë f Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô p ∈ E Î·È Ë g Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ f ( p), ÙfiÙÂ Ë h Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ p. H Û˘Ó¿ÚÙËÛË h ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Û‡ÓıÂÛË ÙˆÓ f Î·È g. ™˘Ó‹ıˆ˜ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÂ›Ù·È Ô Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌfi˜ h = g ◦ f.
134
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
Afi‰ÂÈÍË. A˜ Â›Ó·È ε > 0. EÊfiÛÔÓ Ë g Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ f ( p), ˘¿Ú¯ÂÈ η > 0 Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ d Z (g(y), g( f ( p))) < ε Â¿Ó y ∈ f (E) Î·È dY (y, f ( p)) < η. EÊfiÛÔÓ Ë f Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ p, ˘¿Ú¯ÂÈ δ > 0 Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ dY ( f (x), f ( p)) < η Â¿Ó x ∈ E Î·È d X (x, p) < δ. Afi ·˘Ù¿ ¤ÂÙ·È fiÙÈ d Z (h(x), h( p)) = d Z (g( f (x)), g( f ( p))) < ε Â¿Ó x ∈ E Î·È d X (x, p) < δ. ™˘ÓÂÒ˜, ·ÔÎÙԇ̠ÙÔ ˙ËÙÔ‡ÌÂÓÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ·.
£ÂÒÚËÌ· 4.8. M›· ·ÂÈÎfiÓÈÛË f ÂÓfi˜ ÌÂÙÚÈÎÔ‡ ¯ÒÚÔ˘ X Û ¤Ó·Ó ÌÂÙÚÈÎfi ¯ÒÚÔ Y Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ X Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ÙÔ f −1 (V ) Â›Ó·È ·ÓÔÈÎÙfi ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ X ÁÈ· οı ·ÓÔÈÎÙfi ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ V ÙÔ˘ Y . (OÈ ·ÓÙ›ÛÙÚÔʘ ÂÈÎfiÓ˜ ÔÚ›˙ÔÓÙ·È ÛÙÔÓ OÚÈÛÌfi 2.2.) TÔ ·Ú·¿Óˆ ıÂÒÚËÌ· ·ÔÙÂÏ› Ôχ ¯Ú‹ÛÈÌÔ ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÌfi Ù˘ Û˘Ó¤¯ÂÈ·˜. Afi‰ÂÈÍË. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ Ë f Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ X Î·È fiÙÈ V Â›Ó·È ·ÓÔÈÎÙfi ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ Y . ¶Ú¤ÂÈ Ó· ‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ Î¿ı ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ f −1 (V ) Â›Ó·È ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ f −1 (V ). ™˘ÓÂÒ˜, ıˆÚԇ̠p ∈ X Ì f ( p) ∈ V . EÊfiÛÔÓ ÙÔ V Â›Ó·È ·ÓÔÈÎÙfi, ˘¿Ú¯ÂÈ ε > 0 Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ y ∈ V Â¿Ó dY ( f ( p), y) < ε. EÊfiÛÔÓ Ë f Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ p, ˘¿Ú¯ÂÈ δ > 0 Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ dY ( f (x), f ( p)) < ε Â¿Ó d X (x, p) < δ. ™˘ÓÂÒ˜, x ∈ f −1 (V ) Â¿Ó d X (x, p) < δ. AÓÙÈÛÙÚfiʈ˜, ˘Ôı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ f −1 (V ) Â›Ó·È ·ÓÔÈÎÙfi ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ X ÁÈ· οı ·ÓÔÈÎÙfi ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ V ÙÔ˘ Y . £ÂˆÚԇ̠p ∈ X Î·È ε > 0. A˜ Â›Ó·È V ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ y ∈ Y Ì dY (y, f ( p)) < ε. TfiÙÂ, ÙÔ V Â›Ó·È ·ÓÔÈÎÙfi. ÕÚ·, ÙÔ f −1 (V ) Â›Ó·È ·ÓÔÈÎÙfi. K·Ù¿ Û˘Ó¤ÂÈ·, ˘¿Ú¯ÂÈ δ > 0 Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ x ∈ f −1 (V ) Â¿Ó d X ( p, x) < δ. ŸÌˆ˜, Â¿Ó x ∈ f −1 (V ), ÙfiÙ f (x) ∈ V Î·È ÂÔ̤ӈ˜ dY ( f (x), f ( p)) < ε. A˘Ùfi ÔÏÔÎÏËÚÒÓÂÈ ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË.
™YNEXEIA 135
¶fiÚÈÛÌ·. M›· ·ÂÈÎfiÓÈÛË f ÂÓfi˜ ÌÂÙÚÈÎÔ‡ ¯ÒÚÔ˘ X Û ¤Ó· ÌÂÙÚÈÎfi ¯ÒÚÔ Y Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ X Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ÙÔ f −1 (C) Â›Ó·È ÎÏÂÈÛÙfi ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ X , ÁÈ· οı ÎÏÂÈÛÙfi ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ C ÙÔ˘ Y . A˘Ùfi ¤ÂÙ·È ·fi ÙÔ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ ıÂÒÚËÌ·, ÂÊfiÛÔÓ ¤Ó· Û‡ÓÔÏÔ Â›Ó·È ÎÏÂÈÛÙfi Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ÙÔ Û˘Ìϋڈ̿ ÙÔ˘ Â›Ó·È ·ÓÔÈÎÙfi Î·È ÂÊfiÛÔÓ f −1 (E c ) = [ f −1 (E)]c ÁÈ· οı ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ E ÙÔ˘ Y . EÚ¯fiÌ·ÛÙ ÙÒÚ· ÛÙȘ ÌÈÁ·‰ÈΤ˜ Î·È ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈΤ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ Î·È ÛÂ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ Ô˘ ÔÚ›˙ÔÓÙ·È Û ˘ÔÛ‡ÓÔÏ· ÙÔ˘ R k . £ÂÒÚËÌ· 4.9. A˜ Â›Ó·È f, g ÌÈÁ·‰ÈΤ˜ Û˘Ó¯›˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ Û ¤Ó·Ó ÌÂÙÚÈÎfi ¯ÒÚÔ X . TfiÙÂ, ÔÈ f + g, f g Î·È f /g Â›Ó·È Û˘Ó¯›˜ ÛÙÔÓ X . ™ÙËÓ ÙÂÏÂ˘Ù·›· ÂÚ›ÙˆÛË, ˘Ôı¤ÙÔ˘Ì ‚‚·›ˆ˜ fiÙÈ g(x) = 0, ÁÈ· οı x ∈ X. Afi‰ÂÈÍË. ™Ù· ÌÂÌoӈ̤ӷ ÛËÌ›· Ô ÚÔ˜ ·fi‰ÂÈÍË ÈÛ¯˘ÚÈÛÌfi˜ Â›Ó·È ÙÂÙÚÈÌ̤ÓÔ˜. ™Ù· ÔÚȷο ÛËÌ›· Ë ÚfiÙ·ÛË ¤ÂÙ·È ·fi Ù· £ÂˆÚ‹Ì·Ù· 4.4 Î·È 4.6.
£ÂÒÚËÌ· 4.10. (·) A˜ Â›Ó·È f 1 , . . . , f k Ú·ÁÌ·ÙÈΤ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ, ÔÚÈṲ̂Ó˜ Û ¤Ó·Ó ÌÂÙÚÈÎfi ¯ÒÚÔ X . YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ f Â›Ó·È Ë ·ÂÈÎfiÓÈÛË ÙÔ˘ X ÛÙÔÓ R k Ô˘ ÔÚ›˙ÂÙ·È ·fi ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· f(x) = ( f 1 (x), . . . , f k (x))
(x ∈ X ).
(7)
TfiÙÂ, Ë f Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó Î¿ı ̛· ·fi ÙȘ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ f 1 , . . . , f k Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜. (‚) E¿Ó ÔÈ f, g Â›Ó·È Û˘Ó¯›˜ ·ÂÈÎÔÓ›ÛÂȘ ÙÔ˘ X ÛÙÔÓ R k , ÙfiÙ ÔÈ f + g, f · g Â›Ó·È Û˘Ó¯›˜ ÛÙÔÓ X . OÈ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ f 1 , . . . , f k ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ÔÈ Û˘ÓÈÛÙÒÛ˜ Ù˘ f. ™ËÌÂÈÒÓÔ˘Ì fiÙÈ Ë f + g Ï·Ì‚¿ÓÂÈ ÙȘ ÙÈ̤˜ Ù˘ ÛÙÔÓ R k , ÂÓÒ Ë f · g Â›Ó·È Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË.
136
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
Afi‰ÂÈÍË. TÔ Ì¤ÚÔ˜ (·) ¤ÂÙ·È ·fi ÙȘ ·ÓÈÛfiÙËÙ˜ | f j (x) − f j (y)| ≤ |f(x) − f(y)| =
k
12 | f i (x) − f i (y)|
2
i=1
ÁÈ· j = 1, . . . , k Î·È x ∈ X . TÔ Ì¤ÚÔ˜ (‚) ¤ÂÙ·È ·fi ÙÔ (·) Î·È ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 4.9. ¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 4.11. E¿Ó x1 , . . . , xk Â›Ó·È ÔÈ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ ÂÓfi˜ ÛËÌ›Ԣ x ÛÙÔÓ R k , ÙfiÙ ÔÈ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ φi (i = 1, . . . k) Ô˘ ÔÚ›˙ÔÓÙ·È ·fi ÙȘ Û¯¤ÛÂȘ φi (x) = xi
(i = 1, . . . k, x ∈ R k )
(8)
Â›Ó·È Û˘Ó¯›˜ ÛÙÔÓ R k , ÂÊfiÛÔÓ Ë ·ÓÈÛfiÙËÙ· |φi (x) − φi (y)| ≤ |x − y|
(i = 1, . . . k, x, y ∈ R k )
Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ ÌÔÚԇ̠ӷ Ï¿‚Ô˘Ì δ = ε ÛÙÔÓ OÚÈÛÌfi 4.5. OÈ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ φi (i = 1, . . . k) ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ÔÈ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤ӈÓ. M ·ÓÂÈÏËÌ̤ÓË ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 4.9 Û˘Ó¿ÁÔ˘Ì fiÙÈ Î¿ı ÌÔÓÒÓ˘ÌÔ x1n 1 x2n 2 · · · xkn k ,
(9)
fiÔ˘ n 1 , . . . , n k Â›Ó·È ÌË ·ÚÓËÙÈÎÔ› ·Î¤Ú·ÈÔÈ ·ÚÈıÌÔ›, Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÛÙÔÓ R k . TÔ ›‰ÈÔ ·ÏËı‡ÂÈ ÁÈ· ‚·ı̈ٿ ÔÏÏ·Ï¿ÛÈ· ÙÔ˘ (9), ÂÊfiÛÔÓ ÔÈ ÛÙ·ıÂÚ¤˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ Â›Ó·È ÚÔÊ·ÓÒ˜ Û˘Ó¯›˜. EÔ̤ӈ˜, οı ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ P, ÙÔ ÔÔ›Ô ‰›‰ÂÙ·È ·fi ÙË Û¯¤ÛË (10) P(x) = cn 1 ···n k x1n 1 · · · xkn k (x ∈ R k ), Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÛÙÔÓ R k . E‰Ò, ÔÈ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ¤˜ cn 1 ···n k Â›Ó·È ÌÈÁ·‰ÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›, ÔÈ n 1 , . . . , n k Â›Ó·È ÌË ·ÚÓËÙÈÎÔ› ·Î¤Ú·ÈÔÈ Î·È ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÛÙË (10) ¤¯ÂÈ ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ˘ Ï‹ıÔ˘˜ fiÚÔ˘˜. EÈϤÔÓ, οı ÚËÙ‹ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÙˆÓ x1 , . . . , xk , ‰ËÏ·‰‹ οı ËÏ›ÎÔ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ (10), Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÛÙÔÓ R k , ÛÙ· ÛËÌ›· Ê˘ÛÈο fiÔ˘ Ô ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹˜ Â›Ó·È ‰È¿ÊÔÚÔ˜ ÙÔ˘ 0.
™YNEXEIA 137
Afi ÙËÓ ÙÚÈÁˆÓÈ΋ ·ÓÈÛfiÙËÙ· ·Ú·ÙËÚԇ̠·Ï¿ fiÙÈ ||x| − |y|| ≤ |x − y|
(x, y ∈ R k ).
(11)
™˘ÓÂÒ˜, Ë ·ÂÈÎfiÓÈÛË x → |x| (x ∈ R k ) Â›Ó·È Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ Û˘Ó¯‹˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÛÙÔÓ R k . E¿Ó ÙÒÚ· f Â›Ó·È Ì›· Û˘Ó¯‹˜ ·ÂÈÎfiÓÈÛË ·fi ¤Ó·Ó ÌÂÙÚÈÎfi ¯ÒÚÔ X ÛÙÔÓ R k , ÙfiÙÂ Ë ·ÂÈÎfiÓÈÛË φÔ˘ ÔÚ›˙ÂÙ·È ·fi ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· φ( p) = |f( p)| ( p ∈ X ) ›ӷÈ, ÏfiÁˆ ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 4.7, Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ Û˘Ó¯‹˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÛÙÔÓ X . ¶·Ú·Ù‹ÚËÛË 4.12. H ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ Û˘Ó¤¯ÂÈ·˜ Ì›·˜ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜ f ¤¯ÂÈ ÔÚÈÛı› ÁÈ· Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ Ì ‰›Ô ÔÚÈÛÌÔ‡ ¤Ó· ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ E ÂÓfi˜ ÌÂÙÚÈÎÔ‡ ¯ÒÚÔ˘ X . ŸÌˆ˜, ÙÔ Û˘Ìϋڈ̷ ÙÔ˘ X ‰ÂÓ Î·Ù¤¯ÂÈ Î·Ó¤Ó· ÚfiÏÔ Û ·˘ÙfiÓ ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi (ÛËÌÂÈÒÓÔ˘Ì fiÙÈ Ë Î·Ù¿ÛÙ·ÛË Â›Ó·È ‰È·ÊÔÚÂÙÈ΋ ÁÈ· Ù· fiÚÈ· Û˘Ó·ÚÙ‹ÛˆÓ). EÔ̤ӈ˜, ‰ÂÓ ¤¯Ô˘Ì ԢÛÈÒ‰ÂȘ ·ÒÏÂȘ Â¿Ó ·ÁÓÔ‹ÛÔ˘Ì ÙÔ Û˘Ìϋڈ̷ ÙÔ˘ ‰›Ô˘ ÔÚÈÛÌÔ‡ Ù˘ f . A˘Ùfi ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ ÌÔÚԇ̠·ÏÒ˜ Ó· ıˆÚÔ‡ÌÂ Û˘Ó¯›˜ ·ÂÈÎÔÓ›ÛÂȘ ÂÓfi˜ ÌÂÙÚÈÎÔ‡ ¯ÒÚÔ˘ Û ¿ÏÏÔÓ, ·Ú¿ ·ÂÈÎÔÓ›ÛÂȘ ÔÚÈṲ̂Ó˜ Û ˘ÔÛ‡ÓÔÏ·. A˘Ùfi ·ÏÔÔÈ› ÙȘ ‰È·Ù˘ÒÛÂȘ Î·È ÙȘ ·Ô‰Â›ÍÂȘ ÔÚÈÛÌ¤ÓˆÓ ·fi Ù· Û¯ÂÙÈο ıˆڋ̷ٷ. Œ¯Ô˘Ì ‹‰Ë οÓÂÈ ¯Ú‹ÛË ·˘Ù‹˜ Ù˘ ·Ú¯‹˜ ÛÙ· £ÂˆÚ‹Ì·Ù· 4.8 ¤ˆ˜ Î·È 4.10 Î·È ı· ÙË ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÔ˘ÌÂ Î·È ÛÙËÓ ÂfiÌÂÓË ÂÓfiÙËÙ·.
™YNEXEIA KAI ™YM¶A°EIA OÚÈÛÌfi˜ 4.13. M›· ·ÂÈÎfiÓÈÛË f ÂÓfi˜ Û˘ÓfiÏÔ˘ E ÛÙÔÓ R k ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÊÚ·Á̤ÓË Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ˘¿Ú¯ÂÈ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ |f(x)| ≤ M ÁÈ· οı x ∈ E. £ÂÒÚËÌ· 4.14. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ f Â›Ó·È Ì›· Û˘Ó¯‹˜ ·ÂÈÎfiÓÈÛË ÂÓfi˜ Û˘Ì·ÁÔ‡˜ ÌÂÙÚÈÎÔ‡ ¯ÒÚÔ˘ X Û ¤Ó·Ó ÌÂÙÚÈÎfi ¯ÒÚÔ Y . TfiÙÂ, ÙÔ f (X ) Â›Ó·È Û˘Ì·Á¤˜. Afi‰ÂÈÍË. A˜ Â›Ó·È {Va } (a ∈ A) Ì›· ·ÓÔÈÎÙ‹ Î¿Ï˘„Ë ÙÔ˘ f (X ). EÊfiÛÔÓ Ë f Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜, ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 4.8 Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ Î¿ı ¤Ó· ·fi Ù· Û‡ÓÔÏ·
138
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
f −1 (Va ) (a ∈ A) Â›Ó·È ·ÓÔÈÎÙfi. EÊfiÛÔÓ Ô X Â›Ó·È Û˘Ì·Á‹˜, ˘¿Ú¯Ô˘Ó ‰Â›ÎÙ˜ α1 , . . . , αn Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ X ⊂ f −1 (Vα1 ) ∪ · · · ∪ f −1 (Vαn ).
(12)
EÊfiÛÔÓ f ( f −1 (E)) ⊂ E ÁÈ· οı E ⊂ Y , Ë (12) Û˘Ó¿ÁÂÙ·È fiÙÈ f (X ) ⊂ Vα1 ∪ · · · ∪ Vαn .
(13)
A˘Ùfi ÔÏÔÎÏËÚÒÓÂÈ ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË. ™ËÌ›ˆÛË: ™Ù· ·Ú·¿Óˆ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹Û·Ì ÙË Û¯¤ÛË f ( f −1 (E)) ⊂ E, Ë ÔÔ›· ÈÛ¯‡ÂÈ ÁÈ· οı E ⊂ Y . E¿Ó E ⊂ X , ÙfiÙ E ⊂ f −1 ( f (E)). ™ÙȘ ‰‡Ô ·˘Ù¤˜ Û¯¤ÛÂȘ ‰ÂÓ ÈÛ¯‡ÂÈ ··Ú·Èًو˜ Ë ÈÛfiÙËÙ·. EÓ Û˘Ó¯›·, ı· ¿ÁÔ˘Ì ÔÚÈṲ̂Ó˜ Û˘Ó¤ÂȘ ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 4.14. £ÂÒÚËÌ· 4.15. E¿Ó f Â›Ó·È Ì›· Û˘Ó¯‹˜ ·ÂÈÎfiÓÈÛË ÂÓfi˜ Û˘Ì·ÁÔ‡˜ ÌÂÙÚÈÎÔ‡ ¯ÒÚÔ˘ X ÛÙÔÓ R k , ÙfiÙ ÙÔ f(X ) Â›Ó·È ÎÏÂÈÛÙfi Î·È ÊÚ·Á̤ÓÔ. ™˘ÓÂÒ˜, Ë f Â›Ó·È ÊÚ·Á̤ÓË. To ·Ú·¿Óˆ ¤ÂÙ·È ·fi ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 2.41. TÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· ·˘Ùfi Â›Ó·È È‰È·ÈÙ¤Úˆ˜ ÛËÌ·ÓÙÈÎfi fiÙ·Ó Ë f Â›Ó·È Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË: £ÂÒÚËÌ· 4.16. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ f Â›Ó·È Ì›· Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ Û˘Ó¯‹˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË, ÔÚÈṲ̂ÓË Û ¤Ó·Ó Û˘Ì·Á‹ ÌÂÙÚÈÎfi ¯ÒÚÔ X . £¤ÙÔ˘Ì M = sup f ( p), p∈X
m = inf f ( p). p∈X
(14)
TfiÙÂ, ˘¿Ú¯Ô˘Ó p, q ∈ X Ì f ( p) = M Î·È f (q) = m. O Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌfi˜ ÛÙË (14) ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ ÙÔ M Â›Ó·È ÙÔ ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ ¿Óˆ ÊÚ¿ÁÌ· ÙÔ˘ Û˘ÓfiÏÔ˘ ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ f ( p), fiÔ˘ p ∈ X , Î·È m Â›Ó·È ÙÔ Ì¤ÁÈÛÙÔ Î¿Ùˆ ÊÚ¿ÁÌ· ÙÔ˘ ȉ›Ô˘ Û˘ÓfiÏÔ˘. TÔ Û˘Ì¤Ú·ÛÌ· ÌÔÚ› Ó· ‰È·Ù˘ˆı› Î·È ‰È·ÊÔÚÂÙÈο: ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÛËÌ›· p, q Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ f (q) ≤ f (x) ≤ f ( p) ÁÈ· οı x ∈ X . ¢ËÏ·‰‹, Ë f Ï·Ì‚¿ÓÂÈ Ì¤ÁÈÛÙÔ (ÛÙÔ p) Î·È ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ (ÛÙÔ q).
™YNEXEIA 139
Afi‰ÂÈÍË. ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 4.15, ÙÔ f (X ) Â›Ó·È ÎÏÂÈÛÙfi Î·È ÊÚ·Á̤ÓÔ Û‡ÓÔÏÔ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ. ™˘ÓÂÒ˜, ÙÔ f (X ) ÂÚȤ¯ÂÈ Ù· M = sup f (X ) Î·È m = inf f (X ), ‚¿ÛÂÈ ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 2.28. £ÂÒÚËÌ· 4.17. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ f Â›Ó·È Ì›· 1-1 Û˘Ó¯‹˜ ·ÂÈÎfiÓÈÛË ÂÓfi˜ Û˘Ì·ÁÔ‡˜ ÌÂÙÚÈÎÔ‡ ¯ÒÚÔ˘ X › ÂÓfi˜ ÌÂÙÚÈÎÔ‡ ¯ÒÚÔ˘ Y . TfiÙÂ, Ë ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊË ·ÂÈÎfiÓÈÛË f −1 , Ô˘ ÔÚ›˙ÂÙ·È ÛÙÔÓ Y ·fi ÙË Û¯¤ÛË f −1 ( f (x)) = x
(x ∈ X ),
Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ·ÂÈÎfiÓÈÛË ÙÔ˘ Y › ÙÔ˘ X . Afi‰ÂÈÍË. EÊ·ÚÌfi˙Ô˘Ì ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 4.8 ÁÈ· ÙËÓ f −1 Î·È ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì fiÙÈ Â›Ó·È Â·ÚΤ˜ Ó· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ f (V ) Â›Ó·È ·ÓÔÈÎÙfi ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ Y ÁÈ· οı ·ÓÔÈÎÙfi ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ V ÙÔ˘ X . £ÂˆÚԇ̠ÏÔÈfiÓ ¤Ó· ·ÓÔÈÎÙfi ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ V ÙÔ˘ X . TÔ Û˘Ìϋڈ̷ V c ÙÔ˘ V Â›Ó·È ÎÏÂÈÛÙfi, ¿Ú· Û˘Ì·Á¤˜ (£ÂÒÚËÌ· 2.35). K·Ù¿ Û˘Ó¤ÂÈ·, ÙÔ f (V c ) Â›Ó·È Û˘Ì·Á¤˜ ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ Y (£ÂÒÚËÌ· 4.14) Î·È ÂÔ̤ӈ˜ ÎÏÂÈÛÙfi. EÊfiÛÔÓ Ë f Â›Ó·È 1-1, ÙÔ f (V ) Â›Ó·È ÙÔ Û˘Ìϋڈ̷ ÙÔ˘ f (V c ). ÕÚ·, ÙÔ f (V ) Â›Ó·È ·ÓÔÈÎÙfi. OÚÈÛÌfi˜ 4.18. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ f Â›Ó·È Ì›· ·ÂÈÎfiÓÈÛË ÂÓfi˜ ÌÂÙÚÈÎÔ‡ ¯ÒÚÔ˘ X Û ¤Ó·Ó ÌÂÙÚÈÎfi ¯ÒÚÔ Y . H f ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔÓ X Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ÁÈ· οı ε > 0 ˘¿Ú¯ÂÈ δ > 0 Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ dY ( f ( p), f (q)) < ε
(15)
ÁÈ· οı p, q ∈ X Ì d X ( p, q) < δ. A˜ ·Ó·Ï‡ÛÔ˘Ì ÙȘ ‰È·ÊÔÚ¤˜ ÌÂٷ͇ ÙˆÓ ÂÓÓÔÈÒÓ Ù˘ Û˘Ó¤¯ÂÈ·˜ Î·È Ù˘ ÔÌÔÈfiÌÔÚÊ˘ Û˘Ó¤¯ÂÈ·˜. EÓ ÚÒÙÔȘ, Ë ÔÌÔÈfiÌÔÚÊË Û˘Ó¤¯ÂÈ· Â›Ó·È È‰ÈfiÙËÙ· Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜ Û ¤Ó· Û‡ÓÔÏÔ, ÂÓÒ Ë Û˘Ó¤¯ÂÈ· Â›Ó·È ¤ÓÓÔÈ· Ô˘ ÔÚ›˙ÂÙ·È ÛÂ
140
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
ÛËÌ›Ô. OÌÔÈfiÌÔÚÊË Û˘Ó¤¯ÂÈ· Û ÛËÌÂ›Ô ÛÙÂÚÂ›Ù·È ÓÔ‹Ì·ÙÔ˜. K·ÙfiÈÓ, Â¿Ó Ë f Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ X , ÙfiÙ ÁÈ· οı ε > 0 Î·È Î¿ı ÛËÌÂ›Ô p ∈ X Â›Ó·È ‰˘Ó·Ù‹ Ë Â‡ÚÂÛË δ > 0 Ì ÙËÓ È‰ÈfiÙËÙ· Ô˘ ÚÔÛ‰ÈÔÚ›˙ÂÙ·È ÛÙÔÓ OÚÈÛÌfi 4.5. ™˘ÓÂÒ˜, ÙÔ δ ÂÍ·ÚÙ¿Ù·È ·fi Ù· ε Î·È p. E¿Ó fï˜ Ë f Â›Ó·È ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ Û˘Ó¯‹˜, ÙfiÙ ÁÈ· οı ε > 0 Â›Ó·È ‰˘Ó·Ù‹ Ë Â‡ÚÂÛË ÂÓfi˜ δ > 0 Ì ÙËÓ ÂÈı˘ÌËÙ‹ ȉÈfiÙËÙ· ÁÈ· οı ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ X . K·Ù¿ ÚÔÊ·Ó‹ ÙÚfiÔ, οı ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ Û˘Ó¯‹˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜. TÔ ÂfiÌÂÓÔ ıÂÒÚËÌ· ¯ÔÚËÁ› ÙËÓ Ù·‡ÙÈÛË ÙˆÓ ‰‡Ô ÂÓÓÔÈÒÓ ÛÂ Û˘Ì·Á›˜ ¯ÒÚÔ˘˜. £ÂÒÚËÌ· 4.19. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ f Â›Ó·È Ì›· Û˘Ó¯‹˜ ·ÂÈÎfiÓÈÛË ÂÓfi˜ Û˘Ì·ÁÔ‡˜ ÌÂÙÚÈÎÔ‡ ¯ÒÚÔ˘ X Û ¤Ó·Ó ÌÂÙÚÈÎfi ¯ÒÚÔ Y . TfiÙÂ, Ë f Â›Ó·È ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ Û˘Ó¯‹˜. Afi‰ÂÈÍË. £ÂˆÚԇ̠ε > 0. EÊfiÛÔÓ Ë f Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜, ÌÔÚԇ̠۠οı ÛËÌÂ›Ô p ∈ X Ó· ·ÓÙÈÛÙÔȯ›ÛÔ˘Ì ¤Ó·Ó ıÂÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi φ( p) Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙÂ Â¿Ó ε q ∈ X, d X ( p, q) < φ( p), ÙfiÙ dY ( f ( p), f (q)) < . 2
(16)
A˜ Â›Ó·È J ( p) ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ q ∈ X Ì ÙËÓ È‰ÈfiÙËÙ· 1 d X ( p, q) < φ( p). 2
(17)
EÊfiÛÔÓ p ∈ J ( p), Ë Û˘ÏÏÔÁ‹ {J ( p)} ( p ∈ X ) Â›Ó·È ·ÓÔÈÎÙ‹ Î¿Ï˘„Ë ÙÔ˘ Û˘Ì·ÁÔ‡˜ ¯ÒÚÔ˘ X . K·Ù¿ Û˘Ó¤ÂÈ·, ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÛËÌ›· p1 , . . . , pn Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ X ⊂ J ( p1 ) ∪ · · · ∪ J ( pn ).
(18)
£¤ÙÔ˘Ì δ=
1 min[φ( p1 ), . . . , φ( pn )]. 2
(19)
TfiÙÂ, δ > 0. (™Â ·˘Ùfi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ·ÓÙÈÏ·Ì‚·ÓfiÌ·ÛÙ fiÙÈ Ë È‰ÈfiÙËÙ· ÙÔ˘ ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ˘ Ù˘ ηχ„ˆ˜ Â›Ó·È Ô˘ÛÈ҉˘. TÔ ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ ÂÓfi˜ ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ˘ Û˘ÓfiÏÔ˘ ıÂÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ Â›Ó·È ıÂÙÈÎfi, ÂÓÒ ÙÔ Ì¤ÁÈÛÙÔ Î¿Ùˆ ÊÚ¿ÁÌ· ÂÓfi˜ ·¤Ú·ÓÙÔ˘ Û˘ÓfiÏÔ˘ ıÂÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ ‰ÂÓ Â›Ó·È ··Ú·Èًو˜ ıÂÙÈÎfi.)
™YNEXEIA 141
TÒÚ·, ıˆÚԇ̠p, q ∈ X Ì d X ( p, q) < δ. Afi ÙËÓ (18) ÚÔ·ÙÂÈ Ë ‡·ÚÍË ·ÎÂÚ·›Ô˘ ·ÚÈıÌÔ‡ m Ì 1 ≤ m ≤ n Î·È p ∈ J ( pm ). ™˘ÓÂÒ˜, 1 d X ( p, pm ) < φ( pm ) 2
(20)
Î·È Â›Û˘ 1 d X (q, pm ) ≤ d X ( p, q) + d X ( p, pm ) < δ + φ( pm ) ≤ φ( pm ). 2 EÓ Ù¤ÏÂÈ, Ë (16) Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ dY ( f ( p), f (q)) < dY ( f ( p), f ( pm )) + dY ( f (q), f ( pm )) < ε. M ·˘Ùfi ÔÏÔÎÏËÚÒÓÂÙ·È Ë ·fi‰ÂÈÍË. M›· ÂÓ·ÏÏ·ÎÙÈ΋ ·fi‰ÂÈÍË ÛÎÈ·ÁÚ·ÊÂ›Ù·È ÛÙËÓ ÕÛÎËÛË 10. £· Û˘Ó¯›ÛÔ˘Ì Ì ÙË ‰ÈηÈÔÏfiÁËÛË Ù˘ ·Ó¿Á΢ ÁÈ· ÙËÓ ˘fiıÂÛË Ù˘ Û˘Ì¿ÁÂÈ·˜ ÛÙ· £ÂˆÚ‹Ì·Ù· 4.14, 4.15, 4.16 Î·È 4.19. £ÂÒÚËÌ· 4.20. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ E Â›Ó·È ¤Ó· ÌË Û˘Ì·Á¤˜ ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ R 1 . TfiÙÂ: (·) Y¿Ú¯ÂÈ Ì›· Û˘Ó¯‹˜ Î·È ÌË ÊÚ·Á̤ÓË Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÛÙÔ E. (‚) Y¿Ú¯ÂÈ Ì›· Û˘Ó¯‹˜ Î·È ÊÚ·Á̤ÓË Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÛÙÔ E, Ë ÔÔ›· ‰ÂÓ Ï·Ì‚¿ÓÂÈ Ì¤ÁÈÛÙÔ. E¿Ó, ÂÈϤÔÓ, ÙÔ E Â›Ó·È ÊÚ·Á̤ÓÔ, ÙfiÙÂ: (Á) Y¿Ú¯ÂÈ Ì›· Û˘Ó¯‹˜ Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÛÙÔ E, Ë ÔÔ›· ‰ÂÓ Â›Ó·È ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ Û˘Ó¯‹˜. Afi‰ÂÈÍË. YÔı¤ÙÔ˘Ì ·Ú¯Èο fiÙÈ ÙÔ E Â›Ó·È ÊÚ·Á̤ÓÔ Î·È ÂÔ̤ӈ˜ ˘¿Ú¯ÂÈ ¤Ó· ÔÚÈ·Îfi ÛËÌÂ›Ô x0 ÙÔ˘ E ÙÔ ÔÔ›Ô ‰ÂÓ ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙÔ E. £ÂˆÚԇ̠ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË f Ì f (x) =
1 x − x0
(x ∈ E).
(21)
A˘Ù‹ Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ E (£ÂÒÚËÌ· 4.9) ·ÏÏ¿ ÚÔÊ·ÓÒ˜ ÌË ÊÚ·Á̤ÓË. °È· Ó· ‰È·ÈÛÙÒÛÔ˘Ì fiÙÈ Ë f ‰ÂÓ Â›Ó·È ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ Û˘Ó¯‹˜, ıˆÚԇ̠ε > 0
142
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
Î·È δ > 0. EÈϤÁÔ˘Ì ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô x ∈ E Ì |x − x0 | < δ. §·Ì‚¿ÓÔÓÙ·˜ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô t ·ÚÎÒ˜ ÎÔÓÙ¿ ÛÙÔ x0 , ÌÔÚԇ̠ӷ ηٷÛÙ‹ÛÔ˘Ì ÙËÓ ÔÛfiÙËÙ· | f (t) − f (x)| ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ÙÔ˘ ε, ·Ú¿ ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ |t − x| < δ. EÊfiÛÔÓ ·˘Ùfi ·ÏËı‡ÂÈ ÁÈ· οı δ > 0, Ë f ‰ÂÓ ÌÔÚ› Ó· Â›Ó·È ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ E. H Û˘Ó¿ÚÙËÛË f Ô˘ ‰›‰ÂÙ·È ·fi ÙË Û¯¤ÛË g(x) =
1 1 + (x − x0 )2
(x ∈ E)
(22)
Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ E Î·È ÊÚ·Á̤ÓË, ÂÊfiÛÔÓ 0 < g(x) < 1 ÁÈ· οı x ∈ E. E›Ó·È ۷ʤ˜ fiÙÈ sup g(x) = 1, x∈E
ÂÓÒ g(x) < 1 ÁÈ· οı x ∈ E. ™˘ÓÂÒ˜, Ë g ‰ÂÓ Ï·Ì‚¿ÓÂÈ Ì¤ÁÈÛÙÔ ÛÙÔ E. Œ¯ÔÓÙ·˜ ·Ô‰Â›ÍÂÈ ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ÁÈ· ÊÚ·Á̤ӷ Û‡ÓÔÏ· E, ˘Ôı¤ÙÔ˘Ì ÙÒÚ· fiÙÈ ÙÔ E ‰ÂÓ Â›Ó·È ÊÚ·Á̤ÓÔ. TfiÙÂ, Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË f Ì f (x) = x (x ∈ E) ηıÈÛÙ¿ ÙÔ (·) ·ÏËı¤˜. H Û˘Ó¿ÚÙËÛË h Ì h(x) =
x2 1 + x2
(x ∈ E)
(23)
ηıÈÛÙ¿ ÙÔ (‚) ·ÏËı¤˜, ÂÊfiÛÔÓ sup h(x) = 1 x∈E
Î·È h(x) < 1 ÁÈ· οı x ∈ E. O ÈÛ¯˘ÚÈÛÌfi˜ (Á) ı· ‹Ù·Ó „¢‰‹˜ Â¿Ó ÙÔ E ‰ÂÓ ‹Ù·Ó ÊÚ·Á̤ÓÔ. E› ·Ú·‰Â›ÁÌ·ÙÈ, ·˜ Â›Ó·È E ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ·ÎÂÚ·›ˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ. TfiÙÂ, οıÂ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÔÚÈṲ̂ÓË ÛÙÔ E Â›Ó·È ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ Û˘Ó¯‹˜. °È· Ó· ÙÔ ·ÓÙÈÏËÊıԇ̠·˘Ùfi ·ÚΛ Ó· Ï¿‚Ô˘Ì δ < 1 ÛÙÔÓ OÚÈÛÌfi 4.18. £· ÎÏ›ÛÔ˘Ì ·˘Ù‹Ó ÙËÓ ÂÓfiÙËÙ· ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÔÓÙ·˜ fiÙÈ Ë ˘fiıÂÛË Ù˘ Û˘Ì¿ÁÂÈ·˜ Â›Ó·È ··Ú·›ÙËÙË ÛÙÔ £ÂÒÚËÌ· 4.17. ¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 4.21. A˜ Â›Ó·È X ÙÔ ËÌÈ·ÓÔÈÎÙfi ‰È¿ÛÙËÌ· [0, 2π ) Ù˘ Ú·ÁÌ·ÙÈ΋˜ ¢ı›·˜ Î·È f Ë ·ÂÈÎfiÓÈÛË ÙÔ˘ X › ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ Y Ì ΤÓÙÚÔ ÙÔ 0 ηÈ
™YNEXEIA 143
·ÎÙ›Ó· 1, Ë ÔÔ›· ‰›‰ÂÙ·È ·fi ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· f(t) = (cos t, sin t)
(0 ≤ t < 2π ).
(24)
H Û˘Ó¤¯ÂÈ· ÙˆÓ ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÒÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ ËÌÈÙfiÓÔ˘ Î·È Û˘ÓËÌÈÙfiÓÔ˘ ηıÒ˜ Î·È ÔÈ Û¯ÂÙÈΤ˜ Ì ÙËÓ ÂÚÈÔ‰ÈÎfiÙËÙ· ȉÈfiÙËÙ˜ ı· ·Ô‰ÂȯıÔ‡Ó ÛÙÔ KÂÊ¿Ï·ÈÔ 8. T· ·ÔÙÂϤÛÌ·Ù· ·˘Ù¿ Ê·ÓÂÚÒÓÔ˘Ó fiÙÈ Ë f Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ·ÂÈÎfiÓÈÛË ÙÔ˘ X ÛÙÔÓ Y . ¶·Ú' fiÏ· ·˘Ù¿, Ë ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊË ·ÂÈÎfiÓÈÛË (Ë ÔÔ›· Ê˘ÛÈο ˘¿Ú¯ÂÈ) ‰ÂÓ Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô (1, 0) = f(0). º˘ÛÈο, ÙÔ X ‰ÂÓ Â›Ó·È Û˘Ì·Á¤˜. (E›Ó·È ÂӉȷʤÚÔÓ Ó· ·Ú·ÙËÚ‹ÛÔ˘Ì fiÙÈ Ë f−1 ‰ÂÓ Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ·Ú¿ ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ ÙÔ Y Â›Ó·È Û˘Ì·Á¤˜!)
™YNEXEIA KAI ™YNEKTIKOTHTA £ÂÒÚËÌ· 4.22. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ f Â›Ó·È Ì›· Û˘Ó¯‹˜ ·ÂÈÎfiÓÈÛË ÂÓfi˜ ÌÂÙÚÈÎÔ‡ ¯ÒÚÔ˘ X Û ¤Ó·Ó ÌÂÙÚÈÎfi ¯ÒÚÔ Y . E¿Ó E Â›Ó·È Û˘ÓÂÎÙÈÎfi ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ X , ÙfiÙ ÙÔ f (E) Â›Ó·È Û˘ÓÂÎÙÈÎfi. Afi‰ÂÈÍË. YÔı¤ÙÔ˘ÌÂ, ÁÈ· Ó· ηٷϋÍÔ˘Ì Û ·ÓٛʷÛË, fiÙÈ f (E) = A ∪ B, fiÔ˘ Ù· A, B Â›Ó·È ÌË ÎÂÓ¿ Î·È ‰È·¯ˆÚÈṲ̂ӷ ˘ÔÛ‡ÓÔÏ· ÙÔ˘ Y . £¤ÙÔ˘Ì G = E ∩ f −1 (A), H = E ∩ f −1 (B). TfiÙÂ, E = G ∪ H . EÈϤÔÓ, Ù· G, H ‰ÂÓ Â›Ó·È ÎÂÓ¿. EÊfiÛÔÓ A ⊂ A (Ë ÎÏÂÈÛÙ‹ ı‹ÎË ÙÔ˘ A), ¤¯Ô˘Ì fiÙÈ G ⊂ f −1 (A). TÔ ÙÂÏÂ˘Ù·›Ô Û‡ÓÔÏÔ Â›Ó·È ÎÏÂÈÛÙfi, ÂÊfiÛÔÓ Ë f Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜. ÕÚ·, G ⊂ f −1 (A) Î·È Û˘ÓÂÒ˜ f (G) ⊂ A. EÊfiÛÔÓ f (H ) = B Î·È ÙÔ A ∩ B Â›Ó·È ÎÂÓfi, Û˘Ó¿ÁÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ G ∩ H Â›Ó·È ÎÂÓfi. EȯÂÈÚËÌ·ÙÔÏÔÁÒÓÙ·˜ ·ÚÔÌÔ›ˆ˜, Û˘Ó¿ÁÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ G ∩ H Â›Ó·È Â›Û˘ ÎÂÓfi. ÕÚ·, Ù· G, H Â›Ó·È ‰È·¯ˆÚÈṲ̂ӷ. A˘Ùfi fï˜ Â›Ó·È ·‰‡Ó·ÙÔ, ‰ÈfiÙÈ ÙÔ E Â›Ó·È Û˘ÓÂÎÙÈÎfi. £ÂÒÚËÌ· 4.23. A˜ Â›Ó·È f Ì›· Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ Û˘Ó¯‹˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÛÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· [a, b]. E¿Ó f (a) < f (b) Î·È c Â›Ó·È ¤Ó·˜ ·ÚÈıÌfi˜ Ì f (a) < c < f (b), ÙfiÙ ˘¿Ú¯ÂÈ x ∈ (a, b) Ì f (x) = c.
144
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
º˘ÛÈο, ÈÛ¯‡ÂÈ ÙÔ ·Ó¿ÏÔÁÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· fiÙ·Ó f (a) > f (b). M ÏÈÁfiÙÂÚÔ ·˘ÛÙËÚ‹ ‰È·Ù‡ˆÛË, ÙÔ ıÂÒÚËÌ· Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ Ì›· Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ Û˘Ó¯‹˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ï·Ì‚¿ÓÂÈ fiϘ ÙȘ ÂӉȿÌÂÛ˜ ÙÈ̤˜ Û ¤Ó· ‰È¿ÛÙËÌ·. Afi‰ÂÈÍË. ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 2.47, ÙÔ [a, b] Â›Ó·È Û˘ÓÂÎÙÈÎfi. ÕÚ·, ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 4.22 Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ ÙÔ f ([a, b]) Â›Ó·È Û˘ÓÂÎÙÈÎfi ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ R 1 Î·È Ô ÈÛ¯˘ÚÈÛÌfi˜ ÙÂÎÌËÚÈÒÓÂÙ·È Â¿Ó ·Ó·ÙÚ¤ÍÔ˘Ì ͷӿ ÛÙÔ £ÂÒÚËÌ· 2.47.
¶·Ú·Ù‹ÚËÛË 4.24. EÎ ÚÒÙ˘ fi„ˆ˜, ›Ûˆ˜ Ê·Ó› fiÙÈ ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 4.23 ¤¯ÂÈ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ. ¢ËÏ·‰‹ Â¿Ó ÁÈ· ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ‰‡Ô ÛËÌ›· x1 , x2 Ì x1 < x2 Î·È Î¿ı ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi c ÌÂٷ͇ ÙˆÓ f (x1 ), f (x2 ) ˘¿Ú¯ÂÈ ÛËÌÂ›Ô x ÛÙÔ (x1 , x2 ) Ì f (x) = c, ÙfiÙÂ Ë f Ú¤ÂÈ Ó· Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜. TÔ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 4.27(‰) Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ ·˘Ùfi ÁÂÓÈÎÒ˜ ‰ÂÓ ÈÛ¯‡ÂÈ.
EI¢H A™YNEXEIøN E¿Ó x Â›Ó·È ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ÛÙÔ Â‰›Ô ÔÚÈÛÌÔ‡ Ì›·˜ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜ f , ÙfiÙÂ Ë f ϤÁÂÙ·È ·Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ x ‹ ·ÏÏÈÒ˜ fiÙÈ ¤¯ÂÈ ·Û˘Ó¤¯ÂÈ· ÛÙÔ x Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó Ë f ‰ÂÓ Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ x. E¿Ó Ë f ÔÚ›˙ÂÙ·È Û ¤Ó· ‰È¿ÛÙËÌ·, ÙfiÙÂ Â›Ó·È Û‡ÓËı˜ Ó· ‰È·¯ˆÚ›˙ÂÙ·È Ë ·Û˘Ó¤¯ÂÈ· Û ‰‡Ô ›‰Ë. ¶ÚÈÓ ·ÚÔ˘ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ÙËÓ Ù·ÍÈÓfiÌËÛË ·˘Ù‹, ı· ÔÚ›ÛÔ˘Ì ٷ ‰ÂÍÈ¿ Î·È ·ÚÈÛÙÂÚ¿ fiÚÈ· Ù˘ f ÛÙÔ x, Ù· ÔÔ›· Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜ Ì f (x+) Î·È f (x−). OÚÈÛÌfi˜ 4.25. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË f ÔÚ›˙ÂÙ·È ÛÙÔ (a, b). £ÂˆÚԇ̠¤Ó· ÛËÌÂ›Ô x Ì a ≤ x < b. °Ú¿ÊÔ˘Ì f (x+) = q Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó f (tn ) → q ηıÒ˜ n → ∞ ÁÈ· οı ·ÎÔÏÔ˘ı›· {tn } (n = 1, 2, 3, . . . ) ÙÔ˘ (x, b) Ì tn → x ηıÒ˜ n → ∞. O ·ÚÈıÌfi˜ ·˘Ùfi˜ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ‰ÂÍÈfi fiÚÈÔ Ù˘ f ÛÙÔ x. °È· ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi ÙÔ˘ ·ÚÈÛÙÂÚÔ‡ ÔÚ›Ô˘
™YNEXEIA 145
Ù˘ f ÛÙÔ x f (x−) ÛÙÔ a < x ≤ b, ÂÚÈÔÚÈ˙fiÌ·ÛÙ Û ·ÎÔÏÔ˘ı›Â˜ {tn } (n = 1, 2, 3, . . . ) ÙÔ˘ (a, x). E›Ó·È ۷ʤ˜ fiÙÈ ÁÈ· ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ÛËÌÂ›Ô x ÙÔ˘ (a, b) ÈÛ¯‡ÂÈ ÙÔ ÂÍ‹˜: ÙÔ limt→x f (t) ˘¿Ú¯ÂÈ Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó f (x+) = f (x−) = lim f (t). t→x
OÚÈÛÌfi˜ 4.26. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË f ÔÚ›˙ÂÙ·È ÛÙÔ (a, b). H f ϤÁÂÙ·È fiÙÈ ¤¯ÂÈ ·Û˘Ó¤¯ÂÈ· ÚÒÙÔ˘ ›‰Ô˘˜ ‹ ·ÏÏÈÒ˜ ·Ï‹ ·Û˘Ó¤¯ÂÈ· ÛÙÔ x Â¿Ó Â›Ó·È ·Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ x Î·È ˘¿Ú¯Ô˘Ó Ù· f (x+), f (x−). ™ÙËÓ ·ÓÙ›ıÂÙË ÂÚ›ÙˆÛË (‰ËÏ·‰‹ fiÙ·Ó ‰ÂÓ ˘¿Ú¯ÂÈ Î¿ÔÈÔ ·fi Ù· f (x+), f (x−) ‹ Î·È Ù· ‰‡Ô), Ë ·Û˘Ó¤¯ÂÈ· ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ‰Â˘Ù¤ÚÔ˘ ›‰Ô˘˜. Y¿Ú¯Ô˘Ó ‰‡Ô ÂÚÈÙÒÛÂȘ ÛÙȘ Ôԛ˜ Ë f ÌÔÚ› Ó· ¤¯ÂÈ ·Ï‹ ·Û˘Ó¤¯ÂÈ·: ‹ f (x+) = f (x−) (fiÔ˘ Ë ÙÈÌ‹ f (x) ‰ÂÓ Î·Ù¤¯ÂÈ Î·Ó¤Ó· ÚfiÏÔ) ‹ f (x+) = f (x−) = f (x). ¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 4.27. (·) OÚ›˙Ô˘Ì ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË f ̤ۈ Ù˘ Û¯¤Ûˆ˜ 1 Â¿Ó x Â›Ó·È ÚËÙfi˜ ·ÚÈıÌfi˜, f (x) = 0 Â¿Ó x Â›Ó·È ¿ÚÚËÙÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜. TfiÙÂ, Ë f ¤¯ÂÈ ·Û˘Ó¤¯ÂÈ· ‰Â˘Ù¤ÚÔ˘ ›‰Ô˘˜ Û οı ÛËÌÂ›Ô x ÂÊfiÛÔÓ ‰ÂÓ ˘¿Ú¯ÂÈ Ô‡Ù ÙÔ f (x+) Ô‡Ù ÙÔ f (x−). (‚) OÚ›˙Ô˘Ì ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË f ̤ۈ Ù˘ Û¯¤Ûˆ˜ x Â¿Ó x Â›Ó·È ÚËÙfi˜ ·ÚÈıÌfi˜, f (x) = 0 Â¿Ó x Â›Ó·È ¿ÚÚËÙÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜. TfiÙÂ, Ë f Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ x = 0 Î·È ¤¯ÂÈ ·Û˘Ó¤¯ÂÈ· ‰Â˘Ù¤ÚÔ˘ ›‰Ô˘˜ Û οı ¿ÏÏÔ ÛËÌ›Ô. (Á) OÚ›˙Ô˘Ì ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË f ̤ۈ Ù˘ Û¯¤Ûˆ˜ Â¿Ó − 3 < x < −2, x +2 f (x) = −x − 2 Â¿Ó − 2 ≤ x < 0, x +2 Â¿Ó 0 ≤ x < 1.
146
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
TfiÙÂ Ë f ¤¯ÂÈ ·Ï‹ ·Û˘Ó¤¯ÂÈ· ÛÙÔ x = 0 Î·È Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ Û οı ¿ÏÏÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ (−3, 1). (‰) OÚ›˙Ô˘Ì ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË f ̤ۈ Ù˘ Û¯¤Ûˆ˜ Â¿Ó x = 0, sin x1 f (x) = 0 Â¿Ó x = 0. EÊfiÛÔÓ Ù· f (0+) Î·È f (0−) ‰ÂÓ ˘¿Ú¯Ô˘Ó, Ë f ¤¯ÂÈ ·Û˘Ó¤¯ÂÈ· ‰Â˘Ù¤ÚÔ˘ ›‰Ô˘˜ ÛÙÔ x = 0. ¢ÂÓ ¤¯Ô˘Ì ·Ô‰Â›ÍÂÈ ·ÎfiÌË fiÙÈ Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË sin Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜. E¿Ó ÙÔ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì ·˘Ùfi ÚÔ˜ ÛÙÈÁÌ‹, ÙfiÙ ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 4.7 Û˘Ó¿ÁÂÙ·È fiÙÈ Ë f Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ Û οı ÛËÌÂ›Ô x Ì x = 0.
MONOTONE™ ™YNAPTH™EI™ £· ÌÂÏÂÙ‹ÛÔ˘Ì ÙÒÚ· ÙȘ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ Ô˘ ·˘Í¿ÓÔ˘Ó ‹ Êı›ÓÔ˘Ó Û ¤Ó· ‰Â‰Ô̤ÓÔ ‰È¿ÛÙËÌ·. OÚÈÛÌfi˜ 4.28. A˜ Â›Ó·È f Ì›· Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÛÙÔ (a, b). H f ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ·‡ÍÔ˘Û· ÛÙÔ (a, b) Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ÁÈ· ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ÛËÌ›· x, y Ì a < x < y < b ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ f (x) ≤ f (y). H f ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Êı›ÓÔ˘Û· ÛÙÔ (a, b) Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ·ÓÙ› Ù˘ ÙÂÏÂ˘Ù·›·˜ ·ÓÈÛfiÙËÙ·˜ ¤¯Ô˘Ì ÙËÓ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊ‹ Ù˘. M›· Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÌÔÓfiÙÔÓË Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó Â›Ó·È ·‡ÍÔ˘Û· ‹ Êı›ÓÔ˘Û·. £ÂÒÚËÌ· 4.29. A˜ Â›Ó·È f Ì›· ·‡ÍÔ˘Û· Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÛÙÔ (a, b). TfiÙÂ, Ù· f (x+), f (x−) ˘¿Ú¯Ô˘Ó Û οı ÛËÌÂ›Ô x ÙÔ˘ (a, b). ¶ÈÔ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ӷ, ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ sup f (t) = f (x−) ≤ f (x) ≤ f (x+) = inf f (t). x
a
(25)
EÈϤÔÓ, Â¿Ó a < x < y < b, ÙfiÙ f (x+) ≤ f (y−).
(26)
™YNEXEIA 147
AÛÊ·ÏÒ˜, ÈÛ¯‡Ô˘Ó Ù· ·Ó¿ÏÔÁ· Û˘ÌÂÚ¿ÛÌ·Ù· Î·È ÁÈ· Êı›ÓÔ˘Û˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ. Afi‰ÂÈÍË. §fiÁˆ Ù˘ ˘Ôı¤Ûˆ˜, ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ f (t) Ì a < t < x Â›Ó·È ¿Óˆ ÊÚ·Á̤ÓÔ ·fi ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi f (x) Î·È ÂÔ̤ӈ˜ ¤¯ÂÈ ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ ¿Óˆ ÊÚ¿ÁÌ·, ÙÔ ÔÔ›Ô Î·È Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì Ì A. ¶ÚÔÊ·ÓÒ˜, A ≤ f (x). £· ‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ A = f (x−). £ÂˆÚԇ̠ε > 0. Afi ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi ÙÔ˘ A Û˘Ó¿ÁÔ˘Ì ÙËÓ ‡·ÚÍË δ > 0 Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ a < x − δ < x Î·È A − ε < f (x − δ) ≤ A.
(27)
EÊfiÛÔÓ Ë f Â›Ó·È ·‡ÍÔ˘Û·, ¤¯Ô˘Ì fiÙÈ f (x − δ) ≤ f (t) ≤ A
(x − δ < t < x).
(28)
™˘Ó‰˘¿˙ÔÓÙ·˜ ÙȘ (27) Î·È (28) ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì fiÙÈ | f (t) − A| < ε
(x − δ < t < x).
ÕÚ·, f (x−) = A. TÔ ‰Â‡ÙÂÚÔ Ì¤ÚÔ˜ Ù˘ (25) ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È ·ÚÂÌÊÂÚÒ˜. K·ÙfiÈÓ, Â¿Ó a < x < y < b, ÙfiÙ ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ·fi ÙËÓ (25) fiÙÈ f (x+) = inf f (t) = inf f (t). x
x
(29)
H ÙÂÏÂ˘Ù·›· ÈÛfiÙËÙ· ÚÔ·ÙÂÈ Â¿Ó Á›ÓÂÈ ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ Ù˘ (25) ÛÙÔ (a, y) ·ÓÙ› ÙÔ˘ (a, b). ¶·ÚÔÌÔ›ˆ˜, f (y−) = sup f (t) = sup f (t). a
(30)
x
H Û‡ÁÎÚÈÛË Ù˘ (29) Ì ÙËÓ (30) ¯ÔÚËÁ› ÙËÓ (26). ¶fiÚÈÛÌ·. OÈ ÌÔÓfiÙÔÓ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ ‰ÂÓ ¤¯Ô˘Ó ·Û˘Ó¤¯ÂÈ· ‰Â˘Ù¤ÚÔ˘ ›‰Ô˘˜.
148
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
TÔ fiÚÈÛÌ· ·˘Ùfi Û˘Ó¿ÁÂÙ·È fiÙÈ Î¿ı ÌÔÓfiÙÔÓË Û˘Ó¿ÚÙËÛË Â›Ó·È ·Û˘Ó¯‹˜ ÙÔ Ôχ Û ¤Ó· ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌÔ ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÛËÌ›ˆÓ. AÓÙ› Ó· ηٷʇÁÔ˘Ì ÛÙÔ ÁÂÓÈÎfi ıÂÒÚËÌ·, ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ Ë ·fi‰ÂÈÍË ÛÎÈ·ÁÚ·ÊÂ›Ù·È ÛÙËÓ ÕÛÎËÛË 17, ‰›‰Ô˘Ì ·Ú·Î¿Ùˆ Ì›· ·Ï‹ ·fi‰ÂÈÍË Ô˘ ÂÊ·ÚÌfi˙ÂÙ·È Û ÌÔÓfiÙÔÓ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ. £ÂÒÚËÌ· 4.30. A˜ Â›Ó·È f Ì›· ·‡ÍÔ˘Û· Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÛÙÔ (a, b). TfiÙÂ, ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÛËÌ›ˆÓ ÛÙ· ÔÔ›· Ë f Â›Ó·È ·Û˘Ó¯‹˜ Â›Ó·È ÙÔ Ôχ ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌÔ. Afi‰ÂÈÍË. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ Ë f Â›Ó·È ·‡ÍÔ˘Û· Û˘Ó¿ÚÙËÛË (Ë ·fi‰ÂÈÍË Â›Ó·È fiÌÔÈ· ÁÈ· Êı›ÓÔ˘Û˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ). A˜ Â›Ó·È E ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ ·Û˘Ó¤¯ÂÈ·˜ Ù˘ f . ™Â οı ÛËÌÂ›Ô x ∈ E ·ÓÙÈÛÙÔȯ›˙Ô˘Ì ¤Ó·Ó ÚËÙfi ·ÚÈıÌfi r (x) Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ f (x−) < r (x) < f (x+). EÊfiÛÔÓ Ë ·ÓÈÛfiÙËÙ· x1 < x2 Û˘Ó¿ÁÂÙ·È ÙËÓ f (x1 +) ≤ f (x2 −), ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì fiÙÈ r (x1 ) = r (x2 ) Â¿Ó x1 = x2 . ™˘ÓÂÒ˜, ¤¯Ô˘Ì ηٷÛ΢¿ÛÂÈ Ì›· 1-1 ·ÓÙÈÛÙÔȯ›· ÌÂٷ͇ ÙÔ˘ E Î·È ÂÓfi˜ ˘ÔÛ˘ÓfiÏÔ˘ ÙÔ˘ Û˘ÓfiÏÔ˘ ÙˆÓ ÚËÙÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ. TÔ ÙÂÏÂ˘Ù·›Ô ›ӷÈ, fiˆ˜ ÁÓˆÚ›˙Ô˘ÌÂ, ÙÔ Ôχ ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌÔ. ¶·Ú·Ù‹ÚËÛË 4.31. ¶Ú¤ÂÈ Ó· ÛËÌÂȈı› fiÙÈ Ù· ÛËÌ›· ·Û˘Ó¤¯ÂÈ·˜ Ì›·˜ ÌÔÓfiÙÔÓ˘ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜ ‰ÂÓ Â›Ó·È ··Ú·Èًو˜ ÌÂÌÔӈ̤ӷ. ™ÙËÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfiÙËÙ·, ‰Â‰Ô̤ÓÔ˘ ÂÓfi˜ ·ÚÈıÌËÛ›ÌÔ˘ ˘ÔÛ˘ÓfiÏÔ˘ E ÙÔ˘ ‰È·ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ (a, b), ÙÔ ÔÔ›Ô ÌÔÚ› Ó· Â›Ó·È ·ÎfiÌË Î·È ˘ÎÓfi, ÌÔÚԇ̠ӷ ηٷÛ΢¿ÛÔ˘Ì ̛· Û˘Ó¿ÚÙËÛË f Ë ÔÔ›· Ó· Â›Ó·È ÌÔÓfiÙÔÓË ÛÙÔ (a, b), ·Û˘Ó¯‹˜ Û οı ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ E Î·È Û˘Ó¯‹˜ Û ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ¿ÏÏÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ (a, b). £ÂˆÚԇ̠fiÙÈ Ù· ÛËÌ›· ÙÔ˘ E ÙÔÔıÂÙÔ‡ÓÙ·È Û ̛· ·ÎÔÏÔ˘ı›· {xn }, (n = 1, 2, 3 . . . ). A˜ Â›Ó·È {cn } (n = 1, 2, 3 . . . ) Ì›· ·ÎÔÏÔ˘ı›· ıÂÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙÂ Ë ∞ n=1 cn Ó· Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ. OÚ›˙Ô˘Ì ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË f ̤ۈ Ù˘ ÈÛfiÙËÙ·˜ f (x) = cn (a < x < b). (31) xn <x
™YNEXEIA 149
™ÙÔ ·Ú·¿Óˆ, Ë ¿ıÚÔÈÛË Á›ÓÂÙ·È ·ÓÙÈÏËÙ‹ ˆ˜ ÂÍ‹˜: ·ıÚÔ›˙Ô˘Ì ˘ÂÚ¿Óˆ ÙˆÓ ‰ÂÈÎÙÒÓ n ÁÈ· ÙÔ˘˜ ÔÔ›Ô˘˜ ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ xn < x. E¿Ó ‰ÂÓ ˘¿Ú¯Ô˘Ó Ù¤ÙÔÈÔÈ ‰Â›ÎÙ˜, ÙfiÙ ÔÚ›˙Ô˘Ì ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ˆ˜ ÙÔ 0. EÊfiÛÔÓ Ë (31) Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ, Ë ‰È¿Ù·ÍË ÙˆÓ fiÚˆÓ ÛÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ‰ÂÓ ÂËÚ¿˙ÂÈ ÙÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ·. OÈ ·Ú·Î¿Ùˆ ÈÛ¯˘ÚÈÛÌÔ› ·Ê‹ÓÔÓÙ·È ÛÙÔÓ ·Ó·ÁÓÒÛÙË ÚÔ˜ ·ϋı¢ÛË: (·) H f Â›Ó·È ·‡ÍÔ˘Û· ÛÙÔ (a, b). (‚) H f Â›Ó·È ·Û˘Ó¯‹˜ Û οı ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ E. ™˘ÁÎÂÎÚÈ̤ӷ, ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ f (xn +) − f (xn −) = cn
(n = 1, 2, 3 . . . ).
(Á) H f Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ Û οı ¿ÏÏÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ (a, b). EÈϤÔÓ, ‰ÂÓ Â›Ó·È ‰‡ÛÎÔÏÔ Ó· ‰Âȯı› fiÙÈ f (x−) = f (x) Û οı ÛËÌÂ›Ô x ÙÔ˘ (a, b). M›· Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ì ·˘Ù‹Ó ÙËÓ È‰ÈfiÙËÙ· ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ·ÚÈÛÙÂÚ¿ Û˘Ó¯‹˜. E¿Ó ÛÙËÓ (31) Ï·Ì‚¿Ó·Ì ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ˘ÂÚ¿Óˆ ÙˆÓ ‰ÂÈÎÙÒÓ n Ì xn ≤ x, ÙfiÙ ı· ›Û¯˘Â Ë ÈÛfiÙËÙ· f (x+) = f (x) Û οı ÛËÌÂ›Ô x ÙÔ˘ (a, b). ™Â ·˘Ù‹Ó ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË, Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ‰ÂÍÈ¿ Û˘Ó¯‹˜. ™˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ Ù¤ÙÔÈÔ˘ Ù‡Ô˘ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ÔÚÈÛıÔ‡Ó Î·È Ì ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎfi ÙÚfiÔ. °È· ¤Ó· Ù¤ÙÔÈÔ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ·Ú·¤ÌÔ˘Ì ÛÙÔ £ÂÒÚËÌ· 6.16.
A¶EIPA OPIA KAI OPIA ™TO A¶EIPO °È· Ó· ÌÔÚ¤ÛÔ˘Ì ӷ ÂÚÁ·Ûıԇ̠ÛÙÔ ÂÎÙÂٷ̤ÓÔ Û‡ÛÙËÌ· ÙˆÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ, ı· ÁÂÓÈ·ÛÔ˘Ì ÙÔÓ OÚÈÛÌfi 4.1 ·Ó·‰È·Ù˘ÒÓÔÓÙ·˜ ÙÔÓ Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· Ù˘ ¤ÓÓÔÈ·˜ Ù˘ ÂÚÈÔ¯‹˜. °È· ¤Ó·Ó Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi x ¤¯Ô˘Ì ‹‰Ë ÔÚ›ÛÂÈ ˆ˜ ÂÚÈÔ¯‹ ÙÔ˘ x ¤Ó· ‰È¿ÛÙËÌ· Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ (x − δ, x + δ), fiÔ˘ δ > 0. OÚÈÛÌfi˜ 4.32. TÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ x Ì x > c, fiÔ˘ c Â›Ó·È ¤Ó·˜ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜, ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÂÚÈÔ¯‹ ÙÔ˘ +∞. ™˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ·˘Ùfi ˆ˜ (c, +∞). ¶·ÚÔÌÔ›ˆ˜, ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ÂÚÈÔ¯‹ ÙÔ˘ −∞ ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ x Ì x < c Î·È Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ·˘Ùfi ˆ˜ (−∞, c).
150
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
OÚÈÛÌfi˜ 4.33. A˜ Â›Ó·È f Ì›· Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË, ÔÚÈṲ̂ÓË Û ¤Ó· Û‡ÓÔÏÔ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ E. °Ú¿ÊÔ˘Ì f (t) → A ηıÒ˜ t → x, fiÔ˘ ÔÈ A Î·È x ·Ó‹ÎÔ˘Ó ÛÙÔ ÂÎÙÂٷ̤ÓÔ Û‡ÛÙËÌ· ÙˆÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ, Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ÁÈ· οı ÂÚÈÔ¯‹ ÙÔ˘ U ÙÔ˘ A ˘¿Ú¯ÂÈ ÂÚÈÔ¯‹ V ÙÔ˘ x Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ ÙÔ V ∩ E Ó· Â›Ó·È ÌË ÎÂÓfi Î·È f (t) ∈ U ÁÈ· οı t ∈ V ∩ E Ì t = x. ™Â ·˘Ù‹Ó ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË, Ô ·ÚÈıÌfi˜ A ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È fiÚÈÔ Ù˘ f ÛÙÔ x. ¢È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì ·Ï¿ fiÙÈ Ô ·Ú·¿Óˆ ÔÚÈÛÌfi˜ Û˘Ì›ÙÂÈ Ì ÙÔÓ OÚÈÛÌfi 4.1 fiÙ·Ó ÔÈ A Î·È x Â›Ó·È Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›. TÔ ·Ó¿ÏÔÁÔ ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 4.4 ·Ú·Ì¤ÓÂÈ ·ÏËı¤˜, ‰›¯ˆ˜ Ë ·fi‰ÂÈÍË Ó· ‰È·Ê¤ÚÂÈ ÛÙËÓ Ô˘Û›· Ù˘. °È· ¯¿ÚË ÏËÚfiÙËÙ·˜, ÙÔ ‰È·Ù˘ÒÓÔ˘ÌÂ: £ÂÒÚËÌ· 4.34. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ f, g Â›Ó·È Ú·ÁÌ·ÙÈΤ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ, ÔÚÈṲ̂Ó˜ Û ¤Ó· Û‡ÓÔÏÔ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ E. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ f (t) → A, g(t) → B ηıÒ˜ t → x, fiÔ˘ ÔÈ A, B Î·È x ·Ó‹ÎÔ˘Ó ÛÙÔ ÂÎÙÂٷ̤ÓÔ Û‡ÛÙËÌ· ÙˆÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ. TfiÙÂ: (·) E¿Ó f (t) → A ηıÒ˜ t → x, fiÔ˘ Ô A ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙÔ ÂÎÙÂٷ̤ÓÔ Û‡ÛÙËÌ· ÙˆÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ, ÙfiÙ A = A. (‚) ( f + g)(t) → A + B ηıÒ˜ t → x. (Á) ( f g)(t) → AB ηıÒ˜ t → x. (‰) ( f /g)(t) → A/B ηıÒ˜ t → x. B‚·›ˆ˜, Ù· ·Ú·¿Óˆ ÈÛ¯‡Ô˘Ó fiÙ·Ó Ù· ‰ÂÍÈ¿ ̤ÚË ÙˆÓ (‚), (Á) Î·È (‰) ÔÚ›˙ÔÓÙ·È. ™ËÌÂÈÒÓÔ˘Ì fiÙÈ Ù· ∞−∞, 0·∞, ∞/∞ Î·È 0/0 ‰ÂÓ ÔÚ›˙ÔÓÙ·È (·Ó·ÙÚ¤ÍÙ ÛÙÔÓ OÚÈÛÌfi 1.23).
A™KH™EI™
™YNEXEIA 151
ÕÛÎËÛË 1. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ f Â›Ó·È Ì›· Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË, ÔÚÈṲ̂ÓË ÛÙÔÓ R 1 , Ë ÔÔ›· ÈηÓÔÔÈ› ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· lim [ f (x + h) − f (x − h)] = 0
h→0
ÁÈ· οı x ∈ R 1 . E›Ó·È Ë f ·Ó·ÁηÛÙÈο Û˘Ó¯‹˜; ÕÛÎËÛË 2. E¿Ó f Â›Ó·È Ì›· Û˘Ó¯‹˜ ·ÂÈÎfiÓÈÛË ÂÓfi˜ ÌÂÙÚÈÎÔ‡ ¯ÒÚÔ˘ X Û ¤Ó·Ó ÌÂÙÚÈÎfi ¯ÒÚÔ Y , ÙfiÙ ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ f (E) ⊂ f (E) ÁÈ· οı ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ E ÙÔ˘ X . (M E Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì ÙËÓ ÎÏÂÈÛÙ‹ ı‹ÎË ÙÔ˘ E.) ¢Â›ÍÙ Ì ¤Ó· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· fiÙÈ ÙÔ f (E) ÌÔÚ› Ó· Â›Ó·È ÁÓ‹ÛÈÔ ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ f (E). ÕÛÎËÛË 3. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ f Â›Ó·È Ì›· Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ Û˘Ó¯‹˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË Û ¤Ó·Ó ÌÂÙÚÈÎfi ¯ÒÚÔ X . ™˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì Ì Z ( f ) (Î·È ÙÔ ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ۇÓÔÏÔ ı¤ÛÂˆÓ ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ Ù˘ f ) ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ p ∈ X Ì f ( p) = 0. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ ÙÔ Z ( f ) Â›Ó·È ÎÏÂÈÛÙfi. ÕÛÎËÛË 4. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ f, g Â›Ó·È Û˘Ó¯›˜ ·ÂÈÎÔÓ›ÛÂȘ ÂÓfi˜ ÌÂÙÚÈÎÔ‡ ¯ÒÚÔ˘ X Û ¤Ó·Ó ÌÂÙÚÈÎfi ¯ÒÚÔ Y Î·È fiÙÈ E Â›Ó·È ¤Ó· ˘ÎÓfi ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ X . Aԉ›ÍÙ fiÙÈ ÙÔ f (E) Â›Ó·È ˘ÎÓfi ÛÙÔ f (X ). E¿Ó g( p) = f ( p) ÁÈ· οı p ∈ E, ÙfiÙ ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ g( p) = f ( p) ÁÈ· οı p ∈ X . (M ‰È·ÊÔÚÂÙÈ΋ ‰È·Ù‡ˆÛË, Ì›· Û˘Ó¯‹˜ ·ÂÈÎfiÓÈÛË ÚÔÛ‰ÈÔÚ›˙ÂÙ·È ·fi ÙȘ ÙÈ̤˜ Ù˘ Û ¤Ó· ˘ÎÓfi ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ ‰›Ô˘ ÙÈÌÒÓ Ù˘.) ÕÛÎËÛË 5. E¿Ó f Â›Ó·È Ì›· Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ Û˘Ó¯‹˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË, ÔÚÈṲ̂ÓË Û ¤Ó· ÎÏÂÈÛÙfi ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ E ÙÔ˘ R 1 , ÙfiÙ ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ ˘¿Ú¯ÂÈ Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ Û˘Ó¯‹˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË g, ÔÚÈṲ̂ÓË ÛÙÔÓ R 1 , Ì g(x) = f (x) ÁÈ· οı x ∈ E. (M›· Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ì ·˘Ù‹Ó ÙËÓ È‰ÈfiÙËÙ· ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Û˘Ó¯‹˜ ¤ÎÙ·ÛË Ù˘ f ·fi ÙÔÓ E ÛÙÔÓ R 1 .) ¢Â›ÍÙ fiÙÈ ÙÔ Û˘Ì¤Ú·ÛÌ· ‰ÂÓ ÈÛ¯‡ÂÈ Â¿Ó ·Ú·Ï›„Ô˘ÌÂ
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∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
ÙË Ï¤ÍË «ÎÏÂÈÛÙfi». EÂÎÙ›ÓÂÙ ÙÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· ·˘Ùfi ÁÈ· ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈΤ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ. Yfi‰ÂÈÍË: £ÂˆÚ‹ÛÙ fiÙÈ ÙÔ ÁÚ¿ÊËÌ·1 Ù˘ g Â›Ó·È Â˘ı›· ÁÚ·ÌÌ‹ Û οı ¤Ó· ·fi Ù· ·ÓÔÈÎÙ¿ ‰È·ÛÙ‹Ì·Ù· Ô˘ ·ÔÙÂÏÔ‡Ó ÙÔ Û˘Ìϋڈ̷ ÙÔ˘ E (Û˘ÁÎÚ›ÓÂÙ Ì ÙËÓ ÕÛÎËÛË 29 ÙÔ˘ KÂÊ·Ï·›Ô˘ 2). TÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· ·Ú·Ì¤ÓÂÈ ·ÏËı¤˜ Â¿Ó Ô R 1 ·ÓÙÈηٷÛÙ·ı› ·fi ÔÔÈÔÓ‰‹ÔÙ ÌÂÙÚÈÎfi ¯ÒÚÔ, fï˜ Ë ·fi‰ÂÈÍË ‰ÂÓ Â›Ó·È ÙfiÛÔ ·Ï‹. ÕÛÎËÛË 6. E¿Ó f Â›Ó·È Ì›· Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÔÚÈṲ̂ÓË ÛÙÔ E, ÙfiÙ ÙÔ ÁÚ¿ÊËÌ· Ù˘ f Â›Ó·È ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ (x, f (x)) Ì x ∈ E. I‰È·ÈÙ¤Úˆ˜, Â¿Ó ÙÔ E Â›Ó·È Û‡ÓÔÏÔ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ Î·È Ë f Â›Ó·È Ú·ÁÌ·ÙÈ΋, ÙfiÙ ÙÔ ÁÚ¿ÊËÌ¿ Ù˘ Â›Ó·È ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ ÂȤ‰Ô˘. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ E Â›Ó·È ¤Ó· Û‡ÓÔÏÔ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ Î·È fiÙÈ Ë f Â›Ó·È Ì›· Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË, ÔÚÈṲ̂ÓË ÛÙÔ E. E¿Ó ÙÔ E Â›Ó·È Û˘Ì·Á¤˜, ÙfiÙ ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ Ë f Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ÙÔ ÁÚ¿ÊËÌ¿ Ù˘ Â›Ó·È Û˘Ì·Á¤˜. ÕÛÎËÛË 7. E¿Ó E ⊂ X Î·È Â¿Ó f Â›Ó·È Ì›· Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÔÚÈṲ̂ÓË ÛÙÔ X , ÙfiÙÂ Ô ÂÚÈÔÚÈÛÌfi˜ Ù˘ f ÛÙÔ E Â›Ó·È Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË g, Ì ‰›Ô ÔÚÈÛÌÔ‡ ÙÔ E, ÁÈ· ÙËÓ ÔÔ›· ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ g( p) = f ( p) ÁÈ· οı p ∈ E. OÚ›˙Ô˘Ì ÙȘ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ f, g ÛÙÔÓ R 2 ̤ۈ ÙˆÓ ÈÛÔًوÓ: f (0, 0) = g(0, 0) = 0 Î·È f (x, y) = x y 2 /(x 2 +y 4 ), g(x, y) = x y 2 /(x 2 +y 6 ) ÁÈ· (x, y) = 0. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ Ë f Â›Ó·È ÊÚ·Á̤ÓË ÛÙÔÓ R 2 , fiÙÈ Ë g Â›Ó·È ÌË ÊÚ·Á̤ÓË Û ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ÂÚÈÔ¯‹ ÙÔ˘ (0, 0) Î·È fiÙÈ Ë f ‰ÂÓ Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ (0, 0). ¶·Ú' fiÏ· ·˘Ù¿, ÔÈ ÂÚÈÔÚÈÛÌÔ› ÙˆÓ f , g Û οı ¢ı›· ÁÚ·ÌÌ‹ ÙÔ˘ R 2 Â›Ó·È Û˘Ó¯›˜! ÕÛÎËÛË 8. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ f Â›Ó·È Ì›· Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ Û˘Ó¯‹˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË, ÔÚÈṲ̂ÓË Û ¤Ó· ÊÚ·Á̤ÓÔ ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ E ÙÔ˘ R 1 . Aԉ›ÍÙ fiÙÈ Ë f Â›Ó·È ÊÚ·Á̤ÓË ÛÙÔ E. ¢Â›ÍÙ fiÙÈ ÙÔ Û˘Ì¤Ú·ÛÌ· Â›Ó·È „¢‰¤˜ Â¿Ó ·Ú·Ï›„Ô˘Ì ÙËÓ ˘fiıÂÛË fiÙÈ ÙÔ E Â›Ó·È ÊÚ·Á̤ÓÔ. 1
™. Ù. M.: °È· ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi ÙÔ˘ ÁÚ·Ê‹Ì·ÙÔ˜ ·Ó·ÙÚ¤ÍÙ ÛÙËÓ ÂfiÌÂÓË ¿ÛÎËÛË.
™YNEXEIA 153
ÕÛÎËÛË 9. ¢Â›ÍÙ fiÙÈ Ë ··›ÙËÛË ÛÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi Ù˘ ÔÌÔÈfiÌÔÚÊ˘ Û˘Ó¤¯ÂÈ·˜ ÌÔÚ› Ó· ‰È·Ù˘ˆı› ˆ˜ ·ÎÔÏÔ‡ıˆ˜: °È· οı ε > 0 ˘¿Ú¯ÂÈ δ > 0 Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ diam f (E) < ε ÁÈ· οı ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ E ÙÔ˘ X Ì diamE < δ. ÕÛÎËÛË 10. ™˘ÌÏËÚÒÛÙ ÙȘ ÏÂÙÔ̤ÚÂȘ Ù˘ ·ÎfiÏÔ˘ı˘ ÂÓ·ÏÏ·ÎÙÈ΋˜ ·Ô‰Â›Íˆ˜ ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 4.19: E¿Ó Ë f ‰ÂÓ Â›Ó·È ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ Û˘Ó¯‹˜, ÙfiÙ ÁÈ· οÔÈÔ ε > 0 ˘¿Ú¯Ô˘Ó ·ÎÔÏÔ˘ı›Â˜ { pn }, {qn } (n = 1, 2, 3, . . . ) Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ d X ( pn , qn ) → 0 ηıÒ˜ n → ∞ Î·È dY ( f ( pn ), f (qn )) > ε ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË n. XÚËÛÈÌÔÔÈ›ÛÙ ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 2.37 ÁÈ· Ó· ηٷϋÍÂÙ Û ·ÓٛʷÛË. ÕÛÎËÛË 11. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ f Â›Ó·È Ì›· ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ Û˘Ó¯‹˜ ·ÂÈÎfiÓÈÛË ÂÓfi˜ ÌÂÙÚÈÎÔ‡ ¯ÒÚÔ˘ X Û ¤Ó·Ó ÌÂÙÚÈÎfi ¯ÒÚÔ Y . Aԉ›ÍÙ fiÙÈ Ë { f (xn )} (n = 1, 2, 3, . . . ) Â›Ó·È ·ÎÔÏÔ˘ı›· Cauchy ÙÔ˘ Y ÁÈ· οı ·ÎÔÏÔ˘ı›· Cauchy {xn } (n = 1, 2, 3, . . . ) ÙÔ˘ X . XÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÙ ÙÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· ·˘Ùfi ÁÈ· Ó· ‰ÒÛÂÙ ̛· ÂÓ·ÏÏ·ÎÙÈ΋ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ Ô˘ ‰È·Ù˘ÒÓÂÙ·È ÛÙËÓ ÕÛÎËÛË 13. ÕÛÎËÛË 12. M›· ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ Û˘Ó¯‹˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ Û˘Ó¯ԇ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜ Â›Ó·È ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ Û˘Ó¯‹˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË. ¢È·Ù˘ÒÛÙ ÙÔ ·Ú·¿Óˆ ·ÎÚÈ‚¤ÛÙÂÚ· Î·È ·Ô‰Â›ÍÙ ÙÔ. ÕÛÎËÛË 13. A˜ Â›Ó·È E ¤Ó· ˘ÎÓfi ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÂÓfi˜ ÌÂÙÚÈÎÔ‡ ¯ÒÚÔ˘ X Î·È f Ì›· Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ Û˘Ó¯‹˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË, ÔÚÈṲ̂ÓË ÛÙÔ E. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ Ë f ¤¯ÂÈ ÌÔÓ·‰È΋ Û˘Ó¯‹ ¤ÎÙ·ÛË ·fi ÙÔ E ÛÙÔÓ X (·Ó·ÙÚ¤ÍÙ ÛÙËÓ ÕÛÎËÛË 5 ÁÈ· ÙËÓ ÔÚÔÏÔÁ›·). (H ÌÔÓ·‰ÈÎfiÙËÙ· ÚÔ·ÙÂÈ ·fi ÙËÓ ÕÛÎËÛË 4.) Yfi‰ÂÈÍË: °È· οı p ∈ X Î·È ıÂÙÈÎfi ·Î¤Ú·ÈÔ ·ÚÈıÌfi n, ·˜ Â›Ó·È Vn ( p) ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ q ∈ E Ì d( p, q) < 1/n. XÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÙ ÙËÓ ÕÛÎËÛË 9 ÁÈ· Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ë ÙÔÌ‹ ÙˆÓ ÎÏÂÈÛÙÒÓ ıËÎÒÓ ÙˆÓ Û˘ÓfiÏˆÓ f (V1 ( p)), f (V2 ( p)), . . . ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi ¤Ó· Î·È ÌÔÓ·‰ÈÎfi ÛËÌÂ›Ô g( p) ÙÔ˘ R 1 . Aԉ›ÍÙ fiÙÈ Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË g Â›Ó·È Ë ÂÈı˘ÌËÙ‹ ¤ÎÙ·ÛË Ù˘ f ÛÙÔÓ X . MÔÚ› Ô R 1 Ó· ·ÓÙÈηٷÛÙ·ı› ·fi ÙÔÓ R k ; Afi ¤Ó·Ó Û˘Ì·Á‹ ÌÂÙÚÈÎfi ¯ÒÚÔ; Afi ÔÔÈÔÓ‰‹ÔÙ ÌÂÙÚÈÎfi ¯ÒÚÔ;
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∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
ÕÛÎËÛË 14. A˜ Â›Ó·È I = [0, 1]. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ f Â›Ó·È Ì›· Û˘Ó¯‹˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÙÔ˘ I ÛÙÔ I . Aԉ›ÍÙ fiÙÈ ˘¿Ú¯ÂÈ (ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ ¤Ó·) x ∈ I Ì f (x) = x. ÕÛÎËÛË 15. OÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ̛· ·ÂÈÎfiÓÈÛË f ÂÓfi˜ ÌÂÙÚÈÎÔ‡ ¯ÒÚÔ˘ X Û ¤Ó·Ó ÌÂÙÚÈÎfi ¯ÒÚÔ Y ·ÓÔÈÎÙ‹ Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ÙÔ f (V ) Â›Ó·È ·ÓÔÈÎÙfi Û‡ÓÔÏÔ ÁÈ· οı ·ÓÔÈÎÙfi ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ V ÙÔ˘ X . Aԉ›ÍÙ fiÙÈ Î¿ıÂ Û˘Ó¯‹˜ ·ÓÔÈÎÙ‹ ·ÂÈÎfiÓÈÛË ÙÔ˘ R 1 ÛÙÔÓ R 1 Â›Ó·È ÌÔÓfiÙÔÓË.
ÕÛÎËÛË 16. °È· ¤Ó·Ó Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi x Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì Ì [x] ÙÔÓ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ ·Î¤Ú·ÈÔ ·ÚÈıÌfi Ô˘ Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ˜ ÙÔ˘ x, ‰ËÏ·‰‹ Ô [x] Â›Ó·È Ô ·Î¤Ú·ÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ ÁÈ· ÙÔÓ ÔÔ›Ô ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ x − 1 < [x] ≤ x. A˜ Â›Ó·È (x) = x − [x], ÙÔ ÎÏ·ÛÌ·ÙÈÎfi ̤ÚÔ˜ ÙÔ˘ x. ¶Ô›· Â›Ó·È Ù· ÛËÌ›· ·Û˘Ó¤¯ÂÈ·˜ ÙˆÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ [x] Î·È (x); ÕÛÎËÛË 17. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ f Â›Ó·È Ì›· Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË, ÔÚÈṲ̂ÓË ÛÙÔ (a, b). Aԉ›ÍÙ fiÙÈ ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ fiÔ˘ Ë f ¤¯ÂÈ ·Ï‹ ·Û˘Ó¤¯ÂÈ· Â›Ó·È ÙÔ Ôχ ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌÔ. Yfi‰ÂÈÍË: A˜ Â›Ó·È E ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ x Ì f (x−) < f (x+). ™Â οı ÛËÌÂ›Ô x ÙÔ˘ E ·ÓÙÈÛÙÔȯ›˙Ô˘Ì ̛· ÙÚÈ¿‰· ÚËÙÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ ( p, q, r ) Ì ÙȘ ȉÈfiÙËÙ˜: (·) f (x−) < p < f (x+). (‚) E¿Ó a < q < t < x, ÙfiÙ f (t) < p. (Á) E¿Ó x < t < r < b, ÙfiÙ f (t) > p. TÔ Û‡ÓÔÏÔ ·˘ÙÒÓ ÙˆÓ ÙÚÈ¿‰ˆÓ Â›Ó·È ÙÔ Ôχ ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌÔ. ¢Â›ÍÙ fiÙÈ Û οı ٤ÙÔÈ· ÙÚÈ¿‰· ·ÓÙÈÛÙÔȯ› ÙÔ Ôχ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ E. EÚÁ·Ûı›Ù ÔÌÔ›ˆ˜ Ì ÙÔ˘˜ ˘fiÏÔÈÔ˘˜ ‰˘Ó·ÙÔ‡˜ Ù‡Ô˘˜ ·Ï‹˜ ·Û˘Ó¤¯ÂÈ·˜ Ù˘ f .
ÕÛÎËÛË 18. K¿ı ÚËÙfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ x ÁÚ¿ÊÂÙ·È Î·Ù¿ ÌÔÓ·‰ÈÎfi ÙÚfiÔ ÛÙË ÌÔÚÊ‹ x = m/n, fiÔ˘ ÔÈ m, n Â›Ó·È ·Î¤Ú·ÈÔÈ ·ÚÈıÌÔ› Ì ÌË ÎÔÈÓfi ·Ú¿ÁÔÓÙ·
™YNEXEIA 155
Î·È n > 0. ŸÙ·Ó x = 0, ÙfiÙ ı¤ÙÔ˘Ì n = 1. £ÂˆÚԇ̠ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË f Ô˘ ÔÚ›˙ÂÙ·È ÛÙÔÓ R 1 ·fi ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· 0 Â¿Ó Ô x Â›Ó·È ¿ÚÚËÙÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜, f (x) = 1/n Â¿Ó x = m/n, fiˆ˜ ·Ú·¿Óˆ. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ Ë f Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ Û οı ¿ÚÚËÙÔ ·ÚÈıÌfi Î·È fiÙÈ Ë f ¤¯ÂÈ ·Ï‹ ·Û˘Ó¤¯ÂÈ· Û οı ÚËÙfi ·ÚÈıÌfi. ÕÛÎËÛË 19. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ f Â›Ó·È Ì›· Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË, Ì ‰›Ô ÔÚÈÛÌÔ‡ ÙÔ R 1 , Ë ÔÔ›· ¤¯ÂÈ ÙËÓ È‰ÈfiÙËÙ· ÂÓ‰È·Ì¤ÛˆÓ ÙÈÌÒÓ: Â¿Ó a, b, c Â›Ó·È Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› Ì f (a) < c < f (b), ÙfiÙ f (x) = c ÁÈ· οÔÈÔ x ÌÂٷ͇ ÙˆÓ a Î·È b. YÔı¤ÙÔ˘Ì ›Û˘ fiÙÈ ÁÈ· οı ÚËÙfi ·ÚÈıÌfi r ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ x Ì f (x) = r Â›Ó·È ÎÏÂÈÛÙfi. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ Ë f Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜. Yfi‰ÂÈÍË: E¿Ó {xn } (n = 1, 2, 3, . . . ) Â›Ó·È Ì›· ·ÎÔÏÔ˘ı›· Î·È x0 ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô Ì xn → x0 ηıÒ˜ n → ∞ Î·È Â¿Ó f (xn ) > r > f (x0 ) ÁÈ· οÔÈÔÓ ÚËÙfi ·ÚÈıÌfi r Î·È Î¿ı ‰Â›ÎÙË n, ÙfiÙ ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË n ˘¿Ú¯ÂÈ tn ÌÂٷ͇ ÙˆÓ x0 Î·È xn Ì f (tn ) = r . ™˘ÓÂÒ˜, tn → x0 ηıÒ˜ n → ∞. K·Ù·Ï‹ÍÙ Û ·ÓٛʷÛË. (N. J. Fine, Amer. Math. Monthly, vol. 73, 1966, p.782.) ÕÛÎËÛË 20. E¿Ó E Â›Ó·È ¤Ó· ÌË ÎÂÓfi ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÂÓfi˜ ÌÂÙÚÈÎÔ‡ ¯ÒÚÔ˘ X , ÙfiÙ ÔÚ›˙Ô˘Ì ÙËÓ ·fiÛÙ·ÛË ÙÔ˘ x ∈ X ·fi ÙÔ E ̤ۈ Ù˘ ÈÛfiÙËÙ·˜ ρ E (x) = inf d(x, z). z∈E
(·) Aԉ›ÍÙ fiÙÈ ρ E (x) = 0 Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó x ∈ E. (‚) Aԉ›ÍÙ fiÙÈ Ë ρ E Â›Ó·È ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ Û˘Ó¯‹˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÛÙÔÓ X ‰Â›¯ÓÔÓÙ·˜ fiÙÈ |ρ E (x) − ρ E (y)| ≤ d(x, y) ÁÈ· οı x, y ∈ X . Yfi‰ÂÈÍË: °È· x, y, z ∈ X ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ ρ E (x) ≤ d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) Î·È ÂÔ̤ӈ˜ ρ E (x) ≤ d(x, y) + ρ E (y).
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∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
ÕÛÎËÛË 21. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ K Î·È F Â›Ó·È ‰‡Ô ·ÔÛ˘Ó‰ÂÙ¿ ˘ÔÛ‡ÓÔÏ· ÂÓfi˜ ÌÂÙÚÈÎÔ‡ ¯ÒÚÔ˘ X , fiÙÈ ÙÔ K Â›Ó·È Û˘Ì·Á¤˜ Î·È fiÙÈ ÙÔ F ÎÏÂÈÛÙfi. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ ˘¿Ú¯ÂÈ δ > 0 Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ d( p, q) > δ ÁÈ· οı p ∈ K , q ∈ F. Yfi‰ÂÈÍË: H ρ F Â›Ó·È ıÂÙÈ΋ Û˘Ó¯‹˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÛÙÔ K . ¢Â›ÍÙ fiÙÈ ÙÔ Û˘Ì¤Ú·ÛÌ· ‰ÂÓ ·ÏËı‡ÂÈ ÁÈ· ÎÏÂÈÛÙ¿ Î·È ÌË Û˘Ì·Á‹ ·ÔÛ˘Ó‰ÂÙ¿ Û‡ÓÔÏ·. ÕÛÎËÛË 22. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ A, B Â›Ó·È ‰‡Ô ÎÏÂÈÛÙ¿ Î·È ·ÔÛ˘Ó‰ÂÙ¿ ˘ÔÛ‡ÓÔÏ· ÂÓfi˜ ÌÂÙÚÈÎÔ‡ ¯ÒÚÔ˘ X . OÚ›˙Ô˘Ì ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË f ̤ۈ Ù˘ Û¯¤Ûˆ˜ f ( p) =
ρ A ( p) ρ A ( p) + ρ B ( p)
( p ∈ X ).
Aԉ›ÍÙ fiÙÈ Ë f Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÛÙÔÓ X Ì ‰›Ô ÙÈÌÒÓ Â˘ÚÈÛÎfiÌÂÓÔ ÂÓÙfi˜ ÙÔ˘ [0, 1], fiÙÈ f ( p) = 0 Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó p ∈ A Î·È fiÙÈ f ( p) = 1 Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó p ∈ B. TÔ ·Ú·¿Óˆ ·ÔÙÂÏ› ¤Ó· ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ Ù˘ AÛ΋Ûˆ˜ 13: K¿ı ÎÏÂÈÛÙfi ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ A ÙÔ˘ X Â›Ó·È Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ Z ( f ) ÁÈ· οÔÈ· Û˘Ó¯‹ Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË f ÛÙÔÓ X . £¤ÙÔÓÙ·˜ V = f −1 ([0, 1/2)),
W = f −1 ((1/2, 1]),
·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ Ù· Û‡ÓÔÏ· V , W Â›Ó·È ·ÓÔÈÎÙ¿ Î·È ·ÔÛ˘Ó‰ÂÙ¿ Î·È fiÙÈ A ⊂ V , B ⊂ W . (™˘ÓÂÒ˜, Û ¤Ó·Ó ÌÂÙÚÈÎfi ¯ÒÚÔ, ‰‡Ô ÎÏÂÈÛÙ¿ Î·È ·ÔÛ˘Ó‰ÂÙ¿ ˘ÔÛ‡ÓÔÏ· ÌÔÚÔ‡Ó Ó· Î·Ï˘ÊıÔ‡Ó ·fi ˙‡ÁË ·ÓÔÈÎÙÒÓ Î·È ·ÔÛ˘Ó‰ÂÙÒÓ ˘ÔÛ˘ÓfiψÓ. H ȉÈfiÙËÙ· ·˘Ù‹ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Ê˘ÛÈÔÏÔÁÈÎfiÙËÙ· 2 .) 2
™. Ù. M.: O ·ÓÙ›ÛÙÔȯԘ ·ÁÁÏÈÎfi˜ fiÚÔ˜ Â›Ó·È normality. ™ÙËÓ ÂÏÏËÓÈ΋ ‚È‚ÏÈÔÁÚ·Ê›·, ΢ڛˆ˜ ÛÂ Û˘ÁÁÚ¿ÌÌ·Ù· °ÂÓÈ΋˜ TÔÔÏÔÁ›·˜, ˘¿Ú¯ÂÈ Ì›· Û‡Á¯˘ÛË Û¯ÂÙÈο Ì ÙËÓ ·fi‰ÔÛË ÛÙ· ÂÏÏËÓÈο ÙˆÓ fiÚˆÓ regular Î·È normal ÔÈ ÔÔ›ÔÈ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ·Ô‰ÔıÔ‡Ó Ì ÙȘ ϤÍÂȘ «ÔÌ·Ïfi˜», «Î·ÓÔÓÈÎfi˜», «Ê˘ÛÈÔÏÔÁÈÎfi˜». °È· ÙË Ï¤ÍË normality Ô ÌÂÙ·ÊÚ·ÛÙ‹˜, ÂӉ¯Ô̤ӈ˜ Î·È ÁÈ· ÏfiÁÔ˘˜ ÚÔÛˆÈ΋˜ ÚÔÙÈÌ‹Ûˆ˜, ÂÈϤÁÂÈ ÙËÓ ·fi‰ÔÛË «Ê˘ÛÈÔÏÔÁÈÎfiÙËÙ·». ¶Èı·ÓÒ˜, Ë ·fi‰ÔÛË ÙÔ˘ ÂÓ ÏfiÁˆ fiÚÔ˘ Ì ÙË Ï¤ÍË «ÔÚıÔıÂÛ›·» Ó· Â›Ó·È Ë ÔÚıfiÙÂÚË ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ ÂÙ˘ÌÔÏÔÁ›·, fï˜ Ë Ï¤ÍË ·˘Ù‹ ¤¯ÂÈ «ÁˆÌÂÙÚÈÎfi» ¯·Ú·ÎÙ‹Ú·. ™ÙË °ÂˆÌÂÙÚ›· ˘¿Ú¯Ô˘Ó ¤ÓÓÔȘ, fiˆ˜ normal vector, fiÔ˘ Ë Ï¤ÍË normal ‰ËÏÒÓÂÈ ÙËÓ Î·ıÂÙfiÙËÙ·. K¿ÙÈ ·Ó¿ÏÔÁÔ ‰ÂÓ Û˘Ì‚·›ÓÂÈ ÛÙË °ÂÓÈ΋ TÔÔÏÔÁ›· Ì ÙÔ˘˜ normal spaces.
™YNEXEIA 157
ÕÛÎËÛË 23. M›· Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË f , ÔÚÈṲ̂ÓË ÛÙÔ (a, b), ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Î˘ÚÙ‹ Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó f (λx + (1 − λ)y) ≤ λ f (x) + (1 − λ) f (y) ÁÈ· οı x, y ∈ (a, b) Î·È Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi λ Ì 0 < λ < 1. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ Î¿ı ΢ÚÙ‹ Û˘Ó¿ÚÙËÛË Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ Î¿ı ·‡ÍÔ˘Û· ΢ÚÙ‹ Û˘Ó¿ÚÙËÛË Î˘ÚÙ‹˜ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜ Â›Ó·È Î˘ÚÙ‹ (E› ·Ú·‰Â›ÁÌ·ÙÈ, Â¿Ó Ë f Â›Ó·È Î˘ÚÙ‹, ÙfiÙ ÙÔ ›‰ÈÔ ÈÛ¯‡ÂÈ Î·È ÁÈ· ÙËÓ e f .) E¿Ó Ë f Â›Ó·È Î˘ÚÙ‹ ÛÙÔ (a, b) Î·È Â¿Ó s, t, u Â›Ó·È Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› Ì a < s < t < u < b, ÙfiÙ ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ f (t) − f (s) f (u) − f (s) f (u) − f (t) ≤ ≤ . t −s u−s u−t ÕÛÎËÛË 24. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ f Â›Ó·È Ì›· Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ Û˘Ó¯‹˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË, ÔÚÈṲ̂ÓË ÛÙÔ (a, b), ÁÈ· ÙËÓ ÔÔ›· ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ f (x) + f (y) x+y ≤ f 2 2 ÁÈ· οı x, y ∈ (a, b). Aԉ›ÍÙ fiÙÈ Ë f Â›Ó·È Î˘ÚÙ‹. ÕÛÎËÛË 25. E¿Ó A ⊂ R k Î·È B ⊂ R k , ÙfiÙ ÔÚ›˙Ô˘Ì ˆ˜ A + B ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ x + y Ì x ∈ A Î·È y ∈ B. (·) E¿Ó ÙÔ K Â›Ó·È Û˘Ì·Á¤˜ Î·È ÙÔ C ÎÏÂÈÛÙfi ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ R k , ÙfiÙ ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ ÙÔ K + C Â›Ó·È ÎÏÂÈÛÙfi. Yfi‰ÂÈÍË: £ÂˆÚ‹ÛÙ z ∈ / K + C Î·È ı¤Û·Ù F = z − C, ‰ËÏ·‰‹ ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ z − y Ì y ∈ C. TfiÙÂ, Ù· K Î·È F Â›Ó·È ·ÔÛ˘Ó‰ÂÙ¿. £ÂˆÚ‹ÛÙ δ > 0 fiˆ˜ ÛÙËÓ ÕÛÎËÛË 21. ¢Â›ÍÙ fiÙÈ Ë ·ÓÔÈÎÙ‹ ÛÊ·ÈÚÈ΋ ÂÚÈÔ¯‹ Ì ΤÓÙÚÔ ÙÔ z Î·È ·ÎÙ›Ó· δ ‰ÂÓ Ù¤ÌÓÂÈ ÙÔ K + C. (‚) A˜ Â›Ó·È α ¤Ó·˜ ¿ÚÚËÙÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜. A˜ Â›Ó·È Â›Û˘ C1 ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ fiÏˆÓ ÙˆÓ ·ÎÂÚ·›ˆÓ Î·È C2 ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ nα Ì n ∈ C1 . ¢Â›ÍÙ fiÙÈ Ù· C1 , C2 Â›Ó·È ÎÏÂÈÛÙ¿ ˘ÔÛ‡ÓÔÏ· ÙÔ˘ R 1 , ÂÓÒ ÙÔ C1 + C2 ‰ÂÓ Â›Ó·È ÎÏÂÈÛÙfi, ‰Â›¯ÓÔÓÙ·˜ fiÙÈ ÙÔ C1 + C2 Â›Ó·È ¤Ó· ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌÔ Î·È ˘ÎÓfi ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ R 1 .
158
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
ÕÛÎËÛË 26. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ X , Y , Z Â›Ó·È ÌÂÙÚÈÎÔ› ¯ÒÚÔÈ Î·È fiÙÈ Ô Y Â›Ó·È Û˘Ì·Á‹˜. A˜ Â›Ó·È f Ì›· ·ÂÈÎfiÓÈÛË ÙÔ˘ X ÛÙÔÓ Y Î·È g Ì›· Û˘Ó¯‹˜ 1-1 ·ÂÈÎfiÓÈÛË ÙÔ˘ Y ÛÙÔÓ Z . £ÂˆÚԇ̠ÙËÓ ·ÂÈÎfiÓÈÛË h Ì h(x) = g( f (x)) ÁÈ· x ∈ X . Aԉ›ÍÙ fiÙÈ Ë f Â›Ó·È ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ Û˘Ó¯‹˜ Â¿Ó Ë h Â›Ó·È ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ Û˘Ó¯‹˜. Yfi‰ÂÈÍË: H g −1 ¤¯ÂÈ Û˘Ì·Á¤˜ ‰›Ô ÔÚÈÛÌÔ‡ g(Y ) Î·È f (x) = g −1 (h(x)). Aԉ›ÍÙ ›Û˘ fiÙÈ Ë f Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ Â¿Ó Ë h Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜. ¢Â›ÍÙ (ÙÚÔÔÔÈÒÓÙ·˜ ηٷÏϋψ˜ ÙÔ ¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 4.21 ‹ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·˜ ¤Ó· ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎfi ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·) fiÙÈ Ë Û˘Ì¿ÁÂÈ· ÙÔ˘ Y ‰ÂÓ ÌÔÚ› Ó· ·Ú·ÏËÊı› ·fi ÙËÓ ˘fiıÂÛË, ·ÎfiÌË Î·È Â¿Ó ÔÈ X Î·È Z Â›Ó·È Û˘Ì·Á›˜.
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 5
¢IAºOPI™H
™Â ·˘Ùfi ÙÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ (ÂÎÙfi˜ ·fi ÙËÓ ÙÂÏÂ˘Ù·›· ÂÓfiÙËÙ·) ı· ÂÚÈÔÚ›ÛÔ˘Ì ÙËÓ ÚÔÛÔ¯‹ Ì·˜ Û ڷÁÌ·ÙÈΤ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ, ÔÚÈṲ̂Ó˜ Û ‰È·ÛÙ‹Ì·Ù·. A˘Ùfi ‰ÂÓ Á›ÓÂÙ·È ·ÏÒ˜ ÁÈ· ÏfiÁÔ˘˜ ¢ÎÔÏ›·˜, ηı' fiÛÔÓ ÚÔ·ÙÔ˘Ó ÛËÌ·ÓÙÈΤ˜ ‰È·ÊÔÚ¤˜ fiÙ·Ó ÚÔ¯ˆÚ‹ÛÔ˘Ì ·fi ÙȘ Ú·ÁÌ·ÙÈΤ˜ ÛÙȘ ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈΤ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ. H ‰È·ÊfiÚÈÛË Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ Ô˘ ÔÚ›˙ÔÓÙ·È Û E˘ÎÏ›‰ÂÈÔ ¯ÒÚÔ ÌÂÏÂÙÒÓÙ·È ÛÙÔ KÂÊ¿Ï·ÈÔ 9.
H ¶APA°ø°O™ ¶PA°MATIKH™ ™YNAPTH™Eø™
160
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
OÚÈÛÌfi˜ 5.1. A˜ Â›Ó·È f Ì›· Ú·ÁÌ·ÙÈ΋, ÔÚÈṲ̂ÓË ÛÙÔ [a, b], Û˘Ó¿ÚÙËÛË. °È· οı x ∈ [a, b] Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ì ÙÔ ËÏ›ÎÔ ‰È·ÊÔÚÒÓ φ(t) =
f (t) − f (x) t−x
(a < t < b, t = x)
(1)
Î·È ÔÚ›˙Ô˘Ì f (x) = lim φ(t) t→x
(2)
fiÙ·Ó ÙÔ fiÚÈÔ ·˘Ùfi ˘¿Ú¯ÂÈ, Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔÓ OÚÈÛÌfi 4.1. ™˘ÓÂÒ˜, Ì ·˘ÙfiÓ ÙÔÓ ÙÚfiÔ ·ÓÙÈÛÙÔȯ›˙Ô˘Ì ÛÙËÓ f Ì›· Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ì ‰›Ô ÔÚÈÛÌÔ‡ ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ x ÁÈ· Ù· ÔÔ›· ˘¿Ú¯ÂÈ ÙÔ fiÚÈÔ (2). H f ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Ë ·Ú¿ÁˆÁÔ˜ Ù˘ f . f ,1
H f ϤÁÂÙ·È ‰È·ÊÔÚ›ÛÈÌË ‹ ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË 2 ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô x Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó Ë f ÔÚ›˙ÂÙ·È ÛÙÔ x. H f ϤÁÂÙ·È ‰È·ÊÔÚ›ÛÈÌË ‹ ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË ÛÙÔ E ⊂ [a, b] Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó Ë f Â›Ó·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË Û οı x ∈ E. E›Ó·È ‰˘Ó·Ù‹ ›Û˘ Ë ıÂÒÚËÛË ‰ÂÍÈÒÓ Î·È ·ÚÈÛÙÂÚÒÓ ÔÚ›ˆÓ ÛÙË (2). ™Â ·˘Ù‹Ó ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË Ô‰ËÁԇ̷ÛÙ ÛÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi ÙˆÓ ‰ÂÍÈÒÓ Î·È ·ÚÈÛÙÂÚÒÓ ·Ú·ÁÒÁˆÓ Ù˘ f . I‰È·ÈÙ¤Úˆ˜, ÛÙ· ·ÎÚ·›· ÛËÌ›· a Î·È b, Ë ·Ú¿ÁˆÁÔ˜, Â¿Ó ˘¿Ú¯ÂÈ, Â›Ó·È ‰ÂÍÈ¿ Î·È ·ÚÈÛÙÂÚ‹ ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜. ¢ÂÓ ı· ÂÈÛ¤ÏıÔ˘Ì Û ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ˜ ÏÂÙÔ̤ÚÂȘ Û¯ÂÙÈο Ì ÙȘ Ï¢ÚÈΤ˜ ·Ú·ÁÒÁÔ˘˜. E¿Ó Ë f ÔÚ›˙ÂÙ·È Û ¤Ó· ·ÓÔÈÎÙfi ‰È¿ÛÙËÌ· (a, b) Î·È Â¿Ó a < x < b, ÙfiÙÂ Ë f (x) ÔÚ›˙ÂÙ·È Â›Û˘ ·fi ÙȘ (1) Î·È (2). ŸÌˆ˜, ‰ÂÓ ¤¯Ô˘Ó ÓfiËÌ· ÔÈ ·Ú¿ÁˆÁÔÈ Ù˘ f ÛÙÔ a Î·È ÛÙÔ b.
£ÂÒÚËÌ· 5.2. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ f Â›Ó·È Ì›· Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË, ÔÚÈṲ̂ÓË ÛÙÔ [a, b]. E¿Ó Ë f Â›Ó·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË Û ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô x ∈ [a, b], ÙfiÙÂ Ë f Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ x. df ™. Ù. M.: H f Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Î·È Ì d x . ™. Ù. M.: ™ÙÔ ·˘ıÂÓÙÈÎfi ΛÌÂÓÔ ˘¿Ú¯ÂÈ ÌfiÓÔÓ Ô fiÚÔ˜ differentiable, ‰ËÏ·‰‹ ‰ÂÓ Á›ÓÂÙ·È ‰È·¯ˆÚÈÛÌfi˜ ÌÂٷ͇ ÙˆÓ Ï¤ÍÂˆÓ ‰È·ÊÔÚ›ÛÈÌË Î·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË. ™ÙËÓ ÂÏÏËÓÈ΋ ‚È‚ÏÈÔÁÚ·Ê›· Ô ÚÒÙÔ˜ fiÚÔ˜ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÂ›Ù·È Û˘Ó‹ıˆ˜ ÁÈ· Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ ÔÏÏÒÓ ÌÂÙ·‚ÏËÙÒÓ, ÂÓÒ Ô ‰Â‡ÙÂÚÔ˜ ÁÈ· Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ Ì›·˜ ÌÂÙ·‚ÏËÙ‹˜. 1 2
¢IAºOPI™H 161
Afi‰ÂÈÍË. ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 4.4, ηıÒ˜ t → x Ï·Ì‚¿ÓÔ˘Ì fiÙÈ f (t) − f (x) =
f (t) − f (x) · (t − x) → f (x) · 0 = 0. t−x
TÔ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ ÙÔ˘ ·Ú·¿Óˆ ıˆڋ̷ÙÔ˜ ÁÂÓÈÎÒ˜ ‰ÂÓ ·ÏËı‡ÂÈ. E›Ó·È ‡ÎÔÏË Ë Î·Ù·Û΢‹ Û˘Ó¯ÒÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ Ô˘ ·‰˘Ó·ÙÔ‡Ó Ó· Â›Ó·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈ̘ Û ÂÈÏÂÁ̤ӷ ÛËÌ›·. ™ÙÔ KÂÊ¿Ï·ÈÔ 7 ı· ηٷÛ΢¿ÛÔ˘Ì ̛· Û˘Ó¯‹ Î·È Ô˘ıÂÓ¿ ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË ÛÙo R 1 Û˘Ó¿ÚÙËÛË! £ÂÒÚËÌ· 5.3. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ ÔÈ Ú·ÁÌ·ÙÈΤ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ f , g ÔÚ›˙ÔÓÙ·È ÛÙÔ [a, b] Î·È fiÙÈ Â›Ó·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈ̘ ÛÙÔ x ∈ [a, b]. TfiÙÂ, ÔÈ f + g, f g, f /g Â›Ó·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈ̘ ÛÙÔ x Î·È ÈÛ¯‡Ô˘Ó Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ: (·) ( f + g) (x) = f (x) + g (x). (‚) ( f g) (x) = f (x)g(x) + f (x)g (x) g(x) f (x) − g (x) f (x) f . E‰Ò ˘Ôı¤ÙÔ˘Ì ÂÈÚÔÛı¤Ùˆ˜ g (x) = g 2 (x) fiÙÈ g(x) = 0. (Á)
Afi‰ÂÈÍË. TÔ (·) Â›Ó·È Û·Ê¤˜, Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 4.4. A˜ Â›Ó·È h = f g. TfiÙÂ, ÁÈ· οı t ∈ [a, b] Ì t = x, h(t) − h(x) = f (t)[g(t) − g(x)] + g(x)[ f (t) − f (x)]. E¿Ó ‰È·ÈÚ¤ÛÔ˘Ì ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· ·˘Ù‹ Ì ÙÔ t − x Î·È ·Ú·ÙËÚ‹ÛÔ˘Ì fiÙÈ f (t) → f (x) ηıÒ˜ t → x (£ÂÒÚËÌ· 5.2), ÙfiÙ ÚÔ·ÙÂÈ ÙÔ (‚). EÓ Û˘Ó¯›·, ı¤ÙÔ˘Ì h = f /g. TfiÙÂ, ÁÈ· οı t ∈ [a, b] Ì t = x, h(t) − h(x) 1 f (t) − f (x) g(t) − g(x) = g(x) − f (x) . t−x g(t)g(x) t−x t−x §·Ì‚¿ÓÔÓÙ·˜ t → x Î·È ÂÊ·ÚÌfi˙ÔÓÙ·˜ Ù· £ÂˆÚ‹Ì·Ù· 4.4 Î·È 5.2, ·ÔÎÙԇ̠ÙÔ (Á).
162
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 5.4. H ·Ú¿ÁˆÁÔ˜ οı ÛÙ·ıÂÚ‹˜ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜ Â›Ó·È ÚÔÊ·ÓÒ˜ ›ÛË Ì 0. E¿Ó Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË f ÔÚ›˙ÂÙ·È Ì¤Ûˆ Ù˘ Û¯¤Ûˆ˜ f (x) = x ÁÈ· οı x Ô˘ ·Ó‹ÎÂÈ Û ηٿÏÏËÏÔ ‰È¿ÛÙËÌ·, ÙfiÙ f (x) = 1. M ·ÓÂÈÏËÌ̤ÓË ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ ÙˆÓ (‚) Î·È (Á) ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 5.3 ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ Ë x n Â›Ó·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË Ì ·Ú¿ÁˆÁÔ nx n−1 ÁÈ· οı ÌË ÌˉÂÓÈÎfi ·Î¤Ú·ÈÔ ·ÚÈıÌfi n (Â¿Ó n < 0, ÙfiÙ ÂÍ·ÈÚԇ̠ÙÔ x = 0). ™˘ÓÂÒ˜, οı ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ Â›Ó·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË Û˘Ó¿ÚÙËÛË fiˆ˜ ›Û˘ Î·È Î¿ı ÚËÙ‹ Û˘Ó¿ÚÙËÛË, ÂÎÙfi˜ ·fi ÙȘ ı¤ÛÂȘ ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ ÙÔ˘ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹. TÔ ÂfiÌÂÓÔ ıÂÒÚËÌ· Â›Ó·È ÁÓˆÛÙfi ˆ˜ «Î·ÓfiÓ·˜ Ù˘ ·Ï˘Û›‰·˜» ÁÈ· ÙËÓ ·Ú·ÁÒÁÈÛË. E›Ó·È Û¯ÂÙÈÎfi Ì ÙËÓ ·Ú·ÁÒÁÈÛË Û‡ÓıÂÙˆÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ Î·È Â›Ó·È ÂӉ¯Ô̤ӈ˜ ÙÔ ÛËÌ·ÓÙÈÎfiÙÂÚÔ ıÂÒÚËÌ· ÂÚ› ·Ú·ÁˆÁ›Ûˆ˜. ™ÙÔ KÂÊ¿Ï·ÈÔ 9 ı· Û˘Ó·ÓÙ‹ÛÔ˘Ì ÁÂÓÈÎfiÙÂÚ˜ ÂΉԯ¤˜ ÙÔ˘. £ÂÒÚËÌ· 5.5. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË f Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ [a, b], fiÙÈ ˘¿Ú¯ÂÈ Û ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô x ∈ [a, b] Ë f (x), fiÙÈ Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË g ÔÚ›˙ÂÙ·È Û ¤Ó· ‰È¿ÛÙËÌ· I ÙÔ ÔÔ›Ô ÂÚȤ¯ÂÈ ÙÔ Â‰›Ô ÙÈÌÒÓ Ù˘ f Î·È fiÙÈ Â›Ó·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô f (x). E¿Ó h(t) = g( f (t))
(a ≤ t ≤ b),
ÙfiÙÂ Ë h Â›Ó·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË ÛÙÔ x Î·È ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ h (x) = g ( f (x)) f (x).
(3)
Afi‰ÂÈÍË. A˜ Â›Ó·È y = f (x). ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi Ù˘ ·Ú·ÁÒÁÔ˘, ˘¿Ú¯Ô˘Ó ηٿÏÏËϘ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ u, v Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ f (t) − f (x) = (t − x)[ f (x) + u(t)],
(4)
g(s) − g(y) = (s − y)[g (y) + v(s)],
(5)
fiÔ˘ t ∈ [a, b], s ∈ I Î·È u(t) → 0 ηıÒ˜ t → x, v(s) → 0 ηıÒ˜ s → y. A˜ Â›Ó·È s = f (t). XÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ÙËÓ (5) Î·È ¤ÂÈÙ· ÙËÓ (4), Ï·Ì‚¿ÓÔ˘Ì fiÙÈ h(t) − h(x) = g( f (t)) − g( f (x)) = [ f (t) − f (x)] · [g (y) + v(s)] = (t − x) · [ f (x) + u(t)] · [g (y) + v(s)],
¢IAºOPI™H 163
‹ ·ÏÏÈÒ˜, fiÙ·Ó t = x, h(t) − h(x) = [g (y) + v(s)] · [ f (x) + u(t)]. t−x
(6)
§·Ì‚¿ÓÔÓÙ·˜ t → x, ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì fiÙÈ s → y, ÏfiÁˆ Ù˘ Û˘Ó¤¯ÂÈ·˜ Ù˘ f , Î·È ÂÔ̤ӈ˜ Ë ‰ÂÍÈ¿ ÏÂ˘Ú¿ Ù˘ (6) Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÚÔ˜ ÙÔ g (y) f (x), ÙÔ ÔÔ›Ô ¯ÔÚËÁ› ÙËÓ (3). ¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 5.6. (·) OÚ›˙Ô˘Ì ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË f ̤ۈ Ù˘ Û¯¤Ûˆ˜ x sin x1 Â¿Ó x = 0, f (x) = 0 Â¿Ó x = 0.
(7)
£ÂˆÚÒÓÙ·˜ ‰Â‰Ô̤ÓÔ ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ Ë ·Ú¿ÁˆÁÔ˜ Ù˘ sin Â›Ó·È Ë cos (Ì ÙȘ ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈΤ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ ı· ·Û¯ÔÏËıԇ̠ÛÙÔ KÂÊ¿Ï·ÈÔ 8), ÌÔÚԇ̠ӷ ÂÊ·ÚÌfiÛÔ˘Ì ٷ £ÂˆÚ‹Ì·Ù· 5.3 Î·È 5.5 ÁÈ· x = 0 Î·È Ó· Ï¿‚Ô˘Ì fiÙÈ f (x) = sin
1 1 1 − cos x x x
(x = 0).
(8)
™ÙÔ x = 0 ‰ÂÓ ÌÔÚԇ̠ӷ ÂÊ·ÚÌfiÛÔ˘Ì ٷ ıˆڋ̷ٷ ·˘Ù¿ ‰ÈfiÙÈ Ë 1/x ‰ÂÓ ÔÚ›˙ÂÙ·È ÂΛ. K·Ù·Ê‡ÁÔ˘Ì ¢ı¤ˆ˜ ÛÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi: ÁÈ· t = 0 Â›Ó·È f (t) − f (0) 1 = sin . t −0 t TÔ fiÚÈÔ, ηıÒ˜ t → 0, Ù˘ ·Ú·¿Óˆ ·Ú·ÛÙ¿Ûˆ˜ ‰ÂÓ ˘¿Ú¯ÂÈ Î·È ÂÔ̤ӈ˜ ‰ÂÓ ˘¿Ú¯ÂÈ Ë ·Ú¿ÁˆÁÔ˜ Ù˘ f ÛÙÔ 0. (‚) OÚ›˙Ô˘Ì ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË f ̤ۈ Ù˘ Û¯¤Ûˆ˜ Â¿Ó x = 0, x 2 sin x1 (9) f (x) = 0 Â¿Ó x = 0. Ÿˆ˜ Î·È ·Ú·¿Óˆ, Ï·Ì‚¿ÓÔ˘Ì fiÙÈ f (x) = 2x sin
1 1 − cos x x
(x = 0).
(10)
164
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
°È· x = 0, ηٷʇÁÔ˘Ì ÛÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi Î·È Ï·Ì‚¿ÓÔ˘Ì fiÙÈ f (t) − f (0) 1 = t sin ≤ |t| (t = 0). t −0 t §·Ì‚¿ÓÔÓÙ·˜ t → 0, ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì fiÙÈ f (0) = 0.
(11)
™˘ÓÂÒ˜, Ë f Â›Ó·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË Û οı ÛËÌÂ›Ô x, ·ÏÏ¿ Ë f ‰ÂÓ Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ‰ÈfiÙÈ ‰ÂÓ ˘¿Ú¯ÂÈ ÙÔ fiÚÈÔ ÙÔ˘ cos(1/x) ÛÙËÓ (10) ηıÒ˜ x → 0.
£EøPHMATA ME™H™ TIMH™ OÚÈÛÌfi˜ 5.7. A˜ Â›Ó·È f Ì›· Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË, ÔÚÈṲ̂ÓË Û ¤Ó·Ó ÌÂÙÚÈÎfi ¯ÒÚÔ X . H f ϤÁÂÙ·È fiÙÈ ¤¯ÂÈ ÙÔÈÎfi ̤ÁÈÛÙÔ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô p ∈ X Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ˘¿Ú¯ÂÈ δ > 0 Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ f (q) ≤ f ( p), ÁÈ· οı q ∈ X Ì d( p, q) < δ. T· ÙÔÈο ÂÏ¿¯ÈÛÙ· ÔÚ›˙ÔÓÙ·È ÔÌÔÈÔÙÚfiˆ˜. TÔ ÂfiÌÂÓÔ ıÂÒÚËÌ· ·ÔÙÂÏ› ÙÔ ıÂ̤ÏÈÔ ÔÏÏÒÓ ÂÊ·ÚÌÔÁÒÓ Ù˘ ·Ú·ÁˆÁ›Ûˆ˜. £ÂÒÚËÌ· 5.8. A˜ Â›Ó·È f Ì›· Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË, ÔÚÈṲ̂ÓË Û ¤Ó· ‰È¿ÛÙËÌ· [a, b]. E¿Ó Ë f ¤¯ÂÈ ÙÔÈÎfi ̤ÁÈÛÙÔ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô x ∈ (a, b) Î·È Â¿Ó ˘¿Ú¯ÂÈ Ë ÙÈÌ‹ f (x), ÙfiÙ f (x) = 0. º˘ÛÈο, ·ÏËı‡ÂÈ Ë ·Ó¿ÏÔÁË ÚfiÙ·ÛË Î·È ÁÈ· ÙÔÈο ÂÏ¿¯ÈÛÙ·. Afi‰ÂÈÍË. EÈϤÁÔ˘Ì δ > 0 fiˆ˜ ÛÙÔÓ OÚÈÛÌfi 5.7 Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ a < x − δ < x < x + δ < b. E¿Ó x − δ < t < x, ÙfiÙÂ
f (t) − f (x) ≥ 0. t−x
§·Ì‚¿ÓÔÓÙ·˜ t → x, ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì fiÙÈ f (x) ≥ 0.
¢IAºOPI™H 165
E¿Ó x < t < x + δ, ÙfiÙ f (t) − f (x) ≤ 0, t−x ÙÔ ÔÔ›Ô Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ f (x) ≤ 0. K·Ù¿ Û˘Ó¤ÂÈ·, f (x) = 0.
£ÂÒÚËÌ· 5.9. E¿Ó f, g Â›Ó·È Û˘Ó¯›˜ Ú·ÁÌ·ÙÈΤ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ, ÔÚÈṲ̂Ó˜ Û ¤Ó· ‰È¿ÛÙËÌ· [a, b] Î·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈ̘ ÛÙÔ (a, b), ÙfiÙ ˘¿Ú¯ÂÈ x ∈ (a, b) Ì [ f (b) − f (a)]g (x) = [g(b) − g(a)] f (x). ™ËÌÂÈÒÓÔ˘Ì fiÙÈ ‰ÂÓ ··ÈÙÂ›Ù·È ·Ú·ÁˆÁÈÛÈÌfiÙËÙ· ÛÙ· ·ÎÚ·›· ÛËÌ›·. Afi‰ÂÈÍË. £¤ÙÔ˘Ì h(t) = [ f (b) − f (a)]g(t) − [g(b) − g(a)] f (t)
(a ≤ t ≤ b).
TfiÙÂ, Ë h Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ [a, b], ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË ÛÙÔ (a, b) Î·È ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ h(a) = f (b)g(a) − f (a)g(b) = h(b).
(12)
°È· ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜, Ú¤ÂÈ Ó· ‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ h (x) = 0 ÁÈ· οÔÈÔ x ∈ (a, b). E¿Ó Ë h Â›Ó·È ÛÙ·ıÂÚ‹, ÙfiÙ ÚÔÊ·ÓÒ˜ ÙÔ ˙ËÙÔ‡ÌÂÓÔ ÈÛ¯‡ÂÈ. E¿Ó h(t) > h(a) ÁÈ· οÔÈÔ t ∈ (a, b), ÙfiÙ ıˆÚԇ̠¤Ó· ÛËÌÂ›Ô x ÙÔ˘ [a, b] ÛÙÔ ÔÔ›Ô Ë h Ï·Ì‚¿ÓÂÈ Ì¤ÁÈÛÙÔ (£ÂÒÚËÌ· 4.16). ™‡Ìʈӷ Ì ÙË (12), x ∈ (a, b) Î·È ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 5.8 Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ h (x) = 0. E¿Ó h(t) < h(a) ÁÈ· οÔÈÔ t ∈ (a, b), ÙfiÙ ÂÊ·ÚÌfi˙Ô˘Ì ÙÔ ›‰ÈÔ Âȯ›ÚËÌ· ÂÈϤÁÔÓÙ·˜ ˆ˜ x ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ [a, b] ÛÙÔ ÔÔ›Ô Ë h Ï·Ì‚¿ÓÂÈ ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ. TÔ ·Ú·¿Óˆ ıÂÒÚËÌ· ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÙÔ ÁÂÓÈÎÂ˘Ì¤ÓÔ ıÂÒÚËÌ· ̤Û˘ ÙÈÌ‹˜. H ·ÎfiÏÔ˘ıË ÂȉÈ΋ ÂÚ›ÙˆÛË Û˘Ó‹ıˆ˜ ·Ó·Ê¤ÚÂÙ·È ˆ˜ ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ̤Û˘ ÙÈÌ‹˜:
166
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
£ÂÒÚËÌ· 5.10. A˜ Â›Ó·È f Ì›· Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ Û˘Ó¯‹˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË, ÔÚÈṲ̂ÓË Û ¤Ó· ‰È¿ÛÙËÌ· [a, b] Î·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË ÛÙÔ (a, b). TfiÙÂ, ˘¿Ú¯ÂÈ x ∈ (a, b) Ì f (b) − f (a) = (b − a) f (x). Afi‰ÂÈÍË. §·Ì‚¿ÓÔ˘Ì g(x) = x (x ∈ [a, b]) ÛÙÔ £ÂÒÚËÌ· 5.9. £ÂÒÚËÌ· 5.11. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ f Â›Ó·È Ì›· Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË, ÔÚÈṲ̂ÓË Î·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË ÛÙÔ (a, b). (·) E¿Ó f (x) ≥ 0 ÁÈ· οı x ∈ (a, b), ÙfiÙÂ Ë f Â›Ó·È ·‡ÍÔ˘Û·. (‚) E¿Ó f (x) = 0 ÁÈ· οı x ∈ (a, b), ÙfiÙÂ Ë f Â›Ó·È ÛÙ·ıÂÚ‹. (Á) E¿Ó f (x) ≤ 0 ÁÈ· οı x ∈ (a, b), ÙfiÙÂ Ë f Â›Ó·È Êı›ÓÔ˘Û·. Afi‰ÂÈÍË. H ·Ï‹ıÂÈ· fiÏˆÓ ÙˆÓ ÈÛ¯˘ÚÈÛÌÒÓ ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· f (x2 ) − f (x1 ) = (x2 − x1 ) f (x), Ë ÔÔ›· ·ÏËı‡ÂÈ ÁÈ· οı x1 , x2 ∈ (a, b) Î·È Î¿ÔÈÔ x ÌÂٷ͇ ÙˆÓ x1 , x2 .
™YNEXEIA TøN ¶APA°ø°øN Œ¯Ô˘Ì ‹‰Ë ‰È·ÈÛÙÒÛÂÈ (¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 5.6(‚)) fiÙÈ Ì›· Û˘Ó¿ÚÙËÛË f ÌÔÚ› Ó· ‰È·ı¤ÙÂÈ ·Ú¿ÁˆÁÔ f Û οı ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ‰È·ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ ÔÚÈÛÌÔ‡ Ù˘, ‰›¯ˆ˜ Ë ·Ú¿ÁˆÁÔ˜ Ó· Â›Ó·È ··Ú·Èًو˜ Û˘Ó¯‹˜. ŸÌˆ˜, ‰ÂÓ Â›Ó·È Î¿ıÂ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ·Ú¿ÁˆÁÔ˜ οÔÈ·˜ ¿ÏÏ˘. I‰È·ÈÙ¤Úˆ˜, Ë ·Ú¿ÁˆÁÔ˜ Ì›·˜ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜ ¤¯ÂÈ ·fi ÎÔÈÓÔ‡ Ì›· ȉÈfiÙËÙ· Ì ÙȘ Û˘Ó¯›˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ: Ï·Ì‚¿ÓÂÈ ÂӉȿÌÂÛ˜ ÙÈ̤˜ (Û˘ÁÎÚ›ÓÂÙ Ì ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 4.23). ¶·Ú·Î¿Ùˆ ‰È·Ù˘ÒÓÂÙ·È Î·È ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È ÙÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· ·˘Ùfi. £ÂÒÚËÌ· 5.12. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ f Â›Ó·È Ì›· Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË, ÔÚÈṲ̂ÓË Î·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË ÛÙÔ [a, b]. E¿Ó f (a) < λ < f (b), ÙfiÙ ˘¿Ú¯ÂÈ x ∈ (a, b) Ì f (x) = λ.
¢IAºOPI™H 167
¶·ÚfiÌÔÈÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· ÈÛ¯‡ÂÈ Â¿Ó f (a) > f (b). Afi‰ÂÈÍË. £¤ÙÔ˘Ì g(t) = f (t) − λt (t ∈ [a, b]). TfiÙÂ, g (a) < 0 Î·È ÂÔ̤ӈ˜ g(t1 ) < g(a) ÁÈ· οÔÈÔ t1 ∈ (a, b). ¶·ÚÔÌÔ›ˆ˜, g (b) > 0 Î·È ÂÔ̤ӈ˜ g(t2 ) < g(b) ÁÈ· οÔÈÔ t2 ∈ (a, b). ™˘ÓÂÒ˜, Ë g Ï·Ì‚¿ÓÂÈ ÙÔ ÂÏ¿¯ÈÛÙfi Ù˘ ÛÙÔ [a, b] (£ÂÒÚËÌ· 4.16) Û οÔÈÔ ÛËÌÂ›Ô x Ì a < x < b. ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 5.8, g (x) = 0. ÕÚ·, f (x) = λ. ¶fiÚÈÛÌ·. E¿Ó f Â›Ó·È Ì›· Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË, ÔÚÈṲ̂ÓË Î·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË ÛÙÔ [a, b], ÙfiÙÂ Ë f ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ ·Ï‹ ·Û˘Ó¤¯ÂÈ· ÛÙÔ [a, b]. MÔÚ› fï˜ Ó· ¤¯ÂÈ ·Û˘Ó¤¯ÂÈ· ‰Â˘Ù¤ÚÔ˘ ›‰Ô˘˜.
O KANONA™ TOY L' HOSPITAL3 TÔ ·ÎfiÏÔ˘ıÔ ıÂÒÚËÌ· ·Ô‚·›ÓÂÈ Û˘¯Ó¿ ¯Ú‹ÛÈÌÔ ÁÈ· ˘ÔÏÔÁÈÛÌfi ÔÚ›ˆÓ. £ÂÒÚËÌ· 5.13. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ f, g Â›Ó·È Ú·ÁÌ·ÙÈΤ˜ Î·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈ̘ ÛÙÔ (a, b) Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ Ì g (x) = 0 ÁÈ· οı x ∈ (a, b), fiÔ˘ Â›Ó·È −∞ ≤ a < b ≤ +∞. YÔı¤ÙÔ˘Ì ›Û˘ fiÙÈ f (x) →A g (x) 3
ηıÒ˜
x → a.
(13)
™. Ù. M.: Guillaume François Antoine de l' Hospital (1661-1704). °¿ÏÏÔ˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi˜. O L' Hospital ıˆÚÔ‡ÓÙ·Ó ÈηÓfi˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi˜. K·Ù·ÁfiÙ·Ó ·fi Ì›· ·ÚÈÛÙÔÎÚ·ÙÈ΋ ÛÙÚ·ÙȈÙÈ΋ ÔÈÎÔÁ¤ÓÂÈ·. M ÙËÓ ÂÓËÏÈΛˆÛË ÙÔ˘, Ô L' Hospital ¤ÁÈÓ ÏÔ¯·Áfi˜ ÙÔ˘ ÈÈÎÔ‡, ·ÏÏ¿ ›¯Â ·Ó·Ù‡ÍÂÈ ‹‰Ë ÙÔ ¿ıÔ˜ ÙÔ˘ ÁÈ· Ù· M·ıËÌ·ÙÈο. ⁄ÛÙÂÚ· ·fi ÙËÓ ·Ú·›ÙËÛË ·fi ·˘Ù‹Ó ÙË ı¤ÛË, o L' Hospital ·ÊÔÛÈÒıËΠÂÍ ÔÏÔÎÏ‹ÚÔ˘ ÛÙ· M·ıËÌ·ÙÈο. M·ı‹Ù¢Û ˘fi ÙÔÓ Johann Bernoulli (1667-1748). ™˘Ó¤ÁÚ·„ ÙÔ ÚÒÙÔ ‚È‚Ï›Ô ¢È·ÊÔÚÈÎÔ‡ §ÔÁÈÛÌÔ‡, ÙÔ ÔÔ›Ô ÁÓÒÚÈÛ ÌÂÁ¿ÏË ÂÈÙ˘¯›·. E›Û˘, ˘‹ÚÍ ̤ÏÔ˜ ·ÚÎÂÙÒÓ ÂÈÛÙËÌÔÓÈÎÒÓ ·Î·‰ËÌÈÒÓ. O ÏÂÁfiÌÂÓÔ˜ ηÓfiÓ·˜ ÙÔ˘ L' Hospital ·Ó·Î·Ï‡ÊıËΠ·fi ÙÔÓ Johann Bernoulli. OÈ L' Hospital Î·È Bernoulli ›¯·Ó ˘ÔÁÚ¿„ÂÈ ¤Ó· Û˘Ì‚fiÏ·ÈÔ, Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ÔÔ›Ô Ô ÚÒÙÔ˜ ›¯Â ÙÔ ÂχıÂÚÔ Ó· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÂÈ ÙȘ ·Ó·Î·Ï‡„ÂȘ ÙÔ˘ ‰Â˘Ù¤ÚÔ˘ fiˆ˜ ‹ıÂÏÂ, Ì ·ÓÙ¿ÏÏ·ÁÌ· ¤Ó·Ó ÛÙ·ıÂÚfi ÌÈÛıfi.
168
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
E¿Ó f (x) → 0
ηÈ
g(x) → 0
ηıÒ˜
x →a
(14)
‹ Â¿Ó g(x) → +∞
ηıÒ˜
x → a,
(15)
f (x) →A g(x)
ηıÒ˜
x → a.
(16)
ÙfiÙÂ
™Ù· ·Ú·¿Óˆ, Ô A Â›Ó·È ‚‚·›ˆ˜ ·ÚÈıÌfi˜ ÙÔ˘ ÂÎÙÂٷ̤ÓÔ˘ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ ÙˆÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ. º˘ÛÈο, ·ÏËı‡ÂÈ Ë ·Ó¿ÏÔÁË ÚfiÙ·ÛË Â¿Ó x → b ‹ g(x) → −∞ ÛÙË (15). ™ËÌÂÈÒÓÔ˘Ì fiÙÈ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÙËÓ ÂÎÙÂٷ̤ÓË ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ÔÚ›Ô˘ (OÚÈÛÌfi˜ 4.33). Afi‰ÂÈÍË. AÚ¯Èο ıˆÚԇ̠ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË fiÔ˘ −∞ ≤ A < +∞. EÈϤÁÔ˘Ì ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi q Ì A < q Î·È Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi r Ì A < r < q. ™‡Ìʈӷ Ì ÙË (13), ˘¿Ú¯ÂÈ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô c ∈ (a, b) Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙÂ Â¿Ó a < x < c, ÙfiÙ f (x) < r. g (x)
(17)
E¿Ó a < x < y < c, ÙfiÙ ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 5.9 Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ ÙËÓ ‡·ÚÍË ÂÓfi˜ ÛËÌ›Ԣ t ∈ (x, y) Ì f (x) − f (y) f (t) = < r. g(x) − g(y) g (t)
(18)
YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ ÈÛ¯‡ÂÈ Ë (14). §·Ì‚¿ÓÔÓÙ·˜ x → a ÛÙË (18), ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì fiÙÈ f (y) ≤r
(a < y < c).
(19)
¢IAºOPI™H 169
EÓ Û˘Ó¯›·, ˘Ôı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ ÈÛ¯‡ÂÈ Ë (15). £ÂˆÚÒÓÙ·˜ ÛÙ·ıÂÚfi ÙÔ y ÛÙË (18), Â›Ó·È ‰˘Ó·Ù‹ Ë ÂÈÏÔÁ‹ ÂÓfi˜ ÛËÌ›Ԣ c1 ∈ (a, y) Ì g(x) > g(y) Î·È g(x) > 0 Â¿Ó a < x < c1 . ¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙ÔÓÙ·˜ ÙË (18) Ì [g(x) − g(y)]/g(x), Ï·Ì‚¿ÓÔ˘Ì fiÙÈ g(y) f (y) f (x)
(a < x < c1 ).
(20)
E¿Ó Ï¿‚Ô˘Ì x → a ÛÙËÓ (20), ÙfiÙÂ Ë (15) Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ ÙËÓ ‡·ÚÍË ÂÓfi˜ ÛËÌ›Ԣ c2 ∈ (a, c1 ) Ì f (x)
(a < x < c2 ).
(21)
AÓ·ÎÂÊ·Ï·ÈÒÓÔÓÙ·˜, ÔÈ (19) Î·È (21) Ê·ÓÂÚÒÓÔ˘Ó fiÙÈ ÁÈ· οı q Ì A < q ˘¿Ú¯ÂÈ c2 Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ f (x)/g(x) < q Â¿Ó a < x < c2 . M ÙÔÓ ›‰ÈÔ ÙÚfiÔ, Â¿Ó −∞ < A ≤ +∞ Î·È p Â›Ó·È ¤Ó·˜ ·ÚÈıÌfi˜ Ì p < A, ÙfiÙ ÌÔÚԇ̠ӷ ‚Úԇ̠ÛËÌÂ›Ô c3 Ì p<
f (x) g(x)
(a < x < c3 ).
(22)
H (16) ¤ÂÙ·È ·fi ÙȘ ‰‡Ô ·˘Ù¤˜ ÚÔÙ¿ÛÂȘ.
¶APA°ø°OI ANøTEPH™ TA•Eø™ OÚÈÛÌfi˜ 5.14. E¿Ó Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË f ¤¯ÂÈ ·Ú¿ÁˆÁÔ f Û ¤Ó· ‰È¿ÛÙËÌ· Î·È Â¿Ó Ë f Â›Ó·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË, ÙfiÙÂ Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì ÙËÓ ·Ú¿ÁˆÁÔ Ù˘ f Ì f Î·È ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ÙËÓ f ‰Â‡ÙÂÚË ·Ú¿ÁˆÁÔ Ù˘ f . ™˘Ó¯›˙ÔÓÙ·˜ Ì ·˘ÙfiÓ ÙÔÓ ÙÚfiÔ, ·ÔÎÙԇ̠ÙȘ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ f, f , f , f (3) , . . . , f (n) (n ıÂÙÈÎfi˜ ·Î¤Ú·ÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜), fiÔ˘ Ë Î¿ı ̛· Â›Ó·È Ë ·Ú¿ÁˆÁÔ˜ Ù˘ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ˘. H f (n) ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Ë n ٿ͈˜ ·Ú¿ÁˆÁÔ˜ Ù˘ f . °È· ÙËÓ ‡·ÚÍË Ù˘ f (n) (x) Û ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô x, Ú¤ÂÈ Ó· ˘¿Ú¯ÂÈ Ë f (n−1) (t) ÁÈ· οı t Û ̛· ÂÚÈÔ¯‹ ÙÔ˘ x (‹ Û ̛· Ï¢ÚÈ΋ ÂÚÈÔ¯‹ ÙÔ˘ x Â¿Ó ·˘Ùfi
170
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
Â›Ó·È ·ÎÚ·›Ô ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ‰È·ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ ÛÙÔ ÔÔ›Ô ÔÚ›˙ÂÙ·È Ë f ) Î·È Ë f (n−1) Ó· Â›Ó·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË ÛÙÔ x. EÊfiÛÔÓ Ú¤ÂÈ Ó· ˘¿Ú¯ÂÈ Ë f (n−1) Û ̛· ÂÚÈÔ¯‹ ÙÔ˘ x, Ë f (n−2) Ú¤ÂÈ Ó· Â›Ó·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË Û ·˘Ù‹Ó ÙËÓ ÂÚÈÔ¯‹.
TO £EøPHMA TOY TAYLOR £ÂÒÚËÌ· 5.15. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ f Â›Ó·È Ì›· Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË, ÔÚÈṲ̂ÓË ÛÙÔ [a, b], fiÙÈ n Â›Ó·È ¤Ó·˜ ıÂÙÈÎfi˜ ·Î¤Ú·ÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜, fiÙÈ Ë f (n−1) Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ [a, b] Î·È fiÙÈ Ë f (n) (t) ˘¿Ú¯ÂÈ ÁÈ· οı t ∈ (a, b). A˜ Â›Ó·È α, β ‰‡Ô ‰È·ÎÂÎÚÈ̤ӷ ÛËÌ›· ÙÔ˘ [a, b]. OÚ›˙Ô˘Ì P(t) =
n−1 (k) f (α) (t − α)k k! k=0
(t ∈ [a, b]).
(23)
TfiÙÂ, ˘¿Ú¯ÂÈ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô x ÌÂٷ͇ ÙˆÓ α, β Ì f (β) = P(β) +
f (n) (x) (β − α)n . n!
(24)
°È· n = 1, ÙÔ ·Ú·¿Óˆ ·ÔÙÂÏ› ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ̤Û˘ ÙÈÌ‹˜. °ÂÓÈÎÒ˜, ÙÔ ıÂÒÚËÌ· Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ Ë f ÌÔÚ› Ó· ÚÔÛÂÁÁÈÛı› ·fi ¤Ó· ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ‚·ıÌÔ‡ n − 1. H (24) Ì·˜ ÂÈÙÚ¤ÂÈ Ó· ÂÎÙÈÌ‹ÛÔ˘Ì ÙÔ ÛÊ¿ÏÌ· ÚÔÛÂÁÁ›Ûˆ˜ Â¿Ó ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì ÊÚ¿ÁÌ·Ù· ÁÈ· ÙȘ ÙÈ̤˜ | f (n) (x)|. Afi‰ÂÈÍË. A˜ Â›Ó·È M Ô ·ÚÈıÌfi˜ Ô˘ ÔÚ›˙ÂÙ·È ·fi ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· f (β) = P(β) + M(β − α)n .
(25)
£¤ÙÔ˘Ì g(t) = f (t) − P(t) − M(t − α)n
(a ≤ t ≤ b).
(26)
¶Ú¤ÂÈ Ó· ‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ n!M = f (n) (x) ÁÈ· οÔÈÔ x ÌÂٷ͇ ÙˆÓ α Î·È β. ™‡Ìʈӷ Ì ÙȘ (23) Î·È (26), g (n) (t) = f (n) (t) − n!M
(a < t < b).
(27)
¢IAºOPI™H 171
™˘ÓÂÒ˜, Ë ·fi‰ÂÈÍË ı· Â›Ó·È Ï‹Ú˘ Â¿Ó ‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ g (n) (x) = 0 ÁÈ· οÔÈÔ x ÌÂٷ͇ ÙˆÓ α Î·È β. EÊfiÛÔÓ P (k) (α) = f (k) (α) ÁÈ· k = 0, . . . , n − 1, ¤¯Ô˘Ì fiÙÈ g(α) = g (α) = · · · = g (n−1) (α) = 0.
(28)
H ÂÈÏÔÁ‹ ÙÔ˘ M Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ g(β) = 0 Î·È ÂÔ̤ӈ˜ g (x1 ) = 0 ÁÈ· οÔÈÔ x1 ÌÂٷ͇ ÙˆÓ α Î·È β, Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ̤Û˘ ÙÈÌ‹˜. EÊfiÛÔÓ g (α) = 0, Û˘Ó¿ÁÔ˘Ì ·ÚÔÌÔ›ˆ˜ fiÙÈ g (x2 ) = 0 ÁÈ· οÔÈÔ x2 ÌÂٷ͇ ÙˆÓ α Î·È x1 . ŒÂÈÙ· ·fi n ‚‹Ì·Ù· ηٷϋÁÔ˘Ì ÛÙÔ Û˘Ì¤Ú·ÛÌ· fiÙÈ g (n) (xn ) = 0 ÁÈ· οÔÈÔ xn ÌÂٷ͇ ÙˆÓ α Î·È xn−1 Î·È ÂÔ̤ӈ˜ ÌÂٷ͇ ÙˆÓ α Î·È β.
¶APA°ø°I™H ¢IANY™MATIKøN ™YNAPTH™EøN ¶·Ú·Ù‹ÚËÛË 5.16. O OÚÈÛÌfi˜ 5.1 ÂÊ·ÚÌfi˙ÂÙ·È ‰›¯ˆ˜ ÌÂÙ·ÙÚÔ‹ Û ÌÈÁ·‰ÈΤ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ, ÔÚÈṲ̂Ó˜ Û ¤Ó· ‰È¿ÛÙËÌ· [a, b] Î·È Ù· £ÂˆÚ‹Ì·Ù· 5.2 Î·È 5.3, Ì ÙȘ ·˘ÙÔ‡ÛȘ ·Ô‰Â›ÍÂȘ ÙÔ˘˜, ·Ú·Ì¤ÓÔ˘Ó ·ÏËı‹. E¿Ó f 1 , f 2 Â›Ó·È ÙÔ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi Î·È ÙÔ Ê·ÓÙ·ÛÙÈÎfi ̤ÚÔ˜ Ù˘ f , ‰ËÏ·‰‹ Â¿Ó f (t) = f 1 (t) + i f 2 (t)
(t ∈ [a, b]),
fiÔ˘ ÔÈ f 1 Î·È f 2 Â›Ó·È Ú·ÁÌ·ÙÈΤ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ, ÙfiÙ ηٿ Û·Ê‹ ÙÚfiÔ ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ f (x) = f 1 (x) + i f 2 (x)
(29)
Û οı ÛËÌÂ›Ô x ÛÙÔ ÔÔ›Ô ·Ú·ÁˆÁ›˙ÂÙ·È Ë f . E›Û˘, Ë f Â›Ó·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô x Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ÔÈ f 1 Î·È f 2 Â›Ó·È ·ÌÊfiÙÂÚ˜ ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈ̘ ÛÙÔ x. EÂÎÙ›ÓÔÓÙ·˜ Ù· ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ· ÛÂ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ f, ÔÚÈṲ̂Ó˜ ÛÙÔ [a, b] Î·È Ì ÙÈ̤˜ ÛÙÔÓ R k , ÌÔÚԇ̠ÂÊ·ÚÌfi˙ÔÓÙ·˜ ÙÔÓ OÚÈÛÌfi 5.1 Ó· ÔÚ›ÛÔ˘Ì ÙËÓ ·Ú¿ÁˆÁÔ f (x) Û ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô x. TÔ ËÏ›ÎÔ φ(t) ÛÙËÓ (1) Â›Ó·È ÙÒÚ· ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ R k ÁÈ· οı t ∈ [a, b] Î·È ÙÔ fiÚÈÔ ÛÙËÓ (2) Ï·Ì‚¿ÓÂÙ·È ˆ˜ ÚÔ˜
172
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
ÙË ÛÙ¿ıÌË ÙÔ˘ R k . M ‰È·ÊÔÚÂÙÈ΋ ‰È·Ù‡ˆÛË, ÙÔ f (x) Â›Ó·È ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ R k (fiÙ·Ó ˘¿Ú¯ÂÈ) ÁÈ· ÙÔ ÔÔ›Ô ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ f(t) − f(x) − f (x) = 0 lim (30) t→x t−x Î·È Ë f Â›Ó·È Â›Û˘ Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ì ÙÈ̤˜ ÛÙÔÓ R k . E¿Ó f 1 , . . . , f k Â›Ó·È ÔÈ Û˘ÓÈÛÙÒÛ˜ Ù˘ f, fiˆ˜ ÔÚ›˙ÔÓÙ·È ÛÙÔ £ÂÒÚËÌ· 4.10, ÙfiÙ f = ( f 1 , . . . , f k )
(31)
Î·È Ë f Â›Ó·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô x Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ÔÈ f 1 , . . . , f k Â›Ó·È fiϘ ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈ̘ ÛÙÔ x. TÔ £ÂÒÚËÌ· 5.2 ·Ú·Ì¤ÓÂÈ ·ÏËı¤˜ Û ·˘Ùfi ÙÔ Ï·›ÛÈÔ Î·ıÒ˜ Î·È Ù· 5.3(·) Î·È 5.3(‚), Â¿Ó Ë f g ·ÓÙÈηٷÛÙ·ı› ·fi ÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÁÈÓfiÌÂÓÔ f · g (·Ó·ÙÚ¤ÍÙ ÛÙÔÓ OÚÈÛÌfi 4.3). ŸÙ·Ó fï˜ ÂÍÂÙ¿ÛÔ˘Ì ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ̤Û˘ ÙÈÌ‹˜ Î·È ÙÔÓ Î·ÓfiÓ· ÙÔ˘ L' Hospital, Ë Î·Ù¿ÛÙ·ÛË ÌÂÙ·‚¿ÏÏÂÙ·È. T· ÂfiÌÂÓ· ‰‡Ô ·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù· Ê·ÓÂÚÒÓÔ˘Ó fiÙÈ Î·ı¤Ó· ·fi Ù· ‰‡Ô ·˘Ù¿ Û˘ÌÂÚ¿ÛÌ·Ù· ‰ÂÓ ÈÛ¯‡ÂÈ ÁÈ· ÌÈÁ·‰ÈΤ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ. ¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 5.17. OÚ›˙Ô˘Ì ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË f , fiÔ˘ ÁÈ· Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi x Â›Ó·È f (x) = ei x = cos x + i sin x.
(32)
(H ÙÂÏÂ˘Ù·›· ÈÛfiÙËÙ· ÌÔÚ› Ó· ıˆÚËı› ˆ˜ Ô ÔÚÈÛÌfi˜ ÙÔ˘ ÌÈÁ·‰ÈÎÔ‡ ÂÎıÂÙÈÎÔ‡ ei x . ™ÙÔ KÂÊ¿Ï·ÈÔ 8 ˘¿Ú¯ÂÈ ÂÓ‰Âϯ‹˜ ·Ó¿Ï˘ÛË ·˘ÙÒÓ ÙˆÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛˆÓ.) TfiÙÂ, f (2π ) − f (0) = 1 − 1 = 0,
(33)
f (x) = iei x
(34)
fï˜
Î·È ÂÔ̤ӈ˜ | f (x)| = 1 ÁÈ· οı ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi x. ™˘ÓÂÒ˜, ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 5.10 ‰ÂÓ ÈÛ¯‡ÂÈ Û ·˘Ù‹Ó ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË.
¢IAºOPI™H 173
¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 5.18. E› ÙÔ˘ ‰È·ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ (0, 1) ÔÚ›˙Ô˘Ì ÙȘ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ f, g ̤ۈ Ù˘ Û¯¤Ûˆ˜ f (x) = x Î·È g(x) = x + x 2 ei/x
2
(35)
ÁÈ· οı x ∈ (0, 1). EÊfiÛÔÓ |eit | = 1 ÁÈ· οı ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi t, ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì fiÙÈ lim
x→0
ŒÂÈÙ·,
2i i/x 2 g (x) = 1 + 2x − e x
(36)
Î·È ÂÔ̤ӈ˜
f (x) = 1. g(x)
(0 < x < 1)
2 2i |g (x)| ≥ 2x − − 1 ≥ − 1. x x
(38)
f (x) 1 x g (x) = |g (x)| ≤ 2 − x
(39)
ÕÚ·,
(37)
Î·È Û˘ÓÂÒ˜ lim
x→0
f (x) = 0. g (x)
(40)
™‡Ìʈӷ Ì ÙȘ (36) Î·È (40), Ô Î·ÓfiÓ·˜ ÙÔ˘ L' Hospital ‰ÂÓ ÈÛ¯‡ÂÈ Û ·˘Ù‹Ó ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË. ™ËÌÂÈÒÓÔ˘Ì ›Û˘ fiÙÈ g (x) = 0 ÁÈ· οı x ∈ (0, 1), ‚¿ÛÂÈ Ù˘ (38). ŸÌˆ˜, ˘¿Ú¯ÂÈ Ì›· Û˘Ó¤ÂÈ· ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ ̤Û˘ ÙÈÌ‹˜, Ë ÔÔ›· Û ·ÚÎÂÙ¤˜ ÂÊ·ÚÌÔÁ¤˜, Â›Ó·È Û¯Â‰fiÓ ÙfiÛÔ ¯Ú‹ÛÈÌË fiÛÔ Î·È ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 5.10, Î·È Ë ÔÔ›· ·Ú·Ì¤ÓÂÈ ·ÏËı‹˜ ÁÈ· ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈΤ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ: ·fi ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 5.10 ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ | f (b) − f (a)| ≤ (b − a) sup | f (x)|. a<x
(41)
174
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
£ÂÒÚËÌ· 5.19. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ f Â›Ó·È Ì›· Û˘Ó¯‹˜ ·ÂÈÎfiÓÈÛË ÙÔ˘ [a, b] ÛÙÔ R k , ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË ÛÙÔ (a, b). TfiÙÂ, ˘¿Ú¯ÂÈ x ∈ (a, b) Ì |f(b) − f(a)| ≤ (b − a)|f (x)|. Afi‰ÂÈÍË. Û¯¤Ûˆ˜
4
£¤ÙÔ˘Ì z = f(b) − f(a) Î·È ÔÚ›˙Ô˘Ì ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË φ ̤ۈ Ù˘ φ(t) = z · f(t)
(a ≤ t ≤ b).
TfiÙÂ, Ë φ Â›Ó·È Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ Û˘Ó¯‹˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÛÙÔ [a, b] Î·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË ÛÙÔ (a, b). EÔ̤ӈ˜, ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ̤Û˘ ÙÈÌ‹˜ Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ φ(b) − φ(a) = (b − a)φ (x) = (b − a)z · f (x) ÁÈ· οÔÈÔ x ∈ (a, b). Afi ÙËÓ ¿ÏÏË ÏÂ˘Ú¿, φ(b) − φ(a) = z · f(b) − z · f(a) = z · z = |z|2 . TÒÚ·, Ë ·ÓÈÛfiÙËÙ· ÙÔ˘ Schwarz ¯ÔÚËÁ› ÙËÓ ·ÓÈÛfiÙËÙ· |z|2 = (b − a)|z · f (x)| ≤ (b − a)|z||f (x)|. ™˘ÓÂÒ˜, |z| ≤ (b − a)|f (x)|. A˘Ùfi Â›Ó·È ÙÔ ÂÈı˘ÌËÙfi ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ·.
A™KH™EI™ ÕÛÎËÛË 1. A˜ Â›Ó·È f Ì›· Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË, ÔÚÈṲ̂ÓË ÛÙËÓ Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ ¢ı›·, Ì ÙËÓ È‰ÈfiÙËÙ· | f (x) − f (y)| ≤ (x − y)2 ÁÈ· οı x, y ∈ R 1 . Aԉ›ÍÙ fiÙÈ Ë f Â›Ó·È ÛÙ·ıÂÚ‹. 4
O V. P. Havin ¤¯ÂÈ ÌÂÙ·ÊÚ¿ÛÂÈ ÙË ‰Â‡ÙÂÚË ¤Î‰ÔÛË ÙÔ˘ ‚È‚Ï›Ô˘ ÛÙ· ÚˆÛÈο Î·È ÚÔÛ¤ıÂÛ ·˘Ù‹Ó ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ÛÙËÓ ·Ú¯È΋.
¢IAºOPI™H 175
ÕÛÎËÛË 2. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ f Â›Ó·È Ì›· Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË, ÔÚÈṲ̂ÓË Î·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË ÛÙÔ (a, b), Ì f (x) > 0 ÁÈ· οı x ∈ (a, b). Aԉ›ÍÙ fiÙÈ Ë f Â›Ó·È ÁÓËÛ›ˆ˜ ·‡ÍÔ˘Û·5 ÛÙÔ (a, b). A˜ Â›Ó·È g Ë ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊË Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ù˘ f . Aԉ›ÍÙ fiÙÈ Ë g Â›Ó·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË Î·È fiÙÈ g ( f (x)) =
1 f (x)
(a < x < b).
ÕÛÎËÛË 3. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ g Â›Ó·È Ì›· Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË, ÔÚÈṲ̂ÓË ÛÙÔÓ R 1 , Ì ÊÚ·Á̤ÓË ·Ú¿ÁˆÁÔ, ‰ËÏ·‰‹ |g | ≤ M ÁÈ· οÔÈÔÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi M. £ÂˆÚԇ̠ε > 0 Î·È ÔÚ›˙Ô˘Ì ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË f ̤ۈ Ù˘ ÈÛfiÙËÙ·˜ f (x) = x + εg(x) (x ∈ R 1 ). Aԉ›ÍÙ fiÙÈ Ë f Â›Ó·È 1-1 fiÙ·Ó ÙÔ ε ÏËÊı› ·ÚÎÒ˜ ÌÈÎÚfi. (TÔ ε ı· ÚÔÛ‰ÈÔÚÈÛı› ·fi ÙÔ M.) ÕÛÎËÛË 4. E¿Ó C0 , . . . , Cn Â›Ó·È Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› Ì C0 +
C1 Cn−1 Cn + ··· + + = 0, 2 n n+1
ÙfiÙ ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ Ë Â͛ۈÛË C0 + C1 x + · · · + Cn−1 x n−1 + Cn x n = 0 ¤¯ÂÈ ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ Ì›· ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ ÌÂٷ͇ ÙˆÓ 0 Î·È 1. ÕÛÎËÛË 5. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ f Â›Ó·È Ì›· Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË, ÔÚÈṲ̂ÓË Î·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË ÛÙÔ (0, +∞), Ì f (x) → 0 ηıÒ˜ x → +∞. £ÂˆÚԇ̠ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË g Ì g(x) = f (x + 1) − f (x) (x > 0). Aԉ›ÍÙ fiÙÈ g(x) → 0 ηıÒ˜ x → +∞. 5
™. Ù. M.: M›· Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË f , ÔÚÈṲ̂ÓË Û ¤Ó· Û‡ÓÔÏÔ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ A, ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È: (·) °ÓËÛ›ˆ˜ ·‡ÍÔ˘Û· Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ÁÈ· οı x, y ∈ A Ì x < y ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ f (x) < f (y). (‚) °ÓËÛ›ˆ˜ Êı›ÓÔ˘Û· Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ÁÈ· οı x, y ∈ A Ì x < y ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ f (x) > f (y). £ÂˆÚÒÓÙ·˜ ÙÔ A ˆ˜ ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ıÂÙÈÎÒÓ ·ÎÂÚ·›ˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ, ·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ Ô ÔÚÈÛÌfi˜ ·˘Ùfi˜ ÂÊ·ÚÌfi˙ÂÙ·È Î·È ÁÈ· ·ÎÔÏÔ˘ı›Â˜ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ.
176
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
ÕÛÎËÛË 6. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ: (·) H Û˘Ó¿ÚÙËÛË f Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ [0, +∞). (‚) H f Â›Ó·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË ÛÙÔ (0, +∞). (Á) f (0) = 0. (‰) H f Â›Ó·È ·‡ÍÔ˘Û·. £ÂˆÚԇ̠ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË g Ì g(x) =
f (x) x
(x > 0).
Aԉ›ÍÙ fiÙÈ Ë g Â›Ó·È ·‡ÍÔ˘Û·. ÕÛÎËÛË 7. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ ÔÈ f, g Â›Ó·È Ú·ÁÌ·ÙÈΤ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ, ÔÚÈṲ̂Ó˜ Û οÔÈÔ ·ÓÔÈÎÙfi ‰È¿ÛÙËÌ·, fiÙÈ ÔÈ f (x), g (x) ˘¿Ú¯Ô˘Ó Û ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô x ÙÔ˘ ‰È·ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ Î·È ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ g (x) = 0 Î·È f (x) = g(x) = 0. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ f (t) f (x) lim = . t→x g(t) g (x) (TÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· ÈÛ¯‡ÂÈ Î·È ÁÈ· ÌÈÁ·‰ÈΤ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ.) ÕÛÎËÛË 8. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ f Â›Ó·È Ì›· Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÛÙÔ [a, b], Ì ÙËÓ f Û˘Ó¯‹ ÛÙÔ [a, b]. A˜ Â›Ó·È ε > 0. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ ˘¿Ú¯ÂÈ δ > 0 Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ f (t) − f (x) − f (x) < ε, t−x ÁÈ· οı t, x ∈ [a, b] Ì 0 < |t − x| < δ. (H ȉÈfiÙËÙ· ·˘Ù‹ ÌÔÚ› ›Û˘ Ó· ÂÎÊÚ·Ûı› ϤÁÔÓÙ·˜ fiÙÈ Ë f Â›Ó·È ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË ÛÙÔ [a, b].) IÛ¯‡ÂÈ ÙÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· ·˘Ùfi Î·È ÁÈ· ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈΤ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ; ÕÛÎËÛË 9. A˜ Â›Ó·È f Ì›· Û˘Ó¯‹˜ Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË, ÔÚÈṲ̂ÓË ÛÙÔÓ R 1 , ÁÈ· ÙËÓ ÔÔ›· Â›Ó·È ÁÓˆÛÙfi fiÙÈ Ë ÙÈÌ‹ f (x) ˘¿Ú¯ÂÈ ÁÈ· οı ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi x Ì x = 0 Î·È fiÙÈ f (x) → 3 ηıÒ˜ x → 0. MÔÚԇ̠ӷ Û˘ÌÂÚ¿ÓÔ˘Ì fiÙÈ Ë f (0) ˘¿Ú¯ÂÈ;
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ÕÛÎËÛË 10. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ f, g Â›Ó·È ÌÈÁ·‰ÈΤ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ, ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈ̘ ÛÙÔ (0, 1). YÔı¤ÙÔ˘Ì ›Û˘ fiÙÈ f (x) → 0, g(x) → 0, f (x) → A, g (x) → B ηıÒ˜ x → 0, fiÔ˘ A, B Â›Ó·È ÌÈÁ·‰ÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› Ì B = 0. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ A f (x) = . lim x→0 g(x) B ™˘ÁÎÚ›ÓÂÙ Ì ÙÔ ¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 5.18. Yfi‰ÂÈÍË: IÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ f (x) f (x) x x = −A · + A· , g(x) x g(x) g(x) ÁÈ· οı x ∈ (0, 1). EÊ·ÚÌfiÛÙ ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 5.13 ÛÙ· Ú·ÁÌ·ÙÈο Î·È Ê·ÓÙ·ÛÙÈο ̤ÚË ÙˆÓ f (x)/x, g(x)/x. ÕÛÎËÛË 11. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË f ÔÚ›˙ÂÙ·È Û ̛· ÂÚÈÔ¯‹ ÂÓfi˜ ÛËÌ›Ԣ x ÁÈ· ÙÔ ÔÔ›Ô ˘¿Ú¯ÂÈ Ë ÙÈÌ‹ f (x). ¢Â›ÍÙ fiÙÈ lim
h→0
f (x + h) − f (x − h) − 2 f (x) = f (x). h2
¢Â›ÍÙ Ì ¤Ó· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· fiÙÈ ÙÔ fiÚÈÔ ·˘Ùfi ÌÔÚ› Ó· ˘¿Ú¯ÂÈ, ·ÎfiÌË Î·È fiÙ·Ó Ë f (x) ‰ÂÓ ˘¿Ú¯ÂÈ. Yfi‰ÂÈÍË: K¿ÓÂÙ ¯Ú‹ÛË ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 5.13. ÕÛÎËÛË 12. £ÂˆÚԇ̠ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË f Ì f (x) = |x|3 (x ∈ R 1 ). YÔÏÔÁ›ÛÙ ÙȘ f , f Î·È ‰Â›ÍÙ fiÙÈ Ë ÙÈÌ‹ f (3) (0) ‰ÂÓ ˘¿Ú¯ÂÈ. ÕÛÎËÛË 13. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ a, c Â›Ó·È Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› Ì c > 0. OÚ›˙Ô˘Ì ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË f ÛÙÔ [−1, 1] ̤ۈ Ù˘ ÈÛfiÙËÙ·˜ Â¿Ó x = 0, x a sin(x −c ) f (x) = 0 Â¿Ó x = 0. Aԉ›ÍÙ ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÚÔÙ¿ÛÂȘ: (·) H f Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó a > 0.
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∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
(‚) H f (0) ˘¿Ú¯ÂÈ Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó a > 1. (Á) H f Â›Ó·È ÊÚ·Á̤ÓË Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó a ≥ 1 + c. (‰) H f Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó a > 1 + c. (Â) H f (0) ˘¿Ú¯ÂÈ Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó a > 2 + c. (ÛÙ) H f Â›Ó·È ÊÚ·Á̤ÓË Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó a ≥ 2 + 2c. (˙) H f Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó a > 2 + 2c. ÕÛÎËÛË 14. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ f Â›Ó·È Ì›· Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË, ÔÚÈṲ̂ÓË Î·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË ÛÙÔ (a, b). Aԉ›ÍÙ fiÙÈ Ë f Â›Ó·È Î˘ÚÙ‹ Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó Ë f Â›Ó·È ·‡ÍÔ˘Û·. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ Ë f Â›Ó·È ‰‡Ô ÊÔÚ¤˜ ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ Ë f Â›Ó·È Î˘ÚÙ‹ Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ f (x) ≥ 0 ÁÈ· οı x ∈ (a, b). ÕÛÎËÛË 15. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ a ∈ R 1 , fiÙÈ Ë f Â›Ó·È ‰‡Ô ÊÔÚ¤˜ ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÛÙÔ (a, +∞) Î·È fiÙÈ Ù· M0 , M1 , M2 Â›Ó·È Ù· ÂÏ¿¯ÈÛÙ· ¿Óˆ ÊÚ¿ÁÌ·Ù· ÙˆÓ | f |, | f |, | f | ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ M12 ≤ 4M0 M2 . Yfi‰ÂÈÍË: E¿Ó h > 0, ÙfiÙ ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Taylor6 Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ f (x) = 6
1 [ f (x + 2h) − f (x)] − h f (ξ ) 2h
™. Ù. M.: Brook Taylor (1685-1731). ÕÁÁÏÔ˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi˜. EÚÁ¿ÛıËΠ۠ı¤Ì·Ù· AÂÈÚÔÛÙÈÎÔ‡ §ÔÁÈÛÌÔ‡, fiÔ˘ ÌÂٷ͇ ¿ÏÏˆÓ Û˘Ó‹Á·Á ÙÔ ÊÂÚÒÓ˘ÌÔ ıÂÒÚËÌ· Î·È ÙËÓ ÔÏÔÎÏ‹ÚˆÛË Î·Ù¿ ̤ÚË, ηıÒ˜ Î·È Û ı¤Ì·Ù· °ÂˆÌÂÙÚ›·˜ Î·È º˘ÛÈ΋˜. (B‚·›ˆ˜, ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ ÂΛÓË ÙËÓ ÂÔ¯‹, Ù· M·ıËÌ·ÙÈο Î·È Ë º˘ÛÈ΋ ‹Ù·Ó ¿ÚÚËÎÙ· Û˘Ó‰Â‰Â̤ӷ ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜.) O Taylor ›¯Â ·ÚÈÛÙÔÎÚ·ÙÈ΋ ηٷÁˆÁ‹. O ·Ù¤Ú·˜ ÙÔ˘ ÙÔÓ ·Ó¤ıÚ„ Ì ·˘ÛÙËÚ‹ ÂÈı·Ú¯›· ·ÏÏ¿ ›¯Â Î·È ıÂÙÈΤ˜ ÂÈÚÚÔ¤˜ Û ·˘ÙfiÓ, ÌÂÙ·‰›‰ÔÓÙ·˜ ÙÔ˘ ÙËÓ ·Á¿Ë ÁÈ· ÙË ÌÔ˘ÛÈ΋ Î·È ÙË ˙ˆÁÚ·ÊÈ΋. ◊‰Ë ·fi Ó·ڋ ËÏÈΛ·, Ô Taylor ›¯Â ¿ÚÈÛÙË ·È‰Â›· Î·È ‹Ù·Ó ÚÔ¯ˆÚË̤ÓÔ˜ ÌÔ˘ÛÈÎfi˜ Î·È ˙ˆÁÚ¿ÊÔ˜. O Taylor ÂÈÛ‹¯ıË ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1703 ÛÙÔ KÔϤÁÈÔ ÙÔ˘ AÁ›Ô˘ Iˆ¿ÓÓË ÛÙÔ Cambridge. ŒÏ·‚ ÙÔ Ù˘¯›Ô ÙÔ˘ ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1709, ·ÏÏ¿ ›¯Â ‹‰Ë Û˘ÁÁÚ¿„ÂÈ ÙËÓ ÚÒÙË ÙÔ˘ ÛËÌ·ÓÙÈ΋ Ì·ıËÌ·ÙÈ΋ ÂÚÁ·Û›·. TÔ ¤ÙÔ˜ 1712 Ô Taylor ÂÍÂϤÁË ÂÙ·›ÚÔ˜ Ù˘ B·ÛÈÏÈ΋˜ EÙ·ÈÚ›·˜ ÙÔ˘ §ÔÓ‰›ÓÔ˘, ÏfiÁˆ Ù˘ ÂÔÈı‹Ûˆ˜ Ô˘ ˘‹Ú¯Â ÁÈ· ÙËÓ ÌÂÁ¿ÏË Ì·ıËÌ·ÙÈ΋ ÂÌÂÈÚ›· ÙÔ˘ Taylor ·Ú¿ ÁÈ· ÙȘ ‰ËÌÔÛÈÂ˘Ì¤Ó˜ ÂÚÁ·Û›Â˜ ÙÔ˘. TÔ ›‰ÈÔ ¤ÙÔ˜ Ô Taylor ‰ÈÔÚ›ÛıËΠ̤ÏÔ˜ Ù˘ ÂÈÙÚÔ‹˜ Ô˘ ı· Âȉ›Î·˙ ÙË ‰È·Ì¿¯Ë ÌÂٷ͇ ÙˆÓ Isaac Newton (1642-1727) Î·È Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) ÂÚ› Ù˘ ·ÙÚfiÙËÙ·˜ ÙÔ˘ AÂÈÚÔÛÙÈÎÔ‡ §ÔÁÈÛÌÔ‡. B‚·›ˆ˜, ‹Ù·Ó ¤ÓıÂÚÌÔ˜ ˘ÔÛÙËÚÈÎÙ‹˜ ÙÔ˘ Newton. O Taylor ÂÍÂϤÁË ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1714 ÁÚ·ÌÌ·Ù¤·˜ Ù˘ B·ÛÈÏÈ΋˜
¢IAºOPI™H 179
ÁÈ· οÔÈÔ ξ ∈ (x, x + 2h). ÕÚ·, | f (x)| ≤ h M2 +
M0 . h
°È· Ó· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ Ë ÈÛfiÙËÙ· M12 = 4M0 M2 ÌÔÚ› Ó· Â›Ó·È fiÓÙˆ˜ ·ÏËı‹˜, Ï·Ì‚¿ÓÔ˘Ì a = −1 Î·È ıˆÚԇ̠ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË f Ì 2x 2 − 1 Â¿Ó −1 < x < 0, 2 f (x) = x2 − 1 Â¿Ó 0 ≤ x < +∞. x +1 ¢Â›ÍÙ fiÙÈ M0 = 1, M1 = 4, M2 = 4. IÛ¯‡ÂÈ Ë ·ÓÈÛfiÙËÙ· M12 ≤ 4M0 M2 ÁÈ· ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈΤ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ; ÕÛÎËÛË 16. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË f Â›Ó·È ‰‡Ô ÊÔÚ¤˜ ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË ÛÙÔ (0, +∞), fiÙÈ Ë f Â›Ó·È ÊÚ·Á̤ÓË ÛÙÔ (0, +∞) Î·È fiÙÈ f (x) → 0 ηıÒ˜ x → +∞. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ f (x) → 0 ηıÒ˜ x → +∞. Yfi‰ÂÈÍË: §¿‚ÂÙ a → +∞ ÛÙËÓ ÕÛÎËÛË 15. EÙ·ÈÚ›·˜ ÙÔ˘ §ÔÓ‰›ÓÔ˘. Afi ·˘Ù‹Ó ÙË ı¤ÛË ·Ú·ÈÙ‹ıËΠÙÔ ¤ÙÔ˜ 1718 ÁÈ· ÏfiÁÔ˘˜ ˘Á›·˜ Î·È ÂÏÏ›„ˆ˜ ÂӉȷʤÚÔÓÙÔ˜. H ÂÚ›Ô‰Ô˜ ·˘Ù‹ ‹Ù·Ó Ë ÈÔ ·Ú·ÁˆÁÈ΋ ÁÈ· ÙÔÓ Taylor. TÔ ¤ÙÔ˜ 1715 ÂΉfiıËÎ·Ó ‰‡Ô ‚È‚Ï›· ÙÔ˘, ÙÔ «Methodus Incrementorum Directa et Inversa» Î·È ÙÔ ÊËÌÈṲ̂ÓÔ «Linear Perspective», Ù· ÔÔ›· ıˆÚÔ‡ÓÙ·È Ôχ ÛËÌ·ÓÙÈο ÛÙËÓ IÛÙÔÚ›· ÙˆÓ M·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ. O Taylor ÂÈÛÎÂÙfiÙ·Ó Û˘¯Ó¿ ÙË °·ÏÏ›· ÁÈ· ÏfiÁÔ˘˜ ˘Á›·˜ Î·È ·Ó¤Ù˘Í ÂΛ Û¯¤ÛÂȘ Ì ‰È·ÊfiÚÔ˘˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎÔ‡˜. ™˘Ó¤‚ËÛ·Ó ‰È¿ÊÔÚ· ÙÚ·ÁÈο ÁÂÁÔÓfiÙ· ÛÙÔÓ Taylor Ì ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· Ó· ‰˘ÛÎÔϤ„Ô˘Ó ÙË Ì·ıËÌ·ÙÈ΋ ÙÔ˘ ¤Ú¢ӷ. O Taylor ·ÓÙÚ‡ÙËΠÙÔ ¤ÙÔ˜ 1721. §fiÁˆ ·˘ÙÔ‡ ÙÔ˘ Á¿ÌÔ˘ ÔÈ Û¯¤ÛÂȘ ÙÔ˘ Taylor Ì ÙÔÓ ·Ù¤Ú· ÙÔ˘ ›¯·Ó ‰È·ÎÔ›. OÈ ÏfiÁÔÈ ·ÊÔÚÔ‡Û·Ó ÛÙËÓ ¤ÓÙÔÓË ·ÓÙ›ıÂÛË ÙÔ˘ ·Ù¤Ú· ÙÔ˘ Taylor Û ·˘ÙfiÓ ÙÔÓ Á¿ÌÔ, ‰ÈfiÙÈ Ë ÔÈÎÔÁ¤ÓÂÈ· Ù˘ Ó‡Ê˘ ‰ÂÓ Â›¯Â ÔÈÎÔÓÔÌÈ΋ ÂÈÊ¿ÓÂÈ· ÙÔ˘ ÂȤ‰Ô˘ Ù˘ ÔÈÎÔÁÂÓ›·˜ ÙÔ˘ Taylor. TÔ ¤ÙÔ˜ 1723 Ë Á˘Ó·›Î· ÙÔ˘ Taylor ¤ı·Ó ηٿ ÙË ‰È¿ÚÎÂÈ· Ù˘ ÁÂÓÓ‹Ûˆ˜ ÙÔ˘ ·È‰ÈÔ‡ ÙÔ˘˜. TÔ ·È‰› ›Û˘ ¤ı·ÓÂ. MÂÙ¿ ·fi ·˘Ùfi ÙÔ ÙÚ·ÁÈÎfi ÁÂÁÔÓfi˜, ÔÈ Û¯¤ÛÂȘ ÙÔ˘ Taylor Ì ÙÔÓ ·Ù¤Ú· ÙÔ˘ ·ÔηٷÛÙ¿ıËηÓ. O Taylor ·ÓÙÚ‡ÂÙ·È Í·Ó¿ ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1725, Ì ÙË Û˘ÁηٿıÂÛË ÙÔ˘ ·Ù¤Ú· ÙÔ˘ ·˘Ù‹Ó ÙË ÊÔÚ¿. O ·Ù¤Ú·˜ ÙÔ˘ Taylor ¤ı·Ó ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1729 Î·È ÙËÓ ÂfiÌÂÓË ¯ÚÔÓÈ¿ Âı·›ÓÂÈ Ë Á˘Ó·›Î· ÙÔ˘ Taylor ηٿ ÙË ‰È¿ÚÎÂÈ· ÁÂÓÓ‹Ûˆ˜ ÙÔ˘ ·È‰ÈÔ‡ ÙÔ˘˜. A˘Ù‹Ó ÙË ÊÔÚ¿ ÙÔ ·È‰› ¤˙ËÛÂ. O Taylor Û˘Ó¤‚·Ï ÛËÌ·ÓÙÈο ÛÙ· M·ıËÌ·ÙÈο Î·È ÛÙË º˘ÛÈ΋, Ôχ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔ ·fi ÙËÓ ·Ï‹ ÂÈÛ‡Ó·„Ë ÙÔ˘ ÔÓfiÌ·Ùfi˜ ÙÔ˘ Û ¤Ó· ıÂÒÚËÌ·. ¶ÚÔ˜ ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ Taylor ¤¯ÂÈ ‰Ôı› ÙÔ fiÓÔÌ· ÙÔ˘ Û ¤Ó·Ó ÎÚ·Ù‹Ú· ÛÙË ÛÂÏ‹ÓË.
180
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
ÕÛÎËÛË 17. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ f Â›Ó·È Ì›· ÙÚÂȘ ÊÔÚ¤˜ ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÛÙÔ [−1, 1] Ì f (−1) = 0,
f (0) = 0,
f (1) = 1,
f (0) = 0.
Aԉ›ÍÙ fiÙÈ f (3) (x) ≥ 3 ÁÈ· οÔÈÔ x ∈ (−1, 1). ™ËÌÂÈÒÓÔ˘Ì fiÙÈ Ë ÈÛfiÙËÙ· ÈÛ¯‡ÂÈ ÁÈ· ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË 12 (x 3 + x 2 ). Yfi‰ÂÈÍË: XÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÙ ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 5.15 Ì α = 0 Î·È β = ±1 ÁÈ· Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ ÙËÓ ‡·ÚÍË s ∈ (0, 1) Î·È t ∈ (−1, 0) Ì f (3) (s) + f (3) (t) = 6. ÕÛÎËÛË 18. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ f Â›Ó·È Ì›· Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË, ÔÚÈṲ̂ÓË ÛÙÔ [a, b], fiÙÈ n Â›Ó·È ¤Ó·˜ ıÂÙÈÎfi˜ ·Î¤Ú·ÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ Î·È fiÙÈ Ë f (n−1) ˘¿Ú¯ÂÈ ÛÙÔ [a, b]. A˜ Â›Ó·È α, β Î·È P fiˆ˜ ÛÙÔ ıÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Taylor (£ÂÒÚËÌ· 5.15). OÚ›˙Ô˘Ì ÙÔ ËÏ›ÎÔ Q(t) =
f (t) − f (β) t −β
ÁÈ· οı t ∈ [a, b] Ì t = β. N· ·Ú·ÁˆÁ›ÛÂÙ ÙËÓ f (t) − f (β) = (t − β)Q(t) n −1 ÊÔÚ¤˜ ÛÙÔ t = α Î·È Ó· Û˘Ó¿ÁÂÙ ÙËÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ÂΉԯ‹ ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ ÙÔ˘ Taylor: Q (n−1) (α) f (β) = P(β) + (β − α)n . (n − 1)! ÕÛÎËÛË 19. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË f Â›Ó·È ÔÚÈṲ̂ÓË ÛÙÔ (−1, 1) Î·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË ÛÙÔ 0. YÔı¤ÙÔ˘Ì ›Û˘ fiÙÈ {αn }, {βn } (n = 1, 2, 3, . . . ) Â›Ó·È ·ÎÔÏÔ˘ı›Â˜ Ì −1 < αn < βn < 1 Î·È αn → 0, βn → 0 ηıÒ˜ n → ∞. OÚ›˙Ô˘Ì ٷ Ëϛη ‰È·ÊÔÚÒÓ Dn =
f (βn ) − f (αn ) βn − α n
Aԉ›ÍÙ ÙȘ ·ÎfiÏÔ˘ı˜ ÚÔÙ¿ÛÂȘ:
(n = 1, 2, 3, . . . ).
¢IAºOPI™H 181
(·) E¿Ó αn < 0 < βn (n = 1, 2, 3, . . . ), ÙfiÙ limn→∞ Dn = f (0). (‚) E¿Ó 0 < αn < βn (n = 1, 2, 3, . . . ) Î·È Â¿Ó Ë {βn /(βn − αn )} (n = 1, 2, 3, . . . ) Â›Ó·È ÊÚ·Á̤ÓË, ÙfiÙ limn→∞ Dn = f (0). (Á) E¿Ó Ë f Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ (−1, 1), ÙfiÙ limn→∞ Dn = f (0). BÚ›Ù ¤Ó· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ÛÙÔ ÔÔ›Ô Ë f Ó· Â›Ó·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË ÛÙÔ (−1, 1) (·ÏÏ¿ Ë f Ó· ÌËÓ Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ 0), ÔÈ {αn }, {βn } (n = 1, 2, 3, . . . ) Ó· Û˘ÁÎÏ›ÓÔ˘Ó ÚÔ˜ ÙÔ 0 Ì ٤ÙÔÈÔ ÙÚfiÔ ÒÛÙ ÙÔ limn→∞ Dn Ó· ˘¿Ú¯ÂÈ ·ÏÏ¿ Ó· Â›Ó·È ‰È¿ÊÔÚÔ ÙÔ˘ f (0). ÕÛÎËÛË 20. ¢È·Ù˘ÒÛÙÂ Î·È ·Ô‰Â›ÍÙ ̛· ·ÓÈÛfiÙËÙ· Ë ÔÔ›· Ó· ÚÔ·ÙÂÈ ·fi ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Taylor Î·È Ó· ·Ú·Ì¤ÓÂÈ ·ÏËı‹˜ ÁÈ· ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈΤ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ. ÕÛÎËÛË 21. A˜ Â›Ó·È E ¤Ó· ÎÏÂÈÛÙfi ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ R 1 . ™ÙËÓ ÕÛÎËÛË 22 ÙÔ˘ KÂÊ·Ï·›Ô˘ 4 ¤¯Ô˘Ì ‰È·ÈÛÙÒÛÂÈ fiÙÈ ˘¿Ú¯ÂÈ Ì›· Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ Û˘Ó¯‹˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË f ÛÙÔÓ R 1 Ô˘ ¤¯ÂÈ ÙÔ E ˆ˜ ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ı¤ÛÂˆÓ ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ Ù˘. E›Ó·È ‰˘Ó·Ùfi, ÁÈ· οı ÎÏÂÈÛÙfi Û‡ÓÔÏÔ E, Ó· ‚ÚÂı› Ù¤ÙÔÈ· Û˘Ó¿ÚÙËÛË f Ë ÔÔ›· Ó· Â›Ó·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË ÛÙÔÓ R 1 ‹ Ó· Â›Ó·È n ÊÔÚ¤˜ ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË ‹ Ó· ¤¯ÂÈ ·Ú·ÁÒÁÔ˘˜ οı ٿ͈˜ ÛÙÔÓ R 1 ; ÕÛÎËÛË 22. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ f Â›Ó·È Ì›· Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË, ÔÚÈṲ̂ÓË ÛÙÔÓ R 1 . OÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ¤Ó·Ó Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi x ÛÙ·ıÂÚfi ÛËÌÂ›Ô Ù˘ f Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó f (x) = x. (·) E¿Ó Ë f Â›Ó·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË Î·È ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ f (t) = 1 ÁÈ· οı ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi t, ÙfiÙ ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ Ë f ¤¯ÂÈ ÙÔ Ôχ ¤Ó· ÛÙ·ıÂÚfi ÛËÌ›Ô. (‚) ¢Â›ÍÙ fiÙÈ Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË f Ô˘ ÔÚ›˙ÂÙ·È ·fi ÙË Û¯¤ÛË f (t) = t + (1 + et )−1 (t ∈ R 1 ) ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ ÛÙ·ıÂÚ¿ ÛËÌ›·, ·Ú¿ ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ 0 < f (t) < 1 ÁÈ· οı ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi t. (Á) EÓ ÙÔ‡ÙÔȘ, ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ Ë ‡·ÚÍË ·ÚÈıÌÔ‡ A Ì A < 1 Î·È | f (t)| ≤ A ÁÈ· οı ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi t Û˘Ó¿ÁÂÙ·È ÙËÓ ‡·ÚÍË ÂÓfi˜
182
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
ÛÙ·ıÂÚÔ‡ ÛËÌ›Ԣ x Ù˘ f Î·È fiÙÈ x = limn→∞ xn , fiÔ˘ x1 Â›Ó·È Ù˘¯ÒÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ Î·È xn+1 = f (xn ) ÁÈ· οı n = 1, 2, 3, . . . . (‰) ¢Â›ÍÙ fiÙÈ Ë ‰È·‰Èηۛ· Ô˘ ÂÚÈÁÚ¿ÊÂÙ·È ÛÙÔ (Á) ÌÔÚ› Ó· ˘ÏÔÔÈËı› ÛÙÔ Â›Â‰Ô ‰È·Ì¤ÛÔ˘ Ù˘ Ô‰Ô‡ (x1 , x2 ) → (x2 , x2 ) → (x2 , x3 ) → (x3 , x3 ) → (x3 , x4 ) → · · · ÕÛÎËÛË 23. H Û˘Ó¿ÚÙËÛË f Ô˘ ÔÚ›˙ÂÙ·È Ì¤Ûˆ Ù˘ Û¯¤Ûˆ˜ f (x) =
x3 + 1 (x ∈ R 1 ) 3
¤¯ÂÈ ÙÚ›· ÛÙ·ıÂÚ¿ ÛËÌ›· α, β, γ , fiÔ˘ −2 < α < −1, 0 < β < 1, 1 < γ < 2. £ÂˆÚÔ‡ÌÂ Ù˘¯fiÓÙ· ·ÚÈıÌfi x1 Î·È ÔÚ›˙Ô˘Ì ÙËÓ ·ÎÔÏÔ˘ı›· {xn } (n = 1, 2, 3, . . . ) ı¤ÙÔÓÙ·˜ xn+1 = f (xn ) ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË n. (·) E¿Ó x1 < α, ÙfiÙ xn → −∞ ηıÒ˜ n → ∞. (‚) E¿Ó α < x1 < γ , ÙfiÙ xn → β ηıÒ˜ n → ∞. (Á) E¿Ó γ < x1 , ÙfiÙ xn → +∞ ηıÒ˜ n → ∞. ™˘ÓÂÒ˜, ÙÔ β ÌÔÚ› Ó· ÚÔÛ‰ÈÔÚÈÛı› Ì ÙË Ì¤ıÔ‰Ô ·˘Ù‹, ÂÓÒ Ù· α Î·È γ fi¯È. ÕÛÎËÛË 24. H ‰È·‰Èηۛ· Ô˘ ÂÚÈÁÚ¿ÊÂÙ·È ÛÙÔ Ì¤ÚÔ˜ (Á) Ù˘ AÛ΋Ûˆ˜ 22 ÌÔÚ› Ê˘ÛÈο Ó· ÂÊ·ÚÌÔÛı› ÛÂ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ Ô˘ ·ÂÈÎÔÓ›˙Ô˘Ó ÙÔ (0, +∞) ÛÙÔ (0, +∞). £ÂˆÚԇ̠α > 1 Î·È ÔÚ›˙Ô˘Ì ÙȘ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ f , g ̤ۈ ÙˆÓ ÈÛÔÙ‹ÙˆÓ 1 α α+x x+ , g(x) = (x ∈ (0, +∞)). 2 x 1+x √ Aԉ›ÍÙ fiÙÈ ÔÈ f Î·È g ¤¯Ô˘Ó ÙÔ α ˆ˜ ÌÔÓ·‰ÈÎfi ÛÙ·ıÂÚfi ÛËÌÂ›Ô ÛÙÔ (0, +∞). ¶ÚÔÛ·ı‹ÛÙÂ, ‚·ÛÈ˙fiÌÂÓÔÈ ÛÙȘ ȉÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ f Î·È g, Ó· ÂÍËÁ‹ÛÂÙ f (x) =
¢IAºOPI™H 183
ÙÔÓ ÏfiÁÔ ÁÈ· ÙÔÓ ÔÔ›Ô Ë Û‡ÁÎÏÈÛË ÛÙËÓ ÕÛÎËÛË 16 ÙÔ˘ KÂÊ·Ï·›Ô˘ 3 Â›Ó·È Ôχ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔ Ù·¯Â›· ·fi ÙË Û‡ÁÎÏÈÛË ÛÙËÓ ÕÛÎËÛË 17. (™˘ÁÎÚ›ÓÂÙ ÙȘ f Î·È g Î·È Û¯Â‰È¿ÛÙ ÙȘ Ô‰Ô‡˜ Ô˘ ÚÔÙ›ÓÔÓÙ·È ÛÙËÓ ÕÛÎËÛË 22.) EÚÁ·Ûı›Ù ÔÌÔ›ˆ˜ ÁÈ· 0 < α < 1. ÕÛÎËÛË 25. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ Ë f Â›Ó·È ‰‡Ô ÊÔÚ¤˜ ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÛÙÔ [a, b] Ì f (a) < 0, f (b) > 0 Î·È fiÙÈ f (x) ≥ δ, 0 ≤ f (x) ≤ M ÁÈ· οı x ∈ [a, b], fiÔ˘ δ Î·È M Â›Ó·È Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› Ì δ > 0. A˜ Â›Ó·È ξ ÙÔ ÌÔÓ·‰ÈÎfi ÛËÌÂ›Ô ÛÙÔ (a, b) Ì f (ξ ) = 0. ™˘ÌÏËÚÒÛÙ ÙȘ ÏÂÙÔ̤ÚÂȘ ÛÙÔ ·Ô‰ÂÈÎÙÈÎfi ۯ‰ȿÁÚ·ÌÌ· Ô˘ ·ÎÔÏÔ˘ı› Ù˘ ÌÂıfi‰Ô˘ ÙÔ˘ Newton7 ÁÈ· ÙÔÓ ˘ÔÏÔÁÈÛÌfi ÙÔ˘ ξ . 7
™. Ù. M: Isaac Newton (1642-1727). ÕÁÁÏÔ˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi˜ Î·È Ê˘ÛÈÎfi˜. £ÂˆÚÂ›Ù·È ¤Ó·˜ ·fi ÙÔ˘˜ ÛÔ˘‰·ÈfiÙÂÚÔ˘˜ ÂÈÛÙ‹ÌÔÓ˜ Ô˘ ·Ó¤‰ÂÈÍÂ Ë ·ÓıÚˆfiÙËÙ·. Œ¯ÂÈ ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛı› ˆ˜ «·˘Ùfi˜ Ô˘ ͤڷÛ Û ÌÂÁ·ÏÔÊ˘˝· ÙÔ ·ÓıÚÒÈÓÔ Á¤ÓÔ˜». E›Ó·È Ô ÂÌÓ¢ÛÙ‹˜ (Ì·˙› ·ÏÏ¿ ·ÓÂÍ·Úًو˜ ·fi ÙÔÓ Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)) ÙÔ˘ AÂÈÚÔÛÙÈÎÔ‡ §ÔÁÈÛÌÔ‡. MÂٷ͇ ¿ÏψÓ, Â›Ó·È Â›Û˘ Ô ÂÌÓ¢ÛÙ‹˜ ÙˆÓ ÚˆÙ·Ú¯ÈÎÒÓ ÓfiÌˆÓ Ù˘ ÎÈÓ‹Ûˆ˜, ÙÔ˘ ÓfiÌÔ˘ Ù˘ ·ÁÎfiÛÌÈ·˜ ‚·Ú‡ÙËÙ·˜ Î·È Ù˘ Ê·ÛÌ·ÙÈ΋˜ ·Ó·Ï‡Ûˆ˜ ÙÔ˘ ʈÙfi˜. M ÙȘ ÌÂϤÙ˜ ÙÔ˘ ¤ıÂÛ ÙȘ ‚¿ÛÂȘ ÙˆÓ Û‡Á¯ÚÔÓˆÓ M·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ Î·È º˘ÛÈ΋˜. O Newton ÂÈÛ‹¯ıË Ùo ¤ÙÔ˜ 1661 ˆ˜ ÊÔÈÙËÙ‹˜ ÛÙÔ KÔϤÁÈÔ Trinity ÙÔ˘ Cambridge Î·È ÂÚÁ·˙fiÙ·Ó ·Ú·Ïϋψ˜ ÂΛ ˆ˜ ‚ÔËıfi˜. ø˜ ÛÙfi¯Ô ›¯Â ÙËÓ ‰ÈÎËÁÔÚ›· ·ÏÏ¿ Û‡ÓÙÔÌ· ÂÛÙÚ¿ÊË ÚÔ˜ ÛÙȘ Ê˘ÛÈΤ˜ ÂÈÛً̘. ŒÏ·‚ ÙÔ Ù˘¯›Ô ÙÔ˘ ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1664. TÔ ÂfiÌÂÓÔ ¤ÙÔ˜ ͤ۷ÛÂ Ë ÂȉËÌ›· Ù˘ ·ÓÒÏ˘ Î·È ÙÔ ¶·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ ÙÔ˘ Cambridge ·Ó¤ÛÙÂÈÏ ÙË ÏÂÈÙÔ˘ÚÁ›· ÙÔ˘. O Newton ¤ÛÙÚ„ ÛÙË ÁÂÓ¤ÙÂÈÚ¿ ÙÔ˘. ™ÙË ‰È¿ÚÎÂÈ· ·˘ÙÒÓ ÙˆÓ ÂÙÒÓ ¤Î·Ó ÔÏϤ˜ ·fi ÙȘ ÛËÌ·ÓÙÈΤ˜ ·Ó·Î·Ï‡„ÂȘ ÙÔ˘. ø˜ ‰¿ÛηÏÔ ÛÙÔ ¶·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ ÙÔ˘ Cambridge ›¯Â ÙÔÓ Isaac Barrow (1630-1677), ¤Ó·Ó ÛËÌ·ÓÙÈÎfi Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi Ù˘ ÂÔ¯‹˜ ÂΛӢ, fi¯È fï˜ Ù˘ ÎÏ¿Ûˆ˜ ÙÔ˘ Newton. AÓ·ÁÓˆÚ›˙ÔÓÙ·˜ ÙË ÌÂÁ·ÏÔÊ˘›· ÙÔ˘ Newton, Ô Barrow ·Ú·ÈÙ‹ıËΠ·fi ÙËÓ ¤‰Ú· Ô˘ ηÙ›¯Â ÛÙÔ KÔϤÁÈÔ Trinity ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1669, ÚÔÙ›ÓÔÓÙ·˜ ÙËÓ Ï‹ÚˆÛ‹ Ù˘ ·fi ÙÔÓ Ì·ıËÙ‹ ÙÔ˘, fiˆ˜ Î·È ¤ÁÈÓÂ. O Newton ÂÍÂϤÁË ÂÙ·›ÚÔ˜ ÛÙË B·ÛÈÏÈ΋ EÙ·ÈÚ›· ÙÔ˘ §ÔÓ‰›ÓÔ˘ ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1672 Î·È ÂÍÂϤÁË Úfi‰Úfi˜ Ù˘ ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1703. OÈ Â·ÓÂÎÏÔÁ¤˜ ÙÔ˘ ˆ˜ ÚÔ¤‰ÚÔ˘ Ù˘ B·ÛÈÏÈ΋˜ EÙ·ÈÚ›·˜ ÙÔ˘ §ÔÓ‰›ÓÔ˘ Û˘Ó¯›ÛıËÎ·Ó ¤ˆ˜ ÙÔÓ ı¿Ó·Ùfi ÙÔ˘. EÍÂϤÁË ·ÓÙÈÚfiÛˆÔ˜ ÙÔ˘ ¶·ÓÂÈÛÙËÌ›Ô˘ ÙÔ˘ Cambridge ÛÙËÓ KÔÈÓÔ‚Ô˘Ï¢ÙÈ΋ ™‡ÓÔ‰Ô ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1689. EÙ¤ıË ÂÈÎÂÊ·Ï‹˜ ÙÔ˘ AÁÁÏÈÎÔ‡ NÔÌÈÛÌ·ÙÔÎÔ›Ԣ ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1699. TÔ ¤ÙÔ˜ 1705 Ô Newton ¯ڛÛıË ÈfiÙ˘ (Sir) ·fi ÙË ‚·Û›ÏÈÛÛ· ÕÓÓ·. O Newton Âͤ‰ˆÛ Ùo ¤ÙÔ˜ 1687 ÙÔ ÌÂÁ·ÏÂÈ҉˜ ÂÈÛÙËÌÔÓÈÎfi ÙÔ˘ ¤ÚÁÔ «Philosophiae Naturalis Principia Mathematica», ÙÔ ÔÔ›Ô ¤¯ÂÈ ıˆÚËı› ˆ˜ ÙÔ ÛÔ˘‰·ÈfiÙÂÚÔ ÂÈÛÙËÌÔÓÈÎfi Û‡ÁÁÚ·ÌÌ· ÛÙËÓ ÈÛÙÔÚ›· ÙˆÓ ÂÈÛÙËÌÒÓ.
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∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
(·) EÈϤÍÙ x1 ∈ (ξ, b) Î·È ÔÚ›ÛÙ ÙËÓ ·ÎÔÏÔ˘ı›· {xn } (n = 1, 2, 3, . . . ) ̤ۈ Ù˘ ÈÛfiÙËÙ·˜ xn+1 = xn −
f (xn ) f (xn )
(n = 1, 2, 3, . . . ).
EÚÌËÓ‡ÛÙ ÙË Û¯¤ÛË ·˘Ù‹ ÁˆÌÂÙÚÈο, Ì fiÚÔ˘˜ ÂÊ·ÙÔÌ¤ÓˆÓ ÛÙÔ ÁÚ¿ÊËÌ· Ù˘ f . (‚) Aԉ›ÍÙ fiÙÈ xn+1 < xn ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË n Î·È fiÙÈ lim xn = ξ.
n→∞
(Á) XÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÙ ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Taylor ÁÈ· Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË n ˘¿Ú¯ÂÈ tn ∈ (ξ, xn ) Ì xn+1 − ξ =
f (tn ) (xn − ξ )2 . 2 f (xn )
(‰) E¿Ó A = M/2δ, ÙfiÙÂ Û˘ÌÂÚ¿ÓÂÙ fiÙÈ 0 ≤ xn+1 − ξ ≤
1 n [A(x1 − ξ )]2 A
(n = 1, 2, 3, . . . ).
(™˘ÁÎÚ›ÓÂÙ Ì ÙȘ AÛ΋ÛÂȘ 16 Î·È 18 ÙÔ˘ KÂÊ·Ï·›Ô˘ 3.) H ¤ÓÙÔÓË ÌÂϤÙË Î·È ÂÓ·Û¯fiÏËÛË ÙÔ˘ Newton Ì ÙËÓ ÂÈÛÙ‹ÌË Â›¯Â ˆ˜ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· ÙÔÓ ÎÏÔÓÈÛÌfi Ù˘ ˘Á›·˜ ÙÔ˘. TÔ ¤ÙÔ˜ 1692 Ô Newton ·ÚÚÒÛÙËÛ ÛÔ‚·Ú¿, ˘¤ÛÙË Ó¢ÚÈÎfi ÎÏÔÓÈÛÌfi Î·È ¤ÊÙ·Û ÛÙ· Úfiı˘Ú· Ï‹ÚÔ˘˜ ۈ̷ÙÈ΋˜ Î·È ÓÂ˘Ì·ÙÈ΋˜ ηٷÚÚ‡Ûˆ˜. K·Ù¿ÊÂÚ ӷ ·Ó·ÚÚÒÛÂÈ ÙÔ ÂfiÌÂÓÔ ¤ÙÔ˜. MÂٷ͇ ÙˆÓ Newton Î·È Leibniz ˘‹ÚÍ ¤ÓÙÔÓË ·ÓÙÈ·Ú¿ıÂÛË Û¯ÂÙÈο Ì ÙËÓ ·ÙÚfiÙËÙ· ÙÔ˘ AÂÈÚÔÛÙÈÎÔ‡ §ÔÁÈÛÌÔ‡. Afi ÙË B·ÛÈÏÈ΋ EÙ·ÈÚ›· ÙÔ˘ §ÔÓ‰›ÓÔ˘ Û˘ÓÂÛÙ‹ıË ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1712 ÂÈÙÚÔ‹ ÂȉÈοÛˆ˜ ·˘Ù‹˜ Ù˘ ˘Ôı¤Ûˆ˜ (Ë ÔÔ›· ‹Ù·Ó ÌÂÚÔÏËÙÔ‡Û· ˘¤Ú ÙÔ˘ Newton). OÈ Newton Î·È Leibniz ›¯·Ó ·Ú¯Èο ÂÁοډȘ Û¯¤ÛÂȘ Î·È ¤ÙÚÂÊ·Ó ·ÏÏËÏÔÂÎÙ›ÌËÛË Ô ¤Ó·˜ ÚÔ˜ ÙÔÓ ¿ÏÏÔÓ. ŸÌˆ˜, Ì¿ÏÏÔÓ Î·È ÏfiÁˆ ÔÏÈÙÈÎÒÓ ÛÎÔÈÌÔÙ‹ÙˆÓ ÂΠ̤ÚÔ˘˜ ÙÚ›ÙˆÓ ÚÔÛÒˆÓ, Ô‰ËÁ‹ıËÎ·Ó Û ·˘Ù‹Ó ÙËÓ ıÏÈ‚ÂÚ‹ ·ÓÙȉÈΛ·, Ë ÔÔ›· ·ÔÙÂÏ› Ì›· ·fi ÙȘ ÌÂÏ·ÓfiÙÂÚ˜ ÛÂÏ›‰Â˜ ÛÙËÓ ÈÛÙÔÚ›· ÙˆÓ M·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ. AÍ›˙ÂÈ Ó· ÛËÌÂȈı› fiÙÈ Ë ÊÈÏÔÓÈΛ· ·˘Ù‹ ‰È·ÙËÚ‹ıËΠ۠ÂıÓÈÎfi ›‰Ô, ·ÚÎÂÙfi ηÈÚfi ÌÂÙ¿ ÙÔÓ ı¿Ó·ÙÔ ÙˆÓ Newton Î·È Leibniz. O Newton ¤ı·Ó ϋÚ˘ ËÌÂÚÒÓ, fï˜ Ù· ÙÂÏÂ˘Ù·›· ¯ÚfiÓÈ· Ù˘ ˙ˆ‹˜ ÙÔ˘ ٷϷȈڋıËΠ·fi ¤ÓÙÔÓÔ˘˜ fiÓÔ˘˜, ÙÔ˘˜ ÔÔ›Ô˘˜ ·ÓÙÈÌÂÙÒÈÛ Ì ηÚÙÂÚÈÎfiÙËÙ· Î·È ı¿ÚÚÔ˜. (O Newton ‰ÂÓ Â›Ó·È ¿ÏÏÔ˜ ·Ú¿ Ô ·Û›ÁÓˆÛÙÔ˜ ÛÙÔ˘˜ ŒÏÏËÓ˜ N‡وӷ˜. O ÌÂÙ·ÊÚ·ÛÙ‹˜ ‰ÂÓ ÂÈÎÚÔÙ› Ù¤ÙÔÈÔ˘ ›‰Ô˘˜ ÂÍÂÏÏËÓÈÛÌÔ‡˜ Î·È ‰È·ÙËÚ› ÛÙÔ Î›ÌÂÓÔ Ù· ·˘ıÂÓÙÈο ÔÓfiÌ·Ù·.)
¢IAºOPI™H 185
(Â) ¢Â›ÍÙ fiÙÈ Ë Ì¤ıÔ‰Ô˜ ÙÔ˘ Newton ÈÛÔ‰˘Ó·Ì› Ì ÙËÓ Â‡ÚÂÛË ÛÙ·ıÂÚÔ‡ ÛËÌ›Ԣ ÁÈ· ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË g, Ë ÔÔ›· ÔÚ›˙ÂÙ·È Ì¤Ûˆ Ù˘ Û¯¤Ûˆ˜ g(x) = x −
f (x) f (x)
(x ∈ [a, b]).
¶ˆ˜ Û˘ÌÂÚÈʤÚÂÙ·È Ë g ÏËÛ›ÔÓ ÙÔ˘ ξ ; (ÛÙ) £ÂˆÚ‹ÛÙ ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË f Ì f (x) = x 1/3 ÁÈ· x ∈ (−∞, +∞) Î·È ÂÊ·ÚÌfiÛÙ ÙË Ì¤ıÔ‰Ô ÙÔ˘ Newton. TÈ Û˘Ì‚·›ÓÂÈ Û ·˘Ù‹Ó ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË; ÕÛÎËÛË 26. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ f Â›Ó·È Ì›· ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË ÛÙÔ [a, b] Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ì f (a) = 0 Î·È fiÙÈ ˘¿Ú¯ÂÈ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ A Ì | f (x)| ≤ A| f (x)| ÁÈ· οı x ∈ [a, b]. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ f (x) = 0 ÁÈ· οı x ∈ [a, b]. Yfi‰ÂÈÍË: £ÂˆÚ‹ÛÙ x0 ∈ [a, b] Î·È ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ M0 = sup | f (x)|, x∈[a,x0 ]
M1 = sup | f (x)|. x∈[a,x0 ]
°È· οı ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi x Ì a ≤ x ≤ x0 ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ | f (x)| ≤ M1 (x0 − a) ≤ A(x0 − a)M0 . ™˘ÓÂÒ˜, Â¿Ó A(x0 − a) < 1, ÙfiÙ M0 = 0, ‰ËÏ·‰‹ f (x) = 0 ÁÈ· οı x ∈ [a, x0 ]. ™˘Ó¯›ÛÙ ÔÌÔ›ˆ˜. ÕÛÎËÛË 27. A˜ Â›Ó·È φ Ì›· Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ì ‰›Ô ÔÚÈÛÌÔ‡ ¤Ó· ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ R ÙÔ˘ ÂȤ‰Ô˘, ÙÔ ÔÔ›Ô ÔÚ›˙ÂÙ·È ˆ˜ ÂÍ‹˜: (x, y) ∈ R Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó a ≤ x ≤ b Î·È α ≤ y ≤ β. M›· χÛË ÙÔ˘ ÚÔ‚Ï‹Ì·ÙÔ˜ ·Ú¯ÈÎÒÓ ÙÈÌÒÓ y = φ(x, y),
y(a) = c
(α ≤ c ≤ β)
›ӷÈ, ÂÍ ÔÚÈÛÌÔ‡, Ì›· ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË Û˘Ó¿ÚÙËÛË f ÛÙÔ [a, b] Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ f (a) = c, α ≤ f (x) ≤ β ÁÈ· οı ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi x Ì a ≤ x ≤ b Î·È f (x) = φ(x, f (x))
(a ≤ x ≤ b).
186
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
Aԉ›ÍÙ fiÙÈ ¤Ó· Ù¤ÙÔÈÔ˘ ›‰Ô˘˜ Úfi‚ÏËÌ· ¤¯ÂÈ ÙÔ Ôχ Ì›· χÛË Â¿Ó ˘¿Ú¯ÂÈ ¤Ó·˜ ·ÚÈıÌfi˜ A Ì |φ(x, y2 ) − φ(x, y1 )| ≤ A|y2 − y1 | ÁÈ· οı (x, y1 ), (x, y2 ) ∈ R. Yfi‰ÂÈÍË: EÊ·ÚÌfiÛÙ ÙËÓ ÕÛÎËÛË 26 ÛÙË ‰È·ÊÔÚ¿ ‰‡Ô χÛˆÓ. ™ËÌÂÈÒÛÙ fiÙÈ ·˘Ù‹ Ë È‰ÈfiÙËÙ· Ù˘ ÌÔÓ·‰ÈÎfiÙËÙ·˜ ‰ÂÓ ÈÛ¯‡ÂÈ ÁÈ· ÙÔ Úfi‚ÏËÌ· ·Ú¯ÈÎÒÓ ÙÈÌÒÓ y = y 1/2 ,
y(0) = 0,
ÙÔ ÔÔ›Ô ¤¯ÂÈ ‰‡Ô χÛÂȘ: ÙË ÌˉÂÓÈ΋ Î·È ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË f Ì f (x) = x 2 /4. BÚ›Ù fiϘ ÙȘ ¿ÏϘ χÛÂȘ.
ÕÛÎËÛË 28. ¢È·Ù˘ÒÛÙÂ Î·È ·Ô‰Â›ÍÙ ¤Ó· ·Ó¿ÏÔÁÔ ıÂÒÚËÌ· ÌÔÓ·‰ÈÎfiÙËÙ·˜ ÁÈ· Û˘ÛÙ‹Ì·Ù· ‰È·ÊÔÚÈÎÒÓ ÂÍÈÛÒÛÂˆÓ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ y j = φ j (x, y1 , . . . , yk ),
y j (a) = c j
( j = 1, . . . , k).
™ËÌÂÈÒÛÙ fiÙÈ ÙÔ ·Ú·¿Óˆ Û‡ÛÙËÌ· ÌÔÚ› Ó· ÁÚ·Ê› ÛÙË ÌÔÚÊ‹ y = φ(x, y),
y(a) = c,
fiÔ˘ Ë y = (y1 , . . . , yk ) ¤¯ÂÈ Â‰›Ô ÙÈÌÒÓ ÂÓÙfi˜ ÂÓfi˜ k-‰È·ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜, φ Â›Ó·È ·ÂÈÎfiÓÈÛË ÂÓfi˜ (k + 1)-‰È·ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ ÛÙÔÓ E˘ÎÏ›‰ÂÈÔ k-¯ÒÚÔ ÌÂ Û˘ÓÈÛÙÒÛ˜ ÙȘ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ φ1 , . . . , φk Î·È c Â›Ó·È ÙÔ ‰È¿Ó˘ÛÌ· (c1 , . . . , ck ). XÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÙ ÙËÓ ÕÛÎËÛË 26 ÁÈ· ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈΤ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ.
ÕÛÎËÛË 29. EÍÂȉÈ·ÛÙ ÙËÓ ÕÛÎËÛË 28 ıˆÚÒÓÙ·˜ ÙÔ Û‡ÛÙËÌ· y j = y j+1 yk
( j = 1, . . . , k − 1),
= f −
k j=1
gj yj,
¢IAºOPI™H 187
fiÔ˘ f, g1 , . . . , gk Â›Ó·È Ú·ÁÌ·ÙÈΤ˜ Û˘Ó¯›˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ ÛÙÔ [a, b], Î·È Û˘Ó¿ÁÂÙ ¤Ó· ıÂÒÚËÌ· ÌÔÓ·‰ÈÎfiÙËÙ·˜ ÁÈ· ÙȘ χÛÂȘ Ù˘ ÂÍÈÛÒÛˆ˜ y (k) + gk y (k−1) + · · · + g2 y + g1 y = f, ˘ÔΛÌÂÓ˜ ÛÙȘ ·Ú¯ÈΤ˜ Û˘Óı‹Î˜ y(a) = c1 ,
y (a) = c2 , . . . , y (k−1) (a) = ck .
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 6
TO KATA RIEMANN-STIELTJES O§OK§HPøMA
TÔ ·ÚfiÓ ÎÂÊ·Ï·›Ô ‚·Û›˙ÂÙ·È Û ¤Ó·Ó ÔÚÈÛÌfi ÙÔ˘ ηٿ Riemann ÔÏÔÎÏËÚÒÌ·ÙÔ˜, Ô ÔÔ›Ô˜ Û¯ÂÙ›˙ÂÙ·È ÛÙÂÓ¿ Ì ÙËÓ ‰ÔÌ‹ Ù˘ ‰È·Ù¿Íˆ˜ Ù˘ Ú·ÁÌ·ÙÈ΋˜ ¢ı›·˜. £· ÍÂÎÈÓ‹ÛÔ˘Ì ÏÔÈfiÓ Ì ̛· ·ÚÔ˘Û›·ÛË Ù˘ ÔÏÔÎÏËÚÒÛˆ˜ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ ÔÚÈÛÌ¤ÓˆÓ Û ÎÏÂÈÛÙfi ‰È¿ÛÙËÌ·. ™Â ÂfiÌÂÓ˜ ÂÓfiÙËÙ˜ ·ÎÔÏÔ˘ı› Ë Â¤ÎÙ·ÛË Ù˘ ¤ÓÓÔÈ·˜ Ù˘ ÔÏÔÎÏËÚÒÛˆ˜ Û ÌÈÁ·‰ÈΤ˜ Î·È ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈΤ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ ÔÚÈṲ̂Ó˜ Û ÎÏÂÈÛÙfi ‰È¿ÛÙËÌ·.
190
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
H ÔÏÔÎÏ‹ÚˆÛË Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ ˘ÂÚ¿Óˆ Û˘ÓfiÏˆÓ Ù· ÔÔ›· ‰ÂÓ Â›Ó·È ··Ú·Èًو˜ ‰È·ÛÙ‹Ì·Ù· ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙ÂÙ·È ÛÙ· KÂÊ¿Ï·È· 10 Î·È 11.
OPI™MO™ KAI Y¶AP•H TOY O§OK§HPøMATO™ OÚÈÛÌfi˜ 6.1. A˜ Â›Ó·È [a, b] ¤Ó· ‰Â‰Ô̤ÓÔ ÎÏÂÈÛÙfi ‰È¿ÛÙËÌ·. M ÙÔÓ fiÚÔ ‰È·Ì¤ÚÈÛË ÙÔ˘ [a, b] ÂÓÓÔԇ̠¤Ó· ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ Û‡ÓÔÏÔ P ÛËÌ›ˆÓ x0 , x1 , . . . , xn , fiÔ˘ a = x0 ≤ x1 ≤ . . . ≤ xn = b. °Ú¿ÊÔ˘Ì xi = xi − xi−1
(i = 1, . . . , n).
YÔı¤ÙÔ˘Ì ÙÒÚ· fiÙÈ f Â›Ó·È Ì›· Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ ÊÚ·Á̤ÓË Û˘Ó¿ÚÙËÛË, ÔÚÈṲ̂ÓË ÛÙÔ [a, b]. ™Â ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ËÛË Ì οı ‰È·Ì¤ÚÈÛË P, fiˆ˜ ÚÔËÁÔ˘Ì¤Óˆ˜, ÙÔ˘ [a, b], ı¤ÙÔ˘Ì Mi = mi =
sup
f (x)
(i = 1, . . . n),
inf
f (x)
(i = 1, . . . n),
x∈[xi−1 ,xi ]
x∈[xi−1 ,xi ]
U (P, f ) =
n
Mi xi ,
i=1
L(P, f ) =
n
m i xi
i=1
Î·È ÙÂÏÈο
b
f d x = inf U (P, f ),
(1)
f d x = sup L(P, f ),
(2)
a
a
b
TO KATA RIEMANN-STIELTJES O§OK§HPøMA 191
fiÔ˘ ÙÔ Ì¤ÁÈÛÙÔ Î¿Ùˆ ÊÚ¿ÁÌ· Î·È ÙÔ ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ ¿Óˆ ÊÚ¿ÁÌ· Ï·Ì‚¿ÓÔÓÙ·È ˘ÂÚ¿Óˆ fiÏˆÓ ÙˆÓ ‰È·ÌÂÚ›ÛÂˆÓ P ÙÔ˘ [a, b]. T· ·ÚÈÛÙÂÚ¿ ̤ÏË ÙˆÓ (1) Î·È (2) ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜ ÙÔ ·ÓÒÙÂÚÔ Î·È ÙÔ Î·ÙÒÙÂÚÔ Î·Ù¿ Riemann ÔÏÔÎϋڈ̷ Ù˘ f ÛÙÔ [a, b]. H Û˘Ó¿ÚÙËÛË f ϤÁÂÙ·È Î·Ù¿ Riemann ÔÏÔÎÏËÚÒÛÈÌË ÛÙÔ [a, b] Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ÙÔ ·ÓÒÙÂÚÔ ÔÏÔÎϋڈ̷ Ù˘ f ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙÔ Î·ÙÒÙÂÚÔ ÔÏÔÎϋڈ̷. ™Â ·˘Ù‹Ó ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË, ÁÚ¿ÊÔ˘Ì f ∈ R (‰ËÏ·‰‹ ÙÔ R Â›Ó·È ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ Î·Ù¿ Riemann ÔÏÔÎÏËÚÒÛÈÌˆÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛˆÓ) Î·È Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì ÙËÓ ÎÔÈÓ‹ ÙÈÌ‹ ÙˆÓ (1) Î·È (2) ÌÂ
b
f dx
(3)
f (x)d x.
(4)
a
‹ ·ÏÏÈÒ˜
b
a
O ·ÚÈıÌfi˜ ·˘Ùfi˜ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÙÔ Î·Ù¿ Riemann ÔÏÔÎϋڈ̷ Ù˘ f ÛÙÔ [a, b]. EÊfiÛÔÓ Ë f Â›Ó·È ÊÚ·Á̤ÓË, ˘¿Ú¯Ô˘Ó ·ÚÈıÌÔ› m Î·È M Ì m ≤ f (x) ≤ M
(a ≤ x ≤ b).
™˘ÓÂÒ˜, ÁÈ· οı ‰È·Ì¤ÚÈÛË P ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ m(b − a) ≤ L(P, f ) ≤ U (P, f ) ≤ M(b − a), Î·È ÂÔ̤ӈ˜ ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ L(P, f ), U (P, f ), ηıÒ˜ ÙÔ P ‰È·ÙÚ¤¯ÂÈ fiϘ ÙȘ ‰˘Ó·Ù¤˜ ‰È·ÌÂÚ›ÛÂȘ ÙÔ˘ ‰È·ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜, ··ÚÙ›˙Ô˘Ó ÊÚ·Á̤ӷ Û‡ÓÔÏ·. A˘Ùfi Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ ÙÔ ·ÓÒÙÂÚÔ Î·È ÙÔ Î·ÙÒÙÂÚÔ ÔÏÔÎϋڈ̷ ˘¿Ú¯ÂÈ ÁÈ· οı ÊÚ·Á̤ÓË Û˘Ó¿ÚÙËÛË f . TÔ ÂÚÒÙËÌ· ÂÚ› Ù˘ ÈÛfiÙËÙ¿˜ ÙÔ˘˜, ‰ËÏ·‰‹ ÂÚ› Ù˘ ÔÏÔÏÔÎÏËÚˆÛÈÌfiÙËÙ·˜ Ù˘ f , ··ÈÙ› Ì›· ÈÔ ÚÔÛÂÎÙÈ΋ ·ÓÙÈÌÂÙÒÈÛË. AÓÙ› Ó· ‰ÈÂÚ¢ӋÛÔ˘Ì ÙËÓ Î·Ù¿ÛÙ·ÛË ÌÂÌÔӈ̤ӷ ÁÈ· ÙÔ ÔÏÔÎϋڈ̷ Riemann, ı· ÙËÓ ÙÔÔıÂÙ‹ÛÔ˘Ì Û ̛· ÁÂÓÈÎfiÙÂÚË ıÂÒÚËÛË.
192
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
OÚÈÛÌfi˜ 6.2. A˜ Â›Ó·È α Ì›· ·‡ÍÔ˘Û· Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÛÙÔ [a, b]. (H α, ˆ˜ ·‡ÍÔ˘Û· Û˘Ó¿ÚÙËÛË Û ÎÏÂÈÛÙfi Î·È ÊÚ·Á̤ÓÔ ‰È¿ÛÙËÌ·, Â›Ó·È ÊÚ·Á̤ÓË). ™Â οı ‰È·Ì¤ÚÈÛË P ÙÔ˘ [a, b] ·ÓÙÈÛÙÔȯ›˙Ô˘Ì ÙȘ ‰È·ÊÔÚ¤˜ αi = α(xi ) − α(xi−1 )
(i = 1, . . . , n).
E›Ó·È ۷ʤ˜ fiÙÈ αi ≥ 0 ÁÈ· οı i = 1, . . . , n. °È· οı ڷÁÌ·ÙÈ΋ ÊÚ·Á̤ÓË Û˘Ó¿ÚÙËÛË f ÛÙÔ [a, b] ı¤ÙÔ˘Ì U (P, f, α) =
n
Mi αi ,
i=1
L(P, f, α) =
n
m i αi ,
i=1
fiÔ˘ Ù· Mi , m i (i = 1, . . . , n) ¤¯Ô˘Ó ÙËÓ ›‰È· ¤ÓÓÔÈ· fiˆ˜ ÛÙÔÓ OÚÈÛÌfi 6.1, Î·È ÔÚ›˙Ô˘ÌÂ
b
f dα = inf U (P, f, α),
(5)
f dα = sup L(P, f, α),
(6)
a
b
a
fiÔ˘ ÙÔ Ì¤ÁÈÛÙÔ Î¿Ùˆ ÊÚ¿ÁÌ· Î·È ÙÔ ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ ¿Óˆ ÊÚ¿ÁÌ· Ï·Ì‚¿ÓÔÓÙ·È ˘ÂÚ¿Óˆ fiÏˆÓ ÙˆÓ ‰È·ÌÂÚ›ÛÂˆÓ P ÙÔ˘ [a, b]. H Û˘Ó¿ÚÙËÛË f ϤÁÂÙ·È Î·Ù¿ Riemann ÔÏÔÎÏËÚÒÛÈÌË ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ α ÛÙÔ [a, b] Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó Ù· ·ÚÈÛÙÂÚ¿ ̤ÏË ÙˆÓ (5) Î·È (6) Â›Ó·È ›Û·. AÓ·ÏfiÁˆ˜ Ì ÙÔÓ OÚÈÛÌfi 6.1, Û ·˘Ù‹Ó ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ÁÚ¿ÊÔ˘Ì f ∈ R(α) (‰ËÏ·‰‹ ÙÔ R(α) Â›Ó·È ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ Î·Ù¿ Riemann ÔÏÔÎÏËÚÒÛÈÌˆÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ ˆ˜ ÚÔ˜ α) Î·È Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì ÙËÓ ÎÔÈÓ‹ ÙÈÌ‹ ÙˆÓ (5) Î·È (6) Ì b f dα (7) a
‹ ·ÏÏÈÒ˜ a
b
f (x)dα(x).
(8)
TO KATA RIEMANN-STIELTJES O§OK§HPøMA 193
O ·ÚÈıÌfi˜ ·˘Ùfi˜ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÙÔ Î·Ù¿ Riemann-Stieltjes 1 ÔÏÔÎϋڈ̷ (‹ ·ÏÔ‡ÛÙÂÚ· ÙÔ Î·Ù¿ Stieltjes ÔÏÔÎϋڈ̷) Ù˘ f ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ α ÛÙÔ [a, b]. £ÂˆÚÒÓÙ·˜ ˆ˜ α ÙËÓ Ù·˘ÙÔÙÈ΋2 Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÛÙÔ [a, b] (‰ËÏ·‰‹ α(x) = x ÁÈ· οı x ∈ [a, b]), ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ Î·Ù¿ Riemann ÔÏoÎϋڈ̷ ·ÔÙÂÏ› ÂȉÈ΋ ÂÚ›ÙˆÛË ÙÔ˘ ηٿ Riemann-Stieltjes ÔÏÔÎÏËÚÒÌ·ÙÔ˜. ¶Ú¤ÂÈ Ó· ÛËÌÂÈÒÛÔ˘Ì fiÙÈ, ÛÙË ÁÂÓÈ΋ ÂÚ›ÙˆÛË, Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË α ‰ÂÓ ˘ÔÙ›ıÂÙ·È Û˘Ó¯‹˜. E›Ó·È ··Ú·›ÙËÙÔ Ó· Á›ÓÔ˘Ó ÔÚÈṲ̂ӷ Û¯fiÏÈ· Û¯ÂÙÈο Ì ÙÔÓ Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌfi. O Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌfi˜ (7) Â›Ó·È ÚÔÙÈÌfiÙÂÚÔ˜ ÙÔ˘ (8) ‰ÈfiÙÈ ÙÔ ÁÚ¿ÌÌ· x ‰ÂÓ ÚÔÛı¤ÙÂÈ Ù›ÔÙ ÛÙÔ ÓÔËÌ·ÙÈÎfi ÂÚȯfiÌÂÓÔ Ù˘ (7). ¢ÂÓ ¤¯ÂÈ ÛËÌ·Û›· ÔÈÔ ÁÚ¿ÌÌ· ı· ÂÈϤÍÔ˘Ì ÁÈ· Ó· ‰ËÏÒÛÔ˘Ì ÙË ÏÂÁfiÌÂÓË «ÌÂÙ·‚ÏËÙ‹ ÔÏÔÎÏËÚÒÛˆ˜». E› ·Ú·‰Â›ÁÌ·ÙÈ, Ë (8) Ù·˘Ù›˙ÂÙ·È Ì ÙËÓ
b
f (y)dα(y).
a
TÔ ÔÏÔÎϋڈ̷ ÂÍ·ÚÙ¿Ù·È ·fi ÙËÓ f , ÙËÓ α, Ù· a Î·È b Î·È fi¯È ·fi ÙË ÌÂÙ·‚ÏËÙ‹ ÔÏÔÎÏËÚÒÛˆ˜. O ÚfiÏÔ˜ Ù˘ ÌÂÙ·‚ÏËÙ‹˜ ÔÏÔÎÏËÚÒÛˆ˜ Â›Ó·È ·Ó¿ÏÔÁÔ˜ Ì ÙÔÓ ÚfiÏÔ ÙÔ˘ 1
™. Ù. M.: Thomas Jan Stieltjes (1856-1894). OÏÏ·Ó‰fi˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi˜. EÚÁ¿ÛıËΠÛÙËÓ AÓ¿Ï˘ÛË Î·È ÛÙË £ÂˆÚ›· AÚÈıÌÒÓ. O Stieltjes ÍÂΛÓËÛ ÙȘ ÛÔ˘‰¤˜ ÙÔ˘ ÛÙÔ ¶ÔÏ˘Ù¯ÓÂ›Ô ÙÔ˘ Delft ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1873. ¢È¿‚·˙ ٷ ¤ÚÁ· ÙˆÓ Carl Friedrich Gauss (1777-1855) Î·È Carl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851) ¯ˆÚ›˜ Ó· ÂÎÏËÚÒÓÂÈ ÙȘ ˘Ô¯ÚÂÒÛÂȘ ÙÔ˘ ÚÔ˜ ÙÔ ·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ, Ì ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· Ó· ·ÔÚÚ›ÙÂÙ·È ÛÙȘ ÂÍÂÙ¿ÛÂȘ. O Stieljes ‰ÈÔÚ›ÛıËΠÙÔ ¤ÙÔ˜1877 ‚ÔËıfi˜ ÛÙÔ ·ÛÙÂÚÔÛÎÔÂ›Ô ÙÔ˘ Leiden, Ì ÙËÓ ·Ú¤Ì‚·ÛË ÙÔ˘ ·ÂÏÈṲ̂ÓÔ˘ ·Ù¤Ú· ÙÔ˘. MÂÏÂÙÔ‡Û M·ıËÌ·ÙÈο ηÈ, ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1883, ·Ú·ÈÙ‹ıËΠ·fi ÙÔ ·ÛÙÂÚÔÛÎÔÂ›Ô Ì ÛÎÔfi Ó· ·ÎÔÏÔ˘ı‹ÛÂÈ ÛÙ·‰ÈÔ‰ÚÔÌ›· ÛÙ· M·ıËÌ·ÙÈο. TÔ ¤ÙÔ˜ 1884 Ô Stieltjes ˘¤‚·Ï ·›ÙËÛË ÁÈ· Ì›· ı¤ÛË ÛÙÔ ¶·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ ÙÔ˘ Groningen, ·ÏÏ¿ ÙÂÏÈο ‰ÂÓ ÙËÓ ‹ÚÂ. TÔ ›‰ÈÔ ¤ÙÔ˜ Ô Stieltjes ¤Ï·‚ ̛· ÙÈÌËÙÈ΋ ‰È¿ÎÚÈÛË ·fi ÙÔ ¶·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ ÙÔ˘ Leiden. TÔ ÂfiÌÂÓÔ ¤ÙÔ˜ Ô Stieltjes ‹Á ÛÙË °·ÏÏ›· Î·È ¤Ï·‚ ÙÔ ‰È‰·ÎÙÔÚÈÎfi ÙÔ˘ ‰›ÏˆÌ· ·fi ÙÔ ¶·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ Ù˘ Toulouse ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1886. TÚ›· ¤ÙË ÌÂÙ¿ Ô Stieltjes ¤ÁÈÓ ηıËÁËÙ‹˜ M·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ ÛÙÔ ¶·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ Ù˘ Toulouse, fiÔ˘ Î·È ·Ú¤ÌÂÈÓ ÁÈ· ÙËÓ ˘fiÏÔÈ‹ ÙÔ˘ ˙ˆ‹. 2 ™. Ù. M.: M›· Û˘Ó¿ÚÙËÛË f ·fi ¤Ó· Û‡ÓÔÏÔ A ÛÙÔÓ Â·˘Ùfi ÙÔ˘ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Ù·˘ÙÔÙÈ΋ Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ f (x) = x ÁÈ· οı x ∈ A.
194
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
‰Â›ÎÙË ·ıÚÔ›Ûˆ˜: Ù· ‰‡Ô ۇ̂ÔÏ· n
n
ci ,
i=1
ck
k=1
‰ËÏÒÓÔ˘Ó ÙÔÓ ›‰ÈÔ ·ÚÈıÌfi, ÙÔÓ c1 + c2 + · · · + cn . º˘ÛÈο, ‰ÂÓ ‰ËÌÈÔ˘ÚÁ› ·Ôχو˜ ηӤӷ Úfi‚ÏËÌ· Ë ¯Ú‹ÛË Ù˘ ÌÂÙ·‚ÏËÙ‹˜ ÔÏÔÎÏËÚÒÛˆ˜ Î·È Û ·ÚÎÂÙ¤˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ ‰È¢ÎÔχÓÂÈ Î·Ù¿ Ôχ ÙËÓ Î·Ù¿ÛÙ·ÛË. EÓ Û˘Ó¯›·, ı· ‰ÈÂÚ¢ӋÛÔ˘Ì ÙËÓ ‡·ÚÍË ÙÔ˘ ÔÏÔÎÏËÚÒÌ·ÙÔ˜ (7). ¢›¯ˆ˜ Ó· Á›ÓÂÙ·È Û˘Ó¯‹˜ ·Ó·ÊÔÚ¿, Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË f ı· ˘ÔÙ›ıÂÙ·È Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ Î·È ÊÚ·Á̤ÓË Î·È Ë α ı· ˘ÔÙ›ıÂÙ·È ·‡ÍÔ˘Û· ÛÙÔ [a, b]. OÚÈÛÌfi˜ 6.3. M›· ‰È·Ì¤ÚÈÛË P ı· ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÂÎÏ¤Ù˘ÓÛË Ù˘ ‰È·ÌÂÚ›Ûˆ˜ P Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó P ⊂ P (‰ËÏ·‰‹ οı ÛËÌÂ›Ô Ù˘ P ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙËÓ P ). ¢Â‰ÔÌ¤ÓˆÓ ‰‡Ô ‰È·ÌÂÚ›ÛÂˆÓ P1 Î·È P2 , ı· ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ÙË ‰È·Ì¤ÚÈÛË P = P1 ∪ P2 ÎÔÈÓ‹ ÂÎÏ¤Ù˘ÓÛË ÙˆÓ P1 Î·È P2 . £ÂÒÚËÌ· 6.4. E¿Ó P Â›Ó·È Ì›· ÂÎÏ¤Ù˘ÓÛË Ù˘ ‰È·ÌÂÚ›Ûˆ˜ P, ÙfiÙ L(P, f, α) ≤ L(P , f, α)
(9)
U (P , f, α) ≤ U (P, f, α).
(10)
ηÈ
Afi‰ÂÈÍË. °È· Ó· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì ÙËÓ (9), ˘Ôı¤ÙÔ˘Ì ·Ú¯Èο fiÙÈ Ë P ÂÚȤ¯ÂÈ ÌfiÓÔÓ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ·Ú·¿Óˆ ·fi ÙËÓ P. A˜ Â›Ó·È x ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ·˘Ùfi. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ xi−1 < x < xi ÁÈ· οÔÈÔÓ ‰Â›ÎÙË i, fiÔ˘ Ù· xi−1 Î·È xi Â›Ó·È ‰È·‰Ô¯Èο ÛËÌ›· Ù˘ ‰È·ÌÂÚ›Ûˆ˜ P. £¤ÙÔ˘Ì w1 =
inf
x∈[xi−1 ,x ]
w2 =
inf
x∈[x ,xi ]
f (x), f (x).
E›Ó·È ۷ʤ˜ fiÙÈ w1 ≥ m i Î·È w2 ≥ m i , fiÔ˘ mi =
inf
x∈[xi−1 ,xi ]
f (x),
TO KATA RIEMANN-STIELTJES O§OK§HPøMA 195
fiˆ˜ ÛÙÔÓ OÚÈÛÌfi 6.1. ™˘ÓÂÒ˜, L(P , f, α) − L(P, f, α) = w1 [α(x ) − α(xi−1 )] + w2 [α(xi ) − α(x )] − m i [α(xi ) − α(xi−1 )] = (w1 − m i )[α(x ) − α(xi−1 )] + (w2 − m i )[α(xi ) − α(x )] ≥ 0. E¿Ó Ë P ÂÚȤ¯ÂÈ k ÂÈϤÔÓ ÛËÌ›· ·fi ÙËÓ P, ÙfiÙ ÂÊ·ÚÌfi˙Ô˘Ì ÙÔ ·Ú·¿Óˆ Âȯ›ÚËÌ· Û k ‚‹Ì·Ù· Î·È Î·Ù·Ï‹ÁÔ˘Ì ÛÙËÓ (9). H ·fi‰ÂÈÍË Ù˘ (10) Â›Ó·È ·Ó¿ÏÔÁË. b £ÂÒÚËÌ· 6.5. IÛ¯‡ÂÈ Ë ·ÓÈÛfiÙËÙ· a
f dα ≤
b
f dα. a
Afi‰ÂÈÍË. A˜ Â›Ó·È P Ë ÎÔÈÓ‹ ÂÎÏ¤Ù˘ÓÛË ‰‡Ô ‰È·ÌÂÚ›ÛÂˆÓ P1 Î·È P2 . ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 6.4, L(P1 , f, α) ≤ L(P , f, α) ≤ U (P , f, α) ≤ U (P2 , f, α). ÕÚ·, L(P1 , f, α) ≤ U (P2 , f, α).
(11)
E¿Ó ıˆڋÛÔ˘Ì ÙËÓ P2 ÛÙ·ıÂÚ‹ Î·È Ï¿‚Ô˘Ì ÙÔ ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ ¿Óˆ ÊÚ¿ÁÌ· ˘ÂÚ¿Óˆ fiÏˆÓ ÙˆÓ ‰È·ÌÂÚ›ÛÂˆÓ P1 , ÙfiÙÂ Ë (11) ¯ÔÚËÁ› ÙËÓ
b
f dα ≤ U (P2 , f, α).
(12)
a
H ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ ÔÏÔÎÏËÚÒÓÂÙ·È Â¿Ó Ï¿‚Ô˘Ì ÛÙË (12) ÙÔ Ì¤ÁÈÛÙÔ Î¿Ùˆ ÊÚ¿ÁÌ· ˘ÂÚ¿Óˆ fiÏˆÓ ÙˆÓ ‰È·ÌÂÚ›ÛÂˆÓ P2 . £ÂÒÚËÌ· 6.6. IÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ f ∈ R(α) ÛÙÔ [a, b] Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ÁÈ· οı ε > 0 ˘¿Ú¯ÂÈ Ì›· ‰È·Ì¤ÚÈÛË P Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ U (P, f, α) − L(P, f, α) < ε.
(13)
196
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
Afi‰ÂÈÍË. °È· οı ‰È·Ì¤ÚÈÛË P ¤¯Ô˘ÌÂ
b
L(P, f, α) ≤
f dα ≤
a
b
f dα ≤ U (P, f, α).
a
™˘ÓÂÒ˜, Ë (13) Û˘Ó¿ÁÂÙ·È ÙËÓ
b
0≤
b
f dα −
f dα < ε.
a
a
ÕÚ·, Â¿Ó Ë (13) ÈηÓÔÔÈÂ›Ù·È ÁÈ· οı ε > 0, ÙfiÙ a
b
f dα =
b
f dα, a
‰ËÏ·‰‹ f ∈ R(α). AÓÙÈÛÙÚfiʈ˜, ˘Ôı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ f ∈ R(α). A˜ Â›Ó·È ε > 0. TfiÙÂ, ˘¿Ú¯Ô˘Ó ‰È·ÌÂÚ›ÛÂȘ P1 Î·È P2 Ì b ε U (P2 , f, α) − f dα < , (14) 2 a a
b
ε f dα − L(P1 , f, α) < . 2
(15)
E¿Ó ÂÈϤÍÔ˘Ì ˆ˜ P ÙËÓ ÎÔÈÓ‹ ÂÎÏ¤Ù˘ÓÛË ÙˆÓ P1 Î·È P2 , ÙfiÙ ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 6.4, Ì·˙› Ì ÙȘ (14) Î·È (15), ¯ÔÚËÁ› ÙËÓ b ε U (P, f, α) ≤ U (P2 , f, α) < f dα + < L(P1 , f, α) + ε ≤ L(P, f, α) + ε 2 a Î·È ÂÔ̤ӈ˜ Ë (13) ÈÛ¯‡ÂÈ ÂÈϤÁÔÓÙ·˜ ÙË ‰È·Ì¤ÚÈÛË P. TÔ £ÂÒÚËÌ· 6.6 ¯ÔÚËÁ› ¤Ó· ¯Ú‹ÛÈÌÔ ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ ÁÈ· ÙËÓ ÔÏÔÎÏËÚˆÛÈÌfiÙËÙ·. ¶ÚÈÓ ÙÔ ÂÊ·ÚÌfiÛÔ˘ÌÂ, ı· ‰È·Ù˘ÒÛÔ˘Ì ÔÚÈṲ̂ӷ ·ÔÙÂϤÛÌ·Ù· Ô˘ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È Û ÛÙÂÓ‹ Û¯¤ÛË Ì ·˘Ùfi. £ÂÒÚËÌ· 6.7. (·) E¿Ó Ë (13) ÈÛ¯‡ÂÈ ÁÈ· οÔÈÔ ε > 0 Î·È Î¿ÔÈ· ‰È·Ì¤ÚÈÛË P, ÙfiÙ ÈÛ¯‡ÂÈ (Ì ÙÔ ›‰ÈÔ ε) ÁÈ· οı ÂÎÏ¤Ù˘ÓÛË Ù˘ P.
TO KATA RIEMANN-STIELTJES O§OK§HPøMA 197
(‚) E¿Ó Ë (13) ÈÛ¯‡ÂÈ ÁÈ· ÙË ‰È·Ì¤ÚÈÛË P = {x0 , . . . , xn } Î·È Â¿Ó si , ti Â›Ó·È Ù˘¯fiÓÙ· ÛËÌ›· ÙÔ˘ [xi−1 , xi ] (i = 1, . . . , n), ÙfiÙ n
| f (si ) − f (ti )| αi < ε.
i=1
(Á) E¿Ó f ∈ R(α) Î·È ÈηÓÔÔÈÔ‡ÓÙ·È ÔÈ ˘Ôı¤ÛÂȘ ÙÔ˘ (‚), ÙfiÙ b n f (t ) α − f dα < ε. i i i=1 a Afi‰ÂÈÍË. TÔ £ÂÒÚËÌ· 6.4 Û˘Ó¿ÁÂÙ·È ÙÔ (·). Yfi ÙȘ ˘Ôı¤ÛÂȘ ÙÔ˘ (‚), Ù· f (si ) Î·È f (ti ) ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÛÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· [m i , Mi ] ÁÈ· οı i = 1, . . . n, ÂÔ̤ӈ˜ | f (si ) − f (ti )| ≤ Mi − m i ÁÈ· οı i = 1, . . . n. ÕÚ·, n
| f (si ) − f (ti )| αi ≤ U (P, f, α) − L(P, f, α),
i=1
ÙÔ ÔÔ›Ô ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÈ ÙÔ (‚). OÈ ÚÔÊ·Ó›˜ ·ÓÈÛfiÙËÙ˜ L(P, f, α) ≤
n
f (ti ) αi ≤ U (P, f, α)
i=1
ηÈ
L(P, f, α) ≤
b
f dα ≤ U (P, f, α)
a
·Ô‰ÂÈÎÓ‡Ô˘Ó ÙÔ (Á). £ÂÒÚËÌ· 6.8. E¿Ó Ë f Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ [a, b], ÙfiÙ f ∈ R(α) ÛÙÔ [a, b]. Afi‰ÂÈÍË. £ÂˆÚԇ̠ε > 0. EÈϤÁÔ˘Ì η > 0 Ì [α(b) − α(a)]η < ε. EÊfiÛÔÓ Ë f Â›Ó·È ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ [a, b] (£ÂÒÚËÌ· 4.19), ˘¿Ú¯ÂÈ δ > 0 Ì | f (x) − f (t)| < η
(16)
198
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
ÁÈ· οı x, t ∈ [a, b] Ì |x − t| < δ. E¿Ó P Â›Ó·È ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ‰È·Ì¤ÚÈÛË ÙÔ˘ [a, b] Ì xi < δ ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË i, ÙfiÙÂ Ë (16) Û˘Ó¿ÁÂÙ·È fiÙÈ Mi − m i ≤ η
(i = 1, . . . , n)
(17)
Î·È ÂÔ̤ӈ˜ U (P, f, α) − L(P, f, α) =
n
(Mi − m i ) αi
i=1 n
≤ η
αi
i=1
= η[α(b) − α(a)] < ε. ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 6.6, ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ f ∈ R(α). £ÂÒÚËÌ· 6.9. E¿Ó Ë f Â›Ó·È ÌÔÓfiÙÔÓË ÛÙÔ [a, b] Î·È Â¿Ó Ë α Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ [a, b], ÙfiÙ f ∈ R(α). (º˘ÛÈο, Û˘Ó¯›˙Ô˘Ì ӷ ‰Â¯fiÌ·ÛÙ fiÙÈ Ë α Â›Ó·È ·‡ÍÔ˘Û·). Afi‰ÂÈÍË. £ÂˆÚԇ̠ε > 0. °È· οı ıÂÙÈÎfi ·Î¤Ú·ÈÔ ·ÚÈıÌfi n ÂÈϤÁÔ˘Ì ̛· ‰È·Ì¤ÚÈÛË Ì α(b) − α(a) (i = 1, . . . , n). n A˘Ùfi Â›Ó·È ‰˘Ó·Ùfi ÂÊfiÛÔÓ Ë α Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ (£ÂÒÚËÌ· 4.23). YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ Ë f Â›Ó·È ·‡ÍÔ˘Û· (Ë ·fi‰ÂÈÍË Â›Ó·È ·Ó¿ÏÔÁË ÁÈ· ÙËÓ ¿ÏÏË ÂÚ›ÙˆÛË). TfiÙÂ, αi =
Mi = f (xi ),
m i = f (xi−1 )
(i = 1, . . . , n)
Î·È ÂÔ̤ӈ˜ U (P, f, α) − L(P, f, α) =
n α(b) − α(a) [ f (xi ) − f (xi−1 )] n i=1
α(b) − α(a) · [ f (b) − f (a)] n < ε
=
TO KATA RIEMANN-STIELTJES O§OK§HPøMA 199
Â¿Ó Ô n ÏËÊı› ·ÚÎÒ˜ ÌÂÁ¿ÏÔ˜. Afi ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 6.6 ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ f ∈ R(α). £ÂÒÚËÌ· 6.10. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ Ë f ¤¯ÂÈ ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ˘ Ï‹ıÔ˘˜ ÛËÌ›· ·Û˘Ó¤¯ÂÈ·˜ ÛÙÔ [a, b] Î·È fiÙÈ Ë α Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ Û οı ÛËÌÂ›Ô ·Û˘Ó¤¯ÂÈ·˜ Ù˘ f . TfiÙÂ, f ∈ R(α). Afi‰ÂÈÍË. £ÂˆÚԇ̠ε > 0. £¤ÙÔ˘Ì M = supx∈[a,b] | f (x)|. A˜ Â›Ó·È E ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ ·Û˘Ó¤¯ÂÈ·˜ Ù˘ f . EÊfiÛÔÓ ÙÔ E Â›Ó·È ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ Î·È Ë α Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ Û οı ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ E, ÌÔÚԇ̠ӷ ηχ„Ô˘Ì ÙÔ E ·fi ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ˘ Ï‹ıÔ˘˜ ·ÔÛ˘Ó‰ÂÙ¿ ·Ó¿ ‰‡Ô ‰È·ÛÙ‹Ì·Ù· [u 1 , v1 ], [u 2 , v2 ], . . . , [u k , vk ] Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ [u j , v j ] ⊂ [a, b] ÁÈ· ÔÔÈÔÓ‰‹ÔÙ ‰Â›ÎÙË j = 1, 2, . . . k Î·È kj=1 α(v j ) − α(u j ) < ε. EÈϤÔÓ, ÌÔÚԇ̠ӷ ÙÔÔıÂÙ‹ÛÔ˘Ì ·˘Ù¿ Ù· ‰È·ÛÙ‹Ì·Ù· Ì ٤ÙÔÈÔ ÙÚfiÔ Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ οı ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ E ∩ (a, b) Ó· ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi οÔÈÔ˘ ‰È·ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ [u j , v j ] ( j = 1, 2, . . . k). AÊ·ÈÚԇ̠ٷ ‰È·ÛÙ‹Ì·Ù· (u j , v j ) ( j = 1, 2, . . . k) ·fi ÙÔ [a, b]. TÔ ÂÓ·ÔÌÂ›Ó·Ó Û‡ÓÔÏÔ K Â›Ó·È Û˘Ì·Á¤˜. ™˘ÓÂÒ˜, Ë f Â›Ó·È ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ K Î·È ÂÔ̤ӈ˜ ˘¿Ú¯ÂÈ δ > 0 Ì | f (s) − f (t)| < ε ÁÈ· οı s, t ∈ K Ì |s − t| < δ. MÔÚԇ̠ӷ ηٷÛ΢¿ÛÔ˘Ì ̛· ‰È·Ì¤ÚÈÛË P = {x0 , x1 , . . . , xn } ÙÔ˘ [a, b] Ì ÙȘ ÂÍ‹˜ ȉÈfiÙËÙ˜: (i) °È· ÔÔÈÔÓ‰‹ÔÙ ‰Â›ÎÙË j, Ù· u j Î·È v j ÂÌÊ·Ó›˙ÔÓÙ·È ÛÙË ‰È·Ì¤ÚÈÛË P. (ii) °È· ÔÔÈÔÓ‰‹ÔÙ ‰Â›ÎÙË j, ηӤӷ ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ (u j , v j ) ‰ÂÓ ÂÌÊ·Ó›˙ÂÙ·È ÛÙË ‰È·Ì¤ÚÈÛË P. (iii) E¿Ó ÁÈ· ÔÔÈÔ˘Û‰‹ÔÙ ‰Â›ÎÙ˜ i Î·È j ÙÔ xi−1 ‰ÂÓ Â›Ó·È Î¿ÔÈÔ ·fi Ù· u j , ÙfiÙ xi < δ. ™ËÌÂÈÒÓÔ˘Ì fiÙÈ ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË i Â›Ó·È Mi −m i ≤ 2M Î·È fiÙÈ Mi −m i ≤ ε, ÂÎÙfi˜ Â¿Ó ÙÔ xi−1 Ù·˘Ù›˙ÂÙ·È Ì ηӤӷ ·fi Ù· u j ( j = 1, 2, . . . k). ™˘ÓÂÒ˜, fiˆ˜ Î·È ÛÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 6.8, U (P, f, α) − L(P, f, α) ≤ [α(b) − α(a)]ε + 2Mε.
200
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
EÊfiÛÔÓ Ô ε Â›Ó·È Ù˘¯ÒÓ ıÂÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜, ·fi ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 6.6 ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ f ∈ R(α). ™ËÌ›ˆÛË: E¿Ó ÔÈ f Î·È α ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓfi ÛËÌÂ›Ô ·Û˘Ó¤¯ÂÈ·˜, ÙfiÙ ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ‰ÂÓ ·ÏËı‡ÂÈ ··Ú·Èًو˜. A˘Ùfi ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙ÂÙ·È ÛÙËÓ ÕÛÎËÛË 3. £ÂÒÚËÌ· 6.11. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ f ∈ R(α) ÛÙÔ [a, b] Ì m ≤ f ≤ M ÁÈ· οÔÈÔ˘˜ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ m, M, fiÙÈ φ Â›Ó·È Ì›· Û˘Ó¯‹˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÛÙÔ [m, M] Î·È fiÙÈ h Â›Ó·È Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÛÙÔ [a, b] Ì h(x) = φ( f (x)) ÁÈ· οı x ∈ [a, b]. TfiÙÂ, h ∈ R(α) ÛÙÔ [a, b]. Afi‰ÂÈÍË. £ÂˆÚԇ̠ε > 0. EÊfiÛÔÓ Ë φ Â›Ó·È ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ [m, M], ˘¿Ú¯ÂÈ δ > 0 Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ δ < ε Î·È |φ(s) − φ(t)| < ε ÁÈ· οı s, t ∈ [m, M] Ì |s − t| ≤ δ. EÊfiÛÔÓ f ∈ R(α), ˘¿Ú¯ÂÈ Ì›· ‰È·Ì¤ÚÈÛË P = {x0 , x1 , . . . , xn } ÙÔ˘ [a, b] Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ U (P, f, α) − L(P, f, α) < δ 2 .
(18)
A˜ Â›Ó·È ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› Mi , m i (i = 1, . . . , n) fiˆ˜ ÛÙÔÓ OÚÈÛÌfi 6.1 Î·È Mi , m i (i = 1, . . . , n) ÔÈ ·Ó¿ÏÔÁÔÈ ·ÚÈıÌÔ› ÁÈ· ÙËÓ h. ¢È·¯ˆÚ›˙Ô˘Ì ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ 1, . . . , n Û ‰‡Ô Û‡ÓÔÏ· A Î·È B, Ù· ÔÔ›· ÔÚ›˙Ô˘Ì ˆ˜ ÂÍ‹˜: i ∈ A Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó Mi − m i < δ Î·È i ∈ B Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó Mi − m i ≥ δ. °È· i ∈ A Ë ÂÈÏÔÁ‹ ÙÔ˘ δ Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ Mi − m i ≤ ε. °È· i ∈ B Â›Ó·È Mi − m i ≤ 2K , fiÔ˘ K = supt∈[m,M] |φ(t)|. ™‡Ìʈӷ Ì ÙË (18) ¤¯Ô˘Ì fiÙÈ αi ≤ (Mi − m i ) αi < δ 2 (19) δ
i∈B
i∈B
αi < δ. K·Ù¿ Û˘Ó¤ÂÈ·, (Mi − m i ) αi + (Mi − m i ) αi U (P, h, α) − L(P, h, α) =
Î·È ÂÔ̤ӈ˜
i∈B
i∈A
i∈B
≤ ε[α(b) − α(a)] + 2K δ < ε[α(b) − α(a) + 2K ]. EÊfiÛÔÓ Ô ε Â›Ó·È Ù˘¯ÒÓ ıÂÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜, ·fi ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 6.6 Û˘Ó¿ÁÔ˘Ì fiÙÈ h ∈ R(α).
TO KATA RIEMANN-STIELTJES O§OK§HPøMA 201
¶·Ú·Ù‹ÚËÛË: A˘Ùfi ÙÔ ıÂÒÚËÌ· Ì·˜ Ô‰ËÁ› ÛÙÔ ÂÚÒÙËÌ·: ¶ÔȘ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ Â›Ó·È ·ÎÚÈ‚Ò˜ ÔÏÔÎÏËÚÒÛÈ̘ ηٿ Riemann; H ·¿ÓÙËÛË ‰›‰ÂÙ·È ÛÙÔ £ÂÒÚËÌ· 11.33(‚).
I¢IOTHTE™ TOY O§OK§HPøMATO™ £ÂÒÚËÌ· 6.12. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ α, α1 , α2 Â›Ó·È ·‡ÍÔ˘Û˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ ÛÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· [a, b]. (·) E¿Ó f 1 , f 2 ∈ R(α) ÛÙÔ [a, b], ÙfiÙ f 1 + f 2 ∈ R(α), c f ∈ R(α) ÁÈ· οı ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi c ηÈ
b
( f 1 + f 2 )dα =
a
b
f 2 dα,
a
b
b
f 1 dα + a
c f dα = c
b
f dα.
a
a
(‚) E¿Ó f 1 , f 2 ∈ R(α) ÛÙÔ [a, b] Î·È f 1 ≤ f 2 , ÙfiÙÂ
b
b
f 1 dα ≤
f 2 dα.
a
a
(Á) E¿Ó f ∈ R(α) ÛÙÔ [a, b] Î·È Â¿Ó a < c < b, ÙfiÙ f ∈ R(α) ÛÙ· [a, c] Î·È [c, b], Î·È b c b f dα = f dα + f dα. a
a
c
(‰) E¿Ó f ∈ R(α) ÛÙÔ [a, b] Î·È Â¿Ó | f | ≤ M, ÁÈ· οÔÈÔÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi M, ÙfiÙ b ≤ M[α(b) − α(a)]. f dα a
(Â) E¿Ó f ∈ R(α1 ) ÛÙÔ [a, b] Î·È f ∈ R(α1 + α2 ) ÛÙÔ [a, b] Î·È a
b
f d(α1 + α2 ) = a
b
f ∈ R(α2 ) ÛÙÔ [a, b], ÙfiÙÂ
f dα1 + a
b
f dα2 .
202
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
E¿Ó f ∈ R(α) ÛÙÔ [a, b] Î·È Â¿Ó c Â›Ó·È ¤Ó·˜ ıÂÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜, ÙfiÙ f ∈ R(cα) Î·È b b f d(cα) = c f dα. a
a
Afi‰ÂÈÍË. E¿Ó f = f 1 + f 2 Î·È P Â›Ó·È ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ‰È·Ì¤ÚÈÛË ÙÔ˘ [a, b], ÙfiÙ ¤¯Ô˘Ì L(P, f 1 , α) + L(P, f 2 , α) ≤ L(P, f, α)
(20)
≤ U (P, f, α) ≤ U (P, f 1 , α) + U (P, f 2 , α). YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ f 1 , f 2 ∈ R(α). A˜ Â›Ó·È ε > 0. TfiÙÂ, ˘¿Ú¯Ô˘Ó ‰È·ÌÂÚ›ÛÂȘ P1 , P2 Ì U (P j , f j , α) − L(P j , f j , α) < ε ( j = 1, 2). H ·ÓÈÛfiÙËÙ˜ ·˘Ù¤˜ ·Ú·Ì¤ÓÔ˘Ó ·ÏËı›˜ Â¿Ó ÔÈ P1 Î·È P2 ·ÓÙÈηٷÛÙ·ıÔ‡Ó ·fi ÙËÓ ÎÔÈÓ‹ ÙÔ˘˜ ÂÎÏ¤Ù˘ÓÛË. TfiÙÂ, Ë (20) Û˘Ó¿ÁÂÙ·È fiÙÈ U (P, f, α) − L(P, f, α) < 2ε, Ë ÔÔ›· ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÈ fiÙÈ f ∈ R(α). °È· ÙË ‰È·Ì¤ÚÈÛË ·˘Ù‹ ÈÛ¯‡ÂÈ Â›Û˘ fiÙÈ b f j dα + ε ( j = 1, 2). U (P, f j , α) ≤ a
ÕÚ·, Ë (20) Û˘Ó¿ÁÂÙ·È fiÙÈ b f dα ≤ U (P, f, α) < a
b
f 1 dα +
a
b
f 2 dα + 2ε.
a
EÊfiÛÔÓ Ô ε Â›Ó·È Ù˘¯ÒÓ ıÂÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜, Û˘Ó¿ÁÔ˘Ì fiÙÈ b b b f dα ≤ f 1 dα + f 2 dα. a
a
(21)
a
E¿Ó ·ÓÙÈηٷÛÙ‹ÛÔ˘Ì ÛÙËÓ (21) ÙȘ f 1 , f 2 Ì ÙȘ − f 1 , − f 2 , ÙfiÙÂ Ë ·ÓÈÛfiÙËÙ· ·ÓÙÈÛÙÚ¤ÊÂÙ·È Î·È ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È Ë ÈÛfiÙËÙ·. OÈ ·Ô‰Â›ÍÂȘ ÙˆÓ ˘ÔÏÔ›ˆÓ ÈÛ¯˘ÚÈÛÌÒÓ ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 6.12 Â›Ó·È ·ÚÂÌÊÂÚ›˜ Î·È ÁÈ· ÙÔÓ ÏfiÁÔ ·˘ÙfiÓ ·Ú·Ï›ԢÌ ÙȘ ·Ô‰Â›ÍÂȘ. °È· ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ ̤ÚÔ˘˜ (Á) ÌÔÚԇ̠ӷ ÂÚÈÔÚÈÛÙԇ̠۠‰È·ÌÂÚ›ÛÂȘ Ô˘ b ÂÚȤ¯Ô˘Ó ÙÔ ÛËÌÂ›Ô c, ÚÔÎÂÈ̤ÓÔ˘ Ó· ÚÔÛÂÁÁ›ÛÔ˘Ì ÙÔ a f dα.
TO KATA RIEMANN-STIELTJES O§OK§HPøMA 203
£ÂÒÚËÌ· 6.13. E¿Ó f, g ∈ R(α) ÛÙÔ [a, b], ÙfiÙÂ: (·) f g ∈ R(α) ÛÙÔ [a, b].
(‚) | f | ∈ R(α) ÛÙÔ [a, b] ηÈ
b
a
f dα ≤
b
| f |dα.
a
Afi‰ÂÈÍË. E¿Ó ÛÙÔ £ÂÒÚËÌ· 6.11 Ï¿‚Ô˘Ì φ(t) = t 2 , fiÔ˘ ÙÔ t ·Ó‹ÎÂÈ Û ¤Ó· ÎÏÂÈÛÙfi ‰È¿ÛÙËÌ· Ô˘ ÂÚȤ¯ÂÈ ÙÔ Â‰›Ô ÙÈÌÒÓ Ù˘ f , ÙfiÙÂ Û˘Ó¿ÁÔ˘Ì fiÙÈ f 2 ∈ R(α) Â¿Ó f ∈ R(α). H ÈÛfiÙËÙ· 4 f g = ( f + g)2 − ( f − g)2 ÔÏÔÎÏËÚÒÓÂÈ ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ (·). E¿Ó ÛÙÔ £ÂÒÚËÌ· 6.11 Ï¿‚Ô˘Ì φ(t) = |t|, fiÔ˘ ÙÔ t ·Ó‹ÎÂÈ Û ¤Ó· ÎÏÂÈÛÙfi ‰È¿ÛÙËÌ· Ô˘ ÂÚȤ¯ÂÈ ÙÔ Â‰›Ô ÙÈÌÒÓ Ù˘ f , ÙfiÙÂ Û˘Ó¿ÁÔ˘Ì ·ÚÔÌÔ›ˆ˜ fiÙÈ | f | ∈ R(α) Â¿Ó f ∈ R(α). EÈϤÁÔ˘Ì c = ±1 Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ ӷ ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ
b
c
f dα ≥ 0.
a
TfiÙÂ,
a
b
f dα = c
b
f dα =
a
b
c f dα ≤
a
b
| f |dα
a
‰ÈfiÙÈ Ê˘ÛÈο c f ≤ | f |.
OÚÈÛÌfi˜ 6.14. H ÌÔÓ·‰È·›· ÎÏÈ̷Έً Û˘Ó¿ÚÙËÛË I ÔÚ›˙ÂÙ·È ·fi ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· 0 Â¿Ó x ≤ 0, I (x) = 1 Â¿Ó x > 0. £ÂÒÚËÌ· 6.15. E¿Ó a < s < b, Â¿Ó f Â›Ó·È Ì›· ÊÚ·Á̤ÓË ÛÙÔ [a, b] Î·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ s Û˘Ó¿ÚÙËÛË Î·È Â¿Ó α(x) = I (x − s) ÁÈ· x ∈ [a, b], ÙfiÙ a
b
f dα = f (s).
204
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
Afi‰ÂÈÍË. £ÂˆÚԇ̠‰È·ÌÂÚ›ÛÂȘ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ P = {x0 , x1 , x2 , x3 }, fiÔ˘ x0 = a Î·È x1 = s < x2 < x3 = b. TfiÙÂ, U (P, f, α) = M2 ,
L(P, f, α) = m 2 .
EÊfiÛÔÓ Ë f Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ s, ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì fiÙÈ Ù· M2 Î·È m 2 Û˘ÁÎÏ›ÓÔ˘Ó ÚÔ˜ ÙÔ f (s) ηıÒ˜ x2 → s. £ÂÒÚËÌ· 6.16. £ÂˆÚԇ̛̠· ·ÎÔÏÔ˘ı›· {cn } (n = 1, 2, 3, . . . ) Ì cn ≥ 0 ∞ ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË n Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙÂ Ë n=1 cn Ó· Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ. £ÂˆÚԇ̠›Û˘ Ì›· ·ÎÔÏÔ˘ı›· {sn } (n = 1, 2, 3, . . . ) ‰È·ÎÂÎÚÈÌ¤ÓˆÓ ÛËÌ›ˆÓ ÙÔ˘ (a, b). A˜ Â›Ó·È α Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ì α(x) =
∞
cn I (x − sn )
(x ∈ [a, b]).
(22)
n=1
A˜ Â›Ó·È Â›Û˘ f Ì›· Û˘Ó¯‹˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÛÙÔ [a, b]. TfiÙÂ, b ∞ f dα = cn f (sn ). a
(23)
n=1
Afi‰ÂÈÍË. TÔ ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ Ù˘ Û˘ÁÎÚ›Ûˆ˜ Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ Ë ÛÂÈÚ¿ (22) Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÁÈ· οı ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi x. H Û˘Ó¿ÚÙËÛË α Â›Ó·È ÚÔÊ·ÓÒ˜ ·‡ÍÔ˘Û· ∞ Ì α(a) = 0 Î·È α(b) = n=1 cn . (H Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ô˘ ÂÌÊ·Ó›˙ÂÙ·È ÛÙËÓ ¶·Ú·Ù‹ÚËÛË 4.31 Â›Ó·È ·˘Ù‹˜ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜). A˜ Â›Ó·È ε > 0. £ÂˆÚԇ̠¤Ó·Ó ·Î¤Ú·ÈÔ ·ÚÈıÌfi N Ì ∞
cn < ε.
n=N +1
£ÂˆÚԇ̠›Û˘ ÙȘ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ α1 , α2 , fiÔ˘ ÁÈ· x ∈ [a, b] Â›Ó·È α1 (x) =
N
cn I (x − sn ), α2 (x) =
∞
cn I (x − sn ).
n=N +1
n=1
™‡Ìʈӷ Ì ٷ £ÂˆÚ‹Ì·Ù· 6.12 Î·È 6.15 ¤¯Ô˘Ì b N f dα1 = cn f (sn ). a
n=1
(24)
TO KATA RIEMANN-STIELTJES O§OK§HPøMA 205
EÊfiÛÔÓ α2 (b) − α2 (a) < ε,
a
b
f dα2 ≤ Mε,
(25)
fiÔ˘ M = supx∈[a,b] | f (x)|. EÊfiÛÔÓ α = α1 + α2 , ·fi ÙȘ (24) Î·È (25) ¤ÂÙ·È fiÙÈ N b f dα − c f (s ) (26) n n ≤ Mε. a n=1 E¿Ó Ï¿‚Ô˘Ì N → ∞, ÙfiÙ ηٷϋÁÔ˘Ì ÛÙËÓ (23). £ÂÒÚËÌ· 6.17. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ α Â›Ó·È Ì›· ·‡ÍÔ˘Û· Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÛÙÔ [a, b] Ì α ∈ R ÛÙÔ [a, b]. YÔı¤ÙÔ˘Ì ›Û˘ fiÙÈ f Ì›· ÊÚ·Á̤ÓË Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÛÙÔ [a, b]. TfiÙÂ, f ∈ R(α) Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó f α ∈ R. ™Â ·˘Ù‹Ó ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË, ÈÛ¯‡ÂÈ Ë ÈÛfiÙËÙ· b b f dα = f (x)α (x)d x. (27) a
a
Afi‰ÂÈÍË. £ÂˆÚԇ̠ε > 0. EÊ·ÚÌfi˙Ô˘Ì ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 6.6 ÛÙËÓ α Î·È Û˘Ó¿ÁÔ˘Ì ÙËÓ ‡·ÚÍË Ì›·˜ ‰È·ÌÂÚ›Ûˆ˜ P = {x0 , . . . , xn } ÙÔ˘ [a, b] Ì U (P, α ) − L(P, α ) < ε.
(28)
TÔ ıÂÒÚËÌ· ̤Û˘ ÙÈÌ‹˜ ¯ÔÚËÁ› ÛËÌ›· ti ∈ [xi−1 , xi ] (i = 1, . . . , n) Ì αi = α (ti ) xi (i = 1, . . . , n). E¿Ó si ∈ [xi−1 , xi ] (i = 1, . . . , n), ÙfiÙ n
|α (si ) − α (ti )| xi < ε,
(29)
i=1
Û‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ (28) Î·È ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 6.7(‚). £¤ÙÔ˘Ì M = supx∈[a,b] | f (x)|. EÊfiÛÔÓ n n f (si ) αi = f (si )α (ti ) xi , i=1
i=1
206
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
·fi ÙËÓ (29) ¤ÂÙ·È fiÙÈ n n f (si ) αi − f (si )α (si ) xi ≤ Mε. i=1 i=1 I‰È·ÈÙ¤Úˆ˜,
n
(30)
f (si ) αi ≤ U (P, f α ) + Mε
i=1
ÁÈ· fiϘ ÙȘ ÂÈÏÔÁ¤˜ ÙˆÓ si ∈ [xi−1 , xi ] (i = 1, . . . n) Î·È ÂÔ̤ӈ˜ U (P, f, α) ≤ U (P, f α ) + Mε. M ٷ ›‰È· ÂȯÂÈÚ‹Ì·Ù· Ô‰ËÁԇ̷ÛÙ ·fi ÙËÓ (30) ÛÙËÓ U (P, f α ) ≤ U (P, f, α) + Mε. ™˘ÓÂÒ˜, |U (P, f, α) − U (P, f α )| ≤ Mε.
(31)
TÒÚ·, ·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ Ë (28) ·Ú·Ì¤ÓÂÈ ·ÏËı‹˜ Â¿Ó Ë P ·ÓÙÈηٷÛÙ·ı› ·fi ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ÂÎÏ¤Ù˘ÓÛ‹ Ù˘. ™˘ÓÂÒ˜, Û ·˘Ù‹Ó ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·ÏËı‡ÂÈ Î·È Ë (31). Afi ·˘Ùfi ηٷϋÁÔ˘Ì ÛÙËÓ b b f dα− f (x)α (x)d x ≤ Mε. a a EÊfiÛÔÓ Ô ε Â›Ó·È Ù˘¯ÒÓ ıÂÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜, ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ a
b
f dα =
b
f (x)α (x)d x
(32)
a
ÁÈ· οı ÊÚ·Á̤ÓË Û˘Ó¿ÚÙËÛË f ÛÙÔ [a, b]. H ÈÛfiÙËÙ· ÙˆÓ Î·ÙÒÙÂÚˆÓ ÔÏÔÎÏËÚˆÌ¿ÙˆÓ ¤ÂÙ·È ·fi ÙËÓ (30) Ì ÙÔÓ ›‰ÈÔ ÙÚfiÔ. M ·˘Ùfi ÚÔ·ÙÂÈ ÙÔ ıÂÒÚËÌ·.
TO KATA RIEMANN-STIELTJES O§OK§HPøMA 207
¶·Ú·Ù‹ÚËÛË 6.18. T· ‰‡Ô ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ· ıˆڋ̷ٷ ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙Ô˘Ó ÙË ÁÂÓÈÎfiÙËÙ· Î·È ÙËÓ Â˘ÂÏÈÍ›· Ù˘ ‰È·‰Èηۛ·˜ Ù˘ ηٿ Stieltjes ÔÏÔÎÏËÚÒÛˆ˜. E¿Ó Ë α Â›Ó·È Ì›· Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ (22), ÙfiÙ ÙÔ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô ˆ˜ ÚÔ˜ Ì›· Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÔÏÔÎϋڈ̷ ÌÂÙ·ÙÚ¤ÂÙ·È Û ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ‹ ¿ÂÈÚË ÛÂÈÚ¿. E¿Ó Ë α ¤¯ÂÈ ÔÏÔÎÏËÚÒÛÈÌË ·Ú¿ÁˆÁÔ, ÙfiÙ ÙÔ ÔÏÔÎϋڈ̷ ÌÂÙ·ÙÚ¤ÂÙ·È Û ۇÓËı˜ ηٿ Riemann ÔÏÔÎϋڈ̷. M ·˘Ù‹Ó ÙË ‰È·‰Èηۛ· Â›Ó·È ‰˘Ó·Ùfi Ó· ÌÂÏÂÙËıÔ‡Ó ÔÈ ÛÂÈÚ¤˜ Î·È Ù· ÔÏÔÎÏËÚÒÌ·Ù· Û ÂÓÈ·›Ô Ï·›ÛÈÔ. °È· ÙËÓ ÂÚ·ÈÙ¤Úˆ ‰ÈÂÚ‡ÓËÛË ·˘ÙÔ‡ ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ ı· ‰·ÓÂÈÛıԇ̠¤Ó· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ·fi ÙË º˘ÛÈ΋. A˜ ıˆڋÛÔ˘Ì ¤Ó· ¢ı‡ ηÏÒ‰ÈÔ ÌÔÓ·‰È·›Ô˘ Ì‹ÎÔ˘˜. H ÚÔ‹ ·‰Ú¿ÓÂÈ¿˜ ÙÔ˘ ÂÚ› ¤Ó·Ó ¿ÍÔÓ· Ô˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ¤Ó· ·ÎÚ·›Ô ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ηψ‰›Ô˘ Î·È Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÈ ÔÚı‹ ÁˆÓ›· Ì ÙÔ Î·ÏÒ‰ÈÔ ÈÛÔ‡Ù·È ÌÂ
1
x 2 dm,
(33)
0
fiÔ˘ ÁÈ· x ∈ [0, 1] Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì Ì m(x) ÙË Ì¿˙· Ô˘ ÂÚȤ¯ÂÙ·È ÛÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· [0, x] › ÙÔ˘ ηψ‰›Ô˘. E¿Ó ıˆÚËı› fiÙÈ ÙÔ Î·ÏÒ‰ÈÔ ¤¯ÂÈ Û˘Ó¯‹ ˘ÎÓfiÙËÙ· ρ, ‰ËÏ·‰‹ Â¿Ó m (x) = ρ(x) ÁÈ· οı x ∈ [a, b] Î·È Ë ρ Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜, ÙfiÙÂ Ë (33) ÌÂÙ·ÙÚ¤ÂÙ·È ÛÙËÓ
1
x 2 ρ(x)d x.
(34)
0
Afi ÙËÓ ¿ÏÏË ÏÂ˘Ú¿, Â¿Ó ÙÔ Î·ÏÒ‰ÈÔ Û˘ÓÙ›ıÂÙ·È ·fi Ì¿˙˜ m i (i = 1, . . . n) Ô˘ Â›Ó·È Û˘ÁÎÂÓÙڈ̤Ó˜ ÛÙ· ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÛËÌ›· xi (i = 1, . . . n), ÙfiÙÂ Ë (33) ÌÂÙ·Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÙ·È ÛÙËÓ n
xi2 m i .
(35)
i=1
™˘ÓÂÒ˜, Ë (33) ÂÌÂÚȤ¯ÂÈ ÙȘ (34) Î·È (35) ˆ˜ ÂȉÈΤ˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ Î·È ·ÎfiÌË ÂÌÂÚȤ¯ÂÈ Ôχ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ˜, fiˆ˜ ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË fiÔ˘ Ë m Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ·ÏÏ¿ fi¯È ·ÓÙÔ‡ ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË.
208
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
£ÂÒÚËÌ· 6.19. (£ÂÒÚËÌ· ·ÏÏ·Á‹˜ ÌÂÙ·‚ÏËÙÒÓ.) YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ φ Â›Ó·È Ì›· ÁÓËÛ›ˆ˜ ·‡ÍÔ˘Û· Û˘Ó¯‹˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ô˘ ·ÂÈÎÔÓ›˙ÂÈ ¤Ó· ‰È¿ÛÙËÌ· [A, B] › ÂÓfi˜ ‰È·ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ [a, b]. YÔı¤ÙÔ˘Ì ›Û˘ fiÙÈ α Â›Ó·È Ì›· ·‡ÍÔ˘Û· Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÛÙÔ [a, b] Î·È ıˆÚԇ̠f ∈ R(α) ÛÙÔ [a, b]. OÚ›˙Ô˘Ì ÙȘ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ β Î·È g ÛÙÔ [A, B] ̤ۈ ÙˆÓ Û¯¤ÛÂˆÓ β(y) = α(φ(y)),
g(y) = f (φ(y))
(y ∈ [A, B]).
(36)
TfiÙÂ, g ∈ R(β) ÛÙÔ [A, B] ηÈ
B
gdβ =
A
b
f dα.
(37)
a
Afi‰ÂÈÍË. ™Â οı ‰È·Ì¤ÚÈÛË P = {x0 , . . . , xn } ÙÔ˘ [a, b] ·ÓÙÈÛÙÔȯ›˙ÂÙ·È Ì›· ‰È·Ì¤ÚÈÛË Q = {y0 , . . . , yn } ÙÔ˘ [A, B] Ì xi = φ(yi ) ÁÈ· οı i = 1, . . . , n. ŸÏ˜ ÔÈ ‰È·ÌÂÚ›ÛÂȘ ÙÔ˘ [A, B] ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ÚÔ·„Ô˘Ó Ì ·˘ÙfiÓ ÙÔÓ ÙÚfiÔ. EÊfiÛÔÓ ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË i = 1, . . . n ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÙÈÌÒÓ Ô˘ Ï·Ì‚¿ÓÔÓÙ·È ·fi ÙËÓ f ÛÙÔ [xi−1 , xi ] Ù·˘Ù›˙ÂÙ·È Ì ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÙÈÌÒÓ Ô˘ Ï·Ì‚¿ÓÔÓÙ·È ·fi ÙËÓ g ÛÙÔ [yi−1 , yi ], ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì fiÙÈ U (Q, g, β) = U (P, f, α),
L(Q, g, β) = L(P, f, α).
(38)
EÊfiÛÔÓ f ∈ R(α), Ë P ÌÔÚ› Ó· ÂÈÏÂÁ› Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ ٷ U (P, f, α) Î·È b L(P, f, α) Ó· ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ·˘ı·ÈÚ¤Ùˆ˜ ÎÔÓÙ¿ ÛÙÔ a f dα. ™˘ÓÂÒ˜, Ë (38), Û˘Ó‰˘·˙fiÌÂÓË Ì ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 6.6, Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ g ∈ R(β) ÛÙÔ [A, B] Î·È fiÙÈ ÈÛ¯‡ÂÈ Ë (37). A˘Ùfi ÔÏÔÎÏËÚÒÓÂÈ ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË. ™ËÌÂÈÒÓÔ˘Ì ÙËÓ ·ÎfiÏÔ˘ıË ÂȉÈ΋ ÂÚ›ÙˆÛË ÙÔ˘ ÚÔËÁÔ˘Ì¤ÓÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜: E¿Ó Ï¿‚Ô˘Ì ˆ˜ α ÙËÓ Ù·˘ÙÔÙÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË (‰ËÏ·‰‹ Â¿Ó α(x) = x ÁÈ· οı [a, b]), ÙfiÙ β = φ. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ φ ∈ R ÛÙÔ [A, B]. E¿Ó ÂÊ·ÚÌÔÛı› ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 6.17 ÛÙËÓ ·ÚÈÛÙÂÚ‹ ÏÂ˘Ú¿ Ù˘ (37), ÙfiÙ Ϸ̂¿ÓÔ˘Ì ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· a
b
f (x)d x =
B A
f (φ(y))φ (y)dy.
(39)
TO KATA RIEMANN-STIELTJES O§OK§HPøMA 209
O§OK§HPø™H KAI ¶APA°ø°I™H ™Â ·˘Ù‹Ó ÙËÓ ÂÓfiÙËÙ· ı· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ, ˘fi Ì›· ¤ÓÓÔÈ·, Ë ÔÏÔÎÏ‹ÚˆÛË Î·È Ë ·Ú·ÁÒÁÈÛË Â›Ó·È ·ÓÙ›ÛÙÚÔʘ Ú¿ÍÂȘ. £ÂÒÚËÌ· 6.20. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ f ∈ R ÛÙÔ [a, b]. °È· x ∈ [a, b] ı¤ÙÔ˘Ì x f (t)dt. F(x) = a
TfiÙÂ, Ë F Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ [a, b]. EÈÚÔÛı¤Ùˆ˜, Â¿Ó Ë f Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ Û ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô x0 ÙÔ˘ [a, b], ÙfiÙÂ Ë F Â›Ó·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË ÛÙÔ x0 Î·È ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ F (x0 ) = f (x0 ). Afi‰ÂÈÍË. EÊfiÛÔÓ f ∈ R, Ë f Â›Ó·È ÊÚ·Á̤ÓË. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ M Â›Ó·È ¤Ó·˜ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ Ì | f (t)| ≤ M ÁÈ· οı t ∈ [a, b]. E¿Ó a ≤ x < y ≤ b, ÙfiÙ y f (t)dt ≤ M(y − x), |F(y) − F(x)| = x
Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 6.12(Á) Î·È (‰). ¢Â‰Ô̤ÓÔ˘ ε > 0, ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì fiÙÈ |F(y) − F(x)| < ε ÁÈ· οı x, y ∈ [a, b] Ì |y − x| < ε/M. A˘Ùfi ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÈ ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· Ù˘ F (ÛÙËÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfiÙËÙ·, ÙËÓ ÔÌÔÈfiÌÔÚÊË Û˘Ó¤¯ÂÈ·). YÔı¤ÙÔ˘Ì ÙÒÚ· fiÙÈ Ë f Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ x0 . ¢Â‰Ô̤ÓÔ˘ ε > 0, ıˆÚԇ̠δ > 0 Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ | f (t) − f (x0 )| < ε ÁÈ· οı t ∈ [a, b] Ì |t − x0 | < δ. ™˘ÓÂÒ˜, Â¿Ó x0 − δ < s ≤ x0 ≤ t < x0 + δ Î·È a ≤ s < t ≤ b, ÙfiÙ ·fi ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 6.12(‰) Û˘Ó¿ÁÔ˘Ì fiÙÈ t F(t) − F(s) 1 < ε. − f (x ) = [ f (u) − f (x )]du 0 0 t −s t −s s Afi ·˘Ùfi ¤ÂÙ·È fiÙÈ F (x0 ) = f (x0 ).
210
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
6.21 To ıÂÌÂÏÈ҉˜ ıÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ AÂÈÚÔÛÙÈÎÔ‡ §ÔÁÈÛÌÔ‡. E¿Ó f ∈ R ÛÙÔ [a, b] Î·È Â¿Ó ˘¿Ú¯ÂÈ Ì›· ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË Û˘Ó¿ÚÙËÛË F ÛÙÔ [a, b] Ì F = f , ÙfiÙ b f (x)d x = F(b) − F(a). a
Afi‰ÂÈÍË. £ÂˆÚԇ̠ε > 0. EÈϤÁÔ˘Ì ̛· ‰È·Ì¤ÚÈÛË P = {x0 , . . . , xn } ÙÔ˘ [a, b] Ì U (P, f ) − L(P, f ) < ε. Afi ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ̤Û˘ ÙÈÌ‹˜ ÚÔ·ÙÂÈ Ë ‡·ÚÍË ÛËÌ›ˆÓ ti ∈ [xi−1 , xi ] (i = 1, . . . , n) Ì F(xi ) − F(xi−1 ) = f (ti ) xi ™˘ÓÂÒ˜,
n
(i = 1, . . . , n).
f (ti ) xi = F(b) − F(a).
i=1
TÒÚ·, ·fi ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 6.7(Á) ¤ÂÙ·È fiÙÈ F(b) − F(a) −
a
b
f (x)d x < ε.
EÊfiÛÔÓ Ë ·Ú·¿Óˆ ·ÓÈÛfiÙËÙ· ÈÛ¯‡ÂÈ ÁÈ· Ù˘¯fiÓÙ· ıÂÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi ε, ηٷϋÁÔ˘Ì ÛÙÔ ˙ËÙÔ‡ÌÂÓÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ·.
£ÂÒÚËÌ· 6.22. (OÏÔÎÏ‹ÚˆÛË Î·Ù¿ ̤ÚË.) YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ F, G Â›Ó·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈ̘ ÛÙÔ [a, b] Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ Ì F = f Î·È G = g, fiÔ˘ f, g ∈ R. TfiÙÂ, a
b
F(x)g(x)d x = F(b)G(b) − F(a)G(a) −
b
f (x)G(x)d x.
a
Afi‰ÂÈÍË. £¤ÙÔ˘Ì H = F G Î·È ÂÊ·ÚÌfi˙Ô˘Ì ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 6.21 ÛÙËÓ H Î·È ÛÙËÓ ·Ú¿ÁˆÁfi Ù˘. ™ËÌÂÈÒÓÔ˘Ì fiÙÈ H ∈ R, ‚¿ÛÂÈ ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 6.13.
TO KATA RIEMANN-STIELTJES O§OK§HPøMA 211
O§OK§HPø™H ¢IANY™MATIKøN ™YNAPTH™EøN OÚÈÛÌfi˜ 6.23. A˜ Â›Ó·È f 1 , . . . , f k Ú·ÁÌ·ÙÈΤ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ ÛÙÔ [a, b] Î·È f = ( f 1 , . . . , f k ) Ë ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë ·ÂÈÎfiÓÈÛË ÙÔ˘ [a, b] ÛÙÔÓ R k . E¿Ó α Â›Ó·È Ì›· ·‡ÍÔ˘Û· Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÛÙÔ [a, b], ÙfiÙ ÁÚ¿ÊÔ˘Ì f ∈ R(α) Î·È ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ÙËÓ f ηٿ Riemann ÔÏÔÎÏËÚÒÛÈÌË ˆ˜ ÚÔ˜ α ÛÙÔ [a, b] Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó f j ∈ R(α) ÁÈ· οı j = 1, . . . , k. ™Â ·˘Ù‹Ó ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË, ÔÚ›˙Ô˘Ì ÙÔ Î·Ù¿ Riemann-Stieltjes ÔÏÔÎϋڈ̷ Ù˘ f ˆ˜ ÚÔ˜ α ÛÙÔ [a, b] ˆ˜ ÙÔ
b
fdα =
a
¢ËÏ·‰‹ ÙÔ b a f j dα.
b a
b
f 1 dα, . . . ,
a
b
f k dα .
a
fdα Â›Ó·È ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ R k Ì j-Û˘ÓÂÙ·Á̤ÓË ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi
E›Ó·È ۷ʤ˜ fiÙÈ Ù· ̤ÚË (·), (Á) Î·È (Â) ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 6.12 ·Ú·Ì¤ÓÔ˘Ó ·ÏËı‹ Î·È ÁÈ· ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈΤ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ. AÏÒ˜ Á›ÓÂÙ·È ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ ηٿ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤ÓË. TÔ ›‰ÈÔ ÈÛ¯‡ÂÈ Î·È ÁÈ· Ù· £ÂˆÚ‹Ì·Ù· 6.17, 6.20 Î·È 6.21. °È· Ó· ÙÔ Î·Ù·ÛÙ‹ÛÔ˘Ì ۷ʤ˜ ·˘Ùfi, ‰È·Ù˘ÒÓÔ˘Ì ÙÔ ·Ó¿ÏÔÁÔ ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 6.21. £ÂÒÚËÌ· 6.24. E¿Ó ÔÈ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ f, F ·ÂÈÎÔÓ›˙Ô˘Ó ÙÔ [a, b] ÛÙÔÓ R k , Â¿Ó f ∈ R ÛÙÔ [a, b] Î·È Â¿Ó ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ F = f, ÙfiÙÂ
b
f(x)d x = F(b) − F(a).
a
TÔ ·Ó¿ÏÔÁÔ ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 6.13(‚) ÚÔÛʤÚÂÈ ÔÚÈṲ̂ӷ Ó¤· ÛÙÔȯ›· ÛÙËÓ ·fi‰ÂÈÍ‹ ÙÔ˘. £ÂÒÚËÌ· 6.25. E¿Ó Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË f ·ÂÈÎÔÓ›˙ÂÈ ÙÔ [a, b] ÛÙÔÓ R k Î·È Â¿Ó f ∈ R(α) ÛÙÔ [a, b] ÁÈ· οÔÈ· ·‡ÍÔ˘Û· Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÛÙÔ [a, b], ÙfiÙ |f| ∈ R(α) ηÈ
a
b
fdα ≤
a
b
|f|dα.
(40)
212
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
Afi‰ÂÈÍË. E¿Ó f 1 , . . . , f k Â›Ó·È ÔÈ Û˘ÓÈÛÙÒÛ˜ Ù˘ f, ÙfiÙ |f| = ( f 12 + · · · + f k2 )1/2 .
(41)
™‡Ìʈӷ Ì ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 6.11, ÔÈ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ f 12 , . . . , f k2 ·Ó‹ÎÔ˘Ó ÛÙÔ R(α). ™˘ÓÂÒ˜, ÙÔ ›‰ÈÔ ÈÛ¯‡ÂÈ Î·È ÁÈ· ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ¿ ÙÔ˘˜. EÊfiÛÔÓ Ë x 2 Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÙÔ˘ x, ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 4.17 Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ù˘ ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈ΋˜ Ú›˙·˜ Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· [0, M] ÁÈ· οı ıÂÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi M. E¿Ó ÂÊ·ÚÌfiÛÔ˘Ì ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 6.11 ·ÎfiÌË Ì›· ÊÔÚ¿, ÙfiÙ ·fi ÙËÓ (41) Û˘Ó¿ÁÔ˘Ì fiÙÈ |f| ∈ R(α). °È· ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË Ù˘ (40), ı¤ÙÔ˘Ì y = (y1 , . . . , yk ), fiÔ˘ ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË b b j ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ y j = a f j dα. TfiÙÂ, y = a fdα Î·È |y| = 2
k j=1
y 2j
=
k j=1
yj
b
f j dα =
a
a
b
k
y j f j dα.
j=1
Afi ÙËÓ ·ÓÈÛfiÙËÙ· ÙÔ˘ Schwarz Ï·Ì‚¿ÓÔ˘Ì fiÙÈ k
y j f j (t) ≤ |y||f(t)|
(a ≤ t ≤ b).
(42)
j=1
™˘ÓÂÒ˜, ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 6.12(‚) Û˘Ó¿ÁÂÙ·È fiÙÈ b |f|dα. |y|2 ≤ |y|
(43)
a
E¿Ó y = 0, ÙfiÙÂ Ë (40) ÈÛ¯‡ÂÈ Î·Ù¿ ÙÂÙÚÈÌ̤ÓÔ ÙÚfiÔ. E¿Ó y = 0, ÙfiÙ ‰È·ÈÚÒÓÙ·˜ ÙËÓ (43) Ì ÙÔ |y| Ï·Ì‚¿ÓÔ˘Ì ÙËÓ (40).
EY£Y°PAMMI™IME™ KAM¶Y§E™ TÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ ·˘Ùfi ı· ÎÏ›ÛÂÈ Ì ¤Ó· ı¤Ì· ÁˆÌÂÙÚÈÎÔ‡ ¯·Ú·ÎÙ‹Ú·, ÙÔ ÔÔ›Ô ·Ú¤¯ÂÈ Ì›· ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ ÙˆÓ ÚÔËÁÔ˘Ì¤ÓˆÓ. H ÂÚ›ÙˆÛË k = 2 (‰ËÏ·‰‹ Ë ÂÚ›ÙˆÛË ÙˆÓ Î·Ì˘ÏÒÓ ÙÔ˘ ÂȤ‰Ô˘) ¤¯ÂÈ ÌÂÁ¿ÏË ÛÔ˘‰·ÈfiÙËÙ· ÛÙË ÌÂϤÙË ÙˆÓ ·Ó·Ï˘ÙÈÎÒÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ Ì›·˜ ÌÈÁ·‰È΋˜ ÌÂÙ·‚ÏËÙ‹˜.
TO KATA RIEMANN-STIELTJES O§OK§HPøMA 213
OÚÈÛÌfi˜ 6.26. M›· Û˘Ó¯‹˜ ·ÂÈÎfiÓÈÛË γ ÂÓfi˜ ‰È·ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ [a, b] ÛÙÔÓ R k ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Î·Ì‡ÏË 3 ÙÔ˘ R k . °È· Ó· ‰Ôı› ¤ÌÊ·ÛË ÛÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· ·Ú·ÌÂÙÚ‹Ûˆ˜ [a, b], ÔÚÈṲ̂Ó˜ ÊÔÚ¤˜ ·Ó·Ê¤ÚÔ˘Ì ÙË γ ˆ˜ η̇ÏË ÛÙÔ [a, b]. H η̇ÏË γ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÙfiÍÔ Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó Ë γ Â›Ó·È 1-1. H η̇ÏË γ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÎÏÂÈÛÙ‹ Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó γ (a) = γ (b). ¶Ú¤ÂÈ Ó· ÛËÌÂȈı› fiÙÈ ÔÚ›˙Ô˘Ì ÙËÓ Î·Ì‡ÏË ˆ˜ ·ÂÈÎfiÓÈÛË Î·È fi¯È ˆ˜ Û‡ÓÔÏÔ ÛËÌ›ˆÓ. º˘ÛÈο, Û οı η̇ÏË γ ÙÔ˘ R k ·ÓÙÈÛÙÔȯ› ¤Ó· Û‡ÓÔÏÔ ÛËÌ›ˆÓ, ÙÔ Â‰›Ô ÙÈÌÒÓ Ù˘ γ . ŸÌˆ˜, ‰È·ÊÔÚÂÙÈΤ˜ η̇Ϙ ÌÔÚ› Ó· ¤¯Ô˘Ó ÙÔ ›‰ÈÔ Â‰›Ô ÙÈÌÒÓ. ™Â οı η̇ÏË γ ÛÙÔ [a, b] Î·È Î¿ı ‰È·Ì¤ÚÈÛË P = {x0 , . . . , xn } ÙÔ˘ [a, b] ·ÓÙÈÛÙÔȯ›˙Ô˘Ì ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi (P, γ ) =
n
|γ (xi ) − γ (xi−1 )|.
i=1
™Â ·˘Ùfi ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ·, Ô i ٿ͈˜ fiÚÔ˜ Â›Ó·È Ë ·fiÛÙ·ÛË ÛÙÔÓ R k ÌÂٷ͇ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ γ (xi ) Î·È γ (xi−1 ). ™˘ÓÂÒ˜, Ô ·ÚÈıÌfi˜ (P, γ ) ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ Ù˘ ÔÏ˘ÁˆÓÈ΋˜ Ô‰Ô‡ Ì ÎÔÚ˘Ê¤˜ Ù· ÛËÌ›· γ (x0 ), γ (x1 ), . . . , γ (xn ). K·ıÒ˜ Ë ‰È·Ì¤ÚÈÛË ÂÎÏÂÙ‡ÓÂÙ·È, Ë ÔÏ˘ÁˆÓÈ΋ Ô‰fi˜ Ù›ÓÂÈ Ó· Û˘Ì¤ÛÂÈ Ì ÙÔ Â‰›Ô ÙÈÌÒÓ Ù˘ γ . M ‚¿ÛË ·˘Ù‹Ó ÙËÓ ·Ú·Ù‹ÚËÛË, Â›Ó·È Â‡ÏÔÁÔ Ó· ÔÚ›ÛÔ˘Ì ˆ˜ Ì‹ÎÔ˜ Ù˘ γ ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi (γ ) = sup (P, γ ), fiÔ˘ ÙÔ ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ ¿Óˆ ÊÚ¿ÁÌ· Ï·Ì‚¿ÓÂÙ·È ˘ÂÚ¿Óˆ fiÏˆÓ ÙˆÓ ‰˘Ó·ÙÒÓ ‰È·ÌÂÚ›ÛÂˆÓ P ÙÔ˘ [a, b]. H η̇ÏË γ ϤÁÂÙ·È Â˘ı˘ÁÚ·ÌÌ›ÛÈÌË Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó (γ ) < ∞. ™Â ÔÚÈṲ̂Ó˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ, Ô (γ ) ÂÎÊÚ¿˙ÂÙ·È Ì¤Ûˆ ÂÓfi˜ ηٿ Riemann ÔÏÔÎÏËÚÒÌ·ÙÔ˜. £· ÙÔ ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì ·˘Ùfi ÁÈ· Û˘Ó¯Ҙ ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈ̘ η̇Ϙ, ‰ËÏ·‰‹ ÁÈ· η̇Ϙ γ ÌÂ Û˘Ó¯‹ ·Ú¿ÁˆÁÔ γ . 3
™. Ù. M.: O Û˘ÁÁڷʤ·˜ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ› ÛÙÔ ‚È‚Ï›Ô ÙÔÓ fiÚÔ «Î·Ì‡ÏË» Î·È ÁÈ· Û˘Ó¯›˜ ·ÂÈÎÔÓ›ÛÂȘ fiˆ˜ ·Ú·¿Óˆ, Ì ÙË ÌfiÓË ‰È·ÊÔÚ¿ fiÙÈ Ù· ‰›· ÔÚÈÛÌÔ‡ ÙÔ˘˜ ‰ÂÓ Â›Ó·È ··Ú·Èًو˜ ÎÏÂÈÛÙ¿ ‰È·ÛÙ‹Ì·Ù·.
214
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
£ÂÒÚËÌ· 6.27. E¿Ó γ Â›Ó·È Ì›· η̇ÏË ÛÙÔ [a, b] ÌÂ Û˘Ó¯‹ ·Ú¿ÁˆÁÔ γ , ÙfiÙÂ Ë γ Â›Ó·È Â˘ı˘ÁÚ·ÌÌ›ÛÈÌË Î·È ÈÛ¯‡ÂÈ Ë ÈÛfiÙËÙ· b (γ ) = |γ (t)|dt. a
Afi‰ÂÈÍË. £ÂˆÚԇ̛̠· ‰È·Ì¤ÚÈÛË P = {x0 , . . . , xn } ÙÔ˘ [a, b]. TfiÙÂ, ÁÈ· οı i = 1, . . . n Â›Ó·È xi xi |γ (xi ) − γ (xi−1 )| = γ (t)dt ≤ |γ (t)|dt. xi−1
EÔ̤ӈ˜,
xi−1
(P, γ ) ≤
b
|γ (t)|dt
a
ÁÈ· οı ‰È·Ì¤ÚÈÛË P ÙÔ˘ [a, b]. K·Ù¿ Û˘Ó¤ÂÈ·, b (γ ) ≤ |γ (t)|dt. a
Ë
°È· ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË Ù˘ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊ˘ ·ÓÈÛfiÙËÙ·˜, ıˆÚԇ̠ε > 0. EÊfiÛÔÓ Â›Ó·È ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ [a, b], ˘¿Ú¯ÂÈ δ > 0 Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙÂ
γ
|γ (t) − γ (s)| < ε ÁÈ· οı t, s ∈ [a, b] Ì |t − s| < δ. A˜ Â›Ó·È P = {x0 , . . . , xn } Ì›· ‰È·Ì¤ÚÈÛË ÙÔ˘ [a, b] Ì xi < δ ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË i. E¿Ó xi−1 < t < xi ÁÈ· οÔÈÔÓ ‰Â›ÎÙË i = 1, . . . , n, ÙfiÙ |γ (t)| ≤ |γ (xi )| + ε. ÕÚ·, ÁÈ· οı i = 1, . . . , n xi |γ (t) |dt ≤ |γ (xi )| xi + ε xi xi−1 xi = [γ (t) + γ (xi ) − γ (t)]dt + ε xi x i−1 xi xi ≤ γ (t)dt + [γ (xi ) − γ (t)]dt + ε xi ≤
xi−1 |γ (xi )
xi−1
− γ (xi−1 )| + 2ε xi .
TO KATA RIEMANN-STIELTJES O§OK§HPøMA 215
AıÚÔ›˙ÔÓÙ·˜ ÙȘ ·ÓÈÛfiÙËÙ˜ ·˘Ù¤˜ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔÓ ‰Â›ÎÙË i, Ï·Ì‚¿ÓÔ˘Ì ÙËÓ ·ÓÈÛfiÙËÙ· b |γ (t)|dt ≤ (P, γ ) + 2ε(a − b) ≤ (γ ) + 2ε(a − b). a
EÊfiÛÔÓ Ô ε Â›Ó·È Ù˘¯ÒÓ ıÂÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜, ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ b |γ (t)|dt ≤ (γ ). a
A˘Ùfi ÔÏÔÎÏËÚÒÓÂÈ ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË.
A™KH™EI™ ÕÛÎËÛË 1. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ α Â›Ó·È Ì›· ·‡ÍÔ˘Û· Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÛÙÔ [a, b] Ë ÔÔ›· Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ x0 ∈ [a, b]. £ÂˆÚԇ̠ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË f , ÔÚÈṲ̂ÓË ÛÙÔ [a, b] ·fi ÙȘ Û¯¤ÛÂȘ f (x0 ) = 1 Î·È f (x) = 0 Â¿Ó x ∈ [a, b] Ì x = x0 . b Aԉ›ÍÙ fiÙÈ f ∈ R(α) Î·È fiÙÈ a f dα = 0. ÕÛÎËÛË 2. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ f Â›Ó·È Ì›· ÔÚÈṲ̂ÓË Î·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ [a, b] b Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ì f ≥ 0 Î·È a f d x = 0. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ f = 0. (™˘ÁÎÚ›ÓÂÙ ÙÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· ·˘Ùfi Ì ÙËÓ ÕÛÎËÛË 1.) ÕÛÎËÛË 3. OÚ›˙Ô˘Ì ÙÚÂȘ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ β1 , β2 , β3 ˆ˜ ÂÍ‹˜: ÁÈ· j = 1, 2, 3, β j (x) = 0 Â¿Ó x < 0, β j (x) = 1 Â¿Ó x > 0, Î·È β1 (0) = 0, β2 (0) = 1, β3 (0) = 1/2. A˜ Â›Ó·È f Ì›· ÊÚ·Á̤ÓË ÛÙÔ [−1, 1] Û˘Ó¿ÚÙËÛË. (·) Aԉ›ÍÙ fiÙÈ f ∈ R(β1 ) Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó f (0+) = f (0). ™Â ·˘Ù‹Ó ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË, ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ 1 f dβ1 = f (0). −1
(‚) ¢È·Ù˘ÒÛÙÂ Î·È ·Ô‰Â›ÍÙ ÙÔ ·Ó¿ÏÔÁÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· ÁÈ· ÙËÓ β2 . (Á) Aԉ›ÍÙ fiÙÈ f ∈ R(β3 ) Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó Ë f Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ 0. (‰) E¿Ó Ë f Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ 0, ÙfiÙ ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ 1 1 1 f dβ1 = f dβ2 = f dβ3 = f (0). −1
−1
−1
216
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
ÕÛÎËÛË 4. E¿Ó f Â›Ó·È Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ì f (x) = 0 ÁÈ· οı ¿ÚÚËÙÔ ·ÚÈıÌfi x Î·È f (x) = 1 ÁÈ· οı ÚËÙfi ·ÚÈıÌfi x, ÙfiÙ ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ f ∈ / R ÁÈ· ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ‰È¿ÛÙËÌ· [a, b] (ÂÍ·ÈÚԇ̠‚‚·›ˆ˜ ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË a = b). ÕÛÎËÛË 5. A˜ Â›Ó·È f Ì›· ÔÚÈṲ̂ÓË Î·È ÊÚ·Á̤ÓË ÛÙÔ [a, b] Û˘Ó¿ÚÙËÛË. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ f 2 ∈ R ÛÙÔ [a, b]. IÛ¯‡ÂÈ ··Ú·Èًو˜ fiÙÈ f ∈ R ÛÙÔ [a, b]; AÏÏ¿˙ÂÈ Ë ·¿ÓÙËÛË ÛÙÔ ÂÚÒÙËÌ· Â¿Ó ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ f 3 ∈ R ÛÙÔ [a, b]; ÕÛÎËÛË 6. A˜ Â›Ó·È P ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ Cantor, fiˆ˜ ¤¯ÂÈ Î·Ù·Û΢·Ûı› ÛÙËÓ EÓfiÙËÙ· 2.44. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ f Â›Ó·È Ì›· Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ ÊÚ·Á̤ÓË Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÛÙÔ [0, 1], Û˘Ó¯‹˜ Û οı ÛËÌÂ›Ô ÂÎÙfi˜ ÙÔ˘ P. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ f ∈ R ÛÙÔ [0, 1]. Yfi‰ÂÈÍË: TÔ P ÌÔÚ› Ó· Î·Ï˘Êı› ·fi ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ˘ Ï‹ıÔ˘˜ ‰È·ÛÙ‹Ì·Ù· ÌÂ Û˘ÓÔÏÈÎfi Ì‹ÎÔ˜ ÔÛÔ‰‹ÔÙ ÌÈÎÚfi. EÚÁ·Ûı›Ù fiˆ˜ ÛÙÔ £ÂÒÚËÌ· 6.10. ÕÛÎËÛË 7. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ f Â›Ó·È Ì›· Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÛÙÔ (0, 1] Î·È fiÙÈ f ∈ R ÛÙÔ [c, 1] ÁÈ· οı ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi c Ì c > 0. OÚ›˙Ô˘Ì 1 1 f (x)d x = lim f (x)d x 0
c→0 c
Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ÙÔ fiÚÈÔ ·˘Ùfi ˘¿Ú¯ÂÈ Î·È Â›Ó·È ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ. (·) E¿Ó f ∈ R ÛÙÔ [0, 1], ÙfiÙ ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ Ô ÔÚÈÛÌfi˜ ·˘Ùfi˜ Ù·˘Ù›˙ÂÙ·È Ì ÙÔ Û˘Ó‹ıË ÔÚÈÛÌfi ÙÔ˘ ÔÏÔÎÏËÚÒÌ·ÙÔ˜. (‚) K·Ù·Û΢¿ÛÙ ̛· Û˘Ó¿ÚÙËÛË f ÁÈ· ÙËÓ ÔÔ›· ˘¿Ú¯ÂÈ ÙÔ fiÚÈÔ ·˘Ùfi, ‰›¯ˆ˜ Ó· ˘¿Ú¯ÂÈ ÙÔ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô fiÚÈÔ ÁÈ· ÙËÓ | f |. ÕÛÎËÛË 8. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ a Â›Ó·È ¤Ó·˜ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ Î·È fiÙÈ f ∈ R ÛÙÔ [a, b] ÁÈ· οı ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi b Ì b > a. OÚ›˙Ô˘Ì ∞ b f (x)d x = lim f (x)d x a
b→∞ a
Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ÙÔ fiÚÈÔ ·˘Ùfi ˘¿Ú¯ÂÈ Î·È Â›Ó·È ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ. ™Â ·˘Ù‹Ó ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË Ï¤ÁÂÙ·È fiÙÈ ÙÔ ÔÏÔÎϋڈ̷ Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ. §¤ÁÂÙ·È fiÙÈ ÙÔ ÔÏÔÎϋڈ̷
TO KATA RIEMANN-STIELTJES O§OK§HPøMA 217
Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ·Ôχو˜ Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ fiÙ·Ó Ë f ·ÓÙÈηٷÛÙ·ı› ·fi ÙËÓ | f |. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ f ≥ 0 Î·È fiÙÈ Ë f Â›Ó·È Êı›ÓÔ˘Û· ÛÙÔ [1, ∞). Aԉ›ÍÙ fiÙÈ ÙÔ ∞ f (x)d x
1
Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó Ë ÛÂÈÚ¿ ∞
f (n)
n=1
Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ. (TÔ Û˘Ì¤Ú·ÛÌ· ·˘Ùfi Â›Ó·È ÙÔ ÏÂÁfiÌÂÓÔ «ÔÏÔÎÏËÚˆÙÈÎfi ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ» ÁÈ· ÙË Û‡ÁÎÏÈÛË Ù˘ ÛÂÈÚ¿˜.) ÕÛÎËÛË 9. ¢Â›ÍÙ fiÙÈ Ë ÔÏÔÎÏ‹ÚˆÛË Î·Ù¿ ̤ÚË ÌÔÚ› ÔÚÈṲ̂Ó˜ ÊÔÚ¤˜ Ó· ÂÊ·ÚÌÔÛı› ÁÈ· «ÁÂÓÈÎÂ˘Ì¤Ó·» ÔÏÔÎÏËÚÒÌ·Ù·, fiˆ˜ ÔÚ›˙ÔÓÙ·È ÛÙȘ AÛ΋ÛÂȘ 7 Î·È 8. (¢È·Ù˘ÒÛÙ ÙȘ ηٿÏÏËϘ ˘Ôı¤ÛÂȘ, ‰È·Ù˘ÒÛÙ ¤Ó· ıÂÒÚËÌ· Î·È ·Ô‰Â›ÍÙ ÙÔ.) E› ·Ú·‰Â›ÁÌ·ÙÈ, ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ ∞ ∞ cos x sin x d x. dx = 1+x (1 + x)2 0 0 Aԉ›ÍÙ ›Û˘ fiÙÈ ¤Ó· ·fi ·˘Ù¿ Ù· ÔÏÔÎÏËÚÒÌ·Ù· Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ·Ôχو˜ ÂÓÒ ÙÔ ¿ÏÏÔ fi¯È. ÕÛÎËÛË 10. £ÂˆÚԇ̠‰‡Ô ıÂÙÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ p, q Ì 1 1 + = 1. p q Aԉ›ÍÙ ÙȘ ·ÎfiÏÔ˘ı˜ ÚÔÙ¿ÛÂȘ: (·) E¿Ó u ≥ 0, v ≥ 0, ÙfiÙ uv ≤
vq up + . p q
H ÈÛfiÙËÙ· ÈÛ¯‡ÂÈ Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó u p = v q .
218
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
(‚) A˜ Â›Ó·È α Ì›· ·‡ÍÔ˘Û· Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÛÙÔ [a, b]. E¿Ó f, g ∈ R(α) ÛÙÔ [a, b] Ì f ≥ 0, g ≥ 0 Î·È b b f p dα = 1 = g q dα, a
a
ÙfiÙ ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ
b
f gdα ≤ 1.
a
(Á) E¿Ó ÔÈ f, g Â›Ó·È ÌÈÁ·‰ÈΤ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ Ì f, g ∈ R(α) ÛÙÔ [a, b], ÙfiÙ ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ
a
b
f gdα ≤
b
1/ p | f | dα
b
p
1/q |g| dα q
a
.
a
H ·ÓÈÛfiÙËÙ· ·˘Ù‹ Â›Ó·È Ë ÏÂÁfiÌÂÓË ·ÓÈÛfiÙËÙ· ÙÔ˘ Hölder 4 . E¿Ó p = q = 2, ÙfiÙÂ Û˘Ó‹ıˆ˜ ϤÁÂÙ·È ·ÓÈÛfiÙËÙ· ÙÔ˘ Schwarz. (™ËÌÂÈÒÛÙ fiÙÈ ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 1.35 ·ÔÙÂÏ› ÂȉÈ΋ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹˜.) (‰) ¢Â›ÍÙ fiÙÈ Ë ·ÓÈÛfiÙËÙ· ÙÔ˘ Hölder ·ÏËı‡ÂÈ Î·È ÁÈ· «ÁÂÓÈÎÂ˘Ì¤Ó·» ÔÏÔÎÏËÚÒÌ·Ù·, fiˆ˜ ÔÚ›˙ÔÓÙ·È ÛÙȘ AÛ΋ÛÂȘ 7 Î·È 8. ÕÛÎËÛË 11. A˜ Â›Ó·È α Ì›· ·‡ÍÔ˘Û· Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÛÙÔ [a, b]. Û˘Ó¿ÚÙËÛË u ∈ R(α) ı¤ÙÔ˘Ì u2 =
b
°È· οıÂ
1/2 |u| dα 2
.
a 4
™. Ù. M.: Otto Ludwig Hölder (1859-1937). °ÂÚÌ·Ófi˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi˜. EÚÁ¿ÛıËΠÛÙËÓ AÓ¿Ï˘ÛË, ÛÙËÓ ÕÏÁ‚ڷ, ÛÙË °ÂˆÌÂÙÚ›· ·ÏÏ¿ Î·È ÛÙË ºÈÏÔÛÔÊ›·. O Hölder ÛÔ‡‰·Û ·fi ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1877 ÛÙÔ ¶·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ ÙÔ˘ BÂÚÔÏ›ÓÔ˘, ¤¯ÔÓÙ·˜ ˆ˜ ‰·ÛοÏÔ˘˜ ÙÔ˘˜ Karl Weierstrass (1815-1897), Leopold Kronecker (1823-1891) Î·È Ernst Kummer (1810-1893). ŒÏ·‚ ÙÔ ‰È‰·ÎÙÔÚÈÎfi ÙÔ˘ ‰›ÏˆÌ· ·fi ÙÔ ¶·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ ÙÔ˘ Tübingen ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1882. TÔ ¤ÙÔ˜ 1884 Ô Hölder ·Ó¤Ï·‚ ηı‹ÎÔÓÙ· ˘ÊËÁËÙ‹ ÛÙÔ ¶·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ ÙÔ˘ Göttingen. ™Â ÂΛÓË ÙËÓ ÂÚ›Ô‰Ô ·Ó·Î¿Ï˘„ ÙËÓ ·ÓÈÛfiÙËÙ· Ô˘ ʤÚÂÈ ÙÔ fiÓÔÌ· ÙÔ˘. TÔ ¤ÙÔ˜ 1889 ÙÔ˘ ÚÔÛÂʤÚıË Ì›· ı¤ÛË ÛÙÔ ¶·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ ÙÔ˘ Tübingen, ÙËÓ ÔÔ›· ‰ÂÓ ÌfiÚÂÛ ӷ ·Ó·Ï¿‚ÂÈ, ÏfiÁˆ Ì›·˜ ‰È·ÓÔËÙÈ΋˜ ηٷÚÚ‡Ûˆ˜ Ô˘ ˘¤ÛÙË. TÂÏÈο, ‡ÛÙÂÚ· ·fi ÙËÓ ·Ó¿ÚÚˆÛ‹ ÙÔ˘, Ô Hölder ·Ó¤Ï·‚ ÙË ı¤ÛË ·˘Ù‹ ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1890. Afi ·˘Ùfi ÙÔ ¤ÙÔ˜ Î·È ÌÂÙ¿ Ô Hölder ·Û¯ÔÏ‹ıËΠ̠ÙË °ÂˆÌÂÙÚ›· Î·È ÙË ºÈÏÔÛÔÊ›·.
TO KATA RIEMANN-STIELTJES O§OK§HPøMA 219
£ÂˆÚԇ̠f, g, h ∈ R(α). Aԉ›ÍÙ ÙËÓ ·ÓÈÛfiÙËÙ· f − h2 ≤ f − g2 + g − h2 ˆ˜ Û˘Ó¤ÂÈ· Ù˘ ·ÓÈÛfiÙËÙ·˜ ÙÔ˘ Schwarz, ·ÚÔÌÔ›ˆ˜ fiˆ˜ Î·È ÛÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 1.37. ÕÛÎËÛË 12. M ÙÔ˘˜ Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌÔ‡˜ Ù˘ AÛ΋Ûˆ˜ 11, ˘Ôı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ f ∈ R(α) Î·È ε > 0. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ ˘¿Ú¯ÂÈ Ì›· Û˘Ó¯‹˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË g ÛÙÔ [a, b] Ì f − g2 < ε. Yfi‰ÂÈÍË: °È· Ì›· ηٿÏÏËÏË ‰È·Ì¤ÚÈÛË P = {x0 , . . . , xn } ÙÔ˘ [a, b], ıˆڋÛÙ ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË g Ì g(t) =
xi − t t − xi−1 f (xi−1 ) + f (xi ) xi xi
Â¿Ó xi−1 ≤ t ≤ xi . ÕÛÎËÛË 13. OÚ›˙Ô˘Ì ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË f ÛÙÔÓ R 1 ̤ۈ Ù˘ ÈÛfiÙËÙ·˜ x+1 f (x) = sin(t 2 )dt (x ∈ R 1 ). x
(·) Aԉ›ÍÙ fiÙÈ | f (x)| < 1/x ÁÈ· οı ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi x Ì x > 0. Yfi‰ÂÈÍË: £¤Û·Ù t 2 = u Î·È ÔÏÔÎÏËÚÒÛÙ ηٿ ̤ÚË ÁÈ· Ó· ‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ë ÁÈ· x ∈ R 1 Ë f (x) ÈÛÔ‡Ù·È Ì (x+1)2 cos u cos(x 2 ) cos[(x + 1)2 ] − − du. 2x 2(x + 1) 4u 3/2 x2 XÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÙ ÙËÓ ·ÓÈÛfiÙËÙ· cos u ≥ −1 (u ∈ R 1 ). (‚) °È· x > 0 ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ 2x f (x) = cos(x 2 ) − cos[(x + 1)2 ] + r (x), fiÔ˘ |r (x)| < c/x ÁÈ· ηٿÏÏËÏÔ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi c. (Á) BÚ›Ù ٷ ·ÓÒÙÂÚ· Î·È Î·ÙÒÙÂÚ· fiÚÈ· Ù˘ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜ x f (x) ηıÒ˜ x → +∞. ∞ (‰) ™˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÙÔ ÔÏÔÎϋڈ̷ 0 sin(t 2 )dt;
220
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
ÕÛÎËÛË 14. EÚÁ·Ûı›Ù ÔÌÔ›ˆ˜ ÁÈ· ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË f Ì x+1 f (x) = sin(et )dt (x ∈ R 1 ). x
°È· οı x ∈
R1
·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ e x | f (x)| < 2
Î·È fiÙÈ e x f (x) = cos(e x ) − e−1 cos(e x+1 ) + r (x), fiÔ˘ |r (x)| < Ce−x ÁÈ· ηٿÏÏËÏÔ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi C. ÕÛÎËÛË 15. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ f Â›Ó·È Ì›· Û˘Ó¯Ҙ ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÛÙÔ [a, b] Ì f (a) = f (b) = 0 Î·È b f 2 (x)d x = 1. a
Aԉ›ÍÙ fiÙÈ
b
x f (x) f (x)d x = −
a
Î·È fiÙÈ
a
b
[ f (x)]2 d x ·
a
b
1 2
1 x 2 f 2 (x)d x > . 4
ÕÛÎËÛË 16. °È· οı ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi s Ì 1 < s < ∞ ÔÚ›˙Ô˘Ì ζ (s) =
∞ 1 . ns n=1
(H Û˘Ó¿ÚÙËÛË ·˘Ù‹ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Û˘Ó¿ÚÙËÛË ˙‹Ù· ÙÔ˘ Riemann Î·È ¤¯ÂÈ ÌÂÁ¿ÏË ÛËÌ·Û›· ÛÙË ÌÂϤÙË Ù˘ ηٷÓÔÌ‹˜ ÙˆÓ ÚÒÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ.) °È· οı ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi s Ì 1 < s < ∞ ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ ∞ (·) ζ (s) = s 1 [x] d x, x s+1 ∞ [x] d x, fiÔ˘ [x] Â›Ó·È Ô ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˜ ·Î¤Ú·ÈÔ˜ (‚) ζ (s) = s −s 1 x −s+1 s−1 x ·ÚÈıÌfi˜ Ô˘ Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ˜ ‹ ›ÛÔ˜ ÙÔ˘ x. E›Û˘, ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ ÙÔ ÔÏÔÎϋڈ̷ ·˘Ùfi Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÁÈ· οı ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi s Ì s > 0.
TO KATA RIEMANN-STIELTJES O§OK§HPøMA 221
Yfi‰ÂÈÍË: °È· ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ (·), ˘ÔÏÔÁ›ÛÙ ÙË ‰È·ÊÔÚ¿ ÌÂٷ͇ ÙÔ˘ ÔÏÔÎÏËÚÒÌ·ÙÔ˜ ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ [1, N ] Î·È ÙÔ˘ N ٿ͈˜ ÌÂÚÈÎÔ‡ ·ıÚÔ›ÛÌ·ÙÔ˜ Ù˘ ÛÂÈÚ¿˜ Ô˘ ÔÚ›˙ÂÈ ÙÔ ζ (s). (O N Â›Ó·È ıÂÙÈÎfi˜ ·Î¤Ú·ÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜). ÕÛÎËÛË 17. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ α Â›Ó·È Ì›· ·‡ÍÔ˘Û· Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÛÙÔ [a, b]. YÔı¤ÙÔ˘Ì ›Û˘ fiÙÈ Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË g Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ [a, b] Î·È fiÙÈ g = G ÁÈ· Ì›· ηٿÏÏËÏË Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÛÙÔ [a, b]. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ b b α(x)g(x)d x = G(b)α(b) − G(a)α(a) − Gdα. a
a
Yfi‰ÂÈÍË: ¢›¯ˆ˜ ·ÒÏÂÈ· Ù˘ ÁÂÓÈÎfiÙËÙ·˜, ıˆڋÛÙ fiÙÈ Ë g Â›Ó·È Ú·ÁÌ·ÙÈ΋. ¢Â‰Ô̤Ó˘ Ì›·˜ ‰È·ÌÂÚ›Ûˆ˜ P = {x0 , x1 , . . . , xn } ÙÔ˘ [a, b], ÂÈϤÍÙ ti ∈ (xi−1 , xi ) (i = 1, . . . n) Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ ӷ ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ g(ti ) xi = G(xi ) − G(xi−1 ). ¢Â›ÍÙ fiÙÈ n i=1
α(xi )g(ti ) xi = G(b)α(b) − G(a)α(a) −
n
G(xi−1 ) αi .
i=1
ÕÛÎËÛË 18. £ÂˆÚԇ̠ÙȘ η̇Ϙ ÙÔ˘ ÌÈÁ·‰ÈÎÔ‡ ÂȤ‰Ô˘ γ1 , γ2 , γ3 , ÔÚÈṲ̂Ó˜ ÛÙÔ [0, 2π], fiÔ˘ ÁÈ· t ∈ [0, 2π] ›ӷÈ5 γ1 (t) = eit , γ2 (t) = e2it , γ3 (t) = e2πit sin(1/t) . Aԉ›ÍÙ fiÙÈ ÔÈ ÙÚÂȘ ·˘Ù¤˜ η̇Ϙ ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓfi ‰›Ô ÙÈÌÒÓ, fiÙÈ ÔÈ γ1 Î·È γ2 Â›Ó·È Â˘ı˘ÁÚ·ÌÌ›ÛÈ̘, fiÙÈ ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ Ù˘ γ1 ÈÛÔ‡Ù·È Ì 2π , fiÙÈ ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ Ù˘ γ2 ÈÛÔ‡Ù·È Ì 4π Î·È fiÙÈ Ë γ3 ‰ÂÓ Â›Ó·È Â˘ı˘ÁÚ·ÌÌ›ÛÈÌË. ÕÛÎËÛË 19. ÀÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ γ1 Â›Ó·È Ì›· η̇ÏË ÙÔ˘ R k , ÔÚÈṲ̂ÓË ÛÙÔ [a, b] Î·È fiÙÈ φ Â›Ó·È Ì›· Û˘Ó¯‹˜ 1-1 Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÙÔ˘ [c, d] › ÙÔ˘ [a, b] Ì φ(c) = a. OÚ›˙Ô˘Ì ÙËÓ Î·Ì‡ÏË γ2 ÛÙÔ [c, d], fiÔ˘ ÁÈ· s ∈ [c, d] Â›Ó·È γ2 (s) = γ1 (φ(s)). Aԉ›ÍÙ fiÙÈ Ë γ2 Â›Ó·È ÙfiÍÔ ‹ ÎÏÂÈÛÙ‹ η̇ÏË ‹ ¢ı˘ÁÚ·ÌÌ›ÛÈÌË Î·Ì‡ÏË Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó Ë γ1 Â›Ó·È ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜ ÙfiÍÔ ‹ ÎÏÂÈÛÙ‹ η̇ÏË ‹ ¢ı˘ÁÚ·ÌÌ›ÛÈÌË Î·Ì‡ÏË. ™ÙËÓ ÙÂÏÂ˘Ù·›· ÂÚ›ÙˆÛË, ‰Â›ÍÙ fiÙÈ ÔÈ γ1 Î·È γ2 ¤¯Ô˘Ó ÙÔ ›‰ÈÔ Ì‹ÎÔ˜. 5
™. Ù. M.: ™ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi Ù˘ γ3 , Ô Û˘ÁÁڷʤ·˜ ˘ÔÓÔ› ‚‚·›ˆ˜ fiÙÈ γ3 (0) = 1.
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 7
AKO§OY£IE™ KAI ™EIPE™ ™YNAPTH™EøN
™ÙÔ ·ÚfiÓ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ ı· ÂÛÙÈ¿ÛÔ˘Ì ÙÔ ÂӉȷʤÚÔÓ Ì·˜ Û ÌÈÁ·‰ÈΤ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ (ÔÈ Ôԛ˜ ‚‚·›ˆ˜ ÂÚÈÏ·Ì‚¿ÓÔ˘Ó ÙȘ Ú·ÁÌ·ÙÈΤ˜), ·Ó Î·È ÔÏÏ¿ ·fi Ù· ıˆڋ̷ٷ Î·È ÙȘ ·Ô‰Â›ÍÂȘ Ô˘ ·ÎÔÏÔ˘ıÔ‡Ó ÂÂÎÙ›ÓÔÓÙ·È ‰›¯ˆ˜ ‰˘ÛÎÔÏ›· Û ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈΤ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ, ·ÎfiÌË Î·È Û ·ÂÈÎÔÓ›ÛÂȘ Ì ÙÈ̤˜ ÛÂ Ù˘¯fiÓÙ· ÌÂÙÚÈÎfi ¯ÒÚÔ. EÈϤÁÔ˘Ì ӷ ÎÈÓËıԇ̠۠·˘Ùfi ÙÔ ·ÏÔÔÈË̤ÓÔ Ï·›ÛÈÔ ÂÚÁ·Û›·˜ Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ ӷ ÂÈÎÂÓÙÚÒÛÔ˘Ì ÙËÓ ÚÔÛÔ¯‹ Ì·˜ ÛÙȘ ÈÔ ÛËÌ·ÓÙÈΤ˜ fi„ÂȘ ÙˆÓ ÚÔ‚ÏËÌ¿ÙˆÓ Ô˘ ÂÁ›ÚÔÓÙ·È Î·Ù¿ ÙË ‰È·‰Èηۛ· ÂÓ·ÏÏ·Á‹˜ ÔÚ›ˆÓ.
224
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
£EøPH™H TOY BA™IKOY ¶POB§HMATO™ OÚÈÛÌfi˜ 7.1. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ { f n } (n = 1, 2, 3, . . . ) Â›Ó·È Ì›· ·ÎÔÏÔ˘ı›· Û˘Ó·ÚÙ‹ÛˆÓ, ÔÚÈÛÌ¤ÓˆÓ Û ¤Ó· Û‡ÓÔÏÔ E, Î·È ˘Ôı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ Ë ·ÚÈıÌËÙÈ΋ ·ÎÔÏÔ˘ı›· { f n (x)} (n = 1, 2, 3, . . . ) Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÁÈ· ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ x ∈ E. OÚ›˙Ô˘Ì ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË f ÛÙÔ E ̤ۈ Ù˘ ÈÛfiÙËÙ·˜ f (x) = lim f n (x) n→∞
(x ∈ E).
(1)
Yfi ·˘Ù¤˜ Î·È ÌfiÓÔÓ ·˘Ù¤˜ ÙȘ ÂÚÈÛÙ¿ÛÂȘ, ϤÁÂÙ·È fiÙÈ Ë ·ÎÔÏÔ˘ı›· { f n } (n = 1, 2, 3, . . . ) Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÛÙÔ E Î·È Ë f Â›Ó·È ÙÔ fiÚÈÔ ‹ Ë ÔÚȷ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ù˘ ÂÓ ÏfiÁˆ ·ÎÔÏÔ˘ı›·˜. OÚÈṲ̂Ó˜ ÊÔÚ¤˜ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÂ›Ù·È Î·È Ë ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔ ÂÚÈÁÚ·ÊÈ΋ ÊÚ¿ÛË «Ë ·ÎÔÏÔ˘ı›· Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ Î·Ù¿ ÛËÌÂ›Ô ÚÔ˜ ÙËÓ f ÛÙÔ E». ¶·ÚÔÌÔ›ˆ˜, ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË Ô˘ Ë ÛÂÈÚ¿ ∞ n=1 f n (x) Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÁÈ· οı x ∈ E Î·È ÔÚ›ÛÔ˘Ì ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË f ̤ۈ Ù˘ ÈÛfiÙËÙ·˜ f (x) =
∞
f n (x)
(x ∈ E),
(2)
n=1
ÙfiÙÂ Ë f ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ‹ ÙÔ Î·Ù¿ ÛËÌÂ›Ô ¿ıÚÔÈÛÌ· Ù˘ ÛÂÈÚ¿˜ ∞ n=1 f n . TÔ ÛËÌ·ÓÙÈÎfi Úfi‚ÏËÌ· Ô˘ ÂÌÊ·Ó›˙ÂÙ·È Â›Ó·È Ô Î·ıÔÚÈÛÌfi˜ ÙˆÓ È‰ÈÔÙ‹ÙˆÓ Ô˘ ‰È·ÙËÚÔ‡ÓÙ·È ·fi ÙȘ Ú¿ÍÂȘ Ï‹„ˆ˜ ÔÚ›ˆÓ (1) Î·È (2). E› ·Ú·‰Â›ÁÌ·ÙÈ, Â¿Ó ÔÈ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ f n (n = 1, 2, 3, . . . ) Â›Ó·È Û˘Ó¯›˜ ‹ ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈ̘ ‹ ÔÏÔÎÏËÚÒÛÈ̘, ÙfiÙ ·ÏËı‡ÂÈ ÙÔ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô ÁÂÁÔÓfi˜ ÁÈ· ÙËÓ ÔÚȷ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË; ¶ÔȘ Â›Ó·È ÔÈ Û¯¤ÛÂȘ ÌÂٷ͇ ÙˆÓ f n Î·È f ‹ ÌÂٷ͇ ÙˆÓ ÔÏÔÎÏËÚˆÌ¿ÙˆÓ ÙˆÓ f n Î·È f ; §¤ÁÔÓÙ·˜ fiÙÈ Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË f Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô x ÂÓÓÔԇ̠fiÙÈ lim f (t) = f (x).
t→x
™˘ÓÂÒ˜, ÙÔ ÂÚÒÙËÌ· Â¿Ó ÙÔ fiÚÈÔ Ì›·˜ ·ÎÔÏÔ˘ı›·˜ Û˘Ó¯ÒÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ·Ó¿ÁÂÙ·È ÛÙÔ ÂÚÒÙËÌ· ÂÚ› ·ÏËı›·˜ Ù˘ ÈÛfiÙËÙ·˜ lim lim f n (t) = lim lim f n (t),
t→x n→∞
n→∞ t→x
(3)
AKO§OY£IE™ KAI ™EIPE™ ™YNAPTH™EøN 225
‰ËÏ·‰‹ Â¿Ó Ë ÛÂÈÚ¿ Ì ÙËÓ ÔÔ›· ÂÎÙÂÏÔ‡ÓÙ·È ÔÈ Ï‹„ÂȘ ÔÚ›ˆÓ Â›Ó·È ÂÔ˘ÛÈ҉˘. ™ÙÔ ·ÚÈÛÙÂÚfi ̤ÏÔ˜ Ù˘ (3) Ï·Ì‚¿ÓÔ˘Ì ÚÒÙ· n → ∞ Î·È ¤ÂÈÙ· t → x. ™ÙÔ ‰ÂÍÈfi ̤ÏÔ˜ Ï·Ì‚¿ÓÔ˘Ì ÚÒÙ· t → x Î·È Î·ÙfiÈÓ n → ∞. M¤Ûˆ ·ÚÎÂÙÒÓ ·Ú·‰ÂÈÁÌ¿ÙˆÓ ı· ηٷ‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ ÁÂÓÈο ‰ÂÓ ÌÔÚ› Ó· Á›ÓÂÈ ÂÓ·ÏÏ·Á‹ Ï‹„ˆ˜ ÔÚ›ˆÓ ‰›¯ˆ˜ Ó· ÂËÚ·Ûı› ÙÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ·. EÓ Û˘Ó¯›·, ı· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ ˘fi ÔÚÈṲ̂Ó˜ ˘Ôı¤ÛÂȘ ·˘Ùfi ÌÔÚ› Ó· Û˘Ì‚Â›. TÔ ÚÒÙÔ Î·È ·ÏÔ‡ÛÙÂÚÔ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ·ÊÔÚ¿ Ì›· «‰ÈÏ‹ ·ÎÔÏÔ˘ı›·». ¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 7.2. °È· m = 1, 2, 3, . . . Î·È n = 1, 2, 3, . . . ı¤ÙÔ˘Ì sm,n =
m . m+n
TfiÙÂ, ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË n ¤¯Ô˘Ì fiÙÈ lim sm,n = 1
m→∞
Î·È ÂÔ̤ӈ˜ lim lim sm,n = 1.
(4)
n→∞ m→∞
Afi ÙËÓ ¿ÏÏË ÏÂ˘Ú¿, ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË m ¤¯Ô˘Ì fiÙÈ lim sm,n = 0
n→∞
Î·È ÂÔ̤ӈ˜ lim lim sm,n = 0.
(5)
m→∞ n→∞
¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 7.3. A˜ Â›Ó·È f n (x) =
x2 (1 + x 2 )n
(x ∈ R 1 , n = 0, 1, 2, . . . ).
∞
∞
£ÂˆÚԇ̠ÙË ÛÂÈÚ¿ f (x) =
n=0
f n (x) =
n=0
x2 (1 + x 2 )n
(x ∈ R 1 ).
(6)
226
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
EÊfiÛÔÓ f n (0) = 0 ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË n, Â›Ó·È f (0) = 0. °È· x = 0, Ë ÙÂÏÂ˘Ù·›· ÛÂÈÚ¿ ÛÙËÓ (6) Â›Ó·È Û˘ÁÎÏ›ÓÔ˘Û· ÁˆÌÂÙÚÈ΋ ÛÂÈÚ¿ Ì ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙÔ 1 + x 2 (£ÂÒÚËÌ· 3.26). ™˘ÓÂÒ˜, 0 Â¿Ó x = 0, f (x) = (7) 2 Â¿Ó x = 0. 1+x EÔ̤ӈ˜, Ì›· Û˘ÁÎÏ›ÓÔ˘Û· ÛÂÈÚ¿ Û˘Ó¯ÒÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ ÌÔÚ› Ó· ¤¯ÂÈ ·Û˘Ó¯¤˜ ¿ıÚÔÈÛÌ·. ¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 7.4. °È· m = 1, 2, 3, . . . Î·È Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi x ı¤ÙÔ˘Ì f m (x) = lim [cos(m!π x)]2n . n→∞
ŸÙ·Ó Ô m!x Â›Ó·È ·Î¤Ú·ÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜, ÙfiÙ f m (x) = 1. °È· ÔÔÈÂÛ‰‹ÔÙ ¿ÏϘ ÙÈ̤˜ ÙÔ˘ x ¤¯Ô˘Ì fiÙÈ f m (x) = 0. TÒÚ·, ÁÈ· Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi x ı¤ÙÔ˘Ì f (x) = lim f m (x). m→∞
E¿Ó Ô x Â›Ó·È ¿ÚÚËÙÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜, ÙfiÙ ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ f m (x) = 0, ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË m. ™˘ÓÂÒ˜, f (x) = 0. E¿Ó Ô x Â›Ó·È ÚËÙfi˜ ·ÚÈıÌfi˜, Ì x = p/q fiÔ˘ p, q Â›Ó·È ·Î¤Ú·ÈÔÈ Ì q = 0, ÙfiÙ ·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ Ô m!x Â›Ó·È ·Î¤Ú·ÈÔ˜, fiÙ·Ó m ≥ q. ÕÚ·, f (x) = 1. ™˘ÓÂÒ˜, 0 Â¿Ó Ô x Â›Ó·È ¿ÚÚËÙÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜, lim lim [cos(m!π x)]2n = (8) m→∞ n→∞ 1 Â¿Ó Ô x Â›Ó·È ÚËÙfi˜ ·ÚÈıÌfi˜. ™˘ÓÂÒ˜, ÙÔ fiÚÈÔ Ù˘ ·Ú·¿Óˆ ·ÎÔÏÔ˘ı›·˜ Û˘Ó¯ÒÓ, Î·È Î·Ù¿ Û˘Ó¤ÂÈ· ÔÏÔÎÏËÚÒÛÈ̈Ó, Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ Â›Ó·È Ì›· ÌË ÔÏÔÎÏËÚÒÛÈÌË Î·Ù¿ Riemann Û˘Ó¿ÚÙËÛË (ÕÛÎËÛË 4, KÂÊ¿Ï·ÈÔ 6). ¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 7.5. A˜ Â›Ó·È sin nx f n (x) = √ n
(x ∈ R 1 , n = 1, 2, 3, . . . )
Î·È f (x) = lim f n (x) = 0 n→∞
(9)
AKO§OY£IE™ KAI ™EIPE™ ™YNAPTH™EøN 227
ÁÈ· οı ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi x. TfiÙÂ, f = 0 Î·È f n (x) =
√ n cos nx
ÁÈ· οı ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi x Î·È ‰Â›ÎÙË n. EÔ̤ӈ˜, Ë ·ÎÔÏÔ˘ı›· { f n } (n = 1, 2, 3, . . . ) ‰ÂÓ Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÚÔ˜ ÙËÓ f . E› ·Ú·‰Â›ÁÌ·ÙÈ, f n (0) =
√ n → +∞
ηıÒ˜ n → ∞, ÂÓÒ f (0) = 0. ¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 7.6. A˜ Â›Ó·È f n (x) = n 2 x(1 − x 2 )n
(x ∈ [0, 1], n = 1, 2, 3, . . . ).
(10)
°È· x ∈ (0, 1] ¤¯Ô˘Ì lim f n (x) = 0,
n→∞
Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 3.20(‰). EÊfiÛÔÓ f n (0) = 0 ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË n, ÚÔ·ÙÂÈ ÙÂÏÈο fiÙÈ lim f n (x) = 0
n→∞
(0 ≤ x ≤ 1).
(11)
ŒÓ·˜ ·Ïfi˜ ˘ÔÏÔÁÈÛÌfi˜ Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ
1
x(1 − x 2 )n d x =
0
1 . 2n + 2
™˘ÓÂÒ˜, ·Ú¿ ÙËÓ ÈÛ¯‡ Ù˘ (11),
1
f n (x)d x =
0
n2 → +∞, 2n + 2
ηıÒ˜ n → ∞. E¿Ó ÛÙËÓ (10) ·ÓÙÈηٷÛÙ‹ÛÔ˘Ì ÙÔ n 2 Ì ÙÔ n, ÙfiÙÂ Ë (11) ·Ú·Ì¤ÓÂÈ ·ÏËı‹˜. ŸÌˆ˜, ÙÒÚ· ¤¯Ô˘Ì fiÙÈ lim
n→∞ 0
1
1 n = , n→∞ 2n + 2 2
f n (x)d x = lim
228
ÂÓÒ
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
0
1!
" lim f n (x) d x = 0.
n→∞
K·Ù¿ Û˘Ó¤ÂÈ·, ÙÔ fiÚÈÔ ÙˆÓ ÔÏÔÎÏËÚÒÌ·ÙˆÓ ‰ÂÓ ÈÛÔ‡Ù·È ··Ú·Èًو˜ Ì ÙÔ ÔÏÔÎϋڈ̷ ÙÔ˘ ÔÚ›Ô˘, ·ÎfiÌË Î·È Â¿Ó ·˘Ù¿ Ù· ‰‡Ô Â›Ó·È ÂÂÚ·Ṳ̂ӷ. T· ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ· ·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù· Ê·ÓÂÚÒÓÔ˘Ó ÙËÓ ·‰˘Ó·Ì›· ÂÓ·ÏÏ·Á‹˜ Ù˘ ÛÂÈÚ¿˜ Ï‹„ˆ˜ ÔÚ›ˆÓ ÛÙË ÁÂÓÈÎfiÙËÙ¿ Ù˘. EÓ Û˘Ó¯›·, ı· ÔÚ›ÛÔ˘Ì ¤Ó· Ó¤Ô Â›‰Ô˜ Û˘ÁÎϛۈ˜, ÈÛ¯˘ÚfiÙÂÚÔ ·fi ÙËÓ Î·Ù¿ ÛËÌÂ›Ô Û‡ÁÎÏÈÛË, fiˆ˜ ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙ÂÙ·È ÛÙÔÓ OÚÈÛÌfi 7.1. O Ó¤Ô˜ ·˘Ùfi˜ ÔÚÈÛÌfi˜ Ì·˜ ÂÈÙÚ¤ÂÈ Ó· ηٷϋÍÔ˘Ì Û ıÂÙÈο ·ÔÙÂϤÛÌ·Ù·.
OMOIOMOPºH ™Y°K§I™H OÚÈÛÌfi˜ 7.7. M›· ·ÎÔÏÔ˘ı›· Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ { f n } (n = 1, 2, 3, . . . ) ϤÁÂÙ·È fiÙÈ Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ ÚÔ˜ Ì›· Û˘Ó¿ÚÙËÛË f ÛÙÔ E Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ÁÈ· οı ε > 0 ˘¿Ú¯ÂÈ ·Î¤Ú·ÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ N Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË n Ì n ≥ N Ó· ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ | f n (x) − f (x)| ≤ ε
(12)
ÁÈ· οı x ∈ E. E›Ó·È ۷ʤ˜ fiÙÈ Î¿ı ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ Û˘ÁÎÏ›ÓÔ˘Û· ·ÎÔÏÔ˘ı›· Â›Ó·È Î·È Î·Ù¿ ÛËÌÂ›Ô Û˘ÁÎÏ›ÓÔ˘Û·. H ‰È·ÊÔÚ¿ Û˘Ó›ÛÙ·Ù·È ÛÙÔ ÂÍ‹˜: ŸÙ·Ó Ë { f n } (n = 1, 2, 3, . . . ) Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ Î·Ù¿ ÛËÌÂ›Ô ÚÔ˜ Ì›· Û˘Ó¿ÚÙËÛË f ÛÙÔ E, ÙfiÙ ÁÈ· οı ε > 0 Î·È x ∈ E ˘¿Ú¯ÂÈ ·Î¤Ú·ÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ N ÂÍ·ÚÙÒÌÂÓÔ˜ ·fi ÙÔ˘˜ ε Î·È x Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ ӷ ÈÛ¯‡ÂÈ Ë (12) ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË n Ì n ≥ N . ŸÙ·Ó Ë { f n } (n = 1, 2, 3, . . . ) Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ ÚÔ˜ Ì›· Û˘Ó¿ÚÙËÛË f ÛÙÔ E, ÙfiÙ ÁÈ· οı ε > 0 Î·È x ∈ E ˘¿Ú¯ÂÈ ·Î¤Ú·ÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ N ÂÍ·ÚÙÒÌÂÓÔ˜ ÌfiÓÔÓ ·fi ÙÔÓ ε Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ ӷ ÈÛ¯‡ÂÈ Ë (12) ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË n Ì n ≥ N Î·È Î¿ı x ∈ E. §¤ÁÂÙ·È fiÙÈ Ë ÛÂÈÚ¿ ∞ n=1 f n Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ ÛÙÔ E Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó Ë ·ÎÔÏÔ˘ı›· ÙˆÓ ÌÂÚÈÎÒÓ ·ıÚÔÈÛÌ¿ÙˆÓ {sn } (n = 1, 2, 3, . . . ), Ë ÔÔ›· ÔÚ›˙ÂÙ·È ·fi ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· n sn (x) = f i (x) (x ∈ E, n = 1, 2, 3, . . . ), i=1
AKO§OY£IE™ KAI ™EIPE™ ™YNAPTH™EøN 229
Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ ÛÙÔ E. TÔ ·Ú·Î¿Ùˆ ıÂÒÚËÌ· Â›Ó·È ÙÔ ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ ÙÔ˘ Cauchy ÁÈ· ÙËÓ ÔÌÔÈfiÌÔÚÊË Û‡ÁÎÏÈÛË. £ÂÒÚËÌ· 7.8. M›· ·ÎÔÏÔ˘ı›· Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ { f n } (n = 1, 2, 3, . . . ), ÔÚÈÛÌ¤ÓˆÓ ÛÙÔ E, Â›Ó·È ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ Û˘ÁÎÏ›ÓÔ˘Û· ÛÙÔ E Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ÁÈ· οı ε > 0 ˘¿Ú¯ÂÈ ·Î¤Ú·ÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ N Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ ÁÈ· ÔÔÈÔ˘Û‰‹ÔÙ ‰Â›ÎÙ˜ m, n Ì m, n ≥ N Î·È Î¿ı x ∈ E Ó· ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ | f n (x) − f m (x)| ≤ ε.
(13)
Afi‰ÂÈÍË. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ Ë ·ÎÔÏÔ˘ı›· { f n } (n = 1, 2, 3, . . . ) Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ ÚÔ˜ Ì›· Û˘Ó¿ÚÙËÛË f ÛÙÔ E. A˜ Â›Ó·È ε > 0. TfiÙÂ, ˘¿Ú¯ÂÈ ·Î¤Ú·ÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ N Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙÂ Â¿Ó n ≥ N Î·È x ∈ E, ÙfiÙ ε | f n (x) − f (x)| ≤ . 2 ™˘ÓÂÒ˜, | f n (x) − f m (x)| ≤ | f n (x) − f (x)| + | f (x) − f m (x)| ≤ ε Â¿Ó m, n ≥ N Î·È x ∈ E. AÓÙÈÛÙÚfiʈ˜, ˘Ôı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ ÈÛ¯‡ÂÈ Ë Û˘Óı‹ÎË ÙÔ˘ Cauchy. ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 3.11, ÁÈ· οı x ∈ E Ë ·ÎÔÏÔ˘ı›· { f n (x)} (n = 1, 2, 3, . . . ) Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÚÔ˜ ¤Ó· fiÚÈÔ, ÙÔ ÔÔ›Ô Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì Ì f (x). ™˘ÓÂÒ˜, Ë ·ÎÔÏÔ˘ı›· { f n } (n = 1, 2, 3, . . . ) Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ Î·Ù¿ ÛËÌÂ›Ô ÚÔ˜ ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË f ÛÙÔ E. £· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ Ë Û‡ÁÎÏÈÛË Â›Ó·È ÔÌÔÈfiÌÔÚÊË. A˜ Â›Ó·È ε > 0. £ÂˆÚԇ̠·Î¤Ú·ÈÔ ·ÚÈıÌfi N Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ ӷ ÈÛ¯‡ÂÈ Ë (13). £ÂˆÚԇ̠¤Ó· ‰Â›ÎÙË n Î·È Ï·Ì‚¿ÓÔ˘Ì m → ∞ ÛÙËÓ (13). EÊfiÛÔÓ f m (x) → f (x) ηıÒ˜ m → ∞, Ï·Ì‚¿ÓÔ˘Ì fiÙÈ | f n (x) − f (x)| ≤ ε
(14)
ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË n Ì n ≥ N Î·È Î¿ı x ∈ E. A˘Ùfi ÔÏÔÎÏËÚÒÓÂÈ ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË.
230
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
£ÂÒÚËÌ· 7.9. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ Ë ·ÎÔÏÔ˘ı›· { f n } (n = 1, 2, 3, . . . ) Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ Î·Ù¿ ÛËÌÂ›Ô ÚÔ˜ Ì›· Û˘Ó¿ÚÙËÛË f ÛÙÔ E. ¢ËÏ·‰‹ lim f n (x) = f (x)
n→∞
(x ∈ E).
°È· οı ıÂÙÈÎfi ·Î¤Ú·ÈÔ ·ÚÈıÌfi n ı¤ÙÔ˘Ì Mn = sup | f n (x) − f (x)|. x∈E
TfiÙÂ, f n → f ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ ÛÙÔ E ηıÒ˜ n → ∞ Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó Mn → 0 ηıÒ˜ n → ∞. ¶·Ú·Ï›ԢÌ ÙȘ ÏÂÙÔ̤ÚÂȘ Ù˘ ·Ô‰Â›Íˆ˜ ·˘ÙÔ‡ ÙÔ˘ Û˘ÌÂÚ¿ÛÌ·ÙÔ˜, ÂÊfiÛÔÓ Â›Ó·È ¿ÌÂÛË Û˘Ó¤ÂÈ· ÙÔ˘ OÚÈÛÌÔ‡ 7.7. ™¯ÂÙÈο Ì ÙȘ ÛÂÈÚ¤˜, ˘¿Ú¯ÂÈ ¤Ó· Ôχ ¯Ú‹ÛÈÌÔ ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ ÂÚ› ÔÌÔÈfiÌÔÚÊ˘ Û˘ÁÎϛۈ˜, ÙÔ ÔÔ›Ô ÔÊ›ÏÂÙ·È ÛÙÔÓ Weierstrass. £ÂÒÚËÌ· 7.10. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ { f n } (n = 1, 2, 3 . . . ) Â›Ó·È Ì›· ·ÎÔÏÔ˘ı›· Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ ÔÚÈÛÌ¤ÓˆÓ ÛÙÔ E. YÔı¤ÙÔ˘Ì ›Û˘ fiÙÈ ˘¿Ú¯ÂÈ Ì›· ·ÎÔÏÔ˘ı›· Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ {Mn } (n = 1, 2, 3 . . . ) Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ ӷ ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ | f n (x)| ≤ Mn
(x ∈ E, n = 1, 2, 3, . . . ).
∞ ∞ E¿Ó Ë ÛÂÈÚ¿ n=1 Mn Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ, ÙfiÙÂ Ë ÛÂÈÚ¿ n=1 f n Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ ÛÙÔ E. ™ËÌÂÈÒÓÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ ‰ÂÓ ·ÏËı‡ÂÈ. Afi‰ÂÈÍË. E¿Ó Ë
∞
Mn Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ, ÙfiÙ ÁÈ· οı ε > 0 ÈÛ¯‡ÂÈ m m f i (x) ≤ M ≤ ε (x ∈ E) i=n i i=n
n=1
fiÙ·Ó ÔÈ m, n Â›Ó·È Â·ÚÎÒ˜ ÌÂÁ¿ÏÔÈ (Î·È m ≥ n). H ÔÌÔÈfiÌÔÚÊË Û‡ÁÎÏÈÛË ¤ÂÙ·È ·fi ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 7.8.
AKO§OY£IE™ KAI ™EIPE™ ™YNAPTH™EøN 231
OMOIOMOPºH ™Y°K§I™H KAI ™YNEXEIA £ÂÒÚËÌ· 7.11. £ÂˆÚԇ̛̠· ·ÎÔÏÔ˘ı›· Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ { f n }, (n = 1, 2, 3, . . . ) Ô˘ Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ ÚÔ˜ Ì›· Û˘Ó¿ÚÙËÛË f Û ¤Ó· ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ E ÂÓfi˜ ÌÂÙÚÈÎÔ‡ ¯ÒÚÔ˘ X . YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ x Â›Ó·È ¤Ó· ÔÚÈ·Îfi ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ E Î·È fiÙÈ lim f n (t) = An
t→x
(n = 1, 2, 3, . . . ).
(15)
TfiÙÂ, Ë ·ÎÔÏÔ˘ı›· {An } (n = 1, 2, 3, . . . ) Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ Î·È ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ lim f (t) = lim An .
t→x
n→∞
(16)
M ‰È·ÊÔÚÂÙÈ΋ ‰È·Ù‡ˆÛË, ÙÔ Û˘Ì¤Ú·ÛÌ· Â›Ó·È fiÙÈ lim lim f n (t) = lim lim f n (t).
t→x n→∞
n→∞ t→x
(17)
Afi‰ÂÈÍË. £ÂˆÚԇ̠ε > 0. B¿ÛÂÈ Ù˘ ÔÌÔÈfiÌÔÚÊ˘ Û˘ÁÎϛۈ˜ Ù˘ { f n } (n = 1, 2, 3, . . . ), ˘¿Ú¯ÂÈ ·Î¤Ú·ÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ N Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙÂ Â¿Ó m, n ≥ N Î·È t ∈ E, ÙfiÙ | f n (t) − f m (t)| ≤ ε.
(18)
§·Ì‚¿ÓÔÓÙ·˜ t → x ÛÙË (18) ·ÔÎÙԇ̠fiÙÈ |An − Am | ≤ ε ÁÈ· ÔÔÈÔ˘Û‰‹ÔÙ ‰Â›ÎÙ˜ m, n Ì m, n ≥ N . A˘Ùfi Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ Ë {An } (n = 1, 2, 3, . . . ) Â›Ó·È ·ÎÔÏÔ˘ı›· Cauchy Î·È ÂÔ̤ӈ˜ Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÚÔ˜ ¤Ó·Ó ·ÚÈıÌfi A. EÓ Û˘Ó¯›·, ÁÈ· ÔÔÈÔÓ‰‹ÔÙ ‰Â›ÎÙË n ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ | f (t) − A| ≤ | f (t) − f n (t)| + | f n (t) − An | + |An − A|.
(19)
AÚ¯Èο, ıˆÚԇ̠‰Â›ÎÙË n Ì | f (t) − f n (t)| ≤
ε 3
(20)
232
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
ÁÈ· οı t ∈ E (·˘Ùfi Â›Ó·È ‰˘Ó·Ùfi ÏfiÁˆ Ù˘ ÔÌÔÈfiÌÔÚÊ˘ Û˘ÁÎϛۈ˜) Î·È Â›Û˘ Ì ε |An − A| ≤ . 3
(21)
°È· ·˘ÙfiÓ ÙÔÓ ‰Â›ÎÙË ˘¿Ú¯ÂÈ Ì›· ÂÚÈÔ¯‹ V ÙÔ˘ x Ì | f n (t) − An | ≤
ε 3
(22)
ÁÈ· οı t ∈ V ∩ E Ì t = x. ™˘Ó‰˘¿˙ÔÓÙ·˜ ÙȘ ·ÓÈÛfiÙËÙ˜ (20) ¤ˆ˜ Î·È (22) Ì ÙËÓ (19) ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì fiÙÈ | f (t) − A| ≤ ε ÁÈ· οı t ∈ V ∩ E Ì t = x. A˘Ùfi ÈÛÔ‰˘Ó·Ì› Ì ÙËÓ (16). £ÂÒÚËÌ· 7.12. £ÂˆÚԇ̛̠· ·ÎÔÏÔ˘ı›· Û˘Ó¯ÒÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ { f n } (n = 1, 2, 3, . . . ) Û ¤Ó· ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ E ÂÓfi˜ ÌÂÙÚÈÎÔ‡ ¯ÒÚÔ˘ X Ë ÔÔ›· Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ ÚÔ˜ Ì›· Û˘Ó¿ÚÙËÛË f ÛÙÔ E. TfiÙÂ, Ë f Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜. TÔ ·Ú·¿Óˆ ȉȷÈÙ¤Úˆ˜ ÛËÌ·ÓÙÈÎfi ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· ·ÔÙÂÏ› ¿ÌÂÛË Û˘Ó¤ÂÈ· ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 7.11. TÔ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ ‰ÂÓ ·ÏËı‡ÂÈ. ¢ËÏ·‰‹, Ì›· ·ÎÔÏÔ˘ı›· Û˘Ó¯ÒÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ ÌÔÚ› Ó· Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÚÔ˜ Ì›· Û˘Ó¯‹ Û˘Ó¿ÚÙËÛË, ‰›¯ˆ˜ Ë Û‡ÁÎÏÈÛË Ó· Â›Ó·È ··Ú·Èًو˜ ÔÌÔÈfiÌÔÚÊË. TÔ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 7.6 Â›Ó·È ·˘ÙÔ‡ ÙÔ˘ ›‰Ô˘˜ (ÁÈ· Ó· ÙÔ ‰È·ÈÛÙÒÛÂÙÂ, ÂÊ·ÚÌfiÛÙ ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 7.9). Y¿Ú¯ÂÈ fï˜ Ì›· ÂÚ›ÙˆÛË fiÔ˘ ÌÔÚԇ̠ӷ ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì ¤Ó· ›‰Ô˜ ·ÓÙÈÛÙÚfiÊÔ˘. £ÂÒÚËÌ· 7.13. 1 £ˆÚԇ̠¤Ó· Û˘Ì·Á¤˜ ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ K ÂÓfi˜ ÌÂÙÚÈÎÔ‡ ¯ÒÚÔ˘. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ: 1
™. Ù. M.: TÔ ıÂÒÚËÌ· ·˘Ùfi Â›Ó·È ÁÓˆÛÙfi ÛÙË ‚È‚ÏÈÔÁÚ·Ê›· ˆ˜ £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Dini. Ullise Dini (1845-1918). IÙ·Ïfi˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi˜. EÚÁ¿ÛıËΠ΢ڛˆ˜ ÛÙË £ÂˆÚ›· ¶Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ Î·È MÈÁ·‰ÈÎÒÓ ™˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ Î·È ÛÙË £ÂˆÚ›· EÈÊ·ÓÂÈÒÓ. ™Ô‡‰·Û ÛÙÔ ¶·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ Ù˘ Pisa Î·È Ì·ı‹Ù¢Û ˘fi ÙÔÓ ÛÔ˘‰·›Ô Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi Enrico Betti (1823-1892). AÓÂÎËÚ‡¯ıË ‰È‰¿ÎÙÔÚ·˜ ÙÔ˘ ¶·ÓÂÈÛÙËÌ›Ô˘ Ù˘ Pisa ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1864. ™˘Ó¤¯ÈÛ ÙȘ ÛÔ˘‰¤˜ ÙÔ˘ ÛÙÔ ¶·Ú›ÛÈ, ˘fi ÙÔ˘˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎÔ‡˜ Charles Hermite (1822-1901) Î·È Joseph Bertrand (1822-
AKO§OY£IE™ KAI ™EIPE™ ™YNAPTH™EøN 233
(·) H { f n } (n = 1, 2, 3, . . . ) Â›Ó·È Ì›· ·ÎÔÏÔ˘ı›· Û˘Ó¯ÒÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ ÛÙÔ K . (‚) H { f n } (n = 1, 2, 3, . . . ) Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ Î·Ù¿ ÛËÌÂ›Ô ÚÔ˜ Ì›· Û˘Ó¯‹ Û˘Ó¿ÚÙËÛË f ÛÙÔ K . (Á) f n ≥ f n+1 ÁÈ· οı n = 1, 2, 3, . . . . TfiÙÂ, Ë { f n } (n = 1, 2, 3, . . . ) Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ f ÛÙÔ K . Afi‰ÂÈÍË. °È· n = 1, 2, 3 . . . ı¤ÙÔ˘Ì gn = f n − f . TfiÙÂ, ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË n Ë gn Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜, gn → 0 ηٿ ÛËÌÂ›Ô ÛÙÔ K ηıÒ˜ n → ∞ Î·È gn ≥ gn+1 ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË n. ¶Ú¤ÂÈ Ó· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ gn → 0 ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ ÛÙÔ K , ηıÒ˜ n → ∞. £ÂˆÚԇ̠ε > 0. °È· n = 1, 2, 3, . . . ·˜ Â›Ó·È K n ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ x ∈ K Ì gn (x) ≥ ε. EÊfiÛÔÓ Ë gn Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜, ÙÔ K n Â›Ó·È ÎÏÂÈÛÙfi (¶fiÚÈÛÌ· ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 4.8), ¿Ú· Û˘Ì·Á¤˜ (£ÂÒÚËÌ· 2.35). EÊfiÛÔÓ ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ gn ≥ gn+1 , ¤¯Ô˘Ì fiÙÈ K n+1 ⊂ K n ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË n. £ÂˆÚԇ̠x ∈ K . EÊfiÛÔÓ gn (x) → 0 ηıÒ˜ n → ∞, ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì fiÙÈ x ∈ / K n Â¿Ó Ô ‰Â›ÎÙ˘ n ÏËÊı› ·ÚÎÒ˜ ÌÂÁ¿ÏÔ˜. ™˘ÓÂÒ˜, x ∈ / ∞ n=1 K n . ∞ A˘Ùfi ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ ÙÔ n=1 K n Â›Ó·È ÎÂÓfi. ÕÚ·, Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 2.36, ÙÔ K N Â›Ó·È ÎÂÓfi ÁÈ· οÔÈÔÓ ‰Â›ÎÙË N . Afi ·˘Ùfi ¤ÂÙ·È fiÙÈ 0 ≤ gn (x) < ε ÁÈ· οı x ∈ K Î·È ‰Â›ÎÙË n Ì n ≥ N . A˘Ùfi ÔÏÔÎÏËÚÒÓÂÈ ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË. ™ËÌÂÈÒÓÔ˘Ì fiÙÈ Ë ˘fiıÂÛË Ù˘ Û˘Ì¿ÁÂÈ·˜ Â›Ó·È Ô˘ÛÈ҉˘. E› ·Ú·‰Â›ÁÌ·ÙÈ, Â¿Ó f n (x) =
1 nx + 1
(0 < x < 1, n = 1, 2, 3, . . . ),
ÙfiÙ f n (x) → 0 ηıÒ˜ n → ∞, Ì ·‡ÍÔÓÙ· ÙÚfiÔ ÁÈ· οı x ∈ (0, 1), fï˜ Ë Û‡ÁÎÏÈÛË ‰ÂÓ Â›Ó·È ÔÌÔÈfiÌÔÚÊË. 1900). EÈÛÙÚ¤ÊÔÓÙ·˜ ÛÙËÓ Pisa, ·Ó¤Ï·‚ ‰È‰·ÎÙÈο ηı‹ÎÔÓÙ· ÛÙÔ ÙÔÈÎfi ·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ. TÔ ¤ÙÔ˜ 1871 Ô Dini ˘Ôη٤ÛÙËÛ ÙÔÓ Betti ˆ˜ Ù·ÎÙÈÎfi˜ ηıËÁËÙ‹˜ Ù˘ M·ıËÌ·ÙÈ΋˜ º˘ÛÈ΋˜. TÚ›· ¤ÙË ÌÂÙ¿ η٤Ϸ‚ ÙËÓ ¤‰Ú· Ù˘ AӷχÛˆ˜. ¢È·Ù‹ÚËÛ ÙË ı¤ÛË ·˘Ù‹ ¤ˆ˜ ÙÔ ı¿Ó·Ùfi ÙÔ˘. EÎÙfi˜ ·fi ÙË ÂÓ·Û¯fiÏËÛË Ì ٷ M·ıËÌ·ÙÈο, Ô Dini ›¯Â Î·È ¤ÓÙÔÓË ÔÏÈÙÈ΋ ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ·.
234
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
OÚÈÛÌfi˜ 7.14. E¿Ó X Â›Ó·È ¤Ó·˜ ÌÂÙÚÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜, ÙfiÙÂ Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì Ì C(X ) ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ fiÏˆÓ ÙˆÓ Û˘Ó¯ÒÓ Î·È ÊÚ·ÁÌ¤ÓˆÓ ÌÈÁ·‰ÈÎÒÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ Ì ‰›Ô ÔÚÈÛÌÔ‡ ÙÔÓ X . ™ËÌÂÈÒÓÔ˘Ì fiÙÈ Â¿Ó Ô X Â›Ó·È Û˘Ì·Á‹˜, ÙfiÙÂ Ë ˘fiıÂÛË ÂÚ› ÙÔ˘ ÊÚ·Á̤ÓÔ˘ ÙˆÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ Â›Ó·È ÂÚÈÙÙ‹ (£ÂÒÚËÌ· 4.15). ™˘ÓÂÒ˜, ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹, ÙÔ C(X ) Â›Ó·È ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ fiÏˆÓ ÙˆÓ Û˘Ó¯ÒÓ ÌÈÁ·‰ÈÎÒÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ Ì ‰›Ô ÔÚÈÛÌÔ‡ ÙÔÓ X . ™Â οı f ∈ C(X ) ·ÓÙÈÛÙÔȯ›˙Ô˘Ì ÙË ÏÂÁfiÌÂÓË ÛÙ¿ıÌË ÙÔ˘ ÂÏ·¯›ÛÙÔ˘ ¿Óˆ ÊÚ¿ÁÌ·ÙÔ˜ f = sup | f (x)|. x∈X
EÊfiÛÔÓ Ë f ˘ÔÙ›ıÂÙ·È ÊÚ·Á̤ÓË, f < ∞. E›Ó·È ۷ʤ˜ fiÙÈ ÁÈ· οı f ∈ C(X ) ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ f = 0 Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó f (x) = 0 ÁÈ· οı x ∈ X , ‰ËÏ·‰‹ Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó f = 0. E¿Ó f, g ∈ C(X ) Î·È h = f + g, ÙfiÙ |h(x)| ≤ | f (x)| + |g(x)| ≤ f + g ÁÈ· οı x ∈ X . EÔ̤ӈ˜ f + g ≤ f + g. E¿Ó ÔÚ›ÛÔ˘Ì ˆ˜ ·fiÛÙ·ÛË ÙˆÓ f, g ∈ C(X ) ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi f − g, ÙfiÙ ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì fiÙÈ ÈηÓÔÔÈÔ‡ÓÙ·È Ù· ·ÍÈÒÌ·Ù· ÙÔ˘ OÚÈÛÌÔ‡ 2.15. K·Ù¿ Û˘Ó¤ÂÈ·: Ô C(X ) ηı›ÛÙ·Ù·È ÌÂÙÚÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜. TÔ £ÂÒÚËÌ· 7.9 Ï·Ì‚¿ÓÂÈ ÙËÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ÌÔÚÊ‹: M›· ·ÎÔÏÔ˘ı›· { f n } (n = 1, 2, 3, . . . ) ÙÔ˘ C(X ) Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÚÔ˜ ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË f ∈ C(X ) ˆ˜ ÚÔ˜ ÙË ÌÂÙÚÈ΋ ÙÔ˘ C(X ) Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó f n → f ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ ÛÙÔÓ X ηıÒ˜ n → ∞. K·Ù' ·ÓÙÈÛÙÔȯ›·, Ù· ÎÏÂÈÛÙ¿ ˘ÔÛ‡ÓÔÏ· ÙÔ˘ C(X ) ϤÁÔÓÙ·È ÔÚÈṲ̂Ó˜ ÊÔÚ¤˜ ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ ÎÏÂÈÛÙ¿, Ë ÎÏÂÈÛÙ‹ ı‹ÎË ÂÓfi˜ ˘ÔÛ˘ÓfiÏÔ˘ A ÙÔ˘ C(X ) ϤÁÂÙ·È Ë ÔÌÔÈfiÌÔÚÊË ÎÏÂÈÛÙ‹ ı‹ÎË Î. Ô. Î.. £ÂÒÚËÌ· 7.15. H ˆ˜ ¿Óˆ ÌÂÙÚÈ΋ ηıÈÛÙ¿ ÙÔÓ C(X ) Ï‹ÚË.
AKO§OY£IE™ KAI ™EIPE™ ™YNAPTH™EøN 235
Afi‰ÂÈÍË. A˜ Â›Ó·È { f n } (n = 1, 2, 3, . . . ) Ì›· ·ÎÔÏÔ˘ı›· Cauchy ÙÔ˘ C(X ). ¢ËÏ·‰‹, ÁÈ· οı ε > 0 ˘¿Ú¯ÂÈ ·Î¤Ú·ÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ N Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ ӷ ÈÛ¯‡ÂÈ f n − f m ≤ ε Â¿Ó m, n ≥ N . Afi ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 7.8 ¤ÂÙ·È Ë ‡·ÚÍË Ì›·˜ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜ f Ì ‰›Ô ÔÚÈÛÌÔ‡ ÙÔ X Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙÂ Ë { f n } (n = 1, 2, 3, . . . ) Ó· Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ f ÛÙÔ X . ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 7.12, Ë f Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜. EÈÚÔÛı¤Ùˆ˜, Ë f Â›Ó·È ÊÚ·Á̤ÓË, ÂÊfiÛÔÓ ˘¿Ú¯ÂÈ ‰Â›ÎÙ˘ n Ì | f (x) − f n (x)| < 1 ÁÈ· οı x ∈ X Î·È Ë f n Â›Ó·È ÊÚ·Á̤ÓË. ™˘ÓÂÒ˜, f ∈ C(X ) Î·È ÂÂȉ‹ f n → f ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ ÛÙÔ X ηıÒ˜ n → ∞, ¤¯Ô˘Ì fiÙÈ f n − f → 0 ηıÒ˜ n → ∞.
OMOIOMOPºH ™Y°K§I™H KAI O§OK§HPø™H £ÂÒÚËÌ· 7.16. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ α Â›Ó·È Ì›· ·‡ÍÔ˘Û· Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÛÙÔ [a, b]. °È· οı n = 1, 2, 3, . . . ıˆÚԇ̠f n ∈ R(α) ÛÙÔ [a, b]. £ÂˆÚԇ̠›Û˘ Ì›· Û˘Ó¿ÚÙËÛË f , ÔÚÈṲ̂ÓË ÛÙÔ [a, b], Ì f n → f ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ ÛÙÔ [a, b] ηıÒ˜ n → ∞. TfiÙÂ, ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ f ∈ R(α) ÛÙÔ [a, b] Î·È fiÙÈ b b f dα = lim f n dα. (23) n→∞ a
a
H ‡·ÚÍË ÙÔ˘ ÔÚ›Ô˘ ·ÔÙÂÏ› ̤ÚÔ˜ ÙÔ˘ Û˘ÌÂÚ¿ÛÌ·ÙÔ˜. Afi‰ÂÈÍË. AÚΛ Ó· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì ÙÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË fiÔ˘ οı fiÚÔ˜ Ù˘ ·ÎÔÏÔ˘ı›·˜ Â›Ó·È Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË. °È· n = 1, 2, 3, . . . ı¤ÙÔ˘Ì εn = sup | f n (x) − f (x)|.
(24)
x∈[a,b]
TfiÙÂ, ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË n ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ f n − εn ≤ f ≤ f n + εn Î·È ÂÔ̤ӈ˜ ÁÈ· ÙÔ ·ÓÒÙÂÚÔ Î·È Î·ÙÒÙÂÚÔ ÔÏÔÎϋڈ̷ (·Ó·ÙÚ¤ÍÙ ÛÙÔÓ OÚÈÛÌfi 6.2) Ù˘ f ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ b b b b ( f n − εn )dα ≤ f dα ≤ f dα ≤ ( f n + εn )dα. (25) a
a
a
a
236
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
™˘ÓÂÒ˜,
0≤
b
b
f dα −
f dα ≤ 2εn [α(b) − α(a)]
a
a
ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË n. EÊfiÛÔÓ εn → 0 ηıÒ˜ n → ∞ (£ÂÒÚËÌ· 7.9), ÙÔ ·ÓÒÙÂÚÔ ÔÏÔÎϋڈ̷ Ù˘ f ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙÔ Î·ÙÒÙÂÚÔ ÔÏÔÎϋڈ̷. ÕÚ·, f ∈ R(α) ÛÙÔ [a, b]. M ̛· ·ÎfiÌË ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ Ù˘ (25) Ï·Ì‚¿ÓÔ˘Ì fiÙÈ b b f dα − f n dα ≤ εn [α(b) − α(a)] (26) a
a
ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË n. A˘Ù‹ Ë Û¯¤ÛË Û˘Ó¿ÁÂÙ·È ÙËÓ (23). ¶fiÚÈÛÌ·. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ α Â›Ó·È Ì›· ·‡ÍÔ˘Û· Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÛÙÔ [a, b]. °È· n = 1, 2, 3, . . . ıˆÚԇ̠f n ∈ R(α) ÛÙÔ [a, b]. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ f =
∞
fn ,
n=1
fiÔ˘ Ë ÛÂÈÚ¿ Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ ÛÙÔ [a, b]. TfiÙÂ, a
b
f dα =
∞ n=1
b
f n dα.
a
M ‰È·ÊÔÚÂÙÈ΋ ‰È·Ù‡ˆÛË, ˘fi ÙȘ ·Ú·¿Óˆ Û˘Óı‹Î˜, Ë ÛÂÈÚ¿ ÌÔÚ› Ó· ÔÏÔÎÏËÚˆı› fiÚÔ ÚÔ˜ fiÚÔ.
OMOIOMOPºH ™Y°K§I™H KAI ¶APA°ø°I™H Œ¯Ô˘Ì ‹‰Ë ‰È·ÈÛÙÒÛÂÈ, ̤ۈ ÙÔ˘ ·Ú·‰Â›ÁÌ·ÙÔ˜ 7.5, fiÙÈ Ë ÔÌÔÈfiÌÔÚÊË Û‡ÁÎÏÈÛË Ì›·˜ ·ÎÔÏÔ˘ı›·˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ { f n } (n = 1, 2, 3, . . . ) ‰ÂÓ ·Ú¤¯ÂÈ Î¿ÔÈÔ Û˘Ì¤Ú·ÛÌ· Û¯ÂÙÈο Ì ÙËÓ { f n } (n = 1, 2, 3, . . . ). ™˘ÓÂÒ˜, ··ÈÙÔ‡ÓÙ·È ÈÛ¯˘ÚfiÙÂÚ˜ ˘Ôı¤ÛÂȘ Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ ӷ ÈÛ¯˘ÚÈÛÙԇ̠fiÙÈ f n → f ηıÒ˜ n → ∞ Â¿Ó f n → f ηıÒ˜ n → ∞.
AKO§OY£IE™ KAI ™EIPE™ ™YNAPTH™EøN 237
£ÂÒÚËÌ· 7.17. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ { f n } (n = 1, 2, 3, . . . ) Â›Ó·È Ì›· ·ÎÔÏÔ˘ı›· Û˘Ó·ÚÙ‹ÛˆÓ, ÔÚÈÛÌ¤ÓˆÓ Î·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌˆÓ ÛÙÔ [a, b], Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ ÁÈ· οÔÈÔ x0 ∈ [a, b] Ë ·ÎÔÏÔ˘ı›· { f n (x0 )} (n = 1, 2, 3, . . . ) Ó· Â›Ó·È Û˘ÁÎÏ›ÓÔ˘Û·. E¿Ó Ë { f n } (n = 1, 2, 3, . . . ) Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ ÛÙÔ [a, b], ÙfiÙÂ Ë { f n } (n = 1, 2, 3, . . . ) Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ ÛÙÔ [a, b] ÚÔ˜ Ì›· Û˘Ó¿ÚÙËÛË f , ÁÈ· ÙËÓ ÔÔ›· ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ f (x) = lim f n (x) n→∞
(a ≤ x ≤ b).
(27)
Afi‰ÂÈÍË. A˜ Â›Ó·È ε > 0. £ÂˆÚԇ̠·Î¤Ú·ÈÔ ·ÚÈıÌfi N Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙÂ Â¿Ó m, n ≥ N , ÙfiÙ | f n (x0 ) − f m (x0 )| <
ε 2
(28)
Î·È | f n (t) − f m (t)| <
ε 2(b − a)
(a ≤ t ≤ b).
(29)
£ÂˆÚԇ̠‰Â›ÎÙ˜ m, n Ì m, n ≥ N Î·È ÂÊ·ÚÌfi˙Ô˘Ì ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ̤Û˘ ÙÈÌ‹˜ (£ÂÒÚËÌ· 5.19) ÛÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË f n − f m . TfiÙÂ, Ë (29) Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ | f n (x) − f m (x) − f n (t) + f m (t)| ≤
ε |x − t|ε ≤ 2(b − a) 2
(30)
ÁÈ· οı x, t ∈ [a, b]. H ·ÓÈÛfiÙËÙ· | f n (x) − f m (x)| ≤ | f n (x) − f m (x) − f n (x0 ) + f m (x0 )| + | f n (x0 ) − f m (x0 )|, Ë ÔÔ›· ÈÛ¯‡ÂÈ ÁÈ· ÔÔÈÔ˘Û‰‹ÔÙ ‰Â›ÎÙ˜ n, m Î·È Î¿ı x ∈ [a, b], Û˘Ó¿ÁÂÙ·È, Û‡Ìʈӷ Ì ÙȘ (28) Î·È (29), fiÙÈ | f n (x) − f m (x)| < ε
(a ≤ x ≤ b, n, m ≥ N ).
EÔ̤ӈ˜, Ë { f n } (n = 1, 2, 3, . . . ) Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜. £ÂˆÚԇ̠ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË f Ì f (x) = lim f n (x) n→∞
(a ≤ x ≤ b).
238
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
£ÂˆÚԇ̠¤Ó· ÛËÌÂ›Ô x ÙÔ˘ [a, b] Î·È ÔÚ›˙Ô˘Ì φn (t) =
f n (t) − f n (x) , t−x
φ(t) =
f (t) − f (x) t−x
(31)
ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË n Î·È t ∈ [a, b] Ì t = x. TfiÙÂ, lim φn (t) = f n (x)
t→x
(n = 1, 2, 3, . . . ).
(32)
H ÚÒÙË ·ÓÈÛfiÙËÙ· ÛÙËÓ (30) Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ |φn (t) − φm (t)| ≤
ε 2(b − a)
(n, m ≥ N )
Î·È ÂÔ̤ӈ˜ Ë {φn } (n = 1, 2, 3, . . . ) Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜. EÊfiÛÔÓ Ë { f n } (n = 1, 2, 3, . . . ) Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ f , ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì ·fi ÙËÓ (31) fiÙÈ lim φn = φ
n→∞
(33)
ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜. E¿Ó ÂÊ·ÚÌfiÛÔ˘Ì ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 7.11 ÛÙËÓ {φn } (n = 1, 2, 3, . . . ), ÙfiÙ ÔÈ (32) Î·È (33) Ê·ÓÂÚÒÓÔ˘Ó fiÙÈ lim φ(t) = lim f n (x)
t→x
n→∞
EÍ ÔÚÈÛÌÔ‡ Ù˘ φ, Ë ÙÂÏÂ˘Ù·›· Û¯¤ÛË ÈÛÔ‰˘Ó·Ì› Ì ÙËÓ (27). ¶·Ú·Ù‹ÚËÛË: E¿Ó ÂÈÚÔÛı¤Ùˆ˜ ˘ÔÙÂı› fiÙÈ ÔÈ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ f n (n = 1, 2, 3, . . . ) Â›Ó·È Û˘Ó¯›˜, ÙfiÙ ˘¿Ú¯ÂÈ Û˘ÓÙÔÌfiÙÂÚË ·fi‰ÂÈÍË Ù˘ (27), Ë ÔÔ›· ‚·Û›˙ÂÙ·È ÛÙÔ £ÂÒÚËÌ· 7.16 Î·È ÛÙÔ ıÂÌÂÏÈ҉˜ ıÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ AÂÈÚÔÛÙÈÎÔ‡ §ÔÁÈÛÌÔ‡. £ÂÒÚËÌ· 7.18. Y¿Ú¯ÂÈ Ì›· Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ Û˘Ó¯‹˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË, ÔÚÈṲ̂ÓË ÛÙËÓ Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ ¢ı›·, Ë ÔÔ›· ‰ÂÓ Â›Ó·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË Û ηӤӷ ÛËÌ›Ô. Afi‰ÂÈÍË. OÚ›˙Ô˘Ì φ(x) = |x|
(−1 ≤ x ≤ 1)
(34)
AKO§OY£IE™ KAI ™EIPE™ ™YNAPTH™EøN 239
Î·È ÂÂÎÙ›ÓÔ˘Ì ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi Ù˘ φ Û fiÏË ÙËÓ Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ ¢ı›·, ··ÈÙÒÓÙ·˜ Ó· ÈÛ¯‡ÂÈ Ë Û¯¤ÛË φ(x + 2) = φ(x)
(35)
ÁÈ· οı ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi x. TfiÙÂ, ÁÈ· ÔÔÈÔ˘Û‰‹ÔÙ ڷÁÌ·ÙÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ s, t ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ |φ(s) − φ(t)| ≤ |s − t|.
(36)
I‰È·ÈÙ¤Úˆ˜, Ë φ Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔÓ R 1 . OÚ›˙Ô˘Ì ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË f ÛÙÔÓ R 1 ̤ۈ Ù˘ ÈÛfiÙËÙ·˜ ∞ n 3 f (x) = φ(4n x) (x ∈ R 1 ). (37) 4 n=0 EÊfiÛÔÓ 0 ≤ φ ≤ 1, ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 7.10 Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ Ë ÛÂÈÚ¿ (37) Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ ÛÙÔÓ R 1 . B·ÛÈ˙fiÌÂÓÔÈ ÛÙÔ £ÂÒÚËÌ· 7.12, Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì fiÙÈ Ë f Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔÓ R 1 . £ÂˆÚԇ̠¤Ó·Ó Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi x Î·È ¤Ó·Ó ıÂÙÈÎfi ·Î¤Ú·ÈÔ ·ÚÈıÌfi m. £¤ÙÔ˘Ì 1 (38) δm = ± · 4−m , 2 fiÔ˘ ÙÔ ÚfiÛËÌÔ ÂÈϤÁÂÙ·È Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ ӷ ÌËÓ ˘¿Ú¯ÂÈ ·Î¤Ú·ÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ ÌÂٷ͇ ÙˆÓ 4m x Î·È 4m (x + δm ). TÔ ·Ú·¿Óˆ Â›Ó·È ÂÊÈÎÙfi ‰ÈfiÙÈ 4m |δm | = 1/2. °È· ıÂÙÈÎfi ·Î¤Ú·ÈÔ ·ÚÈıÌfi n ÔÚ›˙Ô˘Ì φ(4n (x + δm )) − φ(4n x) γn = . (39) δm E¿Ó n > m, ÙfiÙÂ Ô 4n δm Â›Ó·È ¿ÚÙÈÔ˜ ·Î¤Ú·ÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ Î·È ÂÔ̤ӈ˜ γn = 0. E¿Ó 0 ≤ n ≤ m, ÙfiÙÂ Ë (36) Û˘Ó¿ÁÂÙ·È fiÙÈ |γn | ≤ 4n . EÊfiÛÔÓ |γm | = 4m , Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì fiÙÈ m n f (x + δm ) − f (x) 3 = γ n δ 4 m
n=0
≥ 3m −
m−1
3n
n=0
=
1 m (3 + 1). 2
240
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
§·Ì‚¿ÓÔÓÙ·˜ m → ∞, ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì fiÙÈ δm → 0. Afi ·˘Ùfi ¤ÂÙ·È fiÙÈ Ë f ‰ÂÓ Â›Ó·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË ÛÙÔ x.
I™O™YNEXEI™ OIKO°ENEIE™ ™YNAPTH™EøN ™ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 3.6 ¤¯ÂÈ ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Î¿ı ÊÚ·Á̤ÓË ·ÎÔÏÔ˘ı›· ÌÈÁ·‰ÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ ÂÚȤ¯ÂÈ Ì›· Û˘ÁÎÏ›ÓÔ˘Û· ˘·ÎÔÏÔ˘ı›·. Afi ·˘Ùfi ÚÔ·ÙÂÈ ÙÔ ÂÚÒÙËÌ· Â¿Ó ÈÛ¯‡ÂÈ Î¿ÔÈÔ ·ÚfiÌÔÈÔ ÁÂÁÔÓfi˜ ÁÈ· ·ÎÔÏÔ˘ı›Â˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛˆÓ. °È· ÙËÓ ·ÎÚÈ‚¤ÛÙÂÚË ‰È·Ù‡ˆÛË ·˘ÙÔ‡ ÙÔ˘ ÂÚˆÙ‹Ì·ÙÔ˜ ı· ÔÚ›ÛÔ˘Ì ‰‡Ô ›‰Ë ÊÚ·ÁÌ¤ÓˆÓ ·ÎÔÏÔ˘ıÈÒÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛˆÓ. OÚÈÛÌfi˜ 7.19. £ÂˆÚԇ̛̠· ·ÎÔÏÔ˘ı›· Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ { f n } (n = 1, 2, 3, . . . ), ÔÚÈÛÌ¤ÓˆÓ Û ¤Ó· Û‡ÓÔÏÔ E. H ·ÎÔÏÔ˘ı›· { f n } (n = 1, 2, 3, . . . ) ϤÁÂÙ·È Î·Ù¿ ÛËÌÂ›Ô ÊÚ·Á̤ÓË ÛÙÔ E Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó Ë ·ÎÔÏÔ˘ı›· { f n (x)} (n = 1, 2, 3, . . . ) Â›Ó·È ÊÚ·Á̤ÓË ÁÈ· οı x ∈ E. ¢ËÏ·‰‹, Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ˘¿Ú¯ÂÈ Ì›· Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË φ, ÔÚÈṲ̂ÓË ÛÙÔ E, Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ | f n (x)| < φ(x)
(x ∈ E, n = 1, 2, 3, . . . ).
H ·ÎÔÏÔ˘ı›· { f n } (n = 1, 2, 3, . . . ) ϤÁÂÙ·È ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ ÊÚ·Á̤ÓË ÛÙÔ E Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ˘¿Ú¯ÂÈ ·ÚÈıÌfi˜ M Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ | f n (x)| < M
(x ∈ E, n = 1, 2, 3, . . . ).
E¿Ó Ë ·ÎÔÏÔ˘ı›· { f n } (n = 1, 2, 3, . . . ) Â›Ó·È Î·Ù¿ ÛËÌÂ›Ô ÊÚ·Á̤ÓË ÛÙÔ E Î·È Â¿Ó E 1 Â›Ó·È ¤Ó· ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌÔ ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ E, ÙfiÙÂ Â›Ó·È ‰˘Ó·Ùfi Ó· ‚ÚÂı› Ì›· ˘·ÎÔÏÔ˘ı›· { f n k } (k = 1, 2, 3, . . . ) Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙÂ Ë { f n k (x)} (k = 1, 2, 3, . . . ) Ó· Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÁÈ· οı x ∈ E 1 . A˘Ùfi ÌÔÚ› Ó· Á›ÓÂÈ Ì ¯Ú‹ÛË Ù˘ ‰È·ÁÒÓÈ·˜ ÌÂıfi‰Ô˘, fiˆ˜ ÛÙÔ £ÂÒÚËÌ· 7.23. ŸÌˆ˜, ·ÎfiÌË Î·È Â¿Ó Ë { f n } (n = 1, 2, 3, . . . ) Â›Ó·È ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ ÊÚ·Á̤ÓË ·ÎÔÏÔ˘ı›· Û˘Ó¯ÒÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ Û ¤Ó· Û˘Ì·Á¤˜ Û‡ÓÔÏÔ E, ‰ÂÓ Â›Ó·È ¿ÓÙÔÙ ··Ú·›ÙËÙË Ë ‡·ÚÍË ˘·ÎÔÏÔ˘ı›·˜ Ô˘ Ó· Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ Î·Ù¿
AKO§OY£IE™ KAI ™EIPE™ ™YNAPTH™EøN 241
ÛËÌÂ›Ô ÛÙÔ E. ™ÙÔ ·ÎfiÏÔ˘ıÔ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ÂÈηÏԇ̷ÛÙ ¤Ó· ıÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ KÂÊ·Ï·›Ô˘ 11 ÁÈ· Ó· ˘ÔÛÙËÚ›ÍÔ˘Ì ÙÔÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ ÈÛ¯˘ÚÈÛÌfi. ¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 7.20. A˜ Â›Ó·È f n (x) = sin nx
(0 ≤ x ≤ 2π, n = 1, 2, 3, . . . ).
YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ ˘¿Ú¯ÂÈ Ì›· ÁÓËÛ›ˆ˜ ·‡ÍÔ˘Û· ·ÎÔÏÔ˘ı›· ıÂÙÈÎÒÓ ·ÎÂÚ·›ˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ {n k } (k = 1, 2, 3, . . . ) Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙÂ Ë {sin n k x} (k = 1, 2, 3, . . . ) Ó· Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÁÈ· οı x ∈ [0, 2π]. ™Â ·˘Ù‹Ó ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË Ú¤ÂÈ Ó· ÈÛ¯‡ÂÈ lim (sin n k x − sin n k+1 x) = 0
(0 ≤ x ≤ 2π )
lim (sin n k x − sin n k+1 x)2 = 0
(0 ≤ x ≤ 2π ).
k→∞
Î·È ÂÔ̤ӈ˜ k→∞
(40)
™‡Ìʈӷ Ì ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 11.32, Ë (40) Û˘Ó¿ÁÂÙ·È fiÙÈ lim
k→∞ 0
2π
(sin n k x − sin n k+1 x)2 d x = 0.
(41)
ŸÌˆ˜, ¤Ó·˜ ·Ïfi˜ ˘ÔÏÔÁÈÛÌfi˜ Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ
2π
(sin n k x − sin n k+1 x)2 d x = 2π,
0
ÁÂÁÔÓfi˜ Ô˘ ·ÓÙ›ÎÂÈÙ·È ÛÙËÓ (41). ŒÓ· ¿ÏÏÔ ÂÚÒÙËÌ· Ô˘ ÚÔ·ÙÂÈ Â›Ó·È Â¿Ó Î¿ıÂ Û˘ÁÎÏ›ÓÔ˘Û· ·ÎÔÏÔ˘ı›· Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ ÂÚȤ¯ÂÈ Ì›· ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ Û˘ÁÎÏ›ÓÔ˘Û· ˘·ÎÔÏÔ˘ı›·. TÔ ÂfiÌÂÓÔ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ ·˘Ùfi ‰ÂÓ ÈÛ¯‡ÂÈ ··Ú·Èًو˜, ·ÎfiÌË Î·È Â¿Ó Ë ·ÎÔÏÔ˘ı›· Â›Ó·È ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ ÊÚ·Á̤ÓË Û ¤Ó· Û˘Ì·Á¤˜ Û‡ÓÔÏÔ. (TÔ ¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 7.6 Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ Ì›· ·ÎÔÏÔ˘ı›· ÊÚ·ÁÌ¤ÓˆÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ ÌÔÚ› Ó· Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ‰›¯ˆ˜ Ó· Â›Ó·È ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ ÊÚ·Á̤ÓË. ŸÌˆ˜, ÌÔÚ› Ó· ‰È·ÈÛÙˆı› ηٿ ÙÂÙÚÈÌ̤ÓÔ ÙÚfiÔ fiÙÈ Ë ÔÌÔÈfiÌÔÚÊË Û‡ÁÎÏÈÛË Ì›·˜ ·ÎÔÏÔ˘ı›·˜ ÊÚ·ÁÌ¤ÓˆÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ Î·ıÈÛÙ¿ ÙËÓ ·ÎÔÏÔ˘ı›· ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ ÊÚ·Á̤ÓË.)
242
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 7.21. A˜ Â›Ó·È f n (x) =
x2 x 2 + (1 − nx)2
(0 ≤ x ≤ 1, n = 1, 2, 3, . . . ).
TfiÙÂ, | f n (x)| ≤ 1 ÁÈ· οı x ∈ [0, 1] Î·È ‰Â›ÎÙË n, ÂÔ̤ӈ˜ Ë { f n } (n = 1, 2, 3, . . . ) Â›Ó·È ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ ÊÚ·Á̤ÓË ÛÙÔ [0, 1]. EÈϤÔÓ, lim f n (x) = 0
n→∞
ŸÌˆ˜,
1 =1 fn n
(0 ≤ x ≤ 1).
(n = 1, 2, 3, . . . ).
K·Ù¿ Û˘Ó¤ÂÈ·, η̛· ˘·ÎÔÏÔ˘ı›· Ù˘ ˘fi ÂͤٷÛË ·ÎÔÏÔ˘ı›·˜ ‰ÂÓ ÌÔÚ› Ó· Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ ÛÙÔ [0, 1]. ™Â Û¯¤ÛË Ì ٷ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ·, Ë ¤ÓÓÔÈ· Ô˘ ··ÈÙÂ›Ù·È Â›Ó·È ·˘Ù‹ Ù˘ ÈÛÔÛ˘Ó¤¯ÂÈ·˜. OÚÈÛÌfi˜ 7.22. M›· ÔÈÎÔÁ¤ÓÂÈ· ÌÈÁ·‰ÈÎÒÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ F, ÔÚÈÛÌ¤ÓˆÓ Û ¤Ó· ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ E ÂÓfi˜ ÌÂÙÚÈÎÔ‡ ¯ÒÚÔ˘ X , ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÈÛÔÛ˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ E Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ÁÈ· οı ε > 0 ˘¿Ú¯ÂÈ δ > 0 Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ | f (x) − f (y)| < ε ÁÈ· οı x, y ∈ E Ì d(x, y) < δ Î·È Î¿ı f ∈ F. (M d Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì ÙË ÌÂÙÚÈ΋ ÙÔ˘ X .) E›Ó·È ۷ʤ˜ fiÙÈ Î¿ı ̤ÏÔ˜ Ì›·˜ ÈÛÔÛ˘Ó¯ԇ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜ Â›Ó·È ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ Û˘Ó¯‹˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË. H ·ÎÔÏÔ˘ı›· ÙÔ˘ ¶·Ú·‰Â›ÁÌ·ÙÔ˜ 7.21 ‰ÂÓ Â›Ó·È ÈÛÔÛ˘Ó¯‹˜. T· £ÂˆÚ‹Ì·Ù· 7.24 Î·È 7.25 ı· Ê·ÓÂÚÒÛÔ˘Ó ÙË ÛÙÂÓ‹ Û¯¤ÛË Ô˘ ˘¿Ú¯ÂÈ ÌÂٷ͇ Ù˘ ÈÛÔÛ˘Ó¤¯ÂÈ·˜ Î·È Ù˘ ÔÌÔÈfiÌÔÚÊ˘ Û˘ÁÎϛۈ˜ ·ÎÔÏÔ˘ıÈÒÓ Û˘Ó¯ÒÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛˆÓ. ¶ÚÈÓ ÚÔ¯ˆÚ‹ÛÔ˘Ì Û ·˘Ùfi ÙÔ ı¤Ì·, ı· ÂÚÈÁÚ¿„Ô˘Ì ÚÒÙ· Ì›· ‰È·‰Èηۛ· ÂÈÏÔÁ‹˜ Ô˘ ‰ÂÓ Û¯ÂÙ›˙ÂÙ·È Ì ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ·.
AKO§OY£IE™ KAI ™EIPE™ ™YNAPTH™EøN 243
£ÂÒÚËÌ· 7.23. E¿Ó { f n } (n = 1, 2, 3, . . . ) Â›Ó·È Ì›· ηٿ ÛËÌÂ›Ô ÊÚ·Á̤ÓË ·ÎÔÏÔ˘ı›· ÌÈÁ·‰ÈÎÒÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛˆÓ, ÔÚÈÛÌ¤ÓˆÓ Û ¤Ó· ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌÔ Û‡ÓÔÏÔ E, ÙfiÙÂ Ë { f n } (n = 1, 2, 3, . . . ) ÂÚȤ¯ÂÈ Ì›· ˘·ÎÔÏÔ˘ı›· { f n k } (k = 1, 2, 3, . . . ) Ì ÙËÓ È‰ÈfiÙËÙ· fiÙÈ Ë ·ÎÔÏÔ˘ı›· { f n k (x)} (k = 1, 2, 3, . . . ) Ó· Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÁÈ· οı x ∈ E. Afi‰ÂÈÍË. A˜ Â›Ó·È {xi } (i = 1, 2, 3, . . . ) Ù· ÛËÌ›· ÙÔ˘ E, ÙÔÔıÂÙË̤ӷ Û ̛· ·ÎÔÏÔ˘ı›·. EÊfiÛÔÓ Ë { f n (x1 )} (n = 1, 2, 3, . . . ) Â›Ó·È ÊÚ·Á̤ÓË, ˘¿Ú¯ÂÈ Ì›· ˘·ÎÔÏÔ˘ı›· Ù˘ { f n } (n = 1, 2, 3, . . . ), ÙËÓ ÔÔ›· ı· Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì Ì { f 1,k } (k = 1, 2, 3, . . . ), Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙÂ Ë { f 1,k (x1 )} (k = 1, 2, 3, . . . ) Ó· Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ. £ÂˆÚԇ̠ÙȘ ·ÎÔÏÔ˘ı›Â˜ S1 , S2 , S3 , . . . , ÙȘ Ôԛ˜ ·Ó··ÚÈÛÙԇ̠̠ÙÔ ‰È¿ÁÚ·ÌÌ· S1 : f 1,1 f 1,2 f 1,3 f 1,4 · · · S2 : f 2,1 f 2,2 f 2,3 f 2,4 · · · S3 : f 3,1 f 3,2 f 3,3 f 3,4 · · · ............................. TÔ ‰È¿ÁÚ·ÌÌ· ·˘Ùfi ¤¯ÂÈ ÙȘ ·ÎfiÏÔ˘ı˜ ȉÈfiÙËÙ˜: (·) H Sn Â›Ó·È ˘·ÎÔÏÔ˘ı›· Ù˘ Sn−1 ÁÈ· οı n = 2, 3, 4, . . . . (‚) °È· οı ‰Â›ÎÙË n Ë ·ÎÔÏÔ˘ı›· { f n,k (xn )} (k = 1, 2, 3, . . . ) Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ (ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ Ë { f n (xn )} (n = 1, 2, 3, . . . ) Â›Ó·È ÊÚ·Á̤ÓË Î·ıÈÛÙ¿ ‰˘Ó·Ù‹ ÙËÓ ÂÈÏÔÁ‹ Ù˘ Sn Ì ·˘ÙfiÓ ÙÔÓ ÙÚfiÔ ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË n.) (Á) H ÛÂÈÚ¿ Ì ÙËÓ ÔÔ›· ÂÌÊ·Ó›˙ÔÓÙ·È ÔÈ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ Û οı ·ÎÔÏÔ˘ı›· Â›Ó·È Ë ›‰È·. ¢ËÏ·‰‹, Â¿Ó Ì›· Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÚÔËÁÂ›Ù·È Î¿ÔÈ·˜ ¿ÏÏ˘ ÛÙËÓ S1 , ÙfiÙ ·˘Ù¤˜ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÛÙËÓ ›‰È· Û¯¤ÛË ‰È·Ù¿Íˆ˜ Û οı ·ÎÔÏÔ˘ı›· Sn , ÂÎÙfi˜ Î·È Â¿Ó Â›ÙÂ Ë Ì›· ›ÙÂ Ë ¿ÏÏË ‰ÂÓ Ï·Ì‚¿ÓÂÙ·È Ï¤ÔÓ ˆ˜ fiÚÔ˜. ™˘ÓÂÒ˜, Â¿Ó ÛÙÔ ·Ú·¿Óˆ ‰È¿ÁÚ·ÌÌ· ÌÂÙ·ÎÈÓËıԇ̠·fi Ì›· ÁÚ·ÌÌ‹ ÛÙËÓ ÂfiÌÂÓ‹ Ù˘, ÙfiÙ ÔÈ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ÌÂÙ·ÙÔÈÛıÔ‡Ó ÚÔ˜ Ù· ·ÚÈÛÙÂÚ¿ fï˜ ÔÙ¤ ÚÔ˜ Ù· ‰ÂÍÈ¿. EÓ Û˘Ó¯›·, ıˆÚԇ̠ÙË ‰È·ÁÒÓÈÔ ÙÔ˘ ‰È·ÁÚ¿ÌÌ·ÙÔ˜, ‰ËÏ·‰‹ ÙËÓ ·ÎÔÏÔ˘ı›· S : f 1,1 f 2,2 f 3,3 f 4,4 · · · . ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔ (Á), Ë ·ÎÔÏÔ˘ı›· S Â›Ó·È ˘·ÎÔÏÔ˘ı›· Ù˘ Sn , Ì Èı·Ó‹ ÂÍ·›ÚÂÛË ÙˆÓ n − 1 ÚÒÙˆÓ fiÚˆÓ, ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË n. ™˘ÓÂÒ˜, ·fi ÙÔ (‚)
244
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ Ë ·ÎÔÏÔ˘ı›· { f n,n (xi )} (n = 1, 2, 3, . . . ) Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË i = 1, 2, 3, . . . . £ÂÒÚËÌ· 7.24. £ÂˆÚԇ̠¤Ó·Ó Û˘Ì·Á‹ ÌÂÙÚÈÎfi ¯ÒÚÔ K Î·È Ì›· ·ÎÔÏÔ˘ı›· { f n } (n = 1, 2, 3, . . . ) ÙÔ˘ C(K ). YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ Ë { f n } (n = 1, 2, 3, . . . ) Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ ÛÙÔ K . TfiÙÂ, Ë { f n } (n = 1, 2, 3, . . . ) Â›Ó·È ÈÛÔÛ˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ K . Afi‰ÂÈÍË. A˜ Â›Ó·È ε > 0. §fiÁˆ Ù˘ ÔÌÔÈfiÌÔÚÊ˘ Û˘ÁÎϛۈ˜, ˘¿Ú¯ÂÈ ·Î¤Ú·ÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ N Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ fn − f N < ε
(n > N ).
(42)
(AÓ·ÙÚ¤ÍÙ ÛÙÔÓ OÚÈÛÌfi 7.14.) EÊfiÛÔÓ Ì›· Û˘Ó¯‹˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÛÂ Û˘Ì·Á‹ ¯ÒÚÔ Â›Ó·È ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ Û˘Ó¯‹˜, ˘¿Ú¯ÂÈ δ > 0 Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ | f i (x) − f i (y)| < ε
(43)
Â¿Ó 1 ≤ i ≤ N Î·È x, y ∈ K Ì d(x, y) < δ (d Â›Ó·È Ë ÌÂÙÚÈ΋ ÙÔ˘ K .) E¿Ó Â›Ó·È n > N Î·È x, y ∈ K Ì d(x, y) < δ, ÙfiÙ | f n (x) − f n (y)| ≤ | f n (x) − f N (x)| + | f N (x) − f N (y)| + | f N (y) − f n (y)| < 3ε. H Û¯¤ÛË ·˘Ù‹ ÛÂ Û˘Ó‰˘·ÛÌfi Ì ÙËÓ (43) ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÈ ÙÔ ıÂÒÚËÌ·.
£ÂÒÚËÌ· 7.25. £ÂˆÚԇ̠¤Ó·Ó Û˘Ì·Á‹ ÌÂÙÚÈÎfi ¯ÒÚÔ K Î·È Ì›· ·ÎÔÏÔ˘ı›· { f n } (n = 1, 2, 3, . . . ) ÙÔ˘ C(K ). YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ Ë { f n } (n = 1, 2, 3, . . . ) Â›Ó·È Î·Ù¿ ÛËÌÂ›Ô ÊÚ·Á̤ÓË Î·È ÈÛÔÛ˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ K . TfiÙÂ: (·) H { f n } (n = 1, 2, 3, . . . ) Â›Ó·È ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ ÊÚ·Á̤ÓË ÛÙÔ K . (‚) H { f n } (n = 1, 2, 3, . . . ) ¤¯ÂÈ ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ Û˘ÁÎÏ›ÓÔ˘Û· ˘·ÎÔÏÔ˘ı›·. Afi‰ÂÈÍË.
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(·) A˜ Â›Ó·È ε > 0. £ÂˆÚԇ̠δ > 0 Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ | f n (x) − f n (y)| < ε
(44)
ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË n Î·È x, y ∈ K Ì d(x, y) < δ (Ì d Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì ÙË ÌÂÙÚÈ΋ ÙÔ˘ K ), Û ÂÓ·ÚÌfiÓÈÛË Ì ÙÔÓ OÚÈÛÌfi 7.22. EÊfiÛÔÓ ÙÔ K Â›Ó·È Û˘Ì·Á¤˜, ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÛËÌ›· p1 , . . . , pr ÛÙÔ K Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ ÁÈ· οı x ∈ K Ó· ˘¿Ú¯ÂÈ pi , ÁÈ· οÔÈÔ ‰Â›ÎÙË i, Ì d(x, pi ) < δ. EÊfiÛÔÓ Ë { f n } (n = 1, 2, 3, . . . ) Â›Ó·È Î·Ù¿ ÛËÌÂ›Ô ÊÚ·Á̤ÓË, ˘¿Ú¯Ô˘Ó Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› M1 , . . . , Mr Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË i = 1, . . . , r Ó· ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ | f n ( pi )| < Mi (n = 1, 2, 3, . . . ). E¿Ó ı¤ÛÔ˘Ì M = max(M1 , . . . , Mr ), ÙfiÙ ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì fiÙÈ | f n (x)| < M + ε ÁÈ· οı x ∈ K Î·È ‰Â›ÎÙË n. A˘Ùfi ÔÏÔÎÏËÚÒÓÂÈ ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ (·). (‚) A˜ Â›Ó·È E ¤Ó· ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌÔ ˘ÎÓfi ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ K . (°È· ÙËÓ ‡·ÚÍË Ù¤ÙÔÈÔ˘ ˘ÔÛ˘ÓfiÏÔ˘ Û˘Ì‚Ô˘Ï¢ı›Ù ÙËÓ ÕÛÎËÛË 25 ÙÔ˘ KÂÊ·Ï·›Ô˘ 2.) TÔ £ÂÒÚËÌ· 7.23 Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ Ë { f n } (n = 1, 2, 3, . . . ) ¤¯ÂÈ Ì›· ˘·ÎÔÏÔ˘ı›· { f ni } (i = 1, 2, 3, . . . ) Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙÂ Ë { f ni (x)} (i = 1, 2, 3, . . . ) Ó· Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÁÈ· οı x ∈ E. °È· ÙËÓ ·ÏÔÔ›ËÛË ÙÔ˘ Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌÔ‡ ı¤ÙÔ˘Ì gi = f ni ÁÈ· ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ i = 1, 2, 3, . . . . £· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ Ë {gi } (i = 1, 2, 3, . . . ) Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ ÛÙÔ K . A˜ Â›Ó·È ε > 0. £ÂˆÚԇ̠δ > 0 Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ ӷ ÈÛ¯‡ÂÈ Ë (44). A˜ Â›Ó·È V (x, δ) ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ y ∈ K Ì d(x, y) < δ. EÊfiÛÔÓ ÙÔ E Â›Ó·È ˘ÎÓfi ÛÙÔ K Î·È ÙÔ K Â›Ó·È Û˘Ì·Á¤˜, ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÛËÌ›· x1 , . . . , xm ∈ E Ì K ⊂ V (x1 , δ) ∪ · · · ∪ V (xm , δ).
(45)
EÊfiÛÔÓ Ë {gi (x)} (i = 1, 2, 3, . . . ) Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÁÈ· οı x ∈ E, ˘¿Ú¯ÂÈ ¤Ó·˜ ·Î¤Ú·ÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ N Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ |gi (xs ) − g j (xs )| < ε
(46)
Â¿Ó i, j ≥ N Î·È 1 ≤ s ≤ m. E¿Ó x ∈ K , ÙfiÙÂ Ë (45) Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ x ∈ V (xs , δ) ÁÈ· οÔÈÔÓ ‰Â›ÎÙË s Î·È ÂÔ̤ӈ˜ |gi (x) − gi (xs )| < ε
246
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË i. E¿Ó i, j ≥ N , ÙfiÙ ·fi ÙË (46) ¤ÂÙ·È fiÙÈ |gi (x) − g j (x)| ≤ |gi (x) − gi (xs )| + |gi (xs ) − g j (xs )| + |g j (xs ) − g j (x)| < 3ε. A˘Ùfi ÔÏÔÎÏËÚÒÓÂÈ ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË.
TO £EøPHMA TøN STONE KAI WEIERSTRASS £ÂÒÚËÌ· 7.26. E¿Ó f Â›Ó·È Ì›· Û˘Ó¯‹˜ ÌÈÁ·‰È΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË, ÔÚÈṲ̂ÓË ÛÙÔ [a, b], ÙfiÙ ˘¿Ú¯ÂÈ Ì›· ·ÎÔÏÔ˘ı›· {Pn } (n = 1, 2, 3, . . . ) ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ lim Pn = f n→∞
ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ ÛÙÔ [a, b]. E¿Ó Ë f Â›Ó·È Ú·ÁÌ·ÙÈ΋, ÙfiÙÂ Ë ·ÎÔÏÔ˘ı›· {Pn } (n = 1, 2, 3, . . . ) ÌÔÚ› Ó· ÏËÊı› Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ ӷ ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ÙÈÌÒÓ. H ·Ú·¿Óˆ ÌÔÚÊ‹ ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ ‰È·Ù˘ÒıËΠ·fi ÙÔÓ Weierstrass. Afi‰ÂÈÍË. ¢›¯ˆ˜ ·ÒÏÂÈ· Ù˘ ÁÂÓÈÎfiÙËÙ·˜, ÌÔÚԇ̠ӷ ıˆڋÛÔ˘Ì fiÙÈ [a, b] = [0, 1]. E›Û˘, ÌÔÚԇ̠ӷ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ f (0) = f (1) = 0. ¢ÈfiÙÈ Â¿Ó ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì ÙÔ ıÂÒÚËÌ· Û ·˘Ù‹Ó ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË, ÙfiÙ ÌÔÚԇ̠ӷ ıˆڋÛÔ˘Ì ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË g Ì g(x) = f (x) − f (0) − x[ f (1) − f (0)]
(0 ≤ x ≤ 1).
IÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ g(0) = g(1) = 0. ™˘ÓÂÒ˜, Â¿Ó Ë g Â›Ó·È ÙÔ fiÚÈÔ Ì›·˜ ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ Û˘ÁÎÏ›ÓÔ˘Û·˜ ·ÎÔÏÔ˘ı›·˜ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ, ÙfiÙ ı· ÈÛ¯‡ÂÈ ÙÔ ›‰ÈÔ Î·È ÁÈ· ÙËÓ f , ÂÊfiÛÔÓ Ë f − g Â›Ó·È ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ. EÈϤÔÓ, ÁÈ· οı ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi x ÂÎÙfi˜ ÙÔ˘ ‰È·ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ [0, 1] ÔÚ›˙Ô˘Ì f (x) = 0. TfiÙÂ, Ë f Â›Ó·È ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ Û˘Ó¯‹˜ ÛÙËÓ Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ ¢ı›·. °È· οı ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi x ı¤ÙÔ˘Ì Q n (x) = cn (1 − x 2 )n
(n = 1, 2, 3, . . . ),
(47)
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fiÔ˘ Ô ·ÚÈıÌfi˜ cn Ï·Ì‚¿ÓÂÙ·È Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ ӷ ÈÛ¯‡ÂÈ Ë ÈÛfiÙËÙ· 1 Q n (x)d x = 1 (n = 1, 2, 3, . . . ). −1
(48)
£· ¯ÚÂÈ·ÛÙԇ̠ÏËÚÔÊÔڛ˜ ÁÈ· ÙËÓ Ù¿ÍË ÌÂÁ¤ıÔ˘˜ ·˘Ù‹˜ Ù˘ ÛÙ·ıÂÚ‹˜. EÊfiÛÔÓ ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË n ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ 1 1 2 n (1 − x ) d x = 2 (1 − x 2 )n d x −1
0
≥ 2
0
≥ 2
√ 1/ n √ 1/ n
(1 − x 2 )n d x (1 − nx 2 )d x
0
=
4 √
3 n 1 > √ , n ·fi ÙËÓ (48) ¤ÂÙ·È fiÙÈ cn <
√ n
(n = 1, 2, 3, . . . ).
(49)
H ·ÓÈÛfiÙËÙ· (1 − x 2 )n ≥ 1 − nx 2 (n = 1, 2, 3, . . . , x ∈ [0, 1]), ÙËÓ ÔÔ›· ¤¯Ô˘Ì ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÂÈ ·Ú·¿Óˆ, ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È ·ÏËı‹˜ ıˆÚÒÓÙ·˜ ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÛÙÔ [0, 1] Ì ¤ÎÊÚ·ÛË (1 − x 2 )n − 1 + nx 2 , Ë ÔÔ›· ÌˉÂÓ›˙ÂÙ·È ÛÙÔ x = 0 Î·È ¤¯ÂÈ ıÂÙÈ΋ ·Ú¿ÁˆÁÔ ÛÙÔ (0, 1). °È· ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ δ > 0 Ë (49) Û˘Ó¿ÁÂÙ·È fiÙÈ √ Q n (x) ≤ n(1 − δ 2 )n (δ ≤ |x| ≤ 1)
(50)
ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË n. EÔ̤ӈ˜ Q n → 0 ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ ηıÒ˜ n → ∞ ÛÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ x Ì δ ≤ |x| ≤ 1. °È· οı ‰Â›ÎÙË n ı¤ÙÔ˘Ì 1 Pn (x) = f (x + t)Q n (t)dt (0 ≤ x ≤ 1). (51) −1
248
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
OÈ ˘Ôı¤ÛÂȘ › Ù˘ f Ê·ÓÂÚÒÓÔ˘Ó, ̤ۈ Ì›·˜ ·Ï‹˜ ·ÏÏ·Á‹˜ ÌÂÙ·‚ÏËÙÒÓ, fiÙÈ 1−x 1 f (x + t)Q n (t)dt = f (t)Q n (t − x)dt Pn (x) = −x
0
ÁÈ· οı x ∈ [0, 1] Î·È ‰Â›ÎÙË n. TÔ ÙÂÏÂ˘Ù·›Ô ÔÏÔÎϋڈ̷ Â›Ó·È Û·ÊÒ˜ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ÛÙË ÌÂÙ·‚ÏËÙ‹ x. ™˘ÓÂÒ˜, Ë ·ÎÔÏÔ˘ı›· {Pn } (n = 1, 2, 3, . . . ) Â›Ó·È ·ÎÔÏÔ˘ı›· ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ, Ë ÔÔ›· ¤¯ÂÈ ˆ˜ fiÚÔ˘˜ Ú·ÁÌ·ÙÈΤ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ Â¿Ó Ë f Â›Ó·È Ú·ÁÌ·ÙÈ΋. £ÂˆÚԇ̠ε > 0. ÕÚ·, ˘¿Ú¯ÂÈ δ > 0 Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙÂ Â¿Ó x, y Â›Ó·È Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› Ì |y − x| < δ, ÙfiÙ ε | f (y) − f (x)| < . 2 £¤ÙÔ˘Ì M = supx∈[0,1] | f (x)|. XÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ÙȘ (48), (50) Î·È ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ Q n ≥ 0 ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË n, ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì ÁÈ· x ∈ [0, 1] fiÙÈ 1 |Pn (x) − f (x)| = [ f (x + t) − f (x)]Q n (t)dt −1 1 ≤ | f (x + t) − f (x)|Q n (t)dt −1
−δ
ε Q n (t)dt + ≤ 2M 2 −1 √ ε 2 n ≤ 4M n(1 − δ ) + 2 < ε
δ
−δ
Q n (t)dt + 2M
δ
1
Q n (t)dt
fiÙ·Ó Ô ‰Â›ÎÙ˘ n ÏËÊı› ·ÚÎÒ˜ ÌÂÁ¿ÏÔ˜. A˘Ùfi ÔÏÔÎÏËÚÒÓÂÈ ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË.
E›Ó·È ‰È‰·ÎÙÈÎfi ÁÈ· ÙÔÓ ·Ó·ÁÓÒÛÙË Ó· ۯ‰ȿÛÂÈ ÙÔ ÁÚ¿ÊËÌ· ÙÔ˘ Q n ÁÈ· ÔÚÈṲ̂Ó˜ ÙÈ̤˜ ÙÔ˘ ‰Â›ÎÙË n. ™ËÌÂÈÒÓÔ˘Ì fiÙÈ Ë ÔÌÔÈfiÌÔÚÊË Û˘Ó¤¯ÂÈ· Ù˘ f ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÂ›Ù·È Ô˘ÛȈ‰Ò˜ ÁÈ· ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË Ù˘ ÔÌÔÈfiÌÔÚÊ˘ Û˘ÁÎϛۈ˜ Ù˘ ·ÎÔÏÔ˘ı›·˜ {Pn } (n = 1, 2, 3, . . . ).
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°È· ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 7.32 ‰ÂÓ ı· ¯ÚÂÈ·Ûıԇ̠ÙÔ ıÂÒÚËÌ· 7.26 ÛÙË ÁÂÓÈÎfiÙËÙ¿ ÙÔ˘, ·ÏÏ¿ ÙËÓ ·ÎfiÏÔ˘ıË ÂȉÈ΋ ÂÚ›ÙˆÛË, ÙËÓ ÔÔ›· ‰È·Ù˘ÒÓÔ˘Ì ˆ˜ fiÚÈÛÌ·. ¶fiÚÈÛÌ· 7.27. °È· οı ‰È¿ÛÙËÌ· [−a, a] (a ∈ R 1 ) ˘¿Ú¯ÂÈ Ì›· ·ÎÔÏÔ˘ı›· Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ {Pn } (n = 1, 2, 3, . . . ) Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ Pn (0) = 0 ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË n Î·È lim Pn (x) = |x|
n→∞
(x ∈ [−a, a])
ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ ÛÙÔ [−a, a]. Afi‰ÂÈÍË. ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 7.26, ˘¿Ú¯ÂÈ Ì›· ·ÎÔÏÔ˘ı›· Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ {Pn } (n = 1, 2, 3, . . . ) Ì limn→∞ Pn (x) = |x| (x ∈ [−a, a]) ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ ÛÙÔ [−a, a]. I‰È·ÈÙ¤Úˆ˜, limn→∞ Pn (0) = 0. H ·ÎÔÏÔ˘ı›· ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ {Pn } (n = 1, 2, 3, . . . ) Ì Pn = Pn − Pn (0)
(n = 1, 2, 3, . . . )
¤¯ÂÈ ÙȘ ÂÈı˘ÌËÙ¤˜ ȉÈfiÙËÙ˜. EÓ Û˘Ó¯›·, ı· ·ÔÌÔÓÒÛÔ˘Ì ÙȘ ȉÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ Ô˘ ηıÈÛÙÔ‡Ó ·ÏËı¤˜ ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Weierstrass. OÚÈÛÌfi˜ 7.28. M›· ÔÈÎÔÁ¤ÓÂÈ· A ÌÈÁ·‰ÈÎÒÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛˆÓ, ÔÚÈÛÌ¤ÓˆÓ Û ¤Ó· Û‡ÓÔÏÔ E, ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ¿ÏÁ‚ڷ 2 Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ÈÛ¯‡Ô˘Ó Ù· ÂfiÌÂÓ·: °È· οı f, g ∈ A Î·È ÌÈÁ·‰ÈÎfi ·ÚÈıÌfi c, (i) f + g ∈ A, (ii) f g ∈ A, (iii) c f ∈ A. ¢ËÏ·‰‹, Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó Ë A Â›Ó·È ÎÏÂÈÛÙ‹ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ ÚfiÛıÂÛË, ÙÔÓ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi Î·È ÙÔÓ ‚·ı̈Ùfi ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi. 2
™. Ù. M.: O Û˘ÁÁڷʤ·˜ ‰›‰ÂÈ ·˘ÙfiÓ ÙÔÓ ÂÚÈÔÚÈṲ̂ÓÔ˘ ‡ÚÔ˘˜ ÔÚÈÛÌfi ÁÈ· Ó· ÂÈÙ‡¯ÂÈ ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ ÙˆÓ Stone Î·È Weierstrass. H ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ ¿ÏÁ‚ڷ˜ ÌÔÚ› Ó· ÙÂı› Û Ôχ ÈÔ ÁÂÓÈÎfi Ï·›ÛÈÔ ·fi ·˘Ùfi ÙÔ˘ ‚È‚Ï›Ô˘.
250
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
£· ıˆڋÛÔ˘Ì ›Û˘ ¿ÏÁ‚Ú˜ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛˆÓ. ™Â ·˘Ù‹Ó ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË, ··ÈÙÂ›Ù·È Ó· ÈÛ¯‡ÂÈ ÙÔ (iii) ÌfiÓÔ ÁÈ· Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi c. H ¿ÏÁ‚ڷ A ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ ÎÏÂÈÛÙ‹ Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ÈÛ¯‡ÂÈ ÙÔ ÂÍ‹˜: ÙÔ fiÚÈÔ Ì›·˜ ÔÔÈ·Û‰‹ÔÙ ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ Û˘ÁÎÏ›ÓÔ˘Û·˜ ·ÎÔÏÔ˘ı›·˜ ÛÙÔȯ›ˆÓ Ù˘ A ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙËÓ A. ¢ËÏ·‰‹, Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ÁÈ· οı ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ Û˘ÁÎÏ›ÓÔ˘Û· ·ÎÔÏÔ˘ı›· { f n } (n = 1, 2, 3, . . . ) Ù˘ A, Ë f = limn→∞ f n ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙËÓ A. TÔ Û‡ÓÔÏÔ B ÙˆÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ Ô˘ Â›Ó·È fiÚÈ· ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ Û˘ÁÎÏÈÓÔ˘ÛÒÓ ·ÎÔÏÔ˘ıÈÒÓ Ù˘ A ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Ë ÔÌÔÈfiÌÔÚÊË ÎÏÂÈÛÙ‹ ı‹ÎË Ù˘ A. (AÓ·ÙÚ¤ÍÙ ÛÙÔÓ OÚÈÛÌfi 7.14.) E› ·Ú·‰Â›ÁÌ·ÙÈ, ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ fiÏˆÓ ÙˆÓ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ Â›Ó·È Ì›· ¿ÏÁ‚ڷ Î·È ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Weierstrass ÌÔÚ› Ó· ·Ó·‰È·Ù˘ˆı› ϤÁÔÓÙ·˜ fiÙÈ ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ Û˘Ó¯ÒÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ Û ¤Ó· ‰È¿ÛÙËÌ· [a, b] ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙËÓ ÔÌÔÈfiÌÔÚÊË ÎÏÂÈÛÙ‹ ı‹ÎË Ù˘ ¿ÏÁ‚ڷ˜ ÙˆÓ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ ÛÙÔ ›‰ÈÔ ‰È¿ÛÙËÌ·. £ÂÒÚËÌ· 7.29. A˜ Â›Ó·È B Ë ÔÌÔÈfiÌÔÚÊË ÎÏÂÈÛÙ‹ ı‹ÎË Ì›·˜ ¿ÏÁ‚ڷ˜ A ÊÚ·ÁÌ¤ÓˆÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛˆÓ. TfiÙÂ, Ë B Â›Ó·È ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ ÎÏÂÈÛÙ‹ ¿ÏÁ‚ڷ. Afi‰ÂÈÍË. £ÂˆÚԇ̠f, g ∈ B Î·È ‚·ı̈Ùfi ̤ÁÂıÔ˜ c. TfiÙÂ, ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ Û˘ÁÎÏ›ÓÔ˘Û˜ ·ÎÔÏÔ˘ı›Â˜ { f n }, {gn } (n = 1, 2, 3, . . . ) ÛÙÔȯ›ˆÓ Ù˘ A Ì f = limn→∞ f n , g = limn→∞ f n . EÊfiÛÔÓ fiϘ ÔÈ ˘fi ıÂÒÚËÛË Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ Â›Ó·È ÊÚ·Á̤Ó˜, Â›Ó·È ·Ïfi Ó· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ lim ( f n + gn ) = f + g,
n→∞
lim f n gn = f g,
n→∞
lim c f n = c f,
n→∞
fiÔ˘ Û οı ÂÚ›ÙˆÛË Ë Û‡ÁÎÏÈÛË ÓÔÂ›Ù·È ÔÌÔÈfiÌÔÚÊË. ™˘ÓÂÒ˜, f + g ∈ B, f g ∈ B, c f ∈ B. ÕÚ·, Ë B Â›Ó·È ¿ÏÁ‚ڷ. ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 2.27, Ë B Â›Ó·È ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ ÎÏÂÈÛÙ‹.
OÚÈÛÌfi˜ 7.30. £ÂˆÚԇ̛̠· ÔÈÎÔÁ¤ÓÂÈ· A Û˘Ó·ÚÙ‹ÛˆÓ, ÔÚÈÛÌ¤ÓˆÓ Û ¤Ó· Û‡ÓÔÏÔ E.
AKO§OY£IE™ KAI ™EIPE™ ™YNAPTH™EøN 251
§¤ÁÂÙ·È fiÙÈ Ë A ‰È·¯ˆÚ›˙ÂÈ Ù· ÛËÌ›· ÙÔ˘ E Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ÁÈ· ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ‰È·ÎÂÎÚÈ̤ӷ ÛËÌ›· x1 , x2 ∈ E ˘¿Ú¯ÂÈ f ∈ A Ì f (x1 ) = f (x2 ). §¤ÁÂÙ·È fiÙÈ Ë A ‰ÂÓ ÌˉÂÓ›˙ÂÙ·È Û ηӤӷ ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ E Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ÁÈ· οı x ∈ E ˘¿Ú¯ÂÈ g ∈ A Ì g(x) = 0. H ¿ÏÁ‚ڷ ÙˆÓ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ Ì›·˜ ÌÂÙ·‚ÏËÙ‹˜ ÛÙÔÓ R 1 Û·ÊÒ˜ ¤¯ÂÈ ·˘Ù¤˜ ÙȘ ȉÈfiÙËÙ˜. ¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ¿ÏÁ‚ڷ˜ Ô˘ ‰ÂÓ ‰È·¯ˆÚ›˙ÂÈ ÛËÌ›· ·ÔÙÂÏ› ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ·ÚÙ›ˆÓ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ ÛÙÔ [−1, 1], ÂÊfiÛÔÓ ÁÈ· ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ÛÙÔÈ¯Â›Ô f ·˘Ù‹˜ Ù˘ ¿ÏÁ‚ڷ˜ ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ f (−x) = f (x) ÁÈ· οı x ∈ [−1, 1]. TÔ ·ÎfiÏÔ˘ıÔ ıÂÒÚËÌ· ·ÔÛ·ÊËÓ›˙ÂÈ ÂÚ·ÈÙ¤Úˆ ÙȘ ¤ÓÓÔȘ ·˘Ù¤˜. £ÂÒÚËÌ· 7.31. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ A Â›Ó·È Ì›· ¿ÏÁ‚ڷ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛˆÓ, ÔÚÈÛÌ¤ÓˆÓ Û ¤Ó· Û‡ÓÔÏÔ E, fiÙÈ Ë A ‰È·¯ˆÚ›˙ÂÈ Ù· ÛËÌ›· ÙÔ˘ E Î·È fiÙÈ Ë A ‰ÂÓ ÌˉÂÓ›˙ÂÙ·È Û ηӤӷ ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ E. £ÂˆÚԇ̠‰‡Ô ‰È·ÎÂÎÚÈ̤ӷ ÛËÌ›· x1 , x2 ∈ E Î·È ‰‡Ô ÛÙ·ıÂÚ¤˜ c1 , c2 (ÙȘ Ôԛ˜ ıˆÚԇ̠ڷÁÌ·ÙÈΤ˜, fiÙ·Ó Ë ¿ÏÁ‚ڷ Â›Ó·È Ú·ÁÌ·ÙÈ΋). TfiÙÂ, ˘¿Ú¯ÂÈ f ∈ A Ì f (x1 ) = c1 , f (x2 ) = c2 . Afi‰ÂÈÍË. OÈ ˘Ôı¤ÛÂȘ Ê·ÓÂÚÒÓÔ˘Ó fiÙÈ Ë A ÂÚȤ¯ÂÈ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ g, h, k Ì g(x1 ) = g(x2 ), h(x1 ) = 0, k(x2 ) = 0. £¤ÙÔ˘Ì u = gk − g(x1 )k,
v = gh − g(x2 )h.
TfiÙÂ, u, v ∈ A, u(x1 ) = v(x2 ) = 0, u(x2 ) = 0 Î·È v(x1 ) = 0. EÔ̤ӈ˜, Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË c1 v c2 u f = + v(x1 ) u(x2 ) ¤¯ÂÈ ÙȘ ÂÈı˘ÌËÙ¤˜ ȉÈfiÙËÙ˜. TÒÚ·, ¤¯Ô˘Ì ÙÔ ··Ú·›ÙËÙÔ ˘ÏÈÎfi ÁÈ· ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË Ù˘ ηٿ Stone3 ÁÂÓÈ·ۈ˜ ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ ÙÔ˘ Weierstrass. 3
™. Ù. M.: Marshall Harvey Stone (1903-1989). Eͤ¯ˆÓ AÌÂÚÈοÓÔ˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi˜. EÚÁ¿ÛıËΠ۠ϋıÔ˜ ÂÚÈÔ¯ÒÓ Ù˘ AӷχÛˆ˜ Î·È ·¤‰ÂÈÍ ÛËÌ·ÓÙÈο ıˆڋ̷ٷ.
252
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
£ÂÒÚËÌ· 7.32. £ÂˆÚԇ̛̠· ¿ÏÁ‚ڷ A Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ Î·È Û˘Ó¯ÒÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛˆÓ, ÔÚÈÛÌ¤ÓˆÓ Û ¤Ó·Ó Û˘Ì·Á‹ ÌÂÙÚÈÎfi ¯ÒÚÔ K . E¿Ó Ë A ‰È·¯ˆÚ›˙ÂÈ Ù· ÛËÌ›· ÙÔ˘ K Î·È ‰ÂÓ ÌˉÂÓ›˙ÂÙ·È Û ηӤӷ ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ K , ÙfiÙÂ Ë ÔÌÔÈfiÌÔÚÊË ÎÏÂÈÛÙ‹ ı‹ÎË B Ù˘ A ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi fiϘ ÙȘ Ú·ÁÌ·ÙÈΤ˜ Û˘Ó¯›˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ ÛÙÔ K . £· ¯ˆÚ›ÛÔ˘Ì ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË Û ٤ÛÛÂÚ· ‚‹Ì·Ù·. B‹Ì· 1. E¿Ó f ∈ B, ÙfiÙ | f | ∈ B. Afi‰ÂÈÍË. £¤ÙÔ˘Ì a = sup | f (x)|.
(52)
x∈K
£ÂˆÚԇ̠ε > 0. ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ¶fiÚÈÛÌ· 7.27, ˘¿Ú¯Ô˘Ó Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› c1 , . . . , cn Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ n i c y − |y| (53) < ε (y ∈ [−a, a]). i i=1 EÊfiÛÔÓ Ë B Â›Ó·È ¿ÏÁ‚ڷ, Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË g=
n
ci f i
i=1
·Ó‹ÎÂÈ ÛÙËÓ B. Afi ÙȘ (52) Î·È (53) Ï·Ì‚¿ÓÔ˘Ì fiÙÈ |g(x) − | f (x)|| < ε
(x ∈ K ).
O Stone ÛÔ‡‰·Û ÛÙÔ ·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ Harvard ηٿ Ù· ¤ÙË 1919 ¤ˆ˜ Î·È 1922. EÎfiÓËÛ ÙË ‰È‰·ÎÙÔÚÈ΋ ‰È·ÙÚÈ‚‹ ÙÔ˘ ˘fi ÙËÓ Â›‚ÏÂ„Ë ÙÔ˘ ÛÔ˘‰·›Ô˘ AÌÂÚÈοÓÔ˘ Ì·ıËÌ·ÙÈÎÔ‡ George Birkhoff (1884-1944). K·Ù¿ ÙË ‰È¿ÚÎÂÈ· ÙÔ˘ ¢Â˘Ù¤ÚÔ˘ ¶·ÁÎÔÛÌ›Ô˘ ¶ÔϤÌÔ˘ ÂÚÁ¿ÛıËΠ۠¤Ó· ·fiÚÚËÙÔ ÔÏÂÌÈÎfi ÚfiÁÚ·ÌÌ·. ¢ËÌÔÛ›Â˘Û ÙË ÁÂӛ΢ÛË ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ ÙÔ˘ Weierstrass ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1948. Œˆ˜ ÙË Û˘ÓÙ·ÍÈÔ‰fiÙËÛ‹ ÙÔ˘, ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1968, Ô Stone ÂÚÁ¿ÛıËΠ۠·ÚÎÂÙ¿ ·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈ· ÙˆÓ H. ¶. A., fiˆ˜ ÙÔ ·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ Harvard, ÙÔ ¶·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ ÙÔ˘ Columbia, ÙÔ ·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ Yale, ÙÔ ¶·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ ÙÔ˘ Chicago. ¢ÈÂÙ¤ÏÂÛ Úfi‰ÚÔ˜ Ù˘ AÌÂÚÈηÓÈ΋˜ M·ıËÌ·ÙÈ΋˜ EÙ·ÈÚ›·˜, ηٿ Ù· ¤ÙË 1943 ¤ˆ˜ 1944. ¶ÔÏÏÔ› ·fi ÙÔ˘˜ Ì·ıËÙ¤˜ ÙÔ˘ Stone ·Ó·‰Â›¯ıËÎ·Ó Û ÌÂÁ¿ÏÔ˘˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎÔ‡˜ ÙÔ˘ ‰Â˘Ù¤ÚÔ˘ ÌÈÛÔ‡ ÙÔ˘ ÂÈÎÔÛÙÔ‡ ·ÈÒÓ·. O Stone ›¯Â ¢ڇ ‰›Ô ÂӉȷÊÂÚfiÓÙˆÓ Î·È ÌÂÁ¿ÏË ·Á¿Ë ÁÈ· Ù· Ù·Í›‰È·. O ı¿Ó·ÙÔ˜ ÙÔÓ ‚ڋΠηٿ ÙË ‰È¿ÚÎÂÈ· ÂÓfi˜ Ù·ÍȉÈÔ‡ ÛÙËÓ IÓ‰›·.
AKO§OY£IE™ KAI ™EIPE™ ™YNAPTH™EøN 253
EÊfiÛÔÓ Ë B Â›Ó·È ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ ÎÏÂÈÛÙ‹, ·fi ÙËÓ ÙÂÏÂ˘Ù·›· Û¯¤ÛË ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì fiÙÈ | f | ∈ B. B‹Ì· 2. E¿Ó f, g ∈ B, ÙfiÙ max( f, g) ∈ B Î·È min( f, g) ∈ B. (M max( f, g) Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË h Ô˘ ÔÚ›˙ÂÙ·È Ì¤Ûˆ Ù˘ ÈÛfiÙËÙ·˜ f (x) Â¿Ó x ∈ K Ì f (x) ≥ g(x), h(x) = g(x) Â¿Ó x ∈ K Ì f (x) < g(x). H Û˘Ó¿ÚÙËÛË min( f, g) ÔÚ›˙ÂÙ·È ·ÚÔÌÔ›ˆ˜.) Afi‰ÂÈÍË. TÔ B‹Ì· 2 ÚÔ·ÙÂÈ ·fi ÙÔ B‹Ì· 1, ‚¿ÛÂÈ ÙˆÓ ÈÛÔÙ‹ÙˆÓ max( f, g) =
f + g | f − g| + , 2 2
f + g | f − g| − . 2 2 M ·ӿÏË„Ë, ÙÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· ÌÔÚ› Ó· ÂÂÎÙ·ı› Û ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ Û‡ÓÔÏÔ ÛÙÔȯ›ˆÓ Ù˘ B: E¿Ó f 1 , . . . f n ∈ B, ÙfiÙ max( f 1 , . . . f n ) ∈ B Î·È min( f 1 , . . . f n ) ∈ B. min( f, g) =
B‹Ì· 3. E¿Ó f Â›Ó·È Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ Û˘Ó¯‹˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÛÙÔ K , x ∈ K Î·È ε > 0, ÙfiÙ ˘¿Ú¯ÂÈ gx ∈ B Ì gx (x) = f (x) Î·È gx (t) > f (t) − ε
(t ∈ K ).
(54)
Afi‰ÂÈÍË. EÊfiÛÔÓ A ⊂ B Î·È Ë A ÈηÓÔÔÈ› ÙȘ ˘Ôı¤ÛÂȘ ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 7.31, ÙÔ ›‰ÈÔ ÈÛ¯‡ÂÈ Î·È ÁÈ· ÙËÓ B. ™˘ÓÂÒ˜, ÁÈ· οı y ∈ K ˘¿Ú¯ÂÈ h y ∈ B Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ h y (x) = f (x), h y (y) = f (y).
(55)
§fiÁˆ Ù˘ Û˘Ó¤¯ÂÈ·˜ Ù˘ h y , ˘¿Ú¯ÂÈ ·ÓÔÈÎÙfi Û‡ÓÔÏÔ Jy Ô˘ ÂÚȤ¯ÂÈ ÙÔ y Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ h y (t) > f (t) − ε
(t ∈ Jy ).
(56)
254
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
EÊfiÛÔÓ ÙÔ K Â›Ó·È Û˘Ì·Á¤˜, ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÛËÌ›· y1 , . . . , yn Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ K ⊂ Jy1 ∪ · · · ∪ Jyn .
(57)
£¤ÙÔ˘Ì gx = max(h y1 , . . . , h yn ). ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔ B‹Ì· 2, ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ gx ∈ B, Î·È ÔÈ Û¯¤ÛÂȘ (55) ¤ˆ˜ Î·È (57) Ê·ÓÂÚÒÓÔ˘Ó fiÙÈ Ë gx ¤¯ÂÈ ÙȘ ˙ËÙÔ‡ÌÂÓ˜ ȉÈfiÙËÙ˜. B‹Ì· 4. E¿Ó f Â›Ó·È Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ Û˘Ó¯‹˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÛÙÔ K Î·È Â¿Ó ε > 0, ÙfiÙ ˘¿Ú¯ÂÈ h ∈ B Ì |h(x) − f (x)| < ε
(x ∈ K ).
(58)
EÊfiÛÔÓ Ë B Â›Ó·È ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ ÎÏÂÈÛÙ‹, Ë ÙÂÏÂ˘Ù·›· ÚfiÙ·ÛË ÈÛÔ‰˘Ó·Ì› Ì ÙÔÓ ÚÔ˜ ·fi‰ÂÈÍË ÈÛ¯˘ÚÈÛÌfi ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜. Afi‰ÂÈÍË. °È· οı x ∈ K ıˆÚԇ̠ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË gx , fiˆ˜ ¤¯ÂÈ Î·Ù·Û΢·Ûı› ÛÙÔ B‹Ì· 3. §fiÁˆ Ù˘ Û˘Ó¤¯ÂÈ·˜, ÁÈ· οı x ∈ K ˘¿Ú¯ÂÈ ·ÓÔÈÎÙfi Û‡ÓÔÏÔ Vx , Ô˘ ÂÚȤ¯ÂÈ ÙÔ x, Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ gx (t) < f (t) + ε
(t ∈ Vx ).
(59)
EÊfiÛÔÓ ÙÔ K Â›Ó·È Û˘Ì·Á¤˜, ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÛËÌ›· x1 , . . . , xm Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ K ⊂ Vx1 ∪ · · · ∪ Vxm .
(60)
£¤ÙÔ˘Ì h = min(gx1 , . . . , gxm ). ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔ B‹Ì· 2, h ∈ B Î·È Ë (54) Û˘Ó¿ÁÂÙ·È fiÙÈ h(t) > f (t) − ε
(t ∈ K ),
(61)
(t ∈ K ).
(62)
ÂÓÒ ÔÈ (59) Î·È (60) Û˘Ó¿ÁÔÓÙ·È fiÙÈ h(t) < f (t) + ε H (58) ÚÔ·ÙÂÈ ·fi ÙȘ (61) Î·È (62).
AKO§OY£IE™ KAI ™EIPE™ ™YNAPTH™EøN 255
TÔ £ÂÒÚËÌ· 7.32 ‰ÂÓ ÈÛ¯‡ÂÈ ··Ú·Èًو˜ ÁÈ· ÌÈÁ·‰ÈΤ˜ ¿ÏÁ‚Ú˜. ŒÓ· ·ÓÙÈ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ‰›‰ÂÙ·È ÛÙËÓ ÕÛÎËÛË 21. ŸÌˆ˜, ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ÈÛ¯‡ÂÈ Û ·˘Ù‹Ó ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË Â¿Ó ÙÂı› Ì›· ÂÈϤÔÓ Û˘Óı‹ÎË: Ó· Â›Ó·È Ë A ·˘ÙÔÂÈÛ˘Ó·Ù‹ (selfadjoint). ¢ËÏ·‰‹, ÁÈ· οı f ∈ A Ë Û˘˙˘Á‹˜ f Ù˘ f Ó· ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙËÓ A. (M f Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË fiÔ˘ f (x) = f (x) ÁÈ· οı x ÛÙÔ Â‰›Ô ÔÚÈÛÌÔ‡ Ù˘ f .) £ÂÒÚËÌ· 7.33. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ A Â›Ó·È Ì›· ·˘ÙÔÂÈÛ˘Ó·Ù‹ ¿ÏÁ‚ڷ ÌÈÁ·‰ÈÎÒÓ Û˘Ó¯ÒÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ Û ¤Ó·Ó Û˘Ì·Á‹ ¯ÒÚÔ K . E¿Ó Ë A ‰È·¯ˆÚ›˙ÂÈ Ù· ÛËÌ›· ÙÔ˘ K Î·È ‰ÂÓ ÌˉÂÓ›˙ÂÙ·È Û ηӤӷ ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ K , ÙfiÙÂ Ë ÔÌÔÈfiÌÔÚÊË ÎÏÂÈÛÙ‹ ı‹ÎË B Ù˘ A ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi fiϘ ÙȘ ÌÈÁ·‰ÈΤ˜ Û˘Ó¯›˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ ÛÙÔ K . ¢ËÏ·‰‹, Ë A Â›Ó·È ˘ÎÓ‹ ÛÙÔÓ C(K ). Afi‰ÂÈÍË. ™˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì ˆ˜ A R ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ Ô˘ ·Ó‹ÎÔ˘Ó ÛÙËÓ A. TÔ Û‡ÓÔÏÔ ·˘Ùfi Â›Ó·È ¿ÏÁ‚ڷ. E¿Ó f ∈ A Ì f = u + iv, fiÔ˘ u, v Â›Ó·È Ú·ÁÌ·ÙÈΤ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ, ÙfiÙ 2u = f + f . EÊfiÛÔÓ Ë A Â›Ó·È ·˘ÙÔÂÈÛ˘Ó·Ù‹, ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì fiÙÈ u ∈ A R . E¿Ó Â›Ó·È x1 , x2 ∈ K Ì x1 = x2 , ÙfiÙ ˘¿Ú¯ÂÈ f ∈ A Ì f (x1 ) = 1 Î·È f (x2 ) = 0. ™˘ÓÂÒ˜, ÁÈ· ÙÔ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ̤ÚÔ˜ u Ù˘ f ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ 0 = u(x2 ) = u(x1 ) = 1. ¢ËÏ·‰‹, Ë A R ‰È·¯ˆÚ›˙ÂÈ Ù· ÛËÌ›· ÙÔ˘ K . E¿Ó x ∈ K , ÙfiÙ ˘¿Ú¯ÂÈ g ∈ A Ì g(x) = 0. E›Û˘, ˘¿Ú¯ÂÈ ¤Ó·˜ ÌÈÁ·‰ÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ λ Ì λg(x) > 0. E¿Ó f = λg Î·È f = u + iv, fiÔ˘ u, v Â›Ó·È Ú·ÁÌ·ÙÈΤ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ, ÙfiÙ ¤ÂÙ·È fiÙÈ u(x) > 0. ™˘ÓÂÒ˜, Ë A R ‰ÂÓ ÌˉÂÓ›˙ÂÙ·È Û ηӤӷ ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ K . EÔ̤ӈ˜, Ë A R ÈηÓÔÔÈ› ÙȘ ˘Ôı¤ÛÂȘ ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 7.32. ÕÚ·, οı ڷÁÌ·ÙÈ΋ Û˘Ó¯‹˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÛÙÔ K ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙÔ ÔÌÔÈfiÌÔÚÊË ÎÏÂÈÛÙ‹ ı‹ÎË Ù˘ A R Î·È Û˘ÓÂÒ˜ ÛÙËÓ B. E¿Ó f Â›Ó·È ÌÈÁ·‰È΋ Û˘Ó¯‹˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÛÙÔ K Ì f = u + iv, fiÔ˘ u, v Â›Ó·È Ú·ÁÌ·ÙÈΤ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ, ÙfiÙ u, v ∈ B Î·È Û˘ÓÂÒ˜ f ∈ B. A˘Ùfi ÔÏÔÎÏËÚÒÓÂÈ ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË.
A™KH™EI™
256
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
ÕÛÎËÛË 1. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ Î¿ı ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ Û˘ÁÎÏ›ÓÔ˘Û· ·ÎÔÏÔ˘ı›· ÊÚ·ÁÌ¤ÓˆÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ Â›Ó·È ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ ÊÚ·Á̤ÓË. ÕÛÎËÛË 2. E¿Ó ÔÈ ·ÎÔÏÔ˘ı›Â˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ { f n }, {gn } (n = 1, 2, 3, . . . ) Û˘ÁÎÏ›ÓÔ˘Ó ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ Û ¤Ó· Û‡ÓÔÏÔ E, ÙfiÙ ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ Î·È Ë { f n + gn } (n = 1, 2, 3, . . . ) Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ ÛÙÔ E. E¿Ó ÂÈϤÔÓ ÔÈ { f n }, {gn } (n = 1, 2, 3, . . . ) Â›Ó·È ·ÎÔÏÔ˘ı›Â˜ ÊÚ·ÁÌ¤ÓˆÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛˆÓ, ÙfiÙ ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ Ë { f n gn } (n = 1, 2, 3, . . . ) Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ ÛÙÔ E. ÕÛÎËÛË 3. K·Ù·Û΢¿ÛÙ ‰‡Ô ·ÎÔÏÔ˘ı›Â˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ { f n }, {gn } (n = 1, 2, 3, . . . ) ÔÈ Ôԛ˜ Ó· Û˘ÁÎÏ›ÓÔ˘Ó ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ Û ¤Ó· Û‡ÓÔÏÔ E, ÂÓÒ Ë { f n gn } (n = 1, 2, 3, . . . ) Ó· ÌËÓ Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ ÛÙÔ E. (º˘ÛÈο, Ë { f n gn } (n = 1, 2, 3, . . . ) Ú¤ÂÈ Ó· Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ Î·Ù¿ ÛËÌÂ›Ô ÛÙÔ E.) ÕÛÎËÛË 4. °È· οı ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi x ıˆÚԇ̠ÙË ÛÂÈÚ¿ f (x) =
∞ n=1
1 . 1 + n2 x
°È· ÔȘ ÙÈ̤˜ ÙÔ˘ x Ë ÛÂÈÚ¿ Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ·Ôχو˜; ™Â ÔÈ· ‰È·ÛÙ‹Ì·Ù· Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜; ™Â ÔÈ· ‰È·ÛÙ‹Ì·Ù· ‰ÂÓ Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜; E›Ó·È Ë f Û˘Ó¯‹˜ ÛÙ· ÛËÌ›· fiÔ˘ Ë ÛÂÈÚ¿ Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ; E›Ó·È Ë f ÊÚ·Á̤ÓË; ÕÛÎËÛË 5. °È· οı ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi x Î·È ıÂÙÈÎfi ·Î¤Ú·ÈÔ ·ÚÈıÌfi n ı¤ÙÔ˘Ì 0 Â¿Ó x < 1 , n+1 1 π f n (x) = Â¿Ó ≤ x ≤ n1 , sin2 x 1 + n 0 Â¿Ó n1 < x. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ Ë { f n } (n = 1, 2, 3, . . . ) Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÚÔ˜ Ì›· Û˘Ó¯‹ Û˘Ó¿ÚÙËÛË, fï˜ fi¯È ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜. XÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÙ ÙË ÛÂÈÚ¿ ∞ n=1 f n ÁÈ· Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ë ·fiÏ˘ÙË Û‡ÁÎÏÈÛË Ì›·˜ ÛÂÈÚ¿˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛˆÓ, ·ÎfiÌË Î·È ÁÈ· οı ÛËÌÂ›Ô ÛÙÔ Â‰›Ô ÔÚÈÛÌÔ‡ Ù˘, ‰ÂÓ Û˘Ó¿ÁÂÙ·È ··Ú·Èًو˜ ÙËÓ ÔÌÔÈfiÌÔÚÊË Û‡ÁÎÏÈÛË Ù˘ ÛÂÈÚ¿˜.
AKO§OY£IE™ KAI ™EIPE™ ™YNAPTH™EøN 257
ÕÛÎËÛË 6. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ Ë ÛÂÈÚ¿ ∞ x2 + n (−1)n n2 n=1
Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ Û οı ÊÚ·Á̤ÓÔ ‰È¿ÛÙËÌ·, fï˜ ‰ÂÓ Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ·Ôχو˜ ÁÈ· η̛· ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ x. ÕÛÎËÛË 7. °È· οı ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi x Î·È ıÂÙÈÎfi ·Î¤Ú·ÈÔ ·ÚÈıÌfi n ı¤ÙÔ˘Ì x f n (x) = . 1 + nx 2 Aԉ›ÍÙ fiÙÈ Ë ·ÎÔÏÔ˘ı›· { f n } (n = 1, 2, 3, . . . ) Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ ÚÔ˜ Ì›· Û˘Ó¿ÚÙËÛË f Î·È fiÙÈ Ë ÈÛfiÙËÙ· f (x) = lim f n (x) n→∞
ÈÛ¯‡ÂÈ ÁÈ· οı ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi x Ì x = 0, ÂÓÒ ‰ÂÓ ÈÛ¯‡ÂÈ ÛÙÔ x = 0. ÕÛÎËÛË 8. £ÂˆÚԇ̠ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË I ÛÙËÓ Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ ¢ı›· Ì 0 Â¿Ó x ≤ 0, I (x) = 1 Â¿Ó x > 0. E¿Ó {xn } (n = 1, 2, 3, . . . ) Â›Ó·È Ì›· ·ÎÔÏÔ˘ı›· ‰È·ÎÂÎÚÈÌ¤ÓˆÓ ÛËÌ›ˆÓ ÙÔ˘ (a, b) Î·È Â¿Ó {cn } (n = 1, 2, 3, . . . ) Â›Ó·È Ì›· ·ÎÔÏÔ˘ı›· Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙÂ Ë ∞ n=1 |cn | Ó· Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ·Ôχو˜, ÙfiÙ ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ Ë ÛÂÈÚ¿ ∞ cn I (x − xn ) (a ≤ x ≤ b) f (x) = n=1
Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ Î·È fiÙÈ Ë f Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ Û οı ÛËÌÂ›Ô ÂÎÙfi˜ ·fi Ù· x1 , x2 , x3 . . . . ÕÛÎËÛË 9. £ÂˆÚԇ̛̠· ·ÎÔÏÔ˘ı›· { f n } (n = 1, 2, 3, . . . ) Û˘Ó¯ÒÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ Ë ÔÔ›· Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ ÚÔ˜ Ì›· Û˘Ó¿ÚÙËÛË f Û ¤Ó· ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ E ÂÓfi˜ ÌÂÙÚÈÎÔ‡ ¯ÒÚÔ˘ X . Aԉ›ÍÙ fiÙÈ lim f n (xn ) = f (x)
n→∞
258
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
ÁÈ· οı x ∈ E Î·È Î¿ı ·ÎÔÏÔ˘ı›· {xn } (n = 1, 2, 3, . . . ) ÙÔ˘ E Ì limn→∞ xn = x. AÏËı‡ÂÈ ÙÔ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ; ÕÛÎËÛË 10. °È· ¤Ó·Ó Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi x Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì Ì (x) ÙÔ ÎÏ·ÛÌ·ÙÈÎfi ̤ÚÔ˜ ÙÔ˘ x (·Ó·ÙÚ¤ÍÙ ÛÙËÓ ÕÛÎËÛË 16 ÙÔ˘ KÂÊ·Ï·›Ô˘ 4 ÁÈ· ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi). £ÂˆÚԇ̠ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË f , fiÔ˘ ÁÈ· Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi x Â›Ó·È f (x) =
∞ (nx) n=1
n2
.
BÚ›Ù ٷ ÛËÌ›· ·Û˘Ó¤¯ÂÈ·˜ Ù˘ f Î·È ‰Â›ÍÙ fiÙÈ ··ÚÙ›˙Ô˘Ó ¤Ó· ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌÔ ˘ÎÓfi Û‡ÓÔÏÔ. EÓÙÔ‡ÙÔȘ, ‰Â›ÍÙ fiÙÈ Ë f Â›Ó·È Î·Ù¿ Riemann ÔÏÔÎÏËÚÒÛÈÌË Û οı ÊÚ·Á̤ÓÔ ÎÏÂÈÛÙfi ‰È¿ÛÙËÌ·. ÕÛÎËÛË 11. £ÂˆÚԇ̠‰‡Ô ·ÎÔÏÔ˘ı›Â˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ { f n }, {gn }, (n = 1, 2, 3, . . . ), ÔÈ Ôԛ˜ Â›Ó·È ÔÚÈṲ̂Ó˜ Û ¤Ó· Û‡ÓÔÏÔ E. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ: (·) H ·ÎÔÏÔ˘ı›· ÙˆÓ ÌÂÚÈÎÒÓ ·ıÚÔÈÛÌ¿ÙˆÓ Ù˘ ∞ n=1 f n Â›Ó·È ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ ÊÚ·Á̤ÓË. (‚) limn→∞ gn = 0 ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ ÛÙÔ E. (Á) g1 ≥ g2 ≥ g3 ≥ · · · . Aԉ›ÍÙ fiÙÈ Ë ÛÂÈÚ¿ ∞ n=1 f n gn Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ ÛÙÔ E. Yfi‰ÂÈÍË: ™˘ÁÎÚ›ÓÂÙ Ì ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 3.42. ÕÛÎËÛË 12. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ g Î·È f n (n = 1, 2, 3, . . . ) Â›Ó·È Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ ÛÙÔ (0, ∞), ηٿ Riemann ÔÏÔÎÏËÚÒÛÈ̘ Û οı ‰È¿ÛÙËÌ· [t, T ], fiÔ˘ 0 < t < T . YÔı¤ÙÔ˘Ì ›Û˘ fiÙÈ | f n | ≤ g ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË n, fiÙÈ Ë { f n } (n = 1, 2, 3, . . . ) Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ ÚÔ˜ Ì›· Û˘Ó¿ÚÙËÛË f Û οıÂ Û˘Ì·Á¤˜ ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ (0, ∞) Î·È fiÙÈ ∞ g(x)d x < +∞. 0
Aԉ›ÍÙ fiÙÈ
lim
n→∞ 0
∞
f n (x)d x = 0
∞
f (x)d x.
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(°È· ÙÔ˘˜ Û¯ÂÙÈÎÔ‡˜ ÔÚÈÛÌÔ‡˜, ·Ó·ÙÚ¤ÍÙ ÛÙȘ AÛ΋ÛÂȘ 7 Î·È 8 ÙÔ˘ KÂÊ·Ï·›Ô˘ 6.) TÔ ·Ú·¿Óˆ ·ÔÙÂÏ› Ì›· ·ÛıÂÓ‹ ÌÔÚÊ‹ ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ ΢ÚÈ·Ú¯Ô‡ÌÂÓ˘ Û˘ÁÎϛۈ˜ ÙÔ˘ Lebesgue (£ÂÒÚËÌ· 11.32). AÎfiÌË Î·È ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ÙˆÓ Î·Ù¿ Riemann ÔÏÔÎÏËڈ̿وÓ, Ë ÔÌÔÈfiÌÔÚÊË Û‡ÁÎÏÈÛË ÌÔÚ› Ó· ·ÓÙÈηٷÛÙ·ı› ·fi ÙËÓ Î·Ù¿ ÛËÌÂ›Ô Û‡ÁÎÏÈÛË, Â¿Ó ˘ÔÙÂı› fiÙÈ f ∈ R. (¶·Ú·¤ÌÔ˘Ì ÛÙ· ¿ÚıÚ· ÙˆÓ F. Cunningham ÛÙÔ Math. Mag., vol. 40, 1967, pp. 179-186, Î·È H. Kestelman ÛÙÔ Amer. Math. Monthly, vol. 77, 1970, pp. 182-187.) ÕÛÎËÛË 13. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ { f n } (n = 1, 2, 3, . . . ) Â›Ó·È Ì›· ·ÎÔÏÔ˘ı›· ·˘ÍÔ˘ÛÒÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ ÛÙÔÓ R 1 Ì 0 ≤ f n ≤ 1 ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË n. (·) Aԉ›ÍÙ fiÙÈ ˘¿Ú¯ÂÈ Ì›· Û˘Ó¿ÚÙËÛË f Î·È Ì›· ÁÓËÛ›ˆ˜ ·‡ÍÔ˘Û· ·ÎÔÏÔ˘ı›· ıÂÙÈÎÒÓ ·ÎÂÚ·›ˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ {n k } (k = 1, 2, 3, . . . ) Ì f (x) = lim f n k (x) k→∞
(x ∈ R 1 )
ηٿ ÛËÌ›Ô. (TÔ ·Ú·¿Óˆ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· Û˘Ó‹ıˆ˜ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ıÂÒÚËÌ· ‰È·ÏÔÁ‹˜ ÙÔ˘ Helly 4 .) 4
™. Ù. M.: Eduard Helly (1884-1943). E‚Ú·˚΋˜ ηٷÁˆÁ‹˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi˜, ÁÂÓÓË̤ÓÔ˜ ÛÙËÓ A˘ÛÙÚ›·. O Helly ÛÔ‡‰·Û ÛÙÔ ¶·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ Ù˘ BȤÓÓ˘ Î·È ÂÎfiÓËÛ ÙË ‰È‰·ÎÙÔÚÈ΋ ÙÔ˘ ‰È·ÙÚÈ‚‹ ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1907, ˘fi ÙËÓ Â›‚ÏÂ„Ë ÙÔ˘ Franz Mertens (1840-1927). ŒÏ·‚ ̛· ˘ÔÙÚÔÊ›· ÁÈ· Ó· Û˘Ó¯›ÛÂÈ ÙȘ ÛÔ˘‰¤˜ ÙÔ˘ ÛÙÔ ¶·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ ÙÔ˘ Göttingen. EΛ Ì·ı‹Ù¢Û ˘fi ÙÔ˘˜ ÛÔ˘‰·›Ô˘˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎÔ‡˜ David Hilbert (1862-1943), Felix Klein (1849-1925), Hermann Minkowski (1864-1909) Î·È Carl David Runge (1856-1927). O Helly ¤ÛÙÚ„ ÙÔ 1908 ÛÙË BȤÓÓË, fï˜ ‰ÂÓ ÌfiÚÂÛ ӷ ‰ÈÔÚÈÛı› Û ·Î·‰ËÌ·˚΋ ı¤ÛË Î·È ·Ó·ÁοÛÙËΠӷ ·Ú·‰›‰ÂÈ È‰È·›ÙÂÚ· Ì·ı‹Ì·Ù·. M ÙÔ Í¤Û·ÛÌ· ÙÔ˘ ¶ÚÒÙÔ˘ ¶·ÁÎÔÛÌ›Ô˘ ¶ÔϤÌÔ˘, Ô Helly ηÙÂÙ¿ÁË ÛÙÔÓ A˘ÛÙÚÈ·Îfi ÛÙÚ·Ùfi. YËÚ¤ÙËÛ ˆ˜ ˘ÔÏÔ¯·Áfi˜ ηÈ, ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1915, ÙÚ·˘Ì·Ù›ÛıËΠ·fi ÛÊ·›Ú· ÛÙÔÓ Ó‡ÌÔÓ·, ÁÂÁÔÓfi˜ Ô˘ ˙ËÌ›ˆÛ ÛÔ‚·Ú¿ ÙËÓ ˘Á›· ÙÔ˘ ¤ˆ˜ ÙÔ Ù¤ÏÔ˜ Ù˘ ˙ˆ‹˜ ÙÔ˘. A̤ۈ˜ ·È¯Ì·ÏˆÙ›ÛıËΠ·fi ÙÔ˘˜ PÒÛÔ˘˜. ¶·Ú¤ÌÂÈÓ ·È¯Ì¿ÏˆÙÔ˜ ÛÙË PˆÛ›· Î·È ÌÂÙ¿ ÙÔ Ù¤ÏÔ˜ ÙÔ˘ ¶ÚÒÙÔ˘ ¶·ÁÎÔÛÌ›Ô˘ ¶ÔϤÌÔ˘, ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1918. ⁄ÛÙÂÚ· ·fi Ì›· Ì·ÎÚ¿ ÂÚȤÙÂÈ·, Ô˘ ÂÚÈÂÏ¿Ì‚·Ó ¤Ú·ÛÌ· ·fi ÙËÓ Õˆ AÓ·ÙÔÏ‹, ÙËÓ A›Á˘ÙÔ Î·È ÙË M¤ÛË AÓ·ÙÔÏ‹, Ô Helly ηٿÊÂÚ ηٿ ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1920 Ó· ÂÈÛÙÚ¤„ÂÈ ÛÙË BȤÓÓË.
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∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
(‚) E¿Ó ÂÈϤÔÓ Ë f Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜, ÙfiÙ ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ Ë Û‡ÁÎÏÈÛË ÛÙÔ (·) Â›Ó·È ÔÌÔÈfiÌÔÚÊË. Yfi‰ÂÈÍË: (i) Y¿Ú¯ÂÈ Ì›· ˘·ÎÔÏÔ˘ı›· { f ni } (i = 1, 2, 3, . . . ) Ë ÔÔ›· Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ Î·Ù¿ ÛËÌÂ›Ô Û οı ÚËÙfi ·ÚÈıÌfi r ÚÔ˜ ¤Ó· fiÚÈÔ f (r ). (ii) °È· x ∈ R 1 ÔÚ›˙Ô˘Ì f (x) = sup f (r ), fiÔ˘ ÙÔ ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ ¿Óˆ ÊÚ¿ÁÌ· Ï·Ì‚¿ÓÂÙ·È ˘ÂÚ¿Óˆ fiÏˆÓ ÙˆÓ ÚËÙÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ r Ì r ≤ x. (iii) Aԉ›ÍÙ fiÙÈ limi→∞ f ni (x) = f (x) ÁÈ· οı ÛËÌÂ›Ô Û˘Ó¤¯ÂÈ·˜ Ù˘ f . (™ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ·˘Ùfi Ë ÌÔÓÔÙÔÓ›· η٤¯ÂÈ ÛËÌ·ÓÙÈ΋ ı¤ÛË.) (iv) M›· ˘·ÎÔÏÔ˘ı›· Ù˘ { f ni } (i = 1, 2, 3, . . . ) Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ Û οı ÛËÌÂ›Ô ·Û˘Ó¤¯ÂÈ·˜ Ù˘ f , ÂÊfiÛÔÓ ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ ·˘ÙÒÓ Â›Ó·È ÙÔ Ôχ ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌÔ. T· ·Ú·¿Óˆ ·Ô‰ÂÈÎÓ‡Ô˘Ó ÙÔ (·). °È· ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ (‚), ÙÚÔÔÔÈ‹ÛÙ ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ (iii) ηٷÏϋψ˜.
ÕÛÎËÛË 14. £ÂˆÚԇ̛̠· Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ Û˘Ó¯‹ Û˘Ó¿ÚÙËÛË f ÛÙÔÓ R 1 Ì ÙȘ TÔ ¤ÙÔ˜ 1921 Ô Helly ·ÓÙÚ‡ÙËΠ(Ì›· ›Û˘ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi) Î·È ‰ÈÔÚ›ÛıËΠˆ˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi˜ Û ̛· ¿ÌÈÛıË ·Î·‰ËÌ·˚΋ ı¤ÛË ÛÙËÓ A˘ÛÙÚ›·, ÈηÓÔÔÈÒÓÙ·˜ ÙȘ ‚ÈÔÔÚÈÛÙÈΤ˜ ÙÔ˘ ·Ó¿ÁΘ ·˘ÙÔ‡ Î·È Ù˘ Û˘˙‡ÁÔ‡ ÙÔ˘ ÂÚÁ·˙fiÌÂÓÔ˜ Û ̛· ÙÚ¿Â˙· Î·È ·ÚÁfiÙÂÚ· Û ̛· ·ÛÊ·ÏÈÛÙÈ΋ ÂÙ·ÈÚ›·. TÔ ¤ÙÔ˜ 1938, Ô Helly ÌÂÙ·Ó¿ÛÙ¢Û ÛÙȘ H. ¶. A. ÁÈ· Ó· ·ÔʇÁÂÈ ÙÔÓ ¿ÌÂÛÔ Î›Ó‰˘ÓÔ ·fi ÙÔ˘˜ N·˙› ÁÈ· ·˘ÙfiÓ Î·È ÙËÓ ÔÈÎÔÁ¤ÓÂÈ¿ ÙÔ˘, ÏfiÁˆ Ù˘ ‚ڷ˚΋˜ ÙÔ˘ ηٷÁˆÁ‹˜. ™ÙȘ H. ¶. A., Ë ˙ˆ‹ ÙÔ˘ Helly ‰ÂÓ ‚ÂÏÙÈÒıËΠȉȷÈÙ¤Úˆ˜. ™ÙËÓ ·Ú¯‹ ·Ú¤‰È‰Â Î·È ¿ÏÈ È‰È·›ÙÂÚ· Ì·ı‹Ì·Ù·. M ÙËÓ ˘ÔÛÙ‹ÚÈÍË ÙÔ˘ Albert Einstein (1879-1955), ‰fiıË, ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1939, ÛÙÔÓ Helly Ì›· ı¤ÛË Î·ıËÁËÙ‹ ÛÙÔ KÔϤÁÈÔ ÙÔ˘ Paterson, ÛÙÔ New Jersey. ¢‡Ô ¤ÙË ÌÂÙ¿ Ô Helly ‰ÈÔÚ›ÛıËΠÛÙÔ KÔϤÁÈÔ ÙÔ˘ Monmouth, ›Û˘ ÛÙÔ New Jersey. TÔ ¤ÙÔ˜ 1942 Ô Helly Ì ÙËÓ Á˘Ó·›Î· ÙÔ˘ ÂÚÁ¿ÛıËÎ·Ó ˆ˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎÔ› ÛÙÔ ™ÙÚ·ÙȈÙÈÎfi ™ÒÌ· ÙÔ˘ Chicago. TËÓ ÂÚ›Ô‰Ô ÂΛÓË ÚÔÛÂʤÚıË ÛÙÔÓ Helly Ì›· ¤‰Ú· M·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ ÛÙÔ IÓÛÙÈÙÔ‡ÙÔ T¯ÓÔÏÔÁ›·˜ ÙÔ˘ Illinois. MfiÏȘ ›ÛÙÂ„Â Ô Helly fiÙÈ Ë ˙ˆ‹ ¿Ú¯ÈÛ ӷ ÙÔ˘ ¯·ÌÔÁÂÏ¿, ˘¤ÛÙË Î·Ú‰È·Î‹ ÚÔÛ‚ÔÏ‹ Î·È ¤ı·ÓÂ. TÔ Â‰›Ô ÂÚÁ·Û›·˜ ÙÔ˘ Helly ‹Ù·Ó Ë ™˘Ó·ÚÙËÛȷ΋ AÓ¿Ï˘ÛË. A¤‰ÂÈÍ ÙÔ ÊËÌÈṲ̂ÓÔ ıÂÒÚËÌ·-·ÎÚÔÁˆÓÈ·›Ô Ï›ıÔ Ù˘ ™˘Ó·ÚÙËÛȷ΋˜ AӷχÛˆ˜ ÙˆÓ Hahn Î·È Banach ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1912, ‰Âη¤ÓÙ ¤ÙË ÚÈÓ Ô Hans Hahn (1879-1934) ÙÔ ‰ËÌÔÛȇÛÂÈ Î·È Â›ÎÔÛÈ ¤ÙË ÚÈÓ Ô Stefan Banach (1892-1945) ÙÔ ı¤ÛÂÈ ÛÂ Ó¤Ô Ï·›ÛÈÔ. E›Û˘, ·¤‰ÂÈÍ ̛· ÌÔÚÊ‹ ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ OÌÔÈÔÌfiÚÊÔ˘ ºÚ·Í›Ì·ÙÔ˜, ÙˆÓ Stefan Banach Î·È Hugo Dyonizy Steinhaus (1887-1972).
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·ÎfiÏÔ˘ı˜ ȉÈfiÙËÙ˜: 0 ≤ f ≤ 1, f (t + 2) = f (t) ÁÈ· οı t ∈ R 1 Î·È 0 Â¿Ó 0 ≤ t ≤ 1 , 3 f (t) = 1 Â¿Ó 32 ≤ t ≤ 1. °È· οı ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi t ı¤ÙÔ˘Ì (t) = (x(t), y(t)), fiÔ˘ x(t) =
∞
2−n f (32n−1 t),
y(t) =
n=1
∞
2−n f (32n t).
n=1
Aԉ›ÍÙ fiÙÈ Ë Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ Î·È fiÙÈ ·ÂÈÎÔÓ›˙ÂÈ ÙÔ [0, 1] › ÙÔ˘ ÌÔÓ·‰È·›Ô˘ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ˘ I 2 ⊂ R 2 . I‰È·ÈÙ¤Úˆ˜, ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ Ë ·ÂÈÎÔÓ›˙ÂÈ ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ Cantor › ÙÔ˘ I 2 . Yfi‰ÂÈÍË: K¿ı ÛËÌÂ›Ô (x0 , y0 ) ∈ I 2 ¤¯ÂÈ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ x0 =
∞
2−n a2n−1 ,
n=1
y0 =
∞
2−n a2n ,
n=1
fiÔ˘ ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË n ÙÔ an Â›Ó·È ›ÛÔ Ì 0 ‹ 1. E¿Ó t0 =
∞
3−n−1 (2an ),
n=1
f (3n t0 )
ÙfiÙ ‰Â›ÍÙ fiÙÈ = an ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË n Î·È ÂÔ̤ӈ˜ x(t0 ) = x0 , y(t0 ) = y0 . (A˘Ùfi ÙÔ ·Ïfi ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· η̇Ï˘ Ô˘ «ÁÂÌ›˙ÂÈ» ÙÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ÔÊ›ÏÂÙ·È ÛÙÔÓ I. J. Schoenberg, Bull. A. M. S., vol. 44, 1938, pp. 519.) ÕÛÎËÛË 15. £ÂˆÚԇ̛̠· Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ Û˘Ó¯‹ Û˘Ó¿ÚÙËÛË f , ÔÚÈṲ̂ÓË ÛÙÔÓ R 1 . £ÂˆÚԇ̠›Û˘ ÙËÓ ·ÎÔÏÔ˘ı›· Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ { f n } (n = 1, 2, 3, . . . ), fiÔ˘ ÁÈ· Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi t Î·È ‰Â›ÎÙË n Â›Ó·È f n (t) = f (nt). M ÙËÓ ˘fiıÂÛË fiÙÈ Ë { f n } (n = 1, 2, 3, . . . ) Â›Ó·È ÈÛÔÛ˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ [0, 1], ÔÈÔ Û˘Ì¤Ú·ÛÌ· ÌÔÚ› Ó· ÂÍ·¯ı› ÁÈ· ÙËÓ f ; ÕÛÎËÛË 16. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ { f n } (n = 1, 2, 3, . . . ) Â›Ó·È Ì›· ÈÛÔÛ˘Ó¯‹˜ ·ÎÔÏÔ˘ı›· Û˘Ó·ÚÙ‹ÛˆÓ, ÔÚÈÛÌ¤ÓˆÓ Û ¤Ó·Ó Û˘Ì·Á‹ ¯ÒÚÔ K , Ë ÔÔ›· Â›Ó·È Û˘ÁÎÏ›ÓÔ˘Û· ηٿ ÛËÌÂ›Ô ÛÙÔ K . Aԉ›ÍÙ fiÙÈ Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ ÛÙÔ K.
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∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
ÕÛÎËÛË 17. ¢ÒÛÙ ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi Ù˘ ÔÌÔÈfiÌÔÚÊ˘ Û˘Ó¤¯ÂÈ·˜ Î·È Ù˘ ÈÛÔÛ˘Ó¤¯ÂÈ·˜ ÁÈ· ·ÂÈÎÔÓ›ÛÂȘ Ì ÙÈ̤˜ Û ÔÔÈÔÓ‰‹ÔÙ ÌÂÙÚÈÎfi ¯ÒÚÔ. ¢Â›ÍÙ fiÙÈ Ù· £ÂˆÚ‹Ì·Ù· 7.9 Î·È 7.12 ·Ú·Ì¤ÓÔ˘Ó ·ÏËı‹ ÁÈ· ·ÂÈÎÔÓ›ÛÂȘ Ì ÙÈ̤˜ Û ÔÔÈÔÓ‰‹ÔÙ ÌÂÙÚÈÎfi ¯ÒÚÔ, fiÙÈ Ù· £ÂˆÚ‹Ì·Ù· 7.8 Î·È 7.11 ·Ú·Ì¤ÓÔ˘Ó ·ÏËı‹ ÁÈ· ·ÂÈÎÔÓ›ÛÂȘ Ì ÙÈ̤˜ Û ÔÔÈÔÓ‰‹ÔÙ ϋÚË ÌÂÙÚÈÎfi ¯ÒÚÔ, Î·È fiÙÈ Ù· ıˆڋ̷ٷ 7.10, 7.16, 7.17, 7.24 Î·È 7.25 ·Ú·Ì¤ÓÔ˘Ó ·ÏËı‹ ÁÈ· ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈΤ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ, ‰ËÏ·‰‹ ÁÈ· ·ÂÈÎÔÓ›ÛÂȘ Ì ÙÈ̤˜ Û οÔÈÔÓ E˘ÎÏ›‰ÂÈÔ ¯ÒÚÔ R k . ÕÛÎËÛË 18. £ÂˆÚԇ̛̠· ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ ÊÚ·Á̤ÓË ·ÎÔÏÔ˘ı›· Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ { f n } (n = 1, 2, 3, . . . ), ÔÈ Ôԛ˜ Â›Ó·È Î·Ù¿ Riemann ÔÏÔÎÏËÚÒÛÈ̘ ÛÙÔ [a, b]. °È· οı x ∈ [a, b] Î·È ıÂÙÈÎfi ·Î¤Ú·ÈÔ ·ÚÈıÌfi n ı¤ÙÔ˘Ì x Fn (x) = f n (t)dt. a
Aԉ›ÍÙ fiÙÈ ˘¿Ú¯ÂÈ ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ Û˘ÁÎÏ›ÓÔ˘Û· ˘·ÎÔÏÔ˘ı›· {Fn k } (k = 1, 2, 3, . . . ) ÛÙÔ [a, b]. ÕÛÎËÛË 19. A˜ Â›Ó·È K ¤Ó·˜ Û˘Ì·Á‹˜ ÌÂÙÚÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ Î·È S ¤Ó· ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ C(K ). Aԉ›ÍÙ fiÙÈ ÙÔ S Â›Ó·È Û˘Ì·Á¤˜ (Û ۯ¤ÛË Ì ÙË ÌÂÙÚÈ΋ Ô˘ ÔÚ›˙ÂÙ·È ÛÙËÓ EÓfiÙËÙ· 7.14) Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ÙÔ S Â›Ó·È ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ ÎÏÂÈÛÙfi, ηٿ ÛËÌÂ›Ô ÊÚ·Á̤ÓÔ Î·È ÈÛÔÛ˘Ó¯¤˜.5 Yfi‰ÂÈÍË: E¿Ó ÙÔ S ‰ÂÓ Â›Ó·È ÈÛÔÛ˘Ó¯¤˜, ÙfiÙ ÙÔ S ÂÚȤ¯ÂÈ Ì›· ·ÎÔÏÔ˘ı›· Ë ÔÔ›· ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ ÈÛÔÛ˘Ó¯‹ ˘·ÎÔÏÔ˘ı›· Î·È ÂÔ̤ӈ˜ ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ Û˘ÁÎÏ›ÓÔ˘Û· ˘·ÎÔÏÔ˘ı›· ÛÙÔ K . ÕÛÎËÛË 20. E¿Ó f Â›Ó·È Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ Û˘Ó¯‹˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÛÙÔ [0, 1] Î·È Â¿Ó
1
f (x)x n d x = 0
(n = 0, 1, 2, . . . ),
0 5
™. Ù. M.: TÔ Û˘Ì¤Ú·ÛÌ· ·˘Ùfi ¤¯ÂÈ Ì›ÓÂÈ ÁÓˆÛÙfi ÛÙË ‚È‚ÏÈÔÁÚ·Ê›· ˆ˜ £ÂÒÚËÌ· ÙˆÓ Arzelà Î·È Ascoli. Cesare Arzelà (1847-1912). IÙ·Ïfi˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi˜. Giulio Ascoli (1843-1896). IÙ·Ïfi˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi˜.
AKO§OY£IE™ KAI ™EIPE™ ™YNAPTH™EøN 263
ÙfiÙ ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ f = 0. Yfi‰ÂÈÍË: TÔ ÔÏÔÎϋڈ̷ ÙÔ˘ ÁÈÓÔ̤ÓÔ˘ Ù˘ f Ì ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ÈÛÔ‡Ù·È Ì 0. XÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÙ ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Weierstrass ÁÈ· Ó· 1 ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ 0 f (x)2 d x = 0. ÕÛÎËÛË 21. A˜ Â›Ó·È K Ô ÌÔÓ·‰È·›Ô˜ ·ÎÏÔ˜ ÛÙÔ ÌÈÁ·‰ÈÎfi Â›Â‰Ô (‰ËÏ·‰‹ ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÌÈÁ·‰ÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ z Ì |z| = 1) Î·È A Ë ¿ÏÁ‚ڷ ÙˆÓ, ÔÚÈÛÌ¤ÓˆÓ ÛÙÔ K , Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ f Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ f (eiθ ) =
N
cn einθ (θ ∈ R 1 )
n=0
TfiÙÂ, Ë A ‰È·¯ˆÚ›˙ÂÈ Ù· ÛËÌ›· ÙÔ˘ K Î·È ‰ÂÓ ÌˉÂÓ›˙ÂÙ·È Û ηӤӷ ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ K . EÓÙÔ‡ÙÔȘ, ˘¿Ú¯Ô˘Ó Û˘Ó¯›˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ ÛÙÔÓ K Ô˘ ‰ÂÓ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÛÙËÓ ÔÌÔÈfiÌÔÚÊË ÎÏÂÈÛÙ‹ ı‹ÎË Ù˘ A. Yfi‰ÂÈÍË: °È· οı f ∈ A ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ
2π
f (eiθ )eiθ dθ = 0.
0
A˘Ùfi ·ÏËı‡ÂÈ Â›Û˘ ÁÈ· οı f Ô˘ ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙËÓ ÔÌÔÈfiÌÔÚÊË ÎÏÂÈÛÙ‹ ı‹ÎË Ù˘ A. ÕÛÎËÛË 22. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ α Â›Ó·È Ì›· ·‡ÍÔ˘Û· Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÛÙÔ [a, b]. E¿Ó f ∈ R(α) ÛÙÔ [0, 1], ÙfiÙ ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ ˘¿Ú¯ÂÈ ·ÎÔÏÔ˘ı›· ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ {Pn } (n = 1, 2, 3, . . . ) ÌÂ
b
lim
n→∞ a
| f − Pn |2 dα = 0.
(™˘ÁÎÚ›ÓÂÙ Ì ÙËÓ ÕÛÎËÛË 12 ÙÔ˘ KÂÊ·Ï·›Ô˘ 6.) ÕÛÎËÛË 23. £¤ÙÔ˘Ì P0 = 0 Î·È ÁÈ· n = 0, 1, 2, . . . ÔÚ›˙Ô˘Ì Pn+1 (x) = Pn (x) +
x 2 − Pn2 (x) 2
(x ∈ [−1, 1]).
264
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
Aԉ›ÍÙ fiÙÈ lim Pn (x) = |x|
n→∞
(x ∈ [−1, 1])
ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ ÛÙÔ [−1, 1]. (TÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· ·˘Ùfi ηıÈÛÙ¿ ‰˘Ó·Ù‹ ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ ÙˆÓ Stone Î·È Weierstrass ·ÓÂÍ·Úًو˜ ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 7.26.) Yfi‰ÂÈÍË: °È· x ∈ [−1, 1] Î·È n = 0, 1, 2, . . . ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÙ ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· |x| + Pn (x) |x| − Pn+1 (x) = [|x| − Pn (x)] 1 − 2 ÁÈ· Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ 0 ≤ Pn (x) ≤ Pn+1 (x) ≤ |x| Î·È fiÙÈ |x| n 2 |x| − Pn (x) ≤ |x| 1 − < . 2 n+1 ÕÛÎËÛË 24. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ X Â›Ó·È ¤Ó·˜ ÌÂÙÚÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ Ì ÌÂÙÚÈ΋ d. £ÂˆÚԇ̠¤Ó· ÛËÌÂ›Ô a ∈ X . ™Â οı p ∈ X ·ÓÙÈÛÙÔȯ›˙Ô˘Ì ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË f p , Ë ÔÔ›· ÔÚ›˙ÂÙ·È ÛÙÔÓ X ·fi ÙË Û¯¤ÛË f p (x) = d(x, p) − d(x, a)
(x ∈ X ).
Aԉ›ÍÙ fiÙÈ | f p (x)| ≤ d(a, p) ÁÈ· οı x ∈ X Î·È ÂÔ̤ӈ˜ f p ∈ C(X ). Aԉ›ÍÙ fiÙÈ f p − f q = d( p, q) ÁÈ· οı p, q ∈ X . E¿Ó Â›Ó·È Ë ·ÂÈÎfiÓÈÛË Ô˘ ÔÚ›˙ÂÙ·È ÛÙÔÓ X ·fi ÙË Û¯¤ÛË ( p) = f p ÁÈ· οı p ∈ X , ÙfiÙ ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ Â›Ó·È ÈÛÔÌÂÙÚ›· (‰ËÏ·‰‹ ·ÂÈÎfiÓÈÛË Ô˘ ‰È·ÙËÚ› ÙȘ ·ÔÛÙ¿ÛÂȘ) › ÙÔ˘ (X ) ⊂ C(X ). A˜ Â›Ó·È Y Ë ÎÏÂÈÛÙ‹ ı‹ÎË ÙÔ˘ (X ) ÛÙÔÓ C(X ). Aԉ›ÍÙ fiÙÈ Ô Y Â›Ó·È Ï‹Ú˘. ™˘ÓÂÒ˜, Ô X Â›Ó·È ÈÛÔÌÂÙÚÈÎfi˜ Ì ¤Ó· ˘ÎÓfi ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÂÓfi˜ Ï‹ÚÔ˘˜ ÌÂÙÚÈÎÔ‡ ¯ÒÚÔ˘. (™ÙËÓ ÕÛÎËÛË 24 ÙÔ˘ KÂÊ·Ï·›Ô˘ 3 ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙ÂÙ·È Ì›· ‰È·ÊÔÚÂÙÈ΋ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ ÁÂÁÔÓfiÙÔ˜ ·˘ÙÔ‡.)
AKO§OY£IE™ KAI ™EIPE™ ™YNAPTH™EøN 265
ÕÛÎËÛË 25. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ φ Â›Ó·È Ì›· Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ Û˘Ó¯‹˜ Î·È ÊÚ·Á̤ÓË Û˘Ó¿ÚÙËÛË, Ì ‰›Ô ÔÚÈÛÌÔ‡ ÙË ÏˆÚ›‰· ÙÔ˘ ÂȤ‰Ô˘ R Ô˘ ÔÚ›˙ÂÙ·È ˆ˜ ÂÍ‹˜: (x, y) ∈ R Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó 0 ≤ x ≤ 1, y ∈ R 1 . Aԉ›ÍÙ fiÙÈ ÙÔ Úfi‚ÏËÌ· ·Ú¯ÈÎÒÓ ÙÈÌÒÓ y = φ(x, y),
y(0) = c
(Ô c Â›Ó·È ÛÙ·ıÂÚfi˜ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜) ¤¯ÂÈ Ï‡ÛË. (™ËÌÂÈÒÓÔ˘Ì fiÙÈ ÔÈ ˘Ôı¤ÛÂȘ ·˘ÙÔ‡ ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ ˘¿Ú͈˜ Â›Ó·È ·ÛıÂÓ¤ÛÙÂÚ˜ ·fi ÙÔ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô ıÂÒÚËÌ· ÌÔÓ·‰ÈÎfiÙËÙ·˜. AÓ·ÙÚ¤ÍÙ ÛÙËÓ ÕÛÎËÛË 27 ÙÔ˘ KÂÊ·Ï·›Ô˘ 5.) Yfi‰ÂÈÍË: £ÂˆÚԇ̠¤Ó·Ó ıÂÙÈÎfi ·Î¤Ú·ÈÔ ·ÚÈıÌfi n. °È· i = 0, . . . , n ı¤ÙÔ˘Ì xi = i/n. A˜ Â›Ó·È f n Ì›· Û˘Ó¯‹˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÛÙÔ [0, 1] Ì f n (0) = c Î·È f n (t) = φ(xi , f n (xi )) Â¿Ó xi < t < xi+1 . £¤ÙÔ˘Ì n (t) = f n (t) − φ(t, f n (t)) fiÙ·Ó ÙÔ t ‰ÂÓ ÈÛÔ‡Ù·È Ì οÔÈÔ ·fi Ù· ÛËÌ›· x0 , . . . , xn Î·È n (t) = 0 fiÙ·Ó ÙÔ t ÈÛÔ‡Ù·È Ì οÔÈÔ xi (i = 0, . . . , n). TfiÙÂ, x [φ(t, f n (t)) + n (t)]dt (x ∈ [0, 1]). f n (x) = c + 0
£ÂˆÚԇ̠¤Ó·Ó Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi M Ì |φ| ≤ M. E·ÏËı‡ÛÙ ÙÔ˘˜ ·Ú·Î¿Ùˆ ÈÛ¯˘ÚÈÛÌÔ‡˜: (·) | f n | ≤ M, | n | ≤ 2M, n ∈ R ÛÙÔ [0, 1] Î·È | f n | ≤ |c| + M ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË n. (‚) H ·ÎÔÏÔ˘ı›· { f n } (n = 1, 2, 3, . . . ) Â›Ó·È ÈÛÔÛ˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ [0, 1], ÂÊfiÛÔÓ | f n | ≤ M ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË n. (Á) Y¿Ú¯ÂÈ ˘·ÎÔÏÔ˘ı›· { f n k } (k = 1, 2, 3, . . . ) Ô˘ Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ ÚÔ˜ Ì›· Û˘Ó¿ÚÙËÛË f ÛÙÔ [0, 1]. (‰) EÊfiÛÔÓ Ë φ Â›Ó·È ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ (x, y) Ì 0 ≤ x ≤ 1 Î·È |y| ≤ |c| + M, ¤ÂÙ·È fiÙÈ lim φ(t, f n k (t)) = φ(t, f (t))
k→∞
(t ∈ [0, 1])
266
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ ÛÙÔ [0, 1]. (Â) limn→∞ n = 0 ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ ÛÙÔ [0, 1], ÂÊfiÛÔÓ n (t) = φ(xi , f n (xi )) − φ(t, f n (t)) ÁÈ· οı t ∈ (xi , xi+1 ), οı ‰Â›ÎÙË n Î·È i = 0, . . . , n. (ÛÙ) ™˘ÓÂÒ˜, x φ(t, f (t))dt (x ∈ [0, 1]). f (x) = c + 0
H Û˘Ó¿ÚÙËÛË ·˘Ù‹ Â›Ó·È Ë Ï‡ÛË ÙÔ˘ ÚÔ‚Ï‹Ì·ÙÔ˜. ÕÛÎËÛË 26. Aԉ›ÍÙ ¤Ó· ·Ó¿ÏÔÁÔ ıÂÒÚËÌ· ˘¿Ú͈˜ ÁÈ· ÙÔ ·Ú¯ÈÎfi Úfi‚ÏËÌ· ÙÈÌÒÓ y (x) = (x, y(x)), y(0) = c, fiÔ˘ c ∈ R k , y Â›Ó·È Ì›· ·ÂÈÎfiÓÈÛË ·fi ÙÔ [0, 1] ÛÙÔÓ R k , Â›Ó·È Ì›· ·ÂÈÎfiÓÈÛË ÔÚÈṲ̂ÓË ÛÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ (x, z) ÙÔ˘ R k+1 Ì 0 ≤ x ≤ 1 Î·È z ∈ R k , Ì ÙÈ̤˜ ÛÙÔÓ R k . (™˘ÁÎÚ›ÓÂÙ Ì ÙËÓ ÕÛÎËÛË 28 ÙÔ˘ KÂÊ·Ï·›Ô˘ 5.) Yfi‰ÂÈÍË: XÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÙ ÙËÓ ÂΉԯ‹ ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 7.25 ÁÈ· ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈΤ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ.
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 8
OPI™MENE™ EI¢IKOY TY¶OY ™YNAPTH™EI™
¢YNAMO™EIPE™
™Â ·˘Ù‹Ó ÙËÓ ÂÓfiÙËÙ· ı· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì ÔÚÈṲ̂Ó˜ ȉÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ Ô˘ ·Ó··ÚÈÛÙÒÓÙ·È ·fi ‰˘Ó·ÌÔÛÂÈÚ¿, ‰ËÏ·‰‹ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ f Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ f (x) =
∞ n=0
cn x n
(1)
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∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
‹ ÁÂÓÈÎfiÙÂÚ· f (x) =
∞
cn (x − a)n ,
(2)
n=0
fiÔ˘ a Â›Ó·È ÛÙ·ıÂÚfi˜ ·ÚÈıÌfi˜, ÁÈ· οı x ÛÙÔ Â‰›Ô ÔÚÈÛÌÔ‡ Ù˘ f . OÈ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ ·˘Ù‹˜ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ·Ó·Ï˘ÙÈΤ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ. £· ÂÚÈÔÚÈÛÙԇ̠۠ڷÁÌ·ÙÈΤ˜ ÙÈ̤˜ Ù˘ ÌÂÙ·‚ÏËÙ‹˜. ™˘ÓÂÒ˜, ·ÓÙ› ÁÈ· ·ÎÏÔ˘˜ Û˘ÁÎϛۈ˜ (·Ó·ÙÚ¤ÍÙ ÛÙÔ £ÂÒÚËÌ· 3.39) ı· ÂÚÁ·˙fiÌ·ÛÙ Ì ‰È·ÛÙ‹Ì·Ù· Û˘ÁÎϛۈ˜. §¤ÁÂÙ·È fiÙÈ Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË f ·Ó·Ù‡ÛÛÂÙ·È Û ‰˘Ó·ÌÔÛÂÈÚ¿ Á‡Úˆ ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô x = 0 Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó Ë (1) Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÁÈ· οı x ∈ (−R, R), ÁÈ· οÔÈÔ R > 0 (ÂÚÈÏ·Ì‚·ÓfiÌÂÓ˘ Î·È Ù˘ ÂÚÈÙÒÛˆ˜ R = +∞). ¶·ÚÔÌÔ›ˆ˜, ϤÁÂÙ·È fiÙÈ Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË f ·Ó·Ù‡ÛÛÂÙ·È Û ‰˘Ó·ÌÔÛÂÈÚ¿ Á‡Úˆ ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô x = a Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó Ë (2) Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÁÈ· οı ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi x Ì |x − a| < R. °È· ÏfiÁÔ˘˜ ·ÏÔ˘ÛÙ‡Ûˆ˜, ı· Ï·Ì‚¿ÓÔ˘ÌÂ Û˘Ó‹ıˆ˜ a = 0, ‰›¯ˆ˜ Ó· ‚Ï¿ÙÂÙ·È Ë ÁÂÓÈÎfiÙËÙ·. £ÂÒÚËÌ· 8.1. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ Ë ÛÂÈÚ¿ ∞
cn x n
(3)
n=0
Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÁÈ· οı ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi x Ì |x| < R. Û˘Ó¿ÚÙËÛË f ̤ۈ Ù˘ Û¯¤Ûˆ˜ f (x) =
∞
cn x n
(|x| < R).
OÚ›˙Ô˘Ì ÙË
(4)
n=0
TfiÙÂ, ÁÈ· ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ε > 0 Ë ‰˘Ó·ÌÔÛÂÈÚ¿ (3) Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ ÛÙÔ [−R + ε, R − ε]. H Û˘Ó¿ÚÙËÛË f Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ Î·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË ÛÙÔ (−R, R) ÌÂ
f (x) =
∞ n=1
ncn x n−1
(|x| < R).
(5)
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Afi‰ÂÈÍË. A˜ Â›Ó·È ε > 0. °È· οı ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi x Ì |x| ≤ R − ε ¤¯Ô˘Ì fiÙÈ |cn x n | ≤ |cn (R − ε)n | (n = 1, 2, 3, . . . ). EÊfiÛÔÓ Ë ÛÂÈÚ¿
∞
cn (R − ε)n
n=0
Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ·Ôχو˜ (οı ‰˘Ó·ÌÔÛÂÈÚ¿ Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ·Ôχو˜ ÛÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÙÔ˘ ‰È·ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ Û˘ÁÎÏ›ÛÂÒ˜ Ù˘, Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ Ù˘ Ú›˙·˜), ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 7.10 Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ ÙËÓ ÔÌÔÈfiÌÔÚÊË Û‡ÁÎÏÈÛË Ù˘ ‰˘Ó·ÌÔÛÂÈÚ¿˜ (3) ÛÙÔ [−R + ε, R − ε]. √ EÊfiÛÔÓ limn→∞ n n = 1, ¤¯Ô˘Ì fiÙÈ lim sup n→∞
n
n|cn | = lim sup n→∞
n
|cn |.
EÔ̤ӈ˜, ÔÈ ÛÂÈÚ¤˜ (4) Î·È (5) ¤¯Ô˘Ó ÙÔ ›‰ÈÔ ‰È¿ÛÙËÌ· Û˘ÁÎϛۈ˜. H (5), ˆ˜ ‰˘Ó·ÌÔÛÂÈÚ¿, Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ ÛÙÔ [−R + ε, R − ε] ÁÈ· οı ε > 0. EÔ̤ӈ˜, ÌÔÚԇ̠ӷ ÂÊ·ÚÌfiÛÔ˘Ì ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 7.17 (ÁÈ· ÛÂÈÚ¤˜ ·ÓÙ› ÁÈ· ·ÎÔÏÔ˘ı›Â˜). ÕÚ·, ¤ÂÙ·È fiÙÈ Ë (5) ÈÛ¯‡ÂÈ ÁÈ· οı ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi x Ì |x| ≤ R − ε. ŸÌˆ˜, ÁÈ· οı ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi x Ì |x| < R ˘¿Ú¯ÂÈ ε > 0 Ì |x| ≤ R − ε. A˘Ùfi Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ Ë (5) ÈÛ¯‡ÂÈ ÁÈ· οı ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi x Ì |x| < R. H Û˘Ó¤¯ÂÈ· Ù˘ f Â›Ó·È ÚÔ·ÙÂÈ ·Ì¤Ûˆ˜ ·fi ÙËÓ ·Ú·ÁˆÁÈÛÈÌfiÙËÙ¿ Ù˘ (£ÂÒÚËÌ· 5.2). ¶fiÚÈÛÌ·. Yfi ÙȘ Û˘Óı‹Î˜ ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 8.1, Ë f ¤¯ÂÈ ·Ú·ÁÒÁÔ˘˜ οı ٿ͈˜ ÛÙÔ (−R, R), ÔÈ Ôԛ˜ ‰›‰ÔÓÙ·È ·fi ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· f
(k)
(x) =
∞
n(n − 1) · · · (n − k + 1)cn x n−k
(|x| < R)
(6)
n=k
ÁÈ· οı k = 0, 1, 2, . . . . I‰È·ÈÙ¤Úˆ˜, ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ f (k) (0) = k!ck
(k = 0, 1, 2, . . . ).
(7)
270
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
(M f (0) ÂÓÓÔÂ›Ù·È Ë f Î·È ÁÈ· k = 1, 2, 3, . . . f (k) Â›Ó·È Ë k ٿ͈˜ ·Ú¿ÁˆÁÔ˜ Ù˘ f .) Afi‰ÂÈÍË. H ÈÛfiÙËÙ· (6) ÚÔ·ÙÂÈ Â¿Ó ÂÊ·ÚÌfiÛÔ˘Ì ‰È·‰Ô¯Èο ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 8.1 ÛÙȘ f, f , f , . . . . £¤ÙÔÓÙ·˜ x = 0 ÛÙËÓ (6) Ï·Ì‚¿ÓÔ˘Ì ÙËÓ (7). H ÈÛfiÙËÙ· (7) ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙ÂÈ ÌÂÁ¿ÏÔ ÂӉȷʤÚÔÓ. AÊÂÓfi˜, Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ ÔÈ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ¤˜ ÙÔ˘ ·Ó·Ù‡ÁÌ·ÙÔ˜ Û ‰˘Ó·ÌÔÛÂÈÚ¿ Ù˘ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜ f ηıÔÚ›˙ÔÓÙ·È ·fi ÙËÓ ÙÈÌ‹ Ù˘ f Î·È ÙˆÓ ·Ú·ÁÒÁˆÓ Û ¤Ó· ÌfiÓÔ ÛËÌ›Ô. AÊÂÙ¤ÚÔ˘, Â¿Ó ‰›‰ÔÓÙ·È ÔÈ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ¤˜ Ù˘ ‰˘Ó·ÌÔÛÂÈÚ¿˜, ÙfiÙ ÔÈ ÙÈ̤˜ ÙˆÓ ·Ú·ÁÒÁˆÓ Ù˘ f ÛÙÔ Î¤ÓÙÚÔ ÙÔ˘ ‰È·ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ Û˘ÁÎϛۈ˜ ˘ÔÏÔÁ›˙ÔÓÙ·È ·Ì¤Ûˆ˜. ¶·Ú' fiÏ· ·˘Ù¿, ÛËÌÂÈÒÛÙ fiÙÈ ÌÔÚ› Ì›· Û˘Ó¿ÚÙËÛË f Ó· ¤¯ÂÈ ·Ú· n ÁÒÁÔ˘˜ οı ٿ͈˜, ‰›¯ˆ˜ Ë ÛÂÈÚ¿ ∞ n=0 cn x , fiÔ˘ ÔÈ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ¤˜ ‰›‰ÔÓÙ·È ·fi ÙËÓ (7), Ó· Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÚÔ˜ ÙËÓ ÙÈÌ‹ f (x) ÁÈ· ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ x Ì x = 0. ™Â ·˘Ù‹Ó ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË, Ë f ‰ÂÓ ÌÔÚ› Ó· ·Ó·Ù˘¯ı› Û ‰˘Ó·ÌÔÛÂÈÚ¿ Á‡Úˆ ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô x = 0. ¢ÈfiÙÈ Â¿Ó ˘‹Ú¯·Ó Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ¤˜ a0 , a1 , a2 , . . . Ì f (x) = an x n ÁÈ· οı x Ô˘ ·Ó‹ÎÂÈ Û ¤Ó· ηٿÏÏËÏÔ ‰È¿ÛÙËÌ·, ÙfiÙ ı· ›Û¯˘Â fiÙÈ n!an = f (n) (0)
(n = 0, 1, 2, . . . )
Î·È Û˘ÓÂÒ˜ an = cn (n = 0, 1, 2, . . . ). ŒÓ· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ·˘Ù‹˜ Ù˘ ηٷÛÙ¿Ûˆ˜ ‰›‰ÂÙ·È ÛÙËÓ ÕÛÎËÛË 1. E¿Ó Ë ÛÂÈÚ¿ (3) Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ Û ¤Ó· ·ÎÚ·›Ô ÛËÌ›Ô, ¤ÛÙˆ ÙÔ x = R, ÙfiÙÂ Ë f Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ fi¯È ÌfiÓÔ ÛÙÔ (−R, R), ·ÏÏ¿ Î·È ÛÙÔ x = R. A˘Ùfi ¤ÂÙ·È ·fi ÙÔ ·Ú·Î¿Ùˆ ıÂÒÚËÌ·, ÙÔ ÔÔ›Ô ÔÊ›ÏÂÙ·È ÛÙÔÓ Abel (ÁÈ· ÏfiÁÔ˘˜ ·ÏÔ˘ÛÙ‡Ûˆ˜, Ï·Ì‚¿ÓÔ˘Ì R = 1): £ÂÒÚËÌ· 8.2. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ Ë ÛÂÈÚ¿ f (x) =
∞ n=0
cn x n
∞
n=0 cn
Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ. £¤ÙÔ˘ÌÂ
(−1 < x < 1).
OPI™MENE™ EI¢IKOY TY¶OY ™YNAPTH™EI™ 271
TfiÙÂ, lim f (x) =
x→1
∞
cn .
(8)
n=0
Afi‰ÂÈÍË. °È· n = 0, 1, 2, . . . ı¤ÙÔ˘Ì sn = c0 + · · · + cn Î·È Â›Û˘ ı¤ÙÔ˘Ì s−1 = 0. TfiÙÂ, ÁÈ· οı ıÂÙÈÎfi ·Î¤Ú·ÈÔ ·ÚÈıÌfi m Î·È Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi x Ì |x| < 1 ¤¯Ô˘Ì fiÙÈ m n=0
m m−1 n cn x = (sn − sn−1 )x = (1 − x) sn x n + sm x m . n
n=0
n=0
£ÂˆÚԇ̠x Ì |x| < 1. §·Ì‚¿ÓÔÓÙ·˜ m → ∞ ·ÔÎÙԇ̠fiÙÈ f (x) = (1 − x)
∞
sn x n .
(9)
n=0
YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ s = limn→∞ sn . A˜ Â›Ó·È ε > 0. EÈϤÁÔ˘Ì ıÂÙÈÎfi ·Î¤Ú·ÈÔ ·ÚÈıÌfi N Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙÂ Â¿Ó n > N , ÙfiÙ ε |s − sn | < . 2 EÊfiÛÔÓ (1 − x)
∞
xn = 1
(|x| < 1),
n=0
·fi ÙËÓ (9) Ï·Ì‚¿ÓÔ˘Ì fiÙÈ ∞ N ε | f (x) − s| = (1 − x) (sn − s)x n ≤ (1 − x) |sn − s||x|n + ≤ ε 2 n=0 n=0 Â¿Ó x > 1 − δ ÁÈ· οÔÈÔ Î·Ù·Ïϋψ˜ ÂÈÏÂÁ̤ÓÔ δ > 0. A˘Ùfi Û˘Ó¿ÁÂÙ·È ÙËÓ (8). ø˜ ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ ÙÔ˘ ·Ú·¿Óˆ ıˆڋ̷ÙÔ˜, ı· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 3.51: ∞ ∞ ∞ E¿Ó ÔÈ ÛÂÈÚ¤˜ n=0 an , n=0 bn , n=0 cn Û˘ÁÎÏ›ÓÔ˘Ó ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜ ÚÔ˜ Ù· A, B, C Î·È Â¿Ó cn = a0 bn + · · · + an b0 ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË n, ÙfiÙ C = AB.
272
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
°È· x ∈ [0, 1] ı¤ÙÔ˘Ì f (x) =
∞
an x n ,
g(x) =
n=0
∞
bn x n ,
h(x) =
n=0
∞
cn x n .
n=0
°È· x ∈ [0, 1) ÔÈ ÛÂÈÚ¤˜ ·˘Ù¤˜ Û˘ÁÎÏ›ÓÔ˘Ó ·Ôχو˜ Î·È Û˘ÓÂÒ˜ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛıÔ‡Ó fiÚÔ ÚÔ˜ fiÚÔ, Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔÓ OÚÈÛÌfi 3.48. EÎÙÂÏÒÓÙ·˜ ÙÔÓ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì fiÙÈ f (x)g(x) = h(x)
(0 ≤ x < 1).
(10)
B¿ÛÂÈ ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 8.2, ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ f (x) → A,
g(x) → B,
h(x) → C
(11)
ηıÒ˜ x → 1. OÈ ÂÍÈÛÒÛÂȘ (10) Î·È (11) Ê·ÓÂÚÒÓÔ˘Ó fiÙÈ AB = C. °È· ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ·, ı· ¯ÚÂÈ·Ûıԇ̠¤Ó· ıÂÒÚËÌ· Û¯ÂÙÈÎfi Ì ÙËÓ ÂÓ·ÏÏ·Á‹ Ù˘ ÛÂÈÚ¿˜ ·ıÚÔ›Ûˆ˜. (AÓ·ÙÚ¤ÍÙ ÛÙȘ AÛ΋ÛÂȘ 2 Î·È 3.) £ÂÒÚËÌ· 8.3. £ÂˆÚԇ̛̠· ‰ÈÏ‹ ·ÎÔÏÔ˘ı›· {ai j } (i, j = 1, 2, 3, . . . ) Î·È ˘Ôı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ ∞
|ai j | = bi
(i = 1, 2, 3, . . . )
(12)
j=1
Î·È fiÙÈ Ë
∞
i=1 bi
Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ. TfiÙÂ, ∞ ∞
ai j =
i=1 j=1
∞ ∞
ai j .
(13)
j=1 i=1
Afi‰ÂÈÍË. MÔÚԇ̠ӷ ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì ÙËÓ (13) Ì ̛· ‰È·‰Èηۛ· ·ÚfiÌÔÈ· (·Ó Î·È ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔ ÂÚ›ÏÔÎË) Ì ·˘Ù‹Ó ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 3.55. ¶·Ú' fiÏ· ·˘Ù¿, Ë ·ÎfiÏÔ˘ıË ·fi‰ÂÈÍË Â›Ó·È Ì¿ÏÏÔÓ ÈÔ ÂӉȷʤÚÔ˘Û·. £ÂˆÚԇ̠¤Ó· ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌÔ Û‡ÓÔÏÔ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ E, ·ÔÙÂÏÔ‡ÌÂÓÔ ·fi Ù· ÛËÌ›· x0 , x1 , x2 , . . . , Î·È ˘Ôı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ xn → x0 ηıÒ˜ n → ∞. OÚ›˙Ô˘Ì f i (x0 ) =
∞ j=1
ai j
(i = 1, 2, 3, . . . ),
(14)
OPI™MENE™ EI¢IKOY TY¶OY ™YNAPTH™EI™ 273
f i (xn ) =
n
(i, n = 1, 2, 3, . . . ),
ai j
(15)
j=1
g(x) =
∞
f i (x)
(x ∈ E).
(16)
i=1
OÈ (14) Î·È (15), ÛÂ Û˘Ó‰˘·ÛÌfi Ì ÙËÓ (12), Ê·ÓÂÚÒÓÔ˘Ó fiÙÈ ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË i Ë f i Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ x0 . EÊfiÛÔÓ | f i (x)| ≤ bi ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË i Î·È x ∈ E, Ë (16) Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ Î·È ÂÔ̤ӈ˜ Ë g Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ x0 (£ÂÒÚËÌ· 7.11). ™˘ÓÂÒ˜, ¤ÂÙ·È fiÙÈ ∞ ∞ i=1 j=1
ai j =
∞
f i (x0 ) = g(x0 ) = lim g(xn ) n→∞
i=1
= lim
n→∞
= lim
n→∞
∞
f i (xn ) = lim
i=1 n ∞
n ∞
n→∞
ai j =
j=1 i=1
ai j
i=1 j=1 ∞ ∞
ai j .
j=1 i=1
£ÂÒÚËÌ· 8.4. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ f (x) =
∞
cn x n ,
n=0
fiÔ˘ Ë ÛÂÈÚ¿ Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÁÈ· οı ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi x Ì |x| < R. E¿Ó −R < a < R, ÙfiÙÂ Ë f ÌÔÚ› Ó· ·Ó·Ù˘¯ı› Û ‰˘Ó·ÌÔÛÂÈÚ¿ Á‡Úˆ ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô x = a, Ë ÔÔ›· Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÁÈ· οı ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi x Ì |x − a| < R − |a|. EÈϤÔÓ, ∞ f (n) (a) f (x) = (x − a)n n! n=0
(|x − a| < R − |a|).
(17)
TÔ ·Ú·¿Óˆ ıÂÒÚËÌ· ·ÔÙÂÏ› ¤ÎÙ·ÛË ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 5.15 Î·È Â›Ó·È Â›Û˘ ÁÓˆÛÙfi ˆ˜ ıÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Taylor.
274
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
Afi‰ÂÈÍË. °È· οı ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi x Ì |x − a| < R − |a| ¤¯Ô˘Ì f (x) =
∞
cn [(x − a) + a]n
n=0
n n n−m a = cn (x − a)m m n=0 m=0 # $ ∞ ∞ n n−m cn a (x − a)m . = m m=0 n=m ∞
A˘Ù‹ Â›Ó·È Ë ÂÈı˘ÌËÙ‹ ·Ó¿Ù˘ÍË Á‡Úˆ ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô x = a. °È· ÙËÓ ÈÛ¯‡ Ù˘, Ú¤ÂÈ Ó· ‰ÈηÈÔÏÔÁ‹ÛÔ˘Ì ÙËÓ ÂÓ·ÏÏ·Á‹ ÛÙË ÛÂÈÚ¿ ·ıÚÔ›Ûˆ˜. TÔ £ÂÒÚËÌ· 8.3 Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ ·˘Ùfi Â›Ó·È ÂÈÙÚÂÙfi Â¿Ó Ë ÛÂÈÚ¿ ∞ n cn n a n−m (x − a)m (18) m n=0 m=0 Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ. ŸÌˆ˜, Ë (18) Ù·˘Ù›˙ÂÙ·È Ì ÙËÓ ∞
|cn |(|x − a| + |a|)n
(19)
n=0
Î·È Ë (19) Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ Â¿Ó |x − a| + |a| < R. H ÌÔÚÊ‹ ÙˆÓ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙÒÓ Ù˘ (17) ÚÔ·ÙÂÈ ·fi ÙËÓ (7). ™ËÌÂÈÒÓÔ˘Ì fiÙÈ Ë (17) ÌÔÚ› Ó· Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ Û ‰È¿ÛÙËÌ· ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ ·fi ·˘Ùfi ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ x Ì |x − a| < R − |a|. E¿Ó ‰‡Ô ‰˘Ó·ÌÔÛÂÈÚ¤˜ Û˘ÁÎÏ›ÓÔ˘Ó ÚÔ˜ ÙËÓ ›‰È· Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÛÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· (−R, R), ÙfiÙÂ Ë (7) Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ ÔÈ ‰‡Ô ‰˘Ó·ÌÔÛÂÈÚ¤˜ Ú¤ÂÈ Ó· ¤¯Ô˘Ó ÙÔ˘˜ ›‰ÈÔ˘˜ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ¤˜. E›Ó·È ÂӉȷʤÚÔÓ ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ ÙÔ ›‰ÈÔ Û˘Ì¤Ú·ÛÌ· ÌÔÚ› Ó· ·Ô‰Âȯı› Ì Ôχ ·ÛıÂÓ¤ÛÙÂÚ˜ Û˘Óı‹Î˜. ∞ ∞ n n Û˘£ÂÒÚËÌ· 8.5. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ ÔÈ ÛÂÈÚ¤˜ n=0 an x , n=0 bn x ÁÎÏ›ÓÔ˘Ó ÛÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· S = (−R, R). A˜ Â›Ó·È E ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ x ∈ S Ì ∞ n=0
an x = n
∞ n=0
bn x n .
(20)
OPI™MENE™ EI¢IKOY TY¶OY ™YNAPTH™EI™ 275
E¿Ó ÙÔ E ¤¯ÂÈ ÔÚÈ·Îfi ÛËÌÂ›Ô ÛÙÔ S, ÙfiÙ ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ an = bn ÁÈ· οı n = 0, 1, 2, . . . . ™˘ÓÂÒ˜, Û ·˘Ù‹Ó ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË, Ë (2) ÈÛ¯‡ÂÈ ÁÈ· οı x ∈ S. Afi‰ÂÈÍË. °È· n = 0, 1, 2, . . . ı¤ÙÔ˘Ì cn = an − bn . E›Û˘, ı¤ÙÔ˘Ì f (x) =
∞
cn x n
(x ∈ S).
(21)
n=0
TfiÙÂ, f (x) = 0 ÁÈ· οı x ∈ E. £ÂˆÚԇ̠ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ A ÙˆÓ ÔÚÈ·ÎÒÓ ÛËÌ›ˆÓ ÙÔ˘ E ÛÙÔ S Î·È B ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ fiÏˆÓ ÙˆÓ ˘ÔÏÔ›ˆÓ ÛËÌ›ˆÓ ÙÔ˘ S. EÍ ÔÚÈÛÌÔ‡ ÙÔ˘ ÔÚÈ·ÎÔ‡ ÛËÌ›Ԣ, Â›Ó·È Û·Ê¤˜ fiÙÈ ÙÔ B Â›Ó·È ·ÓÔÈÎÙfi. A˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ ÌÔÚԇ̠ӷ ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ Î·È ÙÔ A Â›Ó·È ·ÓÔÈÎÙfi. TfiÙÂ, Ù· A Î·È B Â›Ó·È ·ÔÛ˘Ó‰ÂÙ¿ ·ÓÔÈÎÙ¿ Û‡ÓÔÏ·. ™˘ÓÂÒ˜, Â›Ó·È ‰È·¯ˆÚÈṲ̂ӷ (OÚÈÛÌfi˜ 2.45). EÊfiÛÔÓ S = A ∪ B Î·È ÙÔ S Â›Ó·È Û˘ÓÂÎÙÈÎfi, οÔÈÔ ·fi Ù· A Î·È B Ú¤ÂÈ Ó· Â›Ó·È ÎÂÓfi. ™‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ ˘fiıÂÛË, ÙÔ A ‰ÂÓ Â›Ó·È ÎÂÓfi. ÕÚ·, ÙÔ B Â›Ó·È ÎÂÓfi, ÁÂÁÔÓfi˜ Ô˘ Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ A = S. EÊfiÛÔÓ Ë f Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ S, ¤¯Ô˘Ì fiÙÈ A ⊂ E. K·Ù¿ Û˘Ó¤ÂÈ·, E = S Î·È Ë (7) Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ cn = 0 ÁÈ· οı n = 0, 1, 2, . . . , ÙÔ ÔÔ›Ô Â›Ó·È Î·È ÙÔ ˙ËÙÔ‡ÌÂÓÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ·. ™˘ÓÂÒ˜, ·ÚΛ Ó· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ A Â›Ó·È ·ÓÔÈÎÙfi. £ÂˆÚԇ̠ÏÔÈfiÓ x0 ∈ A. TfiÙÂ, ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 8.4 Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ ˘¿Ú¯Ô˘Ó d0 , d1 , d2 , . . . Ì f (x) =
∞
dn (x − x0 )n
(|x − x0 | < R − |x0 |).
(22)
n=0
IÛ¯˘ÚÈ˙fiÌ·ÛÙ fiÙÈ dn = 0 ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË n. A˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ ‰ÂÓ ÈÛ¯‡ÂÈ ·˘Ùfi. TfiÙÂ, ıˆÚԇ̠ÙÔÓ ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ÌË ·ÚÓËÙÈÎfi ·Î¤Ú·ÈÔ ·ÚÈıÌfi k Ì dk = 0. ™˘ÓÂÒ˜, f (x) = (x − x0 )k g(x)
(|x − x0 | < R − |x0 |),
(23)
fiÔ˘ g(x) =
∞ m=0
dk+m (x − x0 )m
(|x − x0 | < R − |x0 |).
(24)
276
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
EÊfiÛÔÓ Ë g Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ x0 Î·È g(x0 ) = dk = 0, ˘¿Ú¯ÂÈ δ > 0 Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ g(x) = 0 ÁÈ· οı x ∈ S Ì |x − x0 | < δ. Afi ÙËÓ (23) ¤ÂÙ·È fiÙÈ f (x) = 0 ÁÈ· οı x ∈ S Ì 0 < |x − x0 | < δ. ŸÌˆ˜, ·˘Ùfi ·ÓÙ›ÎÂÈÙ·È ÛÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ ÙÔ x0 Â›Ó·È ÔÚÈ·Îfi ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ E. ™˘ÓÂÒ˜, dn = 0 ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË n. EÔ̤ӈ˜ f (x) = 0 ÁÈ· οı ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi x ÁÈ· ÙÔÓ ÔÔ›ÔÓ ÈÛ¯‡ÂÈ Ë (22), ‰ËÏ·‰‹ Û ̛· ÂÚÈÔ¯‹ ÙÔ˘ x0 . A˘Ùfi Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ ÙÔ A Â›Ó·È fiÓÙˆ˜ ·ÓÔÈÎÙfi.
H EK£ETIKH KAI H §O°API£MIKH ™YNAPTH™H £ÂˆÚԇ̠ÙË ÛÂÈÚ¿ E(z) =
∞ n z n=0
n!
(z ÌÈÁ·‰ÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜).
(25)
TÔ ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ ÙÔ˘ ÏfiÁÔ˘ Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ Ë ÛÂÈÚ¿ Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÁÈ· οı ÌÈÁ·‰ÈÎfi ·ÚÈıÌfi z. EÊ·ÚÌfi˙ÔÓÙ·˜ ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 3.50 ÁÈ· ÙÔÓ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi ·Ôχو˜ Û˘ÁÎÏÈÓÔ˘ÛÒÓ ÛÂÈÚÒÓ, Ï·Ì‚¿ÓÔ˘Ì fiÙÈ ∞ n ∞ n z ∞ wm z k w n−k E(z)E(w) = = n! m=0 m! k!(n − k)! n=0 n=0 k=0 ∞ n ∞ n k n−k 1 (z + w)n . z w = = n! k=0 k n! n=0 n=0
™˘ÓÂÒ˜, ÚÔ·ÙÂÈ Ô ·ÎfiÏÔ˘ıÔ˜ ÛËÌ·ÓÙÈÎfi˜ ÚÔÛıÂÙÈÎfi˜ Ù‡Ô˜ E(z + w) = E(z)E(w)
(z, w ÌÈÁ·‰ÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›).
(26)
M›· Û˘Ó¤ÂÈ· ·˘ÙÔ‡ ÙÔ˘ Ù‡Ô˘ ·ÔÙÂÏ› Ë ÈÛfiÙËÙ· E(z)E(−z) = E(z − z) = E(0) = 1
(z ÌÈÁ·‰ÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜).
(27)
OPI™MENE™ EI¢IKOY TY¶OY ™YNAPTH™EI™ 277
A˘Ù‹ Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ E(z) = 0 ÁÈ· οı ÌÈÁ·‰ÈÎfi ·ÚÈıÌfi z. Afi ÙËÓ (25) Ï·Ì‚¿ÓÔ˘Ì fiÙÈ E(x) > 0 ÁÈ· οı ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi x Ì x > 0. ™˘ÓÂÒ˜, Ë (27) Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ E(x) > 0 ÁÈ· οı ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi x. H (25) ¯ÔÚËÁ› fiÙÈ E(x) → +∞ ηıÒ˜ x → +∞. ÕÚ·, ·fi ÙËÓ (27) Û˘Ó¿ÁÔ˘Ì fiÙÈ E(x) → 0 ηıÒ˜ x → −∞. §fiÁˆ Ù˘ (25) ¤¯Ô˘Ì fiÙÈ Â¿Ó 0 < x < y, ÙfiÙ E(x) < E(y). Afi ÙËÓ (27) ¤ÂÙ·È fiÙÈ E(−y) < E(−x). K·Ù¿ Û˘Ó¤ÂÈ·, Ë E Â›Ó·È ÁÓËÛ›ˆ˜ ·‡ÍÔ˘Û· Û fiÏË ÙËÓ Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ ¢ı›·. O ÚÔÛıÂÙÈÎfi˜ Ù‡Ô˜ Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ Â›Û˘ fiÙÈ lim
h→0
E(z + h) − E(z) E(h) − 1 = E(z) lim = E(z) h→0 h h
(28)
ÁÈ· οı ÌÈÁ·‰ÈÎfi ·ÚÈıÌfi z. H ÙÂÏÂ˘Ù·›· ÈÛfiÙËÙ· ÚÔ·ÙÂÈ ·Ì¤Ûˆ˜ ·fi ÙËÓ (25). M ·ÓÂÈÏËÌ̤ÓË ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ Ù˘ (26) Ï·Ì‚¿ÓÔ˘Ì fiÙÈ E(z 1 + · · · + z n ) = E(z 1 ) · · · E(z n )
(29)
ÁÈ· ÔÔÈÔ˘Û‰‹ÔÙ ÌÈÁ·‰ÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ z 1 , . . . , z n . A˜ ı¤ÛÔ˘Ì z 1 = · · · = z n = 1. EÊfiÛÔÓ E(1) = e, fiÔ˘ e Â›Ó·È Ô ·ÚÈıÌfi˜ Ô˘ ÔÚ›˙ÂÙ·È ÛÙÔÓ OÚÈÛÌfi 3.30, Ï·Ì‚¿ÓÔ˘Ì fiÙÈ E(n) = en
(n = 1, 2, 3, . . . ).
(30)
E¿Ó p = n/m, fiÔ˘ n, m Â›Ó·È ıÂÙÈÎÔ› ·Î¤Ú·ÈÔÈ ·ÚÈıÌÔ›, ÙfiÙ [E( p)]m = E(mp) = E(n) = en
(31)
Î·È ÂÔ̤ӈ˜ E( p) = e p
( p ıÂÙÈÎfi˜ ÚËÙfi˜ ·ÚÈıÌfi˜).
(32)
Afi ÙËÓ (27) ¤¯Ô˘Ì fiÙÈ E(− p) = e− p ÁÈ· οı ıÂÙÈÎfi ÚËÙfi ·ÚÈıÌfi p. ™˘ÓÂÒ˜, Ë (32) ÈÛ¯‡ÂÈ ÁÈ· οı ÚËÙfi ·ÚÈıÌfi p. ™ÙËÓ ÕÛÎËÛË 6 ÙÔ˘ KÂÊ·Ï·›Ô˘ 1 ›¯·Ì ÚÔÙ›ÓÂÈ ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi x y = sup x p
(33)
278
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
ÁÈ· ÔÔÈÔ˘Û‰‹ÔÙ ڷÁÌ·ÙÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ y Î·È x Ì x > 1, fiÔ˘ ÙÔ ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ ¿Óˆ ÊÚ¿ÁÌ· Ï·Ì‚¿ÓÂÙ·È ˘ÂÚ¿Óˆ fiÏˆÓ ÙˆÓ ÚËÙÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ p Ì p < y. K·Ù¿ Û˘Ó¤ÂÈ·, Â¿Ó ÔÚ›ÛÔ˘Ì ÁÈ· οı ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi x e x = sup e p ,
(34)
fiÔ˘ ÙÔ ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ ¿Óˆ ÊÚ¿ÁÌ· Ï·Ì‚¿ÓÂÙ·È ˘ÂÚ¿Óˆ fiÏˆÓ ÙˆÓ ÚËÙÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ p Ì p < x, ÙfiÙ ÔÈ È‰ÈfiÙËÙ˜ Ù˘ Û˘Ó¤¯ÂÈ·˜ Î·È Ù˘ ÌÔÓÔÙÔÓ›·˜ Ù˘ E ÛÂ Û˘Ó‰˘·ÛÌfi Ì ÙËÓ (32) Ê·ÓÂÚÒÓÔ˘Ó fiÙÈ E(x) = e x
(35)
ÁÈ· οı ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi x. Afi ÙËÓ (35) ÂÍËÁÂ›Ù·È ÁÈ·Ù› Ë E ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÂÎıÂÙÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË. ™ÙË ı¤ÛË ÙÔ˘ e x ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠›Û˘ Î·È ÙÔÓ Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌfi exp(x), ȉ›ˆ˜ fiÙ·Ó ÙÔ fiÚÈÛÌ· ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi ÔχÏÔÎË ¤ÎÊÚ·ÛË. ™ÙËÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfiÙËÙ·, ÌÔÚԇ̠ӷ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÔ˘Ì οÏÏÈÛÙ· ÙËÓ (35) ˆ˜ ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi Ù˘ e x , ·ÓÙ› Ù˘ (34). TÔ ÏÂÔÓ¤ÎÙËÌ· Ù˘ (35) Â›Ó·È fiÙÈ ‰È¢ÎÔχÓÂÈ ÛÙË ‰ÈÂÚ‡ÓËÛË ÙˆÓ È‰ÈÔÙ‹ÙˆÓ Ù˘ e x . ™‡ÓÙÔÌ· ı· ‰Ô‡Ì fiÙÈ Î·È Ë (33) ÌÔÚ› Ó· ·ÓÙÈηٷÛÙ·ı› ·fi ¤Ó· ‚ÔÏÈÎfiÙÂÚÔ ÔÚÈÛÌfi (·Ó·ÙÚ¤ÍÙ ÛÙË (43)). £· ·ӤÏıÔ˘Ì ÛÙÔ Û˘Ó‹ıË Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌfi e x ·ÓÙ› ÙÔ˘ E(x) Î·È ı· Û˘ÓÔ„›ÛÔ˘Ì fiÛ· ¤¯Ô˘Ì ·Ô‰Â›ÍÂÈ ¤ˆ˜ ÙÒÚ·. £ÂÒÚËÌ· 8.6. £ÂˆÚԇ̠ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË e x , oÚÈṲ̂ÓË ÛÙÔÓ R 1 ·fi ÙȘ (25) Î·È (35). TfiÙÂ: (·) H e x Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ Î·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË ÛÙÔÓ R 1 . (‚) IÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ (e x ) = e x . (Á) H e x Â›Ó·È ÁÓËÛ›ˆ˜ ·‡ÍÔ˘Û· Î·È e x > 0 ÁÈ· οı x ∈ R 1 . (‰) IÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ e x+y = e x e y ÁÈ· οı x, y ∈ R 1 . (Â) IÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ limx→+∞ e x = +∞ Î·È limx→−∞ e x = 0. (ÛÙ) IÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ limx→+∞ x n e−x = 0 ÁÈ· ÔÔÈÔÓ‰‹ÔÙ ÌË ·ÚÓËÙÈÎfi ·Î¤Ú·ÈÔ ·ÚÈıÌfi n.
OPI™MENE™ EI¢IKOY TY¶OY ™YNAPTH™EI™ 279
Afi‰ÂÈÍË. Œ¯Ô˘Ì ‹‰Ë ·Ô‰Â›ÍÂÈ Ù· ̤ÚË (·) ¤ˆ˜ Î·È (Â). H (25) Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ x n+1 ex > (n + 1)! ÁÈ· x > 0, Û˘ÓÂÒ˜ x n e−x <
(n + 1)! . x
Afi ·˘Ùfi ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È ÙÔ (ÛÙ). TÔ (ÛÙ) Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ Ë e x Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÚÔ˜ ÙÔ +∞ «Ù·¯‡ÙÂÚ·» ·fi ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ‰‡Ó·ÌË ÙÔ˘ x ηıÒ˜ x → +∞. EÊfiÛÔÓ Ë E Â›Ó·È ÁÓËÛ›ˆ˜ ·‡ÍÔ˘Û· Î·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË ÛÙÔÓ R 1 , ¤¯ÂÈ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊË Û˘Ó¿ÚÙËÛË L, Ë ÔÔ›· Â›Ó·È Â›Û˘ ÁÓËÛ›ˆ˜ ·‡ÍÔ˘Û· Î·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË Î·È ¤¯ÂÈ Â‰›Ô ÔÚÈÛÌÔ‡ ÙÔ E(R 1 ), ‰ËÏ·‰‹ ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ fiÏˆÓ ÙˆÓ ıÂÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ1 . H L ÔÚ›˙ÂÙ·È ·fi ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· E(L(y)) = y
(y > 0)
(36)
(x Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜).
(37)
‹ ÈÛÔ‰‡Ó·Ì· L(E(x)) = x
¶·Ú·ÁˆÁ›˙ÔÓÙ·˜ ÙËÓ (37), Ï·Ì‚¿ÓÔ˘Ì fiÙÈ (·Ó·ÙÚ¤ÍÙ ÛÙÔ £ÂÒÚËÌ· 5.5) L (E(x))E(x) = 1
(x Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜).
£¤ÙÔÓÙ·˜ y = E(x), ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ L (y) =
1 y
(y > 0).
(38)
™ .Ù. M.: EÎ ÚÒÙ˘ fi„ˆ˜ ‰ÂÓ Â›Ó·È Û·Ê¤˜ fiÙÈ E(R 1 ) = (0, +∞). ¶·Ú·Î¿Ùˆ ·Ú·Ù›ıÂÙ·È Ì›· ·fi‰ÂÈÍË ·˘ÙÔ‡ ÙÔ˘ ÁÂÁÔÓfiÙÔ˜. AÊÂÓfi˜, ¤¯Ô˘Ì fiÙÈ E(x) > 0 ÁÈ· οı ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi x, ‰ËÏ·‰‹ fiÙÈ E(R 1 ) ⊂ (0, +∞). AÊÂÙ¤ÚÔ˘, ıˆÚԇ̠¤Ó· ıÂÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi y. EÊfiÛÔÓ limx→−∞ e x = 0, ˘¿Ú¯ÂÈ x1 ∈ R 1 Ì e x1 < y. EÊfiÛÔÓ limx→+∞ e x = +∞, ˘¿Ú¯ÂÈ x2 ∈ R 1 Ì y < e x2 . ÕÚ·, ·fi ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 4.23 Û˘Ó¿ÁÔ˘Ì ÙËÓ ‡·ÚÍË Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ‡ ·ÚÈıÌÔ‡ x Ì e x = y. K·Ù¿ Û˘Ó¤ÂÈ·, (0, ∞) ⊂ E(R 1 ). OÈ ‰‡Ô Û¯¤ÛÂȘ ÂÁÎϛۈ˜ ·Ô‰ÂÈÎÓ‡Ô˘Ó ÙÔ ˙ËÙÔ‡ÌÂÓÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ·. 1
280
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
§·Ì‚¿ÓÔÓÙ·˜ x = 0 ÛÙËÓ (37) ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì fiÙÈ L(1) = 0. ÕÚ·, Ë (38) Û˘Ó¿ÁÂÙ·È fiÙÈ y 1 L(y) = d x (y > 0). (39) 1 x AÚÎÂÙ¿ Û˘¯Ó¿, Ë (39) Ï·Ì‚¿ÓÂÙ·È ˆ˜ Ë ·ÊÂÙËÚ›· ÁÈ· ÙË ıˆڛ· Ù˘ ÏÔÁ·ÚÈıÌÈ΋˜ Î·È ÂÎıÂÙÈ΋˜ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜. £¤ÙÔÓÙ·˜ u = E(x), v = E(y), Ë (26) ¯ÔÚËÁ› fiÙÈ L(uv) = L(E(x)E(y)) = L(E(x + y)) = x + y, ‰ËÏ·‰‹ L(uv) = L(u) + L(v)
(u, v > 0).
(40)
A˘Ùfi Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ Ë L η٤¯ÂÈ ÙËÓ ÔÈΛ· ȉÈfiÙËÙ· ÙˆÓ ÏÔÁ·Ú›ı̈Ó. O Û˘Ó‹ı˘ Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌfi˜ ÁÈ· ÙËÓ L(x) Â›Ó·È Ê˘ÛÈο Ô log x. ŸÛÔÓ ·ÊÔÚ¿ ÙË Û˘ÌÂÚÈÊÔÚ¿ Ù˘ log ÛÙÔ +∞ Î·È ÛÙÔ 0, ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 8.6(Â) Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ log x → +∞ ηıÒ˜ x → +∞ Î·È log x → −∞ ηıÒ˜ x → 0. ¢È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì ‡ÎÔÏ· fiÙÈ x n = E(n L(x))
(41)
ÁÈ· οı x > 0 Î·È ·Î¤Ú·ÈÔ ·ÚÈıÌfi n. ¶·ÚÔÌÔ›ˆ˜, Â¿Ó m Â›Ó·È ıÂÙÈÎfi˜ ·Î¤Ú·ÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ Î·È x > 0, ÙfiÙ 1 1/m x L(x) , (42) =E m ÂÊfiÛÔÓ Î¿ı ̤ÏÔ˜ Ù˘ (42) fiÙ·Ó ˘„ˆı› ÛÙË ‰‡Ó·ÌË ÙÔ˘ m ‰›‰ÂÈ ÙÔ ›‰ÈÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ·, Û‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ (36). ™˘Ó‰˘¿˙ÔÓÙ·˜ ÙȘ (41) Î·È (42), ·ÔÎÙԇ̠ÙË Û¯¤ÛË x α = E(αL(x)) = eα log x
(43)
OPI™MENE™ EI¢IKOY TY¶OY ™YNAPTH™EI™ 281
ÁÈ· οı ÚËÙfi ·ÚÈıÌfi α Î·È x > 0. EÓ Û˘Ó¯›·, ÔÚ›˙Ô˘Ì ÙË ‰‡Ó·ÌË x α ÁÈ· οı ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi α Î·È x > 0, ̤ۈ Ù˘ (43). H Û˘Ó¤¯ÂÈ· Î·È Ë ÌÔÓÔÙÔÓ›· ÙˆÓ E Î·È L Ê·ÓÂÚÒÓÔ˘Ó fiÙÈ Ô ÔÚÈÛÌfi˜ ·˘Ùfi˜ Ô‰ËÁ› ÛÙÔ ›‰ÈÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· Ì ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi Ô˘ ›¯Â ÚÔÙ·ı› ÓˆÚ›ÙÂÚ·. T· Û˘ÌÂÚ¿ÛÌ·Ù· Ù˘ AÛ΋Ûˆ˜ 6 ÙÔ˘ ÎÂÊ·Ï·›Ô˘ 1 Â›Ó·È ÙÂÙÚÈÌ̤Ó˜ Û˘Ó¤ÂȘ Ù˘ (43). E¿Ó ·Ú·ÁˆÁ›ÛÔ˘Ì ÙËÓ (43) Ï·Ì‚¿ÓÔ˘ÌÂ, Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 5.5, fiÙÈ α (x α ) = E(αL(x)) = αx α−1 . (44) x ™ËÌÂÈÒÓÔ˘Ì fiÙÈ ¤¯Ô˘Ì ‹‰Ë ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÂÈ ÙËÓ (44) ÁÈ· ·Î¤Ú·È˜ ÙÈ̤˜ ÙÔ˘ α. ™Â ·˘Ù‹Ó ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË, Ë (44) ÚÔ·ÙÂÈ ·Ï¿ ·fi ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 5.3(‚). E›Ó·È ·ÚÎÂÙ¿ ‰‡ÛÎÔÏÔ Ó· ·Ô‰Âȯı› Ë (44) ¢ı¤ˆ˜ ·fi ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi Ù˘ ·Ú·ÁÒÁÔ˘ fiÙ·Ó Ë x α ÔÚ›˙ÂÙ·È ·fi ÙËÓ (33) Î·È Ô α Â›Ó·È ¿ÚÚËÙÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜. O ÁÓˆÛÙfi˜ Ù‡Ô˜ ÔÏÔÎÏËÚÒÛˆ˜ ÁÈ· ÙËÓ x α ¤ÂÙ·È ·fi ÙË (44) fiÙ·Ó α = −1 Î·È ·fi ÙËÓ (38) fiÙ·Ó α = −1. EÈı˘Ìԇ̠ӷ ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì ̛· ·ÎfiÌË È‰ÈfiÙËÙ· Ù˘ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜ log, ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· lim x −α log x = 0
x→+∞
(45)
ÁÈ· οı α > 0. TÔ ÓfiËÌ· Ù˘ ÈÛfiÙËÙ·˜ ·˘Ù‹˜ Â›Ó·È ÙÔ ÂÍ‹˜: H log x Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÚÔ˜ ÙÔ +∞ «‚Ú·‰‡ÙÂÚ·» ·fi ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ıÂÙÈ΋ ‰‡Ó·ÌË ÙÔ˘ x ηıÒ˜ x → +∞. °È· ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË, ıˆÚԇ̠ε > 0 Ì ε < α. E¿Ó x > 1, ÙfiÙ x −α −α x log x = x t −1 dt 1 x < x −α t ε−1 dt 1
= x
−α
xε − 1 ε
x ε−α . ε Afi ·˘Ùfi ¤ÂÙ·È Ë (45). °È· ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË Ù˘ (45), ÌÔÚԇ̠›Û˘ Ó· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÔ˘Ì ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 8.6(ÛÙ). <
282
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
OI TPI°øNOMETPIKE™ ™YNAPTH™EI™ £ÂˆÚԇ̠ÙȘ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ C Î·È S, ÔÚÈṲ̂Ó˜ ÛÙÔÓ R 1 ̤ۈ ÙˆÓ Û¯¤ÛÂˆÓ 1 C(x) = [E(i x) + E(−i x)], 2
S(x) =
1 [E(i x) − E(−i x)] 2i
(46)
ÁÈ· οı ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi x. £· ‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ ÔÈ C Î·È S Û˘Ì›ÙÔ˘Ó ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜ Ì ÙȘ ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈΤ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ cos Î·È sin, ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ Ô ÔÚÈÛÌfi˜ Û˘Ó‹ıˆ˜ ‚·Û›˙ÂÙ·È Û ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ıˆڋÛÂȘ. ™‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ (25), ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ E(z) = E(z) ÁÈ· οı ÌÈÁ·‰ÈÎfi ·ÚÈıÌfi z. ™˘ÓÂÒ˜, Ë (46) Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ ÔÈ C Î·È S Â›Ó·È Ú·ÁÌ·ÙÈΤ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ. E›Û˘, ÁÈ· οı ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi x ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ E(i x) = C(x) + i S(x).
(47)
¢ËÏ·‰‹, ÁÈ· x ∈ R 1 ÔÈ ÙÈ̤˜ C(x) Î·È S(x) Â›Ó·È ÙÔ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi Î·È ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜ ÙÔ Ê·ÓÙ·ÛÙÈÎfi ̤ÚÔ˜ Ù˘ ÙÈÌ‹˜ E(i x). ™‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ (27), ÁÈ· οı ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi x ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ |E(i x)|2 = E(i x)E(i x) = E(i x)E(−i x) = 1, ÂÔ̤ӈ˜ |E(i x)| = 1
(x Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜).
(48)
Afi ÙËÓ (46) Û˘Ó¿ÁÔ˘Ì fiÙÈ C(0) = 1 Î·È S(0) = 0. H (28) Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ C = −S,
S = C.
(49)
IÛ¯˘ÚÈ˙fiÌ·ÛÙ fiÙÈ ˘¿Ú¯Ô˘Ó Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› x Ì C(x) = 0. A˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ ·˘Ùfi ‰ÂÓ ·ÏËı‡ÂÈ. EÊfiÛÔÓ C(0) = 1, ¤ÂÙ·È fiÙÈ C(x) > 0 ÁÈ· οı ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi x Ì x > 0. ™˘ÓÂÒ˜, ÏfiÁˆ Ù˘ (49), S (x) > 0 ÁÈ· οı ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi x Ì x > 0. A˘Ùfi ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ Ë S Â›Ó·È ÁÓËÛ›ˆ˜ ·‡ÍÔ˘Û· ÛÙÔ (0, +∞). ÕÚ·, ÂÊfiÛÔÓ S(0) = 0, ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ S(x) > 0 ÁÈ· οı ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi x Ì x > 0. K·Ù¿ Û˘Ó¤ÂÈ·, Â¿Ó 0 < x < y, ÙfiÙ y S(x)(y − x) < S(t)dt = C(x) − C(y) ≤ 2, (50) x
OPI™MENE™ EI¢IKOY TY¶OY ™YNAPTH™EI™ 283
fiÔ˘ Ë ÙÂÏÂ˘Ù·›· ·ÓÈÛfiÙËÙ· ¤ÂÙ·È ·fi ÙȘ (47) Î·È (48). EÊfiÛÔÓ S(x) > 0, Ë (50) ‰ÂÓ ÌÔÚ› Ó· ·ÏËı‡ÂÈ ÁÈ· ·ÚÎÒ˜ ÌÂÁ¿ÏÔ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi y. ™˘ÓÂÒ˜ ηٷϋÁÔ˘Ì Û ·ÓٛʷÛË. A˜ Â›Ó·È x0 Ô ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ˜ ıÂÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ Ì C(x0 ) = 0. O ·ÚÈıÌfi˜ ·˘Ùfi˜ ˘¿Ú¯ÂÈ, ÂÊfiÛÔÓ ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ı¤ÛÂˆÓ ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ Ì›·˜ Û˘Ó¯ԇ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜ Â›Ó·È ÎÏÂÈÛÙfi Û‡ÓÔÏÔ Î·È C(0) = 0. OÚ›˙Ô˘Ì ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi π ̤ۈ Ù˘ Û¯¤Ûˆ˜ π = 2x0 .
(51)
TfiÙÂ, C(π/2) = 0. H (48) Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ S(π/2) = ±1. EÊfiÛÔÓ C(x) > 0 ÁÈ· οı x ∈ (0, π/2), Ë S Â›Ó·È ·‡ÍÔ˘Û· ÛÙÔ (0, π/2). ÕÚ·, S(π/2) = 1. EÔ̤ӈ˜, πi =i E 2 Î·È Ô ÚÔÛıÂÙÈÎfi˜ Ù‡Ô˜ ¯ÔÚËÁ› ÙȘ ÈÛfiÙËÙ˜ E(πi) = −1,
E(2πi) = 1.
(52)
ø˜ ÂÎ ÙÔ‡ÙÔ˘ E(z + 2πi) = E(z)
(z ÌÈÁ·‰ÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜).
(53)
£ÂÒÚËÌ· 8.7. (·) H Û˘Ó¿ÚÙËÛË E Â›Ó·È ÂÚÈÔ‰È΋ 2 Ì ÂÚ›Ô‰Ô 2πi. (‚) OÈ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ C Î·È S Â›Ó·È ÂÚÈÔ‰ÈΤ˜ Ì ÂÚ›Ô‰Ô 2π . (Á) E¿Ó t Â›Ó·È Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ Ì 0 < t < 2π, ÙfiÙ E(it) = 1. (‰) E¿Ó z Â›Ó·È ÌÈÁ·‰ÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ Ì |z| = 1, ÙfiÙ ˘¿Ú¯ÂÈ ÌÔÓ·‰ÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ t ∈ [0, 2π ) Ì E(it) = z. 2
™. Ù. M.: M›· ÌÈÁ·‰È΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË f , ÔÚÈṲ̂ÓË Û ¤Ó· ηٿÏÏËÏÔ Û‡ÓÔÏÔ E ÌÈÁ·‰ÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ, ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÂÚÈÔ‰È΋ Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ˘¿Ú¯ÂÈ ÌÈÁ·‰ÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ T Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ ÁÈ· οı z ∈ E Ó· ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ f (z + T ) = f (z). ™ËÌÂÈÒÓÔ˘Ì fiÙÈ Ô ÔÚÈÛÌfi˜ ·˘Ùfi˜ ÂÌÂÚȤ¯ÂÈ ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË fiÔ˘ Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË Â›Ó·È ÔÚÈṲ̂ÓË Û ۇÓÔÏÔ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ, Ï·Ì‚¿ÓÂÈ Ú·ÁÌ·ÙÈΤ˜ ÙÈ̤˜ Î·È ¤¯ÂÈ Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ ÂÚ›Ô‰Ô.
284
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
Afi‰ÂÈÍË. TÔ (·) Â›Ó·È ·ÎÚÈ‚Ò˜ Ë (53). TÔ (‚) ¤ÂÙ·È ·fi ÙÔ (·) Î·È ÙË (46). £ÂˆÚԇ̠¤Ó·Ó Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi t Ì 0 < t < π/2. A˜ Â›Ó·È E(it) = x + i y, fiÔ˘ ÔÈ x Î·È y Â›Ó·È Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›. T· ÚÔ·Ó·ÊÂÚı¤ÓÙ· ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ Ê·ÓÂÚÒÓÔ˘Ó fiÙÈ 0 < x < 1 Î·È 0 < y < 1. ™ËÌÂÈÒÓÔ˘Ì fiÙÈ E(4it) = (x + i y)4 = x 4 − 6x 2 y 2 + y 4 + 4i x y(x 2 − y 2 ). E¿Ó Ô E(4it) Â›Ó·È Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜, ÙfiÙ x 2 − y 2 = 0. EÊfiÛÔÓ, ÏfiÁˆ Ù˘ (48), x 2 + y 2 = 1, ¤ÂÙ·È fiÙÈ x 2 = y 2 = 1 . ÕÚ·, E(4it) = −1. A˘Ùfi 2 ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÈ ÙÔ (Á). E¿Ó 0 ≤ t1 < t2 < 2π , ÙfiÙ E(it2 )[E(it1 )]−1 = E(it2 − it1 ) = 1, Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ (Á). A˘Ùfi ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÈ ÙÔÓ ÈÛ¯˘ÚÈÛÌfi ÂÚ› ÌÔÓ·‰ÈÎfiÙËÙ·˜ ÛÙÔ (‰). °È· Ó· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì ÙÔÓ ÈÛ¯˘ÚÈÛÌfi ÂÚ› ˘¿Ú͈˜ ÛÙÔ (‰), ıˆÚԇ̠ÌÈÁ·‰ÈÎfi ·ÚÈıÌfi z Ì |z| = 1. °Ú¿ÊÔ˘Ì z = x + i y, fiÔ˘ ÔÈ x Î·È y Â›Ó·È Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›. AÚ¯Èο, ˘Ôı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ x ≥ 0 Î·È y ≥ 0. ™ÙÔ [0, π/2] Ë C Êı›ÓÂÈ ·fi ÙÔ 1 ÛÙÔ 0. ™˘ÓÂÒ˜, C(t) = x ÁÈ· οÔÈÔ t ∈ [0, π/2]. EÊfiÛÔÓ C 2 + S 2 = 1 Î·È S(x) ≥ 0 ÁÈ· οı x ∈ [0, π/2], ¤ÂÙ·È fiÙÈ z = E(it). E¿Ó x < 0 Î·È y ≥ 0, ÙfiÙ ÙÔ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ ÂÊ·ÚÌfi˙ÂÙ·È ÁÈ· ÙÔ −i z. EÔ̤ӈ˜, −i z = E(it) ÁÈ· οÔÈÔ t ∈ [0, π/2]. EÊfiÛÔÓ i = E(πi/2), Ï·Ì‚¿ÓÔ˘Ì fiÙÈ z = E(i(t + π/2)). E¿Ó y < 0, ÙfiÙ ÔÈ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ˜ ‰‡Ô ÂÚÈÙÒÛÂȘ Ê·ÓÂÚÒÓÔ˘Ó fiÙÈ −z = E(it) ÁÈ· οÔÈÔ t ∈ (0, π ). ™˘ÓÂÒ˜, z = −E(it) = E(i(t + π )). A˘Ùfi ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÈ ÙÔ (‰). Afi ÙÔ (‰) ÙÔ˘ ÚÔËÁÔ˘Ì¤ÓÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ Î·È ÙË (48) ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ Ë Î·Ì‡ÏË γ Ô˘ ÔÚ›˙ÂÙ·È ·fi ÙË Û¯¤ÛË γ (t) = E(it)
(0 ≤ t ≤ 2π )
(54)
Â›Ó·È ·Ï‹ ÎÏÂÈÛÙ‹ η̇ÏË Ì ‰›Ô ÙÈÌÒÓ ÙÔÓ ÌÔÓ·‰È·›Ô ·ÎÏÔ ÙÔ˘ ÂȤ‰Ô˘. EÊfiÛÔÓ γ (t) = i E(it) ÁÈ· οı t ∈ R 1 , ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ Ù˘ γ Â›Ó·È Â›Ó·È 2π |γ (t)|dt = 2π, 0
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Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 6.27. A˘Ùfi ‚‚·›ˆ˜ Â›Ó·È Î·È ÙÔ ·Ó·ÌÂÓfiÌÂÓÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· ÁÈ· ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ·ÎÏÔ˘ ·ÎÙ›Ó·˜ 1 Î·È ·fi ·˘Ùfi Ê·›ÓÂÙ·È fiÙÈ ÙÔ π , fiˆ˜ ÔÚ›˙ÂÙ·È ·fi ÙËÓ (51), ¤¯ÂÈ ÙÔ Û‡ÓËı˜ ÁˆÌÂÙÚÈÎfi ÓfiËÌ·. M ÙÔÓ ›‰ÈÔ ÙÚfiÔ ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô γ (t) ‰È·ÁÚ¿ÊÂÈ ¤Ó· ΢ÎÏÈÎfi ÙfiÍÔ Ì‹ÎÔ˘˜ t0 ηıÒ˜ ÙÔ fiÚÈÛÌ· t ·˘Í¿ÓÂÈ ·fi 0 ¤ˆ˜ t0 (0 ≤ t0 ≤ 2π ). E¿Ó ÁÈ· t ∈ [0, 2π ] ıˆڋÛÔ˘Ì ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ Ì ÎÔÚ˘Ê¤˜ Ù· ÛËÌ›· z 1 = 0,
z 2 = γ (t),
z 3 = C(t),
ÙfiÙ ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì fiÙÈ Ù· C(t) Î·È S(t) Â›Ó·È fiÓÙˆ˜ Ù· cos t Î·È sin t ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜ Â¿Ó ·˘Ù¿ ÔÚÈÛıÔ‡Ó Ì ÙÔ Û˘Ó‹ıË ÙÚfiÔ, ˆ˜ ÏfiÁÔÈ Ï¢ÚÒÓ ÂÓfi˜ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘. ¶Ú¤ÂÈ Ó· ÙÔÓÈÛı› fiÙÈ ¤¯Ô˘Ì ¿ÁÂÈ ÙȘ ‚·ÛÈΤ˜ ȉÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÒÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ ·fi ÙȘ (25) Î·È (46) ¯ˆÚ›˜ η̛· ›ÎÏËÛË ÁˆÌÂÙÚÈ΋˜ ¤ÓÓÔÈ·˜. Y¿Ú¯Ô˘Ó Î·È ¿ÏϘ ÚÔÛÂÁÁ›ÛÂȘ ÌË ÁˆÌÂÙÚÈÎÔ‡ ¯·Ú·ÎÙ‹Ú· Û ·˘Ù¤˜ ÙȘ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ. T· ¿ÚıÚ· ÙˆÓ W. F. Eberlein (Amer. Math. Monthly, vol. 74, 1967, pp. 1223-1225) Î·È G. B. Robinson (Math. Mag., vol. 41, 1968, pp. 66-70) ·Û¯ÔÏÔ‡ÓÙ·È Ì ·˘Ù¿ Ù· ı¤Ì·Ù·.
H A§°EBPIKH ¶§HPOTHTA TOY ™øMATO™ TøN MI°A¢IKøN API£MøN
E›Ì·ÛÙ ÙÒÚ· Û ı¤ÛË Ó· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì Ì ·Ïfi ÙÚfiÔ ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ ÙÔ ÛÒÌ· ÙˆÓ ÌÈÁ·‰ÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ Â›Ó·È ·ÏÁ‚ÚÈο Ï‹Ú˜, ‰ËÏ·‰‹ fiÙÈ Î¿ı ÌË ÛÙ·ıÂÚfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ Ì ÌÈÁ·‰ÈÎÔ‡˜ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ¤˜ ¤¯ÂÈ ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ Ì›· ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡.3 £ÂÒÚËÌ· 8.8. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ a0 , . . . , an Â›Ó·È ÌÈÁ·‰ÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› Ì an = 0, fiÔ˘ n Â›Ó·È ıÂÙÈÎfi˜ ·Î¤Ú·ÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜. E¿Ó P Â›Ó·È ÙÔ 3
™. Ù. M.: TÔ Û˘Ì¤Ú·ÛÌ· ·˘Ùfi Â›Ó·È ÁÓˆÛÙfi ˆ˜ ÙÔ £ÂÌÂÏÈ҉˜ £ÂÒÚËÌ· Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜.
286
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ Ô˘ ÔÚ›˙ÂÙ·È ·fi ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· P(z) =
n
ak z k
(z ÌÈÁ·‰ÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜),
k=0
ÙfiÙ P(z) = 0 ÁÈ· οÔÈÔÓ ÌÈÁ·‰ÈÎfi ·ÚÈıÌfi z. Afi‰ÂÈÍË. ¢›¯ˆ˜ Ó· ˘Ê›ÛÙ·Ù·È ‚Ï¿‚Ë Ù˘ ÁÂÓÈÎfiÙËÙ·˜, ˘Ôı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ an = 1. £¤ÙÔ˘Ì µ = inf |P(z)|
(55)
z∈R 2
E¿Ó z Â›Ó·È ¤Ó·˜ ÌÈÁ·‰ÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ Ì |z| = R, ÙfiÙ |P(z)| ≥ R n [1 − |an−1 |R −1 − · · · − |a0 |R −n ].
(56)
H ‰ÂÍÈ¿ ÏÂ˘Ú¿ Ù˘ (56) Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÚÔ˜ ÙÔ +∞ ηıÒ˜ R → +∞. K·Ù¿ Û˘Ó¤ÂÈ·, ˘¿Ú¯ÂÈ ıÂÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ R0 Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ |P(z)| > µ ÁÈ· οı ÌÈÁ·‰ÈÎfi ·ÚÈıÌfi z Ì |z| > R0 . EÊfiÛÔÓ Ë |P| Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔÓ ÎÏÂÈÛÙfi ΢ÎÏÈÎfi ‰›ÛÎÔ Ì ΤÓÙÚÔ ÙÔ 0 Î·È ·ÎÙ›Ó· R0 , ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 4.16 Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ |P(z 0 )| = µ ÁÈ· οÔÈÔÓ ÌÈÁ·‰ÈÎfi ·ÚÈıÌfi z 0 . IÛ¯˘ÚÈ˙fiÌ·ÛÙ fiÙÈ µ = 0. YÔı¤ÙÔÓÙ·˜ ÙËÓ ·ÓÙ›ıÂÙË ÂÚ›ÙˆÛË, ıˆÚԇ̠ÙÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ Q, fiÔ˘ Q(z) = P(z + z 0 )/P(z 0 ) ÁÈ· οı ÌÈÁ·‰ÈÎfi ·ÚÈıÌfi z. TfiÙÂ, ÙÔ Q Â›Ó·È ÌË ÛÙ·ıÂÚfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ Ì Q(0) = 1 Î·È |Q| ≥ 1. £ÂˆÚԇ̠ÙÔÓ ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ·Î¤Ú·ÈÔ ·ÚÈıÌfi k Ì 1 ≤ k ≤ n Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ ÙÔ Q Ó· ÁÚ¿ÊÂÙ·È ÛÙË ÌÔÚÊ‹ Q(z) = 1 + bk z k + · · · + bn z n ,
bk = 0
(57)
ÁÈ· οı ÌÈÁ·‰ÈÎfi ·ÚÈıÌfi z, fiÔ˘ bk , . . . , bn Â›Ó·È ÌÈÁ·‰ÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›. ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 8.7(‰), ˘¿Ú¯ÂÈ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ θ Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ eikθ bk = −|bk |. E¿Ó Â›Ó·È r > 0 Ì r k |bk | < 1, ÙfiÙÂ Ë (58) Û˘Ó¿ÁÂÙ·È fiÙÈ |1 + bk r k eikθ | = 1 − r k |bk |
(58)
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Î·È ÂÔ̤ӈ˜ |Q(r eiθ )| ≤ 1 − r k {|bk | − r |bk+1 | − · · · − r n−k |bn |}. °È· ·ÚÎÒ˜ ÌÈÎÚfi ıÂÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi r , Ë ¤ÎÊÚ·ÛË ÂÓÙfi˜ ÙˆÓ ·ÁΛÛÙÚˆÓ Â›Ó·È ıÂÙÈ΋ Î·È ÂÔ̤ӈ˜ |Q(r eiθ )| < 1, ÁÂÁÔÓfi˜ Ô˘ Û˘ÓÈÛÙ¿ ·ÓٛʷÛË. ™˘ÓÂÒ˜, µ = 0, ‰ËÏ·‰‹ P(z 0 ) = 0. H ÕÛÎËÛË 27 ÂÚȤ¯ÂÈ ¤Ó· ÁÂÓÈÎfiÙÂÚÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ·.
™EIPE™ FOURIER OÚÈÛÌfi˜ 8.9. ŒÓ· ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ f Â›Ó·È Ì›· Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ f (x) = a0 +
N
(an cos nx + bn sin nx)
(x Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜),
(59)
n=1
fiÔ˘ ÔÈ a0 , . . . , a N , b1 , . . . , b N Â›Ó·È ÌÈÁ·‰ÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›. B¿ÛÂÈ ÙˆÓ ÈÛÔÙ‹ÙˆÓ (46), Ë (59) ÌÔÚ› Ó· ÁÚ·Ê› ÛÙËÓ ÌÔÚÊ‹ f (x) =
N
cn einx
(x Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜),
(60)
n=−N
fiÔ˘ ÔÈ c−N , . . . , c0 , c1 , . . . , c N Â›Ó·È ÌÈÁ·‰ÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›, Ë ÔÔ›· Â›Ó·È ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔ ‚ÔÏÈ΋. E›Ó·È ۷ʤ˜ fiÙÈ Î¿ı ÙÚÈÁˆÓÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ Â›Ó·È ÂÚÈÔ‰È΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ì ÂÚ›Ô‰Ô 2π . E¿Ó n Â›Ó·È ¤Ó·˜ ÌË ÌˉÂÓÈÎfi˜ ·Î¤Ú·ÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜, ÙfiÙÂ Ë einx Â›Ó·È Ë ·Ú¿ÁˆÁÔ˜ Ù˘ einx /in, Ë ÔÔ›· ¤¯ÂÈ Â›Û˘ ÂÚ›Ô‰Ô 2π . ÕÚ·, π 1 1 Â¿Ó n = 0, einx d x = (61) 2π −π 0 Â¿Ó n = ±1, ±2, . . . . A˜ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ÙËÓ (60) Ì ÙËÓ e−imx , fiÔ˘ m Â›Ó·È ¤Ó·˜ ·Î¤Ú·ÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜. E¿Ó ÔÏÔÎÏËÚÒÛÔ˘Ì ÙÔ ÚÔ·ÙÔÓ ÁÈÓfiÌÂÓÔ, ÙfiÙÂ Ë (61) Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ π 1 cm = f (x)e−imx d x (62) 2π −π
288
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
Â¿Ó |m| ≤ N . E¿Ó |m| > N , ÙÔ ÔÏÔÎϋڈ̷ ÛÙËÓ (62) Â›Ó·È ›ÛÔ Ì 0. Afi ÙȘ (60) Î·È (62) ÌÔÚԇ̠ӷ οÓÔ˘Ì ÙËÓ ÂÍ‹˜ ·Ú·Ù‹ÚËÛË: TÔ ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ f , ÙÔ ÔÔ›Ô ‰›‰ÂÙ·È ·fi ÙËÓ (60), Â›Ó·È Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó c−n = cn ÁÈ· ÔÔÈÔÓ‰‹ÔÙ ‰Â›ÎÙË n = 0, . . . , N . ™Â ÂÓ·ÚÌfiÓÈÛË Ì ÙËÓ (60) ÔÚ›˙Ô˘Ì ˆ˜ ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈ΋ ÛÂÈÚ¿ Ì›· ÛÂÈÚ¿ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ ∞
cn einx
(x Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜),
(63)
n=−∞
fiÔ˘ ÔÈ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ¤˜ . . . , c−2 , c−1 , c0 , c1 , c2 , . . . Â›Ó·È ÌÈÁ·‰ÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›. TÔ N ٿ͈˜ ÌÂÚÈÎfi ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙË (63) ÔÚ›˙ÂÙ·È ˆ˜ Ë ‰ÂÍÈ¿ ÏÂ˘Ú¿ Ù˘ (60). E¿Ó f Â›Ó·È Ì›· ÔÏÔÎÏËÚÒÛÈÌË ÛÙÔ [−π, π ] Û˘Ó¿ÚÙËÛË, ÙfiÙ ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› cm (m = 0, ±1, ±2, . . . ), fiˆ˜ ÔÚ›˙ÔÓÙ·È ·fi ÙËÓ (62), ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ÔÈ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ¤˜ Fourier 4 Ù˘ f Î·È Ë ÛÂÈÚ¿ (63) Ô˘ ÌÔÚÊÔÔÈÂ›Ù·È ·fi ·˘ÙÔ‡˜ ÙÔ˘˜ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ¤˜ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Ë ÛÂÈÚ¿ Fourier Ù˘ f . 4
™. Ù. M.: Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830). °¿ÏÏÔ˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi˜ Î·È Ê˘ÛÈÎfi˜. MÂϤÙËÛ ÙË Ì·ıËÌ·ÙÈ΋ ıˆڛ· Ù˘ ·ÁˆÁ‹˜ Ù˘ ıÂÚÌfiÙËÙ·˜, ‰ÈÂÙ‡ˆÛ ÙË ÌÂÚÈ΋ ‰È·ÊÔÚÈ΋ Â͛ۈÛË Ô˘ ÂÚÈÁÚ¿ÊÂÈ ÙË ‰È¿¯˘ÛË Ù˘ ıÂÚÌfiÙËÙ·˜ Î·È ÙËÓ Â¤Ï˘Û Ì ¯Ú‹ÛË ÙˆÓ ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÒÓ ÛÂÈÚÒÓ Ô˘ ʤÚÔ˘Ó ÙÔ fiÓÔÌ¿ ÙÔ˘. O Fourier Ì·ı‹Ù¢Û Û ÂÎÎÏËÛÈ·ÛÙÈÎfi Û¯ÔÏÂ›Ô ÛÙË ÁÂÓ¤ÙÂÈÚ¿ ÙÔ˘ Auxerre, ÙÔ ÔÔ›Ô ÙÂÏÔ‡Û ˘fi ÙË ‰È‡ı˘ÓÛË ÙˆÓ BÂÓ‰ÈÎÙ›ÓˆÓ. ø˜ ÛÎÔfi ›¯Â ÙËÓ ÈÂÚ·ÙÈ΋. °Ú‹ÁÔÚ· ¤ÛÙÚ„ ÙÔ ÂӉȷʤÚÔÓ ÙÔ˘ ÚÔ˜ Ù· M·ıËÌ·ÙÈο. Afi ÙË Ó·ÓÈ΋ ÙÔ˘ ËÏÈΛ· ·Û¯ÔÏ‹ıËΠ̠ÙËÓ Â›Ï˘ÛË ·ÚÈıÌËÙÈÎÒÓ ÂÍÈÛÒÛˆÓ. TËÓ ÂÚ›Ô‰Ô Ù˘ °·ÏÏÈ΋˜ E·Ó·ÛÙ¿Ûˆ˜ ‰Ú·ÛÙËÚÈÔÔÈ‹ıËΠÔÏÈÙÈο Î·È ÁÈ· ¤Ó· ‰È¿ÛÙËÌ· ›¯Â Ê˘Ï·ÎÈÛı›. TÔ ¤ÙÔ˜ 1789 Ô Fourier ·Ó¤ÁÓˆÛ ¤Ó· ˘fiÌÓËÌ· › ÙˆÓ ·ÚÈıÌËÙÈÎÒÓ ÂÍÈÛÒÛÂˆÓ ÂÓÒÈÔÓ ÙˆÓ ÌÂÏÒÓ Ù˘ Aη‰ËÌ›·˜ ÙˆÓ EÈÛÙËÌÒÓ ÙˆÓ ¶·ÚÈÛ›ˆÓ. ¶ÂÚ› ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1794 ÛÔ‡‰·Û M·ıËÌ·ÙÈο ÛÙËÓ École Normale, ÛÙÔ ¶·Ú›ÛÈ, Î·È Ï›Á· ¤ÙË ·ÚÁfiÙÂÚ· ‰›‰·Í ÂΛ M·ıËÌ·ÙÈο, ηıÒ˜ Î·È ÛÙÔ ¶ÔÏ˘Ù¯Ó›Ô, ˆ˜ ‚ÔËıfi˜ ÙÔ˘ Joseph Louis Lagrange (1736-1813) Î·È ÙÔ˘ Gaspard Monge (1746-1818). TÔ ¤ÙÔ˜ 1798 Ô Fourier ·ÎÔÏÔ‡ıËÛ ÙÔÓ ÛÙÚ·Ùfi ÙÔ˘ N·ÔϤÔÓÙ·, ˆ˜ ÂÈÛÙËÌÔÓÈÎfi˜ Û‡Ì‚Ô˘ÏÔ˜, ÛÙËÓ ÂÈÛ‚ÔÏ‹ ÛÙËÓ A›Á˘ÙÔ. EΛ, ÚˆÙÔÛÙ¿ÙËÛ ÛÙËÓ ›‰Ú˘ÛË ÙÔ˘ IÓÛÙÈÙÔ‡ÙÔ˘ Ù˘ AÈÁ‡ÙÔ˘ Î·È ‰È·ÊfiÚˆÓ ¿ÏÏˆÓ ÂÎ·È‰Â˘ÙÈÎÒÓ È‰Ú˘Ì¿ÙˆÓ. ¶·Ú·Ïϋψ˜ ÚÔ˜ Ù· ηı‹ÎÔÓÙ· ÙÔ˘ Î·È ÙË Ì·ıËÌ·ÙÈ΋ ÙÔ˘ ¤Ú¢ӷ, ÂÓÙÚ‡ÊËÛ ÛÙËÓ AÈÁ˘ÙÈÔÏÔÁ›· Î·È ÔÚÁ¿ÓˆÛ ·Ú¯·ÈÔÏÔÁÈΤ˜ ·Ó·Ûηʤ˜. ™˘Ó¤ÁÚ·„Â Î·È ¤Ó· Û¯ÂÙÈÎfi ‚È‚Ï›Ô Ì ٛÙÏÔ «Description de l' Égypte». O Fourier ¤ÛÙÚ„ ÛÙË °·ÏÏ›· fiÙ·Ó ÙÂÚÌ·Ù›ÛıËÎÂ Ë ÛÙÚ·ÙȈÙÈ΋ Âȯ›ÚËÛË ÙÔ˘ N·ÔϤÔÓÙ·, ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1801. TÔ ÂfiÌÂÓÔ ¤ÙÔ˜ Ô Fourier ‰ÈÔÚ›ÛıËΠÓÔ̿گ˘ Ù˘ ·گ›·˜ Isère.
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TÔ Â‡ÏÔÁÔ ÂÚÒÙËÌ· Ô˘ ÚÔ·ÙÂÈ Â›Ó·È Â¿Ó Ë ÛÂÈÚ¿ Fourier Ù˘ f Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÚÔ˜ ÙËÓ f ‹ ÁÂÓÈÎfiÙÂÚ· Â¿Ó Ë f ηıÔÚ›˙ÂÙ·È ·fi ÙÔ˘˜ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô˘˜ ÚÔ˜ ·˘Ù‹Ó Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ¤˜ Fourier. ¢ËÏ·‰‹, fiÙ·Ó Â›Ó·È ÁÓˆÛÙÔ› ÔÈ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ¤˜ Fourier, ÌÔÚԇ̠ӷ ÚÔÛ‰ÈÔÚ›ÛÔ˘Ì ÙËÓ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË Î·È Ì ÔÈfiÓ ÙÚfiÔ; H ÌÂϤÙË Ù¤ÙÔÈÔ˘ ›‰Ô˘˜ ÛÂÈÚÒÓ, ȉȷÈÙ¤Úˆ˜ ÙÔ Úfi‚ÏËÌ· ·Ó··Ú·ÛÙ¿Ûˆ˜ ‰Â‰Ô̤Ó˘ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜ ·fi ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈ΋ ÛÂÈÚ¿, ¤¯ÂÈ ˆ˜ ·ÊÂÙËÚ›· Ê˘ÛÈο ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· fiˆ˜ Ë ıˆڛ· Ù·Ï·ÓÙÒÛÂˆÓ Î·È Ë ıˆڛ· ·ÁˆÁ‹˜ ıÂÚÌfiÙËÙ·˜. (H Ú·ÁÌ·Ù›· ÙÔ˘ Fourier «Théorie analytique de chaleur» Â͉fiıË ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1822). T· ‰‡ÛÎÔÏ· Î·È ÏÂÙ¿ ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· Ô˘ ·Ó¤Î˘„·Ó ·fi ÙËÓ ÌÂϤÙË Ù¤ÙÔÈˆÓ ıÂÌ¿ÙˆÓ Â›¯·Ó ˆ˜ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· ÙËÓ ÂȘ ‚¿ıÔ˜ ·Ó·ıÂÒÚËÛË Î·È ÙËÓ ÂÎ Ó¤Ô˘ ‰È·ÌfiÚʈÛË Ù˘ ıˆڛ·˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ Ì›·˜ ÌÂÙ·‚ÏËÙ‹˜. MÂٷ͇ ÙˆÓ ÂͯfiÓÙˆÓ Ì·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ, Ù· ÔÓfiÌ·Ù· ÙˆÓ Riemann, Cantor Î·È Lebesgue Û˘Ó‰¤ÔÓÙ·È ÛÙÂÓ¿ Ì ·˘Ùfi ÙÔ Â‰›Ô ÂÈÛÙËÌÔÓÈ΋˜ ¤Ú¢ӷ˜, ÙÔ ÔÔ›Ô, ÛÙË ÛËÌÂÚÈÓ‹ ÂÔ¯‹ Ì fiϘ ÙȘ ÁÂÓÈ·ÛÂȘ Î·È ‰È·ÎÏ·‰ÒÛÂȘ Ô˘ ¤¯ÂÈ, ÌÔÚ› Ó· ıˆÚËı› fiÙÈ Î·Ù¤¯ÂÈ ÎÂÓÙÚÈ΋ ı¤ÛË ÛÙËÓ ÔÏfiÙËÙ· Ù˘ M·ıËÌ·ÙÈ΋˜ AӷχÛˆ˜. £· ·ÚÎÂÛÙԇ̠ÛÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ÔÚÈÛÌ¤ÓˆÓ ıˆÚËÌ¿ÙˆÓ, Ù· ÔÔ›· Â›Ó·È Â‡ÎÔÏ· ÚÔÛ‚¿ÛÈÌ· ̤ۈ ÙˆÓ ÌÂıfi‰ˆÓ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ·Ó·Ù˘¯ı› ÛÙ· ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ· ÎÂÊ¿Ï·È· ÙÔ˘ ‚È‚Ï›Ô˘. °È· ÙËÓ ‰ÈÂÍ·ÁˆÁ‹ Ì›·˜ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔ ·˘ÛÙËÚ‹˜ ÌÂϤÙ˘, ÙÔ Î·Ù¿ Lebesgue ÔÏÔÎϋڈ̷ ·ÔÙÂÏ› ÙÔ Ê˘ÛÈÔÏÔÁÈÎfi Î·È ··Ú·›ÙËÙÔ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi ÂÚÁ·Ï›Ô. ¶·Ú¿ Ù· ‚·ÚÈ¿ ηı‹ÎÔÓÙ¿ ÙÔ˘, Ô Fourier Û˘Ó¤¯ÈÛ ÙȘ Ì·ıËÌ·ÙÈΤ˜ ÌÂϤÙ˜ ÙÔ˘ Î·È ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1804 Û˘Ó¤ÁÚ·„ ̛· ÂÚÁ·Û›· Ô˘ Û˘Ófi„È˙ ÙȘ ¤Ú¢Ӥ˜ ÙÔ˘ ÛÙȘ ·ÚÈıÌËÙÈΤ˜ ÂÍÈÛÒÛÂȘ. TÔ ¤ÙÔ˜ 1812 Ô Fourier ˘¤‚·Ï ÛÙËÓ Aη‰ËÌ›· ÙˆÓ EÈÛÙËÌÒÓ ÙˆÓ ¶·ÚÈÛ›ˆÓ Ì›· ÌÂϤÙË ÂÚ› Ù˘ ·ÁˆÁ‹˜ ıÂÚÌfiÙËÙ·˜, ÙÔÓ Úfi‰ÚÔÌÔ Ù˘ ÊËÌÈṲ̂Ó˘ ÂÚÁ·Û›·˜ ÙÔ˘, Î·È ·¤Û·Û ÙÔ M¤Á· BÚ·‚Â›Ô Ù˘ Aη‰ËÌ›·˜. OÈ ÎÚÈÙ¤˜ Pierre Simon Laplace (1749-1827), Lagrange Î·È Adrien Marie Legendre (1752-1833) ›¯·Ó ·Ú¯Èο ÂÈÊ˘Ï¿ÍÂȘ Û¯ÂÙÈο Ì ÙËÓ ·˘ÛÙËÚfiÙËÙ· ÙˆÓ Û˘ÏÏÔÁÈÛÌÒÓ ÙÔ˘, fï˜ ÂÓ Ù¤ÏÂÈ ÙÔ˘ ·¤ÓÂÈÌ·Ó ÙÔ ‚Ú·‚›Ô, ·ÓÙÈÏ·Ì‚·ÓfiÌÂÓÔÈ ÙË ÛÔ˘‰·ÈfiÙËÙ· Ù˘ ÂÚÁ·Û›·˜ ÙÔ˘ Fourier. TÔ ¤ÙÔ˜ 1822 o Fourier ÂÍÂϤÁË MfiÓÈÌÔ˜ °Ú·ÌÌ·Ù¤·˜ Ù˘ Aη‰ËÌ›·˜ ÙˆÓ EÈÛÙËÌÒÓ ÙˆÓ ¶·ÚÈÛ›ˆÓ Î·È Âͤ‰ˆÛ ÙË ÊËÌÈṲ̂ÓË ÂÚÁ·Û›· ÙÔ˘ «Théorie Analytique de Chaleur» («AÓ·Ï˘ÙÈ΋ £ÂˆÚ›· Ù˘ £ÂÚÌfiÙËÙ·˜»), Ë ÔÔ›· η٤¯ÂÈ ÂÚ›ÔÙË ı¤ÛË ÛÙËÓ ÈÛÙÔÚ›· ÙˆÓ M·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ.
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∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
∞Ú¯Èο, ı· ÌÂÏÂÙ‹ÛÔ˘Ì ÁÂÓÈÎfiÙÂÚ· Û‡ÓÔÏ· Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ Ù· ÔÔ›· η٤¯Ô˘Ó ȉÈfiÙËÙ· ·Ó¿ÏÔÁË Ù˘ (61). OÚÈÛÌfi˜ 8.10. £ÂˆÚԇ̛̠· ·ÎÔÏÔ˘ı›· ÌÈÁ·‰ÈÎÒÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ {φn } (n = 1, 2, 3, . . . ), ÔÚÈÛÌ¤ÓˆÓ Î·È ÔÏÔÎÏËÚÒÛÈÌˆÓ ÛÙÔ [a, b]. H ·ÎÔÏÔ˘ı›· ·˘Ù‹ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÔÚıÔÁÒÓÈÔ Û‡ÓÔÏÔ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ ÛÙÔ [a, b] Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ÁÈ· ÔÔÈÔ˘Û‰‹ÔÙ ıÂÙÈÎÔ‡˜ ·Î¤Ú·ÈÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ n, m Ì n = m ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ
b
φn (x)φm (x)d x = 0.
(64)
a
H ·ÎÔÏÔ˘ı›· {φn } (n = 1, 2, 3, . . . ) ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÔÚıÔηÓÔÓÈÎfi Û‡ÓÔÏÔ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ ÛÙÔ [a, b] Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ÈÛ¯‡ÂÈ ÂÈÚÔÛı¤Ùˆ˜ fiÙÈ
b
|φn (x)|2 d x = 1
(65)
a
ÁÈ· οı ıÂÙÈÎfi ·Î¤Ú·ÈÔ ·ÚÈıÌfi n. 1 E› ·Ú·‰Â›ÁÌ·ÙÈ, ÔÈ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ (2π )− 2 einx (n = 1, 2, 3, . . . ) Û˘ÓÈÛÙÔ‡Ó ÔÚıÔηÓÔÓÈÎfi Û‡ÓÔÏÔ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ ÛÙÔ [−π, π]. TÔ ›‰ÈÔ ÈÛ¯‡ÂÈ Î·È ÁÈ· ÙȘ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ 1 cos x sin x cos 2x sin 2x √ , √ , √ , √ , √ ,··· . π π π π 2π £ÂˆÚԇ̠¤Ó· ÔÚıÔηÓÔÓÈÎfi Û‡ÓÔÏÔ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ {φn } (n = 1, 2, 3, . . . ) ÛÙÔ [a, b] Î·È Ì›· ÌÈÁ·‰È΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË f , ÔÚÈṲ̂ÓË Î·È ÔÏÔÎÏËÚÒÛÈÌË ÛÙÔ [a, b]. °È· n = 1, 2, 3, . . . oÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi cn =
b
f (t)φn (t)dt
(66)
a
n ٿ͈˜ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹ Fourier Ù˘ f ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ ÔÚıÔηÓÔÓÈÎfi Û‡ÓÔÏÔ {φn } (n = 1, 2, 3, . . . ). °Ú¿ÊÔ˘Ì f ∼
∞
cn φn
(67)
n=1
Î·È ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ÙË ÛÂÈÚ¿ ·˘Ù‹ ÛÂÈÚ¿ Fourier Ù˘ f ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ ÔÚıÔηÓÔÓÈÎfi Û‡ÓÔÏÔ {φn } (n = 1, 2, 3, . . . ).
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™ËÌÂÈÒÓÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ Û‡Ì‚ÔÏÔ ∼ ÛÙËÓ (67) ‰ÂÓ ˘ÔÓÔ› Ù›ÔÙ ۯÂÙÈÎfi Ì ÙË Û‡ÁÎÏÈÛË Ù˘ ÛÂÈÚ¿˜. AÏÒ˜ ‰ËÏÒÓÂÈ fiÙÈ ÔÈ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ¤˜ Ù˘ ÛÂÈÚ¿˜ ‰›‰ÔÓÙ·È ·fi ÙËÓ (66). T· ·ÎfiÏÔ˘ı· ıˆڋ̷ٷ Ê·ÓÂÚÒÓÔ˘Ó fiÙÈ Ù· ÌÂÚÈο ·ıÚÔ›ÛÌ·Ù· Ù˘ ÛÂÈÚ¿˜ Fourier Ù˘ f η٤¯Ô˘Ó Ì›· ȉÈfiÙËÙ· ÂÏ·¯›ÛÙÔ˘. Œˆ˜ ÙÔ Ù¤ÏÔ˜ Ù˘ ÂÓfiÙËÙ·˜ ı· ıˆÚԇ̠fiÙÈ f Â›Ó·È Ì›· ÌÈÁ·‰È΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ì f ∈ R ÛÙÔ [a, b], ·Ó Î·È ÌÔÚ› Ó· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈËı› ·ÛıÂÓ¤ÛÙÂÚË ˘fiıÂÛË. £ÂÒÚËÌ· 8.11. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ {φn } (n = 1, 2, 3, . . . ) Â›Ó·È ¤Ó· ÔÚıÔηÓÔÓÈÎfi Û‡ÓÔÏÔ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ ÛÙÔ [a, b]. °È· ¤Ó·Ó ıÂÙÈÎfi ·Î¤Ú·ÈÔ ·ÚÈıÌfi n, ·˜ Â›Ó·È sn =
n
cm φm
(68)
m=1
ÙÔ n ٿ͈˜ ÌÂÚÈÎfi ¿ıÚÔÈÛÌ· Ù˘ ÛÂÈÚ¿˜ Fourier Ù˘ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜ f . YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ γ1 , . . . , γn Â›Ó·È ÌÈÁ·‰ÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›. £¤ÙÔ˘Ì tn =
n
γm φm .
(69)
m=1
TfiÙÂ, ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ
b
| f − sn | d x ≤ 2
a
b
| f − tn |2 d x.
(70)
a
H ÈÛfiÙËÙ· ÛÙËÓ (70) ÈÛ¯‡ÂÈ Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó γm = cm
(m = 1, . . . , n).
(71)
¢ËÏ·‰‹, ÌÂٷ͇ ÙˆÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ tn , Ë sn ·ÔÙÂÏ› ÙËÓ ‚¤ÏÙÈÛÙË ‰˘Ó·Ù‹ ̤ÛË ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈ΋ ÚÔÛ¤ÁÁÈÛË Ù˘ f . Afi‰ÂÈÍË. ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi ÙˆÓ c1 , . . . , cn ¤¯Ô˘Ì fiÙÈ a
b
f tn d x =
b
f a
n m=1
γm φm d x =
n m=1
cm γm d x.
292
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
EÊfiÛÔÓ ÙÔ {φn } (n = 1, 2, 3, . . . ) Â›Ó·È ÔÚıÔηÓÔÓÈÎfi Û‡ÓÔÏÔ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛˆÓ, b b b n n n 2 |tn | d x = tn tn d x = γm φm γk φk d x = |γm |2 . a
a
a m=1
EÔ̤ӈ˜, b 2 | f − tn | d x = a
b
| f | dx −
a
b
=
b
a n
| f |2 d x −
a
=
b
2
| f |2 d x −
a
m=1 n
k=1
m=1
f tn d x − cm γm − |cm |2 +
m=1
b
a n m=1 n
f¯tn d x + c m γm +
b
a n
|tn |2 d x
γm γ m
m=1
|γm − cm |2 .
m=1
b b EÊfiÛÔÓ a | f − sn |2 d x = a | f |2 d x − nm=1 |cm |2 , ÚÔ·ÙÂÈ Ë ˙ËÙÔ‡ÌÂÓË ·ÓÈÛfiÙËÙ·. Afi Ù· ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ· Â›Ó·È ÚÔÊ·Ó¤˜ fiÙÈ Ë ÈÛfiÙËÙ· ÈÛ¯‡ÂÈ Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó γm = cm ÁÈ· οı m = 1, . . . , n. £¤ÙÔÓÙ·˜ ÛÙÔ ·Ú·¿Óˆ γm = cm ÁÈ· οı m = 1, . . . , n, Ï·Ì‚¿ÓÔ˘Ì fiÙÈ b b n 2 2 |sn | d x = |cm | ≤ | f |2 d x, (72) a
ÂÊfiÛÔÓ
b a
a
m=1
| f − tn |2 d x ≥ 0.
£ÂÒÚËÌ· 8.12. E¿Ó {φn } (n = 1, 2, 3, . . . ) Â›Ó·È ¤Ó· ÔÚıÔηÓÔÓÈÎfi Û‡ÓÔÏÔ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ ÛÙÔ [a, b] Î·È Â¿Ó f ∼
∞
cn φn ,
n=1
ÙfiÙÂ ∞
|cn | ≤ 2
b
| f (x)|2 d x.
(73)
a
n=1
I‰È·ÈÙ¤Úˆ˜, lim cn = 0.
n→∞
(74)
OPI™MENE™ EI¢IKOY TY¶OY ™YNAPTH™EI™ 293
Afi‰ÂÈÍË. §·Ì‚¿ÓÔÓÙ·˜ n → ∞ ÛÙËÓ (72) ·ÔÎÙԇ̠ÙËÓ (73). H ·ÓÈÛfiÙËÙ· (73) ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ·ÓÈÛfiÙËÙ· ÙÔ˘ Bessel 5 . 8.13 TÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈΤ˜ ÛÂÈÚ¤˜. EÊÂÍ‹˜, ı· ÂÚÁ·˙fiÌ·ÛÙ ÌfiÓÔ Ì ÙÔ ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎfi Û‡ÛÙËÌ· Û˘Ó·ÚÙ‹ÛˆÓ. £· ıˆÚÔ‡ÌÂ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ f ÂÚÈfi‰Ô˘ 2π , ÔÈ Ôԛ˜ Â›Ó·È ÔÏÔÎÏËÚÒÛÈ̘ ÛÙÔ [−π, π] (Î·È Û˘ÓÂÒ˜ Û οı ÎÏÂÈÛÙfi Î·È ÊÚ·Á̤ÓÔ ‰È¿ÛÙËÌ·). ™Â ·˘Ù‹Ó ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË, Ë ÛÂÈÚ¿ Fourier Ù˘ f Â›Ó·È Ë (63) fiÔ˘ ÔÈ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ¤˜ . . . , c−2 , c−1 , c0 , c1 , c2 , . . . ‰›‰ÔÓÙ·È ·fi ÙËÓ (62). °È· x ∈ [−π, π ] Î·È ÌË ·ÚÓËÙÈÎfi ·Î¤Ú·ÈÔ ·ÚÈıÌfi N ı· Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì Ì s N (x) = s N ( f, x) =
N
cn einx
(75)
n=−N
ÙÔ N ٿ͈˜ ÌÂÚÈÎfi ¿ıÚÔÈÛÌ· Ù˘ ÛÂÈÚ¿˜ Fourier Ù˘ f . H ·ÓÈÛfiÙËÙ· (72) Ï·Ì‚¿ÓÂÈ ÙÒÚ· ÙË ÌÔÚÊ‹ π π N 1 1 2 2 |s N (x)| d x = |cn | ≤ | f (x)|2 d x. (76) 2π −π 2π −π n=−N °È· Ó· ·ÔÎÙ‹ÛÔ˘Ì ̛· ÈÔ Â‡¯ÚËÛÙË ÌÔÚÊ‹ ÁÈ· ÙÔ ÌÂÚÈÎfi ¿ıÚÔÈÛÌ· N ٿ͈˜ s N , ÂÈÛ¿ÁÔ˘Ì ÙÔÓ ˘Ú‹Ó· ÙÔ˘ Dirichlet D N , Ô˘ ÔÚ›˙ÂÙ·È ˆ˜ ÂÍ‹˜: ÁÈ· x ∈ [−π, π ] D N (x) =
N n=−N
5
einx =
sin(N + 12 )x . sin(x/2)
(77)
™. Ù. M.: Friedrich Wilhelm Bessel (1784-1846). °ÂÚÌ·Ófi˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi˜ Î·È ·ÛÙÚÔÓfiÌÔ˜. ø˜ Ó·Úfi˜, Ô Bessel ÂÓÙÚ‡ÊËÛ ÛÙËÓ ÂÎÌ¿ıËÛË ÁψÛÛÒÓ, ÛÙË °ÂˆÁÚ·Ê›· Î·È ·ÚÁfiÙÂÚ· ÂÛÙÚ¿ÊË ÛÙË ÛÔ˘‰‹ Ù˘ AÛÙÚÔÓÔÌ›·˜ Î·È ÙˆÓ M·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ. ™ÙËÓ ËÏÈΛ· ÙˆÓ 20 ÂÙÒÓ, Ô Bessel ηıfiÚÈÛ ÙËÓ ÙÚԯȿ ÙÔ˘ ÎÔÌ‹ÙË ÙÔ˘ Halley (Ô ÔÔ›Ô˜ ¤Ï·‚ ÙËÓ ÔÓÔÌ·Û›· ÙÔ˘ ·fi ÙÔÓ ·ÛÙÚÔÓfiÌÔ Edmund Halley (1656-1743)) ·fi ·Ú·ÙËÚ‹ÛÂȘ Ô˘ ›¯·Ó Á›ÓÂÈ ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1607. To ¤ÙÔ˜ 1810 Ô Bessel ‰ÈÔÚ›ÛıËΠ‰È¢ı˘ÓÙ‹˜ ÙÔ˘ ·ÛÙÂÚÔÛÎÔ›Ԣ ÙÔ˘ Königsberg Î·È ¤Ï·‚ ÙÔ ‰È‰·ÎÙÔÚÈÎfi ÙÔ˘ ‰›ÏˆÌ· ·fi ÙÔ ¶·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ ÙÔ˘ Göttingen. ¶·Ú¤ÌÂÈÓ ÛÙÔ Königsberg ¤ˆ˜ ÙÔ Ù¤ÏÔ˜ Ù˘ ˙ˆ‹˜ ÙÔ˘. MÂϤÙËÛ ÙȘ ı¤ÛÂȘ Î·È ÙËÓ Î›ÓËÛË ÂÚÈÛÛÔÙ¤ÚˆÓ ·fi 50.000 ·ÛÙ¤Ú˜. To ¤ÙÔ˜ 1817, ÌÂÏÂÙÒÓÙ·˜ ¤Ó· Úfi‚ÏËÌ· ÙÔ˘ ·Û›ÁÓˆÛÙÔ˘ ·ÛÙÚÔÓfiÌÔ˘ Johannes Kepler (1571-1630), Ô Bessel ÂÈÛ‹Á·Á ÙȘ ÏÂÁfiÌÂÓ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ Bessel. O Bessel ·Ó¤Ù˘ÍÂ, ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1824, ÂÚ·ÈÙ¤Úˆ ÙË ıˆڛ· ÙˆÓ ÊÂÚÒÓ˘ÌˆÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛˆÓ. AÓ·Î¿Ï˘„Â, ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1838, ÙËÓ ·ÛÙÚÈ΋ ·Ú¿ÏÏ·ÍË 61 Cygni.
294
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
H ÚÒÙË ·fi ·˘Ù¤˜ ÙȘ ÈÛfiÙËÙ˜ ·ÔÙÂÏ› ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi Ù˘ D N . H ‰Â‡ÙÂÚË ÚÔ·ÙÂÈ fiÙ·Ó ÔÈ ‰‡Ô Ï¢ڤ˜ ÙȘ ÈÛfiÙËÙ·˜ (ei x − 1)D N (x) = ei(N +1)x − e−i N x ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛıÔ‡Ó Ì e−i x/2 , fiÔ˘ x ∈ [−π, π ]. ™‡Ìʈӷ Ì ÙȘ (62) Î·È (75), ÁÈ· x ∈ [−π, π ] Î·È ÌË ·ÚÓËÙÈÎfi ·Î¤Ú·ÈÔ ·ÚÈıÌfi N ¤¯Ô˘Ì π N 1 −int s N ( f, x) = f (t)e dt einx 2π −π n=−N 1 = 2π Î·È ÂÔ̤ӈ˜ 1 s N ( f, x) = 2π
π
−π
π
−π
f (t)
N
e
in(x−t)
dt
n=−N
1 f (t)D N (x − t)dt = 2π
π
−π
f (x − t)D N (t)dt.
(78)
H ÂÚÈÔ‰ÈÎfiÙËÙ· ÙˆÓ ÂÌÏÂÎÔÌ¤ÓˆÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ ÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· ÔÏÔÎÏËÚÒÛˆ˜ Â›Ó·È ÂÔ˘ÛÈ҉˜, ·ÚΛ Ó· ¤¯ÂÈ Ì‹ÎÔ˜ 2π . A˘Ùfi Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ Ù· ÔÏÔÎÏËÚÒÌ·Ù· ÛÙËÓ (78) Â›Ó·È fiÓÙˆ˜ ›Û·. £· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì ¤Ó· ıÂÒÚËÌ· ÁÈ· ÙËÓ Î·Ù¿ ÛËÌÂ›Ô Û‡ÁÎÏÈÛË ÙˆÓ ÛÂÈÚÒÓ Fourier. £ÂÒÚËÌ· 8.14. E¿Ó ÁÈ· οÔÈÔ x ∈ [−π, π ] ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÛÙ·ıÂÚ¤˜ δ > 0 Î·È M Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ | f (x + t) − f (x)| ≤ M|t|
(79)
ÁÈ· οı t ∈ (−δ, δ), ÙfiÙ lim s N ( f, x) = f (x).
N →∞
(80)
Afi‰ÂÈÍË. £ÂˆÚԇ̠ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË g ÛÙÔ [−π, π ] Ô˘ ÔÚ›˙ÂÙ·È ˆ˜ ÂÍ‹˜: E¿Ó t ∈ [−π, π ] Ì t = 0, ÙfiÙ g(t) =
f (x − t) − f (x) . sin(t/2)
(81)
OPI™MENE™ EI¢IKOY TY¶OY ™YNAPTH™EI™ 295
E›Û˘, g(0) = 0. ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔÓ OÚÈÛÌfi (77), ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ π 1 D N (x)d x = 1 2π −π ÁÈ· οı ÌË ·ÚÓËÙÈÎfi ·Î¤Ú·ÈÔ ·ÚÈıÌfi N . ™˘ÓÂÒ˜, Ë (78) Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ π 1 1 tdt s N ( f, x) − f (x) = g(t) sin N + 2π −π 2 π π 1 1 t t = sin(N t)dt + cos(N t)dt g(t) cos g(t) sin 2π −π 2 2π −π 2 ÁÈ· οı ÌË ·ÚÓËÙÈÎfi ·Î¤Ú·ÈÔ ·ÚÈıÌfi N . ™‡Ìʈӷ Ì ÙȘ (79) Î·È (81), ÔÈ g(t) cos(t/2) Î·È g(t) sin(t/2) Â›Ó·È ÊÚ·Á̤Ó˜. ™˘ÓÂÒ˜, Ù· ÙÂÏÂ˘Ù·›· ÔÏÔÎÏËÚÒÌ·Ù· Û˘ÁÎÏ›ÓÔ˘Ó ÚÔ˜ ÙÔ 0 ηıÒ˜ N → ∞, Û‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ (74). A˘Ùfi ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÈ ÙËÓ (80). ¶fiÚÈÛÌ·. E¿Ó f (x) = 0 ÁÈ· οı x Û ¤Ó· ·ÓÔÈÎÙfi ‰È¿ÛÙËÌ· J , ÙfiÙ lim N →∞ s N ( f, x) = 0, ÁÈ· οı x ∈ J . TÔ ·Ú·¿Óˆ fiÚÈÛÌ· ÌÔÚ› Ó· Ï¿‚ÂÈ Î·È ÙËÓ ÂÍ‹˜ ‰È·Ù‡ˆÛË: E¿Ó f (t) = g(t) ÁÈ· οı t Û ̛· ÂÚÈÔ¯‹ ÙÔ˘ x, ÙfiÙ s N ( f, x) − s N (g, x) = s N ( f − g, x) → 0 ηıÒ˜ N → ∞.
TÔ ·Ú·¿Óˆ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Û˘Ó‹ıˆ˜ ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ÂÈÙÔ›Ûˆ˜. º·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ, ÁÈ· x ∈ [−π, π ], Ë Û˘ÌÂÚÈÊÔÚ¿ Ù˘ ·ÎÔÏÔ˘ı›·˜ {s N ( f, x)} (N = 0, 1, 2, . . . ) fiÛÔÓ ·ÊÔÚ¿ ÙË Û‡ÁÎÏÈÛË ÂÍ·ÚÙ¿Ù·È ·fi ÙȘ ÙÈ̤˜ Ù˘ f Û ̛· (ÔÛÔ‰‹ÔÙ ÌÈÎÚ‹) ÂÚÈÔ¯‹ ÙÔ˘ x. ¢‡Ô ÛÂÈÚ¤˜ Fourier ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ¤¯Ô˘Ó ÙËÓ ›‰È· Û˘ÌÂÚÈÊÔÚ¿ Û ¤Ó· ‰È¿ÛÙËÌ· Î·È ÙÂÏ›ˆ˜ ‰È·ÊÔÚÂÙÈ΋ Û οÔÈÔ ¿ÏÏÔ. ™˘ÓÂÒ˜, ˘¿Ú¯ÂÈ Ì›· ·ÍÈÔÛËÌ›ˆÙË ·ÓÙ›ıÂÛË ÌÂٷ͇ ÙˆÓ ÛÂÈÚÒÓ Fourier Î·È ÙˆÓ ‰˘Ó·ÌÔÛÂÈÚÒÓ (·Ó·ÙÚ¤ÍÙ ÛÙÔ £ÂÒÚËÌ· 8.5). £· ÎÏ›ÛÔ˘Ì ÙËÓ ÂÓfiÙËÙ· Ì ‰‡Ô ıˆڋ̷ٷ ÚÔÛÂÁÁ›Ûˆ˜. £ÂÒÚËÌ· 8.15. E¿Ó Ë f Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ì ÂÚ›Ô‰Ô 2π Î·È Â¿Ó ε > 0, ÙfiÙ ˘¿Ú¯ÂÈ ¤Ó· ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ P Ì |P(x) − f (x)| < ε
296
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
ÁÈ· οı ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi x. Afi‰ÂÈÍË. E¿Ó ÁÈ· οı ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi x Ù·˘Ù›ÛÔ˘Ì ÙÔ x Ì ÙÔ x + 2π , ÙfiÙ ÌÔÚԇ̠ӷ ıˆڋÛÔ˘Ì ÙȘ ÔÚÈṲ̂Ó˜ ÛÙÔÓ R 1 Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ ÂÚÈfi‰Ô˘ 2π ˆ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ ÔÚÈṲ̂Ó˜ ÛÙÔÓ ÌÔÓ·‰È·›Ô ·ÎÏÔ ÙÔ˘ ÂȤ‰Ô˘ T , ̤ۈ Ù˘ ·ÂÈÎÔÓ›Ûˆ˜ x → ei x (x ∈ R 1 ). T· Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÒÓ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ, ‰ËÏ·‰‹ ÙˆÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ (60), ·ÔÙÂÏÔ‡Ó Ì›· ·˘ÙÔÂÈÛ˘Ó·Ù‹ ¿ÏÁ‚ڷ A, Ë ÔÔ›· ‰È·¯ˆÚ›˙ÂÈ Ù· ÛËÌ›· ÙÔ˘ T Î·È ‰ÂÓ ÌˉÂÓ›˙ÂÙ·È Û ηӤӷ ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ T . EÊfiÛÔÓ ÙÔ T Â›Ó·È Û˘Ì·Á¤˜, ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 7.33 Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ Ë A Â›Ó·È ˘ÎÓ‹ ÛÙÔÓ C(T ). A˘Ùfi˜ ·ÎÚÈ‚Ò˜ Â›Ó·È Ô ÈÛ¯˘ÚÈÛÌfi˜ ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜. M›· ·ÎÚÈ‚¤ÛÙÂÚË ÌÔÚÊ‹ ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ ÂÌÊ·Ó›˙ÂÙ·È ÛÙËÓ ÕÛÎËÛË 15. 8.16 TÔ ıÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Parseval6 . E¿Ó f , g Â›Ó·È Î·Ù¿ Riemann ÔÏÔÎÏËÚÒÛÈ̘ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ ÂÚÈfi‰Ô˘ 2π Î·È Â¿Ó ∞
f (x) ∼
cn einx ,
∞
g(x) ∼
n=−∞
γn einx ,
(82)
n=−∞
ÙfiÙ ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ
1 lim N →∞ 2π 1 2π
π
−π π
−π
| f (x) − s N ( f, x)|2 d x = 0,
f (x)g(x)d x =
∞
c n γn ,
(83)
(84)
n=−∞
Î·È 1 2π
6
π
−π
| f (x)|2 d x =
∞
|cn |2 .
(85)
n=−∞
™. Ù. M.: Marc Antoine Parseval des Chênes (1755-1836). °¿ÏÏÔ˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi˜. ™˘Ó¤ÁÚ·„ ÌfiÓÔ ¤ÓÙ ÂÚÁ·Û›Â˜, ÔÈ Ôԛ˜ ›¯·Ó ÛËÌ·ÓÙÈΤ˜ ÂÊ·ÚÌÔÁ¤˜ ÛÙË ıˆڛ· ÙˆÓ ™ÂÈÚÒÓ Fourier. O Parseval ›¯Â ¤ÓÙÔÓË ÔÏÈÙÈ΋ ‰Ú¿ÛË Î·È ˘¤ÛÙË ‰ÈˆÁÌÔ‡˜ ÁÈ· ÙȘ ÊÈÏÔ‚·ÛÈÏÈΤ˜ ÂÔÈı‹ÛÂȘ ÙÔ˘.
OPI™MENE™ EI¢IKOY TY¶OY ™YNAPTH™EI™ 297
Afi‰ÂÈÍË. °È· Ì›· ÔÏÔÎÏËÚÒÛÈÌË Û˘Ó¿ÚÙËÛË h ÛÙÔ [−π, π ] ÂÈÛ¿ÁÔ˘Ì ÙÔÓ Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌfi h2 =
1 2π
π
−π
1/2 |h(x)| d x . 2
(86)
£ÂˆÚԇ̠ε > 0. EÊfiÛÔÓ f ∈ R ÛÙÔ [−π, π ] Î·È f (π ) = f (−π ), ·fi ÙËÓ Î·Ù·Û΢‹ Ô˘ ÂÚÈÁÚ¿ÊËΠÛÙËÓ ÕÛÎËÛË 12 ÙÔ˘ KÂÊ·Ï·›Ô˘ 6 ÚÔ·ÙÂÈ Ë ‡·ÚÍË Û˘Ó¯ԇ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜ h, ÂÚÈfi‰Ô˘ 2π , Ì f − h2 < ε.
(87)
™‡Ìʈӷ Ì ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 8.15, ˘¿Ú¯ÂÈ ¤Ó· ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ P Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ |h(x) − P(x)| < ε ÁÈ· οı x ∈ [−π, π ]. ™˘ÓÂÒ˜, ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ h − P2 < ε. E¿Ó ÙÔ P ¤¯ÂÈ ‚·ıÌfi N0 , ÙfiÙ ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 8.11 Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ h − s N (h)2 ≤ h − P2 < ε
(88)
ÁÈ· οı ÌË ·ÚÓËÙÈÎfi ·Î¤Ú·ÈÔ ·ÚÈıÌfi N Ì N ≥ N0 . ™‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ (72), Ì ÙËÓ h − f ÛÙË ı¤ÛË Ù˘ f , ¤¯Ô˘Ì fiÙÈ s N (h) − s N ( f )2 = s N (h − f )2 ≤ h − f 2 < ε
(89)
ÁÈ· οı ÌË ·ÚÓËÙÈÎfi ·Î¤Ú·ÈÔ ·ÚÈıÌfi N . TÒÚ·, Ë ÙÚÈÁˆÓÈ΋ ·ÓÈÛfiÙËÙ· (ÕÛÎËÛË 11 ÙÔ˘ KÂÊ·Ï·›Ô˘ 6), Û˘Ó‰˘·˙fiÌÂÓË Ì ÙȘ (87), (88) Î·È (89), Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ f − s N ( f )2 < 3ε
(N ≥ N0 ).
(90)
A˘Ùfi ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÈ ÙËÓ (83). EÓ Û˘Ó¯›·, ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ 1 2π
N
π
1 s N ( f, x)g(x)d x = cn 2π −π n=−N =
N n=−N
cn γn
π
−π
einx g(x)d x
(91)
298
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
Î·È Ë ·ÓÈÛfiÙËÙ· ÙÔ˘ Schwarz Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ π π π f gd x − s N ( f )gd x ≤ | f − s N ( f )||g|d x −π
−π
−π
≤
π
−π
| f − sN | d x 2
π −π
(92) 1/2 |g| d x , 2
Ë ÔÔ›· Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÚÔ˜ ÙÔ 0 ηıÒ˜ N → ∞, Û‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ (83). ™˘ÁÎÚ›ÓÔÓÙ·˜ ÙȘ (91) Î·È (92), Û˘Ó¿ÁÔ˘Ì ÙËÓ (84). TÂÏÈο, Ë (85) Â›Ó·È ÂȉÈ΋ ÂÚ›ÙˆÛË Ù˘ (84), ÁÈ· g = f M›· ÁÂÓÈÎfiÙÂÚË ÂΉԯ‹ ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 8.16 ˘¿Ú¯ÂÈ ÛÙÔ KÂÊ¿Ï·ÈÔ 11.
H ™YNAPTH™H °AMMA
H Û˘Ó¿ÚÙËÛË ·˘Ù‹ Û¯ÂÙ›˙ÂÙ·È ÛÙÂÓ¿ Ì ٷ ·Ú·ÁÔÓÙÈο Î·È ·Ó·Ê‡ÂÙ·È Ì ·ÚfiÛÌÂÓÔ ÙÚfiÔ Û ‰È¿ÊÔÚ˜ ÂÚÈÔ¯¤˜ Ù˘ AӷχÛˆ˜. H ÂÌÊ¿ÓÈÛË, Ë ÈÛÙÔÚÈ΋ ‰È·‰ÚÔÌ‹ Î·È Ë ·Ó¿Ù˘Í‹ Ù˘ ÂÚÈÁÚ¿ÊÂÙ·È Û ¤Ó· ÂӉȷʤÚÔÓ ¿ÚıÚÔ ÙÔ˘ P. J. Davis (Amer. Math. Monthly, vol. 66, 1959, pp. 849-869). TÔ ‚È‚Ï›Ô ÙÔ˘ Artin, ÙÔ ÔÔ›Ô ·Ó·Ê¤ÚÂÙ·È ÛÙË BÈ‚ÏÈÔÁÚ·Ê›·, ·ÔÙÂÏ› Ì›· ηϋ ÛÙÔȯÂÈÒ‰Ë ÂÈÛ·ÁˆÁ‹ ÛÙÔ ı¤Ì·. H ·ÚÔ˘Û›·ÛË Ì·˜ ı· Â›Ó·È Û˘ÓÔÙÈ΋, Ì ϛÁ· Û¯fiÏÈ· ¤ÂÈÙ· ·fi οı ıÂÒÚËÌ·. H ÂÓfiÙËÙ· ·˘Ù‹ ÌÔÚ› Ó· ıˆÚËı› ˆ˜ ÂÎÙÂÓ‹˜ ¿ÛÎËÛË Î·È ˆ˜ ¢ηÈÚ›· ÁÈ· Ó· ÂÊ·ÚÌÔÛıÔ‡Ó ÔÈ Ì¤ıÔ‰ÔÈ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ·Ó·Ù˘¯ı› ÛÙ· ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ· ÎÂÊ¿Ï·È·. OÚÈÛÌfi˜ 8.17. °È· x ∈ (0, +∞) ÔÚ›˙Ô˘Ì ∞ (x) = t x−1 e−t dt.
(93)
0
°È· ·˘Ù¤˜ ÙÈ̤˜ ÙÔ˘ x ÙÔ ÔÏÔÎϋڈ̷ fiÓÙˆ˜ Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ. (E¿Ó x < 1, ÙfiÙ ڤÂÈ Ó· ÂÏÂÁ¯ıÔ‡Ó Â›Û˘ Ù· 0 Î·È ∞.)
OPI™MENE™ EI¢IKOY TY¶OY ™YNAPTH™EI™ 299
£ÂÒÚËÌ· 8.18. (·) °È· x ∈ (0, +∞) ÈÛ¯‡ÂÈ Ë ÈÛfiÙËÙ· (x + 1) = x(x). (‚) IÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ (n + 1) = n! ÁÈ· n = 1, 2, 3, . . . . (Á) H Û˘Ó¿ÚÙËÛË log Â›Ó·È Î˘ÚÙ‹ ÛÙÔ (0, +∞). Afi‰ÂÈÍË. M ÔÏÔÎÏ‹ÚˆÛË Î·Ù¿ ̤ÚË ·Ô‰ÂÈÎÓ‡Ô˘Ì ÙÔ (·). EÊfiÛÔÓ (1) = 1, ÙÔ (‚) ÚÔ·ÙÂÈ ·fi ÙÔ (·) Ì ·ÁˆÁ‹. E¿Ó p, q ∈ (1, +∞) Ì (1/ p) + (1/q) = 1, ÙfiÙ ÂÊ·ÚÌfi˙Ô˘Ì ÙËÓ ·ÓÈÛfiÙËÙ· ÙÔ˘ Hölder (ÕÛÎËÛË 10 ÙÔ˘ KÂÊ·Ï·›Ô˘ 6) ÛÙËÓ (93) Î·È Ï·Ì‚¿ÓÔ˘Ì fiÙÈ y x + ≤ (x)1/ p (y)1/q p q ÁÈ· οı x, y ∈ (0, +∞). A˘Ùfi Â›Ó·È ÈÛÔ‰‡Ó·ÌÔ Ì ÙÔ (Á). E›Ó·È ·ÚÎÂÙ¿ ÂÎÏËÎÙÈÎfi ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ ÔÈ ÙÚÂȘ ·˘Ù¤˜ ȉÈfiÙËÙ˜ ¯·Ú·ÎÙËÚ›˙Ô˘Ó ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ï‹Úˆ˜. TÔ ÁÂÁÔÓfi˜ ·˘Ùfi ·Ô‰Â›¯ıËΠ·fi ÙÔ˘˜ BÔhr7 Î·È MÔllerup8 . 7
™. Ù. M.: Harald August Bohr (1887-1951). ¢·Ófi˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi˜. A‰ÂÏÊfi˜ ÙÔ˘ ‰È·Û‹ÌÔ˘ Ê˘ÛÈÎÔ‡ Niels Bohr (1885-1962). EÚÁ¿ÛıËΠ۠ı¤Ì·Ù· Û¯ÂÙÈο Ì ÙȘ ÛÂÈÚ¤˜ Dirichlet Î·È ÙËÓ AÓ·Ï˘ÙÈ΋ £ÂˆÚ›· AÚÈıÌÒÓ. E›Û˘, ‹Ù·Ó Ô ‰ËÌÈÔ˘ÚÁfi˜ Ù˘ £ÂˆÚ›·˜ ÙˆÓ ™¯Â‰fiÓ ¶ÂÚÈÔ‰ÈÎÒÓ ™˘Ó·ÚÙ‹ÛˆÓ. O Bohr ÂÈÛ‹¯ıË ÛÙÔ ¶·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ Ù˘ KÔÂÁ¯¿Á˘ ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1904 Î·È ¤ÍË ¤ÙË ·ÚÁfiÙÂÚ· ¤Ï·‚ ÙÔÓ Ù›ÙÏÔ ÙÔ˘ ‰È‰¿ÎÙÔÚ·. K·Ù¿ Ù· ¤ÙË 1910 ¤ˆ˜ Î·È 1915 ‹Ù·Ó ˘ÊËÁËÙ‹˜ ÙÔ˘ ¶·ÓÂÈÛÙËÌ›Ô˘ Ù˘ KÔÂÁ¯¿Á˘. Afi ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1915 ¤ˆ˜ Î·È ÙÔ 1930 ‹Ù·Ó ηıËÁËÙ‹˜ M·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ ÛÙÔ ¶ÔÏ˘Ù¯ÓÂ›Ô Ù˘ KÔÂÁ¯¿Á˘. Afi ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1930 ¤ˆ˜ ÙÔÓ ı¿Ó·Ùfi ÙÔ˘ ‹Ù·Ó ηıËÁËÙ‹˜ M·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ ÛÙÔ ¶·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ Ù˘ KÔÂÁ¯¿Á˘. O Bohr Â›Ó·È Â›Û˘ ÁÓˆÛÙfi˜ ÁÈ· ÙËÓ ‚Ô‹ıÂÈ· Ô˘ ·Ú›¯Â ÚÔ˜ ÙÔ˘˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎÔ‡˜ Ô˘ ÂÁη٤ÏÂÈ·Ó ÙË °ÂÚÌ·Ó›·, ÏfiÁˆ Ù˘ ·Ófi‰Ô˘ ÙˆÓ N·˙› ÛÙËÓ ÂÍÔ˘Û›·, ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1933. AÛÎÔ‡Û ÌÂÁ¿ÏË ÂÈÚÚÔ‹ ÛÙË ‰ÈÂıÓ‹ Ì·ıËÌ·ÙÈ΋ ÎÔÈÓfiÙËÙ· Ù˘ ÂÔ¯‹˜ Î·È Û˘ÓÂÚÁ¿ÛıËΠ̠ÔÏÏÔ‡˜ ‰È¿ÛËÌÔ˘˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎÔ‡˜ ·Ó¿ ÙËÓ ˘Ê‹ÏÈÔ. Y‹ÚÍÂ Ô ÚÒÙÔ˜ Úfi‰ÚÔ˜ ÙÔ˘ ÚÒÙÔ˘ ÈÓÛÙÈÙÔ‡ÙÔ˘ M·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ Ô˘ ȉڇıËΠÛÙË ¢·Ó›·, ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1934. 8 ™. Ù. M.: Johannes Mollerup (1872-1937). ¢·Ófi˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi˜. ™Ô‡‰·Û ÛÙÔ ¶·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ Ù˘ KÔÂÁ¯¿Á˘, ·fi fiÔ˘ ¤Ï·‚ ÙÔ ÌÂÙ·Ù˘¯È·Îfi ÙÔ˘ ‰›ÏˆÌ· ÙÔ˘ ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1896 Î·È ÙÔ ‰È‰·ÎÙÔÚÈÎfi ÙÔ˘ ‰›ÏˆÌ· ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1903. TÚ›· ¤ÙË ·ÚÁfiÙÂÚ· Û˘Ó¤¯ÈÛ ÙȘ ÛÔ˘‰¤˜
300
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
£ÂÒÚËÌ· 8.19. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ f Â›Ó·È Ì›· ıÂÙÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÛÙÔ (0, +∞) Ì ÙȘ ÂÍ‹˜ ȉÈfiÙËÙ˜: (·) f (x + 1) = x f (x) ÁÈ· οı x ∈ (0, +∞). (‚) f (1) = 1. (Á) H log f Â›Ó·È Î˘ÚÙ‹. TfiÙÂ, f = . Afi‰ÂÈÍË. EÊfiÛÔÓ Ë ÈηÓÔÔÈ› Ù· (·), (‚) Î·È (Á) ÛÙË ı¤ÛË Ù˘ f , ·ÚΛ Ó· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ ÁÈ· οı x ∈ (0, +∞) Ë ÙÈÌ‹ f (x) ηıÔÚ›˙ÂÙ·È Î·Ù¿ ÌÔÓ·‰ÈÎfi ÙÚfiÔ ·fi Ù· (·), (‚) Î·È (Á). ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔ (·), ·ÚΛ Ó· ÙÔ ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì ·˘Ùfi ÁÈ· οı x ∈ (0, 1). £¤ÙÔ˘Ì φ = log f . TfiÙÂ, φ(x + 1) = φ(x) + log x
(x ∈ (0, +∞)),
(94)
φ(1) = 0 Î·È Ë φ Â›Ó·È Î˘ÚÙ‹. £ÂˆÚԇ̠ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi x Ì 0 < x < 1 Î·È ıÂÙÈÎfi ·Î¤Ú·ÈÔ ·ÚÈıÌfi n. ™‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ (94), ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ φ(n + 1) = log(n!). £ÂˆÚԇ̠ٷ Ëϛη ‰È·ÊÔÚÒÓ Ù˘ φ ÛÙ· ‰È·ÛÙ‹Ì·Ù· [n, n + 1], [n + 1, n + 1 + x], [n + 1, n + 2]. EÊfiÛÔÓ Ë φ Â›Ó·È Î˘ÚÙ‹, ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ log n ≤
φ(n + 1 + x) − φ(n + 1) ≤ log(n + 1). x
E·ÓÂÈÏËÌ̤ÓË ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ Ù˘ (94) Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ φ(n + 1 + x) = φ(x) + log[x(x + 1) · · · (x + n)]. ™˘ÓÂÒ˜, 1 n!n x ≤ x log 1 + . 0 ≤ φ(x) − log x(x + 1) · · · (x + n) n
ÙÔ˘ ÛÙ· ¶·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈ· ÙˆÓ Karlsruhe Î·È Göttingen. H ÚÒÈÌË ÂÚ¢ÓËÙÈ΋ ÙÔ˘ ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ· ÂÚÈÂÛÙÚ¿ÊË Á‡Úˆ ·fi ÙË °ÂˆÌÂÙÚ›· Î·È ÙË £ÂˆÚ›· ™˘ÓfiψÓ. AÚÁfiÙÂÚ·, Ô Mollerup ÂÛÙÚ¿ÊË ÚÔ˜ ÙË £ÂˆÚ›· OÏÔÎÏËÚˆÙÈÎÒÓ EÍÈÛÒÛˆÓ. O Mollerup ˘‹ÚÍ ˘ÊËÁËÙ‹˜ ÛÙÔ ¶ÔÏ˘Ù¯ÓÂ›Ô Ù˘ KÔÂÁ¯¿Á˘ ηٿ Ù· ¤ÙË 1915 ¤ˆ˜ Î·È 1916. A̤ۈ˜ ÌÂÙ¿ ‰ÈÔÚ›ÛıËΠηıËÁËÙ‹˜ ÛÙÔ ›‰ÈÔ ›‰Ú˘Ì·. E›Ó·È ÁÓˆÛÙfi˜ ÁÈ· ÙȘ ÎÔÈÓ¤˜ ¤Ú¢Ó˜ ÙÔ˘ Ì ÙÔÓ Harald August Bohr (1887-1951) Î·È ÁÈ· ÙËÓ ·fi ÎÔÈÓÔ‡ Û˘ÁÁÚ·Ê‹ ÂÓfi˜ ÛËÌ·ÓÙÈÎÔ‡, ÁÈ· ÙË Ì·ıËÌ·ÙÈ΋ Âη›‰Â˘ÛË ÛÙË ¢·Ó›·, ‚È‚Ï›Ô˘ M·ıËÌ·ÙÈ΋˜ AӷχÛˆ˜.
OPI™MENE™ EI¢IKOY TY¶OY ™YNAPTH™EI™ 301
H ÙÂÏÂ˘Ù·›· ¤ÎÊÚ·ÛË Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÚÔ˜ ÙÔ 0 ηıÒ˜ n → ∞. ÕÚ·, ÙÔ φ(x) ηıÔÚ›˙ÂÙ·È Î·Ù¿ ÌÔÓ·‰ÈÎfi ÙÚfiÔ, fiˆ˜ ÂÈı˘ÌÔ‡ÌÂ. ø˜ ‰Â˘ÙÂÚ‡ÔÓ ÚÔ˚fiÓ ÙˆÓ ·Ú·¿Óˆ ÚÔ·ÙÂÈ Ë ÈÛfiÙËÙ· (x) = lim
n→∞
n!n x , x(x + 1) · · · (x + n)
(95)
ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ ÁÈ· x ∈ (0, 1). Afi ·˘Ùfi ÌÔÚԇ̠ӷ Û˘ÌÂÚ¿ÓÔ˘Ì fiÙÈ Ë (95) ÈÛ¯‡ÂÈ ÁÈ· οı x ∈ (0, +∞), ÂÊfiÛÔÓ (x + 1) = x(x). £ÂÒÚËÌ· 8.20. E¿Ó x, y ∈ (0, +∞), ÙfiÙ 1 (x)(y) t x−1 (1 − t) y−1 dt = . (x + y) 0
(96)
TÔ ÔÏÔÎϋڈ̷ ·˘Ùfi Â›Ó·È Ë ÏÂÁfiÌÂÓË Û˘Ó¿ÚÙËÛË ‚‹Ù· B(x, y). Afi‰ÂÈÍË. ™ËÌÂÈÒÓÔ˘Ì fiÙÈ B(1, y) = 1/y Î·È fiÙÈ Ë log B(x, y) Â›Ó·È Î˘ÚÙ‹ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÙÔ˘ x ÁÈ· οı y ∈ (0, +∞), Û‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ ·ÓÈÛfiÙËÙ· ÙÔ˘ Hölder, fiˆ˜ ÛÙÔ £ÂÒÚËÌ· 8.18. E›Û˘, ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ B(x + 1, y) =
x B(x, y) x+y
(x, y > 0).
(97)
°È· Ó· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì ÙËÓ (97), ÂÎÙÂÏԇ̠ÔÏÔÎÏ‹ÚˆÛË Î·Ù¿ ̤ÚË ÛÙËÓ x 1 t B(x + 1, y) = (1 − t)x+y−1 dt. 1−t 0 OÈ ÙÚÂȘ ·˘Ù¤˜ ȉÈfiÙËÙ˜ Ù˘ B Ê·ÓÂÚÒÓÔ˘Ó fiÙÈ ÁÈ· οı y ∈ (0, +∞) ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 8.19 ÂÊ·ÚÌfi˙ÂÙ·È ÛÙËÓ Û˘Ó¿ÚÙËÛË f Ô˘ ÔÚ›˙ÂÙ·È ·fi ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· f (x) =
(x + y) B(x, y) (y)
ÁÈ· οı x ∈ (0, +∞). ™˘ÓÂÒ˜, f (x) = (x). 8.21 OÚÈṲ̂Ó˜ Û˘Ó¤ÂȘ. H ·ÓÙÈηٿÛÙ·ÛË t = sin2 θ ÌÂÙ·ÙÚ¤ÂÈ ÙËÓ (96) ÛÙËÓ π/2 (x)(y) 2 (sin θ )2x−1 (cos θ )2y−1 dθ = . (98) (x + y) 0
302
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
§·Ì‚¿ÓÔÓÙ·˜ x = y = 1 , Ô‰ËÁԇ̷ÛÙ ÛÙË Û¯¤ÛË 2 √ 1 = π. 2
(99)
H ·ÓÙÈηٿÛÙ·ÛË t = s 2 ÌÂÙ·ÙÚ¤ÂÈ ÙËÓ (93) ÛÙËÓ (x) = 2
∞
s 2x−1 e−s ds 2
(0 < x < ∞).
(100)
0
§·Ì‚¿ÓÔÓÙ·˜ Û ·˘Ù‹Ó x = 1 , ÚÔ·ÙÂÈ Ë 2 ∞ √ 2 e−s ds = π .
(101)
−∞
™‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ (99), Ë ÈÛfiÙËÙ· 2x−1 x (x) = √ 2 π
x +1 2
(102)
ÁÈ· x ∈ (0, +∞) ÚÔ·ÙÂÈ Â˘ı¤ˆ˜ ·fi ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 8.19. 8.22 O Ù‡Ô˜ ÙÔ˘ Stirling9 . O Ù‡Ô˜ ÙÔ˘ Stirling ·Ú¤¯ÂÈ Ì›· ·Ï‹ ÚÔÛÂÁÁÈÛÙÈ΋ ¤ÎÊÚ·ÛË ÙÔ˘ (x + 1) fiÙ·Ó Ô x Â›Ó·È ·ÚÎÂÙ¿ ÌÂÁ¿ÏÔ˜ ıÂÙÈÎfi˜ 9
™. Ù. M.: James Stirling (1692-1770). ™ÎÒÙÔ˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi˜. O Stirling ÂÈÛ‹¯ıË ÛÙÔ KÔϤÁÈÔ Balliol Ù˘ OÍÊfiډ˘, ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1710, Î·È ¤‰ÂÈÍ ·Ì¤Ûˆ˜ ÙË Ì·ıËÌ·ÙÈ΋ ÙÔ˘ ÈηÓfiÙËÙ·. ™˘ÌÌÂÙ›¯Â ÂÓÂÚÁ¿ ÛÙȘ Ù·Ú·¯¤˜ Ô˘ Í¤Û·Û·Ó ÛÙÔ ÊÔÈÙËÙÈÎfi ÛÒÌ· Ù· ¤ÙË 1714 ¤ˆ˜ 1716 ÂÍ·ÈÙ›·˜ Ù˘ ÔÏÈÙÈ΋˜ ηٷÛÙ¿Ûˆ˜. A˘Ùfi ›¯Â ˆ˜ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· Ó· ¯¿ÛÂÈ ÙËÓ ˘ÔÙÚÔÊ›· ÙÔ˘ ÛÙÔ ÎÔϤÁÈÔ. TÔ ¤ÙÔ˜ 1717 Ô Stirling ‹Á ÛÙËÓ IÙ·Ï›· ÁÈ· Ó· ‰ÈÂΉÈ΋ÛÂÈ Ì›· ı¤ÛË ÛÙËÓ Padova, ÙËÓ ÔÔ›· Î·È ÙÂÏÈο ¤¯·ÛÂ. ™ÙË ‰È¿ÚÎÂÈ· Ù˘ ·Ú·ÌÔÓ‹˜ ÙÔ˘ ÛÙËÓ IÙ·Ï›· ‰È‰¿¯ıËΠٷ Ì˘ÛÙÈο ÙˆÓ ˘·ÏÔÔÈÒÓ Ù˘ BÂÓÂÙ›·˜. TÔ ¤ÙÔ˜ 1722 Ô Stirling ¤ÛÙÚ„ ÛÙË °Ï·ÛÎfi‚Ë. TÚ›· ¤ÙË ÌÂÙ¿ ‹Á ÛÙÔ §ÔÓ‰›ÓÔ, fiÔ˘ Î·È ÁÈ· ·Ú¤ÌÂÈÓ ‰¤Î· ¤ÙË. EÍÂϤÁË Ì¤ÏÔ˜ Ù˘ B·ÛÈÏÈ΋˜ Aη‰ËÌ›·˜ ÙÔ˘ §ÔÓ‰›ÓÔ˘ ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1726. TÔ ¤ÙÔ˜ 1730 Ô Stirling ‰ËÌÔÛ›Â˘Û ¤Ó· ÛËÌ·ÓÙÈÎfi ‚È‚Ï›Ô ¢È·ÊÔÚÈÎÔ‡ §ÔÁÈÛÌÔ‡. ¶¤ÓÙ ¤ÙË ·ÚÁfiÙÂÚ· Ô Stirling ¤ÛÙÚ„ ÛÙË ™ÎˆÙ›· Î·È ¤ÁÈÓ ‰È¢ı˘ÓÙ‹˜ Ì›·˜ ÂÙ·ÈÚ›·˜ ÌÂÙ·ÏÏÂ˘Ì¿ÙˆÓ. TÔ ¤ÙÔ˜ 1746 ÚÔÛÂʤÚıË ÛÙÔÓ Stirling Ë ·Î·‰ËÌ·˚΋ ı¤ÛË ÙÔ˘ ı·ÓfiÓÙÔ˜ Colin Maclaurin (1698-1746) ÛÙÔ E‰ÈÌ‚Ô‡ÚÁÔ, ÙËÓ ÔÔ›· ·ÚÓ‹ıËΠÁÈ· ÔÏÈÙÈÎÔ‡˜ ÏfiÁÔ˘˜. TÔ ¤ÙÔ˜ 1753 Ô Stirling ·Ú·ÈÙ‹ıËΠ·fi ÙË B·ÛÈÏÈ΋ EÙ·ÈÚ›· ÙÔ˘ §ÔÓ‰›ÓÔ˘, ÏfiÁˆ ¯ÚÂÒÓ Î·È ·‰˘Ó·Ì›·˜ ÏËڈ̋˜ ÙˆÓ ÂÙËÛ›ˆÓ Û˘Ó‰ÚÔÌÒÓ ÙÔ˘.
OPI™MENE™ EI¢IKOY TY¶OY ™YNAPTH™EI™ 303
·ÚÈıÌfi˜ (Û˘ÓÂÒ˜ Î·È ÁÈ· ÙÔ n! fiÙ·Ó Ô n Â›Ó·È ·ÚÎÂÙ¿ ÌÂÁ¿ÏÔ˜ ıÂÙÈÎfi˜ ·Î¤Ú·ÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜.) O Ù‡Ô˜ Â›Ó·È Ô (x + 1) = 1. √ x→∞ (x/e)x 2π x lim
(103)
£· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì ÙÒÚ· ·˘ÙfiÓ ÙÔÓ Ù‡Ô. £¤ÙÔ˘Ì t = x(1 + u) ÛÙËÓ (93). TfiÙÂ, Ï·Ì‚¿ÓÔ˘Ì fiÙÈ ∞ [(1 + u)e−u ]x du (104) (x + 1) = x x+1 e−x −1
ÁÈ· x ∈ (0, +∞). OÚ›˙Ô˘Ì ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË h ÛÙÔ (−1, +∞) Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ h(0) = 1 Î·È 2 u −u (105) (1 + u)e = exp − h(u) 2 fiÙ·Ó Â›Ó·È u Ì u > −1 Î·È u = 0. TfiÙÂ, ÁÈ· Ù¤ÙÔÈÔÓ ·ÚÈıÌfi u ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ h(u) =
2 [u − log(1 + u)]. u2
(106)
Afi ·˘Ùfi ¤ÂÙ·È fiÙÈ Ë h Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ Î·È Êı›ÓÂÈ Î·Ù¿ ÌÔÓfiÙÔÓÔ ÙÚfiÔ ·fi ÙÔ +∞ ÛÙÔ 0 ηıÒ˜ ÙÔ fiÚÈÛÌ¿ Ù˘ ·˘Í¿ÓÂÈ ·fi ÙÔ −1 ÛÙÔ +∞. H ·ÓÙÈηٿÛÙ·ÛË u = s 2/x ÛÙËÓ (104) ¯ÔÚËÁ› ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· √ ∞ ψx (s)ds, (107) (x + 1) = x x e−x 2x −∞
fiÔ˘ ÁÈ· x ∈ (0, +∞) Â›Ó·È exp[−s 2 h(s 2/x)] ψx (s) = 0
Â¿Ó − x/2 < s, Â¿Ó s ≤ − 2/x.
™ËÌÂÈÒÓÔ˘Ì ٷ ·ÎfiÏÔ˘ı· ÁÂÁÔÓfiÙ· ÁÈ· ÙËÓ ψx : 2 (·) °È· s ∈ R 1 ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ ψx (s) → e−s ηıÒ˜ x → +∞. (‚) H ·Ú·¿Óˆ Û‡ÁÎÏÈÛË Â›Ó·È ÔÌÔÈfiÌÔÚÊË ÛÙÔ [−A, A] ÁÈ· ÔÔÈÔÓ‰‹ÔÙ ıÂÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi A. 2 (Á) E¿Ó s < 0, ÙfiÙ 0 < ψx (s) < e−s .
304
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
(‰) E¿Ó s > 0 Î·È x > 1, ÙfiÙ 0 < ψx (s) < ψ1 (s). ∞ (Â) 0 ψ1 (s)ds < +∞. TÔ ıÂÒÚËÌ· ÂÚ› Û˘ÁÎϛۈ˜ Ô˘ ‰È·Ù˘ÒÓÂÙ·È ÛÙËÓ ÕÛÎËÛË 12 ÙÔ˘ KÂÊ·Ï·›Ô˘ 7 ÌÔÚ› Ó· ÂÊ·ÚÌÔÛı› ÛÙÔ ÔÏÔÎϋڈ̷ (107). ™˘ÓÂÒ˜, ÙÔ √ ÔÏÔÎϋڈ̷ ·˘Ùfi Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÚÔ˜ ÙÔ π ηıÒ˜ x → +∞, Û‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ (101). A˘Ùfi ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÈ ÙËÓ (103). M›· ÏÂÙÔÌÂÚ¤ÛÙÂÚË ÂΉԯ‹ ·˘ÙÔ‡ ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ ÌÔÚ› Ó· ‚ÚÂı› ÛÙÔ ‚È‚Ï›Ô ÙÔ˘ R. C. Buck «Advanced Calculus», ÛÙȘ ÛÂÏ›‰Â˜ 216 ¤ˆ˜ Î·È 218. °È· ‰‡Ô ¿ÏϘ ÂÓÙÂÏÒ˜ ‰È·ÊÔÚÂÙÈΤ˜ ·Ô‰Â›ÍÂȘ ·Ú·¤ÌÔ˘Ì ÛÙo ¿ÚıÚÔ ÙÔ˘ W. Feller ÛÙÔ Amer. Math. Monthly, vol. 74, 1967, pp.1223-1225 (Ì ̛· ‰ÈfiÚıˆÛË ÛÙÔ vol. 75, 1968, p. 518) Î·È ÛÙÔ ‚È‚Ï›Ô ÙÔ˘ Artin, ÛÙȘ ÛÂÏ›‰Â˜ 20 ¤ˆ˜ Î·È 24. ™ÙËÓ ÕÛÎËÛË 20 ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙ÂÙ·È Ì›· ·ÏÔ‡ÛÙÂÚË ·fi‰ÂÈÍË ÂÓfi˜ ÏÈÁfiÙÂÚÔ ·ÎÚÈ‚Ô‡˜ ·ÔÙÂϤÛÌ·ÙÔ˜.
A™KH™EI™ ÕÛÎËÛË 1. OÚ›˙Ô˘Ì ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË f ̤ۈ Ù˘ Û¯¤Ûˆ˜ 2 e−1/x Â¿Ó x = 0, f (x) = 0 Â¿Ó x = 0. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ Ë f ¤¯ÂÈ ·Ú·ÁÒÁÔ˘˜ οı ٿ͈˜ ÛÙÔ x = 0 Î·È fiÙÈ f (n) (0) = 0 ÁÈ· οı n = 1, 2, 3, . . . . ÕÛÎËÛË 2. °È· i, j = 1, 2, 3, . . . ·˜ Â›Ó·È ai j Ô ·ÚÈıÌfi˜ ÛÙËÓ i ÁÚ·ÌÌ‹ Î·È j ÛÙ‹ÏË ÙÔ˘ ›Ó·Î· −1 0 0 0 ... 1 2 1 4 1 8 ...
−1
0
0 ...
1 2 1 4
−1
0 ...
1 2 ...
−1 . . .
...
...
...
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¢ËÏ·‰‹,
0 ai j = −1 j−i 2
Â¿Ó i < j, Â¿Ó i = j, Â¿Ó i > j.
Aԉ›ÍÙ fiÙÈ ∞ ∞
ai j = −2,
i=1 j=1
∞ ∞
ai j = 0.
j=1 i=1
ÕÛÎËÛË 3. E¿Ó {ai j } (i, j = 1, 2, 3, . . . ) Â›Ó·È Ì›· ‰ÈÏ‹ ·ÎÔÏÔ˘ı›· ÌË ·ÚÓËÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ, ÙfiÙ ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ ∞ ∞ i=1 j=1
ai j =
∞ ∞
ai j
j=1 i=1
(H ÂÚ›ÙˆÛË +∞ = +∞ ‰ÂÓ ÂÍ·ÈÚ›ٷÈ.)
ÕÛÎËÛË 4. Aԉ›ÍÙ ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÈÛfiÙËÙ˜: x (·) limx→0 b x− 1 = log b, fiÔ˘ b > 0. log(x + 1) = 1. (‚) limx→0 x
(Á) limx→0 (1 + x)1/x = e. n (‰) limn→∞ 1 + nx = e x ÁÈ· οı ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi x.
ÕÛÎËÛË 5. YÔÏÔÁ›ÛÙ ٷ ·ÎfiÏÔ˘ı· fiÚÈ·: 1/x (·) limx→0 e − (1 x+ x) .
n [n 1/n − 1]. log n tan x − x . x(1 − cos x) x − sin x tan x − x .
(‚) limn→∞ (Á) limx→0 (‰) limx→0
306
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
ÕÛÎËÛË 6. £ÂˆÚԇ̛̠· Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË f , ÔÚÈṲ̂ÓË ÛÙÔÓ R 1 , Ì ÙËÓ È‰ÈfiÙËÙ· f (x) f (y) = f (x + y) ÁÈ· ÔÔÈÔ˘Û‰‹ÔÙ ڷÁÌ·ÙÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ x Î·È y. (·) YÔı¤ÙÔÓÙ·˜ fiÙÈ Ë f Â›Ó·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË Î·È fiÙÈ ‰ÂÓ ÌˉÂÓ›˙ÂÙ·È Ô˘ıÂÓ¿, ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ f (x) = ecx , ÁÈ· οı ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi x, fiÔ˘ c Â›Ó·È ÛÙ·ıÂÚ‹. (‚) Aԉ›ÍÙ ÙÔ ›‰ÈÔ, ˘Ôı¤ÙÔÓÙ·˜ ·ÏÒ˜ fiÙÈ Ë f Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜. ÕÛÎËÛË 7. E¿Ó x Â›Ó·È Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ Ì 0 < x < π , ÙfiÙ ·Ô‰Â›ÍÙ 2 fiÙÈ sin x 2 < < 1. π x ÕÛÎËÛË 8. °È· n = 0, 1, 2, 3, . . . Î·È Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi x ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ | sin nx| ≤ n| sin x|. ™ËÌÂÈÒÓÔ˘Ì fiÙÈ ·˘Ù‹ Ë ·ÓÈÛfiÙËÙ· ‰ÂÓ ·ÏËı‡ÂÈ ··Ú·Èًو˜ ÁÈ· ¿ÏϘ ÙÈ̤˜ ÙÔ˘ n. E› ·Ú·‰Â›ÁÌ·ÙÈ, 1 1 | sin π | > | sin π |. 2 2 ÕÛÎËÛË 9. (·) °È· ıÂÙÈÎfi ·Î¤Ú·ÈÔ ·ÚÈıÌfi N ı¤ÙÔ˘Ì s N = 1 + (1/2) + · · · + (1/N ). Aԉ›ÍÙ fiÙÈ ÙÔ fiÚÈÔ lim (s N − log N ) N →∞
˘¿Ú¯ÂÈ. (TÔ fiÚÈÔ ·˘Ùfi Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Û˘Ó‹ıˆ˜ Ì γ Î·È ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Ë ÛÙ·ıÂÚ‹ ÙÔ˘ Euler 10 . H ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ Â›Ó·È 0, 5772 . . . . ¢ÂÓ Â›Ó·È ÁÓˆÛÙfi Â¿Ó Ô ·ÚÈıÌfi˜ γ Â›Ó·È ÚËÙfi˜ ‹ fi¯È.) (‚) ¶fiÛÔ Î·Ù¿ ÚÔÛ¤ÁÁÈÛË ÌÂÁ¿ÏÔ˜ Ú¤ÂÈ Ó· Â›Ó·È Ô ıÂÙÈÎfi˜ ·Î¤Ú·ÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ m Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙÂ Â¿Ó N = 10m , ÙfiÙ s N > 100; 10
™. Ù. M.: Leonhard Euler (1707-1783). MÂÁ·ÏÔÊ˘‹˜ EÏ‚ÂÙfi˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi˜. AÛ¯ÔÏ‹ıËΠ̠ÔÏÏÔ‡˜ ÙÔÌ›˜ ÙˆÓ M·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ Î·È Ù˘ º˘ÛÈ΋˜ Î·È ıˆÚÂ›Ù·È ˆ˜ Ô ·Ú·ÁˆÁÈÎfiÙÂÚÔ˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi˜ ÛÙËÓ IÛÙÔÚ›· ÙˆÓ M·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ. O Euler ÂÈÛ‹¯ıË ÛÙÔ ¶·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ Ù˘ B·ÛÈÏ›·˜ ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1720, ¤¯ÔÓÙ·˜ ·ÔÎÙ‹ÛÂÈ ‹‰Ë ÙËÓ
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ÕÛÎËÛË 10. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ Ë ÛÂÈÚ¿ 1/ p ·ÔÎÏ›ÓÂÈ, fiÔ˘ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· Ï·Ì‚¿ÓÂÙ·È ˘ÂÚ¿Óˆ fiÏˆÓ ÙˆÓ ÚÒÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ p. (A˘Ùfi Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÚÒÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ Â›Ó·È ·ÚÎÂÙ¿ ÌÂÁ¿ÏÔ ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ıÂÙÈÎÒÓ ·ÎÂÚ·›ˆÓ.) Yfi‰ÂÈÍË: ¢Â‰Ô̤ÓÔ˘ ıÂÙÈÎÔ‡ ·ÎÂÚ·›Ô˘ ·ÚÈıÌÔ‡ N , ·˜ Â›Ó·È p1 , . . . , pk ÔÈ ÚÒÙÔÈ ·ÚÈıÌÔ› Ô˘ ‰È·ÈÚÔ‡Ó ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ ¤Ó· ıÂÙÈÎfi ·Î¤Ú·ÈÔ ·ÚÈıÌfi
··ÈÙÔ‡ÌÂÓË ÌfiÚʈÛË, ÁÈ· Ó· ÛÔ˘‰¿ÛÂÈ £ÂÔÏÔÁ›· Î·È E‚Ú·˚ο, Û‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ ÂÈÙ·Á‹ ÙÔ˘ ÈÂÚ¤· ·Ù¤Ú· ÙÔ˘. ™‡ÓÙÔÌ· ΤډÈÛ ÙËÓ ÚÔÛÔ¯‹ ÙÔ˘ Johann Bernoulli (1667-1748), Ì ÙËÓ ÌÂÛÔÏ¿‚ËÛË ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ ›ÛıË Ô ·Ù¤Ú·˜ ÙÔ˘ Euler Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ ӷ ÂÈÙÚ¤„ÂÈ ÛÙÔÓ ˘Èfi ÙÔ˘ Ó· ÛÔ˘‰¿ÛÂÈ M·ıËÌ·ÙÈο. O Euler ¤Ï·‚ ÙÔ Ù˘¯›Ô ÙÔ˘ ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1722 Î·È ÙÔ ÌÂÙ·Ù˘¯È·Îfi ÙÔ˘ ‰›ÏˆÌ¿ ÙÔ˘ ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1724. ¢‡Ô ¤ÙË ·ÚÁfiÙÂÚ· Ô Euler ¤Ï·‚ ¤Ó· ‚Ú·‚Â›Ô ·fi ÙËÓ Aη‰ËÌ›· ÙˆÓ EÈÛÙËÌÒÓ ÙˆÓ ¶·ÚÈÛ›ˆÓ Û ¤Ó· ı¤Ì· Ó·˘ÛÈÏÔ˝·˜. TÔ ¤ÙÔ˜ 1727, Ì ÙËÓ ÚÔÙÚÔ‹ Î·È ˘ÔÛÙ‹ÚÈÍË ÙˆÓ Nicholas Bernoulli (1687-1759) Î·È Daniel Bernoulli (1700-1782), Ô Euler ‹Á ÛÙËÓ ¶ÂÙÚÔ‡ÔÏË, fiÔ˘ Î·È ÚÔÛÂÏ‹ÊıË ˆ˜ Û˘ÓÂÚÁ¿Ù˘ Ù˘ ÓÂÔ˚‰Ú˘ı›۷˜ Aη‰ËÌ›·˜ ÙˆÓ EÈÛÙËÌÒÓ Ù˘ ¶ÂÙÚÔ˘fiψ˜, ÛÙÔ ÙÌ‹Ì· Ù˘ I·ÙÚÈ΋˜. E›Û˘, ηٿ Ù· ¤ÙË 1727 ¤ˆ˜ Î·È 1730, Ô Euler ˘ËÚ¤ÙËÛ ˆ˜ ˘ÔÏÔ¯·Áfi˜ ÛÙÔ PˆÛÈÎfi Ó·˘ÙÈÎfi. TÔ ¤ÙÔ˜ 1730 Ô Euler ¤ÁÈÓ ηıËÁËÙ‹˜ º˘ÛÈ΋˜ Ù˘ Aη‰ËÌ›·˜ Î·È ÙÚ›· ¤ÙË ·ÚÁfiÙÂÚ· ηıËÁËÙ‹˜ M·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ. TÔ ¤ÙÔ˜ 1733 Ô Euler ·ÓÙÚ‡ÙËÎÂ. ¶ÂÚ› ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1735 ¤¯·Û ÙËÓ fiÚ·ÛË ÙÔ˘ ·fi ÙÔ ‰ÂÍÈfi ÙÔ˘ Ì¿ÙÈ, ÏfiÁˆ Ì›·˜ ·Ûı¤ÓÂÈ·˜ Ô˘ ÚÔÎÏ‹ıËΠ·fi ÙËÓ ·Î·Ù¿·˘ÛÙË ÂÚÁ·Û›·. ⁄ÛÙÂÚ· ·fi ÚfiÛÎÏËÛË ÙÔ˘ ºÚÂȉÂÚ›ÎÔ˘ ÙÔ˘ MÂÁ¿ÏÔ˘, Ô Euler ‹Á ÛÙÔ BÂÚÔÏ›ÓÔ, ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1741, Ì ÛÎÔfi Ó· ÂÓÙ·¯ı› ÛÙËÓ Aη‰ËÌ›· ÙˆÓ EÈÛÙËÌÒÓ ÙÔ˘ BÂÚÔÏ›ÓÔ˘. E¤ÛÙÚ„ ÛÙËÓ ¶ÂÙÚÔ‡ÔÏË ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1766, ÏfiÁˆ ‰È·ÊÔÚÒÓ Ì ÙÔÓ ºÚÂȉÂÚ›ÎÔ ÙÔÓ MÂÁ¿ÏÔ. ™‡ÓÙÔÌ·, ¤¯·ÛÂ Î·È ÙËÓ fiÚ·Û‹ ÙÔ˘ ·fi ÙÔ ¿ÏÏÔ ÙÔ˘ Ì¿ÙÈ, ‡ÛÙÂÚ· ·fi Ì›· ÂÁ¯Â›ÚËÛË Î·Ù·ÚÚ¿ÎÙË. E›Ó·È ·ÍÈÔÛËÌ›ˆÙÔ ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ Ë ·Ú·ÁˆÁÈÎfiÙËÙ· ÙÔ˘ Euler ‰ÈÏ·ÛÈ¿ÛıËΠ‡ÛÙÂÚ· ·fi ÙËÓ Ï‹ÚË ·ÒÏÂÈ· Ù˘ ÔÚ¿ÛÂÒ˜ ÙÔ˘. TÔ ¤ÙÔ˜ 1776, ‡ÛÙÂÚ· ·fi ÙÔÓ ı¿Ó·ÙÔ Ù˘ Á˘Ó·›Î·˜ ÙÔ˘, Ô Euler ·ÓÙÚ‡ÙËÎÂ Î·È ¿ÏÈ. ™˘ÓÔÏÈο, ·¤ÎÙËÛ ‰ÂηÙÚ›· ·È‰È¿, ÂÎ ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ ¤˙ËÛ·Ó ÌfiÓÔÓ Ù· ¤ÓÙÂ. ¶¤ı·Ó ·fi ηډȷ΋ ÚÔÛ‚ÔÏ‹, ÛÙËÓ ËÏÈΛ· ÙˆÓ Â‚‰ÔÌ‹ÓÙ· ÂÙ¿ ÂÙÒÓ, Û ̛· ÛÙÈÁÌ‹ Ô˘ ¤·È˙ Ì ٷ ·È‰È¿ ÙÔ˘. TÔ ¤ÚÁÔ ÙÔ˘ Euler ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi 886 ¿ÚıÚ· Î·È ‚È‚Ï›·. O fiÁÎÔ˜ ÙÔ˘ ¤ÚÁÔ˘ ÙÔ˘ ˘ÔÏÔÁ›˙ÂÙ·È Û ÂÚ›Ô˘ ÔÁ‰fiÓÙ· ÙfiÌÔ˘˜ ÌÂÁ¿ÏÔ˘ ÌÂÁ¤ıÔ˘˜, ÔÎÙ·ÎÔÛ›ˆÓ ÛÂÏ›‰ˆÓ Ô Î·ı¤Ó·˜.
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ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ‹ ›ÛÔ ÙÔ˘ N . TfiÙÂ, N 1 n=1
k %
1 1 1+ + 2 + ··· ≤ n pj pj j=1 k % 1 −1 1− = pj j=1 ≤ exp
k 2 . p j j=1
H ÙÂÏÂ˘Ù·›· ·ÓÈÛfiÙËÙ· ÚÔ·ÙÂÈ ‰ÈfiÙÈ ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ (1 − x)−1 ≤ e2x ÁÈ· οı ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi x Ì 0 ≤ x ≤ 1/2. (Y¿Ú¯Ô˘Ó ·ÚÎÂÙ¤˜ ·Ô‰Â›ÍÂȘ ·˘ÙÔ‡ ÙÔ˘ ÁÂÁÔÓfiÙÔ˜. °È· ÙÔ˘ ÏfiÁÔ˘ ÙÔ ·ÏËı¤˜, ·Ó·ÙÚ¤ÍÙ ÛÙ· ¿ÚıÚ· ÙˆÓ I. Niven ÛÙÔ Amer. Math. Monthly, vol. 78, 1971, pp. 272-273 Î·È R. Bellman ÛÙÔ Amer. Math. Monthly, vol. 50, 1943, pp. 318-319.) ÕÛÎËÛË 11. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ f Â›Ó·È Ì›· Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÛÙÔÓ R 1 Ì f ∈ R ÛÙÔ [0, A] ÁÈ· οı ıÂÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi A. YÔı¤ÙÔ˘Ì ›Û˘ fiÙÈ f (x) → 1 ηıÒ˜ x → +∞. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ ∞ e−t x f (x)d x = 1, lim t t→0
0
fiÔ˘ ÙÔ fiÚÈÔ ıˆÚÂ›Ù·È fiÙÈ Ï·Ì‚¿ÓÂÙ·È ÂÎ ‰ÂÍÈÒÓ ÙÔ˘ 0. ÕÛÎËÛË 12. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ δ Â›Ó·È ¤Ó·˜ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ Ì 0 < δ < π. £ÂˆÚԇ̛̠· Û˘Ó¿ÚÙËÛË f , ÔÚÈṲ̂ÓË ÛÙÔÓ R 1 , ÂÚÈfi‰Ô˘ 2π , Ì f (x) = 1 Â¿Ó x Â›Ó·È Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ Ì |x| < δ Î·È f (x) = 0 Â¿Ó x Â›Ó·È Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ Ì δ < |x| ≤ π . (·) YÔÏÔÁ›ÛÙ ÙÔ˘˜ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ¤˜ Fourier Ù˘ f . (‚) ™˘ÌÂÚ¿ÓÂÙ fiÙÈ ∞ sin(nδ) n=1
n
=
π −δ . 2
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(Á) XÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÙ ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Parseval ÁÈ· Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ∞ sin2 (nδ)
n2δ
n=1
=
π −δ . 2
(‰) §¿‚ÂÙ δ → 0 Î·È ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ ∞ sin x 2 π dx = . x 2 0 (Â) £ÂˆÚ‹ÛÙ δ = π/2 ÛÙÔ (Á). TÈ ÚÔ·ÙÂÈ; ÕÛÎËÛË 13. £ÂˆÚԇ̛̠· Û˘Ó¿ÚÙËÛË f , ÔÚÈṲ̂ÓË ÛÙÔÓ R 1 , ÂÚÈfi‰Ô˘ 2π , Ì f (x) = x ÁÈ· οı ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi x Ì 0 ≤ x < 2π . EÊ·ÚÌfiÛÙ ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Parseval ÁÈ· Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ∞ 1 π2 = . n2 6 n=1
ÕÛÎËÛË 14. £ÂˆÚԇ̛̠· Û˘Ó¿ÚÙËÛË f , ÔÚÈṲ̂ÓË ÛÙÔÓ R 1 , ÂÚÈfi‰Ô˘ 2π , Ì f (x) = (π − |x|)2 ÁÈ· οı x ∈ [−π, π ). Aԉ›ÍÙ fiÙÈ f (x) =
∞ 4 π2 cos nx + 3 n2 n=1
ÁÈ· οı ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi x Î·È Û˘Ó¿ÁÂÙ fiÙÈ ∞ 1 π2 = , n2 6 n=1
∞ 1 π4 = . n4 90 n=1
(ŒÓ· ¿ÚıÚÔ ÙÔ˘ E. L. Stark ÂÚȤ¯ÂÈ ÔÏϤ˜ ·Ó·ÊÔÚ¤˜ Û ÛÂÈÚ¤˜ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ ∞ −s n=1 n , fiÔ˘ s Â›Ó·È ıÂÙÈÎfi˜ ·Î¤Ú·ÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜. TÔ ¿ÚıÚÔ ·˘Ùfi ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙÔ Math. Mag., vol. 47, 1974, pp. 197-202.) ÕÛÎËÛË 15. °È· ÌË ·ÚÓËÙÈÎfi ·Î¤Ú·ÈÔ ·ÚÈıÌfi N Î·È Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi x ı¤ÙÔ˘Ì N 1 K N (x) = Dn (x), N + 1 n=0
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fiÔ˘ Dn (n = 0, 1, 2, . . . ) Â›Ó·È Ô ˘Ú‹Ó·˜ ÙÔ˘ Dirichlet11 , fiˆ˜ ÔÚ›˙ÂÙ·È fiˆ˜ ÛÙËÓ (77). Aԉ›ÍÙ fiÙÈ K N (x) =
1 1 − cos(N + 1)x · N +1 1 − cos x
Î·È fiÙÈ (·) K N ≥ 0,
11
™. Ù. M.: Gustav Peter Lejeune Dirichlet (1805-1859). B¤ÏÁÔ˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi˜. EÚÁ¿ÛıËΠ΢ڛˆ˜ ÛÙËÓ AÓ¿Ï˘ÛË, ÛÙË £ÂˆÚ›· AÚÈıÌÒÓ Î·ıÒ˜ Î·È ÛÙË º˘ÛÈ΋. O Dirichlet ·fi ÌÈÎÚfi˜ ›¯Â ·Ó·Ù‡ÍÂÈ ÌÂÁ¿ÏÔ ¿ıÔ˜ ÁÈ· Ù· M·ıËÌ·ÙÈο. X·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈÎfi Â›Ó·È ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ Ífi‰Â˘Â fiÏÔ ÙÔ ¯·ÚÙ˙ÈÏ›ÎÈ ÙÔ˘ (ÙÔ ÔÔ›Ô ‰ÂÓ ÙÔ˘ ¤ÏÂÈ ‰ÈfiÙÈ Ë ÔÈÎÔÓÔÌÈ΋ ηٿÛÙ·ÛË Ù˘ ÔÈÎÔÁÂÓ›·˜ ÙÔ˘ ‹Ù·Ó ¿ÚÈÛÙË) ÁÈ· ÙËÓ ·ÁÔÚ¿ ‚È‚Ï›ˆÓ M·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ. ºÔ›ÙËÛ ÛÙÔ Á˘ÌÓ¿ÛÈÔ Ù˘ BfiÓÓ˘ Î·È ÛÙÔ ÎÔϤÁÈÔ ÙˆÓ πËÛÔ˘ÈÙÒÓ ÛÙËÓ KÔÏÔÓ›·, fiÔ˘ ›¯Â ˆ˜ ηıËÁËÙ‹ ÙÔÓ ÁÓˆÛÙfi Ê˘ÛÈÎfi Georg Simon Ohm (1789-1854), Î·È ‹Ù·Ó ¿ÚÈÛÙÔ˜ Ì·ıËÙ‹˜. TÂÏÂÈÒÓÔÓÙ·˜ ÙÔÓ Ì¤ÛÔ Î‡ÎÏÔ ÛÔ˘‰ÒÓ ÙÔ˘, Ô Dirichlet ÂÓÂÁÚ¿ÊË ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1822 ÛÙÔ ¶·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ ÙˆÓ ¶·ÚÈÛ›ˆÓ. EΛ ÛÔ‡‰·Û ˘fi ÙÔ˘˜ Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), Pierre Simon Laplace (1749-1827), Adrien Marie Legendre (1752-1833), Siméon Denis Poisson (1781-1840), Sylvestre François Lacroix (1765-1843), Jean Baptiste Biot (1774-1862), Jean Nicolas Pierre Hachette (1769-1834) Î·È Louis Francoeur (1773-1849). MÂϤÙËÛ ÂÌ‚ÚÈıÒ˜ Ù· ¤ÚÁ· ÙÔ˘ Carl Friedrich Gauss (1777-1855) Î·È ˘‹ÚÍ ¤Ó·˜ ·fi ÙÔ˘˜ ÈÔ ¤ÓıÂÚÌÔ˘˜ ˘ÔÛÙËÚÈÎÙ¤˜ ÙÔ˘. ™ÙÔ ¶·Ú›ÛÈ, Ô Dirichlet ÂÚÁ¿ÛıËÎÂ Î·È ˆ˜ ÔÈÎԉȉ¿ÛηÏÔ˜ ÛÙËÓ ÔÈΛ· ÂÓfi˜ ÛÙÚ·ÙËÁÔ‡, fiÔ˘ Î·È ‰È¤ÌÂÓÂ, ·Ú·Ïϋψ˜ ÚÔ˜ ÙȘ ÌÂϤÙ˜ ÙÔ˘. O Dirichlet ¤ÛÙÚ„ ÛÙË °ÂÚÌ·Ó›·, ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1826, Î·È ·ÓÂÎËÚ‡¯ıË Â›ÙÈÌÔ˜ ‰È‰¿ÎÙÔÚ·˜ ÙÔ˘ ¶·ÓÂÈÛÙËÌ›Ô˘ Ù˘ KÔÏÔÓ›·˜ Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ ӷ ¤¯ÂÈ Î·È Ù· Ù˘Èο ÚÔÛfiÓÙ· ÁÈ· Ó· ‰È‰¿ÍÂÈ Û ÁÂÚÌ·ÓÈο ·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈ·, ‰ÈfiÙÈ ‹‰Ë ‹Ù·Ó ηٷÍȈ̤ÓÔ˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi˜. TÔ ÂfiÌÂÓÔ ¤ÙÔ˜ o Dirichlet ‰›‰·Í ÛÙÔ ¶·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ ÙÔ˘ Breslau Î·È ÙÔ ÌÂıÂfiÌÂÓÔ ÂÁηٷÛÙ¿ıËΠÛÙÔ BÂÚÔÏ›ÓÔ, fiÔ˘ Î·È ·Ú¤ÌÂÈÓ ¤ˆ˜ ÙÔ 1855, ˆ˜ ηıËÁËÙ‹˜ ÙÔ˘ ¶·ÓÂÈÛÙËÌ›Ô˘ ÙÔ˘ BÂÚÔÏ›ÓÔ˘. °È· ¤Ó· ÌÈÎÚfi ¯ÚÔÓÈÎfi ‰È¿ÛÙËÌ· ˘‹ÚÍ ηıËÁËÙ‹˜ Î·È ÛÙÔ ™ÙÚ·ÙȈÙÈÎfi KÔϤÁÈÔ ÙÔ˘ BÂÚÔÏ›ÓÔ˘. TÔ ¤ÙÔ˜ 1831 Ô Dirichlet ÂÍÂϤÁË Ì¤ÏÔ˜ Ù˘ Aη‰ËÌ›·˜ ÙˆÓ EÈÛÙËÌÒÓ ÙÔ˘ BÂÚÔÏ›ÓÔ˘. TËÓ ›‰È· ÂÚ›Ô‰Ô ·ÓÙÚ‡ÙËΠÙËÓ ·‰ÂÏÊ‹ ÙÔ˘ ‰È¿ÛËÌÔ˘ ÌÔ˘ÛÔ˘ÚÁÔ‡ Felix Mendelssohn. TÔ ¤ÙÔ˜ 1843 Ô Dirichlet ‹Ú ‰ÂηÔÎÙ¿ÌËÓË ¿‰ÂÈ· Î·È ‹Á ÛÙËÓ IÙ·Ï›· Ì·˙› Ì ÙÔÓ Î·Ïfi ÙÔ˘ Ê›ÏÔ Carl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851), fiÔ˘ Î·È Â›¯·Ó ·ʤ˜ Ì ‰È·ÊfiÚÔ˘˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎÔ‡˜. TÔ ¤ÙÔ˜ 1855 Ô Dirichlet ‰È·‰¤¯ıËΠÙÔÓ Gauss ÛÙÔ ¶·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ ÙÔ˘ Göttingen, ÏfiÁˆ ÙÔ˘ ı·Ó¿ÙÔ˘ ÙÔ˘ ÙÂÏÂ˘Ù·›Ô˘. ¶·Ú¤ÌÂÈÓ ÛÙË ı¤ÛË ·˘Ù‹ ¤ˆ˜ ÙÔÓ ı¿Ó·Ùfi ÙÔ˘, Ô ÔÔ›Ô˜ ‹Ïı ·fi ηډȷ΋ ÚÔÛ‚ÔÏ‹, ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1858. O Dirichlet ıˆÚÂ›Ù·È fiÙÈ ¤ıÂÛ Ì ÙËÓ ÂÚÁ·Û›· ÙÔ˘ Ù· ıÂ̤ÏÈ· ÁÈ· ÙËÓ AÓ·Ï˘ÙÈ΋ £ÂˆÚ›· AÚÈıÌÒÓ. E›Û˘, ıˆÚÂ›Ù·È Ô ·Ù¤Ú·˜ Ù˘ Û‡Á¯ÚÔÓ˘ £ÂˆÚ›·˜ TÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÒÓ ™ÂÈÚÒÓ.
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π (‚) 1 −π K N (x)d x = 1, 2π (Á) K N (x) ≤
2 1 · Â¿Ó 0 < δ ≤ |x| ≤ π . N + 1 1 − cos δ
E¿Ó s N = s N ( f, x) Â›Ó·È ÙÔ N ٿ͈˜ ÌÂÚÈÎfi ¿ıÚÔÈÛÌ· Ù˘ ÛÂÈÚ¿˜ Fourier Ì›·˜ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜ f ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô x, ÙfiÙ ıˆÚԇ̠ÙÔÓ ·ÚÈıÌËÙÈÎfi ̤ÛÔ σN =
s0 + s1 + · · · + s N . N +1
Aԉ›ÍÙ fiÙÈ 1 σ N ( f, x) = 2π
π
−π
f (x − t)K N (t)dt
Î·È Û˘Ó¿ÁÂÙ ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Fejér12 : E¿Ó Ë f Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÂÚÈfi‰Ô˘ 2π , ÙfiÙ σ N ( f, x) → f (x) ÁÈ· οı x ∈ [−π, π ], ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜. Yfi‰ÂÈÍË: XÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÙ ٷ ̤ÚË (·), (‚) Î·È (Á) Î·È ÂÚÁ·Ûı›Ù fiˆ˜ ÛÙÔ £ÂÒÚËÌ· 7.26. ÕÛÎËÛË 16. Aԉ›ÍÙ ̛· ·ÛıÂÓ¤ÛÙÂÚË ÂΉԯ‹ ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ ÙÔ˘ Fejér: 12
™. Ù. M.: Lipfit Fejér (1880-1959). O‡ÁÁÚÔ˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi˜. TÔ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ÙÔ˘ fiÓÔÌ· ‹Ù·Ó Leopold Weiss, ÙÔ ÔÔ›Ô Î·È ¿ÏÏ·Í ÂÚ› ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1900. EÚÁ¿ÛıËΠ΢ڛˆ˜ ÛÙËÓ AÚÌÔÓÈ΋ AÓ¿Ï˘ÛË. ™ÙËÓ ËÏÈΛ· ÙˆÓ ‰ÂηÂÓÓ¤· ÂÙÒÓ Ô Fejér ΤډÈÛ ¤Ó· ‚Ú·‚Â›Ô Û ¤Ó·Ó ·fi ÙÔ˘˜ ÚÒÙÔ˘˜ ‰È·ÁˆÓÈÛÌÔ‡˜ M·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ Ù˘ O˘ÁÁ·Ú›·˜. Afi ÙÔ ¤ÙÔ˜ ·˘Ùfi ¤ˆ˜ ÙÔ 1902 ÛÔ‡‰·Û M·ıËÌ·ÙÈο ÛÙÔ ¶·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ Ù˘ BÔ˘‰·¤ÛÙ˘ Î·È ÛÙÔ ¶·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ ÙÔ˘ BÂÚÔÏ›ÓÔ˘, fiÔ˘ Î·È ÊÔ›ÙËÛ ˘fi ÙÔÓ Hermann Amandus Schwarz (1843-1921). O ÙÂÏÂ˘Ù·›Ô˜ ‰ÂÓ ‰Â¯fiÙ·Ó Ï¤ÔÓ Ó· ÙÔ˘ ÌÈÏ¿ fiÙ·Ó Ô Fejér ¿ÏÏ·Í ÙÔ fiÓÔÌ¿ ÙÔ˘. ŒÏ·‚ ÙÔ ‰È‰·ÎÙÔÚÈÎfi ÙÔ˘ ‰›ÏˆÌ· ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1902 ·fi ÙÔ ¶·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ Ù˘ BÔ˘‰·¤ÛÙ˘. K·Ù¿ Ù· ¤ÙË 1902 ¤ˆ˜ Î·È 1905, Ô Fejér ‰›‰·Í ÛÙÔ ¶·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ Ù˘ BÔ˘‰·¤ÛÙ˘ Î·È Î·Ù¿ Ù· ¤ÙË 1905 ¤ˆ˜ Î·È 1911 ‰›‰·Í ÛÙÔ ¶·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ ÙÔ˘ Kolozv¿r Ù˘ O˘ÁÁ·Ú›·˜ (ÙÒÚ· Cluj Ù˘ PÔ˘Ì·Ó›·˜). TÔ ¤ÙÔ˜ 1911 Ô Fejér ‰ÈÔÚ›ÛıËΠÛÙËÓ ¤‰Ú· M·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ ÙÔ˘ ¶·ÓÂÈÛÙËÌ›Ô˘ Ù˘ BÔ˘‰·¤ÛÙ˘, ı¤ÛË Ô˘ ÎÚ¿ÙËÛ ¤ˆ˜ ÙÔÓ ı¿Ó·Ùfi ÙÔ˘. O Fejér ‹Ù·Ó Ô Î·ıÔ‰ËÁËÙ‹˜ ÙÔ˘ Ú‡̷ÙÔ˜ Ù˘ AӷχÛˆ˜ ÛÙËÓ O˘ÁÁ·Ú›·. MÂٷ͇ ÙˆÓ Û˘ÓÂÚÁ·ÙÒÓ ÙÔ˘ Û˘ÁηٷϤÁÔÓÙ·È Ô ÌÂÁ¿ÏÔ˜ ŒÏÏËÓ·˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi˜ KˆÓÛÙ·ÓÙ›ÓÔ˜ K·Ú·ıÂÔ‰ˆÚ‹˜ (1873-1950) Î·È Ô Frigyes Riesz (1880-1956).
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E¿Ó f Â›Ó·È Ì›· Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÂÚÈfi‰Ô˘ 2π Ì f ∈ R ÛÙÔ [−π, π ] Î·È ÙËÓ È‰ÈfiÙËÙ· fiÙÈ Ù· f (x+), f (x−) ˘¿Ú¯Ô˘Ó Û οÔÈÔ ÛËÌÂ›Ô x, ÙfiÙ 1 lim σ N ( f, x) = [ f (x+) + f (x−)]. N →∞ 2 ÕÛÎËÛË 17. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ f Â›Ó·È Ì›· Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÛÙÔ R 1 ÂÚÈfi‰Ô˘ 2π , ÊÚ·Á̤ÓË Î·È ÌÔÓfiÙÔÓË ÛÙÔ [−π, π ) ÌÂ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ¤˜ Fourier ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ . . . c−2 , c−1 , c0 , c1 , c2 . . . , fiˆ˜ ·˘ÙÔ› ÔÚ›˙ÔÓÙ·È ÛÙËÓ (62). (·) XÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÙ ÙËÓ ÕÛÎËÛË 17 ÙÔ˘ KÂÊ·Ï·›Ô˘ 6 ÁÈ· Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ë ·ÎÔÏÔ˘ı›· {ncn } (n = 1, 2, 3, . . . ) Â›Ó·È ÊÚ·Á̤ÓË. (‚) ™˘Ó‰˘¿ÛÙ ÙÔ Ì¤ÚÔ˜ (·) Ì ÙËÓ ÕÛÎËÛË 16 Î·È ÙËÓ ÕÛÎËÛË 14(Â) ÙÔ˘ KÂÊ·Ï·›Ô˘ 3 ÁÈ· Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ 1 lim s N ( f, x) = [ f (x+) + f (x−)] N →∞ 2 ÁÈ· οı ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi x. (Á) YÔı¤ÙÔ˘Ì ÌfiÓÔÓ fiÙÈ f ∈ R ÛÙÔ [−π, π ] Î·È fiÙÈ Ë f Â›Ó·È ÌÔÓfiÙÔÓË Û οÔÈÔ ·ÓÔÈÎÙfi ‰È¿ÛÙËÌ· (α, β) ⊂ [−π, π]. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ ÙÔ Û˘Ì¤Ú·ÛÌ· ÙÔ˘ (‚) ÈÛ¯‡ÂÈ ÁÈ· οı x ∈ (α, β). (TÔ ·Ú·¿Óˆ ·ÔÙÂÏ› ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ ÂÈÙÔ›Ûˆ˜). ÕÛÎËÛË 18. £ÂˆÚԇ̠ÙȘ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ f, g, fiÔ˘ ÁÈ· x ∈ R 1 Â›Ó·È f (x) = x 3 − sin2 x tan x g(x) = 2x 2 − sin2 x − x tan x. °È· οı ̛· ·fi ·˘Ù¤˜ ÙȘ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ ‰È·ÈÛÙÒÛÙÂ Â¿Ó Â›Ó·È ıÂÙÈΤ˜ ‹ ·ÚÓËÙÈΤ˜ ÛÙÔ (0, π/2) ‹ Â¿Ó ·ÏÏ¿˙Ô˘Ó ÚfiÛËÌÔ. TÂÎÌËÚÈÒÛÙ ÙËÓ ·¿ÓÙËÛË Û·˜. ÕÛÎËÛË 19. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ f Â›Ó·È Ì›· Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÛÙÔÓ R 1 ÂÚÈfi‰Ô˘ 2π Î·È fiÙÈ α Â›Ó·È ¤Ó·˜ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙÂ Ô α/π Ó· Â›Ó·È ¿ÚÚËÙÔ˜. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ π N 1 1 f (x + nα) = f (t)dt lim N →∞ N 2π −π n=1
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ÁÈ· οı ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi x. Yfi‰ÂÈÍË: Aԉ›ÍÙ ÙÔ Û˘Ì¤Ú·ÛÌ· ÚÒÙ· ÁÈ· ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË eikx . ÕÛÎËÛË 20. O ·ÎfiÏÔ˘ıÔ˜ ˘ÔÏÔÁÈÛÌfi˜ ¯ÔÚËÁ› Ì›· ηϋ ÚÔÛ¤ÁÁÈÛË ÛÙÔÓ Ù‡Ô ÙÔ˘ Stirling. £ÂˆÚԇ̠ÙȘ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ f, g ÛÙÔ [1, +∞) fiÔ˘ ÁÈ· m = 1, 2, 3, . . . Â›Ó·È f (x) = (m + 1 − x) log m + (x − m) log(m + 1) fiÙ·Ó m ≤ x < m + 1 Î·È x − 1 + log m m
g(x) =
fiÙ·Ó m − 1 ≤ x ≤ m + 1 . ™¯Â‰È¿ÛÙ ٷ ÁÚ·Ê‹Ì·Ù· ÙˆÓ f Î·È g. ™ËÌÂÈÒÓÔ˘Ì 2 2 fiÙÈ f (x) ≤ log x ≤ g(x) ÁÈ· οı ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi x Ì x ≥ 1 Î·È fiÙÈ n n 1 1 f (x)d x = log(n!) − log n > − + g(x)d x 2 8 1 1 ÁÈ· οı ıÂÙÈÎfi ·Î¤Ú·ÈÔ ·ÚÈıÌfi n. OÏÔÎÏËÚÒÛÙ ÙËÓ log x ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ ‰È·ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ [1, n]. ™˘ÌÂÚ¿ÓÂÙ fiÙÈ 7 1 log n + n < 1 < log(n!) − n + 8 2 √ ÁÈ· n = 2, 3, 4, . . . . ( ™ËÌ›ˆÛË: log 2π = 0.918 . . . .) ™˘ÓÂÒ˜, e7/8 <
n! √ < e. (n/e)n n
ÕÛÎËÛË 21. °È· n = 1, 2, 3, . . . ı¤ÙÔ˘Ì π 1 |Dn (t)|dt. Ln = 2π −π Aԉ›ÍÙ fiÙÈ ˘¿Ú¯ÂÈ ·ÚÈıÌfi˜ C > 0 Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ L n > C log n
(n = 1, 2, 3, . . . )
‹ ·ÎÚÈ‚¤ÛÙÂÚ· fiÙÈ Ë ·ÎÔÏÔ˘ı›· 4 (n = 1, 2, 3, . . . ) L n − 2 log n π Â›Ó·È ÊÚ·Á̤ÓË.
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ÕÛÎËÛË 22. A˜ Â›Ó·È α ¤Ó·˜ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ Î·È x ¤Ó·˜ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ Ì −1 < x < 1. Aԉ›ÍÙ ÙÔÓ ‰˘ˆÓ˘ÌÈÎfi Ù‡Ô ÙÔ˘ Newton α
(1 + x) = 1 +
∞ α(α − 1) · · · (α − n + 1)
n!
n=1
xn.
Yfi‰ÂÈÍË: ™˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì ÙË ‰ÂÍÈ¿ ÏÂ˘Ú¿ Ù˘ ÈÛfiÙËÙ·˜ Ì f (x). Aԉ›ÍÙ fiÙÈ Ë ÛÂÈÚ¿ Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ (1 + x) f (x) = α f (x) ÁÈ· οı x ∈ (1, −1). EÈχÛÙ ·˘Ù‹Ó ÙË ‰È·ÊÔÚÈ΋ Â͛ۈÛË. ¢Â›ÍÙ ›Û˘ fiÙÈ (1 − x)−α =
∞ (n + α) n=0
n!(α)
xn
ÁÈ· οı x ∈ (1, −1) Î·È α > 0. ÕÛÎËÛË 23. £ÂˆÚԇ̛̠· Û˘Ó¯Ҙ ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË ÎÏÂÈÛÙ‹ η̇ÏË γ ÙÔ˘ ÌÈÁ·‰ÈÎÔ‡ ÂȤ‰Ô˘ Ì ‰È¿ÛÙËÌ· ·Ú·ÌÂÙÚ‹Ûˆ˜ ÙÔ [a, b]. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ γ (t) = 0 ÁÈ· οı t ∈ [a, b]. OÚ›˙Ô˘Ì ÙÔÓ ‰Â›ÎÙË Ù˘ γ ˆ˜ b 1 γ (t) Ind(γ ) = dt. 2πi a γ (t) Aԉ›ÍÙ fiÙÈ Ô Ind(γ ) Â›Ó·È ¿ÓÙÔÙ ·Î¤Ú·ÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜. Yfi‰ÂÈÍË: Y¿Ú¯ÂÈ Û˘Ó¿ÚÙËÛË φ, ÔÚÈṲ̂ÓË ÛÙÔ [a, b], Ì φ = γ /γ Î·È φ(a) = 0. ™˘ÓÂÒ˜, Ë γ exp(−φ) Â›Ó·È ÛÙ·ıÂÚ‹. EÊfiÛÔÓ γ (a) = γ (b), ¤ÂÙ·È fiÙÈ exp φ(b) = exp φ(a) = 1. ™ËÌÂÈÒÛÙ fiÙÈ φ(b) = 2πiInd(γ ). YÔÏÔÁ›ÛÙ ÙÔÓ Ind(γ ) fiÙ·Ó a = 0, b = 2π Î·È γ (t) = eint (t ∈ [0, 2π ]). EÍËÁ‹ÛÙ ÁÈ·Ù› Ô ·ÚÈıÌfi˜ Ind(γ ) ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ·ÚÈıÌfi˜ ÂÚÈÛÙÚÔÊ‹˜ Ù˘ γ Á‡Úˆ ·fi ÙÔ 0. ÕÛÎËÛË 24. A˜ Â›Ó·È γ fiˆ˜ ÛÙËÓ ÕÛÎËÛË 23. YÔı¤ÙÔ˘Ì ÂÈϤÔÓ fiÙÈ ÙÔ Â‰›Ô ÙÈÌÒÓ Ù˘ γ ‰ÂÓ Ù¤ÌÓÂÈ ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· ÙˆÓ ·ÚÓËÙÈÎÒÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ Ind(γ ) = 0. Yfi‰ÂÈÍË: °È· c ∈ [0, +∞) Ë Ind(γ + c) Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÙÔ˘ c Ì ·Î¤Ú·È˜ ÙÈ̤˜. E›Û˘, Ind(γ + c) → 0 ηıÒ˜ c → +∞.
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ÕÛÎËÛË 25. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ γ1 Î·È γ2 Â›Ó·È Î·Ì‡Ï˜ fiˆ˜ ÛÙËÓ ÕÛÎËÛË 23 Ì ÙËÓ È‰ÈfiÙËÙ· fiÙÈ |γ1 (t) − γ2 (t)| < |γ1 (t)|
(a ≤ t ≤ b).
Aԉ›ÍÙ fiÙÈ Ind(γ1 ) = Ind(γ2 ). Yfi‰ÂÈÍË: £¤ÙÔ˘Ì γ = γ2 /γ1 . TfiÙÂ, |1 − γ | < 1. ™˘ÓÂÒ˜, ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ Ind(γ ) = 0, Û‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ ÕÛÎËÛË 24. E›Û˘, γ γ γ = 2 − 1. γ γ2 γ1 ÕÛÎËÛË 26. A˜ Â›Ó·È γ Ì›· ÎÏÂÈÛÙ‹ η̇ÏË ÙÔ˘ ÌÈÁ·‰ÈÎÔ‡ ÂȤ‰Ô˘ (fi¯È ··Ú·Èًو˜ ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË) Ì ‰È¿ÛÙËÌ· ·Ú·ÌÂÙÚ‹Ûˆ˜ ÙÔ [0, 2π ] Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ γ (t) = 0 ÁÈ· οı t ∈ [0, 2π ]. £ÂˆÚԇ̠δ > 0 Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ |γ (t)| > δ ÁÈ· οı t ∈ [0, 2π ]. E¿Ó P1 Î·È P2 Â›Ó·È ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈο ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· Ì |P j (t) − γ (t)| < δ/4 ÁÈ· οı t ∈ [0, 2π ] Î·È j = 1, 2 (Ë ‡·ÚÍË ÙÔ˘˜ ÂÍ·ÛÊ·Ï›˙ÂÙ·È ·fi ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 8.15), ÙfiÙ ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ Ind(P1 ) = Ind(P2 ), ÂÊ·ÚÌfi˙ÔÓÙ·˜ ÙËÓ ÕÛÎËÛË 25. OÚ›˙Ô˘Ì ˆ˜ Ind(γ ) ·˘Ù‹Ó ÙËÓ ÎÔÈÓ‹ ÙÈÌ‹. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ ÔÈ ÈÛ¯˘ÚÈÛÌÔ› ÙˆÓ AÛ΋ÛÂˆÓ 24 Î·È 25 ·Ú·Ì¤ÓÔ˘Ó ·ÏËı›˜ ‰›¯ˆ˜ ÙËÓ ˘fiıÂÛË ÂÚ› ·Ú·ÁˆÁÈÛÈÌfiÙËÙ·˜. ÕÛÎËÛË 27. £ÂˆÚԇ̛̠· ÌÈÁ·‰È΋ Û˘Ó¯‹ Û˘Ó¿ÚÙËÛË f , ÔÚÈṲ̂ÓË ÛÙÔ ÌÈÁ·‰ÈÎfi ›‰Ô. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ ˘¿Ú¯ÂÈ ıÂÙÈÎfi˜ ·Î¤Ú·ÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ n Î·È ÌÈÁ·‰ÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ c = 0 Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ lim z −n f (z) = c.
|z|→∞
Aԉ›ÍÙ fiÙÈ ˘¿Ú¯ÂÈ ÌÈÁ·‰ÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ z Ì f (z) = 0. ™ËÌÂÈÒÓÔ˘Ì fiÙÈ ·˘Ùfi ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ ·ÔÙÂÏ› ÁÂӛ΢ÛË ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 8.8.
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Yfi‰ÂÈÍË: YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ f (z) = 0 ÁÈ· οı ÌÈÁ·‰ÈÎfi ·ÚÈıÌfi z. °È· r ∈ [0, +∞), t ∈ [0, 2π ] ÔÚ›˙Ô˘Ì γr (t) = f (r eit ). Aԉ›ÍÙ ÙÔ˘˜ ·ÎfiÏÔ˘ıÔ˘˜ ÈÛ¯˘ÚÈÛÌÔ‡˜: (·) Ind(γ0 ) = 0. (‚) Ind(γr ) = n ÁÈ· οı ·ÚÎÒ˜ ÌÂÁ¿ÏÔ ıÂÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi r . (Á) H Ind(γr ) Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÙÔ˘ r ÛÙÔ [0, ∞). (™Ù· (‚) Î·È (Á) ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÙ ÙÔ ÙÂÏÂ˘Ù·›Ô ̤ÚÔ˜ Ù˘ AÛ΋Ûˆ˜ 26.) Aԉ›ÍÙ fiÙÈ Ù· (·), (‚) Î·È (Á) Â›Ó·È ·ÓÙÈÎÚÔ˘fiÌÂÓ· ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ ÂÊfiÛÔÓ n > 0. ÕÛÎËÛË 28. A˜ Â›Ó·È D Ô ÎÏÂÈÛÙfi˜ ÌÔÓ·‰È·›Ô˜ ‰›ÛÎÔ˜ ÛÙÔ ÌÈÁ·‰ÈÎfi ›‰Ô. (¢ËÏ·‰‹, z ∈ D Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó |z| ≤ 1.) £ÂˆÚԇ̛̠· ·ÂÈÎfiÓÈÛË g ÙÔ˘ D ÛÙÔÓ ÌÔÓ·‰È·›Ô ·ÎÏÔ T . (¢ËÏ·‰‹, |g(z)| = 1 ÁÈ· οı z ∈ D.) Aԉ›ÍÙ fiÙÈ ˘¿Ú¯ÂÈ ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ ¤Ó· z ∈ T Ì g(z) = −z. Yfi‰ÂÈÍË: °È· r ∈ [0, 1], t ∈ [0, 2π] ı¤ÙÔ˘Ì γr (t) = g(r eit ). E›Û˘, ÁÈ· t ∈ [0, 2π ] ı¤ÙÔ˘Ì ψ(t) = e−it γ1 (t). E¿Ó g(z) = −z ÁÈ· οı z ∈ T , ÙfiÙ ψ(t) = −1 ÁÈ· οı t ∈ [0, 2π ]. ÕÚ·, Ind(ψ) = 0, Û‡Ìʈӷ Ì ÙȘ AÛ΋ÛÂȘ 24 Î·È 26. ™˘ÓÂÒ˜, Ind(γ1 ) = 1. ŸÌˆ˜, Ind(γ0 ) = 0. K·Ù·Ï‹ÍÙ Û ·ÓٛʷÛË, fiˆ˜ ÛÙËÓ ÕÛÎËÛË 27. ÕÛÎËÛË 29. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ Î¿ıÂ Û˘Ó¯‹˜ ·ÂÈÎfiÓÈÛË f ÙÔ˘ D ÛÙÔ D ¤¯ÂÈ ÛÙ·ıÂÚfi ÛËÌÂ›Ô ÛÙÔ D. (A˘Ùfi Â›Ó·È ÙÔ ‰È‰È¿ÛÙ·ÙÔ ·Ó¿ÏÔÁÔ ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ ÛÙ·ıÂÚÔ‡ ÛËÌ›Ԣ ÙÔ˘ Brouwer 13 .) 13
™. Ù. M.: Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1882-1966). OÏÏ·Ó‰fi˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi˜, ·fi ÙÔ˘˜ ‰È·Ú¤ÛÙÂÚÔ˘˜ ÙÔ˘ ÂÈÎÔÛÙÔ‡ ·ÈÒÓ·. Y‹ÚÍÂ Ô È‰Ú˘Ù‹˜ ÙÔ˘ ‰fiÁÌ·ÙÔ˜ Ù˘ M·ıËÌ·ÙÈ΋˜ ¢È·ÈÛıËÛÈÔÎÚ·Ù›·˜. ◊Ù·Ó ¤Ó·˜ ·fi ÙÔ˘˜ ‚·ÛÈÎÔ‡˜ ÚˆÙÂÚÁ¿Ù˜ Ù˘ TÔÔÏÔÁ›·˜ Î·È Î·Ù¿ ÙËÓ ÁÓÒÌË ÔÏÏÒÓ ıˆÚÂ›Ù·È Ô ıÂÌÂÏȈً˜ Ù˘.
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Yfi‰ÂÈÍË: YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ f (z) = z ÁÈ· οı z ∈ D. ™Â οı z ∈ D ·ÓÙÈÛÙÔȯ›˙Ô˘Ì ÙÔ ÛËÌÂ›Ô g(z) ∈ T , ÙÔ ÔÔ›Ô ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Ô˘ ÍÂÎÈÓ¿ ·fi ÙÔ f (z) Î·È ÂÚÓ¿ ·fi ÙÔ z. TfiÙÂ, Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË g ·ÂÈÎÔÓ›˙ÂÈ ÙÔ D ÛÙÔ T , ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ g(z) = z ÁÈ· οı z ∈ T Î·È Ë g Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜, ‰ÈfiÙÈ ÁÈ· οı z ∈ D ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ g(z) = z − s(z)[ f (z) − z], fiÔ˘ Ô ·ÚÈıÌfi˜ s(z) Â›Ó·È Ë ÌÔÓ·‰È΋ ÌË ·ÚÓËÙÈ΋ ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ Ì›·˜ ‰Â˘ÙÂÚÔ‚¿ıÌÈ·˜ ÂÍÈÛÒÛˆ˜, ÔÈ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ¤˜ Ù˘ ÔÔ›·˜ Â›Ó·È Û˘Ó¯›˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ ÙˆÓ f Î·È z. EÊ·ÚÌfiÛÙ ÙËÓ ÕÛÎËÛË 28.
O Brouwer ¤Ï·‚ ÙÔ ‰È‰·ÎÙÔÚÈÎfi ÙÔ˘ ‰›ÏˆÌ· ·fi ÙÔ ¶·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ ÙÔ˘ Amsterdam ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1907, Û ı¤Ì· ÂÚ› ÙˆÓ ıÂÌÂÏ›ˆÓ ÙˆÓ M·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ. ¶ÂÚ› ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1909 ÂÚÁ¿ÛıËΠ·ÌÈÛı› ˆ˜ ˘ÊËÁËÙ‹˜ ÛÙÔ ¶·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ ÙÔ˘ Amsterdam. Afi ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1912 ¤ˆ˜ Î·È ÙÔ 1951 Ô Brouwer ηÙ›¯Â ÙËÓ ı¤ÛË Ù·ÎÙÈÎÔ‡ ηıËÁËÙ‹ ÛÙË £ÂˆÚ›· ™˘ÓfiÏˆÓ Î·È ÛÙË £ÂˆÚ›· ™˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ ÙÔ˘ ¶·ÓÂÈÛÙËÌ›Ô˘ ÙÔ˘ Amsterdam. K·Ù¿ ÙËÓ ‰È¿ÚÎÂÈ· ÙˆÓ ÂÙÒÓ 1909 ¤ˆ˜ Î·È 1913 ¤Î·Ó ۯ‰fiÓ fiÏË ÙËÓ ÂÚÁ·Û›· ÙÔ˘ ÛÙËÓ TÔÔÏÔÁ›·. O Brouwer ·¤ÚÚÈÙ ÛÙȘ ·Ô‰Â›ÍÂȘ ÙÔ˘ ÙËÓ AÚ¯‹ ÙÔ˘ AÔÎÏÂÈÔ̤ÓÔ˘ TÚ›ÙÔ˘. Eͤ‰ˆÛ ̛· £ÂˆÚ›· ™˘ÓfiÏˆÓ (1918), Ì›· £ÂˆÚ›· M¤ÙÚÔ˘ (1919) Î·È Ì›· £ÂˆÚ›· ™˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ (1923), ¯ˆÚ›˜ Ó· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÂÈ ÙËÓ AÚ¯‹ ÙÔ˘ AÔÎÏÂÈÔ̤ÓÔ˘ TÚ›ÙÔ˘. TÔ ‰fiÁÌ· ÙÔ˘ ÂÚ¯fiÙ·Ó Û ԢÛÈÒ‰Ë ·ÓÙ›ıÂÛË Ì ÙËÓ T˘ÔÎÚ·Ù›· ÙÔ˘ David Hilbert (1862-1943) Î·È ÙÔÓ §ÔÁÈÎÈÛÌfi ÙÔ˘ Bertrand Russell (1872-1970), Ù· ÔÔ›· ‹Ù·Ó Ù· ˘fiÏÔÈ· ÛÔ˘‰·ÈfiÙÂÚ· ÊÈÏÔÛÔÊÈο Ú‡̷ٷ ÙˆÓ M·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ ÛÙȘ ·Ú¯¤˜ ÙÔ˘ ÂÈÎÔÛÙÔ‡ ·ÈÒÓ·.
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 9
™YNAPTH™EI™ ¶O§§øN METAB§HTøN
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•ÂÎÈÓԇ̠·˘Ùfi ÙÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ Ì ̛· ÔÚÈṲ̂Ó˘ ÂÎÙ¿Ûˆ˜ Ú·ÁÌ¿Ù¢ÛË Û˘ÓfiÏˆÓ ‰È·Ó˘ÛÌ¿ÙˆÓ ÛÙÔÓ E˘ÎÏ›‰ÂÈÔ ¯ÒÚÔ R n . T· ·ÏÁ‚ÚÈο ·ÔÙÂϤÛÌ·Ù· Ô˘ ÂÎÙ›ıÂÓÙ·È Û ·˘Ùfi ÙÔ Â‰¿ÊÈÔ ÂÂÎÙ›ÓÔÓÙ·È ‰›¯ˆ˜ ·ÏÏ·Á¤˜ Û ÂÂÚ·Ṳ̂Ó˘ ‰È·ÛÙ¿Ûˆ˜ ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎÔ‡˜ ¯ÒÚÔ˘˜ ˘ÂÚ¿Óˆ ÔÔÈÔ˘‰‹ÔÙ ÛÒÌ·ÙÔ˜. E›Ó·È fï˜ ·ÚΤ˜ Ó· ·Ú·Ì›ÓÔ˘Ì ÛÙÔ ÔÈÎÂ›Ô Ï·›ÛÈÔ ÂÚÁ·Û›·˜ Ô˘ ηıÔÚ›˙ÂÙ·È ·fi ÙÔ˘˜ E˘ÎÏ›‰ÂÈÔ˘˜ ¯ÒÚÔ˘˜.
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∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
OÚÈÛÌfi˜ 9.1. (·) ŒÓ· ÌË ÎÂÓfi Û‡ÓÔÏÔ X ⊂ R n ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó x + y ∈ X Î·È cx ∈ X ÁÈ· οı x, y ∈ X Î·È Î¿ı ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi c. (‚) E¿Ó x1 , . . . , xk ∈ R n Î·È c1 , . . . , ck Â›Ó·È Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›, ÙfiÙ ÙÔ ‰È¿Ó˘ÛÌ· c1 x1 + · · · + ck xk ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÁÚ·ÌÌÈÎfi˜ Û˘Ó‰˘·ÛÌfi˜ ÙˆÓ x1 , . . . , xk . E¿Ó S ⊂ R n , ÙfiÙ ϤÁÂÙ·È fiÙÈ ÙÔ S ·Ú¿ÁÂÈ ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ E ‹ fiÙÈ ÙÔ E Â›Ó·È ÙÔ Â¤ÎÙ·Ì· ÙÔ˘ S Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ÙÔ E Â›Ó·È ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ fiÏˆÓ ÙˆÓ ÁÚ·ÌÌÈÎÒÓ Û˘Ó‰˘·ÛÌÒÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ ÙÔ˘ S. ¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ Î¿ı ¤ÎÙ·Ì· Û˘ÓfiÏÔ˘ Â›Ó·È ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜. (Á) ŒÓ· Û‡ÓÔÏÔ ·ÔÙÂÏÔ‡ÌÂÓÔ ·fi Ù· ‰È·Ó‡ÛÌ·Ù· x1 , . . . , xk (ÁÈ· ¤Ó· Û‡ÓÔÏÔ ·˘Ù‹˜ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÂ›Ù·È Ô Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌfi˜ {x1 , . . . , xk }) ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙÔ Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó Ë Û¯¤ÛË c1 x1 + · · · + ck xk = 0 (c1 , . . . , ck ∈ R 1 ) Û˘Ó¿ÁÂÙ·È fiÙÈ c1 = · · · = ck = 0. ™ÙËÓ ·ÓÙ›ıÂÙË ÂÚ›ÙˆÛË, ÙÔ {x1 , . . . , xk } ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÂÍ·ÚÙË̤ÓÔ. ¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ¤Ó· ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ‰ÂÓ ÂÚȤ¯ÂÈ ÙÔ ÌˉÂÓÈÎfi ‰È¿Ó˘ÛÌ·. (‰) ŒÓ·˜ ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ X ϤÁÂÙ·È fiÙÈ ¤¯ÂÈ ‰È¿ÛÙ·ÛË r Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ÂÚȤ¯ÂÈ ¤Ó· ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙÔ Û‡ÓÔÏÔ r ‰È·Ó˘ÛÌ¿ÙˆÓ Î·È ‰ÂÓ ÂÚȤ¯ÂÈ Î·Ó¤Ó· ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙÔ ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ r + 1 ‰È·Ó˘ÛÌ¿ÙˆÓ. ™Â ·˘Ù‹Ó ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË, ÁÚ¿ÊÔ˘Ì dim X = r . TÔ Û‡ÓÔÏÔ Ô˘ ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi ÙÔ 0 Â›Ó·È ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜. H ‰È¿ÛÙ·Û‹ ÙÔ˘ Â›Ó·È 0. (Â) ŒÓ· ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙÔ ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÂÓfi˜ ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎÔ‡ ¯ÒÚÔ˘ X Ô˘ ·Ú¿ÁÂÈ ÙÔÓ X ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È (‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈ΋) ‚¿ÛË ÙÔ˘ X . ¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ Â¿Ó B = {x1 , . . . , xr } Â›Ó·È Ì›· ‚¿ÛË ÙÔ˘ X , ÙfiÙ οı x ∈ X ¤¯ÂÈ ÌÔÓÔÛ‹Ì·ÓÙË ·Ó··Ú¿ÛÙ·ÛË Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ rj=1 c j x j . T¤ÙÔÈÔ˘ ›‰Ô˘˜ ·Ó··Ú¿ÛÙ·ÛË fiÓÙˆ˜ ˘Ê›ÛÙ·Ù·È ‰ÈfiÙÈ ÙÔ B ·Ú¿ÁÂÈ ÙÔÓ X Î·È Â›Ó·È ÌÔÓÔÛ‹Ì·ÓÙË ‰ÈfiÙÈ ÙÔ B Â›Ó·È ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙÔ. OÈ ·ÚÈıÌÔ› c1 , . . . , cr ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ ÙÔ˘ x ·Ó·ÊÔÚÈο Ì ÙË ‚¿ÛË B.
™YNAPTH™EI™ ¶O§§øN METAB§HTøN 321
TÔ ÁÓˆÛÙfiÙÂÚÔ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ‚¿Ûˆ˜ Â›Ó·È ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ {e1 , . . . , en }, fiÔ˘ ÁÈ· j = 1, 2, . . . , n e j Â›Ó·È ÙÔ ‰È¿Ó˘ÛÌ· ÛÙÔÓ R n Ì j-Û˘ÓÈÛÙÒÛ· 1 Î·È fiϘ ÙȘ ¿ÏϘ 0. E¿Ó x ∈ R n Ì x = (x1 , . . . , xn ), ÙfiÙ x = nj=1 x j e j . TÔ Û‡ÓÔÏÔ {e1 , . . . , en } ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Ë Û˘Ó‹ı˘ ‚¿ÛË ÙÔ˘ R n . £ÂÒÚËÌ· 9.2. £ÂˆÚԇ̠¤Ó·Ó ıÂÙÈÎfi ·Î¤Ú·ÈÔ ·ÚÈıÌfi r . E¿Ó ¤Ó·˜ ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ X ·Ú¿ÁÂÙ·È ·fi ¤Ó· Û‡ÓÔÏÔ r ‰È·Ó˘ÛÌ¿ÙˆÓ, ÙfiÙ dim X ≤ r . Afi‰ÂÈÍË. E¿Ó ·˘Ùfi ‹Ù·Ó „¢‰¤˜, ÙfiÙ ı· ˘‹Ú¯Â ¤Ó·˜ ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ X Ô˘ ÂÚȤ¯ÂÈ ¤Ó· ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙÔ Û‡ÓÔÏÔ Q = {y1 , . . . , yr +1 } Î·È Ô˘ ·Ú¿ÁÂÙ·È ·fi ¤Ó· Û‡ÓÔÏÔ S0 ·ÔÙÂÏÔ‡ÌÂÓÔ ·fi r ‰È·Ó‡ÛÌ·Ù·. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ 0 ≤ i < r Î·È fiÙÈ ¤¯ÂÈ Î·Ù·Û΢·Ûı› ¤Ó· Û‡ÓÔÏÔ Si ÙÔ ÔÔ›Ô ·Ú¿ÁÂÈ ÙÔÓ X Î·È ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi Ù· ‰È·Ó‡ÛÌ·Ù· y j , fiÔ˘ 1 ≤ j ≤ i, Ì·˙› Ì ٷ r − i ‰È·Ó‡ÛÌ·Ù· x1 , . . . , xr −i ÙÔ˘ S0 . (¢ËÏ·‰‹, ÙÔ Si ÚÔ·ÙÂÈ ·fi ÙÔ S0 ·ÓÙÈηıÈÛÙÒÓÙ·˜ i ·fi Ù· ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘ Q, ‰›¯ˆ˜ Ó· ÌÂÙ·‚ÏËı› ÙÔ Â¤ÎÙ·Ì·.) EÊfiÛÔÓ ÙÔ Si ·Ú¿ÁÂÈ ÙÔÓ X , ÙÔ yi+1 ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙÔ Â¤ÎÙ·Ì· ÙÔ˘ Si . EÔ̤ӈ˜, ˘¿Ú¯Ô˘Ó Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› a1 , . . . , ai+1 , b1 , . . . , br −i Ì ai+1 = 1 Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ i+1 j=1
ajyj +
r −i
bk xk = 0.
k=1
E¿Ó ÔÈ b1 . . . , br −i ‹Ù·Ó fiÏÔÈ ›ÛÔÈ Ì 0, ÙfiÙÂ Ë ·ÓÂÍ·ÚÙËÛ›· ÙÔ˘ Q ı· Û˘Ó·ÁfiÙ·Ó ÙÔ ÌˉÂÓÈÛÌfi ÙˆÓ a1 , . . . , ai+1 , ÁÂÁÔÓfi˜ ·‰‡Ó·ÙÔ. Afi ·˘Ùfi ¤ÂÙ·È fiÙÈ Î¿ÔÈÔ xk ∈ Si Â›Ó·È ÁÚ·ÌÌÈÎfi˜ Û˘Ó‰˘·ÛÌfi˜ ÙˆÓ ˘ÔÏÔ›ˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ ÙÔ˘ Ti = Si ∪ {yi+1 }. EÍ·ÈÚԇ̠ÙÔ ÛÙÔÈ¯Â›Ô ·˘Ùfi ·fi ÙÔ Ti Î·È ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ÙÔ ÂÓ·ÔÌÂ›Ó·Ó Û‡ÓÔÏÔ Si+1 . TfiÙÂ, ÙÔ Si+1 ·Ú¿ÁÂÈ Â›Û˘ ÙÔÓ X Î·È ¤¯ÂÈ ÙȘ ›‰È˜ ȉÈfiÙËÙ˜ fiˆ˜ ÙÔ Si , Ì ÙÔ i + 1 ÛÙË ı¤ÛË ÙÔ˘ i. EÔ̤ӈ˜, ÍÂÎÈÓÒÓÙ·˜ Ì ÙÔ S0 , ηٷÛ΢¿˙Ô˘Ì ٷ Û‡ÓÔÏ· S1 , . . . , Sr . To ÙÂÏÂ˘Ù·›Ô ·˘ÙÒÓ ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi Ù· y1 , . . . , yr Î·È Ë Î·Ù·Û΢‹ Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ·˘Ùfi ·Ú¿ÁÂÈ ÙÔÓ X . ŸÌˆ˜, ÙÔ Q Â›Ó·È ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙÔ Î·È
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∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
ÂÔ̤ӈ˜ ÙÔ yr +1 ‰ÂÓ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙÔ Â¤ÎÙ·Ì· ÙÔ˘ Sr . X¿ÚË Û ·˘Ù‹Ó ÙËÓ ·ÓٛʷÛË ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È ÙÔ ıÂÒÚËÌ·. ¶fiÚÈÛÌ·. IÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ dim R n = n. Afi‰ÂÈÍË. EÊfiÛÔÓ ÙÔ {e1 , . . . , en } ·Ú¿ÁÂÈ ÙÔ R n , ÙÔ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ ıÂÒÚËÌ· Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ dim R n ≤ n. EÊfiÛÔÓ ÙÔ {e1 , . . . , en } Â›Ó·È ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙÔ, ÈÛ¯‡ÂÈ Â›Û˘ fiÙÈ dim R n ≥ n. £ÂÒÚËÌ· 9.3. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ X Â›Ó·È ¤Ó·˜ ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ Ì dim X = n. (·) ŒÓ· Û‡ÓÔÏÔ E ·ÔÙÂÏÔ‡ÌÂÓÔ ·fi n ‰È·Ó‡ÛÌ·Ù· ÙÔ˘ X ·Ú¿ÁÂÈ ÙÔÓ X Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ÙÔ E Â›Ó·È ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙÔ. (‚) TÔ X ÂÚȤ¯ÂÈ Ì›· ‚¿ÛË Î·È Î¿ı ‚¿ÛË ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi n ‰È·Ó‡ÛÌ·Ù·. (Á) E¿Ó 1 ≤ r ≤ n Î·È Â¿Ó ÙÔ {y1 , . . . , yr } Â›Ó·È ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙÔ ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ X , ÙfiÙÂ Ô X ¤¯ÂÈ Ì›· ‚¿ÛË Ô˘ ÂÚȤ¯ÂÈ ÙÔ {y1 , . . . , yr }. Afi‰ÂÈÍË. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ E = {x1 , . . . , xn }. EÊfiÛÔÓ dim X = n, ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ {x1 , . . . , xn , y} Â›Ó·È ÂÍ·ÚÙË̤ÓÔ ÁÈ· οı y ∈ X . E¿Ó ÙÔ E Â›Ó·È ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙÔ, ÙfiÙ ÙÔ y ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙÔ Â¤ÎÙ·Ì· ÙÔ˘ E. ÕÚ·, ÙÔ E ·Ú¿ÁÂÈ ÙÔÓ X . AÓÙÈÛÙÚfiʈ˜, Â¿Ó ÙÔ E Â›Ó·È ÂÍ·ÚÙË̤ÓÔ, ÙfiÙ ÌÔÚ› Ó· ÂÍ·ÈÚÂı› οÔÈÔ ÛÙÔÈ¯Â›Ô ÙÔ˘ E, ‰›¯ˆ˜ Ó· ÌÂÙ·‚ÏËı› ÙÔ Â¤ÎÙ·Ì· ÙÔ˘ E. ™˘ÓÂÒ˜, ÙÔ E ‰ÂÓ ÌÔÚ› Ó· ·Ú¿ÁÂÈ ÙÔÓ X , Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 9.2. A˘Ùfi ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÈ ÙÔ (·). EÊfiÛÔÓ dim X = n, Ô X ÂÚȤ¯ÂÈ ¤Ó· ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙÔ Û‡ÓÔÏÔ n ‰È·Ó˘ÛÌ¿ÙˆÓ Î·È ÙÔ (·) Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ ·˘Ùfi ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ Â›Ó·È ‚¿ÛË ÙÔ˘ X . TÔ (‚) ¤ÂÙ·È ·fi ÙÔ 9.1(‰) Î·È ÙÔ 9.2. °È· ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ (Á), ıˆÚԇ̛̠· ‚¿ÛË {x1 , . . . , xn } ÙÔ˘ X . TÔ Û‡ÓÔÏÔ S = {y1 , . . . , yr , x1 , . . . , xn } ·Ú¿ÁÂÈ ÙÔÓ X Î·È Â›Ó·È ÂÍ·ÚÙË̤ÓÔ, ÂÊfiÛÔÓ ÂÚȤ¯ÂÈ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ· ·fi n ‰È·Ó‡ÛÌ·Ù·. TÔ Âȯ›ÚËÌ· Ô˘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ıËΠÛÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘
™YNAPTH™EI™ ¶O§§øN METAB§HTøN 323
£ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 9.2 Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ Î¿ÔÈÔ ·fi Ù· x1 , . . . , xn Â›Ó·È ÁÚ·ÌÌÈÎfi˜ Û˘Ó‰˘·ÛÌfi˜ ÙˆÓ ˘ÔÏÔ›ˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ ÙÔ˘ S. E¿Ó ÂÍ·ÈÚ¤ÛÔ˘Ì ·˘Ùfi ÙÔ ÛÙÔȯ›Ô, ÙÔ ÂÓ·ÔÌÂ›Ó·Ó Û‡ÓÔÏÔ ·Ú¿ÁÂÈ Â›Û˘ ÙÔÓ X . A˘Ù‹ Ë ‰È·‰Èηۛ· ÌÔÚ› Ó· ·ӷÏËÊı› r ÊÔÚ¤˜ Î·È Ó· Ì·˜ Ô‰ËÁ‹ÛÂÈ Û ̛· ‚¿ÛË ÙÔ˘ X Ô˘ ÂÚȤ¯ÂÈ ÙÔ {y1 , . . . , yr }, Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ (·). OÚÈÛÌfi˜ 9.4. M›· ·ÂÈÎfiÓÈÛË A ÂÓfi˜ ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎÔ‡ ¯ÒÚÔ˘ X Û ¤Ó·Ó ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎfi ¯ÒÚÔ Y ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÁÚ·ÌÌÈÎfi˜ ÌÂÙ·Û¯ËÌ·ÙÈÛÌfi˜ (‹ ÁÚ·ÌÌÈ΋ ·ÂÈÎfiÓÈÛË) Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó A(x1 + x2 ) = Ax1 + Ax2 , A(cx) = c Ax ÁÈ· οı x, x1 , x2 ∈ X Î·È Î¿ı ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi c. ™ËÌÂÈÒÓÔ˘Ì fiÙÈ Û˘¯Ó¿ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÂ›Ù·È Ë ÁÚ·Ê‹ Ax ·ÓÙ› Ù˘ A(x) fiÙ·Ó Ô A Â›Ó·È ÁÚ·ÌÌÈÎfi˜ ÌÂÙ·Û¯ËÌ·ÙÈÛÌfi˜. ¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ A0 = 0 fiÙ·Ó Ë A Â›Ó·È ÁÚ·ÌÌÈ΋. E›Û˘, ·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ¤Ó·˜ ÁÚ·ÌÌÈÎfi˜ ÌÂÙ·Û¯ËÌ·ÙÈÛÌfi˜ A ÙÔ˘ X ÛÙÔÓ Y Â›Ó·È Ï‹Úˆ˜ ηıÔÚÈṲ̂ÓÔ˜ ·fi ÙË ‰Ú¿ÛË ÙÔ˘ › Ì›·˜ ‚¿Ûˆ˜: E¿Ó {x1 , . . . , xn } Â›Ó·È Ì›· ‚¿ÛË ÙÔ˘ X , ÙfiÙ οı x ∈ X ¤¯ÂÈ ÌÔÓÔÛ‹Ì·ÓÙË ·Ó··Ú¿ÛÙ·ÛË Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ x=
n
ci xi
i=1
Î·È Ë ÁÚ·ÌÌÈÎfiÙËÙ· Ù˘ A Ì·˜ ÂÈÙÚ¤ÂÈ Ó· ÂÎÊÚ¿ÛÔ˘Ì ÙÔ Ax ·fi Ù· ‰È·Ó‡ÛÌ·Ù· Ax1 , . . . , Axn Î·È ÙȘ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ c1 , . . . , cn , Û‡Ìʈӷ Ì ÙË Û¯¤ÛË n Ax = ci Axi . i=1
OÈ ÁÚ·ÌÌÈÎÔ› ÌÂÙ·Û¯ËÌ·ÙÈÛÌÔ› ÙÔ˘ X ÛÙÔÓ X Û˘¯Ó¿ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ÁÚ·ÌÌÈÎÔ› ÙÂÏÂÛÙ¤˜ ÙÔ˘ X . ŒÓ·˜ ÁÚ·ÌÌÈÎfi˜ ÙÂÏÂÛÙ‹˜ A ÙÔ˘ X ϤÁÂÙ·È ·ÓÙÈÛÙÚ¤„ÈÌÔ˜ Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó Â›Ó·È (i) 1-1 Î·È (ii) ·ÂÈÎÔÓ›˙ÂÈ ÙÔÓ X › ÙÔ˘ X . ™Â ·˘Ù‹Ó ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË, ÌÔÚԇ̠ӷ ÔÚ›ÛÔ˘Ì ¤Ó·Ó ÙÂÏÂÛÙ‹ A−1 ÛÙÔÓ X ··ÈÙÒÓÙ·˜ Ó· ÈÛ¯‡ÂÈ Ë ÈÛfiÙËÙ· A−1 (Ax) = x ÁÈ· οı x ∈ X . E›Ó·È
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∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
‡ÎÔÏË Ë Â·Ï‹ı¢ÛË Ù˘ ÈÛfiÙËÙ·˜ A(A−1 x) = x ÁÈ· οı x ∈ X , ηıÒ˜ Î·È Ë Â·Ï‹ı¢ÛË Ù˘ ÁÚ·ÌÌÈÎfiÙËÙ·˜ ÙÔ˘ A−1 . ŒÓ· ÛËÌ·ÓÙÈÎfi ÁÂÁÔÓfi˜ ÙÔ ÔÔ›Ô Û¯ÂÙ›˙ÂÙ·È Ì ÁÚ·ÌÌÈÎÔ‡˜ ÙÂÏÂÛÙ¤˜ Û ÂÂÚ·Ṳ̂Ó˘ ‰È·ÛÙ¿Ûˆ˜ ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎÔ‡˜ ¯ÒÚÔ˘˜ Â›Ó·È fiÙÈ Î¿ı ̛· ·fi ÙȘ ·Ú·¿Óˆ Û˘Óı‹Î˜ (i) Î·È (ii) Û˘Ó¿ÁÂÙ·È ÙËÓ ¿ÏÏË. £ÂÒÚËÌ· 9.5. ŒÓ·˜ ÁÚ·ÌÌÈÎfi˜ ÙÂÏÂÛÙ‹˜ A Û ¤Ó·Ó ÂÂÚ·Ṳ̂Ó˘ ‰È·ÛÙ¿Ûˆ˜ ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎfi ¯ÒÚÔ X Â›Ó·È 1-1 Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ÙÔ Â‰›Ô ÙÈÌÒÓ ÙÔ˘ Â›Ó·È Ô X . Afi‰ÂÈÍË. £ÂˆÚԇ̛̠· ‚¿ÛË {x1 , . . . , xn } ÙÔ˘ X . H ÁÚ·ÌÌÈÎfiÙËÙ· ÙÔ˘ A Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ ÙÔ Â‰›Ô ÙÈÌÒÓ R(A) Â›Ó·È ·ÎÚÈ‚Ò˜ ÙÔ Â¤ÎÙ·Ì· ÙÔ˘ Û˘ÓfiÏÔ˘ Q = {Ax1 , . . . , Axn }. ™˘ÓÂÒ˜, ·fi ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 9.3(·) Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì fiÙÈ R(A) = X Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó Ùo Q Â›Ó·È ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙÔ. £· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ ÙÂÏÂ˘Ù·›Ô Û˘Ì‚·›ÓÂÈ Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó Ô A Â›Ó·È 1-1. n YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ Ô A Â›Ó·È 1-1 Î·È fiÙÈ i=1 ci Axi = 0 ÁÈ· οÔÈo˘˜ n Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ c1 , . . . , cn . TfiÙÂ, A( i=1 ci xi ) = 0 Î·È ÂÔ̤ӈ˜ n i=1 ci xi = 0. ÕÚ·, c1 = . . . = cn = 0. Afi ·˘Ùfi ÚÔ·ÙÂÈ Ë ·ÓÂÍ·ÚÙËÛ›· ÙÔ˘ Q. AÓÙÈÛÙÚfiʈ˜, ˘Ôı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ Q Â›Ó·È ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙÔ. n ∞˜ Â›Ó·È A( i=1 ci xi ) = 0 ÁÈ· οÔÈo˘˜ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ c1 , . . . , cn . n TfiÙÂ, i=1 ci Axi = 0 Î·È ÂÔ̤ӈ˜ c1 = . . . = cn = 0. ™˘ÓÂÒ˜, ηٷϋÁÔ˘Ì ÛÙÔ ÂÍ‹˜: Ax = 0 Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó x = 0. E¿Ó x, y ∈ X Ì Ax = Ay, ÙfiÙ A(x − y) = Ax − Ay = 0 Î·È ÂÔ̤ӈ˜ x − y = 0. A˘Ùfi Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ Ë A Â›Ó·È 1-1. OÚÈÛÌfi˜ 9.6. (·) ™˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì Ì L(X, Y ) ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ fiÏˆÓ ÙˆÓ ÁÚ·ÌÌÈÎÒÓ ·ÂÈÎÔÓ›ÛÂˆÓ ÙÔ˘ ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎÔ‡ ¯ÒÚÔ˘ X ÛÙÔÓ ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎfi ¯ÒÚÔ Y . AÓÙ› ÙÔ˘ L(X, X ), ÁÚ¿ÊÔ˘Ì ·ÏÒ˜ L(X ). E¿Ó A1 , A2 ∈ L(X, Y ) Î·È Â¿Ó c1 , c2 Â›Ó·È Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›, ÙfiÙ ÔÚ›˙Ô˘Ì ÙËÓ ·ÂÈÎfiÓÈÛË c1 A1 + c2 A2 ˆ˜ (c1 A1 + c2 A2 )x = c1 A1 x + c2 A2 x
(x ∈ X ).
™YNAPTH™EI™ ¶O§§øN METAB§HTøN 325
E›Ó·È ۷ʤ˜ fiÙÈ c1 A1 + c2 A2 ∈ L(X, Y ). (‚) E¿Ó X, Y, Z Â›Ó·È ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎÔ› ¯ÒÚÔÈ Î·È A ∈ L(X, Y ), B ∈ L(Y, Z ), ÙfiÙ ÔÚ›˙Ô˘Ì ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ B A ˆ˜ ÙË Û‡ÓıÂÛË ÙˆÓ A Î·È B: (B A)x = B(Ax)
(x ∈ X ).
TfiÙÂ, B A ∈ L(X, Z ). ™ËÌÂÈÒÓÔ˘Ì fiÙÈ Ô B A ‰ÂÓ ÈÛÔ‡Ù·È ··Ú·Èًو˜ Ì ÙÔÓ AB, ·ÎfiÌË Î·È fiÙ·Ó X = Y = Z . (Á) °È· A ∈ L(R n , R m ) ÔÚ›˙Ô˘Ì ˆ˜ ÛÙ¿ıÌË A ÙÔ˘ A ÙÔ ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ ¿Óˆ ÊÚ¿ÁÌ· ÙÔ˘ Û˘ÓfiÏÔ˘ ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ |Ax| Ì x ∈ R n Î·È |x| ≤ 1. ¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ÁÈ· οı x ∈ R n ÈÛ¯‡ÂÈ Ë ·ÓÈÛfiÙËÙ· |Ax| ≤ A|x|. E›Û˘, Â¿Ó λ Â›Ó·È Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ Ì |Ax| ≤ λ|x| ÁÈ· οı x ∈ R n , ÙfiÙ A ≤ λ. £ÂÒÚËÌ· 9.7. (·) E¿Ó A ∈ L(R n , R m ), ÙfiÙ A < +∞ Î·È Ë A Â›Ó·È ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ Û˘Ó¯‹˜ ·ÂÈÎfiÓÈÛË ÙÔ˘ R n ÛÙÔÓ R m . (‚) E¿Ó A, B ∈ L(R n , R m ) Î·È Â¿Ó c Â›Ó·È Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜, ÙfiÙ A + B ≤ A + B, c A = |c|A. §·Ì‚¿ÓÔÓÙ·˜ ˆ˜ ·fiÛÙ·ÛË ÌÂٷ͇ ÙˆÓ A, B ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi A − B, ÙÔ L(R n , R m ) ηı›ÛÙ·Ù·È ÌÂÙÚÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜. (Á) E¿Ó A ∈ L(R n , R m ) Î·È B ∈ L(R m , R k ), ÙfiÙ B A ≤ BA. Afi‰ÂÈÍË. (·) A˜ Â›Ó·È {e1 , . . . , en } Ë Û˘Ó‹ı˘ ‚¿ÛË ÙÔ˘ R n . YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ n x = i=1 ci ei , fiÔ˘ c1 , . . . , cn Â›Ó·È Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›, Ì |x| ≤ 1. EÔ̤ӈ˜ |ci | ≤ 1 ÁÈ· οı i = 1, . . . , n. TfiÙÂ, n n n ci Aei ≤ |ci ||Aei | ≤ |Aei | |Ax| = i=1 i=1 i=1
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∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
Î·È ÂÔ̤ӈ˜ A ≤
n
|Aei | < +∞.
i=1
EÊfiÛÔÓ |Ax − Ay| ≤ A|x − y| ÁÈ· οı x, y ∈ R n , Ë A Â›Ó·È ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ Û˘Ó¯‹˜. (‚) H ·ÓÈÛfiÙËÙ· ÙÔ˘ (‚) ¤ÂÙ·È ·fi ÙȘ Û¯¤ÛÂȘ |(A + B)x| = |Ax + Bx| ≤ |Ax| + |Bx| ≤ (A + B)|x| ÁÈ· οı x ∈ R n TÔ ‰Â‡ÙÂÚÔ Ì¤ÚÔ˜ ÙÔ˘ (‚) ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È ·ÚÔÌÔ›ˆ˜. E¿Ó A, B, C ∈ L(R n , R m ), ÙfiÙ Ϸ̂¿ÓÔ˘Ì ÙËÓ ÙÚÈÁˆÓÈ΋ ·ÓÈÛfiÙËÙ· A − C ≤ (A − B) + (B − C) ≤ A − B + B − C. E›Û˘, ‡ÎÔÏ· ·ÏËı‡ÔÓÙ·È Î·È ÔÈ ˘fiÏÔȘ ȉÈfiÙËÙ˜ Ù˘ ÌÂÙÚÈ΋˜ (OÚÈÛÌfi˜ 2.15). (Á) EÓ Ù¤ÏÂÈ, ÙÔ (Á) ÚÔ·ÙÂÈ ·fi ÙȘ Û¯¤ÛÂȘ |(B A)x| = |B(Ax)| ≤ B|Ax| ≤ BA|x| ÁÈ· οı x ∈ R n EÊfiÛÔÓ ¤¯ÂÈ ÔÚÈÛı› ÌÂÙÚÈ΋ ÛÙÔÓ L(R n , R m ), ˘Ê›ÛÙ·ÓÙ·È Û ·˘ÙfiÓ ÔÈ ¤ÓÓÔȘ ÙÔ˘ ·ÓÔÈÎÙÔ‡ Û˘ÓfiÏÔ˘, Ù˘ Û˘Ó¤¯ÂÈ·˜ Î. Ï. .. ™ÙÔ ÂfiÌÂÓÔ ıÂÒÚËÌ· ÔÈ ¤ÓÓÔȘ ·˘Ù¤˜ ı· ·ÍÈÔÔÈËıÔ‡Ó. £ÂÒÚËÌ· 9.8. A˜ Â›Ó·È ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ·ÓÙÈÛÙÚ¤„ÈÌˆÓ ÁÚ·ÌÌÈÎÒÓ ÙÂÏÂÛÙÒÓ ÙÔ˘ R n . (·) E¿Ó A ∈ , B ∈ L(R n ) Î·È Â¿Ó B − AA−1 < 1, ÙfiÙ B ∈ . (‚) TÔ Â›Ó·È ·ÓÔÈÎÙfi ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ L(R n ) Î·È Ë ·ÂÈÎfiÓÈÛË A → A−1 Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ . (H ·ÂÈÎfiÓÈÛË ·˘Ù‹ ›ӷÈ, ηٿ ÚÔÊ·Ó‹ ÙÚfiÔ, 1-1 ·ÂÈÎfiÓÈÛË ÙÔ˘ › ÙÔ˘ Î·È ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙËÓ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊ‹ Ù˘.)
™YNAPTH™EI™ ¶O§§øN METAB§HTøN 327
Afi‰ÂÈÍË. (·) £¤ÙÔ˘Ì A−1 = 1/a Î·È B − A = b. TfiÙÂ, ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ b < a. °È· ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ x ∈ R n ¤¯Ô˘Ì fiÙÈ a|x| = a|A−1 Ax| ≤ aA−1 |Ax| = |Ax| ≤ |(A − B)x| + |Bx| ≤ b|x| + |Bx| Î·È ÂÔ̤ӈ˜ (a − b)|x| ≤ |Bx|
(x ∈ R n ).
(1)
EÊfiÛÔÓ a − b > 0, Ë (1) Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ Bx = 0 Â¿Ó x = 0. ÕÚ·, Ë B Â›Ó·È 1-1. Afi ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 9.5 ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ B ∈ . TÔ ÙÂÏÂ˘Ù·›Ô ÈÛ¯‡ÂÈ ÁÈ· οı B ∈ L(R n ) Ì B − A < a. ™˘ÓÂÒ˜, Ï·Ì‚¿ÓÔ˘Ì ÙÔ (·) Î·È fiÙÈ ÙÔ Â›Ó·È ·ÓÔÈÎÙfi. (‚) EÓ Û˘Ó¯›·, ·ÓÙÈηıÈÛÙԇ̠ÛÙËÓ (1) ÙÔ x Ì B −1 y. TfiÙÂ, Ë ÚÔ·ÙÔ˘Û· ·ÓÈÛfiÙËÙ· (a − b)|B −1 y| ≤ |B B −1 y| = |y|
(y ∈ R n )
(2)
Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ B −1 ≤ (a − b)−1 . EÔ̤ӈ˜, Ë ÈÛfiÙËÙ· B −1 − A−1 = B −1 (A − B)A−1 , Û˘Ó‰˘·˙fiÌÂÓË Ì ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 9.7(Á), Û˘Ó¿ÁÂÙ·È fiÙÈ B −1 − A−1 ≤ B −1 (A − B) A−1 ≤
b . a(a − b)
M ·˘Ù‹Ó ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È Ô ÈÛ¯˘ÚÈÛÌfi˜ ÂÚ› Û˘Ó¤¯ÂÈ·˜ ÛÙÔ (‚), ÂÊfiÛÔÓ b → 0 ηıÒ˜ B → A. 9.9 ¶›Ó·Î˜. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ {x1 , . . . , xn } Î·È {y1 , . . . , ym } Â›Ó·È ‚¿ÛÂȘ ÙˆÓ ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎÒÓ ¯ÒÚˆÓ X Î·È Y ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜. TfiÙÂ, οı A ∈ L(X, Y ) ηıÔÚ›˙ÂÈ ¤Ó· Û‡ÓÔÏÔ ·ÚÈıÌÒÓ ai j (i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n) Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ Ax j =
m i=1
ai j yi
(1 ≤ j ≤ n).
(3)
328
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
E›Ó·È ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔ Â‡¯ÚËÛÙË Ë ÙÔÔı¤ÙËÛË ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ ·˘ÙÒÓ Û ̛· ÔÚıÔÁÒÓÈ· ‰È¿Ù·ÍË m ÁÚ·ÌÌÒÓ Î·È n ÛÙËÏÒÓ, Ë ÔÔ›· ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È m × n ›Ó·Î·˜: a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n [A] = ................. am1 am2 · · · amn ¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ÁÈ· j = 1, . . . , n ÔÈ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ ai j (i = 1, . . . , m) ÙÔ˘ ‰È·Ó‡ÛÌ·ÙÔ˜ Ax j (·Ó·ÊÔÚÈο Ì ÙË ‚¿ÛË {y1 , . . . , ym }) ÂÌÊ·Ó›˙ÔÓÙ·È Î·Ù¿ ÛÂÈÚ¿ ÛÙË j-ÛÙ‹ÏË ÙÔ˘ [A]. B¿ÛÂÈ ·˘ÙÔ‡, Ù· ‰È·Ó‡ÛÌ·Ù· Ax j ( j = 1, . . . , n) ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ÔÚÈṲ̂Ó˜ ÊÔÚ¤˜ Î·È ‰È·Ó‡ÛÌ·Ù· ÛًϘ ÙÔ˘ [A]. M ·˘Ù‹Ó ÙËÓ ÔÚÔÏÔÁ›·, ÙÔ Â‰›Ô ÙÈÌÒÓ ÙÔ˘ A ·Ú¿ÁÂÙ·È ·fi Ù· ‰È·Ó‡ÛÌ·Ù· ÛًϘ ÙÔ˘ [A]. n 1 E¿Ó x = j=1 c j x j (c1 , . . . , cn ∈ R ), ÙfiÙÂ Ë ÁÚ·ÌÌÈÎfiÙËÙ· Ù˘ A, Û˘Ó‰˘·˙fiÌÂÓË Ì ÙËÓ (3), Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ m n ai j c j yi . (4) Ax = i=1
j=1
n ™˘ÓÂÒ˜, ÔÈ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ ÙÔ˘ Ax Â›Ó·È ÔÈ j=1 ai j c j (i = 1, . . . , m). ™ËÌÂÈÒÓÔ˘Ì fiÙÈ ÛÙËÓ (3) Ë ¿ıÚÔÈÛË Ú·ÁÌ·ÙÔÔÈÂ›Ù·È ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ ÚÒÙÔ˘ ‰Â›ÎÙË ÙÔ˘ ai j . ŸÙ·Ó fï˜ ˘ÔÏÔÁ›˙Ô˘ÌÂ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜, ·ıÚÔ›˙Ô˘Ì ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ ‰Â˘Ù¤ÚÔ˘ ‰Â›ÎÙË. A˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì ÙÒÚ· fiÙÈ ¤¯ÂÈ ‰Ôı› ¤Ó·˜ m × n ›Ó·Î·˜ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ ai j (i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n). E¿Ó A Â›Ó·È Ë ·ÂÈÎfiÓÈÛË Ô˘ ÔÚ›˙ÂÙ·È Ì¤Ûˆ Ù˘ (4), ÙfiÙÂ Â›Ó·È Û·Ê¤˜ fiÙÈ A ∈ L(X, Y ) Î·È fiÙÈ Ô [A] ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙÔ ‰Â‰Ô̤ÓÔ ›Ó·Î·. M ·˘ÙfiÓ ÙÔÓ ÙÚfiÔ ÔÚ›˙ÂÙ·È Ì›· Ê˘ÛÈ΋ 1-1 ·ÓÙÈÛÙÔȯ›· ÙÔ˘ L(X, Y ) › ÙÔ˘ Û˘ÓfiÏÔ˘ ÙˆÓ m × n ÈÓ¿ÎˆÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ. ¶Ú¤ÂÈ fï˜ Ó· ‰ÒÛÔ˘Ì ¤ÌÊ·ÛË ÛÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ Ô [A] ‰ÂÓ ÂÍ·ÚÙ¿Ù·È ÌfiÓÔÓ ·fi ÙËÓ A, ·ÏÏ¿ Î·È ·fi ÙËÓ ÂÈÏÔÁ‹ ÙˆÓ ‚¿ÛÂˆÓ ÙˆÓ X Î·È Y . ™Â Ì›· ÁÚ·ÌÌÈ΋ ·ÂÈÎfiÓÈÛË A ·ÓÙÈÛÙÔÈ¯Ô‡Ó ÔÏÏÔ› ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎÔ› ›Ó·Î˜, Â¿Ó ÌÂÙ·‚ÏËıÔ‡Ó ÔÈ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ ‚¿ÛÂȘ Î·È ·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜. ™˘Ó‹ıˆ˜, ı· ÂÚÁ·˙fiÌ·ÛÙ Ì ÂÎ ÙˆÓ ÚÔÙ¤ÚˆÓ ÂÈÏÂÁ̤Ó˜ ‚¿ÛÂȘ. (OÚÈṲ̂Ó˜ ÂÈϤÔÓ ·Ú·ÙËÚ‹ÛÂȘ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÛÙËÓ EÓfiÙËÙ· 9.37.)
™YNAPTH™EI™ ¶O§§øN METAB§HTøN 329
E¿Ó Z Â›Ó·È ¤Ó·˜ ·ÎfiÌË ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ Ì ‚¿ÛË {z1 , . . . , z p }, Â¿Ó Ë A ‰›‰ÂÙ·È ·fi ÙËÓ (3) Î·È Â¿Ó Byi =
p
bki zk ,
(B A)x j =
k=1
p
ck j zk
k=1
ÁÈ· ÔÔÈÔ˘Û‰‹ÔÙ ‰Â›ÎÙ˜ i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n, ÙfiÙ ¤¯Ô˘Ì fiÙÈ A ∈ L(X, Y ), B ∈ L(Y, Z ), B A ∈ L(X, Z ). EÊfiÛÔÓ p p m m m m B(Ax j ) = B ai j yi = ai j Byi = ai j bki zk = bki ai j zk i=1
i=1
i=1
k=1
k=1
i=1
ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË j = 1, . . . , n, Ë ·ÓÂÍ·ÚÙËÛ›· ÙÔ˘ {z1 , . . . , z p } Û˘Ó¿ÁÂÙ·È fiÙÈ ck j =
m
(1 ≤ k ≤ p, 1 ≤ j ≤ n).
bki ai j
(5)
i=1
H ÈÛfiÙËÙ· ·˘Ù‹ Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ ÙÔÓ ÙÚfiÔ ˘ÔÏÔÁÈÛÌÔ‡ ÙÔ˘ ›Ó·Î· [B A] Ì ¯Ú‹ÛË ÙˆÓ [A], [B]. E¿Ó ÔÚ›ÛÔ˘Ì ˆ˜ ÁÈÓfiÌÂÓÔ [B][A] ÙÔÓ [B A], ÙfiÙÂ Ë (5) ÂÚÈÁÚ¿ÊÂÈ ÙÔ Û˘Ó‹ıË ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi ÈӿΈÓ. TÂÏÂÈÒÓÔÓÙ·˜, ˘Ôı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ {x1 , . . . , xn } Î·È {y1 , . . . , ym } Â›Ó·È ÔÈ Û˘Ó‹ıÂȘ ‚¿ÛÂȘ ÙˆÓ R n Î·È R m ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜ Î·È fiÙÈ Ë A ÔÚ›˙ÂÙ·È ·fi ÙËÓ (4). H ·ÓÈÛfiÙËÙ· ÙÔ˘ Schwarz Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ |Ax| = 2
m n i=1
2 ai j c j
≤
j=1
m n i=1
j=1
ai2j
n j=1
c2j
=
m,n
ai2j |x|2 .
i, j=1
ÕÚ·, A ≤
m,n
1/2 ai2j
.
(6)
i, j=1
E¿Ó ÂÊ·ÚÌfiÛÔ˘Ì ÙËÓ (6) ÛÙË B − A ·ÓÙ› Ù˘ A, fiÔ˘ A, B ∈ L(R n , R m ), ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì fiÙÈ fiÙ·Ó Ù· ÛÙÔȯ›· ai j (i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n) ÙÔ˘ ›Ó·Î· Â›Ó·È Û˘Ó¯›˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ οÔÈ·˜ ÌÂÙ·‚ÏËÙ‹˜, ÙfiÙ ÙÔ ›‰ÈÔ ÈÛ¯‡ÂÈ Î·È ÁÈ· ÙËÓ A. AÎÚÈ‚¤ÛÙÂÚ·:
330
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
E¿Ó S Â›Ó·È ¤Ó·˜ ÌÂÙÚÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜, Â¿Ó a11 , . . . , amn Â›Ó·È Ú·ÁÌ·ÙÈΤ˜ Û˘Ó¯›˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ ÛÙÔÓ S Î·È Â¿Ó ÁÈ· οı p ∈ S Ë ·ÂÈÎfiÓÈÛË A p Â›Ó·È Ô ÁÚ·ÌÌÈÎfi˜ ÌÂÙ·Û¯ËÌ·ÙÈÛÌfi˜ ÙÔ˘ R n ÛÙÔÓ R m Ô˘ ¤¯ÂÈ ˆ˜ ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘ ›Ó·Î¿ ÙÔ˘ Ù· ai j ( p) (i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n), ÙfiÙÂ Ë ·ÂÈÎfiÓÈÛË p → A p Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ·ÂÈÎfiÓÈÛË ÙÔ˘ S ÛÙÔÓ L(R n , R m ).
¢IAºOPI™H 9.10 ¶ÚÔηٷÚÙÈο. °È· ÙË ‰È·ÌfiÚʈÛË ÙÔ˘ ÔÚÈÛÌÔ‡ Ù˘ ·Ú·ÁÒÁÔ˘ Ì›·˜ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜ Ì ‰›Ô ÔÚÈÛÌÔ‡ ÙÔ R n (‹ ¤Ó· ·ÓÔÈÎÙfi ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ R n ) ı· ÂÍÂÙ¿ÛÔ˘Ì ·Ú¯Èο ÙËÓ ÔÈΛ· ÂÚ›ÙˆÛË n = 1, fiÔ˘ ı· ÂÚÌËÓ‡ÛÔ˘Ì ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ ·Ú·ÁÒÁÔ˘ Ì ٤ÙÔÈÔ ÙÚfiÔ ÒÛÙ ӷ ÂÂÎÙ›ÓÂÙ·È Ô Û˘Ó‹ı˘ ÔÚÈÛÌfi˜ Î·È ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË n > 1 ÌÂ Ê˘ÛÈÔÏÔÁÈÎfi ÙÚfiÔ. E¿Ó f Â›Ó·È Ì›· Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ì ‰›Ô ÔÚÈÛÌÔ‡ ÙÔ (a, b) ⊂ R 1 Î·È Â¿Ó x ∈ (a, b), ÙfiÙÂ Ë f (x) ÔÚ›˙ÂÙ·È Û˘Ó‹ıˆ˜ ˆ˜ Ô Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ lim
h→0
f (x + h) − f (x) , h
(7)
Ì ‰Â‰Ô̤ÓË, Ê˘ÛÈο, ÙËÓ ‡·ÚÍË ·˘ÙÔ‡ ÙÔ˘ ÔÚ›Ô˘. ÕÚ·, f (x + h) − f (x) = f (x)h + r (h)
(8)
ÁÈ· οı h Ô˘ ·Ó‹ÎÂÈ Û ηٿÏÏËÏË ÂÚÈÔ¯‹ ÙÔ˘ 0, fiÔ˘ ÙÔ «˘fiÏÔÈÔ» r (h) Â›Ó·È ÌÈÎÚfi, ˘fi ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· fiÙÈ ÈÛ¯‡ÂÈ Ë Û¯¤ÛË r (h) = 0. h→0 h lim
(9)
™ËÌÂÈÒÓÔ˘Ì fiÙÈ Ë (8) ÂÎÊÚ¿˙ÂÈ ÙË ‰È·ÊÔÚ¿ f (x + h) − f (x) ˆ˜ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· Ù˘ ÁÚ·ÌÌÈ΋˜ ·ÂÈÎÔÓ›Ûˆ˜ Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔȯ›˙ÂÈ ÙÔ h ÛÙÔ f (x)h, Ì ¤Ó· ÌÈÎÚfi ˘fiÏÔÈÔ. EÔ̤ӈ˜, ÌÔÚԇ̠ӷ ıˆڋÛÔ˘Ì ÙËÓ ·Ú¿ÁˆÁÔ Ù˘ f ÛÙÔ x ˆ˜ ¤Ó·Ó ÁÚ·ÌÌÈÎfi ÙÂÏÂÛÙ‹ ÛÙÔÓ R 1 Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔȯ›˙ÂÈ ÙÔ h ÛÙÔ f (x)h, ·Ú¿ ˆ˜ ·ÚÈıÌfi.
™YNAPTH™EI™ ¶O§§øN METAB§HTøN 331
(¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ Î¿ı ڷÁÌ·ÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ a ÂÁ›ÚÂÈ ¤Ó· ÁÚ·ÌÌÈÎfi ÙÂÏÂÛÙ‹ ÛÙÔÓ R 1 . O ÙÂÏÂÛÙ‹˜ ·˘Ùfi˜ Â›Ó·È ·ÏÒ˜ Ô ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜ Ì a. AÓÙÈÛÙÚfiʈ˜, οı ÁÚ·ÌÌÈÎfi˜ ÙÂÏÂÛÙ‹˜ ÛÙÔÓ R 1 Ù·˘Ù›˙ÂÙ·È Ì ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi Ì οÔÈÔÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi. A˘Ù‹ Ë Ê˘ÛÈ΋ 1-1 ·ÓÙÈÛÙÔȯ›· ÌÂٷ͇ ÙˆÓ R 1 Î·È L(R 1 ) Â›Ó·È ÙÔ Î›ÓËÙÚÔ ÙˆÓ ÚÔËÁÔ˘Ì¤ÓˆÓ ıˆڋÛˆÓ.) £ÂˆÚԇ̠ÙÒÚ· Ì›· Û˘Ó¿ÚÙËÛË f, Ë ÔÔ›· ·ÂÈÎÔÓ›˙ÂÈ ÙÔ (a, b) ⊂ R 1 ÛÙÔÓ R m . ™Â ·˘Ù‹Ó ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË, Ë f (x) ÔÚ›˙ÂÙ·È Û ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô x ∈ (a, b) ˆ˜ ÙÔ ‰È¿Ó˘ÛÌ· y ∈ R m (Â¿Ó ˘Ê›ÛٷٷÈ) ÁÈ· ÙÔ ÔÔ›Ô ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ lim
h→0
f(x + h) − f(x) − y = 0. h
(10)
TÔ ÙÂÏÂ˘Ù·›Ô ÌÔÚ› Ó· ·Ó·‰È·Ù˘ˆı› Î·È ˆ˜ ÂÍ‹˜: f(x + h) − f(x) = hy + r(h),
(11)
ÁÈ· οı h Ô˘ ·Ó‹ÎÂÈ Û ηٿÏÏËÏË ÂÚÈÔ¯‹ ÙÔ˘ 0, fiÔ˘ r(h)/ h → 0 ηıÒ˜ h → 0. O ·ÚÈÔ˜ fiÚÔ˜ Ù˘ ‰ÂÍÈ¿˜ ÏÂ˘Ú¿˜ Ù˘ (11) Â›Ó·È Í·Ó¿ ÁÚ·ÌÌÈ΋ ·ÂÈÎfiÓÈÛË ÙÔ˘ h. K¿ı y ∈ R m ¿ÁÂÈ Î·È ¤Ó·Ó ÁÚ·ÌÌÈÎfi ÌÂÙ·Û¯ËÌ·ÙÈÛÌfi ÙÔ˘ R 1 ÛÙÔÓ R m , ·ÓÙÈÛÙÔȯ›˙ÔÓÙ·˜ Û οı h ∈ R 1 ÙÔ ‰È¿Ó˘ÛÌ· hy ∈ R m Î·È ·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜. A˘Ù‹ Ë Ù·˘ÙÔÔ›ËÛË ÙÔ˘ R m Ì ÙÔÓ L(R 1 , R m ) Ì·˜ ÂÈÙÚ¤ÂÈ Ó· ıˆڋÛÔ˘Ì ÙËÓ f (x) ˆ˜ ÛÙÔÈ¯Â›Ô ÙÔ˘ L(R 1 , R m ). ÕÚ·, Â¿Ó Ë f Â›Ó·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË ·ÂÈÎfiÓÈÛË ÙÔ˘ (a, b) ⊂ R 1 ÛÙÔÓ R m Î·È Â¿Ó x ∈ (a, b), ÙfiÙÂ Ô f (x) Â›Ó·È Ô ÁÚ·ÌÌÈÎfi˜ ÌÂÙ·Û¯ËÌ·ÙÈÛÌfi˜ Ô˘ ÈηÓÔÔÈ› ÙËÓ f(x + h) − f(x) − f (x)h =0 h→0 h
(12)
|f(x + h) − f(x) − f (x)h| = 0. h→0 |h|
(13)
lim
‹ ÈÛÔ‰‡Ó·Ì· lim
TÒÚ·, ÌÔÚԇ̠ӷ ÚÔ¯ˆÚ‹ÛÔ˘Ì ÛÙËÓ ÂÈı˘ÌËÙ‹ ÁÂӛ΢ÛË ÁÈ· ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË n > 1.
332
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
OÚÈÛÌfi˜ 9.11. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ E Â›Ó·È ¤Ó· ·ÓÔÈÎÙfi ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ R n , fiÙÈ f Â›Ó·È Ì›· Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ô˘ ·ÂÈÎÔÓ›˙ÂÈ ÙÔ E ÛÙÔÓ R m Î·È fiÙÈ x ∈ E. H f ϤÁÂÙ·È ‰È·ÊÔÚ›ÛÈÌË ÛÙÔ x Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ˘¿Ú¯ÂÈ ÁÚ·ÌÌÈÎfi˜ ÌÂÙ·Û¯ËÌ·ÙÈÛÌfi˜ A ÙÔ˘ R n ÛÙÔÓ R m Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ |f(x + h) − f(x) − Ah| = 0. h→0 |h| lim
(14)
™Â ·˘Ù‹Ó ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ÁÚ¿ÊÔ˘Ì f (x) = A.
(15)
H ÂÓ ÏfiÁˆ Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ï¤ÁÂÙ·È ‰È·ÊÔÚ›ÛÈÌË ÛÙÔ E Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó Â›Ó·È ‰È·ÊÔÚ›ÛÈÌË Û οı ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ E. ™ÙË (14), Á›ÓÂÙ·È ‚‚·›ˆ˜ ·ÓÙÈÏËÙfi fiÙÈ h ∈ R n . E¿Ó ÙÔ |h| Â›Ó·È ·ÚÎÂÙ¿ ÌÈÎÚfi, ÙfiÙ x + h ∈ E, ÂÊfiÛÔÓ ÙÔ E Â›Ó·È ·ÓÔÈÎÙfi. EÔ̤ӈ˜, ÔÚ›˙ÂÙ·È ÙÔ f(x + h) Î·È ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙÔÓ R m . EÊfiÛÔÓ A ∈ L(R n , R m ), ¤¯Ô˘Ì ۷ÊÒ˜ fiÙÈ Ah ∈ R m . ÕÚ·, f(x + h) − f(x) − Ah ∈ R m . ™ÙË (14), Ë ÛÙ¿ıÌË ÙÔ˘ ·ÚÈıÌËÙ‹ Â›Ó·È ·˘Ù‹ ÙÔ˘ R m Î·È ÙÔ˘ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹ ·˘Ù‹ ÙÔ˘ R n . Y¿Ú¯ÂÈ ¤Ó· ÚÔÊ·Ó¤˜ Úfi‚ÏËÌ· ÂÚ› Ù˘ ÌÔÓ·‰ÈÎfiÙËÙ·˜ Ù˘ ·Ú·ÁÒÁÔ˘ Ô˘ Ú¤ÂÈ Ó· ÂÈÏ˘ı› ÚÈÓ ÚÔ¯ˆÚ‹ÛÔ˘Ì ·Ú·¤Ú·. £ÂÒÚËÌ· 9.12. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ Ù· E Î·È f Î·È x ¤¯Ô˘Ó ÙÔ ›‰ÈÔ ÓfiËÌ· fiˆ˜ ÛÙÔÓ OÚÈÛÌfi 9.11 Î·È fiÙÈ Ë (14) ÈÛ¯‡ÂÈ Ì ÙËÓ A1 ÛÙË ı¤ÛË ÙÔ˘ A Î·È Ì ÙËÓ A2 ÛÙË ı¤ÛË ÙÔ˘ A. TfiÙÂ, A1 = A2 . Afi‰ÂÈÍË. E¿Ó ı¤ÛÔ˘Ì B = A1 − A2 , ÙfiÙÂ Ë ·ÓÈÛfiÙËÙ· |Bh| ≤ |f(x + h) − f(x) − A1 h| + |f(x + h) − f(x) − A2 h| Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ |Bh|/|h| → 0 ηıÒ˜ h → 0. °È· ‰Â‰Ô̤ÓÔ h = 0 ¤ÂÙ·È fiÙÈ |B(th)| → 0 ηıÒ˜ t → 0. |th|
(16)
H ÁÚ·ÌÌÈÎfiÙËÙ· Ù˘ B Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ Ë ·ÚÈÛÙÂÚ‹ ÏÂ˘Ú¿ Ù˘ (16) Â›Ó·È ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙË ÙÔ˘ t. ÕÚ·, Bh = 0 ÁÈ· οı h ∈ R n , ‰ËÏ·‰‹ B = 0.
™YNAPTH™EI™ ¶O§§øN METAB§HTøN 333
¶·Ú·Ù‹ÚËÛË 9.13. (·) H Û¯¤ÛË (14) ·Ó·‰È·Ù˘ÒÓÂÙ·È ÛÙË ÌÔÚÊ‹ f(x + h) − f(x) = f (x)h + r(h),
(17)
fiÔ˘ ÙÔ ˘fiÏÔÈÔ r(h) ÈηÓÔÔÈ› ÙË Û¯¤ÛË |r(h)| = 0. h→0 |h| lim
(18)
MÔÚԇ̠ӷ ÂÚÌËÓ‡ÛÔ˘Ì ÙË (17) fiˆ˜ ÛÙËÓ EÓfiÙËÙ· 9.10 ϤÁÔÓÙ·˜ fiÙÈ ÁÈ· ‰Â‰Ô̤ÓÔ x Î·È ÌÈÎÚfi h Ë ·ÚÈÛÙÂÚ‹ ÏÂ˘Ú¿ Ù˘ (17) Â›Ó·È Î·Ù¿ ÚÔÛ¤ÁÁÈÛË ›ÛË Ì ÙÔ f (x)h, ‰ËÏ·‰‹ ÙËÓ ÙÈÌ‹ Ì›·˜ ÁÚ·ÌÌÈ΋˜ ·ÂÈÎÔÓ›Ûˆ˜ ÛÙÔ h. (‚) A˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ f Î·È E Â›Ó·È fiˆ˜ ÛÙÔÓ OÚÈÛÌfi 9.11 Î·È fiÙÈ Ë f Â›Ó·È ‰È·ÊÔÚ›ÛÈÌË ÛÙÔ E. °È· οı x ∈ E, Ë f (x) Â›Ó·È ¤Ó·˜ ÁÚ·ÌÌÈÎfi˜ ÌÂÙ·Û¯ËÌ·ÙÈÛÌfi˜ ÙÔ˘ R n ÛÙÔÓ R m . K·Ù' ·˘ÙfiÓ ÙÔÓ ÙÚfiÔ, ÔÚ›˙ÂÙ·È Ì›· Û˘Ó¿ÚÙËÛË f Ë ÔÔ›· ·ÂÈÎÔÓ›˙ÂÈ ÙÔ E ÛÙÔÓ L(R n , R m ). (Á) ¶·Ú·ÙËÚÒÓÙ·˜ ÙË (17), ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì fiÙÈ Ë f Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ Û οı ÛËÌÂ›Ô ÛÙÔ ÔÔ›Ô Â›Ó·È ‰È·ÊÔÚ›ÛÈÌË. (‰) H ·Ú¿ÁˆÁÔ˜, fiˆ˜ ÔÚ›˙ÂÙ·È ÛÙË (14) ‹ ÛÙË (17), ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Û˘¯Ó¿ ÙÔ ‰È·ÊÔÚÈÎfi Ù˘ f ÛÙÔ x ‹ Ë ÔÏÈ΋ ·Ú¿ÁˆÁÔ˜ Ù˘ f ÛÙÔ x, Û ·ÓÙȉȷÛÙÔÏ‹ Ì ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ ÌÂÚÈ΋˜ ·Ú·ÁÒÁÔ˘, Ë ÔÔ›· ı· ÂÌÊ·ÓÈÛı› ·ÚÁfiÙÂÚ·. ¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 9.14. Œ¯Ô˘Ì ÔÚ›ÛÂÈ ˆ˜ ·Ú·ÁÒÁÔ˘˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ Ô˘ ·ÂÈÎÔÓ›˙Ô˘Ó ÙÔ R n ÛÙÔ R m Ó· Â›Ó·È ÁÚ·ÌÌÈÎÔ› ÌÂÙ·Û¯ËÌ·ÙÈÛÌÔ› ÙÔ˘ R n ÛÙÔÓ R m . ¶ÔÈ· Â›Ó·È Ë ·Ú¿ÁˆÁÔ˜ ÂÓfi˜ Ù¤ÙÔÈÔ˘ ÌÂÙ·Û¯ËÌ·ÙÈÛÌÔ‡; H ·¿ÓÙËÛË Â›Ó·È ·Ï‹. E¿Ó A ∈ L(R n , R m ) Î·È x ∈ R n , ÙfiÙ A (x) = A.
(19)
™ËÌÂÈÒÓÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ x ÂÌÊ·Ó›˙ÂÙ·È ÛÙËÓ ·ÚÈÛÙÂÚ‹ ÏÂ˘Ú¿ Ù˘ (19) ·ÏÏ¿ fi¯È ÛÙË ‰ÂÍÈ¿. K·È ÔÈ ‰‡Ô Ï¢ڤ˜ Ù˘ (19) Â›Ó·È ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘ L(R n , R m ), ÂÓÒ Ax ∈ R m . H ·fi‰ÂÈÍË Ù˘ (19) Â›Ó·È ÙÂÙÚÈÌ̤ÓË, ÂÊfiÛÔÓ A(x + h) − Ax = Ah,
(20)
334
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
ÏfiÁˆ Ù˘ ÁÚ·ÌÌÈÎfiÙËÙ·˜ Ù˘ A. ™˘ÓÂÒ˜, ·fi ÙÔÓ OÚÈÛÌfi 9.11 ÚÔ·ÙÂÈ ·Ì¤Ûˆ˜ ÙÔ ˙ËÙÔ‡ÌÂÓÔ. EÓ Û˘Ó¯›·, ı· ÂÂÎÙ›ÓÔ˘Ì ÙÔÓ Î·ÓfiÓ· Ù˘ ·Ï˘Û›‰·˜ (£ÂÒÚËÌ· 5.5) ÛÙËÓ ·ÚÔ‡Û· ηٿÛÙ·ÛË. £ÂÒÚËÌ· 9.15. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ E Â›Ó·È ¤Ó· ·ÓÔÈÎÙfi ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ R n Î·È fiÙÈ f Â›Ó·È Ì›· Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ô˘ ·ÂÈÎÔÓ›˙ÂÈ ÙÔ E ÛÙÔÓ R m Ë ÔÔ›· Â›Ó·È ‰È·ÊÔÚ›ÛÈÌË ÛÙÔ x0 ∈ E. E›Û˘, ˘Ôı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ g Â›Ó·È Ì›· Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ô˘ ·ÂÈÎÔÓ›˙ÂÈ ¤Ó· ·ÓÔÈÎÙfi Û‡ÓÔÏÔ Ô˘ ÂÚȤ¯ÂÈ ÙÔ f(E) ÛÙÔÓ R k Ë ÔÔ›· Â›Ó·È ‰È·ÊÔÚ›ÛÈÌË ÛÙÔ f(x0 ). TfiÙÂ, Ë ·ÂÈÎfiÓÈÛË F ÙÔ˘ E ÛÙÔÓ R k Ô˘ ÔÚ›˙ÂÙ·È ·fi ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· F(x) = g(f(x))
(x ∈ E)
Â›Ó·È ‰È·ÊÔÚ›ÛÈÌË ÛÙÔ x0 Î·È ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ F (x0 ) = g (f(x0 ))f (x0 ).
(21)
™ÙË ‰ÂÍÈ¿ ÏÂ˘Ú¿ Ù˘ (21) ¤¯Ô˘Ì ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ‰‡Ô ÁÚ·ÌÌÈÎÒÓ ÌÂÙ·Û¯ËÌ·ÙÈÛÌÒÓ, fiˆ˜ ÔÚ›˙ÂÙ·È ÛÙËÓ EÓfiÙËÙ· 9.6. Afi‰ÂÈÍË. £¤ÙÔ˘Ì y0 = f(x0 ), A = f (x0 ), B = g (y0 ) Î·È ÔÚ›˙Ô˘Ì u(h) = f(x0 + h) − f(x0 ) − Ah, v(k) = g(y0 + k) − g(y0 ) − Bk ÁÈ· οı h ∈ R n Î·È k ∈ R m ÁÈ· Ù· ÔÔ›· ÔÚ›˙ÔÓÙ·È Ù· f(x0 +h) Î·È g(y0 +k). TfiÙÂ, |u(h)| = ε(h)|h|, |v(k)| = η(k)|k|,
(22)
fiÔ˘ ε(h) → 0 ηıÒ˜ h → 0 Î·È η(k) → 0 ηıÒ˜ k → 0. ¢Â‰Ô̤ÓÔ˘ h, ı¤ÙÔ˘Ì k = f(x0 + h) − f(x0 ). TfiÙÂ, |k| = |Ah + u(h)| ≤ [A + ε(h)]|h|
(23)
™YNAPTH™EI™ ¶O§§øN METAB§HTøN 335
Î·È F(x0 + h) − F(x0 ) − B Ah = g(y0 + k) − g(y0 ) − B Ah = B(k − Ah) + v(k) = Bu(h) + v(k). ÕÚ·, ÁÈ· h = 0 ÔÈ (22) Î·È (23) Û˘Ó¿ÁÔÓÙ·È fiÙÈ |F(x0 + h) − F(x0 ) − B Ah| ≤ Bε(h) + [A + ε(h)]η(k). |h| £ÂˆÚԇ̠fiÙÈ h → 0. TfiÙÂ, ε(h) → 0. E›Û˘, k → 0, ÏfiÁˆ Ù˘ (23), ÂÔ̤ӈ˜ η(k) → 0. Afi ·˘Ùfi ¤ÂÙ·È fiÙÈ F (x0 ) = B A, ÁÂÁÔÓfi˜ ÈÛÔ‰‡Ó·ÌÔ Ì ÙËÓ (21). 9.16 MÂÚÈΤ˜ ·Ú¿ÁˆÁÔÈ. £ÂˆÚԇ̛̠· Û˘Ó¿ÚÙËÛË f, Ë ÔÔ›· ·ÂÈÎÔÓ›˙ÂÈ ¤Ó· ·ÓÔÈÎÙfi Û‡ÓÔÏÔ E ⊂ R n ÛÙÔÓ R m . A˜ Â›Ó·È {e1 , . . . , en } Î·È {u1 , . . . , um } ÔÈ Û˘Ó‹ıÂȘ ‚¿ÛÂȘ ÙˆÓ R n Î·È R m ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜. OÈ Û˘ÓÈÛÙÒÛ˜ Ù˘ f Â›Ó·È ÔÈ Ú·ÁÌ·ÙÈΤ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ f 1 , . . . , f m Ô˘ ÔÚ›˙ÔÓÙ·È ·fi ÙË Û¯¤ÛË f(x) =
m
f i (x)ui
(x ∈ E)
(24)
i=1
‹ ÈÛÔ‰‡Ó·Ì· ·fi ÙȘ Û¯¤ÛÂȘ f i (x) = f(x) · ui (1 ≤ i ≤ m). °È· x ∈ E, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n, ÔÚ›˙Ô˘Ì (D j f i )(x) = lim
t→0
f i (x + te j ) − f i (x) , t
(25)
ÚÔ¸Ôı¤ÙÔÓÙ·˜ fiÙÈ ÙÔ fiÚÈÔ ·˘Ùfi ˘¿Ú¯ÂÈ. °Ú¿ÊÔÓÙ·˜ f i (x1 , . . . , xn ) ÛÙË ı¤ÛË ÙÔ˘ f i (x), ·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ Ë D j f i Â›Ó·È Ë ·Ú¿ÁˆÁÔ˜ Ù˘ f i ˆ˜ ÚÔ˜ ÙË ÌÂÙ·‚ÏËÙ‹ x j , Ì ÛÙ·ıÂÚ¤˜ ÙȘ ˘fiÏÔȘ ÌÂÙ·‚ÏËÙ¤˜. ™˘Ó‹ıˆ˜, ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÂ›Ù·È Ô Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌfi˜ ∂ fi ∂x j ·ÓÙ› ÙÔ˘ D j f i Î·È Ë D j f i ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÌÂÚÈ΋ ·Ú¿ÁˆÁÔ˜.
(26)
336
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
Y¿Ú¯Ô˘Ó ÔÏϤ˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ ÛÙË ıˆڛ· Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ Ì›·˜ ÌÂÙ·‚ÏËÙ‹˜ fiÔ˘ Ë ‡·ÚÍË Ù˘ ·Ú·ÁÒÁÔ˘ Â›Ó·È ··Ú·›ÙËÙË. H ¤ÎÙ·ÛË ÙˆÓ ÂÚÈÙÒÛÂˆÓ ·˘ÙÒÓ ÛÙË ıˆڛ· ÙˆÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ ÔÏÏÒÓ ÌÂÙ·‚ÏËÙÒÓ ··ÈÙ› ÔÈ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ ÌÂÚÈΤ˜ ·Ú¿ÁˆÁÔÈ Ó· Â›Ó·È Û˘Ó¯›˜ ‹ ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ ÊÚ·Á̤Ó˜. E› ·Ú·‰Â›ÁÌ·ÙÈ, ÔÈ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ f Î·È g ÛÙËÓ ÕÛÎËÛË 7 ÙÔ˘ KÂÊ·Ï·›Ô˘ 4 ‰ÂÓ Â›Ó·È Û˘Ó¯›˜, ·Ú¿ ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ ÔÈ ÌÂÚÈΤ˜ ·Ú¿ÁˆÁÔÈ ÙÔ˘˜ ˘¿Ú¯Ô˘Ó Û οı ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ R 2 . AÎfiÌË Î·È ÁÈ· Û˘Ó¯›˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ, Ë ‡·ÚÍË fiÏˆÓ ÙˆÓ ÌÂÚÈÎÒÓ ·Ú·ÁÒÁˆÓ ‰ÂÓ Û˘Ó¿ÁÂÙ·È ··Ú·Èًو˜ ÙË ‰È·ÊÔÚÈÛÈÌfiÙËÙ¿ ÙÔ˘˜, ˘fi ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ OÚÈÛÌÔ‡ 9.11. AÓ·ÙÚ¤ÍÙ ÛÙȘ AÛ΋ÛÂȘ 6, 14 Î·È ÛÙÔ £ÂÒÚËÌ· 9.21. ŸÌˆ˜, Â¿Ó Ì›· Û˘Ó¿ÚÙËÛË f Â›Ó·È ‰È·ÊÔÚ›ÛÈÌË Û ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô x, ÙfiÙ ÔÈ ÌÂÚÈΤ˜ ·Ú¿ÁˆÁÔ› Ù˘ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÛÙÔ x Î·È ÚÔÛ‰ÈÔÚ›˙Ô˘Ó ÙÔÓ ÁÚ·ÌÌÈÎfi ÌÂÙ·Û¯ËÌ·ÙÈÛÌfi f (x) Ï‹Úˆ˜: £ÂÒÚËÌ· 9.17. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË f ·ÂÈÎÔÓ›˙ÂÈ ÙÔ ·ÓÔÈÎÙfi Û‡ÓÔÏÔ E ⊂ R n ÛÙÔÓ R m Î·È fiÙÈ Â›Ó·È ‰È·ÊÔÚ›ÛÈÌË ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô x ∈ E. TfiÙÂ, ÔÈ ÌÂÚÈΤ˜ ·Ú¿ÁˆÁÔÈ (D j f i )(x) (1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n) ˘¿Ú¯Ô˘Ó Î·È ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ m (D j f i )(x)ui f (x)e j =
(1 ≤ j ≤ n).
(27)
i=1
Ÿˆ˜ ÛÙËÓ EÓfiÙËÙ· 9.16, {e1 , . . . , en } Î·È {u1 , . . . , um } Â›Ó·È ÔÈ Û˘Ó‹ıÂȘ ‚¿ÛÂȘ ÙˆÓ R n Î·È R m ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜. Afi‰ÂÈÍË. £ÂˆÚԇ̠¤Ó·Ó ‰Â›ÎÙË j Ì 1 ≤ j ≤ n. ‰È·ÊÔÚ›ÛÈÌË ÛÙÔ x, ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ
EÊfiÛÔÓ Ë f ›ӷÈ
f(x + te j ) − f(x) = f (x)(te j ) + r(te j ), fiÔ˘ |r(te j )|/t → 0 ηıÒ˜ t → 0. EÔ̤ӈ˜, Ë ÁÚ·ÌÌÈÎfiÙËÙ· Ù˘ f (x) Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ f(x + te j ) − f(x) = f (x)e j . t→0 t lim
(28)
™YNAPTH™EI™ ¶O§§øN METAB§HTøN 337
E¿Ó ·Ó··Ú·ÛÙ‹ÛÔ˘Ì ÙËÓ f ̤ۈ ÙˆÓ Û˘ÓÈÛÙˆÛÒÓ Ù˘ fiˆ˜ ÛÙËÓ (24), ÙfiÙÂ Ë (28) ÌÂÙ·ÙÚ¤ÂÙ·È ÛÙËÓ m f i (x + te j ) − f i (x) ui = f (x)e j . t→0 t i=1
lim
(29)
Afi ÙÔ ·Ú·¿Óˆ ¤ÂÙ·È fiÙÈ Î¿ı ËÏ›ÎÔ Û ·˘Ùfi ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ¤¯ÂÈ fiÚÈÔ Î·ıÒ˜ t → 0 (·Ó·ÙÚ¤ÍÙ ÛÙÔ £ÂÒÚËÌ· 4.10), ÂÔ̤ӈ˜ οı (D j f i )(x) (1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n) ˘¿Ú¯ÂÈ Î·È Ë (27) ¤ÂÙ·È ·fi ÙËÓ (29). ¶·Ú·Î¿Ùˆ ¤¯Ô˘Ì ÔÚÈṲ̂Ó˜ Û˘Ó¤ÂȘ ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 9.17: A˜ Â›Ó·È [f (x)] Ô ›Ó·Î·˜ Ô˘ ·Ó··ÚÈÛÙ¿ ÙËÓ f (x) ˆ˜ ÚÔ˜ ÙȘ Û˘Ó‹ıÂȘ ‚¿ÛÂȘ, fiˆ˜ ÛÙËÓ EÓfiÙËÙ· 9.9. TÔ f (x)e j Â›Ó·È ÙÔ j-‰È¿Ó˘ÛÌ· ÛÙ‹ÏË ÙÔ˘ [f (x)], ÂÔ̤ӈ˜ Ë (27) Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ Ô ·ÚÈıÌfi˜ (D j f i )(x) ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙËÓ i-ÁÚ·ÌÌ‹ Î·È ÛÙË jÛÙ‹ÏË. ÕÚ·, (D1 f 1 )(x) · · · (Dn f 1 )(x) [f (x)] = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n
(D1 f m )(x) · · · (Dn f m )(x)
E¿Ó h = j=1 h j e j (h 1 , . . . , h n Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›) Â›Ó·È ¤Ó· ‰È¿Ó˘ÛÌ· ÙÔ˘ R n , ÙfiÙÂ Ë (27) Û˘Ó¿ÁÂÙ·È fiÙÈ m n f (x)h = (D j f i )(x)h j ui . (30) i=1
j=1
¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 9.18. £ÂˆÚԇ̛̠· ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË ·ÂÈÎfiÓÈÛË γ ÙÔ˘ ‰È·ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ (a, b) ⊂ R 1 Û ¤Ó· ·ÓÔÈÎÙfi Û‡ÓÔÏÔ E ⊂ R n . ¢ËÏ·‰‹, Ë γ Â›Ó·È Ì›· ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË Î·Ì‡ÏË ÙÔ˘ E. £ÂˆÚԇ̠›Û˘ Ì›· Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ ‰È·ÊÔÚ›ÛÈÌË Û˘Ó¿ÚÙËÛË f Ì ‰›Ô ÔÚÈÛÌÔ‡ ÙÔ E. OÚ›˙Ô˘Ì ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË g ̤ۈ Ù˘ ÈÛfiÙËÙ·˜ g(t) = f (γ (t))
(a < t < b).
(31)
TfiÙÂ, ·fi ÙÔÓ Î·ÓfiÓ· ·Ï˘Û›‰·˜ Ï·Ì‚¿ÓÔ˘Ì fiÙÈ g (t) = f (γ (t))γ (t)
(a < t < b).
(32)
338
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
EÊfiÛÔÓ γ (t) ∈ L(R 1 , R n ) Î·È f (γ (t)) ∈ L(R n , R 1 ) ÁÈ· οı t ∈ (a, b), Ë (32) ÔÚ›˙ÂÈ ÙË g (t) ˆ˜ ÁÚ·ÌÌÈÎfi ÌÂÙ·Û¯ËÌ·ÙÈÛÌfi ÙÔ˘ R 1 . A˘Ùfi ÂÓ·ÚÌÔÓ›˙ÂÙ·È Ì ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ Ë g ·ÂÈÎÔÓ›˙ÂÈ ÙÔ (a, b) ÛÙÔÓ R 1 . ŸÌˆ˜, Ë g (t) ÌÔÚ› Ó· ıˆÚËı› Î·È ˆ˜ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜. (A˘Ùfi ¤¯ÂÈ ‹‰Ë ·Ó·Ï˘ı› ÛÙËÓ EÓfiÙËÙ· 9.10.) O ·ÚÈıÌfi˜ ·˘Ùfi˜ ÌÔÚ› Ó· ˘ÔÏÔÁÈÛı› ̤ۈ ÙˆÓ ÌÂÚÈÎÒÓ ·Ú·ÁÒÁˆÓ Ù˘ f Î·È ÙˆÓ ·Ú·ÁÒÁˆÓ ÙˆÓ Û˘ÓÈÛÙˆÛÒÓ Ù˘ γ , fiˆ˜ ı· Ê·Ó› ·Ú·Î¿Ùˆ. ™Â ·ÓÙÈÛÙÔȯ›· Ì ÙË Û˘Ó‹ıË ‚¿ÛË {e1 , . . . , en } ÙÔ˘ R n , Ô [γ (t)] (t ∈ (a, b)) Â›Ó·È Ô n × 1 ›Ó·Î·˜ (›Ó·Î·˜ ÛÙ‹ÏË) Ô ÔÔ›Ô˜ ¤¯ÂÈ ÙÔ ÛÙÔÈ¯Â›Ô γi (t) ÛÙËÓ i-ÁÚ·ÌÌ‹, fiÔ˘ γ1 . . . , γn Â›Ó·È ÔÈ Û˘ÓÈÛÙÒÛ˜ Ù˘ γ . °È· οı x ∈ E, Ô [ f (x)] Â›Ó·È Ô 1 × n ›Ó·Î·˜ (›Ó·Î·˜ ÁÚ·ÌÌ‹) Ô ÔÔ›Ô˜ ¤¯ÂÈ ÙÔ ÛÙÔÈ¯Â›Ô (D j f )(x) ÛÙË j-ÛÙ‹ÏË. ÕÚ·, Ô [g (t)] Â›Ó·È Ô 1 × 1 ›Ó·Î·˜ Ì ÌÔÓ·‰ÈÎfi ÛÙÔÈ¯Â›Ô ÙÔÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi g (t) =
n (Di f )(γ (t))γi (t).
(33)
i=1
H ·Ú·¿Óˆ Û¯¤ÛË Â›Ó·È Ì›· ÂȉÈ΋ ÂÚ›ÙˆÛË ÙÔ˘ ηÓfiÓ· ·Ï˘Û›‰·˜ Ô˘ ÂÌÊ·Ó›˙ÂÙ·È Û˘¯Ó¿. MÔÚ› Ó· ·Ó·‰È·Ù˘ˆı› Ì ÙÔÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ÙÚfiÔ. ™Â οı x ∈ E ·ÓÙÈÛÙÔȯ›˙Ô˘Ì ¤Ó· ‰È¿Ó˘ÛÌ·, ÙË ÏÂÁfiÌÂÓË ÎÏ›ÛË Ù˘ f ÛÙÔ x, ÙÔ ÔÔ›Ô ÔÚ›˙ÂÙ·È ˆ˜ (∇ f )(x) =
n (Di f )(x)ei .
(34)
i=1
EÊfiÛÔÓ γ (t) =
n
γi (t)ei (t ∈ (a, b)),
(35)
i=1
Ë (33) ÌÔÚ› Ó· ÁÚ·Ê› ÛÙË ÌÔÚÊ‹ g (t) = (∇ f )(γ (t)) · γ (t) (t ∈ (a, b)),
(36)
‰ËÏ·‰‹ ˆ˜ ÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÙˆÓ ‰È·Ó˘ÛÌ¿ÙˆÓ (∇ f )(γ (t)) Î·È γ (t).
™YNAPTH™EI™ ¶O§§øN METAB§HTøN 339
£ÂˆÚԇ̠ÙÒÚ· x ∈ E. A˜ Â›Ó·È u ∈ R n ¤Ó· ÌÔÓ·‰È·›Ô ‰È¿Ó˘ÛÌ· (‰ËÏ·‰‹ |u| = 1). A˜ Â›Ó·È Â›Û˘ γ (t) = x + tu
(t ∈ R 1 ).
(37)
TfiÙÂ, γ (t) = u ÁÈ· οı ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi t. EÔ̤ӈ˜, Ë (36) Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ g (0) = (∇ f )(x) · u.
(38)
Afi ÙËÓ ¿ÏÏË ÏÂ˘Ú¿, Ë (37) Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ g(t) − g(0) = f (x + tu) − f (x). ™˘ÓÂÒ˜, Ë (38) ¯ÔÚËÁ› ÙËÓ lim
t→0
f (x + tu) − f (x) = (∇ f )(x) · u. t
(39)
TÔ fiÚÈÔ ÛÙËÓ (39) Û˘Ó‹ıˆ˜ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ‰È¢ı˘ÓÙÈ΋ ·Ú¿ÁˆÁÔ˜ Ù˘ f ÛÙÔ x ηٿ ÙË ‰È‡ı˘ÓÛË ÙÔ˘ ‰È·Ó‡ÛÌ·ÙÔ˜ u. ™˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È ˆ˜ (Du f )(x). E¿Ó Ë f Î·È ÙÔ x ıˆÚËıÔ‡Ó ÛÙ·ıÂÚ¿, ÂÓÒ ÙÔ u ÌÂÙ·‚¿ÏÏÂÙ·È, ÙfiÙÂ Ë (39) Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ Ë (Du f )(x) Ï·Ì‚¿ÓÂÈ ÙÔ Ì¤ÁÈÛÙfi Ù˘ fiÙ·Ó ÙÔ u Â›Ó·È ›ÛÔ Ì ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÂÓfi˜ ıÂÙÈÎÔ‡ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ‡ ·ÚÈıÌÔ‡ Ì ÙÔ (∇ f )(x). (H ÂÚ›ÙˆÛË (∇ f )(x) = 0 Ú¤ÂÈ Ó· ·ÔÎÏÂÈÛı›.) n E¿Ó u = i=1 u i ei (u 1 , . . . , u n Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›), ÙfiÙÂ Ë (39) Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ ÙÔ (Du f )(x) ÌÔÚ› Ó· ÂÎÊÚ·Ûı› ̤ۈ ÙˆÓ ÌÂÚÈÎÒÓ ·Ú·ÁÒÁˆÓ Ù˘ f ÛÙÔ x, Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔÓ Ù‡Ô (Du f )(x) =
n
(Di f )(x)u i .
(40)
i=1
OÚÈṲ̂Ó˜ ·fi ÙȘ ·Ú·¿Óˆ ȉ¤Â˜ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡ÓÙ·È ÛÙÔ ÂfiÌÂÓÔ ıÂÒÚËÌ·. £ÂÒÚËÌ· 9.19. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ f Â›Ó·È Ì›· ‰È·ÊÔÚ›ÛÈÌË ·ÂÈÎfiÓÈÛË ÂÓfi˜ ΢ÚÙÔ‡ Û˘ÓfiÏÔ˘ E ⊂ R n ÛÙÔÓ R m Î·È fiÙÈ ˘¿Ú¯ÂÈ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ M Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ f (x) ≤ M
340
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
ÁÈ· οı x ∈ E. TfiÙÂ, |f(b) − f(a)| ≤ M|b − a| ÁÈ· οı a, b ∈ E. Afi‰ÂÈÍË. £ÂˆÚԇ̠a, b ∈ E. OÚ›˙Ô˘Ì γ (t) = (1 − t)a + tb ÁÈ· οı t ∈ R 1 Ì γ (t) ∈ E. EÊfiÛÔÓ ÙÔ E Â›Ó·È Î˘ÚÙfi, ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ γ (t) ∈ E fiÙ·Ó t ∈ [0, 1]. °È· t ∈ [0, 1] ı¤ÙÔ˘Ì g(t) = f(γ (t)). TfiÙÂ, g (t) = f (γ (t))γ (t) = f (γ (t))(b − a) Î·È ÂÔ̤ӈ˜ |g (t)| ≤ f (γ (t))|b − a| ≤ M|b − a| ÁÈ· οı t ∈ [0, 1]. ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 5.19, |g(1) − g(0)| ≤ M|b − a|. ŸÌˆ˜, g(0) = f(a), g(1) = f(b). A˘Ùfi ÔÏÔÎÏËÚÒÓÂÈ ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË. ¶fiÚÈÛÌ·. ™Ù· ·Ú·¿Óˆ, Â¿Ó ÈÛ¯‡ÂÈ ÂÈÚÔÛı¤Ùˆ˜ fiÙÈ f (x) = 0 ÁÈ· ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ x ∈ E, ÙfiÙÂ Ë f Â›Ó·È ÛÙ·ıÂÚ‹. Afi‰ÂÈÍË. ™ÙÔ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ ıÂÒÚËÌ· Ï·Ì‚¿ÓÔ˘Ì M = 0. OÚÈÛÌfi˜ 9.20. M›· ‰È·ÊÔÚ›ÛÈÌË ·ÂÈÎfiÓÈÛË f ÂÓfi˜ ·ÓÔÈÎÙÔ‡ Û˘ÓfiÏÔ˘ E ⊂ R n ÛÙÔÓ R m ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Û˘Ó¯Ҙ ‰È·ÊÔÚ›ÛÈÌË Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó Ë f Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ·ÂÈÎfiÓÈÛË ·fi ÙÔ E ÛÙÔ L(R n , R m ). ¶ÈÔ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ӷ, ··ÈÙÂ›Ù·È ÙÔ ÂÍ‹˜: °È· οı x ∈ E Î·È ε > 0 Ó· ˘¿Ú¯ÂÈ δ > 0 Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ f (y) − f (x) ≤ ε
™YNAPTH™EI™ ¶O§§øN METAB§HTøN 341
Â¿Ó y ∈ E Î·È |y − x| ≤ δ. IÛÔ‰‡Ó·Ì·, Ë f ϤÁÂÙ·È C -·ÂÈÎfiÓÈÛË Î·È Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ ·˘Ùfi Ì f ∈ C (E). £ÂÒÚËÌ· 9.21. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË f ·ÂÈÎÔÓ›˙ÂÈ ÙÔ ·ÓÔÈÎÙfi Û‡ÓÔÏÔ E ⊂ R n ÛÙÔÓ R m . TfiÙÂ, f ∈ C (E) Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ÔÈ ÌÂÚÈΤ˜ ·Ú¿ÁˆÁÔÈ D j f i ˘¿Ú¯Ô˘Ó Î·È Â›Ó·È Û˘Ó¯›˜ ÛÙÔ E ÁÈ· ÔÔÈÔ˘Û‰‹ÔÙ ‰Â›ÎÙ˜ i, j Ì 1 ≤ i ≤ m Î·È 1 ≤ j ≤ n. Afi‰ÂÈÍË. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ f ∈ C (E). §fiÁˆ Ù˘ (27), ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ (D j f i )(x) = (f (x)e j ) · ui ÁÈ· ÔÔÈÔ˘Û‰‹ÔÙ ‰Â›ÎÙ˜ i, j Î·È x ∈ E. EÔ̤ӈ˜, (D j f i )(y) − (D j f i )(x) = {[f (y) − f (x)]e j } · ui . EÊfiÛÔÓ |ui | = |e j | = 1, ¤ÂÙ·È fiÙÈ |(D j f i )(y) − (D j f i )(x)| ≤ |[f (y) − f (x)]e j | ≤ f (y) − f (x). K·Ù¿ Û˘Ó¤ÂÈ·, Ë D j f i Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ÁÈ· ÔÔÈÔ˘Û‰‹ÔÙ ‰Â›ÎÙ˜ i Î·È j. °È· ÙËÓ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊË Û˘Ó·ÁˆÁ‹, ·ÚΛ Ó· ıˆڋÛÔ˘Ì ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË m = 1. (°È·Ù›;) £ÂˆÚԇ̠x ∈ E Î·È ε > 0. EÊfiÛÔÓ ÙÔ E Â›Ó·È ·ÓÔÈÎÙfi, ˘¿Ú¯ÂÈ Ì›· ·ÓÔÈÎÙ‹ ÛÊ·ÈÚÈ΋ ÂÚÈÔ¯‹ S ⊂ E Ì ΤÓÙÚÔ ÙÔ x Î·È ·ÎÙ›Ó· r . H Û˘Ó¤¯ÂÈ· ÙˆÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ D j f (1 ≤ j ≤ n) Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ ÙÔ r ÌÔÚ› Ó· ÂÈÏÂÁ› Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ ӷ ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ |(D j f )(y) − (D j f )(x)| <
ε n
(y ∈ S, 1 ≤ j ≤ n).
(41)
£ÂˆÚԇ̠¤Ó· ‰È¿Ó˘ÛÌ· h = nj=1 h j e j (h 1 , . . . , h n Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›) Ì |h| < r . £¤ÙÔ˘Ì v0 = 0 Î·È vk = h 1 e1 + · · · + h k ek ÁÈ· 1 ≤ k ≤ n. TfiÙÂ, f (x + h) − f (x) =
n [ f (x + v j ) − f (x + v j−1 )]. j=1
(42)
342
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
EÊfiÛÔÓ |vk | < r ÁÈ· 1 ≤ k ≤ n Î·È ÂÊfiÛÔÓ ÙÔ S Â›Ó·È Î˘ÚÙfi, Ù· ‰È·ÛÙ‹Ì·Ù· Ì ¿ÎÚ· Ù· x + v j−1 Î·È x + v j ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÛÙÔ S. EÊfiÛÔÓ v j = v j−1 + h j e j , ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ̤Û˘ ÙÈÌ‹˜ (£ÂÒÚËÌ· 5.10) Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ Ô j ٿ͈˜ fiÚÔ˜ ÙÔ˘ ·ıÚÔ›ÛÌ·ÙÔ˜ ÛÙË (42) ÈÛÔ‡Ù·È Ì h j (D j f )(x + v j−1 + θ j h j e j ) ÁÈ· οÔÈÔ θ j ∈ (0, 1), Î·È Ë ÙÂÏÂ˘Ù·›· ¤ÎÊÚ·ÛË ‰È·Ê¤ÚÂÈ ·fi ÙÔ h j (D j f )(x) ÏÈÁfiÙÂÚÔ ·fi |h j |ε/n, Û‡Ìʈӷ Ì ÙË (41). §fiÁˆ Ù˘ (42), ¤ÂÙ·È fiÙÈ n n 1 h j (D j f )(x) ≤ |h j |ε ≤ |h|ε f (x + h) − f (x) − n j=1 j=1 ÁÈ· οı ‰È¿Ó˘ÛÌ· h Ì |h| < r . A˘Ùfi Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ Ë f Â›Ó·È ‰È·ÊÔÚ›ÛÈÌË ÛÙÔ x Î·È fiÙÈ Ô f (x) Â›Ó·È Ô ÁÚ·ÌÌÈÎfi˜ ÌÂÙ·Û¯ËÌ·ÙÈÛÌfi˜ Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔȯ›˙ÂÈ ÙÔ ‰È¿Ó˘ÛÌ· h = nj=1 h j e j n ÛÙÔÓ ·ÚÈıÌfi j=1 h j (D j f )(x). O ›Ó·Î·˜ [ f (x)] ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi ÙË ÁÚ·ÌÌ‹ (D1 f )(x), . . . , (Dn f )(x). EÊfiÛÔÓ ÔÈ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ D1 f, . . . , Dn f Â›Ó·È Û˘Ó¯›˜ ÛÙÔ E, Ë ÙÂÏÂ˘Ù·›· ·Ú·Ù‹ÚËÛË Ù˘ EÓfiÙËÙ·˜ 9.9 Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ f ∈ C (E).
O KANONA™ TH™ ™Y™TO§H™ £· ·ÚÂÌ‚¿ÏÔ˘Ì ÙÒÚ· ¤Ó· ıÂÒÚËÌ· ÛÙ·ıÂÚÔ‡ ÛËÌ›Ԣ, ÙÔ ÔÔ›Ô ÈÛ¯‡ÂÈ ÛÂ Ù˘¯fiÓÙ˜ Ï‹ÚÂȘ ÌÂÙÚÈÎÔ‡˜ ¯ÒÚÔ˘˜. £· ÙÔ ÂÊ·ÚÌfiÛÔ˘Ì ·Ú·Î¿Ùˆ, ÛÙÔ ıÂÒÚËÌ· ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊ˘ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜. OÚÈÛÌfi˜ 9.22. £ÂˆÚԇ̠¤Ó·Ó ÌÂÙÚÈÎfi ¯ÒÚÔ X Ì ÌÂÙÚÈ΋ d. M›· Û˘Ó¿ÚÙËÛË ϕ Ô˘ ·ÂÈÎÔÓ›˙ÂÈ ÙÔÓ X ÛÙÔÓ X ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Û˘ÛÙÔÏ‹ ÙÔ˘ X ÛÙÔÓ X Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ˘¿Ú¯ÂÈ ·ÚÈıÌfi˜ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ c Ì c < 1 Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ d(ϕ(x), ϕ(y)) ≤ cd(x, y) ÁÈ· οı x, y ∈ X .
(43)
™YNAPTH™EI™ ¶O§§øN METAB§HTøN 343
£ÂÒÚËÌ· 9.23. E¿Ó X Â›Ó·È ¤Ó·˜ Ï‹Ú˘ ÌÂÙÚÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ Î·È ϕ Ì›· Û˘ÛÙÔÏ‹ ÙÔ˘ X ÛÙÔÓ X , ÙfiÙ ˘¿Ú¯ÂÈ ÌÔÓ·‰ÈÎfi ÛËÌÂ›Ô x ∈ X Ì ϕ(x) = x. M ‰È·ÊÔÚÂÙÈ΋ ‰È·Ù‡ˆÛË, Ë ϕ ¤¯ÂÈ ÌÔÓ·‰ÈÎfi ÛÙ·ıÂÚfi ÛËÌ›Ô. H ·fi‰ÂÈÍË ÂÚ› ÌÔÓ·‰ÈÎfiÙËÙ·˜ Â›Ó·È ·Ï‹. ¢ÈfiÙÈ Â¿Ó ϕ(x) = x Î·È ϕ(y) = y, ÙfiÙÂ Ë (43) ¯ÔÚËÁ› ÙËÓ ·ÓÈÛfiÙËÙ· d(x, y) ≤ cd(x, y), Ë ÔÔ›· ÈÛ¯‡ÂÈ ÌfiÓÔÓ Â¿Ó d(x, y) = 0. To Ô˘ÛÈ҉˜ ̤ÚÔ˜ ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ Â›Ó·È ·ÎÚÈ‚Ò˜ Ë ‡·ÚÍË ÙÔ˘ ÛÙ·ıÂÚÔ‡ ÛËÌ›Ԣ. O˘ÛÈ·ÛÙÈο, Ë ·fi‰ÂÈÍË ¯ÔÚËÁ› Ì›· ηٷÛ΢·ÛÙÈ΋ ̤ıÔ‰Ô ÁÈ· ÙËÓ Â‡ÚÂÛË ÙÔ˘ ÛÙ·ıÂÚÔ‡ ÛËÌ›Ԣ. Afi‰ÂÈÍË. £ÂˆÚԇ̠x0 ∈ X Î·È ÔÚ›˙Ô˘Ì ÙËÓ ·ÎÔÏo˘ı›· {xn } (n = 1, 2, 3, . . . ) ·Ó·‰ÚÔÌÈο, ı¤ÙÔÓÙ·˜ xn+1 = ϕ(xn )
(n = 0, 1, 2, . . . ).
(44)
£ÂˆÚԇ̠ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi c Ì c < 1 Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ ӷ ÈÛ¯‡ÂÈ Ë (43). TfiÙÂ, ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË n Ì n ≥ 1 ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ d(xn+1 , xn ) = d(ϕ(xn ), ϕ(xn−1 )) ≤ cd(xn , xn−1 ). EÔ̤ӈ˜, Ì ¯Ú‹ÛË Â·ÁˆÁ‹˜ Ï·Ì‚¿ÓÔ˘Ì fiÙÈ d(xn+1 , xn ) ≤ cn d(x1 , x0 )
(n = 0, 1, 2, . . . ).
(45)
E¿Ó n, m Â›Ó·È ‰Â›ÎÙ˜ Ì n < m, ÙfiÙ ¤ÂÙ·È fiÙÈ d(xn , xm ) ≤
m
d(xi , xi−1 )
i=n+1 n
≤ (c + cn+1 + · · · + cm−1 )d(x1 , x0 ) ≤ [(1 − c)−1 d(x1 , x0 )]cn . ÕÚ·, Ë {xn } (n = 1, 2, 3, . . . ) Â›Ó·È ·ÎÔÏÔ˘ı›· Cauchy. EÊfiÛÔÓ Ô X Â›Ó·È Ï‹Ú˘, ˘¿Ú¯ÂÈ x ∈ X Ì limn→∞ xn = x.
344
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
EÊfiÛÔÓ Ë ϕ Â›Ó·È Û˘ÛÙÔÏ‹, Â›Ó·È ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔÓ X . EÔ̤ӈ˜, ϕ(x) = lim ϕ(xn ) = lim xn+1 = x. n→∞
n→∞
TO £EøPHMA ANTI™TPOºH™ ™YNAPTH™Eø™
TÔ ıÂÒÚËÌ· ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊ˘ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜ ‰ËÏÒÓÂÈ, ÛÙËÓ Ô˘Û›· ÙÔ˘, fiÙÈ Ì›· Û˘Ó¯Ҙ ‰È·ÊÔÚ›ÛÈÌË ·ÂÈÎfiÓÈÛË f Â›Ó·È ·ÓÙÈÛÙÚ¤„ÈÌË ÛÙËÓ ÂÚÈÔ¯‹ οı ÛËÌ›Ԣ x ÛÙÔ ÔÔ›Ô Ô ÁÚ·ÌÌÈÎfi˜ ÌÂÙ·Û¯ËÌ·ÙÈÛÌfi˜ f (x) Â›Ó·È ·ÓÙÈÛÙÚ¤„ÈÌÔ˜: £ÂÒÚËÌ· 9.24. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ f Â›Ó·È Ì›· C -·ÂÈÎfiÓÈÛË ÂÓfi˜ ·ÓÔÈÎÙÔ‡ Û˘ÓfiÏÔ˘ E ⊂ R n ÛÙÔÓ R n Ì ÙÔÓ f (a) ·ÓÙÈÛÙÚ¤„ÈÌÔ ÁÈ· οÔÈÔ a ∈ E. E¿Ó b = f(a), ÙfiÙÂ: (·) Y¿Ú¯Ô˘Ó ·ÓÔÈÎÙ¿ Û‡ÓÔÏ· U, V ÙÔ˘ R n Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ a ∈ U , b ∈ V , Ë f Â›Ó·È 1-1 ÛÙÔ U Î·È f(U ) = V . (‚) E¿Ó g Â›Ó·È Ë ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊË ·ÂÈÎfiÓÈÛË Ù˘ f (Ë ÔÔ›·, Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ (·), ˘¿Ú¯ÂÈ), Ë ÔÔ›· ÔÚ›˙ÂÙ·È ÛÙÔ V ·fi ÙË Û¯¤ÛË g(f(x)) = x
(x ∈ U ),
ÙfiÙ g ∈ C (V ). °Ú¿ÊÔÓÙ·˜ ÙËÓ Â͛ۈÛË y = f(x) ˘fi ÙË ÌÔÚÊ‹ Û˘ÓÈÛÙˆÛÒÓ, ηٷϋÁÔ˘Ì ÛÙËÓ ·ÎfiÏÔ˘ıË ÂÚÌËÓ›· ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜: TÔ Û‡ÛÙËÌ· ÙˆÓ n ÂÍÈÛÒÛÂˆÓ yi = f i (x1 , . . . , xn )
(1 ≤ i ≤ n)
ÌÔÚ› Ó· Ï˘ı› ˆ˜ ÚÔ˜ x1 , . . . , xn Ì fiÚÔ˘˜ ÙˆÓ y1 , . . . , yn Â¿Ó Ù· x Î·È y ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È Û ηٿÏÏËϘ ÂÚÈÔ¯¤˜ ÙˆÓ a Î·È b ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜. OÈ Ï‡ÛÂȘ Â›Ó·È ÌÔÓ·‰ÈΤ˜ Î·È ·ÔÙÂÏÔ‡Ó Û˘Ó¯Ҙ ‰È·ÊÔÚ›ÛÈ̘ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ ÙˆÓ y1 , . . . , yn .
™YNAPTH™EI™ ¶O§§øN METAB§HTøN 345
Afi‰ÂÈÍË. (·) £¤ÙÔ˘Ì A = f (a) Î·È ıˆÚԇ̠ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi λ Ì 2λA−1 = 1.
(46)
EÊfiÛÔÓ Ë f Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ a, ˘¿Ú¯ÂÈ ·ÓÔÈÎÙ‹ ÛÊ·ÈÚÈ΋ ÂÚÈÔ¯‹ U ⊂ E Ì ΤÓÙÚÔ ÙÔ a Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ f (x) − A < λ
(x ∈ U ).
(47)
™Â οı y ∈ R n ·ÓÙÈÛÙÔȯ›˙Ô˘Ì ̛· Û˘Ó¿ÚÙËÛË ϕ, ÔÚÈ˙fiÌÂÓË ·fi ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· ϕ(x) = x + A−1 (y − f(x))
(x ∈ E).
(48)
™ËÌÂÈÒÓÔ˘Ì fiÙÈ f(x) = y Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ÙÔ x Â›Ó·È ÛÙ·ıÂÚfi ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ϕ. EÊfiÛÔÓ ϕ (x) = I − A−1 f (x) = A−1 (A−f (x)) (fiÔ˘ I Â›Ó·È Ô Ù·˘ÙÔÙÈÎfi˜ ÙÂÏÂÛÙ‹˜), ÔÈ (46) Î·È (47) Û˘Ó¿ÁÔÓÙ·È fiÙÈ ϕ (x) <
1 2
(x ∈ U ).
(49)
ÕÚ·, 1 (x1 , x2 ∈ U ), (50) |ϕ(x1 ) − ϕ(x2 )| ≤ |x1 − x2 | 2 Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 9.19. Afi ·˘Ùfi ¤ÂÙ·È fiÙÈ Ë ϕ ¤¯ÂÈ ÙÔ Ôχ ¤Ó· ÛÙ·ıÂÚfi ÛËÌÂ›Ô ÛÙÔ U Î·È ÂÔ̤ӈ˜ f(x) = y ÁÈ· ÙÔ Ôχ ¤Ó· x ∈ U . ™˘ÓÂÒ˜, Ë f Â›Ó·È 1-1 ÛÙÔ U . EÓ Û˘Ó¯›·, ı¤ÙÔ˘Ì V = f(U ) Î·È ÂÈϤÁÔ˘Ì y0 ∈ V . TfiÙÂ, y0 = f(x0 ) ÁÈ· οÔÈÔ x0 ∈ U . A˜ Â›Ó·È B Ë ·ÓÔÈÎÙ‹ ÛÊ·ÈÚÈ΋ ÂÚÈÔ¯‹ Ì ΤÓÙÚÔ ÙÔ x0 Î·È ·ÎÙ›Ó· r > 0 ηٷÏϋψ˜ ÌÈÎÚ‹ Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ ÙÔ B Ó· ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙÔ U . £· ‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ y ∈ V fiÙ·Ó |y − y0 | < λr . A˘Ùfi ‚‚·›ˆ˜ ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÈ fiÙÈ ÙÔ V Â›Ó·È ·ÓÔÈÎÙfi. £ÂˆÚԇ̠¤Ó· ‰È¿Ó˘ÛÌ· y Ì |y − y0 | < λr . E¿Ó ϕ Â›Ó·È fiˆ˜ ÛÙË (48), ÙfiÙ ¤¯Ô˘Ì fiÙÈ r |ϕ(x0 ) − x0 | = |A−1 (y − y0 )| < A−1 λr = . 2
346
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
E¿Ó x ∈ B, ÙfiÙ ·fi ÙËÓ (50) ¤ÂÙ·È fiÙÈ 1 r |ϕ(x) − x0 | ≤ |ϕ(x) − ϕ(x0 )| + |ϕ(x0 ) − x0 | < |x − x0 | + ≤ r. 2 2 ÕÚ·, ϕ(x) ∈ B. ™ËÌÂÈÒÓÔ˘Ì fiÙÈ Ë ÈÛ¯‡ÂÈ (50) fiÙ·Ó x1 , x2 ∈ B. ™˘ÓÂÒ˜, Ë ϕ Â›Ó·È Û˘ÛÙÔÏ‹ ·fi ÙÔ B ÛÙÔ B. TÔ B Â›Ó·È Ï‹Ú˜, ˆ˜ ÎÏÂÈÛÙfi ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ R n . EÔ̤ӈ˜, ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 9.23 Û˘Ó¿ÁÂÙ·È fiÙÈ Ë ϕ ¤¯ÂÈ ¤Ó· ÛÙ·ıÂÚfi ÛËÌÂ›Ô x ∈ B. ¢ËÏ·‰‹, ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ f(x) = y. ÕÚ·, y ∈ f(B) ⊂ f(U ) = V . A˘Ùfi ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÈ ÙÔ Ì¤ÚÔ˜ (·) ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜. (‚) £ÂˆÚԇ̠y ∈ V Î·È ‰È¿Ó˘ÛÌ· k Ì y + k ∈ V . TfiÙÂ, ˘¿Ú¯Ô˘Ó x ∈ U Î·È ‰È¿Ó˘ÛÌ· h Ì x + h ∈ U Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ y = f(x), y + k = f(x + h). M ϕ fiˆ˜ ÛÙË (48) ¤¯Ô˘Ì fiÙÈ ϕ(x + h) − ϕ(x) = h + A−1 [f(x) − f(x + h)] = h − A−1 k. ™‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ (50), |h − A−1 k| ≤ 1 |h|. ÕÚ·, |A−1 k| ≥ 1 |h| Î·È 2 2 |h| ≤ 2A−1 |k| = λ−1 |k|.
(51)
™‡Ìʈӷ Ì ÙȘ (46), (47) Î·È ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 9.8, Ë f (x) ¤¯ÂÈ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊË ·ÂÈÎfiÓÈÛË, ÙËÓ ÔÔ›· Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì Ì T . EÊfiÛÔÓ g(y + k) − g(y) − T k = h − T k = −T [f(x + h) − f(x) − f (x)h], Ë (51) Û˘Ó¿ÁÂÙ·È fiÙÈ |g(y + k) − g(y) − T k| T |f(x + h) − f(x) − f (x)h| ≤ · . |k| λ |h| K·ıÒ˜ k → 0, Ë (51) Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ h → 0. EÔ̤ӈ˜, Ë ‰ÂÍÈ¿ ÏÂ˘Ú¿ Ù˘ ÙÂÏÂ˘Ù·›·˜ ·ÓÈÛfiÙËÙ·˜ Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÚÔ˜ ÙÔ 0. ÕÚ·, ÙÔ ›‰ÈÔ ÈÛ¯‡ÂÈ Î·È ÁÈ· ÙËÓ ·ÚÈÛÙÂÚ‹ ÏÂ˘Ú¿. ™˘ÓÂÒ˜, ¤¯Ô˘Ì ·Ô‰Â›ÍÂÈ fiÙÈ g (y) = T . ŸÌˆ˜, Ô T Â›Ó·È Ô ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ˜ ÙÔ˘ f (x) = f (g(y)). ¢ËÏ·‰‹, g (y) = {f (g(y))}−1
(y ∈ V ).
(52)
™YNAPTH™EI™ ¶O§§øN METAB§HTøN 347
EÓ Ù¤ÏÂÈ, ÛËÌÂÈÒÓÔ˘Ì fiÙÈ Ë g Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ·ÂÈÎfiÓÈÛË ÙÔ˘ V › ÙÔ˘ U (ÂÊfiÛÔÓ Ë g Â›Ó·È ‰È·ÊÔÚ›ÛÈÌË), fiÙÈ Ë f Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ·ÂÈÎfiÓÈÛË ÙÔ˘ U ÛÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ·ÓÙÈÛÙÚ¤„ÈÌˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ ÙÔ˘ L(R n ) Î·È fiÙÈ Ë ·ÓÙÈÛÙÚÔÊ‹ Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ·ÂÈÎfiÓÈÛË ÙÔ˘ › ÙÔ˘ , Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 9.8. E¿Ó Û˘Ó‰˘¿ÛÔ˘Ì ·˘Ù¿ Ì ÙËÓ (52) ηٷϋÁÔ˘Ì fiÙÈ g ∈ C (V ). A˘Ùfi ÔÏÔÎÏËÚÒÓÂÈ ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË. ™ËÌ›ˆÛË. H Ï‹Ú˘ ÈÛ¯‡˜ Ù˘ ˘Ôı¤Ûˆ˜ f ∈ C (E) ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ıËΠÌfiÓÔ ÛÙË ÙÂÏÂ˘Ù·›· ·Ú¿ÁÚ·ÊÔ Ù˘ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ˘ ·Ô‰Â›Íˆ˜. ŸÏ· Ù· ˘fiÏÔÈ·, ¤ˆ˜ ÙË (52), ÚԤ΢„·Ó ·fi ÙËÓ ‡·ÚÍË Ù˘ f (x) ÁÈ· οı x ∈ E, ·fi ÙËÓ ·ÓÙÈÛÙÚ„ÈÌfiÙËÙ· ÙÔ˘ f (a) Î·È ·fi ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· Ù˘ f ·ÏÒ˜ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô a. ™¯ÂÙÈο Ì ٷ ·Ú·¿Óˆ, ·Ú·¤ÌÔ˘Ì ÛÙÔ ¿ÚıÚÔ ÙÔ˘ A. Nijenhuis ÛÙÔ Amer. Math. Monthly, vol. 81, 1974, pp. 969-980. TÔ ÂfiÌÂÓÔ ıÂÒÚËÌ· ·ÔÙÂÏ› ¿ÌÂÛË Û˘Ó¤ÂÈ· ÙÔ˘ ̤ÚÔ˘˜ (·) ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊ˘ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜. £ÂÒÚËÌ· 9.25. E¿Ó f Â›Ó·È Ì›· C -·ÂÈÎfiÓÈÛË ÂÓfi˜ ·ÓÔÈÎÙÔ‡ Û˘ÓfiÏÔ˘ E ⊂ R n ÛÙÔÓ R n Î·È Â¿Ó Ô f (x) Â›Ó·È ·ÓÙÈÛÙÚ¤„ÈÌÔ˜ ÁÈ· οı x ∈ E, ÙfiÙ ÙÔ f(W ) Â›Ó·È ·ÓÔÈÎÙfi ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ R n ÁÈ· ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ·ÓÔÈÎÙfi Û‡ÓÔÏÔ W ⊂ E. M ‰È·ÊÔÚÂÙÈ΋ ‰È·Ù‡ˆÛË, Ë f Â›Ó·È ·ÓÔÈÎÙ‹ ·ÂÈÎfiÓÈÛË ÙÔ˘ E ÛÙÔÓ Rn . OÈ ˘Ôı¤ÛÂȘ ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ ÂÍ·ÛÊ·Ï›˙Ô˘Ó ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ Î¿ı x ∈ E ¤¯ÂÈ Ì›· ÂÚÈÔ¯‹ ÛÙËÓ ÔÔ›· Ë f Â›Ó·È 1-1. A˘Ùfi ÂÎÊÚ¿˙ÂÙ·È Ï¤ÁÔÓÙ·˜ fiÙÈ Ë f Â›Ó·È ÙÔÈο 1-1 ÛÙÔ E. ŸÌˆ˜, Ë f ‰ÂÓ Â›Ó·È ··Ú·Èًو˜ 1-1 ÛÙÔ E ˘fi ·˘Ù¤˜ ÙȘ ÂÚÈÛÙ¿ÛÂȘ. °È· ¤Ó· Ù¤ÙÔÈÔ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, ·Ó·ÙÚ¤ÍÙ ÛÙËÓ ÕÛÎËÛË 17.
TO £EøPHMA ¶E¶§E°MENH™ ™YNAPTH™Eø™ E¿Ó f Â›Ó·È Ì›· Û˘Ó¯Ҙ ‰È·ÊÔÚ›ÛÈÌË Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÔÚÈṲ̂ÓË ÛÙÔ Â›Â‰Ô, ÙfiÙÂ Ë Â͛ۈÛË f (x, y) = 0 ÌÔÚ› Ó· Ï˘ı› ˆ˜ ÚÔ˜ y Û ̛·
348
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
ÂÚÈÔ¯‹ ÔÔÈÔ˘‰‹ÔÙ ÛËÌ›Ԣ (a, b) ÁÈ· ÙÔ ÔÔ›Ô ÈÛ¯‡ÂÈ f (a, b) = 0 Î·È ∂ f /∂ y = 0 Û ·˘Ùfi. ¶·ÚÔÌÔ›ˆ˜, ÌÔÚ› Ó· Ï˘ı› ˆ˜ ÚÔ˜ x Û ̛· ÂÚÈÔ¯‹ ÔÔÈÔ˘‰‹ÔÙ ÛËÌ›Ԣ (a, b) ÁÈ· ÙÔ ÔÔ›Ô ÈÛ¯‡ÂÈ f (a, b) = 0 Î·È ∂ f /∂ x = 0 Û ·˘Ùfi. ŒÓ· ·Ïfi ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ÛÙÔ ÔÔ›Ô ‰È·Ê·›ÓÂÙ·È Ë ·Ó¿ÁÎË ÁÈ· ÙË Û˘Óı‹ÎË ∂ f /∂ y = 0 ·ÔÙÂÏ› Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË f (x, y) = x 2 + y 2 − 1. H ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË «¿Ù˘Ë» ÚfiÙ·ÛË ·ÔÙÂÏ› ÙËÓ ·ÏÔ‡ÛÙÂÚË ÂÚ›ÙˆÛË (n = 1, m = 1 ÛÙÔ £ÂÒÚËÌ· 9.28) ÙÔ˘ ÏÂÁÔ̤ÓÔ˘ «ıˆڋ̷ÙÔ˜ ÂÏÂÁ̤Ó˘ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜». H ·fi‰ÂÈÍ‹ ÙÔ˘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ› Ô˘ÛȈ‰Ò˜ ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ ÔÈ Û˘Ó¯Ҙ ‰È·ÊÔÚ›ÛÈÌÔÈ ÌÂÙ·Û¯ËÌ·ÙÈÛÌÔ› Û˘ÌÂÚÈʤÚÔÓÙ·È ÙÔÈο fiˆ˜ ÔÈ ·Ú¿ÁˆÁÔ› ÙÔ˘˜. £· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì ÚÒÙ· ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 9.27, ÙÔ ÔÔ›Ô Î·È Û˘ÓÈÛÙ¿ ÙË «ÁÚ·ÌÌÈ΋ ÂΉԯ‹» ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 9.28. ™˘Ì‚ÔÏÈÛÌfi˜ 9.26. E¿Ó x = (x1 , . . . , xn ) ∈ R n Î·È y = (y1 , . . . , ym ) ∈ R m , ÙfiÙÂ Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì ˆ˜ (x, y) ÙÔ ÛËÌÂ›Ô (‹ ‰È¿Ó˘ÛÌ·) (x1 , . . . , xn , y1 , . . . , ym ) ∈ R n+m . ™Â fi,ÙÈ ·ÎÔÏÔ˘ı›, ÙÔ ÚÒÙÔ fiÚÈÛÌ· ÛÙÔ (x, y) ‹ Û ·ÚfiÌÔÈÔ Û‡Ì‚ÔÏÔ ı· Â›Ó·È ¿ÓÙÔÙ ¤Ó· ‰È¿Ó˘ÛÌ· ÙÔ˘ R n Î·È ÙÔ ‰Â‡ÙÂÚÔ ı· Â›Ó·È ‰È¿Ó˘ÛÌ· ÙÔ˘ Rm . K¿ı A ∈ L(R n+m , R n ) ÌÔÚ› Ó· ‰È·Û·Ûı› Û ‰‡Ô ÁÚ·ÌÌÈÎÔ‡˜ ÌÂÙ·Û¯ËÌ·ÙÈÛÌÔ‡˜ A x , A y , ÔÈ ÔÔ›ÔÈ ÔÚ›˙ÔÓÙ·È ·fi ÙȘ Û¯¤ÛÂȘ A x h = A(h, 0),
A y k = A(0, k)
(53)
ÁÈ· οı h ∈ R n , k ∈ R m . ™Â ·˘Ù‹Ó ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË, ¤¯Ô˘Ì fiÙÈ A x ∈ L(R n ), A y ∈ L(R m , R n ) Î·È A(h, k) = A x h + A y k.
(54)
TÒÚ·, Ë «ÁÚ·ÌÌÈ΋ ÂΉԯ‹» ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ ÂÏÂÁ̤Ó˘ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜ Â›Ó·È Û¯Â‰fiÓ ÚÔÊ·Ó‹˜. £ÂÒÚËÌ· 9.27. E¿Ó A ∈ L(R n+m , R n ) Î·È Â¿Ó Ô A x Â›Ó·È ·ÓÙÈÛÙÚ¤„ÈÌÔ˜, ÙfiÙ Û οı k ∈ R m ·ÓÙÈÛÙÔȯ›˙ÂÙ·È ¤Ó· ÌÔÓ·‰ÈÎfi h ∈ R n Ì A(h, k) = 0.
™YNAPTH™EI™ ¶O§§øN METAB§HTøN 349
TÔ h ÌÔÚ› Ó· ˘ÔÏÔÁÈÛı› ·fi ÙÔ k ̤ۈ Ù˘ Û¯¤Ûˆ˜ h = −(A x )−1 A y k.
(55)
Afi‰ÂÈÍË. §fiÁˆ Ù˘ (54), ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ A(h, k) = 0 Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó A x h + A y k = 0. H ÙÂÏÂ˘Ù·›· Û¯¤ÛË Â›Ó·È ÈÛÔ‰‡Ó·ÌË Ì ÙËÓ (55), fiÙ·Ó Ô A x Â›Ó·È ·ÓÙÈÛÙÚ¤„ÈÌÔ˜. TÔ Û˘Ì¤Ú·ÛÌ· ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 9.27 Ì·˜ Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ Ë Â͛ۈÛË A(h, k) = 0 ÌÔÚ› Ó· Ï˘ı› (ηٿ ÌÔÓ·‰ÈÎfi ÙÚfiÔ) ˆ˜ ÚÔ˜ h, ÁÈ· ‰Â‰Ô̤ÓÔ k, Î·È fiÙÈ Ë Ï‡ÛË Â›Ó·È ÁÚ·ÌÌÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÙÔ˘ k. O ·Ó·ÁÓÒÛÙ˘ Ô˘ Â›Ó·È ÂÍÔÈÎÂȈ̤ÓÔ˜ Ì ÙË °Ú·ÌÌÈ΋ ÕÏÁ‚ڷ ı· ·Ó·ÁÓˆÚ›ÛÂÈ ÛÙ· ·Ú·¿Óˆ Ì›· ÁÓˆÛÙ‹ ÚfiÙ·ÛË, Û¯ÂÙÈ΋ ÌÂ Û˘ÛÙ‹Ì·Ù· ÁÚ·ÌÌÈÎÒÓ ÂÍÈÛÒÛˆÓ. £ÂÒÚËÌ· 9.28. A˜ Â›Ó·È f Ì›· C -·ÂÈÎfiÓÈÛË ÂÓfi˜ ·ÓÔÈÎÙÔ‡ Û˘ÓfiÏÔ˘ E ⊂ R n+m ÛÙÔÓ R n Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ f(a, b) = 0 ÁÈ· οÔÈÔ (a, b) ∈ E. £¤ÙÔ˘Ì A = f (a, b) Î·È ˘Ôı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ Ô A x Â›Ó·È ·ÓÙÈÛÙÚ¤„ÈÌÔ˜. TfiÙÂ, ˘¿Ú¯Ô˘Ó ·ÓÔÈÎÙ¿ Û‡ÓÔÏ· U ⊂ R n+m Î·È W ⊂ R m Ì (a, b) ∈ U Î·È b ∈ W , Ù· ÔÔ›· ¤¯Ô˘Ó ÙËÓ ÂÍ‹˜ ȉÈfiÙËÙ·: ™Â οı y ∈ W ·ÓÙÈÛÙÔȯ›˙ÂÙ·È ¤Ó· ÌÔÓ·‰ÈÎfi x Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ (x, y) ∈ U
ηÈ
f(x, y) = 0.
(56)
E¿Ó ÔÚ›ÛÔ˘Ì g(y) = x, ÙfiÙÂ Ë g Â›Ó·È C -·ÂÈÎfiÓÈÛË ÙÔ˘ W ÛÙÔ R n , g(b) = a, f(g(y), y) = 0
(y ∈ W )
(57)
Î·È g (b) = −(A x )−1 A y .
(58)
H Û˘Ó¿ÚÙËÛË g ÔÚ›˙ÂÙ·È «ÂÏÂÁ̤ӷ» ·fi ÙËÓ (57). Afi ·˘Ùfi ÚÔ·ÙÂÈ Î·È ÙÔ fiÓÔÌ· ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜.
350
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
H Â͛ۈÛË f(x, y) = 0 ÌÔÚ› Ó· ÁÚ·Ê› ˆ˜ Û‡ÛÙËÌ· n ÂÍÈÛÒÛÂˆÓ Ì n + m ÌÂÙ·‚ÏËÙ¤˜: f 1 (x1 , . . . , xn , y1 , . . . , ym ) = 0 ............................. f n (x1 , . . . , xn , y1 , . . . , ym ) = 0.
(59)
H ˘fiıÂÛË ÂÚ› ·ÓÙÈÛÙÚ„ÈÌfiÙËÙ·˜ ÙÔ˘ A x ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ Ô n × n ›Ó·Î·˜ D1 f 1 · · · Dn f 1 .............. , D1 f n · · · Dn f n ÂÎÙÈÌÒÌÂÓÔ˜ ÛÙÔ (a, b), ÔÚ›˙ÂÈ ¤Ó·Ó ·ÓÙÈÛÙÚ¤„ÈÌÔ ÁÚ·ÌÌÈÎfi ÙÂÏÂÛÙ‹ ÛÙÔÓ R n . M ‰È·ÊÔÚÂÙÈ΋ ‰È·Ù‡ˆÛË, Ù· ‰È·Ó‡ÛÌ·Ù· ÛًϘ ÙÔ˘ ÂÓ ÏfiÁˆ ›Ó·Î· Ú¤ÂÈ Ó· Â›Ó·È ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙ· ‹ ÈÛÔ‰‡Ó·Ì· Ë ÔÚ›˙Ô˘Û¿ ÙÔ˘ Ú¤ÂÈ Ó· Â›Ó·È ÌË ÌˉÂÓÈ΋. (AÓ·ÙÚ¤ÍÙ ÛÙÔ £ÂÒÚËÌ· 9.36.) E¿Ó ÂÈϤÔÓ Ë (59) ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙ·Ó x = a Î·È y = b, ÙfiÙ ÙÔ Û˘Ì¤Ú·ÛÌ· ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ Â›Ó·È fiÙÈ Ë (59) ÌÔÚ› Ó· Ï˘ı› ˆ˜ ÚÔ˜ x1 , . . . , xn ÁÈ· οı ‰È¿Ó˘ÛÌ· y ·ÚÎÒ˜ ÎÔÓÙ¿ ÛÙÔ b Î·È ÔÈ Ï‡ÛÂȘ Â›Ó·È Û˘Ó¯Ҙ ‰È·ÊÔÚ›ÛÈ̘ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ ÙÔ˘ y. Afi‰ÂÈÍË. OÚ›˙Ô˘Ì ÙËÓ ·ÂÈÎfiÓÈÛË F ̤ۈ Ù˘ ÈÛfiÙËÙ·˜ F(x, y) = (f(x, y), y)
((x, y) ∈ E).
(60)
TfiÙÂ, Ë F Â›Ó·È Ì›· C -·ÂÈÎfiÓÈÛË ÙÔ˘ E ÛÙÔÓ R n+m . IÛ¯˘ÚÈ˙fiÌ·ÛÙ fiÙÈ Ô F (a, b) Â›Ó·È ·ÓÙÈÛÙÚ¤„ÈÌÔ ÛÙÔÈ¯Â›Ô ÙÔ˘ L(R n+m ): EÊfiÛÔÓ f(a, b) = 0, ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ f(a + h, b + k) = A(h, k) + r(h, k), fiÔ˘ r Â›Ó·È ÙÔ ˘fiÏÔÈÔ Ô˘ ÚÔ·ÙÂÈ ·fi ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi ÙÔ˘ f (a, b). EÊfiÛÔÓ F(a + h, b + k) − F(a, b) = (f(a + h, b + k), k) = (A(h, k), k) + (r(h, k), 0), ¤ÂÙ·È fiÙÈ Ô F (a, b) Â›Ó·È Ô ÁÚ·ÌÌÈÎfi˜ ÌÂÙ·Û¯ËÌ·ÙÈÛÌfi˜ ÙÔ˘ R n+m Ô ÔÔ›Ô˜ ·ÂÈÎÔÓ›˙ÂÈ ÙÔ (h, k) ÛÙÔ (A(h, k), k). E¿Ó ÙÔ ÙÂÏÂ˘Ù·›Ô ‰È¿Ó˘ÛÌ· ›ӷÈ
™YNAPTH™EI™ ¶O§§øN METAB§HTøN 351
ÌˉÂÓÈÎfi, ÙfiÙ A(h, k) = 0 Î·È k = 0, ÂÔ̤ӈ˜ A(h, 0) = 0 Î·È ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 9.27 Û˘Ó¿ÁÂÙ·È fiÙÈ h = 0. K·Ù¿ Û˘Ó¤ÂÈ·, Ô F (a, b) Â›Ó·È 1-1 Î·È ÂÔ̤ӈ˜ ·ÓÙÈÛÙÚ¤„ÈÌÔ˜ (£ÂÒÚËÌ· 9.5). ÕÚ·, ÌÔÚԇ̠ӷ ÂÊ·ÚÌfiÛÔ˘Ì ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊ˘ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜ ÛÙËÓ F. ™˘ÓÂÒ˜, ÚÔ·ÙÂÈ Ë ‡·ÚÍË ·ÓÔÈÎÙÒÓ Û˘ÓfiÏˆÓ U, V ÙÔ˘ R n+m Ì (a, b) ∈ U , (0, b) ∈ V Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙÂ Ë F Ó· Â›Ó·È 1-1 ·ÂÈÎfiÓÈÛË ÙÔ˘ U › ÙÔ˘ V. A˜ Â›Ó·È W ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ y ∈ R m Ì (0, y) ∈ V . ¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ b ∈ W. EÊfiÛÔÓ ÙÔ V Â›Ó·È ·ÓÔÈÎÙfi, Â›Ó·È Û·Ê¤˜ fiÙÈ Î·È ÙÔ W Â›Ó·È ·ÓÔÈÎÙfi. E¿Ó y ∈ W , ÙfiÙ (0, y) = F(x, y) ÁÈ· οÔÈÔ (x, y) ∈ U . ™‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ (60), ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ f(x, y) = 0. YÔı¤ÙÔ˘ÌÂ, ‰È·ÙËÚÒÓÙ·˜ ÙÔ ›‰ÈÔ y, fiÙÈ (x , y) ∈ U Î·È f(x , y) = 0. TfiÙÂ, F(x , y) = (f(x , y), y) = (f(x, y), y) = F(x, y). EÊfiÛÔÓ Ë F Â›Ó·È 1-1, ¤ÂÙ·È fiÙÈ x = x. A˘Ùfi ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÈ ÙÔ ÚÒÙÔ Ì¤ÚÔ˜ ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜. °È· ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ ‰Â˘Ù¤ÚÔ˘ ̤ÚÔ˘˜, ÔÚ›˙Ô˘Ì ÁÈ· y ∈ W ÙÔ ‰È¿Ó˘ÛÌ· g(y) Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ ӷ ¤¯Ô˘Ì (g(y), y) ∈ U Î·È Ó· ÈÛ¯‡ÂÈ Ë (57). TfiÙÂ, F(g(y), y) = (0, y)
(y ∈ W ).
(61)
E¿Ó G Â›Ó·È Ë ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊË Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ù˘ F, ÙfiÙ G ∈ C , Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊ˘ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜. EÔ̤ӈ˜, Ë (61) ¯ÔÚËÁ› ÙËÓ (g(y), y) = G(0, y)
(y ∈ W ).
(62)
EÊfiÛÔÓ G ∈ C , Ë (62) Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ g ∈ C . EÓ Ù¤ÏÂÈ, ÁÈ· ÙÔÓ ˘ÔÏÔÁÈÛÌfi ÙÔ˘ g (b) ı¤ÙÔ˘Ì (y) = (g(y), y). TfiÙÂ, (y)k = (g (y)k, k)
(y ∈ W, k ∈ R m ).
(63)
§fiÁˆ Ù˘ (57), ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ f((y)) = 0 ÁÈ· οı y ∈ W . ™˘ÓÂÒ˜, Ô Î·ÓfiÓ·˜ Ù˘ ·Ï˘Û›‰·˜ Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ f ((y)) (y) = 0.
352
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
E¿Ó y = b, ÙfiÙ (y) = (a, b) Î·È f ((y)) = A. ÕÚ·, A (b) = 0.
(64)
TÒÚ·, ·fi ÙȘ (54), (63) Î·È (64) ¤ÂÙ·È fiÙÈ A x g (b)k + A y k = A(g (b)k, k) = A (b)k = 0 ÁÈ· οı k ∈ R m . ™˘ÓÂÒ˜, A x g (b) + A y = 0.
(65)
H ÙÂÏÂ˘Ù·›· Û¯¤ÛË Â›Ó·È ÈÛÔ‰‡Ó·ÌË Ì ÙËÓ (58). A˘Ùfi ÔÏÔÎÏËÚÒÓÂÈ ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË. ™ËÌ›ˆÛË. M¤Ûˆ ÙˆÓ Û˘ÓÈÛÙˆÛÒÓ ÙˆÓ f Î·È g, Ë (65) ÌÂÙ·ÙÚ¤ÂÙ·È ÛÙËÓ n (D j f i )(a, b)(Dk g j )(b) = −(Dn+k f i )(a, b), j=1
‹ ·ÏÏÈÒ˜
n ∂g j ∂ fi ∂ fi =− , ∂x j ∂ yk ∂ yk j=1
fiÔ˘ 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ k ≤ m. °È· οı ‰Â›ÎÙË k ÙÔ ·Ú·¿Óˆ ·ÔÙÂÏ› ¤Ó· Û‡ÛÙËÌ· n ÁÚ·ÌÌÈÎÒÓ ÂÍÈÛÒÛÂˆÓ ÛÙÔ ÔÔ›Ô ÔÈ ·Ú¿ÁˆÁÔÈ ∂g j /∂ yk (1 ≤ j ≤ n) η٤¯Ô˘Ó ÙÔ ÚfiÏÔ ÙˆÓ ·ÁÓÒÛÙˆÓ. ¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 9.29. §·Ì‚¿ÓÔ˘Ì n = 2, m = 3 Î·È ıˆÚԇ̠ÙËÓ ·ÂÈÎfiÓÈÛË f = ( f 1 , f 2 ) ÙÔ˘ R 5 ÛÙÔÓ R 2 , ÔÚÈ˙fiÌÂÓË ·fi ÙȘ ÈÛfiÙËÙ˜ f 1 (x1 , x2 , y1 , y2 , y3 ) = 2e x1 + x2 y1 − 4y2 + 3 f 2 (x1 , x2 , y1 , y2 , y3 ) = x2 cos x1 − 6x1 + 2y1 − y3 . E¿Ó a = (0, 1) Î·È b = (3, 2, 7), ÙfiÙ f(a, b) = 0. O ›Ó·Î·˜ ÙÔ˘ ÌÂÙ·Û¯ËÌ·ÙÈÛÌÔ‡ A = f (a, b), ˆ˜ ÚÔ˜ ÙȘ Û˘Ó‹ıÂȘ ‚¿ÛÂȘ, Â›Ó·È Ô # $ 2 3 1 −4 0 [A] = . −6 1 2 0 −1
™YNAPTH™EI™ ¶O§§øN METAB§HTøN 353
K·Ù¿ Û˘Ó¤ÂÈ·, # [A x ] =
2 3 −6 1
$
# ,
[A y ] =
1 −4 0 2 0 −1
$ .
¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ Ù· ‰È·Ó‡ÛÌ·Ù· ÛًϘ ÙÔ˘ [A x ] Â›Ó·È ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙ·. ™˘ÓÂÒ˜, Ô [A x ] Â›Ó·È ·ÓÙÈÛÙÚ¤„ÈÌÔ˜ Î·È ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ÂÏÂÁ̤Ó˘ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜ Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ ÙËÓ ‡·ÚÍË Ì›·˜ C -·ÂÈÎÔÓ›Ûˆ˜ g, ÔÚÈṲ̂Ó˘ Û ̛· ÂÚÈÔ¯‹ ÙÔ˘ (3, 2, 7), Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ g(3, 2, 7) = (0, 1) Î·È f(g(y), y) = 0 ÁÈ· οı ‰È¿Ó˘ÛÌ· y Ô˘ ·Ó‹ÎÂÈ Û ·˘Ù‹Ó ÙËÓ ÂÚÈÔ¯‹. MÔÚԇ̠ӷ οÓÔ˘Ì ¯Ú‹ÛË Ù˘ (58) ÁÈ· ÙÔÓ ˘ÔÏÔÁÈÛÌfi ÙÔ˘ g (3, 2, 7): EÊfiÛÔÓ # $ 1 1 −3 , [(A x )−1 ] = [A x ]−1 = 20 6 2 Ë (58) ‰›‰ÂÈ fiÙÈ 1 [g (3, 2, 7)] = − 20
#
1 −3 6 2
$#
1 −4 0 2 0 −1
$
# =
1 4 − 12
1 5 6 5
3 − 20 1 10
$ .
M fiÚÔ˘˜ ÌÂÚÈÎÒÓ ·Ú·ÁÒÁˆÓ, ηٷϋÁÔ˘Ì ÛÙȘ ÈÛfiÙËÙ˜ D1 g1 = 41
D2 g1 = 1 5
D3 g1 = − 3 20
D1 g2 = − 1 2
D2 g2 = 6 5
D3 g2 = 1 , 10
ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô (3, 2, 7).
TO £EøPHMA TH™ BA£MI¢A™ ¶·Ú¿ ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ ıÂÒÚËÌ· Ô˘ ·Ó·ÁÁ¤ÏÏÂÙ·È ÛÙÔÓ Ù›ÙÏÔ Ù˘ ÂÓfiÙËÙ·˜ ‰ÂÓ Â›Ó·È ÙfiÛÔ ÛËÌ·ÓÙÈÎfi fiÛÔ ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊ˘ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜ ‹ ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ÂÏÂÁ̤Ó˘ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜, ÙÔ ÂÚÈÏ·Ì‚¿ÓÔ˘Ì ˆ˜ Ì›· ÂӉȷʤÚÔ˘Û· ›‰ÂÈÍË ÙÔ˘ ÁÂÓÈÎÔ‡ ηÓfiÓ· fiÙÈ Ë ÙÔÈ΋ Û˘ÌÂÚÈÊÔÚ¿ Ì›·˜
354
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
Û˘Ó¯Ҙ ‰È·ÊÔÚ›ÛÈÌ˘ ·ÂÈÎÔÓ›Ûˆ˜ F ÎÔÓÙ¿ Û ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô x ÌÔÈ¿˙ÂÈ Ì ÙË Û˘ÌÂÚÈÊÔÚ¿ ÙÔ˘ ÁÚ·ÌÌÈÎÔ‡ ÌÂÙ·Û¯ËÌ·ÙÈÛÌÔ‡ F (x). ¶ÚÈÓ ÙË ‰È·Ù‡ˆÛË ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜, ı· ·ÚÔ˘ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ÔÚÈṲ̂ӷ ÁÂÁÔÓfiÙ· Û¯ÂÙÈο Ì ÙÔ˘˜ ÁÚ·ÌÌÈÎÔ‡˜ ÌÂÙ·Û¯ËÌ·ÙÈÛÌÔ‡˜. OÚÈÛÌfi˜ 9.30. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ X Î·È Y Â›Ó·È ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎÔ› ¯ÒÚÔÈ Î·È fiÙÈ A ∈ L(X, Y ), fiˆ˜ ÛÙÔÓ OÚÈÛÌfi 9.6. O ÌˉÂÓÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ ÙÔ˘ A, N (A), Â›Ó·È ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ x ∈ X Ì Ax = 0. E›Ó·È ۷ʤ˜ fiÙÈ Ô N (A) Â›Ó·È ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ ÛÙÔÓ X . ¶·ÚÔÌÔ›ˆ˜, ÙÔ Â‰›Ô ÙÈÌÒÓ ÙÔ˘ A, R(A), Â›Ó·È ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ ÛÙÔÓ Y . H ‚·ıÌ›‰· ÙÔ˘ A ÔÚ›˙ÂÙ·È ˆ˜ Ë ‰È¿ÛÙ·ÛË ÙÔ˘ R(A) Î·È Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È ˆ˜ rankA. E› ·Ú·‰Â›ÁÌ·ÙÈ, Ù· ·ÓÙÈÛÙÚ¤„ÈÌ· ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘ L(R n ) Â›Ó·È ·ÎÚÈ‚Ò˜ Ù· ÛÙÔȯ›· ‚·ıÌ›‰·˜ n. A˘Ùfi ÚÔ·ÙÂÈ ·fi ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 9.5. E¿Ó A ∈ L(X, Y ) Î·È Ô A ¤¯ÂÈ ‚·ıÌ›‰· 0, ÙfiÙ Ax = 0 ÁÈ· οı x ∈ X , ÂÔ̤ӈ˜ N (A) = X . ™Â Û¯¤ÛË Ì ·˘Ùfi, ·Ó·ÙÚ¤ÍÙ ÛÙËÓ ÕÛÎËÛË 25. 9.31 ¶ÚÔ‚ÔϤ˜. A˜ Â›Ó·È X ¤Ó·˜ ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜. ŒÓ·˜ ÁÚ·ÌÌÈÎfi˜ ÙÂÏÂÛÙ‹˜ P ∈ L(X ) ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÚÔ‚ÔÏ‹ Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó P 2 = P. ¶ÈÔ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ӷ, P(Px) = Px ÁÈ· οı x ∈ X . ¢ËÏ·‰‹, Ô P ‰È·ÙËÚ› ÛÙ·ıÂÚfi οı ‰È¿Ó˘ÛÌ· ÙÔ˘ ‰›Ô˘ ÙÈÌÒÓ ÙÔ˘. ¶·Ú·Î¿Ùˆ ·Ó·Ê¤ÚÔ˘Ì ÔÚÈṲ̂Ó˜ ÛÙÔȯÂÈÒ‰ÂȘ ȉÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ ÚÔ‚ÔÏÒÓ: (·) E¿Ó P Â›Ó·È ÚÔ‚ÔÏ‹ ÙÔ˘ X , ÙfiÙ οı x ∈ X ¤¯ÂÈ ÌÔÓÔÛ‹Ì·ÓÙË ·Ó··Ú¿ÛÙ·ÛË Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ x = x1 + x2 , fiÔ˘ x1 ∈ R(P) Î·È x2 ∈ N (P). °È· ÙËÓ Î·Ù·Û΢‹ Ù˘ ·Ó··Ú·ÛÙ¿Ûˆ˜, ı¤ÙÔ˘Ì x1 = Px, x2 = x − x1 . TfiÙ Px2 = Px − Px1 = Px − P 2 x = 0. ™¯ÂÙÈο Ì ÙÔ ÌÔÓÔÛ‹Ì·ÓÙÔ Ù˘ ·Ó··Ú·ÛÙ¿Ûˆ˜, ÂÊ·ÚÌfi˙Ô˘Ì ÙÔÓ P ÛÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· x = x1 + x2 . EÊfiÛÔÓ x1 ∈ R(P), Â›Ó·È Px1 = x1 . EÊfiÛÔÓ Px2 = 0, ¤ÂÙ·È fiÙÈ x1 = Px.
™YNAPTH™EI™ ¶O§§øN METAB§HTøN 355
(‚) E¿Ó X Â›Ó·È ¤Ó·˜ ÂÂÚ·Ṳ̂Ó˘ ‰È·ÛÙ¿Ûˆ˜ ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ Î·È Â¿Ó X 1 Â›Ó·È ¤Ó·˜ ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ ÛÙÔÓ X , ÙfiÙ ˘¿Ú¯ÂÈ ÚÔ‚ÔÏ‹ P ÛÙÔÓ X Ì R(P) = X 1 . H ÂÚ›ÙˆÛË fiÔ˘ Ô X 1 ÂÚȤ¯ÂÈ ÌfiÓÔÓ ÙÔ 0 Â›Ó·È ÙÂÙÚÈÌ̤ÓË: ı¤ÙÔ˘Ì Px = 0 ÁÈ· οı x ∈ X . YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ dim X 1 = k > 0. §fiÁˆ ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 9.3, Ô X ¤¯ÂÈ Ì›· ‚¿ÛË {u1 , . . . , un } Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ ÙÔ {u1 , . . . , uk } Ó· Â›Ó·È ‚¿ÛË ÙÔ˘ X 1 . OÚ›˙Ô˘Ì P(c1 u1 + · · · + cn un ) = c1 u1 + · · · + ck uk ÁÈ· ÔÔÈÔ˘Û‰‹ÔÙ ڷÁÌ·ÙÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ c1 , . . . , cn . TfiÙÂ, Px = x ÁÈ· οı x ∈ X 1 Î·È X 1 = R(P). ™ËÌÂÈÒÓÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ {uk+1 , . . . , un } Â›Ó·È ‚¿ÛË ÙÔ˘ N (P). ™ËÌÂÈÒÓÔ˘Ì ›Û˘ fiÙÈ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ·Â›ÚÔ˘ Ï‹ıÔ˘˜ ÚÔ‚ÔϤ˜ ÛÙÔÓ X Ì ‰›Ô ÙÈÌÒÓ ÙÔ X 1 fiÙ·Ó 0 < dim X 1 < dim X . £ÂÒÚËÌ· 9.32. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ m, n, r Â›Ó·È ÌË ·ÚÓËÙÈÎÔ› ·Î¤Ú·ÈÔÈ ·ÚÈıÌÔ› Ì m ≥ r , n ≥ r , fiÙÈ F Â›Ó·È Ì›· C -·ÂÈÎfiÓÈÛË ÂÓfi˜ ·ÓÔÈÎÙÔ‡ Û˘ÓfiÏÔ˘ E ⊂ R n ÛÙÔÓ R m Î·È fiÙÈ Ô F (x) ¤¯ÂÈ ‚·ıÌ›‰· r ÁÈ· οı x ∈ E. £ÂˆÚԇ̠a ∈ E Î·È ı¤ÙÔ˘Ì A = F (a). A˜ Â›Ó·È Y1 ÙÔ Â‰›Ô ÙÈÌÒÓ ÙÔ˘ A Î·È ·˜ Â›Ó·È P Ì›· ÚÔ‚ÔÏ‹ ÛÙÔÓ R m Ì ‰›Ô ÙÈÌÒÓ ÙÔ Y1 . A˜ Â›Ó·È Â›Û˘ Y2 Ô ÌˉÂÓÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ ÙÔ˘ P. TfiÙÂ, ˘¿Ú¯Ô˘Ó ·ÓÔÈÎÙ¿ Û‡ÓÔÏ· U Î·È V ÛÙÔÓ R n Ì a ∈ U , U ⊂ E Î·È ˘¿Ú¯ÂÈ Ì›· 1-1 C -·ÂÈÎfiÓÈÛË H ÙÔ˘ V › ÙÔ˘ U (Ì ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊË Û˘Ó¿ÚÙËÛË Â›Û˘ Û˘Ó¯Ҙ ‰È·ÊÔÚ›ÛÈÌË) Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ F(H(x)) = Ax + ϕ(Ax)
(x ∈ V ),
(66)
fiÔ˘ ϕ Â›Ó·È C -·ÂÈÎfiÓÈÛË ÙÔ˘ ·ÓÔÈÎÙÔ‡ Û˘ÓfiÏÔ˘ A(V ) ⊂ Y1 ÛÙÔÓ Y2 . ⁄ÛÙÂÚ· ·fi ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË, ı· ·ÚÔ˘ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ̛· ÁˆÌÂÙÚÈÎÔ‡ ¯·Ú·ÎÙ‹Ú· ÂÚÈÁÚ·Ê‹ Ù˘ (66).
356
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
Afi‰ÂÈÍË. E¿Ó r = 0, ÙfiÙ ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 9.19 Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ Ë F Â›Ó·È ÛÙ·ıÂÚ‹ Û ̛· ÂÚÈÔ¯‹ U ÙÔ˘ a Î·È Ë (66) ÈÛ¯‡ÂÈ Î·Ù¿ ÙÂÙÚÈÌ̤ÓÔ ÙÚfiÔ, Ì V = U , H(x) = x (x ∈ V ), ϕ(0) = F(a). EÊÂÍ‹˜, ıˆÚԇ̠fiÙÈ r > 0. EÊfiÛÔÓ dim Y1 = r , Ô Y1 ¤¯ÂÈ Ì›· ‚¿ÛË {y1 , . . . , yr }. EÈϤÁÔ˘Ì zi ∈ R n Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ Azi = yi (1 ≤ i ≤ r ) Î·È ÔÚ›˙Ô˘Ì ̛· ÁÚ·ÌÌÈ΋ ·ÂÈÎfiÓÈÛË S ·fi ÙÔÓ Y1 ÛÙÔÓ R n ̤ۈ Ù˘ ÈÛfiÙËÙ·˜ S(c1 y1 + · · · + c1 yr ) = c1 z1 + · · · + c1 zr
(67)
ÁÈ· ÔÔÈÔ˘Û‰‹ÔÙ ڷÁÌ·ÙÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ c1 , . . . , cr . TfiÙÂ, ASyi = Azi = yi ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË i Ì 1 ≤ i ≤ r . ÕÚ·, ASy = y
(y ∈ Y1 ).
(68)
OÚ›˙Ô˘Ì ̛· ·ÂÈÎfiÓÈÛË G, ·fi ÙÔ E ÛÙÔÓ R n , ̤ۈ Ù˘ ÈÛfiÙËÙ·˜ G(x) = x + S P[F(x) − Ax]
(x ∈ E).
(69)
EÊfiÛÔÓ F (a) = A, ‰È·ÊÔÚ›˙ÔÓÙ·˜ ÙËÓ (69) ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì fiÙÈ G (a) = I , fiÔ˘ I Â›Ó·È Ô Ù·˘ÙÔÙÈÎfi˜ ÙÂÏÂÛÙ‹˜ ÛÙÔÓ R n . ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊ˘ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜, ˘¿Ú¯Ô˘Ó ·ÓÔÈÎÙ¿ Û‡ÓÔÏ· U Î·È V ÛÙÔÓ R n Ì a ∈ U Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙÂ Ë G Ó· Â›Ó·È 1-1 ·ÂÈÎfiÓÈÛË ÙÔ˘ U › ÙÔ˘ V . A˜ Â›Ó·È H Ë ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊ‹ Ù˘. TfiÙÂ, Ë H Â›Ó·È Â›Û˘ Û˘Ó¯Ҙ ‰È·ÊÔÚ›ÛÈÌË. EÈϤÔÓ, ÛÌÈÎÚ‡ÓÔÓÙ·˜ Ù· U Î·È V Â¿Ó Â›Ó·È ·Ó·Áη›Ô, ÌÔÚԇ̠ӷ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ V Â›Ó·È Î˘ÚÙfi Î·È fiÙÈ Ô H (x) Â›Ó·È ·ÓÙÈÛÙÚ¤„ÈÌÔ˜ ÁÈ· οı x ∈ V . ™ËÌÂÈÒÓÔ˘Ì fiÙÈ, ‚¿ÛÂÈ Ù˘ (68), AS P A = A, ÂÊfiÛÔÓ P A = A. EÔ̤ӈ˜, Ë (69) ¯ÔÚËÁ› ÙËÓ AG(x) = PF(x)
(x ∈ E).
(70)
I‰È·ÈÙ¤Úˆ˜, Ë (70) ÈÛ¯‡ÂÈ ÁÈ· x ∈ U . E¿Ó ·ÓÙÈηٷÛÙ‹ÛÔ˘Ì ÙÔ x Ì ÙÔ H(x), ÙfiÙ ·ÔÎÙԇ̠fiÙÈ PF(H(x)) = Ax
(x ∈ V ).
(71)
OÚ›˙Ô˘Ì ÙËÓ ·ÂÈÎfiÓÈÛË ψ ̤ۈ Ù˘ ÈÛfiÙËÙ·˜ ψ(x) = F(H(x)) − Ax
(x ∈ V ).
(72)
™YNAPTH™EI™ ¶O§§øN METAB§HTøN 357
EÊfiÛÔÓ P A = A, Ë (71) Û˘Ó¿ÁÂÙ·È fiÙÈ Pψ(x) = 0 ÁÈ· οı x ∈ V . ™˘ÓÂÒ˜, Ë ψ Â›Ó·È Ì›· C -·ÂÈÎfiÓÈÛË ÙÔ˘ V ÛÙÔÓ Y2 . EÊfiÛÔÓ ÙÔ V Â›Ó·È ·ÓÔÈÎÙfi, Â›Ó·È Û·Ê¤˜ fiÙÈ ÙÔ A(V ) Â›Ó·È ·ÓÔÈÎÙfi ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ ‰›Ô˘ ÙÈÌÒÓ ÙÔ˘ A, ‰ËÏ·‰‹ ÙÔ˘ R(A) = Y1 . °È· ÙËÓ ÔÏÔÎÏ‹ÚˆÛË Ù˘ ·Ô‰Â›Íˆ˜, ‰ËÏ·‰‹ ÁÈ· ÙËÓ ÂÍ·ÁˆÁ‹ Ù˘ (66) ·fi ÙËÓ (72), ̤ÓÂÈ Ó· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ ˘¿Ú¯ÂÈ Ì›· C -·ÂÈÎfiÓÈÛË ϕ ÙÔ˘ A(V ) ÛÙÔÓ Y2 Ô˘ ÈηÓÔÔÈ› ÙË Û¯¤ÛË ϕ(Ax) = ψ(x)
(x ∈ V ).
(73)
AÚ¯Èο, ı· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ ψ(x1 ) = ψ(x2 )
(74)
Â¿Ó x1 , x2 ∈ V Ì Ax1 = Ax2 . °È· x ∈ V ı¤ÙÔ˘Ì (x) = F(H(x)). EÊfiÛÔÓ Ô H (x) ¤¯ÂÈ ‚·ıÌ›‰· n ÁÈ· οı x ∈ V Î·È Ô F (x) ¤¯ÂÈ ‚·ıÌ›‰· r ÁÈ· οı x ∈ U , ¤ÂÙ·È fiÙÈ rank (x) = rankF (H(x))H (x) = r
(x ∈ V ).
(75)
£ÂˆÚԇ̠x ∈ V . A˜ Â›Ó·È M ÙÔ Â‰›Ô ÙÈÌÒÓ ÙÔ˘ (x). TfiÙÂ, M ⊂ R m Î·È dim M = r . §fiÁˆ Ù˘ (71), ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ P (x) = A.
(76)
ÕÚ·, Ô P ·ÂÈÎÔÓ›˙ÂÈ ÙÔÓ M › ÙÔ˘ R(A) = Y1 . EÊfiÛÔÓ ÔÈ M Î·È Y1 ¤¯Ô˘Ó ÙËÓ ›‰È· ‰È¿ÛÙ·ÛË, ¤ÂÙ·È fiÙÈ Ë P (ÂÚÈÔÚÈṲ̂ÓË ÛÙÔÓ M) Â›Ó·È 1-1. YÔı¤ÙÔ˘Ì ÙÒÚ· fiÙÈ Ah = 0. TfiÙÂ, P (x)h = 0, Û‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ (76). ŸÌˆ˜, (x)h ∈ M Î·È Ë P Â›Ó·È 1-1 ÛÙÔÓ M. ÕÚ·, (x)h = 0. E¿Ó Û˘Ó‰˘¿ÛÔ˘Ì ٷ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ· Ì ÙËÓ (72), ÙfiÙ ·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ¤¯Ô˘Ì ·Ô‰Â›ÍÂÈ ÙÔ ÂÍ‹˜: E¿Ó x ∈ V Î·È Ah = 0, ÙfiÙ ψ (x)h = 0. MÔÚԇ̠ÙÒÚ· Ó· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì ÙËÓ (74). YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ x1 , x2 ∈ V Ì Ax1 = Ax2 . £¤ÙÔ˘Ì h = x1 − x2 Î·È ÔÚ›˙Ô˘Ì ÙËÓ ·ÂÈÎfiÓÈÛË g ̤ۈ Ù˘ ÈÛfiÙËÙ·˜ g(t) = ψ(x1 + th)
(0 ≤ t ≤ 1).
(77)
358
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
H ΢ÚÙfiÙËÙ· ÙÔ˘ V Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ x1 + th ∈ V ÁÈ· οı t ∈ [0, 1]. ÕÚ·, g (t) = ψ (x1 + th)h = 0
(0 ≤ t ≤ 1),
(78)
ÂÔ̤ӈ˜ g(1) = g(0). ŸÌˆ˜, g(1) = ψ(x2 ) Î·È g(0) = ψ(x1 ). A˘Ùfi ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÈ ÙËÓ (74). ™‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ (74), ÙÔ ψ(x) ÂÍ·ÚÙ¿Ù·È ÌfiÓÔÓ ·fi ÙÔ Ax ÁÈ· x ∈ V . K·Ù' ·˘ÙfiÓ ÙÔÓ ÙÚfiÔ, ̤ۈ Ù˘ (73) Ë ϕ Â›Ó·È Î·ÏÒ˜ ÔÚÈṲ̂ÓË ÛÙÔ A(V ). M¤ÓÂÈ Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ϕ ∈ C . £ÂˆÚԇ̠y0 ∈ A(V ) Î·È x0 ∈ V Ì Ax0 = y0 . EÊfiÛÔÓ ÙÔ V Â›Ó·È ·ÓÔÈÎÙfi, ÙÔ y0 ¤¯ÂÈ Ì›· ÂÚÈÔ¯‹ W ÛÙÔÓ Y1 Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ ÙÔ ‰È¿Ó˘ÛÌ· x = x0 + S(y − y0 )
(79)
Ó· ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙÔ V fiÙ·Ó y ∈ W . ™‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ (68), Ax = Ax0 + y − y0 = y. ÕÚ·, ÔÈ (73) Î·È (79) ¯ÔÚËÁÔ‡Ó ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· ϕ(y) = ψ(x0 − Sy0 + Sy)
(y ∈ W ).
(80)
H ·Ú·¿Óˆ ÈÛfiÙËÙ· Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ ϕ ∈ C ÛÙÔ W , ¿Ú· ÛÙÔ A(V ), ÂÊfiÛÔÓ ÙÔ y0 ¤¯ÂÈ ÂÈÏÂÁ› ·˘ı·›ÚÂÙ· ÛÙÔ A(V ). H ·fi‰ÂÈÍË Â›Ó·È Ï‹Ú˘. £· ·ÚÔ˘ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ÙÒÚ· ÙËÓ Ô˘Û›· ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ Û¯ÂÙÈο Ì ÙË ÁˆÌÂÙÚÈ΋ Û˘ÌÂÚÈÊÔÚ¿ Ù˘ F. E¿Ó y ∈ F(U ), ÙfiÙ y = F(H(x)) ÁÈ· οÔÈÔ x ∈ V . H (66) Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ Py = Ax. EÔ̤ӈ˜, y = Py + ϕ(Py)
(y ∈ F(U )).
(81)
H ÙÂÏÂ˘Ù·›· ÈÛfiÙËÙ· Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ ÙÔ y ηıÔÚ›˙ÂÙ·È ·fi ÙËÓ ÚÔ‚ÔÏ‹ ÙÔ˘, Py, Î·È fiÙÈ Ë P, ÂÚÈÔÚÈṲ̂ÓË ÛÙÔ F(U ), Â›Ó·È Ì›· 1-1 ·ÂÈÎfiÓÈÛË ÙÔ˘ F(U ) › ÙÔ˘ A(V ). ™˘ÓÂÒ˜, ÙÔ F(U ) Â›Ó·È Ì›· «r -‰È¿ÛÙ·ÙË ÂÈÊ¿ÓÂÈ·» ÌÂ
™YNAPTH™EI™ ¶O§§øN METAB§HTøN 359
·ÎÚÈ‚Ò˜ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô «Â¿Óˆ» ·fi οı ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ A(V ). E›Û˘, ÙÔ F(U ) ÌÔÚ› Ó· ıˆÚËı› Î·È ˆ˜ ÙÔ ÁÚ¿ÊËÌ· Ù˘ ϕ. E¿Ó = F ◦ H, fiˆ˜ ÛÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË, ÙfiÙÂ Ë (66) Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ Ù· ÈÛÔ¸„‹ Û‡ÓÔÏ· Ù˘ (‰ËÏ·‰‹ Ù· Û‡ÓÔÏ· ÛÙ· ÔÔ›· Ë Ï·Ì‚¿ÓÂÈ Ì›· ‰Â‰Ô̤ÓË ÙÈÌ‹) Â›Ó·È ·ÎÚÈ‚Ò˜ Ù· ÈÛÔ¸„‹ Û‡ÓÔÏ· Ù˘ A ÛÙÔ V . A˘Ù¿ Â›Ó·È «Â›Â‰·», ÂÊfiÛÔÓ ·ÔÙÂÏÔ‡Ó ÙÔ̤˜ ÙÔ˘ V Ì ÌÂÙ·ÊÔÚ¤˜ ÙÔ˘ ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎÔ‡ ¯ÒÚÔ˘ N (A). ™ËÌÂÈÒÓÔ˘Ì fiÙÈ dim N (A) = n − r (ÕÛÎËÛË 25). T· ÈÛÔ¸„‹ Û‡ÓÔÏ· Ù˘ F ÛÙÔ U Â›Ó·È ÔÈ ÂÈÎfiÓ˜ ̤ۈ Ù˘ H ÙˆÓ Â›Â‰ˆÓ ÈÛÔ¸„ÒÓ Û˘ÓfiÏˆÓ Ù˘ ÛÙÔ V . ÕÚ·, Â›Ó·È «(n − r )-‰È¿Ûٷ٘ ÂÈÊ¿ÓÂȘ» ÛÙÔ U .
OPIZOY™E™ OÈ ÔÚ›˙Ô˘Û˜ Â›Ó·È ·ÚÈıÌÔ› Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔÈ¯Ô‡Ó Û ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈÎÔ‡˜ ›Ó·Î˜ (‰ËÏ·‰‹ Û ›Ó·Î˜ Ì ›‰ÈÔ Ï‹ıÔ˜ ÁÚ·ÌÌÒÓ Î·È ÛÙËÏÒÓ) Î·È Û˘ÓÂÒ˜ Û ÙÂÏÂÛÙ¤˜ Ô˘ ·Ó··ÚÈÛÙÒÓÙ·È ·fi ·˘ÙÔ‡˜ ÙÔ˘˜ ›Ó·Î˜. M›· ÔÚ›˙Ô˘Û· Â›Ó·È ÌˉÂÓÈ΋ Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó Ô ·ÓÙ›ÛÙÔȯԘ ÙÂÏÂÛÙ‹˜ ‰ÂÓ Â›Ó·È ·ÓÙÈÛÙÚ¤„ÈÌÔ˜. EÔ̤ӈ˜, ÔÈ ÔÚ›˙Ô˘Û˜ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈËıÔ‡Ó ÁÈ· ÙËÓ ÂÍ·ÁˆÁ‹ Û˘ÌÂÚ·ÛÌ¿ÙˆÓ Û¯ÂÙÈο Ì ÙËÓ ·Ï‹ıÂÈ· ÙˆÓ ˘Ôı¤ÛÂˆÓ ÙˆÓ ÚÔËÁÔ˘Ì¤ÓˆÓ ıˆÚËÌ¿ÙˆÓ. ™ÙÔ KÂÊ¿Ï·ÈÔ 10, ÔÈ ÔÚ›˙Ô˘Û˜ ı· ·Ô‚Ô‡Ó ·ÎfiÌË ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔ ÛËÌ·ÓÙÈΤ˜. OÚÈÛÌfi˜ 9.33. E¿Ó ( j1 , . . . , jn ) Â›Ó·È ‰È·ÙÂÙ·Á̤ÓË n-¿‰· ·ÎÂÚ·›ˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ, ÙfiÙ ÔÚ›˙Ô˘Ì s( j1 , . . . , jn ) =
%
sgn( jq − j p ),
(82)
p
fiÔ˘ sgnx = 1 Â¿Ó x > 0, sgnx = −1 Â¿Ó x < 0 Î·È sgnx = 0 Â¿Ó x = 0. TfiÙÂ, Ë s( j1 , . . . , jn ) ÈÛÔ‡Ù·È Ì 1 ‹ −1 ‹ 0 Î·È Ë ·Ú¿ÛÙ·ÛË ·˘Ù‹ ÌÂÙ·‚¿ÏÏÂÈ ÙÔ ÚfiÛËÌfi Ù˘, Â¿Ó ˘¿ÚÍÂÈ ÂÓ·ÏÏ·Á‹ ‰‡Ô j-‰ÂÈÎÙÒÓ. A˜ Â›Ó·È [A] Ô ›Ó·Î·˜ ÂÓfi˜ ÁÚ·ÌÌÈÎÔ‡ ÙÂÏÂÛÙ‹ A ÛÙÔÓ R n , ˆ˜ ÚÔ˜ ÙË Û˘Ó‹ıË ‚¿ÛË {e1 , . . . , en }, Ì ÛÙÔÈ¯Â›Ô ÛÙËÓ i-ÁÚ·ÌÌ‹ Î·È j-ÛÙ‹ÏË ÙÔ a(i, j)
360
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
(1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n). H ÔÚ›˙Ô˘Û· ÙÔ˘ [A] ÔÚ›˙ÂÙ·È ˆ˜ Ô ·ÚÈıÌfi˜ det[A] = s( j1 , . . . , jn )a(1, j1 )a(2, j2 ) · · · a(n, jn ).
(83)
TÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÛÙËÓ (83) Ï·Ì‚¿ÓÂÙ·È ˘ÂÚ¿Óˆ fiÏˆÓ ÙˆÓ ‰È·ÙÂÙ·ÁÌ¤ÓˆÓ n¿‰ˆÓ ·ÎÂÚ·›ˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ ( j1 , . . . , jn ) Ì 1 ≤ jr ≤ n (1 ≤ r ≤ n). T· ‰È·Ó‡ÛÌ·Ù· ÛًϘ ÙÔ˘ [A] Â›Ó·È Ù· xj =
n
a(i, j)ei
(1 ≤ j ≤ n).
(84)
i=1
OÚÈṲ̂Ó˜ ÊÔÚ¤˜, ‰È¢ÎÔχÓÂÈ Ë ıÂÒÚËÛË Ù˘ det[A] ˆ˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÙˆÓ ‰È·Ó˘ÛÌ¿ÙˆÓ ÛÙËÏÒÓ ÙÔ˘ [A]. E¿Ó ÔÚ›ÛÔ˘Ì det(x1 , . . . , xn ) = det[A], ÙfiÙÂ Ë det Â›Ó·È Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÛÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ‰È·ÙÂÙ·ÁÌ¤ÓˆÓ n-¿‰ˆÓ ‰È·Ó˘ÛÌ¿ÙˆÓ ÙÔ˘ R n . £ÂÒÚËÌ· 9.34. (·) E¿Ó I Â›Ó·È Ô Ù·˘ÙÔÙÈÎfi˜ ÙÂÏÂÛÙ‹˜ ÛÙÔÓ R n , ÙfiÙ det[I ] = det(e1 , . . . , en ) = 1. (‚) H det Â›Ó·È ÁÚ·ÌÌÈ΋ ·ÂÈÎfiÓÈÛË Û οı ¤Ó· ·fi Ù· ‰È·Ó‡ÛÌ·Ù· x j ( j = 1, . . . , n) fiÙ·Ó Ù· ˘fiÏÔÈ· ‰È·ÙËÚËıÔ‡Ó ÛÙ·ıÂÚ¿. (Á) E¿Ó Ô ›Ó·Î·˜ [A]1 ÚÔ·ÙÂÈ ·fi ÙÔÓ [A] ÂÓ·ÏÏ¿ÛÛÔÓÙ·˜ ‰‡Ô ÛًϘ, ÙfiÙ det[A]1 = − det[A]. (‰) E¿Ó Ô [A] ¤¯ÂÈ ‰‡Ô ›Û˜ ÛًϘ, ÙfiÙ det[A] = 0. Afi‰ÂÈÍË. E¿Ó A = I , ÙfiÙ a(i, i) = 1 Î·È a(i, j) = 0 ÁÈ· ÔÔÈÔ˘Û‰‹ÔÙ ‰Â›ÎÙ˜ i, j Ì i = j. ÕÚ·, det[I ] = s(1, . . . , n) = 1, ÙÔ ÔÔ›Ô ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÈ ÙÔ (·). §fiÁˆ Ù˘ (82), Â›Ó·È s( j1 , . . . , jn ) = 0 Â¿Ó ‰‡Ô ·fi ÙÔ˘˜ j-‰Â›ÎÙ˜ ÈÛÔ‡ÓÙ·È. K·ı¤Ó· ·fi Ù· ÂÓ·ÔÌ›ӷÓÙ· n! ÁÈÓfiÌÂÓ· ÛÙËÓ
™YNAPTH™EI™ ¶O§§øN METAB§HTøN 361
(83) ÂÚȤ¯ÂÈ ·ÎÚÈ‚Ò˜ ¤Ó· ·Ú¿ÁÔÓÙ· ·fi οı ÛÙ‹ÏË. A˘Ùfi ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÈ ÙÔ (‚). TÔ Ì¤ÚÔ˜ (Á) ·ÔÙÂÏ› ¿ÌÂÛË Û˘Ó¤ÂÈ· ÙÔ˘ ÁÂÁÔÓfiÙÔ˜ fiÙÈ ÙÔ s( j1 , . . . , jn ) ·ÏÏ¿˙ÂÈ ÚfiÛËÌÔ Â¿Ó ‰‡Ô ·fi ÙÔ˘˜ j-‰Â›ÎÙ˜ ˘ÔÛÙÔ‡Ó ÂÓ·ÏÏ·Á‹. TÔ (‰) Â›Ó·È fiÚÈÛÌ· ÙÔ˘ (Á). £ÂÒÚËÌ· 9.35. E¿Ó [A], [B] Â›Ó·È n × n ›Ó·Î˜, ÙfiÙ det([B][A]) = det[B] det[A]. Afi‰ÂÈÍË. E¿Ó x1 , . . . , xn Â›Ó·È ÔÈ ÛًϘ ÙÔ˘ [A], ÙfiÙ ÔÚ›˙Ô˘Ì B (x1 , . . . , xn ) = B [A] = det([B][A]).
(85)
OÈ ÛًϘ ÙÔ˘ [B][A] Â›Ó·È Ù· ‰È·Ó‡ÛÌ·Ù· Bx1 , . . . , Bxn . ÕÚ·, B (x1 , . . . , xn ) = det(Bx1 , . . . , Bxn ).
(86)
™‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ (86) Î·È ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 9.34, Ë B ¤¯ÂÈ Â›Û˘ ÙȘ ȉÈfiÙËÙ˜ (‚), (Á) Î·È (‰) ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 9.34. Afi ÙÔ 9.34(‚) Î·È ÙËÓ (84) ¤ÂÙ·È fiÙÈ n n a(i, 1)ei , x2 , . . . , xn = a(i, 1) B (ei , x2 , . . . , xn ). B [A] = B i=1
i=1
E·Ó·Ï·Ì‚¿ÓÔÓÙ·˜ ·˘Ù‹Ó ÙË ‰È·‰Èηۛ· Ì ٷ x2 , . . . , xn , ·ÔÎÙԇ̠ÙËÓ a(i 1 , 1)a(i 2 , 2) · · · a(i n , n) B (ei1 , . . . , ein ), (87) B [A] = fiÔ˘ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· Ï·Ì‚¿ÓÂÙ·È ˘ÂÚ¿Óˆ fiÏˆÓ ÙˆÓ ‰È·ÙÂÙ·ÁÌ¤ÓˆÓ n-¿‰ˆÓ (i 1 , . . . , i n ) Ì 1 ≤ ir ≤ n (1 ≤ r ≤ n). Afi Ù· 9.34(Á) Î·È 9.34(‰) ¤¯Ô˘Ì fiÙÈ B (ei1 , . . . , ein ) = t (i 1 , . . . , i n ) B (e1 , . . . , en ),
(88)
fiÔ˘ Ë t ÈÛÔ‡Ù·È ÌÂ 1 ‹ 0 ‹ −1. EÊfiÛÔÓ [B][I ] = [B], Ë (85) Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ B (e1 , . . . , en ) = det[B].
(89)
AÓÙÈηıÈÛÙÒÓÙ·˜ ÙȘ (88) Î·È (89) ÛÙËÓ (87) ·ÔÎÙԇ̠ÙË Û¯¤ÛË , det([B][A]) = a(i 1 , 1) · · · a(i n , n)t (i 1 , . . . , i n ) det[B], ÁÈ· οı n × n ›Ó·Î· [B]. §·Ì‚¿ÓÔÓÙ·˜ B = I , ·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ̤۷ ÛÙ· ¿ÁÎÈÛÙÚ· ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙËÓ det[A]. A˘Ùfi ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÈ ÙÔ ıÂÒÚËÌ·.
362
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
£ÂÒÚËÌ· 9.36. ŒÓ·˜ ÁÚ·ÌÌÈÎfi˜ ÙÂÏÂÛÙ‹˜ A ÙÔ˘ R n Â›Ó·È ·ÓÙÈÛÙÚ¤„ÈÌÔ˜ Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó det[A] = 0. Afi‰ÂÈÍË. E¿Ó Ô A Â›Ó·È ·ÓÙÈÛÙÚ¤„ÈÌÔ˜, ÙfiÙ ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 9.35 Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ det[A] det[A−1 ] = det[A A−1 ] = det[I ] = 1 Î·È ÂÔ̤ӈ˜ det[A] = 0. E¿Ó Ô A ‰ÂÓ Â›Ó·È ·ÓÙÈÛÙÚ¤„ÈÌÔ˜, ÙfiÙ ÔÈ ÛًϘ x1 , . . . , xn ÙÔ˘ [A] Â›Ó·È ÂÍ·ÚÙË̤Ó˜ (£ÂÒÚËÌ· 9.5). ÕÚ·, ˘¿Ú¯ÂÈ Ì›·, ¤ÛÙˆ Ë xk , Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ xk +
n
c j x j = 0,
(90)
j=1 j=k
ÁÈ· οÔÈÔ˘˜ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ c j (1 ≤ j ≤ n). §fiÁˆ ÙˆÓ (‚) Î·È (‰) ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 9.34, ÙÔ xk ÌÔÚ› Ó· ·ÓÙÈηٷÛÙ·ı› ·fi ÙÔ xk +c j x j ‰›¯ˆ˜ Ó· ÌÂÙ·‚ÏËı› Ë ÔÚ›˙Ô˘Û·, ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË j Ì j = k. E·Ó·Ï·Ì‚¿ÓÔÓÙ·˜ ÙË ‰È·‰Èηۛ·, ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ xk ÌÔÚ› Ó· ·ÓÙÈηٷÛÙ·ı› Ì ÙÔ ‰È¿Ó˘ÛÌ· Ù˘ ·ÚÈÛÙÂÚ‹˜ ÏÂ˘Ú¿˜ Ù˘ (90), ‰ËÏ·‰‹ Ì ÙÔ 0, ‰›¯ˆ˜ Ó· ÌÂÙ·‚ÏËı› Ë ÔÚ›˙Ô˘Û·. ŸÌˆ˜, ¤Ó·˜ ›Ó·Î·˜ Ô˘ ¤¯ÂÈ ÙÔ 0 ˆ˜ ÛÙ‹ÏË ¤¯ÂÈ ÔÚ›˙Ô˘Û· ›ÛË Ì ÙÔ 0. ™˘ÓÂÒ˜, det[A] = 0. ¶·Ú·Ù‹ÚËÛË 9.37. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ {e1 , . . . , en }, {u1 , . . . , un } Â›Ó·È ‚¿ÛÂȘ ÙÔ˘ R n . K¿ı ÁÚ·ÌÌÈÎfi˜ ÙÂÏÂÛÙ‹˜ ÙÔ˘ R n ÔÚ›˙ÂÈ ‰‡Ô ›Ó·Î˜ [A] Î·È [A]U Ì ÛÙÔȯ›· ai j Î·È αi j (i, j = 1, . . . , n) ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜, Ù· ÔÔ›· ÔÚ›˙ÔÓÙ·È ·fi ÙȘ ÈÛfiÙËÙ˜ n n Ae j = ai j ei , Au j = αi j ui i=1
ÁÈ· οı 1 ≤ j ≤ n. E¿Ó u j = Be j = ÈÛÔ‡Ù·È Ì n k=1
αk j Bek =
n k=1
αk j
n i=1
n
i=1
i=1 bi j ei
bik ei =
ÁÈ· 1 ≤ j ≤ n, ÙfiÙÂ ÙÔ Au j
n n i=1
k=1
bik αk j ei
™YNAPTH™EI™ ¶O§§øN METAB§HTøN 363
Î·È Â›Û˘ Ì ABe j = A
n
bk j ek =
k=1
™˘ÓÂÒ˜,
n
k=1 bik αk j
=
n
k=1 aik bk j
n n i=1
aik bk j ei .
k=1
ÁÈ· οı i, j = 1, . . . , n, ‹ ·ÏÏÈÒ˜
[B][A]U = [A][B].
(91)
EÊfiÛÔÓ Ô B Â›Ó·È ·ÓÙÈÛÙÚ¤„ÈÌÔ˜, det[B] = 0. ÕÚ·, Û˘Ó‰˘¿˙ÔÓÙ·˜ ÙËÓ (91) Ì ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 9.35, ·ÔÎÙԇ̠fiÙÈ det[A]U = det[A].
(92)
EÔ̤ӈ˜, Ë ÔÚ›˙Ô˘Û· ÙÔ˘ ›Ó·Î· ÂÓfi˜ ÁÚ·ÌÌÈÎÔ‡ ÙÂÏÂÛÙ‹ ‰ÂÓ ÂÍ·ÚÙ¿Ù·È ·fi ÙËÓ ÂÈÏÔÁ‹ Ù˘ ‚¿Ûˆ˜ ÛÙËÓ ÔÔ›· ·ÓÙÈÛÙÔȯ› Ô ›Ó·Î·˜. K·Ù¿ Û˘Ó¤ÂÈ·, ¤¯ÂÈ ÓfiËÌ· Ë ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ ÔÚ›˙Ô˘Û·˜ ÂÓfi˜ ÁÚ·ÌÌÈÎÔ‡ ÙÂÏÂÛÙ‹, ‰›¯ˆ˜ Ó· Á›ÓÂÙ·È ·Ó·ÊÔÚ¿ Û ÚÔÂÈÏÂÁ̤ÓË ‚¿ÛË. 9.38 OÚ›˙Ô˘Û˜ Jacobi1 . E¿Ó f Â›Ó·È Ì›· Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ô˘ ·ÂÈÎÔÓ›˙ÂÈ ÙÔ ·ÓÔÈÎÙfi Û‡ÓÔÏÔ E ⊂ R n ÛÙÔÓ R n Î·È Â¿Ó Â›Ó·È ‰È·ÊÔÚ›ÛÈÌË Û ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô 1
™. Ù. M.: Carl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851). ™Ô˘‰·›Ô˜ °ÂÚÌ·Ófi˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi˜. EÚÁ¿ÛıËΠÛÙËÓ AÓ¿Ï˘ÛË Î·È ÛÙËÓ ÕÏÁ‚ڷ. O Jacobi ηٷÁfiÙ·Ó ·fi ÔÈÎÔÁ¤ÓÂÈ· Ì ÌÂÁ¿ÏË ÔÈÎÔÓÔÌÈ΋ ¿ÓÂÛË. Afi ÌÈÎÚ‹ ËÏÈΛ· ¤‰ÂÈÍ ÛËÌ¿‰È· ‰È¿ÓÔÈ·˜. X·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈÎfi Â›Ó·È ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ ÙÂÏ›ˆÛ ÙË ‰Â˘ÙÂÚÔ‚¿ıÌÈ· Âη›‰Â˘Û‹ ÙÔ˘ ÛÙËÓ ËÏÈΛ· ÙˆÓ ‰Ò‰Âη ÂÙÒÓ Î·È ¯ÚÂÈ¿ÛıËΠӷ ÂÚÈ̤ÓÂÈ Ù¤ÛÛÂÚ· ¤ÙË ¤ˆ˜ fiÙÔ˘ Ó· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÈ ÙÔ Î·ÙÒÙÂÚÔ ··ÈÙÔ‡ÌÂÓÔ fiÚÈÔ ËÏÈΛ·˜ ÁÈ· ÙËÓ ÂÈÛ·ÁˆÁ‹ ÙÔ˘ ÛÙÔ ¶·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ ÙÔ˘ BÂÚÔÏ›ÓÔ˘, ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1821. T¤ÛÛÂÚ· ¤ÙË ·ÚÁfiÙÂÚ· Ô Jacobi ¤Ï·‚ ÙÔ ‰È‰·ÎÙÔÚÈÎfi ÙÔ˘ ‰›ÏˆÌ·. ™ÙË ‰È¿ÚÎÂÈ· ÙˆÓ ÛÔ˘‰ÒÓ ÙÔ˘ ÌÔ›Ú·Û ÂÍ›ÛÔ˘ ÙÔÓ ¯ÚfiÓÔ ÙÔ˘ ÛÙË ºÈÏÔÏÔÁ›·, ÙË ºÈÏÔÛÔÊ›· Î·È Ù· M·ıËÌ·ÙÈο Î·È ·ÌÊÈÙ·Ï·ÓÙ¢fiÙ·Ó Û¯ÂÙÈο Ì ÙËÓ ÂÈÏÔÁ‹ ηÙ¢ı‡ÓÛˆ˜. §›ÁÔ Î·ÈÚfi ÌÂÙ¿, ¿Ú¯ÈÛ ӷ ÂÚÁ¿˙ÂÙ·È ˆ˜ ˘ÊËÁËÙ‹˜ ÛÙÔ ›‰ÈÔ ·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ, ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÔÓÙ·˜ fiÙÈ ‹Ù·Ó ÂÌÓ¢Ṳ̂ÓÔ˜ Î·È ÚÔԉ¢ÙÈÎfi˜ ‰È‰¿ÛηÏÔ˜. TÔ ¤ÙÔ˜ 1826, ‰ÈÔÚ›ÛıËΠ˘ÊËÁËÙ‹˜ ÛÙÔ ¶·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ ÙÔ˘ Königsberg. M ÚÔÙÚÔ‹ ÙÔ˘ Carl Friedrich Gauss (1777-1855) ÚÔ˜ ÙÔÓ YÔ˘ÚÁfi ¶·È‰Â›·˜, Ô Jacobi ÚÔ‹¯ıË Û ›ÎÔ˘ÚÔ Î·ıËÁËÙ‹ ÙÔ ÂfiÌÂÓÔ ¤ÙÔ˜ ÂȘ ‚¿ÚÔ˜ ¿ÏÏˆÓ Û˘Ó·‰¤ÏʈÓ, ÔÈ ÔÔ›ÔÈ fï˜ ·Ó·ÁÓÒÚÈÛ·Ó Û‡ÓÙÔÌ· ÙËÓ ·Í›· ÙÔ˘. TÔ ¤ÙÔ˜ 1829 Ô Jacobi ÚÔ‹¯ıË Û ٷÎÙÈÎfi ηıËÁËÙ‹. ¢ËÌÔÛ›Â˘Û ÙÔ ÌÓËÌÂÈ҉˜ ¤ÚÁÔ ÙÔ˘ «Fundamenta Nova Theoriae Functionum Ellipticarum» ÙÔ ›‰ÈÔ ¤ÙÔ˜. TÔ ¤ÙÔ˜ 1840 Ô Jacobi ¯ÚÂÔÎfiËÛÂ. H ·ÒÏÂÈ· Ù˘ ÂÚÈÔ˘Û›·˜ ÙÔ˘ ‰ÂÓ Â›¯Â Û˘Ó¤ÂȘ ÛÙË Ì·ıËÌ·ÙÈ΋ ÙÔ˘ ¤Ú¢ӷ, ·ÏÏ¿ ÙÔÓ ¤ÊÂÚ ÌÚÔÛÙ¿ Û ‰‡ÛÎÔϘ ηٷÛÙ¿ÛÂȘ. TÔ ¤ÙÔ˜ 1843 Ô
364
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
x ∈ E, ÙfiÙÂ Ë ÔÚ›˙Ô˘Û· ÙÔ˘ ÁÚ·ÌÌÈÎÔ‡ ÙÂÏÂÛÙ‹ f (x) ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Ë ÔÚ›˙Ô˘Û· Jacobi 2 Ù˘ f ÛÙÔ x. ™˘Ì‚ÔÏÈο, Jf (x) = det f (x).
(93)
XÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠›Û˘ ÙÔ Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌfi ∂(y1 , . . . , yn ) ∂(x1 , . . . , xn )
(94)
·ÓÙ› ÙÔ˘ Jf (x) Â¿Ó (y1 , . . . , yn ) = f(x1 , . . . , xn ). M fiÚÔ˘˜ ÔÚÈ˙Ô˘ÛÒÓ Jacobi, Ë Ô˘ÛÈ҉˘ ˘fiıÂÛË ÛÙÔ ıÂÒÚËÌ· ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊ˘ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜ Â›Ó·È Ë Jf (a) = 0 (Û˘ÁÎÚ›ÓÂÙ Ì ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 9.36). E¿Ó ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ÂÏÂÁ̤Ó˘ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜ ‰È·Ù˘ˆı› Ì ¯Ú‹ÛË ÙˆÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ ÛÙËÓ (59), ÙfiÙÂ Ë ˘fiıÂÛË Ô˘ ‰È·Ù˘ÒÓÂÙ·È ÂΛ ÌÂÙ·ÙÚ¤ÂÙ·È ÛÙËÓ ∂( f 1 , . . . , f n ) = 0. ∂(x1 , . . . , xn )
¶APA°ø°OI ANøTEPH™ TA•Eø™ OÚÈÛÌfi˜ 9.39. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ f Â›Ó·È Ì›· Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË, ÔÚÈṲ̂ÓË Û ¤Ó· ·ÓÔÈÎÙfi Û‡ÓÔÏÔ E ⊂ R n , Ì ÌÂÚÈΤ˜ ·Ú·ÁÒÁÔ˘˜ D1 f, . . . , Dn f . Jacobi η٤ÚÚ¢Û ϋڈ˜ ÏfiÁˆ ˘ÂÚÎÔÒÛˆ˜. °È· ÙËÓ ·Ó¿ÚÚˆÛ‹ ÙÔ˘, ‰È¤ÌÂÈÓ ¤ÓÙ ̋Ó˜ ÛÙËÓ IÙ·Ï›· Î·È Â¤ÛÙÚ„ ÛÙÔ BÂÚÔÏ›ÓÔ ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1844, ·ÏÏ¿ ‰ÂÓ ÙÔ˘ ‰fiıË Ë ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË ÙÔ˘ ı¤ÛË. EÎÙÈÌÒÓÙ·˜ ÙÔ ÂÈÛÙËÌÔÓÈÎfi ·Ó¿ÛÙËÌ· ÙÔ˘ Jacobi, Ô ‚·ÛÈÏÈ¿˜ Ù˘ ¶ÚˆÛ›·˜ ÂȯÔÚËÁÔ‡Û ÙÔÓ Jacobi. TÔ ¤ÙÔ˜ 1848 Ô Jacobi ÚÔÛ¿ıËÛ ӷ ·Û¯ÔÏËı› Ì ÙËÓ ÔÏÈÙÈ΋ ·ÓÂÈÙ˘¯Ò˜. §fiÁˆ ·˘Ù‹˜ Ù˘ ÚÔÛ¿ıÂÈ·˜, Ô ‚·ÛÈÏÈ¿˜ ÛÙ·Ì¿ÙËÛ ÙËÓ ÂȯÔÚ‹ÁËÛË, ‰ÈfiÙÈ Ô Jacobi ÂÙ¿¯ıË Ì ÙË ºÈÏÂχıÂÚË §¤Û¯Ë. ™Â ·˘Ù‹Ó ÙËÓ ÂÚ›Ô‰Ô, Ô Jacobi ‹Ù·Ó ÔÈÎÔÓÔÌÈο ÂÍ·ıÏȈ̤ÓÔ˜ Î·È ÂˆÌÈṲ̂ÓÔ˜ Ì ÙË ÊÚÔÓÙ›‰· Ù˘ Á˘Ó·›Î·˜ ÙÔ˘ Î·È ÙˆÓ ¤ÓÙ ·È‰ÈÒÓ ÙÔ˘. ™Ùo ÂfiÌÂÓÔ ¤ÙÔ˜ ÚÔÙ¿ıËΠÛÙÔÓ Jacobi Ì›· ·Î·‰ËÌ·˚΋ ı¤ÛË ÛÙÔ ¶·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ Ù˘ BȤÓÓ˘, ·ÏÏ¿ Ô ‚·ÛÈÏÈ¿˜ ¿Ú¯ÈÛ ͷӿ ÙËÓ ÂȯÔÚ‹ÁËÛË, ÂÓ Ì¤ÚÂÈ ÂÂȉ‹ Ï˘fiÙ·Ó ÙÔÓ Jacobi Î·È ÂÓ Ì¤ÚÂÈ ÂÂȉ‹ ‰ÂÓ ‹ıÂÏ ӷ ʇÁÂÈ ·fi ÙË °ÂÚÌ·Ó›· Ô ‰È·ÛËÌfiÙÂÚÔ˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi˜ Ù˘ E˘ÚÒ˘ ÌÂÙ¿ ÙÔÓ Gauss. O Jacobi ¤ı·Ó ·fi ¢ÏÔÁÈ¿ ÙÔ 1851, ÛÙËÓ ËÏÈΛ· ÙˆÓ Û·Ú¿ÓÙ· ÂÙ¿ ÂÙÒÓ. 2 ™. Ù. M.: ™ÙËÓ ÂÏÏËÓÈ΋ ‚È‚ÏÈÔÁÚ·Ê›· ¤¯ÂÈ ÂÈÎÚ·Ù‹ÛÂÈ Ô fiÚÔ˜ I·Îˆ‚È·Ó‹ ÔÚ›˙Ô˘Û·, Ô ÔÔ›Ô˜ ›ӷÈ, ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ Î·Ù¿ ÙËÓ ÚÔÛˆÈ΋ ¿Ô„Ë ÙÔ˘ ÌÂÙ·ÊÚ·ÛÙ‹, ·Ù˘¯‹˜.
™YNAPTH™EI™ ¶O§§øN METAB§HTøN 365
ŸÙ·Ó ÔÈ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ D j f ( j = 1, . . . , n) Â›Ó·È ‰È·ÊÔÚ›ÛÈ̘, ÙfiÙ ÔÚ›˙ÔÓÙ·È ÔÈ ‰Â‡ÙÂÚ˘ ٿ͈˜ ÌÂÚÈΤ˜ ·Ú¿ÁˆÁÔÈ Ù˘ f ·fi ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· Di j f = Di D j f
(i, j = 1, . . . , n).
H f ϤÁÂÙ·È ÎÏ¿Ûˆ˜ C ÛÙÔ E Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ÔÈ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ Di j f (i, j = 1, . . . , n) Â›Ó·È Û˘Ó¯›˜ ÛÙÔ E. TÔ ÁÂÁÔÓfi˜ ·˘Ùfi Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È ˆ˜ f ∈ C (E). M›· ·ÂÈÎfiÓÈÛË f ÙÔ˘ E ÛÙÔÓ R m ϤÁÂÙ·È ÎÏ¿Ûˆ˜ C Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó Î¿ıÂ Û˘ÓÈÛÙÒÛ· Ù˘ f Â›Ó·È ÎÏ¿Ûˆ˜ C . E›Ó·È ‰˘Ó·Ùfi Ó· Û˘Ì‚Â› Di j f = D ji f Û οÔÈÔ ÛËÌÂ›Ô Î·È ÁÈ· οÔÈÔ˘˜ ‰Â›ÎÙ˜ i, j, ·ÎfiÌË Î·È Â¿Ó ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÔÈ ‰‡Ô ·Ú¿ÁˆÁÔÈ (·Ó·ÙÚ¤ÍÙ ÛÙËÓ ÕÛÎËÛË 27). ŸÌˆ˜, fiˆ˜ ı· Û˘Ó·ÓÙ‹ÛÔ˘Ì ·Ú·Î¿Ùˆ, ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ Di j f = D ji f (i, j = 1, . . . , n) fiÙ·Ó ÔÈ ·Ú¿ÁˆÁÔÈ ·˘Ù¤˜ Â›Ó·È Û˘Ó¯›˜. °È· ÏfiÁÔ˘˜ ·ÏÔ˘ÛÙ‡Ûˆ˜ (Î·È ‰›¯ˆ˜ ·ÒÏÂÈ· Ù˘ ÁÂÓÈÎfiÙËÙ·˜) ı· ‰È·Ù˘ÒÛÔ˘Ì ٷ ‰‡Ô ÂfiÌÂÓ· ıˆڋ̷ٷ ÁÈ· Ú·ÁÌ·ÙÈΤ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ ‰‡Ô ÌÂÙ·‚ÏËÙÒÓ. TÔ ÚÒÙÔ ·ÔÙÂÏ› ¤Ó· ıÂÒÚËÌ· ̤Û˘ ÙÈÌ‹˜.
£ÂÒÚËÌ· 9.40. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ f Â›Ó·È Ì›· Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ë ÔÔ›· ÔÚ›˙ÂÙ·È Û ¤Ó· ·ÓÔÈÎÙfi Û‡ÓÔÏÔ E ⊂ R 2 Î·È fiÙÈ ÔÈ D1 f Î·È D21 f ˘¿Ú¯Ô˘Ó Û οı ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ E. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ Q ⊂ E Â›Ó·È ¤Ó· ÎÏÂÈÛÙfi ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ Ì Ï¢ڤ˜ ·Ú¿ÏÏËϘ ÚÔ˜ ÙÔ˘˜ ¿ÍÔÓ˜ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤ӈÓ, ÙÔ ÔÔ›Ô ¤¯ÂÈ Ù· ÛËÌ›· (a, b) Î·È (a + h, b + k) Û ·ÓÙÈΛÌÂÓ˜ ÎÔÚ˘Ê¤˜ ÙÔ˘. (h = 0, k = 0.) £¤ÙÔ˘Ì ( f, Q) = f (a + h, b + k) − f (a + h, b) − f (a, b + k) + f (a, b). TfiÙÂ, ˘¿Ú¯ÂÈ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô (x, y) ÛÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÙÔ˘ Q Ì ( f, Q) = hk(D21 f )(x, y).
(95)
™ËÌÂÈÒÓÔ˘Ì ÙËÓ ·Ó·ÏÔÁ›· ÌÂٷ͇ Ù˘ (95) Î·È ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 5.10. TÔ ÂÌ‚·‰fi ÙÔ˘ Q Â›Ó·È ÙÔ hk.
366
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
Afi‰ÂÈÍË. °È· οı ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi t ÌÂٷ͇ ÙˆÓ a Î·È a + h (ÔÈ ÂÚÈÙÒÛÂȘ t = a Î·È t = a + h ÂÈÙÚ¤ÔÓÙ·È) ı¤ÙÔ˘Ì u(t) = f (t, b + k) − f (t, b). EÊ·ÚÌfi˙ÔÓÙ·˜ ‰‡Ô ÊÔÚ¤˜ ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 5.10, ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ·ÚÈıÌfi x ÌÂٷ͇ ÙˆÓ a Î·È a + h (Ì x = a, x = a + h) Î·È ·ÚÈıÌfi y ÌÂٷ͇ ÙˆÓ b Î·È b + k (Ì y = b, y = b + k) Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ ( f, Q) = u(a + h) − u(a) = hu (x) = h[(D1 f )(x, b + k) − (D1 f )(x, b)] = hk(D21 f )(x, y).
£ÂÒÚËÌ· 9.41. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ f Â›Ó·È Ì›· Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ë ÔÔ›· ÔÚ›˙ÂÙ·È Û ¤Ó· ·ÓÔÈÎÙfi Û‡ÓÔÏÔ E ⊂ R 2 Î·È fiÙÈ ÔÈ D1 f , D21 f , D2 f ˘¿Ú¯Ô˘Ó Û οı ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ E. YÔı¤ÙÔ˘Ì ›Û˘ fiÙÈ Ë D21 f Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ Û ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô (a, b) ∈ E. TfiÙÂ, Ë D12 f ˘¿Ú¯ÂÈ ÛÙÔ (a, b) Î·È (D12 f )(a, b) = (D21 f )(a, b).
(96)
Afi‰ÂÈÍË. £¤ÙÔ˘Ì A = (D21 f )(a, b). £ÂˆÚԇ̠ε > 0. A˜ Â›Ó·È Q ¤Ó· ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ fiˆ˜ ÛÙÔ £ÂÒÚËÌ· 9.40, fiÔ˘ ÔÈ h, k Â›Ó·È Â·ÚÎÒ˜ ÌÈÎÚÔ›, ηÙ' ·fiÏ˘ÙË ÙÈÌ‹, ·ÚÈıÌÔ›. TfiÙÂ, ¤¯Ô˘Ì fiÙÈ |A − (D21 f )(x, y)| < ε ÁÈ· οı (x, y) ∈ Q. ÕÚ·,
( f, Q) − A < ε hk
Û‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ (95). £ÂˆÚԇ̠ÙÔ h ÛÙ·ıÂÚfi Î·È Ï·Ì‚¿ÓÔ˘Ì k → 0. EÊfiÛÔÓ Ë D2 f ˘¿Ú¯ÂÈ ÛÙÔ E, Ë ÙÂÏÂ˘Ù·›· ·ÓÈÛfiÙËÙ· Û˘Ó¿ÁÂÙ·È fiÙÈ (D2 f )(a + h, b) − (D2 f )(a, b) − A ≤ ε. (97) h
™YNAPTH™EI™ ¶O§§øN METAB§HTøN 367
EÊfiÛÔÓ Ô ε Â›Ó·È Ù˘¯ÒÓ ıÂÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ Î·È ÂÊfiÛÔÓ Ë (97) ÈÛ¯‡ÂÈ ÁÈ· οı ·ÚÎÒ˜ ÌÈÎÚfi h = 0, ¤ÂÙ·È fiÙÈ (D12 f )(a, b) = A. H ÈÛfiÙËÙ· ·˘Ù‹ Â›Ó·È ·ÎÚÈ‚Ò˜ Ë (96). ¶fiÚÈÛÌ·. E¿Ó f ∈ C (E), ÙfiÙ D21 f = D12 f .
¶APA°ø°I™H O§OK§HPøMATøN YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ ϕ Â›Ó·È Ì›· Û˘Ó¿ÚÙËÛË ‰‡Ô ÌÂÙ·‚ÏËÙÒÓ, Ë ÔÔ›· ÌÔÚ› Ó· ÔÏÔÎÏËÚˆı› ˆ˜ ÚÔ˜ ÙË Ì›· ÌÂÙ·‚ÏËÙ‹ Î·È Ó· ·Ú·ÁˆÁÈÛı› ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ ¿ÏÏË. Yfi ÔȘ ˘Ôı¤ÛÂȘ ÙÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· ·Ú·Ì¤ÓÂÈ ·ÌÂÙ¿‚ÏËÙÔ, Â¿Ó ÔÈ ‰‡Ô ‰È·‰Èηۛ˜ ÂÎÙÂÏÂÛıÔ‡Ó Ì ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊË ÛÂÈÚ¿; ¢È·Ù˘ÒÓÔ˘Ì ÙÔ ÂÚÒÙËÌ· Ì ·ÎÚ›‚ÂÈ·: ¶ÔȘ Û˘Óı‹Î˜ Ú¤ÂÈ Ó· ÙÂıÔ‡Ó ÛÙËÓ ϕ Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ ӷ ÈÛ¯‡ÂÈ Ë ÈÛfiÙËÙ· d dt
b
ϕ(x, t)d x =
a
a
b
∂ϕ (x, t)d x ; ∂t
(98)
(™ÙËÓ ÕÛÎËÛË 28 ·Ú·Ù›ıÂÙ·È ¤Ó· ·ÓÙÈ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·.) °È· ‰È¢ÎfiÏ˘ÓÛË, ı· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÙÔÓ Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌfi ϕ t (x) = ϕ(x, t).
(99)
M ·˘Ùfi, Ë ϕ t Â›Ó·È Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ì›·˜ ÌÂÙ·‚ÏËÙ‹˜ ÁÈ· οı ηٿÏÏËÏÔ t. £ÂÒÚËÌ· 9.42. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ: (·) ϕ Â›Ó·È Ì›· Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ì ‰›Ô ÔÚÈÛÌÔ‡ ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ (x,t) Ì a ≤ x ≤ b, c ≤ t ≤ d. (‚) α Â›Ó·È Ì›· ·‡ÍÔ˘Û· Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÛÙÔ [a, b]. (Á) ϕ t ∈ R(α) ÁÈ· οı t ∈ [c, d]. (‰) s Â›Ó·È ¤Ó·˜ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ Ì c < s < d Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ ÁÈ· οı ε > 0 Ó· ˘¿Ú¯ÂÈ δ > 0 Ì |(D2 ϕ)(x, t) − (D2 ϕ)(x, s)| < ε
368
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
ÁÈ· οı x ∈ [a, b] Î·È t ∈ (s − δ, s + δ). OÚ›˙Ô˘Ì ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË f ̤ۈ Ù˘ Û¯¤Ûˆ˜ b ϕ(x, t)dα(x) (c ≤ t ≤ d). f (t) =
(100)
a
TfiÙÂ, (D2 ϕ)s ∈ R(α), Ë f (s) ˘¿Ú¯ÂÈ Î·È ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ b (D2 ϕ)(x, s)dα(x). f (s) =
(101)
a
™ËÌÂÈÒÓÔ˘Ì fiÙÈ Ë (Á) ‰ËÏÒÓÂÈ ·ÏÒ˜ ÙËÓ ‡·ÚÍË ÙˆÓ ÔÏÔÎÏËÚˆÌ¿ÙˆÓ ÛÙËÓ (100) ÁÈ· οı t ∈ [c, d]. ™ËÌÂÈÒÓÔ˘Ì ›Û˘ fiÙÈ Ë (‰) ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙ·Ó Ë D2 ϕ Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ Â› ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ ÔÚ›˙ÂÙ·È Ë ϕ. Afi‰ÂÈÍË. A˜ Â›Ó·È ε > 0. £ÂˆÚԇ̠δ > 0, fiˆ˜ ÚÔ·ÙÂÈ ·fi ÙÔ Ì¤ÚÔ˜ (‰). £ÂˆÚԇ̠›Û˘ Ù· Ëϛη ‰È·ÊÔÚÒÓ ψ(x, t) =
ϕ(x, t) − ϕ(x, s) , t −s
ÁÈ· οı x ∈ [a, b] Î·È t ∈ [c, d] Ì 0 < |t − s| < δ. ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 5.10, ÁÈ· οı ÛËÌÂ›Ô (x, t) ˘¿Ú¯ÂÈ ¤Ó·˜ ·ÚÈıÌfi˜ u ÌÂٷ͇ ÙˆÓ s Î·È t Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ ψ(x, t) = (D2 ϕ)(x, u). ™˘ÓÂÒ˜, Ë (‰) Û˘Ó¿ÁÂÙ·È fiÙÈ |ψ(x, t) − (D2 ϕ)(x, s)| < ε
(a ≤ x ≤ b, 0 < |t − s| < δ).
(102)
™ËÌÂÈÒÓÔ˘Ì fiÙÈ f (t) − f (s) = t −s
b
ψ(x, t)dα(x)
(103)
a
ÁÈ· οı t ∈ [c, d] Ì 0 < |t − s| < δ. Afi ÙËÓ (102) ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ ψ t → (D2 ϕ)s ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ ÛÙÔ [a, b] ηıÒ˜ t → s. EÊfiÛÔÓ Î¿ı ψ t (t ∈ [c, d]) ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙÔ R(α), Ë ÂÈı˘ÌËÙ‹ Û¯¤ÛË ÚÔ·ÙÂÈ ·fi ÙËÓ (103) Î·È ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 7.16.
™YNAPTH™EI™ ¶O§§øN METAB§HTøN 369
¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 9.43. º˘ÛÈο, ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ·Ô‰ÂȯıÔ‡Ó ·Ó¿ÏÔÁ· ıˆڋ̷ٷ Ì ÙÔ (−∞, +∞) ÛÙË ı¤ÛË ÙÔ˘ [a, b]. AÓÙ› ·˘ÙÔ‡, ı· ÂÂÍÂÚÁ·ÛÙԇ̠¤Ó· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·. OÚ›˙Ô˘Ì ÙȘ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ f , g ̤ۈ ÙˆÓ Û¯¤ÛÂˆÓ ∞ 2 e−x cos(xt)d x (104) f (t) = −∞
ηÈ
g(t) = −
∞
−∞
xe−x sin(xt)d x 2
(105)
ÁÈ· οı t ∈ R 1 . K·È Ù· ‰‡Ô ÔÏÔÎÏËÚÒÌ·Ù· ˘¿Ú¯Ô˘Ó (Û˘ÁÎÏ›ÓÔ˘Ó ·Ôχو˜), ÂÊfiÛÔÓ ÔÈ ·fiÏ˘Ù˜ ÙÈ̤˜ ÙˆÓ ˘fi ÔÏÔÎÏ‹ÚˆÛË ÔÛÔÙ‹ÙˆÓ Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚ˜ ‹ ›Û˜ ·fi ÙȘ exp(−x 2 ) Î·È |x| exp(−x 2 ) ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜. ™ËÌÂÈÒÓÔ˘Ì fiÙÈ Ë g ÚÔ·ÙÂÈ ·fi ÙËÓ f ·Ú·ÁˆÁ›˙ÔÓÙ·˜ ÙËÓ ˘fi ÔÏÔÎÏ‹ÚˆÛË ÔÛfiÙËÙ· ˆ˜ ÚÔ˜ t. IÛ¯˘ÚÈ˙fiÌ·ÛÙ fiÙÈ Ë f Â›Ó·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË Î·È fiÙÈ f (t) = g(t)
(t ∈ R 1 ).
(106)
°È· ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ·˘ÙÔ‡, ÂÍÂÙ¿˙Ô˘Ì ·Ú¯Èο Ù· Ëϛη ‰È·ÊÔÚÒÓ ÙÔ˘ Û˘ÓËÌÈÙfiÓÔ˘: E¿Ó α, β Â›Ó·È Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› Ì β > 0, ÙfiÙ 1 α+β cos(α + β) − cos α (sin α − sin t)dt. (107) + sin α = β β α EÊfiÛÔÓ | sin α − sin t| ≤ |α − t| ÁÈ· ÔÔÈÔÓ‰‹ÔÙ ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi t, Ë ‰ÂÍÈ¿ ÏÂ˘Ú¿ Ù˘ (107) Â›Ó·È Î·Ù' ·fiÏ˘ÙË ÙÈÌ‹ ÌÈÎÚfiÙÂÚË ‹ ›ÛË ·fi ÙÔ β/2. H ÂÚ›ÙˆÛË β < 0 ·ÓÙÈÌÂÙˆ›˙ÂÙ·È ·ÚÔÌÔ›ˆ˜. EÔ̤ӈ˜, cos(α + β) − cos α ≤ |β|, + sin α (108) β ÁÈ· ÔÔÈÔ˘Û‰‹ÔÙ ڷÁÌ·ÙÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ α, β (ıˆÚÒÓÙ·˜ fiÙÈ Ë ·ÚÈÛÙÂÚ‹ ÏÂ˘Ú¿ ÈÛÔ‡Ù·È Ì 0 fiÙ·Ó β = 0). TÒÚ·, ıˆÚԇ̠ڷÁÌ·ÙÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ t Î·È h Ì h = 0. EÊ·ÚÌfi˙Ô˘Ì ÙËÓ (108) Ì α = xt, β = xh. TfiÙÂ, ·fi ÙȘ (104) Î·È (105) ¤ÂÙ·È fiÙÈ ∞ f (t + h) − f (t) 2 − g(t) ≤ |h| x 2 e−x d x. h −∞
370
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
§·Ì‚¿ÓÔÓÙ·˜ h → 0, ·ÔÎÙԇ̠ÙËÓ (106). A˜ ÚÔ¯ˆÚ‹ÛÔ˘Ì ·Ú·¤Ú·: E¿Ó ÂÊ·ÚÌfiÛÔ˘Ì ÔÏÔÎÏ‹ÚˆÛË Î·Ù¿ ̤ÚË ÛÙËÓ (104), ÙfiÙÂ Û˘Ó¿ÁÔ˘Ì fiÙÈ ∞ 2 sin(xt) d x (t ∈ R 1 ). xe−x (109) f (t) = 2 t −∞ ÕÚ·, t f (t) = −2g(t) ÁÈ· οı ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi t Î·È Ë (106) Û˘Ó¿ÁÂÙ·È fiÙÈ Ë f ÈηÓÔÔÈ› ÙË ‰È·ÊÔÚÈ΋ Â͛ۈÛË 2 f (t) + t f (t) = 0
(t ∈ R 1 ).
(110)
E¿Ó ÂÈχÛÔ˘Ì ·˘Ù‹Ó ÙË ‰È·ÊÔÚÈ΋ Â͛ۈÛË Î·È ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÔ˘Ì ÙË Û¯¤ÛË √ f (0) = π (·Ó·ÙÚ¤ÍÙ ÛÙËÓ EÓfiÙËÙ· 8.21), ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì fiÙÈ f (t) = ÁÈ· οı ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi t. ˘ÔÏÔÁ›˙ÂÙ·È Â·ÎÚÈ‚Ò˜.
√
2 t π exp − 4
(111)
EÔ̤ӈ˜, ÙÔ ÔÏÔÎϋڈ̷ ÛÙËÓ (104)
A™KH™EI™ ÕÛÎËÛË 1. E¿Ó S Â›Ó·È ¤Ó· ÌË ÎÂÓfi ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÂÓfi˜ ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎÔ‡ ¯ÒÚÔ˘ X , ÙfiÙ ·Ô‰Â›ÍÙ (ηٿ ÙÔÓ ÈÛ¯˘ÚÈÛÌfi ÛÙËÓ EÓfiÙËÙ· 9.1) fiÙÈ ÙÔ Â¤ÎÙ·Ì· ÙÔ˘ S Â›Ó·È ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜. ÕÛÎËÛË 2. Aԉ›ÍÙ (ηٿ ÙÔÓ ÈÛ¯˘ÚÈÛÌfi ÛÙËÓ EÓfiÙËÙ· 9.6) fiÙÈ Ô B A Â›Ó·È ÁÚ·ÌÌÈÎfi˜ ÌÂÙ·Û¯ËÌ·ÙÈÛÌfi˜ Â¿Ó ÔÈ A, B Â›Ó·È ÁÚ·ÌÌÈÎÔ› ÌÂÙ·Û¯ËÌ·ÙÈÛÌÔ›. Aԉ›ÍÙ ›Û˘ fiÙÈ Ô A−1 Â›Ó·È ÁÚ·ÌÌÈÎfi˜ Î·È ·ÓÙÈÛÙÚ¤„ÈÌÔ˜ ÌÂÙ·Û¯ËÌ·ÙÈÛÌfi˜. ÕÛÎËÛË 3. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ A ∈ L(X, Y ) Î·È fiÙÈ Ax = 0 Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó x = 0. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ Ô A Â›Ó·È 1-1.
™YNAPTH™EI™ ¶O§§øN METAB§HTøN 371
ÕÛÎËÛË 4. Aԉ›ÍÙ (ηٿ ÙÔÓ ÈÛ¯˘ÚÈÛÌfi ÛÙËÓ EÓfiÙËÙ· 9.30) fiÙÈ ÔÈ ÌˉÂÓÈÎÔ› ¯ÒÚÔÈ Î·È Ù· ‰›· ÙÈÌÒÓ ÁÚ·ÌÌÈÎÒÓ ÌÂÙ·Û¯ËÌ·ÙÈÛÌÒÓ Â›Ó·È ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎÔ› ¯ÒÚÔÈ. ÕÛÎËÛË 5. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ Û οı A ∈ L(R n , R 1 ) ·ÓÙÈÛÙÔȯ› ¤Ó· Î·È ÌÔÓ·‰ÈÎfi y ∈ R n Ì Ax = x · y ÁÈ· οı x ∈ R n . Aԉ›ÍÙ ›Û˘ fiÙÈ A = |y|. Yfi‰ÂÈÍË: Yfi ÔÚÈṲ̂Ó˜ Û˘Óı‹Î˜, ÈÛ¯‡ÂÈ Ë ÈÛfiÙËÙ· ÛÙËÓ ·ÓÈÛfiÙËÙ· ÙÔ˘ Schwarz. ÕÛÎËÛË 6. E¿Ó f Â›Ó·È Ë Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÛÙÔÓ R 2 Ì f (0, 0) = 0 Î·È f (x, y) =
x2
xy Â¿Ó (x, y) = (0, 0), + y2
ÙfiÙ ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ ÔÈ (D1 f )(x, y) Î·È (D2 f )(x, y) ˘¿Ú¯Ô˘Ó Û οı ÛËÌÂ›Ô (x, y) ÙÔ˘ R 2 , ·Ú¿ ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ Ë f ‰ÂÓ Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ (0, 0). ÕÛÎËÛË 7. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ f Â›Ó·È Ì›· Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË, ÔÚÈṲ̂ÓË Û ¤Ó· ·ÓÔÈÎÙfi Û‡ÓÔÏÔ E ⊂ R n , Î·È fiÙÈ ÔÈ ÌÂÚÈΤ˜ ·Ú¿ÁˆÁÔ› Ù˘ D1 f, . . . , Dn f Â›Ó·È ÊÚ·Á̤Ó˜ ÛÙÔ E. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ Ë f Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ E. Yfi‰ÂÈÍË: ¶ÚÔ¯ˆÚ‹ÛÙ fiˆ˜ ÛÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 9.21. ÕÛÎËÛË 8. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ f Â›Ó·È Ì›· Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ ‰È·ÊÔÚ›ÛÈÌË Û˘Ó¿ÚÙËÛË Û ¤Ó· ·ÓÔÈÎÙfi Û‡ÓÔÏÔ E ⊂ R n Î·È fiÙÈ Ë f ¤¯ÂÈ ÙÔÈÎfi ̤ÁÈÛÙÔ Û ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô x ∈ E. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ f (x) = 0. ÕÛÎËÛË 9. E¿Ó f Â›Ó·È Ì›· ‰È·ÊÔÚ›ÛÈÌË ·ÂÈÎfiÓÈÛË ÂÓfi˜ Û˘ÓÂÎÙÈÎÔ‡ ·ÓÔÈÎÙÔ‡ Û˘ÓfiÏÔ˘ E ⊂ R n ÛÙÔÓ R m Î·È Â¿Ó f (x) = 0 ÁÈ· οı x ∈ E, ÙfiÙ ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ Ë f Â›Ó·È ÛÙ·ıÂÚ‹ ÛÙÔ E. ÕÛÎËÛË 10. E¿Ó f Â›Ó·È Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË, ÔÚÈṲ̂ÓË Û ¤Ó· ΢ÚÙfi Û‡ÓÔÏÔ E ⊂ R n , Ì (D1 f )(x) = 0 ÁÈ· οı x ∈ E, ÙfiÙ ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ Ë ÙÈÌ‹ f (x) ÂÍ·ÚÙ¿Ù·È ÌfiÓÔÓ ·fi Ù· x2 , . . . , xn .
372
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
¢Â›ÍÙ fiÙÈ Ë ˘fiıÂÛË ÂÚ› ΢ÚÙfiÙËÙ·˜ ÙÔ˘ E ÌÔÚ› Ó· ·ÓÙÈηٷÛÙ·ı› ·fi ·ÛıÂÓ¤ÛÙÂÚË ˘fiıÂÛË, ·ÏÏ¿ fiÙÈ ÙÂÏÈο οÔÈ· Û˘Óı‹ÎË Â›Ó·È ··Ú·›ÙËÙË. E› ·Ú·‰Â›ÁÌ·ÙÈ, Â¿Ó n = 2 Î·È ÙÔ E ¤¯ÂÈ ÂÙ·ÏÔÂȉ¤˜ Û¯‹Ì·, ÙfiÙÂ Ë ÚfiÙ·ÛË ÌÔÚ› Ó· Â›Ó·È „¢‰‹˜. ÕÛÎËÛË 11. E¿Ó f Î·È g Â›Ó·È Ú·ÁÌ·ÙÈΤ˜ ‰È·ÊÔÚ›ÛÈ̘ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ ÛÙÔÓ R n , ÙfiÙ ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ ∇( f g) = f ∇g + g∇ f Î·È fiÙÈ ∇(1/ f ) = − f −2 ∇ f fiÙ·Ó Ë f ‰ÂÓ ÌˉÂÓ›˙ÂÙ·È Ô˘ıÂÓ¿. ÕÛÎËÛË 12. £ÂˆÚԇ̠‰‡Ô Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ a, b Ì 0 < a < b. OÚ›˙Ô˘Ì ̛· ·ÂÈÎfiÓÈÛË f = ( f 1 , f 2 , f 3 ) ÙÔ˘ R 2 ÛÙÔÓ R 3 ̤ۈ ÙˆÓ Û¯¤ÛÂˆÓ f 1 (s, t) = (b + a cos s) cos t, f 2 (s, t) = (b + a cos s) sin t, f 3 (s, t) = a sin s ÁÈ· οı (s, t) ∈ R 2 . ¶ÂÚÈÁÚ¿„Ù ÙÔ Â‰›Ô ÙÈÌÒÓ K Ù˘ f. (A˘Ùfi Â›Ó·È ¤Ó· Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ Û˘Ì·Á¤˜ ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ R 3 .) (·) ¢Â›ÍÙ fiÙÈ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ·ÎÚÈ‚Ò˜ Ù¤ÛÛÂÚ· ÛËÌ›· p ∈ K Ì (∇ f 1 )(f−1 (p)) = 0. BÚ›Ù ·˘Ù¿ Ù· ÛËÌ›·. (‚) K·ıÔÚ›ÛÙ ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ q ∈ K Ì (∇ f 3 )(f−1 (q)) = 0. (Á) ¢Â›ÍÙ fiÙÈ ¤Ó· ·fi Ù· ÛËÌ›· p ÙÔ˘ (·) ·ÓÙÈÛÙÔȯ› Û ÙÔÈÎfi ̤ÁÈÛÙÔ Ù˘ f 1 , ¤Ó· ·fi ·˘Ù¿ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› Û ÙÔÈÎfi ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ Î·È Ù· ˘fiÏÔÈ· ‰‡Ô ‰ÂÓ ·ÓÙÈÛÙÔÈ¯Ô‡Ó Û ·ÎÚfiٷٷ (·˘Ù¿ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È Û·ÁÌ·ÙÈο ÛËÌ›·). ¶ÔÈ· ·fi Ù· ÛËÌ›· ÙÔ˘ (‚) ·ÓÙÈÛÙÔÈ¯Ô‡Ó Û ̤ÁÈÛÙ· ‹ ÂÏ¿¯ÈÛÙ·;
™YNAPTH™EI™ ¶O§§øN METAB§HTøN 373
(‰) A˜ Â›Ó·È λ ¤Ó·˜ ¿ÚÚËÙÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜. °È· οı ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi t oÚ›˙Ô˘Ì g(t) = f(t, λt). Aԉ›ÍÙ fiÙÈ Ë g Â›Ó·È 1-1 ·ÂÈÎfiÓÈÛË ÙÔ˘ R 1 › ÂÓfi˜ ˘ÎÓÔ‡ ˘ÔÛ˘ÓfiÏÔ˘ ÙÔ˘ K . Aԉ›ÍÙ ›Û˘ fiÙÈ |g (t)|2 = a 2 + λ2 (b + a cos t)2 ÁÈ· οı ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi t. ÕÛÎËÛË 13. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ f Â›Ó·È Ì›· ‰È·ÊÔÚ›ÛÈÌË ·ÂÈÎfiÓÈÛË ÙÔ˘ R 1 ÛÙÔÓ R 3 , Ì |f(t)| = 1 ÁÈ· οı ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi t. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ f (t) · f(t) = 0 ÁÈ· οı ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi t. EÚÌËÓ‡ÛÙ ÁˆÌÂÙÚÈο ·˘Ùfi ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜. ÕÛÎËÛË 14. £ÂˆÚԇ̠ÙËÓ Û˘Ó¿ÚÙËÛË f ÛÙÔÓ R 2 Ì f (0, 0) = 0 Î·È f (x, y) =
x3 Â¿Ó (x, y) = (0, 0). x 2 + y2
(·) Aԉ›ÍÙ fiÙÈ ÔÈ D1 f Î·È D2 f Â›Ó·È ÊÚ·Á̤Ó˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ ÛÙÔÓ R 2 . (ÕÚ·, Ë f Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜.) (‚) A˜ Â›Ó·È u ¤Ó· ÌÔÓ·‰È·›Ô ‰È¿Ó˘ÛÌ· ÛÙÔÓ R 2 . ¢Â›ÍÙ fiÙÈ Ë ‰È¢ı˘ÓÙÈ΋ ·Ú¿ÁˆÁÔ˜ (Du f )(0, 0) ˘¿Ú¯ÂÈ Î·È fiÙÈ Ë ·fiÏ˘ÙË ÙÈÌ‹ Ù˘ Â›Ó·È ÙÔ Ôχ ›ÛË Ì 1. (Á) A˜ Â›Ó·È γ Ì›· ‰È·ÊÔÚ›ÛÈÌË ·ÂÈÎfiÓÈÛË ÙÔ˘ R 1 ÛÙÔÓ R 2 (‰ËÏ·‰‹ Ë γ Â›Ó·È ‰È·ÊÔÚ›ÛÈÌË Î·Ì‡ÏË ÙÔ˘ R 2 ) Ì γ (0) = (0, 0) Î·È |γ (0)| > 0. °È· t ∈ R 1 ı¤ÙÔ˘Ì g(t) = f (γ (t)). Aԉ›ÍÙ fiÙÈ Ë g Â›Ó·È ‰È·ÊÔÚ›ÛÈÌË ÁÈ· οı t ∈ R1. E¿Ó γ ∈ C , ÙfiÙ ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ g ∈ C . (‰) ¶·Ú¿ ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ ·˘Ùfi, ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ Ë f ‰ÂÓ Â›Ó·È ‰È·ÊÔÚ›ÛÈÌË ÛÙÔ (0, 0). Yfi‰ÂÈÍË: O Ù‡Ô˜ (40) ‰ÂÓ ÈÛ¯‡ÂÈ Û ·˘Ù‹Ó ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË. ÕÛÎËÛË 15. £ÂˆÚԇ̠ÙËÓ Û˘Ó¿ÚÙËÛË f ÛÙÔÓ R 2 Ì f (0, 0) = 0 Î·È f (x, y) = x 2 + y 2 − 2x 2 y −
4x 6 y 2 Â¿Ó (x, y) = (0, 0). (x 4 + y 2 )2
374
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
(·) °È· οı (x, y) ∈ R 2 ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ 4x 4 y 2 ≤ (x 4 + y 2 )2 . ™˘ÌÂÚ¿ÓÂÙ fiÙÈ Ë f Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜. (‚) °È· θ ∈ [0, 2π ], t ∈ R 1 ÔÚ›˙Ô˘Ì gθ (t) = f (t cos θ, t sin θ ). °È· οı θ ∈ [0, 2π ] ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ gθ (0) = 0, gθ (0) = 0, gθ (0) = 2. EÔ̤ӈ˜, οı gθ ¤¯ÂÈ ÁÓ‹ÛÈÔ ÙÔÈÎfi ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ ÛÙÔ t = 0. M ‰È·ÊÔÚÂÙÈ΋ ‰È·Ù‡ˆÛË, Ô ÂÚÈÔÚÈÛÌfi˜ Ù˘ f Û οı ¢ı›· Ô˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ (0, 0) ¤¯ÂÈ ÁÓ‹ÛÈÔ ÙÔÈÎfi ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ ÛÙÔ (0, 0). (Á) ¶·Ú' fiÏ· ·˘Ù¿, ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ ÙÔ (0, 0) ‰ÂÓ Â›Ó·È ÙÔÈÎfi ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ ÁÈ· ÙËÓ f , ÂÊfiÛÔÓ ÁÈ· οı ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi x ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ f (x, x 2 ) = −x 4 . ÕÛÎËÛË 16. ¢Â›ÍÙ fiÙÈ Ë Û˘Ó¤¯ÂÈ· Ù˘ f Û ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô a ·ÔÙÂÏ› Ô˘ÛÈÒ‰Ë Û˘Óı‹ÎË ÛÙÔ ıÂÒÚËÌ· ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊ˘ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜, ·ÎfiÌË Î·È ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË n = 1: E¿Ó 1 2 f (t) = t + 2t sin t ÁÈ· t = 0 Î·È f (0) = 0, ÙfiÙ f (0) = 1, Ë f Â›Ó·È ÊÚ·Á̤ÓË ÛÙÔ (−1, 1), fï˜ Ë f ‰ÂÓ Â›Ó·È 1-1 Û η̛· ÂÚÈÔ¯‹ ÙÔ˘ 0. ÕÛÎËÛË 17. A˜ Â›Ó·È f = ( f 1 , f 2 ) Ë ·ÂÈÎfiÓÈÛË ÙÔ˘ R 2 ÛÙÔÓ R 2 Ô˘ ÔÚ›˙ÂÙ·È Ì¤Ûˆ ÙˆÓ ÈÛÔÙ‹ÙˆÓ f 1 (x, y) = e x cos y,
f 2 (x, y) = e x sin y
ÁÈ· οı (x, y) ∈ R 2 . (·) ¶ÔÈÔ Â›Ó·È ÙÔ Â‰›Ô ÙÈÌÒÓ Ù˘ f; (‚) ¢Â›ÍÙ fiÙÈ Ë ÔÚ›˙Ô˘Û· Jacobi Ù˘ f ‰ÂÓ ÌˉÂÓ›˙ÂÙ·È Û ηӤӷ ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ R 2 . ™˘ÓÂÒ˜, οı ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ R 2 ¤¯ÂÈ Ì›· ÂÚÈÔ¯‹ ÛÙËÓ ÔÔ›· Ë f Â›Ó·È 1-1. EÓÙÔ‡ÙÔȘ, Ë f ‰ÂÓ Â›Ó·È 1-1 ÛÙÔÓ R 2 .
™YNAPTH™EI™ ¶O§§øN METAB§HTøN 375
(Á) £¤ÙÔ˘Ì a = (0, π/3) Î·È b = f(a). A˜ Â›Ó·È g Ë (Û˘Ó¯‹˜) ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊË Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ù˘ f, ÔÚÈṲ̂ÓË Û ̛· ÂÚÈÔ¯‹ ÙÔ˘ b. TfiÙ ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ g(b) = a. BÚ›Ù ÙË Û·Ê‹ ¤ÎÊÚ·ÛË Ù˘ g, ˘ÔÏÔÁ›ÛÙ ÙȘ f (a), g (b) Î·È Â·ÏËı‡ÛÙ ÙÔÓ Ù‡Ô (52). (‰) ¶ÔȘ Â›Ó·È ÔÈ ÂÈÎfiÓ˜, ̤ۈ Ù˘ f, ÙˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ Ô˘ Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËϘ ÚÔ˜ ÙÔ˘˜ ¿ÍÔÓ˜ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤ӈÓ; ÕÛÎËÛË 18. A·ÓÙ‹ÛÙ ÛÙ· ·Ó¿ÏÔÁ· ÂÚˆÙ‹Ì·Ù· ÁÈ· ÙËÓ ·ÂÈÎfiÓÈÛË Ô˘ ÔÚ›˙ÂÙ·È ·fi ÙȘ Û¯¤ÛÂȘ u = x 2 − y2,
v = 2x y.
ÕÛÎËÛË 19. ¢Â›ÍÙ fiÙÈ ÙÔ Û‡ÛÙËÌ· ÂÍÈÛÒÛÂˆÓ 3x + y − z + u 2 = 0 x − y + 2z + u = 0 2x + 2y − 3z + 2u = 0 ÌÔÚ› Ó· Ï˘ı›: ˆ˜ ÚÔ˜ x, y, u Ì ·ÚÔÛ‰ÈfiÚÈÛÙÔ ÙÔ z, ˆ˜ ÚÔ˜ x, z, u Ì ·ÚÔÛ‰ÈfiÚÈÛÙÔ ÙÔ y, ˆ˜ ÚÔ˜ y, z, u Ì ·ÚÔÛ‰ÈfiÚÈÛÙÔ ÙÔ x. ŸÌˆ˜, ‰ÂÓ ÌÔÚ› Ó· Ï˘ı› ˆ˜ ÚÔ˜ x, y, z Ì ·ÚÔÛ‰ÈfiÚÈÛÙÔ ÙÔ u. ÕÛÎËÛË 20. £ÂˆÚ‹ÛÙ n = m = 1 ÛÙÔ ıÂÒÚËÌ· ÂÏÂÁ̤Ó˘ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜ Î·È ÂÚÌËÓ‡ÛÙ ÙÔ ıÂÒÚËÌ· (ηıÒ˜ ›Û˘ Î·È ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍ‹ ÙÔ˘) ÁÚ·ÊÈο. ÕÛÎËÛË 21. OÚ›˙Ô˘Ì ÙËÓ f ÛÙÔ R 2 ̤ۈ Ù˘ ÈÛfiÙËÙ·˜ f (x, y) = 2x 3 − 3x 2 + 2y 3 + 3y 2 ÁÈ· οı (x, y) ∈ R 2 . (·) BÚ›Ù ٷ Ù¤ÛÛÂÚ· ÛËÌ›· ÙÔ˘ R 2 ÛÙ· ÔÔ›· Ë ÎÏ›ÛË Ù˘ f Â›Ó·È ›ÛË Ì 0. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ Ë f ¤¯ÂÈ ·ÎÚÈ‚Ò˜ ¤Ó· ÙÔÈÎfi ̤ÁÈÛÙÔ Î·È ¤Ó· ÙÔÈÎfi ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ ÛÙÔ R 2 . (‚) £ÂˆÚԇ̠ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ S fiÏˆÓ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ (x, y) ∈ R 2 ÛÙ· ÔÔ›· ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ f (x, y) = 0. BÚ›Ù ٷ ÛËÌ›· ÙÔ˘ S Ù· ÔÔ›· ‰ÂÓ ¤¯Ô˘Ó ÂÚÈÔ¯‹ ÛÙËÓ
376
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
ÔÔ›· Ë Â͛ۈÛË f (x, y) = 0 ÌÔÚ› Ó· Ï˘ı› ˆ˜ ÚÔ˜ y Ì ·ÚÔÛ‰ÈfiÚÈÛÙÔ ÙÔ x (‹ ˆ˜ ÚÔ˜ x Ì ·ÚÔÛ‰ÈfiÚÈÛÙÔ ÙÔ y). ¶ÂÚÈÁÚ¿„Ù ÙÔ S Ì ÙË ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ‰˘Ó·Ù‹ ·ÎÚ›‚ÂÈ·. ÕÛÎËÛË 22. EÚÁ·Ûı›Ù ÔÌÔ›ˆ˜ ÁÈ· ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË f ÌÂ Ù‡Ô f (x, y) = 2x 3 + 6x y 2 − 3x 2 + 3y 2 ((x, y) ∈ R 2 ). ÕÛÎËÛË 23. OÚ›˙Ô˘Ì ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË f ÛÙÔ R 3 ̤ۈ Ù˘ Û¯¤Ûˆ˜ f (x, y1 , y2 ) = x 2 y1 − e x + y2 . ¢Â›ÍÙ fiÙÈ f (0, 1, −1) = 0, fiÙÈ (D1 f )(0, 1, −1) = 0 Î·È fiÙÈ ˘¿Ú¯ÂÈ ÂÔ̤ӈ˜ Ì›· ‰È·ÊÔÚ›ÛÈÌË Û˘Ó¿ÚÙËÛË g Û οÔÈ· ÂÚÈÔ¯‹ ÙÔ˘ (1, −1) ÛÙÔ R 2 Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ g(1, −1) = 0 Î·È f (g(y1 , y2 ), y1 , y2 ) = 0 ÁÈ· οı (y1 , y2 ) Û ·˘Ù‹Ó ÙËÓ ÂÚÈÔ¯‹. YÔÏÔÁ›ÛÙ ÙȘ (D1 g)(1, −1) Î·È (D2 g)(1, −1). ÕÛÎËÛË 24. °È· (x, y) = (0, 0) ÔÚ›˙Ô˘Ì ÙËÓ f = ( f 1 , f 2 ) ̤ۈ ÙˆÓ Û¯¤ÛÂˆÓ f 1 (x, y) =
x 2 − y2 , x 2 + y2
f 2 (x, y) =
x2
xy . + y2
YÔÏÔÁ›ÛÙ ÙËÓ ‚·ıÌ›‰· ÙÔ˘ f (x, y) Î·È ‚Ú›Ù ÙÔ Â‰›Ô ÙÈÌÒÓ Ù˘ f. ÕÛÎËÛË 25. £ÂˆÚԇ̠A ∈ L(R n , R m ) Ì ‚·ıÌ›‰· r . (·) OÚ›˙Ô˘Ì ÙÔÓ S fiˆ˜ ÛÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 9.32. ¢Â›ÍÙ fiÙÈ Ô S A Â›Ó·È ÚÔ‚ÔÏ‹ ÛÙÔÓ R n , Ì ÌˉÂÓÈÎfi ¯ÒÚÔ ÙÔÓ N (A) Î·È Â‰›Ô ÙÈÌÒÓ ÙÔÓ R(S). Yfi‰ÂÈÍË: ™‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ (68), ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ S AS A = S A. (‚) XÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÙ ÙÔ (·) ÁÈ· Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ dim N (A) + dim R(A) = n.
™YNAPTH™EI™ ¶O§§øN METAB§HTøN 377
ÕÛÎËÛË 26. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ Ë ‡·ÚÍË (·ÎfiÌË Î·È Ë Û˘Ó¤¯ÂÈ·) Ù˘ D21 f ‰ÂÓ Û˘Ó¿ÁÂÙ·È ··Ú·Èًو˜ ÙËÓ ‡·ÚÍË Ù˘ D1 f . ø˜ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, ıˆڋÛÙ ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË f , ÔÚÈṲ̂ÓË ÛÙÔÓ R 2 ̤ۈ Ù˘ Û¯¤Ûˆ˜ f (x, y) = g(x) ((x, y) ∈ R 2 ), fiÔ˘ Ë g Â›Ó·È Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÛÙÔÓ R 1 Ë ÔÔ›· ‰ÂÓ Â›Ó·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË Û ηӤӷ ÛËÌ›Ô. ÕÛÎËÛË 27. £ÂˆÚԇ̠ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË f ÛÙÔÓ R 2 Ì f (0, 0) = 0 Î·È f (x, y) =
x y(x 2 − y 2 ) Â¿Ó (x, y) = (0, 0), x 2 + y2
Aԉ›ÍÙ fiÙÈ: (·) OÈ f , D1 f , D2 f Â›Ó·È Û˘Ó¯›˜ ÛÙÔ R 2 . (‚) OÈ D12 f Î·È D21 f ˘¿Ú¯Ô˘Ó Û οı ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ R 2 Î·È Â›Ó·È Û˘Ó¯›˜, ÂÎÙfi˜ ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ (0, 0). (Á) (D12 f )(0, 0) = 1 Î·È (D21 f )(0, 0) = −1. ÕÛÎËÛË 28. £ÂˆÚԇ̠ÙËÓ ·ÂÈÎfiÓÈÛË ϕ ÛÙÔÓ R 2 Ô˘ ÔÚ›˙ÂÙ·È ˆ˜ ÂÍ‹˜: °È· x ∈ R 1 Î·È t ≥ 0 ı¤ÙÔ˘Ì √ Â¿Ó x ≤ t, x √ √ √ ϕ(x, t) = −x + 2 t Â¿Ó t ≤ x ≤ 2 t, √ 0 Â¿Ó 2 t ≤ x. °È· x ∈ R 1 Î·È t < 0 ı¤ÙÔ˘Ì ϕ(x, t) = −ϕ(x, |t|). Aԉ›ÍÙ fiÙÈ Ë ϕ Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ R 2 Î·È fiÙÈ (D2 ϕ)(x, 0) = 0 ÁÈ· οı ÌË ·ÚÓËÙÈÎfi Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi x. OÚ›˙Ô˘Ì ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË f ÛÙÔÓ R 1 ̤ۈ Ù˘ ÈÛfiÙËÙ·˜ 1 ϕ(x, t)d x (t ∈ R 1 ). f (t) = 0
¢Â›ÍÙ fiÙÈ f (t) = t Â¿Ó |t| < 14 . ÕÚ·, 1 f (0) = (D2 ϕ)(x, 0)d x. 0
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∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
ÕÛÎËÛË 29. £ÂˆÚԇ̠¤Ó· ·ÓÔÈÎÙfi ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ E ÙÔ˘ R n . Œ¯Ô˘Ì ÔÚ›ÛÂÈ ÙȘ ÎÏ¿ÛÂȘ C (E) Î·È C (E). E·ÁˆÁÈο, Ë ÎÏ¿ÛË C (k) (E) ÌÔÚ› Ó· ÔÚÈÛı› ÁÈ· οı ıÂÙÈÎfi ·Î¤Ú·ÈÔ ·ÚÈıÌfi k, ˆ˜ ÂÍ‹˜: f ∈ C (k) (E) Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ÔÈ ÌÂÚÈΤ˜ ·Ú¿ÁˆÁÔÈ D1 f, . . . , Dn f ·Ó‹ÎÔ˘Ó ÛÙËÓ C (k−1) (E). YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ f ∈ C (k) (E). ¢Â›ÍÙ (Ì ·ӷϷ̂·ÓfiÌÂÓË ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 9.41) fiÙÈ Ë k ٿ͈˜ ÌÂÚÈ΋ ·Ú¿ÁˆÁÔ˜ Di1 i2 ···ik f = Di1 Di2 · · · Dik f ·Ú·Ì¤ÓÂÈ ·ÌÂÙ¿‚ÏËÙË Â¿Ó ÌÂٷٷ¯ıÔ‡Ó ÔÈ ‰Â›ÎÙ˜ i 1 , i 2 . . . i k . E› ·Ú·‰Â›ÁÌ·ÙÈ, Â¿Ó n ≥ 3, ÙfiÙ D1213 f = D3112 f ÁÈ· οı f ∈ C (4) . ÕÛÎËÛË 30. £ÂˆÚԇ̠f ∈ C (m) (E), fiÔ˘ E Â›Ó·È ¤Ó· ·ÓÔÈÎÙfi ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ R n . £ÂˆÚԇ̠›Û˘ a ∈ E Î·È ˘Ôı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ x ∈ R n Â›Ó·È Â·ÚÎÒ˜ ÎÔÓÙ¿ ÛÙÔ 0 Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô p(t) = a + tx Ó· ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙÔ E ÁÈ· οı t ∈ [0, 1]. OÚ›˙Ô˘Ì ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË h ̤ۈ Ù˘ ÈÛfiÙËÙ·˜ h(t) = f (p(t)) ÁÈ· οı t ∈ R 1 Ì p(t) ∈ E. (·) °È· οı ·Î¤Ú·ÈÔ ·ÚÈıÌfi k Ì 1 ≤ k ≤ m ‰Â›ÍÙ (Ì ·ӷϷ̂·ÓfiÌÂÓË ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ ÙÔ˘ ηÓfiÓ· Ù˘ ·Ï˘Û›‰·˜) fiÙÈ h (k) (t) = (Di1 ···ik f )(p(t))xi1 . . . xik , fiÔ˘ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· Ï·Ì‚¿ÓÂÙ·È ˘ÂÚ¿Óˆ fiÏˆÓ ÙˆÓ ‰È·ÙÂÙ·ÁÌ¤ÓˆÓ k-¿‰ˆÓ ·ÎÂÚ·›ˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ (i 1 , . . . , i k ) Ì 1 ≤ i j ≤ n (1 ≤ j ≤ k). (‚) §fiÁˆ ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ ÙÔ˘ Taylor (£ÂÒÚËÌ· 5.15), ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ h(1) =
m−1 k=0
h (k) (0) h (m) (t) + , k! m!
™YNAPTH™EI™ ¶O§§øN METAB§HTøN 379
ÁÈ· οÔÈÔ t ∈ (0, 1). XÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÙ ·˘Ù‹Ó ÙË Û¯¤ÛË ÁÈ· Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Taylor Û n ÌÂÙ·‚ÏËÙ¤˜, ‰Â›¯ÓÔÓÙ·˜ fiÙÈ Ô Ù‡Ô˜ f (x + a) =
m−1 k=0
1 (Di1 ···ik f )(a)xi1 . . . xik + r (x) k!
·Ó··ÚÈÛÙ¿ ÙÔ f (x + a) ˆ˜ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙÔ˘ ÏÂÁÔ̤ÓÔ˘ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌÔ˘ Taylor ‚·ıÌÔ‡ m − 1 Ì ¤Ó· ˘fiÏÔÈÔ Ô˘ ÈηÓÔÔÈ› ÙË Û¯¤ÛË r (x) = 0. x→0 |x|m−1 lim
K¿ı ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ¿ıÚÔÈÛÌ· Ï·Ì‚¿ÓÂÙ·È fiˆ˜ ÛÙÔ Ì¤ÚÔ˜ (·). ø˜ Û˘Ó‹ıˆ˜, Ë ·Ú¿ÁˆÁÔ˜ ÌˉÂÓÈ΋˜ Ù¿Í˘ Ù˘ f Â›Ó·È Ë ›‰È· Ë f . EÔ̤ӈ˜, Ô ÛÙ·ıÂÚfi˜ fiÚÔ˜ ÙÔ˘ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌÔ˘ Taylor Ù˘ f ÛÙÔ a ÈÛÔ‡Ù·È Ì f (a). (Á) H ÕÛÎËÛË 29 Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙ÂÙ·È Â·Ó¿ÏË„Ë fiÚˆÓ ÛÙÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ Taylor. E› ·Ú·‰Â›ÁÌ·ÙÈ, Ë D113 ÂÌÊ·Ó›˙ÂÙ·È ÙÚÂȘ ÊÔÚ¤˜, ˆ˜ D113 , D131 , D311 . TÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆÓ ÙÚÈÒÓ fiÚˆÓ ÌÔÚ› Ó· ÁÚ·Ê› ÛÙË ÌÔÚÊ‹ 3(D12 D3 f )(a)x12 x3 . Aԉ›ÍÙ (˘ÔÏÔÁ›˙ÔÓÙ·˜ ÙË Û˘¯ÓfiÙËÙ· ÂÌÊ·Ó›Ûˆ˜ οı ·Ú·ÁÒÁÔ˘) fiÙÈ ÙÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ Taylor ÛÙÔ (‚) ÌÔÚ› Ó· ÁÚ·Ê› ÛÙË ÌÔÚÊ‹ (D s1 · · · Dnsn f )(a) s 1 x11 · · · xnsn . s1 ! · · · sn ! TÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÂÎÙ›ÓÂÙ·È ˘ÂÚ¿Óˆ fiÏˆÓ ÙˆÓ ‰È·ÙÂÙ·ÁÌ¤ÓˆÓ n-¿‰ˆÓ (s1 , . . . , sn ), fiÔ˘ ÔÈ ‰Â›ÎÙ˜ s1 , . . . , sn Â›Ó·È ÌË ·ÚÓËÙÈÎÔ› ·Î¤Ú·ÈÔÈ ·ÚÈıÌÔ› Ì s1 + · · · + sn ≤ m − 1. ÕÛÎËÛË 31. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ f ∈ C (3) Û οÔÈ· ÂÚÈÔ¯‹ ÂÓfi˜ ÛËÌ›Ԣ a ∈ R 2 . YÔı¤ÙÔ˘Ì ÂÈϤÔÓ fiÙÈ Ë f ¤¯ÂÈ ÎÏ›ÛË 0 ÛÙÔ a, fï˜ ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ Ì›· ‰Â‡ÙÂÚ˘ ٿ͈˜ ÌÂÚÈ΋ ·Ú¿ÁˆÁfi˜ Ù˘ Â›Ó·È ÌË ÌˉÂÓÈ΋ ÛÙÔ a. ¢Â›ÍÙ Ì ÔÈÔÓ ÙÚfiÔ ÌÔÚ› Ó· ‰È·ÈÛÙˆı›, ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ÙÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ Taylor (‚·ıÌÔ‡ 2) Ù˘ f ÛÙÔ a, Â¿Ó Ë f ¤¯ÂÈ ÙÔÈÎfi ̤ÁÈÛÙÔ ‹ ÙÔÈÎfi ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ ‹ Ù›ÔÙ ·fi Ù· ‰‡Ô ÛÙÔ a. EÂÎÙ›ÓÂÙ ÙÔ Û˘Ì¤Ú·ÛÌ· ÛÙÔÓ R n .
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 10
O§OK§HPø™H ¢IAºOPIKøN MOPºøN
H ÔÏÔÎÏ‹ÚˆÛË ÌÔÚ› Ó· ÌÂÏÂÙËı› Û ÔÏÏ¿ ›‰·. ™ÙÔ KÂÊ¿Ï·ÈÔ 6 ·Ó·Ù‡¯ıËÎÂ Ë ıˆڛ· ÁÈ· Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ Ì ÔÌ·Ï‹ Û˘ÌÂÚÈÊÔÚ¿ Û ‰È·ÛÙ‹Ì·Ù· Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ. ™ÙÔ KÂÊ¿Ï·ÈÔ 11 ı· Û˘Ó·ÓÙ‹ÛÔ˘Ì ̛· ˘„ËÏÔ‡ ÂȤ‰Ô˘ ıˆڛ· ÔÏÔÎÏËÚÒÛˆ˜, Ë ÔÔ›· ÂÊ·ÚÌfi˙ÂÙ·È Û ̛· ηٿ Ôχ ¢ڇÙÂÚË ÎÏ¿ÛË Û˘Ó·ÚÙ‹ÛˆÓ, Ì ‰›· ÔÚÈÛÌÔ‡ Û‡ÓÔÏ· Ù· ÔÔ›· ‰ÂÓ Â›Ó·È ··Ú·Èًو˜ ˘ÔÛ‡ÓÔÏ· ÙÔ˘ R n . TÔ ·ÚfiÓ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ ‰È·Ú·ÁÌ·Ù‡ÂÙ·È ı¤Ì·Ù· Ù˘ ıˆڛ·˜ ÔÏÔÎÏËÚÒÛˆ˜ Ù· ÔÔ›· Û¯ÂÙ›˙ÔÓÙ·È ÛÙÂÓ¿ Ì ÙË ÁˆÌÂÙÚÈ΋ ‰ÔÌ‹ ÙˆÓ E˘ÎÏÂȉ›ˆÓ ¯ÒÚˆÓ, fiˆ˜ Ô Ù‡Ô˜ Ù˘ ·ÏÏ·Á‹˜ ÌÂ-
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∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
Ù·‚ÏËÙÒÓ, Ù· ÂÈη̇ÏÈ· ÔÏÔÎÏËÚÒÌ·Ù· Î·È Ô Ì˯·ÓÈÛÌfi˜ ÏÂÈÙÔ˘ÚÁ›·˜ ÙˆÓ ‰È·ÊÔÚÈÎÒÓ ÌÔÚÊÒÓ, Ô ÔÔ›Ô˜ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÂ›Ù·È ÛÙË ‰È·Ù‡ˆÛË Î·È ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ n-‰È·ÛÙ¿ÙÔ˘ ·Ó·ÏfiÁÔ˘ ÙÔ˘ ıÂÌÂÏÈÒ‰Ô˘˜ ıˆڋ̷ÙÔ˜ ÙÔ˘ AÂÈÚÔÛÙÈÎÔ‡ §ÔÁÈÛÌÔ‡: ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ ÙÔ˘ Stokes1 .
O§OK§HPø™H OÚÈÛÌfi˜ 10.1. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ I k Â›Ó·È ¤Ó· k-‰È¿ÛÙËÌ·, ·ÔÙÂÏÔ‡ÌÂÓÔ ·fi fiÏ· Ù· ‰È·Ó‡ÛÌ·Ù· x = (x1 , . . . , xk ) Ì ai ≤ xi ≤ bi (i = 1, . . . , k).
(1)
°È· ıÂÙÈÎfi ·Î¤Ú·ÈÔ ·ÚÈıÌfi j Ì 1 ≤ j ≤ k Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì Ì I j ÙÔ j-‰È¿ÛÙËÌ· ÛÙÔÓ R j Ô˘ ÔÚ›˙ÂÙ·È ·fi ÙȘ j ÚÒÙ˜ ·ÓÈÛfiÙËÙ˜ Ù˘ (1). £ÂˆÚԇ̛̠· Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ Û˘Ó¯‹ Û˘Ó¿ÚÙËÛË f , ÔÚÈṲ̂ÓË ÛÙÔ I k . £¤ÙÔ˘Ì f k = f Î·È ÔÚ›˙Ô˘Ì ÙËÓ f k−1 ÛÙÔ I k−1 ̤ۈ Ù˘ Û¯¤Ûˆ˜ bk f k−1 (x1 , . . . , xk−1 ) = f k (x1 , . . . , xk−1 , xk )d xk ak
ÁÈ· οı (x1 , . . . , xk−1 ) ∈ I k−1 . H ÔÌÔÈfiÌÔÚÊË Û˘Ó¤¯ÂÈ· Ù˘ f k ÛÙÔ I k Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ Ë f k−1 Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ I k−1 . H ·Ú·¿Óˆ ‰È·‰Èηۛ· ÌÔÚ› Ó· ·ӷÏËÊı› Î·È Ì ·˘ÙfiÓ ÙÔÓ ÙÚfiÔ Ï·Ì‚¿ÓÔ˘ÌÂ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ f j (1 ≤ j ≤ k), Û˘Ó¯›˜ ÛÙÔ I j , Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙÂ Ë f j−1 Ó· Â›Ó·È ÙÔ ÔÏÔÎϋڈ̷ Ù˘ f j ˆ˜ ÚÔ˜ ÙË ÌÂÙ·‚ÏËÙ‹ x j ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ [a j , b j ]. ⁄ÛÙÂÚ· ·fi k ‚‹Ì·Ù· 1
™. Ù. M.: George Gabriel Stokes (1819-1903). IÚÏ·Ó‰fi˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi˜ Î·È Ê˘ÛÈÎfi˜. £ÂˆÚÂ›Ù·È ˆ˜ Ô ıÂÌÂÏȈً˜ Ù˘ Y‰ÚÔ‰˘Ó·ÌÈ΋˜. TÔ ¤ÙÔ˜ 1837 Ô Stokes ÂÈÛ‹¯ıË ÛÙÔ ¶·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ ÙÔ˘ Cambridge ·fi fiÔ˘ ·ÂÊÔ›ÙËÛ ÌÂÙ¿ Ù¤ÛÛÂÚ· ¤ÙË. TÔ ¤ÙÔ˜ 1841 Ô Stokes ¤ÁÈÓ ˘ÊËÁËÙ‹˜ ÙÔ˘ KÔÏÂÁ›Ô˘ Pembroke. OÎÙÒ ¤ÙË ÌÂÙ¿ ‰ÈÔÚ›ÛıËΠˆ˜ ηıËÁËÙ‹˜ M·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ ÛÙÔ ¶·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ ÙÔ˘ Cambridge, ı¤ÛË Ô˘ ‰È·Ù‹ÚËÛ ¤ˆ˜ ÙÔÓ ı¿Ó·Ùfi ÙÔ˘. TÔ ¤ÙÔ˜ 1851 Ô Stokes ÂÍÂϤÁË Ì¤ÏÔ˜ Ù˘ B·ÛÈÏÈ΋˜ EÙ·ÈÚ›·˜ ÙÔ˘ §ÔÓ‰›ÓÔ˘. ¢ÈÂÙ¤ÏÂÛ ÁÚ·ÌÌ·Ù¤·˜ Ù˘ EÙ·ÈÚ›·˜ ·fi ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1854 ÁÈ· Ì›· ÙÚÈ·ÎÔÓÙ·ÂÙ›·, ÔfiÙÂ Î·È ÂÍÂϤÁË Úfi‰ÚÔ˜.
O§OK§HPø™H ¢IAºOPIKøN MOPºøN 383
ηٷϋÁÔ˘Ì Û ¤Ó·Ó ·ÚÈıÌfi f 0 , ÙÔÓ Ôo›Ô ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ÔÏÔÎϋڈ̷ Ù˘ f ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ I k Î·È ÙÔÓ Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì ˆ˜ f (x)dx ‹ f. (2) Ik
Ik
EÎ ÙˆÓ ÚÔÙ¤ÚˆÓ, Ô ÔÚÈÛÌfi˜ ·˘Ùfi˜ ÂÍ·ÚÙ¿Ù·È ·fi ÙË ÛÂÈÚ¿ Ì ÙËÓ ÔÔ›· ÂÎÙÂÏÔ‡ÓÙ·È ÔÈ ÔÏÔÎÏËÚÒÛÂȘ. ŸÌˆ˜, Ë ÂÍ¿ÚÙËÛË ·˘Ù‹ Â›Ó·È Ê·ÈÓÔÌÂÓÈ΋. °È· Ó· ÙÔ ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì ·˘Ùfi, Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì ÚÔÛˆÚÈÓ¿ Ì L( f ) ÙÔ ÔÏÔÎϋڈ̷ (2) Î·È Ì L ( f ) ÙÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· Ô˘ ÚÔ·ÙÂÈ Â¿Ó ÔÈ k ÔÏÔÎÏËÚÒÛÂȘ ÂÎÙÂÏÂÛıÔ‡Ó Ì οÔÈ· ‰È·ÊÔÚÂÙÈ΋ ÛÂÈÚ¿. £ÂÒÚËÌ· 10.2. °È· οı f ∈ C(I k ) ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ L( f ) = L ( f ). Afi‰ÂÈÍË. £ÂˆÚԇ̠ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË h ∈ C(I k ) Ô˘ ÔÚ›˙ÂÙ·È ·fi ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· h(x) = h 1 (x1 ) · · · h k (xk ) (x ∈ I k ), fiÔ˘ h j ∈ C([a j , b j ]) ( j = 1, 2, . . . , k). TfiÙÂ, k bi % h i (xi )d xi = L (h). L(h) = i=1 ai
E¿Ó A Â›Ó·È ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÂÂÚ·ÛÌ¤ÓˆÓ ·ıÚÔÈÛÌ¿ÙˆÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ ·˘Ù‹˜ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜, ÙfiÙ ¤ÂÙ·È fiÙÈ L(g) = L (g) ÁÈ· οı g ∈ A. EÈϤÔÓ, Ë A Â›Ó·È ¿ÏÁ‚ڷ Û˘Ó¯ÒÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ ÛÙÔ I k ÛÙËÓ ÔÔ›· ÌÔÚ› Ó· ÂÊ·ÚÌÔÛı› ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ÙˆÓ Stone Î·È Weierstrass. k (bi − ai ). E¿Ó f ∈ C(I k ) Î·È ε > 0, ÙfiÙ ˘¿Ú¯ÂÈ £¤ÙÔ˘Ì V = i=1 g ∈ A Ì f − g < ε/V , fiÔ˘ ÁÂÓÈÎÒ˜ ÁÈ· h ∈ C(I k ) Ë h ÔÚ›˙ÂÙ·È ˆ˜ ÙÔ maxx∈I k |h(x)|. TfiÙÂ, |L( f − g)| < ε Î·È |L ( f − g)| < ε. EÊfiÛÔÓ L( f ) − L ( f ) = L( f − g) + L (g − f ), Û˘Ó¿ÁÔ˘Ì fiÙÈ |L( f )− L ( f )| < 2ε. EÊfiÛÔÓ Ô ε Â›Ó·È Ù˘¯ÒÓ ıÂÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜, ÚÔ·ÙÂÈ ÙÔ ˙ËÙÔ‡ÌÂÓÔ. H ÕÛÎËÛË 2 Û¯ÂÙ›˙ÂÙ·È Ì ٷ ·Ú·¿Óˆ. OÚÈÛÌfi˜ 10.3. O ÊÔÚ¤·˜ Ì›·˜ (Ú·ÁÌ·ÙÈ΋˜ ‹ ÌÈÁ·‰È΋˜) Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜ f ÛÙÔÓ R k ÔÚ›˙ÂÙ·È ˆ˜ Ë ÎÏÂÈÛÙ‹ ı‹ÎË ÙÔ˘ Û˘ÓfiÏÔ˘ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ x ∈ R k ÌÂ
384
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
f (x) = 0. E¿Ó f Â›Ó·È Ì›· Û˘Ó¯‹˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÌÂ Û˘Ì·Á‹ ÊÔÚ¤·, ÙfiÙ ıˆÚԇ̠¤Ó· k-‰È¿ÛÙËÌ· I k Ô˘ ÂÚȤ¯ÂÈ ÙÔÓ ÊÔÚ¤· Ù˘ f Î·È ÔÚ›˙Ô˘Ì f = f. (3) Rk
Ik
TÔ ÔÏÔÎϋڈ̷ Ô˘ ÔÚ›˙ÂÙ·È Ì ·˘ÙfiÓ ÙÔÓ ÙÚfiÔ Â›Ó·È ÚÔÊ·ÓÒ˜ ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙÔ Ù˘ ÂÈÏÔÁ‹˜ ÙÔ˘ I k , ·ÚΛ ÙÔ I k Ó· ÂÚȤ¯ÂÈ ÙÔÓ ÊÔÚ¤· Ù˘ f . TÒÚ·, ·Ú·ÎÈÓԇ̷ÛÙ ӷ ÂÂÎÙ›ÓÔ˘Ì ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi ÙÔ˘ ÔÏÔÎÏËÚÒÌ·ÙÔ˜ ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ R k ÛÂ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ Ô˘ ÚÔ·ÙÔ˘Ó ˆ˜ (οÔÈÔ˘ ›‰Ô˘˜) fiÚÈ· Û˘Ó¯ÒÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ ÌÂ Û˘Ì·Á‹ ÊÔÚ¤·. ¢ÂÓ ı· ·Ó·Ù‡ÍÔ˘ÌÂ Â‰Ò ÙȘ Û˘Óı‹Î˜ ˘fi ÙȘ Ôԛ˜ Â›Ó·È ·˘Ùfi ‰˘Ó·Ùfi. TÔ Î·Ù¿ÏÏËÏÔ Ï·›ÛÈÔ ÂÚÁ·Û›·˜ ÁÈ· ÙËÓ ·¿ÓÙËÛË ·˘ÙÔ‡ ÙÔ˘ ÂÚˆÙ‹Ì·ÙÔ˜ Â›Ó·È Ë ıˆڛ· ÔÏÔÎÏËÚÒÛˆ˜ ÙÔ˘ Lebesgue. AÏÒ˜, ı· ·ÚÎÂÛıԇ̠ӷ ÂÚÈÁÚ¿„Ô˘Ì ¤Ó· Ôχ ·Ïfi ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, ÙÔ ÔÔ›Ô ı· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈËı› ÛÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ ÙÔ˘ Stokes. ¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 10.4. A˜ Â›Ó·È Q k ÙÔ k-ÌÔÓfiÏÔÎÔ2 , ‰ËÏ·‰‹ ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ Ô˘ ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi Ù· ÛËÌ›· x = (x1 , . . . , xk ) ÙÔ˘ R k Ì x1 + · · · + xk ≤ 1 Î·È xi ≥ 0 ÁÈ· οı i = 1, . . . , k. E› ·Ú·‰Â›ÁÌ·ÙÈ, fiÙ·Ó k = 3, ÙfiÙ ÙÔ Q k Â›Ó·È ÙÔ ÙÂÙڿ‰ÚÔ Ô˘ ¤¯ÂÈ ˆ˜ ÎÔÚ˘Ê¤˜ Ù· 0, e1 , e2 , e3 . E¿Ó f ∈ C(Q k ), ÙfiÙ ÂÂÎÙ›ÓÔ˘Ì ÙËÓ f Û ̛· Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÛÙÔ I k ı¤ÙÔÓÙ·˜ f (x) = 0 ÁÈ· οı ÛËÌÂ›Ô x ÂÎÙfi˜ ÙÔ˘ Q k Î·È ÔÚ›˙Ô˘Ì f = f. (4) Qk
Ik
ø˜ I k ıˆÚԇ̠ÙÔÓ «ÌÔÓ·‰È·›Ô ·‚Ô», Ô˘ ÔÚ›˙ÂÙ·È ·fi ÙȘ ·ÓÈÛfiÙËÙ˜ 0 ≤ xi ≤ 1
(i = 1, . . . , k).
EÊfiÛÔÓ Ë f ÌÔÚ› Ó· Â›Ó·È ·Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ I k , Ú¤ÂÈ Ó· ·Ô‰Âȯı› Ë ‡·ÚÍË ÙÔ˘ ÔÏÔÎÏËÚÒÌ·ÙÔ˜ ÛÙË ‰ÂÍÈ¿ ÏÂ˘Ú¿ Ù˘ (4). E›Û˘, ÂÈı˘Ìԇ̠2
™. Ù. M.: O «Â›ÛËÌÔ˜» ÔÚÈÛÌfi˜ ÙÔ˘ Û˘Ó‹ıÔ˘˜ k-ÌÔÓÔÏfiÎÔ˘ Q k ‰›‰ÂÙ·È ÛÙÔÓ OÚÈÛÌfi 10.26.
O§OK§HPø™H ¢IAºOPIKøN MOPºøN 385
Ó· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ ÔÏÔÎϋڈ̷ ·˘Ùfi Â›Ó·È ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙÔ ·fi ÙË ÛÂÈÚ¿ ÂÎÙÂϤÛˆ˜ ÙˆÓ ‰È·‰Ô¯ÈÎÒÓ ÔÏÔÎÏËÚÒÛˆÓ. ¶ÚÔ˜ ·˘Ùfi, ıˆÚԇ̠¤Ó·Ó Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi δ Ì 0 < δ < 1 Î·È ı¤ÙÔ˘Ì 1 Â¿Ó t ≤ 1 − δ, 1−t ϕ(t) = (5) Â¿Ó 1 − δ < t ≤ 1, δ 0 Â¿Ó 1 < t, Î·È ÔÚ›˙Ô˘Ì ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË F ÛÙÔ I k ̤ۈ Ù˘ ÈÛfiÙËÙ·˜ F(x) = ϕ(x1 + · · · + xk ) f (x)
(x ∈ I k ).
(6)
TfiÙÂ, F ∈ C(I k ). £¤ÙÔ˘Ì y = (x1 , . . . , xk−1 ), x = (y, xk ). °È· οı y ∈ I k−1 , ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ xk Ì F(y, xk ) = f (y, xk ) Â›Ó·È Â›Ù ÎÂÓfi ›Ù ¤Ó· ‰È¿ÛÙËÌ· Ì ̋ÎÔ˜ ÙÔ ÔÔ›Ô ‰ÂÓ ˘ÂÚ‚·›ÓÂÈ ÙÔ δ. EÊfiÛÔÓ 0 ≤ ϕ ≤ 1, ¤ÂÙ·È fiÙÈ |Fk−1 (y) − f k−1 (y)| ≤ δ f (y ∈ I k−1 ),
(7)
fiÔ˘ Ë f ¤¯ÂÈ ÙÔ ›‰ÈÔ ÓfiËÌ· fiˆ˜ ÛÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 10.2 Î·È ÔÈ Fk−1 , f k−1 Â›Ó·È fiˆ˜ ÛÙÔÓ OÚÈÛÌfi 10.1. K·ıÒ˜ δ → 0, ·fi ÙËÓ (7) ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ Ë f k−1 ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙÔ ÔÌÔÈfiÌÔÚÊÔ fiÚÈÔ Ì›·˜ ·ÎÔÏÔ˘ı›·˜ Û˘Ó¯ÒÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛˆÓ. ÕÚ·, f k−1 ∈ C(I k−1 ) Î·È ÂÔ̤ӈ˜ ÔÈ ÔÏÔÎÏËÚÒÛÂȘ ‰ÂÓ ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙Ô˘Ó Úfi‚ÏËÌ·. A˘Ùfi ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÈ ÙËÓ ‡·ÚÍË ÙÔ˘ ÔÏÔÎÏËÚÒÌ·ÙÔ˜ (4). EÈϤÔÓ, Ë (7) Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ (8) F(x)dx − f (x)dx ≤ δ f . Ik
Ik
™ËÌÂÈÒÓÔ˘Ì fiÙÈ Ë (8) ·ÏËı‡ÂÈ ·ÓÂÍ·Úًو˜ ·fi ÙË ÛÂÈÚ¿ ÂÎÙÂϤÛˆ˜ ÙˆÓ ÔÏÔÎÏËÚÒÛˆÓ. EÊfiÛÔÓ F ∈ C(I k ), ÙÔ I k F ·Ú·Ì¤ÓÂÈ ·ÌÂÙ¿‚ÏËÙÔ ·fi ·ÏÏ·Á¤˜ Ù˘ ÛÂÈÚ¿˜ ÔÏÔÎÏËÚÒÛˆÓ. EÔ̤ӈ˜, Ë (8) Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ ·ÏËı‡ÂÈ ÙÔ ›‰ÈÔ Î·È ÁÈ· ÙÔ I k f . A˘Ùfi ÔÏÔÎÏËÚÒÓÂÈ ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË.
386
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
O ÂfiÌÂÓÔ˜ ÛÙfi¯Ô˜ Â›Ó·È Ë ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ Ù‡Ô˘ ·ÏÏ·Á‹˜ ÌÂÙ·‚ÏËÙÒÓ, Ô ÔÔ›Ô˜ Î·È ‰È·Ù˘ÒÓÂÙ·È ÛÙÔ £ÂÒÚËÌ· 10.9. °È· Ó· ‰È¢ÎÔÏ˘Óıԇ̠ÛÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË, ı· ·Û¯ÔÏËıԇ̠·Ú¯Èο Ì ÙȘ ÏÂÁfiÌÂÓ˜ ÚˆÙ·Ú¯ÈΤ˜ ·ÂÈÎÔÓ›ÛÂȘ Î·È Ì ÙȘ ‰È·ÌÂÚ›ÛÂȘ Ù˘ ÌÔÓ¿‰·˜. OÈ ÚˆÙ·Ú¯ÈΤ˜ ·ÂÈÎÔÓ›ÛÂȘ Ì·˜ ‚ÔËıÔ‡Ó Ó· ·ÓÙÈÏËÊıԇ̠̠ÂÚÈÛÛfiÙÂÚË Û·Ê‹ÓÂÈ· ÙËÓ ÙÔÈ΋ Û˘ÌÂÚÈÊÔÚ¿ Ì›·˜ C -·ÂÈÎÔÓ›Ûˆ˜ Ì ·ÓÙÈÛÙÚ¤„ÈÌË ·Ú¿ÁˆÁÔ. H ‰È·Ì¤ÚÈÛË Ù˘ ÌÔÓ¿‰·˜ Â›Ó·È Ì›· ¯Ú‹ÛÈÌË Ù¯ÓÈ΋ Ô˘ ηıÈÛÙ¿ ‰˘Ó·Ù‹ ÙËÓ ·ÍÈÔÔ›ËÛË ÏËÚÔÊÔÚÈÒÓ ÙÔÈÎÔ‡ ¯·Ú·ÎÙ‹Ú· Û ÔÏÈÎfi ›‰Ô.
¶PøTAPXIKE™ A¶EIKONI™EI™ OÚÈÛÌfi˜ 10.5. E¿Ó G Â›Ó·È Ì›· ·ÂÈÎfiÓÈÛË ÙÔ˘ ·ÓÔÈÎÙÔ‡ Û˘ÓfiÏÔ˘ E ⊂ R n ÛÙÔÓ R n , ÙfiÙÂ Ë G ϤÁÂÙ·È ÚˆÙ·Ú¯È΋ Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ˘¿Ú¯ÂÈ ·Î¤Ú·ÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ m Ì 1 ≤ m ≤ n Î·È Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË g Ì ‰›Ô ÔÚÈÛÌÔ‡ ÙÔ E Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ G(x) =
n
xi ei + g(x)em
(x ∈ E).
(9)
i=1 i=m
¢ËÏ·‰‹, Ì›· ÚˆÙ·Ú¯È΋ ·ÂÈÎfiÓÈÛË Â›Ó·È Ì›· ·ÂÈÎfiÓÈÛË Ë ÔÔ›· ‰È·ÙËÚ› fiϘ ÙȘ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ ÙÔ˘ ÔÚ›ÛÌ·Ùfi˜ Ù˘ ÛÙ·ıÂÚ¤˜ ÂÎÙfi˜ ·fi ÙÔ Ôχ Ì›·. ™ËÌÂÈÒÓÔ˘Ì fiÙÈ Ë (9) ÁÚ¿ÊÂÙ·È ÛÙË ÌÔÚÊ‹ G(x) = x + [g(x) − xm ]em
(x ∈ E).
(10)
E¿Ó Ë g Â›Ó·È ‰È·ÊÔÚ›ÛÈÌË Û οÔÈÔ ÛËÌÂ›Ô a ∈ E, ÙfiÙ ÈÛ¯‡ÂÈ ÙÔ ›‰ÈÔ Î·È ÁÈ· ÙË G. O ›Ó·Î·˜ [αi j ] (i, j = 1, 2, . . . , n) ÙÔ˘ ÙÂÏÂÛÙ‹ G (a) ¤¯ÂÈ ˆ˜ m-ÁÚ·ÌÌ‹ ÙËÓ (D1 g)(a), . . . , (Dm g)(a), . . . , (Dn g)(a).
(11)
°È· j = m Â›Ó·È α j j = 1 Î·È ÁÈ· i = j Â›Ó·È αi j = 0. EÔ̤ӈ˜, Ë ÔÚ›˙Ô˘Û· Jacobi Ù˘ G ÛÙÔ a Â›Ó·È Ë JG (a) = det[G (a)] = (Dm g)(a).
(12)
O§OK§HPø™H ¢IAºOPIKøN MOPºøN 387
™˘ÓÂÒ˜, ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì fiÙÈ (£ÂÒÚËÌ· 9.36) Ô G (a) Â›Ó·È ·ÓÙÈÛÙÚ¤„ÈÌÔ˜ Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó (Dm g)(a) = 0. OÚÈÛÌfi˜ 10.6. ŒÓ·˜ ÁÚ·ÌÌÈÎfi˜ ÙÂÏÂÛÙ‹˜ B ÙÔ˘ R n ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ·ÂÈÎfiÓÈÛË ÂÓ·ÏÏ·Á‹˜ Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ÂÓ·ÏÏ¿ÛÛÂÈ ‰‡Ô ̤ÏË Ù˘ Û˘Ó‹ıÔ˘˜ ‚¿Ûˆ˜ ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ Î·È ‰È·ÙËÚ› Ù· ˘fiÏÔÈ· ÛÙ·ıÂÚ¿. E› ·Ú·‰Â›ÁÌ·ÙÈ, Ë ·ÂÈÎfiÓÈÛË ÂÓ·ÏÏ·Á‹˜ B ÙÔ˘ R 4 Ô˘ ÂÓ·ÏÏ¿ÛÛÂÈ Ù· e2 Î·È e4 ‰›‰ÂÙ·È ·fi ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· B(x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 + x4 e4 ) = x1 e1 + x2 e4 + x3 e3 + x4 e2
(13)
‹ ÈÛÔ‰‡Ó·Ì· B(x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 + x4 e4 ) = x1 e1 + x4 e2 + x3 e3 + x2 e4
(14)
ÁÈ· ÔÔÈÔ˘Û‰‹ÔÙ ڷÁÌ·ÙÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ x1 , x2 , x3 , x4 . EÔ̤ӈ˜, Ô B ÌÔÚ› Ó· ıˆÚËı› ˆ˜ Ô ÌÂÙ·Û¯ËÌ·ÙÈÛÌfi˜ Ô˘ ÂÓ·ÏÏ¿ÛÛÂÈ ‰‡Ô ÌÂÙ·‚ÏËÙ¤˜ ·ÓÙ› ‰‡Ô ‰È·Ó‡ÛÌ·Ù· Ù˘ ‚¿Ûˆ˜. ™ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË Ô˘ ·ÎÔÏÔ˘ı›, ı· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÔ˘Ì ÙȘ ÚÔ‚ÔϤ˜ P0 , . . . , Pn ÛÙÔÓ R n , ÔÚÈ˙fiÌÂÓ˜ ̤ۈ ÙˆÓ Û¯¤ÛÂˆÓ P0 x = 0 Î·È Pm x = x1 e1 + · · · + xm em
(15)
ÁÈ· οı x ∈ R n Î·È ıÂÙÈÎfi ·Î¤Ú·ÈÔ ·ÚÈıÌfi m Ì 1 ≤ m ≤ n. ÕÚ·, Ë Pm Â›Ó·È Ë ÚÔ‚ÔÏ‹ fiÔ˘ ÙÔ Â‰›Ô ÙÈÌÒÓ Î·È Ô ÌˉÂÓÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ Ù˘ ·Ú¿ÁÔÓÙ·È ·fi Ù· {e1 , . . . , em } Î·È {em+1 , . . . , en } ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜. £ÂÒÚËÌ· 10.7. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ F Â›Ó·È Ì›· C -·ÂÈÎfiÓÈÛË ÂÓfi˜ ·ÓÔÈÎÙÔ‡ Û˘ÓfiÏÔ˘ E ⊂ R n ÛÙÔÓ R n Ì 0 ∈ E, F(0) = 0 Î·È Ì ÙÔÓ F (0) ·ÓÙÈÛÙÚ¤„ÈÌÔ. TfiÙÂ, ˘¿Ú¯ÂÈ Ì›· ÂÚÈÔ¯‹ ÙÔ˘ 0 ÛÙÔÓ R n , ÛÙËÓ ÔÔ›· ˘Ê›ÛÙ·Ù·È Ë ·Ó··Ú¿ÛÙ·ÛË F(x) = B1 · · · Bn−1 Gn ◦ · · · ◦ G1 (x)
(16)
388
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
ÁÈ· οı ÛËÌÂ›Ô x Ô˘ ·Ó‹ÎÂÈ Û ·˘Ù‹Ó ÙËÓ ÂÚÈÔ¯‹. ™Â ·˘Ù‹Ó ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ·, οı Gi Â›Ó·È ÚˆÙ·Ú¯È΋ C -·ÂÈÎfiÓÈÛË Û οÔÈ· ÂÚÈÔ¯‹ ÙÔ˘ 0 Ì Gi (0) = 0 Î·È Ì ÙÔÓ Gi (0) ·ÓÙÈÛÙÚ¤„ÈÌÔ ÁÈ· οı i = 1, . . . , n. E›Û˘, Ô Bi Â›Ó·È ‹ ·ÂÈÎfiÓÈÛË ÂÓ·ÏÏ·Á‹˜ ‹ Ô Ù·˘ÙÔÙÈÎfi˜ ÙÂÏÂÛÙ‹˜ ÁÈ· οı i = 1, . . . , n − 1. EÓ Û˘ÓÙÔÌ›·, Ë (16) ·Ó··ÚÈÛÙ¿ ÙËÓ F ÙÔÈο ˆ˜ Û‡ÓıÂÛË ÚˆÙ·Ú¯ÈÎÒÓ ·ÂÈÎÔÓ›ÛÂˆÓ Î·È ·ÂÈÎÔÓ›ÛÂˆÓ ÂÓ·ÏÏ·Á‹˜. Afi‰ÂÈÍË. £¤ÙÔ˘Ì F1 = F. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ 1 ≤ m ≤ n − 1 Î·È Î¿ÓÔ˘Ì ÙËÓ ·ÎfiÏÔ˘ıË Â·ÁˆÁÈ΋ ˘fiıÂÛË (Ë ÔÔ›· ÈÛ¯‡ÂÈ ÚÔÊ·ÓÒ˜ fiÙ·Ó m = 1): H Vm Â›Ó·È ÂÚÈÔ¯‹ ÙÔ˘ 0, Fm ∈ C (Vm ), Fm (0) = 0, Ô F m (0) Â›Ó·È ·ÓÙÈÛÙÚ¤„ÈÌÔ˜ Î·È Pm−1 Fm (x) = Pm−1 x
(x ∈ Vm ).
(17)
Afi ÙËÓ (17) ¤¯Ô˘Ì fiÙÈ Fm (x) = Pm−1 x +
n
αi (x)ei
(x ∈ Vm ),
(18)
i=m
fiÔ˘ αm , . . . , αn Â›Ó·È Ú·ÁÌ·ÙÈΤ˜ C -Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ ÛÙËÓ Vm . EÔ̤ӈ˜, F m (0)em =
n (Dm αi )(0)ei .
(19)
i=m
EÊfiÛÔÓ Ô F m (0) Â›Ó·È ·ÓÙÈÛÙÚ¤„ÈÌÔ˜, Ë ·ÚÈÛÙÂÚ‹ ÏÂ˘Ú¿ Ù˘ (19) ‰ÂÓ Â›Ó·È ›ÛË Ì 0 Î·È ÂÔ̤ӈ˜ ˘¿Ú¯ÂÈ ·Î¤Ú·ÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ k Ì m ≤ k ≤ n Î·È (Dm αk )(0) = 0. A˜ Â›Ó·È Bm Ë ·ÂÈÎfiÓÈÛË ÂÓ·ÏÏ·Á‹˜ Ô˘ ÂÓ·ÏÏ¿ÛÛÂÈ ÙË m-Û˘ÓÙÂÙ·Á̤ÓË Ì ÙË k-Û˘ÓÙÂÙ·Á̤ÓË (Â¿Ó k = m, ÙfiÙ ˆ˜ Bm ıˆÚԇ̠ÙÔÓ Ù·˘ÙÔÙÈÎfi ÙÂÏÂÛÙ‹). OÚ›˙Ô˘Ì Gm (x) = x + [αk (x) − xm ]em
(x ∈ Vm ).
(20)
TfiÙÂ, Gm ∈ C (Vm ), Ë Gm Â›Ó·È ÚˆÙ·Ú¯È΋ Î·È Ô G m (0) Â›Ó·È ·ÓÙÈÛÙÚ¤„ÈÌÔ˜, ÂÊfiÛÔÓ (Dm αk )(0) = 0.
O§OK§HPø™H ¢IAºOPIKøN MOPºøN 389
EÔ̤ӈ˜, ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊ˘ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜ Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ ÙËÓ ‡·ÚÍË ÂÓfi˜ ·ÓÔÈÎÙÔ‡ Û˘ÓfiÏÔ˘ Um Ì 0 ∈ Um ⊂ Vm Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙÂ Ë Gm Ó· Â›Ó·È 1-1 ·ÂÈÎfiÓÈÛË ÙÔ˘ Um › Ì›·˜ ÂÚÈÔ¯‹˜ Vm+1 ÙÔ˘ 0, ÛÙËÓ ÔÔ›· Ë G−1 m Â›Ó·È Û˘Ó¯Ҙ ‰È·ÊÔÚ›ÛÈÌË. OÚ›˙Ô˘Ì ÙËÓ ·ÂÈÎfiÓÈÛË Fm+1 ̤ۈ Ù˘ Û¯¤Ûˆ˜ Fm+1 (y) = Bm Fm ◦ G−1 m (y) (y ∈ Vm+1 ).
(21)
TfiÙÂ, Fm+1 ∈ C (Vm+1 ), Fm+1 (0) = 0 Î·È Ô F m+1 (0) Â›Ó·È ·ÓÙÈÛÙÚ¤„ÈÌÔ˜ (ÏfiÁˆ ÙÔ˘ ηÓfiÓ· Ù˘ ·Ï˘Û›‰·˜). E›Û˘, ÁÈ· x ∈ Um Â›Ó·È Pm Fm+1 (Gm (x)) = Pm Bm Fm (x)
(22)
= Pm [Pm−1 x + αk (x)em + · · · ] = Pm−1 x + αk (x)em = Pm Gm (x) Î·È ÂÔ̤ӈ˜ Pm Fm+1 (y) = Pm y
(y ∈ Vm+1 ).
(23)
™˘ÓÂÒ˜, Ë ·Ú¯È΋ ·ÁˆÁÈ΋ ˘fiıÂÛË ÈÛ¯‡ÂÈ Ì ÙÔ m + 1 ÛÙË ı¤ÛË ÙÔ˘ m. (™ÙËÓ (22), ·Ú¯Èο ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹Û·Ì ÙËÓ (21), ‡ÛÙÂÚ· ÙËÓ (18) Î·È ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi ÙÔ˘ Bm , ¤ÂÈÙ· ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi ÙÔ˘ Pm Î·È ÂÓ Ù¤ÏÂÈ ÙËÓ (20).) EÊfiÛÔÓ Bm Bm = I (Ô Ù·˘ÙÔÙÈÎfi˜ ÙÂÏÂÛÙ‹˜), Ë (21), Ï·Ì‚¿ÓÔÓÙ·˜ y = Gm (x), ÈÛÔ‰˘Ó·Ì› Ì ÙËÓ Fm (x) = Bm Fm+1 (Gm (x))
(x ∈ Um ).
(24)
E¿Ó ÂÊ·ÚÌfiÛÔ˘Ì ·˘Ù‹Ó ÙË Û¯¤ÛË ‰È·‰Ô¯Èο ÁÈ· m = 1, . . . , n − 1, ÙfiÙ ·ÔÎÙԇ̠fiÙÈ F = F1 = B1 F2 ◦ G1 = B1 B2 F3 ◦ G2 ◦ G1 = ··· = B1 · · · Bn−1 Fn ◦ Gn−1 ◦ · · · ◦ G1 , Û οÔÈ· ÂÚÈÔ¯‹ ÙÔ˘ 0. ™‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ (17), Ë Fn Â›Ó·È ÚˆÙ·Ú¯È΋. A˘Ùfi ÔÏÔÎÏËÚÒÓÂÈ ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË.
390
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
¢IAMEPI™EI™ TH™ MONA¢A™ £ÂÒÚËÌ· 10.8. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ K Â›Ó·È ¤Ó· Û˘Ì·Á¤˜ ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ R n Î·È fiÙÈ {Vα } (α ∈ A) Â›Ó·È Ì›· ·ÓÔÈÎÙ‹ Î¿Ï˘„Ë ÙÔ˘ K . TfiÙÂ, ˘¿Ú¯Ô˘Ó Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ ψ1 , . . . , ψs ∈ C(R n ) Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙÂ: (·) 0 ≤ ψi ≤ 1 ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË i Ì 1 ≤ i ≤ s. (‚) °È· οı ‰Â›ÎÙË i Ì 1 ≤ i ≤ s ˘¿Ú¯ÂÈ ¤Ó·˜ ‰Â›ÎÙ˘ α ∈ A Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙÂ Ë ψi Ó· ¤¯ÂÈ ÙÔÓ ÊÔÚ¤· Ù˘ ÂÚȯfiÌÂÓÔ ÛÙÔ Vα . (Á) ψ1 (x) + · · · + ψs (x) = 1 ÁÈ· οı x ∈ K . §fiÁˆ ÙÔ˘ (Á), Ë ÔÈÎÔÁ¤ÓÂÈ· {ψi } (i = 1, 2, . . . s) ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ‰È·Ì¤ÚÈÛË Ù˘ ÌÔÓ¿‰·˜. OÚÈṲ̂Ó˜ ÊÔÚ¤˜, Ë (‚) ÂÎÊÚ¿˙ÂÙ·È Ï¤ÁÔÓÙ·˜ fiÙÈ Ë {ψi } (i = 1, 2, . . . s) Â›Ó·È ˘ÔΛÌÂÓË ÛÙËÓ Î¿Ï˘„Ë {Vα } (α ∈ A). ¶fiÚÈÛÌ·. E¿Ó f ∈ C(R n ) Î·È Â¿Ó Ô ÊÔÚ¤·˜ Ù˘ f ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙÔ K , ÙfiÙ f =
s
ψi f,
(25)
i=1
Î·È Î¿ıÂ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ψi f (i = 1, 2, . . . , s) ¤¯ÂÈ ÙÔÓ ÊÔÚ¤· Ù˘ ÂÚȯfiÌÂÓÔ Û οÔÈÔ Vα ÁÈ· οÔÈÔÓ ‰Â›ÎÙË α ∈ A. H ·Í›· Ù˘ (25) ¤ÁÎÂÈÙ·È ÛÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ Ë f ·Ó··ÚÈÛÙ¿Ù·È ˆ˜ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· Û˘Ó¯ÒÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ ψi f (i = 1, 2, . . . , s) Ì «ÌÈÎÚÔ‡˜» ÊÔÚ›˜. Afi‰ÂÈÍË. ™Â οı x ∈ K ·ÓÙÈÛÙÔȯ›˙Ô˘Ì ¤Ó·Ó ‰Â›ÎÙË α(x) Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ x ∈ Vα(x) . TfiÙÂ, ˘¿Ú¯Ô˘Ó ·ÓÔÈÎÙ¤˜ ÛÊ·ÈÚÈΤ˜ ÂÚÈÔ¯¤˜ B(x) Î·È W (x) Ì ΤÓÙÚÔ ÙÔ x Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ B(x) ⊂ W (x) ⊂ W (x) ⊂ Vα(x) .
(26)
EÊfiÛÔÓ ÙÔ K Â›Ó·È Û˘Ì·Á¤˜, ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÛËÌ›· x1 , . . . , xs ÙÔ˘ K Ì K ⊂ B(x1 ) ∪ · · · ∪ B(xs ).
(27)
O§OK§HPø™H ¢IAºOPIKøN MOPºøN 391
™‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ (26), ˘¿Ú¯Ô˘Ó Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ ϕ1 , . . . , ϕs ∈ C(R n ) Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË i = 1, . . . , s Ó· ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ: ϕi (x) = 1 ÁÈ· οı x ∈ B(xi ), ϕi (x) = 0 ÁÈ· οı ÛËÌÂ›Ô x ÂÎÙfi˜ ÙÔ˘ W (xi ) Î·È 0 ≤ ϕi (x) ≤ 1 ÁÈ· οı x ∈ R n . OÚ›˙Ô˘Ì ψ1 = ϕ1 Î·È ψi+1 = (1 − ϕ1 ) · · · (1 − ϕi )ϕi+1
(28)
ÁÈ· i = 1, . . . , s − 1. OÈ È‰ÈfiÙËÙ˜ (·) Î·È (‚) Â›Ó·È Û·Ê›˜. H Û¯¤ÛË ψ1 + · · · + ψi = 1 − (1 − ϕ1 ) · · · (1 − ϕi )
(29)
Â›Ó·È ÚÔÊ·Ó‹˜ ÁÈ· i = 1. E¿Ó Ë (29) ÈÛ¯‡ÂÈ ÁÈ· οÔÈÔÓ ‰Â›ÎÙË i Ì i < s, ÙfiÙ ÚÔÛı¤ÙÔÓÙ·˜ ÙȘ (28) Î·È (29) Ï·Ì‚¿ÓÔ˘Ì ÙËÓ (29) Ì ÙÔ i + 1 ÛÙË ı¤ÛË ÙÔ˘ i. EÔ̤ӈ˜, s
ψi (x) = 1 −
i=1
s %
[1 − ϕi (x)]
(x ∈ R n ).
(30)
i=1
E¿Ó x ∈ K , ÙfiÙ x ∈ B(xi ) ÁÈ· οÔÈÔÓ ‰Â›ÎÙË i. EÔ̤ӈ˜, ϕi (x) = 1 Î·È ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÛÙËÓ (30) ÈÛÔ‡Ù·È Ì 0. A˘Ùfi ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÈ ÙÔ (Á).
A§§A°H METAB§HTøN MÔÚԇ̠ÙÒÚ· Ó· ÂÚÈÁÚ¿„Ô˘Ì ÙËÓ Â›‰Ú·ÛË Ù˘ ·ÏÏ·Á‹˜ ÌÂÙ·‚ÏËÙÒÓ Û ¤Ó· ÔÏÏ·Ïfi ÔÏÔÎϋڈ̷. °È· ÏfiÁÔ˘˜ ·ÏfiÙËÙ·˜, ı· ÂÚÈÔÚÈÛÙԇ̠ÛÂ Û˘Ó¯›˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ ÌÂ Û˘Ì·Á‹ ÊÔÚ¤·, ·Ú¿ ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ ·˘Ùfi Â›Ó·È ·ÚÎÂÙ¿ ÂÚÈÔÚÈÛÙÈÎfi ÁÈ· ÔÏϤ˜ ÂÊ·ÚÌÔÁ¤˜. A˘Ùfi ı· ηٷÛÙ› ۷ʤ˜ ÛÙȘ AÛ΋ÛÂȘ 9 ¤ˆ˜ Î·È 13. £ÂÒÚËÌ· 10.9. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ T Â›Ó·È Ì›· 1-1 C -·ÂÈÎfiÓÈÛË ÂÓfi˜ ·ÓÔÈÎÙÔ‡ Û˘ÓfiÏÔ˘ E ⊂ R k ÛÙÔÓ R k Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ JT (x) = 0 ÁÈ· οı x ∈ E. E¿Ó f Â›Ó·È Ì›· Û˘Ó¯‹˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÛÙÔÓ R k ÌÂ Û˘Ì·Á‹ ÊÔÚ¤·, Ô ÔÔ›Ô˜ ÂÚȤ¯ÂÙ·È ÛÙÔ T (E), ÙfiÙ f (y)dy = f (T (x))|JT (x)|dx. (31) Rk
Rk
392
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
YÂÓı˘Ì›˙Ô˘Ì fiÙÈ JT Â›Ó·È Ë ÔÚ›˙Ô˘Û· Jacobi ÙÔ˘ T . H ˘fiıÂÛË JT (x) = 0 ÁÈ· οı x ∈ E Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ, Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊ˘ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜, fiÙÈ Ë T −1 Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ T (E) Î·È ·˘Ùfi ÂÍ·ÛÊ·Ï›˙ÂÈ fiÙÈ Ë ÔÏÔÎÏËÚˆÙ¤· Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÛÙË ‰ÂÍÈ¿ ÏÂ˘Ú¿ Ù˘ (31) ¤¯ÂÈ Û˘Ì·Á‹ ÊÔÚ¤· ÛÙÔ E (£ÂÒÚËÌ· 4.14). £· Û¯ÔÏÈ¿ÛÔ˘Ì ÚÔ˜ ÛÙÈÁÌ‹ ÙËÓ ÂÌÊ¿ÓÈÛË Ù˘ ·fiÏ˘Ù˘ ÙÈÌ‹˜ Ù˘ JT (x) ÛÙËÓ (31). £ÂˆÚԇ̠fiÙÈ k = 1 Î·È ˘Ôı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ Ë T Â›Ó·È 1-1 C -·ÂÈÎfiÓÈÛË ·fi ÙÔÓ R 1 ÛÙÔÓ R 1 . TfiÙÂ, JT (x) = T (x) ÁÈ· οı x ∈ R 1 . E¿Ó ÂÈϤÔÓ Ë T Â›Ó·È ÁÓËÛ›ˆ˜ ·‡ÍÔ˘Û·, ÙfiÙ ¤¯Ô˘Ì fiÙÈ f (y)dy = f (T (x))T (x)d x, (32) R1
R1
Û‡Ìʈӷ Ì ٷ £ÂˆÚ‹Ì·Ù· 6.17 Î·È 6.19, ÁÈ· οıÂ Û˘Ó¯‹ Û˘Ó¿ÚÙËÛË f ÌÂ Û˘Ì·Á‹ ÊÔÚ¤·. ŸÌˆ˜, Â¿Ó Ë T Â›Ó·È ÁÓËÛ›ˆ˜ Êı›ÓÔ˘Û·, ÙfiÙ T < 0. K·È Â¿Ó Ë f Â›Ó·È ıÂÙÈ΋ ÛÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÙÔ˘ ÊÔÚ¤· Ù˘, ÙfiÙÂ Ë ·ÚÈÛÙÂÚ‹ ÏÂ˘Ú¿ Ù˘ (32) Â›Ó·È ıÂÙÈ΋ Î·È Ë ‰ÂÍÈ¿ ·ÚÓËÙÈ΋. H ÛˆÛÙ‹ Â͛ۈÛË Ï·Ì‚¿ÓÂÙ·È Â¿Ó Ë T ·ÓÙÈηٷÛÙ·ı› ·fi ÙËÓ |T | ÛÙËÓ (32). E› Ù˘ Ô˘Û›·˜, Ù· ÔÏÔÎÏËÚÒÌ·Ù· Ô˘ ıˆÚÔ‡ÌÂ Â›Ó·È ÔÏÔÎÏËÚÒÌ·Ù· Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ Û ˘ÔÛ‡ÓÔÏ· ÙÔ˘ R k , fiÔ˘ ‰ÂÓ ÂÈÛ¿ÁÔ˘Ì ¤ÓÓÔÈ· ηÙ¢ı‡ÓÛˆ˜ ‹ ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈÛÌÔ‡. ŸÙ·Ó ·Û¯ÔÏËıԇ̠̠ÙËÓ ÔÏÔÎÏ‹ÚˆÛË ‰È·ÊÔÚÈÎÒÓ ÌÔÚÊÒÓ ˘ÂÚ¿Óˆ ÂÈÊ·ÓÂÈÒÓ ı· ˘ÈÔıÂÙ‹ÛÔ˘Ì ‰È·ÊÔÚÂÙÈ΋ ÔÙÈ΋ ÁˆÓ›·. Afi‰ÂÈÍË. Afi ÙȘ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ˜ ·Ú·ÙËÚ‹ÛÂȘ ¤ÂÙ·È fiÙÈ Ë (31) Â›Ó·È ·ÏËı‹˜, Â¿Ó Ë T Â›Ó·È ÚˆÙ·Ú¯È΋ C -·ÂÈÎfiÓÈÛË (·Ó·ÙÚ¤ÍÙ ÛÙÔÓ OÚÈÛÌfi 10.5), Î·È ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 10.2 Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ Ë (31) Â›Ó·È ·ÏËı‹˜ Â¿Ó Ë T Â›Ó·È ¤Ó·˜ ÁÚ·ÌÌÈÎfi˜ ÌÂÙ·Û¯ËÌ·ÙÈÛÌfi˜ Ô˘ ·ÏÒ˜ ÂÓ·ÏÏ¿ÛÛÂÈ ‰‡Ô Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜. E¿Ó ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ·ÏËı‡ÂÈ ÁÈ· ‰‡Ô ÌÂÙ·Û¯ËÌ·ÙÈÛÌÔ‡˜ P, Q Î·È Â¿Ó S = P ◦ Q, ÙfiÙ f (z)dz = f (P(y))|J P (y)|dy k Rk R = f (P(Q(x)))|J P (Q(x))||J Q (x)|dx k R = f (S(x))|JS (x)|dx, Rk
O§OK§HPø™H ¢IAºOPIKøN MOPºøN 393
ÂÊfiÛÔÓ J P (Q(x))J Q (x) = det P (Q(x)) det Q (x) = det P (Q(x))Q (x) = det S (x) = JS (x) ÁÈ· οı x ∈ E, Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ÂÚ› ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌÔ‡ ÔÚÈ˙Ô˘ÛÒÓ Î·È ÙÔÓ Î·ÓfiÓ· Ù˘ ·Ï˘Û›‰·˜. ÕÚ·, ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ·ÏËı‡ÂÈ Â›Û˘ ÁÈ· ÙÔÓ S. K¿ı ÛËÌÂ›Ô a ∈ E ¤¯ÂÈ Ì›· ÂÚÈÔ¯‹ U ⊂ E ÁÈ· ÙËÓ ÔÔ›· ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ T (x) = T (a) + B1 · · · Bk−1 Gk ◦ Gk−1 ◦ · · · ◦ G1 (x − a)
(33)
ÁÈ· οı x ∈ U , fiÔ˘ ÔÈ Gi (1 ≤ i ≤ k) Î·È Bi (1 ≤ i ≤ k − 1) Â›Ó·È fiˆ˜ ÛÙÔ £ÂÒÚËÌ· 10.7. £¤ÙÔÓÙ·˜ V = T (U ), ¤ÂÙ·È fiÙÈ Ë (31) ÈÛ¯‡ÂÈ Â¿Ó Ô ÊÔÚ¤·˜ Ù˘ f ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙÔ V . ÕÚ·: K¿ı ÛËÌÂ›Ô y ∈ T (E) ‚Ú›ÛÎÂÙ·È Û ¤Ó· ·ÓÔÈÎÙfi Û‡ÓÔÏÔ Vy ⊂ T (E) Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙÂ Ë (31) Ó· ÈÛ¯‡ÂÈ ÁÈ· fiϘ ÙȘ Û˘Ó¯›˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ Ì ÊÔÚ¤· Ô˘ ÂÚȤ¯ÂÙ·È ÛÙÔ Vy . A˜ Â›Ó·È ÙÒÚ· f Ì›· Û˘Ó¯‹˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÌÂ Û˘Ì·Á‹ ÊÔÚ¤· K ⊂ T (E). EÊfiÛÔÓ Ë {Vy } (y ∈ T (E)) ηχÙÂÈ ÙÔ K , ÙÔ ¶fiÚÈÛÌ· ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 10.8 s Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ f = i=1 ψi f , fiÔ˘ οıÂ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ψi (i = 1, 2 . . . , s) Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ Î·È ¤¯ÂÈ ÙÔÓ ÊÔÚ¤· Ù˘ ÂÚȯfiÌÂÓÔ Û οÔÈÔ Vy (y ∈ T (E)). ÕÚ·, Ë (31) ÈÛ¯‡ÂÈ ÁÈ· ÔÔÈ·‰‹ÔÙÂ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ψi f (i = 1, 2 . . . , s), ÂÔ̤ӈ˜ Î·È ÁÈ· ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ¿ ÙÔ˘˜ f .
¢IAºOPIKE™ MOPºE™ ™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ·, ı· ·Ó·Ù‡ÍÔ˘Ì ÙȘ ··Ú·›ÙËÙ˜ ¤ÓÓÔȘ ÁÈ· ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË Ù˘ n-‰È¿ÛÙ·Ù˘ ÂΉԯ‹˜ ÙÔ˘ ıÂÌÂÏÈÒ‰Ô˘˜ ıˆڋ̷ÙÔ˜ ÙÔ˘ AÂÈÚÔÛÙÈÎÔ‡ §ÔÁÈÛÌÔ‡, ÙÔ ÔÔ›Ô Û˘Ó‹ıˆ˜ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ıÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Stokes. H ·Ú¯È΋ ÌÔÚÊ‹ ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ ÂÌÊ·Ó›ÛÙËΠ۠ÂÊ·ÚÌÔÁ¤˜ Ù˘ ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈ΋˜ ·Ó·Ï‡Ûˆ˜ ÛÙÔÓ ËÏÂÎÙÚÔÌ·ÁÓËÙÈÛÌfi Î·È ‰È·Ù˘ÒıËΠ̠¯Ú‹ÛË Ù˘ ¤ÓÓÔÈ·˜
394
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
ÙÔ˘ ÛÙÚÔ‚ÈÏÈÛÌÔ‡ ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎÔ‡ ‰›Ô˘. TÔ ıÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Green3 Î·È ÙÔ ıÂÒÚËÌ· Ù˘ ·ÔÎϛۈ˜ ·ÔÙÂÏÔ‡Ó Â›Û˘ ÂȉÈΤ˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ ÙÔ˘ ÁÂÓÈÎÔ‡ ıˆڋ̷ÙÔ˜. AÍÈÔÛËÌ›ˆÙÔ ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈÎfi ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ ÙÔ˘ Stokes ·ÔÙÂÏ› ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ Ë Î‡ÚÈ· ‰˘ÛÎÔÏ›· ÙÔ˘ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙË ‰È·ÌfiÚʈÛË ÙˆÓ ··Ú·ÈÙ‹ÙˆÓ ÂÓÓÔÈÒÓ ÁÈ· ÙË ‰È·Ù‡ˆÛ‹ ÙÔ˘. OÈ ¤ÓÓÔȘ ·˘Ù¤˜ Â›Ó·È ÔÈ ‰È·ÊÔÚÈΤ˜ ÌÔÚʤ˜, ÔÈ ·Ú¿ÁˆÁÔ› ÙÔ˘˜, Ù· Û‡ÓÔÚ· Î·È Ô ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈÛÌfi˜. EÊfiÛÔÓ ÔÈ ¤ÓÓÔȘ ·˘Ù¤˜ ηٷÓÔËıÔ‡Ó, Ë ‰È·Ù‡ˆÛË ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ Â›Ó·È Ï¤ÔÓ Û‡ÓÙÔÌË Î·È ÂÚÈÂÎÙÈ΋ Î·È Ë ·fi‰ÂÈÍË ‰ÂÓ ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙ÂÈ È‰È·›ÙÂÚË ‰˘ÛÎÔÏ›·. Œˆ˜ ÙÒÚ·, ¤¯Ô˘Ì ıˆڋÛÂÈ ·Ú·ÁÒÁÔ˘˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ ÔÏÏÒÓ ÌÂÙ·‚ÏËÙÒÓ, ÌfiÓÔ ÁÈ· Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ ÔÚÈṲ̂Ó˜ Û ·ÓÔÈÎÙ¿ Û‡ÓÔÏ·. M ·˘ÙfiÓ ÙÔÓ ÙÚfiÔ ·ÔʇÁÔ˘Ì ÔÚÈṲ̂Ó˜ ‰˘ÛÎÔϛ˜ Ô˘ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ÚÔ·„Ô˘Ó ÛÙ· Û˘ÓÔÚȷο ÛËÌ›·. ™Â ·˘Ùfi ÙÔ ÛÙ¿‰ÈÔ, Â›Ó·È ··Ú·›ÙËÙË Ë ÂÈÛ·ÁˆÁ‹ Ù˘ ¤ÓÓÔÈ·˜ ÙˆÓ ‰È·ÊÔÚ›ÛÈÌˆÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ ÛÂ Û˘Ì·Á‹ Û‡ÓÔÏ·: M›· ·ÂÈÎfiÓÈÛË f ÙÔ˘ Û˘Ì·ÁÔ‡˜ Û˘ÓfiÏÔ˘ D ⊂ R k ÛÙÔÓ R n ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È C -·ÂÈÎfiÓÈÛË (·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜ C -·ÂÈÎfiÓÈÛË) Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ˘¿Ú¯ÂÈ Ì›· C -·ÂÈÎfiÓÈÛË (·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜ C -·ÂÈÎfiÓÈÛË) g ÂÓfi˜ ·ÓÔÈÎÙÔ‡ Û˘ÓfiÏÔ˘ W ⊂ R k ÛÙÔÓ R n Ì D ⊂ W Î·È g(x) = f(x) ÁÈ· οı x ∈ D. OÚÈÛÌfi˜ 10.10. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ E Â›Ó·È ·ÓÔÈÎÙfi ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ R n . M›· k-ÂÈÊ¿ÓÂÈ· ÛÙÔ E Â›Ó·È Ì›· C -·ÂÈÎfiÓÈÛË ÂÓfi˜ Û˘Ì·ÁÔ‡˜ Û˘ÓfiÏÔ˘ D ⊂ R k ÛÙÔ E. TÔ Û‡ÓÔÏÔ D ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Â‰›Ô ·Ú·Ì¤ÙÚˆÓ Ù˘ . T· ÛËÌ›· ÙÔ˘ D ı· Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÔÓÙ·È ˆ˜ u = (u 1 , . . . , u k ). £· ÂÚÈÔÚÈÛÙԇ̠ÛÙËÓ ·Ï‹ ηٿÛÙ·ÛË fiÔ˘ ÙÔ D Â›Ó·È Â›Ù ¤Ó· k‰È¿ÛÙËÌ· ›Ù ÙÔ k-ÌÔÓfiÏÔÎÔ Q k , fiˆ˜ ÔÚ›˙ÂÙ·È ÛÙÔ ¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 10.4. O ÏfiÁÔ˜ ·˘ÙÔ‡ ÙÔ˘ ÂÚÈÔÚÈÛÌÔ‡ Â›Ó·È ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ ı· Ú¤ÂÈ Ó· ÂÎÙÂϤÛÔ˘Ì 3
™. Ù. M.: George Green (1793-1841). ÕÁÁÏÔ˜ Ê˘ÛÈÎfi˜ Î·È Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi˜. EÚÁ¿ÛıËΠ΢ڛˆ˜ ÛÙÔÓ HÏÂÎÙÚÔÌ·ÁÓËÙÈÛÌfi, ÛÙËÓ Y‰ÚÔ‰˘Ó·ÌÈ΋ Î·È ÛÙË £ÂˆÚ›· ¢˘Ó·ÌÈÎÔ‡. O Green ‹Ù·Ó ÁÈÔ˜ Ì˘ÏˆÓ¿. AÚÁfiÙÂÚ· ·Ó¤Ï·‚Â Ô ›‰ÈÔ˜ ÙÔÓ Ì‡ÏÔ ÙÔ˘ ·Ù¤Ú· ÙÔ˘. ºÔ›ÙËÛ ÁÈ· Ï›ÁÔ ¯ÚfiÓÔ Û ¤Ó· Û¯ÔÏ›Ô. O Green ‹Ù·Ó ·˘ÙÔ‰›‰·ÎÙÔ˜. ™Â ËÏÈΛ· Û·Ú¿ÓÙ· ÂÙÒÓ ÛÔ‡‰·Û ÛÙÔ Cambridge, fiÔ˘ Î·È ‰È·ÎÚ›ıËÎÂ. ™˘Ó¤ÁÚ·„Â Û˘ÓÔÏÈο ‰¤Î· ÂÚÁ·Û›Â˜ M·ıËÌ·ÙÈ΋˜ º˘ÛÈ΋˜. O Green Â›Ó·È Ì¿ÏÏÔÓ Ô ÚÒÙÔ˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi˜ Ô˘ ıÂÒÚËÛ ¯ÒÚÔ˘˜ ÔÏÏÒÓ ‰È·ÛÙ¿ÛˆÓ.
O§OK§HPø™H ¢IAºOPIKøN MOPºøN 395
ÔÏÔÎÏËÚÒÛÂȘ ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ D Î·È ‰ÂÓ ¤¯Ô˘Ì ·Ó·Ï‡ÛÂÈ ÙËÓ ÔÏÔÎÏ‹ÚˆÛË Û ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔ ÔχÏÔη ˘ÔÛ‡ÓÔÏ· ÙÔ˘ R k . EÓ Û˘Ó¯›·, ı· ηٷÛÙ› ۷ʤ˜ fiÙÈ ·˘Ùfi˜ Ô ÂÚÈÔÚÈÛÌfi˜ (Ô ÔÔ›Ô˜ ı· ˘Ê›ÛÙ·Ù·È Ï¤ÔÓ ÛȈËÚ¿) ‰ÂÓ ÂÓ¤¯ÂÈ ÛËÌ·ÓÙÈ΋ ·ÒÏÂÈ· Ù˘ ÁÂÓÈÎfiÙËÙ·˜ ÛÙËÓ ÚÔ·ÙÔ˘Û· ıˆڛ· ÙˆÓ ‰È·ÊÔÚÈÎÒÓ ÌÔÚÊÒÓ. TÔÓ›˙Ô˘Ì fiÙÈ ÔÈ k-ÂÈÊ¿ÓÂȘ ÛÙÔ E ÔÚ›˙ÔÓÙ·È ˆ˜ ·ÂÈÎÔÓ›ÛÂȘ Ô˘ ÙÔ Â‰›Ô ÙÈÌÒÓ ÙÔ˘˜ ÂÚȤ¯ÂÙ·È ÛÙÔ E Î·È fi¯È ˆ˜ ˘ÔÛ‡ÓÔÏ· ÙÔ˘ E. A˘Ùfi ¤Ú¯ÂÙ·È ÛÂ Û˘Ìʈӛ· Ì ÙÔÓ ÚfiÙÂÚÔ ÔÚÈÛÌfi ÙˆÓ Î·Ì˘ÏÒÓ (OÚÈÛÌfi˜ 6.26). ™ÙËÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfiÙËÙ·, ÔÈ 1-ÂÈÊ¿ÓÂȘ Â›Ó·È ·ÎÚÈ‚Ò˜ ÔÈ Û˘Ó¯Ҙ ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈ̘ η̇Ϙ. OÚÈÛÌfi˜ 10.11. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ E Â›Ó·È ¤Ó· ·ÓÔÈÎÙfi ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ R n . M›· ‰È·ÊÔÚÈ΋ ÌÔÚÊ‹ ٿ͈˜ k ≥ 1 ÛÙÔ E (ÂÓ Û˘ÓÙÔÌ›· k-ÌÔÚÊ‹ ÛÙÔ E) Â›Ó·È Ì›· Û˘Ó¿ÚÙËÛË ω, Ë ÔÔ›· Û˘Ì‚ÔÏÈο ·Ó··ÚÈÛÙ¿Ù·È ·fi ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ω=
n
ai1 ···ik (x)d xi1 ∧ · · · ∧ d xik
(34)
i 1 ,... ,i k =1
(ÔÈ ‰Â›ÎÙ˜ ·ıÚÔ›Ûˆ˜ Â›Ó·È ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙÔÈ ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜) Î·È Ë ÔÔ›· ·ÓÙÈÛÙÔÈ ¯›˙ÂÈ Î¿ı k-ÂÈÊ¿ÓÂÈ· ÛÙÔ E Û ¤Ó·Ó ·ÚÈıÌfi ω() = ω, ̤ۈ Ù˘ Û¯¤Ûˆ˜
ω=
n D i 1 ,... ,i k =1
ai1 ···ik ((u))
∂(xi1 , . . . , xik ) du, ∂(u 1 , . . . , u k )
(35)
fiÔ˘ D Â›Ó·È ÙÔ Â‰›Ô ·Ú·Ì¤ÙÚˆÓ Ù˘ . OÈ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ ai1 ···ik (1 ≤ i 1 , . . . , i k ≤ n) ˘ÔÙ›ıÂÙ·È fiÙÈ Â›Ó·È Ú·ÁÌ·ÙÈΤ˜ Î·È Û˘Ó¯›˜ ÛÙÔ E. E¿Ó ϕ1 , . . . , ϕn Â›Ó·È ÔÈ Û˘ÓÈÛÙÒÛ˜ Ù˘ , ÙfiÙÂ Ë ÔÚ›˙Ô˘Û· Jacobi ÛÙËÓ (35) Â›Ó·È ·˘Ù‹ Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› ÛÙËÓ ·ÂÈÎfiÓÈÛË (u 1 , . . . , u k ) → (ϕi1 (u), . . . ϕik (u)). ™ËÌÂÈÒÓÔ˘Ì fiÙÈ Ë ‰ÂÍÈ¿ ÏÂ˘Ú¿ Ù˘ (35) Â›Ó·È ¤Ó· ÔÏÔÎϋڈ̷ ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ D, fiˆ˜ ¤¯ÂÈ ÔÚÈÛı› ÛÙÔÓ OÚÈÛÌfi 10.1 (‹ ÛÙÔ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 10.4) Î·È fiÙÈ Ë (35) ·ÔÙÂÏ› ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi ÙÔ˘ Û˘Ì‚fiÏÔ˘ ω.
396
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
M›· k-ÌÔÚÊ‹ ω ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÎÏ¿Ûˆ˜ C ‹ ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜ C Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ÔÈ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ ai1 ···ik (1 ≤ i 1 , . . . , i k ≤ n) ÛÙËÓ (34) Â›Ó·È fiϘ ÎÏ¿Ûˆ˜ C ‹ ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜ C . M›· 0-ÌÔÚÊ‹ ÔÚ›˙ÂÙ·È ˆ˜ Ì›· Û˘Ó¯‹˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÛÙÔ E. ¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 10.12. (·) £ÂˆÚԇ̛̠· 1-ÂÈÊ¿ÓÂÈ· (‰ËÏ·‰‹ η̇ÏË ÎÏ¿Ûˆ˜ C ) γ = (γ1 , γ2 , γ3 ) ÛÙÔÓ R 3 , Ì ‰›Ô ·Ú·Ì¤ÙÚˆÓ ÙÔ [0, 1]. °Ú¿ÊÔ˘Ì (x, y, z) ÛÙË ı¤ÛË ÙÔ˘ (x1 , x2 , x3 ) Î·È ı¤ÙÔ˘Ì ω = xdy + yd x. TfiÙÂ,
γ
1
ω= 0
[γ1 (t)γ2 (t) + γ2 (t)γ1 (t)]dt = γ1 (1)γ2 (1) − γ1 (0)γ2 (0).
™ËÌÂÈÒÓÔ˘Ì fiÙÈ Û ·˘Ùfi ÙÔ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ÙÔ γ ω ÂÍ·ÚÙ¿Ù·È ÌfiÓÔÓ ·fi ÙÔ ·Ú¯ÈÎfi Î·È ÙÂÏÈÎfi ÛËÌÂ›Ô Ù˘ γ . I‰È·ÈÙ¤Úˆ˜, γ ω = 0 ÁÈ· οı ÎÏÂÈÛÙ‹ η̇ÏË γ . (Ÿˆ˜ ı· Ê·Ó› ·ÚÁfiÙÂÚ·, ·˘Ùfi Â›Ó·È ·ÏËı¤˜ ÁÈ· οı 1-ÌÔÚÊ‹ ω Ë ÔÔ›· Â›Ó·È ·ÎÚÈ‚‹˜.) T· ÔÏÔÎÏËÚÒÌ·Ù· ÙˆÓ 1-ÌÔÚÊÒÓ Û˘¯Ó¿ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ÂÈη̇ÏÈ· ÔÏÔÎÏËÚÒÌ·Ù·. (‚) £ÂˆÚԇ̠a > 0, b > 0 Î·È ÔÚ›˙Ô˘Ì ÙËÓ Î·Ì‡ÏË γ ÛÙÔ [0, 2π ] ̤ۈ Ù˘ ÈÛfiÙËÙ·˜ γ (t) = (a cos t, b sin t) (0 ≤ t ≤ 2π ). H γ Â›Ó·È ÎÏÂÈÛÙ‹ η̇ÏË ÛÙÔÓ R 2 . (TÔ Â‰›Ô ÙÈÌÒÓ Ù˘ Â›Ó·È ¤ÏÏÂÈ„Ë.) TfiÙÂ, 2π xdy = ab cos2 t dt = πab γ
ηÈ
0
γ
yd x = −
2π
ab sin2 t dt = −πab.
0
™ËÌÂÈÒÓÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ γ xdy Â›Ó·È ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÙÔ˘ ¯ˆÚ›Ô˘ Ô˘ ÂÚÈÎÏ›ÂÙ·È ÛÙËÓ γ . A˘Ùfi ·ÔÙÂÏ› ÂȉÈ΋ ÂÚ›ÙˆÛË ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ ÙÔ˘ Green.
O§OK§HPø™H ¢IAºOPIKøN MOPºøN 397
(Á) A˜ Â›Ó·È D ÙÔ 3-‰È¿ÛÙËÌ· ÙÔ ÔÔ›Ô ÔÚ›˙ÂÙ·È ˆ˜ ÂÍ‹˜: (r, θ, ϕ) ∈ D Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó 0 ≤ r ≤ 1,
0 ≤ θ ≤ π,
0 ≤ ϕ ≤ 2π.
OÚ›˙Ô˘Ì ÙËÓ ÂÈÊ¿ÓÂÈ· ÛÙÔ D ˆ˜ ÂÍ‹˜: E¿Ó (r, θ, ϕ) ∈ D, ÙfiÙ (r, θ, ϕ) = (x, y, z), fiÔ˘ x = r sin θ cos ϕ y = r sin θ sin ϕ z = r cos θ. TfiÙÂ, ÁÈ· οı (r, θ, ϕ) ∈ D ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ J (r, θ, ϕ) =
∂(x, y, z) = r 2 sin θ. ∂(r, θ, ϕ)
ÕÚ·,
d x ∧ dy ∧ dz = D
J =
4π . 3
(36)
¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ Ë ·ÂÈÎÔÓ›˙ÂÈ ÙÔ D › Ù˘ ÎÏÂÈÛÙ‹˜ ÌÔÓ·‰È·›·˜ ÛÊ·ÈÚÈ΋˜ ÂÚÈÔ¯‹˜ ÙÔ˘ R 3 , fiÙÈ Ë ·ÂÈÎfiÓÈÛË Â›Ó·È 1-1 ÛÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÙÔ˘ D (fï˜ ÔÚÈṲ̂ӷ Û˘ÓÔÚȷο ÛËÌ›· ‰ÂÓ ·ÂÈÎÔÓ›˙ÔÓÙ·È Ì¤Ûˆ Ù˘ Ì 1-1 ÙÚfiÔ) Î·È fiÙÈ ÙÔ ÔÏÔÎϋڈ̷ (36) ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙÔÓ fiÁÎÔ ÙÔ˘ (D). 10.13 ™ÙÔȯÂÈÒ‰ÂȘ ȉÈfiÙËÙ˜. A˜ Â›Ó·È ω, ω1 , ω2 k-ÌÔÚʤ˜ ÛÙÔ E. °Ú¿ÊÔ˘Ì ω1 = ω2 Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ω1 () = ω2 () ÁÈ· οı k-ÂÈÊ¿ÓÂÈ· ÛÙÔ E. E¿Ó c ¤Ó·˜ Â›Ó·È Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜, ÙfiÙÂ Ë cω Â›Ó·È Ë k-ÌÔÚÊ‹ Ô˘ ÔÚ›˙ÂÙ·È ·fi ÙË Û¯¤ÛË cω = c ω (37)
Î·È Ë ÈÛfiÙËÙ· ω = ω1 + ω2 ÛËÌ·›ÓÂÈ ·ÎÚÈ‚Ò˜ fiÙÈ ω= ω1 + ω2
(38)
398
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
ÁÈ· οı k-ÂÈÊ¿ÓÂÈ· ÛÙÔ E. ø˜ ÂȉÈ΋ ÂÚ›ÙˆÛË Ù˘ (37), ÛËÌÂÈÒÓÔ˘Ì fiÙÈ Ë −ω ÔÚ›˙ÂÙ·È Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ (−ω) = − ω. (39)
£ÂˆÚԇ̛̠· k-ÌÔÚÊ‹ ω = a(x)d xi1 ∧ · · · ∧ d xik .
(40)
YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ ω Â›Ó·È Ë k-ÌÔÚÊ‹ Ô˘ ÚÔ·ÙÂÈ ÂÓ·ÏÏ¿ÛÛÔÓÙ·˜ ÛÙË (40) οÔÈÔ ˙‡ÁÔ˜ ‰ÂÈÎÙÒÓ ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜. E¿Ó ÔÈ (35) Î·È (39) Û˘Ó‰˘·ÛıÔ‡Ó Ì ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ Ì›· ÔÚ›˙Ô˘Û· ·ÏÏ¿˙ÂÈ ÚfiÛËÌÔ fiÙ·Ó ‰‡Ô ·fi ÙȘ ÁÚ·Ì̤˜ Ù˘ ÂÓ·ÏÏ·¯ıÔ‡Ó, ÙfiÙ ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì fiÙÈ ω = −ω.
(41)
ø˜ ÂȉÈ΋ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘ÙÔ‡, ÈÛ¯‡ÂÈ Ë ·ÓÙÈ-ÌÂÙ·ıÂÙÈ΋ Û¯¤ÛË 4 d xi ∧ d x j = −d x j ∧ d xi
(42)
ÁÈ· ÔÔÈÔ˘Û‰‹ÔÙ ‰Â›ÎÙ˜ i, j. I‰È·ÈÙ¤Úˆ˜, d xi ∧ d xi = 0
(i = 1, . . . , n).
(43)
™Â ÁÂÓÈÎfiÙÂÚÔ Ï·›ÛÈÔ, ÂÈÛÙÚ¤ÊÔ˘Ì ÛÙË (40) Î·È ˘Ôı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ ir = i s ÁÈ· οÔÈÔ˘˜ ‰Â›ÎÙ˜ r, s Ì r = s. E¿Ó ·˘ÙÔ› ÔÈ ‰‡Ô ‰Â›ÎÙ˜ ÂÓ·ÏÏ·¯ıÔ‡Ó, ÙfiÙ ω = ω Î·È ÂÔ̤ӈ˜ ω = 0, Û‡Ìʈӷ Ì ÙË (41). K·Ù¿ Û˘Ó¤ÂÈ·: Â¿Ó Ë ω ‰›‰ÂÙ·È ·fi ÙË (40), ÙfiÙ ω = 0 ÂÎÙfi˜ Â¿Ó ÔÈ ‰Â›ÎÙ˜ i 1 , . . . , i k Â›Ó·È ‰È·ÎÂÎÚÈ̤ÓÔÈ. E¿Ó Ë ω Â›Ó·È fiˆ˜ ÛÙËÓ (34), ÙfiÙ ÔÈ fiÚÔÈ ÙÔ˘ ·ıÚÔ›ÛÌ·ÙÔ˜ Ì ·ӷϷ̂·ÓfiÌÂÓÔ˘˜ ‰Â›ÎÙ˜ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ·Ú·ÏÂÈÊıÔ‡Ó, ¯ˆÚ›˜ Ó· ÌÂÙ·‚ÏËı› Ë ω. 4
™. Ù. M.: H ÔÚı‹ ·fi‰ÔÛË ÙÔ˘ fiÚÔ˘ commutative Â›Ó·È «ÌÂÙ·ıÂÙÈÎfi˜» Î·È ÙÔ˘ fiÚÔ˘ anticommutative «·ÓÙÈÌÂÙ·ıÂÙÈÎfi˜». ™ÙËÓ ÂÏÏËÓÈ΋ ‚È‚ÏÈÔÁÚ·Ê›· ¤¯ÂÈ ÂÈÎÚ·Ù‹ÛÂÈ Ë ·fi‰ÔÛË «·ÓÙÈÌÂÙ·ıÂÙÈÎfi˜» ÁÈ· ÙÔÓ fiÚÔ commutative. °È· ÙËÓ ‰È¢ÎfiÏ˘ÓÛË ÙÔ˘ ·Ó·ÁÓÒÛÙË Ô˘ Â›Ó·È ÂÍÔÈÎÂȈ̤ÓÔ˜ Ì ÙËÓ ÂÈÎÚ·ÙÔ‡Û· ·fi‰ÔÛË, Áڿʈ «·ÓÙÈ-ÌÂÙ·ıÂÙÈÎfi˜» ·ÓÙ› ÙÔ˘ «·ÓÙÈÌÂÙ·ıÂÙÈÎfi˜».
O§OK§HPø™H ¢IAºOPIKøN MOPºøN 399
EÔ̤ӈ˜, Â¿Ó k > n, ÙfiÙÂ Ë ÌfiÓË k-ÌÔÚÊ‹ Û ¤Ó· ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ·ÓÔÈÎÙfi ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ R n Â›Ó·È Ë ÌˉÂÓÈ΋. H ·ÓÙÈ-ÌÂÙ·ıÂÙÈÎfiÙËÙ·, fiˆ˜ ÂÎÊÚ¿˙ÂÙ·È ÛÙË (42), Â›Ó·È Ô ‚·ÛÈÎfi˜ ÏfiÁÔ˜ ÁÈ· ÙËÓ È‰È·›ÙÂÚË ÚÔÛÔ¯‹ Ô˘ Ú¤ÂÈ Ó· ‰Ôı› ÛÙ· ÚfiÛËÌ· ÙˆÓ ‰È·ÊÔÚÈÎÒÓ ÌÔÚÊÒÓ fiÙ·Ó ÂÎÙÂÏÔ‡ÓÙ·È Ú¿ÍÂȘ Ì ·˘Ù¤˜. 10.14 OÈ ‚·ÛÈΤ˜ k-ÌÔÚʤ˜. M›· ‰È·ÙÂÙ·Á̤ÓË k-¿‰· I = (i 1 , . . . , i k ) ·ÎÂÚ·›ˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ i 1 , . . . , i k Ì 1 ≤ i 1 < · · · < i k ≤ n ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ·‡ÍˆÓ k‰Â›ÎÙ˘. °È· ¤Ó·Ó Ù¤ÙÔÈÔÓ ·‡ÍÔÓÙ· k-‰Â›ÎÙË ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÙÔÓ Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌfi d x I = d xi1 ∧ · · · ∧ d xik .
(44)
A˘Ù¤˜ ÔÈ k-ÌÔÚʤ˜ Â›Ó·È ·ÎÚÈ‚Ò˜ ÔÈ ÏÂÁfiÌÂÓ˜ ‚·ÛÈΤ˜ k-ÌÔÚʤ˜ ÙÔ˘ R n . E‡ÎÔÏ· ·ÏËı‡ÂÙ·È fiÙÈ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ·ÎÚÈ‚Ò˜ n!/k!(n − k)! ‚·ÛÈΤ˜ kÌÔÚʤ˜ ÛÙÔÓ R n . ŸÌˆ˜, ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ ·˘Ùfi ‰ÂÓ ı· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈËı› Ô˘ıÂÓ¿. AÚÎÂÙ¿ ÈÔ ÛËÌ·ÓÙÈÎfi Â›Ó·È ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ Î¿ı k-ÌÔÚÊ‹ ÌÔÚ› Ó· ·Ó··Ú·ÛÙ·ı› ̤ۈ ÙˆÓ ‚·ÛÈÎÒÓ k-ÌÔÚÊÒÓ. °È· Ó· ÙÔ ‰È·ÈÛÙÒÛÔ˘Ì ·˘Ùfi, ·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ Î¿ı k-¿‰· ( j1 , . . . , jk ) ‰È·ÎÂÎÚÈÌ¤ÓˆÓ ıÂÙÈÎÒÓ ·ÎÂÚ·›ˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ ÌÔÚ› Ó· ÌÂÙ·Ùڷ› Û ¤Ó·Ó ·‡ÍÔÓÙ· k-‰Â›ÎÙË J , ÂÎÙÂÏÒÓÙ·˜ ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ˘ Ï‹ıÔ˘˜ ÂÓ·ÏÏ·Á¤˜ ˙¢ÁÒÓ. EÔ̤ӈ˜, fiˆ˜ ›‰·Ì ÛÙËÓ EÓfiÙËÙ· 10.13, d x j1 ∧ · · · ∧ d x jk = ε( j1 , . . . , jk )d x J ,
(45)
fiÔ˘ ÙÔ ε( j1 , . . . , jk ) ÈÛÔ‡Ù·È Ì 1 ‹ −1, ·Ó·ÏfiÁˆ˜ Ì ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi ÂÓ·ÏÏ·ÁÒÓ ÙˆÓ ˙¢ÁÒÓ Ô˘ Â›Ó·È ··Ú·›ÙËÙ˜. ™ÙËÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfiÙËÙ·, Â›Ó·È ·Ïfi Ó· ‰Âȯı› fiÙÈ ε( j1 , . . . , jk ) = s( j1 , . . . , jk ), fiÔ˘ ÙÔ s Â›Ó·È fiˆ˜ ÛÙÔÓ OÚÈÛÌfi 9.33. E› ·Ú·‰Â›ÁÌ·ÙÈ, d x1 ∧ d x5 ∧ d x3 ∧ d x2 = −d x1 ∧ d x2 ∧ d x3 ∧ d x5 Î·È d x4 ∧ d x2 ∧ d x3 = d x2 ∧ d x3 ∧ d x4 .
(46)
400
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
E¿Ó οı k-¿‰· ÛÙËÓ (34) ÌÂÙ·Ùڷ› Û ·‡ÍÔÓÙ· k-‰Â›ÎÙË, ÙfiÙ ·ÔÎÙԇ̠ÙË ÏÂÁfiÌÂÓË Û˘Ó‹ıË ·Ó··Ú¿ÛÙ·ÛË Ù˘ ω: ω=
b I (x)d x I .
(47)
I
TÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· Ï·Ì‚¿ÓÂÙ·È ˘ÂÚ¿Óˆ fiÏˆÓ ÙˆÓ ·˘ÍfiÓÙˆÓ k-‰ÂÈÎÙÒÓ I . (º˘ÛÈο, οı ·‡ÍˆÓ k-‰Â›ÎÙ˘ ÚÔ·ÙÂÈ ·fi ·ÚÎÂÙ¤˜ (Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ӷ, ·fi k!) k-¿‰Â˜. EÔ̤ӈ˜, οıÂ Û˘Ó¿ÚÙËÛË b I ÛÙË (47) Â›Ó·È ÁÂÓÈÎÒ˜ οÔÈÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙÒÓ Ô˘ ÂÌÊ·Ó›˙ÔÓÙ·È ÛÙËÓ (34).) ø˜ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, Ë x1 d x2 ∧ d x1 − x2 d x3 ∧ d x2 + x3 d x2 ∧ d x3 + d x1 ∧ d x2 Â›Ó·È 2-ÌÔÚÊ‹ ÛÙÔÓ R 3 ÌÂ Û˘Ó‹ıË ·Ó··Ú¿ÛÙ·ÛË ÙËÓ (1 − x1 )d x1 ∧ d x2 + (x2 + x3 )d x2 ∧ d x3 . TÔ ·ÎfiÏÔ˘ıÔ ıÂÒÚËÌ· ÌÔÓ·‰ÈÎfiÙËÙ·˜ Â›Ó·È ¤Ó·˜ ·fi ÙÔ˘˜ ‚·ÛÈÎÔ‡˜ ÏfiÁÔ˘˜ ÂÈÛ·ÁˆÁ‹˜ Ù˘ Û˘Ó‹ıÔ˘˜ ·Ó··Ú·ÛÙ¿Ûˆ˜ Ì›·˜ k-ÌÔÚÊ‹˜. £ÂÒÚËÌ· 10.15. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ ω=
b I (x)d x I
(48)
I
Â›Ó·È Ë Û˘Ó‹ı˘ ·Ó··Ú¿ÛÙ·ÛË Ì›·˜ k-ÌÔÚÊ‹˜ ω Û ¤Ó· ·ÓÔÈÎÙfi Û‡ÓÔÏÔ E ⊂ R n . E¿Ó ω = 0, ÙfiÙ b I (x) = 0 ÁÈ· οı ·‡ÍÔÓÙ· k-‰Â›ÎÙË I Î·È Î¿ı x ∈ E. ™ËÌÂÈÒÓÔ˘Ì fiÙÈ Ë ·Ó¿ÏÔÁË ÚfiÙ·ÛË ÁÈ· ·ıÚÔ›ÛÌ·Ù· fiˆ˜ ÛÙËÓ (34) Â›Ó·È „¢‰‹˜, ÂÊfiÛÔÓ, ˆ˜ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, d x1 ∧ d x2 + d x2 ∧ d x1 = 0. Afi‰ÂÈÍË. YÔı¤ÙÔ˘ÌÂ, ÁÈ· Ó· ηٷϋÍÔ˘Ì Û ·ÓٛʷÛË, fiÙÈ ω = 0 Î·È fiÙÈ b J (v) > 0 ÁÈ· οÔÈÔ v ∈ E Î·È Î¿ÔÈÔÓ ·‡ÍÔÓÙ· k-‰Â›ÎÙË J = ( j1 , . . . , jk ). EÊfiÛÔÓ Ë b J Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜, ˘¿Ú¯ÂÈ h > 0 Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ b J (x) > 0 ÁÈ· οıÂ
O§OK§HPø™H ¢IAºOPIKøN MOPºøN 401
x ∈ R n ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ ÔÈ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ ÈηÓÔÔÈÔ‡Ó ÙȘ ·ÓÈÛfiÙËÙ˜ |xi −vi | ≤ h (i = 1, . . . , n). £ÂˆÚԇ̠ÙÔ k-‰È¿ÛÙËÌ· D Ô˘ ÔÚ›˙ÂÙ·È ˆ˜ ÂÍ‹˜: u ∈ D Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó |u r | ≤ h ÁÈ· r = 1, . . . , k. OÚ›˙Ô˘Ì ÙËÓ ·ÂÈÎfiÓÈÛË ÛÙÔ D ̤ۈ Ù˘ ÈÛfiÙËÙ·˜ (u) = v +
k
u r e jr
(u ∈ D).
(49)
r =1
TfiÙÂ, Ë Â›Ó·È Ì›· k-ÂÈÊ¿ÓÂÈ· ÙÔ˘ E Ì ‰›Ô ·Ú·Ì¤ÙÚˆÓ ÙÔ D ÁÈ· ÙËÓ ÔÔ›· ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ b J ((u)) > 0 ÁÈ· οı u ∈ D. IÛ¯˘ÚÈ˙fiÌ·ÛÙ fiÙÈ ω= b J ((u))du. (50)
D
EÊfiÛÔÓ Ë ‰ÂÍÈ¿ ÏÂ˘Ú¿ Ù˘ (50) Â›Ó·È ıÂÙÈ΋, ¤ÂÙ·È fiÙÈ ω() = 0. ÕÚ·, Ë (50) Ô‰ËÁ› Û ·ÓٛʷÛË. °È· ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË Ù˘ (50), ÂÊ·ÚÌfi˙Ô˘Ì ÙËÓ (35) ÛÙËÓ ·Ó··Ú¿ÛÙ·ÛË (48). ¶ÈÔ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ӷ, ˘ÔÏÔÁ›˙Ô˘Ì ÙȘ ÔÚ›˙Ô˘Û˜ Jacobi Ô˘ ÂÌÊ·Ó›˙ÔÓÙ·È ÛÙËÓ (35). Afi ÙË (49) Ï·Ì‚¿ÓÔ˘Ì fiÙÈ ∂(x j1 , . . . , x jk ) = 1. ∂(u 1 , . . . , u k ) °È· ÔÔÈÔÓ‰‹ÔÙ ¿ÏÏÔÓ ·‡ÍÔÓÙ· k-‰Â›ÎÙË I Ì I = J Ë ÔÚ›˙Ô˘Û· Jacobi Â›Ó·È 0, ÂÊfiÛÔÓ ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙËÓ ÔÚ›˙Ô˘Û· ÂÓfi˜ ›Ó·Î· Ô ÔÔ›Ô˜ ‰È·ı¤ÙÂÈ ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ Ì›· ÁÚ·ÌÌ‹ Ì ÌˉÂÓÈο ÛÙÔȯ›·. 10.16 °ÈÓfiÌÂÓ· ‚·ÛÈÎÒÓ ÌÔÚÊÒÓ. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ I = (i 1 , . . . , i p ),
J = ( j1 , . . . , jq ),
(51)
fiÔ˘ 1 ≤ i 1 < · · · < i p ≤ n Î·È 1 ≤ j1 < · · · < jq ≤ n. TÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÙˆÓ ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆÓ ‚·ÛÈÎÒÓ ÌÔÚÊÒÓ d x I Î·È d x J ÛÙÔÓ R n Â›Ó·È Ì›· ( p + q)-ÌÔÚÊ‹ ÛÙÔÓ R n , Ë ÔÔ›· Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È ˆ˜ d x I ∧ d x J Î·È ÔÚ›˙ÂÙ·È ˆ˜ d x I ∧ d x J = d xi1 ∧ · · · ∧ d xi p ∧ d x j1 ∧ · · · ∧ d x jq .
(52)
402
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
E¿Ó ÔÈ I Î·È J ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓfi ÛÙÔȯ›Ô, ÙfiÙ ·fi ÙËÓ EÓfiÙËÙ· 10.13 ¤ÂÙ·È fiÙÈ d x I ∧ d x J = 0. E¿Ó ÔÈ I Î·È J ‰ÂÓ ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓfi ÛÙÔȯ›Ô, ÙfiÙÂ Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì Ì [I, J ] ÙÔÓ ·‡ÍÔÓÙ· ( p + q)-‰Â›ÎÙË Ô˘ ÚÔ·ÙÂÈ ‰È·Ù¿ÛÛÔÓÙ·˜ Ù· ÛÙÔȯ›· ÙˆÓ I ∪ J Û ·‡ÍÔ˘Û· ÛÂÈÚ¿ ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜. TfiÙÂ, Ë d x[I,J ] Â›Ó·È ‚·ÛÈ΋ ( p + q)-ÌÔÚÊ‹. IÛ¯˘ÚÈ˙fiÌ·ÛÙ fiÙÈ d x I ∧ d x J = (−1)α d x[I,J ] ,
(53)
fiÔ˘ α Â›Ó·È Ô ·ÚÈıÌfi˜ ÙˆÓ ·ÚÓËÙÈÎÒÓ ‰È·ÊÔÚÒÓ jt − i s (1 ≤ t ≤ q, 1 ≤ s ≤ p). (EÔ̤ӈ˜, Ô ·ÚÈıÌfi˜ ÙˆÓ ıÂÙÈÎÒÓ ‰È·ÊÔÚÒÓ Â›Ó·È pq − α.) °È· ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË Ù˘ (53), ÂÎÙÂÏԇ̠ÙȘ ·ÎfiÏÔ˘ı˜ Ú¿ÍÂȘ ÛÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ i 1 , . . . , i p , j1 , . . . , jq .
(54)
MÂÙ·ÎÈÓԇ̠ÙÔ i p ‰ÂÍÈ¿, ‚‹Ì· ÚÔ˜ ‚‹Ì·, ¤ˆ˜ fiÙÔ˘ ÂÌÊ·ÓÈÛı› ·ÚÈÛÙÂÚ¿ ÙÔ˘ ÛÙÔÈ¯Â›Ô ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ·fi ÙÔ i p . O ·ÚÈıÌfi˜ ÙˆÓ ‚ËÌ¿ÙˆÓ Ô˘ ··ÈÙÔ‡ÓÙ·È Â›Ó·È Ô ·ÚÈıÌfi˜ ÙˆÓ ‰ÂÈÎÙÒÓ t Ì i p < jt . (™ËÌÂÈÒÓÔ˘Ì fiÙÈ Ô ÌˉÂÓÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ ‚ËÌ¿ÙˆÓ ·ÔÙÂÏ› ·Ô‰ÂÎÙ‹ ÂÚ›ÙˆÛË.) ŒÂÈÙ·, ÂÚÁ·˙fiÌ·ÛÙ ÔÌÔ›ˆ˜ ÁÈ· Ù· i p−1 , . . . , i 1 . O Û˘ÓÔÏÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ ÙˆÓ ‚ËÌ¿ÙˆÓ Â›Ó·È α. H ÙÂÏÈ΋ ÙÔÔı¤ÙËÛË ÙˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ Ô˘ Ï·Ì‚¿ÓÔ˘Ì Ì ·˘ÙfiÓ ÙÔÓ ÙÚfiÔ Â›Ó·È fiˆ˜ ÙÔ˘ [I, J ]. K¿ı ‚‹Ì·, fiÙ·Ó ÂÊ·ÚÌÔÛı› ÛÙË ‰ÂÍÈ¿ ÏÂ˘Ú¿ Ù˘ (52), ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙ÂÈ ÙËÓ d x I ∧ d x J Ì −1. ŒÙÛÈ, ÚÔ·ÙÂÈ Ë (53). ™ËÌÂÈÒÓÔ˘Ì fiÙÈ Ë ‰ÂÍÈ¿ ÏÂ˘Ú¿ Ù˘ (53) Â›Ó·È Ë Û˘Ó‹ı˘ ·Ó··Ú¿ÛÙ·ÛË Ù˘ d x I ∧ d x J . EÓ Û˘Ó¯›·, ˘Ôı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ K = (k1 , . . . kr ) Â›Ó·È ·‡ÍˆÓ r -‰Â›ÎÙ˘ ÛÙÔ {1, . . . , n}. £· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÔ˘Ì ÙËÓ (53) ÁÈ· Ó· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ (d x I ∧ d x J ) ∧ d x K = d x I ∧ (d x J ∧ d x K ).
(55)
E¿Ó ‰‡Ô ·fi ÙÔ˘˜ I, J, K ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓfi ÛÙÔȯ›Ô, ÙfiÙ οı ÏÂ˘Ú¿ Ù˘ (55) ÈÛÔ‡Ù·È Ì 0 Î·È ÂÔ̤ӈ˜ Â›Ó·È ›Û˜ ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜. YÔı¤ÙÔ˘Ì ÏÔÈfiÓ fiÙÈ ÔÈ I, J, K ‰ÂÓ ¤¯Ô˘Ó ·Ó¿ ˙‡ÁË ÎÔÈÓ¿ ÛÙÔȯ›·. A˜ Â›Ó·È [I, J, K ] Ô ·‡ÍˆÓ ( p + q + r )-‰Â›ÎÙ˘ Ô˘ ÚÔ·ÙÂÈ ·fi ÙËÓ ¤ÓˆÛË
O§OK§HPø™H ¢IAºOPIKøN MOPºøN 403
ÙˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ ÙˆÓ I, J, K . AÓÙÈÛÙÔȯ›˙Ô˘Ì ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi β ÛÙÔ ˙‡ÁÔ˜ (J, K ) Î·È ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi γ ÛÙÔ ˙‡ÁÔ˜ (I, K ), ·Ó·ÏfiÁˆ˜ Ì ÙÔÓ ÙÚfiÔ ·ÓÙÈÛÙÔȯ‹Ûˆ˜ ÙÔ˘ α ÛÙÔ ˙‡ÁÔ˜ (I, J ) ÛÙËÓ (53). TfiÙÂ, Ë ·ÚÈÛÙÂÚ‹ ÏÂ˘Ú¿ Ù˘ (55) ÈÛÔ‡Ù·È Ì (−1)α d x[I,J ] ∧ d x K = (−1)α (−1)β+γ d x[I,J,K ] , ÂÊ·ÚÌfi˙ÔÓÙ·˜ ‰‡Ô ÊÔÚ¤˜ ÙËÓ (53). H ‰ÂÍÈ¿ ÏÂ˘Ú¿ Ù˘ (55) ÈÛÔ‡Ù·È Ì (−1)β d x I ∧ d x[J,K ] = (−1)β (−1)α+γ d x[I,J,K ] . ÕÚ·, Ë (55) fiÓÙˆ˜ ÈÛ¯‡ÂÈ. 10.17 ¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜ ÌÔÚÊÒÓ. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ ω Â›Ó·È Ì›· p-ÌÔÚÊ‹ Î·È λ Â›Ó·È Ì›· q-ÌÔÚÊ‹ Û οÔÈÔ ·ÓÔÈÎÙfi Û‡ÓÔÏÔ E ⊂ R n , ÌÂ Û˘Ó‹ıÂȘ ·Ó··Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ ÙȘ ω=
b I (x)d x I ,
I
λ=
c J (x)d x J ,
(56)
J
fiÔ˘ Ù· I Î·È J ‰È·ÙÚ¤¯Ô˘Ó ÙÔ˘˜ ·‡ÍÔÓÙ˜ p-‰Â›ÎÙ˜ Î·È ÙÔ˘˜ ·‡ÍÔÓÙ˜ q-‰Â›ÎÙ˜ ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜, Ï·Ì‚·ÓfiÌÂÓÔ˘˜ ·fi ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ {1, . . . , n}. TÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÙˆÓ ‰‡Ô ÌÔÚÊÒÓ, Û˘Ì‚ÔÏÈ˙fiÌÂÓÔ ˆ˜ ω ∧ λ, ÔÚ›˙ÂÙ·È ˆ˜ Ë ÌÔÚÊ‹ ω∧λ=
b I (x)c J (x)d x I ∧ d x J .
(57)
I,J
™Â ·˘Ùfi ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ·, Ù· I Î·È J ‰È·ÙÚ¤¯Ô˘Ó ·ÓÂÍ·Úًو˜ Ù· Û‡ÓÔÏ· ÙˆÓ ‰˘Ó·ÙÒÓ ÙÈÌÒÓ ÙÔ˘˜ Î·È Ë d x I ∧ d x J ÔÚ›˙ÂÙ·È fiˆ˜ ÛÙËÓ EÓfiÙËÙ· 10.16. ÕÚ·, Ë ω ∧ λ Â›Ó·È ( p + q)-ÌÔÚÊ‹ ÛÙÔ E. E›Ó·È ·Ïfi Ó· ‰Âȯı› (ÔÈ ÏÂÙÔ̤ÚÂȘ ·Ê‹ÓÔÓÙ·È ˆ˜ ¿ÛÎËÛË) fiÙÈ ÈÛ¯‡Ô˘Ó ÔÈ ÂÈÌÂÚÈÛÙÈÎÔ› ÓfiÌÔÈ (ω1 + ω2 ) ∧ λ = (ω1 ∧ λ) + (ω2 ∧ λ) Î·È ω ∧ (λ1 + λ2 ) = (ω ∧ λ1 ) + (ω ∧ λ2 )
404
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ ÚfiÛıÂÛË Ô˘ ¤¯ÂÈ ÔÚÈÛı› ÛÙËÓ EÓfiÙËÙ· 10.13. E¿Ó ·˘ÙÔ› ÔÈ ÓfiÌÔÈ Û˘Ó‰˘·ÛıÔ‡Ó Ì ÙËÓ (55), ÙfiÙ ·ÔÎÙԇ̠ÙÔÓ ÚÔÛÂÙ·ÈÚÈÛÙÈÎfi ÓfiÌÔ (ω ∧ λ) ∧ σ = ω ∧ (λ ∧ σ )
(58)
ÁÈ· ÔÔÈÂÛ‰‹ÔÙ ÌÔÚʤ˜ ω, λ, σ ÛÙÔ E. ™Ù· ·Ú·¿Óˆ ›¯Â ˘ÔÙÂı› ÛȈËÚ¿ fiÙÈ p ≥ 1 Î·È q ≥ 1. TÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ Ì›·˜ 0-ÌÔÚÊ‹˜ f Ì ÙËÓ p-ÌÔÚÊ‹ ω Ô˘ ‰›‰ÂÙ·È ·fi ÙËÓ (56) ÔÚ›˙ÂÙ·È ˆ˜ Ë p-ÌÔÚÊ‹ f ω = ωf = f (x)b I (x)d x I . I
E›Ó·È Û‡ÓËı˜ Ó· ÁÚ¿ÊÔ˘Ì f ω ·ÓÙ› ÙÔ˘ f ∧ ω fiÙ·Ó Ë f Â›Ó·È 0-ÌÔÚÊ‹. 10.18 ¢È·ÊfiÚÈÛË ÌÔÚÊÒÓ. EÓ Û˘Ó¯›·, ı· ÔÚ›ÛÔ˘Ì ¤Ó·Ó ÙÂÏÂÛÙ‹ ‰È·ÊÔÚ›Ûˆ˜ d, Ô ÔÔ›Ô˜ ·ÓÙÈÛÙÔȯ›˙ÂÈ Ì›· (k + 1)-ÌÔÚÊ‹ dω Û οı k-ÌÔÚÊ‹ ω ÎÏ¿Ûˆ˜ C , Û οÔÈÔ ·ÓÔÈÎÙfi Û‡ÓÔÏÔ E ⊂ R n . M›· 0-ÌÔÚÊ‹ ÎÏ¿Ûˆ˜ C ÛÙÔ E Â›Ó·È Ì›· Û˘Ó¿ÚÙËÛË f ∈ C (E) Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ÙÈÌÒÓ. OÚ›˙Ô˘Ì df =
n
(Di f )(x)d xi .
(59)
i=1
E¿Ó ω = I b I (x)d x I Â›Ó·È Ë Û˘Ó‹ı˘ ·Ó··Ú¿ÛÙ·ÛË Ì›·˜ k-ÌÔÚÊ‹˜ ω, fiÔ˘ b I ∈ C (E), ÁÈ· οı ·‡ÍÔÓÙ· k-‰Â›ÎÙË I , ÙfiÙ ÔÚ›˙Ô˘Ì dω = (db I ) ∧ d x I . (60) I
¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 10.19. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ E Â›Ó·È ·ÓÔÈÎÙfi ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ R n , fiÙÈ f ∈ C (E) Î·È fiÙÈ γ Â›Ó·È Ì›· Û˘Ó¯Ҙ ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË Î·Ì‡ÏË ÙÔ˘ E Ì ‰›Ô ·Ú·Ì¤ÙÚˆÓ ÙÔ [0, 1]. Afi ÙȘ (59) Î·È (35) Ï·Ì‚¿ÓÔ˘Ì 1 n df = (Di f )(γ (t))γi (t)dt. (61) γ
0
i=1
™‡Ìʈӷ Ì ÙÔÓ Î·ÓfiÓ· Ù˘ ·Ï˘Û›‰·˜, Ë ÔÏÔÎÏËÚˆÙ¤· Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙËÓ ( f ◦ γ ) . ÕÚ·, d f = f (γ (1)) − f (γ (0)). (62) γ
O§OK§HPø™H ¢IAºOPIKøN MOPºøN 405
¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ÙÔ γ d f Â›Ó·È ÙÔ ›‰ÈÔ ÁÈ· fiϘ ÙȘ η̇Ϙ γ Ì ÙÔ ›‰ÈÔ ·Ú¯ÈÎfi Î·È ÙÔ ›‰ÈÔ ÙÂÏÈÎfi ÛËÌ›Ô, fiˆ˜ ÛÙÔ (·) ÙÔ˘ ¶·Ú·‰Â›ÁÌ·ÙÔ˜ 10.12. EÔ̤ӈ˜, Ë Û‡ÁÎÚÈÛË Ì ÙÔ ¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 10.12(‚) Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ Ë 1ÌÔÚÊ‹ xdy ‰ÂÓ ·ÔÙÂÏ› ·Ú¿ÁˆÁÔ Î·Ì›·˜ 0-ÌÔÚÊ‹˜ f . A˘Ùfi ÌÔÚ› Ó· Û˘Ó·¯ı› ›Û˘ ·fi ÙÔ Ì¤ÚÔ˜ (‚) ÙÔ˘ ÂÔ̤ÓÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜, ÂÊfiÛÔÓ d(xdy) = d x ∧ dy = 0. £ÂÒÚËÌ· 10.20. (·) E¿Ó ω Â›Ó·È Ì›· k-ÌÔÚÊ‹ Î·È λ Â›Ó·È Ì›· m-ÌÔÚÊ‹, ÎÏ¿Ûˆ˜ C ÛÙÔ E, ÙfiÙ d(ω ∧ λ) = (dω) ∧ λ + (−1)k ω ∧ dλ.
(63)
(‚) E¿Ó Ë ω Â›Ó·È ÎÏ¿Ûˆ˜ C ÛÙÔ E, ÙfiÙ d 2 ω = 0. ™ÙÔ ·Ú·¿Óˆ, d 2 ω ÛËÌ·›ÓÂÈ Ê˘ÛÈο d(dω). Afi‰ÂÈÍË. §fiÁˆ ÙˆÓ (57) Î·È (60), ÙÔ (·) ¤ÂÙ·È Â¿Ó ·Ô‰Âȯı› Ë (63) ÁÈ· ÙËÓ ÂȉÈ΋ ÂÚ›ÙˆÛË ω = f dxI ,
λ = gd x J ,
(64)
fiÔ˘ f, g ∈ C (E), Ë d x I Â›Ó·È ‚·ÛÈ΋ k-ÌÔÚÊ‹ Î·È Ë d x J Â›Ó·È ‚·ÛÈ΋ mÌÔÚÊ‹. (E¿Ó Ô k ‹ Ô m ‹ Î·È ÔÈ ‰‡Ô Â›Ó·È ›ÛÔÈ Ì 0, ÙfiÙ ·ÏÒ˜ ·Ú·Ï›ԢÌ ÙËÓ d x I ‹ ÙËÓ d x J ‹ Î·È ÙȘ ‰‡Ô ÛÙËÓ (64). H ·fi‰ÂÈÍË ·Ú·Ì¤ÓÂÈ ·ÓÂËÚ¤·ÛÙË Û ·˘Ù‹Ó ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË.) TfiÙÂ, ¤¯Ô˘ÌÂ, ω ∧ λ = f gd x I ∧ d x J . YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ Ù· I Î·È J ‰ÂÓ ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓfi ÛÙÔȯ›Ô. (™Â ‰È·ÊÔÚÂÙÈ΋ ÂÚ›ÙˆÛË, ηı¤Ó·˜ ·fi ÙÔ˘˜ ÙÚÂȘ fiÚÔ˘˜ ÛÙËÓ (63) Â›Ó·È 0.) TfiÙÂ, Ì ¯Ú‹ÛË Ù˘ (53), d(ω ∧ λ) = d( f gd x I ∧ d x J ) = (−1)α d( f gd x[I,J ] ). Afi ÙËÓ (59) ¤¯Ô˘Ì fiÙÈ d( f g) = f dg + gd f . ÕÚ·, Ë (60) ¯ÔÚËÁ› ÙËÓ d(ω ∧ λ) = (−1)α ( f dg + gd f ) ∧ d x[I,J ] = ( f dg + gd f ) ∧ d x I ∧ d x J .
406
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
EÊfiÛÔÓ Ë dg Â›Ó·È 1-ÌÔÚÊ‹ Î·È Ë d x I k-ÌÔÚÊ‹, ¤¯Ô˘Ì fiÙÈ dg ∧ d x I = (−1)k d x I ∧ dg, Û‡Ìʈӷ Ì ÙË (42). ÕÚ·, d(ω ∧ λ) = (d f ∧ d x I ) ∧ (gd x J ) + (−1)k ( f d x I ) ∧ (dg ∧ d x J ) = (dω) ∧ λ + (−1)k ω ∧ dλ, ÙÔ ÔÔ›Ô ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÈ ÙÔ (·). ™ËÌÂÈÒÓÔ˘Ì fiÙÈ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ıËÎÂ Ô ÚÔÛÂÙ·ÈÚÈÛÙÈÎfi˜ ÓfiÌÔ˜ (58). A˜ ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì ÙÔ (‚) ÚÒÙ· ÁÈ· Ì›· 0-ÌÔÚÊ‹ f ∈ C : n n n 2 d f =d (D j f )(x)d x j = d(D j f ) ∧ d x j = (Di j f )(x)d xi ∧ d x j . j=1
j=1
i, j=1
EÊfiÛÔÓ Di j f = D ji f (£ÂÒÚËÌ· 9.41) Î·È d xi ∧ d x j = −d x j ∧ d xi ÁÈ· ÔÔÈÔ˘Û‰‹ÔÙ ‰Â›ÎÙ˜ i, j, ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì ·Ì¤Ûˆ˜ fiÙÈ d 2 f = 0. E¿Ó ω = f d x I , fiˆ˜ ÛÙËÓ (64), ÙfiÙ dω = (d f ) ∧ d x I . Afi ÙËÓ (60), Â›Ó·È d(d x I ) = 0. ÕÚ·, Ë (63) Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ d 2 ω = (d 2 f ) ∧ d x I = 0.
10.21 AÏÏ·Á‹ ÌÂÙ·‚ÏËÙÒÓ. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ E Â›Ó·È ¤Ó· ·ÓÔÈÎÙfi ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ R n , fiÙÈ T Â›Ó·È Ì›· C -·ÂÈÎfiÓÈÛË ÙÔ˘ E Û ¤Ó· ·ÓÔÈÎÙfi ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ V ÙÔ˘ R m Î·È fiÙÈ ω Â›Ó·È Ì›· k-ÌÔÚÊ‹ ÛÙÔ V ÌÂ Û˘Ó‹ıË ·Ó··Ú¿ÛÙ·ÛË ÙËÓ ω=
b I (y)dy I .
(65)
I
(XÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÙÔ Û‡Ì‚ÔÏÔ y ÁÈ· ÛËÌ›· ÙÔ˘ V Î·È ÙÔ Û‡Ì‚ÔÏÔ x ÁÈ· ÛËÌ›· ÙÔ˘ E.) A˜ Â›Ó·È t1 , . . . , tm ÔÈ Û˘ÓÈÛÙÒÛ˜ Ù˘ T : E¿Ó y = (y1 , . . . , ym ) = T (x),
O§OK§HPø™H ¢IAºOPIKøN MOPºøN 407
ÙfiÙ yi = ti (x) ÁÈ· οı i = 1, . . . , m. Ÿˆ˜ ÛÙËÓ (59), ¤¯Ô˘Ì fiÙÈ dti =
n (D j ti )(x)d x j
(1 ≤ i ≤ m).
(66)
j=1
º˘ÛÈο, ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË i, Ë dti Â›Ó·È Ì›· 1-ÌÔÚÊ‹ ÛÙÔ E. H ·ÂÈÎfiÓÈÛË T ÌÂÙ·Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÈ ÙËÓ ω Û ̛· k-ÌÔÚÊ‹ ωT ÛÙÔ E, Ë ÔÔ›· ÔÚ›˙ÂÙ·È ˆ˜ ωT =
b I (T (x))dti1 ∧ · · · ∧ dtik .
(67)
I
™Â οı ·ıÚÔÈÛÙ¤Ô ÛÙËÓ (67), Ô I = (i 1 , . . . i k ) Â›Ó·È ·‡ÍˆÓ k-‰Â›ÎÙ˘. TÔ ÂfiÌÂÓÔ ıÂÒÚËÌ· Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ Ë ÚfiÛıÂÛË, Ô ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜ Î·È Ë ‰È·ÊfiÚÈÛË ÌÔÚÊÒÓ ÌÂÙ·Ù›ıÂÓÙ·È Ì ÙËÓ ·ÏÏ·Á‹ ÌÂÙ·‚ÏËÙÒÓ. £ÂÒÚËÌ· 10.22. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ Ù· E, T Î·È V ¤¯Ô˘Ó ÙÔ ›‰ÈÔ ÓfiËÌ· fiˆ˜ ÛÙËÓ EÓfiÙËÙ· 10.21. £ÂˆÚԇ̛̠· k-ÌÔÚÊ‹ ω Î·È Ì›· m-ÌÔÚÊ‹ λ ÛÙÔ V . TfiÙÂ, (·) (ω + λ)T = ωT + λT Â¿Ó k = m. (‚) (ω ∧ λ)T = ωT ∧ λT . (Á) d(ωT ) = (dω)T Â¿Ó Ë ω Â›Ó·È ÎÏ¿Ûˆ˜ C Î·È Ë T ÎÏ¿Ûˆ˜ C . Afi‰ÂÈÍË. TÔ (·) ÚÔ·ÙÂÈ ·Ì¤Ûˆ˜ ·fi ÙÔ˘˜ ÔÚÈÛÌÔ‡˜. TÔ (‚) Â›Ó·È Û¯Â‰fiÓ ÚÔÊ·Ó¤˜ Â¿Ó ·ÓÙÈÏËÊıԇ̠fiÙÈ (dyi1 ∧ · · · ∧ dyir )T = dti1 ∧ · · · ∧ dtir ,
(68)
·ÓÂÍ·Úًو˜ Â¿Ó Ë r -¿‰· (i 1 , . . . , ir ) Â›Ó·È ·‡ÍˆÓ ‰Â›ÎÙ˘ ‹ fi¯È. H (68) ÈÛ¯‡ÂÈ ‰ÈfiÙÈ ··ÈÙÂ›Ù·È Ô ›‰ÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ ·ÚÓËÙÈÎÒÓ ÚfiÛËÌˆÓ Û οı ÏÂ˘Ú¿ Ù˘ (68) ÁÈ· Ó· ÙÔÔıÂÙ‹ÛÔ˘Ì ÙÔ˘˜ ‰Â›ÎÙ˜ Û ·‡ÍÔ˘Û· ÛÂÈÚ¿. £· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì ÙÒÚ· ÙÔ (Á). E¿Ó f Â›Ó·È Ì›· 0-ÌÔÚÊ‹ ÎÏ¿Ûˆ˜ C ÛÙÔ V , ÙfiÙ m f T = F ◦ T, df = (Di f )(y)dyi . i=1
408
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B¿ÛÂÈ ÙÔ˘ ηÓfiÓ· Ù˘ ·Ï˘Û›‰·˜, ¤ÂÙ·È fiÙÈ d( f T ) =
n (D j f T )(x)d x j
(69)
j=1 n m = (Di f )(T (x))(D j ti )(x)d x j j=1 i=1 m = (Di f )(T (x))dti i=1
= (d f )T . E¿Ó dy I = dyi1 ∧ · · · ∧ dyik , ÙfiÙ (dy I )T = dti1 ∧ · · · ∧ dtik Î·È ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 10.20 Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ d((dy I )T ) = 0.
(70)
(™Â ·˘Ùfi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÂ›Ù·È Ë ˘fiıÂÛË T ∈ C .) YÔı¤ÙÔ˘Ì ÙÒÚ· fiÙÈ ω = f (y)dy I . TfiÙÂ, ωT = f T (x)(dy I )T Î·È ÔÈ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ˜ Û¯¤ÛÂȘ Ô‰ËÁÔ‡Ó ÛÙË d(ωT ) = d( f T ) ∧ (dy I )T = (d f )T ∧ (dy I )T = ((d f ) ∧ dy I )T = (dω)T . H ÚÒÙË ÈÛfiÙËÙ· ÈÛ¯‡ÂÈ ÏfiÁˆ ÙˆÓ (63) Î·È (70), Ë ‰Â‡ÙÂÚË ÏfiÁˆ Ù˘ (69), Ë ÙÚ›ÙË ÚÔ·ÙÂÈ ·fi ÙÔ Ì¤ÚÔ˜ (‚) Î·È Ë Ù¤Ù·ÚÙË Â›Ó·È Ô ÔÚÈÛÌfi˜ Ù˘ dω. H ÁÂÓÈ΋ ÂÚ›ÙˆÛË Ù˘ (Á) ¤ÂÙ·È ·fi ÙËÓ ÂȉÈ΋ ÂÚ›ÙˆÛË Ô˘ ÌfiÏȘ ·Ô‰Â›¯ıËÎÂ, Â¿Ó ÂÊ·ÚÌfiÛÔ˘Ì ÙËÓ (·). A˘Ùfi ÔÏÔÎÏËÚÒÓÂÈ ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË. O ÂfiÌÂÓÔ˜ ÛÙfi¯Ô˜ Â›Ó·È Ë ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 10.25. ¶ÚÔ˜ ·˘Ùfi, ı· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì ÚÒÙ· ‰‡Ô ÛËÌ·ÓÙÈΤ˜ ȉÈfiÙËÙ˜ ÂÚ› ÌÂÙ·Û¯ËÌ·ÙÈÛÌÔ‡ ‰È·ÊÔÚÈÎÒÓ ÌÔÚÊÒÓ. £ÂÒÚËÌ· 10.23. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ T Â›Ó·È Ì›· C -·ÂÈÎfiÓÈÛË ÂÓfi˜ ·ÓÔÈÎÙÔ‡ Û˘ÓfiÏÔ˘ E ⊂ R n Û ¤Ó· ·ÓÔÈÎÙfi Û‡ÓÔÏÔ V ⊂ R m , fiÙÈ S Â›Ó·È Ì›· C -·ÂÈÎfiÓÈÛË ÙÔ˘ V Û ¤Ó· ·ÓÔÈÎÙfi Û‡ÓÔÏÔ W ⊂ R p Î·È fiÙÈ ω ›ӷÈ
O§OK§HPø™H ¢IAºOPIKøN MOPºøN 409
Ì›· k-ÌÔÚÊ‹ ÛÙÔ W , ÁÂÁÔÓfi˜ Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ Ë ω S Â›Ó·È k-ÌÔÚÊ‹ ÛÙÔ V Î·È ÔÈ (ω S )T , ω ST Â›Ó·È k-ÌÔÚʤ˜ ÛÙÔ E (fiÔ˘ ST = S ◦ T ). TfiÙÂ, (ω S )T = ω ST .
(71)
Afi‰ÂÈÍË. E¿Ó ω, λ Â›Ó·È ÌÔÚʤ˜ ÛÙÔ W , ÙfiÙ ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 10.22 Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ ((ω ∧ λ) S )T = (ω S ∧ λ S )T = (ω S )T ∧ (λ S )T Î·È (ω ∧ λ) ST = ω ST ∧ λ ST . ÕÚ·, Â¿Ó Ë (71) ÈÛ¯‡ÂÈ ÁÈ· ÙȘ ω Î·È λ, ÙfiÙ ÈÛ¯‡ÂÈ Î·È ÁÈ· ÙËÓ ω ∧ λ. EÊfiÛÔÓ Î¿ı ÌÔÚÊ‹ ‰ÔÌÂ›Ù·È ·fi 0-ÌÔÚʤ˜ Î·È 1-ÌÔÚʤ˜ ̤ۈ ÚÔÛı¤Ûˆ˜ Î·È ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌÔ‡ Î·È ÂÊfiÛÔÓ Ë (71) Â›Ó·È ÙÂÙÚÈÌ̤ÓË ÁÈ· 0-ÌÔÚʤ˜, ·ÚΛ Ó· ·Ô‰Âȯı› Ë (71) ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË fiÔ˘ ω = dz q (q = 1, . . . , p). (™˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì ٷ ÛËÌ›· ÙˆÓ E, V, W Ì x, y, z ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜.) A˜ Â›Ó·È t1 , . . . , tm ÔÈ Û˘ÓÈÛÙÒÛ˜ Ù˘ T , s1 , . . . , s p ÔÈ Û˘ÓÈÛÙÒÛ˜ Ù˘ S Î·È r1 , . . . , r p ÔÈ Û˘ÓÈÛÙÒÛ˜ Ù˘ ST . E¿Ó ω = dz q (q = 1, . . . , p), ÙfiÙ ω S = dsq =
m
(D j sq )(y)dy j .
j=1
EÔ̤ӈ˜, Ô Î·ÓfiÓ·˜ Ù˘ ·Ï˘Û›‰·˜ Û˘Ó¿ÁÂÙ·È fiÙÈ (ω S )T = = =
m (D j sq )(T (x))dt j j=1 m
(D j sq )(T (x))
j=1 n
n
(Di t j )(x)d xi
i=1
(Di rq )(x)d xi = drq = ω ST .
i=1
410
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£ÂÒÚËÌ· 10.24. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ ω Â›Ó·È Ì›· k-ÌÔÚÊ‹ Û ¤Ó· ·ÓÔÈÎÙfi Û‡ÓÔÏÔ E ⊂ R n , fiÙÈ Â›Ó·È Ì›· k-ÂÈÊ¿ÓÂÈ· ÙÔ˘ E Ì ‰›Ô ·Ú·Ì¤ÙÚˆÓ D ⊂ R k Î·È fiÙÈ Â›Ó·È Ë k-ÂÈÊ¿ÓÂÈ· ÛÙÔÓ R k Ì ‰›Ô ·Ú·Ì¤ÙÚˆÓ D, ÔÚÈ˙fiÌÂÓË ·fi ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· (u) = u (u ∈ D). TfiÙÂ, ω= ω .
Afi‰ÂÈÍË. E›Ó·È ·ÚÎÂÙfi Ó· ıˆڋÛÔ˘Ì ·ÏÒ˜ ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË fiÔ˘ ω = a(x)d xi1 ∧ · · · ∧ d xik . E¿Ó ϕ1 , . . . , ϕn Â›Ó·È ÔÈ Û˘ÓÈÛÙÒÛ˜ Ù˘ , ÙfiÙ ω = a((u))dϕi1 ∧ · · · ∧ dϕik . TÔ ıÂÒÚËÌ· ¤ÂÙ·È Â¿Ó ‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ dϕi1 ∧ · · · ∧ dϕik = J (u)du 1 ∧ · · · ∧ du k , fiÔ˘ J (u) =
(72)
∂(xi1 , . . . , xik ) , ∂(u 1 , . . . , u k )
ÂÊfiÛÔÓ Ë (72) Û˘Ó¿ÁÂÙ·È fiÙÈ ω= a((u))J (u)du = a((u))J (u)du 1 ∧ · · · ∧ du k = ω .
D
£ÂˆÚԇ̠ÙÔÓ k × k ›Ó·Î· [A] Ì ÛÙÔȯ›· Ù· α( p, q) = (Dq ϕi p )(u)
( p, q = 1, . . . , k).
TfiÙÂ, ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË p = 1, . . . , k ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ dϕi p =
k
α( p, q)du q
q=1
Î·È ÂÔ̤ӈ˜ dϕi1 ∧ · · · ∧ dϕik =
k q1 ,... ,qk =1
α(1, q1 ) · · · α(k, qk )du q1 ∧ · · · ∧ du qk .
O§OK§HPø™H ¢IAºOPIKøN MOPºøN 411
™Â ·˘Ùfi ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ·, ÔÈ ‰Â›ÎÙ˜ q1 , . . . , qk Â›Ó·È ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙÔÈ. H ·ÓÙÈÌÂÙ·ıÂÙÈ΋ Û¯¤ÛË (42) Û˘Ó¿ÁÂÙ·È fiÙÈ du q1 ∧ · · · ∧ du qk = s(q1 , . . . , qk )du 1 ∧ · · · ∧ du k , fiÔ˘ ÙÔ s Â›Ó·È fiˆ˜ ÛÙÔÓ OÚÈÛÌfi 9.33. EÊ·ÚÌfi˙ÔÓÙ·˜ ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi ·˘ÙfiÓ, ·ÔÎÙԇ̠ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· dϕi1 ∧ · · · ∧ dϕik = det[A]du 1 ∧ · · · ∧ du k . EÊfiÛÔÓ J (u) = det[A], Ë (72) ¤¯ÂÈ ·Ô‰Âȯı›. TÔ ÙÂÏÈÎfi ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· ·˘Ù‹˜ Ù˘ ÂÓfiÙËÙ·˜ Û˘Ó‰˘¿˙ÂÈ Ù· ‰‡Ô ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ· ıˆڋ̷ٷ. £ÂÒÚËÌ· 10.25. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ T Â›Ó·È Ì›· C -·ÂÈÎfiÓÈÛË ÂÓfi˜ ·ÓÔÈÎÙÔ‡ Û˘ÓfiÏÔ˘ E ⊂ R n Û ¤Ó· ·ÓÔÈÎÙfi Û‡ÓÔÏÔ V ⊂ R m , fiÙÈ Â›Ó·È Ì›· k-ÂÈÊ¿ÓÂÈ· ÙÔ˘ E Î·È fiÙÈ ω Â›Ó·È Ì›· k-ÌÔÚÊ‹ ÛÙÔ V . TfiÙÂ,
T
ω=
ωT .
Afi‰ÂÈÍË. A˜ Â›Ó·È D ÙÔ Â‰›Ô ·Ú·Ì¤ÙÚˆÓ Ù˘ (ÂÔ̤ӈ˜ Î·È Ù˘ T ). OÚ›˙Ô˘Ì ÙËÓ k-ÂÈÊ¿ÓÂÈ· fiˆ˜ ÛÙÔ £ÂÒÚËÌ· 10.24. TfiÙÂ,
T
ω=
ωT =
(ωT ) =
ωT .
H ÚÒÙË ·fi ÙȘ ÈÛfiÙËÙ˜ Â›Ó·È ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 10.24, ÂÊ·ÚÌÔṲ̂ÓÔ ÛÙËÓ T . H ‰Â‡ÙÂÚË ¤ÂÙ·È ·fi ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 10.23. H ÙÚ›ÙË Â›Ó·È ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 10.24, ÂÊ·ÚÌÔṲ̂ÓÔ ÛÙËÓ ωT .
MONO¶§OKA KAI A§Y™I¢E™ 10.26 ™˘Û¯ÂÙÈο ÌÔÓfiÏÔη. M›· ·ÂÈÎfiÓÈÛË f Ô˘ ·ÂÈÎÔÓ›˙ÂÈ ¤Ó·Ó ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎfi ¯ÒÚÔ X Û ¤Ó·Ó ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎfi ¯ÒÚÔ Y ϤÁÂÙ·È Û˘Û¯ÂÙÈ΋
412
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó Ë f − f(0) Â›Ó·È ÁÚ·ÌÌÈ΋ ·ÂÈÎfiÓÈÛË. M ‰È·ÊÔÚÂÙÈ΋ ‰È·Ù‡ˆÛË, ··ÈÙÂ›Ù·È Ó· ÈÛ¯‡ÂÈ Ë ÈÛfiÙËÙ· f(x) = f(0) + Ax (x ∈ X )
(73)
ÁÈ· οÔÈ· ÁÚ·ÌÌÈ΋ ·ÂÈÎfiÓÈÛË A ∈ L(X, Y ). EÔ̤ӈ˜, Ì›· Û˘Û¯ÂÙÈ΋ ·ÂÈÎfiÓÈÛË ÙÔ˘ R k ÛÙÔÓ R n ηıÔÚ›˙ÂÙ·È Ï‹Úˆ˜ Â¿Ó ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì ÙÔ f(0) Î·È Ù· f(ei ) ÁÈ· 1 ≤ i ≤ k. ø˜ Û˘Ó‹ıˆ˜, {e1 , . . . , ek } Â›Ó·È Ë Û˘Ó‹ı˘ ‚¿ÛË ÙÔ˘ R k . OÚ›˙Ô˘Ì ÙÔ Û‡ÓËı˜ ÌÔÓfiÏÔÎÔ Q k ˆ˜ ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ u ∈ R k Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ u=
k
αi ei ,
(74)
i=1
fiÔ˘ ÔÈ α1 , . . . , αk Â›Ó·È ÌË ·ÚÓËÙÈÎÔ› Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› Ì YÔı¤ÙÔ˘Ì ÙÒÚ· fiÙÈ p0 , . . . , pk Â›Ó·È ÛËÌ›· ÙÔ˘ ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈṲ̂ÓÔ Û˘Û¯ÂÙÈÎfi k-ÌÔÓfiÏÔÎÔ
Rn .
k
i=1 αi
≤ 1.
OÚ›˙Ô˘Ì ÙÔ
σ = [p0 , . . . , pk ]
(75)
ˆ˜ ÙËÓ k-ÂÈÊ¿ÓÂÈ· ÛÙÔÓ R n Ì ‰›Ô ·Ú·Ì¤ÙÚˆÓ ÙÔ Q k , Ë ÔÔ›· ‰›‰ÂÙ·È ·fi ÙËÓ Û˘Û¯ÂÙÈ΋ ·ÂÈÎfiÓÈÛË σ (α1 e1 + · · · + αk ek ) = p0 +
k
αi (pi − p0 ) (α1 , . . . , αk ∈ R 1 ).
(76)
i=1
™ËÌÂÈÒÓÔ˘Ì fiÙÈ Ë σ ¯·Ú·ÎÙËÚ›˙ÂÙ·È Ï‹Úˆ˜ ·fi ÙȘ ÈÛfiÙËÙ˜ σ (0) = p0 ,
σ (ei ) = pi (1 ≤ i ≤ k)
(77)
Î·È fiÙÈ σ (u) = p0 + Au (u ∈ Q k ), fiÔ˘ A ∈ L(R k , R n ) Ì Aei = pi − p0 ÁÈ· 1 ≤ i ≤ k.
(78)
O§OK§HPø™H ¢IAºOPIKøN MOPºøN 413
OÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ÙÔ σ ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈṲ̂ÓÔ ÁÈ· Ó· ‰ÒÛÔ˘Ì ¤ÌÊ·ÛË ÛÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ Ë ÛÂÈÚ¿ ÙˆÓ ÎÔÚ˘ÊÒÓ p0 , . . . , pk η٤¯ÂÈ Ô˘ÛÈÒ‰Ë ÚfiÏÔ. E¿Ó σ = [pi0 , . . . , pik ],
(79)
fiÔ˘ {i 0 , . . . , i k } Â›Ó·È Ì›· ÌÂٿٷÍË5 ÙÔ˘ Û˘ÓfiÏÔ˘ {0, 1, . . . , k}, ÙfiÙ ˘ÈÔıÂÙԇ̠ÙÔÓ Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌfi σ = s(i 0 , i 1 , . . . , i k )σ,
(80)
fiÔ˘ s Â›Ó·È Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ô˘ ÔÚ›˙ÂÙ·È ÛÙÔÓ OÚÈÛÌfi 9.33. ™˘ÓÂÒ˜, σ = ±σ , ·Ó·ÏfiÁˆ˜ Â¿Ó s = 1 ‹ s = −1. ŸÌˆ˜, Û ۯ¤ÛË Ì ÙÔ˘˜ ÔÚÈÛÌÔ‡˜ ÛÙȘ (75) Î·È (76), ‰ÂÓ ı· ÁÚ¿ÊÔ˘Ì σ = σ , ÂÎÙfi˜ Â¿Ó i 0 = 0, . . . , i k = k, ·ÎfiÌË Î·È ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË fiÔ˘ s(i 0 , i 1 , . . . , i k ) = 1. A˘Ùfi Ô˘ ¤¯Ô˘ÌÂ Â‰Ò Â›Ó·È Ì›· Û¯¤ÛË ÈÛÔ‰˘Ó·Ì›·˜ Î·È fi¯È Ì›· ÈÛfiÙËÙ·. ¶·Ú' fiÏ· ·˘Ù¿, ÁÈ· ÙËÓ ÂÎÏ‹ÚˆÛË ÙˆÓ ÛÎÔÒÓ Ì·˜, Ô Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌfi˜ ‰ÈηÈÔÏÔÁÂ›Ù·È ·fi ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 10.27. E¿Ó σ = εσ (¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ÙËÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË Û‡Ì‚·ÛË), ÙfiÙ ϤÁÂÙ·È fiÙÈ Ù· σ Î·È σ ¤¯Ô˘Ó ÙÔÓ ›‰ÈÔ ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈÛÌfi Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ε = 1. §¤ÁÂÙ·È fiÙÈ Ù· σ Î·È σ ¤¯Ô˘Ó ·ÓÙ›ıÂÙÔ ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈÛÌfi Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ε = −1. ™ËÌÂÈÒÓÔ˘Ì fiÙÈ ‰ÂÓ ¤¯Ô˘Ì ÔÚ›ÛÂÈ ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· «ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈÛÌfi˜ ÌÔÓÔÏfiÎÔ˘». AÏÒ˜, ¤¯Ô˘Ì ÔÚ›ÛÂÈ Ì›· Û¯¤ÛË ÌÂٷ͇ ˙¢ÁÒÓ ÌÔÓÔÏfiÎˆÓ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÙÔ ›‰ÈÔ Û‡ÓÔÏÔ ÎÔÚ˘ÊÒÓ, ÙË Û¯¤ÛË «ÎÔÈÓÔ‡ ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈÛÌÔ‡». ŸÌˆ˜, ˘¿Ú¯ÂÈ Ì›· ÂÚ›ÙˆÛË ÛÙËÓ ÔÔ›· Ô ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈÛÌfi˜ ÂÓfi˜ ÌÔÓÔÏfiÎÔ˘ ÔÚ›˙ÂÙ·È Î·Ù¿ Ê˘ÛÈÔÏÔÁÈÎfi ÙÚfiÔ. A˘Ùfi Û˘Ì‚·›ÓÂÈ fiÙ·Ó n = k Î·È Ù· ‰È·Ó‡ÛÌ·Ù· pi − p0 (1 ≤ i ≤ k) Â›Ó·È ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙ·. ™Â ·˘Ù‹Ó ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË, Ô ÁÚ·ÌÌÈÎfi˜ ÌÂÙ·Û¯ËÌ·ÙÈÛÌfi˜ A Ô˘ ÂÌÊ·Ó›˙ÂÙ·È ÛÙËÓ (78) Â›Ó·È ·ÓÙÈÛÙÚ¤„ÈÌÔ˜ Î·È Ë ÔÚ›˙Ô˘Û¿ ÙÔ˘ (Ë ÔÔ›· Ù·˘Ù›˙ÂÙ·È Ì ÙËÓ ÔÚ›˙Ô˘Û· Jacobi Ù˘ σ ) Â›Ó·È ÌË ÌˉÂÓÈ΋. TfiÙÂ, ÙÔ σ ϤÁÂÙ·È ıÂÙÈο (·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜ ·ÚÓËÙÈο) ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈṲ̂ÓÔ Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó Ë det A Â›Ó·È ıÂÙÈ΋ (·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜ ·ÚÓËÙÈ΋). I‰È·ÈÙ¤Úˆ˜, ÙÔ ÌÔÓfiÏÔÎÔ [0, e1 , . . . , ek ] ÛÙÔÓ R k , ÙÔ ÔÔ›Ô ‰›‰ÂÙ·È ·fi ÙËÓ Ù·˘ÙÔÙÈ΋ ·ÂÈÎfiÓÈÛË, ¤¯ÂÈ ıÂÙÈÎfi ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈÛÌfi. 5
™. Ù. M.: M ÙË Ï¤ÍË ·˘Ù‹ ·Ô‰›‰ÂÙ·È Ô ·ÁÁÏÈÎfi˜ fiÚÔ˜ permutation. ™ÙËÓ ÂÏÏËÓÈ΋ ‚È‚ÏÈÔÁÚ·Ê›·, ·˘Ùfi˜ ¤¯ÂÈ ·Ô‰Ôı› Î·È ˆ˜ «ÌÂÙ¿ıÂÛË».
414
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
Œˆ˜ ‰Ò, ¤¯Ô˘Ì ˘Ôı¤ÛÂÈ fiÙÈ k ≥ 1. ŒÓ· ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈṲ̂ÓÔ 0ÌÔÓfiÏÔÎÔ ÔÚ›˙ÂÙ·È ˆ˜ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô Ì ¤Ó· ÚfiÛËÌÔ ÚÔÛ·ÚÙË̤ÓÔ Û ·˘Ùfi. °Ú¿ÊÔ˘Ì σ = +p0 ‹ σ = −p0 . E¿Ó σ = εp0 (ε = ±1) Î·È Â¿Ó f Â›Ó·È Ì›· 0-ÌÔÚÊ‹ (‹ÙÔÈ Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË), ÙfiÙ ÔÚ›˙Ô˘Ì f = ε f (p0 ). σ
£ÂÒÚËÌ· 10.27. E¿Ó σ Â›Ó·È ¤Ó· ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈṲ̂ÓÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ kÌÔÓfiÏÔÎÔ Û ¤Ó· ·ÓÔÈÎÙfi Û‡ÓÔÏÔ E ⊂ R n Î·È Â¿Ó σ = εσ , ÙfiÙ ω=ε ω (81) σ
σ
ÁÈ· οı k-ÌÔÚÊ‹ ω ÛÙÔ E. Afi‰ÂÈÍË. °È· k = 0, Ë (81) ¤ÂÙ·È ·fi ÙÔÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ ÔÚÈÛÌfi. EÔ̤ӈ˜, ˘Ôı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ k ≥ 1 Î·È fiÙÈ ÙÔ σ ‰›‰ÂÙ·È ·fi ÙËÓ (75). YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ 1 ≤ j ≤ k Î·È fiÙÈ Ë σ Ï·Ì‚¿ÓÂÙ·È ·fi ÙË σ ÂÓ·ÏÏ¿ÛÛÔÓÙ·˜ Ù· p0 Î·È p j . TfiÙÂ, ε = −1 Î·È σ (u) = p j + Bu
(u ∈ Q k ),
fiÔ˘ B Â›Ó·È Ë ÁÚ·ÌÌÈ΋ ·ÂÈÎfiÓÈÛË ÙÔ˘ R k ÛÙÔÓ R n Ô˘ ÔÚ›˙ÂÙ·È Ì¤Ûˆ ÙˆÓ Û¯¤ÛÂˆÓ Be j = p0 − p j Î·È Bei = pi − p j ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË i Ì i = j. E¿Ó ı¤ÛÔ˘Ì xi = Aei (1 ≤ i ≤ k), fiÔ˘ Ô A ‰›‰ÂÙ·È ·fi ÙËÓ (78), ÙfiÙ ٷ ‰È·Ó‡ÛÌ·Ù· ÛًϘ ÙÔ˘ B (‰ËÏ·‰‹ Ù· ‰È·Ó‡ÛÌ·Ù· Bei (1 ≤ i ≤ k)) Â›Ó·È Ù· x1 − x j , . . . , x j−1 − x j , −x j , x j+1 − x j , . . . , xk − x j . E¿Ó ·Ê·ÈÚ¤ÛÔ˘Ì ÙËÓ j-ÛÙ‹ÏË ·fi οı ¿ÏÏË, ÙfiÙ η̛· ·fi ÙȘ ÔÚ›˙Ô˘Û˜ ÛÙËÓ (35) ‰ÂÓ ÂËÚ¿˙ÂÙ·È Î·È ·ÔÎÙԇ̠ÙȘ ÛًϘ x1 , . . . , x j−1 , −x j , x j+1 , . . . , xk . A˘Ù¤˜ ‰È·Ê¤ÚÔ˘Ó ·fi ÙȘ ÛًϘ ÙÔ˘ A ÌfiÓÔÓ Î·Ù¿ ÙÔ ÚfiÛËÌÔ Ù˘ j-ÛÙ‹Ï˘. ™˘ÓÂÒ˜, Û ·˘Ù‹Ó ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË, Ë (81) ÈÛ¯‡ÂÈ. EÓ Û˘Ó¯›·, ˘Ôı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ i, j Â›Ó·È ·Î¤Ú·ÈÔÈ ·ÚÈıÌÔ› Ì 0 < i < j ≤ k Î·È fiÙÈ Ë σ Ï·Ì‚¿ÓÂÙ·È ·fi ÙË σ ÂÓ·ÏÏ¿ÛÛÔÓÙ·˜ Ù· pi Î·È p j . TfiÙÂ, σ (u) = p0 + Cu (u ∈ Q k ), fiÔ˘ Ô ÁÚ·ÌÌÈÎfi˜ ÌÂÙ·Û¯ËÌ·ÙÈÛÌfi˜ C ÚÔ·ÙÂÈ
O§OK§HPø™H ¢IAºOPIKøN MOPºøN 415
·fi ÙÔÓ A ÂÓ·ÏÏ¿ÛÛÔÓÙ·˜ ÙËÓ i-ÛÙ‹ÏË Ì ÙËÓ j-ÛÙ‹ÏË. A˘Ùfi Û˘Ó¿ÁÂÙ·È Í·Ó¿ ÙËÓ ·Ï‹ıÂÈ· Ù˘ (81), ÂÊfiÛÔÓ ε = −1. H ÁÂÓÈ΋ ÂÚ›ÙˆÛË ¤ÂÙ·È ·fi ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ Ì›· ÌÂٿٷÍË ÙÔ˘ {0, 1, . . . , k} Û˘ÓÙ›ıÂÙ·È ·fi ÙȘ ÂȉÈΤ˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ ÂÓ·ÏÏ·ÁÒÓ Ô˘ ÂÚÈÁÚ¿„·ÌÂ. 10.28 ™˘Û¯ÂÙÈΤ˜ ·Ï˘Û›‰Â˜. M›· Û˘Û¯ÂÙÈ΋ k-·Ï˘Û›‰· Û ¤Ó· ·ÓÔÈÎÙfi Û‡ÓÔÏÔ E ⊂ R n Â›Ó·È Ì›· Û˘ÏÏÔÁ‹ ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ˘ Ï‹ıÔ˘˜ ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈÛÌ¤ÓˆÓ Û˘Û¯ÂÙÈÎÒÓ k-ÌÔÓÔÏfiÎˆÓ σ1 , . . . , σr ÛÙÔ E. T· ÌÔÓfiÏÔη ·˘Ù¿ ‰ÂÓ Â›Ó·È ··Ú·Èًو˜ ‰È·ÎÂÎÚÈ̤ӷ. ¢ËÏ·‰‹, ¤Ó· ÌÔÓfiÏÔÎÔ ÌÔÚ› Ó· ÂÌÊ·ÓÈÛı› ÛÙËÓ Ì ÔÚÈṲ̂ÓË ÔÏÏ·ÏfiÙËÙ·. E¿Ó Ë Â›Ó·È fiˆ˜ ·Ú·¿Óˆ Î·È Â¿Ó ω Â›Ó·È Ì›· k-ÌÔÚÊ‹ ÛÙÔ E, ÙfiÙ ÔÚ›˙Ô˘Ì r ω= ω. (82)
i=1
σi
M›· k-ÂÈÊ¿ÓÂÈ· ÛÙÔ E ÌÔÚ› Ó· ıˆÚËı› ˆ˜ Ì›· Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ì ‰›Ô ÔÚÈÛÌÔ‡ ÙË Û˘ÏÏÔÁ‹ ÙˆÓ k-ÌÔÚÊÒÓ ÛÙÔ E, Ë ÔÔ›· ·ÓÙÈÛÙÔȯ›˙ÂÈ ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi ω ÛÙËÓ ω. EÊfiÛÔÓ ÔÈ Ú·ÁÌ·ÙÈΤ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ÚÔÛÙÂıÔ‡Ó (fiˆ˜ ÛÙÔÓ OÚÈÛÌfi 4.3), ÂÈÛ¿ÁÔ˘Ì ηٿ Ê˘ÛÈÔÏÔÁÈÎfi ÙÚfiÔ ÙÔÓ Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌfi = σ1 + · · · + σr
(83)
‹ ·ÏÏÈÒ˜, Û ÈÔ Û˘ÓÂÙ˘Á̤ÓË ÌÔÚÊ‹, =
r
σi ,
(84)
i=1
ÁÈ· Ó· ‰ËÏÒÛÔ˘Ì fiÙÈ Ë (82) ÈÛ¯‡ÂÈ ÁÈ· οı k-ÌÔÚÊ‹ ω ÛÙÔ E. °È· ÙËÓ ·ÔÊ˘Á‹ ·Ú·ÓÔ‹ÛˆÓ, ÙÔÓ›˙Ô˘Ì fiÙÈ ÔÈ Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌÔ› Ô˘ ÂÈÛ‹¯ıËÛ·Ó ÛÙȘ (80) Î·È (83) Ú¤ÂÈ Ó· ¯ÂÈÚ›˙ÔÓÙ·È Ì ÚÔÛÔ¯‹. TÔ ÏÂÙfi ÛËÌÂ›Ô ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ Î¿ı ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈṲ̂ÓÔ Û˘Û¯ÂÙÈÎfi k-ÌÔÓfiÏÔÎÔ σ ÛÙÔÓ R n ÌÔÚ› Ó· ıˆÚËı› ˆ˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ì ‰‡Ô ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎÔ‡˜ ÙÚfiÔ˘˜, Ì ‰È·ÊÔÚÂÙÈο ‰›· ÔÚÈÛÌÔ‡ Î·È Â‰›· ÙÈÌÒÓ Î·È ÂÔ̤ӈ˜ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ÔÚÈÛıÔ‡Ó ‰‡Ô ÂÓÙÂÏÒ˜ ‰È·ÊÔÚÂÙÈΤ˜ Ú¿ÍÂȘ ÚÔÛı¤Ûˆ˜. AÚ¯Èο, ÙÔ σ
416
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
ÔÚ›ÛÙËΠˆ˜ Ì›· Û˘Ó¿ÚÙËÛË ·fi ÙÔ Q k ÛÙÔÓ R n . EÔ̤ӈ˜, ÙÔ σ1 + σ2 ı· ÌÔÚÔ‡Û ӷ ÂÚÌËÓ¢ı› ˆ˜ Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔȯ›˙ÂÈ ÙÔ ‰È¿Ó˘ÛÌ· σ1 (u) + σ2 (u) Û οı u ∈ Q k . ™ËÌÂÈÒÓÔ˘Ì fiÙÈ Ë σ1 + σ2 Â›Ó·È Â›Û˘ ¤Ó· ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈṲ̂ÓÔ Û˘Û¯ÂÙÈÎfi k-ÌÔÓfiÏÔÎÔ ÛÙÔÓ R n ! ™ÙËÓ (83) ÂÓÓÔÂ›Ù·È Î¿ÙÈ ÂÓÙÂÏÒ˜ ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎfi. E› ·Ú·‰Â›ÁÌ·ÙÈ, Â¿Ó σ2 = −σ1 , ˘fi ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ (80) (‰ËÏ·‰‹ Ù· σ1 Î·È σ2 ¤¯Ô˘Ó ÙÔ ›‰ÈÔ Û‡ÓÔÏÔ ÎÔÚ˘ÊÒÓ ·ÏÏ¿ Ì ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎfi ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈÛÌfi) Î·È Â¿Ó = σ1 + σ2 , ÙfiÙ ω = 0 ÁÈ· οı k-ÌÔÚÊ‹ ω. TÔ ÁÂÁÔÓfi˜ ·˘Ùfi ÌÔÚԇ̠ӷ ÙÔ ÂÎÊÚ¿ÛÔ˘Ì ÁÚ¿ÊÔÓÙ·˜ = 0 ‹ σ1 + σ2 = 0. TÔ ÙÂÏÂ˘Ù·›Ô ‰ÂÓ ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ ÁÈ· ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ u ∈ Q k ÙÔ σ1 (u) + σ2 (u) Â›Ó·È ÙÔ ÌˉÂÓÈÎfi ‰È¿Ó˘ÛÌ· ÛÙÔÓ R n . 10.29 ™‡ÓÔÚ·. °È· k ≥ 1 ÔÚ›˙Ô˘Ì ÙÔ Û‡ÓÔÚÔ ÙÔ˘ ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈṲ̂ÓÔ˘ Û˘Û¯ÂÙÈÎÔ‡ k-ÌÔÓÔÏfiÎÔ˘ σ = [p0 , . . . , pk ] ˆ˜ ÙË Û˘Û¯ÂÙÈ΋ (k − 1)-·Ï˘Û›‰· ∂σ =
k (−1) j [p0 , . . . , p j−1 , p j+1 , . . . , pk ].
(85)
j=0
E› ·Ú·‰Â›ÁÌ·ÙÈ, Â¿Ó σ = [p0 , p1 , p2 ], ÙfiÙ ∂σ = [p1 , p2 ] − [p0 , p2 ] + [p0 , p1 ] = [p0 , p1 ] + [p1 , p2 ] + [p2 , p0 ], ÙÔ ÔÔ›Ô Û˘Ì›ÙÂÈ Ì ÙË Û˘Ó‹ıË ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈṲ̂ÓÔ˘ Û˘ÓfiÚÔ˘ ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘. °È· 1 ≤ j ≤ k ·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ÙÔ ÌÔÓfiÏÔÎÔ σ j = [p0 , . . . , p j−1 , p j+1 , . . . , pk ], ÙÔ ÔÔ›Ô ÂÌÊ·Ó›˙ÂÙ·È ÛÙËÓ (85), ¤¯ÂÈ ÙÔ Q k−1 ˆ˜ ‰›Ô ·Ú·Ì¤ÙÚˆÓ Î·È ÔÚ›˙ÂÙ·È Ì¤Ûˆ Ù˘ Û¯¤Ûˆ˜ σ j (u) = p0 + Bu
(u ∈ Q k−1 ),
(86)
O§OK§HPø™H ¢IAºOPIKøN MOPºøN 417
fiÔ˘ B Â›Ó·È Ë ÁÚ·ÌÌÈ΋ ·ÂÈÎfiÓÈÛË ÙÔ˘ R k−1 ÛÙÔÓ R k Ô˘ ÔÚ›˙ÂÙ·È ·fi ÙȘ Û¯¤ÛÂȘ (1 ≤ i ≤ j − 1), Bei = pi − p0 Bei = pi+1 − p0 ( j ≤ i ≤ k − 1). TÔ ÌÔÓfiÏÔÎÔ σ0 = [p1 , . . . , pk ], ÙÔ ÔÔ›Ô Â›Û˘ ÂÌÊ·Ó›˙ÂÙ·È ÛÙËÓ (85), ‰›‰ÂÙ·È ·fi ÙËÓ ·ÂÈÎfiÓÈÛË σ0 (u) = p1 + Cu
(u ∈ Q k−1 ),
fiÔ˘ C Â›Ó·È Ë ÁÚ·ÌÌÈ΋ ·ÂÈÎfiÓÈÛË ÙÔ˘ R k−1 ÛÙÔÓ R k Ô˘ ÔÚ›˙ÂÙ·È ·fi ÙË Û¯¤ÛË Cei = pi+1 − p1 ÁÈ· οı 1 ≤ i ≤ k − 1. 10.30 ¢È·ÊÔÚ›ÛÈÌ· ÌÔÓfiÏÔη Î·È ·Ï˘Û›‰Â˜. £ÂˆÚԇ̛̠· C -·ÂÈÎfiÓÈÛË T ÂÓfi˜ ·ÓÔÈÎÙÔ‡ Û˘ÓfiÏÔ˘ E ⊂ R n Û ¤Ó· ·ÓÔÈÎÙfi Û‡ÓÔÏÔ V ⊂ R m , fi¯È ··Ú·Èًو˜ 1-1. E¿Ó σ Â›Ó·È ¤Ó· ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈṲ̂ÓÔ Û˘Û¯ÂÙÈÎfi k-ÌÔÓfiÏÔÎÔ, ÙfiÙÂ Ë Û‡ÓıÂÛË = T ◦ σ (ÙËÓ ÔÔ›· ı· Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì Ì ÙËÓ ·ÏÔ‡ÛÙÂÚË ÌÔÚÊ‹ T σ ) Â›Ó·È Ì›· k-ÂÈÊ¿ÓÂÈ· ÛÙÔ V Ì ‰›Ô ·Ú·Ì¤ÙÚˆÓ ÙÔ Q k . OÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ÙËÓ ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈṲ̂ÓÔ k-ÌÔÓfiÏÔÎÔ ÎÏ¿Ûˆ˜ C . M›· ÂÂÚ·Ṳ̂ÓË Û˘ÏÏÔÁ‹ ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈÛÌ¤ÓˆÓ k-ÌÔÓÔÏfiÎˆÓ 1 , . . . , r ÎÏ¿Ûˆ˜ C ÛÙÔ V ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È k-·Ï˘Û›‰· ÎÏ¿Ûˆ˜ C ÛÙÔ V . E¿Ó ω Â›Ó·È Ì›· k-ÌÔÚÊ‹ ÛÙÔ V , ÙfiÙ ÔÚ›˙Ô˘Ì r ω= ω (87)
i=1
i
Î·È ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÙÔÓ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌfi = ri=1 i . E¿Ó = ri=1 σi Â›Ó·È Ì›· Û˘Û¯ÂÙÈ΋ k-·Ï˘Û›‰· Î·È Â¿Ó i = T ◦ σi ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË i, ÙfiÙ ÁÚ¿ÊÔ˘Ì ›Û˘ = T ◦ ‹ ·ÏÏÈÒ˜ T(
r i=1
σi ) =
r
T σi .
(88)
i=1
TÔ Û‡ÓÔÚÔ ∂ ÙÔ˘ ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈṲ̂ÓÔ˘ k-ÌÔÓÔÏfiÎÔ˘ = T ◦σ ÔÚ›˙ÂÙ·È ˆ˜ Ë (k − 1)-·Ï˘Û›‰· ∂ = T (∂σ ).
(89)
418
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
¶ÚÔ˜ ‰ÈηÈÔÏfiÁËÛË Ù˘ (89), ·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ Â¿Ó Ë T Â›Ó·È Û˘Û¯ÂÙÈ΋, ÙfiÙÂ Ë = T ◦ σ Â›Ó·È ¤Ó· ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈṲ̂ÓÔ Û˘Û¯ÂÙÈÎfi k-ÌÔÓfiÏÔÎÔ. ™Â ·˘Ù‹Ó ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË, Ë (89) ‰ÂÓ ·ÔÙÂÏ› ÔÚÈÛÌfi ·ÏÏ¿ Û˘Ó¤ÂÈ· Ù˘ (85). EÔ̤ӈ˜, Ë (89) ·ÔÙÂÏ› ÁÂӛ΢ÛË ·˘Ù‹˜ Ù˘ ÂÚÈÙÒÛˆ˜. E›Ó·È ۷ʤ˜ fiÙÈ Â¿Ó Ë Â›Ó·È ÎÏ¿Ûˆ˜ C , ÙfiÙ ÙÔ ›‰ÈÔ ÈÛ¯‡ÂÈ Î·È ÁÈ· ÙËÓ ∂. EÓ Ù¤ÏÂÈ, ÔÚ›˙Ô˘Ì ÙÔ Û‡ÓÔÚÔ ∂ Ù˘ k-·Ï˘Û›‰·˜ = ri=1 i ˆ˜ ÙËÓ (k − 1)-·Ï˘Û›‰· ∂ =
r
∂i .
(90)
i=1
10.31 £ÂÙÈο ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈṲ̂ӷ Û‡ÓÔÚ·. Œˆ˜ ‰Ò, ¤¯Ô˘Ì ·ÓÙÈÛÙÔȯ›ÛÂÈ Û‡ÓÔÚ· Û ·Ï˘Û›‰Â˜ Î·È fi¯È Û ˘ÔÛ‡ÓÔÏ· ÙÔ˘ R n . H ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ Û˘ÓfiÚÔ˘, fiˆ˜ ¤¯ÂÈ ÙÂı›, Â›Ó·È Ë Î·Ù·ÏÏËÏfiÙÂÚË ÁÈ· ÙË ‰È·Ù‡ˆÛË Î·È ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ ÙÔ˘ Stokes. ¶·Ú' fiÏ· ·˘Ù¿, ȉȷÈÙ¤Úˆ˜ Û ÂÊ·ÚÌÔÁ¤˜ ÛÙÔÓ R 2 ‹ ÛÙÔÓ R 3 , Â›Ó·È Û‡ÓËı˜ Î·È ·ÏÔ‡ÛÙÂÚÔ Ó· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠«ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈṲ̂ӷ Û‡ÓÔÚ·» Û˘ÓfiψÓ. £· ÂÚÈÁÚ¿„Ô˘Ì ÂÓ Û˘ÓÙÔÌ›· ·˘Ù‹Ó ÙËÓ Î·Ù¿ÛÙ·ÛË. A˜ Â›Ó·È Q n ÙÔ Û‡ÓËı˜ ÌÔÓfiÏÔÎÔ ÛÙÔÓ R n Î·È σ0 Ë Ù·˘ÙÔÙÈ΋ ·ÂÈÎfiÓÈÛË Ì ‰›Ô ÔÚÈÛÌÔ‡ ÙÔ Q n . Ÿˆ˜ ÙÔ Û˘Ó·ÓÙ‹Û·Ì ÛÙËÓ EÓfiÙËÙ· 10.26, Ë σ0 ÌÔÚ› Ó· ıˆÚËı› ˆ˜ ¤Ó· ıÂÙÈο ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈṲ̂ÓÔ n-ÌÔÓfiÏÔÎÔ ÛÙÔÓ R n . TÔ Û‡ÓÔÚfi ÙÔ˘, ∂σ0 , Â›Ó·È Ì›· Û˘Û¯ÂÙÈ΋ (n − 1)-·Ï˘Û›‰·. H ·Ï˘Û›‰· ·˘Ù‹ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÙÔ ıÂÙÈο ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈṲ̂ÓÔ Û‡ÓÔÚÔ ÙÔ˘ Q n . E› ·Ú·‰Â›ÁÌ·ÙÈ, ÙÔ ıÂÙÈο ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈṲ̂ÓÔ Û‡ÓÔÚÔ ÙÔ˘ Q 3 Â›Ó·È Ë ·Ï˘Û›‰· [e1 , e2 , e3 ] − [0, e2 , e3 ] + [0, e1 , e3 ] − [0, e1 , e2 ]. £ÂˆÚԇ̠ÙÒÚ· Ì›· 1-1 ·ÂÈÎfiÓÈÛË T ÙÔ˘ Q n ÛÙÔÓ R n ÎÏ¿Ûˆ˜ C Ì ıÂÙÈ΋ ÔÚ›˙Ô˘Û· Jacobi (ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ ÛÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÙÔ˘ Q n ). £¤ÙÔ˘Ì E = T (Q n ). ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊ˘ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜, ÙÔ E ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙË ÎÏÂÈÛÙ‹ ı‹ÎË ÂÓfi˜ ·ÓÔÈÎÙÔ‡ ˘ÔÛ˘ÓfiÏÔ˘ ÙÔ˘ R n . OÚ›˙Ô˘Ì ÙÔ ıÂÙÈο ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈṲ̂ÓÔ Û‡ÓÔÚÔ ÙÔ˘ Û˘ÓfiÏÔ˘ E ˆ˜ ÙËÓ (n − 1)-·Ï˘Û›‰· ∂ T = T (∂σ0 )
O§OK§HPø™H ¢IAºOPIKøN MOPºøN 419
Î·È ÙÔ Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì ˆ˜ ∂ E. ŒÓ· ‡ÏÔÁÔ ÂÚÒÙËÌ· Ô˘ ÚÔ·ÙÂÈ Â›Ó·È ÙÔ ÂÍ‹˜: E¿Ó E = T1 (Q n ) = T2 (Q n ) Î·È Â¿Ó ÔÈ T1 Î·È T2 ¤¯Ô˘Ó ıÂÙÈ΋ ÔÚ›˙Ô˘Û· Jacobi, ÙfiÙ ·ÏËı‡ÂÈ Ë ÈÛfiÙËÙ· ∂ T1 = ∂ T2 ; ¢ËÏ·‰‹, ÈÛ¯‡ÂÈ Ë ÈÛfiÙËÙ· ω= ω ∂ T1
∂ T2
ÁÈ· οı (n − 1)-ÌÔÚÊ‹ ω; H ·¿ÓÙËÛË Â›Ó·È Î·Ù·Ê·ÙÈ΋, fï˜ ı· ·Ú·Ï›„Ô˘Ì ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË. (°È· ¤Ó· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, Û˘ÁÎÚ›ÓÂÙ ÙÔ Ù¤ÏÔ˜ Ù˘ ÂÓfiÙËÙ·˜ Ì ÙËÓ ÕÛÎËÛË 17.) MÔÚԇ̠ӷ ÚÔ¯ˆÚ‹ÛÔ˘Ì ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔ. £ÂˆÚԇ̠fiÙÈ = E 1 ∪ · · · ∪ Er , fiÔ˘ ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË i Â›Ó·È E i = Ti (Q n ), Ë Ti ¤¯ÂÈ ÙȘ ȉÈfiÙËÙ˜ Ù˘ T fiˆ˜ ·Ú·¿Óˆ Î·È Â›Û˘ Ù· ÂÛˆÙÂÚÈο ÙˆÓ Û˘ÓfiÏˆÓ E i (1 ≤ i ≤ r ) Â›Ó·È ·ÔÛ˘Ó‰ÂÙ¿. ™Â ·˘Ù‹Ó ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË, Ë (n − 1)-·Ï˘Û›‰· ∂ = ∂ T1 + · · · + ∂ Tr ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÙÔ ıÂÙÈο ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈṲ̂ÓÔ Û‡ÓÔÚÔ ÙÔ˘ . E› ·Ú·‰Â›ÁÌ·ÙÈ, ÙÔ ÌÔÓ·‰È·›Ô ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ I 2 ÙÔ˘ R 2 Â›Ó·È Ë ¤ÓˆÛË ÙˆÓ σ1 (Q 2 ) Î·È σ2 (Q 2 ), fiÔ˘ σ1 (u) = u, σ2 (u) = e1 + e2 − u
(u ∈ Q 2 ).
T· σ1 , σ2 ¤¯Ô˘Ó ÔÚ›˙Ô˘Û· Jacobi ›ÛË Ì 1. EÊfiÛÔÓ σ1 = [0, e1 , e2 ],
σ2 = [e1 + e2 , e2 , e1 ],
¤¯Ô˘Ì fiÙÈ ∂σ1 = [e1 , e2 ] − [0, e2 ] + [0, e1 ], ∂σ2 = [e2 , e1 ] − [e1 + e2 , e1 ] + [e1 + e2 , e2 ]. TÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ‰‡Ô ·˘ÙÒÓ Û˘ÓfiÚˆÓ Â›Ó·È ÙÔ ∂ I 2 = [0, e1 ] + [e1 , e1 + e2 ] + [e1 + e2 , e2 ] + [e2 , 0],
420
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
ÙÔ ıÂÙÈο ÔÚÈṲ̂ÓÔ ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈṲ̂ÓÔ Û‡ÓÔÚÔ ÙÔ˘ I 2 . ™ËÌÂÈÒÓÔ˘Ì fiÙÈ Ù· [e1 , e2 ], [e2 , e1 ] ·ÏÏËÏÔ·Ó·ÈÚÔ‡ÓÙ·È. E¿Ó Â›Ó·È Ì›· 2-ÂÈÊ¿ÓÂÈ· ÛÙÔÓ R m Ì ‰›Ô ·Ú·Ì¤ÙÚˆÓ ÙÔ I 2 , ÙfiÙÂ Ë (ıˆÚÔ‡ÌÂÓË ˆ˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ì ‰›Ô ÔÚÈÛÌÔ‡ ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ 2-ÌÔÚÊÒÓ) Ù·˘Ù›˙ÂÙ·È Ì ÙËÓ 2-·Ï˘Û›‰· ◦ σ1 + ◦ σ2 . ÕÚ·, ∂ = ∂( ◦ σ1 ) + ∂( ◦ σ2 ) = (∂σ1 ) + (∂σ2 ) = (∂ I 2 ). M ‰È·ÊÔÚÂÙÈ΋ ‰È·Ù‡ˆÛË, Â¿Ó ÙÔ Â‰›Ô ·Ú·Ì¤ÙÚˆÓ Ù˘ Â›Ó·È ÙÔ I 2 , ÙfiÙ ÌÔÚԇ̠ӷ ‚Úԇ̠ÙÔ ∂ Ì ¯Ú‹ÛË ÙÔ˘ ∂ I 2 , ‰›¯ˆ˜ Ó· ÂÌϷΛ ÙÔ ÌÔÓfiÏÔÎÔ Q 2 . ÕÏÏ· ·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù· ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÛÙȘ ·Û΋ÛÂȘ 17 ¤ˆ˜ Î·È 19. ¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 10.32. °È· u ∈ [0, π ], v ∈ [0, 2π ] ÔÚ›˙Ô˘Ì (u, v) = (sin u cos v, sin u sin v, cos u). TfiÙÂ, Ë Â›Ó·È Ì›· 2-ÂÈÊ¿ÓÂÈ· ÛÙÔÓ R 3 Ì ‰›Ô ·Ú·Ì¤ÙÚˆÓ ¤Ó· ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ D ⊂ R 2 Î·È Ì ‰›Ô ÙÈÌÒÓ ÙË ÌÔÓ·‰È·›· ÛÊ·›Ú· ÛÙÔÓ R 3 . TÔ Û‡ÓÔÚfi Ù˘ Â›Ó·È ÙÔ ∂ = (∂ D) = γ1 + γ2 + γ3 + γ4 , fiÔ˘ ÁÈ· u ∈ [0, π ], v ∈ [0, 2π ] Â›Ó·È γ1 (u) = (u, 0) = (sin u, 0, cos u), γ2 (v) = (π, v) = (0, 0, −1), γ3 (u) = (π − u, 2π ) = (sin u, 0, − cos u), γ4 (v) = (0, 2π − v) = (0, 0, 1). EÊfiÛÔÓ ÔÈ γ2 Î·È γ4 Â›Ó·È ÛÙ·ıÂÚ¤˜, ÔÈ ·Ú¿ÁˆÁÔ› ÙÔ˘˜ Â›Ó·È ÌˉÂÓÈΤ˜. EÔ̤ӈ˜ ÙÔ ÔÏÔÎϋڈ̷ οı 1-ÌÔÚÊ‹˜ ˘ÂÚ¿Óˆ ·˘ÙÒÓ Â›Ó·È ›ÛÔ Ì 0. (AÓ·ÙÚ¤ÍÙ ÛÙÔ ¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 10.12(·).)
O§OK§HPø™H ¢IAºOPIKøN MOPºøN 421
EÊfiÛÔÓ ÁÈ· οı u ∈ [0, π ] ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ γ3 (u) = γ1 (π − u), ÂÊ·ÚÌfi˙ÔÓÙ·˜ ÙËÓ (35) Ï·Ì‚¿ÓÔ˘Ì fiÙÈ ω=− ω γ3
ÁÈ· οı 1-ÌÔÚÊ‹ ω. ÕÚ·, ÛÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· ∂ = 0.
∂
γ1
ω = 0 Î·È Î·Ù' ·˘ÙfiÓ ÙÔÓ ÙÚfiÔ Î·Ù·Ï‹ÁÔ˘ÌÂ
(M ¯Ú‹ÛË ÁˆÁÚ·ÊÈÎÒÓ fiÚˆÓ, ÙÔ ∂ ÍÂÎÈÓ¿ ·fi ÙÔÓ BfiÚÂÈÔ fiÏÔ B, ‰È·ÙÚ¤¯ÂÈ ÙË ÛÊ·›Ú· ηٿ Ì‹ÎÔ˜ ÂÓfi˜ ÌÂÛËÌ‚ÚÈÓÔ‡, ÊÙ¿ÓÂÈ ÛÙÔÓ NfiÙÈÔ fiÏÔ N, οÓÂÈ ·‡ÛË ÛÙÔÓ N Î·È ÂÈÛÙÚ¤ÊÂÈ ÛÙÔÓ B ηٿ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ȉ›Ô˘ ÌÂÛËÌ‚ÚÈÓÔ‡ Î·È ÙÂÏÈο οÓÂÈ ·‡ÛË ÛÙÔ B. OÈ ‰‡Ô ‰È·‰ÚÔ̤˜ ηٿ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ÌÂÛËÌ‚ÚÈÓÔ‡ Á›ÓÔÓÙ·È Û ·ÓÙ›ıÂÙ˜ ‰È¢ı‡ÓÛÂȘ. EÔ̤ӈ˜, Ù· ‰‡Ô ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÂÈη̇ÏÈ· ÔÏÔÎÏËÚÒÌ·Ù· ·ÏÏËÏÔ·Ó·ÈÚÔ‡ÓÙ·È. ™ÙËÓ ÕÛÎËÛË 32 ˘¿Ú¯ÂÈ Ì›· η̇ÏË Ô˘ ÂÌÊ·Ó›˙ÂÙ·È ‰‡Ô ÊÔÚ¤˜ ÛÙÔ Û‡ÓÔÚÔ, ‰›¯ˆ˜ ·ÏÏËÏÔ·Ó·›ÚÂÛË.)
TO £EøPHMA TOY STOKES £ÂÒÚËÌ· 10.33. E¿Ó Â›Ó·È Ì›· k-·Ï˘Û›‰· ÎÏ¿Ûˆ˜ C Û ¤Ó· ·ÓÔÈÎÙfi Û‡ÓÔÏÔ V ⊂ R m Î·È Â¿Ó ω Â›Ó·È Ì›· (k − 1)-ÌÔÚÊ‹ ÎÏ¿Ûˆ˜ C ÛÙÔ V , ÙfiÙÂ
dω =
∂
ω.
(91)
H ÂÚ›ÙˆÛË k = m = 1 ‰ÂÓ Â›Ó·È ·Ú¿ ÙÔ ıÂÌÂÏÈ҉˜ ıÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ AÂÈÚÔÛÙÈÎÔ‡ §ÔÁÈÛÌÔ‡ (Ì ̛· ÂÈÚfiÛıÂÙË Û˘Óı‹ÎË ·Ú·ÁˆÁÈÛÈÌfiÙËÙ·˜). H ÂÚ›ÙˆÛË k = m = 2 Â›Ó·È ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Green Î·È Ë k = m = 3 Â›Ó·È ÙÔ ÏÂÁfiÌÂÓÔ «ıÂÒÚËÌ· Ù˘ ·ÔÎϛۈ˜» ÙÔ˘ Gauss. H ÂÚ›ÙˆÛË k = 2, m = 3 Â›Ó·È Ë ·Ú¯È΋ ÂÚ›ÙˆÛË Ô˘ ·Ó·Î·Ï‡ÊıËΠ·fi ÙÔÓ Stokes. (™ÙÔ ‚È‚Ï›Ô ÙÔ˘ Spivak ÂÚÈÁÚ¿ÊÂÙ·È ¤Ó· ÙÌ‹Ì· ·fi ÙÔ ÈÛÙÔÚÈÎfi ˘fi‚·ıÚÔ.) M ·˘Ù¤˜ ÙȘ ÂȉÈΤ˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ ı· ·Û¯ÔÏËıԇ̠ÂÚ·ÈÙ¤Úˆ ÛÙÔ Ù¤ÏÔ˜ ÙÔ˘ ·ÚfiÓÙÔ˜ ÎÂÊ·Ï·›Ô˘.
422
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
Afi‰ÂÈÍË. E›Ó·È ·ÚÎÂÙfi Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ dω = ω
(92)
∂
ÁÈ· οı ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈṲ̂ÓÔ k-ÌÔÓfiÏÔÎÔ ÎÏ¿Ûˆ˜ C ÛÙÔ V . ¢ÈfiÙÈ Â¿Ó ·Ô‰Âȯı› Ë (92) Î·È Â¿Ó = ri=1 i , ÙfiÙ ÔÈ (87) Î·È (89) Û˘Ó¿ÁÔÓÙ·È ÙËÓ (91). £ÂˆÚԇ̠¤Ó· ÌÔÓfiÏÔÎÔ fiˆ˜ ·Ú·¿Óˆ Î·È ı¤ÙÔ˘Ì σ = [0, e1 , . . . , ek ].
(93)
¢ËÏ·‰‹, ÙÔ σ Â›Ó·È ÙÔ ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈṲ̂ÓÔ k-ÌÔÓfiÏÔÎÔ, Ì ‰›Ô ·Ú·Ì¤ÙÚˆÓ ÙÔ Q k , ÙÔ ÔÔ›Ô ÔÚ›˙ÂÙ·È ·fi ÙËÓ Ù·˘ÙÔÙÈ΋ ·ÂÈÎfiÓÈÛË. EÊfiÛÔÓ Ë ÔÚ›˙ÂÙ·È Â›Û˘ ÛÙÔ Q k (·Ó·ÙÚ¤ÍÙ ÛÙÔÓ OÚÈÛÌfi 10.30) Î·È ∈ C , ˘¿Ú¯ÂÈ ¤Ó· ·ÓÔÈÎÙfi Û‡ÓÔÏÔ E ⊂ R k Ô˘ ÂÚȤ¯ÂÈ ÙÔ Q k Î·È ˘¿Ú¯ÂÈ Ì›· C -·ÂÈÎfiÓÈÛË T ÙÔ˘ E ÛÙÔ V Ì = T ◦ σ . Afi Ù· £ÂˆÚ‹Ì·Ù· 10.25 Î·È 10.22(Á), Ë ·ÚÈÛÙÂÚ‹ ÏÂ˘Ú¿ Ù˘ (92) ÈÛÔ‡Ù·È Ì dω = (dω)T = (dωT ). T◦σ
σ
σ
M›· ÂÈϤÔÓ ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 10.25 Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ, Û‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ (89), fiÙÈ Ë ‰ÂÍÈ¿ ÏÂ˘Ú¿ Ù˘ (92) Â›Ó·È Ë ω= ω= ωT . ∂(T ◦ σ )
T (∂σ )
∂σ
EÊfiÛÔÓ Ë ωT Â›Ó·È Ì›· (k − 1)-ÌÔÚÊ‹ ÛÙÔ E, ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì fiÙÈ ÁÈ· ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË Ù˘ (92), ·ÚΛ Ó· ‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ dλ = λ (94) σ
∂σ
C
ÛÙÔ E, fiÔ˘ σ Â›Ó·È ÙÔ ÌÔÓfiÏÔÎÔ ÁÈ· οı (k −1)-ÌÔÚÊ‹ λ ÎÏ¿Ûˆ˜ ÛÙËÓ (93). E¿Ó k = 1, ÙfiÙÂ Ô ÔÚÈÛÌfi˜ ÙÔ˘ ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈṲ̂ÓÔ˘ 0-ÌÔÓÔÏfiÎÔ˘ Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ Ë (94) ÌÂÙ·ÙÚ¤ÂÙ·È ÛÙËÓ 1 f (u) = f (1) − f (0) (95) 0
O§OK§HPø™H ¢IAºOPIKøN MOPºøN 423
ÁÈ· οıÂ Û˘Ó¯Ҙ ‰È·ÊÔÚ›ÛÈÌË Û˘Ó¿ÚÙËÛË f ÛÙÔ [0, 1], Ë ÔÔ›· Ê˘ÛÈο ·ÏËı‡ÂÈ, ‚¿ÛÂÈ ÙÔ˘ ıÂÌÂÏÈÒ‰Ô˘˜ ıˆڋ̷ÙÔ˜ ÙÔ˘ AÂÈÚÔÛÙÈÎÔ‡ §ÔÁÈÛÌÔ‡. EÓ Û˘Ó¯›·, ıˆÚԇ̠fiÙÈ k > 1, ÂÈϤÁÔ˘Ì ¤Ó·Ó ·Î¤Ú·ÈÔ ·ÚÈıÌfi r Ì 1 ≤ r ≤ k Î·È ıˆÚԇ̠f ∈ C (E). TfiÙÂ, ·ÚΛ Ó· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì ÙËÓ (94) ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË fiÔ˘ λ = f (x)d x1 ∧ · · · ∧ d xr −1 ∧ d xr +1 ∧ · · · ∧ d xk ,
(96)
ÂÊfiÛÔÓ Î¿ı (k − 1)-ÌÔÚÊ‹ ÈÛÔ‡Ù·È Ì ¿ıÚÔÈÛÌ· Ù¤ÙÔÈÔ˘ ›‰Ô˘˜ ÌÔÚÊÒÓ ÁÈ· r = 1, . . . , k. ™‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ (85), ÙÔ Û‡ÓÔÚÔ ÙÔ˘ ÌÔÓÔÏfiÎÔ˘ (93) Â›Ó·È ÙÔ ∂σ = [e1 , . . . , ek ] +
k
(−1)i τi ,
i=1
fiÔ˘ ÁÈ· i = 1, . . . , k Â›Ó·È τi = [0, e1 , . . . , ei−1 , ei+1 , . . . , ek ]. £¤ÙÔ˘Ì τ0 = [er , e1 , . . . , er −1 , er +1 , . . . , ek ]. ™ËÌÂÈÒÓÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ τ0 ÚÔ·ÙÂÈ ·fi ÙÔ [e1 , . . . , ek ] Ì r − 1 ‰È·‰Ô¯ÈΤ˜ ÂÓ·ÏÏ·Á¤˜ ÙÔ˘ er Î·È ÙˆÓ ·ÚÈÛÙÂÚÒÓ ÁÂÈÙÔÓÈÎÒÓ ÙÔ˘ ÛÙÔȯ›ˆÓ. ÕÚ·, r −1
∂σ = (−1)
k τ0 + (−1)i τi .
(97)
i=1
K¿ı τi (i = 0, . . . , k) ¤¯ÂÈ ˆ˜ ‰›Ô ·Ú·Ì¤ÙÚˆÓ ÙÔ Q k−1 . E¿Ó u ∈ Q k−1 Î·È x = τ0 (u) , ÙfiÙÂ Â¿Ó 1 ≤ j < r , uj xj = 1 − (u 1 + · · · + u k−1 ) Â¿Ó j = r , u j−1 Â¿Ó r < j ≤ k. E¿Ó i Â›Ó·È ¤Ó·˜ ‰Â›ÎÙ˘ Ì 1 ≤ i uj xj = 0 u j−1
(98)
≤ k, u ∈ Q k−1 Î·È x = τi (u), ÙfiÙÂ Â¿Ó 1 ≤ j < i, Â¿Ó j = i, Â¿Ó i < j ≤ k.
(99)
424
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
°È· οı ‰Â›ÎÙË i Ì 0 ≤ i ≤ k ·˜ Â›Ó·È Ji Ë ÔÚ›˙Ô˘Û· Jacobi Ù˘ ·ÂÈÎÔÓ›Ûˆ˜ (u 1 , . . . , u k−1 ) → (x1 , . . . , xr −1 , xr +1 , . . . , xk )
(100)
Ô˘ ¿ÁÂÙ·È ·fi ÙËÓ τi , Û‡Ìʈӷ Ì ÙȘ (98) Î·È (99). E¿Ó i = 0 ‹ i = r , ÙfiÙ ÔÈ (98) Î·È (99) Ê·ÓÂÚÒÓÔ˘Ó fiÙÈ Ë (100) Â›Ó·È Ë Ù·˘ÙÔÙÈ΋ ·ÂÈÎfiÓÈÛË. ÕÚ·, J0 = 1 Î·È Jr = 1. °È· ÙÔ˘˜ ˘fiÏÔÈÔ˘˜ ‰Â›ÎÙ˜ i, ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ xi = 0 ÛÙËÓ (99) Û˘Ó¿ÁÂÙ·È fiÙÈ Ë Ji ¤¯ÂÈ Ì›· ÁÚ·ÌÌ‹ ÌˉÂÓÈÎÒÓ Î·È ÂÔ̤ӈ˜ Ji = 0. ™˘ÓÂÒ˜, λ=0 (i = 0, i = r ), (101) τi
ÏfiÁˆ ÙˆÓ (35) Î·È (96). EÔ̤ӈ˜, Ë (97) ¯ÔÚËÁ› fiÙÈ r −1 r λ = (−1) λ + (−1) λ ∂σ τ0 τr = (−1)r −1 [ f (τ0 (u)) − f (τr (u))]du.
(102)
Q k−1
Afi ÙËÓ ¿ÏÏË ÏÂ˘Ú¿, dλ = (Dr f )(x)d xr ∧ d x1 ∧ · · · ∧ d xr −1 ∧ d xr +1 ∧ · · · ∧ d xk = (−1)r −1 (Dr f )(x)d x1 ∧ · · · ∧ d xk Î·È ÂÔ̤ӈ˜
σ
r −1
dλ = (−1)
Qk
(Dr f )(x)dx.
(103)
YÔÏÔÁ›˙Ô˘Ì ÙÔ ÔÏÔÎϋڈ̷ ÛÙËÓ (103) ÔÏÔÎÏËÚÒÓÔÓÙ·˜ ·Ú¯Èο ˆ˜ ÚÔ˜ xr ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ ‰È·ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ [0, 1 − (x1 + · · · + xr −1 + xr +1 + · · · + xk )] Î·È Î·ÙfiÈÓ ı¤ÙÔÓÙ·˜ (x1 , . . . , xr −1 , xr +1 , . . . , xk ) = (u 1 , . . . , u k−1 ). M ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· Ù˘ (98) ·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ÙÔ ÔÏÔÎϋڈ̷ ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ Q k ÛÙËÓ (103) ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙÔ ÔÏÔÎϋڈ̷ ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ Q k−1 ÛÙËÓ (102). EÔ̤ӈ˜, Ë (94) ÈÛ¯‡ÂÈ Î·È Ë ·fi‰ÂÈÍË ÔÏÔÎÏËÚÒıËÎÂ.
O§OK§HPø™H ¢IAºOPIKøN MOPºøN 425
K§EI™TE™ KAI AKPIBEI™ MOPºE™ OÚÈÛÌfi˜ 10.34. £ÂˆÚԇ̛̠· k-ÌÔÚÊ‹ ω Û ¤Ó· ·ÓÔÈÎÙfi Û‡ÓÔÏÔ E ⊂ R n . H ω ϤÁÂÙ·È ·ÎÚÈ‚‹˜ Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ˘¿Ú¯ÂÈ Ì›· (k − 1)-ÌÔÚÊ‹ λ ÛÙÔ E Ì ω = dλ. E¿Ó Ë ω Â›Ó·È ÎÏ¿Ûˆ˜ C , ÙfiÙ ϤÁÂÙ·È ÎÏÂÈÛÙ‹ Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó dω = 0. TÔ £ÂÒÚËÌ· 10.20(‚) Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ Î¿ı ·ÎÚÈ‚‹˜ ÌÔÚÊ‹ ÎÏ¿Ûˆ˜ C Â›Ó·È ÎÏÂÈÛÙ‹. ™Â ÔÚÈṲ̂ӷ Û‡ÓÔÏ· E, ÁÈ· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· Û ΢ÚÙ¿ Û‡ÓÔÏ·, ÈÛ¯‡ÂÈ Î·È ÙÔ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ. A˘Ùfi Â›Ó·È Î·È ÙÔ ÂÚȯfiÌÂÓÔ ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 10.39 (Û˘Ó‹ıˆ˜ ÁÓˆÛÙfi ˆ˜ Ï‹ÌÌ· ÙÔ˘ Poincaré 6 ) Î·È ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 10.40. ¶·Ú' fiÏ· ·˘Ù¿, ÛÙ· ¶·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù· 10.36 Î·È 10.37 ı· ·ÚÔ˘ÛÈ·ÛıÔ‡Ó ÎÏÂÈÛÙ¤˜ ÌÔÚʤ˜ ÔÈ Ôԛ˜ ‰ÂÓ Â›Ó·È ·ÎÚȂ›˜. ¶·Ú·Ù‹ÚËÛË 10.35. 6
™. Ù. M.: Jules Henri Poincaré (1854-1912). KÔÚ˘Ê·›Ô˜ °¿ÏÏÔ˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi˜, Ô ÔÔ›Ô˜ ‰È¤Ú„ Û ÔÏϤ˜ ÂÚÈÔ¯¤˜ ÙˆÓ M·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ, £ÂˆÚËÙÈÎÒÓ Î·È EÊ·ÚÌÔṲ̂ӈÓ. £ÂˆÚÂ›Ù·È Ô ·Ù¤Ú·˜ Ù˘ AÏÁ‚ÚÈ΋˜ TÔÔÏÔÁ›·˜. O Poincaré ηٷÁfiÙ·Ó ·fi ÔÈÎÔÁ¤ÓÂÈ· Ô˘ ›¯Â ¤ÓÙÔÓË ·Ó¿ÌÂÈÍË Ì ÙËÓ ÔÏÈÙÈ΋. ◊Ù·Ó ÂÍ¿‰ÂÏÊÔ˜ ÙÔ˘ ÂÓ¿ÙÔ˘ ÚÔ¤‰ÚÔ˘ Ù˘ °·ÏÏÈ΋˜ ¢ËÌÔÎÚ·Ù›·˜ Raymond Poincaré. Afi Ù· Á˘ÌÓ·Ûȷο ÙÔ˘ ¯ÚfiÓÈ·, Ô Poincaré ¤‰ÂÈÍ ÙÔ Ì¤ÁÂıÔ˜ Ù˘ Â˘Ê˘˝·˜ ÙÔ˘. TÔ ¤ÙÔ˜ 1873 Ô Poincaré ÍÂΛÓËÛ ÙȘ ÛÔ˘‰¤˜ ÙÔ˘ ÛÙÔ ¶ÔÏ˘Ù¯ÓÂ›Ô ÙˆÓ ¶·ÚÈÛ›ˆÓ, fiÔ˘ Î·È ¤Ï·‚ ÔÏÏ¿ ‚Ú·‚›·. M ÙÔ Ù¤ÏÔ˜ ÙˆÓ ÛÔ˘‰ÒÓ ÙÔ˘ ÂΛ, ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1875, Û˘Ó¤¯ÈÛ ÙȘ ÛÔ˘‰¤˜ ÙÔ˘ ÛÙËÓ ™¯ÔÏ‹ MÂÙ·ÏÏÂÈÔÏÔÁ›·˜ ÙˆÓ ¶·ÚÈÛ›ˆÓ, Ì ÛÎÔfi Ó· Á›ÓÂÈ Ì˯·ÓÈÎfi˜ ÔÚ˘¯Â›ˆÓ. EΛ ÂÎfiÓËÛ ÙË ‰È‰·ÎÙÔÚÈ΋ ÙÔ˘ ‰È·ÙÚÈ‚‹ ˘fi ÙÔÓ Charles Hermite (1822-1901). ŒÏ·‚ ÙÔ ‰È‰·ÎÙÔÚÈÎfi ÙÔ˘ ‰›ÏˆÌ· ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1879. TÔ ›‰ÈÔ ¤ÙÔ˜ Ô Poincaré ‰ÈÔÚ›ÛıËΠηıËÁËÙ‹˜ M·ıËÌ·ÙÈ΋˜ AӷχÛˆ˜ ÛÙÔ ¶·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ Ù˘ Caen. TÚ›· ¤ÙË ·ÚÁfiÙÂÚ· ‰ÈÔÚ›ÛıËΠηıËÁËÙ‹˜ M·ıËÌ·ÙÈ΋˜ º˘ÛÈ΋˜ ÛÙÔ ¶·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ Ù˘ ™ÔÚ‚fiÓÓ˘. TÔ ¤ÙÔ˜ 1887 Ô Poincaré ÂÍÂϤÁË Ì¤ÏÔ˜ Ù˘ Aη‰ËÌ›·˜ ÙˆÓ EÈÛÙËÌÒÓ ÙˆÓ ¶·ÚÈÛ›ˆÓ Î·È ‰‡Ô ¤ÙË ÌÂÙ¿ ¯ڛÛıË IfiÙ˘ Ù˘ §ÂÁÂÒÓ·˜ Ù˘ TÈÌ‹˜ ÁÈ· ÙËÓ ÚÔÛÊÔÚ¿ ÙÔ˘ ÛÙËÓ ÂÈÛÙ‹ÌË. TÔ ¤ÙÔ˜ 1906 Ô Poincaré ÂÍÂϤÁË Úfi‰ÚÔ˜ Ù˘ Aη‰ËÌ›·˜ ÙˆÓ EÈÛÙËÌÒÓ ÙˆÓ ¶·ÚÈÛ›ˆÓ. O Poincaré ¤¯ÂÈ ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛı› ˆ˜ ηıÔÏÈÎfi˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi˜, ÏfiÁˆ ÙÔ˘ Ôχ ÌÂÁ¿ÏÔ˘ ‡ÚÔ˘˜ ÙˆÓ ÂÈÛÙËÌÔÓÈÎÒÓ ÙÔ˘ ÂÚ¢ÓÒÓ. H ·ÊËÚËÌ¿‰· ÙÔ˘ Poincaré ˘‹ÚÍ ·ÚÔÈÌÈ҉˘ Î·È ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÔÏϤ˜ ·ÊËÁ‹ÛÂȘ Ô˘ ÙÔ ÙÂÎÌËÚÈÒÓÔ˘Ó ·˘Ùfi. EÎÙfi˜ ·fi ÙÔ ÔÁÎ҉˜ ÂÈÛÙËÌÔÓÈÎfi ¤ÚÁÔ, Ô Poincaré Û˘Ó¤ÁÚ·„ ¿Óˆ ·fi ÂÍ‹ÓÙ· ‚È‚Ï›· ÂÎÏ·˚·ۈ˜ ÙˆÓ M·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ Î·È ¿ÏÏˆÓ ÂÈÛÙËÌÒÓ, Ù· ÔÔ›· Î·È ÌÂÙ·ÊÚ¿ÛıËÎ·Ó Û ÔÏϤ˜ ÁÏÒÛÛ˜. °È· ÙÔ ¤ÚÁÔ ÙÔ˘ ·˘Ùfi ÂÍÂϤÁË Ì¤ÏÔ˜ ÙÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ §ÔÁÔÙ¯ӛ·˜ Ù˘ Aη‰ËÌ›·˜ ÙˆÓ EÈÛÙËÌÒÓ ÙˆÓ ¶·ÚÈÛ›ˆÓ.
426
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
(·) MÔÚԇ̠ӷ ·ÏËı‡ÛÔ˘ÌÂ Â¿Ó Ì›· k-ÌÔÚÊ‹ Â›Ó·È ÎÏÂÈÛÙ‹, ·ÏÒ˜ Ì ‰È·ÊfiÚÈÛË ÙˆÓ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙÒÓ ÛÙË Û˘Ó‹ıË ·Ó··Ú¿ÛÙ·ÛË Ù˘ ω. E› ·Ú·‰Â›ÁÌ·ÙÈ, Ì›· 1-ÌÔÚÊ‹ ω=
n
f i (x)d xi ,
(104)
i=1
Ì f i ∈ C (E) (i = 1, . . . , n) ÁÈ· οÔÈÔ ·ÓÔÈÎÙfi Û‡ÓÔÏÔ E ⊂ R n , Â›Ó·È ÎÏÂÈÛÙ‹ Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ÈÛ¯‡Ô˘Ó ÔÈ ÂÍÈÛÒÛÂȘ (D j f i )(x) = (Di f j )(x)
(105)
ÁÈ· ÔÔÈÔ˘Û‰‹ÔÙ ‰Â›ÎÙ˜ i, j Ì 1 ≤ i, j ≤ n Î·È ÁÈ· οı x ∈ E. ™ËÌÂÈÒÓÔ˘Ì fiÙÈ Ë (105) Â›Ó·È «ÛËÌÂȷ΋» Û˘Óı‹ÎË. ¢ÂÓ ÂÌÂÚȤ¯ÂÈ ÔÏÈΤ˜ ȉÈfiÙËÙ˜ Ô˘ ÂÍ·ÚÙÒÓÙ·È ·fi ÙÔ Û¯‹Ì· ÙÔ˘ E. Afi ÙËÓ ¿ÏÏË ÏÂ˘Ú¿, ÁÈ· Ó· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ Ë ω Â›Ó·È ·ÎÚÈ‚‹˜ ÛÙÔ E, Ú¤ÂÈ Ó· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì ÙËÓ ‡·ÚÍË Ì›·˜ ÌÔÚÊ‹˜ λ ÛÙÔ E Ì dλ = ω. A˘Ùfi ÈÛÔ‰˘Ó·Ì› Ì ÙËÓ Â›Ï˘ÛË ÂÓfi˜ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ ÌÂÚÈÎÒÓ ‰È·ÊÔÚÈÎÒÓ ÂÍÈÛÒÛÂˆÓ fi¯È ·ÏÒ˜ ÙÔÈο ·ÏÏ¿ Û ÔÏfiÎÏËÚÔ ÙÔ E. E› ·Ú·‰Â›ÁÌ·ÙÈ, ÁÈ· Ó· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ Ë (104) Â›Ó·È ·ÎÚÈ‚‹˜ ÛÙÔ E, Ú¤ÂÈ Ó· ‚Úԇ̛̠· Û˘Ó¿ÚÙËÛË (‰ËÏ·‰‹ Ì›· 0-ÌÔÚÊ‹) g ∈ C (E) Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ ӷ ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ (Di g)(x) = f i (x)
(x ∈ E, 1 ≤ i ≤ n).
(106)
º˘ÛÈο, Ë (105) Â›Ó·È ·Ó·Áη›· Û˘Óı‹ÎË ÁÈ· ÙËÓ ÂÈÏ˘ÛÈÌfiÙËÙ· Ù˘ (106). (‚) A˜ Â›Ó·È ω Ì›· ·ÎÚÈ‚‹˜ k-ÌÔÚÊ‹ ÛÙÔ E. TfiÙÂ, ˘¿Ú¯ÂÈ Ì›· (k − 1)ÌÔÚÊ‹ λ Ì dλ = ω. Afi ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Stokes ¤ÂÙ·È fiÙÈ ω= dλ = λ (107)
∂
C
ÁÈ· οı k-·Ï˘Û›‰· ÎÏ¿Ûˆ˜ ÛÙÔ E. E¿Ó 1 Î·È 2 Â›Ó·È Ù¤ÙÔȘ ·Ï˘Û›‰Â˜ Î·È Â¿Ó ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓfi Û‡ÓÔÚÔ, ÙfiÙ ω= ω. 1
2
I‰È·ÈÙ¤Úˆ˜, ÙÔ ÔÏÔÎϋڈ̷ Ì›·˜ ·ÎÚÈ‚Ô‡˜ k-ÌÔÚÊ‹˜ ÛÙÔ E ˘ÂÚ¿Óˆ οı k-·Ï˘Û›‰·˜ ÛÙÔ E Ì ÌˉÂÓÈÎfi Û‡ÓÔÚÔ Â›Ó·È ›ÛÔ Ì 0.
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M›· ÂȉÈ΋ ÂÚ›ÙˆÛË Ô˘ Â›Ó·È ÛËÌ·ÓÙÈ΋ Â›Ó·È ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ ÙÔ ÔÏÔÎϋڈ̷ Ì›·˜ ·ÎÚÈ‚Ô‡˜ 1-ÌÔÚÊ‹˜ ÛÙÔ E ˘ÂÚ¿Óˆ ÎÏÂÈÛÙ‹˜ (‰È·ÊÔÚ›ÛÈÌ˘) η̇Ï˘ ÛÙÔ E Â›Ó·È ÌˉÂÓÈÎfi. (Á) A˜ Â›Ó·È ω Ì›· ÎÏÂÈÛÙ‹ k-ÌÔÚÊ‹ ÛÙÔ E. TfiÙÂ, dω = 0. Afi ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Stokes ¤ÂÙ·È fiÙÈ ω= dω = 0 (108) ∂
ÁÈ· οı (k + 1)-·Ï˘Û›‰· ÎÏ¿Ûˆ˜ C ÛÙÔ E. M ‰È·ÊÔÚÂÙÈ΋ ‰È·Ù‡ˆÛË, ÙÔ ÔÏÔÎϋڈ̷ Ì›·˜ ÎÏÂÈÛÙ‹˜ k-ÌÔÚÊ‹˜ ÛÙÔ E ˘ÂÚ¿Óˆ ÔÔÈ·Û‰‹ÔÙ k-·Ï˘Û›‰·˜ Ô˘ ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙÔ Û‡ÓÔÚÔ Ì›·˜ (k + 1)-·Ï˘Û›‰·˜ ÛÙÔ E Â›Ó·È ›ÛÔ Ì 0. (‰) A˜ Â›Ó·È Ì›· (k + 1)-·Ï˘Û›‰· ÛÙÔ E Î·È λ Ì›· (k − 1)-ÌÔÚÊ‹ ÛÙÔ E, Î·È ÔÈ ‰‡Ô ÎÏ¿Ûˆ˜ C . EÊfiÛÔÓ d 2 λ = 0, ÂÊ·ÚÌfi˙ÔÓÙ·˜ ‰‡Ô ÊÔÚ¤˜ ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Stokes, Ï·Ì‚¿ÓÔ˘Ì fiÙÈ λ= dλ = d 2 λ = 0. (109) ∂∂
∂
™˘ÓÂÒ˜, ηٷϋÁÔ˘Ì fiÙÈ ∂ 2 = 0. M ‰È·ÊÔÚÂÙÈ΋ ‰È·Ù‡ˆÛË, ÙÔ Û‡ÓÔÚÔ ÂÓfi˜ Û˘ÓfiÚÔ˘ Â›Ó·È Ë ÌˉÂÓÈ΋ ·Ï˘Û›‰·. AÓ·ÙÚ¤ÍÙ ÛÙËÓ ÕÛÎËÛË 16 ÁÈ· Ì›· ‰È·ÊÔÚÂÙÈ΋ ·fi‰ÂÈÍË ·˘ÙÔ‡ ÙÔ˘ ÁÂÁÔÓfiÙÔ˜. ¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 10.36. A˜ Â›Ó·È E = R 2 − {0}, ‰ËÏ·‰‹ ÙÔ Â›Â‰Ô ¯ˆÚ›˜ ÙËÓ ·Ú¯‹ ÙˆÓ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤ӈÓ. H 1-ÌÔÚÊ‹ η=
xdy − yd x x 2 + y2
(110)
Â›Ó·È ÎÏÂÈÛÙ‹ ÛÙÔ R 2 − {0}. A˘Ùfi ·ÏËı‡ÂÙ·È Â‡ÎÔÏ· Ì ‰È·ÊfiÚÈÛË. £ÂˆÚԇ̠¤Ó·Ó Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi r Ì r > 0 Î·È ÔÚ›˙Ô˘Ì ÙËÓ ·ÂÈÎfiÓÈÛË γ ÛÙÔ [0, 2π ] ̤ۈ Ù˘ ÈÛfiÙËÙ·˜ γ (t) = (r cos t, r sin t)
(t ∈ [0, 2π]).
(111)
428
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
TfiÙÂ, Ë γ Â›Ó·È Ì›· η̇ÏË (¤Ó· «ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈṲ̂ÓÔ 1-ÌÔÓfiÏÔÎÔ») ÛÙÔ R 2 − {0}. EÊfiÛÔÓ γ (0) = γ (2π ), ¤¯Ô˘Ì fiÙÈ ∂γ = 0. M ¤Ó·Ó ¿ÌÂÛÔ ˘ÔÏÔÁÈÛÌfi ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì fiÙÈ η = 2π = 0. γ
(112)
(113)
Afi Ù· (‚) Î·È (Á) Ù˘ ¶·Ú·ÙËÚ‹Ûˆ˜ 10.35 Î·È ÙËÓ (113) Û˘Ó¿ÁÔ˘Ì ٷ ÂÍ‹˜: K·Ù¿ ÚÒÙÔÓ, Ë ÌÔÚÊ‹ η ‰ÂÓ Â›Ó·È ·ÎÚÈ‚‹˜ ÛÙÔ R 2 − {0}, ·ÏÏÈÒ˜ ı· ÚԤ΢Ù ·fi ÙËÓ (112) fiÙÈ ÙÔ ÔÏÔÎϋڈ̷ ÛÙËÓ (113) Â›Ó·È ›ÛÔ Ì 0. K·Ù¿ ‰Â‡ÙÂÚÔÓ, Ë Î·Ì‡ÏË γ ‰ÂÓ Â›Ó·È ÙÔ Û‡ÓÔÚÔ Î·Ì›·˜ 2-·Ï˘Û›‰·˜ ÛÙÔ R 2 − {0} (ÎÏ¿Ûˆ˜ C ), ·ÏÏÈÒ˜ ·fi ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ Ë ÌÔÚÊ‹ η Â›Ó·È ÎÏÂÈÛÙ‹ ı· ÚԤ΢Ù fiÙÈ ÙÔ ÔÏÔÎϋڈ̷ ÛÙËÓ (113) Â›Ó·È ›ÛÔ Ì 0. ¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 10.37. A˜ Â›Ó·È E = R 3 − {0}, Ô ¯ÒÚÔ˜ ÙÚÈÒÓ ‰È·ÛÙ¿ÛÂˆÓ ¯ˆÚ›˜ ÙËÓ ·Ú¯‹ ÙˆÓ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤ӈÓ. OÚ›˙Ô˘Ì ζ =
xdy ∧ dz + ydz ∧ d x + zd x ∧ dy , (x 2 + y 2 + z 2 )3/2
(114)
fiÔ˘ ÁÚ¿ÊÔ˘Ì (x, y, z) ÛÙË ı¤ÛË ÙÔ˘ (x1 , x2 , x3 ). ¢È·ÊÔÚ›˙ÔÓÙ·˜ ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ dζ = 0, ÂÔ̤ӈ˜ Ë ζ Â›Ó·È ÎÏÂÈÛÙ‹ 2-ÌÔÚÊ‹ ÛÙÔ R 3 − {0}. £ÂˆÚԇ̠ÙËÓ 2-·Ï˘Û›‰· ÛÙÔ R 3 − {0} Ô˘ ¤¯ÂÈ Î·Ù·Û΢·Ûı› ÛÙÔ ¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 10.32. YÂÓı˘Ì›˙Ô˘Ì fiÙÈ Ë ·ÔÙÂÏ› Ì›· ·Ú·ÌÂÙÚÔÔ›ËÛË Ù˘ ÌÔÓ·‰È·›·˜ ÛÊ·›Ú·˜ ÙÔ˘ R 3 . XÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ÙÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ D ÙÔ˘ ¶·Ú·‰Â›ÁÌ·ÙÔ˜ 10.32 ˆ˜ ‰›Ô ·Ú·Ì¤ÙÚˆÓ ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ‡ÎÔÏ· fiÙÈ ζ = sin u dudv = 4π = 0. (115)
D
Ÿˆ˜ Î·È ÛÙÔ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, Û˘Ó¿ÁÔ˘Ì fiÙÈ Ë ζ ‰ÂÓ Â›Ó·È ·ÎÚÈ‚‹˜ ÛÙÔ R 3 − {0} (ÂÊfiÛÔÓ ∂ = 0, ηٿ ÙÔ ¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 10.32) Î·È fiÙÈ Ë ÛÊ·›Ú· ‰ÂÓ ·ÔÙÂÏ› Û‡ÓÔÚÔ Î·Ì›·˜ 3-·Ï˘Û›‰·˜ (ÎÏ¿Ûˆ˜ C ) ÛÙÔ R 3 − {0} ÌÔÏÔÓfiÙÈ ∂ = 0.
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TÔ ÂfiÌÂÓÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· ı· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈËı› ÛÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 10.39. £ÂÒÚËÌ· 10.38. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ E Â›Ó·È ¤Ó· ΢ÚÙfi ·ÓÔÈÎÙfi Û‡ÓÔÏÔ ÛÙÔÓ R n , fiÙÈ f ∈ C (E), fiÙÈ p Â›Ó·È ·Î¤Ú·ÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ Ì 1 ≤ p ≤ n Î·È fiÙÈ (D j f )(x) = 0
( p < j ≤ n, x ∈ E).
(116)
TfiÙÂ, ˘¿Ú¯ÂÈ F ∈ C (E) Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ (D p F)(x) = f (x),
(D j F)(x) = 0
( p < j ≤ n, x ∈ E).
(117)
Afi‰ÂÈÍË. °Ú¿ÊÔ˘Ì x = (x , x p , x ), fiÔ˘ x = (x1 , . . . , x p−1 ), x = (x p+1 , . . . , xn ). (ŸÙ·Ó p = 1, ÙfiÙ ÙÔ x ‰ÂÓ ˘Ê›ÛٷٷÈ. ŸÙ·Ó p = n, ÙfiÙ ÙÔ x ‰ÂÓ ˘Ê›ÛٷٷÈ.) A˜ Â›Ó·È V ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ (x , x p ) ∈ R p Ì (x , x p , x ) ∈ E ÁÈ· οÔÈÔ x . ŸÓÙ·˜ ÚÔ‚ÔÏ‹ ÙÔ˘ E, ÙÔ V Â›Ó·È Î˘ÚÙfi Û‡ÓÔÏÔ ÛÙÔÓ R p . EÊfiÛÔÓ ÙÔ E Â›Ó·È Î˘ÚÙfi Î·È ÈÛ¯‡ÂÈ Ë (116), Ë f (x) ‰ÂÓ ÂÍ·ÚÙ¿Ù·È ·fi ÙÔ x . EÔ̤ӈ˜, ˘¿Ú¯ÂÈ Û˘Ó¿ÚÙËÛË φ Ì ‰›Ô ÔÚÈÛÌÔ‡ ÙÔ V Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ f (x) = φ(x , x p ) ÁÈ· οı x ∈ E. E¿Ó p = 1, ÙfiÙ ÙÔ V Â›Ó·È ¤Ó· ·ÓÔÈÎÙfi ‰È¿ÛÙËÌ· ÛÙÔÓ R 1 (Èı·ÓÒ˜ ÌË ÊÚ·Á̤ÓÔ). EÈϤÁÔ˘Ì c ∈ V Î·È ÔÚ›˙Ô˘Ì x1 φ(t)dt (x ∈ E). F(x) = c
E¿Ó p > 1, ÙfiÙ ıˆÚԇ̠ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ U ÙˆÓ x ∈ R p−1 Ì (x , x p ) ∈ V ÁÈ· οÔÈÔ x p . TÔ U Â›Ó·È Î˘ÚÙfi ·ÓÔÈÎÙfi Û‡ÓÔÏÔ ÛÙÔÓ R p−1 Î·È ˘¿Ú¯ÂÈ Ì›· Û˘Ó¿ÚÙËÛË α ∈ C (U ) Ì (x , α(x )) ∈ V ÁÈ· οı x ∈ U . ¢ËÏ·‰‹, ÙÔ ÁÚ¿ÊËÌ· Ù˘ α ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙÔ V (ÕÛÎËÛË 29). OÚ›˙Ô˘Ì xp φ(x , t)dt (x ∈ E). F(x) = α(x )
430
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
™Â οı ÂÚ›ÙˆÛË, Ë F ÈηÓÔÔÈ› ÙËÓ (117). b a (™ËÌ›ˆÛË: YÂÓı˘Ì›˙Ô˘Ì ÙË Û˘Ó‹ıË Û‡Ì‚·ÛË fiÙÈ ÙÔ a ÈÛÔ‡Ù·È Ì − b Â¿Ó b < a.) £ÂÒÚËÌ· 10.39. E¿Ó E ⊂ R n Â›Ó·È ¤Ó· ΢ÚÙfi Î·È ·ÓÔÈÎÙfi Û‡ÓÔÏÔ, Â¿Ó k ≥ 1 Î·È Â¿Ó ω Â›Ó·È Ì›· k-ÌÔÚÊ‹ ÎÏ¿Ûˆ˜ C ÛÙÔ E Ì dω = 0, ÙfiÙ ˘¿Ú¯ÂÈ Ì›· (k − 1)-ÌÔÚÊ‹ λ ÛÙÔ E Ì ω = dλ. EÓ Û˘ÓÙÔÌ›·, ÔÈ ÎÏÂÈÛÙ¤˜ ÌÔÚʤ˜ Û ΢ÚÙ¿ Û‡ÓÔÏ· Â›Ó·È ·ÎÚȂ›˜. Afi‰ÂÈÍË. °È· p = 1, . . . , n Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì Ì Y p ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ k-ÌÔÚÊÒÓ ω ÎÏ¿Ûˆ˜ C ÛÙÔ E ÌÂ Û˘Ó‹ıË ·Ó··Ú¿ÛÙ·ÛË ÙËÓ ω=
f I (x)d x I ,
(118)
I
ÛÙËÓ ÔÔ›· ‰ÂÓ ÂÌϤÎÔÓÙ·È ÔÈ d x p+1 , . . . , d xn . M ‰È·ÊÔÚÂÙÈ΋ ‰È·Ù‡ˆÛË, ÁÈ· ¤Ó·Ó ·‡ÍÔÓÙ· k-‰Â›ÎÙË ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ ¤¯ÂÈ fiÏ· Ù· ÛÙÔȯ›· ·fi ÙÔ {1, . . . , p}, Â¿Ó f I (x) = 0 ÁÈ· οÔÈÔ x ∈ E. £· ÚÔ¯ˆÚ‹ÛÔ˘Ì Ì ·ÁˆÁ‹ ˆ˜ ÚÔ˜ p. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ ω ∈ Y1 . TfiÙÂ, ω = f (x)d x1 . EÊfiÛÔÓ dω = 0, ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ (D j f )(x) = 0 ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË j Ì 1 < j ≤ n Î·È Î¿ı x ∈ E. §fiÁˆ ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 10.38, ˘¿Ú¯ÂÈ F ∈ C (E) Ì D1 F = f Î·È D j F = 0 ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË j Ì 1 < j ≤ n. ÕÚ·, d F = (D1 F)(x)d x1 = f (x)d x1 = ω. TÒÚ·, ıˆÚԇ̠p > 1 Î·È Î¿ÓÔ˘Ì ÙËÓ ·ÎfiÏÔ˘ıË Â·ÁˆÁÈ΋ ˘fiıÂÛË: K¿ı ÎÏÂÈÛÙ‹ k-ÌÔÚÊ‹ Ô˘ ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙÔ Y p−1 Â›Ó·È ·ÎÚÈ‚‹˜ ÛÙÔ E. EÈϤÁÔ˘Ì ω ∈ Y p Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ dω = 0. Afi ÙËÓ (118) ¤¯Ô˘Ì fiÙÈ n I
(D j f I )(x)d x j ∧ d x I = dω = 0.
(119)
j=1
£ÂˆÚԇ̠¤Ó·Ó ‰Â›ÎÙË j Ì p < j ≤ n. K¿ı ·‡ÍˆÓ k-‰Â›ÎÙ˘ I Ô˘ ÂÌÊ·Ó›˙ÂÙ·È ÛÙËÓ (118) ¤¯ÂÈ fiÏ· Ù· ÛÙÔȯ›· ·fi ÙÔ {1, . . . , p}. E¿Ó I1 , I2
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Â›Ó·È ‰‡Ô ·fi ·˘ÙÔ‡˜ ÙÔ˘˜ k-‰Â›ÎÙ˜ Ì I1 = I2 , ÙfiÙ ÔÈ (k + 1)-‰Â›ÎÙ˜ (I1 , j), (I2 , j) Â›Ó·È ‰È·ÎÂÎÚÈ̤ÓÔÈ. EÔ̤ӈ˜, ‰ÂÓ ˘Ê›ÛÙ·Ù·È ·ÏÏËÏÔ·Ó·›ÚÂÛË. Afi ÙËÓ (119) Û˘Ó¿ÁÔ˘Ì fiÙÈ Î¿ıÂ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹˜ ÛÙËÓ (118) ÈηÓÔÔÈ› ÙËÓ (D j f I )(x) = 0
(x ∈ E, p < j ≤ n).
(120)
TÒÚ·, Û˘ÁÎÂÓÙÚÒÓÔ˘Ì ÙÔ˘˜ fiÚÔ˘˜ Ù˘ (118) Ô˘ ÂÚȤ¯Ô˘Ó ÙËÓ d x p Î·È ÁÚ¿ÊÔ˘Ì ÙËÓ ω ÛÙË ÌÔÚÊ‹ ω=α+
f I (x)d x I0 ∧ d x p ,
(121)
I0
fiÔ˘ α ∈ Y p−1 , οı I0 Â›Ó·È ·‡ÍˆÓ (k − 1)-‰Â›ÎÙ˘ ÛÙÔ {1, . . . , p − 1} Î·È I = (I0 , p). §fiÁˆ Ù˘ (120), ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 10.38 ¯ÔÚËÁ› Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ FI ∈ C (E) Ì D p FI = f I , D j FI = 0 ( p < j ≤ n).
(122)
£¤ÙÔ˘Ì β=
FI (x)d x I0
(123)
I0
Î·È ÔÚ›˙Ô˘Ì γ = ω − (−1)k−1 dβ. EÊfiÛÔÓ Ë β Â›Ó·È (k − 1)-ÌÔÚÊ‹, ¤ÂÙ·È fiÙÈ γ =ω−
p p−1 (D j FI )(x)d x I0 ∧ d x j = α − (D j FI )(x)d x I0 ∧ d x j , I0
j=1
I0
j=1
Ë ÔÔ›· ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÚÔÊ·ÓÒ˜ ÛÙÔ Y p−1 . EÊfiÛÔÓ dω = 0 Î·È d 2 β = 0, ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ dγ = 0. EÔ̤ӈ˜, ·fi ÙËÓ Â·ÁˆÁÈ΋ ˘fiıÂÛË Ï·Ì‚¿ÓÔ˘Ì fiÙÈ γ = dµ, ÁÈ· οÔÈ· (k − 1)-ÌÔÚÊ‹ µ ÛÙÔ E. E¿Ó λ = µ + (−1)k−1 β, ÙfiÙ ηٷϋÁÔ˘Ì ÛÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· ω = dλ. H ·fi‰ÂÈÍË ÔÏÔÎÏËÚÒÓÂÙ·È Ì ¯Ú‹ÛË Â·ÁˆÁ‹˜. £ÂÒÚËÌ· 10.40. £ÂˆÚԇ̠¤Ó·Ó ·Î¤Ú·ÈÔ ·ÚÈıÌfi k Ì 1 ≤ k ≤ n. A˜ Â›Ó·È E ⊂ R n ¤Ó· ·ÓÔÈÎÙfi Û‡ÓÔÏÔ ÛÙÔ ÔÔ›Ô Î¿ı ÎÏÂÈÛÙ‹ k-ÌÔÚÊ‹
432
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
Â›Ó·È ·ÎÚÈ‚‹˜. A˜ Â›Ó·È Â›Û˘ T Ì›· 1-1 C -·ÂÈÎfiÓÈÛË ÙÔ˘ E › ÂÓfi˜ ·ÓÔÈÎÙÔ‡ Û˘ÓfiÏÔ˘ U ⊂ R n , Ë ÔÔ›· ¤¯ÂÈ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊË ·ÂÈÎfiÓÈÛË S ÎÏ¿Ûˆ˜ C . TfiÙÂ, οı ÎÏÂÈÛÙ‹ k-ÌÔÚÊ‹ ÛÙÔ U Â›Ó·È ·ÎÚÈ‚‹˜ ÛÙÔ U . ™ËÌÂÈÒÓÔ˘Ì fiÙÈ Î¿ı ΢ÚÙfi ·ÓÔÈÎÙfi Û‡ÓÔÏÔ E ÈηÓÔÔÈ› ÙËÓ ·ÚÔ‡Û· ˘fiıÂÛË, Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 10.39. H Û¯¤ÛË ÌÂٷ͇ ÙˆÓ E Î·È U ÂÎÊÚ¿˙ÂÙ·È Ï¤ÁÔÓÙ·˜ fiÙÈ Ù· Û‡ÓÔÏ· ·˘Ù¿ Â›Ó·È C -ÈÛÔ‰‡Ó·Ì·. ™˘ÓÂÒ˜, οı ÎÏÂÈÛÙ‹ ÌÔÚÊ‹ Û ¤Ó· Û‡ÓÔÏÔ ÙÔ ÔÔ›Ô Â›Ó·È C ÈÛÔ‰‡Ó·ÌÔ Ì ΢ÚÙfi ·ÓÔÈÎÙfi Û‡ÓÔÏÔ, Â›Ó·È ·ÎÚÈ‚‹˜. Afi‰ÂÈÍË. A˜ Â›Ó·È ω Ì›· k-ÌÔÚÊ‹ ÛÙÔ U Ì dω = 0. Afi ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 10.22(Á) ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ Ë ωT Â›Ó·È k-ÌÔÚÊ‹ ÛÙÔ E Ì d(ωT ) = 0. K·Ù¿ Û˘Ó¤ÂÈ·, ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ ωT = dλ ÁÈ· οÔÈ· (k − 1)-ÌÔÚÊ‹ λ ÛÙÔ E. M ¯Ú‹ÛË ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 10.23 Î·È Ì ̛· ·ÎfiÌË ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 10.22(Á) Ï·Ì‚¿ÓÔ˘Ì fiÙÈ ω = (ωT ) S = (dλ) S = d(λ S ). EÊfiÛÔÓ Ë λ S Â›Ó·È (k − 1)-ÌÔÚÊ‹ ÛÙÔ E, Ë ω Â›Ó·È ·ÎÚÈ‚‹˜ ÛÙÔ U . ¶·Ú·Ù‹ÚËÛË 10.41. °È· ÙȘ ÂÊ·ÚÌÔÁ¤˜, Ù· ‰È·ÛÙ‹Ì·Ù· Â›Ó·È Û˘¯Ó¿ ηٷÏÏËÏfiÙÂÚ· ˆ˜ ‰›· ·Ú·Ì¤ÙÚˆÓ ·fi Ù· ÌÔÓfiÏÔη. E¿Ó Ë ¤ˆ˜ ÙÒÚ· ·Ó¿Ù˘ÍË Â›¯Â ‚·ÛÈÛı› Û ‰È·ÛÙ‹Ì·Ù· Î·È fi¯È Û ÌÔÓfiÏÔη, ÙfiÙ ÔÈ ˘ÔÏÔÁÈÛÌÔ› ÛÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ ÙÔ˘ Stokes ı· ‹Ù·Ó ·ÎfiÌË ·ÏÔ‡ÛÙÂÚÔÈ. (A˘Ùfi Á›ÓÂÙ·È ÛÙÔ ‚È‚Ï›Ô ÙÔ˘ Spivak). O ÏfiÁÔ˜ ÚÔÙÈÌ‹Ûˆ˜ ÙˆÓ ÌÔÓÔÏfiÎˆÓ ¤ÁÎÂÈÙ·È ÛÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ Ô ÔÚÈÛÌfi˜ ÙÔ˘ Û˘ÓfiÚÔ˘ ÂÓfi˜ ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈṲ̂ÓÔ˘ ÌÔÓÔÏfiÎÔ˘ Ê·›ÓÂÙ·È Â˘ÎÔÏfiÙÂÚÔ˜ Î·È ÈÔ Ê˘ÛÈÔÏÔÁÈÎfi˜ ·fi fiÙÈ Ô ·ÓÙ›ÛÙÔȯԘ ÔÚÈÛÌfi˜ ÙÔ˘ Û˘ÓfiÚÔ˘ ÂÓfi˜ ‰È·ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜. (AÓ·ÙÚ¤ÍÙ ÛÙËÓ ÕÛÎËÛË 19). EÈÚÔÛı¤Ùˆ˜, Ô ‰È·ÌÂÚÈÛÌfi˜ ÙˆÓ Û˘ÓfiÏˆÓ Û ÌÔÓfiÏÔη (‰È·‰Èηۛ· Ô˘ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È «ÙÚÈÁˆÓÔÔÈ‹ÛË») η٤¯ÂÈ ÛËÌ·ÓÙÈÎfi ÚfiÏÔ ÛÙËÓ TÔÔÏÔÁ›· Î·È ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÈÛ¯˘Ú¤˜ ‰È·Û˘Ó‰¤ÛÂȘ ÌÂٷ͇ ÔÚÈÛÌ¤ÓˆÓ Ï¢ÚÒÓ Ù˘ TÔÔÏÔÁ›·˜ Ì ÙË ıˆڛ· ÙˆÓ ‰È·ÊÔÚÈÎÒÓ ÌÔÚÊÒÓ. OÚÈṲ̂Ó˜ ·fi ·˘Ù¤˜ ˘Ô‰ÂÈÎÓ‡ÔÓÙ·È ÛÙËÓ EÓfiÙËÙ· 10.35. TÔ ‚È‚Ï›Ô ÙˆÓ Singer Î·È Thorpe ÂÚȤ¯ÂÈ Ì›· ηϋ ÂÈÛ·ÁˆÁ‹ ÛÙ· ı¤Ì·Ù· ·˘Ù¿.
O§OK§HPø™H ¢IAºOPIKøN MOPºøN 433
EÊfiÛÔÓ Î¿ı ‰È¿ÛÙËÌ· ÌÔÚ› Ó· ÙÚÈÁˆÓÔÔÈËı›, ÌÔÚԇ̠ӷ ÙÔ ıˆڋÛÔ˘Ì ˆ˜ ·Ï˘Û›‰·. °È· ÙË ‰È¿ÛÙ·ÛË 2, ·˘Ùfi ‹‰Ë ¤¯ÂÈ Á›ÓÂÈ ÛÙÔ ¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 10.32. °È· ÙË ‰È¿ÛÙ·ÛË 3, ·Ó·ÙÚ¤ÍÙ ÛÙËÓ ÕÛÎËÛË 18. TÔ Ï‹ÌÌ· ÙÔ˘ Poincaré (£ÂÒÚËÌ· 10.39) ÌÔÚ› Ó· ·Ô‰Âȯı› Ì ·ÚÎÂÙÔ‡˜ ÙÚfiÔ˘˜. °È· ÙÔ˘ ÏfiÁÔ˘ ÙÔ ·ÏËı¤˜, ·Ó·ÙÚ¤ÍÙ ÛÙË ÛÂÏ›‰· 94 ÙÔ˘ ‚È‚Ï›Ô˘ ÙÔ˘ Spivak ‹ ÛÙË ÛÂÏ›‰· 280 ÙÔ˘ ‚È‚Ï›Ô˘ ÙÔ˘ Flemming. ™ÙȘ AÛ΋ÛÂȘ 24 Î·È 27 ˘Ô‰ÂÈÎÓ‡ÔÓÙ·È ‰‡Ô ·Ï¤˜ ·Ô‰Â›ÍÂȘ Ô˘ ÂÊ·ÚÌfi˙ÔÓÙ·È Û ÂȉÈΤ˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ.
¢IANY™MATIKH ANA§Y™H £· ÎÏ›ÛÔ˘Ì ·˘Ùfi ÙÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ Ì ÔÚÈṲ̂Ó˜ ÂÊ·ÚÌÔÁ¤˜ ÙˆÓ fiÛˆÓ ·ÚÔ˘ÛÈ¿Û·Ì ¤ˆ˜ ÙÒÚ· Û ıˆڋ̷ٷ Ô˘ ·ÊÔÚÔ‡Ó ÛÙË ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈ΋ ·Ó¿Ï˘ÛË ÙÔ˘ R 3 . A˘Ù¿ Â›Ó·È ÂȉÈΤ˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ ıˆÚËÌ¿ÙˆÓ ÂÚ› ‰È·ÊÔÚÈÎÒÓ ÌÔÚÊÒÓ, ·ÏÏ¿ Û˘Ó‹ıˆ˜ ‰È·Ù˘ÒÓÔÓÙ·È Ì ¯Ú‹ÛË ‰È·ÊÔÚÂÙÈ΋˜ ÔÚÔÏÔÁ›·˜. EÔ̤ӈ˜, ·ÓÙÈÌÂÙˆ›˙Ô˘Ì ·Ú¯Èο ÙËÓ ÌÂÙ·ÊÔÚ¿ ÙˆÓ ÚÔËÁÔ˘Ì¤ÓˆÓ ÂÓÓÔÈÒÓ Û ηÈÓÔ‡ÚÈÔ ÔÚÔÏÔÁÈÎfi Ï·›ÛÈÔ. 10.42 ¢È·Ó˘ÛÌ·ÙÈο ‰›·. A˜ Â›Ó·È F = F1 e1 + F2 e2 + F3 e3 Ì›· Û˘Ó¯‹˜ ·ÂÈÎfiÓÈÛË ÂÓfi˜ ·ÓÔÈÎÙÔ‡ Û˘ÓfiÏÔ˘ E ⊂ R 3 ÛÙÔÓ R 3 . EÊfiÛÔÓ Ë F ·ÓÙÈÛÙÔȯ›˙ÂÈ ¤Ó· ‰È¿Ó˘ÛÌ· Û οı ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ E, Ë F ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Û˘Ó‹ıˆ˜ ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎfi ‰›Ô, ΢ڛˆ˜ Û ı¤Ì·Ù· Ô˘ Û¯ÂÙ›˙ÔÓÙ·È Ì ÙË º˘ÛÈ΋. ™Â οı ٤ÙÔÈ· ·ÂÈÎfiÓÈÛË F ·ÓÙÈÛÙÔȯ›˙ÂÙ·È Ë 1-ÌÔÚÊ‹ λF = F1 d x + F2 dy + F3 dz
(124)
ωF = F1 dy ∧ dz + F2 dz ∧ d x + F3 d x ∧ dy.
(125)
Î·È Ë 2-ÌÔÚÊ‹
™Â ·˘Ùfi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô Î·ıÒ˜ Î·È ÛÙÔ ˘fiÏÔÈÔ ÙÔ˘ ÎÂÊ·Ï·›Ô˘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÙÔ Û˘Ó‹ıË Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌfi (x, y, z) ·ÓÙ› ÙÔ˘ (x1 , x2 , x3 ). AÓÙÈÛÙÚfiʈ˜, Â›Ó·È Û·Ê¤˜ fiÙÈ Î¿ı 1-ÌÔÚÊ‹ ÛÙÔ E Â›Ó·È ÙÔ˘ Ù‡Ô˘ λF ÁÈ· οÔÈÔ ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎfi ‰›Ô F ÛÙÔ E. E›Û˘ οı 2-ÌÔÚÊ‹ ÛÙÔ E ›ӷÈ
434
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
ÙÔ˘ Ù‡Ô˘ ωF ÁÈ· οÔÈÔ ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎfi ‰›Ô F ÛÙÔ E. ™ÙÔÓ R 3 , Ë ÌÂϤÙË ÙˆÓ 1-ÌÔÚÊÒÓ Î·È 2-ÌÔÚÊÒÓ Á›ÓÂÙ·È Û˘Á¯ÚfiÓˆ˜ Ì ÙË ÌÂϤÙË ÙˆÓ ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎÒÓ Â‰›ˆÓ. E¿Ó u ∈ C (E) Â›Ó·È Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË, ÙfiÙÂ Ë ÎÏ›ÛË Ù˘ u ∇u = (D1 u)e1 + (D2 u)e2 + (D3 u)e3 ·ÔÙÂÏ› ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎÔ‡ ‰›Ô˘ ÛÙÔ E. YÔı¤ÙÔ˘Ì ÙÒÚ· fiÙÈ F Â›Ó·È ¤Ó· ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎfi ‰›Ô ÛÙÔ E, ÎÏ¿Ûˆ˜ O ÛÙÚÔ‚ÈÏÈÛÌfi˜ ∇ × F ÙÔ˘ F Â›Ó·È ÙÔ ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎfi ‰›Ô ÛÙÔ E Ô˘ ÔÚ›˙ÂÙ·È ˆ˜ C .
∇ × F = (D2 F3 − D3 F2 )e1 + (D3 F1 − D1 F3 )e2 + (D1 F2 − D2 F1 )e3 Î·È Ë ·fiÎÏÈÛË ÙÔ˘ F Â›Ó·È Ë Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ∇ ·F ÛÙÔ E Ô˘ ÔÚ›˙ÂÙ·È ˆ˜ ∇ · F = D1 F1 + D2 F2 + D3 F3 . OÈ ÔÛfiÙËÙ˜ ·˘Ù¤˜ ¤¯Ô˘Ó ÔÈΛϘ Ê˘ÛÈΤ˜ ÂÚÌËÓ›˜. °È· ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ˜ ÏÂÙÔ̤ÚÂȘ, ·Ú·¤ÌÔ˘Ì ÛÙÔ ‚È‚Ï›Ô ÙÔ˘ Kellogg. ¶·Ú·Î¿Ùˆ ·Ú·ı¤ÙÔ˘Ì ÔÚÈṲ̂Ó˜ Û¯¤ÛÂȘ ÌÂٷ͇ ÙˆÓ ·Ú·¿Óˆ ÂÓÓÔÈÒÓ. £ÂÒÚËÌ· 10.43. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ E Â›Ó·È ¤Ó· ·ÓÔÈÎÙfi ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ R 3 , fiÙÈ u ∈ C (E) Î·È fiÙÈ G Â›Ó·È ¤Ó· ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎfi ‰›Ô ÛÙÔ E, ÎÏ¿Ûˆ˜ C . (·) E¿Ó F = ∇u, ÙfiÙ ∇ × F = 0. (‚) E¿Ó F = ∇ × G, ÙfiÙ ∇ · F = 0. EÈϤÔÓ, Â¿Ó ÙÔ E Â›Ó·È C -ÈÛÔ‰‡Ó·ÌÔ Ì ¤Ó· ΢ÚÙfi Û‡ÓÔÏÔ, ÙfiÙ ٷ (·) Î·È (‚) ¤¯Ô˘Ó ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊ·, ÛÙ· ÔÔ›· ˘Ôı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ F Â›Ó·È ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎfi ‰›Ô ÛÙÔ E, ÎÏ¿Ûˆ˜ C : (·') E¿Ó ∇ × F = 0, ÙfiÙ F = ∇u ÁÈ· οÔÈ· Û˘Ó¿ÚÙËÛË u ∈ C (E). (‚') E¿Ó ∇ · F = 0, ÙfiÙ F = ∇ × G ÁÈ· οÔÈÔ ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎfi ‰›Ô G ÛÙÔ E, ÎÏ¿Ûˆ˜ C .
O§OK§HPø™H ¢IAºOPIKøN MOPºøN 435
Afi‰ÂÈÍË. E¿Ó Û˘ÁÎÚ›ÓÔ˘Ì ÙÔ˘˜ ÔÚÈÛÌÔ‡˜ ÙˆÓ ∇u, ∇ × F Î·È ∇ · F Ì ÙȘ ‰È·ÊÔÚÈΤ˜ ÌÔÚʤ˜ Ô˘ ‰›‰ÔÓÙ·È ÛÙȘ (124) Î·È (125), ÙfiÙ Ϸ̂¿ÓÔ˘Ì ٷ ÂÍ‹˜: F = ∇u Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó λF = du. ∇ × F = 0 Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó dλF = 0. F = ∇ × G Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ωF = dλG . ∇ ·F=0 Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó dωF = 0. E¿Ó F = ∇u, ÙfiÙ λF = du Î·È ÂÔ̤ӈ˜ dλF = d 2 u = 0 (£ÂÒÚËÌ· 10.20), ÙÔ ÔÔ›Ô ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ ∇ × F = 0. ÕÚ·, ÙÔ (·) ¤¯ÂÈ ·Ô‰Âȯı›. ™¯ÂÙÈο Ì ÙÔ (·'), Ë ˘fiıÂÛË ÈÛÔ‰˘Ó·Ì› Ì ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· dλF = 0. ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 10.40, λF = du ÁÈ· οÔÈ· 0-ÌÔÚÊ‹ u. ™˘ÓÂÒ˜, F = ∇u. OÈ ·Ô‰Â›ÍÂȘ ÙˆÓ (‚) Î·È (‚') Â›Ó·È ·ÚfiÌÔȘ. 10.44 ™ÙÔȯ›· fiÁÎÔ˘. H k-ÌÔÚÊ‹ d x1 ∧ · · · ∧ d xk ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÙÔ ÛÙÔÈ¯Â›Ô fiÁÎÔ˘ ÛÙÔÓ R k . ™˘¯Ó¿ Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì d V (‹ Ì d Vk Â¿Ó ÂÈı˘Ìԇ̠ӷ ‰ÒÛÔ˘Ì ¤ÌÊ·ÛË ÛÙË ‰È¿ÛÙ·ÛË). XÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÙÔÓ Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌfi f dV = f (x)d x1 ∧ · · · ∧ d xk , (126)
fiÔ˘ Â›Ó·È Ì›· ıÂÙÈο ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈṲ̂ÓË k-ÂÈÊ¿ÓÂÈ· ÙÔ˘ R k Î·È f Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÛÙÔ Â‰›Ô ÙÈÌÒÓ Ù˘ . O ÏfiÁÔ˜ ÁÈ· ÙÔÓ ÔÔ›Ô ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠·˘Ù‹Ó ÙËÓ ÔÚÔÏÔÁ›· Â›Ó·È Ôχ ·Ïfi˜: E¿Ó D Â›Ó·È Â‰›Ô ·Ú·Ì¤ÙÚˆÓ ÛÙÔÓ R k Î·È Â¿Ó Â›Ó·È Ì›· 1-1 C -·ÂÈÎfiÓÈÛË ÙÔ˘ D ÛÙÔÓ R k Ì ıÂÙÈ΋ ÔÚ›˙Ô˘Û· Jacobi J , ÙfiÙÂ Ë ‰ÂÍÈ¿ ÏÂ˘Ú¿ Ù˘ (126) Â›Ó·È Ë f ((u))J (u)du = f (x)dx, D
Û‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ (35) Î·È ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 10.9.
(D)
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∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
I‰È·ÈÙ¤Úˆ˜, fiÙ·Ó f = 1, Ë (126) ÔÚ›˙ÂÈ ÙÔÓ fiÁÎÔ Ù˘ . Œ¯Ô˘Ì ‹‰Ë Û˘Ó·ÓÙ‹ÛÂÈ Ì›· ÂȉÈ΋ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘ÙÔ‡ ÛÙËÓ (36). O Û˘Ó‹ı˘ Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌfi˜ ÁÈ· ÙÔ d V2 7 Â›Ó·È d A. 10.45 TÔ £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Green. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ E Â›Ó·È ¤Ó· ·ÓÔÈÎÙfi ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ R 2 , fiÙÈ α, β ∈ C (E) Î·È fiÙÈ Â›Ó·È ¤Ó· ÎÏÂÈÛÙfi ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ E Ì ıÂÙÈο ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈṲ̂ÓÔ Û‡ÓÔÚÔ ∂, fiˆ˜ ¤¯ÂÈ ÔÚÈÛı› ÛÙËÓ EÓfiÙËÙ· 10.31. TfiÙÂ, ∂β ∂α d A. (127) (αd x + βdy) = − ∂y ∂ ∂x Afi‰ÂÈÍË. £¤ÙÔ˘Ì λ = αd x + βdy. TfiÙÂ, dλ = (D2 α)dy ∧ d x + (D1 β)d x ∧ dy = (D1 β − D2 α)d A Î·È ÂÔ̤ӈ˜ Ë (127) ÈÛÔ‰˘Ó·Ì› Ì ÙËÓ λ= dλ, ∂
Ë ÔÔ›· Î·È ÈÛ¯‡ÂÈ, Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 10.33. £ÂˆÚÒÓÙ·˜ ÛÙÔ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ ıÂÒÚËÌ· fiÙÈ α(x, y) = −y Î·È β(x, y) = x ((x, y) ∈ E), Ë (127) ÌÂÙ·ÙÚ¤ÂÙ·È ÛÙËÓ 1 (xdy − yd x) = A(), (128) 2 ∂ fiÔ˘ A() Â›Ó·È ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÙÔ˘ . M α(x, y) = 0 Î·È β(x, y) = x ((x, y) ∈ E) ÚÔ·ÙÂÈ Ì›· ·ÚfiÌÔÈ· Û¯¤ÛË. ™ÙÔ ¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 10.12(‚) ÂÚȤ¯ÂÙ·È Ì›· ÂȉÈ΋ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘ÙÔ‡. 10.46 ™ÙÔȯ›· ÂÌ‚·‰Ô‡ ÛÙÔÓ R 3 . A˜ Â›Ó·È Ì›· 2-ÂÈÊ¿ÓÂÈ· ÛÙÔÓ R 3 , ÎÏ¿Ûˆ˜ C , Ì ‰›Ô ·Ú·Ì¤ÙÚˆÓ D ⊂ R 2 . ™Â οı ÛËÌÂ›Ô (u, v) ∈ D ·ÓÙÈÛÙÔȯ›˙Ô˘Ì ÙÔ ‰È¿Ó˘ÛÌ· N(u, v) = 7
∂(y, z) ∂(z, x) ∂(x, y) e1 + e2 + e3 . ∂(u, v) ∂(u, v) ∂(u, v)
™. Ù. M.: A˘Ù‹ Ë ‰È·ÊÔÚÈ΋ ÌÔÚÊ‹ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Û˘Ó‹ıˆ˜ ÛÙÔÈ¯Â›Ô ÂÌ‚·‰Ô‡.
(129)
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OÈ ÔÚ›˙Ô˘Û˜ Jacobi ÛÙËÓ (129) ·ÓÙÈÛÙÔÈ¯Ô‡Ó ÛÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· (x, y, z) = (u, v).
(130)
E¿Ó f Â›Ó·È Ì›· Û˘Ó¯‹˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÛÙÔ (D), ÙfiÙ ÔÚ›˙Ô˘Ì ÙÔ ÂÈÊ·ÓÂÈ·Îfi ÔÏÔÎϋڈ̷ Ù˘ f ˘ÂÚ¿Óˆ Ù˘ ˆ˜ fdA = f ((u, v))|N(u, v)|dudv. (131)
D
I‰È·ÈÙ¤Úˆ˜, fiÙ·Ó f = 1, Ï·Ì‚¿ÓÔ˘Ì ÙÔ ÂÌ‚·‰fi Ù˘ ·fi ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· |N(u, v)|dudv. (132) A() = D
™Ù· ÂfiÌÂÓ· ı· ‰È·ÈÛÙÒÛÔ˘Ì fiÙÈ Ë (131) Î·È Ë ÂȉÈ΋ ÂÚ›ÙˆÛ‹ Ù˘ (132) ·ÔÙÂÏÔ‡Ó Â‡ÏÔÁÔ˘˜ ÔÚÈÛÌÔ‡˜. E›Û˘, ı· ÂÚÈÁÚ¿„Ô˘Ì ٷ ÁˆÌÂÙÚÈο ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈο ÙÔ˘ ‰È·Ó‡ÛÌ·ÙÔ˜ N. £¤ÙÔ˘Ì = ϕ1 e1 +ϕ2 e2 +ϕ3 e3 . £ÂˆÚԇ̠¤Ó· ÛËÌÂ›Ô p0 = (u 0 , v0 ) ∈ D. £¤ÙÔ˘Ì N = N(p0 ) Î·È αi = (D1 ϕi )(p0 ), βi = (D2 ϕi )(p0 ) (i = 1, 2, 3).
(133)
A˜ Â›Ó·È T ∈ L(R 2 , R 3 ) Ô ÁÚ·ÌÌÈÎfi˜ ÌÂÙ·Û¯ËÌ·ÙÈÛÌfi˜ Ô˘ ÔÚ›˙ÂÙ·È ·fi ÙË Û¯¤ÛË T (u, v) =
3 (αi u + βi v)ei ((u, v) ∈ R 2 ).
(134)
i=1
™ËÌÂÈÒÓÔ˘Ì fiÙÈ T = (p0 ), Û ÂÓ·ÚÌfiÓÈÛË Ì ÙÔÓ OÚÈÛÌfi 9.11. A˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì ÙÒÚ· fiÙÈ Ë ‚·ıÌ›‰· ÙÔ˘ T ÈÛÔ‡Ù·È Ì 2. (E¿Ó ÈÛÔ‡Ù·È Ì 0 ‹ Ì 1, ÙfiÙ N = 0 Î·È ÙÔ ÂÊ·ÙfiÌÂÓÔ Â›Â‰Ô Ô˘ ·Ó·Ê¤ÚÂÙ·È ·Ú·Î¿Ùˆ ÂÎÊ˘Ï›˙ÂÙ·È Û ¢ı›· ‹ Û ÛËÌ›Ô.) TÔ Â‰›Ô ÙÈÌÒÓ Ù˘ Û˘Û¯ÂÙÈ΋˜ ·ÂÈÎÔÓ›Ûˆ˜ (u, v) → (p0 ) + T (u, v) Â›Ó·È ÙfiÙ ¤Ó· Â›Â‰Ô , ÙÔ ÔÔ›Ô ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÂÊ·ÙfiÌÂÓÔ Â›Â‰Ô Ù˘ ÛÙÔ p0 . (£· ‹Ù·Ó ·ÚÂÛÙfi Ó· ·Ó·ÊÂÚfiÌ·ÛÙ Û ÂÊ·ÙfiÌÂÓÔ Â›Â‰Ô ÛÙÔ
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(p0 ), ·Ú¿ ÛÙÔ p0 . E¿Ó fï˜ Ë ‰ÂÓ Â›Ó·È 1-1, ÙfiÙÂ Û˘Ó·ÓÙÒÓÙ·È ‰˘ÛÎÔϛ˜ Û ·˘Ùfi.) E¿Ó ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÔ˘Ì ÙËÓ (133) ÛÙËÓ (129), ÙfiÙ Ϸ̂¿ÓÔ˘Ì fiÙÈ N = (α2 β3 − α3 β2 )e1 + (α3 β1 − α1 β3 )e2 + (α1 β2 − α2 β1 )e3
(135)
Î·È Ë (134) Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ T e1 =
3
αi ei ,
T e2 =
3
i=1
βi ei .
(136)
i=1
M ¤Ó·Ó ¿ÌÂÛÔ ˘ÔÏÔÁÈÛÌfi ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì fiÙÈ N · (T e1 ) = 0 = N · (T e2 ).
(137)
ÕÚ·, ÙÔ ‰È¿Ó˘ÛÌ· N Â›Ó·È Î¿ıÂÙÔ ÛÙÔ Â›Â‰Ô . OÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÙÔ ÔÚıfiıÂÙÔ ‰È¿Ó˘ÛÌ· Ù˘ ÛÙÔ p0 . H ‰Â‡ÙÂÚË È‰ÈfiÙËÙ· ÙÔ˘ N, Ë ÔÔ›· ·ÏËı‡ÂÙ·È Â›Û˘ Ì ¤Ó·Ó ¿ÌÂÛÔ ˘ÔÏÔÁÈÛÌfi ·fi ÙȘ (135) Î·È (136), Â›Ó·È Ë ÂÍ‹˜: H ÔÚ›˙Ô˘Û· ÙÔ˘ ÁÚ·ÌÌÈÎÔ‡ ÌÂÙ·Û¯ËÌ·ÙÈÛÌÔ‡ ÙÔ˘ R 3 Ô˘ ·ÂÈÎÔÓ›˙ÂÈ ÙÔ e1 ÛÙÔ T e1 , ÙÔ e2 ÛÙÔ T e2 Î·È ÙÔ e3 ÛÙÔ N Â›Ó·È Ë |N|2 , Ë ÔÔ›· Â›Ó·È ıÂÙÈ΋ (ÕÛÎËÛË 30). EÔ̤ӈ˜, ÙÔ 3-ÌÔÓfiÏÔÎÔ [0, T e1 , T e2 , N]
(138)
Â›Ó·È ıÂÙÈο ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈṲ̂ÓÔ. H ÙÚ›ÙË È‰ÈfiÙËÙ· ÙÔ˘ N Ô˘ ı· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÔ˘Ì ·ÔÙÂÏ› Û˘Ó¤ÂÈ· ÙˆÓ ‰‡Ô ÚÔËÁÔ˘Ì¤ÓˆÓ: H ÚÔ·Ó·ÊÂÚı›۷ ÔÚ›˙Ô˘Û·, Ë ÔÔ›· ¤¯ÂÈ ÙÈÌ‹ |N|2 , ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙÔÓ fiÁÎÔ ÙÔ˘ ·Ú·ÏÏËÏÂȤ‰Ô˘ Ì ·Î̤˜ [0, T e1 ], [0, T e2 ], [0, N]. ™‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ (137), Ë [0, N] Â›Ó·È Î¿ıÂÙË ÛÙȘ ¿ÏϘ ‰‡Ô ·Î̤˜. EÔ̤ӈ˜, ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÙÔ˘ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘ Ì ÎÔÚ˘Ê¤˜ ÙȘ 0, T e1 , T e2 , T (e1 + e2 )
(139)
ÈÛÔ‡Ù·È Ì |N|. TÔ ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ ·˘Ùfi Â›Ó·È ·ÎÚÈ‚Ò˜ Ë ÂÈÎfiÓ· ÙÔ˘ ÌÔÓ·‰È·›Ô˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ ÙÔ˘ R 2 ̤ۈ Ù˘ T . E¿Ó E Â›Ó·È ¤Ó· ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ
O§OK§HPø™H ¢IAºOPIKøN MOPºøN 439
ÛÙÔÓ R 2 , ÙfiÙ (ÏfiÁˆ Ù˘ ÁÚ·ÌÌÈÎfiÙËÙ·˜ Ù˘ f ) ¤ÂÙ·È fiÙÈ ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÙÔ˘ ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ˘ T (E) ÈÛÔ‡Ù·È Ì |N(u 0 , v0 )|dudv. (140) A(T (E)) = |N|A(E) = E
TÒÚ·, Û˘Ó¿ÁÔ˘Ì fiÙÈ Ë (132) ·ÏËı‡ÂÈ ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË fiÔ˘ Ë Â›Ó·È Û˘Û¯ÂÙÈ΋. °È· ÙË ‰ÈηÈÔÏfiÁËÛË Ù˘ (132) ÛÙË ÁÂÓÈÎfiÙËÙ¿ Ù˘, ‰È·ÌÂÚ›˙Ô˘Ì ÙÔ D Û ÌÈÎÚ¿ ÔÚıÔÁÒÓÈ· ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌ·, ÂÈϤÁÔ˘Ì ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô (u 0 , v0 ) Û ηı¤Ó· ·fi ·˘Ù¿ Î·È ·ÓÙÈηıÈÛÙԇ̠ÙËÓ Û οı ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ Ì ÙÔ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô ÂÊ·ÙfiÌÂÓÔ Â›Â‰Ô. TÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÂÌ‚·‰ÒÓ ÙˆÓ ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆÓ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿Ì̈Ó, ÙÔ ÔÔ›Ô ÚÔ·ÙÂÈ Ì¤Ûˆ Ù˘ (140), ·ÔÙÂÏ› Ì›· ÚÔÛ¤ÁÁÈÛË ÙÔ˘ A(). EÓ Ù¤ÏÂÈ, ÌÔÚԇ̠ӷ ‰ÈηÈÔÏÔÁ‹ÛÔ˘Ì ÙËÓ (131) ·fi ÙËÓ (132), ÚÔÛÂÁÁ›˙ÔÓÙ·˜ ÙËÓ f Ì ÎÏÈ̷Έ٤˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ. ¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 10.47. £ÂˆÚԇ̠‰‡Ô Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ a, b Ì 0 < a < b. A˜ Â›Ó·È K ÙÔ 3-‰È¿ÛÙËÌ· Ô˘ ÔÚ›˙ÂÙ·È ˆ˜ ÂÍ‹˜: (t, u, v) ∈ K Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó 0 ≤ t ≤ a, 0 ≤ u ≤ 2π, 0 ≤ v ≤ 2π. OÈ ÂÍÈÛÒÛÂȘ x = t cos u, y = (b + t sin u) cos v, z = (b + t sin u) sin v
(141)
ÂÚÈÁÚ¿ÊÔ˘Ó Ì›· ·ÂÈÎfiÓÈÛË ÙÔ˘ R 3 ÛÙÔÓ R 3 , Ë ÔÔ›· Â›Ó·È 1-1 ÛÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÙÔ˘ K . TÔ (K ) Â›Ó·È ¤Ó·˜ ÛÙÂÚÂfi˜ ÙfiÚÔ˜. H ÔÚ›˙Ô˘Û· Jacobi Ù˘ Â›Ó·È Ë ∂(x, y, z) J (t, u, v) = = t (b + t sin u) ∂(t, u, v) ÁÈ· οı (t, u, v) ∈ K . H ÔÚ›˙Ô˘Û· ·˘Ù‹ Â›Ó·È ıÂÙÈ΋ ÛÙÔ K , ÂÎÙfi˜ ·fi ÙËÓ ¤‰Ú· Ì t = 0. E¿Ó ÔÏÔÎÏËÚÒÛÔ˘Ì ÙËÓ J ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ K , Ï·Ì‚¿ÓÔ˘Ì ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi 2π 2 a 2 b ˆ˜ ÙÔÓ fiÁÎÔ ÙÔ˘ ÛÙÂÚÂÔ‡ ÙfiÚÔ˘ (K ).
440
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
£ÂˆÚԇ̠ÙÒÚ· ÙËÓ 2-·Ï˘Û›‰· = ∂. (AÓ·ÙÚ¤ÍÙ ÛÙËÓ ÕÛÎËÛË 19.) H ·ÂÈÎÔÓ›˙ÂÈ ÙȘ ¤‰Ú˜ Ì u = 0 Î·È u = 2π ÙÔ˘ K › Ù˘ ȉ›·˜ ΢ÏÈÓ‰ÚÈ΋˜ ψڛ‰·˜, Ì ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎfi ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈÛÌfi. H ·ÂÈÎÔÓ›˙ÂÈ ÙȘ ¤‰Ú˜ Ì v = 0 Î·È v = 2π ÙÔ˘ K › ÙÔ˘ ȉ›Ô˘ ΢ÎÏÈÎÔ‡ ‰›ÛÎÔ˘, Ì ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎfi ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈÛÌfi. H ·ÂÈÎÔÓ›˙ÂÈ ÙËÓ ¤‰Ú· Ì t = 0 › ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘, Ô ÔÔ›Ô˜ Û˘ÓÂÈÛʤÚÂÈ ÌˉÂÓÈο ÛÙË 2-·Ï˘Û›‰· ∂. (OÈ Û¯ÂÙÈΤ˜ ÔÚ›˙Ô˘Û˜ Jacobi Â›Ó·È ÌˉÂÓÈΤ˜). ÕÚ·, Ë Â›Ó·È ·ÏÒ˜ Ë 2-ÂÈÊ¿ÓÂÈ· Ô˘ ÚÔ·ÙÂÈ ı¤ÙÔÓÙ·˜ t = a ÛÙËÓ (141), Ì ‰›Ô ·Ú·Ì¤ÙÚˆÓ D ÙÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ Ô˘ ÔÚ›˙ÂÙ·È ˆ˜ ÂÍ‹˜: (u, v) ∈ D Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó 0 ≤ u ≤ 2π , 0 ≤ v ≤ 2π. ™‡Ìʈӷ Ì ÙȘ (129) Î·È (141), ÙÔ ÔÚıfiıÂÙÔ ‰È¿Ó˘ÛÌ· Ù˘ ÛÙÔ (u, v) ∈ D Â›Ó·È ÙÔ N(u, v) = a(b + a sin u)n(u, v), fiÔ˘ n(u, v) = (cos u)e1 + (sin u cos v)e2 + (sin u sin v)e3 . EÊfiÛÔÓ |n(u, v)| = 1, ¤¯Ô˘Ì fiÙÈ |N(u, v)| = a(b+a sin u) ÁÈ· οı (u, v) ∈ D. E¿Ó ÔÏÔÎÏËÚÒÛÔ˘Ì ·˘Ù‹Ó ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ D, Ï·Ì‚¿ÓÔ˘Ì ·fi ÙËÓ (131) ÙÔ ÂÌ‚·‰fi A() = 4π 2 ab Ù˘ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜ ÙÔ˘ ÙfiÚÔ˘. E¿Ó ÁÈ· (u, v) ∈ D ıˆڋÛÔ˘Ì ÙÔ N = N(u, v) ˆ˜ ÙÔ Î·Ù¢ı˘ÓfiÌÂÓÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Ì ·Ú¯‹ ÙÔ (u, v) Î·È Ù¤ÏÔ˜ ÙÔ (u, v) + N(u, v), ÙfiÙ ÙÔ N ¤¯ÂÈ Â͈ÙÂÚÈ΋ ηÙ‡ı˘ÓÛË, ‰ËÏ·‰‹ ÂÎÙfi˜ ÙÔ˘ (K ). A˘Ùfi Û˘Ì‚·›ÓÂÈ ‰ÈfiÙÈ J > 0 fiÙ·Ó t = a. E› ·Ú·‰Â›ÁÌ·ÙÈ, ·˜ Ï¿‚Ô˘Ì u = v = π/2, t = a. H ÂÈÏÔÁ‹ ·˘Ù‹ ‰›‰ÂÈ ÙË Ì¤ÁÈÛÙË ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ z ÛÙÔ (K ) Î·È ÙÔ N = a(b + a)e3 ¤¯ÂÈ «Î·Ù·ÎfiÚ˘ÊË Â͈ÙÂÚÈ΋» ηÙ‡ı˘ÓÛË. 10.48 OÏÔÎÏËÚÒÌ·Ù· 1-ÌÔÚÊÒÓ ÛÙÔÓ R 3 . £ÂˆÚԇ̛̠· C -η̇ÏË γ Û ¤Ó· ·ÓÔÈÎÙfi Û‡ÓÔÏÔ E ⊂ R 3 , Ì ‰›Ô ·Ú·Ì¤ÙÚˆÓ ÙÔ [0, 1]. £ÂˆÚԇ̠›Û˘ ¤Ó· ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎfi ‰›Ô F ÛÙÔ E Î·È ÙËÓ ÌÔÚÊ‹ λF fiˆ˜ ÛÙËÓ (124).
O§OK§HPø™H ¢IAºOPIKøN MOPºøN 441
TÔ ÔÏÔÎϋڈ̷ Ù˘ λF ˘ÂÚ¿Óˆ Ù˘ γ ÌÔÚ› Ó· ‰È·ÌÔÚʈı› ÂÎ Ó¤Ô˘ Ì ÙÔÓ ÙÚfiÔ Ô˘ ÂÚÈÁÚ¿ÊÔ˘Ì ·Ú·Î¿Ùˆ. °È· u ∈ [0, 1] ÙÔ ‰È¿Ó˘ÛÌ· γ (u) = γ1 (u)e1 + γ2 (u)e2 + γ3 (u)e3 ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÙÔ ÂÊ·ÙfiÌÂÓÔ ‰È¿Ó˘ÛÌ· Ù˘ γ ÛÙÔ u. OÚ›˙Ô˘Ì ˆ˜ t = t(u) ÙÔ ÌÔÓ·‰È·›Ô ‰È¿Ó˘ÛÌ· ηٿ ÙËÓ Î·Ù‡ı˘ÓÛË ÙÔ˘ γ (u). ÕÚ·, γ (u) = |γ (u)|t(u). (E¿Ó γ (u) = 0 ÁÈ· οÔÈÔ u ∈ [0, 1], ÙfiÙ ı¤ÙÔ˘Ì t(u) = e1 . OÔÈ·‰‹ÔÙ ¿ÏÏË ÂÈÏÔÁ‹ ı· Â͢ËÚÂÙÔ‡Û ÂÍ›ÛÔ˘ ÙÔÓ ÛÎÔfi Ì·˜.) Afi ÙËÓ (35) Ï·Ì‚¿ÓÔ˘Ì fiÙÈ γ
λF =
3 i=1 1
=
0
1
Fi (γ (u))γi (u)du
F(γ (u)) · γ (u)du
(142)
0
=
1
F(γ (u)) · t(u)|γ (u)|du.
0
X¿ÚË ÛÙÔ £ÂÒÚËÌ· 6.27 Â›Ó·È Â‡ÏÔÁÔ Ó· ÔÓÔÌ·ÛÙ› Ë |γ (u)|du ÛÙÔÈ¯Â›Ô Ì‹ÎÔ˘˜ ÙfiÍÔ˘ ηٿ Ì‹ÎÔ˜ Ù˘ γ . O Û˘Ó‹ı˘ Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌfi˜ ÁÈ· ·˘Ùfi Â›Ó·È ds. H (142) ·Ó·‰È·Ù˘ÒÓÂÙ·È ÛÙË ÌÔÚÊ‹ λF = (F · t)ds. (143) γ
γ
EÊfiÛÔÓ ÙÔ t Â›Ó·È ÌÔÓ·‰È·›Ô Î·È ÂÊ·ÙfiÌÂÓÔ ÛÙË γ , ÙÔ F · t ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Ë ÂÊ·ÙÔÌÂÓÈ΋ Û˘ÓÈÛÙÒÛ· Ù˘ F ηٿ Ì‹ÎÔ˜ Ù˘ γ . H ‰ÂÍÈ¿ ÏÂ˘Ú¿ Ù˘ (143) Ú¤ÂÈ Ó· ıˆÚËı› ˆ˜ Û˘ÓÙÔÌÔÁÚ·Ê›· ÙÔ˘ ÙÂÏÂ˘Ù·›Ô˘ ÔÏÔÎÏËÚÒÌ·ÙÔ˜ ÛÙËÓ (142). ŸÌˆ˜, ÙÔ F ÔÚ›˙ÂÙ·È ÛÙÔ Â‰›Ô ÙÈÌÒÓ Ù˘ γ , ÂÓÒ ÙÔ t ÔÚ›˙ÂÙ·È ÛÙÔ [0, 1]. EÔ̤ӈ˜, ÙÔ F · t Ú¤ÂÈ Ó· ÂÚÌËÓ¢ı› ηٷÏϋψ˜. º˘ÛÈο, fiÙ·Ó Ë γ Â›Ó·È 1-1, ÙfiÙ ÙÔ t(u) ÌÔÚ› Ó· ·ÓÙÈηٷÛÙ·ı› ·fi ÙÔ t(γ (u)) Î·È Ë ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË ‰˘ÛÎÔÏ›· ÌÔÚ› Ó·
442
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
·Úı›. 10.49 OÏÔÎÏËÚÒÌ·Ù· 2-ÌÔÚÊÒÓ ÛÙÔÓ R 3 . A˜ Â›Ó·È Ì›· 2-ÂÈÊ¿ÓÂÈ· Û ¤Ó· ·ÓÔÈÎÙfi Û‡ÓÔÏÔ E ⊂ R 3 , ÎÏ¿Ûˆ˜ C , Ì ‰›Ô ·Ú·Ì¤ÙÚˆÓ ÙÔ D ⊂ R 2 . A˜ Â›Ó·È Â›Û˘ F ¤Ó· ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎfi ‰›Ô ÛÙÔ E Î·È ωF fiˆ˜ ÛÙËÓ (125). Ÿˆ˜ Î·È ÛÙËÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË ÂÓfiÙËÙ·, ı· ·ÔÎÙ‹ÛÔ˘Ì ̛· ‰È·ÊÔÚÂÙÈ΋ ·Ó··Ú¿ÛÙ·ÛË ÁÈ· ÙÔ ÔÏÔÎϋڈ̷ Ù˘ ωF ˘ÂÚ¿Óˆ Ù˘ . ™‡Ìʈӷ Ì ÙȘ (35) Î·È (129), ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ ωF = (F1 dy ∧ dz + F2 dz ∧ d x + F3 d x ∧ dy) ∂(y, z) ∂(z, x) ∂(x, y) dudv (F1 ◦ ) = + (F2 ◦ ) + (F3 ◦ ) ∂(u, v) ∂(u, v) ∂(u, v) D = F((u, v)) · N(u, v)dudv. D
TÒÚ·, ·˜ Â›Ó·È n = n(u, v) ÙÔ ÌÔÓ·‰È·›Ô ‰È¿Ó˘ÛÌ· ÛÙËÓ Î·Ù‡ı˘ÓÛË ÙÔ˘ N(u, v). (E¿Ó N(u, v) = 0 ÁÈ· οÔÈÔ (u, v) ∈ D, ÙfiÙ ı¤ÙÔ˘Ì n(u, v) = e1 .) TfiÙÂ, N = |N|n Î·È ÂÔ̤ӈ˜ ÙÔ ÙÂÏÂ˘Ù·›Ô ÔÏÔÎϋڈ̷ ÌÂÙ·ÙÚ¤ÂÙ·È ÛÙÔ F((u, v)) · n(u, v)|N(u, v)|dudv. D
™‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ (131), ÌÔÚԇ̠ӷ ÙÔ ÁÚ¿„Ô˘Ì ·˘Ùfi ÛÙË ÌÔÚÊ‹ ωF = (F · n) d A.
(144)
™Â Û¯¤ÛË Ì ÙË ÛËÌ·Û›· ÙÔ˘ F · n ÈÛ¯‡Ô˘Ó ·ÚfiÌÔȘ ·Ú·ÙËÚ‹ÛÂȘ fiˆ˜ ÛÙÔ Û¯fiÏÈÔ Ô˘ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙÔ Ù¤ÏÔ˜ Ù˘ EÓfiÙËÙ·˜ 10.48. MÔÚԇ̠ÙÒÚ· Ó· ‰È·Ù˘ÒÛÔ˘Ì ÙËÓ ·Ú¯È΋ ÌÔÚÊ‹ ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ ÙÔ˘ Stokes. 10.50 O Ù‡Ô˜ ÙÔ˘ Stokes. E¿Ó F Â›Ó·È ¤Ó· ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎfi ‰›Ô ÎÏ¿Ûˆ˜ C Û ¤Ó· ·ÓÔÈÎÙfi ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ E ⊂ R 3 Î·È Â¿Ó Â›Ó·È Ì›· 2-ÂÈÊ¿ÓÂÈ· ÎÏ¿Ûˆ˜ C ÛÙÔ E, ÙfiÙ (∇ × F) · n d A = (F · t) ds. (145)
∂
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Afi‰ÂÈÍË. £¤ÙÔ˘Ì H = ∇ × F. TfiÙÂ, fiˆ˜ Î·È ÛÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 10.43, ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ ωH = dλF .
(146)
ÕÚ·, (∇ × F) · n d A = (H · n) d A = ωH = dλF =
∂
λF =
∂
(F · t) ds.
™Ù· ·Ú·¿Óˆ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ıËÎÂ Ô ÔÚÈÛÌfi˜ ÙÔ˘ H, ¤ÂÈÙ· Ë (144) Ì ÙÔ H ÛÙË ı¤ÛË ÙÔ˘ F Î·È ¤ÂÈÙ· Ë (146). ⁄ÛÙÂÚ·, ÛÙÔ Î‡ÚÈÔ ‚‹Ì·, ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ıËΠÙÔ £ÂÒÚËÌ· 10.33 Î·È ÙÂÏÈο Ë (143), Ë ÔÔ›· ÂÂÎÙ›ÓÂÙ·È Î·Ù¿ Ê˘ÛÈÔÏÔÁÈÎfi ÙÚfiÔ ·fi η̇Ϙ Û 1-·Ï˘Û›‰Â˜. 10.51 TÔ ıÂÒÚËÌ· Ù˘ ·ÔÎϛۈ˜. E¿Ó F Â›Ó·È ¤Ó· ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎfi ‰›Ô ÎÏ¿Ûˆ˜ C Û ¤Ó· ·ÓÔÈÎÙfi ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ E ⊂ R 3 Î·È Â¿Ó Â›Ó·È ¤Ó· ÎÏÂÈÛÙfi ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ E Ì ıÂÙÈο ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈṲ̂ÓÔ Û‡ÓÔÚÔ ∂ (fiˆ˜ ¤¯ÂÈ ÔÚÈÛı› ÛÙËÓ EÓfiÙËÙ· 10.31), ÙfiÙ (∇ · F) d V = (F · n) d A. (147)
∂
Afi‰ÂÈÍË. ™‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ (125), dωF = (∇ · F) d x ∧ dy ∧ dz = (∇ · F) d V. ÕÚ·,
(∇ · F) d V =
dωF =
∂
ωF =
∂
(F · n) d A,
Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 10.33, ÂÊ·ÚÌÔ˙fiÌÂÓÔ ÛÙË 2-ÌÔÚÊ‹ ωF , Î·È ÙËÓ (144).
A™KH™EI™ ÕÛÎËÛË 1. A˜ Â›Ó·È H ¤Ó· Û˘Ì·Á¤˜ ΢ÚÙfi ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ R k Ì ÌË ÎÂÓfi ÂÛˆÙÂÚÈÎfi. £ÂˆÚԇ̠f ∈ C(H ), ı¤ÙÔ˘Ì f (x) = 0 ÁÈ· οı ÛËÌÂ›Ô x Ô˘ ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙÔ Û˘Ìϋڈ̷ ÙÔ˘ H Î·È ÔÚ›˙Ô˘Ì ÙÔ H f fiˆ˜ ÛÙÔÓ OÚÈÛÌfi 10.3.
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∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
Aԉ›ÍÙ fiÙÈ ÙÔ H f Â›Ó·È ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙÔ ·fi ÙËÓ ÛÂÈÚ¿ ÂÎÙÂϤÛÂˆÓ ÙˆÓ k ÔÏÔÎÏËÚÒÛˆÓ. Yfi‰ÂÈÍË: ¶ÚÔÛÂÁÁ›ÛÙ ÙËÓ f ÌÂ Û˘Ó¯›˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ ÛÙÔÓ R k , ÔÈ Ôԛ˜ ¤¯Ô˘Ó ÙÔÓ ÊÔÚ¤· ÙÔ˘˜ ÛÙÔ H , fiˆ˜ ¤ÁÈÓÂ Î·È ÛÙÔ ¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 10.4. ÕÛÎËÛË 2. °È· i = 1, 2, 3, . . . ıˆÚԇ̠ϕi ∈ C(R 1 ) Ì ÊÔÚ¤· ÂÓÙfi˜ ÙÔ˘ (2−i , 21−i ) Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ R 1 ϕi = 1. °È· (x, y) ∈ R 2 ı¤ÙÔ˘Ì f (x, y) =
∞
[ϕi (x) − ϕi+1 (x)]φi (y).
i=1
TfiÙÂ, ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ Ë f ¤¯ÂÈ Û˘Ì·Á‹ ÊÔÚ¤· ÛÙÔÓ R 2 , fiÙÈ Ë f Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ Û οı ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ R 2 ÂÎÙfi˜ ÙÔ˘ (0, 0) Î·È fiÙÈ f (x, y) d x dy = 0, R1
fï˜
R1
R1
R1
f (x, y) dy
d x = 1.
™ËÌÂÈÒÓÔ˘Ì fiÙÈ Ë f Â›Ó·È ÌË ÊÚ·Á̤ÓË Û οı ÂÚÈÔ¯‹ ÙÔ˘ (0, 0). ÕÛÎËÛË 3. (·) YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ Ë F Â›Ó·È fiˆ˜ ÛÙÔ £ÂÒÚËÌ· 10.7. £¤ÙÔ˘Ì A = F (0) Î·È F1 = A−1 ◦ F. TfiÙÂ, F 1 (0) = I (Ô Ù·˘ÙÔÙÈÎfi˜ ÙÂÏÂÛÙ‹˜). ¢Â›ÍÙ fiÙÈ F1 (x) = Gn ◦ Gn−1 ◦ · · · ◦ G1 (x) ÁÈ· οı ÛËÌÂ›Ô x Ô˘ ·Ó‹ÎÂÈ Û οÔÈ· ÂÚÈÔ¯‹ ÙÔ˘ 0, fiÔ˘ ÔÈ G1 , . . . , Gn Â›Ó·È ÚˆÙ·Ú¯ÈΤ˜ ·ÂÈÎÔÓ›ÛÂȘ. A˘Ùfi ¯ÔÚËÁ› Ì›· ‰È·ÊÔÚÂÙÈ΋ ÂΉԯ‹ ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 10.7: F(x) = F (0) ◦ Gn ◦ Gn−1 ◦ · · · ◦ G1 (x) ÁÈ· οı ÛËÌÂ›Ô x Ô˘ ·Ó‹ÎÂÈ Û οÔÈ· ÂÚÈÔ¯‹ ÙÔ˘ 0. (‚) Aԉ›ÍÙ fiÙÈ Ë ·ÂÈÎfiÓÈÛË (x, y) → (y, x) ÙÔ˘ R 2 › ÙÔ˘ R 2 ‰ÂÓ ÌÔÚ› Ó· ÁÚ·Ê› ˆ˜ Û‡ÓıÂÛË ‰‡Ô ÚˆÙ·Ú¯ÈÎÒÓ ·ÂÈÎÔÓ›ÛÂˆÓ Û η̛· ÂÚÈÔ¯‹ ÙÔ˘ (0, 0). (A˘Ùfi Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ ÔÈ ·ÂÈÎÔÓ›ÛÂȘ ÂÓ·ÏÏ·Á‹˜ ‰ÂÓ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ·Ú·ÏÂÈÊıÔ‡Ó ·fi ÙË ‰È·Ù‡ˆÛË ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 10.7.)
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ÕÛÎËÛË 4. °È· (x, y) ∈ R 2 ÔÚ›˙Ô˘Ì F(x, y) = (e x cos y − 1, e x sin y). Aԉ›ÍÙ fiÙÈ F = G2 ◦ G1 , fiÔ˘ ÁÈ· (x, y) ∈ R 2 Â›Ó·È G1 (x, y) = (e x cos y − 1, y) G2 (x, y) = (x, (1 + x) tan y) Î·È ÔÈ G1 , G2 Â›Ó·È ÚˆÙ·Ú¯ÈΤ˜ ·ÂÈÎÔÓ›ÛÂȘ Û οÔÈ· ÂÚÈÔ¯‹ ÙÔ˘ (0, 0). YÔÏÔÁ›ÛÙ ÙȘ ÔÚ›˙Ô˘Û˜ Jacobi ÙˆÓ G1 , G2 , F ÛÙÔ (0, 0). £ÂˆÚ‹ÛÙ ÙËÓ ·ÂÈÎfiÓÈÛË H2 , fiÔ˘ ÁÈ· (x, y) ∈ R 2 Â›Ó·È H2 (x, y) = (x, e x sin y). BÚ›Ù ηٿÏÏËÏË ·ÂÈÎfiÓÈÛË H1 , ÁÈ· ÙËÓ ÔÔ›· ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ H1 (u, v) = (h(u, v), v) ((u, v) ∈ R 2 ), fiÔ˘ h Â›Ó·È Î·Ù¿ÏÏËÏË Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË, Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ F = H1 ◦ H2 Û οÔÈ· ÂÚÈÔ¯‹ ÙÔ˘ (0, 0). ÕÛÎËÛË 5. ¢È·Ù˘ÒÛÙÂ Î·È ·Ô‰Â›ÍÙ ¤Ó· ıÂÒÚËÌ· ·Ó¿ÏÔÁÔ ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 10.8, ÛÙÔ ÔÔ›Ô ÙÔ K Ó· Â›Ó·È Û˘Ì·Á¤˜ ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ Ù˘¯fiÓÙÔ˜ ÌÂÙÚÈÎÔ‡ ¯ÒÚÔ˘. (AÓÙÈηٷÛÙ‹ÛÙ ÙȘ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ ϕi Ô˘ ÚÔ·ÙÔ˘Ó ÛÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 10.8 ÌÂ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ Ì ·˘Ù¤˜ Ô˘ ηٷÛ΢¿ÛıËÎ·Ó ÛÙËÓ ÕÛÎËÛË 22 ÙÔ˘ KÂÊ·Ï·›Ô˘ 4.) ÕÛÎËÛË 6. EÓÈÛ¯‡ÛÙ ÙÔ Û˘Ì¤Ú·ÛÌ· ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 10.8 ‰Â›¯ÓÔÓÙ·˜ fiÙÈ ÔÈ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ ψi ÌÔÚÔ‡Ó ıˆÚËıÔ‡Ó ‰È·ÊÔÚ›ÛÈ̘, ·ÎfiÌË Î·È ·Â›Úˆ˜ ‰È·ÊÔÚ›ÛÈ̘. (XÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÙ ÙËÓ ÕÛÎËÛË 1 ÙÔ˘ KÂÊ·Ï·›Ô˘ 8 ÁÈ· ÙËÓ Î·Ù·Û΢‹ ÙˆÓ ‚ÔËıËÙÈÎÒÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ ϕi .) ÕÛÎËÛË 7. (·) ¢Â›ÍÙ fiÙÈ ÙÔ ÌÔÓfiÏÔÎÔ Q k Â›Ó·È ÙÔ ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ Î˘ÚÙfi ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ R k Ô˘ ÂÚȤ¯ÂÈ Ù· 0, e1 , . . . , ek . (‚) ¢Â›ÍÙ fiÙÈ Ì›· Û˘Û¯ÂÙÈ΋ ·ÂÈÎfiÓÈÛË ·ÂÈÎÔÓ›˙ÂÈ Î˘ÚÙ¿ Û‡ÓÔÏ· Û ΢ÚÙ¿ Û‡ÓÔÏ·.
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∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
ÕÛÎËÛË 8. A˜ Â›Ó·È H ÙÔ ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ ÛÙÔÓ R 2 Ì ÎÔÚ˘Ê¤˜ Ù· ÛËÌ›· (1, 1), (3, 2), (4, 5), (2, 4). BÚ›Ù ÙË Û˘Û¯ÂÙÈ΋ ·ÂÈÎfiÓÈÛË T Ô˘ ·ÂÈÎÔÓ›˙ÂÈ ÙÔ (0, 0) ÛÙÔ (1, 1), ÙÔ (1, 0) ÛÙÔ (3, 2) Î·È ÙÔ (0, 1) ÛÙÔ (2, 4). ¢Â›ÍÙ fiÙÈ JT = 5. XÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÙ ÙËÓ T ÁÈ· Ó· ÌÂÙ·ÙÚ¤„ÂÙ ÙÔ ÔÏÔÎϋڈ̷ α= e x−y d xd y H
Û ÔÏÔÎϋڈ̷ ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ I 2 Î·È ·ÎÔÏÔ‡ıˆ˜ Ó· ÙÔ ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ Ì ÙÔÓ ÙÚfiÔ ·˘Ùfi. ÕÛÎËÛË 9. £ÂˆÚԇ̠¤Ó·Ó ıÂÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi a Î·È ÙÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ R Ô˘ ÔÚ›˙ÂÙ·È ˆ˜ ÂÍ‹˜: (r, θ ) ∈ R Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó 0 ≤ r ≤ a,
0 ≤ θ ≤ 2π.
OÚ›˙Ô˘Ì ÙËÓ ·ÂÈÎfiÓÈÛË T ÛÙÔ R ̤ۈ Ù˘ ÈÛfiÙËÙ·˜ T (r, θ) = (r cos θ, r sin θ ) ((r, θ ) ∈ R). ¢Â›ÍÙ fiÙÈ Ë T ·ÂÈÎÔÓ›˙ÂÈ ÙÔ R › ÙÔ˘ ÎÏÂÈÛÙÔ‡ ‰›ÛÎÔ˘ D Ì ΤÓÙÚÔ ÙÔ (0, 0) Î·È ·ÎÙ›Ó· a, fiÙÈ Ë T Â›Ó·È 1-1 ÛÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÙÔ˘ R Î·È fiÙÈ JT (r, θ ) = r ÁÈ· οı (r, θ ) ∈ R. E¿Ó f ∈ C(D), ÙfiÙ ·Ô‰Â›ÍÙ ÙÔÓ Ù‡Ô ÔÏÔÎÏËÚÒÛˆ˜ Û ÔÏÈΤ˜ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜:
a
f (x, y)d xd y = 0
D
2π
f (T (r, θ ))r dr dθ.
0
Yfi‰ÂÈÍË: A˜ Â›Ó·È D0 ÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÙÔ˘ D ÏËÓ ÙÔ˘ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ·fi ÙÔ (0, 0) ¤ˆ˜ ÙÔ (a, 0). TÔ £ÂÒÚËÌ· 10.9 ÂÊ·ÚÌfi˙ÂÙ·È ÛÂ Û˘Ó¯›˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ Ì ÊÔÚ¤· Ô˘ ÂÚȤ¯ÂÙ·È ÛÙÔ D0 . EÚÁ·Ûı›Ù fiˆ˜ ÛÙÔ ¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 10.4 ÁÈ· Ó· ¿ÚÂÙ ·˘ÙfiÓ ÙÔÓ ÂÚÈÔÚÈÛÌfi. ÕÛÎËÛË 10. £ÂˆÚ‹ÛÙ fiÙÈ a → ∞ ÛÙËÓ ÕÛÎËÛË 9 Î·È ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ
R2
f (x, y)d xd y = 0
∞ 2π 0
f (T (r, θ ))r dr dθ
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ÁÈ· Û˘Ó¯›˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ f Ô˘ Êı›ÓÔ˘Ó Ì ·Ú΋ Ù·¯‡ÙËÙ· ηıÒ˜ |x| + |y| → ∞. (BÚ›Ù ̛· ·ÎÚÈ‚¤ÛÙÂÚË ‰È·Ù‡ˆÛË). EÊ·ÚÌfiÛÙ ·˘Ùfi ÛÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË f Ì f (x, y) = exp(−x 2 − y 2 ) ((x, y) ∈ R 1 ) ÁÈ· Ó· ·ÔÎÙ‹ÛÂÙ ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· (101) ÙÔ˘ KÂÊ·Ï·›Ô˘ 8. ÕÛÎËÛË 11. £ÂˆÚԇ̠ÙË ÏˆÚ›‰· S Ô˘ ÔÚ›˙ÂÙ·È ˆ˜ ÂÍ‹˜: (s, t) ∈ S Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó 0 < s < +∞,
0 < t < 1.
OÚ›˙Ô˘Ì ÙËÓ ·ÂÈÎfiÓÈÛË T ÛÙÔ S ̤ۈ Ù˘ ÈÛfiÙËÙ·˜ T (s, t) = (s − st, st)
((s, t) ∈ S).
¢Â›ÍÙ fiÙÈ Ë T Â›Ó·È 1-1 ·ÂÈÎfiÓÈÛË Ù˘ ψڛ‰·˜ › ÙÔ˘ ıÂÙÈÎÔ‡ ÙÂÙ·ÚÙËÌÔÚ›Ô˘ Q ÙÔ˘ R 2 . ¢Â›ÍÙ fiÙÈ JT (s, t) = s ÁÈ· οı (s, t) ∈ S. °È· x > 0, y > 0 ÔÏÔÎÏËÚÒÛÙ ÙËÓ ·Ú¿ÛÙ·ÛË u x−1 e−u v y−1 e−v , fiÔ˘ u = s − st, v = st ((s, t) ∈ S), ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ Q, ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÙ ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 10.9 ÁÈ· Ó· ÌÂÙ·ÙÚ¤„ÂÙ ÙÔ ÔÏÔÎϋڈ̷ ·˘Ùfi Û ÔÏÔÎϋڈ̷ ˘ÂÚ¿Óˆ Ù˘ ψڛ‰·˜ S Î·È ·ÔÎÙ‹ÛÙ ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· (96) ÙÔ˘ KÂÊ·Ï·›Ô˘ 8. (°È· ÙËÓ ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ ·˘Ù‹, ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 10.9 Ú¤ÂÈ Ó· ÂÂÎÙ·ı› Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ ӷ ηχÙÂÈ ÔÚÈṲ̂ӷ ÁÂÓÈÎÂ˘Ì¤Ó· ÔÏÔÎÏËÚÒÌ·Ù·. ¢È·Ù˘ÒÛÙ ·˘Ù‹Ó ÙËÓ Â¤ÎÙ·ÛË.) ÕÛÎËÛË 12. A˜ Â›Ó·È I k ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ u = (u 1 , . . . , u k ) ∈ R k Ì 0 ≤ u i ≤ 1, ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË i = 1, . . . , k. A˜ Â›Ó·È Â›Û˘ Q k ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ x = (x1 , . . . , xk ) ∈ R k Ì xi ≥ 0 ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË i = 1, . . . , k Î·È k k k k i=1 x i ≤ 1. (TÔ I Â›Ó·È Ô ÌÔÓ·‰È·›Ô˜ ·‚Ô˜ ÙÔ˘ R . TÔ Q Â›Ó·È ÙÔ Û‡ÓËı˜
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ÌÔÓfiÏÔÎÔ ÙÔ˘ R k .) OÚ›˙Ô˘Ì ÙËÓ ·ÂÈÎfiÓÈÛË T ÛÙÔ I k ˆ˜ ÂÍ‹˜: E¿Ó ÁÈ· u ∈ I k Â›Ó·È x = T (u), ÙfiÙ x1 = u 1 x2 = (1 − u 1 )u 2 ............................. xk = (1 − u 1 ) · · · (1 − u k−1 )u k . ¢Â›ÍÙ fiÙÈ
k
xi = 1 −
i=1
k % (1 − u i ). i=1
Ik
¢Â›ÍÙ fiÙÈ Ë T ·ÂÈÎÔÓ›˙ÂÈ ÙÔ Â› ÙÔ˘ Q k , fiÙÈ Ë T Â›Ó·È 1-1 ÛÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÙÔ˘ I k Î·È fiÙÈ Ë ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊ‹ Ù˘, S, ÔÚ›˙ÂÙ·È ÛÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÙÔ˘ Q k ̤ۈ ÙˆÓ Û¯¤ÛÂˆÓ u 1 = x1 Î·È ui =
xi 1 − x1 − · · · − xi−1
ÁÈ· i = 2, . . . , k. ¢Â›ÍÙ fiÙÈ JT (u) = (1 − u 1 )k−1 (1 − u 2 )k−2 · · · (1 − u k−1 ) ÁÈ· οı u ∈ I k Î·È fiÙÈ JS (x) = [(1 − x1 )(1 − x1 − x2 ) · · · (1 − x1 − · · · − xk−1 )]−1 ÁÈ· οı x ∈ Q k . ÕÛÎËÛË 13. A˜ Â›Ó·È r1 , . . . rk ÌË ·ÚÓËÙÈÎÔ› ·Î¤Ú·ÈÔÈ ·ÚÈıÌÔ›. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ r1 ! · · · rk ! x1r1 · · · xkrk d x1 · · · d xk = . k (k + r 1 + · · · + rk )! Q Yfi‰ÂÈÍË: XÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÙ ÙËÓ ÕÛÎËÛË 12 Î·È Ù· £ÂˆÚ‹Ì·Ù· 10.9 Î·È 8.20. ™ËÌÂÈÒÓÔ˘Ì fiÙÈ ÛÙËÓ ÂȉÈ΋ ÂÚ›ÙˆÛË fiÔ˘ r1 = · · · = rk = 0 ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ Ô fiÁÎÔ˜ ÙÔ˘ Q k ÈÛÔ‡Ù·È Ì 1/k!.
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ÕÛÎËÛË 14. Aԉ›ÍÙ ÙÔÓ Ù‡Ô (46). ÕÛÎËÛË 15. E¿Ó ω Â›Ó·È Ì›· k-ÌÔÚÊ‹ Î·È λ Â›Ó·È Ì›· m-ÌÔÚÊ‹, ÙfiÙ ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ ω ∧ λ = (−1)km λ ∧ ω. ÕÛÎËÛË 16. E¿Ó k Â›Ó·È ¤Ó·˜ ·Î¤Ú·ÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ Ì k ≥ 2 Î·È Â¿Ó σ = [p0 , p1 , . . . ,pk ] Â›Ó·È ¤Ó· ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈṲ̂ÓÔ Û˘Û¯ÂÙÈÎfi k-ÌÔÓfiÏÔÎÔ, ÙfiÙ ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ ∂ 2 σ = 0, ¢ı¤ˆ˜ ·fi ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi ÙÔ˘ Û˘ÓÔÚÈ·ÎÔ‡ ÙÂÏÂÛÙ‹ ∂. Afi ·˘Ùfi Û˘Ó¿ÁÂÙ fiÙÈ ∂ 2 = 0 ÁÈ· οı k-·Ï˘Û›‰· . Yfi‰ÂÈÍË: °È· Ó· ηٷÙÔÈÛı›ÙÂ, ·Ô‰Â›ÍÙ ÙÔ ÚÒÙ· ÁÈ· k = 2 Î·È k = 3. ™ÙË ÁÂÓÈÎfiÙËÙ¿ ÙÔ˘, Â¿Ó Â›Ó·È i, j = 0, . . . , k Ì i < j, ÙfiÙ ıˆÚԇ̠ÙÔ (k − 2)-ÌÔÓfiÏÔÎÔ σi j Ô˘ ÚÔ·ÙÂÈ ‰È·ÁÚ¿ÊÔÓÙ·˜ Ù· pi Î·È p j ·fi ÙÔ σ . ¢Â›ÍÙ fiÙÈ Î¿ı σi j ÂÌÊ·Ó›˙ÂÙ·È ‰‡Ô ÊÔÚ¤˜ ÛÙÔ ∂ 2 σ Ì ·ÓÙ›ıÂÙÔ ÚfiÛËÌÔ. ÕÛÎËÛË 17. £¤ÙÔ˘Ì J 2 = τ1 + τ2 , fiÔ˘ τ1 = [0, e1 , e1 + e2 ],
τ2 = −[0, e2 , e2 + e1 ].
EÍËÁ‹ÛÙ ÁÈ·Ù› Â›Ó·È Â‡ÏÔÁË Ë ÔÓÔÌ·Û›· ÙÔ˘ J 2 ˆ˜ ÙÔ ıÂÙÈο ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈṲ̂ÓÔ ÌÔÓ·‰È·›Ô ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ÛÙÔÓ R 2 . ¢Â›ÍÙ fiÙÈ ÙÔ ∂ J 2 ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙÂÛÛ¿ÚˆÓ Û˘Û¯ÂÙÈÎÒÓ 1-ÌÔÓÔÏfiΈÓ. BÚ›Ù ٷ. ¶ÔÈÔ Â›Ó·È ÙÔ ∂(τ1 − τ2 ); ÕÛÎËÛË 18. £ÂˆÚԇ̠ÙÔ ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈṲ̂ÓÔ Û˘Û¯ÂÙÈÎfi 3-ÌÔÓfiÏÔÎÔ σ1 = [0, e1 , e1 + e2 , e1 + e2 + e3 ] ÛÙÔÓ R 3 . ¢Â›ÍÙ fiÙÈ ÙÔ σ1 (ıˆÚÔ‡ÌÂÓÔ ˆ˜ ÁÚ·ÌÌÈÎfi˜ ÌÂÙ·Û¯ËÌ·ÙÈÛÌfi˜) ¤¯ÂÈ ÔÚ›˙Ô˘Û· ›ÛË Ì 1. ÕÚ·, Â›Ó·È ıÂÙÈο ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈṲ̂ÓÔ. A˜ Â›Ó·È σ2 , . . . , σ6 Ù· ¿ÏÏ· ¤ÓÙ ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈṲ̂ӷ 3-ÌÔÓfiÏÔη Ô˘ ÚÔ·ÙÔ˘Ó ˆ˜ ÂÍ‹˜: Y¿Ú¯Ô˘Ó ¤ÓÙ ÌÂٷٿÍÂȘ (i 1 , i 2 , i 3 ) Ù˘ ÙÚÈ¿‰·˜ (1, 2, 3), ‰È·ÊÔÚÂÙÈΤ˜ ·fi ÙËÓ (1, 2, 3). ™Â οı ٤ÙÔÈ· ÌÂٿٷÍË ·ÓÙÈÛÙÔȯ›˙Ô˘Ì ÙÔ ÌÔÓfiÏÔÎÔ s(i 1 , i 2 , i 3 )[0, ei1 , ei1 + ei2 , ei1 + ei2 + ei3 ],
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fiÔ˘ s Â›Ó·È ÙÔ ÚfiÛËÌÔ Ô˘ ÂÌÊ·Ó›˙ÂÙ·È ÛÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi Ù˘ ÔÚ›˙Ô˘Û·˜. (M ·˘ÙfiÓ ÙÔÓ ÙÚfiÔ ÚÔ·ÙÂÈ ÙÔ τ2 ·fi ÙÔ τ1 ÛÙËÓ ÕÛÎËÛË 17.) ¢Â›ÍÙ fiÙÈ Ù· σ2 , . . . , σ6 Â›Ó·È ıÂÙÈο ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈṲ̂ӷ. £¤ÙÔ˘Ì J 3 = σ1 + · · · + σ6 . TfiÙÂ, ÙÔ J 3 ÌÔÚ› Ó· ıˆÚËı› ˆ˜ Ô ıÂÙÈο ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈṲ̂ÓÔ˜ ·‚Ô˜ ÙÔ˘ R 3 . ¢Â›ÍÙ fiÙÈ ÙÔ ∂ J 3 ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ‰Ò‰Âη ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈÛÌ¤ÓˆÓ Û˘Û¯ÂÙÈÎÒÓ 2-ÌÔÓÔÏfiΈÓ. (T· ‰Ò‰Âη ·˘Ù¿ ÙÚ›ÁˆÓ· ηχÙÔ˘Ó ÙËÓ ÂÈÊ¿ÓÂÈ· ÙÔ˘ ÌÔÓ·‰È·›Ô˘ ·‚Ô˘ J 3 .) ¢Â›ÍÙ fiÙÈ ÙÔ x = (x1 , x2 , x3 ) ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙÔ Â‰›Ô ÙÈÌÒÓ ÙÔ˘ σ1 Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó 0 ≤ x3 ≤ x2 ≤ x1 ≤ 1. ¢Â›ÍÙ fiÙÈ Ù· ‰›· ÙÈÌÒÓ ÙˆÓ σ1 , . . . , σ6 ¤¯Ô˘Ó ·ÔÛ˘Ó‰ÂÙ¿ ÂÛˆÙÂÚÈο Î·È fiÙÈ Ë ¤ÓˆÛ‹ ÙÔ˘˜ ηχÙÂÈ ÙÔ I 3 . (™˘ÁÎÚ›ÓÂÙ ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ ·˘Ùfi Ì ÙËÓ ÕÛÎËÛË 13. ™ËÌÂÈÒÛÙ fiÙÈ 3! = 6.) ÕÛÎËÛË 19. A˜ Â›Ó·È Ù· J 2 , J 3 fiˆ˜ ÛÙȘ AÛ΋ÛÂȘ 17 Î·È 18. OÚ›˙Ô˘Ì ÙȘ ·ÂÈÎÔÓ›ÛÂȘ Bri (r = 0, 1, i = 1, 2, 3) ÛÙÔÓ R 2 ̤ۈ ÙˆÓ ÈÛÔÙ‹ÙˆÓ B01 (u, v) = (0, u, v), B02 (u, v) = (u, 0, v), B03 (u, v) = (u, v, 0),
B11 (u, v) = (1, u, v), B12 (u, v) = (u, 1, v), B13 (u, v) = (u, v, 1)
ÁÈ· οı (u, v) ∈ R 2 . OÈ ·ÂÈÎÔÓ›ÛÂȘ ·˘Ù¤˜ ·ÂÈÎÔÓ›˙Ô˘Ó ÙÔÓ R 2 ÛÙÔÓ R 3 Î·È Â›Ó·È Û˘Û¯ÂÙÈΤ˜. £¤ÙÔ˘Ì βri = Bri (J 2 ) ÁÈ· r = 0, 1 Î·È i = 1, 2, 3. K¿ı ¤Ó· ·fi Ù· βri (r = 0, 1, i = 1, 2, 3) Â›Ó·È Ì›· ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈṲ̂ÓË Û˘Û¯ÂÙÈ΋ 2-·Ï˘Û›‰·. (AÓ·ÙÚ¤ÍÙ ÛÙËÓ EÓfiÙËÙ· 10.30.) E·ÏËı‡ÛÙ fiÙÈ ∂J = 3
3
(−1)i (β0i − β1i ),
i=1
Û ÂÓ·ÚÌfiÓÈÛË Ì ÙËÓ ÕÛÎËÛË 18. ÕÛÎËÛË 20. ¢È·Ù˘ÒÛÙÂ Û˘Óı‹Î˜ ˘fi ÙȘ Ôԛ˜ Ó· ÈÛ¯‡ÂÈ Ë ÈÛfiÙËÙ· f dω = f ω − (d f ) ∧ ω
∂
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Î·È ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ ·˘Ù‹ ÁÂÓÈ·ÂÈ ÙÔÓ Ù‡Ô ÔÏÔÎÏËÚÒÛˆ˜ ηٿ ̤ÚË. Yfi‰ÂÈÍË: d( f ω) = (d f ) ∧ ω + f dω. ÕÛÎËÛË 21. £ÂˆÚ‹ÛÙÂ, fiˆ˜ ÛÙÔ ¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 10.36, ÙËÓ 1-ÌÔÚÊ‹ xdy − yd x x 2 + y2
η= ÛÙÔ R 2 − {0}.
(·) EÎÙÂϤÛÙ ÙÔ˘˜ ˘ÔÏÔÁÈÛÌÔ‡˜ Ô˘ Ô‰ËÁÔ‡Ó ÛÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· (113) Î·È ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ dη = 0. (‚) A˜ Â›Ó·È r > 0. £ÂˆÚԇ̠ÙËÓ Î·Ì‡ÏË γ , Ì ‰›Ô ·Ú·Ì¤ÙÚˆÓ ÙÔ [0, 2π ], fiÔ˘ ÁÈ· οı t ∈ [0, 2π ] Â›Ó·È γ (t) = (r cos t, r sin t). A˜ Â›Ó·È Â›Û˘ Ì›· C -η̇ÏË ÛÙÔ R 2 − {0} Ì ‰›Ô ·Ú·Ì¤ÙÚˆÓ ÙÔ [0, 2π] Î·È (0) = (2π ) Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ ٷ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· [γ (t), (t)] Ó· ÌËÓ ÂÚȤ¯Ô˘Ó ÙÔ 0 ÁÈ· ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ t ∈ [0, 2π ]. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ η = 2π.
Yfi‰ÂÈÍË: £ÂˆÚԇ̠ÙÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ D Ô˘ ÔÚ›˙ÂÙ·È ˆ˜ ÂÍ‹˜: (t, u) ∈ D Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó 0 ≤ t ≤ 2π Î·È 0 ≤ u ≤ 1. OÚ›˙Ô˘Ì ÙËÓ ·ÂÈÎfiÓÈÛË ÛÙÔ D ̤ۈ Ù˘ ÈÛfiÙËÙ·˜ (t, u) = (1 − u)(t) + uγ (t) ÁÈ· οı (t, u) ∈ D. TfiÙÂ, Ë Â›Ó·È Ì›· 2-ÂÈÊ¿ÓÂÈ· ÛÙÔ R 2 − {0} Ì ‰›Ô ·Ú·Ì¤ÙÚˆÓ ÙÔ D. §fiÁˆ ÙˆÓ ·ÏÔÔÈ‹ÛÂˆÓ (fiˆ˜ ÛÙÔ ¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 10.32), ¤¯Ô˘Ì fiÙÈ ∂ = − γ . XÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÙ ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Stokes ÁÈ· Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ η= η,
‚¿ÛÂÈ Ù˘ Û¯¤Ûˆ˜ dη = 0.
γ
452
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
(Á) A˜ Â›Ó·È a, b > 0. £ÂˆÚԇ̠ÙËÓ Î·Ì‡ÏË , Ì ‰›Ô ·Ú·Ì¤ÙÚˆÓ ÙÔ [0, 2π ], fiÔ˘ ÁÈ· οı t ∈ [0, 2π] Â›Ó·È (t) = (a cos t, b sin t). XÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÙ ÙÔ Ì¤ÚÔ˜ (‚) ÁÈ· Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ 2π ab dt = 2π. 2 2 a cos t + b2 sin2 t 0 (‰) ¢Â›ÍÙ fiÙÈ
y η = d arctan x Û οı ΢ÚÙfi ·ÓÔÈÎÙfi Û‡ÓÔÏÔ ÛÙÔ ÔÔ›Ô ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ x = 0 ÁÈ· οı ÛËÌÂ›Ô (x, y) Ô˘ ·Ó‹ÎÂÈ Û ·˘Ùfi. E›Û˘, ‰Â›ÍÙ fiÙÈ x η = d − arctan y Û οı ΢ÚÙfi ·ÓÔÈÎÙfi Û‡ÓÔÏÔ ÛÙÔ ÔÔ›Ô ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ y = 0 ÁÈ· οı ÛËÌÂ›Ô (x, y) Ô˘ ·Ó‹ÎÂÈ Û ·˘Ùfi. EÍËÁ‹ÛÙ ÙÔÓ ÏfiÁÔ Ô˘ ‰ÈηÈÔÏÔÁ› ÙÔ Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌfi η = dθ , ·Ú¿ ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ Ë ÌÔÚÊ‹ η ‰ÂÓ Â›Ó·È ·ÎÚÈ‚‹˜ ÛÙÔ R 2 − {0}. (Â) ¢Â›ÍÙ fiÙÈ ÙÔ (‚) ÌÔÚ› Ó· Û˘Ó·¯ı› ·fi ÙÔ (‰). (ÛÙ) E¿Ó Â›Ó·È ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ÎÏÂÈÛÙ‹ C -η̇ÏË ÛÙÔ R 2 − {0}, ÙfiÙ ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ 1 η = Ind(). 2π (°È· ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi ÙÔ˘ ‰Â›ÎÙË Î·Ì‡Ï˘ ·Ó·ÙÚ¤ÍÙ ÛÙËÓ ÕÛÎËÛË 23 ÙÔ˘ KÂÊ·Ï·›Ô˘ 8.) ÕÛÎËÛË 22. Ÿˆ˜ ÛÙÔ ¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 10.37, ÔÚ›˙Ô˘Ì ÙË ÌÔÚÊ‹ ζ ÛÙÔ R 3 − {0} ˆ˜ xdy ∧ dz + ydz ∧ d x + zd x ∧ dy ζ = , r3 fiÔ˘ r = (x 2 + y 2 + z 2 )1/2 . A˜ Â›Ó·È D ÙÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ Ô˘ ÔÚ›˙ÂÙ·È ˆ˜ ÂÍ‹˜: (u, v) ∈ D Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó 0 ≤ u ≤ π Î·È 0 ≤ v ≤ 2π. £ÂˆÚԇ̠ÙËÓ 2-ÂÈÊ¿ÓÂÈ· ÙÔ˘ R 3 Ì ‰›Ô ·Ú·Ì¤ÙÚˆÓ ÙÔ D, Ë ÔÔ›· ÔÚ›˙ÂÙ·È ˆ˜ ÂÍ‹˜: E¿Ó (u, v) ∈ D Î·È (u, v) = (x, y, z), ÙfiÙ x = sin u cos v,
y = sin u sin v,
z = cos u.
O§OK§HPø™H ¢IAºOPIKøN MOPºøN 453
(·) Aԉ›ÍÙ fiÙÈ dζ = 0 ÛÙÔ R 3 − {0}. (‚) A˜ Â›Ó·È S Ô ÂÚÈÔÚÈÛÌfi˜ Ù˘ Û ¤Ó· ‰›Ô ·Ú·Ì¤ÙÚˆÓ E ⊂ D. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ ζ = S
sin u dudv = A(S), E
fiÔ˘ ÙÔ A Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÈ ÙÔ ÂÌ‚·‰fi, fiˆ˜ ÛÙËÓ EÓfiÙËÙ· 10.43. ™ËÌÂÈÒÛÙ fiÙÈ ·˘Ù‹ Ë ÈÛfiÙËÙ· ÂÌÂÚȤ¯ÂÈ ÙËÓ (115) ˆ˜ ÂȉÈ΋ ÂÚ›ÙˆÛË. (Á) YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ g, h 1 , h 2 , h 3 Â›Ó·È C -Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ ÛÙÔ [0, 1] Ì g > 0. £ÂˆÚԇ̠ÙËÓ 2-ÂÈÊ¿ÓÂÈ· Ì ‰›Ô ·Ú·Ì¤ÙÚˆÓ ÙÔ I 2 , Ë ÔÔ›· ÔÚ›˙ÂÙ·È ˆ˜ ÂÍ‹˜: Â¿Ó (s, t) ∈ I 2 Î·È (s, t) = (x, y, z), ÙfiÙ x = g(t)h 1 (s),
y = g(t)h 2 (s),
Aԉ›ÍÙ fiÙÈ
z = g(t)h 3 (s).
ζ = 0,
¢ı¤ˆ˜ ·fi ÙËÓ (35). ¶·Ú·ÙËÚ‹ÛÙ ÙÔ Û¯‹Ì· ÙÔ˘ ‰›Ô˘ ÙÈÌÒÓ Ù˘ : °È· ÛÙ·ıÂÚfi s ∈ [0, 1], Ë (s, t) ‰È·ÙÚ¤¯ÂÈ ¤Ó· ‰È¿ÛÙËÌ· › Ì›·˜ ¢ı›·˜ Ô˘ ÂÚÓ¿ ·fi ÙÔ 0 ηıÒ˜ t ∈ [0, 1]. ÕÚ·, ÙÔ Â‰›Ô ÙÈÌÒÓ Ù˘ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È Â› ÂÓfi˜ ÎÒÓÔ˘ Ì ÎÔÚ˘Ê‹ ÛÙËÓ ·Ú¯‹ ÙˆÓ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤ӈÓ. (‰) £ÂˆÚԇ̠¤Ó· ÎÏÂÈÛÙfi ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ E ÛÙÔ D ̠Ϣڤ˜ ·Ú¿ÏÏËϘ ÚÔ˜ ·˘Ù¤˜ ÙÔ˘ D. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ f ∈ C (D) Ì f > 0. A˜ Â›Ó·È Ë 2-ÂÈÊ¿ÓÂÈ· Ì ‰›Ô ·Ú·Ì¤ÙÚˆÓ ÙÔ E, Ë ÔÔ›· ÔÚ›˙ÂÙ·È ·fi ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· (u, v) = f (u, v)(u, v) ÁÈ· οı (u, v) ∈ E. OÚ›˙Ô˘Ì ÙËÓ S fiˆ˜ ÛÙÔ (‚). Aԉ›ÍÙ fiÙÈ ζ = ζ = A(S).
S
(EÊfiÛÔÓ ÙÔ S Â›Ó·È Ë «·ÎÙÈÓÈ΋ ÚÔ‚ÔÏ‹» Ù˘ ÛÙË ÌÔÓ·‰È·›· ÛÊ·›Ú·, Â›Ó·È Â‡ÏÔÁÔ Ó· ·ÔηÏԇ̠ÙÔ ζ ˆ˜ ÙËÓ ·ÓÙÈΛÌÂÓË «ÛÙÂÚ¿ ÁˆÓ›·» ÙÔ˘ ‰›Ô˘ ÙÈÌÒÓ Ù˘ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ ·Ú¯‹ ÙˆÓ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤ӈÓ.)
454
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
Yfi‰ÂÈÍË: £ÂˆÚ‹ÛÙ ÙËÓ 3-ÂÈÊ¿ÓÂÈ· , ÔÚÈ˙fiÌÂÓË Ì¤Ûˆ Ù˘ ÈÛfiÙËÙ·˜ (t, u, v) = [1 − t + t f (u, v)](u, v) ÁÈ· οı (u, v) ∈ E, t ∈ [0, 1]. °È· ÛÙ·ıÂÚfi v, Ë ·ÂÈÎfiÓÈÛË (t, u) → (t, u, v) Â›Ó·È Ì›· 2-ÂÈÊ¿ÓÂÈ· ÛÙËÓ ÔÔ›· ÌÔÚ› Ó· ÂÊ·ÚÌÔÛı› ÙÔ (Á) ÁÈ· Ó· ‰Âȯı› fiÙÈ ζ = 0. TÔ ›‰ÈÔ ÈÛ¯‡ÂÈ Î·È fiÙ·Ó ÙÔ u ÎÚ·ÙËı› ÛÙ·ıÂÚfi. ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔ (·) Î·È ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Stokes, ζ = dζ = 0. ∂
(Â) £¤ÙÔ˘Ì λ = −(ζ /r )η, fiÔ˘ η=
xdy − yd x , x 2 + y2
fiˆ˜ ÛÙËÓ ÕÛÎËÛË 21. TfiÙÂ, Ë λ Â›Ó·È Ì›· 1-ÌÔÚÊ‹ ÛÙÔ ·ÓÔÈÎÙfi Û‡ÓÔÏÔ V ⊂ R 3 , ÙÔ ÔÔ›Ô ÔÚ›˙ÂÙ·È ˆ˜ ÂÍ‹˜: (x, y, z) ∈ V Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó x 2 + y 2 > 0. ¢Â›ÍÙ fiÙÈ Ë ζ Â›Ó·È ·ÎÚÈ‚‹˜ ÛÙÔ V , ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÔÓÙ·˜ fiÙÈ ζ = dλ. (ÛÙ) Aԉ›ÍÙ ÙÔ (‰) ·fi ÙÔ (Â), ‰›¯ˆ˜ ¯Ú‹ÛË ÙÔ˘ (Á). Yfi‰ÂÈÍË: YÔı¤ÛÙ fiÙÈ 0 < u < π ÛÙÔ E. Afi ÙÔ (Â) ¤¯Ô˘Ì fiÙÈ ζ = λ Î·È ζ = λ.
∂
S
∂S
¢Â›ÍÙ fiÙÈ Ù· ‰‡Ô ÔÏÔÎÏËÚÒÌ·Ù· Ù˘ λ Â›Ó·È ›Û·, ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ÙÔ Ì¤ÚÔ˜ (‰) Ù˘ AÛ΋Ûˆ˜ 21 Î·È ·Ú·ÙËÚÒÓÙ·˜ fiÙÈ Ë ζ /r Â›Ó·È Ë ›‰È· ÛÙȘ Î·È . (˙) E›Ó·È Ë ζ ·ÎÚÈ‚‹˜ ÛÙÔ Û˘Ìϋڈ̷ ÔÔÈ·Û‰‹ÔÙ ¢ı›·˜ Ô˘ ÂÚÓ¿ ·fi ÙËÓ ·Ú¯‹ ÙˆÓ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤ӈÓ; ÕÛÎËÛË 23. £ÂˆÚԇ̠¤Ó·Ó ıÂÙÈÎfi ·Î¤Ú·ÈÔ ·ÚÈıÌfi n. °È· οı ·Î¤Ú·ÈÔ ·ÚÈıÌfi k Ì 1 ≤ k ≤ n ÔÚ›˙Ô˘Ì rk = (x12 + · · · + xk2 )1/2 . A˜ Â›Ó·È E k ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ x ∈ R n Ì rk > 0. A˜ Â›Ó·È Â›Û˘ ωk Ë (k − 1)-ÌÔÚÊ‹ ÛÙÔ E k Ô˘ ÔÚ›˙ÂÙ·È ˆ˜ ÂÍ‹˜: ωk = (rk )−k
k i=1
(−1)i−1 xi d x1 ∧ · · · ∧ d xi−1 ∧ d xi+i ∧ · · · ∧ d xk .
O§OK§HPø™H ¢IAºOPIKøN MOPºøN 455
™ËÌÂÈÒÓÔ˘Ì fiÙÈ ω2 = η, ω3 = ζ , Ì ÙÔ˘˜ Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌÔ‡˜ ÙˆÓ AÛ΋ÛÂˆÓ 21 Î·È 22. ™ËÌÂÈÒÓÔ˘Ì ›Û˘ fiÙÈ E 1 ⊂ E 2 ⊂ · · · ⊂ E n = R n − {0}. (·) Aԉ›ÍÙ fiÙÈ dωk = 0 ÛÙÔ E k . (‚) °È· k = 2, . . . , n, ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ Ë ωk Â›Ó·È ·ÎÚÈ‚‹˜ ÛÙÔ E k−1 , ‰Â›¯ÓÔÓÙ·˜ fiÙÈ ωk = d( f k ωk−1 ) = (d f k ) ∧ ωk−1 , fiÔ˘ f k Â›Ó·È Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ô˘ ÔÚ›˙ÂÙ·È ÛÙÔ E k−1 ̤ۈ Ù˘ ÈÛfiÙËÙ·˜ f k (x) = (−1)k gk (xk /rk ) ÁÈ· οı x ∈ E k−1 Î·È gk Â›Ó·È Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÛÙÔ (−1, 1) Ô˘ ÔÚ›˙ÂÙ·È Ì¤Ûˆ Ù˘ ÈÛfiÙËÙ·˜ t gk (t) = (1 − s 2 )(k−3)/2 ds (−1 < t < 1). −1
Yfi‰ÂÈÍË: H f k ÈηÓÔÔÈ› ÙȘ ‰È·ÊÔÚÈΤ˜ ÂÍÈÛÒÛÂȘ x · (∇ f k )(x) = 0 Î·È (Dk f k )(x) =
(−1)k (rk−1 )k−1 (rk )k
ÁÈ· οı x ∈ E k−1 . (Á) E›Ó·È Ë ωn ·ÎÚÈ‚‹˜ ÛÙÔ E n ; (‰) ¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ÙÔ (‚) Â›Ó·È ÁÂӛ΢ÛË ÙÔ˘ ̤ÚÔ˘˜ (Â) Ù˘ AÛ΋Ûˆ˜ 22. ¶ÚÔÛ·ı‹ÛÙ ӷ ÁÂÓÈ·ÛÂÙÂ Î·È ¿ÏÏÔ˘˜ ÈÛ¯˘ÚÈÛÌÔ‡˜ ÙˆÓ AÛ΋ÛÂˆÓ 21 Î·È 22 ÁÈ· ÙËÓ ωn , ÁÈ· ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ n. n ai (x)d xi ÎÏ¿Ûˆ˜ C Û ¤Ó· ÕÛÎËÛË 24. £ÂˆÚԇ̛̠· 1-ÌÔÚÊ‹ ω = i=1 ΢ÚÙfi ·ÓÔÈÎÙfi Û‡ÓÔÏÔ E ⊂ R n . YÔı¤ÛÙ fiÙÈ dω = 0 Î·È ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ Ë ω Â›Ó·È ·ÎÚÈ‚‹˜ ÛÙÔ E, Û˘ÌÏËÚÒÓÔÓÙ·˜ ÙÔ ·ÎfiÏÔ˘ıÔ ·Ô‰ÂÈÎÙÈÎfi ۯ‰ȿÁÚ·ÌÌ·: £ÂˆÚԇ̠p ∈ E. OÚ›˙Ô˘Ì ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË f ÛÙÔ E ̤ۈ Ù˘ ÈÛfiÙËÙ·˜ f (x) = ω (x ∈ E). [p,x]
456
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
EÊ·ÚÌfi˙Ô˘Ì ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Stokes ÛÙ· ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈṲ̂ӷ Û˘Û¯ÂÙÈο 2-ÌÔÓfiÏÔη [p, x, y] ÛÙÔ E. §·Ì‚¿ÓÔ˘Ì fiÙÈ 1 n (yi − xi ) ai ((1 − t)x + ty) dt f (y) − f (x) = 0
i=1
ÁÈ· οı x, y ∈ E. ÕÚ·, Di f = ai ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË i. ÕÛÎËÛË 25. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ Ë ω Â›Ó·È Ì›· 1-ÌÔÚÊ‹ Û ¤Ó· ·ÓÔÈÎÙfi Û‡ÓÔÏÔ E ⊂ R n Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ γ
ω=0
ÁÈ· οı ÎÏÂÈÛÙ‹ η̇ÏË γ ÛÙÔ E, ÎÏ¿Ûˆ˜ C . Aԉ›ÍÙ fiÙÈ Ë ω Â›Ó·È ·ÎÚÈ‚‹˜ ÛÙÔ E, ÂÚÁ·˙fiÌÂÓÔÈ Ì ·ÚfiÌÔÈÔ ÙÚfiÔ fiˆ˜ ÛÙËÓ ÕÛÎËÛË 24. ÕÛÎËÛË 26. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ ω Â›Ó·È Ì›· 1-ÌÔÚÊ‹ ÛÙÔ R 3 − {0}, ÎÏ¿Ûˆ˜ C , Ì dω = 0. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ Ë ω Â›Ó·È ·ÎÚÈ‚‹˜ ÛÙÔ R 3 − {0}. Yfi‰ÂÈÍË: K¿ı ÎÏÂÈÛÙ‹ Û˘Ó¯Ҙ ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË Î·Ì‡ÏË ÛÙÔ R 3 − {0} Â›Ó·È ÙÔ Û‡ÓÔÚÔ Ì›·˜ 2-ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜ ÛÙÔ R 3 − {0}. EÊ·ÚÌfiÛÙ ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Stokes Î·È ÙËÓ ÕÛÎËÛË 25. ÕÛÎËÛË 27. £ÂˆÚԇ̠¤Ó· ·ÓÔÈÎÙfi 3-‰È¿ÛÙËÌ· E ÛÙÔÓ R 3 ̠Ϣڤ˜ ·Ú¿ÏÏËϘ ÚÔ˜ ÙÔ˘˜ ¿ÍÔÓ˜ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤ӈÓ. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ (a, b, c) ∈ E, fiÙÈ f i ∈ C (E) ÁÈ· i = 1, 2, 3, fiÙÈ ω = f 1 dy ∧ dz + f 2 dz ∧ d x + f 3 d x ∧ dy Î·È fiÙÈ dω = 0 ÛÙÔ E. OÚ›˙Ô˘Ì λ = g1 d x + g2 dy, fiÔ˘ g1 , g2 Â›Ó·È ÔÈ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ ÛÙÔ E ÔÈ Ôԛ˜ ÔÚ›˙ÔÓÙ·È ˆ˜ ÂÍ‹˜: z y f 2 (x, y, s)ds − f 3 (x, t, c)dt, g1 (x, y, z) = c b z g2 (x, y, z) = − f 1 (x, y, s)ds, c
O§OK§HPø™H ¢IAºOPIKøN MOPºøN 457
ÁÈ· οı (x, y, z) ∈ E. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ dλ = ω ÛÙÔ E. YÔÏÔÁ›ÛÙ ٷ ÔÏÔÎÏËÚÒÌ·Ù· ·˘Ù¿ fiÙ·Ó ω = ζ Î·È ‚Ú›Ù ÙË ÌÔÚÊ‹ λ Ô˘ ÚÔ·ÙÂÈ ÛÙÔ Ì¤ÚÔ˜ (Â) Ù˘ AÛ΋Ûˆ˜ 22. ÕÛÎËÛË 28. £ÂˆÚԇ̠‰‡Ô Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ a, b Ì 0 < a < b Î·È ÔÚ›˙Ô˘Ì ÙËÓ ·ÂÈÎfiÓÈÛË Ì¤Ûˆ Ù˘ ÈÛfiÙËÙ·˜ (r, θ ) = (r cos θ, r sin θ ) ÁÈ· οı r ∈ [a, b], θ ∈ [0, 2π ]. (TÔ Â‰›Ô ÙÈÌÒÓ Ù˘ Â›Ó·È ¤Ó·˜ ‰·ÎÙ‡ÏÈÔ˜ ÙÔ˘ R 2 .) £¤ÙÔ˘Ì ω = x 3 dy. YÔÏÔÁ›ÛÙ ٷ ÔÏÔÎÏËÚÒÌ·Ù· dω Î·È ω
∂
Î·È Â·ÏËı‡ÛÙ fiÙÈ Â›Ó·È ›Û·. ÕÛÎËÛË 29. Aԉ›ÍÙ ÙËÓ ‡·ÚÍË Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜ α Ì ÙȘ ȉÈfiÙËÙ˜ Ô˘ ··ÈÙÔ‡ÓÙ·È ÛÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 10.38 Î·È ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ Ë ÚÔ·ÙÔ˘Û· Û˘Ó¿ÚÙËÛË F Â›Ó·È ÎÏ¿Ûˆ˜ C . (OÈ ‰‡Ô ÈÛ¯˘ÚÈÛÌÔ› Â›Ó·È ÙÂÙÚÈÌ̤ÓÔÈ fiÙ·Ó ÙÔ E Â›Ó·È ·ÓÔÈÎÙfi ‰È¿ÛÙËÌ· ‹ ·ÓÔÈÎÙ‹ ÛÊ·ÈÚÈ΋ ÂÚÈÔ¯‹, ÂÊfiÛÔÓ Ë α ÌÔÚ› Ó· ÏËÊı› ˆ˜ ÛÙ·ıÂÚ‹. AÓ·ÙÚ¤ÍÙ ÛÙÔ £ÂÒÚËÌ· 9.42.) ÕÛÎËÛË 30. E¿Ó N Â›Ó·È ÙÔ ‰È¿Ó˘ÛÌ· Ô˘ ‰›‰ÂÙ·È ÛÙËÓ (135), ÙfiÙ ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ α1 β1 α2 β3 − α3 β2 det α2 β2 α3 β1 − α1 β3 = |N|2 . α3 β3 α1 β2 − α2 β1 E›Û˘, ·ÏËı‡ÛÙ ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· (137). ÕÛÎËÛË 31. £ÂˆÚԇ̠¤Ó· ·ÓÔÈÎÙfi Û‡ÓÔÏÔ E ⊂ R 3 . g, h ∈ C (E) Î·È ıˆÚԇ̠ÙÔ ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎfi ‰›Ô F = g∇h.
YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ
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∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
(·) Aԉ›ÍÙ fiÙÈ ∇ · F = g∇ 2 h + (∇g) · (∇h), fiÔ˘ ∇ 2 h = ∇ · (∇h) = Laplace 8 Ù˘ h.
3
i=1 ∂
2 h/∂ x 2 i
Â›Ó·È Ô ÏÂÁfiÌÂÓÔ˜ ÙÂÏÂÛÙ‹˜ ÙÔ˘
(‚) E¿Ó Â›Ó·È ¤Ó· ÎÏÂÈÛÙfi ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ E Ì ıÂÙÈο ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈ8
™. Ù. M.: Pierre Simon Laplace (1749-1827). MÂÁ¿ÏÔ˜ °¿ÏÏÔ˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi˜ Î·È Ê˘ÛÈÎfi˜. A¤‰ÂÈÍ ÚÒÙÔ˜ ÙËÓ Â˘ÛÙ¿ıÂÈ· ÙÔ˘ ËÏÈ·ÎÔ‡ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ Ì ‚¿ÛË ÙÔ ÚfiÙ˘Ô ÙÔ˘ Isaac Newton (1642-1727). E›Û˘, ıˆÚÂ›Ù·È Ô ıÂÌÂÏȈً˜ Ù˘ Û‡Á¯ÚÔÓ˘ Ê¿Ûˆ˜ Ù˘ £ÂˆÚ›·˜ ¶Èı·ÓÔÙ‹ÙˆÓ Î·È ‹Ù·Ó ·˘Ùfi˜ Ô˘ ÂÈÛ‹Á·Á ÛÙË M·ıËÌ·ÙÈ΋ º˘ÛÈ΋ ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ‰˘Ó·ÌÈÎÔ‡. O Laplace ‹Ù·Ó ˘Èfi˜ ·ÁÚfiÙË. ⁄ÛÙÂÚ· ·fi ÙȘ Á˘ÌÓ·ÛȷΤ˜ ÙÔ˘ ÛÔ˘‰¤˜ ÛÙË ÁÂÓ¤ÙÂÈÚ¿ ÙÔ˘, o Laplace ÂÈÛ‹¯ıË ÛÙÔ ¶·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ Ù˘ Caen, ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1765, Ì ÛÎÔfi Ó· ÛÔ˘‰¿ÛÂÈ £ÂÔÏÔÁ›·. ™‡ÓÙÔÌ· fï˜ ÂÛÙÚ¿ÊË ÚÔ˜ Ù· M·ıËÌ·ÙÈο. ™ÙËÓ ËÏÈΛ· ÙˆÓ ‰ÂηÂÓÓ¤· ÂÙÒÓ Ô Laplace ‰ÈÔÚ›ÛıËΠηıËÁËÙ‹˜ M·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ, ÛÙË ™ÙÚ·ÙȈÙÈ΋ ™¯ÔÏ‹ ÙˆÓ ¶·ÚÈÛ›ˆÓ, ‡ÛÙÂÚ· ·fi ÚfiÙ·ÛË ÙÔ˘ Jean le Rond d' Alembert (1717-1783). TÔ ¤ÙÔ˜ 1773 Ô Laplace ÂÍÂϤÁË Û˘ÓÂÚÁ·˙fiÌÂÓÔ Ì¤ÏÔ˜ Ù˘ Aη‰ËÌ›·˜ ÙˆÓ EÈÛÙËÌÒÓ ÙˆÓ ¶·ÚÈÛ›ˆÓ Î·È ÙÔ 1785 ÂÍÂϤÁË Ù·ÎÙÈÎfi ̤ÏÔ˜ Ù˘ Aη‰ËÌ›·˜. TÔ ›‰ÈÔ ¤ÙÔ˜ Ô Laplace ÂͤٷÛ ÙÔÓ Ó·Úfi N·ÔϤÔÓÙ· ÛÙȘ ÂÍÂÙ¿ÛÂȘ ÙÔ˘ ÙÂÏÂ˘Ù·›Ô˘. ™ÙË ‰È¿ÚÎÂÈ· Ù˘ °·ÏÏÈ΋˜ E·Ó·ÛÙ¿Ûˆ˜, Ô Laplace ‚Ô‹ıËÛ ÁÈ· ÙËÓ ÂÁηı›‰Ú˘ÛË ÙÔ˘ Ó¤Ô˘ ÌÂÙÚÈÎÔ‡ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜, ‰›‰·ÛΠÛÙËÓ École Normale ηÈ, ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1795, ¤ÁÈÓ ̤ÏÔ˜ ÙÔ˘ °·ÏÏÈÎÔ‡ IÓÛÙÈÙÔ‡ÙÔ˘. AÚÁfiÙÂÚ·, ÁχوÛ ·fi ηڷÙfiÌËÛË ÏfiÁˆ Ù˘ ÚÔÛÊÔÚ¿˜ ÙÔ˘ ÛÙËÓ ÂÈÛÙ‹ÌË (Î·È Ê˘ÛÈο ÛÙÔÓ ÛÙÚ·Ùfi). ⁄ÛÙÂÚ· ·fi ÙË °·ÏÏÈ΋ E·Ó¿ÛÙ·ÛË, Ô Laplace ·Û¯ÔÏ‹ıËΠ̠ÙËÓ ÔÏÈÙÈ΋. Yfi ÙÔÓ N·ÔϤÔÓÙ·, ¤Ï·‚ ÙÔÓ ™Ù·˘Úfi Ù˘ §ÂÁÂÒÓ·˜ Ù˘ TÈÌ‹˜, ¤ÁÈÓ ÎfiÌ˘ Ù˘ A˘ÙÔÎÚ·ÙÔÚ›·˜ Î·È ÁÈ· Ï›ÁÔ Î·ÈÚfi ›¯Â ·Ó·Ï¿‚ÂÈ ÙÔ YÔ˘ÚÁÂ›Ô EÛˆÙÂÚÈÎÒÓ. ⁄ÛÙÂÚ· ·fi ÙËÓ ÙÒÛË ÙÔ˘ N·ÔϤÔÓÙ· Î·È ÙËÓ ·ÏÈÓfiÚıˆÛË Ù˘ ÌÔÓ·Ú¯›·˜, Ô Laplace ¿ÏÏ·Í ÔÏÈÙÈ΋ ÙÔÔı¤ÙËÛË, ˘¤ÁÚ·„ ÙÔ ‰È¿Ù·ÁÌ· ÂÎÙÔ›Ûˆ˜ ÙÔ˘ N·ÔϤÔÓÙ·, ‰‹ÏˆÛ ·ÊÔÛ›ˆÛË ÛÙÔÓ §Ô˘‰Ô‚›ÎÔ XVIII Î·È ÔÓÔÌ¿ÛıËΠ̷Ú΋ÛÈÔ˜. O Laplace Û˘Ó¤ÁÚ·„ ÌÂٷ͇ ¿ÏÏˆÓ ¤Ó· ÌÓËÌÂÈ҉˜ ¤ÚÁÔ ÂÚ› O˘Ú¿ÓÈ·˜ M˯·ÓÈ΋˜ Î·È ‰‡Ô ‚È‚Ï›· £ÂˆÚ›·˜ ¶Èı·ÓÔًوÓ, Ù· ÔÔ›· ÂËÚ¤·Û·Ó ÛËÌ·ÓÙÈο ÙȘ ηÙÔÈÓ¤˜ ÂÈÛÙËÌÔÓÈΤ˜ ÂÍÂÏ›ÍÂȘ. K·ÙËÁÔÚ‹ıËΠ¤ÓÙÔÓ· ÁÈ· ÔÏÈÙÈÎfi Î·È ÂÈÛÙËÌÔÓÈÎfi Ù˘¯Ô‰ÈˆÎÙÈÛÌfi. AÎÔÏÔ˘ıÔ‡Û ÙËÓ ÔÚ›· ÙÔ˘ ÂοÛÙÔÙ ÔÏÈÙÈÎÔ‡ Ú‡̷ÙÔ˜ Î·È ÛÙ· Û˘ÁÁÚ¿ÌÌ·Ù¿ ÙÔ˘ Â͢ÌÓÔ‡Û ÙËÓ ÂοÛÙÔÙ ÔÏÈÙÈ΋ ΢‚¤ÚÓËÛË. X·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈÎfi Â›Ó·È ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ Û οı ÓÂÒÙÂÚË ¤Î‰ÔÛË ÔÔÈ·Û‰‹ÔÙ ÂÚÁ·Û›·˜ ÙÔ˘, Â͢ÌÓÔ‡Û ÙÔ ÂοÛÙÔÙ ÔÏÈÙÈÎfi ηıÂÛÙÒ˜. A¯ı·ÓfiÙ·Ó ÙËÓ Ù·ÂÈÓ‹ ηٷÁˆÁ‹ ÙÔ˘ Î·È ÁÈ· ÙÔÓ ÏfiÁÔ ·˘Ùfi ‰ÂÓ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ·Ú¿ ÂÏ¿¯ÈÛÙ· ÛÙÔȯ›· ÁÈ· ÙȘ ÚÒÙ˜ ‰ÂηÂٛ˜ Ù˘ ˙ˆ‹˜ ÙÔ˘, ÂÊfiÛÔÓ ¤Î·Ó ٷ ¿ÓÙ· ÁÈ· Ó· Ù· ÎÚ‡„ÂÈ.
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Ṳ̂ÓÔ Û‡ÓÔÚÔ ∂ (fiˆ˜ ÛÙÔ £ÂÒÚËÌ· 10.51), ÙfiÙ ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ ∂h 2 [g∇ h + (∇g) · (∇h)] d V = g d A, ∂ ∂n fiÔ˘ (ηٿ Ù· ηıÈÂڈ̤ӷ) ÁÚ¿ÊÔ˘Ì ∂h/∂n ÛÙË ı¤ÛË ÙÔ˘ (∇h) · n. (EÔ̤ӈ˜, ÙÔ ∂h/∂n Â›Ó·È Ë ‰È¢ı˘ÓÙÈ΋ ·Ú¿ÁˆÁÔ˜ Ù˘ h ηٿ ÙËÓ Î·Ù‡ı˘ÓÛË ÙÔ˘ Â͈ÙÂÚÈÎÔ‡ ÔÚıfiıÂÙÔ˘ ‰È·Ó‡ÛÌ·ÙÔ˜ ÛÙÔ ∂, Ë ÏÂÁfiÌÂÓË ÔÚıfiıÂÙË ·Ú¿ÁˆÁÔ˜ Ù˘ h.) EÓ·ÏÏ¿ÍÙ ÙȘ g Î·È h, ·Ê·ÈÚ¤ÛÙ ÙËÓ ÚÔ·ÙÔ˘Û· ÈÛfiÙËÙ· ·fi ÙËÓ ÚÒÙË ÁÈ· Ó· ·ÔÎÙ‹ÛÂÙ ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· ∂h ∂g 2 2 d A. g (g∇ h − h∇ g) d V = −h ∂n ∂n ∂ OÈ ÈÛfiÙËÙ˜ ·˘Ù¤˜ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È Ù·˘ÙfiÙËÙ˜ ÙÔ˘ Green. (Á) YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ Ë h Â›Ó·È ·ÚÌÔÓÈ΋ ÛÙÔ E, ‰ËÏ·‰‹ fiÙÈ ∇ 2 h = 0. §¿‚ÂÙ g = 1 Î·È Û˘Ó¿ÁÂÙ fiÙÈ ∂h d A = 0. ∂ ∂n §¿‚ÂÙ g = h Î·È Û˘Ó¿ÁÂÙ fiÙÈ h = 0 ÛÙÔ Â¿Ó h = 0 ÛÙÔ ∂. (‰) ¢Â›ÍÙ fiÙÈ ÔÈ Ù·˘ÙfiÙËÙ˜ ÙÔ˘ Green ÈÛ¯‡Ô˘Ó Î·È ÛÙÔ R 2 . ÕÛÎËÛË 32. £ÂˆÚԇ̠ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi δ Ì 0 < δ < 1. A˜ Â›Ó·È D ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ (θ, t) ∈ R 2 Ì 0 ≤ θ ≤ π Î·È −δ ≤ t ≤ δ. £ÂˆÚԇ̠ÙËÓ 2-ÂÈÊ¿ÓÂÈ· ÛÙÔÓ R 3 Ì ‰›Ô ·Ú·Ì¤ÙÚˆÓ ÙÔ D, Ë ÔÔ›· ÔÚ›˙ÂÙ·È Ì¤Ûˆ ÙˆÓ x = (1 − t sin θ ) cos 2θ, y = (1 − t sin θ ) sin 2θ, z = t cos θ, fiÔ˘ (x, y, z) = (θ, t) ((θ, t) ∈ D). ™ËÌÂÈÒÓÔ˘Ì fiÙÈ (π, t) = (0, −t) ÁÈ· οı t ∈ [−δ, δ] Î·È fiÙÈ Ë Â›Ó·È 1-1 ÛÙÔ ˘fiÏÔÈÔ ÙÔ˘ D. TÔ Â‰›Ô ÙÈÌÒÓ M = (D) Â›Ó·È ÁÓˆÛÙfi ˆ˜ ψڛ‰· ÙÔ˘ Möbius 9 . E›Ó·È ÙÔ ·ÏÔ‡ÛÙÂÚÔ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ÌË ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏ›ÛÈÌ˘ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜. 9
™. Ù. M.: August Ferdinand Möbius (1790-1868). °ÂÚÌ·Ófi˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi˜. EÚÁ¿ÛıËΠÛÙË °ÂˆÌÂÙÚ›· Î·È ÛÙËÓ AÛÙÚÔÓÔÌ›·.
460
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
Aԉ›ÍÙ ÙÔ˘˜ ‰È·ÊfiÚÔ˘˜ ÈÛ¯˘ÚÈÛÌÔ‡˜ Ô˘ ÂÌÊ·Ó›˙ÔÓÙ·È ÛÙËÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ÂÚÈÁÚ·Ê‹: £¤ÙÔ˘Ì p1 = (0, −δ), p2 = (π, −δ), p3 = (π, δ), p4 = (0, δ), p5 = p1 . E›Û˘, ı¤ÙÔ˘Ì γi = [pi , pi+1 ] Î·È i = ◦ γi ÁÈ· i = 1, . . . , 4. TfiÙÂ, ∂ = 1 + 2 + 3 + 4 . £¤ÙÔ˘Ì a = (1, 0, −δ) Î·È b = (1, 0, δ). TfiÙÂ, (p1 ) = (p3 ) = a,
(p2 ) = (p4 ) = b
Î·È ÙÔ ∂ ÌÔÚ› Ó· ÂÚÈÁÚ·Ê› ˆ˜ ·ÎÔÏÔ‡ıˆ˜: H 1 ÂÚÈÂÏ›ÛÛÂÙ·È ·fi ÙÔ a ÛÙÔ b. H ÚÔ‚ÔÏ‹ Ù˘ ÛÙÔ (x, y)-Â›Â‰Ô ¤¯ÂÈ ·ÚÈıÌfi ÂÚÈÛÙÚÔÊ‹˜ ›ÛÔ Ì +1 Á‡Úˆ ·fi ÙËÓ ·Ú¯‹. (AÓ·ÙÚ¤ÍÙ ÛÙËÓ ÕÛÎËÛË 23 ÙÔ˘ KÂÊ·Ï·›Ô˘ 8.) 2 = [b, a]. H 3 ÂÚÈÂÏ›ÛÛÂÙ·È ·fi ÙÔ a ÛÙÔ b. H ÚÔ‚ÔÏ‹ Ù˘ ÛÙÔ (x, y)-Â›Â‰Ô ¤¯ÂÈ ·ÚÈıÌfi ÂÚÈÛÙÚÔÊ‹˜ ›ÛÔ Ì −1 Á‡Úˆ ·fi ÙËÓ ·Ú¯‹. 4 = [b, a]. ÕÚ·, ∂ = 1 + 3 + 22 . E¿Ó ÎÈÓËıԇ̠·fi ÙÔ a ÛÙÔ b ηٿ Ì‹ÎÔ˜ Ù˘ 1 Î·È Û˘Ó¯›ÛÔ˘Ì ηٿ Ì‹ÎÔ˜ Ù˘ «ÏÂ˘Ú¿˜» ÙÔ˘ M ¤ˆ˜ fiÙÔ˘ Ó· ÂÈÛÙÚ¤„Ô˘Ì ÛÙÔ a, ÙfiÙÂ Ë Î·Ì‡ÏË O Möbius ÂÈÛ‹¯ıË ÛÙÔ ¶·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ Ù˘ §ÂÈ„›·˜, ÛÙÔ ÙÌ‹Ì· Ù˘ NÔÌÈ΋˜, ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1809. °Ú‹ÁÔÚ· ¤ÛÙÚ„ ÙÔÓ ÂӉȷʤÚÔÓ ÙÔ˘ ÚÔ˜ Ù· M·ıËÌ·ÙÈο Î·È ÙËÓ AÛÙÚÔÓÔÌ›· ηÈ, ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1813, ‹Á ÛÙÔ ¶·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ ÙÔ˘ Göttingen, fiÔ˘ Î·È ÊÔ›ÙËÛ ˘fi ÙÔÓ Carl Friedrich Gauss (1777-1855). AÚÁfiÙÂÚ·, ‹Á ÛÙË Halle, fiÔ˘ ÊÔ›ÙËÛ ÛÙÔ ÙÔÈÎfi ·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ ˘fi ÙÔÓ Johann Friedrich Pfaff (1765-1825), ÙÔÓ Î·ıËÁËÙ‹ ÙÔ˘ Gauss. ŒÏ·‚ ÙÔ ‰È‰·ÎÙÔÚÈÎfi ÙÔ˘ ‰›ÏˆÌ· ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1814 ·fi ÙÔ ¶·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ Ù˘ §ÂÈ„›·˜. ™ÙË ‰È¿ÚÎÂÈ· Ù˘ Û˘ÁÁÚ·Ê‹˜ Ù˘ ‰È‰·ÎÙÔÚÈ΋˜ ‰È·ÙÚÈ‚‹˜ ÙÔ˘, ˘‹ÚÍ ÂΠ̤ÚÔ˘˜ ÙˆÓ ·Ú¯ÒÓ Ì›· ÚÔÛ¿ıÂÈ· ÛÙÚ·ÙÔÏfiÁËÛ‹˜ ÙÔ˘ ÛÙÔÓ ¶ÚˆÛÈÎfi ÛÙÚ·Ùfi, ÙËÓ ÔÔ›· Î·È ·¤Ê˘ÁÂ. TÔ ¤ÙÔ˜ 1815, Ô Möbius ‰ÈÔÚ›ÛıËΠ˘ÊËÁËÙ‹˜ Î·È ¤Ó· ¤ÙÔ˜ ·ÚÁfiÙÂÚ· ‰ÈÔÚ›ÛıËΠÛÙËÓ ¤‰Ú· Ù˘ AÛÙÚÔÓÔÌ›·˜ Î·È AÓÒÙÂÚ˘ M˯·ÓÈ΋˜ ÙÔ˘ ¶·ÓÂÈÛÙËÌ›Ô˘ Ù˘ §ÂÈ„›·˜, ˆ˜ ¤ÎÙ·ÎÙÔ˜ ηıËÁËÙ‹˜. §fiÁˆ ÎˆÏ˘Ì¿ÙˆÓ ‰ÈÔÈÎËÙÈ΋˜ ʇÛˆ˜, ‰ÂÓ ¤ÁÈÓ ٷÎÙÈÎfi˜ ηıËÁËÙ‹˜, ·Ú¿ ÌfiÓÔ ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1844. Yfi ÙËÓ Â›‚ÏÂ„Ë ÙÔ˘ Möbius ηٷÛ΢¿ÛıËΠÙÔ ·ÛÙÂÚÔÛÎÔÂ›Ô Ù˘ §ÂÈ„›·˜ ÌÂٷ͇ ÙˆÓ ÂÙÒÓ 1818 Î·È 1821. TÔ ¤ÙÔ˜ 1848 Ô Möbius ¤ÁÈÓ ‰È¢ı˘ÓÙ‹˜ ÙÔ˘ ·ÛÙÂÚÔÛÎÔ›Ԣ. TÔ˘ ¿ÍÈ˙ ۷ÊÒ˜ ηχÙÂÚË ı¤ÛË, ·ÏÏ¿ Ô ›‰ÈÔ˜ Ô Möbius ‰ÂÓ ÙÔ ›ÛÙ„ ÔÙ¤ ·˘Ùfi ‰ÈfiÙÈ ÙÔ˘ ¤ÏÂÈÂ Ë ·˘ÙÔÂÔ›ıËÛË.
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Ô˘ ¤¯ÂÈ ‰È·ÁÚ·Ê› Â›Ó·È Ë = 1 − 3 , Ë ÔÔ›· ÌÔÚ› ›Û˘ Ó· ·Ó··Ú·ÛÙ·ı› ·fi ÙÔ Â‰›Ô ·Ú·Ì¤ÙÚˆÓ [0, 2π ] ̤ۈ ÙˆÓ ÂÍÈÛÒÛÂˆÓ x = (1 + δ sin θ ) cos 2θ, y = (1 + δ sin θ ) sin 2θ, z = −δ cos θ.
(θ ∈ [0, 2π ])
¶Ú¤ÂÈ Ó· ‰Ôı› ¤ÌÊ·ÛË ÛÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ = ∂: £ÂˆÚԇ̠ÙËÓ 1ÌÔÚÊ‹ η ÙˆÓ AÛ΋ÛÂˆÓ 21 Î·È 22. EÊfiÛÔÓ dη = 0, ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Stokes Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ ∂
η = 0.
ŸÌˆ˜, ·Ú¿ ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ Ë Â›Ó·È ÙÔ «ÁˆÌÂÙÚÈÎfi» Û‡ÓÔÚÔ ÙÔ˘ M, ¤¯Ô˘Ì fiÙÈ η = 4π.
T¤ÙÔÈÔ˘ ›‰Ô˘˜ ·Û¿ÊÂȘ ·ÔʇÁÔÓÙ·È fiÙ·Ó Ô Ù‡Ô˜ ÙÔ˘ Stokes (£ÂÒÚËÌ· 10.50) ‰È·Ù˘ˆı› ÌfiÓÔÓ ÁÈ· ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏ›ÛÈ̘ ÂÈÊ¿ÓÂȘ .
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 11
H £EøPIA TOY LEBESGUE
™ÎÔfi˜ ·˘ÙÔ‡ ÙÔ˘ ÎÂÊ·Ï·›Ô˘ Â›Ó·È Ó· ·ÚÔ˘ÛÈ·ÛıÔ‡Ó ÔÈ ıÂÌÂÏÈÒ‰ÂȘ ¤ÓÓÔȘ Ù˘ £ÂˆÚ›·˜ M¤ÙÚÔ˘ Î·È OÏÔÎÏËÚÒÛˆ˜ ÙÔ˘ Lebesgue1 Î·È Ó· 1
™. Ù. M.: Henri Léon Lebesgue (1875-1941). ™Ô˘‰·›Ô˜ °¿ÏÏÔ˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi˜. E›Ó·È Ô ıÂÌÂÏȈً˜ Ù˘ Û‡Á¯ÚÔÓ˘ £ÂˆÚ›·˜ OÏÔÎÏËÚÒÛˆ˜. E›Û˘, Û˘ÓÂÈÛ¤ÊÂÚ ÛÙËÓ TÔÔÏÔÁ›·, ÛÙË £ÂˆÚ›· ¢˘Ó·ÌÈÎÔ‡ Î·È ÛÙËÓ AÓ¿Ï˘ÛË Fourier. O Lebesgue ÛÔ‡‰·Û ÛÙËÓ École Normale. ¢›‰·Í ÛÙÔ Lycée ÙÔ˘ Nancy ηٿ Ù· ¤ÙË 1899 ¤ˆ˜ Î·È 1901. TÔ ¤ÙÔ˜ 1902 ¤ÁÈÓ ‰ÂÎÙ‹ Ë ‰È‰·ÎÙÔÚÈ΋ ÙÔ˘ ‰È·ÙÚÈ‚‹ ÛÙÔ ¶·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ ÙÔ˘ Nancy. ŒÁÈÓ ‚ÔËıfi˜ ÛÙÔ ¶·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ ÙÔ˘ Rennes Î·È ÂÚ› ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1906 ¤ÁÈÓ ηıËÁËÙ‹˜ ÛÙÔ ¶·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ ÙÔ˘ Poitiers. O Lebesgue ‰ÈÔÚ›ÛıËÎÂ, ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1910, ηıËÁËÙ‹˜ ÛÙÔ ¶·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ Ù˘ ™ÔÚ‚fiÓÓ˘. ¢‡Ô ¤ÙË ·ÚÁfiÙÂÚ· ¤ÁÈÓ ηıËÁËÙ‹˜ ÛÙÔ °·ÏÏÈÎfi KÔϤÁÈÔ. TÔ ¤ÙÔ˜ 1922 Ô Lebesgue ÂÍÂϤÁË Ì¤ÏÔ˜ Ù˘ Aη‰ËÌ›·˜ ÙˆÓ EÈÛÙËÌÒÓ ÙˆÓ ¶·ÚÈÛ›ˆÓ. ¢‡Ô ¤ÙË ·ÚÁfiÙÂÚ· Ô Lebesgue ·ÓÂÎËÚ‡¯ıË Â›ÙÈÌÔ Ì¤ÏÔ˜ Ù˘ B·ÛÈÏÈ΋˜ EÙ·ÈÚ›·˜ ÙÔ˘ §ÔÓ‰›ÓÔ˘ ηÈ
464
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
·Ô‰ÂȯıÔ‡Ó ÔÚÈṲ̂ӷ ·fi Ù· ‚·ÛÈο ıˆڋ̷ٷ ÂÓÙfi˜ ÁÂÓÈÎfiÙÂÚ˘ ÙÔÔıÂÙ‹Ûˆ˜, ‰›¯ˆ˜ Ó· ÂÈÛÎÈ·ÛıÔ‡Ó ÔÈ Î‡ÚȘ ÁÚ·Ì̤˜ ·Ó·Ù‡Íˆ˜ ·fi ÙËÓ ·Ú¿ıÂÛË Ï‹ıÔ˘˜ ÙÂÙÚÈÌÌ¤ÓˆÓ ÏÂÙÔÌÂÚÂÈÒÓ. EÔ̤ӈ˜, Û ÔÚÈṲ̂Ó˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ ÔÈ ·Ô‰Â›ÍÂȘ ·ÏÒ˜ ÛÎÈ·ÁÚ·ÊÔ‡ÓÙ·È Î·È ÔÚÈṲ̂Ó˜ ·fi ÙȘ ÚÔÙ¿ÛÂȘ ‰È·Ù˘ÒÓÔÓÙ·È ‰›¯ˆ˜ ·fi‰ÂÈÍË. ŸÌˆ˜, Ô ·Ó·ÁÓÒÛÙ˘ Ô˘ ¤¯ÂÈ ÂÍÔÈÎÂȈı› Ì ÙȘ Ù¯ÓÈΤ˜ ÙÔ˘ ÚÔËÁÔ˘Ì¤ÓÔ˘ ÎÂÊ·Ï·›Ô˘ ‰ÂÓ ı· ‰˘ÛÎÔÏ¢ı› Ó· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÈ Ù· ‚‹Ì·Ù· Ô˘ Ï›ԢÓ. H ıˆڛ· ÙÔ˘ ηٿ Lebesgue ÔÏÔÎÏËÚÒÌ·ÙÔ˜ ÌÔÚ› Ó· ·Ó·Ù˘¯ı› Ì ·ÚÎÂÙÔ‡˜ ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎÔ‡˜ ÙÚfiÔ˘˜. EÈϤÁÔ˘Ì ӷ ·ÚÔ˘ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ÌfiÓÔÓ ¤Ó·Ó ÙÚfiÔ. °È· ÂÓ·ÏÏ·ÎÙÈΤ˜ ÚÔÛÂÁÁ›ÛÂȘ ÛÙÔ ı¤Ì· Û˘ÓÈÛÙÒÓÙ·È ÔÈ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔ ÂÍÂȉÈÎÂ˘Ì¤Ó˜ Ú·ÁÌ·Ù›˜ Ô˘ ·Ó·Ê¤ÚÔÓÙ·È ÛÙË BÈ‚ÏÈÔÁÚ·Ê›·.
™YNO§O™YNAPTH™EI™
E¿Ó A Î·È B Â›Ó·È ‰‡Ô Û‡ÓÔÏ·, ÙfiÙ ÁÚ¿ÊÔ˘Ì A− B ÁÈ· Ó· Û˘Ì‚ÔÏ›ÛÔ˘Ì ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ x ∈ A Ì x ∈ / B. O Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌfi˜ ·˘Ùfi˜ ‰ÂÓ ˘ÔÓÔ› ··Ú·Èًو˜ fiÙÈ B ⊂ A. ™˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì ÙÔ ÎÂÓfi Û‡ÓÔÏÔ Ì 0 Î·È ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ٷ A Î·È B ·ÔÛ˘Ó‰ÂÙ¿ Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó A ∩ B = 0. OÚÈÛÌfi˜ 11.1. M›· ÔÈÎÔÁ¤ÓÂÈ· R ·ÔÙÂÏÔ‡ÌÂÓË ·fi Û‡ÓÔÏ· ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1940 ÂÍÂϤÁË Ï‹Ú˜ ̤ÏÔ˜ Ù˘. O Lebesgue ıˆÚÂ›Ù·È ·fi ÙÔ˘˜ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˘˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎÔ‡˜ Ù˘ ÂÔ¯‹˜ ÙÔ˘. H ÂÚÁ·Û›· ÙÔ˘ Lebesgue ·Â›¯Â ηٿ Ôχ ·fi ÙȘ ÂÈÎÚ·ÙÔ‡Û˜ Ì·ıËÌ·ÙÈΤ˜ ıˆڛ˜, Î·È ÁÈ· ÙÔÓ ÏfiÁÔ ·˘ÙfiÓ ‰¤¯ıËΠÔÍ›· ÎÚÈÙÈ΋, ÊÙ¿ÓÔÓÙ·˜ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô Ó· ·ÌÊÈÛ‚ËÙ‹ÛÂÈ Ô ›‰ÈÔ˜ ÙÔÓ Â·˘Ùfi ÙÔ˘. ºÔ‚Ô‡ÌÂÓÔ˜ fiÙÈ Ë ıˆڛ· ÙÔ˘ Â›Ó·È ·ÏÒ˜ Ì›· ÁÂӛ΢ÛË, Ô Lebesgue ‰‹ÏˆÓ fiÙÈ «Û˘ÚÚÈÎÓÒÓÔÓÙ·˜ Ù· M·ıËÌ·ÙÈο Û ÁÂÓÈΤ˜ ıˆڛ˜, ı· ηٷϋÁ·Ì Û ̛· ˆÚ·›· ÌÔÚÊ‹, ¯ˆÚ›˜ Ô˘ÛÈ҉˜ ÂÚȯfiÌÂÓÔ. ™‡ÓÙÔÌ· ı· ¤Û‚ËÓ·Ó». OÈ ÌÂÙ·ÁÂÓ¤ÛÙÂÚ˜ ÂÍÂÏ›ÍÂȘ ·¤‰ÂÈÍ·Ó fiÙÈ ÔÈ Êfi‚ÔÈ ÙÔ˘ ‹Ù·Ó ·‚¿ÛÈÌÔÈ. ŸÌˆ˜, ÙÔÓ ÂËÚ¤·Û·Ó ·ÚÓËÙÈο ÛÙËÓ ¤ÚÂ˘Ó¿ ÙÔ˘. H ·Í›· Ù˘ ÂÚÁ·Û›·˜ ÙÔ˘ Lebesgue ‚ڋΠÙËÓ Ú¤Ô˘Û· ·Ó·ÁÓÒÚÈÛË Î·È Û‹ÌÂÚ· Ë £ÂˆÚ›· Ù˘ ηٿ Lebesgue OÏÔÎÏËÚÒÛˆ˜ ıˆÚÂ›Ù·È ˆ˜ ¤Ó· ·fi Ù· ÛÔ˘‰·ÈfiÙÂÚ· ÂÈÙ‡ÁÌ·Ù· Ù˘ AӷχÛˆ˜. O Lebesgue Û˘Ó¤ÁÚ·„ ÂÚ›Ô˘ ÂÓ‹ÓÙ· ÂÚÁ·Û›Â˜ Î·È ‰‡Ô ÛËÌ·ÓÙÈο ‚È‚Ï›· ∞ӷχÛˆ˜.
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‰·ÎÙ‡ÏÈÔ˜ Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ÔÈ A ∈ R Î·È B ∈ R Û˘Ó¿ÁÔÓÙ·È ÙȘ A ∪ B ∈ R, A − B ∈ R.
(1)
EÊfiÛÔÓ A ∩ B = A − (A − B), ¤¯Ô˘Ì ›Û˘ fiÙÈ A ∩ B ∈ R Â¿Ó Ô R Â›Ó·È ‰·ÎÙ‡ÏÈÔ˜. ŒÓ·˜ ‰·ÎÙ‡ÏÈÔ˜ R ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È σ -‰·ÎÙ‡ÏÈÔ˜ Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ∞
An ∈ R
(2)
n=1
ÁÈ· ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ۇÓÔÏ· A1 , A2 , A3 , . . . Ô˘ ·Ó‹ÎÔ˘Ó ÛÙÔÓ R. EÊfiÛÔÓ ∞
An = A1 −
n=1
∞
(A1 − An ),
n=1
¤¯Ô˘Ì ›Û˘ fiÙÈ
∞
An ∈ R
n=1
Â¿Ó Ô R Â›Ó·È σ -‰·ÎÙ‡ÏÈÔ˜. OÚÈÛÌfi˜ 11.2. £· ÔÓÔÌ¿˙Ô˘ÌÂ Û˘ÓÔÏÔÛ˘Ó¿ÚÙËÛË ÔÚÈṲ̂ÓË ÛÙÔÓ ‰·ÎÙ‡ÏÈÔ R Ì›· Û˘Ó¿ÚÙËÛË φ Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› Û οı ۇÓÔÏÔ A ∈ R ¤Ó·Ó ·ÚÈıÌfi ÛÙÔ ÂÎÙÂٷ̤ÓÔ ·ÚÈıÌËÙÈÎfi Û‡ÛÙËÌ· ÙˆÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ. H φ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÚÔÛıÂÙÈ΋ Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ÁÈ· ÔÔÈ·‰‹ÔÙ A, B ∈ R Ì A ∩ B = 0 ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ φ(A ∪ B) = φ(A) + φ(B)
(3)
Î·È Ë φ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ·ÚÈıÌËۛ̈˜ ÚÔÛıÂÙÈ΋ Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ÁÈ· ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ۇÓÔÏ· A1 , A2 , A3 , . . . Ô˘ ·Ó‹ÎÔ˘Ó ÛÙÔÓ R, Ì Ai ∩ A j = 0 ÁÈ· ÔÔÈÔ˘Û‰‹ÔÙ ‰Â›ÎÙ˜ i, j Ì i = j, Î·È ∞ n=1 An ∈ R ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ φ
∞ n=1
An
=
∞ n=1
φ(An ).
(4)
466
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
£· ˘Ôı¤ÙÔ˘Ì ¿ÓÙÔÙ fiÙÈ ÙÔ Â‰›Ô ÙÈÌÒÓ Ù˘ φ ‰ÂÓ ÂÚȤ¯ÂÈ Û˘Á¯ÚfiÓˆ˜ Ù· +∞ Î·È −∞. ™ÙËÓ ·ÓÙ›ıÂÙË ÂÚ›ÙˆÛË, Ë ‰ÂÍÈ¿ ÏÂ˘Ú¿ Ù˘ (3) ÌÔÚ› Ó· ÌËÓ ¤¯ÂÈ ÓfiËÌ·. E›Û˘, ÂÍ·ÈÚÔ‡ÌÂ Û˘ÓÔÏÔÛ˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ Ì ÌÔÓ·‰È΋ ÙÈÌ‹ ÙÔ +∞ ‹ ÙÔ −∞. E›Ó·È ÂӉȷʤÚÔÓ Ó· ·Ú·ÙËÚ‹ÛÔ˘Ì fiÙÈ Ë ·ÚÈÛÙÂÚ‹ ÏÂ˘Ú¿ Ù˘ (4) Â›Ó·È ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙË Ù˘ ÛÂÈÚ¿˜ Ì ÙËÓ ÔÔ›· ‰È·Ù¿ÛÛÔÓÙ·È Ù· Û‡ÓÔÏ· A1 , A2 , A3 , . . . . EÔ̤ӈ˜, ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 3.54. Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ Ë ‰ÂÍÈ¿ ÏÂ˘Ú¿ Ù˘ (4) Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ·Ôχو˜, Â¿Ó Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ. °ÂÓÈο, Â¿Ó ‰ÂÓ Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ, ÙfiÙ ٷ ÌÂÚÈο ·ıÚÔ›ÛÌ·Ù¿ Ù˘ Ù›ÓÔ˘Ó ÚÔ˜ ÙÔ +∞ ‹ ÙÔ −∞. E¿Ó Ë φ Â›Ó·È ÚÔÛıÂÙÈ΋, ÙfiÙ ·ÏËı‡ÔÓÙ·È Â‡ÎÔÏ· ÔÈ ·ÎfiÏÔ˘ı˜ ȉÈfiÙËÙ˜: φ(0) = 0
(5)
φ(A1 ∪ · · · ∪ An ) = φ(A1 ) + · · · + φ(An )
(6)
ηÈ
Â¿Ó A1 , . . . , An ∈ R Ì Ai ∩ A j = 0 ÁÈ· ÔÔÈÔ˘Û‰‹ÔÙ ‰Â›ÎÙ˜ i, j Ì i = j. E›Û˘, φ(A1 ∪ A2 ) + φ(A1 ∩ A2 ) = φ(A1 ) + φ(A2 )
(7)
Â¿Ó A1 , A2 ∈ R. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ φ(A) ≥ 0 ÁÈ· οı A ∈ R. E¿Ó A1 , A2 ∈ R Ì A1 ⊂ A2 , ÙfiÙ φ(A1 ) ≤ φ(A2 ).
(8)
§fiÁˆ Ù˘ (8), ÔÈ ÌË ·ÚÓËÙÈΤ˜ ÚÔÛıÂÙÈΤ˜ Û˘ÓÔÏÔÛ˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ÌÔÓfiÙÔÓ˜. E¿Ó A, B ∈ R Ì B ⊂ A Î·È |φ(B)| < +∞, ÙfiÙ φ(A − B) = φ(A) − φ(B).
(9)
H £EøPIA TOY LEBESGUE 467
£ÂÒÚËÌ· 11.3. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ φ Â›Ó·È Ì›· ·ÚÈıÌËۛ̈˜ ÚÔÛıÂÙÈ΋ Û˘ÓÔÏÔÛ˘Ó¿ÚÙËÛË Û ¤Ó·Ó ‰·ÎÙ‡ÏÈÔ R. £ÂˆÚԇ̠An ∈ R (n = 1, 2, 3, . . . ) Ì A1 ⊂ A2 ⊂ A3 ⊂ · · · . £ÂˆÚԇ̠›Û˘ fiÙÈ A ∈ R, fiÔ˘ ∞ An . A= n=1
TfiÙÂ, ηıÒ˜ n → ∞, φ(An ) → φ(A). Afi‰ÂÈÍË. £¤ÙÔ˘Ì B1 = A1 Î·È Bn = An − An−1 (n = 2, 3, . . . ). TfiÙÂ, Bi ∩ B j = 0 ÁÈ· ÔÔÈÔ˘Û‰‹ÔÙ ‰Â›ÎÙ˜ i, j Ì i = j, An = B1 ∪ · · · ∪ Bn (n = 1, 2, . . . ) Î·È A = ∞ n=1 Bn . ÕÚ·, φ(An ) =
n
φ(Bi ) (n = 1, 2, . . . )
i=1
Î·È φ(A) =
∞
φ(Bi ).
i=1
H KATA™KEYH TOY METPOY LEBESGUE OÚÈÛÌfi˜ 11.4. £ÂˆÚԇ̠ÙÔÓ p-‰È¿ÛÙ·ÙÔ E˘ÎÏ›‰ÂÈÔ ¯ÒÚÔ R p . M ÙÔÓ fiÚÔ ‰È¿ÛÙËÌ· ÛÙÔÓ R p ÂÓÓÔԇ̠ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ x = (x1 , . . . , x p ) Ì ai ≤ xi ≤ bi (i = 1, . . . , p)
(10)
(fiÔ˘ ÔÈ ai , bi (i = 1, . . . , p) Â›Ó·È Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›) ‹ ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ ÙÔ ÔÔ›Ô ¯·Ú·ÎÙËÚ›˙ÂÙ·È ·fi ÙËÓ (10) fiÙ·Ó ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ·fi Ù· ۇ̂ÔÏ· ≤ ·ÓÙÈηٷÛÙ·ı› Ì ÙÔ <. H ÂÚ›ÙˆÛË fiÔ˘ ai = bi ÁÈ· οÔÈÔÓ ‰Â›ÎÙË i ‰ÂÓ ÂÍ·ÈÚ›ٷÈ. I‰È·ÈÙ¤Úˆ˜, ÙÔ ÎÂÓfi Û‡ÓÔÏÔ Â›Ó·È ‰È¿ÛÙËÌ·.
468
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
ŒÓ· Û‡ÓÔÏÔ A ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÛÙÔȯÂÈ҉˜ Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙËÓ ¤ÓˆÛË ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ˘ Ï‹ıÔ˘˜ ‰È·ÛÙËÌ¿ÙˆÓ. E¿Ó I Â›Ó·È ¤Ó· ‰È¿ÛÙËÌ· Ô˘ ÂÚÈÁÚ¿ÊÂÙ·È ·fi ÙËÓ (10), ÙfiÙ ÔÚ›˙Ô˘Ì m(I ) =
p %
(bi − ai ),
i=1
·Û¯¤Ùˆ˜ Â¿Ó ÛÙȘ (10) ÂÚÈÏ·Ì‚¿ÓÔ˘Ì ‹ ÂÍ·ÈÚԇ̠ÔÚÈṲ̂Ó˜ ÈÛfiÙËÙ˜. E¿Ó A = I1 ∪ · · · ∪ In , fiÔ˘ Ù· I1 , . . . , In Â›Ó·È ·ÔÛ˘Ó‰ÂÙ¿ ‰È·ÛÙ‹Ì·Ù·, ÙfiÙ ı¤ÙÔ˘Ì m(A) = m(I1 ) + · · · + m(In ).
(11)
™˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì Ì E ÙËÓ ÔÈÎÔÁ¤ÓÂÈ· ÙˆÓ ÛÙÔȯÂȈ‰ÒÓ ˘ÔÛ˘ÓfiÏˆÓ ÙÔ˘ R p. ™Â ·˘Ùfi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô Ú¤ÂÈ Ó· ·ÏËı¢ıÔ‡Ó ÔÈ ·Ú·Î¿Ùˆ ȉÈfiÙËÙ˜: H ÔÈÎÔÁ¤ÓÂÈ· E Â›Ó·È ‰·ÎÙ‡ÏÈÔ˜ ·ÏÏ¿ fi¯È σ -‰·ÎÙ‡ÏÈÔ˜.
(12)
E¿Ó A ∈ E, ÙfiÙ ÙÔ A ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙËÓ ¤ÓˆÛË ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ˘ Ï‹ıÔ˘˜ ·ÔÛ˘Ó‰ÂÙÒÓ ‰È·ÛÙËÌ¿ÙˆÓ. (13) E¿Ó A ∈ E,ÙfiÙÂ Ë ÙÈÌ‹ m(A) Â›Ó·È Î·Ï¿ ÔÚÈṲ̂ÓË ·fi ÙËÓ (11): ¢‡Ô ‰È·ÊÔÚÂÙÈΤ˜ ·Ó··Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ ÙÔ˘ A ·fi ÂÓÒÛÂȘ ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ˘ Ï‹ıÔ˘˜ ·ÔÛ˘Ó‰ÂÙÒÓ ‰È·ÛÙËÌ¿ÙˆÓ ‰›‰Ô˘Ó ÙËÓ ›‰È· ÙÈÌ‹ ÁÈ· ÙÔ m(A). (14) H Û˘ÓÔÏÔÛ˘Ó¿ÚÙËÛË m Â›Ó·È ÚÔÛıÂÙÈ΋ ÛÙËÓ E.
(15)
™ËÌÂÈÒÓÔ˘Ì fiÙÈ Â¿Ó p = 1, 2, 3, ÙfiÙÂ Ë m ·ÚÈÛÙ¿ÓÂÈ ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜ ÙÔ Ì‹ÎÔ˜, ÙÔ ÂÌ‚·‰fi Î·È ÙÔÓ fiÁÎÔ. OÚÈÛÌfi˜ 11.5. M›· ÌË ·ÚÓËÙÈ΋ ÚÔÛıÂÙÈ΋ Û˘ÓÔÏÔÛ˘Ó¿ÚÙËÛË φ, ÔÚÈṲ̂ÓË ÛÙÔÓ E, ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÔÌ·Ï‹ Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ·ÏËı‡ÂÈ ÙÔ ÂfiÌÂÓÔ: °È· οı A ∈ E Î·È ε > 0 ˘¿Ú¯Ô˘Ó Û‡ÓÔÏ· F, G ∈ E Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ ÙÔ F Ó· Â›Ó·È ÎÏÂÈÛÙfi, ÙÔ G Ó· Â›Ó·È ·ÓÔÈÎÙfi, F ⊂ A ⊂ G Î·È φ(G) − ε ≤ φ(A) ≤ φ(F) + ε.
(16)
H £EøPIA TOY LEBESGUE 469
¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 11.6. (·) H Û˘ÓÔÏÔÛ˘Ó¿ÚÙËÛË m Â›Ó·È ÔÌ·Ï‹. E¿Ó A Â›Ó·È ¤Ó· ‰È¿ÛÙËÌ·, ÙfiÙ ·Ú·ÙËÚԇ̠·Ì¤Ûˆ˜ fiÙÈ ÈηÓÔÔÈÔ‡ÓÙ·È ÁÈ· ·˘Ùfi ÔÈ ··ÈÙ‹ÛÂȘ ÙÔ˘ OÚÈÛÌÔ‡ 11.5. H ÁÂÓÈ΋ ÂÚ›ÙˆÛË ÚÔ·ÙÂÈ ÙÒÚ· ·fi ÙËÓ (13). (‚) £ÂˆÚԇ̠fiÙÈ R p = R 1 . A˜ Â›Ó·È α Ì›· ·‡ÍÔ˘Û· Û˘Ó¿ÚÙËÛË, ÔÚÈṲ̂ÓË ÛÙÔÓ R 1 . £¤ÙÔ˘Ì µ([a, b)) = α(b−) − α(a−), µ([a, b]) = α(b+) − α(a−), µ((a, b]) = α(b+) − α(a+), µ((a, b)) = α(b−) − α(a+), fiÔ˘ [a, b) Â›Ó·È ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ x Ì a ≤ x < b Î·È ÔÌÔ›ˆ˜ ÁÈ· Ù· ˘fiÏÔÈ·. §fiÁˆ Ù˘ Èı·Ó‹˜ ˘¿Ú͈˜ ·Û˘Ó¯ÂÈÒÓ Ù˘ α, ÔÈ ·Ú·¿Óˆ ÂÚÈÙÒÛÂȘ Ú¤ÂÈ fiÓÙˆ˜ Ó· ‰È·ÎÚÈıÔ‡Ó. E¿Ó Ë µ ÔÚÈÛı› ÁÈ· ÛÙÔȯÂÈÒ‰Ë Û‡ÓÔÏ· fiˆ˜ ¤¯ÂÈ ÔÚÈÛı› Ë m ÛÙËÓ (11), ÙfiÙÂ Ë µ Â›Ó·È ÔÌ·Ï‹ Û˘ÓÔÏÔÛ˘Ó¿ÚÙËÛË ÛÙÔÓ E. H ·fi‰ÂÈÍË Â›Ó·È ·ÚÂÌÊÂÚ‹˜ Ì ÂΛÓË ÙÔ˘ (·). O ÂfiÌÂÓÔ˜ ÛÙfi¯Ô˜ Â›Ó·È Ó· ‰Âȯı› fiÙÈ Î¿ı ÔÌ·Ï‹ Û˘ÓÔÏÔÛ˘Ó¿ÚÙËÛË ÛÙÔÓ E ÌÔÚ› Ó· ÂÂÎÙ·ı› Û ̛· ·ÚÈıÌËۛ̈˜ ÚÔÛıÂÙÈ΋ Û˘ÓÔÏÔÛ˘Ó¿ÚÙËÛË, ÔÚÈṲ̂ÓË Û ¤Ó·Ó σ -‰·ÎÙ‡ÏÈÔ Ô˘ ÂÚȤ¯ÂÈ ÙÔÓ E. OÚÈÛÌfi˜ 11.7. A˜ Â›Ó·È µ Ì›· ÔÌ·Ï‹ Î·È ÂÂÚ·Ṳ̂ÓË Û˘ÓÔÏÔÛ˘Ó¿ÚÙËÛË, ÔÚÈṲ̂ÓË ÛÙÔÓ E. £ÂˆÚԇ̠ÙȘ ·ÚÈıÌ‹ÛÈ̘ ηχ„ÂȘ ÂÓfi˜ Û˘ÓfiÏÔ˘ E ⊂ R p ·fi ·ÓÔÈÎÙ¿ ÛÙÔȯÂÈÒ‰Ë Û‡ÓÔÏ· An (n = 1, 2, 3, . . . ): E⊂
∞
An .
n=1
OÚ›˙Ô˘Ì µ (E) = inf
∞
µ(An ),
(17)
n=1
fiÔ˘ ÙÔ Ì¤ÁÈÛÙÔ Î¿Ùˆ ÊÚ¿ÁÌ· Ï·Ì‚¿ÓÂÙ·È ˘ÂÚ¿Óˆ fiÏˆÓ ÙˆÓ ·ÚÈıÌËÛ›ÌˆÓ Î·Ï‡„ÂˆÓ ÙÔ˘ E ·fi ·ÓÔÈÎÙ¿ ÛÙÔȯÂÈÒ‰Ë Û‡ÓÔÏ·. TÔ µ (E) ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÙÔ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô ÛÙÔ µ Â͈ÙÂÚÈÎfi ̤ÙÚÔ ÙÔ˘ E.
470
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
E›Ó·È ۷ʤ˜ fiÙÈ µ (E) ≥ 0 ÁÈ· ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ۇÓÔÏÔ E ⊂ R p Î·È fiÙÈ µ (E 1 ) ≤ µ (E 2 )
(18)
ÁÈ· ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ˘ÔÛ‡ÓÔÏ· E 1 , E 2 ÙÔ˘ R p Ì E 1 ⊂ E 2 . £ÂÒÚËÌ· 11.8. (·) °È· οı A ∈ E ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ µ (A) = µ(A). (‚) E¿Ó E 1 , E 2 , E 3 , . . . Â›Ó·È ˘ÔÛ‡ÓÔÏ· ÙÔ˘ R p Î·È E = ÙfiÙ µ (E) ≤
∞
µ (E n ).
∞
n=1
En ,
(19)
n=1
™ËÌÂÈÒÓÔ˘Ì fiÙÈ Ô ÈÛ¯˘ÚÈÛÌfi˜ ÛÙÔ (·) Â›Ó·È ·ÎÚÈ‚Ò˜ fiÙÈ ÙÔ µ Â›Ó·È Â¤ÎÙ·ÛË ÙÔ˘ µ ·fi ÙÔÓ E ÛÙËÓ ÔÈÎÔÁ¤ÓÂÈ· ÙˆÓ ˘ÔÛ˘ÓfiÏˆÓ ÙÔ˘ R p . E›Û˘, Ë È‰ÈfiÙËÙ· (19) ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ˘ÔÚÔÛıÂÙÈÎfiÙËÙ·. Afi‰ÂÈÍË. £ÂˆÚԇ̠A ∈ E Î·È ε > 0. H ÔÌ·ÏfiÙËÙ· ÙÔ˘ µ Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ ÙÔ A ÂÚȤ¯ÂÙ·È Û ¤Ó· ·ÓÔÈÎÙfi ÛÙÔȯÂÈ҉˜ Û‡ÓÔÏÔ G Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ µ(G) ≤ µ(A) + ε. EÊfiÛÔÓ µ (A) ≤ µ(G), Î·È Ô ε Â›Ó·È Ù˘¯ÒÓ ıÂÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜, ¤ÂÙ·È fiÙÈ µ (A) ≤ µ(A).
(20)
O ÔÚÈÛÌfi˜ ÙÔ˘ µ Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ ˘¿Ú¯ÂÈ Ì›· ·ÎÔÏÔ˘ı›· {An } (n = 1, 2, . . . ) ·ÓÔÈÎÙÒÓ ÛÙÔȯÂȈ‰ÒÓ Û˘ÓfiÏˆÓ Ì ÙËÓ ¤ÓˆÛË ÙÔ˘˜ Ó· ÂÚȤ¯ÂÈ ÙÔ A Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ ∞ µ(An ) ≤ µ (A) + ε. n=1
H ÔÌ·ÏfiÙËÙ· ÙÔ˘ µ Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ ÙÔ A ÂÚȤ¯ÂÈ ¤Ó· ÎÏÂÈÛÙfi ÛÙÔȯÂÈ҉˜ Û‡ÓÔÏÔ F Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ µ(F) ≥ µ(A) − ε. EÊfiÛÔÓ ÙÔ F Â›Ó·È Û˘Ì·Á¤˜, Ï·Ì‚¿ÓÔ˘Ì fiÙÈ F ⊂ A1 ∪ · · · ∪ A N
H £EøPIA TOY LEBESGUE 471
ÁÈ· οÔÈÔÓ ıÂÙÈÎfi ·Î¤Ú·ÈÔ ·ÚÈıÌfi N . EÔ̤ӈ˜, µ(A) ≤ µ(F) + ε ≤ µ(A1 ∪ · · · ∪ A N ) + ε ≤
N
µ(An ) + ε ≤ µ (A) + 2ε.
n=1
TÔ ·Ú·¿Óˆ ÛÂ Û˘Ó‰˘·ÛÌfi Ì ÙËÓ (20) ¯ÔÚËÁ› ÙÔ (·). EÓ Û˘Ó¯›·, ˘Ôı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ E = ∞ n=1 E n fiˆ˜ ÛÙË ‰È·Ù‡ˆÛË ÙÔ˘ (‚) Î·È ıˆÚԇ̠fiÙÈ µ (E n ) < +∞ ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË n. ¢Â‰Ô̤ÓÔ˘ ε > 0, ˘¿Ú¯Ô˘Ó ηχ„ÂȘ {Ank } (k = 1, 2, 3, . . . ) ÙÔ˘ E n ·fi ·ÓÔÈÎÙ¿ ÛÙÔȯÂÈÒ‰Ë Û‡ÓÔÏ· Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ ∞
µ(Ank ) ≤ µ (E n ) + 2−n ε
(21)
k=1
ÁÈ· ÔÔÈÔÓ‰‹ÔÙ ‰Â›ÎÙË n. TfiÙÂ, µ (E) ≤
∞ ∞ n=1 k=1
µ(Ank ) ≤
∞
µ (E n ) + ε
n=1
Î·È ·fi ·˘Ùfi ¤ÂÙ·È Ë (19). ™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË Ô˘ ÂÍ·ÈÚ¤Û·ÌÂ, ‰ËÏ·‰‹ Â¿Ó µ (E n ) = +∞ ÁÈ· οÔÈÔÓ ‰Â›ÎÙË n, Ë (19) Â›Ó·È ÚÔÊ·ÓÒ˜ ÙÂÙÚÈÌ̤ÓË. OÚÈÛÌfi˜ 11.9. °È· ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ۇÓÔÏ· A, B ⊂ R p ÔÚ›˙Ô˘Ì S(A, B) = (A − B) ∪ (B − A),
(22)
d(A, B) = µ (S(A, B)).
(23)
°Ú¿ÊÔ˘Ì An → A ηıÒ˜ n → ∞, Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó lim d(A, An ) = 0.
n→∞
TÔ A ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÂÂÚ·Ṳ̂ӷ µ-ÌÂÙÚ‹ÛÈÌÔ Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ˘¿Ú¯ÂÈ Ì›· ·ÎÔÏÔ˘ı›· ÛÙÔȯÂȈ‰ÒÓ Û˘ÓfiÏˆÓ {An } (n = 1, 2, . . . ) Ì An → A ηıÒ˜ n → ∞. ¢ËÏÒÓÔ˘Ì ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ ·˘Ùfi ÁÚ¿ÊÔÓÙ·˜ A ∈ M F (µ). TÔ A ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È µ-ÌÂÙÚ‹ÛÈÌÔ Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙËÓ ¤ÓˆÛË Ì›·˜ ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌ˘ Û˘ÏÏÔÁ‹˜ ÂÂÚ·Ṳ̂ӷ µ-ÌÂÙÚ‹ÛÈÌˆÓ Û˘ÓfiψÓ. ¢ËÏÒÓÔ˘Ì ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ ·˘Ùfi ÁÚ¿ÊÔÓÙ·˜ A ∈ M(µ). TÔ S(A, B) ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Û˘ÌÌÂÙÚÈ΋ ‰È·ÊÔÚ¿ ÙˆÓ A, B. £· ‰È·ÈÛÙÒÛÔ˘Ì ·ÚÁfiÙÂÚ· fiÙÈ Ë d Â›Ó·È Ô˘ÛÈ·ÛÙÈο Û˘Ó¿ÚÙËÛË ·ÔÛÙ¿Ûˆ˜.
472
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
Afi ÙÔ ÂfiÌÂÓÔ ıÂÒÚËÌ· ı· ÚÔ·„ÂÈ Ë ÂÈı˘ÌËÙ‹ ¤ÎÙ·ÛË ÙÔ˘ µ. £ÂÒÚËÌ· 11.10. H ÔÈÎÔÁ¤ÓÂÈ· M(µ) Â›Ó·È σ -‰·ÎÙ‡ÏÈÔ˜ Î·È Ë µ Â›Ó·È ·ÚÈıÌËۛ̈˜ ÚÔÛıÂÙÈ΋ Û˘ÓÔÏÔÛ˘Ó¿ÚÙËÛË ÛÙÔÓ M(µ). ¶ÚÈÓ ÚÔ¯ˆÚ‹ÛÔ˘Ì ÛÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜, ı· ·Ó·Ù‡ÍÔ˘Ì ÔÚÈṲ̂Ó˜ ·fi ÙȘ ȉÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ S Î·È d. °È· Ù˘¯fiÓÙ· ˘ÔÛ‡ÓÔÏ· A, B, C, A1 , A2 , B1 , B2 ÙÔ˘ R p ¤¯Ô˘Ì fiÙÈ S(A, B) = S(B, A),
S(A, A) = 0,
S(A, B) ⊂ S(A, C) ∪ S(C, B), S(A1 ∪ A2 , B1 ∪ B2 ) S(A1 ∩ A2 , B1 ∩ B2 ) S(A1 − A2 , B1 − B2 )
⊂ S(A1 , B1 ) ∪ S(A2 , B2 ).
(24)
(25)
(26)
H (24) Â›Ó·È Û·Ê‹˜ Î·È Ë (25) ¤ÂÙ·È ·fi ÙȘ Û¯¤ÛÂȘ (A − B) ⊂ (A − C) ∪ (C − B),
(B − A) ⊂ (C − A) ∪ (B − C).
H ÚÒÙË ¤ÁÎÏÂÈÛË Ù˘ (26) ÚÔ·ÙÂÈ ·fi ÙË Û¯¤ÛË (A1 ∪ A2 ) − (B1 ∪ B2 ) ⊂ (A1 − B1 ) ∪ (A2 − B2 ). EÓ Û˘Ó¯›·, Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÔÓÙ·˜ Ì E c ÙÔ Û˘Ìϋڈ̷ ÂÓfi˜ Û˘ÓfiÏÔ˘ E, ¤¯Ô˘Ì fiÙÈ S(A1 ∩ A2 , B1 ∩ B2 ) = S(Ac1 ∪ Ac2 , B1c ∪ B2c ) ⊂ S(Ac1 , B1c ) ∪ S(Ac2 , B2c ) = S(A1 , B1 ) ∪ S(A2 , B2 ). H ÙÂÏÂ˘Ù·›· ¤ÁÎÏÂÈÛË Ù˘ (26) ÚÔ·ÙÂÈ Â¿Ó ·Ú·ÙËÚ‹ÛÔ˘Ì fiÙÈ A1 − A2 = A1 ∩ Ac2 .
H £EøPIA TOY LEBESGUE 473
Afi ÙȘ (23), (18) Î·È (19) Î·È Ù· ·Ú·¿Óˆ ¤ÂÙ·È fiÙÈ d(A, B) = d(B, A),
d(A, A) = 0,
d(A, B) ≤ d(A, C) + d(C, B), d(A1 ∪ A2 , B1 ∪ B2 ) d(A1 ∩ A2 , B1 ∩ B2 ) d(A1 − A2 , B1 − B2 )
≤ d(A1 , B1 ) + d(A2 , B2 ).
(27) (28)
(29)
OÈ Û¯¤ÛÂȘ (27) Î·È (28) Ê·ÓÂÚÒÓÔ˘Ó fiÙÈ Ë d ÈηÓÔÔÈ› ÙȘ ··ÈÙ‹ÛÂȘ ÙÔ˘ OÚÈÛÌÔ‡ 2.15, ÂÎÙfi˜ ·fi ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ Ë ÈÛfiÙËÙ· d(A, B) = 0 ‰ÂÓ Û˘Ó¿ÁÂÙ·È ¿ÓÙÔÙ ÙËÓ A = B. E› ·Ú·‰Â›ÁÌ·ÙÈ, Â¿Ó µ = m, ÙÔ A Â›Ó·È ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌÔ Î·È ÙÔ B Â›Ó·È ÎÂÓfi, ÙfiÙ d(A, B) = m (A) = 0. °È· Ó· ÙÔ ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì ·˘Ùfi ıˆÚԇ̠ε > 0 Î·È Î·Ï‡ÙÔ˘Ì ÙÔ n ٿ͈˜ ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ A Ì ¤Ó· ‰È¿ÛÙËÌ· In Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ m(In ) < 2−n ε. ŸÌˆ˜, Â¿Ó ÔÚ›ÛÔ˘Ì ‰‡Ô Û‡ÓÔÏ· A, B Ó· Â›Ó·È ÈÛÔ‰‡Ó·Ì· ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ d Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó d(A, B) = 0, ÙfiÙ ‰È·ÌÂÚ›˙Ô˘Ì ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ˘ÔÛ˘ÓfiÏˆÓ ÙÔ˘ R p Û ÎÏ¿ÛÂȘ ÈÛÔ‰˘Ó·Ì›·˜ Î·È Ë d ηıÈÛÙ¿ ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÎÏ¿ÛÂˆÓ ÈÛÔ‰˘Ó·Ì›·˜ ÌÂÙÚÈÎfi ¯ÒÚÔ. TfiÙÂ, Ô M F (µ) Â›Ó·È Ë ÎÏÂÈÛÙ‹ ı‹ÎË ÙÔ˘ E. H ÂÚÌËÓ›· ·˘Ù‹ ‰ÂÓ Î·Ù¤¯ÂÈ Ô˘ÛÈÒ‰Ë ÚfiÏÔ ÛÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË, fï˜ ÂÂÍËÁ› ÙËÓ ˘ÔΛÌÂÓË È‰¤·. XÚÂÈ·˙fiÌ·ÛÙ ̛· ·ÎfiÌË È‰ÈfiÙËÙ· Ù˘ d: |µ (A) − µ (B)| ≤ d(A, B)
(30)
Â¿Ó A, B ⊂ R p Ì ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ ¤Ó· ·fi Ù· µ (A), µ (B) ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ. ¶ÚÔ˜ ·˘Ùfi, ˘Ôı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ 0 ≤ µ (B) ≤ µ (A). TfiÙÂ, Ë (28) Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ d(A, 0) ≤ d(A, B) + d(B, 0),
474
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‰ËÏ·‰‹ µ (A) ≤ d(A, B) + µ (B). EÊfiÛÔÓ ÙÔ µ (B) Â›Ó·È ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ, ¤ÂÙ·È fiÙÈ µ (A) − µ (B) ≤ d(A, B). Afi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 11.10. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ A, B ∈ M F (µ). EÈϤÁÔ˘Ì ·ÎÔÏÔ˘ı›Â˜ {An }, {Bn } (n = 1, 2, . . . ) Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ An → A, Bn → B ηıÒ˜ n → ∞. TfiÙÂ, ÔÈ (29) Î·È (30) Ê·ÓÂÚÒÓÔ˘Ó fiÙÈ An ∪ Bn → A ∪ B,
(31)
An ∩ Bn → A ∩ B,
(32)
An − Bn → A − B,
(33)
µ (An ) → µ (A)
(34)
ηıÒ˜ n → ∞ Î·È fiÙÈ µ (A) ≤ +∞ ÂÊfiÛÔÓ d(An , A) → 0 ηıÒ˜ n → ∞. Afi ÙȘ (31) Î·È (33) ¤ÂÙ·È fiÙÈ Ë ÔÈÎÔÁ¤ÓÂÈ· M F (µ) Â›Ó·È ‰·ÎÙ‡ÏÈÔ˜. Afi ÙËÓ (7) ¤ÂÙ·È fiÙÈ µ(An ) + µ(Bn ) = µ(An ∪ Bn ) + µ(An ∩ Bn ) ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË n. E¿Ó ıˆڋÛÔ˘Ì n → ∞, ÙfiÙÂ, ÏfiÁˆ Ù˘ (34) Î·È ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 11.8(·), Ï·Ì‚¿ÓÔ˘Ì fiÙÈ µ (A) + µ (B) = µ (A ∪ B) + µ (A ∩ B). E¿Ó A ∩ B = 0, ÙfiÙ µ (A ∩ B) = 0. Afi Ù· ·Ú·¿Óˆ ¤ÂÙ·È fiÙÈ Ë µ Â›Ó·È ÚÔÛıÂÙÈ΋ ÛÙÔÓ M F (µ). £ÂˆÚԇ̠A ∈ M(µ). TfiÙÂ, ÙÔ A ·Ó··ÚÈÛÙ¿Ù·È ˆ˜ ¤ÓˆÛË Ì›·˜ ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌ˘ Û˘ÏÏÔÁ‹˜ ·ÔÛ˘Ó‰ÂÙÒÓ Û˘ÓfiÏˆÓ ÙÔ˘ M F (µ). ¢ÈfiÙÈ Â¿Ó ¤¯Ô˘ÌÂ
H £EøPIA TOY LEBESGUE 475
fiÙÈ A = ηÈ
∞
n=1
A n Ì A n ∈ M F (µ) (n = 1, 2, 3, . . . ), ÙfiÙ ı¤ÙÔ˘Ì A1 = A 1
An = (A 1 ∪ · · · ∪ A n ) − (A 1 ∪ · · · ∪ A n−1 )
(n = 2, 3, 4 . . . ).
H ÈÛfiÙËÙ· A=
∞
(35)
An
n=1
·ÔÙÂÏ› ÙËÓ ˙ËÙÔ‡ÌÂÓË ·Ó··Ú¿ÛÙ·ÛË. Afi ÙËÓ (19) Ï·Ì‚¿ÓÔ˘Ì fiÙÈ µ (A) ≤
∞
µ (An ).
(36)
n=1
Afi ÙËÓ ¿ÏÏË ÏÂ˘Ú¿, ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ A1 ∪ · · · ∪ An ⊂ A ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË n. EÔ̤ӈ˜, ·fi ÙËÓ ÚÔÛıÂÙÈÎfiÙËÙ· Ù˘ µ ÛÙÔÓ M F (µ) Ï·Ì‚¿ÓÔ˘Ì fiÙÈ µ (A) ≥ µ (A1 ∪ · · · ∪ An ) = µ (A1 ) + · · · + µ (An ).
(37)
OÈ ÈÛfiÙËÙ˜ (36) Î·È (37) Û˘Ó¿ÁÔÓÙ·È fiÙÈ µ (A) =
∞
µ (An ).
(38)
n=1
YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ µ (A) Â›Ó·È ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ. °È· n = 1, 2, 3, . . . ı¤ÙÔ˘Ì Bn = A1 ∪ · · · ∪ An . TfiÙÂ, Ë (38) Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ d(A, Bn ) = µ (
∞
Ai ) =
i=n+1
∞
µ (Ai ) → 0
i=n+1
ηıÒ˜ n → ∞. EÔ̤ӈ˜, Bn → A ηıÒ˜ n → ∞. EÊfiÛÔÓ Bn ∈ M F (µ) (n = 1, 2, 3, . . . ), ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì ·Ï¿ fiÙÈ A ∈ M F (µ). EÔ̤ӈ˜, ¤¯Ô˘Ì ·Ô‰Â›ÍÂÈ fiÙÈ A ∈ M F (µ) Â¿Ó A ∈ M(µ) Î·È µ (A) < +∞. E›Ó·È ۷ʤ˜ ÙÒÚ· fiÙÈ Ë µ Â›Ó·È ·ÚÈıÌËۛ̈˜ ÚÔÛıÂÙÈ΋ ÛÙÔÓ M(µ). ¢ÈfiÙÈ Â¿Ó ∞ A= An , n=1
476
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fiÔ˘ {An } (n = 1, 2, . . . ) Â›Ó·È ·ÎÔÏÔ˘ı›· ·ÔÛ˘Ó‰ÂÙÒÓ Û˘ÓfiÏˆÓ ÙÔ˘ M(µ), ÙfiÙ ¤¯Ô˘Ì ·Ô‰Â›ÍÂÈ fiÙÈ ÈÛ¯‡ÂÈ Ë (38) fiÙ·Ó µ (An ) < +∞ ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË n. ™ÙËÓ ¿ÏÏË ÂÚ›ÙˆÛË, Ë (38) ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È ÙÂÙÚÈÌ̤ӷ. EÓ Ù¤ÏÂÈ, ̤ÓÂÈ Ó· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ Ô M(µ) Â›Ó·È σ -‰·ÎÙ‡ÏÈÔ˜. E¿Ó ¤¯Ô˘Ì An ∈ M(µ) (n = 1, 2, 3, . . . ), ÙfiÙÂ Â›Ó·È Û·Ê¤˜ fiÙÈ ∞ n=1 An ∈ M(µ) (£ÂÒÚËÌ· 2.12). YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ A, B ∈ M(µ) Î·È fiÙÈ A=
∞
An ,
B=
n=1
∞
Bn ,
n=1
fiÔ˘ An , Bn ∈ M(µ) (n = 1, 2, 3, . . . ). TfiÙÂ, Ë ÈÛfiÙËÙ· An ∩ B =
∞
(An ∩ Bi )
i=1
Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ An ∩ B ∈ M(µ) (n = 1, 2, 3, . . . ). EÊfiÛÔÓ µ (An ∩ B) ≤ µ (An ) < +∞, ¤ÂÙ·È fiÙÈ An ∩ B ∈ M F (µ) (n = 1, 2, 3, . . . ). ÕÚ·, An − B ∈ M F (µ) (n = 1, 2, 3, . . . ) Î·È ÂÔ̤ӈ˜ A − B ∈ M F (µ), ÂÊfiÛÔÓ A − B = ∞ n=1 (An − B). E¿Ó A ∈ M F (µ), ÙfiÙ ·ÓÙÈηıÈÛÙԇ̠ÙÔ µ (A) Ì µ(A). ÕÚ·, Ë µ, Ë ÔÔ›· ·Ú¯Èο ÔÚ›ÛıËΠÛÙÔ E, ¤¯ÂÈ ÂÂÎÙ·ı› ÙÒÚ· Û ̛· ·ÚÈıÌËۛ̈˜ ÚÔÛıÂÙÈ΋ Û˘ÓÔÏÔÛ˘Ó¿ÚÙËÛË ÛÙÔÓ σ -‰·ÎÙ‡ÏÈÔ M(µ). H Û˘Ó¿ÚÙËÛË ·˘Ù‹ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Ì¤ÙÚÔ. ™ÙËÓ ÂȉÈ΋ ÂÚ›ÙˆÛË fiÔ˘ µ = m, Ë µ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÙÔ Ì¤ÙÚÔ Lebesgue ÙÔ˘ R p . ¶·Ú·Ù‹ÚËÛË 11.11. (·) E¿Ó A Â›Ó·È ¤Ó· ·ÓÔÈÎÙfi ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ R p , ÙfiÙ A ∈ M(µ). ¢ÈfiÙÈ Î¿ı ·ÓÔÈÎÙfi ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ R p ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙËÓ ¤ÓˆÛË Ì›·˜ ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌ˘ Û˘ÏÏÔÁ‹˜ ·ÓÔÈÎÙÒÓ ‰È·ÛÙËÌ¿ÙˆÓ. ¶ÚÔ˜ ·˘Ùfi, Â›Ó·È Â·ÚΤ˜ Ó· ηٷÛ΢·Ûı› Ì›· ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌË ‚¿ÛË Ù˘ ÔÔ›·˜ Ù· ̤ÏË Â›Ó·È ·ÓÔÈÎÙ¿ ‰È·ÛÙ‹Ì·Ù·. §·Ì‚¿ÓÔÓÙ·˜ Û˘ÌÏËÚÒÌ·Ù·, Û˘Ó¿ÁÔ˘Ì fiÙÈ Î¿ı ÎÏÂÈÛÙfi ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ R p ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙÔÓ M(µ). (‚) E¿Ó A ∈ M(µ) Î·È ε > 0, ÙfiÙ ˘¿Ú¯ÂÈ ÎÏÂÈÛÙfi Û‡ÓÔÏÔ F Î·È ·ÓÔÈÎÙfi Û‡ÓÔÏÔ G Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ F⊂A⊂G
H £EøPIA TOY LEBESGUE 477
Î·È µ(G − A) < ε,
µ(A − F) < ε.
(39)
H ÚÒÙË ·ÓÈÛfiÙËÙ· ÈÛ¯‡ÂÈ ‰ÈfiÙÈ ÙÔ µ ¤¯ÂÈ ÔÚÈÛı› ̤ۈ ηχ„ÂˆÓ ·ÓÔÈÎÙÒÓ ÛÙÔȯÂȈ‰ÒÓ ‰È·ÛÙËÌ¿ÙˆÓ. H ‰Â‡ÙÂÚË ·ÓÈÛfiÙËÙ· ÚÔ·ÙÂÈ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ÙËÓ ÚÒÙË Î·È Ï·Ì‚¿ÓÔÓÙ·˜ Û˘ÌÏËÚÒÌ·Ù·. (Á) ŒÓ· Û‡ÓÔÏÔ E ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Û‡ÓÔÏÔ Borel Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ÌÔÚ› Ó· ÚÔ·„ÂÈ ·fi ·ÓÔÈÎÙ¿ Û‡ÓÔÏ· ̤ۈ ·ÚÈıÌËÛ›ÌÔ˘ Ï‹ıÔ˘˜ ÂÓÒÛˆÓ, ÙÔÌÒÓ Î·È Û˘ÌÏËڈ̿وÓ. H Û˘ÏÏÔÁ‹ B ÙˆÓ Û˘ÓfiÏˆÓ Borel ÙÔ˘ R p Â›Ó·È σ -‰·ÎÙ‡ÏÈÔ˜. I‰È·ÈÙ¤Úˆ˜, Â›Ó·È Ô ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ˜ σ -‰·ÎÙ‡ÏÈÔ˜ Ô˘ ÂÚȤ¯ÂÈ fiÏ· Ù· ·ÓÔÈÎÙ¿ Û‡ÓÔÏ·. ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔ (·), Â¿Ó E ∈ B, ÙfiÙ E ∈ M(µ). (‰) E¿Ó A ∈ M(µ), ÙfiÙ ˘¿Ú¯Ô˘Ó Û‡ÓÔÏ· Borel F Î·È G Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ F ⊂ A ⊂ G Î·È µ(G − A) = µ(A − F) = 0.
(40)
A˘Ùfi ÚÔ·ÙÂÈ ·fi ÙÔ (‚), Â¿Ó Ï¿‚Ô˘Ì ε = 1/n (n = 1, 2, 3, . . . ) Î·È ıˆڋÛÔ˘Ì n → ∞. EÊfiÛÔÓ A = F ∪ (A − F), ¤ÂÙ·È fiÙÈ Î¿ı A ∈ M(µ) ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙËÓ ¤ÓˆÛË ÂÓfi˜ Û˘ÓfiÏÔ˘ Borel Î·È ÂÓfi˜ Û˘ÓfiÏÔ˘ ̤ÙÚÔ˘ 0. T· Û‡ÓÔÏ· Borel Â›Ó·È µ-ÌÂÙÚ‹ÛÈÌ· ÁÈ· οı ÔÌ·Ïfi ̤ÙÚÔ µ ÛÙÔÓ R p . ŸÌˆ˜, Ù· Û‡ÓÔÏ· ̤ÙÚÔ˘ 0 (‰ËÏ·‰‹ Ù· Û‡ÓÔÏ· E Ì µ (E) = 0) ÌÔÚ› Ó· ‰È·Ê¤ÚÔ˘Ó ÁÈ· Ù· ‰È¿ÊÔÚ· ̤ÙÚ· µ. (Â) °È· οı ̤ÙÚÔ µ Ë Û˘ÏÏÔÁ‹ ÙˆÓ Û˘ÓfiÏˆÓ Ì¤ÙÚÔ˘ 0 ·ÔÙÂÏ› σ ‰·ÎÙ‡ÏÈÔ. (ÛÙ) ™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ÙÔ˘ ̤ÙÚÔ˘ Lebesgue, οı ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌÔ Û‡ÓÔÏÔ ¤¯ÂÈ Ì¤ÙÚÔ 0. ŸÌˆ˜, ˘¿Ú¯Ô˘Ó ˘ÂÚ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌ· (ȉȷÈÙ¤Úˆ˜ Ù¤ÏÂÈ·) Û‡ÓÔÏ· ̤ÙÚÔ˘ 0. TÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ Cantor ·ÔÙÂÏ› Ù¤ÙÔÈÔ˘ ›‰Ô˘˜ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·: ÃÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ÙÔ˘˜ Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌÔ‡˜ Ù˘ EÓfiÙËÙ·˜ 2.44, ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ‰›¯ˆ˜ ‰˘ÛÎÔÏ›· fiÙÈ n 2 m(E n ) = (n = 1, 2, 3, . . . ). 3 EÊfiÛÔÓ P = ∞ n=1 E n , ¤¯Ô˘Ì fiÙÈ P ⊂ E n ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË n Î·È ÂÔ̤ӈ˜ m(P) = 0.
478
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XøPOI METPOY OÚÈÛÌfi˜ 11.12. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ X Â›Ó·È ¤Ó· Û‡ÓÔÏÔ, fi¯È ··Ú·Èًو˜ ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ E˘ÎÏ›‰ÂÈÔ˘ ¯ÒÚÔ˘ ‹ ÌÂÙÚÈÎÔ‡ ¯ÒÚÔ˘ ÂÓ Á¤ÓÂÈ. TÔ X ϤÁÂÙ·È ¯ÒÚÔ˜ ̤ÙÚÔ˘ Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ˘¿Ú¯ÂÈ ¤Ó·˜ σ -‰·ÎÙ‡ÏÈÔ˜ M ˘ÔÛ˘ÓfiÏˆÓ ÙÔ˘ X (Ù· ÔÔ›· ı· ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ÌÂÙÚ‹ÛÈÌ· Û‡ÓÔÏ·) Î·È Ì›· ÌË ·ÚÓËÙÈ΋, ·ÚÈıÌËۛ̈˜ ÚÔÛıÂÙÈ΋ Û˘ÓÔÏÔÛ˘Ó¿ÚÙËÛË (Ë ÔÔ›· ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Ì¤ÙÚÔ), ÔÚÈṲ̂ÓË ÛÙÔÓ M. O X ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÌÂÙÚ‹ÛÈÌÔ˜ ¯ÒÚÔ˜ Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ÈÛ¯‡ÂÈ ÂÈÚÔÛı¤Ùˆ˜ fiÙÈ X ∈ M. E› ·Ú·‰Â›ÁÌ·ÙÈ, ÌÔÚԇ̠ӷ ıˆڋÛÔ˘Ì ˆ˜ X ÙÔÓ R p , ˆ˜ M ÙË Û˘ÏÏÔÁ‹ ÙˆÓ Î·Ù¿ Lebesgue ÌÂÙÚ‹ÛÈÌˆÓ ˘ÔÛ˘ÓfiÏˆÓ ÙÔ˘ X Î·È ˆ˜ µ ÙÔ Ì¤ÙÚÔ Lebesgue. E›Û˘, ÌÔÚԇ̠ӷ ıˆڋÛÔ˘Ì ˆ˜ X ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ fiÏˆÓ ÙˆÓ ıÂÙÈÎÒÓ ·ÎÂÚ·›ˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ, ˆ˜ M ÙË Û˘ÏÏÔÁ‹ ÙˆÓ ˘ÔÛ˘ÓfiÏˆÓ ÙÔ˘ X Î·È ÁÈ· E ∈ M ˆ˜ µ(E) ÙÔ Ï‹ıÔ˜ ÙˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ ÙÔ˘ E. ŒÓ· ÂÈϤÔÓ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ·Ú¤¯ÂÙ·È ·fi ÙË ıˆڛ· Èı·ÓÔًوÓ, fiÔ˘ Ù· ÁÂÁÔÓfiÙ· ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ıˆÚËıÔ‡Ó ˆ˜ Û‡ÓÔÏ·, Î·È Ë Èı·ÓfiÙËÙ· Ó· Û˘Ì‚Ô‡Ó ·˘Ù¿ ˆ˜ ÚÔÛıÂÙÈ΋ (‹ ·ÚÈıÌËۛ̈˜ ÚÔÛıÂÙÈ΋) Û˘ÓÔÏÔÛ˘Ó¿ÚÙËÛË. ™ÙȘ ÂfiÌÂÓ˜ ÂÓfiÙËÙ˜ ı· ·Û¯ÔÏËıԇ̠ÌfiÓÔ Ì ÌÂÙÚ‹ÛÈÌÔ˘˜ ¯ÒÚÔ˘˜. TÔÓ›˙Ô˘Ì fiÙÈ Ë ıˆڛ· ÔÏÔÎÏËÚÒÛˆ˜ Ô˘ ÚfiÎÂÈÙ·È Ó· ·Ó·Ù˘¯ı› ‰ÂÓ ·ÏÔ˘ÛÙ‡ÂÙ·È Â¿Ó ÂÚÈÔÚÈÛÙԇ̠·ÏÒ˜ ÛÙÔ Ì¤ÙÚÔ Lebesgue Î·È ‰ÂÓ ·Ó·Ù‡ÍÔ˘Ì ÙË ıˆڛ· ÛÙË ÁÂÓÈÎfiÙËÙ¿ Ù˘. ™ÙËÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfiÙËÙ·, Ù· ȉȷ›ÙÂÚ· ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈο Ù˘ ıˆڛ·˜ Â›Ó·È ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔ ‰È·˘Á‹ ÛÙË ÁÂÓÈÎfiÙÂÚË ÂÚ›ÙˆÛË, fiÔ˘ ηı›ÛÙ·Ù·È Û·Ê¤˜ fiÙÈ fiÏ· ÂÍ·ÚÙÒÓÙ·È ·fi ÙËÓ ÚÔÛıÂÙÈÎfiÙËÙ· ÙÔ˘ ̤ÙÚÔ˘. £· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÙÔ Û‡Ì‚ÔÏÔ {x|P} ÁÈ· Ó· ‰ËÏÒÓÔ˘Ì ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ x Ì ÙËÓ È‰ÈfiÙËÙ· P.
METPH™IME™ ™YNAPTH™EI™
(41)
H £EøPIA TOY LEBESGUE 479
OÚÈÛÌfi˜ 11.13. £ÂˆÚԇ̛̠· Û˘Ó¿ÚÙËÛË f , ÔÚÈṲ̂ÓË Û ¤Ó·Ó ÌÂÙÚ‹ÛÈÌÔ ¯ÒÚÔ X Î·È Ì ÙÈ̤˜ ÛÙÔ ÂÎÙÂٷ̤ÓÔ Û‡ÛÙËÌ· ÙˆÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ. H Û˘Ó¿ÚÙËÛË f ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÌÂÙÚ‹ÛÈÌË Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ {x| f (x) > a}
(42)
Â›Ó·È ÌÂÙÚ‹ÛÈÌÔ ÁÈ· οı ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi a. ¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 11.14. E¿Ó X = R p Î·È M = M(µ), fiˆ˜ ÛÙÔÓ OÚÈÛÌfi 11.9, ÙfiÙ οıÂ Û˘Ó¯‹˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË Â›Ó·È ÌÂÙÚ‹ÛÈÌË, ÂÊfiÛÔÓ Û ·˘Ù‹Ó ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ (42) Â›Ó·È ·ÓÔÈÎÙfi ÁÈ· οı ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi a. £ÂÒÚËÌ· 11.15. £ÂˆÚԇ̛̠· Û˘Ó¿ÚÙËÛË f Û ¤Ó·Ó ÌÂÙÚ‹ÛÈÌÔ ¯ÒÚÔ X Ì ÙÈ̤˜ ÛÙÔ ÂÎÙÂٷ̤ÓÔ Û‡ÛÙËÌ· ÙˆÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ. K¿ı ̛· ·fi ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ Û˘Óı‹Î˜ Û˘Ó¿ÁÂÙ·È ÙȘ ˘fiÏÔȘ ÙÚÂȘ: TÔ {x| f (x) > a} Â›Ó·È ÌÂÙÚ‹ÛÈÌÔ ÁÈ· οı ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi a. (43) TÔ {x| f (x) ≥ a} Â›Ó·È ÌÂÙÚ‹ÛÈÌÔ ÁÈ· οı ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi a. (44) TÔ {x| f (x) < a} Â›Ó·È ÌÂÙÚ‹ÛÈÌÔ ÁÈ· οı ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi a. (45) TÔ {x| f (x) ≤ a} Â›Ó·È ÌÂÙÚ‹ÛÈÌÔ ÁÈ· οı ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi a. (46) Afi‰ÂÈÍË. °È· οı ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi a, ÔÈ ÈÛfiÙËÙ˜ , 1 , x| f (x) > a − {x| f (x) ≥ a} = ∞ n=1 n {x| f (x) < a} = X − {x| f (x) ≥ a}, , 1 , {x| f (x) ≤ a} = ∞ x| f (x) < a + n=1 n {x| f (x) > a} = X − {x| f (x) ≤ a} Ê·ÓÂÚÒÓÔ˘Ó ‰È·‰Ô¯Èο fiÙÈ Ë (43) Û˘Ó¿ÁÂÙ·È ÙËÓ (44), Ë (44) Û˘Ó¿ÁÂÙ·È ÙËÓ (45), Ë (45) Û˘Ó¿ÁÂÙ·È ÙËÓ (46) Î·È Ë (46) Û˘Ó¿ÁÂÙ·È ÙËÓ (43).
480
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
™˘ÓÂÒ˜, οı ̛· ·fi ÙȘ ·Ú·¿Óˆ Û˘Óı‹Î˜ ÌÔÚ› Ó· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈËı› ·ÓÙ› Ù˘ (42) ÁÈ· ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi Ù˘ ÌÂÙÚËÛÈÌfiÙËÙ·˜ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜. £ÂÒÚËÌ· 11.16. ÀÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ f Â›Ó·È Ì›· Û˘Ó¿ÚÙËÛË Û ¤Ó·Ó ÌÂÙÚ‹ÛÈÌÔ ¯ÒÚÔ X Ì ÙÈ̤˜ ÛÙÔ ÂÎÙÂٷ̤ÓÔ Û‡ÛÙËÌ· ÙˆÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ. E¿Ó Ë f Â›Ó·È ÌÂÙÚ‹ÛÈÌË, ÙfiÙÂ Î·È Ë | f | Â›Ó·È ÌÂÙÚ‹ÛÈÌË. Afi‰ÂÈÍË. IÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ {x| | f (x)| < a} = {x| f (x) < a} ∩ {x| f (x) > −a} ÁÈ· οı ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi a. £ÂÒÚËÌ· 11.17. ÀÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ { f n } (n = 1, 2, 3, . . . ) Â›Ó·È Ì›· ·ÎÔÏÔ˘ı›· ÌÂÙÚ‹ÛÈÌˆÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ Û ¤Ó·Ó ÌÂÙÚ‹ÛÈÌÔ ¯ÒÚÔ X . £ÂˆÚԇ̠ÙȘ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ g, h ÛÙÔÓ X fiÔ˘ ÁÈ· x ∈ X Â›Ó·È g(x) = sup f n (x) (n = 1, 2, 3, . . . ), h(x) = lim supn→∞ f n (x). TfiÙÂ, ÔÈ g Î·È h Â›Ó·È ÌÂÙÚ‹ÛÈ̘. º˘ÛÈο, ÙÔ ›‰ÈÔ ÈÛ¯‡ÂÈ Î·È ÁÈ· Ù· inf Î·È lim inf. Afi‰ÂÈÍË. IÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ {x|g(x) > a} =
∞
{x| f n (x) > a}
n=1
Î·È ÁÈ· x ∈ X h(x) = inf gm (x),
(m = 1, 2, 3, . . . ),
fiÔ˘ gm (x) = sup f n (x) (n ≥ m, m = 1, 2, 3, . . . ). ¶fiÚÈÛÌ·. (·) E¿Ó ÔÈ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ f, g Û ¤Ó·Ó ÌÂÙÚ‹ÛÈÌÔ ¯ÒÚÔ Â›Ó·È ÌÂÙÚ‹ÛÈ̘, ÙfiÙ ÔÈ max( f, g) Î·È min( f, g) Â›Ó·È ÌÂÙÚ‹ÛÈ̘. E¿Ó f + = max( f, 0),
f − = min( f, 0),
(47)
H £EøPIA TOY LEBESGUE 481
ÙfiÙ ÚÔ·ÙÂÈ È‰È·ÈÙ¤Úˆ˜ fiÙÈ ÔÈ f + Î·È f − Â›Ó·È ÌÂÙÚ‹ÛÈ̘. (‚) TÔ fiÚÈÔ Ì›·˜ Û˘ÁÎÏ›ÓÔ˘Û·˜ ·ÎÔÏÔ˘ı›·˜ ÌÂÙÚ‹ÛÈÌˆÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ Û ¤Ó·Ó ÌÂÙÚ‹ÛÈÌÔ ¯ÒÚÔ Â›Ó·È ÌÂÙÚ‹ÛÈÌË Û˘Ó¿ÚÙËÛË. £ÂÒÚËÌ· 11.18. A˜ Â›Ó·È f, g ÌÂÙÚ‹ÛÈ̘ Ú·ÁÌ·ÙÈΤ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ, ÔÚÈṲ̂Ó˜ ÛÙÔÓ ÌÂÙÚ‹ÛÈÌÔ ¯ÒÚÔ X . A˜ Â›Ó·È Â›Û˘ F Ì›· Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ Û˘Ó¯‹˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË, ÔÚÈṲ̂ÓË ÛÙÔ R 2 . £ÂˆÚԇ̠ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË h ÛÙÔÓ X Ì h(x) = F( f (x), g(x)) (x ∈ X ). TfiÙÂ, Ë h Â›Ó·È ÌÂÙÚ‹ÛÈÌË. I‰È·ÈÙ¤Úˆ˜, ÔÈ f + g Î·È f g Â›Ó·È ÌÂÙÚ‹ÛÈ̘. Afi‰ÂÈÍË. £ÂˆÚԇ̠ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi a. £¤ÙÔ˘Ì G = {(u, v)|F(u, v) > a}. TfiÙÂ, ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ·˘Ùfi Â›Ó·È ·ÓÔÈÎÙfi ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ R 2 . MÔÚԇ̠ӷ ÁÚ¿„Ô˘Ì ∞ In , G= n=1
fiÔ˘ {In } (n = 1, 2, 3, . . . ) Â›Ó·È Ì›· ·ÎÔÏÔ˘ı›· ·ÓÔÈÎÙÒÓ ‰È·ÛÙËÌ¿ÙˆÓ Ì In = {(u, v)| an < u < bn , cn < v < dn } (n = 1, 2, 3, . . . ) (an , bn , cn , dn ∈ R 1 ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË n). EÊfiÛÔÓ ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ {x| an < f (x) < bn } = {x| f (x) > an } ∩ {x| f (x) < bn } Â›Ó·È ÌÂÙÚ‹ÛÈÌÔ ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË n, ¤ÂÙ·È fiÙÈ ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ {x| ( f (x), g(x)) ∈ In } = {x| an < f (x) < bn } ∩ {x| cn < g(x) < dn } Â›Ó·È ÌÂÙÚ‹ÛÈÌÔ ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË n. ™˘ÓÂÒ˜, ÙÔ ›‰ÈÔ ÈÛ¯‡ÂÈ Î·È ÁÈ· ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ {x| h(x) > a} = {x| ( f (x), g(x)) ∈ G} ∞ = {x| ( f (x), g(x)) ∈ In }. n=1
482
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
AÓ·ÎÂÊ·Ï·ÈÒÓÔÓÙ·˜, ÌÔÚԇ̠ӷ ԇ̠fiÙÈ fiϘ ÔÈ Û˘Ó‹ıÂȘ Ú¿ÍÂȘ Ù˘ AӷχÛˆ˜, ÂÚÈÏ·Ì‚·ÓfiÌÂÓ˜ Û ·˘Ù¤˜ Î·È ÔÈ Ï‹„ÂȘ ÔÚ›ˆÓ, fiÙ·Ó ÂÊ·ÚÌÔÛıÔ‡Ó Û ÌÂÙÚ‹ÛÈ̘ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ Ô‰ËÁÔ‡Ó Û ÌÂÙÚ‹ÛÈ̘ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ. M ‰È·ÊÔÚÂÙÈ΋ ‰È·Ù‡ˆÛË, fiϘ ÔÈ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ Ô˘ Û˘Ó‹ıˆ˜ Û˘Ó·ÓÙÔ‡ÌÂ Â›Ó·È ÌÂÙÚ‹ÛÈ̘. ŸÌˆ˜, ˘¿Ú¯ÂÈ Î·È ¤Ó· ·ÓÙÈ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· (‚·ÛÈṲ̂ÓÔ ÛÙÔ Ì¤ÙÚÔ Lebesgue ÛÙËÓ Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ ¢ı›·): E¿Ó h Â›Ó·È Ì›· Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ì h = f ◦ g, fiÔ˘ Ë f Â›Ó·È ÌÂÙÚ‹ÛÈÌË Î·È Ë g Û˘Ó¯‹˜, ÙfiÙÂ Ë h ‰ÂÓ Â›Ó·È ··Ú·Èًو˜ ÌÂÙÚ‹ÛÈÌË. (°È· ÙȘ ÏÂÙÔ̤ÚÂȘ, ·Ó·ÙÚ¤ÍÙ ÛÙÔ ‚È‚Ï›Ô ÙÔ˘ McShane, ÛÙË ÛÂÏ›‰· 241.) O ·Ó·ÁÓÒÛÙ˘ Èı·ÓÒ˜ Ó· ¤¯ÂÈ ·Ú·ÙËÚ‹ÛÂÈ fiÙÈ ÛÙ· Û¯ÂÙÈο Ì ÙȘ ÌÂÙÚ‹ÛÈ̘ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ Á›ÓÂÈ Î·Ì›· ·Ó·ÊÔÚ¿ ÛÙÔ Ì¤ÙÚÔ. ™ÙËÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfiÙËÙ·, ÔÈ ÌÂÙÚ‹ÛÈ̘ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ ÂÍ·ÚÙÒÓÙ·È ÌfiÓÔÓ ·fi ÙÔÓ σ ‰·ÎÙ‡ÏÈÔ M (¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ÙÔ Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌfi ÙÔ˘ OÚÈÛÌÔ‡ 11.12). E› ·Ú·‰Â›ÁÌ·ÙÈ, ÌÔÚԇ̠ӷ ·Ó·ÊÂÚfiÌ·ÛÙ ·ÏÒ˜ Û Borel-ÌÂÙÚ‹ÛÈ̘ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ ÛÙÔÓ R p , ‰ËÏ·‰‹ ÛÂ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ f Ì ÙËÓ È‰ÈfiÙËÙ· fiÙÈ ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ {x| f (x) > a} Â›Ó·È Û‡ÓÔÏÔ Borel ÁÈ· οı ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi a, ‰›¯ˆ˜ Ó· ·Ó·ÊÂÚfiÌ·ÛÙ Û οÔÈÔ Ì¤ÙÚÔ.
A¶§E™ ™YNAPTH™EI™ OÚÈÛÌfi˜ 11.19. £ÂˆÚԇ̛̠· Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË s, ÔÚÈṲ̂ÓË ÛÙÔ Û‡ÓÔÏÔ X . H s ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ·Ï‹ Û˘Ó¿ÚÙËÛË Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ÙÔ Â‰›Ô ÙÈÌÒÓ Ù˘ Â›Ó·È ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ. E¿Ó E ⊂ X , ÙfiÙ ıˆÚԇ̠ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË K E ÛÙÔÓ X Ì 1 Â¿Ó x ∈ E, K E (x) = (48) 0 Â¿Ó x ∈ / E. H K E ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÙÔ˘ E. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ Â‰›Ô ÙÈÌÒÓ Ù˘ s ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi ÙÔ˘˜ ‰È·ÎÂÎÚÈ̤ÓÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ c1 , . . . , cn . £¤ÙÔ˘Ì E i = {x|s(x) = ci }
(i = 1, 2, . . . , n).
H £EøPIA TOY LEBESGUE 483
TfiÙÂ, s=
n
ci K Ei ,
(49)
i=1
‰ËÏ·‰‹ οı ·Ï‹ Û˘Ó¿ÚÙËÛË Â›Ó·È ÁÚ·ÌÌÈÎfi˜ Û˘Ó‰˘·ÛÌfi˜ ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ˘ Ï‹ıÔ˘˜ ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈÎÒÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛˆÓ. E›Ó·È ۷ʤ˜ fiÙÈ Â¿Ó Ô X Â›Ó·È ÌÂÙÚ‹ÛÈÌÔ˜ ¯ÒÚÔ˜, ÙfiÙÂ Ë s Â›Ó·È ÌÂÙÚ‹ÛÈÌË Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó Ù· Û‡ÓÔÏ· E 1 , . . . , E n Â›Ó·È ÌÂÙÚ‹ÛÈÌ·. Œ¯ÂÈ ·ÍÈÔÛËÌ›ˆÙÔ ÂӉȷʤÚÔÓ ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ Î¿ıÂ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÌÔÚ› Ó· ÚÔÛÂÁÁÈÛı› ·fi ·Ï¤˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ: £ÂÒÚËÌ· 11.20. ÀÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ f Â›Ó·È Ì›· Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË, ÔÚÈṲ̂ÓË ÛÙÔ Û‡ÓÔÏÔ X . TfiÙÂ, ˘¿Ú¯ÂÈ Ì›· ·ÎÔÏÔ˘ı›· {sn } (n = 1, 2, 3, . . . ) ·ÏÒÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ ÁÈ· οı x ∈ X Ó· ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ sn (x) → f (x) ηıÒ˜ n → ∞. E¿Ó Ô X Â›Ó·È ÌÂÙÚ‹ÛÈÌÔ˜ ¯ÒÚÔ˜ Î·È Ë f Â›Ó·È ÌÂÙÚ‹ÛÈÌË, ÙfiÙ ÔÈ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ sn (n = 1, 2, 3, . . . ) ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ÂÈÏÂÁÔ‡Ó Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ ӷ Â›Ó·È ÌÂÙÚ‹ÛÈ̘. E¿Ó f ≥ 0, ÙfiÙÂ Ë ·ÎÔÏÔ˘ı›· {sn } (n = 1, 2, 3, . . . ) ÌÔÚ› Ó· ÂÈÏÂÁ› Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ ӷ Â›Ó·È ·‡ÍÔ˘Û·. Afi‰ÂÈÍË. E¿Ó f ≥ 0, ÙfiÙ ı¤ÙÔ˘Ì i i − 1 E ni = x n ≤ f (x) < n , 2 2
Fn = {x| f (x) ≥ n}
ÁÈ· n = 1, 2, 3, . . . Î·È i = 1, 2, . . . , n2n . E›Û˘, ı¤ÙÔ˘Ì n2n i −1 K Eni + n K Fn sn = 2n i=1
(50)
ÁÈ· n = 1, 2, 3, . . . . A˘Ù‹ Â›Ó·È Ë ÂÈı˘ÌËÙ‹ ·ÎÔÏÔ˘ı›·. ™ÙË ÁÂÓÈ΋ ÂÚ›ÙˆÛË, ıˆÚԇ̠ÙËÓ ·Ó··Ú¿ÛÙ·ÛË f = f + − f − Î·È ÂÊ·ÚÌfi˙Ô˘Ì ÙËÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË Î·Ù·Û΢‹ ÛÙȘ f + Î·È f − . ¶Ú¤ÂÈ Ó· ÛËÌÂȈı› fiÙÈ Â¿Ó Ë f Â›Ó·È ÊÚ·Á̤ÓË, ÙfiÙÂ Ë ·ÎÔÏÔ˘ı›· {sn } (n = 1, 2, . . . ) ÛÙËÓ (50) Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ f .
484
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
O§OK§HPø™H
EÓ Û˘Ó¯›·, ı· ÔÚ›ÛÔ˘Ì ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ ÔÏÔÎÏËÚÒÛˆ˜ Û ¤Ó·Ó ÌÂÙÚ‹ÛÈÌÔ ¯ÒÚÔ X , fiÔ˘ M Â›Ó·È Ô σ -‰·ÎÙ‡ÏÈÔ˜ ÙˆÓ ÌÂÙÚ‹ÛÈÌˆÓ Û˘ÓfiÏˆÓ Î·È µ Â›Ó·È ÙÔ Ì¤ÙÚÔ. O ·Ó·ÁÓÒÛÙ˘ Ô ÔÔ›Ô˜ ÂÈı˘Ì› Ó· ·ÔÎÙ‹ÛÂÈ ‰È·˘Á¤ÛÙÂÚË ÂÈÎfiÓ· Ù˘ ηٷÛÙ¿Ûˆ˜, ÌÔÚ› Ó· ıˆڋÛÂÈ ˆ˜ X ÙËÓ Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ ¢ı›· ‹ ¤Ó· ‰È¿ÛÙËÌ· Î·È ˆ˜ µ ÙÔ Ì¤ÙÚÔ Lebesgue m. OÚÈÛÌfi˜ 11.21. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ Ë s Â›Ó·È Ì›· ·Ï‹ ÌÂÙÚ‹ÛÈÌË Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÛÙÔÓ X Ì s(x) =
n
ci K Ei (x)
(x ∈ X ),
(51)
i=1
fiÔ˘ E 1 , . . . , E n ∈ M Î·È c1 , . . . , cn > 0. £ÂˆÚԇ̠E ∈ M Î·È ÔÚ›˙Ô˘Ì I E (s) =
n
ci µ(E ∩ E i ).
(52)
i=1
E¿Ó f Â›Ó·È Ì›· ÌÂÙÚ‹ÛÈÌË Î·È ÌË ·ÚÓËÙÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË, ÙfiÙ ÔÚ›˙Ô˘Ì f dµ = sup I E (s), (53) E
fiÔ˘ ÙÔ ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ ¿Óˆ ÊÚ¿ÁÌ· Ï·Ì‚¿ÓÂÙ·È ˘ÂÚ¿Óˆ fiÏˆÓ ÙˆÓ ·ÏÒÓ ÌÂÙÚ‹ÛÈÌˆÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ s Ì 0 ≤ s ≤ f . TÔ ·ÚÈÛÙÂÚfi ̤ÏÔ˜ Ù˘ (53) ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÙÔ Î·Ù¿ Lebesgue ÔÏÔÎϋڈ̷ Ù˘ f , ˆ˜ ÚÔ˜ µ, ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ E. ¶Ú¤ÂÈ Ó· ÛËÌÂȈı› fiÙÈ ÙÔ ÔÏÔÎϋڈ̷ ÌÔÚ› Ó· Ï¿‚ÂÈ Î·È ˆ˜ ÙÈÌ‹ ÙÔ +∞. MÔÚԇ̠ӷ ·ÏËı‡ÛÔ˘Ì ‡ÎÔÏ· fiÙÈ sdµ = I E (s) E
ÁÈ· οı ÌË ·ÚÓËÙÈ΋ ·Ï‹ ÌÂÙÚ‹ÛÈÌË Û˘Ó¿ÚÙËÛË s.
(54)
H £EøPIA TOY LEBESGUE 485
OÚÈÛÌfi˜ 11.22. ÀÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ f Â›Ó·È Ì›· ÌÂÙÚ‹ÛÈÌË Û˘Ó¿ÚÙËÛË. £ÂˆÚԇ̠ٷ ÔÏÔÎÏËÚÒÌ·Ù· + f dµ, f − dµ, (55) E
E
fiÔ˘ ÔÈ f + , f − ÔÚ›˙ÔÓÙ·È fiˆ˜ ÛÙË (47). E¿Ó ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ ¤Ó· ·fi Ù· ÔÏÔÎÏËÚÒÌ·Ù· ÛÙËÓ (55) Â›Ó·È ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ, ÙfiÙ ÔÚ›˙Ô˘Ì + f dµ = f dµ − f − dµ. (56) E
E
E
E¿Ó Î·È Ù· ‰‡Ô ÔÏÔÎÏËÚÒÌ·Ù· ÛÙËÓ (55) Â›Ó·È ÂÂÚ·Ṳ̂ӷ, ÙfiÙ ÙÔ ÔÏÔÎϋڈ̷ ÛÙËÓ (56) Â›Ó·È ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ. ™Â ·˘Ù‹Ó ·ÎÚÈ‚Ò˜ ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË, Ë f ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Î·Ù¿ Lebesgue ÔÏÔÎÏËÚÒÛÈÌË (‹ ·ıÚÔ›ÛÈÌË) ÛÙÔ E, ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ Ì¤ÙÚÔ µ. °È· Ó· ÙÔ ‰ËÏÒÛÔ˘Ì ·˘Ùfi, ÁÚ¿ÊÔ˘Ì f ∈ L(µ) ÛÙÔ E. E¿Ó µ = m, ÙfiÙÂ Ô Û˘Ó‹ı˘ Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌfi˜ ›ӷÈ: f ∈ L ÛÙÔ E. H ÔÚÔÏÔÁ›· ·˘Ù‹ ÌÔÚ› Ó· ‰ËÌÈÔ˘ÚÁ‹ÛÂÈ Ì›· ÌÈÎÚ‹ Û‡Á¯˘ÛË: E¿Ó Ë (56) Â›Ó·È +∞ ‹ −∞, ÙfiÙ ÙÔ ÔÏÔÎϋڈ̷ Ù˘ f ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ E ÔÚ›˙ÂÙ·È, ·Ú¿ ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ Ë f ‰ÂÓ Â›Ó·È ÔÏÔÎÏËÚÒÛÈÌË ÛÙÔ E, Û‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ ·Ú·¿Óˆ ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ Ϥ͈˜. H f Â›Ó·È ÔÏÔÎÏËÚÒÛÈÌË ÛÙÔ E Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ÙÔ ÔÏÔÎϋڈ̿ Ù˘ ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ E Â›Ó·È ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜. £· ·Û¯ÔÏËıԇ̠΢ڛˆ˜ Ì ÔÏÔÎÏËÚÒÛÈ̘ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ, ·Ó Î·È Û ÔÚÈṲ̂Ó˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ Â›Ó·È ··Ú·›ÙËÙË Ë ıÂÒÚËÛË Ù˘ ÁÂÓÈÎfiÙÂÚ˘ ÂÚÈÙÒÛˆ˜. ¶·Ú·Ù‹ÚËÛË 11.23. OÈ ·Ú·Î¿Ùˆ ȉÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ ÔÏÔÎÏËÚÒÛÈÌˆÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ ıˆÚÔ‡ÓÙ·È ÚÔÊ·Ó›˜: (·) E¿Ó f Â›Ó·È Ì›· ÌÂÙÚ‹ÛÈÌË Û˘Ó¿ÚÙËÛË, ÊÚ·Á̤ÓË ÛÙÔ E, Î·È Â¿Ó µ(E) < +∞, ÙfiÙ f ∈ L(µ) ÛÙÔ E. (‚) E¿Ó f Â›Ó·È Ì›· ÌÂÙÚ‹ÛÈÌË Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ì a ≤ f (x) ≤ b ÁÈ· οı x ∈ E Î·È Â¿Ó µ(E) < +∞, ÙfiÙ aµ(E) ≤ f dµ ≤ bµ(E). E
486
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
(Á) E¿Ó f, g ∈ L(µ) ÛÙÔ E Î·È Â¿Ó f (x) ≤ g(x) ÁÈ· οı x ∈ E, ÙfiÙ f dµ ≤ gdµ. E
E
(‰) E¿Ó f ∈ L(µ) ÛÙÔ E, ÙfiÙ c f ∈ L(µ) ÁÈ· ÔÔÈÔÓ‰‹ÔÙ ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi c Î·È c f dµ = c f dµ. E
E
(Â) E¿Ó Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË f Â›Ó·È ÌÂÙÚ‹ÛÈÌË Î·È Â¿Ó µ(E) = 0, ÙfiÙ f dµ = 0. E
(ÛÙ) E¿Ó f ∈ L(µ) ÛÙÔ E Î·È Â¿Ó A ∈ M Ì A ⊂ E, ÙfiÙ f ∈ L(µ) ÛÙÔ A. £ÂÒÚËÌ· 11.24. (·) YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË f Â›Ó·È ÌÂÙÚ‹ÛÈÌË Î·È ÌË ·ÚÓËÙÈ΋ ÛÙÔÓ X . OÚ›˙Ô˘Ì ÙË Û˘ÓÔÏÔÛ˘Ó¿ÚÙËÛË φ ÛÙÔÓ M ̤ۈ Ù˘ ÈÛfiÙËÙ·˜ φ(A) = f dµ (57) A
ÁÈ· οı A ∈ M. TfiÙÂ, Ë φ Â›Ó·È ·ÚÈıÌËۛ̈˜ ÚÔÛıÂÙÈ΋ ÛÙÔÓ M. (‚) TÔ ›‰ÈÔ Û˘Ì¤Ú·ÛÌ· ÈÛ¯‡ÂÈ Î·È Â¿Ó f ∈ L(µ) ÛÙÔÓ X . Afi‰ÂÈÍË. E›Ó·È ۷ʤ˜ fiÙÈ ÙÔ (‚) ¤ÂÙ·È ·fi ÙÔ (·), Â¿Ó ÁÚ¿„Ô˘Ì f = f + − f − Î·È ÂÊ·ÚÌfiÛÔ˘Ì ÙÔ (·) ÛÙȘ f + , f − . °È· ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ (·) Ú¤ÂÈ Ó· ‰Âȯı› fiÙÈ φ(A) =
∞
φ(An ),
(58)
n=1
fiÔ˘ An ∈ M (n = 1, 2, 3, . . . ), Ai ∩ A j = 0 ÁÈ· ÔÔÈÔ˘Û‰‹ÔÙ ‰Â›ÎÙ˜ i, j Ì i = j Î·È A = ∞ n=1 An . E¿Ó Ë f Â›Ó·È ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË, ÙfiÙÂ Ë ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌË ÚÔÛıÂÙÈÎfiÙËÙ· Ù˘ φ ÚÔ·ÙÂÈ Â˘ı¤ˆ˜ ·fi ÙËÓ ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌË ÚÔÛıÂÙÈÎfiÙËÙ· ÙÔ˘ µ, ÂÊfiÛÔÓ K E dµ = µ(A ∩ E). A
H £EøPIA TOY LEBESGUE 487
E¿Ó Ë f Â›Ó·È ·Ï‹, ÙfiÙÂ Ë f Â›Ó·È Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ (51) Î·È ÂÔ̤ӈ˜ ÙÔ Û˘Ì¤Ú·ÛÌ· ÈÛ¯‡ÂÈ Î·È ¿ÏÈ. ™ÙË ÁÂÓÈ΋ ÂÚ›ÙˆÛË, ÁÈ· ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ÌÂÙÚ‹ÛÈÌË ·Ï‹ Û˘Ó¿ÚÙËÛË s Ì 0 ≤ s ≤ f ¤¯Ô˘Ì fiÙÈ ∞ ∞ sdµ = sdµ ≤ φ(An ). A
n=1
An
n=1
EÔ̤ӈ˜, ·fi ÙËÓ (53) ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ φ(A) ≤
∞
φ(An ).
(59)
n=1
E¿Ó φ(An ) = +∞ ÁÈ· οÔÈÔÓ ‰Â›ÎÙË n, ÙfiÙÂ Ë (58) ÈÛ¯‡ÂÈ Î·Ù¿ ÙÂÙÚÈÌ̤ÓÔ ÙÚfiÔ, ÂÊfiÛÔÓ φ(An ) ≤ φ(A) ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË n. ™˘ÓÂÒ˜, ˘Ôı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ φ(An ) < +∞ ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË n. £ÂˆÚԇ̠ε > 0. MÔÚԇ̠ӷ ÂÈϤÍÔ˘Ì ·Ï‹ ÌÂÙÚ‹ÛÈÌË Û˘Ó¿ÚÙËÛË s Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ 0 ≤ s ≤ f Î·È sdµ ≥ f dµ − ε, sdµ ≥ f dµ − ε. (60) A1
EÔ̤ӈ˜, φ(A1 ∪ A2 ) ≥
A1
A2
A1 ∪A2
A2
sdµ =
sdµ + A1
sdµ ≥ φ(A1 ) + φ(A2 ) − 2ε. A2
EÊfiÛÔÓ ÙÔ ·Ú·¿Óˆ ÈÛ¯‡ÂÈ ÁÈ· οı ε > 0, ¤ÂÙ·È fiÙÈ φ(A1 ∪ A2 ) ≥ φ(A1 ) + φ(A2 ). Afi Ù· ·Ú·¿Óˆ ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ φ(A1 ∪ · · · ∪ An ) ≥ φ(A1 ) + · · · + φ(An )
(61)
ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË n. EÊfiÛÔÓ A1 ∪ · · · ∪ An ⊂ A ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË n, Ë (61) Û˘Ó¿ÁÂÙ·È fiÙÈ φ(A) ≥
∞ n=1
H (58) ¤ÂÙ·È ·fi ÙȘ (59) Î·È (62).
φ(An ).
(62)
488
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
¶fiÚÈÛÌ·. E¿Ó A, B ∈ M Ì B ⊂ A Î·È µ(A − B) = 0, ÙfiÙ f dµ = f dµ. A
B
EÊfiÛÔÓ A = B ∪ (A − B), ·˘Ùfi ¤ÂÙ·È ·fi ÙËÓ ¶·Ú·Ù‹ÚËÛË 11.23(Â). ¶·Ú·Ù‹ÚËÛË 11.25. TÔ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ fiÚÈÛÌ· Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ Ù· Û‡ÓÔÏ· ÌˉÂÓÈÎÔ‡ ̤ÙÚÔ˘ ‰ÂÓ Û˘ÓÂÈÛʤÚÔ˘Ó ÛÙËÓ ÔÏÔÎÏ‹ÚˆÛË. °È· ‰‡Ô ÌÂÙÚ‹ÛÈ̘ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ ı· ÁÚ¿ÊÔ˘Ì f ∼ g ÛÙÔ E Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ {x| f (x) = g(x)} ∩ E ¤¯ÂÈ ÌˉÂÓÈÎfi ̤ÙÚÔ. E¿Ó ÔÈ f , g, h Â›Ó·È ÌÂÙÚ‹ÛÈ̘ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ, ÙfiÙ ÈÛ¯‡Ô˘Ó Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ: (·) f ∼ f . (‚) E¿Ó f ∼ g, ÙfiÙ g ∼ f . (Á) E¿Ó f ∼ g Î·È g ∼ h ÙfiÙ f ∼ h. ¢ËÏ·‰‹, Ë Û¯¤ÛË ∼ Â›Ó·È Û¯¤ÛË ÈÛÔ‰˘Ó·Ì›·˜. E¿Ó f ∼ g ÛÙÔ E, ÙfiÙ ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ f dµ = gdµ A
A
ÁÈ· οı ÌÂÙÚ‹ÛÈÌÔ ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ A ÙÔ˘ E, ‰Â‰Ô̤Ó˘ Ù˘ ˘¿Ú͈˜ ÙˆÓ ÔÏÔÎÏËڈ̿وÓ. °È· Ì›· ȉÈfiÙËÙ· P Ô˘ ·ÊÔÚ¿ ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘ E Â›Ó·È Û‡ÓËı˜ Ó· ϤÁÂÙ·È fiÙÈ ÈÛ¯‡ÂÈ ÁÈ· ۯ‰fiÓ fiÏ· Ù· x ∈ E ‹ fiÙÈ ÈÛ¯‡ÂÈ Û¯Â‰fiÓ ·ÓÙÔ‡ ÛÙÔ E Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó Ë P ÈÛ¯‡ÂÈ ÁÈ· οı x ∈ E − A, fiÔ˘ A Â›Ó·È ¤Ó· ÌÂÙÚ‹ÛÈÌÔ ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ E Ì µ(A) = 0. (H ¤ÓÓÔÈ· ·˘Ù‹ ÂÍ·ÚÙ¿Ù·È Ê˘ÛÈο ·fi ÙÔ ıˆÚÔ‡ÌÂÓÔ Ì¤ÙÚÔ. E¿Ó ‰ÂÓ ·Ó·Ê¤ÚÂÙ·È Î¿ÙÈ Û¯ÂÙÈÎfi Ì ÙÔ Ì¤ÙÚÔ, ÙfiÙ ÂÓÓÔÂ›Ù·È ÙÔ Ì¤ÙÚÔ Lebesgue.) E¿Ó f ∈ L(µ) ÛÙÔ E, ÙfiÙÂ Â›Ó·È Û·Ê¤˜ fiÙÈ Ë f Ú¤ÂÈ Ó· Â›Ó·È ÂÂÚ·Ṳ̂ÓË Û¯Â‰fiÓ ·ÓÙÔ‡ ÛÙÔ E. EÔ̤ӈ˜, ÛÙȘ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ ‰ÂÓ ˘Ê›ÛÙ·Ù·È ·ÒÏÂÈ· Ù˘ ÁÂÓÈÎfiÙËÙ·˜ Â¿Ó ˘Ôı¤ÙÔ˘Ì ÂÍ ·Ú¯‹˜ fiÙÈ ÔÈ ‰Â‰Ô̤Ó˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ Â›Ó·È ÂÂÚ·Ṳ̂Ó˜.
H £EøPIA TOY LEBESGUE 489
£ÂÒÚËÌ· 11.26. E¿Ó f ∈ L(µ) ÛÙÔ E, ÙfiÙ | f | ∈ L(µ) ÛÙÔ E Î·È f dµ ≤ | f |dµ. (63) E
E
Afi‰ÂÈÍË. °Ú¿ÊÔ˘Ì E = A ∪ B, fiÔ˘ Ù· Û‡ÓÔÏ· A, B ÔÚ›˙ÔÓÙ·È ˆ˜ ÂÍ‹˜: x ∈ A Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó x ∈ E Î·È f (x) ≥ 0 Î·È x ∈ B Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó x ∈ E Î·È f (x) < 0. Afi ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 11.24 ¤¯Ô˘Ì fiÙÈ + | f |dµ = | f |dµ + | f |dµ = f dµ + f − dµ < +∞ E
A
B
A
B
Î·È ÂÔ̤ӈ˜ | f | ∈ L(µ) ÛÙÔ E. EÊfiÛÔÓ f ≤ | f | Î·È − f ≤ | f |, Û˘Ó¿ÁÔ˘Ì fiÙÈ f dµ ≤ | f |dµ, − f dµ ≤ | f |dµ. E
E
E
E
Afi ·˘Ùfi ¤ÂÙ·È Ë (63). EÊfiÛÔÓ Ë ÔÏÔÎÏËÚˆÛÈÌfiÙËÙ· Ì›·˜ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜ f Û˘Ó¿ÁÂÙ·È ÙËÓ ÔÏÔÎÏËÚˆÛÈÌfiÙËÙ· Ù˘ | f |, ÙÔ Î·Ù¿ Lebesgue ÔÏÔÎϋڈ̷ Û˘¯Ó¿ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ·Ôχو˜ Û˘ÁÎÏ›ÓÔÓ ÔÏÔÎϋڈ̷. º˘ÛÈο, Â›Ó·È ‰˘Ó·Ùfi Ó· ÔÚÈÛıÔ‡Ó ÔÏÔÎÏËÚÒÌ·Ù· Ô˘ ‰ÂÓ Û˘ÁÎÏ›ÓÔ˘Ó ·Ôχو˜ Î·È ÁÈ· ÙËÓ ·ÓÙÈÌÂÙÒÈÛË ÔÚÈÛÌ¤ÓˆÓ ÚÔ‚ÏËÌ¿ÙˆÓ Â›Ó·È ··Ú·›ÙËÙÔ Ó· Á›ÓÂÈ ·˘Ùfi. ŸÌˆ˜, Ù· ÔÏÔÎÏËÚÒÌ·Ù· ·˘Ù¿ ‰ÂÓ ‰È·ı¤ÙÔ˘Ó ÔÚÈṲ̂Ó˜ ·fi ÙȘ ¯ÚËÛÈÌfiÙÂÚ˜ ȉÈfiÙËÙ˜ ÙÔ˘ ηٿ Lebesgue ÔÏÔÎÏËÚÒÌ·ÙÔ˜ Î·È ÁÈ· ÙÔÓ ÏfiÁÔ ·˘ÙfiÓ Î·Ù¤¯Ô˘Ó ÏÈÁfiÙÂÚÔ ÛËÌ·ÓÙÈÎfi ÚfiÏÔ ÛÙËÓ AÓ¿Ï˘ÛË. £ÂÒÚËÌ· 11.27. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ f Â›Ó·È Ì›· ÌÂÙÚ‹ÛÈÌË Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÛÙÔ E, fiÙÈ g ∈ L(µ) ÛÙÔ E Î·È fiÙÈ | f | ≤ g. TfiÙÂ, f ∈ L(µ) ÛÙÔ E. Afi‰ÂÈÍË. IÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ f + ≤ g Î·È f − ≤ g. 11.28 £ÂÒÚËÌ· ÌÔÓfiÙÔÓ˘ Û˘ÁÎϛۈ˜ ÙÔ˘ Lebesgue. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ E ∈ M. A˜ Â›Ó·È { f n } (n = 1, 2, 3, . . . ) Ì›· ·ÎÔÏÔ˘ı›· ÌÂÙÚ‹ÛÈÌˆÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ 0 ≤ f1 ≤ f2 ≤ · · · .
(64)
490
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
£ÂˆÚԇ̠ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË f , Ë ÔÔ›· ÔÚ›˙ÂÙ·È Ì¤Ûˆ Ù˘ Û¯¤Ûˆ˜ f (x) = lim f n (x)
(x ∈ E).
n→∞
TfiÙÂ,
(65)
f n dµ → E
n → ∞.
f dµ ηıÒ˜
(66)
E
Afi‰ÂÈÍË. Afi ÙËÓ (64) ηı›ÛÙ·Ù·È Û·Ê¤˜ fiÙÈ f n dµ → α E
ηıÒ˜ n → ∞, ÁÈ· οÔÈÔÓ ·ÚÈıÌfi α. EÊfiÛÔÓ ‰Â›ÎÙË n, ¤ÂÙ·È fiÙÈ f dµ. α≤
(67) E
f n dµ ≤
E
f dµ ÁÈ· οıÂ
(68)
E
£ÂˆÚԇ̠ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi c Ì 0 < c < 1. A˜ Â›Ó·È s Ì›· ·Ï‹ ÌÂÙÚ‹ÛÈÌË Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ì 0 ≤ s ≤ f . £¤ÙÔ˘Ì E n = {x| f n (x) ≥ cs(x)}
(n = 1, 2, 3, . . . ).
Afi ÙËÓ (64) ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ E 1 ⊂ E 2 ⊂ E 3 ⊂ · · · . Afi ÙËÓ (65) ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ ∞ E= En . (69) n=1
°È· οı ıÂÙÈÎfi ·Î¤Ú·ÈÔ ·ÚÈıÌfi n ¤¯Ô˘Ì fiÙÈ f n dµ ≥ f n dµ ≥ c E
En
sdµ.
(70)
En
£ÂˆÚԇ̠n → ∞ ÛÙËÓ (70). EÊfiÛÔÓ ÙÔ ÔÏÔÎϋڈ̷ Â›Ó·È ·ÚÈıÌËۛ̈˜ ÚÔÛıÂÙÈ΋ Û˘ÓÔÏÔÛ˘Ó¿ÚÙËÛË (£ÂÒÚËÌ· 11.24), Ë (69) Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ ÌÔÚԇ̠ӷ ÂÊ·ÚÌfiÛÔ˘Ì ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 11.3 ÛÙÔ ÙÂÏÂ˘Ù·›Ô ÔÏÔÎϋڈ̷ Ù˘ (70) Î·È Ó· Ï¿‚Ô˘Ì ÙËÓ ·ÓÈÛfiÙËÙ· α ≥ c sdµ. (71) E
H £EøPIA TOY LEBESGUE 491
§·Ì‚¿ÓÔÓÙ·˜ c → 1 ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì fiÙÈ α≥ sdµ E
Î·È Ë (53) Û˘Ó¿ÁÂÙ·È fiÙÈ α≥
(72)
f dµ. E
TÔ ıÂÒÚËÌ· ¤ÂÙ·È ·fi ÙȘ (67), (68) Î·È (72). £ÂÒÚËÌ· 11.29. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ f = f 1 + f 2 , fiÔ˘ f 1 , f 2 ∈ L(µ) ÛÙÔ E. TfiÙÂ, f ∈ L(µ) ÛÙÔ E Î·È f dµ = f 1 dµ + f 2 dµ. (73) E
E
E
Afi‰ÂÈÍË. AÚ¯Èο ˘Ôı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ f 1 , f 2 ≥ 0. E¿Ó ÔÈ f 1 , f 2 Â›Ó·È ·Ï¤˜, ÙfiÙÂ Ë (73) ÚÔ·ÙÂÈ ·Ï¿ ·fi ÙȘ (52) Î·È (54). ™ÙË ÁÂÓÈ΋ ÂÚ›ÙˆÛË, ıˆÚԇ̠·‡ÍÔ˘Û˜ ·ÎÔÏÔ˘ı›Â˜ {sn }, {sn } (n = 1, 2, 3, . . . ) ÌË ·ÚÓËÙÈÎÒÓ ÌÂÙÚ‹ÛÈÌˆÓ ·ÏÒÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛˆÓ, ÔÈ Ôԛ˜ Û˘ÁÎÏ›ÓÔ˘Ó ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜ ÚÔ˜ ÙȘ f 1 , f 2 . TÔ £ÂÒÚËÌ· 11.20 Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ ·˘Ùfi Â›Ó·È ‰˘Ó·Ùfi. £¤ÙÔ˘Ì sn = sn + sn (n = 1, 2, 3, . . . ). TfiÙÂ, sn dµ = sn dµ + sn dµ E
E
E
Î·È Ë (73) ¤ÂÙ·È Â¿Ó Ï¿‚Ô˘Ì n → ∞ Î·È ÂÊ·ÚÌfiÛÔ˘Ì ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 11.28. EÓ Û˘Ó¯›·, ˘Ôı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ f 1 ≥ 0, f 2 ≤ 0. £¤ÙÔ˘Ì A = {x| f (x) ≥ 0},
B = {x| f (x) < 0}.
TfiÙÂ, ÔÈ f, f 1 , − f 2 Â›Ó·È ÌË ·ÚÓËÙÈΤ˜ ÛÙÔ A. EÔ̤ӈ˜, f 1 dµ = f dµ + (− f 2 )dµ = f dµ − f 2 dµ. A
A
A
A
A
¶·ÚÔÌÔ›ˆ˜, ÔÈ − f, f 1 , − f 2 Â›Ó·È ÌË ·ÚÓËÙÈΤ˜ ÛÙÔ B Î·È ÂÔ̤ӈ˜ (− f 2 )dµ = f 1 dµ + (− f )dµ B
B
B
(74)
492
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
‹ ·ÏÏÈÒ˜
f 1 dµ = B
f dµ − B
f 2 dµ.
(75)
B
H (73) ¤ÂÙ·È ÚÔÛı¤ÙÔÓÙ·˜ ÙȘ (74) Î·È (75). ™ÙË ÁÂÓÈ΋ ÂÚ›ÙˆÛË, ÙÔ E ·Ó·Ï‡ÂÙ·È Û ٤ÛÛÂÚ· Û‡ÓÔÏ· E 1 , E 2 , E 3 , E 4 , Û ηı¤Ó· ·fi Ù· ÔÔ›· ÔÈ f 1 Î·È f 2 ¤¯Ô˘Ó ÛÙ·ıÂÚfi ÚfiÛËÌÔ. OÈ ‰‡Ô ÂÚÈÙÒÛÂȘ Ô˘ ¤¯Ô˘Ì ·Ô‰Â›ÍÂÈ Ê·ÓÂÚÒÓÔ˘Ó fiÙÈ f dµ = f 1 dµ + f 2 dµ (i = 1, 2, 3, 4) Ei
Ei
Ei
Î·È Ë (73) ÚÔ·ÙÂÈ ÚÔÛı¤ÙÔÓÙ·˜ ÙȘ Ù¤ÛÛÂÚȘ ·˘Ù¤˜ ·ÓÈÛfiÙËÙ˜. E›Ì·ÛÙ ÙÒÚ· Û ı¤ÛË Ó· ·Ó·‰È·Ù˘ÒÛÔ˘Ì ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 11.28 ÁÈ· ÛÂÈÚ¤˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛˆÓ. £ÂÒÚËÌ· 11.30. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ E ∈ M. E¿Ó { f n } (n = 1, 2, 3, . . . ) Â›Ó·È ·ÎÔÏÔ˘ı›· ÌË ·ÚÓËÙÈÎÒÓ ÌÂÙÚ‹ÛÈÌˆÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ Î·È f Â›Ó·È Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ì f (x) =
∞
f n (x)
(x ∈ E),
(76)
n=1
ÙfiÙÂ
f dµ = E
∞ n=1
f n dµ. E
Afi‰ÂÈÍË. T· ÌÂÚÈο ·ıÚÔ›ÛÌ·Ù· Ù˘ (76) ··ÚÙ›˙Ô˘Ó Ì›· ·‡ÍÔ˘Û· ·ÎÔÏÔ˘ı›·. 11.31 TÔ ıÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Fatou2 . YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ E ∈ M. £ÂˆÚԇ̛̠· ·ÎÔÏÔ˘ı›· { f n } (n = 1, 2, 3, . . . ) ÌË ·ÚÓËÙÈÎÒÓ ÌÂÙÚ‹ÛÈÌˆÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛˆÓ. ∂¿Ó f Â›Ó·È Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ô˘ ÔÚ›˙ÂÙ·È ·fi ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· f (x) = lim inf f n (x) n→∞
2
(x ∈ E),
™. Ù. M.: Pierre Joseph Louis Fatou (1878-1929). °¿ÏÏÔ˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi˜. EÚÁ¿ÛıËΠ΢ڛˆ˜ ÛÙËÓ AÓ¿Ï˘ÛË Î·È Â›Û˘ ¤Î·Ó ÌÂϤÙ˜ ÛÙËÓ Ï·ÓËÙÈ΋ ΛÓËÛË. E›Ó·È ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔ ÁÓˆÛÙfi˜ ·fi ÙÔ ÊÂÚÒÓ˘ÌÔ ıÂÒÚËÌ·, ÁÓˆÛÙfi Î·È ˆ˜ Ï‹ÌÌ· ÙÔ˘ Fatou.
H £EøPIA TOY LEBESGUE 493
ÙfiÙÂ
f dµ ≤ lim inf n→∞
E
f n dµ.
(77)
E
™ÙËÓ (77) ÌÔÚ› Ó· ÈÛ¯‡ÂÈ Î·È Ë ÁÓ‹ÛÈ· ·ÓÈÛfiÙËÙ·. T¤ÙÔÈÔ˘ ›‰Ô˘˜ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ‰›‰ÂÙ·È ÛÙËÓ ÕÛÎËÛË 5. Afi‰ÂÈÍË. °È· n = 1, 2, 3, . . . Î·È x ∈ E ı¤ÙÔ˘Ì gn (x) = inf f i (x)
(i ≥ n).
TfiÙÂ, ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË n Ë gn Â›Ó·È ÌÂÙÚ‹ÛÈÌË ÛÙÔ E Î·È 0 ≤ g1 ≤ g2 ≤ · · · ,
(78)
gn ≤ f n .
(79)
gn (x) → f (x) ηıÒ˜ n → ∞.
(80)
E›Û˘, ÁÈ· οı x ∈ E ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ
™‡Ìʈӷ Ì ÙȘ (78), (80) Î·È ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 11.28 ¤¯Ô˘Ì gn dµ → f dµ ηıÒ˜ n → ∞, E
(81)
E
ÂÔ̤ӈ˜ Ë (77) ¤ÂÙ·È ·fi ÙȘ (79) Î·È (81). 11.32 TÔ ıÂÒÚËÌ· ΢ÚÈ·Ú¯Ô‡ÌÂÓ˘ Û˘ÁÎϛۈ˜ ÙÔ˘ Lebesgue. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ E ∈ M. A˜ Â›Ó·È { f n } (n = 1, 2, 3, . . . ) Ì›· ·ÎÔÏÔ˘ı›· ÌÂÙÚ‹ÛÈÌˆÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ Î·È f Ì›· ÌÂÙÚ‹ÛÈÌË Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ f n (x) → f (x)
(x ∈ E)
(82)
ηıÒ˜ n → ∞. E¿Ó ˘¿Ú¯ÂÈ Û˘Ó¿ÚÙËÛË g ∈ L(µ) ÛÙÔ E Ì | fn | ≤ g
(n = 1, 2, 3, . . . ),
(83)
494
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
ÙfiÙÂ
f n dµ =
lim
n→∞
f dµ.
E
(84)
E
§fiÁˆ Ù˘ (83), ϤÁÂÙ·È fiÙÈ Ë { f n } (n = 1, 2, 3, . . . ) ΢ÚÈ·Ú¯Â›Ù·È ·fi ÙË g Î·È ·Ó·ÊÂÚfiÌ·ÛÙ ÛÙËÓ Î˘ÚÈ·Ú¯Ô‡ÌÂÓË Û‡ÁÎÏÈÛË. ™‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ ¶·Ú·Ù‹ÚËÛË 11.25, ÙÔ Û˘Ì¤Ú·ÛÌ· ÈÛ¯‡ÂÈ Â›Û˘ Â¿Ó Ë (82) ÈÛ¯‡ÂÈ Û¯Â‰fiÓ ·ÓÙÔ‡ ÛÙÔ E. Afi‰ÂÈÍË. AÚ¯Èο, Ë (83) Î·È ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 11.27 Û˘Ó¿ÁÔÓÙ·È fiÙÈ f n ∈ L(µ) (n = 1, 2, 3, . . . ) Î·È fiÙÈ f ∈ L(µ) ÛÙÔ E. EÊfiÛÔÓ f n + g ≥ 0 ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË n, ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Fatou Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ ( f + g)dµ ≤ lim inf ( f n + g)dµ n→∞
E
E
‹ ·ÏÏÈÒ˜
f dµ ≤ lim inf E
n→∞
f n dµ.
(85)
E
EÊfiÛÔÓ g − f n ≥ 0 ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË n, ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì ·ÚÔÌÔ›ˆ˜ fiÙÈ (g − f )dµ ≤ lim inf (g − f n )dµ n→∞
E
Î·È Û˘ÓÂÒ˜
E
f dµ ≤ lim inf − f n dµ ,
−
n→∞
E
Ë ÔÔ›· ÈÛÔ‰˘Ó·Ì› Ì ÙËÓ
E
f dµ ≥ lim sup
E
n→∞
f n dµ.
(86)
E
H ‡·ÚÍË ÙÔ˘ ÔÚ›Ô˘ ÛÙËÓ (84) Î·È Ë ÈÛfiÙËÙ· ÛÙËÓ (84) ÚÔ·ÙÔ˘Ó ÙÒÚ· ·fi ÙȘ (85) Î·È (86). ¶fiÚÈÛÌ·. E¿Ó µ(E) < +∞, Ë { f n } (n = 1, 2, 3, . . . ) Â›Ó·È ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ ÊÚ·Á̤ÓË ÛÙÔ E Î·È f n (x) → f (x) ηıÒ˜ n → ∞, ÁÈ· οı x ∈ E,
H £EøPIA TOY LEBESGUE 495
ÙfiÙ ÈÛ¯‡ÂÈ Ë (84).
M›· ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ ÊÚ·Á̤ÓË Û˘ÁÎÏ›ÓÔ˘Û· ·ÎÔÏÔ˘ı›· ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Û˘¯Ó¿ ÊÚ·Á̤ӷ Û˘ÁÎÏ›ÓÔ˘Û·.
™Y°KPI™H ME TO KATA RIEMANN O§OK§HPøMA TÔ ÂfiÌÂÓÔ ıÂÒÚËÌ· Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ Î¿ı ηٿ Riemann ÔÏÔÎÏËÚÒÛÈÌË Û˘Ó¿ÚÙËÛË Û ¤Ó· ÎÏÂÈÛÙfi ‰È¿ÛÙËÌ· Â›Ó·È Î·Ù¿ Lebesgue ÔÏÔÎÏËÚÒÛÈÌË Î·È fiÙÈ ÔÈ Î·Ù¿ Riemann ÔÏÔÎÏËÚÒÛÈ̘ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ ˘fiÎÂÈÓÙ·È Û ·ÚÎÂÙ¿ ·˘ÛÙËÚ¤˜ Û˘Óı‹Î˜ Û˘Ó¤¯ÂÈ·˜. EÎÙfi˜ ÙÔ˘ ÁÂÁÔÓfiÙÔ˜ fiÙÈ Ë ıˆڛ· ÙÔ˘ Lebesgue ηıÈÛÙ¿ ‰˘Ó·Ù‹ ÙËÓ ÔÏÔÎÏ‹ÚˆÛË Û ¢ڇÙÂÚË ÎÏ¿ÛË Û˘Ó·ÚÙ‹ÛˆÓ, ÙÔ ÛÔ˘‰·ÈfiÙÂÚÔ ÏÂÔÓ¤ÎÙËÌ¿ Ù˘ ¤ÁÎÂÈÙ·È ÛÙËÓ Â˘ÎÔÏ›· Ì ÙËÓ ÔÔ›· ¯ÂÈÚÈ˙fiÌ·ÛÙ ٷ fiÚÈ·. Yfi ÙÔ Ú›ÛÌ· ·˘Ùfi, Ù· ıˆڋ̷ٷ Û˘ÁÎϛۈ˜ ÙÔ˘ Lebesgue ·ÔÙÂÏÔ‡Ó ÙÔÓ ˘Ú‹Ó· Ù˘ ıˆڛ·˜ ÙÔ˘ Lebesgue. M›· ·fi ÙȘ ‰˘ÛÎÔϛ˜ Ô˘ Û˘Ó·ÓÙÒÓÙ·È ÛÙË ıˆڛ· ÙÔ˘ Riemann Â›Ó·È ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ Ù· fiÚÈ· ·ÎÔÏÔ˘ıÈÒÓ Î·Ù¿ Riemann ÔÏÔÎÏËÚÒÛÈÌˆÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ (·ÎfiÌË Î·È Û˘Ó¯ÒÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛˆÓ) ‰ÂÓ Â›Ó·È ··Ú·Èًو˜ ηٿ Riemann ÔÏÔÎÏËÚÒÛÈ̘ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ. ™ÙÔ Ï·›ÛÈÔ Ù˘ ıˆڛ·˜ ÙÔ˘ Lebesgue ·˘Ùfi ÙÔ Úfi‚ÏËÌ· ÂÍ·Ï›ÊÂÙ·È, ÂÊfiÛÔÓ fiÚÈ· ÌÂÙÚ‹ÛÈÌˆÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ Â›Ó·È ÌÂÙÚ‹ÛÈ̘ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ Ô ¯ÒÚÔ˜ ̤ÙÚÔ˘ X Â›Ó·È ÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· [a, b] Ù˘ Ú·ÁÌ·ÙÈ΋˜ ¢ı›·˜ Ì µ = m (ÙÔ Ì¤ÙÚÔ Lebesgue) Î·È fiÙÈ M Â›Ó·È Ë ÔÈÎÔÁ¤ÓÂÈ· ÙˆÓ Î·Ù¿ Lebesgue ÌÂÙÚ‹ÛÈÌˆÓ ˘ÔÛ˘ÓfiÏˆÓ ÙÔ˘ [a, b]. AÓÙ› ÙÔ˘ Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌÔ‡ f dm X
Â›Ó·È Û˘ÓËı¤ÛÙÂÚË Ë ¯Ú‹ÛË ÙÔ˘ Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌÔ‡ b f dx a
496
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
ÁÈ· ÙÔ ÔÏÔÎϋڈ̷ Ù˘ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜ f ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ [a, b]. °È· Ó· ‰È·ÎÚ›ÓÔ˘Ì ÙÔ Î·Ù¿ Riemann ÔÏÔÎϋڈ̷ ·fi ÙÔ Î·Ù¿ Lebesgue ÔÏÔÎϋڈ̷, Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì ÙÔ ÚÒÙÔ Ì b
R
f d x. a
£ÂÒÚËÌ· 11.33. (·) E¿Ó f ∈ R ÛÙÔ [a, b], ÙfiÙ f ∈ L ÛÙÔ [a, b] Î·È b b f dx = R f d x. a
(87)
a
(‚) YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË f Â›Ó·È ÊÚ·Á̤ÓË ÛÙÔ [a, b]. TfiÙÂ, f ∈ R ÛÙÔ [a, b] Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó Ë f Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ۯ‰fiÓ ·ÓÙÔ‡ ÛÙÔ [a, b]. Afi‰ÂÈÍË. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ Ë f Â›Ó·È ÊÚ·Á̤ÓË. ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔÓ OÚÈÛÌfi 6.1 Î·È ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 6.4, ˘¿Ú¯ÂÈ ·ÎÔÏÔ˘ı›· {Pk } (k = 1, 2, 3, . . . ) ‰È·ÌÂÚ›ÛÂˆÓ ÙÔ˘ [a, b] Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË k Ë Pk+1 Ó· Â›Ó·È ÂÎÏ¤Ù˘ÓÛË Ù˘ Pk , Ë ·fiÛÙ·ÛË ÌÂٷ͇ ‰‡Ô ·Ú·Î›ÌÂÓˆÓ ÛËÌ›ˆÓ Ù˘ Pk Ó· Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚË ÙÔ˘ 1/k Î·È Ó· ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ lim L(Pk , f ) = R
k→∞
a
b
f d x,
lim U (Pk , f ) = R
k→∞
b
f d x.
(88)
a
£ÂˆÚԇ̠¤Ó·Ó ‰Â›ÎÙË k. E¿Ó Â›Ó·È Pk = {x0 , x1 , . . . , xn } Ì x0 = a Î·È xn = b, ÙfiÙ ÔÚ›˙Ô˘Ì Uk (a) = L k (a) = f (a) Î·È Uk (x) = Mi , L k (x) = m i ÁÈ· οı xi−1 < x ≤ xi (1 ≤ i ≤ n), fiÔ˘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÙÔ˘˜ Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌÔ‡˜ ÙÔ˘ OÚÈÛÌÔ‡ 6.1. TfiÙÂ, b b L(Pk , f ) = L k d x, U (Pk , f ) = Uk d x (89) a
a
Î·È L 1 ≤ L 2 ≤ · · · ≤ f ≤ · · · ≤ U2 ≤ U1 ,
(90)
H £EøPIA TOY LEBESGUE 497
ÂÊfiÛÔÓ ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË k Ë Pk+1 ÂÎÏÂÙ‡ÓÂÈ ÙËÓ Pk . ™‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ (90), ÁÈ· οı x ∈ [a, b] ˘¿Ú¯Ô˘Ó Ù· fiÚÈ· L(x) = lim L k (x), k→∞
U (x) = lim Uk (x). k→∞
(91)
¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ÔÈ L Î·È U Â›Ó·È ÊÚ·Á̤Ó˜ ÌÂÙÚ‹ÛÈ̘ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ ÛÙÔ [a, b] Ì L ≤ f ≤U
(92)
Î·È a
b
Ld x = R
b
f d x,
a
b
Udx = R
a
b
f d x,
(93)
a
Û‡Ìʈӷ Ì ÙȘ (88), (90) Î·È ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ÌÔÓfiÙÔÓ˘ Û˘ÁÎϛۈ˜. Œˆ˜ ‰Ò, ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ ˘ÔÙÂı› Ù›ÔÙ ÁÈ· ÙËÓ f ÂÎÙfi˜ ·fi ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ Ë f Â›Ó·È ÊÚ·Á̤ÓË Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÛÙÔ [a, b]. °È· Ó· ÔÏÔÎÏËÚÒÛÔ˘Ì ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË, ÛËÌÂÈÒÓÔ˘Ì fiÙÈ f ∈ R Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ÙÔ ·ÓÒÙÂÚÔ Î·È ÙÔ Î·ÙÒÙÂÚÔ ÔÏÔÎϋڈ̿ Ù˘ Ù·˘Ù›˙ÔÓÙ·È, ÂÔ̤ӈ˜ Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó b b Ld x = U d x. (94) a
a
EÊfiÛÔÓ L ≤ U , Ë (94) ·ÏËı‡ÂÈ Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó L(x) = U (x) ÁÈ· ۯ‰fiÓ fiÏ· Ù· x ∈ [a, b] (ÕÛÎËÛË 1). ™Â ·˘Ù‹Ó ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË, Ë (92) Û˘Ó¿ÁÂÙ·È fiÙÈ L(x) = f (x) = U (x)
(95)
ÁÈ· ۯ‰fiÓ fiÏ· Ù· x ∈ [a, b], Î·È ÂÔ̤ӈ˜ Ë f Â›Ó·È ÌÂÙÚ‹ÛÈÌË. H (87) ¤ÂÙ·È ·fi ÙȘ (93) Î·È (95). EÈÚÔÛı¤Ùˆ˜, Â¿Ó ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô x ‰ÂÓ ·Ó‹ÎÂÈ Û η̛· ·fi ÙȘ ‰È·ÌÂÚ›ÛÂȘ Pk (k = 1, 2, . . . ), ÙfiÙ ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ‡ÎÔÏ· fiÙÈ U (x) = L(x) Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó Ë f Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ x. EÊfiÛÔÓ Ë ¤ÓˆÛË ÙˆÓ Û˘ÓfiÏˆÓ Pk (k = 1, 2, 3, . . . ) Â›Ó·È ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌÔ Û‡ÓÔÏÔ, ¤¯ÂÈ ÌˉÂÓÈÎfi ̤ÙÚÔ. Afi ·˘Ùfi Û˘Ó¿ÁÔ˘Ì fiÙÈ Ë f
498
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ۯ‰fiÓ ·ÓÙÔ‡ ÛÙÔ [a, b] Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó L(x) = U (x) ÁÈ· ۯ‰fiÓ fiÏ· Ù· x ∈ [a, b] Î·È ÂÔ̤ӈ˜ Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó f ∈ R. A˘Ùfi ÔÏÔÎÏËÚÒÓÂÈ ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË. H ÔÈΛ· Û‡Ó‰ÂÛË ÌÂٷ͇ ÔÏÔÎÏËÚÒÛˆ˜ Î·È ·Ú·ÁˆÁ›Ûˆ˜ ÌÂٷʤÚÂÙ·È, Û ÌÂÁ¿ÏÔ ‚·ıÌfi, ÛÙË ıˆڛ· ÙÔ˘ Lebesgue. E¿Ó f ∈ L ÛÙÔ [a, b] Î·È x F(x) = f dt (a ≤ x ≤ b), (96) a
ÙfiÙ F (x) = f (x) ÁÈ· ۯ‰fiÓ fiÏ· Ù· x ∈ [a, b]. AÓÙÈÛÙÚfiʈ˜, Â¿Ó Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË F Â›Ó·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË ÛÙÔ [a, b] (Ë Û˘Óı‹ÎË «Û¯Â‰fiÓ ·ÓÙÔ‡ ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË» ‰ÂÓ ·ÚΛ) Î·È Â¿Ó F ∈ L ÛÙÔ [a, b], ÙfiÙ x
F(x) − F(a) =
F dt
(a ≤ x ≤ b).
a
°È· ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ÙˆÓ ‰‡Ô ·˘ÙÒÓ ıˆÚËÌ¿ÙˆÓ ·Ú·¤ÌÔ˘Ì ÛÙ· Û¯ÂÙÈο Ì ÙËÓ ÔÏÔÎÏ‹ÚˆÛË ‚È‚Ï›· Ô˘ ·Ó·Ê¤ÚÔÓÙ·È ÛÙË BÈ‚ÏÈÔÁÚ·Ê›·.
O§OK§HPø™H MI°A¢IKøN ™YNAPTH™EøN YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ f Â›Ó·È Ì›· ÌÈÁ·‰È΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË, ÔÚÈṲ̂ÓË Û ¤Ó·Ó ÌÂÙÚ‹ÛÈÌÔ ¯ÒÚÔ X , Ì f = u + iv, fiÔ˘ ÔÈ u, v Â›Ó·È Ú·ÁÌ·ÙÈΤ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ. H f ı· ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÌÂÙÚ‹ÛÈÌË Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ÔÈ u Î·È v Â›Ó·È ÌÂÙÚ‹ÛÈ̘. MÔÚԇ̠ӷ ·ÏËı‡ÛÔ˘Ì ‡ÎÔÏ· fiÙÈ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· Î·È ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÌÈÁ·‰ÈÎÒÓ ÌÂÙÚ‹ÛÈÌˆÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ Â›Ó·È Â›Û˘ ÌÈÁ·‰È΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË. EÊfiÛÔÓ | f | = (u 2 + v 2 )1/2 , ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 11.18 Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ Ë | f | Â›Ó·È ÌÂÙÚ‹ÛÈÌË ÁÈ· οı ÌÈÁ·‰È΋ ÌÂÙÚ‹ÛÈÌË Û˘Ó¿ÚÙËÛË f . YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ µ Â›Ó·È ¤Ó· ̤ÙÚÔ ÛÙÔÓ X , fiÙÈ E Â›Ó·È ¤Ó· ÌÂÙÚ‹ÛÈÌÔ ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ X Î·È fiÙÈ f Â›Ó·È Ì›· ÌÈÁ·‰È΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÛÙÔÓ X . °Ú¿ÊÔ˘ÌÂ
H £EøPIA TOY LEBESGUE 499
f ∈ L(µ) ÛÙÔ E Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó Ë f Â›Ó·È ÌÂÙÚ‹ÛÈÌË Î·È | f |dµ < +∞
(97)
E
Î·È ÔÚ›˙Ô˘ÌÂ
f dµ =
udµ + i
E
E
vdµ, E
ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË Ô˘ ·ÏËı‡ÂÈ Ë (97). EÊfiÛÔÓ |u| ≤ | f |, |v| ≤ | f | Î·È | f | ≤ |u| + |v|, Â›Ó·È Û·Ê¤˜ fiÙÈ Ë (97) ÈÛ¯‡ÂÈ Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó u, v ∈ L(µ) ÛÙÔ E. T· £ÂˆÚ‹Ì·Ù· 11.23(·), (‰), (Â), (ÛÙ), 11.24(‚), 11.26, 11.27, 11.29 Î·È 11.32 ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ÂÂÎÙ·ıÔ‡Ó Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ ӷ Û˘ÌÂÚÈÏ¿‚Ô˘Ó Î·È Ù· ηٿ Lebesgue ÔÏÔÎÏËÚÒÌ·Ù· ÌÈÁ·‰ÈÎÒÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛˆÓ. OÈ ·Ô‰Â›ÍÂȘ ‰ÂÓ ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙Ô˘Ó ‰˘ÛÎÔÏ›·. H ÌfiÓË ·fi‰ÂÈÍË Ô˘ ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙ÂÈ Î¿ÔÈÔ ÂӉȷʤÚÔÓ Â›Ó·È ·˘Ù‹ ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 11.26: E¿Ó f ∈ L(µ) ÛÙÔ E, ÙfiÙ ˘¿Ú¯ÂÈ ÌÈÁ·‰ÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ c Ì |c| = 1 Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ f dµ ≥ 0.
c E
£¤ÙÔ˘Ì g = c f = u + iv, fiÔ˘ ÔÈ u, v Â›Ó·È Ú·ÁÌ·ÙÈΤ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ. TfiÙÂ, f dµ = c f dµ = gdµ = udµ ≤ | f |dµ. E
E
E
E
E
H ÙÚ›ÙË ·fi ÙȘ ·Ú·¿Óˆ ÈÛfiÙËÙ˜ ÈÛ¯‡ÂÈ ‰ÈfiÙÈ ÔÈ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ˜ Ê·ÓÂÚÒ ÓÔ˘Ó fiÙÈ ÙÔ ÔÏÔÎϋڈ̷ E gdµ Â›Ó·È Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜.
™YNAPTH™EI™ K§A™Eø™ L2 ø˜ ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ Ù˘ ıˆڛ·˜ ÙÔ˘ Lebesgue, ı· ÂÂÎÙ›ÓÔ˘Ì ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Parseval (ÙÔ ÔÔ›Ô ¤¯ÂÈ ·Ô‰Âȯı› ÌfiÓÔÓ ÁÈ· ηٿ Riemann ÔÏÔÎÏËÚÒÛÈ̘
500
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ ÛÙÔ KÂÊ¿Ï·ÈÔ 8) Î·È ı· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ÙˆÓ Riesz3 Î·È Fischer4 ÁÈ· ÔÚıÔηÓÔÓÈο Û‡ÓÔÏ· Û˘Ó·ÚÙ‹ÛˆÓ. OÚÈÛÌfi˜ 11.34. A˜ Â›Ó·È X ¤Ó·˜ ÌÂÙÚ‹ÛÈÌÔ˜ ¯ÒÚÔ˜. °È· Ì›· ÌÈÁ·‰È΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÔÚÈṲ̂ÓË ÛÙÔÓ X ÁÚ¿ÊÔ˘ÌÂ5 f ∈ L2 (µ) ÛÙÔÓ X Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó Ë f Â›Ó·È ÌÂÙÚ‹ÛÈÌË Î·È | f |2 dµ < +∞. X
E¿Ó µ Â›Ó·È ÙÔ Ì¤ÙÚÔ Lebesgue, ÙfiÙ ÁÚ¿ÊÔ˘Ì ·ÏÒ˜ f ∈ L2 . °È· f ∈ L2 (µ) (ÂÊÂÍ‹˜ ı· ·Ú·Ï›ԢÌ ÙË ÊÚ¿ÛË «ÛÙÔÓ X ») ÔÚ›˙Ô˘Ì 1/2
| f | dµ
f =
2
X
Î·È ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ·˘ÙfiÓ ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi f L2 (µ)-ÛÙ¿ıÌË Ù˘ f . 3
™. Ù. M.: Frigyes Riesz (1880-1956). ™Ô˘‰·›Ô˜ O‡ÁÁÚÔ˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi˜. £ÂˆÚÂ›Ù·È ˆ˜ Ô ·Ù¤Ú·˜ Ù˘ ™˘Ó·ÚÙËÛȷ΋˜ AӷχÛˆ˜. O Riesz ÛÔ‡‰·Û ÛÙÔ ¶·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ Ù˘ BÔ˘‰·¤ÛÙ˘. ŒÏ·‚ ÙÔ ‰È‰·ÎÙÔÚÈÎfi ÙÔ˘ ‰›ÏˆÌ· ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1902. ¢ÈÔÚ›ÛıËΠ̛۠· ı¤ÛË ÛÙÔ ¶·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ ÙÔ˘ Kolozv¿r Ù˘ O˘ÁÁ·Ú›·˜ (ÙÒÚ· Cluj Ù˘ PÔ˘Ì·Ó›·˜), ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1911. TÔ ¤ÙÔ˜ 1922 Ô Riesz ¤ÁÈÓÂ Ô ÂΉfiÙ˘ ÙÔ˘ ÙfiÙ ÓÂÔ˚‰Ú˘ı¤ÓÙÔ˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎÔ‡ ÂÚÈÔ‰ÈÎÔ‡ Acta Scientiarum Mathematicarum, ÙÔ ÔÔ›Ô Û‡ÓÙÔÌ· ¤ÁÈÓ ÛËÌ·ÓÙÈÎfi˜ ÊÔÚ¤·˜ ‰È·ÎÈÓ‹Ûˆ˜ ÙˆÓ Ì·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ È‰ÂÒÓ. TÔ ¤ÙÔ˜ 1945 Ô Riesz ‰ÈÔÚ›ÛıËΠÛÙËÓ ¤‰Ú· ÙˆÓ M·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ ÛÙÔ ¶·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ Ù˘ BÔ˘‰·¤ÛÙ˘. TÔ ‚È‚Ï›Ô ÙÔ˘ Riesz «Leçons d' Analyse Fonctionnelle» ıˆÚÂ›Ù·È ˆ˜ ¤Ó· ·fi Ù· ÈÔ ÔÏ˘‰È·‚·Ṳ̂ӷ ‚È‚Ï›· ™˘Ó·ÚÙËÛȷ΋˜ AӷχÛˆ˜. 4 ™. Ù. M.: Ernst Sigismund Fischer (1875-1954). A˘ÛÙÚÈ·Îfi˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi˜. AÛ¯ÔÏ‹ıËΠ΢ڛˆ˜ Ì ÙËÓ AÓ¿Ï˘ÛË. √ Fischer ÛÔ‡‰·Û ÛÙËÓ BȤÓÓË ˘fi ÙÔÓ Franz Mertens (1840-1927), ÂÚ› ÙÔ 1894. TÔ ¤ÙÔ˜ 1899 ÛÔ‡‰·Û ÛÙË Z˘Ú›¯Ë Î·È ÛÙÔ Göttingen ˘fi ÙÔÓ Hermann Minkowski (1864-1909). TÚ›· ¤ÙË ·ÚÁfiÙÂÚ· ¤ÁÈÓ ‚ÔËıfi˜ ÛÙÔ ¶·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ ÙÔ˘ Brünn Î·È ¤ÂÈÙ· ·fi Ï›Á· ¤ÙË Î·ıËÁËÙ‹˜. K·Ù¿ Ù· ¤ÙË 1911 ¤ˆ˜ 1920 Ô Fischer ‹Ù·Ó ηıËÁËÙ‹˜ ÛÙÔ ¶·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ ÙÔ˘ Erlangen Î·È ·fi ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1920 Î·È ÌÂÙ¿ ÛÙÔ ¶·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ Ù˘ KÔÏÔÓ›·˜. TÔ ¤ÙÔ˜ 1907 Ô Fischer ÌÂϤÙËÛ ÙȘ ÔÚıÔηÓÔÓÈΤ˜ ·ÎÔÏÔ˘ı›Â˜ Î·È ·¤‰ÂÈÍ ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙ· ·fi ÙÔÓ Frigyes Riesz ÙÔ ÊÂÚÒÓ˘ÌÔ ıÂÒÚËÌ·, ÙÔ ÔÔ›Ô ıˆÚÂ›Ù·È ˆ˜ ¤Ó· ·fi Ù· ÛÔ˘‰·›· ÚÒÙ· ÂÈÙ‡ÁÌ·Ù· Ù˘ £ÂˆÚ›·˜ M¤ÙÚÔ˘. 5 ™. Ù. M.: OÈ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ ·˘ÙÔ‡ ÙÔ˘ ›‰Ô˘˜ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È Î·È ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈο ÔÏÔÎÏËÚÒÛÈ̘ (ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô Ì¤ÙÚÔ).
H £EøPIA TOY LEBESGUE 501
£ÂÒÚËÌ· 11.35. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ f, g ∈ L2 (µ). TfiÙÂ, f g ∈ L(µ) Î·È | f g|dµ ≤ f g. (98) X
A˘Ù‹ Â›Ó·È Ë ·ÓÈÛfiÙËÙ· ÙÔ˘ Schwarz, ÙËÓ ÔÔ›· ¤¯Ô˘Ì ‹‰Ë Û˘Ó·ÓÙ‹ÛÂÈ ÁÈ· ÛÂÈÚ¤˜ Î·È ÁÈ· ηٿ Riemann ÔÏÔÎÏËÚÒÌ·Ù· Î·È Ë ÔÔ›· ÚÔ·ÙÂÈ ·fi ÙËÓ ·ÓÈÛfiÙËÙ· 0 ≤ (| f | + λ|g|)2 dµ = f 2 + 2λ | f g|dµ + λ2 g2 , X
X
Ë ÔÔ›· ÈÛ¯‡ÂÈ ÁÈ· οı ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi λ. £ÂÒÚËÌ· 11.36. E¿Ó f, g ∈ L2 (µ), ÙfiÙ f + g ∈ L2 (µ) Î·È f + g ≤ f + g. Afi‰ÂÈÍË. H ·ÓÈÛfiÙËÙ· ÙÔ˘ Schwarz Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ 2 2 ¯ | f | dµ + f gdµ ¯ + |g|2 dµ f gdµ + f + g = X
X
X
X
≤ f + 2 f g + g 2
2
= ( f + g)2 .
¶·Ú·Ù‹ÚËÛË 11.37. E¿Ó ÔÚ›ÛÔ˘Ì ˆ˜ ·fiÛÙ·ÛË ÌÂٷ͇ ‰‡Ô Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ f Î·È g ÛÙÔÓ L2 (µ) ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi f −g, ÙfiÙ ·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ÈηÓÔÔÈÔ‡ÓÙ·È ÔÈ Û˘Óı‹Î˜ ÙÔ˘ OÚÈÛÌÔ‡ 2.15, ÂÎÙfi˜ ÙÔ˘ ÁÂÁÔÓfiÙÔ˜ fiÙÈ Ë ÈÛfiÙËÙ· f −g = 0 ‰ÂÓ Û˘Ó¿ÁÂÙ·È ··Ú·Èًو˜ fiÙÈ f (x) = g(x) ÁÈ· οı x ∈ X . ŸÌˆ˜, Û˘Ó¿ÁÂÙ·È fiÙÈ f (x) = g(x) ÁÈ· ۯ‰fiÓ fiÏ· Ù· x ∈ X . EÔ̤ӈ˜, Â¿Ó Ù·˘Ù›˙Ô˘Ì ÙȘ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ Ô˘ ‰È·Ê¤ÚÔ˘Ó ÌfiÓÔÓ Û ¤Ó· Û‡ÓÔÏÔ ÌˉÂÓÈÎÔ‡ ̤ÙÚÔ˘, ÙfiÙÂ Ô L2 (µ) ‰ÔÌÂ›Ù·È Û ÌÂÙÚÈÎfi ¯ÒÚÔ. £ÂˆÚԇ̠ÙÒÚ· ÙÔÓ L2 Û ¤Ó· ÎÏÂÈÛÙfi ‰È¿ÛÙËÌ· [a, b] Ù˘ Ú·ÁÌ·ÙÈ΋˜ ¢ı›·˜, ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ Ì¤ÙÚÔ Lebesgue.
502
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
£ÂÒÚËÌ· 11.38. TÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ Û˘Ó¯ÒÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ Â›Ó·È ˘ÎÓfi ÛÙÔÓ L2 ÛÙÔ [a, b]. ¶ÈÔ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ӷ, ÁÈ· οı f ∈ L2 ÛÙÔ [a, b] Î·È ε > 0 ˘¿Ú¯ÂÈ Û˘Ó¯‹˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÛÙÔ [a, b] Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ 1/2 b 2 | f − g| dµ <ε. f − g = a
Afi‰ÂÈÍË. £· ϤÁÂÙ·È fiÙÈ Ë f ÚÔÛÂÁÁ›˙ÂÙ·È ÛÙÔÓ L2 ·fi Ì›· ·ÎÔÏÔ˘ı›· {gn } (n = 1, 2, 3, . . . ) ÙÔ˘ L2 Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó f − gn → 0 ηıÒ˜ n → ∞. A˜ Â›Ó·È A ¤Ó· ÎÏÂÈÛÙfi ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ [a, b] Î·È K A Ë ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛ‹ ÙÔ˘. °È· x ∈ [a, b] ı¤ÙÔ˘Ì t (x) = inf |x − y| y∈A
ηÈ
1 (n = 1, 2, 3, . . . ). 1 + nt (x) TfiÙÂ, ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË n Ë gn Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ [a, b] Î·È ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ gn (x) = 1 ÁÈ· οı x ∈ A Î·È Î¿ı ‰Â›ÎÙË n. E›Û˘ gn (x) → 0 ηıÒ˜ n → ∞, ÁÈ· οı x ∈ B, fiÔ˘ B = [a, b] − A. ÕÚ·, 1/2 2 gn − K A = gn d x →0 gn (x) =
B
ηıÒ˜ n → ∞, Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 11.32. ™˘ÓÂÒ˜, ÔÈ ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈΤ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ ÎÏÂÈÛÙÒÓ Û˘ÓfiÏˆÓ ÚÔÛÂÁÁ›˙ÔÓÙ·È ÛÙÔÓ L2 ·fi Û˘Ó¯›˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ. ™‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ (39), ÙÔ ›‰ÈÔ ·ÏËı‡ÂÈ Î·È ÁÈ· ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈΤ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ ÔÔȈӉ‹ÔÙ ÌÂÙÚ‹ÛÈÌˆÓ Û˘ÓfiψÓ, Û˘ÓÂÒ˜ ÙÔ ›‰ÈÔ ÈÛ¯‡ÂÈ Î·È ÁÈ· ·Ï¤˜ ÌÂÙÚ‹ÛÈ̘ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ. E¿Ó f ≥ 0 Î·È f ∈ L2 , ÙfiÙ ıˆÚԇ̛̠· ·‡ÍÔ˘Û· ·ÎÔÏÔ˘ı›· {sn } (n = 1, 2, 3, . . . ) ·ÏÒÓ ÌÂÙÚ‹ÛÈÌˆÓ Î·È ÌË ·ÚÓËÙÈÎÒÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ sn (x) → f (x) ηıÒ˜ n → ∞, ÁÈ· οı x ∈ [a, b]. EÊfiÛÔÓ | f −sn |2 ≤ f 2 ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË n, ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 11.32 Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ f − sn → 0 ηıÒ˜ n → ∞. H ÁÂÓÈ΋ ÂÚ›ÙˆÛË ¤ÂÙ·È ·fi Ù· ·Ú·¿Óˆ.
H £EøPIA TOY LEBESGUE 503
OÚÈÛÌfi˜ 11.39. M›· ·ÎÔÏÔ˘ı›· {φn } (n = 1, 2, 3, . . . ) ÌÈÁ·‰ÈÎÒÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ Û ¤Ó· ÌÂÙÚ‹ÛÈÌÔ ¯ÒÚÔ X ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÔÚıÔηÓÔÓÈÎfi Û‡ÓÔÏÔ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ÁÈ· ÔÔÈÔ˘Û‰‹ÔÙ ‰Â›ÎÙ˜ n, m ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ 0 Â¿Ó n = m, φn φm dµ = 1 Â¿Ó n = m. X I‰È·ÈÙ¤Úˆ˜, Â›Ó·È ··Ú·›ÙËÙÔ Ó· ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ φn ∈ L2 (µ) ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË n. E¿Ó f ∈ L2 (µ) Î·È Â¿Ó cn = f φn dµ (n = 1, 2, 3, . . . ), X
ÙfiÙ ÁÚ¿ÊÔ˘Ì f ∼
∞
cn φn ,
n=1
fiˆ˜ ÛÙÔÓ OÚÈÛÌfi 8.10. O ÔÚÈÛÌfi˜ Ì›·˜ ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈ΋˜ ÛÂÈÚ¿˜ Fourier ÂÂÎÙ›ÓÂÙ·È Ì ÙÔÓ ›‰ÈÔ ÙÚfiÔ ÛÙÔÓ L2 (‹ ·ÎfiÌË Î·È ÛÙÔÓ L) ÛÙÔ [−π, π]. T· £ÂˆÚ‹Ì·Ù· 8.11 Î·È 8.12 (Ë ·ÓÈÛfiÙËÙ· ÙÔ˘ Bessel) ÈÛ¯‡Ô˘Ó ÁÈ· οı f ∈ L2 (µ). OÈ ·Ô‰Â›ÍÂȘ Â›Ó·È ·ÚfiÌÔȘ. MÔÚԇ̠ӷ ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì ÙÒÚ· ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Parseval. £ÂÒÚËÌ· 11.40. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ f (x) ∼
∞
cn einx ,
(99)
n=−∞
fiÔ˘ f ∈ L2 ÛÙÔ [−π, π]. °È· n = 1, 2, 3, . . . ·˜ Â›Ó·È sn ÙÔ n ٿ͈˜ ÌÂÚÈÎfi ¿ıÚÔÈÛÌ· Ù˘ ÛÂÈÚ¿˜ (99). TfiÙÂ, lim f − sn = 0
n→∞
(100)
Î·È ∞
1 |cn | = 2π n=−∞ 2
π
−π
| f |2 d x.
(101)
504
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
Afi‰ÂÈÍË. £ÂˆÚԇ̠ε > 0. Û˘Ó¯‹˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË g ÌÂ
™‡Ìʈӷ Ì ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 11.38, ˘¿Ú¯ÂÈ
ε f − g < . 2 EÈϤÔÓ, ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì ‡ÎÔÏ· fiÙÈ ÌÔÚԇ̠ӷ ıˆڋÛÔ˘Ì fiÙÈ g(π ) = g(−π ). TfiÙÂ, Ë g ÂÂÎÙ›ÓÂÙ·È Û ̛· ÂÚÈÔ‰È΋ Û˘Ó¯‹ Û˘Ó¿ÚÙËÛË. ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 8.16, ˘¿Ú¯ÂÈ ¤Ó· ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ T , ‚·ıÌÔ‡ N , Ì ε g − T < . 2
ÕÚ·, ·fi ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 8.11 (ÙÔ ÔÔ›Ô ÂÂÎÙ›ÓÂÙ·È ÛÙÔÓ L2 ), ÁÈ· n ≥ N Û˘Ó¿ÁÂÙ·È fiÙÈ sn − f ≤ T − f < ε. Afi ·˘Ùfi ¤ÂÙ·È Ë (100). H (101) ÚÔ·ÙÂÈ ·fi ÙËÓ (100) fiˆ˜ ÛÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 8.16. ¶fiÚÈÛÌ·. E¿Ó f ∈ L2 ÛÙÔ [−π, π ] Î·È Â¿Ó π f (x)e−inx d x = 0 (n = 0, ±1, ±2, . . . ), −π
ÙfiÙ f = 0. K·Ù¿ Û˘Ó¤ÂÈ·, Â¿Ó ‰‡Ô Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ ÙÔ˘ L2 ¤¯Ô˘Ó ÙËÓ ›‰È· ÛÂÈÚ¿ Fourier, ÙfiÙ ‰È·Ê¤ÚÔ˘Ó ÌfiÓÔÓ Û ¤Ó· Û‡ÓÔÏÔ ÌˉÂÓÈÎÔ‡ ̤ÙÚÔ˘. OÚÈÛÌfi˜ 11.41. A˜ Â›Ó·È f, f n ∈ L2 (µ) (n = 1, 2, 3, . . . ). §¤ÁÂÙ·È fiÙÈ Ë { f n } (n = 1, 2, 3, . . . ) Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÚÔ˜ ÙËÓ f ÛÙÔÓ L2 (µ) Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó limn→∞ f n − f = 0. H { f n } (n = 1, 2, 3, . . . ) ϤÁÂÙ·È ·ÎÔÏÔ˘ı›· Cauchy ÛÙÔÓ L2 (µ) Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ÁÈ· οı ε > 0 ˘¿Ú¯ÂÈ ·Î¤Ú·ÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ N Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙÂ Â¿Ó n, m ≥ N , ÙfiÙ f n − f m ≤ ε. £ÂÒÚËÌ· 11.42. E¿Ó { f n } (n = 1, 2, 3, . . . ) Â›Ó·È Ì›· ·ÎÔÏÔ˘ı›· Cauchy ÛÙÔÓ L2 (µ), ÙfiÙ ˘¿Ú¯ÂÈ Û˘Ó¿ÚÙËÛË f ∈ L2 (µ) Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙÂ Ë { f n } (n = 1, 2, 3, . . . ) Ó· Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÚÔ˜ ÙËÓ f ÛÙÔÓ L2 (µ).
H £EøPIA TOY LEBESGUE 505
M ‰È·ÊÔÚÂÙÈ΋ ‰È·Ù‡ˆÛË, Ô L2 (µ) Â›Ó·È Ï‹Ú˘ ÌÂÙÚÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜. Afi‰ÂÈÍË. EÊfiÛÔÓ Ë { f n } (n = 1, 2, 3, . . . ) Â›Ó·È ·ÎÔÏÔ˘ı›· Cauchy, ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ̛· ÁÓËÛ›ˆ˜ ·‡ÍÔ˘Û· ·ÎÔÏÔ˘ı›· ıÂÙÈÎÒÓ ·ÎÂÚ·›ˆÓ {n k } (k = 1, 2, 3, . . . ) Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ 1 f n k − f n k+1 < k (k = 1, 2, 3, . . . ). 2 £ÂˆÚԇ̠g ∈ L2 (µ). ™‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ ·ÓÈÛfiÙËÙ· ÙÔ˘ Schwarz ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ g |g( f n k − f n k+1 )|dµ ≤ k . 2 X ™˘ÓÂÒ˜, ∞
|g( f n k − f n k+1 )|dµ ≤ g.
(102)
X
k=1
™‡Ìʈӷ Ì ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 11.30, ÌÔÚԇ̠ӷ ÂÓ·ÏÏ¿ÍÔ˘Ì ÙËÓ ¿ıÚÔÈÛË Ì ÙËÓ ÔÏÔÎÏ‹ÚˆÛË ÛÙËÓ (102). EÔ̤ӈ˜, |g(x)|
∞
| f n k (x) − f n k+1 (x)| < +∞
(103)
k=1
ÁÈ· ۯ‰fiÓ fiÏ· Ù· x ∈ X . K·Ù¿ Û˘Ó¤ÂÈ·, ∞
| f n k (x) − f n k+1 (x)| < +∞
(104)
k=1
ÁÈ· ۯ‰fiÓ fiÏ· Ù· x ∈ X . ¢ÈfiÙÈ Â¿Ó Ë ÛÂÈÚ¿ ÛÙËÓ (104) ·¤ÎÏÈÓ Û ¤Ó· Û‡ÓÔÏÔ E ıÂÙÈÎÔ‡ ̤ÙÚÔ˘, ı· ÌÔÚÔ‡Û·Ì ӷ Ï¿‚Ô˘Ì ÙËÓ g ÌË ÌˉÂÓÈ΋ ÛÙÔ E Î·È Ó· ηٷϋÍÔ˘Ì Û ¤Ó· Û˘Ì¤Ú·ÛÌ· Ô˘ ·ÓÙÈÊ¿ÛÎÂÈ ÛÙËÓ (103). EÊfiÛÔÓ ÁÈ· ¤Ó·Ó ‰Â›ÎÙË k ÙÔ k ٿ͈˜ ÌÂÚÈÎfi ¿ıÚÔÈÛÌ· Ù˘ ÛÂÈÚ¿˜ ∞
( f n k+1 (x) − f n k (x)),
k=1
Ë ÔÔ›· Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ Û¯Â‰fiÓ ÁÈ· fiÏ· Ù· x ∈ X , Â›Ó·È ÙÔ f n k+1 (x) − f n 1 (x),
506
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ Ë ÈÛfiÙËÙ· f (x) = lim f n k (x) n→∞
ÔÚ›˙ÂÈ ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË f ۯ‰fiÓ ·ÓÙÔ‡ ÛÙÔÓ X Î·È ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ ÛËÌ·Û›· ˆ˜ ı· ÔÚÈÛı› Ë f ÛÙ· ˘fiÏÔÈ· ÛËÌ›· ÙÔ˘ X . £· ‰Â›ÍÔ˘Ì ÙÒÚ· fiÙÈ Ë f ¤¯ÂÈ ÙȘ ÂÈı˘ÌËÙ¤˜ ȉÈfiÙËÙ˜. A˜ Â›Ó·È ε > 0. £ÂˆÚԇ̠N fiˆ˜ ÛÙÔÓ OÚÈÛÌfi 11.41. E¿Ó k Â›Ó·È ¤Ó·˜ ‰Â›ÎÙ˘ Ì n k > N , ÙfiÙ ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Fatou Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ f − f n k ≤ lim inf f ni − f n k ≤ ε. i→∞
ÕÚ·, f − f n k ∈ L2 (µ) Î·È ÂÊfiÛÔÓ f = ( f − f n k ) + f n k , ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì fiÙÈ f ∈ L2 (µ). E›Û˘, ÂÊfiÛÔÓ o ε Â›Ó·È Ù˘¯fiÓ ıÂÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜, ¤ÂÙ·È fiÙÈ lim f − f n k = 0
k→∞
. EÓ Ù¤ÏÂÈ, Ë ·ÓÈÛfiÙËÙ· f − fn ≤ f − fnk + fnk − fn
(105)
Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ Ë { f n } (n = 1, 2, 3, . . . ) Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÚÔ˜ ÙËÓ f ÛÙÔÓ L2 (µ). ¢ÈfiÙÈ Â¿Ó Ï¿‚Ô˘Ì ٷ n, n k ·ÚÎÒ˜ ÌÂÁ¿Ï·, ÙfiÙ οı ¤Ó·˜ ·fi ÙÔ˘˜ fiÚÔ˘˜ Ù˘ ‰ÂÍÈ¿˜ ÏÂ˘Ú¿˜ Ù˘ (105) ÌÔÚ› Ó· Á›ÓÂÈ fiÛÔ ÌÈÎÚfi˜ ÂÈı˘ÌÔ‡ÌÂ. 11.43 TÔ ıÂÒÚËÌ· ÙˆÓ Riesz Î·È Fischer. A˜ Â›Ó·È {φn } (n = 1, 2, 3, . . . ) ÔÚıÔηÓÔÓÈÎfi Û‡ÓÔÏÔ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ ÛÙÔÓ X . YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ Ë ÛÂÈÚ¿ ∞ 2 n=1 |cn | Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ Î·È ı¤ÙÔ˘Ì sn = c1 φ1 +· · ·+cn φn ÁÈ· n = 1, 2, 3, . . . . TfiÙÂ, ˘¿Ú¯ÂÈ Û˘Ó¿ÚÙËÛË f ∈ L2 (µ) Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙÂ Ë {sn } (n = 1, 2, 3, . . . ) Ó· Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ ÚÔ˜ ÙËÓ f ÛÙÔÓ L2 (µ) Î·È ÂÈϤÔÓ f ∼
∞ n=1
cn φn .
H £EøPIA TOY LEBESGUE 507
Afi‰ÂÈÍË. °È· ÔÔÈÔ˘Û‰‹ÔÙ ‰Â›ÎÙ˜ n, m Ì n > m ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ sn − sm 2 = |cm+1 |2 + · · · + |cn |2 , ÂÔ̤ӈ˜ Ë {sn } (n = 1, 2, 3, . . . ) Â›Ó·È ·ÎÔÏÔ˘ı›· Cauchy ÛÙÔÓ L2 (µ). ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 11.42, ˘¿Ú¯ÂÈ Û˘Ó¿ÚÙËÛË f ∈ L2 (µ) Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ lim f − sn = 0.
n→∞
TÒÚ·, ÁÈ· ÔÔÈÔ˘Û‰‹ÔÙ ‰Â›ÎÙ˜ n, k Ì n > k ¤¯Ô˘Ì fiÙÈ
f φk dµ − ck = X
ÂÔ̤ӈ˜
f φk dµ − X
sn φk dµ, X
f φk dµ − ck ≤ f − sn φk .
X
§·Ì‚¿ÓÔÓÙ·˜ n → ∞ ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì fiÙÈ ck =
f φk dµ
(k = 1, 2, 3, . . . )
X
Î·È Ë ·fi‰ÂÈÍË ÔÏÔÎÏËÚÒıËÎÂ.
OÚÈÛÌfi˜ 11.44. ŒÓ· ÔÚıÔηÓÔÓÈÎfi Û‡ÓÔÏÔ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ {φn } (n = 1, 2, 3, . . . ) ÛÙÔÓ X ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Ï‹Ú˜ Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ÁÈ· οı f ∈ L2 (µ) ÔÈ ÈÛfiÙËÙ˜ f φn dµ = 0
(n = 1, 2, 3, . . . )
X
Û˘Ó¿ÁÔÓÙ·È fiÙÈ f = 0. ™ÙÔ ¶fiÚÈÛÌ· ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 11.40 ¤¯Ô˘Ì ÙËÓ ÏËÚfiÙËÙ· ÙÔ˘ ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ‡ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ ·fi ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· ÙÔ˘ Parseval (101). AÓÙÈÛÙÚfiʈ˜, Ë ÈÛfiÙËÙ· ÙÔ˘ Parseval ÈÛ¯‡ÂÈ ÁÈ· οı ϋÚ˜ ÔÚıÔηÓÔÓÈÎfi Û‡ÓÔÏÔ:
508
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
£ÂÒÚËÌ· 11.45. ÀÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ {φn } (n = 1, 2, 3, . . . ) Â›Ó·È ¤Ó· Ï‹Ú˜ ÔÚıÔηÓÔÓÈÎfi Û‡ÓÔÏÔ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ ÛÙÔÓ X . E¿Ó f ∈ L2 (µ) Î·È Â¿Ó f ∼
∞
cn φn ,
(106)
n=1
ÙfiÙÂ | f |2 dµ = X
∞
|cn |2 .
(107)
n=1
Afi‰ÂÈÍË. ™‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ ·ÓÈÛfiÙËÙ· ÙÔ˘ Bessel, Ë ÛÂÈÚ¿ ÁÎÏ›ÓÂÈ. £¤ÙÔÓÙ·˜ ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË n
∞
n=1 |cn |
2
Û˘-
sn = c1 φ1 + · · · + cn φn , ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ÙˆÓ Riesz Î·È Fischer Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ ÙËÓ ‡·ÚÍË Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜ g ∈ L2 (µ) Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ g∼
∞
cn φn
(108)
n=1
Î·È limn→∞ g − sn = 0. ÕÚ·, limn→∞ sn = g. EÊfiÛÔÓ ÁÈ· οı ‰Â›ÎÙË n ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ sn 2 = |c1 |2 + · · · + |cn |2 , ¤¯Ô˘Ì fiÙÈ |g|2 dµ = X
∞
|cn |2 .
(109)
n=1
TÒÚ·, ÔÈ (106), (108) Î·È Ë ÏËÚfiÙËÙ· ÙÔ˘ {φn } (n = 1, 2, 3, . . . ) Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ f − g = 0. EÔ̤ӈ˜, Ë (109) Û˘Ó¿ÁÂÙ·È ÙËÓ (107). ™˘Ó‰˘¿˙ÔÓÙ·˜ Ù· £ÂˆÚ‹Ì·Ù· 11.43 Î·È 11.45, ηٷϋÁÔ˘Ì ÛÙÔ ÂÍ‹˜ Ôχ ÂӉȷʤÚÔÓ Û˘Ì¤Ú·ÛÌ·: K¿ı ϋÚ˜ ÔÚıÔηÓÔÓÈÎfi Û‡ÓÔÏÔ Â¿ÁÂÈ Ì›· 1-1 ·ÓÙÈÛÙÔȯ›· ÌÂٷ͇ ÙˆÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ f ∈ L2 (µ) (Ù·˘Ù›˙ÔÓÙ·˜ ÙȘ
H £EøPIA TOY LEBESGUE 509
Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ ÔÈ Ôԛ˜ Â›Ó·È Û¯Â‰fiÓ ·ÓÙÔ‡ ›Û˜) Î·È ÙˆÓ ·ÎÔÏÔ˘ıÈÒÓ {cn } 2 (n = 1, 2, 3, . . . ) Ì ÙËÓ ∞ n=1 |cn | Û˘ÁÎÏ›ÓÔ˘Û·. H ·Ó··Ú¿ÛÙ·ÛË f ∼
∞
cn φn
n=1
Ì·˙› Ì ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· ÙÔ˘ Parseval Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ Ô L2 (µ) ÌÔÚ› Ó· ıˆÚËı› ˆ˜ ·ÂÈÚԉȿÛÙ·ÙÔ˜ E˘ÎÏ›‰ÂÈÔ˜ ¯ÒÚÔ˜ (Ô ÏÂÁfiÌÂÓÔ˜ «¯ÒÚÔ˜ Hilbert6 »), ÛÙÔÓ ÔÔ›Ô ÙÔ ÛËÌÂ›Ô f ¤¯ÂÈ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ c1 , c2 , . . . Î·È ÔÈ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ 6
™. Ù. M.: David Hilbert (1862-1943). KÔÚ˘Ê·›Ô˜ °ÂÚÌ·Ófi˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi˜ Ô˘ ¿ÊËÛ ÌÂÁ¿ÏÔ ¤ÚÁÔ Î·È ÛÙÔ˘˜ ÙÚÂȘ ‚·ÛÈÎÔ‡˜ ÙÔÌ›˜ ÙˆÓ M·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ, ‰ËÏ·‰‹ ÛÙËÓ AÓ¿Ï˘ÛË, ÛÙËÓ ÕÏÁ‚ڷ Î·È ÛÙË °ÂˆÌÂÙÚ›·, ηıÒ˜ ›Û˘ Î·È ÛÙË £ÂˆÚËÙÈ΋ º˘ÛÈ΋. O Hilbert ÛÔ‡‰·Û ÛÙÔ ¶·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ ÙÔ˘ Königsberg, Ù˘ ÁÂÓ¤ÙÂÈÚ¿˜ ÙÔ˘. M·ı‹Ù¢Û ˘fi ÙÔÓ Heinrich Weber (1842-1913) Î·È ÙÔÓ Carl Louis Ferdinand Lindemann (1852-1939), ·fi ÙÔÓ ÔÔ›Ô ¤Ï·‚ ÙÔ ‰È‰·ÎÙÔÚÈÎfi ‰›ÏˆÌ·, ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1885. °È· ¤Ó· ÂÍ¿ÌËÓÔ ‹Á ÛÙÔ ¶·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ ÙÔ˘ Heidelberg, fiÔ˘ ÛÔ‡‰·Û ˘fi ÙÔÓ Immanuel Lazarus Fuchs (1833-1902). ™ÙË ‰È¿ÚÎÂÈ· ÙˆÓ ÛÔ˘‰ÒÓ ÙÔ˘ ·Ó¤Ù˘Í ÊÈÏÈ΋ Û¯¤ÛË Ì ÙÔÓ Hermann Minkowski (1864-1909) Î·È ÔÈ ‰‡Ô ÙÔ˘˜ ·ÏÏËÏÔÂËÚ¿ÛÙËÎ·Ó ÛËÌ·ÓÙÈο ÛÙȘ Ì·ıËÌ·ÙÈΤ˜ ÙÔ˘˜ ¤Ú¢Ó˜. TÔ ›‰ÈÔ Û˘Ó¤‚Ë Î·È Ì ÙÔÓ Adolf Hurwitz (1859-1919). K·Ù¿ Ù· ¤ÙË 1886 ¤ˆ˜ 1892 Ô Hilbert ‹Ù·Ó ˘ÊËÁËÙ‹˜ ÛÙÔ ›‰ÈÔ ·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ, ·fi ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1892 ¤ˆ˜ ÙÔ 1893 ¤ÎÙ·ÎÙÔ˜ ηıËÁËÙ‹˜ Î·È ·fi ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1893 ¤ˆ˜ ÙÔ 1895 Ù·ÎÙÈÎfi˜ ηıËÁËÙ‹˜. TÔ ¤ÙÔ˜ 1895, Ì ÙËÓ ˘ÔÛÙ‹ÚÈÍË ÙÔ˘ Felix Klein (1849-1925), Ô Hilbert ‰ÈÔÚ›ÛıËΠηıËÁËÙ‹˜ ÛÙÔ ¶·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ ÙÔ˘ Göttingen, fiÔ˘ Î·È ·Ú¤ÌÂÈÓ ¤ˆ˜ ÙÔ Ù¤ÏÔ˜ Ù˘ ˙ˆ‹˜ ÙÔ˘. H ÂÚÁ·Û›· ÙÔ˘ Hilbert ÛÙË °ÂˆÌÂÙÚ›· ›¯Â ÙËÓ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË Â›‰Ú·ÛË Û ·˘Ù‹Ó ÙËÓ ÂÚÈÔ¯‹ ÌÂÙ¿ ÙÔÓ E˘ÎÏ›‰Ë. ¢È·Ù‡ˆÛ ÂÈÎÔÛȤӷ ·ÍÈÒÌ·Ù·, Ù· ÔÔ›· ‰ËÌÔÛ›Â˘Û ÛÙÔ ÊËÌÈṲ̂ÓÔ ‚È‚Ï›Ô ÙÔ˘ «Grundlagen der Geometrie», ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1899. O Hilbert ‰È·Ù‡ˆÛ ÛÙÔ ¢Â‡ÙÂÚÔ ¢ÈÂıÓ¤˜ ™˘Ó¤‰ÚÈÔ M·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ ÛÙÔ ¶·Ú›ÛÈ, ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1900, Ù· ‰È¿ÛËÌ· ›ÎÔÛÈ ÙÚ›· ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù¿ ÙÔ˘, Ù· ÔÔ›· ÂÚÈÎÏÂ›Ô˘Ó ÙËÓ ˘fiıÂÛË ÙÔ˘ Û˘Ó¯ԇ˜, ÙËÓ Î·Ï‹ ‰È¿Ù·ÍË ÙˆÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ, ÙËÓ ˘ÂÚ‚·ÙÈÎfiÙËÙ· ÙˆÓ ‰˘Ó¿ÌÂˆÓ ·ÏÁ‚ÚÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ, ÙËÓ ˘fiıÂÛË ÙÔ˘ Riemman, ÙËÓ ·ÔÊ·ÛÈÛÈÌfiÙËÙ· Ù˘ AÚÈıÌËÙÈ΋˜ Î·È ÔÏÏ¿ ¿ÏÏ·. AÚÎÂÙ¿ ·fi ·˘Ù¿ Ù· ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· ¤¯Ô˘Ó Ï˘ı›, ‰›‰ÔÓÙ·˜ οı ÊÔÚ¿ ÂÈϤÔÓ ÒıËÛË ÛÙÔÓ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô ÂÚ¢ÓËÙÈÎfi ÙÔ̤·. E›Û˘, Ô Hilbert ›¯Â ÏËÛÈ¿ÛÂÈ ÛÙË ‰È·ÌfiÚʈÛË Ù˘ °ÂÓÈ΋˜ £ÂˆÚ›·˜ Ù˘ ™¯ÂÙÈÎfiÙËÙ·˜, ·ÏÏ¿ ÙÔÓ ÚfiÏ·‚ Ì Ôχ ÌÈÎÚ‹ ¯ÚÔÓÈ΋ ‰È·ÊÔÚ¿ Ô Albert Einstein (1879-1955). O Hilbert ˘‹ÚÍÂ Ô È‰Ú˘Ù‹˜ ÙÔ˘ Û˘Á¯ÚfiÓÔ˘ ÊÈÏÔÛÔÊÈÎÔ‡ Ú‡̷ÙÔ˜ Ù˘ M·ıËÌ·ÙÈ΋˜ T˘ÔÎÚ·Ù›·˜. ŸÌˆ˜, ÙÔ ÊÈÏÔÛÔÊÈÎfi ·˘Ùfi Ú‡̷ ˘¤ÛÙË ·Ó·ÓfiÚıˆÙÔ Ï‹ÁÌ· ‡ÛÙÂÚ· ·fi ÙËÓ ÂÌÊ¿ÓÈÛË ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ ÙÔ˘ ÎÔÚ˘Ê·›Ô˘ A˘ÛÙÚÈ·ÎÔ‡ ÏÔÁÈÎÔÏfiÁÔ˘ Kurt Friedrich Gödel (1906-1978). TÔ ¤ÙÔ˜ 1930, ÙÔ ¤ÙÔ˜ Û˘ÓÙ·ÍÈÔ‰ÔÙ‹ÛÂÒ˜ ÙÔ˘, Ô Hilbert ·ÓÂÎËÚ‡¯ıË Â›ÙÈÌÔ˜ ‰ËÌfiÙ˘ ÙÔ˘ Königsberg. ™ÙËÓ ÔÌÈÏ›· Ô˘ ¤‰ˆÛ ÂÓ fi„ÂÈ ·˘Ù‹˜ Ù˘ ÙÈÌ‹˜, Ô Hilbert › ÙËÓ ÂÚ›ÊËÌË Ú‹ÛË ·Ó·ÊÂÚfiÌÂÓÔ˜ ÛÙ· M·ıËÌ·ÙÈο: «¶Ú¤ÂÈ Ó· ÁÓˆÚ›˙Ô˘ÌÂØ ı· Ì¿ıÔ˘Ì».
510
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
φ1 , φ2 . . . Â›Ó·È Ù· ‰È·Ó‡ÛÌ·Ù· Û˘ÓÙÂÙ·Á̤ӈÓ.
A™KH™EI™ ÕÛÎËÛË 1. E¿Ó Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË f Â›Ó·È ÌÂÙÚ‹ÛÈÌË Û ¤Ó· Û‡ÓÔÏÔ E, Ì f ≥ 0 Î·È E f dµ = 0, ÙfiÙ ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ f (x) = 0 ÁÈ· ۯ‰fiÓ fiÏ· Ù· x ∈ E. Yfi‰ÂÈÍË: °È· n = 1, 2, 3 . . . ·˜ Â›Ó·È E n ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ x ∈ E Ì f (x) > 1/n. £¤ÙÔ˘Ì A = ∞ n=1 E n . TfiÙ µ(A) = 0 Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó µ(E n ) = 0 ÁÈ· οı ıÂÙÈÎfi ·Î¤Ú·ÈÔ ·ÚÈıÌfi n. ÕÛÎËÛË 2. E¿Ó Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË f Â›Ó·È ÌÂÙÚ‹ÛÈÌË Û ¤Ó· Û‡ÓÔÏÔ E Î·È Â¿Ó A f dµ = 0 ÁÈ· οı ÌÂÙÚ‹ÛÈÌÔ ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ A ÂÓfi˜ ÌÂÙÚ‹ÛÈÌÔ˘ Û˘ÓfiÏÔ˘ E, ÙfiÙ ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ f (x) = 0 ÁÈ· ۯ‰fiÓ fiÏ· Ù· x ∈ E. ÕÛÎËÛË 3. E¿Ó { f n } (n = 1, 2, 3, . . . ) Â›Ó·È Ì›· ·ÎÔÏÔ˘ı›· ÌÂÙÚ‹ÛÈÌˆÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛˆÓ, ÙfiÙ ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ x ÛÙ· ÔÔ›· Ë { f n (x)} (n = 1, 2, 3, . . . ) Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ Â›Ó·È ÌÂÙÚ‹ÛÈÌÔ. ÕÛÎËÛË 4. E¿Ó f ∈ L(µ) Û ¤Ó· ÌÂÙÚ‹ÛÈÌÔ Û‡ÓÔÏÔ E Î·È g Â›Ó·È Ì›· ÊÚ·Á̤ÓË ÌÂÙÚ‹ÛÈÌË Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÛÙÔ E, ÙfiÙ ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ f g ∈ L(µ) ÛÙÔ E. ÕÛÎËÛË 5. £ÂˆÚԇ̠ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË g ÛÙÔ [0, 1], fiÔ˘ 0 Â¿Ó 0 ≤ x ≤ 1 , 2 g(x) = 1 Â¿Ó 1 ≤ x ≤ 1. 2 ™ÙË ‰È¿ÚÎÂÈ· Ù˘ Ì·ıËÌ·ÙÈ΋˜ ÙÔ˘ ÛÙ·‰ÈÔ‰ÚÔÌ›·˜, Ô Hilbert ¤‚Ï„ ˆ˜ ˘Ô„‹ÊÈÔ˘˜ ‰È‰¿ÎÙÔÚ˜ ÂÚ›Ô˘ ‚‰ÔÌ‹ÓÙ· Ì·ıËÌ·ÙÈÎÔ‡˜. MÂٷ͇ ·˘ÙÒÓ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÔÈ ÛÔ˘‰·›ÔÈ Ì·ıËÌ·ÙÈÎÔ› Wilhelm Ackermann (1896-1962), Felix Bernstein (1878-1956), Richard Courant (1888-1972), Alfréd Haar (1885-1933), Georg Hamel (1877-1954), Erich Hecke (1887-1947) Î·È Ernst Hellinger (1883-1950). E›Û˘, Ì·ıËÙ‹˜ ÙÔ˘ Hilbert ˘‹ÚÍÂ Ô ‰È¿ÛËÌÔ˜ Û˘ÓÔÏÔıˆÚËÙÈÎfi˜ Ernst Zermelo (1871-1951). ¶ÚÔ˜ ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ Hilbert ¤¯ÂÈ ‰Ôı› ÙÔ fiÓÔÌ¿ ÙÔ˘ Û ¤Ó·Ó ÎÚ·Ù‹Ú· ÛÙË ÛÂÏ‹ÓË.
H £EøPIA TOY LEBESGUE 511
E›Û˘, ıˆÚԇ̠ÙËÓ ·ÎÔÏÔ˘ı›· Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ { f n } (n = 1, 2, 3, . . . ) ÛÙÔ [0, 1] fiÔ˘ ÁÈ· k = 1, 2, 3, . . . Î·È x ∈ [0, 1] Â›Ó·È f 2k (x) = g(x), f 2k+1 (x) = g(1 − x). ∞ԉ›ÍÙ fiÙÈ lim inf f n (x) = 0 n→∞
ηÈ
0
1
(0 ≤ x ≤ 1)
1 f n (x)d x = . 2
(™˘ÁÎÚ›ÓÂÙ Ì ÙËÓ (77).) ÕÛÎËÛË 6. ıˆÚԇ̠ÙËÓ ·ÎÔÏÔ˘ı›· Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ { f n } (n = 1, 2, 3, . . . ) ÛÙÔÓ R 1 fiÔ˘ ÁÈ· n = 1, 2, 3, . . . Â›Ó·È 1 Â¿Ó |x| ≤ n, n f n (x) = 0 Â¿Ó |x| > n. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ f n → 0 ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ ÛÙÔ R 1 ηıÒ˜ n → ∞. ŸÌˆ˜, ∞ fn d x = 2 (n = 1, 2, 3, . . . ). −∞
(°Ú¿ÊÔ˘Ì −∞ ·ÓÙ› ÙÔ˘ R 1 .) EÔ̤ӈ˜, Ë ÔÌÔÈfiÌÔÚÊË Û‡ÁÎÏÈÛË ‰ÂÓ Û˘Ó¿ÁÂÙ·È ÙËÓ Î˘ÚÈ·Ú¯Ô‡ÌÂÓË Û‡ÁÎÏÈÛË, ˘fi ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 11.32. ŸÌˆ˜, Û ۇÓÔÏ· ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ˘ ̤ÙÚÔ˘, ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ Û˘ÁÎÏ›ÓÔ˘Û˜ ·ÎÔÏÔ˘ı›Â˜ ÊÚ·ÁÌ¤ÓˆÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ ÈηÓÔÔÈÔ‡Ó ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 11.32. ∞
ÕÛÎËÛË 7. ¢È·Ù˘ÒÛÙ ̛· ÈηӋ Î·È ·Ó·Áη›· Û˘Óı‹ÎË Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ f ∈ R(α), fiÔ˘ α Â›Ó·È Ì›· ·‡ÍÔ˘Û· Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÛÙÔ [a, b]. Yfi‰ÂÈÍË: ™˘Ì‚Ô˘Ï¢ı›Ù ÙÔ ¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 11.6(‚) Î·È ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 11.33. ÕÛÎËÛË 8. E¿Ó f ∈ R ÛÙÔ [a, b] Î·È Â¿Ó F Â›Ó·È Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÛÙÔ [a, b] x fiÔ˘ F(x) = a f (t)dt (x ∈ [a, b]), ÙfiÙ ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ F (x) = f (x) ÁÈ· ۯ‰fiÓ fiÏ· Ù· x ∈ [a, b].
512
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
ÕÛÎËÛË 9. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË F Ù˘ (96) Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ [a, b]. ÕÛÎËÛË 10. E¿Ó X Â›Ó·È ¤Ó·˜ ÌÂÙÚ‹ÛÈÌÔ˜ ¯ÒÚÔ˜ Ì µ(X ) < +∞ Î·È f ∈ L2 (µ) ÛÙÔÓ X , ÙfiÙ ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ f ∈ L(µ) ÛÙÔÓ X . E¿Ó µ(X ) = +∞, ÙfiÙ ÙÔ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ ‰ÂÓ ÈÛ¯‡ÂÈ ··Ú·Èًو˜. E› ·Ú·‰Â›ÁÌ·ÙÈ, Â¿Ó f Â›Ó·È Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÛÙÔÓ R 1 fiÔ˘ f (x) =
1 1 + |x|
(x ∈ R 1 ),
ÙfiÙ f ∈ L2 ÛÙÔÓ R 1 , ÂÓÒ f ∈ / L ÛÙÔÓ R 1 . ÕÛÎËÛË 11. E¿Ó f, g ∈ L(µ) ÛÙÔÓ X , ÙfiÙ ÔÚ›˙Ô˘Ì ÙËÓ ·fiÛÙ·ÛË ÌÂٷ͇ ÙˆÓ f Î·È g ˆ˜ ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi | f − g|dµ. X
Aԉ›ÍÙ fiÙÈ Ô L(µ) Â›Ó·È Ï‹Ú˘ ÌÂÙÚÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜. ÕÛÎËÛË 12. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ f Â›Ó·È Ì›· Û˘Ó¿ÚÙËÛË, ÔÚÈṲ̂ÓË ÛÙÔ ÌÔÓ·‰È·›Ô ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ, ÁÈ· ÙËÓ ÔÔ›· ÈÛ¯‡Ô˘Ó Ù· ÂÍ‹˜: (·) | f (x, y)| ≤ 1 ÁÈ· οı x, y ∈ [0, 1]. (‚) °È· ÛÙ·ıÂÚfi x ∈ [0, 1] Ë f (x, y) Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÙÔ˘ y. (Á) °È· ÛÙ·ıÂÚfi y ∈ [0, 1] Ë f (x, y) Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÙÔ˘ x. £ÂˆÚԇ̠ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË g ÛÙÔ [0, 1] fiÔ˘ g(x) = 0
E›Ó·È Ë g Û˘Ó¯‹˜;
1
f (x, y)dy
(x ∈ [0, 1]).
H £EøPIA TOY LEBESGUE 513
ÕÛÎËÛË 13. £ÂˆÚԇ̠ÙËÓ ·ÎÔÏÔ˘ı›· Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ { f n } (n = 1, 2, 3, . . . ) ÛÙÔ [−π, π ], fiÔ˘ f n (x) = sin nx
(n = 1, 2, 3, . . . , x ∈ [−π, π ]),
ˆ˜ ·ÎÔÏÔ˘ı›· ÙÔ˘ L2 . Aԉ›ÍÙ fiÙÈ ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙÈÌÒÓ Ù˘ ·ÎÔÏÔ˘ı›·˜ ·˘Ù‹˜ Â›Ó·È ÎÏÂÈÛÙfi Î·È ÊÚ·Á̤ÓÔ Û‡ÓÔÏÔ, ·ÏÏ¿ ‰ÂÓ Â›Ó·È Û˘Ì·Á¤˜. ÕÛÎËÛË 14. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ Ì›· ÌÈÁ·‰È΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË f Û ¤Ó·Ó ÌÂÙÚ‹ÛÈÌÔ ¯ÒÚÔ Â›Ó·È ÌÂÙÚ‹ÛÈÌË Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ÙÔ f −1 (V ) Â›Ó·È ÌÂÙÚ‹ÛÈÌÔ ÁÈ· οı ·ÓÔÈÎÙfi ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ ÌÈÁ·‰ÈÎÔ‡ ÂȤ‰Ô˘. ÕÛÎËÛË 15. A˜ Â›Ó·È R Ô ‰·ÎÙ‡ÏÈÔ˜ fiÏˆÓ ÙˆÓ ÛÙÔȯÂȈ‰ÒÓ ˘ÔÛ˘ÓfiÏˆÓ ÙÔ˘ (0, 1]. °È· ÔÔÈÔ˘Û‰‹ÔÙ ڷÁÌ·ÙÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ a, b Ì 0 < a ≤ b ≤ 1 ÔÚ›˙Ô˘Ì φ([a, b]) = φ([a, b)) = φ((a, b]) = φ((a, b)) = b − a. ∂›Û˘, ÁÈ· ÔÔÈÔÓ‰‹ÔÙ ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi b Ì 0 < b ≤ 1 ÔÚ›˙Ô˘Ì φ((0, b)) = φ((0, b]) = 1 + b. ¢Â›ÍÙ fiÙÈ ÔÈ ÔÚÈÛÌÔ› ·˘ÙÔ› ¯ÔÚËÁÔ‡Ó Ì›· ÚÔÛıÂÙÈ΋ Û˘ÓÔÏÔÛ˘Ó¿ÚÙËÛË φ ÛÙÔÓ R Ë ÔÔ›· ‰ÂÓ Â›Ó·È ÔÌ·Ï‹ Î·È ‰ÂÓ ÌÔÚ› Ó· ÂÂÎÙ·ı› Û ̛· ·ÚÈıÌËۛ̈˜ ÚÔÛıÂÙÈ΋ Û˘ÓÔÏÔÛ˘Ó¿ÚÙËÛË Û ¤Ó·Ó σ -‰·ÎÙ‡ÏÈÔ. ÕÛÎËÛË 16. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ {n k } (k = 1, 2, 3, . . . ) Â›Ó·È Ì›· ÁÓËÛ›ˆ˜ ·‡ÍÔ˘Û· ·ÎÔÏÔ˘ı›· ıÂÙÈÎÒÓ ·ÎÂÚ·›ˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ Î·È fiÙÈ E Â›Ó·È ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ x ∈ (−π, π ) ÛÙ· ÔÔ›· Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ Ë {sin n k x} (k = 1, 2, 3, . . . ). Aԉ›ÍÙ fiÙÈ m(E) = 0. Yfi‰ÂÈÍË: °È· οı ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ A ÙÔ˘ E ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ sin n k xd x → 0 A
ηÈ
(sin n k x) d x =
2 A
ηıÒ˜ k → ∞.
(1 − cos2n k x)d x → m(A)
2
A
514
∞ƒÃ∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫∏™ ∞¡∞§À™∂ø™
ÕÛÎËÛË 17. YÔı¤Ùo˘Ì fiÙÈ E ⊂ (−π, π ) Ì m(E) > 0 Î·È ıˆÚԇ̠δ > 0. XÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÙ ÙËÓ ·ÓÈÛfiÙËÙ· ÙÔ˘ Bessel ÁÈ· Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ˘ Ï‹ıÔ˘˜ ·Î¤Ú·ÈÔÈ ·ÚÈıÌÔ› n Ì sin nx ≥ δ ÁÈ· οı x ∈ E. ÕÛÎËÛË 18. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ f, g ∈ L2 (µ) ÛÙÔÓ X . Aԉ›ÍÙ fiÙÈ
X
2 f gdµ = | f |2 dµ |g|2 dµ X
X
Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ˘¿Ú¯ÂÈ ¤Ó·˜ ÌÈÁ·‰ÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ c Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ g(x) = c f (x) ÁÈ· ۯ‰fiÓ fiÏ· Ù· x ∈ X . (™˘ÁÎÚ›ÓÂÙ Ì ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 11.35.)
µÈ‚ÏÈÔÁÚ·Ê›·
[1] ARTIN, E.: The Gamma Function, Holt, Rinehart and Winston, Inc., New York, 1964. [2] BOAS, R. P.: A primer of Real Functions, Carus Mathematical Monograph No. 13, John Wiley & Sons, Inc., New York, 1960. [3] BUCK, R. C. (ed.): Studies in Modern Analysis, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N. J., 1962. [4] BUCK, R. C. (ed.): Advanced Calculus, 2d ed., McGraw-Hill Book Company, New York, 1965. [5] BURKILL, J. C.: The Lebesgue Integral, Cambridge University Press, New York, 1951. [6] DIEUDONNÉ, J.: Foundations of Modern Analysis, Academic Press, Inc., New York, 1960. 515
[7] FLEMING, W.H.: Functions of Several Variables, Addison-Wesley Publishing Company, Inc., Reading, Mass., 1965. [8] GRAVES, L.M.: The Theory of Functions of Real Variables, 2d ed., McGraw-Hill Book Company, New York, 1956. [9] HALMOS, P. R.: Measure Theory, D. Van Nostrand Company, Inc., Princeton, N. J., 1950. [10] HALMOS, P.R.: Finite-Dimensional Vector Spaces, 2d ed., D. Van Nostrand Company, Inc., Princeton, N. J., 1958. [11] HARDY, G. H.: Pure Mathematics, 9th. ed, Cambridge University Press, New York, 1947. [12] HARDY, G. H. and ROGOSINSKI, W.: Fourier Series, 2d ed., Cambridge University Press, New York, 1950. [13] HERSTEIN, I. N.: Topics in Algebra, Blaisdell Publishing Company, New York, 1964. [14] HEWITT, E. and STROMBERG, K.: Real and Abstract Analysis, Springer Publishing Co., Inc., New York, 1965. [15] KELLOG, O. D.: Foundations of Potential Theory, Frederick Ungar Publishing Co., New York, 1940. [16] KNOPP, K.: Theory and Application of Infinite Series, Blackie & Son, Ltd., Glasgow, 1928. [17] LANDAU, E. G. H.: Foundations of Analysis, Chelsea Publishing Company, New York, 1951. [18] MCSHANE, E. J.: Integration, Princeton University Press, Princeton, N. J., 1944. [19] NIVEN, I. M.: Irrational Numbers, Carus Mathematical Monograph No. 11, John Wiley & Sons, Inc., New York, 1956. [20] ROYDEN, H. L: Real Analysis, The Macmillan Company, New York, 1963. 516
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517
E˘ÚÂÙ‹ÚÈÔ ÕıÚÔÈÛË Î·Ù¿ ̤ÚË, 105
ηٿ ÛËÌ›Ô, 236
ÕıÚÔÈÛÌ·
ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜, 236 AÎÙ›Ó·
ÁÚ·ÌÌÈÎÒÓ ÌÂÙ·Û¯ËÌ·ÙÈÛÌÒÓ, 320
ÂÚÈÔ¯‹˜, 48, 49
‰È·ÊÔÚÈÎÒÓ ÌÔÚÊÒÓ, 393
Û˘ÁÎϛۈ˜, 104
ÌÂÚÈÎfi, 90
ÕÏÁ‚ڷ, 245
ÌÈÁ·‰ÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ, 17
·˘ÙÔÂÈÛ˘Ó·Ù‹, 251
ÛÂÈÚ¿˜, 90
ÌË ÌˉÂÓÈ˙fiÌÂÓË Û ÛËÌ›·, 247
ÛÂÈÚ¿˜, ÛËÌÂÈ·Îfi, 220
ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ ÎÏÂÈÛÙ‹, 246
ÛÙÔȯ›ˆÓ ÛÒÌ·ÙÔ˜, 8
AÏ˘Û›‰·, 410
Û˘Ó·ÚÙ‹ÛˆÓ, 129
‰È·ÊÔÚ›ÛÈÌË, 413
AΤڷÈÔ Ì¤ÚÔ˜ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ‡ ·ÚÈıÌÔ‡, 151
AÓ·‰È¿Ù·ÍË ÛÂÈÚ¿˜, 114 AÓÈÛfiÙËÙ·
AÎÔÏÔ˘ı›·, 40
ÙÔ˘ Hölder, 214
·ÔÎÏ›ÓÔ˘Û·, 74
ÙÔ˘ Schwarz, 21, 214, 495
·‡ÍÔ˘Û·, 85
ÙÚÈÁˆÓÈ΋, 20, 23, 47
Cauchy, 30, 80, 498
AÓÔÈÎÙ‹ Î¿Ï˘„Ë, 55
‰ÈÏ‹, 221
AÍÈÒÌ·Ù· ÛÒÌ·ÙÔ˜, 7
ÌÔÓfiÙÔÓË, 85
∞ÂÈÎfiÓÈÛË (‚Ï¤Â Û˘Ó¿ÚÙËÛË), 38
Û˘ÁÎÏ›ÓÔ˘Û·, 73
ÕÂÈÚÔ, 16
ηٿ ÛËÌ›Ô, 220
AfiÎÏÈÛË
ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜, 224
·ÎÔÏÔ˘ı›·˜, 74
Û˘Ó·ÚÙ‹ÛˆÓ, 220
‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎÔ‡ ‰›Ô˘, 430
Êı›ÓÔ˘Û·, 85
ÛÂÈÚ¿˜, 91
ÊÚ·Á̤ÓË, 74
∞fiÏ˘ÙË ÙÈÌ‹ 519
ÌÈÁ·‰ÈÎÔ‡ ·ÚÈıÌÔ‡, 20 AfiÛÙ·ÛË ÛËÌ›ˆÓ, 47 AÚÈıÌËÙÈÎfi˜ ̤ÛÔ˜, 120, 306 AÚÈıÌfi˜ ·ÏÁ‚ÚÈÎfi˜, 67 ·ÚÓËÙÈÎfi˜, 10 ¿ÚÚËÙÔ˜, 2 ‰Âη‰ÈÎfi˜, 15 ıÂÙÈÎfi˜, 10 ÌË ·ÚÓËÙÈÎfi˜, 92 ÌÈÁ·‰ÈÎfi˜, 17 ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ˜, 17 ÂÚÈÛÙÚÔÊ‹˜, 310 ÏËıÈÎfi˜, 38 Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi˜, 12 ÚËÙfi˜, 2 AÚ¯‹ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤ӈÓ, 23 AÛ˘Ó¤¯ÂÈ·, 142 ‰Â˘Ù¤ÚÔ˘ ›‰Ô˘˜, 142 ÚÒÙÔ˘ ›‰Ô˘˜ (·Ï‹), 142
ÂÛˆÙÂÚÈÎfi, 23 ÌÈÁ·‰ÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ, 17 ÔÚÈ˙Ô˘ÛÒÓ, 357 ÈӿΈÓ, 325 ÛÂÈÚÒÓ, 109 ÛÙÔȯ›ˆÓ ÛÒÌ·ÙÔ˜, 8 Û˘Ó·ÚÙ‹ÛˆÓ, 129 °Ú·ÌÌÈÎfi˜ Û˘Ó‰˘·ÛÌfi˜, 316 °Ú¿ÊËÌ· Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜, 149 ¢·ÎÙ‡ÏÈÔ˜, 459 ¢Â›ÎÙ˘ ·‡ÍˆÓ, 395 η̇Ï˘, 310 ¢È·ÁÒÓÈ· ̤ıÔ‰Ô˜, 46 ¢È·Ì¤ÚÈÛË ‰È·ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜, 186 Ù˘ ÌÔÓ¿‰·˜, 386 ¢È¿ÌÂÙÚÔ˜ Û˘ÓfiÏÔ˘, 82 ¢È¿Ó˘ÛÌ·, 22 ÂÊ·ÙfiÌÂÓÔ, 437 ÌˉÂÓÈÎfi, 23 ÌÔÓ·‰È·›Ô, 335 ÔÚıfiıÂÙÔ, 434 ÛÙ‹ÏË, 324 ¢È¿ÛÙ·ÛË ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎÔ‡ ¯ÒÚÔ˘, 316 ¢È¿ÛÙËÌ· ·ÓÔÈÎÙfi, 48 ËÌÈ·ÓÔÈÎÙfi, 48 ÎÏÂÈÛÙfi, 48 ÔÏ˘‰È¿ÛÙ·ÙÔ, 48, 461 ¢È¿Ù·ÍË, 4
B·ıÌ›‰·, 350 B¿ÛË ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈ΋, 316 Û˘Ó‹ı˘, E˘ÎÏÂÈ‰Â›Ô˘ ¯ÒÚÔ˘, 317 ÙÔÔÏÔÁÈ΋, 70 °ÈÓfiÌÂÓÔ ‚·ı̈Ùfi, 23 ÁÚ·ÌÌÈÎÒÓ ÌÂÙ·Û¯ËÌ·ÙÈÛÌÒÓ, 321 ‰È·ÊÔÚÈÎÒÓ ÌÔÚÊÒÓ, 397, 399 520
·ÓÙ›ÛÙÚÔÊ˘ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜, 340 ‰È·ÏÔÁ‹˜ ÙÔ˘ Helly, 255 ÂÈÙÔ›Ûˆ˜, 291 ıÂÌÂÏÈ҉˜, ÙÔ˘ AÂÈÚÔÛÙÈÎÔ‡ §ÔÁÈÛÌÔ‡, 205, 492 ΢ÚÈ·Ú¯Ô‡ÌÂÓ˘ Û˘ÁÎϛۈ˜ ÙÔ˘ Lebesgue, 487 ̤Û˘ ÙÈÌ‹˜, 163, 361 ÌÔÓfiÙÔÓ˘ Û˘ÁÎϛۈ˜ ÙÔ˘ Lebesgue, 483 ÔÏÔÎÏËÚÒÛˆ˜ ηٿ ̤ÚË, 206 ÂÏÂÁ̤Ó˘ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜, 344 ÛÙ·ıÂÚÔ‡ ÛËÌ›Ԣ, 179, 312, 339 Ù˘ ·ÔÎϛۈ˜, 439 Ù˘ ‚·ıÌ›‰·˜, 351 ÙÔ˘ Abel, 266 ÙÔ˘ Baire, 72, 123 ÙÔ˘ Brouwer, 312 ÙÔ˘ Fatou, 486 ÙÔ˘ Fejér, 306 ÙÔ˘ Green, 431 ÙÔ˘ Parseval, 292, 497 ÙÔ˘ Stokes, 417 ÙÔ˘ Taylor, 168, 269, 374 ÙÔ˘ Weierstrass, 62, 242 ÙˆÓ Bohr Î·È Mollerup, 295 ÙˆÓ Heine Î·È Borel, 60 ÙˆÓ Riesz Î·È Fischer, 500 ÙˆÓ Stone Î·È Weierstrass, 247
ÏÂÍÈÎÔÁÚ·ÊÈ΋, 33 ¢È·ÙÂÙ·Á̤ÓÔ ˙‡ÁÔ˜, 17 ¢È·ÊÔÚ¿ Û˘ÌÌÂÙÚÈ΋, 465 Û˘Ó·ÚÙ‹ÛˆÓ, 129 ¢È·ÊÔÚÈ΋ Â͛ۈÛË, 183 ¢È·ÊÔÚÈÎfi, 329 ¢È·ÊÔÚÈÛÈÌfiÙËÙ·, 158, 328 ¢È·¯ˆÚÈÛÌfi˜ ÛËÌ›ˆÓ ·fi ¿ÏÁ‚ڷ, 246 ¢˘Ó·ÌÔÛÂÈÚ¿, 103, 263 e, 97 EÈÎfiÓ· Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜, 38 ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊË, 38 EÎÏ¤Ù˘ÓÛË, 190 ÎÔÈÓ‹, 190 EÎÙÂٷ̤ÓÔ Û‡ÛÙËÌ· Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ, 16 EÏ¿¯ÈÛÙÔ, 136 ÙÔÈÎfi, 162 EÌ‚·‰fi, 432, 433 ŒÓ·-ÚÔ˜-¤Ó· ·ÓÙÈÛÙÔȯ›·, 38 ŒÓˆÛË Û˘ÓfiψÓ, 41 ∂¤ÎÙ·Ì·, 316 E¤ÎÙ·ÛË Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜, 149 EÈÊ¿ÓÂÈ·, 390 EÛˆÙÂÚÈÎfi Û˘ÓfiÏÔ˘, 68 EÊ·ÙfiÌÂÓÔ Â›Â‰Ô, 433 £ÂÒÚËÌ· ·ÏÏ·Á‹˜ ÌÂÙ·‚ÏËÙÒÓ, 203, 387, 407
i, 19 I‰ÈfiÙËÙ· 521
KÚÈÙ‹ÚÈÔ ÔÏÔÎÏËÚˆÙÈÎfi, 213 Û˘ÁÎÚ›Ûˆ˜, 92 Ù˘ Ú›˙·˜, 99 ÙÔ˘ Cauchy, 83, 91, 225 ÙÔ˘ ÏfiÁÔ˘, 100 ÙÔ˘ Weierstrass, 226 K‡ÎÏÔ˜ Û˘ÁÎϛۈ˜, 103
AÚ¯ÈÌ‹‰ÂÈ·, 12 ÂÓ‰È·Ì¤ÛˆÓ ÙÈÌÒÓ, 141, 152, 164 ÌÔÓ·‰ÈÎfiÙËÙ·˜, 183 «Û¯Â‰fiÓ ·ÓÙÔ‡», 482 ÙÔ˘ ÂÏ·¯›ÛÙÔ˘ ¿Óˆ ÊÚ¿ÁÌ·ÙÔ˜, 6 ÙÔ˘ ÌÂÁ›ÛÙÔ˘ οو ÊÚ¿ÁÌ·ÙÔ˜, 7 infimum, 5 IÛÔ‰˘Ó·Ì›· Û˘ÓfiψÓ, 38 IÛÔÌÂÙÚ›· ÌÂÙÚÈÎÒÓ ¯ÒÚˆÓ, 125, 260 IÛÔÌÔÚÊ›· ‰È·ÙÂÙ·ÁÌ¤ÓˆÓ ÛˆÌ¿ÙˆÓ, 30 IÛÔÛ˘Ó¤¯ÂÈ·, 238
§‹ÌÌ· ÙÔ˘ Poincaré, 426 §ÔÁ¿ÚÈıÌÔ˜, 32 §ˆÚ›‰· ÙÔ˘ Möbius, 455 M¤ÁÈÛÙÔ, 136 ÙÔÈÎfi, 162 M¤ıÔ‰Ô˜ ÙÔ˘ Newton, 180 M¤ÛË ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈ΋ ÚÔÛ¤ÁÁÈÛË, 287 MÂÙ·‚ÏËÙ‹ ÔÏÔÎÏËÚÒÛˆ˜, 189 MÂÙ·Û¯ËÌ·ÙÈÛÌfi˜ (‚Ï¤Â Û˘Ó¿ÚÙËÛË), 319 MÂÙÚÈ΋, 47 M¤ÙÚÔ, 470, 472 Â͈ÙÂÚÈÎfi, 463 Lebesgue, 470 M‹ÎÔ˜ η̇Ï˘, 209 MÈÁ·‰ÈÎfi ›‰Ô, 24 MÔÓ·‰È·›Ô˜ ·‚Ô˜, 380 MÔÓfiÏÔÎÔ (Û˘Û¯ÂÙÈÎfi ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈṲ̂ÓÔ), 408 ‰È·ÊÔÚ›ÛÈÌÔ, 413 ªÔÚÊ‹ (‰È·ÊÔÚÈ΋), 391 ·ÎÚÈ‚‹˜, 420 ‚·ÛÈ΋, 395
k-¿‰·, 22 K¿Ï˘ÌÌ· (ÙÔÔÏÔÁÈÎfi), 53 K·Ì‡ÏË, 208 ¢ı˘ÁÚ·ÌÌ›ÛÈÌË, 209 ÎÏÂÈÛÙ‹, 209 Û˘Ó¯Ҙ ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË, 209 K·ÓfiÓ·˜ Ù˘ ·Ï˘Û›‰·˜, 160, 330 ÙÔ˘ L' Hospital, 165 K¤ÓÙÚÔ ÂÚÈÔ¯‹˜, 48 KÏ¿ÛË ÈÛÔ‰˘Ó·Ì›·˜, 124 KÏ·ÛÌ·ÙÈÎfi ̤ÚÔ˜ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ‡ ·ÚÈıÌÔ‡, 151 KÏÂÈÛÙ‹ ı‹ÎË, 53 ÔÌÔÈfiÌÔÚÊË, 230 KÏ›ÛË Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜, 334, 429 522
ÎÏ¿Ûˆ˜ C , C , 392 ÎÏÂÈÛÙ‹, 421
‰ÂÍÈfi, 142 ˘·ÎÔÏÔ˘ıÈ·Îfi, 79 ŸÚÔ˜ ·ÎÔÏÔ˘ı›·˜, 40
NfiÌÔ˜ ·ÓÙÈ-ÌÂÙ·ıÂÙÈÎfi˜, 394 ÂÈÌÂÚÈÛÙÈÎfi˜, 8, 43 ÌÂÙ·ıÂÙÈÎfi˜, 8, 43 ÚÔÛÂÙ·ÈÚÈÛÙÈÎfi˜, 8, 43 ŸÁÎÔ˜, 431 OÈÎÔÁ¤ÓÂÈ· Û˘ÓfiψÓ, 41 OÏÔÎϋڈ̷ ·ÓÒÙÂÚÔ Î·Ù¿ Riemann, 187 ·ÓÒÙÂÚÔ Î·Ù¿ Riemann-Stieltjes, 188 ÁÂÓÈÎÂ˘Ì¤ÓÔ, 213, 214 ÂÈη̇ÏÈÔ, 392 ÂÈÊ·ÓÂÈ·Îfi, 433 ηٿ Lebesgue, 478 ηٿ Riemann, 187 ηٿ Riemann-Stietjes, 188, 207 ηÙÒÙÂÚÔ Î·Ù¿ Riemann, 187 ηÙÒÙÂÚÔ Î·Ù¿ Riemann-Stieltjes, 188 OÚ›˙Ô˘Û·, 356, 359 Jacobi, 360 ŸÚÈÔ ·ÎÔÏÔ˘ı›·˜, 74 ·ÓÒÙÂÚÔ, 86 ηÙÒÙÂÚÔ, 86 ÛËÌÂÈ·Îfi, 220 Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜, 128, 147 ·ÚÈÛÙÂÚfi, 142 523
π , 279 ¶·Ú·ÁˆÁÈÛÈÌfiÙËÙ·, 158 ¶·Ú¿ÁˆÁÔ˜, 158 ·ÓÒÙÂÚ˘ ٿ͈˜, 167, 360 ·ÚÈÛÙÂÚ‹, 158 ‰ÂÍÈ¿, 158 ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎÒÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛˆÓ, 169 ‰È·ÊÔÚÈ΋˜ ÌÔÚÊ‹˜, 400 ‰È¢ı˘ÓÙÈ΋, 335 ÌÂÚÈ΋, 331 ÔÏÈ΋, 329 ÔÚıfiıÂÙË, 454 ¶Â‰›Ô ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎfi, 429 ÔÚÈÛÌÔ‡, 38 ·Ú·Ì¤ÙÚˆÓ, 209, 390 ÙÈÌÒÓ, 38, 350 ¶ÂÚÈÔÚÈÛÌfi˜ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜, 150 ¶ÂÚÈÔ¯‹, 49 ÛÊ·ÈÚÈ΋ ·ÓÔÈÎÙ‹, 48 ÎÏÂÈÛÙ‹, 48 ¶ËÏ›ÎÔ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛˆÓ, 129 ¶›Ó·Î·˜, 324 ÁÚ·ÌÌ‹, 334 ÛÙ‹ÏË, 334 ¶Ï‹ÚˆÛË ÌÂÙÚÈÎÔ‡ ¯ÒÚÔ˘, 125 ¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜
‚·ı̈Ùfi˜, 23 ÛÒÌ·ÙÔ˜, 7 ¶ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ, 134 Taylor, 374 ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎfi, 283 ¶Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ ¢ı›·, 24 ¶Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ̤ÚÔ˜ ÌÈÁ·‰ÈÎÔ‡ ·ÚÈıÌÔ‡, 19 ¶Úfi‚ÏËÌ· ·Ú¯ÈÎÒÓ ÙÈÌÒÓ, 183, 260 ¶ÚÔ‚ÔÏ‹, 350 ¶ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈÛÌfi˜ ÌÔÓÔÏfiÎÔ˘, 409 ¶ÚfiÛıÂÛË ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈ΋, 23 ÛÒÌ·ÙÔ˜, 7 ¶˘Ú‹Ó·˜ ÙÔ˘ Dirichlet, 289
ÂÛˆÙÂÚÈÎfi, 49 ÌÂÌÔӈ̤ÓÔ, 49 ÔÚÈ·Îfi, 49 Û·ÁÌ·ÙÈÎfi, 368 Û˘Ì˘ÎÓÒÛˆ˜, 71 Û˘ÛÛˆÚ‡Ûˆ˜, 49 ™Ù·ıÂÚ‹ ÙÔ˘ Euler, 302 ™Ù·ıÂÚfi ÛËÌ›Ô, 179 ™Ù¿ıÌË, 23, 494 ÁÚ·ÌÌÈÎÔ‡ ÌÂÙ·Û¯ËÌ·ÙÈÛÌÔ‡, 321 ÙÔ˘ ÂÏ·¯›ÛÙÔ˘ ¿Óˆ ÊÚ¿ÁÌ·ÙÔ˜, 230 ™ÙÔÈ¯Â›Ô ÂÌ‚·‰Ô‡, 431 Ì‹ÎÔ˘˜ ÙfiÍÔ˘, 437
P›˙·, 13 ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈ΋, 2
fiÁÎÔ˘, 431 ™ÙÚÔ‚ÈÏÈÛÌfi˜ ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎÔ‡ ‰›Ô˘, 430
σ -‰·ÎÙ‡ÏÈÔ˜, 459 ™ÂÈÚ¿, 90 ·ÔÎÏ›ÓÔ˘Û·, 91 ÁˆÌÂÙÚÈ΋, 93 ÂÓ·ÏÏ·ÛÛfiÌÂÓË, 106 Fourier, 284, 286, 497 ÌË ·ÚÓËÙÈÎÒÓ fiÚˆÓ, 93 Û˘ÁÎÏ›ÓÔ˘Û·, 90 ·Ôχو˜, 107 ηٿ ÛËÌÂ›Ô , 220 ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜, 224 ÌË ·Ôχو˜, 108 ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈ΋, 284 ™ËÌ›Ô, 47
™‡ÁÎÏÈÛË ·ÎÔÏÔ˘ı›·˜, 73 ΢ÚÈ·Ú¯Ô‡ÌÂÓË, 488 ÔÏÔÎÏËÚÒÌ·ÙÔ˜, 212 ·fiÏ˘ÙË, 212 ÔÌÔÈfiÌÔÚÊË, 224 ÛÂÈÚ¿˜, 90 ·fiÏ˘ÙË, 107 ÌË ·fiÏ˘ÙË, 108 ÛËÌÂȷ΋, 220 ÊÚ·Á̤ÓË, 489 ™˘˙˘Á‹˜ ÌÈÁ·‰ÈÎÔ‡ ·ÚÈıÌÔ‡, 19 ™˘ÏÏÔÁ‹ Û˘ÓfiψÓ, 41 524
™˘Ì¿ÁÂÈ·, 55
ÌÔÓfiÙÔÓË, 144
™˘Ìϋڈ̷ Û˘ÓfiÏÔ˘, 49
ÔÏÔÎÏËÚÒÛÈÌË Î·Ù¿ Lebesgue, 479
™˘Ó¿ÚÙËÛË, 38
ηٿ Riemann, 187, 188, 206
·ıÚÔ›ÛÈÌË, 479 ·Ó·Ï˘ÙÈ΋, 264
ÔÚȷ΋, 220
·ÓÔÈÎÙ‹, 151, 343
·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË, 158 ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜, 174
·ÓÙÈÛÙÚ¤„ÈÌË, 38 ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊË, 38
ÂÚÈÔ‰È΋, 279
·ÓÒÙÂÚ˘ ÎÏ¿Û˘ ‰È·ÊÔÚÈÛÈÌfiÙËÙ·˜, 373
ÚˆÙ·Ú¯È΋, 382
·Ï‹, 476
ÛÙ·ıÂÚ‹, 129
·ÔÛÙ¿Ûˆ˜, 47
Û˘ÓÙÂÙ·Á̤ӈÓ, 134
·ÚÌÔÓÈ΋, 454
Û˘Ó¯‹˜, 130
ÚËÙ‹, 134
·Û˘Ó¯‹˜, 142
·ÚÈÛÙÂÚ¿, 147
·‡ÍÔ˘Û·, 144
‰ÂÍÈ¿, 147
ÁÓËÛ›ˆ˜, 172
ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜, 137
‚‹Ù·, 297
Ô˘ıÂÓ¿ ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË, 235
Á¿ÌÌ·, 294
Û˘Ó¯Ҙ ‰È·ÊÔÚ›ÛÈÌË, 336
‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈ΋, 129
Û˘Û¯ÂÙÈ΋, 407
‰È·ÊÔÚ›ÛÈÌË, 158, 328
Ù·˘ÙÔÙÈ΋, 189
ÂÎıÂÙÈ΋, 272
ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈο ÔÏÔÎÏËÚÒÛÈÌË, 494
ÂÓ·ÏÏ·Á‹˜, 383
ÙÔÈο ¤Ó· ÚÔ˜ ¤Ó·, 343
¤Ó·-ÚÔ˜-¤Ó·, 38
ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈ΋, 278
›, 38
Êı›ÓÔ˘Û·, 144
˙‹Ù· ÙÔ˘ Riemann, 216
ÁÓËÛ›ˆ˜, 172
ÎÏ¿Ûˆ˜
C ,
337, 390
ÊÚ·Á̤ÓË, 135
ÎÏ¿Ûˆ˜
C ,
390
¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈ΋, 476
ÎÏÈ̷Έً, 199
™˘ÓÂÎÙÈÎfiÙËÙ·, 66
΢ÚÙ‹, 154
™˘Ó¤¯ÂÈ·, 130
ÏÔÁ·ÚÈıÌÈ΋, 275
ÔÌÔÈfiÌÔÚÊË, 137
ÌÂÙÚ‹ÛÈÌË, 473, 492
™‡ÓËı˜ ÌÔÓfiÏÔÎÔ, 408
ηٿ Borel, 476
™˘Ó‹ı˘ ·Ó··Ú¿ÛÙ·ÛË 525
ÌÔÚÊ‹˜, 396
ÔÚıÔηÓÔÓÈÎfi, 286, 497 Ï‹Ú˜, 501
™‡ÓıÂÛË Û˘Ó·ÚÙ‹ÛˆÓ, 131, 160, 196
ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ, 39
™˘ÓÈÛÙÒÛ·
Ï‹Ú˜, 84
ÂÊ·ÙÔÌÂÓÈ΋, 437
˘ÎÓfi, 12, 49
Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜, 133, 331
ÛÙÔȯÂÈ҉˜, 461
™‡ÓÔÏ·
Û˘Ì·Á¤˜, 55
·ÔÛ˘Ó‰ÂÙ¿, 42
Û˘ÓÂÎÙÈÎfi, 66
C -ÈÛÔ‰‡Ó·Ì·,
Ù¤ÏÂÈÔ, 49, 63
428
‰È·¯ˆÚÈṲ̂ӷ, 65
ÙÔ˘ Cantor, 65, 123, 212, 471
ͤӷ, 42
˘ÂÚ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌÔ, 39
™‡ÓÔÏÔ
ÊÚ·Á̤ÓÔ, 49
·ÓÂÍ¿ÚÙËÙÔ, 316
™˘ÓÔÏÔÛ˘Ó¿ÚÙËÛË, 459
·ÓÔÈÎÙfi, 49
·ÚÈıÌËۛ̈˜ ÚÔÛıÂÙÈ΋, 459
Û¯ÂÙÈο, 54
ÌÔÓfiÙÔÓË, 460
¿Óˆ ÊÚ·Á̤ÓÔ, 5
ÔÌ·Ï‹, 462
··ÚÈıÌËÙfi, 39
ÚÔÛıÂÙÈ΋, 459
·¤Ú·ÓÙÔ, 39
˘ÔÚÔÛıÂÙÈ΋, 464
·ÚÈıÌ‹ÛÈÌÔ, 39
™‡ÓÔÚÔ ÌÔÓÔÏfiÎÔ˘, 412
ÙÔ Ôχ, 39
™˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹˜ Fourier, 284, 286
Borel, 471
™˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ ‰È·Ó‡ÛÌ·ÙÔ˜, 22
‰È·ÙÂÙ·Á̤ÓÔ, 5
ˆ˜ ÚÔ˜ ‚¿ÛË, 316
ÂÍ·ÚÙË̤ÓÔ, 316
supremum, 5
ı¤ÛÂˆÓ ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡, 149
™˘ÛÙÔÏ‹, 338
ÎÂÓfi, 4
™¯¤ÛË
ÎÏÂÈÛÙfi, 49
·Ó·ÎÏ·ÛÙÈ΋, 38
΢ÚÙfi, 48
ÈÛÔ‰˘Ó·Ì›·˜, 39
ÌÂÙÚ‹ÛÈÌÔ, 465, 472
ÌÂÙ·‚·ÙÈ΋, 39
ÂÂÚ·Ṳ̂ӷ, 465
Û˘ÌÌÂÙÚÈ΋, 38
ÌˉÂÓÈÎÔ‡ ̤ÙÚÔ˘, 471
™ÒÌ·, 7
ÌË ÎÂÓfi, 4
·ÏÁ‚ÚÈο Ï‹Ú˜, 281
ÔÚıÔÁÒÓÈÔ, 286
‰È·ÙÂÙ·Á̤ÓÔ, 10, 29 526
º·ÓÙ·ÛÙÈÎfi ̤ÚÔ˜ ÌÈÁ·‰ÈÎÔ‡ ·ÚÈıÌÔ‡, 19 ºÔÚ¤·˜ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜, 379 ºÚ¿ÁÌ· ¿Óˆ, 5 ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ ¿Óˆ, 5 οو, 5 ̤ÁÈÛÙÔ Î¿Ùˆ, 5 º˘ÛÈÔÏÔÁÈÎfiÙËÙ·, 154
ÙˆÓ ÌÈÁ·‰ÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ, 17 ÙˆÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ, 12 ÙˆÓ ÚËÙÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ, 9 T·˘ÙfiÙËÙ˜ ÙÔ˘ Green, 454 TÂÏÂÛÙ‹˜, 319 ·ÓÙÈÛÙÚ¤„ÈÌÔ˜, 319 ÁÚ·ÌÌÈÎfi˜, 319 ‰È·ÊÔÚ›Ûˆ˜, 400 ÙÔ˘ Laplace, 453
XÒÚÔ˜ ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎfi˜, 23, 316 ‰È·¯ˆÚ›ÛÈÌÔ˜, 70 E˘ÎÏ›‰ÂÈÔ˜, 23 Hilbert, 503 ÌÂÙÚ‹ÛÈÌÔ˜, 472 ÌÂÙÚÈÎfi˜, 47 ̤ÙÚÔ˘, 472 ÌˉÂÓÈÎfi˜, 350 Ï‹Ú˘, 84, 499 Û˘Ì·Á‹˜, 56 Û˘ÓÂÎÙÈÎfi˜, 66 ÙˆÓ ÔÏÔÎÏËÚÒÛÈÌˆÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛˆÓ, 479 ÙˆÓ Û˘Ó¯ÒÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛˆÓ, 230 ÙˆÓ ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈο ÔÏÔÎÏËÚÒÛÈÌˆÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛˆÓ, 494 Ê˘ÛÈÔÏÔÁÈÎfi˜, 154
TÈÌ‹ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜, 38 TÔÌ‹ Dedekind, 24 Û˘ÓfiψÓ, 42 TfiÍÔ, 209 TfiÚÔ˜, 435 TÚÈÁˆÓÔÔ›ËÛË Û˘ÓfiψÓ, 428 T‡Ô˜ ‰˘ˆÓ˘ÌÈÎfi˜, ÙÔ˘ Newton, 309 ÌÂÚÈ΋˜ ·ıÚÔ›Ûˆ˜, 105 ÚÔÛıÂÙÈÎfi˜, ÂÎıÂÙÈ΋˜ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜, 272 ÙÔ˘ Stirling, 298 ÙÔ˘ Stokes, 438 Y·ÎÔÏÔ˘ı›·, 79 YÔÎ¿Ï˘„Ë, 55 YfiÏÔÈÔ ÙÔ˘ Ù‡Ô˘ ÙÔ˘ Taylor, 326, 374
Abel, N. H., 112 Ackermann, W., 503 AÚÈÛÙÔÙ¤Ï˘, 106 Artin, E., 294, 300
YÔÛ‡ÓÔÏÔ, 4 ÁÓ‹ÛÈÔ, 4 Yfiۈ̷, 12 527
Arzelà, C., 258
Dini, U., 228
Ascoli, G., 258
Dirichlet, G. P. L., 60, 115, 289
Baire, R. L., 60, 72
Eberlein, W. F., 281
Banach, S., 256
Einstein, A., 115, 256, 503
Barrow, I., 181
Eisenstein, F. G. M., 115
Bellman, R., 304
Euler, L., 302
Bernoulli, D., 303
Fatou, P. J. L., 486
Bernoulli, J., 165, 302
Fejér, L., 306
Bernoulli, N., 303
Feller, W., 300
Bernstein, F., 503
Fine, N. J., 152
Berthollet, C. L., 81
Fischer, E. S., 494
Bertrand, J., 228
Flemming, W. H., 429
Bessel, F. W., 289
Fourier, J. B. J., 284, 305
Betti, E., 228
Francoeur, L., 306
Biot, J. B., 306
Frobenius, G. F., 63
Birkhoff, G., 247
Fuchs, I. L., 63, 503
Bohr, H. A., 295 Bohr, N., 295
Gauss, C. F., 31, 60, 113, 115, 189, 306, 359, 455
Boole, G., 106
Gödel, K. F., 503
Borel, E. J. E., 60
Green, G., 390
Brouwer, L. E. J., 312
Gudermann, C., 63
Buck, R. C., 300
Haar, A., 503
Cantor, G., 31, 46
Hachette, J. N. P., 306
Carnot, L. N. M., 81
Hahn, H., 256
Cauchy, A. L., 80, 113
Halley, E., 289
Courant, R., 503
Hamel, G., 503
Crelle, A. L., 113
Havin, V. P., 172
Cunningham, F., 255
Hecke, E., 503
D' Alembert, J. R., 453
Heine, E., 60
Darboux, G., 72
Hellinger, E., 503
Davis, P. J., 294
Helly, E., 255
Dedekind, J. W. R., 30
Hermite, C., 61, 113, 228, 421 528
Herstein, I. N., 99
Mittag-Leffler, G. M., 63
Hewitt, E., 30
Möbius, A. F., 455
Hilbert, D., 255, 312, 503
Mollerup, J., 295
Hölder, O. L., 214
Monge, G., 81, 284
Holmboë, B. M., 112
Newton, I., 106, 176, 180, 453
Hurwitz, A., 503
Nijenhuis, A., 343
Huygens, C., 107
Niven, I., 99, 304
Jacobi, C. G. J., 115, 189, 306, 359
Ohm, G. S., 305
K·Ú·ıÂÔ‰ˆÚ‹˜, K., 307
Parseval, M. A., 292
Kellog, O. D., 430
Pfaff, J. F., 455
Kepler, J., 289
Poincaré, J. H., 421
Kestelman, H., 255
Poisson, S. D., 305
Killing, W. K. J., 63
Riemann, G. F. B., 31, 115
Klein, F., 255, 503
Riesz, F., 307, 494
Knopp, K., 30, 96
Robinson, G. B., 281
Kowalewski, S., 63
Runge, C. D., 63, 255
Kronecker, L., 46, 111, 214
Russel, B., 106, 312
Kummer, E. E., 21, 46, 111, 214
Schoenberg, I. J., 257
L' Hospital, G. F. A., 165
Schwarz, K. H. A., 21, 63, 307
Lacroix, S. F., 306
Singer, I. M., 428
Lagrange, J. L., 80, 284
Spivak, M., 417, 428
Landau, E. G. H., 30
Stark, E. L., 305
Laplace, P. S., 80, 285, 305, 453
Steiner, J., 115
Lebesgue, H. L., 60, 457
Steinhaus, H. D., 256
Legendre, A. M., 113, 285, 305
Stern, M. A., 31
Leibniz, G. W., 106, 176, 180
Stieltjes, T. J., 188
Lindemann, C. L. F., 503
Stirling, J., 298
Maclaurin, C., 298
Stokes, G. G., 378
Mangoldt, H., 63
Stone, M. H., 247
McShane, E. J., 476
Stromberg, K., 30
Mertens, F., 111, 255, 494
Taylor, B., 176
Minkowski, H., 255, 494, 503
Thorpe, J. A., 428 529
Thurston, H. A., 30 Volterra, V., 72 Weber, H., 503 Weber, W. E., 31 Weierstrass, K. W. T., 21, 46, 62, 214 Whitehead, A. N., 106 Zermelo, E., 503
530
