Электронный транспорт в сверхпроводящих мезоскопических контактах

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ имени Л. Д. ЛАНДАУ

На правах рукописи

Щелкачев Николай Михайлович

УДК 515.14:541.64

Электронный транспорт в сверхпроводящих мезоскопических контактах

Специальность 01.04.02 - Теоретическая физика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель доктор физико-математических наук, Г. Б. Лесовик Москва - 2002

2

Оглавление

Введение I. Формализм матрицы рассеяния

6 15

I.1. Сверхпроводящий ток и матрицы рассеяния. . . . . . . . . . .

15

I.2. Сверхпроводящие точечные контакты. . . . . . . . . . . . . . .

20

I.2.1. SXS контакт. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

I.2.2. SI1 NI2 S контакт. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

II. Электронный транспорт в сверхпроводящих точечных контактах

23

II.1. Электронный транспорт в сверхпроводящем точечном контакте типа SNS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

II.2. Критический ток SNS контакта. . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

II.3. Андреевские уровни и сверхпроводящий ток в SINIS контакте.

38

II.4. Электронный транспорт в несимметричном SI1 NI2 S контакте.

44

3 II.5. “Изоморфизм” между свойствами SINIS контакта и сверхпроводящего одноэлектронного транзистора. . . . . . . . . . . . .

45

III.π − 0 переход в SFS контактах

48

IV.Эффект Джозефсона в SF XSF контактах

58

V. Магнитные осцилляции кондактанса в NS системах

71

VI.Критическая температура SF-бислоев

80

VI.1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

VI.2. Модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

VI.3. Многомодовый метод

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86

VI.3.1. Одномодовое приближение . . . . . . . . . . . . . . . .

86

VI.3.2. Многомодовый метод

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

VI.4. Метод фундаментального решения . . . . . . . . . . . . . . . .

89

VI.4.1. Результаты численных расчетов . . . . . . . . . . . . .

90

VI.4.2. Сравнение с экспериментом . . . . . . . . . . . . . . . .

91

VI.4.3. Tc (df ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93

VI.4.4. Сравнение многомодового и одномодового метода . . .

96

VI.4.5. Пространственная зависимость параметра порядка . .

98

VI.5. Обсуждение основных результатов . . . . . . . . . . . . . . . .

98

VI.5.1. Интерпретация немонотонной зависимости Tc (df ) . . .

98

VI.5.2. SF сверхрешетки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 VI.5.3. Комплексный коэффициент диффузии. . . . . . . . . . 103

4 VI.5.4. Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 VII..Проверка неравенств Белла в мезоскопических системах 108 Заключение

120

A. Приложение

124

A.1. Соотношение между джозефсоновким током и свободной энергией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 A.2. Уравнения Боголюбова-Де Жена . . . . . . . . . . . . . . . . 125 A.3. Свойства матриц рассеяния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 A.4. Представление S-матрицы с помощью операторов Мёллера . . 129 A.5. Связь между плотностью состояний и матрицей рассеяния . . 132 A.6. Плотность состояний сверхпроводящего контакта типа SXS . . 134 B. Приложение

138

B.1. Влияние “верхнего” Андреевского уровня на Джозефсоновский ток. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 C. Приложение

140

C.1. Аналитическая зависимость Tc (df ) в случае тонкого S-слоя . . 140 C.1.1. Прозрачные границы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 C.1.2. Интерпретация времени τ . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 C.2. Пределы применимости одномодового метода. . . . . . . . . . 145 C.2.1. Критическая температура. . . . . . . . . . . . . . . . . 146 C.2.2. Критическая толщина. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

5 C.3. Пространственная зависимость параметра порядка . . . . . . 147 Литература

149

Работы, представленные на защиту

163

6

Введение

В последние 15-20 лет достигнут существенный прогресс в исследовании транспортных свойств мезоскопических контактов, связанных с квантовыми аспектами их поведения. Было найдено много новых эффектов. Появились задачи, которые ранее либо не привлекали особого внимания, либо для изучавшихся ранее систем представлялись нереалистичными. Характерным масштабом длины, на котором становятся существенными квантовые корреляции, является длина сбоя фазы частицы Lφ . Можно сказать, что макроскопический образец состоит из мезоскопических областей порядка Lφ , интерференция внутри которых определяет свойства макрообъекта. С другой стороны, развитие экспериментальных методов позволило настолько уменьшить размер L, исследуемых систем, что стало возможным выполнение неравенства L < Lφ . Такие системы называют мезоскопическими, соответствующая область науки называется мезоскопикой.1 При рассмотрении таких систем, возникает много новых эффектов, связанных с квантовой природой электрона. 1

“Мезо” — (греч.) промежуточный; “scope” — (греч.) цель, “scopic” — (греч.) смотреть на.

7 Перечислим только некоторые из них, имеющие непосредственное отношение к теме диссертации. Например, в конце 80ых годов было показано, что кондактанс баллистических точечных контактов между нормальными металлами квантуется [1, 2]; этот эффект связан с квантованием импульса электрона в сужении контакта. В начале девяностых было показано, что критический ток в сверхпроводящих точечных контактах тоже может квантоваться [3, 4]. Показано, что в результате размерного эффекта, кондактанс контактов двумерного электронного газа в режиме целого квантового эффекта Холла со сверхпроводниками может квантоваться [5]. В последние годы интенсивно исследуется влияние ферромагнетизма на сверхпроводимость в гибридных системах типа сверхпрводник-ферромагнетик (SF). Несколько лет назад экспериментально обнаружены джозефсоновкие π-контакты [6], в основном состоянии которых сверхпроводящая разность фаз равна π, а не нулю, как в “обычных” сверхпроводящих контактах. Предсказан эффект усиления критического тока обменным полем ферромагнетика в джозефсоновских контактах [7, 8]. В науке появилось ряд новых направлений: квантовая криптография, квантовые вычисления, квантовая телепортация... Основным объектом этих наук служат так называемые “запутанные” состояния, не имеющие аналога в классической механике. Типичный пример запутанного состояния — ЭПР (Энштейна-Подольского-Розена [9]) пара фотонов в синглетном состоянии (со полным спином равным нулю). Волновая функция этого запутанного (entangled ) состояния не может быть представлена в виде произведения волновых функция отдельных фотонов. В физике твер-

8 дого тела пример запутанного состояния — куперовская пара; недавно было показано, что система сверхпроводник-нормальный металл может служить источником запутанных состояний [10, 11]. С помощью неравенств Белла можно исследовать запутанные состояния в твердом теле [12]. Значительная часть представленных в диссертации результатов получена с использованием подхода, опирающегося на матрицу рассеяния, который, в последнее время, чрезвычайно широко и успешно применяется для описания электронного мезоскопического транспорта (хорошо известный пример – формула Ландауэра). На первый взгляд, такой способ описания транспорта всего лишь переносит проблему с вычисления функций Грина на вычисление матриц рассеяния, а эта задача ничуть не менее сложна. Это однако не совсем так. Во-первых, для многих случаев с простой геометрией образца и с простым потенциалом рассеяния прозрачности можно вычислить аналитически, и эти вычисления проще и нагляднее, чем вычисления функции Грина. Во вторых, часто удается сделать разумное предположение о матрице рассеяния и получить удовлетворительное описание эксперимента. В-третьих, в настоящее время хорошо разработаны эффективные численные методы, позволяющие вычислять элементы матрицы рассеяния для мезоскопических контактов сложной формы. Наконец, для грязных проводников со сложным потенциалом рассеяния, вероятности прохождения удается описать статистически. В ряде задач “традиционный” метод решения, основанный на квазиклассических (проинтегрированных по ξ) функциях Грина неприменим (в отличие от

9 метода матриц рассеяния) из-за отсутствия электрон-дырочной симметрии; например, в S-2DEG-S контакте, когда в 2DEG затвором открыт только один канал, отсутствие электрон-дырочной симметрии выражается в том, что боголюбовкие квазичастицы (в 2DEG) – электроны и дырки – рассеиваются от потенциала затвора с разными амплитудами [13]. Методу матриц рассеяния посвящена первая глава диссертации. Впервые, эффект квантования в квантовых точечных наблюдался в эксперименте [1]. В сужении компонента импульса электрона p⊥ , перпендикулярная направлению тока, p⊥ = πn/d, n = 1, N , N = pf d/π, где d — ширина сужения. Сужение квантового точечного контакта можно рассматривать как электронный волновод [2], по аналогии с волноводами электромагнитных волн. Электрический ток переносится через контакт нескольким транверсальными модами (каналами) (аналогично T E10 и T E11 модам в электромагнитных волноводах); сопротивление контакта обратно пропорционально числу каналов, N. Кондактанс G контакта квантуется, т.е. изменяется с увеличением d ступеньками, равными 2e2 /~ [2]. Пусть берега контакта не нормальные металлы (2DEG), а сверхпроводники. Было бы естественно предполагать, что критический ток тоже будет квантоваться, с квантом ∼ e2 /~(∆/e) = e∆/~, где ∆ — щель в сверхпроводниках; однако, как показано в диссертации, далеко не всегда критический ток квантуется. В главах 1,2 показано, что квантование критического тока возможно только в контактах, в которых расстояние между сверхпроводниками много меньше их длин когерентности; поверхность между нормальной частью контакта и сверх-

10 проводниками должна быть идеальной, так чтобы электроны рассеивались на границе только от парного потенциала сверхпроводников. Оказывается (один из результатов этой диссертации), что только самый близкий к энергии Ферми андреевский уровень дает основной вклад в критический ток, причем при разности фаз стремящейся к π. В противоположном случае, как показано в главе 2, плохих границ со сверхпроводником, критический ток не квантуется, а имеет резонансную зависимость от d; когда энергия Ферми пересекает электронный и дырочный уровень в потенциальном ящике, образованном стенками контакта, критический ток достигает максимума, и в максимуме, снова, самый близкий к энергии Ферми андреевский уровень дает основной вклад в критический ток при разности фаз стремящейся к π [14, 15]. C момента появления первой работы [16], посвященной теории токовых состояний в сверхпроводящих системах со “слабыми” связями2 (Джозефсоновскими контактами), прошло более 40 лет, но по сей день эта область науки богата интересными задачами. В большинстве джозефсоновских контактов, в основном состоянии, когда ток равен нулю, разность фаз между сверхпроводниками также равна нулю (по модулю 2π). Однако, в существуют контакты, в которых даже при отсутствии тока свободная энергия имеет минимум при отличной от нуля разности фаз, например, в контактах типа сверхпроводник-ферромагнетик-сверхпроводник в π-состоянии, миниму2

“Слабыми связями в современной литературе обычно называют такие проводящие соединения между массивными сверхпроводящими образцами (электродами), критический ток которых значительно меньше критического тока электродов.” К.К. Лихарев [19]

11 му свободной энергии отвечает разность фаз равная π [6,17]. В главе 3 [18] исследуются транспортные свойства контактов типа сверхпроводник (S) ферромагнетик (F) - сверхпроводник (SFS). Найдены андреевские уровни вычислен сверхпроводящий ток, получена фазовая диаграмма перехода SFS контакта в π состояние. Показано, что в точке перехода основная гармоника джозефсоновского тока (по разности фаз ϕ) между сверхпроводниками, пропорциональная sin(ϕ), подавлена по сравнению с высшими гармониками, которые дают основной вклад в ток. В главе 4 [20] рассматривается эффект Джозефсоновсона в SF -X-SF контактах, где SF — “ферромагнитный” сверхпроводник, X — несверхпроводящий материал (например, слой изолятора или нормального металла). Выведена общая формула выражающая сверхпроводящей ток через прозрачности X-слоя. Показано, что критический ток Ic возрастает при увеличении обменного поля только в том случае, когда наибольший вес в распределении вероятностей прохождения ρ(T ) соответствует T ¿ 1. Если X — нормальный металл, то Джозефсоновский ток не усиливается обменным полем. В режиме низкий температур, T ¿ ∆1,2 , существует тесная связь между критическим током в SF -X-SF контакте и амплитудой джозефсоновского тока I0 (V ) в туннельном контакте типа SIS при конечном напряжении V между сверхпроводниками: Ic (h1 − h2 ) ≡ I0 (h1 − h2 ) (предполагается, что обменные поля в двух сверхпроводниках коллинеарны). При |V | = ∆1 + ∆2 амплитуда джозефсоновскогго тока I0 имеет логарифмическую (риделевскую) особенность, такую же особенность имеет Ic при |h1 − h2 | = ∆1 + ∆2 ; роль обменного поля в SF -X-SF аналогична

12 роли напряжения в SIS контактах — сдвиг энергий Ферми сверхпроводников друг относительно друга на h1 − h2 . Следует подчеркнуть, что обменные поля, в отличие от напряжения, не приводят к зависимости разности фаз ϕ между сверхпроводниками от времени. В главе 5 [21] исследуется размерный эффект в контактах типа 2DEG-S в магнитном поле, перпендикулярном плоскости 2DEG. Когда циклотронный радиус в 2DEG порядка или меньше характерного размера границы контакта со сверхпроводником, то кондактанс системы осциллирует, как функция фактора заполнения ν. Причина осцилляций — интерференция боголюбовских квазичастиц, пролетевших по разным траекториям в магнитном поле вдоль границы контакта. В главе 6 [12] исследуются нелокальные корреляции электронов в мезоскопических системах. Вводится критерий запутанности электронов на основе неравенств Белла. Рассматривается источник электронных пар (S) общего вида. Показано, что измеряя корреляционные функции токов (шум) можно проверить неравенства Белла и выяснить, являются ли вылетающие из S электроны запутанными или нет. Если неравенства Белла нарушаются, значит электроны запутаны, между ними существуют нелокальные корреляции. Показано, как с помощью неравенств Белла можно доказать, что электроны, вылетающие из сверхпроводника в два нормальных проводника, снабженных соответствующими фильтрами, будут запутанными (предполагается, что характерное расстояние между соответствующими NS контактами не превосходит длины когерентности сверхпроводника).

13 В главе 7 [22] исследуется критическая температура SF-бислоев. Предложено два метода вычисления критической температуры SF бислоев, многомодовый метод — обобщение уже известного многомодового метода, использовавшегося для нахождения Tc в SN бислоях [23] и математически строгий метод фундаментального решения. При низких температурах (по сравнению с Tcs ), вычисления многомодовым методом используют больше ресурсов, чем вычисления методом фундаментального решения с той же точностью. Теоретические результаты имеют хорошее согласие с экспериментом. В общем случае, наблюдается три характерных типа Tc (df ): 1) немонотонный спад Tc к конечному значению с минимумом при конечном df , 2) возвратное поведение: Tc обращается в ноль в конечном интервале df и отлично от нуля вне этого интервала, 3) монотонный спад Tc в ноль в конечном интервале df . Немонотонность Tc (df ) можно интерпретировать, как результат интерференции квазичастиц в F-слое. Используя разработанные методы, удалось проверить точность так называемого одномодового приближения. В некотором диапазоне параметров результаты, полученные с помощью одномодового приближения, близки к точным результатам, в общем случае одномодовый метод плохо аппроксимирует Tc даже на качественном уровне. Таким образом, надежные результаты можно получить только с помощью точных методов, например многомодовым или методом фундаментального решения. Пространственное поведение параметра порядка (вблизи Tc ) почти не чувствительно к значению Tc . Методы, предложенные в данной работе применимы к более сложным системам, таким как SFS, FSF, SFIFS, FSISF и т.д.

14 в 0 -состоянии; эти методы легко обобщаются на случай π-состояния (когда ∆ и/или Eex противоположного знака в соседних F-слоях). Показано, что использование комплексного коэффициента диффузии в уравнении Узаделя — превышение точности. Во многих предельных случаях, Tc может быть найдена аналитически.

15

I. Формализм матрицы рассеяния

В диссертации рассматривается ряд задач, посвященных эффекту Джозефсона в сверхпроводящих контактах типа SNS, SFS, SINIS, SF -X-SF и т.д. Исследование электронного транспорта в этих системах основано на методе матриц рассеяния. Эта глава посвящена изложению основ этого метода. Соотношения, выведенные в этой главе, многократно используются в других главах.

I.1.

Сверхпроводящий ток и матрицы рассеяния.

Рассмотрим сверхпроводящий контакт общего вида, рис. I.1. Выразим сверхпроводящий ток через амплитуды рассеяния элементов контакта. Хорошо известно (см., например, приложение A.1), что сверхпроводящий ток в джозефсоновском контакте выражается через свободную энергию Ω следующим образом: I(ϕ) = −

2e ∂ϕ Ω(ϕ), ~

(I.1)

16

S1

scattering region

S2

Рис. I.1.:

где ϕ = ϕ2 − ϕ1 — разность фаз параметров порядка сверхпроводящих берегов контакта. В свою очередь, свободная энергия в приближении среднего поля выражается через волновые функции Боголюбовских квазичастиц ψ = (u, v)τ с законом дисперсии εν [24]: Z 1 |∆(r)|2 dr − 2T Ω(ϕ) = g  Z ˆ X ξ † + ψ (r, ν)  ν 0

X

ln 2 cosh εν /2T +

(I.2)

ν, εν >0



0  ψ(r, ν)dr. ∗ ˆ ξ

Волновые функции ψ удовлетворяют уравнениям Боголюбова-де Жена (БдЖ) ( [24, 25], приложение A.2): εν uα = [ξ + U ]αβ uβ + ∆v β α

∗

εν v = −[ξ +

U ∗ ]αβ v β

(I.3) ∗ β

+ ∆ u , где

(U ∗ )αβ

να

∗

= ρ (U (ν, µ)) ρµβ

где α, β — спинорные индексы, ρ = iˆ σy — метрический тензор [26]:   u(r ↑) uα = ραβ uβ , uα = uβ ρβα , U (σ, µ) = U σµ , u(r)α =  , u(r ↓)

(I.4)

17 Только первое и второе слагаемое в (I.2) зависят от ϕ.1 Тогда I(ϕ) =

X 2e εν 2e X εν 2T ∂ϕ ln cosh ≡ T ∂ϕ ln cosh , ~ 2T ~ 2T ν ν, ε >0

(I.5)

ν

где была использована симметрия БдЖ: если (u, v)τ — решение БдЖ, соответствующее энергии ε, то (ρv ∗ , −ρu∗ )τ также решение БдЖ, но соответствующее энергии −ε. Таким образом, спектр БдЖ симметричен относительно ε = 0. Формула (I.5) особенно удобна в коротких контактах, где главный вклад в ток дает дискретный спектр. В дальнейшем (I.5) будет неоднократно использоваться. Рассмотрим величину ρ=−

1 Tr Gr , πi

(I.6)

где Gr = (E − H + i0)−1 — запаздывающая функция Грина системы; H = H0 + V — полный гамильтониан системы, где V — потенциал описывающий область X; действительная часть ρ — плотность состояний системы, Re ρ = P ν δ(ε − εν ). Удобно переписать (I.5) через ρ: 2e I= T ~

Z

³ ε ´ dε ln cosh ∂ϕ ρ(ε, ϕ), 2T C

(I.7)

где интегрирование производится в вдоль контура C, см. рис. I.2. Благодаря симметрии спектра БдЖ относительно ε = 0 мнимая часть ρ дает нулевой вклад в интеграл (I.7). 1

Третье слагаемое может быть записано как след оператора diag(ξ, ξ ∗ ). След можно вычислить в любом базисе, например, с помощью волновых функций не зависящих от ϕ и удовлетворяющих уравнениям БдЖ с ∆ ≡ 0. Отсюда следует, что Tr diag(ξ, ξ ∗ ) не зависит от ϕ.

18

ìàöóáàðîâñêèå ÷àñòîòû

Im e C

àíäðååâñêèå óðîâíè

Re e

íåïðåðûâíûé ñïåêòð, ðàçðåç Рис. I.2.:

Выразим ρ через новую функцию g, определенную следующим образом: ρ=−

1 ∂ε ln g(ε, ϕ). πi

Подставим (I.8) в ур. (I.7) и проинтегрируем по частям: Z ³ ε ´ e dε tanh I= ∂ϕ ln g(ε, ϕ). iπ~ C 2T

(I.8) 2

(I.9)

Интеграл в ур. (I.9) можно переписать как сумму по мацубаровским частотам ω = 2πT (n + 1/2), n = 0, ±1, . . ., это преобразование часто упрощает вычисления сверхпроводящего тока: I=

4e X T ∂ϕ ln g(iω, ϕ). ~ ω>0

(I.10)

Чтобы получить (I.10) из (I.9), следует загнуть контур C в верхнюю полуплоскость, как показано на рис.I.2, и представить интеграл как сумму вычетов в полюсах tanh. При этом следует отметить, что функция g, не имеет 2

¡ ¢ ε при интегрировании по частям “поверхностный” вклад в интеграл ln cosh 2T ln g|ε→∞ ε→−∞ равен нулю, так как arg g — нечетная функция энергии ε на действительной оси (это следует из четности плотности состояний Re ρ).

19 особенностей в верхней полуплоскости, так как g выражается через запаздывающую функцию Грина (I.6), (I.8), не имеющую особенностей в верхней полуплоскости. Для исследования транспорта в SXS контактах, где X — рассеиватель произвольного вида, удобно выразить сверхпроводящий ток через матрицу рассеяния X и амплитуды андреевского отражения от границ сверхпроводника. SXS контакт схематически изображен на рис. I.3. Баллистические

S1 N1 in1 out1

I1

X

O1

I2 O2

N2 S2 in2 out2

Рис. I.3.:

области N1 , N2 носят вспомогательный характер, вводятся для корректной постановки задачи рассеяния [27]; ширина этих областей (характерное расстояние от S до Х) считается много меньшей всех характерных масштабов длины системы, не входит в выражение для сверхпроводящего тока. Матрицу рассеяния электронных квазичастиц от области X будем обозначать Se (ε). Матричная амплитуда андреевского отражения электронов в дырки от сверхпроводящих границ контакта будет обозначаться rhe (если области N1,2 содержат n1,2 каналов, то rhe — матрица размерности (n1 +n2 )×(n1 +n2 )); соответственно, reh — амплитуда андреевкого отражения дырок в электроны. Вообще говоря, потенциальные барьеры на границе сверхпроводников,

20 приводящие к нормальном рассеянию квазичастиц, могут быть учтены в потенциале рассеяния области X. Таким образом, квазичастицы с |ε| ≤ ∆1,2 испытывают только андреевское отражение от NS1 и NS2 границ. В этом случае ( [27], см. также приложении A.6) g = det(1 − Sh rhe Se reh ).

(I.11)

Действительные корни уравнения g(ε, ϕ) = 0 соответствуют андреевским уровням.

I.2.

Сверхпроводящие точечные контакты.

Рассмотрим сверхпроводящий контакт типа SХS в котором каналы в области X не запутаны между собой, т.е. матрицы Se (h) диагональны в пространстве каналов. Типичный пример: сверхпроводящий квантовый точечный контакт типа S-2DEG-S или сверхпроводящий контакт типа “break-junction”. Найдем сверхпроводящий ток. Для этого надо выразить функцию g через параметры контакта. Если магнитное поле не проникает в область X,3 то Se = Seτ ,   r t  Se =  . 0 t r 3

(I.12)

Благодаря спин-орбитальному взаимодействию, t/t0 = ei2φ , φ ∼ (Ze2 /~c)2 L/aB , где aB ∼ ~/Zme2 — боровский радиус, L — длина контакта (характерное расстояние между сверхпроводниками). Обычно φ слабо зависит от ε, и не вносит вклад в сверх-ток. Случаи, где это условие не выполняется требуют отдельного рассмотрения [145].

21 I.2.1.

SXS контакт.

Согласно приложению A.2  rhe = e

 0

−iα 



−iϕ1

e

e−iϕ2  , 0

 reh = e

 0

−iα 

 e

iϕ1

eiϕ2  , 0

α = arccos(ε/∆). (I.13)

Подставив reh , rhe , Se в (I.11) или (A.49), получим: g(ε, ϕ) = r+ r− cos β + t+ t− cos ϕ − cos(χt+ − χt− − 2α),

(I.14)

где r± = |r(±ε)|, t± = |t(±ε)|, χt± = arg t(±ε), β = (χt+ − χr+ ) − (χt− − χr− ), α = arccos(ε/∆). При постановке задачи рассеяния предполагалось, что начало координат слева и справа от X лежит на соответствующей NS границе. Тогда, если X — баллистическая область, то χt± = k± L, где L — расстояние между сверхp проводниками, k± = 2m(µ ± ε). Для того, чтобы вычислить матрицу рассеяния при заданном потенциале области X, более удобно выбрать единое начало координат, например в центре контакта. Тогда [26]: g(ε, ϕ) = r+ r− cos β + t+ t− cos ϕ − cos(χt+ − χt− + k+ L − k− L − 2α), (I.15) Теперь, при отсутствии рассеяния в области X, χt± = 0. Выберем ось x перпендикулярно NS-границам; если барьер, описывающий область X, симметричен относительно плоскости x = 0, то r = r0 , следовательно β = 0.

22 I.2.2.

SI1 NI2 S контакт.

Джозефсоновский контакт типа SI1 NI2 S — частный случай SXS контакта, рассмотренного выше, когда X — двухбарьерный потенциал. Будем описывать изоляторы I1,2 дельта-барьерами V1,2 (x) = V1,2 δ(x ± L/2). Амплитуды прохождения и отражения равны t01,2 = t1,2 e±i(k−κ)L/2 , r1 e−ikL , r10 eiκL , и r2 eiκL , r20 e−ikL соответственно, где k ферми-импульс в S, κ — в N. Введем параметры Z1,2 ≡ mV1,2 /~2 kF , тогда t01,2 = t1,2 =

1 , 1 + iZ1,2

iZ1,2 . 1 + iZ1,2

0 r1,2 = r1,2 =

(I.16)

(τ )

Обозначим τ1,2 = |t1,2 |, ρ1,2 = |r1,2 |, φ1,2 = arg t1,2 , ..., тогда ¶ µ t (r 0 ) (r 0 ) ei(2φ1,2 +(κ± −k)L) ρ1 ei(φ1 +κ± L) − ρ2 e−i(φ2 +κ± L) , r± = (r 0 ) (r) 1 − ρ1 ρ2 ei(φ1 +φ2 )+2κ± L (t)

t± = где κ± =

τ1 τ2 ei(φ1

(I.17)

(t)

+φ2 −(k−κ± )L) (r)

1 − ρ1 ρ2 ei(φ1

(r 0 )

+φ2 )+2κ± L

,

(I.18)

p

2m(µN ± ε)/~2 . Подставив t± , r± в (I.15), найдем:

g(ε, ϕ) = (τ1 τ2 )2 cos ϕ + (ρ21 + ρ22 ) cos β − cos(2α − β)− − (ρ1 ρ2 )2 cos(2α + β) − 4ρ1 ρ2 cos β0 sin2 α, (I.19) где β ≡ (κ+ − κ− )L/2, β0 ≡ (κ+ + κ− )L/2. Уравнение g = 0 определяет андреевские уровни.

23

II. Электронный транспорт в сверхпроводящих точечных контактах

В недавно проведенных исследованиях баллистических Джозефсоновских точечных контактах типа S-2DEG-S (S – сверхпроводник) с микросужением в нормальной части наблюдался эффект квантования критического тока Ic при изменении ширины сужения d0 в 2DEG, регулируемой напряжением на затворе [3], см. рис.II.1. При увеличении d0 увеличивалось число открытых поперечных мод в сужении, поэтому график Ic (d0 ) имел вид “ступеней”. Форма и высота ступени (кванта) Ic оказались неуниверсальными, зависели от параметров контакта, в отличие от универсальных квантов кондактаса, равных 2e2 /~. При при некоторых d0 критический ток имел резонансную структуру: локальные максимумы и минимумы. Теоретические расчеты, выполненные в [27], показали, что квант Ic не зависит от геометрии контакта, и равен e∆/~, в узком (ξ0 À L) и “идеальном” контакте (ξ0 = ~vF /π∆, L –

24

Рис. II.1.: a),b) Схематический вид S-2DEG-S контакта в эксперименте [3]. с) Зависимость кондактанса и критического тока от напряжения затвора.

расстояние между сверхпроводниками, ∆ – щель при нуле Кельвин; термин идеальный контакт означает, что нет нормального рассеяния квазичастиц – электрона и дырки – от NS границы при энергиях возбуждений |ε| < ∆). Численные исследования [4] показали, что квантование Ic даже в идеальном контакте неуниверсально при условии ξ0 & L, а вышеупомянутые резонансы Ic возникают из-за эффектов нормального рассеяния квазичастиц на потенциале затвора, барьерах типа Шоттки на 2DEG-S границе и др. Остается неясным, • какова функциональная зависимость Ic (d0 ) при достаточно широком выборе параметров контакта; • при каких значениях d0 критический ток имеет резонанс (локальный максимум); • чему равна амплитуда критического тока в резонансе, при каких параметрах контакта резонансы Ic малы;

25 • какой вклад в электронный транспорт дают андреевские состояния • как андреевские уровни зависят от d0 Этот раздел посвящен нахождению подходов к решению перечисленных выше задач [13–15]. Барьеры Шоттки, разница импульсов Ферми электрона в S и 2DEG и др. эффекты приводят к проявлению у 2DEG-S границ потенциальных барьеров, приводящих к нормальному рассеянию квазичастиц, электрона и дырки, от границ (даже когда энергии квазичастиц меньше, чем ∆). Этот эффект — причина немонотонной зависимости Ic от ширины сужения d0 [4]. Оказывается, что Ic максимально при таких d0 , когда резонанс вероятности прохождения электрона через потенциальный ящик, ограниченный данными барьерами, совпадает с EF . Этот вывод справедлив для любой проницаемости барьеров. В максимуме критический ток равен отношению заряда электрона на время его прохождения (с энергией равной EF ) от одного сверхпроводника до другого. При этом важно отметить, что вклад в критический ток дают квазичастицы только на самом нижнем (положительном) уровне Андреева [148] при разности фаз между сверхпроводниками ϕ → π − 0.

II.1.

Электронный транспорт в сверхпроводящем точечном контакте типа SNS.

Переход SNS в SIS, андреевские уровни.

Рассмотрим узкий металлический

провод с несколькими открытыми каналами (поперечного квантования), со-

26 superconductor

∆

(b) ε

gate

(a) 1D-wire

e h

µx 1D-wire

εF −∆

Рис. II.2.: Сверхпроводящий квантовый точечный контакт: (a) иллюстрация адиабатичности сужения контакта, (b) схематический вид потенциального барьера в контакте. Электроны и дырки с энергиями, ε < µx , образуют андреевские состояния, которым соответствует конечный сверхпроводящий ток; распространение дырок от одного сверхпроводника до другого подавлено при ε > µx , и волновые функции соответствующих андреевских уровней локализованы вблизи одного из сверхпроводников, эти состояния дают очень маленький вклад в сверхпроводящий ток.

единяющий два сверхпроводника (см. рис. II.2). Предположим, что ∆(x < −L/2) = ∆eiϕL , |∆(|x| ≤ L/2)| = 0 и ∆(x > L/2) = ∆eiϕr . Спектр Андреевских состояний и сверхпроводящий ток определяются уравнением g(ε, ϕ) = 0 (I.11) и ур. (I.10) соответственно. Границы между сверхпроводником и нормальным металлом предполагаются чистыми, так что квазичастицы с энергиями |ε| ≤ ∆ испытывают на NS границах только андреевское отражение; сужение в нормальной части контакта считается достаточно плавным, так что переменные в ур. БдЖ, описывающем контакт, адиабатически разделяются, в результате контакт описывается квази-одномерными ур. БдЖ с эффективным химическим потенциалом µx = µ − ε⊥ (x).1 Поставленным 1

В S-2DEG-S контакте с сужением, образованном в 2DEG потенциалом затвора, ε⊥ (x) (~πj)2 /(2m2DEG d2 (x)), где d(x) — ширина сужения, j — индекс канала.

=

27 условиям хорошо удовлетворяют S-2DEG-S контакты [3], сверхпроводящие контакты типа “break junction” [28–30].

В рамках квазиклассического приближения квазичастицы в сужении имеp 2 ют кинетическую энергию K± = ~2 k± /2m = µx (x)±ε, где k± = 2m(µx ± ε). Электрон с энергией ε < ∆ отражается от сверхпроводника в дырку с кинетической энергией K− = µx − ε, при этом куперовская пара образуется в сверхпроводнике, — эффект андреевского отражения. Образовавшаяся дырка летит к другому сверхпроводнику и опять отражается в электрон, который летит обратно к первому сверхпроводнику. Так образуются, зависящие от разности фаз ϕ, Андреевские состояния, каждое из которых несет определенный сверхпроводящий ток через контакт. Дырочный вклад в андреевское состояние может распространятся через контакт только в том случае, если кинетическая энергия дырки положительна, т.е. K− > 0, см. рис. II.2. В противном случае дырка возвращается обратно к сверхпроводнику, отражаясь от потенциала в нормальной части, и затем снова отражается в электрон на NS-границе, который один (без сопровождения дырки) пролетает через нормальную часть контакта к другому сверхпроводнику. При этом образуется независящий от ϕ чисто-электронный андреевский уровень. Зависимость андреевских уровней о разности фаз начинает подавляется при µx . ∆, уровни совсем теряют зависимость от ϕ при отрицательных µx .

Чтобы найти андревские уровни вне квазиклассического приближения, воспользуемся уравнением (I.14), которое удобно представить в следующем ви-

28

Рис. II.3.: Дискретный спектр [(a) качественный вид для “плоского” потенциала, (b) для параболического потенциала]: При µx0 > ε (область I) и электроны и дырки свободно пролетают через через нормальную часть контакта, образуя, зависящие от фазы (ϕ) андреевские состояния, несущие сверхпроводящий ток. При ϕ = 0 андреевские уровни двухкратно вырождены. При ϕ 6= 0 или при конечной вероятностью отражения от потенциала в нормальной части контактавырождение андреевских уровней снимается. Когда µx0 . ε, андреевские уровни теряют зависимость от фазы, становясь чисто электронными уровнями (области II и III), и в конце концов локализуются вблизи NS границ начиная с µx0 . −ε (область V). В заштрихованной области вблизи ε = ±µx0 вероятность прохождения изменяется от единицы до нуля. (c): графическое решения (I.11) вдоль линии A-A на рис(b).

де: cos(S+ − S− − 2α) = r+ r− cos β + t+ t− cos ϕ,

(II.1)

p где S± (ε) = χt± + k0,± L, k0,± L = 2m(εF ± ε)L/~. В квазиклассическом приR L/2 ближении S± = −L/2 k± (x)dx играет роль классического действия взятого вдоль траектории соответствующей квазичастицы, соединяющей два сверхпроводника, α = arccos(ε/∆) — фаза андреевского отражения. Уравнение (II.1) позволяет на качественном уровне увидеть, как меня-

29 ются андреевские уровни, джозефсоновский ток при непрерывном изменении транспортных свойств контакта от баллистического режима в режим изолятора. При большом химическом потенциале µx > ε, r± = 0, t± = 1, и ур. (II.1) приобретает вид правила квантование Бора-Зоммерфельда: S+ − S− − α ± ϕ = 2nπ. Будем считать потенциал “плоским”, тогда S± = p kF,x L 1 ± ε/µx , андреевские уровни показаны на рис. II.3а. С другой стороны, если −ε < µx < ε, то |t− | ¿ 1, |r+ | ¿ 1, и S− = 3π/2; тогда условие квантования принимает вид: 2S+ − 2α = 2nπ; соответствующие “электронные” уровни показаны на рис. II.3а. Заметим, что электронные уровни не вырождены при ϕ = 0 (в отличие от андреевских уровней), поэтому на рис. II.3а их число дважды превосходит число андреевских уровней. Когда µx становится меньше −ε, и электронны, и дырки отражаются от барьера в нормальной части, и локализуются вблизи границ со сверхпроводником. Таким образом, на качественном уровне, становится понятно, как SNS контакт переходит в SIS контакт. Чтобы более тщательно исследовать переход SNS в SIS, рассмотрим плавный потенциальный барьер µx (x) с параболической вершиной малой кривизны mΩ2 = ∂x2 µx , ~Ω < ∆, так чтобы переключение в интервале энергий ~Ω между режимом с t− = 1 и t− = 0 было бы достаточно резким. Условие адиабатического спадания потенциала в глубине сверхпроводника, mΩ2 (L/2)2 /2 ∼ εF , дает возможность использовать андреевское приближение при сшивании волновых функций в нормальной части и в сверхпроводнике и пренебрегать барьерами на NS границе, возникающими из-за нера-

30 венства эффективных масс в сверхпроводнике и нормальной области и т.д. (андреевское приближение справедливо, когда mΩ2 (L/2)2 /2 À ∆; потенциальный барьер на NS границе высоты ∆V < 0.9εF приводит к очень слабым резонансам). Итак, можно пренебрегать нормальным отраженем от барье√ ров NS границе, если εF εL < ~Ω < ∆, где εL ≡ ~2 π 2 /2mL2 ; из этого условия в частности следует, что L & ξ0 . Вблизи вершины потенциального барьера справедливо приближение Кэмбла T± = t2± = 1/{1 + exp[−2π(µx (0) ± ε)/~Ω]} [2]. На рис. II.3 показано, как меняется андреевский спектр при переходе из p SNS в SIS, когда µx (x) = µx0 +mΩ2 x2 /2, где ~Ω(µx0 ) = (4/π) εL (εF − µx0 ), и µx0 = µx (0) на NS границах. Квазиклассичесое действие имеет вид: S(E)/~ = √ √ (2E/~Ω)[κ2 1 + κ−2 +ln[|κ|(1+ 1 + κ−2 )], где κ2 = Q ~Ω/E = π 2 ~2 Ω2 /16EεL , Q À 1 большой параметр [S± = S(E = µx0 ± ε)]. Аналогично случаю потенциала с плоским дном, андреевские уровни при µx0 > ε + ~Ω (область I), переходят в электронные уровни (области II — V) с µx0 < −ε − ~Ω. В области II, произведение t+ t− в (II.1) становится меньшим единицы и андреевские уровни расщепляются даже при ϕ = 0. В области III вероятность прохождения дырки через контакт, t2− много меньше вероятности прохождения электрона, t2+ . В области V вероятность прохождения электрона, t2+ ¿ 1, и волновые функции электронов и дырок дискретного спектра локализованы вблизи границ со сверхпроводником [см. также [31]].2 В области IV и 2 электроны, и дырки имеют не равную единице вероятность отражения, r± . 2

в случае потенциала с плоским дном, эти состояния имеют энергию ε ≈ ∆, так как α → 0 в этом случае

31 Ниже будет рассмотрено изменение критического тока при переходе из SNS в SIS.

II.2.

Критический ток SNS контакта.

Сверхпроводящий ток, текущий через контакт, — сумма вкладов непрерывного, (Icon ), и дискретного спектров, (Idis ). Ниже будет рассмотрен вклад дискретного спектра в критический ток Ic , так как только дискретный спектр дает вклад в Ic в квазиклассическом пределе (~Ω < µx0 ). Пусть t± = θ(µx0 + ε), предположим, что вклад в критический ток непрерывного спектра мал, только дискретный Андреевский спектр будем учитывать при вычислении критического тока. Ниже это приближение будет обосновано. Докажем, что критический ток при сделанных выше предположениях достигается при ϕ = π − 01 и вклады всех уровней кроме самого нижнего и может быть верхнего попарно сокращаются. Критический ток равен абсолютной величине тока основного состояния при ϕ = π − 0. Выпишем еще раз уравнение на спектр: g(ε, ϕ) = cos(ϕ) − cos(Φε − 2 arccos(ε)) = 0,

(II.2)

где Φε = S+ − S− . Будем решать это уравнение графически. Начертим графики функций 1

Джозефсоновский ток в бесконечно узком (L = 0) и широком контактах (L À ξ) (без потенциалов) имеет разрыв при ϕ = π. В квазиклассическом случае ток тоже имеет разрыв при ϕ = π, поэтому мы берем при вычислении критического тока предел разности фаз: π − 0.

32 A

-cos( Φ(ε,σ)−2α(ε))

-cos( ϕ)

Α

−1

0

-cos( ϕ)

1

ε

-cos( ϕ+δϕ)

ε1 ε1+δε1

ε2

ε2+δε2

ε

Рис. II.4.: Схематический график уравнения (II.2), корни которого соответствуют Андреевским уровням. Тангенсы углов наклона касательных в точках пересечения графиков функции − cos(Φε − 2α(ε)) и − cos(ϕ), (α(ε) = arccos(ε/∆)), пропорциональны вкладу в ток от соответствующего Андреевского уровня. Вблизи максимума функции − cos(Φε − 2α(ε/∆)) касательные двух соответствующих “парных” уровней ε1 (ϕ), ε2 (ϕ) имеют противоположные тангенсы углов наклона, следовательно их вклады в Джозефсоновский ток (сокращаются) компенсируют друг друга.

cos(Φε − 2 arccos(ε)), cos(ϕ) от ε при разных ϕ, абсциссы точек их пересечения соответствуют Андреевским уровням. При построении учтем, что g(ε, ϕ) = g(−ε, ϕ). Из рис. II.4 следует, что ¯ ¯ ¯ ∂ε1 ∂ε2 ¯ ¯ ¯ ¯ ∂ϕ + ∂ϕ ¯ −→ 0, при ϕ −→ π С помощью (II.2) найдем вклад i-ого Андреевского уровня в Джозефсоновский ток: Ii =

2e sin ϕ 2e ∂εi = ∂g ~ ∂ϕ ~ ∂ε

(II.3)

i

Производные ∂ε g для уровней ε1,2 , как следует из рис. II.4, равны по абсо-

33 лютной величине и противоположны по знаку:       ∂g 2 0 = ∓ sin ϕ Φε1,2 + q  ∂ε1,2   ∆2 − ε21,2  Тогда

(II.4)

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 1 2e ¯¯ ¯. − |I1 + I2 | = ¯ 2∆ 2∆ 0 0 ~ ¯ Φε1 + √ 2 2 Φε2 + √ 2 2 ¯¯ ∆ −ε ∆ −ε 1

2

Когда ϕ = π − 0, ε1 = ε2 и |I1 + I2 |. Последнее соотношение иллюстрирует вышеупомянутое свойство сокращения вкладов дискретных уровней в критический ток. Уровни типа ε1 , ε2 будем называть “парными”. Воспользовавшись (I.5) найдем: X 2e X e 1 = (II.5) , 2 ~ τ∆ + τ ∂ε Φ|ε=0 + ∆ channels channels r Z L 2 dx[v −1 (x)], v(x) = τ = ∂ε S+ |ε=0 = (µx + ε). (II.6) m 0 I=

τ∆ =

~ , ∆

(В приложении B.1 показано, что андреевские уровни стремящиеся к ∆ при ϕ = π − 0 не дают вклад в ток.) Итак, найден критический ток в SQPC при пренебрежении вкладом непрерывного спектра, в квазиклассическом приближении для jого канала. Чтобы найти полный ток, надо просуммировать (II.5) по всем открытым каналам. Ic =

N X j=1

e τ∆ + τj

(II.7)

Ур. (II.5) справедливо при температурах много меньших характерного интервала между андреевскими уровнями в контакте: T ¿ min{∆, ~/τ }. Формула (II.5) обобщается на случай сверхпроводников с разными ∆. В этом случае, τ∆ ≡ ~/2∆1 + ~/2∆2 .

34 Когда в нормальной части контакта нет потенциального барьера, то Ic =

~ ∆

e +

L vF

=

e∆ 1 ~ 1 + ξL

(II.8)

0

В пределе короткого контакта (ξ0 ¿ L) Ic = e∆0 /~, что совпадает с результатом Кулика и Омельянчука для сверхпроводящего точечного контакта [32]. В длинном контакте [ξ0 À L] Ic = evF /L, что совпадает c [4, 33]. p Для потенциала с плоским дном S+ = 2mL2 (µx0 + ε)/~2 , выражение для критического тока имеет следующий вид: Ic =

X j

~ ∆

e . + √ L2µx0

(II.9)

m

Вклад непрерывного спектра в Джозефсоновский ток.

Покажем, что непре-

рывный спектр не дает вклада в критический ток (II.5). Вычислим ток, пользуясь формулой (I.10), (II.2): I=

2e∆ X sin(ϕ) √ T , 2 + 1) cosh(Φ ˜ ω ) + 2ω 1 + ω 2 sinh(Φ ˜ ω ) + cos(ϕ) ~ (2ω ω

(II.10)

˜ = где мацубаровские частоты, температура измеряются в единицах ∆, Φ −iΦiω . При абсолютном нуле заменим суммирование по частотам в (II.10) интеp грированием, сделаем замену переменной ω = 1 + cos(ϕ)y, тогда I=

e sin(ϕ/2) p f ( 1 + cos(ϕ)) τ∆ + τ

(II.11)

35 где √ 2 2 f (a) = ∆0 (τ∆ + τ )× ~π  Z ∞  1 dy p  1 + 2y 2 cosh(Φ ˜ (ay) ) + 2y 1 + a2 y 2 sinh(Φ˜ (ay) ) + 0 a

  ˜ (ay) )−1  cosh(Φ a2

(II.12)

f (0)=1. ˜ ω = Aω, A = const, A > 0, то разложим знаменатель подынтеЕсли Φ грального выражения для f (II.11) в ряд Маклорена: √ Z ∞ 2 2 f (a) = ∆0 (τ∆ + τ ) dy× ~π 0 ( ˜ (ay) ) + 2y 1 + 2y 2 cosh(Φ

p

1 + a2 y

1 P∞ 2

(Ay)2n+1 a2n n=0 (2n+1)!

) +

P∞

(Ay)2n a2n−2 n=1 (2n)!

(II.13) p Видно, что f (a) убывает как функция a, тогда f ( 1 + cos(ϕ)) монотонно возрастает при 0 < ϕ < π, что наряду с возрастанием sin(ϕ/2) говорит о том, что Джозефсоновский ток — монотонно возрастающая функция разности фаз на 0 < ϕ < π.3 Отсюда следует, что ток достигает максимума при при ϕ → π, следовательно критический ток действительно может быть найден из (II.7). ˜ ω нелинейная функция, то гарантировать монотонное возрасЕсли же Φ p тание f ( 1 + cos(ϕ)) на 0 < ϕ < π в общем случае нельзя. Найдем условия, при которых f (a) убывает с ростом a. 3

В связи с периодичностью зависимости Джозефсоновского тока от разности фаз, свойствами I(ϕ) = I(ϕ + 2π), I(−ϕ) = −I(ϕ), можно при нахождении критического тока ограничиться областью изменения 0 < ϕ < π.

36 Рассмотрим знаменатель подынтегральной функции из (II.11). Выраже˜ ay )/a, (cosh(Φ ˜ ay ) − 1)/a2 могут убывать при в окрестности ния типа sinh(Φ некоторых a (при фиксированном y). Потребуем положительности производной этих выражений по a, в результате: ˜ 0w | > |Φ

2 ˜ , |Φω | À 1 ω

(II.14)

˜ ay ≈ Aay ), проПри малых a (когда справедливо линейное приближение Φ изводная по a, упоминавшихся выше выражений, положительна, поэтому ˜ ω = Aω может сделать протолько нарушение линейного приближения Φ изводную неположительной. Пусть ω0 – характерная частота, при которой линейное приближение теряет силу. Условия (II.14) будут удовлетворены для всех ω > ω0 , если ˜ 0ω | À |Φ 0

1 , ω0

˜ω | À 1 |Φ 0

(II.15)

Наше главное утверждение состоит, таким образом, в том, что при выполнении (II.15) f (a) убывает, следовательно Джозефсоновский ток возрастает на (0, π), максимален при ϕ = π. Проиллюстрируем эти утверждения примерами. Для квазиклассического потенциального барьера, при энергиях выше максимальной высоты барьера Z ˜ ω = 2Im Φ

L/2 −L/2

p

Z 2m/~2 (µ

x

q

L/2

+ iω)dx =

dx −L/2

4m/~2 ([µ2x + ω 2 ]1/2 − µx ),

˜ зависит нелинейно от ω начиная с ω0 ∼ µx0 . ПотреЕсли µx0 = minx µx , то Φ бовав выполнения (II.15): µx0 > ~2 /(2mL2 ), где L – “ширина” потенциального ˜ w ∝ √ω, поэтому, если (II.14) выполняется при ω = барьера. При ω À ω0 , Φ

37 ω0 , то это условие справедливо и при ω > ω0 . Можно показать, что для любого квазиклассического потенциала критический ток достигается при ϕ = π−0 µx0 > ~2 /(2mL2 ) ≈ ∆/(N 2 π 2 )

(II.16)

( N – максимальное число Андреевских уровней). √ Заметим, что при L ≈ λF ξ, µx0 À ∆ и при µx0 ≈ ∆ условие (II.16) ˜ ω ¿ 1 — предел короткого баллинеприменимо. Но при таких малых L, Φ стического контакта, про который известно, что Джозефсоновский ток определяется дискретным Андреевским спектром, критический ток достигается при ϕ = π − 0, равен e∆/~, когда открыт один канал [27].

Рис. II.5.: При увеличении ширины d сужения в нормальной части контакта сверхпроводящий ток увеличивается скачками, равными e/(τ0 + ~/∆). Точечная и пунктирная линии соответствуют приближениям τ0 ≈ Ω−1 ln(4Q~Ω/µx0 ) и τ0 ≈ L/vF , справедливым при маленьких и больших энергиях соответственно. Следующие параметры, использовались для построения графиков: εF = 1 eV, ∆/εF = 10−3 , L/ξ0 ∼ 1, 10.

38 Квантование критического тока.

Проиллюстрируем квантование критическо-

го тока на конкретном примере. Предположим, что потенциальный барьер в нормальной части контакта вблизи вершины хорошо аппроксимируется параболой.4 Тогда в области I (см. рис. II.3), критический ток определяется ближайшим к µx0 андреевским уровнем и дается формулой (II.7) c τ = √ Ω−1 [2 ln[|κ|(1+ 1 + κ−2 )]. В областях II-IV ур.(II.7) вообще говоря неприменимо, и необходимо искать ток согласно (I.10). Результаты численных расчетов приведены на рис. II.5.

II.3.

Андреевские уровни и сверхпроводящий ток в SINIS контакте.

Выберем ось x в плоскости 2DEG вдоль направления тока перпендикулярно 2DEG-S границе, а ось y – параллельно [см. рис.II.6]. Предположим, что что ширина сужения d(x) плавно меняется и можно адиабатически разделить переменные в уравнениях Б-дЖ [13]. Таким образом в сужении u(x, y) = p 2/d(x) sin(πj(y/d(x) + 1/2))u(x), j = 1, 2, . . . (аналогично для v(x, y)). Теперь u(x), v(x) удовлетворяют одномерному Б-дЖ. Определим потенциалы (“стенки”) V (x + L/2) и V (−x + L/2), локализованные вблизи 2DEG-S границы; они описывают эффект нормального отражения [34]. V (x) характеризуется независящей от энергии матрицей рассеяния с амплитудами прохождения t = t0 и амплитудами отражения r, r0 (амплитуды со штрихом 4

p Напомним, что вблизи x = 0, µx (x) ≈ µx0 + mΩ2 x2 /2, где ~Ω(µx0 ) = (4/π) εL (εF − µx0 ) и µx0 = µx (0), где κ2 = Q ~Ω/µx0 = π 2 ~2 Ω2 /16µx0 εL , Q À 1.

39

(a)

1D-wire

superconductor

gate ∆

(b) εF

non-ideal transmission

ε µx

−∆

e

NR AR

h

NR

1D-wire -L/2

L/2

x

Рис. II.6.: SINIS контакт с несколькими открытыми каналами (число которых регулируется, например, затвором) c неидеальными границами, например, благодаря разнице эффективных масс в сверхпроводнике и нормальной области, барьерам Шотки, и т.д. Предполагается, что сужение в нормальной части адиабатическое и перемешиванием каналов можно пренебречь. (a) Схематический рисунок контакта, (b) потенциальные барьеры, описывающие сужение, неидеальность NS границ описывается δ-барьерами.

описывают рассеяние электронов падающих справа). Энергия поперечного квантования E⊥ (x) = (~πj)2 /(2mN d2 (x)) учитывает влияние затвора на электроны в 2DEG. Так что волновой вектор квазичастиц равен в сужении: p kN,± (x) = 2mN (µN ± ε − E⊥ (x))/~2 (mN – эффективная масса электрона в 2DEG.) Основной вклад в ток дают “открытые” каналы с индексом j таким, что ImkN,± = 0 [13]. Удобно ввести потенциал U состоящий из “стенок” V и E⊥ (x). Он имеет матрицу рассеяния, как у интерферометра Фабри Перо. Например, амплитуда прохождения электрона (дырки) через этот потенци-

40 p p ал: tU = t exp{i( 2mS (µS ± ε)− 2mN (µN ± ε))L/~}/(1−(r0 )2 exp(2iS± )), R L/2 где S± = −L/2 kN,± (x)dx – действие. Величина DU = |tU |2 имеет смысл ве2

роятности прохождения электрона через 2DEG. Адиабатическое приближение позволяет пренебрегать перемешиванием каналов в контакте, поэтому можно искать вклад в Джозефсоновский ток от каждого канала независимо [150]. Джозефсоновский ток I(ϕ) в канале j: X 2e ∂ X J(w, ϕ) = T ln(g(iωk , ϕ)), I(ϕ) = T ~ ∂ϕ w ω

(II.17)

k

где ωk = T π(2k + 1), k = 0, ±1, . . .. g(ε, ϕ) = D2 cos(ϕ) + 2R cos(β) − cos(2γ − β)− R2 cos(2γ + β) − 4R sin2 (γ) cos(β0 ) (II.18) γ = arccos(ε/∆),

β = S+ − S− ,

β0 = 2 arg(r) + S+ + S− ,

(II.19)

где D = |t|2 , R = |r|2 – вероятность прохождения и отражения квазичастиц от потенциала V . Формулы (II.17-II.19) позволяют понять, как критический ток зависит от параметров контакта. Предположим, что открыт один канал с j = 1, т.е. будем изучать первую “ступеньку” (см. рис.(b)) критического тока. При нуле температуры, если резонансный уровень потенциального ящика, образованного 2DEG-S границами (потенциальными “стенками” V ), совпадает с EF (математически это записывается так: β0 |ε=0 = 2πn, n = 0, 1, . . . ⇔ DU (ε = 0) = 1), из формулы (II.17) следует, что Ic = |I(π − 0)| =

e τ

где τ =

~ R+1 + τ0 , ∆ D

τ0 = (~∂ε S+ |ε→0 ) (II.20)

41 Эта соотношение показывает какова величина критического тока в точке его локального максимума (резонанса) как функции d0 – ширины сужения. Формула (II.20) имеет наглядную интерпретацию. Электронный волновой пакет (на EF ) испытывает Андреевское отражение на 2DEG-S границе и превращается в дырочный в.п. за время ~/(2∆). Электрон на EF тратит время τ , чтобы пролететь от одного сверхпроводника до другого (в квазиклассичечком приближении). τ0 – половина периода классического движения электрона в потенциальном ящике, образованном “стенками” V ; (R + 1)/D – можно интерпретировать как число попыток электрона выскочить из данного потенциального ящика. Тогда τ имеет смысл времени, через которое развалившаяся в одном из сверхпроводников куперовская пара, превратившаяся в два электрона в 2DEG (в квазичастицы: электрон и дырку), перейдет в куперовскую пару в другом сверхпроводнике. Если EF не точно совпадает с резонансным уровнем, то выражение для Ic √ √ (II.20) надо умножить на 1−| sin(β0 /2)|2 R/D, при этом | sin(β0 /2)|2 R/D ¿ 1. При D ¿ 1 граница применимости (II.20) (ширина резонанса критического тока как функции d0 ): δd0 ∝ D/∂d0 S+ ∼ d0 D/(τ0 ~/2md20 ). При R ¿ 1 формула (II.20) описывает критический ток при любых d0 [13]. При этом из (II.20) следуют результаты для Ic , полученные раньше в [27] при τ0 ¿ τ∆ , и в [33] при τ0 À τ∆ . Если D ¿ 1, то из (II.20) следует формула для Ic полученная в [14]. Уравнение g(ε, ϕ) = 0 (II.18) имеет решениями Андреевские уровни. Из него следует, что вклад в Ic (II.20) дает только самый нижний Андреевский

42 уровень, совпадающий с EF при ϕ = π. Т.е. существует такой Андреевский уровень, что |2(∂ϕ ε0 (ϕ)/~)ϕ→π−0 | = e/τ (см. (II.20)). (В пределе D ¿ 1, такой результат получен также в [147] при L ¿ ξ0 .) При отклонении параметров контакта от условия β0 (ε = 0) = 2πn (резонанс Ic ) критический ток уменьшается. В минимуме Ic , т.е. когда β0 |ε→0 = 2π(n + 1/2), и при условиях: D ¿ 1, τ0 À τ∆ – Ic = (e/τ )D/(4π). Если последнее условие заменить на τ0 ¿ τ∆ , то Ic = (e/τ∆ )D2 /8. При этом, в обоих случаях, зависимость Джозефсоновского тока от фазы: I(ϕ) ∝ sin(ϕ). Формула (II.20) справедлива при T ¿ ~/τ . Если ~/τ ¿ T ¿ ∆, резонанс вероятности прохождения электрона через нормальную часть контакта (через потенциал U ) лежит на EF и этот резонанс “резкий” (ширина резонанса Γ = ~/τ много меньше расстояния между резонансами π~/τ0 , см. (II.20)), то Джозефсоновский ток I(ϕ) = (eΓ sin(ϕ/2)/~) tanh(Γ cos(ϕ/2)/2T ), а Ic ≈ (eΓ/~)(Γ/4T ) при T À Γ. Если сохранить условие резкости, то в минимуме, при τ0 À ~/∆ критический ток будет спадать экспоненциально с температурой: ∝ exp(−2T πτ0 /~). При этом T πτ0 /~ À 1. Выше предполагалось, что открыт только первый канал. Если открыто много каналов, то при D = 1, чтобы получить критический ток, надо просуммировать выражение для Ic в (II.20) по всем открытым каналам j. Характер зависимости критического тока от d0 будет в основном определяться открывающимся каналом с самым большим индексом j [13]. При D ¿ 1 максимальный критический ток можно получить, просуммировав e/τ по каналам, удовлетворяющим условию максимума (см. (II.20)). В ми-

43

Рис. II.7.: a) Зависимость критического тока и b) нормального кондактанса SINIS кон√ такта от потенциала затвора, z = d 2mµ/π~.

нимуме Ic равно сумме по открытым нерезонансным каналам (β0 6= 2πn) от (e/τ )D/(4π), если τ0 ¿ ~/∆; и от (e/τ∆ )D2 /8 при условии τ0 À ~/∆. В случае D . 1 графики критического тока построены на рис.II.7(b),(c). p Предполагалось, что D = 1/(1 + Z 2 ); S+ = 2mN L2 /(µ(1 − j 2 /z 2 ) + ε)/~; T = 0; ∆ = 15.3eV ; L = 0.04µm; µ = π~2 N/mN , N = 2.3 × 1012 c−2 в 2DEG; mN = 0.045me . На рис. (d), (e) приведен график кондактанса G данного контакта при ∆ = 0. Из графика видно, что “кванты” G зависят от параметров контакта, от Z. Причина этого– рассеяние электронов на барьерах (S-2DEG), находящихся на расстояниях от сужения меньших, чем длина Lφ сбоя фазы электрона. В [1], где исследовалось квантование кондактанса, рассеяние на Lφ было малым, поэтому "кванты"G принимали универсальное значение 2e2 /h.

44

II.4.

Электронный транспорт в несимметричном SI1NI2S контакте.

Рассмотрим несимметричный SI1 -QPC-I2 S (SI1 NI2 S) контакт, в котором слои изолятора имеют разные прозрачности. В случае короткого (Ec = ~L/vF À ∆, L — длина контакта) и длинного (Ec ¿ ∆) контактов сверхпроводящий ток может быть найден аналитически. Введем обозначения: D1,2 , R1,2 — коэффициенты прохождения изоляторов I1,2 , ϕ — разность фаз между сверхпроводниками, β0 ≈ 2kF L – сумма фаз, набираемая электроном и дыркой при движении от I1 до I2 в потенциальном ящике, образованном границами контакта. С помощью (I.10),(I.19) найдем, что в коротком контакте джозефсоновский ток равен: p ˜ 2e e∆ ˜ I(ϕ) = ∂ϕ ²(ϕ), (II.21) Ic = (1 − 1 − D), ~ ~ q D1 D2 ˜ ˜ sin2 (ϕ/2), ˜= √ ²(ϕ) = ∆ 1 − D D (1 + R1 )(1 + R2 ) − 2 R1 R2 cos β0 √ (1 + R )(1 + R ) − 2 R1 R2 cos β0 1 2 ˜ =∆ √ ∆ . (II.22) 1 + R1 R2 − 2 R1 R2 cos β0 В длинном: Ãr

I(ϕ) =

1−c e∆ D1 D2 sin(ϕ) 2 √ arctan ~τtr (1 + R1 )(1 + R2 ) 1 − c2 1+c √ D1 D2 cos(ϕ) − 4 R1 R2 cos β0 . c= (1 + R1 )(1 + R2 )

! ,

(II.23)

Следует подчеркнуть, что никаких ограничений на значения D1,2 не накладывается. При β0 = 2πn, n = ±1, ±2, . . . джозефсоновский ток имеет резонанс.

45

II.5.

“Изоморфизм” между свойствами SINIS контакта и сверхпроводящего одноэлектронного транзистора.

Оказывается, что существует тесная связь между электронным транспортом в SINIS контакте и сверхпроводящим одноэлектронном транзисторе (SSET) типа SIS’IS. С точностью до переобозначений формулы описывающие сверхпроводящий ток в SSET и SINIS одинаковы. Сверхпроводящий одноэлектронный транзистор [35, 36] состоит из двух объемных сверхпроводников, соединенных джозефсоновскими контактами с сверхпроводящей гранулой, которая, в свою очередь, связана через емкость Cg внешним затвором. Рассматриваемая система характеризуется двумя энергетическими масштабами, EC = e2 /2CΣ и джозефсоновской энергией EJ . При увеличении EC = e2 /2CΣ уменьшается неопределенность числа купперовских пар в грануле, увеличение EJ приводит к фиксации сопряженной переменной — фазы сверхпроводящего островка. В SSET EC À EJ . Предположим, что EC < ∆, таким образом, гранула содержит четное число электронов при любом потенциале затвора. Естественно ожидать, что кулоновское взаимодействие в грануле будет подавлять сверхпроводящий ток [37]. Тем ни менее при вблизи определенных значений напряжения затвора, Vgd , энергии двух зарядовых состояний гранулы, различающихся зарядом 2e, становятся одинаковыми, при этом через систему течет большой сверхпроводящий ток. Можно изменять величину сверхпроводящего тока, варьируя напряжение на

46 затворе, таким образом, SSET играет роль транзистора. Из сказанного выше следует, что SSET и похожие системы: джозефсоновский ток течет через эти системы только вблизи определенных значений Vgd , когда уровни энергии становятся вырожденными; в SSET уровни энергии отвечают определенному заряду на грануле, в SINIS — резонансу амплитуды прохождения через контакт. Джозефсоновский ток в обоих контактах дается одинаковой формулой: 2e E 2 sin ϕ q , I= ~ 4eγ (V − V d )2 + (E cos(ϕ/2)/eγ)2 g g

(II.24)

где параметры E и γ определены по разному в SSET и SINIS. Ур. (II.24) определяет ток в симметричном SSET [36], если сопоставить параметру E джозефсоновскую энергию EJ , а безразмерную константу γ заменить на Cg /CΣ . Пользуясь результатами Амбеобакара-Баратова [38] и формулу Ландауэра, можно выразить джозефсоновскую энергию через микроскопические параметры системы: EJ = N T ∆/4, где N ∝ kF2 A обозначает число открытых каналов в туннельном переходе, A — площадь контакта, и T — вероятность прохождения. С другой стороны, в SINIS, E = Γ/2 и γ = ∂µx0 /∂eVg . Ширина резонанса определяется геометрическими характеристиками: Γ ≈ T Λ/π, где T — вероятность прохождения через слой изолятора I; Λ ∼ 2(µx0 εL )1/2 , где εL = ~2 π 2 /2mL2 . Из ур. (II.24) можно найти критический ток Ic как функцию напряжения на затворе вблизи Vgd . Кроме того, с помощью Ic (Vg ) можно определить ширину пика тока, δVg = E/eγ; ток достигает своего максимума, когда Imax = eE/~ в точке вырождения. Оценим Imax /δVg = e2 γ/~.

47 В SSET γ ¿ 1 из-за малости отношения Cg /CΣ . Аналогичная величина в SINIS порядка единицы: γ ∼ aB /d [39, 40], где aB порядка 10 nm; отсюда следует, что γ ∼ 1.

48

III. π − 0 переход в SFS контактах

В последние годы, было найдено много интересных эффектов в сверхпроводящих гибридных структурах типа SF. Один из них — π-состояние сверхпроводящих контактов сверхпроводник-ферромагнетик-сверхпроводник (SFS) [6,17,41–43], когда в основном состоянии системы сверхпроводящая разность фаз равна π, а не нулю, как в обычных контактах, не содержащих ферромагнетиков. Исследования π-контактов представляют не только академический интерес, недавно было предложено практическое применение π-контактов в джозефсоновских кубитах [44, 45]. Недавно в экспериментах, проведенных группой Рязанова [6], было иследовано π-состояние в SFS контактах. В этих экспериментах измерялась зависимость критического тока от температуры. При определенной температуре Tπ0 критический ток уменьшался почти до нуля, что интерпретировалось как переход контакта в π-состояние. Температура перехода Tπ0 сильно зависела от концентрации ферромагнитных примесей, т.е. обменного поля Eex в ферромагнитной пленке. В данной работе, теоретически исследуется переход в π-состояние в SFS контактах.

49 Основная задача — определить область параметров системы, при которых она находится в π-состоянии, найти соответствующую фазовую диаграмму, исследовать соотношение ток-фаза и критический ток вблизи перехода в πсостояние. Оказывается, что критический ток не равен нулю при T = Tπ0 , но имеет локальный минимум в этой точке. В туннельном режиме, сверхпроводящий ток вдали от T = Tπ0 пропорционален I(ϕ) ∝ I1 sin(ϕ); вблизи T = Tπ0 , I1 подавляется, и высшие гармоники дают основной вклад в ток, I(ϕ) ∝ sin(2ϕ). Рассмотрим короткий SFS контакт, ~/τ À ∆(T = 0); τ — характерный масштаб времени пролета электрона от одного сверхпроводника до другого. В этом случае андреевсие состояния дают основной вклад в ток, и их можно выразить через матрицы рассеяния контакта. Пронумеруем каналы индексами n = 0, 1, . . . , N и σ (последний индекс относится к спину), каждому каналу соответствует вероятность прохождения Dn,σ . Если пренебречь ферромагнетизмом, андреевские уровни вырождены по спину и равны Enσ = ±∆(1 − Dn sin2 (ϕ/2))1/2 . Андреевские уровни могут быть найдены с помощью уравнения g(ε, ϕ) = 0, где g определено в ур.(I.15). Амплитуды

t±;n,σ

p = Dn, ±σ ,

q r±;n,σ =

относятся к области I. Фазы χ± = 0, но ~kn,± =

2 1 − Dn,σ

(III.1)

p 2m(µn ± Eex σ), где µn =

µ−En,⊥ σ (En,⊥ — энергия поперечного квантования). Таким образом ~(k+,n −

50

S

F

S I

d Рис. III.1.: SFS контакт. Сверхпроводящий ток течет из одного сверхпроводника (S) в другой сквозь слой ферромагнетика (F) (толщина d), при этом квазичастицы рассеиваются в слое I. Предполагается, что обменное поле параллельно поверхности сверхпровдника.

k−,n ) ≈ 2Eex σ/vn (Eex ¿ µ), и g(², ϕ) = cos(γn,σ ) − cos(σπΘn − 2α(ε)),

(III.2)

где α = arccos(²/∆), Θn = 2Eex d/πvn , и cos(γ) = r+ r− + t+ t− cos(ϕ). Отсюда следует, что ¯ µ ¶¯ ¯ ¯ γ (ϕ) + σπΘ n,σ n ¯ , Enσ (ϕ) = ∆ ¯¯cos ¯ 2

(III.3)

Рассмотренная модель достаточно общая. Она применима к квазибаллистическим SFS контактам (недавно квазибаллистический SF контакт был экспериментально исследован в [46]) с диффузными или зеркальными границами [47]. Модель также применима для описания туннелирования куперовских пар через ферромагнитные гранулы [48, 49]. В предельном случае D = 1, ур. (III.3) воспроизводит андреевский спектр, найденный в [50].

51 Зависящий от разности фаз ϕ вклад в свободную энергию равен согласно (I.2): Ω(ϕ) = −T

X n,σ

·

µ

Enσ (ϕ) ln cosh 2T

¶¸ .

Для большинства каналов, E⊥ ¿ µ, следовательно vn ≈ vF =

(III.4) p 2µ/m и

Θn ≈ Θ = 2Eex d/πvF (так определенный параметр Θ эквивалентен параметру Θ, введенному в [49]). Тогда Ω(ϕ) = −N T

X σ

·

µ

Eσ (ϕ) ln cosh 2T

¶¸ ,

¯ µ ¶¯ ¯ ¯ γ(ϕ) + σπΘ ¯, Eσ (ϕ) = ∆ ¯¯cos ¯ 2 (III.5)

где N — число каналов Когда обменное поле мало, Θ ¿ 1, SFS контакт находится в 0-состоянии. Будем увеличивать Θ, при некотором Θ = Θ0 система переходит в π-состояние. Ниже Θ0 будет найдено. При нулевом токе, температура Tπ0 , отделяющая π и 0 фазы, определяется из условий: Ω(ϕ = 0) = Ω(ϕ = π), в точках ϕ = 0 и ϕ = π, свободная энергия Ω имеет локальный минимум.

1

Численное решение соответ-

ствующих уравнений, Tπ0 (Θ), показано на рис. III.2. Предполагалось, что p ∆(T )/∆(0) = tanh(1.74 Tc /T − 1). Если D = 1, то π-фазе соответствует 2n + 1/2 < Θ < 3/2 + 2n, n = 0, ±1, . . .. Согласно рис.III.2 существует область в пространстве (D, Θ), когда система находится в π-состоянии при любых температурах в промежутке 0 < T ≤ Tc . Если Θ → 1/2 + n, то Tπ0 → 1

В "обычном"контакте свободная энергия имеет минимум при ϕ = 2πm, m = 0, ±1, . . ., а в π-контакте — при ϕ = 2π(m + 1/2), m = 0, ±1, . . ..

52

Рис. III.2.: Фазовая диаграмма π-контакта при нулевом токе. На вставке изображена фазовая диаграмм при D = 0.1.

Tc при любой прозрачности D. Из рис. III.2 следует, что при фиксированных D и T , система периодически переходит из π-состояния в 0-состояния при увеличении Θ. Таким образом, большие значения обменного поля отнюдь не гарантируют, что SFS-контакт — π-контакт. Недавно в эксперименте, выполненным группой Рязанова [6], измерялась зависимость Ic (T ); при T = Tπ0 кривая Ic (T ) имела особенность (разрыв производной) и как будто бы обращалась в нуль. В статье [6] приводились качественные доводы, почему в общем случае Ic (T = Tπ0 ) = 0. Мы не согласны с этими рассуждениями, покажем ниже, что в общем случае Ic (T = Tπ0 ) 6= 0. Сверхпроводящий ток пропорционален производной по ϕ свободной энергии (A.1): I(ϕ) =

2e ~ ∂ϕ Ω(ϕ).

Учитывая, что ∂ϕ γ = D sin(ϕ)/ sin(γ),

53 получим µ ¶ µ µ ¶¶ 2e X D sin(ϕ) γ + σπΘ ∆ γ + σπΘ I(ϕ) = N ∆ sin tanh cos . ~ σ sin(γ) 2 2T 2 (III.6) Если Θ = 0 и D = 1, ур. (III.6) сводится к известному выражению для сверхпроводящего тока в коротком SNS контакте, Ic = N e∆/~ at T = 0 [51, 52]. При D ¿ 1, зависимость Ic (T ) имеет простой вид. В этом случае, γ ≈ √ 2 D| sin(ϕ/2)| ¿ 1 и можно разложить сверхпроводящий ток (III.6) по γ: I(ϕ) =

e∆DN sin(ϕ)Υ(Θ, T ) , 2~

(III.7)

где ½ µ ¶ cos (πΘ/2) ∆ Υ(Θ, T ) = cos (πΘ/2) tanh 2T ¾ ∆ sin2 (πΘ/2) − . (III.8) 2T cosh2 (cos (πΘ/2) ∆/2T ) Когда Υ > 0 в (III.8), сверхпроводящий контакт находится в обычном состоянии. В противоположном случае — в π-состоянии. Температура перехода, Tπ0 (D → 0), может быть найдена из ур. g(Θ, T ) = 0. Это уравнение имеет решение только при 2n + 3/2 ≤ Θ ≤ 1/2 + 2n, n = 0, ±1, . . ., поэтому π-состояние может возникнуть только в этой области параметров. Из этого уравнения также следует, что если Θ → 1/2 + n, то Tπ0 → Tc ; если Θ → 1 + 2n, то Tπ0 → 0. В области |T − Tπ0 | ∼ DTc , ур. (III.7) неприменимо; высшие гармоники по ϕ дают главный вклад в ток. Так как n-ая гармоника пропорциональна

54 Dn sin(nϕ) (это следует из (III.6)), и D ¿ 1, то вклад второй гармоники в сверхпроводящий ток: I(ϕ) ∝ D2 sin(2ϕ). Таким образом, критический ток не равен нулю при температуре π − 0 перехода, но Ic ∝ D2 . Вблизи Tπ0 токи в противоположных спиновых каналах, σ = ±1, текут в противоположных направлениях и почти компенсируют друг друга; поэтому Ic подавляется вблизи Tπ0 . Вблизи критической температуры Tc можно также найти ток аналитически. Из ур. (III.6) следует, что e∆2 I(ϕ) = N D sin(ϕ) sin(πΘ) . 2Tc ~

(III.9)

Таким образом, сверхпроводящий контакт находится в π-состоянии при 1 + 2n < Θ < 2 + 2n, n = 0, ±1, . . . На рис. III.3 показана типичная зависимость критического тока от температуры. Критический ток на рисунке нормирован на критический ток при √ нулевом обменном поле и нулевой температуре Ic0 = N (e∆/~)(1 − 1 − D). D = 0.22 имеет две особенности – точки разрыва производной. При низких температурах и вблизи Tc , контакт находится в π-состоянии, в промежуточной области — в обычном 0-состоянии.2 Критический ток при D = 0.3, 0.4, 0.7 на рис. III.3 больше, чем критический ток Ic0 при абсолютном нуле и Θ = 0. Обменное поле усиливает джозефсоновский ток более чем в полтора раза, как следует из рис.III.3. Аналогичное явление усиления критического тока обменным полем было 2

Следует отметить, что в работе [17] нарисован схематически график Ic (T ) в неком SFS контакте с несколькими особенностями. Однако, никаких обоснований упомянутому рисунку в работе [17] не содержится.

55

Рис. III.3.: Зависимость критического тока от температуры при Θ = 0.7 при разных D. Разрыв производной Ic (T ) соответствует π−0-переходу. Ic всегда неравна нулю в точке разрыва производной, см. вставку. На графике, соответствующем D = 0.22 видно два π − 0-перехода; при низких температурах и при I . Ic , контакт с D = 0.22 находится в π-состоянии, вблизи Tc — опять в π-состоянии.

недавно обнаружено в S/F-I-S/F контактах [7]. Рассмотрим, как происходит π − 0-переход, когда d.c. ток инжектируется в контакт. Наиболее интересен режим, когда ток меньше, чем Ic в точке разрыва производной по T . Предполагается, что температура изменяется при фиксированном токе I. Посмотрим, как изменяется соответствующая разность фаз при изменении температуры. Существует несколько решений ϕ(T ) уравнения I = I(ϕ), где I(ϕ) определено в (III.6). Предположим, что затухание велико и фаза стабилизируется в одном из минимумов энергии Гиббса Ξ(I, T, ϕ) = Ω(T, ϕ)−ϕI~/2e [53]. Фа-

56 за ϕ(T ), соответствующая минимуму энергии Гиббса, показана на рис. III.4b. Будем увеличивать температуру начиная с абсолютного нуля, тогда фаза непрерывно меняется с температурой вплоть до заштрихованной области, в которой существует не два, а четыре решения ур. I = I(ϕ). В этой области энергия Гиббса имеет два равных минимума. Вне заштрихованной, в области высоких температур, фаза опять изменяется непрерывно с T . Подведем итоги. Исследовался фазовый переход между π- и 0-состояниями в SFS контактах. Найдена фазовая диаграмма в переменных (T, Θ) и (I, T ). Показано, что критический ток в общем случае не обращается в нуль при температуре Tπ0 π − 0-перехода. Токи соответствующих спиновых каналов текут в противоположные стороны вблизи T = Tπ0 , и при D ¿ 1 почти полностью компенсируют друг-друга, в результате чего I ∝ D2 sin(2ϕ), а не D sin(ϕ).

57

Рис. III.4.: (a) Фазовая диаграмма контакта при D = 0.1, Θ = 0.7. Светло-серая область соответствует π-фазе, белая — 0-фазе. Потенциал Гиббса Ξ(I, T, ϕ) = Ω(T, ϕ) − ϕI~/2e имеет два равных минимума на интервале [−π, π] (выделено темно-серым цветом). Критический ток (непрерывная жирная линия) – верхняя граница фазовой диаграммы. (b) Температурная зависимость фазы, соответствующая d.c. току I = 0.07Ic0 (пунктирная линия параллельная оси, вдоль которой отложена температура). Жирная непрерывная линия — стабильное решение ур. I = I(ϕ) (минимум энергии Гиббса), тонкие пунктирные линии — нестабильные решения (соответствуют локальному максимуму энергии Гиббса). Температура π − 0 перехода, соответствующая I = 0, равна T = 0.2Tc .

58

IV. Эффект Джозефсона в SFXSF контактах

Известно, что обменное поле в объемных сверхпроводниках [41, 54] или в слоистых структурах типа сверхпроводник (S) – ферромагнетик (F) подавляет температуру Tc сверхпроводящего перехода (см, например, [55]). Обменное поле также подавляет эффект близости, сверхпроводящие корреляции распространяются вглубь ферромагнетика в SF-системах на меньшие расстояния, чем вглубь нормального металла в SN-контактах [56]. Довольно естественным было бы предположить, что сверхпроводящий ток будет также подавлятся обменным полем, например в SFS контактах. Однако, оказывается, что эффект Джозефсона не только не подавляется, но даже усиливается в некоторых сверхпрводящих контактах, например в SF ISF контактах [7, 57] и в SFS [8, 58]. Несмотря на многочисленные исследования эффекта усиления, на сегодняшний день не ясно, почему сверхпроводящий ток усиливается обменным полем, какие условия благоприятствуют этому эффекту. Цель данной работы, попытаться найти ответы на сформулированные выше во-

59 просы. Основной объект исследования данной работы — SF XSF контакт, где SF — “ферромагнитный” сверхпроводник, X — рассеиватель общего вида. Ниже показано, что эффект усиления сверхпроводящего тока обменным полем наблюдается только тогда, когда в распределении прозрачностей области X малые прозрачности имеют наибольший вес. Если X-слой имеет прозрачность D ¿ 1, то эффект усиления наблюдается; при увеличении D, эффект усиления исчезает. Когда X — грязный нормальный металл, эффекта усиления нет. Пр нулевой температуре существует соответствие между критическим током Ic (V = 0, h1 − h2 ) SF 1 ISF 2 контакта с коллинеарными обменными полями и амплитудой джозефсоновского тока Re Ic (V ) в SIS контакте, где V — напряжение между сверхпроводниками. Эти величины совпадают, если напряжение V равно разнице соответствующих обменных полей h1 − h2 . Таким образом, логарифмическая особенность Ic (V = 0, h1 − h2 ) при |h1 − h2 | = ∆1 + ∆2 имеет туже самую природу, как риделевский пик в SIS контактах при |eV | = ∆1 +∆2 [59–62]. Здесь ∆1(2) — модули параметров порядка сверхпроводников. Схематический вид SF XSF показан на рис. IV.1. Сверхпроводники с ферромагнитными примесями [54], или SF-сэндвичи [7, 63], в которых сверхпроводящий и феррмагнитный параметры порядка индуцируются за счет эффекта близости могут играть роль SF -слоя. Математически, SF описывается моделью БКШ с обменным полем h [7,64]. Уравнение самосогласования при нулевой температуре показывает, что ∆(h) = ∆(0), если h < ∆(0) и ∆(h) = 0 в противном случае. В данной работе везде предполагается, что |h| ≤ ∆(0)

60

(SF)1

X

(SF)2

Рис. IV.1.: Схематический вид SF XSF контакта; два SF -слоя имеют сверхпроводящие параметры порядка ∆1(2) , как в теории БКШ, и обменные поля h1(2) . Рассеивающий потенциал X (например, изолятор или грязный нормальный металл) отделяет два SF -слоя.

в обоих слоях и T ¿ Tc .

Сверхпроводящий ток вычисляется с помощью метода функций Грина. Предполагается, что контакт короткий, т.е. характерный масштаб времени прохождения электрона τ через контакт удовлетворяет неравенству ~/τ À ∆1,2 . Следуя методу предложенному в [65, 66], мы выражаем сверхпроводяˆ 1,2 в объеме SF -слоев1 и щий ток I через запаздывающие функции Грина R собственные значения Tn матрицы tt† , где t — амплитуда прохождения через

1

Когда через систему течет сверхпроводящий ток, она находится в термодинамическом равновесии, поэтому достаточно запаздывающих функций Грина для нахождения тока.

61 X-слой:

µ ¶ Z h i 1 E (3) ˆ I= dE Tr τˆ I(E) tanh , 4e 2T ˆ1, R ˆ2] e2 X [R ˆ I= , 2Tn ˆ1, R ˆ 2 } − 2) π~ n 4 + Tn ({R  E + ~σ · h1,2 eiϕ1,2 ∆1,2 i  ˆ 1,2 (E) = p R  (∆1,2 )2 − (E + ~σ · h1,2 )2 −e−iϕ1,2 ∆1,2 −E − ~σ · h1,2

(IV.1) (IV.2)    . (IV.3)

Здесь τˆ(3) матрица Паули действущая в пространстве Намбу. След берется по пространству Намбу и спиновому пространству, ϕ1,2 —разность фаз сверхпроводящих параметров порядка SF слоев. Уравнение (IV.3) справедливо и в случае баллистических, и в случае грязных SF -слоев. Следует подчеркнуть, что при выводе ур. (IV.1,IV.2) использовались общие граничные условия Зайцева [65, 66] для квазиклассических функций Грина, а не условия Куприянова-Лукичева [67], верные только при малых T (см., например, [68]). Граничные условия Зайцева приводят к антикоммутатору гриновских функций в знаменателе (IV.2); этот антикоммутатор играет важную роль, и им нельзя пренебречь, как в [67]. Именно благодаря антикоммутатору, оказывается, что эффект усиления критического тока подавляется в SF ISF контактах с большой вероятностью прохождения T и в SF NSF контактах, где N — грязный нормальный металл. Если h1 k h2 , то ур. (IV.2) сводится к:

1 g(E, ϕ, σ, T ) = (1 − T ) sin(a1 ) sin(a2 ) + T (cos (ϕ) − cos(a1 + a2 )) , (IV.4) 2

62 где ϕ = ϕ1 −ϕ2 , ρ(T ) =

P

n δ(T

−Tn ) — распределение вероятностей прохож-

дения, ω = 2πT (k + 1/2), k = 0, ±1, . . . — мацубаровские частоты, и a1,2 = arccos[(E + σh1,2 )/∆1,2 ] фазы андреевского отражения от SF слоев. Уравнения (??) и (IV.4) могут быть выведены также с помощью метода матриц рассеяния. В общем случае, h1 ∦ h2 , сверхпроводящий ток удовлетворяет соотношению µ ¶ µ ¶ θ θ I(ϕ) = I (p) (ϕ) cos2 + I (a) (ϕ) sin2 , 2 2

(IV.5)

где индексы p, a соответствуют параллельным и антипараллельным конфигурациям обменных полей; θ —угол между h1 and h2 . Уравнение (IV.5) может быть получено из (IV.1)-(IV.3), на основе следующего тождества для аналитической функции L двух переменных: µ ¶ 1 X a·b Tr L[(~σ · a), (~σ · b)] ≡ 1 + σ1 σ2 L[σ1 |a|, σ2 |b|] , 2 σ =±1 |a||b|

(IV.6)

1(2)

где след берется по спиновым степеням свободы. Это тождество можно доказать, представляя его обе части в виде ряда Тейлора. Ур. (??-IV.5) позволяют исследовать влияние ферромагнитных взаимодействий на сверхпроводящий ток. Ниже будет разобран случай коллинеарных обменных полей. Предположим, что X — туннельный барьер. Тогда ρ(T ) = N δ(T − D), где D ¿ 1, N обозначает число каналов [N = kF2 A/4π, где A площадь сечения контакта,

63 и kF — волновой вектор в S]. Из ур. (??) следует, что π I(ϕ) = sin(ϕ) (RN )−1 ∆1 ∆2 × e X 1 p T Re p , (IV.7) 2 + (ω + ih )2 (∆ )2 + (ω + ih )2 (∆ ) 1 1 2 2 ω где RN = (N De2 /π~)−1 нормальная проводимость контакта. Если sign(h1 h2 ) > 0, то ур. (IV.7) определяет I (p) , в противоположном случае — I (a) [см. ур. (IV.5)]. Когда ∆1 = ∆2 , h1 = −h2 , ур. (IV.7) воспроизводит соответствующие результаты [7]. Из ур. (IV.7) следует, что при T ¿ min{∆1 , ∆2 }, когда |h1 | < ∆1 , |h2 | < ∆2 , сверхпроводящий ток не зависит от h1 + h2 . Он монотонно возрастает с h1 − h2 и обращается в бесконечность (логарифмически) при |h1 − h2 | → ∆1 + ∆2 . Чтобы проиллюстрировать эти утверждения, напишем ур. (IV.7) в реальном времени: µ ¶ XZ ∞ E ∆1 ∆2 dE tanh sin(ϕ) × I(ϕ) = 4RN 2T −∞ σ=±1 1

Im p

((∆1 )2 − (E + h1 σ)2 )((∆2 )2 − (E + h2 σ)2 )

(IV.8) .

Область интегрирования показана на рис. IV.2. Уравнение (IV.8) и рис. IV.2 показывают, что обменные поля h1(2) сдвигают энергии Ферми сверхпроводников на σh1(2) . Потенциалы V1(2) , приложенные к сверхпроводящим берегам SIS контакта сдвигают энергии Ферми аналогичным образом. Оказывается, что амплитуда Re Ic (V ) джозефсоновского тока в режиме нестационарного эффекта джозефсона [величина, стоящая при sin(2eV t/~)] в SIS контакте равнакритическому току Ic = I(ϕ = π/2) в ур. (IV.7,IV.8) после подстановки

64

E (SF)1

integration domain

2D1

E=0 h1

h2 integration domain

2D2

(SF)2

Рис. IV.2.: Область, отмеченная как “integration domain” дает основной вклад в сверхпроводящий ток в (SF)1 I(SF)2 контакте согласно ур. (IV.8). Сверхпроводящий ток имеет риделевскую особенность при |h1 | → ∆1 , |h2 | → ∆2 .

h1(2) → eV1(2) . При нулевой температуре, критический ток Ic = I(ϕ = π/2) (IV.8) может быть выражен через эллиптическую функцию K [60, 61, 69]. Введем обозначение h ≡ h1 − h2 , где |h| < |∆1 − ∆2 |, тогда Ãs ! 2 2 2e∆1 ∆2 (∆1 − ∆2 ) − h I c RN = p K . (∆1 + ∆2 )2 − h2 (∆1 + ∆2 )2 − h2

(IV.9)

Если |∆1 − ∆2 | < |h| < ∆1 + ∆2 , то I c RN = e

Ãs

p

∆1 ∆2 K

h2

4∆1 ∆2 − (∆1 − ∆2 )2

! .

(IV.10)

При h1 = h2 = 0, ∆1 = ∆2 , ур. (IV.10) дает, Ic RN = e∆π/2, т.е., известное выражение для критического тока туннельного контакта [33]. Когда |h| стремится к ∆1 +∆2 , интеграл в (IV.8) расходится. Можно найти

65 сингулярную часть тока:

√ µ ¶ e ∆1 ∆2 ∆1 + ∆2 Ic RN = ln . 2 ||h| − (∆1 + ∆2 )|

(IV.11)

Если температура близка к критической температуре SF слоя, сверхпроводящий ток зависит не только от h1 − h2 , но также от h1 + h2 ; в этом случае эффект усиления отсутствует в согласии с [7]. В режиме высоких температур, когда не выполнено условие T ¿ ∆1,2 , нет соответствия между обменным полем в SF XSF контактах и напряжением в SIS контактах. Выше было показано, что сверхпроводящий ток усиливается обменным полем в туннельном режиме, когда рассеивающий потенциал X соответствует изолятору с маленькой вероятностью туннелирования. Ниже рассматривается другие случаи, например, когда X — нормальный металл. Пусть ∆ = ∆1 = ∆2 , и h ≡ h1 = −h2 (антипараллельная конфигурация обменных полей), тогда ур. (IV.4) можно упростить: · ¸ 2 2 2−T p 2 h − E g(E, ϕ, σ, T ) = (∆ − E 2 − h2 )2 − 4E 2 h2 + T cos (ϕ) + , 2 ∆ ∆2 Сверхпроводящий ток может быть найден с помощью (??). Рассмотрим случай, когда распределения вероятностей прохождения соответствует изолятору с вероятностью туннелирования D: ρ ∝ δ(T − D). Выше было показано, что, эффект усиления наблюдается, когда D ¿ 1. Будем увеличивать вероятность туннелирования D, при этом эффект усиления начинает подавлятся. При D → 1 эффект усиления пропадает, см. рис. IV.3a. Вероятность туннелирования может быть выражена через сопротивление области X: D = RSh /RX , где RSh = (e2 kF2 A/4π 2 ~)−1 – сопротивление Шарвина, где A — площадь контакта.

66

Рис. IV.3.: Зависимость критического тока от обменного поля в SF XSF контакте с ∆1 = ∆2 и Eex ≡ h1 = −h2 . (a) X — изолятор с вероятностью туннелирования D. Эффект усиления сверхпроводящего тока пропадает при D > 0.7. (b) X — грязный нормальный металл с кондактансом GN , пересеченный слоем изолятора с кондактансом GT ; α = GT /GN . Эффект усиления пропадает, если α À 1.

67 Пусть X — грязный нормальный метал с кондактансом GX , пересеченный слоем диэлектрика с кондактансом GT . Тогда распределение вероятностей прохождение имеет вид ρ(T ) [70]; Например, если GT /GX À 1, то ρ(T ) = √ (π~GX /e2 )/T 1 − T [71]. На рисунке IV.3b показан график критического тока, как функции обменного поля при разных α ≡ GT /GX 2 . Как следует из рисунка, когда α À 1, эффект усиления критического тока обменным полем не наблюдается. Если X состоит из двух слоев изолятора, разделенных слоем √ грязного нормального металла, то ρ ∝ 1/T 3/2 1 − T ; наблюдается незначительный эффект усиления, относительное усиление критического тока не превышает 10%. На рис. IV.4 показано, какой вклад в критический ток дает непрерывный спектр и андреевские уровни (дискретный спектр). Оказывается, что эффект усиления связан с непрерывным спектром, вклад от которого в Ic возрастает при увеличении разности обменных полей сверхпроводников, Eex = h1 − h2 . Если X изолятор, то непрерывный спектр дает основной вклад в ток (см. Fig. IV.2) и наблюдается значительный эффект усиления. Рассмотрим нестационарный эффект Джозефсона в SF ISF структурах. Аналогично SIS контактам, сверхпроводящий ток состоит из трех частей: I(t) = I1 (t) + I2 (t) + I3 , где I1 (t) = Re[Ic (V, h)] sin(2eV t/~) — сверхпроводящий ток, I2 (t) = Im[Ic (V, h)] cos(2eV t/~) — интерференционный ток, и I3 — квазичастичный ток, здесь, h = h1 − h2 . Ниже будет рассматриваться I1 и I2 , квазичастичный ток был подробно исследован в [47]. Метод расчета 2

В этом случае X — грязный нормальный металл.

68

Рис. IV.4.: Критический ток в SF XSF контакте с ∆1 = ∆2 , Eex ≡ h1 = −h2 , ρ(T ) ∝ δ(T − D), и D = 0.2). На рисунке показаны вклады в ток дискретного и непрерывного спектров. Параметры модели такие же, как на рис. IV.3a.

69 комплексной амплитуды Ic (V, h) в SF ISF контактах аналогичен соответствующим вычислениям в SIS контактах [60, 61]. При температуре равной нулю, 1 Ic (V, h) = (Ic (V + h/e, 0) + Ic (V − h/e, 0)) . 2

(IV.12)

Когда V = 0, DC критический ток в SF ISF контакте совпадает с AC амплитудой сверх-тока в SIS контактах, если произвести замену eV на h. Пользуясь ур. (IV.12), можно исследовать нестационарный эффект джозефсона в SF ISF контактах. В SIS, Re Ic (V ) имеет риделевскую особенность при |eV | = ∆1 + ∆2 ; но в SF ISF контакте, риделевская особенность появляется при |eV ± (h2 − h1 )| = ∆1 + ∆2 (предполагается, что обменные поля h1,2 , коллинеарны). В SIS, Im Ic (V ) равна нулю при |eV | < ∆1 + ∆2 , и скачком √ изменяется до π ∆1 ∆2 /2RN при |eV | = ∆1 + ∆2 [33]. В SF ISF , Im Ic (V ) испытывает скачок при |eV − (h2 − h1 )| = ∆1 + ∆2 [см. рис. IV.5], величина которого в два раза меньше чем в SIS. Подведем итоги. В работе было показано, что эффект усиления критического тока обменным полем возникает в SF XSF контактах, если в распределении прозрачностей области X основной вес приходится на малые вероятности прохождения. В частности, если X — грязный нормальный металл, то эффект усиления не наблюдается. В режиме низких температур, существует соответствие между критическим током в SF ISF контакте с коллинеарной конфигурацией обменных полей и амплитудой сверхпроводящего тока в туннельном SIS контакте в режиме нестационарного эффекта Джозефсона: разница обменных полей в SF ISF контакте эквивалентна роли напряжения в SIS.

70

Рис. IV.5.: Действительная и мнимая часть амплитуды джозефсоновского тока Ic (V ) в SF ISF контакте при T = 0, Eex ≡ h1 = −h2 = 0.3∆; ∆1 = ∆2 ≡ ∆). Риделевская особенность видна при V = 2∆ ± 2Eex .

71

V. Магнитные осцилляции кондактанса в NS системах

В последние годы, много внимания уделяется изучению гибридных контактов, состоящих из сверхпроводников и нормальных металлов, в магнитном поле [5, 78]. Исследования S-2DEG контактов в сильном магнитном поле помогает установить связь между такими областями физики, как мезоскопическая сверхпроводимость и квантовый эффект Холла. Экспериментальные исследования S-2DEG-S контактов показали, что кондактанс этой системы в сильном магнитном поле, перпендикулярном плоскости 2DEG, в режиме Целочисленного Квантового Эффекта Холла (ЦКЭХ), квантуется при изменении магнитного поля [5]. Однако, квантование G оказалось не универсальным, как, например, в квантовых точечных контактах [2], где квант равен 2e2 /~; плато ступенек G зависело периодически от фактора заполнения в 2DEG [5]. Численные эксперименты [77, 78] подтвердили неуниверсальность квантования G, показали что при определенных условиях G осциллирует как функция фактора заполнения ν. Феноменологическое объяснение квантова-

72 ния кондактанса было предложено в [78]. Однако, так и осталось неясным, в чем причина осцилляций G, и вообще нелинейной зависимости от H. В этой работе найдена аналитически зависимость G(ν). Показано, что кондактанс становится чувствительным к H, когда 2Rc & L, где Rc — циклотронный радиус в 2DEG, L длина 2DEG-S границы; нелинейность G(ν) возникает из-за интерференции квазичастиц, отраженных по Андрееву от сверхпроводника; природа осцилляций G(ν) имеет много общего с осцилляциями G(Φ/Φ0 ) при эффекте Ааронова-Бома. Рассмотрим контакт сверхпроводника с двумерным электронным газом (2DEG) гетероструктуры, рис. V.1. Магнитное поле H приложено вдоль оси z, которая перпендикулярна 2DEG. Предполагается, что 2DEG баллистический, т.е. длина свободного пробега электрона ltr À L, где L длина 2DEG-S границы. Предполагается, что ток I течет между нормальным контактом (N) и сверхпроводником. Кондактанс G(H, L) = I/V, V → 0 изучается в этой работе. Следуя методу [79], выразим кондактанс через матрицу рассеяния контакта. Электроны и дырки вылетают из нормального металла, рассеиваются от контакта со сверхпроводником и возвращаются в нормальный контакт; их волновые функции удовлетворяют уравнениям Боголюбова-де Жена. Кондактанс контакта пропорционален вероятности андреевского отражения электрона в дырку (или наоборот) от сверхпроводника [79]: ¯ ∂I ¯¯ 4e2 2e2 X G= Rhe,lo ni = R, = ∂V ¯V →0 h h

(V.1)

lo ,ni

где Rhe,lo ni — вероятность андреевского отражения электрона (e) с энергией

73 E = 0 (по отношению к энергии EF в 2DEG) в канале ni в дырку (h) в канале lo .

y x

0 y=L

e,h (2DEG)

S I

normal metal

y=0

e

superconductor

N I

Рис. V.1.: Рассматриваемая система состоит из сверхпроводника (S), 2DEG и нормального металла (N). Электроны инжектируются из N в краевые состояния в 2DEG, отражаются от сверхпроводника в электроны и дырки (андреевсое отражение), которые возвращаются обратно в N через 2DEG в соответствующих краевых состояниях.

Перед тем, как переходить к расчетам кондактанса, попробуем понять на качественном уровне, как (и почему) G может зависеть от H. Когда магнитное поле H мало (Rc À L), то Rhe,lo ni ' Rhe δlo ,ni , и Rhe слабо зависит от H: R ' Rhe N, N = Lpf /2π.

(V.2)

Если магнитное поле сильное (Rc ¿ L), то квазичастицы рассеиваются многократно от сверхпроводника из-за искривления их орбит в магнитном поле,

74 см. рис. V.2.

2DEG h

h

d

e

e

e

x x=0

insulator

L y3 = yno

y2

y1

superconductor

y0

y=0

insulator

Рис. V.2.: В квазиклассическом приближении, квазичастицы можно рассматривать как пучки лучей (по аналогии с оптикой), траектории которых подчиняются классическим уравнениям движения. На рисунке непрерывными линиями показаны электронные лучи, и пунктирными линиями дырочные.

В квазиклассическом приближении, ν À 1, состояния электронов и дырок можно рассматривать в виде пучка лучей (по аналогии с геометрической оптикой [80], где распространение электромагнитных волн описывается на языке лучей, траектории которых подчиняются уравнению эйконала), траектории которых удовлетворяют уравнениям классической механики. Если Rc ¿ L, краевые состояния, в которых квазичастицы двигаются от и к сверхпроводнику, в 2DEG не перекрываются. Квантовые числа no , li (V.1) соответствуют падающим в краевых состояниях электронам и отраженным дыркам. На рисунке V.2 схематически показано отражение электронных лучей в дырочные. Электрон (имеется ввиду соответствующий луч) отражается в электрон и дырку в точке y0 , см. рис. V.2, которые, в свою очередь, отражаются от сверхпроводника в точке y1 , в результате чего образуется уже четыре луча, два электронных и два дырочных, и так далее. В результате,

75 восемь дырочных лучей движутся из S к N, двигаясь вдоль одной траектории с началом в y3 . Вероятность отражения электрона в эти восемь дырок равна ¯2 ¯ ¯ ¯ 3iSe −i3π/2 iSh +2iSe −iπ/2 + rhh rhe ree ree e + . . .¯ , P (y0 , ni , no ) ' ¯rhe ree ree ree e (V.3) где rba — амплитуда отражения квазичастицы a квазичастицу b от сверхпроводника. Se(h) — действие электрона (дырки), соответствующее отрезку траектории между двумя столкновениями с границей 2DEG. Тогда Reh,lo ni ' hP (y0 )iδni ,l0 , где усреднение ведется по 0 < y0 < d(ni ), d — длина "прыжка"квазичастицы вдоль края 2DEG, см. рис. V.2. Формула (V.3) включает интерференционные вклады, пропорциональные Se − Sh . Как показывают вычисления, Se − Sh = 2π(ν − 1/2), отсюда можно сделать вывод, что кондактанс может зависеть нелинейно от ν благодаря интерференционным членам. Природа этих интерференционных эффектов имеет много общего с эффектом Ааронова-Бома, где кондактанс осциллирует с потоком Φ, потому что электроны набирают разные фазы, пролетая из катода в анод по разным траекториям. Квазиклассическое приближение, использованное выше, справедливо, если max{T, |eV |, gµB H}/µ ¿ λF /L, где λF — длина волны электрона в 2DEG. В общем случае, кондактанс 2DEG-S контакта в магнитном поле можно вычислить, найдя квазиклассическую (ν À 1) асимптотику (V.1). Если S-2DEG зеркальная, то обобщая метод [81] можно найти Reh,ln в квазиклас-

76 сическом приближении с помощью гриновских функций:  ¯ ¯2  Z  ¯ ³ X d(ni ) π ´¯¯  ¯X ρ(n , y ) ¯ ta exp iSa − i µa ¯ dy0 , R=  i 0 ¯ ¯ 2 0 ni

(V.4)

a

где ni индекс краевого состояния электрона, летящего из N к сверхпроводнику, d(ni ) — длина прыжка электрона (соответствующей дырки); ta амплитуда вероятности отражения электрона в дырку (y = y0 – координата первого отражения, y = yno – координата последнего отражения от сверхпрводника), индекс a — отмечает траекторию; Sa — фаза (действие) соответствующее траектории a; µa – индекс Маслова. Рассмотрим, например, выделенную жирными линиями траекторию на рис. V.2: ta = rhe ree reh rhe и Sa = Sh + 2Se . Суммирование по a означает сумму по всем траекториям, начинающимся в Rd y0 , заканчивающимся в yno . Весовая функция ρ(ni , y0 ), где 0 ρ(ni , y0 )dy0 = 1, в общем случае зависит от формы контакта. Если граница 2DEG со сверхпроводником — отрезок x = 0, 0 < y < L, как на рис. V.2, то ρ = 1/d. Сумма по траекториям в (V.4) может быть найдена аналитически: √ 4e2 X X Reh sin2 (s arccos( Ree cos(Ω))) G= Ps , h n s 1 − Ree cos2 (Ω)

(V.5)

i

где Ω = πν + θ − 2λp⊥ ; θ = arg(ree ) — фаза амплитуды отражения от сверхпроводника, Ree = |ree |2 ; p⊥ = p⊥ (ni ) абсолютное значение перпендикулярной к поверхности сверхпроводника компоненты импульса электрона (в точке отражения от 2DEG-S границы); λ — глубина проникновения магнитного поля в сверхпроводник; ν = Ef /(~ωc ) − 1/2. Функция Ps — вероятность

77 s отражений от 2DEG-S границы:    L−gd   d    Ps = 1 − L−gd d       0

if s = g + 1, if s = g,

(V.6)

otherwise.

Соотношения (V.4-V.5) один из центральных результатов данной работы. В слабом магнитном поле кондактанс не зависит от H, и (V.5) сводится к (V.2). Если 2Rc . L, то, как следует из (V.5), кондактанс начинает зависеть от H. Рассмотрим несколько предельных случаев (V.5). Осцилляции кондактанса G(ν) – одно из наиболее интересных свойств системы. Из (V.5) следует, что G(ν) осциллирует, если λ/L ¿ Rc2 /L2 и Reh . 1/2. В типичном контакте, это условие выполнено, если λ ∼ λF v 10−6 cm, L ∼ 10−3 cm [5,78]. Когда Ree ¿ 1 кондактас квантуется. Представляет интерес режим Reh ¿ 1, L/Rc À 1. Тогда функциональная зависимость G(ν) напоминает распределение интенсивности света I(δ) в интерферометре Люммера-Герике в оптике [80], где s играет роль эффективного числа лучей в интерферометре, δ = 2Ω — разницы фаз между лучами. Вероятность андреевского отражения, Rhe , соответствует вероятности прохождения света через зеркало интерферометра. Траектории квазичастиц в 2DEG-S контакте также имеют много общего с траекториями световых лучей в интерферометре Луммера-Грике. На рис. V.3 приводятся графики G(ν) (V.5). Одна из кривых соответствует λpf = 1 (точки), другая — λpf = 3 (непрерывная линия). Прямая, параллельная оси ординат соответствует кондактансу (V.2). Когда 2Rc . L кондактанс осциллирует из-за интерференции квазичастиц, при больших

78 8

10

12

14

16

18

20

22

24

26 0,5

0,4

0,4

0,3

0,3

0,2

0,2

0,1

0,1

0,0

0,0

Gh/2e

2

0,5

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

ν

Рис. V.3.: Непрерывными линиями показан график G(ν) при λL = 3, точками – при λL = 1.

ν (2Rc & L) кондактанс описывается ур. (V.2). Из графика также видно, что при увеличении отношения λ/L осцилляции пропадают. При построении графика предполагалось, что: Lpf = 80, Z = 5. Параметр Z [82] характеризует барьеры на 2DEF-S границе (например, барьеры Шоттки, слои изолятора, и т.д.), приводящие к нормальному отражению квазичастиц. Амплитуды ree , reh были вычислены с помощью уравнений Боголюбова-де Жена при нулевом магнитном (пренебрежение магнитным полем справедливо при (λ/Rc )2 ¿ 1). Отношение ∆0 /Ef было равным 0.02. Выше предполагалось, что 2DEG-S граница гладкая. Ниже будет рассмотрен кондактанс в случае шероховатой границы. Беспорядок на границе приводит к флуктуациям Sa , ta в (V.4). Беспорядок характеризуется длиной

79 свободного пробега электрона ltr , флуктуациями нормали к 2DEG-S границе p RL δn = h(n − n0 )2 i, где h(n − n0 )2 i = 0 dy(n(y) − n0 )2 /L. Формула (V.5) 2 справедлива, если Rc ¿ ltr и δn ¿ min{lH /Lλ, 1/pf L}. В противном преде-

ле, интерференционные члены в (V.4) обратятся в нуль и X Z d(ni ) X Rw dy0 |ta |2 /d(ni ) ni

0

(V.7)

a

Число отражений квазичастиц от поверхности контакта порядка s0 = [L/2Rc ]. Поэтому p 4e2 4e2 G= R w [ν] hReh i(1 − 2hReh i)1−s0 /2 Us0 (hRee i)/ 1 − 2hReh i, h ~

(V.8)

где Us (x) = sin(s arccos(x))/ sin(arccos(x)) полином Чебышева второго рода [69]. Когда s0 → ∞ кондактанс (V.8) асимптотически приближается к [ν]2e2 /h. В эксперименте [5] наблюдались осцилляции кондактанса, правда с маленькой амплитудой, много меньшей 2e2 /~. Причина наблюдавшихся осцилляций — интерференция квазичастиц, о которой выше шла речь; из-за неровности 2DEG-S границы амплитуда осцилляций была маленькой. Кондактанс, в этом случае, хорошо аппроксимируется выражением: (2e2 /h)f (ν)(1+ a cos(πν + ϕ0 )), где a ¿ 1 характеризует беспорядок на границе, ϕ0 – фазовый сдвиг, а f (ν) ∼ [ν] описывает форму "кванта"кондактанса. Эта формула хорошо описывает экспериментальные данные.

80

VI. Критическая температура SF-бислоев

VI.1.

Постановка задачи

Сверхпроводимость и ферромагнетизм (почти) несовместимые друг с другом взаимодействия: первое способствует спариванию электронов с противоположными поляризациями спинов, второе стремиться ориентировать все спины электронов вдоль одного направления. Поэтому сосуществование этих двух типов взаимодействия в одном веществе возможно только в узком диапазоне параметров; взаимодействие сверхпроводимости и ферромагнетизма удобнее изучать в случае пространственного разделения этих взаимодействий. В этом случае взаимодействие может возникать благодаря эффекту близости. В последнее время, много внимания уделяется свойствам гибридных систем, состоящих из сверхпроводников (S) и ферромагнетиков (F); много новых физические явлений предсказано и экспериментально обнаружено в этих системах [6, 46, 115–118]. Один из наиболее интересных эффектов в

81

F S -df

0

ds

Рис. VI.1.: SF бислой. F и S слои занимают области −df < x < 0 и 0 < x < ds , соответственно.

SF бислоях (и многослойных системах) — немонотонная зависимость критической температуры Tc от толщины df ферромагнитного слоя. Ранние эксперименты, в которых исследовался этот эффект в SF-системах, таких как, Nb/Gd [119], Nb/Fe [120], V/V-Fe [121] и Pb/Fe [122], не давали ясного понимания, как зависит Tc (df ), имели плохое согласие с теорией. В этой работе, мотивированной экспериментами [123, 124], теоретически исследуется критическая температура SF-бислоев. Предыдущие теоретические исследования посвящались в основном тонким или толстым бислоям (характерный масштаб, здесь, — соответствующая длина когерентности); предполагалось, что SF-граница прозрачная или, наоборот, с очень маленькой прозрачностью; обменная энергия считалась много большей критической температуры; кроме того методы, использовавшиеся для нахождения

82 Tc , были часто плохо обоснованными [41, 56, 115, 116, 121, 122, 125, 126]. Параметры недавнего эксперимента [123, 124] не соответствовали не одному из рассмотренных раньше предельных случаев. В данной работе, предлагается два метода, позволяющие в широкой области параметров (не только в уже рассматривавшихся предельных случаях) исследовать критическую температуру Tc , немонотонную зависимость Tc от толщины ферромагнетика df . Экспериментальные данные хорошо согласуются с нашими теоретическими предсказаниями. Существует много способов вычисления Tc . Когда критическая температура Tc бислоя близка к критической температуре сверхпроводника Tcs (без ферромагнитного слоя), применима теория Гинзбурга-Ландау. Однако, Tc SF бислоев может сильно отличаться от Tcs , поэтому мы выбираем более общую теорию, справедливую при любых температурах: квазиклассический метод [127–129]. Вблизи Tc квазиклассические уравнения становятся линейными. В известной нам литературе, получающиеся в результате уравнения решаются с помощью так называемого "одномодового приближения" [56, 116, 125, 126], которое, как утверждалось рядом авторов, в широкой области параметров хорошо аппроксимирует точное решение. На самом деле, этот метод применим только в некоторой (довольно узкой) области параметров — это будет показано ниже. Так же ниже будет рассмотрено несколько примеров, когда этот метод дает даже качественно несогласующиеся с точным решениям результаты. Точное решение в предельном случае прозрачных границ и большой обменной энергии получено в [115]. Мы

83 рассматриваем ниже общий случай. Для вычисление Tc в SF, мы обобщили многомодовый метод, раннее использовавшийся для нахождения Tc в SN системах [23]. Хотя этот метод позволяет найти точное решение линеаризованных квазиклассических уравнений, довольно трудно его математически обосновать. Поэтому, мы разработали другой метод (более строгий математически), "метод фундаментального решения". Раньше рассмотренные модели [41,56,115,116,121,122,125,126], соответствуют предельным случаям нашей теории.

VI.2.

Модель

Предполагается, что выполнены условия применимости диффузного приближения, так что критическая температура может быть найдена с помощью линеаризованных уравнений Узаделя в S и F слоях (область 0 < x < ds занята сверхпроводником S, −df < x < 0 — ферромагнетиком F, см. рис. VI.1). Вблизи Tc , нормальная функция Грина, G = sign ωn , и уравнения Узаделя для аномальной функции Грина F имеют вид d ξs2 πTcs d ξf2 πTcs

2

2

Fs − |ωn |Fs + ∆ = 0, dx2

0 < x < ds ;

Ff − (|ωn | + iEex sgn ωn )Ff = 0, −df < x < 0; dx2 µ ¶ X ∆ Tcs = πT − Fs ∆ ln T |ω | n ω

(VI.1) (VI.2) (VI.3)

n

(парный потенциал ∆ отличен от нуля только в S). Здесь используются слеp p Ds /2πTcs , ξf = Df /2πTcs — длины когедующие обозначения: ξs = рентности, D = vl/3 — коэффициент диффузии; ωn = πT (2n + 1), n =

84 0, ±1, ±2, . . . — мацубаровские частоты; Eex — обменная энергия; и Tcs — критическая температура материала S. Fs(f ) обозначает функцию F в S(F)области. Используются единицы, в которых ~ = kB = 1. Уравнениям (VI.1)–(VI.3) соответствуют следующие граничные условия на границах бислоя: dFs (ds ) dFf (−df ) = = 0. dx dx

(VI.4)

На SF-границе: [131] dFs (0) dFf (0) = γξf , dx dx dFf (0) ξf γb = Fs (0) − Ff (0), dx ξs

ρs ξs , ρf ξf Rb A . γb = ρf ξf

γ=

(VI.5) (VI.6)

Здесь ρs , ρf — нормальные сопротивления S и F, Rb — сопротивление SFграницы, и A ее площадь. В F-слое уравнения Узаделя легко решаются: Ff = C(ωn ) cosh (kf [x + df ]) , s 1 |ωn | + iEex sgn ωn kf = . ξf πTcs

(VI.7)

Граничные условия для Fs имеют замкнутую форму при x = 0: ξs

dFs (0) γ = Fs (0), dx γb + Bf (ωn )

(VI.8)

Bf = [kf ξf tanh(kf df )]−1 . Это граничное условие комплексно. Чтобы сделать его действительным, перейдем к функциям F ± = F (ωn ) ± F (−ωn ).

(VI.9)

85 Из уравнений Узаделя. (VI.1)–(VI.3) следует, что F (−ωn ) = F ∗ (ωn ); итак, F + — действительная функция, F − — мнимая. Благодаря свойствам симметрии функций F + и F − по отношению к ωn , в дальнейшем можно рассматривать только положительные ωn . Уравнение самосогласования выражается только через Fs+ : ¶ X µ 2∆ Tcs = πT − Fs+ , ∆ ln T ωn ω >0

(VI.10)

n

и задача нахождения Tc может быть сформулирована в замкнутой форме по отношению к Fs+ . Уравнение Узаделя для Fs− не содержит ∆, поэтому оно может быть решено аналитически. После исключения Fs− из граничных условий (VI.8), мы приходим к эффективным граничным условиям только для Fs+ : ξs

dFs+ (0) = W (ωn )Fs+ (0), dx

dFs+ (ds ) = 0, dx

(VI.11)

где As (γb + Re Bf ) + γ , As |γb + Bf |2 + γ(γb + Re Bf ) r 1 ωn . As = ks ξs tanh(ks ds ), ks = ξs πTcs

W (ωn ) = γ

(VI.12)

Уравнение самосогласования (VI.10), граничные условия (VI.11)–(VI.12) и уравнения Узаделя для Fs+ : Fs+ − ωn Fs+ + 2∆ = 0 2 dx

d ξs2 πTcs

2

(VI.13)

будут использованы ниже для расчета критической температуры бислоя. Задача может быть решена аналитически только в нескольких предельных случаях (см. приложение C.1). В общем случае, задача решается численно; ниже предлагается два метода численного нахождения Tc .

86

VI.3. VI.3.1.

Многомодовый метод Одномодовое приближение

В одномодовом приближении (ОМП) решение задачи (VI.10)–(VI.13) ищется в виде µ

x − ds Fs+ (x, ωn ) = f (ωn ) cos Ω ξ ¶s µ x − ds . ∆(x) = δ cos Ω ξs

¶ ,

(VI.14) (VI.15)

Этот анзац автоматически удовлетворяет граничным условиям (VI.11) при x = ds . Из уравнения Узаделя (VI.13) следует, что f (ωn ) =

2δ . ωn + Ω2 πTcs

(VI.16)

Тогда уравнение самосогласования (VI.10) принимает вид (δ и Ω не зависят от ωn ) Tcs ln =ψ Tc

µ

1 Ω2 Tcs + 2 2 Tc

¶

µ ¶ 1 −ψ , 2

(VI.17)

где ψ — дигамма функция. Граничное условие (VI.11) при x = 0 дает ¶ µ ds = W (ωn ). Ω tan Ω ξs

(VI.18)

Критическая температура Tc определяется ур. (VI.17),(VI.18). Хотя этот метод популярен, он часто используется без должного обоснования его границ применимости. Сформулируем условия его применимости: одномодовый метод применим только в том случае, когда W можно считать

87 независящей от ωn [так как левая часть ур. (VI.18) должна быть независящей от ωn [41]]. В приложении C.2 приводятся примеры, когда применимо ОМП и соответствующие аналитические результаты. В одном из важных для эксперимента случаев, Eex /πTcs > 1, df ∼ ξf , и p ОМП применимо, если Eex /πTcs À 1/γb (детали см. в Приложении C.2).

VI.3.2.

Многомодовый метод

В одномодовом приближении использовался только (один) действительный корень Ω уравнения (VI.17). Точный многомодовый метод решения задачи (VI.10)–(VI.13) использует также мнимые корни этого уравнения (их бесконечное число) [23]. Итак, решение ищется в следующем виде µ

Fs+ (x, ωn )

x − ds = f0 (ωn ) cos Ω0 ξs µ

x − ds ∆(x) = δ0 cos Ω0 ξs

³

¶ +

∞ X

fm (ωn )

m=1

¶ +

∞ X m=1

δm

³ cosh cosh

cosh

s Ωm x−d ξs

³

cosh

s Ωm x−d ξs

³

Ωm dξss

Ωm dξss

´

´ ,

(VI.19)

´

´ .

(VI.20)

(Нормировочные знаменатели в cosh-членах были введены для увеличения точности численных расчетов.) Этот анзац автоматически удовлетворяет граничным условиям (VI.11) при x = ds .

88 Подставив анзац (VI.19)–(VI.20) в уравнения Узаделя (VI.13), получим 2δ0 , ωn + Ω20 πTcs 2δm fm (ωn ) = , ωn − Ω2m πTcs f0 (ωn ) =

(VI.21) m = 1, 2, . . . ,

тогда параметры Ω определяются уравнением самосогласования (VI.10) (δ и Ω не зависят от ωn ): µ ¶ µ ¶ 1 Ω20 Tcs 1 Tcs =ψ + −ψ , ln Tc 2 2 Tc 2 µ ¶ µ ¶ 1 Ω2m Tcs 1 Tcs =ψ −ψ ln − , Tc 2 2 Tc 2

(VI.22) m = 1, 2, . . .

Из ур. (VI.22) и свойств дигамма функции [132] следует, что параметры Ω принадлежат следующему интервалу: 0 < Ω20 <

1 , 2γE

Tc Tc (2m − 1) < Ω2m < (2m + 1), Tcs Tcs

(VI.23) m = 1, 2, . . . ,

где γE ≈ 1.78 — постоянная Эйлера. Граничное условие (VI.11) при x = 0 дает следующее уравнение, которому удовлетворяют амплитуды δ: δ0

W (ωn ) cos (Ω0 ds /ξs ) − Ω0 sin (Ω0 ds /ξs ) + ωn + Ω20 πTcs ∞ X W (ωn ) + Ωm tanh (Ωm ds /ξs ) + δm = 0. (VI.24) 2 πT ω − Ω n cs m m=1

Критическая температура Tc определяется ур. (VI.22) и условием, что ур. (VI.24) имеет нетривиальное (независящее от ωn ) решения по отношению к δ.

89 При численных расчетах используется конечное число мод: m = 0, 1, . . . , M . Чтобы учесть зависимость решения от ωn , следует учесть в ур. (VI.24) все мацубаровские частоты вплоть до N ой частоты: n = 0, 1, . . . , N . В результате получается матричное уравнение Knm δm = 0 со следующей матрицей ˆ K: W (ωn ) cos (Ω0 ds /ξs ) − Ω0 sin (Ω0 ds /ξs ) , ωn /πTcs + Ω20 W (ωn ) + Ωm tanh (Ωm ds /ξs ) Knm = , ωn /πTcs − Ω2m

Kn0 =

n = 0, 1, . . . , N,

(VI.25)

m = 1, 2, . . . , M.

Выберем M = N , тогда условие существования нетривиального решения ур. (VI.24) примет вид ˆ = 0. det K

(VI.26)

Критическая температура, Tc — максимальное решение ур. (VI.22),(VI.26).

VI.4.

Метод фундаментального решения

По определению, фундаментальное решение G(x, y; ωn ) (функция Грина) задачи (VI.11)–(VI.13) удовлетворяет тем же самым уравнениям, но с дельтафункцией ("источником") в правой части [133]: d ξs2 πTcs

2

G(x, y) − ωn G(x, y) = −δ(x − y), dx2 dG(0, y) dG(ds , y) ξs = W (ωn )G(0, y), = 0. dx dx

(VI.27) (VI.28)

Фундаментальное решение может быть выражено через решения v1 , v2 ур. (VI.27) без дельта-функции, удовлетворяющие граничным условиям при x =

90 0 и x = ds соответственно: G(x, y; ωn ) =

   v1 (x)v2 (y), x ≤ y

ks ξs /ωn sinh(ks ds ) + (W/ks ξs ) cosh (ks ds )  

, (VI.29)

v2 (x)v1 (y), y ≤ x

где v1 (x) = cosh(ks x) + (W/ks ξs ) sinh(ks x),

(VI.30a)

v2 (x) = cosh (ks [x − ds ]) .

(VI.30b)

Зная G(x, y; ωn ), можно найти решение ур. (VI.11)–(VI.13): Z ds + Fs (x; ωn ) = 2 G(x, y; ωn )∆(y)dy.

(VI.31)

0

Подставив это решение в уравнение самосогласования (VI.10), найдем ¸ X · ∆(x) Z ds Tcs = 2πTc − ∆(x) ln G(x, y; ωn )∆(y)dy . (VI.32) Tc ω n 0 ω >0 n

ˆ Это уравнение удобно написать в операторной форме: ∆ ln(Tcs /Tc ) = L∆. Тогда условие, что ур. (VI.32) имеет нетривиальное решение относительно ∆ имеет вид

µ ¶ T cs ˆ − ˆ1 ln det L = 0. Tc

(VI.33)

Критическая температура Tc – максимальное решение этого уравнения. При выполнении численных расчетов, уравнение (VI.32),(VI.33) проектиˆ становится конечной матрируется на сетку, так что линейный оператор L цей. VI.4.1.

Результаты численных расчетов

В разделах VI.3, VI.4 были представлены два метода вычисления критической температуры SF бислоев. В широком диапазоне параметров можно с

91 помощью этих методов численно найти Tc . Можно проверить, что многомодовый метод и метод фундаментального решения приводят к одинаковым результатам. Однако при низких температурах, Tc ¿ Tcs , машинное время вычисления многомодовым методом увеличивается. Действительно, размер ˆ [ур. (VI.25)] определяется максимальным числом N мацубаровматрицы K ских частот ωN , которые должны быть больше характерной частоты πTcs , следовательно N À Tcs /Tc . Поэтому, при низких температурах мы используем метод фундаментального решения.

VI.4.2.

Сравнение с экспериментом

С помощью вышеописанных "точных"методов были подогнаны экспериментальные данные [123]; результаты показаны на рис. VI.2. Оценки параметров: ds = 11 nm, Tcs = 7 K, ρs = 7.5 µΩ cm, ξs = 8.9 nm, ρf = 60 µΩ cm, ξf = 7.6 nm, γ = 0.15, с помощью подгонки экспериментальных данных [134] можно оценить Eex и γb . Из рисунка VI.2 следует, что теоретические расчеты хорошо согласуются с экспериментальными данными. Подгонка выполнялась следующим образом: сначала определялась обменная энергия Eex ≈ 130 K из положения минимума на экспериментальной кривой Tc (df ); из вертикального положения кривой оценивался параметр SF границы γb ≈ 0.3. Отклонение теоретической кривой от экспериментальных данных невелико; наиболее серьезные отклонения возникают в области малых df , где Tc убывает. В этом нет неожиданного, так как при толщине df порядка несколь-

92

Рис. VI.2.: Подгонка экспериментальных данных. В эксперименте, в качестве сверхпроводника был выбран Nb (ds = 11 nm, Tcs = 7 K), а Cu0.43 Ni0.57 — в качестве ферромагнетика. С помощью данной подгонки можно сделать оценку: Eex ≈ 130 K и γb ≈ 0.3.

93 ких нанометров, толщина ферромагнитной пленки F сильно флуктуирует (что не учитывается нашей теорией); при таких df пленка представляет собой совокупность ферромагнитных островков, а не непрерывный материал с определенной толщиной. Отметим, что минимум Tc достигается при df ≈ 5 nm, когда можно считать ферромагнитную пленку F однородной по толщине.

VI.4.3.

Tc (df ).

Экспериментальные результаты, изложенные выше, представляют только один из возможных типов поведения Tc (df ). Ниже рассматривается общий случай. Будут описаны различные типы кривых Tc (df ), соответствующие разному выбору параметров бислоя. На рис. VI.3 нарисованы различные типы кривых Tc (df ) при разных значениях γb [напомним, что γb ∝ Rb ,где Rb — сопротивление SF границы в нормальном состоянии — см. ур. (VI.6)]. Обменная энергия Eex = 150 K; остальные параметры такие же, как на рис. VI.2. Можно выделить три основных типа кривых Tc (df ): 1) при достаточно высоком сопротивлении границы, Tc (df → ∞) немонотонно спадает к конечному значению, при конечных df кривая имеет минимум, 2) при промежуточных значениях сопротивления, Tc имеет возвратное поведение: она исчезает в конечном интервале df , конечна вне этого интервала, Tc (df → ∞) насыщается к конечному значению, 3) при маленьком сопротивлении границы, Tc монотонно спадает к нулю в конечном интервале df . Аналогичные типы зависимостей Tc (df ), как на рис. VI.3,

94

Рис. VI.3.: Различные типы Tc (df ). Толщина ферромагнитного слоя F измеряется в единицах длины волны λex , определенной в (VI.40). Кривые соответствуют различным значениям параметра γb . Обменная энергия Eex = 150 K; Другие параметры такие же, как на рис. VI.2. Можно выделить три основных типа поведения Tc (df ): 1) немонотонный спад к конечному Tc с минимумом при конечном df (γb = 2; 0.5; 0.1; 0.07), 2) возвратное поведение (γb = 0.05; 0.02), 3) монотонный спад к Tc = 0 при конечном df (γb = 0). Жирными точками обозначены параметры, соответствующие рис. VI.6.

можно получит варьирую другие параметры, например, обменную энергию Eex или нормальное сопротивление слоев (параметр γ). Общая черта большинства кривых на рис. VI.3 — это насыщение Tc при больших df & λex . Это факт имеет простое физическое объяснение: подавление сверхпроводимости грязным ферромагнетиком осуществляется только слоем толщиной λex , непосредственно примыкающим к границе сверхпроводника (иными словами, эффект близости распространяется только на этот слой).

95

Рис. VI.4.: Изменение порядка фазового перехода. Это явление проявляется в разрывности кривой Tc (df ). Формально, Tc становится неоднозначной функцией, но меньшее решение (пунктирная кривая) физически неустойчиво. В качестве примера, мы выбрали кривую рис. VI.3 соответствующую γb = 0.05.

В работе [115] было показано, что порядок фазового перехода может измениться в SF сверхрешетках с маленьким периодом, и стать переходом первого рода. В SF бислоях этот эффект также наблюдается на кривых типа 2) и 3). Этот эффект проявляется в резком скачке Tc (df ) к нулю (см. рис. VI.3,VI.4). Формально, Tc становится неоднозначной функцией, но решение с меньшим Tc (пунктирная кривая на рис. VI.4) физически неустойчиво. Довольно интересная задача — определить трикритическую точку, в которой изменяется порядок фазового перехода. Соответствующий результат для однородного объемного сверхпроводника с внутренним обменным полем

96 был давно найден с помощью теории Гинзбурга-Ландау [54]. Однако, не существует обобщения этих результатов на случай, когда теория ГЛ неприменима. Отметим, что уравнения использованные в [115, 125] применялись вне их области применимости (эти уравнения опираются на теорию ГЛ, справедливую только тогда, когда Tc близко к Tcs ).

VI.4.4.

Сравнение многомодового и одномодового метода

Одномодовое приближение — очень популярный метод вычисления критической температуры в SF структурах. Условия его применимости были сформулированы в разделе VI.3.1. Тем ни менее, это приближение часто используется в литературе вне пределов его применимости. Используя методы развитые в разделах VI.3,VI.4, можно проверить точность одномодового приближения. Результаты представлены на рис. VI.5. Итак, хотя при некоторых параметрах результаты одномодового и многомодового (точного) методов близки (рис. VI.5 a,f), в общем случае они качественно и количественно отличаются [рис. VI.5 b,c,d,e — эти случаи соответствуют наиболее нетривиальному поведению Tc (df )]. Итак, одномодовое приближение можно использовать для быстрых оценок, но надежные результаты могут быть получены только с помощью точных методов: многомодового или метода фундаментально решения.

97

Рис. VI.5.: Сравнение одномодового и многомодового методов. Параметры выбраны такие же, как на рис. VI.3. Вообще говоря, результаты, полученные с помощью одномодового и точного методов количественно и качественно отличаются: b), c), d), и e). Однако, иногда результаты близки: a) и f). Итак, одномодовое приближение можно использовать для быстрых оценок, но надежные результаты могут быть получены только с помощью точных методов: многомодового или метода фундаментально решения.

98 VI.4.5.

Пространственная зависимость параметра порядка

Эффект близости в SF бислоях характеризуется пространственным поведением параметра порядка F (x, τ = 0) = T

X

F (x, ωn ),

(VI.34)

ωn

где τ обозначает мнимое время [в сверхпроводящем металле S, F (x, τ = 0) ∝ ∆(x)]. Эта функция вещественна благодаря симметрии F (−ωn ) = F ∗ (ωn ). Эта зависимость иллюстрируется на рис. VI.6, где показано два случая, отличающиеся df (и, конечно, Tc ). Хотя критическая температура в двух рассматриваемых случаях отличается более чем на порядок величины, но нормализованные параметры порядка близки друг ко другу, что свидетельствует о том, что Tc почти не влияет на форму F (x, τ = 0). Детали вычислений помещены в приложение C.3. Другое характерно свойство рис. VI.6 состоит в том, что параметр порядка изменяет знак в F при увеличении толщины F-слоя (это можно увидеть на кривой, показанной пунктиром; осцилляции имеют очень маленькую амплитуду). Ниже мы обсудим этот эффект.

VI.5.

Обсуждение основных результатов

VI.5.1.

Интерпретация немонотонной зависимости Tc (df )

Толщина F-слоя, при которой возникает минимум Tc (df ), можно найти из качественных соображений, основанных на рассмотрении интерференции квазичастиц в ферромагнетике.

99

Рис. VI.6.: Пространственное изменение параметра порядка, нормализованное на его значение на внешней поверхности S-слоя. На рисунки проиллюстрированы два случая, отличающиеся разной толщиной F-слоя, df (и, конечно, Tc ), при этом γb = 0.05. Остальные параметры такие же, как на рис. VI.3, где соответствующие параметры выделены жирными точками. Хотя критическая температура в двух рассматриваемых случаях отличается более чем на порядок величины, но нормализованные параметры порядка близки друг ко другу, что свидетельствует о том, что Tc почти не влияет на форму F (x, τ = 0). Разрыв параметра порядка на SF-границе связан с ее конечным сопротивлением. С увеличением df , параметр порядка осциллирует (это можно увидеть на кривой, показанной пунктиром; осцилляции имеют очень маленькую амплитуду).

100

Рис. VI.7.: Четыре типа траекторий, дающих вклад в аномальную функцию Грина. Непрерывными линиями отмечены траектории электронов, пунктирными — дырок; стрелками обозначено направление скорости.

Рассмотрим точку с координатой x в ферромагнетике. В соответствии с фейнмановской интерпретацией квантовой механики [135], волновая функция квазичастиц может быть представлена в виде суммы амплитуд, exp(iS), по классическим траекториям, где S — классическое действие вдоль траектории. Нас главным образом интересует аномальная функция Грина, характеризующая сверхпроводящие корреляции. Соответствующие траектории начинаются и заканчиваются в точке x. Четыре типа траекторий необходимо просуммировать (см рис. VI.7). Основной вклад в действие дают траектории,

101 нормальные к поверхности бислоя. Соответствующие действия равны S1 = −Qx − α,

(VI.35)

S2 = Qx − α,

(VI.36)

S3 = −Q(2df + x) − α,

(VI.37)

S4 = Q(2df + x) − α

(VI.38)

(x < 0), где Q — разница между волновым вектором электрона и дырки, и α = arccos(E/∆) — фаза андреевского отражения. Предположим, что обменное поле в ферромагнетике сильное, SF-граница – идеальная и расp смотрим баллистический случай: тогда Q = ke − kh = 2m(E + Eex + µ) − p 2m(−E − Eex + µ) ≈ 2Eex /v, где E — энергия квазичастиц, µ энергия Ферми, и v — Ферми скорость. Таким образом, аномальная функция Грина квазичастиц: F (x) ∝

4 X

exp(iSn ) ∝ cos(Qdf ) cos (Q[df + x]) .

(VI.39)

n=1

Степень подавление Tc ферромагнетиком определяется значением волновой функции на SF границе: F (0) ∝ cos2 (Qdf ). Минимум Tc соответствует минимальному значению F (0), которое соответствует df = π/2Q. В грязном пределе Q следует заменить на Q=

s Eex 2π ≡ Df λex

(VI.40)

(где мы ввели новое определение: длину волны осцииляций параметра порядка в F, λex ), следовательно минимум Tc (df ) возникает при r λex Df π (min) = . df = 2 Eex 4

(VI.41)

102 (min)

В бислое [123], минимуму соответствует df

≈ 7 nm, экспериментальное

значение — 5 nm (Fig. VI.2); таким образом, подтверждается правильность качественных оценок. С помощью вышеприведенных рассуждений можно вообще говоря получить не один, а много минимумов и максимумов критической температуры. Однако численные расчеты показывают, что мы получаем один минимум или один минимум за которым следуют очень слабо выраженный максимум (рис. VI.3). Причина этого расхождения — экспоненциальное спадание аномальной волновой функции вглубь ферромагнетика, что делает невидимым осцилляции. Наши результаты также применимы к рассмотрению осцилляций F (x) в полубесконечном ферромагнетике. В этом случае надо учесть только траектории 1 и 2 (см. рис. VI.7). Тогда получится F (x) ∝ cos(Qx) (другое качественное объяснение этого результата можно найти, например, в [56]).

VI.5.2.

SF сверхрешетки.

Методы, изложенные выше, применимы не только к SF бислоям, но и к более сложным системам, например, симметричным многослойным SF-системам в 0-состоянии (SF-сверхрешеткам, SFS, FSF, SFIFS и т.д.). Предложенные методы могут быть легко усовершенствованы для описания SF-систем в πсостояниях.

103 VI.5.3.

Комплексный коэффициент диффузии.

В ряде работ [116,125,126,137] рассматривались (вблизи Tc ) уравнения диффузии с комплексным коэффициентом диффузии Df в F-слоях системы. Этот метод “учитывает” малые поправки в уравнениях Узаделя к коэффициенту диффузии по малому параметру Eex τ ¿ 1 (τ — время свободного пробега). Мы не согласны с этим методом по следующим причинам: хотя комплексный коэффициент диффузии действительно появляется в уравнениях Узаделя [127] при выводе последних из уравнений Ейленбергера [138] путем разложения по сферическим функциям, однако можно проверить, что пренебреженные сферические гармоники высшего порядка дают вклад такого же порядка по величине, как комплексные поправки к коэффициенту диффузии Df . Следовательно, комплексность Df в этом случае ест результат превышения точности. Ниже приводятся обоснования этой точки зрения. Мы предлагаем краткий вывод уравнений Узаделя, показывающий, как комплексный коэффициент диффузии может быть получен, и почему в него нельзя верить. В квазиодномерной геометрии, т.е. параметры меняются только вдоль x, линеаризованные уравнения Эйленбергера в присутствии беспорядка и обменного поля имеют вид: µ ¶ 1 hF i v cos θ d F + ωn + + iEex F = ∆ + , 2 dx 2τ 2τ

(VI.42)

где для простоты предполагается положительность мацубаровских частот ωn > 0, и θ — угол между осью x и направлением скорости Ферми v, h. . . i означает усреднение по углу. Беспорядок характеризуется длиной свободного пробега l и временем свободного пробега τ . В грязном пределе, аномаль-

104 ные функции Грина почти изотропны. Однако, чтобы вывести уравнения на изотропную часть F , мы должны также учесть следующий член в разложении по полиномам Лежандра: F (x, ωn , θ) =

∞ X

Fk (x, ωn )Pk (cos θ)

k=0

≈ F0 (x, ωn ) + F1 (x, ωn ) cos θ.

(VI.43)

Здесь мы пренебрегли гармониками с k ≥ 2, предполагая, что они малы; ниже это предположение будет проверено. Усреднив (VI.42) по углам, затем домножив (VI.42) cos θ и снова усреднив, найдем v d F1 + (ωn + iEex ) F0 = ∆, 6 dx µ ¶ v d 1 F0 + ωn + + iEex F1 = 0. 2 dx 2τ

(VI.44) (VI.45)

Уравнение (VI.45) дает µ

l F1 = − 1 + 2ωn τ + 2iEex τ

¶

d F0 , dx

(VI.46)

тогда из ур. (VI.44) следует, что D d2 F0 − (ωn + iEex ) F0 + ∆ = 0, 2 dx2 vl/3 D= . 1 + 2ωn τ + 2iEex τ

(VI.47)

Теперь следует проверить, что использованное предположение |F1 /F0 | ¿ 1, |F2 /F1 | ¿ 1, и т.д. удоалетворяется. С помощью ур. (VI.46) получим ¯ ¯ ¯ F1 ¯ l/L ¯ ¯∼ (VI.48) ¯ F0 ¯ max(1, 2ωn τ, 2Eex τ ) ,

105 где L — характерный пространственный масштаб, на котором меняется F0 . В соответствии с ур. Узаделя (VI.47), он равен L∼p

l max(1, 2ωn τ, 2Eex τ ) max(2ωn τ, 2Eex τ )

,

и условие применимости приближения Узаделя принимает вид ¯ ¯ s ¯ F1 ¯ max(2ωn τ, 2Eex τ ) ¯ ¯∼ ¿1 ¯ F0 ¯ max(1, 2ωn τ, 2Eex τ )

(VI.49)

(VI.50)

[совершенно аналогично, можно удержать члены с k = 2 в разложении (VI.43), что дает |F2 /F1 | ∼ |F1 /F0 |, и т.д.]. Итак, условие (VI.50) имеет вид 2πTcs τ ¿ 1,

2Eex τ ¿ 1

(VI.51)

(здесь мы учли, что характерная энергия: ωn ∼ πTcs ). Подведем итоги. Если условие (VI.51) выполнено и уравнения Узаделя справедливы, то неучтенные члены разложения по угловым гармоникам имеют порядок |F2 /F0 | ∼ max(2πTcs τ, 2Eex τ ); Следовательно мы не можем оставлять члены того же порядка в коэффициенте диффузии Df [см. ур. (VI.47)], и должны использовать стандартное D = vl/3. VI.5.4.

Выводы

В данной работе излагается два метода вычисления критической температуры SF бислоев. Многомодовый метод — обобщение уже известного многомодового метода, использовавшегося для нахождения Tc в SN бислоях [23]. Не существует однако четкого обоснования этого метода. Поэтому мы предла-

106 гаем другой метод: метод фундаментального решения, математически строгий. вычисления показали, что оба метода эквивалентны. Однако, при низких температурах (по сравнению с Tcs ), вычисления многомодовым методом используют больше ресурсов компьютера, чем вычисления методом фундаментального решения с той же точностью. Теоретические результаты имеют хорошее согласие с экспериментом. В общем случае, наблюдается три характерных типа Tc (df ): 1) немонотонный спад Tc к конечному значению с минимумом при конечном df , 2) возвратное поведение: Tc обращается в ноль в конечном интервале df и отлично от нуля вне этого интервала, 3) монотонный спад Tc в ноль в конечном интервале df . Немонотонность Tc (df ) можно интерпретировать, как результат интерференции квазичастиц в F-слое. Используя разработанные методы, удалось проверить точность так называемого одномодового приближения. в некотором диапазоне параметров результаты, полученные с помощью одномодового приближения, близки к точным результатам, в общем случае одномодовый метод плохо аппроксимирует Tc даже на качественном уровне. Таким образом, надежные результаты можно получить только с помощью точных методов, например многомодовым или методом фундаментального решения. Пространственное поведение параметра порядка (вблизи Tc ) почти не чувствительно к значению Tc . Методы, предложенные в данной работе применимы к более сложным системам, таким как SFS, FSF, SFIFS, FSISF и т.д.s в 0 -состоянии; эти методы

107 легко обобщаются на случай π-состояния (когда ∆ и/или Eex противоположного знака в соседних F-слоях). Показано, что использование комплексного коэффициента диффузии в уравнении Узаделя – - превышение точности. Во многих предельных случаях, Tc может быть найдена аналитически.

108

VII. .Проверка неравенств Белла в мезоскопических системах

Одно из существенных отличий квантовой механики от классической — существование запутанных состояний, не имеющих классического аналога [9, 83–85]. Запутанные состояния имеют много приложений в теории квантовой информации [86], квантовых вычислений [87], квантовой криптографии [88], и квантовой телепортации [89]. В природе можно найти много примеров запутанных состояний, но известно только несколько случаев, когда запутанные состояния могут быть исследованы и использованы в приложениях. Несколько десятилетий ведутся интенсивные исследования запутанных состояний фотонов [90,91], в последние годы изучаются запутанные состояния атомов [92,93], элементарных частиц (каонов) [94] и электронов [95]. Проверка неравенств Белла [96] стала одним из наиболее распространенных и мощных методов исследования запутанных состояний [97, 98]: их нарушение в эксперименте с парами частиц (или большим количеством частиц) указывает на существование квантовых нелокальных корреляций между частицами,

109 которые никакая теория скрытых переменных не может объяснить [96]. Квазичастицы в твердом теле также могут служить носителями квантовой информации. Недавние исследования показывают, что спины электронов в полупроводниках имеют очень большие времена декогерентности, приближающиеся к милисекундам; кроме того, длина когерентности для спинового состояния электрона составляет более 100 µm [99]. Недавно было сделано несколько предложений, как можно создать пары Энштейна-ПодолскогоРозена (ЭПР) электронов в твердотельных системах; одно из таких предложений – использовать сверхпроводник в качестве источника запутанных электронных пар [10, 11]. На первый взгляд кажется, что можно проверить неравенства Белла в твердотельных системах также [100, 101], как в случае с фотонами [90, 91]. Но в экспериментах с фотонами, неравенства Белла проверялись с помощью фотодетекторов, измерявших частоту совпадений (вероятность, что два фотона почти одновременно влетают в детекторы [90,91]). Измерение вероятности совпадений в мезоскопических системах путем детектирования отдельных квазичастиц, как в квантовой оптике, – трудно реализуемая задача. В мезоскопике, измеряемыми величинами являются токи и их корреляторы, в особенности шум [102]. В данной работе, неравенства Белла сформулированы в терминах корреляторов токов и шума. Обсуждается вопрос проверки неравенств Белла в гибридной системе типа сверхпроводник-нормальный металл [10,11], как тест запутанности электронов в этой системе [97, 103]. Рассмотрим источник [рис. VII.1(a)], инжектирующий квазичастицы в

110

superconductor

particle source

e

(a)

(b)

entangler

Andreev reflection

h

normal metal

1 2

1

2

F1e

F2e

4

3 d

F1

-a a

d

F2

5

detector

6

-b -a a

-b b

b

I3

I5

I4

I6

Рис. VII.1.: Общая схема проверки неравенств Белла (a), и проверка неравенств Белла в мезоскопике (b): источник испускает электроны в контакты 1 и 2. Детектор измеряет корреляции между потоками электронов с четными и нечетными индексами. Fd1(2) — спиновые фильтры: частицы поляризованные вдоль вектора a проходят сквозь фильтр Fd1 в проводник 5, электроны с противоположной поляризацией — в проводник 3 (аналогично действует Fd2 ). Проверка неравенств Белла в мезоскопике (b): сверхпроводник — источник запутанных состояний. Фильтры Fe1,2 (реализованные, например, с помощью резонансной двухбарьерной системы) не дают куперовским парам пройти в один проводник. Ферромагнетики играют роль спиновых фильтров Fd1(2) ; они прозрачны для электронов с спином поляризованном вдоль намагниченности.

111 два проводника с индексами 1, 2. Детектор содержит два фильтра Fd1(2) , пропускающие квазичастицы с спиновой поляризацией вдоль вектора a в проводник 5 и в проводник 3, если частицы поляризованы в противоположном направлении (аналогично функционирует фильтр Fd2 , пропускающий частицы поляризованные вдоль b). Детектор, таким образом, производит измерение корреляторов спиновых токов. Нарушение неравенств Белла в этой системе будет свидетельствовать о существовании нелокальных спиновых корреляций между потоками квазичастиц 1 и 2. Мы формулируем неравенства Белла в терминах корреляторов ток-ток. Если между проводниками с индексами α, β нет нелокальных корреляций, запутанности, то матрица плотности в общем случае имеет следующий вид: Z ρ = dλf (λ)ρα (λ) ⊗ ρβ (λ), (VII.1) где индекс α пробегает четные значения, а индекс β нечетные (или наоборот); функция распределения f (λ) (у) ‘скрытых переменных’ λ положительна и нормирована на единицу. Эрмитовские операторы ρα (λ) удовлетворяют стандартным аксиомам, котором должны удовлетворять матрицы плотности. Для систем одинаковых частиц предположение (VII.1) означает пренебрежение бозе и ферми корреляциями. Рассмотрим гайзенберговский оператор тока Iα (t) в проводнике α = 1, . . . , 6 (см. рис. VII.1) и соответствующий оператор числа частиц Z t+τ Nα (t, τ ) = dt0 Iα (t0 ), t

описывающий заряд, прошедший через поперечное сечение проводника α за

112 интервал времени [t, t + τ ]. Определим корреляторы операторов числа чаR стиц hNα (t, τ )Nβ (t, τ )iρ = dλf (λ)hNα (t, τ )iλ hNβ (t, τ )iλ (индексы α/β четные/нечетные или нечетные/четные), где hNα (t, τ )iλ ≡ Tr[ρα (λ)Nα (t, τ )] и h. . .iρ ≡ Tr[ρ . . .]. Среднее hNα (t, τ )iλ зависит от состояния системы в интервале [t, t + τ ]; в общем hNα (t1 , τ )iλ 6= hNα (t2 , τ )iλ , где t1 6= t2 . В дальнейшем будет использоваться несколько иной вид усреднения, усреднение по положению соответствующих интервалов времени: Z T 1 hNα (τ )Nβ (τ )i ≡ dthNα (t, τ )Nβ (t, τ )iρ , 2T −T

(VII.2)

где T /τ → ∞ (аналогично определяется hNα (τ )i). Определим наконец неприводимый коррелятор числа частиц (флуктуации числа частиц) δNα (t, τ ) ≡ Nα (t, τ ) − hNα (τ )i. Вывод неравенств Белла основан на следующей лемме: пусть x, x0 , y, y 0 , X, Y — действительные числа, такие что |x/X|, |x0 /X|, |y/Y |, и |y 0 /Y | не превосходят единицы, тогда имеет место следующее тождество: −2XY ≤ xy − xy 0 + x0 y + x0 y 0 ≤ 2XY.

(VII.3)

Применим лемму (VII.3) к нашей системе x = hN5 (t, τ )iλ − hN3 (t, τ )iλ ,

(VII.4a)

x0 = hN50 (t, τ )iλ − hN30 (t, τ )iλ ,

(VII.4b)

y = hN6 (t, τ )iλ − hN4 (t, τ )iλ ,

(VII.4c)

y 0 = hN60 (t, τ )iλ − hN40 (t, τ )iλ ,

(VII.4d)

где ‘штрихом’ обозначаются другие ориентации спиновых фильтров (например, пусть a обозначает поляризацию спинов в проводнике 5 (−a в проводе

113 3), тогда 50 в ур. (VII.4b) означает, что спины электронов в проводнике 5 направлены вдоль a0 (вдоль −a0 в проводнике 3). Величины X, Y определены следующим образом X = hN5 (t, τ )iλ + hN3 (t, τ )iλ = hN50 (t, τ )iλ + hN30 (t, τ )iλ = hN1 (t, τ )iλ ,

(VII.5a)

Y = hN6 (t, τ )iλ + hN4 (t, τ )iλ = hN60 (t, τ )iλ + hN40 (t, τ )iλ = hN2 (t, τ )iλ ;

(VII.5b)

где ур. (VII.5a) и (VII.5b) следуют из закона сохранения числа частиц. Все члены в (VII.5a) и в (VII.5b) имеют одинаковый знак, следовательно |x/X| ≤ 1 и |y/Y | ≤ 1. Неравенство Белла следует из (VII.3) после усреднения по t [см. ур. VII.2] и λ, |G(a, b) − G(a, b0 ) + G(a0 , b) + G(a0 , b0 )| ≤ 2,

(VII.6)

где G(a, b) =

h(N5 (τ ) − N3 (τ ))(N6 (τ ) − N4 (τ ))i , h(N5 (τ ) + N3 (τ ))(N6 (τ ) + N4 (τ ))i

где a, b направления поляризации фильтров Fd1(2) . Средние числа частиц и их корреляторы в (VII.6) ниже будет выражены через средний ток и корреляторы ток-ток; для этого в (VII.6) было произведено усреднение по времени, определенное в (VII.2). Корреляторы hNα (τ )Nβ (τ )i можно представить как сумму приводимых и неприводимых корреляторов. Ниже будет показано, что неравенство Белла (VII.6) может

114 нарушаться, если неприводимые части корреляторов чисел частиц больше или порядка приводимых частей. Неприводимый коррелятор hδNα (τ )δNβ (τ )i можно выразить через спектральную плотность шума: Z Sαβ (ω) = dτ eiωτ hδIα (τ )δIβ (0)i Z ∞ dω 4 sin2 (ωτ /2) hδNα (τ )δNβ (τ )i = Sαβ (ω) . ω2 −∞ 2π

(VII.7)

В пределе больших времен, sin2 (ωτ /2)/(ω/2)2 → 2πτ δ(ω), поэтому hNα (τ )Nβ (τ )i ≈ hIα ihIβ iτ 2 + τ Sαβ ,

(VII.8)

где hIα i — средний ток в проводнике α, и Sαβ обозначает дробовой шум. В действительности, спектральная плотность шума расходится как 1/ω, когда ω → 0, но это сингулярное поведение начинается с очень маленьких частот ω (ω ¿ ωfl ∼ 10−3 s−1 ) [105]. При частотах ωfl ¿ ω ¿ ω0 шум не зависит от частоты (см., например, [102]). Верхняя граница этой области частот, ω0 , зависит от напряжения V контактов 3 − 6 (источник частиц заземлен), от характерного времени пролета τtr между контактами, и ширины фильтров Fe1,2 , Γ1(2) , которые имеет резонансную энергию ±E0 [см рис. VII.1(b)], ω0 = min(|V |; Γ1(2) ; τtr−1 ). Таким образом, из (VII.7) следует (VII.8), если ω0−1 ¿ τ ¿ ωfl−1 [предполагается, что температура T < ω0 ]. С помощью (VII.6) и (VII.8) получим |F (a, b) − F (a, b0 ) + F (a0 , b) + F (a0 , b0 )| ≤ 2,

(VII.9a)

S56 − S54 − S36 + S34 + Λ− , S56 + S54 + S36 + S34 + Λ+

(VII.9b)

F (a, b) =

где Λ± = τ (hI5 i ± hI3 i)(hI6 i ± hI4 i). Неравенство Белла в форме (VII.9a) имеет удобный вид для экспериментальной проверки; как следует из (VII.9b),

115 нарушение неравенств Белла может произойти только в том случае, если неприводимая часть корреляторов (шум) числа частиц больше чем приводимая (Λ)). Ниже приводятся примеры нарушения неравенств Белла в мезоскопических системах. Если нарушение неравенств (VII.9a) имеет место, то это означает, что предположение (VII.1) неверное, и между проводниками 1, 2 существуют нелокальные корреляции. В этой ситуации частицы, инжектированные источником S в проводники 1 и 2 (см рис. VII.1), находятся в запутанном состоянии (если две в частицы в проводниках 1, 2 находятся в чистом состоянии, то запутанность означает, что их волновые функции не могут быть представлены как произведение волновых функций, соответствующих некоторым одночастичным состояниям в проводниках 1, 2). Рассмотрим мезоскопический аналог источника электронов и детектора, показанных на рис. VII.1. Два нормальных проводника 1, 2 в виде вилки присоединены к сверхпроводнику — источнику запутанных электронных пар [10, 11]; энергетические фильтры Fe1,2 препятствуют куперовским парам распасться из сверхпроводника только в один из проводников 1, 2. Ферромагнетики [10], квантовые ямы [106], или гибридные структуры типа ферромагнетик–нормальный металл–сверхпроводник могут играть роль спиновых фильтров Fd1,2 детектора: например, квазичастицы вошедшие в проводник 1 (I1 ) и спин-поляризованные вдоль a могут пройти сквозь ферромагнетик в проводник 5, квазичастицы с противоположной поляризацией дают вклад в ток I3 , см. рис. VII.1(b). Для проверки неравенств Белла

116 (VII.9a) необходимо знать зависимость шума от взаимной ориентации намагниченностей ±a и ±b спиновых фильтров (см. рис. VII.1(b)). Спектральная плотность шума может быть найдена с помощью метода матриц рассеяния [102,108]. Нормальные проводники будем нумеровать греческими буквами α, β, . . .; заряды электронов и дырок обозначим qa , где a = e(h), т.е., qe = −1, qh = 1. Если Cα — число каналов в проводнике α, тогда амплитуда рассеяния квазичастицы a из проводника α в квазичастицу b в проводнике β определяется матрицей рассеяния sαβ ab (размерность Cβ × Cα ). Шум выражается через матрицу рассеяния следующим образом [109] Z X e2 ∞ βγ αδ † δβ dE fγ,a (1 − fδ,b ) Tr[(s† )γα (VII.10) Sαβ = ac qc scb (s )bd qd sda ], h 0 γ,δ;a,b,c,d

где энергия измеряется по относительно химического потенциала источника; Vα — потенциал проводника α, fα,a = 1/(exp{(E − qa Vα )/T } + 1), и след берется по индексам каналов. Связь между сверхпроводником и нормальными металлами 1 и 2 предполагается слабой, так что соответствующий (безразмерный) кондактанс между S и N1(2) , g1(2) ¿ 1; следовательно Λ± ∼ τ (ω1 g1 g2 )2 [110], где ω1 = min(|V |; Γ1(2) ), |V | < ∆. Из (VII.10) следует, что Sαβ ∼ ω1 g1 g2 . Таким образом, условие ω1 τ g1 g2 ¿ 1 (т.е., не более одной куперовской пары регистрируется в течение интервала времени τ ) позволяет пренебречь Λ± в (VII.9b). Ур. (VII.9a) становится критерием нелокальности, если в течение времени измерения τ нет обмена электронами между проводниками 1 и2, т.е. выполняется условие τtr−1 τ g1 g2 ¿ 1 [111]. Эти два условия можно объединить в одно: ω0 τ g1 g2 ¿ 1; случаи, в которых неравенства Белла нарушаются, рассмотрены ниже.

117 Матрица, от которой берется след в (VII.10), зависит от a · ~σ , b · ~σ ; используя соотношение µ ¶ a·b 1 X 1 + ²1 ²2 g[²1 |a|, ²2 |b|], Tr g[(~σ · a), (~σ · b)] ≡ 2 ² =±1 |a||b|

(VII.11)

1(2)

где g[x, y] — аналитическая функция переменных x, y ((VII.11) может быть доказано разложением в ряд), можно представить шум (VII.10) в следующем виде µ Sαβ =

(a) Sαβ sin2

θαβ 2

¶

µ +

(p) Sαβ cos2

θαβ 2

¶ ,

(VII.12)

где α = 3, 5, β = 4, 6 или наоборот. Здесь, θαβ обозначает угол между намагниченностями α и β, например, cos(θ56 ) = a · b, и cos(θ54 ) = a · (−b). Шум в случае антипараллельных (или параллельных) ориентаций ферромагнети(a(p))

ков α, β is обозначается Sαβ

(p)

[например, S56 означает a · b]. Итак, F (см.

ур. (VII.9b)) принимает вид F (a, b) = − cos(θab )

(a)

(p)

(a) Sαβ

(p) Sαβ

Sαβ − Sαβ +

.

(VII.13)

Левая часть ур. (VII.9a) имеет максимум при θab = θa0 b = θa0 b0 = π/4, и θab0 = 3θab (аналогично случаю с фотонами [91], если сделать подстановку θ → θ/2). Таким образом, с данным выбором углов, неравенство Белла (VII.9a) можно представить в следующем виде ¯ (a) ¯ ¯ S − S (p) ¯ 1 ¯ αβ αβ ¯ √ . ≤ ¯ (a) ¯ ¯ S + S (p) ¯ 2 αβ αβ

(VII.14)

Рассмотрим сверхпроводник (S), которому приложено напряжение; нормальные проводники заземленны. Энергетические фильтры Fe1,2 [рис. VII.1(b);

118 Γ1,2 ¿ E0 ] препятствуют куперовским парам распадаться в один проводник [10, 11], следовательно вероятность нормального прохождение частиц (одного вида, например, электрона в электрон) из одного нормального проαβ водника в другой равна нулю, sαβ ee = shh = 0, где α принимает четные зна-

чения, а β нечетные. След в (VII.10) содержит произведения вероятностей αβ αβ αβ † βα андреевских процессов: The (1 − The ) + {e ↔ h}, где Tab ≡ sαβ ab (s )ba (см.

также [10]). Электроны и отраженные по Андрееву дырки имеют противоположную спиновую поляризацию, следовательно S (p) = 0, и неравенство Белла (VII.14) (максимально) нарушается, что говорит о запутанности электронов в проводниках 1, 2. e Выше предполагалось, что фильтры F1,2 идеально фильтруют частицы;

пусть фильтры неидеальные, и Γ1,2 ∼ 2E0 . Тогда появится (небольшой) S (p) вклад в шум. Из (VII.14) следует, что неравенства Белла могут нарушаться в этом случае, но не максимально; ур. (VII.14) в этом случае помогает оценить "качество"фильтров. Мы также пренебрегали рассеянием электронов на парамагнитных примесях, спин-орбитальным взаимодействием и т. д. Влияние этих эффектов может быть учтено также, как в квантовой оптике [91]. Следует отметить также, что существуют другие неравенства (типа Белла), которые также могут служить тестом запутанности: например неравенства Клаузера-Хорна [113] или неравенства для теста запутанности многочастичных систем [97]. Проверка этих неравенств может быть осуществлена аналогично проверке неравенств Белла, обсуждавшейся выше. Следует отметить, что электрон-электронные взаимодействия, которыми мы здесь

119 пренебрегали не разрушают запутанность, как было показано в работе [114].

120

Заключение

Перечислим основные результаты работы: 1. В контактах типа сверхпроводник (S) – нормальный металл (N) – сверхпроводник (SNS) изучался эффект квантования критического тока при изменении числа открытых каналов в сужении. Было впервые установлено, что при уменьшении эффективного химического потенциала андреевские уровни теряют зависимость от разности фаз между сверхпроводниками, переходя в электронные уровни. Зависимость критического тока от напряжения на затворе не универсальна, а зависит от параметров контакта. Каждый открытый канал дает вклад в критический ток, равный отношению заряда электрона ко времени его пролета через контакт. Оказывается, что только самый близкий к поверхности Ферми андреевский уровень дает вклад в критический ток, при разности фаз равной π. 2. Нормальное отражение от NS границ приводит к резонансам критического тока как функции ширины сужения контакта. В максимуме кри-

121 тический ток по-прежнему равен отношению элементарного заряда ко времени движения электрона через контакт. 3. Было показано, что SNS контакт (с сильным нормальным рассеянием от границ) аналогичен сверхпроводящему одноэлектронному транзистору. 4. Рассматривался электронный транспорт в системе двумерный электронный газ (2DEG) – сверхпроводник в сильном магнитном поле, перпендикулярном плоскости 2DEG. Когда циклотронный радиус в 2DEG порядка или меньше характерного размера границы контакта со сверхпроводником, то кондактанс системы осциллирует, как функция фактора заполнения ν. Причина осцилляций — интерференция боголюбовских квазичастиц, пролетевших по разным траекториям в магнитном поле вдоль границы контакта. 5. Исследовались транспортные свойства контактов типа сверхпроводник (S) - ферромагнетик (F) - сверхпроводник (SFS). Получена фазовая диаграмма перехода SFS контакта в π состояние. Показано, что в точке перехода основная гармоника джозефсоновского тока (по разности фаз ϕ) между сверхпроводниками), пропорциональная sin(ϕ), подавлена по сравнению с высшими гармониками, которые дают основной вклад в ток. 6. Разработан метод вычисления критической температуры грязных бислоев типа SF (или SN) на основе уравнений Узаделя. Показано, что осцилляции критической температуры при изменении толщины ферро-

122 магнитного слоя связаны с интерференцией куперовских пар. Теоретические расчеты критической температуры SF бислоев хорошо согласуются с экспериментальными данными. 7. Сформулированы неравенства Белла в терминах корреляторов ток-ток, спектральной плотности шума. На основе неравенств Белла предложен метод детектирования "запутанных"электронных пар в мезоскопических системах. 8. Показано, что в сверхпроводящем контакте типа SF -X-SF , где X – слабая связь, SF – сверхпроводник с обменным полем, эффект усиления Джозефсоновкого тока обменным полем возникает, кода основной вес в функции распределения прозрачностей области N приходится на малые вероятности прохождения.

Результаты представленных в диссертации исследований были представлены и докладывались: на конференциях: 2000 Международная конференция по Мезоскопике, Черноголовка; 2001 Сильно коррелированные электронные системы (Rencontres de Moriond), Лез Арк, Франция; 2001 Системы коррелированных фермионов и бозонов (НАТО), Виндзор, Англия на научных семинарах в: ИТФ РАН, ЛФТИ РАН, ИРЭ РАН, Базельском Университете (Швейцария), Дельфтском Университете (Голландия), Институте Вейцмана (Израиль), Марсельском Университете (Франция).

123 Я глубоко благодарен своему научному руководителю Г.Б. Лесовику за постоянное внимание и поддержку в работе, а также сотрудникам института ИТФ Ландау, обсуждение с которыми помогло решить многие из вопросов работы.

124

A. Приложение

A.1.

Соотношение между джозефсоновким током и свободной энергией

Рассмотрим массивное сверхпроводящее кольцо с Джозефсоновским контактом. Фазы параметра порядка на границах контакта равны ϕ1 и ϕ2 . Система находится в магнитном поле с вектор потенциалом A(x). Пусть Ω – потенциал Гиббса системы, тогда сверхпроводящий ток текущий через контакт равен I(ϕ) = −

2e ∂ϕ Ω(ϕ), ~

(A.1)

где ϕ ≡ ϕ2 − ϕ1 . R Выведем (A.1). Будем исходить из формулы δΩ = −(1/c) hˆjiδAdx, определяющей изменение потенциала Гиббса при варьировании векторного потенциала. Рассмотрим сечение кольца S, предположим, что векторный поH ˆ δAdl = −(1/c)hIiδΦ, ˆ тенциал мало меняется вдоль S. Тогда δΩ = −(1/c)hIi R H ˆ = hˆjidS — ток, текущий в кольце, и Φ = Adl — поток магнитного где hIi

125 поля через кольцо. В объеме кольца hˆji = 0, следовательно ∇ϕ = (2e/~c)A; отсюда ϕ = ϕ2 − ϕ1 = (2e/~c)Φ. Из последнего соотношения и из формулы IδΦ = −cδΩ следует искомое соотношение (A.1).

A.2.

Уравнения Боголюбова-Де Жена

Уравнения Боголюбова-Де Жена имеют следующий вид [25]: · ¸ X (p − ec A)2 ²u(x, σ) = − µ u(x, σ) + [Uσµ (x)u(x, µ) + ∆(x)ρσµ v(r, µ)], 2m µ (A.2)

·

¸ X (p + ec A)2 ∗ ²v(x, σ) = − − µ u(x, σ) + [Uσµ (x)v(x, µ) + ∆∗ (x)ρσµ u(r, µ)]. 2m µ Удобно переписать эти уравнения в компактных спинорных обозначениях:   u(r ↑) u(r)α =  uα = ραβ uβ , uα = uβ ρβα , U (σ, µ) = U σµ , , u(r ↓)

(A.3) где α, β — спинорные индексы, ρ = iˆ σy — метрический тензор [26]. Тогда БдЖ принимает вид ²ν uα = [ξ + U ]αβ uβ + ∆v β

(A.4)

²ν v α = −[ξ ∗ + U ∗ ]αβ v β + ∆∗ uβ ,

(A.5)

где (U ∗ )αβ ≡ ρνα (U (ν, µ))∗ ρµβ . БдЖ имеет важное свойство, если (u, v)τ — решение БдЖ, соответствуюτ ∗

щее энергии ², то (−ρρτ uv∗ ) также решение БдЖ, но соответствующее энергии −². Таким образом, спектр БдЖ симметричен относительно ² = 0.

126 БдЖ с обменным полем.

Рассмотрим случай, когда U = ~σ · h, где h —

обменное поле. Такой случай реализуется, например, в SFS контактах. Тогда: ²u = [ξ + ~σ · h]u + ∆v

(A.6)

²v = −[ξ − ~σ · h]v + ∆∗ u,

(A.7)

где мы воспользовались тождеством ρτ ~σ ∗ ρ = −~σ . Амплитуды андреевского отражения.

Линейно независимые решения БдЖ с

кусочно-постоянным ∆:     iϕ −iϕ u0 e  ±ipe x v0 e  ±iph x (e) (h) ψ = , ψ = , e e v0 u0 r ³ ´ √  ∆2 −²2 1  , если |²| ≤ ∆;  2 1±i ² r ³ u0 (v0 ) = , ´ √  ²2 −∆2 1   2 1± ² , если |²| > ∆. 1∆ u 0 v0 = u20 + v02 = 1, , u0 = v 0 , 2 ² q √   2m2 (µ ± i ∆2 − ²2 ), если |²| ≤ ∆; q~ pe (h) = √   2m2 (µ ± i ²2 − ∆2 ), если |²| > ∆. ~

(A.8)

(A.9)

(A.10) (A.11)

Когда в сверхпроводнике присутствует обменное поле, то в вышеприведенных формулах, ² → ² − ~σ · h. Найдем амплитуды андреевского отражения в системе типа сверхпроводникнормальный металл, когда обменное поле отлично от нуля в сверхпроводнике. Будем считать, что ∆(x) = const в сверхпроводнике и ∆(x) = 0 в нормальной области. Без ограничений общности будем считать, что сверхпроводник занимает полупространство x > 0.

127 Отражение электрона в дырку, rhe . В Андреевском приближении, когда ∆ ¿ µ:       iϕ u0 e  ik+ x 0 1 ψ(x > 0) = t  ψ(x < 0) =   eike x + rhe   eikh x , e , v0 1 0

r ke (h) =

2m (µ ± ²), ~2

q √   2m2 (µ ± i ∆2 − ²2 ), |²| ≤ ∆; q~ k± = √   2m2 (µ ± ²2 − ∆2 ), |²| > ∆. ~

(A.12) (A.13)

Сшивая ψ при x = 0 получим (в Андреевском приближении производные ψ сшиваются “автоматически”):    1 = tu0 eiϕ , v0 ⇒ rhe = e−iϕ ≡ e−iα−iϕ ,  u0  rhe = tv0

α = arccos

² . ∆ (A.14)

Отражение дырки в электрон, reh . Аналогичным методом можно найти reh = exp(−iα + iϕ). Если сверхпроводник занимает полупространство x < 0, а нормальный металл — x > 0, то выражения для reh , rhe останутся прежними. σ ·h Когда в сверхпроводнике присутствует обменное поле, то α = arccos ²−~ ∆ .

A.3.

Свойства матриц рассеяния

Рассмотрим несверхпроводящую область X [рис. I.3] c матрицей рассеяния SX , имеющей следующую структуру в пространстве электронов (e) и дырок

128 (h): 



S e 0  SX =  . 0 Sh

(A.15)

Матрицы Se(h) имеют следующие свойства: † Se(h) Se(h) = 1,

(A.16)

τ Se(h) = ρτ Se(h) ρ|H→−H ,

(A.17)

Sh (²) = ρτ (Se (−²))∗ ρ,

(A.18)

где τ — транспонирование по всем индексам матрицы, ρ — метрический тензор в спиновом пространстве [26]. Тождество (A.16) следует из условия сохранения тока, т.е. унитарности S- матрицы. Доказательство (A.17). Пусть ψe(h) электронное или дырочное решения БдЖ в нормальной области, тогда ρτ ψ ∗ также решение БдЖ с той же энергией, но с противоположным направлением магнитного поля1 . Таким образом, S|ini = |outi ⇒ S ∗ |ini∗ = |outi∗ ⇒ ρτ S ∗ ρρτ |ini∗ = ρτ |outi∗ ⇒ τ ρτ S ∗ ρ|outi = |ini ⇒ Se(h) = ρτ Se(h) ρ|H→−H

(A.19) (A.20)

Третье тождество (A.18) следует из соотношения между дырочным и электронным решением БдЖ в несверхпроводящем пространстве ψh (²) = 1

Предполагается, что ψ — контравариантный спинор. Метрический тензор в ρτ ψ ∗ нужен для того, чтобы из ковариантного спинора ψ ∗ сделать контравариантный.

129 ρτ ψe∗ (−²): S(²)e |ini = |outi ⇒ S(²)∗e |ini∗ = |outi∗ ⇒ ρτ S(−²)∗e ρρτ |ini∗−² = ρτ |outi∗−² ⇒ ρτ Se (−²)∗ ρ|inih = |outih ⇒ Sh (²) = ρτ (S(−²)e )∗ ρ. Следует подчеркнуть, что (A.16)-(A.18) не нарушаются спин-орбитальным взаимодействием. Рассмотрим S-матрицу общего вида:    See Seh  SX =  . She Shh

(A.21)

∗ Докажем, что ρτ Seh (−²)ρ = She (²). Справедлива следующая цепочка ра∗ ∗ венств: Seh |hiin = |eiout , Seh (−²)∗ |hi∗in = Seh (−²)ρρτ |hi∗in = Seh (−²)ρ|eiin =

ρτ |hiout , последнее равенство — искомое соотношение.

A.4.

Представление S-матрицы с помощью операторов Мёллера

Докажем, что матрица рассеяния имеет следующее представление S = Ω†− Ω+ ,

Ω± = (E − H ± i0)−1 (E − H0 ± i0),

(A.22)

где Ω± — операторы Меллера [142, 144]. До включения взаимодействия V система описывалась гамильтонианом H0 c cобственными функциями φ, (H0 − E)φ = 0. Будем адиабатически включать взаимодействие, тогда волновая функция φ будет изменяться; соответствующую новую волновую функцию обозначим Φ+ (t), (H − E)Φ+ =

130 0, H = H0 + V . Тогда: Z

t

+

Φ (t) = φ(t) + −∞

Gr0 (t − t0 )V Φ+ (t0 ),

(A.23)

где φ(t) = φe−iEt . В энергетическом представлении, Φ+ = φ +

1 V Φ+ . E − H0 + i0

(A.24)

Существует другое решение Φ− уравнения Шредингера с взаимодействием: (H − E)Φ− = 0, но Φ− (t → ∞) → φ: Z ∞ − Ga0 (t − t0 )V Φ− (t0 ), Φ (t) = φ(t) +

(A.25)

t

Φ− = φ +

1 V Φ− . E − H0 − i0

(A.26)

Введем операторы Мёллера Ω± : по определению Φ± (E) = Ω± φ(E). Из ур. (A.23)-(A.25) следует, что Ω± = ˆ1 +

1 V Ω± , E − H0 ± i0

⇒ r(a)

Ω± = (E − H ± i0)−1 (E − H0 ± i0) = (G0 )−1 Gr

(A.27) (A.28)

Выразим матрицу рассеяния через операторы Мёллера. Представим, что в начальный момент времени t = −∞ приготовили состояние (волновой пакет) φ(−∞) вдали от области действия потенциала рассеяния V . Со временем, волновой пакет станет взаимодействовать с V . Нас будет интересовать результат эволюции исходного состояния — φ(∞) (вдали от области действия потенциала V при t → ∞). С помощью оператора эволюции можно связать φ(−∞) и ψ(∞): Φ(∞) = U (∞, −∞)Φ(−∞).2 2

Можно поставить задачу так, приготовим состояние Φ(−∞) и будем включать адиабатически взаимодействие V до t = 0, при t → ∞ адиабатически выключим V .

131 Назовем S-матрицей оператор U (∞, −∞) ≡ S, связывающий φ(−∞) с φ(∞). Покажем, что S = Ω†− Ω+ . По определению, в представлении взаимодействия

U (t, t0 ) = exp(iH0 t) exp[−i(H0 + V )(t − t0 )] exp(−iH0 t0 ).

(A.29)

Тогда U (0, −∞) = Ω+ , U (∞, 0) = Ω†− . Легко убедится, что Ω†± Ω± = ˆ1; это следует из тождества:

U (−∞, 0)U (0, −∞) = ˆ1.

Однако, далеко не всегда Ω± Ω†± = ˆ1. Последнее соотношение справедливо только в том случае, если гамильтониан H не имеет связанных состояний. В противном случае, если имеются связанные состояния Ψα , функции Φ+ , Φ− P не образуют полного набора и Ω± Ω†± = 1 − α |Ψα ihΨα |. Следовательно Ω-операторы не эрмитовы, но S-матрица тем ни менее унитарна:

†

S S=

Ω†+ Ω− Ω†− Ω+

=

Ω†+

³ 1−

X

´ |Ψα ihΨα | Ω+ = 1 −

X

Ω†+ |Ψα ihΨα |Ω+ .

Подействуем операторами, стоящими в обеих частях равенства, на функцию φ. Тогда второй член равенства даст нуль, так как Ω+ φ = Φ+ , hΨα |Φ+ i = 0 вследствие ортогональности функций дискретного и непрерывного спектров. Поскольку φ образуют полный набор, то S † S = 1.

132

A.5.

Связь между плотностью состояний и матрицей рассеяния

Рассмотрим величину ρ=−

1 Tr Gr , πi

(A.30)

где Gr = (E−H+i0)−1 — запаздывающая функция Грина системы; H — полный гамильтониан системы, H = H0 + V , где H0 — невозмущенный гамильтониан. Действительная часть ρ — плотность состояний системы. Матрица рассеяния может быть представлена следующим образом, согласно приложению A.4: S = Ω†− Ω+ = (Gr0 )−1 Gr Gr (Gr0 )−1 .

(A.31)

ρ можно выразить через матрицу рассеяния с помощью тождества Tr[(E − H)−1 ] ≡ ∂E ln det[E − H].

(A.32)

Отсюда следует, что ∂E ln det(S) = 2∂E [ln det(Gr0 )−1 − ln det(Gr )−1 ] = 2 Tr[Gr0 − Gr ].

(A.33)

Пользуясь последним соотношением, получим [143] ρ − ρ0 =

1 ∂E ln det(S). 2πi

(A.34)

ρ (A.34) удобно выразить через амплитуды прохождения и отражения. В процессе вывода понадобится тождества для детерминанта блочных матриц

133 и матрицы рассеяния: 











a−1 b  a 0   1 0  1 a b  det A = det  ≡    ≡ det  −1 −1 0 a b−c d −1 1 0 −c c d ≡ det(ad − aca−1 b) ≡ det(cac−1 d − cb),      0 † t†  rr† + t0 (t0 )† rt† + t0 (r0 )†  r t   r † SS =   =  = ˆ1. t r0 (t0 )† (r0 )† tr† + r0 (t0 )† tt† + r0 (r0 )†

(A.35) (A.36)

С помощью вышеприведенных тождеств найдем детерминант S-матрицы: 



0 r t  0 −1 † 0 † −1 −1 det S = det   = det(rr − rtr t) = − det(r[tr (t ) ] + rtr t) = t r0 0

0

0

= − det(rt) det(r† (t † )−1 + r−1 t0 ) = − det(t(t † )−1 ) det(rr† + t0 t † ) ≡ −

det t . det t0 †

Отсюда следует, что ρ − ρ0 =

1 0 ∂E ln det(t(t † )−1 ). 2πi

(A.37)

Из последнего уравнения следует полезное равенство | det t| = | det t0 |; таким образом плотность состояний (A.37) определяется фазами детерминантов амплитуд прохождения, а не их их абсолютными значениями. Воспользовавшись тождеством t = (t0 )τ |ϕ→−ϕ , где ϕ разность фаз в берегах сверхпроводящего контакта (магнитное поле), получим: ρ − ρ0 =

1 ∂E {arg(det t) + arg(det t)|ϕ→−ϕ }. 2π

(A.38)

134

S1 N1 in1 out1

I1

X

O1

I2 O2

N2 S2 in2 out2

Рис. A.1.:

A.6.

Плотность состояний сверхпроводящего контакта типа SXS

Найдем плотность состояний SXS контакта, рис. A.1. Для этого, выразим амплитуду прохождения t квазичастиц из левого сверхпроводника в правый через матрицы рассеяния S1 N1 , N1 XN2 и N2 S2 контактов. Элементы матрицы рассеяния первого и третьего контактов обозначим индексами "1,2"соответственно, элементы матрицы рассеяния системы N1 XN2 не будем обозначать заглавными буквами. Тогда t = t˜(2) [ˆ1 − r0(1) r˜(2) ]−1 t(1) ,

r˜(2) = R + T 0 r(2) [ˆ1 − R0 r(2) ]−1 T,

(A.39)

где t˜(2) , r˜(2) — амплитуды прохождения и отражения системы N2 XN1 S1 . Сверхпроводящий ток в системе выражается через ∂ϕ ρ; амплитуды t˜(2) , t(1) не зависят от ϕ, поэтому, согласно, (A.37), они дают нулевой вклад в ∂ϕ ρ в отличие от [ˆ1−r0(1) r˜(2) ]. Последнюю величину можно переписать следующим образом: [ˆ1 − r0(1) r˜(2) ] = ˆ1 − r0(1) (R + T 0 [ˆ1 − R0 r(2) ]−1 T )

(A.40)

135 С точностью до множителей не зависящих от ϕ, определитель последнего матричного выражения после “приведения к общему (не зависящему от ϕ) знаменателю [ˆ1 − R0 r(2) ]” принимает вид: det(1 − R0 r0(1) − T r(2) RT −1 + T r(2) RT −1 R0 r0(1) − T r(2) T 0 r0(1) ).

(A.41)

Последнее выражение выглядит громоздким, тем ни менее можно записать его в компактной форме. Обозначим SX — матрицу рассеяния N2 XN1 , введем вспомогательную матрицу Sh , состоящую из амплитуд отражения в нормальную область систем N1,2 S1,2 ;   0 R T  SX =  , 0 T R

 r Sh ≡ 

 0(1)

0

0  , r

(2)

(A.42)

Можно доказать с помощью элементарных преобразований матричной алгебры и формулы упрощения детерминанта блочных матриц (A.35), det A = det(cac−1 d − cb), что det(1 − SX Sh ) c точностью до множителей, не зависящих от ϕ, равен (A.41) и, соответственно, det[ˆ1 − r0(1) r˜(2) ]. Определим функцию g: g(², ϕ) = det(1 − SX Sh ) ≡ det(1 − Sh SX ) ∝ det[ˆ1 − r0(1) r˜(2) ].

(A.43)

Функция g имеет простой физический смысл: ее действительные корни, как следует из ее определения и рис. A.1, — дискретные Андреевские уровни системы SXS. Согласно рис. A.1,     I1  O1  = S   X  , I2 O2

    in1  out1  = S .   h in2 out2

136 Выражение ∂ϕ ρ (A.37) содержит помимо t также (t0 )† . Аналогично (A.39): 0 0 t0 = t˜ (1) [ˆ1 − r˜(2) r0(1) ]−1 t (1) ,

r˜(2) = R + T 0 r(2) [ˆ1 − R0 r(2) ]−1 T.

(A.44)

Аналогично, ненулевой вклад в ∂ϕ ρ дает det[ˆ1 − r0(1) r˜(2) ] ∝ g(E, ϕ).3 Итак, ∂ϕ ρ = −

1 g(², ϕ) 1 g 2 (², ϕ) ∂² ϕ ln =− ∂² ϕ ln . 2πi 2πi |g(², ϕ)|2 g(², ϕ)

(A.45)

Только Re ∂ϕ ρ — производная плотности состояний дает вклад в сверхпроводящий ток, поэтому можно пренебречь |g|2 в знаменателе логарифма и написать: ∂ϕ ρ = −

1 ∂² ϕ ln g(², ϕ). πi

(A.46)

Последнее уравнение — один из основных результатов приложения A.6. В пространстве электронов и дырок матрицы SX и Sh имеют следующую параметризацию: 



S e 0  SX =  , 0 Sh





 0 reh  Sh =  , rhe 0

(A.47)

где Se — матрица рассеяния электронов потенциалом области X, reh — амплитуда андреевского отражения дырки в электрон от сверхпроводящих границ. В этой параметризации g приводится к виду g = det(1 − Sh rhe Se reh ). 3

(A.48)

ˆ = det(1 − B ˆ A), ˆ где A, ˆ B ˆ – операторы. Доказательство: Здесь использовалось тождество: det(1 − AˆB) ˆ = Tr ln(1 − AˆB) ˆ = − Tr(AˆB ˆ + 1 (AˆB) ˆ 2 + . . .) = − Tr(B ˆ Aˆ + 1 (B ˆ A) ˆ 2 + . . .) = ln det(1 − B ˆ A). ˆ ln det(1 − AˆB) 2 2

137 Используя унитарность матриц рассеяния Se и Sh , и тождества (A.17)-(A.18), найдем с точностью до независящего от ϕ множителя: −1 g = det[rhe Se (−²)|H→−H − Se (²)reh ].

(A.49)

138

B. Приложение

B.1.

Влияние “верхнего” Андреевского уровня на Джозефсоновский ток.

Докажем, что вклад в Джозефсоновский ток от самого верхнего Андреев√ P ского уровня мал как ∆ − ε при ε −→ ∆−0. Ω(ϕ) = Ωcont (ϕ)+ N n=1 εn (ϕ). Джозефсоновский ток c точностью до независящего от ϕ множителя можно найти продифференцировав Ω(ϕ) по ϕ, согласно (A.1). Пусть N -ый Андреевский уровень выходит в непрерывный спектр при ϕ = ϕN . Найдем разность между током выше и ниже точки ϕN , воспользуемся непрерывностью тока как функции ϕ при −π < ϕ < π. Ã δIN = I(ϕN + 0) − I(ϕN − 0) = const

! ¯ ∂εN ¯¯ =0 ∂ϕ ¯ϕ=ϕN

С помощью ур. (II.2) найдем скорость стремления к нулю вклада δIN в ток от верхнего Андреевского уровня, когда он выходит в непрерывный

139 спектр (t± = 1): ¯ ¯ ¯ ¯ 2e g0ϕ ¯ ¯¯ sin(ϕ) ¯=¯ |δIN | = ¯¯ ¯ ¯ sin(Φε − 2 arccos(ε/∆))(Φ0ε + ~ g0ε

¯ 2e∆ ¯¯ ¯= √ 2∆ ) ~ ¯ ∆2 −ε2 √ 2e ∆2 − ε2 + ... (B.1) = ~ 2

Аналогично, но более громоздко, рассматривается случай t± 6= 1.

140

C. Приложение

C.1.

Аналитическая зависимость Tc(df ) в случае тонкого S-слоя

(i) Когда ds ¿ ξs и Eex À πTcs , задача (VI.10)–(VI.13) может быть решена аналитически. Первое условие означает, что ∆ можно считать постоянной, и F + слабо зависит от пространственных координат; так что: F + (x, ωn ) = 2∆/ωn + A(ωn ) cosh(ks [x − ds ]). Коэффициент A можно найти из граничных условий; таким образом · ¸ 2∆ As (ωn ) F (ωn ) ≡ F (x = 0, ωn ) = , ωn As (ωn ) + W (ωn ) +

+

(C.1)

где ks , As , и W определены в ур. (VI.12). Итак, уравнение для Tc принимает вид Tcs ln = Re ψ Tc

µ

1 γ ξs 1 Tcs + 2 2 ds γb + Bf Tc

¶

µ ¶ 1 −ψ , 2

где Bf не зависит от ωn благодаря условию Eex À πTcs : r 1 iEex −1 . Bf = [kf ξf tanh(kf df )] , kf = ξf πTcs

(C.2)

(C.3)

141 (ii) Если F слой также тонкий, df ¿ Tcs ln = Re ψ Tc

µ

p Df /2Eex , то ур. (C.2) упрощается:

· ¸ ¶ µ ¶ 1 τf 1 Eex 1 + −ψ , 2 τs −i + τf Eex 2πTc 2

(C.4)

где τs , τf определяются аналогично [136]: τs =

2ds Rb A , ρs Ds

τf =

2df Rb A , ρf Df

(C.5)

и означают время ухода электронов и соответствующего слоя. Они связаны с величинами γ, γb , использованными в работе τs =

γ b 1 ds , γ πTcs ξs

τf = γb

1 df . πTcs ξf

(C.6)

(iii) Если S достаточно тонок, ds ¿ ξs , и γb → ∞, критическая температура слабо отличается от Tcs . В этом пределе, из ур. (C.1) с W = γ/γb ¿ 1, получим: Tc = Tcs −

π . 4τs

(C.7)

Довольно забавно, что характеристики F-слоя не входят в формулу (df , Eex , и т.д.). Например, эта формула верна в SN бислое [139, 140] (где N немагнитный материал, Eex = 0) так как ур. (C.7) не содержало ограничений на обменное поле (кроме Eex llEF ). Если оба слоя тонкие, то [ds ¿ ξs , df ¿ min(ξf ,

p

Df /2Eex )], и SF грани-

ца прозрачна, бислой эквивалентен однородному сверхпроводящему слою с (eff)

эффективным обменным полем и другими параметрами [141]: ∆(eff) , Eex , и константой связи λ(eff) . Обоснование такого описания SF бислоя представлено ниже.

142 Уравнения Узаделя (VI.1),(VI.2) в бислое можно написать следующим образом: Df θ(−x) + Ds θ(x) d2 F − |ωn |F − iEex sgn(ωn )θ(−x)F + ∆θ(x) = 0, (C.8) 2 dx2 где θ — функция Хевисайда [θ(x > 0) = 1, θ(x < 0) = 0]. Уравнения самосогласования (VI.3) можно переписать в следующем виде X F (x, ωn ), ∆(x) = λθ(x)πT

(C.9)

ωn

где λ — константа связи. C.1.1.

Прозрачные границы

Рассмотрим сначала случай идеальной SF границы: γb = 0 [см. ур. (VI.6)], тогда F (x) непрерывна на границе и слабо меняется вдоль бислоя, т.е., Fs (x) ≈ Ff (x) = F . Применяя интегральный оператор к ур. (C.8): Z 0 Z ds νf νs dx + dx νs ds + νf df −df νs d s + νf d f 0

(C.10)

(где ν — нормальная плотность состояний), и избавляясь от градиентных членов благодаря граничным условиям (VI.5), мы найдем уравнения, описывающие однородный материал: (eff) −|ωn |F (ωn ) − iEex sgn(ωn )F (ωn ) + ∆(eff) = 0, X ∆(eff) = λ(eff) πT F (ωn ),

(C.11) (C.12)

ωn

с эффективными параметрами (см. также [141]): (eff) Eex =

λ(eff) =

τf Eex , τs + τf

τs λ, τs + τf

Tcs(eff)

τs ∆, τs + τf µ ¶ 1 γE = 2ωD exp − (eff) , π λ ∆(eff) =

(C.13)

143 (eff)

где γE — постоянная Эйлера, ωD — энергия Дебая в S, и Tcs

— критическая (eff)

температура слоя при отсутствии ферромагнетизма (т.е., при Eex

= 0).

Критическая температура может быть найдена с помощью уравнения Ã ! µ ¶ (eff) (eff) Tcs Eex 1 1 ln = Re ψ +i . (C.14) −ψ Tc 2 2πTc 2 На самом деле, описание бислоя с помощью эффективных параметров (C.13) применимо при любых температурах (т.е., даже когда ур. Узаделя нелинейные) и имеет следующую интерпертацию: параметры сверхпроводимости (∆, λ) и ферромагнетизма (Eex ) перенормируются, так как часть времени квазичастицы проводят в соответствующем слое. Эта физическая картина основана на интерпретации τ как времени ухода квазичастиц, что обосновывается ниже. Рассмотрим приделы применимости такого описания к бислою с неидеальными границами (γb 6= 0). В этом случае, F почти постоянна, но в двух слоях эти константы немного отличаются: Fs (x) ≈ Fs + Cs (x − ds )2 , Ff (x) ≈ Ff + Cf (x + df )2 , где |Fs | À |Cs |d2s и |Ff | À |Cf |d2f . Использую ур. Узаделя (C.8) и граничные условия (VI.5),(VI.6), можно найти разницу δF ≡ Fs −Ff : δF =

1 τs

h + |ωn | 1 +

∆ 1 τf (|ωn |+iEex sgn ωn )

i.

(C.15)

Итак, однородное описание применимо когда |δF/F | ¿ 1 [где F определяется ур. (C.11)], или иными словами: max(Eex , πTc ) max(τs , τf ) ¿ 1

(C.16)

(где предполагалось, что ωn ∼ πTc — характерный энергетический масштаб системы).

144 C.1.2.

Интерпретация времени τ

Величины τs , τf введенные в (C.5) можно интерпретировать как времена жизни квазичастиц в соответствующем слое. Доказательство приводится ниже. Если слои тонкие, то диффузию можно считать быстрой и времена ухода квазичастиц из слоя определяются в основном сопротивлением границ. Сопротивления слоев и соответствующих границ равны Rs(f ) или Rb , следовательно диффузия быстрая, если Rs(f ) ¿ Rb . Используем условие детального баланса, и рассмотрим интервал времени dE. В S слое, заряд в этом интервале равен Qs = eνs dEAds . Определим время ухода из S слоя, ts , так чтобы ток из S в F был равен Qs /ts . С другой стороны, этот ток равен dE/eRb , следовательно Qs dE = , ts eRb

(C.17)

отсюда немедленно следует, что ts =

ds Rb A . ρs Ds

(C.18)

Аналогично, найдем выражение для времени ухода из F слоя, tf . В результате, связь между τ , введенным в (C.5) и временами ухода t τs = 2ts ,

τf = 2tf .

(C.19)

Микроскопические выражения для времени ухода могут быть найдены с помощью формулы Шарвина. Предположим, для простоты, что радиус

145 ферми-сферы меньше в S, vs < vf , тогда Rb =

πrb , e2 νs vs A

(C.20)

и, следовательно ts = π

ds rb , vs

tf = π

vf d f rb , vs2

(C.21)

где rb — обратная прозрачность границы. Асимметрия в этих выражениях следует из нашего предположения, что vs < vf . в обратном случае, индексы s и f в ур. (C.20),(C.21) следует поменять местами.

C.2.

Пределы применимости одномодового метода.

В разделе VI.3.1 указывалось, что одномодовое приближение (ОМП) справедливо тогда, когда W [см. ур. (VI.12)] не зависит от ωn . Например этот так, если γb À |Bf |, следовательно W = γ/γb . Условие γb À |Bf | можно упростить; оценим для этого |Bf |. определим вещественную и мнимую части kf : kf = kf0 + ikf00 ; заметим, что kf0 > kf00 . Используя свойства тригонометрических функций и оценку tanh x ∼ min(1, x), получим £ ¤−1 |Bf | ∼ kf0 ξf tanh(kf0 df ) , и учтем условие γb À |Bf | Ãs ¶ µ ¶! µ df Tc Eex 1 Tc Eex ¿ min , ; max , max γb Tcs πTcs ξf Tcs πTcs

(C.22)

(C.23)

где отношение Tc /Tcs возникает из характерных энергетических масштабов, ωn /πTcs и ωn ∼ πTc .

146 Если условие (C.23) выполнено, тогда (ОМП) справедливо, и Tc можно найти из ур.:

¶ µ ¶ 1 Ω2 Tcs 1 + −ψ , 2 2 Tc 2 µ ¶ ds γ Ω tan Ω = . ξs γb

Tcs ln =ψ Tc

µ

(C.24) (C.25)

Эти уравнения можно дальше упростить в двух предельных случаях. γ ds (1) ¿ 1: γb ξs в этом случае ур. (C.25) дает Ω2 = γγb dξss , и ур. (C.24) принимает вид µ ¶ µ ¶ Tcs 1 1 γ ξs Tcs 1 ln =ψ −ψ + , (C.26) Tc 2 2 γb ds Tc 2 что воспроизводит γb À |Bf | предел ур. (C.2). γ ds (2) À 1: γb ξs в этом случае, ур. (C.25) дает Ω dξss = π2 , и ур. (C.24) принимает вид Ã ! µ ¶ · ¸2 1 1 π 2 ξs Tcs Tcs =ψ −ψ ln + . (C.27) Tc 2 8 d s Tc 2 Уравнения (C.24)–(C.27) могут быть использованы для нахождения кри(cr)

тической температуры Tc и критической толщины S слоя ds , ниже которой сверхпроводимость в SF бислое исчезает (т.е., Tc = 0). C.2.1.

Критическая температура.

Когда Tc близко к Tcs , ур. (C.26),(C.27) дают µ ¶ µ ¶ π 2 γ ξs γ ds ξs Tc = Tcs 1 − if ¿ min , , 4 γb ds γb ξs ds и

" Tc = Tcs 1 −

µ

2

π ξs 4 ds

¶2 #

µ ¶ ds γb if À max 1, . ξs γ

(C.28)

(C.29)

147 Используя соотношения (C.6), легко проверить, что (C.28) эквивалентно (C.7). C.2.2.

Критическая толщина. (cr)

Критическая толщина S слоя ds

определена, как толщина, ниже которой (cr)

сверхпроводимость SF бислоя подавляется: Tc (ds ) = 0. Когда Tc → 0, ур. √ (C.24) дает Ω = 1/ 2γE (где γE ≈ 1.78 — постоянная Эйлера), и ур. (C.25) принимает вид √ (cr)

Можно найти ds

1 tan 2γE

à √

(cr) ds

1 2γE ξs

=

γ . γb

(C.30)

в явном виде в редельных случаях: (cr)

ds γ = 2γE ξs γb и (cr)

ds =π ξs

C.3.

!

r

γE 2

if

γ ds ¿ 1, γb ξs

(C.31)

if

γ ds À 1. γb ξs

(C.32)

Пространственная зависимость параметра порядка

Из уравнения самосогласования следует, что в S слое параметр порядка F (x, τ = 0) пропорционален ∆(x): Fs (x, τ = 0) =

∆(x) , πλ

(C.33)

где λ — константа связи: µ

λ−1

2γE ωD = ln πTcs

¶ .

(C.34)

148 Парный потенциал ∆(x) можно найти, как собственный вектор матрицы ˆ − ˆ1 ln(Tcs /Tc ) [см. ур. (VI.33)], соответствующий нулевому собственному L значению. Можно выразить F (x, τ = 0) в F через ∆(x) в сверхпроводнике. Функция Грина Ff (x, ωn ) в F определяется в ур.(VI.7); константа C(ωn ) может быть найдена из граничных условий: µ C(ωn ) =

Bf γb + Bf

¶

Fs (0, ωn ) . cosh(kf df )

(C.35)

Гриновская функция в S Fs+ (0, ωn ) + Fs− (0, ωn ) Fs (0, ωn ) = . 2

(C.36)

Симметричная часть Fs+ определяется в ур. (VI.31). Антисимметричную часть Fs− = C − (ωn ) cosh (ks [x − ds ]) , где C − (ωn ), можно найти из граничных условий: ¸ + · Fs (0, ωn ) iγ Im B f . C − (ωn ) = 2 As |γb + Bf | + γ(γb + Re Bf ) cosh(ks ds )

(C.37)

(C.38)

Наконец, параметр порядка в F — преобразование Фурье [см ур. (VI.34)] · ¸ iγ Im Bf Ff (x, ωn ) = 1 + As |γb + Bf |2 + γ(γb + Re Bf ) µ ¶ Z Bf cosh (kf [x + df ]) ds (C.39) × G(0, y; ωn )∆(y)dy. γb + Bf cosh(kf df ) 0

149

Литература

[1] Van Wees B.J. et al, Phys. Rev. Let., 1988, 60, 848; Wharam D.A. et al, J.Phys.C: Solid State Physics, 1988, 21, L209; Глазман Л.И. еt al, Письма в ЖЕТФ, 1988, 48, 218. [2] L.I.Glazman, G.B.Lesovik, D.E.Khmelnitskii et al., Pisma Zh. Eksp. Teor. Fiz. 48, 218 (1998)[JETP Lett. 48, 238 (1988)]. [3] H. Takayanagi et al., Phys. Rev. Lett. 75, 3533 (1995). [4] Furusaki A. et al, Phys. Rev. Lett. 67, 132 (1991) and Phys. Rev. B 45, 10563 (1992). [5] H.Takayanagi, T.Akazaki, Physica (Amsterdam) 249-251B, 462 (1998). [6] V. V. Ryazanov, V. A. Oboznov, A. Yu. Rusanov, A. V. Veretennikov, A. A. Golubov, and J. Aarts, Phys. Rev. Lett. 86, 2427 (2001); V. V. Ryazanov, V. A. Oboznov, A. V. Veretennikov, and A. Yu. Rusanov, Phys. Rev. B 65, 020501(R) (2001).

150 [7] F. S. Bergeret, A. F. Volkov, and K. B. Efetov, Phys. Rev. Lett. 86, 3140 (2001). [8] N. M. Chtchelkatchev, W. Belzig, Yu. V. Nazarov, and C. Bruder, Pis’ma Zh. Eksp. Teor. Fiz. 74, 357 (2001) [JETP Lett. 74, 323 (2001)]. [9] A. Einstein, B. Podolsky, and N. Rosen, Phys. Rev. Lett. 47, 777 (1935). [10] G.B. Lesovik, T. Martin, and G. Blatter, Eur. Phys. J. B 24, 287 (2001). [11] P. Recher, E.V. Sukhorukov, and D. Loss, Phys. Rev. B 63, 165314 (2001). [12] N.M. Chtchelkatchev, G. Blatter, G.B. Lesovik, and Thierry Martin, “Bell inequalities and entanglement in solid state devices”, cond-mat/0112094 [13] N.M. Chtchelkatchev, G.B. Lesovik and G. Blatter, “Supercurrent Quantization in Narrow Channel SNS Junctions”, Phys. Rev. B 62, 3559 (2000). [14] D. Kuhn, N.M. Chtchelkatchev, G.B. Lesovik and G. Blatter, “Supercurrents through gated superconductor – normal-metal – superconductor contacts: the Josephson-transistor”, Phys.Rev.B 63, 054520 (2001) [15] N.M. Chtchelkatchev, “Critical current in superconducting point contacts”, JETP Letters, 71, 504 (2000) [16] B. D. Josephson Phys. Lett. 1, 251 (1962) [17] L. N. Bulaevskii, V. V. Kuzii, and A. A. Sobyanin, Pis’ma Zh. Eksp. Teor. Fiz. 25, 314 (1977) [JETP Lett. 25, 290 (1977)].

151 [18] N.M. Chtchelkatchev, W. Belzig, Yu.V. Nazarov, and C. Bruder, “π − 0 Transition in Superconductor – Ferromagnet – Superconductor Junctions”, JETP Letters, 74, 323 (2001) [19] К. Л. Лихарев, УФН, том 127, вып. 2, 1979. [20] N.M. Chtchelkatchev, W. Belzig, and C. Bruder, "Josephson effect in SF -XSF junctions", JETP Lett. 75, 772 (2002); cond-mat/0205316 [21] N.M.

Chtchelkatchev,

“Conductance

of

semiconductor

(2DEG)

–

superconductor contacts in high magnetic field”, JETP Letters, 73, 94 (2001) [22] Ya.V. Fominov, N.M. Chtchelkatchev, and A.A. Golubov, “Nonmonotonic behavior of critical temperature in superconductor/ferromagnet bilayers”, cond-mat/0202280 [23] A. A. Golubov, M. Yu. Kupriyanov, V. F. Lukichev, and A. A. Orlikovskii, Mikroelektronika 12, 355 (1983) [Sov. J. Microelectronics 12, 191 (1984)]. [24] Свидзинский А. В., “Пространственно-неоднородные задачи сверхпроводимости”, М., Наука 1982. [25] П. де Жен, “Сверхпроводимость металлов и сплавов”, "Мир", Москва 1968. [26] Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Курс теоретической физики, том 3, “Квантовая Механика”

152 [27] Beenakker C.W.J., Phys.Rev.Lett., 1991, 67, 3836. [28] J.M. Krans, C.J. Muller, I.K. Yanson , Th.C.M. Govaert, R. Hesper, and J.M. van Ruitenbeek, Phys. Rev. B 48, R14721 (1993). [29] C.J. Muller, J.M. van Ruitenbeek, and L.J. de Jongh, Phys. Rev. Lett. 69, 140 (1992). [30] E. Scheer, N. Agrait, J.C. Cuevas, A.L. Yeyati, B. Ludoph, A. MartinRodero, G.R. Bollinger, J.M. van Ruitenbeek, and C. Urbina, Nature 394, 154 (1998). [31] G. Wendin and V. S. Shumeiko, Phys. Rev. B 53, R6006 (1996). [32] I. O. Kulik and A. N. Omel’yanchuk, Fiz. Nizk. Temp. 4, 296(1978)[Sov. J. Low Temp. Phys. 4,142(1978)] [33] Кулик И.О., ЖЕТФ, 1969, 67, 1745. [34] Schl¨ ussler U. et al, Phys. Rev. B, 1993, 47, 2754. [35] P. Joyez, P. Lafarge, A. Filipe, D. Esteve, and M.H. Devoret, Phys. Rev. Lett. 72, 2458 (1994). [36] M. Tinkham, Introduction to Superconductivity (McGraw-Hill, 1996). [37] D.V. Averin and K.K. Likharev, in Mesoscopic Phenomena in Solids, edited by B.L. Altshuler, P.A. Lee, R.A. Webb (North-Holland, Amsterdam, 1991), p. 213. [38] V. Ambegaokar and A. Baratoff, Phys. Rev. Lett. 10, 486 (1963).

153 [39] L.I. Glazman and A.V. Khaetskii, Europhys. Lett. 9, 263 (1989). [40] I.A. Larkin and J.H. Davies, Phys. Rev. B 52, R5535 (1995). [41] A. I. Buzdin, B. Vujicic, and M. Yu. Kupriyanov, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 101, 231 (1992) [Sov. Phys. JETP 74, 124 (1992)]; A. I. Buzdin, L. N. Bulaevski˘i, M. L. Kulic et al., Soviet Phys. Uspekhi 27, 927 (1984). [42] Ю.А. Изюмов, Ю.Н. Прошин, М.Г. Хусаинов, УФН 172, 113 (2002). [43] A. V. Andreev, A. I. Buzdin, and R. M. Osgood, Phys. Rev. B 43, 10124 (1991). [44] M. V. Feigelman, Usp. Fiz. Nauk. 169, 917 (1999). [45] L. V. Ioffe et al., Nature 398, 679 (1999). [46] T. Kontos, M. Aprili, J. Lesueur, and X. Grison, Phys. Rev. Lett. 86, 304 (2001); T. Kontos, M. Aprili, J. Lesueur, F. Genˆet, B. Stephanidis, and R. Boursier, cond-mat/0201104. [47] M. Zareyan, W. Belzig, and Yu. V. Nazarov, Phys. Rev. Lett. 86, 308 (2001). [48] S. Gu´eron et al., Phys. Rev. Lett. 83, 4148 (1999). [49] M. Fogelstr¨om, Phys. Rev. B 62, 11812 (2000). [50] S. V. Kuplevakhskii and I. I. Falko, Pis’ma Zh. Eksp. Teor. Fiz. 52, 957 (1990) [JETP Lett. 52, 340 (1990)]. [51] C. W. J. Beenakker and H. van Houten, Phys. Rev. Lett. 66, 3056 (1991).

154 [52] C. W. J. Beenakker, Phys. Rev. Lett. 67, 3836 (1991). [53] K. K. Likharev, Dynamics of Josephson Junctions and Circuits (Gordon and Breach Science Publishers, Amsterdam, 1991). [54] G. Sarma, J. Phys. Chem. Solids 24, 1029 (1963); see also D. Saint-James, G. Sarma, and E. J. Thomas, Type II Superconductivity (Pergamon, Oxford, 1969), p. 159. [55] Ya. V. Fominov, N. M. Chtchelkatchev, and A. A. Golubov, Pis’ma ZhETF 74, 101 (2001) [JETP Lett 74, 96 (2001)]. [56] E. A. Demler, G. B. Arnold, and M. R. Beasley, Phys. Rev. B 55, 15174 (1997). [57] V. N. Krivoruchko and E. A. Koshina, cond-mat/0104251. [58] A. A. Golubov, M. Yu. Kupriyanov, and Ya. V. Fominov, Pis’ma Zh. Eksp. Teor. Fiz. 75, 223 (2002) [JETP Lett. 75, 190 (2002)]. [59] E. Riedel, Z. Naturforsch. 19a, 1634 (1964). [60] N. R. Werthammer, Phys.Rev. 147, 255 (1966) [61] A. I. Larkin and Yu. N. Ovchinnikov, Sov. Phys. JETP 24, 1035 (1967). [62] I. O. Kulik and I. K. Yanson, The Josephson Effect in Superconductive Tunneling Structures (Israel Program for Scientific Translations, Jerusalem, 1972) [Nauka, Moscow, 1970].

155 [63] D. H. Huertas-Hernando, Yu. V. Nazarov, and W. Belzig, Phys. Rev. Lett. 88, 047003 (2002). [64] Ya. V. Fominov, N. M. Chtchelkatchev, and A. A. Golubov, condmat/0202280. [65] A. V. Zaitsev, Sov. Phys. JETP 59, 1163 (1984). [66] Yu. V. Nazarov, Superlattices and Microst. 25, 1221 (1999). [67] M. Yu. Kupriyanov and V. F. Lukichev, Zh. Exp. Teor. Fiz. 94, 139 (1988) [Sov. Phys. JETP 67, 1163 (1988)]. [68] W. Belzig, F. K. Wilhelm, C. Bruder et al., Superlattices and Microst. 25, 1251 (1999). [69] I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, Tables of Integrals, Series, and Products (Academic Press, New York, 1980). [70] Yu. V. Nazarov, Phys. Rev. Lett. 73, 134 (1994). [71] O. N. Dorokhov, Solid State Commun.51, 381 (1984) [72] T. Akazaki, H. Takayanagi, J. Nitta, and T. Enoki, Appl. Phys. Lett. 68, 418 (1996). [73] Th. Schraepers, J. Malindretos, K. Neurohr, S. Lachenmann, A. van der Hart, G. Crecelius, H. Hardtdegen, and H. L¨ uth, Appl. Phys. Lett. 73, 2348 (1998). [74] C. W. J. Beenakker, Phys. Rev. Lett. 67, 3836 (1991).

156 [75] T.D.Moore, D.A.Williams, Phys.Rev.B 59, 7308 (1999) [76] H.Hoppe, U.Z¨ ulike, and G.Sch¨on, Phys.Rev.Lett. 84, 1804 (2000). [77] Y.Takagaki, Phys.Rev.B 57, 4009 (1998). [78] Y.Asano, Phys.Rev.B 61, 1732 (2000); Y.Asano, T.Yuito, Phys.Rev.B 62, 7477 (2000). [79] C.J.Lambert, J.Phys.:Condens.Matter 3, 6579(1991); Y.Takane and H.Ebisawa, J.Phys.Soc.Jpn. 61, 1685 (1992). [80] M.Born, E.Wolf, "Principles of optics", Pergamon Press, 1986, p. 341. [81] H.Baranger, D.DiVincentzo, R.Jalabert, et al, Phys.Rev.B 44, 10637 (1991). K.Richter, "Semiclassical theory of mesoscopic quantum systems", SpringerVerlag Berlin Heidelberg, 2000, (Springer tracts in modern physics; Vol. 161), pp. 63-68. [82] G.E.Blonder, M.Tinkham, and T.M.Klapwijk, Phys.Rev.B 25, 4515 (1982). [83] E. Schr¨odinger, Naturwissenschaften 23, 807 (1935); ibid. 23, 823 (1935); ibid. 23, 844 (1935). [84] M.B. Menskii, Phys. Usp. 44, 438 (2001). [85] D. Bouwmeester, A. Ekert, and A. Zeilinger, The Physics of Quantum Information: Quantum Cryptography, Quantum Teleportation, Quantum Computations (Springer-Verlag, Berlin, 2000). [86] A. Zeilinger, Phys. World 11, 35 (1998).

157 [87] A. Steane, Rep. Prog. Phys. 61, 117 (1998). [88] A.K. Ekert, Phys. Rev. Lett. 67, 661 (1991). [89] C.H. Bennett, G. Brassard, C. Crepeau, R. Jozsa, A. Peres, and W.K. Wootters, Phys. Rev. Lett. 70, 1895 (1993). [90] A. Aspect, J. Dalibard, and G. Roger, Phys. Rev. Lett. 49, 1804 (1982); Z.Y. Ou and L. Mandel, Phys. Rev. Lett. 61, 50 (1988); Y.H. Shih and C.O. Alley, Phys. Rev. Lett. 61, 2921 (1988); G. Weihs, T. Jennewein, C. Simon et al, Phys. Rev. Lett. 81, 5039 (1998); A. Aspect, Nature 398, 189 (1999). [91] L. Mandel and E. Wolf, Optical Coherence and Quantum Optics, 1st ed. (Cambridge University Press, Cambridge, UK, 1995). [92] J. Cirac, Nature 413, 375 (2001). [93] M. Rowe et al, Nature 409, 791 (2001). [94] R.A. Bertlmann and B.C. Hiesmayr, Phys. Rev. A 63, 062112 (2001). [95] D.P. DiVincenzo, G. Burkard, D. Loss, and E.V. Sukhorukov, in "Mesoscopic Phenomena and Mesoscopic Devices in Microelectronics", Vol. 559, eds. I.O. Kulik and R. Ellialtioglu, (NATO ASI, Turkey, Kluwer, 2000). [96] J.S. Bell, Physics (Long Island City, N.Y.) 1, 195 (1965); J.S. Bell, Rev. Mod. Phys. 38, 447 (1966); J.F. Clauser, M.A. Horne, A. Shimony, and A. Holt, Phys. Rev. Lett. 23, 880 (1969). [97] R. Werner and M. Wolf, quant-ph/0107093.

158 [98] N. Mermin, Rev. Mod. Phys. 65, 803 (1993); A. Grib, Phys. Usp. 27, 284 (1984). [99] J.M. Kikkawa and D.D. Awschalom, Phys. Rev. Lett. 80, 4313 (1998); and Nature 397, 139 (1999). [100] S. Kawabata, J. Phys. Soc. Jpn. 70, 1210 (2001). [101] R. Ionicioiu, P. Zanardi, and F. Rossi, Phys. Rev. A 63, 050101(R) (2001). [102] Ya. Blanter, M. B¨ uttiker, Phys. Rep. 336, 1 (2000). [103] S. Popescu, Phys. Rev. Lett. 74, 2619 (1995); N. Gizin, Phys. Lett. A 210, 151 (1996). [104] [105] Y. Imry, Introduction to Mesoscopic physics (Oxford University Press, Oxford, 1997). [106] P. Recher, E.V. Sukhorukov, and D. Loss, Phys. Rev. Lett. 85, 1962 (2000). [107] D. Huertas-Hernando, Yu.V. Nazarov, and W. Belzig, cond-mat/0107346. [108] G.B. Lesovik, JETP Lett. 49, 592 (1989). [109] M.P. Anantram and S. Datta, Phys. Rev. B 53, 16390 (1996). [110] [111] This condition excludes processes where, for instance, an electron quasiparticle in lead 1 is not absorbed by the terminals 3,5, but is reflected back to

159 the superconductor and finally transformed into a hole propagating through lead 2. [112] Spin-orbit interactions and spin-flip processes (e.g., due to paramagnetic impurities) in the leads are neglected and we assume that rotation of the magnetizations a, b does not change the conductances of the contacts between the lead 1 and the terminals 3,5 (lead 2 and terminals 4,6). [113] J.F. Clauser and M.A. Horne, Phys. Rev. D 10, 526 (1974). [114] G. Burkard, D. Loss, and E.V. Sukhorukov, Phys. Rev. B 61, R16303 (2000). [115] Z. Radovi´c, M. Ledvij, Lj. Dobrosavljevi´c–Gruji´c, A. I. Buzdin, and J. R. Clem, Phys. Rev. B 44, 759 (1991). [116] L. R. Tagirov, Phys. Rev. Lett. 83, 2058 (1999). [117] A. Buzdin, Phys. Rev. B 62, 11377 (2000). [118] M. Zareyan, W. Belzig, and Yu. V. Nazarov, Phys. Rev. Lett. 86, 308 (2001). [119] J. S. Jiang, D. Davidovi´c, D. H. Reich, and C. L. Chien, Phys. Rev. Lett. 74, 314 (1995). [120] Th. M¨ uhge, N. N. Garif’yanov, Yu. V. Goryunov, G. G. Khaliullin, L. R. Tagirov, K. Westerholt, I. A. Garifullin, and H. Zabel, Phys. Rev. Lett. 77, 1857 (1996).

160 [121] J. Aarts, J. M. E. Geers, E. Br¨ uck, A. A. Golubov, and R. Coehoorn, Phys. Rev. B 56, 2779 (1997). [122] L. Lazar, K. Westerholt, H. Zabel, L. R. Tagirov, Yu. V. Goryunov, N. N. Garif’yanov, and I. A. Garifullin, Phys. Rev. B 61, 3711 (2000). [123] V. V. Ryazanov, V. A. Oboznov, A. S. Prokof’ev et al., in preparation. [124] A. Rusanov, R. Boogaard, M. Hesselberth, H. Sellier, and J. Aarts, condmat/0111178. [125] Yu. N. Proshin and M. G. Khusainov, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 113, 1708 (1998) [JETP 86, 930 (1998)]; 116, 1887 (1999) [89, 1021 (1999)]. The same results are published more briefly in M. G. Khusainov and Yu. N. Proshin, Phys. Rev. B 56, R14283 (1997); 62, 6832 (2000). [126] L. R. Tagirov, Physica C 307, 145 (1998). [127] K. D. Usadel, Phys. Rev. Lett. 25, 507 (1970). [128] A. I. Larkin and Yu. N. Ovchinnikov, in Nonequilibrium Superconductivity, edited by D. N. Langenberg and A. I. Larkin (Elsevier, New York, 1986), p. 530, and references therein. [129] J. Rammer and H. Smith, Rev. Mod. Phys. 58, 323 (1986). [130] Ya. V. Fominov, N. M. Chtchelkatchev, and A. A. Golubov, Pis’ma Zh. Eksp. Teor. Fiz. 74, 101 (2001) [JETP Lett. 74, 96 (2001)].

161 [131] M. Yu. Kupriyanov and V. F. Lukichev, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 94, 139 (1988) [Sov. Phys. JETP 67, 1163 (1988)]. [132] M. Abramowitz and I. A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions (Dover, New York, 1974). [133] P. M. Morse and H. Feshbach, Methods of Theoretical Physics (McGrawHill, New York, 1953), Vol. 1. [134] V.V. Ryazanov, private communication. [135] R. P. Feynman and A. R. Hibbs, Quantum Mechanics and Path Integrals (McGraw-Hill, New York, 1965). [136] Ya. V. Fominov and M. V. Feigel’man, Phys. Rev. B 63, 094518 (2001). The quantities τS , τN , Rint , and ρint used there are equivalent, respectively, to the quantities τs , τf , Rb , and rb from the present paper. [137] I. Baladi´e and A. Buzdin, Phys. Rev. B 64, 224514 (2001). [138] G. Eilenberger, Z. Phys. 214, 195 (1968). [139] W. L. McMillan, Phys. Rev. 175, 537 (1968). The equations obtained by McMillan in the framework of the tunneling Hamiltonian method were later derived microscopically (from the Usadel equations) by A. A. Golubov and M. Yu. Kupriyanov, Physica C 259, 27 (1996). [140] To avoid confusion, we note that Eq. (39) from McMillan’s paper [139] determining the critical temperature of an SN bilayer is incorrect. The

162 correct equation, following from Eqs. (37), (38), (40) and leading to Eq. (41) of Ref. [139], reads ln(TCS /TC ) = (ΓS /Γ) [ψ( 12 + Γ/2πTC ) − ψ( 12 )]. [141] F. S. Bergeret, A. F. Volkov, and K. B. Efetov, Phys. Rev. Lett. 86, 3140 (2001); Phys. Rev. B 64, 134506 (2001). [142] Т.Ю. Ву и Т. Томура, “Квантовая теория рассеяния”, Наука, Москва 1969г. [143] M.G. Kreˇin, Sov. Math. Dokl. 3, 1071 (1962) [144] А. Боум, “Квантовая Механика, основы и приложения”, Мир, Москва 1990 [Springer-Verlag, New York 1986] [145] N.M. Chtchelkatchev, Yu.V. Nazarov, in preparation [146] "Туннельные явления в твердых телах"под ред. Э. Бурштейна и С. Лундквиста, Москва "Наука"1973. [147] Samuelson P. et al, cond-mat/9904276 [148] Андреев А.Ф., ЖЕТФ, 1964, 49, 1823. [149] M. B¨ uttiker, Y. Imry, R.H. Landauer, and S. Pinhas, Phys. Rev. B 31, 6207 (1985). [150] Glazman L.I., Khaetskii A.V., J. Phys.: Condens. Matter, 1989, 1, 5005.

163

Работы, представленные на защиту

[1] N.M. Chtchelkatchev, G.B. Lesovik and G. Blatter, Supercurrent Quantization in Narrow Channel SNS Junctions, Phys. Rev. B 62, 3559 (2000). [2] N.M. Chtchelkatchev, Critical current in superconducting point contacts, JETP Letters, 71, 504 (2000) [3] D. Kuhn, N.M. Chtchelkatchev, G.B. Lesovik and G. Blatter, Supercurrents through gated superconductor – normal-metal – superconductor contacts: the Josephson-transistor, Phys.Rev.B 63, 054520 (2001) [4] N.M. Chtchelkatchev, Conductance of semiconductor (2DEG) – superconductor contacts in high magnetic field, JETP Letters, 73, 94 (2001) [5] N.M. Chtchelkatchev, W. Belzig, Yu.V. Nazarov, and C. Bruder,

164 π−0 Transition in Superconductor – Ferromagnet – Superconductor Junctions, JETP Letters, 74, 323 (2001) [6] Ya.V. Fominov, N.M. Chtchelkatchev, and A.A. Golubov, Nonmonotonic behavior of critical temperature in S/F bilayers, cond-mat/0202280 [7] N.M. Chtchelkatchev, G. Blatter, G.B. Lesovik, and Thierry Martin, Bell inequalities and entanglement in solid state devices, condmat/0112094 [8] N.M. Chtchelkatchev, W. Belzig, and C. Bruder, Josephson effect in SF -X-SF junctions, cond-mat/0205316