無限次元空間の測度 下―不変測度　 紀伊國屋数学叢書 13

紀伊國屋数学叢書   13-B

編 集 委員 伊藤

清 三   (東京大学名誉教授)

戸 田

宏   (京都大学教授)

永 田

雅 宜   (京都大学教授)

飛 田

武 幸   (名古屋大学教授)

吉沢

尚 明   (京都大学名誉教授)

山崎 泰郎

無 限 次 元 空 間 の測 度 〈 下〉  不 変 測度 紀伊國屋書店

ま

 下 巻 では,無

え

が

き

限次 元 空 間上 の不 変 測度 に つ い て 論 ず る.ま ず 本 書 の 内 容 に つ

い て概 括 的 な説 明 を し よ う.  不 変 測度 と言 う場 合,一 般 に は或 る変 換 群 に対 す る測 度 の 不 変 性 が 問 題に な るわ け だ が,本 書 で 問 題 に す るの は ベ ク トル空 間 上 の平 行 移 動 お よ び 回転 に 関 す る不 変 性 で あ る.周 知 の よ うに 有 限 次 元 ベ ク トル空 間 上 で は,ル ベ ー グ測 度 が そ の よ うな 唯 一 の 測 度 であ る.し た が って本 書 で 問題に す るの は,ル ベー グ 測 度 に 類 似 の 測 度 を 見 つ け る試 み だ と言 って もよい.歴 史 的 に 言 って,無 限 次 元 空 間 の測 度 論 が 確 率 論 との 関連 に お い て進 め られ て来 た結 果,無 究 は あ ま り行 なわ れ て お ら ず,そ

限測度の研

の た め に不 変性 の概 念 も よ り弱 い 準 不 変 性

(平行 移 動 し て も測 度 が 絶 対 連 続 な こ と)に お き か え られ た.残 念 な が ら,無 限 次 元 空 間 の場 合す べ て の 平行 移 動 で 準 不 変 な 測 度 は 存 在 しな い.そ

こで 適 当 な

或 る部 分 空 間 の 元 に よ る平 行 移 動 だ け に 限 定 して,そ の 意 味 で の 不 変 性 や 準 不 変 性 を 問 題 に しな け れ ば な らな い.こ の 意 味 で 準 不 変 な 測 度 は 無 限に 多 く存 在 す る.(典 型 的 な 例 は,R∞

上(l2)準 不 変 な測 度 と して 無 限 次 元 ガ ウス 測 度).

それ らの 中に は,同 値 な不 変 測 度 を もつ もの も,も た な い も の もあ る.ま た 不 変 測 度 だ け で も無 限 に 多 く存 在 す る.こ れ が有 限 次 元 ル ベ ー グ測度 ま た は 局所 コン パ ク ト群 上 の ハ ー ル測 度 と大 いに 違 うと ころ で あ る.し た が って,こ れ ら 多 数 の 不 変 測 度 の 中 か ら,何 か 別 の 自然 な 条件 を 付 加 す る こ とに よ り,特 定 の 標 準 的 な もの を選 び 出 す こ とが 次 の 課 題 とな ろ う.   本 書 で は 第1章 で 古 典 的 結 果 と して,局 所 コ ンパ ク ト群 上 の ハ ール 測 度 お よ び そ の 逆 問 題 で あ る ヴ ェー ユ位 相に関 す る ことを 述 べ る.そ し て無 限 次 元 位 相 ベ ク トル空 間 は 決 し て局 所 コン パ ク トで は あ り得 ぬ こと か ら,す べ て の平 行 移 動 で準 不 変 な測 度 は存 在 し な い こ とを導 く.   第2章

では 準 不 変 性 の概 念 を弱 め て,或

る部 分 空 間 の 元 に よ る平 行 移 動 だ け

に限 定 し,そ の意 味 で 準不 変 な典 型 的 な 測度 とし て 無 限 次 元 ガ ウ ス測 度 を 考 え

て,そ の性 質 を調 べ る と と もに 関 連 事 項 に つ い て 説 明す る.   第3章 で は 回転 不 変 性 に 関 し て論 ず る.回 転 は ヒル ベ ル ト空 間 上 に定 義 で き るが,回 転 不 変 測 度 は ヒル ベ ル ト空 間上 に は 存 在 せ ず,ヒ ル ベ ル ト空 間 を 適 当 に 拡 大 し回 転(の うち の或 る も の)も 適 当 に拡 張 した 上 で初 め て 回 転 不 変 測 度 が 作 れ る.有 界 測 度 の範 囲 内 で は 回 転不 変 測 度 は ガ ウス測 度 だ け で あ るが,無 限 測 度 ま で許 す と,回 転不 変 測 度 もや は り無 限 の多 様 性 が あ る.ま た ヒル ベ ル ト 空 間 上 で な く,無 限 次 元 回 転 群 自身 の 上に 不 変 測度 を作 る問 題 も考 え られ る. こ の場 合 も無 限次 元 回 転 群 を 適 当に 拡 大 した 上 で,初 め て不 変 測 度 が 作 れ る. 以 上 で無 限次 元 回転 群 と した と こ ろを ロ ー レ ン ツ群 で お きか え て も 同様 な 議 論 が(少 し複 雑 に な るが)で き る.ロ ー レ ン ツ不 変 測度 は 必然 的 に無 限測 度 で,し た が って無 限 次元 ロー レ ン ツ不 変 測 度 に つ い て の 議 論 に は,無 限測 度 に対 す る Kolmogorov型

の拡 張定 理 が本 質的 に必 要 に な る.

  第4章 で はR∞ 上 の 平 行 移 動 に 関 す る不 変 測 度,準 る.こ の章 の前 半はDaoの

不変測度につ いて 論ず

本に載 っ てい る こ と の焼 き直 しで あ るが,後

半は

筆 者 お よび下 村 宏 彰氏に よ る新 し い結 果 を 中 心 と し,他 の書 物 に は載 って い な い.こ の 章 で 見 られ る よ うに無 限次 元 空 間 上 の平 行 移 動 不 変(準 不 変)測 度 の 研 究 は,ガ

ウ ス測 度 な ど散 発 的 な例 につ い て調 べ る段 階 を越 えて,或

る程 度一 般

論 が で きつ つ あ り,そ の 成 果 に よ って は 新 た な 展 望 が 開 け る もの と期 待 さ れ る.今 や 我 々は,ガ

ウス 測度 以 外 に可 成 り広 い ク ラ スの 平行 移動 準不 変測 度 を

知 って い るが,そ れ に して もす べ て の準 不変 測 度 を数 え あげ る ま でに は まだ 〓 か な 道 の りが あ る.   上 述 の よ うな 平 行 移 動 に 関 す る不 変 測度 の研 究 は,無 限 自 由度 の 群(無 限 次 元 リー群 とか,場

の量 子 論 な ど無 限 自由度 を もつ 物 理 系)の 表 現 に 必要 であ る.

ま た流 れ の理 論(エ ル ゴー ド理 論)な ど確 率 論 的 研究 に も有 用 で あ る.さ らに フ ァ ィ ンマ ン積 分 とも密 接 に 関 連 して い る と思 わ れ るが,そ の 関 連 は 今 の と ころ 明 らか で ない.   上 巻 の 「拡 張 定 理 」が ほ ぼ 完 成 され た 内 容 を も って い る のに 比 べ て,下 巻 の 「不 変 測 度 」 の 研 究 は ま だ 流動 的 で あ り,そ 大 きい.

の 内容 は今 後 ふ え て 行 く可 能 性 が

目

次

まえが き 第1章

  群 上 の不 変 測 度

  §1  ラ ドン-ニ コ デ ィ ムの定 理 

1

 §2  可 測 群,不

9

変 測 度,準 不 変 測 度 

  §3  ハ ール測 度 

20

  §4  定 理3.3の 証 明 

28

  §5  厚 い 群 

34

  §6  ヴ ェー ユ位 相 

44

  §7  ベ ク トル空 間 の場 合 

51

第2章

  ガ ウス 測 度 お よ び 関 連 し た 問 題

  §8  準 不 変 性 とエ ル ゴー ド性 

57

  §9  射 影極 限 測 度 の 絶 対 連 続 性 

66

  §10 商 空 間,部 分 空 間 と特 性 関 数 

77

  §11  ガ ウ ス測 度 

79

  §12 E*準 不 変 性 とE*エ

ル ゴー ド性 

  §13  相 互 の 絶 対 連 続 性

84   92

  §14  回転 不 変 測度 の一 意 性 

100

  §15 L2(μ)の 構 造 

108

第3章 

回 転 不 変 性 と ロー レ ン ツ不 変 性

  §16  球 面 上 の 一 様 測 度 の 射 影極 限 

118

  §17  回 転 群 の不 変測 度 

124

  §18  正 則表 現 

134

  §19  ハ ー ル 測度 の射 影 極 限 

138

  §20  回転 と相 似 変 換 で不 変 な測 度

 48

  §21  ロー レ ン ツ不 変 性 

151

  §22  二 葉 双 曲面 の場 合 

160

第4章 

平 行 移 動 に 関 す る 不 変 性,準

不変 性

  §23  測 度 の た た み 込 み と準 不 変 性 

169

  §24  実 測 度 のバ ナッ ハ 空 間 

172

  §25  角 谷 位 相 

177

  §26  Tμ の 評 価 

187

  §27 特 性 位 相 

197

  §28  直 積 型 の 測度 

206

  §29 定 常 積 の場 合 

213

  §30 非 定 常 積 の場 合 

225

  §31  R∞0不変 測 度 の非 有 界 性 そ の 他 

235

  §32  無 限 次 元 ルベ ー グ測 度 

240

  §33  回 転 と相 似 変 換 に 関 す る不 変 性 

252

文

献 

261

索

引 

262

第1章  群上 の不変測度

 群 上 の不 変 測 度 と して は 局 所 コン パ ク ト群 上 の ハ ー ル測 度 の理 論 が 有 名 で あ る.し か し測 度 は 可 算 加法 的 集 合 族Bさえ

あ れ ば 考 え られ る の で,必

ず し も

位 相 と関 係 づ け て考 え る 必要 は な い.そ れ で まず 可測 群 の 概 念 を 導 入 し,準 有 界 な不 変 測 度 が も し存 在 す れ ば一 意 的 で あ る こ とを 証 明 して お く.次 に 存 在 す るか ど うか を問 い,そ の た め の 必 要 十 分 条 件 と して 局 所 コ ンパ ク ト性 を 導 入 す る.ま ず 準 備 と して これ も有 名 な ラ ドン-ニ コ デ ィム(Radon-Nikodym)の

定

理 に つ い て 述 べ る.

  §1  ラ ドン-ニ コデ ィム の 定 理   (X,B)は

可 測空 間 と し,μ,ν は と もにB上

の 可 算 加 法 的 測 度 とす る.

  定 義1.1  次 の 条件 が み た され る と き,ν は μ に関 し て 絶対 連 続 で あ る と 言 い 

と書 く.

  (1.1)   

かつ

∀E∈B,  μ(E)=0⇒

ν(E)=0.

  の と き(す な わ ち μ(E)=0⇔

ν(E)=0の

と き),μ

と νは

同 値 で あ る と 言 い,μ ∼ ν と書 く.   ま た 次 の 条 件 が み た さ れ る と き,ν

は μに 関 し て 特 異 で あ る と言 い ν⊥ μ と

書 く.   (1.2) 

 (X,B)上

∃E∈B,  μ(E)=0, 

ν(Ec)=0.

の可 算 加 法 的 測 度 全 体 の上 で,関

係  は 推 移 的( 

か つ 

の 上 に 半 順 序 を 定 義 す る.ま

な ら 

)で あ り,∼

方関

に よる 同値 類 の集 合

た 関 係 ⊥ は 対 称(ν ⊥ μ な ら μ⊥ν)で あ る.μ

関 し て 絶 対 連 続 か つ 特 異 な 測 度 は,ゼ   さ て 可 測 空 間(X,B)上

係 ∼ は 同値 関 係 を なす.一

ロ 測 度(ν(E)=0

for ∀E∈B)に

に

限 る.

に 二 つ の 可 算 加 法 的 測 度 μ,ν が 与 え ら れ た と き,

 (1.3)

の形 に分 解 す る こ とを 考 え よ う.

  定 理1.1 

も し(1.3)の 形 の 分 解 が 可 能 な ら,そ

の 分 解 は 一 意 的 で あ る.す

な

わ ち ν=ν1+ν2=ν1′+ν2′ と す る と,ν1=ν1′,ν2=ν2′ で な く て は な ら な い.   証 明   ま ず(1.3)か

ら 導 か れ る幾 つ か の 結 果 を 述 べ る.(1.2)に ∃E0∈B,  μ(E0)=0, 

で あ り,一

方(1.1)に

よ り

ν2(E0c)=0

よ り E∈B, 

E⊂E0⇒

ν1(E)=0

で あ る.

E∈Bを

任意に 考 え る とき, 

と よ り 

で あ るが,上

記のこ

で あ る か ら,

を 得 る.し たが って結 局  (1.4)

で あ る.同 様 な こ とは ν1′,ν2′ に対 し て も言 え るか ら  (1.5)

で あ る.

で あ る が, 

と こ ろ で,  か ら ν1(E∩E0′)=0,し

を得

た が っ て 

る.ν1′ に 対 し て も 同 様 に し て  =ν1′(E)が

なので あ る

が 導 け る か ら,ν1(E)

わ か る. で あ る が, 

また  で あ り, 

な の で こ の 値 は0で を 得 る.同

も導 け る か ら ν2(E)=ν2′(E)で

あ る.し

た が っ て 

様 に し て 

あ る. 

(証 明 終)

  この 定 理 の 証 明 で は μ,ν に対 して 如 何 な る仮 定 も必 要 で は な く,定 理1.1 は 無 条 件 で 成 立 す る.し か し分 解(1.3)の 可能 性 は,無 条 件 で は保 証 され な い.  例  X=R1(数

直 線),B=ボ

レ ル集 合 族 とす る.μ は 普通 の ル ベ ー グ測 度 と

し,

=∞  

ν(E)

{

=Eの

(Eが 無 限 集 合 の とき) 元 の数

 (Eが 有 限集 合 の とき)

ν2⊥μ の 形に 分 解 で き た と し て 矛 盾 を 導 こ う.一

と お く.ν=ν1+ν2, 

点 か ら 成 る 集 合{x}に ν2({x}}=1で る.し

対 し,μ({x})=0だ

あ る.こ

か ら ν1({x})=0,し

の こ とか ら,ν2(E)=0と

か し φc=R1に

対 し て μ(R1)=∞

  定 義1.2  可 測 空 間(X,B)上

た が っ て

な る の はE=φ

≠0だ

の と きに 限

か ら,ν2⊥ μ で は あ り得 な い.

の 可 算 加 法 的 測 度 μ は,μ(X)<∞

の とき 有

界 で あ る(ま た は 有 限 で あ る)と 言 う.  ま た∃An∈B, 

とな る と き,μ は 準 有 界 で あ る(ま た

μ(An)<∞, 

は シグ マ 有 限 で あ る)と 言 う.   定 理1.2  可 測 空 間(X,B)上

の可 算 加 法 的 測 度 μ,νに お い て,ν と同値 な

有界測度が存在すれば  (1.3)

の 形 の 分 解 は 可 能 で あ る.   証 明   定 理 を 二 つ の 部 分 に 分 け る.す

な わ ち,①  νが 有 界 測 度 な ら,(1.3)

の 形 の 分 解 は 可 能 で あ る.②  可 算 加 法 的 測 度 μ,ν,ν′ に お い て,ν に 対 し て (1.3)の 形 の 分 解 が 可 能 で ν∼ ν′で あ れ ば,ν ′に 対 し て も(1.3)の

形 の分 解 は 可

能 で あ る.   ま ず ① を 証 明 す る.す

な わ ち νは 有 界 測 度 と 仮 定 す る.

  (1.6) 

α=sup{ν(E);E∈B,μ(E)=0}

と お く.実

は こ の 上 限 は 最 大 値 を 取 る こ と を 示 そ う.な

で あ る が,  す べ て のnに   こ のE0に

と お く と μ(E0)=0で 対 し て 成 り立 つ か ら ν(E0)=α

ぜ なら

あ っ て,  で な く て は な ら な い.

対 して

と お く と,ν2(E0c)=0だ μ(E∪E0)=0だ

か ら,(1.6)に

し た が っ て ν(E∩E0c)=0で は な ら な い.こ

か ら も ち ろ ん ν2⊥μで あ る.ま

れは  

た μ(E)=0で

ある と

より

な く て は な ら な い.す を 意 味 す る.

な わ ち ν1(E)=0で

な くて

  次に ② を 証 明 す る.ν が(1.3)の 形 に 分 解 で き た とす る と 定 理1.1の

証 明 で述

べ た よ うに((1 .4)式)

で あ る.ν ∼ ν′と し て,同

と お く.ν2′(E0c)=0だ か ら ν1(E)=0,し

用 いて

か ら ν2′ ⊥ μ で あ る.ま

た が っ て ν(E∩E0c)=0,ν

な わ ち ν1′(E)=0で

あ る.こ

  定理1.3  (X,B)上   系   (X,B)上

じE0を

れ は 

た μ(E)=0の

と き, 

だ

∼ ν′だ か ら ν′(E∩E0c)=0,す を 意 味 す る. 

(証 明 終)

の準 有 界 測 度 μ は 必 ず 或 る有 界測 度 と同値 で あ る.

の 可 算 加 法 的 測 度 μ,νに お い て,ν が 準 有 界 な らば(1.3)の 形

の分 解 は可 能 で あ る.  証 明  μ は 準 有 界 とす る.す る.一

般 性 を 失 う こ と な く,{An}は

μ(An)>0と

であ

な わ ち ∃An∈B,  μ(An)<∞,  互 い に 素 で あ る と 考 え て よ い.ま

た ∀n,

考 え て よ い.

 (1.7)

と お く と,ν は 可 算 加 法 的 測 度 で ν(X)=1で

あ る.ま

た 

で あ る か ら,

と な っ て,μ ∼ ν が わ か る. 

さて(X,B)上

(証 明 終)

の 可 算 加 法 的 測 度 μ と,B-可測

関 数0≦f(x)<∞

に対 し

 (1.8)

とお くと,μfも 可 算 加 法的 測 度 で あ って 

で あ る.

  そ こで逆 に,μ に 関 して 絶 対 連 続 な 任 意 の 測 度 が(1.8)の 形 に 書 け る の で は な い か?す

なわ ち ν=μfが

成 り立 つ か?が

問題 とな る.こ の

問 の 答 は μ,νに関 し て無 条 件 で は,以 下 の例 が 示 す よ うに 否 定 的 で あ る.   まず μ が 準有 界 の とき,μfも 準 有 界 で あ る こ とを 示 そ う.An∈B,  <∞, 

と す る.ま

た,Bm={x;f(x)≦m}と

お く.す

μ(An)

る と 

で あ る.し

で あ っ て,  た が っ て μfは 準 有 界 で あ る.言 も νが 準 有 界 で な け れ ば,決

い か え れ ば μ が 準 有 界 の と き, 

し て ν=μfの 形 に は な ら な い.

  ま た μ が(0,∞)型

測 度(す な わ ち ∀E∈B,  μ(E)=0ま

らば

で あ る.な

μfも(0,∞)型

ろf(x)=0な

ぜ な ら(1.8)に

ら ば μf(E)=0,そ

で あ る が μ が(0,∞)型 が(0,∞)型

た は μ(E)=∞)な

よ る とE上

で 殆 ん ど到 る と こ

う で な け れ ば ∃n; 

だ と=∞,し

の と き, 

で あ って

た が っ て μf(E)=∞

で あ っ て も νが(0,∞)型

で あ る.そ

で な け れ ば,決

れゆえ μ し て ν=μf

の 形 に は な ら な い.   そ こ で 例 え ば μ(E)と

し てR1上

∞ 

if μ(E)>0

0 

if μ(E)=0

{

ν(E)=

 (1.9)

の ル ベ ー グ測 度,ν(E)と

と お け ば,ν ∼ μ で あ る が,ν=μfの

形 に も μ=νfの

して

形 に も な ら な い.

  そ れ で は(0,∞)型

測 度 同 志 だ と う ま く行 くか と 言 う と,そ

る.例

し て(1.9)で

え ば ν(E)と

測 度(E≠

φ ⇒ μ′(E)=∞)を

に は な ら な い.な >0で

定 ま る も の を 考え,μ′(E)と

考 え る と 

ぜ な らf(x)≡0な

あ る か ら こ のxに

で あ る が,決

ら μf′=0, 

対 し て μf′({x})=∞

れ も 否定的 であ し て 本質 的 無 限 し て ν=μf′ の 形

な ら ∃x∈R1,f(x)

と な る.そ

れ で い ず れ に して も

μf′は ν と は 一致 し な い.   ま た ν=μfの (0,∞)型

形 に 書 け た と し て も,fは

測 度 の と き,2×0=0, 

f(x)≡1と

2× ∞=∞

なわ ち

の よ う な 難 点 は 準 有 界 測 度 同 志 だ け を 考 え る と,一

切氷解

し て も μf=μ

だ か ら μ=2μ

え ば μが

で あ る.す

し て もf(x)≡2と

  し か し な が ら,こ

一 意 的 に 定 ま ら な い.例

を 得 る.

す る.   定 理1.4  る. 

可 測 空 間(X,B)上

な ら ば,適

当 なB-可

の 可 算 加 法 的 測 度 μ,ν は と も に 準 有 界 と す 測 関 数0≦f(x)<∞

に よ り ν=μfと

書 け る.

す なわ ち  (1.10)

と な る.し

か も こ の よ う なfは

一意 的 に 定 ま る.す

な わ ち μf=μgで

あ れ ば

(fx)=g(x)

for μ-almost

all xで

あ る.

  証 明   一 意 性 の 部 分 を ま ず 証 明 し て お く.μ

は準 有 界 な の で

で あ る.ま た  (1.11)

と お く.こ

の と きAn∩Bm上

で の 積分 を考 え る こ とに よ り

上 式 第 一 行 の不 等 式 に お い て,も

し μf=μgで あ る と,こ れ が 有 限値 で あ る こ

とが わ か った の で引 き算 が 許 せ て  が 出 て 来 る.こ

しか るに

す な わ ち μ(An∩Bm)=0

の こ とが す べ て のn,mに

∪An=Xで

対 して 成 立す る か ら

あ り,∪Bm={x∈X;g(x)
あ るか ら

μ({x∈X;g(x)
for μ-almost

に 証 明 さ れ る の で,結

局g(x)=f(x)

all xを

意 味 す る.逆

for μ-almost

向 き の不 等 式 も同 様

all xが

得 ら れ て,一

意

性 は 証 明 さ れ た.   次 に(1.10)を

み た すfの

存 在 証 明 に 移 ろ う.ま

に 証 明 で き れ ば 十 分 で あ る こ と を 示 そ う.μ,ν

ず μ,ν と も 有 界 測 度 の 場 合 は と も に 準 有 界 とす る.定

1.3で 示 し た よ うに μ と 同 値 な 有 界 測 度 μ′が 存 在 す る.そ うに,(1.7)の

前に 記 し た{An}を

と お く と,(1.7)で

取 り

与え られ る νを 今 の 場 合 μ′と記 し て

を 得 る.同 様 に し て νと同 値 な有 界測 度 ν′ が あ って

理

の 証 明 の 中 で見 た よ

と書 け る が,ψ(x)≠0 for

∀x∈Xで

あ る.

 そ こ で も し ν′ と μ′の 間 に

の関 係 が あ る とす れ ば

と な る.し

た が って

ν′=μf′ か ら,ν,μ

の関係が導

の間 に も 

け る.   最後 に μ,νと も有 界 測 度 の と きに 定 理 を 証 明 し よ う.  (1.12) 〓={f;0≦f<∞,B-可 と お く.す

る とf1,f2∈〓

測 関 数,ν ≧ μf} の と きMax(f1,f2)∈〓

で あ る.な

ぜ なら

A={x∈X;f1(x)≧f2(x)} とお き,f=Max(f1,f2)と

だ か らf∈〓

して

で あ る.ま たfn∈〓

グの 定 理 よ り 

で{fn(x)}が

で あ る.{fn(x)}が

Max(f1,…,fn)は

単調増加 列 で あ れ ば ルベ ー 単 調 増 加 列 で な く て もgn=

単 調 増 加 だ か ら,fn∈〓(n=1,2,…)か

が

ら 

出 て 来 る.  さ て  (1.13) 

α=sup{μf(X);f∈〓}

と お く.α ≦ ν(X)<∞

で あ る.こ

の 上 限 は 実 は 最 大 値 を 取 る こ と を 示 そ う. と し て 

な ぜ な らfn∈〓, 

が す べ て のnに   こ のfに ν-μf≧ μgは わ ちg(x)=0

対 し て 成 り立 つ こ と か ら μf(X)=α

対 し ν=μfで

と お く とf∈〓

で あ る.

あ る こ と を 示 し た い.μf+μg=μf+gで

ν≧ μf+gと 同 値 で あ り,こ for μ-almost

all xが

の と きf+g∈〓

出 て 来 る.こ

であ り

あ る か ら,

よ り μg(X)=0す

の 事 実 か ら ν-μf=0を

な 導

き た い.対

偶 を 言 えば,ν-μf≠0な

的 に は0で

な い も の が 存 在 す る こ と を 示 せ ば よ い.

  ν≧ μfだ か ら ν-μf≠0で ν(Ec)≧ μf(Ec)を

ら ν-μf≧ μgを み た すg(x)≧0で

あ る と ∃E∈B,ν(E)>μf(E)で

加 え る と,ν(X)>μf(X)を

得 る.そ

あ る.こ

恒 等

の両 辺 に

こで

 (1.14)

と お き,  (1.15)

 (1.16) 

β=sup{λ(E);E∈B}

と お く.  λ(E)は また

正 に も 負 に も な り得 るが 可 算 加 法 的 で,λ(φ)=λ(X)=0で

μ(E)=0な

ら λ(E)=0で

あ る.(1.16)の

あ る.

上 限 は 実 は 最 大値 を取 る こ と

を 示 そ う.一 般 に 

であ る.そ れ ゆ え

が 成 り立 つ か ら, 

とお くと,λ の 可算 加法 性 と合わ せ て

を 得 る.よ

っ て 

とお くと,再 び λ の可 算 加 法 性 に よ り

と な り,し

た が っ て λ(E0)=β

で あ る.

  さ て 任 意 のE∈Bに

対 し

で あ る か ら,λ(E∩E0)≧0で

あ る.そ

と 合 わ せ て ν(E)-μf(E)≧cμ(E∩E0)が

 (1.17)

れゆ え

得 られ る か ら

と お く と ν-μf≧ μgと な っ て,求 μ-almost E0の

all xと

め るg(x)が

こ でg(x)=0

な る 心 配 を 打 ち 消 す に は,μ(E0)>0,λ(E0)=β

存 在 を 言 え ば よ い.β>0な

あ る.ま

得 ら れ た.こ

た β=0な

ら λ(E0)=β>0よ

ら,λ(X)=0な

for

をみた す

り必 然 的 に μ(E0)>0で

の だ か らX=E0と

選 べ ば μ(X)>0で

あ る. 

(証 明 終)

  以 上 で μ,ν と も 準 有 界 の 場 合 に は, 

と な る こ とが わ か っ た.こ   こ の と きB-可

で あ れ ば ∃f≧0,ν=μfす

の こ と をdν=fdμ

測 な φ(x)≧0に

なわ ち

と も あ ら わ す.

対 し(φ(x)≧0で

な く て も φ(x)が

ν-可

積 分 な ら ば)  (1.18)

と な る(こ の こ と は 証 明 な し で,定

理1.4の

φ(x)が

明 ら か に 正 し い.そ

階 段 関 数 の と き は(1.18)は

証 明 の 中 に 利 用 し た).な

し て 任 意 の φ(x)≧0

は 階 段 関 数 の 単 調 増 加 列 の 極 限 と し て あ ら わ せ る し,φ(x)≧0で 積 分 な ら ばL1-ノ

ぜ な ら,

な くて も可

ル ム で 階 段 関 数 に よ り近 似 で き る か ら.

  こ う し てdν=fdμ

か ら φdν=φfdμ

が出 て 来 る.す

なわ ち

φ(fdμ)=(φf)dμ と 言 う結 合 律 が 得 ら れ る.特

に 準 有 界 な μ,ν に 対 し,μ∼

ν と な るた め の必 要

十分条件 は dν=fdμ,  ∃f(x)>0 と な る こ と で,こ

の と き 

  定 理1.1,1.2,1.4は,μ,ν の 定 理 と 呼 ば れ る.準

for μ-almost

all x

で あ る. と も準 有 界 の 場 合,総

称 し て ラ ドン-ニコ デ ィ ム

有 界 で な い 場 合 は 筆 者 の コ メ ン トで あ る.

 §2 可 測 群,不 変 測 度,準 不 変 測 度  位 相 群 の 定 義 との 類 推 で,可 測 群 を 次 の よ うに定 義 す る.  定 義2.1  Gは 群,BはGの (G,B)が

可 測 群 で あ る とは,次

部 分 集 合 か ら成 る可 算 加 法 的 集 合族 と す る. の二 条 件 がみ た され る こ とで あ る.

  (1)  x→x-1は(G,B)か

ら(G,B)へ

の 可 測 写 像 で あ る.

  (2)  (x,y)→xyは(G×G,B×B)か   こ こ にG×GはGの

ら(G,B)へ

積 集 合 で,B×Bは{A×B;A∈B,B∈B}に

て 生 成 さ れ るG×Gの {x;(x,y)∈E}と

お け ば,E∈B×Bな

よ りB∈Bな

あ る.し

あ ら た め てyと

x)は

も ち ろ んB×B-可

た たが

か る に 

考 え て,B∈B⇔By∈Bが

あ る.yは

得 る.こ

任意だか ら

出 て 来 た.(x,y)→(y,

測 で あ る か ら,(x,y)→yxも

様に し てB∈B⇒yB∈Bを

あ る.ま

ら Φ-1(B)∈B×B,し

だ か ら Φ-1(B)(y)=By-1で y-1を

あ る.

らB-1∈Bで

Φ と 記 し て,B∈Bな

っ てΦ-1(B)(y)∈Bで

と き,E(y)=

ら ∀y∈G;E(y)∈Bで

お い て は,(1)に

(2)の 写 像(x,y)→xyを

  定 義2.2 

よっ

可 算 加 法 的 集 合 族 で あ る.E⊂G×Gの

  可 測 群(G,B)に

右 不 変,左

の 可 測 写 像 で あ る.

可 測 と な り,上

と同

の よ うに し て 可 測 群 に お い て は,Bは

不 変 か つ 逆 元 に 関 し て も 不 変 で あ る と わ か る. 可 測 群(G,B)上

  (2.1) 

の 可 算 加 法 的測 度 μが右 不 変 で あ る とは

∀E∈B,  ∀y∈G;μ(Ey)=μ(E)

が 成 り立 つ こ と で あ る.左   言 い か え れ ば,次

不 変 測 度 も 同 様 に 定 義 さ れ る.

の よ うに も 言 え る.(G,B)上

  (2.2)  に よ り測 度Ryμ

(Ryμ)(E)=μ(Ey) を 定 義 す る.μ

立 つ こ と で あ る.同

が 右 不 変 で あ る と は,∀y∈G,Ryμ=μ

が成 り

様に

  (2.3)  に よ り測 度Lyμ

の可 算 加 法 的測 度 μ に対 し

(Lyμ)(E)=μ(yE) を 定 義 す る と き,μが

左 不 変 で あ る と は,∀y∈G,Lyμ=μ

が

成 り立 つ こ と で あ る.   以 上 の 議 論 で=を

す べ て ∼ で お き か え て,準

上 の 可 算 加 法 的 測 度 全 体 を,絶

対連 続 性 に よる 同値 関 係 ∼ に よ って 同値 類 に

分 け る.μ ∼ ν で あ れ ば μ(E)=0⇔ ⇔

ν(Ey)=0で

あ り,Ryμ∼Ryν

ν(E)=0で と な る.す

同 値 類 の 集 合 の 上 で 定 義 で き る.Lyに   定 義2.3  可 測 群(G,B)上 不 変 で あ る とは

不 変 性 を 定 義 で き る.(G,B)

あ り,し

た が っ て μ(Ey)=0

な わ ち(2.2)のRyは,∼

に よる

つ い て も 同 様 で あ る.

の 可 算 加 法 的 測 度 μ(ま た は そ の 同 値 類)が

右準

 (2.4) 

∀y∈G;Ryμ

∼μ

が成 り立 つ こ と であ る.左 準 不 変性 も同 様 に定 義 さ れ る.   言 い かえ れ ば,μ(ま

た は そ の 同 値類)が 右 準不 変 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件

は  (2.5)

とな る こ とで あ る.右 不 変 測 度(を 含 む 同 値 類)は もち ろ ん右 準不 変 で あ る.一 般 の 変 換 の 場 合 に は,逆 に 準 不 変 な測 度 の同 値 類 が 不 変 測 度 を 含 む とは 必 ず し も言 え な い.し

か し後 に 証 明 す る(定 理2.4)よ うに 可測 群上 の 右(左)準 不 変測

度 の 場 合 に は 逆 も成 り立 っ て,準 不 変 な準 有 界 測 度 は 必 ず 同値 な不 変測 度 を も つ.

  可 測群(G,B)上に

右 不 変 測 度 が 存 在 す るか ど うか を 考 え よ う.測 度 に 条件

を つ け ね ば,右 不 変 測 度 は つ ね に存 在 す る.な ぜ な ら =∞ 

 (2.6)

とす れ ば,明

μ(E)

{

=Eの

(Eが 無 限 集合 の とき) 元の数

 (Eが 有 限 集 合 の と き)

ら か に μは 右 不 変 で あ る.

  数 直線R1上(Bは

ボ レ ル集 合族)の ル ベー グ測 度 は 不 変 測 度 で あ るが,明

か に(2.6)の μ とは 同値 で ない.し た が って 不変 測 度 は 一意的 で な い.ル

ら

ベー

グ測 度 を不 変 測 度 とし て 一 意 的 に 特徴 づ け た い と言 う要 請 もあ り,ま た 現 実 の 問 題 と し て 準有 界 で な い 測度 は 極 め て 取 り扱 い難 い こ と もあ って,以 後 測 度 は す べ て準 有 界測 度 だ け を 考 え る こ とに す る.可測 群 上 の 準 有 界 測 度 だ け を 考 え れ ば,今 度 は 一 意 性 は つ ね に 保 証 され,か え って 存 在 の 方 が あ や し くな る.そ の様 子 を 以下 で説 明 す る.な お 今 後,単 に測 度 と言 って も準 有 界 性 を つ ね に 仮 定 して い る もの とす る.ま た ゼ ロ測 度 は(不 変 測 度 に は 違 い な いが)考 察 の 対 象 外 に す る.   定 理2.1  可 測 群(G,B)上 の右 準不 変測 度(の 同 値類)は,も し存 在 す れ ば 一 意 的 で あ って,そ れ は左 準不 変 で もあ る.し た が って(G,B)上 の右準不変 測 度 の存 在,左 準 不 変 測 度 の 存 在,両 側 準 不 変 測 度 の存 在 は 同値 で あ って,存 在 す る場 合 は そ れ は 同 じ もの であ っ て一 意 的 に定 まる.   この証 明 の 前 に 準 備 と してフビニ(Fubini)の 可 測 群(G,B)の

定理 に つ い て 述 べ る(証 明略).

場 合 につ い て述 べ る と次 の よ うに な る.(G,B)上

の 可算 加

法 的 準 有 界 測 度 μ,ν に 対 し,(G×G,B×B)上 度 λ を 定 め,こ

に 次 の関 係 に よ って 準 有 界 測

れ を μ ×ν と 記 す.

 (2.7)

くわ し く言 う と,E(y)∈Bは 関 数 に な っ て(2.7)が

意 味 を も つ.特

  (2.8)  で あ り,こ

既 に 述 べ た が,さ

ら に μ(E(y))はyのB-可

にE=A×B,A∈B,B∈Bな

ら

(μ×ν)(A×B)=μ(A)ν(B) れ は(ν ×μ)(B×A)に

一 致 す る.B×Bは

こ の よ う なA×Bを

む 最 小 の 可 算 加 法 的 集 合 族 な の で,Et={(x,y);(y,x)∈E}と ∀E∈B×B,(μ で あ る.し

測

×ν)(E)=(ν

含

お くと

×μ)(Et)

であ

た が っ て  だ か ら(x)E={y;(x,y)∈E} 

る が, 

とお い て  (2.7)′

で も あ る.   な お,フ

ビ ニ の 定 理 は 準 有 界 で な い 測 度 の 直 積 に 対 し て は 一 般 に 成 り立 た な

い.((2.7)で

一 般 に μ(E(y))はyのB-可

(2.8)のB×Bへ

測 関 数 に な ら な い.ま

の 拡 張 と 考 え て も,そ

  定 理 の 証 明   ま ず(G,B)上  (2.9) 

た μ×ν を

れ は 一 意 的 に 定 ま ら な い).

の 可算 加法 的測 度 μ に対 し

μ(E)=μ(E-1)∀E∈B

と し てμ を 定 義 す る.明

らか に μ∼ ν な ら μ∼ ν で あ り,し

に よ る 同 値 類 の 集 合 の 上 で 定 義 で き る.ま

た が っ て〓

は ∼

た

 (2.10)

で あ るか ら,μ が左 準不 変 な らμ は 右 準 不 変 で あ る.同 様 に μが 右準 不 変 な ら μ は左 準 不 変 で あ る.そ れ ゆえ,右  

準 不 変測 度全 体 と左 準 不 変測 度 全 体 と は

の 関 係 に よ り一 対 一 に 対 応 す る.

  そ こで定 理 を 証 明す る には,μ,ν を 右準 不 変測 度 としてμ ∼ν を 証 明す る と よい.な ぜ な ら特 にμ ∼ μ で もあ るか らμ は 左 準 不 変 で も あ り,μ ∼ ν と合 わ す と μ∼ν を得 て右 準 不 変 測 度 の一意 性 が わ か る.

  写 像(x,y)→xy-1を 写 像 で,任

Ψ と記 す とΨ は(G×G,B×B)か

意 のE∈Bに

対 しΨ-1(E)∈B×Bと

ら(G,B)へ

な る.そ

の可 測

し て 

だ か らΨ-1(E)(y)=Eyで 同 様 に(x)Ψ-1(E)=E-1xが す る と,(2.7)と(2.7)′

わ か る.し

た が っ てI=(ν

あ り, 

×μ)(Ψ-1(E))を

計算

に より

 (2.11)

と な る.(2.11)の

第 一 の 等 号 よ り,I=0⇔

右 準 不 変 性 に よ り ν(E)=0な あ る.逆

にI=0な

ν(Ey0)=0で

ν(E)=0で

ら ∀y,ν(Ey)=0で

ら 殆 ん ど す べ て のyに

あ り,し

よ う に し てI=0を

第 二の 等 号 はI=0⇔

μ(E-1)=0を

様 にして μ の 意 味 す る.こ

わ か り,こ

∼μ が 成 り立 っ て い る こ と を 示 し て い る. 

  定 理2.2  可測 群(G,B)上

の 右 不 変 測 度 は,も

の

れは ν

(証 明 終)

し存 在 す れ ば定 数 倍 を除 い

て 一 意 的 で あ る.ま た この と き左 不 変 測 度 も一 意 的 に 存 在 す る.す (G,B)上

の

れ ゆ え 特 に ∃y0,

得 る.同

仲 介 に し てν(E)=0⇔μ(E-1)=0が

ぜ な らν

た が っ てI=0で

対 しν(Ey)=0,そ

あ る が,ν は 右 準 不 変 な の で ν(E)=0を

右 準 不 変 性 よ り(2.11)の

あ る.な

な わ ち,

で 右 不 変測 度 の 存 在 と左 不 変 測 度 の 存 在 は 同値 で あ っ て,存

在す る

場 合 は そ れ ぞ れ(定 数 倍 を 除 い て)一 意 的 で あ る.   証 明   前 定 理 の証 明 の うち(2.10)は,μ が 左 不 変 な らμ は 右 不 変 であ る こ と を 導 き,同 様 に μが 右不 変 な らμ は 左 不 変 な こ と もわ か るか ら,右 不 変 測 度 全 体 と左 不 変 測 度 全 体 とは  理 の前 半,す

の関 係 に よ り一 対 一 に 対 応 す る.よ

って 定

なわ ち 右 不 変測 度 の 一 意 性 さえ 証 明 す れ ば よい.

  μ,νは とも に 右不 変測 度 とす る.前 定 理 に よ り μ∼ν が 成 り立 ち,と

もに 左

準 不 変 で あ る.μ ∼ν だ か ら ラド ン-ニ コデ ィム の定 理 に よ り   (2.12)  とな って い る.こ

∃f(x)>0for∀′x,dν=fdμ こに ∀′xは 「殆 ん どすべ て のxに

対 し て」 を意 味す る記 号

で あ る.「 測 度 μ に関 し て」 を 明示 し た い とき は ∀′(μ)xと 書 く.   (2.12)に お い てf(x)=const 結 す る.(2.12)は

for∀ ′xが 成 り立 つ こ とが わ か れ ば 証 明 は 完

を 意 味 す る が こ こでEの

と な る か ら,μ,ν

を 得 る.よ

か わ りにEyを

と も右 不 変 だ と

っ て 密 度 関数fの

  (2.13) 

一意性に より

∀y,∀′x 

で な くて は な ら な い.fがB-可   (2.14) 

f(x)=f(xy)

測 な こ とか ら

φ(x,y)=f(x)-f(xy)

はB×B-可

測 で あ る.そ

こで

  (2.15) 

E={(x,y);φ(x,y)≠0}

と お く とE∈B×Bで

を 得 る.上

考え ると

あ り,I=(μ

式 第 一 の 等 号 と(2.13)よ

×μ)(E)を

りI=0で

り ∀′x,μ({y;f(x)≠f(xy)})=0で

計 算 す る と(2.7)と(2.7)′

あ り,し

あ る.し

よ り

た が って 第二 の 等 号 よ

た が って 特 に

∃x0∀ ′y  f(x0)=f(x0y) を 得 る.と

こ ろ が μ は 左 準 不 変 で あ る か ら,左

か らx0-1を

掛 け る こ とに よ り

∀′y  f(x0)=f(y) が わ か る.こ

 

Gが

う し て ∀′y,f(y)=const.が

証 明 で き た. 

(証 明 終)

ア ー ベ ル 群 の と き は 右 不 変 測 度 と 左 不 変 測 度 の 区 別 は な くな る.Gが

ー ベ ル群 で な けれ ば は 限 ら な い.そ

,右

不 変 測 度,左

ア

不 変 測 度 が 存 在 し て も 両者 が 一 致 す る と

れ ぞ れ 一 意 的 で あ る こ と が わ か る だ け で あ る.し

か し次 の こ と

が 成 り立 つ.   定 理2.3  可 測 群(G,B)の る.し

右 不 変 測 度 μ が 有 界 な ら ば,μ

は左 不 変 で もあ

た が っ て μ は 両 側 不 変 で あ る.

  証 明   μ=μ はB×Bに

を 証 明 す れ ば よ い.E∈Bに

対 し Ψ-1(E)={(x,y);xy-1∈E}

属 し,Ψ-1(E)(y)=Ey,(x)Ψ-1(E)=E-1xで

の定 理 に よ り

あ る か ら,フ

ビニ

そ こ で μ が 右 不 変 で あ れ ば,μ(Ey)=μ(E),μ(E-1x)=μ(E-1)だ

か ら

μ(E)μ(G)=μ(E-1)μ(G) と な る.0<μ(G)<∞

な の で μ(E)=μ(E-1)を

こ れ は μ=μ

を 意 味 す る. 

  こ れ でGが

ア ー ベ ル 群 の 場 合,ま

得 る が,E∈Bは

任意 なので (証 明 終)

た μ が 有 界 測 度 の 場 合,右

不 変 測 度 は 一 致 す る こ と が わ か っ た.し

不 変測 度 と 左

か し これ 以 外 の 場 合 で も 両 者 が 一 致 す

る こ と は あ り得 る.   例1 

R1は

数 直 線,Bは

は ア ー ベ ル 群 で,ル   R1-{0}を

ボ レ ル 集 合 族 と す る.R1を

ベ ー グ 測 度dxが

加 法 群 と 考え る と そ れ

不 変 測 度 とな る.

乗 法 群 と 考え る と こ れ も ア ー ベ ル 群 で

 (2.16)

が そ の不 変 測 度 とな る.な ぜ な らxa=x′

と して 

だか ら 

で あ る.

 例2  Gは 二 次 の正 方 正則 行 列 全 体 とす る.(G=GL(2,R)). と し て,四

変 数 の ル ベ ー グ 測 度dαdβdγdδ

とす る と,ヤ

を 考 え る. 

コ ビ ア ン は 次 の よ うに な る.

した が っ て  (2.17)

がGの

右 不 変 測 度 に な る.

  同様 な計 算 で(2.17)の μ は左 不 変 で あ る こ と もわ か る.こ の 場 合,Gは ベ ル 群 で な く μは 有 界 でな い が,右 不 変 測 度 と左 不 変測 度 とは一 致 す る.

アー

例3 

例2のGの

部 分 群 で,γ=0,δ=1と

な る も の を 考 え る .す

 と す る.  β′=αb+β

なわ ち

と す る と α′=αa,

だか ら   で あ る.し

た が って

 (2.18)

がGの

右不 変測 度 とな る.

また 

とす る と α′=aα,β′=aβ+bだ   で あ る.し

か ら

た が って

 (2.19)

がGの

左 不 変 測 度 とな る.

  今 度 は 右 不 変 測 度 と左 不 変 測 度 とは 異 な って い る.

  最 後 に(2.5)の 次 に宿 題 に し て お いた 事 実 を 証 明す る.可 測 空 間(X,B)上 可 測 変 換Tに

の

対 し測 度 μが 不 変 で あ れ ば,μ(の 同値 類)はも ちろ ん 準 不変 で あ

る.逆 に μ が 準不 変 だ か ら と言 って,μ と同値 な不 変測 度が あ る とは一 般 に言 え な い.し か し可 測 群 上 の 右 移 動x→xyの

場 合 に は逆 も成 り立 って 準 不

変 測 度 は 必 ず 同値 な不 変測 度 を もつ.   定理2.4  可 測 群(G,B)上

の準 不 変 測 度 μに 対 し,μ と同 値 な 右 不 変 測 度 が

存 在 す る.し た が っ て(G,B)上

で準 不 変 測 度 の存 在,右 不 変 測 度 の 存 在,左

不 変 測 度 の存 在 は 同値 で あ って,存 在 す る場 合 は み んな 同値 な測 度 で あ り右不 変 測 度 と左 不 変 測 度 は そ れ ぞ れ 定 数倍 を 除 い て一 意 的 で あ る.   証 明   まず 準 備 と し て一 般 論 を 少 し述 べ る.   (X,B)を

可 測 空 間,Tを

測)と す る.測 度 μ がTに で あれ ば,ラ

そ の上 の 可測 同型 写 像(す な わ ちTもT-1も 関 し て準 不 変(す なわ ち μ(T(E))=0⇔

ドン-ニ コデ ィ ムの定 理 よ り

  (2.20) ∃f(x);B-可

測 関 数,f(x)>0for∀′x

可

μ(E)=0)

と な る.

  Lemma 

上 記 の μ が,同 値 なT-不

変 測 度 を もつ た め の必 要 十 分 条 件 は

∃g(x);B-可測関数,g(x)>0for∀

(2.21)

′x

f(x)=g(T(x))/g(x)for∀′x

が 成 り立 つ こ と で あ る.   証 明   μ と 同 値 なT-不 り∃g(x)>0,dμ=gdν

と な る.よ

変 測 度ν が 存 在 す れ ば,ラド で あ る.こ

ン-ニ コ デ ィ ム の 定 理 よ

のとき

っ て 密 度 関 数 の一 意 性 に よ り(2.21)を 得 る.

  逆 に(2.21)が

はT-不

成 り立 て ば, 

変測 度 で あ る.な ぜ な ら 

で あ る か ら. 

(Lemmaの

  こ のLemmaを

用 い て,可

測 群(G,B)上

の 準 不 変 測 度 μが 必 ず 同 値 な

右 不 変 測 度 を もつ こ と を 証 明 し よ う.し

か し 右 移 動Ty:x→xyに

Lemmaを

関 係 を み た すB-可

適 用 し よ う と し て も(2.21)の

つ け る の は 困 難 で あ る.そ B-可 測 で は あ っ て も(x,y)に

れ はTyに

証 明 終)

対 し て

測 関 数g(x)を

伴 な う密 度 関 数fy(x)が,xに

関 し てB×B-可

見

関 し て

測 とは 言 え な い こ と が 障 害 に

な っ て い る.   そ こ でfy(x)と

同 じ よ うな 役 割 を 果 すB×B-可

そ れ を 用 い て 証 明 を 進 め て 行こ う.G×G上   (2.22) 

測 関 数f(x,y)を

定 義 し,

で 変 換:

T:(x,y)→(xy,y),T-1:(x,y)→(xy-1,y)

を 考 え れ ば,TもT-1もB×B-可

測,す

な わ ちTはB×B-可

測 同 型 写 像 で

あ る.   (G,B)上 う.E∈B×Bと

の 準 不 変 測 度 μ に対 し,μ

×μ はT-準

す る と き フ ビニ の定 理 に よ り

不 変 で あ る こ とを 証 明 し よ

で あ るが

だ か らT(E)(y)=E(y)yで

あ る.ま

た μは 準 不 変 な の で

μ(E(y)y)=0⇔ で あ り,し

μ(E(y))=0

た が って (μ×μ)(T(E))=0⇔(μ

を 得 る.こ

れ はμ ×μ がT-準

×μ)(E)=0

不 変 で あ る こ と を 意 味 す る.

  した が っ て ラ ドン-ニ コ デ ィ ム の 定 理 よ り ∃f(x,y);B×B-可

測 関 数,f(x,y)>0for∀′(x,y)

 (2.23)

と な る.た

だ しd(μ

×μ)(x,y)をdμ(x)dμ(y)と

  次 に こ のf(x,y)の

み た す 関 数 方 程 式 を 求 め,そ

(今 の 場 合B×B-可

測 関 数g(x,y))を

  今 度 はG×G×Gに

おいて

書 い た. れ を 用 い て(2.21)で

見 つ け る こ とを 考 え よ う.

T1:(x,y,z)→(xy,y,z),T2:(x,y,z)→(x,yz,z), T3:(x,y,z)→(xz,y,z)

を 考 え る と,T1,T2,T3と

もB×B×B-可

測 同 型 写 像 で あ っ て,E∈B×B×B

に対 し  (2.24)

が 成 り立 つ.以 下 の 計 算 で簡 単 の た め μ×μ×μ を λ と書 く.さ て   (2.25) 

S:(x,y,z)→(xyz,yz,z)

と す る と,S=T1°T2で

あ る か ら(2.24)を

またS=T3°T2°T1と

も書 け る か ら

繰 り返 し適 用 し て

言 うg

こ の両 者 を 比 較 す る と,密 度 関 数 の 一 意 性 に よ り

が 成 り立 つ こ とが わ か る.両

辺 をf(y,z)>0で

割 ると

 (2.26)

と な る.と

こ ろ で ∀′(x,y,z)と

言 う こ と は ∀′x,∀′(y,z)と

言 う こ と で あ り,

した が っ て 特 に

μは 左 準 不 変 な の で,x0yを

あ らた め てyと

こ こ で 文 字x,y,zをcyclicに

書 きな お して も

取 りかえ る と

が 成 り立 つ こ とに な る.す な わ ち  (2.27) で あ り,言

い かえ

れ ば

  (2.28) 

g(x,y)=f(z0,z0-1x)

と し て(2.27)は(2.21)の

成 立 を 意 味 し て い る.

 し た が っ てLemmaに (2.28)によ

れ ばg(x,y)は

れ をg(x)と

で あ る.明

よ り  実 はxの

書 き, 

はT-不

変 測 度 に な る.と

み に 依 存 し てyに

こ ろが

は よ ら な い.そ

こで こ

と お く と 容 易 に わ か る よ うに

ら か に ν∼μ だ か ら,こ

の νが 右 不 変 測 度 で あ る こ と を 示 せ れ ば 証

明 は 完 結 す る.   ν×μ がT-不

変 な こ とか ら,ν が 右 不 変 な こ と を 導 こ う.ν ×μ がT-不

言 う こ と は 任 意 のE∈B×Bに

対 し(ν ×μ)(T(E))=(ν

が 成 り立 つ こ と を 意 味 す る.特

にE=A×B,A∈B,B∈Bと

×μ)(E)す

変 と

なわ ち

す ると

 (2.29)

を 得 る.こ こでAを

一 つ 固 定 して(2.29)の 両 辺 をBの

測 度 とみ な す と,密

度

関 数 の一 意 性 に よ り  (2.30) 

∀A∈B 

が 成 り立 つ.あ

∀′y 

と は ∀′yを∀yで

ν(Ay)=ν(A)

お き か え ら れ る こ と を 証 明 す れ ば よ い.

  (2.31) D={y∈G;ν(Ay)=ν(A)} と お く と,ν(Ay)がyのB-可 に よ っ て μ(Dc)=0で

測 関 数 で あ る こ とか らD∈Bで あ る.D≠Gと

あ り,(2.30)

仮 定 し て 矛 盾 を 導 こ う.x0∈Dcを

一つ

考えて   (2.32) 

D0={y∈G;ν(Ax0y)=ν(Ax0)}

と お く と,(2.30)をAの し か る にy∈D0な ∈x0-1Dcで

か わ り にAx0に

対 し て 適 用 し て μ(D0c)=0を

らν(Ax0y)=ν(Ax0)≠ν(A)だ

あ る.す

な わ ちD0⊂x0-1Dcで

に よ り μ(x0-1Dc)=0だ が 得 ら れ た が,こ

あ る.μ(Dc)=0と

か らμ(D0)=0と

れ はμ(G)>0に

か らx0y∈Dc,よ

な る.こ

得 る. っ てy

μ の準不 変 性

う し てμ(D0)=μ(D0c)=0

矛 盾 す る. 

(証 明 終)

  §3  ハー ル 測 度   前 §で 述 べ た よ うに 可 測 群 上 で 不 変 測 度 は,存 る.そ

在 す る とす れ ば 一 意 的 で あ

こ で 次 に 存 在 す る か ど うか を 問 う こ と に す る.

  最 も 有 名 な 結 果 は 局 所 コ ン パ ク ト位 相 群 上 の 不 変 ボ レ ル 測 度 の 存 在 で あ る. 順 を 追 っ て これ を 説 明 す る が,ま   定 義3.1  Gは で あ る と は,次

群,τ

はG上

ず 位 相 群 の 定 義 か ら 始 め よ う.

の ハ ウ ス ドル フ 的 位 相 と す る.(G,τ)が

の 二 条 件 が み た さ れ る こ と で あ る.

  (1)  x→x-1は(G,τ)か

ら(G,τ)へ

  (2)  (x,y)→xyは(G×G,τ   特 に(2)か

ら,yを

る と きy→xyは

位相群

の 連 続 写 像 で あ る.

×τ)か ら(G,τ)へ

一 つ 固 定 す る と きx→xyは

の 連 続 写像 で あ る.

連 続 で,xを

一つ 固定 す

連 続 で あ る.

  今 後,位

相 τ は 特 に 記 さ な い こ と と し,単

位 相群Gの

ボ レ ル 集 合 族 をBと

す る.こ

に 位 相Gと

の と き(G,B)は

言 う よ うに 記 す. 必 ず し も可 測 群 に

な ら な い.も

しGの

に な ら な い.な B)が

濃 度 が 連 続 濃 度 よ り大 き け れ ば,(G,B)は

ぜ な ら 一 点 集 合{e}(eは

可 測 群 な らG×Gの

さ ね ば な ら な い.と   定 理3.1 

決 し て 可測 群

属 す の で,も

し(G,

Δ={(x,y);xy-1=e}はB×Bに

属

こ ろ が こ の こ とは 次 の 定 理 に よ り否 定 さ れ る.

二 つ の 可 測 空 間(X,B),(Y,B′),お

が あ る と き,も

し像f(X)の

  (3.1)  はB×B′

対角線集合

単 位 元)はBに

よ びXか

らYへ

濃 度 が 連 続 濃 度 よ り大 き け れ ば,fの

の 写 像f グ ラ フ:

G(f)={(x,y);y=f(x)} に 属 さ な い.

  こ の 定 理 に よ れ ば,(X,B)=(Y,B′)と 対 角 線集 合 Δ がB×Bに

しfを

恒 等 写 像 と 取 る こ と に よ り,

属 さ な い こ と が わ か る.

  定 理 の 証 明  一般 に 集 合Xの

部 分 集 合 の 族Uが

あ る と き,

 (3.2)

 合 併 はUの が 成 り立 つ.な

ぜ な ら(3.2)の

易 に わ か る し,B′(U)が B(U)=B′(U)を   さ て,定

可 算 部 分 集 合U′ す べ て に つ い て の 合 併 右 辺 をB′(U)と

し て,B(U)⊃B′(U)⊃Uは

容

可 算 加 法 的 集 合 族 で あ る こ と も確 か め ら れ る の で,

得 る.

理 の 記 号 でX×Yか

らXへ

の 射 影 をp1,Yへ

の 射 影 をp2と

すれ

ば 直 積 可 測 空 間 の定 義 に よ り B×B′=B(p1-1(B)∪p2-1(B′)) で あ る.よ

っ てG(f)∈B×B′

可 算 部 分 集 合U′ い.す

と す れ ば,Bの

可 算 部 分 集 合Uお

が あ っ てG(f)∈B(p1-1(U)∪p2-1(U′))で

な わ ちG(f)∈B(U)XB(U′)で

  よ っ て 各x∈Xに

よ びB′ の

な くて は な ら な

あ る.

対 しG(f)の

切 り 口;

(x)G(f)={y;(x,y)∈G(f)}={f(x)} はB(U′)に   一 方A∈U′

属 す.し

た が っ てf(X)の

の と き ,CA(y)=1

→(CA(y))∈{0,1}U′

for

一 点 集 合 は す べ てB(U′)に y∈A,=0

for 

属 す.

と し て Φ:Y∋y

を 考 え る.

  この とき B″={Φ-1(E);E⊂{0,1}U′} と お く とB″ は 可 算 加 法 的 集 合 族 でU′ ⊂B″ だ か ら,B″

⊃B(U′)で

あ る.そ

れ ゆ えf(X)の

一 点 集 合 は す べ てB″ に 属 す.言

は 一 対 一 で あ る.{0,1}U′ ってf(X)の

い か えれ ばf(X)の

上で Φ

は(U′ が 可 算 集 合 な ので)連 続濃 度 を もち,し たが

濃 度 は連 続 濃 度 以下 で なけ れ ば な ら な い.

  す な わ ちG(f)∈B×B′

な らf(X)の

濃 度 は 連続 濃 度 以下 で あ る とわ か っ

た.そ の対 偶 が 定 理 の主 張 で あ る.    この よ うに位 相 群Gの

(証 明終)

ボ レル 集 合 族Bを

可 測 群 に な ら な い.(G,B)が

考 え た の で は,一

般 に(G,B)は

可 測 群 に な るた め の一 つ の十 分 条 件 は,B×B

が 積 位 相 に 関 す るボ レル 集 合 族 と一 致す る こ とで,そ の た め の十 分 条 件 は 位 相 群Gが

第 二 可 算 公 理 をみ た す こ と で あ る(上 巻,定 理11.2の(4)).特

距 離 の つ く可 分 な 群 で あれ ば,(G,B)は

可 測 群 に な る.

  今 度 は ボ レ ル 集 合 族 の か わ りに ベ ー ル 集 合 族Bを

考 え よ う.も

が 積 位 相 に 関 す る ベ ー ル 集 合 族 に 一 致 す る 」 な ら ば,(G,B)は な ぜ な らG上 R1の

にGが

の 連 続 関 数 全 体 をC(G)と

し 「B×B

可 測 群 に な る.

し て,Bはf-1(O)(f∈C(G),Oは

開 集 合)の 形 の 集 合 で 生 成 さ れ る が,f(x)=f(x-1),φ(x,y)=f(xy)と

お く とf∈C(G),φ

∈C(G×G)で

あ り,A=f-1(O)と

して

A-1=f-1(O)∈B,

のベ ール 集 合 族 と な り,「  」 の 仮 定 が あ れ ば φ-1(O)∈B×Bだ

か ら,(G,B)は

可測 群 で あ

る.   定 理3.2  X,Yは

と も に 局 所 コ ン パ ク トか つ 可 算 コ ン パ ク トな 位 相 空 間 と

し,そ れ ぞ れ の ベ ー ル 集 合 族 をB1,B2と

す る.X×Yの

ベ ー ル 集 合 族 はB1×B2

に 一 致 す る.   系   局 所 コ ン パ ク トか つ 可 算 コ ン パ ク トな 位 相 群Gに 族 をBと

す る と き,(G,B)は

  定 理 の 証 明   X,Yと 証 明 さ れ て い る.X,Yと

も コ ン パ ク トな 場 合 に つ い て は 上 巻,定

f∈C(X)の

と き,φ(x,y)=f(x)と

と か らB1×B2⊂Bが

ー ル 集 合

理11.2の(2)で

も局 所 コ ン パ ク トか つ 可 算 コ ン パ ク トと し た 場 合 の

証 明 も多 少 の 修 正 を 施 す こ と に よ り同 様 に で き る が,こ  

お い て,ベ

可 測 群 で あ る.

こ に そ れ を 再 記 す る.

お く と φ∈C(X×Y)で

導 か れ る.(BはX×Yの

あ り,こ

ベ ー ル 集 合 族).

の こ

  逆 にB⊂B1×B2を

示 す に は,φ

∈C(X×Y)お

に 取 る と き,φ-1(O)∈B1×B2で の 開 集 合 で あ る.ま 書 け,し

よ びR1の

開 集 合Oを

任意

あ る こ と を 言 え ば よ い.φ-1(O)はX×Y

たR1に

は 距 離 が つ く の で,Oは

た が っ て φ-1(O)も

閉 集 合 の 可算 合 併 と し て

閉 集 合 の 可 算 合 併 と し て 書 け る.一

可 算 コ ン パ ク トな こ と か らX×Yも

可 算 コ ン パ ク トで あ り,そ

の 閉 集 合 は コ ン パ ク ト集 合 の 可算 合 併 と し て 書 け る.こ

方,X,Yと

も

れ ゆえX×Y

う し て,φ-1(O)は

コン

パ ク ト集 合 の 可 算 合 併 と し て 書 け る こ と が わ か る.   そ こ で 一 般 にX×Yの

開 集合Wが

 (3.3) 

(Knは

の形 に書 け る ときW∈B1×B2で 開集 合W,コ

コ ン パ ク ト)

あ る ことを 示 そ う.そ のた め に はX×Yで

ン パ ク ト集合KがK⊂Wを

みたす限 り

∃B∈B1×B2,K⊂B⊂W で あ る こ と を 言 え ば よ い.な と す る と, 

ぜ な ら(3.3)に

お い てKn⊂Bn⊂W,Bn∈B1×B2

と な る か らW∈B1×B2で

  さ て 各 点z∈Kに

対 しWに

含 ま れ る 近 傍Wzを

の 被 覆 に な る の で 実 は 既 に 有 限 合 併 でKを を み た す よ う に 選 べ る こ と,す

あ る. 考 え る と,{Wz}z∈KはK

被 っ て い る.よ

な わ ちX×Yの

各 点 はB1×B2に

か ら 成 る 基 本 近 傍 系 を も つ こ と を 言 え ば よ い.し xの

基 本 近 傍 系 をu,yの

B}はz=(x,y)の (お よ びB2)に

基 本 近 傍 系 をBと

か る に 積 位 相 の 定 義 に よ り,

局X(お

よ びY)の

各 点 が,B1

属 す る 集 合 か ら 成 る 基 本 近 傍 系 を も つ こ と を 示 せ ば よ い.

任 意 に 考 え る.x0の

お い て,一

点x0∈Xお

よ びx0を含

む 開 集 合Uを

コ ン パ ク ト近 傍 が 存 在 す る が そ れ をU0と

の 事 実 を 用 い る.「 コ ン パ ク ト空 間Xに あ る と き,X上

for x∈U0-(U∩U0)と

のfに

対 しf(x)=0

for 

はX上

の 連 続 関 数 に な る.す

お い て,一

す る.こ

点x0∈Xお

よ びx0を

の 連 続 関 数fでf(x0)=1,f(x)=0

な る も の が 存 在 す る 」(証 明 略).し f(x)=0

属 す る集 合

し て,u×B={U×V;U∈u,V∈

基 本 近 傍 系 に な る の で,結

  局 所 コ ン パ ク ト空 間Xに

開 集 合Uが

っ てWz∈B1×B2

た が っ てU0上

含む

for 

と

の 連 続 関 数fでf(x0)=1,

な る も の が 存 在 す る(U0はU0の と し て 定 義 域 をX全 な わ ちf∈C(X).そ

こ で次

内 部).こ

体 に ひ ろ げ て や る と,f し てfの

定 義 の仕 方 か ら

で あ り, 

であ る.こ れ で 証 明 は 完 了 した. 

  次 の 定 理 は 本 §の 主 定 理 で あ る.な つ い て 述 べ て あ るが,左

お 定 理3.3∼3.5に

(証 明終)

お いては右不変性 に

不 変 性 に つ い て も全 く同 様 な こ とが 成 り立 つ(証 明 も

同 様).   定 理3.3  Gは 局 所 コン パ ク ト位 相 群 とし,G上 な連 続 関数 全 体 をC0(G)と 数 値 汎 関 数I(f)が   I(f)は

す る.C0(G)上

で 定 義 され 台 が コ ンパ ク ト

に次 の条 件(1)∼(4)を

存 在 す る.(正 確 に はI(f)≡0以

み たす 実

外 の ものが 存 在 す る).

線 型,す な わ ち

 (1)  I(af)=aI(f),∀a∈R1,  (2)  I(f+g)=I(f)+I(g).   I(f)は

正 値,す

  (3)  f(x)≧0

なわち

I(f)は

for ∀x∈G⇒I(f)≧0.

右 不 変,す

なわ ち

  (4)  I(f)=I(fy),∀y∈G,∀f∈C0(G),  

た だ し.fy(x)=f(xy)と

す る.

  この定 理 の証 明は 繁 雑 な の で,後

まわ しに し て §4で ゆ っ くりや る こ と に

し,ま ず は 定 理3.3が 正 しい と認 め た 上 で 得 られ る結 果 に つ い て 述 べ る.   定 理3.4  局 所 コ ンパ ク トか つ 可算 コン パ ク トな位 相 群Gの Bと す る.可 測 群(G,B)の

ベ ー ル集 合 族 を

上 に 右 不 変 測 度が(定 数倍 を 除 い て)一 意 的 に 存 在

す る.   定 理3.4でBの

か わ りに ボ レ ル集 合族Bを

考 えれ ば,(G,B)は

可測 群 とは

限 らな い.す な わ ち(x,y)→xyはB×BとBに

関 して は 可 測 と 限 ら な い.

しか しyを 一 つ 固 定 す る ご とにx→xyはB可

測 で あ り,xを

る ご とにy→xyはB可

測 で あ る.そ

一つ固定す

れ ゆえ 定 義2.2の よ うに して 右 不 変

ボ レル 測 度 は定 義 で き る.す な わ ち   (3.4)  と してRyμ

(Ryμ)(E)=μ(Ey)  を定 義 し,「 ∀y∈G;Ryμ=μ

∀E∈B 」 と言 う条 件 で ボ レ ル測 度 μの 右 不

変 性 を 定 義 で き る.   定 理3.4′  局 所 コ ン パ ク トか つ 可 算 コ ン パ ク トな 位 相 群Gの をBと

す る.(G,B)上

ボレル 集 合 族

に は 内 正 則 か つ 外 正 則 な 右 不 変 測 度 が(定 数 倍 を 除 い

て)一 意 的 に 存 在 す る.   定 理3.4お I(f)で

よ び3.4′ の 証 明   上 巻,定

定 理3.3の(1),(2),(3)を

理22.3に

よ る.C0(G)上

の 汎 関 数

み たす ものは

 (3.5)

の 関 係に よ り,(G,B)上 合Kに

の 内 正則 か つ外 正 則 な 測 度μ で任 意 のコ ンパ ク ト集

対 し μ(K)<∞

を み た す もの と,一 対 一 に 対 応 す る.た だ し,内 正 則

性 お よび 外 正 則 性 の 定 義 を 再 記 す る とそ れ ぞ れ 次 のa),b)で あ る.   a)  任 意 の開 集 合Oに

対 し, 

  b)  任 意 の ボ レル 集 合Eに

(Kは

対 し, 

(Oは

 μ が 内 正 則 か つ外 正 則 な ボ レル測 度 な ら,y∈Gに 外 正 則 で あ り,任 意 の コ ンパ ク ト集合Kに じ性 質 を もつ.さ

開 集 合).

対 してRyμ

対 し μ(K)<∞

も内 正 則 か つ

な らばRyμ

も同

を 得 て,μ

の右

らに

で あ る か ら,I(f)が 不 変 性 が わ か る.こ   Gは

コ ン パ ク ト).

定 理3.3の

条 件(4)を

み た す と,Ryμ=μ

れ で 定 理3.4′ の う ち 存 在 の 証 明 は で き た.

可 算 コ ン パ ク トな の で こ の μ は 準 有 界 測 度 で あ る が, 

コ ン パ ク ト)と 書 く と き に 各Knを ー ル 集 合 族Bに

(Knは

ベ ー ル 集 合 で あ る よ う に 選 べ る の で,μ を ベ

制 限 し て も な お 準 有 界 で あ る .そ

し て 当 然 μ はB上

変 だ か ら,定

理3.4の

  定 理3.4の

一 意 性 の 証 明 は 既 に 前 §で 終 っ て い る.定

でも 右 不

存 在 証 明 が で き た.

明 は 次 の よ う に す る.(G,B)上 請)μ が あ っ た とす る.ま

理3.4′ の 一 意 性 の 証

に 内 正 則 か つ 外 正則 な 右 不 変 測 度(準 有 界 を 要

ず コ ン パ ク ト集 合Kに

対 し μ(K)<∞

で あ る こ とを

示 そ う.μ は 準 有 界 な の で 

μ(En)<∞

と で き る.μ

正 則 な の で ∃On(開 集 合),En⊂On,μ(On)<∞

で あ る.す

なわち空でない開

集 合Oで

μ(O)<∞

の も の が 存 在 す る.コ

ン パ ク ト集 合Kは,Oの

は外

右移動の

有 限 合併 で被 え る ので,μ の 右不 変性 か ら μ(K)<∞ れ で μを ベ ー ル集 合 族Bに

制 限 し た ものは 右 不 変 な準 有 界 測 度 に な る.そ

は 既 に証 明ず み の よ うにB上 (3.5)のI(f)は

で な くては な ら ない.そ

μ のB上

では 定 数 倍 を 除 い て 一 意 的 に定 ま る.と

れ

こ ろで

の 値 だ け で 定 ま るか ら,μ に対 応 す るI(f)も

定数

倍 を 除 い て 一 意 的 に定 ま る.内 正 則 性 か つ外 正 則性 の要 請 の も とにI(f)とB 上 の測 度 μは 一 対 一 に 対応 す る の で,μ

はB上

で も定 数 倍 を除 いて 一 意 的 に

定 ま る. 

(証明 終)

 Gが 可 算 コン パ ク トとの 要 請 を 除 き,μ が 準 有 界 との仮 定 を除 い て も 同様 な 結 果 が 成 り立 つ.す な わ ち   定 理3.5  局 所 コ ン パ ク ト群Gに 可 算 加 法 的 集 合 族 をB0と

お い て,コ ン パ ク ト集 合 全 体 を 含 む 最 小 の

す る.(G,B0)上

に次 の条 件 を み た す 右 不 変 測 度 μ

が 定 数 倍 を 除 い て一 意 的 に存 在 す る.   (1)  空 で な い 開集 合OがO∈B0な   (2)  コン パ ク ト集 合Kに対

ら ば,μ(O)>0,

し μ(K)<∞,

  (3)  μは 内 正 則 か つ 外 正 則.   た だ し内 正則 性 お よび外 正則 性 の定 義 は 次 の よ うに す る.(3.5)の れ た 条件a),b)の い ては,EはB0に  証 明

うち,a)に

つ い て はOをB0に

属 す る集 合,OはB0に

コン パ ク ト近 傍U0を

もつ.こ

属 す る開 集 合 とす る.b)に

つ

属 す る開 集 合 とす る.

 Gが可 算 コン パ ク トの ときは 定 理3.4に

ン パ ク トで な い場 合 だ け を 考 え る.Gは

次に書か

帰 着 され る の で,Gが

可算 コ

局 所 コ ンパ ク トな の で,単 位 元eは

こでU0=U0-1を

仮定 し て も よい.

 (3.6)

と お く とG0はGの

部 分 群 で 局 所 コ ン パ ク トか つ 可 算 コ ン パ ク トで あ る.よ

て 定 理3.4′ に よ りG0に 存 在 す る.GはG0の A⊂Gが る.G0の

  さて

は 内 正 則 か つ 外 正 則 な 右 不 変 ボ レ ル 測 度 νが 一 意 的 に 右剰 余 類(coset)に

存 在 し て,  ボ レ ル 集 合Eに

も 定 義 し て お く.

っ

よ っ て 分 割 で き る.す

y1≠y2⇒G0y1∩G0y2=φ 対 し,ν(Ey)=ν(E)と

な わ ち 集合

と な る よ うに で き

し て,ν はcoset

G0yの

上 に

  (3.7) U={E∈B;E∩G0y≠ と お く.U∪Ucは Ucを

定 義),コ

φ を み た すy∈Aは

可算 加 法 的 集 合 族 を な し(た だ しE∈Uc⇔Ec∈Uと ン パ ク ト集 合 はUに

な らE∩G0yはG0yの G0y∈B0で

属 す の でB0⊂U∪Ucで

ボ レ ル 集 合 で あ り,G0yは

あ る.よ

っ てEはB0に

と な り,E∈B0を

得 る.こ

  次 にU∩Uc=φ

を 示 そ う.も

し た が っ てG∈U,よ し ま う.そ

高 々 可 算 個}

にE∈U

可算 コ ン パ ク トな の でE∩

属 す る 集合 の 可算 合 併 と し て 書 け る こ と

う し てB0=U∪Ucが

っ てAは

して

あ る.逆

わ か っ た.

しE∈U,Ec∈Uで

あ れ ばE∪Ec∈Uと

可算 集 合 で あ り,Gが

な り

可算 コ ン パ ク トに な っ て

こで

 (3.8)

と し てB0上 で あ る.こ

に μ を 定 義 す る.明

れ が 定 理 の 条 件(1),(2),(3)を

  も し μ(O)=0を 集 合G0に

ら か に μ はB0上

み た す こ と を 確 か め よ う.

み た す 空 で な い 開 集合O∈B0が

対 し て も μ(G0)=0.こ

φ を み た すy∈Aは

第 二 行 で 和 は 有 限 和 に な る.そ

し てK∩G0yは

た が っ て μ(K)<∞

  E∈Ucの

と き μ(E)=∞

す る と き は  G0yはG0yの G0y,ν(Ky)>0で

な わ ちOに

非 可 算 無 限 個 含 ま れ る の で,Oに す る.外

開 集 合OがUに

属

非 可 算 個 あ る.O∩

は測 度 正 の 互 い に 素 なコ ン パ ク ト集 合 が

対 し て 内 正 則 性 は 成 り立 っ て い る. の と き は 問 題 な い.μ(E)<∞

だ か らν の 外 正 則 性 よ り ∀εy>0,∃Oy(開 な る.こ

を得 る.問 題 に な るy∈Aは 対 し 

集 合OがUcに

性 よ り ∃Ky(コ ン パ ク ト),Ky⊂O∩

正 則 性 は μ(E)=∞

G0y⊂Oy⊂G0y,ν(Oy)≦ν(E∩G0y)+εyと

ε>0に

にKが

コ ン パ ク トな の で ν(K∩G0y)

φ を み た すy∈Aは

開 集 合 だ か ら νの 内 正則

の と きν(E∩G0y)<∞

反 す る.次

有限 個 で あ る か ら(3 .8)の

だ か ら外 正 則 性 は 成 り 立 つ.開

あ る.す

算 コン パ ク ト

で あ る.

で あ りO∩G0y≠

  今 度 はE∈Uと

あ れ ば,可

れ は μ(G0)=ν(G0)>0に

コ ン パ ク ト集 合 な らK∩G0y≠

<∞,し

の可 算 加 法 的測 度 で 右 不 変

と な る よ う にεyを選 べ,し

集 合),E∩

の と き 

可 算 個 な の で,与

えられ た

た が っ て μ は 外 正 則 で あ る.

属 す る と き の 内 正則 性 も同 様 に 証 明 され る.こ

れ で 定 理3.5

の うち存 在 の証 明が 終 った.   一 意 性 の 証 明 は 次 の よ うに す る.定 理3.5の

条 件 を み た す μが あ る と き μの

G0へ の制 限ν は 内 正則 か つ 外 正則 な右 不 変 ボ レ ル測 度 に な る.そ

れ ゆえ ν は

定 数 倍 を 除 いて 一 意 的 に 定 ま る.μ の 右 不 変 性 に よ り,各coset G0yに た も の(こ れ をや は り νと記 す)も 一 意 的 に 定 ま る.そ し てE∈Uに   で な くて は な ら な い か ら,μ(E)の

次 にE∈Ucに >0だ

対 して は非 可 算 個 のy∈Aに

か ら μ(E)=∞

  定 義3.2 Gが

制限し 対し て は

値 は 一 意 的 に 定 ま る.

対 し てE⊃G0yで

あ り,ν(G0y)

で な くて は な ら ない. 

(証 明終)

局 所 コ ン パ ク トか つ 可 算 コ ン パ ク ト位 相 群 の と き,(G,B)上

の(一 意 的 に 定 ま る)右 不 変 測 度 を,Gの

右 ハ ー ル 測 度 と言 う.な

へ の 内 正 則 か つ 外 正 則 な 一 意 的 拡 張,お

よ び そ の 完 備 化 を も 右ハ ー ル 測 度 と 言

う.Gが

局 所 コ ン パ ク ト群 の と き,定

定 ま る 右 不 変 測 度,お

  §4  定 理3.3の

よ っ て(G,B0)上

よ び そ の 完 備 化 をGの

れ のB

に一意的に

右 ハ ー ル 測 度 と 言 う.

証 明

  そ れ で は 宿 題 に し て お い た 定 理3.3の   Lemma 1 

理3.5に

お,こ

Gは

 (4.1) 

証 明 に 入 ろ う.

局 所 コ ン パ ク ト位 相 群 と し,

C0+(G)={f∈C0(G),f(x)≧0

とす る.C0+(G)上

for

∀x∈G}

に 次 の 条 伴(ⅰ)∼(ⅳ)を み た す 実 数 値 汎 関 数J(f)が

す れ ば,こ れ を 用 い て 定理3.3の   (ⅰ) J(af)=aJ(f)

for

汎 関 数I(f)が

作れ る.

a≧0,

  (ⅱ)  J(f+g)=J(f)+J(g),   (ⅲ) 

J(f)≧0, 

(ⅳ)  J(f)=J(fy),∀y∈G,∀f∈C0+(G).

  証 明  f∈C0(G))に  (4.2) 

対 して f+=Max(f,0),f-=-Min(f,0)

と お く と,f+,f-∈C0+(G)で

あ り,f=f+-f-と

書 け る.そ

こで

  (4.3) I(f)=J(f+)-J(f-) と お く と き,I(f)が   f∈C0+(G)の

定 理3.3の

と きf-=0だ

条 件(1)∼(4)を か ら,(ⅲ)か

み た す こ と を 示 そ う.

ら(3)が 出 る.ま

たf∈C0(G)に

存在

対 し(fy)+=(f+)y,(fy)-=(f-)yだ

か ら(ⅳ)か

き は(af)+=af+,(af)-=af-,a<0の

  ― 般 に(f+g)+≦f++g+だ

g-と

あ る.ま

にa≧0の

か ら

証 明 に は 少 し 計 算 を 要 す る.

,h=f++g+-(f+g)+と

たf+g=(f+g)+-(f+g)-と

お く とh∈

も 書 け,f+g=f++g+-f--

も 書 け る の で,h=f-+g--(f+g)-で

も あ る.そ

こで

とな っ て(2)が 証 明 で きた. 

  さ て位 相 群Gに

と

と き は(af)+=￨a￨f-,(af)-=￨a￨f+

だ か ら い ず れ に し て も(ⅰ)か ら(1)が 出 る.(2)の

C0+(G)で

ら(4)が 出 る.次

(証 明終)

お い て,単 位 元 の近 傍Uと

コ ンパ ク ト集 合Kに

対 し,Kは

Uの 右 移 動 の 有 限 合併 で 被 え るが そ の 際 の 必 要 最 小個 数 をr(U,K)と

記 す.

す なわち  (4.4)

ただ し#(X)は,有

限 集 合Xの

  定 義4.1  Gは 位 相 群,Uは とす る.集 合X⊂GがU分

元 の個 数 を 意 味 す る.

単 位 元 の対 称 近 傍(す な わ ちU=U-1を

み たす)

離 的 で あ る とは

 (4.5)

が み た さ れ る こ と を 言 う.   Lemma る と きKに s(U,K)と

2 Gは

含 ま れ るU分

単 位 元 の 対 称 近 傍,Kは

離 集 合 は 必 ず 有 限 集 合 で あ り,そ

コ ン パ ク ト集 合 とす の元 の最 大 個 数 を

記 す とき

  (4.6)  が 成 り立 つ.た   証 明   XはKに

と き 

位 相群,Uは

r(U,K)≦s(U,K)≦r(V,K) だ しVはVV-1⊂Uを 含 ま れ るU分

で あ るか ら

み た す 単 位 元 の 近 傍 と す る. 離 集 合,{Vy}y∈YはKの

被 覆 と す る.こ

の

 (4.7)

で あ る.と x,x′

こ ろ が ∀y∈Y,#(X∩Vy)≦1で

を も て ば,x∈Vy,x′

∈Vyよ

分 離 的 と の 仮 定 に 反 す る.そ

れ ゆ え(4.7)よ

は 任 意 だ か らs(U,K)≦r(V,K)が   次 にKに

含 ま れ るU分

あ る.な

り#(X)≦#(Y)で

あ り,X,Y

得 ら れ た. み たす もの を選 ん

被 覆 で あ る こ と を 示 そ う.も

で あれ ば,∀x∈X, 

だ か ら,X∪{x′}はKに

と な る.こ

れ はXの

  Lemma

2′  Gは 局 所 コ ン パ ク ト群 と し,U0は

しx′ ∈K, 

含 まれ るU分

取 り方 に 反 す る. 

2と

二元

な っ て,XがU

離 集 合Xで#(X)=s(U,K)を

で お く.{Ux}x∈XはKの

傍 とす る.Lemma

ぜ な らX∩Vyが

りx′ ∈VV-1x⊂Uxと

離集 合

(証 明 終) 単 位 元 の 対 称 コ ン パ ク ト近

同 じ記 号 で

  (4.8) s(U,K)≦s(U,U0)r(U0,K) が 成 り 立 つ.   証 明   XはKに

含 ま れ るU分

  ∀y∈Y,#(X∩U0y)≦s(U,U0)が 針 で 証 明 で き る.し はU0に

含 ま れ るU分

離 集 合,{U0y}y∈YはKの

被 覆 と す る.

示 さ れ れ ば,Lemma

2の

か る に#(X∩U0y)=#(Xy-1∩U0)で

証 明 と同 じ 方

あ り,Xy-1∩U0

離 集 合 だ か ら そ の 元 数 はs(U,U0)を

越 え な い. (証 明 終)

  さ て 局 所 コ ン パ ク ト群Gに

お い て,単

或 る コ ン パ ク ト集 合U0がuに

属 すが,そ

てs(U,U0)を

単 にs(U)と

位 元 の 対 称 近 傍 全 体 をuと の よ うなU0を

記 し,r(U0,K)を

記 そ う.

一 つ 固 定 す る.そ

単 にr(K)と

記 す.す

し ると

(4.8)よ り   (4.8)′ 

s(U,K)≦s(U)r(K)

が 得 ら れ る.   U∈u,f∈C0+(G)に

対 し

 (4.9)

と お く.た

だ し 

が,X⊂Car(f)を   こ のJU(f)がLemma

は,Xが

あ ら ゆ るU分

離 集 合 を動 く とき の上 限 で あ る

仮 定 し て も し な くて も,(4.9)右 1の(ⅰ)∼(ⅳ)に

辺 の 値 は 変 ら な い.

近 い性 質 を み た して い る こ とを 確

か め よ う.ま

ず 定 義(4.9)か

ら

  (ⅲ)′ JU(f)≧0 は 明 ら か で あ る.次

にXがU分

離 集 合 な ら,y∈Gに

対 しXyもU分

離集合

だか ら   (ⅳ)′ JU(f)=JU(fy),∀y∈G で あ る.ま

たa≧0に

対 し

  (ⅰ)′  JU(af)=aJU(f) が 成 り立 つ こ と も(4.9)か   後 はJU(f)<∞ よ う.fの

ら 明 ら か で あ る.

で あ る こ と と,(ⅱ)に

一 様 ノル ム(す な わ ちf(x)の

近 い性 質 が み た され る こ とを 証 明 し 最 大 値)を

‖f‖ で 表 わ す と(4.9)と

(4.8)′ よ り  (4.10)

す なわ ちJU(f)の

値 は,Uがuを

く.次 にf,g∈C0+(G)の

で あ る か ら,両

動 い て もfだ

け で定 ま る有 界 の範 囲 を 動

とき

辺 の 上 限 を 取 っ てs(U)で割

  (4.11) 

ると

JU(f+g)≦JU(f)+JU(g)

を 得 る.逆 に 次 の不 等 式 の成 立 を証 明 し よ う. ∀f,g∈C0+(G),∀  (4.12)

ε>0,∃U∈u

V⊂U⇒JV(f+g)≧JV(f)+JV(g)-ε.

これ を 証 明す るた め に 先ず 次 のLemmaを  Lemma

3  X,Yと

も有 限集 合 と し,Xの

が 対 応 し て い る と す る.E⊂Xに  (4.13)  が 成 り立 て ば,Xか

用 意 す る. 各 点xに

対 し, 

対 しYの

部 分 集 合F(x)

と お く.も

し

∀E⊂X,#(E≦#(F(E)) らYへ

  (4.14) 

の一 対 一 写像 φ で ∀x∈X,φ(x)∈F(x)

を み た す も の が 存 在 す る.   こ のLemmaはMarriage い る.そ

Problem(結

婚 問 題 ま た は 縁 組 問 題)と 呼 ば れ て

れ は 次 の よ うな 解 釈 が で き る か ら で あ る.

  Xは 男 性 の 集 合,Yは

女 性 の集 合 とし,F(x)はxの

女 友 達 の 全 体 とす る.

この とき 「Xの ど のk人 を 選 ん で も,そ の誰 か と友 達 で あ る女性 の総 数 はk人 以 上 で あ る」 との 仮 定 の も とに,友 達 同 志 が 結 婚 で き る よ うな組 合 せ が 作 れ る.し か しLemma

3を 縁 組 問 題 と して 設 定 す る と きに は,Yに"あ

が 生 じな い よ うに,#(X)=#(Y)を   Lemma

仮 定 して お い た方 が 良 いか も知 れ な い.

3の 証 明  数 学 的 帰 納 法 に よる.#(X)=1の

  #(X)
と きLemma

よ う.場 合 を二 つ に 分け る.す な わ ちXの

F(E)の

ときに 証 明 し

真 部 分 集 合Eで

#(E)=#(F(E))

を み た す も のが 存 在 す るか ど うか であ る.こ E′⊂Eに

ときは 明 らか で あ る.

3は 正 し い と して,#(X)=nの

  (4.15) 

ぶ れ"

対 して はF(E′)⊂F(E)だ

の よ うなEが

存 在 す る と きは,

か ら,数 学 的 帰納 法 の 仮 定 に よ り,Eと

間 に は め でた く一 対 一 の縁 組 み が 作 れ る.X′=X-E,Y′=Y-F(E)

とお くとE′ ⊂X′ に対 して は

だ か ら(4.15)の

も と に#(E′)≦#(F(E′)∩Y′)が

納 法 の 仮 定 に よ り,X′   次 に(4.15)を

み た す 真 部 分 集 合Eが

で あ る か ら,や

お くと

っ て数 学 的 帰

か らY′ へ め で た く一 対 一 の 写 像 が 作 れ る.

を 任 意 に 取 り,φ(x0)をF(x0)か -{φ(x0)}と

得 ら れ る.よ

,E⊂X′

存 在 し な い と き を 考 え る.Xの

一 点x0

ら 一 つ 任 意 に 取 る.X′=X-{x0},Y′=Y に対 し

は りX′ か らY′ へ め で た く一 対 一 の 写像 が 作 れ る.(証 明 終)

  (4.12)の 証 明 に戻 る.f,g∈C0+(G),U∈uと

す る.Car(f+g)に

るU分

み た す もの を 考 え よ う.こ

離 集 合Zで,#(Z)=s(U,Car(f+g))を

と き,Car(f)に

含 ま れ る 任 意 のU分

離 集 合Xに

対 し,Xか

写像 φで  (4.16)  を み た す も の が 作 れ る.こ  (4.17) 

∀x∈X,φ(x)x-1∈U れ を 示 す に は,Lemma F(x)={z∈Z;zx-1∈U}

3に

ょれ ば

らZへ

含 ま れ の

の 一対 一

と し て#(E)≦#(F(E))を F(E)もU分

離 集 合 で,ま

分 離 的 で あ る.よ

言 え ば よ い.し たFの

か る にE⊂Xに

定 義(4.17)よ

っ てE∪(Z-F(E))はU分

対 し,EもZ-

りFとZ-F(E)は 離 集 合 で,明

相 互 にU ら か にCar(f+g)

に 含 まれ る の で

そ れ ゆ え#(E)≦#(F(E))が え た.同

様 に し てCar(g)に

示 さ れ,よ

っ て(4.16)を

含 ま れ る 任 意 のU分

へ の 一 対 一 写 像 ψ で ∀y∈Y,ψ(y)y-1∈Uを

みたす φの 存在が言

離 集 合Yに

対 し,Xか

らZ

み た す も の が 作 れ る.

 す る と

 た だ し  (4.18)

で あ る.両

辺 の 上 限 を 取 っ てs(U)で

割 る と

 (4.19)

と な る.と

ころ でf,gと

で あ る.よ

っ て(4.19)よ

も一 様 連 続 な の で,与 え られ た ε>0に 対 し

り(4.12)が

  さ て 最 後 の 段 階 と し てJ(f)を

出 て 来 る. 構 成 し よ う.先

ず 次 の よ うな写 像 Φ を 定 義

す る.  (4.20)

そ して  (4.21)

と お く.明

ら か にU1⊂U2な

らH(U1⊂H(U2)で

あ る か ら,{H(U)}U∈uは

有 限 交 叉 性 を 有 す る(す な わ ち 任 意 有 限 個 の 共 通 部 分 が 空 で な い).一 フ の 定 理 よ りΠ[0,‖f‖r(Car(f))]は

すなわち

方 チ コノ

積 位 相 に 関 し て コ ン パ ク トな の で

 (4.22)

と な る.こ

の と き 積 位 相 の 定 義 よ り,任

fm∈C0+(G)に

対 し,Vn⊂Uを

意 のU∈uと

任 意 有 限 個 のf1,f2,…,

み た す 列{Vn}を

適当に取 り

 (4.23)

と な る よ う に で き る.   こ のJ(f)がLemma J(f)≧0は

1の

明 ら か で あ る.ま

条 件(ⅰ)∼(ⅳ)を たJU(f)に

み た す こ と を 示 そ う.(ⅲ)の

つ い て の 性 質(ⅳ)′ か ら(ⅳ)が,

(ⅰ)′ か ら(ⅰ)が 出 て 来 る の は 当 然 で あ る.(ⅱ)に (4.23)に

つ い て は,(4.11),(4.12),

よ り

J(f)+J(g)≧J(f+g)≧J(f)+J(g)-ε が 任 意 の ε>0に

対 し て 成 り立 つ こ と と な り,よ

っ てJ(f+g)=J(f)+J(g)

と な っ て(ⅱ)が 成 り立 つ.   最 後 にf(x)=1

for x∈U0と

(4.9)よ りJU(f)≧1で 的 に0で

は な い.こ

あ る.し

す る と(こ の よ う なf∈C0+(G)は た が っ てJ(f)≧1と

う し てLemma

で は な い 汎 関 数J(f)が,C0+(G)の

1の

存 在 す る),

な り,汎

条 件(ⅰ)∼(ⅳ)を

関 数Jは

恒等

み た し て 恒 等 的 に0

上 に 作 れ た.

  §5 厚 い群   前 二 §でGが 族B上

局 所 コン パ ク トか つ可 算 コン パ ク ト位 相 群 の とき,ベ ー ル集 合

に 右 不 変 測 度 が,定

こ とか ら,Gの

数 倍 を 除 い て 一 意 的 に 存在 す る こ とを 見 た.こ

の

厚 い部 分 群 上 に も右 不 変 測 度 が 存 在 す る こ とが わ か る.詳 し く

は下 記 の通 り.   定 理5.1  (G,B)が

可測 群 の と き,Gの

部 分 群G0に

対 し て(G0,B∩G0)

は 可 測 群 で あ る.   証 明  x→x-1がB可 し た が っ てE′

測 と言 う こ と は,E∈B⇒E-1∈Bを

で あ っ て,G0上   次 に Φ:(x,y)→xyと ∈B×Bを

意 味す る.

∈B∩G0⇒∃E∈B, 

意 味 す る.よ

でx→x-1はB∩G0可

す る と,Φ がB可 ってE′=E∩G0,E∈Bで

測 で あ る.

測 と 言 う こ と はE∈B⇒ あ れ ば,Φ

Φ-1(E) のG0×G0上

へ の制

限 をΦ0と

し て,  と な る.し

(Y,B2)に

対 し,A⊂X,B⊂Yと

が 成 り立 つ.よ

か る に 一 般 に 可 測 空 間(X,B1),

し て 

っ て 

が 得 ら れ て,(G0,B∩G0)

は 可 測 群 で あ る こ とが証 明 で き た.    定 理5.2 

Gは

ー ル 集合族

G0=Buで

局 所 コ ン パ ク トか つ 可 算 コ ン パ ク ト位 相 群 と し,Bは

とす る .Gの

連 続 関 数 を,す

稠 密 な 部 分 群G0に

そのベ

定 義 され た 実 数 値 一 様 し て,B∩

あ る.

体 をCu(G)と

場 合 につ い て証 明 す る.G上

し,す べ て のf∈Cu(G)を

し よ う.明 らか にBu⊂Bで

  f∈C(G)と と 書 け る.こ

す る.Gは

って も し任 意 のf∈C(G)がBu

証 明 で きた こ とに な る. (Knは

可 算 コ ン パ ク トな の で 

こ で{Kn}は

単 調 増 加 と考 え て よ い.Gは

る か ら,∃ φn(x)∈C0(G),φn(x)=1 パ ク トな 連 続 関 数 全 体).こ

for x∈Knで

あ る.(C0(G)は

測 とわ か る.

稠 密 な 部 分 群 で あ る 場 合 を 考 え る.f∈Cu(G)の

の 制 限 をf0と

し てf0∈Cu(G0)で

あ り,R1の開

あ るか ら,B∩G0⊂Buが

対 し,G0はGで

稠 密 な の でf0は

っ て 再 びf0-1(O)=f-1(O)∩G0か

  定義5.1  位 相 群Gの

或 るf∈Cu(G)に らBu⊂B∩G0が

部 分 集 合Aが

集 合Oに

わ か る.逆

台が コン

あ り, 

測 な こ とか らfもBu可

=f-1(O)∩G0で

コ ン パ ク ト)

局 所 コ ン パ ク トで も あ

の と き φnf∈C0(G)⊂Cu(G)で

(各点 収 束)で あ るか ら,φnfがBu可   次 にG0がGの

の実 数 値 一 様 連 続 関 数 全

可 測 に す る最 小 の可算 加法 的 集 合族

あ る.よ

可 測 で あ る こ とが わ か れ ばBu=Bが

G0へ

対 し,G0で

べ て 可 測 に す る 最 小 の 可算 加 法 的 集 合 族 をBuと記

  証 明  まずG=G0の

をBuと

(証 明終)

と き,fの 対 しf0-1(O)

に 任 意 のf0∈Cu(G0)に 一 意 的 に 拡 張 さ れ る.よ わ か る. 

次 の 性 質 を もつ と き,Aは

(証 明 終)

全 有 界(ま た

は 先 コン パ ク ト)であ る と言 う.   「単 位 元 の任 意 の 近 傍Uに

対 し,AはUの

  Gの 単 位 元 が 全 有 界 な近 傍 を もつ とき,Gは

右 移 動 の有 限 合 併 で被 え る.」 局 所 全 有 界 で あ る と言 う.ま た

Gが 全 有 界集 合 の可 算 合 併 と し て 書け る とき,Gは

可 算 全 有界 で あ る と 言 う.

  明 らか に コン パ ク ト集 合 は全 有 界 で あ る.全 有 界 集 合 の 任 意 の 部 分 集 合 は 全

有 界 で あ る.が

完 備 群 の と きは 逆 に 全 有 界 閉 集 合 は す べ て コ ンパ ク トで あ る

(例 え ば ブル バ キ 数学 原 論 「位 相」 参 照).   定 理5.3  位 相 群Gが は,Gが

局 所 全 有 界 か つ 可 算 全 有 界 で あ るた め の 必要 十 分 条 件

局 所 コン パ ク トか つ 可 算 コン パ ク トな位 相 群Gの

稠 密 な部 分群 と同

型 に な る こ と(群 と して の 同 型 対 応 で 同 時 に 同 相 で もあ る写 像 の存 在 す る こ と) で あ る.   証 明  十 分 で あ る こと を示 そ う.GをGの 単 位 元 の近 傍Uに

対 し,U∩GはGの

を示 せ ば よい.「Gの あ る」.Gの ⊂Uを

稠 密 部 分 群 と同一 視 す る.Gの

単 位 元 の近 傍 で あ る.よ

コン パ ク ト集 合Kに

単 位 元 の任 意 の近 傍Uを

対 し,K∩GはGの

考 え る.Gの

み たす ものが あ り,ま たWW-1⊂Vと

ろ でKはWの

って 次 の こ と 全有界集合で

単 位 元 の 近 傍VでV∩G

な る近 傍Wが

存 在 す る.と こ

右 移 動 の 有 限 合 併 で 被 え る.

 (5.1)

GはGで る.よ

稠 密 だ か ら∃yk∈G;yk∈Wxkで

あ り,Wxk⊂WW-1yk⊂Vykと

な

って

が 得 られ て,K∩GはGで   逆 にGは

全 有 界 で あ る こ とが示 され た.

局 所全 有 界 か つ可 算全 有 界 とす る.Gの

なわ ち,Gは 算 のGへ

一 様 空 間 として はGの

完 備 化 群 をGと

一 様構 造 の完 備 化 で,群

す る.(す

演 算 はGの

の連 続 的 拡 張 で あ る.一 般 の位 相 群 ではx→x-1はGに

まで 連

続 的 に拡 張 で き る とは 限 ら な い(す な わ ち 完 備 化群 は作 れ な い)が,Gが 有 界 と仮 定 す る こ とに よ りx→x-1はGに バ キ 数学 原論 「位 相」 参 照).こ の 閉 包Aは

の と きGの

近 傍 に な るか らGは 位 元 の 近 傍Vを はU0の

もつ が,U0はGの

てGは

局所 全 有

み たすGの

単

右 移 動 の 可 算 合 併 で 被 え る こ とか ら,G

右 移 動 の 可 算 合併 で 被え る こ とが わか り,よ っ てGは

で あ る. 

対 し,AのGで

単位元の コンパク ト

局所 コン パ ク トで あ る.次 にV-1V⊂U0を

考 え る と,GがVの

局所全

まで 連続 的 に拡 張 で き る.(ブ ル 全 有 界 集 合Aに

全 有 界 閉 集 合,し たが って コ ンパ ク トに な る.さ

界 な の で 単 位 元 は全 有 界 な近 傍U0を

群演

可算 コンパク ト (証 明終)

 定 理5.1∼ 定 理5.3を 組 み 合 わ せ て,次 の結 果 を得 る.   定 理5.4  Gは 局 所 全 有 界 か つ 可 算全 有 界 な 位 相群 とす る.ま たBuはG上 の実 数値 一 様 連続 関 数 を す べ て 可 測 に す る最 小 の可 算 加 法 的 集 合族 とす る.こ の と き(G,Bu)は

可 測 群 で あ る.

  定 義5.2  位 相 群Gは 言 う.(1)Gは Gの

次 の性 質 を もつ と き,厚 い 群(thick

局 所 全 有 界 か つ 可 算 全 有 界 で あ って,(2)Gの

ベ ー ル集 合 族 をB,(G,B)上

group)で

あ ると

完 備 化 群 をG,

の ハ ー ル 測度 を μ と して,Gは

μに 関 し て

厚 い 集 合 で あ る.す な わ ち   (5.2) 

B∈B,B∩G=φ

⇒

  定 理5.5  Gが 厚 い 群 の と き,定 理5.4で

μ(B)=0. 述 べ た 可測 群(G,Bu)の

上 に,右

不 変 測 度 が 定 数 倍 を除 い て一 意 的 に存 在 す る.   これ をGの

右 ハ ー ル測 度 と言 う.

  証 明   一 意 性 は §2で 証 明ず み で あ る.存 在 を言 うた め に,(G,B)上 のハ ー ル測 度 μ のGへ の跡ν が 求 め る も の で あ る こ とを示 そ う.す な わ ちE∈Bu =B∩Gに

対 して

 (5.3) ν(E)=μ(B),E=B∩G,B∈B

とお く.Gは

μに 関 し て厚 い集 合 な の で,Bの

選 び方 に よ らず(5.3)の

右辺の

値 は 定 ま る.そ し て μが 準 有 界 な こ とか ら νも準有 界 で あ る.な ぜ な ら

と す れ ば,En=Bn∩Gと

が 得 ら れ る.ま

して

たν は 次 に 示 す よ う に 右 不 変 で あ る.E=B∩Gの

と し てEy=(B∩G)y=By∩Gだ

と き,y∈G

か ら ν(Ey)=μ(By)=μ(B)=ν(E).

これ でν が 求 め る性 質 を み たす こ とが わ か った.    し か し 厚 い 群 で あ る こ とは,右   例1 

Qは

とす る.も 致 し,R1の

不 変 測 度 の 存 在 の た め に 必 要 条 件 で は な い.

有 理 数 全 体 の 加 法 群,そ ち ろ んQ=R1で

(証 明終)

の 位 相 は 数 直 線R1の

あ り,R1で

位 相 のQへ

の制限

は ベ ー ル集 合 族 は ボ レ ル集 合 族 と一

ハ ー ル 測 度 は 普 通 の ル ベ ー グ測 度 で あ る.そ

し てQの

ル ベ ー グ測

度 は0だ か らQは

厚 い群 では な い.一 方BuはQの

すべての部分集合 か ら 成

り,そ の上 に は 明 らか に不 変測 度 が 存 在 す る(各 点 の測 度 を1と す る).   しか しQに

離 散位 相 を 課 した とき,対 応 す るBu′ は上 のBuと

一 致 し,Qは

離 散位 相 に 関 して局 所 コン パ ク トか つ 可 算 コン パ ク トで あ る.だ か ら位 相 の選 び方 が 適 切 で なか った だけ で,(Q,Bu)上

に 不 変 測 度 が 存 在 す る こ とは ハ ー ル

測 度 の理 論 内 の こ とで あ る.   例2  Tは 一 次 元 トー ラ ス(円 周群 と も言 う.T=R1/Z,Zは 法 群)と す る.Tは

コンパ ク ト群 で あ る.Tの

の積 位 相 を 課 せ ば,Gは

整数全体の加

非 可 算 直 積Gを

コンパ ク ト群 に な る.Gの

考 え,GにT

ベ ー ル集 合族Bは,Tの

ベ ー ル集 合 族(ボ レ ル集 合 族 と一 致)の 直 積 で あ る(上 巻,定 理11 .2の(2)).そ し てTの

ハ ー ル測 度 は 円 周 上 の 一 様 測度 で あ り,こ れ の 直 積 測度 がGの

ハー

ル測 度 とな る.   さて 次 の よ うな部 分 群G0を

考 え る. とな る λ∈Λ は 高 々可 算個

 (5.4) 

G0はGの

稠 密 な 部 分 群 で あ る が,さ

す る と,Bは B=φ のG0へ

ら に 厚 い 群 で も あ る.な

可 算 個 の 座 標 だ け で 定 ま り,し

で な くて は な ら ず,よ の 跡 は,G0の

っ てG0は

た が っ てB∈B,G0∩B=φ

厚 い 群 で あ る.そ

ハ ー ル 測 度 に な る.こ

ぜ な らB∈Bと

こ でGの

なら ハ ー ル測 度

れ が 局 所 コ ン パ ク トで な い 群 の ハ

ー ル測 度 の 一 例 で あ る .

  定 義5.3  Gは 局 所全 有 界 か つ 可算 全 有 界 な 位 相群 と し,定 理5.4で 可測 群(G,Bu)を

考 え る.Bu上

の測 度 μは,次

∀B∈Bu,Bが

全有 界

述 べた

の性 質 を み た す と き局所 有 限

で あ る と言 う.  (5.5) 

⇒ μ(B)<∞.

 μが 右 不 変 な と きに は 条 件(5.5)は,「 単 位 元 が 測 度 有限 の近 傍 を もつ」 こ と と同 値 で あ る.  厚 いGの

ハ ール 測 度 は もち ろ ん 局 所 有 限 で あ る.

 例1で 見 た よ う に厚 い 群 で あ る こ とは,(G,Bu)上

に 右不 変測 度 が 存 在 す る

た め に必 要 条 件 では ない.し か し局 所 有 限 な 測 度に 限れ ば 必要 条 件 とな り,そ の意 味 で定 理5.5の 逆 が成 り立 つ.す なわ ち

  定 理5.6  Gは 局 所 全 有 界 か つ 可 算全 有 界 な 位 相 群 と し,G上

の実 数 値 一 様

連 続 関数 をす べ て 可測 に す る最 小 の可 算 加 法 的 集 合 族 をBuと 上 に局 所 有 限 な 右 不 変 測 度 μが 存 在 す れ ば,Gは

す る.(G,Bu)

厚 い群 で あ っ て μ はGの

右

ハ ー ル測 度 とな る.   系  Gは 局 所 全 有 界 か つ 可 算全 有 界 な 位 相 群 とす る.Gの と し,の

右 ハ ー ル測 度 を μ とす る.Gは

μ*(G)=0で

完 備 化 群 をG

厚 い 群 で あ るか,さ

も なけ れ ば

あ る.す なわ ち

 (5.6) 

∃B∈B,G⊂B,μ(B)=0.

  まず 定 理 を 認 め て 系 を証明 して お く.Gの の よ うなEを

等 測 被 をEと

す る.す

なわち 次

取 る.

 「E∈B,G⊂Eか

つ μ のEへ

この と きE′ ∈Bu=B∩Gに

の 制 限 に 関 し てGは

厚 い 集合 」

対 して

 (5.7) ν(E′)=μ(B∩E),E′=B∩G,B∈B と お け ば,定

理5.5の

証 明 と 同 様 に し てν は(G,Bu)上

し か も νは 局 所 有 限 で あ る.μ*(G)>0な

の 右 不 変 測 度 に な る.

ら μ(E)>0よ

っ て 

で あ る.し

た が っ て 定 理5.6よ

りGは

厚 い 群 で な くて は な ら な い.

  定 理 の 証 明  Gが

厚 い 群 で あ る こ と が 証 明 で き さ え す れ ば,(G,Bu)上

不 変 測 度 の 一 意 性 に よ り,定 ば な ら な い.よ

っ てGが

  (G,Bu)上 G,Gの

理5.6の

μ はGの

の右

右 ハ ー ル測 度 と一 致 し な け れ

厚 い 群 で あ る こ と の 証 明 さ え す れ ば よ い.

に 局 所 有 限 な 右 不 変 測 度 μ が 存 在 し た とす る.Gの

ベ ー ル 集 合 族 をBと

し て,B∈Bに

完 備 化群 を

対 し

  (5.8) μ(B)=μ(B∩G) と し て 測 度μ を 定 義 す る.Gは明 っ て あ とはμ がGの

らか に 測 度μ に 関 し て 厚 い 集 合 で あ る.よ

ハ ー ル 測 度 で あ る こ と を 示 せ ば よい.

  ま ずμ は 準 有 界 で あ る.な

ぜ な ら μは 準 有 界 な の で

 (5.9)

で あ る が,μ お

の 定 義(5.8)よ

く とGは{Bn}n=0,1,2,…

=0を

得 る.こ

りμ(Bn)=μ(En)<∞ で 被 わ れ, 

を 得 る.  よ りB0∩G=φ

う し てμ は 準 有 界 で あ る こ と が わ か っ た.

と だ か らμ(B0)

 ま たy∈Gに

対 して は

だ か ら,Ryμ=μ ばμ がGの

で あ る.GはGの

中 で 稠 密 だ か ら,次

の定 理 が 証 明 で きれ

右 ハ ー ル 測 度 と わ か る.

  定 理5.7  Gは ル 集 合 族 をBと

局 所 コ ン パ ク トか つ 可 算 コ ン パ ク トな 位 相 群 と し,そ す る.(G,B)上

  (5.10) 

の ベー

の局 所 有 限 な測 度 μ に対 し て

G0={y∈G;Ryμ=μ}

とお け ば,G0はGの

閉 部 分 群 で あ る.

  証 明   まずRy′(Ryμ)=Ry′yμ の関 係 か ら,G0がGの

部 分群であ る こ とは

出 て 来 る.こ れ が 閉 集 合 で あ る こ とを示 す た め に,さ ら に も う一 つ定 理 を用 意 す る.   定 理5.8  Gは ル 集 合 族 をBと

局所 コ ンパ ク トか つ可 算 コン パ ク トな位 相 群 とし,そ す る.(G,B)上

のベー

の局 所 有 限 な測 度 μは 必ず 内正 則 か つ 外 正 則

で あ る.   証 明   まず μが 有 界測 度 の場 合 につ い て証 明す る.任 意 のB∈Bに ∀ε>0,∃O(開  (5.11)

集 合)∈B,∃K(コ

K⊂B⊂O,μ(B-K)<ε,μ(O-B)<ε

が 成 り立 つ こ と を 示 せ ば よ い.(5.11)の と,Uは

可 算 加 法 的 集 合 族 を な し,か

f-1(O′)∈Uで

あ る.し

み た さ れ るB∈Bの つf∈C(G)とR1の

た が っ てU=Bと

  次 に μ が 局 所 有 限 な と き を 考 え る.Gは トな の で,GはBに で き る し,ま で き る.す

対し

ン パ ク ト集 合)∈B,

たBに

な り,定

全 体 をUと

す る

開 集 合O′ に 対 し

理 は 証 明 さ れ た.

局 所 コ ン パ ク トか つ 可 算 コ ン パ ク

属 す る コ ン パ ク ト集 合 の 可 算 合 併 と し て あ ら わ す こ と が 属 す る全 有 界 開 集 合 の可 算 合併 とし て もあ らわ す こ と が

なわ ち コン パ ク ト

 (5.12)

全有界開集合 μ のKnへ

の制 限 を μn,Onへ

(5.12)のKn,Onは  (5.13)

の 制 限 を μn′と す る と 共 に 有 界 測 度 で あ る.ま

単 調 増 加 に 選 べ る が,こ

のとき

た

で あ る.任

意 の ε>0と

ト集 合)∈B,Kn′

任 意 のnに

対 し,∃On′(開

集 合)∈B,∃Kn′(コ

ンパ ク

⊂B⊂On′,μn(B-Kn′)<ε/n,μn′(On′-B)<ε/2nで

あ る

だ か ら(5.13)と

が, 

わ し て 

を 得 る.す

 また 

と お く とO⊃Bで

あ

な わ ち μ は 内 正 則 で あ る. あ っ て, 

を 得 る.す なわ ち μは 外 正 則 で あ る. (証 明 終)   こ の 結 果 を 用 い て 定 理5.7の し てy∈G0を

導 こ う.す

 (5.14) 

証 明 を 続 行 す る.y∈G0(=G0の

閉 包)を

仮定

な わち ∀B∈B,μ(By)=μ(B)

を 導 こ う.ま

ずBが

な ら 一 般 のB∈Bに

全 有 界 な 場 合 に(5.14)を 対 し て は(5.13)の

証 明 で き れ ば 十 分 で あ る.な

ぜ

よ うに

と書 け る か ら,∀n,μ(B∩On)=μ((B∩On)y)で

あ れ ばμ(B)=μ(By)と

な

る.  ν=Ryμ+μ 理5.8よ

とお く とν は(G,B)上

り,B∈Bか

の 局 所 有 限 な 測 度 で あ り,し

つ 全 有 界 な場 合 に対 して

∀ε>0,∃O(開

集 合)∈B,B⊂O,ν(O-B)<ε

で あ る.す な わ ち  μ(O)で Bが

た が って 定

で あ る.よ

あ れ ば￨μ(B)-μ(By)￨<ε

を 得 る.ε>0は

全 有 界 開 集 合 の 場 合 に つ い て 証 明 で き れ ば,一 般

っ て も し μ(Oy)=

任 意 だ か ら,(5.14)で のB∈Bに

つ い て も

(5.14)が 成 り立 つ こ と に な る.   O∈Bは

全 有 界 開 集 合 と す る.再 ∀ε>0,∃K(コ

び 定 理5.8よ

り

ン パ ク ト集 合)∈B,K⊂O,Ryμ(O-K)<ε.

こ の と き単 位 元 の 適 当 な 近 傍Vが

存 在 し てx∈V⇒K⊂Oxと  を 得 る.し

な る か ら,

た が って

μ(Oy)<μ(Oxy)+ε で あ る が,y∈G0よ は任意だか ら

りVy∩G0≠

φ だ か ら μ(Oy)<μ(O)+ε

を 得 る.ε>0

 (5.15) 

μ(Oy)≦

で な くて は な ら な い.y∈G0の の か わ りにy-1を

考 え て(5.15)を

っ て μ(O)=μ(Oy)で

μ(O)

と きy-1∈G0で

か わ り にOyを,y

適 用 す る と μ(O)≦ μ(Oy)が

あ る.こ

  例1で 見 た よ うに,群Gが

あ り,Oの

れ で 定 理5.7の

得 ら れ,し

証 明 は 完 結 し た. 

(証 明 終)

位 相 τ1に関 し て も τ2に関 して も局 所全 有 界 か つ

可 算 全 有 界 で あ って τ1≠τ2で あ って も,そ

れ ぞ れ の 位 相 に 関 して 一 様連 続 関

数 を す べ て 可 測 に す る最 小 の 可 算 加 法 的 集 合族Bu(1)とBu(2)は が あ る.し か し群Gを

たが

一致す ること

厚 い 群 とす る よ うな 位 相 だ け に 限 れ ば この よ う な こ と

は 起 ら な い.   定 理5.9  Gは

厚 い群 と し,G上

可 算 加 法 的 集 合 族 をBuと

の 一 様 連 続 関 数 を すべ て 可測 にす る最 小 の

す る.(G,Bu)上

の右 ハ ー ル測 度 を μ と し,

 (5.16) U={E∈Bu;0<μ(E)<∞},  (5.17)

と お く.{UE,ε}E∈U,ε>0はGの   系   Gは

単 位 元 の 基 本 近 傍 系 を な す.

位 相 τ1に 関 し て も τ2に

し て も 厚 い 群 とす る.も

しBu(1)=Bu(2)

な ら ば τ1=τ2で あ る.   な ぜ な ら τ1に 関 す る 右 ハ ー ル 測 度 は τ2に 関 す る 右 ハ ー ル 測 度 と一 致 し,し た が っ て(5.17)で

定 ま る{UE,ε}は

同 じ も の に な る か ら.

  定 理 の 証 明   E∈U,0<ε<2μ(E)と

す な わ ちUE,ε

⊂E-1Eで

あ る.さ

近 傍VでV-1V⊂U,V∈Buを こ の と きV∈Uで

あ り,ε<2μ(V)と

  今 度 は(5.17)のUE,ε

す る.μ はμ のGへ μ(B)で あ り ,x∈Gの

てGの

単 位 元 の 任 意 の 近 傍Uに対

み た す も の が あ る.Vは

ち 単 位 元 の 任 意 の 近 傍 は(5.17)の

備 化 群 をG,Gの

す ると

がGの

の

全 有 界 に 取 れ るか ら

し てUV,ε ⊂V-1V⊂Uを

得 る.す

なわ

形 の 集 合 を 含 む.

単 位 元 の 近 傍 を 含 む こ と を 証 明 し よ う.Gの

ベ ー ル 集 合 族 をBと

し,(G,B)上

の 跡 で あ る か ら,E=B∩G,B∈Bと とき

し,他

の 右 ハ ー ル 測 度 をμ す る と き μ(E)=

完 と

で あ るか ら 

を 得 る.し

と お く とUE,ε=UB,ε と を 言 え ば よ い.す

∩Gで

あ る.そ

な わ ち,Gが

単 位 元 の近 傍 を含 む こ

下 こ の こ と を 仮 定 す る.

よ り μ は 内 正 則 か つ 外 正 則 で あ る.よ ∀ε>0∃O(開

で あ る.こ

がGの

局 所 コ ン パ ク トか つ 可 算 コ ン パ ク ト と仮 定 し

て 定 理 を 証 明 で き れ ば よ い.以   定 理5.8に

こ でUB,ε

たが って

っ てE∈Uな

らば

集 合)∈B,E⊂O,μ(O-E)<ε/3

の とき

だ か ら,UO,ε/3⊂UE,ε

を 得 る.

  μは 内 正 則 で も あ るか ら コン パ ク ト

この とき単 位 元 の 適 当 な近 傍Vが

存 在 してx∈V⇒K⊂Oxと

な るか ら,

 し た が っ て

だ か ら 

で あ る.こ

う し てV⊂UO,ε/3⊂UE,ε

が 証 明 さ れ て,任

意 のUE,ε は 単 位 元 の適 当 な 近 傍 を 含 む こ とが わ か った. 

  例3 

Gお

よ びG0は

例2と

同 じ 意 味 の も の とす る.Gの

な い も の を 一 つ 取 り,G0と{x}で

と 同 型 で あ る.G1に

次 の よ う な 二 通 り の 位 相 を考え

  位 相 τ1は,G1にGの

元xでG0に

生 成 さ れ る 部 分 群 をG1と

が 成 り立 つ よ うに す れ ば,G1は

に 取 っ て, 

(証 明終)

す る.xを

属 さ 適 当

群 と し て はG0×Z

る.

部 分 群 と し て の 位 相 を 課 し た も の,位

相 τ2はG0にG

の 部 分 群 と し て の 位 相 を 課 し こ れ とZの

離 散 位 相 と の直 積 を考 えた も の と す

る.G0をG1の

関 し て は 稠 密 だ が τ2に 関 し て は 閉 集

部 分 群 とみ た と き,τ1に

合 だ か ら τ1≠τ2で あ る.明   位 相 τ1に 関 す るG1の

ら か に τ2は τ1よ り強 い 位 相 で あ る.

完 備 化 はGで

あ り,τ2に

関 す る 完 備 化 はG×Zで

あ

る.Gの

ベ ー ル 集 合 族 をBと

G0とBZの

直 積 で あ る.た

法 的 集 合 族.こ   (G,B)上

す る と,Bu(1)はB∩G1で だ しBZは,Zの

の と きBu(1)⊂Bu(2)で

あ ら ゆ る部 分 集 合 か ら成 る可 算 加 あ る.

の ハ ー ル 測 度 を μ とす る と,Bu(1)上

へ の 跡 で あ り,Bu(2)上

の ハ ー ル 測 度 μ2は,μ

と の 直 積 で あ る.μ1はBu(2)上 に 制 限 し た も の は(0,∞)型   これ が,同

じ群G1が

あ り,Bu(2)はB∩

の ハ ー ル 測 度 μ1は μ のG1 のG0へ

の 跡 とZの

ハ ール 測 度

の 右 不 変 測 度 に は 拡 張 で き な い し,μ2をBu(1) 測 度 に な っ て 準 有 界 で は な い.

二 通 りの 仕 方 で 厚 い 群 に な り,対 応 す る ハ ー ル 測 度 が

本 質 的 に 異 な る 例 で あ る.

  §6  ヴ ェー ユ位 相   この §で取 り上 げ る のは,§3∼ §5の 結 果 の 逆 で あ る.す

なわち群上の右不

変 測 度 は(分 離 的 との 仮 定 の も とに)ハ ー ル測 度 以 外 に ない こ とを 主 張 す る.   定義6.1  可 測 群(G,B)上

の 右 不 変 測 度 μが 分 離 的 で あ る とは

∀x≠e(単 位 元),∃E∈B,μ(E)>0,E∩Ex=φ が成 り立 つ こ とで あ る.  厚 い 位 相 群Gに な らGの

の 右 ハ ー ル 測 度 は 分 離 的 で あ る.な

位 相 は ハ ウ ス ドル フ的 な の で,x≠eの

の近 傍Uが U∈Buと

お い て,(G,Bu)上

存 在 す るが,Buに

属 す る近 傍 だ け でeの

考 え て よ く,こ の と き μ(U)>0は

 定 理6.1  可 測 群(G,B)上

と きU∩Ux=φ

ぜ

をみ たすe

基本近傍系をなすか ら

明 らか で あ る.

に 分 離 的 な 右不 変 測 度 μが 存 在 した とす る.

 (6.1) U={E∈B;0<μ(E)<∞},  (6.2)

と お く と き,{UE,ε}E∈U,ε>0を Gは

単 位 元eの

こ の 位 相 に 関 し て 厚 い 群 で あ る.ま

基 本 近 傍 系 と し てGは た こ の 位 相 に 関 し て,一

す べ て 可 測 に す る 最 小 の 可 算 加 法 的 集 合 族 をBuと て μ のBuへ

の 制 限 は(G,Bu)上

  定 義6.2  定 理6.1で

定 ま るG上

い は(μ は 存 在 し た と し て もB上

位 相 群 に な る. 様連続関数を

す る と き,Bu⊂Bで

あ っ

の 右 ハ ー ル 測 度 と 一 致 す る. の 位 相 を,μ

の ヴ ェ ー ユ 位 相 と 言 う.あ

で 一 意 的 な の で),Bの

る

ヴェ ーユ 位 相 と言 う.

  この 定 理 か らわ か る こ とは,勝 手 な可 測 群(G,B)と 知 れ ぬ)分 離 的 な 右 不 変 測 度 μ に対 し,G上

そ の 上 の(存 在す るか も

の位 相 τを適 当 に 構 成 して,μ

を

ハ ー ル 測度 の 拡 張 で あ る よ うに で き る ,と 言 うこ とで あ る.   一 般 に 厚 い 位 相 群Gと,B⊃Buが 度 がBに

与 え られ た とき,(G,Bu)上

の ハ ー ル測

まで 右 不 変 性 を保 ち な が ら拡 張 で き るか ど うか を 論 じる の は,非

に 難 し い 問題 で あ ってR1の

常

場 合(ル ベ ー グ測 度)で さえ わ か らな い.

  け れ ど も分 離 的 な右 不 変 測 度 は,ハ ー ル測 度 の(可 能 か も知 れ な い)拡 張 以 外 に は 存 在 し な い こ とは,定 理6.1に

よ り保 証 され るわ け で あ る.

  定 理6.1の 証 明 は 繁 雑 な の で,順 を 追 って ゆ っ く りや る.   まずE∈Uの

とき

 (6.3)

と お く と,dEはG上

の 擬 距 離 に な る.(す

な わ ちdE(x,y)≧0,dE(x,x)=0,

dE(x,y)=dE(y,x),dE(x,z)≦dE(x,y)+dE(y,z)が

成 り立 つ.言

ば 距 離 の 公 準 の うちdE(x,y)=0⇒x=y以

外 を す べ て み た す).さ

が 右 不 変 な こ と か らdEは

右 不 変 で あ る.す

  擬 距 離dEに

ε近 傍 は,(6.2)のUE,ε

関 す るeの

の 族{dE}E∈Uに

よ っ てGに

基 本 近 傍 系 が,ち   Gの

いかえれ

な わ ちdE(xz,yz)=dE(x,y). で あ る.し

一 様 構 造 を 入 れ れ ば,こ

ょ う ど{UE,ε}E∈U,ε>0と

らに μ

た が って 擬 距 離

の 一 様構 造 に 関 す るeの

な る.

群 演 算 が こ の 位 相 に 関 し て 連 続 で あ る こ と を 証 明 し よ う.積

の連続性は

に よ りわ か る.逆 元 の 連 続 性 は

に よ りわ か る.こ

れ でGは

位 相 群 に な っ た.

  今 ま で は μ が 分 離 的 と の 仮 定 は 全 然 用 い て い な い.次

の こ と が証 明 さ れ る.

「Gが ヴ ェ ー ユ 位 相 に 関 し て ハ ウ ス ドル フ 的 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,μ が 分 離 的 な こ と で あ る 」.な ぜ な ら ヴ ェ ー ユ 位 相 が ハ ウ ス ドル フ 的 な ら,∀x≠ で な くて は な ら ず,こ

e,∃E∈U,  りした が って

μ(Ex-1-E)>0,し

で あ っ て μ は 分 離 的 で あ る.逆 >0,E∩Ex=φ

の と きμ(E-Ex)>0と

か る に 

に μ が 分 離 的 な ら ∀x≠e,∃E∈B,μ(E)

で あ る が,μ は 準 有 界 な の で 

En∈B,μ(En)<∞

な

と 書 け る か ら,∃n,E∩En∈Uで 2μ(E∩En)>0と

  Lemma はBに

な り,Gは

あ る.こ

1  可 測 群(G,B)上 属 し,μ(UE,ε)>0で

ε<2μ(E)に

の と き 明 ら か にdE∩En(e,x)=

ハ ウ ス ド ル フ 的 で あ る.

の 右 不 変 測 度 μ に対 し,(6.2)で あ る.ま

対 し て μ(UE ,ε)<∞

たE∈Uか

つE-1∈Uな

定 ま るUE,ε ら ば,

で あ る.

  証 明   Φ:(x,y)→xy-1,p1:(x,y)→xと

お く と Φ もp1も

可測 で あ

り,

で あ るか ら

はyに

つ い てB可

測 関 数 で あ る.そ

れ ゆ え 任 意 の ε>0に

対 しUE,ε ∈Bで

あ

る.   また フ ビニの 定 理 に よ り

だ か らE∈Uか

つ.E-1∈Uで

で な くて は な ら な い.し η=2(μ(E)-ε)と

あ ると

だ か ら,

か る に 

考 え て,η<2μ(E)の

限 り μ(UE,η)<∞

が 示 さ れ た.

 さ て  (6.4)

と お く と,〓

はG×Gの

とか らC∈B×B,(μ

有 限 加 法 的 集 合 族 で,  ×μ)(C)<∞

で あ れ ば, 

と な る こ と が 導 け る.   p2:(x,y)→yと

だか ら

お く と き,E∈Uに

対 し

で あ る.こ

の こ

 (6.5)

を 得 る.す な わ ち

し た が って  (6.6)

とす る と

を 得 る. 

は{1,2,…,n}の

の 形 に 書 か れ る.{1,2,…,n}の そ れ ぞ れ に つ い て のBkの のCjと

一 致 す る.し

或 る部 分 集 合

す べ て の 部 分 集 合(2n個

合 併 をCj(j=1,2,…,2n)と

た が っ て ε′=ε/μ(E)と

あ る)に 番 号 を つ け,

す る と,F(y)は

し て(6.6)よ

ど れ か

り

 (6.7)

を 得 る. 

を み た すy0を

そ れ ゆ え μ(UE,2ε′y0)>0で ε>0は

  Lemma

一 つ 固 定 し て お くと

あ り,μ は 右 不 変 だ か らμ(UE,2ε ′)>0で

任 意 に 選 べ る の で2ε ′=2ε/μ(E)も

2  可 測 群(G,B)上

(証 明 終)

の 右 不 変測 度 μ に 対 し,μ(E)>0,μ(E′)>0

で あ れ ば∃x∈G;μ(E∩E′x)>0で

あ る.

  証 明   Φ:(x,y)→xy-1,p1:(x,y)→xと

  §2で 証 明 し た(定 理2.1の

任 意 で あ る. 

あ る.

お くと

証 明 の 中)よ う に μ(E′)>0か

ら μ(E′-1)>0が

出 て 来 るの で

した が って 定 理 の 結 論 を得る. 

  Lemma

3  可 測 群(G,B)上

(証 明終)

の 看 不 変 測 度 μ に 対 し,(6.2)で

定 ま るUE,ε

の 有 限 個 の 共 通 部 分 は 測 度 正 で あ る.言

い か え れ ば,ヴ

ェー ユ 位 相 に 関 す るe

の 基 本 近 傍 系 で 測 度 正 の 集 合 ば か りか ら成 る も の が あ る.   証 明   E1,E2,…,En∈U,ε1,ε2,…,εn>0と 記 す.Lemma   Lemma

1に 2を

よ り μ(Uk)>0は

し,簡

単 の た めUEk,εkをUkと

示 さ れ て い る.

繰 り返 し 適 用 す る こ と に よ り

ただ し

 (6.8) 

い ま 

と な るx0を

し てxk∈Ukx0が

一 つ 固 定 す る.こ

の と きUk=Uk-1を

得 られ る か ら,Ukxk⊂Uk2x0,し

とUk2⊂Vkで

あ るか ら,Ukxk⊂Vkx0を

も考慮

か る にVk=UEk,2εkと

得 る.よ

っ て(6.8)よ

ε1,ε2,…,εnは 任 意 に 選 べ る の で,2ε1,2ε2,…,2εnも

お く

り

任 意 と な り,よっ

は 証 明 さ れ た. 

て定理

(証 明 終)

  このLemmaを

用 い て,Gは

ヴ ェー ユ 位相 に 関 して 局 所全 有 界 か つ 可 算 全

有 界 で あ る こ とを 導 こ う.   まず μ は準 有 界 な の で,

と書 け る.{En}は

と な り,こ きLemma

の こ と か らE∈Uか 1よ

  こ のUE,ε

単 調 増 加 に選 ん で お くと

り,ε<2μ(E)な

はeの

がU分

ら ばμ(UE,ε)<∞

任 意 の 対 称 近 傍Uを

考 え る.V2⊂Uを

い に 素 で あ る.な

な るEの

近 傍 で あ る が,ε<μ(E)に

る こ と を 示 そ う.eの (定 義4.1)Xを

つE-1∈Uと

ぜ な らVx∩Vx′

の と

で あ る.

対 し てUE,ε 考 え,UE,ε

み た す 対 称 近 傍Vを

は全有界集合 にな

に 含 まれ るU分

⊂UE,2ε

互

な り,X

属 し か つV⊂UE,ε

の と きVx⊂VUE,ε

離集 合

取 る と,{Vx}x∈Xは

≠ φ とす る とx′ ∈V2x⊂Uxと

離 集 合 と の 仮 定 に 反 す る か ら.VはBに

と を 仮 定 し て も さ し つ か え な い.こ

存 在 が わ か る.こ

であるこ

で あ る.よ

っ

て{Vx}x∈XはUE,2ε   ε<μ(E)で

に 含 ま れ る 互 い に 素 な 集 合 で あ る.

あ る と2ε<2μ(E)で

あ り,よ

っ て μ(UE,2ε)<∞

で あ る.し

た が って #(X)μ(V)≦

μ(UE,2ε)

よ り   (6.9) 

#(X)≦

と な る.す

な わ ちUE,ε

 今 度 はXはUE,ε はUE,ε

を 被 う.な

含 まれ るU分

μ(UE,2ε)/μ(V)

に 含 ま れ るU分

離 集 合 は,必

に 含 ま れ る 極 大 なU分

離 集 合 とす る.こ

ぜ な ら 

の と き{Ux}x∈X

と す る と,X∪{x′}はUE,ε

離 集 合 に な ってXの

に

極 大 性 に矛 盾 す る か ら.

  この よ うに して しUE,ε(E∈U∩U-1,ε<μ(E))は か り,し た が ってGは

ず 有 限 集 合 で あ る.

全有界集合であ るこ と がわ

局 所 全 有 界 で あ る.

  今 度 はGに こ含 まれ る極 大 なU分 大 な ものは あ る).V2⊂Uを

離 集 合Xを

考 え る.(Zornの

み た す 対 称 近 傍Vを

取 る と,前

補題 に よ り極 述 の よ うに

{Vx}x∈Xは 互 い に素 で あ る.一 方 μは 準 有 界 な ので

と書 け る.   (6.10) 

Xn={x∈X;μ(Vx∩En)>0}

と お く と,{Vx}x∈Xは あ る.し

か も 

  前 と 同 様 にXの

互 い に 素 で μ(En)<∞

だ か ら,Xも

だ か ら,Xnは

高 々可 算 集 合 で

高 々可 算 集 合 で あ る.

極 大 性 か ら{Ux}x∈XはGを

被 う.し

移 動 の 可 算 合 併 で 被 える.Uは

任 意 だ っ た か ら,特

て お い て も よ い.こ

可 算 全 有 界 で あ る こ と が わ か っ た.

う し てGは

  次 に ヴ ェ ー ユ位 相 に 関 し てBuを

作 る と き,Bu⊂Bで

そ れ に はG上

任 意 のc∈R1に

の 一 様 連 続 関 数fと

で あ る こ と を 示 せ ば よ い.Gは  (6.11)

可 算 全 有 界 な ので

 は全 有界

にeの

た が っ てGはUの

右

全 有 界 な近 傍 に 取 っ

あ る こ と を 示 そ う. 対 し,f-1((-∞,c))∈B

と 書 け る.こ

こ で{An}は

単 調 増 加 と 考 え て よ い.一

方

 (6.12)

で あ る か ら, 

を簡 単 の た めAn′

と記 して

 (6.13)

 さてfは

一 様 連続 な の で

 (6.14)  ∀n∃Un(eの

近 傍)∈B,

とな る.(Unは(6.2)の

形 のUE,ε の 有 限 個 の 共 通 部 分 を 考 え れ ば よい).

 An′ は 全 有 界 な の でUnの す る とBn∈Bで

右 移 動 の 有 限 合 併 で 被 え る.こ の 有 限 合 併 をBnと

あ る.し か も

で あ るか ら  (6.15)

を 得 る.こ

れ を(6.13)と

が 得 ら れ て,こ

  さ てB上 で も あ る.な

合わす と

れ よ りBu⊂Bが

の 測 度 μ をBuに

わ か っ た.

制 限 す る と も ち ろ ん 右 不 変 で あ る が,局

ぜ な ら 擬 距 離dEは

し か もLemma

1に

る か ら.(こ

の こ とは,μ

一 様 連 続 だ か ら,(6.2)のUE,ε

よ りE∈U∩U-1,ε<2μ(E)の のBuへ

よ り,Gは

Buへ

右 ハ ー ル 測 度 と な る.

  以 上 で 定 理6.1の

と き μ(UE,ε)<∞

属 し, で あ

ヴ ェ ー ユ 位 相 に 関 し て 厚 い 群 で あ っ て,μ

証 明 は 完 結 し た. 

  定 理6.2  可 測 群(G,B)上

はBuに

の 制 限 が 準 有 界 で あ る こ と を も導 く).

  よ っ て 定 理5.6に の 制 限 はGの

所 有限

(証 明 終)

に 分 離 的 な 右 不 変 測 度 μ が あ っ た と す る.

の

  μが 有 界 測 度 で あ るた め の必 要 十 分 条 件 は,Gが

ヴ ェー ユ 位相 に 関 して 全 有

界 な こ とで あ る.   証 明  μ(G)<∞

な らば,(6.10)の 前 後 の 議 論 で,(Xが

結 論 の か わ りに)Xが

高 々可 算 集 合 と の

有 限 集 合 との結 論 が 引 き出 され,し た が っ てGは

全有 界

に な る.   またGが

全 有 界 な らば,μ が 局 所 有 限 であ る こ とを 考 慮 す れ ば,μ(G)<∞

は 明 らか で あ る. 

  定 理5.9に

(証 明終)

よれ ば,Gが

厚 い 位 相 群 の と き,ハ ー ル測 度 の ヴ ェー ユ位 相 はG

の始 め の位 相 と一 致す る.し た が って   系1  Gは 厚 い 位 相 群 とす る.ハ ール 測 度 が 有 界 で あ る た め の必 要 十 分 条 件 は,Gが

全 有 界 な こ とで あ る.

  特 に 完 備 群 に つ い て 述 べ る な ら ば,   系2  Gは 局 所 コン パ ク トか つ 可 算 コン パ ク トな 位 相 群 とす る.Gの 測 度 が 有 界 で あ る た め の 必要 十 分 条 件 は,Gが

ハール

コン パ ク ト群 の こ とで あ る.

  §7  ベ ク トル 空 間 の 場 合   前 §の結 果 の応 用 と し て,無 限 次元 ベ ク トル 空 間 上 に は 平 行 移 動 で 不 変 な 測 度 が 存 在 し 得 な い こ とを 示 そ う.   Xは ベ ク トル 空 間,X′ はXの し,RはX′

代 数 的 共 役 空 間(=X上

の 部分 空 間 とす る.

  定 理7.1  す べ て のf∈Rを す とき,(X,BR)は

可 測 にす る最 小 の可算 加 法 的集 合族 をBRと

らXへ

る こ とを 言 うに は,f∈RとR1の り立 つ こ とを示 せ ば よい.と

の双 射 で あ る.こ

ボ レル集 合Bに こ ろがfは

れ に はE∈BRに

{f-1(B)}(f∈R,BはR1の

れがBR可

測で あ

対 し て-f-1(B)∈BRが

線 型 な の で-f-1(B)=f-1(-B)で

ボ レル 集 合 だ か ら-f-1(B)∈BRで

  次 に Φ:(x,y)→x+yはBR×BRとBRに う.そ

記

加 法 に 関 して 可測 群 に な る.

  証 明  写 像x→-xはXか

り,-BはR1の

の線 型 関 数 全 体)と

成 あ

あ る. 関 し て可 測 で あ る こ と を 示 そ

対 し て Φ-1(E)∈BR×BRを

言 え ば よ い.BRは

ボ レル 集 合)で 生 成 され るか ら,E=f-1(B)の

形

を し て い る と き,す

な わ ち Φ-1(f-1(B))∈BR×BRで

言 い か え れ ばf° Φ がBR×BRとR1の と,す

あ る こ と を 示 せ ば よ い.

ボ レ ル集 合 族 に 関 して 可 測 で あ る こ

な わ ちf° Φ が 可 測 関 数 で あ る こ と を 言 え ば よい.

  し か る にf° Φ(x,y)=f(x+y)=f(x)+f(y)で お よ びp2:(x,y)→yを もBR×BRか

あ る か ら,p1:(x,y)→x

用 い て,f° Φ=f°p1+f°p2と

らBRへ

た が っ てf° Φ も可 測 関 数 で あ る. 

  さ てR⊂X′に

対 し

関 し て可 (証 明 終)

R⊥={x∈X;f(x)=0for∀f∈R}

とお く.fは 商 空 間X/R⊥

上 の 線 型 関 数 とみ なせ るか ら,そ の 意 味 で

  (7.2) 

R⊂(X/R⊥)′

が 成 り立 つ.Xか Xに

方p1もp2

の 可 測 写 像 な の で,f°p1もf°p2もBR×BRに

測 関 数 で あ り,し

  (7.1) 

書 け る.一

ら 商 空 間X/R⊥

へ の 自 然 な 射 影 をpRと

対 し,xのcosetをpR(x)と

す る).そ

す る(す な わ ちx∈

して

  (7.3) BR={E⊂X/R⊥;pR-1(E)∈BR} と お く.言 き の,対   BR上

い か え れ ば(7.2)の

応 す るX/R⊥

の 可 算 加 法 的 集 合 族 がBRで

に 測 度 μ が あ る と き,BR上

  (7.4)  と お け ば,μ

は(X/R⊥,BR)上

あ る.

で

の 測 度 に な る.こ

変(Xの

の と き μ が 準 有 界 な らμ

も

す べ て の 平 行 移 動 で 不 変 な こ と)な ら ばμ は

不 変 で あ る.

  以 上 の よ う な 事 情 に よ り,必 て,最

の 部 分 空 間 とみ な した と

μ(E)=μ(pR-1(E))

準 有 界 で あ り,μ がX不 X/R⊥

よ う にRを(X/R⊥)′

初 か らR⊥={0}で

要 な らば 適 当 な 商 空 間 に 移 して 考 え る こ とに し

あ る と仮 定 し て 一 般 性 を 失 わ な い.以

下 この こ とを

仮 定 す る.   定 理7.2 

(X,BR)上

に 分 離 的 で あ る.す   (7.5) 

に も しX不

変 測 度 μ が 存 在 し た と す れ ば,μ

∀x≠0, ∃E∈BR,  μ(E)>0, 

  証 明   x≠0と

は必然的

なわち

す る と,R⊥={0}と

E∩(E+x)=φ.

仮 定 し て い る の で,

∃f∈R,f(x)≠0 で あ る.fの

定 数 倍 は ま たRに

属 す の で,f(x)=1と

仮 定 して さ しつ か え な

い.こ

の と きE=f-1([0,1))と

おい て

μ(E)>0お を 証 明 し よ う.ま か らf(y)<1か

ずy∈E∩(E+x)と つf(y-x)≧0で

よ びE∩(E+x)=φ す れ ば,y∈Eか あ る.そ

つy-x∈Eで

あ る

れゆ え

f(x)=f(y)-f(y-x)<1 と な っ てf(x)=1に 意 のx′ ∈Xに

矛 盾 す る.そ

れ ゆ えE∩(E+x)=φ

で あ る.つ

ぎに 任

対 し ∃k(整 数) 

で あ る か らx′-kx∈Eで

は 恒 等 的 に0で

あ る.言

な いX不

k≦f(x′)
い か え れ ば 

変 測 度 だ か ら μ(E)>0で

な くて は な ら な い. (証 明終)

  定 理7.2で 言 うX不

変測 度 μが 存 在 した とす れ ば,μ

は 分 離 的 な の で定 理

6.1に よ りXは

ヴェー ユ位 相 に 関 して 局 所全 有 界 か つ 可 算 全 有 界 と な る.ヴ ェ

ー ユ 位 相 はXの

加 法 を 連 続 に す るが,定 数 倍 の連 続 性 に つ い て は 何 も わ か ら

な い.そ

こで 位 相 を 少 し取 りか え て,定 数 倍 を も連 続 に す る こ とを 考え よ う.

  Xの 部 分 集 合Aに

対 し,そ の凸 包C(A)を

次 の よ うに 定 義 す る.

 (7.6)

C(A)はAを

含 む最 小 の 凸 集 合 で あ る.

  さてu={U}を

ヴ ェー ユ位 相 に 関 す る0の 基 本 近 傍 系 とす る.U∈uは

べ て 対 称 で あ る よ うに,す そ し て{C(U)}U∈uを0の

な わ ちU=-Uが

す

成 り立 つ よ うに 選 ん で お く.

基 本 近 傍 系 とす る位 相 を 考 え,こ

れ をC位相

と呼 ぶ

こ とに し よ う.   各C(U)は

対 称 凸 集 合 だ か ら,も し

  (7.7) 

∀x∈X,  ∃λ>0,λx∈C(U)

が み た さ れ る な ら ば,  (7.8)

と お い てpU(x)はX上 る.し

た が っ てC位

の 半 ノ ル ム に な り,pUに 相 は 半 ノ ル ム の 族{pU}U∈uに

関 す る 単 位 球 がC(U)と

な

よ って 定 ま る局 所 凸 ベ ク ト

ル 空 間 の 位 相 と な る.   (7.7)を 証 明 し よ う.V-V⊂Uを Vを

一 つ 取 る.Xは

で あ る.し

λ がR1を

み た す(ヴ

た が って

∀λ∈R1,∃n(λ),λx∈V+xn(λ)で

動 くと連 続 無 限 個 あ る の で

は な ら な い.こ

の 共 通 の 値 をnと

-λ′x∈V-Vを

ェ ー ユ 位 相 に 関 す る)0の

近 傍

ヴ ェ ー ユ 位 相 に 関 し て 可 算 全 有 界 な の で , 

得 る .λ>λ′

あ る.

,∃ λ,λ′,λ≠ λ′,n(λ)=n(λ′)で

な くて

記 し て λx∈V+xn,λ′x∈V+xnよ

り λx

と考 え て よい か ら

(λ-λ′)x∈V-V⊂U⊂C(U) に ょ って(7.7)が 証 明 され た.   この よ うに し てXはC位

相 に よ り局 所 凸 ベ ク トル空 間 に な る.C位

ウス ドル フ的 で あ る こ とを 示 そ う.そ

の た め に はC位

相が ハ

相 が 弱 位 相 よ り強 い こ

とを 言 えば よい.   f∈Rと

す る と定 理7.2の 証 明 の中 で 示 した と同様 に して 

に 対 して μ(E)>0で

あ る.μ は準 有 界測 度 な の で 

な っ て い る か ら,∃n,μ(E∩En)>0で の 記 号 で)が 成 り立 つ.よ

っ てF=E∩Enと

の 限 りUF,ε ⊂f-1((-1,1))が か らF∩(F+x)≠ で あ る.と

こ ろ でfは

たが

μ(En)<∞ っ てE∩En∈U(定

お く とF⊂Eで

得 ら れ る.な

φ が 導 か れ,し

と 理6 .1

あ っ て ε<2μ(F)

ぜ な ら 

た が っ てx∈F-F⊂E-E⊂f-1((-1,1))

線 型 関 数 だ か らf-1((-1,1))は

っ てC(UF,ε)⊂f-1((-1,1))も 関 す る0の

あ り,し

成 り立 つ.こ

凸 集 合 で あ り,し

れ はf-1((-1,1))がC位

近 傍 を 含 む こ と を 示 し て お り,f∈Rは

た が 相 に

任 意 な の で,C位

相が弱位

相 よ り強 い こ と が わ か っ た.

  最 後 にC位

相 は 局 所 全 有 界 で あ る こ とを証 明 し よ う.既 に 証 明 し た よ う に

ヴ ェー ユ位 相 は 局所 全 有 界だ か ら,ヴ

ェーユ 位 相 に 関 す る0の 近 傍Uで

ー ユ位 相 に 関 し全 有 界 な もの が 存 在 す る.こ の と きC(U)はC位 0の 近 傍 とな るか ら,C(U)がC位

相に関す る

相 に 関 し て全 有 界 で あ る こ とを 証 明 で き

れ ば よい.ま ず ヴ ェ ーユ 位 相 は 明 らか にC位

相 よ り強 い の で,UはC位

関 して 全 有 界 で あ る.よ

証 明 で き る と よい.

  Lemma  C(A)も

って次 のLemmaが

局 所 凸 位 相 ベ ク トル 空 間Xに 全 有 界 で あ る.

ヴェ

お い て,Aが

相に

全 有 界 な らば そ の 凸 包

 証 明  0の 近 傍Uを る.Aは

任 意 に 取 り,V+V⊂Uを

み たす0の

凸近 傍Vを

考え

全有界 なので

 (7.9)

と な る.こ

の と きx1,x2,…,xnで

張 ら れ るXの

部 分 空 間 をYと

次 元 位 相 ベ ク トル 空 間 の 位 相 は 一 意 的 に 定 ま る(上 巻,定 Xの

す る と,有

理25.1)の

部 分 空 間 とみ た と き の 位 相 は ユー ク リ ッ ド位 相 と 一 致 す る.そ

C({xk})はYの

全 有 界 集 合 で あ り,し

た が っ てXの

限

で,Yを れ ゆ え 凸包

全 有 界 集 合 に な る.す

な

属 す の で(7.10)に

より

わち  (7.10)  と こ ろ でx∈C(A)に

と書 け る が,(7.9)に

対 して

よ り ∀l∃k(l)∃υl∈V zl=υl+xk(l)

で あ るか ら

を得 る.右

辺 第 一 項 はVに

適 当 なV+yjに

属 し,第

属 す る.そ

二 項 はC({xk})に

れゆえ x∈V+V+yj⊂U+yj が 得 ら れ,C(A)が

と な っ て, 

全 有 界 な こ と が わ か っ た.

(証 明終)   この よ うに して 定 理7.2で 言 うX不

変 測 度 μが 存 在 し た とす れ ば,XはC

位 相 に 関 し て局 所 全 有 界 な 局所 凸 位 相 ベ ク トル空 間 に な る.こ 無 限 次 元 な らば 不 可 能 で あ る(上 巻,定 理25.2).そ

の こ と はXが

れ ゆ え次 の定 理 が 証 明 さ

れ た.   定理7.3  Xは も しRが

ベ ク トル空 間,Rは

無 限次 元 な らば,(X,BR)上

  なぜ な ら(X,BR)上

にX不

代 数 的 共 役 空 間X′ に はX不

の 部 分 空 間 とす る.

変 測 度 は 存 在 し得 な い.

変 測 度 が 存 在 す る と,こ れ まで の 議論 に よ り

X/R⊥

は 有 限 次 元 で なけ れ ば な らな い.R⊂(X/R⊥)′

だ か ら,こ

の ときRも

有限 次 元 で なけ れ ば な らな い.   反 対 にRが (X,BR)上

有 限 次 元 の とき は,BRを(7.3)のBRと

の測 度 は(X/R⊥,BR)上の

同 一 視 す る こ とに よ り

測 度 と 同一 視 され,X/R⊥

は有限次元

な の で この上 に不 変 測 度(ル ベ ー グ測 度)が 存 在 して い る.   系1  定 理7.3と 同 じ仮 定 で,(X,BR)上

に はX準

不 変 測 度 は存 在 し 得 な

い.

  なぜ な ら定 理2.4に

よ り,準 不 変 測 度 が 存 在 す れ ば,こ れ と同値 な不 変 測 度

が 存 在 す る筈 だ か ら.   系2  定 理7.3と 同 じ仮 定 で,BR⊂Bを (X,B)上

に はX不

変測 度 もX準

  な ぜ な ら(X,B)上

にX不

界 測 度ν を 考 え れ ばν はX準 測 度 で あ ってX準

対し

不 変測 度 も存 在 し得 な い.

変 測 度 μが 存 在 し た とす れ ば,こ 不 変 で あ る.ν のBRへ

れ と同値 な有

の制 限 は 当然 な が ら有 界

不 変 で あ る.こ れ は 系1に 反 す る.

  注意   こ の証 明 で μの ま まBRに ぜ な ら μが 準 有 界 で も,BRに 界 測 度 はBRに

み た す 可 算 加 法 的 集 合 族Bに

制 限 して も,定 理7.3に 帰 着 で き な い.な

制 限す る と準 有 界 とは 限 らな い か ら.し

か し有

  系2でBと

制 限 して も有 界 測 度 であ る. して 特 別 な もの を 選 ぶ と

  系3  Xは 無 限 次 元 局所 凸 ベ ク トル空 間 とす る.X上

に はX不

変 な ボ レル

測 度 は 存 在 し得 な い.(準 不 変 と して も同 じ,ま た ベ ー ル測 度 とし て も 同 じ).   なぜ な らRと

してXの

を 適用 す れ ば よい.

位 相 的 共 役 空 間(連 続 線 型 関 教 全 体)を 取 って,系2

第2章

  ガ ウス測 度 お よび 関連 し た 問題

 §8  準 不 変 性 と エ ル ゴー ド性   第1章 で は 群 上 の右 移 動 に関 す る測 度 の不 変性 お よび 準 不 変 性 を 考 察 し た が,こ

こ では 一 般 に 可測 同型 写像 に 関 す る不 変 性,準 不 変 性 を 問 題 に し よ う.

  (X,B)は

可 測 空 間 とす る.Xか

φ も φ-1もBに

らXへ

関 して 可 測 な こ と,す

の 双 射 φ がB-可 測 同 型 で あ る とは

な わ ちB=φ-1(B)が

成 り立 つ こ と を

意 味 す る.可 測 同 型 写 像 全 体 は 群 を なす.   B上 の測 度 μ と可 測 同型 写 像 φ に対 し   (8.1) 

τφ μ(E)=μ(φ-1(E)) 

と して τφμ を 定 義 す る と,τ φμ もB上

∀E∈B

の 測 度 に な る.μ が φ に 関 して 不 変 で

あ る とは   (8.2) 

τφμ=μ

が 成 り立 つ こ とで あ る と し,μ が φ に 関 し て準 不 変 で あ る とは   (8.3) 

τφμ∼ μ

が成 り立 つ こ とで あ る とす る.た だ し∼ は 互 い に絶 対 連 続 で あ る こ とを意 味す る.   可 測 同型 写 像 の 集 合A={φ}に のφ ∈Aに

対 し,μ がA不

変 で あ る とは,μ

て の φ∈Aに

関 して 不 変 で あ る こ とを意 味 し,μ がA準

関 し て準 不 変 で あ る こ とを 意 味 す る.μ がA準

ら ば 明 ら か にν もA準

がすべて

不 変 で あ る とは,す

べ

不 変 で μ∼ν な

不 変 で あ り,し た が っ て準 不 変 性 は絶 対 連 続 性 に よ る

同値 類 に対 し て定 義 さ れ る性 質 で あ る.   (8.1)よ り明 らか に   (8.4)  を 得 るか ら,μ がA(準)不

τψ(τφ μ)=τψ° φμ 変 で あれ ば,Aか

ら生 成 され る群 をGと

G(準)不 変 で もあ る.そ れ ゆ え 今 後 可 測 同 型 写 像 の群Gに け を 問 題 にす る.

し て,μ は

対 す る(準)不 変 性 だ

  μがG不

変 な らば,μ は(し た が って μ と同 値 な 任 意 の 測 度 は)G準

あ る.逆 に μがG準

不 変 で あ って も,μ と 同値 なG不

うか は わか らな い.(Gが

不変で

変測 度 が 存在 す るか ど

群上 の右 移 動 全 体 で あ る と きに は,§2で

示 した よ う

に逆 も成 り立 って い た).   μ がG(準)不

変 でa>0な

ら ばaμ もG(準)不

変 な らば μ1+μ2もG(準)不

変 で あ る.一

係 数 の一 次 結 合 は またG(準)不

変 で あ る.μ1,μ2がG(準)不

般 にG(準)不

変測度の有限個の 正

変 で あ る.さ ら に この一 次結 合 を 無 限 個 に し

て,和 を積 分 で お きか え て も よい.す な わ ちM={μ}はG(準)不 合 と し,M上

変測度の集

に(適 当 な可 算加 法 的集 合族 上 に)測 度 λが あ る とき

 (8.5)

(た だ し μ(E)は

μを 変 数 と して 可 測 と仮 定 す る)と し て定 まるν(E)は

また

G(準)不 変測 度 で あ る.   (X,B)とGが

与え られ た とき,B上

のG(準)不

変測 度 を す べ て み つ け る と言

う問題 が設 定 され る.こ れ は 非 常 に 難 しい 問 題 だ が,(8.5)の 形 に 書 い て,μ∈M は もは や 他 の測 度 の一 次 結 合 に は 書 け な い,と 言 う風 に な れ ば 理 想 的 で あ る.   定義8.1  G不 変測 度 μに 対 し と もG不

 (8.6) 

と 書 け る の は,0<∃a<1,μ1=aμ,μ2=(1-a)μ

変で の 場 合 に 限 る な ら ば,μ

はG

エ ル ゴ ー ド的 で あ る と言 う.   ま たG準

不 変 測 度 μに 対 し

と もG準

 (8.7) 

不変 で

と書 け るの は μ∼ μ1か つ μ∼ μ2の場 合 に限 る な ら ば,μ はGエ

ル ゴ ー ド的 で

あ る と言 う.   そ こでB上

のG(準)不

変 測 度 を す べ てみ つ け る と言 う問題 は 二 つ の部 分 に

分 け られ て,1)B上 の エ ル ゴー ド的 なG(準)不 変 測度 をす べ てみ つ け る,2) 一 般 のG(準)不 変 測 度 が エ ル ゴー ド的測 度 の重 ね 合 わ せ と して(8 .5)の 形 に書 け るか 調べ る,が 問 題 とな る.こ れ ら の問 題 は 一 般 の 問題 と しては 非 常 に難 し く,特 別 な具 体 的な 場 合 につ い て 個 々に 研 究 され る.   た だ こ こでは,エ

ル ゴー ド性 の 概 念 が 基 本 的 な もの で あ るか ら,定

義8.1と

同 値 な 他 の定 義 を幾 つ か 与 え,そ の 同 値 性 を 証 明す る と言 う仕 事 を して お くこ

と に す る.   定 理8.1 

(X,B)上

  (1) 

のG準

不 変 測 度 μ に つ い て 次 の4つ

か つ μ1がG準

不 変 で 

  (1)′ E∈Bに

つ い て,μ(E)>0な

 (2)  E∈Bに

つ い て ∀φ ∈G, 

μ で あ る.

ら

な らば

μ(E)=0ま  (2)′ 有 界 なB可

な ら,μ1∼

の 命 題 を 考 え る.

た は μ(Ec)=0.

測 関 数f(x)に

つ い て,∀

φ∈G,∀′x,f(x)=f(φ(x))な

らば ∀′x,f(x)=const.   (∀'xは 測 度 μ に つ い て 殆 ん ど す べ て のxを

意 味 す る).

  こ の と き μ が エ ル ゴ ー ド的 で あ る こ と は(1)お (2)と(2)′

も 同 値 で あ り,(1)か

き は(2)⇒(1)も

よ び(1)′ と 同 値 で あ る.ま

ら(2)が 出 て 来 る.さ

成 り立 ち,よ

っ て(1),(1)′,(2),(2)′

た

ら に μが 準有 界 測 度 の と は す べ て ェ ル ゴ ー ド性

の 定 義 と同 値 に な る.   ま た μ がG不

変 測 度 の と き は,(1)を

  (1)″  μ1≦μ か つ μ1がG不 で お き かえ る.μ G不

変 で 

な ら,∃a>0,μ1=aμ

が 準 有 界 測 度 と す る と(1)と(1)″

変 測 度 と し て の エ ル ゴー ド性 と,G準

で あ る.

は 同 値 で,し

た が って μの

不 変 測 度 と し て の エ ル ゴ ー ド性 は 同

値 に な る.   証 明   定 義8.1の

意 味 で のGェ

不 変 測 度 と し て 定 義8.1の と言 い,G不

ル ゴ ー ド性 の 条 件 に も記 号 を つ け,μ がG準

意 味 でGエ

変 測 度 と し て 定 義8.1の

ル ゴ ー ド的 で あ る と き 条 件(e)を 意 味 でGェ

み たす

ル ゴ ー ド的 で あ る と き 条 件

(e)′を み た す と 言 う こ と に す る.

  証 明 し た い のは 準 不 変 測 度 に対 して(e)⇔(1)⇔(1)′ 成 り立 つ こと,不 変 測 度 に 対 し て(e)′⇔(1)″

⇒(1)が

⇒(2)⇔(2)′

に μ の準 有 界 性 を仮 定す る と準不 変測 度 に対 して(2)⇒(1),不 し て(2)⇒(1)″   まず(1)⇒(e)を る.こ の とき 

が

成 り立 つ こ と,さ ら 変測度 に 対

が 成 り立 つ こと で あ る.以 下 これ らを 順 次 証 明す る. 証 明す る.μ は 準 不 変 測 度 で(8.7)の よ うに 書 かれ た とす だ か ら(1)が み た され て い る と μ1∼μ で あ る.同

様 に し て μ2∼μ も わ か る.   μ が 不 変 測 度 の と き(1)″ ⇒(e)′ (8.6)の よ うに 書 か れ た と す る.こ れ て い る と ∃a>0,μ1=aμ (0,∞)型

の 証 明 も 同 様 に で き る.μ の と き μ1≦μ, 

で あ る.同

μ1(E)+μ2(E)=aμ(E)+bμ(E)よ 0
で あ る.も

で あ る が,こ

りa+b=1で

あ る.ま

だ か ら(1)″ が み た さ

様 に∃b>0,μ2=bμ

測 度 で な け れ ば ∃E∈B,0<μ(E)<∞

は不 変測 度 で

しμ が

の と き μ(E)=

な くて は な ら な い.す

た μ が(0,∞)型

なわち

測 度 の と き は 任 意 のa>0に と も 書 け て,や

で あ る か ら, 

は り条 件(e)′ は

み た さ れ る.   次 に(e)⇒(1)を

示 す. 

か つ μ1が 準 不 変 で 

き 明 ら か に μ∼ μ1+μ だ か ら,(e)が な い.す

とす る.こ

の と

み た さ れ て い る と μ1∼μ で な くて は な ら

な わ ち(1)が み た さ れ る.

  同 様 な 方 針 で(e)′⇒(1)″

も 証 明 で き る が,や

で μ1≦μ か つ μ1も 不 変 測 度 で  て μ=μ1+μ2と

と す る.も

書 け る な ら,(e)′

∃μ2(G不

は不 変測 度

し 不 変 測 度 μ2を 適 当 に 定 め

に よ り ∃a>0,μ1=aμ

(1)″ が み た さ れ る こ とに な る.よ   (8.8) 

や 繁 雑 で あ る.μ

で あ る.す

なわち

って 証 明 が 残 っ た の は 変 測 度),μ=μ1+μ2

を 示 す こ と で あ る.μ が 有 界 測 度 の と き は   (8.9) 

μ2(E)=μ(E)-μ1(E),∀E∈B

と お く と,μ2は

明 ら か にG不

変 な 可 算 加 法 的 測 度 で あ り,(8.8)は

μ が 有 界 で な い と き も,E∈Bが

μ(E)<∞

μ2(E)を 定 義 す る.U={E∈B;μ(E)<∞}と さ れ,En∈U,{En}が 的 に な っ て い る.次

と お く.そ  (8.11) 

に 対 して  (8.12)

を み た す と き に は(8.9)に お く と,ま ず μ2はUの

に は 互 い に 素,

し てF∈U1の

よ り

上 で定 義

で あ る限 り μ2は可 算 加 法

互 い に 素 の と き, 

 (8.10) 

み た さ れ る.

とき は 互 い に 素,

と お い てU1上

に ま で μ2を 定 義 す る.(8.12)の

右 辺 はFだ

け で 定 ま り,{En}

の選 び 方 に は よ らな い こ とを 注 意 し よ う.な ぜ な ら  す る と 

だ か ら(8.12)の

に 等 し くこの 値 は また 同 じ理 由 で 

右 辺 は 

に も 等 し い.

 (8.12)で 定 め られ た μ2は明 らか にU1上 が 互 い に 素 の と き,∀n,Fn∈U1な

と も書 け た と

で可算 加 法 的 で あ る.す

ら ば 

な わ ち{Fn}

で あ って

 (8.13)

で あ る.最 B上

後 にF∈B, 

の と き は μ2(F)=∞

に 定 義 す る.(8.13)で∃n, 

でE′ ⊂Eの

と きE′ ∈U1だ

り(8.13)は 成 り立 つ.す   μ,μ1と もG不

た 

で,こ

の と き もG不

な わ ち μ2はB上

両 辺 と も ∞ と な ってや は

の 可 算 加 法 的 測 度 に な る.

で(8.9)が 成 り立 つ こ とか ら,μ2はU上 定 ま る か ら,μ2はU1上

の と き ∀φ∈G,  変 で あ る.こ

う し て μ2はB上

のG不

変で あ

変 測 度 に な る.

とき は

μ(E)=μ1(E)+μ2(E)

は(8.9)を 書 き か え た だ け の こ と で 確 か に 成 り立つ.(8.14)のμ,μ1,μ2と 算 加 法 的 測 度 だ か ら,(8.14)はU1の =∞,μ2(E)=∞

でG

で もG不

だ か ら,μ2(E)=μ2(φ(E))=∞

成 り立 つ こ と を 示 そ う.E∈Uの

  (8.14) 

(な ぜ な らE∈U1

か ら)な の で,(8.13)で

で は μ2は(8.12)で

る.ま

  μ=μ1+μ2が

な ら ば 

変 な の で,U上

不 変 で あ る.U1上

と し て 定 義 を 補 い,μ2を

上 で も成 り立 つ. 

だ か ら や は り(8.14)は 成 り立 つ .こ

も可

の と き は μ(E)

れ でμ=μ1+μ2が

証 明

で き た.   以 上 で 準 不 変 測度に 対 し て(e)⇔(1)が,不

変 測 度 に 対 し て(e)′ ⇔(1)″

が 証 明 さ れ た こ と に な る.

  次 に 準 不 変 測 度 に 対 し て(1)⇒(1)′ を 証 明 し よ う.   E∈B,μ(E)>0と  (8.15)

な るEを

一つ選 び

を,不

変 測 度 に 対 し て(1)″

⇒(1)′

と お く.条

件(1)′ が 成 立つ と 言 う こ と は,∃F∈U(E),μ(Fc)=0を

  さ てB上

に 測 度 μ1を 次 の よ う に 定 義 す る.

意味 す る.

 (8.16)

ま ず(8.16)のinfは

実 は 最 小 値 を 取 る.す

なわち

  (8.17) ∃F∈U(E),μ1(B)=μ(B∩Fc) が 成 り立 つ.こ

の 事 実 は,U(E)に

る こ と か ら わ か る.(8.17)を も 当 然(8.17)を

み た す.こ

属 す る 集 合 の 可 算 合 併 が ま たU(E)に

み た すFに

の こ と を 用 い て,(8.16)の

る こ と を 証 明 し よ う.Bn∈B,{Bn}は

一 方∃F

対 し,F⊂F′,F′

∈U(E)な

属す ら ばF′

μ1が 可 算 加 法 的 測 度 で あ

互 い に 素 と す る.

n∈U(E),μ1(Bn)=μ(Bn∩Fnc)よ

とお くと

り 

こ れ で μ1が 可 算 加 法 的 測 度 で あ る とわ か っ た.   定 義(8.16)よ

り 明 ら かに

μ1≦μ で あ り,し

が 準 不 変 な ら μ1も 準 不 変,μ 準 不 変 の と き μ1(B)=0な

た が っ て 特 に 

が 不 変 な ら μ1も 不 変 で あ る こ と を 示 そ う.μ

ら,∃F∈U(E),μ(B∩Fc)=0,し

に 対 し μ(φ(B)∩ φ(F)c)=0,と

の か わ りに φ-1を 用 い る と μ1(φ(B))≧ μ1(B)が

  ま た(8.15)よ で 

れ ゆ え,(1)と(1)″ が 結 論 さ れ る.特 μ(Fc)=0と

  今 度 は(1)′

か ら μ1(E)=0で

に ど ん なa>0に

得 ら れ る か ら 結 局 μ1(B)=

あ る が,一

対 し て も μ1=aμ

の う ち い ず れ を 仮 定 し て も,μ1=0で にμ1(X)=0で

な る.こ

⇒(1)を

か わ り に φ(B)を,φ

不 変 測 度 で あ る.

りE∈U(E)だ

で あ る.特

の で μ1(φ(B))=0

∃ F∈U(E),  た μが 不 変 な ら を 得 る.Bの

あ っ て,μ1は

が

た が っ て φ∈G

こ ろ が φ(F)∈U(E)な

とな る.す な わ ち μ1は準 不 変 で あ る.ま

μ1(φ(B))で

で あ る.μ

方 μ(E)>0な

と は な り得 な い.そ な くて は な ら ぬ こ と

あ る か ら,(8.17)に

よ る と∃F∈U(E),

れ は(1)′ が 成 り立 つ こ と を 意 味 す る.

証 明 し よ う.す

な わ ち 

の

μ1が 準 不 変 か つ 

な ら μ1∼μ で あ る こ と を 示 す.μ1∼ い る の で,μ(E)>0な   μ(E)>0と

μ を 言 うに は, 

ら μ1(E)>0で

あ る こ と を 言 えば よ い.

す る と(8.15)でU(E)を

U(E),μ(Fc)=0だ μ1(F)>0,と

か ら, 

は 既 に 仮 定 され て

定 義 し て,仮

定(1)′ の も と に∃F∈

よ り μ1(Fc)=0,し

た が っ て 

こ ろ が 

よ り

で あ る か ら,μ1の

性 を 考 慮 す る と μ1(F)>0か

ら μ1(E)>0が

導 け る.こ

準不変

う し て μ1∼μ が 証 明

さ れ た.

  次 は(1)⇒(2)を

示 す.E∈B,∀

φ∈G, 

と す る.G準

不 変 測 度 μに 対 し   (8.18) 

μ1(B)=μ(B∩E),∀B∈B

と し て,μ1はG準 って

μ(φ(B)∩

不 変 で あ る.な φ(E))=0.一

ぜ な ら μ1(B)=0な

で あ る か ら,仮

て は な ら な い.μ1≡0と =0よ

り μ(Ee)=0で

 次 は(2)⇔(2)′

不 変 測 度 と わ か っ た.

定(1)の

も とに

す る.任

あ る.そ

も と に μ(Ec)=0ま と す る と,c>Mの

意 の 実 数cに

る.よ

有 界 なB可

対 し,Ec=f-1((c,∞))と

と き はμ(Ec)>0な c→c0と =0が

して

で あ る.そ な る.f(x)は

μ(Ec)=0,ま

,∞))=0よ

たc<-Mの

お く と 

と きは

の でμ(Ecc)=0,す

 今 度 は(2)′ を 仮 定 す る.E∈B,∀φ∈G, 

あ り,一

な わ ち μ(f-1(-∞,c])=0で 得 る.こ

μ(Ec)>0で あ る.そ

り,μ(f-1(c0,∞))=0で

μ(f-1(-∞,c0))=0を

こ で 条 件(2)の

有 界 な の で￨f(x)￨≦M

お く と,-M≦c0≦Mで

得られ,∀′x,f(x)=c0となって(2)′が示され

性 関数

測 関 数 で ∀φ∈G,∀′x,

う ち 一 方 だ け が 起 る の で,f(x)

た は μ(Ecc)=0と

っ てc0=inf{c;μ(Ec)=0}と

cn→c0,μ(f-1(cn

た μ1∼μ と す る と μ1(Ec)

れ ゆ え 

と きは

た は μ1∼μ で な く

た が っ て(2)が 証 明 さ れ た.

な ら,f(x)>cとf(φ-1(x))>cの ≠f(φ-1(x))で

μ1≡0ま

す る とμ ⊥(X)=μ(E)=0,ま あ る .し

を 証 明 し よ う.f(x)は

f(x)=f(φ(x))と

たが

方 

こ う し てμ1はG準

 明 らか に 

ら μ(B∩E)=0,し

あ し て

方c
う し て 結 局 μ({x;f(x)≠c0}) た.

と す る.Eの

示

 (8.19)

を 考え る と,cEは

有 界 なB可

の は 

測 関 数 で,cE(x)とcE(φ(x))の

に お い て だ け で あ る か ら,∀′x,cE(x)=cE(φ(x))で

よ っ て 仮 定(2)′ の も と に ∀′x,cE(x)=constと は0か1で =1と

値 が くい 違 う

あ る が,も

な る.(8.19)か

し ∀′x,cE(x)=0と

す る と μ(Ec)=0で

あ る .こ

あ る.

ら こ の定 数 の 値

す る と μ(E)=0,ま

た ∀′x,cE(x)

う し て(2)が 証 明 さ れ た.

  最 後 に μが 準 有 界 測 度 で あ る こ とを仮 定 し て,準 不 変 測 度 に 対 し て は(2) ⇒(1)を,不

変 測 度 に対 し ては(2)⇒(1)″

 μ1≦μ で あ って と もにG不 界 で あ り,ま た 

と な る.こ

変 とし よ う.μ が 準 有 界 な ら必 然 的 に μ1も準 有

で あ る.よ

 (8.20) ∃f(x)≧0,B可

を 証 明 し よ う.

って ラ ドンーニ コデ ィムの 定 理 に よ り

測 関 数;∀E∈B,

の と き φ∈Gに

だ か ら μ,μ1と もG不

対 し

変 な こ とか ら

を 得 る.し た が っ て ラ ドン ーニ コ デ ィ ム の 定 理 の う ち,密 度 関 数 の 一 意 性 に よ り   (8.21) 

∀′x,f(x)=f(φ(x))

で な くて は な ら な い.f(x)は 区 間 へ の 同 相 写 像Fを

有 界 関 数 とは 限 ら な い が,R1か

一 つ 定 め てF°fを

作 れ ば,こ

らR1の

有界開

れ は 有 界 関 数 で(8.21)と

同 様 な 条 件 を み た す.し

た が っ て 条 件(2)′ が み た され て い れ ば,∀′x,F(f(x))

=constで

あ る が,Fは

一 対 一 な の で ∀′x,f(x)=constを

値 をcと

す る と,(8.20)に

代 入 し て ∀E∈B,μ1(E)=cμ(E)が

とす れ ば 明 ら かにc>0で   今 度 は  有 界 で あ れ ば,ラ で

あ る.こ

で あ っ て と も にG準

う し て(2)′

得 る .こ

出 て 来 る. 

⇒(1)″が

証明 さ れ た.

不 変 で あ る と し よ う.も

ドン-ニ コ デ ィ ム の 定 理 に よ り(8.20)の

の定 数 の

し μ,μ1と も準

よ うに 書 か れ る.そ

こ

 (8.22) 

E={x∈X;f(x)=0}

と お く と μ1(E)=0だ

か ら,μ1(φ(E))=0で

れ ゆ えf( x)は

  で あ り,そ ろ0で

あ る.言

∩Ec)=0で

い か え れ ば μ(φ(E)∩Ec)=0で

あ り,μ

はG準

ま た は μ(Ec)=0で

あ る.同

れ ゆ え 条 件(2)が

た μ(Ec)=0で

なわ ち

で 殆 ん ど到 る と こ 様 に し て μ(φ-1(E) あ る.こ

う して

み た さ れ て い る と,μ(E)=0

な くて は な ら な い.μ(E)=0で

な る か ら,μ1∼ μ で あ る.ま あ る.よ

φ(E)上

不 変 な の で μ(E∩φ(E)c)=0で

 が わ か っ た.そ

≡0で

な くて は な ら な い.す

あ る と ∀′x,f(x)>0と

あ ると

∀′x,f(x)=0だ

か ら μ1

っ て い ず れ に し て も(1)は 証 明 さ れ た.

  最 後 に μ1が 準 有 界 と の 仮 定 を 除 こ う.い が 証 明 で き た とす る と,μ

ま 「 

な ら,∃ μ2≦μ,μ2∼ μ1」

が 準 有 界 な ら μ2も 準 有 界 で あ り,μ1がG準

ら μ2もG準

不 変 で あ る.よ

得 る が,μ2∼

μ な ら μ1∼μ,μ2≡0な

不変 な

っ て 今 証 明 し た こ とか ら μ2∼μ ま た は ら μ1≡0な

の で,こ

μ2≡0を

うし て準 有 界 で な い

μ1に 対 し て も(1)は 証 明 で き た こ と に な る.   「  」 の 中 の こ と を 証 明 し よ う.  (8.23) 

とお くと,Uに

U={E∈B;μ1(E)=0}

属 す る集 合 の 可 算 個 の合 併 は ま たUに

属 す る.よ って

 (8.24)

と お く と,(8.16)の る.明

次 に 述 べ た と 同 様 に し てμ2はB上

ら か に μ2≦μ で あ る.あ

  μ1(E)=0な

らE∈Uな

と は μ2∼μ1を 示 せ ば よ い.

の で,(8.24)よ

な ら,∃E∈U,μ(B∩Ec)=0と

り μ2(E)=0で

な り, 

μ1(B)≦ μ1(B∩Ec)+μ1(E)=0を   以 上 の よ うな 事 情 で,μ

の可 算 加 法 的 測 度 に な

あ る.逆

に μ2(B)=0

な の で μ1(B∩Ec)=0そ

得 て,μ1(B)=0が が 準 有 界 測 度 の と き は,定

出 て 来 た. 

れ ゆえ (証 明 終)

理8.1の(1),(1)′,(2),

(2)′の い ず れ を も エ ル ゴ ー ド性 の 定 義 と み な す こ と が で き る.こ

の こ とは 準 不

変 測 度に 対 し て も 不 変 測 度 に 対 し て も 同 じ で あ る.

  例   数 直 線R1上

の ボ レ ル 測 度 と し て,次

ル ベ ー グ測 度 とす る.ま ∞

と し て μ を 定 め る.最

たm(E)=0な

のm,μ,μ′を

考 え る.mは

ら μ(E)=0,m(E)>0な

後 に μ′(E)はEが

有 限 集 合 な らEの

普通の

ら μ(E)= 元 の 数,Eが

無 限 集 合 な ら μ′(E)=∞

と す る.明

ら か にm≦

μ≦ μ′で あ り,い

ず れ もR1

の す べ て の 平 行 移 動 に 関 し て 不 変 で あ る.   測 度 μ は 条 件(1)″ を み た さ な い が(1)を み た す.な にmは

μ の 定 数 倍 で は な い か ら,μ

ぜ な らm≦

は(1)″ を み た さ な い.一

準 有 界 な エ ル ゴ ー ド的 測 度 だ か らmは(1)を

み た し,よ

μ であ る の

方m∼

っ てmと

μ でmは 同値な μも

(1)を み た す.   測 度 μ′は(1)を

み た さ な い が(2)を み た す.な

だ か ら μ′は(1)を み た さ な い.一 と,μ′ 測 度 が0の れ か らE=φ

で あ る の に 

とす る

集 合 は 空 集 合 だ け だ か ら,∀x∈R1,E=E+xと

ま た はE=R1が

で あ る が,任

ぜ な ら 

方 ∀x∈R1, 

意 のx∈Eに

が っ てE=R1で

あ る.こ

導 か れ る.な

ぜ な らE≠

対 しE=E+(x-x0)よ う し て μ′が(2)を

お い てG1⊂G2の

不 変 で あ る 」.ま たG2(準)不

φ とす る と∃x0∈E

りx∈Eが

出 て 来,し

た

み た す こ と が わ か っ た.

  こ の §を 終 る に あ た り次 の こ と を 注 意 し て お く.可 型 写 像 の 群G1,G2に

な る.こ

測 空 間(X,B)の

と き,「G2(準)不

可測 同

変 測 度 は 必 ずG1(準)

変 測 度 に つ い て 「G1エ ル ゴ ー ド的 な ら 必 ずG2エ

ル ゴ ー ド的 で あ る 」.こ れ らは 定 義 に あ て は め て 容 易に 証 明 で き る.

  §9 射 影 極 限 測 度 の 絶 対 連 続 性   可 測 空 間 の 射 影 的 列(ま たは 族)の 射 影極 限 に つ い て は,上

巻 §4お よび §8

で 説 明 し無 矛 盾 的 な 測 度 列(ま たは 族)の 拡 張可 能 性 に つ い て論 じた が,こ

こで

は 準 備 と して 簡 単 に 再 記 す る.   可 測 空 間 の 列(Xn,Bn)と,n<mの 全 射pnmが

あ って,n<m<m′

{(Xn,Bn),pnm}は

を 考 え,Xか

とき(Xm,Bm)か に対 しpnm′=pnm°pmm′

可 測 空 間 の射 影 的 列 と 言 う.こ

らXnへ

の射 影 をpnと

ら(Xn,Bn)へ

の可 測

がみ た され る と き,

の と き 直 積 空 間 

して

X∞={x∈X;n<m⇒pnm(pm(x))=pn(x)} と お く.pnのX∞ pnで

へ の 制 限 は,X∞

表 わ す こ と に す る.

か らXnへ

の 全 射 で あ り,こ

れ を 同 じ記 号

とお い て定 ま る 可測 空 間(X∞,B∞)を,{(Xn,Bn),pnm)の

射影極限可測空間

と言 う.  各nに 対 しBn上

に可 算 加 法 的 測 度 μnが 与え られ て い て,

が み た され る とき,測 度 の列{μn}は

無矛 盾的 で あ る と言 う.こ の と き,も し

B∞ 上 に可 算 加 法 的 測 度 μが 存 在 して

と で き る な らば,μ は{μn}のB∞ る と言 う.各μnが

へ の拡 張 で あ る,ま

たは射影極限測度 であ

有 界 測 度 の と き,こ の よ うな 拡 張 は存 在 す れ ば一 意 的 で あ

る.   (Xn,Bn)上

の 有 界 な測 度 列{μn}が 無 矛 盾 的 で あ る限 り必 ずB∞ 上 の測 度 に

拡 張 で き るた め の 条 件 を,上 巻 第2章 と,各(Xn,Bn)が

§9以 下 で論じた.そ

適 当 な ハ ウス ドル フ的 位 相 に関 し て コ ン パ ク ト正則 で,か

つ 可 算 的 分 離 で あれ ば十 分 で あ る.特 に各(Xn,Bn)が ば,し

こで の結 果 に よる

た が って 特 にXnが

標 準 的 可測 空 間 で あ れ

完 備 可 分 距 離 空 間 また は 可算 コン パ ク ト距 離 空 間 で

Bnが そ の ボ レ ル集 合族 で あ れ ば十 分 で あ る.   〓 を 有 向集 合 と して 可 測 空 間 の 射 影 的 族 

に対 し

て も同 様 な こ とが 考 え られ る.ま ず 射 影 極 限 可測 空 間 は全 く同 様 に 定 義 で き る.測 度 の 無 矛 盾 族{μL}の 拡 張 可 能 性 に つ い ては,次

の意 味 で 列 の 場 合 の 議

論 に 帰着 で き る.任 意 の 単調 増 加 列M={Ln},L1
射 影 極 限 測 度μMを

もてば,次

に対 し の 条 件(P)の

も とに

の測 度 に拡 張 可 能 で あ る. か ら 

へ の 射 影 をpMと

して

 (P) pMはX∞

た だ しM={Ln}に

か らXMへ

の 全 射 で あ る.

対 し,(XLn,BLn)の

射 影 極 限 を(XM,BM)と

  以上 を準 備 と して 本 §の 主 題 に 入 る.こ

す る.

の §で は 有 界測 度(上 巻 では 有 限 測

度 と も呼 ん で い た)に つ い てだ け 考 え る こ とに し,単 に"測

度"と

言 っ て も可

算 加法 的有 界 測 度 を 意 味 す る もの とす る.   可 測 空 間 の 射影 的 列{(Xn,Bn),pnm}は,そ

の 上 の任 意 の測 度 の無 矛 盾 列

{μn}がB∞ 上 の測 度 に 拡 張 で き る も の と仮 定 す る.例 えば 各(Xn,Bn)が

標準

的 可測 空 間 で あ る場 合を 考 えれ ば よい.そ

し て 二 つ の 無矛 盾 列{μn}お

{μn′}を考え,対 応 す るB∞ 上 の 測 度 μ と μ′ が, 

よび

を み たす た め の 条件 を

調 べ よ うと言 うの が 本 §の 目的 で あ る.   まず 簡 単 な 必 要 条 件  任 意 のEn∈Bnに

だ か ら 

は 容 易 に 示 され る.な ぜ な ら

対し

で あ る と,μn(En)=0よ

μ′(pn-1(En))=0が,し

 そ こで, 

り μ(pn-1(En))=0が,し

た が って

た が っ て μn′(En)=0が

出 て 来 る.

を仮定 した 上 で, 

とな るた め の条 件 を 調 べ る こ

とに し よ う.   (9.1) Bn=pn-1(Bn) と お く と,μn(En)=μ(pn-1(En))の 視 で き る.よ

っ て 

で あ れ ば,ラ

 (9.2) ∃fn(x)≧0,Bn可 と な る.こ

関 係に よ り,μnは

μ のBnへ

の 制 限 と同 一

ドン-ニ コ デ ィ ム の 定 理 に よ り

測 関 数,∀E∈Bn

の こ とか ら もち ろ ん

 (9.3) ∀φn(x),Bn可

測 有 界 関 数,

も 得 ら れ る.

 定理9.1  (上 述 の 記 号 を用 い て)  で あ っ て,(9.2)で

とな るた め の 必 要 十 分 条 件 は, 

定 ま る{fn}が,測

度 μ に 関 す るL1ノ

ル ムで コ ー

シ ー 列 を な す こ と で あ る.   証 明   測 度 μ に 関 す る 可 積 分 関 数 全 体 をL1と {fn}が

コ ー シ ー 列 で あ る と極 限 関 数f(x)を

 (9.4) 

す る と,L1は も つ.こ

のfに

完 備 だ か ら, 対 して

dμ′=fdμ

が 成 り立 つ こ とを 示 そ う.な ぜ な らfnがL1でfに

収 束 す る ので,任 意 のB∞

可 測 有 界 関 数 φ(x)に 対 し

で あ る.特  (9.5)

にE∈Bmと

し,φ(x)はEの

示 性 関 数cE(x)で

あ る とす る と

と な る.と

こ ろ が,m≦nの

の 左 辺 はm≦nの

と き はBm⊂Bnだ

限 り μ′(E)に

か らE∈Bnで

あ っ て,(9.5)

ひ と し い.

  した が って  (9.6)

が 

に対 して成 立 す る.と

こ ろ が 

で あ る か ら,ホ

プ に よ る 測 度 拡 張 の 一 意 性(上 巻 §3)に よ り,(9.6)はE∈B∞ し,言

い か え れ ば(9.4)が

 逆 に 

ッ

に 対 して も 成 立

証 明 で き た こ とに な る.

で あ る と仮 定 す る と,ラ

関 係 を み た すB∞ 可測 関 数f(x)≧0が

ドン-ニ コ デ ィ ム の 定 理 に よ り(9.4)の

存 在 す る.こ

fに 収 束す る こ とを 証 明 し よ う.f(x)はB∞

の ときfnはL1ノ

ルムで

可 測 μ可 積 分 関 数 だ か ら 

に より

可測 関 数,

 (9.7) 

と な る.た

だ し‖ ‖1は

  こ の と きn≧n0に n≧n0な

ら

  n≧n0な

μ に 関 す るL1ノ

対 し て‖fn-g‖1<ε

‖f-fn‖1<2ε

ル ム を 意 味 す る. で あ る こ と を 示 そ う.そ

が 得 ら れ て{fn}がfに

らg(x)はBn可

うす る と,

収 束 す る こ と が 導 か れ る.

測 関 数 で も あ る.よ

って 次 の ことを 証 明 で きれ ば

よ い.   Lemma

1 Bn可

測 μ 可 積 分 関 数h(x)に

対 し,一般

に

 (9.8) ‖fn-h‖1≦‖f-h‖1 が 成 り立 つ.   証 明   E={x;fn(x)≧h(x)}と

お く とE∈Bnで

あ り,

(証 明終)

  定 理9.2 

と しそ の 密 度 関 数 をf(x)と

す る.す

な わ ち(9.4)が 成 り立

つ と す る.(9.2)で に 収 束 す る.(言

定 ま るfn(x)は,測 い か え れ ば{fn}はfに

  証 明   ま ず 殆んど す べ て のxに そ う.そ

度 μ に 関 し て 殆ん ど到 る と こ ろf(x)

の た め に は ε>0に

概 収 束 す る).

対 し{fn(x)}が

コ ー シー 列 を な す こ とを 示

対 し

 (9.9)

と お い て,   (9.10) 

∀ε>0∃n,μ(An,ε)<ε

が 成 り立 つ こ と を 示 せ ば よ い.な

ぜ な ら(9.10)で

と し,Ank,2-kを

書 い て, 

簡 単 の た めAkと

ε=2-kに

対 応 す るnをnk と お くと

 が すべ て のkに 対 して成 り立 つ こ とか ら μ(A) =0を

得 る .一

と な る.よ

の と き{fn(x)}は

っ て 

 そ こ で(9.10)を

An,m,ε={x;￨fn(x)-fm(x)￨>ε}

で あ る. 

と お く と 

は 互 い に 素 な{A′n,m,ε}m=n,n+1,…

∈Bmが

コー シ ー 列 を な す.

証 明 し よ う.

 (9.11) 

fm(x)￨はBm可

で あ るか ら

の と き,∃k, 

方 

測 関 数 で,し

と お く とAn,ε

の 合 併 に な る.m≧nの

た が っ てAn,m,ε ∈Bmと

と き￨fn(x)-

な り,そ

れゆ

えA′n,m,ε

出 て 来 る.

  一 方Lemma

1の 証 明 と 同 様 に し て

∀h(x)Bm可

測 μ可 積 分 関 数,∀E∈Bm

 (9.12)

が 証 明 で き る.そ れ ゆ え

が 得 ら れ る.こ

の 式 の 両 辺 をmに

つ い てnか

が 出 て 来 る.と

こ ろ で 既 に 定 理9.1に

ら ∞ ま で 加え る と

よ り{fn}はL1ノ

ル ム でfに

収束す る

こ とは 証明 され て い るの で ∃n,‖f-fn‖1<ε2

で あ る が,こ ち(9.10)が

のnに

対 し て は ε2>εμ(An,ε)よ

り μ(An,ε)<ε

を 得 る.す

なわ

成 り立 つ.

  以 上 で 殆 ん どす べ て のxに た.よ

っ て{fn(x)}は

はL1ノ

ル ム でfに

対 し{fn(x)}が

殆 ん ど 到 る と こ ろ 極 限 関 数f∞(x)を 収 束 す る の で,{fn}の

も つ.一

適 当 な 部 分 列 はfに

こ の 部 分 列 に つ い て は 殆 ん どす べ て のxに な る の で,こ

コー シ ー列 を な す こ とが わ か っ

概 収 束 す る.

対 しf(x)もf∞(x)も

う し てA′x,f(x)=f∞(x)が

わ か り,定

理9.2の

方{fn}

その極限 と 証 明 は 完 結 し た. (証 明 終)

とす る と き(9.2)で 定 ま るfn(x)は, 

であ っ

て も な くて も)測 度 μ に 関 し て 殆 ん ど 到 る と こ ろ 収 束 す る.そ

の 極 限 関 数 を

  定 理9.3 

f(x)と

し,dμc′=fdμ

な 測 度 と な る.ま

と お く と μc′ ≦ μ′で あ り,μ′-μc′ は μ に 関 し て 特 異

た 

と な る た め の 必 要十 分 条 件 は,‖f‖1=μ′(X)が

成

り立 つ こ と で あ る.   証 明   ラ ドン-ニ コ デ ィ ム の 定 理 に よ り  (9.13)

の 形 に 一 意 的に 分 解 で き る.そ

して

  (9.14) ∃f(x)≧0,B∞ で あ る.こ

可測 関数  

の と き.fn(x)がf(x)に(測

dμc′=fdμ

度 μ に 関 し て)概 収 束 す る こ と を 示 せ

ば よ い.   任 意 のE∈Bnに

対 し

であ るか ら

と な る.一

方 

だ か らdμ=gd(μ+μ′)と

 (9.15) 

で あ る.dμ=gd(μ+μ′)に(9.13)と(9.14)を

す る と定 理9.2に

より

μ+μ′に 関 して 殆 ん ど到 る と ころ 代 入す ると

dμ=g(1+f)dμ+gdμs′

を 得 るが,絶 対 連 続 部 分 と特 異 部 分 へ の 分 解 の 一 意 性 に よ り g(1+f)=1,gdμs′=0 で な くて は な ら な い.す な り,こ

れ を(9.15)と

な わ ち ∀′x(測 度 μ に 関 し て),  合 わ す と ∀′x,fn(x)→f(x)が

と 得 られ て 定 理 が 証 明

さ れ た.

 定 理 の 最 後 の 部 分 は,  の 関 係 よ りわ か る. 

(証 明 終)

  定 理9.4 

とな るた め の 必 要 十 分 条 件 は,∀n, 

で 定 ま るfn(x)に

対 し,{fn1/p}が

な す こ と で あ る.た   p=1の

だ し1≦p<∞

と き は 定 理9.1で

系 

で あ っ て,(9.2)

測 度 μ に 関 す るLpノ

ル ムで コー シ ー列 を

とす る.

証 明 ず み で あ る.p=2の

とな るた め の必 要 十 分 条 件 は, 

ム で コ ー シ ー 列 を な す こ と で あ る.言

と きを 特 に 書 くと

が測 度 μに 関 す るL2ノ ル

いかえれば

 (9.16)

が 成 り立 つ こ と で あ る.

 の 関 係 か ら, 

がL2で

コ ー シ ー 列 を な す こ と と,(9.16)と

の 証 明 だ け な ら 定 理9.1の

証 明 と 同 様 な 方 針 で 直 接 で き る が,概

を 述 べ た か った の で 定 理9.3を

よ りfn(x)は

{fn1/p}がLpノ

収 束 す れ ば,{fn1/p(x)}の

概 収 束 し,よ

収 束 との 関 係

経 由 す る こ と に し た.

  定 理 の 証 明   定 理9.3に ル ム でgに

は 同 値 で あ る.系

或 る 関 数f∞(x)に

っ て ∀′x,f∞(x)={g(x)}pで

し

適 当 な 部 分 列 はg(x)に

あ る.

  だ か ら,fn1/pがgにLp収 し た が っ て‖gp‖1=‖f∞‖1=μ′(X)と

概 収 束 す る.も

な り,定

束 す れ ば  理9.3の

最 後 の 部 分に よ っ て 

が 結 論 さ れ る.

 逆 に 

な ら‖f∞‖1=μ′(X)で

定 数 倍 す る こ とに よ り,次

のLemmaが

あ り, 

で あ る.必

証 明 で き れ ば 十 分 で あ る.

要 なら

  Lemma

2  測 度 空 間(X,B,μ)に

収 束 し て‖g‖p=1で

おい て,‖gn‖p=1,gn(x)はg(x)に

あ る と き,gnはgにLp収

概

束 す る.

 証明

hn(x)={

 (9.17) 

と お く.明

gn(x) 

if￨g(x)-gn(x)￨≦￨g(x)￨

0 

if￨g(x)-gn(x)￨>￨g(x)￨

ら か に￨g(x)-hn(x)≦Min(￨g(x)-gn(x)￨,g(x)￨)だ

か ら,

￨g(x)-hn(x)￨pはnに

よ ら な い 可 積 分 関 数￨g(x)￨pで

と き0に

っ て ル ベ ー グ の 項別 積 分 の 定 理 に よ り

概 収 束 す る.よ

と な り,‖g-hn‖p→0が ￨g(x)￨}と

得

ら れ

る.そ

押 え ら れ て,n→

∞ の

こ でEn={x;￨g(x)-gn(x)￨≦

お くと

し か る に‖g‖p=1か て‖gn-hn‖p→0を

つ‖g-hn‖p→0だ 得 る.再

が 得 ら れ てgnがgにLp収

か ら‖hn‖p→1で

び‖g-hn‖p→0と

あ り,し

たが っ

合 わ す と,‖g-gn‖p→0

束 す る こ と が わ か っ た. 

(証 明 終)

  今 度 は可 測 空 間 の射 影 的族 の場 合 に つ い て 同様 な 問題 を 調べ よ う.〓 は 有 向 集 合 とし,{(XL,BL),PLL′}は の無 矛 盾族{μL}がB∞

可 測 空 間 の射 影 的族 とす る,そ して 任 意 の測 度

上 の 可算 加 法 的 測 度 に 拡 張 で き る もの とす る.例

各(XL,BL)が

標 準 的 可測 空 間 で,任

X∞ か らXMへ

の全 射 で あ る 場 合 を 考 え れ ば 十 分 で あ る.

意 の 単 調 増 加 列M={Ln}に

えば

対 しpMが

  二 つ の 無 矛 盾族{μL}と{μL′}に 対 し,対 応 す るB∞ 上 の測 度 を μ,μ′ とし て  とな るた め の条 件 を調 べ よ う.ま ず  で あ る こ とは 容 易に わ か る.逆 き,pL-1(BL)=BLと

な ら ば 必 然 的 に 

に 

とな って い る と

し て(9.2)に 対 応 して

 (9.18) BL可 と な る.単 調 増 加 列M={Ln}に

測 関 数, 対 し{(XLn,BLn),pLnLm}n<mは

可 測 空 間 の射 影

的 列 を な し,し

た が っ て 定 理9.3に

  (9.19) ∃fM(x),BM可 た だ しBM=pM-1(BM)と ま る.μ′ のBMへ す る と き の,絶

よ り

測 関 数,fLn(x)はfM(x)に す る.こ

のfM(x)は

の 制 限 を μ のBMへ

概 収 束 す る.

定 理9.3に

よ れば 次 の よ うに 定

の制 限 に 関 し て ラ ドン-ニ コ デ ィ ム 分 解

対 連 続 部 分 の 密 度 関 数 がfM(x)で

あ る.す

なわ ち

 (9.20)

  さ て,二

つ の 単 調 増 加 列M={Ln}とM′={Ln′}に

の と きM≦M′ m={M}は

と し て 半 順 序 を 導 入 す る.こ ま た 有 向 集 合 と な る.明

お い て,∀n,Ln≦Ln′ の 半 順 序 に よ り単 調 増 加 列 の 全 体

ら か にM≦M′

な らBM⊂BM′

で あ る.

  μ′を μ に 関 し てB∞ の 上 で ラ ドン-ニ コ デ ィ ム 分 解 す る と ∃f(x)≧0,B∞

可 測 関 数,∀E∈B∞,

 (9.21)

と な る が,  ∈mに

対 し てBM1可

E0∈BM2で M0な

で あ る(上 巻 §8参 照)か ら,(9.21)のf(x)は 測 関 数 で あ り,(9.21)のE0は

あ る.よ

っ てM0≧M1,M2と

る 限 り(9.21)のf(x)はBM可

或 るM2∈mに

な るM0を

或 るM1 対 し て

一 つ 選 ん で お く と,M≧

測 関 数 でE0∈BMと

な る.そ

れ ゆえ(9.20)

と比 較 し て M≧M0⇒fM(x)=f(x) が わ か る.   以 上 を定 理 の形 に ま とめ て   定 理9.5 

と す る と き(9.18),(9.19)で

定 ま るfM(x)に

つ

いて   (9.22) ∃M0∈m,∃f(x)≧0,B∞

可 測 関 数 

と な る.こ

と お く と μc′ ≦ μ′で あ り,μ′-μc′ は μ に

のfに

対 しdμc′=fdμ

関 し て 特 異 で あ る.ま 成 り 立 つ こ と で あ る.

た 

M≧M0⇒fM(x)=f(x)

と な る た め の 必 要十 分 条 件 は‖f‖1=μ′(X)が

  証 明 は 殆 ん ど 終 っ てい る が,(9.22)の

条 件 を み た すf(x)は

と だ け 注 意 し て お こ う.M≧M0⇒fM(x)=f(x)か f′(x)と

す る と,M≧M0つM≧M0′

を み た すMが

し て はfM(x)=f(x)=f′(x)と

  定 理9.6 

⇒fM(x)=

あ る の で こ のMに

な っ て,f(x)=f′(x)で

対 し, 

シ ー 的 と な る こ と で あ る.た

で あ っ て,

が 測 度 μ に 関 す るLpノ

だ し1≦p<∞

対

な くて は な ら な い.

と な る た め の 必 要 十 分 条 件 は, 

(9.18)で 定 ま るfL(x)に

 

一 つ しか な い こ

つM≧M0′

ル ム で コー

とす る.

が コー シ ー 的 とは

を 意 味 す る.Lpは

完 備 な の で,こ

れ は{fL1/p}が

収 束 す る こ と,す

なわち

が 成 り立 つ こ と と同 値 で あ る.  定 理 の 証 明   {fL1/p}がgにLp収 か ら,こ

の とき

束 す る とす る.∀L,‖fL1/p‖p=μ′(X)1/pだ

‖g‖p=μ′(X)1/pで

 も し 定 理9.5(式(9.22))で

あ る.

言 うf(x)が,{f(x)}1/p=g(x)を

 と な り,‖f‖1=μ′(X)が そ こ で{f(x)}1/p=g(x)で

み た す とす れ ば

得 ら れ て 

が 出 て 来 る.

あ る こ と を 証 明 し よ う.{fL1/p}がgに

か

収束す

るので  (9.23)

で あ る.一

方(9.22)で

∃L1′,L1′≧L,か

言 うM0をM0={L0n}と

つL1′

≧L01で

あ る.以

す る.〓

は有 向集 合 な の で

下 帰 納 法 でLn′

を 定 義 す る .L1′,

L2′,…,Ln-1′ は 既 に 定 義 さ れ て い る と し て,Ln′>Ln,L0n,Ln-1′

とな る よ うに

Ln′ を 選 ぶ.こ

あ る.よ

の と きM′={Ln′}は

(922)よ

りfM′(x)=f(x),す

Ln′≧Lnだ

か ら(9.23)に

束 し,し

単 調 増 加 列 でM′

な わ ちfLn′(x)はf(x)に

  今 度 は 逆 に  ‖f‖1=μ′(X)だ

って

概 収 束 す る.一

方

で あ り,f1/pLn′はgにLp収

よ り 

た が っ て{f=Ln′(x)}1/pの

部 分 列 は{f(x)}1/pに

≧M0で

適 当 な 部 分 列 はg(x)に

も概 収 束 す る の で,そ と仮 定 し よ う.(9.22)で

か ら,M={Ln}がM≧M0を

概 収 束 す る.こ

れ ゆ えg(x)={f(x)}1/pで 定 ま るM0とf(x)に み た す 限 り,Lemma2に

の

あ る. つ い て よ り

f1/pLnはf1/pにLp收

束 す る.と

し て 矛 盾 を 導 こ う.こ

こ ろ で 

がf1/pにLp収

束しないと

のとき

 (9.24)

で あ る.M0={L0n}と と書 く.以

し て,(9.24)でL=L01と

下 帰 納 法 でL1′,L2′,…,Ln-1′

の よ う に 定 め る.Ln″>L0n,Ln-1′

単 調 増 加 列 でM′

は 既 に 定 ま っ た も の と し てL′nを

とす る.こ

≧M0を

の と きLn′ ≧Ln″>Ln-1′

み た す .よ

束す

であ るか ら こ れ

は 矛 盾 し て い る. 

(X1,B1)の

よ りM′

っ てf1/pLnはf1/pにLp収

べ き で あ るが,一 方Ln′ の選 び 方 に よ り 

  例   (X1,B1)は

次

を み た す.Ln″ を 一 つ 取 り,(9.24)でL=Ln″

とす る と き の 対 応 す るL′ をLn′ ={Ln′}は

す る と き の 対 応 す るL′ をL1′

(証 明終)

一 つ の 可 測 空 間 と し,μ1,μ1′ はB1上

無 限 直 積 を(X∞,B∞)と

の 確 率 測 度 と す る.

し,μ1,μ1′ の 無 限 直 積 を μ,μ′と す る.

 と な る の は μ1′=μ1の 場 合 だ け で あ る こ と を 示 そ う.

 の と きは 論 外 だ か ら,  と す る.μ1お

よ び μ1′のn重

fn=(x1,x2,…,xn)と

の 場 合 に つ い て 考 え よ う.dμ1′=f1dμ1

直 積 を μnお よ び μn′と 書 き,そ

の 密 度 関 数 を

す る と明 らか に

 (9.25) fn(x1,x2,…,xn)=f1(x1)f1(x2)…f1(xn)

で あ る. 

で あ るた めに は 定 理9.4の 系 に よる と

で な くて は な ら な い が,こ

を 意 味 し,よ ってnさ

れ は(9.25)を

代 入 す る とn≦mと

え十 分 大 きけ れ ば,mが

して

どん な に 大 き くて も

は1に 近 い で な くて は な ら な い.こ

れ は 

の 場 合 に の み 可 能 で あ る.す

る と  と な り,f1(t)≡1で

あ る.す

な わ ち, 

と な る の は μ1′=μ1の 場 合 に 限 ら

れ る.   (後 に §13で 示 す よ うに,μ1′ ≠ μ1な らμ′ ⊥μ で さえ あ る).

  §10  商 空間,部

分 空 間 と特 性 関数

  上 巻 §27以 下 に お い て,無 限 次元 ベ ク トル空間 に 対 してボ ホナ ー の定 理 を 述 べ た.そ

こで の 結果に 若 干 の 補 足 を つ け る.

  Eは ベ ク トル空 間 とし,そ の 代 数 的 共 役 空 間 をE′ とす る.可 測 空 間(E′,BE) 上 の 可 算 加 法 的 測 度 μは  (10.1)

の 関 係 に よ り,E上

の正 型 で(す なわ ち任 意 有 限 個 の複 素 数{cj}とEの

元{ξj}

が 成 り立 つ)か つ 任 意 の 有 限 次 元 空 間 へ の 制 限

に 対 し 

が 連 続 で あ る よ うな 関 数χ と,一 対 一に 対 応 す る.こ の こ とは 上巻 で見 た通 り で あ るが,χ がEの

適 当 な 商 空 間 の上 で定 義 され る場 合 につ い て考え る こ とに

し よ う.   MはEの

部 分 空 間 で,関 数χ

は 商 空 間E/Mで

定 義 さ れ た 特 性 関 数(正

型 か つ 任 意 の有 限 次元 空間 へ の制 限 が 連 続)と す る.χ に 対 応 す る測 度 μが ((F/M)′,BE/M)上

作 れ る.一 方Eか

らE/Mへ

してχ1(ξ)=χ(pM(ξ))と お くと明 らか にχ1はE上 対応 す るE′ 上 の 測 度 を μ1とす る.pMの へ 作 れ る.pMが

の 自然 な 準 同型 をpMと の特 性 関 数 で あ る.こ れ に

随 伴 作 用 素pM′ が(E/M)′

全 射 で あ る こ とか らpM′ は一 対 一 で あ り,し

か ら.E′

た が ってpM′ に

よ り(E/M)′ はE′ の部 分 空 間 と 同一 視 で き る.こ の同 一 視 に よ り  (10.2)

が 成 り 立 つ.な

ぜ な ら  だ か ら.

  こ の同 一 視 に よ り((E/M)′,BE/M)上

の 測 度 μは(M⊥,BE∩M⊥)上

と み な せ る.そ

し て ξ∈Eに

と な る か ら,測

度 と特 性 関 数 の 一 対 一 の 対 応 に よ り 「集合M⊥

し て 厚 く,μ1のM⊥

の測 度

対 し

へ の 跡 が μ と 一致 す る」 こ と が わ か る.

は 測 度 μ1に 関

  逆 に(E′,BE)上

の 測 度 μ1に関 してM⊥ が 厚 けれ ば,対 応 す る 特 性 関数 はM

上 で 一 定 で,し た が ってχ1は 商 空 間E/M上

の 関 数 とみ な せ る.こ

の よ うに

して 次 の こ とが わ か った.   定 理10.1  E上 の 特 性 関 数χ が 部 分 空 間M上 商 空 間E/M上

で定 数 とな る(す な わ ちχ は

の特 性 関 数 とみ なせ る)た め の 必 要 十 分 条 件 は,χ

に対 応 す る

(E′,BE)上 の 測 度 μに 関 してM⊥ が 厚 い集 合 に な る こ とで あ る.

  さ て ベ ク トル 空 間E上 す る.σ

の 特 性 関 数χ は ヒル ベ ル ト型 位 相 σ に 関 し て 連 続 と

が 他 の ヒル ベ ル ト型 位 相 τに 関 し てHS的

で あ れ ば,χ

度 μ は 位 相 的 共 役 空 間 上E*(τ)上 に 作 れ る(上 巻,定

理30.1).し

な τ が あ る の は,σ を 定 め る 任 意 の 内 積 に 関 し てEが る(上 巻,定

義30.4の

前).よ

に対 応 す る測 か しこの よ う

可 分 で あ る場 合 に限 られ

っ て 可 分 で な い 内 積 に つ い て は,こ

の 定 理30.1

は 測 度 の 台 を 定 め る た め に 何 の 役 に も 立 た な い.   E1をEの

部 分 空 間 と す る.E1のEへ

E′ か らE1′ へ 作 れ る.f∈E′   定 理10.2    E1⊂Eと

E上

に 対 しi′fは,fのE1へ

し,随 伴 作 用 素i′ が

の 制 限 に 他 な ら な い.

の 特 性 関 数χ は ヒ ル ベ ル ト型 位 相 σ に 関 し て 連 続 と す る.

しE1上

で あ れ ば,χ

の 埋 め 込 みiに対

の ヒ ル ベ ル ト型 位 相 τに 関 し て σ(のE1へ

に 対 応 す る 測 度 μ はi′-1(E1*(τ))上

の 制 限)がHS的

に 作 れ る.

  証 明   i′-1(E1*(τ))が μ に 関 し て 厚 い 集 合 で あ る こ と を 言 え ば よ い.B∈BE, B∩i′-1(E1*(τ))=φ

と す る.Eの(代

数 的 に)可 算 次 元 部 分 空 間Nが

B∈BNで

あ る が,Nの

N∩E1の

基 底 に な っ て い る よ うに す る.x∈E′

と お く と,R∞

の 可 測 集 合Aが

  さ てN∩E1に 間N-E1に し,Nに

基 底{ek}k=1,2,…

を 適 当 に 選 ん で そ の 一 部 分{ek}k∈Kが に 対 し πN(x)=(x(ek))∈R∞

あ っ てB=πN-1(A)の

は 位 相 τ(のN∩E1へ

あ って

形 に な っ て い る.

の 制 限)を 考 え, 

で張 られ る空

は 最強 の 局 所 凸 位 相(有 限 次 元 ユ ー ク リ ッ ド位相 の 帰 納 極 限)を 課 は 両 者 の 積 位 相 を 考 え る.こ

上 で σ は τ′ に 関 し てHS的   よ っ てχ のNへ

で あ る(上 巻,定

の 制 限 をχNと

に 作 れ る が,B=πN-1(A)と

の 位 相 τ′ はN上

し て,対

理32.1お

よ び そ の 証 明 参 照).

応 す る 測 度μNがN′

し て μ(B)=μN(A)で

一 対 一 対 応 に よ る) .σ は τ′ に 関 し てHS的

で ヒ ル ベ ル ト型 で,N

∼R∞

上

あ る(測 度 と 特 性 関 数 の

な の で,μNに

関 し てN*(τ′)は

厚 い.し

か る にy∈N′

に つ い て 「y∈N*(τ′)⇔yのN∩E1へ

τに 関 し て 連 続 」 で あ る.一

方 

  で あ る が,

お け る連 続 線 形 汎 関 数 はE1上

B=πN-1(A)よ

ハ ー ン=バ

り

ナ ッ ハ の 定 理 よ りN∩E1に

に 連 続 に 拡 張 で き るの で 上 の 「 」 と合 わ せ て

  を 得 る.よ よ り μN(A)=0し

の 制 限 が

た が つ て μ(B)=0で

  こ の よ うに し てi′-1(E1*(τ))は

つ てA∩N*(τ′)=φ

が 得 ら れ,こ

れ

あ る.

μ に 関 し て 厚 い こ とが わ か っ た. (証 明 終)

  ヒ ル ベ ル ト型 位 相 に 関 し て 連 続 な 場 合 は,定

理10.1は

も う少 し 精 密 に で き

る.   定 理10.3  空 間M上

E上

の 特 性 関 数 χ は ヒ ル ベ ル ト型 位 相 σ に 関 し て 連 続 で,部

で 定 数 で あ る と す る.E1,τ

に 対 応 す る 測 度 μ はi′-1(E1*(τ))∩M⊥   一般 に はA1,A2が

を 定 理10.2と

同 じ意 味 の も の と し て,χ

上 に 作 れ る.

厚 い 集合 で も,A1∩A2が

定 理 は 定 理10.1と10.2の

分

厚 い と は 限 ら な い か ら,こ

の

直 接 の 結 果 で は な い.

  証 明  位 相 σ が ヒ ル ベ ル ト的 半 ノル ム の 族{‖・‖ λ}λ ∈Λで 定 ま る と す る.E 上 に 半

を 考 え る と‖・‖Mλ も ヒ ル ベ ル ト的 で あ り,

ノ ル ム 

{‖・‖Mλ}λ∈Λ に よ り定 ま る 位 相 を σMと し て 特 性 関 数 χ は σMに関

して 連 続 で

あ る.   同 様 にE1上

の ヒル ベ ル ト型 位 相 τ に 対 し,τE1∩Mを

の 位 相 だ が,M上

で は 各 半 ノ ル ム が0で

ろ げ る こ と が で き る.こ   E1+M上

で σMは

定 理10.2に

う し て 作 つ たE1+M上

τMに 関 し てHS的

で あ る.し

ひ

の 位相 を τMと 記 そ う.

に な る こ とが 確 か め ら れ,し

よ り測 度 μ はi′-1((E1+M)*(τM))上

に 作 れ る.し

た がっ て

か る にx∈E′

E1+Mへ の 制 限 が τMに 関 し て連

に 対 し, xの

続 ⇔xはM上

考 え る.τE1∩MはE1上

あ る と し て そ の 定 義 域 をE1+Mに

で0でE1上

で は τに 関 し て 連 続 

た が っ て μ は 

上 に 作 れ る. 

(証 明終)

 §11  ガ ウ ス測 度 数 直線R1上

の ル ベ ー グ測 度 をdtと

して,次

の式 で与 え ら れ る測 度gcを

分

散c2の

一 次 元 ガ ウ ス 測 度 と 言 う.

 (11.1)

こ こ でc>0と

を 分散0の

考 え て い る が,デ

ィ ラッ ク 測 度 δ(A)=1

if A∋0,=0

if 

ガ ウス測 度 とみ な し て仲 間 に入 れ た 方 が 考 えや す い.以 下 この こ と

を 約 束 す る.  Eは ベ ク トル空 間 と し,可 測 空 間(E′,BE)上

の ガ ウス 測 度 を 次 の よ う に 定

義 す る.   定 理11.1  次 の二 つ の命 題 は 同値 で あ る.   (1)  E上 の或 る 内積(,)に

関 し て特 性 関 数χ が

 (11.2)

の 形 に 書 け る.   (2)  (E′,BE)上

の 測 度 μ に つ い て,任

意 の ξ∈Eに

対 し,x(ξ)の

分布は

一 次 元 ガ ウ ス 測 度に な る.   定 義11.1  (E′,BE)上

定 理11.1の

条 件(1)(ま

の ガ ウ ス 測 度 と 言 う.E′

か っ た と き は,(X,BE∩X)上

た は こ れ と 同 値 な(2))を の 部 分 空 間Xが

μ に 関 し て 厚 い こ とが わ

の ガ ウ ス 測 度 と 言 う こ と も あ る.

  定 理 の 証 明   ま ず(1)を 仮 定 す る.ξ1,ξ2,…,ξn∈Eを 張 る 有 限 次 元 部 分 空 間 をRと e1,e2,…,en(詳

み た す 測度 μ を

し くはM={ξ

し,内

積(,)に

∈E;(ξ,ξ)=0}と

任 意 に 取 り,こ

関 す るRの

れ らの

完全規格直交系を

し てR/(M∩R)の

完全規格

直 交 系)と し て  (11.3)

の 関 係 か ら(11.2)のχ(ξ)は る 測 度 μ が(E′,BE)上   こ の μ に つ い て,任

で あ り,左

辺 は 

確 かに 正 型 で あ る.よ

っ て(11.2)のχ(ξ)に

に あ る. 意 の ξ∈Eに

対 し

に ひ と し く こ れ は‖ ξ‖ ≠0の

とき

対応す

に ひ と し い か ら,測

度 と 特 性 関 数 の 一 対 一 対 応(一 次 元 の 場 合 の)に よ り,x(ξ)

の 分 布 は 分 散‖ ξ‖2のガ ウ ス 測 度 に な る.‖ ξ‖=0の らx(ξ)の

と きは

χ(sξ)≡1で

あるか

分 布 は デ ィ ラッ ク 測 度 に な る.

  今 度 は(2)を 仮 定 す る.ξ∈Eに

対 しx(ξ)の

分 布 が 分 散υ(ξ)の

ガ ウス測 度

で あ る とす る と

を 得 る. と ころ で

だか ら  (11.4) と お く とυ(ξ)=(ξ,ξ)で こ れ で(2)か

ら(1)が出

  注 意   Eがn次 概 念 と 一 致 す る.ま

あ る.(11.4)の(,)は

明 ら か にE上

の 内 積 で あ る.

て 来 る こ とが わ か っ た. 

元 の と き は(11.3)に

(証 明 終)

よ れ ば 普 通 の 意 味 でn次

元 ガ ウス 測 度 の

た 無 限 次 元 ガ ウ ス 測 度 に つ い て も 「有 限 次 元 ガ ウ ス 測 度 の

無 矛 盾 族 の 射 影 極 限 で あ る 」 と言 う風 に も 表 現 で き る.

  E1はEの

部 分 空 間 で,E1上に

定 理10.2で

言 うi′-1(E1*(τ))を

と はE1へ

は 別 の 内 積(,)1が

定 義 さ れ て い る と す る.

簡 単 の た め 単 にE1*と

記 そ う.す

の制限 が ノ ル ム‖・‖1に 関 し て 連 続 と な る よ う な,E上

な わ ちE1* の線型汎関

数 の 全 体 を 意 味 す る と す る.   定 理11.2    1)  E1上 る.す

(11.2)で 与 え ら れ た ガ ウ ス 測 度 に つ い て で 内 積(,)が(,)1に

な わ ち ガ ウ ス 測 度 はE1*上

  2)  HS的   系  Eが

で な け れ ば,E1*の

関 し てHS的

な ら,E1*は

厚 い集 合 と な

に 作 れ る. 外 測 度 は0で

あ る.

無 限 次 元 の と き(正 確 に はM={ξ(∈E;(ξ,ξ)=0}と

し てE/Mが

無 限 次 元 の と き),E*の   な ぜ な ら,E上

外 測 度 は0で

あ る.

で(,)は(,)に

関 し てHS的

  定 理 の 証 明   1)に つ い て は,内 度 に つ い て 定 理10.2で

積(,)に

関 し て特 性 関 数 が 連 続 な任 意 の測

証 明 ず み で あ る.

  そ こ で2)の

証 明 だ け が 問 題 で あ る が,こ

る.(,)が(,)1に

関 し てHS的

ξ∈E1に =0か

対 し‖ξ‖1=0で ら‖ ξ‖=0が

れ に は ガ ウス測 度 の特 殊 性 を 用 い

で な い と す る.場

あ る が‖ ξ‖ ≠0の

出 て 来 る が(

,)1に

場 合(Case

合 を 二 つ に 分 け,或 1)と,E1上

2),の

る

で は‖ ξ‖1

関 す る 規 格 直 交 系{ek}k=1,2,…

  を み た す も の が あ る 場 合(Case   Case

で な い か ら.

で

両 者 に つ い て 考 え よ う.

1)に つ い て は 簡 単 で,∃ ξ∈E1;‖ ξ‖1=0か つ‖ ξ‖ ≠0と す る と,x∈E1*

に 対 し て は 必 ずx(ξ)=0で

あ る か らE1*⊂{ξ}⊥

で あ る.し

か る にx(ξ)の

分

布 は 分 散‖ ξ‖2の ガ ウ ス 測 度 だ か ら,特

に 一 点 集 合 の 測 度 は ゼ ロ で あ り,す

な

わ ち μ({x;x(ξ)=0})=μ({ξ}⊥)=0と

なっ て,E1*の

外 測 度が ゼ ロで あ る と

わ か る.  

Case

2の

と き,(,)1に

な る も の を 一 つ 選 ぶ.明

関 す る 規 格 直 交 系{ek}k=1

と

,2,… で 

らか に

 (11.5)

を 示 せ れ ば 目的 を達 す る.そ れ に は

だ か ら, 

 (11.6)

で あ れ ば よ い.な に 入 れ ら れ,指

ぜ な ら ル ベ ー グ の 定 理 よ り(11.6)左 辺 の 極 限 は 積 分 記 号 の 中

数 関 数 の 連 続 性 よ りexpの

り立 て ば∀′x, 

中 に も 入 れ ら れ る か ら,(11.6)が

した がっ て 

 (11.6)の 積 分 を 計 算 す る の に フ ー リエ 変 換 し て 考え る と

で あ る.

成

 

と な る.(detは

行 列 式 を 意 味 す る).と

det(I+A)≧1+TrAで λk≧0だ

あ る.な

こ ろ が 一 般 に 正 定 値 対 称 行 列Aに

ぜ な らAの

か ら 

して

であ る.

 と こ ろ でTr((ek,el))=Σ‖ek‖2で

が 得 ら れ て(11.6)は

あ るか ら

証 明 さ れ た. 

(証 明 終)

  例 

と し,(,)は

積 とす る.E′=R∞ は す べ て 分 散1の

対 し

固 有 値 を λ1,λ2,…,λnと

で あ る.そ

し てek=(δkn)=(0,…,0,1,0,…)と

ガ ウ ス 分 布 に し た が い,互

R∞ 上 の 対 応 す る μ は,分   正 数 列a={an}に

普 通 のl2の

散1の一

内

す る とx(ek)

い に 独 立 で あ る.こ

のこ と か ら

次 元 ガ ウ ス 測 度 の 無 限直 積 で あ る と わ か る.

対 し

 (11.7)

と お く と,定

理11.2に

μ(Ha)=0と

な ら μ(Ha)=1, 

よれ ば, 

わ か る.

  注 意  l2に 属 す る 正 数 列 全 体 をl+2と

る が 

と な る.ま

界 数 列 な ら ∀a∈l+2,x∈Haは ∀k∃nk

なら

xnk≧kで

と き μ(Ha)=1で

で あ る.な

ず 

容 易 に わ か る.(xn)が

あ る か ら 

と し てa=(an)∈l+2と

す る とa∈l+2の

あ

ぜ な らx=(xn)が

有

有 界 数 列 で な け れ ば,

とし,こ れ 以外 のanは 適 当 に 小 さい 正 数

で き る が 

と な る の で 

で あ る.  次 に

μ(l∞)=0を

で あ るが

示 そ う. 

な の で, μ(l∞)=0と

  一 般 にE上 (,)が(,)1に

な る.

の 内 積(,)と 関 し てHS的

部 分 空間E1上

の 内 積(,)1に

つ い て,E1上

と な る よ うな も の を 考え れ ば,各E1*は

で 厚 い

集 合 で あ る のに 

と なっ てE*の

 を 示 そ う.x∈E*す 関 数 は,も

ち ろ んE1上

か ら 

外 測 度 は0で

あ る.

な わ ち ノ ル ム‖ ・‖に 関 し て 連 続 な 線 形 汎

で こ れ よ り大 き い ノ ル ム‖ ・‖1に関 し て も連 続 と な る

は容 易 に 得 られ る.逆 に 

球 の 上 で 有 界 で な い.そ

こ でx(ξ1)≧1,‖

とす る とx(ξ)はEの

ξ1‖=1を

み た す ξ1∈Eを

下 数 学 的 帰 納 法 で ξ2,ξ3,… を,(ξj,ξk)=δjk,x(ξk)≧k2を て 行 く.{ξk}で

張 ら れ る 部 分 空 間 をE1と

て 内 積(,)1を

定 義 す る と, 

し,E1上

が(,)1に

だ か ら(,)は(,)1に

な わ ち 

に(ξj,ξk)1=k2δjkに

よ っ

関 す る 規 格 直 交 系 と な り,  で あ る.し

か も

関 す る単 位 球 上 で有 界 で な い.す

で あ る.

 §12  E*準

不 変 性 とE*エ

  E上 の内 積(,)に れ てE*の

μはE1*上

ル ゴ ー ド性

関 す る ガ ウス測 度 は 前 §で 見 た よ うにE′ の上 に 定 義 さ

外 測 度 は0で

て(,)がHS的

あ る.E1がEの

の とき,E1*は

部 分 空 間 でE1上

の 内積(,)1に

関し

ガ ウス測 度 μに 関 して 厚 い 集 合 に な るか ら,

の測 度 とみ な せ る.

  この §で は μがE*の

元 に よ る平 行 移 動 に 関 して 準不 変 で あ る こ と を 証 明 し

よ う.一 般 に可 測 群(G,B)上 ∼ μ で あ る とき,y(の

の 測 度 μに 対 し,右 移 動測 度Ryμ を 考え てRyμ

定 め る右 移 動)は 許 容 的(admissible)で

に 関 し て許 容 的 な右 移 動 を引 き起 すyの   (12.1) 

Tμ={y∈G;Ryμ 部 分 群 で あ る.

  Gの 部 分 群G1に

つ い て,測 度 μがG1の

の こ とを 簡 単 の た めG1準

あ る と 言 う.μ

全 体 をTμ と記 す.

Tμは 明 らか にGの

G1⊂Tμ

取 り,以

み たす よ うに取 っ

関 し てHS的

 だ か らxは(,)1に

単位

∼μ}.

元 に よる右 移動 に 関 し て 準 不 変(こ

不変 と言 う)に な るた め の 必 要十 分 条 件 は,明 らか に

とな る こ とで あ る.同 様 な こ とは 左 移 動 に 対 し て も考 え られ る が,G

が 可 換 群 の と きは 当 然 左 移 動 と右 移 動 は 区 別 す る必 要 が な い.   Gが ベ ク トル空 間 の ときはTμ はGの

部 分 加 法 群 で あ るが,部 分 ベ ク トル空

間 で あ る とは 限 らな い.そ の反 例 は,G=R1と

し μが 整 数 全 体Z⊂R1の

上

に乗 って い る測 度 とす れ ば,Tμ=Zで   定 理12.1  内積(,)に

あ る こ とか ら容 易 に わ か る.

関 す る ガ ウス測 度 μ に対 し,Tμ=E*で

が ってE′ の部 分 ベ ク トル空 間Xに 分 条 件 はX⊂E*と

つ い て,μ がX準

な る こ とで あ る.

  証 明  E′ の 元yに

よ る平 行 移 動 をτyで 表 わ す.(E′ は 加 法 に つ い て 可 換 群

で あ るか ら右 移 動 と左 移 動 を 区 別 す る必 要 は な く,第1章 は一 致 す るが,こ

の 記 号 でRyとLy

れ を τyと記 す わ け で あ る).

  定 理9.6を 用 い て証 明す る.す な わ ち  Eの 任 意 の 有 限 次 元 部 分 空 間Rに

平方根  る.た

あ る.し た

不 変 で あ るた め の 必 要 十

が 測 度 μ に 関 す るL2ノ

だ しμRは

とな る た め の 必要 十 分 条 件 は,

対 し 

μ のBR=pR-1(BR)へ

で あ って,そ

の密 度 関 数 の

ル ムで コ ー シ ー的 とな る こ とで あ

の 制 限 を 意 味 す る.

  まず   (12.2) 

M={ξ

と お い てTμ

⊂M⊥

∈E;(ξ,ξ)=0}

を 示 そ う.ξ ∈Mと

す る とx(ξ)の

分 布 は 分 散0の

測 度 す な わ ち デ ィ ラ ッ ク測 度 に な る か ら,∀′x;x(ξ)=0,す =1で

あ る .よ

な らず,し

っ てy∈Tμ

な わ ちμ({ξ}⊥)

で な くて は

で あ る と 

た が っ て 

べ て の ξ∈Mに

ガウ ス

よ っ てy∈{ξ}⊥

対 し て 成 り立 つ の でy∈M⊥

を 得 る.こ

で あ る.こ

れがす

う し てTμ ⊂M⊥

がわ

か っ た.

 以 後y∈M⊥

で あ る こ とを 仮 定 して 議 論 を 続 け よ う.こ の とき ∀R; 

が 成 り立 つ こ とを示 そ う.RはEのn次 格 直 交 系 を ξ1,ξ2,…,ξmと し,R∩Mの

元 部 分 空 間 と し,そ の極 大 な規

基 底 η1,η2,…,ηn-mを つ け 加 え てEの

基 底{ξk}∪{ηl}を

作 る.{x(ξk)}は

い,ま

デ ィ ラ ッ ク 分 布 に 従 う.そ

たx(ηl)は

分 散1の

互いに独立な ガ ウ ス 分 布 に 従 こ で 射 影pRを 

と し て 考 え る と,Rnの

合Bに

ボ レ ル 集

対し

 (12.3) 

で あ る.た   (12.4) 

μ(pR-1(B))=g1m(B(0))

だ しg1mは

分 散1の

一 次 元 ガ ウ ス 測 度 のm個

B(0)={t∈Rm;(t,0)∈B}

の 直 積 で,ま

た

とす る. で あ り,pR-1(B)+y=pR-1(B+

と こ ろ で  pR(y))で

あ る か ら,

を 得 る.と

こ ろ がy∈M⊥

で あ る とy(ηl)=0(1≦l≦n-m)だ

か ら

(B+pR(y))(0)=B(0)+(y(ξk))

であ り  (12.5)

を 得 る.こ

れ を(12.3)と

比 較 す る と,g1mがRmの

平 行 移 動 に 関 して 準 不 変 な

が わ か る.な お こ の密 度 関 数 は

こ と か ら, 

に よ り与 え ら れ る.と

こ ろで

で あ るか ら  (12.6)

と わ か る.   次 に(12.6)の

平 方 根 が 測 度 μ に 関 す るL2ノ

調 べ よ う.L2に

ル ム で コ ー シ ー的 とな る条 件 を

お け る 内 積 を 〈,〉 で 表 わ し,ノ  だ か ら, 

ル ム を‖ ‖L2で

表 わ す と,

に関 し

て コー シ ー的 とな る こ とは  (12.7)

と 同 値 で あ る.と そ の 最 初 のm1個

こ ろ でR1⊂Rの がR1の

の 左 辺 は(y(ξk)=αkと

と き,Rの

極 大 な 規 格 直 交 系{ξk}1≦k≦mを,

極 大 な 規 格 直 交 系 に な る よ う に 選 ん で お く と(12.7) し て)

と な る.  そ し て,こ

れ が1に

が0に 近 づ くこ と と同 値 で あ

近 づ く こ と は 

る.   い まy∈M⊥

と し,Rの

極 大 な 規 格 直 交 系{ξk}に

対 し

 (12.8)

とお く と,(12.8)の

右 辺 は{ξk}の

選 び 方によ

ら ず,Eの

単 位 球 をSと

して

 (12.9)

と な る.こ

の 記 号 を 用 い る と, 

は

‖y‖R2-‖y‖R12→0と

し た が っ て{‖y‖R2}が

コ ー シ ー 的 と な る こ と と,よ

こ と と 同 値 で あ る.と

こ ろ で‖y‖R2は

 の 存 在 は{‖y‖R2}が 値 で あ る.と

だ か ら,こ y∈E*と

こ ろ が(12.9)に

が存在す る

っ て 

明 ら か にRに

有 界 な こ と と,し

同 値 で あ り,

つ い て 単 調 増 加 だ か ら,

た が っ て{‖y‖R}が

有 界 な こ とと 同

より

れ が 有 限 で あ る こ と はy(ξ)が

単 位 球S上

で 有 界 な こ と,す

なわ ち

同 値 で あ る.

  こ の よ うに し て 

はy∈E*と

同 値 で あ り,よ

っ てTμ=E*で

あ る. (証 明 終)

  さ てE*を

二 通 り の 仕 方 で 同 型 に 表 現 す る こ と を 考 え よ う.ま

ずu∈E*に

対 して  (12.10)

と お く.E*は とき

こ の ノ ル ム に 関 し て 完 備 ノ ル ム 空 間 で あ る.ま

たu,υ

∈E*の

 (12.11)

とお くと,こ

れ はE*上

び 方 に よ ら な い.そ

の内 積 で,そ

の値 はRの

極 大 な 規 格 直 交 系{ξk}の 選

し て‖u‖R,‖υ‖Rと も 収 束 す る こ と か ら(u,υ)Rも

収束し

 (12.12)

と お く と,こ

れ はE*上

の 内 積 で ノ ル ム‖・‖ を 導 く.こ

う し てE*は

ヒル ベ ル

ト空 間 に な る.  さ て

ξ,η∈Eの

と き,

 (12.13) 

uξ(η)=(ξ,η)

と し て ξ∈Eにuξ ξ→uξ

はEか

∈E*を らE*へ

対 応 さ せ る.明

の 等 長 写 像 に な る が,実

先 ヒ ル ベ ル ト空 間E/M上 よ っ て(12.13)の E*は

で 一 対 一 と な る.そ

ξ→uξ

同 型 に な る.な

ら か に(uξ,uη)=(ξ,η)が はE上

成 り立 ち

で は 一 対 一 で な く,

し て 像 はE*の

中 で 稠 密 と な る.

を 連 続 的 に 拡 張 す る こ と に よ り,E/Mの

おu∈E*,ξ

  (12.14) 

∈Eの

完備化 と

とき

(uξ,u)=u(ξ)

が 成 り立 つ こ と も 容 易 に 確 か め ら れ る.uξとξ

を 同 一 視 し て(12.14)の

左 辺 を

(ξ,u)の よ うに も 書 く.   以 上 は,Eが が,も

内 積 を も つ ベ ク トル 空 間 で あ る と き つ ね に 成 立 す る こ と で あ る

う 一つ ガ ウ ス 測 度 の 特 性 を 生 か し た 同 型 表 現 を 与 え る.

  ξ∈Eに

対 し

  (12.15)  とお く と Φξ∈L2で

Φξ(x)=x(ξ) あ り,容

で あ る か ら,ξ →

易 に わ か る よ う に  Φξ はE/Mか

らL2へ

こ れ を 連 続 的 に 拡 張 す る こ と に よ り,E/Mの 或 る 閉 部 分 空 間H1と

同 型 に な る.こ

の 等 長 写 像 で あ る.よ

完 備 化,し

う し てu∈E*に

って

た が っ てE*はL2の

対 し 対 応 す る Φu∈L2

が 考 え られ るが   (12.16) 

Φu(x)=(u,x)

と し て 内 積(,)をE*とE′ (12.16)の(u,x)は

各xに

対 し て の み 意 味 を も つ.け

の 元 に 対 し て 定 義 す る.た

だ し Φu∈L2だ

対 し て 意 味 を もつ も の で な く,殆 れ ど ξ∈Eの

対 し て 定 義 さ れ て い る か ら(ξ,x)は

各xに

と き は(12.15)に

か ら

ん ど す べ て のxに

よ りΦ ξ(x)は 各xに

対 し て 意 味 を も ち,さ

ら にx∈E*

の と き は(12.14)に   u→Φuは

よ りE*上

線型 だ か ら ∀′x 

 (12.17)

で あ る.ま

(u+υ,x)=(u,x)+(υ,x),

∀α ∈R1,∀′x 

(αu,x)=α(u,x)

た

  (12.18) 

∀′x 

も成 り立 つ.な

(u,x+υ)=(u,x)+(u,υ)

ぜ な ら ξ∈Eの

い て 線 型 で あ る.そ が,必

に 定 め た 内 積 と 一 致 す る.

と き は(ξ,x)=x(ξ)だ

し て ξn→u

in E*と

か ら,(ξ,x)はxに

す る と Φξn→

Φu in L2で

要 な ら 適 当 に 部 分 列 を 選 び な お す こ と に よ り,Φξn(x)は

束 す る と 考 え て よ い.よ

か る に μ はE*準

概 収

(ξn,x)→(u,x)

不 変 で あ る か ら υ∈E*の

∀′x 

とき

(ξn,x+υ)→(u,x+υ)

で あ り,上

式 左 辺 は(ξn,x)+(ξn,υ)に

束 す る.よ

っ て(12.18)を

等 し く,こ

れ は(u,x)+(u,υ)に

概収

つ の こ と を 示 し て お く.一

つ は特 性

得 る.

  こ の よ う に 拡 張 さ れ た 内 積 を 用 い て,二 関 数 の 定 義 域 をE*に

Φu(x)に

あ る

って ∀′x 

で あ る.し

つ

ま で 拡 張 す る こ と で,u∈E*に

対 し

 (12.19)

と お く と,  (12.20)

を 得 る.こ

れ を 示 す に は,(12.20)はE(ま

た はE/M)上

で,両

辺 と もE*で

連 続 な こ と を 言 え ば よ い.右

る.左

辺 が 連 続 な こ と を 示 す に はE*∋u→exp(i(u,x))∈L2が

で は 成 り立っ て い る の

辺 が 連 続 な こ とは 明 ら か で あ 連続 な こと

を 言 え ば よ い が,

だか ら

と な っ て 目的 は 達 成 さ れ た.   も う一 つ は 密 度 関 数d(τyμ)/dμ

を 内 積 を 用 い て 表 示 す る こ と で あ る.(12.6)

に よれ ば  (12.21)

で あ る.定

理9.5に

よ る と 或 る 増 加 列{R0n}n=1

n=1,2,…が ∀n;R0n⊂Rnを す る.と

こ ろ が{Rn}を

か ら,(必

,2,…が 存 在 し て,増

み た す 限 りd(τuμ)Rn/dμRnはd(τuμ)/dμ 適 当 に 取 る とuRn→u

要 な ら{Rn}の

の 中 は 

に概収束

in E*,‖u‖Rn→‖u‖

部 分 列 を 選 び な お す こ と に よ り)(12.21)右 に 概 収 束 す る.よ

加 列{Rn}

であ る 辺 のexp

って

 (12.22)

を 得 る.

  次 に μ の 平 行 移 動 に 関 す る エ ル ゴ ー ド性 に つ い て 調べ よ う.   定 理12.2  E*の

E上

の 内 積(,)に

部 分 ベ ク トル 空 間Xに

関 す る ガ ウ ス 測 度 μ はE*準 対 し,μ がXエ

条 件 は,XがE*の

中 で 稠 密 な こ と で あ る.

  証 明   XがE*の

中 で 稠 密 で な け れ ば,∃u(≠0)∈E*,∀υ

あ る が,こ

のuに

対 し て は(12.18)に

で あ る.す

な わ ち(u,x)はX不

不 変 で あ る が,

ル ゴ ー ド的 で あ る た め の 必 要 十 分

∈X,(u,υ)=0で

よ り

  ∀υ∈X,∀′x;(u,x+υ)=(u,x)

な い.((12.20)に ん(u,x)は か ら,μ

変 関 数 で あ る が,殆

よ り(u,x)の

分 布 は 分 散‖u‖2の

定 数 に は な ら な い).こ はXエ

ん ど到 る と ころ定 数 では ガ ウ ス 測 度 に な り,も

の よ う に 定 数 で な いX不

変関数が存在す る

ル ゴ ー ド的 で な い.

  今 度 はXはE*の こ と を 示 そ う.数

中 で 稠 密 と す る.X不 直 線R1は

開 区 間(a,b)と

変 可測 関数

φ(x)は

定 数 しか な い

同 相 だ か ら,φ(x)は

正値有界関

数 で あ る と 仮 定 し て 定 数 に な る こ と を 導 け ば 十 分 で あ る.dμ1=φdμ の(E*上

で の)特 性 関 数 を χ1(u)と す る.

 (12.23) も し 定 数cが   (12.24) 

ちろ

存 在 して χ1(u)=cχ(u),∀u∈E*

と し て μ1

と な る こ と が 示 さ れ れ ば,(12.24)は

当 然E上

測 度 の 一 対 一 対 応 に よ り μ1=cμ,し

た が って ∀′x,φ(x)=cで

  (12.24)を 示 す に は 両 辺 と もE*で 立 つ こ と さえ 言 え れ ば よ い.(u,x)を Buと

し,μ

のBuへ

で も 成 り立 つ か ら,特

連 続 だ か ら,u∈Xに

性関数 と

あ る.

対 し て(12.24)が

成 り

可測 にす る最 小 の 可算 加法 的集 合 族 を

の 制 限 を μuと す る.同

様 に μ1,τuμ等 のBuへ

の 制 限 を

μ1u,(τuμ)u等 と 記 す.   u∈Xの

と き ∀λ∈R1,λu∈Xで

を 得 る.こ

の 両 辺 にd(τ

あ る か ら φ(x)=φ(x+λu)で

あ り

λuμ)/dμ1を 掛 け る と

 (12.25)

が 得 ら れ る.と

こ ろ が(12.22)に

 に ひ と し く,こ

よ り(12.25)の 左 辺 はBu可

測 な の で,そ

れ に ひ と し い 右 辺 も 

れ は

に ひ と し い.

よ って

と な り,こ

の 等 式 か ら また

 (12.26)

が 出 て 来 る.(12.26)の f((u,x))の

左 辺 はBu可

形 に 書 け る.そ

 (12.27) 

恐 れが

uに

存 在 して

し て(12.26)は

次 元 ガ ウ ス 測 度 はR1の

りf(t)=定

平 行 移 動 に 関 し て エ ル ゴ ー ド的 だ か ら,

数 で な け れ ば な ら な い.こ

残 る が,dμ1u=cdμuよ

よ ら な い こ と が わ か る.

  そ して

の 可 測 関 数fが

f((u,x))=f((u,x)+λ‖u‖2)

と 書 け る.一 (12.27)よ

測 な の で,R1上

り 

の 定 数cは

一 応uに

関係す る

が得 ら れ てcは

と な っ て(12.24)が

証 明 さ れ た. 

注 意   こ の 証 明 の 鍵 は,d(τ

  例   §11末

(証 明 終)

λuμ)/dμ がBu可

の 例 と 同 じ 設 定 で,R0∞

測 な こ と に あ る.

⊂(l2)⊂R∞

一 次 元 ガ ウ ス 測 度 の 無 限 直 積 を 考え れ ば ,そ

を 考 え る.R∞

れ は(l2)準

上 に 分 散1の

不 変 で あ っ てR0∞

エ

ル ゴ ー ド的 で あ る.

  §13  相 互 の 絶 対 連 続 性   ま ず ラ ドン-ニ

コ デ ィ ム の 分 解 は,測

て 意 味 を も つ こ と を 注 意 し よ う.す

度 の(絶 対 連 続 性 に よ る)同 値 類 に 対 し

な わ ち,μ,ν,μ′,ν′と も 可 測 空 間(X,B)

上 の 準 有 界 な 測 度 で μ∼ μ′,ν∼ ν′ と す る と き

 (13.1)

か ら

νc∼νc′,νs∼ νs′が 出 て 来 る.な

が,こ

のfを

用 い てdνc″=fdνc,

ぜ な ら

ν∼ ν′ よ り ∃f;dν

dνs″=fdνsと

 で あ る.よ

お け ば

′=fdν

と な る

ν′=νc″+νs″ で あ

っ て ラ ドン-ニ

り,

コデ ィ ム の 分 解 の

一 意 性 に よ り νc′=νc″ , νs′=νs″ を 得 る か ら, 

と な る.逆

向き

の 不 等 式 も 同 様 に 証 明 さ れ て 結 局 νc∼νc′,νs∼ νs′で あ る.   さ て 可 測 空 間(X,B)上 あ る と す る.こ νsもG準

の 可 測 同 型 写 像 の 群Gに

の と き νのμに 対 す る ラ ドン-ニ

不 変 と な る.な

が,νs⊥

μ

よ り

ぜ な ら φ∈Gを

ら,前

て 成 り立 つ の で,νc,νsと

コ デ ィ ム 分 解 に な る.一

  定 理13.1 

もG準

可 測 空 間(X,B)上

よ り 

っ て 

述 の こ と よ り νc∼τφ νc,νs∼τφνsであ る.こ

不変 で

コ デ ィ ム 分 解 に お い て,νcも

一 つ 固 定 す る と き, 

τφνs⊥ τφμ が 出 て 来 る.よ

の τφμ に 関 す る ラ ドン-ニ

対 し,μ,ν と もG準

は,τ

φν

方 μ∼ τφμ,ν∼ τφν だ か れ が す べ て の φ∈Gに

対 し

不 変 と わ か る. の 可 測 同 型 写 像 の 群Gに

対 し,μ,ν

と もGエ

ル ゴー ド的 で あ れ ば,μ ∼ ν ま た は μ⊥ ν が 成 り立 つ.   証 明   νの μ に 関 す る ラ ドン-ニ

コ デ ィ ム 分 解 を ν=νc+νsと す る.νc≠0と

で あ っ て νcはG準

す る と,    で あ る.よ

っ て

ν∼ μ

不 変 で あ る か ら,エ

と な る.ま

た

νc=0な

ル ゴ ー ド性 よ り

ら ば,ν=νsだ

か ら

ν⊥ μ が 出 て 来 る. 

(証 明 終)

  例   §9末 の 例 に お い て(そこ と を 見 た.実

の 記 号 を 用 い て)μ1′ ≠ μ1な ら 

であ るこ

は μ′ ⊥ μ で さ え あ る こ と を 示 そ う.

  定 理13.1に

よ れ ば,μ,μ′ とも 或 る群Gに

を 示 せ ば よ い.Gと

つ い てGエ

ル ゴ ー ド的 で あ る こ と

し て 無 限 直 積 の 因 子 空 間 の 置 換 群 を 採 る.す

なわ ち

σ12:x=(x1,x2,x3,…)→(x2,x1,x3,…) と し,同

様 に 互換 σijを 考え,{σij;i≠j}で

生 成 さ れ るX∞

す る.μ

は 同 じ一 次 元 測 度 の 無 限 直 積 で あ る か ら,μ

がG不

の 変 換 群 をGと 変 な こ とは 明 らか

で あ る.   (X1,B1)の

有 限 直 積(Xn,Bn)を

=pn-1(Bn)と

お く.す

か ら,次

考 え,X∞

る とB∞

か らXnへ

の 射 影 をpnと

し てBn

を 含 む最 小 の 可算 加法 的集 合族 で あ る

は

の こ と が 成 り立 つ.

 (13.2)

さ てEが,∀

を み た す と す れ ば,(13.2)と合

σ∈G;    で あ る.置

と な る も の を 採 れば,μ を 得 る.よ μ(En)2<ε れ る.こ る.こ

と な り,μ(En)-

れ を 再 び(13.2)と

比 較 す る と μ(E)-μ(E)2<2ε

こ で εは 任 意 だ か ら μ(E)-μ(E)2=0従

れ は μ がGエ

  定 理13.2 

可 測 空 間(X,B)に がG準

お い て,Gは

た は1で

可 測 同 型 写 像 の 群,ψ

不 変 な ら ば τψ μ は ψGψ-1準

ル ゴ ー ド的 な らτψ μ は ψGψ-1エ

  (13.3) 

っ て μ(E)=0ま

が得 ら あ

ル ゴ ー ド的 で あ る こ と を 意 味 す る.

測 同 型 写 像 と す る.μ がGエ

が 直 積 型 に な っ て い る こ と か ら 

っ て 

を 得 る.こ

わ す と

換 σ と し て 特 に, 

∀E∈B 

は 別 の可

不 変 で あ る.ま

ル ゴ ー ド的 で あ る.た

た μ

だし

τψμ(E)=μ(ψ-1(E))

と す る.   証 明   φ∈Gに はψGψ-1準

 また 

と な る か ら τψμ

対 し μ∼ τφμ よ り 

不 変 で あ る.

で νが ψGψ-1準 不 変 な ら, 

で

τψ-1νはG準

不変だ

か ら,μ

がGエ

ル ゴ ー ド的 な ら τψ-1ν=0ま た は 

ν=0,後

者 の 場 合 ν∼τψμ と な り,い

で あ る.前

者 の場 合

ず れ に し て も τψμは ψGψ-1エ

ド的 と わ か る. 

(証 明 終)

 注 意   定 理13.2で

ψが 単 に 可 測 写 像 で あ る こ とだ け 仮 定 し よ う.可 測 同型

写像 の群 

を考 え れ ば,μ のG準

τψ μ のGψ準 れ ば,μ

不 変 性 が 出 て 来 る .ま

のGエ

  さてEは 族BEを

ル ゴ ー

た ∀φ∈G,

ル ゴ ー ド性 か らτψμ のGψ

不変性 か ら

∃f∈Gψ, ψ° φ=f°

ψを仮定す

エ ル ゴ ー ド性 が 出 て 来 る.

ベ ク トル 空 間 と し,そ の代 数 的 共 役 空 間E′ の上 に 可 算 加 法 的 集 合

考 え る.BE上

の 測度 μに対 し,E′ の元yに

わ す.許 容 的 平 行 移 動 の 集 合Tμ((12.1)参 照)は,μ

よる平 行 移 動 を τyμで表 と τyμと で変 らな い こ と

を 示 そ う.   定 理13.2に ら 

お い てG=Tμ,

ψ=τyと

で あ る.よ

意 味 す る.こ

っ て τyμはG準

の こ と が す べ て のyと   す な わ ちTμ

さ ら に μ がTμ

お け ば,平

行 移動 群 は 可換 群 で あ る か

不 変 と わ か る.こ

すべ て の μに つ い て 成

⊃Tτyμ も得 ら れ,結

局Tμ=Tτyμ

E上

の 内 積(,)に

行 移 動τyμ を 考え る.こ E*エ

り 立 つ の で, が 導 か れ た.

エ ル ゴ ー ド的 な ら ば,τyμ もTμ エ ル ゴ ー ド的 で あ る.以

に ガ ウ ス 測 度 の 場 合 に つ い て 再 記 す る と(定 理13.1と   定 理13.3 

れ はTτyμ ⊃Tμ を

も合 わ せ て)

関 す る ガ ウ ス 測 度 μ に 対 し,y∈E′

の 内 積 に 関 す る 位 相 的 共 役 空 間 をE*と

ル ゴ ー ド的 で あ り, 

上 を特

として平

し て,τyμ

は

な ら τyμ⊥ τy′ μ で あ る.

  す な わ ち 特 定 の ガ ウス 測 度 μ を 平 行 移動 す る ことに よ り,互 い に特 異 な 無 限 個 のE*エ

ル ゴ ー ド的 測 度 が 得 られ る.そ

れ らは 商空間E′/E*の

元 と一 対 一

に 対 応 す る.

  今度 は平 行 移 動τyの か わ りに線 型作 用 素 を考 え よ う.ベ Eへ の 線 型 作用 素Aに   (13.4) 

対 し,そ の随 伴 作 用 素A*をE′

∀ξ∈E

明 ら か にA*は(E′,BE)か

∀x∈E′  ら(E′,BE)へ

ク トル空 間Eか

ら

上 に 考 え る.

A*x(ξ)=x(Aξ). の 可 測 写 像 で あ る.BE上

に よ り 変 換 を 受 け る が,τA*μ と 書 く代 りに*を

の 測 度 μ はA*

省 い て τAμと 書 く こ と に す る.

Gと

し て平 行 移 動 群 を 取 り,定 理13.2の 次 の 注 意 に 言 うGAを

求 め よ う.

 だ か らA*°τy=τA*y°A*, した が っ て τAμはA*(Tμ)準 な る.ま た μがTμ

エ ル ゴ ー ド的 な ら ば,τAμ

  ガ ウ ス 測 度 の 場 合,も な る.こ

の場 合

不 変 と な り,言

しA*(E*)=E*で

い か え れ ばTτAμ ⊃A*(Tμ)と もA*(Tμ)エ

ル ゴ ー ド的 と な る.

あ れ ば τAμはE*エ

τAμ∼ μ ま た は τAμ⊥ μ で あ る が,如

ル ゴ ー ド的 と

何 な る 条 件 の も とに τAμ

∼ μ と な るか が 問 題 で あ る.

  τAμの特 性 関 数 は 

で あ る.な

ぜ な ら(ガ ウ ス 測 度 で な く て

も)一 般 に測 度 μの特 性 関 数 をχ,τAμ の 特 性 関 数 をχAと し て  (13.5)

と な る か ら.   そ れ ゆ え 問 題 を 一 般 化 し て,E上 れ た と き,そ

に二 つ の 内 積(,)お

よ び(,)1が

与えら

れ ぞ れ に 対 応 す る ガ ウ ス 測 度 を μ,μ1と し て μ∼ μ1と な る た め

の 条 件 を 調 べ よ う.   定 理13.4 

E上

の 二 つ の 内 積(,)お

よ び(,)1に

対 し,対

応 す る ガ ウ ス測

度 を μ,μ1と し て,μ ∼ μ1と な る た め の 必 要 十 分 条 件 は 次 の 如 く で あ る. (,)に E*か

関 す る位 相 的 共 役 空 間 をE*と らE*へ

し,EをE*の

中 に 稠 密 に 埋 め 込 む.

の 正 定 値 同 相 線 型 写像Aで,I-Aが

ヒ ル ベ ル ト-シュ

ミッ ト

的 とな る もの を適 当 に取 り   (13.6) 

∀ξ,η∈E 

(ξ,η)1=(Aξ,η)

と書け る.  

こ の 定 理 の 証 明 は し ば ら く保 留 し て,こ け る.AはEか

らEへ

調 べ よ う.A*(E*)⊂E*と と か らAはE上 ∃y∈E*,

の 線 型 写 像 と す る.ま す る と ∀x∈E*,

の 連 続 線 型 写 像 で あ る.ま

x(ξ)=y(Aξ)だ

れ を認 め た上 で先 程 の問 題 を か た づ

か ら,M={ξ;‖

射 と は 限 ら ぬ が)一 対 一 で,A-1は

ずA*(E*)=E*と x(Aξ)は

連 続 で あ る.す

或 る 部 分 空 間 へ の 同 相 線 型 写 像 と な る.逆

ξに つ い て 連 続 と言 う こ

たE*⊂A*(E*)と ξ‖=0}と

な る条 件 を

す る と ∀x∈E*,

してAはE/M上

な わ ちAはE/Mか

は 明 ら か で 結 局 「A*(E*)=E*と

で(全 らそ の な

る た め の 必 要 十 分 条 件 は,AがE/Mか

らそ の或 る部 分 空 間 へ の 同 相 線 型 写

像 と な る こ と で あ る 」.   次 に この 条 件 の も とにτAμ ∼ μ と な る た め の 条 件 を 調 べ よ う.τAμ (Aξ,Aη)に

関 す る ガ ウ ス 測 度 で あ る.EをE*の

義 域 をE*に

ま で 拡 張 す る と,AはE*か

型 写 像 で あ り,A*はMをE*の らE*へ

上 に 同 相 に 写 す.し

な る た め の 必 要 十 分 条 件 は,I-A*Aが で あ る.な

お,A自

中 に 稠 密 に 埋 め こ み,Aの

ら そ の 或 る 部 分 空 間Mへ

の 正 定 値 同 相 線 型 写 像 に な る.よ

は 内積

の 同相線

た が っ てA*AはE*か

っ て 定 理13.4に ヒル ベ ル ト-シュ

よれ ば,τAμ∼

μ と

ミッ ト的 で あ る こ と

身 が 正 定 値 対 称 作 用 素 で あ る 場 合 に は,「I-A2が

ル ト ーシ ュ ミ ッ ト的 で あ る こ と は,I-Aが

定

ヒ ル ベ ル ト-シ

ヒル ベ

ュ ミ ッ ト的 で あ る

こ と と 同 値 で あ る 」 こ と を 注 意 し て お く.   以 上 の こ と を,AがEか

らEへ

の 同 相 線 型 写像 で あ る 場 合 に 限 定 し て 再 記

する と   定 理13.5  てEか

E上

らEへ

の 内 積(,)に

関 す る ガ ウ ス 測 度 を μ と し,こ

の 同 相 線 型 写 像 全 体 の 群 をGと

エ ル ゴ ー ド的 で あ る.ま 的 で あ る 」 よ うなAの

たGの

す る.A∈Gの

元Aで,「I-A*Aが

全 体 をG0と

す る と,AB-1∈G0な

の内積に関 し と き τAμはE*

ヒ ル ベ ル ト-シ ュ ミ ッ ト ら τAμ∼ τBμ, 

な ら τAμ⊥ τBμ で あ る.   す な わ ち 特 定 の ガ ウ ス 測 度 μ を 線 型 写 像 す る こ と に よ り,互 い に 特 異 な 無 限 個 のE*エ

ル ゴ ー ド的 測 度 が 得 ら れ る.そ

れ ら は(定 理13.5の

記 号 で)G0＼Gの

元 と 一 対 一 に 対 応 す る.   な お,平

行 移 動 と 線 型 写 像 を 合 わ せ て 考え る と次 の よ うに な る.x∈E′

し,AはEか あ る.別

らEへ

の 同 相 線 型 写 像 とす る と き,τxτAμ はE*エ

に 同 様 な τyτBμを 考え る と き,x-y∈E*か

ヒ ル ベ ル ト-シ

と

ル ゴ ー ド的 で

つI-(AB-1)*AB-1が

ュ ミ ッ ト的 の 場 合 に はτxτAμ∼τyτBμ で あ り,そ

れ 以 外 の場 合

に はτxτAμ ⊥τyτBμで あ る.

  そ れ で は 定 理13.4の め る.内

積(,)1に

証 明 に 入 ろ う.ま

ず μ∼ μ1と な る た め の 必 要 条 件 を 求

関 す る 位 相 的 共 役 空 間 をE1*と

で あ る か ら,μ ∼ μ1で あ れ ばE*=E1*で

し て,Tμ=E*,Tμ1=E1*

な け れば な ら な い.言

い か え れ ば

(,)に

関 す る連 続 線 型 写 像 は 必 ず(,)1に

の こ と か ら,∃a>0,∃b>0,∀

ξ∈E,‖

関 し て も連 続 で,逆 も成 り立 つ.こ

ξ‖≦a‖ ξ‖1,‖ ξ‖1≦b‖ξ‖ で な く て は な ら

な い.

だか ら,Eか

す る と  Aが

あ っ て(13.6)の

に よ り,AはE*か

ば 必 然 的 にAは か らE*へ

よ うに 書 け る.こ らE*へ

のAを

らE*へ

連 続 的 にE*に

まで 拡 張 す る こ と

の 連 続 写 像 と 考 え て よ い.こ

の と き(13.6)に

正定 値 対称 作 用 素 で, 

の 同 相 写 像 で あ る.よ

の連 続 線 型 写 像

よれ

だ か らAはE*

っ て あ と はI-Aが

ヒル ベ ル ト-シ

ュ ミッ ト

的 で あ る こ と だ け を 示 せ ば よ い.   ま ずI-Aが

コ ン パ ク ト作 用 素 で あ る こ と,す

完 全 規 格 直 交 系 を も ち 固 有 値 は1を そ の た め にLemmaを   Lemma1 

な わ ちAは

固 有 ベ ク トル の

た だ 一 つ の 集 積 値 と す る こ と,を

示 そ う.

二 つ 用 意 す る.

(大 数 の 強 法 則)確

fk(x)(k=1,2,…)の

率 測 度 空 間(X,B,μ)に

お い て,可

測 関 数

分 布 が 互 い に 独 立 な 同 じ 分 布 に 従 う な ら ば,f1∈L2(こ

の と き 必 然 的 に ∀k,fk∈L2と

な る)の 仮 定 の も と に

 (13.7)

が 成 り 立 つ.   こ れ は 確 率 論 の 基 本 定 理 で あ り 証 明 は 略 す.例 1953,§16を

え ば 伊 藤 清 「確 率 論 」(岩 波)

参 照.

  Lemma2 

内 積(,)に関

す る ヒル ベ ル ト空 間Eに別

と き,内

積(,)に

(,)1に

関 し て も 直 交 系 を な す よ うな も の が 存 在 す る.

  証 明   Zornの

補 題 に よ り,(,)に

関 す る 規 格 直 交 系 で(,)1に

積

関 して も

れ が 必 然 的 に 無 限 個 の ベ ク トル か

い かえ れ ば 有 限 個 の ベ ク トル 系 は 決 し て 極 大 で あ り得 な い こ と

を 示 そ う.u1,u2,…,un∈Eを 2,…,n)は2n個

ある

関 す る 規 格 直 交 系 で 無 限 個 の ベ ク ト ル か ら 成 り,内

直 交 系 を な す も の に は 極 大 な も の が あ る.こ ら 成 る こ と,言

の 内 積(,)1が

任 意 に 与 え た と き,(u,uk)=0,(u,uk)1=0(k=1,

の 一 次 方 程 式 系 を な し,し

部 分 空 間に は 解u(≠0)が

存 在 す る.こ

系 で あ り得 な い こ と を 示 し て い る. 

た が っ てEの

れ は{u1,u2,…,un}が

任 意 の2n+1次

元

極 大 な 同時 直 交 (証 明 終)

  さて 定 理 の証 明に 戻 る.有 界 対 称 作 用 素Aに を 用 い よ う.そ れ に よる と,E*の 調 増 加 族Mλ が あ って,Mλ

対 す る スペ ク ト ル 分 解 の理 論

閉 部 分 空 間 の,実 数 を パ ラ メ ー タ とす る単

へ の射 影 をPλ と して

 (13.8)

と書 け る.こ こ で λ<1の

と きMλ が 有 限 次 元,λ>1の

と きMλ ⊥(Mλの 直

交 補 空 間)が 有 限 次 元 とな る こ とを 示 そ う.な ぜ な ら λ<1の が 無 限 次 元 な ら ばLemma (Aui,uj)=λiδijと

2によ

り,∃u1,u2,…,un,…∈Mλ,(ui,uj)=δij,

な る が,ui∈Mλ

よ りλi≦λ

で あ る.ま

上 の 可 測 関 数 とみ て,測 度 μに 関 し て(ui,x)は

れ ゆ えLemma

た(ui,x)を(E′,BE)

互 い に独 立 な分 散1の

 は互 い に独 立 な 分 散1の

分 布 に 従 い,測 度 μ1に関 し て 布 に 従 う.そ

と き も しMλ

1に

ガ ウス

ガ ウス分

より

 (13.9)

 (13.10)

と な る.さ

て μ∼ μ1な

ら ば ∀′(μ)xと ∀′(μ1)xと は 同 じ こ と に な り,

し た が っ て(13.9),(13.10)を

同 時 に み た すx∈E′

が 存 在 す る.と

 だ か ら(13.9)のlimが1で (13.10)のlimは

存 在 し た と し て も ≧1/λ>1と

(13.9),(13.10)を い.対

同 時 に み た すx∈E′

偶 を 言 え ば,μ ∼ μ1な ら ばMλ

な っ て し ま う.言

は 存 在 せ ず,し

と きMλ ⊥は 有 限 次 元 で あ る.

  λ<1の

は 有 限 次 元 な の で,Mλ

上 で はAは

つ(す な わ ち 固 有 ベ ク トル 展 開 で き る).λ→1-0と し てAは

有 ベ ク トル展 開 で き,し が わ か っ た.こ

い かえ

れ ば

た が っ て μ∼ μ1で は な 様

点 ス ペ ク トル の み を も す る と結 局,λ<1に

点 ス ペ ク トル の み を も つ こ と が わ か る.同

は 点 ス ペ ク トル の み を も つ.こ

つ い て は,

は 有 限 次 元 で な く て は な ら な い.同

な 理 由 で λ>1の と きMλ

あ る よ うなxに

こ ろ が

様 に λ>1に

対

対 し て もA

の よ うに し てAは

完全 規 格 直 交 系 に よ っ て 固

か も 固 有 値 の 集 合 は1を

た だ 一 つ の 集 積 値 とす る こ と

の と きI-Aも

固 有 ベ ク トル 展 開 で き,固

だ 一 つ の 集 積 値 と す る か ら,I-Aは

有 値 の 集 合 は0を

コ ン パ ク ト作 用 素 で あ る.

た

  最 後 にI-Aが

ヒ ル ベ ル ト-シ

有 値 を εn(n=1,2,…)と (u1,x),…,(un,x)を (uk,x)は

し,対

ュ ミ ッ ト的 で あ る こ と を 示 そ う.I-Aの

応 す る 固 有 ベ ク ト ル をun∈E*と

す る.

す べ て 可 測 に す る 最 小 の 可 算 加 法 的 集 合 族 をBnと

測 度 μ に 関 し て は 互 い に 独 立 な 分 散1の

し て は 互 い に 独 立 な 分 散1-εkの

固

す る.

ガ ウ ス 分 布 に 従 い,μ1に

ガ ウ ス 分 布 に 従 う.よ

っ てBn上

関

では

 (13.11)

と な る.そ 関 す るL2ノ

れ ゆえμ∼

μ1な ら ば 定 理9.6に

ル ム で コ ー シ ー 的 と な る.す

よ り,(13.11)の

平 方 根 が 測 度 μに

なわち

 (13.12)

で な くて は な ら な い.(13.12)の

左 辺 はm>nと

して

 (13.13)

に ひ と し い.し

た が っ て(13.12)は

 (13.14)

と 同 値 で あ り,

だか ら  (13.15)

と 同 値 で あ る.こ

と 同 値 で あり,し

れ は ま た 

た が っ てI-Aが

ヒ

ル ベ ル ト ーシ ュ ミ ッ ト的 で あ る こ と と 同 値 で あ る.   こ の よ うに し て μ∼ μ1な らI-Aが が わ か っ た が,逆 立 つ の で 定 理9.6に

上 では 

にI-Aが よ り 

ヒ ル ベ ル ト-シ

ヒ ル ベ ル ト-シ

ュ ミ ッ ト的 で あ る こ と

ュ ミ ッ ト的 な らば(13.12)が

を 含 む 最 小 の 可 算 加 法 的 集 合 族 をBと

とな る.す な わ ちB可

測 関 数fが

存 在 して,B上

成 り

し てB

で はdμ1=

fdμ

と な る.い

まBEに

る こ と を 示 せ ば,BE上

お い てdμ2=fdμ で も 

と し て μ2を 定 義 し,μ1=μ2で

で あ る こ と が 導 け る.I-Aの0で

有 値 に 対 応 す る 固 有 ベ ク トル をu1,u2,…,un,… ク トル{υ α}を つ け 加 え てE*の は 一 致 す る の で{uk}の

有 限 一 次 結 合uに

ない 固

と し,こ れ に 固 有 値0の

完 全 規 格 直 交 系 を 作 る.B上

あ

固有 ベ

で は μ1と

μ2

対しては

 (13.16) と な る.ま

た(υ

α,x)は(uk,x)(k=1,2,…)と

を 得 る.こ

う し て{uk,υ α}の 有 限 一 次 結 合uに

こ の 有 限 一 次 結 合 全 体 はE*の 束 す る 列{wn}を

測 度 μに 関 して 独 立 な の で

対 し て も(13.16)が

稠 密 な 部 分 空 間 を な す の で,任

も つ.対 応 し て(wn,x)はL2(μ)で(ξ,x)に

(13.16)と

収

収 束 す る が,必

要 な ら 適 当 に 部 分 列 を 選 ぶ こ と に よ り(wn,x)は(ξ,x)に す る と し て よ い. 

成 り立 つ.

意 の ξ∈Eに

μ に 関 し て概 収 束

な の で も ち ろ ん μ2に 関 し て も概 収 束 す る.す

る と

ル ベ ー グの定 理 よ り

 (13.17)

が わ か る.そ

れ ゆ え 特 性 関 数 と測 度 の 一 対 一対 応 に よ り,μ1=μ2で

あ る. (証 明 終)

  §14  回 転 不 変 測 度 の 一 意 性   定 理13.5で と き,こ

見 た よ うに,E上

の 内 積 に 関 す るEか

の 内 積(,)に らEへ

な る た め の 必 要 十 分 条 件 は,I-A*Aが る.さ

関 す る ガ ウス測 度 を μ とす る

の 同 相 線 型 写 像Aに ヒ ル ベ ル ト-シ

対 し τAμ∼ μ と

ュ ミ ッ ト的 な こ と で あ

ら に τAμ=μ で あ る た め の 条 件 を 調 べ よ う.(13.5)に

よれ ばχA(ξ)=

χ(Aξ)だ か ら測 度 と特性 関 数 の一 対 一 対 応 に よ り,  ‖ξ‖=‖Aξ‖⇔Aは

μ とな るた め の 必 要 十 分 条 件 はAが   Eか

らEへ

の線 型双 射Aが

等 長 写 像,と

な る.す

な わ ち τAμ=

等 長 写 像 な こ とで あ る.

等 長 的 で あ る とき,AをEの

回転 と言 う.

この よ うなAの

全 体 をEの

回転 群 と言 う.す る と「Eの

る ガ ウス 測 度 μ は 回転 不 変 で あ る」.さ ら に 

内積(,)に

関す

を μcと 記 す(す な わ ち

 に 対 応 す る測 度 を μcと す る)と き,μcも 回 転 不 変 な こと は 明 らか で あ る.ま

たE′

の 原 点 に お か れ た デ ィ ラ ック測 度 δ も回 転 不

変 な こ とは 明 らか で あ る.今 後 δ を μ0と 記 す こ とに す る.   こ の §で問 題 に した い のは 上 記 の こ との逆 で あ って,回 転不 変 な 有 界 測 度 は 必 ず{μc;c≧0}の

重 ね 合 わ せ と して 書 け る こ と で あ る.

  定 理14.1 

回転 群 をGと

Eの

し,Gの

遷 的 に 作 用 す る もの を 考 え る(特にG=G0な

部分 群G0でEの ら よい).す

単位球上で 可 なわち

 (14.1)

この と き任 意 のG0不

変 有 界 測 度mは,次

せ と して 書 け る.[0,∞)上

の意 味 で{μc;c≧0}の

重 ね合 わ

の 有 界 ボ レル 測 度 ν が 存 在 して

 (14.2)

  注 意1  この定 理 でEが

無 限 次 元 で あ る こ と(詳 し くは 無 限 個 の ベ クト ルか

ら成 る規 格 直 交 系 が 取 れ る こ と)が 本 質 的 で あ る.Eが

有 限 次 元 の と きは 反 例

が作 れ る.   注 意2 

(14.2)右 辺 の μc(B)がcの

E′×[0,∞)を

可 測 関 数 で あ る こ とを 示 して お こ う.

直 積 可測 空 間 と考 え,μ

 

は 可 測 で あ り,フ

と ν の 直 積 測 度 を 考 え る.写

像

ビニ の定 理 に よ り

 (14.3)

で あ る.と 0∈B),

(14.3)と

=E′(c=0,

こ ろ が  =φ  だ か ら,μ(Φ-1(B)(c))=μc(B)と

な っ て,(14.2)は

同 じ も の に な る.

  な お,(14.2)で

あ ら わ さ れ るmの

特性 関 数 は

  (14.4)

で あ る.逆

にmの

特 性 関 数χ

一 対 一 対 応 に よ りmは(14   ま たG0不

変 性 は(mの

が(14.4)の

形 で 書 け れ ば,測

度 と特 性 関 数 の

.2)の 形 に 書 か れ る 筈 で あ る. 特 性 関 数 をχ

と し て)χ(ξ)=χ(η)が‖

ξ‖=‖η‖

な る 限 り成 り立 つ こ と を 要 請 す る か ら,[0,∞)上

の 適 当 な 連 続 関 数 φ(t)が

存 在 し てχ(ξ)=φ(‖ ξ‖2)と 書 け る こ と に な る.(逆

に こ の 形 のχ

で あ る こ と は 明 ら か で あ る).そ

次 の 形に 書 き か え ら れ る.

  定 理14.2 

E上 に 内 積(,)が

χ(ξ)=φ(‖ ξ‖2)がE上

れ ゆ え 定 理14.1は

あ る と す る.[0,∞)上

がG不

変

の 連 続 関 数 φ(t)で,

で 正 型 に な る よ うな も の は 必 ず

 (14.5)

の 形 を し て い る.   定 理14.2の

証 明 に 先 立 ち,完

  定 義14.1 

[0,∞)上

全 減 少 関 数 の 概 念 を 定 義 す る.

の 関 数 φ(t)に

  (14.6) 

対 し,s≧0と

し て 階 差Δsを

Δsφ(t)=φ(t+s)-φ(t)

に よ り定 義 す る.そ

し て 関 数 φ(t)は

次 の 条 件 を み た す と き,完

全減少関数 で

あ る と 言 う.

 (14.7)

  こ の と き 定 理14.2は   定 理14.3(ベ

ル ン シュ タ イ ン の 定 理)[0,∞)上

減 少 で あ れ ば,適 [0,∞)上

次 の よ うに二 つ の 部 分 に 分 解 さ れ る.

当 な測 度

の関数

ν に よ り(14.5)の

φ(t)が

連続 で完 全

形 に 書 け る.(す

なわ ち φ は

の 連 続 関 数 φ(t)に

対 し,χ(ξ)

の 正 値 測 度 の ラ プ ラ ス 変 換 に な る).

  定 理14.4 

E上

=φ(‖ ξ‖2)がE上   定 理14.4は

の 内 積(,)と[0,∞)上

で 正 型 で あ れ ば φ は 完 全 減 少 で あ る.

さ ら に 二 つ の 部 分 に 分 れ る.す

なわち

  a) χ(ξ)=φ(‖ ξ‖2)が 正 型

⇒ φ(t)≧0,

  b) χ(ξ)=φ(‖ξ‖2)が

正型

⇒-Δsφ(‖ξ‖2)が 正 型

の 二 つ を 示 せ ば よ い.な

ぜ な らb)を

繰 り返 し 適 用 す る こ と に よ り

(-1)nΔs1Δs2… Δsnφ(‖ξ‖2)が正 型 が 導 か れ,し   a)の

た が ってa)よ

り ≧0と

な り,φ

が 完 全 減 少 な こ とが わ か る.

証 明   Eは 無 限 次 元 な の で,任

意 のnに

対 し ベ ク ト ル ξ1,ξ2,…,ξnを

適 当に 取 り(ξi,ξj)=tδijと

で き る.χ

はE上

で正型なので

 (14.8)

で あ り,‖ ξi-ξj‖2=2t(i≠j),=0(i=j)で   (14.9)  を 得 る.よ

あ るか ら

n(n-1)φ(2t)+nφ(0)≧0 っ て φ(2t)≧-φ(0)/(n-1)と

出 て 来 る.t≧0は

任 意 だ か らa)が

  b)  の 証 明   任 意 有 限 個 の 複 素 数

な り,n→

∞

とす る と φ(2t)≧0が

証 明 さ れ た. α1,α2,…,αnと

ベ ク トル ξ1,ξ2,…,ξnに 対

し

 (14.10)

が 成 り立 つ こ と を 示 せば よ い.ξ1,ξ2,…,ξnの る ベ ク トル ξ0を 選 ぶ.そ と し てξi,αiを 補 い,こ

し てn+1≦i≦2nに

対 し,ξi=ξi-n+ξ0,αi=-αi-n

う し て 得 た2n個

あ る と の 条 件 を 書 こ う.そ

であ

い ず れ に も直 交 し 長 さ 

の{αi},{ξi}に

対 し てχ

が正型 で

れは

 (14.11)

と 書 け る が,i,j≦nの

で あ り, 

と き  で あ る か ら(14.11)左

と な る.し

た が っ て(14.10)が

  定 理14.3の

証明

は 例 え ばD.V.

ス トン 大 学 出 版 局)に る も の で,そ

示 さ れ,よ

あ る.フ

Widder:

証 明 さ れ た.(証

"Laplace

れ 自身 興 味 の あ る 定 理 で あ る.こ

リン

の定 理 と対 比 され

こ に 証 明 を 記 し て お こ う.

の 対 応 に よ り,[0,∞)上 の 測 度 と は 一 対 一 に 対 応 す る.よ

明 終)

Transform"(プ

ー リエ 変 換 に 対 す るボホナー

 まず  (0,1]上

っ てb)が

辺は

っ て(14.5)の

か わ りに

の 測 度 と

 (14.12)

を み た す(0,1]上

の測 度ν を見 つ け れ ば よい.

  そ の 証 明 に 入 る前 に,逆 は 容 易に わ か る の で そ れ を注 意 し て お く.す な わ ち (14.12)で 定 まる φ は 連 続 で 完 全 減 少 で あ る.な ぜ な ら連続 性 は 積 分 と極 限 の 可 換 性 に 関 す るル ベ ー グの 定 理 よ り,ま た 完全 減 少 性 は

よ りわ か る.ま

た(14.12)で 

の 対 応 は 一 対 一 で あ る.な

{zt;t≧0}はC([0,1])(=[0,1]上 る か ら,φ(t)を   さ て,φ う.tを

ぜ な ら関 数 族

の 連 続 関 数 全 体)の 稠 密 な 部 分 空 間 を 張

定 め る こ と に よ り測 度 は 一 意 的 に 定 ま る.

が 連 続 か つ 完 全 減 少 と仮 定 し て(14.12)を

整 数 だ け に 限 れ ば,こ

な わ ち 数 列{mn}n=0,1,2,…

み た す ν の存 在 を 示 そ

れ は モ ー メ ン ト問 題 と 呼 ば れ る も の に な る.す

が 与 え られ た と き

 (14.13)

を み た すν

の 存 在 を 問 う問 題 で あ る.(後

区間[0,1]上

の 測 度 と し た.)ま

をみたす正値測度

の 議 論 と の 続 き 具 合 の た め,ν

ず{mn}が

完 全 減 少 数 列 で あ れ ば,(14.13)

ν が 存 在 す る こ と を 示 そ う.測

対 応 に よ りC([0,1])上

は閉

度 と線 型 汎 関 数 との 一対 一

の 正 値 線 型 汎 関 数I(f)で,I(zn)=mnを

み たす も

の の 存 在 を 言 え ば よい.   階 差 数 列 Δmn=mn+1-mnを   (14.14)  を 意 味 す る.も

考 え れ ば,{mn}が ∀l≧0,∀n≧0,(-1)lΔlmn≧0

しI(zn)=mn(n=0,1,2,…)を

(-1)lΔlmn=I(zn(1-z)l)だ   さ て[0,1]上

か ら,当

の 連 続 関 数fは,ワ

 (14.15)

と書 け る.そ れ ゆ えI(f)も  (14.16)

完全 減少 と言 うこ とは

み た す 線 型 汎 関 数Iが 然{mn}は

あ れ ば

完 全 減 少 で な くて は な ら な い.

イ ヤ ス トラ ス の 多 項 式 近 似 定 理 に よ り

とお きた い.け

れ ど(14.16)右 辺 の極 限が 存 在 す る とは 限 らな い の で(結 果 と

し て は 存 在 す る のだ が),(14.16)は

この ま まで はI(f)の

定 義 には な ら な い.

そ こで  (14.17)

と お く.こ

とな る の で

の と き 

線 型 汎 関 数 族{In}n=1,2,…は そ れ をIと

弱 有 界 で あ る.そ

れ ゆ え{In}は

弱 集 積 値 を も ち,

す ると

 (14.18)

と な る.こ

のI(f)は

も ち ろ ん 線 型 で,{mn}が

完全 減 少 数 列 で あ る 限 りI(f)

は 正 値 で あ る.   あ と はI(zn)=mnで

あ る こ と を 言えば

よ い.すなわ

ち

 (14.19)

を 言 え ば よ い.そ

の た め に(14.19)の

と な る が,j>lな であ る.ま

ら 右 辺 の()の

左辺を書 きかえて

中 は0に

な り,l>jな

た

で あ る か ら,以

上 に よ り(14.19)が

証 明 さ れ た.

  こ れ で モ ー メ ン ト問 題 の 解 答 が 得 ら れ た の で,こ を 考え る.と

ら 

に 角tが

れ を 基 に し て(14.12)の

方

整数を取 る限 り

 (14.20)

を み た す[0,1]上 に 定 ま る.同

の測 度ν

様 に して

の 存 在 は わ か っ た.し

か も こ の よ うなνは一

意的

 (14.21)

を み た す 測 度νmが

の 対 応 に よ り νmを[0,1]

あ るが, 

上 の測 度νm′ に 移 せ ば

,とな る.n=km(kは

整 数)に

対 す る 値 だ け を 比 べ る こ と に よ り,こ

ν=νm′ で あ る こ と が わ か る.こ

のとき

うして

 (14.22)

が 示 さ れ た.こ

う し てtが

有 理 数 の と き も(14.12)は

  今度 は有 理 数rをr→0と

み た さ れ る.

考え る こ と に よ り,φ(t)の

連 続性 に よ って

すなわち が 得 ら れ て,こ

の 測 度ν

  あ と は(14.12)の 対 し て(14.12)の

  定 理14.1の   定 理14.5 

は 実 は(0,1]に

両 辺 と もtに

乗 っ て い る.

つ い て 連 続 な こ と か ら,任

成 立 が 保 証 さ れ る. 

(証 明 終)

結 果 と し て 次 の こ とが わ か る. E上に

内 積(,)が

あ る と し,回

転 群Gの

単 位 球 上 で 可 遷 的に 作 用 す る も の を 考 え る.(E′,BE)上 度

意 の 実 数t≧0に

μcはG0エ

ル ゴ ー ド的 で あ る.逆

測 度 は μc(c=0を

含 む)に

  証 明   ま ずμcがG0エ

変 か つG0エ

の 際f(x)は

る とdm=fdμcと

よ り[0,∞)上

こ でEの

測 関 数f(x)

み た す と き,∀′(μc)x,f(x)=constで 有 界 正 値 で あ る と仮 定 して 証 明 で き お い てmはG0不

変有界測度に な る

の 有 界ボ レ ル 測 度 ν が 存 在 し て

  (14.2)

が 成 り立 つ.こ

ガ ウ ス測

ル ゴ ー ド的 有 界

ル ゴ ー ド的 で あ る こ とを 示 そ う.BE可

あ る こ と を 示 せば よ い.こ

か ら 定 理14.1に

の 分 散cの

限 ら れ る.

が,∀U∈G0,∀′(μc)x,f(x)=f(Ux)を

れば 十 分 で あ る.す

にG0不

部 分 群G0でEの

規 格 直 交系{ξk}を

考 えて

 (14.23) と お く と,μ

α(B)=0(α

≠c),=1(α=c)だ

  (14.24) 

で あ る.一

か ら

m(B)=ν({c})

方 

一 点{c}に

よ りm(B)=m(E′)=ν([0,∞))だ

の み 乗 っ て い る .そ

れ ゆえ(14.2)か

か ら,結

局 測 度 νは

ら

∀B∈BE,m(B)=ν({c})μc(B) と な り,∀′(μc)x,f(x)=ν({c})が

得 ら れ て,μcがG0エ

ル ゴ ー ド的 な こ と が

わ か った.   今 度 は(E′,BE)上 と 定 理14.1に

にG0エ

よ り(14.2)を

ル ゴ ー ド的 有 界 測 度mを み たす 測 度

任 意 に 考 え る.す

ν が 存 在 す る が,こ

る

の νに対し

 (14.25)

で あ っ てm1⊥m2で

と お く と,  ゴ ー ド的 な らm1=0ま   (14.26)  と な る.よ

た はm2=0で

れ ゆ えmがG0エ

な くて は な ら な い.し

∀α≧0,ν([0,α])=0ま

ル

たが って

た はν((α,∞))=0

っ てc=sup{α;ν([0,α])=0}と

乗 っ て い る 測 度 とな る.そ

あ る.そ

お く こ とに よ り,ν は 一 点次{c}に

れ ゆえm=ν({c})μcと

な っ て,mは

μcの 定 数 倍 で あ る こ と が わ か っ た. 

ガ ウス測 度 (証 明 終)

  同様 に して,平 行 移 動 に 関 す る準 不 変 性 と組 み 合 わせ る と次 の 結 果 が 得 られ る.(E′,BE)上 条 件 は,(0,∞)上

のG0不

変 有 界 測 度mがE*準

不 変 で あ るた め の 必 要 十 分

の有 界 ボ レル測 度 νが 存在 して

 (14.27)

と 書 け る こ と(す

な わ ち デ ィ ラ ッ ク測 度 の 項 が 落 ち る.デ

準 不 変 で な い か ら)で そ の よ う なmは

あ る.さ

μc(c>0)に

ら にmがE*エ 限 ら れ る.

ィ ラ ッ ク 測 度 はE*

ル ゴ ード 的 で あ る と す れ ば,

  §15  L2(μ)の   Eは

構造

内 積(,)を

も っ た ベ ク トル 空 間 と し,対

測 度 を μ と す る.こ

応 す る(E′,BE)上

の ガ ウス

の § で は μ に 関 す る 二 乗 可 積 分 関 数 空間L2(μ)の

構造

に つ い て 少 し 調 べ て み よ う.   既 に §12で((12.15)式

の後)説

  (15.1) 

対 して

Φξ(x)=x(ξ)

と し て Φξ∈L2を L2の

明 し た よ うに,ξ∈Eに

対 応 さ せ る こ と に よ り,E/Mの

或 る 閉 部 分 空 間H1と

同 型 に な る.同

完 備 化 し た が っ てE*は,

様にして

 (15.2)

で張 られ るL2の

と し て, 

し,n次

同 次 式 の空 間 と呼ぶ こ とに す る. 

前 §で説 明 した よ うにEの え てL2上

回 転Uに

閉 部 分 空間 を 

と記

は 回 転不 変 で あ る.す な わ ち,

対 しそ の 随 伴 作用 素U*をE′

上 に考

で

 (15.3) TUΦ(x)=Φ(U*x) と し てTUを

定 義 す る とTUはL2の

ユ ニ タ リ作 用 素 で あ っ て, 

はTU

の 不 変 空 間 で あ る.

を 

  を 順 次 直 交 化 して 行 く.す な わ ち  の 直 交 補 空 間 をHnと

す る. 

回 転 不 変 な こ とか ら 

と し, 

に おけ る  

は 定数 関 数 の全 体 と す る).各 

も回転 不 変 で あ る.ま

た作 り方 か らHnは

が

互いに直

交 す る が,  (15.4)

と 直 和 の 形 に書 け る.な とn変 Rnに

ぜ な ら 任 意 の Φ(x)∈L2は,適

数 実 関 数 φ に よ り φ(x(ξ1),…,x(ξn))の お い て はn次

で 近 似 で き る.そ

元 ガ ウ ス 測 度 に 関 し て,任 こ でL2の

中 で 

当な

ξ1,ξ2,…,ξn∈E

形 の 関 数 で 近 似 で き る し, 意 の二 乗 可 積 分 関 数 は 多 項 式

は稠 密 で あ り,こ

{Hn}の

直 和に な っ てい る こ とを 意 味 す る.

 Hnの

完 全 規 格 直 交 系 を 具体 的に一 組 求 め よ う.ま

ずH0は

の こ と はL2が

定 数関数全体

だ か ら一 次 元 で,1(x)≡1が てE*の

そ の 基 底 と な る.H1はE*と

完 全 規 格 直 交 系{uα}に

  (15.5) 

たが っ

対 し,

Φα(x)=(uα,x) 

とし て{Φ α}がH1の

同 型 で,し

((12.16)の

意 味 で)

完 全 規 格直 交 系 とな る.

 分 散1の 一 次 元 ガ ウ ス測 度 に 関 し ては,よ 多項 式(の 定 数 倍)が 完全 規 格 直 交 系 をな す.す

く知 られ て い る よ うに エ ル ミー ト なわ ち

 (15.6) 

(=tのn次

式)

が 完 全 規 格 直 交 系 を な す.

と お く こ と に よ り, 

定 数 倍 は 面 倒 な の で気 に し な い こ とにす れ ば,上 記 の こ と よ り  (15.7)

がL2の

完 全 直 交 系 を なす こ とが わ か る.こ の うち 

体 がHnの

をみ たす も の 全

完全 直 交 系 で あ る.す な わ ちHnは

 (15.8)

を 完 全 直 交 系 とす る.(も  定 理15.1 

ξが

ち ろ んn≧1の

ξ∈E,‖ ξ‖=1を

と きHnは

無 限 次 元 で あ る).

動 く と き, 

はHnの

稠密な部

分 空 間 を 張 る.   証 明  Φ(x)∈Hnと

して

 (15.9)

で あ れ ば,Φ(x)=0と

な る こ と を 示 せ ば よ い.Φ(x)∈Hnだ

か ら(15.9)は

 (15.10)

と 同 値 で あ る.そ

こ で ξ1,ξ2,…,ξnを 一 組 固 定 し て 

とお く と き

  (15.11) が 得 ら れ,こ

の 式 が す べ て の{αk}に

で な く て は な ら な い.し   (15.12) 

対 し て 成 り 立 つ の で,(15.11)の

た が っ て 特 に(15.2)のΦξ1,ξ2,…,ξn(x)に 〈Φ,Φ

ξ1,ξ2,…,ξn〉=0

対 し

各 項 が0

と な る か ら  と は 明 ら か で,し Φ∈Hnと

で あ る.Φ ∈Hnだ た が っ て 

を 合 わ す と,Φ=0で

か らm
と き  に Φ∈Hn⊥

と な る こ で あ る.こ

な くて は な ら な い. 

れ と

(証 明 終)

 定 理15.2  L2上 の有 界 作 用 素Aが

回 転 不 変 な らば,Aは

とす る.す なわ ち各Hn上

定 数倍 の 作用 素 とし て あ らわ せ る.

ただ しAが

で は,Aは

回転 不 変 で あ る とは,Eの

  (15.13) 

回転 群 をO(E)と

各Hnを

固有 空 間

記 して

∀U∈O(E),ATU=TUA

が 成 り立 つ こ と で あ る.   証 明   定 数 λnが あ っ て,ξ ∈E,‖ξ‖=1の

限 り

 (15.14)

と な る こ と が わ か れ ば,定 {UEO(E);Uξ=ξ}と に 作 用 す る.一

理15.1に

よ り本 定 理 は 証 明 さ れ た こ と に な る.Oξ=

お け ば,Oξ

はS∩{ξ}⊥(SはEの

単 位 球)上 で 可 遷 的

とお け ば

方, 

 (15.15)

と な る.と

こ ろ が 一 般 に Φ(x)がOξ

で ξを ξ=u0と

不 変 で あ れば,E*の

し て 含 む も の を 考え て,も

完 全 規 格 直 交 系{uα{

し∃ α≠0,nα ≠0で

あれ ば

 (15.16)

と な る.た

だ し α′は α′ ≠0,nα′=0を

限 に た く さ ん あ る か ら,‖Φ‖L2<∞ ら な い.し

た が っ てL2の

な い の は∀ α≠0,nα=0を

み た す も の とす る.こ

と 合 わ す と,(15.16)の

完 全 規 格 直 交 系(15.7)の

う ち,Φ

の よ う な α′は 無

値 は0で

の 展 開 係 数 が0で

み た す も の だ け で あ り,し た が っ て Φ は 

の 一 次 結 合 と し て 書 け る.よ

って

 (15.17)

で あ る.今

度 は ξを 動 か す 回 転 を 考え る と,ATU=TUAよ

な くて は な

り

が 得 ら れ る か ら,cn,ξ,k=cn,Uξ,kで 合 わ せ て,cn,ξ,kは

あ り,UがS上

で 可遷 的 に 作 用 す る こ と と

ξに よ ら な い こ と が わ か る.こ

うし て

 (15.18)

が わ か っ た.   と こ ろ でAが A*,Cn,kを

回 転 不 変 で あ ればA*も

他 の 係 数dn,kで

回 転 不 変 に な る か ら,(15.18)でAを

お き か え た 式 も 成 立 す る.よ

っ て ξ,η∈Sと

して

よ り  (15.19)

が 出 て 来 る.こ

こ で η=ξcosθ+ξ′sinθ,ξ

⊥ ξ′ と す れ ば

が 得 られ,こ れ が す べ て の θに 対 し て成 立 す る の で,m≠nな

らcn,m=dm,n=0

で な くて は な らな い. 

(証 明 終)

  系1  L2の 回転 不 変 閉部 分空 間Mは,幾 わ ち ∀n,Hn⊂Mま

た はHn⊥Mで

つ か のHnの直

あ る.特

和 か ら成 る.す

に{TU}のHnへ

な

の制 限 は既 約

(Hnの 閉 真 部 分 空 間 で 回 転 不 変 な も のは 存 在 しな い)で あ る.   なぜ な ら,Mへ た はP=0と

の 射 影 をPと

し て 定 理15.2を 適 用 す れ ば,Hn上

な る.前 者 の と きHn⊂M,後

  系2 L2の

エ ル ミー ト作 用 素Aが

に 含 まれAは

各Hn上

者 の と きHn⊥Mで

あ る.

回転 不 変 で あ れば,各HnはAの

定義域

では 定 数 倍 の 作用 素 とな る.

  L2を複 素 化 して お い て 作 用 素I-iAを

考 え る と,I-iAは

逆 写 像 は有 界 作 用 素 とな る.よ って 定 理 に よ り(I-iA)-1は あ り,そ れ ゆ えI-iAも,し   系3  {TU}のHnへ

でP=Iま

た が ってAもH上

の制 限 は 回転 群O(E)の

一 対 一 写像 で そ の 各H上

で 定数 倍 で

で定 数 倍 と な る. 既 約 表 現 を与 え るが,そ

れら

は 互 い に異 な る表 現 で あ る.   既 約 な こ とは 系1で 見 た 通 り,ま たHnとHmと てTTU=TUTと

な っ て おれ ば,こ

のTはL2のユニ

の 間 に 等 長 双射Tが

あ っ

タ リ作 用 素 に 拡 張 で き る

か ら,定 理 に 矛 盾す る.す なわ ち{TU￨Hn}と{TU￨Hm}と

は ユ ニ タ リ同値 で

は な い.   こ うし てO(E)の

一 連 の既 約表 現が 得 られ た.

  次 に典 型 的 な 回転 不 変 エ ル ミー ト作 用 素 を 一 つ与 え よ う.そ れ は 有 限 次 元 の 場 合 の ラ プ ラシ ア ン の無 限 次 元 へ の拡 張 で あ る.   n次 元 ユ ー ク リ ッ ド空 間Rn上

の ル ベ ー グ測 度dnxに

は 回転 不 変 エ ル ミー ト作 用 素 で あ る.測

対 し,ラ プ ラ シ ア ン Δn

度 を ル ベ ー グ測 度 か ら ガ ウス測 度 μn

に変 え る と対 応 す る二 乗 可 積分 関 数全 体 は

の 対 応 に よ り同 型 と な る.こ はL2(μn)上

と な る.こ

こ でn→

の と きL2(dnx)に

で はTΔnT-1に

∞

お け る ラ プ ラ シ ア ン 

対 応 す る.そ

とす る とL2(μ)に

れ は 計算 す る と

お い て 

は 殆 ん ど到 る と こ ろ

発 散 す る し,n/2 も もち ろ ん 発 散 す る.そ れ ゆ え これ ら発 散 項 を 除 い て,残 りの 部 分 の 極 限 を 無 限 次 元 ラ プ ラ シ ア ン と 呼 ぼ う.   正 確 に は 次 の よ うに す る.n実 ξnはEの

変 数 の 多 項 式 全 体 をBnと

し,ま

た ξ1,ξ2,…,

規 格 直 交 系 と し て,

 (15.20)

と お く.そ

し て{ξ1,ξ2,…,ξn}がEの

Uξ1,ξ2,…,ξnの 合 併 をUと

有 限規 格 直 交 系 すべ て を動 い た と き の

お く.UはL2(μ)の

稠 密 な 線 型 部 分 空 間 と な る.

  い まF(x)∈Uξ1,ξ2,…,ξnに 対 し て  (15.21)

と お く.こ

こ に￨ti=x(ξi)は(15.21)の

右 辺 を 計 算 し た 後,tiの

を 代 入 す る こ と を 意 味 す る.  (15.20)の よ う な 表 示 の 仕 方 に 無 関 係 に 一 意 的 に 定 ま る こ と,し

と こ ろ にx(ξi) の と き,Δ∞Fが た が っ て Δ∞は

U上 で 矛 盾 な く定 義 され る こ とが 容 易 に 検 証 で き る.ま

た Δ∞はU上

で 回転 不

変 対 称 作 用 素 と な って い る.  さ て よ く知 られ た よ うにHn(t)は

エ ル ミー トの微 分 方 程 式

 (5.22)

を み た す.し

た が っ て(15.8)の

Φ{nα}(x)に 対 し て は

 (15.23)

が 成 り立 ち,し た が ってHnは

Δ∞の 固有 値-nの

固 有空 間 で あ る.

  こ の こ と と系2と を 組 み 合 わ す と,「L2(μ)の すべ て の 回転 不 変 エ ル ミ ー ト 作 用 素 は,無 限 次 元 ラ プ ラ シ ア ンΔ∞に よ って 生 成 さ れ る」 と言 え る.

  最 後 にHnの

同 型 表 現 を 二 通 り与 え よ う.一

て の表 現 で あ り,も

う一 つ はn変

ル空 間 をXと

対 称 テ ン ソル積 と し

数二 乗 可 積分 関 数 と して の表 現 で あ る.

  準 備 の た め まず ベ ク トル 空 間Eの(代 る.Eの(集

つ はE*の

数 的)n重

テ ン ソル積 に つ い て 説 明 す

合 と し て の)n重 直積 を考 え,そ の 各 元 を基 底 と して 作 った ベ ク ト す る.す な わ ち

 (15.24)

  Xの

部 分 空 間 で  お よ び  の 形 の 元 全 体 で 張 ら れ る も の をMと

商 空 間X/Mの (n個)と

こ と を,Eのn重 あ ら わ す.ま

テ ン ソ ル 積 と 言 い 

記 す.そ

して

(ま た は, 

た(x1,x2,…,xn)のcosetを 

と

あ ら わ す.   Eの

基 底 を{eα}α ∈Aと す る と, 

底 と な る.ま

たEnか

φ(x1,x2,…,xn)で 全 体 は, 

ら 他 の ベ ク ト ル 空 間Fへ 各 変 数 に つ い て(他

か らFへ

のn重

が 

の 基

線 型 写 像(す

な わ ち

の 変 数を 止 め た と き)線 型 と な る も の)

の 線 型 写 像 全 体 と,次

の 対 応Tで

同 型 とな る.

  (15.25)   Eか

らEへ

の 線 型 写 像A1,…,Anに

対 し, 

か ら 

へ の線 型 写像

 を次 の よ うに 定 義 す る.  (15.26)

特 にA1=A2=…=An=Aの

と き,こ

  n文 字{1,2,…,n}の よ う に し て 

置 換 全 体(n!個

れ を 

で あ ら わ す.

の 元 か ら 成 る)を〓nと

す る.〓nは

次 の

の 上 に 線 型 写 像 を 定 め る(同 じ 記 号 σ で 記 す).

 (15.27)

明 らか に   

はす べ て の 

と可換 で あ る.

が 次 の条 件 をみ たす とき,zはE上

のn階 対 称 テ ン ソル で あ る と

言 う.   (15.28) n階 対称 テ ン ソル全 体 を  し,   

は 

で あ らわ す.Eか

らEへ

の 線 型 写像Aに

対

の不 変 部 分 空 間 で あ る.

の 基 底 は 次 の よ うに な る.Eの

基 底 を{eα}と し て 

の基 底 は

を作

 であ るが,そ の 各 々を対 称 化 し て  り,こ の 中 で相 異 な る も のが 

の基 底 とな る.こ の対 称 化 が 等 し く な

るた め の必 要 十 分 条 件 は{α1,α2,…,αn}が順 序 を 無 視 して 集 合 と して 同 じに な る こ とで,し た が って 各 αに 対 し αi=α を み た すiの 個 数 が 同 じ こ とで あ る. す な わ ち 

の基 底 は を み た すiがnα

 (15.29) 

個,

に よ り与 え られ る.   Eが 位 相 ベ ク トル 空 間 で あ る と きに は,位 相 的 テ ン ソル積 が 考 え られ る.一 般 に 論 じる のは 面 倒 な の で,こ 明す る.ま ずEの

代 数 的n重

こ で はEが

ヒル ベ ル ト空 間 の場 合 に つ い て説

テ ン ソル 積 

を 作 り,こ れ に 内 積

 (15.30)

を 入 れ る.こ の 内積 に 関 して, 

は 先 ヒル ベ ル ト空 間 に な るが,そ

備化 し て得 られ るヒ ル ベ ル ト空 間 を 同 じ記 号 

で あ らわ す.( 

れ を完 が代数

的 テ ン ソル積 を意 味 す るか,完 備 化 され た ヒル ベ ル ト空 間 を 意 味 す る かは,そ の都 度 こ とわ るか また は前 後 の文 脈 に よ って判 断 す る).

が 

  Eの 完 全 規 格 直 交 系 を{eα}と す る と,  格 直 交 系 と な る.Eか は 

定 ま る 

らEへ

の ユ ニ タ リ作 用 素U1,U2,…,Unに

の ユニ タ リ作 用 素 に な る.ま

対 し,  に 対 し(15.27)で

タ リ作 用 素Uに

も ヒ ル ベ ル ト空 間 で あ る.Eか

対 し 

は 

表 現(Ug,E)の

らEへ

を 不 変 に す る.群Gの

あ る と き, 

は ま たGの

の閉

は 

上 の 線 型 写 像 σ もユ ニ タ リ作 用 素 とな る. 

部 分 空 間 とな るの で, 

Ug,E)が

た 

の完全規

の ユ ニ

ユ ニ タ リ表 現

ユ ニ タ リ表 現 で あ る.こ もGの

テ ン ソ ル 積 と 言 う. 

れを

ユニ タ リ表 現 と

な り,こ れ を テ ン ソル積 の対 称 部 分 と言 う.  

の完 全 規 格 直交 系 は,Eの

完 全 規 格 直 交 系{eα}を 用 い て を み た すiがnα

 (15.31) 

に よ り与 え ら れ る.た

だ しc{nα}は

個,

規 格 化 定数 で

  (15.32)

と な る.

 以 上 を準 備 と してHnの同

型 表 現 を 与 え よ う. は 次 の 対 応Tに

  定 理15.3  ξ∈E,‖ξ‖=1と

よ り(TU,Hn)と

同 型 で あ る.

して

 (15.33)

(cnは 規 格 化 定 数).  証 明   ξが ξ∈E,‖

はHnの

ξ‖=1を

動 く と き,定

稠 密 な 部 分 空 間 を張 る.同

理15.1で

の稠密 な

様 に 

部 分 空 間 を 張 る.念 のた め これ を 証 明 し よ う.  か らz=0を

見 た よ うに 

導 け ば よ い.ξj→u

と し て, 

in E*と

考 え て,ま

ず

 (15.34)

が 導 け る.次

にE*の

完 全 規 格 直 交 系{uα}に 対 し 

と し て(15.34)に 代 入 す れ ば

(有 限 一 次 結 合)

 (15.35)

を 得 る. 

は(15.31)に

与 え た も の で あ る.任

意 の{λ α}に 対 し て(15.35)が

成 立 す る こ とか ら, 

で な くて は な ら ず,ま

の 完 全 規 格 直 交 系 を な す の で,こ

れ よ りz=0が

  さ て 次 に(15.33)に

よ り対 応Tを

た 

は 

出 て 来 る.

定め ると

 (15.36)

の 関 係 に よ り,Tは  射)に な る.こ が,(15.33)の

か らHnへ

う し て 

とHnと

の 線 型 写 像 と し て ユ ニ タ リ(等 長 全 は ヒ ル ベ ル ト空 間 と し て 同 型 で あ る

対 応に よ り

と な るか ら,対 応Tに

よ り 

  な おu∈E*,‖u‖=1に

はTUに

対 し て もTに

に 移 され,こ れ に 

移 され る.  よ り 

(証 明終) は 

を 代 入 してΠ λαnα の 係数 を比 較 す れ

ば  (15.37)

で あ る こ と が わ か る.こ Hnの をTの

う し てTは 

完 全 規 格 直 交 系(15.8)の

間 に 一 対 一 の 対 応 を 与 え て い る.そ

定 義 と 考 え て も よ い が,Tが{uα}の

た め に(15.33)をTの

の 完 全 規 格 直 交 系(15.31)と

選 び 方 に よ らず定 ま る こ と を示 す

定 義 と し た の で あ る.

  次 に 適 当 な 集 合Ω と,Ω る 場 合 を 考 え よ う.(ν

上 の 準 有 界 測 度ν が あ っ てE=L2(Ω,ν)と

な って い

の 定 義 さ れ て い る 可 算 加 法 的 集 合 族Bは,以

下の議論

で 表 立 っ た 役 割 を し な い の で 特 に 記 さ な い).   こ の と き Ω のn重

こ で(15.37)

直 積 集 合 をΩn,ν のn重

 (15.38)

で あ る.た だ し こ の間 の 対応 は

直 積 測 度 を νnと し て

 (15.39)

に よ り与 え る.(Ω,ν)上

の 保 測 変 換V(Ω

上 の 点 変 換 で,可

測 性 も測 度 の 値 も

保 つ よ う な も の)に 対 し,U=TV;f(ω)→f(Vω)はL2(Ω,ν)上 作 用 素 と な る.こ

は(Ωn,

の と き, 

νn)の 保 測 変 換 と な り,(15.39)の る.ま

のユニタ リ

た 

同 型 対 応T0に

に 置 換 

よ り 

はTVnに

を 作 用 さ せ れ ば,T0に

よ って 移 った 結 果

と普通 の意 味 で の

は, 

変 数 の 順 序 変 更 とな る.そ れ ゆ え  うち 対 称 関 数 全 体S(L2(Ωn,νn))に   定 理15.4 

E=L2(Ω,ν)の

はT0に

移 さ れ る.以

場 合,Hnは

分 対 称 関 数 全 体S(L2(Ωn,νn))と

よ り,L2(Ωn,νn)の

上 よ り

次 の 対 応Tに

よ り,n変

同 型 で あ る.f∈E,‖f‖=1と

数二乗可積 して

 (15.40)

 ま た こ の 対 応Tに のTVnに

移 され

移 さ れ る.

よ り,U=TVの

と き,Hn上

のTUは,S(L2(Ωn,νn))上

第3章 

回転 不 変性 と ロー レ ン ツ不 変 性

  §16 球 面上 の 一様 測 度 の射 影 極 限   無 限 次 元 ベ ク トル空 間Eが

内積(,)を

もつ とき,(E′,BE)上

の 回転 不 変

か つ 回転 エ ル ゴ ー ド的 な 有 界測 度 は ガ ウス測 度 μc(c=0を 含 む)に 限 られ る. (定 理14.5).こ

の うち デ ィ ラ ッ ク測 度μ0を

相似変換 

除け ば,μc(c>0)はE′

に よ っ て μ1と 同 一 視 で き る.す

にお け る

な わ ち ∀B∈BE,

 と な っ て い る.

 有 限 次 元 ユ ー ク リッ ド空 間 の場 合 に は,回 転 エ ル ゴー ド的 な有 界 測 度 は デ ィ ラ ック測 度 の他 に は,半 径rの

球 面上 の一 様 測 度 で あ り,こ れ らはx→rx

の 変換 に よ り単位 球 面 上 の一 様 測 度 と同一 視 で き る.   この情 況 か ら考 え て,無 限 次 元 ガ ウス測 度 は 球 面 上 の 一 様測 度 の 次 元 →

∞

の極 限 と して とら え られ る の では な い か と予 想 され る.こ の 予 想 を 実 現 す る こ とが 本 §の 目的 で あ る.  Snをn次

元 単位 球 面 とす る.す なわ ち

 (16.1)

ま た μnはSn上 Bの

の 一 様 確 率 測 度 とす る.(す

曲 面 積 の 定 数 倍 で,μn(Sn)=1と

  m
し て,ω1=ω2=…=ωm+1=0の

な わ ちB⊂Snに

対 し μn(B)は

な る よ うに し た も の). 場 合 を 除 きSnか

らSmへ

の可 測 全

次 の よ うに 定 義 で き る.

 (16.2)

pmnはSn全

体 の 上 で 定 義 され ず 定 義 域 に 除 外 点 が あ る の で,こ れ を形 式上 補

うた め に仮 想 点0nを μnをΩn上

つ け 加 え て Ωn=Sn∪{0n}を

の測 度 と考 え る.そ して

考え,μn({0n})=0と

おいて

 (16.3)

とお く.こ れ でpmnはΩn→Ωmの

可測 全 射 と して 定 義 で きた こ とに な る.

ま た測 度 μnは 無 矛 盾 で あ る.す なわ ち ボ レ ル 集 合B⊂Smに

対 しμm(B)=

μn(pmn-1(B))と な っ てい る.   それ ゆ え 上巻,第2章

で 説 明 した よ うに,{μn}の 射 影 極 限 測 度 が,{Ωn}の

射 影極 限 可測 空 間 の 上 に 作 れ る.((Ωn,Bn)(Bnは

ボ レル 集 合 族)は もち ろ ん 標

準 的 可測 空 間 で あ る).こ の測 度 μ が 適当 な 意 味 でR∞ 一 視 で き る こ とを 以 下 で示 す .

上 の ガ ウ ス測 度 と 同

  まず{Ωn}の 射 影 極 限Ω が どん な もの に な って い るか を 調 べ よ う.Ωnの 元 を ω(n)で あ らわ し て,定 義 よ り の限 り

 (16.4) 

で あ る.明

ら か に(0n)∈Ω

対 し て ω(n)∈Snで

で あ る.こ

れ 以 外 の も の に つ い て は 十 分 大 き なnに と し てn<mの

あ り, 

限 り

 (16.5)

で あ る.す

な わ ちΩ

一に 対 応 す る.言 y=cx(正

限 数 列 の 連 比x1:x2:…:xn:…

い か え れ ば,R∞

が一対

に お い て 同 値 関 係 をx∼y⇔

∃c>0,

定 数 倍 の ベ ク トル を 同 一視 す る)に よ っ て 定 め る と き,Ω-{(0n)}と

(R∞-{0})/∼ り,結

の 各 元 と,無

局Ω

と は 一 対 一 に 対 応 す る.(0n)と0∈R∞ はR∞/∼

と一対 一 に 対 応 す る.す

を 対 応 させ る こ とに よ

な わ ちΩ

は無限次元射影空間

と み な せ る.   R∞

上 の 無 限 次 元 ガ ウ ス 測 度 を,同

た も の をgと

す る と,gは

を 確 か め る に はgをpnに と,す

な わ ちRn+1上

こ とは も と のR∞

値 関 係 ∼ に よ りR∞/∼

上 の測 度 に 写 し

先 に 述 べ た 射 影 極 限 測 度 μ と 一致 し て い る.こ よ りSn上

に 写 せ ばSn上

れ

の 一 様 測 度 が 得 られ る こ

で ガ ウ ス 測 度 が 回 転 不 変 で あ る こ と を 言 え ば よ い.こ

の

上 の 測 度 が 回 転 不 変 で さ え あ れ ば つ ね に 保 証 さ れ る こ と で,

ガ ウ ス 測 度 の 具 体 的 な 形 は 必 要 と し な い.そ

れ で は 面 白 くな い の で,ガ

ウス測

度 の 具 体 的 な 形 が 反 映 す る よ うな も っ と 詳 し い 議 論 を 展 開 し よ う.   そ の た め にΩ

をR∞/∼

当 に 一 点 ず つ 選 び 出 し て,Ω   そ の た め に ω(n)の 第1座

と 同 一 視 す る の で な く,同 値 関 係 ∼ の 同 値 類 か ら 適 をR∞

の 部 分 集合 と み た い.

標 ω1(n)をΩ

上 の 関 数 とみ て

 (16.6)

と な る こ と を 注 意 し よ う.こ

こ で 単 純 にn→

∞

束 す る.そ れ では つ ま ら な い の で   定 理16.1 

の極 限 を 考 え よ う.

はL2(Ω,μ)で

限 関 数X1(ω)を

とす れ ば,ω1(n)は0にL2収

コ ー シ ー 列 を な し,し

た が って 極

も つ.

  証 明   (16.6)よ

で あ るか ら

り 

 (16.7)

と な る こ と を 示 せ ば よ い.n<mと

し て(16.7)の

左辺 は

 (16.8)

に ひ と し い.μmが

回 転 不 変 な こ と か ら,こ

れ は また

 (16.9)

に ひ と し い.こ

こ で 

とお く こ と に

よ り

 (16.10)

と 計 算 さ れ る.(Γ

は ガ ン マ 関 数).と

で あ る か ら,(16.10)の

こ ろ がt→

∞ の と き 漸 近 的 に 

結 果 を(16.9)に

代 入 し て(16.7)が

れ た こ と に な る. 

(証 明 終) はL2(Ω,μ)で

 同 様 に して  っ て 極 限 関 数Xk(ω)を   定 理16.2 

コ ー シ ー 列 を な し,し

たが

も つ.

{Xk(ω)}k=1,2.…

は(Ω,μ)上

で 互 い に 独 立 な 分 散1の

布 に 従 う.   証 明   任 意 のnと

証 明さ

任 意 の λ1,λ2,…,λn∈Rに対

し

ガウ ス分

 (16.11) が 成 り立 つ こ と を 示 せ ば よ い.   一 般 に Φ,Ψ∈L2(Ω,μ)(実

で あ る.よ

数 値 関 数)の と き

っ て Φ→exp(iΦ)の

の こ と と 

写 像 はL2か

がXk(ω)にL2収

らL2へ

の 連 続 写 像 と な る.こ

束 す る こ と と 合 わ せ て,(16.11)の

左

辺は

 (16.12)

に ひ と し い.と

こ ろ が μmは

と し て(16

回 転 不 変 な の で, 

.12)右

辺

は  (16.13)

に ひ と し い.こ

こ で

ω1=cosθ, 

とお くと

 (16.14)

と な

る.と

こ ろ でx∈Rに

対

と な りm>5の ル ベ ー グ の 定 理 に よ りlimは (16.11)の

し,1-x≦e-xだ

限 り 

か

ら,  で あ

積 分 記 号 の 中 に 入 っ て(16.13)は,し

る.よ

っ て

た が っ て

左辺 は

と な る こ と が わ か っ て,(16.11)が

証 明 さ れ た. 

(証 明 終)

  定 理16.3 

kを

止 め てn→

∞

とす る と き, 

は(Ω,μ)に

おいて

概 収 束 す る.   証 明   定 理16.1で

見 た よ う に 

て 適 当 な 部 分 列 がXk(ω)に

はXk(ω)にL2収

束 す る.よ

っ

概 収 束す る.す なわ ち

 (16.15)

ま た 定 理16.2よ

り

 (16.16)  と こ ろで

∀′ ω ∀k,Xk(ω)≠0. ω∈Ω,ω

pnm(ω(m))=ω(n)で

≠(0n)に

対 し∃n0,ω(n0)∈Sn0で

あ る が,n0≦n<mと

して

あ る か ら

 (16.17)

こ れ を(16.15),(16.16)と

合わす と

 (16.18)

が わ か る.そ 16.2よ

こ で 

とな るが,定 理

り

 (16.19)

を得 るの で結 局 

が 殆 ん どす べ て のω ∈Ω に 対 し て成 り

立 つ こ とが わ か った. 

(証 明 終)

  さて

が 存在す る

 (16.20) 

と お け ば 定 理16.3よ

り μ(Ω0)=1で

な 極 限 関 数 をXk(ω)と

お け ば,そ

あ る.Ω0上 れ は 定 理16.1で

のpoint-wise

で 

言 うXk(ω)(=L2極

限)と

殆 ん どす べ て の ω∈Ω0で 一 致 す る.   ま たO={ω

∈Ω0;∀k,Xk(ω)=0}と

μ(Ω0-O)=1で

あ る.今

お く と 明 ら か に μ(O)=0で

あ る か ら,

後Ω0-Oの

こ と を あ ら た め てΩ0と

書 く.

  定 理16.4 

ω∈Ω0に(Xk(ω))∈R∞

を 対 応 さ せ る 写 像 をΦ

と す れ ば,Φ

一 対 一 で,像

は

は

 (16.21)

と な る.   証 明   (16.17)よ

り ω∈Ω0に 対 し て は

  (16.22)

が 成

り立 つ.よ

と な り,し うして

って

ω,ω′∈Ω0,∀k,Xk(ω)=Xk(ω

た が っ て ∀n,ω(n)=ω′(n)と

′)な ら ば,∀k,∀n,ωk(n)=ωk′(n)

な る が,こ

れ は

ω=ω ′ を 意 味 す る.こ

Φ は 一 対 一 で あ る こ と が わ か る.

  次 に(16.22)と,Ω0上

で あ る こ と を 合 わ せ る と,

で 

 (16.23)

で な く て は な ら な い こ とが わ か る.し

た が っ てΦ(Ω0)⊂Sで

(xn)∈Sが

の とき

一 つ 与 え ら れ た と す る.こ

あ る.逆

にx=

 (16.24)

と お い て ω(n)を 定 め る と(た だ し 右 辺 の 分 母 が0の

と き ω(n)=0nと

ら れ た(ω(n))はpnm(ω(m))=ω(n)を

の 列 は 或 る ω∈Ω に 対 応 す

る.そ xkが

し てx=(xn)∈Sだ わ か る.す

み た す の で,こ

か ら 

な わ ち Φ(ω)=xで

と な り,ω

あ る.こ

れ でS⊂

す る),得

∈Ω0,Xk(ω)=

Φ(Ω0)が 示 さ れ た.

(証 明終)   定 理16.5 Ω

に は(Ωn,Bn)の

射 影 極 限 可測 空 間 の構 造 を与 え,R∞に

はR

の直 積 可 測 空 間 の構 造 を与 え,そ れ ぞ れ をΩ0お よびSに

制 限 す る と き,前 定

理 の Φ はΩ0とSと

の測 度 μはS上

の 可 測 同型 写 像 に な る.ま たΩ0上

ガ ウス測 度((l2)の 内 積 か ら定 ま る ガ ウス測 度)gに Φ は(Ω,μ)と(R∞,g)と

写 され る.言 い かえ れ ば,

の測 度 空 間 と して の 同 型 対 応 を 与 え る.(た だ し Φ が

定 義 され て い る のは 測 度1の 集 合Ω0とSの   証 明  μ が ガ ウ ス測 度gに い.よ

の

間 だ け で あ るが).

写 され る こ とは 定 理16.2の 言 いか え にす ぎ な

って Φ が 可 測 同型 写 像 で あ る こ とだ け を 確か め よ う.

  Ω0に おけ る可 測 性 は,ωk(n)を す べ て可 測 にす る 最 小 の も の で あ る が,

  お よ び(16.22)に

よ り,Xk(ω)を

す べ て 可 測 に す る最 小

の もの と言 って も同 じ こ とに な る.こ れ の Φ に よ る像 は,xkを す る最 小 の もの で あ り,そ れ はRの

す べ て可 測 に

直 積 可 測 空 間 の構 造 と同 じ もの で あ る. (証 明終)

  以 上 の よ う な 事 情 で(Ω,μ)と(R∞,g)と

は 同 一 視 で き,そ

の意味で球面上の

一 様 測 度 の 極 限 が 無 限 次 元 ガ ウ ス 測 度 に な る こ と が わ か っ た.同 面 上 の ラ プ ラ シ ア ン,球

関 数 の 次 元→

プ ラ シ ア ン(15.21),お と は 割 愛 す る.(Y.

∞ の 極 限 が,§15で

様 に し て,球

述べた無限次元 ラ

よ び エ ル ミー ト多 項 式 と し て 実 現 で き る が,詳 Umemura

and

spherical

harmonics"

vol.

1 (1966)

pp. 163-186参

& Publ.

N.

Kono,

RIMS

"Infinite

Kyoto

dimensional

Univ.(京

し い こ Laplacian

大 数 理 解 析 研 紀 要)

照).

  §17  回 転 群 の 不 変 測 度   Eを 内積( , )を もつ ベ ク トル 空 間 とす る と き,有 界 な 回転 不 変 測 度 は デ ィ ラ ッ ク測 度 を 除 きEの

上 には 存在 せ ず,代 数 的 共 役 空 間E′ 上 の測 度 とし て初

め て実 現 で きた.同 様 な事 情 を 今 度 は 回 転 群O(E)の

回転 不 変 測 度 につ い て説

明 し よ う.   O(E)上

に,内 積(Uξ,η)=Φ ξ,η(U),ξ∈E,η∈Eを す べ て 可 測 に す る最 小 の

可 算 加 法 的 集 合 族Bを   定理17.1  Eが

考 え る.

可 分 で 無 限 次 元 の と き,(O(E),B)上

の 有 界測 度 μ で 右不

変 な もの も左 不 変 な もの も存 在 しな い.   証 明   (O(E),B)上

の 有 界測 度 μ に つ い て

 (17.1)

とお く.UはE上

で 連 続 だ か ら 完 備 化 さ れ た ヒル ベ ル ト空 間Eの

意 的 に 拡 張 さ れ,(17.1)の

ξ,ηは 共 にEの

っ ηn→η の と き(Uξn,ηn)→(Uξ,η)だ はB-可

元 と し て も意 味 を も つ.(ξn→ ξか か ら,ξ ∈E,η

測 で あ る).

 μ が右不変 であると   (17.2) 

回転に一

∀V∈O(E),φ(ξ,η)=φ(Vξ,η)

∈Eと

し て も(Uξ,η)

で あ りO(E)がEの

単 位 球S上

を 動 い て も一 定 で あ る.こ

で 可 遷 的 に 働 く こ と か ら φ(ξ,η)は ξがS

の 一 定 値 を Ψ(η)と お く.φ(ξ,η)の

続 性 か ら,ξ

がEの

単 位 球Sを

  い まEの

完 全 規 格 直 交 系 を{un}と

ξ に 関す る 連

動 い て も φ(ξ,η)は Ψ(η)に ひ と し い. す る と(μ

を 確 率 測 度 と し て)

 (17.3)

  と ころが Ψ(η)=0な ら右 辺=0,Ψ(η)>0な

ら右 辺=∞

で,い ず れ に し て も

‖η‖2に ひ と し くな る こ とは 不 可 能 で あ る.   同様 に して 左 不 変 測 度 の 非 存 在 も証 明 さ れ る.    な おEが

  U∈O(E)はEか

らEへ

の 線 型 作 用 素 で あ る が,EをE*(=Eの

共 役 空 間)と 同 一 視 す る こ と に よ り,E⊂E′(=Eの る.こ

う し てUはEか

らE′

へ の 線 型 作 用 素 全 体 をL(E,E′)と

  L(E,E′)に

らE′

考 え る.そ

有 界 測 度 を 作 る こ と を 考 え よ う.そ

 

い か え れ ば,Eか

記 し て,O(E)⊂L(E,E′)で ∈E,η∈Eを

あ る.

す べ て可 測 に す る

し て(L(E,E′),B)上

にO(E)不

の た め に ま ずL(E,E′)に

変な

お い て"O(E)-

意 味 を は っ き り定 め ね ば な ら な い.

U∈O(E)はEか

L(E,E′)で

らEへ

あ る.す

で き る.そ はE′

位相 的

代 数 的 共 役 空 間)と み な せ

へ の 線 型 作 用 素 と な る.言

お い て,Φ ξ,η(A)=(Aξ)(η),ξ

最 小 の 可 算 加 法 的 集 合 族Bを

不 変"の

(証 明終)

可分 で な い と きに つ い て は 定 理17.3の 後 で説 明 す る.

な わ ちL(E,E′)の

れ でO(E)-右

か らE′

の 線 型 作 用 素 な の で,A∈L(E,E′)の 元 にO(E)の

の で,Uと(U-1)*と 用 素 と み な せ る.こ

元 を 右 か ら掛 け る こ とは

不 変 性 は 意 味 が 定 ま っ た.ま

へ の 線 型 作 用 素 で あ るが,E上

たUの

随 伴 作 用 素U*

で はU=(U-1)*と

を 同 一 視 す る こ と に よ りUはE′ の 意 味 でL(E,E′)の

と きAU∈

元 にO(E)の

な って い る

か らE′

への線型作

元 を 左 か ら掛 け る こ と

が で き る.   定 理17.2  O(E)-両

(L(E,E′),B)上

の ガ ウ ス 測 度(そ の 意 味 は 証 明 の 中 を 参 照)は

側 不 変 で あ る.

  証 明   Eか

らE′ へ の 線 型 作 用 素Aは(Aξ)(η)=A(ξ,η)の

関 係 に よ りE×

E上 の 双 線 型 関 数 と一 対一 に対 応 し,し た が っ て テ ン ソル 積  数 と一 対 一 に 対応 す る.(§15参

照).言

上 の線 型 関

いか え れ ば

 (17.4)

で あ る.こ

が対応 しているとし

の 同 型 対 応 は,A∈L(E,E′)に 

て  (17.5)

に よ り与 え ら れ る.こ

の と きU∈O(E)と

し て 明 らか に

 (17.6)

と な る.そ

れ ゆえ

 (17.7)

とす る と,L(E,E′)上

それぞれ 

の 測 度 のO(E)-右 上 の 測 度 のO1-不

不 変 性,左

変 性,O2-不

変 性,O3-不

 上 に は 自然 に 内 積 が 定 義 され((15.30)参  上 の ガ ウス測 度 をgと

L(E,E′)上

 今後 

の 測 度 はO(E)-両

  (1) 

の内積 に関す る

変,し

記 し,そ

ころ

た が って 対 応 す る (証 明 終)

れ をL(E,E′)上

の 測度 に 写

み たす 性質 を幾 つか 列記 し よ う.

の 一 次 元 ガ ウ ス 分 布 に 従 う.

(Aξ,η)は 分 散 

分 散‖z‖2の

変 性 に 写 され る.

側 不 変 で あ る. 

表 わ す.gの

上の ガ ウス測 度 とみ て 

なぜ ならgを 

側 不 変 性 は,

不 変 で あ る.と

も と よ りO3不

上 の ガ ウ ス 測 度 をgと

した もの も同 じ記 号gで

照),こ

す る と,gは 

で あ る か らgは

が, 

不 変 性,両

一 次 元 ガ ウ ス 分 布 に 従 う.と

に 対 し,FA(z)は で あ り,

こ ろ が 

  で あ る.   (2)  {ξk}がEの る.{A*ξk}の

中 で 互 い に 直 交 す る と き,{Aξk}の

分 布 も 互 い に 独 立 で あ る.(A*はAの

  な ぜ な ら特 性 関 数 を 考 え て,ηk∈Eと

と積 の形 に な るか ら で あ る.

して

分布は互いに独立であ 随 伴 作 用 素).

 (3)  (Aξ1,η1)と(Aξ2,η2)の

同 時 分 布 を 考え よ う.α ∈R,β

そ れ ゆ え(Aξ1,η1)と(Aξ2,η2)の

∈Rと

同 時 分 布 は 二 次 元 ガ ウ ス 分 布 で,そ

して

の共分散

は(ξ1,ξ2)(η1,η2)で あ る.   特 に‖η‖=1と

し て,(Aξ1,η)と(Aξ2,η)の

を 動 い て も 同 じ 分 布 に な る.そ

こ で(2)の

れ ば 次 の 結 果 を 得 る.{ek}をEの

同 時 分 布 は η がEの 結 果 と 合 わ せ て,大

単 位 球S

数の法則を用い

規 格 直 交 系 とす る と き

for g-almost all A.

 (17.8) 

 す な わ ちAはn次

元 回転 の 

倍 のn→

∞ へ の 極 限 の よ うな 感 じ に な っ

て い る.   (4)  gはO(E)-右

エ ル ゴ ー ド的 で も左 エ ル ゴ ー ド的 で も あ る.

  (17.7)のO1は 

の 単 位 球 上 で 可 遷 的 に 働 か な い か ら,定

うわ け に は 行 か な い.し か し  き,O1の

元 を 適 当 に 取 っ てRを

っ て(4)を

示 す に は 次 のLemmaを

  Lemma

Eを

をg′ と す る.G0は Rに G0-エ

対 し,適

使

の有限次元 部分空 間Rを 勝手に考えた と そ の 直 交 補 空 間 の 中 に 写 す こ とは で き る.よ 証 明 す れ ば よ い.

内 積(  , )を 持 った ベ ク トル 空 間 と し,E′ 回 転 群O(E)の

理14.5を

部 分 群 で,Eの

当 なU∈G0でU(R)⊥Rと

上 の ガ ウス測 度

任意の有限次元部分空 間

で き る も の と す る.こ

の と きgは

ル ゴ ー ド的 で あ る.

 証明 

と し てg(B)=0

or 1を 示 す.

  E′ 上 で{(ξ,x)}ξ ∈Rを す べ て 可 測 に す る最 小 の 可 算 加 法 的 集 合 族 をBRと る と,BEは 

で生 成 され るの で

 (17.9)

 gはG0不

変なので

す

と な り,U*(BR)∈BU-1(R)だ gがBRとBU-1(R)の

か らUをR⊥U-1(R)と

な る よ うに 取 る と,

上 で 独 立 な こ とか ら

し た が っ てg(BR)-g(BR)2<ε

を 得 る.こ

  (17.10) 

れ を(17.9)と

合 わす と

g(B)-g(B)2<2ε

と な り,ε>0は

任 意 だ か らg(B)-g(B)2=0す

な わ ちg(B)=0 or

1で あ る. (証 明 終)

 上 のO3不

変 な 測 度 は ガ ウス 測 度 以外 に もあ るか も知 れ な い が,そ

の 台 に つ い て は 或 る 程 度 の こ と が 言 え る.以   E1はEの

下 こ れ に つ い て 説 明 す る.

部 分 空 間 で 内 積(  , )1が 定 義 さ れ て い る と す る.こ

の 内積 に 関

す る 位 相 的 共 役 空 間 をE1*と

記 す.同

じ よ うな 部 分 空 間 が も う一 つ あ っ た と

し,そ

らE2*へ

の 連 続 な 線 型 作 用 素 全 体 を 

れ をE2と

す る.E1か

と 記 す. 

に お い て{(Aξ)(η)}ξ ∈E1,η ∈E2を す べ て 可 測 に す る 最 小 の

可 算 加 法 的 集 合 族Bを

考 え る.そ

し て 

上の回転不変測度につ

い て 考 え よ う.   Eの

回 転 の うち,E1へ

全 体 をO(E;E1)と らO(E;E1)の

の 制 限 がE1か

を同一視す る

上 の 有 界 測 度 μ で,O(E;E1)右

不 変 か つ

不 変 な も の が デ ィ ラ ッ ク 測 度 以 外 に 存 在 す る た め に は,E1上

( , )が( ,  )1に

関 し てHS的(=ヒ

( , )が(  , )2に 関 し てHS的 位 相 はEの

  証 明   ξ∈E1を B∈BE2と

ル ベ ル ト-シ

ュ ミ ッ ト的)か つE2上

で あ る こ と が 必 要 十 分 で あ る.(た

位 相 よ り強 い こ と を 仮 定 す る.E2に

一 つ 固 定 す る と き,Aξ

μ1(B)=μ({A;Aξ がO(E;E2)左

で

つ い て も 同 様) .

の 分 布 を μ1と 記 そ う.す

な わ ち

∈B})

不 変 で あ る とU∈O(E;E2)に

で

だ しE1上

して

  (17.11)  と お く.μ

の元 に 右 か

元 を 掛 け る こ と も で き る.

  定 理17.3 

で,E1の

上 へ の 同 相写 象 とな る もの

考 え る. 

元 を 掛 け る こ と は 許 さ れ る し,Uと(U-1)*と

こ と に よ り左 か らO(E;E2)の

O(E;E2)左

らE1の

記 し 同 様 にO(E;E2)を

対 し μ1(B)=

μ1(U*(B))と

な る か ら μ1もO(E;E2)不

O(E;E2)はE2∩S上

変 と な る.Eの

で 可 遷 的 に 働 くか ら,定

理14.1に

測 度 で な け れ ば ガ ウ ス 測 度 の 重 ね 合 わ せ と な る.とこ ( , )が(  , )2に 関 し てHS的 し 得 な い.そ こ と は,μ

で な け れ ば,こ

し て す べ て の ξ∈E1に

対 しAξ

単 位 球 をSと

よ り μ1は デ ィ ラ ッ ク ろ が 定 理11.2に

の よ う な μ1はE2*上

ク 測 度 で な い 限 り,(  , )は(  , )2に 関 し てHS的 ∈E2)の

μ2はO(E;E1)不

分 布 を μ2と し て,μ

変 に な る か ら,μ

( , )1に 関 し てHS的

に存在

って μ が デ ィ ラ ッ

で な け れ ば な ら な い.

がO(E;E1)右

不変 であ れ ば

が デ ィ ラ ッ ク 測 度 で な い 限 り,(  , )は

で な け れ ば な ら な い.

 次 に十 分 性 を示 す に は ガ ウス 測 度 を 考 え れ ば よい.テ

ン ソ ル 積 

に

の 内 積 は 

の

( , )1と(  , )2か ら 定 ま る 内 積 を 課 し て 考 え れ ば, 

内 積 に 関 してHS的

で あ る.よ っ て 

上 に 乗 っ て い る.よ

っ て 

を 

よ り,

が デ ィ ラ ック測 度 に 従 うと言 う

自 身 デ ィ ラ ッ ク測 度 で あ る こ と を 意 味 す る.よ

  同 様 にA*ξ(ξ

して

の

上 の ガ ウス 測度 は  が わ か れ ば,ガ

ウス測 度g

上 の測 度 とみ れ る か ら,こ れ が 求 め る回 転 不 変 測 度 とな る. と 言 う こ と は, 

 さて 

で の ノ ル ム を‖ ‖12で 表 わ し て

 (17.12)

と 同 値 で あ り, 

({ei}はE1の,{fj}はE2の

規 格 直 交 系)と し

だか ら

て   (17.13)

と 同 値 で あ る.し

E1か

らE2*へ

のHS作

用 素 で あ る こ とを意 味 す る.E1か

作 用 素 は も ち ろ ん 連 続 作 用 素 だ か ら,HS作

と な っ て,欲

と同値 で あ る.こ れ はAが

た が っ て 

用 素全 体 を 

す る 結 論 が 得 ら れ た. 

  ( , )は(  , )に 関 し て も ち ろ んHS的

で な い か ら, 

と して

上には有 界

可 分 の と き はO(E)は

 の 可 測 集 合 に な る か ら デ ィ ラ ッ ク測 度 はO(E)の 再 度 証 明 さ れ た.Eが

のHS

(証 明 終)

な 回 転 不 変 測 度 は デ ィ ラ ッ ク 測 度 し か な い.Eが

が っ て 定 理17.1が

らE2*へ

上 に は 乗 ら ず,し た

可 分 で な い ヒ ル ベ ル ト空 間 の と き は

O(E)を

含 む 任意 の可 測 集 合 に零 作用 素が 含 まれ,よ

ってO(E)は

測 度 に 関 して 厚 い 集 合 とな る.そ れ で デ ィ ラ ック測 度 のO(E)へ れ,そ れ はO(E)不

変 だ か ら,そ の意 味 でO(E)上

デ ィラ ック の跡 が 考 え ら

に 回 転不 変 な 測 度 が 存 在 す

る.け れ ど これ は 本 質 的 に は デ ィラッ ク測 度 と異 な らな い し,O(E)上 不 変 測 度 とみ る よ り 

上 のデ ィ ラ ッ ク測 度 とみ た 方 が 自然 であ る.

  最 後 に 最 も厄 介 な 問 題 で あ るが, 

上 に(17.7)のO3不

れ 位 た くさん あ るか に つ い て 問 題 に し よ う.O3は  に 働 か な い の で,O3不

の回転

変な測度が ど

の 単 位 球 上 で 可遷 的

変 な有 界測 度 は ガ ウス測 度 以外 にい ろい ろ あ るか も 知

れ な い.そ れ を 数 え 上 げ る こ とは まだ 未 解 決 で あ る.た だ定 理14.1と 類 似 の 形 の 必 要 条 件 が 導 け る し,さ らにO1(ま

た はO2)エ

ル ゴー ド的 で あ る こ とを 要

請 す れ ば ガ ウス 測 度 しか な い こ とは 証 明 で き る.以 下 で は そ の 証 明 を し よ う.   まず 

の 単 位 球 上 でO3の

  定 理17.4 

軌 跡 が ど うな るか を 調 べ よ う. は 必 ず 次 の形 に 書 け る.

任 意 の  ∃{ξi}1≦i≦n;Eの

規 格 直 交 系,∃{ηi}1≦i≦n;Eの

直 交 系

 (17.14)

  他 の 

も(17.14)の

形 に 書 い た と き,適

当 なO3の

元 に よ っ てzが

z′ に 写 さ れ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,{‖ηi‖}1≦i≦nと{‖ηi′‖}1≦i≦n′ が(順 序 を 無 視 し て)集 合 と し て 一 致 す る こ と で あ る.   証 明   Eか

らEへ

の 線 型 作 用 素 全 体 をL(E,E)と

記 す.ξ1,ξ2,ξ3,ξ4∈Eに

対 しTξ1,ξ2,ξ3,ξ4∈L(E,E)を 次 の よ うに 定 め る.  (17.15)

Tξ1,ξ2,ξ3,ξ4はE×E×E×Eか ン ソ ル 積  記 号Tで

らL(E,E)へ

か らL(E,E)へ 表 わ す.一

の 四 重 線 型 写 像 で,し の 線 型 写 像 と み な せ る.こ

方, 

と 

し て 

 (17.15)の

またSzの

形 か ら 

に対 し 

れを同 じ

と は, 

の 対 応 に よ り同 型 と な る.よ す る.そ

たが っ て テ

って両 者 を 同一 視

と お く.

で あ り,し

た が っ てSzは

像 は 明 らか に 有 限次 元 で あ る.よ ってSzの

対 称 作 用 素 で あ る.

固有 ベ ク トルを{ξi}と

し て(固 有 値 が 縮 退 して い る と きは 適 当 に直 交す る よ うに 取 って),規 格 直交 系

{ξi}を 作 る.   (17.16) 

Szξi=λiξi.

の 形 に 書 く と き,{ηi}が

 そ し て{ξi}を 用 い て  と を 確 か め よ う.(17.15)に

直 交系になる こ

よ り

 (17.17) と な り,(17.16)と

と な る か ら, 

合 わ す と(ηk,ηj)=λkδkjで

な くて は な ら な い.す

な わ ち{ηi}は 互 い に直 交 し ‖ηi‖2=λiで あ る.

  逆 にzが(17.14)の

形 で 表 わ さ れ て い る と(17.17)よ

か ら ξiはSzの

りSzξi=‖ ηi‖2ξiと なる

固 有 ベ ク トル で ‖ ηi‖2はそ の 固 有 値 と な る.し

縮 退 し て い な い と き は(17.14)の表示

た が っ てSzが

の 仕 方 は 一 意 的 で あり,縮

退 して い る と

き で も{‖ηi‖}は集 合 と し て 一 意 的 に 定 ま る.   さ てz,z′

が 共 に(17.14)の

形 で 表 わ さ れ て ∀i,‖ηi‖=‖ηi′‖ で あ れ ば

明 ら か に ∃U∈O(E);∀i,Uξi=ξi′

か ら 

と な る.す

な わ ちO3の

  で あ れ ば,(17.15)に た が っ てSz′

か つ ∃V∈O(E);∀i,Vηi=ηi′ 元 に よ っ てzはz′

よ りSz′=USzU-1で

の 固 有 値 の 集 合 とSzの

zを(17.14)の

固 有 値 の 集 合 と は 一致 す る.し

上 の 関 数χ(z)がO3不

に

た が って (証 明 終)

変 で あ る た め の必 要 十 分 条 件 は,

形 に 書 いた ときχ が{‖ηi‖}の関 数 と な る こ とで あ る.す なわ ち 上の 有 界 測 度 μ がO3不

 定 理17.4′  件 は そ の 特 性 関 数χ(z)が ∀n,tn≧0か

に写 る.逆

あ る こ とが わ か り,し

{‖ηi‖}と{‖ηi′ ‖}とは 集 合 と し て 一 致 す る. 

  そ れ ゆ え 

で あ る

次 の 性 質 を み た す こ と で あ る.R∞+0={t=(tn)∈R∞;

つ 有 限 個 のnを

が あ っ てzを(17.14)の

変 で あ る た め の 必 要十 分 条

除 い てtn=0}上

で 定 義 さ れ た 連 続 な 対 称 関 数 φ(t)

形 に書 くとき

  (17.18) χ(z)=φ(‖

η1‖2,…,‖ ηn‖2,0,…)

と な る.   そ こ でχ(z)が(17.18)の

形 を し て い る と き,こ

た め の 条 件 を 調 べ る こ とが 問 題 に な る.必 べ ら れ る.す

れ が 

要 条 件 は 定 理14.2と

上 で 正 型 とな る 類 似 の形 で述

なわ ち

  定 理17.5 R∞+0上

の 連 続 な 対 称 関 数 φ(t)に 対 し,(17.18)で

定 ま るχ(z)

が 

上で 正 型 で あ れ ば,R∞+={s=(sn)∈R∞;∀n,sn≧0}上

度mが

に有 界 対 称 測

一 意 的 に 存 在 して

 (17.19)

と な る.た

だ しstは 

を 意 味 す る.

  定 理14.2と 異 な って これ は 正型 に な るた め の 十 分 条 件 とは 言 え な い.ど れ だ け のmが

対 応 す るχ を 正 型 に す るか は 興 味 あ る問 題 だ が 難 し くて まだ 未 解

決 で あ る.定 理17.5の 証 明 は §14の 議 論 と類 似 の形 で で き る が,そ れ を 実 行 す る前 に 次 の 結 果 を まず 述 べ て お こ う.

  系 

上 のO3不

ガ ウ ス 測 度(デ

た はO2)エ

ル ゴ ー ド的 な 有 界 測 度 は

ィ ラ ッ ク 測 度 を 含 む)に 限 ら れ る.

 証明  ‖ξ‖=1と

変 か つO1(ま

上 の 測 度 μ がO3不 し てAξ

変 か つO2エ

の 分 布 を μ1と す る((17.11)参

な こ とか ら μ1はO(E)-エ

照).μ

ル ゴ ー ド的 で あ り,し

な け れ ば な ら な い(定 理14.5).そ

ル ゴ ー ド的 と す る.ξ ∈E,

で あ る.こ s1=cで

れ ゆ え∃c≧0, 

である す な わ ち 

れ を(17.19)と

な くて は な ら な い.mは

した が

っ て

合 わ せ る と殆 ん どす べ て のsに

対 称 測 度 だ か ら ∀n,∀′s,sn=cで

∀′s,s1=s2=…=sn=…=cと

れ る と 

と な

と な る か ら,μ

ル ゴ ー ド的

た が っ て μ1は ガ ウ ス 測 度 で

だ か ら 

が, 

がO2エ

な る.よ

は 

り,そ

れ を 再

対 し あ り,

び(17.19)に

入

っ て 

上 の ガ ウス測 度 で あ る とわ か る. (証 明終)

 定 義17.1 R∞+0上 φ(t)と

の 関 数 φ(t)に 対 しt0∈R∞+0と

し てΔt0φ(t)=φ(t+t0)-

が 成 り立 つ

お く. 

と き φ はR∞+0上 の 完全 減 少 関 数 で あ る と言 う.   Lemma R∞+0上 なR∞+上

の 連 続 な完 全 減 少 関 数 φ(t)に 対 し,(17.19)を

の有 界 測 度mが

みたす よ う

一 意 的 に 存 在 す る.

  証 明  n変 数 の場 合 の ベ ル ン シ ュ タ イ ンの 定 理(Rn+上

の 完 全 減 少 関 数 とRn+

上 の 有 界測 度 との一 対 一 対 応)は 定 理14.3と 同 様 に 証 明 され る.あ とはR∞+上 に コル モ ゴ ロフ の拡 張 定 理(上 巻,第2章)を

適 用 すれ ば,無 限次 元 の場 合 も べ

ル ン シ ュ タ イ ン の 定 理(本Lemma)が   そ こ で 定 理17.5は   定 理17.6 

成 立 す る こ と が わ か る. 

(証 明 終)

次 の 定 理 に 帰着 さ れ る.

(17.18)で

定 ま るχ(z)が 

上 で 正 型 で あ れ ば,φ(t)は

R∞+0上 で 完 全 減 少 関 数 で あ る.   証 明 に 先 立 っ て 用 語 を 準 備 す る.   定 義17.2 

Eの

規 格 直 交 系{ξi}i=1,2,… を 一 つ 定 め て お く. 

に 関 し て 対 角 型 で あ る と は,こ る.テ

の{ξi}を 用 い て(17.14)の

ン ソ ル の 族{zk}1≦k≦nが{ξi}に

k,k′≦n)が

が{ξi}

形に書け ることであ

関 し て 許 容 的 で あ る と は,zk-zk′(1≦

す べ て 対 角 型 な こ と で あ る.

  定 理17.6の

証 明 

上 の 関 数χ(z)に

  (P)  任 意 有 限 個 の 複 素 数 α1,α2,…,αnお に 対 し,{zk}が

つ い て 次 の 性 質(P)を

考 え よ う.

よ び テ ン ソ ルz1,z2,…, 

許容的な限 り

 (17.20)

上 で 正 型 な らば も ち ろ ん性 質(P)を

 χ(z)が 

  次 の 二 つ の こ と を 証 明 す れ ば,定  (1) χ(z)が

性 質(P)を

理17.6の

も て ば,対

証 明 は 終 る.

応 す る φ(t)≧0, と お く と き,χ(z)が

 (2)  も て ばχ1(z)も  (1)の

もつ.

性 質(P)を

も つ.

証 明  t=(t1,t2,…,tm,0,…)が

与 え られ た

と き, 

と な る よ うに{ηij}を と お く と{zj}は

よ っ て 両 辺 をn(n-1)で

性 質(P)を

許 容 的 で あ る.よ

っ てχ(z)が

選 ぶ.そ 性 質(P)を

し て  も てば

割 りn→ ∞ とす れ ば,φ(t1,t2,…,tm,0,…)≧0が

出て

来 る.   (2)の 証 明   許 容 的 な{zj}に

対 して

 (17.21)

を示 す の が 目的 で あ る.{zj}は そ こ で{ηi,jk}の

許 容 的 だ か ら 

す べ て に 直 交 す る η10,η20,…,ηm0で,こ

の 形 に な る. れ ら も互 い に 直 交 し て

長 さ 

の も の を 選 ぶ.そ

し て 

と お く.

 さ てzj+n=zj+z0,αj+n=-αj(1≦j≦n)と

ら,χ(z)が

性次 質(P)を

し て,{zj}1≦j≦2nは

許 容 的 だ か

も つ こ とに よ り

 (17.22)

と ころが  で あ る か ら,こ

を 得 る.こ

れ は(17.21)に

れ ら を(17.22)に

代入 して

他 な ら な い. 

(証 明 終)

  §18  正 則 表 現   局 所 コン パ ク ト群Gの

右 ハ ー ル測 度 μ に 関 す る二 乗 可 積分 関数 全 体L2(G)

上 に,Rg0:f(g)→f(gg0)で

定 ま る ユニ タ リ表 現 を 考 え る と き,こ れ をGの

右 正 則 表 現 と言 う.特 にGが

コ ンパ ク トの と きはGの

則 表 現 の 中 に 含 まれ る.そ れ でGの

すべての既約表現が正

正 則 表 現 の既 約成 分 を調 べ る と,Gの

主

要 な 既 約 表 現 が 出 て来 る と期 待 され る.   無 限 次 元 回 転 群O(E)上 O(E)を

含 むL(E,E′)上

に は 有 界不 変 測 度 は な い が,前 に 回転 不 変 測 度gが

関 す る二 乗 可 積 分 関 数 全 体L2(L(E,E′))上

作れ た.そ

に 正則 表 現 が 考 え ら れ る.O(E)

の 右 正 則 表 現 は,U∈O(E),A∈L(E,E′),F(A)∈L2と   (18.1) 

§で 見 た よ うに

こで ガ ウ ス測度gに

して

RU:F(A)→F(AU)

に よ り与 え られ る.  さ て 

とみ て, 

(15.7)を 読 み か え れ ば,L2(L(E,E′))の 交 系 を{uα}と

上 の ガ ウ ス 測 度gに 完 全 規 格 直 交 系 は(E*の

し て)

 (18.2)

(cnα βは 規 格 化 定 数) に よ り与 え られ る.{nβ}を  (18.3)

一 つ与 え た と き(た だ し Σnβ<∞)

関 す る 完全規格直

で 張 ら れ るL2(L(E,E′))の のRUで

部 分 空 間 をH{nβ}と

不 変 で あ る.L2(E′)の

す る と,各H{nβ}は(18.1)

直 交 分 解(15.4)に

現 わ れ るHnを

用い て

 (18.4)

と な る.た

だ し 

はnβ≠0を

ソル 積 で あ る.(∀ β,nβ=0の (18.4)の

み た す β(それ は 有 限 個)に つ い て の(有 限)テ ン と き はH{nβ}は

同 型 対 応 は(18.2)のψ{nα

β}に(15.8)(の

せ る こ と に よ り得 ら れ る.{nα}β で あ る.そ

し て(15.3)のTUを

一 次 元(定 数 関 数 の み)で あ る) .

を対応 さ

規 格 化)の 

は β を 固 定 し てnαβ を α の 関 数 とみ た も の 用いて

 (18.5)

と な る.そ

れ ゆ えL2(L(E,E′))に

お け る(TU,Hn)の

お け るO(E)の

の対 称 テ ン ソル部 分 と同 型 で あ

 §15で 見 た よ う に(TU,Hn)は  る.よ

は 

っ て 

変 部 分 空 間 と 同 型 で あ る.一

の 或 る不 方 ∀k,nk=1と

  で あ るか ら,こ 約 成 分 が 含 ま れ て い る.よ   定 理18.1 

右 正 則 表 現 は,L2(E′)に

形 の 表 現 の 有 限 テ ン ソ ル 積 を 寄 せ 集 め た も の に な っ て い る.

した 特 別 の場 合 を考 え る と

の と き に は 

のす べ ての 既

っ て 次 の 結 果 を 得 た.

L2(L(E,E′))に

お け るO(E)の

テ ン ソ ル 積 

右 正則表 現 を 既 約 分 解 す る と,

の す べ て の 既 約 成 分 が 現 わ れ,か

つそ

れ ら 以 外 に は 現 わ れ な い.   そ こ で 

の 既 約 分 解 が ど うな る か が 次 の 問 題 で あ る.こ

次 元 回 転 群 の 場 合 で も な か な か 繁 雑 で あ り,こ 限 次 元 の と き 例 え ばH. 照).た

Weyl,

"The

れは有限

こ に は 一 般 形 を 書 か な い.(有

classical groups"

Princeton,

1946を

参

だ 比 較 的 容 易 に わ か る も の だ け を 拾 い 出 そ う.

  既 に §15で 見 た よ う に,対

称 テ ン ソ ル の 全 体 

の既 約 な 不 変 部 分 空 間 で あ る.そ

は  は,nが 異 な

して 

る と き 同値 で な い.こ れ と 同様 に反 対 称 部 分 が 考 え られ る.す な わ ちn文 字 の 置 換 群 を 

と して

偶置換  (18.6)

奇 置換

をみ た すn階

テ ン ソル を反 対 称 テ ン ソ ル と言 い,そ の全 体 を 

わす.置 換群 

は 

と可 換 だ か ら, 

は 

の不 変 部 分 空 間 で あ る.こ れ が 既 約 で あ る こ と,nが い こ と,如

何 な る 

異なれば互いに同値でな

と も 同 値 で な い こ と は,以

の完 全 規 格 直 交 系 は{uα}のn点

て 証 明 で き る. 

であ ら

下 のよ うに し

集 合{uαk}に 対 し

 (18.7)

に よ り与 え られ る.ξ ∈Eを 動 か さな い 回 転 の全 体 をOξ(E)と 変 な テ ン ソル が な い か ら  い.uα1,…,uαnを

は 

の 元 でO{αk}(E)不

つ 

の こ と か ら 

し て(18.7)はO{αk}(E)

変 なも の は こ れ し か な い.こ

は既 約 で あ る.(定 理15.2の 証 明 と同 様 な 議 論 に

よ る).n<mの

と きn点

集 合{αk}に

対 し 

不 変 な テ ン ソルが ない か ら    n=2の

と同値 で な

動 か さ な い 回 転 の 全 体 をO{αk}(E)と

不 変 で あ り,か

し て,Oξ(E)不

と き は,対

に はO{αk}(E) と 同 値 で な い.

だけで

と 反 対 称 部 分 

称 部 分 

 が 張 られ る.し か しn≧3に 不 変 部 分空 間 が 出 て 来 る.n=3の

な る と これ 以 外 に 

の

ときに そ の様 子 を 見 てみ よ う.

  を 

と 同 一 視 す る. 

だか ら  (18.8)

と 直 和 の 形 に 分 け ら れ る.S12,A12と で あ る.そ

し て 

含 ま れ て い る.し

の不変部 分 空 間

も  はS12に

含 ま れ, 

はA12に

た が って

 (18.9)

とお く と,S′,A′ で あ り,か   E*の

と も不 変 部 分 空 間 と な る.こ

こ で 

つ こ れ ら は 既 約 で あ る こ と を 証 明 し よ う.

完 全 規 格 直 交 系{uα}の

さ な い 回 転 の 全 体O{α1,α2}(E)で

二 点 集 合{uα1,uα2}に 対 し,uα1とuα2を 不 変 でA12に

属 す る テ ン ソ ル は, 

動か

の 一 次 結 合 に な る.さ

と  にuα1を-uα1に,uα2をuα2に

ら

動 か す 回転 に対 して 不 変 な テ ン ソルは

 (18.10)

の 定 数 倍 に 限 られ る.そ れ ゆえ  A″ と す る と, 

で 張 られ る線 型 空 間 を

は 既 約 で あ る.そ

を 示 そ う.

と直 交 し て い る の でA″

 (18.10)のz0は 

さ てz∈A′

こ でA″=A′

∩A″ ⊥ と し てz=0を

⊂A′ は わ か る.

導 こ う.

 (18.11) と す る と きz∈A12よ

りaα αβ=0(α=β

を 含 む),ま

αα2α1α1で あ る が 適 当 に 回 転 を 施 し て 一 般 にaα よ りaα βα=aβ αα=0を

得 る.次

に(18.10)に

た(z,z0)=0よ

りaα1α2α1=

βα=aβααで あ る.こ

お い てuα1の

れ とz∈A12

代 り に 

を用 いる と  (18.12)

で あ る こ と が わ か る.そ

れ ゆ えaα βγ+aγ βα-aβαγ-aβγα=0で な く て は な ら な

い.と

か ら,こ

こ ろ がz∈A12だ

れ はaαβγ+aγβα=0を

因 子 と 第 三 因 子 の 互 換 σ13に 関 しzが

意 味 す る.こ

反 対 称 で あ る こ と を 意 味 し,z∈A12と

で な くて は な ら な い.よ

合 わ せ る と 

れは第一

と 合 わ せ てz=0を

得 る.こ

っ て 仮 定 

が既 約 な こ と

れ で 

が わ か っ た.   一 般 に 群Gの

二 つ の ユ ニ タ リ表 現(Tg,H1)と(Sg,H2)が

約 とす る.H1(≠{0}と LTg=SgLを

す る)か らH2へ

らH1へ

の 一 対 一 連 続 線 型 写 像Lで

み た す も の が あ れ ば(Tg,H1)と(Sg,H2)は

これ を 証 明 す る に は,Lが のLの

らH2へ

な の で∃c>0,LL*=cIで し て い る の で,こ

し てL*も

の{Sg}と あ り,よ

の と きLは

を 掛 け る とL*L=cIが

∀g∈G;

ユ ニ タ リ同 値 で あ る.

等 長 全 射 の 定 数 倍 で あ る こ と を 示 せ ば よ い.H2か

随 伴 作 用 素 をL*と

の でLL*はH2か

あって後 者 は 既

っ てLは

全 射 で あ る.Lは

双 射 と な り,LL*=cIに

得 ら れ て, 

∀g;L*Sg=TgL*を

みたす

可 換 な 作 用 素 と な る.(Sg,H2)は

はH1か

一 対 一 と仮 定

右 か らL,左

らH2の

既約

か らL-1

上へ の 等 長写 像

と わ か る.

 さ て 

か らA′

へ の 射 影 をPと

表 わ し て,P°

σ13は 明 ら か に

 と 可 換 で 像 はA′

の 中 に あ る.そ

わかれ ば 

こ でP° σ13がS′

上 で一 対 一 な こ とが

が 示 され た こ と に な る.z∈S′,P°

とす る と,σ13z⊥A′

σ13z=0

に も 

で あ る が,σ13zは 

に も 直 交 す る の で σ13z∈S′ と な る.よ

っ てz∈S′

∩σ13(S′)で あ る.と

こ

う がz′ ∈σ13(S12)はz′ が 第 二 因 子 と第三 因 子 の 互換 に 関 し て対 称 な こ と と同 値 で あ り,し

で あ る.S′

た が っ て  と 合 わ せ る と 結 局S′ ∩σ13(S′)={0}を

得 る.よ

⊂S12, 

っ てz=0で

あ る.

は い か な る 

 な お 

と も 

と も 同 値 で な い.   n≧4の

の既約分解 

と き も 

る とし て各mに

が わ か って い

の 既 約 分 解 を調 べ る こ とに よ り 

対 し 

の既 約 成 分 が す べ て知 られ る.原 理 的 に は そ うで あ るが 実 際 に はnが 大 き くな る と どん どん繁 雑 に な る.

 §19  ハ ー ル測 度 の射 影 極 限  次 に §16と の 類 推 で,n次

元 回転 群上 の ハ ー ル測 度 の射 影 極 限 とし て,R∞ ∞

(=二 重 数 列全 体 の空 間)上 の ガ ウス 測 度 が 実現 され る こ とを 説 明 し よ う.議 論 の進 め方 は §16と 同様 で あ るが,計 算 はず っ と複 雑 に な る.   直交 座 標 系 を 一 つ 固定 す る と,n次 と同一 視 で き る.す な わ ちn次

元 回 転 群 はn次

正 方 行 列W=(wij)の

直 交 行 列 の全 体O(n) うち

 (19.1)

を み た す も の 全 体 がO(n)で

あ る.O(n)は

行 列 の 積 に 関 し て 群 を な し,Rn2

か ら の 導 入 位 相 に 関 し て コ ン パ ク トで あ る.よ 上 に有 界 な ハ ー ル測 度

μnが 存 在 す る.定

っ てO(n)の

ボ レ ル 集 合 族Bn

数 倍 を 適 当 に 取 っ て μn(O(n))=1

と し て お く.   m
と きO(n)か

らO(m)へ

が 与 え ら れ た と す る.W(n)の m行m列

を 取 っ て で き るm次

の 射 影pmnを

定 義 し よ う.W(n)∈O(n)

行 列 要 素 を(w(n)ij)1≦i,j≦nと し て,そ の 行 列 をPmnW(n)と

す る.

の 始 め の

 (19.2)

次 に(19.2)の き るm次

列 ベ ク トル を 第1列

直 交 行 列 をpmnW(n)と

ッ トの 直 交 化 の 操 作Tmと

か ら順 次 シ ュ ミ ッ トの 直 交 化 を 行 な っ て で す る.す

な わ ちpmnは

上 記pmnと,シ

ュ ミ

の 合 成 で あ る.

  シ ュ ミ ッ トの 直 交 化Tnを

式 で あ ら わ す と次 の よ うに な る.A=(aij)1≦i,j≦n

が 与 え ら れ た と き,TnAは

次 の よ うに 定 ま る.ま

ず

 (19.3)

と お く.そ のl個

し てl≦nに

対 しl次

正 方 行 列Al=(αjk)1≦j,k≦lを

の 列 ベ ク トル が 一 次 独 立 な 限 りAlは

(j,l)成

分 を βjlと し て,Tnは

作 る.Aの

正則 行 列 と な る.Alの

始 め

逆行 列の

次 の よ うに 書 け る.(βll=det￨Al-1￨/det￨Al｜

>0).  (19.4)

な ぜ な ら 第l列 合 で あ り,k
ベ ク トル(bil)1≦i≦nはAの

始 め のl個

の 列 ベ ク トル の 一 次 結

対 し 

であ るか

また 

ら.(Alは   Aが (19.4)に

対 称 行 列 で,し たが って逆 行 列 も対 称 で あ る こ とに注 意).

正 則 行 列 で な くて も 始 め のl個 よ っ て,TnAは

始 め のl個

で な い 場 合 も 含 め て,Tnの

の 列 ベ ク トル が 一 次 独 立 で あ れ ば, の 列 は 定 め ら れ る.そ

像 は 次 のΩnの

こ でAが

中 に あ る.s≦nと

し,n行s列

行 列 で そ の 列 ベ ク トル が 規 格直 交 的 な も の(す な わ ち1≦j,k≦sに が み た さ れ る も の)の 全 体 をO(n,s)と

書 く.そ

正則 行 列 の

対 し(19.1)

して

 (19.5)

と お く.た

だ しO(n,0)は

ま たO(n,n)=O(n)で

仮 想 点 一 点 か ら 成 る 集 合 でO(n,0)={On}と あ る.

  こ う 考 え る とTnの

定 義 域 もn次

行 列 全 体 をM(n,s)と

して

 (19.6)

す る.

正 方 行 列 に 限 る 必 要 が な い,n行s列

の

と お け ば,TnはMnの Tn0n=0nと

上 で 定 義 で き る.(た

し,A∈M(n,s)で

だ が 第s′+1列

あ っ てAの

だ しM(n,0)={0n}).す 始 め のs′(≦s)個

らΩmへ

0mと

と きPmnW(n)はs≧mな

し,W(n)∈O(n,s)の を 取 っ た も の,s<mな 施 し てpmnを

  こ の と きpmnは で あ る.こ

の 写 像 と 考 え ら れ る.す

らW(n)の

始 め のm行

を 取 っ た も の,と

し てそ

定 義 す る の で あ る.

無 矛 盾 系 に な る.す

次 の 事 実 に よ り(19.4)に

な わ ちpmn(0n)=

らW(n)の

始 め のm行

な わ ちm
れ を 確 か め る に は 式(19.4)に

空 間 も 可)でl個

し て そ

定 め る.

  そ うす る とpmnもΩnか

れ にTmを

の列 は 一 次 独 立

を 加 え る と も 早 一 次 独 立 で な い と きTnA∈O(n,s′)と

の 行 列 要 素 を(19.4)で

m列

なわ ち

と きpmn=pmn′°pn′n

よ っ て 計 算 す る の で は 面 倒 す ぎ る が,

よ ら ず 証 明 で き る.「 ヒ ル ベ ル ト空 間(ユ ー ク リ ッ ド

の ベ ク トルu1,u2,…,ulと

二 つ の 閉 部 分 空 間R⊂R′

が ある

と き,{ui}のRへ

の 射 影 の 規 格 直 交 化 は,{ui}をR′

直 交 化 を 更 にRに

射 影 し て 規 格 直 交 化 し た も の と 等 し い 」.な ぜ な らpR′u1,

…

,pR′ulの

規 格 直 交 化 をυ1,υ2,…,υlと

と な る.

し て 

で あ る.pRυ1,…,pRυlの

よ っ て 

て 

に 射 影 し た もの の 規格

規 格 直 交 化 をw1,…,wlと

とな

とな るか ら 

り,{wi}は{pRuk}の

し

規 格 直 交 化 で あ る.(pRu1,…pRu1が

一 次 従 属 の とき は

一 次 独 立 な 始 め の 何 個 か の ベ ク トル に つ い て 同 様 な 議 論 を す る) .   μnはO(n)上

の ハ ー ル 測 度 で あ る が,s
と き μn(O(n,s))=0と

Ωn上 の 測 度 と み な せ る.ΩnをO(n,s)(0≦s≦n)の 集 合 族 をBnと Ωnか

らΩmへ

し,μnはBn上

そ れ に はO(m)の  (19.7) 

直 和 とみ た と きの ボ レル

で 定 義 さ れ て い る と み る.こ

の 可 測 全 射 で あ る こ と は 容 易 に わ か る.よ

は 可 測 空 間 の 射 影 的 列 で あ る.さ

らに{μn}が

ボ レ ル 集 合Bに

して

の と きpmnは

っ て{(Ωn,Bn),pmn}

無 矛 盾 列 で あ る こ とを 示 そ う.

対 し

μn(p-1mn(B))=μm(B)

が 成 り立 つ こ と を 言 え ば よ い.と

こ ろ がU∈O(m)に

 (19.8) 

を 考 え る と,∀V∈O(n),pmn(UV)=Upmn(V)で

Iは(n-m)次

対 し 単 位行 列 あ る.し

た が っ てp-1mn(UB)

=Up-1mn(B)と

な る か ら,μnが

ハ ー ル測 度 で あ る こ と よ り

 (19.9)

を 得 る.よ

っ て(19.7)左

で あ る こ と に な り,ハ

辺 をBの

測 度 とみ た と き,そ

の 測 度 は 左O(m)不

変

ー ル 測 度 の 一 意 性 に よ りそ れ は μmと 一 致 し な け れ ば な

ら な い.   そ れ ゆ え{(Ωn,Bn,μn),pmn}の で き る.こ

のΩ

射 影 極 限 測 度 空 間(Ω,B,μ)を

の 或 る 厚 い 部 分 集 合 をR∞

言 うわ け で あ る.そ

の 前に 次 の こ と を 証 明 し て お く.

  Lemma

お い て,m
O(n)に

ベ ク トル の 分 布 と はk>mな

し てpmn(W(n)の

ら ば 独 立 で あ る.特

分 布 とW(n)の

にm=n-1の

上 の ハ ー ル 測 度 μnはW(n)→(pn-1,n(W(n)),W(n)の 像 に よ り,O(n-1)の 率 測 度mn-1と

ハ ー ル 測 度 μn-1と(n-1)次

第k行

で あ る.よ

記 す.そ

写 像 を φ と 書 く.さ

の一様確

てU∈O(m)に

し てW(n)→ 対 し(19.8)に

φ(UW(n))=(Upm,n(W(n)),x(W(n)))

っ てB⊂Ωm,B′

あ り,μn(φ-1(B×B′))はB′ た が っ てBの

⊂Sn-1と

し てUφ-1(B×B′)=φ-1(U(B)×B′)で

を 止 め てBに

つ い て 左O(m)不

測 度 と み て こ れ は ハ ー ル 測 度 μmの

 (19.11) 

変 と な る.し

定 数 倍 で あ る.

μn(φ-1(B×B′))=m(B′)μm(B). 取 る と μn(φ-1(O(m)×B′))=m(B′)で

→x(W(n))に

よ る μnの 像 測 度,す

あ り,m(B′)はW(n)

な わ ち 球 面Sn-1上

の一 様 確 率 測 度 に な

る. 

(証 明 終)

  m=n-1の

と き,次

写 像 と な り,よ

 (19.12)

ベ ク トル)の 写

定め ると

 (19.10) 

O(n-1)上

と き,O(n)

元 単 位 球Sn-1上

ベ ク ト ル をx(W(n))と

(pmn(W(n)),x(W(n)))の

B=O(m)と

第n行

第k行

の 直 積 に 写 さ れ る.

  証 明   W(n)の

よ りUを

考え る こ とが

∞の 厚 い 部 分 集 合 と同 一視 し よ う と

ペー ジ で 示 す よ うに φ は 厚 い 部 分 集 合 の 上 で 可 測 同 型

っ てLemmaを

用 い る とO(n)上

の 有 界 可 測 関 数g(W(n-1))に

の 可 積 分 関 数f(W(n)),

対 し 次 式 が 成 り立 つ.

  そ こ で φ-1が

ど う な る か を 調 べ よ う.pn-1,nW(n)=W(n-1)と

し て

 (19.13)

の 形 に 書 く と き,Vの に ひ と し い.ま 筈 で あ る.し

たVの

ベ ク トル はW(n)の

始 め の(n-1)行(n-1)列

か しVは

… ,第(n-1)行 す る.た

第n行

直 交 行 列 な の で,こ

は 順 次x,e1,e2,…,en-1の

だ しe1=(1,0,…,0)etc.そ

第n行

ベ ク トルx(W(n))

は 上 三 角 行 列 に な って い る の こ と はVの

第n行,第1行,

規 格 直交 化 に な っ てい る こ とを 意 味

こ で(19.4)と

同様 な 計 算 を 適 用 して 結 局

の とき のとき  (19.14)

の とき の とき

た だ し   (19.15) 

ri2=xi2+xi+12+…+xn2

と わ か る.行 (19.13)は

ベ ク ト ルxを

結 局,xn≠0の

  (19.16) 

与 え た と き(19.14)で

定 ま る 行 列 をV(x)と

と き φ-1(W(n-1),x)=W(n-1)V(x)

を 意 味 す る.そ

れ ゆ え(19.12)第

二 行 は

 (19.17)

と書 け る.特

にf(W(n))=W(n)(行

列 値 関 数)の と き(19.12)は

 (19.18)

と な る.と

こ ろ でV(x)の

行 列 要 素 は(19.14)で

与 え られ るか ら

 (19.19)

と な る.Jiを

計 算 す る に はri+1=risinθ

とお い て

し て

 (19.20)

と な る.こ

れ はnに

も 関 係 す る か らJ(n)iと

と し て,1≦i,j≦n-1に

対 し て は(19.18)よ

記 そ う.す

る とW(n)=(w(n)ij)1≦i,j≦n

り

 (19.21)

を 得 る.一

般 にgがΩm(m
で 定 義 さ れ た 可 測 関 数 の と き も,(19.21)

を 繰 り返 し 適 用 し て,1≦i,j≦mに

対 し

 (19.22)

を 得 る.   以 上 を 準 備 と して §16と 類 似 の議 論 を 一気 に進 め て 行 こ う.   w(n)ijを射 影極 限 測 度 空 間(Ω,B,μ)上 の 関数 とみ て  (19.23)

で あ る.

し た が っ て 

はL2(Ω,B,μ)に

  定 理19.1 

i,jを

固 定 す る と き 

列 を な し,し

た が っ て 或 るXij(ω)∈L2に

収 束 す る.

だか ら

 証明   (19.24)

を 示 せ ば よ い.し

お い て コ ー シ ー

か る に(19.24)の

に ひ と し い か ら(19.22)に

より

左 辺 はm
して

に ひ と し い.と

こ ろ が ガ ン マ 関 数 はt→

る か ら,(19.24)が

∞ の と き 

であ

証 明 さ れ た. 

 な お この 証 明 か ら 

(証 明 終)

の 収 束 の速 さ はjに

は よ るがiに

関 し ては 一

様 で あ る こ と が わ か る.   定 理19.2 

Xij(ω)は(Ω,B,μ)上

で 互 い に 独 立 な 分 散1の

ガ ウス 分 布 に し た

が う.   証 明   任 意 のmと

任 意 のλij∈R(1≦i,j≦m)に

対 し

 (19.25)

が 成 り立 つ こ とを 示 せ ば よい.   がXij(ω)にL2収

に ひ と し い.μnは な い.す

束 す る こ と よ り,(19.25)の

回 転 不 変 だ か ら,第i行

と 第(n-i)行

左辺は

を 取 りかえ て も 変 ら

な わ ち上 式 は

にひ と し い.さ

ら に 

の収 束 の速 さはiに 関 し ては 一 様 であ

った か ら上 式 は

に ひ と し い.と pn-i,n(W(n))の

こ ろ がLemmaで 第(n-i)行

率 測 度 に な る か ら,結

証 明 し た よ う に,(Ωn,μn)に

ベ ク トル の 分 布 は 互 い に 独 立 でSn-i-1上

局(19.25)の

左辺は

 (19.26)

と な る.こ

の 積 分 お よ び 極 限 は(16.13)の

次 で既 に計 算 され て いて

お い て の一 様 確

と な り,(19.25)が   定 理19.3 

証 明 さ れ た. 

i,jを

止 め てn→

∞

(証 明 終) は(Ω,B,μ)に

とす る と き, 

お い

て概 収 束 す る.   証 明   定 理19.1で

見 た よ う に 

当 な部 分 列 がXij(ω)に

はXij(ω)にL2収

束 す る.よ

って 適

概 収 束 す る.す なわ ち

 (19.27) ,また 定 理19

.2よ

り

 (19.28)

で あ る.さ あ る.す

てm
固 定 す る と き,各

な わ ち{w(m)ij}は(w(n)ij}の

る の で あ るが  あ る.n=nk,k→

{Xij(ω)}の

始 め のm行m列

の 始 め のm行m列 ∞

とす る

始 め のm行m列

ω∈Ω に 対 しw(m)ij=(pmnW(n))i,jで を 規格 直 交 化 し て で き

を 規 格直 交 化 して も 同 じ こ とで で あ るか ら 結 局{w(m)ij}は

と 

を 規 格 直 交 化 し た も の と な る.す

(Xij(ω))1≦i,j≦mか ら 出 発 し て(19.3),(19.4)に

な わ ちw(m)ijは

よ っ て 求 め ら れ る.繰

り返 し て

書けば  (19.29) と し てAl(m)=(α(m)ik)1≦j,k≦lを

作 り,Al(m)の

逆 行 列 の(j,l)成

分 を β(m)jlと し て

 (19.30) と な る.と

こ ろ が(19.28)よ

り

 (19.31)

で あ り, 

はm→∞ の ときl次 単 位 行 列 に 収 束 し,し た が ってmAl(m)-1

も 単 位 行 列 に 収 束 す る か らmβ(m)jl→δjlで

あ る.そ

と な っ て,部

はXil(ω)に

分 列 を 取 ら な くて も 

れ ゆ え(19.30)よ

り

概 収 束 す る. (証 明 終)

さて

が存在す る

 (19.32) 

と お け ば 定 理19.3よ

り μ(Ω0)=1で

極 限 関 数 をXij(ω)と

お け ば,そ

ら た め てΩ0と   定 理19.4  一対一で ,像

で 

れ は 定 理19.1で

ん ど す べ て の ω∈Ω0で 一 致 す る.ま 一 次 独 立 で な い}と

あ る.Ω0上

たO={ω

のpoint-wiseな

言 うXij(ω)(=L2極

∈ Ω0;{Xij(ω)}の

お く と 明 ら か に μ(O)=0で

あ る

.今

限)と 殆

列 ベ ク トル が

後Ω0-Oの

こ とを あ

書 く. ω∈Ω0に(Xij(ω))∈R∞

∞を 対 応 さ せ る 写 像 を Φ とす れ ば,Φ

は

は

 (19.33)

と な る.   証 明   ω∈Ω0で あ る と,定 の よ う に 書 か れ る.し =w′(m)ilで あ り,よ る.こ

理19.3で

説 明 し た よ う にw(m)ilは(19.29),(19.30)

た が っ て ∀i,j;Xij(ω)=Xij(ω′)な っ て ∀m,W(m)=W′(m)と

ら ば,∀i,l,m;w(m)il

な る が こ れ は ω=ω′ を 意 味 す

う し て Φ は 一 対 一 で あ る こ と が わ か る.

  次 に(19.30)で 

と 言 う こ と は,{Xij(ω)}の

列 ベ ク トル

が 一 次独 立 と考 え て い る の で  (19.34)

で あ る こ と を 意 味 す る.特 を 意 味 し,よ

にl=1の

と きβ(m)11=1/α(m)11 だ か ら,こ

れ は 

って

 (19.35)

が 出 て 来 る.以 下 数 学 的 帰納 法 でj,k
対 して は

 (19.36)

が 示 さ れ て い る と仮 定 す る.こ が 成 り立 つ こ と で あ る.一 の と き)で あ る.そ

こ でIl=

れ は(19.29)でj,k
し て 

り 

A(m)lA(m)-1l の第l列

を 計 算 す る とk
とき

だ か ら結 局 

が 出 て 来 る.同

様 にIl=A(m)lA(m)-1lの(l,l)要

素を計

算 して

で あ る が,既

に 

な く て は な ら な い.こ

の よ う に し てj,k≦lに

  以 上 に よ り Φ(Ω0)⊂Sで   逆に(xij)∈Sの

対 し て(19.36)が

示 さ れ た.

あ る こ と は わ か っ た.

と き,(xij)の

れ の 始 め のm行m列

列 ベ ク トル は 必 然 的 に 一 次 独 立 で あ る が,こ

を 規 格 直 交 化 し た も の をW(m)=(w(m)ij))と

方 か ら 必 然 的 にpmn(W(n))=W(m)で Ω に 対 応 す る.そ

で

は わ か っ た の で, 

あ り,よ

し て(xij)∈Sの  と な る.す

す る.作

っ て(W(n))n=1,2,…

条 件 よ り(19.31)の

はΩ0か

な わ ち ω∈Ω0,Xij(ω)=xijで

あ る.こ

ス 測 度gに

直 積 可 測 空 間 の 構 造 を 与 え る と き,前

の 可 測 同 型 写像 に な る.ま

写 さ れ る.言

たΩ0上

定理 の Φ

の 測 度 μ はS上

い か え れ ば Φ は(Ω,μ)と(R∞

し て の 同 型 対 応 を 与 え る.(た とSの

う し て

(証 明 終)

R∞ ∞ に はRの

らSへ

は 或 る ω∈

次に 説 明 した よ う に

S⊂ Φ(Ω0)が 示 さ れ た.    定 理19.5 

り

の ガウ

∞,g)と の 測 度 空 間 と

だ し Φ が 定 義 さ れ て い る の は 測 度1の

集 合 Ω0

間 だ け で あ る が).

  証 明   μ が ガ ウ ス 測 度gに

写 さ れ る こ と は 定 理19.2の

言 い か え に す ぎ な い.

よ っ て Φ が 可 測 同 型 写 像 で あ る こ と だ け を 確 か め よ う. だ か らXij(ω)は,B-可

 ま ず Ω0に お い て  逆 にw∈

Ω0で あ る とw(m)ilは(19.29),(19.30)の

Xij(ω)を

す べ て 可 測 に す る 最 小 の 可 算 加 法 的 集 合 族 をB′

B′ で あ る.こ

れ とXij(ω)がB-可

な わ ち 可 測 空 間(Ω0,B∩Ω0)に 最 小 の も の 」 とな る.こ の で あ り,そ

れ はR∞

よ う に 書 か れ る.ゆ

れ のΦに

よ る 像 は,xijを

え に

とす れ ば,B∩Ω0⊂

測 な こ と と 合 わ せ てB∩Ω0=B′ お い てB∩Ω0は

測 で あ る.

を 得 る.す

「Xij(ω)を す べ て 可 測 に す る す べ て 可 測に す る 最 小 の も

∞ の直 積 可 測 空 間 の 構 造 に 他 な ら な い. 

(証 明 終)

  §20  回転 と相 似 変 換 で 不 変 な 測 度   この 章 の 最 後 の 三 つ の §で は,準 有 界 測 度 の射 影極 限 とし て得 られ る不 変 測 度 に つ い て 説 明す る.ま ず この §で は,上 巻,第3章,§17で

述 べ た こ との再

述 お よび続 論 を す る.問 題 はR∞ 上 に 回転 に 関 し て も原 点 に 関 す る相 似 変 換 に 関 して も不 変 な 測 度 を作 る こ とで,そ の よ うな有 界測 度 は決 し て存 在 しな い こ とは容 易に わ か る.そ

こで可 能 性 が あ る のは 準 有 界 測 度 だ け で あ るが,そ の 構

成 お よび或 る範 囲 内 で の一 意 性 に つ い て述 べ る のが 本 § の 目的 で あ る.   比 較 のた め有 限次 元Rnの

場 合 を 考 え る.Rnに

お い て 回転 不 変有 界 測 度 μ

は デ ィ ラ ッ ク測 度 を 除 き,球 面 上 の一 様 測 度 の重 ね 合 わ せ と して 書 け る.す な わち  (20.1)

の形 に 書 け る.た だ しmは

単 位 球 面S上

の 一様確 率 測 度 で あ り,ν は(0,∞)

上 の適 当な 有 界 測 度 で あ る.   今 度 は μ が 準 有 界 な 回転 不 変測 度 とし よ う.準 有 界 と言 う ことは ∃Bk(ボ

 (20.2) 

で あ るが,も

し各Bkが

レ ル 集 合)

殆 ん ど 回転 不 変 な 集 合(す なわ ち任 意 の 回転Uに

対し

 に 選 べ る な らば,ν を準 有 界測 度 とし て μ は や は り(20. 1)の 形 に 書 け る.な

ぜ な ら(20.2)の{Bk}は

お く と, 

互 い に 素 に 選 べ るの で そ うして

で あ るが,μk(B)=μ(B∩Bk)と

お く と きBkが

殆 ん ど 回 転 不 変 な 集 合 で あ れ ば μkは 回 転 不 変 な 有 界 測 度 に な る.よ (0,∞)上

の 有 界 測 度νkを

用 い て(20.1)の

∀′(νk)c;m(S-cBk)=0す と な る.よ

っ てAk={c;m(cBk∩S)=1}と

っ て μkは

形 に 書 け る.μk(Rn-Bk)=0よ

り,

な わ ちm(cBk∩S)=1 お く とνk(Akc)=0で

あ り,{Ak}

は 明 らか に互 い に素 な の で{νk}は 互 いに 特 異 で あ る.し た が って 

は

準 有 界 な 測度 とな り,こ のν と始 め の μ に 対 して(20.1)が 成 り立 つ.   と ころが μ が 準 有 界 な 回転 不 変 測度 で あ る限 りつ ね に(20.2)のBkは

殆ん

ど回転 不 変 な集 合 に 選 べ る.な ぜ な ら μ と 同値 な 有 界 測 度 μ1を 考 え る と, μ1は 回転 準不 変 で あ る.さ ら に

hはO(n)上

 (20.3) 

と お く と μ2は 回 転 不 変 有 界 測 度 で μ1∼μ2で あ る.よ dμ=f(x)dμ2と

書 け る.μ,μ2と

あ り,Bk={x;f(x)≦k}と

お く とBkは

お い て,回

変 な 準 有 界 測 度 は,デ

っ て μ∼ μ2で

も 回 転 不 変 な の でf(x)も

あ り,

殆 ん ど回 転 不 変 で

殆 ん ど 回 転 不 変 で μ(Bk)<∞

  こ う し て 準 有 界 な 回 転 不 変 測 度 は 必 ず(20.1)の こ の こ と よ りRnに

の ハ ール 測 度

で あ る.

形 に 書 け る こ と が わ か っ た.

転 不 変 か つ 原 点 に 関 す る 相 似 変 換 に 関 し て も不

ィ ラ ッ ク測 度 を 除 い て 一 意 的 で あ る こ と が わ か る.な

な ら μ を ま ず(20.1)の

形 に 書 い て お く と,μ(cB)=μ(B)よ

の)相 似 変 換 に 関 し て 不 変 な こ と が わ か り,よ

ぜ

りν が((0,∞)

っ て 

で あ る.

こ う し て μ は 定 数 倍 を 除 い て 一意 的 に 定 ま り  (20.4)

と 書 け る.こ

の μ は ま た ル ベー グ測 度dnxを

用いて

 (20.5)

と も 書 け る.上

巻,§17で

見 た よ うに 

と お く と,((20.5)の

μ

を μnと 書 きか え て){μn}は 無 矛 盾 な 測 度 の列 と な り,そ の 射 影 極 限 測 度 が R∞ の 上 に 作 れ る.そ の 極 限 測 度 を μ と して,μ

がR∞

原点 に 関す る相 似 変 換 に 関 して も不 変 な こ とは 上 巻,§17で

上 で 回転 に 関 し て も

  μ は(20.4)の 形 のn次 mnは

元 測 度 の極 限 で あ り,n次

§16で 見 た よ うにn→

見 た 通 りで あ る.

元 単 位 球 面上 の一 様 測 度

∞ の と き無 限 次 元 ガ ウス測 度 に 収 束 す る の で,

R∞ 上 で(l2)の 内 積 か ら定 ま る ガ ウス測 度 をgと

して

 (20.6)

と 書 け る の で は な い か と予 想 さ れ る.こ Rnへ

の 射 影 を 比 較 し て み よ う.定

れ を 確 か め る た め に(20.6)の

義 よ り

 (20.7)

で あ る.ま  (20.8)

た 右 辺 に つ い て は(α を 除 い て)

両辺の

と 計 算 さ れ る か ら,α=2と   μ の 定 義 空 間 はR∞ トル 空 間 と し,対 と き(20.6)で

し て(20.6)が

示 さ れ た.

と限 定 す る 必 要 は な い.Eを

応 す る ガ ウ ス 測 度gを

与 え ら れ る 測 度 μ は,E′

れ の 張 るn次

(20.8)で

元 空 間 をRと

見 た 通 り,(20.4)(ま

そ の 意 味 で μ は,有

の

有 限 規 格 直 交 系{ek}k=1,2,…,nに 対

し て,μ

た は(20.5))で

限 次 元 測 度(20.4)の

も った ベ ク

上 に 考 え る.こ

上 で 回 転不 変 か つ 原 点 に 関 す る 相似 変

換 に 関 し て も 不 変 な 準 有 界 測 度 で あ る.Eの し,そ

内 積(,)を

代 数 的 共 役 空 間E′

の 

へ の 射 影 μRは

与 え ら れ るn次

元 測 度 と な る.

射 影 極 限 測 度 に な っ て い る.

  次 に μ の 或 る 意 味 で の 一 意 性 に つ い て 述 べ る.   定 理14.1  で 見 た よ うにE′ 上 の 回 転 不 変 有 界 測 度 μ は デ ィ ラ ッ ク測 度 を 除 き  (20.9)

の 形 に 書 け る.μ が 準 有 界な 回転 不 変 測 度 の とき は,E′ は 測 度 有 限 の集 合Bk の 可 算 合併 とし て書 け るが,も

し各Bkが

殆 ん ど回 転不 変 な 集合 に選 べ るな ら

ば,ν を 準 有 界 測 度 と して や は り(20.9)と 表 示 で き る.(有 く同 様 な 議論 に よる).こ

限 次 元 の 場 合 と全

こで μ が 原 点 に 関 す る相 似 変 換 に 関 し て も不 変 とす

る と,(20.9)で 

の 形 に な る こ と が 導 か れ,よ

っ て μは(20.6)

で与 え られ る もの と一 致 す る.こ

うし て 「全 空 間E′ が,殆 ん ど回 転 不 変 な 測

度 有 限 の 集 合 の 可算 合 併 で書 け る」 こ とを 要 請 す れ ば,回 転 に 関 し て も原 点 に 関す る相 似 変 換 に 関 し て も不 変 な測 度 は 定 数 倍 を 除 い て 一 意 的 で あ る.((20.6) の測 度 が こ の要 請 を み た す こ とは,Eの

と お け ば,μ(Bk)<∞

か つ 

規 格 直 交 系{ej}に 対 し

で あ り,Bkは

殆 ん ど回 転 不 変 で

あ るこ と よ りわ か る).   有 限 次元Rnの

場 合,μ が 準 有 界 との仮 定 か ら各Bkが

殆 ん ど回転 不 変 に 選

べ る こ とは 必 然 的 に 出 て来 た.無 限 次 元 の 場 合 は そ うは 行 か な い.後 に §33で 説 明す る よ うに,R∞ で あ る が,ガ

上 の無 限 次 元 ルベ ー グ測 度mは

回転 不 変 な準 有 界 測 度

ウス測 度 とは 特 異 で あ る.特 に有 界数 列 の全 体 を(l∞)と して,

g((l∞))=0,m((l∞)c)=0で

あ る.し た が ってmは

決 し て ガ ウス測 度 の 重 ね

合 わ せ とし て 書 け な い.mは とか ら もmが   mを

ま た平 行 移動 に 関 してR0∞-不 変 で あ り,こ の こ

ガ ウス測 度 の重 ね 合 わ せ と して 書 け な い こ とがわ か る.

用 い て(20.6)と

同 じ よ うに

 (20.10)

と して μ を 定 め る と,μ は 回 転 不 変 か つ 原 点 に 関 す る相 似 変 換 に 関 し て も 不 変 な 準 有 界 測 度 で あ る.こ の μ も平 行 移 動 に 関 してR0∞-不 変 で あり,決 ガ ウス測 度 の重 ね 合 わ せ とし て書 け な い.こ の よ うにR∞

して

では 平 行 移 動 に関 し

て も相 似 変 換 に 関 し て も不 変 な準 有 界 測 度 が存 在 す る わ け で,有 限 次元 の場 合 と比 較 す る と奇 異 な感 じがす るが,平 行 移 動 に つ い て はR0∞-不 変 を要 請 して い るだ け でR0∞

が 可 成 り小 さい 空 間 な の で,こ の よ うな こ とが 起っ ても 不 思

議 で な い.   無 限 次 元 ル ベ ー グ 測 度mお

よ び(20.10)の

μ に つ い て は,§32,§33で

再 述 す る.

 §21 ロー レ ン ツ 不 変 性  §16で 見 た よ うに,n次

元 球 面 上 の一 様測 度 の射 影 極 限 を 考 え て 無 限 次 元 ガ

ウス 測度 が 得 られ た.同 様 な こ とをn次

元 双 曲面 上 の ロー レン ツ不 変 測 度 に

つ い て や ろ うと言 うのが 本 §の目 的 で あ る.   Rn+1に

お い て,次

の よ う な 二 次 形 式 を 考 え る.

 (21.1) 

 

Rn+1上

l(x)=-x02+x12+…+xn2

の 線 型 作 用 素 でl(x)を

ロ ー レ ン ツ 群 と 言 う.線 (1,0,…,0))と で あ り,特

不 変 に す る も の 全 体 をL(n)と

型 作 用 素Jを,Jx=x-2(x,e0)e0(た

し て 定 め る と,l(x)=(x,Jx)だ

にAの

行 列 式 は ±1で

  l(x)=const.(=c)は,c>0な が,L(n)は

だ しe0=

か ら,A∈L(n)⇔A*JA=J

ら 一 葉 双 曲 面,c<0な

は 原 点 一 点 を 除 い て 可 遷 的 に 働 く.

 (21.2) 

元

あ る.

これ ら の 上 で 可 遷 的 に 働 く.c=0の

  ベ ク トルe0はL(n)に

書 き,n次

よっ て Hn2={x∈Rn+1;l(x)=-1}

ら二 葉 双 曲 面 で あ る

と き は 円 錐 に な る が,L(n)

と に 移 り,ベ

ク ト ルen=(0,0,…,0,1)はL(n)に

 (21.3) 

よっ て

Hn1={x∈Rn+1;l(x)=1}

上 に 移 る.L(n)の

元 でenを

不 変に

 と な る.こ

す る も の 全 体 はL(n-1)と

同 型 で,

の こ と とハ ー ル 測 度 の 一 意 性 と か ら,Hn1上

の ロー レン ツ不 変 準 有 界 測 度 μnは 定 数倍 を 除 き一 意 的 で あ る.同 不 変 に す る も の全 体 を 考 え て, 

と な り,Hn2上

様 にe0を

の ロー レン ツ

不 変 準 有 界 測 度 も一 意 的 であ る.   μnを 具 体 的 に 定 め る に は,Rn+1で 用 い る とや りや す い.Rn+1を

二 つ の 半 空 間xn>0お

ぞ れ に お い てx0,x1,…,xn-1,l(x)を

と 書 か れ る.そ

ル ベ ー グ 測 度 が ロ ー レ ン ツ不 変 な こ と を よ びxn<0に

分 け,そ

れ

独 立 変 数 とみ る と ル ベ ー グ 測 度 は

れ で 次 のμnがHn1お

よ びHn2上

で ロ ー レ ン ツ不 変 と な る.

 (21.4)

また は た だ し    k
の 中>0と し,μnか

と 記 す と,xn>0お

な る よ うな 範 囲 で(x0,x1,…,xn-1)は

ら 定 ま る(x0,x1,…,xk)の よ びxn<0か

動 く.

測 度 を 求 め よ う.そ

ら の 寄 与 が あ る の で(21.4)を2倍

し,  (21.5)

た だ し γnはRnの

単 位 球 内 部 で の 

この 漸 化 式 を用 い て結 局  (21.6)

の 積 分 で あ り,

れ を μn,k して 積 分

を 得 る.   以 下 しば ら くHn1の の射 影pnmを

方 だ け に つ い て 考 え る.n<mと

考 え た い.§16の

してHm1か

らHn1へ

球 面 の場 合 との類 推 か ら

 (21.7)

と し た い.し

の 中 ≦0と な る 場 合 も あ る の で,こ

か し 

の ま ま で はpnmの

定 義 域 は 限 られ て し ま う.そ こで仮 想 点 ωnを つ け 加え て  (21.8) 

Ωn=Hn1∪{ωn}

と お き,pnmの

定 義 を 次 の よ うに 補 う.

 (21.9)

Hn1に

ωnを 離 散 的 につ け 加 え た と み て,Ωnは

の μnに 対 し μn({ωn})=∞

と し て,μnをΩn上

  Ωnの ボ レ ル 集 合 族 をBnと 的 列 とな る.そ

可 測 空 間 と な る.そ

の 測 度 とみ な せ る.

し て{(Ωn,Bn),pnm}は

の 射 影 極 限 可 測 空 間 を(Ω,B)と

し て(21.4)

明 らか に 可 測 空 間 の 射 影

す る.次

に{μn}が

無矛盾であ

るか ど う か を 調 べ よ う.   p-1nm(Hn1)(⊂Hm1)に に 対 しpnm(x)の

お い て,(21.5)の

第k座

標 をxk(n)と

測度

μm,nを 考 え よ う.x∈p-1nm(Hn1)

記す と

 (21.10)

と な る.よっ

てxn(n)>0お

こ れ を(21.5)に

よ び<0の

そ れ ぞれ に お い て

代 入 して

 (21.11) と な る.ρ

は0と1の

間 を 変 る か ら,B⊂Hn1に

対 し

を 得 る.こ

れ は

 (21.12)

と して{cnμn}が 無 矛 盾 な 測 度 の 列 とな る こ とを意 味す る.   各nに

対 し Ωn=Hn1∪{ωn}で,μnはHn1上

限 だ か ら上 巻,定 拡 張 で き る.そ が,上

理20.1に

よ り,{cnμn}は,(Ω,B)上

の 拡 張 は 上 巻,(16.5)の

巻,(20.2)に

で 準 有 界,{ωn}上

で本質的無

の可 算 加法 的 測度 μ に

意 味 で のB0の

上 で 一 意 的 で あ る

だ か ら 結 局,μ は 

よ り 

上 で 一 意 的 で あ る.こ

うし て一 意 的 に 定 ま る Ω0へ の 制 限 を あ ら

た め て μ と 書 く.

 ω∈ Ω0の と き,十

分 大 き なnに

標(0≦k≦n)をxk(n)(ω)と た い.そ

対 しpn(ω)∈Hn1で

第k座

が 概 収 束 す る こ とを 証 明 し

書 い て, 

の た め に §16と

あ る が,pn(ω)の

同 様 な 議 論 を 展 開 す る が,今

度 の 場 合xk(n)(ω)は

で 二 乗 可 積 分 で な い の で 議 論 は い く ら か ま わ り く ど くな る.ま

ず

 (21.13)

かつpn-1(An,c)上

と お く と,  有 界 だ か ら,xk(n)(ω)のpn-1(An,c)へ  定 理21.1 

pn-1(An,c)上

  証 明   ま ずk≦nの

の 制 限 は 二 乗 可 積 分 で あ る. はL2収

で 

と き を 考 え る.m,l≧nと

して

が  (21.14)

の とき収 束

を 示 せ ば よ い.  

m≧lと

し て(21.14)の

に ひ と し い が(21.10),(21.11)に

でxk(n)(ω)は

内積は

よ り これ は

束 す る.

Ω0

に ひ と し く,こ

れ は また

に ひ と し い.t→

∞

の と き 

だ か らl→

き 上式 は 

に収 束 し,(21.14)は

  次 にk>nの

場 合 を 考 え る.明

がpk-1(Ak,c)上

でL2収

の と

か ら, 

然pn-1(An,c)で

る. 

もL2収

束す

(証 明 終)

  定 理21.2 

き,k>nに

∞

示 さ れ た.

ら か にp-1nk(An,c)⊂Ak,cだ

束 す る こ と か ら,当

∞,m→

pn-1(An,c)に

対 しXk(ω)は

お い て 

のL2極

限 をXk(ω)と

す る と

分 散1の 互 い に 独 立 な ガ ウス 分 布 に従 う.

 証 明   特 性 関 数 を 考え る.  (21.15)

これ に(21.5)を

た だ しN≧nと

代 入 し て 

と お く と,(21.6),(21.12)も

考 慮 し て

して

 (21.16) ま た 実 数rに

対 し(1+r)+=Max(1+r,0)と

が 成 り立つ こ と と,  (極 限 と積 分 の 可 換 性)に よ り(21.15)は

す る.こ

の と き(1+r)+≦exp

と か ら,ル

r

ベ ー グの 定 理

に ひ と し い.し ∈RN+1に

た が っ て 特 性 関 数 と測 度 の 一対 一 対 応 に よ り,ω

よ り μ か らRN+1の

→(Xk(ω))

上 に 定 ま る測 度 は

 (21.17)

と わ か る.特

にk>nに

対 し て は(21.16)に

に 変 り得 る の で,{Xk(ω)}は

分 散1の

よ りtkは-∞

か ら ∞ まで 自 由

互 いに 独 立 な ガ ウ ス 分 布 に 従 う こ とが わ

か る.

(確 率 測 度 で は な い が,ガ

  定 理21.3 

ウス分 布 の語 を 流 用 す る). 

は 概 収 束 す る.こ

pn-1(An,c)で 

に 対 し て成 り立 つ の で,結 局 

束 す る の で,そ

よ り,殆

れ が す べ て のn,c

は Ω0で 概 収 束 す る.

 証 明  定 理21.1で わ かっ た よ うに,  L2収

(証 明終)

はpn-1(An,c)でXk(ω)に

の 適 当 な 部 分 列 はXk(ω)に

ん どす べ て の ω∈pn-1(An,c)に

概 収 束 す る.一

方 定 理21.2に

対 し

 (21.18) が 成 り 立 つ.さ

だ か ら,lを

て,ω

∈pn-1(An,c)に

止 め てmを(適

対 し,n≦l≦mと

当 な部 分 列 を取っ て)→

し て(21.7)に

よ り

∞ とし て や る と

 (21.19) とわ か る.よっ

て(21.18)に

列 を 選 ぶ 必 要 な く 

 こ う し て 

はXk(ω)に概

収 束 す る. 

は Ω0で 概 収 束 す る こ と が わ かっ た.そ

な 極 限 関 数 をXk(ω)と た 先 のXk(ω)と

を 得 て,部

よ り 

記 す と,そ

れ は 各pn-1(An,c)上

でL2極

分

(証 明 終)

のpoint-wise 限 とし て定 め

殆 ん ど到 る と こ ろ 一 致 す る.

が 収 束 し,極 限 関数Xk(ω)は

 (21.20) 

べ て は0で

ない

す

と す る と,μ(Ω0-Ω0′)=0で

あ り,ω ∈ Ω0′に 対 し て は(21.19)が

た が っ てΦ:Ω0′ ∋ ω→(Xk(ω))∈R∞  (21.19)の

の 対応 は 一 対 一 で あ る.

を 掛 け てl→

右 辺 に 

成 り 立つ.し

∞

と す る と,Φ(Ω0′)⊂Sが

わ か る.た

だ

し  (21.21)

  逆 に(tn)∈Sの

と き, 

るnに

す

つ い て)と

pnm(x(m))=x(n)と

る

( の 中<0と

と,明

ら か にx(n)=(x0(n),x1(n),…,xn(n))∈Hn1で,

な る.よっ

よ り 

て(x(n))は で あ り,こ

よっ てS⊂

な

Ω0の れ は

一点

ω を 定 め

る.(tn)∈S

ω∈ Ω0′,Φ(ω)=(tn)を

意 味 す る.

Φ(Ω0′)を得 る.

  (Xk(ω))の

分 布 はpn-1(An,c)上

測 度exp(-X02(ω))μ  のBn,cへ

で は(21.17)で

のpn-1(An,c)へ

与 え ら れ る.よっ

の 制 限 は,Φ

の 制 限 に 移 る.た

だ しgは(l2)の

て Ω0上 の

に よっ てR∞

上 の測 度

内 積 か ら定 ま る ガ ウス測

度 で,

で あ る.こ

こ でn,cを

あ り,こ の 集 合 はR∞ exp(-X02(ω))μ

で

変 え る と 

の中 でgに

関 して 厚 い 集 合 だ か ら,結 局 Ω0上 の 測度

か ら 定 ま るR∞上の

測 度 は 

ば Φ に よ って Ω0上 の 測 度 μ はR∞

と わ か る.言

いかえれ

に 移 る.し

上 の 測 度 

た

が って   定 理21.4  る.R∞

をR1の

Φ:ω →(Xk(ω))の

対 応 は Ω0′とSと

直 積 可 測 空 間,Sを

の 間 の 可 測 同 型 写像

で あ り,Ω0上

 に 移 る.(gは

の一 対 一 対 応 を 与 え

そ の 部 分 空 間 とみ た と き,Φ の 測 度 μ は Φ に よ りR∞

ガ ウ ス 測 度).言

い かえれ

は Ω0′とS 上 の 測 度

ば Φ は(Ω0,μ)と

 の間 の測 度 空 間 と して の 同 型対 応 で あ る.(た だ し Φ が 定 義 され て い る のは,そ れ ぞれ 厚 い集 合 Ω0′とSの

間 だ け で あ る が).

 こ う して 一葉 双 曲 面 上 の ロ ー レ ン ツ不 変 測 度 の 射 影 極 限 と し て,R∞

上に

exp(t02)gと

言 う測 度 が 得 ら れ た.こ

に 考 え る こ と が で き る の で,そ   Eを

内 積(,)を

上 で な く て も,もっ

の 線 型 作 用 素Jを,Jξ=ξ-2(ξ,e0)e0に

書 き,Eの

有 限 次 元 空 間R(た て,Rに

だ しR上

ではA,Rの

  Hc={ξ

双 曲 面 で,そ

お く と,c>0な

れ ぞ れ の 上 でL(E)は

含む

線 型 作用 素Aを,

して 定 め る とA∈L(E)で

らHcは

あ る.

一 葉 双曲 面,c<0な

可 遷 的に 働 く.c=0の

ら二葉

と き は,H0-{ξ

∈

可 遷 的 に 働 く.

代 数 的 共 役 空 間 をE′

  定 理21.5 

対 し,Eの

同 一 視 す れ ばL(R)⊂L(E)で

E;‖ ξ‖=0}上 でL(E)は

ス 測 度gを

含 まれ る.ま たe0を

直 交補 空 間 上 で は恒 等写 像,と

∈E;l(ξ)=c}と

不変にす

で は‖・‖は ノル ムに なっ て い る と す る)を 考 え

おけ る有 限 次 元 ロー レ ン ツ変 換Aに

あ る.し た がっ てAとAを

  Eの

よ り定 め る.E

ロー レ ン ツ 群 と言 う.

  e0を 動 か さ な い 回転 の全 体O{e0}(E)はL(E)に

R上

み た すe0

の 線 型 双 射(線 型 か つ 一 対 一 か つ 全 射)で,l(ξ)=(ξ,Jξ)を

る も の 全 体 をL(E)と

と一 般

れ に つ い て 説 明 し よ う.

もっ た ベ ク トル 空 間 と す る.e0∈E,‖e0‖=1を

を 一 つ 固 定 し,E上 か らEへ

の 測 度 はR∞

考 え る.そ

と し,(E′,BE)上

し て μ=exp(x(e0)2)gと

μ は ロ ー レ ン ツ不 変 測 度 で あ る.す

に(Eの

内 積 か ら 定 ま る)ガ ウ

お く. な わ ち 任 意 のA∈L(E)に

対

し   (21.22) 

∀B∈BE;μ(A*(B))=μ(B)

が 成 り立 つ.   証 明  ま ずA∈O{e0}(E)の exp(x(e0)2)gに

と き は(21.22)は

お い て,gはO(E)不

成

り立つ.な

ぜ な ら μ=

変 で あ り,x(e0)はe0を

動 か さな い

あ ら ゆ る 線 型 双 射 に 関 し て 不 変 で あ る か ら.   も う 少 し 一 般 化 し てA∈L(E),‖e0-Ae0‖=0な な ぜ な ら こ の と き  か らgもAに

ら ば(21.22)は で あ り,ま

成 り 立 つ. たA∈O(E)だ

関 し て 不 変 で あ る. 

の 証 明 は 次 の よ うに す る.  を 示 せ ば よい.し か る に  で あ り,こ れ に‖e0-Ae0‖=0を え る と=-(ξ,Je0)=(ξ,e0)が

得 ら れ る).同

用 い てe0をAe0で 様 にA∈L(E),‖e0+Ae0‖=0

お き か

の と き も(21.22)は   次 にe0を

成 り立 つ.

含 む 有 限 次 元 空 間R(た

だ しR上

い る と す る)に 対 し,L(R)⊂L(E)と こ れ を 示 す に はEの 対 し(21.22)が お い て,μ

み て,A∈L(R)な

有 限 次 元 部 分 空 間R1を

の 一 意 性 に よ り,BE上   そ こ でp-1R1(BR1)上

ら(21.22)は

成 り立 つ.

ぜ な ら,μ(A*(B))=τAμ(B)と

で 一 致 し て お れ ば,準

有界測度の拡張

で も μ=τAμ で な くて は な ら な い. で μ と τAμが ひ と し い こ と を 示 す.一

考え て よ い.e0を

含 むRの

え,こ

れ に 適 当に{en+1,en+2,…,em}をつ

る.な

お 必 要 な ら ば{em+1,…,en1}(た

代 数 的 基 底 と す る.こ

ル ム に なっ て

勝 手 に 与 え て,B∈p-1R1(BR1)に

成 り立 つ こ と を 示 せ ば よ い.な

と τAμ と が 各p-1R1(BR1)上

な くR⊂R1と

で は‖・‖ は,ノ

般 性 を 失 うこ と

完 全 規 格 直 交 系{e0,e1,…,en}を け 足 し てR1の

極 大な規格直交系を作

だ し‖ej‖=0for

j>m)を

の と きE′ ∋x→(x(ek))∈Rn1+1の対

の 測 度 μ=exp(x(e0)2)gはRn1+1上

考

補っ てR1の 応 に よ り,E′

の 次 の よ う な 測 度 に 移 る.そ

上

れ はRm+1

上 の測 度

 (21.23)

と,Rn1-m上

の ディ ラ ッ ク測 度 と の 直 積 で あ る.そ

μn((21.23)でmの

代 りにnと

の デ ィ ラ ッ ク測 度,の のx→A*xの は 不 変に 保 ち,最

変 換 はRn1+1上 初 の(n+1)個

と な る も の で あ る.と

し た も の),Rm-n上

三 つ の 直 積 で も あ る.と

れ は ま たRn+1上

の ガ ウ ス 測 度,Rn1-m上

こ ろ でA∈L(R)の

の 変 換 を 引 き 起 す が,そ

μnはRn+1の

も ロ ー レ ン ツ不 変 だ か ら).し

た がっ てx→A*xの

の ローレンツ変 換

数t02-t12-…-tn2

変 換 はRn1+1上

れ はp-1R1(BR1)上

に保 測

で μ と τAμが

一 致 す る こ とを 意 味 す る.   こ う し てA∈L(R)に に 対 し て(21.22)の

対 し て(21.22)の

μ(A1*(B))=μ(B)だ

成 立 は 証 明 さ れ た.任

意 のA∈L(E)

成 立 を 言 うに は,A=A1U(∃R,A1∈L(R),U∈O{e0}(E))

の 形 に 書 け る こ と を 示 せ ば よ い.な か ら.

上

ロー レ ン ツ変 換 に 関 し て

不 変 で あ る(な ぜ な ら ル ベ ー グ測 度 は ロ ー レ ン ツ不 変 で,関

変 換(測 度 を 不 変 に 保つ 変 換)を 引 き 起 し,こ

と きE′

の 変 換 はtk(k>n)

の 座 標 に つ い て はRn+1上

こ ろ が(21.23)の

の測 度

ぜ な ら μ(A*(B))=μ(U*(A1*(B)))=

  さ て ξ1=Ae0-(Ae0,e0)e0と

お く と,明

ら か に(ξ1,e0)=0で

あ る.ま

た 

だ か ら,‖ ξ1‖=0な ら(Ae0,e0)=±1で よ っ て‖Ae0+e0‖=0と

な る.こ

の 場 合,測

度 μ が 変 換Aに

あ り,

関 して 不 変 な こ

とは 既 に 証 明 ず み で あ る.  の と き はe1=ξ1/‖ ξ1‖と お く と,{e0,e1}は 系 と な る.そ

し てAe0=α0e0+α1e1,α02-α12=1の

二 次 元 空 間Rの 形 と な る.そ

規格直交 こ でRの

変

換A1を  (21.24)

と し て 定 め る と,A1はR上 る.A1をE上

のロー

A1-1Ae0=e0だ

の ロ ー レ ン ツ 変 換,す

レ ン ツ変 換 に 拡 張 しそ れ を 同 じ 記 号A1で

か ら,A1-1Aはe0を

で あ る.A1-1A=Uと

な わ ちA1∈L(R)で

不 変 に 保 ち,よっ

書 く とA=A1Uと

あ

表 わ す と,

てA1-1A∈O{e0}(E)

な り,証 明 し た かっ た 式 が 得 ら れ た. (証 明 終)

 §22  二 葉 双 曲面 の 場 合   今度 は 二 葉 双 曲面 に つ い て 同様 な こ とを 考え よ う.  Hn2の

上 で(21.4)の 測度 μn(根号 の 中 の複 号 は-)は,ロ

ー レン ツ不 変 測 度

で あ る.   n<mの

と き,Hm2か

らHn2へ

の 可 測 全 射pnmを,(21.7)に

な らっ て 次 の

よ うに 定 義 し よ う.  (22.1)

の 中は 必 然 的に ≧1で

今 度 の 場 合,(x0,x1,…,xm)∈Hm2より(22.1)の  あ る.そ

れ で 仮 想 点 ωnを つ け 加え る 必 要 は な い.Hn2の

と し て{(Hn2,Bn),pnm}は 可 測 空 間 を(Ω,B)と   Hm2に  (22.2)

ボ レ ル 集 合 族 をBn

明 ら か に 可 測 空 間 の 射 影 的 列 で あ る.そ す る.次

お い てpnm(x)の

に{μn}が

第k座

の射 影極 限

無 矛 盾 で あ る か ど うか を 調 べ よ う.

標 をxk(n)と

記す と

と な る.よ

っ てxn(n)>0お

よ び<0の

それぞれにおい て

で あ り,こ

れ を(21.5)に

代 入 して

 (22.3)

を 得 る.ρ

は1≦

ρ<∞

の 範 囲 を 変 る か らB⊂Hn2に

対 し

 (22.4)

が 得 られ る.言 い か え れ ば(21.12)に

相 当す る規 格 化 定 数cnの

比 は,今 度 の

場 合 ∞ とな り,し た がっ て{μn}は 適 当 に 定 数 倍 す る こ とに よ って 無 矛 盾 列 に す る こ とが で きな い.し い て考 え よ う とす れ ば,規 格 化定 数 を ∞ と考 え て, (0,∞)型 測 度 の無 矛 盾 列 を 考 え る こ とに な るが,こ 意 的 に 定 ま る射 影 極 限測 度 は な い(上 巻,第3章   しか し或 る意 味 で{μn}の 成 し てみ た い.こ

の よ うな ものに つ い て は一

参 照).

極 限 の よ うに考え られ る ロー レン ツ不 変 測 度 を構

こ で説 明す る手 法 は 後 に(§32)無

限 次 元 ル ベー グ測 度 を 構

成 す る のに も用 い られ て お り,比 較 検 討 して頂 きた い.   まず  (22.5)

とお く.Hn2で￨xn￨≦1は  て(22.4)と

同 様 に し て,Hn2の

と 同 等 で あ る.よ ボ レ ル 集 合Bnに

っ

対 し

 (22.6)

が 成 り立 つ.と

こ ろ でn<mに

対 し

 (22.7) と お く と, 

影 極 限 可 測 空 間 は(Ln,B∩Ln)と

は 可 測 空 間 の 射 影 的 列 で,そ の 射 同 一 視 で き る.そ

して

 (22.8)

とす る と{cmμm}m≧nは{Mnm}m≧n上

の 無 矛盾 な 準 有 界 測 度 列 に な る か ら,

そ れ はLn上

の 準 有 界 測 度 μnに 拡 張 で き る.し

n≦n′ と し てμn(B∩Ln)=μn′(B∩Ln)で μn(B∩Ln)はnに

か も 任 意 のB∈Bに

対 し,

あ る こ と は 容 易 に わ か る.そ

れ ゆ え

つ い て 単 調 増 加 で あ り,

 (22.9)

とお く と μ は Ω 上 の可 算 加 法 的 測 度 に な る.し か もLn上 一致 し

,ま

だ か ら,μ

た 

 μ をHn2に う.Hn2の

射 影 す れ ば,Hn2上 ボ レ ル 集 合Bnに

し か る に(22.4)に

対 しn≦n′

  定 理22.1 

ω∈ Ω に 対 しpn(ω)の

(22.6)と

とし て

の 射 影 は(0,∞)型

し て 概 収 束 し,極

  証 明   n≧kに

測 度 が 得 られ る こ と を 確 か め よ

よ り,上 式 右 辺 は μn(Bn)>0な

のHn2へ

μに関

は Ω 上 の準 有 界 測 度 で あ る.

の(0,∞)型

と なっ て,μ

対 しHn2上

ら=∞,μn(Bn)=0な

標 をxk(n)と

す る と, 

殆 ん ど到 る と こ ろ0で

で 測 度 νnをdνn=xk2dμnに

同 様 に し てHn2の

ら=0

測 度 で あ る こ と が わ か っ た.

第k座

限 関 数Xk(ω)は

で は μ は μnと

ボ レ ル 集 合Bnに

は

な い.

よ り 定 め る と,

対 し

 (22.10)

が 得 ら れ る.よ

っ て{cm+2νm}m≧nは{Mnm}m≧n上

り,Ln上

の 準 有 界 測 度νnに

  Hm2上

で(し た が っ てMnm上

の 無 矛 盾 な 準 有 界 測度 列 に な

拡 張 で き る. で も)

 (22.11)

で あ る か ら,定 理9.3(そ れ は準 有 界測 度 列 に 対 し て も成 立 す る)に よ り,  の とき測 度μnに る.す

な わ ち 測 度μ

に 関 し てLnの

上 で 概 収 束 す る.こ

範 囲 で 任 意 に 選 べ る の で 結 局,xk(m)2/αm+1αm+2は る.射

影pnmの

定 義(22.1)に

よ りxk(m)はmが

関 して 概 収 束 す こ でnはn≧kの

測 度 μ に 関 して 概 収 束 す 変 って も 定 符 号 だ か ら,

 に関 し て概 収 束 す る. のorderを

調 べ よ う. 

とす る と(22.8)に

よ り

で あ

り,第

一 項

で あ るか らn→∞

≦const.×

βn-1,第

二

項≧const. 

とす る と第 二 項 の 寄 与 が 圧 倒 的 に 大 き くな る.し

か も 

とお くと

とな る か ら  (22.12) で あ り,

し た が っ て   (22.11)を

はm→

∞ の と き μ に 関 し て 概 収 束 す る.

逆 に して

だ か ら 同 じ 理 由 に よ り αm+1αm+2/xk(m)2は も し 

測 度νnに 関 し て 概 収 束 す る.よ

が わ か れ ばαm+1αm+2/xk(m)2はμnに

関 し て も 概 収 束 し,し

の 極 限 関 数Xk(ω)は

ってμに 関 し て概 収 束 し, 

って たが

殆 ん ど到 る と ころ

0で な い.  を 示 すに は 定 理9.4の

系に よ り

 (22.13)

を 示 せ ば よ い.た

だ しAn,cは An,c={(x0,x1,…,xn)∈Hn2;￨x0￨≦c}

 (22.14) 

と す る.(pn-1(An,c)∩Lnの よ り(22.13)が

成 り立 つ と,pn-1(An,c)∩Ln上

と す る と結 局Ln上   n≦l≦mと

上 でνn,μnと

で 

し て(22.13)の

も 有 界 測 度 だ か ら,定 で 

で あ る こ と が わ か る). 左辺は

理9.4の

と な る.こ

系 に

こ でc→

∞

と こ ろ が(22.12)よ れ た.よ

り 

で あ る か ら,こ

れ で(22.13)は

は 証 明 され,定 理 の証 明 は完 結 した. 

っ て 

証明 さ

(証 明終)

さて は 収 束 し て,極 限 関数Xk(ω)

 (22.15) 

はす べ ては0で な い と お く と,定

理22.1に

よ り μ(Ω-Ω0)=0で

あ る.言

い か え れ ば Ω0はμに

関

し て 厚 い 可 測 集 合 で あ る.  ω∈ Ω0の

とき

 (22.16)

が 成 り立 つ こ と を 示 そ う.pn(ω)∈Hn2よ

し た が っ て 最 左 辺 に2-nn2を

りn≧Nと

掛 け てn→

して

∞ と す る と,ま

ず

 (22.17)

が 出 て 来 る.も

し 或 るNに

に 対 す る(22.17)よ

対 し て(22.17)で

等 号 が 成 り立 つ と す る と,N
り,XN+1(ω)=…=XN′(ω)=0が

な の で 結 局 ∀k>N;Xk(ω)=0で

で あ る か ら,両 辺 に 

あ る.一

出 て 来 る が,N′

方(22.1)よ

りn>Nに

は任意

対 し

を 掛 け てn→ ∞ とす る と

 (22.18)

と な る.よ =0で

っ て 或 るNに

な く て は な ら な い.こ

し ま い,こ

れは

対 し て(22.17)で

ω∈ Ω0の 仮 定 に 反 す る.よ

が 成 り立 つ こ とは な く,(22.16)が   定 理22.2 

等 号 が 成 り立 て ば ∀k≦N;Xk(ω)

う し てk>Nで

もXk(ω)=0と

な って

っ て ω∈ Ω0の 限 り(22.17)で

等号

成 立 す る.

ω∈ Ω0に(Xk(ω))∈R∞

一 対 一 で あ っ て ,Φ

もk≦Nで

に よ る Ω0の 像 は

を 対 応 さ せ る 写 像 を Φ と す れ ば,Φ

は

 

 (22.19)

と な る.さ

ら に,R∞

をR1の

可 測 同 型 写 像 で あ る.よ (実 はSの 号

直 積 可 測 空 間 とみ る と き,Φ

っ て Ω 上 の 測 度 μ は,Φ

上 に 乗 っ て い る)に 同 型 に 移 さ れ る.(こ

は Ω0か らSへ

に よ りR∞ のR∞

の

上の適当な測度

上 の 測 度 を,同

じ記

μ で 表 わ す こ と に す る).

  証 明   ω∈ Ω0の と き,(22.16)お

よ び(22.18)に

より

(22.20)

が 成 り立 つ.よっ と な り,よ

て ∀k;Xk(ω)=Xk(ω′)な

っ て ∀n;pn(ω)=pn(ω′)と

ら ば 

な る.こ

れ は ω=ω′ を 意 味 す る.こ

う

し て Φ は 一 対 一 で あ る こ とが わ か っ た.   ω∈Ω0の と き(22.20)と 

も

よ り 

考 慮 し て)

が 出 て 来 る.す

な わ ち Φ(Ω0)⊂Sで

  逆 に(tn)∈Sの

あ る.

と き,

 (22.21) と お

く と(x0(n),x1(n),…,xn(n))(=ω(n)と

pnm(ω(m))=ω(n)だ

こ と よ り(22.21)よ =tkを 意 味 す る .し

か ら 列{ω(n)}はΩ

記 す)∈Hn2で の一 点

で あ り,こ あ り,S⊂

て可 測 にす る最 小 の可 算 加 法 的 集 合 族 と,Xk(ω)を

 (22.22)

あ

で はxk(n)(ω)を

すべ

す べ て可 測 に す る最 小 の可

は Ω0か らSへ

の可測同型写像で (証 明終)

様 子 を も う少 し 調 べ て お こ う.ま

る

れ は ω∈ Ω0,Xk(ω)

あ る. 

  集 合Sの

ら か に

Φ(Ω0)が 証 明 さ れ た.

よ り,Ω0上

  次 に(22.20)と 

算 加 法 的 集 合 族 とは一 致 す る.よっ て,Φ

り,明

ω に 対 応 す る.(tn)∈Sで

り  た が っ て(tk)∈Φ(Ω0)で

あ

ず(tn)∈R∞

に対 し

と お く と,(tn)∈Sは  sn→1な

と 同 値 で あ る. 

ら ば 

で あ り,し

だ か ら,

た が って

 (22.23)

が 得 ら れ る.特

にS⊂(l2)で

あ る.

 また 

であ るか ら

 (22.24)

が 得 ら れ る.す っ て,n→

  R∞

な わ ち(tn)∈Sな

∞ の と き￨tn￨は

はR0∞

公 比 

記 す と,Rnの

不 変 に す る と し て)R0∞

意 味 でL(Rn)⊂L(R0∞)で

あ

に は(l2)か

あ る.さ

ら の 内積 を 入 れ て

考 え る こ と が で き る.

標 だ け1)と

元 部 分 空 間 をRnと

対 し て はtn≠0で

の 等 比 数 列 の よ うに振 る 舞 う.

の ロ ー レ ン ツ変 換 群L(R0∞)を

  ek=(0,0,…,1,0,…)(第k座

対 し て はekを

分 大 き なnに

の 代 数 的 共 役 空 間 で あ る が,R0∞

考 え る と,R0∞

(n+1)次

ら ば,十

し て,e0,e1,…,enで

張 ら れ る

ロ ー レ ン ツ変 換Aは,(k>nに

の ロー レ ン ツ 変 換 に 拡 張 で き る.そ

の

て

 (22.25)

と お こ う.L0(R0∞)はL(R0∞)の

部 分 群 で,R0∞

の一葉 双 曲 面 の上 で も 二 葉

双 曲 面 の 上 で も可 遷 的 に 働 い て い る.   定 理22.3

R∞

L0(R0∞)と,R∞

上 の 測度

μ はL0(R0∞)不

の 任 意 の 可 測 集 合Bに

変 で あ る.す

な わ ち 任 意 のA∈

対 し

 (22.26) μ(B)=μ(A*(B)) が 成 り立 つ.   証 明  μ はSの μ(A*(B)∩S)を

上 に 乗 っ て い る の で,(22.26)を 示せ ば よ い.と

 (22.27) 

こ ろ が 次 に 証 明 す る よ うに A*(S)=S

で あ る か ら,A*(B)∩S=A*(B∩S)と せ れ ば よ い.す

示 す に は μ(B∩S)=

な わ ち,B⊂Sの

な り,μ(B∩S)=μ(A*(B∩S))が 場 合 に だ け(22.26)が

証 明 で き れ ば よ い.

示

  (22.27)の

証 明 を し よ う.A∈L(Rn)と

に(n+1)次

元 ロ ー レ ン ツ変 換 を 引 き 起 し,k>nに

た が っ て 

はm≧nの

義(22.19)に

限 りA*に

よ り,SはA*に

  さ て,B⊂Sと

す る と,R∞

対 しtkは

不 変 に す る.し

よ っ て 不 変 で あ る.よ

ってSの

の 点 変 換 とみ な せ る か ら,Φ

証 明 し よ う.(22.27)に

に よ りSを

よ りA*はS上

Ω0と 同 一 視 し て,A*は

Ω0上 の 点

確 に言 え ば

 (22.28) 

A=Φ-1A*Φ

が Ω0上 の 点 変 換 に な る.Φ-1(B)=B′

と お く と,(22.26)は

μ(Φ(B′))=

μ(A*° Φ(B′))と 同 値 で あ り,μ

を Ω0上 の 測 度 とみ れ ば,μ(B′)=μ(A(B′))

と 同 値 で あ る.よ

示 す に は Ω0の 任 意 の 可 測 集 合Bに

っ て(22.26)を

 (22.29) 

対 し

μ(B)=μ(A(B))

が 成 り立 つ こ と を 示 せ ば よ い.と m≧nに

定

よ り不 変 で あ る.

仮 定 し て(22.26)を

変 換 とみ な せ る.正

上 でA*は(t0,t1,…,tn)

こ ろ が,μ

は(22.9)で

与 え ら れ る か ら,

対 して

 (22.30) 

μm(B∩Lm)=μm(A(B)∩Lm)

が 成 り立 つ こ とを 言 えば よ い.し か る に次 に示 す よ うに  (22.31) 

A(Lm)=Lm 

for m≧n

で あ る か ら,A(B)∩Lm=A(B∩Lm)で =μm(A(B∩Lm))が

あ り,(22.30)を

言 え れ ば よ い の で,結

局B⊂Lmに

示 すに はμm(B∩Lm) 対 して

 (22.32) μm(B)=μm(A(B)) が 成 り立 つ こ と を 言え ば よ い.   (22.31)の

証 明 を し よ う.そ

よ う.t=(tn)∈Sに

対 し,定

の た め に,Aが 理22.2の

ど の よ うな 写 像 に な る か を 調 べ

証 明 の 中 で 見 た よ うに

 (22.33)

で あ る.右

辺 の 分 母 はm≧nの

限 りA*に

の 範 囲 で ロ ー レ ン ツ 変 換 を 受 け,k>nに ロー レ ン ツ変 換 で 始 め の(n+1)個

よ り不 変 で あ り,分 対 し て は 不 変 で あ る.よ

子 は0≦k≦n ってHm2の

の 座 標 だ け を 動 か す よ うな も のAmが

存在

とな る.す な わ ち 写 像 の 等 式 と し て

し て, 

  が 成 り 立 つ.こ

の 両辺 に右 か ら Φ を 掛 け る と

 (22.34) 

pm°A=Am°pm

が 得 ら れ る.   さ て(22.7)に

よ り,ω ∈Lm⇔

与 え られ る の で(k>m≧nな はAk°pk(ω)∈Mkと

同 値,す

す べ て のk>mに る こ と,す

∀k>m,pk(ω)∈Mkで の で)Akに

あ り,Mkは(22.5)で

よ り不 変 で あ る.よ

な わ ちpk(A(ω))∈Mkと

っ てpk(ω)∈Mk

同 値 で あ り,こ

対 し て 考 え る こ と に よ り ω∈LmはA(ω)∈Lmと

な わ ちLm=A(Lm)が

  さ てB⊂Lmに

れを

同値 で あ

わ か る.

対 し(22.32)が 成 り立 つ こ とを証 明 し よ う.μmは

無矛盾 な

準 有 界 測 度 列 の 射 影 極 限 で あ るか ら,無 矛 盾 な準 有 界測 度 列 の拡 張 の一 意 性 に よ り,l≧m, (22.32)の

B=pl-1(Bl)∩Lm,

Bl⊂Mmlの

成 立 が 言 え れ ば 十 分 で あ る.し

形 を し て い るBに

対 してのみ

か るに こ の と きμm(B)=clμl(Bl)で

だか ら

あ り, 

μm(A(B))=clμl(Al(Bl))で

あ る.よっ

 (22.35) 

て(22.32)を

μl(Bl)=μl(Al(Bl))

が 言 え れ ば よ い.と

こ ろ がAlはHl2上

の ロ ー レ ン ツ変 換 で,μlはHl2上

ロ ー レ ン ツ不 変 測 度 だ か ら,(22.35)の   注 意   μ はL(R0∞)不

成 立 は 当 然 で あ る. 

変 で は な い.例え

の 同 時 互 換 を 考 え れ ばA∈L(R0∞)で

り立 つ の でS∩A*(S)=φ と 合 わ す と,μ

がAに

(証 明 終)

上 でA*はt1とt2,t3と ぜ な らt=(tn)∈Sの

A*(t)=(tn′)に

で あ る.よ

と

対 し て は 

で あ る.こ れ が す べ て のt∈Sに

と な っ て 

の

し て,e1とe2,e3とe4,…,

で あ る.な

で あ る が,

よ り 

ばAと

あ る が,R∞

t4,… の 同 時 互 換 を 引 き 起 し,S∩A*(S)=φ き(22.24)に

示すには

っ て μ(A*(S))=0で

関 し て 不 変 測 度 で な い こ と が わ か る.

対 し て成

あ り,μ(S)=∞

第4章  平行移動 に関す る不変性,準 不変性

  こ の章 では 無 限 次 元 ベ ク トル 空 間,特 にR∞ 上 の 測 度 の 平 行 移 動 に 関 す る準 不 変 性 お よび不 変 性 を 考 察 す る.扱

う内 容 は 大 別 し て三 つ あ る.

  第 一 は,定 理7.3の 系1で 示 し た よ うに 無 限 次 元 ベ ク トル 空 間X上 準不 変 な 有 界 測 度 は 存 在 しな い が,で はXの

部 分 空 間Yが

Y準 不 変 測 度 が 存 在 し得 るか,と 言 うこ とで あ る.言 Tμを 用 い て, 

ど の程 度 で あれ ば,

いか えれ ば(12.1)の 記 号

を み た す μが 存 在 す るた めのYの

  第 二 は,X=R∞

に はX

条件 を 問 うの で あ る.

の場 合 に 限 り,μ も一 次 元 測 度 の直 積 形 の場 合 に 限 って,μ

が(l2)-準 不 変 で あ るた め の条 件 を 問 う.   第 三 は,測 度 の 有 界 性 の 仮 定 を 捨 て て平 行 移 動 不 変 性 を 問 題 に し,R∞

上の

準 有 界 測 度 でR0∞ 不 変 な もの とし て 無 限 次 元 ル ベ ー グ測 度 に つ い て述 べ る.

 §23  測 度 の た た み 込 み と準 不 変 性  

Xは

ベ ク トル 空 間,EはX′(代

数 的 共 役 空 間)の 部 分 空 間 で, 

を み た す も の とす る.こ の と きXはE′ た 可測 空 間(X,BE)上

の測 度 μ は,(E′,BE)上

の部 分空 間 とみ な され る.ま の測 度 でXの

上 に 乗っ て い る

(Xが 厚 い 集 合 に な る)も の と 同一 視 で き る.  (X,BE)上

の 二 つ の有 界 測 度

μ,νに 対 し,た

た み 込 み μ*ν を

 (23.1)

に よ り定 義 す る.言 Φ(x,y)=x+yと

い か え れ ば,直 す るとき

 (23.2) 

で あ る.こ

積 測 度 空 間(X×X,BE×BE,μ

(μ*ν)(B)=(μ

の 式 よ り ま た,μ*ν=ν*μ

× ν)(Φ-1(B))

も わ か る.

  特 性 関 数 に つ い て は,μ,ν,μ*ν の 特 性 関 数 をχμ,χν,χμ*ν とし て  (23.3) χμ*ν(ξ)=χ

と な る こ とは 容 易に わ か る.

μ(ξ)χν(ξ),  Vξ ∈E

×ν)を 作 り,

  さ て μ∼ μ1の と き,μ*ν ∼ μ1*νで あ る.な

ぜ な ら  で あ る か ら.こ

こ と よ り,た

の

た み 込 み は 測 度 の(絶 対 連 続 性 に よ る)同 値 類 に 対 し て 定 義 で き る

演 算 で あ る こ とが わ か る.

  測 度 μ に 関 して 許 容 的 な 平 行 移 動全 体 をTμ と書 く.す な わ ちx∈Xに τxμ(B)=μ(B-x),∀B∈BEと

対し

し て τxμを 定 め る と き

 (23.4) 

Tμ={x∈X;μ

∼ τxμ}

とす る.(こ の記 号 は 本 章 を 通 じ て使 用 す る).  こ の と き  (23.5) 

Tμ*ν⊃Tμ+Tν

が 成 り立 つ.な

ぜ な らx∈Tμ

な っ て,x∈Tμ*ν で あ り,Tμ*ν   定 理23.1  あ れ ば,少

の と き μ∼ τxμだ か ら μ*ν ∼ τxμ*ν=τx(μ*ν)と

が 得 ら れ る.す

な わ ちTμ ⊂Tμ*ν で あ る.同

様 に,Tν ⊂Tμ*ν

が 加 法 群 で あ る こ と よ り(23.5)の 結 果 を 得 る. Xの

部 分 空 間Y1,Y2,…,Ynに

な く と も 一 つ のYiに

  証 明   も し ど のYiに μ1*μ2*…*μn=μ

お い て,Y1+Y2+…+Yn=Xで

対 しYi準

対 し て もYi準

と お く と(23.5)に

不 変 有 界 測 度 は 存 在 し な い.

不 変 有 界 測 度 μiが 存 在 し た とす れ ば,

よ り μ はX準

不 変 と な り,定

理7.3の

に 反 す る. 

 系   Xの 部 分空 間Yの っ てX=Y+Zと

余 次 元 が 有 限 な らば,す

な るな らば,(X,BE)上

にY準

な わ ち有 限 次 元 空 間Zが

の 有 限 次 元 ル ベ ー グ測度 を考 え てXに

(X,BE)上

変 準 有 界 測 度 で あ り,そ れ と同 値 な 有 界 測 度 はZ準

のZ不

あ る.よ って定 理23.1に よ りY準

よれ ば,Y⊂Xと

し て,μ,ν

μ*νはY準

不 変 で あ る.μ,ν

と もY準

ル ゴ ー ド性 に つ い て,μ,ν

埋 め込 め ば,そ

れ は

不変 で

不 変 有 界 測 度 は 存 在 しな い.

  (23.5)に

ー ド的 と 言 え るだ ろ うか?一

あ

不 変 有 界 測 度 は 存 在 しな い.

 な ぜ な らZ上

る が,エ

系1

(証 明 終)

の 少 な く と も一 方 がY準

不 変 な らば

不 変 な ら μ*νは も ち ろ んY準 と もYエ

不変で あ

ル ゴ ー ド的 な ら μ*νもYエ

般 に 答 え る の は 難 し い が ,Yに

ルゴ

仮 定 をお け ば 答 え

ら れ る.  定 理23.2 

(X,BE)上

の 有 界 測 度 μ,ν に 対 し,μ,ν

と もYエ

ル ゴ ー ド的 の

と き,Yが

次 の 条 件 を み た せ ば,μ*ν

もYエ

ル ゴ ー ド的 で あ る.

 a)  Yが 代 数 的 に 可算 次 元 の とき,ま た は   b)  Yが 完 備 可 分 か つ 距 離 の つ く位 相 ベ ク トル 空 間 で,そ

の 位 相 がEか

ら

き ま る弱 位 相 よ り強 い と き.   証 明   一 般 にYがXの

部 分 加 法 群 の と き,(X,BE)上

ル ゴ ー ド的 と し て μ*ν もYエ

 そ のた め には 

を 仮 定 し て(μ*ν)(B)=0ま

た は(μ*ν)(Bc)=0を

で あ る か ら,も

の 測 度 μ,νと もYエ

ル ゴ ー ド的 とな る こ と を 証 明 し た い .

示 す と よい.た た み 込 み の 定 義 に よ る と

し ∀y∈Y;∀′(ν)xが

順 序 交 換 可 能 な ら ば μ のYエ

ル ゴ ー ド性

よ り  (23.6) 

と な る.一 Yに る.よ

∀′(ν)x,μ(B-x)=0ま

た は

方A={x∈X;μ(B-x)=0}と

対 し μ(B-x)=0⇔ っ て νのYエ

る.ν(Ac)=0な

お く と,μ

μ(B-x-y)=0だ

(μ*ν)(Bc)=0と

のY準

ら ば(23.6)と

合 わ す と ∀′(ν)x,μ(Bc-x)=0と

に お い て,∀y∈Y, 可 算 集 合 の と き は,ゼ

の 順 序 交 換 は 可 能 で あ り,し

ロ

た が っ て

ル ゴ ー ド性 は 保 証 さ れ る.

  定 理23.2のa)の 位 相)に 関 し て,b)の

場 合,Yは

最 強 位 相(有 限 次 元 ユ ー ク リ ッ ド位 相 の 帰 納 極 限

場 合 は 指 定 さ れ た 位 相 に 関 し て 可 分 で あ り,し

稠 密 な 可 算 部 分 群(加 法 群)Y0を ル ゴ ー ド的 な ら 当 然Yエ

Y0に

なり,

な る.

集 合 の 可 算 合 併 は ゼ ロ集 合 な の で,こ

ル ゴ ー ド的 な らY0エ

れ る.よ

得

言 う こ と だ か ら(μ*ν)(B)=0

∀′(ν)xが順 序 交 換 可 能 か ど うか が 問 題 で あ る.Yが

「Yエ

あ

た は ν(Ac)=0を

 そ こ で 

μ*ν のYエ

不 変 性 よ りy∈

か ら,∀y∈Y,A+y=Aで

ル ゴ ー ド性 に よ っ て ν(A)=0ま

ら ば ∀′(ν)x,μ(B-x)=0と

と な る.ν(A)=0な

μ(Bc-x)=0

も つ.(X,BE)上

ル ゴ ー ド的 で あ る が,定

のY準

たが っ て

不 変 測 度 μ がY0エ た はb)の

場合

ル ゴ ー ド的 」 で あ る こ と が 後 に(定 理26.2)証

明さ

っ て 上 記 「 」 の 証 明 を 保 留 と し て,エ

移 さ れ る こ と に な り,Y0は

理23.2のa)ま

ル ゴ ー ド性 の 議 論 は す べ て

可 算 群 だ か ら 定 理 の 証 明 は 完 結 し た. (証 明 終)

  定 理23.1お よび 系1は, 

を み た す μが 存 在 す るた め の 簡 単 な 必 要 条

件 を 与 え て い る.こ れ 以 上 の 条 件 を 求 め よ う とすれ ば,も

う少 し精 密 な議 論 を

展 開 しな け れ ば な らな い.現 在 知 られ て い る主 な 結 果 は,こ まか い変 形 は 除 い て大 体 次 の二 つ に ま とめ られ る と思 う.   定 理23.3  Xは 可 分 で距 離 のつ く局 所 凸 位 相 ベ ク トル空 間 と し,そ の位 相 的 共 役 空 間 をX*と

す る.Y(⊂X)も

完 備 で距 離 のつ くベ ク トル空 間 とし,Y→

Xの 埋 め 込 み は 連 続 とす る.(X,BX*)上にY準 Yに 関 す る0の 或 る近 傍 はXに   定 理23.4  Xは

ヒル ベル ト空 間,Y(⊂X)も

め込 み は連 続 とす る.(X,BX*)上 要 十 分 条 件 は,Y→Xの し た が って特 にYは

不 変 な 有 界 測 度 が 存 在 す れ ば,

関 し て全 有 界 で あ る.

にY準

ヒル ベ ル ト空 間 でY→Xの

埋

不 変 な 有 界 測 度 が 存 在 す るた め の 必

埋 め 込 み が ヒル ベ ル ト-シ ュ ミッ ト的 な こ とで あ る. 可分 で な くては な らな い.

  次 §以下 で これ らの定 理 の証 明 を行 な う.た だ し証 明だ け を 直 接 目標 に す る の で は な く,関連 す る周 辺 事 項 を ゆ っ く り記述 し て行 き,自 然 に 証 明 に 到達 す る よ うに す る.一 つ の 目標 と して 定 理二 個 だ け を前 も って掲 げ てお い た の で あ る.

  §24  実 測 度 の バ ナッ ハ 空 間   (X,B)は

可 測 空 間 とす る.

  定 義24.1 B上

の 実 数 値 関 数 μ は,次

の性 質 を もつ と き実 測 度 また は 符 号 つ

き 測 度 で あ る と 言 う.   1)  μ(φ)=0,   2)  B1,B2,…,Bn,…

∈B,{Bn}は

互 い に 素,の

とき

 (24.1)

 (右 辺 が 存 在 し て左 辺 に ひ としい).   さ ら に,∀B∈B,μ(B)≧0が て い た も の に な る わ け で あ る.実

み た さ れ れ ば,μ

は今 ま で単 に 測 度 と呼 ば れ

測 度 と 区 別 す る た め,こ

れ を 正 値 測 度 と呼 ぶ

こ と も あ る.   (X,B)上 m+(X,B)と

の 有 界 な 実 測 度 全 体 をm(X,B),有 す る と,明

らか にm+(X,B)⊂m(X,B)で

は ベ ク トル 空 間 を な す こ と が 容 易 に わ か る.し

界 な 測 度(正 値 測 度)全 あ る.ま

体 を

たm(X,B)

か も こ の ベ ク ト ル 空 間 は,

m+(X,B)で

張 ら れ る.す

なわ ち

 定 理24.1  有 界 な 実 測 度 μは,二

つ の有 界 正 値測 度 の 差 とし て 書 け る.

 (24.2)

  証 明   一 般 に{Bn}が

単 調 増 加 の と き,Bn′=Bn-Bn-1に(24.1)を

適用 して

 (24.3)

を 得 る.こ れ の 補 集 合 を考 え て,{Bn}が

単 調 減 少 の とき

 (24.4)

も得 られ る.さ て  (24.5)

とお く と, 

で あ る.こ

の とき

と な り,同

様 な 操 作 を 繰 り返 し て さ ら に(24.3)を

を 得 る.こ

こ で さ ら にn→

と な っ て,結

局(24.5)の

 (24.6) 

こ のB0に

∞

と し て(24.4)を

適用 す る と

適用 す ると

上 限 は 実 は 最 大 値 を も つ こ と が わ か る.す

∃B0∈B,∀B∈B,μ(B)≦

μ(B0).

対 し μ1(B)=μ(B∩B0),μ2(B)=-μ(B∩B0c)と

実 測 度 で あ る こ とは 容 易 に わ か る.ま

なわち

お く.μ1,μ2と

た μ(B)=μ1(B)-μ2(B)も

も

容易にわか

る.   さ ら に μ(Bc∩B0)≦ (B∩B0c))≦ μ2も(X,B)上

 μ∈m(X,B),ν

μ(B0)よ

μ(B0)よ り0≧

り0≦ μ(B∩B0)=μ1(B)が

μ(B∩B0c)=-μ2(B)が

導 か れ る.こ

の 正 値 測 度 で あ る とわ か る. 

∈m+(X,B)と

す る.ν(B)=0⇒

導 か れ,μ(B0∪ うし てμ1も (証 明 終)

μ(B)=0で

あ れ ば,μ

は

νに 関 し て 絶 対 連 続 で あ る と言 い  ∀B∈B,B∩B0=φ

⇒

い μ⊥ν と 記 す.任

と記 す.ま

μ(B)=0と

な る と き,μ

意 の μ∈m(X,B)は

意 的 に 分 解 で き る.ま

た 

た ∃B0∈B,ν(B0)=0か

つ

は νに 関 し て 特 異 で あ る と 言

μ=μc+μs, 

μs⊥ν の 形 に 一

の と き,

 (24.7)

と な る.こ

のfはL1の

的 に 定 ま る.(24.7)の

元 と し て(し た が っ てf(x)は 事 実 をdμ=fdν

殆 ん ど 到 る と こ ろ)一 意

ま た は 

と 書 き,fは

μ の νに

関 す る密 度 関 数 で あ る と言 う.   これ らの こ とは 定 理24.1に よ り正 値 測度 の対 応 す る 命題 に帰 着 さ せ て 証 明 す る こ とが で き る(§1参 照).

  ベ ク トル 空 間m(X,B)上

に 次 の 二 つ の ノ ル ム を 考 え る.

 (24.8)

 前 者 は μ をB上

の 関数 とみ た とき の一 様 ノル ム で あ り,後 者 は 全 変 動 ノル

ム と呼 ばれ る もの で あ る.と ころが

と計 算 され るか ら  (24.9)

が 得 ら れ て,‖ μ‖も‖ μ‖totもm(X,B)上   定 理24.2 m(X,B)は(24.8)の す な わ ちm(X,B)は

に 同 じ 位 相 を 定 め る.

ノル ム か ら 定 ま る 位 相 に 関 し て 完 備 で あ る.

バ ナ ッ ハ 空 間 と な る.

  証 明   {μn}が ノ ル ム‖・‖ に 関 し て コ ー シ ー 列 を な せ ば,B∈Bを ご と に{μn(B)}は

コ ー シ ー 列 を な す の で,実

固定 す る

数 の 完備 性 に よ り

 (24.10)

は 存 在す る.し か も こ の収 束 はBに

関 し て一 様 で あ る.

  あ とは μが 実 測 度 で あ る こ とを 言え ば よい.μ(φ)=0は

明 らか で あ る.ま た

μが 有 限 加 法 的 な こと も明 らか で あ る.可 算 加 法 的 で あ る こ とを示 す.{Bn}は

互 い に 素 とす る とき

と な る.(便 く).m→

宜 上,ノ

∞ の と き 右 辺 第 一項 は0に

∞ と し て0に

収 束 す る.こ

  μ∈m(X,B)の φ(x)に

ル ム‖ ・‖ はB上

の有 界 関数 全 体 に定 義 域 を ひ ろ げ て お 収 束 し,mを

固 定 す る と き 第 二 項 はN→

れ は μ の 可 算 加 法 性(24.1)を

と き μ を(24.2)の

保 証 す る.(証

よ う に 書 い て,X上

明 終)

の 有 界B可

測 関 数

対 し

 (24.11)

と し て μ に よ る 積 分 を 定 義 す る.あ

る い は ν∈m+(X,B), 

とし て

 (24.12)

に よ り定 義 す る. 

の と き 

方 に よ らず 定 ま る.ま (24.11)と(24.12)が

だ か ら,(24.12)は

た(24.2)で

ν=μ1+μ2と

一 致 す る こ と が わ か る.し

し て(24.12)を

νの 選 び

適 用 す る と,

た が っ て(24.11)は,(24.2)の

表示

の 仕 方 に よ ら ず 定 ま る こ と も わ か る.  (24.8)の

ノ ル ム‖ μ‖totの他 の 表 現 を 与 え よ う.ま

 (24.13) ‖

ず(24.6)のB0を

用いて

μ‖tot=μ(B0)-μ(B0c).

な ぜ な ら 任 意 のB∈Bに μ(Bc)≦ μ(B0)-μ(B0c)で

対 し μ(B)≦ μ(B0),μ(Bc)≧ あ る.Bの

ら れ る の で 結 局￨μ(B)-μ(Bc)￨≦

か わ りにBcを

μ(B0)-μ(B0c)と

μ(B0c)だ

か ら μ(B)-

用 い て も 同 じ不 等 式 が 得 な り,(24.8)に

よ り(24.13)

が 得 ら れ る.  さ ら に,X上

の 有 界B-可

測 関数

φ(x)に

対 し 一 様 ノ ル ム を‖ φ‖ と し て

 (24.14)

と な る.な

ぜな ら

で あ る が,B0上

で は μ は 正 値,B0c上

で は 負 値 な の で,第

一 項 は‖φ‖μ(B0)

で,第

二 項 は-‖

を 得 る.一

方

φ‖ μ(B0c)で

φ(x)=1

for

押 え ら れ,よ

x∈B0,=-1

っ て(24.13)と

for

x∈B0cと

合わす と

す る と‖ φ‖=1で

あ

り,

で あ る.そ

れ ゆ え(24.14)が

  さ ら に(24.14)に(24.12)を

成 立 す る. 代 入 す る と,ν ∈m+(X,B), 

の とき

 (24.15)

が成 り立 つ こ とがわ か る.右 辺 は も ち ろん νの 選 び 方 に よ らな い.   ま た,‖ φ‖ ≦1を み た すB-可 測 関 数 全 体 をSと 動 くとき の上 限 を取 る こ とを 意 味 す るが,S全 (24.2)の

よ うに 書 い て ν=μ1+μ2と

と な る.し ば,φ

た が っ てSの

がS0を

  (X,B)上

す る と,(24.14)は

体 を 動 か す 必 要 は な い.μ

部 分 集 合S0が,L1(ν)の

位 相 でSの

動 く と き の 上 限 を 取 っ て(24.14)が

  (24.16) B(X,B)={μ と す る.B(X,B)は

明 ら か にm(X,B)の

す る.す

 (24.17) 

d(μ1,μ2)=‖

なわち つ μ(X)=1}

閉 集 合 で あ る か ら,m(X,B)か

な わ ちB(X,B)は

に 関 し て 完 備 距 離 空 間 と な る.(24.15)に

中 で稠 密 で あ れ

成 立 す る.

∈m(X,B);∀B∈B,μ(B)≧0か

の 導 入 位 相 に 関 し て 完 備 で あ る.す

距 離d:

μ1-μ2‖tot

よれ ば, 

と して

 (24.18)

と も書 け る.こ が 定 義 で き る.  (24.19)

こ でL1ノ

ル ム の か わ りにL2ノ

を

だ か ら,

す る と 

の 確 率 測 度の 全 体 をB(X,B)と

φがSを

ル ム を 用 い れ ば,別

の 距 離d2

ら

(24.19)の 右 辺 も νの 選 び 方 に よ ら な い こ と は 容 易 に わ か る.   B(X,B)上

で は,dとd2は

同 じ 位 相 を 与 え る(も っ と 詳 し く 同 じ 一 様 構 造 を

与 え る)こ と を 確 か め よ う.

で あ るか ら,

しか るに

μ1,μ2∈B(X,B)よ

り

だ か ら結 局  (24.20)

が 導 か れ た.こ

れ はdとd2がB(X,B)上

味 す る.距 離d2は

に 同 じ一 様 構 造 を 定 め る こ と を 意

角 谷 の 距 離 と呼 ば れ,計 算 上dよ

り扱 いや す い こ とが 多 い.

  §25  角 谷位 相   Eは ベ ク トル空 間 と し,そ

の代 数 的 共 役 空 間 をE′ と記 し,可

測空 間(E′,

BE)を 考 え る.任 意 の準 有 界 測 度 は それ と同 値 な 確 率 測 度 を 持 つ の で,準 不 変 性 を 問題 に す る限 り確 率 測 度 だ け を 考 察 の対 象 とす れ ば よい,そ

こ で(E′,BE)

上 に 確 率 測 度 μを 一 つ 考 え,以 下 の議 論 では 一 つ の 固定 され たμに つ い て考 え る.   x∈E′

に対 し τxμ∈B(E′,BE)を

  Lemma 1 

Φ は 一 対 一 で あ る.

  証 明   x≠0な 仮 定 す る.こ =1で

対 応 さ せ る 写 像を Φ とす る.

らμ ≠ τxμを 示 せ ば よい.帰

の と き 任 意 の 整 数nに

あ る が,こ

謬 法 に より,∃x≠0,μ=τxμ

対 し μ=τnxμ で あ る.ま

た ∃ξ∈E,x(ξ)

の ξを 用 い て

 (25.1) と お く と,An∩(An-nx)=φ

と な る.し

か も μ(An-nx)=τnxμ(An)=μ(An)

を

だ か ら 

で な くて は な らな い.こ れ がす べ て のnに 対 して 成 立 す る

の で 

と な る が,こ

  こ う し てE′ はB(E′,BE)の の 距 離d,(24.19)の はx,y∈E′

に反 す る. 

れ は 

部 分 集 合 と一 対 一 に 対 応 す る.よ

距 離d2は,E′

上 の 距 離 と み な せ る.た

(証 明終) っ て(24.17)

と え ばdに

ついて

よ りE′ 上 に 定 ま る 位 相 を,角

谷位相

に対 し

 (25.2)

とす る わ け で あ る.こ

のd(ま

た はd2)に

と言 う.角

谷 位 相 は μ に よ る の で 正 確 に は,μ

  BEはE′

の 平 行 移 動 に関 し て 不 変 で あ る か ら,‖

ば(E′,BE)上 わ か る.し

か ら 定 ま る 角 谷 位 相 と 言 う. ・‖totの定 義(24.8)に

よ れ

の 実 測 度 に つ い て‖ ・‖totはE′ の 平 行 移 動 に 関 し 不 変 な こ と が た が っ て(25.2)よ

 (25.3) 

り

d(x,y)=d(0,x-y)=d(-x,-y)

が わか る.こ の こ とよ りE′ に お い て,ベ

ク トル の加 法 は 角 谷位 相 に 関 し て 連

続 で あ る.   しか し ベ ク トル の ス カラ ー倍 は 連 続 とは 限 らな い.例 えば μを デ ィラ ック測 度 とす る と角 谷 位 相 は 離 散 位 相 に な る.   した が って 角谷 位 相 に 関 し てE′ は 位 相 群 に な るが,位 相 ベ ク トル 空 間 に な る とは 限 らな い.

 定 理25.1 

d(0,x)=‖

μ-τxμ‖totはE′ の 弱 位 相 に 関 し 下 半 連 続 で あ る.

  証 明   (24.15)の 次 に 注 意 し た よ う に,そ

こ で の 記 号S0を

用 いて

 (25.4)

で あ る.と

だか ら

こ ろ が 

 (25.5)

とな る.よ って各 φ∈S0に 対 しIφ(x)が 弱 位 相 に 関 して 連 続 で あ る こ とが 証 明 で きれ ば,‖ μ-τxμ‖totは そ れ らの 上 限 関数 で あ るか ら下 半 連 続 で あ る.   Eの 有 限 次 元 部 分 空 間 をRで

あ らわ し,そ

の代 数 的 共 役 空 間 をR′ とす る.

R′ も有 限 次 元 で あ るが,R′ 上 で 定 義 され て 台 が コン パ ク トな 連 続 関 数 全 体 を

C0(R′)と

書 く.ま

たx∈E′

に 対 し,xのRへ

の 制 限 をpR(x)∈R′

  も しE′ 上 の 関 数 φ が,∃f∈C0(R′),φ=f°pRの

とす る.

形 を し て い れ ば,μ

のR′

へ の 射 影 を μRと し て

と な るか ら,f∈C0(R′)よ Iφ(x)はE′

りIφ(x)はpR(x)の

連 続 関 数 に な る.し

たが って

の 弱 位 相 に 関 し て 連 続 で あ る.

  し た が っ て あ と は,S0と を 言 え ば よ い.す

し て こ の よ うな φ だ け か ら 成 る も の が 取 れ る こ と

なわち

 (25.6)

と お い て,(E′,BE)上

の 任 意 の 有 界 測 度 νに 関 し,S0はSの

中 でL1(ν)の

位

相 で 稠 密 で あ る こ と を 言 え ば よ い.

 で あ るか ら

可測 とな る.ψ はBR可

で あ り,νRは

測 な のでR′ 上 の 可測 関数gが

あ って ψ=g°pRと

書け る が

有 限 次 元 ベ ク トル 空 間R′ 上 の 有 界 ボ レ ル 測 度 な の で,L1(νR)

の 中 でC0(R′)は

稠 密 で あ る.そ

れゆえ

 (25.7)

と な る.い

ま 一 様 ノル ム に 関 し‖φ‖≦1で

あ る よ うに 選 べ る.な f(t)≧1の

ぜ な ら(25.7)を

あ る とす る と,(25.7)で‖f‖

み た すf∈C0(R′)を

と こ ろ は1で,f(t)≦-1の

と こ ろ は-1で

り,よ

一 つ 求 め て お い て, お き か え た 関 数f1を

れ ば 明 ら か にf1∈C0(R′)で,    こ うし て 任 意 の νに 関 し,L1(ν)の

作

で あ る. 位 相 でS0はSの

中 で稠 密 な こ とが わ か

っ て 定 理 は 証 明 さ れ た. 

  定 理25.2 

≦1で

(証 明 終)

角 谷 位 相 に 関 す る 閉 球Vε={x;d(0,x)≦

ε}は,ε<1な

らば 弱

位 相 に 関 し て コ ン パ ク トで あ る.   証 明   前 定 理 よ りVε は 弱 位 相 に 関 し 閉 集 合(以 下,弱 E′ は 弱 完 備 な の でVε も 弱 完 備 で あ り,よ す に は,Vε

が 弱 位 相 で 全 有 界 な こ と,す

閉 集 合 と言 う)で あ る.

っ てVε が 弱 コ ン パ ク トな こ と を 示 な わ ちEの

任 意 の有 限 次 元 部 分 空 間

Rに

対 しpR(Vε)がR′

の 有 界 集 合 に な る こ と を 示 せ ば よ い.

  そ の た め に は 任 意 の ξ∈Eに い.帰

対 し,x(ξ)がVε

謬 法 に よ り 「∃ξ∈E,x(ξ)はVε

∀n,∃xn∈Vε,￨xn(ξ)￨≧nで

で 有 界 で あ る こ とを示 せ ば よ

上 で 有 界 で な い 」 とす る.こ

あ るか ら,(25

.1)のAnを

の と き

用 いて

An∩(An-xn)=φ と な る.そ

して

μ(An-xn)=τxnμ(An)だ

とな る.こ

を 得 て, 

  で あ る が,こ

か ら,‖

μ-τxnμ‖tot≦ ε よ り,

れ が す べ て のnに 対 し て成立 す るの で ε<1に 反 す る.  (証 明終)

れ は 

 定 理25.3  E′に お い て角 谷 位 相 は 弱 位 相 よ り強 い.   証 明   E′は 角谷 位 相 に関 し て も弱 位 相 に 関 し て も位 相 群 だ か ら,原 点 の と ころ で比 較 すれ ば よい.よ

って 弱 開 集 合Uが0を

含 む 限 り ∃ε>0,Vε ⊂Uと

な る こ と を言 え ば よい.   帰 謬 法 に よ り,∀ε>0,Vε ∩Uc≠ φ とす る.Vε ∩Ucは で ε<1の

と きは,弱

εに つ い て単 調 減 少

コ ンパ ク トだか ら,有 限交 叉性 よ り完 全 交 叉 性 が 従 い

  で な く て は な ら な い.こ

れ は 

に 反 す る. (証 明終)

  定 理25.4  り,よ

E′ は 角 谷 位 相 で 完 備 で あ る.ま

っ てTμ

  証 明  xn∈E′ よ り{xn}は

は 角 谷 位 相 で 閉 集 合 とな

も 角 谷 位 相 で 完 備 で あ る. で,{xn}は

角 谷 位 相 に 関 す る コ ー シ ー 列 と す る.定

弱 位 相 に 関 し て も コー シ ー 列 で,よ ∃x0∈E′,xn→x0(弱

と な る.よ

たTμ

っ て 定 理25.1の

理25.3

っ てE′ の 弱 完 備 性 に よ り 位 相 で)

証 明 の 中 で 見 た よ うに(25.6)のS0を

用 いて

 (25.8)

を 得 る.   一 方 角 谷 位 相 の 定 義 よ り,{τxnμ}はB(E′,BE)で B(E′,BE)の

と な る.よ

完備性に よ り

っ て もち ろん

コー シ ー 列 を な す の で

 (25.9)

と な る.(25.8)と

で あ り,

比 較 す る と ∀φ ∈S0, 

し た がっ て‖ τx0μ-μ0‖tot=0,す

な わ ち μ0=τx0μ を 得 る.

  よっ て‖ τxnμ-τx0μ‖tot→0と

{xn}は 角 谷位 相 に 関 しx0に

な り,こ

れ はd(xn,x0)→0を

収 束 す る.

 次 にTμ が 閉 集 合 で あ る こ とを 証 明す る.B∈BEの

で あ るか ら,μ(B-x)は

意 味 し,

とき

角 谷位 相 に 関 して 連 続 関 数 で あ る.

 よ っ てNB={x;μ(B-x)=0}と

お く とNBは

 も閉集 合 で あ る.そ

角 谷 位 相 に 関 し 閉 集 合 で,

し てTμ=N∩(-N)だ

か らTμ は 角 谷 位 相

で 閉集 合 で あ る.    定 理25.5 

(証 明終)

μ,ν∈B(E′,BE)の

と き, 

な らば μか ら き ま る角 谷 位 相 は ν

か ら き ま る 角 谷 位相 よ り強 い.   系   ν∼ μ の と き,両   定理 の 証 明

 

者 の 角 谷 位 相 は 一 致 す る. よ り,∃f∈L1(μ),dν=fdμ

と な る.そ

こ で(25.5)を

適用

す ると  (25.10)

で あ る.と

こ ろ が 定 理25.1の

αS0,‖f-ψ‖L1(μ)<ε

そ れゆえ(25.10)に

証 明 の 中 で 示 し た よ うに

で あ る.こ

の と き φ∈S0に

∀ε>0,∃ α>0,∃

対 し φψ∈ αS0だ

ψ∈

か ら

より

 (25.11)

を 得 る.ψ ∈ αS0だ

か ら,弱

位 相 でx→0の

角 谷 位 相 は 弱 位 相 よ り強 い か ら,ψ

と き 右 辺 第 二 項 は0に

を 一 つ き め る ご と に(25.11)右

収 束 す る. 辺 の第一 項,

第 二 項 は と も に,‖ μ-τxμ‖totさ え 十 分 小 さ け れ ば い く ら で も0に ε>0は

任 意 で あ る か ら,こ

味 し,よっ

近 くで き る.

れ は‖ μ-τxμ‖tot→0⇒‖ν-τxν‖tot→0を

意

てμ か ら き ま る 角 谷 位 相 は νか ら き ま る 角 谷 位 相 よ り強 い. (証 明 終)

  同 様 な 論 法 で 次 の こ と も 証 明 で き る.   定 理25.6  fがBE可 E′∋x→

測 有 界 関 数 の と き,τxf(y)=f(y-x)と

τxf∈L1(μ)の

写 像 は 角 谷 位 相 とL1(μ)の

お い て,

位 相 に 関 して 連 続 で あ

る.   証 明  ‖f‖≦1と

し て よ い.∃ φ∈S0,‖f-φ‖L1(μ)<ε

で あ るが,

で あっ て  ゆえ

第三項 とな る.こ れ ら の不 等 式 よ り定 理 の 成立 す る こ とが わ か る.   系  B∈BEの

と き 

はxの

(証 明 終)

関 数 と して 角 谷位 相 に 関 し 連 続

で あ る. な ぜ な らf(y)=1

for y∈B,=0

for 

とす る と 

で あ るか ら,定 理 の特 別 な場 合 とな る.

  定 理25.1∼25.3で はE′ の 弱 位 相 は 角 谷 位 相 よ り弱 い こ とを示 し た.今

度は

角 谷 位 相 よ り強 い 位 相 に つ い て 述 べ よ う.ま ず  (25.12) 

Tμ0={x∈E′;∀

と お く.Tμ0はTμ Lemma

2  x∈Tμ0の

と き, 

ら れ る一 次 元 空 間 の 上 で,ユ す る.こ

で あ る.す

な わ ち,xで

ー ク リッド 位 相 は 角 谷 位 相 よ り強 い.(実

張

は一 致

の 一 次 元 空 間 上 で 弱 位 相 と ユ ー ク リ ッ ド位 相 は一致 す る か ら).

  証 明   xで

張 ら れ る 一 次 元 空 間 をFと

  F上 に 一次 元 ル ベ ー グ 測 度 を 考え,こ そ し てμ=μ*mを た μ はF準

α>0,αx∈Tμ}

に 含 ま れ る 最 大 の ベ ク トル 空 間 で あ る.

考 え よ う.mはF不

不 変 でFはmに

記 す.FはE′

の 部 分 空 間 で あ る.

れ をE′ に 埋 め こ ん だ も の をmと 変 測 度 だ か ら,μ

関 し て 厚 い 集 合 だ か ら,た

もF不

書 く.

変 で あ る.ま

た み 込 込 の 定 義(23.1)

に よ りμ ∼μ を 得 る.す なわ ちμ は μ と同 値 なF不  ∃ξ∈E,x(ξ)=1で

変 測 度 で あ る.

あ るが,こ の ξで 張 られ る一 次 元 空 間(Eの

部 分 空 間)を

Rと す る と き,μ のR′ へ の 射 影 は 準 有 界 で あ る こ とを 示 そ う.い まR1の ル集 合Aに

対し

 (25.13)  と お く と,任  

ボレ

BA={y∈E′;y(ξ)∈A} 意 のz∈E′

に 対 し(BA-z)∩F={αx;α

m(BA-z)=Lebesgue

measure

of

∈A-z(ξ)}と

A-z(ξ)=Lebesgue

な るか ら

measure

of

A

とな り  (25.14)

を 得 る.こ

う し て μ のR′ へ の 射 影 は一 次 元 ル ベ ー グ 測 度 に な る こ と が わ か っ

た.   μ∼μ だ か ら,∃f∈L1(μ),dμ=fdμ

と な る.こ

の と き(25.6)のS0を

用 いて

 (25.15)

が 成 り立 つ こ とを示 そ う.L1(μ)に 界 と仮 定 し て さ し つ かえ な い.さ

お い て有 界関 数 全 体 は 稠 密 だ か ら,fは

有

らに 適 当 に 定 数 倍 す る こ と に よ り,‖f‖ ≦1

の場 合 だ け 証 明 で きれ ば 十 分 で あ る.  ま ず 

で あ る.ま

よ り,

たμ のB[-n,n]へ

の 制 限 は 有 界 測 度 だ か ら,定

理25.1の

証 明 の 中

で 示 し た よ うに,

と な る.次

にR1に

0≦Fε(t)≦1 for φ(y)Fε(y(ξ))と

お い て,Fε(t)=1

for￨t￨≦n,Fε(t)=0

 を み た す 連 続 関 数Fε(t)を お く と,ψ ∈S0で

あって 

for 

考 え て,ψ(y)= しか も

と な る か ら,‖f-ψ‖L1(μ)<ε

で あ る.こ

 あ と は 容 易 で あ る.dμ=fdμ り,(24.15)よ

れ で(25.15)が

でμ がF不

証 明 さ れ た.

変 だ か ら,d(τ αxμ)=ταxfdμ

とな

り

を 得 る.よっ

て(25.15)の

で あ る が,μ

がF不

変 な の で 右 辺 第 三 項 は 第 一 項 に ひ と し い.ま

と き 弱 位 相 で αx→0で

あ り,し

ψ を 一 つ き め る と,第 わ す と α→0の

ψ を取 る と

二 項 は0に

た α →0の

た がっ て ψ∈aS0,Car(ψ)⊂B[-n,n]と 収 束 す る.こ

な る

の こ と を‖f-ψ‖L1(μ)<ε

と き‖ μ-τ αxμ‖tot→0と な る こ と,す

な わ ちLemma

成 立 が 証 明 で き た. 

と 合 2の

(証 明 終)

  定 理25.7  FはTμ0の

部 分 ベ ク トル空 間 で,完 備 か つ距 離 の つ く位 相 τで位

相 ベ ク トル空 間 に なっ て い る とす る.も し τがE′ の 弱位 相(のFへ

の 制 限)よ

り強 け れ ば,τ は 角 谷 位 相 よ りも強 い.   系   Tμ0の 有 限 次 元 部 分 空間 に お い ては,ユ

ー ク リッ ド位 相 と角谷 位 相 は 一

致 す る.   定 理 の 証 明   角 谷 位 相 に 関 す る0の 理25.2に

閉 球Vε={x∈E′;d(0,x)≦

よ り弱 閉 集 合 で あ り,τ は 弱 位 相 よ り強 い の でVε

閉 集 合 で あ る.ま

たLemma

あ る か ら,∃n,x∃nVε

2よ で あ る.す

り ∀x∈F,∃

α0>0,￨α￨≦

な わ ち 

てベール

U⊂Vε ∩F-x⊂V2ε

αx∃Vε

の 定 理 「完 備 距 離 空 間 に お い て は,内

点 を もた な い 閉 集 合

に 関 す る0の ∩Fを

∀ε>0∃U(τ

得 る.こ

∩Fは

∩Fは

τに 関 して 内 点 を

τに 関 し て 内 点 を も つ.す

近 傍),x+U⊂Vε

∩Fと

な る.そ

れゆ え

う して

に 関 す る0の

近 傍),U⊂Vε

∩F

が わか り,こ れ は 位 相 τが 角 谷位 相 よ り強 い こ とを 意 味 す る. 

  角 谷 位 相 はTμ0の

で

τに関 し て閉 集 合 で

び ス カ ラ ー 倍 の 連 続 性 に よ り,Vε

な わ ち∃x∈F,∃U(τ

α0⇒

∩Fも

の 可 算 個 の 合 併 は 内 点 を も た な い 」 に よ り,∃n,nVε も つ.再

τに 関 し て

を 得 る.

  ベ ク トル の ス カ ラ ー 倍 は τに 関 し連 続 な の でnVε あ る.よっ

ε}は,定 ∩Fは

(証 明 終)

上 で も ベ ク トル の ス カ ラ ー 倍 を 連 続 に す る とは 限 ら な い.

し か し 角 谷 位 相 を 少 し 強 く し て,ス   定 理25.8 

Fは

ベ ク トル 空 間,τ

カ ラ ー 倍 が 連 続 に な る よ うに で き る. はF上

の 位 相 と し,Fは

(加 法 に つ い て)に なっ て い る とす る.τ に 関 す る0の し,次

τに 関 して 位 相 群

基 本 近 傍 系 をB={V}と

の こ と を 仮 定 す る.

 (25.16) 

∀x∈F 

∀V∈B ∃

α0>0, ￨α￨≦

α0⇒

αx∈V.

この とき  (25.17)

と し て,U={UV}V∈Uを0の Fを

基 本 近 傍 系 とす るF上

の 位 相 τ′ は,τ

よ り強 く て

位 相 ベ ク トル 空 間 に す る 位 相 の う ち 最 弱 の も の で あ る.

 こ の 位 相 τ′を,τ   証 明  τ″はF上 る.こ

の 線 型 化 と 言 う. の 位 相 で τ よ り強 くFを

の と き ∀V∈B,∃

で あ り,し

α0>0,∃U(τ″

た がっ て α0U⊂UVで

τ″に お け る0の

近 傍 だ か ら,こ

  次 に τ′ がFを 定 め,x∈Fの

位 相 ベ ク トル 空 間 に す る も の と す

で の0の

あ る.ス

近 傍),￨α￨≦

α0⇒

カ ラ ー 倍 の 連 続 性 よ り,α0Uも

位 相

れ は τ″が τ′よ り強 い こ と を 意 味 す る.

位 相 ベ ク トル空 間 に す る こ とを 示 す.0の 基 本 近 傍 系 を{x+UV}V∈Uで

相 を τ′とす るわ け だ が),ベ

αU⊂V

基 本 近 傍 系 をUで

定 め るこ とに よ り,(実 は この位

ク トル の 加 法 は連 続 となっ てFは

位 相 群 に な る.

  ス カ ラ ー倍 の 連 続 性 を示 す に は  1)   2)   3)

の 三 つ を 証 明す れ ば よい.  (25.17)よ

  UV,し

だ か ら,

り 

た が っ てV0=V,α0=1と

次 に 

し て 上 記1)は

を 一 つ 与え た と き,￨α￨
￨α￨≦1な

成 立 す る.

な る整数nを

選 ぶ.τ

の 加 法 を 連 続 に す るの で,  な る.両 辺 に β を 掛 け て共 通 部 分 を 取 る と

が 得 られ て2)も 証 明 され た.

は ベ ク トル で あ る.よ

個 ってnVn⊂Vと

ら αUV⊂

  最 後 に 仮 定(25.16)よ な る.そ

れ ゆ え￨α￨≦

と

り  α0な ら 

と なっ て3)も

明 され た.   定 理25.9 

証

(証 明終) Tμ0は 角 谷 位 相 の 線 型 化 に 関 し て 完 備 で あ る.

  証 明   角 谷 位 相 の 閉 球Vε={x;d(0,x)≦

ε}に 対 し

で あ るか ら,角 谷位 相 の線 型 化 は 距 離  (25.18)

に よっ て 定 ま る 位 相 で あ る.こ ばd0(xn,xm)→0だ {αxn}は

の 位 相 に 関 し{xn}⊂Tμ0が

か ら,￨α￨≦1の

限 りd(αxn,αxm)→0で

角 谷 位 相 に 関 す る コ ー シ ー 列 と な る.よ

完 備 性 に よ り∃yα∈Tμ,d(αxn,yα)→0と

弱 収 束 す る の で,αxnは

な くて は な ら な い.そ る.一

方Aは

な い.こ

ち ろ ん 弱 位 相 で もyα に 収 束 す る.

部 分 群 だ か ら,結

う し て ∀α∈R1,αy1∈Tμ

0と な り,{xn}は

か も こ の 収 束 は￨α￨≦1

αy1に 弱 収 束 し,よ

れ ゆ えA={α;αy1∈Tμ}と

加 法 に つ い てR1の

 さ ら にyα=αy1を

っ てyα=αy1で

お く とA⊃[-1,1]で 局A=R1で

とな り,y1∈Tμ0で

代 入 し て 

あ

な くては な ら

あ る. す な わ ちd0(xn,y1)→

角 谷位 相 の 線 型 化 に 関 してy1に

収 束 す る.こ

角 谷位 相 の線 型 化 に 関 し完 備 で あ る. 

  F⊂Tμ0で,FはE′

の

で あ る.

角 谷 位 相 でyα に 収 束 す る の で,も

特 にxnはy1に

あ り,

っ て 角 谷 位 相 に 関 す るTμ

な る.し

に 関 して一様 で あ り,    αxnは

コー シー 列 を な せ

うしてTμ0は (証 明終)

の 弱 位 相 よ り強 い 或 る完 備 距 離 位 相 τで位 相 ベ ク トル

空 間 に な る とき,定 理25.7よ

りτは角 谷位 相 よ り強 い が,定

τは 角 谷位 相 の線 型 化 よ り も強 い.特にF=Tμ0の

理25.8を 見 る と

とき,τ は 角谷 位 相 の線 型

化 と一 致 す る(バ ナッ ハ の定 理:「 完 備 で 距 離 の つ く位 相 ベ ク トル空 間E,Fに お い て,Eか

らFへ

の線 型 双 射fが

連 続 で あ れ ば,逆 写像f-1も

必然的に連

続 に な る」 に よ る).し た が っ て,Tμ0上 で 「E′の 弱 位 相 よ り強 くて,Tμ0を 完 備 距 離 位 相 ベ ク トル空 間 とす る位 相 は た だ 一 つ しか な く,そ れ は 角 谷位 相 の線

型 化 で あ る」 と結 論 され る.こ の こ と よ り,集 合 とし てTμ0を 定 め れ ば,角 谷 位 相 の線 型 化 も定 ま って し ま う.例 え ばR∞ 上 の 測 度μ に つ い て,集 合 と して Tμ=(l2)が わ か れ ば,角 谷 位 相 の線 型 化 は 必 然 的 に(l2)の 位 相 と 一 致 す る わ け で あ る.

 §26 Tμ の 評 価  前 §の結 果 を用 い て,Tμが

どの 程 度 の ひ ろ が りを 持 つ か に つ い て 考 察 す る

こ とが で き る.ま ず 宿題 の定 理23.3を 導 くこ とか ら始 め よ う.そ の 準 備 と して  定 理26.1  可 測 空 間(E′,BE)上

の確 率 測 度 μ につ い て

 (26.1)

が 成 り立 つ.た

だ しVε は 角 谷 位 相 の 閉 球Vε={x;d(0,x)≦

  証 明   定 理25.6の μ(B)>0な

系 に よ り, 

ε}で あ る.

は 角 谷 位 相 に 関 し 速 続 だ か ら,

ら ば∃ ε>0, 

と な る.そ

μ(B∩(B+x))>0で

あ り,よ

っ てB∩(B+x)≠

を 意 味 す る.こ

れ が す べ て のx∈Vε

φ で あ り,こ

れゆえ

れ はx∈B-B

に 対 し て 成 り立 つ の でVε ⊂B-Bで

る. 

あ

(証 明 終)

  系   定 理26.1と

同 じ 設 定 で,YはE′

の 部 分 空 間 で,E′

の 弱 位相 よ り 強 い

或 る 完 備 距 離 位 相 τで 位 相 ベ ク トル 空間 に なっ て い る と す る.Y⊂Tμ   (26.2) 

∀B∈BE,μ(B)>0⇒∃V(τ

で の0の

な ら ば,

近 傍),V⊂B-B

と な る. な ぜ な ら 定 理25.7よ

  定 理23.3の

り,τ は 角 谷 位 相 よ り強 い か ら で あ る.

証 明   Xは

の 位 相 的 共 役 空 間 をX*と

可 分 で 距 離 の つ く局 所 凸 位 相 ベ ク トル 空 間 と し,そ す る.ξ ∈X*に

の 最 小 の 可 算 加 法 的 集 合 族 をBX*と   X*の

代 数 的 共 役 空 間(X*)′

対 し ξ(x)を

し,(X,BX*)上に

上 に 同 じ く ξ∈X*に

に す る 最 小 の 可 算 加 法 的 集 合 族 が 考え ら れ,こ   X⊂(X*)′ あ る.そ  (26.3) 

とみ な さ れ る が,こ

す べ て 可 測 に す るX 測 度 μ を 考 え る.

対 しx(ξ)を

すべて可 測

れ を 区別 の た めBX*′

の と き 容 易 に わ か る よ うにBX*=BX*′

れゆ え μ1(B)=μ(B∩X) 

∀B∈BX*′

と 記 す. ∩Xで

と お い て,(X,BX*)上

の 測 度 μ は,((X*)′,BX*′)上

の 測 度 μ1と し て 埋 め こ

め る.   Y(⊂X)は

完 備 で 距 離 の つ くベ ク トル 空 間 で,Y→Xの

す る.こ

の と き 当 然Y→(X*)′

な る.す

な わ ちYの

  μ がY準

の 埋 め こ み は,(X*)′

位 相 は(X*)′

き ま る μ1もY準

不 変 で あ る.よ

系に よ り (Yの0の

 (26.4) 

と な る.V⊂B-Bは x))>0か

の弱 位 相 に 関 し連 続 と

の 弱 位 相 よ り強 い.

不 変 な 有 界 測 度 な ら ば,(26.3)で

っ て 定 理26.1の

埋 め こみ は連 続 と

定 理26.1の

証 明 に 戻 っ て み る と,x∈V⇒

ら 出 て 来 る の で あ る が,今

導 か れ る の で(26.4)の

近 傍), 

の 場 合(26.3)か

μ1(B∩(B+

らB∩(B+x)∩X≠

結 論 よ り強 く,V⊂B∩X-B∩Xが

φが

出 て 来 る.し

た が

って (Yの0の

 (26.5)

近 傍), 

が 結 論 され る.   そ れ ゆ え 定 理23.3の 証 明 の た め に は,B-BがXの

全 有 界集 合に な る よ う

に 選 べ る こ とを 言え ば よい.   Xの 完備 化 をXと

す る とX*=X*で

あ り,(X,BX*)上

上 の測 度 に も埋 め こめ る.よ って 始 め か らXが

の測 度 μ は(X,BX*)

完 備 と仮 定 し て定 理 が 証 明 で

きれ ば 十 分 で あ る.   Xが

完 備 可 分 距 離 空 間 の と き は,上

は コ ン パ ク ト正 則 な の で,特 K-Kは

に∃K(コ

巻,定

理10.1に

よ り任 意 の ボ レ ル 測 度 μ

ン パ ク ト),μ(K)>0で

あ る.こ

のとき

も ち ろ ん コ ン パ ク トだ か ら全 有 界 で も あ る.

  あ と は 完 備 可 分 距 離 位 相 ベ ク トル 空 間Xに

対 し,BX*上

ル 測 度 で あ る こ と,す

ボ レ ル 集 合 族)と な る こ とを 示 せ

ば よ い.Xの

弱 位 相 に 関 す る ボ レ ル 集 合 族 をBwと

系に よ りB=Bwで そ れ に はXの

な わ ちBX*=B(=Xの

あ る.BX*⊂Bwは 任 意 の 弱 開 集 合 がBX*に

す る と,上

の測 度 は必 ず ボ レ

巻,定

明 ら か だ か らBw⊂BX*を

理14.5の

証 明 し よ う.

属 す こ と を 言 え ば よ い.

  Xは 可分 距 離 空 間 な の で第 二 可 算 公 理 をみ た し,よ

っ てXの

任 意 の 開集 合

は リン デ レー フ の 性 質(任 意 の開 被 覆 が 可 算 開 被 覆 を 含む)を み たす.弱

開集 合

は 強 開 集合 で もあ るか ら,当 然 リンデ レー フの性 質 を み た して い る.OをXの

弱 開 集 合 と して,Oの

各 点xに,Oに

選 ぶ こ とが で き る.Oは O∈BX*で

含 まれ る 弱 開近 傍 でBX*に

属 す もの を

この よ うな もの の 可算 合 併 と して 書 け,し

た がっ て

あ る.

  こ うし てBX*=Bが

証 明 され,こ

  系(定 理23.3の) 

れ で 定理 の 証 明は 完 結 した.  (証 明終)

Xは 完 備 可 分 で 距 離 のつ く局 所 凸 ベ ク トル空 間(例 え ば 可

分 な バ ナッ ハ 空 間,可 分 な フ レ シ ェ空 間)と す る.μ はX上 Xの 閉 部 分 空 間Yに

対 しY凖

な ら な い.言 い か え れ ば,Tμは   な ぜ な らYはXの 定 理23.3に

不 変 で あ る とす る と,Yは

の ボ レル測 度 で, 有 限 次 元 で な くて は

無 限 次 元 閉部 分 空 間 を 含 まな い.

部 分 空 間 の位 相 で 完 備 距離 位 相 ベ ク トル 空 間 に な るの で,

よ り,Yの

或 る近 傍 は 同 じ位相 で 全 有界 に な る.す な わ ちYは

所 全 有 界 に な る.と こ ろが 局 所 全 有 界 位 相 が 入 るの はYが

局

有 限 次 元 の場 合 だ

け で あ る.(上 巻,定 理25.2).

  例   R∞ 上 の 測 度 に つ い て 考 え る.p乗 (lp)⊂(lp′)で あ る.し

か し,「p′<∞

な ら

の と き(lp′)上 の ボ レ ル 測 度 で(lp)-準

変 な も の は 存 在 し な い 」.な ぜ な ら(lp)の い か ら(ek=(0,0,…,1,0,…)(第k座

可 総 和 な 数 列 全 体(lp)はp
単 位 球 は(lp′)の

標 だ け1)と

不

ノル ムで 全 有 界 でな

し て‖ek‖p=1,‖ek-el‖p′ ≧1

で あ る か ら).   p′=∞

の と き は(l∞)は

は 適 用 で き な い.実

バ ナ ッ ハ 空 間 で は あ る が 可 分 で な い の で,定

際 後 に §32で 示 す 通 り,「R∞

上 の ボ レ ル 測 度 で(l∞)の

に 乗っ て い て(l1)準 不 変 な もの が 存 在 す る」.し か し  (xn)の

  次 に 定 理23.2の

適 用 さ れ,「(l0∞)

不 変 な も の は 存 在 し な い 」.

証 明 の 中 で 保 留 し てお い た こ と を 証 明 す る.定

の 場 合 は 最 強 位 相(ユ

上

をみたす数 列

全 体(l0∞)は‖・‖∞ に 関 し て 可 分 な の で 定 理23.3が

上 の ボ レ ル 測 度 で(l1)準

理23.3

ー ク リ ッ ド位 相 の 帰納 極 限),b)の

相 が 角 谷 位 相 よ り強 い の で,次

理23.2でa)

場 合は指定された位

の こ と を 証 明 で き れ ば 十 分 で あ る.

  定 理26.2 

Y0,Yは

共 にE′ の 部 分 群 でY0⊂Y⊂Tμ

に 関 し てYの

中 で 稠 密 で あ れ ば,μ

がYエ

とす る.Y0が

角谷位相

ル ゴ ー ド的 で あ る こ とか らY0エ

ル

 

ゴ ー ド的 で あ る こ と が 従 う.   証 明  Yエ

ル ゴ ー ド的 と の こ と は,∀y∈Y, 

orμ(Bc)=0が

結 論 さ れ る こ と で あ る.(Y0に

Y0, 

か ら μ(B)=0 つ い て も 同 様).そ

か ら ∀y∈Y, 

ば よ い.と

こ ろ が 

が 出 て来 る こ とを示 せ

は 定 理25.6の

だ か ら 

系 に よ り角 谷 位 相 に 関 し 連 続

は 角 谷 位 相 で 閉 集 合 に な る.よ

を 含 め ば 当 然Yを

れ ゆ え ∀y∈

っ て これ がY0

も 含 む. 

 定 理23.3以 外 に も,前

(証 明 終)

§の結 果 を用 い てTμ

の ひ ろが りを評 価 す る こ とが

で き る.次 に そ の基 本 的 な 考 え方 と,適 用 例 を 二 つ ほ ど述 べ る.   定理26.3  YはE′

の部 分 空 間 で,E′ の弱 位 相 よ り強 い或 る位 相 τで完 備 距

離 位 相 ベ ク トル空 間 に なっ てい る とす る.Y0はYの の 中 で稠 密 な もの とす る.Y0準 条件 は,Y0上

不 変 測 度 μ がY準

部 分 空 間 で,位 相 τでY 不 変 で あ る た め の必 要 十 分

の関数

(26.6) が,y=0に

お い て 位 相 τ(のY0へ

  証 明   角 谷 位 相 は(24.19)の

の 制 限)に 関 し て 連 続 な こ と で あ る.

距 離d2;

 (26.7)

に よ っ て も 与 え ら れ る こ と を 注 意 す る.(26.7)で

ν=μ と お き,μ

が確率測度

で あ る こ とを 考 慮 す る と  (26.8)

と な る.よ

っ てF(y)がy=0で

こ と と 同 値 で あ り,し   い ま μ がY準

  逆 にY0上 示 そ う.Yの な る.こ

な わ ちY⊂Tμ っ てY0に

とす る と,定

の と き{yn}は

理25.7に

よ りY上

で τ

制 限 し て も τは 角 谷 位 相 よ り強 い.

で τが 角 谷 位 相 よ り強 い と す る.y∈Yを 中 でY0は

連続 な

た が っ て τが 角 谷 位 相 よ り強 い こ と と 同 値 で あ る.

不 変,す

は 角 谷 位 相 よ り強 い.よ

連 続 と言 う こ とは,d2(0,y)がy=0で

任 意 に 考 え てy∈Tμ

τに 関 し て 稠 密 な の で,∃{yn}⊂Y0,yn→yinτ も ち ろ ん τに 関 し て コ ー シ ー 列 で,Y0上

を と

では τは 角 谷

位 相 よ り強 い の で,{yn}は

角 谷 位 相 に 関 し て も コ ー シ ー 列 で あ る.そ

Tμ の 完 備 性 に よ り,∃y0∈Tμ,yn→y0(角

谷 位 相 で)と な る.と

τ も 角 谷 位 相 も 共 に 弱 位 相 よ り強 い の で,yn→y,yn→y0が り立 ち,よ

っ てy=y0で

あ る.こ

  この 定 理 に よ り,Tμ⊃Y0が

れ でy∈Tμ

よ り,Tμ の ひ ろ が りを 評 価 す る こ とが で き る.と

こ ろが 位 相

共 に 弱 位 相 で成

が わ か っ た. 

わ か った と き,F(y)の

れ ゆ え

(証 明 終)

連続 性 を 調 べ る こ と に ころ がF(y)の

連 続 性 を調

べ る問 題 は,次 に 説 明す る よ うに,ま た別 の 問 題 に 帰 着 さ れ る.   Lemma 

(26.6)のF(y)はY0上

で 正型,か

つY0の

任 意 の 有 限 次 元 部分 空

間 上 で 連 続 で あ る.   証 明  Y0⊂Tμ

だ か ら,Y0の

有 限 次 元 部 分 空 間R上

ユ ー ク リ ッ ド位 相 と角 谷 位 相 は 一 致 し,よ

  正 型 で あ る こ と を 示 す に は 準 備 が 少 し い る.ま 平 行 移 動 す る とd(τxν)=τxfd(τxμ)と

で は 定 理25.7の

つ てF(y)はR上 ずdν=fdμ

系 よ り,

で 連 続 で あ る. の と き,両

な る こ と が 容 易 に わ か る.す

辺 を

なわち

 (26.9)

で あ る.こ の こ と よ り(26.7)の な ぜ な ら,(26.7)でν=τxμ

を 得 る か ら で あ る.こ

距 離d2は

平 行 移 動 に 関 し 不 変 な こ と が わ か る.

とお くと

の こ と よ りまた

 (26.10)

が 成 り立 つ こ とがわ か る.   そ こ でn個 の 複 素 数 αjと,n個

が得 ら れ て,F(y)がY0上

のY0の

元yiに 対 し

で 正型 な こ とが わ か つた. 

(証 明終)

  こ のLemmaに

よ り,上 巻,第5章

の 始 め の 方 で 説 明 し た よ うに,Y0の

数 的 共 役 空 間Y0′ 上 に 確 率 測度ν が あ って,F(y)がν

代

の特性関数にな ること

が わ か る.す なわ ち  (26.11)

 こ のν を,μ に随 伴 す る測 度 と言 う.上 巻,第5章

で述 べ た よ うに,F(y)の

連

続 性 の議 論 は 或 る程 度ν の 台 の 議論 に 帰 着 され る.し たが って μ の準 不 変 性 を 調 べ る こ とが,ν の台 を調べ る こ とに 或 る程 度 帰 着 され る.   (26.11)に も な い.距 F(y)と

よ りν を μ に対 応 さ せ て も,こ 離d2は

の 対 応 Φ は 一 対 一 で も な く全 射 で

平 行 移 動 で 変 ら な い の で,μ に 対 す るF(y)と

は 変 ら ず,よ

Φ は 一 対 一 で な い.ま

τxμに 対 す る

つ て μ に対 し て も τxμに 対 し て も 同 じν が 得 ら れ る か ら, た(26.10)よ

り,F(y)は

偶 関 数(F(y)=F(-y))で

し た が つ て 対 応 す る 測 度ν も偶 測 度(ν(B)=ν(-B))で と な るν は 偶 測 度 だ け で,Φ

あ る.よ

あ り, っ てν=Φ(μ)

は 全 射 で は な い.

  この よ うにΦ は あ ま りは っき りし ない 対 応 であ るけ れ ども,前 述 の よ うに μ の 準 不 変 性 をν の 台 の 議論 に 帰 着 で き る利 点 が あ る.た だ し上 巻,第5章

で述

べ た よ うに,測 度 の台 と特 性 関 数 の連 続 性 との 関 係 が 完全 に は解 明 され て い な い の で,「"或

る程 度"帰 着 で き る」 と しか 言 い よ うが な い.

  以 上 の方 針 に 従 う適 用例 を あ げ よ う.   定 理26.4  R∞上 の ボ レル 測 度 μ がR0∞ 準 不 変 で あ れ ば,必 然 的 にTμ R0∞ よ りも う少 し ひ ろ い.正 確 に は  (26.12)  (26.13)

が 成 り立 つ.   証 明   準 備 と し て 「R∞ 上 の 任 意 の 確 率 ボ レ ル 測 度ν に 対 し   (26.14) ∃b=(bn)∈R∞,ν(Hb)=1 が 成 り立 つ 」 こ と を 示 そ う.ま   (26.15) 

ず

An(c)={x=(xn)∈R∞;￨xn￨≦c}

は

で あ る.

と お く と,∀n,∃cn>0, 

それ ゆえ  x∈Aな

と お く と,ν(A)=1を

ら ば∃k,n≧k⇒￨xn￨≦cnで

得 る.一

方

あ るか ら

は有 界 し た が っ て 

と お く とA⊂Hbと

  さ て 定 理 の 証 明 に 入 り,R∞ Tμ⊃R0∞

と す る.こ

な り,ν(Hb)=1が

結 論 さ れ る.

上 の 確 率 ボ レ ル 測 度 μ がR0∞

準 不 変,す

の と き μ に 随 伴 す る 測 度ν が(R0∞)′=R∞上に

∃b∈R∞,ν(Hb)=1で

あ るか ら,ν の 特 性 関 数F(ξ)はR0∞

なわ ち 作 れ る.

上 でHbの

共 役 ノル

に 関 し て 連 続 で あ る.

ム 

  こ の ノ ル ム は,an=1/bn,と

し てHaにま

で 拡 張 さ れ,Haは

ル 空 間(実 際 は ヒ ル ベ ル ト空 間)に な る の で,定

理26.3に

完備距離 ベ ク ト

よ りTμ⊃Haで

あ る.

(証 明 終)   系  R∞ 上 の ボ レ ル 測 度 μ がR0∞ ス 測 度gが

あっ て,μ ∼g*μ

  な ぜ な らTμ

⊃Haと

準 不 変 で あ れ ば,R0∞

し て,nan=αnと

シ ュ ミ ッ ト的 に 埋 め こ ま れ て い る.よ をgと

す る と,第2章

っ て い る.す Haはgに関

準不 変 な 適 当 な ガ ウ

と な る. お く とHα はHaの つ てHα

で 述 べ た よ うに,gはHα

な わ ちTg=Hα

準 不 変 で あ っ てHaの

⊃R0∞,g(Ha)=1で

し て 厚 い 集 合 な の で,た

中 に ヒ ル ベ ル ト-

の ノル ムに 対 応 す る ガ ウス 測 度

あ る.μ

はHa準

上に乗 不 変 で,

た み 込 み の 定 義 よ りg*μ ∼ μ を 得 る.

  この 系 を 用 い る とR0∞ 準 不 変 測 度 に対 して,幾 つ か の興 味 あ る結 果 が 得 ら れ る.い まR∞ の 可 算 加 法 的 集 合 族Binvを  (26.16)

で 定 義 し よ う.(BはR∞   定 理26.5 

の ボ レ ル 集 合 族BR0∞

R∞ 上 のR0∞

の 略 記).す

ると

準 不 変 ボ レ ル 測 度 μ,νに対 し

  1)

  2)  μ がR0∞ た だ し μ￨Binvは   証 明   1),2)と

エ ル ゴ ー ド的  μ のBinvへ も

⇒

の 制 限 を 意 味 す る. は 明 ら か で あ る.

また は

 〓

はBinvに 制 限 してν が μに対 し 絶対 連続(μ が エ ル ゴ ー ド的)な ら,B

全 体 で もそ うだ と言 うこ とを主 張 し て い る.   μ,νをR∞

上 の 確 率 ボ レ ル 測 度 で 共 にR0∞

適 当 な ガ ウ ス 測 度gが

あ っ て μ∼g*μ,ν

準 不 変 と す る と,R0∞

∼g*ν

と な る.こ

準不変 な

の と きB∈Bに

対

し  (26.17)

で あ る.ν に 対 し て も 同 様 な こ と が 言え る.   と こ ろ が,gはR0∞

準 不 変 だ か ら{x∈R∞;g(B-x)>0}∈Binvで

と は 容 易 に わ か る.よ

つ て 

う こ と か らν 測 度 が0と

な ら,こ

言 う こ とが 出 て 来 る.よ

も ど し て,μ(B)=0⇒ν(B)=0が

あ るこ

の 集 合 の μ 測 度 が0と

っ て(26.17)の

わ か り, 

言

関 係 で も とに

が 示 さ れ た.す

な わ ち1)が

証 明 さ れ た.

 次 に μ￨BinvがR0∞ エ ル ゴー ド的 な ら,R0∞ 準 不 変 ボ レル 測度ν(≠0)が  とす る と, 

だ か ら μ￨Binvの

よ って証 明 ずみ の1)の

エ ル ゴ ー ド性 よ りν￨Binv∼

結 果 よ りν∼μ を 得 る.す な わ ち 

∼ μが 出 て 来 るわ け で ,こ

れ は μがB上

か ら必 然 的 に ν

の測 度 と してR0∞ エ ル ゴー ド的 で あ

る こ とを 意 味 す る.    x=(xn)∈R∞に

μ￨Binv,

(証 明 終)

対 し

 (26.18)

と す る と,写 Rn上

像(pn,pn′)に

よ りR∞

の ボ レ ル 測度μ1とR∞

はRn×R∞

と 同 型 で あ る.そ

上 の ボ レ ル 測度μ2に

対 し,直

積 測度

の 意 味 で, μ1×μ2が

R∞ 上 の ボ レ ル 測 度 と し て 得 ら れ る.   系(定 理26.5の)   (26.19)  と お く.Rn上

R∞ 上 のR0∞

準 不 変 ボ レ ル 測 度 μに 対 し

∀B∈B,μn(B)=μ(pn′-1(B)) の 任 意 のRn準

値 な 測 度)に 対 し μ∼m×

不 変 測 度m(す

μnで あ る.(す

な わ ちn次

な わ ち,μ

元 ル ベ ー グ測 度 と同

の 同 値 類 の 中 に(26.18)の

射 影 に 関 し 直 積 形 で 書 け る よ うな 測 度 が あ る).   な ぜ な ら 明 ら か にBinv⊂pn′-1(B)で

あ り,(26.19)よ

り μ￨pn′-1(B)=

m×

μn￨pn′-1(B)だ

か ら,定

  随 伴 測 度 を 用 い てTμ   定 理26.6  は(lp)よ

理26.5よ

り μ∼m×

μnで

あ る.

の ひ ろ が りを 議 論 す る 例 を も う一 つ あ げ よ う.

R∞ 上 の ボ レ ル 測 度 μ が(lp)準

り も う 少 し ひ ろ い.正

不 変 とす る.p>2の

と き は,Tμ

確には

 (26.20)

(p=∞

の と き は(l∞)の

  (26.20)の

右 辺 はTμ

こ と を 言 うに は,Haに lim￨an￨=0な

⊃(lp)+Haと

し て も よ い).

し て も よ い.こ

非 有 界 数 列(xn)が

れ が(lp)よ

り真 に 大 き い

属 し て い る こ と を 見 れ ば よ い.

の で 適 当 に 部 分 列(ank)を

で き る.そ (xn)は

か わ りに(l0∞)と

取 る と 

こで 

と な る よ うに

そ れ 以 外 のxn=0と

す なわ

非 有 界 数 列 で あ る が 

ち(xn)∈Haで

お く と,

あ る.

  定 理 の 証 明  まず 準 備 と して 「R∞上 の 確 率 ボ レル 測度ν とそ の特 性 関 数 χ に つ い て,R0∞

上 で(lp)の

ノル ムを‖・‖pであ らわ し て

が‖ξ‖pに関 し 連 続

 (26.21) 

が 成 り立 つ 」 こ と を 示 そ う.た =1で

だ しp=∞

の と き は(26.21)の

右 辺 をν((l2))

お き かえ る.

  p=∞

の と き,こ

る.p<∞

の 命 題 は 上 巻,§33(定

と す る.b=(bn)∈(lp),ξ=(ξn)∈R0∞

‖bξ‖p≦‖b‖p‖ ξ‖∞で あ る か ら,χ

が‖・‖pに

χ(bξ)は‖ξ‖∞ に 関 し て 連 続 で あ る.よ νb((l2))=1で

あ る.と

っ て 

証明ずみで あ

の と き,bξ=(bnξn)と

し て,

関 し て 連 続 と仮 定 す る とχb(ξ)=

つ て χbに 対応

で あ るか ら,B∈Bに で あ る.し

だ か ら  を 得 て(26.21)は

次 の 例)で

す る 測 度 をνbと し て

ころ が

た だ し  な り,よ

理33:4の

証 明 さ れ た.

対 し 

か る に  と な り,し

た が っ てν(Hb)=1

と

  さ て 定 理 の 証 明 に 入 り,R∞ る.こ

の と きTμ

⊃R0∞

特 性 関 数F(ξ)はR0∞

と な る.p>2の

上 の 確 率 ボ レ ル 測 度 μ に つ い てTμ⊃(lp)と

だ か ら,μ

に 随 伴 す る 測度ν がR∞

上 で‖ξ‖pに関 し 連 続 だ か ら(26.21)に

と き はb∈(lp), 

よ うに 選 ん で お く.そ

を み た すbは

す

上 に 作 れ る.ν の よ り

存 在 す る の で,bを

そ の

して

 (26.22)

と お く と,ν(Hb)=1よ

りν′ ∼ν で あ り,測

は可積

度ν′に 関 し て は 

分 で あ る.す な わ ち  (26.23)

を 得 る.と

こ ろ で 

る と∃n0,∃

ε>0,n≧n0⇒In≧

と な り,こ

よ りlimIn=0が

れ は 

 さてlimIn=0だ

導 け る.な

ぜ な らlimIn>0と

す

ε で あ るか ら

に 反 す る.

か ら,本 定 理 の 証 明 前 の注 意 で説 明 し た よ うに,適 当 な非

有 界 数 列c=(cn)が

あ っ て 

到 る と ころ 

と な る.こ

れ は ν′に 関 し て 殆 ん ど

と な る こ と を 示 し,ν ∼ν′で あ る か らν(Hc)=1で

る こ と を 導 く.必

要 な らcn2をcn2+bn2で

お き か え て,∀n,cn≠0を

あ

仮定 し

て お い て も さ し つ か え な い.  さ てν(Hc)=1だ

か ら,ν の 特 性 関 数F(ξ)は

に 関 し て 連 続 で あ る.こ

の ノ ル ム は 

共 役 ノル ム 

と し てHaに

ま で 拡 張 で き て,Ha

は この ノル ムに 関 して 完 備 距 離 空 間(実 は ヒル ベ ル ト空 間)に な るの で,定 理 26.3に

よ りTμ ⊃Haで

あ る.(cn)は

非 有 界 数 列 だ か ら, 

をみ たす.    注 意  p≦2の

はlim￨an￨=0

(証 明終) と き は,R∞

在 す る.§29末,例3参

照.

上 の ボ レ ル 測 度 μ でTμ=(lp)を

み たす ものが 存

  §27  特 性 位 相   (E′,BE)上 に 確 率 測 度 μが あ る と き,§25で 性 質 を調 べ て来 た.今 度 はEに

はE′ に 角 谷 位 相 を定 義 し そ の

位 相 を導 入 す る こ とを考 え よ う.

  μの 特 性 関 数 を χ とす る.そ して  (27.1)

と お く.不

等 式 

(上 巻,(24.10)式)に

よ り,

 (27.2)

で あ るか ら,各

ξ∈Eに 対 し{ξ+Vε}ε>0を 基 本 近 傍 系 とす る こ とに よ り,Eは

位 相 群(一 般 に ハ ウ ス ドル フ的 で な い)に な る.し か も χ(ξ)はEの 任 意 の有 限 次 元 空 間 上 で ユ ー ク リッ ド位 相 に 関 し 連 続 だ か ら  (27.3)

が 成 り立 つ.そ

れ ゆ え 定 理25.8に

よ り,こ の 位 相 の 線 型 化 を 考 え る こ と が で き

る.そ の基 本 近 傍 は 

で あ るが,書

きか え る と

 (27.4)

で あ る.{Uε}ε>0を0の 性 位 相 と言 う.そ E上

基 本 近 傍 系 と す る 位 相 を τμ と書 き,μ

れ は χ(ξ)を 連 続 に し,Eを

か ら き ま る特

位 相 ベ ク トル 空 間 に す る よ うな

の 最 弱 位 相 で あ る.

  τμ は ハ ウ ス ドル フ 的 と は 限 ら な い.  χ(αξ)=1で

あ り,結

味 す る.す

な わ ちM={ξ

局 ∀α∈R1,χ(α

ξ)=1だ

∈E;∀′(μ)x,x(ξ)=0}と

と言 う こ と は￨α￨≦1⇒ か ら,∀′(μ)x,x(ξ)=0を

意

し て,τ μは 商 空 間E/M

上 で ハ ウ ス ドル フ 的 位 相 と な る.   Eは

位 相 τ に 関 し て 位 相 ベ ク トル 空間 に な っ て い る と す る.τ μ の 定 義 よ り

「χ(ξ)が τに 関 し て 連 続 な こ と は,τ

がτμ よ り強 い こ と と 同 値 で あ る」.

  特 性 位 相 は 測 度 収 束 の位 相 と一 致 す る こ とを 示 そ う.準 備 の た め 測度 収 束 に つ い て説 明す る.   (X,B)は

可測 空 間,μ は そ の上 の確 率 測 度 とす る.X上

数 全 体 を〓 と書 く.〓 は ベ ク トル空 間 を なす.  し て0に 測 度収 束 す る とは  (27.5)

の 実 数 値B可

とし て,{fn}がμに

測関 関

が 成 り立 つ こ とで あ る.近 傍 を用 い て記 述 す る と  (27.6)

と し て,{Uα,ε}α>0,ε>0を0の

基 本 近 傍 系 と す る 位 相 を 考え る わ け で あ る.こ

の

位 相 を 測 度 収 束 の 位 相 と言 う.

が0の

 Uα ,εは α に つ い て も εに つ い て も 増 加 的 だ か ら,  近 傍 系 と な る.ま

た￨f(x)+g(x)￨≧

α+β

だ か らUα,ε+Uβ,δ ⊂Uα+β,ε+δと な り,〓 る.さ

ら に￨f(x)￨≧  ∀ε>0,∃

だ か らcUα,ε=U￨c￨α,ε

,ε と合 わ せ て,〓

な わ ち,〓

α ま た は￨g(x)￨≧

β

は 測 度 収 束 の 位 相 に 関 し 位 相 群 とな

α ⇔￨cf(x)￨≧￨c￨α

α>0,f∈Uα

あ る こ とが わ か る.す

⇒￨f(x)￨≧

基本

で あ り,

に お い て ス カラ ー倍 も連 続 で

は 測 度 収 束 の 位 相に 関 し 位 相 ベ ク トル 空 間 に

な る.

 測 度 収 束 の位 相 は 一 般 に〓 上 でハ ウ ス ドル フ的 で な く,  ∀′(μ)x,f(x)=0と て,測

同 値 で あ る.よ

度 収 束 の 位 相 は 商 空 間 

は

っ て 

とし

上 で ハ ウ ス ドル フ 的 と な る.

  (27.6)の 近 傍 系 は少 しわ か りに くい の で,測 度 収 束 の位 相 の別 の表 現 を 考 え て み よ う.   [0,∞)で 定義 さ れ た 有 界 連続 関数F(t)を

考 え る.そ して 

に対 し

 (27.7)

と お く.   Lemma 

1) IF(f)はf=0で

  2) 

測 度 収 束 の 位 相 に 関 し て 連 続 で あ る. な ら ば,IF(fn)→IF(0)か

ら{fn}が0に

測

度 収 束 す る こ とが 出 て 来 る.   証 明   1)に つ い て.

だ か ら, 

と分 け て積 分 す る と

 (27.8)

と評 価 され る.F(t)は

連続 関数 と仮 定 し て い る の で,ε>0が

与 え られ た とき,

δさ え 十 分 小 さ く取 れ ば(27.8)の な の で∃M>0,￨F(t)￨≦Mで の 限 り(27.8)の

第

あ る が,(27.6)でUδ,ε/2Mを

右 辺 第 二 項 は ε で 押 え ら れ る.こ と な り,こ

  2)に

一項 は ε よ り小 さ くな る.一

つ い て,仮

れ で1)は

定 よ りF(t)≧F(0)で

 した が つ て[0,∞)上

考え

有 界

てf∈Uδ,ε/2M

う し て 

証 明 さ れ た. あ り,

 そ れ ゆ え,fが  な る こ と が わ か る.こ

方F(t)は

を み た す 限 りf∈Uδ,ε と う し て2)も

証 明 さ れ た. 

(証明 終)

の 有 界 連 続 関 数F(t)が 

し て い る と きは,IF(fn)→IF(0)と{fn}が0に

をみた 測度 収 束 す る こ と とは 同 値

に な る.言 い か え れ ば 測 度 収 束 の 位 相 に 関 す る0の 基 本 近 傍 は  (27.9)

に よ り与 え ら れ る.特にF(t)が す.さ

らにF(0)=0でF(t)が

単 調 増 加 な とき はF(t)は

上記の仮定をみ た

上 に 凸 とす る と,d(f,g)=IF(f,g)と

し てd

は〓 上 の 距離に な り,測 度 収 束 の 位 相 は この 距 離 に よ り定 ま る も の と 一 致 す る.(正 確 に はdは〓

上 で は 擬 距 離 で,商 空 間 

上 で距 離 と な る.た だ し

 とす る).   特 に 

とす る と距 離dは

次 式 で 与 え られ る.

 (27.10)

  定 理27.1  可 測 空 間(X,B)上

の 確 率 測度 μ,νに つ い て, 

で あれ ば,μ

に 関 す る測 度 収 束 の位 相 はν に関 す る測度 収 束 の位相 よ り強 い.   系  μ∼ νで あ れ ば,両 者 の 測 度 収 束 の 位相 は 一 致 す る.  証 明  測 度 収 束 の位 相 で0の 近 傍は(27.6)に よ り与 え られ るの で  (27.11)

が 証 明 で き れ ば 十 分 で あ る.帰 ∃Bn∈B, 

謬 法 に よ る.(27.11)を

か つν(Bn)≧

ε で あ る と す る.こ

否 定 し て∃ ε>0,∀n, の{Bn}に

対 しB=

 と お く と,μ(B)=0か

つν(B)≧

ε と な り,こ

れ は

 に 反 す る. (証 明終)   再 び(E′,BE)上

の 測 度 の 場 合 に 戻 る.

  任 意 の ξ∈Eに

対 しx(ξ)は,(ξ

る.よ

っ て,E′

  定 理27.2 

上 のBE可

(E′,BE)上

を 固 定 し て)xの

測 関 数 全 体 を〓 と 記 す と, 

測 で あ

とみ な せ る.

に 確 率 測 度 μ が あ る とす る.E上

上 の 測 度 収 束 の 位 相(のEへ

で 特 性 位 相 は,〓

の 制 限)と 一 致 す る.

  証 明   F1(t)=1-cost,F2(t)=￨sint￨と 有 界 連 続 関 数 で あ る.よ

関 数 と し てBE可

お く とF1,F2と

っ てLemmaの1)に

束 の 位 相 に 関 し て 連 続 で あ る.と

も[0,∞)でtの

よ りIF1(f)もIF2(f)も

こ ろ でE上

だ か ら,χ(ξ)は 測 度 収 束 の位 相(のEへ

測度収

で

の 制 限)に 関 し て連 続 で あ る.こ

れは

測 度 収 束 の位 相 が 特 性 位 相 よ り強 い こ とを 意 味 す る.   逆 に ξが特 性 位 相 で の0の基 本 近 傍(27.4)に 属 し て い れ ば, ｜ α￨≦1⇒￨1-χ(α

ξ)￨<ε だ か ら,α

に つ い て-1か

ら1ま

で 平均 し て

 (27.12)

を 得 る.と ころ が 

は[0,∞)で

の 仮 定 を み た し て い る の で,(27.12)とLemmaの2)に

有 界 連 続 で か つLemmaの2) よ り,特

測 度 収 束 の 位 相 よ り強 い こ と が わ か る.    系  (E′,BE)上

(証 明 終)

の 確 率 測 度 μ,νに つ い て, 

位 相 はν か ら き ま る特 性 位 相 よ り強 い.特

性位相の 方が

な ら ば,μ

にν ∼μ な ら,両

か ら き ま る特 性 者 の 特性 位 相 は 一

致 す る.

  (E′,BE)上 るEの

に 確 率 測 度 μ が あ る と き,E上

位 相 的 共 役 空 間 をEμ*と

の 特 性 位 相 をτμ と し,τ μに 関 す

す る.(τ μは ハ ウ ス ドル フ 的 で も 局 所 凸 で も な

い か も 知 れ ぬ が,τ μに 関 し て 連 続 な 線 型 関 数 全 体 と し てEμ*を

定義 す る こ と

は で き る).   定 理27.3 Tμ

⊂Eμ*が

成 り立 つ.

  証 明   x∈Tμ

と す る と τxμ∼ μ だ か ら,τxμ

ら き ま る 特性 位 相 と一致 す る.μ

か ら き ま る 特 性 位 相 は μか

の 特 性 関 数 をχ と し て,τxμ

exp(ix(ξ))χ(ξ)で

あ り,し

exp(ix(ξ))χ(ξ)が

τμに 関 し て 連 続 と な る.χ(ξ)は

だ か ら,χ(ξ)≠0の て 連 続 で あ る.す

の特 性 関 数 は

た が っ て μ か ら き ま る 特 性 位 相 を τμと し て

と こ ろ で(特 に ξ=0の な わ ち(27.4)の

も ち ろ ん τμに 関 し て 連 続

と こ ろ で)exp(ix(ξ))は

形 の 近 傍Uδ

τμに 関 し

を適当に取 ると

ξ∈Uδ ⇒￨1-exp(ix(ξ))￨<ε と な る.ξ ∈Uδ

な ら￨α￨≦1の

で な く て は な ら ず,こ

限 り αξ∈Uδ

れ は￨x(ξ)￨が

だ か ら￨1-exp(iαx(ξ))￨<ε

小 さ い こ と を 意味 す る.( 

の とき

  が 結 論 さ れ る).   す な わ ち￨x(ξ)￨はUδ な こ と,す

な わ ちx∈Eμ*を

  任 意 のx∈Tμ   系   Eが

の 上 で 一 様 に 小 さ く,こ

れ はxが

意 味 す る.

に対 し て こ の こ と が 言 え る の で,Tμ

⊂Eμ*で

⊂Eτ*で

あ る .(Eτ*は

明 終)

τ に関 す る 位 相 的 共 役 空 間).

  な ぜ な ら χ が τに 関 し て 連 続 な ら τμは τ よ り弱 く,し

た が っ てEμ*⊂Eτ*

っ て 定 理 の 結 果 よ り系 を 得 る.

  こ の 系 に よ り,特

性 関 数 の 連 続 性 か ら,対

る程 度 の こ と が 言 え る.例

え ばR∞

(l2)の ノ ル ム に つ い て 連 続 な ら,Tμ

  Eの

あ る.(証

或 る 位 相 τ に 関 し て 位 相 ベ ク トル 空 間 に な っ て い て,特 性 関 数χ が

τ に 関 し て 連 続 な ら,Tμ

で あ る.よ

τμに 関 し て 連 続

部 分 集 合Aに

対 し,E′

応 す る測 度 の 準 不 変 性 に つ い て 或

上 の 測 度 μ に つ い て,特 性 関 数 がR0∞ ⊂(l2)で

上で

な くて は な ら な い.

上 で

 (27.13)

と お く.同

様 にE′ の 部 分 集 合A′ に 対 し,E上

で

 (27.14)

と お く.こ

れ ら は ∞に

な る か も 知 れ な い.‖x‖A<∞

の 部 分 ベ ク トル 空 間 を な し,そ

の 上 で‖・‖Aは

を み た すxの

全 体 はE′

半 ノル ム に な る.‖ ξ‖A′ につ い

て も同 様 で あ る.   定 理27.4 

YはE′

の 部 分 ベ ク トル 空 間 で,E′

の弱 位 相 よ り強 い 或 る完 備距

離 位 相 で 位 相 ベ ク トル 空 間 に な って い る と す る.Y⊂Tμ 傍Vを

適 当 に 取 る と,‖ξ‖VがE上

な ら ば,Yの0の

近

到 る と こ ろ 有 限 で,‖ξ‖Vか ら き ま る 位 相

(半 ノ ル ム空 間 に な る)は 特 性 位 相 τμよ り弱 い.   証 明  特 性 位 相 は 可 算 基 本 近 傍 系 を も つ.例  

は0の

え ば(27.4)の

基 本 近 傍 系 と な る.(27.13)で 

以 後 簡 単 の た め‖x‖nと

記 す.そ

形 の 集 合 で

に 対 応 す る 

を,

して

  (27.15) Sn={x∈E′;‖x‖n≦1} と お く. ￨x(ξ)￨≦1だ

か ら,SnはE′

そ れ ゆえSn∩Yは,Yの   一 方y∈Yを

の 弱 閉 集 合 で あ る.

閉 集 合 と な る.

任 意 に 取 る と,Y⊂Tμ

と な り 

⊂Eμ*だ

と な る.す

か ら,y(ξ)は

τμに 関 し て 連 続

な わ ちy∈Snで

あ る.こ

うし て

 が 成 り立 つ こ とが わ か っ た.   Yは

完 備 距 離 空 間 な の で ベ ー ル の 定 理 に よ り,内

合 併 は 内 点 を も た な い.よ な い.す

っ て,或

るSn∩Yは

点 を もた な い 閉 集 合 の可 算

内 点 を も って い な けれ ば な ら

なわち

  (27.16) 

∃y0∈Y,∃V(Yの0の

近 傍),y0+V⊂Sn∩Y

と な る.こ

のVが

  y∈Vと

す る と,y=(y0+y)-y0でy0+y∈Sn,y0∈Snだ

あ る.言

定 理 で 求 め て い る も の で あ る こ と を 検 証 し よ う.

い か え れ ば 

の 限 り￨y(ξ)￨≦2で

に 対 し て 成 立 す る の で,  と な り,こ

あ る.こ

を 得 る.そ

れ で‖ ξ‖VがE上

れ が す べ て のy∈V

れ ゆ え, 

到 る と こ ろ 有 限 な こ と,お

ル ム の 定 義 す る 位 相 が τμ よ り弱 い こ と,が   定 理27.5 

か ら‖y‖n≦2で

よび この半 ノ

同 時 に わ か っ た. 

(証 明 終)

Eは 位 相 τに 関 し て 局 所 凸 位 相 ベ ク トル 空 間 とす る.も

しEτ*⊂

Tμ で あ れ ば,τ は τμよ り弱 い.   証 明   τに 関 す る0の る‖x‖Uを EU*⊂Tμ り,そ

対 称 凸 近 傍Uを

一 つ 考 え る.E′

考 え,EU*={x∈E′;‖x‖U<∞}と が み た さ れ る.一

方EU*は

お く.当

ノ ル ム‖x‖Uに

の 位 相 はE′ の 弱 位 相 よ り強 い.そ

上 に(27.13)で 然EU*⊂Eτ*だ

対応す か ら,

関 して バ ナ ッハ空 間 と な

れ ゆ え 定 理27.4に

よ り,EU*の

或 る

近 傍Vが

選 べ る が,EU*は

  す る と 定 理27.4よ

ノ ル ム 空 間 な の でVは

り‖ ξ‖Vか ら き ま る 位 相 が τμ よ り弱 い.よ S={ξ

は τμに 関 す る0の

近 傍 を 含 む.と

∈E;‖

って

ξ‖V≦1}

こ ろ がV={x∈E′;‖x‖U≦1}だ

が 対 称 凸 集 合 で あ る こ と を 考 慮 す れ ばS=U(は τμに 関 す る0の

単 位 球 で あ る と考 え て よい .

か ら,U

閉 包)で あ る .よ

っ てUが

近 傍 を 含 む こ とに な る.

  こ の こ と が τに 関 す る0の

対 称 凸 近 傍Uの

相 群 の 位 相 は 正則 で あ る事 実 と 合 わ せ て),τ

す べ て に つ い て 言え る の で,(位 が τμ よ り弱 い こ と が 結 論 さ れ る. (証 明 終)

  系   Eは

位 相 τに 関 し て 局 所 凸 位 相 ベ ク トル 空 間 と す る.も

の 測 度 μ がEτ*準

不 変 で,特

し(E′,BE)上

性 関 数 χ が τ に 関 し て 連 続 な ら ば,Tμ=Eτ*か

つ τ と τμは 一 致 す る.   な ぜ な らEτ*準 る.ま

不 変 よ りTμ ⊃Eτ*,χ

が τ に 関 し て 連 続 よ りTμ ⊂Eτ*で

た χ が τに 関 し て 連 続 よ り τμは τ よ り弱 く,μ がEτ*準

あ

不 変 よ り τは

τμよ り弱 い.   例 え ばR∞

上 の ボ レ ル 測 度 μ が(l2)準

ム で 連 続 な ら,Tμ=(l2)か   も し Tμ=Eμ*と 系 に よ る と,こ

不 変 で,そ

つ 特 性 位 相 τμは(l2)の位

す れ ば,μ

はEμ*準

の 特 性 関 数 が(l2)の

ノ ル

相 と一 致 す る .

不 変 か つχ は τμに 関 し て 連 続 で あ る.

の よ うな こ と(或 る 位 相 τで μ がEτ*準

不 変,か

つχ は τに 関

し て 連 続)が 起 る の は 特 性 位 相 τμに 対 し て だ け だ と言 う こ と が わ か る.ま

た特

性 位 相 に 対 し て こ の よ うな こ と が 起 る た め の 必 要 十 分 条 件 はTμ=Eμ*が

成 り

立 つ こ と で あ る.

  以 上 の 結 果 を 用 い て,宿

題 と な っ て い た 定 理23.4(Daoの

定 理)の

証 明を 行

な お う.   定 理23.4の Xの

証 明  Xは

ヒル ベ ル ト空 間,Y(⊂X)も

埋 め 込 み が ヒ ル ベ ル ト-シ

ュ ミ ッ ト的 で あ る とす る.す

ぞ れ の 位相 を 定 め る 内 積 を(,)x,(,)Yと に 関 し て ヒ ル ベ ル ト-シ 測 度 は,第2章

ュ ミ ッ ト的 とす る.こ

で 見 た 通 り,Y準

ヒル ベ ル ト空 間 でY→

し て,Y上

,Yそ

れ

で(,)Xは(,)Y

の と ぎ(,)Yに

不 変 で あ っ てXの

な わ ちX

関す るガ ウ ス

上 に 乗 っ て い る.よ

って 定

理23.4の

う ち 十 分 性 は 示 さ れ た.

  必 要 性 の 証 明 を し よ う.X⊂(X*)′ ((X*)′,BX*)上 Xの

と み な し て,(X,BX*)上

の 測 度 と し て 埋 め こ め る.Y(⊂X)も

埋 め 込 み が 連 続 と す れ ば,Yの

ル ム を‖・‖X,Yの

ノル ム を‖

ヒル ベ ル ト空 間 でY→

位 相 は(X*)′

の 弱 位 相 よ り強 い.Xの

・‖Yと し,X*上

で‖

‖・‖X′,‖・‖Yの 共 役 ノル ム を‖・‖Y′ と 記 す.も 27.4に

よ りX*上

の測 度 μ は

しY⊂Tμ

とす れ ば,定

で‖ ・‖Y′は 特 性 位 相 τμに 関 し て 連 続 で あ る.一

の 上 に 乗 っ て い る の で,サ

ザ ノ フ の 定 理(上 巻,定

ノ

・‖Xの 共 役 ノ ル ム を

理30.2)に

理

方 μ はX

よ り,特

性関数 χ

は‖・‖X′ の サ ザ ノ フ位 相 に 関 し て 連 続 とな り,特 性 位 相 は‖・‖X′ の サ ザ ノ フ 位 相 よ り弱 い.よ こ れ は‖

っ て‖・‖Y′ は‖ ・‖X′の サ ザ ノ フ 位 相 に 関 し て 連 続 とな り,

・‖Y′が‖・‖X′ に 関 し て ヒル ベ ル ト-シ

味 す る.こ

の こ とか らY上

ト的 と な る.(上

で,‖・‖Xは‖・‖Yに

巻,§32のLemma

2に

ュ ミ ッ ト的 で あ る こ と を 意 関 し て ヒル ベ ル ト-シ ュ ミ ッ

よ る).こ

が ヒ ル ベ ル ト-シ ュ ミ ッ ト的 で あ る こ と を 意 味 し,定

れ はY→Xの 理23.4の

埋め 込 み 必 要 性 が証 明 で

き た. 

(証 明 終)

  定 理23.4はYが

完 備 距 離 空 間 で あ る 場 合 に ま で 一 般 化 で き る.

  定 理27.6 

ヒル ベ ル ト空 間,Y(⊂X)は

Y→Xの

Xは

埋 め 込 み は 連 続 と す る.(X,BX*)上

る た め の 必 要 十 分 条 件 は,Y上 はYの

位 相 で 連 続,か

つY上

完 備距 離位 相 ベ ク トル 空 間 で にY準

不 変 な有 界 測度 が存 在 す

に ヒ ル ベ ル ト的 ノ ル ム‖ ・‖Hが あ っ て,‖・‖H でXの

ノ ル ム‖・‖Xが‖

・‖Hに 関 し て ヒル ベ

ル ト-シ ュ ミ ッ ト的 に な る こ と で あ る.   証 明   十 分 性 を 言 うに は,‖・‖Hに

関 す る ガ ウ ス 測 度 を 考 え れ ば よ い.

  必 要 性 の 証 明 に は,上

証 明 と同 様 に し て,Yの0の

あ っ てX*上

記 定 理23.4の

で‖ ξ‖Vは 特 性 位 相 に 関 し て 連 続 で あ る.ま

近傍Vが

た 特 性 位 相 は‖ ・‖X′

の サ ザ ノ フ位 相 よ り弱 い の で,‖・‖X′ に 関 し て ヒ ル ベ ル ト-シ ュ ミ ッ ト的 な ヒ ル ベ ル ト的 半 ノ ル ム‖・‖H′ が あ っ て,‖ξ‖V≦‖ξ‖H′と な る.よ 共 役 ノ ル ム を‖ ッ ト的 と な り,ま

・‖Hと す る と,‖・‖Xは‖・‖Hに たV上

で は‖x‖H≦1で

連 続 な こ と を 意 味 す る.    さ ら に こ の と き,Yは‖・‖Hに

あ る.こ

っ て‖ ・‖H′ の

関 し て ヒル ベ ル ト-シ ュ ミ れ は‖

・‖HがYの

位相で

(証 明 終) 関 し て 可 分 に な り,し たが っ て‖ ・‖Xに関

し て も可分 で あ る.そ れ ゆ え 「Xが ヒル ベ ル ト空 間 の と き,(X,BX*)上 界 測 度 μに つ い て,(Xは

非 可 分 で あ って も)Tμ0はXの

の有

位相 で 可 分 で あ る」

こ とが わ か る.

  今 ま でXが

ヒルベ ル ト空 間 で あ る場 合 に つ い て考 察 を進 め て 来 た が,そ

れ

は 特 性 関数 の連 続 性 に つ い て サ ザ ノ フの 定 理 の よ うな は っ き りした 定 理 が あ っ た か らで あ る.Xが

ヒルベ ル ト空 間 で な くて も,特 性 関 数 の 連 続 性 に つ い て何

か 具体 的 な結 果 がわ か れ ば,そ れ を基 に し て 同様 な 議 論 を す る こ とに よ り,定 理27.4ま た は27.5をTμ

の評 価 のた め に 用 い る こ とが で き る.そ の例 を 一 つ あ

げ よ う.   定 理27.7  正 数 列a=(an)が

あ る と き,R∞

の部 分 空 間(lp)aを

 (27.17)

に よ っ て 定 義 す る.(an≡1の   1≦p<∞

の と き,(lp)a上

す れ ば, 

な る).

の ボ レ ル 測 度 で(lp′)準 不 変 な も の が 存 在 す る と

で な くて は な ら な い.

  注 意   特 にan≡1の ∞

と き 普 通 の(lp)に

の と き(lp)上

場 合 を 考 え る と,定

理26.2の

前 の 例 で 述 べ た 結 果 「p<

の ボ レ ル 測 度 で(lp′)準 不 変 な も の は 存 在 し な い 」 が 再 び 得

ら れ た こ と に な る.   証 明   (lp)a上 の 確 率 ボ レ ル 測 度 μ が(lp′)準 不 変 で あ った とす る.   Tμ ⊃(lp′)よ り,(lp′)の

単 位 球 をVと

す る と定 理27.4に

よ っ て,R0∞

‖ ξ‖Vは特 性 位 相 に 関 し て 連 続 で あ る.   一 方(lp)aの

単 位 球 をSと

す る と 

 (27.18)

 とこ ろ が μ の 特 性 関 数χ(ξ)に つ い て

が 成 り立 つ.よ  (27.19)

っ てR0∞

上 に可 算 個 の半 ノル ム

で あ る か ら,

上 で

に よ っ て 定 ま る 位 相 を τ と す る と,χ(ξ)は

τに 関 し て 連 続 で あ る.す

なわ ち

特 性 位 相 は τ よ り 弱 い.   し た が っ て‖ ξ‖Vは τに 関 し て 連 続 で あ る.そ   (27.20) 

∃C>0,∃n ‖

で な く て は な ら な い.し と,x=(xn)に

を(27.20)に

ξ‖V≦C‖ξ‖n

か る にek=(0,0,…,1,0,…)(第k座

対 しx(ek)=xkだ

に よ り,x∈Vな

れゆ え

標 だ け1)と

す る

か ら

る 限 り￨x(ek)￨≦1と

な り,よ

代 入 す る と1≦C‖ek‖n(k=1,2,…)が

っ て‖ek‖V=1で 得 ら れ る.す

あ る.こ

れ

なわち

 (27.21)

を 得 る.両 辺 をp乗

し て右 辺 にHolderの

とな る.こ の 両 辺 にakを

不等式を適用す ると

掛 け てkに つ い て加 え る と

 (27.22)

とな る が,右 辺 の被 積 分 関 数 は ≦npだ か ら 

が 得 られ て,定

理 の 証 明 は完 了 した. 

(証 明 終)

  §28  直 積 型 の 測 度   この あ た りで話 題 を 変え て本 章 の 始 め に あ げ た第 二 の問 題 を取 り上 げ る.す な わ ちR∞ 上 の測 度 で,一 次 元 測 度 の 直 積 とし て書 け る も のだ け を 考 察 の 対 象 とし,こ の よ うな 測 度 に つ い て 平行 移動 に関 す る準 不 変 性,特 に(l2)準 不 変性 に つ い て も っ と詳 しい 議 論 を 展 開す る.   μkはR1上

の確 率 ボ レル測 度 とし,そ の 直 積 μをR∞ 上 で 考 え る.

 (28.1)

 定 理28.1  上 記 μがR0∞ 準 不 変 で あ るた め の 必要 十 分 条 件 は,各 ー グ測 度 と同値 な こ と,す な わ ち

μkがル ベ

  (28.2) 

∀k,∃fk(xk)>0,dμk=fk(xk)dxk

と な る こ と で あ る.ま

た こ の と き,μ

  証 明   R∞ の 元xに

対 し,そ

はR0∞

の 第k座標

エ ル ゴ ー ド的 で あ る.

を 対 応 さ せ る射 影 をp(k)と

す る.す

なわ ち   (28.3) 

p(k):R∞

  μ が(28.1)の =μk(B′)で

∋x=(x1,x2,…)→xk∈R1.

形 を し て い る と き,R1の

あ る .ま

たx∈R∞

ボ レ ル 集 合B′ に 対 し μ(p(k)-1(B′))

に 対 しp(k)-1(B′)-x=p(k)-1(B′-p(k)(x))

で あ る か ら τxμ(p(k)-1(B′))=μk(B′-p(k)(x))で μk∼τp(k)(x)μkとな る.い はR1全

ま μ がR0∞

準 不 変 な ら,xがR0∞

体 に 写 さ れ る の で,μkはR1準

不 変 測 度 は 一 意 的 で あ る(定 理2.1)か   今 度 はR∞ す る.す

の 元xに

対 し,そ

あ る.よ

を 動 く と きp(k)(x)

不 変 で あ る.と ら,μkは

の 最 初 のn個

っ て μ∼ τxμな ら

こ ろ がR1上

でR1準

ル ベ ー グ測 度 と 同 値 で あ る. の 座 標 を 対 応 さ せ る 射 影 をpnと

なわち

  (28.4) 

pn:R∞

∋x=(x1,x2,…)→(x1,x2,…,xn)∈Rn.

  と こ ろ で μ が(28.1),(28.2)の

形 を し て い る とB′ ⊂Rnと

だ か らx∈R∞

に対 し

そ れ ゆえ,pnを

可 測 にす る最 小 の 可算 加 法 的 集 合 族 をBnと

して

して

 (28.5)

と な る. 一 般 にR∞ 理9.1に

上 の ボ レ ル測 度 μ ,νに 対 し 

よ り

∀n, 

で 収 束 す る こ と で あ る.と か ら(28.5)に

よ り 

とな るた め の 必 要 十 分 条 件 は 定 がL1(ν)の

か つ 

こ ろ がx∈R0∞ はn≧n0の の 限 り 

ム

で あ る と,∃n0,n≧n0⇒xn=0だ と き 一 定 と な り,も

で 収 束 す る.よ

っ てx∈R0∞

最 後 に μ がR0∞

エ ル ゴ ー ド的 で あ る こ と を 示 そ う.そ

数 φ(y)が,∀x∈R0∞,∀′y,φ(y)=φ(y+x)を

ノ ル

で あ り,μ はR0∞

ち ろ んn→

∞

準 不 変 と な る.

れ に はR∞

上 の有 界 関

み た す と き,∀′y,φ(y)=const.

で あ る こ と を 証 明 す れ ば よ い.L2(μ)の る とMnはL2(μ)の

元 の うちBn可測

閉 部 分 空 間 で, 

はL2(μ)で

関 数 全 体 をMnと 稠 密 で あ る.φ

す を直 交

分解 して   (28.6)  とす る.こ

φ(y)=φ1(y)+φ2(y),φ1∈Mn,φ2∈Mn⊥ の と きX∈R∞

一 般 に φ1(y)∈Mnよ

に 対 し φ(y+x)=φ1(y+x)+φ2(y+x)で

り φ1(y+x)∈Mnが

出 て 来 る .さ

の 形 を し て い る と き に はx=(x1,x2,…)に ば,φ2(y)∈Mn⊥ ψ(y)は

あ る が,

ら に μ が(28.1),(28.2)

お い てm≧n⇒xm=0で

よ り φ2(y+x)∈Mn⊥

が 導 か れ る.な

あ れ

ぜ な ら ψ(y)∈Mn,

有 界 関数 とし て

 (28.7)

で あ る か, 

は(28.5)の

関 数 の 極 限 だ か ら,x=(x1,x2,…,xn,0,0,…)

の と き は 

で あ っ てそ れ を はBn可

え はBn可

測 可 積 分 関 数 と な り,φ2∈Mn⊥,φ2(y)は

界 な の で(28.7)の

最 右 辺 は0と

な る.こ

れ が す べ て のBn可

に 対 し て 成 立 す る の で,φ2(y+x)∈Mn⊥

Bn可

測 関 数 な の でRn上

お り,よ

h=constし

φ1n=constで

あ っ て,φ

  今 後 μ は 直 積 型 の 測 度 でR0∞

と す る.

あ る.φ1は 形を して

合 わ す と,hはRn上

のRn不

ル ゴ ー ド 的 だ か ら,

あ る.

対 し て 成 立 す る.φ は φ1nのL2極

ψ(y)

交分解の一意 性 よ

あ っ て φ1(y)=h(pn(y))の

で ル ベ ー グ 測 度(の 同 値 類)はRnエ

  こ の こ とが す べ て のnに

 (28.8)

仮 定 す る と,直

の 可 測 関 数hが

た が っ て φ1(y)=constで

有

測 有 界 関数

対 し ∀′y,φ1(y)=φ1(y+x)で

っ て φ1(y+x)=h(pn(y)+pn(x))と

変 関 数 と な る.Rn上

れ ゆ

を 得 る.

  さ て ∀x∈R0∞,∀′y,φ(y)=φ(y+x)と りx=(x1,x2,…,xn,0,0,…)に

測 関 数 で あ る.そ

のMnへ

の射 影 をφ1nと

限 だ か ら φ=constを

得 る.(証

準 不 変 で あ る こ とを 仮 定 す る.す

す る と 明 終)

なわち

  x∈Tμ

で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は(28.5)の

す る こ と,或

い は 同 じ こ と で あ る が,そ

る こ と で あ る.(§9参

が,n,m→ る.こ

∞

照).後

の と き1に

れ に(28.5)を

関 数 がL1(μ)の

の 平 方 根 がL2(μ)の

者 の 方 が 考え や す い.す

収 束 す る こ と がx∈Tμ

代 入 す る とm≧nと

ノル ム で 収 束 ノル ム で収 束 す

なわち

の た め の 必要 十 分 条 件 と な

して

 (28.9)

が 必 要 十 分 条件 とな り,こ れ は 無 限 乗 積 が 収 束 す る こ と,す な わ ち  (28.10)

と同 値 で あ り,そ れ は ま た  (28.11)

と 同 値 で あ る.   定 理28.2  れ る が,ν

μ が(28.8)の

形 を し て い る と き,μ の 随 伴 測 度 νがR∞

も 直 積 型 に な っ て, 

の フ ー リエ 変 換 をgk(zk)と

上 に考 えら お くと き

 (28.12)

とな る.ま たx∈Tμ

とな るた め の必 要 十 分 条件 は(28.11)で あ るが,そ れ は ま

た  (28.13)

と も 同 値 で あ る.   証 明   随 伴 測 度 の 定 義 は(26.11)に

あ る が,そ

の 式 でY0′=E′=R∞

 (28.14)

と な る.(28.14)の

に ひ と し い が,   (28.15)

右辺 は

の フー リエ 変 換 をgkと

す ると

と考 え て

だ か ら,(28.12)の

と 書 け る.よ ず,し

右 辺 の 測 度 をν′と 書 く と(28.14)は

っ て 測 度 と特 性 関 数 の 一 対 一 対 応 に よ りν=ν ′で な く て は な ら

た が っ て(28.12)が

証 明 さ れ た.

  ま た(28.15)で￨gk(zk)￨2が cos(xkzk)で

偶 関 数 で あ る こ と を 考 慮 す る と,exp(ixkzk)を

お き か え て も よ い.さ

ら に￨gk(zk)￨2dzkが

確 率測 度 で あ る こ と を

考慮すれば

と な り,(28.11)と(28.13)は

同 値 に な る. 

  (28.13)は 後 に 示 す よ う に,適

(証 明 終)

用 例 の 可 成 り ひ ろ い 有 用 な 条 件 式 で あ る.

  こ こ で 角 谷 位 相 に つ い て 一 言 す る と,Tμ   が1に こ れ と ひ と し い(28.13))の ま た は(28.13)の 値 で あ る.な

上 で 角 谷 位 相 に 関 す る0の

近 い こ と で 与 え ら れ,し

左 辺 が0に

お,随

た が っ て(28.11)(ま

近 い こ と で 与 え ら れ る.す

左 辺 の 値 が 小 さ い こ と と,xが 伴 測 度 の 定 義 に よ り,R0∞

近傍は

角 谷 位 相 で0に

たは

な わ ち(28.11) 近 い こと とは 同

上 で は μの角 谷位 相 の 線 型 化 は

ν の 特 性 位 相 と一 致 す る こ とが 容 易 に わ か る .   定 理28.3  ∀c>0,cx∈Tμ

μ は 直 積 型 の 測 度 でR0∞

と な る た め の 必 要 十 分 条 件 はν(Hx)=1で

  証 明   §25,Lemma  axは

準 不 変 と す る.x∈Tμ0,す

角 谷 位 相 で0に

2で

証 明 し た よ うに,x∈Tμ0と

収 束 す る.し

あ る.た

 (28.16)

っ て-δ

を得 る.し

た が っ て νに 関 し て 殆 ん ど す べ て のzに

 (28.17)

だ し

す る と α →0の

た が って

と な る.よ

なわち

≦ α≦ δ の 範 囲 で α に つ い て 平 均 す る と

対 して

とき

で あ り,よ

と な る.特

に 

にt=0の

近 傍で

だ か ら,(28.17)は  っ てz∈Hxと

と 同 値,よ

同 値 で あ る.こ

  逆 にν(Hx)=1を

しか る

っ て 

っ て 

う し て ν(Hx)=1が

と,し

たが

導 か れ た.

仮 定 す る と,

  (28.18) した が っ て

こ れ か ら(28.13)を 在 を 言 え ば よ い.し t→0の

導 くに は1-cost≦M(1-exp(-t2))を か る に(1-cost)/(1-exp(-t2))は0
と き1/2に 収 束 し,t→

て0
∞

う し て(28.18)か

で あ る.∀c>0,Hx=Hcxな

の で,cx∈Tμ

μ は 直 積 型 の 測 度 でR0∞

存

で 連 続 で,

の と き 有 界(上 極 限 が2)で

で 有 界 関 数 と わ か る.こ

  定 理28.4 

み た す定 数Mの

あ り,し

ら(28.13)が

たが っ

導か れ る か

で も あ る.  (証 明 終)

準 不 変 と す る.YはR∞

の 部 分 空 間 で,

R∞ の 弱 位 相 よ り強 い 或 る 完 備 距 離 位 相 で 位 相 ベ ク トル 空 間 に な っ て い る と す る.も

し ∀y∈Y,μ(Hy)=1な

ら ば,関

数

 (28.19)

は,Yの

位 相 で 連 続 で あ る.

  例 え ば ∀y∈(l2),μ(Hy)=1な   証 明   まずW(y)が 複 素数

ら ば,W(y)は(l2)の

正 型 関 数 で あ る こ と を 示 そ う.す

α1,α2,…,αnとYの

元y1,y2,…,ynに

ノ ル ム で 連 続 で あ る. な わ ち任 意 有 限 個 の

対 し

を 示 そ う.ま ず 一 般 に 正 型 関 数 の正 係 数 に よ る一 次 結 合 は 正型 で あ る.ま た 正 型 関 数 列 の 各 点 収 束 の極 限 は 正 型 で あ る.し た が って実 パ ラ メー タ λを も つ正

型 関 数 の 族{χ λ(y)}が R1上

あ る と き,yを

の 有 界 測 度dm(λ)に

よ る 積 分 は

  次 にY上

に 正 型 関 数 χ(y)が

型 写 像Tに

対 し χ(T(z))はZ上

  また χ1(y),χ2(y)と 積

χ1(y)χ2(y)も

固 定 す る ご とに λ に つ い て 連 続 な ら, ま た 正 型 で あ る.

あ る と き,他

の ベ ク トル 空 間Zか

らYへ

の線

で 正 型 で あ る.

も 正 型 か つ 任 意 の 有 限 次 元 部 分 空 間 上 で 連 続 の と き,

正 型 で あ る.な

ぜ な ら χ1,χ2は 適 当 な 測 度 μ1,μ2の 特 性 関

数 と な り,χ1χ2は た た み 込 み μ1*μ2の 特 性 関 数 に な る か ら.   以 上 の 一 般 論 を 用 い て(28.19)のW(y)が ずR1上

でχ(t)=exp(-a2t2)は

正 型 で あ る こ と を 確 か め よ う.ま

正 型 で あ る.(ガ

よ っ てR∞

上 で,y∈R∞

の 第k座

これ をaに

つ い て 積 分 し て(aの

標 をykと

代 りにzkを

ウ ス 測 度 の 特 性 関 数 だ か ら).

し てexp(-a2yk2)は

正 型 で あ る.

用 い)

 (28.20)

は 正型 で あ る.χk(y)はR∞

の 弱 位 相 で 連 続 だ か ら,よ って それ らの積 は ま た

正 型 で あ り,極 限 を 取 っ て無 限 乗 積 に して も よい.す な わ ち  (28.21)

はR∞

上 で(0に

な る こ と も あ る が)正 型 で あ る.こ

れ は(28.19)のW(y)に

他

な ら な い.   こ う し てW(y)が

正 型 で あ る こ とが わ か っ た か ら,こ

で あ る こ と を 示 す に は,y=0の のχk(y)はR∞

下 限 で あ る.よ ゆ え ε>0を

い て各 因 子χk(y)の

下 な の で,こ

た

の極 限 は実 は

上 半 連 続 で あ る.そ

れ

任意に考え るとき Vε={y∈Y;W(y)≧1-ε}

閉 集 合 で あ る.

  一 方(28.19)よ

り,ル

し た が っ て ∃δ>0,￨α￨≦ る.こ

値 は1以

位 相 で 連 続 で あ る.ま

っ て 連 続 関 数 列 の 下 限 と し てW(y)は

  (28.22)  はYの

位 相 で 連続

と こ ろ で の 連 続 性 さ え 確 か め れ ば よ い.(28.20)

の 弱 位 相 で 連 続 だ か ら も ち ろ んYの

無 限 乗 積(28.21)にお

れ がYの

う し て 

ベ ー グ の 定 理 か ら ∀y∈Y,  δ

⇒ αy∈Vε

で あ る.す

が 得 ら れ る か ら,ベ

が わ か る. な わ ち ∃n,y∈nVε

ー ル の 定 理 に よ り或 るnVε

とな は

内 点 を も た ね ば な ら な い.Yに

お い て ス カ ラ ー 倍 は 同 相 写 像 な の で,実

が 内 点 を も つ こ と に な る.す

な わ ち ∃y0∈Y,∃U(Yの0の

と な る.よ

で あ る が,W(y)が

っ てU⊂Vε-Vε

で あ る.ε>0は の0の

任 意 だ か ら, 

近 傍),U⊂Vε

⊃R0∞

各fkが

偶 関 数 の と き,定

特 に,各fkが

理28.4と

証 明 の 後 半((28.18)か

近 け れ ば χ(y)も1に

(証 明 終)

同 じ 設 定 でY

ら μ の 特 性 関 数 χ がYの

ぜ な ら定 理28.3の

と 同 様 に し てW(y)が1に

正 型 な の で 

連 続 性 が 証 明 さ れ た. 

とす る と,∀y∈Y,μ(Hy)=1な

な こ とが わ か る.な

近 傍),y0+U⊂Vε

を あ ら た め て ε と書 き,∀ ε>0,∃U(Y

が 示 さ れ,W(y)の

  特 にdμ=Πfk(xk)dxkで

はVε

位 相 で連 続

ら(28.13)を

導

く)

近 い こ と が 結 論 さ れ る か ら.

偶 関 数 の と き ∀y∈(l2),μ(Hy)=1な

ら特 性 関 数 χ は(l2)の

位

相 で 連 続 で あ る.

  §29  定 常 積 の 場 合   (28.8)に

お い て 各fkが

積 と 言 う.す

な わ ちR∞

同一 の 関 数fの

と き は,対

上 の 測 度 μ がfに

応 す る μをfに

よる 定 常

よる定 常 積 で あ る とは

 (29.1)

と書 け る こ と で あ る.こ

こ で も ち ろ んf(x)>0, 

は仮 定 さ れ て

い る.   定 常 積 の 場 合 に は そ の 特 殊 性 の た め に,準

不 変 性 に 関 す る議 論 は さ らに 詳 し

くで き る.   定 理29.1 

R∞ 上 の 測 度 μ はfに

よ る 定 常 積 とす る.

 1) Tμ ⊂(l2).   2)  μ(Hy)=1と

な る の はy∈(l2)の

  3)  μ の 特 性 位 相 は(l2)の   1)′ Tμ=(l2)と

位 相 よ り強 い.

な る(す な わ ち μ が(l2)準

は  す る.し

と き に 限 る.

で あ る こ と.た た が っ てfが

連 続 の と き 

不 変 で あ る)た め の 必 要 十 分 条 件

だ しd/dxは

超 関 数 とし て の 微 分 を 意 味

に 微分 不 可 能 な 点 が 有 限 個 くらい あ っ

て も 無 視 す れ ば よ い.   2)′ ∀y∈(l2),μ(Hy)=1と

な るた め の必 要 十 分 条 件 は

で あ る こ と.   3)′ μ の 特 性 位 相 が(l2)の

位 相 と一 致 す る(す な わ ちμ の 特 性 関 数 χ が

(l2)の位 相 で連 続 で あ る)た め の 必 要 十 分 条 件 は 

かつ

  が み た さ れ る こ と.   証 明   ま ず1)か

ら 証 明 す る. 

よ れ ばy=(yk)∈Tμ

の とき

の フ ー リエ 変 換 をgと

し て,定

理28.2に

 (29.2)

で な け れ ば な ら な い.す

な わ ち￨g￨2の

フ ー リエ 変 換 をhと

して

 (29.3)

で な けれ ば な ら な い.   h(t)は 可 積分 関 数(ル ベ ー グ測 度 に 関 す る)の フ ー リエ 変 換 だ か ら,次 の 性 質 を も っ て い る.ⅰ)  h(t)は

連 続,ⅱ) 

h(t)=0,ⅲ) 

h(t)=1と

な る の はt=0

の と き に 限 る.  (29.3)よ

で あ るが,こ

り 

い.な

ぜ な ら 上 記ⅱ)よ

は0以

外 の 集 積 点 を も っ て は な ら な い.

  (29.2)よ

でな くては な らな

れ よ り 

り{yk}は 有 界 で な くて は な ら な い し,ⅰ)とⅲ)よ

り任 意 のK>0に

り{yk}

対 し

 (29.4)

で あ り, 

よ り 

で 

だ か ら,k≧k0の

し た が っ て(29.4)よ

と な り,こ

こ ろ で 

限 り

り

う し て 

ら れ た.y∈Tμ

で あ る.と

し た が っ て 

は 任 意 だ っ た か らTμ ⊂(l2)が

  次 に1)′ を 証 明 す る. 

す な わ ちy∈(l2)が 証 明 さ れ た.

の フ ー リエ 変 換 をg(z)と

す る と,

得

の フ ー リエ 変 換 は-izg(z)で

あ る.フー

リエ 変 換 はL2をL2に

 はzg(z)∈L2(dz)と   ま ずzg(z)∈L2(dz)を

仮 定 し てTμ

写 す の で,

同 値 で あ る. ⊃(l2)を

証 明 す る.仮

定 よ り

 (29.5)

で あ る が そ の 値 をIと

お く.y∈(l2)を

任意に考え ると

 (29.6)

を 得 る.よ

っ て 

ち ν(Hy)=1を

で あ り,こ

意 味 す る.こ

の と き 定 理28.3に

 を 仮 定 し て(l2)⊂Tμが   逆 に(l2)⊂Tμ

よ りy∈Tμ

な る か ら 定 理28.4に

なわ

で あ る.こ

うし て

理28.3に

よれ ば

し て(29.8)に

代 入 す

だ か らFatouの

定理

証 明 で き た.

を 仮 定 し てzg(z)∈L2(dz)を

∀y∈(l2),ν(Hy)=1と

れ は ∀′(ν)z,z∈Hyす

導 こ う.定 より

 (29.7)

は(l2)の

位 相 で 連 続 で あ る.よ

って

 (29.8)

を 得 る.い

ま yk=0

for k>nと

る と

した が って   (29.9)

が 得 ら れ る.と こ ろで 

(fn(x)≧0の

と き 

と な り,  1)′ の 証 明 は 完 了 し た.

に より

す な わ ちzg(z)∈L2(dz)が

証 明 さ れ た.以

上 で

  2)の 証 明 を す る.μ(Hy)=1と

す る と 定 理28.3の

証 明 の 後 半((28.18)か

ら

(28.13)を 導 く)と 同 様 に し て

が 導 か れ,よ

っ て 本 定 理1)の

証 明 と 同 様 に し てy∈(l2)が

  2)′ の 証 明 を す る. 

出 て 来 る.

を 仮 定 す る と,本

前 半 と 同 様 に し てy∈(l2)な

る 限 り μ(Hy)=1が

  逆 に ∀y∈(l2),μ(Hy)=1と

定 理1)′ の 証 明 の

出 て 来 る.

仮 定 す る と,1)′

の 証 明 の 後 半 と同 様 に し て

  が 結 論 さ れ る.   す な わ ち2)お り,1)お   3)の

よ び2)′ は,随

伴 測 度 νの か わ りに μ 自 身 を 考 え る こ とに よ

よ び1)′ と 完 全 に 対 応 し て い る. 証 明 を す る.μ

の 特 性 関 数 χ(y)をR0∞

上 で 考 え る.そ

れは

 (29.10)

で 与 え ら れ る.ま

ずf(x)が

偶 関 数 の 場 合 を 考 え よ う.こ

でexp(iykx)はcos(ykx)で

お き か え ら れ る.よ

の と き(29.10)最

右辺

って

 (29.11)

と な る.し

た が っ て χ(y)が 十 分1に

れ る く ら い に 近 け れ ば)(29.4)の

を 得 る.す な わ ち χ(y)が1に れ,特

性 位 相 は(l2)の

  fが

偶 関 数 で な い と き は,fの

を 考 え て,f1に χ1(y)=￨χ(y)￨2を

近 け れ ば((29.11)か

ら 

が保 証 さ

下 の 計 算 を 繰 り返 し て

近 い こ とか ら 

が0に

近 い こ とが 結 論 さ

位 相 よ り強 い こ と が お か っ た. か わ りに

よ る 定 常 積 μ1を 作 る.f1は み た す.よ

よ っ て 今 証 明 し た こ とか ら     最 後 に3)′ の 証 明 を す る. 

偶 関 数 で,μ1の

っ て χ(y)が1に は0に

近 い.こ

特 性 関 数 χ1は

近 け れ ばχ1(y)も1に れ で3)の か つ 

近 く,

証 明 は 完 了 し た. を仮 定 す

る.   (29.12)

と お く と,0≦t<∞

で1-cost≦t2/2,t-sint≦t2-2で

あ るか ら

 (29.13)

を 得 る.そ

れ ゆえ

  (29.14)

とお く と,(αkは 一 般 に複 素 数 で あ るが)実 部,虚 部 と も絶対 値 がyk2/2Iよ 小 さ く,よ

っ て￨αk￨≦yk2Iで

  い まy=(yk)∈R0∞

証 され る.と

あ る.

と す る と, 

で あ る限 り 

ころがlog(1-α)/α(logは

す 分 枝 を 取 る)は￨α￨<1で

が保

無 限 多 価 関 数 だ がlog1=0を

正 則 で あ り,正 則 関数 の最 大 値 の原 理 に よ り

それゆえ   (29.15) を 得 る.  一 方(29

.10)に

よ れ ば 

と 考 え て(29.15)を

で あ る.1-αk=exp(log(1-αk))

適用すれ ば

 (29.16)

と こ ろ で(1-expβ)/β

で あ り,よ

っ て 

が 得 られ る.こ

り

は β の 正 則 関 数 だ か ら￨β￨≦1/2の

の 限 り(29.16)よ

れ は χ(y)が(l2)の

限 り

り 

位 相 で連 続 で あ る こ と を 意 味 す る .

みた

 ⅰ  ⅰ

  今 度 は 逆 にχ(y)が(l2)の

位 相 で 連 続 で あ る と 仮 定 す る.(26.21)に

ン ロ ス の 定 理 に よ っ て も よ い)∀y∈(l2),μ(Hy)=1だ  

は 必 要 で あ る.い

よ り(ミ

か ら,2)′ の 結 果 に よ り

ま

 (29.17) と し てf1(x)=f(x+a)と

お く と 

定 常 積 を μ1と す る と,今

で あ る.よ

χ1は(l2)の

だ か ら,χ(y)も

χ1(y)も

の 位相 で連 続 で な くては な ら

(l2)の 位 相 で 連 続 とす る と 

k>nと

れ はa≠0の

よる

証 明 が 終 っ た3)′ の 前 半 に よ り特 性 関数

位 相 で連 続 で あ る. 

な い.こ

っ てf1に

for

と き は 不 可 能 で あ る. 

お く と 

と な る).

  これ で 定 理29.1の

証 明 は 全 部 完 了 し た. 

  例1  f(x)=Cexp(-￨x￨r)(r>0,Cは

(証 明 終)

規 格 化 定 数)と す る.fに

よ る定 常

積 μに つ い て

)  特 性 関 数 は(l2)で 連 続 で あ る.な ぜ な ら 

だ

か ら.

 ⅱ )  r>1/2な

ら μ は(l2)準

不 変 で,r≦1/2な

ら そ う で な い.な  だ か ら,x→0に

散 のorderを

見 れ ばr>1/2の

と き に 限 っ てL2に属

  例2  f(x)=C(1+x2)-r(r>1/2,Cは

ぜ な ら おけ る 発

す こ と が わ か る.

規 格 化 定 数)と

す る.fに

よ る定 常

積 μについ て )  μ は(l2)準 あ り,x→

∞

不 変 で あ る.な の と きx-r-1のorderだ

 ⅱ )  特 性 関 数 はr>3/2な ぜ な らx(1+x2)-r/2はx→∞ と き に 限 っ てL2に

  例1でr>1/2の

で

ぜ な ら  か らL2に

ら(l2)で

属 す る.

連続,3/2≧r>1/2な

の と きx-r+1のorderで,よ

ら そ うで な い.な っ てr>3/2の

属 す る.

と き,例2でr>3/2の

と き,μ

は(l2)準

不 変 か つ特 性 関 数

が(l2)で

連 続 と な る.こ

特 性 関 数 が(l2)で

の よ う に 定 常積 の測 度 に 限 定 し て も,(l2)準

連 続 な も の は 無 数 に あ る.し

の 定 常 積 は 互 い に 特 異 で あ る.(定

理13.1の

  (l2)準 不 変 か つ 特 性 関 数 が(l2)で 度 に つ い て 述 べ た.し な る も の で あ る.一

かもf1≠f2の

不 変かつ

と き,そ

れ ぞれ

次 の 例 を 参 照) .

連 続 な 測 度 の 例 と し て,第2章

で ガ ウ ス測

か し 今 こ こ で 得 ら れ た測 度 は ガ ウ ス 測 度 と は 本 質 的 に 異 般 にR∞

上 の ガ ウ ス 測 度 は,R0∞

対 し て 

に お け る 内 積(,)1に

を 特 性 関 数 と す る 測 度 と し て 定 義 さ れ る.こ

は 平 均 ベ ク トル が0の

場 合 で あ る が,平

均 ベ ク トル が0で

れ

な い 場 合 も含 め る と

 (29.18)

を特 性 関 数 とす る測 度 が ガ ウス測 度 で あ る.  と お く と,fに (,)1=c(,)と

し((,)は

ス 測 度 で あ る.こ

こで問 題 に した い のは 逆 であ る.

  定 理29.2 

よ る 定 常 積 μ に つ い て,μ

fに

普 通 の(l2)の

よ る 定 常積 μ は,内

内 積),y=(m,m,…)と

積を

す るガウ

が 或 る ガ ウ ス 測 度g1と

同 値(絶 対

連 続 性 に 関 し て)で あ る の は,  (29.19)

の 形 を し て い る と き だ け で あ る.   証 明   g1の 特 性 関 数 は(29.18)で

あ る と す る.‖

共 役 空 間 をR0*と

で 見 た よ うにTg1=R0*で

29.1よ

書 く と,第2章

りTμ ⊂(l2)だ

か ら,μ ∼g1な

・‖1に 関 す るR0∞

ら ばR0*⊂(l2)で

の位相的

あ る.一 あ り,し

方定 理

た が っ て(l2)

の 位 相 は ‖・‖1の 定 め る 位 相 よ り強 い.   測 度g1をg1(B)g1(-B)に

よ り定 め μ も 同 様 に 定 義 す る と,g1∼

g1*g1∼ μ*μ を 得 る.g1*g1の の 測 度 だ か ら定 理29.1よ め る位 相 は(l2)の

り特 性 位 相 は(l2)よ

る.(例

ξ‖12)であ り,μ*μ

り強 い.し

は定常積

た が っ て‖ ・‖1の 定

位 相 よ り強 い.

  以 上 に よ っ て‖・‖1の か らR0∞

特 性 関 数 はexp(-‖

μ より

へ の,(l2)の

定 め る 位 相 と(l2)の

位 相 と は 一 致 す る.よ

位 相 で 同 相 な 線 型 作 用 素Aが

え ばek=(0,0,…,1,0,…)(第k座

標 だ け1)と

に 関 し て シ ュ ミッ トの 直 交 化 を し た も の を{ek′}と

っ てR0∞

あ っ て‖ ξ‖1=‖Aξ‖ と な し て,{ek}を

内 積(,)1

す る と き,ek′ にekを

対応

さ せ る 線 型 写 像 をAと

す れ ば よ い).そ

通 の ガ ウ ス 測 度 をgと

内 積(  , )に 対 す る 普

して

  (29.20)  で あ る.(す

れ ゆ え,(l2)の

g1=τyτAg な わ ちg1(B)=g(A*-1(B-y))で

あ る).

  と こ ろ で 定 理13.5の 後 の 注 意 に よ る と,y,z∈R∞,A1,A2と へ の(l2)の

もR0∞

か らR0∞

位 相 に 関 す る 同 相 線 型 写 像 とす る と き,

かつ  (29.21)

がHS的

で あ る.よ

っ て(29.20)に

  (29.22) 

お い て,も

∃m∈R1,∃c>0,y-m1∈(l2)か

とわ か れ ば, 

け れ ば な ら な い.こ   そ こ で(29.22)を

をΣ

者 は(29.19)のfに

常 積 μ を 定 め る 関 数fは(29.19)の

証 明 す る こ と が 目 標 と な る.そ

は 次 の よ うにR∞

  (29.23) 

よる 定常 積 だ か ら も の と一 致 し て い な

うし て 定 理 は 証 明 さ れ た こ と に な る.

な わ ち 自 然 数 全 体 の 集 合Nか

とす る.Σ

らNへ

の た め に 無 限 置 換 群Σ を 考

の 双 射(一 対 一 か つ 全 射)の 全 体

の 変 換 群 と み な せ る.σ ∈ Σ と し て

σ:(x1,x2,…)→(xσ(1),xσ(2),…).

μ は 定 常 積 だ か ら 明 ら か にΣ 不 変,す μ∼g1と

つcI-A*AがHS的

が 得 ら れ,後

 よ り,定

え る.す

し

す る と τσg1∼g1で

な わ ち ∀σ∈ Σ,τ σ μ=μ で あ る.よ

あ り,(29.20)に

よ り τστyτAg∼τyτAgで あ る.と

こ ろ が 一 般 に 可 測 同 型 写 像 φ,Ψ に 対 し τΨ τφ=τΨφΨ-1τΨ で あ り,R∞ x→x+yと

上 でty:

す る と σtyσ-1=tσyだ か ら  と な る.そ

れ ゆ え 結 局 

  し た が って(29.21)よ HS的

って

が 得 ら れ た.

り,σy-y∈(l2)か

で あ る.Aは(l2)の

つ 

らA*を

掛 け る こ と に よ りA*A-σA*Aσ-1がHS的

た).こ

れ よ りcI-A*AがHS的

ら た め てAと

書 い て,次

は

位 相 に 関 し て 同 相 写 像 だ か ら,右

か らAを

左か

とな る.(σ*=σ-1を

用 い

と の 結 論 を 出 せ ば よ い.よ のLemmaが

っ てA*Aを

証 明 され れ ば 定 理 の 証 明 は 完 結 した こ

と に な る.   Lemma  y-m1∈(l2).

1)  y∈R∞

あ

に つ い て,∀ σ∈ Σ,σy-y∈(l2)な

ら,∃m∈R1,

  2)  (l2)か ら(l2)へ

の 連 続 線 型 写 像Aに

的 な ら ば,∃c∈R1,A-cIはHS的   注 意   Aが

つ い て,∀ σ∈Σ,A-σAσ-1がHS

と な る.

正 定 値 な ら2)でc≧0,さ

ら に 同 相 写 像 な ら ばc>0で

な くて は

な ら な い.   Lemmaの

証 明   ま ず 注 意 し て お くが,Nの

対 一対 応 σ が あ る と き,Mcも 張 で き る.以

無 限 集 合 な ら ば,σ

し て,ま

帰 謬 法 に よ る.(yn)が で あ る か ら,増

はNの

置換に拡

コ ー シ ー 列 で あ る こ と を 示 そ う.

を 適 当 に 取 っ て￨ykj-ynj￨≧

ε とで き

が 得 ら れ て 仮 定 に反 す る. コ ーシー 列 と わ か っ た か ら 

導 こ う.帰

謬 法 に よ る. 

  で あ る.前

また は

だ か ら 

十 分 大 き くさえ あれ ば よい の で偶 数 の範 囲 で,

つ い て 単 調 増 加 で あ る よ うに 取 れ る.σ(2n)=knな

を 考え る と,  の 仮 定 に 反 す る.し

の こ と か ら

と す る と, 

者 の 場 合 を 考え る. 

で あ る.こ のknは

は 存 在 し,z=y-m1 で あ る.こ

σ ∈ Σ,σz-z=σy-y∈(l2), 

し か もnに

ε

る置 換 σ∈ Σ を 考 え る と, 

 こ う し て(yn)は

る 置換

σ∈ Σ

と な り σz-z∈(l2)

た が っ てz∈(l2)で

証 明   (Aej,ek)=ajkと

な く て は な ら な い.

お く と,AもA*も

連 続 線 型 写像 だ か ら

かつ

 (29.24) 

で あ る.ま

中への一

コー シ ー 列 で な け れ ば,∃ ε>0,∀n,∃k>n,￨yk-yn￨≧

と な り, 

と お く と,∀

ず(yn)が

加 列n1
る.σ(nj)=kjな

  2)の

らNの

下 の 議 論 で は こ の こ とを 一 々 注 意 し な い.

  1)の 証 明  y=(yn)と

z∈(l2)を

σ(M)cも

部 分 集 合Mか

た 

A-σAσ-1がHS的

だ か ら との仮 定 は

 (29.25)

を意 味 す る.特 に 対 角 要 素ajjに つ い ての 和 だ け を 考 え る と,1)の ∃c∈R1, 

あ る こ と,す

で な くて は な ら な い.こ なわち

の と きA-cIがHS的

結果 に よ り で

を示 そ う.対 角 要 素 に つ い ての 和 が 収 束 す る こ とは 既 に わ か って い るの で  (29.26)

を 言 え ば よ い.   (29.26)の

証 明 を 二 段 階 に 分 け,ま

な わ ち ∃ε>0,∀n,∃j>n,Sj≧

ず 

を 示 す.帰

ε と 仮 定 す る.こ

謬 法 に よ る.す

の 仮 定 と(29.24)に

的 帰 納 法 で 次 の 性 質 を み た す 増 加 列j1
よ り,数 学

を 作 る こ と が で き る.

 (29.27) そ こで

σ(jp)=jp+1,σ(k1)=j1,σ(kp+1)=kp,そ

の 他 のnに

対 し ては

σ(n)=n

とし て 置 換 σを定 め る と

が 得 ら れ る.こ

れ をpに

  こ う し て 

つ い て 加 え る と 条 件(29.25)に が わ か っ た の で,こ

再 び 帰 謬 法 に よ る. 

で あ る.こ

のnjは

れ を 基 に し て(29.26)を

とす る と, 

る.前 者 の 場 合を 考 え る. 

  定 理29.1に

ま た は 

十 分 大 き く さ え あ れ ば よ い の で 偶 数 の 範 囲 で,し

れ ゆ え こ れ を さ ら にjに

とが わ か る.し

た が っ て(29.26)は

よ る と,定

証 明 す る. であ

だ か ら ∀j,∃nj, 

つ い て 単 調 増 加 で あ る よ う に 取 れ る.σ(2j)=njな

を 得 る.そ

反 す る.

か もjに

る 置 換 σ∈ Σ を 考 え る と,

つ い て 加 え る と,条

件(29.25)に

反す る こ

成 立 し て い な け れ ば な ら な い.  (証 明 終)

常 積 の 測 度 で(l2)準

不 変 か つ 特 性 関 数 が(l2)で

連続

な も の は た く さ ん あ る.し

か し,そ

うで な い も の も た く さ ん あ る.そ

場 合 に つ い て も う少 し 調 べ て み よ う.以 後 の 議 論 で はf(x)が

うでな い

偶 関数 の場 合 だ

け を 考 え る.   定 理29.3 

R∞ 上 の 測 度 μ はfに

よ る 定 常 積 と す る.f(x)が

∃r>1, 

とす る と,μ

たy∈R∞

に つ い て μ(Hy)=1⇔y∈(lp)で

1
と きp=r-1,r=3の

の 特 性 位 相 は(lp)の あ る.た

偶 関 数 で,

位 相 と一 致 し,ま

だ しr>3の

と きp=2,

と きp=2-,

 (29.28)

と す る.   例 えば 例2のf(x)=C(1+x2)-rに は(l2r-1)の

位 相, 

  証 明   r>3の

つ い て, 

の と き(l2-)の

と き は 

の と き μの 特 性 位 相

位 相 で あ る. だ か ら,こ

の 定 理 は 定 理29.1の

特

ず 特 性 関 数 の 連 続 性 に つ い て 調 べ よ う.ξ=(ξk)∈R0∞

に

別 な 場 合 に な っ て い る.   1
す る.ま

対 し χ(ξ)が1に

が0に

近 い と 言 う こ と は,f(x)が

近 い こ と と 同 値 で あ る.そ

偶 関数 で あ る こ とを 考 慮 す る と

れ ゆ えa→0の

とき (r=3の

 (29.29) 

で あ る こ と を 示 せ れ ば 定 理 は 証 明 で き た こ と に な る.た φ(a)/Ψ(a)も

ψ(a)/φ(a)もaの

  (29.29)を

と きa2￨loga￨)

だ し φ(a)∼ ψ(a)は,

関 数 と し て 有 界 で あ る こ と を 意 味 す る.

証 明 す る た め に,(29.29)の

左 辺 を Φ(a)と

お く と,

 (29.30) と 書 け る.こ

こ でNは

に し て お く.(29.30)に

十 分 大 き く選 ん で,x≧N⇒xrf(x)≦2cで おい て

第 一項 だ か ら,第

一 項 はa2の

第二項

程 度 の 無 限 小 で あ る.ま

た

あ るよ う

で あ っ て, 

はt→

∞

の と きt-rのorder,t→0の

だ か ら,1
と き 可 積 分 で あ り,よ

と な る.こ

れ で(29.29)が

示 さ れ た.(r=3の

に よ り,や

は り(29.29)が

出 て 来 る).

  これ で 特 性 位 相 が(lp)の =1と

と きt2-rのorder

って ル ベ ー グの定 理 よ り

とき は

位 相 に 一 致 す る こ と が わ か っ た の で,次

な る 条 件 に つ い て 調 べ る .∀y∈(lp),μ(Hy)=1は(26.21)に

れ て い る.(0
と き もp=2-の

の も と に 通 用 す る).逆

と き も(26.21)の

に μ(Hy)=1と

に μ(Hy) よ り保 証 さ

証 明は 若 干 の 修 正

す る と定 理28.3の

証 明((28.18)か

ら

(28.13)を 導 く)と 同 様 に し て

が 導 か れ,こ

れ よ りy∈(lp)が

  注 意  fが

偶 関 数 の と き,fに

の はz∈Hyの

結 論 さ れ る. 

よ る 定 常 積 μ に つ い て μ(Hy+z)>0と

と き だ け で あ る.な

ぜ な らHy+zはR0∞

エ ル ゴ ー ド的 だ か ら μ(Hy+z)>0な 度 で μ(B)=μ(-B)だ -z)≠

φ で あ るが

  定 理29.4 

れ はz∈Hyで

も あ る.よ

た μは偶測

っ て(Hy+z)∩(Hy

よ る 定 常 積 とす る.f(x)が

つ 

極 限 値 を も つ と す る. 

あ る.ま

な け れ ば 不 可 能 で あ る.

R∞ 上 の 測 度 μ はfに

で 二 回 連 続 的 微 分 可 能,か

な る

不 変 集 合 で μ はR0∞

ら μ(Hy+z)=1で

か ら,μ(Hy-z)=1で ,こ

(証 明 終)

偶 関 数 で,x>0

は 有 界 でx→0の な ら ばTμ=(l5-2r), 

と き0で

ない

な らばTμ=(l2-)

で あ る.   例 え ば 例1のf(x)=Cexp(-￨x￨r)に

だ か ら,    証 明 

の と きTμ=(l2r+1),  の フ ー リエ 変 換 をgと

つ い て,

の と きTμ=(l2-)で す る と,x∈Tμ

は(28.13)と

あ る. 同値 であ る

か ら, 

が わ か れ ば 前 定 理 に よ り,x∈Tμ

2(3-r)-1=5-2r)と

同値 に な る.よ

っ て 定 理29.4の

はx∈(lp)(p=

仮 定 の も とに

が 存 在 し て ≠0

 (29.31) 

とな る こ とを 証 明 す れ ば よい.   い ち い ち 

と書 くの は 面 倒 な の で こ れ を φ(x)と 書 くと,定

理29.4

の 仮 定 よ り  で あ るか ら,部 分 積 分 を二 回行 な っ て

よ って

で あ り,z→

∞

の とき ル ベ ー グの 定理 に よ って

と な る か ら(29.31)が

  例3  f(x)は

証 明 さ れ た. 

偶 関 数 で,x=0の

でf(x)=exp(-x),中

だ しr=0の

  な ぜ な らx=0の

で あ り,ま

近傍 でf(x)=￨x￨r,xが

十 分 大 き い と ころ

間 領 域 で は 両 者 を な め ら か に(二回 連 続 的 微 分 可 能 の よ

うに)つ な ぐ も の とす る.fに で あ る.(た

(証 明 終)

よ る 定 常 積 μ は,-1
と き は￨x￨0の

か わ りに(logx)2を

と きTμ=(lr+1) 採 用 す る).

近傍 で

た 明 らかに は

有界 だ か ら 定 理29.4に  で あ る.

 §30  非 定常 積 の 場 合   今 度 は 直 積 型 の 測 度 で あ って 定 常 積 で な い もの,す な わ ち

よ り,

 (30.1)

の 形 を し て い る も の に つ い て 考 え よ う.ま

ず 定 理29.1の1)′,2)′,3)′

の十 分

条件に対応 して   定 理30.1 

直 積 型 の 測 度(30.1)に

 1)  ∀k,  は(l2)準

ついて か つ 

な らば,μ

不 変 で あ る.

  2)  ∀k, 

か つ 

μ(Hy)=1で

な ら ば,∀y∈(l2),

あ る.

  3)  2)の 仮 定 が み た され てい る と き,特 性 関数 χ が(l2)の 位 相 で 連続 で あ るた め の必 要 十 分 条 件 は  (30.2)

と し て(ck)∈(l2)が   証 明   1)を

成 り立 つ こ と で あ る.

証 明 す る. 

の フ ー リエ 変 換 をgk(z)と

す る と,

 かつ で あ る.よ

っ て1)の 仮 定 は ∀k,zgk(z)∈L2(dz),か

つ 

を

意 味 す る.  (30.3)

と お く と,随

伴 測 度ν は 

と 書 け る の で,y∈(l2)に

対 し

 (30.4)

を 得 る.よ

っ て ∀′(ν)z, 

ち ν(Hy)=1を

意 味 す る.こ

1)の 仮 定 の も とに(l2)⊂Tμ   2)の 証 明 は,1)の を 用 い れ ば,同

で あ り,こ の と き 定 理28.3に

れ は ∀′(ν)z,z∈Hyす よ りy∈Tμ

で あ る.こ

な わ うし て

が 証 明 で き た.

証 明 でgk(z)の

じ 計 算 で で き る.

か わ りに 

を 用 い,ν の か わ りに μ

  3)を 証 明 す る た め に,ま

ずck≡0を

を 用 い た も の を 同 じ 記 号Iで しfの

か わ りにfkを

行 く と,χ(y)は(l2)の   今 度 は  で あ り,よ

仮 定 す る.(30.3)でgkの

あ ら わ す と,不

用 い る).以

等 式(29.13)が

下 定 理29.1,3)′

か わ りに  成 立 す る.(た

だ

の 証 明 を そ の ま ま追 っ て

位 相 で 連 続 な こ と が わ か る.

と す る.い

まfk1(x)=fk(x+ck)と

っ て 

お く と 

とす る と,今

に よ り特 性 関 数χ1は(l2)の

証 明 が終 った ば か りの こ と

位 相 で 連 続 で あ る. 

だ

か ら,χ が(l2)の 位 相 で連 続 で あ るた め の必 要 十 分 条 件 は 

が

(l2)の 位 相 で 連 続 な こ と,す

な

わ ち(ck)∈(l2)で

が(l2)の

位 相 で 連 続 な こ と,す

あ る. 

  定 理30.1の1),2)で   条件

な わ ち 

(証 明 終)

仮 定 さ れ た 条 件 は 必 要 で は な い.

「Tμ⊃(l2)」,「∀y∈(l2),μ(Hy)=1」,「

χ が(l2)の

位 相 で 連 続 」,は い ず れ

も 絶 対 連 続 に よ る 同 値 関 係 に よ っ て 変 ら な い.す な わ ち μ∼ μ1で あ っ て μ が こ れ ら の 条 件(の 幾 つ か)を み た す と き,μ1も の 仮 定 部 分 の 条 件 は,絶   例 え ば1)に μ はfに

同 じ 条 件 を み た す.一

方,定

理30.1

対 連 続 に よ る 同 値 関 係 に よ っ て 不 変 な 条 件 で は な い.

つ い て,μ,μ′

と も定 常 積 の 測 度 でTμ=(l2),Tμ′

≠(l2)と す る.

よ る 定 常 積,μ′ はf′ に よ る 定 常 積 と し て

で あ る.そ

こ で 

∀k, 

と お く と, と な る.

 一 般 に 

のとき

 (30.5)

で あ る.よ

っ て 

を 考 え る とき

 (30.6)

で あ れ ば,μ ∼ μ1と な りTμ1=(l2)で

あ る.こ

れ は定 理30.1の1)の

仮定 が 必

要 で は な い こ と の 反 例 と な る.   (30.6)を

み た す に は 

で あ れ ば よ い.αk,βkは

独

だ か ら, 

と

立 に は 選 べ ず,規 格 化 条件

で し ば ら れ て い る.βk≒0の

と き 

な る よ うに さえ し て お け ば, 

は 必 然 的 に 出 て来 る.

  全 く同 様 な 作 り方 で2)の 仮 定 が 必 要 で な い こ との 反 例 も作 れ る.

  そ こで 定 理30.1の 仮 定 部 分 の 条 件 を ゆ るめ て,「 与 え られ た直 積 型 の測 度 μ に 対 し,μ と同値 な直 積 型 の 測 度Mで

定 理30.1の

仮 定 を み たす ものが 存 在 す

る」 と して み よ う.そ の とき で も μ は 定 理30.1の

結 論部 分 の条 件 を み た す こ

とは 明 らか で あ る.   しか も この よ うに し て お くと,必 要 十 分 な 条 件 に な る.す な わ ちTμ ⊃(l2)ま た は ∀y∈(l2),μ(Hy)=1を 30.1の1)ま

仮 定 す る と,μ

と同値 な直 積 型 の測 度Mで

定理

た は2)の 条 件 を み た す もの が 存 在 す る.し か も,た だ 存 在 す るだ

け で な く,Mの

作 り方 に つ い て も う少 し具 体 的 な こ とが 言え る.

  定 理30.2  直 積 型 の 測 度(30.1)に つ い て   1)  μは(l2)準 不 変 で あ る と仮 定 す る.こ の と き  (30.7)

(Ckは 規 格 化 定 数) と お く と,∃(ak)∈(l2),∀k, 

で あ る.   2)  μ は ∀y∈(l2),μ(Hy)=1を   (30.8) 

み た す と仮 定 す る.こ

Fk(x)=Ckexp(-ak2x2)fk(x) 

(Ckは

の とき

規 格 化 定 数)

と お く と,∃(ak)∈(l2),∀k, 

であ

る.   3)  μ は(l2)準

不 変 か つ ∀y∈(l2),μ(Hy)=1と

仮 定 す る.こ

の とき

 (30.9)

(Ckは 規 格 化 定 数) と お く と,∃(ak)∈(l2),∃(bk)∈(l2),∀k, 

で あ る.

  以 上1)∼3)の

い ず れ の 場 合 も, 

と お く と き,μ

∼Mと

な っ て い る.   注 意   さ ら に μ の 特 性 関 数 χ(ξ)が(l2)の (30.8),(30.9)のFk(x)に

つ いて

とお く と き,(αk)∈(l2)で ば χ は(l2)の

位 相 で 連 続 で あ る と仮 定 す る と,

あ る.逆

に2)ま

位 相 で 連 続 で あ る.(定

  証 明   ま ず こ の よ うなFk(x)が

た は3)を

理30.1の3)参

だ しa=(ak))で

証 明 し て お こ う.

仮 定 さ れ て い て(αk)∈(l2)な

あ る.そ

で あ り, 

ら

照).

存 在 し た と し て,μ ∼Mを

  2)に つ い て 証 明 す る.∀y∈(l2),μ(Hy)=1が の で μ(Ha)=1(た

み た し て(αk)∈(l2)な

れゆえ

と お く と き μ′ ∼ μ で あ る.と

ころで

で あ る か ら,   (30.10)  が 得 ら れ る.さ り,    1)に

特に ら に,μ′ お よ びMをRn(n=1,2,…)に で あ る こ とがわ か る.そ

つ い て は 随 伴 測 度 を 考 え る と2)の

る と定 理28.3よ 換 をgk(z), 

り ∀y∈(l2),ν(Hy)=1で

射 影 し て み る こ とに よ

れ ゆ えM∼

μ が 示 さ れ た.

場 合 に 帰 着 さ れ る.Tμ あ る.ま

の フ ー リエ 変 換 をGk(z)と

た 

す る と(30.7)よ

⊃(l2)で

あ

の フ ー リエ 変 り 

で あ り,よ

っ て￨Gk(z)￨2=Ckexp(-ak2z2)￨gk(z)￨2

で あ る.そ れ ゆ え 証 明 を終 った ば か りの2)の 結 果 に よ り,Mの と してN∼

随 伴 測 度 をN

ν で あ る.

  と ころ で直 積 型 測 度 の絶対 連 続 性 の判 定 は(30.5)に

が 成 り立 つ か ら,μ ∼Mな

ら ν∼Nで

場 合 そ うな っ て い る)μ∼Mと が 結 論 さ れ る.な   最 後 に3)に

お1)の

あ る.特

ν ∼Nは

よ り行 な わ れ,一 般 に

にgk(z)Gk(z)≧0な

同 値 で あ る.よ

っ てN∼

場 合 も 規 格 化 定 数 に つ い て(30.10)が

つ い て 考 え よ う.(30.9)を

ら(今 の νか らM∼

μ

成 り立 っ て い る.

分解 して

 (30.11)

と 書 け る.(た

だ しCk′Ck″=Ck).そ

結 果 よ り μ′ ∼ μ,ま

た1)の

M∼ μが 証 明 で き た.な

こ で 

結 果 よ りM∼

お3)の

と お く と,2)の

μ′で あ る.し

た が って この 場 合 も

場 合 も 規 格 化 定 数 に つ い て(30.10)が

成 り立 っ

て い る.   以 上 の よ うに し てM∼

μ は 証 明 で き た の で,今

度 は(30.7)∼(30.9)のFk(x)

を そ れ ぞ れ の 要 請 を み た す よ う に 作 って み よ う.   今 度 も2)の 定 理28.4に

は(l2)の

証 明 か ら 始 め る.仮

定 に よ り ∀y∈(l2),μ(Hy)=1で

あ る か ら,

より

位 相 で 連 続 で あ る.そ

れゆえ

 (30.12)

を 得 る.と

こ ろ が 不 等 式te-t<1-e-tがt>0で

 (30.13)

が 得 られ る.   一 方 各kに 対 し

成 り立 つ の で(30.12)よ

り

 (30.14)

と お く と,Ik(a)はa>0で a→+0の

連 続 か つ 単 調 減 少 で,a→

∞

の と き0に

収 束 し,

とき (=∞

 (30.15) 

に 収 束 す る.そ

れ ゆ え,も

しIk(0)>1/δ2な

も 許 し て)

ら ば,

 (30.16)

と な る.さ

ら にIk(0)≦1/δ2の

と きak=0と

し て 定 義 を 補 え ば,

を 得 る.こ

の と き(ak)∈(l2)で

あ る こ と を 証明 し よ う.

  も し,こ

の 証 明 が で き た と き は,(30.8)でFk(x)を

 (30.17)

で あ り,先 程 証 明 した よ う に 

定義 す る と き

((30.10)式)で

あ る か ら,定

理 は証明

さ れ た こ と に な る.   そ こ で(ak)∈(l2)を

証 明 し た い.そ

のために

 (30.18)

を 数 学 的 帰 納 法 に よ っ て 証 明 し よ う.ま

ずN=1の

と き,y=(δ,0,0,…)に

(30.13)を 適 用 し て

す な わ ちI1(δ)<1/δ2を

た が っ てa1<δ

が わ か っ て い る と し て, 

 次 に  a2,…,aN,α,0,0,…), 

を 得 る.こ

得 る.し

こ でak≠0で

に(30.13)を

あ れ ばIk(ak)=1/δ2で

で あ るこ と が わ か る. を 証明

適用 して

あ るか ら

し よ う.y=(a1,

と な り,IN+1(α)<1/δ2を

る.こ

こ ま で で,2)の

得 て,aN+1<α

る.そ

に 示 す よ うに2)の 伴 測 度 をν と し て,定

こ でν に 対 し て2)の

変 換 をgk(z)と

であ

っ て 

場 合 に つ い て 定 理 の 証 明 は 完 了 し た.

  1)に つ い て は,次 準 不 変 な の で,随

が わ か る.よ

場 合 に 帰 着 さ れ る.仮 理28.3よ

定 に よ り μ は(l2)

り ∀y∈(l2),ν(Hy)=1で

結 果 を 適 用 し て や る.す

る と, 

あ

の フ ー リエ

して

(Ckは 規 格 化 定数) であ

と お く と き,∃(ak)∈(l2),∀k,zGk(z)∈L2(dz), 

る.と

の フ ー リエ 変 換 で あ り,フ ー リエ

こ ろ が,Gk(z)は(30.7)の 

変 換 はL2をL2に

等 距 離 的 に 移 す の で,∀k,  が 得 られ て1)の 場 合 も証 明 され た.

  最 後 に3)の

場 合 で あ る が,(30.9)のFk(x)を(30.11)の

よ う.μ は ∀y∈(l2),μ(Hy)=1を

み た す の で2)の

∀k, 

結 果 に より∃(bk)∈(l2), で あ る.ま

不 変 で も あ る か ら,こ り,し

よ うに分 解 し て考 え

た が っ て1)の

れ と 同 値 な μ′(=φk(xk)dxkの 結 果に

た μ は(l2)準

直 積)も(l2)準

不変 であ

よ り∃(ak)∈(l2),∀k, 

で あ る.   あと

は

(30.11)よ

を 証 明 すれ ば よい.

∀k,  り

で あ る.と

こ ろ が一般 に‖ φ*ψ‖L2≦‖φ‖L2‖ψ‖L1が成 り立 つ し

x(φ*ψ)=(xφ)*ψ+φ*(xψ)で

あ る か ら,

 (30.19)

と な る. 

 と こ ろ で

を 用 い た).

で あ る か ら,(30.19)に

よ り

 (30.20)

を 得 る.こ

こ で(30.10)に

あ る か ら,数

よ り 

列(Ck″),(ak)は

ま た(ak)∈(l2)よ

と も に 有 界 数 列 で,よっ

で

り 

て(30.20)に

よ り定 理 は

3)の 場 合に も 証 明 さ れ た. 

 次 に 定 理29.1の  定 理30.3 

前 半,す

(証 明 終)

な わ ち1),2),3)に

直 積 型 の 測 度(30.1)に

あ た る 部 分 の 拡 張 を 考え よ う.

の中

お い て, 

で 全 有 界 な らば,次 の こ とが 成 り立 つ.   1) Tμ⊂(l2),2) μ(Hy)=1と は(l2)の

な る の はy∈(l2)の

と き に 限 る,3)  特 性 位 相

位 相 よ り強 い.

  な お,定

理 の 仮 定 部 分 を「{fk(x)}k=1,2,…

も 同 じ こ と で あ る.((24.18)∼(24.20)を

中で全有界」 として

参 照). の フ ー リエ 変 換 をgk(z)と

 証 明   ま ず1)を 証 明 す る,  定 よ り{gk(z)}k=1,2,…

がL1(dx)の

はL2(dz)の

中 で 全 有 界 で あ る.ま

す る と,仮

た 定 理28.2よ

り,

 (30.21)

で あ る.よっ

て もし

 (30.22)

が 証 明 で きた とす れ ば 

とな り,有 限 個 のkを

で な くては な らな い か ら 

す なわ ちy∈(l2)を

のy∈Tμ

⊂(l2)が

に 対 し て 成 り立 つ の で,Tμ

  そ こ で(30.22)を

得 る.こ れ が す べ て

得 ら れ て1)の

帰 謬 法 に よ り証 明 し よ う.(30.22)を

除 い てyk2≦1

証 明 は 完 了 す る.

否定す ると

 (30.23)

で あ る.{gk(z)}はL2(dz)で 点g∞(z)に g∞(z)に

集 積 す る.必

全 有 界 だ か ら,部 要 な ら{gkn(z)}の

収 束 す る と考 え て よ い.す

分 列{gk n(z)}はL2(dz)の

更 に 部 分 列 を 考 え て,gkn(z)は

る と(30.23)よ

り

一

を 得 て,こ

の こ と よ りn→

  再 び(30.23)に

の と きan→0で

な くて は な ら な い.

よ り

で あ る か ら, 

お よ びFatouの

が 得 ら れ る が,g∞ 証 明 さ れ,よ

∞

≠0な

定理に よ り

の で こ れ は 明 ら か に 不 可 能 で あ る.こ

っ て 定 理 の う ち1)は

  2)に つ い て は μ(Hy)=1で

う し て(30.22)は

証 明 が 終 っ た.

あ れ ば,(28.18)か

ら(28.13)を

導 いたのと 同様に

と こ ろ をfk(x)で

お きか えて や れ

して  (30.24)

が 導 か れ る.あ ば,や

と は1)の

は りy∈(l2)が

証 明 で￨gk(z)￨2の

結 論 さ れ る.

  3)に つ い て は,ま ず 各fk(x)が が1に

近 い こ と は(30.24)の

(で￨gk(z)￨2をfk(x)で

ては な らな い.こ  次 にfk(x)が

偶 関 数 の 場 合 に つ い て 考え る.こ

左 辺 が0に

近 い こ と と同 値 で,し

お き か え た も の)の 関 係 に よ り 

の と きχ(y)

た がっ

て(30.22)

が0に 近 くな く

うして 特 性 位 相 は(l2)の 位 相 よ り強 い こ とが わ か る. 偶 関数 と限 らぬ と きは

 (30.25)

の 特 性 関 数 を χ1と す る と χ1(y)=￨χ(y)￨2だ

と お い て,  か ら,χ(y)が1に

近 け れ ば 当 然 χ1(y)も1に

近 い.一

方fk1(x)は

偶 関 数 で,

‖fk1-fj1‖L1≦2‖fk-fj‖L1 に よ り{fk1}k=1,2,… はL1(dx)で と か ら,μ1の

特 性 位 相 は(l2)の

よ り強 い の で,当

然(l2)の

位 相 よ り強 い.μ

性 関 数 が(lp)の

(証 明 終)

対 し て,1)(lp)準 位 相 で 連 続,の

て 今 証 明 し た ば か りの こ

の 特 性 位 相 は μ1の 特 性 位 相

位 相 よ り強 い. 

  系   直 積 型 の 測 度(30.1)が,p>2に μ(Hy)=1,3)特

全 有 界 で あ る.よっ

不 変,2)∀y∈(lp),

い ず れ か を み た し て い れ ば,

 はL2(dx)の   な ぜ な ら  2,…}と

中 で 集 積 点 を も ち え な い.

が 或 る 

にL2収

し てR∞=RK×RN-Kと

分 け て 考え

とRN-K上 で 定 理30.3に

はRK上

の 測 度 

の 測 度 と の 直 積 に な る. 

よ り 

は全 有 界 な の

で あ る.p>2な

だ か ら こ れ は 不 可 能 で あ る.2),3)に

  例 えば

こ の と き 

で あ り,(ak)∈(l2)だ

ら ば,対

応

不 変 で あ る.(μ は ガ ウ ス 測 度 に な りTμ=Ha⊃(l∞)).

は 集 積 点 を もっ て い な い.こ

で もた し か め られ る.す

ら 

つ い て も 同 様.

と お く と き,(ak)∈(l2)な

す る直 積 測 度 μ は(l∞)準

 の1/2近

束 し た とす る.K={kn;n=1, る と,μ

の こ とは もち ろ ん 直 接 計 算

なわ ち

か らjな固

傍 には有限個の 

定 す るご と に 

すなわち

しか属 し 得 な い.

  §31  R0∞ 不 変 測 度 の 非 有 界 性 そ の 他   今 度 は 本 章 始 め の 第 三 の 問 題 に つ い て 考え よ う.す 度 で 準 有 界 か つR0∞   ま ずR∞

上 の ボ レル 測

不 変 な も の に つ い て 考 え る.

上 の 有 界ボ レ ル 測 度 は 決 し てR0∞

よ う.x=(x1,x2,…,xn,…)∈R∞ をpnと

な わ ちR∞

す る と き,pnはR∞

レ ル 集 合 族 をB,Rnの

不 変 に な り得 な い こ と を 注 意 し

に(x1,x2,…,xn)∈Rnを か らRnへ

の 可 測 写 像 で あ る.す

ボ レ ル 集 合 族 をBnと

対 応 させ る 写 像 な わ ちR∞

し て,pn-1(Bn)⊂Bで

の ボ

あ る.い

ま

R∞ 上 の ボ レ ル 測 度 μ に 対 し   (31.1) 

μ(pn-1(Bn))=μn(Bn), 

と し てBn上

の 測 度 μnを 定 め て や る と,μ

る.ま

たx∈R∞,Bn∈Bnに

  (31.2)  と な る.よっ

∀Bn∈Bn が 有 界 測 度 な ら 当 然 μnも 有 界 で あ

対 しpn-1(Bn)-x=pn-1(Bn-pn(x))だ

か ら

τxμ(pn-1(Bn))=τpn(x)μn(Bn) て μ がR0∞

不 変 な ら μnはRn不

変 で あ る(pnはR0∞

をRnの

上

へ 写 す か ら).と しな い(Rn上

ころ がRn上

でRn不

で は,Rn不

変 な有 界 測 度 は ゼ ロ測 度 以 外 に 存 在

変 な準 有 界 測 度 は ルベ ー グ測度 の定 数倍 に限 る(定 理2.2)

か ら).そ れ ゆえR∞ 上 に もR0∞ 不 変 な 有 界 測 度 は 存 在 し得 な い.   も っと詳 し く,R∞ 上 にR0∞ 不 変 な 準 有 界 ボ レル 測 度 μを任 意 に 考え き,こ れ をRnに

射 影 した 測 度 μnは(0,∞)型 で な くて は な らな い.正 確 に は μn(Bn)=0 

 (31.3)

  {μn(Bn)=∞

で な く て は な ら な い.な

Bnの

if

Bnの

ル ベ ー グ測 度 が0,

 if

Bnの

ル ベ ー グ測 度>0

ぜ な ら,ま

R0∞ 準 不 変 だ か らνnはRn準 と 同 値 で あ る.当

ると

ず μ と 同 値 な 有 界 測 度ν を 考 え る と,ν

不 変 と な り,よ

っ て νnはRn上

でルベ ー グ測度

然νn∼ μnだ か ら結 局 μnは ル ベ ー グ測 度 と 同 値 で,よ

ル ベ ー グ 測 度 が0の

に0<μn(Bn)<∞

と き,ま

を み た すBnが

た そ の と き に 限 っ て μn(Bn)=0と

と み な さ れ る.そ

さ れ る がB∈Bに

っ て

な る.次

存 在 し た と し て 矛 盾 を 導 く.x=(x1,x2,…)

に 対 しqn(x)=(xn+1,xn+2,…)∈R∞ よ り 

は

と お く と 

の対 応 に

の 意 味 で μ はRn×R∞

上 の測 度 とみ な

対 し

  (31.4) ν(B)=μ(Bn×B) に よ りR∞ 上 の ボ レ ル 測 度 νを 定 義 す る と,ν(R∞)=μ(Bn×R∞)=μn(Bn)だ か ら νは 有 界 測 度 で あ っ て,x∈R0∞

に よ り νはR∞ <∞

に対 し

不 変 で あ る.こ の よ うな νは 存 在 しな い筈 だ か ら,0<μn(Bn)

を み た すBnは

存 在 して は な らず,よ

って(31.3)が 成 り立 つ.

  この よ うにR∞ 上 に 準 有 界 なR0∞ 不 変 測 度 が 存 在 して も,各Rnへ

の射 影 は

す べ て(0,∞)型 測度 で な くて は な ら な い.す なわ ち,こ の 場 合(0,∞)型 測度 の 無 矛 盾 的 列 の 極 限 と して 準 有 界 測 度 を 引 き出 す 話 とな り,上 巻,§18(特 に例3) で見 た よ うに 殆 ん ど不 確 定 な 内 容 しか 持 ち 得 な い.よ

って 無 矛 盾 的測 度 列 の射

影 極 限 とし て一 気 にR0∞ 不 変 測度 μを 定 め る こ とは 不 可 能 で,こ れ を 定 め よ う とす れ ば 多 少 な りと も間 接 的 な議 論 に よらね ば な らな い.   そ れ では あ るが,後 に 示 す よ うに実 際 にR0∞ 不 変 な 準 有 界 測 度 は 存 在 す る し,し か も比 較 的 容 易 に作 れ る.   これに つ い て論 ず る前 に,R0∞ 準 不 変 な有 界 測度 の 中に は,そ れ と同 値 な 準

有 界R0∞ 不 変 測 度 を もつ もの も,も た な い もの もあ る こ とを 注 意 し よ う.も つ 例 は後 で や る.典 型 的 な多 くのR0∞ 準 不 変測 度 は,も た な い方 に 含 まれ る.特 に ガ ウ ス測 度,定 常 積 であ らわ され る測 度 は,同 値 なR0∞ 不 変 測 度 を も た な い.   定 理31.1 

R1上

の を 任意 に考 え る とき,fに が,こ

をみ たす も

の 可 測 関 数f(x)でf(x)>0, 

よ る定 常 積 を μ とし て,μ

はR0∞

準不 変であ る

れ と同値 な準 有 界R0∞ 不 変 測 度 は 存 在 し ない.

  またR0∞ 上 に 内 積(,)1が

あ る と き,こ

の 内 積 に よ り定 ま る位 相 が(l2)の

位 相(のR0∞ へ の制 限)と一致 す れ ば,(,)1に

対応 す る ガ ウ ス測 度 μ はR0∞

準 不 変 で あ るが,こ れ と同値 な準 有 界R0∞ 不 変 測度 は存 在 し な い.   証 明  まず 定 常 積 の場 合 を 考 え る.定 理28.1に よ り定 常 積 μはR0∞エ ル ゴ ー ド的 であ る.ま た 自然 数 全 体 の置 換 群 を Σ とし,こ れ をR∞ の 変 換 群 と み な す と き μはΣ 不 変 で あ る.Σ の元 の うち,有

限 個 の番 号 だ け を動 か す も の

全 体 を Σ0と す る と,Σ0は 互 換(二 個 の番 号 の入 れ か え)に よ つて 生 成 され る. 定 理13.1の 次 の例 で示 し た よ うに μは Σ0エ ル ゴー ド的 で あ る.   さ て μ と同 値 な 準 有 界R0∞ 不 変 測 度ν が 存 在 し た とし て 矛盾 を導 こ う.も しν がΣ0不 変 で あ る とわ かれ ば,μ ∼νか つμ は Σ0不 変 でΣ0エ ル ゴー ド 的 だ か ら定 数c>0が

あ って μ=cν で な くて は な ら な い.そ れ で μ 自身,R0∞

不

変 で な くて は な らぬ こ とにな り矛 盾 す る.   そ れ ゆ え,ν が Σ0不 変 で あ る こ と を 言 え ば よ い.す を 言 い た い.τ σ μ=μ

は 成 り立っ て い る の で τσν ∼ν で は あ る.μ

ゴー ド的 な の で ν も そ うで あ り,よ 定 数cσ>0が σ2=Iだ

な わ ち ∀σ∈Σ0,τσν=ν

っ て τσ νがR0∞

σ(τ σν)=cσ2νよ りcσ=1を

エル

不 変 で あ る こ とが わ か れ ば

存 在 し て τσ ν=cσν で な くて は な ら な い.特

か ら,ν=τ

はR0∞

に σを 互 換 に取 る と

得 て,τσν=ν と な る.互

換 全体

は Σ0を 生 成 す る の で 結 局ν は Σ0不 変 と な る.   そ こ で τσνがR0∞ x∈R0∞

不 変 で あ る こ と を 示 せ ば 証 明 は 完 了 す る.と

の と き τxν=ν だ か ら,両

  (31.5) 

ころ が

辺 に τσ(σ∈Σ0)を 施 し て

∀x∈R0∞,τστxν=τ

σν.

し か る に τσ τxν=τσxτ σν((29.23)の 下 参 照)で あ る か ら,(31.5)と

合 わ す とτ σ ν

は σ(R0∞)不

う し て τσνが

変 と わ か る.σ

はR0∞

をR0∞

の 上 に 写 す の で,こ

R0∞ 不 変 とわ か り,こ

れ で 定 常 積 の 測 度 μ に 対 す る 定 理 の 証 明 は 完 了 し た.

  次 に ガ ウ ス 測 度 μ の 場 合に つ い て 定 理 を 証 明 し よ う.(l2)の

内 積(,)に

す る ガ ウ ス 測 度 は,一

証 明 が 終 った こ

次 元 ガ ウ ス 測 度 の 定 常 積 で あ る か ら,今

と の 特 別 な 場 合 に な る.別

の 内 積(,)1に

対

対 す る ガ ウ ス 測 度 の と き は,μ

は直

積 型 と は 限 ら な い が 定 理 が 成 立 す る わ け で あ る.   (,)1が(l2)の

内 積(,)と

い た よ うに,R0∞

か らR0∞

同 じ 位 相 を 定 め る と き は,(29.20)式 へ の(l2)の

  (31.6) 

あ って

μ=τAg

と な る.(gは(,)に   R∞ 上 でAの

対 応 す る ガ ウ ス 測 度). 随 伴 写 像 をA*と

A*は(l2)を(l2)に 変 で あ る.ま

写 す.よ

す る と,Aが(l2)の

よ っ て μ はR0∞   (AはR0∞

あ り,μ

はR0∞準

不

同 相に写 す の で,A*-1(R0∞)は(l2)の

っ て 定 理12.2に

よ りgはA*-1(R0∞)エ

中

ル ゴ ー ド的 で あ る.

エ ル ゴ ー ド的 で あ る.

か らR0∞

(x,y)1=(Ax,Ay)と

へ の 代 数 的 な 同 型 写 像 と し て,x,y∈R0∞ す る と き,「A*-1(R0∞)が(l2)に

密 で あ る 」 限 り,以 下 の 議 論 は そ の ま ま通 用 し,し 位 相 が(l2)の

位相 で 同 相 な こ と か ら

っ てTμ=A*((l2))=(l2)で

たA*は(l2)を(l2)に

で 稠 密 で あ り,よ

に対 し て

含 ま れ て(l2)の

中で稠

た が っ て(,)1の

定 める

位 相 と 異 な っ て も 定 理 は 成 立 す る).

  こ の よ うに μ はR0∞

準 不 変 か つR0∞

置 換 群 Σ に 対 応 す る も の と し て,今 を 考 え る.μ

はG不

変 で あ る.ま

R0∞ の 有 限 次 元 部 分 空 間Rが

度 は 内 積(,)1に

あ っ て,R⊥

す る と,G0はR0∞

り μ はG0エ

ル ゴ ー ド的 で あ る.G0は,二

  さ て μ と 同 値 な 準 有 界R0∞

エ ル ゴ ー ド的 で あ る.定

たGの

全 体 をG0と

し νがG0不

の前に書

位 相 で 同 相 な 線 型 写 像Aが

関 す るR0∞

の 回 転 群G

元 の うち 有 限 次 元 的 回 転(す

な わ ち

で は 恒 等 写 像 とな る よ う な 回 転)の

の 単 位 球 上 で 可遷 的 に 働 く の で 定 理14.5に

よ

次 元 的 回 転 の 全 体 で 生 成 さ れ る.

不 変 測 度 νが 存 在 し た と し て 矛 盾 を 導 こ う.も

変 で あ る と わ か れ ば,μ ∼ν か つ μ はG0不

か ら 定 数c>0が

常 積 の場 合 の

あ っ て μ=cν

で な くて は な ら な い.そ

変 でG0エ

ル ゴ ー ド的 だ

れ で μ 自 身R0∞

不変

で な くて は な ら ぬ こ とに な り矛 盾 す る.   そ こ でν がG0不 い た い,τUμ=μ

変 で あ る こ と を 示 し た い.す

な わ ち ∀U∈G0,τUν=ν

は 成 り立 っ て い る の で τUν ∼ν で は あ る.μ

はR0∞

を言

エル ゴ ー

ド的 だ か らν も そ うで あ り,よ 数cU>0が

度 の 場 合 互 換 と異 な っ てUが

は 限 ら な い.そ

れ ゆえcU=1を

  さ ら に τUνがR0∞

∀x∈R0∞,τUτxν=τUν

上 で のUの

は な い か ら,こ

随 伴 写 像).し

はU*(R0∞)不

か し 一 般 にU*はR0∞

れ か ら 直 接 に は τUνのR0∞

内 積(,)1に

位 相に関

上に 写 す.(AがR0∞

す べ てA*((l2))に

をR0∞

し て 同 相 写 像 で あ り,し

位 相 と一 致

た が っ てU*は

へ の単 な る代 数 的 同型 写像 の とき

上 に 写 す.以

お き か え る こ と).そ

に写 す わ け で

定 め る 位 相 は(l2)の

か らR0∞

は,U*はA*((l2))をA*((l2))の

変 と わ か る.(U*

不 変 性 は出 て 来 な い.

関 す る 回 転 で,(,)1の

す る の だ か ら,Uは(l2)の (l2)を(l2)の

ほ ど簡 単 で は な い.x∈B0∞

施す と

で あ る が,τUτxν=τU*xτUν で あ る か ら,τUν

  Uは

導 き

二 次 元 的 回 転 で あ っ て もU2

不 変 で あ る こ と の 証 明 も,さ

  (31.7) 

れ か らcU=1を

導 くに は 多 少 の 工 夫 を 要 す る .

の と き τxν=ν だ か ら 両 辺 に τU(U∈G0)を

はR∞

不 変 で あ る こ とが わ か れ ば 定

存 在 し て τUν=cUν で な くて は な ら な い.こ

た い の で あ るが,今 =Iと

って τUνがR0∞

下 の 議 論 で(l2)の

れ ゆ え,ν が(l2)不

とこ ろ を

変 で あ る こ とが わ

か れ ば,   (31.8) 

∀x∈(l2),τUτxν=τUν

で あ る か ら,τUν はU*((l2))=(l2)不

変 と な り,し

た が っ て も ち ろ んR0∞

不

変 と な る.   そ こ で νが(l2)不

変 で あ る こ と を 言 い た い.μ

は(l2)準

不 変 で あ る か ら,も

ち ろ ん νも そ う で あ り,よ

っ て ∀x∈(l2),τxν ∼ ν で あ る.τxν はR0∞

あ る か ら,ν のR0∞

ード性 に よ り定 数cx>0が

エ ルゴ

こ れ か らcx=1を

導き た い.(31.7)で

はR∞

な り,よ

上 で-Iと

す の で,τUν はR0∞

不 変 で あ る.し

で な くて は な ら ず,よ

=1が

あ る.そ

上 でUと

か もU2=Iで

っ て τ-Iν=ν で あ る.さ

τ-Iを 施 す と,τ-xτ-Iν=cxτ-Iν と な り,よ ばc-x=cxで

あ っ て τxν=cxν と な る.

特 にU=-I;y→-yと

っ てU*はR0∞

不 変で

す る と,U* 一 致 し てR0∞

あ る か ら,対

をR0∞

応 す るcU=1

て τxν=cxν(x∈(l2))の

っ て τ-xν=cxν を 得 る.言

れ ゆ え ν=τ-x(τxν)=c-xcxν=cx2ν

に写

と な り,こ

両辺に いか えれ うし てcx

証 明 で き た.

  こ う し て τUν(U∈G0)はR0∞

不 変 で あ る こ と が 証 明 さ れ た の で,先

程述べ

た よ うに   (31.9) 

∀U∈G0,∃cU>0,τUν=cUν

で あ る.こ cU=1を

れ か らcU=1を

証 明 し た い.Uが

二 次 元 的 回 転 の 場 合 に だ け

証 明 で き れ ば 十 分 で あ る.

  x∈R0∞,‖x‖1=1を Uxは(,)1に

一 つ 固 定 し,Ux;R0∞

関 す る 回 転(=等

∋y→y-2(x,y)1xと

長 写 像)で,Ux2=Iを

お くと

み た す か ら,cUx=1で

あ っ て τUxν=ν が 成 り立 つ.   さ てUは

二 次 元 的 回 転 とす る.す

R⊥ で はU=Iで る と,R上

な わ ちR0∞

あ る と す る.(,)1に

で はUは

の 二 次 元 部 分 空 間Rが

関 す るRの

規 格 直 交 系{x,y}を

あ って 考 え

二 次 の 直 交 行 列 で 表 示 さ れ る.

 (31.10)

そ し てUxUUxは,こ る の で,θ が-θ

の 行 列 の 第 一 行 と 第 一 列 の 符 号 を 変え る こ と を 意 味 す に 変 り結 局UxUUx=U-1で

あ る こ と を 考 慮 す れ ば,(31.9)よ τU-1(τUν)=cU-1cUν=cU2ν

あ る.そ

りcU=cU-1が

が 得 ら れ て,cU=1が

れ ゆ え,ν がUx不

出 て 来 る.し

変 で

た が っ て ν=

導 か れ た. 

(証 明 終)

  §32  無 限 次 元 ル ベー グ 測 度   今 度 はR∞

上 に 準 有 界R0∞

不 変 測 度 を 実 際 に 作 っ て み よ う.以

§22と 類 似 の 形 で 行 な わ れ る が,ロ い の で や や 簡 単 に で き る.そ   ま ずRn上 集 合Bnに

下の議論は

ー レ ン ツ 変 換 よ り平 行 移 動 の 方 が 扱 い や す

の か わ り も う少 し 詳 し く考え る こ と に し よ う.

に ル ベ ー グ測 度 を 考 え,こ

れ を λnと 記 す.明

ら か にRnの

ボ レル

対 し

 (32.1)

で あ る.そ

れ ゆ え,m>nと

して

 (32.2)

とお き,λmをLmnに

制 限 して考 え れ ば(そ れ を 同 じ 記 号λmで 表 わ す),

{λm}m>nは 可 測 空 間 列{(Lmn,Bm∩Lmn}m>n上 (BmはRmのボ

レル 集 合族).各

の 無 矛 盾 的 測 度 列 と な る.

λmは 準 有 界 で あ るか ら,上 巻,定 理16.1に

よ

り{λm}m>nは

一 意 的 に 定 ま る 射 影 極 限 測 度 に 拡 張 さ れ る.

  と こ ろ で{(Lmn,Bm∩Lmn)}m>nの

射 影 極 限 は,

 (32.3)

と し て,(Ln,B∩Ln)と

可 測 同 型 で あ る(BはR∞

{λm}m>nの

射 影 極 限 測 度 は(Ln,B∩Ln)上

と記 す.す

なわち

の ボ レ ル 集 合 族).よ

っ て

の 測 度 と み な さ れ る が,そ

れ を μn

 (32.4)

  或 い は 次 の よ う に も 言え る.R∞ R∞ の 中 に 埋 め こ ん で,μnをR∞

か らRnへ

の 射 影 をpnと

上 の 測 度 と み な す.こ

記 す.ま

たLnを

の とき

  (32.5) と な る.

  さ てm>nの

と き 明 ら か にLn⊂Lmで

一 致 す る こ と を 見 よ う .す   (32.6) 

m>n⇒

を 示 そ う.な

あ る が,μmのLnへ

の 制 限 は μnと

なわ ち ∀B∈B,μn(B)=μm(B∩Ln)

ぜ な ら μn′(B)=μm(B∩Ln)と

お く と き,μn′ をRl(l>m)に

射

影す ると

と な る が,(32.5)お

よび μm(Llc)=0に

よ り最 右 辺 は

に ひ としい.こ れ が す べ て のl>mとBl∈Blに対

し て成 り立 つ の で,準

有界

な 無 矛盾 的測 度 列 の拡 張 の一 意 性 に よ りμn=μn′ で あ る.す なわ ち(32.6)が 証 明 さ れ た.   定 義32.1  (32.5)で与 えた μnを用 い,R∞

の ボ レル集 合Bに

対し

 (32.7)

で 定 ま る μ を,R∞

上 の ル ベ ー グ 測 度 と言 う.

  正 確 に は これ はR∞

上 の ル ベ ー グ 測 度 の 一 例に す ぎ ず,後

で 示 す よ う に パ ラ メ ー タ{ak,bk}を あ る が,本

書 で は 一 応 定 義32.1の

  定 理32.1 R∞

に(32.16)の

前後

含 ん だ 一 連 の ル ベ ー グ測 度 が 得 ら れ る の で よ うに 呼 ん で お く.

上 の ル ベ ー グ測 度 μ は,準

有 界 ボ レ ル 測 度 で あ っ てR0∞

不変

で あ る.   証 明   ま ず μ が 可 算 加 法 的 測 度 で あ る こ と を 確 か め よ う.μ(φ)=0は,各 nに 対 し μn(φ)=0だ

か ら 明 ら か で あ る.次

にR∞

のボ レ ル 集 合 列{Bk}が

互

いに素の とき

 (32.8)

が 成 り立 つ こ と を 示 そ う.(32.6)に ら(32.7)の

よ り{μn(B)}はnに

極 限 は 単 調 増 加 な 極 限 で あ る.ま

μn(Bk)=αnk≧0と

お く と き,(32.8)の

  に ひ と し い.αnkはnに よ り(和 を 自 然 数 の 集 合N上 は 順 序 交 換 可 能 で あ り,よ

た 各 μnは 可 算 加 法 的 測 度 だ か ら,

左 辺 は 

μn(B)で

あ る か ら,μ

っ て(32.8)は

はLn上

  最 後 にR∞

れ は μ かR∞

よ れ ば μ(B)= れ ゆ え μ は 

対 し 

で あ る か ら,

が 得 ら れ,し

た が っ て 

上 で 準 有 界 な こ と を 意 味 す る.

不 変 性 を 検 証 し よ う.す

  (32.9) 

有 界 測 度 列 の 射 影 極 限 と し て,

で 準 有 界 な こ と が わ か る.そ

か る に 任 意 のnに

の 和 と極 限

成 り立 つ.

と き,(32.6),(32.7)に

(32.6)に よ れ ば,∀n,  で あ る.こ

ベ ー グの 定 理 に

の 離 散 測 度 に よ る 積 分 と み な す),こ

か もB⊂Lnの

上 で 準 有 界 で あ る.し

にひ と し く右 辺 は

つ い て 単 調 増 加 だ か ら,ル

  次 に μ が 準 有 界 で あ る こ と を 証 明 し よ う.準 μnは 準 有 界 で あ る.し

ついて単調増加 だ か

なわち

∀x∈R0∞,∀B∈B,μ(B-x)=μ(B)

を 示 し た い.x=(xk)と

す る と き,∃n,k>n⇒xk=0で

対 しm>n⇒μm(B-x)=μm(B)で μm′(B)と お き,μm′ をRl(l>m)に

と な る が,(32.5),Llm-pl(x)=Llmお

あ る が,こ

のnに

あ る こ と を 確 か め よ う.μm(B-x)= 射 影 し て み る.

よ び λlのRl不

変 性 に よ り上 式 最 右 辺

は

に ひ とし い.こ れ が す べ て のl>mとBl∈Blに

対 して成 り立 つ の で,準

な無 矛盾 的 測 度 列 の拡 張 の 一 意 性 に よ り μm=μm′ で あ る.す な わ ちm>nで

有界

あ る 限 り μm(B-x)=μm(B)で

あ り,こ

こ でm→

∞

と し て(32.9)が

る. 

(証 明 終)

  こ の よ うにR∞

上 の ル ベ ー グ測 度 μ はB0∞

界 測 度(も ち ろ んR0∞   R1上

得 ら れ

不 変 で あ る が,こ

れ と同 値 な 有

準 不 変)の 一 例 を 与 え て み よ う.

で 次 の よ うな 関 数fn(x)を

考え る.

 (32.10)

(cnは0
み た す 定 数).

こ の よ うなfn(x)は,cnを

一 つ 指 定 し た と き 確 か に 存 在 す る.

  定 理32.2 

で あ れ ば,直

も し 

積 型 の測 度

 (32.11)

は,R∞

上 の ル ベ ー グ 測 度 μ と 同 値 で あ る.

  注 意   定 理28.1よ

り νはR0∞

エ ル ゴ ー ド的 で,し

た が っ て μ もR0∞

エ ル ゴ

ー ド的 とわ か る .   証 明  x∈R∞

に 対 し,x=(xn)と

して

 (32.12)

と お く.(0
り,部

しx∈Lnな

と な る.そ

れ ゆ えf(x)はLn上

で あ る.一

方 

分 積 は 単 調 減 少 で した が って 無 限乗 積 は つね

ら ば 

で>0で だ か ら,結

よ り

あ り,nを

動 か し て 

局 ∀′(μ)x,f(x)>0が

上 で>0 示 さ れ た.そ

こで   (32.13) 

dν′=fdμ

と お く とν′∼ μ で あ る.あ   ν′をRmに

と は ν′=ν が 成 り立 つ こ と を 示 せ ば よ い.

射 影 し て み る.

((32.5)に

し か る にm
よ る).

であ

す る と 

るか ら,上 式 最 右 辺 は

に ひ と し くな る.こ

に ひ と し く,仮

れ に(32.10)お

定 

よ び(32.11)を

代 入 す る と,上

に よ り 

ν′(pm-1(Bm))=ν(pm-1(Bm))が

式は

で あ る.こ

示 さ れ た.

  こ の こ と が す べ て のmとBm∈Bmに

対 し て 成 り立 つ の で,有

界な無矛盾的

測 度 列 の 拡 張 の 一 意 性 に よ り ν=ν′ が 得 ら れ る. 

  R∞ 上 の ル ベ ー グ測 度 μ はR0∞ そ の 前 に,x∈Tμ れ ばμnは る.そ

不 変 で あ る が,Tμ

(証 明 終)

を 正 確 に 決 定 し て み た い.

な る 限 り τxμ=μ で あ る こ と を 注 意 し て お こ う.(32.5)に

偶 測 度(μn(-B)=μn(B))で

こ で(31.8)の

あ り,そ

変 な こ との 証

τxμ=μが 導 か れ る.

の と き は,τxμ ⊥ μ(互 い に 特 異)で あ る.(定

て,τxμ=μ

よ

の極 限 と して μ も偶 測 度 で あ

次 で や っ た 論 法(そ こ で の 記 号 で νが(l2)不

明)と 同 様 に し て,τxμ ∼ μ ⇒  

う し て

ま た は τxμ⊥ μ の ど ち ら か が 成 り立 ち,前

理13.1参

照).し

たが っ

者 を み た すxの

全体が

Tμ に な る わ け で あ る.   定 理32.3 

Tμ=(l1)で

 証 明 

あ る.す

な わ ち μ は(l1)不

と す る と,任 意 のnに

で あ る か ら,(32.5)に と し て μ(L0)=1で

よ り 

で あ る.よ

の 必 要 条 件(xに して

っ てn→

∞

あ る.

  そ れ ゆ え τxμ=μ とす る と,μ(L0-x)=1で

x=(xk)と

変 で あ る.

対 し 

つ い て の)を

な く て は な ら な い.そ

調 べ る た め に μn(L0-x)を

のた め

計 算 し て み よ う.

だ か ら,n<mと

し て(32.5)に

よ って

(た だ しr+=Max(0,r)).

と な る.そ

こ で μ(L0-x)=1な

らば

で な くて は な らな い.し たが って十 分 大 き なnに 対 し  な り よ っ て 

で あ る.こ

  逆 にx∈(l1)を だ か らTμ=Tν

仮 定 し てx∈Tμ で あ る.ま

う し て,τxμ=μ

⇒x∈(l1)が

を 導 こ う.(32.11)で

た(32.10)に

と 示 さ れ た.

定 ま る νに 対 し ν∼ μ

よ り

 (32.14)

と な る.よ

って

と な る か ら,定

理28.2に

よ りx∈Tν

で あ る. 

で あ り,∀n,Ln⊂(l∞)で

 先 程 述 べ た よ う に  μ((l∞)c)=0を い る.こ

得 る.す

上 の ル ベ ー グ測 度μ

う し て μ は(お よび これ と 同 値 な(32.11)のν

的 測 度 で(l1)準

不 変 な 例 と な る.(定

  さ てa∈R∞,b∈R∞  (32.15)

な わ ちR∞

(証 明 終)

理26.2の

と し,∀k,ak
あ る か ら

は(l∞)の

上 に 乗 って

は),(l∞)上

の可算加法

前 の 例 参 照).

す る.そ

し てn<mに

対 し

と お け ば,可 測 空 間 列{(Lmn(a,b),Bm∩Lmn(a,b))}m>nは(普 て)射 影 的 列 と な る.ま

測 度)は,こ

通 の射 影 に 関 し

た 測 度 列 

(λmはRmの

ルベ ー グ

の 可 測空 間 列 の上 で無 矛盾 的 とな る.よ って この測 度 列 は,射 影

極 限 可 測空 間  (32.16)

上 の 可 算 加 法 的 測 度 μn;a,bに 一 意 的 に 拡 張 さ れ る.μn;a,bをR∞ て,(32.7)と たR∞

同 様 に し てn→

上 の 測 度 とみ

∞ の 極 限 と し て 測 度 μa,bが 作 れ る.こ

上 の ル ベ ー グ 測 度 と 呼 ば れ る.

  これ は 次 に 述 べ る平 行 移 動 お よ び 線 型 変 換 の 特別 な 場 合 で あ る.定 意 味 で の ル ベ ー グ測 度 を μ とす る.μ る.x∈R∞ か つR0∞

を 任 意 に 考 え る と き,平

はR0∞

か らR0∞

変 か つA*(R0∞)エ

不 変 か つR0∞

行 移 動 され た 測 度

エ ル ゴ ー ド的 で あ り, 

  同 様 にR0∞

ル ゴ ー ド的 で あ る.定

理32.3か

ら わ か る よ う に,R0∞

って,「A*-1(R0∞)が(l1)に

ル ゴ ー ド性 に つ い て は 定 理26.2か

  こ の よ うに し て,定 す こ と に よ り,R0∞   a∈R∞,b∈R∞

義32.1の

  特 にa∈R+∞(す

含 ま れ か つ(l1)の 不 変 か つR0∞

を(l1) 中で稠

エ ル ゴー ド

ら 出 て 来 る).

エ ル ゴ ー ド的 な 準 有 界 測 度 が 無 限 に 作 れ る.

が 与 え ら れ た と き, 

と し,ま

た 線 型 変 換Aを

定 め る と,μa,b=τxτAμ

で あ る.そ

の意

の 平 行 移 動 お よ び 線 型 変 換 の 特 別 な も の で あ る. な わ ち ∀k,ak>0)の

これ はA:y=(yn)→Ay=(2anyn)と 不 変 で あ る が,今

不変

μ か ら 出 発 し て,平 行 移 動 お よ び 線 型 変 換 を 施

不 変 か つR0∞

A:y=(yn)→Ay=((bn-an)yn)で 味 で μa,bは,μ

エ ル ゴ ー ド的 で あ

τxμは ま たR0∞

あ る と き,τAμ はA*(R0∞)不

密 で あ る」 限 り,τAμ は(し た が っ て τxτAμも)R0∞ 的 で あ る.(エ

義32.1の

な らτxμ ⊥ μ で あ る.

へ の 代 数 的 同 型 写 像Aが

で お き か え て も よ い.よ

 (32.17)

れ もま

の 場 合A*((l1)は

と き,μ-a,aを

簡 単 の た め μaと 記 す.

し て,μa=τAμ

で あ る.μaはA*((l1))

次 の(l1)aと

一 致 す る.

もし 

な ら ば(例 え ばan=nと

っ て μaは 準 有 界(l2)不

界X不

あ り,し

たが

変 測 度 で あ る.

  (l2)に 限 ら ず,a∈R+∞ 大 き な 空 間 に で き る.そ

す る),(l2)⊂(l1)aで

を 適 当 に 選 ぶ こ と に よ り,Tμa=(l1)aは の 意 味 で,R∞

の 十 分 大 き な 空 間Xに

い くらで も 対 し て も,準

有

変 測 度 が 存 在 す る と 言 え る.

 し か し こ の と き μaは  い る こ と に な り,Tμa=(l1)aは 大 き く な る の で,μaの

の上 に 乗 って い く ら で も 大 き く で き る が そ れ に つ れ て(l∞)aも

台 とTμaの

食 い 違 い が ち ぢ ま る わ け で は な い.

  さ て μ∼ τAμ と な る 条 件 が 問 題 に な る が,今 な る の で ガ ウ ス 測 度 の 場 合(定 理13.5)の   R0∞ か らR0∞

度 の 場 合(l1)の

ノル ムが 問題 に

よ う に 必 要 十 分 条 件 は 求 め 難 い.

へ の 代 数 的 同 型 写 像Aの

うち,μ

∼ τAμ を み た す も の 全 体 を

Λμで 表 わ す.   A∈ Λμ の と き,μ c>0が

も τAμも(l1)不

ル ゴ ー

ド 的 だ か ら,定

数

あ っ て τAμ=cμ と な る.

  定 理32.4 

R∞ 上 の ル ベ ー グ 測 度 μ に つ い て,τxτAμ ∼ τx′ τA′ μ とな るた め の

必 要 十 分 条 件 は,x-x′ た,こ

変 で(l1)エ

∈A*((l1))か

つAA′-1∈Λμ

と な る こ と で あ る.ま

の と き τxτAμと τx′ τA′ μ と は 互 い に 定 数 倍 で あ る.

  証 明   ま ず 十 分 性 を 示 す.そ

の 前 に  よ り,τA(τA′μ)=τA′Λμ で あ

る こ と を 注 意 し て お く.さ てAA′-1∈Λ

μ で あ る とcμ=τAA′-1μ

の 両 辺 に τA′を 施 す とcτA′μ=τA′(τAA′-1μ)=τAμ を 得 る.τAμ 不 変 だ か らx-x′

∈A*((l1))で

と な る が,こ はA*((l1))

あ る とcτA′μ=τx-x′τΛμ と な り,こ

の両 辺 に

τx′を 施 す とcτx′τA′ μ=τxτAμ が 得 ら れ る.   逆 に τxτAμ ∼ τx′ τA′ μ と仮 定 す る と,τx-x′τAμ∼ τA′ μ で あ り τAμ,τA′ μ とも 偶 測 度 だ か ら 両 辺 に τ-Iを 施 す と

τx′-xτAμ ∼ τA′ μ を 得 る.こ

∼ τx′-xτAμ,した が っ て τ2(x-x′)τAμ ∼ τAμだ か ら,x-x′ は な ら な い.す

る と τA′ μ∼ τx-x′ τAμ=τAμ と なり,両

μ∼ τAA′-1μす な わ ちAA′-1∈Λ

μ が 得 ら れ る. 

  そ こ で 問 題 は Λμ の 決 定 で あ る が,こ

う し て τx-x′ τAμ

∈A*((l1))で

な くて

辺 に τA′-1を施 し て (証 明 終)

れ は 答 え 難 い の で 大 ざ っぱ な 必 要 条 件

と し て 「A∈Λμ ⇒A*((l1))=(l1)」 TτAμ=A*((l1))だ =A′*((l1))」

を あ げ て お こ う.な

か ら で あ る.な

ぜ な らTμ=(l1),

お こ の こ と よ り「AA′-1∈Λμ

⇒A*((l1))

が わ か る.

  A∈ Λμ の た め の 十 分 条 件 は も う少 し 詳 し く述 べ ら れ る.   定 理32.5 

1)  自 然 数 の 集 合Nの

置 換 群 を Σ と し,Σ

をR0∞に

作用 さ せ

る と き,Σ ⊂ Λμ で あ る.   2)  R0∞

か らR0∞

へ の 代 数 的 同 型 写 像Aに

な ら,A*((l1))=(l1)の

限 りA∈Λμ

お い て,I-Aの

像 が 有 限次 元

で あ る.

  3)  A:y=(yn)→Ay=(anyn)の

形 を し て い る と き は(た だ し ∀n,an>0),

A∈Λ μ と な る た め の 必 要 十 分 条 件 は  (32.18) と な る こ と で あ る.   系(3)の)a,b,a′,b′

∈R∞,∀n

an
と す る.

 (32.19)

  系 は 定 理 の3)と,前

  定 理32.5の

定 理32.4を

組 み 合 わ せ れ ば 出 て 来 る.

証 明 は 都 合 に よ り次 の 定 理32.6の

  次 に 問 題 に な る の は,R0∞

不 変,R0∞

め た ル ベ ー グ 測 度 以 外 に あ る か,と

次 に ま わ す.

エ ル ゴ ー ド的 な 準 有 界 測 度 が こ こ で 求

言 う こ と で あ る.す

な わ ち ル ベ ー グ測 度 μ

か ら 出 発 し て,τxτAμ の 形 の も の と し て 一 連 のR0∞ 不 変,R0∞ 度 が 得 ら れ た が,こ

エ ル ゴ ー ド的 測

れ 以 外 に 存 在 す る可 能 性 を 問 うわ け で あ る.こ

だ 答 え られ て い な い.し

か し 或 る補 助 条 件 を つ け れ ば,ル

の疑 問 は ま

ベ ー グ測 度 の 一 意 性

が 主 張 で き る.   定 理32.6 

μ′はR∞

上 の 準 有 界 ボ レ ル 測 度 でR0∞

的 とす る. 

と し て,も

あ っ て μ′=cμ で あ る.(μ

はR∞

  証 明 

不 変 か つR0∞

し0<μ′(L0)<∞

エ ル ゴー ド

な ら ば 定 数c>0が

上 の ル ベ ー グ測 度).

と し てL0⊂Lnか

つ 

はR0∞

不 変 で あ る.

よ っ て μ′のR0∞

エ ル ゴ ー ド性 よ り

 (32.20)

で な くて は な ら な い.   よ っ て μ′の 可 算 加 法 性 に よ り,  (32.21)

で あ る.そ

こ で μn′(B)=μ′(B∩Ln)と

ば,(32.21)よ

お い て,μn′(B)=cμn(B)が

り μ′=cμ が 得 ら れ る.

  さ てx=(xk)∈R0∞ で あ り,よ

に お い て,も

し ∀k>n⇒xk=0な

っ て(B-x)∩Ln=B∩Ln-xだ

え,μn′ をRnに

ら ばLn=Ln-x

か ら,τxμn′=μn′ で あ る.そ

射 影 し た も の はRn不

変 で あ る.一

れ ゆ え 定 数c>0が

れゆ

方 

だ 加 ら,0<μ′(L0)<∞ へ の 射 影 は 準 有 界 測 度 で あ る.そ

よ り,μn′ のRn

あ って λnはRn上 の ル ベ ー グ測 度

 (32.22) 

と な る.こ cはnに

示 され れ

こ で 

とお く こ と に よ りc=μ

′(L0)で あ り,よ

って

よ ら な い.

  さ て 今 度 はm>nと

し て μn′をRmに

射 影 し て み よ う. 

((32.5)に Rm(m>n)に

射 影 し た と き同 じ 測 度 に 写 る.よ

よ る)に

よ り,μn′ とcμnと

は

って 無矛 盾 な準 有 界測 度 列 の拡

張 の 一 意 性 に よ り μn′=cμnが 得 ら れ る.   さ ら にn→

∞ と し て μ′=cμ(た だ しc=μ′(L0))が

  系  μ′はR∞

上 の 準 有 界 ボ レ ル 測 度 でR0∞

る.a,b∈R∞,∀n,an
し て,も

得 ら れ る. 

不 変 か つR0∞

(証 明 終)

エ ル ゴ ー ド的 とす

し

 (32.23)

な ら ば 定 数c>0が

あ っ て μ′=cμa,bで あ る.

  ま たR0∞

か らR0∞

A*(R0∞)エ

ル ゴ ー ド的 で,x∈R∞

  (32.24) 

へ の 代 数 的 同 型 写 像Aに に対 し

0<μ′(A*(L0)+x)<∞

対 し,μ ′がA*(R0∞)不

変かつ

な ら ば 定 数c>0が

あ っ て μ′=cτxτAμで あ る.

  系 の 前 半 は 後 半 の 特 別 な 場 合 で あ る.後

半 を 示 す に は τA-1τ-xμ′に つ い て 定

理 を 適 用 す れ ば よ い.   そ こ でR0∞

不 変 か つR0∞

エ ル ゴ ー ド的 準 有 界 測 度 が ル ベ ー グ測 度 以 外 に あ

る か と 言 う 問 題 は,(32.23)を す よ うなx,Aが

み た す よ うなa,b∈R∞,ま

対 し て は(0,∞)型

れ は 直 方 体(お

よ び そ の 線 型 変 換 に よ る像)に

に な っ て い る わ け で あ る.

用 い て 定 理32.5を

証 明 し よ う.

  1)は 簡 単 で あ る.σ ∈ Σ とす る と き 明 ら か に =μ(σ(L0))=μ(L0)=1.よ

σ(L0)=L0だ

っ て 定 理32 .6よ り τσ μ=μ

  2)を 証 明 す る.I-Aの 含 ま れ る.す

みた

決 し て 存 在 し な い よ うな 測 度 μ′が あ る か と 言 う こ と で あ る.

そ の よ う な 測 度 μ′が あ れ ば,そ

  定 理32.6を

た は(32.24)を

像 が 有 限 次 元 な ら 或 るnが

な わ ちek=(0,0,…,1,0,…)(第k座

か ら,τ σ μ(L0)

で あ る. あ っ て 像 はRn×{0}に

標 だ け1)と

して

 (32.25)

と な る.そ

れ ゆ えy=(yk)∈R∞

に 対 しA*y=(zk)と

す る と 

で あ る.   と こ ろ でA*((l1))=(l1)よ

り τAμ はR0∞

り,τAμ(L0)=μ(A*-1(L0))だ

か ら,前

ば よ い.さ

てy∈A*-1(L0)はA*y∈L0と

と な る.そ

同 値 で あ り,し

対 し

こで

 (32.27)

であ るが

,n<m
し て(32.5)に

エ ル ゴ ー ド的 で あ

定 理 よ り0<μ(A*-1(L0))<∞

 (32.26)

k>nに

不 変 か つR0∞

よれ ば

た が って

を示 せ

これ を(32.27)に

代 入 す る.A*((l1))=(l1)よ

っ て 

で あ る.そ

す べ て のy=(yj)∈Rnに

が 得 ら れ て,定

ら,こ

した が

れ ゆ え 

対 し て 成 り立 つ.よ

が ってル ベ ー グの 定 理 よ り

理 の 証 明 は 完 了 し た.

  3)  を 証 明 す る.一 あ る が,今

り 

般 にA∈Λ

μ⇔∃c>0,τAμ=cμ

⇔0<τAμ(L0)<∞

の 場 合 

で である か

れ が 正 か つ 有 限 と な る 条 件 を 調 べ れ ば よ い.

  と こ ろ で τAμ∼ μ は μ∼ τA-1μ と 同 値 だ か ら,計算 りにA-1に

の 簡 単 の た めAの

かわ

つ い て 考 え る こ と に し,

  (32.28) と な る 条 件 を 調 べ よ う.

で あ る か ら,(32.28)が

成 り立 つ た め の 必 要 十 分 条 件 は 

 で あ り,前

者 は 

と,後

かつ 者 は 

<∞

と同 値 で あ る.よ

わ ち(32.18)と

っ て 二 つ 合 わ せ て(32.28)は 

同 値 で あ る.言

と,す

い か え れ ば(32.18)はA∈

な

Λμ の た め の 必 要 十 分

条 件 に な る. 

(証 明 終)

  §33  回 転 と 相 似 変 換 に 関 す る 不 変 性   R∞ 上 の ル ベ ー グ 測 度 はR0∞

不 変 で あ る ば か りで な く,有

限 次 元 的 回転 に 対

し て も 不 変 で あ る こ と を 確 か め よ う.   R0∞ 上 で(l2)の

内 積(,)に

関 す る 回 転 群Gを

ち 有 限 次 元 的 回 転(す な わ ちR0∞

の 有 限 次 元 部 分 空 間Rが

等 写 像 と な る よ う な 回 転)の 全 体 をG0と   定 理33.1 R∞

考 え る.そ

的 で あ れ ば 必 然 的 にG0不

あ っ て,R⊥

で は恒

し,τxτAμ がR0∞

意 のx∈R∞

と,R0∞

不 変 か つR0∞

から

エル ゴー ド

変 で も あ る.

  証 明  ま ず τxτAμがG0準   (33.1) 

元の う

す る.

上 の ル ベ ー グ 測 度 を μ と記 す.任

R0∞ へ の 代 数 的 同 型 写 像Aに対

し てGの

不 変 で あ る こ と を 証 明 す る.す

なわ ち

∀U∈G0,τUτxτAμ ∼ τxτAμ

を 証 明 す る.τUτxτAμ=τU*xτAUμ で あ る か ら,定   (33.2) 

x-U*x∈A*((l1)), 

理32.4に

AU-1A-1∈

よれ ば

Λμ

が 成 り立 つ こ と を 言 え ば よ い.   さ てU∈G0で (第k座

標 だ け1)と

あ る か ら ∃n,k>n⇒Uek=ek(た す る).よ

る とk>n⇒xk=ykで れ る.と り,よ

あ り,し

こ ろ で τxτAμはR0∞

りI-U-1の

=A(I-U-1)A-1の

た が っ て ∀x∈R∞,x-U*x∈R0∞

不 変 と仮 定 し て い る の で,R0∞

像 は 有 限 次 元 で あ り,し

か る に(AU-1A-1)*=A*-1U*-1A*で

同 値,し

⊂A*((l1))で

あ

た が っ てI-AU-1A-1 よ り,

Λμ が 証 明 で き た こ と に な あ る か ら,A*-1U*-1A*((l1))

示 さ れ れ ば よ い.と

に 対 し 先 程 証 明 し た よ う にx-U*x∈A*((l1))だ U*x∈A*((l1))と

が得 ら

れ ゆ え 定 理32.5の2)に

示 さ れ れ ばAU-1A-1∈

な わ ちU*-1A*((l1))=A*((l1))が

す

証 明 さ れ た.

像 は 有 限 次 元 で あ る.そ

(AU-1A-1)*((l1))=(l1)が

=(l1)す

に 対 しx=(xk),U*x=(yk)と

っ て ∀x∈R∞,x-U*x∈A*((l1))が

  次 にU-1∈G0よ

る.し

っ てx∈R∞

だ しek=(0,0,…,1,0,…)

た が っ てx∈U*-1A*((l1))と

こ ろ がx∈R∞

か ら,x∈A*((l1))は 同 値 で あ る.こ

う し てA*((l1))=U*-1A*((l1))が   以 上 で τxτAμがG0準   (33.3) 

証 明 さ れ た.

不 変 で あ る こ と が わ か っ た.よ

∀U∈G0, ∃cU>0, 

で な く て は な ら な い.こ

より

τUτxτAμ=cUτxτAμ

れ か らcU=1を

導 くに は,(31.9)式

論 法 を(そ こ で の νを τxτAμと 考 え て)繰

 し か し μ はG不

っ て 定 理32.4に

変 で は な い.例

以 後 §31末 ま で の

り返 せ ば よ い. 

(証 明 終)

えば 

とす る と

for で あ る.そ

れゆえ

 (33.4)

と お く とU*-1(L0)=B2∞

そ こ でm→

∞

と して

μ(U*-1(L0))=0,す た(R0∞

で あ り,m>nの

とき

μ2n(U*-1(L0))=0が

得 ら れ,さ

な わ ち τUμ(L0)=0で

あ る.こ

  し か しG0はR0∞

た が っ てG準

∞

と して

が わ か っ

な わ ち μ はUに

関し

不 変 で は な い.

の 単 位 球 の 上 で 可 遷 的 に 働 い て い る.そ

非 有 界 測 度 の 場 合 の 定 理14.1の

反 例 を 与 え て い る.(τxτAμ

ね 合 わ せ と し て 書 け る とす る と,τxτAμ つ の ガ ウ ス 測 度 と 一 致 せ ね ば な ら ぬ.こ

のR0∞

れ で 定 理33.1は が ガ ウ ス測 度 の 重

エ ル ゴ ー ド性 よ り実 は た だ 一

れ は 不可 能 で あ る.さ

す る か わ りに 同 値 と し て も不 可 能 で あ る.定 なR0∞

う し て 

エ ル ゴ ー ド性 よ り τUμ⊥ μ ま で 結 論 さ れ る).す

て 準 不 変 で な く,し

ら にn→

理31.1に

らに 一 致 す る と

よ りガ ウス測 度 と同値

不 変 測 度 は 存 在 し な い か ら で あ る).

  例   A:y=(yn)→Ay=(2anyn)と

し て,μa=τAμ

は(32.17)の(l1)a不

変

で あ っ て(l∞)aの

上 に 乗 っ て い る.a∈(l2)な

こ の とが わ か る.「(l2)上 変 な も の が(デ

ら ば(l∞)a⊂(l2)で

の準 有 界 ボ レ ル測 度 です べ ての 有 限 次 元 的 回 転 で 不

ィ ラ ッ ク測 度 以 外 に)存 在 す る 」.b∈(l1),b∈R+∞

え る と き,「  」 の 条 件 を み た す 測 度 を さ ら に(l2)b不 で き る.な 乗 り(l2)b不

あ る か ら,次

ぜ な ら 

と す る と きa∈(l2)で

変 で あ る.(な

に よ り(l2)b⊂(l1)aが

  定 理33.2 R∞

を勝手に与

変 な よ うに 選 ぶ こ と が あ っ て,μaは(l2)の

上に

ぜ な ら, 

出 て 来 る か ら).

上 の ル ベ ー グ 測 度 μ は 有 限 次 元 的 回 転 群G0に

対 し て,G0エ

ル ゴ ー ド的 で あ る.  証 明

 μをL0に制

率 測 度(=一

限 す れ ば,それは(32.5)に

上 の一 様 確

次 元 ル ベ ー グ 測 度 の 制 限)の 無 限 直 積 に な る.よ

次 の 例 で 示 し た よ う に,μ Nの

よ り, 

のL0へ

っ て 定 理13.1の

の制 限 は Σ0エ ル ゴ ー ド的 で あ る .(Σ0は

置 換 の う ち 有 限 個 の 番 号 だ け を 動 か す も の 全 体) .

  さて   (33.5) を 仮 定 し て μ(B)=0ま

た は μ(Bc)=0を

証明

だ か ら σ∈ Σ0に 対 し て  σ(B∩L0)=σ(B)∩L0で

を 得 る.μ

のL0へ

で あ る.一

あ り,よ

  そ こ で 必 要 な らBの 対 し 「μ(B∩L0)=0⇒

の と き,Σ0⊂G0

方 σ(L0)=L0だ

か ら,

って

の 制 限 は Σ0エ ル ゴ ー ド的 な の で,こ

ま た は μ(Bc∩L0)=0で

れ よ り μ(B∩L0)=0

な く て は な ら な い. か わ りにBcを μ(B)=0」

μ(B∩L0)=0と(33.5)よ り μ(B∩U*-1(L0))=0が

も得 られ る.そ れ ゆ え結 局  (33.6)

し よ う.こ

考 え る こ と に よ り,(33.5)を が 証 明 で き れ ば,定

り,μ(U*(B)∩L0)=0で 出 て 来 る.さ

み た すBに

理 の 証 明 は 完 了 す る.

あ り,μ のG0不

変性に よ

らに 可 算個 の合 併 を取 る こ とに よ り

が 証 明 で き れ ば,定   G0の

理 の 証 明 は 完 了 す る.

元 の うち 最 初 のn個

G0nはn次

の 座 標 だ け を 動 か す も の 全 体 をG0nと

元 回 転 群O(n)と

同 一 視 で き,そ

入 位 相)に 関 し て 可 分 だ か ら,O(n)の の 各 々 をR0∞ はG0の

こ と を 行 な い,そ そ れ が(33.6)を   x∈Lnの

で あ る.よ

対 し てek)は

可 算 部 分 集 合 を な す.nを

れ ら の 可 算 合 併 と し てG0の

動 か さ な い と し て)

い ろ い ろ 取 りか え て 同 様 な

可 算 部 分 集 合{Uk}を

作 れ ば,

み た す こ と を 示 そ う.

と き, 

立 で あ る.ま

ら の導

中 で 稠 密 な 可 算 部 分 集 合 が 存 在 す る.そ

の 回 転 に 拡 張 し た も の(k>nに

元 で あ り,G0の

す る と,

れ は 自 然 な 位 相(Rn2か

たxk2の

であり,(xk)k>nは

μに 関 して 互 い に 独

μ に 関 す る平 均 は

って 大 数 の法 則 に よ り殆 ん どす べ て のx∈Lnに

対し

の こ と が す べ て のnに

局 殆 ん どす べ て の

 (33.7)

と な る.こ

  に 対 し て(33.7)が成立 べ て のx∈R∞

対 し て 成 立 す る の で,結 す る が, 

に 対 し て(33.7)が

成 立 す る.す

だ か ら,殆

ん どす

なわ ち

 (33.8)

と お く と μ(Bc)=0で  そ れ ゆ

あ る.よ

っ て 

で も あ る.

え

 (33.9)

が 証明 で き れ ば(33.6)が結論

さ れ る. 

とす る と

 (33.10)

で あ る.RNの適当な回転Uに に 写 さ れ る が,(33.10)よ

よ り(x1,x2,…,xN)は(c,c,…,c)  り 

で あ る.い

ま{Uk}がO(N)の

稠密な可算

部 分 集 合 とす る と  

∃k, (‖・‖

はRNの

で あ る.よ っ てUk(x1,x2,…,xN)=(y1,y2,…,yN)と で あ り, 

ユ ー ク リ ッ ド ・ノ ル ム) お く と 

と な る か ら, 

を 得 る.   j>Nに

対 し て はejを

U*-1kはR0∞

不 変 に す る と し てUkをR0∞

上 で はUkと

一 致 し て,j>Nに   で あ る.よ

の 回 転 に 拡 張 す れ ば,

対 し て はxjを

っ てx∈Uk*(L0)と

不 変 にす る の で

な る.こ

れ で(33.9)

の 証 明 は 完 了 し た. 

(証 明 終)

  注 意   こ の 証 明 は,a∈R+∞ な い.a∈(l2)の っ て(l2)の G0不

と し て μaに は 通 用 し な い.ま

と き 本 定 理 の 前 の 例 で 見 た よ う に μaは(l2)の

単 位 球 をSと

す る と,∃n>0,μa(nS)>0で

変 集 合 で あ る が μa((nS)c)>0で

な い.(B={x∈R∞;￨x1￨>n}と 不 変 性 よ り μa(B)=∞

上 に 乗 る.よ

あ る.nSは

も あ る の で,μaはG0エ

お く と,B∩(nS)=φ

もちろん

ル ゴ ー ド的 で

で あ っ て μaのR0∞

で な くて は な ら な い).

  今 度 は 相 似 変 換 に 関 す る 不 変 性 に つ い て 述 べ よ う.R∞ μ で 表 わ す.そ

た 定 理 も成 立 し

し てB∈Bに

上 の ルベ ー グ測 度 を

対 し

 (33.11)

と お い て 可 算 加 法 的 測 度 μ を 定 義 す る.μ る),G0不

変 の み な ら ず,相

  (33.12) 

はR0∞

不 変(実 は(l1)不

似 変 換 に 関 し て も 不 変 で あ る.す

変 で もあ

なわち

∀c0>0,∀B∈B,μ(c0B)=μ(B)

で あ る.   有 限 次 元 空 間Rnの

場 合,Rn不

変 な 準 有 界 測 度 は ル ベ ー グ 測 度 し か な く,

そ れ は 相 似 変 換 で 不 変 で な い.(Rnの な こ と を す れ ば,μ   定 理33.3 

は(0,∞)型

(33.11)の

ル ベ ー グ測 度 を μ と し て(33.11)と

測 度 に な っ て 準 有 界 で な い).と

測 度 μ はR∞

同様

ころ が

上 の 準 有 界 ボ レ ル 測 度 で あ る.す

なわ ち

R∞ 上 に は,平 行 移 動R0∞

で も,有

限 次 元 的 回 転G0で

も,相 似 変 換 で も不

変 で あ る よ うな 準 有 界 ボ レル 測 度 が 存 在 す る.   証 明  (33.8)のBに

対 し μ(Bc)=0で

あ る.よ ってc>0に

対し

 (33.13)

と お く と{Bc}c>0は

互 い に 素 で,τcIμ(Bcc)=0で

あ る.

μ は 準 有 界 測 度 な ので  (33.14)

で あ るが,μ(Bc)=0よ

り μ(Ek)=μ(Ek∩B)な

と仮 定 し て さ し つ か え な い.ま 直 積 空 間R∞ 巻,定

理13.2に

はR∞

×(0,∞)に

た{Ek}は

よ り,写 像(x,c)→cxに

で あ る.こ

は ボ レ ル 集 合 で あ る か ら,上 よ る 

像(x,c)→cxが

互 い に 素 な こ と か ら わ か る).{Fk}も

に 対 しFk⊃cEkだ

∀k,Ek⊂B

単 調 増 加 と考 え て よ い.

お い て 

の ボ レ ル 集 合 で あ る.(写

{cEk}c>0が

の で,(33.14)で

の 像  一 対 一 で あ る こ と は, 単 調 増 加 で あ っ て 

か ら

れ が す べ て のcに

対 し て 成 立 す る の で,(33.11)に

よ り

 (33.15)

を 得 る.一

方 μ(Fj)を

計算す る と

だ か ら   (33.16)

とな る.こ れ で μ が 準 有 界測 度 で あ る こ とが わ か った. 

(証 明終)

  R∞ 上 に平 行 移 動 で も相 似 変 換 で も不 変 な準 有 界 測 度 が あ る こ とは い くらか 奇 異 な感 じが す る.そ れ はR∞

上 の ルベ ー グ測 度 μ が相 似 変 換 で 特 異 に な っ

て い る こ とに 原因 が あ り,証 明 の 中 で用 い たFjの

よ うに μ 測 度 有 限 な 可算 個

の 集 合 が 取 れ る.し で あ っ て,例

か し も っ と"自

え ばR∞

  R0∞ か らR0∞

合 に 対 し て は μ は(0,∞)的

の 直 方 体 に 対 し て は 下 記 の よ う にμ は(0,∞)的

へ の 代 数 的 同 型 写 像Aに

(l1)の 中 で 稠 密 な と き,x∈R∞

対 し,A*(R0∞)が(l1)に

と し てμ(A*(L0)+x)は0ま

な ぜ な ら0<μ(A*(L0)+x)<∞ すc>0は

然 な"集

測 度 正 の 集 合 を な す.よ

  R0∞ か らR0∞

含 まれ て た は ∞ で あ る. をみ た

っ て 特 に 相 異 な る 二 つ のc,c′に と な る が,こ

32.6の 系 に よ り τcIμも τc′Iμ も τxτAμと 同 値 に な り,よ な く て は な ら ぬ.c≠c′

で あ る.

とす る と,0<τcIμ(A*(L0)+x)<∞

τcIμ(A*(L0)+x)<∞,0<τc′Iμ(A*(L0)+x)<∞

なの

対 し0<

の と き 定 理

っ て τcIμ ∼ τc′Iμ で

な の で こ れ は 矛 盾 で あ る.

へ の 代 数 的 同 型 写 像Aに

対 し(33.11)よ

り

 (33.17)

と な る.今

後,A*-1(R0∞)が(l1)に

含 ま れ(l1)の

中 で稠 密 で あ る こ とを仮 定

し よ う.   す る と τAμ がR0∞

不 変 か つG0不

か つ 相 似 変 換 に 関 し て も 不 変 で,μ こ の よ うに 「R∞ 上 にR0∞

変 な の で τAμ もR0∞

不 変,G0不

変,

が 準 有 界 な こ と か ら τAμ も 準 有 界 で あ る.

不 変,G0不

変,か

つ 相 似 変 換 に 関 し て も不 変 な 準

有 界 測 度 は 無 数 に 存 在 す る 」.   定 理33.4  るR∞

1)  R0∞ の 元 に よ る 平 行 移 動,お

の 変 換 群 をHと

  2) ∃c0>0,∃

す る と,τAμ

はHエ

よび相 似 変 換 の両 方 で生 成 され ル ゴ ー ド的 で あ る.

α>0,τc0Aμ=α μ の と き τAμ,=α μ,そ

う で な い と き μ⊥ τAμ

で あ る.   証 明   R∞ の ボ レ ル 集 合Bが  (33.18)

を み た す とす る.こ

れ か ら τAμ(B)=0ま

た は τAμ(Bc)=0を

導 け れ ば1)の

証 明 は 完 成 す る.   R0∞

の 位 相 と し て,有

極 限 を 考 え,こ Xエ

限 次 元 部 分 空 間Rn×{0}の

ユ ー ク リ ッ ド位 相 の 帰 納

の 位 相 に 関 し て 稠 密 な 可 算 部 分 群X={xn}を

ル ゴ ー ド的 で あ る.(定

理26.2参

照).

考 え れ ば,τAμ は

一 方 ∀n

, 

よ り ∀′c,∀n, 

か ら τAμの1/cXエル な る.い

ま 

あ る.よ

って

ゴ ー ド性 よ り 

だ ま

な ら τAμ(B)=0で

た は 

あ り,Bcに

と つ い て も同 様 で

 (33.19)

と お い て,NもNcも(0,∞)の

ハ ー ル 測 度 が 正 で あ る 場合 さ え 除 外 で き れ ば

証 明 は 完 結 す る.   (0,∞)の

ハ ー ル 測 度 を λ で 表 わ し λ(N)>0か

当 なc0>0が

あ っ て λ(N∩c0Nc)>0と

c∈N∩c0Ncに

つ

λ(Nc)>0と

な る(§6,Lemma2参

対 し て は   が 得 ら れ,し

す る と,適

照).こ

の と き,

かつ が

成 り 立 つ か ら

た が っ て 

で あ る.

し た が って

と な っ て,こ

れ は(33.18)の

  以 上 で1)の

第 二 の 条 件 に 反 す る.

証 明 が 終 っ た.μ

も τAμ もHエ

ル ゴ ー ド的 だ か ら,定

に よ りμ ∼ τAμ で な け れ ばμ ⊥ τAμ で あ る.よ

理13.1

っ て2)を 証 明 す る に は

 (33.20)

を 示 せ ば よ い.   τc0Aμ=αμ を 仮 定 す れ ば(33.17)よ

り τc0Aμ=α μ で あり,τAμ

不 変 な こ と か ら τc0Aμ=τAμ で あ る.よ   逆 に μ∼ τAμ と 仮 定 し よ う.μ 的 な の で 

が相似変換で

っ て τAμ=αμ を 得 る.

も τc0Aμ もR0∞

さ え わ か れ ば ∃α>0,τc0Aμ=α

不 変 か つR0∞エ μ で あ る.よ

ル ゴ ー ド って

 (33.21)

を 示 せ ば 十 分 で あ る.   (33.8)のBに

対 し μ(Bc)=0な

を 仮 定 し て(33.21)が   はR∞

の で μ(E)=μ(E∩B)で

証 明 で き れ ば よ い.(33.14)の の ボ レ ル 集 合 で,

あ り,よ

っ てE⊂B

次 で 説 明 し た よ うに

だ か ら,τAμ ∼ μ よ り τAμ(F)>0で  だ か ら(33.17)よ

な くて は な ら な い.と

り τAμ(F)>0が結論

  で あ る が,τAμ

はR0∞

R0∞ 不 変 な の で ∃c0>0,    一 般 のE⊂Bの

場 合 μ(E)>0よ

合 わ せ て τAμ(F)=τc0Aμ(F)>0と τc0Aμ(E)>0で

あ る.こ れ で(33.21)が

り

さ れ る.特

こ ろ が ∀c>0, にE=Bと

選 ぶ と,

エ ル ゴ ー ド的 で あ り,各cBは

す な わ ち τc 0Aμ(Bc)=0で あ る. τAμ(F)>0で あ る か ら, 

な り,よ

っ て τc0Aμ(F∩B)>0す

証 明 さ れ た. 

と

なわち (証 明 終)

文

献

  こ の 本 に 書 か れ た 内 容 は ほ ぼ 完 全 に 証 明 が つ け て あ る の で,原 必 要 は な い と思 わ れ る.成 な い.代

論 文 をあ げ る

書 と し て類 似 の テ ー マ に つ い て書 か れ た も の も数 少

表 的 な 書 物 と し て は,

関数 解 析 的色 彩 の強 い もの と して   Xia,Dao-Xing,"Measures onal

spaces",Academic

and

integration

theory

on

infinite-dimensi

Press,1972

確 率 論 的 視 点 が 含 まれ る もの と して  

A.V.Skorohod,"Integration

in

Hibert

space",Springer,1974

が あ げ られ る.   こ の 他 に,部

分 的 な 参 考 と し て は,第1章

い ろ な 書 物 に 取 り上 げ られ て い る.例  

P.R.Halmos,"Measure

Theory",van

A.Weil,"L'integration

dans

les

の ハ ー ル 測 度 に 関 す る こ とは い ろ

えば Nostrand,1950,Springer,1974 groupes

topologiques

et

ses

applica

tions",Hermann,1940,第2版,1951

等 が あ る.第3章   H.Weyl,"The

に 関 連 し て,有 classical

限 次 元 回 転 群 の表 現 は

groups",Princeton,1939,第2版,1946

に 扱 わ れ て い る.

  な お こ の 本 に は 他 の 類 書 に な い 内 容 も 多 く含 ま れ て お り,特 に §28∼ §30は 下 村 宏 彰 氏 の,ま

た §31∼ §33は

筆 者 の 得 た 新 し い 結 果 で あ る.

索

引

正 値 測 度(positive ア

行

厚 い 群(thick

絶 対 連 続(absolutely

group) 

位 相 群(topological

37

ヴ ェ ー ユ 位 相(Weil

20 44

換群 

problem) 

全 変 動(total

58 31

相 の) 

35 185

ル ム

bounded)集

測 度 収 束(measure

度  1

合  

variation)ノ

全 有 界(totally

  174

合 

35

convergence,

convergence

in measure) 

197

行

ガ ウ ス 測 度(Gaussian

measure) 

totally bounded) 

可 遷 的(transitive) 

101

可 測 群(measurable

9 57

ル ベ ル ト空 間 の)  group) 

概 収 束(almost

ダ オ の 定 理(Dao's

101

numbers) 

133

tensor) 

114

convergence)

対 称 部 分(symmetric

metric) 

テ ン ソ ル 積(tensor

177

定 常 積(stationary

monotone

局 所 全 有 界(locally 局 所 有 限(locally

133

totally

bounded) 

113,115 度 の) 213

1

 1 topology) 

closure) 

197

53

35 ハ

  38

problem) 

度   度

特 性 位 相(characteristic 凸 包(convex

finite)測 度

結 婚 問 題(marriage サ

特 異(singular)測

84

ン ソル積

product)  product)(測

同 値(equivalent)測

ン ソル族  

許容的平行移動 

part)(テ

115

178

102,132

許 容 的(admissible)テ

97 tensor) 

の) 

function) 

169

of large

対 称 テ ン ソ ル(symmetric

topology) 

完 全 減 少 関 数(completely

law

対 角 型 テ ン ソ ル(diagonal

 70

角 谷 の 距 離(Kakutani

203 度 の) 

101

everywhere

角 谷 位 相(Kakutani

theorem) 

大 数 の 強 法 則(strong

isomorphism) 

回 転(rotation)(ヒ 回 転 群(rotation

35

行

た た み 込 み(convolution)(測

group) 

可 測 同 型(measurable

タ

80

可 算 全 有 界(countably

実 測 度(real

continuous)測

線 型 化(linearization)(位

topology) 

縁 組 問 題(marriage

172

先 コ ン パ ク ト(precompact)集

group) 

エ ル ゴ ー ド的(ergodic)変

カ

measure) 

行

ハ ー ル 測 度(Harr

31

measure) 

28,37

反 対 称 テ ン ソ ル(anti-symmetric 行

tensor)

 136

measure) 

172

準 不 変(quasi-invariant)測 準 有 界(quasi-bounded,

反 対 称 部 分(anti-symmetric

度 

57

(テ ン ソ ル 積 の) 

σ-finite)測 度  3

随 伴 測 度(adjoint

measure) 

192

正 則 表 現(regular

representation) 

左 不 変(left-invariant)測

part)

135 度

  10

左 準 不 変(left-quasi-invariant)測 134

フ ビ ニ の 定 理(Fubini's

theorem) 

度  11

11

不 変(invariant)測

度

符 号 つ き 測 度(signed 分 離 的(sparated)測 ベー ベ ル

measure)  度

ル の 定 理(Baire's

sional

  57

 

172

nal 184

112

無 限 次 元 ル ベ ー グ 測 度(infinite

44

theorem) 

Laplacian) 

Lebesgue

dimensio

measure) 

モ ー メ ン ト問 題(moment

241 problem) 

144

ン シ ュ タ イ ン の 定 理(Bernstein's

theorem) 

ヤ

102

殆 ん ど 回 転 不 変(almost invariant) 

マ

U-分

rotationally

148

離 的(U-separated) 

有 界 測 度(bounded

行

右 ハ ー ル 測 度(right

行

ラ Haar

ラ

measure)

右 不 変(right-invariant)測

度  

10

右 準 不 変(right-quasi-invariant)測 無 限 次 元 ラ プ ラ シ ア ン(infinite

リ ンデ 度  10

demen

3

行

ド ン ・ ニ コ デ ィ ム の 定 理(RadonNikodym's

 28,37

29 measure) 

property)  ロ ー

theorem) 

9

レ ー フ の 性 質(Lindelof's 188

レ ン ツ 群(Lorentz

group) 

151,158

著 山

者

崎

泰

郎

1934年山口 県 に生 まれ る.56年 京都大学理 学部数学科卒業,62年 同大学大学院 理 学研 究科博士課程終了.京 都大学 理 学部数 学科 助手 を経て,現 在 同大学 数理解析 研究所助 教授.理 学博士.専 攻― 関 数解析.

無 限 次 元 空 間 の 測 度(下) 1978年7月31日

  第1刷 発 行

1987年11月30日

  第2刷 発 行

発行所 

株式 会 社 

紀伊國屋書店

東 京 都 新 宿 区 新 宿3の17の7 電話  (354)0131(代 表) 振 出 版 部

替

 東京 都世田 谷 区 桜 丘5の38の1 電 話   (439)0125(代 郵

C YASUO PRINTED

YAMASAKI, IN

JAPAN

1978

口 座  東 京9-125575

便

番

号

表)

 156

印刷   研 究 社 印 刷 製 本   三 水 舍

紀 伊 國 屋 数 学 叢 書 に つ い て

  数 学 を学 ぶ に は い ろい ろの 段 階 が あ るが,い ず れ の場 合 で も書 物 な ど に よ っ て 自学 自習 す る こ とが 最 も重 要 で あ り,単 に 講 義 を聞 く とい うよ うな 受 動 的 な 勉 強 だ け で は,は な は だ 不 十 分 で あ る.   み ず か ら学 ぶ た め に 現在 い ろい ろ な 数 学 書 が 出版 され てい る.し

か

し,数 学 の 進 歩 は 極 め て基 礎 的 な考 え 方 に 対 して さえ 常 に 影 響 を与 え て お り,従 って どの よ うな 段 階 の勉 強 で あ って も,常 に 新 しい考 え 方 を理 解 す る こ とが必 要 で あ る.こ の た め に は,数 学 の過 去 と将 来 と を結 ぶ 視 点 か ら書 か れ た 書 物 が数 多 く出版 され る こ とが 望 ま しい.即 ち,新

しい

視 点 と古典 的 な 視 点 と を見 くらべ,基 本 的 な こ と を も将 来 の発 展 を考 慮 した 視 点 か ら説 明 す る とい う立 場 で書 か れ た書 物 が 要 望 され て い る.   本 叢 書 は この よ うな 要 望 に応 え て 企画 され た もの で あ って,各 巻 が大 学 理 工 学 系 の 専 門 課 程 の学 生 ま た は 大 学院 学 生 が それ ぞれ の 分 野 で の話 題,対 象 に つ い て 入 門 の 段 階 か らあ る程 度 の 深 さま で勉 学 す るた め の伴 侶 と な る こ と を 目指 して い る.こ の た め に 我 々は 各 巻 の 話 題 の 選択 に つ い て,十 分 配 慮 し,現 代 数 学 の 発 展 に と って 重 要 であ り,ま た既 刊書 で 必 ず し も重 点 が 置 か れ て い な い もの を選 び,各 分 野 の 第 一線 で 活 躍 して お られ る数 学 者 に 執 筆 をお願 い し てい る.   学 生 諸 君 お よび 数 学 同 好 の方 々が,こ の 叢 書 に よ って数 学 の 種 々の分 野 に お け る基 本 的 な 考 え方 を理 解 し,ま た基 礎 的 な 知識 を会 得 す る こ と を期 待 す る と と もに,更

に現 代 数 学 の 最 先 端 へ 向 か お う とす る場合 の基

礎 と もな る こ と を望 み た い.