М и ни сте р ство о б р а зо ва ни я р о сси йско й ф е де р а ци и В о р о не ж ски й г о суда р стве нны й уни ве р си...
14 downloads
62 Views
171KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
М и ни сте р ство о б р а зо ва ни я р о сси йско й ф е де р а ци и В о р о не ж ски й г о суда р стве нны й уни ве р си те т Ф и зи ческ и й ф ак у л ьтет К а ф едр а о пт и ки и спект р о ско пи и
М ногоф отонны е пр оцессы в атоме М е то ди че ски е ука за ни я для студе нто в и ма г и стр о в 5 и 6 кур со в ф и зи че ско г о ф а культе та (дне вно г о о тде лени я) Со ста ви те ль Клю е в В .Г.
В ор онеж 2002
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
§1. Гр а ни цы те о р и и 1. Р а ссма тр и ва е тся и зо ли р о ва нны й а то м. Пр и это м не р а ссма тр и ва ю тся: - со уда р е ни я а то мо в; - ма кр о сво йства си сте мы а то мо в; - эф ф е кты , связа нны е с во зде йстви е м на а то м вто р и чно г о и злуче ни я. Та ка я мо де ль мо ж е т б ы ть р е а ли зо ва на в экспе р и ме нте и по зво ляе т на б лю да ть эле ме нта р ны е во зб уж де ни я б е з и ска ж е ни й. 2. Па да ю щ е е на а то м и злуче ни е ха р а кте р и зуе тся следую щ и ми па р а ме тр а ми : - и злуче ни е о дно ча сто тно е ; - р а спр е де ле ни е а мпли туды по ф р о нту р а вно ме р но е ; - во лна пло ска я; - дли на во лны в ди а па зо не 0,1-1 мкм. Ука за нны е па р а ме тр ы о б е спе чи ва ю тся в лазе р но м и злуче ни и , для ко то р о г о р а спр е де лени е а мпли туды по ф р о нту б ли зко к г а уссо во му. 3. Те р ми н “Си льно е по ле ”. По ле счи та е тся си льны м, е сли за вр е мя е г о де йстви я ста но вятся сущ е стве нны ми пр о це ссы с уча сти е м не ско льки х ф о то но в (мно г о ф о то нна я и о ни за ци я). §2. Ха р а кте р и сти ки си льно г о све то во г о по ля Кла сси че ски й ха р а кте р по ля И злуче ни е о пи сы ва е тся ка к электр о ма г ни тно е по ле , т.е . на класси че ско м язы ке , г де Е =Е (x,y,z,t). Р а ссмо тр и м, ко г да та ко й по дхо д во змо ж е н. В ква нто во й те о р и и све та на пр яж е нно сть электр о ма г ни тно г о по ля являе тся ква нто вы м о пе р а то р о м, ко то р ы й пр и о пи са ни и по г ло щ е ни я ф о то на а то мо м в а мпли туде пе р е хо да да е т мно ж и те ль n kr α ,а пр и о пи са ни и и спуска ни я – мно ж и те ль n kr α + 1 , г де n krα - чи сло ф о то но в с во лно вы м ве кто р о м k и да нно й по ляр и за ци е й α . Пр и это м ма тр и чны е эле ме нты пр ямо г о и о б р а тно г о пр о це ссо в счи та е м о ди на ко вы ми . То г да эл.ма г ни тно е по ле мо ж но р а ссма тр и ва ть ка к класси че ско е пр и усло ви и n krα >> 1. О це нки по ка зы ва ю т, что пр и λ=0.5 мкм и ∆λ~10-5 (что ха р а кте р но для ти пи чны х ла зе р о в) это му усло ви ю удо влетво р яе тзна че ни е Е >> 1 В /см. Па р а ме тр ы , ха р а кте р и зую щ и е све то во е по ле 1. Ч а сто та ω . В ука за нно й о б ла сти спе ктр а о на и ме е тпо р ядо к 1015 с-1 (hν~1 эВ ). 2. Сте пе нь по ляр и за ци и . Счи та е м, что све тпо ляр и зо ва н по лно стью , а сте пе нь элли пти чно сти мо ж е тме няться о тли не йно й до кр уг о во й. (В со о тве тствую щ е й вр а щ а ю щ е йся си сте ме ко о р ди на тмо ж но р а зде ли ть вр е ме нны е и пр о стр а нстве нны е пе р е ме нны е , что зна чи те льно упр о щ а е т а на ли з). 3. Н а пр яж е нно сть по ля све то во й во лны . О б ы чно на пр яж е нно сть по ля све то во й во лны ср а вни ва е тся с а то мно й на пр яж е нно стью Е а т=m 2e5h-4 ~
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
5•109 В /см, пр и ко то р о й а то м и о ни зи р уе тся за ха р а кте р но е а то мно е вр е мя τа т=2.4 •10-17 с-1. Следуе то тме ти ть, что е ди но г о ко ли че стве нно г о кр и те р и я зде сь не т. О н за ви си то тко нкр е тно г о явле ни я. Н а пр и ме р : а ) р е зо на нсно е пе р е ме ш и ва ни е связа нны х электр о нны х со сто яни й пр и во зни кно ве ни и р е зо на нса ме ж ду ча сто то й вне ш не г о по ля и ча сто то й пе р е хо да ме ж ду двумя а то мны ми ур о внями во зни ка е т пр и на пр яж е нно сти по ля ~ 10 В /см. И это по ле в да нно й за да че пр о являе тся ка к си льно е , б ) а во т ве р о ятно сть двухф о то нно й и о ни за ци и а то ма ста но ви тся ср а вни те льно й с ве р о ятно стью пр и ф о то нно й и о ни за ци и пр и Е ~106 В /см ~ 10-3•Е а т . То е сть во вто р о м пр и ме р е кр и ти че ска я на пр яж е нно сть по ля в 105 р а з б о льш е , че м в пе р во м пр и ме р е . Н а пр а кти ке си льно е све то во е по ле о б е спе чи ва е тся лазе р о м. Пр и нци пи а льны е пр е и мущ е ства лазе р а пе р е д не ко г е р е нтны ми и сто чни ка ми со сто ятв сле дую щ е м: - чр е звы ча йно вы со ка я о дно ча сто тно сть; - р е зка я на пр а вленно сть, о б е спе чи ва ю ща я ма кси ма льно вы со кую яр ко сть ла зе р а ка к и сто чни ка све та ; экви ва ле нтны й ла зе р у мни мы й и сто чни к о че нь б ли зо к к то че чно му, по это му ла зе р ны й луч мо ж но ф о куси р о ва ть до р а зме р о в дли ны во лны . 4. В р е мя уве ли че ни я а мпли туды до ма кси ма льно г о зна че ни я δТ (вр е мя вклю че ни я во змущ е ни я) и Т-вр е мя, в те че ни е ко то р о г о по дде р ж и ва е тся за да нно е зна че ни е а мпли туды (вр е мя де йстви я во змущ е ни я). Д ля и мпульсны х ла зе р о в δТ~Т~10-8 с. Д ля не пр е р ы вны х - δТ<<Т. §3. О б щ и е за ко но ме р но сти вза и мо де йстви я а то ма со све то вы м по лем 1) Д и по льно е пр и б ли ж е ни е Э ле ктр о н а то ма на хо ди тся во вне ш не м по ле , ве кто р ны й по те нци а л ко то р о г о пр о по р ци о на ле н |A|~cos(kr-ω t). Д ля вне ш ни х по ле й о пти че ско й о б ласти ча сто т kr<<1, т.к. в пр е де ла х а то ма и зме не ни е по те нци а ла не зна чи те льно . Е сли р а зло ж и ть А по kr, то пе р во е слаг а е мо е о т kr не за ви си ти о пи сы ва е тди по льно е вза и мо де йстви е све та с а то мны м электр о но м. В ди по льно м пр и б ли ж е ни и ка к А , та к и Е=(-1/с)∂А/∂t не за ви сят о т ко о р ди на ты электр о на r, а за ви сятто лько о твр е ме ни . Д и по льно е пр и б ли ж е ни е спр а ве дли во впло ть до да леко й УФ о б ла сти , т.к. па р а ме тр р а зло ж е ни я kr ~10-3 (r~10-10 м, 1/k~10-7 м). 2) Ф о р ма г а ми льто ни а на ди по льно г о вза и мо де йстви я В о дно электр о нно м пр и б ли ж е ни и г а ми льто ни а н электр о на , на хо дящ е г о ся в по те нци а льно м по ле U(r) а то ма и во вне ш не м электр о ма г ни тно м по ле све то во й во лны с ве кто р ны м по те нци а ло м A(r,t), и ме е тви д: r H=1/2[ p€ +1/cA]2+U, (1.2) r€ г де p =-i∂/∂r, A=A(t) в ди по льно м пр и б ли ж е ни и . В о лно ва я ф ункци я и ме е тви д: ψ(r,t)=exp[-i/cA(t)r]ϕ(r,t)
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
(1.3)
Е сли по дста ви тьψ(r,t)= (1.3) в ур а вне ни е Ш р е ди нг е р а i∂ψ/∂t=Hψ , г де Н и ме е тви д (1.2), то по лучи м ур а вне ни е для ф ункци и ϕ : r и ли i∂ϕ/∂t=[1/2 p€ 2-c-1r∂A(t)/∂t+U(r)]ϕ r€ 2 i∂ϕ/∂t=[1/2 p +rE(t)+U]ϕ (1.4) И та к, по те нци а лвза и мо де йстви я с по лем мо ж но за пи са ть в двух ви да х: r V(t)=c-1 p€ A(t)+A 2(t) (1.5) и ли V(t)=rE(t), (1.6) ко то р ы е экви ва ле нтны . 3) А то м в ци р куляр но -по ляр и зо ва нно м по ле В о б ще м случа е пр о б ле ма вза и мо де йстви я а то ма с электр о ма г ни тны м по ле м пр е дста вляе т со б о й не ста ци о на р ную за да чу ква нто во й ме ха ни ки . Е сли в это й за да че не тма лы х па р а ме тр о в, то р е ш и ть е е чр е звы ча йно тр удно , т.к. в ур а вне ни и Ш р е ди нг е р а вр е ме нна я и пр о стр а нстве нна я пе р е ме нны е не р а зде ляю тся. О дна ко , ко г да на а то м де йствуе т ци р куляр но -по ляр и зо ва нно е эл.ма г ни тно е по ле с ве кто р о м Е= const, о н ли ш ь по во р а чи ва е тся в пло ско сти ⊥v. Е сли пе р е йти в си сте му ко о р ди на т, вр а щ а ю щ ую ся вме сте с Е, то вне й на а то м б уде тде йство ва ть Е= const и за да ча сво ди тся к ста ци о на р но й. Пр и это м в г а ми льто ни а не и з-за не и не р ци а льно сти вр а щ а ю щ е йся си сте мы ко о р ди на т по яви тся до по лни те льны й це нтр о б е ж ны й чле н. Пр о це дур а све де ни я р а ссма тр и ва е мо й за да чи к ста ци о на р но й в о б щ е м ви де следую щ а я. Ур а вне ни е Ш р е ди нг е р а , о пи сы ва ю щ е е ψ(r,t) а то мно г о электр о на , на ко то р ы й де йствуе т ци р куляр но -по ляр и зо ва нно е о дно ча сто тно е по ле , и ме е т ви д: i∂ψ/∂t={H0 – E(xcosω t -ysinω t)}ψ, (1.7) г де H0 = -∆/2 + U(r), U(r) – а то мны й по те нци а л, ко то р ы й счи та е тся сф е р и че ски си мме тр и чны м. В о лно ва я ф ункци я пр е дста вляе тся в ви де : ψrot(r,t)=exp(iω t L€ z )ψ(r,t), (1.8) г де L€ z =x∂/∂y-y∂/∂x - о пе р а то р пр о е кци и мо ме нта и мпульса на о сь z, вдо ль
ко то р о й р а спр о стр а няю тся электр о ма г ни тны е во лны . По дста вляя (1.8) в (1.7), по лучи м: i∂tψrot/∂t=H rotψrot , (1.9) г де Hrot=H0 - ω L€ z - Ex . Та ки м о б р а зо м, р а ссма тр и ва е ма я за да ча о ква нто вых пе р е хо да х сво ди тся к ста ци о на р но й за да че для ста ти сти че ско г о по те нци а ла Vrot = -ω L€ z - Ex 4. Те о р е ма Ф ло ке Р а ссмо тр о и м о б щ е е р е ш е ни е ур а вне ни я Ш р е ди нг е р а для ча сти цы в пе р и о ди че ско м эле ктр о ма г ни тно м по ле. Пусть в не ко то р ы й ф и кси р о ва нны й
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
мо ме нт вр е ме ни t си сте ма ф ункци й ΨS(r,t) о б р а зуе т по лны й о р то но р ми р о ва нны й б а зи с. То г да лю б ую ф ункци ю Ψ(r,t) мо ж но р а зло ж и ть по это му б а зи су: Ψ(r,t) = ΣА SΨ S(r,t) (1.10) В си лу пе р и о ди чно сти г а ми льто ни а на б а зи сны е ф ункци и ΨS(r,t+2π/ω), взяты е че р е з пе р и о д, та кж е б удут р е ш е ни ями ур а вне ни я Ш р е ди нг е р а и о б р а зую т но вы й б а зи с. Сле до ва те льно , и и х мо ж но р а зло ж и ть по б а зи су в это тж е мо ме нтвр е ме ни t: ΨS(r, t+2π/ω) =ΣaSNΨN(r,t) (1.11) За пи са в (1.10) для мо ме нта вр е ме ни t+2π/ω, по лучи м: Ψ(r, t+2π/ω) = ΣASΨ S(r, t+2π/ω) (1.12 (1.12) пр е дста вляе т со б о й р а зло ж е ни е во лно во й ф ункци и Ψ(r,t) для мо ме нта t+2π/ω. По дста ви в (1.11) в (1.12), по лучи м р а зло ж е ни е Ψ по но во му б а зи су: Ψ(r, t+2π/ω) = ΣASΣaSNΨN(r,t) (1.13) В ы б е р е м ко эф ф и ци е нты AS в (1.10) та к, что б ы вы по лняло сь со о тно ш е ни е : ΣASaSN = kAN (1.14) То г да , по дста вляя (1.14) в си сте му ур а вне ни й (1.13) и и спо льзуя (1.10), по лучи м: Ψ(r, t+2π/ω) = kΨ(r,t) (1/15) Си сте ма о дно р о дны х ли не йны х ур а вне ни й (1.14) о б ла да е тр е ш е ни ями ≠0 пр и усло ви и : Det=0, т.е . a 11 − k a 12 ... a 1h
a 21 ... a h1
a 22 − k ... a 2h =0, ... ... ... a h2 ... a hh − k
(1.16)
г де h-р а зме р но сть б а зи са Ψ S . Е сли взять ка ко й-ни б удь ко р е нь ур а вне ни я (1.16) - kα и по стр о и ть ф ункци ю Ψ(r,t) = Ψ(α)(r,t), то о на б уде т р е ш е ни е м ур а вне ни я Ш р е ди нг е р а и б уде т удо влетво р ять (1.15). И з тр е б о ва ни я со хр а не ни я но р ми р о вки во лно во й ф ункци и для лю б о г о мо ме нта t сле дуе т, что : kα =exp(-i(2π/ω)Eα), (1.17) г де Eα – ве щ е стве нно е чи сло . Э то следуе ти з эр ми то во сти ма тр и цы aSN. Ф ункци я, удо влетво р яю щ а я усло ви ю (1.15) и ме е тви д: Ψ(α)(r,t) = exp(-iEαt) φ (α)(r,t), (1.18) (α) г де φ (r,t) – пе р и о ди че ска я ф ункци я вр е ме ни , т.е . φ (α)(r,t+2π/ω) = φ (α)(r,t) (1.19) Со о тно ш е ни я (1.18) и (1.19) со ста вляю тсо де р ж а ни е те о р е мы Ф ло ке : У р авне ни е Ш р е д и нге р а с пе р и од и че с ки м возм ущ е ни е м и м е е т h час т ных р е ше ни й, уд овле т вор яющ и х ус лови ям (1.18) и (1.19)и они взаи м но ор т огональны.
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Со сто яни е Ψ (α)(r,t) на зы ва е тся квази эне р ге т и че с ки м с ос т ояни е м , а ве ли чи на Eα – ква зи эне р г и е й это г о со сто яни я. Та к ка к пе р и о ди че скую ф ункци ю Ψ(α)(r,t) мо ж но р а зло ж и ть в р яд Ф ур ье по t, то Ψ(α)(r,t) = exp(-iEαt)ΣCn(α) exp(-inωt) (1.20) Та ки м о б р а зо м, ква зи эне р г е ти че ско е со сто яни е мо ж но пр е дста ви ть в ви де супе р по зи ци и ста ци о на р ны х со сто яни й с эне р г и ями Eα+ nω. Ф и зи че ски ве ли чи на Eα+ nω пр е дста вляе тсо б о й эне р г и ю си сте мы а то м-по ле , со сто ящ ую и з суммы ква зи эне р г и и а то ма Eα и эне р г и и n ква нто в электр о ма г ни тно г о по ля nω. Пр и это м вза и мо де йстви е ме ж ду ни ми о тсутствуе т(вза и мо де йстви е по ля с а то мо м вклю че но в Eα). Та ки м о б р а зо м во зни ка е т ко нце пци я а то ма , ”о де то г о по лем”(dressed-atom). Нестаци онар ная теор и я возму щ ени й . В ква нто во й ме ха ни ке ур а вне ни я дви ж е ни я мо ж но р е ш а ть то лько для не б о льш о г о чи сла си сте м. По это му пр и б ли ж е нны е ме то ды и г р а ю т о че нь ва ж ную р о ль в пр и ло ж е ни ях ква нто во й те о р и и . Ср е ди пр и б ли ж е нны х ме то до в на и б о ле е и зве сте н ме то д те о р и и во змущ е ни й. О сно вна я и де я те о р и и во змущ е ни й со сто и т в то м, что пр и на ло ж е ни и слаб о г о во змущ е ни я со сто яни я и зме няю тся не зна чи те льно . 1. Пе р вы й по р ядо к те о р и и во змущ е ни й Е сли во змущ е ни е явно за ви си то твр е ме ни , то по няти е эне р г е ти че ски х ур о вне й в то м смы сле , в ко то р о м о но и спо льзо ва ло сь для ста ци о на р но г о во змущ е ни я, и сче за е т. За да ча за клю ча е тся в то м, что б ы пр и б ли ж е нно вы чи сли ть во лно вы е ф ункци и , зна я во лно вы е ф ункци и ста ци о на р ны х со сто яни й не во змущ е нно й си сте мы . Си сте ма ур а вне ни й В ы де ли м в во лно во й ф ункци и за ви си мо сть о твр е ме ни : Ψk(0) = Φ k(0) exp(-iEk(0) t) Пр о и зво льно е р е ш е ни е во змущ е нно г о ур а вне ни я Ш р е ди нг е р а iΨ ΄ = [H0+V(t)] Ψ, г де V(t) – во змущ а ю щ и й по те нци а л, б уде м и ска ть в ви де Ψ = ΣakΨk(0) То г да для ко эф ф и ци е нто в ak(t) по луча е тся си сте ма о б ы кно ве нны х ди ф ф е р е нци а льны х ур а вне ни й: ia΄ m(t) = ΣVmkexp(iω mk t) ak, (2.1) (0) (0) г де Vmk = ∫ Φ m V Φ k d (2.2) (0) (0) ω mk = Em - Ek ; q – со во купно сть пе р е ме нны х (кр о ме вр е ме ни ), о тко то р ых за ви си тво лно ва я ф ункци я. В е р о ятно сть о дно ф о то нно г о пе р е хо да Пусть не во змущ е нно й во лно во й ф ункци е й б уде тво лно ва я ф ункци я nг о ста ци о на р но г о со сто яни я. То г да в нулево м пр и б ли ж е ни и по V и ме е м a(0)n=1 a(0)n≠k=0.
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Н а йде м ве р о ятно сть пе р е хо да и з со сто яни я n в со сто яни е k. Д ля о пр е де ле ни я пе р во г о пр и б ли ж е ни я и щ е м ak в ви де : ak = ak(0) + ak(1) В со о тве тстви и с о б щ и м пр и нци по м те о р и и во змущ е ни й, во змущ е ни е до лж но б ы ть ма лы м, т.е . ak(1)<<1. Пусть и схо дно е n-е со сто яни е си сте мы пр и на длеж и тди скр е тно му спе ктр у. О б ы чно во змущ е ни е де йствуе тв те че ни е ко не чно г о пр о ме ж утка вр е ме ни , т.е . V(t)=0 пр и t=±∞. То г да ве р о ятно сть пе р е хо да и з на ча льно г о n-г о со сто яни я в ко не чно е k-е со сто яни е ди скр е тно г о спе ктр а и ме е тви д: 2
Wkn = a k(1) (∞) =
2
∞
∫V
kn
exp(iωkn t )dt
(2.3)
−∞
И з (2.3) ви дно , что ве р о ятно сти пе р е хо до в и з со сто яни я n в со сто яни е k и о б р а тно о ди на ко вы . Си мме тр и я пр о це сса по о тно ш е ни ю к за ме не на ча льно г о со сто яни я ко не чны м, а ко не чно г о – на ча льны м являе тся о б щ и м сво йство м, спр а ве дли вы м для ди скр е тны х со сто яни й n и k в лю б о м по р ядке те о р и и во змущ е ни й. В ы р а ж е ни е (2.3) ле г ко о б о б щ а е тся на случа й, ко г да со сто яни е k пр и на дле ж и т не пр е р ы вно му спе ктр у. Д ля это г о (2.3) нуж но умно ж и ть на чи сло со сто яни й dk в и нте р ва ле [k, k+dk]. О дно ча сто тно е во змущ е ни е Р а ссмо тр и м б о ле е по др о б но ва ж ны й случа й о дно ча сто тно г о (1) (1) во змущ е ни я V=V cos ωt. Зде сь V – ф ункци я ко о р ди на тq. Н а пр и ме р , пр и ди по льно м вза и мо де йстви и ли не йно -по ляр и зо ва нно г о све та с а то мны м электр о но м V(1)=zE, г де Е -а мпли туда на пр яж е нно сти эл. по ля во лны . Пр и и нте г р и р о ва ни и нуж но за да ться на ча льны ми усло ви ями . Пусть о дно ча сто тно е во змущ е ни е вклю ча е тся пр и t=-∞ и на р а ста е т по за ко ну exp(αt), г де α-ма ла я по ло ж и те льна я ве ли чи на (а ди а б а ти че ско е вклю че ни е ). То г да Vkn(1) exp[i(ωkn − ω) t + αt ] Vkn(1) exp[i(ωkn + ω) t + αt ] (1) a k (t) = − − (2.4) 2(ωkn + ω − iα) 2(ωkn − ω − iα) Усло ви е
a (k1) ( t ) <<1 тр е б уе т ма ло сти во змуще ни я Vkn(1) , т.е . ма ло сти
на пр яж е нно сти во змущ а ю щ е г о по ля и о тсутстви я пр о ме ж уто чны х р е зо на нсо в, пр и ко то р ы х ω kn =±ω. О б суди м те пе р ь во змущ е ни е со сто яни й не пр е р ы вно г о спе ктр а . Пусть, ка к о б ы чно , не пр е р ы вны й спе ктр на чи на е тся с нулево й эне р г и и . Е сли − E (n0) >ω, то в (2.4) ω kn ± ω ≠ 0 и то г да , со г ла сно кр и те р и ю пр и ме ни мо сти те о р и и во змущ е ни й: a (k1) ( t ) <<1, не о б хо ди мо , что б ы в (2.4) V(1) б ы ло ма ло . Э то т пр и ме р со о тве тствуе т си туа ци и , ко г да ве р о ятно сть о дно ф о то нно й и о ни за ци и р а вна нулю . Бо ле е сло ж е н случа й, ко г да о дно ф о то нна я и о ни за ци я р а зр е ш е на , т.е . ( 0) − E n <ω. Пр и это м о сно вную р о ль и г р а ю тсо сто яни я не пр е р ы вно г о спе ктр а с эне р г и ями Ε (k0 ) , б ли зки ми к р е зо на нсно й эне р г и и Ε (n0 ) + ω . То г да
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
(1) 2 ak =
(1) Vkn exp(2αt ) 4[(ωkn − ω) 2 + α 2 ]
(2.5)
Та к ка к в (2.5) зна ме на те ль ма л, то ф о р ма льно ве ли чи ну a (k1)
2
не льзя
счи та ть не б о льш о й и это на пе р вы й взг ляд не со г ласуе тся с о б щ и ми пр и нци па ми те о р и и во змущ е ни й. Е сли ко не чно е со сто яни е k ∈ не пр е р ы вно му спе ктр у, то ф и зи че ски й смы сли ме е тне ве р о ятно сть пе р е хо да в ф и кси р о ва нно е со сто яни е k, а ве р о ятно сть
∑
k ≤ k i ≤ k + dk
a (k1i)
2
о б на р уж е ни я
си сте мы в со сто яни и с ква нто вы ми чи слами ме ж ду k и k+dk. Э та ве р о ятно сть ма ла, т.к. слаг а е мо е , для ко то р о г о вы по лняе тся то чно е р а ве нство ωkin = ω , пр е дста вле но в ука за нно й сумме с нуле вы м ста ти сти че ски м ве со м, а пр и уда ле ни и о тто чки ωki n = ω зна ме на те ль в (2.5) б ы стр о во зр а ста е т. В е р о ятно сть пе р е хо да в е ди ни цу вр е ме ни о пр е де ляе тся пр о и зво дно й 2 2 ∂ ωkn = a k(1) = 2α a (k1) (2.6) ∂t Э то выр а ж е ни е сле дуе т умно ж и ть на чи сло со сто яни й dk и пр о и нте г р и р о ва ть по ко не чны м со сто яни ям. Пр и α→0 по луча е м: 2 1 π 2 ωkn = 2π Vkn(1) ρ k ωkn =ω = z kn E 2ρ k , (2.7) 2 2 dk г де ρ k = ( 0 ) . Выр аж е ни е (2.7) наз. зо ло т ы м пр а ви ло м Ф ер м и . dE k ρk – и ме е т смы сл эне р г е ти че ско й пло тно сти не во змущ е нны х со сто яни й, z kn - ди по льны й ма тр и чны й эле ме нт. В (2.7) учте но усло ви е Ε (k0 ) − Ε (n0 ) = ω , ко то р о е е сте стве нно на зва ть законом с охр ане ни я эне р ги и пр и поглощ е ни и ф от она час т от ы ω. (2.7) – ве р о ятно сть о дно ф о то нно й и о ни за ци и в е д. вр е ме ни . 2. В то р о й по р ядо к те о р и и во змущ е ни й О б суди м вто р о й член р яда те о р и и не ста ци о на р ны х во змущ е ни й. Э то о б суж де ни е це ле со о б р а зно для р а зви ти я ди а г р а ммно й те хни ки , не о б хо ди мо й для о пи са ни я пр о и зво льны х по р ядко в те о р и и во змущ е ни й. По ве де ни е вто р о г о чле на р яда о со б е нно ва ж но зна ть в те х за да ча х, г де ма тр и чны й элеме нт пе р во г о по р ядка те о р и и во змущ е ни й Vkn(1) по ка ки м-ли б о пр и чи на м р а ве н нулю и ли ма л (на пр и ме р , вследстви е то чно г о и ли ≈0 за пр е та по пр а ви лам о тб о р а и о тсутстви я о дно ф о то нно г о ка на ла выхо да в ко не чно е со сто яни е ). Д ля на г лядно сти , не б уде м р а ссма тр и ва ть случа й пр о и зво льно г о во змущ е ни я V(t), а о г р а ни чи мся о дно ча сто ны м во змущ е ни е м V(1)cosωt. В пе р во м по р ядке те о р и и во змущ е ни й вза и мо де йстви е све та с а то мо м мо ж но о пи са ть в те р ми на х по г ло щ е ни я и и спуска ни я ф о то на ча сто ты ω.
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
В о вто р о м по р ядке те о р и и во змущ е ни й во змо ж но по г ло щ е ни е и ли и спуска ни е двух ф о то но в, а та кж е вза и мо де йстви е , не со пр о во ж да ю щ е е ся эти ми пр о це сса ми (упр уг о е р а ссе яни е ). В е р о ятно сть двухф о то нно г о пе р е хо да А на ло г и чно п.1 б уде м счи та ть, что во змущ е ни е вклю ча е тся а ди а б а ти че ски по за ко ну exp(αt), г де α→0. По дста вляя в пр а вую ча сть (2.1) выр а ж е ни е для 1-г о по р ядка те о р и и во змущ е ни й (2.4) и и нте г р и р уя, по луча е м: ( 2) ( 2) exp(iωkn t + αt ) exp[i (ωkn − 2ω) t + αt )] a k = Vkn (ω) + + i 2 i ω − α ω − ω − α kn kn , (2.8) exp[i(ωkn + 2ω) t + αt )] exp(iωkn t + αt ) ( 2) + V ( −ω) + kn ωkn + 2ω − iα ωkn − iα г де (1) (1) Vkm Vmn Z Z 1 Vkn( 2) (ω) = ∑ (2.9) = E 2 ∑ km mn ≡ Z (kn2 ) (ω) E 2 4 m ωmn − ω m 4(ω mn − ω) В е ли чи на Vkn( 2) на зы ва е тся двухф о то нны м ма тр и чны м элеме нто м. О н со де р ж и т сумму по пр о ме ж уто чны м со сто яни ям m. В о тли чи е о т эне р г и й на ча льно г о и ко не чно г о со сто яни й, связа нны х за ко но м со хр а не ни я эне р г и и , эне р г и и со сто яни й m мо г ут б ы ть пр о и зво льны ми . Пе р е ход ы n→m и m→k называют с я ви р т уальным и . Со г ласно со о тно ш е ни ю не о пр е де ленно сте й, вр е мя на хо ж де ни я электр о на в ви р туа льно м со сто яни и m по по р ядку ве ли чи ны со ста вляе т ∆t~(ω mn-ω)-1 и вследстви е со о тно ш е ни я ω mn ≠ω и ме е тпо р ядо к ∆t~10-17c, т.е . ма ло по ср а вне ни ю с вр е ме не м пе р е хо да n→k. По это й пр и чи не со сто яни я m на зы ва ю тся ви р туа льны ми . В вы р а ж е ни и (2.8) пе р во е сла г а е мо е о пи сы ва е тпр о це сс с по г ло щ е ни е м и по сле дую щ и м и спуска ни е м ф о то на ча сто ты ω, вто р о е слаг а е мо е – пр о це сс с по г ло щ е ни е м двух ф о то но в, тр е тье – с и спуска ни е м двух ф о то но в, че тве р то е – с и спуска ни е м и по сле дую щи м по г ло щ е ни е м ф о то на . В и дно , что да ж е в сто ль пр о сто м случа е о дно ча сто тно г о во змущ е ни я явно е вы р а ж е ни е для во лно во й ф ункци и во 2-м по р ядке те о р и и во змущ е ни й ста но ви тся ве сьма г р о мо здки м. По это му, для то г о что б ы ста нда р тны м спо со б о м б ы стр о на пи са ть мно г о чи сленны е сла г а е мы е К-г о по р ядка те о р и и во змущ е ни й, р а зви та та к на зы ва е ма я ди а г р а ммна я те хни ка . 3.Д и а г р а ммна я те хни ка для о дно ча сто тно г о во змущ е ни я И з (2.8) ви дно , что уж е во 2-м по р ядке те о р и и во змущ е ни й а мпли туда
(2) со сто и ти з 4-х слаг а е мы х. С р о сто м по р ядка те о р и и во змущ е ни й чи сло k та ки х сла г а е мы х р е зко во зр а ста е т. По это му ж е лате льно и ме ть ста нда р тную пр о це дур у на пи са ни я а мпли туды для лю б о г о по р ядка . a
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
А на ли з 1-г о и 2-г о по р ядко в те о р и и во змущ е ни й по ка зы ва е тудо б ство те р ми но ло г и и и спуска е мы х и по г ло щ а е мы х ф о то но в во змущ е ни я. Та ка я те р ми но ло г и я вво ди тся в ди а г р а ммную те хни ку. Пр и это м ди а г р а ммы класси ф и ци р ую тся по о б щ е му чи слу ф о то но в и вво ди тся р а зли чи е ме ж ду по г ло щ а е мы ми и и спуска е мы ми ф о то на ми . 1-й по р ядо к те о р и и во змущ е ни й Д ля на хо ж де ни я пр о це дур ы по стр о е ни я ди а г р а мм, на чне м с 1-г о по р ядка те о р и и во змущ е ни й. В е р о ятно сть (2.7) пе р е хо да с по г ло щ е ни е м ф о то на ча сто ты ω о пр е де ляе тся ква др а то м мо дуля ма тр и чно г о эле ме нта (1) V , пр е дста вляе мо г о следую щ е й ди а г р а ммо й: kn k ω n Зде сь n и k со о тве тствую тна ча льно е и ко не чно е со сто яни я; • - то чка со о тве тствуе тма тр и чно му элеме нту; - пункти р на я ли ни я слева о б о зна ча е т по г ло щ е ни е о дно г о ф о то на во змущ е ни я ча сто ты ω. А на ло г и чно , ве р о ятно сть о дно ф о то нно г о пе р е хо да с и спуска ни е м ф о то на ча сто ты ω о пр е де ляе тся ква др а то м ма тр и чно г о эле ме нта , пр е дста вляе мо г о ди а г р а ммо й: k
n Пункти р на я ли ни я спр а ва о зна ча е ти злуче ни е о дно г о ф о то на . В р е мя на ди а г р а мма х б уде м счи та ть на пр а вле нны м сле ва на пр а во . За ко н со хр а не ни я эне р г и и , учи ты ва е мы й в (2.7), пр и пе р е но се в ди а г р а ммную те хни ку о зна ча е т, что в пе р во й и з на р и со ва нных ди а г р а мм на ча льно е и ко не чно е со сто яни я и ме ю т эне р г и и , удо влетво р яю щ и е (0) (0) (0) (0) со о тно ш е ни ю : Ε = Εn − ω . = Ε n + ω , а во вто р о й - Ε k k 2-й по р ядо к те о р и и во змущ е ни й М а тр и чны й эле ме нт, со о тве тствую щ и й по г ло щ е ни ю 2-х ф о то но в, мо ж но пр е дста ви ть следую щ е й ди а г р а ммо й: k ω ω
m
n
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Спло ш на я ве р ти ка льна я ли ни я с и нде ксо м m о б о зна ча е т та к на зы ва е мую ф ункци ю Гр и на не во змущ е нно й ча сти цы в эне р г е ти че ско м пр е дста вле ни и , ко то р а я и ме е тви д: (∆m-iα)-1, г де ∆m – эне р г и я m-г о со сто яни я, о тсчи та нна я о т эне р г и и и схо дно г о со сто яни я n, и з ко то р о й вычи та е тся эне р г и я по г ло щ е нно г о ф о то на ча сто ты ω пр и пе р е хо де и з со сто яни я n в m. Та ки м о б р а зо м, и ме е м: ∆m=ωnm-ω. А мпли туда 2-г о по р ядка (2.8) со о тве тствуе т че ты р е м двухф о то нны м ма тр и чны м элеме нта м: k k k k ω ω ω ω m
+ ω
m + ω
m
+ ω
m ω
n n n n В то р о й и з ни х пр и ве де н вы ш е . 1-я и 4-я ди а г р а ммы со о тве тствую тпр и k=n двухф о то нно му упр уг о му р а ссе яни ю , о пи сы ва е мо му вы р а ж е ни е м (2.11), 3-я – двухф о то нно му и спуска ни ю . В со о тве тстви и с (2.10) за ко н со хр а не ни я эне р г и и пр и по г ло щ е ни и 2-х (0) о тли ча ла сь о т ф о то но в тр е б уе т, что б ы эне р г и я ко не чно г о со то яни я Ε k (0) эне р г и и на ча льно г о со сто яни я Ε n на эне р г и ю 2-х по г ло щ е нны х ф о то но в. Пр а ви ла по стр о е ни я ди а г р а мм Те пе р ь мо ж но сф о р мули р о ва ть пр а ви ла по стр о е ни я ди а г р а мм лю б о г о по р ядка те о р и и о дно ча сто тны х во змущ е ни й. Л ю б а я ди а г р а мма для мно г о ф о то нно г о ма тр и чно г о элеме нта пр е дста вляе т со б о й ве р ти ка льную ли ни ю с на ни за нны ми на не е слева и спр а ва в пр о и зво льно м по р ядке пункти р ны ми ли ни ями . Та ка я ди а г р а мма на по ми на е тде р е во . В е твь, вхо дящ а я в ство лде р е ва слева , о б о зна ча е т по г ло щ е ни е ф о то на о дно ча сто тно г о во змущ е ни я, а ве твь, вы хо дящ а я и з ство ла спр а ва , о б о зна ча е ти злуче ни е ф о то на . О тр е зка м ве р ти ка льно й ли ни и (ство ла) ме ж ду со се дни ми ве твями со о тве тствуе т мно ж и те ль в ви де ф ункци и Гр и на не во змущ е нно й си сте мы (∆m-iα)-1, г де ∆m – эне р г и я m-г о со сто яни я си сте мы , о тсчи та нна я о тэне р г и и и схо дно г о со сто яни я n, и з ко то р о й вы чи та е тся эне р г и я по г ло щ е нны х ф о то но в пр и пе р е хо да х и з со сто яни я n в →m и до б а вляе тся эне р г и я и спущ е нны х ф о то но в. В е ли чи на α→+0. То чка ми о тме ча ю т со пр и ко сно ве ни я ве тве й со ство ло м и и м (1) со о тве тствуе тмно ж и те ль Vms /2, ха р а кте р и зую щ и й вза и мо де йстви е си сте мы с вне ш ни м по ле м, пр и че м m и s – это со сто яни я, пр и мы ка ю щ и е к да нно й то чке све р ху и сни зу со о тве тстве нно .
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Э не р г и и на ча льно г о и ко не чно г о со сто яни й о тли ча ю тся др уг о т др уг а на ве ли чи ну, р а вную р а зно сти эне р г и й все х по г ло щ е нны х и и спущ е нны х ф о то но в. Д ля пр о ме ж уто чны х со сто яни й о г р а ни че ни й на эне р г и и не т. О че ви дна во змо ж но сть о б о б щ е ни я ди а г р а мм на случа й, ко г да по г ло щ а ю тся и ли и спуска ю тся ф о то ны и з р а зны х све то вы х пучко в. Та ки е ф о то ны о б о зна ча ю тся по -р а зно му (на пр и ме р , пункти р но й и во лни сто й ли ни е й-ве твью ). Ка ж да я ди а г р а мма на чи на е тся сни зу и з и схо дно г о со сто яни я n и за ка нчи ва е тся вве р ху ко не чны м со сто яни е м k. В К-то м по р ядке все г о и ме е тся 2K р а зли чны х ди а г р а мм. Л и те р а тур а 1. М но г о ф о то нны е пр о це ссы //Ф и зи че ска я энци кло пе ди я. –М .,1992.-Т. 3. С. 168. 2. Б.- Бр уе ви ч А .М ., Хо до во й В .Н . М но г о ф о то нны е пр о це ссы // УФ Н .1965. - Т. 85, вы п. 1. 3. Л о удо н Р . Ква нто ва я те о р и я све та . -М .:М и р , 1976. - 488 с. 4. А па на се ви ч П.А . О сно вы вза и мо де йстви я све та с ве щ е ство м. М и нск, -1977. –495 с. 5. Д е ло не Н .Г., Кр а йно в В .П. А то м в си льно м све то во м по ле . М .:Н а ука , 1984. - 224 с. 6. Д е ло не Н .Г. В за и мо де йстви е ла зе р но г о и злуче ни я с ве щ е ство м. Кур с ле кци й. М .: Н а ука , 1989. - 278 с.
Со ста ви те ль Клю е в В и кто р Гр и г о р ье ви ч Р е да кто р : Ти хо ми р о ва О .А .
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com