Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ: Межвузовский тематический сборник трудов. Выпуск 13

Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОМПЛЕКСЫ ПРОГРАММ

Межвузовский тематический сборник трудов Выпуск 13 Под редакцией д-ра физ.-мат. наук, проф. Б. Г. Вагера

Санкт-Петербург 2007 1

УДК 66.048.05.004.6; 504.3.054; 517.929; 518.924; 519.24; 539.3; 539.213.3; 621.311; 621.311.1; 621.891; 621.315.1.001.63; 624.012.3; 629.113.004.5; 630.32; 658.012.011.56; 658.012.011.56; 666.97.033; 681.325; 681.325.5; 630.3:51.7; 697.1; 624.073–422.11:624.042.62; 519.7; 519.3; 541.12.012.2:539.213

СОДЕРЖАНИЕ КОМПЬЮТЕРИЗАЦИЯ УЧЕБНОГО ПРОЦЕССА Л. А. Парфенова. Использование электронного учебника для изучения дисциплины «Основы проектирования и эксплуатации технологического оборудования» .................................................................................................................7

Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ: Межвуз. темат. сб. тр. Вып.13 / СПбГАСУ. – СПб., 2007. – 208 с. Рассматривается применение методов математического моделирования, численных методов и комплексов программ к решению задач строительства, экологии и педагогики высшей школы. Изложены оригинальные исследования, имеющие как теоретическое, так и прикладное (или методическое) значение. Представлены статьи сотрудников: Филиала ГОУВПО «МЭИ (ТУ)» (г. Смоленск); СПбГТИ (ТУ); СПбГПУ; СПбГАСУ; СЗИП СПбГУТД; ГОУ ВПО «ПИМаш (ЛМЗ-ВТУЗ)»; БрГУ

Табл. 10. Ил. 46. Библиогр.: 84 назв. Редакционная коллегия: д-р физ.-мат. наук, проф. Б. Г. Вагер (отв. редактор, СПбГАСУ), д-р техн. наук, проф. В. В. Карпов (СПбГАСУ), канд. техн. наук, доцент А. Б. Исько (БрГТУ), д-р техн. наук, проф. В. В. Иваницкий (СПбГУТД) Рецензенты: д-р физ.-мат. наук, проф. А. С. Гаврилов (РГГМУ), д-р техн. наук, проф. П. В. Герасименко (ПГУПС)

ã Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет, 2007

2

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЗАДАЧАХ ЭКОЛОГИИ В. Н. Цветков. Прохождение инфракрасной радиации через оконное стекло ......9 Г. Д. Гаспарян. Математическое моделирование колебательной системы установки для ультразвуковой окорки лесоматериалов. .........................................15 И. А. Гаранина. Модель распределения ионов при наличии аэрозолей и источников ионизации в приземном слое атмосферы ..................................................................22 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЗАДАЧАХ СТРОИТЕЛЬСТВА О. А. Калаш, Г. В. Коваленко, Р. П. Курамшина. Алгоритм описания программы по исследованию НДС железобетонных ферм с учетом нелинейного характера их деформирования......................................................................................................26 С. А. Жердева, И. В. Дудина, Е. А. Чевская. Моделирование напряженнодеформированного состояния несущих стеновых панелей при кратковременном нагружении......................................................................................29 С. Н. Герасимов, А. С. Беспрозванных, Р. В. Назаров. Определение основных параметров лопастных бетоноотделочных машин вибрационного типа...............33 Д. Е. Мухин. Математические модели деформирования пологих оболочек ступенчато-переменной толщины с учетом упругопластических деформаций.....38 А. Н. Панин. Математические модели деформирования ребристых пологих железобетонных оболочек с учетом ползучести материала....................................44 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ В ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧАХ Е. В. Седунов, Е. А. Седунова. Управление динамическим экспериментом на множестве элементарных операторов....................................................................49 М. И. Самохина, Ю. Ю. Стебенькова. Новый подход к моделированию для поддержки принятия решений.............................................................................52 М. В. Макаренко. Расчет параметров схем замещения и моделирование случайных изменений нагрузки для исследования работы устройств оперативного регулирования напряжения..................................................................62 3

А. С. Ларионов. К вопросу о дифференциальных неравенствах для нелинейных функционально-дифференциальных уравнений...............................66 О. В. Куликов, Д. О. Куликов. Разработка программного комплекса построения регрессионной модели многоуровневого управления .............................................70 И. В. Игнатьев, А. Е. Ковров. Методика координации настроек автоматических регуляторов возбуждения в сложных электроэнергетических системах ..............74 И. В. Игнатьев, Е. Д. Пьянников. Программный комплекс для исследования влияния настроек автоматических регуляторов возбуждения генераторов на статическую устойчивость электроэнергетических систем...............................79 А. А. Бушин. Использование итерационного метода при анализе распределения высших гармоник в промышленных электрических сетях ....................................83 Г. А. Большанин, Л. Ю. Большанина, Т. Г. Коробова, С. И. Харин. Особенности построения математической модели однородного участка трехфазной трехпроводной ЛЭП в условиях пониженного качества электрической энергии...85 Г. А. Большанин, Л. Ю. Большанина, С. И. Харин. Особенности построения математической модели однородного участка районной сети в условиях пониженного качества электрической энергии .........................................................90 Г. А. Большанин, Л. Ю. Большанина, С. И. Харин. Характеристическое уравнение однородного участка районной сети в условиях пониженного качества электрической энергии .................................................................................96 Г. А. Большанин, Л. Ю. Большанина, Т. Г. Коробова, С. И. Харин. Оптимизация математической модели однородного симметричного участка трехфазной трехпроводной ЛЭП в условиях пониженного качества электрической энергии...105 Г. А. Большанин, Л. Ю. Большанина, С. И. Харин. Оптимизация математической модели симметричного однородного участка районной сети в условиях пониженного качества электрической энергии.......................................................110 Г. А. Большанин, Л. Ю. Большанина, Т. Г. Коробова, С. И. Харин. Характеристическое уравнение однородного участка трехфазной трехпроводной ЛЭП в условиях пониженного качества электрической энергии....117 Н. Г. Петров. Оценка нормы обратного оператора при условии

Д. А. Краснобородько, В. А. Холоднов, А. Е. Пунин, Э. В. Шепелевская. Математическое моделирование процесса разделения смеси бензол-толуол-ксилол с целью управления ректификационной колонной..........149 К. В. Григорьева. Построение кодифференциального отображения одного функционала.................................................................................................................156 С. А. Видюшенков, Е. В. Соколов. Круглая пластинка, лежащая на колоннах, расположенных на окружности с центром в полюсе пластинки........166 П. М. Огар, Е. А. Ключев, О. В. Максимова. Определение упругой характеристики слоистого полупространства.........................................................174 П. М. Огар, А. А. Дайнеко, С. С. Клюс. Определение начала пластической деформации при моделировании контакта шероховатых поверхностей..............182 М. Ю. Лебедева. Некоторые аспекты использования факторного анализа в маркетинговых исследованиях................................................................................192 М. Ю. Лебедева. Применение методов многоцелевой оптимизации в задачах обоснования маркетинговых решений....................................................194 М. Ю. Лебедева. Многофакторная модель анализа динамических показателей маркетингового исследования...............................................................197 И. В. Леонова, М. Ю Лебедева, Ю. П. Черемисина, В. А. Холоднов. Компьютерные технологии для интервального регрессионного анализа.............203

существования оператора (I - Pn HH)-1 .................................................................123 Е. Ю. Дулепова, Е. В. Кравченко. Исследование схем с памятью методом эмуляции.......................................................................................................................125 В. М. Крылов. Исследование процесса переноса субстанции на основе параболической и гиперболической математической модели в образцах конечных геометрических размеров.........................................................................128 А. Г. Певнева. Модификации алгоритма Чичинадзе ..............................................132 Д. А. Краснобородько, А. Е. Пунин, В. А. Холоднов, К. Хартманн. Синтез систем ректификационных колонн с использованием нечетких множеств.....................137 Д. А. Краснобородько, В. А. Холоднов, А. Е. Пунин, В. Н. Чепикова. Математическое моделирование ректификационной колонны для исследования ряда возмущений................................................................................143 4

5

Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ. СПб., 2007

Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ. СПб., 2007

Введение В сборнике представлены статьи, относящиеся к математическому моделированию работы строительных конструкций, задач экологии, некоторых производственных и технологических процессов. Второе направление статей касается разработки новых численных методов решения задач математической физики и применения известных методов к решению конкретных технических и производственных задач. Большое число статей посвящено применению средств вычислительной техники к решению самых разнообразных технических и технологических задач и разработке программных комплексов для этих целей. Кроме того, часть работ касается применения ЭВМ в учебном процессе высших учебных заведений. Все работы являются законченными исследованиями, содержат новые результаты и представляют научный и практический интерес.

6

УДК 629.113.004.5 Л. А. Парфенова (БрГУ) ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЭЛЕКТРОННОГО УЧЕБНИКА ДЛЯ ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ «ОСНОВЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ И ЭКСПЛУАТАЦИИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО ОБОРУДОВАНИЯ» Излагаются разработка и результаты применения электронного учебника для изучения специальной технической дисциплины в вузе.

Электронный учебник разработан на основе учебного пособия «Основы проектирования и эксплуатации технологического оборудования», авторами которого являются Е. П. Ясенков, Л. А. Парфёнова, и рекомендованного Сибирским региональным учебно-методическим центром высшего профессионального образования для межвузовского использования в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся по специальностям «Автомобили и автомобильное хозяйство», «Машины и оборудование лесного комплекса», «Подъемно-транспортные, строительные, дорожные машины и оборудование». В пособии отражены все разделы теоретического материала, необходимого для изучения данной дисциплины. В связи с тем, что в настоящее время нет базового учебника по данной дисциплине, это пособие позволит компенсировать его отсутствие в технических вузах страны. Данный электронный учебник рассматривается как базовое пособие по курсу и состоит из следующих разделов: Введение. 1. Предмет и содержание курса. 2. Основы проектирования технологического оборудования. 3. Проектирование моечно-очистного оборудования для АТП. 4. Проектирование оборудования для разборочно-сборочных и ремонтных работ. 5. Проектирование оборудования для механизации подъемно-транспортных работ. 7

6. Система и организация технического обслуживания и ремонта технологического оборудования. 7. Основы материаловедения на автомобильном транспорте. 8. Автоматизация расчета элементов технологического оборудования с помощью ЭВМ. Кроме основного текста, учебник содержит список рекомендуемой литературы. Для создания электронного учебника был использован объектно-ориентированный язык программирования VISUAL BASIC 6.0, который имеет для пользователя удобный интерфейс. В учебник вставлены изображения, оптимизированные в программе Adobe Photoshop CS. Эти изображения выделены по размеру и по цвету с помощью программы ACD FotoCanvas 2.0. Доступ к электронному учебнику осуществляется непосредственно с диска или путем копирования его на компьютер. Учебник прост в использовании и представляет собой последовательность слайдов-кадров с учебной информацией, темпом обучения управляет сам обучаемый. Он имеет возможность перейти к следующему или вернуться к предшествующему кадру учебника путем использования кнопок «Вперед» или «Назад», расположенных на каждой странице учебника. Таким образом, наряду с традиционными учебными пособиями существенно возрастает актуальность разработки электронных учебников, которые могут оказать неоценимую помощь студентам и преподавателям при организации дистанционного обучения. В заключение следует отметить, что электронный учебник на лазерном диске в настоящее время можно использовать для самообразования в качестве методического обеспечения любого курса более эффективно, чем обычный учебник. Получено 3 апреля 2007 года.

8

Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ. СПб., 2007 УДК 697.1 В. Н. Цветков (СПбГАСУ) ПРОХОЖДЕНИЕ ИНФРАКРАСНОЙ РАДИАЦИИ ЧЕРЕЗ ОКОННОЕ СТЕКЛО В практическом аспекте рассмотрено проникновение солнечной радиации через оконное стекло.

Оконные проемы – необходимый элемент всех зданий. Их влияние на тепловой режим помещений бесспорно. Обладая малым термическим сопротивлением (по сравнению со стеной), окно зимой вызывает значительное охлаждение помещений, а летом часто приводит с солнечному перегреву и перерасходу электроэнергии на кондиционирование воздуха. Поэтому постоянно идет поиск новых прогрессивных решений, улучшающих характеристики оконных заполнений. Среди них прочное место занимают металлические пленки, которые наносятся на поверхность оконного стекла. Рассмотрим влияние металлической пленки на характеристики оконного стекла. Общеизвестно, что солнечный спектр состоит из ультрафиолетовых, инфракрасных лучей (УФК, ИКЛ) и видимого спектра. Оконное стекло пропускает лишь видимые и ИК-лучи с длиной волны до 2.5–5 микрон. Последних очень мало в рассеянном свете. Проникая в помещение, солнечные лучи поглощаются его поверхностями и нагревают их вследствие перехода электромагнитной энергии лучей в тепловую. Нагрев обеспечивают ИКЛ. Нагретые поверхности сами становятся источниками длинноволнового ИК излучения, но его уже не может выпустить стекло. Кроме того, от этих поверхностей нагревается воздух. В помещении возникает «тепличный», или «оранжерейный эффект». Тепловой эффект инсоляции (проникновение прямых солнечных лучей) уменьшают либо затенением проемов, либо использованием, как уже отмечалось, в проемах стекол с металлической пленкой, отражающей ИКЛ, но хорошо пропускающей видимый свет (до 93–97 %). 9

ИК-излучение интенсивностью I0, взаимодействуя со стеклом, в общем случае разделяется на три части: отраженную Ir, поглощенную Ia и пропущенную It стеклом. В итоге мы имеем общее излучение I0 = Ir + Ia + It .

(1)

Деление равенства (1) на I0 даст, 1 = Ir / I0 + Ia / I0 + It / I0 или 1 = r + a + t,

(2)

где соответственно r – коэффициент отражения; a – поглощения; t – пропускания. Коэффициент пропускания t зависит от толщины стекла d и состояния его поверхности. Металлическая пленка, резко увеличивая отражение от себя ИКЛ, снижает тем самым пропускание и, как следствие, перегрев помещения инсоляцией. Измерение коэффициента пропускания выполнялось на установке, изображенной на рис. 1.

Рис. 1. Схема установки

Излучение, прошедшее через испытуемый образец 2, установленный на отверстие в столике 3, попадает в актинометр 4, предназначенный для измерения в природе прямой солнечной радиации. Прямые лучи из падающего потока выделяются диафрагмами, размещенными внутри корпуса прибора, имеющего вид гильзы. На дне гильзы зачерненный диск поглощает лучи и нагревается. Снизу к диску подклеены внутренние (горячие) спаи термоэлектрической батарейки, имеющей вид звездочки. Внешние (холодные) спаи вмонтированы в корпус. Термобатарейка превращает электромагнитную энергию поглощенной радиации в электрическую. Возникающая сила тока измеряется гальванометром 5, показания которого прямо пропорциональны интенсивности поглощенной радиации. Для нахождения коэффициента пропускания t достаточно измерить интенсивность падающей радиации (без образца) I0 и прошедшей через установленный на столике образец It. Тогда (3) t = It I0 . Измерить интенсивность отраженной радиации Ir на установке напрямую не представляется возможным, поэтому мы пошли окольным путем и стали снимать зависимость коэффициента пропускания от толщины образца, т. е. t = f (d) . С этой целью при каждом последующем измерении наращивали стопку образцов на столике методом подкладывания, сохраняя плоскость отражения неизменной. График снятой зависимости иллюстрирует линия 1 на рис. 2. Наслоение образцов создало плоскости соприкосновения, от которых могли возникнуть путевые отражения, снижающие пропускание. Устраняя сомнения, последовательно проследили путем расчета рост t по формуле, используемой в светотехнике, t = t1 × t2 × t3 × t4 × t5,

(4)

Источником излучения, имитирующим солнце, служит зеркальная лампа – термоизлучатель 1 мощностью 500 Вт. Ее нить накала имеет рабочую температуру около 2200 К, а поверхность солнца – 6000 К, отчего спектр излучения лампы отличается от солнечного спектра. Однако измеряемые коэффициенты – это относительные величины, что искупает неточность измерения.

где t1 – коэффициент пропускания очередного образца. Результаты расчетов обобщает линия 2 на рис. 2. Она показывает, что экспериментальный коэффициент пропускания стопкой (линия 1) оказался выше расчетных значений (линия 2), что указывает на отсутствие путевых отражений, возникновение вторичного излучения от нагретого (поглощением) стекла, наблюдаемого в условиях эксплуатации. Этим-то и отличаются ИКЛ от видимого света.

10

11

1 1 ln = ln + md . t (1 - r)

(8)

Получили линейное уравнение прямой (вида y = b + mx) 1 есть начальная ордината, 1- r а m – угловой коэффициент прямой. Результаты экспериментальных измерений иллюстрирует рис. 3.

в координатах d, ln(1/t), в котором ln

Рис. 2. Зависимость t = f (d) : 1 – экспериментальная; 2 – расчетная; 3 – для стекла с отражающей пленкой

Для выявления коэффициента отражения воспользовались законом поглощения излучения в веществе I t = I 0*e - md ,

(5)

где I 0* – интенсивность излучения, вошедшего в образец; I t – интенсивность излучения, прошедшего через слой стекла толщиной d; m – линейный коэффициент поглощения, характеризующий относительное уменьшение интенсивности излучения на единице толщины поглотителя. В уравнении (5) интенсивность I 0* излучения, вошедшего в образец, равна разности интенсивностей падающего I0 и отраженного излучений, т. е. I t = ( I 0 - I r ) e - md .

(6)

Логарифмируя равенство (7), будем иметь 12

1 Продолжая прямую до пересечения с осью ln , при d = 0 имеем t 1 1 ln = ln , t (1 - r)

Поделив все выражение (6) на I0, получим I t I 0 = (1 - I r I 0 ) e - md или t = (1 - r) e - md .

1

= f (d) : 1 – обычного стекла; 2 – стекла с пленкой; t 3 – стекла с пленкой по внешней плоскости

Рис. 3. Зависимость ln

(7)

(9)

что позволяет найти искомый коэффициент отражения r. Он оказался равным 0.06. 13

Для обычных теплообменных процессов степень черноты поверхности стекла (10) e =1- r оказалась равной 0.94, что совпадает со значениями, принимаемыми в теплотехнических расчетах. Из графика (см. рис. 3) вытекает значение коэффициента линейного поглощения (11) m = D ln (1 t) Dd, которое для обычного стекла (линия 1) составило 0.062 1/мм. Аналогичные эксперименты (с подкладыванием стекол) были проведены для образца с пленочным покрытием. В одном случае покрытие располагалось по тыльной стороне наружного стекла (линия 2), как это делается на практике, а в другом – по внешней поверхности стекла (линия 3 на рис. 3). Линии 2, 3 доказывают, что место расположения пленки не оказывает существенного влияния на отражающую способность оконного заполнения, поскольку линия 2 дает r = 0.68, а линия 3 – r = 0.69, но практически внутреннее расположение пленки защищает ее от внешних атмосферных воздействий. Таким образом, пленочное покрытие отражает 68 % падающего излучения вместо 6 % при обычном стекле, существенно снижая расходы на изъятие проникающего через окно тепла в летнее время. Для зимнего периода инсоляция – желательный фактор, экономящий энергию на обогрев помещений, поэтому пленочные покрытия не дадут рекламируемую экономию, хотя они снижают степень черноты лучистого теплообмена между стеклами в стеклопакете, вычисляемую по формуле e=

1 . 1 1 + -1 e1 e 2

(12)

У обычного стекла e1 = e 2 = 0.94 , а e = 0.887 . Плоскость, покрытая ая пленкой, имеет на поверхности e 2 = 1 - 0.69 = 0.31, а в совокупности с обычным стеклом мы получаем e = 0.304, что повышает термическоее сопротивление прослойки в 2.9 раза. Но в то же время пленка снижает поступление прямой энергии от солнца в 3 раза. В пассивном режиме, когда инсоляция отсутствует (северный фасад, затенение, полярная ночь и т. п.), пленка все же –теплозащитный фактор, если она не разрушается, 14

Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ. СПб., 2007 не покрывается росой и инеем, которые доводят поверхность до изначальной черноты 0.94. Пленочное покрытие бессмысленно на стеклах при устройстве в домах «солнечных ловушек». «Ловушка» – это остекленный проем, за которым на относе располагается стена из теплоемкого материала. Стена накапливает днем энергию проникающих ИКЛ, а ночью возвращает накопления, сдерживает снижение температуры в помещении. «Ловушки» целесообразны в зонах с солнечными зимами для домов с пофасадными и поэтажными системами отопления, обеспеченными автоматикой, дающими догрев, когда на небе нет солнца. Получено 5 февраля 2007 года.

УДК 630.32 Г. Д. Гаспарян (БрГУ) МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ УСТАНОВКИ ДЛЯ УЛЬТРАЗВУКОВОЙ ОКОРКИ ЛЕСОМАТЕРИАЛОВ При окорке лесоматериалов с помощью ультразвукового излучения возникает необходимость оптимизировать параметры элементов колебательной системы. В данной статье представлена математическая модель ультразвуковой колебательной системы для оценки качественных геометрических показателей.

При рассмотрении колебаний упругих тел будем полагать, что материал тела однороден, изотропен и подчиняется закону Гука. Однако в случае упругих тел вместо нескольких сосредоточенных масс мы имеем систему, состоящую из бесконечно большого числа частиц, между которыми действуют силы упругости. Для определения положения такой системы требуется бесконечно большое число координат, и поэтому она имеет бесконечно большое число степеней свободы, так как за возможное или виртуальное перемещение можно принять любое малое перемещение, удовлетворяющее условию непрерывности, т. е. не вызывающее разрывов в теле. На этом основании видно, что любое упругое тело может иметь бесконечно большое число типов собственных колебаний. 15

В случае тонких стержней и пластинок (длина продольных волн велика по сравнению с размерами поперечных сечений стержня) задача колебаний может быть значительно упрощена. При выводе уравнения движения будем основываться на гипотезе плоских сечений. Кроме того, будем игнорировать силы инерции, связанные с поперечными движениями частиц стержня при его растяжении-сжатии. Тогда положение каждого поперечного сечения в процессе движения полностью характеризуется его продольным смещением U. Рассмотрим элемент стержня, ограниченный двумя поперечными сечениями. Обозначим: N – поперечная сила в сечении; dJ – сила инерции; F(Z) – площадь поперечного сечения; U(Z) – смещение данного поперечного сечения вдоль оси бруса Z; Е – модуль упругости материала стержня (модуль Юнга); r – плотность материала стержня; w – круговая частота. Сила инерции выражается следующим образом: dJ = -rF ( Z )

d 2U

dZ .

dt 2 При стационарных колебаниях с круговой частотой w

Левое сечение элемента смещается вдоль оси Z на U, правое – на величину U + dU. Таким образом, абсолютное удлинение элемента DL = U + а относительное DL ¶U = . (4) dZ ¶Z Усилие, возникающее в сечении, связано с относительным удлинением законом Гука для одноосного напряженного состояния: e=

¶U . (5) ¶Z Окончательно система дифференциальных уравнений, описывающая свободные продольные колебания стержней переменного сечения, запишется в виде N = EF ( Z )e = EF ( Z )

1 ì ¶U ïï ¶Z = EF ( Z ) N ( Z ), í ï ¶N = -w2r × F ( Z )U ( Z ). ïî ¶Z

(1)

(1а) dJ = w2r F ( Z )U ( Z )dZ . Рассматривая выделенный участок стержня и применяя принцип Даламбера (при движении механической системы активная сила и реакция связей вместе с силой инерции составляют равновесную систему сил для каждой точки системы), можно записать уравнение ¶N dZ + dJ - N = 0. (2) ¶Z Тогда, подставив в (2) выражение для силы инерции (1а), получим N+

¶N dZ + w2r × F ( Z ) × U ( Z )dZ = 0 , ¶Z или после сокращения на dZ

¶U ¶U dZ - U = dZ , ¶Z ¶Z

(6)

Волновое уравнение продольных колебаний такого стержня имеет вид ¶ é ¶U ù ¶ 2U EF ( Z ) r F ( Z ) = 0. (7) ¶Z êë ¶Z úû ¶t 2 Для нахождения лишь собственных частот, т. е. для решения задачи на собственные колебания, можно принять, что (8) U ( Z , t ) = U ( Z ) cos w × t , где w – круговая частота. После подстановки (8) в (7) и некоторых преобразований имеем U ¢¢( Z ) + J( Z )U ¢( Z ) + K 2U ( Z ) = 0,

(9)

¶N + w2r × F ( Z ) × U ( Z ) = 0 . (3) ¶Z Второе уравнение системы дифференциальных уравнений, описывающих продольные колебания, записывается в соответствии с законом Гука.

F (Z ) E w – волновое число; J( Z ) = ;c= – скорость звука. а. F ¢( Z ) r c Решение уравнения (9) для наиболее важных случаев (экспоненциального и конического рупора) может быть представлено в виде

16

17

где K =

1 [A cos K ' Z + B sin K ' Z ] , (10) r (Z ) где r(Z) – закон изменения радиуса поперечного сечения по длине; А и В – постоянные интегрирования, зависящие от граничных условий. Для экспоненциального рупора при r(Z) имеем следующую зависимость r ( Z ) = r0 exp(-bZ ), U (Z ) =

где r0 – размер рупора при Z = 0; rk – радиус рупора при Z = l; l – длина рупора; Nd =

r0 1 ; b = ln N d . rk l

Причем параметр K ' определяется как K ' = K 2 - b 2 . Для участков инструмента с постоянной площадью поперечного сечения, т. е. F = const, решение уравнения (10) имеет вид U ( Z ) = [ A cos KZ + B sin KZ ] , N ( Z ) = EFK (- A sin KZ + B cos KZ ) . Считая, что в начале участка при Z = 0 смещение U = U0, а усилие N = N0, найдем соответственно значения смещения и усилия в конце участка [0, l]. Очевидно следующее: N U k = U 0 cos Kl + 0 sin Kl , EFk (11) 1) N k = - EFKN 0 sin Kl + N 0 cos Kl . Используя векторные обозначения, уравнение (11) можно записать в более компактной форме: VkVk = AV0 ,

(12)

где Vk = (U k , N k ); V0 = (U 0 , N 0 ) – векторы-столбцы; А – матрица (2×2) вида æ cos Kl ( EFK ) -1 sin Kl ö÷ A = çç ÷, cos Kl è - EFK sin Kl ø

которую обычно называют матрицей перехода. 18

Ультразвуковой узел состоит из участков, в пределах каждого из которых закон изменения площади поперечного сечения таков, что может быть аппроксимирован из перечисленных функций. Если концентратор состоит из n участков, то количество произвольных постоянных в решениях равно 2 n. Указанные постоянные определяются из граничных условий для конкретного концентратора, обычно это условие вида N 0 ( z ) z =l = 0 и N 0 ( z ) z =0 = 0 (свободные края концентратора), а такжее из так называемых условий стыковки участков, в соответствии с которыми в силу гипотезы сплошности U 0- ( Z 0 ) = U 0+ ( Z 0 ) , т. е. продольноее смещение слева от плоскости стыковки участков равно смещению справа от указанной плоскости. Аналогично в силу справедливости принципа Даламбера при отсутствии сосредоточенных сил имеем N 0- ( Z 0 ) = N 0+ ( Z 0 ) . Для концентратора из n участков имеем 2(n –1) условий стыковки и 2 граничных условия, т. е. 2 n условий, которые можно представить в виде однородной системы из 2 n алгебраических уравнений вида (13) A(a × lk )C = 0 , где A(a × lk ) – матрица коэффициентов размером 2 n×2 n; a – волновое ое число (a = k ) ; C = (С1 , С2 ,...Сn ) – вектор-столбец неизвестных коэффициентов; С1 = А; С2 = B (из уравнения (10)). Нетривиальное решение системы (13) находится из следующего условия: (13а) det A(a × lk ) = 0 . Варьированием безразмерного параметра a × lk добиваются выполнения условия (13а), резонансная частота системы задана, значит, задано и волновое число a, а варьируется длина k-го участка lk (k £ n) элемента, и тем самым определяется резонансная длина lk k-го участка. Среди различных причин затухания колебаний механических систем одной из важнейших является рассеяние энергии внутри самой колебательной системы (внутреннее трение в материале и в сочленениях). Достоверные оценки влияния внутреннего трения важны при решении множества разнообразных задач, особенно для систем, при эксплуатации которых возможны резонансные режимы. При постановке задач механики деформируемых тел зачастую допустима замена последних идеально упругими моделями. Таковы, на19

пример, статические задачи о нагружении тел при столь малых напряжениях и температурах, когда пластические и вязкие эффекты пренебрежимо малы. В этих случаях характеристика поведения материала подчиняется закону Гука, а при больших деформациях принимаются нелинейные зависимости, устанавливающие, однако, взаимно однозначное соответствие между деформациями и напряжениями. Соответственно и механическая система в целом практикуется как вполне упругая. Однако такая «чисто упругая» постановка задачи далеко не универсальна. Существует большое число динамических задач, при которых нельзя игнорировать различные сопротивления неупругого характера. Последние можно разделить на две группы: внешние сопротивления: трение в опорах систем; аэро- или гидродинамическое сопротивление среды; сопротивление, создаваемое специально вводимыми в систему демпферами; внутренние сопротивления – внутреннее трение в материале; трение в так называемых неподвижных соединениях (заклепочных, прессовых, шлицевых, резьбовых и т. п.). Сопротивления указанного вида неизбежно сопровождают всякий процесс деформирования реальных механических систем, таким образом, кривые зависимости между напряжением и деформацией при увеличении нагрузки и при ее уменьшении, строго говоря, не совпадают между собой. Работа, затрачиваемая на деформацию больше, чем работа, отдаваемая материалом при разгрузке. Таким образом, при каждом цикле колебания рассеивается (превращается в теплоту) энергия, соответствующая площади петли гистерезиса. Рассеивание энергии становится особенно значительным, если в процессе деформации возникают пластические деформации; однако потери энергии имеют место и при напряжениях, меньших предела упругости (упругий гистерезис). Игнорируя неупругие сопротивления, мы лишаемся возможности объяснить многие реально наблюдаемые явления. Так, в интересующей нас области колебаний наглядным примером явлений этого типа может служить затухание свободных колебаний. Учет неупругих сопротивлений приобретает также первостепенное значение при определении амплитуд вынужденных колебаний в резонансной зоне и в ряде других задач динамики деформируемых тел. Очевидно, что решение различных задач о колебании систем с внутренним трением требует отчетливых представлений о закономерностях,

описывающих соответствующие неупругие сопротивления. Эти экспериментально устанавливаемые закономерности неизбежно приходится описывать таким образом, чтобы облегчить последующее решение соответствующих дифференциальных уравнений. Введем в рассмотрение внутреннее трение и заменим «чисто упругую» задачу моделью вязкоупругого тела Бокка – Сорокина (эллиптическая форма петли гистерезиса), приводящей к наиболее простым решениям. Запишем связь между напряжением и деформацией для одноосного напряженного состояния в виде

20

21

y de ö æ s = Eç e + 0 × ÷ , 2pw dt ø è

(14)

где s – нормальные напряжения в поперечном сечении бруса; e – деформация; Е – модуль упругости материала стержня (модуль Юнга); w – круговая частота; y0 – коэффициент поглощения, определяемый как y 0 = DW/W; W – амплитудное значение потенциальной энергии; DW – рассеянная за один цикл деформирования энергия. Перепишем уравнение (14) в виде y de ö æ N ( Z ) = EF ( Z )ç e + 0 ÷, 2pw dt ø è или с учетом (4) æ ¶U y 0 ¶ 2U ö ÷. N ( Z ) = EF ( Z )çç + (15) ÷ ¶ Z 2 Z t pw ¶ ¶ è ø Решим систему (3), (15) для гармонического возбуждения с круговой частотой w. Выполним подстановку: U ( Z , t ) = [U1 ( Z ) + jU 2 ( Z )] e j×w×t ; N ( Z , t ) = [N1 ( Z ) + jN 2 ( Z )] e j×w×t ;

(16)

где j – мнимая единица; U1, U2, N1, N2 – подлежащие определению действительные функции смещения и усилия. Подставим выражения (16) в систему уравнений (3) и (15) и, разделив действительную и мнимую части, получим систему уравнений

Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ. СПб., 2007

или окончательно

1 dU1 y 0 dU 2 N1 = × , EF ( Z ) dZ 2pw dZ 1 dU 2 y 0 dU1 N2 = + × , EF ( Z ) dZ 2pw dZ dN1 = -w2rF ( Z )U1 , dZ dN 2 = -w2rF ( Z )U 2 , dZ

-1 ì 2 öù é æ y dU ï 1 = ê EF ( Z ) × ç1 + 0 ÷ú æç N + y 0 N ö÷ , ç 4p 2 ÷ è 1 2pw 1 ø ï dZ ê øûú è ë ï -1 ï 2 öù é æ y dU ïï 2 = ê EF ( Z ) × ç1 + 0 ÷ú æç N - y 0 N ö÷ , ç 4p 2 ÷ è 2 2pw 1 ø í dZ ê øûú è ë ï ï dN1 2 ï dZ = -w r F ( Z )U1 , ï ï dN 2 = -w2r F ( Z )U . 2 ïî dZ

В настоящее время антропогенное воздействие на среду обитания в виде аэрозольных выбросов промышленных предприятий, выхлопов автотранспорта, радиоактивного загрязнения приводит к изменению электрофизического состояния приземного слоя атмосферы. Следствием этого является количественное и качественное изменение аэроионного состава воздуха, что существенным образом влияет на жизнедеятельность человека. Определенный прогресс в оценке влияния техногенных аэрозолей на электрическое состояние приземного слоя атмосферы вносит математическое моделирование. Теоретическое исследование принципиально расширяет возможности изучить объект, воспроизвести который в лабораторных условиях нельзя. Для моделирования горизонтально-однородного приземного слоя атмосферы распределение ионов в присутствии аэрозолей и источников ионизации имеет вид [1] d (b1En1 ) = q( z ) - an1n2 - h1n1N 2 - h2 n1N 0 ; dz -

(17)

d (b2 En2 ) = q( z ) - an1n2 - h1n2 N1 - h2 n2 N 0 ; dz h2 n1N 0 - h1n2 N1 = 0 ; h2 n2 N 0 - h1n1N 2 = 0 ;

(1)

N1 + N 2 + N 0 = N = const ;

dE e = (n1 - n2 + N1 - N 2 ) , dz e 0 где n 1, 2 – концентрации положительных и отрицательных легких ионов;

Получено 4 апреля 2007 года.

УДК 504.3.054 И. А. Гаранина (БрГУ) МОДЕЛЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ИОНОВ ПРИ НАЛИЧИИ АЭРОЗОЛЕЙ И ИСТОЧНИКОВ ИОНИЗАЦИИ В ПРИЗЕМНОМ СЛОЕ АТМОСФЕРЫ

b1, 2 – их подвижность; Е – напряженность электрического поля; i – плотность электрического тока; q – интенсивность ионообразования; a – коэффициент рекомбинации легких ионов; е – элементарный заряд; z – ось координат, перпендикулярная поверхности Земли; N1 , N 2 – концентрации положительных, отрицательных тяжелых ионов; N 0 –

Представлена разработка численной модели электрического состояния приземного слоя, исследование возможности контроля антропогенного воздействия на атмосферу.

концентрация нейтральных аэрозольных частиц; h1, 2 – коэффициенты взаимодействия легких ионов соответственно с заряженными и нейтральными тяжелыми ядрами; e0 – электрическая постоянная.

22

23

При этом предполагалось, что присутствие ядер конденсации в атмосфере приводит к образованию тяжелых ионов, подвижность которых на несколько порядков меньше, чем легких. Предполагалось, что ядра стационарны и имеют постоянную концентрацию. Решая совместно третье, четвертое и пятое уравнения системы (1) получаем функции N1 и N 2 : N1 = N2 =

Nh1h2 n12 h1h2 n12 + h22 n1n2 + h1h2 n22

;

(2)

.

(3)

Nh1h2 n22 h1h2 n12 + h22 n1n2 + h1h2 n22

Подставляем (2), (3) в (1) и, вводя обозначения y1 = En1, y2 = En2 , y3 = E , получаем следующую систему уравнений: ö h1 y12 y2 + h1 y1 y22 dy1 q( z ) a y1 y2 Nh22 æç ÷ = dz b1 b1 y3 b1 y3 çè h1h2 y12 + h22 y1 y2 + h1h2 y22 ÷ø ; æ q( z ) a y1 y2 Nh22 æ öö h1 y12 y2 + h1 y1 y22 dy2 ç ÷÷ =-ç ç h h y 2 + h2 y y + h h y 2 ÷ ÷ ; ç b2 b2 y3 dz b y 2 3è 1 2 1 2 1 2 1 2 2 øø è

(

(4)

)

ö dy3 e æç y1 y2 Nh1h2 y12 - y22 ÷ = ç + 2 2 2 dz e 0 è y3 y3 h1h2 y1 + h2 y1 y2 + h1h2 y2 ÷ø . Граничные условия с учетом новых обозначений приобретают вид y1 (¥ ) = y2 (¥ ), y3 (¥ ) =

(

)

B × N + B N + 4aq(¥ ) 2q(¥ ) 2

2

1 2

y1 (¥ );

2h1h2 B= ; y (0) = 0. (5) (h2 + 2h1 ) 2 В стационарном случае, учитывая инвариантность плотности электрического тока, получаем æ b ö y1 (¥ ) = çç 1 ÷÷ y1 (0) . è b1 + b2 ø Подставляем (6) в (5) получаем 24

(6)

(

)

1 2

BN + B N + 4aq(¥ ) (7) y1 (0) . 4q(¥ ) Таким образом, исходной системой для проведения численных решений является система (4) с граничными условиями (5). Значения параметров, входящих в уравнения, задавались следующими: h1 = y3 (¥ ) =

2

2

= 1.4×10 – 12 м 3 с – 1; h2 = 4×10 – 12 м 3 с – 1; a = 1.6×10 – 12 м 3 с – 1; b1 = = 1.2×10 – 4м 2 В – 1с – 1; b2 = 1.4×10 – 4м 2 В – 1с – 1; e0 = 8.85×10 –12 Ф м – 1; e = 1.6×10 – 19 Кл. Полученная система дифференциальных уравнений первого порядка с граничными условиями представляет собой краевую задачу [2]. Система решалась численно методом Рунге – Кутта четвертого порядка [2, 3]. При этом значение y1(0 ) подбиралось таким образом, чтобы выполнялись соотношения (5), (6), (7). Шаг интегрирования H выбирался равным 10 – 3 – 10 – 4 м. Расчеты показывают, что при N £ 108 м – 3 аэрозоль практически не влияет на распределение n 1, 2 и E в приземном слое. Такая ситуация наблюдается в экологически чистых районах. Увеличение N до значений порядка 5×108–109м –3 приводит к тому, что объемный заряд в равной мере создается как легкими, так и тяжелыми ионами. При N ~ 1010–1011м – 3 роль легких ионов незначительна и весь объемный заряд обусловлен тяжелыми ионами. Предположение о том, что аэрозоли являются стоком для аэроионов подтверждается. Таким образом, наличие в атмосфере концентрации аэрозольных частиц более (5–15)×108м – 3 оказывает заметное влияние на распределение n 1, 2 и E вблизи поверхности земли. Список литературы 1. Морозов В. Н. Атмосферное электричество // Атмосфера. Справочник (справочные данные, модели). – Л.: Гидрометеоиздат, 1991. – С. 394–408. 2. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. – М.: Наука, 1984. – 831 с. 3. Хайрер Э., Нёрсет С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. – М.: Мир, 1990. – 512 с. Получено 3 апреля 2007 года. 25

Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ. СПб., 2007

s b = Eb × n b × e b ü ý, s s = Es × n s × e s þ

(1)

УДК 624.012.3

где sb , s s – соответственно напряжения в бетоне и арматуре; Eb , Es –

О. А. Калаш, Г. В. Коваленко, Р. П. Курамшина (БрГУ)

модули упругости; eb , e s – деформации; n b , n s – коэффициенты упругости данных материалов. Выбранный для исследования способ описания диаграмм деформирования материалов является наиболее оптимальным, поскольку он позволяет вычислять напряжения в бетоне и арматуре по единообразным зависимостям на каждом этапе кратковременного нагружения. При этом переменной величиной будут являться коэффициенты упругости бетона и арматуры, которые характеризуют постепенное снижение секущих модулей вплоть до разрушения. Программа ориентирована на поэтапный расчет элементов ферм с максимальными усилиями, которые испытывают разное напряженнодеформированное состояние. Для элемента нижнего пояса на первом этапе прикладывается усилие обжатия с эксцентриситетом в обоих направлениях. Это связано с тем, что результаты исследований ферм на комбинате «Братскжелезобетон» показали: в процессе изготовления конструкций часто происходит обрыв прядей канатов в пролете, перекос натяжных устройств, проскальзывание арматуры вследствие длительной эксплуатации анкерных приспособлений. Следовательно, общее усилие преднапряжения смещается по отношению к центру тяжести поперечного сечения и меняет картину распределения напряжений. Далее расчет выполняется шагово-итерационным методом, т. е. внешняя нагрузка прикладывается ступенями и на каждой ступени решается система уравнений, построенная на условиях равновесия сечения, представленного в дискретном виде: n – количество элементарных участков бетона; k – количество участков арматурных стержней. В матричном виде уравнения равновесия запишем в виде

АЛГОРИТМ ОПИСАНИЯ ПРОГРАММЫ ПО ИССЛЕДОВАНИЮ НДС ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ФЕРМ С УЧЕТОМ НЕЛИНЕЙНОГО ХАРАКТЕРА ИХ ДЕФОРМИРОВАНИЯ Приводится алгоритм расчета железобетонных ферм по нелинейной деформационной модели. При загружении ферм используются шагово-итерационные методы. Физическая нелинейность учитывается путем аналитического описания диаграмм деформирования бетона и арматуры.

Обработка экспериментальных данных испытаний преднапряженных ферм на комбинате «Братскжелезобетон» позволила выявить определенный процент брака для ферм сегментного очертания ФСМ-18 и ФСМ-24. Было установлено, что основной причиной неудовлетворительных результатов является существенное снижение трещиностойкости нижнего пояса – 35 % бракованных ферм. Это происходит вследствие неравномерности натяжения канатов и приводит к эксцентриситету общего усилия от центра тяжести нижнего пояса [1]. Но также происходит и выход из строя элементов верхнего пояса или решетки, поэтому возникает необходимость в написании программы по исследованию напряженно-деформированного состояния отдельных элементов ферм и оценке эксплуатационной пригодности фермы в целом. Анализ расчетных моделей показал, что более точно отразить фактическое состояние элементов фермы под нагрузкой позволит деформационная нелинейная модель на основе реальных диаграмм деформирования материалов, предложенная В. Н. Байковым, Н. И. Карпенко [2, 3]. Данная модель основывается на условиях равновесия нормального сечения, разбитого на дискретные участки бетона и арматуры. Железобетон – упруго-пластический материал, для которого учет физической нелинейности осуществляется путем аналитического описания диаграмм деформирования бетона и арматуры, принятых в данной расчетной модели по предложению Н. И. Карпенко: 26

{F } = [R]´ {e},

(2)

где {F } – вектор внешних сил; [R ] – матрица жесткости железобетонногоо сечения, элементы которой корректируются на каждом этапе загружения с учетом изменения модулей деформаций материалов; {e} – вектор деформаций, получаемый в результате решения системы уравнений (2). 27

Затем исходя из гипотезы плоского деформирования вычисляются деформации в бетоне и арматуре для каждого дискретного участка: ebn = e z - k x × xbn - k y × ybn ,

(3)

e sk = e z - k x × xsk - k y × ysk ,

где e z – деформации элемента на уровне продольной оси z; k x , k y – соответственно кривизны в направлении осей x и y; xbn , ybn – координаты центра тяжести бетонных дискретных элементов, которые вычисляются в программе при дискретизации поперечного сечения на заданное количество n участков; xsk , ysk – координаты центра тяжести арматурных дискретных элементов (стержней), которые вводятся в программу наряду с остальными данными. Блок-схема алгоритма оценки НДС нижнего пояса преднапряженных ферм представлена на рисунке.

Начало расчета

Ввод исходных данных

Выбор элементов с максимальным усилием

Приращение вектора внешних сил по заданному шагу

Определение вектора внешних сил от усилия обжатия после отпуска арматуры

Разбивка сечения на элементарные площадки, их привязка к осям

Вызов подпрограммы «БЕТОН», «АРМАТУРА»

Формирование жесткостных коэффициентов

Решение системы уравнений относительно вектора деформаций

Проверка сходимости итерационного процесса (≤ 0.001)

Вычисление относительных продольных деформаций

Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ. СПб., 2007 Для сжатого элемента верхнего пояса или решетки расчет ведется с учетом случайного эксцентриситета по тому же алгоритму, как для нижнего пояса, за исключением первого этапа, поскольку эти элементы являются непреднапряженными. В результате расчета по разработанной программе на основе данной модели возможно оценить несущую способность элемента фермы, на каждом этапе загружения получить распределение напряжений по сечению с учетом влияния эксцентриситетов. Для оценки эксплуатационной пригодности ферм разрабатывается программа на основе вероятностного расчета с использованием модуля программы по оценке напряженно-деформированного состояния элементов фермы. Список литературы 1. Самарин Ю. А., Романчук В. Э. Исследование напряженного состояния нижних поясов ферм с канатной арматурой в процессе их производства // Известия вузов. Строительство и архитектура. – 1980. – № 2. – С. 17–20. 2. Байков В. Н., Додонов М. И. и др. Общий случай расчета прочности элементов по нормальным сечениям // Бетон и железобетон. – 1987. – № 5. – С. 16–18. 3. Карпенко Н. И., Мухамедиев Т. А., Сапожников М. И. К построению методики расчета стержневых элементов на основе диаграмм деформирования материалов // Совершенствование методов расчета статически неопределимых железобетонных конструкций / – М.: НИИЖБ, 1987. Получено 3 апреля 2007 года.

Нет

Да Нет

Проверка заданной точности вычисления предельной нагрузки (ε ≤ 0.03)

Да

Конец расчета

Блок-схема оценки НДС преднапряженного нижнего пояса ферм 28

УДК 624.012.3 С. А. Жердева, И. В. Дудина, Е. А. Чевская (БрГУ) МОДЕЛИРОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ НЕСУЩИХ СТЕНОВЫХ ПАНЕЛЕЙ ПРИ КРАТКОВРЕМЕННОМ НАГРУЖЕНИИ Приводится методика расчета несущих стеновых панелей по разным расчетным моделям. Наиболее актуальной расчетной моделью для описания косого 29

изгиба является расчет по нелинейно-деформационной теории с учетом реальных диаграмм деформирования бетона и арматуры.

Производство бетонных и железобетонных конструкций требует к себе особого внимания. Во-первых, они отличаются большим разнообразием видов бетона и арматуры, характера силовых и несиловых воздействий, типов конструктивных решений и т. д. Во-вторых, методы расчета и конструирования бетонных и железобетонных конструкций согласно СНиП содержат набор эмпирических зависимостей и конструктивных правил, из которых трудно выделить конкретные положения, относящиеся к требованиям для стеновых панелей. При расчете по предельным состояниям степень надежности железобетонных конструкций в нормативных документах [1] оценивается полувероятностным способом, по которому в расчет вводятся нормативные характеристики материалов и нагрузок, учитывающие их изменчивость с определенной обеспеченностью, а изменчивость остальных факторов учитывается детерминированным путем с помощью обобщенных коэффициентов надежности. Такой способ не позволяет оценить надежность железобетонных конструкций в целом. В связи с этим на комбинате «Братскжелезобетон» предложена автоматизированная система контроля качества на основе вероятностных методов, которая позволяет учитывать изменчивость технологического процесса и ежесменно давать интегральную оценку эксплуатационной пригодности выпускаемой продукции. Внедрение такого способа оценки эксплуатационной пригодности стеновых конструкций на стадии изготовления требует выбора оптимальной расчетной модели по оценке напряженно-деформированного состояния (НДС) исследуемых конструкций и эффективного вероятностного метода, на базе которого разрабатывается программа и выполняется оценка начальной надежности стеновых панелей. При этом следует отметить, что расчет наружных стеновых панелей производится при совместном действии вертикальной и горизонтальной нагрузок, т. е. на косой изгиб (рис. 1). Учет недостатков расчета по общим зависимостям СНиП при исследовании НДС стеновых панелей позволяет использовать нелинейнодеформационную модель с учетом диаграмм деформирования материалов [2, 3]. Сущность данного метода заключается в следующем (рис. 2): поперечное сечение разбивается на n элементарных участков бетона с площадями Abn и k элементарных участков арматуры с площадями Ask.

Число участков бетона » 100, число участков арматуры равно числу стержней в сечении. В дальнейшем учет физической нелинейности работы конструкции основывается на следующих положениях: используются диаграммы деформирования для бетона и арматуры, полученные при эталонных испытаниях образцов; принимается гипотеза плоского деформирования в нормальных сечениях на всех стадиях загружения; напряжения в бетоне уbn и арматуры у sk считают равномерно распределенными на элементарных площадках Abn и Ask; записываются три условия равновесия внешних и внутренних сил в следующем виде:

30

31

Рис. 1. Схема испытания стеновых панелей на вертикальную и горизонтальную нагрузки

Ось симметрии

Рис. 2. Схема нормального сечения по дискретной схеме

или

ì N z ü é R11R12 R13 ù ìe z ü ï ï ê ú ï ï íM x ý = ê R21R22 R 23 ú x ík x ý , ï M ï ê R R R ú ïk ï î y þ ë 31 32 33 û î y þ

(1)

{F } = {R({F }, S )}× {U ({F }, S )},

(2)

ций. Учет физической и геометрической нелинейности позволяет более адекватно оценить разрушающие нагрузки, а также проанализировать поведение конструкции в аварийных ситуациях.

где {F } = {N z , M x , M y } – вектор-столбец внешних сил; {U ({F }, S )} = T

} = {e z , k x , k y }

T

– вектор-столбец деформаций, являющийся функцией

внешних сил {F } и геометрических характеристик сечения S; {R({F }, S )} – матрица жесткости нормального сечения конструкции. Для реализации данной расчетной модели на основе реальных диаграмм деформирования бетона и арматуры написана программа DIASTEN по оценке НДС несущих стеновых панелей с учетом нелинейного характера их деформирования, которая готовится к регистрации в Роспатенте. Для оценки адекватности выбранных расчетных моделей по описанию фактического НДС стеновых панелей и для контроля качества их на стадии изготовления разработана программа вероятностного расчета стеновых панелей, которая позволяет более точно и достоверно оценить эксплуатационную пригодность исследуемых конструкций. Анализ сопоставления результатов расчета по разным расчетным моделям [3] с экспериментальными данными, полученными на комбинате «Братскжелезобетон» при натурных испытаниях стеновых панелей, произведен для более чем шести видов панелей (с разными геометрическими параметрами и армированием). Исходя из анализа рассмотренных моделей более точно НДС описывает деформационно-нелинейная модель на основе реальных диаграмм деформирования материалов. СНиП резко занижает развитие прогибов по сравнению с развитием их по экспериментальным данным. Анализ показателей надежности [3] также свидетельствует, что по обеим методикам показатели надежности конструкций дают близкие результаты, которые удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными, полученными при оценке эксплуатационной пригодности исследуемых стеновых панелей. В заключение следует отметить, что моделирование на ЭВМ является наиболее эффективным средством анализа надежности исследуемых конструкций и более точно отражает фактическое НДС конструк32

Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ. СПб., 2007

Список литературы 1. СП 52-10–2003. Бетонные и железобетонные конструкции без предварительного напряжения арматуры / Свод правил по проектированию и строительству. – М.: НИИЖБ, 2004. – 70 с. 2. Дудина И. В., Жердева С. А. Особенности расчета стеновых панелей с учетом нелинейных свойств материалов / Материалы межрегиональной научно-технической конференции. – Братск: ГОУ ВПО «БрГУ», 2003. –73 с. 3. Жердева С. А., Дудина И. В., Чевская Е. А. Анализ результатов вероятностной оценки эксплуатационной пригодности несущих стеновых панелей // Эффективные строительные конструкции: теория и практика: Сборник статей V Международной научно-технической конференции. – Пенза, 2006. Получено 4 апреля 2007 года.

УДК 666.97.033 С. Н. Герасимов, А. С. Беспрозванных, Р. В. Назаров (БрГУ) ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОСНОВНЫХ ПАРАМЕТРОВ ЛОПАСТНЫХ БЕТОНООТДЕЛОЧНЫХ МАШИН ВИБРАЦИОННОГО ТИПА Приведен обзор конструкции дискового рабочего органа заглаживающей машины с вертикальными колебаниями и противоположно вращающимися элементами диска; уточнена методика определения полной мощности привода, затрачиваемой на обработку поверхности незатвердевшей бетонной смеси заглаживающей машины, и определена заглаживающая способность рабочего органа.

Рабочий орган заглаживающей машины (рис. 1) относится к области строительной промышленности и может быть использован для качественной обработки незатвердевших поверхностей железобетонных изделий с получением требуемого класса шероховатости на лицевой по33

верхности изделий, отформованных из жестких бетонных смесей не сложной конфигурации в плане и любых геометрических размеров для гражданского и промышленного строительства. Получение высокого качества обработки поверхностей и снижение энергоемкости процесса заглаживания достигаются тем, что рабочий орган заглаживающего устройства содержит приводной вал, упругую муфту, дебалансный механизм, демпфер, цилиндрический корпус планетарного механизма и заглаживающий диск, состоящий из внешнего кольца и внутреннего диска, вращающихся в противоположных направлениях с разными угловыми скоростями, имеющих в смежной зоне вращения цилиндрические углубления с расположенными в них лопастями, образуя при этом радиальное кольцо. На рис. 1, а показан продольный разрез дискового рабочего органа заглаживающей машины с вертикальными колебаниями и противоположно вращающимися элементами диска. Вид рабочего органа снизу изображен на рис. 1, б. Дисковый рабочий орган заглаживающей машины с вертикальными колебаниями и противоположно вращающимися элементами диска работает следующим образом. При включении электродвигателя через соединительную муфту 2, планетарному механизму передается вращение с приводного вала 1, который жестко закреплен с внутренним диском 8 при помощи шпоночного соединения. Планетарный механизм передает вращательное движение, противоположное направлению вращения приводного вала 1 корпусу 3, который находится в жестком соединении с внешним кольцом 7 при помощи болтов. Стакан 6 крепится к каретке заглаживающей машины и в процессе работы рабочего органа остается неподвижным, на нем установлена коническая шестерня 12, которая заставляет вращаться коническую шестерню 11 и приводит в движение дебалансный механизм, который и создает вертикальные колебания внешнего кольца 7. При таком воздействии рабочего органа на обрабатываемую поверхность происходит передача энергии колебаний нижележащим слоям бетонной смеси, при этом связи между частица­ми нарушаются, снижается сопротивление их сдвига. Жесткая заглаживаемая поверхность приобретает подвижность, а зерна заполнителя и цемента получают возможность занять более устойчивое пространственное взаиморасположение, чем достигается плотная упаковка зерен заполнителя. Одновременно с этим из бетонной смеси отжимается некоторое количество воды. 34

а

б

Рис. 1. Дисковый рабочий орган заглаживающей машины с вертикальными колебаниями и противоположно вращающимися элементами диска: 1 – приводной вал; 2 – упругая муфта; 3 – корпус; 4 – зубчатое колесо; 5 – сателлиты; 6 – стакан; 7 – наружное кольцо; 8 – внутренний диск; 9 – дебалансный механизм; 10 – демпфера; 11 и 12 – конические шестерни; 13 – вал

Дисковый рабочий орган заглаживающей машины с вертикальными колебаниями и противоположно вращающимися элементами диска устанавливается на экспериментальную лабораторную установку с целью проверки и подтверждения выводов и заключений теоретических исследований, а также для дополнительных экспериментальных исследований при обработке свежеуложенной бетонной поверхности. На рис. 2 представлен общий вид экспериментального стенда дисковой заглаживающей машины. В основе всей конструкции лежит заглаживающая машина, которая состоит из рамы 1, расположенного на ней подвижного моста 2, по которому передвигается каретка 3 с установленным на нем электродвигателем 4 и стандартным приводом 6 с дисковым рабочим органом 5. Описанная заглаживающая машина позволит проводить исследования, связанные с получением оптимальных параметров обработки бетонных поверхностей. Полная мощность, затрачиваемая на обработку поверхности незатвердевшей бетонной смеси заглаживающей машиной, определяется как N 0 = N1 + N 2 + N 3 , 35

где N1 – мощность, затрачиваемая на преодоление трения диска с обрабатываемой бетонной поверхностью при поступательном движении; N2 – мощность, затрачиваемая на перемещение рабочего органа при поступательном движении; N3 – мощность, затрачиваемая на перемешивание бетонной смеси лопастями при обработке бетонной поверхности.

Pк =

Gм (2m + df 2 K р ) × K и

, Dк где GМ – масса машины, Н; m – коэффициент трения качения (0.03…0.05); d – диаметр подшипника ходового колеса, м; KР – коэффициент трения скольжения в ребордах колеса (1.45…2.20); Dк – диаметр ходового колеса, м; f2 – коэффициент трения в подшипниках (0.015…0.1); Kи – коэффициент инерции покоя (3.0…4.0). Мощность N3, Вт, затрачиваемая на перемешивание бетонной смеси лопастным смесителем, определится следующим образом: N3 =

zkw 4 ( rн - rв4 ) , 4

j×g – коэффициент; j – 2× g коэффициент, учитывающий зависимость между длиной лопасти и ее шириной; g – объемная масса перемешиваемого раствора, кг/м3; g – ускорение свободного падения, м/с2; rн , rв – наружный и внутренний радиус лопасти. Эффективность воздействия рабочего органа на заглаживаемую поверхность в основном определяется длиной линии, на протяжении которой рабочий орган воздействует на каждую точку (элементарную площадку) обрабатываемой площадки (необходимо также учитывать возникающие при этом силы трения). Длина этой линии, обозначаемая через Sр.о (м), названа «заглаживающей способностью рабочего органа». S р.о = f (U р.о ; u3 ; D ) ,

где z – число смесительных лопастей; k =

Рис. 2. Общий вид экспериментального стенда дисковой заглаживающей машины с вертикальными колебаниями и противоположно вращающимися элементами диска

Рабочий орган в процессе заглаживания трется не только о бетонную смесь своей нижней плоскостью, но еще и передней кромкой о волну, движущуюся перед ним. Тогда выражение для определения мощности привода (Вт) с учетом его КПД ( h ) в случае трения будет иметь вид 1 , h где R – радиус кольца, м; r – радиус диска, м; fтp – коэффициент трения; DP – удельное давление рабочего органа, Па; Vк и Vд – окружная скорость кольца и диска, м/с; Kв – коэффициент, учитывающий сопротивление волны бетонной смеси; Kв = 1.1. Мощность, расходуемая на перемещение машины, N1 = 2.1 f тp ( R + r ) 2 DP (Vк + Vд ) K в

где h1 – КПД трансмиссии; Pк – сопротивление качению колес и трению в подшипниках.

где U р.о – собственная скорость рабочего органа; u 3 – скорость поступательного движения машины; D – диаметр рабочего органа. Рассматриваемый рабочий орган имеет сложную конструкцию, состоящую из двух противоположно вращающихся элементов (кольцо и диск), определяющих сумму заглаживающих способностей для заглаживающего кольца и заглаживающего диска. Средняя заглаживающая способность диска может быть определена уравнением S д = 0 .94 u д R / u 3 . Средняя заглаживающая способность кольца может быть определена уравнением

36

37

N2 =

Pк vз , h1

Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ. СПб., 2007 Sк = 0.313 uк R / u3 ,

где 0.313 – среднее значение kк; uд – скорость вращения диска; uк – скорость вращения кольца. Таким образом, для данного рабочего органа среднюю заглаживающую способность можно определить по следующей формуле: ср Sр.о =

но координатной поверхности в сторону вогнутости. Со стороны вогнутости оболочка подкреплена системой ребер, параллельных координатным линиям. Будем использовать деформационную теорию пластичности. В этом случае физические соотношения для оболочек ступенчато-переменной толщины с учетом поперечных сдвигов принимают вид (изотопный материал): sx =

0.94uд Rд + 0.313uк Rк , u3

Ec 2

(1 - m ) t xy =

где Rд – радиус диска; Rк – радиус кольца.

(e zx + me zy ) ;

Ec g zxy ; 2(1 - m)

Список литературы

e zx = e x + zc1 ;

e zy = e y + zc 2 ;

Ec g zxz ; 2(1 - m)

(1)

g zxy = g xy + 2 zc12 ;

(2)

2

2

g xy =

1 æ ¶W ö ¶V ÷ ; ey = - k yW + çç 2 è ¶y ÷ø ¶y

¶U ¶V ¶W ¶W + + ¶y ¶x ¶x ¶y

Д. Е. Мухин (СПбГАСУ)

Рассматриваются пологие оболочки двойной кривизны, находящиеся под действием поперечной нагрузки. Срединная поверхность оболочки принимается за координатную. Оси х и y ортогональной системы координат направлены по линиям главных кривизн. Ось z – ортогональ-

(1 - m )

(e zy + me zx ) ;

Ec g zyz , 2(1 - m)

¶U 1 æ ¶W ö ex = - k xW + ç ÷ ; ¶x 2 è ¶x ø

УДК 539.3

На основе деформационной теории пластичности и геометрической нелинейности получена математическая модель деформирования пологих ребристых оболочек.

2

где

Получено 3 апреля 2007 года.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДЕФОРМИРОВАНИЯ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК СТУПЕНЧАТО-ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ С УЧЕТОМ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЙ

Ec

t xz =

t yz =

1. Болотный А. В. Заглаживание бетонных поверхностей. – Л.: Стройиздат. 1979. – 128 с. 2. Мамаев Л. А. Динамические процессы взаимодействия вибрационных заглаживающих машин с обрабатываемой средой. – Иркутск: Издво ИрГТУ, 2006. – 114 с.

38

sy =

c12 =

c1 =

¶y x ; ¶x

c2 =

¶y y ¶y

;

(3)

¶y x ¶y y + . ¶y ¶x

si – секущий модуль упругости, который представляет ei собой нелинейную функцию интенсивности деформации ei и находится опытным путем для различных материалов. Существуют различные аппроксимации si = f (ei ) , например Здесь Ec =

si = ei ( E - mei2 )

или

si = E × ei × [1 - w × (ei )], 39

(4) (5)

где w(ei ) – функция А. А. Ильюшина. Интенсивность деформации записывается в виде

( ) + e zxe zy + ( )

2 ei = 3

2 e zx

( ) + g 2xz + g 2yz ùúû .

1 + é g zxy 4 êë

2 e zy

2

Выражение ei2 , где e i имеет вид (6), можно представить в виде ei2 =

(6)

e i2 =

- me i2

s y = s лy - s пy ;

t xz =

t лxz

t xy = t лxy - tпxy ;

- tпxz ;

t лyz

- tпyz .

(7)

t yz = Здесь соотношения с индексом «л» (линейно-упругие составляющие) будут иметь вид s лx =

E 1- m

t лxy =

2

(e zx + me zy ) ;

E 2(1 + m)

s лy =

g zxy ;

E 1- m

2

1- m

2

tпxy =

2 (1 + m )

g xz ;

(8)

E

mei2 (e zx + me zy ) ; E 2(1 + m)

s пy =

m ei2 g zxy ; tпyz =

(10)

E 1- m

tпxz = E

2(1 + m)

2

2(1 + m)

m ei2 g xz ;

(9)

m ei2 g yz .

m . (Эта безразмерная величина имеет для металлов E значение порядка 105.) Здесь m =

40

)

(11)

2 ; b3 = c12 + c1c 2 + c 22 + c12

¶W ; ¶x

by = y y +

¶W . ¶y

h h до + H , получим 2 2 усилия и моменты, приведенные к координатной поверхности и приходящиеся на единицу длины сечения, Интегрируя выражения (7) по z в пределах от -

N x = N xy - N xп ;

N y = N yy - N пy ;

y п ; N xy = N xy - N xy

M x = M xy - M xп ;

M y = M yy - M пy ;

y п ; M xy = M xy - M xy

Q y = Q yy - Q yп , Qx = Qxy - Qxп ; где составляющие с индексом y имеют вид

mei2 (e zy + me zx ) ;

E

(

1 2 g xy + b 2x + b 2y ; 4

b2 = 2e x c1 + e x c 2 + e y c1 + 2e y c 2 + g xy c12 ;

bx = y x +

g yz , 2(1 + m) а соотношения с индексом «п» (пластические составляющие) примут вид E

)

b1 = e 2x + e x e y + e 2y +

(e zy + me zx ) ;

E

t лxz =

t лyz =

sпx =

(

4 b1 + b2 z + b3 z 2 , 3

где

и выражения (1) примут вид s x = s лx - s пx ;

]

да В работе А. С. Вольмира [1] принимается g xz = b x , g yz = b y , и тогда

Если зависимость s(ei ) взять в виде (4), то о Ec = E

[

4 b1 + b2 z + b3 z 2 + b4 f 2 ( z ) . 3

N xy = M xy =

E 1 - m2

[(h + F ) (e x + me y )+ S (c1 + mc2 )];

ù é æ h ö ê S (e x + me y ) + ç 12 + J ÷ (c1 + mc 2 )ú ; è ø 1- m ë û E

N yy =

2

Em 1 - m2

[I1 (e x + me y )+ I 2 (c1 + mc2 )]; 41

[

Qxy

EF ¶W ö æ = kç y x + ÷; 2(1 + m) è ¶x ø y M xy =

Здесь

]

E (h + F )g xy + 2S c12 ; 2(1 + m)

y N xy =

Q yy

(12) Ik =

æ EF ¶W ö ÷; = k çç y y + 2(1 + m) è ¶y ÷ø

[ (

Em

)

N пy

=

Em 1 - m2

1 - m2

п N xy =

M xп M yп

= =

2

2(1 - m )

Em 1 - m2 Em 1 - m2

]

п M xy =

Qxп

(I 2 g xy + 2 I 3c12 );

E mk ¶W ö æ = I4 ç y x + ÷; 2(1 + m) è ¶x ø æ E mk ¶W ö I 4 çç y y + ÷. 2(1 + m) è ¶y ÷ø 42

(14)

)

(15)

h +H 2

h +H 2

h +H 2

h +H 2

h +H 2

h 2

h 2

h 2

h 2

2

4 2 3 ò dz ; S = ò zdz ; J = ò z dz ; K = ò z dz ; M = hò z dz .

В работе А. С. Вольмира [1] вместо I 4 берется I1, поэтому для Q x , Q y соотношения примут вид (13)

2(1 - m 2 )

Q yп =

F=

[I 2 (e x + me y )+ I3 (c1 + mc2 )];

Em

h 2

ù æ 4é h3 ö I 2 = ê Sb1 + çç J + ÷÷b2 + Kb3 ú ; 3 êë 12 ø úû è æ h5 ö ù 4 éæ h3 ö I 3 = êçç J + ÷÷b1 + Kb2 + çç + M ÷÷b3 ú , 3 êëè 12 ø è 80 ø úû

где

(I1g xy + 2I 2c12 );

[I 2 (e y + me x )+ I3 (c2 + mc1 )];

-

(

[I1 (e x + me y )+ I 2 (c1 + mc2 )];

Em

h 2

2 ò ei f (z )dz.

æ 4é h3 ö ù I1 = ê h + F b1 + Sb2 + çç J + ÷÷b3 ú ; 3 ëê 12 ø ûú è

[I1 (e y + me x )+ I 2 (c2 + mc1 )];

Em

I4 =

h +H 2

В развернутом виде жескостные параметры принимают вид

I 2 e x + me y + I 3 (c1 + mc 2 ) , 1 - m2 а составляющие с индексом «п» имеют вид

N xп =

2 i -1 ò ei z dz ;

-

æ 3 ö ù E é (ê h + F )Sg xy + 2çç h + J ÷÷c12 ú ; 2(1 + m) êë è 12 ø úû

M yy =

h +H 2

Qxп =

æ Em ¶W ö Em ¶W ö æ п kI1 çç y y + ÷. kI1 ç y x + ÷ ; Qy = 2(1 + m) è ¶y ÷ø 2(1 + m) è ¶x ø

(16)

Функционал полной энергии деформации оболочки ступенчатопеременной толщины с учетом упругопластических деформаций будет иметь вид Э = Э л - Эп , где Э п выражается соотношением Эп =

{

1 ab п п п п п ò ò N x e x + N y e y + N xy g xy + M x c1 + M x c 2 + 2 00

¶W ö ¶W öü æ пæ + 2M xп c12 + Qxп ç y x + ÷ýdxdy, ÷ + Q y çç y y + ¶x ø ¶y ÷øþ è è 43

(17)

Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ. СПб., 2007 а функционал Э Л принимает вид Эл =

{

1 ab л л л л л ò ò N x e x + N y e y + N xy g xy + M x c1 + M x c 2 + 2 00 ¶W ö æ + 2 M xл c12 + Qxл ç y x + ÷+ ¶x ø è ü æ ¶W ö ÷÷ - 2qW ýdxdy . + Q yп çç y y + ¶y ø è þ

тия большепролетных строительных сооружений и могут длительное время находиться под действием нагрузки. При длительном нагружении может проявиться свойство ползучести материала (рост деформаций при неизменной нагрузке), поэтому расчеты напряженно-деформированного состояния (НДС) оболочек должны вестись с учетом возможности развития ползучести материала. Рассматривается пологая прямоугольная в плане оболочка двоякой кривизны, подкрепленная со стороны вогнутости перекрестной системой ребер, направленных параллельно координатным линиям (рисунок).

(18)

Таким образом, получена математическая модель деформирования пологой ребристой оболочки с учетом упруго-пластических деформаций. Список литературы 1. Вольмир А. С. Нелинейная динамика пластин и оболочек. – М.: Наука, 1972. – 432 с. 2. Карпов В. В. Математическое моделирование, алгоритмы исследования модели, вычислительный эксперимент в теории оболочек / СПбГАСУ. – СПб., 2006. – 330 с. Получено 1 июня 2007 года.

УДК 593.3 А. Н. Панин (СПбГАСУ)

Срединная поверхность оболочки (обшивки) толщиной h принимается за координатную поверхность. Оси х, у ортогональной системы координат проходят по линиям главных кривизн оболочки, ось z – ортогональна координатной поверхности в сторону вогнутости. Слой подкреплений задается функцией H ( x, y ) =

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДЕФОРМИРОВАНИЯ РЕБРИСТЫХ ПОЛОГИХ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ОБОЛОЧЕК С УЧЕТОМ ПОЛЗУЧЕСТИ МАТЕРИАЛА Рассматривается модель деформирования пологой ребристой железобетонной оболочки с учетом жесткости арматуры и возможности развития деформаций ползучести.

Оболочечные конструкции находят большое применение в различных областях техники, в том числе и в строительстве. Железобетонные оболочки, подкрепленные ребрами жесткости, применяются для покры44

m

-

n

-

n m

-

-

å h j d( x - x j ) + å h i d( y - yi ) - å å h ij d( x - x j ) d( y - yi ) . j =1

i =1

i =1 j =1

Здесь h j , r j , m - соответственно высота, ширина и число ребер, параллельных оси у; h i , ri , n - то же для ребер, параллельных оси х; -

d( x - x j ) - единичная столбчатая функция, равная единице при

æ

rj

è

2

a j £ x £ b j ; çç a j = x j -

; bj = xj + 45

rj ö ÷ и равная нулю при 2 ÷ø

-

других значениях х; d( y - y ) - единичная столбчатая функция, равная i

sx =

ri ri ö æ единице при ci £ y £ d i ; ç ci = yi - ; d i = yi + ÷ и равная нулю при 2 2ø è других значениях у; hij = {hi , h j } . Таким образом, толщина всей конструкции равна h + H. Математическая модель деформирования любой оболочки состоит из трех групп соотношений: геометрических соотношений; физических соотношений; уравнений равновесия или функционала полной энергии деформации конструкции. Так как железобетонные оболочки в основном имеют прогибы, существенно меньшие их толщины, то геометрические соотношения (связь деформаций и перемещений) принимаются линейными (в срединной поверхности) и будут следующими: ¶V ¶U ¶V ¶U - k yW ; g xy = + - k xW ; e y = . (1) ¶y ¶y ¶x ¶x В поверхности, отстоящей на расстоянии z от срединной, исходя из гипотез Кирхгофа – Лява они примут вид ex =

z z e zx = e x + zc1 ; e y = e y + zc 2 ; g xy = g xy + 2 zc12 , 2

¶ 2W

(2)

2

¶W . 2 ¶x¶y ¶y ¶x Физические соотношения (связь напряжений и деформаций) для упругого изотропного материала задаются исходя из закона Гука: где c1 = -

sx =

¶W

E 1- m

; c2 = -

(e zx 2

+ me zy );

2

; c12 = -

sy =

E 1- m

(e zy 2

+ me zx );

t xy

E = g zxy , 2(1 + m )

(3)

где E , m - упругие характеристики материала. При учете ползучести материала (бетона), используя наследственную теорию старения, физические соотношения можно взять в виде (будем рассматривать нестареющий материал, неустановившуюся незатухающую ползучесть) 46

E ( ( e z + me zy )e z + me zy ) R1 (t , t ) dt ; 2 x 2 ò x 1- m 1- m t

E

t1

E E t z z z sy = e + me x e + me zx R1(t , t) dt ; 2 y 2 ò y 1- m 1 - m t1

(

t xy =

)

(

)

(4)

t E E g zxy g zxy R2 (t , t) dt . ò 2(1 + m ) 2(1 + m ) t 1

Здесь R1 (t , t), R2 (t , t) - функции влияния (ядра релаксации) материала при растяжении (сжатии) и сдвиге соответственно. Эти функции исходя из экспериментальных данных и подходов разных авторов принимаются в различном виде. Уравнения равновесия получаются из условия минимума функционала полной энергии деформации и представляют собой сложные системы интегро- дифференциальных уравнений. Функции перемещений u ( x, y, t ), v ( x, y, t ), w ( x, y, t ) можно найти, используя метод Ритца, для минимизации функционала полной энергии деформаций оболочки, который после некоторых преобразований может быть записан в виде

Э=

(

2 1- m

ò ò íçç h + F ÷÷(e x + 2 me x e y + e y + m1g xy ) + 2 S (e x c1 + me x c 2 +

abì

-

æ

E 2

)0 0 îè

ö

2

2

2

-

ø

h3 - 2 2 )+ J )(c1 + 2 mc1c 2 + c 22 + 4m1c12 12 ab t ì é q E ( )(e 2x + 2 me x e y + e 2y ) + - 2(1 - m 2 ) W }dx dy h + F í ò ò ò ê E 2(1 - m 2 ) 0 0 t1îë

+ e y c 2 + me y c1 + 2 m1g xy c12 ) + (

-

+ 2 S (e x c1 + me x c 2 + e y c 2 + me y c1 ) + +(

é h3 - 2 + J ) (c1 + 2mc1c 2 + c 22 )] R1 (t , t) + ê(h + F )mg 2xy + 2 S 2 m1g xy c12 + 12 ë

]

æ h3 - ö 2 + ç + J ÷ 4 m1c 12 R2 (t , t)}dt. ç 12 ÷ è ø 47

(5)

- -

-

Здесь F , S , J - площадь поперечного или продольного сечения ребер, приходящаяся на единицу длины сечения, статический момент и момент инерции сечения, соответственно. Представленная математическая модель оболочки учитывает дискретное расположение ребер, их сдвиговую и крутильную жесткость, возможность развития деформаций ползучести и может быть использована для исследования напряженно-деформированного состояния пологих ребристых железобетонных оболочек при их длительном нагружении. Так как рассматриваются железобетонные оболочки, жесткость арматуры в направлении осей x и y может быть разной и тогда физичесские соотношения (3) должны учитывать ортотропию материала: sx =

E1 (e zy + m 2e zx ) ; (1 - m1 )(1 - m 2 )

E2 (e zy + m1e zx ) ; sy = (1 - m1 )(1 - m 2 )

-

)

(

)

(

)

t E2 z z ò e y + m1e x R1 (t , t ) dt; (1 - m1 )(1 - m 2 ) t

(7)

1

t

t xy = G12 ò g zxy R2 (t , t) dt. t1

Здесь характеристики материалов E1, E2 , m1 , m 2 , G12 – разные в направлениях осей x и y , определяются с учетом жесткости арматуры. 48

-h

(s x e zx + s y e zy + t xy g zxy - 2 qw) dx, dy, dz.

(8)

2

Список литературы 1. Карпов В. В. Математическое моделирование, алгоритм исследования модели, вычислительный эксперимент в теории оболочек / СПбГАСУ. – СПб., 2006. – 330 с.

Е. В. Седунов, Е. А.Седунова (СЗИП СПбГУТД)

Рассматриваются аналитические методы решения задачи оптимального управления динамическим экспериментом с использованием непараметрической априорной информации при непрерывном во времени наблюдении за объектом на множестве элементарных операторов.

1

E2 e zy + m1e zx (1 - m1 )(1 - m 2 )

ò

УПРАВЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИМ ЭКСПЕРИМЕНТОМ НА МНОЖЕСТВЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ОПЕРАТОРОВ

)

t E1 z z ò e x + m 2e y R1 (t , t) dt; (1 - m1 )(1 - m 2 ) t

sy =

h +H 4

УДК 519.24

E1 e zx + m 2 e zy (1 - m1 )(1 - m 2 )

(

1 аb Э = òò 2 00

(6)

С учетом ползучести физические соотношения перепишутся в виде

(

Функционал полной энергии деформации оболочки запишется в виде

Получено 20 июня 2007 года.

t xy = G12 g zxy .

sx =

Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ. СПб., 2007

1. Математическая формулировка двухкритериальной задачи. На практике встречаются задачи [1–3], когда необходимо изучить поведение объекта во времени t Î t при различных внешних условиях жx Î Χ , причем при фиксированном x из Χ результаты измерений можно регистрировать непрерывно во времени. Формализуем эту практическую ситуацию, следуя работам [3, 4]. Пусть F Ì L2 ( Χ , m ) и G Ì L2 (t, v ) – конечномерные гильбертовы пространства; dim F = s ; dim G = v ; Χ – компакт в R κ ; t – отрезок прямой; m – конечная мера на Χ ; v – мера Лебега на t . Введем пространранство H = F Ä G , состоящее из функций h( x, t ) таких, чтоо h(×, t ) Î F v – 49

п. в. и h( x,×) Î G m – п. в., и снабженное скалярным произведением æ ö h1 , h2 = ò çç ò h1 ( x, t ) h2 ( x, t )dn(t )÷÷ dm( x ). ø Χè t По предположению искомая функция h( x, t ) Î H , x Î Χ , t Î t . Областью планирования U в рассматриваемой ниже постановке служит множество элементарных операторов Qz U = U e = {Qz : z Î Χ }, Qz : H ® G ,

(1)

(Qz h ) (t ) = ò hz (x )h( x, t ) m(dx ) = h( z, t ), "h Î H , t Î t , Χ

где hz ( x ) – воспроизводящее ядро пространства F , задаваемоее равенством m

hz ( x ) = å f l ( z ) f l ( x ). l =1

(2)

Здесь { } – любая m-ортонормированная система функций из F . При этом планы экспериментов – вероятностные меры x на множестве U e вида (1) с конечным носителем: f l lm=1

(

)

где H d = d + H 0 ; d Î H 0^ ; H 0 – линейное подпространство о H ; H 0^ – 2 ортогональное дополнение в H к H 0 ; S d = d + S 0 ; S 0 : L (U e x ) ® H 0 –

(3)

линейный оператор, L2 (U e , x ) – пространство G -значных функций на

При плане x схема измерений неизвестного элемента h из H имеет

пространстве с мерой (U e , x ) . ) Оценку h подчиним условию несмещенности по отношению к наилучшему приближению h из H d : ) (7) E h = Pd h, " h Î H ,

x = Qz1 , K , Qzn ; p1, K , pn , Qz j Î U e , Qz j : H ® G ,

p j > 0, j Î 1 : n;

вид

v

æ s(ju , w ) ö ÷ ( ) e = D j çç , j Î1 : n. pj ÷ è øu , w=1 Здесь запись h Ä h обозначает оператор вида z ®< h, z > z h , где h , z – из некоторого гильбертова пространстваа Z . В силу условия ограниченности ресурсов, характерного для рассматриваемого класса задач, (5) сard(supp x ) = n < s = dim F , несмещенно оценить неизвестный элемент h из H в эксперименте (4) ) по плану (3) не представляется возможным. По этой причине оценку h неизвестного элемента h Î H будем искать в конечномерном аффинном м подпространстве H d Í H с помощью аффинного оператора S d : L2 (U e , x ) ® H d : ) (6) h = Sd y ,

n

å p j = 1, j =1

(

{ }

pj n j =1

– веса наблюдений.

)

( )

y j (t , w) = Qz j h (t ) + e j (t , w) = h z j , t + e j (t , w), j Î1 : n ,

(4)

где Qz j Î supp x, t Î t , y j (t , w) и e j (t , w) – случайные процессы; w – элемент из множества случайных событий, причем E e j (t , w) = 0, E e j (t , w) ei (t , w) = 0 " j ¹ i, t Î t ,

а ковариационный оператор D[e j ] = E e j Ä e j :G ® G, j Î1 : n

(

)

задан своей матрицей D(e j ) в некотором n -ортонормированном базисее

{gu (t )}uv =1 пространства G : 50

где Pd : H ® H d – аффинный ортогональный проектор. Далее при условии (7) на множестве P АН аффинных несмещенных процедур p = (d , H 0 , S 0 , x ) формируется двухкритериальная задача минимизации систематической ошибки Bg (p) = òH dist 2 (h, H d ) d g (h ) ,

(8)

усредненной по априорной мере g в H , и случайной ошибки, характе) ризуемой некоторым функционалом F( D[h]) от ковариационногоо ) ) оператора D[h] оценки h вида (6). Указанная двухкритериальная задача оптимизации рассматривается далее с приоритетом, предоставляемым систематической ошибке (8): 51

pÎP АН

*

p = Arg

inf

(9)

Bg (p),

p* = Arg inf

pÎÕ *AH

Ф ( p) ,

(10)

где P *АН Í P АН – множество решений задачи (9). 2. Основные аналитические результаты. На данный случай можно перенести результаты работы [5] и их обобщения на задачи с векторнозначным откликом [6]. Теорема 1. При решении задачи (9) для схемы измерений (4) можно ограничиться процедурами восстановления h вида px = (d x , H x , Sx , x ) ; x Î X n = {x Î X : supp x Ì U e , card(supp x ) = n} . При этом параметр сдвига d x Î H x^ в аффинном операторе оценива2 ния S dx = d x + S x : L (U e , x ) ® H dx = d x + H x вычисляется по формуле

d x = Px^ ( E g ),

(11)

Линейное пространство оценивания имеет вид

{

}

H x = Span hz j ( x )g (t ), g Î G, Qz j Î supp x Ì U e , j Î 1 : n .

(12)

равенством

[e],

(13)

где J x – сужение оператора измерения I x : H ® L2 (U e , x ) на подпространство H x ; оператор I x определяется посредством м I x h = Qh ; h Î H ; ор Q Î supp x ; M x = J x* D -1[e] J x : H x ® H x – информационный оператор ) оценки h( x, t ) . ) Значение АН -оценки h( x, t ) для "x Î C и "t Î t в эксперименте

{ }

по плану x, элементы носителя которого Qz j находится по формуле 52

n j ,i =1

(14)

ji

; yi (t , w) – усредненное значение наблюдений

в i-м опыте с учетом весов наблюдений. На множестве процедур П x вида (11)–(13) задача (9) может быть, как и в работе [5], сведена к максимизации функционала Y (x ) := tr Px D[g ] Px* , где D[g ] : H ® H – ковариационный оператор меры g , D[g ] := ò ((h - E g ) Ä (h - E g )) g(dh ) . H

Теорема 2. Если найдется план x* из X n такой, что выполнено (nv ) условие (5) и H x* = H – подпространство H , натянутое на собственные векторы оператора D[g ], соответствующие nv наибольшим егоо

m

Линейный оператор оценивания Sx : L2 (U e , x ) ® H x задается Sx =

)

j ,i =1

собственным числам, то процедура px* решает задачу (9).

где Px^ : H ® H x^ – ортогональный проектор.

M x-1 J x* D -1

(

где Η = hz j ( zi )

å [Η -1 ] {yi (t , w) - ( Eg ) ( zi , t )}hz j ( x ), n

) h( x, t ) = ( Eg )( x, t ) +

n j =1

линейно независимы,

При этом Bg æç p * ö÷ = å l i , где l1 ³ K ³ l nv ³ K ³ l m ³ 0 – è x ø i = n v +1 последовательность собственных чисел оператора D[g ] .

{

}

Следствие. Пусть спектр z1* , K, zn* плана x* из X n удовлетворяет ограничению (5) и условиям

( ( )) ( )

ì det y z * , t n ¹ 0, "t Î t , ï i j i , j =1 í * ïîy i z j , t = 0, i = n v + 1,K, m; j = 1,K, n, "t Î t ,

(15)

где y i ( x, t ) , i = 1, K , m – ортонормированные собственные функции оператора D[g ], упорядоченные по убыванию его собственных чисел. Тогда px* – решение задачи (9).

Пусть далее носитель плана x = (Qz1 , K , Qz2 ; p1, K , pn ) выбран по результатам решения задачи (9) и зафиксирован, а свободу в выборе весов 53

наблюдений {p j } nj=1 в плане x( p ) используем для решения задачи (10) в следующей формулировке p* = Arg inf F [Dx( p ) ] ,

(16)

pÎP

ì где P : = í p = ( p1 ,K, pn ) : 0 < p j £ 1, j = 1, 2,K, n; î

n

å pj j =1

где j j (x ) =

~ A j = æç f1 , hz+j è

(

ü = 1ý; þ

F

~ I v ,K, f n , hz+j

}

p*j = 1 n,

}

p*j

матрицу D( p ) оператора Dx( p ) :

где

(

D( p ) = A å1 2 Ρ -1 å1 2 AT , F

~ I v ,K, f j , hz+n

å = diag(å1,K,ån ), å j = (s j

F

Iv

)

n j =1 ;

) u,w=1 ; { }

(u , w ) v

hz+j

система к линейно независимой системе

R = diag( p1I v , K , pn I v ) ; n j =1

– биортогональная

{h } zj

n j =1 ,

задаваемая

(17)

I v – единичная диагональная (v ´ n ) -матрица. Теорема 3. При сделанных предположениях существует, по крайней мере, одно решение задачи (16). Необходимым и достаточным условием оптимального выбора весов

( )

¶F * x , ¶D 54

12 ( tr (ATj LA j å j )) , = n 12 T å (tr (Ar LAr å r ))

(20)

j = 1, 2, K, n ,

{

}

Пример. Пусть H = F Ä G , F = Span 1, x, x 2 , F Ì L2 ( X , m ) , 1 x Î X = [- 1,1], m(dx ) = dx , G = Span { t}, t Î t = [ 0,1]; U = U e ; dim F = 2 n = 2 < s = 3; = s = 3; dim G = v = 1 , dim H = m = sv = 3 ; 1 1 1 g = æç t , xt , x 2t; , , ö÷ ; å = diag (0. 1; 0.5) ; F[D( p )] = trD( p ) – А-опти3 3 3ø è мальность. Решение в условиях примера задачи (9), (10) начнем с введения в пространстве H ортонормированного базисаа jT ( x, t ) = (j1 ( x, t ), j 2 ( x, t ), j3 ( x, t )) =

(

(

(18)

D( g ) =

(òH ( h - Eg, ji

H

h - Eg, j j 55

))

3 t , 3 x t , ( 15 2) 3 x 2 - 1 t .

Запишем в этом базисе матрицу оператора D[g ] :

наблюдений p1* , K, pn* в задаче (16) служит выполнение равенств

( )

(19)

j = 1,K, n .

= dij , i, j = 1, 2, K , n ;

j j x* = tr D

j = 1, 2, K, n ;

r =1

равенствами hzi , hz+j

I v ö÷ T , j Î 1 : n ; ø

= det D( p )) и линейным критериям оптимальности ( F[D( p )] = tr LD( p ) , где L – заданная положительно полуопределенная матрица) выбор весов наблюдений дается, соответственно формулами

Fx = Span hz j ( x ), j Î 1: n , и G соответственно. Запишем в этом базисее

~ A = f j , hz+1

)

F

По отношению к критериям D - оптимальности (F[D( p )] =

{~fl ( x )} ln=1 и {g~u (t )} vu =1 – ортонормированные базисы пространств

{

¶F æ ¶F ö ¶F := ç ÷ ; (x ) A j å j ) , j = 1, 2,K, n ; ¶D è ¶Dil øi,l =1 ¶D

x* = Qz1, K, Qzn , p1* ,K, pn* .

F [ Dx( p ) ] – заданный дифференцируемый выпуклый функционал отт ) ковариационного оператора Dx( p ) = M x-(1p ) оценки h ( x, t ) . Выберем ~ в пространстве H x ортонормированный базис f l ( x )g~u (t ) ln=,v1, u =1 , где де

{

nv

p -j 2 tr ( AgT

H

) im, j==31 g(dh)),

(

)

1 t + xt + x 2t . 3 Несложные расчеты дают

где Eg =

Учитывая, что hz* ( x ), hz* 1

æ 14 ç ç 3 1ç 4 D( g ) = 81 ç 3 ç 2 çè 3 5

4 3

-

2 2 15

-

2 ö ÷ 3 5÷ 2 ÷. 15 ÷ 8 ÷ ÷ 15 ø

-

2

В рассматриваемом случае можно упростить соотношения (20), приведя их к виду

(trå )

(

)

5 3 2 3x - 1 t = 2

Qz * j

1

F

n

[ ] rj hz ,

hz+j = å H -1

6 + 1) * ( 6 - 1) и z2 = – нули ли 5 5

r

r =1

j Î1 : n .

В условиях данного примера несложные вычисления дают h + ( x ) = 0.603 x 2 - 0.778 x + 0.175, hz+1 = 0.613;

A -оптимальных весов наблюдений соотношения

z1

p1*

(2)

и

p2*

при

h + ( x ) = -1 / 436 x 2 + 0.445 x + 0.991, hz+2 = 0,715 . z2

по формуле (20). Для этого ого f1 ( x ) = 1 ,

Отсюда легко находим

f2 (x) = 3 x ,

0.1 × 0,613 = 0.277; p2* = 1 - p1* = 0.723. ( 0.1 × 0.613 + 0.5 × 0.715) Далее пространство оценивания имеет вид p1* =

)

5 f3 ( x ) = 3 x 2 - 1 получим 2

hz ( x ) =

j = 1,K, n ,

{ } nj=1 с учетом (17) выражается черезз n элементы исходной системы { hz j } j =1 посредством м

Зафиксируем носитель плана x и перейдем к вычислению

(

,

+ где биортогональная система hz j

*

помощью

j F

r =1

многочлена 5 x 2 + 2 x - 1.

с

hz+

å (tr år ) 1 2 hz+r

= 3 3 t 5 x 2 + 2 x - 1 . Теперь из условий (15) находим, что операторам

( Î supp x* , j = 1, 2 , соответствуютт z * = -

12

j

p*j = n

y 3 ( x, t ) = jT ( x, t ) q3 = 3t + 3 3x t +

)

= 0 , легко найти m -ортонормирован-

1

соответствуют собственный вектор q3 = (1, 3, 5 ) T и собственная

(

F

ный базис пространства Fx : ~ ~ hz* ( x ) = 0,985 x 2 - 1,270 x + 0,285 ; hz* ( x ) = -2,007 x 2 + 0,623 x + 1,385 .

Минимальному собственному числу l 3 = 0 оператора D[g ]

функция

2

(

)

3 3 + 4 xz + 15 x 2 z 2 - 5 x 2 - 5 z 2 , 4

откуда

Hd

z2

56

= d x* + H x* =

] [

(

)

1 2 5 x + 2 x - 1 t + Span 6

{ [ (3

6 - 2 )x 2 - 2(1 + 6 )x +

]}

+ 4 - 6 × t , - (3 6 - 2 ) x 2 - 2(1 - 6 ) x + 4 + 6 t

h * ( x ) = 1,605 x 2 - 2,070 x + 0,465 ; h * ( x ) = -2,804 x 2 + 0,870 x + 1,935 . z1

x*

ние:

(см. (11) и (12)) .

) Для оценки h( x, t ) получаем по формуле (14) следующее выраже57

(

)

1 1 ) h( x, t ) = 5 x 2 + 2 x - 1 t + 6 12

(

[ 6 (5 x 2 - 3 x - 2) ( y1(t , w) - y2 (t , w)) -

)

Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ. СПб., 2007

]

- 5 x 2 + 2 x - 7 ( y1 (t , w) + y2 (t , w)) .

В заключение отметим, что в реальных ситуациях рассчитывать на аналитические методы при решении задачи (9)–(10) не приходится и остается обратиться к численным методам. Детальное рассмотрение такого рода процедур не вписывается в рамки данной статьи. Список литературы 1. Дубова И. С., Федоров В. В., Федорова Г. С. Выбор оптимальных траекторий при отклике, зависящем от времени // Регрессионные эксперименты. Сб. тр. / МГУ. – М., 1977. – С. 30–38. 2. Седунов Е. В., Седунова Е. А. Оптимизация эксперимента в обратных коэффициентных задачах математической физики // Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ: Межвуз. темат. сб. тр. / СПбГАСУ. – СПб., 2002. – Вып. 8. – С. 205–211. 3. Седунов Е. В., Седунова Е. А. Задача управления экспериментом при наблюдении за объектом во времени // Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ: Межвуз. темат. сб. тр. / СПбГАСУ. – СПб., 2002. – Вып. 12. – С. 212–218. 4. Седунов Е. В., Сидоренко Н. Г., Соловьева С. А. Несмещенное планирование эксперимента при непрерывном во времени наблюдении за объектом // Тезисы докладов III Всесоюзн. конф. «Перспективные методы планирования и анализа экспериментов при исследовании случайных полей и процессов» / МЭИ. – М., 1988. – Ч. 1. – С. 175–176. 5. Седунов Е. В., Сидоренко Н. Г. Несмещенное планирование эксперимента в гильбертовом пространстве // Теория вероятностей и ее применение. – 1987. – Т. 32. – № 4. – С. 804–808. 6. Сидоренко Н. Г. Планирование и анализ экспериментов с векторным откликом при ограниченных ресурсах //Автореф. дисс…. канд. физ.мат. наук. – Л.: ЛГУ, 1988. – 16 с. Получено 15 февраля 2007 года.

58

УДК 681.325.5 М. И. Самохина, Ю. Ю. Стебенькова (БрГУ) НОВЫЙ ПОДХОД К МОДЕЛИРОВАНИЮ ДЛЯ ПОДДЕРЖКИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ Рассматриваются возможности использования систем поддержки принятия решений и экспертных систем при проектировании и управлении большими социально-техническими и экологическими системами, относящимися к области прикладного системного анализа операционных исследований.

В основе понятия системы поддержки принятия решений, и в частности экспертных систем, лежит осознание того факта, что есть класс проблемных ситуаций, которые не до конца понимаются заинтересованной группой людей. В этом случае проблемы не могут быть решены посредством обращения к сильно структурированным машинным методам. Такие проблемы не являются уникальными, что оправдало бы большие разовые усилия для их решения, и в то же время они не так часто встречаются в схожих постановках, чтобы использовать формальные математические методы. Из-за этой смеси неопределенности в научных аспектах задач и субъективных, основанных на соображениях здравого смысла, элементов в социально-экономических аспектах нельзя указать полностью объективно обоснованный метод нахождения лучших решений. Одним из подходов к этому классу неопределенных проблемных ситуаций является итеративная последовательность применения методов системного анализа и процессов обучения, производимая экспертной системой или системой поддержки решений. По Филиппсу, основными составляющими такой системы являются владельцы проблемы, технология предпочтений, помогающая выразить оценочные суждения и формализовать временные предпочтения, предпочтения риска и соотношения между ними, а также информационная технология, которая представляет и организует данные, информацию и модели. В настоящее время нет общепринятого определения систем поддержки принятия решения (СППР). Почти любая система с использованием ЭВМ – от управления БД или информационных систем и систем моделирования до методов математического программирования и опти59

мизации может предоставлять такие возможности. Предлагаемые подходы лежат в широком диапазоне – от строгого математического моделирования до прикладной информатики, науки управления или психологии. СППР включает предсказывающие модели, дающие единственный ответ, но с ограниченной точностью и обоснованностью. Анализ сценариев ослабляет начальные допущения, делая их более привычными, но в то же время и более неопределенными. Нормативные модели предписывают, как должны происходить события по какой-то теории, и обычно применяют методы оптимизации и теорию игр. С другой стороны, дескриптивные модели, или модели поведения, описывают вещи, как они есть, с использованием статистики. Недавние исследования в этой области [1, 2], особенно в области сложных, плохо определенных политических и стратегических проблем, указывают на важность интерактивности и непосредственного участия конечного пользователя. Прямое участие пользователя дает новые каналы обратной связи. Модель информационной системы основывается на последовательном применении анализа и поддержке принятия решения. В отличие от этого модель СППР подразумевает обратную связь от применений (переговоры, общение, заключение соглашений) к информационной системе, генерации сценариев и анализу стратегий. Реалистичность формальных моделей увеличилась, например, после создания теорий многоатрибутной полезности, обобщений, включающих неопределенность и понятие стохастического доминирования, методов многоцелевой, многокритериальной оптимизации и замены точных методов оптимизации, требующих полных формулировок, на концепцию нахождения удовлетворительных решений. Другие достижения в этой области нацелены в основном на удовлетворение интересов пользователя. Среди них – интерактивные модели и компьютерная графика. Групповое принятие решений – еще один подход, полезный, в основном, на ранних стадиях формулировки проблем. Интерактивные по своей природе, большинство методов решения задач требует участия как аналитика, так и специалистов, чаще всего являющихся владельцами задач. Эти методы, концентрируя внимание на формулировке проблемы, делают вопросы разработки и оценки альтернатив, т е. содержательное моделирование, функциями второстепенной важности. Достаточно часто владелец проблемы не является специалистом во всех необходимых областях (например, в промышленной технологии,

экологии, токсикологии и т. д.). Экспертиза во многих областях, необходимых для решения проблемы, является, следовательно, таким же узким местом, как и структурирование задачи. Введение экспертизы и разумных суждений в программах поддержки принятия решений – одна из основных целей. Только недавно область экспертных систем, или инженерии знаний, проявила себя как путь к успешному и полезному применению техники искусственного интеллекта (ИИ). Экспертная система – это совокупность программ, которая должна помогать в решении сложных практических задач в некоторых конкретных областях. Эти системы используют большой объем знаний, т. е. фактов, процедур, правил и моделей, полезных для решения задач и собранных либо созданных экспертами. Обычно пользователь взаимодействует с экспертной системой в диалоговом режиме, т. е. так, как он общался бы с человеком-экспертом. Существующие разработки включают такие задачи, как анализ химических и геологических данных, проектирование конфигурации вычислительных систем, медицинская диагностика. Экспертные системы являются машинными посредниками между экспертами (которые поставляют знания в подсистему приобретения знаний) и пользователями, которым необходимы консультации и экспертные советы системы (подсистема консультаций). Важным элементом в пользовательском интерфейсе и в диалоге с такой системой является их возможность руководить пользователем в формулировке его задачи и объяснить выводы, сделанные системой. Перевод восприятия задачи, а также множества определений и описаний взаимодействий в исполняемый код программы является проблемой инженерии знаний. Кроме пользователя, который может быть, а может и не быть специалистом в тех областях, которые обслуживает система, требуется привлечение опыта многих экспертов в конкретных областях для того, чтобы такая система начала работать. Разработки структур для представления знаний экспертов являются задачей проектировщика, разработчика и инженера по знаниям. Инженер по знаниям должен выбирать проблемные знания, формулировать их в терминах эвристик или правил, объявлений процедур и т. д. и объединять их в систему. В более или менее сложных системах знания экспертов и правила переплетены с более традиционными формами представления информации, т. е. с данными, алгоритмами и моделями. Проектирование и разработка, таким образом, объединяют «классические», т. е. основанные

60

61

Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ. СПб., 2007 на законах сохранения массы и энергии, и оптимизационные методы с элементами эвристического программирования или с основанными на правилах вывода экспертными системами в искусственном интеллекте. Одной из возможностей является использование нечетких множеств для прямого и простого объединения символьных и числовых элементов. Можно использовать и языки обработки символьной информации с развитыми структурами данных, такие, как Lisp, Multilisp, Commonlisp, Planner, для объединения числовых и символьных данных в одни совместимые рамки.

На основании параметров, введенных по запросу программы пользователем, необходимо рассчитать «измеренные» фазные напряжения и токи в узле обобщенной нагрузки, которые и будут являться исходными данными для исследования работы устройств оперативного регулирования напряжения. Для дальнейших расчетов удобно представить «измеренные» напряжения и токи в виде комплексных значений на частотах первой и высших гармоник в каждом периоде изменения основной частоты: U& ав [1...3000,1...nom] , U& вс [1...3000,1..nom] , U& са [1...3000,1...nom] и I&ав [1...3000,1...nom] , I&вс [1...3000,1...nom] , I&са [1...3000,1...nom] .

Исследование работы устройств оперативного регулирования напряжения в узле обобщенной промышленной нагрузки удобно проводить на компьютерной модели. При этом пользователь сам должен задавать параметры узла нагрузки, корректирующих напряжение устройств и системы, непосредственно участвуя в процессе моделирования. Это даст возможность во время работы программы изменять те или иные параметры и отслеживать получаемые результаты.

Поясним приведенные обозначения. В двухмерных массивах U& ф [1...3000,1...nom] и I&ф [1...3000,1...nom] каждому i-му периоду, изменяющемуся от 1 до 3000, соответствуют комплексные значения напряжений или токов на частотах с порядковыми номерами от 1 до nom, где nom – номер последней значимой гармонической составляющей (задается как постоянная величина). Число периодов, равное 3000, соответствует числу периодов основной частоты, приходящихся на одну минуту (все время измерений поделено на интервалы, равные одной минуте). При формировании исходных данных примем следующие допущения: в начальный момент измерений нелинейные корректирующие устройства отключены и источником высших гармоник является только обобщенная нагрузка; сопротивление системы – линейное, симметричное и чисто индуктивное; напряжение и сопротивление системы не меняются в течение всего времени измерений. Чтобы исходные данные, смоделированные программой, были близки к реальному состоянию кривых напряжения и тока при резкопеременной нелинейной нагрузке, при формировании исходных данных необходимо смоделировать случайные изменения нагрузки, которые будут являться причиной снижения качества напряжения. Для упрощения поставленной задачи будем полагать, что случайное изменение нагрузки происходит на границе i-го и (i + 1)-го периодов напряжений и токов основной частоты таким образом, что возникающий вследствие этого переходный процесс протекает практически мгновенно.

62

63

Список литературы 1. Bobrow G. D / Natural language input for a computer problem solving system // Semantic information processing / Cambridge (Mass.): MIT press, 2002. 2. Fedra K. Interactive computer technology for planning and policy modelling // Water Resour. Res., 2004. Получено 3 апреля 2007 года.

УДК 621.311 М. В. Макаренко (БрГУ) РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ СХЕМ ЗАМЕЩЕНИЯ И МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ИЗМЕНЕНИЙ НАГРУЗКИ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ РАБОТЫ УСТРОЙСТВ ОПЕРАТИВНОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ НАПРЯЖЕНИЯ Приводятся формулы для расчета параметров схем замещения узла обобщенной промышленной нагрузки и описываются основные принципы моделирования ее случайных изменений.

Выбор моментов изменения нагрузки за время первой минуты измерений программа должна делать произвольно, опираясь на генерацию псевдослучайных чисел с помощью функции RANDOM. Диапазоны, в которых может изменяться линейная и нелинейная нагрузка, задаются пользователем заранее, и опять же с использованием функции RANDOM программа в пределах заданных диапазонов моделирует изменения параметров нагрузки по амплитуде и фазе. Чтобы программа могла в произвольные моменты времени давать команду на изменение параметров нагрузки, пользователь предварительно должен задать также показатель частоты изменения нагрузки ИН. Величина этого показателя может меняться от 1 до 3000. При ИН = 1 максимальная частота, с которой в программе может изменяться нагрузка, равна 3000 (что соответствует числу периодов основной частоты за одну минуту измерений). Для реальных условий такая ситуация абсурдна, и чтобы модель была ближе к реальности, показатель частоты изменения нагрузки, как было выяснено в ходе эксперимента, следует задавать в пределах 100…1500. Но и это еще не гарантирует, что слишком частых изменений нагрузки удастся избежать, поскольку работу генератора псевдослучайных чисел, как при большом, так и при малом значении ИН предсказать невозможно. Однако с большой долей вероятности можно сказать, что чем больше будет величина ИН, тем «спокойнее» будет «вести себя» моделируемая нагрузка. Изменения нагрузки, смоделированные генератором псевдослучайных чисел в заранее определенных диапазонах, конкретно выражаются в обновлении параметров узла обобщенной нагрузки, введенных пользователем. Основная задача алгоритма, описывающего все вышесказанное, – представить параметры схем замещения, введенные пользователем, в комплексном виде. Это необходимо для дальнейшего расчета «измеренных» фазных напряжений и токов за первую минуту измерений, охватывающую 3000 периодов изменения основной частоты. В программе искомые комплексные параметры схем замещения обозначены следующим образом: U& , U& , U& – комплексные напряжения питающей системы АВ с (1)

ВС с (1)

Yвснелн(1) [1...3000] , Yсанелн(1) [1...3000] – комплексные проводимости нелинейной нагрузки на частоте первой гармоники на каждом периоде; лин Yавлинн [1...3000,1...nom] , Yвслин н [1...3000,1...nom] , Yса н [1...3000,1... nom] –

комплексные проводимости линейной нагрузки на частотах н-х гармоник на каждом периоде; J& [1...3000, 2...nom] , J& [1...3000, 2...nom] , н ав

н вс

J&н са [1...3000, 2...nom] –

комплексные токи от источников токов высших гармоник, генерируемых нагрузкой (н = 2…nom), на каждом периоде. Формулы для нахождения этих параметров приведены в таблице. Формулы для расчета комплексных параметров схем замещения. Программное обозначение

U& АВ c(1) = U c ; 1 U& ВС с(1) = U c cos(-120°) + - 1 U c sin( -120°) ; U& = U cos(120°) + - 1 U sin(120°) СА с (1)

c

c

2 z c [ j ] = - 1 j zc нел нел нел 3 Yав н (1) [i ] = Yав н (1) cos(j ав нел ) + - 1 Yав н (1) sin(j ав нел ), (вc; cа )

Yавлинн [i, j ] = Yавлинн(1) cos(jав лин ) -

питающей системы на частотах n-х гармоник; 64

j

+

+ - 1 × j × Bс ав до(1) , (вc; cа) 4 или Yавлинн [i, j ] = Yавлинн(1) cos(jав лин ) + - 1 j Yавлинн(1) sin(jав лин ) +

5

+ - 1 × j × Bс ав до(1) , (вc; cа) J&н ав [i, j ] = J н ав [ j ] cos(y ав [ j ]) + - 1 J н ав [ j ] sin (y ав [ j ]), (вc; cа)

СА с (1)

на частоте первой гармоники; z с [1...nom] – комплексные сопротивления

- 1 Yавлин н (1) sin(j ав лин )

Получено 3 апреля 2007 года.

Yавнелн(1) [1...3000] , 65

Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ. СПб., 2007 УДК 517.929

Будем пользоваться обозначениями: R n – пространство n-мерных

А. С. Ларионов (БрГУ)

вектор-столбцов с нормой × ; C – пространство непрерывных функций

К ВОПРОСУ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВАХ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Приводится утверждение о существовании решения краевой задачи для квазилинейного функционально-дифференциального уравнения с достаточно общими краевыми условиями. Утверждение получено на основе редукции краевой задачи к эквивалентному уравнению с монотонным оператором.

При построении оценок решений различных уравнений, конструировании приближенных методов решения квазилинейных краевых задач типа метода Чаплыгина часто используется редукция исходного уравнения к эквивалентному в определенном смысле уравнению. В книге [1] приводится ряд схем, позволяющих свести рассматриваемое уравнение к операторному уравнению x= Ax

(1)

с изотонным (из x1 ³ x 2 следует, что A x1 ³ A x 2 ) или антитонным (из м A в соответствующем x1 ³ x 2 следует, что A x1 £ A x 2 ) оператором полуупорядоченном пространстве. Различные варианты этих схем, повидимому, впервые стал систематически использовать в своих работах Н. В. Азбелев. Впоследствии эти схемы нашли широкое применение в исследованиях о дифференциальных, интегральных, разностных и других неравенствах, вошли в современные монографии и обзоры. Характерная особенность уравнения (1) состоит в том, что последовательные приближения x k , x k +1 = A x k , k = 1, 2, ... , обладают свой-

{ }

ством монотонности, в чем легко можно убедиться непосредственно. Утверждения о неравенствах и монотонных приближениях оказываются справедливыми в силу соответствующих теорем об уравнении (1) с монотонным оператором. Хорошо известна, например, теорема Тарского – Биркгофа – Канторовича [2] о разрешимости уравнения с изотонным 66

оператором и существовании упорядоченной пары решений. В книге [1] приводится близкое к этой теореме утверждение относительно уравнения (1) в пространстве непрерывных на отрезке [a, b] функций.

x : [a, b] ® R n с нормой x(t )

= max x(t ) ;

C

L – пространствоо

tÎ[ a ,b ]

суммируемых функций z : [ a, b] ® R n с нормой z

b

L

= ò z (t ) dt ; D – a

пространство абсолютно непрерывных функций x : [a, b] ® R n с нормой x D = x& L + x(a) R n ; L ¥ – пространство измеримых и ограниченных в

существенном x(t )

L¥

=

функций

x : [ a, b] ® R n

с

нормой

vrai sup x(t ) . Все введенные пространства – банаховы; tÎ[ a ,b ]

предполагается, что во всех пространствах введена естественная полуупорядоченность. Рассмотрим краевую задачу (2) x& (t ) - (Tx)(t ) = f (t , (T1x)(t )), t Î [a, b], l x = a, a Î R n ,

(3)

где T , T1 : C ® L – линейные u-ограниченные [3] операторы; l : D ® R n – линейный непрерывный вектор-функционал. Под решением уравнения (2) будем понимать функцию из D, удовлетворяющую уравнению (2) почти всюду на [a, b]. Таким образом, как отмечено в книге [5], в уравнении (2) фактически фигурирует сужение оператора T на пространство D. Для v, z Î L ¥ обозначим [v, z ] = {x Î L ¥ : v £ x £ z}. Конусный отрезок [v, z ] является ограниченным, замкнутым и выпуклым множеством. Следуя [1], будем говорить, что функция f (t , u ) удовлетворяет условию L1 [ v, z ] ( L 2 [ v, z ] ) , 67

если существует такая суммируемая функция p 1 (t ) ( p 2 (t ) ), что о оператор Немыцкого, определяемый равенством M 1 (t , u ) = f (t , u ) + p 1 (t ) u ( M 2 (t , u ) = f (t , u ) + p 2 (t ) u ), изотонен (антитонен). Без ограничения общности будем считать, что

функции p 1 (t ) ³ 0 , p 2 (t ) £ 0 при почти всехх t Î[a, b]. В книге [1] отмечается, что одновременное выполнение условий L1[v, z ], L 2 [v, z ] эквивалентно выполнению условия Липшица. Теорема. Пусть выполнены следующие условия: 1. Существуют функции v, z Î L¥ такие, что v £ z и при почти всех ех t Î [a, b] выполняются дифференциальные неравенстваа v&(t ) - (Tv )(t ) ³ f (t , (T1v)(t )),

z& (t ) - (Tz )(t ) £ f (t , (T1z )(t )). 2. Функция f (t , u ) удовлетворяет условию L 2 [v, z ]. 3. Коэффициент p 2 (t ) этого условия таков, что краевая задача x& (t ) - (Tx)(t ) + p 2 (t ) (T1x)(t ) = h 2 (t ), t Î [a, b], l x=0, однозначно разрешима и ее функция Грина не принимает положительных значений в [a, b] ´ [a, b] . Тогда задача (2), (3) имеет решение x, удовлетворяющее неравенствам v £ x £ z. 4. Если, кроме того, функция f (t , u ) удовлетворяет условию ча L1 [v, z ] с таким коэффициентом p 1 (t ) , что краевая задача x& (t ) - (Tx )(t ) + p 1(t ) (T1x)(t ) = h 1(t ), t Î [a, b], l x=0, однозначно разрешима и ее функция Грина не принимает отрицательных значений в [a, b] ´ [a, b] , то это решение x единственно в конусном отрезкее [v, z ] . Доказательство теоремы использует результаты, приведенные в монографии [1], и сводится к построению вполне непрерывного моно68

тонного оператора A : C ® C , который отображает конусный отрезок [v, z ] в себя. Монотонность оператора следует из условий 2 и 3 теоремы. Последнее из упомянутых свойств оператора A обеспечивается выполнением дифференциальных неравенств, входящих в первое условие теоремы. Для доказательства существования решения задачи (2), (3) теперь достаточно сослаться на принцип Шаудера. В книге [2] показано, что всякий линейный u-ограниченный оператор T :C ® L имеет представление b

(Tx)(t ) = ò d s R (t , s ) x( s ), a

(4)

где интеграл понимается в смысле Стилтьеса; функция R(t , s ) удовлетворяет следующим условиям: суммируема по t при фиксированном s и имеет ограниченное изменение при каждом фиксированном t. Отметим, что в работе [4] приведены достаточные условия разрешимости двухточечной краевой задачи для квазилинейного функционально-дифференциального уравнения второго порядка с распределенным запаздыванием аргумента (и в линейную, и в нелинейную часть уравнения входит интеграл Стилтьеса (4)). Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № 06-01-00744-а. Список литературы 1. Азбелев Н. В., Максимов В. П., Рахматуллина Л. Ф. Элементы современной теории функционально-дифференциальных уравнений. – М.: Институт компьютерных исследований, 2002. – 384 с. 2. Канторович Л. В., Вулих Б. З., Пинскер А. Г. Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах. – М., Л.: Гостехиздат, 1950. – 548 с. 3. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций / М. А. Красносельский, П. П. Забрейко, Е. И. Пустыльник, П. Е. Соболевский. – М.: Наука, 1966. – 500 с. 4. Ларионов А. С. Разрешимость двухточечной краевой задачи для нелинейного функционально-дифференциального уравнения // Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ: Межвуз. темат. сб. тр. Вып.4 / CПбГАСУ. – СПб., 1998. – С. 144–148. 69

Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ. СПб., 2007 5. Максимов В. П. Вопросы общей теории функционально-дифференциальных уравнений. – Пермь: Изд-во ПГУ, ПСИ, ПССГК, 2003. – 306 с. Получено 3 апреля 2007 года.

УДК 630.3:51.7 О. В. Куликов, Д. О. Куликов (БрГУ) РАЗРАБОТКА ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА ПОСТРОЕНИЯ РЕГРЕССИОННОЙ МОДЕЛИ МНОГОУРОВНЕВОГО УПРАВЛЕНИЯ Представлена полученная авторами аналитическая модель управления многоуровневым предприятием, является основой для проведения параметрической идентификации, в ходе которой будет проведена количественная оценка параметров модели.

В связи с тем, что процесс производства алюминия протекает сравнительно медленно, его можно рассматривать в статическом режиме, что дает возможность полученную математическую модель представить в виде классической записи регрессионной модели. Разработанный авторами программный комплекс позволяет на основании экспериментальных данных и имеющейся аналитической модели для первого и второго уровней многоуровневого производства алюминия, описываемой С-графами, получить регрессионную модель управления многоуровневым процессом и оценить ее точность. В качестве исходных данных в программу вводятся значения следующих величин: U – напряжение на электролизной ванне, В; Iс – ток серии, кА; КО – криолитовое отношение, %; CaF2 – содержание фтористого кальция, %; Tокр – температура окружающей среды, оС; H – уровень металла, cм; h – уровень электролита, cм; Tэл – температура электролита, оС; f – частота анодных эффектов, шт.; FRP – форма рабочего пространства, балл; VT – выход по току, %. Форма ввода исходных данных в программу представлена на рис. 1. 70

Рис. 1. Ввод данных для расчета

Для ввода исходных данных используется библиотека визуальных компонентов DevExpress, в частности ее компонент cxGrid, позволяющий вводить данные в расширенном режиме непосредственно в базу данных MS SQL Server посредством механизма ActiveX Data Object (ADO). После ввода исходных данных пользователю предоставляется возможность просмотра полученных математических моделей посредством формы, представленной на рис. 2. На форме вывода полученных математических моделей, как и на остальных моделях, находится компонент ComboBox, позволяющий переключаться между различными уровнями модели.

Рис. 2. Вывод полученных математических моделей

После просмотра математической модели выхода по току пользователю предоставляется возможность просмотра данных по оценке точности модели. 71

Для обоснования справедливости использования регрессионной модели в программе проводится проверка условий Гаусса – Маркова, в частности осуществляется проверка гипотезы о нормальном распределении ошибки модели. Проверка нормальности распределения остатков проводится посредством критерия Колмогорова – Смирнова. В программе рассчитываются данные для критерия Колмогорова – Смирнова, расчетная гистограмма представлена на рис. 3.

Рис. 4. Вывод расчетного значения и доверительного интервала параметра «выход по току на уровне корпуса»

В последнюю очередь пользователь может просмотреть данные по дополнительной регрессионной статистике. Вывод этих данных происходит в табличной форме (рис. 5), для чего используется VCL-библиотека DevExpress. Рис. 3. Вывод гистограммы ошибки модели процесса

На рис. 3 помимо самой гистограммы выводятся данные об асимметрии и эксцессе ошибки. Для построения гистограммы ошибки модели процесса используются средства сопряжения IDE Builder C++ с MS Excel с мастером построения диаграмм. Данные передаются в виде таблицы csv, которую распознает табличный процессор Excel, и выводятся в компоненте Image в виде гистограммы Excel. После просмотра гистограмм пользователю предоставляется возможность просмотра графиков изменения выхода тока на уровне корпуса и уровне цеха. Так же, как и для предыдущей формы, здесь используются средства сопряжения IDE Builder C++ с мастером диаграмм MS Excel. На график (рис. 4) изменения параметра нанесен доверительный интервал для уровня значимости, равного 0.05. В качестве одной из модернизаций программы предполагается предоставить возможность пользователю самому выбирать уровень значимости. 72

Рис. 5. Вывод данных по дополнительной регрессионной статистике Получено 3 апреля 2007 года. 73

Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ. СПб., 2007 УДК 621.311.1 И. В. Игнатьев, А. Е. Ковров (БрГУ)

Для устранения указанных недостатков в ходе дальнейшей работы алгоритм координации был усовершенствован. Рассмотрим его работу применительно к ЭЭС, в которой для согласования настроек регуляторов выделены три эквивалентные станции. Структурная схема этой системы показана на рис. 1.

МЕТОДИКА КООРДИНАЦИИ НАСТРОЕК АВТОМАТИЧЕСКИХ РЕГУЛЯТОРОВ ВОЗБУЖДЕНИЯ В СЛОЖНЫХ ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ Описан усовершенствованный алгоритм координации настроек автоматических регуляторов возбуждения, который работает применительно к многопараметрической модели энергосистемы, представленной в виде характеристического полинома.

В настоящее время для обеспечения статической устойчивости и поддержания приемлемых демпферных свойств электро-энергетических систем (ЭЭС) генераторы электростанций оснащены различными модификациями автоматических регуляторов возбуждения (АРВ). Вместе с тем растущая протяженность энергосистем, увеличение в них доли генераторов с ухудшенными параметрами, использование режимов недовозбуждения и усложнение схемно-режимных ситуаций приводят к тому, что фиксированные параметры настройки АРВ не удовлетворяют всему многообразию режимов работы ЭЭС. В этой связи особое значение приобретают вопросы создания методов, обеспечивающих координацию настроек регуляторов с учетом складывающихся особенностей функционирования энергосистем. В рамках решения этой задачи нами ранее был разработан и программно реализован алгоритм координации [1], который работает применительно к математической модели ЭЭС, восстановленной по частотным характеристикам режимных параметров стабилизации. Однако, как показали проведенные исследования, ряд особенностей этого алгоритма затрудняет его эффективное использование для энергосистем, имеющих сложную структуру. К таким особенностям относятся решение задачи координации относительно двух параллельно работающих станций; ориентация на использование в ЭЭС регуляторов одной модификации; высокий порядок уравнений, содержащих искомые параметры настройки АРВ. 74

Рис. 1. Трехконтурное структурное представление энергосистемы

Согласно представленной схеме и формуле Мейсона характеристический полином исследуемой ЭЭС имеет вид D( p ) = 1 - W11F1 - W22 F2 - W33 F3 - W12 F1F2 - W13 F1F3 - W23 F2 F3 - W123 F1F2 F3 ,

(1)

где W11, W22, W33 – собственные передаточные функции (ПФ) режимных параметров стабилизации; F1, F2, F3 – ПФ каналов стабилизации; W12, тся W13, W23, W123 – взаимные симметричные ПФ, которые формируются определителями

75

W1...n

Wii = M Wni

K O K

Win , i = 1, n. Wnn

Здесь, как и в последующих соотношениях, для упрощения записи функций опущен оператор p. Анализ используемых модификаций АРВ показал, что в их основе лежит единый принцип, предусматривающий пропорционально-дифференциальный закон регулирования [2], поэтому ПФ каналов стабилизации i-го регулятора можно записать в общем виде: Fi =

f1i × kwi + fi

f 2i × kw' i

,

где f1i, f2i, fi – полиномы, отражающие свойства дифференцирующих звеньев; kщi, k’щi – коэффициенты усиления каналов стабилизации – параметры настройки регулятора. В соответствии с выражением (1) в системе моделирования MATLAB 6.5 была реализована процедура расчета коэффициентов характеристического полинома ai, содержащих нелинейную комбинацию параметров АРВ. Данная процедура выполняется по заданным значениям нулей и полюсов передаточных функций. Процедура расчета коэффициентов bi вспомогательного многочлена Q( p) = b0 p m + b1 p m-1 + b2 p m-2 + K + bm-1 p + bm выполняется аналогично – по известным значениям корней, которые определяются следующим образом: из множества n полюсов ПФ параметров стабилизации выбираются три пары комплексно-сопряженных корней, имеющих наименьшие вещественные части; затем задается желаемое расположение этих корней на комплексной плоскости, т. е. их вещественная и мнимая составляющие. По рассчитанным значениям коэффициентов ai и bi выполняется процедура формирования старших определителей матрицы Сильвестра, первые (m – 1) строк которой расположены в обратном порядке:

76

0 0

0 0 N a1 b1 b0

K 0 K a0

a0 a1

a1 a2

K K an-1 a0 K K bm -1 bm M = b0 K K bm -1 0 M K b0 0 K 0 K 0 0

K an - 2 K an-1 N K an K bm K K O K K b0 K

an -1 an 0 0 0 bm K

an 0 M 0 0 . 0 M 0 bm

Первый старший определитель R формируется путем удаления из представленной матрицы m – 1 первых и последних строк, а также 2m – 2 последних столбцов. Остальные определители R1, R2, …, R5 формируются из R при поочередной замене его последнего столбца каждым из следующих за ним столбцов матрицы M. Таким образом, каждый определитель включает только одну строку, содержащую коэффициенты ai. Это позволяет максимально снизить порядок уравнений, используемых на следующем этапе вычислений. После раскрытия старших определителей выполняется процедура формирования и численного решения системы нелинейных уравнений, содержащих в качестве неизвестных искомые настройки АРВ ì R(kw1 , k ¢ , kw2 , k ¢ , kw3 , k ¢ ) = 0, w1 w2 w3 ï ï R1 (kw1 , kw¢ 1 , kw2 , kw¢ 2 , kw3 , kw¢ 3 ) = 0, ïï í R2 (kw1 , kw¢ 1 , kw2 , kw¢ 2 , kw3 , kw¢ 3 ) = 0, ïK K K K K K K K ï ï R (k , k ¢ , k , k ¢ , k , k ¢ ) = 0. 5 w1 w1 w2 w2 w3 w3 îï

(2)

Если значения стабилизирующих установок, полученные в результате решения системы (2), не входят в диапазон реализуемых на практике настроек, то изменяются значения корней вспомогательного полино77

ма и расчет производится заново. В рассматриваемом случае последовательность этих изменений основана на движении двух пар комплексносопряженных доминирующих корней навстречу друг другу. Таким образом, решение поставленной задачи может носить итерационный характер. Реализация всех указанных процедур проведена с использованием средств пакета символьных вычислений MATLAB Symbolic Math Toolbox. Порядок выполнения этих процедур показан на рис. 2. Проверка работоспособности программы была проведена с использованием тестовой схемы объединенной энергосистемы Сибири. Для проведения исследований в ЭЭС были выделены три точки регулирования: эквивалентный генератор Саяно-Шушенской ГЭС, оснащенный АРВ сильного действия (АРВ-СД); эквивалентные генераторы Братск – Усть Илимского энергоузла и Красноярской ГЭС, оснащенные микропроцессорными регуляторами (АРВ-СДМ).

Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ. СПб., 2007 В результате расчетного эксперимента были найдены параметры настройки АРВ, которые обеспечивают требуемый уровень демпфирования переходных процессов в исследуемой ЭЭС и позволяют повысить степень ее устойчивости. Таким образом, разработан и программно реализован усовершенствованный алгоритм координации уставок АРВ. Данный алгоритм работает применительно к многопараметрическим моделям энергосистем, имеющим несколько точек регулирования. Список литературы 1. Игнатьев И. В., Ковров А. Е. Программная реализация методики координации настроек автоматических регуляторов возбуждения сильного действия // Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ: Межвуз. темат. сб. тр. / СПбГАСУ. – СПб., 2006. Вып. 12. – 305 с. 2. Овчаренко Н. И. Автоматика электрических станций и электроэнергетических систем: Учебник для вузов / Под ред. А. Ф. Дьякова. – М.: Изд-во НЦ ЭНАС, 2003. – 504 с.: ил. Получено 3 апреля 2007 года.

УДК 621.311.1 И. В. Игнатьев, Е. Д. Пьянников (БрГУ) ПРОГРАММНЫЙ КОМПЛЕКС ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ВЛИЯНИЯ НАСТРОЕК АВТОМАТИЧЕСКИХ РЕГУЛЯТОРОВ ВОЗБУЖДЕНИЯ ГЕНЕРАТОРОВ НА СТАТИЧЕСКУЮ УСТОЙЧИВОСТЬ ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СИСТЕМ Разработан программный комплекс, предназначенный для исследования колебательной статической устойчивости электроэнергетических систем и выбора оптимальных настроечных параметров автоматических регуляторов возбуждения.

Рис. 2. Порядок выполнения процедур координации 78

С целью поддержания заданного уровня напряжения, а также обеспечения высокого уровня статической и динамической устойчивости на всех современных синхронных генераторах применяются автоматические регуляторы возбуждения (АРВ). 79

Для оценки статической устойчивости электроэнергетической системы существует несколько способов, наиболее часто применяют непосредственное решение уравнений Парка – Горева, описывающих переходные процессы в энергосистеме. Расчет корней характеристического уравнения системы позволяет оценить запас устойчивости. Метод Д-разбиения используют для получения оптимальных настроек АРВ. Выбор электростанций в энергосистеме, наиболее сильно влияющих на статическую устойчивость, целесообразно проводить, анализируя частотные характеристики параметров стабилизации. Для решения перечисленных задач авторами был разработан программный комплекс ISUEES. Программный комплекс состоит из нескольких модулей, решающих следующие задачи: расчет режима, составление системы линеаризованных уравнений Парка – Горева, расчет и построение областей Д-разбиения по двум параметрам (искомые значения коэффициентов регулирования АРВ), расчет и построение частотных характеристик, расчет корней характеристического полинома, расчет и построение областей Д-разбиения по трем параметрам (первым и вторым параметрами выступают искомые значения коэффициентов регулирования АРВ, третий параметр – затухание α). Перечисленные модули объединены одним исполняемым файлом. Внешний вид модуля расчета режима показан на рис. 1. Подобная реализация программы расчета режима позволяет наглядно видеть схему исходной электроэнергетической системы (ЭЭС), легко просматривать и изменять параметры.

Модуль, в котором происходит составление линеаризованной системы уравнений, не имеет визуальной формы. Коэффициенты данной системы рассчитываются без участия пользователя, задаётся только генератор, для которого будет проводиться исследование. В модуле расчета частотных характеристик и областей Д-разбиения по двум параметрам можно задать и изменить параметры расчета, а также значения настроечных коэффициентов АРВ генераторов. Модуль построения частотных характеристик и областей Д-разбиения по двум параметрам имеет визуальную форму, представленную на рис. 2. В изображенном окне осуществляется построение рассчитанных кривых, а также возможен расчет корней характеристического полинома, предусмотрена возможность изменять значение искомых коэффициентов регулирования АРВ. Все расчеты и построенные характеристики можно свести в один отчет (в формате MS Word), выбрав соответствующий пункт меню.

Рис. 2. Внешний вид модуля построения частотных характеристик и областей Д-разбиения по двум параметрам

Рис. 1. Внешний вид модуля расчета режима 80

В программном комплексе имеется возможность построения трехмерной области Д-разбиения. По осям абсцисс и ординат откладываются искомые коэффициенты регулирования, а по оси аппликат – затуха81

ние (рис. 3). Трехмерная область Д-разбиения может быть использована для исследования характера изменения границы устойчивости. Функции модуля следующие: построение функций, заданных аналитически; построение функций, заданных графически (координатами точек); трассировка полученных поверхностей; печать результатов; сохранение результатов в графическом (*.bmp, *.jpg), видео (*.avi с выбираемым кодеком) форматах.

Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ. СПб., 2007 Прикладные возможности модуля: 1) выделение интересующих участков на построенных областях с возможностью нахождения площади участка; 2) аппроксимация функций, заданных графически; 3) графическое решение уравнений, заданных аналитически, либо графически. Разработанный программный комплекс прошел официальную регистрацию в Федеральной службе по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам [1]. Список литературы 1. Игнатьев И. В., Пьянников Е. Д. Исследование статической устойчивости электроэнергетических систем (ISUEES v.1.00): Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ от 25 сентября 2006 г. № 2006612627. Получено 4 апреля 2007 года.

УДК 621.311 А. А. Бушин (БрГУ)

Рис. 3. Макет трехмерной области Д-разбиения в перспективе

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИТЕРАЦИОННОГО МЕТОДА ПРИ АНАЛИЗЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЫСШИХ ГАРМОНИК В ПРОМЫШЛЕННЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СЕТЯХ

Для параметрического описания областей Д-разбиения в пространстве используются B-сплайны (NURBS). Такой выбор обусловлен тем, что NURBS имеет наиболее широкий набор полезных математических свойств (возможность локального управления кривизной сплайна, наличие весов для управляющих точек) и, следовательно, с их помощью можно наиболее точно приблизить функцию. Использование NURBS дало возможность строить трехмерные области наиболее быстро. При построении нет необходимости рассчитывать каждую точку кривой Д-разбиения, рассчитываются лишь некоторые точки с задаваемым пользователем интервалом, что позволяет значительно уменьшить время построения модели.

Рассматриваются вопросы использования итерационного метода при анализе распределения гармоник в промышленных электрических сетях как дополнение к методу обратной матрицы с целью упрощения расчета нагрузок потребителей для высших гармоник.

82

83

До настоящего времени острой продолжает оставаться проблема качества электроэнергии как в России, так и в мире в целом. В связи с ростом мощностей потребителей с нелинейными нагрузками, вносящих искажения в сеть (преобразовательные установки, электротяга, дуговые печи), и широким распространением электронных систем автоматического управления, чувствительных к искажениям в сети, внимание ученых многих стран мира привлечено как к проблеме качества электро-

энергии в целом, так и к проблеме высших гармоник (ВГ) в напряжении электрических сетей в частности. Измерения коэффициентов искажения синусоиды напряжения Кu и коэффициента гармоник напряжения Кu(n) в распределительных сетях показывают, что их величины часто превышают нормально допустимые значения, установленные ГОСТ 13109–97 [1]. Для снижения уровней высших гармоник необходимо знать закон их распределения в рамках рассматриваемой сети для эффективного принятия мер по нормализации показателей качества. Одна из главных проблем при анализе распределения гармоник в сети состоит в достаточно сложном взаимодействии сети и нелинейных нагрузок. Возможно использование для такого анализа статистического метода, к примеру метода обратной матрицы. Этот метод весьма удобен в применении и относительно прост. Его эффективно используют при анализе режимов распределения энергии на основной частоте [2]. Сложность применения этого метода для анализа распределения ВГ состоит в том, что мощность нагрузок для высоких частот неизвестна, поскольку в качестве нагрузки может выступать электрооборудование, весьма различающееся по характеру. Это значительно усложняет расчеты в рамках данного метода, так как законы изменения сопротивления в зависимости от частоты для различных элементов нагрузки потребителя (трансформаторы, асинхронные двигатели и т. д.) различны и достаточно сложны. К тому же нет единых выражений для описания таких закономерностей и в разных источниках приводятся различные варианты с различным набором условий [3, 4]. Вместо вычисления множества законов изменения элементов нагрузки потребителя в зависимости от частоты можно воспользоваться итерационным методом для определения мощности нагрузок, где в первом приближении нагрузки приравниваются нулю (холостой ход), а затем во втором приближении и далее находятся величины мощностей нагрузок для каждой гармонической составляющей. Это позволит значительно упростить расчеты и, переориентировав программу по расчету режимов сети с основной частоты на ВГ, анализировать распределение уже высших гармоник в рассматриваемой сети с достаточно высокой точностью. 84

Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ. СПб., 2007 Список литературы 1. ГОСТ 13109–97. Электрическая энергия. Совместимость технических средств электромагнитная. Нормы качества электрической энергии в системах электроснабжения общего назначения. – М., 1997. – 60 с. 2. Проектирование районной электрической сети: Методические указания к курсовому проекту / Сост. И. В. Игнатьев; БрГТУ. – Братск, 2000. – 90 с. 3. Арриллага Дж., Брэдли Д., Боджер П. Гармоники в электрических системах. – М.: Энергоатомиздат, 1990. – 320 с. 4. Жежеленко И. В. Высшие гармоники в системах электроснабжения промпредприятий. – М.: Энергоатомиздат, 2000. – 331 с. Получено 4 апреля 2007 года.

УДК 621.315.1.001.63 Г. А. Большанин, Л. Ю. Большанина, Т. Г. Коробова, С. И. Харин (БрГУ) ОСОБЕННОСТИ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ОДНОРОДНОГО УЧАСТКА ТРЕХФАЗНОЙ ТРЕХПРОВОДНОЙ ЛЭП В УСЛОВИЯХ ПОНИЖЕННОГО КАЧЕСТВА ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ Отмечены основные отличия процедуры построения математической модели однородного участка трехфазной линии электропередач трехпроводного исполнения, связанные с понижением качества электрической энергии, от традиционных методик.

Трехпроводные трехфазные линии электропередач (ЛЭП) предназначены для транспортировки электрической энергии напряжением до 1000 В и свыше 35 кВ. Иначе их называют линиями с глухозаземленной нейтралью. Однородный участок ЛЭП отличается неизменными на всем его протяжении продольными и поперечными параметрами. Электрическая энергия пониженного качества характеризуется заметными по величине отклонениями, несимметрией, несинусоидально85

стью и колебаниями напряжений и токов. К сожалению, для современных электроэнергетических систем такая электрическая энергия стала практически традиционной. Именно с этим обстоятельством и связано своеобразие математического моделирования многофазной ЛЭП. Математическое моделирование ЛЭП выполняется на основании анализа ее схемы замещения. Схему замещения ЛЭП обычно представляли как совокупность продольных и поперечных параметров: продольные параметры – как совокупность активного и индуктивного элементов, а поперечные – как совокупность активного и емкостного элементов. Причем в последнем случае активный элемент учитывали далеко не всегда. Об электромагнитных процессах, происходящих в ЛЭП, судили по результатам анализа распределения электрической энергии лишь по одному линейному проводу. Такие схемы замещения действительно с достоверностью, пригодной для инженерных расчетов, описывали электромагнитные процессы, происходившие в ЛЭП. Но лишь на частоте 50 Гц и при условии абсолютной симметрии электроэнергетических систем. В настоящее время, когда качество электрической энергии в ЭЭС ни в коей мере нельзя назвать удовлетворительным, когда в спектральном составе электрической энергии содержится множество гармонических составляющих, частота которых отлична от основной, характеризующихся ощутимыми амплитудными значениями, такую схему замещения ЛЭП, а следовательно, и прежние методики математического моделирования использовать на практике нельзя. Теперь при сложившихся обстоятельствах, когда из-за наличия высокочастотных составляющих в спектральном составе электрической энергии длина волны электромагнитной энергии, распространяемой по ЛЭП, резко уменьшилась, действующие линии электропередач следует рассматривать не как линии с сосредоточенными, а как линии с распределенными параметрами, даже при их относительно небольшой протяженности [1]. Кроме того, согласно результатам экспериментов, выполненных специалистами в данной отрасли науки, продольные параметры ЛЭП могут иметь как активно-индуктивный, так и активно-емкостной, а поперечные параметры этой же ЛЭП – как активно-емкостной, так и активно-индуктивный характер [2]. Здесь необходимо учитывать всевозможные электромагнитные связи между линейными проводами, а также

между линейными проводами и заземленными конструкциями ЛЭП. То есть электрическая схема замещения ЛЭП должна включать в свой состав все ее конструктивные элементы и выглядит сравнительно громоздко. Громоздкость проявляется и в математической модели распределения по этому участку электрической энергии пониженного качества. Она включает в свой состав девять интегро- дифференциальных уравнений по двум переменным [1]:

86

87

i A = di A + di AB - dCA + i A +

¶i A ¶i dl ; iB = diB - di AB + diBC + iB + B dl ; ¶l ¶l

iC = diC + diCA - diBC + iC + u A = i A R0 A dl + L0 A dl +

¶u

A ò i A¶t + u A + ¶l dl ; C0 A dl

¶i ¶iB ¶i + M 0 AB dl A + M 0 BC dl C + ¶t ¶t ¶t ¶u

1

iB ¶t + u B + B dl ; ò C0 B dl ¶l

uC = iC R0C dl + L0C dl +

¶i ¶i A ¶i + M 0 AB dl B + M 0CA dl C + ¶t ¶t ¶t

1

u B = iB R0 B dl + L0 B dl +

1 C0C

¶iC ¶i ¶i + M 0 BС dl B + M 0CA dl A + ¶t ¶t ¶t

ò iC ¶t + uC + dl

u AB = i A R0 A dl + L0 A dl +

¶iC dl ; ¶l

¶uC dl ; ¶l

¶i ¶i A ¶i + M 0 AB dl B + M 0CA dl C + ¶t ¶t ¶t ¶i

1

¶i

¶i

C B A ò i A¶t - iB R0 B dl - L0 B dl ¶t - M 0 AB dl ¶t - M 0 BC dl ¶t C0 A dl

-

¶u

1

iB ¶t + u AB + AB dl ; ò C0 B dl ¶l

u BС = iB R0 B dl + L0 B dl +

¶i

1

¶i

¶i

C B A ò iB ¶t - iC R0C dl - L0C dl ¶t - M 0 BС dl ¶t - M 0CAdl ¶t C0 B dl

-

¶u

1

¶iС ¶i ¶i + M 0 BС dl B + M 0CA dl A + ¶t ¶t ¶t ¶i

1

¶i

¶i

iС ¶t - i A R0 A dl - L0 A dl A - M 0 AB dl B - M 0CA dl C ò C0С dl ¶t ¶t ¶t -

¶u

1

iC ¶t + uCA + CA dl , ò C0C dl ¶l

где u A , u B , uC и u AB , u BC , uCA – фазные и линейные напряжения; ения; i A , iB и iC – линейные токи; di A , diB и diC – элементарные токи по электротромагнитным связям между линейными проводами и заземленными конструкциями ЛЭП; di AB , diBC и diCA – элементарные токи по электроромагнитным связям между линейными проводами; R0 A , L0 A , C0 A , R0 B , L0 B , C0 B , R0C , L0C и C0C – погонные продольные параметры линейных

проводов; M AB , M BC и M CA – взаимные индуктивности линейных проводов; l – протяженность однородного участка ЛЭП. Поперечные параметры электрической схемы замещения ЛЭП участвуют в формировании элементарных токов через соответствующие электромагнитные связи: ¶u ¶ ¶u æ ö æ ö di A = ç u A + A dl ÷G0 A0 dl + C0 A0 dl ç u An + A dl ÷ ; ¶ l ¶ t ¶ l è ø è ø ¶u ¶ ¶u æ ö æ ö diB = ç u B + B dl ÷G0 B 0 dl + C0 B 0 dl ç u B + B dl ÷ ; ¶l ¶t ¶l è ø è ø

¶u ¶ ¶u æ ö æ ö di AB = ç u AB + AB dl ÷G0 AB dl + C0 AB dl ç u AB + AB dl ÷ ; ¶l ¶t ¶l è ø è ø ¶u ¶u ¶ æ ö æ ö diBC = ç u BC + BC dl ÷G0 BC dl + C0 BC dl ç u BC + BC dl ÷ ; ¶ l ¶ t ¶ l è ø è ø ¶u ¶u ¶ æ ö æ ö diCA = ç uCA + CA dl ÷G0CA dl + C0CA dl ç uCA + CA dl ÷ , ¶l ¶t ¶l è ø è ø

iC ¶t + u BC + BC dl ; ò C0C dl ¶l

uСA = iС R0С dl + L0С dl +

¶iB ¶i ¶i + M 0 AB dl A + M 0 BC dl B + ¶t ¶t ¶t

где G0 A0 и C0 A0 , G0B 0 и C0B 0 , G0C 0 и C0C 0 – погонные поперечные чные параметры, характеризующие электромагнитные связи между линейными проводами и заземленными конструкциями ЛЭП; G0 AB 0 и C0 AB 0 , G0BC 0 и C0BC 0 , G0CA0 и C0CA0 – погонные поперечные параметры, характетеризующие электромагнитные связи между линейными проводами. Временные характеристики напряжения и тока, представляющие собою электрическую энергию пониженного качества, отличны от характеристик синусоидальной формы, поэтому оптимизация математической модели трехфазной ЛЭП с глухозаземленной нейтралью, предполагающая совместное решение интегро- дифференциальных уравнений, оказывается непростой операцией. В этом случае следует вспомнить, что неперегруженная ЛЭП представляет собой линейную систему, для которой вполне применим принцип суперпозиции. Иными словами, предлагается построение математической модели для каждой составляющей спектров напряжения и тока. Оптимизация таких моделей вполне осуществима при использовании соответствующего математического аппарата. Результаты оптимизации несложно распространить на весь спектр напряжения и тока. Описанная операция позволит выполнять прогнозирование распределения электрической энергии пониженного качества по участкам современных электроэнергетических систем. Список литературы

¶u ¶u ¶ æ ö æ ö diC = ç uC + C dl ÷G0C 0 dl + C0C 0 dl ç uC + C dl ÷ ; ¶l ¶l ¶t è ø è ø

1. Большанин Г. А. Распределение электрической энергии пониженного качества по участкам электроэнергетической системы // Труды Братского государственного университета: Сер. Естественные и инженерные науки – развитию регионов Сибири. Т. 2. – Братск: БрГУ, 2006. – С. 129–140.

88

89

Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ. СПб., 2007 2. Арриллага Дж., Брэдли Д., Боджер П. Гармоники в электрических системах / Пер. с англ. / Дж. Арриллага, Д. Брэдли, П. Боджер. – М.: Энергоатомиздат, 1990. – 320 с. Получено 4 апреля 2007 года.

УДК 621.315.1.001.63 Г. А. Большанин, Л. Ю. Большанина, С. И. Харин (БрГУ) ОСОБЕННОСТИ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ОДНОРОДНОГО УЧАСТКА РАЙОННОЙ СЕТИ В УСЛОВИЯХ ПОНИЖЕННОГО КАЧЕСТВА ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ Отмечены основные отличия процедуры построения математической модели однородного участка трехфазной линии электропередач четырехпроводного исполнения, связанные с понижением качества электрической энергии, от традиционных методик.

Районные электрические сети, как правило, представляют собой трехфазные четырехпроводные линии электропередач (ЛЭП) напряжением от 1000 В до 35 кВ. В их состав входят три линейных и один нейтральный провода. Нейтральный провод при установившихся неаварийных режимах работы электроэнергетической системы изолирован от заземленных конструктивных элементов ЛЭП. Такую линию электропередач называют линией с изолированной нейтралью. ЛЭП с изолированной нейтралью составляют свыше 45 % от количества всех средств для транспортировки электрической энергии. Однородность ЛЭП обеспечивается однозначностью продольных и поперечных параметров линии электропередач на протяжении всего рассматриваемого участка. Электрическая энергия пониженного качества характеризуется заметными по величине отклонениями, несимметрией, несинусоидальностью и колебаниями напряжений и токов. К сожалению, для современных электроэнергетических систем такая электрическая энергия стала 90

практически традиционной. Именно с этим обстоятельством и связано своеобразие математического моделирования многофазной ЛЭП. Математическое моделирование ЛЭП выполняется на основании анализа ее схемы замещения. Схему замещения ЛЭП в условиях пониженного качества электрической энергии следует представлять как совокупность продольных и поперечных параметров линейных и нейтрального проводов. Причем эти параметры должны быть представлены резистивными, индуктивными и емкостными элементами. Районные электрические сети представляют собой ЛЭП сравнительно небольшой протяженности. Их протяженность редко превышает несколько десятков километров. Но, тем не менее, в условиях повышенного уровня несинусоидальности напряжений и токов при построении математической модели районных сетей их следует воспринимать как линии с распределенными параметрами [1]. В состав электрической схемы замещения однородного участка ЛЭП с глухозаземленной нейтралью входят погонные продольные параметры линейных проводов R0 A , L0 A , C0 A , R0 B , L0 B , C0 B , R0C , L0C и C0C , а также погонные продольные параметры нейтрального провода R0 N , L0 N и C0 N ; погонные поперечные параметры, иллюстрирующие электромагнитные связи между линейными проводами, G0 AB , M 0 AB , C0 AB , G0 BC , M 0 BC , C0 BC , G0CA , M 0CA , C0CA , а также погонные поперечные параметры, иллюстрирующие электромагнитные связи между каждым линейным проводом и заземленными конструктивными элементами ЛЭП, ры, G0 A0 , C0 A0 , G0B 0 , C0B 0 , G0C 0 , C0C 0 ; погонные поперечные параметры, иллюстрирующие электромагнитные связи между каждым линейным и нейтральным проводами, G0 AN , M 0 АN , C0 AN , G0 BN , M 0 BN , C0 BN , G0CN , M 0CN и C0CN , а также погонные поперечные параметры, иллюстрирующие электромагнитные связи между изолированным нейтральным проводом и заземленными конструктивными элементами ЛЭП, G0N 0 и C0N 0 . Так, здесь в начале рассматриваемого участка ЭЭС имеют место: напряжения между линейными проводами (линейные) u AB , u BC и uCA ; напряжения между линейными и нейтральным проводами (фазные) u AN , u BN и uCN ; напряжения между линейными проводами и заземленными конструктивными элементами ЛЭП u A , u B и uC ; напряжение между нейтральным проводом и поверхностью земли u N , которое условно мож91

но назвать напряжением смещения нейтрали; линейные токи i A , iB и iC ; а также ток в нейтральном проводе iN . Из этого следует, что рабочая математическая модель однородного элементарного участка ЛЭП трехфазного четырехпроводного исполнения протяженностью dl содержит четырнадцать уравнений:

u AN = i A R0 A dl + L0 A dl

¶i ¶i A ¶i + M 0 AB dl B + M 0CA dl C ¶t dt dt

- M 0 AN dl

i A = di A + di AB - diCA + di AN + i An +

¶i A dl ; ¶l

+ iN R0 N dl + L0 N dl

iB = diB + diBC - di AB + diBN + iB +

¶iB dl ; ¶l

- M 0CN dl

iC = diC + diCA - diBC + diCN + iC +

¶iC dl ; ¶l

u BN = iBn R0 B dl + L0 B dl

iN = di AN + diBN + diCN - diN + i N -

¶i N dl ; ¶l

- M 0 BN dl

u A = i A R0 A dl + L0 A dl

- M 0 AN dl

¶i N 1 ¶u + i A dt + u A + A dl ; ò dt C0 A dl dl

u B = iB R0 B dl + L0 B dl - M 0 BN dl

¶i ¶iB ¶i + M 0 AB dl A + M 0 BC dl C ¶t dt dt

¶i N 1 ¶u + iB dt + u B + B dl ; ò dt C0 B dl dl

uC = iC R0C dl + L0C dl - M 0CN dl

¶i ¶i A ¶i + M 0 AB dl B + M 0CA dl C ¶t dt dt

¶iC ¶i ¶i + M 0CA dl A + M 0 BC dl B ¶t dt dt

¶i N ¶u 1 + iC dt + uC + C dl ; ò dt C0C dl dl

u N = -i N R0 N dl - L0 N dl + M 0CN dl

¶iN ¶i ¶i + M 0 AN dl A + M 0 BN dl B + ¶t dt dt

¶iC ¶u 1 iN dt + u N + N dl ; ò dt C0 N dl dl 92

¶i N ¶i ¶i - M 0 AN dl A - M 0 BN dl B ¶t dt dt

¶iC ¶u 1 + iN dt + u AN + AN dl ; ò dt C0 N dl dl

+ iN R0 N dl + L0 N dl - M 0CN dl

¶i ¶iB ¶i + M 0 AB dl A + M 0 BC dl C ¶t dt dt ¶iN 1 + ò iB dt + dt C0 B dl

¶i N ¶i ¶i - M 0 AN dl A - M 0 BN dl B ¶t dt dt

¶iC ¶u 1 + i N dt + u BN + BN dl ; ò dt C0 N dl dl

uCN = iC R0C dl + L0C dl

¶iC ¶i ¶i + M 0CA dl A + M 0 BC dl B ¶t dt dt

- M 0CN dl

+ iN R0 N dl + L0 N dl - M 0CN dl

¶iN 1 + ò i A dt + dt C0 A dl

¶i N 1 + ò iC dt + dt C0C dl

¶i N ¶i ¶i - M 0 AN dl A - M 0 BN dl B ¶t dt dt

¶iC ¶u 1 + iN dt + uCN + CN dl ; ò dt C0 Nn dl dl

u AB = i A R0 Adl + L0 Adl

¶i ¶i ¶i A + M 0 ABn dl Bn + M 0CAdl C ¶t dt dt

- M 0 AN dl

¶iN 1 + ò i A dt dt C0 A dl 93

- iB R0 B dl - L0 B dl + M 0 BN dl

¶i ¶iB ¶i - M 0 AB dl A - M 0 BC dl C + ¶t dt dt

¶i N 1 ¶u iB dt + u AB + AB dl ; ò dt C0 B dl dl

u BC = iB R0 B dl + L0 B dl

¶i ¶iB ¶i + M 0 AB dl A + M 0 BC dl C ¶t dt dt

- M 0 BN dl - iC R0C dl - L0C dl + M 0CN dl

¶iN 1 + ò iB dt dt C0 B dl

¶iC ¶i ¶i - M 0CA dl A - M 0 BC dl B + ¶t dt dt

¶i N ¶u 1 iC dt + u BC + BC dl ; ò dt C0C dl dl

uCA = iC R0C dl + L0C dl

¶iC ¶i ¶i + M 0CA dl A + M 0 BC dl B ¶t dt dt

¶i 1 - M 0CN dl N + iC dt dt C0C dl ò - i A R0 A dl - L0 A dl + M 0 AN dl

¶i ¶i A ¶i - M 0 AB dl B - M 0CA dl C + ¶t dt dt

¶i N ¶u 1 i A dt + u AC + AC dl , ò dt C0 A dl dl

где di A , diB и diC – элементарные токи по электромагнитным связям между линейными проводами и заземленными конструкциями ЛЭП; di N – элементарные токи по электромагнитным связям между нейтральным проводом и заземленными конструкциями ЛЭП; di AB , diBC и diCA – элементарные токи по электромагнитным связям между линейными проводами; di AN , diBN и diCN – элементарные токи по электромагнитным связям между каждым линейным проводом и заземленными конструкциями ЛЭП. 94

Величины элементарных токов следует определять по формулам di A = u AG0 A0 dl + C0 A0 dl diC = uC G0C 0 dl + C0C 0 dl

¶u A ¶u ; diB = u B G0 B 0 dl + C0 B 0 dl B ; ¶t ¶t

¶uC ¶u ; diN = u N G0 N 0 dl + C0 N 0 dl N ; ¶t ¶t

di AN = u AN G0 AN dl + C0 AN dl

¶u AN ¶u ; diBN = u BN G0 BN dl + C0 BN dl BN ; ¶t ¶t

diCN = uCN G0CN dl + C0CN dl

¶uCN ¶u ; di AB = u AB G0 AB dl + C0 AB dl AB ; ¶t ¶t

¶u BC ¶u ; diCA = uCAG0CA dl + C0CA dl CA . ¶t ¶t Несинусоидальная форма временных диаграмм напряжений и токов существенно усложняет процедуру оптимизации построенной модели. Понизить громоздкость предстоящей оптимизации поможет факт представления однородного участка районной электрической сети линейной схемой замещения. Это обстоятельство делает возможным использование принципа суперпозиций. Благодаря этому принципу предоставляется возможность построения математической модели однородного участка районной электрической сети на частоте каждой гармонической составляющей спектров напряжений и токов. Есть смысл в построении математической модели и для постоянных составляющих спектров, если таковые имеются. Математический аппарат оптимизации математических моделей ЛЭП при постоянных либо гармонически изменяющихся напряжениях и токах известен [2], поэтому такая оптимизация вполне осуществима, особенно при использовании средств вычислительной техники. Результаты оптимизации следует обобщить на весь спектр соответствующего напряжения или тока. diBC = u BC G0 BC dl + C0 BC dl

Список литературы 1. Большанин Г. А. Распределение электрической энергии пониженного качества по участкам электроэнергетической системы // Труды Братского государственного университета: Сер. Естественные и инженерные науки – развитию регионов Сибири. Т. 2. – Братск: БрГУ, 2006. – С. 129–140. 95

Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ. СПб., 2007 2. Большанин Г. А. Способ прогнозирования гармонических составляющих электрической энергии по неразветвленным участкам электроэнергетической системы: Патент 2210154. Россия, МКИ7 Н 02 J 3/01/ Г. А. Большанин. – № 2001106402. Заявл. 06.03.01; Опубл. 10.08.03. Получено 6 апреля 2007 года.

УДК 621.315.1.001.63 Г. А. Большанин, Л. Ю. Большанина, С. И. Харин (БрГУ) ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ОДНОРОДНОГО УЧАСТКА РАЙОННОЙ СЕТИ В УСЛОВИЯХ ПОНИЖЕННОГО КАЧЕСТВА ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ Представлено характеристическое уравнение однородного участка трехфазной четырехпроводной электрической цепи в условиях пониженного качества электрической энергии. Предложен вариант его решения.

Районная электрическая сеть обычно исполняется в трехфазном варианте в виде совокупности четырех проводов: трех линейных и одного нейтрального, т. е. представляет собой трехфазную четырехпроводную линию электропередач (ЛЭП). Иначе ее называют линией с изолированной нейтралью. Она предназначена для транспортировки электрической энергии напряжением от 1000 В до 35 кВ. В случае визуально заметных уровней несинусоидальности, несимметрии, отклонения и колебания напряжений и токов говорят об электрической энергии пониженного качества. При анализе распределения такой энергии по участкам электроэнергетических систем ЛЭП должна быть представлена линией с распределенными параметрами в полнофазном варианте. Анализировать распределение электрической энергии пониженного качества целесообразно по каждому однородному участку ЛЭП на частоте каждой гармонической составляющей напряжения и тока [1]. Результаты такого анализа следует обобщить на всю ЛЭП и на весь спектр основных характеристик электрической энергии. Математическая модель однородного участка трехфазной четырехпроводной ЛЭП на частоте n -й гармонической составляющей напряже96

ния и тока представляет собой совокупность четырнадцати интегродифференциальных уравнений. В результате совместного решения этих уравнений можно получить характеристическое уравнение однородного участка трехфазной трехпроводной ЛЭП в условиях пониженного качества электрической энергии. Оно представляет собой уравнение восьмого порядка (1) x8 + ax 6 + bx 4 + cx 2 + d = 0 , где a, b, c и d – коэффициенты, учитывающие первичные параметры однородного участка анализируемой ЛЭП на частоте n -й гармонической составляющей напряжения и тока. Восьмая степень характеристического уравнения (1) трехфазной трехпроводной ЛЭП свидетельствует о том, что в каждом линейном проводе линии электропередач присутствует восемь волн электромагнитного поля: четыре падающие и четыре отраженные. Постоянные распределения волн определятся в результате решения этого уравнения. Для определения корней характеристического уравнения (1) необходимо принять, что x2 = l . Тогда уравнение примет вид l4 + al3 + bl2 + cl + d = 0 .

(2) (3)

Для его решения вполне можно использовать метод Декарта – Эйлера [2]. Тогда в результате введения подстановки a (4) 4 характеристическое уравнение (3) сведется к «неполному» виду: l= y-

y 4 + py 2 + qy + r = 0 ,

(5)

a 2b 3a 4 ac 3a 2 a 3 ab + + c; r = - +d. ; q= 8 8 4 16 256 4 Кубическая резольвента уравнения (5) имеет вид [3]

где p = b -

(

)

z 3 + 2 pz 2 + p 2 - 4r z - q 2 = 0 .

(6)

Для решения уравнения (6), как и в случае анализа трехпроводного участка ЭЭС, есть смысл применить формулу Кардано [3]. Для этого следует выполнить замену 97

k = z+

2p . 3

(7)

Тогда формула (6) примет вид k 3 + mk + n = 0 , 2

3

(8)

3

p + 12r 16 p 2 p - 8 pr ; n= - q2 . 3 27 3 Дискриминант полученного уравнения можно определить так:

где m = -

2

; y2 = y4 =

z1 - z 2 - z3 2

; y3 =

- z1 + z 2 - z3 2

- z1 - z 2 + z3

+

(9)

1

2

1

æ öù n n - j 3çç 3 - + D - 3 - + D ÷÷ú 2 2 è øû

öù æ n n + j 3çç 3 - + D - 3 - + D ÷÷ú ; 2 2 è øû

1æ n n 2pö ÷ y2 = çç 3 - + D + 3 - - D 2è 2 2 3 ÷ø

z3 =

1é 3 n n p ê- - + D - 3 - - D - 2ë 2 2 3

æ öù n n - j 3çç 3 - + D - 3 - + D ÷÷ú , 2 2 è øû а корни «неполного» уравнения (5) – по формулам [3]

-

(11)

98

+

+

2

; 1

2

1 é 3 n n p ê- - + D - 3 - - D - + 2 2 3 2 2ë

æ öù n n + j 3çç 3 - + D - 3 - + D ÷÷ú 2 2 è øû -

2

1 é 3 n n p ê- - + D - 3 - - D - 2 2 3 2 2ë

n n p 1é z2 = ê- 3 - + D - 3 - - D - + 2ë 2 2 3

(10)

1

1 é 3 n n p ê- - + D - 3 - - D - + 2 2 3 2 2ë

æ öù n n + j 3çç 3 - + D - 3 - + D ÷÷ú 2 2 è øû

n n где u = 3 - + D ; n = 3 - - D . 2 2 Из равенства (7) определятся корни уравнения (6)

;

. 2 Принимая во внимание равенства (9), (10) и (11), можно уточнить корни этого уравнения:

+

u+n u -n u+n u -n ; k3 = , +j 3 -j 3 2 2 2 2

2p n n z1 = 3 - + D + 3 - - D ; 2 2 3

z1 + z 2 + z3

1æ n n 2pö ÷ y1 = çç 3 - + D + 3 - - D 2è 2 2 3 ÷ø

m3 n 2 D= + . 27 4 Корни уравнения (8) можно вычислить по формулам [3] k1 = u + n ; k 2 = -

y1 =

1

2

-

1 é 3 n n p ê- - + D - 3 - - D - 2 2 3 2 2ë 99

-

æ öù n n - j 3çç 3 - + D - 3 - + D ÷÷ú 2 2 è øû

1

;

1æ n n 2pö ÷ y3 = - çç 3 - + D + 3 - - D 2è 2 2 3 ÷ø +

1

2

+

+

1 é 3 n n p ê- - + D - 3 - - D - 2 2 3 2 2ë 1

; 1

2

1 é 3 n n p ê- - + D - 3 - - D - + 2 2 3 2 2ë

æ öù n n + j 3çç 3 - + D - 3 - + D ÷÷ú 2 2 è øû

1

2

+

100

1

2

,

1

2

1

2

-

+

+

a - ; 4

1æ n n 2pö ÷ l 2 = çç 3 - + D + 3 - - D 2è 2 2 3 ÷ø

1

2

-

1 é 3 n n p ê- - + D - 3 - - D - + 2 2 3 2 2ë

æ öù n n + j 3çç 3 - + D - 3 - + D ÷÷ú 2 2 øû è -

1 é 3 n n p ê- - + D - 3 - - D - 2 2 3 2 2ë æ öù n n - j 3çç 3 - + D - 3 - + D ÷÷ú 2 2 è øû

-

2

1 é 3 n n p ê- - + D - 3 - - D - 2 2 3 2 2ë

æ öù n n - j 3çç 3 - + D - 3 - + D ÷÷ú 2 2 è øû

2

1

1 é 3 n n p ê- - + D - 3 - - D - + 2 2 3 2 2ë

æ öù n n + j 3çç 3 - + D - 3 - + D ÷÷ú 2 2 è øû

-

1æ n n 2pö ÷ y4 = - çç 3 - + D + 3 - - D 2è 2 2 3 ÷ø

+

2

1æ n n 2pö ÷ l1 = çç 3 - + D + 3 - - D 2è 2 2 3 ÷ø

+

æ öù n n - j 3çç 3 - + D - 3 - + D ÷÷ú 2 2 è øû

-

1

1 é 3 n n p ê- - + D - 3 - - D - + 2 2 3 2 2ë

æ öù n n + j 3çç 3 - + D - 3 - + D ÷÷ú 2 2 è øû -

а учитывая использованную ранее подстановку (4), определить корни уравнений (3)

2

1

2

-

1 é 3 n n p ê- - + D - 3 - - D - 2 2 3 2 2ë

æ öù n n - j 3çç 3 - + D - 3 - + D ÷÷ú 2 2 è øû 101

1

2

a - ; 4

1æ n n 2pö ÷ l 3 = - çç 3 - + D + 3 - - D 2è 2 2 3 ÷ø +

2

+

x1, 2

1 é 3 n n p ê- - + D - 3 - - D - + 2 2 3 2 2ë

æ öù n n + j 3çç 3 - + D - 3 - + D ÷÷ú 2 2 è øû -

1

1

2

+

1

2

+

a - ; 4

1æ n n 2pö ÷ l 4 = - çç 3 - + D + 3 - - D 2è 2 2 3 ÷ø

1

2

-

æ öù n n + j 3çç 3 - + D - 3 - + D ÷÷ú 2 2 è øû

2

+

æ öù 2 a n n - j 3çç 3 - + D - 3 - + D ÷÷ú - . 2 2 4 è øû И теперь, наконец, с учетом равенства (2) можно определить корни характеристического уравнения (1): 102

2

+

öù n n - + D - 3 - + D ÷÷ú 2 2 øû

1

2

ü aï - ý 4ï þ

1

2

;

1 ì n 2pö 2 ï 1 æç 3 n 3 ÷ = ±í ç - + D + - - D 2 2 3 ÷ø ïî 2 è

-

1 é 3 n n p + ê- - + D - 3 - - D - 2 2 3 2 2ë 1

x3, 4

1

1 é 3 n n p ê- - + D - 3 - - D - 2 2 3 2 2ë

æ - j 3çç 3 è

1 é 3 n n p ê- - + D - 3 - - D - + 2 2 3 2 2ë 1

1 é 3 n n p ê- - + D - 3 - - D - + 2 2 3 2 2ë

æ öù n n + j 3çç 3 - + D - 3 - + D ÷÷ú 2 2 è øû

-

1 é 3 n n p ê- - + D - 3 - - D - 2 2 3 2 2ë

æ öù n n - j 3çç 3 - + D - 3 - + D ÷÷ú 2 2 è øû

1 ì ö 2 n 2 p ï 1 æç 3 n ÷ + = ±í ç - + D + 3 - - D 2 2 3 ÷ø ïî 2 è

1 é 3 n n p ê- - + D - 3 - - D - + 2 2 3 2 2ë

æ öù n n + j 3çç 3 - + D - 3 - + D ÷÷ú 2 2 è øû -

1

2

-

1 é 3 n n p ê- - + D - 3 - - D - 2 2 3 2 2ë

æ öù n n - j 3çç 3 - + D - 3 - + D ÷÷ú 2 2 è øû 103

1

2

ü aï - ý 4ï þ

1

2

;

x5,6

1 ì ö 2 n 2 p ï 1 æç 3 n ÷ + = ± í- ç - + D + 3 - - D 2 2 3 ÷ø ïî 2 è

+

1 é 3 n n p ê- - + D - 3 - - D - + 2 2 3 2 2ë

æ öù n n + j 3çç 3 - + D - 3 - + D ÷÷ú 2 2 è øû

1

2

æ - j 3çç 3 è

x7,8

1

2

Анализ характеристического уравнения однородного участка районной электрической сети позволяет оценить физическую сущность электромагнитных процессов, происходящих в конструктивных элементах ЛЭП.

-

ü aï - ý 4ï þ

1

Список литературы

2

;

1 ì n 2pö 2 ï 1 æç 3 n 3 ÷ = ± í- ç - + D + - - D 2 2 3 ÷ø ïî 2 è

+

1

2

УДК 621.315.1.001.63 Г. А. Большанин, Л. Ю. Большанина, Т. Г. Коробова, С. И. Харин (БрГУ)

+

ОПТИМИЗАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ОДНОРОДНОГО СИММЕТРИЧНОГО УЧАСТКА ТРЕХФАЗНОЙ ТРЕХПРОВОДНОЙ ЛЭП В УСЛОВИЯХ ПОНИЖЕННОГО КАЧЕСТВА ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ

1 é 3 n n p ê- - + D - 3 - - D - 2 2 3 2 2ë

æ öù n n - j 3çç 3 - + D - 3 - + D ÷÷ú 2 2 è øû 104

1

2

ü aï - ý 4ï þ

1. Большанин Г. А. Способ прогнозирования гармонических составляющих электрической энергии по неразветвленным участкам электроэнергетической системы: Патент 2210154. Россия, МКИ 7 Н 02 J 3/01. – № 2001106402. Заявл. 06.03.01; опубл. 10.08.03. 2. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров: Определения, теоремы, формулы. – М.: Наука, 1973. – 832 с. 3. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. 13-е изд., испр. – М.: Наука, 1986. – 544 с. Получено 4 апреля 2007 года.

1 é 3 n n p ê- - + D - 3 - - D - + 2 2 3 2 2ë

æ öù n n + j 3çç 3 - + D - 3 - + D ÷÷ú 2 2 è øû

Величины постоянных распределения каждой пары волн электромагнитного поля определятся следующим образом: g1n = x1, 2 ; g 2n = x3, 4 ; g 3n = x5,6 ; g 4n = x7,8 .

1 é 3 n n p ê- - + D - 3 - - D - 2 2 3 2 2ë

öù n n - + D - 3 - + D ÷÷ú 2 2 øû

Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ. СПб., 2007

1

2

.

Приведены результаты оптимизации математической модели однородного симметричного участка трехфазной линии электропередач трехпроводного исполнения в условиях пониженного качества электрической энергии. Отмечено уменьшение громоздкости процедуры оптимизации из-за симметрии анализируемого участка ЛЭП. 105

Симметричной трехфазную систему можно назвать в случае абсолютного (по величине и характеру) равенства продольных и соответствующих поперечных параметров каждого линейного провода между собой на частоте каждой гармонической составляющей напряжения и тока. Условия ее построения на частоте n -й гармонической составляющей основных характеристик электрической энергии выразятся следующими равенствами: R0 An = R0 Bn = R0Cn ; L0 An = L0 Bn = L0Cn ; C0 An = C0 Bn = C0Cn ; G0 ABn = G0 BCn = G0CAn ; M 0 ABn = M 0 BCn = M 0CAn ; C0 ABn = C0 BCn = C0CAn ; G0 A0n = G0 B 0n = G0C 0n ; C0 A 0 n = C0 B 0 n = C 0 C 0 n . Иначе эти равенства можно представить в виде Y 0 A0n = Y 0 B 0n = Y 0C 0n = Y 0ф0n ; Y 0 ABn = Y 0 BCn = Y 0CAn = Y 0 лn ; Z 0 An = Z 0 Bn = Z 0Cn = Z 0фn ; Z 0 ABn = Z 0 BCn = Z 0CAn = Z 0мn . В таком случае несколько упростится процедура определения постоянных распространения каждой пары электромагнитной энергии по проводам линии электропередач, входящей в состав выделенного участка ЛЭП. Они определяются из решения характеристического уравнения однородного участка трехфазной трехпроводной ЛЭП x 6 + ax 4 + bx 2 + c = 0 , где в данном случае оказывается, что a = 3(1 - Z 0фn Y 0фn - 2 Z 0фn Y 0 лn + Z 0мn Y 0 лn );

[

b = 3 1 - 2 Z 0фn Y 0ф0n - 4 Z 0фn Y 0 лn - 4 Z 0мn Y 0 лn +

(

)(

+ 3 Z 0фn Y 0ф0n + 2 Z 0фn Y 0 лn - 2 Z 0мn Y 0 лn Z 0фn Y 0 л 0n -

- Z 0 мn Y 0 ф 0 n - Z 0 мn Y 0 лn

) 2-

(

- 2 Z 0фn Y 0 л 0n - Z 0мn Y 0ф0n - Z 0мn Y 0 лn

) 3.

Собственные волновые сопротивления для каждой пары волн электромагнитной энергии в линейных проводах здесь оказываются тоже одинаковыми: Z сA1n = Z сB1n = Z сC1n = Z с1n ; Z сA2n = Z сB 2n = Z сC 2n = Z с 2n ; Z сA3n = Z сB3n = Z сC 3n = Z с3n . О взаимных волновых сопротивлениях, которые проявляются лишь при равновеликости магнитных связей между проводами ЛЭП, здесь говорить не приходится. С учетом этих равенств фазные и линейные напряжения и токи в конце участка ЭЭС, отстающего от начала этого же участка на расстояние l , при условии известности спектрального состава основных характеристик в начале выделенного участка и абсолютной симметрии фазных проводов оказываются следующими: U& = U& chg l - I& Z shg l + U& chg l An

1 An

1n

1 An

c1n

1n

1 An

2n

- I&1An Z c 2n shg 2n l + U&1 An chg 3n l - I&1 An Z c3n shg с3n l ; U& Bn = U&1Bn chg1n l - I&1Bn Z c1n shg1n l + U&1Bn chg 2n l - I&1Bn Z c 2n shg 2n l + U&1Bn chg 3n l - I&1Bn Z c3n shg с3n l ;

U& Cn = U&1Cn chg1n l - I&1Cn Z c1n shg1n l + U&1Cn chg 2n l - I&1Cn Z c 2n shg 2n l + U&1Cn chg 3n l - I&1Cn Z c3n shg с3n l ;

( ) - (Z 0фn Y 0 л 0n - Z 0 м n Y 0 ф 0n - Z 0мn Y 0 лn ) 2 ];

U& ABn = (U&1 An - U&1Bn ) chg1n l - (I&1 An - I&1Bn )Z c1n shg1n l +

c = 1 - 3Z 0фn Y 0фn - 6Z 0фn Y 0 лn + 6Z 02мn Y 02л 0n +

+ (U&1 An - U&1Bn ) chg 3n l - (I&1An - I&1Bn )Z c3n shg 3n l ;

+ Z 0фn Y 0ф0n + 2Z 0фn Y 0 лn - 2Z 0мn Y 0 лn

2

+ (U&1An - U&1Bn ) chg 2n l - (I&1 An - I&1Bn )Z c 2n shg 2n l +

( ) 2- 3(Z 0фn Y 0 л 0n - Z 0мn Y 0ф0n - Z 0мn Y 0 лn ) 2 - (Z 0фn Y 0ф0n + 2Z 0фn Y 0 лn - 2Z 0мn Y 0 лn ) 3+

U& BСn = (U&1Bn - U&1Cn ) chg1n l - (I&1Bn - I&1Cn )Z c1n shg1n l +

106

107

+ 3 Z 0фn Y 0 ф 0n + 2 Z 0фn Y 0 лn - 2 Z 0мn Y 0 лn

+ (U&1Bn - U&1Cn ) chg 2n l - (I&1Bn - I&1Cn )Z c 2n shg 2n l + + (U&1Bn - U&1Cn ) chg 3n l - (I&1Bn - I&1Cn )Z c3n shg 3n l ;

U& СAn = (U&1Cn - U&1 An ) chg1n l - (I&1Cn - I&1 An )Z c1n shg1n l +

U& Bn = U& 2 Bn сhg1n y + I&2 Bn Z c1n shg1n y + U& 2 Bn сhg 2n y + I&2 Bn Z c 2n shg 2n y +

+ (U&1Cn - U&1 An ) chhg 2n l - (I&1Cn - I&1 An )Z c 2n shg 2n l +

+ U& 2 Bn сhg 3n y + I&2 Bn Z c3n shg с3n y ;

+ (U&1Cn - U&1 An ) chg 3n l - (I&1Cn - I&1 An )Z c3n shg 3n l ;

U& Cn = U& 2Cn сhg1n y + I&2Cn Z c1n shg1n y +

+ U& 2Cn сhg 2n y + I&2Cn Z c 2n shg 2n y + U& 2Cn сhg 3n y + I&2Cn Z c3n shg с3n y ;

U& U& I&An = I&1An chg1n l - 1An shg1n l + I&1 An chg 2n l - 1 An shg 2n l + Z c1n Z c 2n + I&1 An chg 3n l -

U& ABn = (U& 2 An - U& 2 Bn ) сhg1n l + (I&2 An - I&2 Bn )Z c1n shg1n y +

+ (U& 2 An - U& 2 Bn ) сhg 2n y + (I&2 An - I&2 Bn )Z c 2n shg 2n y +

U&1An shg 3n l ; Z c3n

+ (U& 2 An - U& 2 Bn ) сhg 3n y + (I&2 An - I&2 Bn )Z c3n shg 3n y ;

U& U& I&Bn = I&1Bn chg1n l - 1Bn shg1n l + I&1Bn chg 2n l - 1Bn shg 2n l + Z c1n Z c 2n

U& BСn = (U& 2 Bn - U& 2Cn ) сhg1n l + (I&2 Bn - I&2Cn )Z c1n shg1n y +

U& + I&1Bn chg 3n l - 1Bn shg 3n l ; Z c3n

+ (U& 2 Bn - U& 2Cn ) сhg 3n y + (I&2 Bn - I&2Cn )Z c3n shg 3n y ;

+ (U& 2 Bn - U& 2Cn ) сhg 2n y + (I&2 Bn - I&2Cn )Z c 2n shg 2n y +

U& CAn = (U& 2Cn - U& 2 An ) сhg1n l + (I&2Cn - I&2 An )Z c1n shg1n y +

U& U& I&Cn = I&1Cn chg1n l - 1Cn shg1n l + I&1Cn chg 2n l - 1Cn shg 2n l + Z c1n Z c 2n

+ (U& 2Cn - U& 2 An ) сhg 2n y + (I&2Cn - I&2 An )Z c 2n shg 2n y +

U& + I&1Cn chg 3n l - 1An shg 3n l , Z c3n

U& U& I&An = I&2 An сhg1n y + 2 An shg1n y + I&2 An сhg 2n y + 2 An shg 2n y + Z c1n Z c 2n

где U&1 An , U&1Bn , U&1Cn и I&1An , I&1Bn , I&1Cn – изображения на комплексной сной плоскости фазных напряжений и линейных токов на частоте n -й гармонической составляющей в начале выделенного участка ЛЭП; g1n ,

U& + I&2 An сhg 3n y + 2 An shg 3n y ; Z c3n

+ (U& 2Cn - U& 2 An ) сhg 3n y + (I&2Cn - I&2 An )Z c3n shg 3n y ;

ля g 2n и g 3n – постоянные распространения волн электромагнитного поля по проводам ЛЭП; l – протяженность анализируемого участка от его о начала до места определения напряжений и токов. При известном спектральном составе основных характеристик электрической энергии в конце анализируемого участка ЛЭП фазные и линейные напряжения и токи в любом месте, отстоящем от конца выделенного участка на расстоянии y , следует определять по формулам U& = U& сhg y + I& Z shg y + U& сhg y + I& Z shg y + An

2 An

1n

2 An

c1n

1n

2 An

2n

2 An

c 2n

2n

U& U& I&Bn = I&2 Bn сhg1n y + 2 Bn shg1n y + I&2 Bn сhg 2n y + 2 Bn shg 2n y + Z c1n Z c 2n U& + I&2 Bn сhg 3n y + 2 Bn shg 3n y ; Z c3n U& U& I&Сn = I&2Сn сhg1n y + 2Сn shg1n y + I&2Сn сhg 2n y + 2Сn shg 2n y + Z c1n Z c 2n

+ U& 2 An сhg 3n y + I&2 An Z c3n shg с3n y ;

U& + I&2Сn сhg 3n y + 2Сn shg 3n y , Z c3n

108

109

Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ. СПб., 2007 где U& 2 An , U& 2 Bn , U& 2Cn и I&2 An , I&2 Bn , I&2Cn – изображения на комплексной сной плоскости фазных напряжений и линейных токов на частоте n -й гармонической составляющей в конце выделенного участка ЛЭП. Судя по приведенным здесь равенствам, снижение громоздкости процесса прогнозирования распределения основных характеристик электрической энергии вследствие достижения симметрии на анализируемом участке ЛЭП весьма существенное. Это следует из сопоставления полученных здесь результатов оптимизации математической модели с результатами подобной оптимизации математической модели распределения электрической энергии пониженного качества по несимметричному участку трехфазной трехпроводной ЛЭП [1]. На первый взгляд кажется, что можно объединить ранее известные величины напряжений и токов соответствующих частот, например, через оператор поворота. Но такая операция будет возможна лишь при равенстве соответствующих фазных и линейных напряжений и токов между собой по модулю. В этом случае симметричной должна быть вся электроэнергетическая система, что практически невозможно или, по меньшей мере, маловероятно. Список литературы 1. Большанин Г. А. Распределение электрической энергии пониженного качества по участкам электроэнергетической системы // Труды Братского государственного университета: Сер. Естественные и инженерные науки – развитию регионов Сибири. Братск: БрГУ, 2006. – Т. 2. – С. 129–140. Получено 4 апреля 2007 года.

УДК 621.315.1.001.63 Г. А. Большанин, Л. Ю. Большанина, С. И. Харин (БрГУ) ОПТИМИЗАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ СИММЕТРИЧНОГО ОДНОРОДНОГО УЧАСТКА РАЙОННОЙ СЕТИ В УСЛОВИЯХ ПОНИЖЕННОГО КАЧЕСТВА ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ Приведены результаты оптимизации математической модели однородного симметричного участка трехфазной линии электропередач четырехпроводного 110

исполнения в условиях пониженного качества электрической энергии. Отмечено уменьшение громоздкости процедуры оптимизации из-за симметрии анализируемого участка ЛЭП.

Районные электрические сети, как правило, представляют собой трехфазные четырехпроводные линии электропередач (ЛЭП), или линии с изолированной нейтралью. Выделенный участок электроэнергетической системы можно считать симметричным, если продольные и поперечные параметры каждого линейного провода на частоте каждой гармонической составляющей напряжения и тока равны между собой по величине и по характеру. То есть должны соблюдаться равенства R0 An = R0 Bn = R0Cn ; L0 An = L0 Bn = L0Cn ; C0 An = C0 Bn = C0Cn ; G0 ABn = G0 BCn = G0CAn ; M 0 ABn = M 0 BCn = M 0CAn ;

C0 ABn = C0 BCn = C0CAn ; G0 ANn = G0 BNn = G0CNn ; M 0 ANn = M 0 BNn = M 0CNn ; C0 ANn = C0 BNn = C0CNn ;

G0 A0n = G0 B 0n = G0C 0n ; C0 A0n = C0 B 0n = C0C 0n . В реальных линиях электропередач, даже если они и считаются симметричного исполнения, продольные и поперечные параметры фазных и нейтрального проводов могут оказаться неодинаковыми. Эти равенства можно представить и в ином виде: Y 0 A0n = Y 0 B 0n = Y 0C 0n = Y 0ф0n ; Y 0 ABn = Y 0 BCn = Y 0CAn = Y 0 лn ; Z 0 An = Z 0 Bn = Z 0Cn = Z 0фn ; Z 0 ABn = Z 0 BCn = Z 0CAn = Z 0мn ; Y 0 ANn = Y 0 BNn = Y 0CNn = Y 0фNn ; Z 0 ANn = Z 0 BNn = Z 0CNn = Z 0фNn .

Постоянные распространения электромагнитной энергии по проводам ЛЭП следует определять из характеристического уравнения однородного участка районной электрической цепи на частоте каждой гармонической составляющей напряжения и тока x 8 + ax 6 + bx 4 + cx 2 + d = 0 ,

где a, b, c и d – коэффициенты, учитывающие первичные параметры однородного участка анализируемой ЛЭП на частоте n -й гармонической составляющей напряжения и тока. При этом собственные волновые сопротивления фазных проводов для каждой разновидности электромагнитных волн оказываются одинаковыми: 111

Z cA1n = Z cB1n = Z cC1n = Z c1n ; Z cA2n = Z cB 2n = Z cC 2n = Z c 2n ; Z cA3n = Z cB3n = Z cC 3n = Z c3n ; Z cA4n = Z cB 4n = Z cC 4n = Z c 4n . О взаимных волновых сопротивлениях симметричного участка ЛЭП здесь не может быть и речи, поскольку эти величины имеют скольконибудь заметные значения лишь при разновеликих электромагнитных связях между проводами. В таком случае при условии известности напряжений и токов на частоте n-й гармонической составляющей в начале рассматриваемого участка основные характеристики электрической энергии на расстоянии l от его начала следует определять так: U& = U& chg l - I& Z shg l + U& chg l - I& Z shg l + An

1 An

1n

1 An

c1n

1n

1 An

2n

1 An

c 2n

2n

+ U&1 An chg 3n l - I&1An Z c3n shg 3n l + U&1 An chg 4n l - I&1 An Z c 4n shg 4n l ; U& Bn = U&1Bn chg1n l - I&1Bn Z c1n shg1n l + U&1Bn chg 2n l - I&1Bn Z c 2n shg 2n l + + U&1Bn chg 3n l - I&1Bn Z c3n shg 3n l + U&1Bn chg 4n l - I&1Bn Z c 4n shg 4n l ; U& Cn = U&1Cn chg1n l - I&1Cn Z c1n shg1n l + U&1Cn chg 2n l - I&1Cn Z c 2n shg 2n l + + U&1Cn chg 3n l - I&1Cn Z c3n shg 3n l + U&1Cn chg 4n l - I&1Cn Z c 4n shg 4n l ; U& Nn = U&1Nn chg1n l + I&1Nn Z cN 1n shg1nl + U&1Nn chg 2n l + I&1Nn Z cN 2n shg 2n l +

+ (U&1Cn - U&1 An ) chg 2n l - (I&1Cn - I&1An )Z c 2n shg 2n l + + (U&1Cn - U&1 An ) chg 3n l - (I&1Cn - I&1 An )Z c3n shg 3n l + + (U&1Cn - U&1 An ) chg 4n l - (I&1Cn - I&1 An )Z c 4n shg 4n l ;

U& ANn = (U&1An - U&1Nn ) chg1n l - (I&1An Z c1n + I&1Nn Z cN 1n ) shg1n l + + (U&1 An - U&1Nn ) chg 2n l - (I&1An Z c 2n + I&1Nn Z cN 2n ) shg 2n l +

+ (U&1 An - U&1Nn )chg 3n l - (I&1 An Z c3n + I&1Nn Z cN 3n ) shg 3n l +

+ (U&1 An - U&1Nn ) chg 4n l - (I&1 An Z c 4n + I&1Nn Z cN 4n ) shg 4n l ;

U& BNn = (U&1Bn - U&1Nn ) chg1n l - (I&1Bn Z c1n + I&1Nn Z cN 1n ) sh g1n l + + (U&1Bn - U&1Nn ) chg 2n l - (I&1Bn Z c 2n + I&1Nn Z cN 2n ) shg 2n l +

+ (U&1Bn - U&1Nn ) chg 3n l - (I&1Bn Z c3n + I&1Nn Z cN 3n ) shg 3n l + + (U&1Bn - U&1Nn ) chg 4n l - (I&1Bn Z c 4n + I&1Nn Z cN 4n ) shg 4n l ;

U& CNn = (U&1Cn - U&1Nn ) chg1n l - (I&1Cn Z c1n + I&1Nn Z cN 1n ) shg1n l + + (U&1Cn - U&1Nn ) chg 2n l - (I&1Cn Z c 2n + I&1Nn Z cN 2n ) shg 2n l + + (U&1Cn - U&1Nn ) chg 3n l - (I&1Cn Z c3n + I&1Nn Z cN 3n ) shg 3n l +

+ U&1Nn chg 3n l + I&1Nn Z cN 3n shg 3n l + U&1Nn chg 4n l + I&1Nn Z cN 4n shg 4n l ;

+ (U&1Cn - U&1Nn ) chg 4n l - (I&1Cn Z c 4n + I&1Nn Z cN 4n ) shg 4n l ;

+ (U&1 An - U&1Bn ) chg 2n l - (I&1An - I&1Bn )Z c 2n shg 2n l +

U& U& I&An = I&1An chg1n l - 1An shg1n l + I&1 An chg 2n l - 1An shg 2n l + Z c1n Z c 2n

+ (U&1 An - U&1Bn )chg 4n l - (I&1An - I&1Bn )Z c 4n shg 4n l ;

U& U& + I&1 An chg 3n l - 1 An shg 3n l + I&1 An chg 4n l - 1 An shg 4n l ; Z c3n Z c 4n

U& ABn = (U&1 An - U&1Bn ) chg1n l - (I&1 An - I&1Bn )Z c1n shg1n l + + (U&1 An - U&1Bn ) chg 3n l - (I&1 An - I&1Bn )Z c3n shg 3n l +

U& BCn = (U&1Bn - U&1Cn ) chg1n l - (I&1Bn - I&1Cn )Z c1n shg1n l +

U& U& I&Bn = I&1Bn chg1n l - 1Bn shg1n l + I&1Bn chg 2n l - 1Bn shg 2n l + Z c1n Z c 2n

+ (U&1Bn - U&1Cn ) ch g 3n l - (I&1Bn - I&1Cn )Z c3n shg 3n l +

U& U& + I&1Bn chg 3nl - 1Bn shg 3nl + I&1Bn chg 4n l - 1Bn shg 4n l ; Z c 4n Z c3n

+ (U&1Bn - U&1Cn ) chg 2n l - (I&1Bn - I&1Cn )Z c 2n shg 2n l + + (U&1Bn - U&1Cn ) chg 4n l - (I&1Bn - I&1Cn )Z c 4n shg 4n l ;

U& CAn = (U&1Cn - U&1 An ) chg1n l - (I&1Cn - I&1An )Z c1n shg1n l + 112

113

U& U& I&Cn = I&1Cn chg1n l - 1Cn shg1n l + I&1Cn chg 2n l - 1Cn shg 2n l + Z c1n Z c 2n

U& ABn = (U& 2 An - U& 2 Bn ) chg1n y + (I&2 An - I&2 Bn )Z c1n shg1n y +

U& U& + I&1Cn chg 3n l - 1Cn shg 3n l + I&1Cn chg 4n l - 1Cn shg 4n l ; Z c3n Z c 4n

+ (U& 2 An - U& 2 Bn ) chg 3n y + (I&2 An - I&2 Bn )Z c3n shg 3n y +

I&Nn

U& U& = I&1Nn chg1nl + 1Nn shg1nl + I&1Nn chg 2n l + 1Nn sh g 2n l + Z cN 1n Z cN 2n

U& U& + I&1Nn ch g 3n l + 1Nn sh g 3n l + I&1Nn chg 4n l + 1Nn shg 4n l , Z cN 3n Z cN 4n ения на где U&1 An , U&1Bn , U&1Cn , U&1Nn и I&1 An , I&1Bn , I&1Cn , I&1Nn – изображения комплексной плоскости фазных напряжений и линейных токов, а также напряжения и тока в нейтральном проводе на частоте n -й гармонической составляющей в начале выделенного участка ЛЭП; g1n , g 2n , g 3n и g 4n – постоянные распространения волн электромагнитного поля по проводам ЛЭП. Если известны напряжение и токи на частоте n-й гармонической составляющей в конце рассматриваемого симметричного участка ЭЭС, то основные характеристики электрической энергии на этой же частоте на расстоянии y от конца анализируемого участка определяют следующим образом:

+ (U& 2 An - U& 2 Bn ) chg 2n l + (I&2 An - I&2 Bn )Z c 2n shg 2n y + + (U& 2 An - U& 2 Bn ) ch g 4n l + (I&2 An - I&2 Bn )Z c 4n shg 4n y ; U& BCn = (U& 2 Bn - U& 2Cn ) chg1n y + (I&2 Bn - I&2Cn )Z c1n shg1n y + + (U& 2 Bn - U& 2Cn ) chg 2n y + (I&2 Bn - I&2Cn )Z c 2n shg 2n y + + (U& 2 Bn - U& 2Cn ) chg 3n y + (I&2 Bn - I&2Cn )Z c3n shg 3n y + + (U& 2 Bn - U& 2Cn ) chg 4n l + (I&2 Bn - I&2Cn )Z c 4n shg 4n y ; U& CAn = (U& 2Cn - U& 2 An ) chg1n y + (I&2Cn - I&2 An )Z c1n shg1n y + + (U& 2Cn - U& 2 An ) chg 2n y + (I&2Cn - I&2 An )Z c 2n shg 2n y + + (U& 2Cn - U& 2 An ) chg 3n y + (I&2Cn - I&2 An )Z c3n shg 3n y + + (U& 2Cn - U& 2 An ) chg 4n y + (I&2Cn - I&2 An )Z c 4n shg 4n y ; U& ANn = (U& 2 An - U& 2 Nn ) ch g1n y + (I&2 An Z c1n + I&2 Nn Z cN 1n ) shg1n y + + (U& 2 An - U& 2 Nn ) chg 2n y + (I&2 An Z c 2n + I&2 Nn Z cN 2n ) shg 2n y +

U& An = U& 2 An chg1n y + I&2 An Z c1n shg1n y + U& 2 An chg 2n y + I&2 An Z c 2n shg 2n y +

+ (U& 2 An - U& 2 Nn ) chg 3n y + (I&2 An Z c3n + I&2 Nn Z cN 3n ) sh g 3n y +

+ U& 2 An chg 3n y + I&2 An Z c3n shg 3n y + U& 2 An chg 4n l + I&2 An Z c 4n shg 4n y ;

+ (U& 2 An - U& 2 Nn ) chg 4n y + (I&2 An Z c 4n + I&2 Nn Z cN 4n ) shg 4n y ;

U& Bn = U& 2 Bn chg1n y + I&2 Bn Z c1n shg1n y + U& 2 Bn ch g 2n l + I&2 Bn Z c 2n shg 2n y +

U& BNn = (U& 2 Bn - U& 2 Nn ) chg1n y + (I&2 Bn Z c1n + I&2 Nn Z cN 1n ) shg1n y +

+ U& 2 Bn chg 3n y + I&2 Bn Z c3n shg 3n y + U& 2 Bn chg 4n l + I&2 Bn Z c 4n shg 4n y ;

+ (U& 2 Bn - U& 2 Nn ) chg 2n y + (I&2 Bn Z c 2n + I&2 Nn Z cN 2n ) shg 2n y +

U& Cn = U& 2Cn chg1n y + I&2Cn Z c1n shg1n y + U& 2Cn chg 2n l + I&2Cn Z c 2n shg 2n y +

+ (U& 2 Bn - U& 2 Nn ) ch g 3n y + (I&2 Bn Z c3n + I&2 Nn Z cN 3n ) shg 3n y +

+ U& 2Cn chg 3n y + I&2Cn Z c3n shg 3n y + U& 2Cn chg 4n l + I&2Cn Z c 4n shg 4n y ;

+ (U& 2 Bn - U& 2 Nn ) chg 4n y + (I&2 Bn Z c 4n + I&2 Nn Z cN 4n ) shg 4n y ;

U& Nn = U& 2 Nn chg1n y - I&2 Nn Z cN 1n shg1n y U +& 2 Nn chg 2n y - I&2 Nn Z cN 2n shg 2n y +

U& CNn = (U& 2Cn - U& 2 Nn ) chg1n y + (I&2Cn Z c1n + I&2 Nn Z cN 1n ) sh g1n y +

+ U& 2 Nn chg 3n y - I&2 Nn Z cN 3n shg 3n y + U& 2 Nn chg 4n y - I&2 Nn Z cN 4n shg 4n y ;

+ (U& 2Cn - U& 2 Nn ) chg 2n y + (I&2Cn Z c 2n + I&2 Nn Z cN 2n ) shg 2n y +

114

115

+ (U& 2Cn - U& 2 Nn ) chg 3n y + (I&2Cn Z c3n + I&2 Nn Z cN 3n ) shg 3n y + + (U& 2Cn - U& 2 Nn ) chg 4n y + (I&2Cn Z c 4n + I&2 Nn Z cN 4n ) shg 4n y ; U& U& I&An = I&2 An chg1n y + 2 An shg1n y + I&2 An chg 2n y + 2 An shg 2n y + Z c1n Z c 2n U& U& + I&2 An chg 3n y + 2 An shg 3n y + I&2 An chg 4n y + 2 An shg 4n y ; Z c3n Z c 4n U& U& I&Bn = I&2 Bn chg1n y + 2 Bn shg1n y + I&2 Bn chg 2n y + 2 Bn shg 2n y + Z c1n Z c 2n U& U& + I&2 Bn chg 3n y + 2 Bn shg 3n y + I&2 Bn chg 4n y + 2 Bn shg 4n y ; Z c3n Z c 4n I&Cn

U& U& = I&2Cn chg1n y + 2Cn sh g1n y + I&2Cn chg 2n y + 2Cn shg 2n y + Z c1n Z c 2n

U& U& + I&2Cn chg 3n y + 2Cn shg 3n y + I&2Cn ch g 4n y + 2Cn shg 4n y ; Z c3n Z c 4n U& U& I&Nn = I&2 Nn chg1n y - 2 Nn shg1n y + I&2 Nn ch g 2n y - 2 Nn shg 2n y + Z cN1n Z cN 2n + I&2 Nn chg 3n y -

U& 2 Nn U& shg 3n y + I&2 Nn chg 4n y - 2 Nn shg 4n y , Z cN 3n Z cN 4n

где U& 2 An , U& 2 Bn , U& 2Cn , U& 2 Nn и I&2 An , I&2 Bn , I&2Cn , I&2 Nn – изображения ения на комплексной плоскости фазных напряжений и линейных токов, а также напряжения и тока в нейтральном проводе на частоте v-й гармонической составляющей в конце выделенного участка ЛЭП. Таким образом, получается, что факт симметрии выделенного участка ЛЭП достаточно существенно снижает громоздкость процедуры прогнозирования распространения электромагнитных волн. Получено 3 апреля 2007 года.

116

Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ. СПб., 2007 УДК 621.315.1.001.63 Г. А. Большанин, Л. Ю. Большанина, Т. Г. Коробова, С. И. Харин (БрГУ) ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ОДНОРОДНОГО УЧАСТКА ТРЕХФАЗНОЙ ТРЕХПРОВОДНОЙ ЛЭП В УСЛОВИЯХ ПОНИЖЕННОГО КАЧЕСТВА ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ Представлено характеристическое уравнение однородного участка трехфазной трехпроводной электрической цепи в условиях пониженного качества электрической энергии. Предложен вариант его решения.

Трехфазная трехпроводная линия электропередач (ЛЭП) предназначена для транспортировки электрической энергии напряжением менее 1000 В и более 35 кВ. Иначе ее называют линией с глухозаземленной нейтралью. Электрическая энергия пониженного качества отличается заметными уровнями несинусоидальности, несимметрии, отклонения и колебания напряжений и токов. ЛЭП, предназначенная для транспортировки такой энергии, при анализе ее функционирования должна быть представлена линией с распределенными параметрами в полнофазном варианте. В теории электротехники имеется аппарат анализа распределения гармонически изменяющихся токов и напряжений по однородному участку ЛЭП [1], поэтому перед выполнением подобного анализа распределения электрической энергии пониженного качества по реальной ЛЭП последнюю необходимо разделить на хотя бы относительно однородные участки и выполнить спектральный анализ известных напряжений и токов [2]. Анализ следует выполнять для каждого однородного участка ЛЭП на частоте каждой гармонической составляющей спектральных составов основных характеристик электрической энергии. Математическая модель однородного участка трехфазной трехпроводной ЛЭП на частоте n -й гармонической составляющей напряжения и тока представляет собой совокупность девяти интегро-дифференциальных уравнений [3]. В результате совместного решения этих уравне117

ний можно получить характеристическое уравнение однородного участка трехфазной трехпроводной ЛЭП в условиях пониженного качества электрической энергии. Оно представляет собой уравнение шестого порядка (1) x 6 + ax 4 + bx 2 + c = 0 , где

a = 3 - Z 0 An (Y 0 A0n + Y 0 ABn + Y 0CAn ) -

- Z 0 Bn (Y 0 B 0n + Y 0 BCn + Y 0 ABn ) - Z 0Cn (Y 0C 0n + Y 0CAn + Y 0 BCn ) + + Z 0 ABn (2Y 0 ABn + Y 0CAn ) + 2 Z 0 BCn Y 0 BCn + Z 0CAn Y 0CAn ; b = 3 - 2 Z 0 An (Y 0 A0n + Y 0 ABn + Y 0CAn ) -

- 2Z 0 Bn (Y 0 B 0n + Y 0 BCn + Y 0 ABn ) - 2Z 0Cn (Y 0C 0n + Y 0CAn + Y 0 BCn ) + + 2 Z 0 ABn (2Y 0 ABn + Y 0CAn ) + 4 Z 0 BCn Y 0 BCn + 2 Z 0CAn Y 0CAn +

+ [Z 0 An (Y 0 A0n + Y 0 ABn + Y 0CAn ) - Z 0 ABn Y 0 ABn - Z 0CAn Y 0CAn ] [Z 0 Bn (Y 0 B 0n + Y 0 BCn + Y 0 ABn ) - Z 0 ABn Y 0 ABn - Z 0 BCn Y 0 BCn ] +

+ [Z 0 An (Y 0 A0n + Y 0 ABn + Y 0CAn ) - Z 0 ABn Y 0 ABn - Z 0CAn Y 0CAn ] [Z 0Сn (Y 0С 0n + Y 0CAn + Y 0 BCn ) -

- Z 0 ABn Y 0CAn - Z 0 BCn Y 0 BCn ] +

+ [Z 0 Bn (Y 0 B 0n + Y 0 BCn + Y 0 ABn ) - Z 0 ABn Y 0 ABn - Z 0 BCn Y 0 BCn ] [Z 0Сn (Y 0С 0n + Y 0CAn + Y 0 BCn ) -

- Z 0 ABn Y 0CAn - Z 0 BCn Y 0 BCn ] - [Z 0 An Y 0 ABn + Z 0CAn Y 0 BCn -

- Z 0 ABn (Y 0 B 0n + Y 0 BCn + Y 0 ABn )][Z 0 Bn Y 0 ABn + Z 0 BCn Y 0CAn -

- Z 0 ABn (Y 0 A0n + Y 0 ABn + Y 0CAn )] - [Z 0 Bn Y 0 BCn + Z 0 ABn Y 0CAn - Z 0 BCn (Y 0C 0n + Y 0CAn + Y 0 BCn )][Z 0Cn Y 0 BCn + Z 0 ABn Y 0 ABn -

- Z 0 BCn (Y 0 B 0n + Y 0 BCn + Y 0 ABn )] - [Z 0 An Y 0СAn + Z 0 ABn Y 0 BCn -

- Z 0CAn (Y 0C 0n + Y 0CAn + Y 0 BCn )][Z 0Cn Y 0CAn + Z 0 BCn Y 0 ABn - Z 0 ABn (Y 0 A0n + Y 0 ABn + Y 0CAn )];

c = 1 - 2Z 0 An (Y 0 A0n + Y 0 ABn + Y 0CAn ) -

+ Z 0 ABn (2Y 0 ABn + Y 0CAn ) + Z 0 BCn Y 0 BCn + Z 0CAn Y 0CAn + + [Z 0 An (Y 0 A0n + Y 0 ABn + Y 0CAn ) - Z 0 ABn Y 0 ABn - Z 0CAn Y 0CAn ] [Z 0 Bn (Y 0 B 0n + Y 0 BCn + Y 0 ABn ) - Z 0 ABn Y 0 ABn - Z 0 BCn Y 0 BCn ] +

+ [Z 0 An (Y 0 A0n + Y 0 ABn + Y 0CAn ) - Z 0 ABn Y 0 ABn - Z 0CAn Y 0CAn ] [Z 0Сn (Y 0С 0n + Y 0CAn + Y 0 BCn ) - Z 0 ABn Y 0CAn - Z 0 BCn Y 0 BCn ] +

+ [Z 0 Bn (Y 0 B 0n + Y 0 BCn + Y 0 ABn ) - Z 0 ABn Y 0 ABn - Z 0 BCn Y 0 BCn ] [Z 0Сn (Y 0С 0n + Y 0CAn + Y 0 BCn ) -

- Z 0 ABn Y 0CAn - Z 0 BCn Y 0 BCn ] - [Z 0 An Y 0 ABn + Z 0CAn Y 0 BCn -

- Z 0 ABn (Y 0 B 0n + Y 0 BCn + Y 0 ABn )][Z 0 Bn Y 0 ABn + Z 0 BCn Y 0CAn -

- Z 0 ABn (Y 0 A0n + Y 0 ABn + Y 0CAn )] - [Z 0 Bn Y 0 BCn + Z 0 ABn Y 0CAn - Z 0 BCn (Y 0C 0n + Y 0CAn + Y 0 BCn )][Z 0Cn Y 0 BCn + Z 0 ABn Y 0 ABn -

- Z 0 BCn (Y 0 B 0n + Y 0 BCn + Y 0 ABn )] - [Z 0 An Y 0СAn + Z 0 ABn Y 0 BCn - Z 0CAn (Y 0C 0n + Y 0CAn + Y 0 BCn )][Z 0Cn Y 0CAn + Z 0 BCn Y 0 ABn -

- Z 0 ABn (Y 0 A0n + Y 0 ABn + Y 0CAn )] - [Z 0 An (Y 0 A0n + Y 0 ABn + Y 0CAn ) - Z 0 ABn Y 0 ABn - Z 0CAn Y 0CAn ] [Z 0 Bn (Y 0 B 0n + Y 0 BCn + Y 0 ABn ) -

- Z 0 ABn Y 0 ABn - Z 0 BCn Y 0 BCn ] [Z 0Cn (Y 0C 0n + Y 0CAn + Y 0 BCn ) -

- Z 0 ABn Y 0CAn - Z 0 BCn Y 0 BCn ] + [Z 0 An (Y 0 A0n + Y 0 ABn + Y 0CAn ) - Z 0 ABn Y 0 ABn - Z 0CAn Y 0CAn ][Z 0 Bn Y 0 BСn + Z 0 ABn Y 0СAn -

- Z 0 BСn (Y 0С 0n + Y 0CAn + Y 0 BCn )][Z 0Cn Y 0 BCn + Z 0 ABn Y 0 ABn -

- Z 0 BCn (Y 0 B 0n + Y 0 BCn + Y 0 ABn )] + [Z 0Cn (Y 0C 0n + Y 0CAn + Y 0 BCn ) - Z 0 ABn Y 0CAn - Z 0 BCn Y 0 BCn ][Z 0 An Y 0 ABn + Z 0CAn Y 0 BСn -

- Z 0 ABn (Y 0 B 0n + Y 0 BCn + Y 0 ABn )][Z 0 Bn Y 0 ABn + Z 0 BCn Y 0CAn -

- Z 0 ABn (Y 0 A0n + Y 0 ABn + Y 0CAn )] + [Z 0 Bn (Y 0 B 0n + Y 0 BCn + Y 0 ABn ) - Z 0 ABn Y 0 ABn - Z 0CAn Y 0CAn ][Z 0 An Y 0СAn + Z 0 ABn Y 0 BСn -

- Z 0 Bn (Y 0 B 0n + Y 0 BCn + Y 0 ABn ) - Z 0Cn (Y 0C 0n + Y 0CAn + Y 0 BCn ) +

- Z 0СAn (Y 0С 0n + Y 0CAn + Y 0 BCn )][Z 0Cn Y 0CAn + Z 0 BCn Y 0 ABn -

118

119

- Z 0 ABn (Y 0 A0n + Y 0 ABn + Y 0CAn )] - [Z 0 An Y 0 ABn + Z 0CAn Y 0 BCn -

p3 q 2 + . (6) 27 4 С учетом равенств (5) и (6) дискриминант уравнения (4) определится D=

- Z 0 ABn (Y 0 B 0n + Y 0 BCn + Y 0 ABn )][Z 0 Bn Y 0 BСn + Z 0 ABn Y 0СAn - Z 0 BСn (Y 0С 0n + Y 0CAn + Y 0 BCn )][Z 0Cn Y 0CAn + Z 0 BCn Y 0 ABn -

так:

- Z 0 ABn (Y 0 A0n + Y 0 ABn + Y 0CAn )] - [Z 0 An Y 0СAn + Z 0 ABn Y 0 BCn -

- Z 0CAn (Y 0C 0n + Y 0CAn + Y 0 BCn )][Z 0 Bn Y 0 ABn + Z 0 BCn Y 0 BСn - Z 0 ABn (Y 0 A0n + Y 0 ABn + Y 0CAn )][Z 0Cn Y 0 BCn + Z 0 ABn Y 0 ABn - Z 0 BCn (Y 0 B 0n + Y 0 BCn + Y 0 ABn )];

Z 0 An , Z 0 Bn , Z 0Cn , Z 0 ABn , Z 0 BCn , Z 0CAn , Y 0 A0n , Y 0B 0n , Y 0C 0n , Y 0 ABn , Y 0 BCn и Y 0CAn – изображения на комплексной плоскости первичных параметров однородного участка анализируемой ЛЭП на частоте n -й гармонической составляющей напряжения и тока. Шестая степень характеристического уравнения (1) трехфазной трехпроводной ЛЭП свидетельствует о том, что в каждом линейном проводе присутствует шесть волн электромагнитного поля: три падающих и три отраженных. Постоянные распределения этих волн определятся в результате решения этого уравнения. Для решения характеристического уравнения (1) следует принять, что x 2 = l . Тогда оно предстанет в виде (2) l3 + al2 + bl + c = 0 . Чтобы решить уравнение (2), есть смысл применить формулу Кардано. Для этого нужно выполнить замену неизвестного

a y =l+ . 3 Тогда уравнение (2) перепишется иначе: y 3 + py + q = 0 ,

где

p=

3b - a 2 ; 3

где

q -1 ± j 3 q + D ; u = 3 - - D ; x1, 2 = . 2 2 2 В этом случае корни уравнения (3) получаются такими: u=3 -

l1 = y1 l 2 = y2 -

(3) (4)

a 3 a 3 c ab a 3 c ab a = - - + + D -3 - - + - D- ; 3 27 2 6 27 2 6 3

a 1 é 3 a 3 c ab a 3 c ab 2a = ê- - - + + D -3 - - + - D+ 3 2 êë 27 2 6 27 2 6 3

æ öù a 3 c ab a 3 c ab + j 3ç 3 - - + + D -3 - - + - D ÷ú ; ç ÷ú 27 2 6 27 2 6 øû è l 3 = y3 -

2a 3 ab q= - + c. (5) 27 3 Дискриминант полученного уравнения можно определить из равенства 120

2a 4b + 16a 3c + 19a 2b 2 + 36b3 + 243c 2 . 972 Согласно рекомендациям математической теории корни уравнения (3) следует определять так: y1 = u + u ; y2 = x1u + x 2 u ; y3 = x 2u + x1u , D=

a 1 é 3 a 3 c ab a 3 c ab 2a = ê- - - + + D -3 - - + - D3 2 êë 27 2 6 27 2 6 3

öù æ a 3 c ab a 3 c ab - j 3ç 3 - - + + D -3 - - + - D ÷ú . ÷ú ç 27 2 6 27 2 6 è øû Корни характеристического уравнения (1) можно определить по формулам x1,2

æ a 3 c ab a 3 c ab aö = ± l1 = ±ç 3 - - + + D +3 - - + - D- ÷ ç 27 2 6 27 2 6 3 ÷ø è 121

1

2

;

x3,4 = ± l 2 = ±

2a 1 é 3 a 3 c ab a 3 c ab ê- - - + + D - 3 - - + - D - + 27 2 6 27 2 6 3 2 êë

æ öù a 3 c ab a 3 c ab + j 3ç 3 - - + + D -3 - - + - D ÷ú ç ÷ú 27 2 6 27 2 6 è øû

x5,6

1

2

;

1 é 3 a 3 c ab 2a a 3 c ab 3 = ± l3 = ± + + - + - D- D ê 27 2 6 27 2 6 3 2 êë 1

æ öù 2 a 3 c ab a 3 c ab - j 3ç 3 - + + D -3 - - + - D ÷ú . ç ÷ú 27 2 6 27 2 6 è øû Величины постоянных распределения каждой пары волн электромагнитного поля определятся следующим образом: g1n = x1, 2 ; g 2n = x3, 4

и g 3n = x5,6 . Получается, что постоянные распределения g1n , g 2n и g 3n сдвинуты в пространстве на угол p 3 , что подтверждает трехфазный характер распределения электрической энергии. Таким образом, анализ характеристического уравнения однородного участка трехфазной трехпроводной ЛЭП позволяет оценить физическую сущность электромагнитных процессов, происходящих в конструктивных элементах линии электропередач. Список литературы 1. Большанин Г. А. Способ прогнозирования гармонических составляющих электрической энергии по неразветвленным участкам электроэнергетической системы: Патент 2210154, Россия, МКИ 7 Н 02 J 3/01/ – № 2001106402. Заявл. 06.03.01; опубл. 10.08.03. 2. Большанин Г. А. Способ количественной оценки субгармонический и дробных высших гармонических периодически изменяемых величин: Патент № 2122186, Россия, МКИ 6 G 01 J 3/28 / Г. А. Большанин, И. Н. Охлопков, С. В. Видерников, Е. А. Безносов, А. В. Манахов, С. А. Зимарев, М. А. Алферов. – Братский индустриальный институт. № 96112228/25, заявл. 14.06.96, опубл. 20.11.98. 122

Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ. СПб., 2007 3. Большанин Г. А. Распределение электрической энергии пониженного качества по участкам электроэнергетической системы. // Труды Братского государственного университета: Сер. Естественные и инженерные науки – развитию регионов Сибири. Т. 2. – Братск: БрГУ, 2006. – С. 129–140. Получено 4 апреля 2007 года.

УДК 518.924 Н. Г. Петров (СПбГПУ) ОЦЕНКА НОРМЫ ОБРАТНОГО ОПЕРАТОРА ПРИ УСЛОВИИ -1 СУЩЕСТВОВАНИЯ ОПЕРАТОРА (I - Pn HH) Получена двусторонняя оценка нормы оператора, обратного оператору I – H, при использовании перекрестного оператора Pn.

Теорема. Пусть H – линейный ограниченный оператор, отображающий банахово пространство U в банахово пространство U, и пусть при некотором натуральном значении n выполнены следующие условия: 1. Существует линейный ограниченный оператор ( I - Pn HH ) -1. -1 2. ( I - Pn HH ) £ C1 . -1 3. ( I - Pn HH ) ( Pn HH - H ) £ C2 < 1.

Тогда оператор I – H обратим и имеет место следующая оценка: K1I С1 £ ( I - H ) -1 £ = K1 . 1 + ( I - H ) K1I - I 1 - С2 Доказательство. Оператор I – H представим в следующем виде: I - H = I - Pn HH + Pn HH - H . Тогда, используя условие 1, получаем (1) I - H = ( I - Pn HH ) + [ I + ( I - Pn HH ) -1 ( Pn HH - H )] . Рассмотрим соотношение (1). При учете условия 3 по теореме Банаха получаем, что оператор I + ( I - Pn HH ) -1 ( Pn HH - H ) обратим и имеет место оценка 123

1 . (2) 1 - C2 Оператор I - Pn HH обратим согласно условию 1. Тогда по теореме об оценке нормы оператора, являющегося произведением двух обратимых операторов [1], получаем при учете условия 2 и соотношения (2) С1 ( I - H ) -1 £ = K1 . 1 - С2 [ I + ( I - Pn HH ) -1 ( Pn HH - H )]-1 £

Оценим слева ( I - H ) -1 . Так как разность норм двух операторов не превосходит нормы их разности, то получаем K1I - ( I - H ) -1 £ K1I - ( I - H ) -1 .

(3)

Оператор K1I - ( I - H ) -1 представим в виде K1I - ( I - H ) -1 = ( I - H ) -1 ( I - H ) K1I - ( I - H ) -1 = = ( I - H ) -1[( I - H ) K1I - I . Так как норма произведения двух операторов не превосходит произведения их норм, то получаем K1I - ( I - H ) -1 £ ( I - H ) -1 × ( I - H ) K1I - I .

(4)

Подставим соотношение (4) в соотношение (3). Получим K1I - ( I - H ) -1 £ ( I - H ) -1 × ( I - H ) K1I - I . Отсюда ( I - H ) -1 £

K1I . 1 + ( I - H ) K1I - I

Список литературы 1. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика. – М.: Мир, 1969. – 447 с. Получено 4 апреля 2007 года. 124

Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ. СПб., 2007 УДК 681.325 Е. Ю. Дулепова, Е. В. Кравченко (БрГУ) ИССЛЕДОВАНИЕ СХЕМ С ПАМЯТЬЮ МЕТОДОМ ЭМУЛЯЦИИ Исследование схем с памятью методом эмуляции предполагает учет тактов и моментов дискретного времени при моделировании функционирования запоминающих элементов исследуемой схемы. Далее будет рассмотрена процедура исследования двухступенчатых JK-триггеров с инверсной динамической синхронизацией и входами начальной установки.

Функция переходов JK -триггера с учетом состояний входов начальной установки R и S имеет вид Q(t + 1) = R S Q Ú R S = R ( S Q Ú S ) = R (Q Ú S ) . В приведенной формуле на запрещенном наборе R S = 00 состояние Q(t + 1) принято равным (доопределено) единице, на пассивном нааборе R S = 11 функция Q(t + 1) будет определена состоянием информационных входов J , K и состоянием Q(t ) : Q(t + 1) = JQ (t ) Ú K Q (t ) . Программа эмуляции (рис. 1) отображает таблицу переходов, условное изображение триггера, принципиальную схему и временную диаграмму функционирования триггера. Связь реального времени T с моментами - C и тактами t , t + 1, ... дискретного времени показана на рис. 2. Программа эмуляции вычисляет и отображает состояние всех параметров триггера, определяющих его функционирование: состояние входов и выходов элементов схемы, состояние связей между элементами, значение моментов и тактов дискретного времени. Процедура исследования состоит в выполнении двух этапов. Первый этап: 1) задать в спецстолбце таблицы переходов клавиатурой или с помощью входов R и S начальное состояние триггера Q(t ) = Q ; 2) отобразить состояние Q в четырех из восьми наборов KJQ ; 3) установить через время Dt пассивный набор S P = 11; 4) задать в таблице переходов с помощью K и J набор KJQ . 125

Рис. 1. Схема эксперимента

Рис. 2. Такты t и t + 1 и моменты + С = 1 и - С = 1 дискретного времени

126

Второй этап: 1) задать в таблице переходов через - C = 1 такт t + 1 ; 2) задать (см. рис. 1 и 2) временной диаграммой изменения значений сигнала синхронизации C (Т ) в течение такта t ; 3) вычислить по схеме и записать в таблицу значение Q(t + 1) ; 4) переписать в спецстолбец Q(t + 1) после Q(t ) ; 5) преобразовать через время Dt состояние Q(t + 1) в Q(t ) и задать ть Q(t ) = Q в четырех наборах KJQ таблицы переходов; 6) перейти к пп. 1 первого и второго этапов. После эксперимента в спецстолбце будет записано обозначение изменения состояния памяти триггера – Q(1)Q(2)Q(3)... Значения величин Q, K , J , C и T отображаются в таблице переходов и на временной диаграмме, на условных изображениях элементов И–НЕ и триггера. Задержка времени Dt введена с целью обеспечения автоматического перехода от такта t после задания начального состояния Q(t ) триггера к такту t + 1 (исследованию зависимости Q(t + 1) отт Q(t ), K , J , C ) и перехода затем от такта t + 1 к такту t + 2 , которые в следующем шаге исследовааний будут переобозначены через t и t + 1 соответственно. Достоинством предлагаемой методики исследования является индикация в реальном масштабе времени T состояний таблицы переходов, величин Q, K , J , C , двумерная индикация состояний сложно связанных между собой элементов и соединений схемы как в статике, так и в динамике, а также возможность самостоятельного исследования функционирования простых и сложных схем с обратными связями (схем с памятью) студентами и неспециалистами по цифровой схемотехнике.

127

Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ. СПб., 2007 Список литературы 1. Дулепов Е. Г. Исследование сложных цифровых схем методом эмуляции // Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ: Межвуз. темат. сб. тр. / СПбГАСУ. – СПб., 2005. – Вып. 11. – 224 с. Получено 3 апреля 2007 года.

УДК 539.213.3 В. М. Крылов (СПбГТИ (ТУ)) ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЦЕССА ПЕРЕНОСА СУБСТАНЦИИ НА ОСНОВЕ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ И ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ В ОБРАЗЦАХ КОНЕЧНЫХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ РАЗМЕРОВ Получены сравнительные аналитические решения для гиперболической и параболической моделей переноса субстанции в образцах конечных геометрических размеров. Приводятся кривые, иллюстрирующие этот процесс переноса.

Известно, что применение закона диффузии Фика при изучении взаимопроникающих движений сплошных сред приводит к парадоксу бесконечно большой скорости массопереноса при диффузии так же, как и применение закона теплопроводности Фурье в процессах теплообмена приводит к парадоксу бесконечно большой скорости распространения тепла. Этот факт требует отказа от таких феноменологических линейных законов с точки зрения не только общетеоретических позиций, но и технологической практики. Примером этому служат, в частности, процессы изменения объема гранул ионообменников в процессах сорбции-десорбции и явления разрушения в таких процессах. При исследовании высокоинтенсивных нестационарных процессов необходимо учитывать, что субстанция распространяется с конечной скоростью v=

J , t* 128

(1)

где J – соответствующий коэффициент переноса; t* – время релаксации процесса. При этом простейшим обобщением линейных градиентных законов переноса Фурье и Фика является соотношение, впервые рассмотренное Максвеллом [1], ¶u ¶j - t* , (2) ¶x ¶t где u – концентрация переносимой субстанции. С учетом (2) уравнения переноса субстанции принимают вид j = -J

¶u ¶ 2u + t* 2 = JÑ 2u, ¶t ¶t

(3)

æ ¶ 2u ¶ 2u 1 ¶u ö ÷ – оператор Лапласа. где Ñ 2u = Jç 2 + 2 + ç ¶x ÷ r ¶ r ¶ r è ø Уравнения вида (3) относятся к гиперболическим уравнениям математической физики и учитывают скорость распространения возмущения. Законы Фика и Фурье, таким образом, являются частным случаем гиперболического уравнения переноса субстанции. Обобщения линейного закона теплопроводности, направленные на исключение бесконечной скорости распространения тепла, известны с середины прошлого века (Vernotte P., Лыков А. В., Чернышов А. Д., Краснюк И. Б., Coleman B., Curtin M. E., Pipkin A. C., Day W. A., Norwood F. R., Nunzioto J. W. [2]). В случае массопереноса использование обобщенного закона Фика, приводящего к гиперболическому уравнению, встречается существенно реже (Ганжа В. Л., Журавский Г. И., Симкин Э. М., Буренин А. А., Селеменев В. Ф., Шаруда В. А. [2]). В настоящее время в литературе [3] решение уравнения (3) приводится для полубесконечного стержня. Применение такого решения для анализа динамики процессов переноса субстанции в образцах конечного размера в значительной мере затруднено и неправомерно. Далее приводятся результаты решения уравнения (3) для образца конечного линейного размера L и радиуса R в декартовой и цилиндрической системах координат c соответствующими граничными условиями. 129

Декартова система координат Ñ 2u = J

¶ 2u 2

¶u ¶x

;

¶u b де b и D – коэффи+ u = 0, где ¶x D x = L

= 0;

¶x x =0 циенты массопередачи и молекулярной диффузии соответственно. Цилиндрическая система координат ¶u ¶u b = 0; + u = 0, ¶x x =0 ¶x D x = L ¶u u r =0 < ¥; = 0. ¶r r = R

Начальные условия задавались следующим образом: u t =0 = 0;

Сравнительный анализ кривых 1 и 2 показывает, что в случае гиперболической модели переноса субстанции начальное возмущение передается с конечной скоростью. На рис. 2 представлены результаты решения уравнения гиперболической модели переноса (3) в цилиндрической системе координат при тех же условиях, что и на рис. 1. При этом радиус исследуемого цилиндра R = 0.02 м. a

0.06

0.1

0.04 0.02

u t =t = c ( x ) или u t =t = c ( x, r ) . k

U

б

U

k

Решение искалось для декартовой системы координат в виде

0

L

5

0

2 × 10 5

t, c

¥

u (t , x ) = å const F1 (t) F2 ( x ) + F0 ( x, t ) , для цилиндрической системы g

в

U

координат в виде ¥

u (t , x, r ) = å m

¥

å const F1 (t) F2 ( x ) F3 (r ) + F0 ( x, t) . g

Результаты решения по уравнениям параболической (кривая 1) и гиперболической (кривая 2 при t* = 3600 c ) модели переноса субстанции представлены на рис. 1. a

б

U

2 0.15

0.1 0.1 2

1 0.05

0

5

0

1 × 10 -3

R, м

Рис. 2. Результаты решения уравнений гиперболического переноса субстанции в цилиндрической системе координат: а – зависимость концентрации субстанции от глубины на оси образца; б – зависимость концентрации субстанции от времени переноса на оси образца; в – зависимость концентрации субстанции от радиуса на глубине 2 × 10-3 м в момент времени t = 20 ч

U

0.15

1

0.1

L

Список литературы

X

0

5 ×10

4

t, c

субстанции от времени на глубине образца x = 0.08 м при тех же условиях

1. Maxwell J. C. Phil. Trans. Roy. Soc. – London. – 1867. – V. 157. P. 253–260. 2. Глухов Е. Д. Некоторые задачи двухконтинуумной гиперболической теории массопереноса несжимаемых среда: Автореф. … канд. физ.мат. наук. – Владивосток, – 2006.

130

131

Рис. 1. Результаты решения в декартовой системе координат:

a – зависимость концентрации субстанции от длины образца при t = tk = 100 ч, L = 0.1 м, D = 10- 4 м 2 / с, u0 = 0, uL = 0.15 ; б – зависимость концентрации

Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ. СПб., 2007 3. Новый справочник химика-технолога / Под редакцией проф. Г. М. Островского. – СПб.: АНОНПО «Профессионал», 2004. – 826 с.

где xj – точки, в которых выполнено неравенство F(xj) > xi ; j = 1,..., Pi , i = 1,…, K. Значения координатных функций вычисляются по формуле Pi

å xlj (F ( x j ) - xi )LS

Получено 7 апреля 2007 года.

УДК 541.12.012.2:539.213 А. Г. Певнева (СПбГТИ (ТУ)) МОДИФИКАЦИИ АЛГОРИТМА ЧИЧИНАДЗЕ Предложен способ адаптации алгоритма глобального поиска Чичинадзе к поиску экстремума поверхности отклика вычислительного эксперимента. Идея отсечения монотонных ячеек имеет родство с идеями методов ветвей и границ. Специфика алгоритма Чичинадзе позволяет вести поиск на множестве, которое не является односвязным. Методика интервальной оценки значения функции адаптирует метод Чичинадзе к поиску экстремума функций, вычисленных со случайной ошибкой орор 043E.

Повышение эффективности алгоритма глобальной оптимизации Чичинадзе напрямую связано с улучшением аппроксимации обобщенных функций y (x) и xl (x ) . Функция y (x) является многомерным интегралом. Пределы интегрирования определяются с помощью функций xl (x ) [2]. Для этого необходимо уделить внимание повышению эффективности метода Монте-Карло. Так как в методе Чичинадзе поиска глобального экстремума ключевым моментом является оценивание многомерных интегралов статистическими методами, то использование расслоенной выборки, что должно существенно повысить эффективность такого алгоритма [1]. Основной модификацией алгоритма является введение обобщенных функций и y (x) и x l (x) . В этом случае средние значения функции ле y(x) в точках xi находятся по формуле Pi

y (x i ) =

å ( F ( x j ) - xi ) j =1

Si 132

,

(1)

xl (xi ) =

j =1 si

;

å(F (x j ) - xi )LS j =1

(2)

ì 1, F ( x j ) ³ xi LS = í î0, F ( x j ) < xi . Уменьшить число статистических испытаний в методе Монте-Карло можно сокращением самого множества оптимизации Х. Поиск глобального экстремума методом Чичинадзе проводится на множестве U, которое может не быть односвязным. Множество U состоит из граничных ячеек и ячеек, подозрительных на экстремум. Пусть Г – какая-либо гиперплоскость, лежащая в замыкании множества Х. Тогда, если Г Ì Хi, то Хi – граничная ячейка. Обозначим G = U X i – множество граничных ячеек. На каждой ячейке строится линейное приближение поверхности отклика. Если оно не является адекватным, на данной ячейке строится приближение полиномом 2-й степени, а ячейка классифицируется как подозрительная на экстремум. Если линейное приближение адекватно, то ячейку назовем монотонной. Аппроксимация поверхности отклика на всем множестве Х имеет вид ìïL (i)( xr) при xrÎX (i) L(x) = í r r r r ïîL(i+1)( x) при xÎX (i) I X (i+1), L (i +1)( x) > L(i)( x) .

(3)

r Эта функция имеет разрывы 1-го рода в точках x Î X (i ) I X (i + 1) . Границы d + , d - доверительного интервала с надежностью g = 0.95 для прогноза Yj =L(xj ) вычисляются по формуле 133

d ± = Y j ± D, r r 1 x j - xср D = t s 1+ + n nDx a

2

,

(4)

где t a – квантиль распределения Стьюдента; s – стандартная ошибкаа

r

регрессии; х ср – среднее значение точек сетки S; Dx – дисперсия точек этой сетки. Пусть для каких-либо двух монотонных соседних ячеек выполнено неравенство r r L(i ) ( x ) - L(i +1) ( x ) ³ R , (5) где

r x Î X (i ) I X (i +1) , а R удовлетворяет условию

(6) R > D i + D i +1. r r Пусть N i – нормаль к Li(x); N i : (а1i, а2i, …, аni). Пусть существует ет такое j, что cos(a ij ) cos(a i +1 j ) < 0, (7)

1. По данным вычислительного эксперимента определяются точки x k , т. е. значения линий уровня. 2. На множестве граничных ячеек G и множестве ячеек, подозрительных на экстремум, организуется расслоенная выборка S, т. е. на каждой ячейке Хi моделируется равномерное распределение Ni раз; в точках этой выборки xl Î S , l = 1,..., Ni вычисляются значения функции регрессии, то есть прогноз L( xl ) =Yl ; определяется доверительный интервал. 3. Для вычисления значения n, т. е. числа точек xl , для которых выполнено неравенство f ( x1 ) > x k , применяется методика интервальных оценок, состоящая в следующем: если в очередной точке xl прогноз Yl лежит близко к x k :

[

]

xk Î d- ; d+ , где d± – границы доверительного интервала прогноза Yl, то считаем

~ Yl = Yl + s .

(8)

s имеет нормальное распределение с параметрами ms = 0, S s

где a ij – направляющий косинус нормали. Глобальная оптимизация поверхности отклика методом Чичинадзе состоит в шагах I–V. I. Проводится предварительный вычислительный эксперимент. Организуется разбиение множества Х на ячейки, при этом выделяются множества граничных и внутренних ячеек. II. На каждой ячейке Хi разбиения N раз моделируется распределение. В полученных N точках проводится вычислительный эксперимент. По данным этого эксперимента строится аппроксимация (3), проводится статистический анализ этой аппроксимации. По его результатам каждая ячейка Хi классифицируется как подозрительная на содержание экстремума или как монотонная. III. Производится сравнение значений аппроксимаций в соседних ячейках по условиям (4), (6). По результатам этого сравнения объединение соседних ячеек может классифицироваться как подозрительное на содержание глобального экстремума. Считаем i = i + 1, повторяем шаги II и IV.

Дальнейшие шаги алгоритма совпадают с шагами алгоритма для аналитической функции в [1]. После определения y* используется релаксационный метод локальной оптимизации для уточнения значения глобального экстремума. Первичное тестирование проводилось на примере кусочно-линейной функции с разрывами 1-го рода, построенной регрессионным мето-

134

135

определяется по эмпирическому правилу 3S s = 2D , где Д вычисляется по формуле (4). IV. По формулам (1) и (2) вычисляются значения функции yi (x) и координатных функций xil (x) на каждой ячейке Xi из множества U. На всем множестве U, очевидно, значения y (x k ) вычисляются по формулам y ( x k ) = å y i ( x k ), i

~ xl (x k ) = å ~ xil (x k ) , i

l = 1,..., n.

дом по экспериментальным данным. Множество оптимизации представляло собой промежуток [1, 4], разбивалось на ячейки в точках разрыва функции отклика. На рисунке представлены данные эксперимента и аппроксимации. x

y 1.099106 1.176241 1.366315 1.787573 1.796398 1.963108 2.07424 2.145666 2.196342 2.325151 2.493005 2.587505 2.896138 3.008693 3.465628 3.490618 3.535484 3.56615 3.572679 3.636381

10.75808 10.76098 11.85306 13.9272 13.43947 14.38346 10.95959 11.21324 11.41777 11.00977 10.76212 10.45014 10.02973 15.31816 16.43635 16.19752 16.27 16.46328 16.4687 15.68643

18 16 y = 4.3852x + 5.8047 R 2 = 0.9844

14

y = 1.4213x + 11.191 R 2 = 0.4464

12

y

10

Ряд2

y = -1.4738x + 14.354 R 2 = 0.8274

8

Ряд3

6

Линейный (y)

4

Линейный (Ряд2)

2

Линейный (Ряд3)

0 0

1

2

3

Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ. СПб., 2007 Список литературы 1. Ермаков С. М., Жиглявский А. А. Математическая теория оптимального эксперимента. – М.: Наука, 1987. – 320 с. 2. Чичинадзе В. К. Решение невыпуклых нелинейных задач оптимизации. – М.: Наука, 1983. – 255 с. 3. Ананченко А. Г., Холоднов В. А., Пунин А. Е. Комплекс программ глобальной оптимизации «Оптимум». Депонировано в ВИНИТИ, № 734 – В2004 от 25.03.04. 4. Ананченко А. Г., Холоднов В. А., Пунин А. Е. Глобальная оптимизация последовательности экстракторов // Изв. вузов. Химия и химическая технология. – 2004. – Т. 47. – Вып. 9. – С. 45–53. Получено 25 апреля 2007 года.

4

УДК 66.048.05.004.6 Результат вычислительного эксперимента в EXCEL

Очевидно, ячейка [1, 2] и ячейка [2, 3] являются монотонными, но для ячейки [3, 4] по величине R2 = 0.4447 можно предположить недостаточную адекватность линейной аппроксимации, поэтому была построена регрессионная функция Y(x) = 82.527 х3 – 826.412 х2 + 2749.6 х – 3054.8, для которой R2 = 0.9388. Эта ячейка классифицируется как подозрительная на экстремум. Вычислительная реализация была выполнена в комплексе «Оптимум», структура и инструментальные средства которого подробно описаны в [3]. Реализация этого метода на ячейке [3, 4] дает следующий результат: x = 3.5264; у = 16.4652, при этом точное значение экстремума x = 3.52774, у = 16.436. Столь точное совпадение объясняется, конечно, простотой исследуемой функции. Применение описанных в статье методик к задаче экономической оптимизации технологических схем ректификации подробно приведено в [4]. Необходимо заметить, что в многомерных задачах важнейшее значение приобретает выбор параметров метода. 136

Д. А. Краснобородько, А. Е. Пунин, В. А. Холоднов, К. Хартманн (СПбГТИ(ТУ)) СИНТЕЗ СИСТЕМ РЕКТИФИКАЦИОННЫХ КОЛОНН С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ Используется эвристический метод синтеза экономически оптимальных систем разделения ректификацией, в основе которого лежат пять эвристических правил, полученных в результате анализа работы промышленных установок. Синтез ректификационных колонн осуществляется с помощью «нечеткого» алгоритма. Работоспособность алгоритма иллюстрируется на примере синтеза схемы разделения предельных углеводородов. Для других разделяемых соединений необходима коррекция коэффициентов, лежащих в основе метода.

Правило 1. При синтезе экономически оптимальной системы разделения выделяйте в виде дистиллята компоненты в последовательности температур кипения, если выполняются нечеткие критерии. Критерий a: сумма мольных долей Xi более тяжелых компонентов в смеси, поступающей на разделение, начиная с Х3, по возможности должна быть меньше чем 0.5. Критерий b: относительные летучести разделяемых компонентов L12 и L23 были не меньше двух (очевидно, что разделение двух компо137

нентов с практически одинаковой летучестью потребует для своего осуществления дополнительных конструкционно-технологических решений, в связи с этим таких вариантов разделения по возможности следует избегать). Для численного выражения значения рассматриваемого критерия можно использовать формулу m(a1, 2 ) = 1 -

1 0.0393 a15,.20912

.

(1)

Критерий c: все компоненты требуют одного и того же материала. Например, можно рассматривать варианты разделения, использующие колонны из легированной или нелегированной стали. Для данного критерия введен индекс коррозионной активности W, который для i-го компонента принимает следующие значения: агрессивный компонент Wi = 1, неагрессивный компонент Wi = 0. Если нет агрессивного компонента или самый низкокипящий компонент является агрессивным, то этот критерий выполняется наилучшим образом и функция принадлежности становится равной 1. Во всех других случаях рассмотренный критерий уменьшает его значимость при возрастании числа агрессивных компонентов. В качестве аргумента функции принадлежности используется частное, найденное по формуле Wi , (2) i =1 n где Wi – число агрессивных компонентов, а n – общее число компонентов в текущей смеси. Критерий d: ни один компонент, кроме первого, не является избыточным в смеси, поступающей на разделение. Компонент является избыточным в том случае, если его мольная доля в смеси больше остальных. Частное от деления мольной доли самого низкокипящего компонента на мольную долю компонента, который является среди остальных избыточным, рассчитанное по формуле n

å

x1

имеющих далеко отстоящие друг от друга температуры кипения, более легко подвергается разделению, чем смесь веществ, кипящих при практически одинаковой температуре. Критерий f: требуется, чтобы реализация правила 1 не противоречила правилу 4, в соответствии с которым трудные разделения должны находиться в конце цепи деления. Разделение является трудным, если относительная летучесть между первым и вторым ключевыми компонентами меньше 1.5, а разность температур кипения первого и второго компонента очень мала. Этот критерий можно, с одной стороны, охарактеризовать через относительную летучесть и разность температур кипения, с другой стороны, числом компонентов, которые еще остались в смеси, по сравнению с числом компонентов в первоначальной смеси. Выражение (n1–2)/n можно использовать в качестве аргумента функции принадлежности конца разделения. Аргумент равен 0 для последнего деления смеси, в которой остались два ключевых компонента. Если в разделяемой смеси осталось только 3 компонента из первоначальных 20, то аргумент принимает значение 0.05, а при 3 компонентах из 4 начальных равен 0.25. Начало цепи разделения выражается величиной, которая стремится к 1. Для расчета функции принадлежности оказалась подходящей следующая функция: GM ( f ) = MIN (GM (a ), GM (Ts )) (1-GM ( n1)) ,

(4)

где n1 – число компонентов в текущей смеси; n – число компонентов в исходной смеси. Функции принадлежности для расчета нечетких критериев имеют вид, представленный далее. Функция принадлежности F ( x) =

1 1 + d1 × x d 2

.

(5)

Функция принадлежности max in= 2 ( xi ) ,

(3)

G ( x) = 1 -

1 1 + d1 × x d 2

.

(6)

должно быть по возможности наибольшим. Критерий e: разность температур кипения Ts12 первого и второго компонента смеси, поступающей на разделение, должна быть как можно большей. При всех прочих равных условиях разделения смесь веществ,

В формулах (5) и (6) d1 и d2 – коэффициенты настройки, полученные в результате обработки большого числа данных для существующих систем разделения многокомпонентных смесей; x – аргумент функции

138

139

принадлежности (определяется по правилам, сформулированным для каждого из критериев). Значения коэффициентов d1 и d2 для правила 1 приведены в табл. 1. Таблица 1 Коэффициенты и тип функции принадлежности для эвристического правила 1

Тип функции 0.8 F(x) 2.0 G(x) 2.0 G(x) 0.5 F(x) 1.01 G(x)

A

B

R1

a b L12 b L23 c d

0.8 0.2 0.5 0.7 0.1

0.5 1.5 1.5 0.05 0.8

0.1 0.8 0.9 0.2 0.8

e

0.2

5

0.7

20

G(x)

53.25831

– 1.60977

f L12

0.3

1.5

0.7

2.0

G(x)

25.30189

– 5.88357

f Ts12

0.2

5

0.7

20

G(x)

53.25831

– 1.60977

f

0.7

0.05

0.3

0.25

F(x)

10.02959

1.0519

n1

R2

Коэффициенты δ1 δ2 49.31734 7.62312 198.790 – 9.6351 22.10984 – 7.63654 7.83246 0.96947 0.29145 – 5.41733

Критерий

Правило 2. Из смеси в первую очередь выделяется количественно доминирующий компонент. Отметим, что если в смеси, состоящей из n компонентов, самый низкокипящий или самый высококипящий компонент является избыточным, то правило два дает однозначную инструкцию для места деления. В остальных случаях о силе данного правила можно судить на основе анализа указанных далее нечетких критериев. Критерий а: в первую очередь следует выделять избыточный компонент, если его мольная доля хотя бы немного больше, чем мольные доли остальных компонентов (Х1 или Хn > = 0.5). Критерий b: в первую очередь необходимо выделять избыточный компонент, если смесь является близко кипящей, т. е. максимум из всех относительных летучестей Li, i + 1 по возможности меньше чем 2. Критерий с: в первую очередь целесообразно выделять избыточный компонент, если все компоненты требуют одного и того же конструктивного материала. Критерий с подробно обсуждался ранее, при рассмотрении правила 1. Значения коэффициентов d1 и d2 для правила 2 приведены в табл. 2. 140

Таблица 2 Коэффициенты и тип функции принадлежности для эвристического правила 2 Коэффициенты δ1 δ2

Критерий

R1

A

R2

B

Тип функции

a

0.5

0.5

3

0.9

G(x)

0.42738

– 0.22622

b

2

0.7

3

0.3

F(x)

0.02362

4.18069

c

0.05

0.7

0.5

0.2

G(x)

7.83325

0.96961

d

5

0.2

20

0.7

G(x)

53.33962

– 1.61028

e

1.5

0.2

2.0

0.8

G(x)

197.21468

– 9.62362

Правило 3. Необходима организация эквимолярного разделения, дополненного нечеткими критериями. Критерий а: выделяем по возможности эквимолярные количества в кубе и дистилляте, если имеется близко кипящая смесь, где максимум из всех пар относительных летучестей i и i + 1 компонентов max(Li, i + 1) по возможности меньше чем 1.5. Критерий b: все компоненты требуют одинакового конструкционного материала. Если при реализации разделения по правилу 3 отделяется не отдельный компонент, а несколько (только при таком условии удается достичь эквимолярного разделения), то группа таких компонентов отделяется по правилам 1 и 2. На основе анализа экономической эффективности функционирования большого числа систем разделения принято, что значения функции принадлежности F(х) = 1 в том случае, если выполняется ряд условий: n

å Wi = 0.

i =1

(7)

Одна из концентраций X1, Xlk, Xnk, Xn является максимальной и при этом избыточный компонент с концентрацией Хmax требует более дорогого конструкционного материала. Критерий c: правило 1, в соответствии с которым первым выделяется наиболее легколетучий компонент, по возможности не должно быть нарушено. Критерий c уменьшает силу правила 3 – эквимолярного разделения – при возрастающем удалении от места, находящегося ниже самого низкокипящего компонента. Аргументом функции принадлеж141

ности для критерия c является выражение вида (0.5 – 1/j), где j – номер тяжелого ключевого компонента; для деления 1/2 (т. е. количества дистиллята и кубового остатка равны между собой) равняется 0 и увеличивается при разделении 2/3 до 0.17. Критерий d: образуется аналогично правилам 1 и 2. Однако, если правило 1 дает четкую инструкцию относительно места деления, а в соответствии с правилом 2 имеется выбор между двумя альтернативами, то правило 3 является абсолютно нечетким. Критерий е: учитываются количественные отношения между легколетучими и труднолетучими компонентами смеси, поступающей на ректификацию. При суммировании мольных долей, начиная с самого низкокипящего компонента, существует точка, в которой выполняется неравенство j -1

å xi ³ 0.5 ,

(8)

1

где j – 1 – номер легкого; j – номер тяжелого ключевого компонента. Аргументом функции принадлежности критерия e можно выбрать аргумент в виде j -1

(0.5 - å xi ) 2 ,

(9)

1

определяющий отклонение от полного эквимолярного разделения. Значение аргумента при разделении 50/50 должно быть больше или равно нулю. Места разделения вблизи эквимолярного разделения могут поочередно быть проверены на то, где достигает максимума функция принадлежности для правила 3. Критерием окончания поиска может быть GM(e) = 0.1. Значения коэффициентов d1 и d2 для правила 3 приведены в табл. 3. Правило 4. Схема разделения получается экономически оптимальной в том случае, если сложные (дорогостоящие) разделения проводятся с возможно меньшими количествами разделяемых веществ. Если возможно дешевое простое разделение вместо дорогого сложного, то оно должно быть реализовано в генерируемой схеме. Правило 5. Агрессивные («коррозионные») и высокотоксичные вещества должны быть выделены из смеси как можно раньше, по возможности на самом первом делении. Работа с агрессивными веществами требует специальных конструкционных материалов для изготовления аппаратов разделения и аппаратуры для подачи/отвода разделяемой 142

Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ. СПб., 2007 в результате процесса смеси и повышенных требований (а, следовательно, и расходов), с целью обеспечения безопасности проведения процесса. Таблица 3 Коэффициенты и тип функции принадлежности для эвристического правила 3 Критерий

R1

A

R2

B

a b c

0.5 0.05 0.17

0.7 0.7 0.7

1.01 0.5 0.25

0.4 0.2 0.3

Тип функции F(x) F(x) F(x)

e

0.01

0.7

0.04

0.1

F(x)

Коэффициенты δ1 δ2 1.47365 1.78113 7.83325 0.96961 1021.26186 4.38687 10483.0452

2.1934

Список литературы 1. Химико-технологические системы / Под ред. Мухленова И. П. – Л.: Химия, 1986. – С. 133–143. 2. Ананченко И. В., Викторов В. К., Холоднов В. А., Хартман К. Синтез систем ректификационных колонн с использованием нечетких множеств // ММХ-9. Сборник тезисов докладов. – Тверь, 1995. – Ч. 2. – С. 77. 3. Probleme der modernen chemischen Technologie / Herausgeber Prof. Dr. K. Hartmann. – Akademie–Verlag–Berlin, 1980. – S. 206–212. Получено 27 апреля 2007 года.

УДК 658.012.011.56 Д. А. Краснобородько, В. А. Холоднов, А. Е. Пунин, В. Н. Чепикова (СПбГТИ (ТУ)) МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РЕКТИФИКАЦИОННОЙ КОЛОННЫ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ РЯДА ВОЗМУЩЕНИЙ С помощью системы компьютерной математики MATHСAD исследовалась ректификационная колонна для разделения трехкомпонентной смеси бензол-толуол-ксилол. Целью исследования является изучение влияния возмущений по расходу входного потока на процесс ректификации. 143

Исследовали процесс ректификации смеси бензол-толуол-ксилол при постоянном питании колонны. Схема процесса, исходные данные и обозначения приведены в статье [4]. На рис. 1 и 2 представлена программа для исследования процесса ректификации при постоянном питании.

Рис. 1. Программа исследования процесса ректификации при постоянном питании (начало)

L1( t ) × y 12 - V1 × vb ( y 1 , y 2) - W ( t ) × y 1 é ê M9 ê L1( t ) × y 20 - V1 × vt ( y 1 , y 2) - W ( t ) × y 2 ê ê M9 ê V × vb ( y 5 , y 13) - ( L + D) × y 3 ê M0 ê ê V × vt ( y 5 , y 13) - ( L + D) × y 4 ê M0 ê ê L × ( y 3 - y 5) + V × ( vb ( y 6 , y 14) - vb ( y 5 , y 13) ) ê M ê L × ( y 5 - y 6) + V × ( vb ( y 7 , y 15) - vb ( y 6 , y 14) ) ê ê M ê L × ( y 6 - y 7) + V × ( vb ( y 8 , y 16) - vb ( y 7 , y 15) ) ê M ê ê L × ( y 7 - y 8) + V × ( vb ( y 9 , y 17) - vb ( y 8 , y 16) ) ê M ê ê f1( t) × BF + L × y 8 - L1( t) × y 9 + V1 × vb ( y 10 , y 18) - V × vb ( y 9 , y 17) ê M ê L1( t ) × ( y 9 - y 10) + V1 × ( vb ( y 11 , y 19) - vb ( y 10 , y 18) ) ê ê M d ( t , y ) := ê L1( t ) × ( y 10 - y 11) + V1 × ( vb ( y 12 , y 20) - vb ( y 11 , y 19) ) ê M ê ê L1( t ) × ( y 11 - y 12) + V1 × ( vb ( y 1 , y 2) - vb ( y 12 , y 20) ) ê M ê ê L × ( y 4 - y 13) + V × ( vt ( y 6 , y 14) - vt ( y 5 , y 13) ) ê M ê L × ( y 13 - y 14) + V × ( vt ( y 7 , y 15) - vt ( y 6 , y 14) ) ê ê M ê L × ( y 14 - y 15) + V × ( vt ( y 8 , y 16) - vt ( y 7 , y 15) ) ê M ê ê L × ( y 15 - y 16) + V × ( vt ( y 9 , y 17) - vt ( y 8 , y 16) ) ê M ê ê f1( t ) × TF + L × y 16 - L1( t ) × y 17 + V1 × vt ( y 10 , y 18) - V × vt ( y 9 , y 17) ê M ê L1( t ) × ( y 17 - y 18) + V1 × ( vt ( y 11 , y 19) - vt ( y 10 , y 18) ) ê ê M ê L1( t ) × ( y 18 - y 19) + V1 × ( vt ( y 12 , y 20) - vt ( y 11 , y 19) ) ê M ê ê L1( t ) × ( y 19 - y 20) + V1 × ( vt ( y 1 , y 2) - vt ( y 12 , y 20) ) ê M ë

ù ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú û

z := Rkadapt ( y , 0 , 1000 , 1000d), d ) 50, 1000,

Рис. 2. Программа исследования процесса ректификации при постоянном питании (окончание) 144

145

Полученные результаты представлены на рис. 3.

Рис. 4. Изменение концентраций при синусоидальном изменении питания: а – изменение концентрации толуола и бензола в кубе-испарителе; б – изменение концентрации толуола и бензола в дефлегматоре

Исследование процесса ректификации при импульсном изменении расхода питания: f 1(t ) =

0 if (t > 12) Ù (t < 16) 50 otherwise .

Рис. 3. Результаты исследования процесса ректификации при постоянном питании: а – изменение концентрации толуола и бензола в кубе-испарителе; б – изменение концентрации толуола и бензола в дефлегматоре

Полученные результаты представлены на рис. 5–6.

Исследование процесса ректификации при синусоидальном изменении питания t Синусоидальное возмущение f 1(t ) = 50 + 5 sin(p × ) задается 3 в первой строке программы. Полученные результаты представлены на рис. 4. 146

Рис. 5. График импульсного изменения расхода питания 147

Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ. СПб., 2007 питания. При импульсном возмущении ректификационная колонна возвращается в стационарное состояние. Список литературы 1. Коган Б. Б. Азеотропная и экстрактивная ректификация. – Л.: Химия, 1971. 2. Blass E. Entwicklung Verfahrenstechnischer Prozesse. – Salzburg: Otto Salle Verlag, 1989. 3. Stichlmair J. Kennzahlen und Ahnlichkeitsgesetze im Ingenieurwesen. – Essen: Altos. 1990. 4. Краснобородько Д. А., Холоднов В. А., Пунин А. Е. / Математическое моделирование процесса разделения смеси бензол-толуол-ксилол с целью управления ректификационной колонной // Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ Межвуз. темат. сб. тр.: СПбГАСУ. – СПб., 2007. – (В настоящем издании). Получено 27 апреля 2007 года.

Рис. 6. Изменение концентраций при импульсном изменении питания: а – изменение концентрации толуола и бензола в кубе-испарителе; б – изменение концентрации толуола и бензола в дефлегматоре

УДК 658.012.011.56 Д. А. Краснобородько, В. А. Холоднов, А. Е. Пунин, Э. В. Шепелевская (СПбГТИ (ТУ))

Из графиков зависимостей концентраций бензола и толуола от времени видно, что при заданных значениях скорости питания колонны F = 50 и флегмового числа R = 5 в ректификационной колонне создаются хорошие условия для разделения смеси: концентрации бензола и толуола в дефлегматоре и кубе-испарителе постоянны во времени. Это означает, что на протяжении всего стационарного процесса, как в дефлегматор, так и в куб-испаритель будут поступать смеси постоянного состава, причем в первый – практически чистый бензол, а во второй – смесь толуола с ксилолом. Синусоидальное возмущение по расходу питания в большей степени оказывает влияние на поведение концентраций веществ в кубе-испарителе, чем в дефлегматоре. В этом случае ректификационная колонна работает в режиме, который близок к режиму с постоянным расходом

С помощью системы компьютерной математики MATHСAD исследовался процесс управления в ректификационной колонне для разделения трехкомпонентной смеси бензол-толуол-ксилол. Целью исследования является изучение влияния возмущений по расходу входного потока на процесс управления ректификационной колонной.

148

149

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА РАЗДЕЛЕНИЯ СМЕСИ БЕНЗОЛ-ТОЛУОЛ-КСИЛОЛ С ЦЕЛЬЮ УПРАВЛЕНИЯ РЕКТИФИКАЦИОННОЙ КОЛОННОЙ

Математическое описание объекта управления. На рис. 1 приведена схема процесса ректификации. Каждый компонент смеси может быть выражен через отдельные компоненты массового баланса. С ис-

пользованием мольных долей одно уравнение может быть опущено и заменено при условии, что сумма мольных долей должна быть равна единице.

Рис. 1. Схема процесса ректификации: 1 – ректификационная колонна; 2 – куб-испаритель; 3 – дефлегматор; 4 – делитель

Для i-го компонента на любой тарелке, находящейся выше тарелки питания (1) M n d ( X in ) / dt = L ( X in -1 - X in ) + V (Yin -1 - Yin ) . Для i-го компонента на любой тарелке, находящейся ниже тарелки питания M n d ( X in ) / dt = L1( X in -1 - X in ) + V 1(Yin-1 - Yin ) ,

(2)

где i = 1, 2, 3. Для куба-испарителя M 9 d ( X 9 ) / dt = L1 X 8 - V 1 Y9 - W X 9 .

(3)

Выражение равновесного состояния при условии относительной зависимости величины ai имеет вид 150

Yn =

a Xn . 1 + (a - 1) X n

(4)

Расходы в колонне: V = V1; D = V/(R+1); L = V – D; L1 = L + F; W = L1 – V1. Используемые обозначения: M – молярная доля, кмоль; L – расход жидкой фазы, кмоль/ч; X – концентрация жидкой фазы, кмоль/ч; Y – концентрация газовой фазы, кмоль/ч; V – расход газовой фазы, кмоль/ч; R – флегмовое число; a – относительная летучесть, кмоль/ч; D – расход дистиллята, кмоль/ч; 1–8 – номера тарелок; F – расход питающего потока колонны. Исходные данные: F = 50 – расход питающего потока колонны; BF = 0.6, TF = 0.25 – питающий состав; R = 5 – флегмовое число; a1 = 2.75, a2 = 1, a3 = 0.4 – относительные летучести; V1=150 – расход пара. Начальные концентрации компонентов: 0 – в дефлегматоре, 1 – 8 – на тарелках, 9 – в кубе-испарителе. В0 – В9 – для бензола: В0 = 0.967, В1 = 0.914, В2 = 0.813, В3 = 0.651, В4 = 0.457, В5 = 0.289; В6 = 0.137, В7 = 0.056, В8 = 0.02, В9 = 0.006; Т0 – Т9 – для толуола: Т0 = 0.0325, Т1 = 0.0849, Т2 = 0.185, Т3 = 0.343, Т4 = 0.522, Т5 = 0.649; Т6 = 0.781, Т 7 = 0.817, Т8 = 0.755, Т 9 = 0.594; M0 = 75, M9 = 150, M = 30 – удерживающая способность тарелок. Исследование управления процессом ректификации пропорционально-интегральным регулятором при постоянном питании с целью получения заданной концентрации бензола в кубе-испарителе. На рис. 2 и 3 приведена программа для исследования процесса управления ректификацией при постоянном питании. Изменения концентраций бензола и толуола в дефлегматоре и в кубеиспарителе показаны на рис. 4. Исследование управления процессом ректификации пропорционально-интегральным регулятором при импульсном возмущении по расходу питания с целью получения заданной концентрации бензола в кубе-испарителе. Импульсное возмущение задается в первой строке программы: 151

f 1(t ) =

0 if (t > 12) Ù (t < 16) 50 otherwise .

(5)

æç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç y := ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç è

Рис. 2. Программа для исследования процесса управления ректификацией при постоянном питании (начало)

ö÷ ÷ 0.967 ÷ ÷ 0.0325 ÷ 0.914 ÷ 0.085 ÷ ÷ 0.651 ÷ 0.457 ÷ 0.287 ÷ ÷ 0.137 ÷ 0.056 ÷ ÷ 0.02 ÷ 0.0849 ÷ 0.185 ÷ ÷ 0.343 ÷ 0.522 ÷ 0.649 ÷ ÷ 0.781 ÷ 0.817 ÷ ÷ 0.755 ø 0.006 0.594

L1( y 1 , t ) × y 12 - V1 × vb ( y 1 , y 2) - W ( y 1 , t ) × y 1 é ê M9 ê L1( y 1 , t ) × y 20 - V1 × vt ( y 1 , y 2) - W ( y 1 , t ) × y 2 ê ê M9 ê V × vb ( y 5 , y 13) - ( L( y 1 , t ) + D( y 1 , t ) ) × y 3 ê M0 ê ê V × vt ( y 5 , y 13) - ( L( y 1 , t ) + D( y 1 , t ) ) × y 4 ê M0 ê ê L( y 1 , t ) × ( y 3 - y 5) + V × ( vb ( y 6 , y 14) - vb ( y 5 , y 13) ) ê M ê L( y 1 , t ) × ( y 5 - y 6) + V × ( vb ( y 7 , y 15) - vb ( y 6 , y 14) ) ê ê M ê L( y 1 , t ) × ( y 6 - y 7) + V × ( vb ( y 8 , y 16) - vb ( y 7 , y 15) ) ê M ê ê L( y 1 , t ) × ( y 7 - y 8) + V × ( vb ( y 9 , y 17) - vb ( y 8 , y 16) ) ê M ê ê f1( t) × BF + L( y 1 , t) × y 8 - L1( y1 , t) × y9 + V1 × vb ( y10 , y18) - V × vb ( y9 , y17) ê M ê L1( y 1 , t ) × ( y 9 - y 10) + V1 × ( vb ( y 11 , y 19) - vb ( y 10 , y 18) ) ê ê M d ( t , y ) := ê L1( y 1 , t) × ( y 10 - y 11) + V1 × ( vb ( y 12 , y 20) - vb ( y 11 , y 19) ) ê M ê ê L1( y 1 , t ) × ( y 11 - y 12) + V1 × ( vb ( y 1 , y 2) - vb ( y 12 , y 20) ) ê M ê ê L( y 1 , t ) × ( y 4 - y 13) + V × ( vt ( y 6 , y 14) - vt ( y 5 , y 13) ) ê M ê L y , t × y y + V × ( vt ( y 7 , y 15) - vt ( y 6 , y 14) ) ( ) ( ) 1 13 14 ê ê M ê L( y 1 , t ) × ( y 14 - y 15) + V × ( vt ( y 8 , y 16) - vt ( y 7 , y 15) ) ê M ê ê L( y 1 , t ) × ( y 15 - y 16) + V × ( vt ( y 9 , y 17) - vt ( y 8 , y 16) ) ê M ê ê f1( t) × TF + L( y 1 , t) × y 16 - L1( y 1 , t) × y 17 + V1 × vt ( y10 , y 18) - V × vt ( y9 , y17) ê M ê L1( y 1 , t ) × ( y 17 - y 18) + V1 × ( vt ( y 11 , y 19) - vt ( y 10 , y 18) ) ê ê M ê L1( y 1 , t ) × ( y 18 - y 19) + V1 × ( vt ( y 12 , y 20) - vt ( y 11 , y 19) ) ê M ê ê L1( y 1 , t ) × ( y 19 - y 20) + V1 × ( vt ( y 1 , y 2) - vt ( y 12 , y 20) ) ê M ë

ù ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú û

z := Rkadapt ( y , 0 , 500, 500, d )

Рис. 3. Программа для исследования процесса управления ректификацией при постоянном питании (окончание) 152

153

Рис. 5. Результаты исследования управления ректификацией при импульсном возмущении расхода питания: а – изменение концентрации толуола и бензола в кубе-испарителе; б – изменение концентрации толуола и бензола в дефлегматоре

Система управления с помощью пропорционально-интегрального регулятора позволяет получить заданное количество бензола в кубе колонны даже при наличии кратковременных возмущений. Список литературы Рис. 4. Результаты исследования управления ректификацией при постоянном расходе питания: а – изменение концентрации толуола и бензола в кубе-испарителе; б – изменение концентрации толуола и бензола в дефлегматоре

Изменения концентраций бензола и толуола в дефлегматоре и в кубеиспарителе показаны на рис. 5.

1. Холоднов В. А., Ананченко И. В., Викторов В. К., Крылов В. М. Математическая модель сложной ректификационной колонны // Известия вузов. Химия и химическая технология. – 1998. – Т. 41. – Вып. 2. – С. 115. 2. Коган Б. Б. Азеотропная и экстрактивная ректификация. – Л.: Химия, 1971. 3. Blass E. Entwicklung Verfahrenstechnischer Prozesse. – Salzburg: Otto Salle Verlag, – 1989. Получено 27 апреля 2007 года.

154

155

{

Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ. СПб., 2007 УДК 519.7; 519.3

направлениям. Пара множеств Df ( x ) = [ d f ( x ), d f ( x )] называется

К. В. Григорьева (СПбГАСУ)

кодифференциалом функции f в точке x ; множество о d f ( x ) называется

ПОСТРОЕНИЕ КОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ ОДНОГО ФУНКЦИОНАЛА В работе [1] в рамках решения задачи идентификации были введены следующие функционалы:

F1e ( y, d ) =

ì r (ai , y, d ) ü å max í0, ý+ iÎI î r (ai , y, d ) + e þ 2

é ì r (ai , y, d ) üù F2e ( y, d ) = å êmax í0, ýú + ê iÎI ë î r (ai , y, d ) + e þûú

(

)

ìï - r b j , y, d üï max 0 , å í ý; jÎJ ïî r b j , y, d + e ïþ

(

)

é ìï - r (b j , y , d ) üïù ê max 0 , å í ýú . ( ) , , + e r b y d jÎJ ê ï ïþúû j î ë

d f ( x ) Î R n +1

и d f ( x ) Ì R n +1 , чтоо

wÎA vÎB

vÎB wÎA

Число r( A, B ) называется расстоянием м между множествами A и B в метрике Хаусдорфа (или расстоянием Хаусдорфа). Величина м множества A от множества B sup inf v - w называется уклонением

wÎA vÎB

(в смысле Хаусдорфа), а величина sup inf v - w называется уклонением м vÎB wÎA

множества B от множества A (в смысле Хаусдорфа). Отображение a( x ) непрерывно по Хаусдорфу в точке x0 , если r(a( x ), a( x0 )) ¾x¾ ¾® 0. ®x 0

f ( x + D ) = f ( x ) + F x (D ) + o x (D ) ,

F x (D ) =

r( A, B ) = sup inf v - w + sup inf v - w .

2

Пусть X Ì R n – открытое множество и x Î X . Будем говорить, что о функция f , заданная и конечная на X , кодифференцируема в точкее x , если существуют такие выпуклые компакты

гиподифференциалом, а множество d f ( x) – гипердифференциалом. Если функция f кодифференцируема в некоторой окрестности точки x , тоо отображение Df назовем кодифференциальным. Функция f называется ся непрерывно кодифференцируемой в точке x , если она кодифференцируема в некоторой окрестности точки x и если существует непрерывное (по Хаусдорфу) в этой точке кодифференциальное отображение Df . Замечание 1. Пусть A Ì R n , B Ì R n . Положим

Функционал F1e ( y, d ) является недифференцируемым, его свойства частично рассматривались в работе [2]. Построим его кодифференциальное отображение.

где

}

Если (3) имеет место равномерно по D Î S = D Î R n | || D || = 1 , тоо будем говорить, что функция f кодифференцируема в x равномерно по

max [a + (v, D )] + min [b + (w, D )], [a ,v ] Î d f ( x ) [b, w] Î d f ( x ) o x (a × D ) ¾¾¾® 0 " D Î R n . a¯0 a

(1) (2) (3)

Здесь a, b Î R1; v, w Î R n . Естественно, здесь также предполагается, что co{ x, x + D } Ì X . 156

Из (1)–(2) видно, что кодифференцируемая в точке x функция допускает аппроксимацию первого порядка в окрестности точки x , при этом в качестве аппроксимации можно взять функцию Fx (D ) = f ( x ) + F x (D ). Если функция f кодифференцируема в x равномерно по направлениям, то Fx (D ) является аппроксимацией f в окресстности x равномерно по направлениям. Для непрерывно кодифференцируемой функции аппроксимация Fx (D ), построенная с помощью кодифференциала, является непрерывной функцией и по x , что в некотором смысле роднит непрерывно кодифференцируемые функции с непре157

рывно дифференцируемыми, позволяя тем самым избежать многих неприятностей, вызванных негладкостью функции f .

+

j J

Лемма 1 (см. [3], с. 196). Если функции ji , i Î I = 1, N , кодифо ференцируемы (непрерывно кодифференцируемы) в точке x , то и функции f1( y ) = max ji ( y ) и f 2 ( y ) = min ji ( y ) iÎI iÎI

тоже являются кодифференцируемыми (непрерывно кодифференцируемыми) в этой точке, при этом

[

]

[

]

Df1( x ) = d f1( x ), d f1( x ) , Df 2 ( x ) = d f 2 ( x ), d f 2 ( x ) , где

f1i =

f1i =

d f 2 ( x ) = å d ji ( x ) ;

ìïæ ö ì j ü d F1e ( y ) = å coíçç - max í0, 1i ý, 0 n , 0 ÷÷; iÎI ï î j 2i þ ø îè æ çç è

j12i j 22i

+

j1i | j1i | j 22i

+

ö ì j ü j1i - max í0, 1i ý, 0 n , 0 ÷ ; ÷ j 2i î j 2i þ ø

ö

îè

î

þ

ø

(4)

Доказательство. Найдем кодифференциал для функционала F1e ( y ) . Введем обозначения:

iÎI

Воспользуемся леммой 1 для нахождения кодифференциала функционала F1e ( y, d ). Лемма 2. Функционал F1e ( y ) является гиподифференцируемой функцией и его гиподифференциал

ü

æ y12j y1 j | y1 j | y1 j y1 j y1 j ö÷üï ìï y1 j üï ç , - 2b j ,- 2 + + - max í0, ý ý. ç y2 y2 j ïî y 2 j ïþ y 22 j y 22 j y 22 j ÷øïþ è 2j

d f1 ( x ) = å d ji ( x );

ìï üï d f 2 ( x ) = co íd j k ( x ) - å d ji ( x ) +{[jk ( x ) - f 2 ( x ),0 n ]} k Î I ý . ïî ïþ iÎI \{k }

ì y

æ y12j y1 j | y1 j | y1 j ö ìï y1 j üï ç+ + - max í0, , 0n , 0 ÷ ; ý ç y2 ÷ y2 j ïî y 2 j ïþ y 22 j 2j è ø

ìï üï d f1 ( x ) = co íd j k ( x ) - å d ji ( x ) +{[jk ( x ) - f1 ( x ),0 n ]} k Î I ý ; ïî ïþ iÎI \{k }

iÎI

ìæ

ï ï 1j ï å coíçç - max í0, ý, 0n , 0 ÷÷ ; y ï ï 2jï Î

f2 j =

y1 j y2 j

- r (b j , y, d ) r ( ai , y, d ) ; f1 j = | r (ai , y, d ) | + e | r (b j , y, d ) | + e ;

j1i , где j1i = r (ai , y, d ); j 2i = | r (ai , y, d ) | + e; j 2i

, где y1 j = - r (b j , y, d ); y 2 j = | r (b j , y, d ) | + e ; F1i = max{ 0, f1i }; F2 j = max{0, f 2 j }.

Тогда функционал будет иметь вид F1e ( y ) =

d F1e ( y ) =

{

å F1i + å F2 j .

iÎI

jÎJ

å d F1i + å d F2 j ; d F1e ( y ) = å d F1i + å d F2 j ;

iÎI

jÎJ

iÎI

jÎJ

}

d F1i = co d 0 - d f1i + (0 - F1i , 0, 0 ); d f1i - d 0 + ( f1i - F1i , 0, 0 ) ; j d j - j1i d j2i d f1i = 2i 1i . j22i

æ j12i j1i | j1i | j1i ì j ü j j öïü ç + + - max í0, 1i ý, 2 12i ai , 2 12i ÷ý + 2 ç j2 j 2i j 2i j2i ÷øïþ î j 2i þ j 2 i è 2i

Так как j1i = r (ai , y, d ) = ai , y + d – линейная функция, то j1i – дифференцируема, следовательно,

158

159

æ ¶j ¶j ö d j1i = ç 0, 1i , 1i ÷ = (0, ai ,1); è ¶y ¶d ø

dj1i = (0, 0n , 0);

ìïì ü æj öüï ì j ü ì j ü + çç 1i - max í0, 1i ý, 0 n , 0 ÷÷ý = coíí- max í0, 1i ý, 0 n , 0ý; ïîî î j 2i þ î j 2i þ þ è j 2i øïþ

j2i =| r (ai , y, d ) | + e = max{r (ai , y, d ), - r (ai , y, d )} + e =

æ j1i ì j ü j j ö ç - max í0, 1i ý, 12i ai , 12i ÷ çj j2i ÷ø î j 2 i þ j 2i è 2i

= max{j1i , - j1i } + e = max{j1i + e, - j1i + e};

{

dj2i = co d (j1i + e ) - d (- j1i + e ) + [(j1i + e ) - j2i , 0n , 0];

-

}

d (- j1i + e ) - d (j1i + e ) + [(- j1i + e ) - j2i , 0n , 0] =

j1i j22i

= co{(0, ai ,1) - (0, 0n , 0 ) + [j1i + e/- | r (ai , y, d ) | -e/, 0n , 0];

ìïì ü ì j ü = coíí- max í0, 1i ý, 0 n , 0ý; ïîî î j 2i þ þ

(0, - ai , - 1) - (0, 0n , 0) + [- j1i + e/ - | r (ai , y, d ) | -e/, 0n , 0]} = = co{ (0, ai ,1) + (r (ai , y, d )- | r (ai , y, d ) |, 0n , 0 );

æ æj ì j ü j j ö - ç - ç 1i - max í0, 1i ý, 12i ai , 12i ÷ + ç ç j 2i j2i ÷ø î j 2i þ j 2i è è

(0, - ai , - 1) + (- r (ai , y, d )- | r (ai , y, d ) |, 0n , 0)} = = co{(r ( ai , y, d ) - | r ( ai , y , d ) |, ai ,1), (- r (ai , y, d ) - | r ( ai , y , d ) |, ai ,1)}; d j 2i = d (j1i + e ) + d (- j1i + e ) = (0, 0 n , 0 ) ; d f1i =

=

j1i j22i

j 2i d j1i - j1i d j 2i j 22i

=

(0, ai ,1) - j12i co{(j1i - | j1i |, ai ,1), (- j1i - | j1i |, - ai , - 1)}; j 2i

d f1i =

j2i dj1i - j1i dj2i j22i

{

}

d F1i = co - d f1i + {- F1i , 0 n , 0}; d f1i + { f1i - F1i , 0 n , 0} =

ìïì ü ì j ü = coíí- max í0, 1i ý, 0 n , 0ý; ïîî î j 2i þ þ j1i j22i

(0, ai ,1) -

j1i j22i

co{(j1i - | j1i |, ai ,1), (- j1i - | j1i |, - ai , - 1)} + 160

öüï ÷ý = { ( j | j |, , 1 ) , ( j | j |, , 1 ) } co a a 1 1 1 1 i i i i i i ÷ï j22i øþ ìïì ü æ ìïæ j ì j ü j j ö = coíí- max í0, 1i ý, 0 n , 0ý - ç coíç 12i × (j1i - | j1i |), 12i ai , 12i ÷ ; ç ïîî j 2i j2i ÷ø î j 2i þ þ çè ïîè j2i +

j1i

æj ìïæ ö ì j ü j ì j ü j öüï ö - ç 1i - max í0, 1i ý, 12i ai , 12i ÷ý ÷ = co íçç - max í0, 1i ý, 0 n , 0 ÷÷ ; çj ïîè j 2i ÷øïþ ÷ø î j 2i þ j 2i î j 2i þ ø è 2i

= (0, 0 n , 0 ).

Следовательно,

üï co{(j1i - | j1i |, ai ,1), (- j1i - | j1i |, - ai , - 1)}ý = ïþ

æ ìïæ j ì j ü j j j ö æj j ö - ç co íç 12i (j1i - | j1i |), 12i ai , 12i ÷ - ç 1i - max í0, 1i ý, 12i ai , 12i ÷ ; ç ÷ ç ç ï j j 2i j 2i ø è j 2i j 2i ÷ø î j 2i þ j 2i è îè 2i

æ j1i j j ö æj j öüï öüï ì j ü j ç ( - j1i - | j1i |), - 1i ai , - 1i ÷ - ç 1i - max í0, 1i ý, 1i ai , 1i ÷ý ÷ý = ç j2 î j2i þ j22i j22i ÷øïþ ÷øïþ j22i j22i ÷ø çè j2i è 2i ìæ ì j ü ö = coíçç - max í0, 1i ý, 0n , 0 ÷÷ ; îè î j2i þ ø 161

æ ìïæ j j ö j j ö æj ì j ü j - ç co íç 1i (j1i - | j1i |), 1i ai , 1i ÷ - ç 1i - max í0, 1i ý, 1i ai , 1i ÷ ; ç ïç j2 î j2i þ j22i j22i ÷ø j22i j22i ÷ø çè j2i è îè 2i æ j1i j j ö æj j öüï ö ì j ü j ç ( - j1i - | j1i |), - 1i ai , - 1i ÷ - ç 1i - max í0, 1i ý, 1i ai , 1i ÷ý ÷ ç j2 î j2i þ j22i j22i j22i ÷ø çè j2i j22i ÷øïþ ÷ø è 2i ìæ ì j ü ö = coíçç - max í0, 1i ý, 0n , 0 ÷÷ ; î j2i þ ø îè

æ ìïæ j ö j ì j ü - ç coíç 1i (j1i - | j1i |) - 1i + max í0, 1i ý, 0n , 0 ÷ ; ç ïç j2 ÷ j2i î j2i þ ø è îè 2i æ j1i j j j öüï öüï ì j ü ç ( - j1i - | j1i |) - 1i + max í0, 1i ý, - 2 1i ai , - 2 1i ÷ý ÷ý = ç j2 j2i î j2i þ j22i j22i ÷øïþ ÷øïþ è 2i ìïæ ö ì j ü = coíçç - maxí0, 1i ý, 0n , 0 ÷÷ ; ïîè î j2i þ ø æ ìïæ j ö ì j ü j - ç coíç 12i (j1i - | j1i |) - 1i + maxí0, 1i ý, 0n , 0 ÷; ÷ ç ïç j j2i î j2i þ ø è îè 2i

æ j1i ì j1i ü j1i j1i j1i ö÷üï ö÷üï ç a j | j | max 0 , , 2 , 2 + ( ) = í ý 1 i 1 i i 2 2 ÷ý ÷ý ç j2 j j j j ï î þ i i 2 2 ï è 2i 2i 2i ø þ ø þ ìïæ ö ì j ü = coíçç - max í0, 1i ý, 0 n , 0 ÷÷ ; ïîè î j2i þ ø

æ ìïæ j2 j | j | j ö ì j ü - ç co íç 1i - 1i 1i - 1i + max í0, 1i ý, 0n , 0 ÷; ÷ ç ïç j2 j2i î j2i þ j22i ø è îè 2i 162

üï ý= ïþ

æ j12i j1i | j1i | j1i j j öüï öüï ì j ü ç+ max í0, 1i ý, - 2 1i ai , - 2 1i ÷ý ÷ý = ç j2 j2i î j2i þ j22i j22i j22i ÷øïþ ÷øïþ è 2i ìæ ö ì j ü = co íçç - max í0, 1i ý, 0n , 0 ÷÷ ; ø î j 2i þ îè ìïæ j12i j1i | j1i | j1i ö ì j ü co íç + + - max í0, 1i ý, 0n , 0 ÷; ÷ j 2i ïîçè j22i î j 2i þ j22i ø æ j12i j1i | j1i | j1i j öüïüï ì j ü j ç + + - max í0, 1i ý, 2 1i ai , 2 1i ÷ýý = ç j2 j 2i î j2i þ j22i j22i j22i ÷øïþïþ è 2i

ìïæ ö ì j ü = coíçç - max í0, 1i ý, 0 n , 0 ÷÷ ; ïîè î j 2i þ ø ìïæ j2 j | j | j ö ì j ü coíç - 12i + 1i 2 1i + 1i - max í0, 1i ý, 0 n , 0 ÷; ÷ j 2i j 2i ïîçè j 2i î j 2i þ ø æ j12i j1i | j1i | j1i ì j1i ü j1i j1i ö÷üïüï ç + + max 0 , , 2 , 2 a í ý ýý = i 2 ç j2 j 2i j 22i j22i ÷øïþïþ î j 2i þ j 2i è 2i ìæ ì j ü ö = coíçç - max í0, 1i ý, 0n , 0 ÷÷; î j2i þ îè ø æ j12i j1i | j1i | j1i ö ì j ü ç+ + - max í0, 1i ý, 0n , 0 ÷ ; ç j2 ÷ j2i î j2i þ j22i è ø 2i æ j12i j1i | j1i | j1i j öüï ì j ü j ç + + - max í0, 1i ý, 2 1i ai , 2 1i ÷ý ; ç j2 j2i î j2i þ j22i j22i j22i ÷øïþ è 2i d F1i = d 0 + d f1i = (0, 0n , 0) . 163

Аналогично выведем формулу для d F2 j , d F2 j : æ ¶y1 j ¶y1 j ö ÷ = (0, - b j , - 1); , dy1 j = çç 0, dy1 j = (0, 0n , 0) ; ¶y ¶d ÷ø è

d F2 j = d 0 + d f 2 j = (0, 0n , 0 ). Следовательно, можно теперь выписать гипо- и гипердифференциалы для функционала F1e ( y ) :

y 2 j =| -r (b j , y, d ) | + e = max{- r (b j , y, d ), r (b j , y, d )}+ e =

ìïæ ö ì j ü d F1e ( y ) = å coíçç - max í0, 1i ý, 0 n , 0 ÷÷; iÎI ï î j 2i þ ø îè

= max{y1 j , - y1 j }+ e = max{y1 j + e, - y1 j + e};

æ j12i j1i | j1i | j1i ö ì j1i ü ç÷; max 0 , , 0 , 0 + + í ý n 2 ç j2 ÷ j j j î þ 2 2 i i è ø 2i 2i

{

dy 2 j = co d (y ji + e ) - d (- y1 j + e ) + [(y1 j + e ) - y 2 j , 0n , 0] ;

}

d (- y1 j + e ) - d (y1 j + e ) + [(- y1 j + e ) - y 2 j , 0n , 0] =

æ j12i j1i | j1i | j1i ì j1i ü j1i j1i ö÷üï ç max 0 , , 2 , 2 + + a í ý ý+ 2 i ç j2 j 2i j22i j 22i ÷øïþ î j 2i þ j 2i è 2i

= co{(0, - b j , - 1) - (0, 0n , 0) + [y j + e/- | r (b j , y, d ) | -e/, 0n , 0] ;

(0, b j ,1) - (0, 0n , 0) + [- y1 j + e/- | r (b j , y, d ) | -e/, 0n , 0]} =

+

(0, b j ,1) + (r (b j , y, d ) - r (b j , y, d ) ,0 n ,0)} = ìïæ ö ìï y1 j üï = coíç - max í0, , 0 n , 0 ÷; ý ÷ ïî y 2 j ïþ ïîçè ø -

y1 j y 22 j

æ y12j y1 j | y1 j | y1 j ö ìï y1 j üï ç÷; max 0 , , 0 , 0 + + í ý n 2 ç y2 ÷ y y ï ï y 2j 2j þ 2j 2j î è ø

co{(y1 j - | y1 j |, - b j , - 1) , (- y1 j - | y1 j |, b j ,1)}+

æ öüï ìï y1 j üï y2 j y 2 j ö æ y1 j - max í0, + ç 0, - 2 b j , - 2 ÷+ ç , 0 , 0 ý n ÷÷ý = ç ç ÷ y y ïî y2 j y2 j ø è 2 j 2jï þ øïþ è ìïæ ö ìï y1 j üï = coíç - max í0, , 0n , 0 ÷ ; ý ÷ ïî y 2 j ïþ ïîçè ø æ y12j y1 j | y1 j | y1 j ö ìï y1 j üï ç÷ + + - max í0, , 0 , 0 ý n ÷; 2 ç y2 y y ïî y2 j 2j 2jï þ 2j è ø æ y12j y1 j | y1 j | y1 j ìï y1 j üï y1 j y1 j ö÷üï ç + + - max í0, , - 2b j ,- 2 ý ý; ç 2 y2 j ïî y 2 j ïþ y 22 j y 22 j y 22 j ÷øïþ è y2 j 164

ìïæ ö ìï y1 j üï co å íçç - max í0, ý, 0 n , 0 ÷÷ ; ïî y 2 j ïþ jÎJ ïîè ø

æ y12 j y1 j | y1 j | y1 j ìï y1 j üï y1 j y1 j ö÷üï ç max 0 , , 2 , 2 + + b ý, í ý j ç y2 y2 j ïî y 2 j ïþ y 22 j y 22 j ÷øïþ y 22 j è 2j где j1i = r (ai , y, d ); j2i =| r (ai , y, d ) | + e ; y1 j = - r (b j , y, d ); y 2 j =| r (b j , y, d ) | + e .

d F1e ( y ) = (0, 0n , 0). Таким образом, установлено, что функционал является гиподифференцируемым и найден вид его гиподифференциала. Замечание 2. Учитывая, что данное кодифференциальное отображение является непрерывным в метрике Хаусдорфа, можно строить сходящиеся методы. Однако это не является задачей настоящей работы. 165

Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ. СПб., 2007 Список литературы 1. Григорьева К. В. Использование суррогатных функционалов в математической диагностике // Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ: Межвуз. темат. сб. тр. / СПбГАСУ. Вып 12. СПб., 2006. – С. 218–234. 2. Григорьева К. В. Метод проектирования в одной задаче идентификации // Процессы управления и устойчивость: Тр. XXXIV науч. конф. аспирантов и студентов. – СПб.: СПбГУ, 2003. – С. 268–271. 3. Демьянов В. Ф., Рубинов А. М. Основы негладкого анализа и квазидифференциальное исчисление. – М.: Наука, 1990. – 432 с. Получено 17 апреля 2007 года.

Рис. 1. Пластинка, лежащая на колоннах

В то же время в местах контакта пластинки с колоннами наряду УДК 624.073-422.11:624.042.62

с усилиями V будут возникать радиальные моменты M, препятствующие деформированию пластинки в направлении, указанном на рис. 2.

С. А. Видюшенков, Е. В. Соколов (ГОУ ВПО «ПИМаш (ЛМЗ– ВТУЗ)») КРУГЛАЯ ПЛАСТИНКА, ЛЕЖАЩАЯ НА КОЛОННАХ, РАСПОЛОЖЕННЫХ НА ОКРУЖНОСТИ С ЦЕНТРОМ В ПОЛЮСЕ ПЛАСТИНКИ Рассматривается круглая пластинка, лежащая на колоннах, расположенных на окружности с центром в полюсе пластинки. Построены разрешающие дифференциальные уравнения осесимметричных и циклически симметричных деформаций и получены расчетные зависимости для прогибов и изгибающих моментов.

Рассмотрим круглую пластинку с наружным диаметром, равным 2 а, находящуюся под действием равномерного давления интенсивностью q и лежащую на нескольких колоннах, расположенных на одинаковых расстояниях друг от друга и от центра пластинки (рис. 1). Если количество колонн равняется N, то вследствие одинаковых условий их работы вертикальные усилия, возникающие в колоннах, V=

qpa 2 . N

166

(1)

Рис. 2. Схема деформирования пластинки

Схема деформирования, приведенная на рис. 2, соответствует случаю, когда размер b значительно превышает размер консольной части пластинки (a – b). В противном случае схема деформирования будет иметь выпуклость, направленную вверх, и изменяется направление действия моментов M. Сосредоточенные силы V и моменты M войдут в правую часть исходного разрешающего дифференциального уравнения пластинки, которое в данном случае примет вид 167

DÑ 4 w = q - V

d(r - b ) N M ¶d(r - b ) N å d(j - nj0 ) + å d(j - nj0 ), (2) r ¶r r n =1 n =1

æ ¶ 2 1 ¶ 1 ¶ 2 öæ ¶ 2 w 1 ¶w 1 ¶ 2 w ö ÷ç ÷ где Ñ 4 w = ç + + + + ç ¶r 2 r ¶r r 2 ¶j2 ÷ç ¶r 2 r ¶r r 2 ¶j2 ÷ è øè ø есть бигармонический дифференциальный оператор в полярных координатах. Так как пластинка замкнута в окружном направлении, все характеристики ее напряженно-деформированного состояния будут периодическими функциями относительно угловой координаты φ с периодом 2р, и тогда, представляя прогиб пластинки w в форме w=

ì1 при m = 0 ïï 2p am = í (7) ï 1 cos mnj ³ при 1 . m 0 ïî p Поскольку при разложении в ряд Фурье по косинусам mц дельтафункций δ(φ – nφ0) не равными нулю остаются лишь коэффициенты am, кратные числу колонн N, можно считать, что m = kN (k = 1, 2, 3,…). Тогда cos mnφ0 = cos knNφ0 = cos kn2р и так как числа k и т – целые числа, то все cos mnφ0 = 1. В силу фильтрующих свойств дельта-функции и ее первой производной, имеющих вид j(r )d(r - b ) = j(b )d(r - b ); j(r )d¢r (r - b ) = j(b )d¢r (r - b ) - j¢r (b )d(r - b ) ,

¥

å wm (r ) cos mj

(3)

m=0

и раскладывая правую часть дифференциального уравнения (2) в ряд Фурье по косинусам mφ, получим бесконечную систему обыкновенных дифференциальных уравнений следующего вида: q a d(r - b ) am 1 dd(r - b ) Ñ 4 w = m - m VN + MN (m = 0, 1, 2, ...), (4) D D r D r dr где æ d 2 1 d m 2 öæ d 2 wm 1 dwm m 2 ö ÷= Ñ4w = ç 2 + - 2 ÷ç + w m 2 ç dr ÷ç dr 2 ÷ r dr r dr r r è øè ø (5) d ì d ì d é d m ù üü = r m -1 ír1- 2m ír 2m -1 êr1- 2 m r wm ú ýý, dr î dr î dr ë dr û þþ а правая часть уравнения (4) получена в результате разложения в ряд Фурье по косинусам mц распределенной нагрузки q и дельта-функций δ(φ – nφ0). При этом коэффициенты Фурье qm от q следующие: ìq при m = 0 ï qm = í (6) ïî0 при m ³ 1.

(

)

В то же время коэффициенты Фурье am от функций примут вид 168

N

å d(j - nj0 )

n =1

(8)

и с учетом того, что в данном случае φ(r) = 1/r, уравнение (4) может быть записано в такой форме: r m -1

(

d ì 1 d ì 2m -1 d é 1 d m r wm í ír dr î r 2m -1 dr î dr êë r 2 m -1 dr

)ùúûüýüý =

þþ q a d(r - b ) am é d¢ (r - b ) d(r - b )ù MN ê r . = m - m qpa 2 + + D D b D (9) ë b b 2 úû При построении дифференциального уравнения (9) учтено соотношение (5) и формула (1). Дальнейшее построение решения дифференциального уравнения (9) целесообразно производить по отдельности для случаев осесимметричных деформаций (m = 0) и циклически симметричных деформаций (m ³ 1). Осесимметричная деформация (m = 0) Полагая в уравнении (9) m = 0 и учитывая значения коэффициентов Фурье qm и am, с помощью соотношений (6) и (7) при m = 0 получим такое дифференциальное уравнение для осесимметричной деформации: 1 d ì d é 1 d æ dw0 öù ü çr ÷ ý= ír r dr î dr êë r dr è dr øúû þ =

q qa 2 d(r - b ) M N é d¢r (r - b ) d(r - b )ù + + . D 2D b D 2p êë b b 2 úû 169

(10)

Последовательно четыре раза интегрируя уравнение (10), получим соотношения для угла поворота пластинки dw0/dr и для ее прогиба w0. Они имеют вид dw0 qr qa r æç b r ö = - H (r - b ) + 2 ln - 1÷ + 2 ç 8D è r dr 16 D b ÷ø 3

+ H (r - b )

2

qr 4 qa 2b 2 éæç r 2 ö÷ r r 2 ù - H (r - b ) + 1 ln - + 1ú + ê 64 D 8D êëçè b 2 ÷ø b b 2 úû MNb æç r 2 r ö÷ r2 r 2 ln 1 ln + H (r - b ) + C + C + C4 , 2 3 8pD çè b 2 4 b ÷ø b

MN æç æbö 1 + n + (1 - n ) ç ÷ - H (r - b ) 4pb çè èrø

2ö

÷ + C 1+ n , 2 ÷ 2 ø

qb4 qa 2b2 MNb A1 + B1, 64 D 4D 8pD

(15)

Величину изгибающего момента определим из условия равенства углов поворота пластинки и любой из поддерживающих ее колонн в месте их контакта, т. е. при r = b: Ml æ dwm ö = . ç ÷ (16) è dr ø r =b EI Тогда с учетом соотношений (11) и (15) получим

(12)

qb3 qa 2b N æç 1 - n b 2 ö÷ Ml M= × 1+ 2 ç ÷ EI 16 D 4(1 + n )D 4pD è 1 + n a ø

(13)

При этом радиальный изгибающий момент M1,0(r) определяется по формуле 2 æ d 2 w n dw0 ö ÷ = - qr (3 + n ) + M1,0 (r ) = - Dç 20 + ç dr 16 r dr ÷ø è qa 2 é r 1 - n æç b 2 ö÷ù 1+ H (r - b ) ê(1 + n ) ln + ú4 ëê 2 çè r 2 ÷øûú b

C4 = -

(11)

где H(r – b) – единичная функция. Для пластинки, не имеющей отверстия в центре, т. е. при r = 0, C3 = 0. Так же, как и всегда, для осесимметричной деформации С1 = 0. Произвольные постоянные интегрирования С2 и С4 определяются из граничных условий задачи, имеющих вид w0 (b ) = M 1,0 (a ) = 0.

qa 2 MN A1 B1; D 2pDb

2 1 3+ n 1 é 1- n æ b ö a 1 - n æç b 2 ö÷ù 1 - 2 ú; B1 = + 1. + ê2 ln + где A1 = - × ç ÷ 8 1 + n 4 êë 1+ n è a ø b 1 + n çè a ÷øúû

w0 =

170

C2 =

2

1 MN æ r b ö r ç - ÷ + C2 + C3 ; 4pD è b r ø 2 r

где ν – коэффициент Пуассона.

Используя граничные условия (13), определим величины произвольных постоянных интегрирования С2 и С4.

Отсюда определяется величина изгибающего момента М. æ 1 1 a 2 ö æ Dl N ö M = qb3 ç + A ÷/ + B . (17) ç 16 2 b 2 1 ÷ çè EI 4p 1 ÷ø è ø Циклически симметричные деформации (m = N, 2N,…) С учетом соотношений (5)–(7) дифференциальное уравнение циклически симметричных деформаций примет вид r m -1 =

(

d ì 1- 2 m d ì 2 m -1 d é 1- 2 m d m r r wm ír ír dr î dr î dr êë dr

)ùúûüýüý =

qa 2 d(r - b ) M N é d¢r (r - b ) d(r - b )ù + D b D p êë b b 2 úû

þþ

(m = n,2 N ,...) .

(18)

Умножая уравнение (18) на r1 – m, получим (14)

(

d ì 1- 2m d ì 2 m -1 d é 1- 2m d m r r wm ír ír dr î dr î dr êë dr =

)ùúûüýüý = þþ

qa 2 d(r - b ) M N - m é m ù b êd¢r (r - b ) + d(r - b )ú. m D D p b û b ë 171

(19)

Правая часть уравнения (19) получена с учетом соотношений (8). Последовательно четыре раза интегрируя уравнение (19), будем иметь wm = C1m r m + 2 + C2m r 2 - m + C3m r m + C4m r - m + H (r - b )

qa 2b2 ´ 8Dm(m - 1)

ìï m - 1 éæ r ö- m æ r öm + 2 ù æ r öm æ r ö2- m üï MNb ´í ´ êç ÷ - ç ÷ ú +ç ÷ -ç ÷ ý + H (r - b ) 8pD èbø èbø ïî m + 1 ëêè b ø ïþ ûú è b ø -m m+2 ù m 2- m ü m-2ær ö 1 ìï m - 1 é m + 2 æ r ö ï ærö ærö ´ + ê ú ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ í ý. (m - 1) ïî m + 1 êë m è b ø m èbø èbø èbø ïþ úû

- H (r - b )

2- m -m ìï m - 1 é m + 2 æ b ö m + 2 æbö ù m - 2 æbö æ b ö üï ´í d13 ç ÷ + d12 ç ÷ ú d11ç ÷ + d14 ç ÷m ý. (22) ê m èrø è r ø úû èrø è r ø ïþ ïî m + 1 êë m

Здесь d11, d12, d13, d14 – некоторые постоянные, вид которых указан ниже: d12 = (m + 1) [2(1 + n ) + m(1 - n )] ; d14 = (m - 1) [2(1 + n ) - m(1 - n )] .

(20)

dwm qa 2 r = C1m (m + 2 )r m +1 + C3m mr m-1 + H (r - b ) ´ dr 8 Dm(m - 1) m m-2 -m ìï m - 1 é æ r ö - m ærö ù ærö æ r ö üï ´í + (m - 2 ) ç ÷ ý + ê- mç ÷ - (m + 2 ) ç ÷ ú + mç ÷ è b ø úû èbø è b ø ïþ ïî m + 1 êë è b ø m +1 - m -1 ù m +1 1- m MN ìï m + 2 éæ r ö m - 2 éæ r ö æ r ö ù üï ærö + H (r - b ) êç ÷ êç ÷ ú ç ÷ ú ý. ç ÷ í bø m b 8pD ï m + 1 êëè b ø 1 è ø è b ø úû þï (21) è ê ú ë û î

Постоянные интегрирования C1m и C3m определяются с помощью граничных условий M1(a ) = Q(a ) +

= - DC1m d12 r m - DC3m d11r m - 2 - H (r - b )

H = D(1 - n )

2- m m -m ìï m - 1 é æ b ö m + 2 æbö ù æbö æ b ö üï ´í - d12 ç ÷ ú + d11ç ÷ + d14 ç ÷ ý êd13 ç ÷ è r ø ûú èrø è r ø ïþ ïî m + 1 ëê è r ø

MN 172

1

m æ dwm m ö - wm ÷ ; ç r è dr r ø

ö d 2 d æç d 2 wm 1 dwm m2 ÷. Q = - D Ñ wm = - D + w m ÷ dr dr çè dr 2 r dr r2 ø Тогда постоянные интегрирования будут следующими: C1m =

qa 2b- m MNb - m -1 A1m + B1m , 8Dm(m - 1) 8pD(m - 1)

C3m = -

qa ´ 8m(m - 1)

m H (a ) = 0, a

где

Радиальный изгибающий момент определяется по формуле

2

d13 = m(m + 1) (1 - n );

d11 = m(m - 1) (1 - n ) ;

В силу замкнутости пластинки в центре произвольные постоянные C2m = C4m = 0. С учетом соотношения (20) угол поворота пластинки

é d 2 wm n æ dwm m 2 öù M1m = - D ê + ç wm ÷ú = 2 ÷ ç r è dr r øûú ëê dr

MN 1 ´ 8pb (m - 1)

A1m

qa 4 - m MNa 2b - m -1 A3m B3m , 8Dpm(m - 1) 8Dp(m - 1)

2m + 2 ù d æ b ö2 m m - 1 é d 22 æ b ö = + 1ú + 23 ç ÷ , êç ÷ m + 1 ëê d 21 è a ø ûú d 21 è a ø

A2 m =

-m 2-m m+ 2 m m -1 é æ b ö æbö ù æbö æbö - d12 ç ÷ ú + d11ç ÷ + d14 ç ÷ , êd13 ç ÷ m + 1 ëê è a ø è a ø ûú èaø èaø

A3m =

m ù 1 é æaö êd12 ç ÷ A1m + A2 m ú, d11 êë è b ø úû

173

(23)

Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ. СПб., 2007

B1m

2m + 2 ù d æ b ö2m m - 1 é m + 2 d 22 æ b ö = - 1ú + 23 ç ÷ , êç ÷ m + 1 ëê m d 21 è a ø ûú d 21 è a ø m+ 2

B2m =

m -1 ém + 2 æ b ö d13 ç ÷ ê m + 1 êë m èaø

B3m =

m ù 1 é æbö d B + ê 12 1m ç ÷ B2 m ú , d11 êë èaø úû

d 22 = 2m3 (1 - n ) ,

æbö + d12 ç ÷ èaø

-m ù

m-2 æbö d11ç ÷ úm èaø úû

2- m

m

æbö + d14 ç ÷ , èaø

d 21 = 2m[m(1 + n ) + 2] ,

d 23 = 2m(m - 1)[m(1 - n ) + 2] .

упругогеометрического параметра, при помощи которого определяется упругая постоянная слоистого полупространства и все основные характеристики при его осесимметричном нагружении. Целью настоящей работы является определение упругой характеристики слоистого полупространства на основании его жесткостной модели для любых значений д. Рассмотрим нагружение слоистого полупространства (см. рис. 1) нормальными напряжениями в круговой области (1) p (r) = p0 1 - r2 a 2 , 0 £ r £ a. С учетом классического подхода, основанного на применении потенциальных функций Буссинеску перемещение любой точки по оси симметрии внутрь однородного полупространства для случая его нагружения распределенной нагрузкой [3] 1+ m é dy ù 2(1 - m )y - z , (2) ê 2pE ë dz úû где E и m – модуль упругости и коэффициент Пуассона соответственно; 1 y = òò p(r) rdrdj, R = r 2 + z 2 , R s uz =

Получено 2 мая 2007 года.

УДК 531.44 П. М. Огар, Е. А. Ключев, О. В. Максимова (БрГУ)

или с учетом выражения (1) и того, что r = r a и z = z a ,

ОПРЕДЕЛЕНИЕ УПРУГОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛОИСТОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА В работе на основании жесткостной модели слоистого полупространства излагается инженерная методика определения его упругой характеристики в зависимости от упругих характеристик покрытия и основного материала, толщины покрытия и степени деформации.

Рассмотрим слоистое упругое тело (рис. 1), которое состоит из покрытия толщиной d с упругими характеристиками m1 и E1 и основного материала с упругими характеристиками m2 и E2. Задача определения напряжений и деформаций при нагружении слоистого упругого тела чрезвычайно актуальна, в частности для трибомеханики. Точное решение этой задачи при осесимметричном нагружении приведено в [1], однако оно трудоемко для инженерных расчетов. В работе [2] для этой цели предложено использовать теорию Герца. Имея достоверные результаты для крайних значений d = 0 и d = ¥ и используя двухточечную аппроксимацию Паде получили выражение для безразмерного 174

p 21

1 - r 2 r d r dj

00

r2 + z

y = 4 p0 a ò ò

,

y = pp0 a[(1 + z )arcctgz - z ] . Подставляя выражение (3) в (2) получим u z = qp0 aK ( z , m),

(

)

(3) (4)

где q = 1 - m 2 E , m z (1 - arcctgz ). 1- m Перемещения точки O (см. рис. 1), находящейся на оси z под нагрузкой, можно представить в виде суммы перемещений слоя ωд и основания ωa: ω0= ωд+ ωa. K ( z , m) = arcctg z -

175

Упростим обозначения, приняв K i (0, m i ) = K i (0 ),

K i (d, m i ) = K i (d ).

Тогда

wd = q1 p01a[K1 (0 ) - K1 (d )]. Для схемы, представленной на рис. 2, б,

w A2 = u zA2 = q 2 p02 aK 2 (d );

u zO1 - u zA1 u zA2 . ; c2 = P1 P2 Для схемы, представленной на рис. 3, а, c1 =

P (u zO1 - u zA1 ) + P u zA2 . P1 P2 Из эквивалентности схем нагружения на рис. 4, а и 4, б следует w0 =

Рис. 1. Схема нагружения слоистого полупространства

Схему (см. рис. 1) можно представить в виде рис. 3, а. Тогда получим перемещения wd = Pc1 , wa = Pc2 , w0 = P(c1 + c2 ), где с1, с2 – жесткости слоя и основного материала. Введем два однородных полупространства с упругими характеристиками m1, Е1 и m2, Е2, нагруженных соответственно силами P1 и P2 (рис. 2). Силы P1 и P2, а соответственно максимальные давления р01 и р02 выбираются из условия равенства перемещений wd = w1 , wa = w2 . Для схемы (рис. 3, а): w d = w O 1 - w A1 = u zO 1 - u zA 1 = q1 p O 1 a [K 1 (0 , m 1 ) - K 1 (d , m 1 )], где d = d a .

(5)

P = P1

c1 c2 + P2 , c1 + c2 c1 + c2

(6а)

c1 c2 + p02 . (6б) c1 + c2 c1 + c2 Значение р01 определим из условий равенства сжатия покрытия толщиной δ для слоистого тела под нагрузкой р0 и однородного материала под нагрузкой р01: или

p0 = p01

q0 p0a[K0 (0) - K0 (d )] = q1 p01a[K1(0) - K1 (d )], p01 =

q0 K 0 (0 ) - K 0 (d ) p0 . q1 K1 (0 ) - K1 (d )

(7)

Значение р02 определим из условия равенства перемещений при z = δ слоистого тела под нагрузкой р0 и однородного материала при z = δ под нагрузкой р02: q0 p0 aK 0 (d ) = q 2 p02 aK 2 (d ), p02 =

q0 K 0 (d ) p0 . q2 K 2 (d )

(8)

Выражения (5) представим в виде Рис. 2. Схемы однородных полупространств

Рис. 3. Эквивалентная схема нагружения слоистого полупространства 176

c1 =

3 q1 [K1(0) - K1 (d )] , 2 pa 177

(9а)

3 q2 3 q1 p01 K 2 (d ) = K1 (d ) . 2 pa 2 pa p02 С учетом выражений (7) и (8) имеем c2 =

3 q2 K 0 (0) - K 0 (d ) K 2 (d ) K1 (d ) . 2 pa K1 (0) - K1 (d ) K 0 d

()

(9б) Рис. 4. Расчетные схемы: а – контактирования; б – контакта сферы с однородным полупространством с характеристиками m1, E1; в – с характеристиками m2, E2

c2 =

Подставляя выражения (7), (8), (9а) и (9б) в (6б) и с учетом того, что K1 (0) = K 0 (0 ) , получим q0 = q1Fd ,

é (K (0) - K (d ))2 K 2 (d ) q2 ù 1 1 где Fd = K (0) ê K (0) - K d + K1 d K (d ) × q ú . (10) êë 0 1 0 1ú 0 û При d = 0 q0 = q2 , при d = ¥ q0 = q1 , т. е. граничные условия выполняются. Так как значения функции K d, m для м = 0.3,…, 0.5 изменяются незначительно, то с большой степенью точности (менее 1 %) можно принять 1

()

()

( )

m1 - m 2 × Fd 1 - q2 q1 и решать уравнение (10) относительно Fд с начальным приближением m 0 = m1 -

Fd0 = Fd m

0 =0.5(m1 +m 2 )

.

Рассмотрим контакт жесткой сферы радиусом R со слоистым полупространством (см. рис. 4). Согласно данным [3] радиус площадки контакта 1

æ 3PRq ö 3 a=ç (11) ÷ . è 4 ø Перемещение точки О (см. рис. 4, а) может быть представлено в виде суммы перемещений покрытия и основания под нагрузкой P: w0 = wd + wa . Введем две новые схемы контактирования (см. рис. 4, б, в) сферы с радиусом R под нагрузками P1 и P2 с однородными полупространствами с упругими характеристиками м1, E1 и м2, E2 соответственно. 178

179

В соответствии с ранее используемым подходом w0 = w1 + w2 . Сжатие однородного слоя толщиной д определяем выражением 3q P w1 = q0 p01a[K1 (0 ) - K1 (d )] = 1 1 [K1 (0 ) - K1 (d )], 2pa 1

или с учетом (11) w1 =

æ 6 2 q12 P12 ö 3 ç ÷

1 2p çè

R

[K1 (0) - K1 (d )].

÷ ø

Соответствующая жесткость 1

w 1 æ 9q 2 ö 3 c1 = 1 = ç 1 ÷ [K1 (0 ) - K1 (d )] . P1 p çè 2 RP1 ÷ø Перемещения точек А1 и А2 должны быть равны. 1 3

(12)

1

1 æç 9q02 P 2 ö÷ 3 [K 0 (0) - K 0 (d )] = p çè 2 R ÷ø

Fd R

(16)

лПри d = 0 q0 = q2 , при d = ¥ q0 = q1 , т. е. граничные условия выполняются. Следует отметить, что выражение (16) отличается от аналогичного (10) только показателем степени во втором слагаемом. Как показал анализ зависимостей (10) и (16), отклонения между ними для d = 0,..., 20 и e = 0 не превышали 0.2 %, поэтому для инженерных расчетов можно принять FdR @ Fd = F . Для случая контакта гладкой жесткой сферы со слоистым полупространством сближение тел определяется выражением 2 F3

w 2 w1 1 æç 9 q12 P12 ö÷ = = K1 d . (13) P2 P2 p çè RP23 ÷ø Значение P1 определяем из условия равенства перемещений при z = δ слоистого упругого тела под нагрузкой P и однородного материала под нагрузкой P1: Тогда c 2 =

где

3 é ù 2 2 q2 ú æ ö ( ( ) ) ( ) ( ) d d K 0 K K ê 1 2 1 ÷ = + K 1 (d )çç . K 1 (0 ) ê K 0 (0 ) - K 0 (d ) K 0 (d ) ÷ø q1 ú è ú ê ë û

1

()

w = w1 для радиуса контакта и максимального давления p0 получим 1

()

a = a1F 3 ,

p0 = p01F

-2 3

.

Зависимость F d представлена на рис. 5.

1

1 æç 9q12 P12 ö÷ 3 [K1(0) - K1 (d )], p çè 2 R ÷ø 3

q æ K (0) - K 0 (d ) ö 2 ÷ P. P1 = 0 çç 0 q1 è K1 (0) - K1 (d ) ÷ø

(14)

Значение P2 определим из условия равенства перемещений при z = δ слоистого упругого тела под нагрузкой P и однородного материала под нагрузкой P2. В результате получим 3

q æ K (d ) ö 2 P2 = 0 çç 0 ÷÷ P . q 2 è K 2 (d ) ø

(15)

Рис. 5. Зависимость параметра F от d для Е1 = 2.39 ГПа , µ1 = 0.38, Е2 = 2.01 ГПа, µ2 = 0.3

Подставляя (12), (13), (14) и (15) в (6а) и с учетом того, что K 0 (0 ) = K1 (0 ) , получим q 0 = q1 Fd R ,

Для d = 0 значение F = q2 q1 , для d ® 0 значение F ® 1. Существенное увеличение параметра F наблюдается в диапазоне d = 0, ..., 5.

180

181

Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ. СПб., 2007 Список литературы 1. Макушкин А. П. Полимеры в узлах трения и уплотнениях при низких температурах. – М.: Машиностроение, 1993. – 288 с. 2. Воронин Н. А. Применение теории упругого контакта Герца к расчету напряженно-деформированного состояния слоистого упругого тела // Трение и износ. – 1993. – Т. 14. – № 5. – С. 250–258. 3. Джонсон К. Механика контактного взаимодействия. – М.: Мир, 1989. – 510 с. Получено 4 мая 2007 года.

в значительной мере на контактных характеристиках сказывается взаимное влияние неровностей, поэтому вызывает практический интерес определение начала пластической деформации в этих условиях контактирования шероховатых поверхностей. Рассмотрим контакт жесткой шероховатой поверхности и ее отдельной сферической поверхности радиусом R с вершиной, расположенной на расстоянии uRmax от линии вершин шероховатой поверхности, и упругопластического полупространства в системе цилиндрических координат r, j, z с началом в точке О, принадлежащей недеформированной поверхности полупространства. Влияние на характеристики контакта отдельной неровности в пределах круговой области W1 (r = 0, a ri ) напряжений на остальных пятнах контакта будет эквивалентно влиянию равномерно распределенной нагрузки qc, действующей в кольцевой облас-

УДК 621.891

ти W2 (r = aci , a L ) , причем aL >> aci . Решение данной осесимметричной

П. М. Огар, А. А. Дайнеко, С. С. Клюс (БрГУ)

задачи приведено в работах [3–6]. Далее приведем выражения, характеризующие контакт отдельной неровности и шероховатой поверхности с полупространством. Распределение контактного давления на площадке контакта

ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАЧАЛА ПЛАСТИЧЕСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ КОНТАКТА ШЕРОХОВАТЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ Определен критерий пластичности при контактировании шероховатой поверхности с упругим полупространством с учетом взаимного влияния неровностей.

Задача отыскания критерия пластичности окончательно не решена. Все предложенные до сих пор критерии имеют ограниченную область применения. Наиболее близкое совпадение с экспериментальными данными по вдавливанию инденторов в упруго пластичные среды показали энергетическая теория сдвиговой деформации Мизеса и теория максимальных касательных напряжений Треска. Различие двух критериев невелико, поэтому целесообразно использовать критерий Треска из-за его алгебраической простоты. Третий критерий пластичности известен как критерий максимального приведенного напряжения. Критерий Треска и критерий приведенного напряжения образуют пределы, между которыми находится истинный критерий пластичности [1]. Перечисленные критерии были исследованы в работе [2] для их применения при контактировании шероховатых поверхностей без учета взаимного влияния неровностей. Однако для многих соединений деталей машин характерна большая плотность пятен контакта, при которой 182

4hi0.5wRmax

ri2

1 - hi (2 - ri2 ari2 ) qc , (1) 1arccos qri (r) = + 2 2 2 pqaci p 1 - hi ri ari ari контурное давление для отдельной неровности 8h1i .5 wRmax qci = + qc y h (hi ) , 3pqaci

где y h (hi ) =

[

]

2 arcsin hi 0.5 - hi (1 - hi ) . p

(2) (3)

В приведенных выражениях w, Rmax , aci – параметры микрогеометрии; q = E /(1 - m 2 ) – упругая постоянная; hi = ari2 / aci2 . Среднее qmi и максимальное давления qri (0) на пятне контакта имеют вид q mi =

qci 8hi wRmax = + qc y h (hi ) , hi 3pqac 183

(4)

4hi0.5 wRmax qc + arccos(1 - 2hi ) . (5) pqaci p Упругий контакт шероховатой поверхности с полупространством описывается выражениями qri (0) =

Fq (e) =

8 3p 1-

qc ( e ) = где Fq =

min( e,e s )

min(e, e s )

ò

0 min(e, e s )

h1i ,5j¢n (u )du ;

(6)

ò y h (hi )j¢n (u )du

0

ò qci j¢n j¢n (u )du ; h(e) =

min( e, e s )

0

ò qci j¢n (u )du ;

(7)

0

qqc ac ; wRmax

(8)

é Fq e-u hi = - Fq ê1 + ê 2w 2 ëê

2 ù æ Fq ö e-uú ç1 + ÷ . (9) ç ÷ ú 2 2 w è ø ûú Область применения выражений (1)–(9) ограничена критерием пластичности, определяющим начало пластической деформации. Схема нагружения полупространства при контактировании отдельной неровности представлена на рис. 1. Для определения напряженно-деформированного состояния внутри полупространства используем соотношения закона Гука m ù m ù é é s r = 2G êe r + eú; s j = 2G êe j + e ; 1 - 2m û 1 - 2m úû ë ë

m é ù eú; t rz = Gg; s z = 2G êe z + 2 - 2m û ë ¶u ¶u r u ; ej = ; e z = z ; ¶r r ¶z ¶u ¶u g= r + z; ¶r ¶z e = e z + er + ej.

(10)

Вначале определим перемещения u z и u r . Используем принцип суперпозиции перемещений от действия нагрузок qr и qc u z = u z1 + u z 2 . Согласно данным работы [1] uz =

W 1

(11)

qé z ¶y ù y, ê pë 2(1 - m ) ¶z úû

(12)

где y = y1 + y 2 . y1 = òò q1 (r1 )

er =

184

Рис. 1. Схема нагружения полупространства

1 1 r1dr1j ; y 2 = òò qc r2 dr2 dj ; R1 R 2 W

(13)

1

Ri = ri2 + r 2 + z 2 - 2 ri r cos j , i = 1, 2 . Так как распределение qr (r1 ) незначительно отличается от герцевского, то 185

Учитывая, что

qr (r1 ) = qr 0 1 - r12 / ar2 .

Тогда

ar p y1 = 2 q r 0 ò ò

1 - r12 / ar2 r1dr1dj r22

0 0

;

2

2

E(x) = (14)

+ r + z - 2r2r cos j

aL p r2 dr2 dj y1 = 2qc ò ò . a 0 r 2 + r 2 + z 2 - 2r2r cos j 2 r

(15)

имеем

r1 1 - r12 dr1dj

1p

y1 = 2qr 0 ar ò ò

00 r 2 - 2r1r h cos j + r 2 + z1 1

ap y 2 = 2 qc ac ò ò

;

(16)

r2 dr1dj

;

¶y 2 ¶y ¶y1 = + ¶z ar ¶z1 ac ¶z 2 . При Z = 0 из выражений (16), (17), и (18) получим

y2

z=0

z =0

=

p 2 q r 0 ar 4

è

(2 - r ) ,

ø

(

)ú û

¶y = -2pqri ( r ) , ¶z z = 0 где E (x) – полный эллиптический интервал второго рода. 186

(17)

(

)

é æ 1 1 rhö p æ 1 1 öù qr 0qar 2 - r 2 + 2qc qac êa 2 F1çç - , ;1; ÷÷- 2 F1ç - ; ;1; r 2hi ÷ú, 4 è 2 2 øû è 2 2 a2 ø ë

(

¶u z 1 - 2m = qqr 0 1 - r 2 ¶z 1- m

1

) 2,

1

(

)

s z = - qr 0 1 - r 2 2 = - qri ( r ) .

(19)

Для радиального перемещения на площадке контакта имеем 1 - 2m qr (r1 )dw1 , 2pG R1

1 - 2m qr dw2 . 2pG R2 С учетом данных [1] и выражений (10), (11) для поверхности площадки контакта получим du r 2 = -

(18)

é æ r h0.5 ö ù = 4qc ac êa E ç i ÷ - E r, hi0.5 ú , ç a ÷ êë

uz =

du r1 = -

1 0 r 2 - 2r2 r h0.5 cos j + r 2 + z i 1 2

y1

где 2 F1– гипергеометрическая функция Гаусса; для перемещений u z на поверхности площадки контакта получим

ez =

z r a r r z Обозначая r1 = ; z1 = ; r2 = 2 ; z 2 = ; a = L , ;r= a ac ac ar ar ar c

p æ 1 1 2ö 2 F1 ç - ; ; 1; x ÷ , 2 2 2 è ø

3ù 1 - 2m qr 0 ar é 2 2 ur1 = × ê1 - 1 - r ú , u = 0 ; 2(1 - m ) r ëê úû r 2

(

æ (1 - 2m ) é s r = qr 0 ç ê1 - 1 - r 2 ç 3r 2 ê ë è

(

æ (1 - 2m ) é sj = - q r 0 ç ê1 - 1 - r 2 ç 3r 2 ê ë è

)

3ù 2ú

)

úû

(

- 1- r

2

)

1 2

ö ÷, ÷ ø

(20)

ö ÷ (21) ÷. úû ø С учетом того, что выражение (5) можно представить в виде

(

187

1 3ù 2 2 2 ú - 2m 1 - r

)

(

)

ö æ Fq q qr 0 = qн0 + c arccos(1 - 2hi ) = qн0 ç1 + 0.5 arccos(1 - 2hi ) ÷ , ÷ ç 4h p ø è i где qн0 =

4hi0.5 p

æ - hi z 2 ç ç è

wRmax , qac

для выражений (19), (20), (21) имеем

(

) (

(

(

)

) (

)

)

)

Используя выражения (19)–(21) для напряжений s z , sr , sj , которые на площадке контакта являются главными, можно рассчитать эквивалентные напряжения и определить начало пластической деформации. Напряжения на оси z можно вычислить рассмотрев элементарные кольца радиусом r1 и r2, на которые действуют сосредоточенные силы. Нагрузки на кольца равны 2pr1qc (r1 )dr1 и 2pr2 qc (r2 )dr2 . Подставляя эти значения в выражения для напряжений оси сосредоточенных сил и интегрируя по площадям W1 и W2 , находим дим Fq s r1 s j1 æç = = 1 + 0.5 arccos 1 - 2hi ç qн 0 qн0 è 4hi

(

(

(

) (

) (

)

öæ 1 -1 ö ÷ç 1 + z 2 - (1 + m )(1 - z arcctg z )÷, ÷è 2 ø ø

æ Fq s z1 = - ç1 + 0.5 arccos 1 - 2hi ç qн 0 è 4hi

(

188

)ö÷÷ (1 + z 2 )-1 , ø

)

(

)

)

3 3 æ pFq hi z 3 æç - öö 2(1 + m )ç a 2 + hi z 2 2 - 1 + hi z 2 2 ÷ ÷ . ç ç ÷÷ 4 è øø è Используя полученные выражения для компонент напряжений на оси z , можно определить эквивалентные напряжения и начало пластических деформаций. При этом следует учесть, что s r = s r1 + s r 2 , s j = s j1 + s j2 , s z = s z1 + s z 2 .

(

sz2 =

1ö ü 3ö ö æç 1 - 2m æç Fq sr æ 2 2÷ 2 2÷ ï r r = ç1 + 0.5 arccos(1 - 2hi )÷ ç 1 1 1 ÷÷; ï ÷ ç 3r 2 ç ÷ qн0 çè 4hi øè è ø ø ï 3 1 öï ö sj ö æç 1 - 2m æç æ Fq 2 2÷ 2 2÷ï ÷ ç + 1- r = - 1 + 0.5 arccos(1 - 2hi ) 1- 1- r ; ÷ ý (22) ÷ç ç 4h ÷ 2 ç qн0 ø è 3r è è i ø øï ï 1 2 öö æ æ ï F h r 1 2 sz q i ÷ ÷. = -ç 1 - r 2 2 + 0.5 arccos ç ï ç ç 1- h r2 ÷÷ qн0 h 4 ï i è øø i è þ

(

1 öö 1 æ æ ç 2(1 + m )ç a 2 + h z 2 - 2 - 1 - h z 2 - 2 ÷ ÷ i i çç ç ÷ ÷÷ è øø è 3 3 - ö a 2 + hi z 2 2 - 1 + hi z 2 2 ÷ , ÷ ø

s r 2 s j2 pFq z = = 8 qн 0 qн 0

) (

)

На рис. 2 представлены графические зависимости эквивалентного напряжения sэ (r ) и s э ( z ) на площадке контакта и на оси z, рассчитанные по энергетической теории сдвиговой деформации Мизеса для неровностей, расположенных на уровнях u = 0 (а, б, г) и u = 0.5 (в), при различных нагрузках (значениях e ) sэ =

(sr - sj )2 + (sj - s z )2 - (s z - sr )2 /

2.

При малых нагрузках, когда не сказывается взаимное влияние неровностей, зарождение пластической деформации происходит в приповерхностном слое в точке z = 0.481ar . С ростом взаимного влияния неровностей при e > 0.7 максимум эквивалентного напряжения на оси z в приповерхностном слое исчезает и пластические деформации зарождаются на краю площадки контакта при r = 1. Эквивалентные напряжения на краю и в центре площадки контакта можно определить из выражений (22): 1 - 2m

1 - 2m qr 0 , sэ (0) = qr 0 . 3 2 Для всего диапазона нагрузок (значений e ) отношение sэ (1) 2 = , s э (0) 3 sэ (1) =

т. е. является постоянным. 189

(23)

Из выражения (5) с учетом (23) определим предельное значение h pi , при котором появляются пластические деформации на краю площадки контакта. Fq æ p 3 h pi = çç FY arccos 1 - 2h pi 4 è 4(1 - 2m )

(

где FY =

2

ö ÷ , ÷ ø

)

qsY ac . wRmax

Соответствующее этому контурное давление qcpi = qci h = h , i pi

где qci определяется выражением (5). В общем случае максимальное контактное давление, при котором начинается пластическая деформация, представляется выражением q0 P = KY sY , где KY – константа; sY – предел текучести. Если без учета взаимного влияния неровностей для μ = 0.3 KY = 5, то при взаимном влиянии неровностей для e = 1 и u = 0 KY = 3.34 , для e = 1.5 и u = 0 uY = 2.68 . Таким образом, начало пластической деформации отдельной неровности зависит от общего напряженно-деформированного состояния полупространства. Список литературы

Рис. 2. Эквивалентные напряжения на площадке контакта и на оси z: а – e = 0.05; u = 0; б – e = 1; u = 0; в – e =1.5; u = 0.5; г – =1.5; u = 0 190

1. Джонсон К. Механика контактного взаимодействия. – М.: Мир, 1989. – 510 с. 2. Огар П. М., Дайнеко А. А., Клюс С. С. Критерии пластичности при контактировании шероховатых поверхностей // Механики XXI веку. VI Всероссийская научно-техническая конференция с международным участием: Сборник докладов. – Братск: Изд-во ГОУ ВПО «БрГУ», 2007. – С. 313–317. 3. Огар П. М., Корсак И. И. Влияние характеристик стыка шероховатых уплотнительных поверхностей на герметичность / Братск, БрИИ, 1989. – 110 с. Деп. в ВИНИТИ, № 6109 – В90. 191

Для реализации факторного анализа можно использовать универсальный пакет для статистической обработки информации SPSS [1]. Основная сложность при проведении факторного анализа заключается в необходимости рационально интерпретировать полученные группы факторов с точки зрения здравого смысла. Ограничением применения факторного анализа является ситуация, когда один и тот же фактор относится сразу к двум или более группам, то есть фактор нельзя однозначно классифицировать. Факторный анализ позволяет разделить массив переменных на малое число групп. Классификация производится на основании корреля-

ционного анализа. В одну группу объединяется несколько факторов, тесно связанных между собой и не связанных или слабо связанных с другими факторами, составляющими другие группы. Таким образом, в результате факторного анализа мы получаем из несистематизированного массива данных несколько макропараметров, описывающих объект маркетингового исследования. Рассмотрим пример маркетингового исследования для компании, предоставляющей услуги мобильной и стационарной телефонной связи, а также осуществляющей продажу телефонных аппаратов, планирующей расширить свой бизнес за счет прибыли компании [2]. Изучалось влияние основных факторов и их динамики (число абонентов компании – х1; выручка за мобильный трафик – х2; затраты на поддержание и обновление программного обеспечения – х3) на рост прибыли Р и ее изменение во времени. Для анализа использованы статистические данные за период t, охватывающий 22 квартала. На основе исходных данных с использованием электронной таблицы Excel были получены следующие аппроксимации: для факторов х1(t), х2(t), х3(t); прибыли Р(t); производных факторов (dх1/dt) (t), (dх2/dt) (t), (dх3/dt) (t), производной прибыли (dР/dt) (t). Процедура факторного анализа в пакете SPSS запускается при помощи меню Analyze ® Data Reduction ® Factor и выполняется по следующему алгоритму: выбор переменных для факторного анализа; выбор показателей для тестов; выбор метода формирования факторной модели; выбор типа ротации матрицы коэффициентов; создание в исходном файле данных новых переменных, которые позволят отнести каждое наблюдение к определенному фактору; упрощение ротированной матрицы факторов путем отсечения незначимых переменных; проверка пригодности имеющихся данных для факторного анализа в целом; рассмотрение результирующей ротированной матрицы факторных коэффициентов. В результате проведенного анализа были выделены две группы факторов: первая – факторы P, x1, x2, x3, dx1/dt, dx3/dt; вторая – dP/dt, dx2/dt. Полученные результаты позволяют судить о первой группе факторов, влияющих на прибыль компании (число абонентов компании, вы-

192

193

Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ. СПб., 2007 4. Долотов А. М., Огар П. М., Чегодаев Д. Е. Основы теории и проектирование уплотнений гидропневмоарматуры летательных аппаратов. – М.: Изд-во МАИ, 2000. – 296 с. 5. Огар П. М., Шеремета Р. Н., Лханаг Д. Герметичность металлополимерных стыков шероховатых поверхностей. – Братск: Изд-во БрГУ. 2006. – 159 с. 6. Огар П. М., Сухов О. Ю., Ереско С. П. Моделирование упругого контакта тяжело нагруженных шероховатых поверхностей // Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ: Межвуз. темат. сб. тр. – СПб.: СПбГАСУ, 2002. – Вып. 8. – С. 305–310. Получено 4 мая 2007 года.

УДК 658.012.011.56 М. Ю. Лебедева (филиал ГОУВПО «МЭИ (ТУ)», г. Смоленск) НЕКОТОРЫЕ АСПЕКТЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ФАКТОРНОГО АНАЛИЗА В МАРКЕТИНГОВЫХ ИССЛЕДОВАНИЯХ В маркетинговых исследованиях факторный анализ можно использовать для решения задач сегментирования рынка, изучения продукта, ценообразования. В данных случаях он применяется для выявления агрегатных переменных, являющихся основанием для сегментирования потребителей; агрегатных параметров продукта, влияющих на выбор потребителя; потребительских групп, чувствительных к ценовым факторам. Рассматривается пример маркетингового исследования компании с помощью пакета для статистической обработки информации SPSS.

Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ. СПб., 2007 ручка за мобильный трафик, затраты на поддержание и обновление программного обеспечения и изменение во времени факторов x1, x3). Вторая группа факторов указывает на влияние изменения фактора x2 во времени на изменение прибыли компании. Список литературы 1. Таганов Д. Н. SPSS: статистический анализ в маркетинговых исследованиях. – СПб.: Питер, 2005. – 192 с. 2. Давнис В. В., Тинякова В. В. Современные методы анализа и прогнозирования в задачах обоснования маркетинговых решений // Маркетинг в России и за рубежом. – М.: Финпресс, 2006. – № 2. – С. 16–26. Получено 4 мая 2007 года.

УДК 658.012.011.56 М. Ю. Лебедева (филиал ГОУВПО «МЭИ (ТУ)», г. Смоленск) ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ МНОГОЦЕЛЕВОЙ ОПТИМИЗАЦИИ В ЗАДАЧАХ ОБОСНОВАНИЯ МАРКЕТИНГОВЫХ РЕШЕНИЙ Рассмотрены некоторые методы решения задач многоцелевой оптимизации в задачах обоснования маркетинговых решений на примере составления оптимального медиа-плана кампании [1]. Для решения задачи используется инструмент «Поиск решения» Excel и процедуры оптимизации системы компьютерной математики MATHСAD.

Агентству необходимо составить оптимальную рекламную кампанию на телевидении для своего клиента [2]. Клиент своей рекламной кампанией хочет достичь следующих целей: 1) рекламу должны увидеть по крайней мере 65 млн мужчин с высоким уровнем дохода (МВУ); 2) рекламу должны увидеть по крайней мере 72 млн женщин с высоким уровнем дохода (ЖВУ); 3) рекламу должны увидеть, по крайней мере 70 млн людей с низким уровнем дохода (ЛНУ). В качестве поисковых переменных выберем число роликов, размещенных в соответствующих телепрограммах. Исходные данные приведены в табл. 1. 194

Таблица 1

Тип телепрограммы (Х1 – Хn) Спортивное шоу (СШ) Развлекательное шоу (РШ) Новости (Н) Комедийные шоу (КШ) Драма (Д) Сериалы (С)

МВУ

ЖВУ

ЛНУ

7 3

4 5

8 6

Стоимость размещения одноминутного рекламного ролика (СРР), тыс. р. 120 40

6 4 6 3

5 5 8 4

3 7 6 5

50 40 60 40

Математическая модель задачи имеет вид min(120 X 1 + 40 X 2 + 500 X 3 + 40 X 4 + 60 X 5 + 40 X 6 ) – минимизация затрат; 120 X 1 + 40 X 2 + 50 X 3 + 40 X 4 + 60 X 5 + 40 X 6 £ 800 – ограничения на бюджет. Представим цели рекламной кампании в математической формулировке: 7 X 1 + 3 X 2 + 6 X 3 + 4 X 4 + 6 X 5 + 3 X 6 ³ 65 , 4 X 1 + 5 X 2 + 5 X 3 + 5 X 4 + 8 X 5 + 4 X 6 ³ 72 , 8 X 1 + 6 X 2 + 3 X 3 + 7 X 4 + 6 X 5 + 5 X 6 ³ 70 . Ограничение на количество рекламных роликов имеет вид 0 £ Х i £ 10 , i = 1(1)6 , X j ³ 2 , j = 1, 3, 5 .

При использовании традиционного решения задачи оптимизации необходимо найти min(120 X 1 + 40 X 2 + 50 X 3 + 40 X 4 + 60 X 5 + 40 X 6 ) при наличии следующих ограничений:

R1 º 120000 X 1 + 40000 X 2 + 500000 X 3 + 400000 X 4 + 600000 X 5 + + 400000 X 6 £ 800000 ; g1 = 17 X 1 + 3 X 2 + 6 X 3 + 4 X 4 + 6 X 5 + 3 X 6 ³ 65 ;

g 2 = 4 X 1 + 5 X 2 + 5 X 3 + 5 X 4 + 8 X 5 + 4 X 6 ³ 72 ; g 3 = 8 X 1 + 6 X 2 + 3 X 3 + 7 X 4 + 6 X 5 + 5 X 6 ³ 70 ; 195

0 £ Х i £ 10 ; i = 1(1)6 ; X j ³ 2 ; j = 1, 3, 5 . Очевидно, что искомые переменные должны иметь только целые значения. Система компьютерной математики MathСAD специальных реализаций таких методов не имеет. Однако их достаточно легко реализовать, например, с помощью программы электронных таблиц Microsoft Excel. Попытка просто заменить вещественные числа 2.308 и 5.308 на целые (2 и 5 соответственно) не приводит к оптимальному решению. Оптимальное решение получено с помощью программы электронных таблиц Microsoft Excel: Х1 = 2, Х2 = 0, Х3 = 2, Х4 = 2, Х5 = 5, Х6 = 1, g1 = 67, g2 = 72, g3 = 71. При решении задачи оптимизации с использованием обобщенной функции желательности необходимо найти минимум обобщенной

функции желательности: D = d1 × d 2 × ... × d k . 4

Преобразование отклика у в шкалу d производится при помощи выражения d = exp[- exp(-b0 + b1 × y )], где коэффициенты b0 , b1 можно определить, если задать для критерия у соответствующие значения желательности d (предпочтительно в интервале 0.2 < d < 0.8 ). Для рассматриваемого примера воспользуемся следующими оценками по шкале желательности (табл. 2). Таблица 2 Отметки по шкале желательности 0.9 0.37

Ограничения g1 g2 65 72 290 310

R1 460 800

g3 70 350

Значения 290, 310, 350, 460 представляют собой очевидные маргинальные решения для ограничений g1, g2, g3 при X i = 10 , а для R1 = 460 при X i = 2 . Перевод шкалы ограничений g в шкалу d осуществляется по формулам d1 = exp[- exp(0,643 + 0,00976 × g1 )] !

Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ. СПб., 2007 d 3 = exp[- exp(0,555 + 0,008016 × g 3 )] !

d 4 = exp[- exp(-5,287 - 0,006602 × g 4 )]. При решении задачи получены следующие результаты: Х1 = 2, Х2 = 2, Х3 = 2, Х4 = 0, Х5 = 4, Х6 = 3, g1 = 65, g2 = 72, g3 = 73. Рассмотрим решение задачи на основе нечетких множеств и использования стратегии минимакса. Функции принадлежности имеют следующий вид: f 1 ( R1 ) = (1 + 8.172 ×10 -15 R14.932 ) -1 ; f 2 ( g1 ) = (1 + 3.467 g1-1.825 ) -1 ;

f 3 ( g 2 ) = (1 + 5.054 ×103 g 2 -1.087 ) -1 ; f 4 ( g 3 ) = (1 + 2.92 × 103 g 3 -1.696 ) -1 . При решении задачи получены следующие результаты: Х1 = 2, Х2 = 2, Х3 = 2, Х4 = 0, Х5 = 4, Х6 = 3, g1 = 68, g2 = 74, g3 = 72. Также для решения задачи можно использовать метод многоцелевой оптимизация на основе маргинальных решений. Список литературы 1. Системный анализ и принятие решений. Компьютерные технологии решения задач многоцелевой оптимизации систем: Учебное пособие. / В. А. Холоднов, М. Ю. Лебедева, А. Е. Пунин, К. Хартманн; СПбГТИ (ТУ). – СПб., 2006. – 151 с. 2. Количественные методы анализа в маркетинге / Под ред. Т. П. Данько, И. И. Скоробогатых. – СПб.: Питер, 2005. – 384 с. Получено 4 мая 2007 года.

УДК 658.012.011.56 М. Ю. Лебедева (филиал ГОУВПО «МЭИ (ТУ)», г. Смоленск) МНОГОФАКТОРНАЯ МОДЕЛЬ АНАЛИЗА ДИНАМИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ МАРКЕТИНГОВОГО ИССЛЕДОВАНИЯ

d 2 = exp[- exp(0,673 + 0,0043 × g 2 )],

Рассматриваются методы прогнозирования процессов в динамике с использованием адаптивных моделей, позволяющих оценить степень влияния факторов

196

197

и их изменение во времени на объект маркетингового исследования. Для решения задачи использованы электронные таблицы Excel и пакет для статистической обработки информации SPSS.

На основе полученного уравнения с использованием инструмента «Поиск решения» электронной таблицы Excel была решена задача нахождения максимальной прибыли [3].

При решении задачи в настоящее время используются различные подходы. Возможность применения предлагаемой адаптивной регрессии иллюстрируется на примере компании, предоставляющей услуги мобильной и стационарной телефонной связи, а также осуществляющей продажу телефонных аппаратов, планирующей расширить свой бизнес за счет прибыли компании [1]. Изучалось влияние основных факторов и их динамики (число абонентов компании – х1, выручка за мобильный трафик – х2, затраты на поддержание и обновление программного обеспечения – х3) на рост прибыли Р и ее изменение во времени. Для анализа использованы данные за период t, охватывающий 22 квартала (табл. 1). Рассмотрим алгоритм предлагаемого метода решения задачи. На предварительном этапе проводятся анализ и прогнозирование деятельности компании. Используя аппарат множественной регрессии, можно определить влияние независимых факторов на величину моделируемого показателя. Построим уравнение регрессии в виде мультипликативной функции:

Таблица 1

m

P(t ) = Pср Õ f i (a0i , a1i ,..., aki , xi (t )) , i =1

(1)

где х i – значения независимых факторов; Рср – среднее значение результирующего фактора; аki – коэффициенты уравнения регрессии. Для построения регрессионного уравнения (1) используются метод Брандона и разработанная нами программа [2]. Получено уравнение для изменения во времени результирующего показателя маркетингового исследования m

P(t ) = Pср Õ (a0i + a1i xi (t ) + a2i xi2 (t )) ,

Динамика показателей деятельности организации

Квартал

Прибыль, тыс. р.

t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

P 10500 12128 12160 13890 13445 12123 13675 13823 14464 15123 14780 14865 15092 25764 40623 46798 45846 48124 49383 50920 51220 52087

Выручка за Число мобильный абонентов, трафик, чел. тыс. р. x1 x2 17075 7670 18014 7993 18642 8281 19253 8746 19809 9040 20394 9310 20891 9555 21398 9800 21891 10045 22386 10290 22876 10536 23312 10781 23897 11026 34144 19263 51890 29709 59644 34270 61645 34571 63734 35278 68521 36079 69123 37542 70165 38906 71233 39244

Затраты на поддержание и обновление программного обеспечения, р. x3 3200 3460 3500 3750 4260 4870 4880 5680 5720 5830 5940 6890 7550 8340 10120 12230 12470 14890 16240 16710 17560 18430

(2)

Коэффициенты уравнения представлены в табл. 2.

где Рср = 26674.23 может быть использовано для принятия решений и прогнозирования прибыли компании при различных значениях факторов. Частные коэффициенты корреляции: r1, P = 0.45 ; r2, P = 0.74 ;

Значения коэффициентов уравнения

i =1

r3, P = -0.50 . 198

Таблица 2

Номер функции

a0

1 2 3

0.032 1.034 0.980

a1 5 ×10

a

-5

- 8 × 10

-6

1.1 ×10 -6

199

0

a2

- 2.4 ×10 -11 3.54 × 10 -10 - 1.1 ×10 -11

Для нахождения максимума целевой функции Р(х1, х2, х3) по поисковым переменным при наличии ограничений: inf xl £ xl £ sup xl , l=1(1)3 в качестве нижних и верхних границ по переменным принят 10 %ный интервал. Получены следующие результаты поиска максимальной прибыли: x1 = 50000 , x2 = 44000 , x3 = 2800, P = 60840 .6 . Для решения задачи оптимизации в условиях рыночной экономики можно использовать следующую стратегию минимакса: P1 = min{max P( x1 , x2 , x3 )}. xÎX

(3)

Результаты решения задачи минимакса (3): x1 = 60000 , x2 = 44000 , x3 = 2863 , P1 = 59720 . Для более тщательного анализа деятельности компании предлагается следующий алгоритм: Этап 1. Аппроксимация значений моделируемого показателя и значений факторов функциями от времени с использованием существующих программных продуктов для решения подобного рода задач (MathСAD, Matlab, Excel). Этап 2. Вычисление значений производных (в том числе, с использованием символьных вычислений). Этап 3. Приведение факторов и производных к безразмерному виду. Все факторы и производные приводятся к диапазону [0, 1] по формуле

Xk =

x k - inf( xk ) , sup( xk ) - inf( xk )

(4)

где k = 1, 2,…, 6. Этап 4. Используя аппарат множественной регрессии, можно определить влияние независимых факторов и влияние изменения этих факторов во времени на значение моделируемого показателя и на его изменение во времени. Рассмотрим данные этапы для рассматриваемого примера. Аппроксимация значений моделируемого показателя и значений факторов функциями от времени. В качестве аппроксимирующих функций g (t ) был выбран полином 4-й степени в виде g (t ) = a4t 4 + a3t 3 + a2t 2 + a1t + a0 .

Значения коэффициентов аппроксимации и коэффициенты детерминации D 2 для соответствующих факторов приведены в табл. 3. 200

Таблица 3 Значения коэффициентов аппроксимации Коэффициенты аппроксимации

D2

Фактор

a4

a3

a2

a1

a0

P

– 3.2 – 3.8

133.7 162.0

1634.8 – 2006.0

7138.7 8958.8

3866.7 7900.6

0.96 0.97

– 2.2

92.2

– 1107.2

4739.1

2929.4

0.96

0.0

0.0

39.2

– 147.4

3674.7

0.98

x1 x2 x3

Результаты вычисления производных и приведение к безразмерному виду представлены в табл. 4. Таблица 4 Приведение к безразмерному виду факторов и их производных Квартал 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

Х1 0.00 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10 0.11 0.12 0.13 0.32 0.64 0.79 0.82 0.86 0.95 0.96 0.98 1.00

Факторы Х2 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.08 0.09 0.10 0.11 0.37 0.70 0.84 0.85 0.87 0.90 0.95 0.99 1.00

Х3 0.00 0.02 0.02 0.04 0.07 0.11 0.11 0.16 0.17 0.17 0.18 0.24 0.29 0.34 0.45 0.59 0.61 0.77 0.86 0.89 0.94 1.00

201

Производные от факторов Х4 Х5 Х6 0.34 0.49 0.67 0.69 0.79 0.39 0.81 0.89 0.20 0.81 0.88 0.08 0.74 0.83 0.01 0.67 0.76 0.00 0.62 0.72 0.03 0.61 0.72 0.10 0.64 0.75 0.20 0.71 0.80 0.32 0.80 0.88 0.44 0.89 0.94 0.58 0.96 0.99 0.70 1.00 1.00 0.82 0.98 0.96 0.91 0.90 0.86 0.97 0.76 0.70 1.00 0.56 0.50 0.98 0.33 0.29 0.91 0.13 0.10 0.77 0.00 0.00 0.56 0.04 0.08 0.28

Прокомментируем полученные результаты. Частные коэффициенты множественной корреляции показывают, что два первых фактора оказывают положительное влияние на рост прибыли, а третий – отрицательное. При этом самое сильное влияние на прибыль оказывает величина выручки за мобильный трафик, вторым по степени влияния следует первый фактор «затраты на поддержание и обновление программного обеспечения», третьим – «общее число абонентов». Исследование влияния факторов на прибыль при совместном влиянии динамики и статики показывает несколько другие результаты. Степень влияния факторов на прибыль организации и направление влияния не изменяется, а изменяются величины частных коэффициентов множественной корреляции. Динамика факторов оказывает незначительное влияние на прибыль организации. Полученные результаты показали, что характер воздействия динамической составляющей для второго и третьего фактора противоположен действию факторов, а для первого фактора – совпадает с их действием [1]. Таким образом, на основании представленного нами анализа можно сделать вывод о том, что для принятия маркетинговых решений необходимо учитывать не только влияние на моделируемый показатель значений факторов, но и их изменение во времени. Реализация предлагаемых методов математического моделирования и оптимизации с помощью информационных технологий расширяет круг задач, решаемых в практическом маркетинге, и позволяет осуществлять перспективный анализ. Обработка маркетинговой информации при помощи нелинейного регрессионного и корреляционного анализов дает возможность адекватно оценить влияние динамических показателей на объект маркетингового исследования. На основе уравнения регрессии с использованием различных программ можно решать задачи оптимизации, в том числе и с учетом риска. Список литературы 1. Давнис В. В., Тинякова В. И. Современные методы анализа и прогнозирования в задачах обоснования маркетинговых решений // Маркетинг в России и за рубежом. – М.: «Финпресс». – 2006. – № 2. – С. 16–26. 2. Программа для построения статистических моделей методом Брандона / М. Ю. Лебедева, В. А. Холоднов. – № ОФАП-4397 от 05.03.05, № госрегистрации 50200500248 от 10.03.05. 202

Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ. СПб., 2007 3. Холоднов В. А., Лебедева М. Ю. Системный анализ и принятие решений. Решение задач оптимизации химико-технологических систем в среде Mathсad и Excel: Учебное пособие / СПбГТИ(ТУ). – СПб., 2005. – 220 с. Получено 4 мая 2007 года.

УДК 658.012.011.56 И. В. Леонова, Ю. П.Черемисина, В. А. Холоднов (СПГТИ (ТУ)), М. Ю Лебедева (филиал ГОУВПО «МЭИ (ТУ)», г. Смоленск) КОМПЬЮТЕРНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ ДЛЯ ИНТЕРВАЛЬНОГО РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА Рассматриваются компьютерные технологии решения некоторых задач интервального регрессионного анализа. Перспективное и быстро развивающееся направление последних лет – математическая статистика интервальных данных, когда статистические данные – не числа, а интервалы.

Ведущая научная школа в области статистики интервальных данных – это школа проф. А. П. Вощинина [1, 2], активно работающая с конца 70-х годов. В имеющейся литературе разработана общая схема исследования, включающая расчет нотны (максимально возможного отклонения статистики, вызванного интервальностью исходных данных) и рационального объема выборки. Разработаны подходы к рассмотрению интервальных данных в основных постановках регрессионного, дискриминантного и кластерного анализов. В области асимптотической математической статистики интервальных данных российская наука имеет мировой приоритет. Развертывание работ по рассматриваемой тематике позволит закрепить этот приоритет, получить теоретические результаты, основополагающие в новой области математической статистики и необходимые для обоснованного статистического анализа почти всех типов данных. 203

Вместе с тем следует отметить недостаток литературы по использованию компьютерных технологий для решения практических задач подобного рода в различных областях науки и техники. Применение предлагаемых нами методов рассмотрим на простых примерах. Дано 6 пар чисел: x = (1, 3, 4, 7, 9, 10); y = (12, 20, 20, 32, 35, 42). C помощью пакета программ SPSS была найдена зависимость между x и y в виде y = a ( x - 5.67) + b и интервальные оценки параметров a = [2.67,3.6] ; b = [25.26,28.42] . Прогностическая формула для 95 %-ного доверительного интервала имеет вид y = (3.14 ± 1.96 × 0.23) ( x - 5.67) + 26.84 ± 1.96 × 0.75 .

Решение задачи по предлагаемому нами методу в рамках системы компьютерной математики MathCAD осуществлялось указанным далее образом [3]. В программном блоке с использованием метода статистических испытаний сначала рассчитывалось максимально возможное отклонение экспериментальных и расчетных данных при изменении параметров a и b от нижних значений интервалов (an, bn) до верхних значений интервалов (av, bv) с использованием равномерно распределенных случайных чисел. На следующем шаге это значение минимизировалось. Прогностическая формула в этом случае имеет вид y = (3.06 ± 0.41) ( x - 5.67) + 26.64 ± 2.10 . Этот простой пример показывает работоспособность предлагаемого метода и возможность его применения в более сложных случаях для нелинейных зависимостей. Рассмотрим решение аналогичной задачи для нелинейной зависимости константы скорости химической реакции k от температуры T : -E ), R ×T где k 0 – предэкспонента; E – энергия активации; R – универсальная газовая постоянная. Для значений k = (10.3, 14.6, 18.1, 25.2, 31, 38.8, 50.6) и T = (473, 493, 513, 533, 553, 573, 593) с помощью линеаризации и с использованием пакета программ SPSS были определены параметры k 0 и E и получена прогностическая формула: k = k 0 exp(

204

31200 ± 340 ). R ×T С использованием предлагаемого нами метода на основе стратегии минимакса в рамках системы компьютерной математики MathCAD (рисунок) прогностическая формула была получена в следующем виде: k = (2.63 ± 0.23) ×104 exp(-

31170 ± 350 ). R ×T Рассмотрим еще один предлагаемый нами метод интервального оценивания параметров математического описания – математического описания и дисперсии. Исходя из того, что параметры математического описания k 0 и E представляют собой независимые случайные величины, а их плотности распределения p ( xi ) подчиняются нормальному закону распределения k = ( 2.62 ± 0.2) ×104 exp(-

p( xi ) = (1 /(si 2p )) exp(-( xi - mi ) / 2si2 ) , где mi – математическое ожидание соответствующего параметра; si2 – дисперсия соответствующего параметра. В этом случае математическое ожидание функции k от независимых случайных величин x1 - k 0, x2 - E для 99 %-ного доверительного о интервала определяется по формуле

{M (k 0, E )} =

mk 0 + 3s k 0 mE + 3s E

ò

ò

k 0 exp(

mk 0 -3s k 0 mE -3s E

-E ) p1 ( E ) p2 (k 0) dE dk 0. R ×T

Минимизация суммы квадратов отклонений математического ожидания от экспериментальных данных производилась в рамках системы компьютерной математики MATHCAD с помощью процедуры Minimize. В результате были найдены средние значения параметров математического описания и их оценки дисперсии. Прогностическую формулу можно представить в следующем виде: 30089 ± 120 ). R ×T Предлагаемый метод пригоден и для большего числа параметров математического описания, и для любых сложных функций. В том случае, если вычисление многомерного интеграла связано с серьезными трудностями, нами предлагается реализация его вычисления с помощью метода Монте-Карло. k = (2.64 ± 0.12)104 exp( -

205

Достоинство предлагаемых методов состоит в том, что они применимы для интервальной оценки параметров математического описания любых моделей. Чтобы учитывать нечеткие данные при построении регрессионных моделей, был предложен нечеткий регрессионный анализ. Существуют различные подходы нечеткой регрессии. Во-первых, это метод нечеткой регрессии, который основан на уменьшении нечеткости для получения приемлемой модели. Во-вторых, это нечеткий регрессионный анализ, использующий метод наименьших квадратов как критерий оптимальности, в-третьих, нечеткий регрессионный анализ интервальных данных. В работе с помощью программного продукта Excel и инструмента «Поиск решения» реализован третий подход. Согласно данному методу, нечеткие данные и нечеткие коэффициенты регрессии представляются как числа интервала. Так как в этом нечетком регрессионном анализе применяются действия с интервалами, то он называется регрессионным анализом интервальных данных. Коэффициенты нечеткой регрессии определены так, чтобы все нечеткие выходные данные находились в пределах нечеткой регрессионной модели. Регрессия интервальных данных для точного X и точного Y показана на рисунке, а. Модель регрессии интервальных данных для точного X и нечеткого Y показана на рисунке, б. ~ ~ ~ При построении регрессионной зависимости Y = B0 + B1 X используется формулировка задачи линейного программирования, чтобы опре~ ~ делить нечеткие коэффициенты регрессии B0 = (m0 , c0 ) и B1 = (m1, c1 ) , которая представлена как n

nc0 + c1 å X i1 ® min . i =1

(1)

При ограничениях c0 ³ 0, c1 ³ 0 (m0 - c0 ) + (m1 - c1 ) X i1 £ Yi , L , i = 1–n;

(2)

(m0 + c0 ) + (m1 + c1 ) X i1 ³ Yi , R , i = 1–n, (3) где Yi , L и Yi , R – нижние и верхние пределы для каждого нечеткого значения соответственно. Целевая функция (1) является результатом минимизации полного нечеткого разброса. Ограничения по выражениям (2) и (3) используются для заключения всех наблюдаемых нечетких данных в пределах нечеткой регрессионной модели. 206

Регрессионный анализ интервальных данных: а – точный X и точный Y; б – точный X и нечеткий Y

Данный метод можно распространить и на множественные модели регрессии, что представлено в виде n

S = nc0 + å (c1 X i1 + ... + ck X ik ) ® min , i =1

(m0 + c0 ) + (m1 + c1 ) X i1 + ... + (mk + ck ) X ik ³ Yi , L , i = 1–n. В качестве иллюстрационного примера построения нечеткой регрессионной модели интервальных данных с помощью программного продукта Excel нами взяты данные из [4] (таблица). Моменты замеров и соответствующие множества неопределенности i

ti

( [ yi ]

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0.75 1.5 2.25 3 6 9 13 17 21

[2.7, 12.1] [1.04, 7.14] [– 0.13, 3.61] [– 0.95, 1.15] [– 4.85, – 0.29] [–5.06, – 0.36] [– 4.1, – 0.04] [– 3.16, 0.3] [– 2.5, 0.51]

10

25

[– 2, 0.67] 207

Список литературы 1. Вощинин А. П., Сотиров Г. Р. Оптимизация в условиях неопределенности. – М.: МЭИ; София: Техника, 1989. – 224 с. 2. Вощинин А. П., Акматбеков Р. А. Оптимизация по регрессионным моделям и планирование эксперимента / Бишкек: Илим, 1991. – 164 с. 3. Холоднов В. А., Лебедева М. Ю. Системный анализ и принятие решений. Решение задач оптимизации химико-технологических систем в среде MathCad и Excel: Учеб. пособие / СПбГТИ (ТУ). – СПб., 2005. – 220 с. 4. Прикладной интервальный анализ / Л. Жолен, М. Кифер, О. Дидри, Э. Вальтер; Институт компьютерных исследований. – М.; – Ижевск, 2005. – 468 с. Получено 4 мая 2007 года.

.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОМПЛЕКСЫ ПРОГРАММ Редактор А. В. Афанасьева Корректор К. И. Бойкова Компьютерная верстка И. А. Яблоковой

Подписано к печати 21.11.2007. Формат 60´84 1/16. Бум. офсетная. Усл. печ. 13,0. Уч.-изд. л. 13,12. Тираж 120. Заказ 174. «С» 76. Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет. 190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская, 4. Отпечатано на ризографе. 190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская, 5.

208