. .
Ǒ,
. . Ǒ,
. . ,
. . Ǒ,
. .
Ǒ
Ǒ...
14 downloads
283 Views
3MB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
. .
Ǒ,
. . Ǒ,
. . ,
. . Ǒ,
. .
Ǒ
Ǒ
1996
532+536+66
§¤ ¨¥ ®áãé¥á⢫¥® ¯à¨ ä¨ á®¢®© ¯®¤¤¥àª¥ ®áᨩ᪮£® 䮤 ä㤠¬¥â «ìëå ¨áá«¥¤®¢ ¨© ᮣ« á® ¯à®¥ªâã 95-0326747
ã â ¥ ¯ ® ¢ . ., Ǒ ® « ï ¨ . ., ¯ à ï ® ¢ . ., ï § ì ¬ ¨ . ., § ¥ ¨ . . ¨¬¨ç¥áª ï £¨¤à®¤¨ ¬¨ª : ¯à ¢®ç®¥ ¯®á®¡¨¥. | .: ¢ âã¬, 1996. | 336 á. ¨£ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ªà ⪨© á¯à ¢®ç¨ª ¯® 娬¨ç¥áª®© £¨¤à®¤¨ ¬¨ª¥ ¨ á¬¥ë¬ à §¤¥« ¬ £¨¤à®¤¨ ¬¨ª¨, ⥯«®¬ áá®®¡¬¥ , ¬¥å ¨ª¨ ¤¨á¯¥àáëå á¨á⥬ ¨ 娬¨ç¥áª®© â¥å®«®£¨¨. áá«¥¤ã¥âáï ¤¢¨¥¨¥ ¨ ¬ áᮯ¥à¥®á ¢ âàã¡ å, ª « å, ¯«¥ª å, áâàãïå ¨ ¯®£à ¨çëå á«®ïå. áᬠâਢ ¥âáï ®¡â¥ª ¨¥ ¨ ¬ áá®-¨ ⥯«®®¡¬¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ à §«¨ç®© ä®à¬ë á ¯®áâ㯠⥫ìë¬ ¨ ᤢ¨£®¢ë¬ ¯®â®ª®¬ ¯à¨ à §«¨çëå ç¨á« å ¥©®«ì¤á ¨ Ǒ¥ª«¥. «¨§¨àãîâáï ¯à®æ¥ááë ¬ áᮯ¥à¥®á , ®á«®¥ë¥ ®¡ê¥¬®© ¨«¨ ¯®¢¥àå®á⮩ 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¥©. ç¨âë¢ ¥âáï § ¢¨á¨¬®áâì ª®íää¨æ¨¥â ¤¨ää㧨¨ ®â ª®æ¥âà 樨. Ǒਢ®¤ïâáï ®¢ë¥ 㨢¥àá «ìë¥ § ¢¨á¨¬®áâ¨, ¯®§¢®«ïî騥 ¯à¨ à áç¥â¥ ª®íää¨æ¨¥â®¢ ¬ áá®- ¨ ⥯«®¯¥à¥®á ãç¨âë¢ âì £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨¥, ८«®£¨ç¥áª¨¥ ¨ 䨧¨ª®-娬¨ç¥áª¨¥ ä ªâ®àë. á®¢ë¥ à¥§ã«ìâ âë ¯à¥¤áâ ¢«¥ë ¢ ¢¨¤¥ â®çëå ¨«¨ ¯à®áâëå ¯à¨¡«¨¥ëå ä®à¬ã«, 㤮¡ëå ¤«ï ¯à ªâ¨ç¥áª¨å à áç¥â®¢. ¨£ ¯à¥¤ § ç¥ ¤«ï è¨à®ª®£® ªà㣠ãçëå à ¡®â¨ª®¢, ¯à¥¯®¤ ¢ ⥫¥©, ¨¥¥à®¢ ¨ áâ㤥⮢, á¯¥æ¨ «¨§¨àãîé¨åáï ¢ ®¡« á⨠£¨¤à®¤¨ ¬¨ª¨, ⥯«®¬ áá®®¡¬¥ , ¬¥å ¨ª¨ ¤¨á¯¥àáëå á¨á⥬, 娬¨ç¥áª®© â¥å®«®£¨¨ ¨ ¡¨®¬¥å ¨ª¨. ¡«. 24. «. 36. ¨¡«¨®£à. 319 §¢.
Ǒ «¥ªá¥© ¨âà®ä ®¢¨ç Ǒ ¤à¥© ¬¨âਥ¢¨ç Ǒ ¯àï ¨¬¨â஢ ¤à¥© «¥â¨®¢¨ç
¬¨â਩ «¥ªá ¤à®¢¨ç
®¬¯ìîâ¥à ï ¢¥àá⪠. . ã஢
0000 | 0 {96
. . ã⥯®¢, . . Ǒ®«ï¨ ¨ ¤à., 1996 ¢ âã¬, ®ä®à¬«¥¨¥, 1996
Ǒ®¤¯¨á ® ª ¯¥ç ⨠27.12.95. ®à¬ â 60 × 90/16. Ǒ¥ç âì ®äá¥â ï. á«. ¯¥ç. «. 21,0. ç.-¨§¤. «. 21,5. ¨à 1500 íª§. ª § ⨯. N0 . C | .
.............................................. ®¡®§ 票ï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ǒ।¨á«®¢¨¥ ᮢë¥
1. ¥ç¥¨ï ¨¤ª®á⨠¢ ¯«¥ª å, âàã¡ å, áâàãïå ¨ ¯®£à ¨çëå
................................................... à ¢¥¨ï ¨ £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï £¨¤à®¤¨ ¬¨ª¨ . . . . . . . . . . . . . . . ¥ç¥¨¥, ¢ë§¢ ®¥ ¢à 饨¥¬ ¤¨áª . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨¤à®¤¨ ¬¨ª ⮪¨å á⥪ îé¨å ¯«¥®ª . . . . . . . . . . . . . . . . . . . âàã©ë¥ â¥ç¥¨ï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¬¨ ஥ â¥ç¥¨¥ ¢ âàã¡ å à §«¨ç®© ä®à¬ë . . . . . . . . . . . . . . . Ǒத®«ì®¥ ®¡â¥ª ¨¥ ¯«®áª®© ¯« áâ¨ë. Ǒ®£à ¨çë© á«®© . . . . . ¢¨¥¨¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¢ ¨¤ª®á⨠. . . . . . . . . . . . 2.1. ¡é¥¥ à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨© â®ªá ¢ ®á¥á¨¬¬¥âà¨ç®¬ á«ãç ¥ . . . . . 2.2. ¡â¥ª ¨¥ áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æë, ª ¯«¨ ¨ ¯ã§ëàï ¯®áâ㯠⥫ìë¬ áâ®ªá®¢ë¬ ¯®â®ª®¬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. ä¥à¨ç¥áª¨¥ ç áâ¨æë ¢ ¯®áâ㯠⥫쮬 ¯®â®ª¥ ¯à¨ 㬥à¥ëå ¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å ¥©®«ì¤á . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. ä¥à¨ç¥áª¨¥ ª ¯«¨ ¨ ¯ã§ëਠ¢ ¯®áâ㯠⥫쮬 ¯®â®ª¥ ¯à¨ 㬥à¥ëå ¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å ¥©®«ì¤á . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. ¡â¥ª ¨¥ áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æë, ª ¯«¨ ¨ ¯ã§ëàï ᤢ¨£®¢ë¬ ¯®â®ª®¬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. ¡â¥ª ¨¥ ¥áä¥à¨ç¥áª¨å ⢥à¤ëå ç áâ¨æ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7. ¡â¥ª ¨¥ 樫¨¤à (¯«®áª ï § ¤ ç ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8. ¡â¥ª ¨¥ ¤¥ä®à¬¨à®¢ ëå ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ . . . . . . . . . . . . . . . 2.9. â¥á¥®¥ ¤¢¨¥¨¥ ç áâ¨æ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . á«®ïå
1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6.
2.
3. áá®- ¨ ⥯«®¯¥à¥®á ¢ ¯«¥ª å ¨¤ª®áâ¨, âàã¡ å ¨ ¯«®áª¨å
4.
3
ª « å . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. à ¢¥¨ï ¨ £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï ⥮ਨ ª®¢¥ªâ¨¢®£® ⥯«®¨ ¬ áᮯ¥à¥®á . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. ¨ääã§¨ï ª ¢à é î饬ãáï ¤¨áªã . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. ¥¯«®¯¥à¥®á ª ¯«®áª®© ¯« á⨥ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. áᮯ¥à¥®á ¢ ¯«¥ª å ¨¤ª®á⨠. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. ¥¯«®- ¨ ¬ áᮯ¥à¥®á ¯à¨ « ¬¨ ஬ â¥ç¥¨¨ ¢ ªà㣫®© âàã¡¥ . . 3.6. ¥¯«®- ¨ ¬ áᮯ¥à¥®á ¯à¨ « ¬¨ ஬ â¥ç¥¨¨ ¢ ¯«®áª®© âàã¡¥ . . 3.7. Ǒ।¥«ìë¥ ç¨á« ãáᥫì⠯ਠ« ¬¨ ஬ â¥ç¥¨¨ ¨¤ª®á⥩ ¯® âàã¡ ¬ à §«¨ç®© ä®à¬ë . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . áá®- ¨ ⥯«®®¡¬¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬ . . . . 4.1. ¥â®¤ ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨å «®£¨© ¢ ⥮ਨ ¬ áá®- ¨ ⥯«®¯¥à¥®á 4.2. ãâ२¥ § ¤ ç¨ ® ⥯«®®¡¬¥¥ ⥫ à §«¨ç®© ä®à¬ë . . . . . . . . 4.3. áá®- ¨ ⥯«®®¡¬¥ ç áâ¨æ à §«¨ç®© ä®à¬ë á ¥¯®¤¢¨®© á।®© . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. áᮯ¥à¥®á ¢ ¯®áâ㯠⥫쮬 ¯®â®ª¥ ¯à¨ ¬ «ëå ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ . . 4.5. áᮯ¥à¥®á ¢ «¨¥©®¬ ᤢ¨£®¢®¬ ¯®â®ª¥ ¯à¨ ¬ «ëå ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6. áá®®¡¬¥ ç áâ¨æ ¨ ª ¯¥«ì á ¯®â®ª®¬ ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ (⥮à¨ï ¤¨ää㧨®®£® ¯®£à ¨ç®£® á«®ï) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7. ¨ääã§¨ï ª áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æ¥, ª ¯«¥ ¨ ¯ã§ëàî ¢ ¯®áâ㯠⥫쮬 ¯®â®ª¥ ¯à¨ à §«¨çëå ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ ¨ ¥©®«ì¤á 4.8. ¨ääã§¨ï ª áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æ¥, ª ¯«¥ ¨ ¯ã§ëàî ¢ «¨¥©®¬ ᤢ¨£®¢®¬ ¯®â®ª¥ ¯à¨ ¬ «ëå ç¨á« å ¥©®«ì¤á ¨ «î¡ëå ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9. ¨ääã§¨ï ª áä¥à¥ ¢ ¯®áâ㯠⥫ì®-ᤢ¨£®¢®¬ ¯®â®ª¥ ¨ ¯®â®ª¥ á ¯ à ¡®«¨ç¥áª¨¬ ¯à®ä¨«¥¬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 7 9 10 17 21 25 31 36 41 41 44 52 56 62 65 76 82 88 97 98 109 111 114 122 131 133 136 136 138 143 147 154 157 164 168 173
4
£« ¢«¥¨¥
4.10. áá®®¡¬¥ ¥áä¥à¨ç¥áª¨å ç áâ¨æ ¨ ¯ã§ë३ á ¯®áâ㯠⥫ìë¬ ¯®â®ª®¬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.11. áá®- ¨ ⥯«®®¡¬¥ 樫¨¤à®¢ á ¯®áâ㯠⥫ìë¬ ¨ ᤢ¨£®¢ë¬ ¯®â®ª®¬ (¯«®áª ï § ¤ ç ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.12. ¥áâ 樮 àë© ¬ áá®®¡¬¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ãáâ ®¢¨¢è¨¬áï ¯®áâ㯠⥫ìë¬ ¨ ᤢ¨£®¢ë¬ ¯®â®ª®¬ . . . . . . . . 4.13. ç¥áâ¢¥ë¥ ®á®¡¥®á⨠¬ áᮯ¥à¥®á ¢ãâਠª ¯«¨ ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.14. áá®®¡¬¥ ç áâ¨æ ¨ ª ¯¥«ì á ¯®â®ª®¬ ¯à¨ ¯à®¨§¢®«ì®© § ¢¨á¨¬®á⨠ª®íää¨æ¨¥â ¤¨ää㧨¨ ®â ª®æ¥âà 樨 . . . . . . . . . 4.15. ¨ää㧨®ë© á«¥¤. áá®®¡¬¥ 楯®ç¥ª ª ¯¥«ì ¨ ç áâ¨æ á ¨¤ª®áâìî . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.16. áá®- ¨ ⥯«®®¡¬¥ ¯à¨ áâ¥á¥®¬ ®¡â¥ª ¨¨ á¨á⥬ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. áá®®¡¬¥, ®á«®¥ë© ¯®¢¥àå®á⮩ ¨«¨ ®¡ê¥¬®©
..................................... 5.1. áᮯ¥à¥®á, ®á«®¥ë© ¯®¢¥àå®á⮩ 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¥© . 5.2. ¨ääã§¨ï ª ¢à é î饬ãáï ¤¨áªã ¨ ¯«®áª®© ¯« á⨥ ¯à¨ ¯à®â¥ª ¨¨ ®¡ê¥¬®© ॠªæ¨¨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. ¥è¨¥ § ¤ ç¨ ¬ áá®®¡¬¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬ ¯à¨ à §«¨çëå ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ ¨ «¨ç¨¨ ®¡ê¥¬®© 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4. ãâ२¥ § ¤ ç¨ ¬ áᮯ¥à¥®á ¯à¨ «¨ç¨¨ ®¡ê¥¬®© 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5. ¥áâ 樮 àë© ¬ áá®®¡¬¥ á ®¡ê¥¬®© ॠªæ¨¥© . . . . . . . . . . . . . ¥à¬®£¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª¨¥ ¥¨ï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1. ¥à¬®£à ¢¨â 樮 ï ¨ â¥à¬®ª ¯¨««ïà ï ª®¢¥ªæ¨ï ¢ á«®¥ ¨¤ª®á⨠. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. ¥à¬®ª ¯¨««ïàë© ¤à¥©ä ª ¯«¨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3. ¥¬®ª ¯¨««ïàë© íä䥪⠯ਠ¤¢¨¥¨¨ ª ¯«¨ . . . . . . . . . . . . . . . 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¥©
6.
7. ¨¤à®¤¨ ¬¨ª , ¬ áá®- ¨ ⥯«®®¡¬¥ ¢ ¥ìîâ®®¢áª¨å
.............................................. ¥®«®£¨ç¥áª¨¥ ¬®¤¥«¨ ¥ìîâ®®¢áª¨å ¥á¨¬ ¥¬ëå ¨¤ª®á⥩ . . ¢¨¥¨¥ ¯«¥®ª ¥ìîâ®®¢áª¨å ¨¤ª®á⥩ . . . . . . . . . . . . . . . . . áᮯ¥à¥®á ¢ ¯«¥ª å ८«®£¨ç¥áª¨ á«®ëå ¨¤ª®á⥩ . . . . . . ¢¨¥¨¥ ¥ìîâ®®¢áª¨å ¨¤ª®á⥩ ¯® âàã¡ ¬ ¨ ª « ¬ . . . . . . ¥¯«®¯¥à¥®á ¢ ¯«®áª®¬ ª «¥ ¨ ªà㣫®© âàã¡¥ (á ãç¥â®¬ ¤¨áᨯ 樨) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6. ¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª¨© ⥯«®¢®© ¢§àë¢ ¢ ¥ìîâ®®¢áª¨å ¨¤ª®áâïå . 7.7. ¡â¥ª ¨¥ ¯«®áª®© ¯« áâ¨ë á⥯¥®© ¨¤ª®áâìî . . . . . . . . . . . . 7.8. ⮯«¥ ï áâàãï á⥯¥®© ¨¤ª®á⨠. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.9. ¢¨¥¨¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¢ á⥯¥®© ¨¤ª®á⨠. . . . . . Ǒਫ®¥¨ï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ǒ.1. ®çë¥ à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ⥯«®- ¨ ¬ áᮯ¥à¥®á . . . . Ǒ.2. Ǒ८¡à §®¢ ¨ï ãà ¢¥¨© ⥯«®- ¨ ¬ áᮯ¥à¥®á . . . . . . . . . . . . . Ǒ.3. à⮣® «ìë¥ ªà¨¢®«¨¥©ë¥ á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â . . . . . . . . . . . . Ǒ.4. à ¢¥¨¥ ª®¢¥ªâ¨¢®© ¤¨ää㧨¨ ¢ à §«¨çëå á¨á⥬ å ª®®à¤¨ â . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ǒ.5. à ¢¥¨ï ¤¢¨¥¨ï ¨¤ª®á⨠¢ à §«¨çëå á¨á⥬ å ª®®à¤¨ â . Ǒ.6. à ¢¥¨ï ¤¢¨¥¨ï ¨ ⥯«®®¡¬¥ ¥ìîâ®®¢áª¨å ¨¤ª®á⥩ . . ¯¨á®ª «¨â¥à âãàë . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨¤ª®áâïå
7.1. 7.2. 7.3. 7.4. 7.5.
175 181 189 193 199 204 210 215 215 218 220 223 228 231 232 238 244 248 248 256 262 264 270 274 280 284 287 290 290 311 313 318 319 320 322
Ǒ
ª¨£¥ ¨§« £ îâáï ª« áá¨ç¥áª¨¥ § ¤ ç¨ ¨ ᮢ६¥ë¥ ¤®á⨥¨ï ¯® ®á®¢ë¬ à §¤¥« ¬ 䨧¨ª®-娬¨ç¥áª®© £¨¤à®¤¨ ¬¨ª¨ ¨ á¬¥ë¬ ¯à®¡«¥¬ ¬ £¨¤à®¤¨ ¬¨ª¨, ⥯«®¬ áá®®¡¬¥ , ¬¥å ¨ª¨ ¤¨á¯¥àáëå á¨á⥬, 娬¨ç¥áª®© â¥å®«®£¨¨ ¨ ¡¨®¬¥å ¨ª¨. A¢â®àë áâ६¨«¨áì ®¡®¡é¨âì ¨ á¨á⥬ ⨧¨à®¢ âì १ã«ìâ âë ¬®£®ç¨á«¥ëå ãçëå ¯ã¡«¨ª 権 ¢ ¤ ®© ®¡« á⨠§ ¯®á«¥¤¨¥ 15 | 20 «¥â. Ǒਠ®â¡®à¥ ¬ â¥à¨ « ¯à¥¤¯®ç⥨¥ ®â¤ ¢ «®áì ¯à®áâë¬ â®çë¬ ¨ ¯à¨¡«¨¥ë¬ ä®à¬ã« ¬, ¨¬¥î騬 è¨à®ªãî ®¡« áâì ¯à ªâ¨ç¥áª¨å ¯à¨«®¥¨©. ª ¤®¬ à §¤¥«¥ ª¨£¨ á ç « ¤ ¥âáï ªà ⪠ï 䨧¨ç¥áª ï ¨ ¬ ⥬ â¨ç¥áª ï ä®à¬ã«¨à®¢ª à áᬠâਢ ¥¬®© ¯à®¡«¥¬ë, § ⥬ áà §ã ¯à¨¢®¤ïâáï ®ª®ç ⥫ìë¥ à¥§ã«ìâ âë ¤«ï ¨áª®¬ëå ¢¥«¨ç¨ ¢ ¢¨¤¥ 㨢¥àá «ìëå § ¢¨á¨¬®á⥩ ¨«¨ ¨â®£®¢ëå â ¡«¨æ (¯à¨ í⮬ ¬¥â®¤ à¥è¥¨ï, ª ª ¯à ¢¨«®, ¥ ¨§« £ ¥âáï, ¤ îâáï «¨èì ¥ª®â®àë¥ ¯®ïá¥¨ï ¨ ¥®¡å®¤¨¬ë¥ áá뫪¨). ª®© ¯®¤å®¤ ã¯à®é ¥â ¢®á¯à¨ï⨥ ⥪áâ ¨ ¯à¨¢®¤¨â ª à áè¨à¥¨î ¢®§¬®®£® ªà㣠ç¨â ⥫¥©. ¯¥à¢®© ¨ ¢â®à®© £« ¢ å ª¨£¨ ¨§ãç îâáï â¥ç¥¨ï ¨¤ª®á⥩, á®áâ ¢«ïî騥 ®á®¢ã ¬®£¨å 娬¨ª®-â¥å®«®£¨ç¥áª¨å ¯à®æ¥áᮢ. §« £ îâáï ¯®«ãç¥ë¥ ª áâ®ï饬㠢६¥¨ १ã«ìâ âë ®¡ ®¡â¥ª ¨¨ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ à §«¨ç®© ä®à¬ë ¯®áâ㯠⥫ìë¬ ¨ ᤢ¨£®¢ë¬ ¯®â®ª®¬ ¢ è¨à®ª®¬ ¤¨ ¯ §®¥ ç¨á¥« ¥©®«ì¤á . áᬠâਢ îâáï ª ª ®¤¨®çë¥ ç áâ¨æë, â ª ¨ á¨á⥬ë ç áâ¨æ. áá«¥¤ãîâáï ¯«¥®çë¥ ¨ áâàã©ë¥ â¥ç¥¨ï; ¤¢¨¥¨ï ¨¤ª®á⥩ ¯® âàã¡ ¬ ¨ ª « ¬ à §«¨ç®© ä®à¬ë; ®¡â¥ª ¨¥ ¯« áâ¨ë, 樫¨¤à ¨ ¤¨áª . âà¥â쥩 ¨ ç¥â¢¥à⮩ £« ¢ å «¨§¨àã¥âáï ¬ áá®â¥¯«®¯¥à¥®á ¢ ¯«®áª¨å ª « å, âàã¡ å ¨ ¯«¥ª å ¨¤ª®áâ¨. áᬠâਢ ¥âáï ¬ áá®â¥¯«®®¡¬¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ¯®áâ㯠⥫ìë¬ ¨ ᤢ¨£®¢ë¬ ¯®â®ª®¬ ¯à¨ à §«¨çëå ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ ¨ ¥©®«ì¤á . Ǒਢ¥¤¥ë¥ १ã«ìâ âë ¨¬¥îâ ¡®«ì讥 § 票¥ ¤«ï ᮧ¤ ¨ï ãç® ®¡®á®¢ ëå ¬¥â®¤¨ª à áç¥â 楫®£® àï¤ â¥å®«®£¨ç¥áª¨å ¯à®æ¥áᮢ, â ª¨å ª ª à á⢮२¥, áãèª , ¤á®à¡æ¨ï, ®á ¤¥¨¥ í஧®«¥© ¨ ª®««®¨¤®¢, £¥â¥à®£¥ë¥ ª â «¨â¨ç¥áª¨¥ ॠªæ¨¨, ¡á®à¡æ¨ï, íªáâà ªæ¨ï ¨ ४â¨ä¨ª æ¨ï. ¯ï⮩ £« ¢¥ ¨§ãç ¥âáï ¤¨ää㧨®ë© ¯¥à¥®á ¯à¨ ª®¥çëå ᪮à®áâïå ®¡ê¥¬®© ¨«¨ ¯®¢¥àå®á⮩ 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨. Ǒਢ¥¤¥ë १ã«ìâ âë à¥è¥¨ï ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å § ¤ ç ¤«ï ॠªæ¨¨ «î¡®£® ¯®à浪 ¨ à §«¨çëå â¥ç¥¨©. Ǒ®«ãç¥ë 㨢¥àá «ìë¥ § ¢¨á¨¬®á⨠¨ ¨â®£®¢ë¥ â ¡«¨æë, ¯®§¢®«ïî騥 ¯à¨ à áç¥â å ®¤®¢à¥¬¥® ãç¨âë¢ âì à §«¨çë¥ £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ¨ 䨧¨ª®-娬¨ç¥áª¨¥ ä ªâ®àë. ¥áâ ï £« ¢ ¯®á¢ïé¥ «¨§ã àï¤ â¥à¬®£¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª¨å ¥¨©, ª®â®àë¥ ¢ ¯®á«¥¤¥¥ ¤¥áï⨫¥â¨¥ ¯à¨¢«¥ª «¨ ¯®¢ë襮¥
5
6
Ǒ।¨á«®¢¨¥
¢¨¬ ¨¥ à®áá¨©áª¨å ¨ § àã¡¥ëå ¨áá«¥¤®¢ ⥫¥©. ª § ®¥ ®¡áâ®ï⥫ìá⢮ ®¡ãá«®¢«¥® ¨â¥á¨ä¨ª 樥© ¯à®æ¥áᮢ ¯¥à¥®á ¢ ¯«¥ª å ¨ ª ¯«ïå ¨¤ª®á⨠¡« £®¤ àï íä䥪âã à £®¨ (¨ ¢®§¬®®áâìî ¨á¯®«ì§®¢ ¨ï í⮣® íä䥪⠢ ¯à®æ¥áá å ª®á¬¨ç¥áª®© â¥å®«®£¨¨). ᥤ쬮© £« ¢¥ ¨§« £ îâáï ¢®¯à®áë £¨¤à®¤¨ ¬¨ª¨ ¨ ¬ áá®â¥¯«®¯¥à¥®á ¢ ¥ìîâ®®¢áª¨å ¨¤ª®áâïå. ¯¨á ë ®á®¢ë¥ ¬®¤¥«¨ ८«®£¨ç¥áª¨ á«®ëå ¨¤ª®á⥩, ¨á¯®«ì§ã¥¬ëå ¢ 娬¨ç¥áª®© â¥å®«®£¨¨. áá«¥¤ã¥âáï ¤¢¨¥¨¥ ¨ ¬ áá®®¡¬¥ á⥯¥ëå ¨ ¢ï§ª®¯« áâ¨çëå ¨¤ª®á⥩ ¢ âàã¡ å, ª « å ¨ ¯«¥ª å. áᬠâਢ ¥âáï ®¡â¥ª ¨¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¥ìîâ®®¢áª®© ¨¤ª®áâìî. ¯à¨«®¥¨¨ ¤ ë â ¡«¨æë á â®ç묨 à¥è¥¨ï¬¨ ãà ¢¥¨© ⥯«®¯à®¢®¤®áâ¨. Ǒਢ¥¤¥ë ãà ¢¥¨ï ª®¢¥ªâ¨¢®© ¤¨ää㧨¨, ¥à §à뢮áâ¨, ¤¢¨¥¨ï ¨¤ª®á⥩ ¢ ¥ª®â®àëå ªà¨¢®«¨¥©ëå ®à⮣® «ìëå á¨á⥬ å ª®®à¤¨ â ¨ ¤à㣨¥ á¯à ¢®çë¥ ¬ â¥à¨ «ë. ᯮ«®¥¨¥ à §¤¥«®¢ ª¨£¨ ®â¢¥ç ¥â ¯à¨æ¨¯ã ý®â ¯à®á⮣® ª á«®®¬ãþ. ª®© ¯®¤å®¤ áãé¥áâ¢¥ë¬ ®¡à §®¬ ®¡«¥£ç ¥â à ¡®âã á ¬ â¥à¨ «®¬. Ǒ®¤à®¡®¥ ®£« ¢«¥¨¥ ¯®¬®¥â ç¨â ⥫î 室¨âì ¨áª®¬ãî ¨ä®à¬ æ¨î. ¢â®àë ¯à¨§ ⥫ìë .
. ¥¤¨ª®¢ã ¨ . . ï§ æ¥¢ã, ª®â®àë¥ ¯¨á «¨ £«. 6, ¨ . . Ǒ¥â஢ã, ãç á⢮¢ ¢è¥¬ã ¢ à ¡®â¥ ¤ à §¤. 2.4, 2.8. ¢â®àë ¡« £®¤ àïâ . . ã஢ § ¯®«¥§ë¥ § ¬¥ç ¨ï ¨ ¥®æ¥¨¬ãî ¯®¬®éì ¯à¨ á®§¤ ¨¨ ®à¨£¨ «-¬ ª¥â í⮩ ª¨£¨. ¢â®àë ¤¥îâáï, çâ® ª¨£ ®ª ¥âáï ¯®«¥§®© ¤«ï è¨à®ª®£® ªà㣠ãçëå à ¡®â¨ª®¢, ¯à¥¯®¤ ¢ ⥫¥© ¢ã§®¢, ¨¥¥à®¢, ᯨà ⮢ ¨ áâ㤥⮢, á¯¥æ¨ «¨§¨àãîé¨åáï ¢ à §«¨çëå ®¡« áâïå £¨¤à®¤¨ ¬¨ª¨, ⥯«®¬ áá®®¡¬¥ , ¬¥å ¨ª¨ ¤¨á¯¥àáëå á¨á⥬, 䨧¨ª®-娬¨ç¥áª®© £¨¤à®¤¨ ¬¨ª¨, 娬¨ç¥áª®© â¥å®«®£¨¨, í¥à£¥â¨ª¨, ¬¥â¥®à®«®£¨¨ ¨ ¡¨®¬¥å ¨ª¨. ¢â®àë
á®¢ë¥ ®¡®§ 票ï â¨áª¨© «ä ¢¨â
a
C Ci Cs
á
cf D Gkm gij Ks Kv
Ma Nu n P Pi
Pe R, θ, ϕ R, Z, ϕ
Re r
S Sh Sh0 Sh∞ T T∗ Ti Ts T1 T2 t U Ui Umax VX , VY , VZ
7
| å à ªâ¥àë© ¬ áèâ ¡ ¤«¨ë (¤«ï áä¥à¨ç¥áª¨å ç áâ¨æ ¨ ªà㣮¢®£® 樫¨¤à , ¥á«¨ ¥ ®£®¢®à¥® á¯¥æ¨ «ì®, ¢ ª ç¥á⢥ å à ªâ¥à®£® ¬ áèâ ¡ ¤«¨ë ¢ë¡¨à ¥âáï à ¤¨ãá); | ¬ áᮢ ï ª®æ¥âà æ¨ï; | ¥¢®§¬ãé¥ ï ª®æ¥âà æ¨ï (¢ ¡¥£ î饬 ¯®â®ª¥, ¢¤ «¨ ®â ç áâ¨æë); | ª®æ¥âà æ¨ï ã ¯®¢¥àå®á⨠ç áâ¨æë; | ¡¥§à §¬¥à ï ª®æ¥âà æ¨ï (¢ à §ëå § ¤ ç å ¢¢®¤¨âáï ¯® à §®¬ã, á¬. â ¡«. 3.1 ¢ à §¤. 3.1); | ª®íää¨æ¨¥â ᮯà®â¨¢«¥¨ï; | ª®íää¨æ¨¥â ¤¨ää㧨¨; | ª®íää¨æ¨¥âë ¬ âà¨æë ᤢ¨£ ; | ª®¬¯®¥âë ¬¥âà¨ç¥áª®£® ⥧®à ; | ª®áâ â ᪮à®á⨠¯®¢¥àå®á⮩ 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨; | ª®áâ â ᪮à®á⨠®¡ê¥¬®© 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨; | ç¨á«® à £®¨; | á।¥¥ ç¨á«® ãáᥫìâ ; | ¯®à冷ª ¯®¢¥àå®á⮩ ¨«¨ ®¡ê¥¬®© 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨; | ¤ ¢«¥¨¥; | ¥¢®§¬ã饮¥ ¤ ¢«¥¨¥ ¢¤ «¨ ®â ç áâ¨æë (ª ¯«¨, ¯ã§ëàï); | ç¨á«® Ǒ¥ª«¥, Pe = aU/D; √ | áä¥à¨ç¥áª¨¥ ª®®à¤¨ âë, R = X 2√+ Y 2 + Z 2 ; | 樫¨¤à¨ç¥áª¨¥ ª®®à¤¨ âë, R = X 2 + Y 2 ; | ç¨á«® ¥©®«ì¤á , Re = aU/ν ; | ¡¥§à §¬¥à ï áä¥à¨ç¥áª ï ª®®à¤¨ â , r = R/a; | ç¨á«® ¬¨¤â , S = ν/D; | á।¥¥ ç¨á«® ¥à¢ã¤ ; | ᨬ¯â®â¨ª á।¥£® ç¨á« ¥à¢ã¤ ¯à¨ ¬ «ëå § 票ïå å à ªâ¥à®£® ¯ à ¬¥âà § ¤ ç¨; | ᨬ¯â®â¨ª á।¥£® ç¨á« ¥à¢ã¤ ¯à¨ ¡®«ìèëå § 票ïå å à ªâ¥à®£® ¯ à ¬¥âà § ¤ ç¨; | ¡¥§à §¬¥à ï ⥬¯¥à âãà ; | ⥬¯¥à âãà ; | ¥¢®§¬ãé¥ ï ⥬¯¥à âãà (¢ ¡¥£ î饬 ¯®â®ª¥, ¢¤ «¨ ®â ç áâ¨æë); | ⥬¯¥à âãà ¯®¢¥àå®á⨠ç áâ¨æë; | ⥬¯¥à âãà ¯à¨ X < 0; | ⥬¯¥à âãà ¯à¨ X > 0; | ¢à¥¬ï; | å à ªâ¥à ï ᪮à®áâì ¯®â®ª ; | ¥¢®§¬ãé¥ ï ᪮à®áâì ¨¤ª®á⨠(¢ ¡¥£ î饬 ¯®â®ª¥, ¢¤ «¨ ®â ç áâ¨æë); | ¬ ªá¨¬ «ì ï ᪮à®áâì ¨¤ª®á⨠¯®¢¥àå®á⨠¯«¥ª¨, ®á¨ âàã¡ë; | ª®¬¯®¥âë ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠¢ ¤¥ª à⮢®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â;
8
á®¢ë¥ ®¡®§ 票ï
| ª®¬¯®¥âë ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠¢ áä¥à¨ç¥áª®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â; VR , VZ , Vϕ | ª®¬¯®¥âë ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠¢ 樫¨¤à¨ç¥áª®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â; (1) (1) VR , Vθ | ª®¬¯®¥âë ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠¢ ᯫ®è®© ä §¥ (¢¥ ª ¯«¨) ¢ ®á¥á¨¬¬¥âà¨ç®¬ á«ãç ¥; (2) (2) VR , Vθ | ª®¬¯®¥âë ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠¢ ¤¨á¯¥àᮩ ä §¥ (¢ãâਠª ¯«¨) ¢ ®á¥á¨¬¬¥âà¨ç®¬ á«ãç ¥; We | ç¨á«® ¥¡¥à , We = aUi2 ρ1 /σ (σ | ¯®¢¥àå®á⮥ â泌¥); X, Y, Z | ¤¥ª àâ®¢ë ª®®à¤¨ âë; X1 , X2 , X3 | ¤¥ª àâ®¢ë ª®®à¤¨ âë; X1 = X , X2 = Y , X3 = Z , x, y, z | ¡¥§à §¬¥àë¥ ¤¥ª àâ®¢ë ª®®à¤¨ âë. VR , Vθ , Vϕ
à¥ç¥áª¨© «ä ¢¨â
| ®â®è¥¨¥ ¤¨ ¬¨ç¥áª¨å ¢ï§ª®á⥩ ¢ãâਠ¨ ¢¥ ª ¯«¨, β = µ2 /µ1 ; µ | ¤¨ ¬¨ç¥áª ï ¢ï§ª®áâì ¨¤ª®áâ¨; µ1 | ¤¨ ¬¨ç¥áª ï ¢ï§ª®áâì ¨¤ª®á⨠ᯫ®è®© ä §ë (¢¥ ª ¯«¨); µ2 | ¤¨ ¬¨ç¥áª ï ¢ï§ª®áâì ¨¤ª®á⨠¤¨á¯¥àᮩ ä §ë (¢ãâਠª ¯«¨); ν | ª¨¥¬ â¨ç¥ª ï ¢ï§ª®áâì ¨¤ª®áâ¨, ν = µ/ρ; ρ | ¯«®â®áâì ¨¤ª®áâ¨; ρ1 | ¯«®â®áâì ¨¤ª®á⨠¢ ᯫ®è®© ä §¥ (¢¥ ª ¯«¨); ρ2 | ¯«®â®áâì ¨¤ª®á⨠¢ ¤¨á¯¥àᮩ ä §¥ (¢ãâਠª ¯«¨); ̺ | ¡¥§à §¬¥à ï 樫¨¤à¨ç¥áª ï ª®®à¤¨ â , ̺ = R/a; | äãªæ¨ï ⮪ , (1) | äãªæ¨ï ⮪ ¢ ᯫ®è®© ä §¥ (¢¥ ª ¯«¨); (2) | äãªæ¨ï ⮪ ¢ ¤¨á¯¥àᮩ ä §¥ (¢ãâਠª ¯«¨). β
1. ¥ç¥¨ï ¨¤ª®á⨠¢ ¯«¥ª å, âàã¡ å, áâàãïå ¨ ¯®£à ¨çëå á«®ïå
ä®à¬ æ¨ï ® ¯®«ïå ᪮à®á⨠¨ ¤ ¢«¥¨ï, ¥®¡å®¤¨¬ ï ¤«ï à¥è¥¨ï § ¤ ç ® à á¯à¥¤¥«¥¨¨ ¨ ¯à¥¢à 饨¨ ¢¥é¥á⢠¢ ॠªæ¨®ëå ¯¯ à â å, ç áâ® ¬®¥â ¡ëâì ¯®«ãç¥ ¨§ à áᬮâ२ï ç¨áâ® £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®© áâ®à®ë ¯à®¡«¥¬ë. £à®¬®¥ à §®®¡à §¨¥ ॠ«ìëå â¥ç¥¨© ¨¤ª®áâ¨, ¯®¤ç¨ïîé¨åáï ®¤¨¬ ¨ ⥬ ¥ ãà ¢¥¨ï¬ £¨¤à®¤¨ ¬¨ª¨, ®¡ãá«®¢«¥® ¬®¥á⢮¬ £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨å, 䨧¨ç¥áª¨å ¨ २¬ëå ä ªâ®à®¢, ®¯à¥¤¥«ïîé¨å ®¡« áâì, ⨯ ¨ áâàãªâãàã â¥ç¥¨ï. « áá¨ä¨ª æ¨î â¥ç¥¨© ¤«ï ®¯¨á ¨ï ¨å ᯥæ¨ä¨ç¥áª¨å ᢮©á⢠¬®® ¯à®¨§¢¥áâ¨ à §«¨ç묨 ᯮᮡ ¬¨. ¯à¨¬¥à, è¨à®ª® à á¯à®áâà ¥ ª« áá¨ä¨ª æ¨ï â¥ç¥¨© ¯® ¢¥«¨ç¨¥ ¢ ¥©è¥£® २¬®-£¥®¬¥âà¨ç¥áª®£® ¯ à ¬¥âà | ç¨á« ¥©®«ì¤á Re: â¥ç¥¨ï ¯à¨ ¬ «ëå ç¨á« å ¥©®«ì¤á [178℄, â¥ç¥¨ï ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å ¥©®«ì¤á (¯®£à ¨çë¥ á«®¨ [184℄), â¥ç¥¨ï ¯à¨ § ªà¨â¨ç¥áª¨å ç¨á« å ¥©®«ì¤á (âãà¡ã«¥âë¥ â¥ç¥¨ï [179℄). «¥¤ã¥â § ¬¥â¨âì, çâ® â ª ï ª« áá¨ä¨ª æ¨ï* ¨¬¥¥â ¢ ë© ¬¥â®¤¨ç¥áª¨© á¬ëá«, ¯®áª®«ìªã ®¯à¥¤¥«ï¥â ¬ «ë© ¯ à ¬¥âà, Re ¨«¨ Re−1 , ¨ 㪠§ë¢ ¥â ¤¥ë© ¬¥â®¤ à¥è¥¨ï ¥«¨¥©ëå £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª¨å § ¤ ç | ¬¥â®¤ à §«®¥¨ï ¯® ¬ «®¬ã ¯ à ¬¥âàã. ¥ ®âà¨æ ï ¯«®¤®â¢®à®áâì â ª®© ª« áá¨ä¨ª 樨 â¥ç¥¨©, ¢ ¤ ®© ª¨£¥ ¡ã¤¥¬ ¨á室¨âì ¥ ¨§ ¬ ⥬ â¨ç¥áª¨å ¨ ¢ëç¨á«¨â¥«ìëå 㤮¡á⢠¨áá«¥¤®¢ â¥«ï £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª¨å § ¤ ç, ¨§ ¯à ªâ¨ç¥áª¨å ¯®âॡ®á⥩ â¥å®«®£ , à ááç¨âë¢ î饣® ª®ªà¥âë© ¯¯ à â á ¯®ç⨠¯à¥¤®¯à¥¤¥«¥ë¬ ¥£® ª®áâàãªæ¨¥© ⨯®¬ â¥ç¥¨ï ॠ£¨àãî饩 á।ë. í⮩ á¢ï§¨ ¬ â¥à¨ « ¯® £¨¤à®¤¨ ¬¨ª¥ à §¡¨â ¤¢¥ £« ¢ë. ¯¥à¢®© ¨§ ¨å à áᬠâਢ îâáï â¥ç¥¨ï, ®¯à¥¤¥«ï¥¬ë¥ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥¬ ¯à®âï¥ëå ⥪ãç¨å á। á® á⥪ ¬¨ ¯¯ à â ¨«¨ ¬¥¤ã ᮡ®©: â¥ç¥¨ï ¢ ¯«¥ª å, âàã¡ å, ª « å, áâàãïå ¨ ¯®£à ¨çëå á«®ïå ¢¡«¨§¨ ⢥म© ¯®¢¥àå®áâ¨. ® ¢â®à®© £« ¢¥ à áᬠâਢ ¥âáï £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®¥ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ ç áâ¨æ à §«¨ç®© ¯à¨à®¤ë (⢥à¤ëå, ¨¤ª¨å, £ §®®¡à §ëå) á ®¡â¥ª î饩 í⨠ç áâ¨æë ¤¨á¯¥àᨮ®© á।®©.
* áâà¥ç îâáï â ª¥ ¤à㣨¥ á¯®á®¡ë ª« áá¨ä¨ª 樨 â¥ç¥¨©, ¯à¨¬¥à, ¯® ᯥæ¨ä¨ª¥ ¯®¢¥àå®áâ¨, ®£à ¨ç¨¢ î饩 ®¡« áâì â¥ç¥¨ï: â¥ç¥¨¥ ¨¤ª®á⨠ᮠ᢮¡®¤ë¬¨ £à ¨æ ¬¨ [152℄, â¥ç¥¨¥ ¨¤ª®áâ¨ á ¯®¢¥àå®áâìî à §¤¥« [46, 180℄, â¥ç¥¨¥ ¢¤®«ì ¯à®¨æ ¥¬®© £à ¨æë [77℄. ª ï ª« áá¨ä¨ª æ¨ï â ª¥ ¯®§¢®«ï¥â ®¯¨á âì ᢮©áâ¢ à §«¨çëå â¥ç¥¨© ¨ 㪠§ âì ¬¥â®¤ë ¨å ¨áá«¥¤®¢ ¨ï.
9
10
¥ç¥¨ï ¨¤ª®á⨠¢ ¯«¥ª å, âàã¡ å ¨ áâàãïå
1.1. à ¢¥¨ï ¨ £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï £¨¤à®¤¨ ¬¨ª¨
Ǒਢ¥¤¥¬ ãà ¢¥¨ï ¨ £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï, ª®â®àë¥ ¨á¯®«ì§ãîâáï ¯à¨ à¥è¥¨¨ £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª¨å § ¤ ç. ¥â «ìë© ¢ë¢®¤ ¨ ãáâ ®¢«¥¨¥ ®¡« á⨠¯à¨¬¥¨¬®á⨠íâ¨å ãà ¢¥¨© ¨ £à ¨çëå ãá«®¢¨©, à §«¨çë¥ ä¨§¨ç¥áª¨¥ ¯®áâ ®¢ª¨ ¨ à¥è¥¨ï ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å § ¤ ç, â ª¥ ¯à¨ª« ¤ë¥ ¢®¯à®áë ¨á¯®«ì§®¢ ¨ï १ã«ìâ ⮢ ᮤ¥à âáï, ¯à¨¬¥à, ¢ ª¨£ å [36, 91, 98, 103, 165, 184℄. 㤥¬ áç¨â âì, çâ® ¯«®â®áâì ρ ¨ ¤¨ ¬¨ç¥áª ï ¢ï§ª®áâì ¨¤ª®á⨠µ ¯®áâ®ïë. à ¢¥¨ï ¤¢¨¥¨ï ¨¤ª®áâ¨. ¬ªãâ ï á¨á⥬ ãà ¢¥¨© ¤¢¨¥¨ï ¢ï§ª®© ¥á¨¬ ¥¬®© ìîâ®®¢áª®© ¨¤ª®á⨠á®á⮨⠨§ ãà ¢¥¨ï ¥à §à뢮á⨠∂VX ∂X
+
∂VY ∂Y
+
∂VZ ∂Z
=0
(1.1.1)
¨ âà¥å ãà ¢¥¨© ¢ì¥ | ⮪á ∂VX ∂t
∂VX ∂V + VZ X = ∂Y ∂Z 2 1 ∂P ∂ 2 VX ∂ 2 VX ∂ VX +ν + gX , =− + + ρ ∂X ∂X 2 ∂Y 2 ∂Z 2 ∂VY ∂V ∂V ∂V + VX Y + VY Y + VZ Y = ∂t ∂X ∂Y ∂Z 1 ∂P ∂ 2 VY ∂ 2 VY ∂ 2 VY +ν + gY , =− + + ρ ∂Y ∂X 2 ∂Y 2 ∂Z 2 ∂VZ ∂V ∂V ∂V + VX Z + VY Z + VZ Z = ∂t ∂X ∂Y ∂Z 1 ∂P ∂ 2 VZ ∂ 2 VZ ∂ 2 VZ +ν + gZ , =− + + ρ ∂Z ∂X 2 ∂Y 2 ∂Z 2
+ VX
∂VX ∂X
+ VY
(1.1.2)
à ¢¥¨ï (1.1.1), (1.1.2) § ¯¨á ë ¢ ¯àאַ㣮«ì®© ¤¥ª à⮢®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â; X , Y , Z | ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ª®®à¤¨ âë à áᬠâਢ ¥¬®© â®çª¨ 䨧¨ç¥áª®£® ¯à®áâà á⢠; t | ¢à¥¬ï; gX , gY , gZ | ª®¬¯®¥âë ¢¥ªâ®à ¯«®â®á⨠¬ áᮢ®© ᨫë ( ¯à¨¬¥à, ᨫë âï¥áâ¨); ν = µ/ρ | ª¨¥¬ â¨ç¥áª ï ¢ï§ª®áâì ¨¤ª®áâ¨. ᪮¬ë¬¨ ¢¥«¨ç¨ ¬¨ ïîâáï âਠª®¬¯®¥âë ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠VX , VY , VZ ¨ ¤ ¢«¥¨¥ P . ¢®¤ï ¢¥ªâ®à ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠V~ = ~iX VX + ~iY VY + ~iZ VZ , £¤¥ ~iX , ~iY , ~iZ | ¥¤¨¨çë¥ ¯à ¢«ïî騥 ¢¥ªâ®àë ¤¥ª à⮢®© á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â, ¨ ¨á¯®«ì§ãï ᨬ¢®«¨ç¥áª¨¥ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë¥ ®¯¥à â®àë ∂ ∇ = ~iX ∂X
+ ~iY
∂ ∂Y
+ ~iZ
∂ , ∂Z
=
∂2 ∂X 2
+
∂2 ∂Y 2
+
∂2 , ∂Z 2
1.1. à ¢¥¨ï ¨ £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï £¨¤à®¤¨ ¬¨ª¨
11
¬®® § ¯¨á âì á¨á⥬ã ãà ¢¥¨© (1.1.1), (1.1.2) ¢ ª®¬¯ ªâ®¬ ¢¥ªâ®à®¬ ¢¨¤¥: ~ ∇·V ~ ∂V ∂t
= 0, +
V~ · ∇ V~
=−
1 ρ
(1.1.3) ∇P
+ ν V~ + ~g .
(1.1.4)
à ¢¥¨ï ¥à §à뢮á⨠¨ ¢ì¥ | â®ªá ¢ 樫¨¤à¨ç¥áª®© ¨ áä¥à¨ç¥áª®© á¨á⥬ å ª®®à¤¨ ⠯ਢ¥¤¥ë ¢ ¯à¨«®¥¨¨ 5. ç «ìë¥ ¨ £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï. «ï ⮣® ç⮡ë à¥è¥¨¥ á¨á⥬ë (1.1.1), (1.1.2) ®¤®§ ç® ®¯à¥¤¥«ï«® à á¯à¥¤¥«¥¨ï ᪮à®á⥩ ¨ ¤ ¢«¥¨ï, ¥®¡å®¤¨¬® áä®à¬ã«¨à®¢ âì ç «ìë¥ ¨ £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï. ¥áâ 樮 àëå § ¤ ç å, ª®£¤ ¢ ãà ¢¥¨ïå ¤¢¨¥¨ï á®åà ïîâáï ç«¥ë á ç áâ묨 ¯à®¨§¢®¤ë¬¨ ¯® ¢à¥¬¥¨, ¢® ¢á¥© ®¡« á⨠â¥ç¥¨ï ¤®«ë ¡ëâì § ¤ ë ç «ìë¥ à á¯à¥¤¥«¥¨ï ª®¬¯®¥â ᪮à®á⨠¨¤ª®áâ¨, ¯à¨ç¥¬ ¯®á«¥¤¨¥ ¢ ç «ìë© ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨ ¤®«ë 㤮¢«¥â¢®àïâì ãà ¢¥¨î ¥à §à뢮á⨠(1.1.1). ç «ì®£® à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¤ ¢«¥¨ï § ¤ ¢ âì ¥ á«¥¤ã¥â, â ª ª ª ãà ¢¥¨ï ¥ ᮤ¥à ⠯ந§¢®¤®© ¤ ¢«¥¨ï ¯® ¢à¥¬¥¨*. ¡« áâì, ¢ ª®â®à®© 室¨âáï ¤¢¨ãé ïáï ॠ£¨àãîé ï ᬥáì, ª ª ¯à ¢¨«®, § ¨¬ ¥â ¥ ¢á¥ ¯à®áâà á⢮, «¨èì ¥£® ç áâì, ®£à ¨ç¥ãî ¥ª®â®à묨 ¯®¢¥àå®áâﬨ. § ¢¨á¨¬®á⨠®â ⮣®, ¯à¨ ¤«¥¨â ¨«¨ ¥ ¯à¨ ¤«¥¨â ®¡« á⨠â¥ç¥¨ï ¡¥áª®¥ç® 㤠«¥ ï â®çª , § ¤ ç ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¨áª®¬ëå äãªæ¨© §ë¢ ¥âáï ᮮ⢥âá⢥® ¢¥è¥© ¨«¨ ¢ãâ॥© § ¤ 祩 £¨¤à®¤¨ ¬¨ª¨. ¯®¢¥àå®á⨠⢥म£® ⥫ S , ¤¢¨ã饣®áï ¢ ¯®â®ª¥ ¢ï§ª®© ¨¤ª®áâ¨, ¢ëáâ ¢«ï¥âáï ãá«®¢¨¥ ¯à¨«¨¯ ¨ï. â® ãá«®¢¨¥ à ¢¥á⢠¢¥ªâ®à ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠¯®¢¥àå®á⨠⥫ V~ |S ¢¥ªâ®àã ᪮à®á⨠⢥म£® ⥫ V~0 .
᫨ ⢥म¥ ⥫® ¯®ª®¨âáï, â® V~ |S = 0. ¯à®¥ªæ¨ïå ®à¬ «ì ~n ¨ ª á ⥫ìãî ~τ ª ¯®¢¥àå®á⨠S íâ® ¤ ¥â: Vn S
= 0,
Vτ S
= 0.
(1.1.5)
®«¥¥ á«®ë¥ £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï ¢ëáâ ¢«ïîâáï ¯®¢¥àå®áâ¨ à §¤¥« ¤¢ãå ¨¤ª®á⥩ (á¬. ¤ «¥¥, ¯à¨¬¥à, à §¤. 2.2 ¨ 6.1). «ï à¥è¥¨ï ¢¥è¥© £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®© § ¤ ç¨ á«¥¤ã¥â â ª¥ § ¤ âì ãá«®¢¨¥ ¡¥áª®¥ç®á⨠(â.¥. ¢¤ «¨ ®â ®¡â¥ª ¥¬®£® ⥫ , ª ¯«¨ ¨«¨ ¯ã§ëàï). «ï ®£à ¨ç¥®£® ⥫ , ¯®¬¥é¥®£® ¢ ®¤®à®¤ë© * ¯à®â¨¢®¬ á«ãç ¥, ¥á«¨ § ¤ âì ¯à®¨§¢®«ì®¥ ç «ì®¥ à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ¤ ¢«¥¨ï, â® ¬®¥â ®ª § âìáï, çâ® ®¯à¥¤¥«ï¥¬ë¥ ãà ¢¥¨ï¬¨ ¤¢¨¥¨ï à á¯à¥¤¥«¥¨ï ª®¬¯®¥â ᪮à®á⨠¯à¨ t > 0 ¥ 㤮¢«¥â¢®àïîâ ãà ¢¥¨î ¥à §à뢮á⨠[160℄. «ï áâ 樮 àëå § ¤ ç â ª¨å ¯à®¡«¥¬ ¥ ¢®§¨ª ¥â.
12
¥ç¥¨ï ¨¤ª®á⨠¢ ¯«¥ª å, âàã¡ å ¨ áâàãïå
¯®áâ㯠⥫ìë© ¯®â®ª, ¤¢¨ã騩áï ᮠ᪮à®áâìî U~ i , £à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥ ¢¤ «¨ ®â ⥫ ¨¬¥¥â ¢¨¤ ~ →U ~ V (1.1.6) ¯à¨ R → ∞, i √ £¤¥ R = X 2 + Y 2 + Z 2 . áᬮâਬ ¡®«¥¥ á«®ë¥ á¨âã 樨, å à ªâ¥àë¥ ¤«ï £à ¤¨¥âëå â¥ç¥¨© á ¥®¤®à®¤®© áâàãªâãன â¥ç¥¨ï. ¤¢¨£®¢ë¥ â¥ç¥¨ï. Ǒந§¢®«ì®¥ áâ 樮 ஥ ¯®«¥ ᪮à®á⥩ V~ (R~ ) ¢ ¥á¨¬ ¥¬®© á।¥ ¢ ®ªà¥áâ®á⨠â®çª¨ R~ = ~0, ¯à¨ï⮩ § ç «® ®âáç¥â , ¯à¨¡«¨¥® ¬®¥â ¡ëâì ¯à¥¤áâ ¢«¥® ¢ ¢¨¤¥ ¤¢ãå ç«¥®¢ à §«®¥¨ï ¢ àï¤ ¥©«®à : ~ ) = V (~0) + G X , Vk (R k km m (1.1.7) Gkm ≡ (∂Vk /∂Xm )R~ =~0 , G11 + G22 + G33 = 0. ¤¥áì Vk ¨ Gkm | ª®¬¯®¥âë ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠¨ ⥧®à ᤢ¨£ ¢ ¤¥ª à⮢®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â X1 , X2 , X3 . Ǒ® ¯®¢â®àïî饬ãáï ¨¤¥ªáã m ¢¥¤¥âáï á㬬¨à®¢ ¨¥; à ¢¥á⢮ ã«î áã¬¬ë ¤¨ £® «ìëå í«¥¬¥â®¢ Gmm á«¥¤ã¥â ¨§ ãá«®¢¨ï ¥á¨¬ ¥¬®á⨠¨¤ª®áâ¨. «ï ç áâ¨æ, à §¬¥àë ª®â®àëå ¬®£® ¬¥ìè¥ å à ªâ¥à®£® ¯à®áâà á⢥®£® ¬ áèâ ¡ ¥®¤®à®¤®á⨠¯®«ï â¥ç¥¨ï, à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ᪮à®á⥩ (1.1.7) ¢ § ¤ ç å ® ¢ï§ª®¬ ®¡â¥ª ¨¨ ç áâ¨æë ¬®¥â à áᬠâਢ âìáï ª ª à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ᪮à®á⥩ ¢¤ «¨ ®â ç áâ¨æë. áâë© á«ãç © Gkm = 0 ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ®¤®à®¤®¬ã ¯®áâ㯠⥫쮬㠯®â®ªã. ǑਠVk (~0) = 0 ¢ëà ¥¨¥ (1.1.7) ®¯¨áë¢ ¥â ¯®«¥ ᪮à®á⥩ ¢ ¯à®¨§¢®«ì®¬ «¨¥©®¬ ᤢ¨£®¢®¬ ¯®â®ª¥. î¡®© ⥧®à kGkm k ¬®¥â ¡ëâì ¯à¥¤áâ ¢«¥ ¢ ¢¨¤¥ á㬬ë ᨬ¬¥âà¨ç®£® ¨ â¨á¨¬¬¥âà¨ç®£® ⥧®à®¢ kGkm k = kEkm k + k km k, 1 Ekm = Emk = 2 (Gkm + Gmk ), km = − mk = 21 (Gkm − Gmk ). (1.1.8) á¢®î ®ç¥à¥¤ì ᨬ¬¥âà¨çë© â¥§®à kEkm k ¯ã⥬ ¯®¢®à®â á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â ¬®¥â ¡ëâì ¯à¨¢¥¤¥ ª ¤¨ £® «ì®¬ã ¢¨¤ã á í«¥¬¥â ¬¨ E1 , E2 , E3 , ª®â®àë¥ ï¢«ïîâáï ª®àﬨ ªã¡¨ç¥áª®£® ãà ¢¥¨ï ¤«ï λ: det kEkm − λδkm k = 0, £¤¥ δkm | ᨬ¢®« ஥ª¥à . ¨ £® «ìë¥ í«¥¬¥âë E1 , E2 , E3 ¯à¨¢¥¤¥®£® ª £« ¢ë¬ ®áï¬ â¥§®à kEkm k ®¯à¥¤¥«ïîâ ¨â¥á¨¢®áâì à áâ¢ î饣® (ᨬ î饣®) ¤¢¨¥¨ï ¢¤®«ì ®á¥© ª®®à¤¨ â. ᮮ⢥âá⢨¨ á ãá«®¢¨¥¬ ¥á¨¬ ¥¬®á⨠¨¤ª®á⨠⮫쪮 ¤¢ í«¥¬¥â ¨§ âà¥å ¡ã¤ãâ ¥§ ¢¨á¨¬ë: E1 + E2 + E3 = 0. §¡¨¥¨¥ ⥧®à kGkm k ᨬ¬¥âà¨çãî ¨ â¨á¨¬¬¥âà¨çãî ç á⨠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¯à¥¤áâ ¢«¥¨î ¯®«ï ᪮à®á⥩ «¨¥©®£® ᤢ¨£®¢®£® â¥ç¥¨ï ¨¤ª®á⨠¢ ¢¨¤¥ á㯥௮§¨æ¨¨ «¨¥©®£® ¤¥ä®à¬ 樮®£® â¥ç¥¨ï á ª®íää¨æ¨¥â ¬¨ à áâï¥¨ï ¯® £« ¢ë¬ ®áï¬ E1 ,
13
1.1. à ¢¥¨ï ¨ £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï £¨¤à®¤¨ ¬¨ª¨ E2 , E3 ¨ ¢à 饨ï ~ω = ( 32 , 13 , 21 ).
¨¤ª®á⨠ª ª ⢥म£® ⥫ á 㣫®¢®© ᪮à®áâìî
á«ãç ¥ ®¤®à®¤®£® ¯®áâ㯠⥫쮣® â¥ç¥¨ï ᪮à®áâì ¥¢®§¬ã饮£® ¯®â®ª ¥ § ¢¨á¨â ®â ª®®à¤¨ â, â ª çâ® ¢á¥ Gkm = 0. Ǒਠí⮬ ¨¬¥¥¬ ¯à®á⥩訩 á«ãç © ®¡â¥ª ¨ï ⥫ á £à ¨çë¬ ãá«®¢¨¥¬ ¡¥áª®¥ç®á⨠(1.1.6). áᬮâਬ ⥯¥àì ¨¡®«¥¥ ç áâ® ¢áâà¥ç î騥áï â¨¯ë «¨¥©ëå ᤢ¨£®¢ëå â¥ç¥¨©. 1◦ . Ǒà®á⮩ ᤢ¨£ (â¥ç¥¨¥ ãíââ ): = GY,
VX
0 G 0
kGkm k = 0 0 0 ,
0 0 0
VY
0
kEkm k = 12 G
0
= 0,
VZ
0 0
, 0
= 0,
0
k km k = − 12 G
0
0 0 0 0
. 0 0 0 ¥«¨ç¨ G ¢ ¤ ®¬ á«ãç ¥ §ë¢ ¥âáï £à ¤¨¥â®¬ ᪮à®á⨠â¥ç¥¨ï ¨«¨ ᪮à®áâìî ¤¥ä®à¬ 樨. ¥ç¥¨¥ ãíââ ¬®¥â ¡ëâì ॠ«¨§®¢ ® ¬¥¤ã ¤¢ã¬ï ¤¢¨ã騬¨áï ¯ à ««¥«ì묨 ¯«®áª®áâﬨ ¨«¨ ¢ § §®à¥ ¬¥¤ã ª® ªá¨ «ì묨 樫¨¤à ¬¨, ¢à é î騬¨áï á à §ë¬¨ ᪮à®áâﬨ. 2◦ . Ǒ«®áª®¥ ¡¥§¢¨åॢ®¥ ¤¢¨¥¨¥: VX
0
kGkm k = − 12 G
0
=
1 2
G
VX
=
1 2
GY,
0 0
, 0
VY
1 2
=
G
1 2
GX,
0
kEkm k = 12 G
0
1 2
VZ G
1 2
G
= 0,
0 0
, 0
0 0 0
k km k = 0 0 0 .
0 0 0
0 0 0 0 â® â¥ç¥¨¥ ¨¬¥¥â â ªãî ¥ ¤¥ä®à¬ 樮ãî á®áâ ¢«ïîéãî ¤¢¨¥¨ï, ª ª ¨ ¯à®á⮩ ᤢ¨£, ® ¥ ¨¬¥¥â ¢à é ⥫쮩 á®áâ ¢«ïî饩. 3◦ . Ǒ«®áª¨© ¤¥ä®à¬ æ¨®ë© á¤¢¨£:
1
2G
kGkm k = 0
0
0
1 2
GX,
VY
= − 12 GY,
VZ
= 0,
0
0 12 G 0
0 0 0
− G 0 , kEkm k = 12 G 0 0 , k km k = 0 0 0 .
0 0 0 0 0 0 0 0 â® â¥ç¥¨¥ ¬®® ॠ«¨§®¢ âì ¯à¨ ¯®¬®é¨ ¯à¨¡®à ¥©«®à , á®áâ®ï饣® ¨§ ç¥âëà¥å ¢à é îé¨åáï 樫¨¤à®¢ [308, 309℄. «¥¤ã¥â ®â¬¥â¨âì, çâ® â¥ç¥¨¥ 2◦ ®â«¨ç ¥âáï ®â â¥ç¥¨ï 3◦ ⮫쪮 ¨á¯®«ì§®¢ ¨¥¬ ¤à㣮© á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â (¯®¢®à®â®¬ ¢®ªà㣠®á¨ Z ¯à®â¨¢ ç ᮢ®© áâ५ª¨ 45◦ ). 4◦ . Ǒ«®áª®¥ ⢥म⥫쮥 ¢à 饨¥: 1 2
VX
= GY,
0 G 0
−G 0 0 kGkm k =
,
0 0 0
VY
= −GX,
0 0 0
0 0 0 kEkm k =
,
0 0 0
VZ
= 0,
0 G 0
−G 0 0 k km k =
.
0 0 0
¥ç¥¨¥ å à ªâ¥à¨§ã¥â ¢à 饨¥ ¨¤ª®á⨠¢®ªà㣠®á¨ Z á 㣫®¢®© ᪮à®áâìî G. 5◦ . á¥á¨¬¬¥âà¨çë© á¤¢¨£ (®á¥á¨¬¬¥âà¨ç®¥ ¤¥ä®à¬ 樮®¥ â¥ç¥¨¥): VX
= − 12 GX,
VY
= − 12 GY,
VZ
= GZ,
14
¥ç¥¨ï ¨¤ª®á⨠¢ ¯«¥ª å, âàã¡ å ¨ áâàãïå
1
− 2 G
kGkm k = 0
0
1
− 2 G
kEkm k = 0
0 G
0 0
,
1 2
= G1 X,
VY
= G2 Y,
G1 0 0
kGkm k = 0 G2 0 ,
0 0 G
VZ
0
0
0 0 0
− G − G 0 , k km k = 0 0 0 .
0 0 0 0 0 G â® â¥ç¥¨¥ ¬®¥â ¡ëâì ॠ«¨§®¢ ® ¯à¨ ¢ëâ瘟 樫¨¤à¨ç¥áª®© ¤¥ä®à¬¨à㥬®© ¨â¨ ¨«¨ ¯à¨¡®à¥, «®£¨ç®¬ ¯à¨¡®àã ¥©«®à [309℄ á ¤¢ã¬ï â®à®¨¤ «ì묨 ¢ « ¬¨, ¢à é î騬¨áï ¢ ¯à®â¨¢®¯®«®ëå ¯à ¢«¥¨ïå. 6◦ . ªá⥧¨®¬¥âà¨ç¥áª®¥ â¥ç¥¨¥: VX
0
1 2
= G3 Z,
G1
+ G2 + G3 = 0;
G1 0 0
kEkm k = 0 G2 0 ,
0 0 G
3
3
0 0 0
k km k = 0 0 0 .
0 0 0
â® â¥ç¥¨¥ ï¥âáï ®¡®¡é¥¨¥¬ â¥ç¥¨ï 5◦ ¥®á¥á¨¬¬¥âà¨çë© á«ãç ©. 7◦ . à⮣® «ì®¥ ८¬¥âà¨ç¥áª®¥ â¥ç¥¨¥: VX
= GY
0 G −H
0 0 0 kGkm k =
,
H 0 0
− HZ,
= 0,
VY
VZ
= HX,
1
0 12 G 0
0 G −H
1 G 0 0
− 1 G 20 0 kEkm k = 2
, k km k = 2
.
0
H 0 0 0 0
¥ç¥¨¥ å à ªâ¥à¨§ã¥â ᤢ¨£ ¢¤®«ì ®á¨ Y ¨ Z.
X,
®á«®¥ë© ¢à 饨¥¬ ¢®ªà㣠®á¥©
Ǒਠ¬®¤¥«¨à®¢ ¨¨ ®¡â¥ª ¨ï £à ¤¨¥âë¬ ¥¢®§¬ãé¥ë¬ ¯®â®ª®¬ ¢ ª ç¥á⢥ £à ¨çëå ãá«®¢¨© ¡¥áª®¥ç®á⨠(¢¤ «¨ ®â ⥫ ) á«¥¤ã¥â ¡à âì ãá«®¢¨ï áâ६«¥¨ï ª®¬¯®¥â ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠¯à¨ R → ∞ ª ᮮ⢥âáâ¢ãî騬 ª®¬¯®¥â ¬ à áᬮâà¥ëå £à ¤¨¥âëå â¥ç¥¨©. ãªæ¨ï ⮪ . ®«ìè¨á⢮ § ¤ ç, à áᬠâਢ ¥¬ëå ¢ ¯¥à¢ëå ¤¢ãå £« ¢ å, ®¡« ¤ îâ ⥬¨ ¨«¨ ¨ë¬¨ ᢮©á⢠¬¨ ᨬ¬¥âਨ. íâ¨å á«ãç ïå ¢¬¥áâ® ª®¬¯®¥â ᪮à®á⥩ ¨¤ª®á⨠ç á⮠㤮¡® ¢¢¥á⨠äãªæ¨î ⮪ . Ǒਠí⮬ ãà ¢¥¨¥ ¥à §à뢮á⨠(1.1.3), ®á®¢¥ ª®â®à®£® ® ¢¢®¤¨âáï, ¡ã¤¥â 㤮¢«¥â¢®àïâìáï ¢â®¬ â¨ç¥áª¨. ãªæ¨ï ⮪ ®¡ëç® ¢¢®¤¨âáï ¢ á«¥¤ãîé¨å âà¥å á«ãç ïå. 1. ¯«®áª¨å § ¤ ç å ¢á¥ ¢¥«¨ç¨ë ¥ § ¢¨áï⠮⠪®®à¤¨ âë Z , ¨ ãà ¢¥¨¥ ¥à §à뢮á⨠(1.1.3) ¯à¨¨¬ ¥â ¢¨¤ ∂VX ∂X
+
∂VY ∂Y
= 0.
(1.1.9)
ãªæ¨ï ⮪ (X, Y ) ¢¢®¤¨âáï á ¯®¬®éìî á®®â®è¥¨© VX
=
∂ , ∂Y
VY
=−
∂ . ∂X
(1.1.10)
Ǒਠí⮬ ãà ¢¥¨¥ ¥à §à뢮á⨠㤮¢«¥â¢®àï¥âáï ⮤¥á⢥®.
15
1.1. à ¢¥¨ï ¨ £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï £¨¤à®¤¨ ¬¨ª¨
2. ®á¥á¨¬¬¥âà¨çëå § ¤ ç å ¢ 樫¨¤à¨ç¥áª®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â R, θ, Z ¢á¥ ¢¥«¨ç¨ë ¥ § ¢¨áï⠮⠮ᥢ®© ª®®à¤¨ âë Z . í⮬ á«ãç ¥ ãà ¢¥¨¥ ¥à §à뢮á⨠(¯®á«¥ 㬮¥¨ï ®¡¥¨å ç á⥩ R) § ¯¨áë¢ ¥âáï â ª: ∂ ∂Vθ RVR + ∂R ∂θ
= 0.
(1.1.11)
ãªæ¨ï ⮪ ¢¢®¤¨âáï á ¯®¬®éìî ä®à¬ã« VR
=
∂ , R ∂θ
1
Vθ
=−
∂ . ∂R
(1.1.12)
3. ®á¥á¨¬¬¥âà¨çëå § ¤ ç å ¢ áä¥à¨ç¥áª®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ ⠢ᥠ¢¥«¨ç¨ë ¥ § ¢¨áï⠮⠪®®à¤¨ âë ϕ. í⮬ á«ãç ¥ ãà ¢¥¨¥ ¥à §à뢮á⨠(¯®á«¥ 㬮¥¨ï ®¡¥¨å ç á⥩ R) ¨¬¥¥â ¢¨¤ 1 ∂ 1 ∂ (1.1.13) R2 VR + Vθ sin θ = 0. R ∂R sin θ ∂θ ãªæ¨ï ⮪ ¢ í⮬ á«ãç ¥ ¢¢®¤¨âáï á®®â®è¥¨ï¬¨ R, θ , ϕ
VR
=
1 ∂ , R2 sin θ ∂θ
Vθ
=−
1 ∂ . R sin θ ∂R
(1.1.14)
® ¢á¥å ®¯¨á ëå ¢ëè¥ âà¥å á«ãç ïå äãªæ¨ï ⮪ § ¢¨á¨â ⮫쪮 ®â ¤¢ãå ®à⮣® «ìëå ª®®à¤¨ â. ¨¨¨ ⮪ ®¯à¥¤¥«ïîâáï à ¢¥á⢮¬ = onst. ¤®© «¨¨¨ ⮪ ®â¢¥ç ¥â ¯®áâ®ï®¥ § 票¥ äãªæ¨¨ ⮪ . ¥ªâ®à ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠¯à ¢«¥ ¯® ª á ⥫쮩 ª «¨¨¨ ⮪ . (⬥⨬, çâ® á âà ¥ªâ®à¨ï¬¨ ¨¤ª¨å ç áâ¨æ «¨¨¨ ⮪ ᮢ¯ ¤ îâ ⮫쪮 ¢ áâ 樮 ஬ á«ãç ¥.) â ¡«. 1.1 ¯à¨¢¥¤¥ë ãà ¢¥¨ï ¤«ï äãªæ¨¨ ⮪ ¢ à §«¨çëå á¨á⥬ å ª®®à¤¨ â, ¯®«ãç¥ë¥ ¨§ ãà ¢¥¨© ¢ì¥ | ⮪á (1.1.1), (1.1.2). à ¢¥¨ï £¨¤à®¤¨ ¬¨ª¨ ¢ ¡¥§à §¬¥à®¬ ¢¨¤¥. «ï «¨§ ãà ¢¥¨© £¨¤à®¤¨ ¬¨ª¨ (1.1.3), (1.1.4) 㤮¡® ¢¢¥á⨠¡¥§à §¬¥àë¥ ¯¥à¥¬¥ë¥ ¨ ¨áª®¬ë¥ ¢¥«¨ç¨ë ¯® ä®à¬ã« ¬ τ
=
Ut , a
x=
X , a
y
=
Y , a
z
=
Z , a
~v
=
~ V , U
p=
P , ρU 2
£¤¥ a ¨ U | å à ªâ¥àë¥ ¬ áèâ ¡ë ¤«¨ë ¨ ᪮à®áâ¨. १ã«ìâ ⥠¯®«ã稬 ∂~v ∂t
+
∇ · ~v ~v · ∇ ~v
= 0, = −∇p +
1 1 ~v + Re Fr
(1.1.15) ~g . g
(1.1.16)
16
¥ç¥¨ï ¨¤ª®á⨠¢ ¯«¥ª å, âàã¡ å ¨ áâàãïå
17
1.2. ¥ç¥¨¥, ¢ë§¢ ®¥ ¢à 饨¥¬ ¤¨áª
Ǒਠ§ ¯¨á¨ ãà ¢¥¨ï (1.1.16) ¨á¯®«ì§®¢ ë ®á®¢ë¥ ¡¥§à §¬¥àë¥ à¥¨¬®-£¥®¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ¯ à ¬¥âàë â¥ç¥¨ï: Re =
aU ν
| ç¨á«® ¥©®«ì¤á ,
Fr =
gU 2 a
| ç¨á«® à㤠.
¥¤«¥ë¬ (ý¯®«§ã騬þ) â¥ç¥¨ï¬ ᮮ⢥âáâ¢ãîâ ¬ «ë¥ § 票ï ç¨á¥« ¥©®«ì¤á , ¡ëáâàë¬ â¥ç¥¨ï¬ | ¡®«ì訥. «¨ç¨¥ ¢ íâ¨å ¯à¥¤¥«ìëå á«ãç ïå ¬ «®£® ¨«¨ ¡®«ì讣® ¡¥§à §¬¥à®£® ¯ à ¬¥âà ¯®§¢®«ï¥â íä䥪⨢® ¨á¯®«ì§®¢ âì à §«¨çë¥ ¬®¤¨ä¨ª 樨 ¬¥â®¤ ¢®§¬ã饨© [38℄. 1.2. ¥ç¥¨¥, ¢ë§¢ ®¥ ¢à 饨¥¬ ¤¨áª
í⮬ à §¤¥«¥ ¡ã¤¥â ®¯¨á ®¤¨ ¨§ ¥¬®£¨å á«ãç ¥¢, ª®£¤ ¥«¨¥© ï ªà ¥¢ ï § ¤ ç ¤«ï ãà ¢¥¨© ¢ì¥ | â®ªá ¤®¯ã᪠¥â â®ç®¥ «¨â¨ç¥áª®¥ à¥è¥¨¥. áᬮâਬ â¥ç¥¨¥, ¢ë§ë¢ ¥¬®¥ ¢à 饨¥¬ ¡¥áª®¥ç®£® ¯«®áª®£® ¤¨áª á ¯®áâ®ï®© 㣫®¢®© ᪮à®áâìî ω . á«®¢¨¥ ¯à¨«¨¯ ¨ï ¯®¢¥àå®á⨠¤¨áª ¯à¨¢®¤¨â ª ¢®§¨ª®¢¥¨î ¤®áâ â®ç® á«®®£® âà¥å¬¥à®£® ¤¢¨¥¨ï ¨¤ª®áâ¨, ¯®¤á áë¢ ¥¬®© ¨§ ®¡ê¥¬ ¢¤®«ì ®á¨ ¢à é¥¨ï ª ¤¨áªã ¨ ®â¡à áë¢ ¥¬®© ¢¡«¨§¨ ¥£® ¯«®áª®á⨠¯¥à¨ä¥à¨î. ª®¥ â¥ç¥¨¥ ¤®áâ â®ç® å®à®è® ¬®¤¥«¨àã¥â £¨¤à®¤¨ ¬¨ªã è¨à®ª® ¨á¯®«ì§ã¥¬ëå ¢ 娬¨ç¥áª®© â¥å®«®£¨¨ ¤¨áª®¢ëå ¬¥è «®ª, â ª¥ ¤¨áª®¢ëå í«¥ªâத®¢, ¯à¨¬¥ï¥¬ëå ¢ ª ç¥á⢥ ¤ â稪®¢ ¢ í«¥ªâà®å¨¬¨¨ [100℄. ᯮ«ì§ã¥¬ 樫¨¤à¨ç¥áªãî á¨á⥬㠪®®à¤¨ â R, ϕ, Z , £¤¥ ª®®à¤¨ â Z ®âáç¨âë¢ ¥âáï ®â ¯®¢¥àå®á⨠¤¨áª ¢¤®«ì ®á¨ ¢à 饨ï. ç¨âë¢ ï ᨬ¬¥âà¨î § ¤ ç¨ (¨áª®¬ë¥ ¢¥«¨ç¨ë ¥ § ¢¨áïâ ®â 㣫®¢®© ª®®à¤¨ âë ϕ), § ¯¨è¥¬ ãà ¢¥¨ï ¥à §à뢮á⨠¨ ¢ì¥ | â®ªá ¢ ¢¨¤¥ ∂VR ∂V V + Z + R = 0, ∂R ∂Z R V2 ∂VR 1 ∂P ∂V V VR + VZ R − ϕ = − + ν VR − R2 , ∂R ∂Z R ρ ∂R R ∂Vϕ VR Vϕ ∂Vϕ Vϕ VR + VZ + = ν Vϕ − 2 , ∂R ∂Z R R ∂VZ 1 ∂P ∂VZ VR + VZ =− + ν VZ , ∂R ∂Z ρ ∂Z
(1.2.1)
£¤¥ | ®¯¥à â®à ¯« á ¢ 樫¨¤à¨ç¥áª®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â: ≡
∂ ∂ ∂2 + 2. R R ∂R ∂R ∂Z
1
(1.2.2)
18
¥ç¥¨ï ¨¤ª®á⨠¢ ¯«¥ª å, âàã¡ å ¨ áâàãïå
«ï § ¢¥àè¥¨ï ¬ ⥬ â¨ç¥áª®© ä®à¬ã«¨à®¢ª¨ § ¤ ç¨ ¤®¯®«¨¬ ãà ¢¥¨ï £¨¤à®¤¨ ¬¨ª¨ (1.2.1) £à ¨ç묨 ãá«®¢¨ï¬¨ ¯à¨«¨¯ ¨ï ¨¤ª®á⨠¯®¢¥àå®á⨠¤¨áª ¨ ãá«®¢¨ï¬¨ ¥¢®§¬ã饮áâ¨ à ¤¨ «ì®£® ¨ 㣫®¢®£® ¤¢¨¥¨© ¨ ¤ ¢«¥¨ï ¢¤ «¨ ®â ¤¨áª : VR = 0, VR → 0,
= Rω, Vϕ → 0, Vϕ
VZ = 0 P → Pi
Z = 0, Z → ∞.
¯à¨ ¯à¨
(1.2.3)
«¥¤ãï ଠã, à¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ (1.2.1) | (1.2.3) ¨é¥¬ ¢ ¢¨¤¥ √ νω v (z ),
= ωRu1(z ), Vϕ = ωRu2 (z ), VZ = p = Pi + ρνωp(z ), £¤¥ z = ω/ν Z.
VR P
(1.2.4)
Ǒ®¤áâ ¢«ïï í⨠¢ëà ¥¨ï ¢ (1.2.1) | (1.2.3), ¯®á«¥ ¥ª®â®àëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨© ¯à¨å®¤¨¬ ª á«¥¤ãî饩 á¨á⥬¥ ®¡ëª®¢¥ëå ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ãà ¢¥¨© (èâà¨å¨ ᮮ⢥âáâ¢ãî⠯ந§¢®¤ë¬ ¯® z ): = vu′1 + u21 − u22 , u′′2 = vu′2 + 2u1 u2 , v ′′ = vv ′ + p′ , v ′ = −2u1 u′′1
(1.2.5)
á £à ¨ç묨 ãá«®¢¨ï¬¨ = 0, u1 → 0, u1
= 1, u2 → 0,
u2
=0 p→0
v
¯à¨ ¯à¨
z
= 0,
z → ∞.
(1.2.6)
⬥⨬, çâ® ®á¥¢®¥ à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ¤ ¢«¥¨ï ¬®® ©â¨ ¨§ âà¥â쥣® ãà ¢¥¨ï (1.2.5) ¯®á«¥ à¥è¥¨ï ¯¥à¢ëå ¤¢ãå ãà ¢¥¨©. ¢«¥¨¥ ¢ëà ¥âáï ç¥à¥§ ¯®¯¥à¥çãî ª®¬¯®¥âã ᪮à®á⨠¯® ä®à¬ã«¥ p = v ′ (z ) − 12 v 2 (z ) − v ′ (∞) + 12 v (∞). (1.2.7) à ¡®â å [184, 220℄ ¯à¨¢®¤ïâáï १ã«ìâ âë ç¨á«¥®£® à¥è¥¨ï § ¤ ç¨ (1.2.5), (1.2.6). ®®â¢¥âáâ¢ãî騥 § ¢¨á¨¬®á⨠u1 , u2, v ®â z ¯®ª § ë à¨á. 1.1. Ǒ®«ãç¥ë á«¥¤ãî騥 à §«®¥¨ï ¨áª®¬ëå äãªæ¨© ¢¡«¨§¨ ¨ ¢¤ «¨ ®â ¯®¢¥àå®á⨠¤¨áª [103℄: ¯à¨ z → 0: u1 (z ) ≃ 0,51 z − 0,5 z 2 , u2 (z ) ≃ 1 − 0,616 z, v (z ) ≃ −0,51 z 2 + 0,333 z 3, p(z ) ≃ 0,393 − 1,02 z,
(1.2.8)
19
1.2. ¥ç¥¨¥, ¢ë§¢ ®¥ ¢à 饨¥¬ ¤¨áª
¨á. 1.1.
á¯à¥¤¥«¥¨¥ ª®¬¯®¥â ᪮à®á⨠¢¡«¨§¨ ¢à é î饣®áï ¤¨áª
¯à¨ z → ∞: u1 (z ) ≃ 0,934 exp(−0,886 z ),
v (z ) ≃ −0,886,
u2 (z ) ≃ 1,208 exp(−0,886 z ), p(z ) ≃ 0,393.
(1.2.9)
¯®¬®éìî ä®à¬ã« (1.2.9) ¬®® ®æ¥¨âì ¢®§¬ã饨ï, ª®â®àë¥ ¤¨áª ¢®á¨â ¢ ¨¤ª®áâì ¢¤ «¨ ®â ¢à é î饩áï ¯®¢¥àå®áâ¨. § £à ¨çëå ãá«®¢¨© (1.2.3) á«¥¤ã¥â, çâ® ¤ ¢«¥¨¥, à ¤¨ «ì ï ¨ 㣫®¢ ï ª®¬¯®¥âë ᪮à®á⨠¥ ¢®§¬ãé îâáï ¯à¨ z → ∞. Ǒਠí⮬ ¡¥§à §¬¥à ï ®á¥¢ ï ª®¬¯®¥â ᪮à®á⨠¢¤ «¨ ®â ¤¨áª ®â«¨ç ®â ã«ï: v (∞) = −0,886. â ¢¥«¨ç¨ ¯®ª §ë¢ ¥â, á ª ª®© ᪮à®áâìî ¤¨áª ý§ å¢ âë¢ ¥âþ ®ªàã îéãî ¨¤ª®áâì. § à¨á. 1.1 ¢¨¤®, çâ® ¤ ¢«¥¨¥, à ¤¨ «ì ï ¨ 㣫®¢ ï ª®¬¯®¥âë ᪮à®á⨠¢®§¬ãé îâáï ¢à é î騬áï ¤¨áª®¬ «¨èì ¢¡«¨§¨ ®â ¥£® ¯®¢¥àå®áâ¨, ¢ â ª §ë¢ ¥¬®¬ ¤¨ ¬¨ç¥áª®¬ ¯®£à ¨ç®¬ á«®¥. ®«é¨ í⮣® á«®ï ¥ p § ¢¨á¨â ®â à ¤¨ «ì®© ª®®à¤¨ âë* ¨ ¯à¨¡«¨§¨â¥«ì® à ¢ δ = 3 ν/ω. ᥠ㪠§ ë¥ § ª®®¬¥à®á⨠á¯à ¢¥¤«¨¢ë ¤«ï ¤¨áª ¡¥áª®¥ç®£® à ¤¨ãá . ¤ ª®, ¥á«¨ ¢§ïâì ªà㣮¢®© ¤¨áª ª®¥ç®£® à ¤¨ãá a, «¨¥©ë¥ à §¬¥àë ª®â®à®£® áãé¥á⢥® ¯à¥¢®á室ïâ ⮫é¨ã ¯®£à p ¨ç®£® á«®ï (a ≫ 3 ν/ω ), â® í⨠§ ª®®¬¥à®á⨠¡ã¤ã⠢믮«ïâìáï ¯à¨¡«¨¥®. ª § ®¥ ¯®§¢®«ï¥â ¯®«ãç¨âì ¥áª®«ìª® ¢ ëå ¯à ªâ¨ç¥áª¨å ®æ¥®ª. * à §¤. 3.2 ¡ã¤¥â ¯®ª § ®, çâ® ¤¨ää㧨®ë© ¯®£à ¨çë© á«®© ¢à é î饬áï ¤¨áª¥ â ª¥ ¨¬¥¥â ¯®áâ®ïãî ⮫é¨ã. â® ¯®§¢®«ï¥â áç¨â âì ¯®¢¥àå®áâì ¢à é î饣®áï ¤¨áª , ¨á¯®«ì§ã¥¬®£® ¢ í«¥ªâà®å¨¬¨ç¥áª¨å íªá¯¥à¨¬¥â å ¢ ª ç¥á⢥ í«¥ªâத , à ¢®¤®áâ㯮© ¯®¢¥àå®áâìî.
20
¥ç¥¨ï ¨¤ª®á⨠¢ ¯«¥ª å, âàã¡ å ¨ áâàãïå
√
áå®¤ï ¨§ ᪮à®á⨠§ å¢ â ¨¤ª®á⨠¤¨áª®¬ VZ (∞)= −0,886 νω , ¬®® ©â¨ à á室 㢫¥ª ¥¬®© ¨ ®â¡à áë¢ ¥¬®© ¤¨áª®¬ à ¤¨ãá a ¨¤ª®áâ¨: √ q = 0,886 πa2 νω. (1.2.10)
᫨ ãç¥áâì ¤¢ãáâ®à®¨© § å¢ â ¨¤ª®á⨠¢à é î騬áï ¤¨áª®¬, â® ®¡é¨© à á室 ®â¡à áë¢ ¥¬®© ¨¤ª®á⨠᫥¤ã¥â 㢥«¨ç¨âì ¢ ¤¢ à § : Q = 2q . ¤®¡® § ¯¨á âì ®¡é¨© à á室 ç¥à¥§ ç¨á«® ¥©®«ì¤á : Q = 1,77 πa3 ω Re−1/2 ,
Re = a2 ω/ν.
(1.2.11)
«®£¨çë¬ ®¡à §®¬ ¬®® ®æ¥¨âì ¬®¬¥â ᮯà®â¨¢«¥¨ï ¨¤ª®á⨠¢à é¥¨î ¤¨áª , ª®â®àë© ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨â¥£à «®¬ m = −2πµ
Z
0
a
R2
∂Vϕ ∂Z
Z =0
ëç¨á«¥¨¥ ¤ ¥â ¤«ï ¤¢ãáâ®à®¥£® ¬®¬¥â ®æ¥ªã: √ M = 0,616 πρa4 νω 3 .
dR. M
= 2m á«¥¤ãîéãî (1.2.12)
«ï ¡¥§à §¬¥à®£® ª®íää¨æ¨¥â ¬®¬¥â ᮯà®â¨¢«¥¨ï ¨¬¥¥¬ M cM ≡ 1 5 2 2 ρa ω
= 3,87 Re−1/2 .
(1.2.13)
¥®à¥â¨ç¥áª ï ®æ¥ª (1.2.13) å®à®è® ¯®¤â¢¥à¤ ¥âáï íªá¯¥à¨¬¥â «ì® ¢¯«®âì ¤® ªà¨â¨ç¥áª®£® ç¨á« ¥©®«ì¤á Re∗ ≈ 3 · 105, ª®£¤ à áᬠâਢ ¥¬®¥ â¥ç¥¨¥ áâ ®¢¨âáï ¥ãáâ®©ç¨¢ë¬ ¨ ç¨ ¥âáï ¯¥à¥å®¤ ª âãà¡ã«¥â®¬ã २¬ã. «ï âãà¡ã«¥â®£® २¬ â¥ç¥¨ï (¯à¨ Re > 3 · 105) ¯à¨¡«¨¥ë¥ à áç¥âë, ®á®¢ ë¥ ¨â¥£à «ì®¬ ¬¥â®¤¥ ¯®£à ¨ç®£® á«®ï, ¯à¨¢®¤ïâ ª á«¥¤ãî騬 ®æ¥ª ¬ ¤«ï ªà㣮¢®£® ¤¨áª à ¤¨ãá a [103℄: ¤«ï ¤¢ãáâ®à®¥£® à á室 : Q = 0,438 a3ω Re−1/5 ,
(1.2.14)
¤«ï ª®íää¨æ¨¥â ¤¢ãáâ®à®¥£® ¬®¬¥â ᮯà®â¨¢«¥¨ï: cM
= 0,146 Re−1/5 .
(1.2.15)
®«é¨ã âãà¡ã«¥â®£® ¤¨ ¬¨ç¥áª®£® ¯®£à ¨ç®£® á«®ï ¤¨áª¥ ¬®® ®æ¥¨âì ¯® ä®à¬ã«¥ δ = 0,5 a Re−1/5 .
1.3. ¨¤à®¤¨ ¬¨ª ⮪¨å á⥪ îé¨å ¯«¥®ª
21
1.3. ¨¤à®¤¨ ¬¨ª ⮪¨å á⥪ îé¨å ¯«¥®ª
Ǒ।¢ à¨â¥«ìë¥ § ¬¥ç ¨ï. Ǒ«¥®çë© â¨¯ â¥ç¥¨ï è¨à®ª® ¨á¯®«ì§ã¥âáï ¢ 娬¨ç¥áª®© â¥å®«®£¨¨ (¢ ª®â ªâëå ãáâனáâ¢ å ¡á®à¡æ¨®ëå, 奬®á®à¡æ¨®ëå ¨ ४â¨ä¨ª 樮ëå ª®«®; ¢ ¢ë¯ àëå, áã訫ìëå ¨ ⥯«®®¡¬¥ëå ¯¯ à â å; ¯«¥®çëå 娬¨ç¥áª¨å ॠªâ®à å; íªáâà ªâ®à å ¨ ª®¤¥á â®à å [87, 153℄). ¡ëç® ¢ ¯¯ à â, ¢ ª®â®à®¬ ®áãé¥á⢫ï¥âáï 䨧¨ª®-娬¨ç¥áª ï ®¡à ¡®âª ⥪ãç¨å ¬ â¥à¨ «ìëå á।, ®¤®¢à¥¬¥® ¯®¤ îâáï ª ª ¨¤ª ï, â ª ¨ £ §®¢ ï ä §ë. Ǒ®í⮬ã, ¢®®¡é¥ £®¢®àï, ¯à®¨á室¨â ¤¨ ¬¨ç¥áª®¥ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ ä § ¢¯«®âì ¤® áâ㯫¥¨ï २¬ ý§ å«¥¡ë¢ ¨ïþ ¯à¨ ¯à®â¨¢®â®ç®¬ ¤¢¨¥¨¨ £ § ¨ ¨¤ª®áâ¨. ¤ ª® ¯à¨ áà ¢¨â¥«ì® ¬ «ëå à á室 å £ § ¤¨ ¬¨ç¥áª¨¬ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥¬ ¬®® ¯à¥¥¡à¥çì ¨ áç¨â âì, çâ® ¨¤ª¨¥ ¯«¥ª¨ á⥪ îâ ⮫쪮 ¯®¤ ¤¥©á⢨¥¬ ᨫë âï¥áâ¨. § ¢¨á¨¬®á⨠®â ¢¥«¨ç¨ë ç¨á« ¥©®«ì¤á Re = Q/ν , £¤¥ Q | ¯«®â®áâì ®à®è¥¨ï (â.¥. ®¡ê¥¬ë© à á室 ¨¤ª®á⨠¥¤¨¨æã è¨à¨ë ¯«¥ª¨), â¥ç¥¨¥ ¨¤ª®á⨠¢ £à ¢¨â 樮®© ¯«¥ª¥ ¬®¥â ®áãé¥á⢫ïâìáï ¢ « ¬¨ ஬, ¢®«®¢®¬ ¨ âãà¡ã«¥â®¬ २¬ å. §¢¥áâ® [5, 23, 180℄, çâ® « ¬¨ àë© à¥¨¬ â¥àï¥â ãá⮩稢®áâì ¯à¨ § 票ïå ªà¨â¨ç¥áª®£® ç¨á« ¥©®«ì¤á Re∗ = 2 ÷ 6. ¤ ª® ¨§¢¥áâ® â ª¥ [23℄, ç⮠ॠ«ì®¥ ¯®ï¢«¥¨¥ ¢®« ¡«î¤ ¥âáï «¨èì ç¨ ï á â®çª¨, áãé¥á⢥® ᬥ饮© ¢¨§ ¯® ¯®â®ªã. ® ¢á类¬ á«ãç ¥, ¤ ¥ ¤«ï ç¨á¥« ¥©®«ì¤á 6 6 Re 6 400, ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¢®«®¢ë¬ २¬ ¬ [5℄, § ç¨â¥«ì ï ç áâì ¤«¨ë ¯«¥ª¨ ¡ã¤¥â ¡¥§¢®«®¢®©.
᫨ ãç¥áâì, çâ® íâ ¤«¨ áãé¥á⢥® ¯à¥¢®á室¨â ¤«¨ã ç «ì®£® ãç á⪠, £¤¥ ¯à®¨á室¨â ä®à¬¨à®¢ ¨¥ áâ 樮 ண® ¯à®ä¨«ï ᪮à®á⨠¨ ãáâ ®¢«¥¨¥ ⮫é¨ë ¯«¥ª¨, â® á«¥¤ã¥â ¯à¨§ âì, çâ® £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª¨¥ § ª®®¬¥à®á⨠ãáâ ®¢¨¢è¥£®áï « ¬¨ ண® â¥ç¥¨ï ¯«¥ª¨ ¯à¨ à ¢®¢¥á¨¨ ¢ï§ª¨å ¨ £à ¢¨â 樮ëå ᨫ ïîâáï ®¯à¥¤¥«ïî騬¨ ¯à¨ à áç¥â¥ ¨â¥á¨¢®á⨠¬ áá®®¡¬¥ ¢® ¬®£¨å ¯¯ à â å. ª®¢ë, ¯à¨¬¥à, è¨à®ª® à á¯à®áâà ¥ë¥ ¢ 娬¨ç¥áª®© ¨ ¥äâ¥å¨¬¨ç¥áª®© ¯à®¬ëè«¥®áâ¨ á ¤®çë¥ ¡á®à¡æ¨®ë¥ ¨ ४â¨ä¨ª æ¨®ë¥ ª®«®ë, £¤¥ ¯«¥ª¨ á⥪ îâ ¯® ¯®¢¥àå®áâ¨ á ¤®çëå ⥫, ¯à®â葉áâì ª®â®àëå ¥ ¯à¥¢ëè ¥â ¥áª®«ìª¨å á ⨬¥â஢ (ª®«ìæ 訣 , ª®«ìæ Ǒ ««ï, ᥤ« ¥à«ï ¨ ¤à. [180℄). Ǒ à ¤®ªá «ì®, ® ¤«ï ¯à ªâ¨ç¥áª®£® ¨á¯®«ì§®¢ ¨ï § ª®®¬¥à®á⥩ « ¬¨ ண® â¥ç¥¨ï ¯«¥ª¨ áãé¥áâ¢ãîâ ®£à ¨ç¥¨ï ¯® à á室 ¬ (¨«¨ ç¨á« ¬ ¥©®«ì¤á ) ¥ ᢥàåã, ᨧã. ¥©á⢨⥫ì®, áãé¥áâ¢ã¥â [45℄ ¯®à®£ ¯«®â®á⨠®à®è¥¨ï Qmin, ¨¥ ª®â®à®£® í¥à£¥â¨ç¥áª¨ ¡®«¥¥ ¢ë£®¤ë¬ áâ ®¢¨âáï à §à뢮¥, ýàã祩ª®¢®¥þ, áâ¥-
22
¥ç¥¨ï ¨¤ª®á⨠¢ ¯«¥ª å, âàã¡ å ¨ áâàãïå
ª ¨¥ ¯«¥ª¨. â®â ¯à¥¤¥« ¡ë« ⥮à¥â¨ç¥áª¨ ®¯à¥¤¥«¥ ¢ à ¡®â¥ [240℄ Qmin
= 2,15
νσ 3 ρg 3
1/5
(1 − os θ)3/5 ,
£¤¥ σ | ª®íää¨æ¨¥â ¯®¢¥àå®á⮣® âï¥¨ï ¨¤ª®áâ¨, θ | ªà ¥¢®© 㣮« ᬠ稢 ¨ï ¨¤ª®áâìî ¬ â¥à¨ « á⥪¨ (à¨á. 1.2). £®« θ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨§ ä㤠¬¥â «ì®£® á®®â®è¥¨ï £ [36℄ σgw
= σ os θ + σfw ,
£¤¥ σgw ¨ σfw | 㤥«ìë¥ ¨§¡ëâ®çë¥ ¯®¢¥àå®áâë¥ í¥à£¨¨ £à ¨æ à §¤¥« £ §{á⥪ ¨ ¨¤ª®áâì{ ¨á. 1.2. ®¯à¥¤¥«¥¨î ªà ¥¢®£® á⥪ . 㣫 ᬠ稢 ¨ï Ǒਬ¥ï¥¬ë© ¯à ªâ¨ª¥ â¥å®«®£¨ç¥áª¨© ¯à¨¥¬ £¨¤à®ä¨«¨§ 樨 á⥪¨ [23℄, á®áâ®ï騩 ¢ ®¡à ¡®âª¥ ¯®¢¥àå®á⨠ᯨà⮬, 㬥ìè ¥â ªà ¥¢®© 㣮« ᬠ稢 ¨ï ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, 㬥ìè ¥â ¯à¥¤¥« ¬¨¨¬ «ì®© ¯«®â®á⨠®à®è¥¨ï. Ǒ«¥ª ª«®®© ¯«®áª®áâ¨. áᬮâਬ ⮪¨© á«®© ¨¤ª®áâ¨, á⥪ î騩 ¯® ⢥म© ¯«®áª®© ¯®¢¥àå®á⨠¯®¤ ¤¥©á⢨¥¬ ᨫë âï¥á⨠(à¨á. 1.3). Ǒãáâì α | 㣮« ª«® ¯«®áª®á⨠ª £®à¨§®âã. ¢¨¥¨¥ áç¨â ¥¬ ¤®áâ â®ç® ¬¥¤«¥ë¬, â ª ç⮠ᨫ ¬¨ ¨¥à樨 (â.¥. ª®¢¥ªâ¨¢ë¬¨ ç«¥ ¬¨) ¬®® ¯à¥¥¡à¥çì ¯® áà ¢¥¨î á ¢ï§ª¨¬ â२¥¬ ¨ ᨫ®© âï¥áâ¨. Ǒãáâì â®«é¨ ¯«¥ª¨ h, ª®â®à ï ¯à¥¤¯®« £ ¥âáï ¯®áâ®ï®©, ¬®£® ¬¥ìè¥ ¥¥ ¤«¨ë. í⮬ á«ãç ¥ ¢ ¯¥à¢®¬ ¯à¨¡«¨¥¨¨ ¨á. 1.3. â ¡¨«¨§¨à®¢ ë© ãç ®à¬ «ì ï ª®¬¯®¥â ᪮à®á⨠¨¤á⮪ « ¬¨ ண® ¡¥§¢®«®¢®£® २¬ á⥪ ¨ï ¯«¥ª¨ ¯® - ª®á⨠¡ã¤¥â ¬ « ¯® áà ¢¥¨î á ¯à®ª«®®© ¯«®áª®á⨠¤®«ì®© á®áâ ¢«ïî饩, ¯à®¨§¢®¤ë¬¨ ¢¤®«ì ¯®¢¥àå®á⨠¯«¥ª¨ ¬®® ¯à¥¥¡à¥çì ¯® áà ¢¥¨î á ¯à®¨§¢®¤ë¬¨ ¯® ®à¬ «¨. ª § ë¥ ¤®¯ãé¥¨ï ¯à¨¢®¤ïâ ª ®¤®¬¥à®¬ã ¯à®ä¨«î ᪮à®á⨠V = V (Y ) ¨ ¤ ¢«¥¨î P = P (Y ), £¤¥ Y | ª®®à¤¨ â , ®âáç¨âë¢ ¥¬ ï ¯® ®à¬ «¨ ª ¯®¢¥àå®á⨠¯«¥ª¨. ®®â¢¥âáâ¢ãî騥 ãà ¢¥¨ï £¨¤à®¤¨ ¬¨ª¨ ⮪¨å ¯«¥®ª ¨¬¥îâ ¢¨¤ ãá«®¢¨© à ¢®¢¥á¨ï ¢ï§ª®© ¨ £à ¢¨â 樮®© ᨫ: µ
d2 V + ρg sin α = 0, dY 2 dP − ρg os α = 0. dY
(1.3.1)
23
1.3. ¨¤à®¤¨ ¬¨ª ⮪¨å á⥪ îé¨å ¯«¥®ª
à ¢¥¨ï á«¥¤ã¥â ¤®¯®«¨âì £à ¨ç묨 ãá«®¢¨ï¬¨ dV dY V
= 0,
= P0
P
=0
¯à¨
Y
= 0,
¯à¨
Y
= h,
(1.3.2)
ª®â®àë¥ ¢ëà îâ à ¢¥á⢮ ã«î ª á ⥫쮣® ¯à泌ï, à ¢¥á⢮ ¤ ¢«¥¨ï ⬮áä¥à®¬ã ¤ ¢«¥¨î P0 ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®á⨠¨ ãá«®¢¨¥ ¯à¨«¨¯ ¨ï ¯®¢¥àå®á⨠¯«®áª®áâ¨. ¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ (1.3.1), (1.3.2) ¨¬¥¥â ¢¨¤ V P
= Umax(1 − y 2 ), = P0 + ρgh os α y,
(1.3.3)
£¤¥ y = Y /h | ¡¥§à §¬¥à ï ¯®¯¥à¥ç ï ª®®à¤¨ â , Umax = = 21 (g/ν )h2 sin α | ¬ ªá¨¬ «ì ï ᪮à®áâì â¥ç¥¨ï (᪮à®áâì ᢮¡®¤®© £à ¨æ¥). Ǒ«®â®áâì ®à®è¥¨ï ¢ëç¨á«ï¥âáï ¯® ä®à¬ã«¥ Q=
Zh
V (Y ) dY
=
0
gh3 sin α 3ν
=
2 3 Umax h.
(1.3.4)
।¥à á室 ï ᪮à®áâì hV i á®áâ ¢«ï¥â 2/3 ®â ¬ ªá¨¬ «ì®©: hV i = 23 Umax .
¯à¥¤¥«¨¬ ç¨á«® ¥©®«ì¤á ¤«ï ¯«¥®ç®£® â¥ç¥¨ï: Re =
Q ν
=
gh3 sin α . 3ν 2
âáî¤ ¬®® ¢ëà §¨âì ⮫é¨ã ¯«¥ª¨ ç¥à¥§ ç¨á«® ¥©®«ì¤á ¨ ¯«®â®áâì ®à®è¥¨ï: h=
1/3
3ν 2 Re g sin α
=
3ν Q g sin α
1/3
.
Ǒ«¥ª 樫¨¤à¨ç¥áª®© ¯®¢¥àå®áâ¨. Ǒãáâì ⮪¨© á«®© ¨¤ª®á⨠⮫騮© h á⥪ ¥â ¯® ¯®¢¥àå®á⨠¢¥à⨪ «ì®£® ªà㣮¢®£® 樫¨¤à à ¤¨ãá a. 樫¨¤à¨ç¥áª®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â R, ϕ, Z ¤«ï ¥¤¨á⢥®© ¥ã«¥¢®© ª®¬¯®¥âë ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠¨¬¥¥¬ ãà ¢¥¨¥ 2 1 ∂VZ d VZ + µ + ρg = 0. (1.3.5) 2 dR
R ∂R
24
¥ç¥¨ï ¨¤ª®á⨠¢ ¯«¥ª å, âàã¡ å ¨ áâàãïå
à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï á⥪¥ ¨ ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®á⨠§ ¯¨áë¢ îâáï â ª: VZ
= 0 ¯à¨
R = a,
dVZ dR
= 0 ¯à¨
R = a + h.
(1.3.6)
¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ (1.3.5), (1.3.6) ¤ ¥âáï ä®à¬ã«®© ln(R/a) ρg 2 2 2 2 a − R + (a + h) − a . VZ (R) = (1.3.7) 4µ ln(1 + h/a) ¢®©ë¥ £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª¨¥ ¯«¥ª¨. ¥ª®â®àë¥ ¯à®æ¥ááë 娬¨ç¥áª®© â¥å®«®£¨¨ 㤮¡® ¢¥á⨠¢ ¤¢®©ëå £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª¨å á«®ïå ( ¯à¨¬¥à, ¯à®æ¥ááë ¨¤ª®ä §®© íªáâà ªæ¨¨, â ª¥ ॠªæ¨¨ ¨âà¨à®¢ ¨ï ¨ áã«ì䮨஢ ¨ï ¨¤ª¨å 㣫¥¢®¤®à®¤®¢). à¨á. 1.4 ¯®ª § á奬 ¤¢ãåá«®©®£® ¯«¥®ç®£® â¥ç¥¨ï ¨ ¢ë¡à ï á¨á⥬ ª®®à¤¨ â. à ¥¢ ï § ¤ ç ¤«ï X -ª®¬¯®¥â ᪮à®á⥩ á«®¥¢ Va (Y ) ¨ Vb (Y ) ®¯¨áë¢ ¥âáï ãà ¢¥¨ï¬¨ d2 Va − ρa g sin α = 0, dY 2 d2 Vb µb − ρb g sin α = 0, dY 2 µa
¨ £à ¨ç묨 ãá«®¢¨ï¬¨ Va = 0 ¯à¨ Y = 0, Va = Vb ¯à¨ Y = ha , ¨á. 1.4.
â¥ç¥¨ï
奬 ¤¢ã寫¥®ç®£®
µa
dVa dY dVb dY
= µb =0
dVb dY
¯à¨
Y
= ha ,
¯à¨
Y
= ha + hb .
¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ ® « ¬¨ ஬ â¥ç¥¨¨ ¤¢ãå ¥á¬¥è¨¢ îé¨åáï ¨¤ª¨å ¯«¥®ª ¤ ¥âáï ä®à¬ã« ¬¨ [304℄ ρ g sin α ρ Va = a 2 ha + hb b Y − Y 2 ¯à¨ 0 6 Y 6 ha , 2µa ρa ρ g sin α µb ρa µb − 1 h2a + 2ha hb − 1 + 2(ha + hb )Y − Y 2 Vb = b 2µb ρb µa µa ¯à¨ ha 6 Y 6 ha + hb. «ï ¯«®â®á⥩ ®à®è¥¨ï ¢ ª ¤®© ¨§ ¯«¥®ª ¨¬¥¥¬ ρ2 h3 g sin α 3 ρb h b Qa = a a 1+ , 3µa 2 ρa h a ρ2 h3 g sin α h µ h2 ρ µ Qb = b b 1 + 3 a b + 3 a2 a b . 3µb hb µa hb ρb µa
25
1.4. âàã©ë¥ â¥ç¥¨ï
Ǒਠ§ ¤ ®¬ ®â®è¥¨¨ ¯«®â®á⥩ ®à®è¥¨ï Qa /Qb ®â®è¥¨¥ â®«é¨ ¯«¥®ª λ = ha /hb 㤮¢«¥â¢®àï¥â á«¥¤ãî饬㠪㡨ç¥áª®¬ã ãà ¢¥¨î:
2 3 µa Qa 2/3 ρb 7/3 ρb Qa 2 µ ρ2 Q ρ − λ − 3 b λ− a 2b a = 0. 2 µb Qb ρa ρa Q b ρa µb ρa Qb ¥§ã«ìâ âë £à ä¨ç¥áª®£® à¥è¥¨ï í⮣® ãà ¢¥¨ï ¯à¨¢¥¤¥ë ¢ à ¡®â¥ [304℄.
λ3 +
1.4. âàã©ë¥ â¥ç¥¨ï
âàã©ë¥ â¥ç¥¨ï ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ᮡ®© ®¡è¨àë© ¨ ¢¥áì¬ à á¯à®áâà ¥ë© ª« áá ¤¢¨¥¨© ¢ï§ª®© ¨¤ª®áâ¨. í⮬ à §¤¥«¥ ®£à ¨ç¨¬áï à áᬮâ२¥¬ áâ 樮 àëå áâàã©ëå â¥ç¥¨© ¥á¨¬ ¥¬®© ¨¤ª®á⨠¢ ¯à®áâà á⢥, § ¯®«¥®¬ ¨¤ª®áâìî á ⥬¨ ¥ 䨧¨ç¥áª¨¬¨ ᢮©á⢠¬¨ (â ª §ë¢ ¥¬ë¥ ý§ ⮯«¥ë¥þ áâàã¨). 㤥â à áᬮâॠ§ ¤ ç ® áâàã¥-¨áâ®ç¨ª¥ ¢ ¡¥§£à ¨ç®¬ ¯à®áâà á⢥ [36, 98℄ ¨ ¯à¨¢¥¤¥ ¢ ï ¤«ï ¯à ªâ¨ª¨ ¨ä®à¬ æ¨ï ® áâàãªâãॠ᫥¤ § ¤¢¨ã騬¨áï ⥫ ¬¨ [3, 46, 184℄. ⮯«¥ ï áâàãï-¨áâ®ç¨ª. áᬠâਢ ¥âáï â¥ç¥¨¥ ¢ ¡¥§£à ¨ç®¬ ¯à®áâà á⢥, ¢ë§¢ ®¥ ¡ìî饩 ¨§ ª®æ ⮪®© âà㡪¨ áâà㥩 ¨¤ª®áâ¨. áâ®ç¨ª áâà㨠áç¨â ¥âáï â®ç¥çë¬, ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ¥ à §¬¥à ¨ ä®à¬ á¥ç¥¨ï á ¤ª áâ ®¢ïâáï ¥áãé¥á⢥묨 ¥ª®â®à®¬ 㤠«¥¨¨ ®â ¥£® á१ . âàãï ®¡« ¤ ¥â ®á¥¢®© ᨬ¬¥âਥ© ¢ ¯à ¢«¥¨¨ â¥ç¥¨ï. Ǒਠ®âáãâá⢨¨ ý§ ªàã⪨þ ¨¤ª®á⨠¤¢¨¥¨¥, à áᬠâਢ ¥¬®¥ ¢ áä¥à¨ç¥áª®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â (R, θ, ϕ), ¥ § ¢¨á¨â ®â §¨¬ã⠫쮩 㣫®¢®© ª®®à¤¨ âë ϕ ¨, ªà®¬¥ ⮣®, ¤®«® ¢ë¯®«ïâìáï ãá«®¢¨¥ Vϕ = 0. ®®â¢¥âáâ¢ãîé ï £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª ï § ¤ ç ®¯¨áë¢ ¥âáï ãà ¢¥¨ï¬¨ ¤¢¨¥¨ï V2 Vθ ∂VR 1 ∂P − θ =− + R ∂θ R ρ ∂R 2VR 2 ∂Vθ 2Vθ tg θ − , + ν VR − 2 − 2 R R ∂θ R2 ∂Vθ V ∂V V V 1 ∂P + θ θ + R θ =− + VR ∂R R ∂θ R ρR ∂θ 2 ∂V V + ν Vθ + 2 R − 2 θ 2 , R ∂θ R sin θ
VR
£¤¥
∂VR ∂R
≡
+
1
∂ R2 ∂R
∂ ∂ 1 ∂ R2 , + 2 sin θ ∂R R sin θ ∂θ ∂θ
(1.4.1)
26
¥ç¥¨ï ¨¤ª®á⨠¢ ¯«¥ª å, âàã¡ å ¨ áâàãïå
¨ ãà ¢¥¨¥¬ ¥à §à뢮áâ¨, ª®â®à®¥ ¯®á«¥ ¢¢¥¤¥¨ï äãªæ¨¨ ⮪ ¯® ä®à¬ã« ¬ (1.1.14) ¡ã¤¥â 㤮¢«¥â¢®àïâìáï ⮤¥á⢥®. 㤥¬ ¨áª âì äãªæ¨î ⮪ ¨ ¤ ¢«¥¨¥ ¢ ¢¨¤¥ (R, θ) = νRf (ξ ),
P
ρν 2 g (ξ ), R2
= Pi +
ξ
= os θ.
(1.4.2)
¬¥¨¬ á ç « ¢ ãà ¢¥¨ïå (1.4.1) ª®¬¯®¥âë ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠ç¥à¥§ äãªæ¨î ⮪ (1.1.14), § ⥬ ¯®¤áâ ¢¨¬ ¢ëà ¥¨ï (1.4.2). १ã«ìâ ⥠¯à¨å®¤¨¬ ª á¨á⥬¥ ®¡ëª®¢¥ëå ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ãà ¢¥¨© ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¥¨§¢¥áâëå äãªæ¨© f ¨ g : 1 d ′ f2 − f f − (1 − ξ 2 )f ′′ , 2 2(1 − ξ ) 2 dξ 1 d f2 g ′ = −f ′′ − . 2 dξ 1 − ξ 2 g
=−
(1.4.3)
§ á¨á⥬ë (1.4.3) ¬®® ¨áª«îç¨âì äãªæ¨î g ¨ ¯®á«¥ âà¥åªà ⮣® ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï ¯®«ãç¨âì ¤«ï f ãà ¢¥¨¥ f 2 − 2(1 − ξ 2 )f ′ − 4ξf
= C1 ξ 2 + C2 ξ + C3 ,
(1.4.4)
£¤¥ C1 , C2 , C3 | ¯à®¨§¢®«ìë¥ ¯®áâ®ïë¥ ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï. ⨠¯®áâ®ïë¥ ¤®«ë ®¯à¥¤¥«ïâìáï á ãç¥â®¬ ®á®¡¥®á⥩ â¥ç¥¨ï ®á¨ ᨬ¬¥âਨ [36℄. ¬®¥ ¯à®á⮥ â¥ç¥¨¥ á ¬¨¨¬ «ìë¬ ç¨á«®¬ ®á®¡¥®á⥩ ®¯¨áë¢ ¥âáï ç áâë¬ à¥è¥¨¥¬ ¯à¨ C1 = C2 = = C3 = 0. à ¢¥¨¥ ¤«ï f ¢ í⮬ á«ãç ¥ ¯à¥¤¥«ì® ã¯à®é ¥âáï, ¨ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ f (ξ ) = (1 − ξ 2 )h(ξ ) ¯®§¢®«ï¥â ¯¥à¥©â¨ ª ãà ¢¥¨î á à §¤¥«ïî騬¨áï ¯¥à¥¬¥ë¬¨: 2h′ − h2 = 0.
£® à¥è¥¨¥ ¤ ¥âáï ä®à¬ã«®© h(ξ ) = 2(A − ξ )−1 , £¤¥ A | ¥é¥ ®¤ ¯®áâ®ï ï ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï. १ã«ìâ ⥠¤«ï äãªæ¨© f ¨ g ¯®«ãç îâáï á«¥¤ãî騥 ®ª®ç ⥫ìë¥ ¢ëà ¥¨ï: f (ξ ) =
2(1 − ξ 2 ) A−ξ
,
g (ξ ) = −
4(Aξ − 1) A−ξ
.
(1.4.5)
票¥ ¯®áâ®ï®© A ¬®® ©â¨, § ï ¥¤¨á⢥ãî ª®«¨ç¥á⢥ãî å à ªâ¥à¨á⨪ã áâàã¨-¨áâ®ç¨ª | ¥¥ ¨¬¯ã«ìá J0 , ®¯à¥¤¥«ï¥¬ë© ª ª Z J0 = ρV 2 dS, (1.4.6) S
27
1.4. âàã©ë¥ â¥ç¥¨ï
£¤¥ ¨â¥£à¨à®¢ ¨¥ ¢¥¤¥âáï ¯® ¯«®é ¤¨ á¥ç¥¨ï S á१ á ¤ª , ¨§ ª®â®à®£® ¯à®¨á室¨â ¨áâ¥ç¥¨¥; V | «®ª «ì ï ᪮à®áâì ¢ ¯à®¨§¢®«ì®© â®çª¥ í⮣® á¥ç¥¨ï. ®¥â ¯®ª § âìáï, çâ® ¥ ¬¥¥¥ áãé¥á⢥®© ª®«¨ç¥á⢥®© å à ªâ¥à¨á⨪®© áâàã¨, R ¢«¨ïî饩 ª àâ¨ã â¥ç¥¨ï, ï¥âáï ¬ áá®¢ë© à á室 G0 = ρV dS , ®¤ ª® íâ® ¥ â ª. ¤¥©á⢨⥫ì®á⨠S § 票¥ äãªæ¨¨ ⮪ ®á¨ â¥ç¥¨ï ¥ ¨¬¥¥â ®á®¡¥®á⥩. ® ¥ ¨á¯ëâë¢ ¥â áª çª ¯à¨ ¯¥à¥å®¤¥ ç¥à¥§ ç «® ª®®à¤¨ â ¨ à ¢® ã«î ª ª «ãç¥ θ = 0 (â.¥. ¯à¨ ξ = 1), â ª ¨ «ãç¥ θ = π (â.¥. ¯à¨ ξ = −1). â® ®§ ç ¥â, çâ® áâàãï-¨áâ®ç¨ª, ᮧ¤ îé ï à áᬠâਢ ¥¬®¥ â¥ç¥¨¥, ï¥âáï ⮫쪮 ¨áâ®ç¨ª®¬ ¨¬¯ã«ìá , ® ¥ ¨áâ®ç¨ª®¬ ¬ ááë [36℄, ¯®í⮬㠧 票¥ G0 ¥áãé¥á⢥® ¤«ï à áᬠâਢ ¥¬®£® ¯®«ï â¥ç¥¨ï. «ï ⮣® çâ®¡ë ©â¨ á¢ï§ì ¯®áâ®ï®© A á ¨¬¯ã«ìᮬ áâà㨠J0 , ¥®¡å®¤¨¬® ¯à¨à ¢ïâì ¨¬¯ã«ìáã áâà㨠®á¥¢ãî ¯à®¥ªæ¨î ¯®«®£® ¯®â®ª ¨¬¯ã«ìá ç¥à¥§ ¯à®¨§¢®«ìãî áä¥àã á æ¥â஬ ¢ ç «¥ ª®®à¤¨ â. í⮬ á«ãç ¥ ©¤¥®¥ à¥è¥¨¥ (1.4.5) ¯®§¢®«ï¥â ãáâ ®¢¨âì ®ª®ç ⥫ìãî § ¢¨á¨¬®áâì [98℄ J0
= 16πν 2 ρA 1 +
4
3(A2 − 1)
−
A
2
ln
A+1 , A−1
(1.4.7)
£à 䨪 ª®â®à®© ¯à¥¤áâ ¢«¥ ¢ à ¡®â¥ [46℄. Ǒਠ¨§¬¥¥¨¨ ¨¬¯ã«ìá áâà㨠J0 ®â 0 ¤® ∞ § 票ï A ¨§¬¥ïîâáï ®â ∞ ¤® 1. Ǒ®áª®«ìªã à¥è¥¨¥ á¯à ¢¥¤«¨¢® «¨èì ¤«ï « ¬¨ àëå â¥ç¥¨©, ¯à ªâ¨ç¥áª®¥ ¯à¨¬¥¥¨¥ ¬®¥â ¨¬¥âì «¨èì á«ãç © ¬ «ëå J0 (á« ¡ë¥ áâàã¨). í⮬ á«ãç ¥ ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï A ¯à¨£®¤ § ¢¨á¨¬®áâì 16πρν 2 A= . (1.4.8) J0
®£¤ 㤮¡® ¢ëà §¨âì ¯®áâ®ïãî A ç¥à¥§ ç¨á«® ¥©®«ì¤á Re = U d/ν , £¤¥ d | ¤¨ ¬¥âà á ¤ª , U | å à ªâ¥à ï ᪮à®áâì. Ǒ®« £ ï J0 = 41 πd2 ρU 2 , ¬®® ¯®«ãç¨âì 64 . (1.4.9) Re2 Ǒ®áª®«ìªã ᮣ« á® [3℄ « ¬¨ à ï áâàãï â¥àï¥â ãá⮩稢®áâì ¯à¨ Re > 5, ¬¨¨¬ «ì®¥ § 票¥ A, ¯à¨ ª®â®à®¬ ¥é¥ ¬®® ¨á¯®«ì§®¢ âì 㪠§ ë¥ ¢ëè¥ á®®â®è¥¨ï, ¯à¨£®¤ë¥ ¤«ï « ¬¨ ண® ¨áâ¥ç¥¨ï, á®áâ ¢«ï¥â ¯à¨¬¥à® 2,5. ¥á¬®âàï â®, çâ® áâàãï-¨áâ®ç¨ª ¢®¢«¥ª ¥â ¢ ¤¢¨¥¨¥ ¨¤ª®áâì ¢® ¢á¥¬ ¯à®áâà á⢥, ª à⨠«¨¨© ⮪ , ®¯¨á ï, ¯à¨¬¥à, ¢ ¬®®£à ä¨ïå [36, 46, 98℄, ¯®§¢®«ï¥â áâ ¢¨âì ¢®¯à®á ® £à ¨æ å A=
28
¥ç¥¨ï ¨¤ª®á⨠¢ ¯«¥ª å, âàã¡ å ¨ áâàãïå
áâà㨠¨ § ª®¥ ¥¥ à áè¨à¥¨ï. ¥«® ¢ ⮬, çâ® ª ¤®© «¨¨¨ ⮪ ¨¬¥¥âáï å à ªâ¥à ï â®çª ¯®¢®à®â , 室ïé ïáï ¬¨¨¬ «ì®¬ à ááâ®ï¨¨ ®â ®á¨ áâàã¨. ®¥á⢮ â ª¨å â®ç¥ª 㬥áâ® §¢ âì £à ¨æ¥© áâàã¨. ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª ª ãá«®¢ë© ¬¨¨¬ã¬ äãªæ¨¨ R sin2 θ R sin θ ¯à¨ = onst ¨ ï¥âáï ª®¨ç¥áª®© ¯®¢¥àå®áâìî á A − os θ ¢¥à訮© ¢ ç «¥ ª®®à¤¨ â (à¨á. 1.5) ¨ 㣫®¬ ¯®«ãà á⢮à θ0
= ar
os
1 A
(1.4.10)
.
§ ®æ¥®ª (1.4.8), (1.4.9) ¢¨¤®, ç⮠祬 ᨫ쥥 áâàãï, ⥬ ¡®«¥¥ 㧪®© ® ï¥âáï. Ǒਠí⮬ á ¬®© 㧪®© « ¬¨ ன áâà㥠ᮮ⢥âáâ¢ãîâ § 票ï A ≈ 2,5 ¨ θ0 ≈ 65◦ . Ǒà ªâ¨ç¥áª¨ ¨â¥à¥á¥ â ª¥ ¢®¯à®á ® ý¤ «ì®¡®©®áâ¨þ áâàã¨. ªá¨¬ «ì ï ᪮à®áâì, ¤®á⨣ ¥¬ ï ®á¨ áâà㨠(θ = 0) ¨ ¢ëç¨á«ï¥¬ ï á ¯®¬®éìî ¯®«ãç¥ëå ¢ëè¥ á®®â®è¥¨©, á®áâ ¢«ï¥â ¨¨¨ ⮪ ¢¡«¨§¨ « ¬¨ ன áâàã¨-¨áâ®ç¨ª ¨ ãá«®¢ ï è¨à¨ áâàã¨
¨á. 1.5.
Vmax
=
ν 2 . R A−1
(1.4.11)
ª¨¬ ®¡à §®¬, íâ ᪮à®áâì ¡®«ìè¥ ¤«ï ᨫìëå áâàã© (¡®«¥¥ ¨§ª¨¥ § 票ï A) ¨ ã¡ë¢ ¥â á 㢥«¨ç¥¨¥¬ à ááâ®ï¨ï ¢¤®«ì ®á¨ ª ª R−1. Ǒ®¤ç¥àª¥¬, çâ® ¢á¥ í⨠å à ªâ¥à¨á⨪¨ ¥ § ¢¨áïâ ®â à á室 ¨¤ª®á⨠¢ áâàã¥, ®¯à¥¤¥«ïîâáï «¨èì ¥¥ ¨¬¯ã«ìᮬ. á¯à¥¤¥«¥¨¥ ¤ ¢«¥¨ï ¢ áâà㥠®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä®à¬ã« ¬¨ (1.4.2), (1.4.6). ¤®«ì ®á¨ áâà㨠(¯à¨ ξ = 1) ®® ¨§¬¥ï¥âáï ª ª P
= Pi − 4
ρν 2 , R2
(1.4.12)
¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, 㥠¥¡®«ìè¨å à ááâ®ï¨ïå ®â ¨áâ®ç¨ª ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ¥ ®â«¨ç ¥âáï ®â ¤ ¢«¥¨ï ¢ ®ªàã î饩 á।¥. Ǒਡ«¨¥¨¥ ¯®£à ¨ç®£® á«®ï. §«®¥ ï § ¤ ç ¤ 㠯।áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¯à¨¬¥à â®ç®£® à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨© ¢ì¥ | ⮪á . ®©, ¯à¨¡«¨¥ë© ¯®¤å®¤ ª à¥è¥¨î § ¤ ç¨ ® áâà㥨áâ®ç¨ª¥ ¡ë« ¯à¥¤«®¥ «¨å⨣®¬ [184℄. â®â ¯®¤å®¤ ®á®¢ ¯à¨¡«¨¥¨ïå ⥮ਨ ¯®£à ¨ç®£® á«®ï (á¬. à §¤. 1.6) ¨ á®á⮨⠢ ⮬, çâ® £à ¤¨¥âë ®à¬ «ìëå ¯à泌© ¢ ãà ¢¥¨ïå ¤¢¨¥¨ï ¥ ãç¨âë¢ îâáï. 樫¨¤à¨ç¥áª®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â (R, ϕ, Z ) á
29
1.4. âàã©ë¥ â¥ç¥¨ï
ãç¥â®¬ ®á¥¢®© ᨬ¬¥âਨ (Vϕ = 0) ¯à¨ ®âáãâá⢨¨ ý§ ªàã⪨þ ¯®â®ª (∂/∂ϕ = 0) á¨á⥬ ãà ¢¥¨© ¯®£à ¨ç®£® á«®ï ¨¬¥¥â ¢¨¤ VZ
∂VZ ∂Z
∂VZ ∂Z
+
ν ∂ ∂VZ = ∂R R ∂R ∂VR V + R =0 ∂R R
+ VR
∂V R Z , ∂R
(1.4.13)
á® á«¥¤ãî騬¨ £à ¨ç묨 ãá«®¢¨ï¬¨: VR
= 0,
VZ → 0
∂VZ ∂R
=0
¯à¨ ¯à¨
R = 0,
(1.4.14)
R → ∞.
ãªæ¨î ⮪ , ¢¢®¤¨¬ãî á ¯®¬®éìî á®®â®è¥¨© VZ
¨é¥¬ ¢ ¢¨¤¥
=
1 ∂ , R ∂R
VR
= νZF (η),
η
=− =
1 ∂ , R ∂Z
R √ , KZ
(1.4.15) (1.4.16)
£¤¥ η | ¢â®¬®¤¥«ì ï ¯¥à¥¬¥ ï. १ã«ìâ ⥠¤«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï F ¬®® ¯®«ãç¨âì á«¥¤ãîéãî ªà ¥¢ãî § ¤ çã: ′ ′ F′ FF′ F ′′ − + = 0, η η F F′ = 1, =0 ¯à¨ η = 0, η η F′ → 0 ¯à¨ η → ∞.
(1.4.17)
Ǒ®áâ®ï ï K ¢ ¢â®¬®¤¥«ì®© ¯¥à¥¬¥®© ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨¬¯ã«ìᮬ áâà㨠J0 16π ρν 2 K= . (1.4.18) 3 J0 ¤ ç (1.4.17) ¤®¯ã᪠¥â â®ç®¥ à¥è¥¨¥ ¢ § ¬ªã⮩ ä®à¬¥. ª®ç ⥫쮥 ¢ëà ¥¨¥ ¤«ï ¯®«ï ᪮à®á⨠¨¬¥¥â ¢¨¤ [184℄ −2 η2 3 J0 1 VZ = 1+ , 8π ρν Z 4 s −2 1 3 J0 1 η3 η2 1+ . η− VR = 4 π ρ Z 4 4
(1.4.19)
30
¥ç¥¨ï ¨¤ª®á⨠¢ ¯«¥ª å, âàã¡ å ¨ áâàãïå
¥è¥¨¥ (1.4.19), ¥áâ¥á⢥®, ®â«¨ç ¥âáï ®â à¥è¥¨ï ¤ ã, ® ¬®£¨¥ ª ç¥áâ¢¥ë¥ ®á®¡¥®á⨠â¥ç¥¨ï ®áâ îâáï ¯à¥¨¬¨. ¯à¨¬¥à, § ¢¨á¨¬®áâì ¯®«ï ᪮à®á⨠«¨èì ®â ¨¬¯ã«ìá áâà㨠¨«¨ ã¡ë¢ ¨¥ ᪮à®á⨠®á¨ áâà㨠®¡à â® ¯à®¯®à樮 «ì® à ááâ®ï¨î ®â ¨áâ®ç¨ª . ª 㥠®â¬¥ç «®áì à ¥¥, à¥è¥¨¥ ¤«ï « ¬¨ ன áâà㨠¨¬¥¥â ®£à ¨ç¥®¥ ¯à ªâ¨ç¥áª®¥ ¯à¨¬¥¥¨¥ («¨èì ¤«ï Re < 5). ¤ ª®, ª ª ¯®ª § ® ¢ à ¡®â¥ [184℄, «®£¨çë© ¯®¤å®¤ ¬®¥â ¡ëâì à á¯à®áâà ¥ ¨ á«ãç © âãà¡ã«¥âëå áâàã©. ª §ë¢ ¥âáï, ¤«ï âãà¡ã«¥âëå áâàã©ëå â¥ç¥¨© ª ãé ïáï ª¨¥¬ â¨ç¥áª ï âãà¡ã«¥â ï ¢ï§ª®áâì νt ï¥âáï ¯®áâ®ï®©. ¤ ª® íâ ª®áâ â ¬®¥â ¡ëâì ®¯à¥¤¥«¥ «¨èì í¬¯¨à¨ç¥áª¨, ¯®áª®«ìªã § ¢¨á¨â ®â £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨å ®á®¡¥®á⥩ á ¤ª , ¨§ ª®â®à®£® ¯à®¨á室¨â ¨áâ¥ç¥¨¥ áâàã¨. ¥¬ ¥ ¬¥¥¥, à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ᪮à®á⥩ ¢ áâà㥠¯®-¯à¥¥¬ã ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä®à¬ã« ¬¨ (1.4.19) á ⮩ ⮫쪮 à §¨æ¥©, ç⮠䨧¨ç¥áªãî ¯®áâ®ïãî á।ë ν á«¥¤ã¥â § ¬¥¨âì í¬¯¨à¨ç¥áª®© ª®áâ ⮩ νt . ªá¯¥à¨¬¥â «ì®¥ ®¯à¥¤¥«¥¨¥ í⮩ ¢¥«¨ç¨ë á®áâ ¢«ï¥â ®â¤¥«ìãî ¯à®¡«¥¬ã. ¬¥â¨¬ ⮫쪮, çâ® ¤«ï ®æ¥®çëå à áç¥â®¢ ¬®® ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï á®®â®è¥¨¥¬ ¤«ï ¯®áâ®ï®© K , ¯à¨¢¥¤¥ë¬ ¢ à ¡®â¥ [3℄: K
=
16π 3
ρνt2 J0
(K ≈ 0,002 ÷ 0,005).
âàãªâãà á«¥¤ § ¤¢¨ã騬¨áï ⥫ ¬¨. ¥ç¥¨¥ ¢ á«¥¤¥ § ⥫ ¬¨, ¤¢¨ã騬¨áï ¢ ¡¥§£à ¨ç®© ¥¯®¤¢¨®© ¨¤ª®áâ¨, ®¡« ¤ ¥â ¢á¥¬¨ âਡãâ ¬¨ ᢮¡®¤ëå áâàã©ëå â¥ç¥¨© ¨ ¬®¥â ¡ëâì à ááç¨â ® ¬¥â®¤ ¬¨ ⥮ਨ ¯®£à ¨ç®£® á«®ï [184℄. ¬¥â¨¬, çâ® á¯ãâë¥ â¥ç¥¨ï ¯®§ ¤¨ ¤¢¨ã饣®áï ⥫ ¯®ç⨠¢á¥£¤ ïîâáï âãà¡ã«¥â묨, ¤ ¥ ¥á«¨ ¯®£à ¨çë© á«®© ⥫¥ ®áâ ¥âáï « ¬¨ àë¬. ⮠ï¥âáï á«¥¤á⢨¥¬ «¨ç¨ï â®ç¥ª ¯¥à¥£¨¡ ¢á¥å ¡¥§ ¨áª«îç¥¨ï ¯à®ä¨«ïå ᪮à®á⨠á¯ã⮣® ¯®â®ª . ª ¨§¢¥áâ® [184℄, â ª¨¥ à á¯à¥¤¥«¥¨ï ᪮à®á⨠ïîâáï ®á®¡¥® ¥ãá⮩稢묨. «ï ¯à ªâ¨ç¥áª¨å ®æ¥®ª ¯à¨¢¥¤¥¬ à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ®á¥¢®© á®áâ ¢«ïî饩 ᪮à®á⨠¢ ¯à ¢«¥¨¨, ᮢ¯ ¤ î饬 á ¯à ¢«¥¨¥¬ ¤¢¨¥¨ï ¯«®áª®£® ⥫ [184℄: VX Ui
=1−
cf d βX
1/2
.
(1.4.20)
¤¥áì cf | ª®íää¨æ¨¥â «®¡®¢®£® ᮯà®â¨¢«¥¨ï ⥫ , β | í¬¯¨à¨ç¥áª ï ª®áâ â . ®®à¤¨ â X ®âáç¨âë¢ ¥âáï ®â ª®à¬®¢®© â®çª¨ ⥫ . ®à¬ã« á¯à ¢¥¤«¨¢ ¯à¨ X ≫ d, â.¥. ®¯¨áë¢ ¥â «¨èì â ª §ë¢ ¥¬ë© ý¤ «ì¨©þ á«¥¤.
1.5. ¬¨ ஥ â¥ç¥¨¥ ¢ âàã¡ å à §«¨ç®© ä®à¬ë
31
¢¨á¨¬®áâì ᪮à®á⨠á¯ã⮣® â¥ç¥¨ï ®â ¯®¯¥à¥ç®© ª®®à¤¨ Ui Y 2 âë Y å à ªâ¥à¨§ã¥âáï ¬®¨â¥«¥¬ exp . Ǒ®í⮬㠫®ª «ì ï νt X ¯®«ãè¨à¨ á¯ã⮣® á«¥¤ b(X ) ï¥âáï ¢¥«¨ç¨®© ãá«®¢®©.
᫨ ¯à¨ïâì § ¢¥«¨ç¨ã b § 票¥ ª®®à¤¨ âë Y , ¯à¨ ª®â®à®© «®ª «ì ï ᪮à®áâì á¯ã⮣® ¯®â®ª á®áâ ¢«ï¥â ¯®«®¢¨ã ®á¥¢®©, â® b(X ) = (βcf Xd)1/2 .
(1.4.21)
«®£¨çë¥ á®®â®è¥¨ï ¤«ï á¯ã⮣® â¥ç¥¨ï § ⥫®¬ ¢à é¥¨ï ¨¬¥îâ ¢¨¤ [184℄ VX Ui
=1−
cf F β2X 2
1/3
b(X ) = (βcf F X )1/3 .
,
(1.4.22)
¤¥áì F | ¯«®é ¤ì ¬¨¤¥«¥¢ á¥ç¥¨ï ¤¢¨ã饣®áï ⥫ . ä®à¬ã« å (1.4.20) | (1.4.22) β ¥áâì í¬¯¨à¨ç¥áª ï ª®áâ â , § 票¥ ª®â®à®© § ¢¨á¨â ®â £¥®¬¥âਨ ⥫ ¨ २¬®¢ â¥ç¥¨ï. ®£« á® ¨§¬¥à¥¨ï¬ «¨å⨣ [184℄ ¯® ®¡â¥ª ¨î 樫¨¤à®¢ β ≈ 0,18. 1.5. ¬¨ ஥ â¥ç¥¨¥ ¢ âàã¡ å à §«¨ç®© ä®à¬ë
¬¨ ஥ ãáâ ®¢¨¢è¥¥áï â¥ç¥¨¥ ¨¤ª®á⨠¢ âàã¡ å à §«¨ç®© ä®à¬ë ¨§ãç «®áì ¬®£¨¬¨ ¢â®à ¬¨ (á¬., ¯à¨¬¥à, [103, 178, 184℄). ª¨¥ â¥ç¥¨ï ç áâ® ¢áâà¥ç îâáï ¯à ªâ¨ª¥ (¢®¤®-, £ §®- ¨ ¥ä⥯஢®¤ë, ⥯«®®¡¬¥¨ª¨ ¨ ¤à.). ® ®â¬¥â¨âì, ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ãà ¢¥¨ï £¨¤à®¤¨ ¬¨ª¨ ¢ íâ¨å á«ãç ïå ¤®¯ã᪠îâ â®ç®¥ «¨â¨ç¥áª®¥ à¥è¥¨¥. ¨¥ ¡ã¤ãâ ®¯¨á ë ¨¡®«¥¥ ¢ ë¥ à¥§ã«ìâ âë ¢ í⮩ ®¡« áâ¨. Ǒ®áâ ®¢ª § ¤ ç¨. áᬮâਬ « ¬¨ ஥ áâ ¡¨«¨§¨à®¢ ®¥ â¥ç¥¨¥ ¨¤ª®á⨠¢ ¯àאַ«¨¥©®© âàã¡¥ ¯®áâ®ï®£® ¯®¯¥à¥ç®£® á¥ç¥¨ï. ¨¨¨ ⮪ ¨¤ª®á⨠¢ â ª¨å á¨á⥬ å áâண® ¯ à ««¥«ìë (¢«¨ï¨¥¬ ª®æ¥¢ëå ãç á⪮¢ âàã¡ë â¥ç¥¨¥ ¯à¥¥¡à¥£ ¥¬). 㤥¬ ¨á¯®«ì§®¢ âì ¤¥ª à⮢ã á¨á⥬㠪®®à¤¨ â X , Y , Z , £¤¥ ®áì Z ¯à ¢«¥ ¢¤®«ì ¯® ¯®â®ªã. ç⥬, çâ® ¯®¯¥à¥çë¥ á®áâ ¢«ïî騥 ᪮à®á⨠¨¤ª®áâ¨ à ¢ë ã«î, ¯à®¤®«ì ï á®áâ ¢«ïîé ï § ¢¨á¨â ⮫쪮 ®â ¯®¯¥à¥çëå ª®®à¤¨ â. à ¢¥¨¥ ¥à §à뢮á⨠(1.1.1) ¨ ¯¥à¢ë¥ ¤¢ ãà ¢¥¨ï ¢ì¥ | ⮪á (1.1.2) ¢ í⮬ á«ãç ¥ 㤮¢«¥â¢®àïîâáï ¢â®¬ â¨ç¥áª¨, ¨§ âà¥â쥣® ãà ¢¥¨ï (1.1.2) ¯®«ã稬 1 dP ∂2V ∂2V , (1.5.1) 2 + 2 = ∂X
∂Y
µ dZ
32
¥ç¥¨ï ¨¤ª®á⨠¢ ¯«¥ª å, âàã¡ å ¨ áâàãïå
£¤¥ ¤«ï ¯à®¤®«ì®© ª®¬¯®¥âë ᪮à®á⨠¨á¯®«ì§®¢ ® ªà ⪮¥ ®¡®§ 票¥ V ≡ VZ . à ¢¥¨¥ (1.5.1) á«¥¤ã¥â ¤®¯®«¨âì ãá«®¢¨¥¬ ¯à¨«¨¯ ¨ï V
=0
( ¯®¢¥àå®á⨠âàã¡ë).
(1.5.2)
à ¤¨¥â ¤ ¢«¥¨ï dP/dZ ¢ áâ 樮 àëå ãá«®¢¨ïå ï¥âáï ¯®áâ®ïë¬ ¢¤®«ì ®¡à §ãî饩 âàã¡ë ¨ ¬®¥â ¡ëâì § ¯¨á ¢ ¢¨¤¥ dP dZ
P
=−
L
,
(1.5.3)
£¤¥ P > 0 | ¯®«ë© ¯¥à¥¯ ¤ ¤ ¢«¥¨ï ãç á⪥ âàã¡ë ¤«¨®© L. ᮢ묨 å à ªâ¥à¨á⨪ ¬¨ â¥ç¥¨ï ¢ âàã¡¥ ïîâáï ®¡ê¥¬ë© à á室 ¨¤ª®á⨠Z Q = V dS (1.5.4) S
¨ á।ïï ᪮à®áâì ¯®â®ª
hV i =
Q , S
(1.5.5)
£¤¥ S | ¯«®é ¤ì ¯®¯¥à¥ç®£® á¥ç¥¨ï âàã¡ë. Ǒ«®áª¨© ª «. áᬮâਬ á ç « â¥ç¥¨¥ ¬¥¤ã ¤¢ã¬ï ¡¥áª®¥ç묨 ¯ à ««¥«ì묨 ¯«®áª®áâﬨ, 室ï騬¨áï ¤à㣠®â ¤à㣠à ááâ®ï¨¨ h. ®®à¤¨ âã X ¡ã¤¥¬ ®âáç¨âë¢ âì ®â ®¤®© ¨§ ¯«®áª®á⥩ ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïà® ¥¥ ¯®¢¥àå®áâ¨. ç¨âë¢ ï, ç⮠᪮à®áâì ¨¤ª®á⨠¥ § ¢¨á¨â ®â ª®®à¤¨ âë Y , ¨§ ãà ¢¥¨ï (1.5.1) ¯®«ã稬 d2 V dX 2
=−
P µL
.
¥è¥¨¥ í⮣® ãà ¢¥¨ï, 㤮¢«¥â¢®àïî饥 £à ¨çë¬ ãá«®¢¨ï¬ ¯à¨«¨¯ ¨ï ¯®¢¥àå®áâïå ¯«®áª®á⥩ (V = 0 ¯à¨ X = 0 ¨ X = h), ¨¬¥¥â ¢¨¤ P X (h − X ). V = (1.5.6) 2µL ®à¬ã« (1.5.6) ®¯¨áë¢ ¥â ¯ à ¡®«¨ç¥áª®¥ à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ᪮à®á⥩ ¨¤ª®á⨠¢ ¯«®áª®¬ â¥ç¥¨¨ Ǒã §¥©«ï, ª®â®à®¥ ᨬ¬¥âà¨ç® ®â®á¨â¥«ì® á¥à¥¤¨ë ª « X = 12 h. ¡ê¥¬ë© à á室 ¥¤¨¨æã è¨à¨ë ª « 室¨âáï ¨â¥£à¨à®¢ ¨¥¬ (1.5.6) ¯® á¥ç¥¨î: Q=
h3 P . 12µL
(1.5.7)
33
1.5. ¬¨ ஥ â¥ç¥¨¥ ¢ âàã¡ å à §«¨ç®© ä®à¬ë
।ïï ᪮à®áâì ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¢ëà ¥¨¥¬ hV i =
h2 P . 12µL
(1.5.8)
ªá¨¬ «ì ï ᪮à®áâì ¨¤ª®á⨠¤®á⨣ ¥âáï ¢ á¥à¥¤¨¥ ª « : Umax
=
h2 P 8µL
¯à¨
X
=
1 h. 2
à㣫 ï âàã¡ . á«ãç ¥ ªà㣫®© âàã¡ë ãà ¢¥¨¥ (1.5.1) á ãç¥â®¬ (1.5.3) ¯à¨¨¬ ¥â ¢¨¤ 1
∂ ∂V P , R =− R ∂R ∂R µL
R=
√ X 2 + Y 2.
(1.5.9)
¥è¥¨¥ í⮣® ãà ¢¥¨ï, 㤮¢«¥â¢®àïî饥 ãá«®¢¨î ¯à¨«¨¯ ¨ï ¯®¢¥àå®á⨠âàã¡ë à ¤¨ãá a (V = 0 ¯à¨ R = a), ®¯¨áë¢ ¥â ®á¥á¨¬¬¥âà¨ç®¥ â¥ç¥¨¥ Ǒã §¥©«ï á ¯ à ¡®«¨ç¥áª¨¬ ¯à®ä¨«¥¬ ᪮à®á⨠¨¤ª®áâ¨: P 2 V = (1.5.10) a − R2 . 4µL ¡ê¥¬ë© à á室 ¯®«ãç ¥âáï ¨â¥£à¨à®¢ ¨¥¬ ¯® ¯«®é ¤¨ ¯®¯¥à¥ç®£® á¥ç¥¨ï: Z a πa4 P Q = 2π RV dR = (1.5.11) . 8µL 0 ᯮ«ì§ãï ä®à¬ã«ã (1.5.5), 室¨¬ á।îî ᪮à®áâì hV i =
a2 P . 8µL
(1.5.12)
ªá¨¬ «ì ï ᪮à®áâì ¨¤ª®á⨠¤®á⨣ ¥âáï ¢ æ¥âॠâàã¡ë: Umax
=
a2 P 4µL
(¯à¨
R = 0).
(1.5.13)
áᬮâਬ ⥯¥àì â¥ç¥¨¥ ¢ ª®«ì楢®¬ ª «¥ ¬¥¤ã ¤¢ã¬ï á®®á묨 ªà㣮¢ë¬¨ 樫¨¤à ¬¨ á à ¤¨ãá ¬¨ a1 ¨ a2 (a1 < a2 ). í⮬ á«ãç ¥ ®áâ ¥âáï á¯à ¢¥¤«¨¢ë¬ ãà ¢¥¨¥ (1.5.9). ¥è¥¨¥ í⮣® ãà ¢¥¨ï, 㤮¢«¥â¢®àïî饥 ãá«®¢¨ï¬ ¯à¨«¨¯ ¨ï ¯®¢¥àå®áâïå 樫¨¤à®¢ V
= 0 ¯à¨
R = a1 ,
V
= 0 ¯à¨
R = a2 ,
34
¥ç¥¨ï ¨¤ª®á⨠¢ ¯«¥ª å, âàã¡ å ¨ áâàãïå
¨¬¥¥â ¢¨¤
a2 − a21 R P 2 a2 − R2 + 2 ln 4µL ln(a2 /a1) a2 á室 á«¥¤ã¥â ¢ëç¨á«ïâì ¯® ä®à¬ã«¥ π P 4 (a2 − a21 )2 a2 − a41 − 2 . Q= 8µL ln(a2 /a1 ) V
=
.
(1.5.14) (1.5.15)
àã¡ í««¨¯â¨ç¥áª®£® ¯®¯¥à¥ç®£® á¥ç¥¨ï. áᬮâਬ ⥯¥àì âàã¡ã í««¨¯â¨ç¥áª®£® á¥ç¥¨ï á ¯®«ã®áﬨ a ¨ b, ¯®¢¥àå®áâì ª®â®à®© § ¤ ¥âáï ãà ¢¥¨¥¬ X 2 a
+
Y 2 b
= 1.
(1.5.16)
¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (1.5.1), 㤮¢«¥â¢®àïî饥 ãá«®¢¨î ¯à¨«¨¯ ¨ï ¯®¢¥àå®áâ¨ í««¨¯á (1.5.16), ¨¬¥¥â ¢¨¤ [178℄ X2 Y2 a2 b2 P V = 1− 2 − 2 . (1.5.17) 2µL(a2 + b2 ) a b á室 ¨¤ª®á⨠¤«ï í⮣® â¥ç¥¨ï à ¢¥ π P a3 b3 Q= . (1.5.18) 4µL a2 + b2 ᯮ«ì§ãï ä®à¬ã«ã (1.5.5), 室¨¬ á।îî ᪮à®áâì P a2 b2 hV i = . (1.5.19) 4µL a2 + b2 ªá¨¬ «ì ï ᪮à®áâì ¤®á⨣ ¥âáï ®á¨ âàã¡ë: a2 b2 P Umax = (1.5.20) (¯à¨ X = Y = 0). 2µL(a2 + b2 ) ç á⮬ á«ãç ¥ a = b ä®à¬ã«ë (1.5.17) | (1.5.20) ¯¥à¥å®¤ïâ ¢ ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ä®à¬ã«ë ¤«ï ªà㣫®© âàã¡ë (1.5.10) | (1.5.13). àã¡ ¯àאַ㣮«ì®£® á¥ç¥¨ï. áᬮâਬ ⥯¥àì âàã¡ã ¯àאַ㣮«ì®£® á¥ç¥¨ï á® áâ®à® ¬¨ a ¨ b. 㤥¬ áç¨â âì, çâ® ®¡« áâì â¥ç¥¨ï ®¯¨áë¢ ¥âáï ¥à ¢¥á⢠¬¨ 0 6 X 6 a, 0 6 Y 6 b. ¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (1.5.1), 㤮¢«¥â¢®àïî饥 ãá«®¢¨ï¬ ¯à¨«¨¯ ¨ï ¯®¢¥àå®á⨠âàã¡ë, ¨¬¥¥â ¢¨¤ [178℄ ∞ πmX X P πmY πmY Am h , X (X − a) + sin + Bm sh 2µL a a a m=1 a2 P
h(πmk) − 1 b Am = 3 3 [ os(πm) − 1℄, Bm = −Am , k= . π m µL sh(πmk) a (1.5.21)
V
=−
1.5. ¬¨ ஥ â¥ç¥¨¥ ¢ âàã¡ å à §«¨ç®© ä®à¬ë
35
⥣à¨àãï ¢ëà ¥¨¥ ¤«ï V , ¯®«ã稬 à á室 ¨¤ª®á⨠P ab(a2 + b2 ) − Q= 24µL ∞ h 2m − 1 2m − 1 i 1 8P X . a4 th πb + b4 th πa − 5 5 π µL m=1 (2m − 1) 2a 2b (1.5.22) «ï âàã¡ë ª¢ ¤à ⮣® á¥ç¥¨ï á® áâ®à®®© a íâ ä®à¬ã« ¯à¨¨¬ ¥â ¢¨¤ ∞ 2m − 1 a4 P 192 X 1 Q= 1− 5 (1.5.23) , th π 12µL π m=1 (2m − 1)5 2 ¨ ¯®á«¥ á㬬¨à®¢ ¨ï àï¤ a4 P . Q = 0,0351 µL
Ǒ®á«¥¤¥¥ ¢ëà ¥¨¥ ¯®«¥§® ¯¥à¥¯¨á âì á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: Q Q0
= 0,883,
Q Q0
= 0,726.
£¤¥ Q0 | à á室 ¨¤ª®á⨠ç¥à¥§ ªà㣫ãî âàã¡ã á â ª®© ¥ ¯«®é ¤ìî ¯®¯¥à¥ç®£® á¥ç¥¨ï, ª ª ¨ ã âàã¡ë á ª¢ ¤à âë¬ ¯®¯¥à¥çë¬ á¥ç¥¨¥¬. ¬¥ì襨¥ à á室 ®¡ãá«®¢«¥® «¨ç¨¥¬ ã á¥ç¥¨ï âàã¡ë 㣫®¢ëå â®ç¥ª, ¢ ®ªà¥áâ®á⨠ª®â®àëå ᪮à®áâì ¢ï§ª®© ¨¤ª®á⨠§ ¬¥â® ᨠ¥âáï. àã¡ âà¥ã£®«ì®£® á¥ç¥¨ï. Ǒãáâì á¥ç¥¨¥¬ âàã¡ë ï¥âáï à ¢®áâ®à®¨© âà¥ã£®«ì¨ª á® áâ®à®®© b. ç «® ª®®à¤¨ ⠢롥६ ¢ æ¥âॠ¯®¯¥à¥ç®£® á¥ç¥¨ï, ¯à¨ç¥¬ ª®®à¤¨ âã X ¡ã¤¥¬ ®âáç¨âë¢ âì ¢¤®«ì ®¤®© ¨§ áâ®à® âà¥ã£®«ì¨ª . ¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (1.5.1), 㤮¢«¥â¢®àïî饥 £à ¨ç®¬ã ãá«®¢¨î (1.5.2), ¢ í⮬ á«ãç ¥ ¨¬¥¥â ¢¨¤ √ √ √ 3 P b b b √ √ √ Y + 3X − Y − 3X − . V = Y − 6µbL 2 3 3 3 ¡ê¥¬ë© à á室 í⮣® â¥ç¥¨ï ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä®à¬ã«®© √ 3 b4 P Q= . 320 µL â®â à á室 ¯®«¥§® áà ¢¨âì á à á室®¬ ¤«ï ªà㣫®© âàã¡ë á à ¢®© ¯«®é ¤ìî ¯®¯¥à¥ç®£® á¥ç¥¨ï: § í⮣® ¢ëà ¥¨ï ¢¨¤®, çâ® à á室 ¨¤ª®á⨠ç¥à¥§ âàã¡ã á á¥ç¥¨¥¬ ¢ ¢¨¤¥ à ¢®áâ®à®¥£® âà¥ã£®«ì¨ª áãé¥á⢥® ¨¥ à á室 ç¥à¥§ ª «ë ª¢ ¤à ⮣® ¨«¨ ªà㣫®£® á¥ç¥¨ï â ª®© ¥ ¯«®é ¤¨.
36
¥ç¥¨ï ¨¤ª®á⨠¢ ¯«¥ª å, âàã¡ å ¨ áâàãïå
1.6. Ǒத®«ì®¥ ®¡â¥ª ¨¥ ¯«®áª®© ¯« áâ¨ë. Ǒ®£à ¨çë© á«®©
«ï ¯à ªâ¨ª¨ ¢¥áì¬ â¨¯¨çë á«ãç ¨ ¢¥è¥£® ®¡â¥ª ¨ï ¯à®âï¥ëå ¥¯®¤¢¨ëå í«¥¬¥â®¢ ¯¯ à âãàë | ¯« áâ¨, ¯à ¢«ïîé¨å í«¥¬¥â®¢, âàã¡. Ǒà®ï¢«¥¨¥ ¢¥è¨å ¬ áᮢëå ᨫ ¬®¥â ¡ëâì ¢ í⮬ á«ãç ¥ ¥áãé¥á⢥®, £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª¨¥ § ª®®¬¥à®á⨠¡ã¤ãâ ®¯à¥¤¥«ïâìáï á®®â®è¥¨¥¬ ¤ ¢«¥¨ï, ¢ï§ª¨å ¨ ¨¥à樮ëå ᨫ. ¨á⥬ ¡¥§à §¬¥àëå áâ 樮 àëå ãà ¢¥¨© £¨¤à®¤¨ ¬¨ª¨ ¯à¨¬¥â ¢ í⮬ á«ãç ¥ ¢¨¤ ∇ · ~v = 0, (1.6.1) 1 (~v · ∇)~v = −∇p + ~v. Re ¨á⥬ ᮤ¥à¨â ¥¤¨áâ¢¥ë© ¯ à ¬¥âà | ç¨á«® ¥©®«ì¤á , ¨ ¢®§¬®®áâì ã¯à®é¥¨ï í⮩ ¥«¨¥©®©, á«®®© ¤«ï à¥è¥¨ï á¨á⥬ë á¢ï§ á ¯à¥¤¥«ì묨 ¯¥à¥å®¤ ¬¨ ¯® í⮬㠯 à ¬¥âà㠯ਠRe → 0 ¨ Re → ∞. í⮬ à §¤¥«¥ ¨é¥âáï à¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ ® ¯à®¤®«ì®¬ ®¡â¥ª ¨¨ ¯«®áª®© ¯« áâ¨ë ¢ á«ãç ¥ Re → ∞, ª®£¤ ¬®¤¥«¨àã¥âáï ý¨¤ª®áâì á ¨á祧 î饩 ¢ï§ª®áâìîþ. Ǒ®á«¥¤¨© â¥à¬¨ ¥ á«¥¤ã¥â ¯®¨¬ âì ¡ãª¢ «ì® | ª ª ®¡®á®¢ ¨¥ ¢®§¬®®á⨠¯à¥¥¡à¥¥¨ï ç«¥®¬ Re−1 ~v ¨ ¯¥à¥å®¤ ª á¨á⥬¥ ãà ¢¥¨© ¤«ï ¨¤¥ «ì®© ¨¤ª®áâ¨. ⥬ â¨ç¥áª¨ ¯à®¡«¥¬ ®á«®ï¥âáï ⥬, çâ® ¬ «ë© ¯ à ¬¥âà Re−1 á⮨⠧¤¥áì ¯¥à¥¤ ç«¥®¬ á® áâ à訬¨ ¯à®¨§¢®¤ë¬¨. â¡à áë¢ ¨¥ í⮣® ç«¥ ¬¥ï¥â ¯®à冷ª ¨ ⨯ ãà ¢¥¨ï. Ǒਠí⮬ à¥è¥¨¥ á¨áâ¥¬ë ¯à¨ Re−1 → 0 ᮢᥬ ¥ ®¡ï§ â¥«ì® ¡ã¤¥â áâ६¨âìáï ª à¥è¥¨î á¨áâ¥¬ë ¯à¨ Re−1 = 0. ¤¥áì ¨¬¥¥â ¬¥á⮠ᨣã«ï஥ ¢®§¬ã饨¥ [38℄. ஬¥ ⮣®, ïá® ¨§ 䨧¨ç¥áª¨å á®®¡à ¥¨©, çâ® ¨¤¥ «ì ï ¨¤ª®áâì ¥ ¬®¥â 㤮¢«¥â¢®à¨âì ãá«®¢¨î ¯à¨«¨¯ ¨ï ¯®¢¥àå®á⨠®¡â¥ª ¥¬®£® ⥫ . ¤¥©á⢨⥫ì®á⨠⠣¥æ¨ «ì ï ᪮à®áâì ¬¥ï¥âáï ®â ã«ï £à ¨æ¥ ⥫ ¤® ᪮à®á⨠¥¢®§¬ã饮£® ¯®â®ª ¯à¨ 㤠«¥¨¨ ®â ¥£®. «ï ¬ «®¢ï§ª¨å ¨¤ª®á⥩ â ª®¥ ¨§¬¥¥¨¥ ᪮à®á⨠¯à®¨á室¨â ¯à®â泌¨ ⮪®£®, ¯à¨¬ëª î饣® ª ¯®¢¥àå®á⨠⥫ á«®ï ¨¤ª®áâ¨. . Ǒà ¤â«ì §¢ « íâ®â á«®© ¯®£à ¨çë¬ á«®¥¬. ¥«¨ç¨ ~v ¢ í⮬ á«®¥ ï¥âáï ®ç¥ì § ç¨â¥«ì®©. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¥á¬®âàï ¬ «®áâì ¯ à ¬¥âà Re−1 , ¢¥«¨ç¨®© Re−1 ~v ¢ ¯®£à ¨ç®¬ á«®¥ ¯à¥¥¡à¥£ âì ¥«ì§ï. ¥¬ ¥ ¬¥¥¥, ¥à ¢®¯à ¢®áâì ¯à®¤®«ì®© ¨ ¯®¯¥à¥ç®© ª®®à¤¨ âë ¢ ¯®£à ¨ç®¬ á«®¥ ¯®§¢®«ï¥â ã¯à®áâ¨âì á¨á⥬ã ãà ¢¥¨©. ®à¬ «ì ï ®æ¥ª ç«¥®¢ ¢® ¢â®à®¬ ãà ¢¥¨¨ (1.6.1) ¤«ï í⮩ 楫¨ ®¯¨á ¢ ¬®®£à ä¨ïå [100, 103, 184℄. ¯¨è¥¬ ®ª®ç ⥫ìãî á¨á⥬ã ãà ¢¥¨© ¯®£à ¨ç®£® á«®ï ¥á¨¬ ¥¬®© ¨¤ª®áâ¨. «ï ¯à®áâ®âë ¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ âì áâ 樮 àãî § ¤ ç㠯த®«ì®£® ®¡â¥ª ¨ï ¡¥§£à ¤¨¥âë¬ (∇P ≡ 0)
1.6. Ǒத®«ì®¥ ®¡â¥ª ¨¥ ¯«®áª®© ¯« áâ¨ë. Ǒ®£à ¨çë© á«®©
37
¯®â®ª®¬ ¯«®áª®© ¯®«ã¡¥áª®¥ç®© (0 6 X < ∞) ¯« áâ¨ë: VX
∂VX + VY ∂X ∂VX + ∂X
∂VX ∂Y ∂VY ∂Y
=ν
∂ 2 VX , ∂Y 2
(1.6.2)
= 0.
à ¢¥¨ï (1.6.2) § ¯¨á ë ¢ à §¬¥à®© ä®à¬¥, çâ® á¢ï§ ® á ¥ª®â®à®© âà㤮áâìî ¢¢¥¤¥¨ï ¬ áèâ ¡ ¤«¨ë l∗ , ¯®áª®«ìªã § ¤ ç ¥ ¨¬¥¥â ¨ª ª®£® ᮡá⢥®£® å à ªâ¥à®£® «¨¥©®£® à §¬¥à . ª ç¥á⢥ £à ¨çëå ãá«®¢¨© ¥áâ¥á⢥® ¯®âॡ®¢ âì: Y
= 0,
VX
Y → ∞,
= VY = 0,
(1.6.3)
VX → Ui .
«¥¤ãï « §¨ãáã [201℄, ¢ëà §¨¬ ª®¬¯®¥âë ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠ç¥à¥§ äãªæ¨î ⮪ ¯® ä®à¬ã« ¬ (1.1.10) ¨ ¯®¤áâ ¢¨¬ ¨å ¢ ¯¥à¢®¥ ãà ¢¥¨¥ (1.6.2). Ǒ®á«¥ í⮣® ¨é¥¬ äãªæ¨î ⮪ ¢ ¢¨¤¥ p (X, Y ) = νXUi f (η),
η
=Y
r
Ui , νX
(1.6.4)
£¤¥ η | ¢â®¬®¤¥«ì ï ¯¥à¥¬¥ ï. «ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï äãªæ¨¨ f (η) ¯®«ã稬 ªà ¥¢ãî § ¤ çã: 2f ′′′ + f f ′′ = 0; η = 0, f = 0; η → ∞, f ′ → 1,
f′
(1.6.5)
= 0;
à¥è¥¨¥ ª®â®à®© ¯®«ã祮 ç¨á«¥® ¨ ¯®¤à®¡® § ⠡㫨஢ ®, ¯à¨¬¥à, ¢ [184℄. ®¬¯®¥âë ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠¢ëç¨á«ïîâáï á ¯®¬®éìî (1.1.10) ¯® ä®à¬ã« ¬ VX
= Ui f (η), ′
VY
1 = 2
r
νUi ′ ηf (η ) − f (η ) . X
(1.6.6)
Ǒ®«ã祮¥ à¥è¥¨¥ ¯®§¢®«ï¥â â ª¥ ¢ëç¨á«¨âì àï¤ ¢¥«¨ç¨, ¯à¥¤áâ ¢«ïîé¨å ¯à ªâ¨ç¥áª¨© ¨â¥à¥á. ª, ¤«ï «®ª «ì®£® ¯à泌ï â२ï á⥪¥ ¨¬¥¥¬ τw (X ) = µ
∂VX ∂Y
Y =0
= µUi
r
Ui ′′ f (0) = 0,332 µUi νX
r
Ui , νX
(1.6.7)
38
¥ç¥¨ï ¨¤ª®á⨠¢ ¯«¥ª å, âàã¡ å ¨ áâàãïå
¤«ï «®ª «ì®£® ª®íää¨æ¨¥â â२ï r τ (X ) cf (X ) = 1w 2 = 0,664 2 ρUi
ν . Ui X
(1.6.8)
â¥£à «ìë© ª®íää¨æ¨¥â âà¥¨ï ¯« áâ¨ë ¤«¨®© l ¢ëç¨á«ï¥âáï á ¯®¬®éìî á«¥¤ãî饩 ä®à¬ã«ë: cf
1
=
l
Z
l
0
cf (X ) dX
= 1,328 Re−l 0,5 ,
(1.6.9)
£¤¥ Rel = Ui l/ν | ç¨á«® ¥©®«ì¤á ¤«ï ®¡â¥ª ¥¬®© ¯« áâ¨ë. ®à¬ã« (1.6.8) ¨§¢¥áâ ª ª § ª® « §¨ãá ¤«ï ᮯà®â¨¢«¥¨ï ¯à®¤®«ì® ®¡â¥ª ¥¬®© ¯« áâ¨ë. ¯à¨¬¥¨¬ ¢ ®¡« á⨠« ¬¨ ண® â¥ç¥¨ï, â.¥. ¯à¨ Rel < 3,5 · 105. ®âï ¢ â ª®© ¯®áâ ®¢ª¥ § ¤ ç¨ ¯®£à ¨çë© á«®© áç¨â ¥âáï ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨¬, â.¥. ¯à®áâ¨à î騬áï ¯® ª®®à¤¨ ⥠Y ¤® ¡¥áª®¥ç®áâ¨, ¬®® ¯à¨¡«¨¥® ®æ¥¨âì ¥£® ⮫é¨ã, ãá«®¢® ¯à¨ï¢, çâ® ¥£® £à ¨æ¥ ᪮à®áâì ®â«¨ç ¥âáï ®â ᪮à®á⨠¥¢®§¬ã饮£® ¯®â®ª ¥ ¡®«¥¥ 祬 1%*. í⮬ á«ãç ¥ § ãá«®¢ãî ⮫é¨ã á«®ï ¯à¨¨¬ ¥âáï p δ (X ) ≈ 5 νX/Ui . (1.6.10) ¥è¥¨¥ « §¨ãá ᢨ¤¥â¥«ìáâ¢ã¥â, çâ® ¯à®ä¨«¨ ¯à®¤®«ì®© ᪮à®á⨠¤«ï ¢á¥å á¥ç¥¨© ¯®£à ¨ç®£® á«®ï ïîâáï ä䨮 ¯®¤®¡ë¬¨. «¥¤ã¥â ®â¬¥â¨âì, çâ® âé ⥫ì ï íªá¯¥à¨¬¥â «ì ï ¯à®¢¥àª ¢ë¢®¤®¢ ⥮ਨ « §¨ãá , ¯à®¢¥¤¥ ï ¨ªãà ¤§¥, ¯®¤â¢¥à¤¨« ¨å á¯à ¢¥¤«¨¢®áâì ª ª ¢ ®â®è¥¨¨ ¯à®ä¨«¥© ᪮à®áâ¨, â ª ¨ ¢ ®â®è¥¨¨ ª®íää¨æ¨¥â®¢ â२ï [184℄. ¯à¨«®¥¨ïå [30℄ ¨®£¤ ¢áâà¥ç ¥âáï ý®¡à é¥ ïþ ¯®áâ ®¢ª § ¤ ç¨ « §¨ãá , ª®£¤ ¯®«ã¡¥áª®¥ç ï ¯« á⨠¤¢¨¥âáï ¢ ᢮¥© ¯«®áª®á⨠ᮠ᪮à®áâìî Ui . í⮬ á«ãç ¥ ¢¬¥áâ® ªà ¥¢®© § ¤ ç¨ (1.6.5) á«¥¤ã¥â à¥è âì á«¥¤ãîéãî § ¤ çã: 2f ′′′ + f f ′′ = 0; η = 0, f = 0; η → ∞, f ′ → 0,
f′
= 1;
(1.6.11)
* Ǒ®¬¨¬® ãá«®¢®© ⮫é¨ë ¯®£à ¨ç®£® á«®ï,∞¨á¯®«ì§ãîâáï â ª¥ á«¥¤ã-
î騥 ®¯à¥¤¥«¥¨ï: ¤«ï ⮫é¨ë ¢ëâ¥á¥¨ï ¯®â¥à¨ ¨¬¯ã«ìá δ∗
= 1,7208
p
δ∗∗
=
νX/Ui , δ∗∗
R∞ 0
δ∗
=
R 0
(1 − VX /Ui ) dY ¨ ⮫é¨ë
(VX /Ui ) (1 − VX /Ui ) dY . ®£« á® à¥è¥¨î « §¨ãá
= 0,664
p
νX/Ui .
1.6. Ǒத®«ì®¥ ®¡â¥ª ¨¥ ¯«®áª®© ¯« áâ¨ë. Ǒ®£à ¨çë© á«®©
39
â § ¤ ç â ª¥ à¥è¥ ç¨á«¥®, ¨ äãªæ¨ï f (η) § ⠡㫨஢ ¢ [296℄. «¥¤ã¥â ®â¬¥â¨âì, çâ® ¢ í⮬ á«ãç ¥ à¥è¥¨¥ ®â«¨ç ¥âáï ®â ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® à¥è¥¨ï § ¤ ç¨ « §¨ãá . ª¨¬ ®¡à §®¬, ¥á¬®âàï ª ãéãîáï ¢®§¬®®áâì 䨧¨ç¥áª®£® ý®¡à 饨ïþ â¥ç¥¨ï, à¥è¥¨¥ ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® ¬ ⥬ â¨ç¥áª¨ â ª®¥ ý®¡à 饨¥þ ¥¢®§¬®®, ç⮠ï¥âáï á«¥¤á⢨¥¬ ¥«¨¥©®á⨠§ ¤ ç (1.6.5) ¨ (1.6.11). ®ª «ì®¥ ¯à泌¥ â२ï á⥪¥ ¢ í⮬ á«ãç ¥ § ¤ ¥âáï, ¢ ®â«¨ç¨¥ ®â (1.6.7), ¢ëà ¥¨¥¬ τw (X ) = 0,444 µUi
r
Ui . νX
(1.6.12)
ãà¡ã«¥âë© ¯®£à ¨çë© á«®© ¯« á⨥. ¥ç¥¨¥ ¢ ¯®£à ¨ç®¬ á«®¥ ¯« á⨥ ®áâ ¥âáï « ¬¨ àë¬ ¢¯«®âì ¤® ReX = Ui X/ν ≈ 106. ¡®«¥¥ ¤«¨®© ¯« á⨥ ¯®£à ¨çë© á«®© âãà¡ã«¨§ã¥âáï: ¯à®¨á室¨â १ª®¥ 㢥«¨ç¥¨¥ ¥£® ⮫é¨ë ¨ ¯¥à¥áâனª ¯à®ä¨«ï ¯à®¤®«ì®© ᪮à®áâ¨. Ǒ® ¤ ë¬ [184℄, â®«é¨ âãà¡ã«¥â®£® ¯®£à ¨ç®£® á«®ï ¬¥ï¥âáï ¯® § ª®ã δ (X ) = 0,37 X
Ui X ν
−1/5
.
(1.6.13)
á¯à¥¤¥«¥¨¥ ᪮à®á⥩ ¢ ¯®£à ¨ç®¬ á«®¥ ¤®áâ â®ç® å®à®è® ®¯¨áë¢ ¥âáï § ª®®¬ VX Ui
=
Y δ (X )
1/7
(1.6.14)
.
«ï ª®íää¨æ¨¥â ᮯà®â¨¢«¥¨ï ¯à¨ ®¤®áâ®à®¥¬ âãà¡ã«¥â®¬ ®¡â¥ª ¨¨ ¯« áâ¨ë ¤«¨®© l á¯à ¢¥¤«¨¢ ®æ¥ª cf
= 0,072
Ui l ν
−1/5
.
(1.6.15)
¥áâ 樮 àë¥ à¥¨¬ë ®¡â¥ª ¨ï ¯« áâ¨ë. §¢¥áâë ¤¢ â®çëå à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨© ¥áâ 樮 ண® ¯®£à ¨ç®£® á«®ï ¯« á⨥ [184℄. ¨ ®â®áïâáï ª áà ¢¨â¥«ì® ¯à®áâë¬ â¥ç¥¨ï¬, ®¯¨áë¢ ¥¬ë¬ «¨¥©ë¬¨ ãà ¢¥¨ï¬¨ ¤¢¨¥¨ï. ¤ ª® «¨¥ ਧ æ¨ï ãà ¢¥¨© ¢ì¥ | ⮪á á¢ï§ ¢ íâ¨å á«ãç ïå ¥ á ¯à¨¡«¨¥ë¬ ®â¡à áë¢ ¨¥¬ ¥«¨¥©ëå ª®¢¥ªâ¨¢ëå ç«¥®¢, á ¨å ⮤¥áâ¢¥ë¬ ®¡à 饨¥¬ ¢ ã«ì (VX ∂VX /∂X ≡ 0), â ª çâ® ãà ¢¥¨¥ ¤¢¨¥¨ï ¯à¨¨¬ ¥â ¢¨¤ ∂ 2 VX ∂VX −ν ∂t ∂Y 2
= 0.
(1.6.16)
40
¥ç¥¨ï ¨¤ª®á⨠¢ ¯«¥ª å, âàã¡ å ¨ áâàãïå
¤ ¨§ § ¤ ç, ¨§¢¥áâ ï ª ª ¯¥à¢ ï § ¤ ç ⮪á , ®¯¨áë¢ ¥â â¥ç¥¨¥ ¢¡«¨§¨ ¡¥§£à ¨ç®© ¯« áâ¨ë, ¢¥§ ¯® ¯à¨¢¥¤¥®© ¢ ¤¢¨¥¨¥ ¢ ᢮¥© ¯«®áª®á⨠ᮠ᪮à®áâìî U0 . í⮬ á«ãç ¥ ç «ì®¥ ¨ £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï ¤«ï ãà ¢¥¨ï (1.6.16) § ¯¨áë¢ îâáï â ª: VX = 0
¯à¨ t = 0,
VX = U0
¯à¨
Y
= 0,
VX = 0
¯à¨
Y → ∞.
(1.6.17)
¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ (1.6.16), (1.6.17) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä®à¬ã«®© Y √ , VX (t, Y ) = U0 erf 2 νt
(1.6.18)
Rz
£¤¥ erf z = 1 − π2 exp(−x2 ) dx | ¤®¯®«¨â¥«ìë© ¨â¥£à « ¢¥à®ïâ0 ®áâ¨. àã£ ï ¤®¯ã᪠îé ï â®ç®¥ à¥è¥¨¥ ¥áâ 樮 à ï § ¤ ç , ¨§¢¥áâ ï ª ª ¢â®à ï § ¤ ç ⮪á , ®¯¨áë¢ ¥â â¥ç¥¨¥ ¢¡«¨§¨ ¡¥§£à ¨ç®© ¯« áâ¨ë, ª®«¥¡«î饩áï ¢ ᢮¥© ¯«®áª®áâ¨. â § ¤ ç ®â®á¨âáï ª â ª §ë¢ ¥¬ë¬ § ¤ ç ¬ ¡¥§ ç «ìëå ¤ ëå. à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï ¢ í⮬ á«ãç ¥ ä®à¬ã«¨àãîâáï â ª: VX
= U0 os ωt ¯à¨
Y
= 0,
VX
= 0 ¯à¨
Y → ∞.
(1.6.19)
¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ (1.6.16), (1.6.19) ¨¬¥¥â ¢¨¤ r r ω ω . VX (t, Y ) = U0 exp −Y
os ωt − Y 2ν 2ν
(1.6.20)
â® ¢ëà ¥¨¥ ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® á 㤠«¥¨¥¬ ®â ¯«®áª®á⨠ª®«¥¡ ¨ï ¨¤ª®á⨠ã¡ë¢ îâ ¯® ¬¯«¨â㤥 ¨ ¢á¥ ¡®«¥¥ ®âáâ îâ ¯® ä §¥.
2. ¢¨¥¨¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¢ ¨¤ª®áâ¨
¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ ® ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¨ ⢥म© ç áâ¨æë, ª ¯«¨ ¨«¨ ¯ã§ëàï á ®ªàã î饩 ¤¨á¯¥àᮩ á।®© «¥¨â ¢ ®á®¢¥ à áç¥â ¬®£¨å â¥å®«®£¨ç¥áª¨å ¯à®æ¥áᮢ. ।¨ ¯à®¬ëè«¥ëå ¯à¨«®¥¨© â ª®£® ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ®â¬¥â¨¬ ®á¢¥â«¥¨¥ áãᯥ§¨© ¢ £¨¤à®æ¨ª«® å, ®á ¤¥¨¥ ª®««®¨¤®¢, ¯¥¢¬®âà ᯮàâ, ¯á¥¢®®¨¥¨¥, £¥â¥à®£¥ë© ª â «¨§ ¢§¢¥è¥ëå ç áâ¨æ å, à á⢮२¥ ⢥à¤ëå ç áâ¨æ, íªáâà ªæ¨î ¨§ ª ¯¥«ì, ¡á®à¡æ¨î ¨ ¨á¯ २¥ ¢ ¯ã§ëਠ[29, 39, 87, 153, 172℄. ¯¨á ¨¥ 楫®£® àï¤ ¬¥â¥®à®«®£¨ç¥áª¨å ¥¨© â ª¥ ¡ §¨àã¥âáï «¨§¥ ¤¢¨¥¨ï ᮢ®ªã¯®á⨠ª ¯¥«ì ¢ ¢®§¤ãå¥. Ǒ஡«¥¬ ¢á¥ 㢥«¨ç¨¢ î饩áï § £à痢®á⨠⬮áä¥àë âॡã¥â ¯®¨¬ ¨ï ¨ ®¯¨á ¨ï ¯à®æ¥áᮢ ¯¥à¥®á ⬮áä¥à®© ¬¥å ¨ç¥áª¨å, 娬¨ç¥áª¨å ¨ à ¤¨® ªâ¨¢ëå ç áâ¨æ. à §à¥¥ëå á¨á⥬ å ç áâ¨æ (ª ¯¥«ì ¨«¨ ¯ã§ë३) íä䥪⠬¨ ¢§ ¬®¤¥©áâ¢¨ï ¢ ¯¥à¢®¬ ¯à¨¡«¨¥¨¨ ¬®® ¯à¥¥¡à¥çì ¨ ®£à ¨ç¨âìáï ¨§ã票¥¬ ¤¢¨¥¨ï ®¤¨®ç®© ç áâ¨æë ¢ ¨¤ª®á⨠¨«¨ £ §¥. Ǒਠí⮬ áâàãªâãà «¨¨© ⮪ ¢ ®ªà¥áâ®á⨠ç áâ¨æë ¡ã¤¥â § ¢¨á¥âì ®â ¥¥ ä®à¬ë, ⨯ â¥ç¥¨ï (¯®áâ㯠⥫쮣® ¨«¨ ᤢ¨£®¢®£®) ¨ àï¤ ¤àã£¨å £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨å ä ªâ®à®¢. ¤¨ ¨§ ®á®¢ëå ¬¥â®¤®¢ ¯à¨¡«¨¥®£® «¨â¨ç¥áª®£® à¥è¥¨ï ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª¨å § ¤ ç § ª«îç ¥âáï ¢ «¨¥ ਧ 樨 ãà ¢¥¨© ¢ì¥ | â®ªá ¯à¨ ¬ «ëå ç¨á« å ¥©®«ì¤á . â®â ¬¥â®¤ ç áâ® ¨á¯®«ì§ã¥âáï ¢ ¤ ®© £« ¢¥ ¤«ï ¨áá«¥¤®¢ ¨ï ¤¢¨¥¨ï ¬ «ëå ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¢ ¨¤ª®áâ¨. 2.1. ¡é¥¥ à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨© â®ªá ¢ ®á¥á¨¬¬¥âà¨ç®¬ á«ãç ¥
¤¨ ¨§ ®á®¢ëå ¯®¤å®¤®¢ ¤«ï «¨§ ¨ ã¯à®é¥¨ï ãà ¢¥¨© ¢ì¥ | â®ªá § ª«îç ¥âáï ¢ ¯®«®¬ ¨«¨ ç áâ¨ç®¬ ¯à¥¥¡à¥¥¨¨ ¥«¨¥©ë¬¨ ¨¥à樮묨 ç«¥ ¬¨ V~ ·∇ V~ ¯® áà ¢¥¨î á «¨¥©ë¬¨ ¢ï§ª¨¬¨ ç«¥ ¬¨ ν V~ . â®â ¬¥â®¤ ®¯à ¢¤ ¯à¨ Re = LU/ν ≪ 1 ¨ è¨à®ª® ¨á¯®«ì§ã¥âáï ¤«ï ¨áá«¥¤®¢ ¨ï ¤¢¨¥¨ï ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¢ ¨¤ª®áâ¨. «ë¥ ç¨á« ¥©®«ì¤á å à ªâ¥àë ¤«ï á«¥¤ãîé¨å âà¥å á«ãç ¥¢: ¬¥¤«¥ëå (¯®«§ãé¨å) â¥ç¥¨©, á¨«ì® ¢ï§ª¨å ¨¤ª®á⥩, ¬ «ëå à §¬¥à®¢ ç áâ¨æ. «ï ãáâ ®¢¨¢è¨åáï â¥ç¥¨© ¢ï§ª®© ¥á¨¬ ¥¬®© ¨¤ª®á⨠¯à¥¥¡à¥¥¨¥ ¢ (1.1.4) ¨¥à樮묨 ç«¥ ¬¨ ¨ ãç¥â ¢á¥å ª®á¥à¢ ⨢-
41
42
¢¨¥¨¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¢ ¨¤ª®áâ¨
ëå ¬ áᮢëå ᨫ ¢ ¤ ¢«¥¨¨ P ¯à¨¢®¤¨â ª ãà ¢¥¨ï¬ ⮪á : ~ ∇·V ~ µV
= 0, = ∇P.
(2.1.1)
à ¢¥¨ï ⮪á (2.1.1) ïîâáï «¨¥©ë¬¨ ¨ áãé¥á⢥® ¯à®é¥ ¥«¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¢ì¥ | ⮪á .
᫨ ¤¢ à¥è¥¨ï ~ , P } ¨ {V ~ , P } ¯® ®â¤¥«ì®á⨠㤮¢«¥â¢®àïîâ ãà ¢¥¨ï¬ (2.1.1), {V 1 1 2 2 â® í⨬ ¥ ãà ¢¥¨ï¬ 㤮¢«¥â¢®àï¥â á㬬 {αV~1 + β V~2 , αP1 + βP2 } ¯à¨ «î¡ëå § 票ïå ¯ à ¬¥â஢ α ¨ β . ®á¥á¨¬¬¥âà¨çëå § ¤ ç å ¢ áä¥à¨ç¥áª®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â R, θ, ϕ ¢á¥ ¢¥«¨ç¨ë ¥ § ¢¨áï⠮⠪®®à¤¨ âë ϕ ¨ âà¥âìï ª®¬¯®¥â ᪮à®á⨠¨¤ª®áâ¨ à ¢ ã«î: Vϕ = 0. à ¢¥¨ï ⮪á (2.1.1) ¢ áä¥à¨ç¥áª®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â ¨¬¥îâ ¢¨¤ 1 ∂ 1 ∂ R2 VR + Vθ sin θ = 0, R ∂R sin θ ∂θ 2VR 2 ∂Vθ 2Vθ tg θ ∂P − , µ VR − = (2.1.2) 2 − 2 2 µ
£¤¥
R
Vθ +
∂θ R ∂R 2 ∂VR 1 ∂P V = − 2 θ2 , R2 ∂θ R ∂θ R sin θ
1
∂ ≡ 2 R ∂R
R
∂ ∂ 1 ∂ 2 R . + 2 sin θ ∂R R sin θ ∂θ ∂θ
®¬¯®¥âë ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠¬®® ¢ëà §¨âì ç¥à¥§ äãªæ¨î ⮪ : 1 ∂ 1 ∂ VR = 2 (2.1.3) , Vθ = − . R sin θ ∂θ R sin θ ∂R í⮬ á«ãç ¥ ¯¥à¢®¥ ãà ¢¥¨¥ (2.1.2) (ãà ¢¥¨¥ ¥à §à뢮áâ¨) 㤮¢«¥â¢®àï¥âáï ¢â®¬ â¨ç¥áª¨. Ǒ®¤áâ ¢¨¬ ¢ëà ¥¨ï (2.1.3) ¢® ¢â®à®¥ ¨ âà¥âì¥ ãà ¢¥¨ï (2.1.2). १ã«ìâ ⥠¨áª«î票ï ç«¥®¢ á ¤ ¢«¥¨¥¬, ¯à¨å®¤¨¬ ª á«¥¤ãî饬ã ãà ¢¥¨î ¤«ï äãªæ¨¨ ⮪ : E2 E2
= 0,
E2 ≡
∂2 ∂R2
+
sin θ
∂ ∂ 1 . R2 ∂θ sin θ ∂θ
(2.1.4)
¡é¥¥ à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (2.1.4) ¨¬¥¥â ¢¨¤ [178℄ (R, θ) =
∞ X
An Rn + Bn R1−n + Cn Rn+2 + Dn R3−n Jn ( os θ) +
n=0 ∞ X
+
n=2
e Rn + B e R1−n + C e Rn+2 + D e R3−n H ( os θ), A n n n n n
(2.1.5)
2.1. ¡é¥¥ à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨© â®ªá ¢ ®á¥á¨¬¬¥âà¨ç®¬ á«ãç ¥
43
£¤¥ An , Bn , Cn , Dn , Aen , Ben , Cen , De n | ¯à®¨§¢®«ìë¥ ¯®áâ®ïë¥; Jn (ζ ) ¨ Hn (ζ ) | äãªæ¨¨ ¥£¥¡ ãíà ¯¥à¢®£® ¨ ¢â®à®£® த , ª®â®àë¥ «¨¥©® á¢ï§ ë á äãªæ¨ï¬¨ ¥ ¤à Pn (ζ ) ¨ Qn (ζ ): Jn (ζ )
=
Pn−2 (ζ ) − Pn (ζ ) , 2n − 1
Hn (ζ )
=
Qn−2 (ζ ) − Qn (ζ ) 2n − 1
(n > 2).
ãªæ¨¨ ¥£¥¡ ãíà ¯¥à¢®£® த ¢ëà îâáï ¯à¨ ¯®¬®é¨ ª®¥ç®£® á⥯¥®£® àï¤ : d n−2 ζ 2 − 1 n−1 = (n− 1)! dζ 2 1 · 3 . . . (2n− 3) n n(n− 1) n−2 n(n− 1)(n− 2)(n− 3) n−4 ζ ζ −. . . . + ζ − 1·2 . . . n 2(2n− 3) 2 · 4(2n− 3)(2n− 5)
Jn (ζ )
=
1
=−
ç áâëå á«ãç ïå ¨¬¥¥¬ J0 (ζ ) = 1, J1 (ζ ) = −ζ, J2 (ζ ) = 12 (1 − ζ 2 ), J3 (ζ ) = 12 ζ (1 − ζ 2 ), J4 (ζ ) = 81 (1 − ζ 2 )(5ζ 2 − 1), J5 (ζ ) = 18 ζ (1 − ζ 2 )(7ζ 2 − 3).
ãªæ¨¨ ¥£¥¡ ãíà ¢â®à®£® த ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¯® ä®à¬ã« ¬ H0 (ζ ) = −ζ,
H1 (ζ ) = −1, 1 1+ζ + Kn (ζ ), Hn (ζ ) = Jn (ζ ) ln 2 1−ζ
£¤¥ äãªæ¨ï த : Kn (ζ ) = −
Kn (ζ )
¢ëà ¥âáï ç¥à¥§ äãªæ¨¨ ¥£¥¡ ãíà ¯¥à¢®£®
12 n6k6 12 n+ 21 X k
n > 2,
(2n − 4k +1) (2k − 1)(n − k) 1− (2k − 1)(n − k) n(n − 1)
Jn−2k+1 (ζ ),
¯à¨ç¥¬ àï¤ë ç¨ îâáï ¨«¨ á J0 ¨«¨ á J1 ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â ⮣®, ¥ç¥â®¥ ¨«¨ ç¥â®¥ n. ç áâëå á«ãç ïå ¨¬¥¥¬ K4 (ζ ) =
K2 (ζ ) = 12 ζ, K3 (ζ ) = 61 (3 ζ 2 − 2), 2 4 2 1 1 24 ζ (15 ζ − 13), K5 (ζ ) = 120 (105 ζ − 115 ζ + 16).
Ǒਠn > 2 äãªæ¨¨ ¥£¥¡ ãíà ¢â®à®£® த ¡¥áª®¥çë ¢ â®çª å ζ = ±1, çâ® ®â¢¥ç ¥â θ = 0 ¨ θ = π. Ǒ®í⮬ã, ¥á«¨ ¢ 䨧¨ç¥áª®© ¯®áâ ®¢ª¥ § ¤ ç¨ ®âáãâáâ¢ãîâ ᨣã«ïàë¥ ®á®¡¥®áâ¨, â® ¯®¬¥ç¥ë¥ ý⨫줮©þ ¢ ä®à¬ã«¥ (2.1.5) ¯®áâ®ïë¥ ¤®«ë à ¢ïâìáï ã«î. ஬¥ ⮣®, ¯à¨ n = 0 ¨ n = 1 ®á⠢訥áï ¯®áâ®ïë¥ ¯à¨¢®¤ïâ
44
¢¨¥¨¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¢ ¨¤ª®áâ¨
ª ¡¥áª®¥çë¬ â £¥æ¨ «ìë¬ áª®à®áâï¬ Vθ ®á¨ ¯®â®ª . Ǒ®í⮬㠢 ¯®¤ ¢«ïî饬 ¡®«ìè¨á⢥ § ¤ ç ®¡ ®¡â¥ª ¨¨ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ áâ®ªá®¢ë¬ ¯®â®ª®¬ äãªæ¨ï ⮪ ¢ áä¥à¨ç¥áª¨å ª®®à¤¨ â å ¬®¥â ¡ëâì ¯à¥¤áâ ¢«¥ ¢ ä®à¬¥ (R, θ) =
∞ X
n=2
An Rn + Bn R1−n + Cn Rn+2 + Dn R3−n Jn ( os θ).
(2.1.6)
®¬¯®¥âë ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠¨ ¤ ¢«¥¨¥, ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 â ª®¬ã â¥ç¥¨î, ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¯® ä®à¬ã« ¬ VR
=−
∞ X
An Rn−2 + Bn R−n−1 + Cn Rn + Dn R1−n Pn−1 ( os θ),
n=2 ∞ X nAn Rn−2 − (n − 1)Bn R−n−1 + Vθ = n=2
p = −2µ
∞ X 2n + 1
n=2
n−1
+ (n + 2)Cn Rn − Dn (n − 3)R1−n
Cn Rn−1 +
2n − 3 n
Jn ( os θ) , sin θ
Dn R−n Pn−1 ( os θ) + onst .
(2.1.7) í⮬ á«ãç ¥ ¨¤ª®áâì ¤¥©áâ¢ã¥â «î¡ãî áä¥à¨ç¥áªãî £à ¨æã, ®¯¨áë¢ ¥¬ãî ãà ¢¥¨¥¬ R = onst, á ᨫ®© FZ
= 4πµD2 .
(2.1.8)
â¥à¥á® ®â¬¥â¨âì, ç⮠ᨫ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ⮫쪮 ®¤¨¬ ª®íää¨æ¨¥â®¬ àï¤ (2.1.6). ®à¬ã«ë (2.1.6) | (2.1.8) ïîâáï ®á®¢®© ¤«ï à¥è¥¨ï è¨à®ª®£® ª« áá § ¤ ç 娬¨ç¥áª®© £¨¤à®¤¨ ¬¨ª¨. 2.2. ¡â¥ª ¨¥ áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æë, ª ¯«¨ ¨ ¯ã§ëàï ¯®áâ㯠⥫ìë¬ áâ®ªá®¢ë¬ ¯®â®ª®¬
¡â¥ª ¨¥ áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æë. áᬮâਬ ⢥à¤ãî áä¥à¨ç¥áªãî ç áâ¨æã à ¤¨ãá a, ®¡â¥ª ¥¬ãî ®¤®à®¤ë¬ ¯®áâ㯠⥫ìë¬ áâ®ªá®¢ë¬ ¯®â®ª®¬ ᮠ᪮à®áâìî Ui (à¨á. 2.1). ç¨â ¥¬, çâ® ¨¤ª®áâì ¨¬¥¥â ¤¨ ¬¨ç¥áªãî ¢ï§ª®áâì µ. «ï «¨§ ¨á¯®«ì§ã¥¬ áä¥à¨ç¥áªãî á¨á⥬㠪®®à¤¨ â R, θ, ϕ, á¢ï§ ãî á æ¥â஬ ç áâ¨æë. £®« θ ®âáç¨âë¢ ¥¬ ®â ¯à ¢«¥¨ï ¡¥£ î饣® ¯®â®ª (â.¥. ®â
2.2. ¡â¥ª ¨¥ ç áâ¨æë, ª ¯«¨ ¨ ¯ã§ëàï ¯®áâ㯠⥫ìë¬ ¯®â®ª®¬
¨á. 2.1.
¯®â®ª®¬
45
奬 ®¡â¥ª ¨ï áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æë ¯®áâ㯠⥫ìë¬ á⮪ᮢë¬
§ ¤¥© ªà¨â¨ç¥áª®© â®çª¨ ¯®¢¥àå®á⨠ç áâ¨æë). ᨫ㠮ᥢ®© ᨬ¬¥âਨ § ¤ ç¨ â®«ìª® ¤¢¥ ª®¬¯®¥âë ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠VR , Vθ ®â«¨çë ®â ã«ï ¨ ¢á¥ ¨áª®¬ë¥ ¢¥«¨ç¨ë ¥ § ¢¨áïâ ®â âà¥â쥩 ª®®à¤¨ âë ϕ. á¯à¥¤¥«¥¨¥ ᪮à®á⥩ ¨¤ª®á⨠®¯¨áë¢ ¥âáï ãà ¢¥¨ï¬¨ ⮪á (2.1.1), £à ¨ç묨 ãá«®¢¨ï¬¨ ¯à¨«¨¯ ¨ï ¯®¢¥àå®á⨠⢥म© áä¥àë VR = Vθ = 0 ¯à¨ R = a (2.2.1) ¨ £à ¨ç묨 ãá«®¢¨ï¬¨ ¡¥áª®¥ç®á⨠VR → Ui os θ,
Vθ → −Ui sin θ
¯à¨
R → ∞,
(2.2.2)
ª®â®àë¥ á®®â¢¥âáâ¢ãîâ ®¤®à®¤®á⨠¥¢®§¬ã饮£® ¯®â®ª ¢¤ «¨ ®â ç áâ¨æë (1.1.6). Ǒ¥à¥å®¤ï ®â ª®¬¯®¥â ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠VR , Vθ ª äãªæ¨¨ ⮪ ¯® ä®à¬ã« ¬ (2.1.3), ¯®«ã稬 ãà ¢¥¨¥ (2.1.4). § £à ¨çëå ãá«®¢¨© ¢¤ «¨ ®â ç áâ¨æë (2.2.2) á«¥¤ã¥â, çâ® ¢ ®¡é¥¬ à¥è¥¨¨ (2.1.5) ¤®áâ â®ç® ®£à ¨ç¨âìáï ¯¥à¢ë¬ ç«¥®¬, ᮮ⢥âáâ¢ãî騬 § 票î n = 2. á«®¢¨ï ¯à¨«¨¯ ¨ï (2.2.1) ¯®§¢®«ïîâ ®¯à¥¤¥«¨âì ¥¨§¢¥áâë¥ ¯®áâ®ïë¥ A2 , B2 , C2 , D2 . ¨â®£¥ ¤«ï äãªæ¨¨ ⮪ ¬®® ¯®«ãç¨âì á«¥¤ãî饥 ¢ëà ¥¨¥: 1 a3 1 3 a 2 + sin2 θ. (2.2.3) = Ui R 1 − 2 2 R 2 R3 âáî¤ å®¤¨¬ ª®¬¯®¥âë ᪮à®á⥩ ¨¤ª®á⨠¨ ¤ ¢«¥¨¥ 3 a 1 a3 VR = Ui 1 − +
os θ, 2 R 2 R3 3 a 1 a3 (2.2.4) − Vθ = −Ui 1 − sin θ, 4 R 4 R3 3µUia os θ , P = Pi − 2R2
46
¢¨¥¨¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¢ ¨¤ª®áâ¨
¨á. 2.2.
ª®¬
奬 ®¡â¥ª ¨ï áä¥à¨ç¥áª®© ª ¯«¨ ¯®áâ㯠⥫ìë¬ áâ®ªá®¢ë¬ ¯®â®-
£¤¥ Pi | ¥¢®§¬ã饮¥ ¤ ¢«¥¨¥ ¢¤ «¨ ®â ç áâ¨æë. ¨ ¬¨ç¥áª®¥ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ áà¥¤ë ¨ ¨¤ª®á⨠å à ªâ¥à¨§ã¥âáï ᨫ®© ᮯà®â¨¢«¥¨ï, ª®â®à ï ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª ª ¯à®¥ªæ¨ï ¢á¥å £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª¨å ᨫ ¯à ¢«¥¨¥ ¯®â®ª : F
=
Z
(τRR os θ − τRθ sin θ) ds,
S
£¤¥ S | ¯®¢¥àå®áâì ç áâ¨æë. ¯àï¥¨ï ¯®¢¥àå®á⨠áä¥àë § ¤ îâáï á®®â®è¥¨ï¬¨ τRR = −P
+ 2µ
∂VR ∂R
R=a
τRθ = µ
,
V ∂Vθ − θ ∂R R
+
1
∂VR R ∂θ
R=a
.
ᯮ«ì§ãï ¢ëà ¥¨ï (2.2.4) ¨ ¯à®¢®¤ï ¨â¥£à¨à®¢ ¨¥, ¯®«ã稬 ᨫã ᮯà®â¨¢«¥¨ï, ¤¥©áâ¢ãîéãî áä¥à¨ç¥áªãî ç áâ¨æã á® áâ®à®ë ¨¤ª®á⨠§ áç¥â ¢ï§ª®áâ¨: F
= 6πµaUi ,
ª®â®à ï §ë¢ ¥âáï ä®à¬ã«®© ⮪á .
(2.2.5)
¡â¥ª ¨¥ áä¥à¨ç¥áª®© ª ¯«¨ ¨ ¯ã§ëàï. áᬮâਬ ⥯¥àì áä¥à¨ç¥áªãî ª ¯«î à ¤¨ãá a, ®¡â¥ª ¥¬ãî ¯®áâ㯠⥫ìë¬ áâ®ªá®¢ë¬ ¯®â®ª®¬ ¤à㣮© ¨¤ª®á⨠ᮠ᪮à®áâìî Ui (à¨á. 2.2). ç¨â ¥¬, çâ® ¤¨ ¬¨ç¥áª¨¥ ¢ï§ª®á⨠¨¤ª®á⥩ ¢¥ ¨ ¢ãâਠª ¯«¨ à ¢ë µ1 ¨ µ2 . ᥠ¨áª®¬ë¥ ¢¥«¨ç¨ë ¢¥ ¨ ¢ãâਠª ¯«¨ ¡ã¤¥¬ ¯®¬¥ç âì ᮮ⢥âá⢥® ¢¥à娬¨ ¨¤¥ªá ¬¨ (1) ¨ (2). «ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠¨ ¤ ¢«¥¨ï ¢ ª ¤®© ä §¥ ¡ã¤¥¬ ¨á¯®«ì§®¢ âì ãà ¢¥¨ï ⮪á (2.1.1). ª ¨ à ¥¥, ãá«®¢¨¥ ®¤®à®¤®á⨠¯®â®ª ¢¤ «¨ ®â ª ¯«¨ ¨¬¥¥â ¢¨¤ (2.2.2). ¨¥ ¯¥à¥ç¨á«¥ë ç¥âëॠãá«®¢¨ï, ª®â®àë¥ ¤®«ë ¢ë¯®«ïâìáï £à ¨æ¥ áä¥à¨ç¥áª®© ª ¯«¨.
2.2. ¡â¥ª ¨¥ ç áâ¨æë, ª ¯«¨ ¨ ¯ã§ëàï ¯®áâ㯠⥫ìë¬ ¯®â®ª®¬
47
á«®¢¨¥ ¥¯à®â¥ª ¨ï: (1) VR
= VR(2) = 0
¯à¨
R = a.
(2.2.6)
á«®¢¨¥ ¥¯à¥à뢮á⨠⠣¥æ¨ «ì®© ª®¬¯®¥âë ᪮à®áâ¨: (1) Vθ
= Vθ(2)
¯à¨
R = a.
(2.2.7)
á«®¢¨¥ à ¢¥áâ¢ áª çª ®à¬ «ìëå ¯à泌© ¨§¡ëâ®ç®¬ã ¤ ¢«¥¨î § áç¥â ¤¥©á⢨ï ᨫ ¯®¢¥àå®á⮣® â泌ï: P (1) − 2µ1
(1) ∂VR ∂R
+
2σ a
= P (2) − 2µ2
(2) ∂VR ∂R
¯à¨
R = a,
(2.2.8)
£¤¥ σ | ¬¥ä §®¥ ¯®¢¥àå®á⮥ â泌¥. «¥¤á⢨¥ ãá«®¢¨ï ¥¯à¥à뢮á⨠ª á ⥫ìëå ¯à泌©: µ1
(1) (1) (2) (2) V V ∂Vθ ∂Vθ = µ2 − θ − θ ∂R R ∂R R
¯à¨
R = a.
(2.2.9)
஬¥ ⮣®, ¨á¯®«ì§ãîâáï â ª¥ ãá«®¢¨ï ®£à ¨ç¥®á⨠à¥è¥¨ï ¢ æ¥âॠª ¯«¨: (2) VR < ∞,
(2) Vθ < ∞
¯à¨
R = 0.
(2.2.10)
Ǒ® ä®à¬ã« ¬ (2.1.3) ¢¢¥¤¥¬ äãªæ¨î ⮪ (m) ¢ ª ¤®© ä §¥ (m = 1, 2). á«®¢¨ï (2.2.6) | (2.2.10) ¯®§¢®«ïîâ ®¯à¥¤¥«¨âì ¯®áâ®ïë¥ ¢ ®¡é¨å à¥è¥¨ïå (2.1.5) ¢¥ ¨ ¢ãâਠª ¯«¨. १ã«ìâ ⥠¯®«ã稬 à¥è¥¨¥ ¤ ¬ à | ë¡ç¨áª®£® [178, 219℄ a a3 β + sin2 θ, R 1 + β R3 Ui R2 (2) 2 =− R 1 − 2 sin2 θ, 4(1 + β ) a
(1) =
1 2 + 3β U R2 2 − 4 i 1+β
(2.2.11)
£¤¥ β = µ2 /µ1. ᯮ«ì§ãï ä®à¬ã«ë (2.1.3), ¢ëç¨á«¨¬ ª®¬¯®¥âë ᪮à®á⥩ ¨¤ª®á⨠¨ ¤ ¢«¥¨¥ ¢¥ ª ¯«¨:
2 + 3β a β a3 +
os θ, 2(1 + β ) R 2(1 + β ) R3 β 2 + 3β a a3 (1) − Vθ = −Ui 1 − sin θ, 4(1 + β ) R 4(1 + β ) R3 µ U a(2 + 3β ) os θ (1) . P (1) = P0 − 1 i 2(1 + β ) R2 (1) VR
= Ui 1 −
(2.2.12)
48
¢¨¥¨¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¢ ¨¤ª®áâ¨
®¬¯®¥âë ᪮à®á⥩ ¨¤ª®á⨠¨ ¤ ¢«¥¨¥ ¢ãâਠª ¯«¨ ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¢ëà ¥¨ï¬¨: R2
os θ, 2(1 + β ) a2 Ui R2 (2) Vθ = 1 − 2 2 sin θ, 2(1 + β ) a 5 µ U R
os θ (2) 2 i P (2) = P0 + . 2 a (1 + β ) (2) VR
Ui
=−
1−
(2.2.13)
Ǒ®áâ®ïë¥ P0(1) , P0(2) ¢ ¢ëà ¥¨ïå ¤«ï ¯®«¥© ¤ ¢«¥¨ï (2.2.12) ¨ (2.2.13) á¢ï§ ë á®®â®è¥¨¥¬ 2σ (2) (1) P0 − P0 = (2.2.14) . a
¨« ᮯà®â¨¢«¥¨ï, ¤¥©áâ¢ãîé ï áä¥à¨ç¥áªãî ª ¯«î á® áâ®à®ë ¨¤ª®áâ¨: 2µ + 3µ2 F = 2πaUi 1 . (2.2.15) µ1 + µ2 Ǒਠβ = µ2 /µ1 → ∞ ¨§ (2.2.15) ¯®«ã稬 ä®à¬ã«ã â®ªá ¤«ï ⢥म© ç áâ¨æë (2.2.5). §®¢®¬ã ¯ã§ëàî ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¯à¥¤¥«ìë© ¯¥à¥å®¤ ¯à¨ β → 0.
áâ ®¢¨¢è¥¥áï ¤¢¨¥¨¥ áä¥à¨ç¥áª¨å ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¢ ¨¤ª®áâ¨. 娬¨ç¥áª®© â¥å®«®£¨¨ ç áâ® ¢áâà¥ç ¥â-
áï § ¤ ç ®¡ ãáâ ®¢¨¢è¥¬áï ¤¢¨¥¨¨ áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æë, ª ¯«¨ ¨ ¯ã§ëàï ᮠ᪮à®áâìî Ui ¢ ¥¯®¤¢¨®© ¨¤ª®áâ¨. á«¥¤á⢨¥ «¨¥©®á⨠ãà ¢¥¨© ⮪á à¥è¥¨¥ í⮩ § ¤ ç¨ ¬®® ¯®«ãç¨âì ¨§ ä®à¬ã« (2.2.12), (2.2.13), ¯à¨¡ ¢«ïï ª ¨¬ ç«¥ë VR = −Ui os θ, Vθ = Ui sin θ, ®¯¨áë¢ î騥 ®¤®à®¤®¥ â¥ç¥¨¥ ᮠ᪮à®áâìî Ui ¢ ¯à ¢«¥¨¨, ®¡à ⮬ ®¡â¥ª î饬㠯®â®ªã. ®âï ¤¨ ¬¨ç¥áª¨¥ å à ªâ¥à¨á⨪¨ ®¡â¥ª ¨ï ¥ ¨§¬¥ïîâáï, ª à⨠«¨¨© ⮪ ¢ á¨á⥬¥ ®âáç¥â , á¢ï§ ®© á ¥¯®¤¢¨®© ¨¤ª®áâìî, ¡ã¤¥â ¢ë£«ï¤¥âì ¨ ç¥. ç áâ®áâ¨, «¨¨¨ ⮪ ¢ãâਠáä¥àë ¥ ¡ã¤ãâ § ¬ªãâ묨. ®íää¨æ¨¥â ᮯà®â¨¢«¥¨ï ª ¯«¨ ¢ëç¨á«ï¥âáï ¯® ä®à¬ã«¥ 4 2 + 3β F ρ Ua = cf = 1 £¤¥ Re = 1 i . (2.2.16) , 2 πa2 Re 1 + β µ1 ρ U 2 1 i
Ǒà¨à ¢¨¢ ï ᨫã ᮯà®â¨¢«¥¨ï áä¥àë F à §®á⨠£à ¢¨â 樮®© ¨ à娬¥¤®¢®© ᨫ 34 πa3 g ρ, ¬®® ®æ¥¨âì ãáâ ®¢¨¢èãîáï ᪮à®áâì ®â®á¨â¥«ì®£® ¤¢¨¥¨ï ä § (᪮à®áâì ®á ¤¥¨ï ¨«¨ ᪮à®áâì ¢á¯«ëâ¨ï áä¥à¨ç¥áª®© ª ¯«¨) U
=
2 3
ga2 ρ µ1
1+β 2 + 3β
,
(2.2.17)
2.2. ¡â¥ª ¨¥ ç áâ¨æë, ª ¯«¨ ¨ ¯ã§ëàï ¯®áâ㯠⥫ìë¬ ¯®â®ª®¬
49
£¤¥ ρ | à §®áâì ¯«®â®á⥩ ¢¥è¥© ¨ ¢ãâ॥© ¨¤ª®á⥩, g | ã᪮२¥ ᢮¡®¤®£® ¯ ¤¥¨ï. ®®â®è¥¨ï (2.2.16) ¨ (2.2.17) ®å¢ âë¢ îâ ¢¥áì ¤¨ ¯ §® ¨§¬¥¥¨ï ®â®è¥¨ï ¢ï§ª®á⥩ ä § 0 6 β < ∞. ¯à¥¤¥«ìëå á«ãç ïå β = 0 (£ §®¢ë© ¯ã§ëàì ¢ ¢ë᮪®¢ï§ª®© ¨¤ª®áâ¨) ¨ β → ∞ (⢥ठï ç áâ¨æ ¢ ¨¤ª®á⨠¨«¨ £ §¥) í⨠ä®à¬ã«ë ¯à¨¨¬ îâ ¢¨¤ 8 , Re 12 cf = , Re cf
=
U U
1 3 2 = 9 =
ga2 ρ µ1 ga2 ρ µ1
(£ §®¢ë© ¯ã§ëàì),
(2.2.18)
(⢥ठï ç áâ¨æ ).
(2.2.19)
Ǒ®á«¥¤¥¥ ¢ëà ¥¨¥ ¤«ï cf ¨§¢¥áâ® ª ª § ª® â®ªá ¤«ï ª®íää¨æ¨¥â ᮯà®â¨¢«¥¨ï ⢥à¤ëå áä¥à¨ç¥áª¨å ç áâ¨æ. ¯®¤â¢¥à¤¥ íªá¯¥à¨¬¥â «ì® ¤«ï Re < 0,1. ª® ᮯà®â¨¢«¥¨ï ¤«ï áä¥à¨ç¥áª¨å ¯ã§ëà쪮¢ (2.2.18) ¢ë¯®«ï¥âáï «¨èì ¤«ï ®ç¥ì ç¨áâëå ¨¤ª®á⥩ ¡¥§ ª ª¨å-«¨¡® ¯à¨¬¥á¥© ¯®¢¥àå®áâ® ªâ¨¢ëå ¢¥é¥áâ¢. ®£« á® ¤ ë¬ [100℄, ¤ ¥ ®ç¥ì ¬ «ë¥ ª®«¨ç¥á⢠¯®¢¥àå®áâ®- ªâ¨¢ëå ¢¥é¥áâ¢, ¤á®à¡¨àãïáì ¯®¢¥àå®á⨠¯ã§ëàï, ¯à¨¢®¤ïâ ª ¥¥ ý§ ⢥थ¢ ¨îþ, ¯®¤ ¢«ïï ¢ãâà¥îî æ¨àªã«ïæ¨î ¨¤ª®áâ¨, â ª ç⮠ॠ«ì®¥ ¢á¯«ë⨥ ¯ã§ëàìª ¨¤¥â ¯® § ª®ã â®ªá ¤«ï ⢥म© ç áâ¨æë (2.2.19).
¡â¥ª ¨¥ ª ¯¥«ì á ¬¥¬¡à ®© ä §®©. 娬¨ç¥áª®© â¥å®«®-
£¨¨ ¥à¥¤ª¨ á«ãç ¨ ¨á¯®«ì§®¢ ¨ï á®áâ ¢ëå ª ¯¥«ì, ª®£¤ ¤¨á¯¥àá ï á। (ä § 1) ¨ ¨¤ª®áâì, á®áâ ¢«ïîé ï ï¤à® ª ¯«¨ (ä § 3), à §¤¥«¥ë ¨¤ª®© ®¡®«®çª®© ¨§ ¡ãä¥à®© ¨«¨ ¬¥¬¡à ®© ä §ë (ä § 2). â 樮- ¨á. 2.3. ¡â¥ª ¨¥ ª ¯«¨ á ¬¥¬ ஥ â¥ç¥¨¥ ¢ ¥á¬¥è¨¢ îé¨åáï ¡à ®© ä §®© ä § å 2 ¨ 3 ¤®«® ¯à®¨á室¨âì ¯® § ¬ªãâë¬ «¨¨ï¬ ⮪ (à¨á. 2.3).
᫨ á«®© ¬¥¬¡à ®© ä §ë â®®ª, â¥ç¥¨¥ ¢ ¥¬ ¡ã¤¥â ¢¥áì¬ áâ¥á¥ë¬, ¡«¨§ª¨¬ ª § â®à¬®¥®¬ã. Ǒãáâì a | ¢¥è¨© à ¤¨ãá á®áâ ¢®© ª ¯«¨, aε | à ¤¨ãá ¥¥ ï¤à (0 6 ε 6 1). ®ç®¥ à¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ ®¡ ®¡â¥ª ¨¨ á®áâ ¢®© ª ¯«¨ ¯®áâ㯠⥫ìë¬ áâ®ªá®¢ë¬ ¯®â®ª®¬ ᮠ᪮à®áâìî Ui ¤ ® ¢ [293℄, £¤¥
50
¢¨¥¨¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¢ ¨¤ª®áâ¨
¯à¨¢¥¤¥ë äãªæ¨¨ ⮪ â¥ç¥¨ï ¢ ä § å ¨ ¢ëç¨á«¥ ᨫ ᮯà®â¨¢«¥¨ï F
= 6πµaUiλ,
λ=
2 3
β3 + 6β22 F (ε) + β2 (2 + 3β3 )G(ε) , β3 + 4β22 F (ε) + 2β2 (1 + β3 )G(ε)
(2.2.20)
£¤¥ β2 = µ2 /µ1 ¨ β3 = µ3 /µ1 | ®â®è¥¨ï ¢ï§ª®á⥩ ä §, F (ε) =
1 − ε5 , 3 (1 − ε) (4ε2 + 7ε + 4)
G(ε) =
(1 + ε)(2ε2 + ε + 2) . (1 − ε)(4ε2 + 7ε + 4)
⬥⨬ âਠ¢ ëå ¯à¥¤¥«ìëå á«ãç ï ä®à¬ã«ë (2.2.20). 1. «ï ¬ «®£® ï¤à ª ¯«¨ ¯®«ã稬 λ→
2 + 3β 2 3(1 + β2 )
¯à¨
ε → 0,
(2.2.21)
¨ ä®à¬ã« (2.2.20) ¯¥à¥å®¤¨â ¢ ä®à¬ã«ã (2.2.15), á®â¢¥âáâ¢ãîéãî à¥è¥¨î ¤ ¬ à | ë¡ç¨áª®£®, £¤¥ β = β2 . 2. Ǒਠ㬥ì襨¨ ⮫é¨ë ¬¥¬¡à ®£® á«®ï ¨¬¥¥¬ λ→1
¯à¨
ε → 1.
(2.2.22)
â® ®§ ç ¥â, çâ® ¤¢¨¥¨¥ ¢ ⮪®¬ ¬¥¬¡à ®¬ á«®¥ á¨«ì® § â®à¬®¥® ¨ ª ¯«ï ®¡â¥ª ¥âáï, ª ª ⢥ठï ç áâ¨æ . Ǒ®«ãç¥ë© १ã«ìâ â ¬®® âà ªâ®¢ âì, ª ª ç¨áâ® £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áªãî «ìâ¥à ⨢㠤 ¢ ¥¬®£® ¢ [100℄ ®¡êïᥨï íä䥪⠮à (ý§ ⢥थ¢ ¨¥þ ¯®¢¥àå®á⨠¯ã§ëàìª , ¢á¯«ë¢ î饣® ¢ ¨¤ª®á⨠ᮠ᫥¤ ¬¨ ¯®¢¥àå®áâ®- ªâ¨¢®£® ¢¥é¥á⢠). 3. ¢¥«¨ç¨¢ ï ¢ï§ª®áâì ï¤à ¯à¨å®¤¨¬ ª ᨫ¥ ᮯà®â¨¢«¥¨ï ⢥म© áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æë à ¤¨ãá aε, ¯®ªàë⮩ ¨¤ª®© ¯«¥ª®© ⮫騮© a(1 − ε): F
= 6πµaUi λ,
λ=
2 1 + 3β2 G(ε) . 3 1 + 2β2 G(ε)
(2.2.23)
â ä®à¬ã« ¯à¨ 㬥ì襨¨ à ¤¨ãá ç áâ¨æë ε → 0 ¯¥à¥å®¤¨â ¢ ä®à¬ã«ã ¤ ¬ à | ë¡ç¨áª®£® ¤«ï ª ¯«¨ (2.2.15), ¯à¨ 㬥ì襨¨ ⮫é¨ë ¯«¥ª¨ ε → 1 | ¢ ä®à¬ã«ã â®ªá ¤«ï ⢥म© áä¥àë (2.2.5). ¡â¥ª ¨¥ ¯®à¨á⮩ áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æë. áᬮâਬ § ¤ çã ®¡ ®¡â¥ª ¨¨ áä¥à¨ç¥áª®© ¯®à¨á⮩ ç áâ¨æë à ¤¨ãá a ¯®áâ㯠⥫ìë¬ ¯®â®ª®¬ ¨¤ª®á⨠ᮠ᪮à®áâìî Ui . ç¨â ¥¬, çâ® â¥ç¥¨¥ ¢¥ ç áâ¨æë ®¯¨áë¢ ¥âáï ãà ¢¥¨ï¬¨ ⮪á (2.1.1) ¢ï§ª®áâìî µ.
2.2. ¡â¥ª ¨¥ ç áâ¨æë, ª ¯«¨ ¨ ¯ã§ëàï ¯®áâ㯠⥫ìë¬ ¯®â®ª®¬
51
Ǒ।¯®« £ ¥âáï â ª¥, çâ® ¤«ï 䨫ìâà 樮®£® â¥ç¥¨ï ¥á¨¬ ¥¬®© ¨¤ª®á⨠¢ãâਠç áâ¨æë á¯à ¢¥¤«¨¢ § ª® àᨠ[88, 132℄: ~ (2) V
=−
K ∇P (2) , µ
∇ · V~ (2)
= 0,
(2.2.24)
£¤¥ K | ª®íää¨æ¨¥â ¯à®¨æ ¥¬®áâ¨. «ï § ¢¥à襨ï ä®à¬ã«¨à®¢ª¨ § ¤ ç¨ ¯®¬¨¬® ãá«®¢¨ï ®¤®à®¤®á⨠¯®â®ª ¡¥áª®¥ç®á⨠(2.2.2) ¨ ®£à ¨ç¥®á⨠à¥è¥¨ï (2.2.10) á«¥¤ã¥â ¤®¡ ¢¨âì £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï ¯®¢¥àå®á⨠ç áâ¨æë. ¤® ¨§ ãá«®¢¨© ¯®«ãç ¥âáï ¯®¤áâ ®¢ª®© § 票© µ2 = 0 ¨ σ = 0 ¢ (2.2.8) ¨ ®§ ç ¥â à ¢¥á⢮ ®à¬ «ì®£® ¯àï¥¨ï ¢ãâ॥¬ã ¤ ¢«¥¨î. ஬¥ ⮣®, ¤®«ë ¢ë¯®«ïâìáï ãá«®¢¨¥ ¥¯à¥à뢮á⨠®à¬ «ì®© á®áâ ¢«ïî饩 ᪮à®á⨠(1) VR
= VR(2) ¯à¨ R = a (2.2.25) ¨ ãá«®¢¨¥ ¯à®¯®à樮 «ì®áâ¨ áª çª â £¥æ¨ «ì®© á®áâ ¢«ïî饩 ᪮à®á⨠£à ¨æ¥ ¨¤ª®áâì{¯®à¨áâ ï á। ¥¥ ®à¬ «ì®© ¯à®¨§¢®¤®© √ ∂Vθ(1) λ K ∂R
=
(1) (2) Vθ − Vθ
¯à¨
R = a.
(2.2.26)
Ǒ®á«¥¤¥¥ ãá«®¢¨¥ ¡ë«® ¯®«ã祮 íªá¯¥à¨¬¥â «ì® ¨ ⥮à¥â¨ç¥áª¨ ®¡®á®¢ ® ¢ à ¡®â å [198, 199, 295℄, λ | ¡¥§à §¬¥à ï í¬¯¨à¨ç¥áª ï ¯®áâ®ï ï, § 票¥ ª®â®à®© «¥¨â ¢ ¤¨ ¯ §®¥ 0,25 6 λ 6 10, § ¢¨áïé ï ®â ¬ â¥à¨ « ¨ ¢ãâ॥© £¥®¬¥âਨ ¯®à¨á⮩ á।ë. ¯à¨¬¥à, ¤«ï «®ªá¨â λ = 10, K = 1,6 · 10−9 ¬2 ; ¤«ï ¥ª®â®àëå ¯¥®¬¥â ««®¢ λ = 0,25, K = 10−8 ÷ 10−7 ¬2 . ¥è¥¨¥ áä®à¬ã«¨à®¢ ®© £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®© § ¤ ç¨ ¯à¨¢®¤¨â ª á«¥¤ãî騬 ¢ëà ¥¨ï¬ ¤«ï ª®¬¯®¥â ᪮à®á⨠¢¥ ¨ ¢ãâਠ¯®à¨á⮩ ç áâ¨æë [151℄: 3 a a3 1 (1) VR = Ui 1 − B1 + B
os θ, 2 R 2 2 R3 3 a 1 a3 (1) (2.2.27) − B2 3 sin θ; Vθ = −Ui 1 − B1 4 R 4 R 3 K 3 K (2) (2) VR = Ui 2 B3 os θ, Vθ = − Ui 2 B3 sin θ, 2 a 2 a £¤¥ ¡¥§à §¬¥àë¥ ¯®áâ®ïë¥ B1 , B2 , B3 ®¯à¥¤¥«ïîâáï á ¯®¬®éìî á®®â®è¥¨© 1 + λk1/2 1 − λk1/2 1 + 5λk1/2 B1 = , B2 = , B3 = , (2.2.28) 15 3/2 3 K 1 /2 + k + λk . k = 2 , = 1 + 2λk a 2 2
52
¢¨¥¨¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¢ ¨¤ª®áâ¨
«ï ᨫ ᮯà®â¨¢«¥¨ï ¯®à¨á⮩ ç áâ¨æë ¨¬¥¥¬ F
= 6πµaUi B1 ,
(2.2.29)
£¤¥ ¢ëà ¥¨¥ ¤«ï ¯ à ¬¥âà B1 ¤ ® ¢ (2.2.28). ¯à¥¤¥«ìëå á«ãç ïå K → 0 ¨ λ → 0 ä®à¬ã« (2.2.29) ¯¥à¥å®¤¨â ¢ (2.2.5) ¨ ᮮ⢥âáâ¢ãîâ á⮪ᮢ㠮¡â¥ª ¨î ⢥म© áä¥àë. 2.3. ä¥à¨ç¥áª¨¥ ç áâ¨æë ¢ ¯®áâ㯠⥫쮬 ¯®â®ª¥ ¯à¨ 㬥à¥ëå ¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å ¥©®«ì¤á
Ǒਡ«¨¥¨¥ §¥¥ ¨ ¢ëá訥 ¯à¨¡«¨¥¨ï. Ǒ®«®áâìî ¡¥§ë¥à樮®¥ ®¡â¥ª ¨¥ áä¥àë ï¥âáï ¤¥ª¢ âë¬ íªá¯¥à¨¬¥âã «¨èì ¢ ¯à¥¤¥«ì®¬ á«ãç ¥ Re → 0. ¥ ¯à¨ Re = 0,05 ¯® ¤ ë¬ [219℄ ¯®£à¥è®áâì ®æ¥ª¨ ᮯà®â¨¢«¥¨ï ¯® ä®à¬ã«¥ (2.2.19) á®áâ ¢«ï¥â 1,5 ÷ 2%, ¯à¨ Re = 0,5 室¨âáï ¢ ¯à¥¤¥« å 10,5 ÷ 11%. Ǒ® í⮩ ¯à¨ç¨¥ ®æ¥ª®© ¤«ï ª®íää¨æ¨¥â ᮯà®â¨¢«¥¨ï cf = 12/Re ¬®® ¯®«ì§®¢ âìáï ⮫쪮 ¯à¨ Re < 0,2 (¬ ªá¨¬ «ì ï ¯®£à¥è®áâì ¢ í⮬ á«ãç ¥ ¥ ¯à¥¢ëè ¥â 5%). Ǒ®¯ë⪠ã«ãçè¨âì ¯à¨¡«¨¥¨¥ â®ªá ¯à®áâë¬ ¨â¥à æ¨®ë¬ ãç¥â®¬ ª®¢¥ªâ¨¢ëå ç«¥®¢ ¯à¨¢®¤¨â ª ãà ¢¥¨î, ¤«ï ª®â®à®£® ¥«ì§ï ¯®áâநâì à¥è¥¨¥, 㤮¢«¥â¢®àïî饥 ãá«®¢¨î ¡¥áª®¥ç®áâ¨. â®â ä ªâ ¨§¢¥á⥠ª ª ¯ à ¤®ªá ©â奤 , ¯à®¨á室¥¨¥ ª®â®à®£® á¢ï§ ® á ᨣã«ïà®áâìî à¥è¥¨ï ¡¥áª®¥ç®áâ¨. ¯®á®¡ ¯à¥®¤®«¥¨ï í⮣® ¯ à ¤®ªá ¯à¥¤«®¨« §¥¥ [38℄, ¯®ª § ¢è¨©, çâ® ¯®áª®«ìªã ¡®«ìè¨å à ááâ®ï¨ïå ®â áä¥àë ᪮à®áâì V~ ¬ «® ®â«¨ç ¥âáï ®â ᪮à®á⨠¡¥£ î饣® ¯®â®ª U~ i, ¨¥àæ¨®ë© ç«¥ á«¥¤ã¥â ¯à¨¡«¨¥® ¯à¥¤áâ ¢«ïâì ª ª (U~ i · ∇)V~ . ¨á⥬ ãà ¢¥¨© §¥¥ ¨¬¥¥â ¢¨¤ 1 (U~ i · ∇)V~ = − ∇P + ν V~ , ρ (2.3.1) ~ ∇ · V = 0.
â á¨á⥬ ãà ¢¥¨© ¡®«¥¥ â®ç (¢¤ «¨ ®â ç áâ¨æë), 祬 á¨á⥬ ãà ¢¥¨© ⮪á , ¨ ⮥ «¨¥© . ¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨© (2.3.1) £à ¨ç묨 ãá«®¢¨ï¬¨ ¯à¨«¨¯ ¨ï ¯®¢¥àå®á⨠⢥म© áä¥àë (2.2.1) ¨ £à ¨ç묨 ãá«®¢¨ï¬¨ ¢¤ «¨ ®â ¥¥ (2.2.2) ¬®® ¢ëà §¨âì ç¥à¥§ äãªæ¨î ⮪ (2.1.3) á ¯®¬®éìî ä®à¬ã« [219℄ =
Ui2 R2 sin2 θ
2
1+
a3 2R 3
−
53
2.3. áâ¨æë ¢ ¯®áâ㯠⥫쮬 ¯®â®ª¥ ¯à¨ Re > 1 −
¨¥
− Re
3 2 2 U a (1 + os θ) 1 − exp 2 Re i
1 − os θ 2
R a
.
(2.3.2)
१ã«ìâ ⥠¤«ï ª®íää¨æ¨¥â ᮯà®â¨¢«¥¨ï ¯®«ã稬 ¢ëà ¥
12 3 cf = 1 + Re Re 8
(2.3.3)
,
ª®â®à®¥ ãâ®çï¥â § ª® ⮪á (2.2.19). Ǒਡ«¨¥¨¥ §¥¥ ¤ ¥â ®âª«®¥¨¥ ®â íªá¯¥à¨¬¥â «ìëå ¤ ëå ¯à¨ Re 6 0,05 ¢ ¯à¥¤¥« å 0 ÷ 1,0%, ¯à¨ Re = 0,5 íâ® ®âª«®¥¨¥ á®áâ ¢«ï¥â 4 ÷ 6%. Ǒ®¯ëâªã à áè¨à¨âì ¤¨ ¯ §® ¯à¨¬¥¨¬®á⨠«¨â¨ç¥áª¨å à¥è¥¨© ¯® ç¨á«ã ¥©®«ì¤á ¯à¥¤¯à¨ï«¨ Ǒà 㤬¥ ¨ Ǒ¨àá® [282℄. ¨ à¥è «¨ á¨á⥬ã ãà ¢¥¨© ¢ì¥ | â®ªá ¬¥â®¤®¬ áà 騢 ¥¬ëå ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨å à §«®¥¨© [38℄ ¢ ®¡« áâïå ¢¡«¨§¨ áä¥àë ¨ 㤠«¥¨¨ ®â ¥¥. ¨â®£¥ ¤«ï ª®íää¨æ¨¥â ᮯà®â¨¢«¥¨ï ¡ë«® ©¤¥® âਠ£« ¢ëå ç«¥ ᨬ¯â®â¨ç¥áª®£® à §«®¥¨ï ¯à¨ Re → 0: cf
=
3 9 12 1 + Re + Re2 ln Re +O(Re2 ) Re 8 40
(2.3.4)
.
ǑਠRe < 0,5 ®âª«®¥¨¥ १ã«ìâ ⮢ à áç¥â®¢ ¯® ä®à¬ã«¥ (2.3.4) ®â íªá¯¥à¨¬¥â «ìëå ¤ ëå ¥ ¯à¥¢ëè ¥â 0,5%. ¥áâ¥à ¨ à¨ç [219℄ 諨 ¤¢ ¯®á«¥¤ãîé¨å ç«¥ à §«®¥¨ï ª®íää¨æ¨¥â ᮯà®â¨¢«¥¨ï ¯® ç¨á«ã ¥©®«ì¤á cf
323 3 5 12 9 1 + Re + Re2 ln Re +γ + ln 2 − + = Re 8 40 3 360 27 3 Re ln Re +O(Re3 ) , + (2.3.5) 80
£¤¥ γ ≈ 0,5772 | ¯®áâ®ï ï ©«¥à .
¡â¥ª ¨¥ ⢥म© áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æë ¯à¨ Re > 0,5.
ǑਠRe > 0,5 ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨¥ à¥è¥¨ï ¯¥à¥áâ îâ ¤¥ª¢ â® ®¯¨áë¢ âì ®¡â¥ª ¨¥ áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æë ¯®áâ㯠⥫ìë¬ ¯®â®ª®¬ ¢ï§ª®© ¨¤ª®áâ¨. ®£®ç¨á«¥ë¥ १ã«ìâ âë ç¨á«¥ëå à¥è¥¨© á¨á⥬ë ãà ¢¥¨© ¢ì¥ | â®ªá ¨ íªá¯¥à¨¬¥â «ìë¥ ¤ ë¥ (®¡§®à ª®â®àëå ¯à¨¢¥¤¥ ¢ [219℄) ¯®§¢®«ïîâ ¤¥â «ì® ¯à® «¨§¨à®¢ âì à §¢¨â¨¥ ª àâ¨ë â¥ç¥¨ï ¯à¨ 㢥«¨ç¥¨¨ ç¨á« ¥©®«ì¤á . ¤¨ ¯ §®¥ 0,5 < Re < 10 ®¡â¥ª ¨¥ áä¥àë ï¥âáï ¡¥§®âàë¢ë¬, å®âï ᨬ¬¥âà¨ï ®¡â¥ª ¨ï «®¡®¢®© ¨ âë«ì®© ç á⥩ áä¥àë, å à ªâ¥à ï ¤«ï
54
¢¨¥¨¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¢ ¨¤ª®áâ¨
ç¥á⢥ ï ª à⨠®¡â¥ª ¨ï áä¥àë á ãá⮩稢®© §®®© ®âàë¢ (10 < Re < 65)
¨á. 2.4.
¡¥§ë¥à樮®£® á⮪ᮢ ®¡â¥ª ¨ï, ¢á¥ ¡®«¥¥ ¨ ¡®«¥¥ àãè ¥âáï. ª®¥æ, ¯à¨ Re ≈ 10 ¢ ª®à¬®¢®© ç á⨠¯à®¨á室¨â ®âàë¢ ¯®â®ª . ¨ ¯ §® ç¨á¥« ¥©®«ì¤á 10 < Re < 65 å à ªâ¥à¨§ã¥âáï «¨ç¨¥¬ § ¬ªã⮩ ãá⮩稢®© ª®à¬®¢®© ®¡« áâ¨ á ¯ ன ᨬ¬¥âà¨çëå áâ 樮 àëå ¢¨å३ (à¨á. 2.4). Ǒ® ¬¥à¥ à®áâ Re ¢¨åਠ㤫¨ïîâáï, â®çª ®âàë¢ (§ 票¥ θs ) á¬¥é ¥âáï ®â ª®à¬®¢®© â®çª¨ (θs = 0◦ ¯à¨ Re = 10) ¤® â®çª¨ θs = 72◦ ¯à¨ Re = 200 ¯® § ª®ã [219℄
Re θs = 42,5 ln 10
0,483
¯à¨ 10 < Re < 200.
(2.3.6)
í⮩ ¨ á«¥¤ãî饩 ä®à¬ã«¥ § 票ï θs ¢ëà îâáï ¢ £à ¤ãá å. ǑਠRe > 65 á¯ã⮥ ¢¨åॢ®¥ â¥ç¥¨¥ ¢ ª®à¬®¢®© ®¡« á⨠â¥àï¥â ãá⮩稢®áâì ¨ áâ ®¢¨âáï ¥áâ 樮 àë¬. ¤¨ ¯ §®¥ 65 < Re < 200 § ç áâ¨æ¥© ®¡à §ã¥âáï ¯à®âï¥ë© ¯ã«ìá¨àãî騩 á«¥¤, ª®â®àë© ¯®á⥯¥® âãà¡ã«¨§ã¥âáï ¯à¨ 200 < Re < 1,5 · 105. ¤®¢à¥¬¥® â®çª ®âàë¢ ¯à®¤®« ¥â ᬥé âìáï ¢¢¥àå ¯® ¯®â®ªã ¯® § ª®ã [219℄ θs
= 102 − 213 (Re)−0,37
¯à¨ 200 < Re < 1,5 · 105 .
(2.3.7)
ǑਠRe > 1500 ¤«ï à¥è¥¨ï ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª¨å § ¤ ç ¯à¨¬¥ïîâáï ¬¥â®¤ë ⥮ਨ ¯®£à ¨ç®£® á«®ï [184℄. ¤ ª®
55
2.4. ¯«¨ ¨ ¯ã§ëਠ¢ ¯®áâ㯠⥫쮬 ¯®â®ª¥ ¯à¨ Re > 1
¢ १ã«ìâ ⥠¢«¨ï¨ï ®âà뢮£® â¥ç¥¨ï ¢ ª®à¬®¢®© ®¡« á⨠¯®â¥æ¨ «ì®¥ ¤¢¨¥¨¥ ¨¤ª®á⨠¨¬¥¥â ¬¥áâ® «¨èì ç á⨠«®¡®¢®© ¯®¢¥àå®á⨠áä¥àë (¤«ï θ > 150◦) [219℄. â® ¥ ¯®§¢®«ï¥â ¯à ¢¨«ì® ®æ¥¨âì ¯à®¤®«ìë© £à ¤¨¥â ¤ ¢«¥¨ï § ç¨â¥«ì®© ç á⨠¯®£à ¨ç®£® á«®ï. Ǒਢ¥¤¥¬ ¤¢¥ ¯à®áâë¥ ¯à¨¡«¨¥ë¥ ä®à¬ã«ë ¤«ï ª®íää¨æ¨¥â ᮯà®â¨¢«¥¨ï áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æë [17, 219℄ 12 1 + 0,241 Re0,687 , Re 12 cf = 1 + 0,0811 Re0,879 , Re
cf
=
0 6 Re 6 400, 200 6 Re 6 2500,
(2.3.8)
£¤¥ ç¨á«® ¥©®«ì¤á ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯® à ¤¨ãáã. ªá¨¬ «ì ï ¯®£à¥è®áâì ä®à¬ã« (2.3.8) ¢ 㪠§ ëå ¤¨ ¯ §® å ¥ ¯à¥¢®á室¨â 5%. è¨à®ª®¬ ¤¨ ¯ §®¥ ç¨á¥« ¥©®«ì¤á ¬®® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¡®«¥¥ á«®ãî ¯¯à®ªá¨¬ æ¨î ¤«ï ª®íää¨æ¨¥â ᮯà®â¨¢«¥¨ï [219℄ cf
=
12 1 + 0,241 Re0,687 + 0,42 1 + 1,902 · 104 Re−1,16 −1 , Re
¬ ªá¨¬ «ì ï ¯®£à¥è®áâì ª®â®à®© ¯à¨ Re < 1,5 · 105 ¥ ¯à¥¢ëè ¥â 6%. ǑਠRe ≈ 1,5 · 105 ¡«î¤ ¥âáï ýªà¨§¨á ᮯà®â¨¢«¥¨ïþ, ª®â®àë© å à ªâ¥à¨§ã¥âáï १ª¨¬ 㬥ì襨¥¬ ª®íää¨æ¨¥â ᮯà®â¨¢«¥¨ï ¨ á¢ï§ á âãà¡ã«¨§ 樥© ¯®£à ¨ç®£® á«®ï ¨ ᪠窮®¡à §ë¬ ᬥ饨¥¬ â®çª¨ ®âàë¢ ¢ ª®à¬®¢ãî ®¡« áâì. ǑਠRe > 1,7 · 105 ¤«ï ¢ëç¨á«¥¨ï ª®íää¨æ¨¥â ᮯà®â¨¢«¥¨ï ¬®® ¨á¯®«ì§®¢ âì ä®à¬ã«ë 28,18 − 5,3 lg Re cf = 0,1 lg Re −0,46 0,19 − 4 · 104 Re−1
¯à¨ 1,7 · 105 6 Re 6 2 · 105 , ¯à¨ 2 · 105 < Re 6 5 · 105, ¯à¨ 5 · 105 < Re,
¯à¨¢¥¤¥ë¥ ¢ [219℄.
2.4. ä¥à¨ç¥áª¨¥ ª ¯«¨ ¨ ¯ã§ëਠ¢ ¯®áâ㯠⥫쮬 ¯®â®ª¥ ¯à¨ 㬥à¥ëå ¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å ¥©®«ì¤á
Ǒã§ëàì ¢ ¯®áâ㯠⥫쮬 ¯®â®ª¥. á«ãç ¥ áä¥à¨ç¥áª®£® ¯ã§ëàï, ®¡â¥ª ¥¬®£® ¯®áâ㯠⥫ìë¬ ¯®â®ª®¬ ¯à¨ ¬ «ëå ç¨á« å ¥©®«ì¤á , १ã«ìâ âë à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨© §¥¥ (2.3.1) ¯à¨¢®¤ïâ
56
¢¨¥¨¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¢ ¨¤ª®áâ¨
ª ¤¢ãç«¥®¬ã ᨬ¯â®â¨ç¥áª®¬ã à §«®¥¨î ¤«ï ª®íää¨æ¨¥â ᮯà®â¨¢«¥¨ï [310℄: 8 (2.4.1) +1 (¯à¨ Re → 0), Re ª®â®à®¥ ãâ®çï¥â ä®à¬ã«ã (2.2.18). ®íää¨æ¨¥â ᮯà®â¨¢«¥¨ï ¬®®â®® 㬥ìè ¥âáï ¯à¨ ã¢¥«¨ç¥¨¨ ç¨á« ¥©®«ì¤á . Ǒਠ¡®«ìè¨å ç¨á« å ¥©®«ì¤á ¤«ï à¥è¥¨ï § ¤ ç¨ ®¡ ®¡â¥ª ¨¨ ¯ã§ëàï ¬®¥â ¡ëâì ¨á¯®«ì§®¢ ® ¯à¨¡«¨¥¨¥ ¨¤¥ «ì®© ¨¤ª®áâ¨. Ǒਠí⮬ £« ¢ë© ç«¥ ᨬ¯â®â¨ç¥áª®£® à §«®¥¨ï ª®íää¨æ¨¥â ᮯà®â¨¢«¥¨ï ¨¬¥¥â ¢¨¤ [261℄: cf
=
24 (¯à¨ Re → ∞). Re [72℄ ¡ë« ¯à¥¤«®¥ ¨â¥à¯®«ï樮 ï ä®à¬ã« cf
=
(2.4.2)
8 16 , (2.4.3) + Re Re +16 ¯®§¢®«ïîé ï ¢ëç¨á«ïâì ª®íää¨æ¨¥â ᮯà®â¨¢«¥¨ï áä¥à¨ç¥áª®£® ¯ã§ëàï ¢® ¢á¥¬ ¤¨ ¯ §®¥ ¨§¬¥¥¨ï ç¨á¥« ¥©®«ì¤á . ¯à¥¤¥«ìëå á«ãç ïå Re → 0 ¨ Re → ∞ íâ ä®à¬ã« ¤ ¥â ¯à ¢¨«ìë¥ á¨¬¯â®â¨ç¥áª¨¥ १ã«ìâ âë (2.4.1) ¨ (2.4.2); ¥¥ ¬ ªá¨¬ «ì ï ¯®£à¥è®áâì ¯à¨ ¯à®¬¥ãâ®çëå ç¨á« å ¥©®«ì¤á á®áâ ¢«ï¥â ¬¥¥¥ 4,5%. ¯«ï ¢ ¯®áâ㯠⥫쮬 ¯®â®ª¥ ¨¤ª®áâ¨. à ¡®â¥ [310℄ ¤«ï ª®íää¨æ¨¥â ᮯà®â¨¢«¥¨ï áä¥à¨ç¥áª®© ª ¯«¨, ®¡â¥ª ¥¬®© ¯®áâ㯠⥫ìë¬ ¯®â®ª®¬ ¯à¨ ¬ « å ç¨á« å ¥©®«ì¤á , ¡ë«® ¯®«ã祮 á«¥¤ãî饥 ᨬ¯â®â¨ç¥áª®¥ à §«®¥¨¥: cf
cf
=
3β + 2 β+1
=
Re 1 4 + + Re2 ln Re Re 2 40
,
Re =
aUi , ν
(2.4.4)
ª®â®à®¥ ãâ®çï¥â ä®à¬ã«ã (2.2.16). ä¥à¨ç®áâì ä®à¬ë ª ¯«¨ ¨«¨ ¯ã§ëàï, ®¡â¥ª ¥¬ëå áâ®ªá®¢ë¬ ¯®â®ª®¬, ï¥âáï á«¥¤á⢨¥¬ ¡¥§ë¥à樮®á⨠â¥ç¥¨ï. ¤ ª® ¤ ¥ ¢ á«ãç ¥ ¯à¥®¡« ¤ ¨ï ¨¥à樮ëå ᨫ ¤ ¢ï§ª¨¬¨, ª®£¤ ç¨á«® ¥©®«ì¤á ¥«ì§ï áç¨â âì ¬ «ë¬, ¤¥ä®à¬ 樨 ª ¯«¨ ¥ ¯à®¨á室¨â, ¥á«¨ ¨¥àæ¨®ë¥ á¨«ë ¬ «ë ¯® áà ¢¥¨î á ª ¯¨««ïà묨. ¥à®© ®â®è¥¨ï ¨¥à樮ëå ¨ ª ¯¨««ïàëå ᨫ á«ã¨â ç¨á«® ¥¡¥à We = ρ1 Ui2 a/σ, £¤¥ σ | ¯®¢¥àå®á⮥ â泌¥ £à ¨æ¥ ª ¯«¨. Ǒਠ¬ «ëå § 票ïå We ᯮᮡ ï ª ¤¥ä®à¬ 樨 ª ¯«ï (¯ã§ëàì) ¡ã¤¥â á®åà ïâì áä¥à¨ç¥áªãî ä®à¬ã. à §¤. 2.2 㥠®â¬¥ç «®áì, çâ® ¯à¨áãâá⢨¥ ¤ ¥ ¥¡®«ì讣® ª®«¨ç¥á⢠¯®¢¥àå®áâ®- ªâ¨¢ëå ¢¥é¥á⢠¢ ª ª®©-«¨¡® ¨§ ª®â ªâ¨àãîé¨å ä § ¬®¥â ¯à¨¢®¤¨âì ª ý§ ⢥थ¢ ¨îþ £à ¨æë à §¤¥« ,
2.4. ¯«¨ ¨ ¯ã§ëਠ¢ ¯®áâ㯠⥫쮬 ¯®â®ª¥ ¯à¨ Re > 1
57
¯à¨¡«¨ ï § ª®®¬¥à®á⨠®¡â¥ª ¨ï ª ¯«¨ ª § ª®®¬¥à®áâï¬ ®¡â¥ª ¨ï ⢥म© ç áâ¨æë. Ǒà ªâ¨ç¥áª¨ â ª ç áâ® ¨ ¯à®¨á室¨â. ¤ ª®, ¥á«¨ ®¡¥ ª®â ªâ¨àãî騥 ä §ë âé â¥«ì® ®ç¨é¥ë (¥ ᮤ¥à ⠯ਬ¥á¥©), â® ®¡â¥ª ¨¥ ª ¯«¨ ¨¬¥¥â ᢮î ᯥæ¨ä¨ªã. âàë¢ ¯®â®ª ¢ á«ãç ¥ ®¡â¥ª ¨ï ª ¯«¨ ¢ ®â«¨ç¨¥ ®â ®¡â¥ª ¨ï ⢥म© ç áâ¨æë ¢¥áì¬ § âïãâ, ¢¨åॢ ï §® ®ª §ë¢ ¥âáï § ç¨â¥«ì® ¡®«¥¥ 㧪®©.
᫨ ¢ á«ãç ¥ ⢥म© áä¥àë ®âàë¢ ¯®â®ª ¨ ®¡à §®¢ ¨¥ ª®à¬®¢®© ¢¨åॢ®© §®ë ç¨ ¥âáï á Re ≈ 10 (ç¨á«® Re ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯® à ¤¨ãáã áä¥àë), â® ¢ á«ãç ¥ ª ¯«¨ ¡¥§®âà뢮¥ ®¡â¥ª ¨¥ ¬®¥â ¨¬¥âì ¬¥áâ® ¢¯«®âì ¤® § 票© Re ≈ 50. ¤¨ ¯ §®¥ ç¨á¥« ¥©®«ì¤á 1 6 Re 6 50 è¨à®ª® ¯à¨¬¥ïîâáï ç¨á«¥ë¥ ¬¥â®¤ë. ¥§ã«ìâ âë, ¯®«ãç¥ë¥ á ¨å ¯®¬®éìî, ®¡á㤠îâáï ¢ [219℄. ãâà¥ïï æ¨àªã«ïæ¨ï ¨¤ª®á⨠¯à¨ â ª¨å ç¨á« å ¥©®«ì¤á § ç¨â¥«ì® ¨â¥á¨¢¥¥, 祬 ®¯¨áë¢ ¥¬ ï à¥è¥¨¥¬ ¤ ¬ à | ë¡ç¨áª®£®. ª®à®áâì £à ¨æ¥ ª ¯«¨ ¡ëáâ஠㢥«¨ç¨¢ ¥âáï á à®á⮬ ç¨á« ¥©®«ì¤á ¤ ¥ ¤«ï ¤®áâ â®ç® ¢ï§ª¨å ª ¯¥«ì. ¯à¥¤¥«ì®¬ á«ãç ¥ ¬ «®© ¢ï§ª®á⨠¤¨á¯¥àᮩ ä §ë β → 0 (ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â á«ãç î £ §®¢®£® ¯ã§ëàï) ¤«ï ¢¥è¥£® â¥ç¥¨ï ¯à¨ Re ≫ 1 ¬®¥â ¡ëâì ¨á¯®«ì§®¢ ® ¯à¨¡«¨¥¨¥ ¨¤¥ «ì®© ¨¤ª®áâ¨. ®£« á® ¤ ë¬ [219℄ ¤«ï ®æ¥ª¨ ᮯà®â¨¢«¥¨ï áä¥à¨ç¥áª®© ª ¯«¨ á å®à®è¥© â®ç®áâìî ¯à¨¬¥¨¬ á«¥¤ãîé ï ä®à¬ã« , ¯¯à®ªá¨¬¨àãîé ï १ã«ìâ âë ç¨á«¥ëå à áç¥â®¢ á ¨á¯®«ì§®¢ ¨¥¬ ¬¥â®¤ «¥àª¨ : cf
=
1,83 (783 β 2 + 2142 β + 1080) −0,74 Re ¯à¨ 2 < Re < 50. (2.4.5) (60 + 29 β )(4 + 3 β )
£¤¥ β | ®â®è¥¨¥ ¤¨ ¬¨ç¥áª¨å ¢ï§ª®á⥩ ª ¯«¨ ¨ ®ªàã î饩 ¨¤ª®áâ¨. ®íää¨æ¨¥â ᮯà®â¨¢«¥¨ï áä¥à¨ç¥áª®© ª ¯«¨ ¬®® ®¯à¥¤¥«ïâì â ª¥ á ¯®¬®éìî ¢ëà ¥¨ï [72℄: cf (β, Re) =
β 1 c (0, Re) + c (∞, Re). β+1 f β+1 f
(2.4.6)
¤¥áì cf (0, Re) | ª®íää¨æ¨¥â ᮯà®â¨¢«¥¨ï áä¥à¨ç¥áª®£® ¯ã§ëàï, ª®â®àë© ¬®® ¢ëç¨á«ïâì ¯® ä®à¬ã«¥ (2.4.3); cf (∞, Re) | ª®íää¨æ¨¥â ᮯà®â¨¢«¥¨ï ⢥म© áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æë, ª®â®àë© ¬®® ¢ëç¨á«ïâì ¯® ä®à¬ã«¥ (2.3.8). Ǒਡ«¨¥®¥ ¢ëà ¥¨¥ (2.4.6) ¤ ¥â âਠ¯à ¢¨«ìëå ç«¥ à §«®¥¨ï ¯à¨ ¬ «ëå ç¨á« å ¥©®«ì¤á ; ¥£® ¬ ªá¨¬ «ì ï ¯®£à¥è®áâì ¯à¨ 0 6 Re 6 50 á®áâ ¢«ï¥â ¬¥¥¥ 5%. ä¥à¨ç®áâì ª ¯«¨ ¬®¥â á®åà ïâìáï ¢¯«®âì ¤® Re ≈ 300 [219℄. Ǒ®áª®«ìªã ®¡ëç® ¯®£à ¨çë© á«®© ª ¯«¥ ¨«¨ ¯ã§ëॠ§ ç¨â¥«ì® â®ìè¥, 祬 ⢥म© áä¥à¥, 㥠¢ ¤¨ ¯ §®¥ 50 < Re < 300
58
¢¨¥¨¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¢ ¨¤ª®áâ¨
¯à¨¬¥ïîâáï ¬¥â®¤ë, ®á®¢ ë¥ â¥®à¨¨ ¯®£à ¨ç®£® á«®ï. ¨å ¯®¬®éìî ¢ [219℄ ¡ë« ¯®«ãç¥ á«¥¤ãîé ï ä®à¬ã« ¤«ï ª®íää¨æ¨¥â ᮯà®â¨¢«¥¨ï ¯à¨ Re ≫ 1: cf
3 (2 + 3β )2 24 1+ β+ (B1 + B2 ln Re) = Re 2 Re1/2
.
ç¥¨ï ¯®áâ®ïëå B1 ¨ B2 ¯à¨¢¥¤¥ë ¨¥ (β = ®â®è¥¨¥ ¢ï§ª®á⥩ ¢ãâ॥© ¨ ¢¥è¥© ä §ë, γ = ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ®â®è¥¨¥ ¯«®â®á⥩ ä §).
(2.4.7) µ2 /µ1 ρ2 /ρ1
βγ
25
4,0
1,0
0,25
0,04
0
B1
−0,429
−0,457
−0,460
−0,446
−0,434
−0,391
B2
0,00202
0,00620
0,0100
0,0113
0,00842
0
| |
¯«ï ¢ ¯®áâ㯠⥫쮬 ¯®â®ª¥ £ § . [127℄ ¯®«ã祮 ¯à¨¡«¨¥®¥ à¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ ®¡ ®¡â¥ª ¨¨ ¢ï§ª®© áä¥à¨ç¥áª®© ª ¯«¨ ¯®áâ㯠⥫ìë¬ ¯®â®ª®¬ £ § (¬ «®¢ï§ª®© ¨¤ª®áâ¨). ª ç¥á⢥ ¬ «®£® ¯ à ¬¥âà ¨á¯®«ì§®¢ « áì ¢¥«¨ç¨ ε=
µ1 p Re1 ≪ 1. µ2
¢¨¥¨¥ ¨¤ª®á⨠¢¥ ¨ ¢ãâਠª ¯«¨ å à ªâ¥à¨§ã¥âáï à §«¨ç묨 ç¨á« ¬¨ ¥©®«ì¤á (¢ãâਠª ¯«¨ ¢ ª ç¥á⢥ ¬ áèâ ¡ ᪮à®á⨠¨á¯®«ì§ã¥âáï ¢¥«¨ç¨ εUi): Re1 =
aUi ρ1 , µ1
Re2 =
aεUi ρ2 , µ2
¯à¨ç¥¬ ¨ª ª¨å á¯¥æ¨ «ìëå ®£à ¨ç¥¨© ¨å ¥ ª« ¤ë¢ ¥âáï. ª § ï á¨âã æ¨ï ⨯¨ç ¤«ï ¤®¤¥¢ëå ª ¯¥«ì, ¤¢¨ãé¨åáï ¢ ¢®§¤ãå¥, ª®£¤ µ1 /µ2 =1,8·10−2 ¨ ¯ à ¬¥âà ε ¬ « ¢ è¨à®ª®¬ ¤¨ ¯ §®¥ ç¨á¥« ¥©®«ì¤á 0 < Re1 < 103. ¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ ¨é¥âáï ¢ ¢¨¤¥ ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨å à §«®¥¨© ¯® ¬ «®¬ã ¯ à ¬¥âàã ε. « ¢ë© ç«¥ à §«®¥¨ï ¢¥ ª ¯«¨ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï à¥è¥¨¥¬ § ¤ ç¨ ®¡ ®¡â¥ª ¨¨ ⢥म© áä¥àë. « ¢ë© ç«¥ à §«®¥¨ï ¢ãâਠª ¯«¨ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â â¥ç¥¨î ¢ï§ª®© ¨¤ª®áâ¨, ª®â®à®¥ ¢ë§ë¢ ¥âáï ¤¥©á⢨¥¬ ª á ⥫쮣® ¯àï¥¨ï ¬¥ä §®© ¯®¢¥àå®á⨠(ª á ⥫쮥 ¯à泌¥ § ¢¨á¨â ⮫쪮 ®â ¢¥è¥£® ç¨á« ¥©®«ì¤á Re1 ¨ ¡¥à¥âáï ¨§ ¨§¢¥áâëå ç¨á«¥ëå à¥è¥¨© [226, 288℄).
59
2.4. ¯«¨ ¨ ¯ã§ëਠ¢ ¯®áâ㯠⥫쮬 ¯®â®ª¥ ¯à¨ Re > 1
Ǒ®«¥ â¥ç¥¨ï ¢ãâਠª ¯«¨ § ¢¨á¨â ®â ¤¢ãå ¯ à ¬¥â஢ Re1 ¨ Re2 , ¯à¨ç¥¬ § ¢¨á¨¬®áâì ®â Re2 ®ª §ë¢ ¥âáï ¬ «®áãé¥á⢥®©. «ï ¬ ªá¨¬ «ì®© ¡¥§à §¬¥à®© ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠¢ãâਠª ¯«¨, ¤®á⨣ ¥¬®© ¥¥ £à ¨æ¥ vmax = vmax (Re1 , Re2 ), ¨¬¥îâ ¬¥áâ® á«¥¤ãî騥 ®æ¥ª¨, á¯à ¢¥¤«¨¢ë¥ ¯à¨ Re1 > 2,5 [270℄: vmax (Re1 , ∞) 6 vmax (Re1 , Re2 ) 6 vmax (Re1 , 0)
(2.4.8)
£¤¥ vmax (Re1 , ∞) = 0,15 + 0,42 Re1−0,32 , vmax (Re1 , 0) = 0,15 + 0,42 Re1−0,32 1 +
Re1 50 + 2 Re1
.
(2.4.9)
Ǒਢ¥¤¥ë¥ ®æ¥ª¨ à §«¨ç îâáï ¥ ᫨誮¬ ᨫì®, çâ® ¯®ª §ë¢ ¥â á« ¡ãî § ¢¨á¨¬®áâì ¢ãâ॥£® â¥ç¥¨ï ®â ¯ à ¬¥âà Re2 , ¨ å®à®è® ᮣ« áãîâáï á ¨¬¥î騬¨áï ç¨á«¥ë¬¨ १ã«ìâ â ¬¨ [43, 252℄. áá«¥¤®¢ ¨¥ ¢ãâ॥£® â¥ç¥¨ï ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® ¯à¨ à®á⥠Re1 â®à®¨¤ «ìë© ¢¨åàì ¤¥ä®à¬¨àã¥âáï ¨ ¯à¨ Re1 = 150 ®âàë¢ ¥âáï ®â £à ¨æë ¢ à ©®¥ ª®à¬®¢®© â®çª¨ (¯à¨ θ ≈ 30◦). Ǒਠí⮬ ¢ §®¥ ¢ãâ॥£® ®âàë¢ ®¡à §ã¥âáï ¢â®à®© ¢¨åàì, ᪮à®áâì ¢ §®¥ ª®â®à®£® áãé¥á⢥® ¬¥ìè¥ (¯à¨¬¥à® ¢ 30 à §) ¬ ªá¨¬ «ì®© ᪮à®á⨠¢ §®¥ ¯¥à¢®£® ¢¨åàï. ¥§à §¬¥àë¥ ª®¬¯®¥âë ᪮à®á⨠¢ áä¥à¨ç¥áª®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ ⠯ਡ«¨¥® ®¯¨áë¢ îâáï ä®à¬ã« ¬¨ ¤«ï ¢¨åàï ¨«« [36℄ vr
= vmax (r2 − 1) os θ,
vθ
= vmax (1 − 2r2 ) sin θ,
r
= R/a,
£¤¥ ¬ ªá¨¬ «ì ï ᪮à®áâì vmax = vmax(Re1 , Re2 ) å à ªâ¥à¨§ã¥âáï ®æ¥ª ¬¨ (2.4.8), (2.4.9). ǑਠRe2 ≫ 1 ¢¨åàì ¨«« § ¨¬ ¥â ¢áî ¢ãâà¥îî ®¡« áâì ª ¯«¨ § ¨áª«î票¥¬ ¯à¨¬ëª î饣® ª ¥¥ ¯®¢¥àå®á⨠⮪®£® ¯®£à ¨ç®£® á«®ï, ¢ ª®â®à®¬ ¯à®¨á室¨â ª®¢¥ªâ¨¢®-¤¨ää㧨®ë© ¯¥à¥®á § ¢¨å८á⨠[41℄. Ǒਠ㬥ì襨¨ ç¨á« Re2 «¨¨¨ ⮪ á«¥£ª ¤¥ä®à¬¨àãîâáï ¨ ®á®¡ ï «¨¨ï ⮪ (¢ ª ¤®© â®çª¥ ª®â®à®© ᪮à®áâì ¨¤ª®áâ¨ à ¢ ã«î), à ᯮ«®¥ ï ¢ ¬¥à¨¤¨ «ì®© ¯«®áª®á⨠¢ãâਠª ¯«¨, ¥¬®£® á¬¥é ¥âáï ¢ áâ®à®ã «®¡®¢®© ¯®¢¥àå®áâ¨. ǑਠRe1 < 150 ¢ãâ॥¥ â¥ç¥¨¥ ¡¥§®âà뢮¥. ǑਠRe > 150 ¢ à ©®¥ ª®à¬®¢®© â®çª¨ ®¡à §ã¥âáï ¢â®à®© ¢¨åàì, ᪮à®áâì ª®â®à®£® ¯®à冷ª ¬¥ìè¥ vmax [127, 128℄. ǑਠRe1 6 2,5 à §¨æ ¬¥¤ã vmax (Re1 , ∞) ¨ vmax(Re1 , 0) ¯à ªâ¨ç¥áª¨ à ¢ ã«î, â ª çâ® vmax ¥ § ¢¨á¨â ®â Re2 [125℄ ¨ ¥¥ ¢¥«¨ç¨ã ¬®® ¯®«ãç¨âì ¨§ à¥è¥¨ï ¤«ï ¬ «ëå ç¨á¥« ¥©®«ì¤á [310℄.
60
¢¨¥¨¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¢ ¨¤ª®áâ¨
¨ ¬¨ª à áè¨àïî饣®áï (ᨬ î饣®áï) áä¥à¨ç¥áª®£® ¯ã§ëàï. 娬¨ç¥áª®© â¥å®«®£¨¨ ç áâ® ¢áâà¥ç ¥âáï § ¤ ç ®
áä¥à¨ç¥áª¨ ᨬ¬¥âà¨ç®© ¤¥ä®à¬ 樨 à áè¨à¥¨ï | á â¨ï £ §®¢®£® ¯ã§ëàï ¢ ¡¥§£à ¨ç®© ¢ï§ª®© ¨¤ª®áâ¨. ¯à¨¡«¨¥¨¨ £®¬®¡ à¨ç®á⨠(®¤®à®¤®á⨠¤ ¢«¥¨ï ¢ãâਠ¯ã§ëàï) [115, 117℄ ¨â¥à¥á ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â «¨èì ¤¢¨¥¨¥ ¢¥è¥© ¨¤ª®áâ¨. à ¢¥¨ï ¢ì¥ | ⮪á , ®¯¨áë¢ î騥 â ª®¥ ¤¢¨¥¨¥ ¢ áä¥à¨ç¥áª®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â, ¨¬¥îâ ¢¨¤ ρ
∂VR ∂t
∂V + VR R ∂R
∂ (R2 VR ) = 0. ∂R
=−
∂P ∂R
+ 2µ
∂ 2 VR , ∂R2
(2.4.10) (2.4.11)
Ǒਠ®âáãâá⢨¨ ¯®â®ª ¬ ááë ç¥à¥§ ¯®¢¥àå®áâì ¯ã§ëàï ᪮à®áâì ¨¤ª®á⨠£à ¨æ¥ à ¢ ᪮à®áâ¨ á ¬®© £à ¨æë: VR
= a_
¯à¨
R = a,
(2.4.12)
£¤¥ a_ = da/dt. ⥣à¨à®¢ ¨¥ ãà ¢¥¨ï (2.4.11) á ãç¥â®¬ ãá«®¢¨ï (2.4.12) ¨ ãá«®¢¨ï ®¡à é¥¨ï ¢ ã«ì ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠¡¥áª®¥ç®á⨠¤ ¥â VR
=
a2 a_ . R2
(2.4.13)
Ǒ®¤áâ ®¢ª ¢ëà ¥¨ï (2.4.13) ¢ ãà ¢¥¨¥ (2.4.10) á ¯®á«¥¤ãî騬 ¥£® ¨â¥£à¨à®¢ ¨¥¬ ¯® R ®â a ¤® ∞ ¯à¨¢®¤¨â ª á®®â®è¥¨î ρ(aa + 23 a_ 2 ) = PR=a − P∞ (t),
(2.4.14)
£¤¥ P∞ (t) | ¤ ¢«¥¨¥ ¢ ¨¤ª®á⨠¡¥áª®¥ç®áâ¨, ¨§¬¥¥¨¥ ª®â®à®£® ¢® ¢à¥¬¥¨ ¨ ï¥âáï ¯à¨ç¨®© ¯ã«ìá 権 ¯ã§ëàï. 票¥ ¤ ¢«¥¨ï ¢ ¨¤ª®á⨠£à ¨æ¥ á ¯ã§ë६ P |R=a ¬®¥â ¡ëâì ®¯à¥¤¥«¥® ¨§ ãá«®¢¨ï áª çª ®à¬ «ìëå ¯à泌© ¯®¢¥àå®áâ¨ à §àë¢ , ª®â®à®© ï¥âáï £à ¨æ ¯ã§ëàï [11, 165℄. ãá«®¢¨ïå £®¬®¡ à¨ç®á⨠£ § ¢ ¯ã§ëॠ¥¯®¤¢¨¥, çâ® ¤ ¥â ∂V 2σ P = Pb − + 2µ R ¯à¨ R = a, (2.4.15) a
∂R
£¤¥ σ | ª®íää¨æ¨¥â ¯®¢¥àå®á⮣® âï¥¨ï ¨¤ª®á⨠£à ¨æ¥ á ¯ã§ë६, Pb | ¤ ¢«¥¨¥ ¢ãâਠ¯ã§ëàï. Ǒ®¤áâ ¢«ïï (2.4.15) á ãç¥â®¬ (2.4.13) ¢ (2.4.14), ¯®«ã稬 ãà ¢¥¨¥ ¥«¥ï 3 2σ a_ ρ aa + a_ 2 + 4µ + = −P∞ (t) + Pb , (2.4.16) 2 a a
61
2.4. ¯«¨ ¨ ¯ã§ëਠ¢ ¯®áâ㯠⥫쮬 ¯®â®ª¥ ¯à¨ Re > 1
ª®â®à®¥ ®¯¨áë¢ ¥â ¤¨ ¬¨ªã ¨§¬¥¥¨ï à ¤¨ãá ¯ã§ëàï ¯®¤ ¤¥©á⢨¥¬ ¬¥ïî饣®áï ¡¥áª®¥ç®á⨠¤ ¢«¥¨ï. ç «ìë¥ ãá«®¢¨ï ¤«ï ¥£® ®¡ëç® § ¤ îâáï ¢ ¢¨¤¥ a = a0 ,
a_ = 0
¯à¨
t = 0.
(2.4.17)
᫨ ¯à®æ¥áá à áè¨à¥¨ï ¨ á â¨ï £ § ¢ ¯ã§ëॠï¥âáï ¤¨ ¡ â¨ç¥áª¨¬, â® ¤ ¢«¥¨¥ £ § ¢ ¯ã§ëॠá¢ï§ ® á ç «ìë¬ ¤ ¢«¥¨¥¬ P0 ãà ¢¥¨¥¬ ¤¨ ¡ âë Pb
= P0
a 3γ 0 , a
(2.4.18)
£¤¥ γ | ¯®ª § â¥«ì ¤¨ ¡ âë. Ǒਠγ = 1 à¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ (2.4.16) | (2.4.18) ¬®® § ¯¨á âì ¢ ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª®¬ ¢¨¤¥ [78, 80℄ a=
a0
H (τ )
2 ,
t=
Z
s
τ
dτ 5 , H (τ )
£¤¥ äãªæ¨ï H (τ ) ¨ ª®íää¨æ¨¥â s ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¯® ä®à¬ã« ¬ Z 2 H (τ ) = exp(−τ ) 2s
s
τ
exp(τ 2 ) dτ
2 + exp(s ) ,
s=
4µ
ρa20
,
¯ à ¬¥âà τ ¨§¬¥ï¥âáï ¢ ®¡« á⨠s 6 τ < ∞. à ¡®â å [78, 80℄ ¯®ª § ®, çâ® § ¤ ç (2.4.16) | (2.4.18) ¬®¥â ¡ëâì à¥è¥ ¢ ª¢ ¤à âãà å â ª¥ ¯à¨ γ = 23 , 56 ¨ ¯à¨¢®¤¨âáï ª 7 ãà ¢¥¨î ¥áá¥«ï ¯à¨ γ = 11 12 , 6 . ª¨£ å [117, 118℄ ¯®¤à®¡® à áᬮâà¥ë ¢®¯à®áë ¤¨ ¬¨ª¨ ¨ ⥯«®¬ áá®®¡¬¥ ¯ã«ìá¨àãî饣® £ §®¢®£® ¯ã§ëàï (á ãç¥â®¬ à §«¨çëå ®á«®ïîé¨å ä ªâ®à®¢).
62
¢¨¥¨¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¢ ¨¤ª®áâ¨
2.5. ¡â¥ª ¨¥ áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æë, ª ¯«¨ ¨ ¯ã§ëàï ᤢ¨£®¢ë¬ ¯®â®ª®¬
Ǒ®áâ ®¢ª § ¤ ç¨. áᬮâਬ ®¡â¥ª ¨¥ ⢥म© áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æë à ¤¨ãá a «¨¥©ë¬ ᤢ¨£®¢ë¬ ¯®â®ª®¬ ¯à¨ ¬ «ëå ç¨á« å ¥©®«ì¤á . ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ãà ¢¥¨ï ⮪á (2.1.1) ¤®«ë ¡ëâì ¤®¯®«¥ë ãá«®¢¨ï¬¨ ¯à¨«¨¯ ¨ï ¯®¢¥àå®á⨠ç áâ¨æë (2.2.1) ¨ á«¥¤ãî騬¨ £à ¨ç묨 ãá«®¢¨ï¬¨ ¢¤ «¨ ®â ¥¥ (á¬. à §¤. 1.1): Vk → Gkj Xj ¯à¨ R → ∞, (2.5.1)
£¤¥ X1 , X2 , X3 | ¤¥ª àâ®¢ë ª®®à¤¨ âë; Vk | ª®¬¯®¥âë ᪮à®á⨠¨¤ª®áâ¨; Gkj | ª®¬¯®¥âë ⥧®à ᤢ¨£ ; k, j = 1, 2, 3; ¯® ¨¤¥ªáã j ¢¥¤¥âáï á㬬¨à®¢ ¨¥. § ¤ ç¥ ®¡ ®¡â¥ª ¨¨ áä¥à¨ç¥áª®© ª ¯«¨ (¯ã§ëàï) «¨¥©ë¬ ᤢ¨£®¢ë¬ ¯®â®ª®¬ ãà ¢¥¨ï ⮪á (2.1.1) ¨ £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï ¡¥áª®¥ç®á⨠(2.5.1) ¤®«ë ¡ëâì ¤®¯®«¥ë £à ¨ç묨 ãá«®¢¨ï¬¨ ¬¥ä §®© ¯®¢¥àå®á⨠¨ ãá«®¢¨¥¬ ®£à ¨ç¥®á⨠à¥è¥¨ï ¢ãâਠª ¯«¨. ç áâ®áâ¨, ¢ ®á¥á¨¬¬¥âà¨ç®¬ á«ãç ¥ ¨á¯®«ì§ãîâáï £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï (2.2.6) | (2.2.10). ¨¥ à áᬮâà¥ë ¥ª®â®àë¥ ç áâë¥ á«ãç ¨ ᤢ¨£®¢ëå â¥ç¥¨©, ®¯¨á ëå ¢ à §¤. 1.1.
á¥á¨¬¬¥âà¨ç®¥ ¤¥ä®à¬ 樮®¥ ᤢ¨£®¢®¥ â¥ç¥¨¥.
á«ãç ¥ ®á¥á¨¬¬¥âà¨ç®£® ¤¥ä®à¬ 樮®£® ᤢ¨£®¢®£® â¥ç¥¨ï £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï ¢¤ «¨ ®â ç áâ¨æë (2.5.1) § ¯¨áë¢ îâáï â ª: ¢¥à¤ ï ç áâ¨æ .
VX → − 12 GX,
VY → − 12 GY,
¯à¨
VZ → GZ
R → ∞.
(2.5.2)
«ï à¥è¥¨ï ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®© § ¤ ç¨ ã¤®¡® ¨á¯®«ì§®¢ âì áä¥à¨ç¥áªãî á¨á⥬㠪®®à¤¨ â ¨ ¢¢¥á⨠äãªæ¨î ⮪ ¯® ä®à¬ã« ¬ (2.1.3). í⮬ á«ãç ¥ ãá«®¢¨¥ (2.5.2) ¯à¥®¡à §ã¥âáï ª ¢¨¤ã 1 G 3 2 R sin θ os θ → ¯à¨ R → ∞. (2.5.3) 2 a âáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ® ¢ ®¡é¥¬ à¥è¥¨¨ ãà ¢¥¨© ⮪á , ¯à¥¤áâ ¢«¥®¬ à冷¬ (2.1.5), á«¥¤ã¥â 㤥à âì ⮫쪮 á« £ ¥¬ë¥ ¯à¨ n = 3. ᪮¬ë¥ ¯®áâ®ïë¥ A3 , 3 , 3 , D3 ®¯à¥¤¥«ïîâáï á ¯®¬®éìî £à ¨çëå ãá«®¢¨© ¯à¨«¨¯ ¨ï (2.2.1). ¨â®£¥ ¯®«ã稬 äãªæ¨î ⮪ [308, 309℄: =
1 2 Ga 2
R3 − a3
5 3 + 2 2
a2 R2
sin2 θ os θ.
(2.5.4)
63
2.5. ¡â¥ª ¨¥ ç áâ¨æë, ª ¯«¨ ¨ ¯ã§ëàï ᤢ¨£®¢ë¬ ¯®â®ª®¬
®¬¯®¥âë ᪮à®á⨠¨ ¤ ¢«¥¨¥ ©¤¥¬, ¯®¤áâ ¢«ïï ä®à¬ã«ã (2.5.4) ¢ ¢ëà ¥¨ï (2.1.3). १ã«ìâ ⥠¨¬¥¥¬
3 a4 5 a2 1 R − + VR = Ga (3 os2 θ − 1), 2 a 2 R2 2 R4 a4 3 R − 4 sin θ os θ, Vθ = − Ga 2 a R 3 a 5 P = Pi − Gµ 3 (3 os2 θ − 1), 2 R
(2.5.5)
£¤¥ Pi | ¤ ¢«¥¨¥ ¢¤ «¨ ®â ç áâ¨æë. ¯«ï ¨ ¯ã§ëàì. ¡â¥ª ¨¥ ª ¯«¨ ®á¥á¨¬¬¥âà¨çë¬ á¤¢¨£®¢ë¬ â¥ç¥¨¥¬ ¨áá«¥¤®¢ «®áì ¢ [308, 309℄. ¡®§ 稬 ¤¨ ¬¨ç¥áª¨¥ ¢ï§ª®á⨠¨¤ª®á⥩ ¢¥ ¨ ¢ãâਠª ¯«¨ ᮮ⢥âá⢥® µ1 ¨ µ2 . ãªæ¨ï ⮪ ¢¤ «¨ ®â ª ¯«¨, ª ª ¨ ¢ á«ãç ¥ ⢥म© ç áâ¨æë, 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨î (2.5.3). Ǒ®í⮬㠢 ®¡é¥¬ à¥è¥¨¨ (2.1.5) á«¥¤ã¥â ®áâ ¢¨âì ⮫쪮 á« £ ¥¬ë¥ ¯à¨ n = 3. ¯à¥¤¥«ïï ¥¨§¢¥áâë¥ ¯®áâ®ïë¥ ¨§ £à ¨çëå ãá«®¢¨© (2.2.6) | (2.2.10), 室¨¬
1 2 R3 1 5β + 2 3 β Ga − + 2 a3 2 β+1 2 β+1 2 2 3 3 Ga R R (2) = − 1 sin2 θ os θ, 4 β + 1 a3 a2 (1) =
a2 R2
sin2 θ os θ,
(2.5.6)
£¤¥ (1) ¨ (2) | äãªæ¨ï ⮪ ¢¥ ¨ ¢ãâਠª ¯«¨, β = µ2 /µ1 . ®¬¯®¥âë ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠¢¥ ª ¯«¨:
1 R 3 β 1 5β + 2 a2 VR = Ga − + 2 2 a 2 β+1 R 2 β+1 4 3 a R β (1) Vθ = − Ga sin θ os θ, − 2 a β + 1 R4 (1)
a4 R4
(3 os2 θ − 1), (2.5.7)
®¬¯®¥âë ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠¢ãâਠª ¯«¨:
3 β 1 5β + 2 a2 1 R − + Ga 2 2 a 2 β+1 R 2 β+1 4 β 3 a R (2) − Vθ = − Ga sin θ os θ, 2 a β + 1 R4 (2) VR
=
a4 R4
(3 os2 θ − 1),
(2.5.8) Ǒ।¥«ìë© á«ãç © β → 0 ᮮ⢥âáâ¢ã¥â £ §®¢®¬ã ¯ã§ëàî. § «¨§ ¢ëà ¥¨© (2.5.7), (2.5.8) á«¥¤ã¥â, çâ® íâ® â¥ç¥¨¥ ¨¬¥¥â ®áì ᨬ¬¥âਨ (®áì Z ) ¨ ¯«®áª®áâì ᨬ¬¥âਨ (¯«®áª®áâì XY ).
64
¢¨¥¨¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¢ ¨¤ª®áâ¨
¯®¢¥àå®á⨠áä¥àë ¨¬¥îâáï ¤¢¥ ªà¨â¨ç¥áª¨¥ â®çª¨ (θ = 0 ¨ θ = π) ¨ ªà¨â¨ç¥áª ï «¨¨ï (θ = π/2).
Ǒந§¢®«ì®¥ âà¥å¬¥à®¥ ¤¥ä®à¬ 樮®-ᤢ¨£®¢®¥ â¥ç¥¨¥. ª®¥ â¥ç¥¨¥ å à ªâ¥à¨§ã¥âáï £à ¨çë¬ ãá«®¢¨¥¬ ¢¤ «¨
®â ª ¯«¨ (2.5.1) á ᨬ¬¥âà¨ç®© ¬ âà¨æ¥© ª®íää¨æ¨¥â®¢ ᤢ¨£ = Gjk . ¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ ®¡ ®¡â¥ª ¨¨ ª ¯«¨ ¯à®¨§¢®«ìë¬ âà¥å¬¥àë¬ ¤¥ä®à¬ 樮®-ᤢ¨£®¢ë¬ ¯®â®ª®¬ ¯à¨¢®¤¨â ª á«¥¤ãî騬 ¢ëà ¥¨ï¬ ¤«ï ª®¬¯®¥â ᪮à®á⨠¢¥ ¨ ¢ãâਠª ¯«¨ [36, 309℄:
Gkj
a5 − β + 1 R5 1 5β + 2 a 5 5β a7 − , G X X X − 2a2 jl k j l β + 1 R5 β + 1 R7 R2 1 Gjl Xk Xj Xl 1 1 (2) Vk = 5 2 − 3 Gkj Xj − , 2 β+1 a β+1 a2
(1) Vk
= Gkj Xj 1 −
β
(2.5.9)
íâ¨å ä®à¬ã« å k, j, l = 1, 2, 3 ¨ ¯® ¨¤¥ªá ¬ j ¨ l ¢¥¤¥âáï á㬬¨à®¢ ¨¥. «ãç î £ §®¢®£® ¯ã§ëàï ᮮ⢥âáâ¢ã¥â § 票¥ β = 0, á«ãç î ⢥म© ç áâ¨æë | ¯à¥¤¥«ìë© ¯¥à¥å®¤ ¯à¨ β → ∞. ¡â¥ª ¨¥ áä¥à¨ç¥áª®© ª ¯«¨ ¯«®áª¨¬ ¤¥ä®à¬ 樮®-ᤢ¨£®¢ë¬ ¯®â®ª®¬ (á¬. à §¤. 1.1) ®¯¨áë¢ ¥âáï ¢ëà ¥¨ï¬¨ (2.5.9), ¢ ª®6 j. â®àëå á«¥¤ã¥â ¯®«®¨âì G11 = −G22 , G33 = 0, Gij = 0 ¯à¨ i = ¬¥â¨¬, çâ®, ¢á«¥¤á⢨¥ «¨¥©®á⨠§ ¤ ç á⮪ᮢ ®¡â¥ª ¨ï, ¯®«ï ᪮à®á⨠¨ ¤ ¢«¥¨ï ¢ ¯®áâ㯠⥫ì®-ᤢ¨£®¢ëå ¯®â®ª å 室ïâáï ª ª á㯥௮§¨æ¨ï à¥è¥¨©, ®â®áïé¨åáï ª ¯®áâ㯠⥫ìë¬ ¯®â®ª ¬, à áᬮâà¥ë¬ ¢ à §¤. 2.2, ¨ ª ᤢ¨£®¢ë¬ ¯®â®ª ¬, à áᬮâà¥ë¬ ¢ëè¥ ¢ ¤ ®¬ à §¤¥«¥.
¥ª®â®àë¥ ¤à㣨¥ १ã«ìâ âë ¯® ®¡â¥ª ¨î áä¥à¨ç¥áª¨å ç áâ¨æ ¨ ªà㣮¢ëå 樫¨¤à®¢ ᤢ¨£®¢ë¬ ¯®â®ª®¬. à ¡®-
⥠[221℄ à áᬠâਢ «®áì ¤¢¨¥¨¥ ᢮¡®¤® ¢§¢¥è¥®© ⢥म© áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æë ¢ ¯à®á⮬ ᤢ¨£®¢®¬ ¯®â®ª¥. í⮬ á«ãç ¥ ¢ £à ¨çëå ãá«®¢¨ïå (2.5.1) ¢á¥ ª®íää¨æ¨¥âë Gij § ¨áª«î票¥¬ G12 à ¢ë ã«î. «¨ç¨¥ §¤¥áì â¨á¨¬¬¥âà¨ç®© á®áâ ¢«ïî饩 ã ⥧®à ᤢ¨£ (á¬. à §¤. 1.1) ¯à¨¢®¤¨â ª ¢à 饨î ç áâ¨æë ¨§-§ ãá«®¢¨ï ¯à¨«¨¯ ¨ï ¨¤ª®á⨠¥¥ ¯®¢¥àå®áâ¨. á⮪ᮢ®¬ ¯à¨¡«¨¥¨¨ ¡ë«® ¯®«ã祮 «¨â¨ç¥áª®¥ à¥è¥¨¥ ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 âà¥å¬¥à®© £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®© § ¤ ç¨. ¡ à㥮, çâ® ª ç áâ¨æ¥ ¯à¨¬ëª ¥â ®¡« áâì á § ¬ªãâ묨 «¨¨ï¬¨ ⮪ , ¢¥ í⮩ ®¡« á⨠¢á¥ «¨¨¨ ⮪ à §®¬ªãâë. à ¡®â å [271, 272℄ ¨áá«¥¤®¢ «®áì ¤¢¨¥¨¥ ᢮¡®¤® ¢§¢¥è¥®© áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æë ¢ ¯à®¨§¢®«ì®¬ ¯«®áª®¬ ᤢ¨£®¢®¬ ¯®â®ª¥. ¥è¥¨ï § ¤ ç ®¡ ®¡â¥ª ¨¨ ᢮¡®¤® ¢à é î饣®áï ¨ § ªà¥¯«¥®£® ªà㣮¢®£® 樫¨¤ ¯à®¨§¢®«ìë¬ «¨¥©ë¬ ᤢ¨£®¢ë¬ ¯®â®ª®¬
2.6. ¡â¥ª ¨¥ ¥áä¥à¨ç¥áª¨å ⢥à¤ëå ç áâ¨æ
65
¯à¨¢¥¤¥ë ¢ [60, 218℄. à¥å¬¥à®¥ ®¡â¥ª ¨¥ ¯®à¨á⮩ ç áâ¨æë ¯à®¨§¢®«ìë¬ ¤¥ä®à¬ 樮®-ᤢ¨£®¢ë¬ ¯®â®ª®¬ à áᬠâਢ « áì ¢ à ¡®â¥ [77℄. «ï ®¯¨á ¨ï â¥ç¥¨ï ¢¥ ç áâ¨æë ¨á¯®«ì§®¢ «¨áì ãà ¢¥¨ï ⮪á (2.1.1) ¨ áç¨â «®áì, çâ® ¢ãâਠç áâ¨æë ¯à®¨á室¨â 䨫ìâà æ¨ï ¢¥è¥© ¨¤ª®á⨠§ ª®ã àᨠ(2.2.24). ¤ «¨ ®â ç áâ¨æë âॡ®¢ «®áì 㤮¢«¥â¢®à¨âì ãá«®¢¨ï¬ (2.5.1), £à ¨æ¥ ç áâ¨æë ¢ëáâ ¢«ï«¨áì £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï, ª®â®àë¥ ¡ë«¨ ®¯¨á ë à ¥¥ ¢ à §¤. 4.2. ë«® ¯®«ã祮 â®ç®¥ «¨â¨ç¥áª®¥ à¥è¥¨¥ ¤«ï ª®¬¯®¥â ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠¨ ¤ ¢«¥¨ï á à㨠¨ ¢ãâਠ¯®à¨á⮩ ç áâ¨æë. 2.6. ¡â¥ª ¨¥ ¥áä¥à¨ç¥áª¨å ⢥à¤ëå ç áâ¨æ
¡â¥ª ¨¥ í««¨¯á®¨¤ «ì®© ç áâ¨æë ¯®áâ㯠⥫ìë¬ áâ®ªá®¢ë¬ ¯®â®ª®¬. á¥á¨¬¬¥âà¨ç ï § ¤ ç ®¡ ®¡â¥ª ¨¨ í««¨¯-
ᮨ¤ «ì®© ç áâ¨æë ¯®áâ㯠⥫ìë¬ áâ®ªá®¢ë¬ ¯®â®ª®¬ ¤®¯ã᪠¥â â®ç®¥ «¨â¨ç¥áª®¥ à¥è¥¨¥. £à ¨ç¨¬áï §¤¥áì ªà ⪮© ᢮¤ª®© ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å १ã«ìâ ⮢, ¨§«®¥ëå ¢ [178℄. ¯«îáãâë© í««¨¯á®¨¤ ¢à 饨ï. áᬮâਬ ®¡â¥ª ¨¥ ᯫîáã⮣® í««¨¯á®¨¤ ¢à 饨ï (¨§®¡à ¥ á«¥¢ à¨á. 2.5) á ¯®«ã®áﬨ a, b (a > b) ¯®áâ㯠⥫ìë¬ áâ®ªá®¢ë¬ ¯®â®ª®¬ ᮠ᪮à®áâìî Ui . ç¨â ¥¬, çâ® ¢ï§ª®áâì ¨¤ª®áâ¨ à ¢ µ. â ¤¥ª à⮢ëå ª®®à¤¨ â X , Y , Z ¯¥à¥©¤¥¬ ª ª®®à¤¨ â ¬ ᯫîáã⮣® í««¨¯á®¨¤ ¢à 饨ï σ, τ , ϕ, ª®â®àë¥ á¢ï§ ë ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï¬¨ X 2 = c2 (1 + σ 2 )(1 − τ 2 ) os2 ϕ, Y 2 = c2 (1 + σ 2 )(1 − τ 2 ) sin2 ϕ, √ Z = cστ, £¤¥ c = a2 − b2 (σ > 0, −1 6 τ 6 1). ¨á. 2.5. ¡â¥ª ¨¥ ᯫîáã⮣® ¨ ¢ëâïã⮣® १ã«ìâ ⥠¯®¢¥àå®áâì í««¨¯á®¨¤ ¡ã¤¥âí««¨¯á®¨¤®¢ § ¤ ¢ âìáï¢à é¥¨ï ¯®áâ®ïë¬ § 票¥¬ ª®®à¤¨ âë σ: σ = σ0 , £¤¥ σ0 = (a/b)2 − 1 −1/2 . (2.6.1) ç¨âë¢ ï ®á¥á¨¬¬¥âà¨ç®áâì § ¤ ç¨, ¢¢¥¤¥¬ äãªæ¨î ⮪ ¯® ä®à¬ã« ¬ ∂ 1 ∂ 1 , Vτ = − 2 p . Vσ = 2 p 2 2 2 2 2 2 c (1 + σ )(σ + τ ) ∂τ c (1 − τ )(σ + τ ) ∂σ (2.6.2)
66
¢¨¥¨¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¢ ¨¤ª®áâ¨
Ǒ®á«¥ í⮣® ãà ¢¥¨ï ⮪á (2.1.1) ¯à¥®¡à §ãîâáï ª ®¤®¬ã ãà ¢¥¨î ¤«ï , ª®â®à®¥ à¥è ¥âáï ¬¥â®¤®¬ à §¤¥«¥¨ï ¯¥à¥¬¥ëå. ¤®¢«¥â¢®àïï £à ¨ç®¬ã ãá«®¢¨î ®¤®à®¤®á⨠¯®â®ª ¢¤ «¨ ®â ç áâ¨æë ¨ ãá«®¢¨ï¬ ¯à¨«¨¯ ¨ï ¥¥ ¯®¢¥àå®áâ¨, ¢ ¨â®£¥ ¬®® ¯®«ãç¨âì 1 = c2 Ui (1 − τ 2 ) 2
(σ02 + 1)σ − (σ02 − 1)(σ2 + 1) ar
tg σ 2 σ +1− . σ0 − (σ02 − 1) ar
tg σ0 (2.6.3)
«®£¨ç®© § ¤ ç¥ ® ¤¢¨¥¨¨ ᯫîáã⮣® í««¨¯á®¨¤ ᮠ᪮à®áâìî Ui ¢ ¥¯®¤¢¨®© ¨¤ª®á⨠¨¬¥¥¬ =−
1 2 (σ2 + 1)σ − (σ02 − 1)(σ2 + 1) ar
tg σ c Ui (1 − τ 2 ) 0 . 2 σ0 − (σ02 − 1) ar
tg σ0
(2.6.4)
C¨« , ¤¥©áâ¢ãîé ï í««¨¯á®¨¤ á® áâ®à®ë ¨¤ª®áâ¨: =
F
√
8πµUi a2 − b2 . σ0 − (σ02 − 1) ar
tg σ0
(2.6.5)
Ǒਠσ0 → 0 ᯫîáãâë© í««¨¯á®¨¤ ¢ëத ¥âáï ¢ ¯«®áª¨© ¡¥áª®¥ç® ⮪¨© ¤¨áª à ¤¨ãá a. ëà ¥¨¥ ¤«ï äãªæ¨¨ ⮪ ¯®«ã稬 ¨§ (2.6.4) á ¯®¬®éìî ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® ¯à¥¤¥«ì®£® ¯¥à¥å®¤ : =−
1 π
a2 Ui (1 − τ 2 ) σ + (σ 2 + 1) ar
tg σ .
¤¨áª, ¤¢¨ã騩áï ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïà® ¥£® ¯«®áª®á⨠ᮠ᪮à®áâìî Ui ¢ ¥¯®¤¢¨®© ¨¤ª®áâ¨, ¤¥©áâ¢ã¥â ᨫ F
= 16µaUi,
(2.6.6)
ª®â®à ï ¬¥ìè¥ á¨«ë, ¤¥©áâ¢ãî饩 áä¥àã â ª®£® ¥ à ¤¨ãá (¤«ï áä¥àë F = 6πµaUi ). ®à¬ã« (2.6.6) ¯®¤â¢¥à¤ ¥âáï íªá¯¥à¨¬¥â «ì묨 ¤ 묨. ëâïãâë© í««¨¯á®¨¤ ¢à 饨ï. «ï à¥è¥¨ï ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 § ¤ ç¨ ®¡ ®¡â¥ª ¨¨ í««¨¯á®¨¤ «ì®© ç áâ¨æë (¨§®¡à ¥ á¯à ¢ à¨á. 2.5) ¯®áâ㯠⥫ìë¬ áâ®ªá®¢ë¬ ¯®â®ª®¬ ¨á¯®«ì§ãîâ ª®®à¤¨ âë ¢ëâïã⮣® í««¨¯á®¨¤ ¢à 饨ï σ, τ , ϕ, ª®â®àë¥ ¢¢®¤ïâáï ¯® ä®à¬ã« ¬ X 2 = c2 (σ 2 − 1)(1 − τ 2 ) os2 ϕ, Y 2 = c2 (σ 2 − 1)(1 − τ 2 ) sin2 ϕ, √ £¤¥ c = a2 − b2 (σ > 1 > τ > −1).
Z = cστ,
à ¢¥¨¥ ¯®¢¥àå®áâ¨ í««¨¯á®¨¤ ¢ í⮬ á«ãç ¥ ¨¬¥¥â ¢¨¤ σ
= σ0 ,
£¤¥
σ0
= 1 − (b/a)2
−1/2
.
(2.6.7)
67
2.6. ¡â¥ª ¨¥ ¥áä¥à¨ç¥áª¨å ⢥à¤ëå ç áâ¨æ
¤¥áì, ª ª ¨ à ¥¥, ¡®«ìè ï ¯®«ã®áì ®¡®§ ç¥ a. ®¬¯®¥âë ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠®¯à¥¤¥«ïîâáï ¢ëà ¥¨ï¬¨ Vσ
=
c2
∂ 1 , 2 2 2 (σ − 1)(σ − τ ) ∂τ
p
Vτ
á ¯®¬®éìî äãªæ¨¨ ⮪ 1 = c2 Ui(1 − τ 2 ) 2
=−
c2
∂ 2 2 2 (1 − τ )(σ − τ ) ∂σ (2.6.8)
p
1
(σ02 + 1)(σ2 − 1)ar th σ − (σ02 − 1)σ 2 σ −1− , (σ02 + 1)ar th σ0 − σ0 (2.6.9)
1 σ+1 . £¤¥ ar th σ = ln 2 σ−1 § ¤ ç¥ ® ¤¢¨¥¨¨ ¢ëâïã⮣® í««¨¯á®¨¤ ¢à 饨ï ᮠ᪮à®áâìî Ui ¢ ¥¯®¤¢¨®© ¨¤ª®á⨠ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï äãªæ¨ï ⮪ ¨¬¥¥â ¢¨¤ =−
(σ2 + 1)(σ2 − 1)ar th σ − (σ02 − 1)σ 1 2 c Ui (1 − τ 2 ) 0 . 2 (σ02 + 1)ar th σ0 − σ0
(2.6.10)
¨« ᮯà®â¨¢«¥¨ï ¢ëç¨á«ï¥âáï ¯® ä®à¬ã«¥ F
√
8πµUi a2 − b2 = 2 . (σ0 + 1)ar th σ0 − σ0
(2.6.11)
᫨ a ≫ b, â® ¢ëâïãâë© í««¨¯á®¨¤ ¢ëத ¥âáï ¢ ¨£«®®¡à §ë© áâ¥à¥ì. í⮬ á«ãç ¥ ¢ëà ¥¨¥ ¤«ï ᨫë, ¤¥©áâ¢ãî饩 ¨£«ã ¤«¨®© a ¨ à ¤¨ãᮬ b, ¤¢¨ãéãîáï ¢¤®«ì ᢮¥© ®á¨ ᮠ᪮à®áâìî Ui , ¯à¨¨¬ ¥â ¢¨¤ 4πµaUi F = . (2.6.12) ln(a/b) + 0,193 à ¢¨¢ ï ¢ëà ¥¨ï ¤«ï ᨫ, ¤¥©áâ¢ãîé¨å ᯫîáãâë© ¨ ¢ëâïãâë© í««¨¯á®¨¤ë, á «®£¨çë¬ ¢ëà ¥¨¥¬ ¤«ï áä¥àë á íª¢¨¢ «¥âë¬ íª¢ â®à¨ «ìë¬ à ¤¨ãᮬ, ¬®® § ¯¨á âì Fel
= 6πµlUiK
b , a
(2.6.13)
£¤¥ l = a | ¤«ï ᯫîáã⮣® í««¨¯á®¨¤ ¨ l = b | ¤«ï ¢ëâïã⮣® í««¨¯á®¨¤ . â ¡«. 2.1 ¯à¨¢¥¤¥ë ç¨á«¥ë¥ § ç¥¨ï ¯®¯à ¢®ç®£® ¬®¨â¥«ï K ¯à¨ à §«¨çëå ®â®è¥¨ïå ¯®«ã®á¥© b/a.
¡â¥ª ¨¥ ⥫ ¢à 饨ï. ¥«® ¢à é¥¨ï ¢ ¯®áâ㯠⥫쮬 ¯®â®ª¥ (á«ãç © ¯à®¨§¢®«ì®© ®à¨¥â 樨)
¨á. 2.6.
68
¢¨¥¨¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¢ ¨¤ª®áâ¨
2.1 b ç¥¨ï ¯®¯à ¢®ç®£® ¬®¨â¥«ï K ¢ ä®à¬ã«¥ (2.6.13) a
b a
K, ᯫîáãâë© í««¨¯á®¨¤
K, ¢ëâïãâë© í««¨¯á®¨¤
0
0,849
0,1
0,852
∞
2,647
0,2
0,861
1,785
0,3
0,874
1,470
0,4
0,889
1,305
0,5
0,905
1,204
0,6
0,923
1,136
0,7
0,941
1,087
0,8
0,961
1,051
0,9
0,980
1,022
1,0
1,000
1,000
áᬮâਬ ®¡â¥ª ¨¥ ⥫ ¢à é¥¨ï «î¡®© ä®à¬ë, ¯à®¨§¢®«ì® ®à¨¥â¨à®¢ ëå ¢ ¯®áâ㯠⥫쮬 ¯®â®ª¥ ¯à¨ ¬ «ëå ç¨á« å ¥©®«ì¤á . ç¨â ¥¬, çâ® ®áì ⥫ ¢à 饨ï á®áâ ¢«ï¥â 㣮« ω á ¯à ¢«¥¨¥¬ ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠¡¥áª®¥ç®á⨠(à¨á. 2.6).
¤¨¨çë© ¢¥ªâ®à ~i, ¯à ¢«¥ë© ¢¤®«ì ¯®â®ª , ¬®¥â ¡ëâì ¯à¥¤áâ ¢«¥ ¢ ¢¨¤¥ á㬬ë ~i = ~τ os ω + ~n sin ω , £¤¥ ~τ | ¥¤¨¨çë© ¢¥ªâ®à, ¯à ¢«¥ë© ¢¤®«ì ®á¨ ⥫ , ~n | ¥¤¨¨çë© ¢¥ªâ®à, «¥ 騩 ¢ ¯«®áª®á⨠¢à 饨ï ⥫ . á⮪ᮢ®¬ ¯à¨¡«¨¥¨¨ ¤«ï ᨫë ᮯà®â¨¢«¥¨ï ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ¬®® ¯®«ãç¨âì [72, 178℄ = ~τ Fk os ω + ~nF⊥ sin ω, (2.6.14) £¤¥ Fk ¨ F⊥ | § 票ï ᨫë ᮯà®â¨¢«¥¨ï ⥫ ¢à é¥¨ï ¢ á«ãç ¥ ¯ à ««¥«ì®£® (ω = 0) ¨ ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïண® (ω = π/2) ¥£® à ᯮ«®¥¨ï ¢ ¯®áâ㯠⥫쮬 ¯®â®ª¥. ¥«¨ç¨ ¯à®¥ªæ¨¨ ᨫë ᮯà®â¨¢«¥¨ï ¯à ¢«¥¨¥ ¡¥£ î饣® ¯®â®ª à ¢ ᪠«ï஬㠯ந§¢¥¤¥¨î F~
(F~ · ~i ) = Fk os2 ω + F⊥ sin2 ω.
(2.6.15)
2.6. ¡â¥ª ¨¥ ¥áä¥à¨ç¥áª¨å ⢥à¤ëå ç áâ¨æ
69
§ ä®à¬ã« (2.6.14) ¨ (2.6.15) á«¥¤ã¥â, çâ® ¤«ï ¢ëç¨á«¥¨ï ᨫë ᮯà®â¨¢«¥¨ï ⥫ ¢à é¥¨ï «î¡®© ä®à¬ë, ¯à®¨§¢®«ì® ®à¨¥â¨à®¢ ®£® ¢ ¯®áâ㯠⥫쮬 á⮪ᮢ®¬ ¯®â®ª¥, ¤®áâ â®ç® § âì ¢¥«¨ç¨ã í⮩ ᨫë ⮫쪮 ¤«ï ¤¢ãå ç áâëå ¯à®áâà á⢥ëå à ᯮ«®¥¨© ⥫ . ýᥢ®¥þ ¨ ý¡®ª®¢®¥þ ᮯà®â¨¢«¥¨ï Fk ¨ F⊥ ¬®® ®¯à¥¤¥«ïâì ª ª ⥮à¥â¨ç¥áª¨, â ª ¨ íªá¯¥à¨¬¥â «ì®. ¨¥ ¯à¨¢¥¤¥ë ¢ëà ¥¨ï ¤«ï Fk ¨ F⊥ , 㪠§ ë¥ ¢ [178℄ ¤«ï ¥ª®â®àëå ⥫ ¢à é¥¨ï ¥áä¥à¨ç¥áª®© ä®à¬ë. «ï ⮪®£® ªà㣮¢®£® ¤¨áª à ¤¨ãá a: Fk
= 16µaUi,
F⊥
=
32 µaU . i 3
(2.6.16)
«ï £ ⥫¥¢¨¤®© ç áâ¨æë, á®áâ®ï饩 ¨§ ¤¢ãå ᮯਪ á îé¨åáï áä¥à à ¢®£® à ¤¨ãá a: = 12πµaUiλk , F⊥ = 12πµaUi λ⊥ , Fk
λk ≈ 0,645,
λ⊥ ≈ 0,716.
(2.6.17)
íâ¨å ä®à¬ã« å ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ 12πµaUi à ¢® á㬬¥ ᮯà®â¨¢«¥¨© ¤¢ãå ¨§®«¨à®¢ ëå áä¥à à ¤¨ãá a. «ï ᯫîáãâëå í««¨¯á®¨¤®¢ ¢à 饨ï á ¯®«ã®áﬨ a, b (a > b): Fk
= 3,77 (4a + b),
F⊥
= 3,77 (3a + 2b),
(2.6.18)
£¤¥ a | íª¢ â®à¨ «ìë© à ¤¨ãá (a > b). «ï ¢ëâïãâëå í««¨¯á®¨¤®¢ ¢à 饨ï á ¯®«ã®áﬨ a, b: Fk
= 3,77 (a + 4b),
F⊥
= 3,77 (2a + 3b),
(2.6.19)
£¤¥ b | íª¢ â®à¨ «ìë© à ¤¨ãá (b > a). ®à¬ã«ë (2.6.18) ¨ (2.6.19) ïîâáï ¯à¨¡«¨¥ë¬¨. ¨ å®à®è® ýà ¡®â îâþ ¤«ï á« ¡®¤¥ä®à¬¨à®¢ ëå í««¨¯á®¨¤®¢ ¢à 饨ï. ªá¨¬ «ì ï ¯®£à¥è®áâì (2.6.18) ¤«ï «î¡ëå ®â®è¥¨© ¬¥¤ã ¯®«ã®áﬨ ¬¥ìè¥ 6%.
⮪ᮢ® ®¡â¥ª ¨¥ ⢥म© ç áâ¨æë ¯à®¨§¢®«ì®© ä®à¬ë. ç áâ¨æ㠯ந§¢®«ì®© ä®à¬ë, ¤¢¨ãéãîáï ¢ ¡¥§£à ¨ç®©,
¯®ª®ï饩áï ¡¥áª®¥ç®á⨠¨¤ª®áâ¨, ¤¥©áâ¢ãîâ £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª¨¥ ᨫ ¨ ¬®¬¥â, á¢ï§ ë¥ á ¥¥ ¯®áâ㯠⥫ìë¬ ¨ ¢à é ⥫ìë¬ ¤¢¨¥¨¥¬ [178℄:
K S
~ F~ = µ( U ~ = µ( U ~ M
£¤¥ K, S, ç áâ¨æë.
| ⥧®àë
+ S ~ω), + ~ω),
(2.6.20) (2.6.21)
¢â®à®£® à £ , § ¢¨áï騥 ®â £¥®¬¥âਨ
70
¢¨¥¨¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¢ ¨¤ª®áâ¨
¨¬¬¥âà¨çë© â¥§®à K = kKij k §ë¢ ¥âáï âà á«ï樮ë¬. å à ªâ¥à¨§ã¥â ᮯà®â¨¢«¥¨¥ ⥫ ¯®áâ㯠⥫쮬㠤¢¨¥¨î ¨ § ¢¨á¨â ⮫쪮 ®â à §¬¥à®¢ ¨ ä®à¬ë ⥫ . £« ¢ëå ®áïå âà á«ïæ¨®ë© â¥§®à ¯à¨¢®¤¨âáï ª ¤¨ £® «ì®¬ã ¢¨¤ã
K
0
1 0 (2.6.22) K =
0 K2 0
,
0 0 K3 £¤¥ K1 , K2 , K3 | £« ¢ë¥ ᮯà®â¨¢«¥¨ï, ¤¥©áâ¢ãî騥 ⥫® ¯à¨ ¥£® ¤¢¨¥¨¨ ¢¤®«ì £« ¢ëå ®á¥©. «ï ®àâ®âயëå (¨¬¥îé¨å âਠ¢§ ¨¬® ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïàë¥ ¯«®áª®á⨠ᨬ¬¥âਨ) ⥫ £« ¢ë¥ ®á¨ âà á«ï樮®£® ⥧®à ®à¬ «ìë ᮮ⢥âáâ¢ãî騬 ¯«®áª®áâï¬ á¨¬¬¥âਨ. «ï ®á¥á¨¬¬¥âà¨çëå ⥫ ®¤ ¨§ ®á¥© ᨬ¬¥âਨ (᪠¥¬, ¯¥à¢ ï) ï¥âáï £« ¢®© ®áìî ¨ K2 = K3 . «ï áä¥àë à ¤¨ãá a «î¡ë¥ âਠ¢§ ¨¬® ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïàë¥ ®á¨ ïîâáï £« ¢ë¬¨ ¨ K1 = K2 = K3 = 6πa. ¨¬¬¥âà¨çë© â¥§®à §ë¢ ¥âáï à®â æ¨®ë¬ â¥§®à®¬. § ¢¨á¨â ¥ ⮫쪮 ®â ä®à¬ë ¨ à §¬¥à ç áâ¨æë, ® â ª¥ ®â ¢ë¡®à ç « ª®®à¤¨ â. ®â æ¨®ë© â¥§®à å à ªâ¥à¨§ã¥â ᮯà®â¨¢«¥¨¥ ¢à é ⥫쮬㠤¢¨¥¨î ⥫ ¨ ¢ £« ¢ëå ®áïå (£« ¢ë¥ ®á¨ à®â 樮®£® ¨ âà á«ï樮®£® ⥧®à®¢ ¨¬¥îâ à §«¨ç®¥ ¯à®áâà á⢥®¥ à ᯮ«®¥¨¥) ¯à¨¨¬ ¥â ¤¨ £® «ìë© ¢¨¤ á í«¥¬¥â ¬¨
1 , 2 , 3 . «ï ®á¥á¨¬¬¥âà¨çëå ⥫ ®¤ ¨§ £« ¢ëå ®á¥© ( ¯à¨¬¥à, ¯¥à¢ ï) ¯ à ««¥«ì ®á¨ ᨬ¬¥âਨ, ¯à¨ í⮬ 2 = 3 . «ï áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æë ¨¬¥¥¬: 1 = 2 = 3 . ¥§®à S ᨬ¬¥âà¨ç¥ «¨èì ¢ ¥¤¨á⢥®© ¤«ï ª ¤®£® ⥫ â®çª¥ , §ë¢ ¥¬®© æ¥â஬ £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨. â®â ⥧®à §ë¢ ¥âáï ᮯàï¥ë¬ ⥧®à®¬ ¨ å à ªâ¥à¨§ã¥â ¯¥à¥ªà¥áâãî ॠªæ¨î ⥫ ãç á⨥ ¢ ¯®áâ㯠⥫쮬 ¨ ¢à é ⥫쮬 ¤¢¨¥¨¨ (¬®¬¥â ᮯà®â¨¢«¥¨ï ¯à¨ ¯®áâ㯠⥫쮬 ¤¢¨¥¨¨ ¨ ᨫã ᮯà®â¨¢«¥¨ï | ¯à¨ ¢à é ⥫쮬). «ï ⥫ á ®àâ®âய®©, ®á¥¢®© ¨ áä¥à¨ç¥áª®© ᨬ¬¥âਥ© ᮯàï¥ë© ⥧®à ï¥âáï ⮤¥á⢥® à ¢ë¬ ã«î. ¤ ª® ¥£® ¥®¡å®¤¨¬® ãç¨âë¢ âì, ¯à¨¬¥à, ¤«ï ⥫ á £¥«¨ª®¨¤ «ì®© ᨬ¬¥âਥ© (¯à®¯¥««¥à®®¡à §ëå ⥫). ¨¡®«¥¥ áãé¥áâ¢¥ë¬ ¯à¨ à áᬮâ२¨ § ¤ ç £à ¢¨â 樮®£® ®á ¤¥¨ï ç áâ¨æ ï¥âáï ãç¥â âà á«ï樮®£® ⥧®à . « ¢ë¥ ᮯà®â¨¢«¥¨ï ¥ª®â®àëå ⥫ ¥áä¥à¨ç¥áª®© ä®à¬ë ¯à¨¢¥¤¥ë ¢ [178℄ ¨ 㪠§ ë ¨¥. «ï ⮪®£® ªà㣮¢®£® ¤¨áª à ¤¨ãá a: K1 = 16a, K2 = 32 K3 = 32 (2.6.23) 3 a, 3 a. «ï ¨£«®¯®¤®¡ëå í««¨¯á®¨¤®¢ ¤«¨®© l ¨ à ¤¨ãᮬ a: 4πl 8πl 8πl K1 = , K2 = , K3 = . 2 ln(l/a) − 1 2 ln(l/a) + 1 2 ln(l/a) + 1 (2.6.24)
71
2.6. ¡â¥ª ¨¥ ¥áä¥à¨ç¥áª¨å ⢥à¤ëå ç áâ¨æ
â®á¨â¥«ìë© ª®íää¨æ¨¥â ᮯà®â¨¢«¥¨ï ®á¥á¨¬¬¥âà¨çëå ç áâ¨æ ¯à¨ ¤¢¨¥¨¨ ¢¤®«ì ®á¨. ¯«®è ï «¨¨ï | ¯à¨¡«¨¥ ï ä®à¬ã« (2.6.28), èâà¨å®¢ ï «¨¨ï | â®ç®¥ à¥è¥¨¥ ¤«ï í««¨¯á®¨¤ ¢à 饨ï. ª¯¥à¨¬¥â «ìë¥ ¤ ë¥: 1, 2 | 樫¨¤àë, 3 | ¯ à ««¥«¥¯¨¯¨¤ë, 4 | ¤¢®©ë¥ ª®ãáë. ¨á«¥ë© à áç¥â: 5 | 樫¨¤àë, 6 | ª®ãáë. ¨á. 2.7.
¨á. 2.8. â®á¨â¥«ìë© ª®íää¨æ¨¥â ᮯà®â¨¢«¥¨ï ®á¥á¨¬¬¥âà¨çëå ç áâ¨æ ¯à¨ ¤¢¨¥¨¨ ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïà® ®á¨. ¯«®è ï «¨¨ï | ¯à¨¡«¨¥ ï ä®à¬ã« (2.6.29), èâà¨å®¢ ï «¨¨ï | â®ç®¥ à¥è¥¨¥ ¤«ï í««¨¯á®¨¤ ¢à 饨ï. ª¯¥à¨¬¥â «ìë¥ ¤ ë¥: 1, 2 | 樫¨¤àë, 3 | ¯ à ««¥«¥¯¨¯¨¤ë, 4 | ¤¢®©ë¥ ª®ãáë.
«ï ⮪¨å ªà㣮¢ëå 樫¨¤à®¢ ¤«¨®© l ¨ à ¤¨ãᮬ a: 4πl 4πl 4πl K1 = , K2 = , K3 = . ln(l/a) − 0,72 ln(l/a) + 0,5 ln(l/a) + 0,5 (2.6.25) «ï £ ⥫¥¢¨¤®© ç áâ¨æë, á®áâ®ï饩 ¨§ ¤¢ãå ᮯਪ á îé¨åáï áä¥à à ¢®£® à ¤¨ãá a: K1 = 24,3 a, K2 = 27,0 a, K3 = 27,0 a. (2.6.26) «ï ¯à®¨§¢®«ì®£® í««¨¯á®¨¤ á ¯®«ã®áﬨ a, b, c: 16π 16π 16π K1 = (2.6.27) , K2 = , K3 = . χ + a2 α χ + b2 β χ + c2 γ ¤¥áì ¯ à ¬¥âàë α, β , γ , χ ¢ëà îâáï ç¥à¥§ ¨â¥£à «ë α=
Z∞ λ
dλ , (a2 + λ) p
β
=
Z∞ λ
dλ , (b2 + λ)
γ
=
Z∞ λ
dλ , (c2 + λ)
(a2 + λ)(b2 + λ)(c2 + λ),
χ=
Z∞ dλ λ
,
£¤¥ = ¨¨¬ ¯à¥¤¥«®¬ ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï λ ï¥âáï ¯®«®¨â¥«ìë© ª®à¥ì ªã¡¨ç¥áª®£® ãà ¢¥¨ï x2 a2 + λ
+
y2
b2 + λ
+
z2
c2 + λ
= 1.
72
¢¨¥¨¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¢ ¨¤ª®áâ¨
«ï ®á¥á¨¬¬¥âà¨ç®£® ⥫ ¯à®¨§¢®«ì®© ä®à¬ë ¢¢¥¤¥¬ ¯®ï⨥ íª¢¨¢ «¥â®© ¯® ¯¥à¨¬¥âàã áä¥àë. «ï í⮣® á¯à®¥ªâ¨à㥬 â®çª¨ ¯®¢¥àå®á⨠⥫ ¯«®áª®áâì, ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïàãî ¥£® ®á¨. ¯à®¥ªæ¨¨ ¯®«ã稬 ªàã£ à ¤¨ãá a⊥ . ª¢¨¢ «¥â ï ¯® ¯¥à¨¬¥âàã áä¥à ¨¬¥¥â â ª®© ¥ à ¤¨ãá. «ï ¥ª®â®àëå ®á¥á¨¬¬¥âà¨çëå ¨ ®àâ®âயëå ⥫ (樫¨¤àë, ¤¢®©ë¥ ª®ãáë, ¯ à ««¥«¥¯¨¯¥¤ë) à¨á. 2.7, 2.8 ¯à¨¢¥¤¥ë íªá¯¥à¨¬¥â «ìë¥ ¤ ë¥ [219℄ ¨ १ã«ìâ âë ç¨á«¥ëå à áç¥â®¢ ¤«ï £« ¢ëå § 票© âà á«ï樮®£® ⥧®à . à¨á. 2.7 ¯® ®á¨ ®à¤¨ ⠮⫮¥ë § ç¥¨ï ®á¥¢®£® ᮯà®â¨¢«¥¨ï ®á¥á¨¬¬¥âà¨ç®£® ⥫ , ®â¥á¥ë¥ ª ᮯà®â¨¢«¥¨î áä¥àë á íª¢¨¢ «¥âë¬ ¯¥à¨¬¥â஬. Ǒ® ®á¨ ¡áæ¨áá ®â«®¥ë § 票ï ä ªâ®à ä®à¬ë , à ¢®£® ®â®è¥¨î ¯«®é ¤¨ ¯®¢¥àå®á⨠ç áâ¨æë ª ¯«®é ¤¨ ¯®¢¥àå®áâ¨ íª¢¨¢ «¥â®© ¯® ¯¥à¨¬¥âàã áä¥àë. Ǒਢ¥¤¥ë¥ १ã«ìâ âë å®à®è® ¯¯à®ªá¨¬¨àãîâáï á«¥¤ãî饩 § ¢¨á¨¬®áâìî ¤«ï ®â®á¨â¥«ì®£® ª®íää¨æ¨¥â ®á¥¢®£® ᮯà®â¨¢«¥¨ï [219℄: ck
= 0,244 + 1,035 − 0,712 2 + 0,441 3.
(2.6.28)
à¨á. 2.8 ¯à¨¢¥¤¥ë ®â®á¨â¥«ìë¥ § ç¥¨ï ¡®ª®¢®£® ᮯà®â¨¢«¥¨ï ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â «®£¨ç®£® ä ªâ®à ä®à¬ë. Ǒãªâ¨à®© «¨¨¥© ¥á¥ë â®çë¥ à¥§ã«ìâ âë ¤«ï áä¥à®¨¤®¢. â®á¨â¥«ìë© ª®íää¨æ¨¥â ¡®ª®¢®£® ᮯà®â¨¢«¥¨ï ¬®® ¢ëç¨á«ïâì ¯® ä®à¬ã«¥ [219℄ c⊥ = 0,392 + 0,621 − 0,04 2 , (2.6.29) ª®â®à ï å®à®è® ᮣ« áã¥âáï á 㪠§ 묨 íªá¯¥à¨¬¥â «ì묨 ¤ 묨. á ¤¥¨¥ ¨§®âயëå ç áâ¨æ. ®© £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®© å à ªâ¥à¨á⨪®© â ª¨å 娬¨ª®-â¥å®«®£¨ç¥áª¨å ¯à®æ¥áᮢ, ª ª ®âá⮩ ¨ ᥤ¨¬¥â æ¨ï, ï¥âáï ãáâ ®¢¨¢è ïáï ᪮à®áâì Ui ®á ¤¥¨ï ç áâ¨æ ¢ ¯®«ïå ¬ áᮢëå ᨫ ¨, ¯à¥¤¥ ¢á¥£®, ¢ £à ¢¨â 樮®¬ ¯®«¥. î¡®¥ ⥫®, ®¡« ¤ î饥 áä¥à¨ç¥áª®© ¨§®âய¨¥© ¨ ®¤®à®¤®¥ ¯® ¯«®â®áâ¨, ¨¬¥¥â ®¤¨ ª®¢®¥ ᮯà®â¨¢«¥¨¥ ¯®áâ㯠⥫쮬㠤¢¨¥¨î ¯à¨ «î¡®© ®à¨¥â 樨. ª®¥ ⥫® ¡ã¤¥â â ª¥ ¨§®âய® ¯® ®â®è¥¨î ª ¯ ॠᨫ, ¢®§¨ª îé¨å ¯à¨ ¥£® ¢à 饨¨ ®â®á¨â¥«ì® ¯à®¨§¢®«ì®© ®á¨, ¯à®å®¤ï饩 ç¥à¥§ ¥£® æ¥âà.
᫨ â ª®¥ ⥫® ¢ ç «ìë© ¬®¬¥â ¨¬¥¥â ¥ª®â®àãî ®à¨¥â æ¨î ¢ ¨¤ª®á⨠¨ ¬®¥â ¯ ¤ âì ¡¥§ ç «ì®£® ¢à 饨ï, â® ®® ¡ã¤¥â ¯ ¤ âì ¢¥à⨪ «ì® ¡¥§ ¢à 饨ï, á®åà ïï á¢®î ¯¥à¢® ç «ìãî ®à¨¥â æ¨î. ¢®¡®¤®¥ ¯ ¤¥¨¥ ¥áä¥à¨ç¥áª¨å ¨§®âயëå ç áâ¨æ 㤮¡® ®¯¨áë¢ âì á ¯®¬®éìî ¯ à ¬¥âà áä¥à¨ç®á⨠ψ
=
Se , S
(2.6.30)
2.6. ¡â¥ª ¨¥ ¥áä¥à¨ç¥áª¨å ⢥à¤ëå ç áâ¨æ
73
£¤¥ S | ¯«®é ¤ì ¯®¢¥àå®á⨠ç áâ¨æë, Se | ¯«®é ¤ì ¯®¢¥àå®áâ¨ íª¢¨¢ «¥â®© ¯® ®¡ê¥¬ã áä¥àë. Ǒਠ¬¥¤«¥®¬ ¤¢¨¥¨¨ ᪮à®áâì ®á ¤¥¨ï ç áâ¨æ ¬®® ¢ëç¨á«ïâì á ¯®¬®éìî í¬¯¨à¨ç¥áª®© ä®à¬ã«ë [178℄ 2 ~ = 2 Qρae ~g , U (2.6.31) i 9 µ £¤¥ ae | à ¤¨ãá íª¢¨¢ «¥â®© ¯® ®¡ê¥¬ã áä¥àë, Q = 0,843 ln
ψ
0,065
(2.6.32)
.
Ǒਢ¥¤¥¬ § 票ï ä ªâ®à áä¥à¨ç®á⨠ψ ¤«ï ¥ª®â®àëå ç áâ¨æ: áä¥à | 1,000; ®ªâ í¤à | 0,846; ªã¡ | 0,806; â¥âà í¤à | 0,670. á ¤¥¨¥ ¥¨§®âயëå ç áâ¨æ.
᫨ ¤«ï á⮪ᮢ ®á¥¤ ¨ï áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æë ¯à ¢«¥¨¥ ᪮à®á⨠¢á¥£¤ ᮢ¯ ¤ ¥â á ¯à ¢«¥¨¥¬ ᨫë âï¥áâ¨, â® ¤ ¥ ¤«ï ®¤®à®¤ëå ®á¥á¨¬¬¥âà¨çëå ç áâ¨æ ¯à ¢«¥¨¥ ᪮à®á⨠¡ã¤¥â ¢¥à⨪ «ìë¬ â®«ìª® ¢ ⮬ á«ãç ¥, ª®£¤ ¢¥à⨪ «ì ᮢ¯ ¤ ¥â á ®¤®© ¨§ £« ¢ëå ®á¥© âà á«ï樮®£® ⥧®à K.
᫨ ¥ ®áì ᨬ¬¥âਨ ª«®¥ ª ¢¥à⨪ «¨ ¯®¤ 㣫®¬ ϕ, â® ¯à ¢«¥¨¥ ᪮à®á⨠§ ¤ ¥âáï 㣫®¬ [219℄ θ
= π + ar tg
K2 K1
,
tg ϕ
(2.6.33)
£¤¥ K1, K2 | ®á¥¢®¥ ¨ ¡®ª®¢®¥ £« ¢ë¥ ᮯà®â¨¢«¥¨ï âà á«ï樮®¬ã ¤¢¨¥¨î. ¥«¨ç¨ ᪮à®á⨠®¯à¥¤¥«ï¥âáï á ¯®¬®éìî ¢ëà ¥¨ï [219℄ Ui
=
V ρg (K12 os2 θ + K22 sin2 θ)−1/2 , µ
(2.6.34)
£¤¥ V | ®¡ê¥¬ ç áâ¨æë. ⪫®¥¨¥ ¯à ¢«¥¨ï ®á¥¤ ¨ï ®â ¢¥à⨪ «¨ ®§ ç ¥â, çâ® ¯ ¤ îéãî ç áâ¨æã ¤¥©áâ¢ã¥â ¡®ª®¢ ï ᨫ , ¯à¨¢®¤ïé ï ª ¥¥ £®à¨§®â «ì®¬ã ᬥ饨î. ¥«® ¥é¥ ¡®«¥¥ ®á«®ï¥âáï, ¥á«¨ æ¥âà £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨ (¢ª«îç î饩 ¨ à娬¥¤®¢ã ᨫã) ¥ ᮢ¯ ¤ ¥â á æ¥â஬ ¬ áá ç áâ¨æë. í⮬ á«ãç ¥ ¯®¬¨¬® âà á«ï樮®£® ¤¢¨¥¨ï ç áâ¨æ ¯®«ãç ¥â ¥é¥ ¨ ¢à 饨¥ ¯®¤ ¤¥©á⢨¥¬ ¢®§¨ª î饣® ¬®¬¥â ᨫ (ýªã¢ëઠ¨¥þ ¯ã«¨ ᮠᬥé¥ë¬ æ¥â஬ ¬ áá). «ï ®á¥á¨¬¬¥âà¨çëå ç áâ¨æ íâ® ¢à 饨¥ § ª 稢 ¥âáï, ª®£¤ ª®ä¨£ãà æ¨ï á¨á⥬ë æ¥âà ¬ áá | æ¥âà ॠªæ¨¨ ¯à¨®¡à¥â ¥â ãá⮩稢®¥ ¯®«®¥¨¥: æ¥âà ¬ áá ¢¯¥à¥¤¨ æ¥âà ॠªæ¨¨. Ǒਠí⮬ áâ ¡¨«¨§¨àã¥âáï ¨ áâ ®¢¨âáï ¯àאַ«¨¥©®© ¨ âà ¥ªâ®à¨ï ®á ¤¥¨ï ç áâ¨æë.
74
¢¨¥¨¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¢ ¨¤ª®áâ¨
¤ ª® ¢ ¡®«¥¥ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ᨬ¬¥âਨ ç áâ¨æë ᮢ¬¥á⮥ ¤¥©á⢨¥ ¡®ª®¢®© á¨«ë ¨ ¢à é¥¨ï ¬®¥â ¯à¨¢¥á⨠ª ¤¢¨¥¨î ¯® ¯à®áâà á⢥®©, ¯à¨¬¥à, ¯® á¯¨à «¥¢¨¤®© âà ¥ªâ®à¨¨. â® ¥ ¢à¥¬ï ãáâ ®¢¨¢è ïáï âà ¥ªâ®à¨ï ®á¥¤ ¨ï ⥫ á £¥«¨ª®¨¤ «ì®© (¯à®¯¥««¥à®®¡à §®©) ᨬ¬¥âਥ© ®áâ ¥âáï ¯àאַ«¨¥©®©, ¥á¬®âàï á®åà ïî饥áï ¢à 饨¥ ⥫ [178℄. «ï ®æ¥®ª ãáâ ®¢¨¢è¥©áï ᪮à®á⨠®á¥¤ ¨ï á⮪ᮢëå ç áâ¨æ ¥áä¥à¨ç¥áª®© ä®à¬ë ¯®«¥§ë ¤¢¥ ⥮६ë. ¤ ¨§ ¨å ¤®ª § ¨««®¬ ¨ Ǒ ãí஬ [238℄ ¨ £« á¨â, çâ® á⮪ᮢ® ᮯà®â¨¢«¥¨¥ ¯à®¨§¢®«ì®£® ⥫ , ¤¢¨ã饣®áï ¢ ¢ï§ª®© ¨¤ª®áâ¨, ¡®«ìè¥ á⮪ᮢ ᮯà®â¨¢«¥¨ï «î¡®£® ¢¯¨á ®£® ¢ ¥£® ⥫ . ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¢¥à奩 ¨ ¨¥© ®æ¥®ª á⮪ᮢ ᮯà®â¨¢«¥¨ï ⥫ ª ª®©-«¨¡® íª§®â¨ç¥áª®© ä®à¬ë ¬®® ४®¬¥¤®¢ âì à §ã¬ë© ¢ë¡®à ¢¯¨á ëå ¨ ®¯¨á ëå ®ª®«® ¥£® ⥫ á ¨§¢¥áâ묨 ᮯà®â¨¢«¥¨ï¬¨. à㣠ï ⥮६ ¤®ª § í©¡¥à£¥à®¬ [317℄ ¨ £®¢®à¨â ® ⮬, çâ® ¨§ ¢á¥å ç áâ¨æ á à §«¨ç®© ä®à¬®©, ® á ®¤¨¬ ¨ ⥬ ¥ ®¡ê¥¬®¬ ¨ ¬ áᮩ ¨¡®«ìèãî á⮪ᮢã ᪮à®áâì ®á ¤¥¨ï ¨¬¥¥â áä¥à¨ç¥áª ï ç áâ¨æ .
।ïï ᪮à®áâì ¥¨§®âயëå ç áâ¨æ, ¯ ¤ îé¨å ¢ ¨¤ª®áâ¨. ।ïï ¢¥«¨ç¨ ¢¥ªâ®à ᪮à®á⨠ç áâ¨æë hU~ i, ª®â®-
à ï ¡«î¤ ¥âáï ¯à¨ ¯à®¢¥¤¥¨¨ ¡®«ì让 á¥à¨¨ íªá¯¥à¨¬¥â®¢, ª®£¤ ç áâ¨æ ¯ ¤ ¥â á® á«ãç ©®© ®à¨¥â 樥© ¢ ¨¤ª®áâ¨, ¤«ï á⮪ᮢ २¬ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯® ä®à¬ã«¥ [178℄ ~ i = V ρ ~g, hU (2.6.35) µK
£¤¥ V | ®¡ê¥¬ ⥫ , ρ | à §®áâì ¯«®â®á⥩ ç áâ¨æë ¨ ®ªàã î饩 ¨¤ª®áâ¨, ~g | ã᪮२¥ ᨫë âï¥áâ¨, K | á।¥¥ ᮯà®â¨¢«¥¨¥, ª®â®à®¥ á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬ ¢ëà ¥âáï ç¥à¥§ £« ¢ë¥ ᮯà®â¨¢«¥¨ï: 1 1 1 1 1 . + + = (2.6.36) K 3 K1 K2 K3 ।ïï ᨫ ᮯà®â¨¢«¥¨ï, ¤¥©áâ¢ãîé ï ¯ ¤ îéãî ¢ ¨¤ª®á⨠á«ãç ©® ®à¨¥â¨à®¢ ãî ç áâ¨æã, ®¯à¥¤¥«ï¥âáï â ª: ~ i. hF~ i = −µKhU (2.6.37) ®à¬ã«ë (2.6.35) | (2.6.37) ¢ ë ¢ á¢ï§¨ á ¥ª®â®à묨 ¢®¯à®á ¬¨ ¡à®ã®¢áª®£® ¤¢¨¥¨ï. ç á⮬ á«ãç ¥ áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æë ¢ (2.6.35) á«¥¤ã¥â ¯®«®¨âì V = 43 πa3 , K = 6πa. ëç¨á«¨¬ á।¥¥ ᮯà®â¨¢«¥¨¥ ¤«ï ⮪®£® ªà㣮¢®£® ¤¨áª à ¤¨ãá a. «ï í⮣® ¯®¤áâ ¢¨¬ § ç¥¨ï £« ¢ëå ᮯà®â¨¢«¥¨© (2.6.23) ¢ ä®à¬ã«ã (2.6.36). १ã«ìâ ⥠¯®«ã稬 K = 12a. (2.6.38)
2.6. ¡â¥ª ¨¥ ¥áä¥à¨ç¥áª¨å ⢥à¤ëå ç áâ¨æ
75
Ǒ®¤áâ ¢«ïï ª®íää¨æ¨¥âë K1 , K2, K3 ¨§ (2.6.24) | (2.6.27) ¢ (2.6.36) ¬®® ®¯à¥¤¥«¨âì á ¯®¬®éìî (2.6.35) á।îî ᪮à®áâì ®á ¤¥¨ï 㪠§ ëå ¢ëè¥ â¥« ¥áä¥à¨ç¥áª®© ä®à¬ë.
¡â¥ª ¨¥ ¥áä¥à¨ç¥áª¨å ⢥à¤ëå ç áâ¨æ ¯à¨ ¢ë᮪¨å ç¨á« å ¥©®«ì¤á . Ǒਠá⮪ᮢ®¬ ®¡â¥ª ¨¨ ç áâ¨æ «î¡®© ä®à-
¬ë â¥ç¥¨¥ ï¥âáï ¡¥§®âàë¢ë¬, â.¥. «¨¨¨ ⮪ ¯à¨å®¤ïâ ¨§ ¡¥áª®¥ç®áâ¨, ®£¨¡ îâ ⥫®, ¢áî¤ã ¯«®â® ¯à¨«¥£ ï ª ¯®¢¥àå®áâ¨, ¨ ᮢ ã室ïâ ¢ ¡¥áª®¥ç®áâì. ¤ ª® ¯à¨ ¡®«¥¥ ¢ë᮪¨å ç¨á« å ¥©®«ì¤á ¯à®¨á室¨â ®âàë¢ ¯®â®ª ®â ®¡â¥ª ¥¬®£® ⥫ . â® ¯à¨¢®¤¨â ª ®¡à §®¢ ¨î ¢¨åॢ®© ª®à¬®¢®© ®¡« áâ¨. Ǒ® ¬¥à¥ à®áâ ç¨á« ¥©®«ì¤á à §¬¥à í⮩ ¢¨åॢ®© ®¡« á⨠(¤«¨ á«¥¤ ) à áâ¥â, ¯à¨ç¥¬ ¤«ï à §«¨çëå ä®à¬ ⥫ ¯®-à §®¬ã. à¨á. 2.9 ¯à¨¢¥¤¥ë íªá¯¥à¨¬¥â «ìë¥ ¨ ç¨á«¥ë¥ ¤ ë¥ ¯® ®â®á¨â¥«ì®© ¤«¨¥ á«¥¤ LW , ¨á. 2.9. â®á¨â¥«ì ï ¤«¨ ¢ëà ¥®© ¢ ¤¨ ¬¥âà å íª¢ â®à¨ «ì- ª®à¬®¢®£® ¢¨åàï ®£® á¥ç¥¨ï d, ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â ç¨á« ¥©®«ì¤á ¤«ï à §«¨çëå ®á¥á¨¬¬¥âà¨çëå ⥫. ¨å ç¨á«® ¢å®¤ïâ: áä¥à , ¤¨áª ¨ í««¨¯á®¨¤ë á à §«¨çë¬ ®â®è¥¨¥¬ E ®á¥¢®£® à §¬¥à ª íª¢ â®à¨ «ì®¬ã. Ǒਠ¤ «ì¥©è¥¬ à®á⥠ç¨á« ¥©®«ì¤á ¢¨åॢ®© á«¥¤ áâ ®¢¨âáï ¥áâ 樮 àë¬, ã室¨â ¢ ¡¥áª®¥ç®áâì ¨ ®ª®ç â¥«ì® âãà¡ã«¨§ã¥âáï. ¨«®¢®¥ ¢®§¤¥©á⢨¥ ¯®â®ª ®¡â¥ª ¥¬®¥ ⥫® â¥á® á¢ï§ ® á à §¬¥à®¬ ¨ á®áâ®ï¨¥¬ ¢¨åॢ®£® á«¥¤ . Ǒ।¥«ì묨 ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨¬¨ २¬ ¬¨ â ª®£® ¢®§¤¥©á⢨ï ïîâáï á⮪ᮢ २¬ (¯à¨ Re → 0) ¨ ìîâ®®¢áª¨© २¬ (¯à¨ Re → ∞). à ªâ¥à¨á⨪¨ á⮪ᮢ ®¡â¥ª ¨ï à áᬮâà¥ë à ¥¥. ìîâ®®¢áª¨© २¬ ®¡â¥ª ¨ï å à ªâ¥à¨§ã¥âáï ¯®áâ®ïá⢮¬ ª®íää¨æ¨¥â ᮯà®â¨¢«¥¨ï ⥫ cf . ®íää¨æ¨¥âë ᮯà®â¨¢«¥¨ï ¯à¨ ®á¥¢®¬ ®¡â¥ª ¨¨ ¤¨áª®¢, ïîé¨åáï ¯à¥¤¥«ì묨 á«ãç ﬨ ®á¥á¨¬¬¥âà¨çëå ⥫ ¬ «®£® 㤫¨¥¨ï, ¯à¨¢¥¤¥ë ¢ à ¡®â¥ [219℄ ¢® ¢á¥¬ ¤¨ ¯ §®¥ ç¨á¥« ¥©®«ì¤á , à á ç¨â ëå ¯® à ¤¨ãáã. ⨠ä®à¬ã«ë ïîâáï ¯¯à®ªá¨¬ æ¨ï¬¨ ¤ ëå ç¨á«¥ëå à áç¥â®¢ ¨ íªá¯¥à¨¬¥â «ìëå १ã«ìâ ⮢: cf cf cf cf
= 10,2 Re−1 (1 + 0,318 Re) = 10,2 Re−1 (1 + 10s ) = 10,2 Re−1 (1 + 0,239 Re0,792 ) = 1,17
£¤¥ s = −0,61 + 0,906 lg Re
¯à¨ ¯à¨ ¯à¨ ¯à¨
Re 6 0,005, 0,005 < Re 6 0,75, (2.6.39) 0,75 < Re 6 66,5 Re > 66,5,
− 0,025 (lg Re)2 .
76
¢¨¥¨¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¢ ¨¤ª®áâ¨
áâ ®¢¨¢èãîáï ᪮à®áâì ®á¥¤ ¨ï ç áâ¨æë ¯à®¨§¢®«ì®© ä®à¬ë (¤«ï ìîâ®®¢áª®£® २¬ ¤¢¨¥¨ï ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å ¥©®«ì¤á ) ¬®® ©â¨ ¯® ä®à¬ã«¥ [219℄ U
= 0,69 γ 1/36[gae (γ − 1)(1,08 − ψ)℄1/2 ¯à¨ 1,1 < γ < 8,6, (2.6.40)
£¤¥ γ | ®â®è¥¨¥ ¯«®â®á⥩ ç áâ¨æë ¨ ¨¤ª®áâ¨, ae | à ¤¨ãá íª¢¨¢ «¥â®© ¯® ®¡ê¥¬ã áä¥àë, ψ | ®â®è¥¨¥ ¯«®é ¤¨ ¯®¢¥àå®áâ¨ íª¢¨¢ «¥â®© ¯® ®¡ê¥¬ã áä¥àë ª ¯«®é ¤¨ ¯®¢¥àå®á⨠ç áâ¨æë. 2.7. ¡â¥ª ¨¥ 樫¨¤à (¯«®áª ï § ¤ ç )
娬¨ç¥áª®© â¥å®«®£¨¨ ¨ í¥à£¥â¨ª¥ è¨à®ª® ¨á¯®«ì§ãîâáï ¯¯ à âë, ª®â®àë¥ ®á é¥ë ⥯«®®¡¬¥ë¬¨ âàã¡ ¬¨ ¨ à §«¨ç묨 樫¨¤à¨ç¥áª¨¬¨ ¢áâ ¢ª ¬¨, ¯®£àã¥ë¬¨ ¢ ¤¢¨ãéãîáï ¨¤ª®áâì. ¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®¥ ¢®§¤¥©á⢨¥ 㪠§ ë¥ í«¥¬¥âë ª®áâàãªæ¨© ¬®® ®æ¥¨âì ®á®¢¥ à¥è¥¨ï ¯«®áª®© § ¤ ç¨ ®¡ ®¡â¥ª ¨¨ 樫¨¤à .
¡â¥ª ¨¥ 樫¨¤à ¯®áâ㯠⥫ìë¬ ¯®â®ª®¬.
«ë¥ ç¨á« ¥©®«ì¤á . [247, 282℄ ¬¥â®¤®¬ áà 騢 ¥¬ëå ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨å à §«®¥¨© ¯®«ã祮 à¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ ®¡ ®¡â¥ª ¨¨ ªà㣮¢®£® 樫¨¤à à ¤¨ãá a ¯®áâ㯠⥫ìë¬ ¯®â®ª®¬ ¢ï§ª®© ¥á¨¬ ¥¬®© ¨¤ª®á⨠ᮠ᪮à®áâìî Ui ¯à¨ ¬ «ëå ç¨á« å ¥©®«ì¤á . áá«¥¤®¢ ¨¥ ¯à®¢®¤¨«®áì ¢ ¯®«ïன á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â R, θ ®á®¢¥ ¯®«ëå ãà ¢¥¨© ¢ì¥ | ⮪á * (1.1.4), çâ® ¯®§¢®«¨«® ¯®«ãç¨âì á«¥¤ãî饥 ¢ëà ¥¨¥ ¤«ï äãªæ¨¨ ⮪ ¯à¨ R/a ∼ 1:
= aU
R a
ln
R − a
1 2
R a
1 + 2
a R
sin θ,
(2.7.1)
£¤¥ ¨á¯®«ì§®¢ ë ®¡®§ 票ï: U
= Ui − 0,873
,
= ln
3,703 Re
−1
,
Re =
aUi ρ . µ
®¬¯®¥âë ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠¬®® ©â¨ ¯® ä®à¬ã« ¬ (1.1.12). ãªæ¨ï ⮪ (2.7.1) ¯®§¢®«ï¥â ¢ëç¨á«¨âì ª®íää¨æ¨¥â ᮯà®â¨¢«¥¨ï 4π F cf = = − 0,873 , (2.7.2) 2 aUi ρ Re * Ǒ®¯ë⪠à¥è¥¨ï £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®© § ¤ ç¨ ®¡ ®¡â¥ª ¨¨ 樫¨¤à ®á®¢¥ «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ⮪á (2.1.1) ¯à¨¢®¤¨â ª ¯ à ¤®ªáã ⮪á [38, 178℄.
2.7. ¡â¥ª ¨¥ 樫¨¤à (¯«®áª ï § ¤ ç )
77
£¤¥ F | ᨫ , ¯à¨å®¤ïé ïáï ¥¤¨¨æã ¤«¨ë 樫¨¤à . à ¢¥¨¥ á íªá¯¥à¨¬¥â «ì묨 ¤ 묨 ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® ä®à¬ã«ã (2.7.3) ¬®® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¯à¨ 0 < Re < 0,4 [38℄.
¥§®âà뢮¥ ®¡â¥ª ¨¥ 樫¨¤à ¯à¨ 㬥à¥ëå ç¨á« å ¥©®«ì¤á . ®£« á® íªá¯¥à¨¬¥â «ìë¬ ¤ ë¬ [37℄ ¡¥§®âà뢮¥
®¡â¥ª ¨¥ ªà㣮¢®£® 樫¨¤à ॠ«¨§ã¥âáï ¯à¨ Re 6 2,5. í⮩ ®¡« á⨠¨§¬¥¥¨ï ç¨á¥« ¥©®«ì¤á ¤«ï à áç¥â ª®íää¨æ¨¥â ᮯà®â¨¢«¥¨ï 樫¨¤à ¬®® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¯à¨¡«¨¥ãî ä®à¬ã«ã [219℄ cf
= 5,65 Re−0,78 1 + 0,26 Re0,82
¯à¨ 0,05 6 Re 6 2,5, (2.7.3)
¯®«ãç¥ãî ¯ã⥬ ®¡à ¡®âª¨ ®¯ëâëå ¤ ëå ¨ १ã«ìâ ⮢ ç¨á«¥ëå à áç¥â®¢.
âà뢮¥ ®¡â¥ª ¨¥ 樫¨¤à ¯à¨ 㬥à¥ëå ç¨á« å ¥©®«ì¤á . Ǒਠ¯à¥¢ë襨¨ ªà¨â¨ç¥áª®£® § 票ï Re ≈ 2,5 ¢¡«¨-
§¨ ª®à¬®¢®© â®çª¨ ¢®§¨ª ¥â ®¡« áâì ¢¨åॢ®£® ¢®§¢à ⮣® â¥ç¥¨ï á § ¬ªãâ묨 «¨¨ï¬¨ ⮪ | ¯à®¨á室¨â ®âàë¢ ¯®â®ª [37℄. Ǒਠ㢥«¨ç¥¨¨ ç¨á« ¥©®«ì¤á â®çª ®âàë¢ ¯®á⥯¥® ¯¥à¥¬¥é ¥âáï ®â ®á¨ ¯®â®ª ¢¢¥àå ¯® ¯®¢¥àå®á⨠樫¨¤à . ®íää¨æ¨¥â ᮯà®â¨¢«¥¨ï ¤«ï ®âà뢮£® ®¡â¥ª ¨ï 樫¨¤à ¯à¨ 㬥à¥ëå ç¨á« å ¥©®«ì¤á ¬®® ¢ëç¨á«ïâì á ¯®¬®éìî í¬¯¨à¨ç¥áª¨å ä®à¬ã« [219℄ cf cf
= 5,65 · 10−0,78 1 + 0,333 Re0,55 = 5,65 · 10−0,78 1 + 0,148 Re0,82
¯à¨ 2,5 < Re 6 20, (2.7.4) ¯à¨ 20 < Re 6 200.
âà뢮¥ ®¡â¥ª ¨¥ 樫¨¤à ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å ¥©®«ì¤á . Ǒਠ¤ «ì¥©è¥¬ 㢥«¨ç¥¨¨ Re ª®à¬®¢ë¥ ¢¨åਠ㤫¨ï-
îâáï, § ⥬ ç¨ ¥âáï ¨å ¯®®ç¥à¥¤ë© ®âàë¢ (¢¨åॢ ï ¤®à®ª ଠ). ¤®¢à¥¬¥® á í⨬ â®çª ®âàë¢ ¯¥à¥¬¥é ¥âáï ¡«¨¥ ª íª¢ â®à¨ «ì®¬ã á¥ç¥¨î. ®© å à ªâ¥à¨á⨪®© ®¡â¥ª ¨ï 樫¨¤à ï¥âáï ç áâ®â ®âàë¢ ¢¨å३ νf ®â ª®à¬®¢®© ®¡« áâ¨. «ï ¥¥ ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¬®® ¨á¯®«ì§®¢ âì í¬¯¨à¨ç¥áªãî ä®à¬ã«ã [71℄ St =
0,13 cf
1 − exp(−2,38 cf )
,
(2.7.5)
£¤¥ St = aνf µ/ρ | ç¨á«® âàãå «ï. Ǒਢ¥¤¥¬ â ª¥ ¤àã£ãî ¯®«¥§ãî ä®à¬ã«ã ¤«ï ç áâ®âë ®âàë¢ ¢¨å३: νf = 0,08 Ui/b, £¤¥ b | ¯®«ãè¨à¨ ¢¨åॢ®£® á«¥¤ ¢ ¬¥á⥠¥£® à §àã襨ï. ç¨ ï á Re ≈ 0,5 · 103 ¬®® £®¢®à¨âì ® à §¢¨â®¬ £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®¬ ¯®£à ¨ç®¬ á«®¥. § ç¨â¥«ì®© ᢮¥© ç á⨠íâ®â á«®© ®áâ ¥âáï « ¬¨ àë¬ [37℄. Ǒਠ¨§¬¥¥¨¨ ç¨á« ¥©®«ì¤á ¢ ¤¨ ¯ §®¥ 0,5 · 103 < Re < 0,5 · 105 ¯à®¨á室¨â ¯®á⥯¥®¥ ᬥ饨¥ â®çª¨
78
¢¨¥¨¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¢ ¨¤ª®áâ¨
®âàë¢ « ¬¨ ண® ¯®£à ¨ç®£® á«®ï θ0 ®â § 票ï 71,2◦ ¤® 95◦ [37, 184℄. ǑਠRe > 2000 á«¥¤ ¢¤ «¨ ®â ⥫ ®ª®ç â¥«ì® âãà¡ã«¨§ã¥âáï. Ǒ® ¤ ë¬ [94℄ ªà¨¢®© cf (Re) ¥áâì ¤¢ ¯«®áª¨å ãç á⪠(®¡« á⨠¢â®¬®¤¥«ì®áâ¨), £¤¥ ª®íää¨æ¨¥â ᮯà®â¨¢«¥¨ï ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ¥ ¬¥ï¥âáï: cf cf
= 1,0 = 1,1
¯à¨ 3 · 102 < Re < 3 · 103, ¯à¨ 4 · 103 < Re < 105.
(2.7.6)
¯à®¬¥ãâ®ç®© ®¡« á⨠¬¥¤ã 㪠§ 묨 ¯«®áª¨¬¨ ãç á⪠¬¨ ª®íää¨æ¨¥â ᮯà®â¨¢«¥¨ï ¬®®â®® 㢥«¨ç¨¢ ¥âáï à®á⮬ ç¨á« ¥©®«ì¤á .
§¢¨â ï âãà¡ã«¥â®áâì ¢ ¯®£à ¨ç®¬ á«®¥ 樫¨¤à . §¢¨â ï âãà¡ã«¥â®áâì ¢ ¯à¥¤¥« å ¯®£à ¨ç®£® á«®ï áâã-
¯ ¥â ¯à¨ ¡®«¥¥ ¢ë᮪¨å ç¨á« å ¥©®«ì¤á Re ≈ 105 ¨ ᮯ஢®¤ ¥âáï ýªà¨§¨á®¬ ᮯà®â¨¢«¥¨ïþ. Ǒਠí⮬ ¯® ¤ ë¬ [75℄ á ç « ᮯà®â¨¢«¥¨¥ 樫¨¤à १ª® ¯ ¤ ¥â ¤® § 票ï cf ≈ 0,3 ¯à¨ Re = 3,5 · 105 , § ⥬ ç¨ ¥â à á⨠¨ ¢®¢ì ¢ë室¨â ¢â®¬®¤¥«ìë© à¥¨¬, ª®â®à®© å à ªâ¥à¨§ã¥âáï ¯®áâ®ïë¬ § 票¥¬ cf
= 0,9
¯à¨ Re > 5 · 105.
(2.7.7)
ª¨£¥ [71℄ ¯à¨¢¥¤¥ë ¥ª®â®àë¥ ¤ ë¥ ® £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª¨å å à ªâ¥à¨á⨪ å ⥫ ¤à㣮© ä®à¬ë, ª á î騥áï ¢ ®á®¢®¬ ®¡« á⨠¯à¥¤ªà¨§¨á®© ¢â®¬®¤¥«ì®áâ¨. «¨ï¨¥ è¥à®å®¢ â®á⨠¯®¢¥àå®á⨠樫¨¤à ¨ ã஢ï âãà¡ã«¥â®á⨠¡¥£ î饣® ¯®â®ª ª®íää¨æ¨¥â ᮯà®â¨¢«¥¨ï ®¡á㤠¥âáï ¢ [75℄. [85℄ ¨áá«¥¤ã¥âáï § ¢¨á¨¬®áâì £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª¨å å à ªâ¥à¨á⨪ â¥ç¥¨ï ¢ âãà¡ã«¥âëå ¯®£à ¨çëå á«®ïå ®â è¥à®å®¢ â®á⨠¨ ¯à®¤®«ì®£® £à ¤¨¥â ¤ ¢«¥¨ï. ⬥⨬, çâ® ¯à¨ ¨áá«¥¤®¢ ¨¨ ¥ª®â®àëå § ¤ ç ⥯«®- ¨ ¬ áᮯ¥à¥®á ¨ 娬¨ç¥áª®© £¨¤à®¤¨ ¬¨ª¨ ¯®«ï ᪮à®á⨠¢ ®ªà¥áâ®á⨠®¡â¥ª ¥¬ëå ⥫ ¬®£ãâ ®¯à¥¤¥«ïâìáï § ª®®¬¥à®áâﬨ â¥ç¥¨ï ¨¤¥ «ì®© ¥¢ï§ª®© ¨¤ª®áâ¨. ª ï á¨âã æ¨ï å à ªâ¥à ¤«ï â¥ç¥¨© ¢ ¯®à¨á⮩ á।¥ [32, 56, 132℄ ¨ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï ⥫ á ¨¤ª¨¬¨ ¬¥â «« ¬¨ (á¬. à §¤. 4.11, £¤¥ ¯à¨¢¥¤¥® à¥è¥¨¥ ⥯«®¢®© § ¤ ç¨ ¤«ï ¯®â¥æ¨ «ì®£® ®¡â¥ª ¨ï í««¨¯â¨ç¥áª®£® 樫¨¤à ¯®áâ㯠⥫ìë¬ ¯®â®ª®¬ ¨¤¥ «ì®© ¨¤ª®áâ¨).
¡â¥ª ¨¥ ªà㣮¢®£® 樫¨¤à ᤢ¨£®¢ë¬ ¯®â®ª®¬.
ªà¥¯«¥ë© 樫¨¤à. áᬮâਬ ®¡â¥ª ¨¥ § ªà¥¯«¥®£® ªà㣮¢®£® 樫¨¤à ¯à®¨§¢®«ìë¬ áâ 樮 àë¬ «¨¥©ë¬ ᤢ¨£®¢ë¬ ¯®â®ª®¬ ¢ï§ª®© ¥á¨¬ ¥¬®© ¨¤ª®á⨠¢ ¯«®áª®áâ¨, ®à¬ «ì®© ª ®á¨ 樫¨¤à . á¯à¥¤¥«¥¨¥ ᪮à®á⥩ â ª®£® â¥ç¥¨ï ¢¤ «¨
79
2.7. ¡â¥ª ¨¥ 樫¨¤à (¯«®áª ï § ¤ ç )
®â 樫¨¤à ¢ ¤¥ª à⮢®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â X1 , X2 ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ § ¯¨áë¢ ¥âáï â ª: ~ → V
GR~
¯à¨
(2.7.8)
R → ∞.
¥§®à ᤢ¨£ ¢ (2.7.8) ¬®¥â ¡ëâì ¯à¥¤áâ ¢«¥ ¢ ¢¨¤¥ á㬬ë ᨬ¬¥âà¨ç®£® ¨ â¨á¨¬¬¥âà¨ç®£® ⥧®à®¢ G = E + , ª®â®àë¥ á®®â¢¥âáâ¢ãîâ ¤¥ä®à¬ 樮®© ¨ ¢à é ⥫쮩 á®áâ ¢«ïî騬 ¤¢¨¥¨ï ¨¤ª®á⨠¡¥áª®¥ç®áâ¨:
G12
= E1
E 21 G22 2 E1 = G11 = −G22 , E2 =
G =
GG11
E2
+ 0 − , R ~ = X1 ,
−E1
0 X2 1 1 2 (G12 + G21 ), = 2 (G21 − G12 ),
¨ ®¯à¥¤¥«ïîâáï § ¤ ¨¥¬ âà¥å ¥§ ¢¨á¨¬ëå ¢¥«¨ç¨ E1 , E2 , . á⮪ᮢ®¬ ¯à¨¡«¨¥¨¨ (¯à¨ Re → 0) à¥è¥¨¥ ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®© § ¤ ç¨ á £à ¨ç묨 ãá«®¢¨ï¬¨ ¡¥áª®¥ç®á⨠(2.7.8) ¨ ãá«®¢¨ï¬¨ ¯à¨«¨¯ ¨ï ¯®¢¥àå®á⨠樫¨¤à (V~ = 0 ¯à¨ R = a) ¯à¨¢®¤¨â ª äãªæ¨¨ ⮪ [60, 218℄ 1 = a2 E 2 £¤¥
R a − a R
2
1 sin 2θ − a2
2
E = (E12 + E22 )1/2 , θ = θ +θ
E1 E
R2 R − 1 − 2 ln , a2 a
= os(2θ),
E2 E
(2.7.9)
= − sin(2θ)
.
Ǒਠ§ ¯¨á¨ íâ¨å ¢ëà ¥¨© ¨á¯®«ì§®¢ á¨á⥬ ª®®à¤¨ â R, θ, ª®â®à ï ¯®«ãç¥ ¨§ ¨á室®© ¯ã⥬ ¯®¢®à®â 㣮« θ ¨ á¢ï§ á £« ¢ë¬¨ ®áﬨ ᨬ¬¥âà¨ç®£® ⥧®à E (¢ £« ¢ëå ®áïå ⥧®à E ¯à¨¢®¤¨âáï ª ¤¨ £® «ì®¬ã ¢¨¤ã á í«¥¬¥â ¬¨ E ¨ −E ). ¨áâ® ¤¥ä®à¬ æ¨®ë© á¤¢¨£ ®â¢¥ç ¥â § 票î = 0, ¯à®á⮩ ᤢ¨£ § ¤ ¥âáï ¯ à ¬¥âà ¬¨ E1 = 0, = −E2 . Ǒ®«¥ ᪮à®á⥩ ¨¤ª®á⨠®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯ã⥬ ¯®¤áâ ®¢ª¨ ¢ëà ¥¨ï (2.7.9) ¢ ä®à¬ã«ë (1.1.11). âàãªâãà «¨¨© ⮪ = onst áãé¥áâ¢¥ë¬ ®¡à §®¬ § ¢¨á¨â ®â ¯ à ¬¥â஢ E ¨ . «ï ª ç¥á⢥®£® «¨§ â¥ç¥¨ï 㤮¡® ¢¢¥á⨠¡¥§à §¬¥àãî 㣫®¢ãî ᪮à®áâì ¢à é¥¨ï ¯®â®ª ¢¤ «¨ ®â 樫¨¤à
E = /E. Ǒਠ0 6 | E | 6 1 ¢á¥ «¨¨¨ ⮪ à §®¬ªãâë ¨ ¯®¢¥àå®á⨠樫¨¤à ¨¬¥îâáï ç¥âëॠªà¨â¨ç¥áª¨¥ â®çª¨ á 㣫®¢ë¬¨ ª®®à¤¨ â ¬¨ 1
π θk = (−1)k+1 ar sin E + (k − 1), £¤¥ k = 1, 2, 3, 4. 2 2 2
80
¢¨¥¨¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¢ ¨¤ª®áâ¨
奬 ®¡â¥ª ¨ï § ªà¥¯«¥®£® ªà㣮¢®£® 樫¨¤à «¨¥©ë¬ ᤢ¨£®¢ë¬ ¯®â®ª®¬: ) ¤¥ä®à¬ 樮®¥ â¥ç¥¨¥ ( E = 0), ¡) ¯à®á⮩ ᤢ¨£ (| E | = 1)
¨á. 2.10.
à¨á. 2.10 ª ç¥á⢥® ¨§®¡à ¥ë «¨¨¨ ⮪ ¤«ï ç¨áâ® ¤¥ä®à¬ 樮®£® (¯à¨ E = 0) ¨ ¯à®á⮣® (¯à¨ E = 1) ᤢ¨£®¢®£® â¥ç¥¨ï. ¢¥«¨ç¥¨¥ ¡¥§à §¬¥à®© 㣫®¢®© ᪮à®á⨠¢à é¥¨ï ¯®â®ª ¡¥áª®¥ç®á⨠E ®â ã«ï ¤® ¥¤¨¨æë ᤢ¨£ ¥â ªà¨â¨ç¥áªãî â®çªã á⥪ ¨ï ¯®¢¥àå®á⨠樫¨¤à θk ¯à®â¨¢ ç ᮢ®© áâ५ª¨ 15◦ . Ǒਠ| E | > 1 ¯®¢¥àå®áâì 樫¨¤à ®ªà㥠§ ¬ªãâ묨 «¨¨ï¬¨ ⮪ , ¢¤ «¨ ®â 樫¨¤à «¨¨¨ ⮪ à §®¬ªãâë. C¢®¡®¤® ¢à é î騩áï 樫¨¤à. áᬮâਬ ⥯¥àì ®¡â¥ª ¨¥ ªà㣮¢®£® 樫¨¤à , ᢮¡®¤® ¢§¢¥è¥®£® ¢ ¯à®¨§¢®«ì®¬ «¨¥©®¬ ᤢ¨£®¢®¬ á⮪ᮢ®¬ (Re → 0) ¯®â®ª¥. á¯à¥¤¥«¥¨¥ ᪮à®á⥩ ¨¤ª®á⨠⠪®£® â¥ç¥¨ï ¢¤ «¨ ®â 樫¨¤à , ª ª ¨ à ¥¥, § ¤ ¥âáï á®®â®è¥¨ï¬¨ (2.7.8). ᨫã ãá«®¢¨ï ¯à¨«¨¯ ¨ï ¨¤ª®á⨠¯®¢¥àå®á⨠᢮¡®¤® ¢§¢¥è¥®£® ¢ ᤢ¨£®¢®¬ ¯®â®ª¥ ªà㣮¢®£® 樫¨¤à , ® ¡ã¤¥â ¢à é âìáï á ¯®áâ®ï®© 㣫®¢®© ᪮à®áâìî, à ¢®© ᪮à®á⨠¢à é¥¨ï ¯®â®ª ¡¥áª®¥ç®áâ¨. ª § ®¥ ®§ ç ¥â, çâ® ¯®¢¥àå®á⨠樫¨¤à ¤®«ë ¢ë¯®«ïâìáï á«¥¤ãî騥 £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï ¤«ï ª®¬¯®¥â ᪮à®á⨠¨¤ª®áâ¨: VR
= 0,
Vθ
=
¯à¨
R = a.
(2.7.10)
¥è¥¨¥ £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®© § ¤ ç¨ ®¡ ®¡â¥ª ¨¨ ᢮¡®¤® ¢à é î饣®áï 樫¨¤à ¯à®¨§¢®«ìë¬ á¤¢¨£®¢ë¬ áâ®ªá®¢ë¬ ¯®â®ª®¬ á £à ¨ç묨 ãá«®¢¨ï¬¨ (2.7.8), (2.7.10) ¨¬¥¥â ¢¨¤ [60, 218℄ 1 = a2 E 2 VR
=
a2 E R
R a − a R
R a − a R
2
2
R2 −1 , a2 a4 Vθ = R − ER 1 − 4 sin 2θ, R (2.7.11)
1 sin 2θ − a2
2
os 2θ,
81
2.7. ¡â¥ª ¨¥ 樫¨¤à (¯«®áª ï § ¤ ç )
奬 ®¡â¥ª ¨ï ᢮¡®¤® ¢à é î饣®áï ªà㣮¢®£® 樫¨¤à «¨¥©ë¬ ᤢ¨£®¢ë¬ ¯®â®ª®¬ (¯à¥¤¥«ìë¥ «¨¨¨ ⮪ = ¢ë¤¥«¥ë): ) ¯à®á⮩ ᤢ¨£ (| E | = 1), ¡) ®¡é¨© á«ãç © ¯«®áª®£® ᤢ¨£®¢®£® â¥ç¥¨ï (0 < | E | < 1)
¨á. 2.11.
£¤¥ ¯ à ¬¥âàë E1 , E2 , E , ¢¢¥¤¥ë â ª ¥, ª ª ¢ § ¤ ç¥ ®¡ ®¡â¥ª ¨¨ § ªà¥¯«¥®£® 樫¨¤à . ¤ ®¬ á«ãç ¥ ¯®¢¥àå®á⨠樫¨¤à ¯à¨ E 6= 0 ®âáãâáâ¢ãîâ ªà¨â¨ç¥áª¨¥ â®çª¨ ¨ áãé¥áâ¢ã¥â ¤¢ ª ç¥á⢥® à §«¨çëå ⨯ â¥ç¥¨ï, ª®â®àë¥ å à ªâ¥à¨§ãîâáï ¢¥«¨ç¨®© 㣫®¢®© ᪮à®á⨠. ¨¬¥®, ¯à¨ 0 < | E | 6 1 ¢ ¯®â®ª¥ ¨¬¥îâáï ª ª § ¬ªãâë¥, â ª ¨ à §®¬ªãâë¥ «¨¨¨ ⮪ ; ¯à¨ í⮬ ª ¯®¢¥àå®á⨠樫¨¤à ¯à¨¬ëª ¥â ®¡« áâì á ¯®«®áâìî § ¬ªãâ묨 «¨¨ï¬¨ ⮪ , ¢¤ «¨ ®â 樫¨¤à «¨¨¨ ⮪ à §®¬ªãâë (à¨á. 2.11). Ǒਠ| E | > 1 ¢á¥ «¨¨¨ ⮪ § ¬ªãâë. § ä®à¬ã« (2.7.11) á«¥¤ã¥â, çâ® ¯à¨ 0 < | E | 6 1 ¢ ¯®â®ª¥ áãé¥áâ¢ãîâ ¤¢¥ ªà¨â¨ç¥áª¨¥ â®çª¨ á ª®®à¤¨ â ¬¨ θ1◦
=
π
4
,
θ2◦
=
5π , 4
R◦1,2
=a
1 1 − E
1/4
,
(2.7.12)
¢ ª®â®àëå ᪮à®áâì ®¡à é ¥âáï ¢ ã«ì: VR◦ = Vθ◦ = 0. ⨠®á®¡ë¥ â®çª¨ ïîâáï â®çª ¬¨ á ¬®¯¥à¥á¥ç¥¨ï ¯à¥¤¥«ì®© «¨¨¨ ⮪ , ª®â®à ï à §£à ¨ç¨¢ ¥â ®¡« áâ¨ á § ¬ªãâ묨 ¨ à §®¬ªãâ묨 «¨¨ï¬¨ ⮪ (à¨á. 2.11). Ǒ।¥«ì ï «¨¨ï ⮪ ®¯¨áë¢ ¥âáï ãà ¢¥¨¥¬ = á ,
= a 2 E
1 1/2 . 2 E − 1 + (1 − E )
ǑਠE → 0 ¨§ ä®à¬ã«ë (2.7.12) ¨¬¥¥¬ R◦1,2 → a, â.¥. ¯à¨ 㬥ì襨¨ 㣫®¢®© ᪮à®á⨠¢à é¥¨ï ¯®â®ª ªà¨â¨ç¥áª¨¥ â®çª¨ áâ६ïâáï ª ¯®¢¥àå®á⨠樫¨¤à . ¤à㣮¬ ¯à¥¤¥«ì®¬ á«ãç ¥
82
¢¨¥¨¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¢ ¨¤ª®áâ¨
E → 1, ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¯à®á⮬ã ᤢ¨£ã, ¯®«ãç ¥¬ R1◦,2 → ∞ (â.¥. ªà¨â¨ç¥áª¨¥ â®çª¨ ã室ïâ ¡¥áª®¥ç®áâì). ⬥⨬, çâ® ¢ à ¡®â¥ [76℄ à¥è¥ «®£¨ç ï ¯«®áª ï § ¤ ç ®¡ ®¡â¥ª ¨¨ ¯®à¨á⮣® 樫¨¤ ¯à®¨§¢®«ìë¬ «¨¥©ë¬ ᤢ¨£®¢ë¬ ¯®â®ª®¬. «ï ®¯¨á ¨ï â¥ç¥¨ï ¢¥ ç áâ¨æë ¨á¯®«ì§®¢ «¨áì ãà ¢¥¨ï â®ªá ¨ áç¨â «®áì, çâ® ¢ãâਠç áâ¨æë ¯à®¨á室¨â 䨫ìâà æ¨ï ¢¥è¥© ¨¤ª®á⨠§ ª®ã àᨠ(2.2.24). ¯à¥¤¥«¥® ª®«¨ç¥á⢮ ¨¤ª®áâ¨, ¯à®á 稢 î饩áï ¢ãâàì 樫¨¤à ¢ ¥¤¨¨æ㠢६¥¨. 2.8. ¡â¥ª ¨¥ ¤¥ä®à¬¨à®¢ ëå ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३
¨ ¬¨ç¥áª®¥ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ á ¯®â®ª®¬ ¢§¢¥è¥ëå ¢ ¥¬ ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¬®¥â ¯à¨¢®¤¨âì ª ¨å ¤¥ä®à¬ 樨, ¨®£¤ ¨ ª ¤à®¡«¥¨î. ⮠¥¨¥ ®ª §ë¢ ¥âáï ¢ ë¬ ¢ 娬¨ª®-â¥å®«®£¨ç¥áª¨å ¯à®æ¥áá å, ¯®áª®«ìªã ¯à¨¢®¤¨â ª ¨§¬¥¥¨î ¯«®é ¤¨ ¬¥ä §®© ¯®¢¥àå®áâ¨, ®â®á¨â¥«ì®© ᪮à®á⨠¤¢¨¥¨ï ä § ¨ ¥áâ 樮 àë¬ íä䥪⠬. ®§¬ãé î騬¨ ¢®§¤¥©á⢨ﬨ ïîâáï ¯à¨ í⮬ ¢ï§ª¨¥ ¨«¨ ¨¥àæ¨®ë¥ á¨«ë, ¯à¥¯ïâáâ¢ãî騬¨ | ª ¯¨««ïàë¥ á¨«ë. a Uµ ®à¬ ¯ã§ëàï § ¢¨á¨â ®â ¢¥«¨ç¨ë ç¨á¥« ¥©®«ì¤á Re = e i ¨
ρ ae Ui2 ρ ¥¡¥à We = , £¤¥ µ ¨ ρ | ¤¨ ¬¨ç¥áª ï ¢ï§ª®áâì ¨ ¯«®â®áâì σ ᯫ®è®© ä §ë, σ | ª®íää¨æ¨¥â ¯®¢¥àå®á⮣® â泌ï, ae |
à ¤¨ãá áä¥àë, ®¡ê¥¬ ª®â®à®© à ¢¥ ®¡ê¥¬ã ¯ã§ëàï.
« ¡ë¥ ¤¥ä®à¬ 樨 ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¢ ¯®áâ㯠⥫쮬 ¨ ᤢ¨£®¢®¬ ¯®â®ª å ¯à¨ ¬ «ëå ç¨á« å ¥©®«ì¤á .
Ǒ®áâ㯠⥫ìë© ¯®â®ª. Ǒਠ¬ «ëå ç¨á« å ¥©®«ì¤á ¨ ¥¡¥à ®á¥á¨¬¬¥âà¨ç ï § ¤ ç ® ¬¥¤«¥®¬ ¯®áâ㯠⥫쮬 ¤¢¨¥¨¨ ª ¯«¨ á ãáâ ®¢¨¢è¥©áï ᪮à®áâìî Ui ¢ ¯®ª®ï饩áï ¨¤ª®á⨠¨áá«¥¤®¢ « áì ¢ [310℄. ç¨â «®áì ¢ë¯®«¥ë¬ ãá«®¢¨¥ We = O(Re2 ). «ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¤¥ä®à¬ 樨 ¯®¢¥àå®á⨠ª ¯«¨ ¨á¯®«ì§®¢ «®áì ãá«®¢¨¥ à ¢¥áâ¢ áª çª ®à¬ «ìëå ¯à泌© ¨§¡ëâ®ç®¬ã ¤ ¢«¥¨î, ®¡ãá«®¢«¥®¬ã ᨫ ¬¨ ¯®¢¥àå®á⮣® â泌ï. ë«® ¯®ª § ®, çâ® ª ¯«ï ¨¬¥¥â ä®à¬ã ᯫîáã⮣® (¢ ¯à ¢«¥¨¨ ¤¢¨¥¨ï) í««¨¯á®¨¤ ¢à 饨ï á ®â®è¥¨¥¬ ¡®«ì让 ¨ ¬ «®© ¯®«ã®á¨, à ¢ë¬
χ = 1 + δ We .
(2.8.1)
¤¥áì ¡¥§à §¬¥àë© ¯ à ¬¥âà δ ¤ ¥âáï ¢ëà ¥¨¥¬ δ
=
3 8(β + 1)3
81 3 57 2 103 3 β + β + β+ 80 20 40 4
−
γ−1
12
(β + 1)
,
2.8. ¡â¥ª ¨¥ ¤¥ä®à¬¨à®¢ ëå ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३
83
£¤¥ β | ®â®è¥¨¥ ¤¨ ¬¨ç¥áª¨å ¢ï§ª®á⥩ ª ¯«¨ ¨ ®ªàã î饩 ¨¤ª®áâ¨, γ | ®â®è¥¨¥ ¯«®â®á⥩ ª ¯«¨ ¨ ®ªàã î饩 ¨¤ª®áâ¨. §®¢®¬ã ¯ã§ëàî ®â¢¥ç îâ § 票ï β ≈ 0, γ ≈ 0. C¤¢¨£®¢ë© ¯®â®ª. ¡â¥ª ¨¥ ª ¯«¨ ¯à®áâë¬ á¤¢¨£®¢ë¬ ¯®â®ª®¬ à áᬠâਢ «®áì ¢ [308, 309℄. ¤ «¨ ®â ª ¯«¨ ¨á¯®«ì§®¢ «¨áì £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï VX → GY,
VY → 0,
VZ → 0
¯à¨
R → ∞,
£¤¥ R = (X 2 + Y 2 + Z 2)1/2 . ¤ ç à¥è « áì ¢ á⮪ᮢ®¬ ¯à¨¡«¨¥¨¨ ¯à¨ ¬ «ëå § 票ïå ¡¥§à §¬¥à®£® ¯ à ¬¥âà Gae µ/σ. ë«® ¯®ª § ®, çâ® ä®à¬ ª ¯«¨ ®¯¨áë¢ ¥âáï ãà ¢¥¨¥¬ R = ae
1+
Gae µ σ
19 β + 16 XY 16 β + 16
(2.8.2)
¨ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¢ëâïãâë© í««¨¯á®¨¤ ¢à 饨ï. ªá¯¥à¨¬¥â «ìë¥ ¤ ë¥ [308℄ ¯®¤â¢¥à¤ îâ á¯à ¢¥¤«¨¢®áâì ãà ¢¥¨ï (2.8.2).
á¯«ë¢ ¨¥ í««¨¯á®¨¤ «ì®£® ¯ã§ëàï ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å ¥©®«ì¤á . áᬮâਬ ¤¢¨¥¨¥ £ §®¢®£® ¯ã§ëàï ¯à¨ ¡®«ì-
è¨å ç¨á« å ¥©®«ì¤á . Ǒਠ¬ «ëå We ä®à¬ ¯ã§ëàï ¡«¨§ª ª áä¥à¨ç¥áª®©. 票ï ç¨á¥« ¥¡¥à ¯®à浪 ¥¤¨¨æë á®áâ ¢«ïîâ ¢ ãî ¤«ï ¯à ªâ¨ª¨ ¯à®¬¥ãâ®çãî ®¡« áâì ¨§¬¥¥¨ï We, ª®£¤ ¯ã§ëàì, ¡ã¤ãç¨ áãé¥á⢥® ¤¥ä®à¬¨à®¢ ë¬, á®åà ï¥â ᨬ¬¥âà¨î ®â®á¨â¥«ì® ᢮¥£® ¬¨¤¥«¥¢ á¥ç¥¨ï. «ï â ª¨å § 票© We ä®à¬ ¯ã§ëàï å®à®è® ¯¯à®ªá¨¬¨àã¥âáï ᯫîáãâë¬ ¢ ¯à ¢«¥¨¨ ¯®â®ª í««¨¯á®¨¤®¬ ¢à 饨ï á ¯®«ã®áﬨ a ¨ b = χa, £¤¥ ¯®«ã®áì b ®à¨¥â¨à®¢ ¯®¯¥à¥ª ¯®â®ª ¨ χ > 1. ॡ®¢ ¨¥ ¢ë¯®«¥¨ï £à ¨ç®£® ãá«®¢¨ï ¤«ï ®à¬ «ìëå ¯à泌© ¢ ¯¥à¥¤¥© ¨ § ¤¥© ªà¨â¨ç¥áª¨å â®çª å, â ª¥ ¢¤®«ì £à ¨æë ¬¨¤¥«¥¢ á¥ç¥¨ï ¯ã§ëàï ¯à¨¢®¤¨â ª á«¥¤ãî饩 § ¢¨á¨¬®á⨠¬¥¤ã ç¨á«®¬ ¥¡¥à We ¨ ®â®è¥¨¥¬ χ ¡®«ì让 ¨ ¬ «®© ¯®«ã®á¨ í««¨¯á®¨¤ [261℄: We = 2χ−4/3 (χ3 + χ − 2)
2 2 χ ar se χ − (χ2 − 1)1/2 (χ − 1)−3 .
(2.8.3)
¨á«¥ë¥ ®æ¥ª¨ [261℄ ¯®ª §ë¢ îâ, çâ® ¬ ªá¨¬ «ì®¥ ®âª«®¥¨¥ ¨á⨮© ªà¨¢¨§ë ®â ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® § ç¥¨ï ¤«ï ¯¯à®ªá¨¬¨àãî饣® í««¨¯á®¨¤ ¥ ¯à¥¢ëè ¥â 5% ¯à¨ We 6 1 (χ 6 1,5) ¨ 10% ¯à¨ We 6 1,4 (χ 6 2). ⬥⨬, çâ® ¯à¨ Re > 0,55 M−1/5
(M = gρ3ν 4 σ−3 )
84
¢¨¥¨¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¢ ¨¤ª®áâ¨
¯à®¨á室¨â ®âª«®¥¨¥ ä®à¬ë ¯ã§ëàï ®â áä¥à¨ç¥áª®© ¡®«¥¥ 祬 5% (ν | ª¨¥¬ â¨ç¥áª ï ¢ï§ª®áâì ¨¤ª®áâ¨, g | ã᪮२¥ ᨫë âï¥áâ¨, M | ¡¥§à §¬¥à®¥ ç¨á«® ®àâ® , § ¢¨áï饥 ⮫쪮 ®â ᢮©á⢠¨¤ª®áâ¨). «ï ®¡ëçëå ¨¤ª®á⥩ ⨯ ¢®¤ë ¨¬¥¥¬ M ∼ 10−10, ¨ ¤¥ä®à¬ æ¨î ¯ã§ëàï á«¥¤ã¥â ¯à¨¨¬ âì ¢® ¢¨¬ ¨¥, ç¨ ï á Re ∼ 102 . («ï ¥ä⨠M ∼ 10−2 ¨ ¤¥ä®à¬ æ¨ï ¯ã§ëàï áâ ®¢¨âáï áãé¥á⢥®©, ç¨ ï á ¬ «ëå ç¨á¥« ¥©®«ì¤á .) à ¡®â å [40, 126℄ ¯®«ãç¥ áª®à®áâì ¢á¯«ëâ¨ï í««¨¯á®¨¤ «ì®£® ¯ã§ëàï Ui ¨ ®â®è¥¨¥ ¥£® ®á¥© χ ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â íª¢¨¢ «¥â®£® à ¤¨ãá ae = (ab2 )1/3 . ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ¢ëà ¥¨¥ ¤«ï ᪮à®á⨠¢á¯«ëâ¨ï ¯ã§ëàï ¨¬¥¥â ¢¨¤ Ui
= U0 f (M, ae/a0 ),
(2.8.4)
£¤¥ ¡¥§à §¬¥à®¥ ç¨á«® ®àâ® M ¨ à §¬¥àë¥ ¢¥«¨ç¨ë § ¢¨áïâ ⮫쪮 ®â ᢮©á⢠¨¤ª®á⨠2 1/5 σ g U0 = , ρ2 ν
=
a0
σν 2 ρg 2
1/5
U 0 , a0
(2.8.5)
.
Ǒਠãá«®¢¨¨ M1/5 ≪ 1, ª®â®à®¥ ®¡ëç® ¢ë¯®«ï¥âáï, ®â®è¥¨¥ Ui /U0 ¨ ¤¥ä®à¬ æ¨ï χ § ¢¨áïâ ⮫쪮 ®â ae /a0 . ⨠äãªæ¨¨ 㨢¥àá «ìë ¨ ¬®£ãâ ¡ëâì ¯à¥¤áâ ¢«¥ë ¢ á«¥¤ãî饬 ¢¨¤¥ [40, 42℄: ae /a0
= We1/5 E 2/5 ,
Ui /U0
= We2/5 E −1/5 .
(2.8.6)
¤¥áì We(χ) § ¤ ¥âáï ä®à¬ã«®© (2.8.3) ¨«¨ ¡®«¥¥ â®ç®© [40, 42℄ We(χ) = 2ρae
dS dχ
dm dχ
−1
(2.8.7)
,
£¤¥ S ¨ m | ¯«®é ¤ì ¯®¢¥àå®á⨠¨ ¯à¨á®¥¤¨¥ ï ¬ áá í««¨¯á®¨¤ 2 1/3 2 (1 + α )
ln 1 + α2 4π 3 (1 + α2 )(1 − α ar
tg α) a , m= 3 e 1 − (1 + α2 )(1 − α ar
tg α)
S
= 2πae
α2/3
1+
α2
√
√
1 + 1 + α2 α χ=
r
1+
!
,
1
. α2
ãªæ¨ï E (α) ᮣ« á® [42℄ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä®à¬ã«®© E (α)
=
3(1 + α2 )2/3 [α + (1 − α2 )ar
tg α℄ . α7/3 [(1 + α2 )ar
tg α − α℄2
(2.8.8)
2.8. ¡â¥ª ¨¥ ¤¥ä®à¬¨à®¢ ëå ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३
85
Ǒਠae 6 3a0 ¤«ï ¤¥ä®à¬ 樨 ¨ ᪮à®á⨠¢á¯«ëâ¨ï ¬®® ¯®«ì§®¢ âìáï ᨬ¯â®â¨ª ¬¨ [126℄
1 (a /a )5 , χ = 1 + 288 e 0
Ui
=
2 1 9 U0 (ae /a0 ) .
(2.8.9)
¥§à §¬¥à ï ᪮à®áâì ¢á¯«ëâ¨ï Ui/U0 ᮣ« á® (2.8.6) ¤®á⨣ ¥â ¨¡®«ì襣® § 票ï, à ¢®£® 0,6, ¯à¨ ae = 3,7 a0, χ = 1,9, ç⮠室¨âáï ¢ ᮣ« ᨨ á íªá¯¥à¨¬¥â «ì묨 ¤ 묨.
Ǒਠ¤ «ì¥©è¥¬ à®áâ¥ à §¬¥à ¯ã§ëàï ae > 3,7 a0 ¢ï§ª®¥ ᮯà®â¨¢«¥¨¥, ¢á«¥¤á⢨¥ 㢥«¨ç¥¨ï χ, à áâ¥â ¡ëáâ॥ ᨫë à娬¥¤ ¨ ᪮à®áâì ¯ã§ëàï ¯ ¤ ¥â. Ǒਠae/a0 > 8 ¬®¤¥«ì í««¨¯á®¨¤ «ì®£® ¯ã§ëàï áâ ®¢¨âáï ¥¯à¨¬¥¨¬®©.
®£® í¬¯¨à¨ç¥áª¨å á®®â®è¥¨© ¤«ï ãáâ ®¢¨¢è¥©áï ᪮à®á⨠¤¢¨¥¨ï ¤¥ä®à¬¨à®¢ ëå ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३, ¢ ⮬ ç¨á«¥ ¨ ¤«ï ¡®«¥¥ á«®ëå, 祬 í««¨¯á®¨¤ «ì ï, ä®à¬, ¯à¨¢¥¤¥® ¢ [219℄.
86
¢¨¥¨¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¢ ¨¤ª®áâ¨
á¯«ë¢ ¨¥ ªà㯮£® ¯ã§ëàï ¢ ¢¨¤¥ áä¥à¨ç¥áª®£® ᥣ¬¥â . á¯«ë¢ î騥 ¯ã§ëਠ¨ ª ¯«¨ ¯® ¬¥à¥ ãªà㯥¨ï ¨å à §-
¬¥à®¢ ¯à¨¨¬ îâ à ¢®¢¥áãî ä®à¬ã, ¢á¥ ¡®«¥¥ ®â«¨ç îéãîáï ®â áä¥à¨ç¥áª®©.
᫨ ¯à¨ ¬ «ëå ¨ 㬥à¥ëå Re ¨ ¬ «ëå We ä®à¬ ¯ã§ëàï ¡«¨§ª ª áä¥à¨ç¥áª®©, â® ¯à¨ 㬥à¥ëå Re = 102 ÷ 103 ¨ We ¯®à浪 ¥áª®«ìª¨å ¥¤¨¨æ ä®à¬ ¯ã§ëàï ¬®¥â ¯à¨¡«¨¥® ¬®¤¥«¨à®¢ âìáï ᯫîáãâë¬ í««¨¯á®¨¤®¬, âà ¥ªâ®à¨ï ¥£® ¤¢¨¥¨ï ¬®¥â ¯à¥¤áâ ¢«ïâì ᮡ®© ¢¨â®¢ãî «¨¨î. Ǒਠ¤ «ì¥©è¥¬ 㢥«¨ç¥¨¨ We ý¤®þ ¯ã§ëàï áâ ®¢¨âáï ¢á¥ ¡®«¥¥ ¯«®áª¨¬. ª®¥æ, ¯à¨ We > 10 ¨ ¡®«ìè¨å Re ¯ã§ëàì ¯à¨¨¬ ¥â ä®à¬ã ý®¯à®ª¨ã⮩ ç è¥çª¨þ ¨«¨ áä¥à¨ç¥áª®£® ᥣ¬¥â ¨ ¯®¤¨¬ ¥âáï ¯® ¢¥à⨪ «¨. Ǒ®¤à®¡ë© «¨§ ®¯¨á ëå २¬®¢ ¤ ¢ [219℄. áâ ®¢¨¢è ïáï ᪮à®áâì ¢á¯«ë¢ ¨ï ªà㯮£® ¯ã§ëàï ¬®¥â ¡ëâì ®¯à¥¤¥«¥ ¨áå®¤ï ¨§ á«¥¤ãî饩 ¬®¨á. 2.12. ç¥á⢥ ï ª à⨠®¡â¥ª ¨ï ¯ã§ëàï ¢ ¢¨¤¥ ᥣ¬¥â ¤¥«¨, ¯®¤â¢¥à¤ ¥¬®© ¢¨§ã «ì묨 ¡«î¤¥¨ï¬¨. Ǒã§ëàì ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© áä¥à¨ç¥áª¨© ᥣ¬¥â (à¨á. 2.12) á 㣫®¬ ¯®«ãà á⢮à 0 6 θ 6 θ∗ , £¤¥ 㣫®¢ ï ª®®à¤¨ â θ ®âáç¨âë¢ ¥âáï ®â ¯¥à¥¤¥© ªà¨â¨ç¥áª®© â®çª¨. áâ ¢èãîáï ç áâì áä¥àë § ¨¬ ¥â â®à®¨¤ «ìë© ª®à¬®¢®© ¢¨åàì, â ª çâ® ¢¥è¨© ¯®â®ª ®¡â¥ª ¥â ¯®«ãî áä¥àã. ¥ç¥¨¥ ¢ ®ªà¥áâ®á⨠áä¥à¨ç¥áª®© £à ¨æë £ §®¢®£® ¯ã§ëàï áç¨â ¥âáï ¯®â¥æ¨ «ìë¬ [100℄. à ¡®â å [36, 219℄ ®á®¢¥ í⮩ ¬®¤¥«¨ ¡ë« ¯®«ãç¥ áª®à®áâì ¯®¤ê¥¬ â ª®£® ¯ã§ëàï √ Ui = 32 ag, (2.8.10) £¤¥ a | à ¤¨ãá ªà¨¢¨§ë áä¥à¨ç¥áª®£® ᥣ¬¥â . ®à¬ã« (2.8.10) ¥¯«®å® ®¯¨áë¢ ¥â íªá¯¥à¨¬¥â «ìë¥ ¤ ë¥ [219℄. Ǒਢ¥¤¥¬ â ª¥ í¬¯¨à¨ç¥áªãî ä®à¬ã«ã [40℄, ¢ëà îéãî ᪮à®áâì ¯®¤ê¥¬ ¯ã§ëàï ¢ ¢¨¤¥ áä¥à¨ç¥áª®£® ᥣ¬¥â ç¥à¥§ à ¤¨ãá íª¢¨¢ «¥â®© ¯® ®¡ê¥¬ã áä¥àë ae: √ Ui = 1,01 ae g. «ï ®æ¥ª¨ 㣫 ¯®«ãà á⢮à θ∗ ᥣ¬¥â á¯à ¢¥¤«¨¢ ¯®«ãí¬¯¨à¨ç¥áª ï ä®à¬ã« θ∗ = 50 + 190 exp −0,62 Re0,4 ,
2.8. ¡â¥ª ¨¥ ¤¥ä®à¬¨à®¢ ëå ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३
87
£¤¥ θ∗ ¢ëà ¥âáï ¢ £à ¤ãá å. ¬¥â¨¬, çâ® ¯à¨ Re > 102 ¬®® áç¨â âì θ∗ ≈ 50◦ . á¯«ë¢ ¨¥ (®á ¤¥¨¥) ªàã¯ëå ¬ «®¢ï§ª¨å ª ¯¥«ì â ª¥ ¬®¥â ᮯ஢®¤ âìáï ᨫ쮩 ¤¥ä®à¬ 樥© ¨å ¯®¢¥àå®áâ¨, ª®â®à ï ¯à¨¨¬ ¥â ä®à¬ã áä¥à¨ç¥áª®£® ᥣ¬¥â . ª®à®áâì ¢á¯«ë¢ ¨ï â ª¨å ª ¯¥«ì ¬®® ®æ¥¨âì ¯® ä®à¬ã«¥ [219℄ 2 Ui = 3
s
ga
|ρ| , ρ
(2.8.11)
£¤¥ a | à ¤¨ãá ªà¨¢¨§ë áä¥à¨ç¥áª®£® ᥣ¬¥â , g | ã᪮२¥ ᨫë âï¥áâ¨, ρ | ¯«®â®áâì ¨¤ª®áâ¨, ρ | à §®áâì ¯«®â®á⥩ ¨¤ª®© ¨ £ §®¢®© ä §ë.
¥ä®à¬ æ¨ï ª ¯¥«ì, ¤¢¨ãé¨åáï ¢ £ §¥ ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å ¥©®«ì¤á . [128℄ ¨áá«¥¤®¢ § ¢¨á¨¬®áâì ¤¥ä®à¬ 樨 ª ¯«¨ ®â ç¨á« ¥¡¥à ¨ ¨â¥á¨¢®á⨠¢¨åàï ¢ãâਠª ¯«¨. ë«® ¯®ª § ®, çâ® ä®à¬ ª ¯«¨ ¡«¨§ª ª ᯫîáã⮬ã í««¨¯á®¨¤ã ¢à 饨ï á ®â®è¥¨¥¬ ¯®«ã®á¥© χ > 1. Ǒਠ®âáãâá⢨¨ ¢¨åàï ¢ãâਠª ¯«¨ íâ § ¢¨á¨¬®áâì ᮣ« áã¥âáï á äãªæ¨¥© We(χ), ¯à¨¢¥¤¥®© ¢ (2.8.3). Ǒਠ㢥«¨ç¥¨¨ ¨â¥á¨¢®á⨠¢ãâ॥£® ¢¨åàï χ 㬥ìè ¥âáï. Ǒ®í⮬㠤¢¨ã騥áï ¢ £ §¥ ª ¯«¨ ¨¬¥îâ ¤¥ä®à¬ æ¨î § ç¨â¥«ì® ¬¥ìèãî ¯® áà ¢¥¨î á ¯ã§ëàﬨ ¯à¨ ®¤®¬ ¨ ⮬ ¥ ç¨á«¥ ¥¡¥à We. ¥«¨ç¨ ¢¨åàï ¢ãâà¨ í««¨¯á®¨¤ «ì®© ª ¯«¨, ª ª ¨ ã ¢¨åàï ¨«« , ¯à®¯®à樮 «ì à ááâ®ï¨î R ®â ®á¨ ᨬ¬¥âਨ ω
= | rot V~2 | = AR sin θ.
Ǒ à ¬¥âà ¨â¥á¨¢®á⨠¢¨åàï ¢ëà ¥âáï ç¥à¥§ χ á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬ [128℄: U v (4 + χ2 )2 A = 3 2i 2 max , (2.8.12) ae χ (16 − 2χ2 + χ4 ) £¤¥ § ¢¨á¨¬®áâì vmax ®â Re1 ¨ Re2 ®¯¨áë¢ ¥âáï ¢ëà ¥¨ï¬¨ (2.4.8), (2.4.9); ae | à ¤¨ãá íª¢¨¢ «¥â®© ¯® ®¡ê¥¬ã áä¥àë. áâ ®¢¨¢èãîáï ᪮à®áâì ¯ ¤¥¨ï ª ¯«¨ ¢ £ §¥ ( ¯à¨¬¥à, ¤®¤¥¢®© ª ¯«¨ ¢ ¢®§¤ãå¥) ¬®® ¢ëç¨á«ïâì ¯® ä®à¬ã«¥ Ui
=
s
8aegγ , 3cf
(2.8.13)
£¤¥ γ | ®â®è¥¨¥ ¯«®â®á⥩ ª ¯«¨ ¨ £ § , ª®íää¨æ¨¥â ᮯà®â¨¢«¥¨ï cf á¢ï§ á ¯ à ¬¥â஬ χ í¬¯¨à¨ç¥áª®© § ¢¨á¨¬®áâìî: cf
= 0,365 χ1,8 .
(2.8.14)
88
¢¨¥¨¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¢ ¨¤ª®áâ¨
®à¬ã«ë (2.8.12) | (2.8.14) ¢¬¥áâ¥ á § ¢¨á¨¬®áâìî χ(We, A) ¯®«®áâìî ®¯à¥¤¥«ïîâ ¤¢¨¥¨¥ ª ¯«¨ ¢ £ §¥. [128℄ ¯®«ã祮 ãá«®¢¨¥ à §àãè¥¨ï ª ¯«¨, á¢ï§ ®¥ á íªá¯®¥æ¨ «ìë¬ à®á⮬ ¬¯«¨âã¤ë ª®«¥¡ ¨©. «ï ¤®¤¥¢®© ª ¯«¨ íâ® ãá«®¢¨¥ ¯à¨¡«¨§¨â¥«ì® ᮮ⢥âáâ¢ã¥â § ç¥¨ï¬ χ = 53 , We = 5, ae = 3,8 ¬¬. Ǒਠᨫìëå ¤¥ä®à¬ æ¨ïå ª ¯«¨ ¡ã¤ãâ à ᯠ¤ âìáï ¡®«¥¥ ¬¥«ª¨¥ ª ¯«¨, â.¥. à §àãè âìáï. Ǒà®æ¥áá à ᯠ¤ ª ¯¥«ì ®ç¥ì á«®¥ ¨ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï á®®â®è¥¨¥¬ ᨫ ¯®¢¥àå®á⮣® â泌ï, ¢ï§ª®áâ¨, ¨¥à樨 ¨ ¥ª®â®à묨 ¤à㣨¬¨ ä ªâ®à ¬¨. «ï à §ëå å à ªâ¥àëå ᪮à®á⥩ ®â®á¨â¥«ì®£® ¤¢¨¥¨ï ä § å à ªâ¥à ¤à®¡«¥¨ï ¬®¥â ¡ëâì áãé¥á⢥® à §«¨çë¬. [57, 117℄ ¡ë« ¯à®¢¥¤¥ áà ¢¨â¥«ìë© «¨§ ¡®«ì讣® ç¨á« íªá¯¥à¨¬¥â «ìëå ¨ ⥮à¥â¨ç¥áª¨å à ¡®â ¯® à §àãè¥¨î ª ¯¥«ì. â¬¥ç ¥âáï, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â è¥áâì ®á®¢ëå ¬¥å ¨§¬®¢ ¤à®¡«¥¨ï ª ¯¥«ì, ª®â®àë¬ á®®â¢¥âáâ¢ãîâ à §ë¥ ¤¨ ¯ §®ë ¨§¬¥¥¨ï ç¨á« ¥¡¥à . 2.9. â¥á¥®¥ ¤¢¨¥¨¥ ç áâ¨æ
¢¨¥¨¥ ç áâ¨æë ¢ ®ªàã î饩 ¥¥ ¡¥§£à ¨ç®© ¨¤ª®á⨠ᮧ¤ ¥â ®¯à¥¤¥«¥ë¥ ¯®«ï ᪮à®á⨠¨ ¤ ¢«¥¨ï. 室ï騥áï ¯®¡«¨§®á⨠®â ¥¥ ¤à㣨¥ ç áâ¨æë ¤¢¨ãâáï 㥠¢ ¢®§¬ãé¥ëå £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª¨å ¯®«ïå. ¤®¢à¥¬¥® á í⨬ ¯¥à¢ ï ç áâ¨æ á ¬ ¨á¯ëâë¢ ¥â £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®¥ ¢®§¤¥©á⢨¥ á® áâ®à®ë á®á¥¤¨å ç áâ¨æ ¨ 室ïé¨åáï ¯®¡«¨§®á⨠¯®¤¢¨ëå ¨«¨ ¥¯®¤¢¨ëå ¯®¢¥àå®á⥩. Ǒ®áª®«ìªã ¢ ¯®¤ ¢«ïî饬 ¡®«ìè¨á⢥ ॠ«ìëå ¤¨á¯¥àáëå á¨á⥬ «¨ç¨¥ á ¬¡«ï ç áâ¨æ ¨ á⥮ª ¯¯ à â ¥¨§¡¥®, ãç¥â £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®£® ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ®¡ê¥ªâ®¢ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¢¥áì¬ ¢ ë¬. ¤¨ ¨§ ¬¥â®¤®¢, ¤ îé¨å ¥®¡å®¤¨¬ãî ¨ä®à¬ æ¨î ® ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¨, ®á®¢ ¯®áâ஥¨¨ â®çëå «¨â¨ç¥áª¨å à¥è¥¨©. ¤ ª®, ¤ ¥ ¢ à ¬ª å á⮪ᮢ®© £¨¤à®¤¨ ¬¨ª¨, ®¯¨á ¨¥ ¤¢¨¥¨ï á ¬¡«ï ç áâ¨æ ï¥âáï ®ç¥ì á«®®© § ¤ 祩, ¤®¯ã᪠î饩 â®çë¥ à¥è¥¨ï ¢ ¨áª«îç¨â¥«ìëå á«ãç ïå.
¢¨¥¨¥ ¤¢ãå áä¥à ¢¤®«ì «¨¨¨, ¯à®å®¤ï饩 ç¥à¥§ ¨å æ¥âàë. á⮪ᮢ®¬ ¯à¨¡«¨¥¨¨ â®ç®¥ «¨â¨ç¥áª®¥ à¥è¥¨¥
®á¥á¨¬¬¥âà¨ç®© § ¤ ç¨ ® ¤¢¨¥¨¨ ¤¢ãå áä¥à á ®¤¨ ª®¢®© ᪮à®áâìî ¢¤®«ì «¨¨¨, ¯à®å®¤ï饩 ç¥à¥§ ¨å æ¥âàë, ¡ë«® ¯®«ã祮 ¢ [300℄. â® à¥è¥¨¥ ¨¬¥¥â ¯à ªâ¨ç¥áª®¥ § 票¥ ¨ ¬®¥â ¡ëâì ¨á¯®«ì§®¢ ® ¤«ï ®æ¥ª¨ â®ç®á⨠¯à¨¡«¨¥ëå ¬¥â®¤®¢, ¯à¨¬¥ï¥¬ëå ¤«ï à¥è¥¨ï ¡®«¥¥ á«®ëå § ¤ ç ® £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®¬ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¨ ç áâ¨æ. ¨« , ¤¥©áâ¢ãîé ï ª ¤ãî ¨§ áä¥à, ®¯¨áë¢ ¥âáï ¢ëà ¥¨¥¬ [178℄: F = 6πµaU λ, (2.9.1)
89
2.9. â¥á¥®¥ ¤¢¨¥¨¥ ç áâ¨æ
£¤¥ a | à ¤¨ãá ¤ ®© áä¥àë, U | ᪮à®áâì ¤¢¨¥¨ï áä¥à, λ | ¯®¯à ¢®çë© ª®íää¨æ¨¥â, § ¢¨áï騩 ®â ®¡®¨å à ¤¨ãᮢ ¨ à ááâ®ï¨ï l ¬¥¤ã æ¥âà ¬¨ áä¥à. ëà ¥¨¥ ¤«ï λ ¢ á«ãç ¥ áä¥à à ¢®£® à ¤¨ãá ¨¬¥¥â ¢¨¤
∞ X 4sh2 [(n + 21 )α℄ − (2n + 1)2 sh2 α 4 n(n + 1) λ = shα 1− , 3 (2n − 1)(2n + 3) 2sh [(2n + 1)α℄ + (2n + 1)sh2α n=1 (2.9.2) q 1 1 2 £¤¥ α = ln 2 (l/a) + 4 (l/a) − 1 . «ï ç¨á«¥ëå à áç¥â®¢ 㤮¡¥¥ ¨á¯®«ì§®¢ âì ¯à¨¡«¨¥ãî ä®à¬ã«ã: 0,88 a + l λ= (2.9.3) , 2,5 a + l ¬ ªá¨¬ «ì ï ¯®£à¥è®áâì ª®â®à®© ¯à¨ «î¡ëå § 票ïå a ¨ l á®áâ ¢«ï¥â ¬¥¥¥ 1,3%. Ǒ®áª®«ìªã λ 6 1, ¨§ ä®à¬ã«ë (2.9.1) á«¥¤ã¥â, ç⮠᪮à®áâì ãáâ ®¢¨¢è¥£®áï ¤¢¨¥¨ï ª ¤®© ¨§ áä¥à ¢ á ¬¡«¥ ¢ëè¥, 祬 ᪮à®áâì ¤¢¨¥¨ï ®¤¨®ç®© áä¥àë. Ǒਠ¤¢¨¥¨¨ ¢ £à ¢¨â 樮®¬ ¯®«¥ ãáâ ®¢¨¢è¨¥áï ᪮à®á⨠ç áâ¨æ ¨ ª ¯¥«ì à §ëå à §¬¥à®¢ (¨«¨ ¬ ááë) ¡ã¤ãâ à §«¨ç묨 [178, 294℄. Ǒ®í⮬ã à ááâ®ï¨¥ ¬¥¤ã æ¥âà ¬¨ ç áâ¨æ ¥ ¡ã¤¥â ¯®áâ®ïë¬, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¢áï § ¤ ç ® £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®¬ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¨ ï¥âáï, áâண® £®¢®àï, ¥áâ 樮 ன. [294℄ ¡ë«® ¯®ª § ®, çâ® ¯à¨ ãá«®¢¨¨ Re ≪ 12 l/a íâã § ¤ çã ¬®® áç¨â âì ª¢ §¨áâ 樮 ன.
⮪ᮢ® ¤¢¨¥¨¥ ¤¢ãå áä¥à ¯à¨ ¯à®¨§¢®«ì®¬ ®â®á¨â¥«ì®¬ à ᯮ«®¥¨¨. áᬮâਬ ¤¢¥ 㤠«¥ë¥ ¤à㣠®â ¤àã£
áä¥à¨ç¥áª¨¥ ç áâ¨æë à ¢®£® à ¤¨ãá , ¤¢¨£ î騥áï á ®¤¨ ª®¢ë¬¨ ᪮à®áâﬨ U~ . ¨« , ¤¥©áâ¢ãîé ï ª ¤ãî ¨§ ç áâ¨æ, ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯® ä®à¬ã«¥ [178℄ F~ 6πaµ
= −~iX
UX 1 + 34 (a/l)
+ ~iZ
UZ , 1 + 23 (a/l)
(2.9.4)
£¤¥ Z | ®áì, ¯à®å®¤ïé ï ç¥à¥§ æ¥âàë áä¥à, X | ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïà ï ¥© ®áì. § ¢ëà ¥¨ï (2.9.4) á«¥¤ã¥â, çâ® ª®£¤ áä¥àë ¯ ¤ îâ ¯®¤ ¤¥©á⢨¥¬ £à ¢¨â 樮®© ᨫë, ¯à ¢«¥¨¥ ª®â®à®© ¥ ᮢ¯ ¤ ¥â ¨ á ®áìî X , ¨ á ®áìî Z , á®áâ ¢«ï¥â á ¯®á«¥¤¥© 㣮« β , ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¥ ⮫쪮 ¢¥à⨪ «ì®¥ ¯ ¤¥¨¥ ç áâ¨æ ᮠ᪮à®áâìî Uk
=−
F 6πµa
1+
3a (1 + os2 β ) 4l
,
(2.9.5)
90
¢¨¥¨¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¢ ¨¤ª®áâ¨
® ¨ £®à¨§®â «ìë© ¤à¥©ä ᮠ᪮à®áâìî U⊥
=−
F 6πµa
3a sin β os β. 4l
(2.9.6)
ª¨£ å [178, 234℄ ¤ ¯®¤à®¡ë© ®¡§®à ¨áá«¥¤®¢ ¨©, ¯®á¢ïé¥ëå £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®¬ã ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨î ¤¢ãå ç áâ¨æ à §®© ä®à¬ë ¢ ¯®áâ㯠⥫쮬 ¨ ᤢ¨£®¢®¬ á⮪ᮢ®¬ ¯®â®ª¥. Ǒਢ¥¤¥ë ¬®£®ç¨á«¥ë¥ ä®à¬ã«ë, â ¡«¨æë ¨ £à 䨪¨, ¯®§¢®«ïî騥 ®¯à¥¤¥«ïâì § ¢¨á¨¬®áâì ᨫë ᮯà®â¨¢«¥¨ï ç áâ¨æ ®â à ááâ®ï¨ï ¬¥¤ã ¨¬¨. [234℄ ¢ë¯¨á ë £« ¢ë¥ ç«¥ë ᨬ¯â®â¨ç¥áª®£® à §«®¥¨ï ᨫë ᮯà®â¨¢«¥¨ï ç áâ¨æ ¯® ¬ «®¬ã ¡¥§à §¬¥à®¬ã à ááâ®ï¨î ¬¥¤ã ¨å ¯®¢¥àå®áâﬨ. [57, 234℄ «¨§¨à®¢ «¨áì १ã«ìâ âë ¬®£®ç¨á«¥ëå à ¡®â ¯® £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®¬ã ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨î ¤¢ãå ª ¯¥«ì, ¤¢¨ãé¨åáï ¢ ¨¤ª®áâ¨. Ǒਢ¥¤¥ë १ã«ìâ âë à áç¥â®¢ ¤«ï ᨫë ᮯà®â¨¢«¥¨ï (¢ àì¨à®¢ «¨áì à ¤¨ãáë ¨ ¢ï§ª®á⨠ª ¯¥«ì ¨ à ááâ®ï¨ï ¬¥¤ã ¨¬¨). ᥢ®¥ ¨ ¯®¯¥à¥ç®¥ ¤¢¨¥¨¥ ¤¢ãå ª ¯¥«ì ¢¡«¨§¨ ¤à㣠¤à㣠à áᬮâ८ ¢ [81, 82℄. Ǒ®«ã祮 ¥áª®«ìª® £« ¢ëå ç«¥®¢ ᨬ¯â®â¨ç¥áª®£® à §«®¥¨ï ᨫë ᮯà®â¨¢«¥¨ï ¯® ¬ «®¬ã ¡¥§à §¬¥à®¬ã à ááâ®ï¨î ¬¥¤ã ¯®¢¥àå®áâﬨ ª ¯¥«ì. áá«¥¤®¢ â ª¥ á«ãç © ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï ⢥म© ç áâ¨æë ¨ ª ¯«¨. [213{215℄ «¨§¨à®¢ «¨áì ¤¥ä®à¬ 樨 ¯®¢¥àå®á⥩ ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३, ¤¢¨ãé¨åáï ¢¡«¨§¨ ¤à㣠¤à㣠¨«¨ ¢¡«¨§¨ ¯«®áª®© ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®áâ¨.
à ¢¨â 樮®¥ ®á ¤¥¨¥ ¥áª®«ìª¨å áä¥à à ¢®£® à ¤¨ãá . [178℄ ¯®«ãç¥ë ¬¥â®¤®¬ ®âà ¥¨ï ¨ ®á।¥ë¥ ¯® ¢á¥-
¢®§¬®ë¬ ®à¨¥â æ¨ï¬ ç áâ¨æ ¢ ¯à®áâà á⢥ á®®â®è¥¨ï ¬¥¤ã ᨫ®© ᮯà®â¨¢«¥¨ï F ¨ ᪮à®áâìî ®á ¤¥¨ï U . ç¨â «®áì, çâ® à ááâ®ï¨¥ l ¬¥¤ã æ¥âà ¬¨ ¨¡®«¥¥ 㤠«¥ëå ¢ á¨á⥬¥ áä¥à § ç¨â¥«ì® ¡®«ìè¥ ¨å à ¤¨ãá a. ® ¢á¥å à áᬮâà¥ëå á«ãç ïå ¤«ï ᨫë ᮯà®â¨¢«¥¨ï á¯à ¢¥¤«¨¢ ä®à¬ã« (2.9.1), £¤¥ λ | ¯®¯à ¢®çë© ª®íää¨æ¨¥â, § ¢¨áï騩 ®â ª®ä¨£ãà 樨 á¨á⥬ë ç áâ¨æ. ¨¥ ¯à¨¢¥¤¥ë § ç¥¨ï ¯®¯à ¢®ç®£® ª®íää¨æ¨¥â ¤«ï ¥ª®â®àëå å à ªâ¥àëå á«ãç ¥¢ à ᯮ«®¥¨ï ç áâ¨æ. «ï á¨áâ¥¬ë ¨§ ¤¢ãå áä¥à: λ=
2 . 1 + (a/l)
(2.9.7)
«ï á¨áâ¥¬ë ¨§ âà¥å áä¥à, à ᯮ«®¥ëå ¢ «¨¨î: λ=
1+
3
10 (a/l) − 1 (a/l)2 . 3 4
(2.9.8)
2.9. â¥á¥®¥ ¤¢¨¥¨¥ ç áâ¨æ
91
«ï á¨áâ¥¬ë ¨§ ç¥âëà¥å áä¥à, à ᯮ«®¥ëå ¢ «¨¨î: λ=
1+
4
13 (a/l) − 9 (a/l)2 . 2 8
(2.9.9)
«ï á¨áâ¥¬ë ¨§ ç¥âëà¥å áä¥à, à ᯮ«®¥ëå ¯® 㣫 ¬ ª¢ ¤à â : λ=
4 . 1 + 2,7 (a/l) − 0,04 (a/l)2
(2.9.10)
«ï á¨áâ¥¬ë ¨§ ¢®á쬨 áä¥à, à ᯮ«®¥ëå ¢ ¢¥àè¨ å ªã¡ : λ=
8 . 1 + 5,7 (a/l) − 0,34 (a/l)2
(2.9.11)
Fa
(2.9.12)
«¨ï¨¥ á⥮ª ®á ¤¥¨¥ ®¤¨®ç®© ç áâ¨æë. ॠ«ìëå á¨á⥬ å ®á ¤¥¨¥ ç áâ¨æ, ª ª ¯à ¢¨«®, ¯à®¨á室¨â ¢ ®¡ê¥¬ å, ®£à ¨ç¥ëå á⥪ ¬¨ ¯¯ à ⮢. Ǒਠ¤¢¨¥¨¨ ç áâ¨æ ¢ ¡¥§£à ¨ç®¬ ®¡ê¥¬¥ «¨¨¨ ⮪ ¨¤ãæ¨à®¢ ®£® â¥ç¥¨ï § ¬ëª îâáï ¡¥áª®¥ç®áâ¨. Ǒ®í⮬㠯ਠᮣ« ᮢ ®¬ ¤¢¨¥¨¨ á ¬¡«ï ç áâ¨æ ª ¤ ï ç áâ¨æ ¤¢¨¥âáï ¢ á® ¯à ¢«¥®¬ á¯ã⮬ ¯®â®ª¥, ¨¤ãæ¨à®¢ ®¬ ¤¢¨¥¨¥¬ á®á¥¤¨å ç áâ¨æ. १ã«ìâ ⥠ᮯà®â¨¢«¥¨¥ ¤¢¨¥¨î ª ¤®© ç áâ¨æë á ¬¡«ï ®ª §ë¢ ¥âáï ¬¥ìè¥, 祬 ¢ á«ãç ¥ ¤¢¨¥¨ï ®¤¨®ç®© ç áâ¨æë, ᪮à®áâì ®á¥¤ ¨ï ᮮ⢥âá⢥® ¡®«ìè¥. ¯à®áâà á⢥, ®£à ¨ç¥®¬ á⥪ ¬¨ ¯¯ à â , ¤¢¨¥¨¥ ç áâ¨æë ¢á«¥¤á⢨¥ § ¬¥é¥¨ï ®¡ê¥¬®¢ ¤®«® ¨¤ãæ¨à®¢ âì ¢áâà¥çë© ¯®â®ª ¨¤ª®áâ¨. Ǒ®í⮬ã ᨫ ᮯà®â¨¢«¥¨ï ¤®« ¡ëâì ¡®«ìè¥, ᪮à®áâì ®á ¤¥¨ï ¬¥ìè¥, 祬 ¤«ï ®¤¨®ç®© ç áâ¨æë ¢ ¡¥§£à ¨ç®¬ ¯à®áâà á⢥. ॥஬ [205℄ á ¯®¬®éìî ¬¥â®¤ ®âà ¥¨© ¡ë«® ¢ë¢¥¤¥® á®®â®è¥¨¥, ¯®§¢®«ïî饥 ª®à४â¨à®¢ âì § ª® ᮯà®â¨¢«¥¨ï ⮪á , á ãç¥â®¬ ¢«¨ï¨ï ¯®¯à ¢ª¨, ª®â®àãî ¢®áïâ á⥪¨: F
=
1 − k(Fa /Fl )
,
£¤¥
l | ¯ à ¬¥âà, å à ªâ¥à¨§ãî騩 ¡«¨§®áâì ç áâ¨æë ª á⥪¥, Fa = 6πµUi a ¨ Fl = 6πµUi l | ᨫë ᮯà®â¨¢«¥¨ï áä¥à à ¤¨ãᮬ a ¨ l, ¤¢¨ãé¨åáï ¢ ¯®ª®ï饩áï ¨¤ª®á⨠ᮠ᪮à®áâìî Ui . 票¥ ª®íää¨æ¨¥â k, ¢ëç¨á«¥®¥ ¤«ï à §«¨çëå á«ãç ¥¢,
¯à¨¢¥¤¥® ¢ â ¡«. 2.2. ⬥⨬, çâ® ä®à¬ã« (2.9.12) ¯à¨¬¥¨¬ ¯à¨ ãá«®¢¨¨ b/l ≪ 1, £¤¥ b | ¬ ªá¨¬ «ìë© à §¬¥à ç áâ¨æë. [269℄ à áᬮâॠáä¥à¨ç¥áª ï ç áâ¨æ , ¤¢¨ãé ïáï ¯ à ««¥«ì® á⥪¥. ç¨â «®áì, çâ® ¢¥«¨ç¨ § §®à ¬¥¤ã ¯®¢¥àå®áâìî ç áâ¨æë ¨ á⥪®© h ¬ « ¯® áà ¢¥¨î á à ¤¨ãá ¬ ç áâ¨æë a. «ï
92
¢¨¥¨¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¢ ¨¤ª®áâ¨
2.2 ç¥¨ï ª®íää¨æ¨¥â k ¢ ä®à¬ã«¥ (2.9.12) ®à¬ ¢¥è¥© £à ¨æë
Ǒ®«®¥¨¥ æ¥âà ç áâ¨æë
¯à ¢«¥¨¥ ¤¢¨¥¨ï
K
à ááâ®ï¨¨ l ®â á⥪¨
Ǒ à ««¥«ì® á⥪¥
9 16
¤ ¯«®áª ï á⥪
¤ ¯«®áª ï à ááâ®ï¨¨ l Ǒ¥à¯¥¤¨ªã«ïà® á⥪ ®â á⥪¨ á⥪¥ Ǒ à ««¥«ìë¥ á⥪¨ à ááâ®ï¨¨ l Ǒ à ««¥«ì® à ááâ®ï¨¨ 2l ®â á⥮ª á⥪ ¬
9 8
1,004
à㣮¢®© 樫¨¤à à ¤¨ãá l
à ááâ®ï¨¨ b ®â ®á¨
¤®«ì ®á¨
2,1044 − 6577 (b/l)2
ä¥à à ¤¨ãá l
æ¥âॠáä¥àë
¤¨ «ì®¥
9 4
ᨫë ᮯà®â¨¢«¥¨ï ¨ ¬®¬¥â , ¤¥©áâ¢ãîé¨å ç áâ¨æã, ¯®«ã祮 ¥áª®«ìª® ç«¥®¢ ᨬ¯â®â¨ç¥áª®£® à §«®¥¨ï ¯® ¬ «®¬ã ¯ à ¬¥âàã ε = h/a:
= 6πµaUi −0,231 ln ε + 0,746 + O(ε ln ε) , M = −8πµa2 Ui 0,0434 ln ε + 0,232 + O(ε ln ε) .
F
(2.9.13)
[82℄ ¯®«ã祮 «®£¨ç®¥ ᨬ¯â®â¨ç¥áª®¥ à §«®¥¨¥ ¤«ï ᨫë, ¤¥©áâ¢ãî饩 áä¥à¨ç¥áª¨© ¯ã§ëàì, ¤¢¨ã騩áï ¯ à ««¥«ì® ⢥म© ¯«®áª®áâ¨: F
.
(2.9.14)
= 8aUi(µ1 + µ2 ).
(2.9.15)
= 4πµaUi[−0,3 ln ε + 0,93 + O(ε ln ε)
à ¡®â¥ [195℄ ¡ë« ¨áá«¥¤®¢ ç¨á«¥ë¬ ¬¥â®¤®¬ ¢ ï ¢ ¯à¨«®¥¨¨ ª 娬¨ç¥áª®© â¥å®«®£¨¨ § ¤ ç ® ª®¥çëå ¤¥ä®à¬ æ¨ïå ¯à¨ ¤¢¨¥¨¨ ⢥म© áä¥àë ª ᢮¡®¤®© ¬¥ä §®© £à ¨æ¥ ¨ ¤¥ä®à¬¨à㥬®© ª ¯«¨ ª ⢥म© ¯«®áª®© á⥪¥. áâ¨æ ¯®¢¥àå®áâ¨ à §¤¥« ä §. Ǒ¥à¥å®¤ ç áâ¨æë ç¥à¥§ £à ¨æã à §¤¥« ¤¢ãå ¨¤ª¨å á। ï¥âáï ¢ ®© á®áâ ¢®© ç áâìî ¯à®æ¥áᮢ ᥯ à 樨 ¨ ®ç¨á⪨ ®¤®© ¨§ ä § ®â ¢§¢¥á¨. Ǒ®¬¨¬® ¯¥à¥à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¬¥ä §ëå ¨§¡ëâ®çëå í¥à£¨©, §¤¥áì ¢ ë ç¨áâ® £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª¨¥ íä䥪âë ᮯà®â¨¢«¥¨ï ¯¥à¥å®¤ã. [284℄ ¨áá«¥¤®¢ «®áì ¤¢¨¥¨¥ ¤¨áª , ¯«®áª®áâì ª®â®à®£® ᮢ¯ ¤ ¥â á ¯®¢¥àå®áâìî à §¤¥« ¤¢ãå ¨¤ª®á⥩ á ¢ï§ª®áâﬨ µ1 ¨ µ2 . ¨«ë ᮯà®â¨¢«¥¨ï ¯à¨ á⮪ᮢ®¬ ¤¢¨¥¨¨ ¤¨áª ᮠ᪮à®áâìî Ui ¯® ª á ⥫쮩 ¨ ¯® ®à¬ «¨ ª £à ¨æ¥ à §¤¥« ¤ îâáï ¢ëà ¥¨ï¬¨ Fk
=
16 aU (µ + µ ), i 1 2 3
F⊥
2.9. â¥á¥®¥ ¤¢¨¥¨¥ ç áâ¨æ
93
ç á⮬ á«ãç ¥ µ1 = µ2 ¨§ (2.9.15) ¯®«ãç îâáï ä®à¬ã«ë (2.5.18) (á â®ç®áâìî ¤® ¯¥à¥®¡®§ 票© ¨¤¥ªá®¢) ¤«ï ¤¨áª , ¤¢¨ã饣®áï ¢ ®¤®à®¤®© á।¥. ¡¥ ä®à¬ã«ë (2.9.15) ¬®® ®¡ê¥¤¨¨âì ¨ ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ á«¥¤ãî饬 ¢¨¤¥: F = 12 (F1 + F2 ), £¤¥ F1 ¨ F2 | ᨫë ᮯà®â¨¢«¥¨ï, ¤¥©áâ¢ãî騥 ¤¢¨ã饩áï ¤¨áª ¢ ®¤®à®¤®© ¨¤ª®á⨠ᮮ⢥âá⢥® á ¢ï§ª®áâìî µ1 ¨ µ2 (¤¢¨¥¨¥ ¤¨áª ¯à®¨áª®¤¨â ¢¤®«ì ¨ ¯®¯¥à¥ª ¥£® ¯«®áª®áâ¨). Ǒ®á«¥¤îî ä®à¬ã«ã ¬®® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï ᨫë ᮯà®â¨¢«¥¨ï ¯«®áª®© 䨣ãàë ¯à®¨§¢®«ì®© ä®à¬ë, à ᯮ«®¥®© £à ¨æ¥ à §¤¥« ¤¢ãå ¨¤ª®á⥩, ¯à¨ ¥¥ ¤¢¨¥¨¨ ¢¤®«ì (¯®¯¥à¥ª) ¬¥ä §®© £à ¨æë.
楪 ᪮à®á⨠®á ¤¥¨ï áãᯥ§¨¨ á ¯®¬®éìî ï祥箩 ¬®¤¥«¨. á«ãç ¥ ¤¢¨¥¨ï á ¬¡«¥© á ®ç¥ì ¡®«ì訬 ª®«¨-
ç¥á⢮¬ ç áâ¨æ ॠ«¨§ æ¨ï ¬¥â®¤ ®âà ¥¨©, ⥬ ¡®«¥¥ ¯®áâ஥¨¥ â®ç¥çëå à¥è¥¨© ¢ ¬®£®á¢ï§®© ®¡« á⨠®ª §ë¢ îâáï ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ¥¢®§¬®ë¬¨. ¤®© ¨§ à á¯à®áâà ¥ëå ¯à¨¡«¨¥ëå ¬®¤¥«¥© ¤¢ãåä §ëå á। ¢ í⮬ á«ãç ¥ ï¥âáï ï祥ç ï ¬®¤¥«ì. ®â®á¨â ª ª ¤®© ç áâ¨æ¥ ¤¨á¯¥àᮩ ä §ë ¯à¨å®¤ï騩áï ¥¥ ¤®«î ®¡ê¥¬ ᢮¡®¤®© ¨¤ª®áâ¨. ª¨¬ ®¡à §®¬ ¢áï áãᯥ§¨ï (¨«¨ í¬ã«ìá¨ï) à §¡¨¢ ¥âáï ᮢ®ªã¯®áâì áä¥à¨ç¥áª¨å ï祥ª à ¤¨ãá b, ¢ æ¥âॠª®â®àëå 室ïâáï ç áâ¨æë à ¤¨ãá a. ¥®¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ¯ à ¬¥âàë ï祥ª á¢ï§ ë á ®¡ê¥¬®© ª®æ¥âà 樥© ¤¨á¯¥àᮩ ä §ë φ á«¥¤ãî騬 á®®â®è¥¨¥¬: b = aφ−1/3 .
(2.9.16)
¤ ¨¥ ᪮à®á⨠U~ ç áâ¨æë ®¯à¥¤¥«ï¥â ®á¥¢ãî ᨬ¬¥âà¨î § ¤ ç¨, ª®â®àãî 㤮¡® à áᬠâਢ âì ¢ áä¥à¨ç¥áª¨å ª®®à¤¨ â å. ¡é¥¥ à¥è¥¨¥ ¤«ï â ª®© á¨áâ¥¬ë ¯à¨¢¥¤¥® ¢ à §¤. 2.1, £¤¥ ¯à®¨§¢®«ìë¥ ¯®áâ®ïë¥ ¤®«ë ®¯à¥¤¥«ïâìáï ¨§ ãá«®¢¨© ®£à ¨ç¥®á⨠à¥è¥¨ï, ¨§¢¥á⮩ ᪮à®á⨠¯®¢¥àå®á⨠ç áâ¨æë ¨ ¥ª®â®àëå ãá«®¢¨© £à ¨æ¥ ï祩ª¨ (¯à¨ R = b). ¥áᯮàë¬ ãá«®¢¨¥¬ í⮩ £à ¨æ¥ ï¥âáï à ¢¥á⢮ ã«î ®à¬ «ì®© á®áâ ¢«ïî饩 ᪮à®áâ¨, ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ¥¯à®â®ç®á⨠ï祩ª¨. Ǒ® ¯®¢®¤ã ¢â®à®£® ãá«®¢¨ï, ¥®¡å®¤¨¬®£® ¤«ï ¯®«®© ¨¤¥â¨ä¨ª 樨 à¥è¥¨ï, áãé¥áâ¢ãîâ à §«¨çë¥ ¬¥¨ï. ª, ¨£å¥¬ ¯®áâ㫨஢ « à ¢¥á⢮ ã«î â £¥æ¨ «ì®© ᪮à®áâ¨, à áᬠâਢ ï ä ªâ¨ç¥áª¨ ï祩ªã, ª ª ª®â¥©¥à á ¥á⪮© £à ¨æ¥©. ¯¯¥«ì ¯à¥¤« £ « ¨á¯®«ì§®¢ âì ãá«®¢¨¥ à ¢¥á⢠ã«î â £¥æ¨ «ì®£® ¯à泌ï, ¯®áâ㫨àãï ⥬ á ¬ë¬ á¨«®¢ãî ¨§®«¨à®¢ ®áâì ï祩ª¨. ª®¥æ, 㢠¡ à ¯à¥¤« £ « ¨á¯®«ì§®¢ âì ãá«®¢¨¥ à ¢¥á⢠ã«î ¯®â®ª ¢¨åॢ®© ¯à葉á⨠£à ¨æ¥ ï祩ª¨.
94
¢¨¥¨¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¢ ¨¤ª®áâ¨
ë¡®à £à ¨ç®£® ãá«®¢¨ï áãé¥áâ¢¥ë¬ ®¡à §®¬ ®¯à¥¤¥«ï¥â ¬®¤¥«ì ᨫ®¢®£® ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï ç áâ¨æë, 室ï饩áï ¢ æ¥âॠï祩ª¨, á ¤à㣨¬¨ ç áâ¨æ ¬¨. Ǒ®¤à®¡ë© áà ¢¨â¥«ìë© «¨§ à §«¨çëå ¢ ਠ⮢ £à ¨çëå ãá«®¢¨© ¢ë¯®«¥ ¢ [167℄, £¤¥ ¯®«ãç¥ë à¥è¥¨ï ¤«ï 㪠§ ëå ¢ëè¥ âà¥å ¢ ਠ⮢, ¯à¨ç¥¬ ç áâ¨æ , 室ïé ïáï ¢ æ¥âॠï祩ª¨, áç¨â « áì ª ¯«¥© ¨¤ª®áâ¨ á ¤à㣮© ¢ï§ª®áâìî. à ¡®â¥ [167℄ ¯à®¢®¤¨«®áì ᮯ®áâ ¢«¥¨¥ ¯®«ãç¥ëå ®á®¢ ¨¨ ï祥çëå ¬®¤¥«¥© ãáâ ®¢¨¢è¨åáï ᪮à®á⥩ £à ¢¨â 樮®£® ®á ¤¥¨ï áãᯥ§¨© á ¬®£®ç¨á«¥ë¬¨ íªá¯¥à¨¬¥â «ì묨 ¤ 묨. ë«® ¯®ª § ®, çâ® ¨¡®«¥¥ â®çë¥ à¥§ã«ìâ âë ¤ ¥â ¬®¤¥«ì 㢠¡ àë, ª®â®à ï ¤«ï ᨫë ᮯà®â¨¢«¥¨ï ¯à¨¢®¤¨â ª ä®à¬ã«¥ (2.9.1), £¤¥ ¯®¯à ¢®çë© ª®íää¨æ¨¥â ¢ëç¨á«ï¥âáï ¯® ä®à¬ã«¥ β + 23 µ λ= , β= 2. 2 1 3 2 9 1 / 3 2 1 / 3 2 µ1 1 − 5 φ − 5 φ + β (1 − 10 φ + 2 φ + 5 φ ) (2.9.17) Ǒਠφ → 0 ¨ β → ∞ ¨¬¥¥¬ λ → 1, ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â § ª®ã ᮯà®â¨¢«¥¨ï ⮪á . ä䥪⨢ ï ¢ï§ª®áâì áãᯥ§¨©. ãᯥ§¨¨ ç áâ¨æ ¢ ¨¤ª®á⨠è¨à®ª® ¨á¯®«ì§ãîâáï ¢ à §«¨çëå ¯à®æ¥áá å 娬¨ç¥áª®© â¥å®«®£¨¨.
᫨ à §¬¥àë ¢§¢¥è¥ëå ç áâ¨æ § ç¨â¥«ì® ¬¥ìè¥ à §¬¥à®¢ ¯¯ à â , áãᯥ§¨î ¬®® à áᬠâਢ âì ª ª ¥ªãî ᯫ®èãî á।ã ᮠ᢮©á⢠¬¨, ®â«¨ç묨 ®â ᢮©á⢠¤¨á¯¥àᮩ ä §ë. ç¥ì ç áâ® íâ á। ¯® ᢮¨¬ ८«®£¨ç¥áª¨¬ ᢮©á⢠¬ ®áâ ¥âáï ìîâ®®¢áª®©, ® á ¥áª®«ìª® 㢥«¨ç¥®© ¯® áà ¢¥¨î á ¤¨á¯¥àᨮ®© á।®© ¢ï§ª®áâìî. ⠢離®áâì µef §ë¢ ¥âáï íä䥪⨢®© ¢ï§ª®áâìî. ¯à ªâ¨ª¥ 㤮¡® ®â¥á⨠¥¥ ª ¢ï§ª®á⨠¤¨á¯¥àᨮ®© áà¥¤ë µ ¨ à áᬠâਢ âì ¡¥§à §¬¥àãî íä䥪⨢ãî ¢ï§ª®áâì µ = µef /µ. ¥«¨ç¨ µ § ¢¨á¨â ¯à¥¤¥ ¢á¥£® ®â ®¡ê¥¬®© ª®æ¥âà 樨 ¤¨á¯¥àᮩ ä §ë φ. ®à®è® ¨§¢¥áâ ä®à¬ã« ©è⥩ [178℄ µ (2.9.18) = 1 + 2,5 φ, á¯à ¢¥¤«¨¢ ï ¤«ï á«ãç ï á¨«ì® à §à¥¥ëå áãᯥ§¨© ⢥à¤ëå áä¥à¨ç¥áª¨å ç áâ¨æ. á«ãç ¥ ¡®«¥¥ ª®æ¥âà¨à®¢ ëå áãᯥ§¨© ¤«ï ®æ¥ª¨ µ ¨á¯®«ì§ãîâ ï祥çãî ¬®¤¥«ì. ¥§à §¬¥àãî íä䥪⨢ãî ¢ï§ª®áâì à §à¥¥®© í¬ã«ìᨨ áä¥à¨ç¥áª¨å ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३, ¤¢¨ãé¨åáï ¢ ¨¤ª®áâ¨, ¬®® ®¯à¥¤¥«ïâì á ¯®¬®éìî ä®à¬ã«ë 5β + 2 =1+ µ φ, (2.9.19) 2β + 2 £¤¥ β | ®â®è¥¨¥ ¢ï§ª®á⥩ ª ¯¥«ì ¨ ®ªàã î饩 ¨¤ª®áâ¨. Ǒ।¥«ìë© ¯¥à¥å®¤ ¯à¨ β → ∞ ¢ (2.6.19) ¯à¨¢®¤¨â ª ä®à¬ã«¥ ©è⥩ (2.9.18). 票¥ β = 0 ᮮ⢥âáâ¢ã¥â £ §®¢®¬ã ¯ã§ëàî.
2.9. â¥á¥®¥ ¤¢¨¥¨¥ ç áâ¨æ
95
[178℄ ¡ë«® ¯®ª § ®, çâ® íä䥪⨢ ï ¢ï§ª®áâì á¢ï§ á ®â®è¥¨¥¬ ᪮à®á⥩ ᢮¡®¤®£® ®á¥¤ ¨ï ®¤¨®ç®© ç áâ¨æë ¯® § ª®ã â®ªá ¨ ç áâ¨æ ¢ áãᯥ§¨¨, â.¥. á ¢¥«¨ç¨®© ª®à४â¨àãî饣® ¬®¨â¥«ï ¢ ᨫ¥ ᮯà®â¨¢«¥¨ï λ. «ï íä䥪⨢®© ¢ï§ª®á⨠¯®«ãç¥ë ¢ëà ¥¨ï ¢¨¤ µ (2.9.20) = (1 − φ)m λ. ¡ëç® ¨á¯®«ì§ãîâáï ¤¢ § 票ï: m = 1 (ä®à¬ã« ¨ç ) ¨ m = 2 (ä®à¬ã« ®ªá«¨). à ¡®â¥ [34℄ ¡ë«® ¯®ª § ®, çâ® § 票¥ m = 1 ®â¢¥ç ¥â ®¤®áª®à®á⮩ ¬®¤¥«¨ áãᯥ§¨¨, m = 2 | ¤¢ãå᪮à®á⮩ ¬®¤¥«¨, ª®â®à ï à áᬠâਢ ¥âáï ª ª ¤¢¥ ¢§ ¨¬®¯à®¨ª î騥 ᯫ®èë¥ ä §ë ᮠ᢮¨¬¨ ¯®«ï¬¨ ᪮à®áâ¨. Ǒ®áª®«ìªã ¢â®à ï ¬®¤¥«ì ï¥âáï ¡®«¥¥ ᮢ¥à襮©, ¯à¥¤¯®çâ¨â¥«ì¥¥ ¤«ï ®æ¥®ª ¨á¯®«ì§®¢ âì ä®à¬ã«ã (2.9.20) ¯à¨ m = 2. ëà ¥¨ï (2.9.18) | (2.9.20) ¯®§¢®«ïî⠮楨âì íä䥪⨢ãî ¢ï§ª®áâì áãᯥ§¨© ¨ í¬ã«ìᨩ. à ¡®â¥ [211℄ à §¢¨â ¡®«¥¥ ᮢ¥àè¥ë©, 祬 ®á®¢ ë© ï祥箩 ¬®¤¥«¨, ¯®¤å®¤ ª ¯®áâ஥¨î ¬¥å ¨ª¨ ª®æ¥âà¨à®¢ ëå ¤¨á¯¥àáëå á¨á⥬. Ǒ®¤å®¤ ®á®¢ ¬¥â®¤ å ®á।¥¨ï ¯® á ¬¡«î á«ãç ©® à ᯮ«®¥ëå ç áâ¨æ. ¯®§¢®«¨«, ¨á¯®«ì§ãï ¥¤¨ë© ¬¥â®¤¨ç¥áª¨© ¯à¨¥¬, ¯®«ãç¨âì ¥ 䥮¬¥®«®£¨ç¥áª¨¬, ⥮à¥â¨ç¥áª¨¬ ᯮᮡ®¬ ¥ ⮫쪮 ãà ¢¥¨ï ª®â¨ã «ì®© ¬¥å ¨ª¨ ¤¨á¯¥àáëå á¨á⥬, ® ¨ § ¬ëª î騥 ८«®£¨ç¥áª¨¥ á®®â®è¥¨ï. ç áâ®áâ¨, ¤«ï íä䥪⨢®© ¢ï§ª®á⨠áãᯥ§¨© ¡ë« ¯®«ãç¥ ¯à®áâ ï ä®à¬ã« µ = (1 − 2,5 φ)−1 , ª®â®à ï ¯à¨ ¬ «ëå φ ¯¥à¥å®¤¨â ¢ ä®à¬ã«ã ©è⥩ (2.9.18) ¨ ¬®¥â ¯à¨¬¥ïâìáï ¢¯«®âì ¤® ª®æ¥âà 権 φ = 0,25. ë«® ©¤¥® â ª¥ ¢â®à®¥ ¯à¨¡«¨¥¨¥ ¤«ï íä䥪⨢®© ¢ï§ª®áâ¨. ¥§ã«ìâ âë íªá¯¥à¨¬¥â «ìëå ¨ ç¨á«¥ëå à áç¥â®¢ [211℄ å®à®è® ¯¯à®ªá¨¬¨àãîâáï ä®à¬ã«®© µ = 1 + 2,5 φ + 12,5 φ2 ,
(2.9.21)
ª®â®à ï ¯à¨ φ → 0 ¯¥à¥å®¤¨â ¢ ä®à¬ã«ã ©è⥩ (2.9.18) ¨ ¬®¥â ¯à¨¬¥ïâìáï ¤«ï φ 6 0,4. [56℄ ¯à¥¤«®¥ áâàã© ï ¬®¤¥«ì ®¡â¥ª ¨ï è ஢ ¢ §¥à¨á⮬ á«®¥. ª®¥ â¥ç¥¨¥ å à ªâ¥à¨§ã¥âáï ᨥ¨¥¬ ᮯà®â¨¢«¥¨ï ¨§§ ¯®¤ ¢«¥¨ï ®âàë¢ëå â¥ç¥¨© ¨ ¯à¨ ¤®áâ â®ç® ¯«®â®© 㪫 ¤ª¥ (φ > 0,35) ᯮᮡáâ¢ã¥â áâ ¡¨«¨§ 樨 á«®ï. «ï ª®íää¨æ¨¥â ᮯà®â¨¢«¥¨ï è à ¢ â ª®© á¨á⥬¥ ¡ë« ¯à¥¤«®¥ í¬¯¨à¨ç¥áª ï ä®à¬ã« ψ aU cf = 2ψ 1 + 211 Re = (2.9.22) , , Re ν £¤¥ U | à á室 ï ᪮à®áâì 䨫ìâà 樨, ψ | ®â®á¨â¥«ì®¥ ¬¨¨¬ «ì®¥ ¯à®å®¤®¥ á¥ç¥¨¥ á«®ï, § ¢¨áï饥 á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬ ®â
96
¢¨¥¨¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¢ ¨¤ª®áâ¨
®¡ê¥¬®© ª®æ¥âà 樨 ç áâ¨æ: ψ
2/3 = 1 − 1,16 φ 0,508 − 0,56 φ
¯à¨ ¯à¨
φ 6 0,6 , φ > 0,6 .
®à¬ã« (2.9.22) å®à®è® ᮣ« áã¥âáï á ¨¬¥î騬¨áï íªá¯¥à¨¬¥â «ì묨 ¤ 묨. [95℄ ¯à¨¢®¤ïâáï ®æ¥ª¨ ᪮à®á⨠¢á¯«ëâ¨ï á ¬¡«ï ¯ã§ë३ ¢ ¡ à¡®â ëå ¯¯ à â å. à㣨¥ ⥮à¥â¨ç¥áª¨¥ ¬¥â®¤ë ¨áá«¥¤®¢ ¨ï à §à¥¥ëå ¨ ª®æ¥âà¨à®¢ ëå ¤¨á¯¥àáëå á¨á⥬, ®á®¢ ë¥ ãà ¢¥¨ïå ¬¥å ¨ª¨ ¬®£®ä §ëå á¨á⥬, ®¯¨á ë ¢ ª¨£ å [117, 118℄.
3. áá®- ¨ ⥯«®¯¥à¥®á ¢ ¯«¥ª å ¨¤ª®áâ¨, âàã¡ å ¨ ¯«®áª¨å ª « å
® á¨å ¯®à à áᬠâਢ «®áì ¤¢¨¥¨¥ ®¤®à®¤ëå ¯® 䨧¨ª®å¨¬¨ç¥áª®¬ã á®á⠢㠨¤ª®á⥩. ¯à ªâ¨ª¥ ç é¥ ¢áâà¥ç îâáï ¡®«¥¥ á«®ë¥ á¨âã 樨, ª®£¤ ¨¤ª®áâì ᮤ¥à¨â à á⢮à¥ë¥ ¢¥é¥á⢠(¯à¨¬¥á¨, ॠ£¥âë) ¨ ï¥âáï à á⢮஬ ¨«¨ ᬥáìî. Ǒà®á⥩訬¨ ¯à¨¬¥à ¬¨ á¨á⥬ â ª®£® த ïîâáï à á⢮àë ¯®¢ ८© ᮫¨ ¨«¨ á å à ¢ ¢®¤¥ ¨ ᬥáì ᯨàâ á ¢®¤®©. ª ç¥á⢥ ®á®¢®© ª®«¨ç¥á⢥®© å à ªâ¥à¨á⨪¨ á®áâ ¢ à á⢮஢ ¨ ᬥᥩ ®¡ëç® ¨á¯®«ì§ã¥âáï ¬ áᮢ ï ¯«®â®áâì ¢¥é¥á⢠, ç¨á«¥® à ¢ ï ¬ áᥠà á⢮८£® ¢¥é¥á⢠¢ ¥¤¨¨æ¥ ®¡ê¥¬ à á⢮à , ¨«¨ ¥¥ ¡¥§à §¬¥àë© «®£ | ¬ áᮢ ï ª®æ¥âà æ¨ï C , ç¨á«¥® à ¢ ï ®â®è¥¨î ¬ áᮢ®© ¯«®â®á⨠¢¥é¥á⢠ª ®¡é¥© ¯«®â®á⨠ᬥá¨*. ª¨£¥ ®¡ëç® ¡ã¤¥â ¨á¯®«ì§®¢ âìáï ¢¥«¨ç¨ , ª®â®àãî ¤«ï ªà ⪮á⨠¡ã¤¥¬ §ë¢ âì ¯à®áâ® ª®æ¥âà 樥©. Ǒਠ«¨ç¨¨ ¥áª®«ìª¨å à á⢮à¥ëå ¢¥é¥á⢠m = 1, . . . , M ¤«ï ª ¤®£® ¨§ ¨å ¢¢®¤ïâ á¢®î ¬ áᮢãî ¯«®â®áâì ¨, ᮮ⢥âá⢥®, á¢®î ¬ áᮢãî ª®æ¥âà æ¨î Cm . ®æ¥âà æ¨ï ®â¤¥«ìëå ª®¬¯®¥â ¢ ª ¤®© â®çª¥ áà¥¤ë § ¢¨á¨â ®â ª®¢¥ªâ¨¢®£® ¯¥à¥®á ¢¥é¥á⢠, ¬®«¥ªã«ïன (¨«¨ âãà¡ã«¥â®©) ¤¨ää㧨¨ ¨ ¨â¥á¨¢®á⨠£¥â¥à®£¥ëå ¨ £®¬®£¥ëå 䨧¨ª®-娬¨ç¥áª¨å ¯à¥¢à 饨©. Ǒ®¤ £¥â¥à®£¥ë¬¨ ¯à¥¢à 饨ﬨ ¤ «¥¥ ¯®¤à §ã¬¥¢ îâáï 娬¨ç¥áª¨¥ ¨«¨ 䨧¨ª®-娬¨ç¥áª¨¥ ¯à¥¢à 饨ï, ¯à®¨á室ï騥 ¥ª®â®àëå ¯®¢¥àå®áâïå, ¯à¨¬¥à, £à ¨æ å à §¤¥« ä § ¨«¨ ¯®¢¥àå®áâïå, ®¡« ¤ îé¨å ª â «¨â¨ç¥áª¨¬¨ ᢮©á⢠¬¨. Ǒਠ⠪®¬ è¨à®ª®¬ ¯®¨¬ ¨¨ â¥à¬¨ ý£¥â¥à®£¥ë¥ ¯à¥¢à 饨ïþ ª ¨¬ á«¥¤ã¥â ®â¥áâ¨: ¯®¢¥àå®áâë¥ ª â «¨â¨ç¥áª¨¥ ॠªæ¨¨; ¤á®à¡æ¨î ¨ ¤¥á®à¡æ¨î ⢥à¤ëå ¨ ¨¤ª¨å ¯®¢¥àå®áâïå; à á⢮२¥ ªà¨áâ ««®¢ ¢ ¨¤ª®áâ¨; í«¥ªâà®å¨¬¨ç¥áª¨¥ ॠªæ¨¨, ¨¤ã騥 ¯®¢¥àå®áâ¨ í«¥ªâத , ¯®£à㥮£® ¢ à á⢮à í«¥ªâ஫¨â ; áã¡«¨¬ æ¨î ¨ ª®¤¥á æ¨î; ®á ¤¥¨¥ í஧®«¥© ¨ ª®««®¨¤®¢ ¨ â.¯. ®¬®£¥ë¬¨ ¯à¥* ®£¤ ¬ áᮢãî ¯«®â®áâì ¢¥é¥á⢠§ë¢ îâ ¯ àæ¨ «ì®© ¯«®â®áâìî, ¬ áᮢãî ª®æ¥âà æ¨î | ¬ áᮢ®© ¤®«¥©. ஬¥ ⮣®, ¢ á¯¥æ¨ «ì®© 娬¨ç¥áª®© «¨â¥à âãॠ¨á¯®«ì§ãîâ ¬®«ìãî ¯«®â®áâì, ª®â®à ï ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ç¨á«®¬ ¬®«¥© à á⢮८£® ¢¥é¥á⢠¢ ¥¤¨¨æ¥ ®¡ê¥¬ à á⢮à , â ª¥ ¥¥ ¡¥§à §¬¥àë© «®£ | ¬®«ìãî ª®æ¥âà æ¨î ¨«¨ ¬®«ìãî ¤®«î, ç¨á«¥® à ¢ãî ®â®è¥¨î ¬®«ì®© ¯«®â®á⨠ª ®¡é¥¬ã ç¨á«ã ¬®«¥© ¢á¥å ¨£à¥¤¨¥â®¢ ¢ ¥¤¨¨æ¥ ®¡ê¥¬ .
97
98
áᮯ¥à¥®á ¢ ¯«¥ª å ¨¤ª®áâ¨, âàã¡ å ¨ ª « å
¢à 饨ﬨ ¨«¨ ®¡ê¥¬ë¬¨ 娬¨ç¥áª¨¬¨ ॠªæ¨ï¬¨ ¡ã¤¥¬ §ë¢ âì 娬¨ç¥áª¨¥ ¯à¥¢à 饨ï, ¯à®¨á室ï騥 ¢ ®¡ê¥¬¥ ¨¤ª®á⨠¨«¨ £ § . 3.1. à ¢¥¨ï ¨ £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï ⥮ਨ ª®¢¥ªâ¨¢®£® ⥯«®- ¨ ¬ áᮯ¥à¥®á
ä®à¬ã«¨à㥬 ®á®¢ë¥ ãà ¢¥¨ï ¨ £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï, ª®â®àë¥ ¨á¯®«ì§ãîâáï ¯à¨ ¬ ⥬ â¨ç¥áª®© ¯®áâ ®¢ª¥ § ¤ ç 䨧¨ª®å¨¬¨ç¥áª®© £¨¤à®¤¨ ¬¨ª¨. ®«¥¥ ¤¥â «ì®¥ ¨§«®¥¨¥ ¢®¯à®á®¢, á¢ï§ ëå á ¢ë¢®¤®¬ ¨ ãáâ ®¢«¥¨¥¬ ®¡« á⨠¯à¨¬¥¨¬®á⨠íâ¨å ãà ¢¥¨© ¨ £à ¨çëå ãá«®¢¨©, à §«¨çë¥ ä¨§¨ç¥áª¨¥ ¬®¤¥«¨ ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¬®£®ç¨á«¥ëå § ¤ ç, ¬¥â®¤ë à¥è¥¨ï, â ª¥ ¯à¨ª« ¤ë¥ ᯥªâë ¨á¯®«ì§®¢ ¨ï १ã«ìâ ⮢ ᮤ¥à âáï, ¯à¨¬¥à, ¢ ¬®®£à ä¨ïå [8, 15, 28, 44, 60, 70, 83, 93, 100, 117, 175, 181, 229℄. 㤥¬ áç¨â âì, çâ® ¯«®â®áâì ¨ ¢ï§ª®áâì áà¥¤ë ¥ § ¢¨áï⠮⠪®æ¥âà 樨 ¨ ⥬¯¥à âãàë ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, à á¯à¥¤¥«¥¨ï ª®æ¥âà 樨 ¨ ⥬¯¥à âãàë ¥ ®ª §ë¢ îâ ¢«¨ï¨ï ¯®«¥ â¥ç¥¨ï. â® ¯à¨¢®¤¨â ª ¢®§¬®®á⨠¥§ ¢¨á¨¬®£® «¨§ £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®© § ¤ ç¨ ® ¤¢¨¥¨¨ ¨¤ª®á⨠¨ ¤¨ää㧨®®-⥯«®¢®© § ¤ ç¨ ® ¯®«ïå ª®æ¥âà 樨 ¨ ⥬¯¥à âãàë. (®«¥¥ á«®ë¥ § ¤ ç¨, ¢ ª®â®àëå ¯®«¥ â¥ç¥¨ï áãé¥áâ¢¥ë¬ ®¡à §®¬ § ¢¨á¨â ®â ¤¨ää㧨®®â¥¯«®¢ëå ä ªâ®à®¢, ¡ã¤ãâ à áᬮâà¥ë ¤ «¥¥ ¢ £« ¢¥ 6). ¥®¡å®¤¨¬ ï ¤«ï à¥è¥¨ï ¤¨ää㧨®®-⥯«®¢®© § ¤ ç¨ ¨ä®à¬ æ¨ï ® ¯®«¥ ᪮à®á⥩ ¨¤ª®á⨠¯à¥¤¯®« £ ¥âáï ¨§¢¥á⮩. Ǒਬ¥¬, çâ® ª®íää¨æ¨¥âë ¤¨ää㧨¨ ¨ ⥯«®¯à®¢®¤®á⨠¥ § ¢¨áï⠮⠪®æ¥âà 樨 ¨ ⥬¯¥à âãàë. «ï ¯à®áâ®âë ®£à ¨ç¨¬áï á«ãç ¥¬ ¤¢ã媮¬¯®¥â®£® à á⢮à . ¤¥ª à⮢®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â X, Y, Z ¯¥à¥®á à á⢮८£® ¢ ¨¤ª®á⨠¢¥é¥á⢠¯à¨ ®âáãâá⢨¨ £®¬®£¥ëå ¯à¥¢à 饨© ®¯¨áë¢ ¥âáï ãà ¢¥¨¥¬ ∂C ∂t
+VX
∂C ∂X
∂C +VY ∂Y
∂C +VZ ∂Z
2 ∂ C =D ∂X 2
+
∂2C ∂Y 2
+
∂2C ∂Z 2
,
(3.1.1)
£¤¥ C | ª®æ¥âà æ¨ï; D | ª®íää¨æ¨¥â ¤¨ää㧨¨; VX , VY , VZ | ª®¬¯®¥âë ¢¥ªâ®à ᪮à®á⨠¨¤ª®áâ¨, ª®â®àë¥ áç¨â îâáï § ¤ 묨. à ¢¥¨¥ (3.1.1) ®âà ¥â â®â ä ªâ, çâ® ¯¥à¥®á ¢¥é¥á⢠¢ ¤¢¨ã饩áï á।¥ ®¡ãá«®¢«¥ ¤¢ã¬ï à §«¨ç묨 䨧¨ç¥áª¨¬¨ ä ªâ®à ¬¨. ®-¯¥à¢ëå, ¯à¨ «¨ç¨¨ à §®á⨠ª®æ¥âà 権 ¢ ¨¤ª®á⨠¨«¨ £ §¥ ¨¤¥â ¯à®æ¥áá ¬®«¥ªã«ïன ¤¨ää㧨¨, ᯮᮡáâ¢ãî騩 ¢ëà ¢¨¢ ¨î ª®æ¥âà 権; ¢®-¢â®àëå, à á⢮८¥ ¢¥é¥á⢮ 㢫¥ª ¥âáï
3.1. à ¢¥¨ï ¨ £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï ⥮ਨ ⥯«®- ¨ ¬ áᮯ¥à¥®á
99
¤¢¨ã饩áï á।®© ¨ ¯¥à¥®á¨âáï ¢¬¥áâ¥ á ¥©. ®¢®ªã¯®áâì ®¡®¨å ¯à®æ¥áᮢ ®¡ëç® §ë¢ îâ ª®¢¥ªâ¨¢®© ¤¨ää㧨¥© [100, 175℄. «ï § ¢¥à襨ï ä®à¬ã«¨à®¢ª¨ § ¤ ç¨ ãà ¢¥¨¥ (3.1.1) ¥®¡å®¤¨¬® ¤®¯®«¨âì ç «ìë¬ ¨ £à ¨ç묨 ãá«®¢¨ï¬¨. ª ç¥á⢥ ç «ì®£® ãá«®¢¨ï ¢ë¡¨à ¥âáï ¨áå®¤ë© ¯à®ä¨«ì ª®æ¥âà 樨, áãé¥á⢮¢ ¢è¨© ¢ ¯®â®ª¥ ¢ ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨ t = 0. à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï, ª ª ¯à ¢¨«®, § ¤ îâáï ¥ª®â®à®© ¯®¢¥àå®á⨠¨ ¢¤ «¨ ®â ¥¥, ¢ â®«é¥ à á⢮à . Ǒ®á«¥¤¥¥ ãá«®¢¨¥ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â § ¤ ¨î ¥¢®§¬ã饮£® § ç¥¨ï ª®æ¥âà 樨 Ci ¡¥áª®¥ç®áâ¨: ξ∗ → ∞,
C → Ci ,
(3.1.2)
= 0,
(3.1.4)
£¤¥ ξ∗ | à ááâ®ï¨¥, ®âáç¨âë¢ ¥¬®¥ ¯® ®à¬ «¨ ®â ¯®¢¥àå®áâ¨. § ¤ ç å ® à á⢮२¨ ⢥à¤ëå ¢¥é¥á⢠¯à¨ ä®à¬ã«¨à®¢ª¥ £à ¨ç®£® ãá«®¢¨ï ®¡ëç® ¯à¥¤¯®« £ ¥âáï, çâ® ª®æ¥âà æ¨ï ¢ ¯®â®ª¥ à ¢ ã«î, â.¥. Ci = 0, ª®æ¥âà æ¨ï ¯®¢¥àå®á⨠ªà¨áâ «« ¯®áâ®ï [4℄ ξ∗ = 0, C = Cs , (3.1.3) £¤¥ § 票¥ Cs | § ¤ ®. à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï (3.1.2) (¯à¨ Ci = 0) ¨ (3.1.3) ¨á¯®«ì§ãîâáï â ª¥ ¢ § ¤ ç å ®¡ ¨á¯ २¨ ª ¯¥«ì ¨¤ª®áâ¨. à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï ¯®¢¥àå®á⨠á 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¥© ¬®£ãâ ¡ëâì à §ë¬¨ ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â ª®ªà¥â®© 䨧¨ç¥áª®© ¯®áâ ®¢ª¨ § ¤ ç¨. ç á⮬ á«ãç ¥ ý¡¥áª®¥ç® ¡ëáâனþ £¥â¥à®£¥®© 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨ ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 £à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥ ¨¬¥¥â ¢¨¤ ξ∗
= 0,
C
¨ ®§ ç ¥â, çâ® ¬¥ä §®© ¯®¢¥àå®á⨠¯à®¨á室¨â ¯®«®¥ ¯à¥¢à 饨¥ ॠ£¥â . ªãî á¨âã æ¨î ç áâ® §ë¢ îâ â ª¥ ¤¨ää㧨®ë¬ २¬®¬ ॠªæ¨¨. ¨§¨ç¥áª¨© á¬ëá« ãà ¢¥¨ï (3.1.4) § ª«îç ¥âáï ¢ á«¥¤ãî饬: 娬¨ç¥áª ï ॠªæ¨ï ¯®¢¥àå®á⨠¯à®â¥ª ¥â á⮫쪮 ¨â¥á¨¢®, çâ® ¢á¥ ¯®¤®è¥¤è¥¥ ª ¯®¢¥àå®á⨠¢¥é¥á⢮ ãᯥ¢ ¥â ¯à®à¥ £¨à®¢ âì. ⬥⨬, çâ® ãá«®¢¨¥ (3.1.4) ï¥âáï ç áâë¬ á«ãç ¥¬ (3.1.3) ¯à¨ Cs = 0. á«®¢¨¥ (3.1.4) ᮮ⢥âáâ¢ã¥â â ª¥ ¤¨ää㧨®®¬ã २¬ã ®á ¤¥¨ï í஧®«ìëå ¨ ª®««®¨¤ëå ç áâ¨æ, ¯à¨ç¥¬ ¯à¨ ãç¥â¥ íä䥪â ý§ 楯«¥¨ïþ [44, 177℄ ¯®¢¥àå®áâì ξ∗ = 0 à ᯮ«®¥ à ááâ®ï¨¨ ®â ¯®¢¥àå®á⨠®á ¤¥¨ï, à ¢®¬ á।¥¬ã à ¤¨ãáã ®á ¤ îé¨åáï ç áâ¨æ.
᫨ ¬¥ä §®© ¯®¢¥àå®á⨠¯à®â¥ª ¥â £¥â¥à®£¥ ï 娬¨ç¥áª ï ॠªæ¨ï, ᪮à®áâì ª®â®à®© ª®¥ç , ¢¬¥áâ® (3.1.4) á«¥¤ã¥â § ¯¨á âì ¡®«¥¥ á«®®¥ £à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥ ξ∗
= 0,
D
∂C ∂ξ∗
= Ks Fs (C ),
(3.1.5)
100
áᮯ¥à¥®á ¢ ¯«¥ª å ¨¤ª®áâ¨, âàã¡ å ¨ ª « å
£¤¥ Ks | ª®áâ â ᪮à®á⨠¯®¢¥àå®á⮩ ॠªæ¨¨, Ks Fs (C ) | ᪮à®áâì 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨. ®ªà¥âë© ¢¨¤ § ¢¨á¨¬®á⨠Fs = Fs (C ) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª¨¥â¨ª®© ¯®¢¥àå®á⮩ 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨. ãªæ¨ï Fs ¤®« 㤮¢«¥â¢®àïâì ãá«®¢¨î Fs (0) = 0, ª®â®à®¥ ¨¬¥¥â ®ç¥¢¨¤ë© 䨧¨ç¥áª¨© á¬ëá«: ¯à¨ ®âáãâá⢨¨ ॠ£¨àãî饣® ¢¥é¥á⢠ॠªæ¨ï ¥ ¨¤¥â. «ï ॠªæ¨¨ ¯®à浪 n ¢ (3.1.5) á«¥¤ã¥â ¯®«®¨âì [100℄ Fs
(£¤¥
= Cn
n > 0).
(3.1.6)
«¥¤ã¥â ®â¬¥â¨âì: ¢¨¤ äãªæ¨¨ Fs (C ) ¢ ¡®«ìè¨á⢥ á«ãç ¥¢ ¥ ®âà ¥â ॠ«ìãî ª¨¥â¨ªã ª â «¨â¨ç¥áª¨å 娬¨ç¥áª¨å ¯à¥¢à 饨©, ®¯à¥¤¥«ï¥â «¨èì íä䥪⨢ãî ᪮à®áâì 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨.
᫨ ¯®¢¥àå®áâì ξ∗ = 0 ¥¯à®¨æ ¥¬ ¤«ï à á⢮८£® ¢¥é¥á⢠, â® á¯à ¢¥¤«¨¢® £à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥ ξ∗
∂C ∂ξ∗
= 0,
= 0,
ª®â®à®¥ ï¥âáï ç áâë¬ á«ãç ¥¬ (3.1.5) ¯à¨ Ks = 0. Ǒãáâì ¨áá«¥¤ã¥¬ ï § ¤ ç ¨¬¥¥â å à ªâ¥àë© ¬ áèâ ¡ ¤«¨ë | a ( ¯à¨¬¥à, à ¤¨ãá ç áâ¨æë ¨«¨ âàã¡ë) ¨ å à ªâ¥àë© ¬ áèâ ¡ ᪮à®á⨠| U ( ¯à¨¬¥à, ¥¢®§¬ãé¥ ï ᪮à®áâì ¯®â®ª ¢¤ «¨ ®â ç áâ¨æë ¨«¨ ᪮à®áâì ¨¤ª®á⨠®á¨ âàã¡ë). áᬮâਬ á ç « £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï (3.1.2) ¨ (3.1.3). ®£¤ ãà ¢¥¨¥ ª®¢¥ªâ¨¢®£® ¬ áᮯ¥à¥®á (3.1.1) 㤮¡® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¡¥§à §¬¥à®© ä®à¬¥ á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬. ¢¥¤¥¬ ¡¥§à §¬¥àë¥ ¯¥à¥¬¥ë¥ ¯® ä®à¬ã« ¬ Dt X , y , x= 2 a a V V vx = X , vy = Y , U U
τ
=
=
Y , a
vz
z
=
Z , a
VZ , U
=
c=
ξ∗ , a Ci − C Ci − Cs ξ
=
(3.1.7)
¨ ¯®¤áâ ¢¨¬ ¨å ¢ ãà ¢¥¨¥ (3.1.1). १ã«ìâ ⥠¯®«ã稬 ∂c ∂τ
∂c + Pe vx ∂x
∂c + vy ∂y
∂c + vz ∂z
=
∂2c ∂x2
+
∂2c ∂y 2
+
∂2c . ∂z 2
(3.1.8)
¤¥áì ç¨á«® Ǒ¥ª«¥ Pe = aU/D ï¥âáï ¡¥§à §¬¥àë¬ ¯ à ¬¥â஬, ª®â®àë© å à ªâ¥à¨§ã¥â ¬¥àã ®â®è¥¨ï ª®¢¥ªâ¨¢®£® ¯¥à¥®á à á⢮८£® ¢ ¨¤ª®á⨠¢¥é¥á⢠ª ¤¨ää㧨®®¬ã ¯¥à¥®áã. ®¢ëå ¯¥à¥¬¥ëå (3.1.7) £à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥ ¢¤ «¨ ®â ¯®¢¥àå®á⨠(3.1.2) ¯à¨¨¬ ¥â ¢¨¤ ξ → ∞,
c → 0.
(3.1.9)
3.1. à ¢¥¨ï ¨ £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï ⥮ਨ ⥯«®- ¨ ¬ áᮯ¥à¥®á
101
«®£¨çë¬ ®¡à §®¬ ¯®¢¥àå®á⨠á ãç¥â®¬ (3.1.3), (3.1.7) ¨¬¥¥¬ £à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥ ξ
= 0,
c = 1.
(3.1.10)
á«ãç ¥ ª®¥ç®© ᪮à®á⨠£¥â¥à®£¥®© 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨ ¢ (3.1.5) 㤮¡® ¯¥à¥©â¨ ª ®¢ë¬ ¯¥à¥¬¥ë¬ (3.1.7), ¯®«®¨¢ Cs = 0. १ã«ìâ ⥠ãà ¢¥¨¥ (3.1.1) ¨ £à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥ ¡¥áª®¥ç®á⨠(3.1.2) ¯¥à¥å®¤ïâ ¢ (3.1.8) ¨ (3.1.9), £à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥ ॠ£¨àãî饩 ¯®¢¥àå®á⨠(3.1.5) ¯à¥®¡à §ã¥âáï ª ¢¨¤ã ξ
= 0,
−
∂c ∂ξ
= ks fs (c).
(3.1.11)
Ǒਠ§ ¯¨á¨ ãá«®¢¨ï (3.1.11) ¡ë«¨ ¨á¯®«ì§®¢ ë ®¡®§ 票ï ks
=
aKs F (C ), DCi s i
fs (c) =
Fs (C ) , Fs (Ci )
c=
Ci − C . Ci
(3.1.12)
ç á⮬ á«ãç ¥ ¯®¢¥àå®á⮩ 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨ ¯®à浪 n (3.1.6) á ãç¥â®¬ ¢ëà ¥¨© (3.1.12) ¡¥§à §¬¥à®¥ £à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥ ¯®¢¥àå®á⨠(3.1.11) ä®à¬ã«¨àã¥âáï â ª: ξ
= 0,
−
∂c ∂ξ
= ks (1 − c)n ,
(3.1.13)
£¤¥ ks = aKs Ci n−1/D | ¡¥§à §¬¥à ï ª®áâ â ᪮à®á⨠¯®¢¥àå®á⮩ ॠªæ¨¨. Ǒ®¤¥«¨¬ ®¡¥ ç á⨠(3.1.13) ks ¨ ãáâ६¨¬ ¯ à ¬¥âà ks ª ¡¥áª®¥ç®áâ¨. १ã«ìâ ⥠¯à¨å®¤¨¬ ª ¯à¥¤¥«ì®¬ã £à ¨ç®¬ã ãá«®¢¨î (3.1.10), ᮮ⢥âáâ¢ãî饬㠤¨ää㧨®®¬ã २¬ã ॠªæ¨¨. ª § ë© ¯à¥¤¥«ìë© ¯¥à¥å®¤ å®à®è® ¨««îáâà¨àã¥â á¬ëá« â¥à¬¨ ý¡¥áª®¥ç® ¡ëáâà ï ॠªæ¨ïþ, ª®â®àë© ¨á¯®«ì§®¢ «áï à ¥¥. «ï ª®¬¯ ªâ®á⨠ãà ¢¥¨¥ ª®¢¥ªâ¨¢®© ¤¨ää㧨¨ (3.1.8), ª ª íâ® ç áâ® ¯à¨ïâ®, ¡ã¤¥¬ ®¡®§ ç âì á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: ∂c ∂τ
+ Pe (~v · ∇) c = c,
(3.1.14)
£¤¥ ∇ | ®¯¥à â®à ¬¨«ìâ® , | ®¯¥à â®à ¯« á , ï¢ë© ¢¨¤ ª®â®àëå ¢ ¤¥ª à⮢®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â x, y , z ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯ã⥬ ᮯ®áâ ¢«¥¨ï (3.1.8) ¨ (3.1.14). «ï à¥è¥¨ï ¬®£¨å ª®ªà¥âëå § ¤ ç ¢¬¥áâ® ¤¥ª à⮢ëå ª®®à¤¨ â x, y , z ç á⮠㤮¡¥¥ ¨á¯®«ì§®¢ âì áä¥à¨ç¥áª¨¥ r, ϕ, θ ¨«¨ 樫¨¤à¨ç¥áª¨¥ ̺, ϕ, z ª®®à¤¨ âë. ¨ää¥à¥æ¨ «ìë¥ ®¯¥à â®àë, ¢å®¤ï騥 ¢ ãà ¢¥¨¥ (3.1.14), ¢ íâ¨å á¨á⥬ å ª®®à¤¨ â ¨¬¥îâ ¢¨¤:
102
áᮯ¥à¥®á ¢ ¯«¥ª å ¨¤ª®áâ¨, âàã¡ å ¨ ª « å
¢ 樫¨¤à¨ç¥áª®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â:
v ∂c ∂c ∂c , + vz + ϕ ∂̺ ∂z ̺ ∂ϕ ∂c 1 ∂2c ∂2c 1 ∂ ̺ c = + 2 + 2 , ̺ ∂̺ ∂̺ ∂z ̺ ∂ϕ2 p ̺ = x2 + y 2 ,
(~v · ∇) c = v̺
(3.1.15)
¢ áä¥à¨ç¥áª®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â:
v ∂c v ∂c ∂c , + θ + ϕ ∂r r ∂θ r sin θ ∂ϕ ∂ ∂c 1 ∂ 1 ∂c 1 ∂2c 2 r c = 2 + 2 sin θ + 2 2 , r ∂r ∂r r sin θ ∂θ ∂θ r sin θ ∂ϕ2 p r = x2 + y 2 + z 2 . (3.1.16)
(~v · ∇) c = vr
áᮯ¥à¥®á, ®á«®¥ë© ®¡ê¥¬®© 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¥©. Ǒਠ¯à®â¥ª ¨¨ ¢ ®¡ê¥¬¥ ¤¢¨ã饩áï áà¥¤ë £®¬®£¥®© å¨-
¬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨ ãà ¢¥¨¥ ª®¢¥ªâ¨¢®© ¤¨ää㧨¨ ¬®¥â ¡ëâì § ¯¨á ® ¢ ä®à¬¥ ∂C ∂t
+VX
∂C ∂X
+VY
∂C ∂Y
+VZ
∂C ∂Z
=D
2 ∂ C ∂X 2
+
£¤¥
∂2C ∂Y 2
+
∂2C −Kv Fv (C ), ∂Z 2 (3.1.17)
Kv | ª®áâ â ᪮à®á⨠®¡ê¥¬®© 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨, Kv Fv (C ) | ᪮à®áâì 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨. ¨¤ äãªæ¨¨ Fv = Fv (C ) § ¢¨á¨â ®â ª¨¥â¨ª¨ ॠªæ¨¨, ¯à¨ í⮬ Fv (0) = 0. ã箩 «¨â¥à âãॠ¨¡®«¥¥ ç áâ® ¢áâà¥ç ¥âáï ॠªæ¨ï n-£® ¯®à浪 , ª®â®à ï ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¢ëà ¥¨¥¬ [8, 70℄ Fv
= Cn.
(3.1.18)
«ï ãà ¢¥¨ï (3.1.17) ¢ëáâ ¢«ï¥âáï á«¥¤ãî饥 £à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥ ¢ ¡¥£ î饬 ¯®â®ª¥: ξ∗ → ∞,
C → 0.
(3.1.19)
¨§¨ç¥áª¨© á¬ëá« í⮣® ãá«®¢¨ï ¢ ⮬, çâ® ¤¨ää㤨àãî饥 ®â ¯®¢¥àå®á⨠¢¥é¥á⢮ ¤®«® ¯®«®áâìî ¯à®à¥ £¨à®¢ âì ¯® ¬¥à¥ ¥£® 㤠«¥¨ï ¢ ⮫éã 娬¨ç¥áª¨ ªâ¨¢®© á।ë. ® ¬®£¨å ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ¢ ëå á«ãç ïå § ¤ ®© ¯®¢¥àå®á⨠¢ëáâ ¢«ï¥âáï ãá«®¢¨¥ ¯®áâ®ïá⢠ª®æ¥âà 樨 (3.1.3).
3.1. à ¢¥¨ï ¨ £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï ⥮ਨ ⥯«®- ¨ ¬ áᮯ¥à¥®á
103
ª ¨ à ¥¥, 楫¥á®®¡à §® § ¯¨á âì ãà ¢¥¨¥ (3.1.17) ¨ £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï (3.1.3), (3.1.19) ¢ ¡¥§à §¬¥à®¬ ¢¨¤¥. «ï í⮣® ¢¢¥¤¥¬ ®¢ë¥ ¯¥à¥¬¥ë¥ ¯® ä®à¬ã« ¬ τ
Dt X Y Z ξ , y= , z= , ξ= ∗, , x= 2 a a a a a VX VY VZ C vx = , , vy = , vz = , c= U U U Cs
=
(3.1.20)
ª®â®àë¥ ®â«¨ç îâáï ®â (3.1.7) «¨èì ᯮᮡ®¬ ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¡¥§à §¬¥à®© ª®æ¥âà 樨. Ǒ®¤áâ ¢«ïï (3.1.20) ¢ (3.1.17), ¯à¨å®¤¨¬ ª á«¥¤ãî饬ã ãà ¢¥¨î: ∂c + Pe (~v · ∇) c = c − kv fv (c), (3.1.21) ∂τ
¯à¨ § ¯¨á¨ ª®â®à®£® ¨á¯®«ì§®¢ ë ⥠¥ á ¬ë¥ ®¡®§ 票ï, çâ® ¨ ¢ (3.1.14). ¥«¨ç¨ë, áâ®ï騥 ¢ ¯à ¢ëå ç áâïå à §¬¥à®£® (3.1.17) ¨ ¡¥§à §¬¥à®£® (3.1.21) ãà ¢¥¨©, á¢ï§ ë â ª: kv
=
a2 Kv Fv (Cs ) , DCs
fv (c) =
Fv (C ) . Fv (Cs )
(3.1.22)
ç á⮬ á«ãç ¥ ®¡ê¥¬®© 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨ ¯®à浪 n (3.1.18) ¢ (3.1.21) á«¥¤ã¥â ¯®«®¨âì kv
= a2 Kv Csn−1/D,
fv
= cn .
(3.1.23)
à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï (3.1.3) ¨ (3.1.19) ¢ ¡¥§à §¬¥àëå ¯¥à¥¬¥ëå (3.1.20) ¯à¨¨¬ îâ ¢¨¤: ξ
= 0,
c = 1;
ξ → ∞,
c → 0,
(3.1.24)
£¤¥ ξ = ξ∗ /a | ¡¥§à §¬¥à®¥ à ááâ®ï¨¥ ®â (¬¥ä §®©) ¯®¢¥àå®áâ¨. «ï 㤮¡á⢠¢ â ¡«. 3.1 㪠§ ë à §«¨çë¥ á¯®á®¡ë ¢¢¥¤¥¨ï ¡¥§à §¬¥à®© ª®æ¥âà 樨, ª®â®àë¥ ¨á¯®«ì§ãîâáï ¢ í⮩ ª¨£¥ ¤«ï ¬ ⥬ â¨ç¥áª®© ä®à¬ã«¨à®¢ª¨ à §«¨çëå § ¤ ç ª®¢¥ªâ¨¢®£® ¬ áᮯ¥à¥®á . ® ¯®¤ç¥àªãâì, çâ® ¤«ï ¡¥§à §¬¥à®© ª®æ¥âà 樨 §¤¥áì ¯à¨ïâ® ¥¤¨®¥ ®¡®§ 票¥ c. â® á¢ï§ ® á ⥬, çâ® ¢á¥ ¡¥§à §¬¥àë¥ ª®æ¥âà 樨, ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ®¬¥à ¬ 1, 2, 4, 6 ¢ â ¡«. 3.1, ïîâáï ç áâ묨 á«ãç ﬨ ®¤®© ¨ ⮩ ¥ ä®à¬ã«ë ¯®¤ ®¬¥à®¬ 3 ¨ ¯®«ãç îâáï ¨§ ¥¥ ¯ã⥬ ¯®¤áâ ®¢ª¨ ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å § 票© Ci ¨ Cs . á⠢襥áï ¢ëà ¥¨¥ ¤«ï c ¯®¤ ®¬¥à®¬ 5 â ª¥ ¬®® ¯®«ãç¨âì ¨§ ä®à¬ã«ë ¯®¤ ®¬¥à®¬ 3, ä®à¬ «ì® ¯®« £ ï ¢ ¥© Cs = 0 (¯à¨
104
áᮯ¥à¥®á ¢ ¯«¥ª å ¨¤ª®áâ¨, âàã¡ å ¨ ª « å
3.1 ¯®á®¡ë ¢¢¥¤¥¨ï ¡¥§à §¬¥à®© ª®æ¥âà 樨 ¢ § ¤ ç å ª®¢¥ªâ¨¢®£® ¬ áᮯ¥à¥®á N ¨§¨ª®-娬¨ç¥áª¨© ¯à®æ¥áá
c
®æ¥âà æ¨ï ¥¢®§¬ãé¥ ï ¯®¢¥àå®á⨠ª®æ¥âà æ¨ï ¢ ¥§à §¬¥à ï (£¤¥ ¯à®¨á室¨â ¡¥£ î饬 ¯®â®ª¥ ª®æ¥âà æ¨ï ¢ ¨¤ª®© £¥â¥à®£¥®¥ ( ¢å®¤¥ ¢ âàã¡ã ä §¥, c ¯à¥¢à 饨¥) ¨«¨ ¯«¥ªã)
á⢮२¥ ⢥à¤ëå 1 ¢¥é¥á⢠¢ ç¨á⮩ ¨¤ª®á⨠¡á®à¡æ¨ï 2 á« ¡®à á⢮ਬëå £ §®¢ ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®á⨠¨¤ª®áâ¨
Cs
0
C Cs
Cs
0
C Cs
¨ääã§¨ï ¯à¨ «¨ç¨¨ 3 ¯à¨¬¥á¨ ¢ ¨¤ª®© ä §¥
Cs
Ci
२¬ 4 ¨ää㧨®ë© ¯®¢¥àå®á⮩ ॠªæ¨¨
Ci − C Ci − Cs
0
Ci
Ci − C Ci
¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨§ à¥è¥¨ï § ¤ ç¨
Ci
Ci − C Ci
Cs
0
C Cs
®¥ç ï ᪮à®áâì 5 ¯®¢¥àå®á⮩ 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨ 娬¨ç¥áª ï 6 ¡ê¥¬ ï ॠªæ¨ï
Ǒਬ¥ç ¨¥. ¬¥ä §ëå £à ¨æ å, £¤¥ ¥â £¥â¥à®£¥ëå ¯à¥¢à 饨©, ¯à®¨§¢®¤ ï ¯® ®à¬ «¨ ®â ª®æ¥âà 樨 à ¢ ã«î.
í⮬, ®¤ ª®, á«¥¤ã¥â ¯®¬¨âì, çâ® ¢ ¤ ®¬ á«ãç ¥ ª®æ¥âà æ¨ï ¯®¢¥àå®á⨠Cs § à ¥¥ ¥¨§¢¥áâ ). ¨ää㧨®ë¥ ¯®â®ª¨ ¨ ç¨á«® ¥à¢ã¤ . ®ª «ìë© ¨«¨ (¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë©) ¤¨ää㧨®ë© ¯®â®ª à á⢮८£® ¢ ¨¤ª®á⨠¢¥é¥á⢠à áᬠâਢ ¥¬ãî ¯®¢¥àå®áâì ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯® ä®à¬ã«¥ ∂C j∗ = Dρ . (3.1.25) ∂ξ∗
ξ∗ =0
â ¢¥«¨ç¨ , ¢®®¡é¥ £®¢®àï, ¡ã¤¥â à §«¨ç®© ¢ à §ëå â®çª å ¯®¢¥àå®áâ¨. Ǒ®«ë© (¨«¨ ¨â¥£à «ìë©) ¤¨ää㧨®ë© ¯®â®ª ¢ëç¨á«ï¥âáï ¯ã⥬ ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï ¢ëà ¥¨ï (3.1.25) ¯® ¢á¥© ¯®¢¥àå®á⨠S : I∗
=
ZZ S
j∗ ds.
(3.1.26)
3.1. à ¢¥¨ï ¨ £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï ⥮ਨ ⥯«®- ¨ ¬ áᮯ¥à¥®á
105
¥«¨ç¨ I∗ ï¥âáï ¬¥à®© á㬬 ண® ª®«¨ç¥á⢠¢¥é¥á⢠, ॠ£¨àãî饣® ¢ ¥¤¨¨æ㠢६¥¨ ¢á¥© ¯®¢¥àå®áâ¨. § ¤ ç å ¬ áᮯ¥à¥®á á £à ¨ç묨 ãá«®¢¨ï¬¨ (3.1.2), (3.1.3) ¢¬¥áâ® (3.1.25), (3.1.26) ç áâ® ¨á¯®«ì§ãîâáï ¡¥§à §¬¥àë¥ ¤¨ää㧨®ë¥ ¯®â®ª¨, ª®â®àë¥ ®¯à¥¤¥«ïîâáï ª ª j
=
aj∗ , Dρ (Ci − Cs )
I
=
I∗ . aDρ (Ci − Cs )
(3.1.27)
«ï ¤¨ää㧨®®£® २¬ ॠªæ¨¨, ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â £à ¨çë¬ ãá«®¢¨ï¬ (3.1.2), (3.1.4), â ª¥ ¤«ï ª®¥ç®© ᪮à®á⨠¯®¢¥àå®á⮩ 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨ ¢ á«ãç ¥ £à ¨çëå ãá«®¢¨© (3.1.2), (3.1.5), ¢ á®®â®è¥¨ïå (3.1.27) á«¥¤ã¥â ¯®«®¨âì Cs = 0. ᮢ ï ¢¥«¨ç¨ , ¯à¥¤áâ ¢«ïîé ï ¯à ªâ¨ç¥áª¨© ¨â¥à¥á, | á।¥¥ ç¨á«® ¥à¢ã¤ | ¢ëç¨á«ï¥âáï ¯® ä®à¬ã«¥ Sh =
I , S
(3.1.28)
£¤¥ S = S∗/a2 | ¡¥§à §¬¥à ï ¯«®é ¤ì à áᬠâਢ ¥¬®© ¯®¢¥àå®áâ¨, S∗ | ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï à §¬¥à ï ¯«®é ¤ì ¯®¢¥àå®áâ¨. áç¥â ¤¨ää㧨®ëå ¯®â®ª®¢ ¨ á।¥£® ç¨á« ¥à¢ã¤ ¯à®¢®¤¨âáï ¢ âਠíâ ¯ : á ç « à¥è ¥âáï § ¤ ç ª®¢¥ªâ¨¢®£® ¬ áᮯ¥à¥®á ¨ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯®«¥ ª®æ¥âà 権, § ⥬ ¢ëç¨á«ï¥âáï ¯à®¨§¢®¤ ï ¯® ®à¬ «¨ ª ¯®¢¥àå®á⨠(∂C/∂ξ∗)ξ =0 , ¯®á«¥¤¥¬ íâ ¯¥ ¨á¯®«ì§ãîâáï ä®à¬ã«ë (3.1.25) | (3.1.28). «¥¥ ¯® ¢á¥© ª¨£¥, £¤¥ íâ® ¥ ¯à¨¢®¤¨â ª ¯ãâ ¨æ¥, ¡¥§à §¬¥àãî ª®æ¥âà æ¨î ¨ ¡¥§à §¬¥àë© ¤¨ää㧨®ë© ¯®â®ª ç áâ® ¡ã¤¥¬ §ë¢ âì ¯à®áâ® ª®æ¥âà 樥© ¨ ¤¨ää㧨®ë¬ ¯®â®ª®¬, ®¯ãáª ï ¤«ï ªà ⪮á⨠᫮¢® ¡¥§à §¬¥àë©. ∗
à ¢¥¨¥ ¨ £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï ⥮ਨ ⥯«®¯¥à¥®á .
à ¢¥¨¥ ¯¥à¥®á ⥯« ¢ ¤¢¨ã饩áï á।¥, «®£¨ç®¥ ãà ¢¥¨î ª®¢¥ªâ¨¢®© ¤¨ää㧨¨ (3.1.1), ¨¬¥¥â ¢¨¤ ∂T∗ ∂t
+ VX
∂T∗ ∂X
∂T + VY ∗ ∂Y
∂T + VZ ∗ ∂Z
2 ∂ T∗ =χ ∂X 2
+
∂ 2 T∗ ∂Y 2
+
∂ 2 T∗ , ∂Z 2 (3.1.29)
£¤¥ T∗ | ⥬¯¥à âãà , χ | ª®íää¨æ¨¥â ⥬¯¥à âãய஢®¤®áâ¨. Ǒਠà¥è¥¨¨ ¥áâ 樮 àëå § ¤ ç ¤®«® ¡ëâì § ¤ ® à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ⥬¯¥à âãàë ¢ ¯®â®ª¥ ¢ ç «ìë© ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨. ¤ «¨ ®â à áᬠâਢ ¥¬®© ¯®¢¥àå®á⨠®¡ëç® ¢ëáâ ¢«ï¥âáï ãá«®¢¨¥ ¯®áâ®ïá⢠⥬¯¥à âãàë ¢ ®¡ê¥¬¥ ¤¢¨ã饩áï á।ë: ξ∗ → ∞,
T∗ → Ti .
(3.1.30)
106
áᮯ¥à¥®á ¢ ¯«¥ª å ¨¤ª®áâ¨, âàã¡ å ¨ ª « å
Ǒਠ«¨§¥ ¯à®æ¥áᮢ ⥯«®®¡¬¥ ⥫ á® á।®©, ª®£¤ ⥬¯¥à âãà ¯®¢¥àå®á⨠⥫ ¯®¤¤¥à¨¢ ¥âáï ¯®áâ®ï®©, ¢â®à®¥ £à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥ § ¯¨áë¢ ¥âáï á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: ξ∗
= 0,
T∗
= Ts .
(3.1.31)
ᯮ«ì§®¢ ¨¥ ®¢ëå ¡¥§à §¬¥àëå ¢¥«¨ç¨ χt X Y Z , y= , z= , , x= a2 a a a V V V vx = X , vy = Y , vz = Z , T U U U
τ =
aU , χ Ti − T∗ Ti − Ts
PeT = =
(3.1.32)
¯®§¢®«ï¥â ¯à¥¤áâ ¢¨âì ãà ¢¥¨¥ (3.1.29) ¨ £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï (3.1.30), (3.1.31) ¢ ¢¨¤¥ ∂T + PeT (~v · ∇) T = T ; ∂ τ ξ → ∞, T → 0; ξ = 0, T
= 1.
(3.1.33) (3.1.34)
¨¤®, çâ® § ¤ ç ® ⥯«®®¡¬¥¥ ⥫ á® á।®© (3.1.33), (3.1.34) á ¬ ⥬ â¨ç¥áª®© â®çª¨ §à¥¨ï ¯®«®áâìî «®£¨ç § ¤ ç¥ ® ¬ áá®®¡¬¥¥ ç áâ¨æë á ¯®â®ª®¬ ¢ á«ãç ¥ ¤¨ää㧨®®£® २¬ ॠªæ¨¨ ¥¥ ¯®¢¥àå®á⨠(3.1.8) | (3.1.10). á®¢ë¥ ¡¥§à §¬¥àë¥ ¯ à ¬¥âàë. ¨ää㧨®®¥ ¨ ⥯«®¢®¥ ç¨á« Ǒ¥ª«¥, 䨣ãà¨àãî騥 ¢ ãà ¢¥¨ïå ª®¢¥ªâ¨¢®£® ¬ áᮨ ⥯«®¯¥à¥®á (3.1.8) ¨ (3.1.33), á¢ï§ ë á ç¨á«®¬ ¥©®«ì¤á Re = aU/ν (ν | ª¨¥¬ â¨ç¥áª ï ¢ï§ª®áâì ¨¤ª®áâ¨), áâ®ï騬 ¢ ¯à ¢®© ç á⨠ãà ¢¥¨© ¢ì¥ | ⮪á (1.1.4), á«¥¤ãî騬¨ á®®â®è¥¨ï¬¨: PeT = Re Pr . (3.1.35) Pe = Re S , ¤¥áì S = ν/D | ç¨á«® ¬¨¤â , Pr = ν/χ | ç¨á«® Ǒà ¤â«ï | ¡¥§à §¬¥àë¥ ¢¥«¨ç¨ë, ª®â®àë¥ § ¢¨áïâ ⮫쪮 ®â 䨧¨ç¥áª¨å ᢮©á⢠à áᬠâਢ ¥¬®© ᯫ®è®© á।ë. «ï ®¡ëçëå £ §®¢ ª®íää¨æ¨¥âë ¤¨ää㧨¨ ¨ ª¨¥¬ â¨ç¥áª®© ¢ï§ª®á⨠¨¬¥îâ ®¤¨ ª®¢ë© ¯®à冷ª ¢¥«¨ç¨ë, ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â § ç¥¨ï¬ ç¨á¥« ¬¨¤â ¯®à浪 ¥¤¨¨æë (S ∼ 1). ®¡ëçëå ¨¤ª®áâïå ⨯ ¢®¤ë ª®íää¨æ¨¥â ª¨¥¬ â¨ç¥áª®© ¢ï§ª®á⨠¥áª®«ìª® ¯®à浪®¢ ¢¥«¨ç¨ë ¯à¥¢ëè ¥â ª®íää¨æ¨¥â ¤¨ää㧨¨ (S ∼ 103). ®ç¥ì ¢ï§ª¨å ¨¤ª®áâïå ⨯ £«¨æ¥à¨ ç¨á«® ¬¨¤â ¤®á⨣ ¥â § 票© ¯®à浪 106. ¨á«® Ǒà ¤â«ï ¨§¬¥ï¥âáï ¢ ¡®«¥¥ 㧪¨å ¯à¥¤¥« å, 祬 ç¨á«® ¬¨¤â . £ § å ⨯ ¢®§¤ãå Pr ∼ 1, ¢ ¨¤ª®áâïå ⨯ ¢®¤ë | Pr ∼ 10. ®ç¥ì ¢ï§ª¨å ¨¤ª®áâïå ⨯ £«¨æ¥à¨ ç¨á«® Ǒà ¤â«ï
3.1. à ¢¥¨ï ¨ £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï ⥮ਨ ⥯«®- ¨ ¬ áᮯ¥à¥®á
107
¨¬¥¥â ¯®à冷ª 103. ¨¤ª¨¥ ¬¥â ««ë ( â਩, «¨â¨©, àâãâì ¨ ¤à.) å à ªâ¥à¨§ãîâáï ¬ «ë¬¨ ç¨á« ¬¨ Ǒà ¤â«ï: 5 · 10−3 6 Pr 6 5 · 10−2 . ¨á«® ¥©®«ì¤á Re = aU/ν ¥ ï¥âáï 䨧¨ç¥áª®© ¯®áâ®ï®© áà¥¤ë ¨ § ¢¨á¨â ®â £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨å ¨ ª¨¥â¨ç¥áª¨å ä ªâ®à®¢. Ǒ®í⮬㠤¨ ¯ §® ¥£® ¨§¬¥¥¨ï ¬®¥â ¡ëâì «î¡ë¬. § à áᬮâà¥ëå ¯à¨¬¥à®¢ á ãç¥â®¬ á®®â®è¥¨© (3.1.35) á«¥¤ã¥â, çâ® ¢ § ¤ ç å 䨧¨ª®-娬¨ç¥áª®© £¨¤à®¤¨ ¬¨ª¨ ç¨á« Ǒ¥ª«¥, ¢®®¡é¥ £®¢®àï, ¬®£ã⠯ਨ¬ âì á ¬ë¥ à §«¨çë¥ § 票ï. ç¨âë¢ ï, çâ® ¤¨ää㧨®ë¥ ¯à®æ¥ááë ¢ ¨¤ª®áâïå å à ªâ¥à¨§ãîâáï ®ç¥ì ¡®«ì訬¨ § 票ﬨ ç¨á¥« ¬¨¤â , ®á®¡® á«¥¤ã¥â ¯®¤ç¥àªãâì, çâ® ¢ § ¤ ç å ª®¢¥ªâ¨¢®£® ¬ áᮯ¥à¥®á ¢ ¨¤ª¨å á। å ç¨á«® Ǒ¥ª«¥ â ª¥ ¢¥«¨ª®, ç¨ ï ã¥ á ¬ «ëå ç¨á¥« ¥©®«ì¤á , ¯à¨ ª®â®àëå ॠ«¨§ã¥âáï á⮪ᮢ § ª® â¥ç¥¨ï (ý¯®«§ã饥þ â¥ç¥¨¥).
¥â®¤ë à¥è¥¨ï § ¤ ç 䨧¨ª®-娬¨ç¥áª®© £¨¤à®¤¨ ¬¨ª¨. à ¢¥¨¥ ª®¢¥ªâ¨¢®© ¤¨ää㧨¨ (3.1.1) ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®©
«¨¥©®¥ ãà ¢¥¨¥ ¢ ç áâëå ¯à®¨§¢®¤ëå ¢â®à®£® ¯®à浪 á ¯¥à¥¬¥ë¬¨ ª®íää¨æ¨¥â ¬¨ (¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ª®¬¯®¥âë ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠§ ¢¨áï⠮⠪®®à¤¨ â ¨ ¢à¥¬¥¨). ®çë¥ «¨â¨ç¥áª¨¥ à¥è¥¨ï ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å § ¤ ç 㤠¥âáï ©â¨ «¨èì ¢ ¨áª«îç¨â¥«ìëå á«ãç ïå á ¯à®á⮩ £¥®¬¥âਥ©. ª § ®¥ ¥é¥ ¢ ¡®«ì襩 á⥯¥¨ ®â®á¨âáï ¨ ª ¥«¨¥©®¬ã ãà ¢¥¨î (3.1.17). ®çë¥ à¥è¥¨ï ¨£à îâ ¡®«ìèãî à®«ì ¤«ï ä®à¬¨à®¢ ¨ï ¯à ¢¨«ìëå ¯à¥¤áâ ¢«¥¨© ® 䨧¨ç¥áª®© áãé®áâ¨ à §«¨çëå ¥¨© ¨ ¯à®æ¥áᮢ. ¨ ¬®£ã⠨ᯮ«ì§®¢ âìáï ¢ ª ç¥á⢥ ýâ¥á⮢ëå à¥è¥¨©þ ¤«ï ¯à®¢¥àª¨ ª®à४â®á⨠¨ ®æ¥ª¨ â®ç®á⨠ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ç¨á«¥ëå, ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨å ¨ ¯à¨¡«¨¥ëå ¬¥â®¤®¢. «ï ¯®«ãç¥¨ï ¥®¡å®¤¨¬®© ¨ä®à¬ 樨 ®¡ ¨áá«¥¤ã¥¬®¬ ¥¨¨ ¨«¨ ¯à®æ¥áᥠ®¡ëç® ¯à¨å®¤¨âáï ¯à¨¡¥£ âì ª à §®£® த ã¯à®é¥¨ï¬ ¢ ¬ ⥬ â¨ç¥áª®© ä®à¬ã«¨à®¢ª¥ à áᬠâਢ ¥¬®© § ¤ ç¨, ª à §«¨çë¬ ¯à¨¡«¨¥¨ï¬ ¨ ¯¯à®ªá¨¬ æ¨ï¬, ç¨á«¥ë¬ ¬¥â®¤ ¬ ¨«¨ ª ⥬ ¨ ¤à㣨¬ ®¤®¢à¥¬¥®. ª ¨ ¢ ¬¥å ¨ª¥ ¢ï§ª®© ¨¤ª®áâ¨, ¯à¨¡«¨¥®¥ à¥è¥¨¥ § ¤ ç ª®¢¥ªâ¨¢®£® ¬ áá®- ¨ ⥯«®¯¥à¥®á ç áâ® ®á®¢ ® ¯à¨¬¥¥¨¨ ¬¥â®¤®¢ ⥮ਨ ¢®§¬ã饨© [38, 90, 114℄, ¢ ª®â®àëå 䨣ãà¨àãî騩 ¢ ãà ¢¥¨¨ (3.1.8) ¡¥§à §¬¥àë© ¯ à ¬¥âà | ç¨á«® Ǒ¥ª«¥ Pe áç¨â ¥âáï ¬ «ë¬ (¨«¨ ¡®«ì訬) ¨ ¨á¯®«ì§ã¥âáï ª ª ¯ à ¬¥âà à §«®¥¨ï ¯à¨ ®âë᪠¨¨ à¥è¥¨© ¢ ¢¨¤¥ ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨å à冷¢. ® ¯®¤ç¥àªãâì, çâ® «¨ç¨¥ ¬ «®£® ¨«¨ ¡®«ì讣® ¯ à ¬¥âà ¢® ¬®£¨å § ¤ ç å 䨧¨ª®-娬¨ç¥áª®© £¨¤à®¤¨ ¬¨ª¨ ®¡ãá«®¢«¥® áãé¥á⢮¬ ¤¥« . ¥©á⢨⥫ì®, ª ª 㪠§ë¢ «®áì à ìè¥, ª®¢¥ªâ¨¢ ï ¤¨ääã§¨ï ¢ ¨¤ª®áâïå å à ªâ¥à¨§ã¥âáï ¡®«ì訬¨ ç¨á« ¬¨ ¬¨¤â , çâ® á¢ï§ ® á å à ªâ¥à묨 § 票ﬨ 䨧¨ç¥áª¨å ª®áâ â. ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ᨣã«ïà®-¢®§¬ãé¥ëå § ¤ ç å áãé¥-
108
áᮯ¥à¥®á ¢ ¯«¥ª å ¨¤ª®áâ¨, âàã¡ å ¨ ª « å
áâ¢ãîâ 㧪¨¥ ¯à®áâà á⢥®-¢à¥¬¥ë¥ ®¡« á⨠( ¯à¨¬¥à, ¤¨ää㧨®ë© ¯®£à ¨çë© á«®© ¨ ¤¨ää㧨®ë© á«¥¤), ¢ ª®â®àëå à¥è¥¨¥ ¡ëáâà® ¬¥ï¥âáï. âàãªâãà , ¯à®â葉áâì ¨ ç¨á«® íâ¨å ®¡« á⥩ ®¡ëç® § à ¥¥ ¥¨§¢¥áâë ¨ ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¢ ¯à®æ¥áᥠà¥è¥¨ï. ¬¥î騩áï ®£à®¬ë© ®¯ë⠯ਬ¥¥¨ï ¬¥â®¤®¢ ¢®§¬ã饨© ¤ ¥â ®á®¢ ¨¥ áç¨â âì ¨å ¢¥áì¬ ¯«®¤®â¢®à묨 ¨ ¨¡®«¥¥ ®¡é¨¬¨ ¨§ ¢á¥å áãé¥áâ¢ãîé¨å «¨â¨ç¥áª¨å ¬¥â®¤®¢. ⨠¬¥â®¤ë á«ã â ¤«ï ¢ëïá¥¨ï ¯à¨æ¨¯¨ «ì® ¢ ëå § ª®®¬¥à®á⥩ ¨ ª ç¥á⢥ëå ®á®¡¥®á⥩ ¢¥áì¬ á«®ëå «¨¥©ëå ¨ ¥«¨¥©ëå § ¤ ç, ¤«ï ¯®«ã票ï ᨬ¯â®â¨ª ¨ ¯®áâ஥¨ï ýâ¥á⮢ëå à¥è¥¨©þ, ¢ à拉 á«ãç ¥¢ ¬®£ãâ á«ã¨âì ®á®¢®© ¤«ï à §à ¡®âª¨ ¢ëç¨á«¨â¥«ìëå ¬¥â®¤®¢. «¥¤ã¥â ®â¬¥â¨âì, çâ® ¢ â¥å § ¤ ç å, £¤¥ ¬¥â®¤ë ¢®§¬ã饨© ¢¥áì¬ íä䥪⨢ë, ç¨á«¥ë¥, ª ª ¯à ¢¨«®, áâ ®¢ïâáï ¬ «®¯à¨£®¤ë¬¨. Ǒ®«ãç î騥áï ¯à¨ ¨á¯®«ì§®¢ ¨¨ ¬¥â®¤®¢ ¢®§¬ã饨© ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨¥ àï¤ë ¨¬¥îâ ®£à ¨ç¥ãî ®¡« áâì ¯à¨¬¥¨¬®áâ¨. ஬¥ ⮣®, ®¡ëç® ã¤ ¥âáï ¢ëç¨á«¨âì ¥ ¡®«¥¥ ¤¢ãå ¨«¨ âà¥å ¯¥à¢ëå ç«¥®¢ ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å à §«®¥¨©. ª § ë¥ ®¡áâ®ï⥫ìá⢠¥ ¯®§¢®«ïî⠮楨âì ¯®¢¥¤¥¨¥ à¥è¥¨ï ¯à¨ ¯à®¬¥ãâ®çëå (ª®¥çëå) § 票ïå ¯ à ¬¥âà ¨ ª« ¤ë¢ îâ áãé¥áâ¢¥ë¥ ®£à ¨ç¥¨ï ¨á¯®«ì§®¢ ¨¥ ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨å ä®à¬ã« ¤«ï à áç¥â®¢ ¢ ¨¥¥à®© ¯à ªâ¨ª¥. â® | ¨¡®«¥¥ áãé¥áâ¢¥ë© ¥¤®áâ ⮪ ¬¥â®¤®¢ ¢®§¬ã饨©. ® á¨å ¯®à ¥ ãâà ⨫¨ ᢮¥£® § 票ï à §®®¡à §ë¥ ¨ ¢® ¬®£®¬ ®¯¨à î騥áï ¨âã¨â¨¢ë¥ á®®¡à ¥¨ï ¯à¨¡«¨¥ë¥ ¨¥¥àë¥ ¬¥â®¤ë, ª ª®â®àë¬ ®â®áïâáï, ¯à¨¬¥à, ¨â¥£à «ìë¥ ¬¥â®¤ë [70, 103, 184℄; ¬¥â®¤ à ¢®¤®áâ㯮© ¯®¢¥àå®á⨠[175℄; à §«¨çë¥ ¬®¤¨ä¨ª 樨 ¬¥â®¤ «¨¥ ਧ 樨 ãà ¢¥¨© ¨ £à ¨çëå ãá«®¢¨© [132℄. ᯮ«ì§®¢ ¨¥ íâ¨å ¯à®áâëå ¬¥â®¤®¢ ¢® ¬®£¨å á«ãç ïå ®ª §ë¢ ¥âáï ¯®«¥§ë¬ ¤«ï ¯à ªâ¨ç¥áª¨å 楫¥©. Ǒਡ«¨¥ë¥ ¬¥â®¤ë ®ç¥ì 㤮¡ë ¤«ï ¯®«ãç¥¨ï ¤®áâ â®ç® £àã¡ëå ®æ¥®ª ¯à¥¤¢ à¨â¥«ì®¬ íâ ¯¥ «î¡®£® ¨áá«¥¤®¢ ¨ï, â ª¥ ⮣¤ , ª®£¤ १ã«ìâ â ¤®«¥ ¡ëâì ¯®«ãç¥ ¤®áâ â®ç® ¡ëáâà®. «ï ¯à¨¡«¨¥ëå ¬¥â®¤®¢ ¨¥¥à®£® ⨯ å à ªâ¥à ¥¢ë᮪ ï â®ç®áâì. ª § ë© ¥¤®áâ ⮪ ¢ § ç¨â¥«ì®© ¬¥à¥ ¬®® ãáâà ¨âì ¯ã⥬ á®ç¥â ¨ï ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨å ¨ ¯à¨¡«¨¥ëå ¬¥â®¤®¢ [72, 277℄. ®£¨¥ § ¤ ç¨ ä¨§¨ª®-娬¨ç¥áª®© £¨¤à®¤¨ ¬¨ª¨ ¨ ⥮ਨ ¬ áá®- ¨ ⥯«®¯¥à¥®á ãá¯¥è® à¥è îâáï ¯ã⥬ ¯à¨¬¥¥¨ï ç¨á«¥ëå ¬¥â®¤®¢ á ¨á¯®«ì§®¢ ¨¥¬ [122, 131℄. ⨠¬¥â®¤ë ®¡« ¤ îâ ¡®«ì让 㨢¥àá «ì®áâìî ¨ ¯®§¢®«ïîâ íä䥪⨢® ¯®«ãç âì à¥è¥¨ï ¤«ï ¯à®¬¥ãâ®çëå § 票© å à ªâ¥à®£® ¯ à ¬¥âà § ¤ ç¨, â.¥. ¢ ⮩ ®¡« áâ¨, £¤¥ ¥ ¬®£ãâ ¡ëâì ¨á¯®«ì§®¢ ë ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨¥ ¬¥â®¤ë. ¨á«¥ë¥ ¬¥â®¤ë ¢ áâ®ï饥 ¢à¥¬ï ïîâáï ®á®¢ë¬
109
3.2. ¨ääã§¨ï ª ¢à é î饬ãáï ¤¨áªã
¯¯ à ⮬ ¨áá«¥¤®¢ ¨ï ¯à¨ª« ¤ëå § ¤ ç, á¢ï§ ëå á à §à ¡®âª®©, ®¯â¨¬¨§ 樥© ¨ ã¯à ¢«¥¨¥¬ à §«¨çëå ãáâனá⢠¨ â¥å®«®£¨ç¥áª¨å ¯à®æ¥áᮢ. ® ®â¬¥â¨âì, çâ® ¢á¥ ⥮à¥â¨ç¥áª¨¥ ¬¥â®¤ë (â®çë¥, ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨¥, ¯à¨¡«¨¥ë¥ ¨ ç¨á«¥ë¥) ¢§ ¨¬® ¤®¯®«ïîâ ¤à㣠¤à㣠. 3.2. ¨ääã§¨ï ª ¢à é î饬ãáï ¤¨áªã
«¥¤ãï [100℄, à áᬮâਬ áâ 樮 àë© ¬ áᮯ¥à¥®á ª ¯®¢¥àå®á⨠¤¨áª , ¢à é î饣®áï ¢ ¨¤ª®á⨠¢®ªà㣠᢮¥© ®á¨ á ¯®áâ®ï®© 㣫®¢®© ᪮à®áâìî ω . ç¨â ¥¬, çâ® ¢¤ «¨ ®â ¤¨áª ª®æ¥âà æ¨ï ¯®áâ®ï ¨ à ¢ Ci , ¯®¢¥àå®á⨠¯à®¨á室¨â ¯®«®¥ ¯®£«®é¥¨¥ à á⢮८£® ¢¥é¥á⢠. áì z ¯à ¢¨¬ ¯® ®à¬ «¨ ª ¯®¢¥àå®á⨠¤¨áª . ¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ ® ¤¢¨¥¨¨ ¨¤ª®áâ¨, 㢫¥ª ¥¬®© ¤¨áª®¬, ¡ë«® ¯à¨¢¥¤¥® à ¥¥ ¢ à §¤. 1.2. ç¨âë¢ ï ᪠§ ®¥ ¨ ¨á¯®«ì§ãï १ã«ìâ âë à §¤. 3.1, § ¯¨è¥¬ ¢ 樫¨¤à¨ç¥áª®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â ãà ¢¥¨¥ ¤¨ää㧨¨ ¨ £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï ¢ á«¥¤ãî饬 ¢¨¤¥: ∂c v̺ ∂̺
∂c + vz ∂z
+ z
vϕ ∂c ̺ ∂ϕ
1 = S
= 0,
c = 1;
1
∂ ̺ ∂̺
∂ 2c ∂c + 2 ̺ ∂̺ ∂z
z → ∞,
+
c → 0.
∂2c ; ̺2 ∂ϕ2 (3.2.1) (3.2.2)
1
¤¥áì ¡¥§à §¬¥àë¥ ¯¥à¥¬¥ë¥ ¨ ¯ à ¬¥âàë á¢ï§ ë á ¨á室묨 à §¬¥à묨 ¢¥«¨ç¨ ¬¨ á®®â®è¥¨ï¬¨ (3.1.7) ¯à¨ Cs = 0, £¤¥ å à ªâ¥àë¥ ¬ áèâ ¡ë ¤«¨ë ¨ ᪮à®á⨠¢ë¡à ë â ª: a = (ν/ω )
1/2
,
U
= (νω )1/2 , Pe = aU/D = S .
(3.2.3)
®£« ᮠ१ã«ìâ â ¬ à §¤. 1.2 ¤«ï ¡¥§à §¬¥àëå ª®¬¯®¥â ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠¨¬¥¥¬ vz
= v(z ),
v̺
= ̺u1(z ),
vϕ
= ̺u2 (z ),
(3.2.4)
£¤¥ v, u1 , u2 | ¨§¢¥áâë¥ äãªæ¨¨ z . ⬥⨬ ¥ª®â®àë¥ á¢®©á⢠äãªæ¨¨ v. §«®¥¨¥ v ¢¡«¨§¨ ¯®¢¥àå®á⨠¤¨áª (¯à¨ z → 0) ç¨ ¥âáï á ª¢ ¤à â¨ç®£® ç«¥ v
= −αz 2 + · · · ,
£¤¥
α ≈ 0,51.
¤à㣮¬ ¯à¥¤¥«ì®¬ á«ãç ¥ ¨¬¥¥¬ v → −0,89 ¯à¨ z → ∞.
(3.2.5)
110
áᮯ¥à¥®á ¢ ¯«¥ª å ¨¤ª®áâ¨, âàã¡ å ¨ ª « å
¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ (3.2.1), (3.2.2), (3.2.4) ¨é¥¬ ¢ ¢¨¤¥ c = c(z ).
(3.2.6)
१ã«ìâ ⥠¯à¨å®¤¨¬ ª ®¡ëª®¢¥®¬ã ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®¬ã ãà ¢¥¨î ¢â®à®£® ¯®à浪 S v(z )
dc dz
=
d2 c dz 2
(3.2.7)
á £à ¨ç묨 ãá«®¢¨ï¬¨ (3.2.2). à ¢¥¨¥ (3.2.7) «¥£ª® ¨â¥£à¨àã¥âáï, â ª ª ª ¯®¤áâ ®¢ª®© W = dc/dz ¯à¨¢®¤¨âáï ª ãà ¢¥¨î ¯¥à¢®£® ¯®à浪 á à §¤¥«ïî騬¨áï ¯¥à¥¬¥ë¬¨. ¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ (3.2.7), (3.2.2) ¤ ¥âáï ä®à¬ã«®© Z
∞
c = Zz ∞ 0
exp S
exp S
Z z Z0 z 0
v (z) dz dz . v (z ) dz dz
(3.2.8)
¨ää¥à¥æ¨àãï íâ® ¢ëà ¥¨¥ ¯® z ¨ ¯®« £ ï § ⥬ z = 0, ©¤¥¬ ¡¥§à §¬¥àë© ¤¨ää㧨®ë© ¯®â®ª ¯®¢¥àå®áâì ¤¨áª j
=−
dc dz
z =0
=
Z
∞
0
exp S
Z z 0
−1 v (z) dz dz .
(3.2.9)
ç⥬ ⥯¥àì, çâ® ®¡ëçë¥ ¨¤ª®á⨠å à ªâ¥à¨§ãîâáï ¡®«ì訬¨ § 票ﬨ ç¨á¥« ¬¨¤â S . ¥âà㤮 ¯®ª § âì, ç⮠ᨬ¯â®â¨ª¨ ä®à¬ã« (3.2.8) ¨ (3.2.9) ¯à¨ S → ∞ ¬®® ¯®«ãç¨âì, ¯®¤áâ ¢«ïï ¢ ¨å £« ¢ë© ç«¥ à §«®¥¨ï äãªæ¨¨ v ¯à¨ z → 0. ¯®¬®éìî ¢ëà ¥¨© (3.2.5) ¨ (3.2.8) ¤«ï ¡¥§à §¬¥à®© ª®æ¥âà 樨 ¯®á«¥ ¥ª®â®àëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨© ¨¬¥¥¬ c=
1 (1/3)
1 1 , α S z 3 3 3
.
(3.2.10)
¤¥áì ¨ ¤ «¥¥ ¨á¯®«ì§ãîâáï ®¡®§ 票ï: (m, ζ ) =
Z
ζ
∞
e−x xm−1 dx
| ¥¯®« ï £ ¬¬ -äãªæ¨ï,
(m) = (m, 0) | ¯®« ï £ ¬¬ -äãªæ¨ï, (1/3) ≈ 2,679.
111
3.3. ¥¯«®¯¥à¥®á ª ¯«®áª®© ¯« á⨥
«®£¨çë¬ ®¡à §®¬, ¯®¤áâ ¢«ïï ¯¥à¢ë© ç«¥ à §«®¥¨ï (3.2.5) ¢ ä®à¬ã«ã (3.2.9), ¤«ï ¡¥§à §¬¥à®£® ¤¨ää㧨®®£® ¯®â®ª ¯®«ã稬 (9α S )1/3 j= ≈ 0,62 S 1/3 . (3.2.11) (1/3) «ï 䨧¨ç¥áª®© ¨â¥à¯à¥â 樨 १ã«ìâ ⮢ 㤮¡® ¢¢¥á⨠¡¥§à §¬¥àãî ⮫é¨ã ¤¨ää㧨®®£® ¯®£à ¨ç®£® á«®ï ¯® ä®à¬ã«¥ δ
= 1/j.
(3.2.12)
ᯮ«ì§ãï ¢ëà ¥¨ï (3.2.11) ¨ (3.2.12), 室¨¬ δ ≈ 1,6 S −1/3 . ¬¥¥â ¬¥áâ® á«¥¤ãîé ï ª à⨠¬ áᮯ¥à¥®á ¢¡«¨§¨ ¯®¢¥àå®á⨠¢à é î饣®áï ¤¨áª . ¥§à §¬¥à ï ª®æ¥âà æ¨ï íªá¯®¥æ¨ «ì® ¡ëáâà® ¯ ¤ ¥â á à®á⮬ à ááâ®ï¨ï ¤® ¤¨áª . à ááâ®ï¨¨ z ≈ δ ® ¡«¨§ª ª ᢮¥¬ã ¥¢®§¬ã饮¬ã § ç¥¨î ¨ ¤ «¥¥ ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ¥ ¬¥ï¥âáï. Ǒਠ¡®«ìè¨å ç¨á« å ¬¨¤â ®á®¢®¥ ¨§¬¥¥¨¥ ª®æ¥âà 樨 ¯à®¨á室¨â ¢ ⮪®¬ á«®¥ (⮫騮© ¯®à浪 S −1/3 ), ¯à¨«¥£ î饬 ª ¯®¢¥àå®á⨠¤¨áª . âã ®¡« áâì §ë¢ îâ ¤¨ää㧨®ë¬ ¯®£à ¨çë¬ á«®¥¬. 3.3. ¥¯«®¯¥à¥®á ª ¯«®áª®© ¯« á⨥
áᬮâਬ ⥯«®¯¥à¥®á ª ¯«®áª®© ¯« á⨥, ¯à®¤®«ì® ®¡â¥ª ¥¬®© ¯®áâ㯠⥫ìë¬ ¯®â®ª®¬ ¢ï§ª®© ¥á¨¬ ¥¬®© ¨¤ª®á⨠ᮠ᪮à®áâìî Ui ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å ¥©®«ì¤á . ç¨â ¥¬, ç⮠⥬¯¥à âãà ¯®¢¥àå®á⨠¯« áâ¨ë ¨ ¢¤ «¨ ®â ¥¥ ¯à¨¨¬ ¥â ¯®áâ®ïë¥ § 票ï, à ¢ë¥ á®®â¢¥âá⢥® Ts ¨ Ti . ç «® ¯àאַ㣮«ì®© á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â X , Y ¯®¬¥á⨬ ¢ ¯¥à¥¤îî ªà®¬ªã; ®áì X ¯à ¢¨¬ ¢¤®«ì, Y | ¯®¯¥à¥ª ¯« áâ¨ë. ®£®ç¨á«¥ë¥ íªá¯¥à¨¬¥âë ¨ ç¨á«¥ë¥ à áç¥âë ¯®ª §ë¢ îâ, çâ® « ¬¨ àë© £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª¨© ¯®£à ¨çë© á«®© ॠ«¨§ã¥âáï ¯à¨ 5 · 102 6 Re 6 5 · 105 ÷ 106 [184℄. í⮬ ¤¨ ¯ §®¥ ⥯«®¢®¥ ç¨á«® Ǒ¥ª«¥ PeT = Re Pr ¢¥«¨ª® ¤«ï £ §®¢ ¨ ®¡ëçëå ¨¤ª®á⥩. «ï ¨¤ª¨å ¬¥â ««®¢ áãé¥áâ¢ã¥â ®¡« áâì ç¨á¥« ¥©®«ì¤á 104 6 Re 6 106 , £¤¥ ç¨á« Ǒ¥ª«¥ â ª¥ ¢¥«¨ª¨. ç¨âë¢ ï ᪠§ ®¥, ®£à ¨ç¨¬áï ¨§ã票¥¬ á«ãç ï ¡®«ìè¨å ç¨á¥« Ǒ¥ª«¥, ª®£¤ ¯à®¤®«ì®© á®áâ ¢«ïî饩 ¬®«¥ªã«ïன ⥯«®¯à®¢®¤®á⨠¬®® ¯à¥¥¡à¥çì. ®®â¢¥âáâ¢ãî饥 ãà ¢¥¨¥ ⥯«®¢®£® ¯®£à ¨ç®£® á«®ï ¨ £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï ¨¬¥îâ ¢¨¤ vx x = 0,
T
= 0;
∂T ∂T + vy ∂x ∂y y = 0, T
1 Pr = 1;
=
∂ 2T ; ∂y 2 y → ∞,
T → 0.
(3.3.1)
112
áᮯ¥à¥®á ¢ ¯«¥ª å ¨¤ª®áâ¨, âàã¡ å ¨ ª « å
¤¥áì ¡¥§à §¬¥àë¥ ¯¥à¥¬¥ë¥ ¢¢¥¤¥ë ¯® ä®à¬ã« ¬ (3.1.32), £¤¥ ¢ ª ç¥á⢥ ¬ áèâ ¡ ¤«¨ë ¢ë¡à ¢¥«¨ç¨ L = ν/Ui ; ν | ª¨¥¬ â¨ç¥áª ï ¢ï§ª®áâì ¨¤ª®áâ¨. ®¬¯®¥âë ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠¢ ãà ¢¥¨¨ (3.3.1) ¤ îâáï à¥è¥¨¥¬ « §¨ãá vx
= f ′ (η),
vy
=
ηf ′ − f √ , 2 x
£¤¥
η
=
y √ . x
(3.3.2)
ãªæ¨ï f = f (η) ¡ë« ®¯¨á à ¥¥ ¢ à §¤. 1.6, èâà¨å ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¯à®¨§¢®¤®© ¯® η. ¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ (3.3.1) á ãç¥â®¬ § ¢¨á¨¬®á⥩ (3.3.2) ¨é¥¬ ¢ ¢â®¬®¤¥«ì®¬ ¢¨¤¥ T = T (η). ¨â®£¥ ¯à¨å®¤¨¬ ª ®¡ëª®¢¥®¬ã ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®¬ã ãà ¢¥¨î d2 T dη 2 η = 0, T
1 dT Pr f (η) = 0; 2 dη = 1; η → ∞, T → 0.
+
(3.3.3)
ãç¥â®¬ à ¢¥á⢠f = −f ′′′/f ′′, ª®â®à®¥ ï¥âáï á«¥¤á⢨¥¬ ãà ¢¥¨ï ¤«ï äãªæ¨¨ f , à¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ (3.3.3) ¬®¥â ¡ëâì § ¯¨á ® ¢ ¢¨¤¥ (. Ǒ®«ì£ 㧥, 1921): T
=
Z
∞
Zη ∞ 0
[f ′′ (η)℄Pr dη [f ′′ (η)℄Pr dη
(3.3.4)
.
ǑਠPr = 1 ¨§ í⮩ ä®à¬ã«ë ¨¬¥¥¬ ¯à®áâãî á¢ï§ì ¬¥¤ã ⥬¯¥à âãன ¨ ¯à®¤®«ì®© á®áâ ¢«ïî饩 ᪮à®áâ¨: T (η ) = 1 − f ′ (η ) = 1 − vx .
¨ää¥à¥æ¨àãï ¢ëà ¥¨¥ (3.3.4) ¨ ¨á¯®«ì§ãï ç¨á«¥®¥ § 票¥ f ′′ (0) = 0,332, ¯®«ã稬 ¡¥§à §¬¥àë© â¥¯«®¢®© ¯®â®ª ¯®¢¥àå®áâì ¯« áâ¨ë (0,332)Pr ∂T B (Pr) jT = − . (3.3.5) = √ , £¤¥ B (Pr) = Z ∞ x ∂y y=0 [f ′′ (η)℄Pr dη 0
ᨬ¯â®â¨ª¨ äãªæ¨¨ B (Pr) ¯à¨ ¬ «ëå ¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒà ¤â«ï 㤮¡¥¥ ¨áª âì ¨áå®¤ï ¨§ ãà ¢¥¨ï (3.3.3), ¢ ª®â®à®¬ ᤥ« ® à áâ泌¥ ¯¥à¥¬¥®© ¯® ä®à¬ã«¥ η = ζ/Pr. १ã«ìâ ⥠¯à¨′′ 室¨¬ ª ãà ¢¥¨î Tζζ + f (ζ/Pr)Tζ′ = 0. ǑਠPr → 0 à£ã¬¥â äãªæ¨¨ f (ζ/Pr) áâ६¨âáï ª ¡¥áª®¥ç®áâ¨, ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¯®áâ®ï®©
113
3.3. ¥¯«®¯¥à¥®á ª ¯«®áª®© ¯« á⨥
á¯à¥¤¥«¥¨¥ ᪮à®á⥩ ¨ à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ⥬¯¥à âãàë ¢ ¯®£à ¨çëå á«®ïå ¯à¨ ®ç¥ì ¬ «®¬ ¨ ®ç¥ì ¡®«ì讬 ç¨á« å Ǒà ¤â«ï
¨á. 3.1.
᪮à®á⨠¢ãâਠ⥯«®¢®£® ¯®£à ¨ç®£® á«®ï ¨ f (η) ≈ η. ¤à㣮¬ ¯à¥¤¥«ì®¬ á«ãç ¥ ¯à¨ Pr → ∞ à£ã¬¥â äãªæ¨¨ f (ζ/Pr) áâ६¨âáï ª ã«î, ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â «¨¥©®© ¯¯à®ªá¨¬ 樨 ᪮à®á⨠¢ãâਠ¯®£à ¨ç®£® á«®ï ¨ f (η) ≈ 0,166 η2. Ǒ®¤áâ ¢«ïï 㪠§ ë¥ ¢ëè¥ £« ¢ë¥ ç«¥ë ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨å à §«®¥¨© äãªæ¨¨ f ¢ ãà ¢¥¨¥ (3.3.3) ¨ à¥è ï ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 § ¤ ç¨, ¤«ï ⥯«®¢®£® ¯®â®ª (3.3.5) ¯®«ã稬 1/2 B (Pr) → (Pr/π ) (Pr → 0), (3.3.6) /3 1 (Pr → ∞). B (Pr) → 0,339 Pr
¡¥ à áᬮâà¥ë¥ ¯à¥¤¥«ìë¥ á¨âã 樨 ¢áâà¥ç îâáï ¢® ¬®£¨å § ¤ ç å ª®¢¥ªâ¨¢®£® ⥯«®¯¥à¥®á ¨ á奬 â¨ç¥áª¨ ¨§®¡à ¥ë à¨á. 3.1. ¨¤®, çâ® ¢ á«ãç ¥ Pr → 0, ¯à¨¡«¨¥® ¨¬¥î饬 ¬¥áâ® ¤«ï ¨¤ª¨å ¬¥â ««®¢ ( ¯à¨¬¥à, ¤«ï àâãâ¨), ¯à¨ à áç¥â¥ ⥬¯¥à âãண® ¯®£à ¨ç®£® á«®ï ¬®® ¯à¥¥¡à¥çì ¤¨ ¬¨ç¥áª¨¬ ¯®£à ¨çë¬ á«®¥¬ ¨ § ¬¥¨âì ¯à®ä¨«ì ᪮à®á⨠v(x, y ) ᪮à®áâìî v∞ (x) ¥¢ï§ª®£® ¢¥è¥£® â¥ç¥¨ï. ǑਠPr → ∞, ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â á«ãç î á¨«ì® ¢ï§ª¨å ¨¤ª®á⥩ ( ¯à¨¬¥à, £«¨æ¥à¨), ⥬¯¥à âãàë© ¯®£à ¨çë© á«®© ®ç¥ì ⮪¨© ¨ à ᯮ«®¥ ¢ãâਠ¤¨ ¬¨ç¥áª®£® ¯®£à ¨ç®£® á«®ï, £¤¥ ᪮à®áâì 㢥«¨ç¨¢ ¥âáï «¨¥©® á à ááâ®ï¨¥¬ ®â ¯®¢¥àå®á⨠¯« áâ¨ë. ® ¢á¥¬ ¤¨ ¯ §®¥ ¨§¬¥¥¨ï ç¨á¥« Ǒà ¤â«ï äãªæ¨ï B (Pr) ¢ ä®à¬ã«¥ (3.3.5) å®à®è® ¯¯à®ªá¨¬¨àã¥âáï ¢ëà ¥¨¥¬ B (Pr) = 0,0817
(1 + 72 Pr)2/3 − 1
1/2
,
(3.3.7)
¬ ªá¨¬ «ì®¥ ®â«¨ç¨¥ ª®â®à®£® ®â ç¨á«¥ëå ¤ ëå [184℄ á®áâ ¢«ï¥â ®ª®«® 0,5%.
114
áᮯ¥à¥®á ¢ ¯«¥ª å ¨¤ª®áâ¨, âàã¡ å ¨ ª « å
¯¨è¥¬ ¢ëà ¥¨¥ ¤«ï «®ª «ì®£® ç¨á« ãáᥫìâ Nux = −
X Ts − Ti
∂T∗ ∂Y
Y =0
=
p
Rex B (Pr),
(3.3.8)
£¤¥ Rex = XUi/ν | «®ª «ì®¥ ç¨á«® ¥©®«ì¤á . ¥ ®áâ ¢«¨¢ ïáì ¯®ïᥨïå, ¯à¨¢¥¤¥¬ ä®à¬ã«ã ¤«ï «®ª «ì®£® ç¨á« ãáᥫìâ ¢ á«ãç ¥ ®¡â¥ª ¨ï ¯«®áª®© ¯« áâ¨ë âãà¡ã«¥âë¬ â¥ç¥¨¥¬ [184℄ Nux = 0,0296 Pr1/3 Re4x/5 ,
(3.3.9)
ª®â®à ï å®à®è® ᮣ« áã¥âáï á १ã«ìâ â ¬¨ íªá¯¥à¨¬¥â «ìëå ¨áá«¥¤®¢ ¨©. 3.4. áᮯ¥à¥®á ¢ ¯«¥ª å ¨¤ª®áâ¨
áá®®¡¬¥ ¬¥¤ã £ § ¬¨ ¨ ¨¤ª¨¬¨ ¯«¥ª ¬¨. á⢮२¥ £ § ¢ á⥪ î饩 ¯«¥ª¥ ¨¤ª®á⨠ï¥âáï ®¤¨¬ ¨§ ¢ ¥©è¨å ¬¥â®¤®¢ à áâ¢®à¥¨ï £ §®¢, ¯®«ã稢è¨å ¢¥áì¬ è¨à®ª®¥ à á¯à®áâà ¥¨¥ ¢ â¥å¨ª¥ [87, 183℄. Ǒ«¥®çë¥ ¡á®à¡¥àë á ®à®è ¥¬ë¬¨ á⥪ ¬¨ ¯à¨¬¥ïîâáï ¤«ï ¯®«ãç¥¨ï ¢®¤ëå à á⢮஢ £ § ( ¯à¨¬¥à, ¡á®à¡æ¨ï ¯ ஢ HCl ¢®¤®©), à §¤¥«¥¨ï £ §®¢ëå ᬥᥩ ( ¯à¨¬¥à, ¡á®à¡æ¨ï ¡¥§®« ¢ ª®ªá®å¨¬¨ç¥áª®¬ ¯à®¨§¢®¤á⢥), ®ç¨á⪨ £ §®¢ ®â ¢à¥¤ëå ¢ë¡à®á®¢ ( ¯à¨¬¥à, ª®ªá®¢®£® £ § ®â H2 S) ¨ ¤à. áᬮâਬ ¡á®à¡æ¨î á« ¡®à á⢮ਬëå £ §®¢ ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®á⨠¯«¥ª¨ ¨¤ª®áâ¨, « ¬¨ à® á⥪ î饩 ¯® ª«®®© ¯«®áª®áâ¨. ®£« ᮠ१ã«ìâ â ¬ à §¤. 1.3 ¢ á«ãç ¥ 㬥à¥ëå ᪮à®á⥩ ¤¢¨¥¨ï áâ 樮 ஥ à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ᪮à®á⨠¢ãâਠ¯«¥ª¨ ¨¬¥¥â ä®à¬ã ¯®«ã¯ à ¡®«ë á ¬ ªá¨¬ «ì®© ᪮à®áâìî Umax ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®áâ¨, ¢ ¯®«â®à à § ¯à¥¢ëè î饩 á।¥à á室ãî ᪮à®áâì hV i: 3 gh2 Umax = hV i = sin α. 2 2ν ¤¥áì g | ã᪮२¥ ᢮¡®¤®£® ¯ ¤¥¨ï; α | 㣮« ª«® ¯®¢¥àå®á⨠ª £®à¨§®âã; h | â®«é¨ ¯«¥ª¨, ª®â®à ï ¢ëç¨á«ï¥âáï á ¯®¬®éìî ¢ëà ¥¨ï 2 1/3 3ν h= Re , g
£¤¥ Re = Q/ν | ç¨á«® ¥©®«ì¤á , Q | ¯«®â®áâì ®à®è¥¨ï (â.¥. ®¡ê¥¬ë© à á室 ¨¤ª®áâ¨, ¯à¨å®¤ï騩áï ¥¤¨¨æã è¨à¨ë ¯«¥ª¨).
115
3.4. áᮯ¥à¥®á ¢ ¯«¥ª å ¨¤ª®áâ¨
ª®à®áâì ¨¤ª®á⨠¢ãâਠ¯«¥ª¨ ¨¬¥¥â ¯ à ¡®«¨ç¥áª¨© ¯à®ä¨«ì ¨ ®¯¨áë¢ ¥âáï ä®à¬ã«®© V
= Umax(1 − y 2 ),
y
= Y /h,
£¤¥ Y | ®áì ª®®à¤¨ â, ®à¨¥â¨à®¢ ï ¯® ®à¬ «¨ ª ¯®¢¥àå®á⨠¯«¥ª¨ (à¨á. 1.3). Ǒ।¯®«®¨¬, çâ® ¢ á¥ç¥¨¨ X = 0 ¯®â®ª ¨¤ª®á⨠¢áâ㯠¥â ¢ ª®â ªâ á £ §®¬, â ª ç⮠᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®á⨠(Y = 0) ãáâ ¢«¨¢ ¥âáï ¯®áâ®ï ï ª®æ¥âà æ¨ï ¯®£«®é ¥¬®£® ª®¬¯®¥â C = Cs , ¯®áâ㯠îé ï ®à®è¥¨¥ ¨¤ª®áâì ¥ ᮤ¥à¨â à á⢮àïî饣®áï ¢¥é¥á⢠. ஬¥ ⮣®, ¡ã¤¥¬ áç¨â âì, çâ® á⥪ ¥¯à®¨æ ¥¬ . £à ¨ç¨¬áï ¨áá«¥¤®¢ ¨¥¬ ¨¡®«¥¥ ¢ ®£® á«ãç ï ¡®«ìè¨å ç¨á¥« Ǒ¥ª«¥, ª®£¤ ¬®«¥ªã«ïன ¤¨ää㧨¥© ¢¤®«ì ¯«¥ª¨ ¬®® ¯à¥¥¡à¥çì. á¯à¥¤¥«¥¨¥ ª®æ¥âà 樨 ¢ãâਠ¯«¥ª¨ á ãç¥â®¬ ᤥ« ëå ¤®¯ã饨© ®¯¨áë¢ ¥âáï á«¥¤ãî騬 ãà ¢¥¨¥¬ ¨ £à ¨ç묨 ãá«®¢¨ï¬¨ [23℄: (1 − y 2 )
x = 0, y = 0, y
= 1,
∂c = ∂x c=0 c=1
1 Pe
∂2c ∂y 2
;
(3.4.1)
(0 6 y 6 1); (x > 0); ∂c/∂y = 0 (x > 0),
(3.4.2) (3.4.3) (3.4.4)
¯à¨ § ¯¨á¨ ª®â®àëå ¡ë«¨ ¨á¯®«ì§®¢ ë ¡¥§à §¬¥àë¥ ¢¥«¨ç¨ë x=
X , h
y
=
Y , h
c=
C , Cs
Pe =
hUmax . D
(3.4.5)
⬥⨬, çâ® ¢¡«¨§¨ ¢å®¤®£® á¥ç¥¨ï ¯à¨ ¬ «ëå § 票ïå á«¥¤ã¥â à áᬠâਢ âì ¯®«®¥ ãà ¢¥¨¥ ¬ áᮯ¥à¥®á , ¢ ª®â®à®¬ ¢¬¥áâ® ç«¥ ∂ 2 c/∂y 2 á⮨â c. Ǒਡ«¨¥¨¥ ¤¨ää㧨®®£® ¯®£à ¨ç®£® á«®ï. ᮢ®¥ ¨§¬¥¥¨¥ ª®æ¥âà 樨 ç «ì®¬ ãç á⪥ ¤«ï x = O(1) ¡ã¤¥â ¯à®¨á室¨âì ¢ ⮪®¬ ¤¨ää㧨®®¬ ¯®£à ¨ç®¬ á«®¥ ¢¡«¨§¨ ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®á⨠¯«¥ª¨. í⮩ ®¡« á⨠ᤥ« ¥¬ à áâ泌¥ ¯®¯¥à¥ç®© ª®®à¤¨ âë ¯® ¯à ¢¨«ã √ (3.4.6) y = w/ Pe. Ǒ®¤áâ ¢«ïï ¢ëà ¥¨¥ (3.4.6) ¢ (3.4.1) ¨ ¯¥à¥å®¤ï ª ¯à¥¤¥«ã ¯à¨ Pe → ∞ (áç¨â ¥âáï, çâ® ¯¥à¥¬¥ë¥ x, w ¨ ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¨¬ ¯à®¨§¢®¤ë¥ ¨¬¥îâ ¯®à冷ª ¥¤¨¨æë), ¯®«ã稬 ãà ¢¥¨¥ x 6 O(Pe−1/2 )
∂c ∂x
=
∂2c . ∂w2
(3.4.7)
116
áᮯ¥à¥®á ¢ ¯«¥ª å ¨¤ª®áâ¨, âàã¡ å ¨ ª « å
ááâ®ï¨¥ ¤® á⥪¨, ª®â®à®¥ √ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª®®à¤¨ ⮩ y = 1, ¢ ᨫã (3.4.6) ᮮ⢥âáâ¢ã¥â w = Pe. Ǒ®í⮬㠯ਠPe → ∞ § 票î y = 1, 䨣ãà¨àãî饬㠢 £à ¨ç®¬ ãá«®¢¨¨ (3.4.4), ®â¢¥ç ¥â w → ∞. ç¨âë¢ ï ᪠§ ®¥, ¯à¥¤áâ ¢¨¬ £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï (3.4.2) | (3.4.4) ¢ á«¥¤ãî饬 ¢¨¤¥: x = 0,
c = 0;
w
= 0,
c = 1;
∂c/∂w → 0.
w → ∞,
(3.4.8)
¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ (3.4.7), (3.4.8) ¤ ¥âáï ä®à¬ã«®© c = erf Z
w √ 2 x
(3.4.9)
,
∞ 2 £¤¥ erf z = √ exp(−t2 ) dt | ¤®¯®«¨â¥«ìë© ¨â¥£à « ¢¥à®π z ïâ®á⥩. ¨ää¥à¥æ¨àãï ¢ëà ¥¨¥ (3.4.9), 室¨¬ ¤¨ää㧨®ë© ¯®â®ª ¯®¢¥àå®áâì ¯«¥ª¨ [100℄
j
=−
=
j dx = 2
∂c ∂y
y =0
Pe πx
1/2
.
(3.4.10)
¥§à §¬¥àë© ¨â¥£à «ìë© ¤¨ää㧨®ë© ¯®â®ª ç áâì ¯®¢¥àå®á⨠¯«¥ª¨, à ᯮ«®¥®© ¨â¥à¢ «¥ ®â 0 ¤® x, à ¢¥ I
=
Z
x
0
Pe π
1/2 . x
(3.4.11)
®à¬ã«ë (3.4.10), (3.4.11) áâ ®¢ïâáï ¥¯à¨£®¤ë¬¨ ¯à¨ ¤®áâ â®ç® ¡®«ìè¨å § 票ïå x, ª®£¤ ¤¨ää㧨®ë© ¯®£à ¨çë© á«®© ý¯à®à áâ ¥âþ ç¥à¥§ ¢áî ⮫é¨ã ¯«¥ª¨. «ï ⮣® çâ®¡ë ®æ¥¨âì ®¡« áâì ¯à¨¬¥¨¬®á⨠íâ¨å ä®à¬ã«, à áᬮâਬ ¨á室ãî § ¤ çã (3.4.1) | (3.4.4). ®ç®¥ à¥è¥¨¥. ¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ (3.4.1) | (3.4.4) ¢® ¢á¥© ®¡« á⨠0 6 x < ∞ ¨é¥¬ ¢ ¢¨¤¥ àï¤ [23, 223℄ c=1−
∞ X
m=0
λ2m Am exp − x Hm (y ),
Pe
(3.4.12)
£¤¥ ¨áª®¬ë¥ äãªæ¨¨ Hm ¨ ª®íää¨æ¨¥âë Am ¨ λm ¥ § ¢¨áïâ ®â ç¨á« Ǒ¥ª«¥. Ǒ®á«¥ ¯®¤áâ ®¢ª¨ à §«®¥¨ï (3.4.12) ¢ (3.4.1) ¨ ¯®á«¥¤ãî饣® à §¤¥«¥¨ï ¯¥à¥¬¥ëå ¯à¨å®¤¨¬ ª á«¥¤ãî饬㠮¡ëª®¢¥®¬ã ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®¬ã ãà ¢¥¨î ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï äãªæ¨© Hm : d2 Hm dy 2
+ λ2m (1 − y 2 )Hm = 0.
(3.4.13)
117
3.4. áᮯ¥à¥®á ¢ ¯«¥ª å ¨¤ª®á⨠3.2 ®¡áâ¢¥ë¥ § 票ï λm ¨ ª®íää¨æ¨¥âë à §«®¥¨ï Am ¢ à¥è¥¨¨ (3.4.12) ¤«ï à á¯à¥¤¥«¥¨ï ª®æ¥âà 樨 ¢ãâਠ¯«¥ª¨, ¯®¢¥àå®á⨠ª®â®à®© ¡á®à¡¨àã¥âáï £ § m
λm
Am
m
λm
Am
1 2 3 4 5
2,2631 6,2977 10,3077 14,3128 18,3159
1,3382 −0,5455 0,3589 −0,2721 0,2211
6 7 8 9 10
22,3181 26,3197 30,3209 34,3219 38,3227
−0,1873 0,1631 −0,1449 0,1306 −0,1191
à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï ¤«ï Hm ¯®«ã稬 ¨§ (3.4.3) ¨ (3.4.4) á ãç¥â®¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï (3.4.12): y
= 0,
Hm
= 0;
y
= 1,
dHm dy
= 0.
(3.4.14)
¤ ç (3.4.13) ¨ (3.4.14) á«ã¨â ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï ᮡá⢥ëå äãªæ¨© Hm ¨ ᮡá⢥ëå § 票© λm . ¡é¥¥ à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (3.4.13) ¨¬¥¥â ¢¨¤ [223℄ Hm (y ) = exp(− 12 λm y 2 )[B1 (am , 12 ; λm y 2 ) + + B2 y (am + 12 , 32 ; λm y 2 )℄, am = 41 (1 − λm ),
£¤¥ (a, b, ξ ) = 1 +
∞ X a(a + 1) . . . (a + m − 1) ξ m b(b + 1) . . . (b + m − 1) m! m=1
(3.4.15)
| ¢ëத¥ ï
£¨¯¥à£¥®¬¥âà¨ç¥áª ï äãªæ¨ï. ¤®¢«¥â¢®àïï ¯¥à¢®¬ã £à ¨ç®¬ã ãá«®¢¨î (3.4.14), 室¨¬ B1 = 0. Ǒ®¤áâ ¢«ïï íâ® § 票¥ ¢ ä®à¬ã«ã (3.4.15) ¨ ¯®« £ ï B2 = 1 (äãªæ¨¨ Hm ®¯à¥¤¥«ïîâáï á â®ç®áâìî ¤® ¯®áâ®ï®£® ᮬ®¨â¥«ï), ¯®«ã稬 Hm (y ) = y exp − 12 λm y 2 am + 12 , 32 ; λm y 2 .
(3.4.16)
λm am + 12 , 32 ; λm − am + 12 , 12 ; λm = 0,
(3.4.17)
Ǒ®¤áâ ¢«ïï äãªæ¨î (3.4.16) ¢® ¢â®à®¥ £à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥ (3.4.14), ¯à¨å®¤¨¬ ª á«¥¤ãî饬ã âà á楤¥â®¬ã ãà ¢¥¨î ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï ᮡá⢥ëå § 票© λm : ¯à¨ ¢ë¢®¤¥ ª®â®à®£® ¡ë«® ¨á¯®«ì§®¢ ® à ¢¥á⢮ [12℄ 1−b d (a, b; ξ ) = (a, b; ξ ) − (a, b − 1; ξ ) . dξ
ξ
â ¡«. 3.2 ¯à¨¢¥¤¥ë 10 ¯¥à¢ëå ᮡá⢥ëå § 票© ¢ëç¨á«¥ëå ¢ à ¡®â¥ [290℄.
λm ,
118
áᮯ¥à¥®á ¢ ¯«¥ª å ¨¤ª®áâ¨, âàã¡ å ¨ ª « å
©¬¥¬áï ⥯¥àì ®¯à¥¤¥«¥¨¥¬ ª®íää¨æ¨¥â®¢ Am . Ǒ®¤áâ ®¢ª àï¤ (3.4.12) ¢ £à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥ (3.4.2) ¤ ¥â ∞ X
m=1
Am Hm (y ) = 1.
(3.4.18)
¬®¨¬ ãà ¢¥¨¥ (3.4.13) ᮡá⢥ãî äãªæ¨î Hk (k = 6 m) ¨ ¯à®¨â¥£à¨à㥬 ¯®«ã祮¥ ¢ëà ¥¨¥ ¯® y ®â 0 ¤® 1. Ǒ®á«¥ ¥ª®â®àëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨© á ãç¥â®¬ £à ¨çëå ãá«®¢¨© (3.4.14) ¯à¨å®¤¨¬ ª ãá«®¢¨ï¬ ®à⮣® «ì®á⨠¤«ï Hk ¨ Hm á ¢¥á®¢®© äãªæ¨¥© (1 −y 2): Z 1 0
(1 − y 2 )Hm Hk dy = 0
( k 6 = m ).
(3.4.19)
¬® ï ®¡¥ ç áâ¨ à ¢¥á⢠(3.4.18) äãªæ¨î (1 − y 2 )Hk ¨ ¨â¥£à¨àãï ¯®«ãç¥ë© àï¤ ¯® ¢á¥© ⮫騥 ¯«¥ª¨ á ãç¥â®¬ (3.4.19), ©¤¥¬ ª®íää¨æ¨¥âë Am
=
Z 1
Z 10 0
(1 − y 2 )Hm (y ) dy
(1 − y 2 )
H m (y )
2
,
£¤¥
m = 1,
2,
...
(3.4.20)
dy
â ¡«. 3.2 㪠§ ë 10 ¯¥à¢ëå ª®íää¨æ¨¥â®¢ Am , ¢ëç¨á«¥ëå ¢ à ¡®â¥ [290℄. ¥§à §¬¥àë© ¨â¥£à «ìë© ¯®â®ª ç áâì ¯®¢¥àå®á⨠¯«¥ª¨ ®â 0 ¤® x á ãç¥â®¬ à ¢¥á⢠(3.4.12) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯® ä®à¬ã«¥ I
=−
Z
x
∂c ∂y
dx = 0 y =0 ∞ X λ2m Am dHm − = Pe 1 − exp x . λ2m dy Pe y =0 m=1
(3.4.21)
Ǒ®¤áâ ¢«ïï áî¤ äãªæ¨î (3.4.16), ¨¬¥¥¬
∞ X Am λ2m I = Pe 1 − exp − x . λ2m Pe m=1
(3.4.22)
®¯®áâ ¢«¥¨¥ í⮩ ä®à¬ã«ë á (3.4.11) ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® ¯à¨¡«¨¥¨¥¬ ¤¨ää㧨®®£® ¯®£à ¨ç®£® á«®ï ¬®® ¯®«ì§®¢ âìáï ¢ ®¡« á⨠x 6 0,1 Pe.
á⢮२¥ ¯« áâ¨ë « ¬¨ ன ¯«¥ª®© ¨¤ª®áâ¨.
áᬮâਬ ⥯¥àì ¬ áᮯ¥à¥®á ®â ⢥म© á⥪¨ ª ¨¤ª®© ¯«¥ª¥
3.4. áᮯ¥à¥®á ¢ ¯«¥ª å ¨¤ª®áâ¨
119
¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥. ª ï § ¤ ç ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â § ç¨â¥«ìë© ¨â¥à¥á ¢ á¢ï§¨ á ¯à®æ¥áá ¬¨ à á⢮२ï, ªà¨áâ ««¨§ 樨, ª®à஧¨¨, ®¤®£® à áâ¢®à¥¨ï ¬¥â ««®¢ ¢ à拉 í«¥ªâà®å¨¬¨ç¥áª¨å ¯à®¨§¢®¤á⢠¨ ¤à. ® ¬®£¨å á«ãç ïå, ¢áâà¥ç îé¨åáï ¯à ªâ¨ª¥, ¯à®æ¥ááë à áâ¢®à¥¨ï ¯à®â¥ª îâ ¤®áâ â®ç® ¡ëáâà® ¯® áà ¢¥¨î á ¤¨ää㧨¥©. Ǒ®í⮬㠡㤥¬ áç¨â âì, çâ® ¯®¢¥àå®á⨠¯« áâ¨ë ª®æ¥âà æ¨ï ¯®áâ®ï ¨ à ¢ Cs , ¢å®¤®¥ á¥ç¥¨¥ ¯®¤ ¥âáï ç¨áâ ï ¨¤ª®áâì. ª ¨ à ¥¥, ¢¢¥¤¥¬ ¡¥§à §¬¥àë¥ ¯¥à¥¬¥ë¥ ¯® ä®à¬ã« ¬ (3.4.5). ®¢¥ªâ¨¢ë© ¬ áᮯ¥à¥®á ¢ ¯«¥ª¥ ¨¤ª®á⨠¢ ¤ ®¬ á«ãç ¥ ®¯¨áë¢ ¥âáï ãà ¢¥¨¥¬ (3.4.1), £à ¨çë¬ ãá«®¢¨¥¬ ¯® ¯à®¤®«ì®© ¯¥à¥¬¥®© x (3.4.2) ¨ á«¥¤ãî騬¨ £à ¨ç묨 ãá«®¢¨ï¬¨ ¯® ¯®¯¥à¥ç®© ª®®à¤¨ â¥: y
= 0,
y
= 1,
∂c =0 ∂y c=1
(x > 0);
(3.4.23)
(x > 0).
(3.4.24)
®âï íâ § ¤ ç ®â«¨ç ¥âáï ®â ¨§ã祮© à ¥¥ § ¤ ç¨ (3.4.1) | (3.4.4) «¨èì ¯¥à¥áâ ®¢ª®© £à ¨çëå ãá«®¢¨© (3.4.3) ¨ (3.4.4), ¨å à¥è¥¨ï ¡ã¤ãâ áãé¥á⢥® à §«¨ç âìáï. Ǒਡ«¨¥¨¥ ¤¨ää㧨®®£® ¯®£à ¨ç®£® á«®ï. ç «ì®¬ ãç á⪥ ¯à¨ x = O(1) ®á®¢®¥ ¨§¬¥¥¨¥ ª®æ¥âà 樨 ¯à®¨á室¨â ¢ ®¡« á⨠¤¨ää㧨®®£® ¯®£à ¨ç®£® á«®ï, ª®â®àë© à ᯮ«®¥ ¢¡«¨§¨ ¯®¢¥àå®á⨠¯« áâ¨ë. ᨬ¯â®â¨ç¥áª®¥ à¥è¥¨¥ ¢ í⮩ ®¡« á⨠¬®® ©â¨ ¯ã⥬ ¯®¤áâ ®¢ª¨ ¢ ãà ¢¥¨¥ (3.4.1) à áâïã⮩ ª®®à¤¨ âë ξ = (1 − y ) Pe1/3 (3.4.25) á ¯®á«¥¤ãî騬 ¢ë¤¥«¥¨¥¬ áâ à襣® ç«¥ à §«®¥¨ï ª®æ¥âà 樨 ¯à¨ Pe → ∞. १ã«ìâ ⥠㪠§ ®© ¯à®æ¥¤ãàë ¯à¨å®¤¨¬ ª ãà ¢¥¨î ¤¨ää㧨®®£® ¯®£à ¨ç®£® á«®ï 2ξ
∂c ∂x
=
∂2c . ∂ξ 2
(3.4.26)
áá㤠ï â ª ¥, ª ª íâ® ¤¥« «®áì à ¥¥ ¢ § ¤ ç¥ ®¡ ¡á®à¡æ¨¨ £ §®¢ ¯®¢¥àå®á⨠¯«¥ª¨, á ¯®¬®éìî (3.4.2), (3.4.23), (3.4.24) ¯®«ã稬 £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï ¤«ï ãà ¢¥¨ï (3.4.26), ª®â®àë¥ á â®ç®áâìî ¤® ¯¥à¥®¡®§ 票ï ξ → w ᮢ¯ ¤ îâ á (3.4.8). ¥è¥¨¥ ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 § ¤ ç¨ ¤ ¥âáï ä®à¬ã«®© c=
1 (1/3)
1 2ξ 3 , 3 9x
£¤¥ (1/3, z ) | ¥¯®« ï £ ¬¬ -äãªæ¨ï.
,
(3.4.27)
120
áᮯ¥à¥®á ¢ ¯«¥ª å ¨¤ª®áâ¨, âàã¡ å ¨ ª « å
¨ää¥à¥æ¨àãï ¢ëà ¥¨¥ (3.4.27), ¢ëç¨á«¨¬ «®ª «ìë© ¤¨ää㧨®ë© ¯®â®ª [100℄ j
61/3 Pe1/3 (1/3) x1/3
=
≈ 0,678
Pe1/3
. x1/3
(3.4.28)
®®â¢¥âáâ¢ãî騩 ¨â¥£à «ìë© ¤¨ää㧨®ë© ¯®â®ª ¯®¢¥àå®áâì ¯« á⨪¨ à ¢¥ I
=
Z
x
0
j dx = 1,02 Pe1/3 x2/3 .
(3.4.29)
®¯®áâ ¢«¥¨¥ ä®à¬ã« (3.4.9) | (3.4.11) ¨ (3.4.27) | (3.4.29) ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® ¯à¨ x ∼ 1 â®«é¨ ¤¨ää㧨®®£® ¯®£à ¨ç®£® á«®ï ¢¡«¨§¨ ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®á⨠¯«¥ª¨ δ0 ∼ Pe−1/2 § ç¨â¥«ì® ¬¥ìè¥ â®«é¨ë ¯®£à á«®ï ¢¡«¨§¨ ⢥म© ¯®¢¥àå®á⨠δâ ∼ Pe−1/3 . ®®â¢¥âá⢥® ¤¨ää㧨®ë© ¯®â®ª ᢮¡®¤ãî ¯®¢¥àå®áâì ¡®«ìè¥, 祬 ⢥à¤ãî ¯®¢¥àå®áâì. ஬¥ ⮣®, ¤¨ää㧨®ë© ¯®â®ª ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®á⨠ã¡ë¢ ¥â ¡ëáâ॥, 祬 ⢥म© £à ¨æ¥, ¯® ¬¥à¥ ¯à®¤¢¨¥¨ï ®â ¢å®¤®£® á¥ç¥¨ï. ª § ë¥ íä䥪âë ®¡ãá«®¢«¥ë ⥬, çâ® ¢¡«¨§¨ ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®á⨠¨¤ª®áâì ¤¢¨¥âáï áãé¥á⢥® ¡ëáâ॥, 祬 ¢¡«¨§¨ ⢥म© £à ¨æë, ª®â®à®© ¢ë¯®«ï¥âáï ãá«®¢¨¥ ¯à¨«¨¯ ¨ï. ª § ®¥ ¤«ï ¯«¥ª¨ ¨¤ª®á⨠¡ã¤¥â á¯à ¢¥¤«¨¢® â ª¥ ¤«ï ¯®¤ ¢«ïî饣® ¡®«ìè¨á⢠§ ¤ ç ¤¨ää㧨®®£® ¯®£à ¨ç®£® á«®ï. ¨¬¥®, ¢¡«¨§¨ £à ¨æë à §¤¥« £ §{¨¤ª®áâì ¨«¨ ¨¤ª®áâì{ ¨¤ª®áâì ¡¥§à §¬¥à ï â®«é¨ ¯®£à ¨ç®£® á«®ï ¯à®¯®à樮 «ì Pe−1/2 (¤¨ää㧨®ë© ¯®â®ª j ∼ Pe1/2 ), ¢¡«¨§¨ £à ¨æ ⨯ ¨¤ª®áâì{⢥म¥ ⥫® â®«é¨ ¯®£à á«®ï ¯à®¯®à樮 «ì Pe−1/3 (¤¨ää㧨®ë© ¯®â®ª j ∼ Pe1/3 ). ®ç®¥ à¥è¥¨¥. ¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ (3.4.1), (3.4.2), (3.4.23), (3.4.24) ¢® ¢á¥© ®¡« á⨠0 6 x < ∞, ª ª ¨ à ¥¥, ¨é¥¬ ¢ ¢¨¤¥ àï¤ (3.4.12), £¤¥ ᮡáâ¢¥ë¥ äãªæ¨¨ Hm 㤮¢«¥â¢®àïîâ ãà ¢¥¨î (3.4.13). (¥¨§¢¥áâë¥ ª®íää¨æ¨¥âë λm , Am ¨ äãªæ¨¨ Hm ¯®¤«¥ â ®¯à¥¤¥«¥¨î ¨ ¡ã¤ã⠨묨, 祬 ¢ § ¤ ç¥ ®¡ ¡á®à¡æ¨¨ £ §®¢ ᢮¡®¤ãî ¯®¢¥àå®áâì ¯«¥ª¨). à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï ¤«ï Hm ©¤¥¬, ¯®¤áâ ¢«ïï à §«®¥¨¥ (3.4.12) ¢ (3.4.23) ¨ (3.4.24). १ã«ìâ ⥠¯®«ã稬 y
= 0,
dHm dy
= 0;
y
= 1,
Hm
= 0.
(3.4.30)
¡é¥¥ à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (3.4.13) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä®à¬ã«®© (3.4.15). ¤®¢«¥â¢®àïï ¯¥à¢®¬ã £à ¨ç®¬ã ãá«®¢¨î (3.4.30), ¨¬¥¥¬ B2 = 0.
3.4. áᮯ¥à¥®á ¢ ¯«¥ª å ¨¤ª®áâ¨
121
Ǒ®¤áâ ¢«ïï íâ® § 票¥ ¢ (3.4.15) ¨ ¯®« £ ï B1 = 1, ¯à¨å®¤¨¬ ª ¢ëà ¥¨î Hm (y ) = exp − 12 λm y 2 14 − 14 λm , 12 ; λm y 2 .
(3.4.31)
à á楤¥â®¥ ãà ¢¥¨¥ ¤«ï ᮡá⢥ëå § 票© λm ¢ë¢®¤¨âáï á ¯®¬®éìî ¢â®à®£® £à ¨ç®£® ãá«®¢¨ï (3.4.30) ¨ ä®à¬ã«ë (3.4.31):
am , 12 ; λm = 0,
£¤¥
am
=
1 1 4 − 4 λm .
(3.4.32)
®à¨ ãà ¢¥¨ï (3.4.32) ¯®«®¨â¥«ìë ¨ ¬®®â®® ¢®§à áâ îâ, ¯à¨ç¥¬ λm → ∞ ¯à¨ m → ∞. ç¨âë¢ ï ᪠§ ®¥, ©¤¥¬ ᨬ¯â®â¨ªã ᮡá⢥ëå § 票© λm ¯à¨ ¡®«ìè¨å ¯®à浪®¢ëå ®¬¥à å m. Ǒਠ®¤®¢à¥¬¥®¬ ¢ë¯®«¥¨¨ ¤¢ãå ãá«®¢¨© x→∞
¨
x − 2b + 4a = onst
(3.4.33)
ᨬ¯â®â¨ª ¢ëத¥®© £¨¯¥à£¥®¬¥âà¨ç¥áª®© äãªæ¨¨ ¨¬¥¥â ¢¨¤ [170℄ h i 2 (b) 2/3−b ex/2 sin aπ + π + O(x−2/3 ) . b − 2 a ) ( 32/3 (2/3) 6 (3.4.34) à áᬠâਢ ¥¬®¬ á«ãç ¥ x = λm ¨ x − 2b + 4a = 0, â.¥. ¨¬¥îâ ¬¥áâ® ãá«®¢¨ï (3.4.33). Ǒ®í⮬ã à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ᮡá⢥ëå § 票© λm , 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å ãà ¢¥¨î (3.4.32), ¯à¨ m → ∞ ᮣ« á® ä®à¬ã«¥ (3.4.34) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï âਣ®®¬¥âà¨ç¥áª¨¬ ãà ¢¥¨¥¬ sin(am π + π/6) = 0.
£® à¥è¥¨ï ®¯¨áë¢ îâáï ä®à¬ã«®©
(a, b; x) =
am
= −m −
1, 6
£¤¥
m = 0, ±1, ±2, . . .
(3.4.35)
Ǒ®¤áâ ¢«ïï áî¤ am ¨§ (3.4.32), ¯®«ã稬 ᨬ¯â®â¨ªã ᮡá⢥ëå § 票© λm ¯à¨ m → ∞ [298℄ λm
= 4m +
5 3.
(3.4.36)
⬥⨬ § ¬¥ç ⥫ìë© ä ªâ: å®âï ä®à¬ã« (3.4.36) ¨ ¡ë« ¢ë¢¥¤¥ ¤«ï ¡®«ìè¨å ¯®à浪®¢ëå ®¬¥à®¢ m, ¥¥ á ãᯥ宬 ¬®® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¤«ï ¢á¥å m = 0, 1, 2, . . . ®¯®áâ ¢«¥¨¥ á १ã«ìâ â ¬¨ ç¨á«¥ëå à áç¥â®¢ [209℄ (á¬. â ª¥ [129℄) ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® ¬ ªá¨¬ «ì ï ¯®£à¥è®áâì ä®à¬ã«ë (3.4.36) ¡«î¤ ¥âáï ¯à¨ m = 0 ¨ á®áâ ¢«ï¥â ¢á¥£® 0,9%. ¬¥áâ® (3.4.36) ¤«ï ᮡá⢥ëå § 票© ¬®® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¡®«¥¥ â®çãî § ¢¨á¨¬®áâì λm
= 4m + 1,68
(m = 0, 1, 2,
. . . ),
(3.4.37)
122
áᮯ¥à¥®á ¢ ¯«¥ª å ¨¤ª®áâ¨, âàã¡ å ¨ ª « å
¯®£à¥è®áâì ª®â®à®© ¬¥ìè¥ 0,2%. ®íää¨æ¨¥âë Am àï¤ (3.4.12), ª ª ¨ à ¥¥, ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¯® ä®à¬ã«¥ (3.4.20), £¤¥ ᮡáâ¢¥ë¥ äãªæ¨¨ Hm ¢ë¯¨á ë ¢ (3.4.31). ¥§ã«ìâ âë ç¨á«¥ëå [209℄ ¨ ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨å [298℄ ¬¥â®¤®¢ à áç¥â ª®íää¨æ¨¥â®¢ Am ¬®® ¯¯à®ªá¨¬¨à®¢ âì â ª: A0 = 1,2;
7/6 Am = 2,27 (−1)mλ− m
¯à¨
m = 1, 2, 3, . . . ,
(3.4.38)
£¤¥ λm ¯à¨¢¥¤¥ë ¢ (3.4.37). ªá¨¬ «ì ï ¯®£à¥è®áâì ¢ëà ¥¨© (3.4.38) á®áâ ¢«ï¥â ¬¥ìè¥ 0,1%. â¥£à «ìë© ¤¨ää㧨®ë© ¯®â®ª ¯®¢¥àå®á⨠¯« á⨪¨ ¢ëç¨á«ï¥âáï ¯® ä®à¬ã«¥ (3.4.21), £¤¥ (dHm /dy )y=0 á«¥¤ã¥â § ¬¥¨âì (dHm /dy )y=1. «ï ᮡá⢥ëå äãªæ¨© Hm ¨ ª®íää¨æ¨¥â®¢ λm ¨ Am ¬®® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¢ëà ¥¨ï (3.4.31), (3.4.37), (3.4.38). 3.5. ¥¯«®- ¨ ¬ áᮯ¥à¥®á ¯à¨ « ¬¨ ஬ â¥ç¥¨¨ ¢ ªà㣫®© âàã¡¥
®£¨¥ ¯à®æ¥ááë ª®¢¥ªâ¨¢®£® ¬ áá®- ¨ ⥯«®¯¥à¥®á ¢ 娬¨ç¥áª®©, ¥äâ¥å¨¬¨ç¥áª®©, £ §®¢®©, ⮬®© ¨ ¤àã£¨å ®âà á«ïå ¯à®¬ëè«¥®á⨠®áãé¥á⢫ïîâáï ¢ âàã¡ å (¢®¤®-, £ §®- ¨ ¥ä⥯஢®¤ë, ⥯«®®¡¬¥¨ª¨ ¨ ¤à.). ç¨ ï á ª« áá¨ç¥áª¨å à ¡®â à¥âæ ¨ ãáᥫìâ [232, 266℄, § ¤ ç¨ ® à á¯à¥¤¥«¥¨¨ ⥬¯¥à âãàë ¨¤ª®áâ¨, ¤¢¨ã饩áï ¯® âàã¡¥, ¯à¨ à §«¨çëå ¯à¥¤¯®«®¥¨ïå ® ⨯¥ â¥ç¥¨ï, ä®à¬¥ âàã¡ë, ¢¨¤¥ £à ¨çëå ãá«®¢¨©, ¢¥«¨ç¨ å ç¨á¥« Ǒ¥ª«¥ ¨ à拉 ã¯à®é¥¨© à áᬠâਢ «¨áì ¬®£¨¬¨ ¢â®à ¬¨ (á¬., ¯à¨¬¥à, [7, 93, 129, 150, 164, 197, 209, 223, 245, 255, 298℄). ¤ ®¬ à §¤¥«¥ ¡ã¤ãâ ®¯¨á ë ¨¡®«¥¥ ¢ ë¥ à¥§ã«ìâ âë ¢ í⮩ ®¡« áâ¨. àã¡ á ¯®áâ®ï®© ⥬¯¥à âãன á⥪¥. áᬮâਬ « ¬¨ ஥ áâ ¡¨«¨§¨à®¢ ®¥ â¥ç¥¨¥ ¨¤ª®á⨠¢ ªà㣫®© âàã¡¥ à ¤¨ãá a á ¯ã §¥©«¥¢áª¨¬ ¯à®ä¨«¥¬ ᪮à®á⨠(á¬. à §¤. 1.5). ¢¥¤¥¬ 樫¨¤à¨ç¥áªãî á¨á⥬㠪®®à¤¨ â R, Z , £¤¥ ®áì Z ¯à ¢«¥ ¯® ®á¨ ¯®â®ª . ç¨â ¥¬, çâ® ¯®¢¥àå®á⨠âàã¡ë ¯à¨ Z > 0 ¯®¤¤¥à¨¢ ¥âáï ¯®áâ®ï ï ⥬¯¥à âãà T2. 室®© ãç á⮪ ¡ã¤¥¬ ¬®¤¥«¨à®¢ âì ®¡« áâìî Z < 0, £¤¥ ⥬¯¥à âãà á⥪¥ âàã¡ë ⮥ ¯®áâ®ï , ® ¯à¨¨¬ ¥â ¤à㣮¥ § 票¥, à ¢®¥ T1 . Ǒà®æ¥áá ª®¢¥ªâ¨¢®£® ⥯«®¯¥à¥®á ¢ âàã¡¥ ®¯¨áë¢ ¥âáï ãà ¢¥¨¥¬ ¨ £à ¨ç묨 ãá«®¢¨ï¬¨ PeT (1 − ̺2 )
∂T ∂z
=
∂2T ∂̺2
+
1
∂T ̺ ∂̺
+
∂2T ∂z 2
;
(3.5.1)
3.5. ¥¯«®- ¨ ¬ áᮯ¥à¥®á ¯à¨ « ¬¨ ஬ â¥ç¥¨¨ ¢ ªà㣫®© âàã¡¥ ∂T 0 ¯à¨ z < 0; = 0; ̺ = 1, T = 1 ¯à¨ z > 0; ∂̺ z → −∞, T → 0; z → ∞, T → 1,
̺ = 0,
123
(3.5.2) (3.5.3)
¯à¨ § ¯¨á¨ ª®â®àëå ¡ë«¨ ¨á¯®«ì§®¢ ë ¡¥§à §¬¥àë¥ ¢¥«¨ç¨ë ̺=
R , a
z
=
Z , a
T
=
T∗ − T1 , T2 − T1
aUmax , χ
PeT =
£¤¥ T∗ | ⥬¯¥à âãà ¨¤ª®áâ¨, χ | ª®íää¨æ¨¥â ⥬¯¥à âãய஢®¤®áâ¨, Umax = a2 P/(4µL) | ¬ ªá¨¬ «ì ï ᪮à®áâì ¢ æ¥âॠâàã¡ë, P | ¯¥à¥¯ ¤ ¤ ¢«¥¨ï ¤«¨¥ L, µ | ¤¨ ¬¨ç¥áª ï ¢ï§ª®áâì ¨¤ª®áâ¨. ®«ì訥 ç¨á« Ǒ¥ª«¥ ( ç «ìë© ãç á⮪). ǑਠPeT → ∞ ¢ ®¡« á⨠z < 0 ⥬¯¥à âãà ¨¤ª®á⨠¯®áâ®ï ¨ à ¢ ⥬¯¥à âãॠá⥪¥ T ≈ 0. ®¡« á⨠z > 0 ¯à¨ z = O(1) ¢¡«¨§¨ ¯®¢¥àå®á⨠âàã¡ë ä®à¬¨àã¥âáï ⮪¨© ⥯«®¢®© ¯®£à ¨çë© á«®©. í⮩ ®¡« á⨠¢ «¥¢®© ç á⨠ãà ¢¥¨ï (3.5.1) ¬®® ®£à ¨ç¨âìáï £« ¢ë¬ ç«¥®¬ à §«®¥¨ï ᪮à®á⨠¯à¨ ̺ → 1 ¨ § ¯¨á âì v = 1 − ̺2 ≈ ≈ 2ξ , £¤¥ ξ = 1 − ̺. ஬¥ ⮣®, ¤¢ã¬ï ¯®á«¥¤¨¬¨ ç«¥ ¬¨ ¢ ¯à ¢®© ç á⨠(3.5.1) ¬®® ¯à¥¥¡à¥çì ¯® áà ¢¥¨î á ¯¥à¢ë¬, â.¥. T ≈ ∂ 2T /∂ξ 2 . ¨â®£¥ ¯à¨å®¤¨¬ ª ãà ¢¥¨î, ª®â®à®¥ á â®ç®áâìî ¤® ¯¥à¥®¡®§ 票© ᮢ¯ ¤ ¥â á (3.4.26). ç¨âë¢ ï £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï (3.5.2), ¤«ï à á¯à¥¤¥«¥¨ï ⥬¯¥à âãàë ¢ ¯®£à ¨ç®¬ á«®¥ ¯®«ã稬 T
1 (1/3)
=
1 2 PeT (1 − ̺)3 , 3 9z
(3.5.4)
.
®®â¢¥âáâ¢ãî騥 ¡¥§à §¬¥àë¥ «®ª «ìë© jT ¨ ¨â¥£à «ìë© IT ⥯«®¢ë¥ ¯®â®ª¨ ¨¬¥îâ ¢¨¤ [255℄ jT IT
1 6PeT =− = (1 / 3) z ̺=1 Z z 3(6 PeT )1/3 2/3 = jT dz = z . 2 (1/3) 0 ∂T ∂̺
1/3
,
(3.5.5) (3.5.6)
¡« áâì ¯à¨¬¥¥¨ï ä®à¬ã« (3.5.4) | (3.5.6) ®£à ¨ç¥ § 票ﬨ z ≪ PeT . ª § ®¥ ®£à ¨ç¥¨¥ ᮣ« á® ®æ¥ª¥ [100℄ ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ¢á¥£¤ ¢ë¯®«ï¥âáï ¢ «®£¨ç®© § ¤ ç¥ ¤¨ää㧨®®£® ¯®£à ¨ç®£® á«®ï. Ǒந§¢®«ìë¥ ç¨á« Ǒ¥ª«¥. ®¡é¥¬ á«ãç ¥ 0 6 PeT < ∞ à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ⥬¯¥à âãàë ¨¤ª®á⨠¨é¥¬ ¯® ®â¤¥«ì®á⨠¯® à §ë¥
124
áᮯ¥à¥®á ¢ ¯«¥ª å ¨¤ª®áâ¨, âàã¡ å ¨ ª « å
áâ®à®ë ®â ¢å®¤®£® á¥ç¥¨ï âàã¡ë ¢ ¢¨¤¥ à冷¢: T T
=
∞ X
k=0
=1−
Bk exp ∞ X
m=0
ηk2
z gk (̺)
PeT
Am exp −
λ2m
PeT
z f m (̺ )
¯à¨
z < 0,
(3.5.7)
¯à¨
z > 0.
(3.5.8)
Ǒ®¤áâ ¢«ïï à §«®¥¨ï (3.5.7) ¨ (3.5.8) ¢ ãà ¢¥¨¥ (3.5.1) ¨ £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï (3.5.2), (3.5.3), ¯®á«¥ à §¤¥«¥¨ï ¯¥à¥¬¥ëå ¤«ï ᮡá⢥ëå äãªæ¨© gk ¨ fm ¨ ᮡá⢥ëå § 票© ηk ¨ λm ¯®«ã稬 ᯥªâà «ìë¥ § ¤ ç¨ dgk ηk2 2 2 + + ηk ̺ − 1 + 2 gk = 0; ̺ d̺ PeT dgk ̺ = 0, = 0; ̺ = 1, gk = 0; d̺
d2 gk d̺2
1
dfm λ2m 2 2 + λm −̺ + 1 + 2 fm + ̺ d̺ PeT dfm ̺ = 0, = 0; ̺ = 1, fm = 0. d̺
d2 fm d̺2
1
(3.5.9)
= 0;
(3.5.10)
®¡áâ¢¥ë¥ äãªæ¨¨ ®¯à¥¤¥«ïîâáï «¨èì á â®ç®áâìî ¤® ¯®áâ®ï®£® ¬®¨â¥«ï. «ï ⮣® çâ®¡ë ®¤®§ ç® ä¨ªá¨à®¢ âì à¥è¥¨ï ᯥªâà «ìëå § ¤ ç (3.5.9), (3.5.10), ¢ëáâ ¢¨¬ ãá«®¢¨ï ®à¬¨à®¢ª¨ ®á¨ ¯®â®ª gk = 1, fm = 1 ¯à¨ ̺ = 0. (3.5.11) ¥¬¯¥à âãà T = T (̺, z ) ¨ ¥¥ ¯à®¨§¢®¤ ï ¤®«ë ¡ëâì ¥¯à¥àë¢ë ¯à¨ ¯¥à¥å®¤¥ ç¥à¥§ á¥ç¥¨¥ z = 0: ∂T ∂T (̺, −0) = (̺, +0). ∂z ∂z
T (̺, −0) = T (̺, +0);
(3.5.12)
á«®¢¨ï ᮣ« ᮢ ¨ï (3.5.12) ¯®§¢®«ïî⠩⨠ª®íää¨æ¨¥âë ¨ Am à冷¢ (3.5.7) ¨ (3.5.8). à ¡®â å [7, 246℄ ¡ë«¨ ¢ë¢¥¤¥ë ä®à¬ã«ë
Bk
Bk
=−
ηk
2
∂g ∂η
̺=1, η =ηk
,
Am
=−
λm
2
∂f ∂λ
.
(3.5.13)
̺=1, λ=λm
¤¥áì g = g (̺, η) ¨ f = f (̺, λ) | ¢á¯®¬®£ ⥫ìë¥ äãªæ¨¨, ª®â®àë¥ ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¯ã⥬ à¥è¥¨ï § ¤ ç (3.5.9) | (3.5.11), £¤¥ ®¯ãé¥ë
3.5. ¥¯«®- ¨ ¬ áᮯ¥à¥®á ¯à¨ « ¬¨ ஬ â¥ç¥¨¨ ¢ ªà㣫®© âàã¡¥
125
¨¤¥ªáë k ¨ m ¨ ®â¡à®è¥ë £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï á⥪ å âàã¡ë ¯à¨ ̺ = 1. «¥¥ ®£à ¨ç¨¬áï ¨áá«¥¤®¢ ¨¥¬ ®¡« á⨠z > 0. Ǒàאַ© ¯à®¢¥àª®© ¬®® ã¡¥¤¨âìáï, çâ® § ¬¥ u = λm ̺2 , F = exp(u/2)fm ¯à¨¢®¤¨â (3.5.9) ª ¢ëத¥®¬ã £¨¯¥à£¥®¬¥âà¨ç¥áª®¬ã ãà ¢¥¨î ¤«ï äãªæ¨¨ F = F (u) [12℄. Ǒ®í⮬ã à¥è¥¨¥ ᯥªâà «ì®© § ¤ ç¨ (3.5.10), 㤮¢«¥â¢®àïî饥 ãá«®¢¨î ®à¬¨à®¢ª¨ (3.5.11), ¢ëà ¥âáï ç¥à¥§ ¢ëத¥ãî £¨¯¥à£¥®¬¥âà¨ç¥áªãî äãªæ¨î (a, b; ξ ) ¢ ¢¨¤¥ fm
= exp am
=
− 12 λm ̺2
1 2
−
(am , 1; λm ̺2 ), λ3m
1 λ − 4 m 4 PeT
(3.5.14)
,
£¤¥ ᮡáâ¢¥ë¥ § 票ï λm ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¯ã⥬ à¥è¥¨ï âà á楤¥â®£® ãà ¢¥¨ï (3.5.15) (am , 1; λm ) = 0. ᯮ¬®£ ⥫ì ï äãªæ¨ï f = f (̺, λ), á ¯®¬®éìî ª®â®à®© ¢ëç¨á«ïîâáï ª®íää¨æ¨¥âë Am (3.5.13), ¯®«ãç ¥âáï ¨§ ä®à¬ã«ë (3.5.14) ¯®á«¥ ®¯ã᪠¨ï ¨¤¥ªá®¢ m. §ã稬 ᨬ¯â®â¨ç¥áª®¥ ¯®¢¥¤¥¨¥ ᮡá⢥ëå § 票© λm ¨ ª®íää¨æ¨¥â®¢ Am ¢ ¥ª®â®àëå ¯à¥¤¥«ìëå á«ãç ïå. Ǒਠ¬ «ëå ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ «¥¢®© ç áâìî ãà ¢¥¨ï (3.5.1) ¬®® ¯à¥¥¡à¥çì. ®®â¢¥âáâ¢ãî饥 ᨬ¯â®â¨ç¥áª®¥ à¥è¥¨¥ ¥ ¤®«® § ¢¨á¥âì ®â ç¨á« Ǒ¥ª«¥. Ǒ®í⮬㠨§ ¢ëà ¥¨ï (3.5.8) á«¥¤ã¥â, p çâ® λm = ( PeT ). ç¨âë¢ ï ᪠§ ®¥ ¨ ¨á¯®«ì§ãï ¯à¥¤¥«ì®¥ √ á®®â®è¥¨¥ lim (a, 1; −ξ/a) = J0 (2 ξ ) [12℄, ¨§ ä®à¬ã« (3.5.13) | (3.5.15) ¯à¨ PeT → 0 ¯®«ã稬 λm
= (γm PeT )1/2 ,
Am
=−
−1 γm J1 (γm ) ,
fm
= J0 (γm ̺), (3.5.16)
£¤¥ J0 = J0 (ξ ) ¨ J1 = J1 (ξ ) | äãªæ¨¨ ¥áᥫï, γm | ª®à¨ äãªæ¨¨ ¥áᥫï J0 (γm ) = 0. Ǒਡ«¨¥ë¥ § 票ï γm 㤮¡® ¢ëç¨á«ïâì á ¯®¬®éìî ¯à¨¡«¨¥®£® ¢ëà ¥¨ï γm
= 2,4 + 3,13 m
(m = 0, 1, 2,
. . . ),
(3.5.17)
¬ ªá¨¬ «ì ï ¯®£à¥è®áâì ª®â®à®£® á®áâ ¢«ï¥â ¬¥ìè¥ 0,2% (áà ¢¥¨¥ ¯à®¢®¤¨«®áì á ¤ 묨 [170℄). Ǒ®«®¨¬ ⥯¥àì Pe = ∞ ¢ ä®à¬ã« å (3.5.14) ¨ (3.5.15), ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¯ à ¬¥âàã am = 41 (2 − λm ). áᬮâਬ ¡®«ì訥 § 票ï
126
áᮯ¥à¥®á ¢ ¯«¥ª å ¨¤ª®áâ¨, âàã¡ å ¨ ª « å
¯®à浪®¢®£® ®¬¥à m. ¨áá«¥¤ã¥¬®¬ á«ãç ¥ ¢ë¯®«ïîâáï ®¡ á®®â®è¥¨ï (3.4.33) ¯à¨ x = λm , b = 1, 4a = 2 − λm . Ǒ®í⮬㠤«ï ¢ëத¥®© £¨¯¥à£¥®¬¥âà¨ç¥áª®© äãªæ¨¨ á¯à ¢¥¤«¨¢ ᨬ¯â®â¨ª (3.4.34), ¨ ª®à¨ âà á楤¥â®£® ãà ¢¥¨ï (3.5.15) ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¯® ä®à¬ã«¥ (3.4.35). Ǒ®¤áâ ¢«ïï am = 14 (2 − λm ) ¢ (3.4.35), ¤«ï ᮡá⢥ëå § 票© λm ¨¬¥¥¬ [298℄ λm
= 4m +
8 3.
(3.5.18)
ᨬ¯â®â¨ç¥áª®¥ à¥è¥¨¥ (3.5.18), ¯®«ã祮¥ ¢ ¯à¥¤¯®«®¥¨¨ ®ª §ë¢ ¥âáï ¯à¨£®¤ë¬ ¤«ï ¢á¥å § 票© m. ®¯®áâ ¢«¥¨¥ á ç¨á«¥ë¬¨ ¤ 묨 [129℄ ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® ¬ ªá¨¬ «ì ï ¯®£à¥è®áâì ¢ëà ¥¨ï (3.5.18) ¡«î¤ ¥âáï ¯à¨ m = 0 ¨ á®áâ ¢«ï¥â 1,4%. ¬¥áâ® (3.5.18) 㤮¡® ¨á¯®«ì§®¢ âì ãâ®ç¥ãî § ¢¨á¨¬®áâì
m ≫ 1,
λm
= 4m + 2,7
(m = 0, 1, 2,
. . . ),
(3.5.19)
¬ ªá¨¬ «ì ï ¯®£à¥è®áâì ª®â®à®© 0,3%. ®íää¨æ¨¥âë Am àï¤ (3.5.8) ¬®® ¢ëç¨á«ïâì ¯® ä®à¬ã«¥ Am
= 2,85 (−1)mλ−m2/3 ,
(3.5.20)
ª®â®à ï á â®ç®áâìî ¤® 0,5% ᮣ« áã¥âáï á ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨¬¨ [298℄ ¨ ç¨á«¥ë¬¨ [129℄ १ã«ìâ â ¬¨. Ǒਠ¡®«ìè¨å, ® ª®¥çëå ç¨á« å Ǒ¥ª«¥, ¢ëà ¥¨ï (3.5.19), (3.5.20) ¯à¨¬¥¨¬ë «¨èì ¤«ï ®£à ¨ç¥®£® ç¨á« ᮡá⢥ëå § 票©, 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å ãá«®¢¨î λm ≪ PeT . ¨á«¥ë¥ § 票ï λ0 , λ1 , λ2 ¯à¨ à §«¨çëå PeT , ¯®«ãç¥ë¥ á ¯®¬®éìî , ¯à¨¢¥¤¥ë ¢ [102℄. ¢¨á¨¬®áâì £« ¢®£® ᮡá⢥®£® § 票ï λ0 ®â ç¨á« Ǒ¥ª«¥ å®à®è® ¯¯à®ªá¨¬¨àã¥âáï ä®à¬ã«®© λ0
= 2,7
s
exp(0,27 PeT ) − 1 , exp(0,27 PeT ) − 0,18
(3.5.21)
¬ ªá¨¬ «ì ï ¯®£à¥è®áâì ª®â®à®© á®áâ ¢«ï¥â ®ª®«® 1%. ç¨âë¢ ï, çâ® ¡¥§à §¬¥à®¥ à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ᪮à®á⥩ ¨¤ª®á⨠¢ âàã¡¥ ¤ ¥âáï ¢ëà ¥¨¥¬ u(̺) = 1 − ̺2 , ¤«ï á।¥© ¬ áᮢ®© ⥬¯¥à âãàë ¢ ¯à®¨§¢®«ì®¬ á¥ç¥¨¨ ¨¬¥¥¬ hT i =
Z 1
T u(̺)2π̺ d̺ Z0 1 u(̺)2π̺ d̺ 0
=4
Z 1 0
T (1 − ̺2 )̺ d̺.
3.5. ¥¯«®- ¨ ¬ áᮯ¥à¥®á ¯à¨ « ¬¨ ஬ â¥ç¥¨¨ ¢ ªà㣫®© âàã¡¥
127
Ǒ®¤áâ ¢«ïï ¢ íâã ä®à¬ã«ã àï¤ (3.5.8), ¯®«ã稬 hT i = 1 −
∞ X
m=0
Em exp −
λ2m
PeT
z ,
£¤¥
Em
= 4Am
Z 1 0
fm (1 − ̺2 )̺ d̺.
(3.5.22) ¨ää¥à¥æ¨àãï (3.5.8), ©¤¥¬ «®ª «ìë© â¥¯«®¢®© ¯®â®ª ¯®¢¥àå®áâì âàã¡ë jT
=
∂T ∂̺
̺=1
=−
∞ X
m=0
λ2 ′ Am fm (1) exp − m z ,
PeT
(3.5.23)
£¤¥ ¯à®¨§¢®¤ãî ¢ ¯à ¢®© ç á⨠¬®® ¢ëç¨á«ïâì á ¯®¬®éìî ¢ëà ¥¨ï: fm′ (1) = 2am λm exp(− 12 λm )(am + 1, 2; λm ). ¨¡®«¥¥ ¢ ®© ¢¥«¨ç¨®©, ¯à¥¤áâ ¢«ïî饩 ¯à ªâ¨ç¥áª¨© ¨â¥à¥á, ï¥âáï ç¨á«® ãáᥫìâ 2jT
Nu =
1 − hT i
(3.5.24)
.
¤¥áì 1 − hT i | ⥬¯¥à âãàë© ¯®à, à ¢ë© à §®á⨠¬¥¤ã ⥬¯¥à âãன á⥪¨ ¨ á।¥© ⥬¯¥à âãன ¨¤ª®áâ¨. § ¢ëà ¥¨© (3.5.22) | (3.5.24) á«¥¤ã¥â, çâ® ¢¤ «¨ ®â ¢å®¤ ¢ âàã¡ã (¯à¨ z → +∞) ç¨á«® ãáᥫìâ áâ६¨âáï ª ¯®áâ®ï®¬ã § 票î, à ¢®¬ã Nu∞ =
2
Z 1 0
−f0′ (1)
f0 (̺)(1 − ̺2 )̺ d̺
.
(3.5.25)
áᬮâਬ á«ãç © ¬ «ëå ç¨á¥« Ǒ¥ª«¥. «ï í⮣® ¯®¤áâ ¢¨¬ ¢ (3.5.25) ¢ëà ¥¨ï (3.5.16) ¯à¨ m = 0. ¨á«¨â¥«ì ¤à®¡¨ (3.5.25) ¢ëç¨á«ï¥¬ ¯® ä®à¬ã«¥ dJ0 /dx = −J1 (x) [13℄, § ¬¥ ⥫ì | á ¯®¬®éìî ४ãàà¥â®£® á®®â®è¥¨ï Z
x Jm (x) dx = x Jm+1 (x) − (k − m − 1) k
k
Z
xk−1 Jm+1 (x) dx,
ª®â®à®¥ ¢ë¢®¤¨âáï ®á®¢¥ ¨á¯®«ì§®¢ ¨ï ᢮©á⢠äãªæ¨© ¥áᥠd m+1 Jm+1 (x) . ¨â®£¥ ¤«ï ¯à¥¤¥«ì®£® ç¨á« x «ï: xm+1 Jm (x) = dx ãáᥫì⠯ਠPeT = 0 ¯®«ã稬 Nu∞ =
γ03 J1 (γ0 ) ≈ 4,16 4 J2 (γ0 )
(¯à¨ PeT
→ 0).
(3.5.26)
128
áᮯ¥à¥®á ¢ ¯«¥ª å ¨¤ª®áâ¨, âàã¡ å ¨ ª « å
Ǒਠ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ à áç¥âë ¯® ä®à¬ã«¥ (3.5.25) á ¯à¨¬¥¥¨¥¬ ¯à¨¢®¤ïâ ª § 票î [129℄ Nu∞ =
1 2 2 λ0 ≈ 3,66
(¯à¨ PeT
→ ∞).
(3.5.27)
Ǒ।¥«ì®¥ ç¨á«® ãáᥫìâ ¢® ¢á¥¬ ¤¨ ¯ §®¥ ¨§¬¥¥¨ï ç¨á« Ǒ¥ª«¥ å®à®è® ¯¯à®ªá¨¬¨àã¥âáï ¢ëà ¥¨¥¬ Nu∞ =
4,16 + 1,15 PeT 1 + 0,315 PeT
,
(3.5.28)
¬ ªá¨¬ «ì ï ¯®£à¥è®áâì ª®â®à®£® á®áâ ¢«ï¥â ®ª®«® 0,6% (¤«ï ®æ¥ª¨ ¥£® â®ç®á⨠¨á¯®«ì§®¢ «¨áì ç¨á«¥ë¥ ¤ ë¥ [129℄). áç¥âë ¯® ä®à¬ã«¥ (3.5.24) ¯®ª §ë¢ îâ, çâ® ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ ¢áî ¤«¨ã ®¡®£à¥¢ ¥¬®© (®å« ¤ ¥¬®©) âàã¡ë ãá«®¢® ¬®® ¯®¤à §¤¥«¨âì ¤¢ ãç á⪠. ¯¥à¢®¬ ãç á⪥ ¯à®¨á室¨â ä®à¬¨à®¢ ¨¥ ¯à®ä¨«ï ⥬¯¥à âãàë, £¤¥ à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ⥬¯¥à âãàë ¯® à ¤¨ãáã, ¨§¬¥ï¥âáï ¯® ¤«¨¥ ®â ¯¥à¢® ç «ì®£® § 票ï (¯à¨ z = 0) ¤® ¥ª®â®à®£® ¯à¥¤¥«ì®£® | f0 (̺). ¨á«® Nu ¢ í⮩ ®¡« á⨠¢¡«¨§¨ ¢å®¤®£® á¥ç¥¨ï ã¡ë¢ ¥â á⥯¥ë¬ ®¡à §®¬: Nu ≈ 2jT , £¤¥ jT ®¯¨áë¢ ¥âáï ¢ëà ¥¨¥¬ (3.5.5). ¢â®à®¬ ãç á⪥ à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ¨§¡ëâ®ç®© ⥬¯¥à âãàë δT = 1 −T ¯® à ¤¨ãáã ¥ ¬¥ï¥âáï ¯® ¤«¨¥ (å®âï ¡á®«îâë¥ § 票ï ⥬¯¥à âãàë ¨§¬¥ïîâáï), ç¨á«® Nu á®åà ï¥â ¯®áâ®ï®¥ § 票¥, à ¢®¥ 3,66. Ǒ¥à¢ë© ãç á⮪ §ë¢ ¥âáï â¥à¬¨ç¥áª¨¬ ç «ìë¬ ãç á⪮¬, ¢â®à®© | ãç á⪮¬ áâ ¡¨«¨§¨à®¢ ®£® ⥯«®®¡¬¥ . «¨ã â¥à¬¨ç¥áª®£® ç «ì®£® ãç á⪠¯à¨ïâ® ®¯à¥¤¥«ïâì ª ª à ááâ®ï¨¥ ®â ¢å®¤®£® á¥ç¥¨ï, ª®â®à®¬ ç¨á«® ãáᥫìâ 1% ®â«¨ç ¥âáï ®â ᢮¥£® ¯à¥¤¥«ì®£® § 票ï (3.5.27). áç¥âë ¯®ª §ë¢ îâ, çâ® à §¬¥à ï ¤«¨ â¥à¬¨ç¥áª®£® ç «ì®£® ãç áâª à ¢ l = 0,11a PeT . àã¡ á ¯®áâ®ïë¬ â¥¯«®¢ë¬ ¯®â®ª®¬ á⥪¥. áá«¥¤ã¥¬ ⥯¥àì á«ãç ©, ª®£¤ ¯®¢¥àå®á⨠ªà㣫®© âàã¡ë ¯à¨ Z > 0 § ¤ ¯®áâ®ïë© â¥¯«®¢®© ¯®â®ª q = κ(∂T /∂R)R=a = onst, £¤¥ κ | ª®íää¨æ¨¥â ⥯«®¯à®¢®¤®á⨠¨¤ª®áâ¨. 室®© ãç á⮪ ¡ã¤¥¬ ¬®¤¥«¨à®¢ âì ®¡« áâìî Z < 0, £¤¥ ¯®¢¥àå®áâì âàã¡ë ⥯«®¨§®«¨à®¢ , ⥬¯¥à âãà ¯à¨ Z → −∞ áâ६¨âáï ª ¯®áâ®ï®¬ã § 票î, à ¢®¬ã T1 . ¤ ®¬ á«ãç ¥ ¡¥§à §¬¥àãî ⥬¯¥à âãàã 㤮¡® ¢¢¥á⨠¯® ä®à¬ã«¥ κ (T − T1 ) T = (3.5.29) , aq
®áâ «ìë¥ ¡¥§à §¬¥àë¥ ¢¥«¨ç¨ë ®¯à¥¤¥«ïîâáï â ª ¥, ª ª ¢ § ¤ ç¥ (3.5.1) | (3.5.3).
3.5. ¥¯«®- ¨ ¬ áᮯ¥à¥®á ¯à¨ « ¬¨ ஬ â¥ç¥¨¨ ¢ ªà㣫®© âàã¡¥
129
áᬠâਢ ¥¬ë© ¯à®æ¥áá ⥯«®¯¥à¥®á ®¯¨áë¢ ¥âáï ãà ¢¥¨¥¬ (3.5.1), £¤¥ T á«¥¤ã¥â § ¬¥¨âì T ¨ £à ¨ç묨 ãá«®¢¨ï¬¨ ̺ = 0,
∂T ∂̺
= 0;
̺ = 1, z → −∞,
∂T = ∂̺ T → 0.
0 ¯à¨ z < 0; 1 ¯à¨ z > 0;
(3.5.30) (3.5.31)
⬥⨬, çâ® ¢ ¤ ®© § ¤ ç¥ à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ⥬¯¥à âãàë ¯à¨ § à ¥¥ ¥¨§¢¥áâ®. ®áâ ¢¨¬ ãà ¢¥¨¥ ⥯«®¢®£® ¡ « á , ª®â®à®¥ ¯® ¤®¡¨âáï ¤ «¥¥. «ï í⮣® 㬮¨¬ ãà ¢¥¨¥ (3.5.1) (¯à¨ T → T ) ̺ ¨ ¯à®¨â¥£à¨à㥬 ¯®«ã祮¥ ¢ëà ¥¨¥ á ç « ¯® à ¤¨ «ì®© ª®®à¤¨ ⥠®â 0 ¤® 1, § ⥬ ¯® ¯à®¤®«ì®© | ®â −∞ ¤® z , £¤¥ z > 0. ç¨âë¢ ï £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï (3.5.30), (3.5.31) ¨ ¬¥ïï, £¤¥ ã®, ¯®à冷ª ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï, ¢ ¨â®£¥ ¯®«ã稬 z → +∞
PeT
Z 1 0
̺(1 − ̺2 )T d̺ = z +
Z 1 0
̺
∂T d̺. ∂z
(3.5.32)
áá«¥¤ã¥¬ ¯®«¥ ⥬¯¥à âãàë ¢¤ «¨ ®â ¢å®¤®£® á¥ç¥¨ï ¯à¨ z ≫ 1. ¥è¥¨¥ ¢ í⮩ ®¡« á⨠¨é¥¬ ¢ ¢¨¤¥ á㬬ë T
= αz + (̺),
(3.5.33)
£¤¥ ¯®áâ®ï ï α ¨ äãªæ¨ï ¯®¤«¥ â ®¯à¥¤¥«¥¨î. Ǒ®¤áâ ¢«ïï ¢ëà ¥¨¥ (3.5.33) ¢ ãà ¢¥¨¥ (3.5.1) (¯à¨ T £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï (3.5.30), ¯à¨å®¤¨¬ ª á«¥¤ãî饩 § ¤ ç¥:
̺ = 0,
d d̺
d ̺ ; d̺ d ̺ = 1, d̺
1
d ̺ d̺
α PeT (1 − ̺2 ) =
= 0;
→ T)
¨
(3.5.34) = 1.
(3.5.35)
¤®ªà ⮥ ¨â¥£à¨à®¢ ¨¥ ãà ¢¥¨ï (3.5.34) ¤ ¥â α PeT
̺
2
−
̺3
4
+
C1 ̺
=
d , d̺
(3.5.36)
£¤¥ C1 | ¯à®¨§¢®«ì ï ¯®áâ®ï ï. à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï (3.5.35) ¯®§¢®«ïî⠩⨠ª®áâ âã C1 = 0 ¨ ¯ à ¬¥âà α = 4/PeT . ç¨âë¢ ï ᪠§ ®¥ ¨ ¨â¥£à¨àãï (3.5.36), ¤«ï äãªæ¨¨ ¯®«ã稬 = ̺2 −
̺4
4
+ C2 ,
α=
4 PeT
.
(3.5.37)
130
áᮯ¥à¥®á ¢ ¯«¥ª å ¨¤ª®áâ¨, âàã¡ å ¨ ª « å
«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¥¨§¢¥á⮩ ¯®áâ®ï®© C2 ¯®¤áâ ¢¨¬ ¢ëà ¥¨¥ (3.5.33) ¢ ãà ¢¥¨¥ ¬ â¥à¨ «ì®£® ¡ « á (3.5.32) ¨ ¨á¯®«ì§ã¥¬ 8 7 § ¢¨á¨¬®áâì (3.5.37). ëç¨á«¥¨ï ¯®ª §ë¢ îâ, çâ® C2 = 2 − . 24 PeT ª¨¬ ®¡à §®¬, à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ⥬¯¥à âãàë ¢¤ «¨ ®â ¢å®¤®£® á¥ç¥¨ï ¨¬¥¥â ¢¨¤ z 7 ̺4 8 T =4 + ̺2 − (3.5.38) + 2 − . PeT 4 24 PeT ।ïï ¬ áᮢ ï ⥬¯¥à âãà ¨¤ª®á⨠¨ ⥬¯¥à âãàë© ¯®à ¢ ®¡« á⨠⥯«®¢®© áâ ¡¨«¨§ 樨 à ¢ë ᮮ⢥âá⢥® 4 8 11 z+ hT i = , T s − hT i = , PeT 24 Pe2T £¤¥ T s | ¡¥§à §¬¥à ï ⥬¯¥à âãà ¯®¢¥àå®á⨠âàã¡ë. ëç¨á«¨¬ ¯à¥¤¥«ì®¥ ç¨á«® ãáᥫìâ 2(dT /d̺)̺=1
48 ≈ 4,36. (3.5.39) T s − hT i 11 ¨¤®, çâ® Nu∞ ¥ § ¢¨á¨â ®â ç¨á« Ǒ¥ª«¥. ¥è¥¨¥ ¯®«®© § ¤ ç¨ (3.5.1), (3.5.30), (3.5.31) ¯à¨ z < 0 ¨é¥¬ ¢ ¢¨¤¥ àï¤ (3.5.7) (£¤¥ T á«¥¤ã¥â § ¬¥¨âì T ). Ǒ®«¥ ⥬¯¥à âãàë ¢ ®¡« á⨠z > 0 áâநâáï ®á®¢¥ ᨬ¯â®â¨ç¥áª®£® à á¯à¥¤¥«¥¨ï (3.5.38) á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: Nu∞ =
T
=4
z
PeT
+ ̺2 −
̺4
4
+
8 PeT2
−
7 24
−
=
∞ X
m=0
z fm (̺). Am exp −λ2m
PeT
Ǒ®¤áâ ¢«ïï í⨠àï¤ë ¢ (3.5.1), (3.5.30), (3.5.31) ¨ à §¤¥«ïï ¯¥à¥¬¥ë¥, ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï ᮡá⢥ëå § 票© ηk , λm ¨ ᮡá⢥ëå äãªæ¨© gk , fm , ¯®«ã稬 ⥠¥ á ¬ë¥ ãà ¢¥¨ï (3.5.9), (3.5.10) á ¤à㣨¬¨ £à ¨ç묨 ãá«®¢¨ï¬¨ dgk d̺
=
dfm d̺
=0
¯à¨
̺=0
¨
̺ = 1.
¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ ¤«ï fm ¢ëà ¥âáï ä®à¬ã«®© (3.5.14), £¤¥ ç¨á« λm 室ïâáï ¯ã⥬ à¥è¥¨ï âà á楤¥â®£® ãà ¢¥¨ï (am , 1; λm ) = 2am(am + 1, 2; λm ). ®íää¨æ¨¥âë à §«®¥¨© Am ¨ Bm ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¨§ ãá«®¢¨© ¥à §à뢮á⨠⥬¯¥à âãàë ¨ ¥¥ ¯à®¨§¢®¤®© ¢ á¥ç¥¨¨ z = 0 (3.5.12). ëç¨á«¨¬ ¤«¨ã â¥à¬¨ç¥áª®£® ç «ì®£® ãç á⪠l, ¨áå®¤ï ¨§ à ¢¥á⢠Nu = 1,01 Nu∞ . १ã«ìâ ⥠¯®«ã稬 l = 0,14 Pe a.
3.6. ¥¯«®- ¨ ¬ áᮯ¥à¥®á ¯à¨ « ¬¨ ஬ â¥ç¥¨¨ ¢ ¯«®áª®© âàã¡¥
131
3.6. ¥¯«®- ¨ ¬ áᮯ¥à¥®á ¯à¨ « ¬¨ ஬ â¥ç¥¨¨ ¢ ¯«®áª®© âàã¡¥
àã¡ á ¯®áâ®ï®© ⥬¯¥à âãன á⥪¥. áá«¥¤ã¥¬ ⥯«®®¡¬¥ ¯à¨ « ¬¨ ஬ â¥ç¥¨¨ ¨¤ª®áâ¨ á ¯ à ¡®«¨ç¥áª¨¬ ¯à®ä¨«¥¬ ᪮à®á⨠¢ ¯«®áª®© âàã¡¥ è¨à¨®© 2h. ¢¥¤¥¬ ¯àאַ㣮«ìãî á¨á⥬㠪®®à¤¨ â X , Y , £¤¥ ®áì X à ᯮ«®¥ à ¢®¬ à ááâ®ï¨¨ ®â á⥮ª âàã¡ë ¨ ¯à ¢«¥ ¯® ¯®â®ªã. ç¨â ¥¬, çâ® á⥪ å âàã¡ë (¯à¨ Y = ±h) ¯®¤¤¥à¨¢ ¥âáï ¯®áâ®ï ï ⥬¯¥à âãà , à ¢ ï T1 ¯à¨ X < 0 ¨ T2 ¯à¨ X > 0. ¢¨¤ã ᨬ¬¥âਨ § ¤ ç¨ ®â®á¨â¥«ì® ®á¨ X ¤®áâ â®ç® à áᬮâà¥âì ¯®«®¢¨ã ®¡« áâ¨: 0 6 Y 6 h. á¯à¥¤¥«¥¨¥ ⥬¯¥à âãàë T∗ ®¯¨áë¢ ¥âáï ãà ¢¥¨¥¬ ¨ £à ¨ç묨 ãá«®¢¨ï¬¨ PeT (1 − y 2 ) y
∂T ∂x
∂T = 0; y ∂y x → −∞, T → 0;
= 0,
=
∂2T ∂x2
∂2T ∂y 2
+
(3.6.1)
;
¯à¨ x < 0; = 10 ¯à¨ x > 0; x → +∞, T → 1,
= 1,
T
(3.6.2) (3.6.3)
¯à¨ § ¯¨á¨ ª®â®àëå ¡ë«¨ ¨á¯®«ì§®¢ ë ¡¥§à §¬¥àë¥ ¯¥à¥¬¥ë¥ x=
X , h
y
=
Y , h
T
=
T∗ − T1 , T2 − T1
PeT =
hUmax , χ
Umax
=
3 hV i, 2
£¤¥ Umax | ¬ ªá¨¬ «ì®¥ § 票¥ ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠®á¨ ¯®â®ª , hV i | á।ïï ¯® á¥ç¥¨î ᪮à®áâì ¨¤ª®áâ¨. ª ¨ ¢ á«ãç ¥ ªà㣫®© âàã¡ë, à¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ (3.6.1) | (3.6.3) ¨é¥¬ ¬¥â®¤®¬ à §¤¥«¥¨ï ¯à¥¤¥«ìëå ¯¥à¥¬¥ëå ¢ ¢¨¤¥ à冷¢: T T
=
∞ X
k=0
=1−
Bk exp ∞ X
m=0
ηk2
PeT
x g k (y )
λ2m x fm (y ) Am exp −
PeT
¯à¨
x < 0,
(3.6.4)
¯à¨
x > 0.
(3.6.5)
®¡áâ¢¥ë¥ § 票ï ηk , λm ¨ ᮡáâ¢¥ë¥ äãªæ¨¨ gk , fm ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¯ã⥬ à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨© (3.5.9), (3.5.10), ¢ ª®â®àëå á«¥¤ã¥â ®â¡à®á¨âì ¢â®àë¥ á« £ ¥¬ë¥ (¯à®¯®à樮 «ìë¥ ¯¥à¢ë¬ ¯à®¨§¢®¤ë¬) ¨ § ¬¥¨âì ̺ y ; £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï ®áâ îâáï ¯à¥¨¬¨. ®íää¨æ¨¥âë Am , Bk 室ïâáï ¨§ ãá«®¢¨ï ¥¯à¥à뢮á⨠⥬¯¥à âãàë ¨ ¥¥ ¯à®¨§¢®¤®© ¯à¨ x = 0 [225℄. «¥¥ ®£à ¨ç¨¬áï ¨§«®¥¨¥¬ ®á®¢ëå १ã«ìâ ⮢ à¥è¥¨ï § ¤ ç¨ ¢ ®¡« á⨠x > 0.
132
áᮯ¥à¥®á ¢ ¯«¥ª å ¨¤ª®áâ¨, âàã¡ å ¨ ª « å
®¡áâ¢¥ë¥ äãªæ¨¨ fm ¬®® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥
1 1 fm (y ) = exp − λm y 2 −
1 1 λ3m λm − , ; λ y 2 . (3.6.6) 2 4 4 4 Pe2T 2 m ¤¥áì (a, b; ξ ) | ¢ëத¥ ï £¨¯¥à£¥®¬¥âà¨ç¥áª ï äãªæ¨ï, λm ïîâáï ª®àﬨ âà á楤¥â®£® ãà ¢¥¨ï 1 1 λ λ3 (3.6.7) am , ; λm = 0, £¤¥ am = − m − m2 . 2 4 4 4 PeT ®íää¨æ¨¥âë Am ¢ëç¨á«ïîâáï ¯® ä®à¬ã«¥ (3.5.13) (¢ ª®â®à®© ̺ á«¥¤ã¥â § ¬¥¨âì y ), £¤¥ ¢á¯®¬®£ ⥫ì ï äãªæ¨ï f ¯®«ãç ¥âáï ¨§ (3.6.6) ¯®á«¥ ®¯ã᪠¨ï ¨¤¥ªá®¢ m. ¯à¥¤¥«ì®¬ á«ãç ¥ PeT → 0 á¯à ¢¥¤«¨¢ë á®®â®è¥¨ï λm =
r
PeT
π
2
+ πm
, Am =
4(−1)m , (π + 2πm)2
fm = os
h π
i
+ πm y , 2 (3.6.8)
£¤¥ m = 0, 1, 2, . . . ǑਠPeT → ∞ ¤«ï à áç¥â ᮡá⢥ëå § 票© λm ¨ ª®íää¨æ¨¥â®¢ Am ¬®® ¨á¯®«ì§®¢ âì ä®à¬ã«ë (3.4.37) ¨ (3.4.38). à ¡®â¥ [102℄ ¯à¨¢¥¤¥ë १ã«ìâ âë ç¨á«¥ëå à áç¥â®¢ ¯¥à¢ëå âà¥å ᮡá⢥ëå § 票© λ0 , λ1 , λ2 ¯à¨ à §«¨çëå ç¨á« å Ǒ¥ª«¥. ।ïï ¬ áᮢ ï ⥬¯¥à âãà ¤«ï ¯«®áª®© âàã¡ë ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯® ä®à¬ã«¥ Z 3 1 hT i = T (1 − y 2 ) dy. (3.6.9) 2 0 ®ª «ìë© â¥¯«®¢®© ¯®â®ª 室¨âáï á ¯®¬®éìî ¢ëà ¥¨ï (3.5.23) (£¤¥ z á«¥¤ã¥â § ¬¥¨âì x), ¢ ª®â®à®¬ ¯à®¨§¢®¤ ï fm′ (1) ¢ëç¨á«ï¥âáï ¨áå®¤ï ¨§ à ¢¥á⢠(3.6.6). Ǒ®¤áâ ¢¨¬ ä®à¬ã«ë (3.6.5), (3.6.9), (3.5.23) ¢ (3.5.24) ¨ ãáâ६¨¬ x ª ¡¥áª®¥ç®áâ¨. १ã«ìâ ⥠¤«ï ¯à¥¤¥«ì®£® ç¨á« ãáᥫìâ ¯®«ã稬 −4f0′ (1) (3.6.10) . Nu∞ = R 1 3 0 f0 (y )(1 − y 2 ) dy Ǒਠ¬ «ëå ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ ᮣ« á® (3.6.8) ¨¬¥¥¬ ᮡá⢥ãî äãªæ¨î f0 (y ) = os(πy/2). Ǒந§¢¥¤ï à áç¥âë ¯® ä®à¬ã«¥ (3.6.10), 室¨¬ π4 Nu∞ = ≈ 4,06 (¯à¨ PeT → 0). (3.6.11) 24 Ǒਠ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ ¯à¥¤¥«ì®¥ ç¨á«® ãáᥫìâ à ¢® [129℄ 4 (¯à¨ PeT → ∞). (3.6.12) Nu∞ = λ20 ≈ 3,77 3
3.7. ¬¨ ஥ â¥ç¥¨¥ ¨¤ª®á⥩ ¢ âàã¡ å à §«¨ç®© ä®à¬ë
133
® ¢á¥¬ ¤¨ ¯ §®¥ ¨§¬¥¥¨ï ç¨á¥« Ǒ¥ª«¥ ¢¥«¨ç¨ Nu∞ å®à®è® ¯¯à®ªá¨¬¨àã¥âáï ä®à¬ã«®© Nu∞ =
4,06 + 3,66 PeT 1 + 0,97 PeT
(3.6.13)
,
¬ ªá¨¬ «ì ï ¯®£à¥è®áâì ª®â®à®© á®áâ ¢«ï¥â ®ª®«® 0,5% (¤«ï ᮯ®áâ ¢«¥¨ï ¨á¯®«ì§®¢ «¨áì ¤ ë¥ [129℄). àã¡ á ¯®áâ®ïë¬ â¥¯«®¢ë¬ ¯®â®ª®¬ á⥪¥. áᬮâਬ ⥯¥àì á¨âã æ¨î, ª®£¤ ¯®¢¥àå®á⨠¯«®áª®© âàã¡ë ¯à¨ X > 0 § ¤ ¯®áâ®ïë© â¥¯«®¢®© ¯®â®ª q. ç¨â ¥¬, çâ® ¯à¨ X < 0 á⥪¨ ⥯«®¨§®«¨à®¢ ë ¨ ⥬¯¥à âãà áâ६¨âáï ª ¯®áâ®ï®¬ã § 票î T1 ¯à¨ X → −∞. ¢¥¤¥¬ ¡¥§à §¬¥àãî ⥬¯¥à âãàã T ¯® ä®à¬ã«¥ (3.5.29) ¯à¨ a ≡ h. Ǒà®æ¥áá ⥯«®®¡¬¥ ¢ ¯«®áª®© âàã¡¥ ®¯¨áë¢ ¥âáï ãà ¢¥¨¥¬ (3.5.1) (¯à¨ T → T ) ¨ £à ¨ç묨 ãá«®¢¨ï¬¨ (3.5.30), (3.5.31), £¤¥ z ¨ ̺ á«¥¤ã¥â § ¬¥¨âì ᮮ⢥âá⢥® x ¨ y . ᨬ¯â®â¨ç¥áª®¥ à¥è¥¨¥ ¢ ®¡« á⨠⥯«®¢®© áâ ¡¨«¨§ 樨 (¯à¨ x ≫ 1) ¨é¥âáï ¢ ¢¨¤¥ á㬬ë T = αx + (y ). ¥¨§¢¥áâ ï ¯®áâ®ï ï α ¨ äãªæ¨ï ®¯à¥¤¥«ïîâáï ⥬ ¥ ¯ã⥬, çâ® ¨ ¢ á«ãç ¥ ªà㣫®© âàã¡ë. ¨â®£¥ ¨¬¥¥¬ T
=
1 3 x 3 9 + y2 − y4 + 2 PeT 4 8 4 PeT2
−
39 . 280
(3.6.14)
Ǒ®«ã祮¥ à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ⥬¯¥à âãàë ¢¤ «¨ ®â ¢å®¤®£® á¥ç¥¨ï (3.6.14) ¯®§¢®«ï¥â ©â¨ ¯à¥¤¥«ì®¥ ç¨á«® ãáᥫìâ Nu∞ =
70 17
≈ 4,12.
(3.6.15)
[129℄ ¯à¨¢¥¤¥ë ä®à¬ã«ë ¤«ï à áç¥â ç¨á« ãáᥫìâ ¯® ¤«¨¥ âàã¡ë ¢ á«ãç ¥ ¡®«ìè¨å ç¨á¥« Ǒ¥ª«¥. 3.7. Ǒ।¥«ìë¥ ç¨á« ãáᥫì⠯ਠ« ¬¨ ஬ â¥ç¥¨¨ ¨¤ª®á⥩ ¯® âàã¡ ¬ à §«¨ç®© ä®à¬ë
¥¯«®®¡¬¥ ¯à¨ ¯®«®áâìî à §¢¨â®¬ « ¬¨ ஬ â¥ç¥¨¨ ¨¤ª®á⥩ ¢ âàã¡ å à §«¨ç®© ä®à¬ë à áᬠâਢ «áï ¢® ¬®£¨å à ¡®â å (á¬., ¯à¨¬¥à, [93, 129, 164℄). ¨¥ ¨§«®¥ë ¥ª®â®àë¥ ¨â®£®¢ë¥ १ã«ìâ âë ¤«ï ¯à¥¤¥«ìëå ç¨á¥« ãáᥫìâ , ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ®¡« á⨠⥯«®¢®© áâ ¡¨«¨§ 樨 ¯®â®ª , ¢ á«ãç ¥ ¡®«ìè¨å ç¨á¥« Ǒ¥ª«¥
134
áᮯ¥à¥®á ¢ ¯«¥ª å ¨¤ª®áâ¨, âàã¡ å ¨ ª « å
(ª®£¤ ¬®«¥ªã«ïன ⥯«®¯à®¢®¤®áâìî ¢¤®«ì ¯®â®ª ¬®® ¯à¥¥¡à¥çì). ¢¥¤¥¬ íª¢¨¢ «¥âë© (¨«¨ ý£¨¤à ¢«¨ç¥áª¨©þ) ¤¨ ¬¥âà de ¯® ä®à¬ã«¥ de = 4S∗/P , £¤¥ S∗ | ¯«®é ¤ì ¯®¯¥à¥ç®£® á¥ç¥¨ï âàã¡ë, P | ¥£® ¯¥à¨¬¥âà. «ï âàã¡ë ªà㣫®£® á¥ç¥¨ï de ᮢ¯ ¤ ¥â á ¥¥ ¤¨ ¬¥â஬, ¤«ï ¯«®áª®£® ª « ¢¥«¨ç¨ de à ¢ 㤢®¥®© ¢ëá®â¥ ª « . áᬮâਬ âàã¡ã ¯à®¨§¢®«ì®© ä®à¬ë á ª®âã஬ ¯®¯¥à¥ç®£® á¥ç¥¨ï . ¨á«® ãáᥫìâ , ¢®®¡é¥ £®¢®àï, ¬¥ï¥âáï ¢¤®«ì ª®âãà . ।¥¥ ¯® ¯¥à¨¬¥âàã ç¨á«® ãáᥫìâ Nu ®¯à¥¤¥«¨¬ á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: de qs Nu= (3.7.1) . Ts − hT∗ i κ
¤¥áì Ts | ⥬¯¥à âãà ¯®¢¥àå®á⨠âàã¡ë, hT∗ i | á।ïï ¬ áᮢ ï ⥬¯¥à âãà ¨¤ª®áâ¨, κ | ª®íää¨æ¨¥â ⥯«®¯à®¢®¤®áâ¨, qs | á।¨© ¯® ¯¥à¨¬¥âàã ⥯«®¢®© ¯®â®ª, ª®â®àë© ¢ëç¨á«ï¥âáï ¯® ä®à¬ã«¥ Z ∂T∗ 1 qs = − κ d , (3.7.2) P
∂ξ
£¤¥ ∂T∗/∂ξ | ¯à®¨§¢®¤ ï ®â ⥬¯¥à âãàë T∗ ¯® ®à¬ «¨ ª ª®âãàã ¯®¯¥à¥ç®£® á¥ç¥¨ï âàã¡ë. «ï âàã¡ë í««¨¯â¨ç¥áª®£® á¥ç¥¨ï, ¯®¢¥àå®á⨠ª®â®à®© ¯®¤¤¥à¨¢ ¥âáï ¯®áâ®ï ï ⥬¯¥à âãà , á।¥¥ ¯® ¯¥à¨¬¥âàã ç¨á«® ãáᥫìâ ¢ ®¡« á⨠⥯«®¢®© áâ ¡¨«¨§ 樨 ¯®â®ª (¢¤ «¨ ®â ¢å®¤®£® á¥ç¥¨ï) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¢ëà ¥¨¥¬ [129℄ Nu∞ =
3π E (ϑ)
2
(1 + ω 2 )(1 + 6ω 2 + ω 4 ) , 17 + 98ω 2 + 17ω 4
(3.7.3)
¨â¥£à « ¢â®à®£® த (äãªæ¨ï £¤¥ E (ϑ) | ¯®«ë© í««¨¯â¨ç¥áª¨© √ E § ⠡㫨஢ ¢ [188℄); ϑ = 1 − ω 2 ; ω = a/b | ®â®è¥¨¥ ¯®«ã®á¥© í««¨¯á . ç á⮬ á«ãç ¥ ªà㣫®© âàã¡ë ¨¬¥¥¬ ω = 1, E (0) = π/2 ¨ Nu∞ = 48/11. â ¡«. 3.3 ¯à¨¢¥¤¥ë § 票ï á।¨å ¯® ¯¥à¨¬¥âàã ç¨á¥« ãáᥫìâ ¤«ï âàã¡ á à §«¨ç®© ä®à¬®© á¥ç¥¨ï (¯® ¤ ë¬ [164℄). Ǒਠ¯®áâ®ï®© ⥬¯¥à âãॠ¯®¢¥àå®á⨠âàã¡ë ¯àאַ㣮«ì®£® á¥ç¥¨ï á® áâ®à® ¬¨ a ¨ b ¢¥«¨ç¨ Nu∞ ¯à¨ a > b å®à®è® ¯¯à®ªá¨¬¨àã¥âáï ä®à¬ã«®© Nu∞ = 7,5 − 17,5 ǫ + 23 ǫ2 − 10 ǫ3,
ǫ = b/a,
¬ ªá¨¬ «ì ï ¯®£à¥è®áâì ª®â®à®© á®áâ ¢«ï¥â 3%.
(3.7.4)
3.7. ¬¨ ஥ â¥ç¥¨¥ ¨¤ª®á⥩ ¢ âàã¡ å à §«¨ç®© ä®à¬ë
135
3.3 ç¥¨ï ¯à¥¤¥«ìëå ç¨á¥« Nu∞ ¤«ï ¯®«®áâìî à §¢¨â®£® â¥ç¥¨ï ¢ âàã¡ å à §«¨ç®© ä®à¬ë ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ (¨¤¥ªá T ᮮ⢥âáâ¢ã¥â á«ãç î ¯®áâ®ï®© ⥬¯¥à âãàë á⥪¨, ¨¤¥ªá q | ¯®áâ®ï®¬ã ⥯«®¢®¬ã ¯®â®ªã) Ǒà®ä¨«ì âàã¡ë
Nu∞T
Nu∞q
ª¢¨¢ «¥âë© ¤¨ ¬¥âà de
à㣫 ï âàã¡ ¤¨ ¬¥â஬ d
3,658
4,364
d
Ǒ«®áª ï âàã¡ è¨à¨®© 2h
7,541
8,235
4h
««¨¯â¨ç¥áª ï âàã¡ á ¯®«ã®áﬨ a¨b
= 1,00 0,80 0,50 0,25 0,125 0,0625 0
3,658 3,669 3,742 3,792 3,725 3,647 3,488
4,364 4,387 4,558 4,880 5,085 5,176 5,225
, 1 − b2/a2 £¤¥ E (ϑ) | ¯®«ë© í««¨¯â¨ç¥áª¨© ¨â¥£à « ¢â®à®£® த
àã¡ ¯àאַ㣮«ì®£® á¥ç¥¨ï á® áâ®à® ¬¨ a¨b
b/a = 1,00 0,714 0,50 0,25 0,125 0,05 0
2,976 3,077 3,391 4,439 5,597 | 7,541
3,608 3,734 4,123 5,331 6,490 7,451 8,235
2ab a+b
¢®áâ®à®¨© âà¥ã£®«ì¨ª á® áâ®à®®© a
2,47
3,111
√ a 3
3,34
4,002
√ a 3
|
4,089
πd π+2
b/a
Ǒà ¢¨«ìë© è¥áâ¨ã£®«ì¨ª á® áâ®à®®© a Ǒ®«ãªàã£ á ¤¨ ¬¥â஬ d
E
p
πb
3
«ï âàã¡ë, á¥ç¥¨¥¬ ª®â®à®© ï¥âáï ¯à ¢¨«ìë© N -㣮«ì¨ª, ¯à¥¤¥«ì®¥ ç¨á«® ãáᥫìâ ¢ á«ãç ¥ ¯®áâ®ï®© ⥬¯¥à âãàë ¯®¢¥àå®á⨠âàã¡ë ¬®® ¢ëç¨á«ïâì á ¯®¬®éìî ¯à¨¡«¨¥®© § ¢¨á¨¬®á⨠Nu∞ = 3,65 − 0,18 N −1 − 10 N −2. (3.7.5)
®¯®áâ ¢«¥¨¥ á ¤ 묨 â ¡«. 3.3 ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® ¬ ªá¨¬ «ì ï ¯®£à¥è®áâì (3.7.5) ¯à¨ N = 3, 4, 6, ∞ á®áâ ¢«ï¥â ¬¥¥¥ 0,5%. ⬥⨬, çâ® § ¤ ç¨ ª®¢¥ªâ¨¢®£® ⥯«®¯¥à¥®á ¢ âàã¡ å á ¡®«¥¥ ᫮묨 ¯à®ä¨«ï¬¨ à áᬠâਢ «¨áì ¢ [154℄.
4. áá®- ¨ ⥯«®®¡¬¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬
¤ ç ® ¬ áá®®¡¬¥¥ ¤¢¨ã饩áï ⢥म© ç áâ¨æë, ª ¯«¨ ¨«¨ ¯ã§ëàï á ®ªàã î饩 á।®© «¥¨â ¢ ®á®¢¥ à áç¥â ¬®£¨å â¥å®«®£¨ç¥áª¨å ¯à®æ¥áᮢ, á¢ï§ ëå á à á⢮२¥¬, íªáâà ªæ¨¥©, ¨á¯ २¥¬, £®à¥¨¥¬, 娬¨ç¥áª¨¬¨ ¯à¥¢à 饨ﬨ ¢ ¤¨á¯¥àᮩ á¨á⥬¥, ®á ¤¥¨¥¬ ª®««®¨¤®¢ ¨ â.¯. ª, ¢ ¯à®¬ëè«¥®á⨠¯à®æ¥áá íªáâà ªæ¨¨ ¯à®¢®¤¨âáï ¨§ ª ¯¥«ì ¨«¨ ¯ã§ë३, è¨à®ª® ¯à¨¬¥ïîâáï £¥â¥à®£¥ë¥ ¯à¥¢à 饨ï á ¨á¯®«ì§®¢ ¨¥¬ ç áâ¨æ ª â «¨§ â®à , ¢§¢¥è¥ëå ¢ ¨¤ª®á⨠¨«¨ £ §¥. Ǒਠí⮬ ᪮à®áâì íªáâà ªæ¨¨ ¨ ¨â¥á¨¢®áâì ª â «¨â¨ç¥áª®£® ¯à®æ¥áá ¢ § ç¨â¥«ì®© ¬¥à¥ ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¢¥«¨ç¨®© ¯®«®£® ¤¨ää㧨®®£® ¯à¨â®ª ॠ£¥â ª ¯®¢¥àå®á⨠ç áâ¨æ ¤¨á¯¥àᮩ ä §ë, ª®â®àë© ¢ á¢®î ®ç¥à¥¤ì § ¢¨á¨â ®â å à ªâ¥à ®¡â¥ª ¨ï ¨ ä®à¬ë ç áâ¨æë, ¢«¨ï¨ï á®á¥¤¨å ç áâ¨æ, ª¨¥â¨ª¨ ¯®¢¥àå®á⮩ 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨ ¨ ¤à㣨å ä ªâ®à®¢. ¯¨á ¨¥ 楫®£® àï¤ ¬¥â¥®à®«®£¨ç¥áª¨å ¥¨© â ª¥ ¡ §¨àã¥âáï ¨§ã票¨ ¡à®ã®¢áª®© ¤¨ää㧨¨ í஧®«¥© ª ®â¤¥«ìë¬ â¢¥à¤ë¬ ¨ ¨¤ª¨¬ ç áâ¨æ ¬. Ǒ஡«¥¬ ¢á¥ 㢥«¨ç¨¢ î饩áï § £à痢®á⨠⬮áä¥àë âॡã¥â ¯®¨¬ ¨ï ¨ ®¯¨á ¨ï ¯à®æ¥áᮢ á ¬®®ç¨é¥¨ï ⬮áä¥àë ®â 娬¨ç¥áª¨å, ¬¥å ¨ç¥áª¨å ¨ à ¤¨® ªâ¨¢ëå § £à痢¨©. ¤ ç ®á ¤¥¨ï í஧®«ìëå ç áâ¨æ à §«¨çëå ¯®£«®â¨â¥«ïå ¢®§¨ª ¥â â ª¥ ¯à¨ à áç¥â¥ íä䥪⨢®á⨠䨫ìâ஢. ¥§ã«ìâ âë ¨áá«¥¤®¢ ¨ï «®£¨çëå ¯à®æ¥áᮢ ª®¢¥ªâ¨¢®£® ⥯«®®¡¬¥ ¬®£ãâ ¡ëâì ¨á¯®«ì§®¢ ë ¤«ï à áç¥â ¨ «¨§ à ¡®âë ⥯«®®¡¬¥¨ª®¢. 4.1. ¥â®¤ ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨å «®£¨© ¢ ⥮ਨ ¬ áá®- ¨ ⥯«®¯¥à¥®á
Ǒਠ¨áá«¥¤®¢ ¨¨ ª®ªà¥âëå § ¤ ç ⥮ਨ ¬ áá®- ¨ ⥯«®¯¥à¥®á ¨¡®«¥¥ ¢ ë¬ ï¢«ï¥âáï ¢ë¤¥«¥¨¥ ª®«¨ç¥á⢥ëå § ª®®¬¥à®á⥩, ¯à¨áãé¨å 楫®¬ã ª« ááã ª ç¥á⢥® «®£¨çëå § ¤ ç. ® ¬®£¨å á«ãç ïå ®¡é¨¥ १ã«ìâ âë â ª®£® த 㤠¥âáï ¯®«ãç¨âì á ¯®¬®éìî ¬¥â®¤ ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨å «®£¨© [72, 277, 279℄. ¥â®¤ ®á®¢ ¯¥à¥å®¤¥ ®â ®¡ëçëå ¡¥§à §¬¥àëå ¯¥à¥¬¥ëå ª á¯¥æ¨ «ìë¬ á¨¬¯â®â¨ç¥áª¨¬ ª®®à¤¨ â ¬ ¨ á«ã¨â ¤«ï ¯®áâ஥¨ï ¯à¨¡«¨¥ëå § ¢¨á¨¬®á⥩, ®¡« ¤ îé¨å è¨à®ª¨¬ ¤¨ ¯ §®®¬ ¯à¨¬¥¨¬®á⨠(®¤ã ¨ âã ¥ ä®à¬ã«ã ¬®® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¤«ï ®¯¨á ¨ï 楫®£® àï¤ ª ç¥á⢥® áå®¨å § ¤ ç, ®â«¨ç îé¨åáï ä®à¬®© ¯®¢¥àå®á⨠¨ áâàãªâãன â¥ç¥¨ï).
136
4.1. ¥â®¤ ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨å «®£¨©
137
Ǒãáâì ¨¬¥¥âáï ¥ª®â®àë© ª« áá § ¤ ç, ®â«¨ç îé¨åáï ¤à㣠®â ¤à㣠£¥®¬¥âà¨ç¥áª¨¬¨ å à ªâ¥à¨á⨪ ¬¨ ¨ § ¢¨áïé¨å ®â ¡¥§à §¬¥à®£® ¯ à ¬¥âà τ (0 6 τ < ∞). Ǒ।¯®« £ ¥âáï â ª¥, çâ® ¤«ï ª ª®©«¨¡® ®¤®© ª®ªà¥â®© ( ¨¡®«¥¥ ¯à®á⮩) £¥®¬¥âਨ ¨§¢¥áâ § ¢¨á¨¬®áâì ®á®¢®© ¨áª®¬®© ¢¥«¨ç¨ë w ®â ¯ à ¬¥âà τ : w = F (τ ),
(4.1.1)
£¤¥ F | ¬®®â® ï äãªæ¨ï. § ¤ ç å ¬ áá®- ¨ ⥯«®¯¥à¥®á ¢ ª ç¥á⢥ ¨áª®¬®© ¢¥«¨ç¨ë w ®¡ëç® ¢ëáâ㯠îâ: ç¨á«® ¥à¢ã¤ (ãáᥫìâ ), á।ïï ¯® ®¡ê¥¬ã ª®æ¥âà æ¨ï; ¢ ª ç¥á⢥ ¯ à ¬¥âà τ | ¡¥§à §¬¥à®¥ ¢à¥¬ï, ç¨á«® Ǒ¥ª«¥, ¡¥§à §¬¥à ï ª®áâ â ᪮à®á⨠ॠªæ¨¨. Ǒ८¡à §ã¥¬ ä®à¬ã«ã (4.1.1) á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬. Ǒãáâì £« ¢ë¥ ç«¥ë ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨å à §«®¥¨© ¢¥«¨ç¨ë w ¯à¨ ¬ «ëå ¨ ¡®«ìè¨å § 票ïå ¯ à ¬¥âà τ ¨¬¥îâ ¢¨¤ w0
= Aτ k
w∞
= Bτ m
, =1 ,
lim w/w0 = 1 τ →0
(4.1.2)
lim
(4.1.3)
w/w∞
τ →∞
£¤¥ A, B , k, m | ¥ª®â®àë¥ ¯®áâ®ïë¥; k 6= m. ⬥⨬, çâ® ¨á室ãî § ¢¨á¨¬®áâì (4.1.1) ¨ ᨬ¯â®â¨ª¨ (4.1.2), (4.1.3) ¬®® ®¯à¥¤¥«ïâì ª ª ⥮à¥â¨ç¥áª¨¬, â ª ¨ íªá¯¥à¨¬¥â «ìë¬ ¯ã⥬. «¥¥ áç¨â ¥âáï, çâ® ¤«ï ¢á¥£® à áᬠâਢ ¥¬®£® ª« áá § ¤ ç ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ᨬ¯â®â¨ª¨ ®¯à¥¤¥«ïîâáï ä®à¬ã« ¬¨ ⨯ (4.1.2) ¨ (4.1.3), £¤¥ ¯®áâ®ïë¥ k ¨ m ®¤¨ ª®¢ë, ¯ à ¬¥âàë A ¨ B ¬¥ïîâáï. ᯮ«ì§ãï ä®à¬ã«ë (4.1.1) | (4.1.3), § ¯¨è¥¬ ¤¢ á®®â®è¥¨ï w∞ w F (τ ) Bτ m = = (4.1.4) , . k k w0
Aτ
w0
Aτ
¥«¨ç¨ë ⨯ w/w0 ¨ w∞ /w0 ¡ã¤¥¬ §ë¢ âì ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨¬¨ ª®®à¤¨ â ¬¨. ëà ï ¨§ ¢â®à®£® ãà ¢¥¨ï (4.1.4) ¯ à ¬¥âà τ ¨ ¯®¤áâ ¢«ïï ¥£® ¢ ¯¥à¢®¥ à ¢¥á⢮, 室¨¬ ¨áª®¬ãî § ¢¨á¨¬®áâì w w0
=
1 A
A w∞ B w0
k k−m
F
"
A w∞ B w0
1 # m−k .
(4.1.5)
®à¬ã«ã (4.1.5) ¬®® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ íª¢¨¢ «¥â®¬ ¢¨¤¥ w w∞
=
1 B
A w∞ B w0
m k−m
F
"
A w∞ B w0
1 # m−k .
(4.1.6)
138
áá®®¡¬¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬
¥â®¤ ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨å «®£¨© § ª«îç ¥âáï ¢ ⮬, çâ® ¯®«ã祮¥ ¢ëà ¥¨¥ (4.1.5) (¨«¨ (4.1.6)) ¨á¯®«ì§ã¥âáï ¤ «¥¥ ¤«ï ¯à¨¡«¨¥®£® à áç¥â «®£¨çëå å à ªâ¥à¨á⨪ 㥠¤«ï ¤®áâ â®ç® è¨à®ª®£® ª« áá § ¤ ç, ®¯¨áë¢ îé¨å ª ç¥á⢥® áå®¤ë¥ ï¢«¥¨ï ¨«¨ ¯à®æ¥ááë. «ï í⮣® ¯®á«¥ ¯®áâ஥¨ï á ¯®¬®éìî (4.1.1) § ¢¨á¨¬®á⨠(4.1.5) ¤«ï ª ª®£®-«¨¡® ®¤®£® ª®ªà¥â®£® ( ¯à¨¬¥à, ¨¡®«¥¥ ¯à®á⮣®) á«ãç ï ¯à®æ¥¤ãà ¢ëç¨á«¥¨ï ¢¥«¨ç¨ë w ¤«ï ¤à㣮© § ¤ ç¨ í⮣® ¥ ª« áá ᢮¤¨âáï ª ®¯à¥¤¥«¥¨î ¥¥ ᨬ¯â®â¨ª w0 (¯à¨ τ → 0) ¨ w∞ (¯à¨ τ → ∞) á ¯®á«¥¤ãî饩 ¯®¤áâ ®¢ª®© ¨å ¢ ä®à¬ã«ã (4.1.5). 뢥¤¥ë¥ 㪠§ ë¬ á¯®á®¡®¬ ¯à¨¡«¨¥ë¥ § ¢¨á¨¬®á⨠¡ã¤ãâ ¤ ¢ âì â®çë© á¨¬¯â®â¨ç¥áª¨© १ã«ìâ â ¢ ®¡®¨å ¯à¥¤¥«ìëå á«ãç ïå ¯à¨ τ → 0 ¨ τ → ∞. Ǒ஢¥¤¥®¥ ¢ à ¡®â å [72, 142, 143, 277, 279℄ ᮯ®áâ ¢«¥¨¥ ¯®«ãç¥ëå á ¯®¬®éìî ¬¥â®¤ ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨å «®£¨© ä®à¬ã« á æ¥«ë¬ à冷¬ ª®ªà¥âëå á«ãç ¥¢, ¤«ï ª®â®àëå 㥠¨¬¥îâáï ¥®¡å®¤¨¬ë¥ ¤«ï ¯à®¢¥àª¨ â®çë¥, ç¨á«¥ë¥ ¨ ¯à¨¡«¨¥ë¥ १ã«ìâ âë, ¯®ª §ë¢ ¥â å®à®èãî â®ç®áâì ¨ è¨à®ª¨¥ ¢®§¬®®á⨠¯à¥¤«®¥®£® ᯮᮡ à áç¥â . â® ®¡áâ®ï⥫ìá⢮ £®¢®à¨â ® ⮬, çâ® ª®¥ç ï äãªæ¨® «ì ï á¢ï§ì (4.1.5) ¨â¥à¥áãî饩 á ¢¥«¨ç¨ë w á ¥¥ ᨬ¯â®â¨ª ¬¨ ¤«ï ¤®áâ â®ç® è¨à®ª®£® ª« áá ®¤®â¨¯ëå § ¤ ç ®áâ ¥âáï ®¤®© ¨ ⮩ ¥ (â®ç¥¥, á« ¡® ¬¥ï¥âáï), ¨ ª®ªà¥âë¥ ¬®¤¨ä¨ª 樨 ¨ £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨¥ à §«¨ç¨ï (ä®à¬ ¯®¢¥àå®á⨠¨ áâàãªâãà â¥ç¥¨ï) íâ¨å § ¤ ç ¢ ¤®áâ â®ç® ¯®«®© ¬¥à¥ ãç¨âë¢ îâáï ᮮ⢥âáâ¢ãî騬¨ ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨¬¨ ¯ à ¬¥âà ¬¨ ⨯ w0 ¨ w∞ . à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨, ®¡« áâì ¯à¨¬¥¨¬®á⨠ª®¥ç®© ä®à¬ã«ë (4.1.5) ®ª §ë¢ ¥âáï áãé¥á⢥® è¨à¥ ®¡« á⨠¯à¨¬¥¨¬®á⨠¨á室®© § ¢¨á¨¬®á⨠(4.1.1). í⮬ á¬ëá«¥ ¬®® £®¢®à¨âì, çâ® ä®à¬ã«ë ⨯ (4.1.6) (¢ ®â«¨ç¨¥ ®â ¨á室®© ä®à¬ã«ë (4.1.1)) ®¡« ¤ îâ ¯®¢ë襮© ¨ä®à¬ ⨢®áâìî. 4.2. ãâ२¥ § ¤ ç¨ ® ⥯«®®¡¬¥¥ ⥫ à §«¨ç®© ä®à¬ë
áᬮâਬ ª« áá § ¤ ç ® ¥áâ 樮 ஬ ⥯«®®¡¬¥¥ ¢ë¯ãª«ëå ⥫ à §«¨ç®© ä®à¬ë á ®ªàã î饩 á।®©. ç¨â ¥¬, çâ® ¢ ç «ìë© ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨ t = 0 ⥬¯¥à âãà ⥫ ¡ë« ®¤¨ ª®¢ ¨ à ¢ Ti , ¯à¨ t > 0 ¯®¢¥àå®á⨠⥫ ⥬¯¥à âãà ¯®¤¤¥à¨¢ ¥âáï ¯®áâ®ï®© ¨ à ¢ Ts . á¯à¥¤¥«¥¨¥ ⥬¯¥à âãàë ¢ãâਠ⥫ ®¯¨áë¢ ¥âáï á«¥¤ãî騬 ãà ¢¥¨¥¬, ç «ìë¬ ¨ £à ¨çë¬ ãá«®¢¨ï¬¨: ∂T ∂ τ
= T ;
(4.2.1)
4.2. ãâ२¥ § ¤ ç¨ ® ⥯«®®¡¬¥¥ ⥫ à §«¨ç®© ä®à¬ë T T
= 0 ¢ ç «ìë© ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨ τ = 0, = 1 ¯®¢¥àå®á⨠⥫ ,
139 (4.2.2) (4.2.3)
£¤¥ ¡¥§à §¬¥àë¥ ¢¥«¨ç¨ë ¢¢¥¤¥ë ¯® ä®à¬ã« ¬ (3.1.32). «®£¨çë¬ ®¡à §®¬ ä®à¬ã«¨àã¥âáï § ¤ ç ® ¥áâ 樮 ன ¤¨ää㧨¨ ¢ãâਠ¯®«®áâ¨, § ¯®«¥®© ¥¯®¤¢¨®© á।®©. ᮢ®¥ ¢¨¬ ¨¥ ¢ í⮬ à §¤¥«¥ ¡ã¤¥â 㤥«¥® ¨§ã票î á।¥© ⥬¯¥à âãàë ⥫ hT i, ª®â®à ï ®¯à¥¤¥«ï¥âáï â ª: hT i =
Z
1 V
(4.2.4)
T dv,
v
R
£¤¥ V = dv | ¡¥§à §¬¥àë© ®¡ê¥¬ ⥫ . v «ï ¯®áâ஥¨ï ¯à¨¡«¨¥®© § ¢¨á¨¬®á⨠á।¥© ⥬¯¥à âãàë ⥫ ®â ¢à¥¬¥¨ ¢®á¯®«ì§ã¥¬áï ¬¥â®¤®¬ ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨å «®£¨©. ª ç¥á⢥ ¨á室®© ¯à®á⥩襩 § ¤ ç¨ ã¤®¡® ¢§ïâì ®¤®¬¥àãî (¯® ¯à®áâà áâ¢¥ë¬ ª®®à¤¨ â ¬) § ¤ çã ® ⥯«®®¡¬¥¥ áä¥àë à ¤¨ãá a. ¥è¥¨¥ í⮩ § ¤ ç¨ å®à®è® ¨§¢¥áâ® [104℄ ¨ ¯à¨¢®¤¨â ª á«¥¤ãî饬㠢ëà ¥¨î ¤«ï á।¥© ⥬¯¥à âãàë: hT i = 1 −
6
π2
∞ X
k=1
1
k2
exp(−π2 k2 τ).
(4.2.5)
ᨬ¯â®â¨ª¨ ä®à¬ã«ë (4.2.5) ¯à¨ ¬ «ëå ¨ ¡®«ìè¨å ¢à¥¬¥ å ¨¬¥îâ ¢¨¤ hT i0
√
= 6π−1/2 τ (τ → 0);
hT i∞
= 1 (τ → ∞)
(4.2.6)
¨ ïîâáï ç áâë¬ á«ãç ¥¬ (4.1.2), (4.1.3) ¯à¨ w0 = hT i0 ¨ w∞ = hT i∞ , £¤¥ A = 6π −1/2 , B = 1, k = 12 , m = 0. Ǒ®¤áâ ¢«ïï í⨠§ ç¥¨ï ¢ (4.1.6), £¤¥ F = hT i, ¯¥à¥¯¨è¥¬ § ¢¨á¨¬®áâì (4.2.5) á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: hT i hT i∞
=1−
6
π2
∞ X
k=1
1
k2
exp
"
π3 2 − k
36
hT i0 hT i∞
2 #
.
(4.2.7)
®à¬ã«ã (4.2.7) ¢ ᮮ⢥âá⢨¨ á ¬¥â®¤®¬ ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨å «®£¨© ¡ã¤¥¬ ¨á¯®«ì§®¢ âì ¤«ï à áç¥â á।¥© ⥬¯¥à âãàë ⥫ ¥áä¥à¨ç¥áª®© ä®à¬ë. «ï í⮣® ¤«ï ⥫ § ¤ ®© ä®à¬ë á ç « á«¥¤ã¥â ¢ëç¨á«¨âì ᨬ¯â®â¨ª¨ á।¥© ⥬¯¥à âãàë ¯à¨ ¬ «ëå ¨ ¡®«ìè¨å ¢à¥¬¥ å, § ⥬ ¯®¤áâ ¢¨âì ¨å ¢ ¢ëà ¥¨¥ (4.2.7).
140
áá®®¡¬¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬
«ï ®£à ¨ç¥®£® ⥫ ¯à®¨§¢®«ì®© ä®à¬ë à¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ (4.2.1) | (4.2.3) ¯à¨ τ → ∞ áâ६¨âáï ª ¯à¥¤¥«ì®¬ã § 票î (à ¢®¬ã ¥¤¨¨æ¥), ª®â®à®¥ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï £à ¨çë¬ ãá«®¢¨¥¬ ¯®¢¥àå®á⨠⥫ . Ǒ®« £ ï T = 1 ¢ ä®à¬ã«¥ (4.2.4), 室¨¬ ᨬ¯â®â¨ªã ¤«ï á।¥© ⥬¯¥à âãàë ¯à¨ ¡®«ìè¨å τ: hT i∞
= 1.
(4.2.8)
áᬮâਬ ⥯¥àì ç «ìãî áâ ¤¨î ¯à®æ¥áá , ᮮ⢥âáâ¢ãîéãî ¬ «ë¬ § ç¥¨ï¬ ¡¥§à §¬¥à®£® ¢à¥¬¥¨. Ǒந⥣à¨à㥬 ãà ¢¥¨¥ (4.2.1) ¯® ®¡ê¥¬ã, § ï⮬ã ⥫®¬ v. ç¨âë¢ ï ⮤¥á⢮ T = div (grad T ), á ¯®¬®éìî ä®à¬ã«ë áâà®£à ¤áª®£® | ãáá ¯¥à¥©¤¥¬ ¢ ¯à ¢®© ç á⨠¯®«ã祮£® ¢ëà ¥¨ï ®â ®¡ê¥¬®£® ¨â¥£à « ª ¯®¢¥àå®á⮬ã. १ã«ìâ ⥠¨¬¥¥¬ ∂ ∂ τ
Z
T dv
v
=−
Z
∂T d , ∂ξ
(4.2.9)
£¤¥ ª®®à¤¨ â ξ ¯à ¢«¥ ¢ãâàì ¯® ®à¬ «¨ ª ¯®¢¥àå®á⨠⥫ . Ǒਠ¬ «ëå ¢à¥¬¥ å ®á®¢®¥ ¨§¬¥¥¨¥ ⥬¯¥à âãàë ¯à®¨á室¨â ¢ ⮪®© §®¥, ¯à¨«¥£ î饩 ª ¯®¢¥àå®á⨠⥫ . í⮩ ®¡« á⨠¯à®¨§¢®¤ë¬¨ ¢¤®«ì ¯®¢¥àå®á⨠⥫ ¬®® ¯à¥¥¡à¥çì ¯® áà ¢¥¨î á ¯à®¨§¢®¤ë¬¨ ¯® ®à¬ «¨. Ǒ®í⮬ã à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ⥬¯¥à âãàë ¯à¨ τ → 0 ®¯¨áë¢ ¥âáï á«¥¤ãî騬 ãà ¢¥¨¥¬ á ç «ìë¬ ¨ £à ¨çë¬ ãá«®¢¨ï¬¨: ∂T ∂2T = 2; ∂ τ ∂ξ (4.2.10) τ = 0, T = 0; ξ = 0, T = 1, £¤¥ § 票¥ ξ = 0 ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¯®¢¥àå®á⨠⥫ . ¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ (4.2.10) ¢ëà ¥âáï ç¥à¥§ ¤®¯®«¨â¥«ìë© ¨â¥£à « ¢¥à®ïâ®á⨠ξ √ T = erf (4.2.11) . 2 τ ¨ää¥à¥æ¨àãï íâã ä®à¬ã«ã ¯® ξ ¨ ¯®« £ ï ξ = 0, 室¨¬ «®ª «ìë© â¥¯«®¢®© ¯®â®ª ¯®¢¥àå®áâì ⥫ ¯à¨ τ → 0:
∂T ∂ξ
1 =−√
π τ
.
(4.2.12)
Ǒ®¤áâ ¢¨¬ (4.2.12) ¢ à ¢¥á⢮ (4.2.9). Ǒ®á«¥ ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï ¨¬¥¥¬ Z ∂ 1 T dv = √ S, (4.2.13) ∂ τ π τ v
141
4.2. ãâ२¥ § ¤ ç¨ ® ⥯«®®¡¬¥¥ ⥫ à §«¨ç®© ä®à¬ë
£¤¥ S | ¡¥§à §¬¥à ï ¯«®é ¤ì ¯®¢¥àå®á⨠⥫ . Ǒந⥣à¨à㥬 ®¡¥ ç á⨠ä®à¬ã«ë (4.2.13) ¯® τ ®â 0 ¤® τ. ç¨âë¢ ï ç «ì®¥ ãá«®¢¨¥ (4.2.2), ¯à¨å®¤¨¬ ª ¨áª®¬®¬ã ᨬ¯â®â¨ç¥áª®¬ã ¢ëà ¥¨î ¤«ï á।¥© ⥬¯¥à âãàë ¯à¨ τ → 0: S hT i0 = 2 V
r
τ . π
(4.2.14)
Ǒ®¤áâ ¢«ïï (4.2.8) ¨ (4.2.14) ¢ ä®à¬ã«ã (4.2.7), ¯®«ã稬 ¯à¨¡«¨¥ãî § ¢¨á¨¬®áâì á।¥© ⥬¯¥à âãàë ¤«ï ⥫ ¯à®¨§¢®«ì®© ä®à¬ë ®â ¢à¥¬¥¨ hT i = 1 −
6
π2
∞ X
k=1
1
k2
exp
π2 k2 S 2 τ . − 9V 2
â® ¢ëà ¥¨¥ ¬®® ¯¥à¥¯¨á âì á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬ [144℄: hT i = 1 −
6
π2
∞ X
k=1
1
k2
exp
π 2 2 S∗2 χt k − , 9 V∗2
(4.2.15)
£¤¥ S∗ ¨ V∗ | à §¬¥àë¥ ¯«®é ¤ì ¯®¢¥àå®á⨠¨ ®¡ê¥¬ ⥫ . «ï ¯à ªâ¨ç¥áª¨å à áç¥â®¢ ¢¬¥áâ® ¡¥áª®¥ç®£® àï¤ æ¥«¥á®®¡à §® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¡®«¥¥ ¯à®áâãî ä®à¬ã«ã hT i =
√
1 − e−1,27 ω + 0,6
e−1,5 ω − e−1,1 ω ,
ω
=
S∗2 χt , V∗2
(4.2.16)
¬ ªá¨¬ «ì®¥ ®â«¨ç¨¥ ª®â®à®© ®â (4.2.15) á®áâ ¢«ï¥â ®ª®«® 1,7% (á¬. â ¡«. 4.1). Ǒ஢¥¤¥¬ ᮯ®áâ ¢«¥¨¥ ¯à¨¡«¨¥®© § ¢¨á¨¬®á⨠(4.2.15) á ¨§¢¥áâ묨 â®ç묨 १ã«ìâ â ¬¨ ¯® ⥯«®®¡¬¥ã ⥫ ¥áä¥à¨ç¥áª®© ä®à¬ë. áᬮâਬ á ç « ¯ à ««¥«¥¯¨¯¥¤, áâ®à®ë ª®â®à®£® à ¢ë L1 , L2 , L3 . ¥è¥¨¥ ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 âà¥å¬¥à®© § ¤ ç¨ (4.2.1) | (4.2.3) áâநâáï ¬¥â®¤®¬ à §¤¥«¥¨ï ¯¥à¥¬¥ëå ¨ ¯à¨¢®¤¨â ª á«¥¤ãî饩 ä®à¬ã«¥ ¤«ï á।¥© ⥬¯¥à âãàë [104℄: hT i = 1 −
8
3 X ∞ X ∞ X ∞
1
× π2 (2k − 1)2 (2m − 1)2 (2l − 1)2 k=1 m=1 l=1 (2k − 1)2 (2m − 1)2 (2l − 1)2 χt . + + × exp −π 2 L21 L22 L23
(4.2.17)
142
áá®®¡¬¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬
ç¨âë¢ ï, çâ® ¯«®é ¤ì ¯®¢¥àå®á⨠¨ ®¡ê¥¬ ¯ à ««¥«¥¯¨¯¥¤ ®¯à¥¤¥«ïîâáï ä®à¬ã« ¬¨ S∗ = 2(L1L2 + L1 L3 + L2 L3 ) ¨ V∗ = L1 L2 L3 , ¯à¥¤áâ ¢¨¬ ¢ëà ¥¨¥ (4.2.17) ¢ ¢¨¤¥ hT i = 1 −
π2 × exp− 4
8
π2
3 X ∞ X ∞ X ∞ k=1 m=1 l=1
2k − 1 L1
2
+ 1 L1
1 (2k − 1)2 (2m − 1)2 (2l − 1)2
2m − 1
+
L2
1
L2
2
+
+
1
L3
2
2l − 1 L3
2
×
S∗2 χt . V∗2
(4.2.18)
â ¡«. 4.1 ¯à¨¢¥¤¥ë १ã«ìâ âë ᮯ®áâ ¢«¥¨ï ¯à¨¡«¨¥®© (4.2.15) ¨ â®ç®© (4.2.18) § ¢¨á¨¬®á⥩ á।¥© ⥬¯¥à âãàë ¯ à ««¥«¥¯¨¯¥¤ ¯à¨ è¥áâ¨ à §«¨çëå § 票ïå L1 , L2 , L3. ¨¤®, çâ® ¬ ªá¨¬ «ì ï ¯®£à¥è®áâì ä®à¬ã« (4.2.15) ¨ (4.2.16) ¯à¨ 0,25 6 L3 /L1 6 4,0, L2 /L1 = 1 á®áâ ¢«ï¥â ®ª®«® 5%. áᬮâਬ ⥯¥àì ⥯«®®¡¬¥ 樫¨¤à ª®¥ç®© ¤«¨ë. Ǒãáâì à ¤¨ãá 樫¨¤à ¡ã¤¥â a, ¤«¨ | L. ¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ (4.2.1) | (4.2.3) ¢ í⮬ á«ãç ¥ ¯à¨¢®¤¨â ª á«¥¤ãî饬㠢ëà ¥¨î ¤«ï á।¥© ⥬¯¥à âãàë [104℄: hT i = 1 −
32
π2
∞ X ∞ X
1
× ϑ2 (2m − 1)2 k=1 m=1 k 2 ϑk × exp − a2
+
π 2 (2m − 1)2 L2
χt ,
(4.2.19)
£¤¥ ϑk | ª®à¨ äãªæ¨¨ ¥áᥫï ã«¥¢®£® த : J0 (ϑk ) = 0 (§ ç¥¨ï ¯¥à¢ëå è¥á⨤¥áï⨠ª®à¥© ϑk ¯à¨¢¥¤¥ë ¢ ª¨£¥ [188℄). ®à¬ã«ã (4.2.19) ¬®® ¯¥à¥¯¨á âì â ª: hT i = 1 −
32
π2
∞ X ∞ X
1
× ϑ2 (2m − 1)2 k=1 m=1 k L2 ϑ2k + π 2 a2 (2m − 1)2 S∗2 χt , × exp − 4(a + L)2 V∗2
(4.2.20)
£¤¥ S∗ = 2πa(a + L) | ¯«®é ¤ì ¯®¢¥àå®áâ¨, V∗ = πa2 L | ®¡ê¥¬ 樫¨¤à . ¥§ã«ìâ âë à áç¥â á ¯®¬®éìî â®ç®© (4.2.20) ¨ ¯à¨¡«¨¥®© (4.2.15) § ¢¨á¨¬®á⥩ ¯à¨ à §«¨çëå § 票ïå å à ªâ¥àëå à §¬¥à®¢ 樫¨¤à®¢ ¯à¨¢¥¤¥ë ¢ â ¡«. 4.1. ¨¤®, çâ® ¬ ªá¨¬ «ì ï ¯®£à¥è®áâì ä®à¬ã«ë (4.2.15) ¯à¨ 0,25 6 2a/L 6 4,0 á®áâ ¢«ï¥â ®ª®«® 3,5%.
143
4.3. áá®®¡¬¥ ç áâ¨æ à §«¨ç®© ä®à¬ë á ¥¯®¤¢¨®© á।®© 4.1 ®¯®áâ ¢«¥¨¥ â®çëå ¨ ¯à¨¡«¨¥ëå § 票© á।¥© ⥬¯¥à âãàë hT i ⥫ à §«¨ç®© ä®à¬ë ¥§à §¬¥à®¥ ¢à¥¬ï
S∗2 χt V∗2
ä¥à , ä®à¬ã« (4.2.15)
0,05 0,1
0,2
0,3
0,5
1,0
1,5
2,0
0,236 0,323 0,438 0,518 0,631 0,795 0,882 0,932
Ǒਡ«¨¥ ï ä®à¬ã« (4.2.16) 0,237 0,324 0,437 0,514 0,623 0,782 0,870 0,923 Ǒ à ««¥«¥¯¨¯¥¤, ä®à¬ã« (4.2.18); Ei = Li /L1 ¨«¨¤à, ä®à¬ã« (4.2.20); E = 2a/L
E2 E2 E2 E2 E2 E2
= 1, E3 = 0,25 = 1, E3 = 0,5 = 1, E3 = 1 = 1, E3 = 2 = 1, E3 = 4 = 2, E3 = 4 E E E E E
= 0,25 = 0,5 =1 =2 =4
0,237 0,233 0,232 0,232 0,234 0,234 0,236 0,234 0,233 0,234 0,237
0,326 0,318 0,316 0,318 0,320 0,321 0,325 0,321 0,319 0,320 0,326
0,443 0,429 0,425 0,427 0,432 0,435 0,440 0,434 0,429 0,431 0,444
0,527 0,506 0,499 0,503 0,510 0,514 0,522 0,513 0,506 0,509 0,528
0,647 0,615 0,604 0,610 0,620 0,628 0,638 0,624 0,613 0,619 0,649
0,821 0,774 0,757 0,767 0,782 0,794 0,807 0,787 0,770 0,780 0,823
0,907 0,862 0,843 0,854 0,871 0,882 0,894 0,875 0,857 0,868 0,909
0,951 0,915 0,897 0,920 0,952 0,932 0,942 0,926 0,910 0,920 0,952
4.3. áá®- ¨ ⥯«®®¡¬¥ ç áâ¨æ à §«¨ç®© ä®à¬ë á ¥¯®¤¢¨®© á।®©
â 樮 àë© ¬ áá®®¡¬¥ ç áâ¨æë á ¥¯®¤¢¨®© á।®©. áᬮâਬ, á«¥¤ãï [142, 143℄, áâ 樮 àãî ¤¨ääã§¨î ª ç -
áâ¨æ¥ ª®¥çëå à §¬¥à®¢ ¢ ¯®ª®ï饩áï á।¥, ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â á«ãç î Pe = 0. ç¨â ¥¬, çâ® ¯®¢¥àå®á⨠ç áâ¨æë ¨ ¢¤ «¨ ®â ¥¥ ª®æ¥âà æ¨ï ¯à¨¨¬ ¥â ¯®áâ®ïë¥ § 票ï, à ¢ë¥ á®®â¢¥âá⢥® Cs ¨ Ci . Ǒ®«¥ ª®æ¥âà 樨 ¢¥ ç áâ¨æë ®¯¨áë¢ ¥âáï ãà ¢¥¨¥¬ ¯« á ¨ £à ¨ç묨 ãá«®¢¨ï¬¨ c = 0, c = 1 ¯®¢¥àå®á⨠ç áâ¨æë c = 0 ¢¤ «¨ ®â ç áâ¨æë,
,
(4.3.1) (4.3.2) (4.3.3)
£¤¥ ¡¥§à §¬¥à ï ª®æ¥âà æ¨ï c ¢¢¥¤¥ ¢ (3.1.7). ᪮¬ ï ¢¥«¨ç¨ , ¯à¥¤áâ ¢«ïîé ï ¨¡®«ì訩 ¯à ªâ¨ç¥áª¨© ¨â¥à¥á ¢ íâ¨å § ¤ ç å, | á।¥¥ ç¨á«® ¥à¢ã¤ | ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯® ä®à¬ã«¥ (3.1.28) ¨ á¢ï§ á ª®íää¨æ¨¥â®¬ ¬ áá®®â¤ ç¨ αc á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: aα Sh = c , (4.3.4) D
£¤¥ a | å à ªâ¥àë© à §¬¥à, ¢ë¡à ë© § ¬ áèâ ¡ ¤«¨ë.
144
áá®®¡¬¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬
¨ää㧨® ï § ¤ ç (4.3.1) | (4.3.3) ¬ ⥬ â¨ç¥áª¨ íª¢¨¢ «¥â § ¤ ç¥ ® í«¥ªâà®áâ â¨ç¥áª®¬ ¯®«¥ § à葉£® ¯à®¢®¤ï饣® ⥫ , à ᯮ«®¥®£® ¢ ®¤®à®¤®© ᢮¡®¤®© ®â § à冷¢ ¤¨í«¥ªâà¨ç¥áª®© á।¥. Ǒ®í⮬ã á।¥¥ ç¨á«® ¥à¢ã¤ ¢ ¥¯®¤¢¨®© ¨¤ª®á⨠ᮢ¯ ¤ ¥â á ¡¥§à §¬¥à®© í«¥ªâà¨ç¥áª®© ¥¬ª®áâìî ⥫ ¨ ¬®¥â ¡ëâì ¢ëç¨á«¥® ¨«¨ ¨§¬¥à¥® ¬¥â®¤ ¬¨ í«¥ªâà®áâ ⨪¨. «ï ¤ «ì¥©è¥£® 㤮¡® ¢¢¥áâ¨ ä ªâ®à ä®à¬ë , ¨¬¥î騩 à §¬¥à®áâì ¤«¨ë, ¯® ä®à¬ã«¥ =
αc S∗ D
= Sh
S∗ , a
(4.3.5)
£¤¥ S∗ | à §¬¥à ï ¯«®é ¤ì ¯®¢¥àå®á⨠ç áâ¨æë. ⬥⨬, çâ® ¢¥«¨ç¨ã â ª¥ ¨®£¤ §ë¢ îâ ý¯à®¢®¤¨¬®áâìîþ. â ¡«. 4.2 ¯à¨¢¥¤¥ë § 票ï ä ªâ®à ¤«ï ç áâ¨æ à §«¨ç®© ä®à¬ë. ।¥¥ ç¨á«® ¥à¢ã¤ ᮣ« á® ¢ëà ¥¨î (4.3.5) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï á ¯®¬®éìî í⮩ â ¡«¨æë ¯ã⥬ ¤¥«¥¨ï ä ªâ®à ä®à¬ë ¯«®é ¤ì ¯®¢¥àå®á⨠ç áâ¨æë ¨ 㬮¥¨ï å à ªâ¥àë© à §¬¥à. «ï ¨â¥à¯à¥â 樨 â ¡«¨çëå ¤ ëå ¯®áâ㯨¬ á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬. ¯à®¥ªâ¨à㥬 â®çª¨ ¯®¢¥àå®á⨠⥫ ¢à é¥¨ï ¯«®áª®áâì, ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïàãî ®á¨. ¯à®¥ªæ¨¨ ¯®«ã稬 ªàã£ à ¤¨ãá ap . ä¥àã á à ¤¨ãᮬ ap §®¢¥¬ áä¥à®©, íª¢¨¢ «¥â®© ¯® ¯¥à¨¬¥âàã. ¢¥¤¥¬ ä ªâ®à íª¢¨¢ «¥â®£® ¯¥à¨¬¥âà [219℄ ¯®¢¥àå®áâì ç áâ¨æë ¯®¢¥àå®áâì áä¥àë, íª¢¨¢ «¥â®© ¯® ¯¥à¨¬¥âàã (4.3.6) ¨ à áᬮâਬ ᮮ⢥âáâ¢ãîéãî ®â®á¨â¥«ìãî ¢¥«¨ç¨ã ä ªâ®à ä®à¬ë =
S∗
4πa2p
e=
=
ä ªâ®à ä®à¬ë ç áâ¨æë . = 4πap ä ªâ®à ä®à¬ë íª¢¨¢ «¥â®© áä¥àë
(4.3.7)
¥§à §¬¥àë¥ ¢¥«¨ç¨ë (4.3.6) ¨ (4.3.7) ¨¢ ਠâë ®â®á¨â¥«ìe ª ª ® ¢ë¡®à å à ªâ¥à®£® ¬ áèâ ¡ ¤«¨ë. à 䨪 § ¢¨á¨¬®á⨠äãªæ¨ï ¨§®¡à ¥ à¨á. 4.1. ¨¤®, çâ® ç áâ¨æë á à §«¨ç®© £¥®¬¥âà¨ç¥áª®© ä®à¬®© å®à®è® ý㪫 ¤ë¢ îâáïþ ®¤ã 㨢¥àá «ìãî ªà¨¢ãî, ª®â®àãî ¬®® ¯¯à®ªá¨¬¨à®¢ âì ¢ëà ¥¨¥¬ e = 0,637 + 0,327 (2 − 1)0,76
(0,5 6 6 8,5).
(4.3.8)
â㠯ਡ«¨¥ãî ä®à¬ã«ã 楫¥á®®¡à §® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¤«ï à áç¥â ¨â¥á¨¢®á⨠¬ áá®®¡¬¥ ç áâ¨æ á«®®© ä®à¬ë ¢ ¥¯®¤¢¨®© á।¥, ª®£¤ ¥¨§¢¥áâ® à¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ (4.3.1) | (4.3.3).
145
4.3. áá®®¡¬¥ ç áâ¨æ à §«¨ç®© ä®à¬ë á ¥¯®¤¢¨®© á।®© 4.2 ªâ®à ä®à¬ë ç áâ¨æ ¢ ¥¯®¤¢¨®© á।¥ (¯® ¤ ë¬ [60, 219℄) N0
®à¬ ç áâ¨æë
ªâ®à ä®à¬ë = Sh
1 ä¥à à ¤¨ãá a ¯«îáãâë© í««¨¯á®¨¤ 2 ¢à 饨ï á ¯®«ã®áﬨ a ¨ b, χ = b/a < 1
4πa p
4πa 1 − χ2 ar
os χ p
ëâïãâë© í««¨¯á®¨¤ 3 ¢à 饨ï á ¯®«ã®áﬨ a ¨ b, χ = b/a > 1
4πa χ2 − 1 p ln χ + χ2 − 1
à㣮¢®© 樫¨¤à 4 à ¤¨ãá a ¤«¨ë L (0 6 L/a 6 16) ®ª ï ¯àאַ㣮«ì ï 5 ¯« á⨠ᮠáâ®à® ¬¨ L1 ¨ L2 , (L1 > L2 ) 6 ã¡ á ॡ஬ a áä¥àë 7 ®¯à¨ª á î騥áï à ¢®£® à ¤¨ãá a ®¯à¨ª á î騥áï áä¥àë 8 á à ¤¨ãá ¬¨ a ¨ a 1 2 Ǒ¥à¥á¥ª î騥áï 9 ®à⮣® «ì® áä¥àë á à ¤¨ãá ¬¨ a1 ¨ a2
S∗ a
8 + 4,1 (L/a)0,76 2πL1 ln(4L1 /L2 )
a
0,654 (4πa) 2 ln 2 (4πa) i 4πa1 a2 h a1 a2 +ψ + 2 ln γ , ψ a1 + a2 a1 + a2 a1 + a2 d £¤¥ ψ(x) = dx (x) | «®£ à¨ä¬¨ç¥áª ï ¯à®¨§¢®¤ ï £ ¬¬ -äãªæ¨¨, ln γ = −ψ(1) = 0,5772 . . . | ¯®áâ®ï ï ©«¥à
−
4π
a1
+ a2 − p
a1 a2
a21
+ a22
Ǒਢ¥¤¥¬ â ª¥ ¥ª®â®àë¥ ®æ¥ª¨ ¤«ï ¨¥© ¨ ¢¥à奩 £à ¨æë ¢¥«¨ç¨ë ä ªâ®à ä®à¬ë [219℄. ¨ïï £à ¨æ ¤«ï ¯à®¨§¢®«ì®© ç áâ¨æë ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä ªâ®à®¬ ä®à¬ë áä¥àë à ¢®£® ®¡ê¥¬ V∗ : > (48π2 V∗ )1/3 .
(4.3.9)
àã£ ï ®æ¥ª ᨧ㠨¬¥¥â ¢¨¤ > 8(Smax/π)1/2 ,
(4.3.10)
£¤¥ Smax | ¬ ªá¨¬ã¬ ¯«®é ¤¨ ®à⮣® «ì®© ¯à®¥ªæ¨¨ ⥫ ¯«®áª®áâì. ¢¥á⢮ ¢ ä®à¬ã«¥ (4.3.10) ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¤¨áªã. ¥àåïï £à ¨æ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä ªâ®à®¬ ä®à¬ë «î¡®© ¯®¢¥àå®á⨠( ¯à¨¬¥à, áä¥àë ¨«¨ í««¨¯á®¨¤ ¢à 饨ï), ®ªàã î饩 ç áâ¨æã.
146
áá®®¡¬¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬
¢¨á¨¬®áâì ®â®á¨â¥«ì®© ¢¥«¨ç¨ë ä ªâ®à ä®à¬ë ®â ä ªâ®à íª¢¨¢ «¥â®£® ¯¥à¨¬¥âà ¢ ¥¯®¤¢¨®© á।¥ ¤«ï ç áâ¨æ à §«¨ç®© ä®à¬ë: 1 | ªà㣮¢®© 樫¨¤à, 2 | ᯫîáãâë© í««¨¯á®¨¤ ¢à 饨ï, 3 | ¢ëâïãâë© í««¨¯á®¨¤ ¢à 饨ï, 4 | ªã¡, 5 | ¯®«ãáä¥à , 6 | ¯¥à¥á¥ª î騥áï áä¥àë.
¨á. 4.1.
¥áâ 樮 àë© ¬ áá®®¡¬¥ ç áâ¨æë á ¥¯®¤¢¨®© á।®©. Ǒãáâì ¢ ç «ìë© ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨ t = 0 ª®æ¥âà æ¨ï ¢ ᯫ®è-
®© ä §¥ ¯®áâ®ï ¨ à ¢ Ci , ¯®¢¥àå®á⨠ç áâ¨æë ¯®¤¤¥à¨¢ ¥âáï ¯®áâ®ï ï ª®æ¥âà æ¨ï Cs . ¥áâ 樮 àë© ¬ áá®®¡¬¥ ç áâ¨æë á ¥¯®¤¢¨®© á।®© ®¯¨áë¢ ¥âáï ãà ¢¥¨¥¬ ∂c ∂τ
= c
(4.3.11)
á £à ¨ç묨 ãá«®¢¨ï¬¨ (4.3.2), (4.3.3) ¨ ç «ìë¬ ãá«®¢¨¥¬ τ = 0, c = 0, (4.3.12) 2 £¤¥ τ = tD/a | ¡¥§à §¬¥à®¥ ¢à¥¬ï. «ï ç áâ¨æë áä¥à¨ç¥áª®© ä®à¬ë à¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ (4.3.11), (4.3.12), (4.3.2), (4.3.3) ¢ëà ¥âáï ç¥à¥§ ¤®¯®«¨â¥«ìë© ¨â¥£à « ¢¥à®ïâ®á⥩ ¨ ¨¬¥¥â ¢¨¤ 1 r−1 c= erf √ (4.3.13) , r 2 τ £¤¥ r | ®â¥á¥ ï ª à ¤¨ãáã ç áâ¨æë ¡¥§à §¬¥à ï à ¤¨ «ì ï ª®®à¤¨ â . ।¥¥ ç¨á«® ¥à¢ã¤ ¤«ï áä¥àë à ¢® 1 (4.3.14) Sh = 1 + √ . πτ
«ï ç áâ¨æ ¥áä¥à¨ç¥áª®© ä®à¬ë á।¥¥ ç¨á«® ¥à¢ã¤ ¯à¨¡«¨¥® ¬®® ¢ëç¨á«¨âì ¯® ä®à¬ã«¥ 1 (4.3.15) Sh = Shst + √ , πτ
4.4. áᮯ¥à¥®á ¢ ¯®áâ㯠⥫쮬 ¯®â®ª¥ ¯à¨ ¬ «ëå Pe
147
£¤¥ Shst | ç¨á«® ¥à¢ã¤ , ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 à¥è¥¨î áâ 樮 ன § ¤ ç¨ (4.3.1) | (4.3.3). ᥠ¢¥«¨ç¨ë Sh, Shst , τ ¢ (4.3.15) ®¡¥§à §¬¥à¥ë á ¯®¬®éìî ®¤®£® ¨ ⮣® ¥ ¬ áèâ ¡ ¤«¨ë. á«ãç ¥ ç áâ¨æ ¥áä¥à¨ç¥áª®© ä®à¬ë ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï Shst ¬®® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¤ ë¥ â ¡«. 4.2 ¨ ¢ëà ¥¨¥ (4.3.8). 4.4. áᮯ¥à¥®á ¢ ¯®áâ㯠⥫쮬 ¯®â®ª¥ ¯à¨ ¬ «ëå ç¨á« å Ǒ¥ª«¥
áᬮâਬ, á«¥¤ãï [142, 143℄ áâ 樮 àãî ¤¨ääã§¨î ª ç áâ¨æ¥, ®¡â¥ª ¥¬®© « ¬¨ àë¬ ¯®â®ª®¬. Ǒ।¯®« £ ¥¬, çâ® ¯®¢¥àå®á⨠ç áâ¨æë ¨ ¢¤ «¨ ®â ¥¥ ª®æ¥âà æ¨ï ¯à¨¨¬ ¥â ¯®áâ®ïë¥ § 票ï, à ¢ë¥ Cs ¨ Ci . ¡¥§à §¬¥àëå ¯¥à¥¬¥ëå (3.1.7) ¯à®æ¥áá ¬ áᮯ¥à¥®á ¢ ᯫ®è®© ä §¥ ®¯¨áë¢ ¥âáï ãà ¢¥¨¥¬ Pe(~v · ∇)c = c
(4.4.1)
á £à ¨ç묨 ãá«®¢¨ï¬¨ (4.3.2), (4.3.3). á¯à¥¤¥«¥¨¥ ᪮à®á⥩ ¨¤ª®á⨠~v § ¢¨á¨â ®â ä®à¬ë ç áâ¨æë ¨ áâàãªâãàë ¥¢®§¬ã饮£® â¥ç¥¨ï ¡¥áª®¥ç®á⨠¨ ¡ã¤¥â ª®ªà¥â¨§¨à®¢ âìáï ¤ «¥¥ ¯® ¬¥à¥ ¥®¡å®¤¨¬®áâ¨. ¤ ®¬ à §¤¥«¥ ¡ã¤¥â ¨áá«¥¤®¢ âìáï ®¤®à®¤ë© ¯®áâ㯠⥫ìë© ¯®â®ª ᮠ᪮à®áâìî Ui ¢¤ «¨ ®â ç áâ¨æë. ä¥à¨ç¥áª ï ç áâ¨æ . áᬮâਬ ¬ áá®®¡¬¥ áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æë à ¤¨ãá a á ¯®áâ㯠⥫ìë¬ ¯®â®ª®¬. Ǒਠá⮪ᮢ®¬ २¬¥ â¥ç¥¨ï (Re → 0) ¡¥§à §¬¥àë¥ (®â¥á¥ë¥ ª Ui ) ª®¬¯®¥âë ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠¬®® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥ vr
=
1 ∂ψ , v r2 sin θ ∂θ θ 1 ψ = (r − 1)2 2 + 4
1 =− r sin θ 1 sin2 θ.
∂ψ , ∂r
(4.4.2)
r
¤¥áì r | ¡¥§à §¬¥à ï (®â¥á¥ ï ª a) à ¤¨ «ì ï ª®®à¤¨ â , θ | 㣫®¢ ï ª®®à¤¨ â (®âáç¨âë¢ ¥âáï ®â ¯à ¢«¥¨ï ¡¥£ î饣® ¯®â®ª ), ψ | ¡¥§à §¬¥à ï (®â¥á¥ ï ª a2 Ui ) äãªæ¨ï ⮪ . ᯮ«ì§®¢ ¨¥ äãªæ¨¨ ⮪ (4.4.2) ¯®§¢®«ï¥â § ¯¨á âì ãà ¢¥¨¥ ª®¢¥ªâ¨¢®© ¤¨ää㧨¨ (4.4.1) á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: c = £¤¥ Pe = aUi /D.
Pe r2 sin θ
∂ψ ∂c ∂ψ ∂c − ∂θ ∂r ∂r ∂θ
,
(4.4.3)
148
áá®®¡¬¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬
à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï ¨¬¥îâ ¢¨¤ r
= 1,
r → ∞,
c=1
( ¯®¢¥àå®á⨠áä¥àë) ( ¡¥áª®¥ç®áâ¨).
c→0
(4.4.4) (4.4.5)
Ǒਡ«¨¥®¥ «¨â¨ç¥áª®¥ à¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ (4.4.3) | (4.4.5) ¯à¨ ¬ «ëå ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ ¨é¥¬ ¬¥â®¤®¬ áà 騢 ¥¬ëå ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨å à §«®¥¨© [38, 90, 114℄. ¯®«¥ â¥ç¥¨ï «ï í⮣® à §®¡ì¥¬ ¤¢¥ ®¡« áâ¨: ¢ãâà¥îî = 1 6 r 6 O(Pe−1 ) ¨ ¢¥èîî = O(Pe−1 ) 6 r . ® ¢ãâ॥© ®¡« á⨠á®åà ¨¬ ¯à¥¨¥ ¯¥à¥¬¥ë¥ r, θ, ¢® ¢¥è¥© ¢¢¥¤¥¬ ¢¬¥áâ® r á âãî à ¤¨ «ìãî ª®®à¤¨ âã r = Pe r. ¥è¥¨¥ ¢ ª ¤®© ¨§ ®¡« á⥩ ¨é¥¬ ¯® ®â¤¥«ì®á⨠¢ ¢¨¤¥ ¢ãâ॥£® ¨ ¢¥è¥£® à §«®¥¨©: c= c =
∞ X
k=0 ∞ X k=0
εk (Pe)ck (r, θ)
¢ ,
(4.4.6)
εk (Pe) ck ( r, θ)
¢ .
(4.4.7)
¢¨á¨¬®á⨠ª®íää¨æ¨¥â®¢ àï¤ εk , εk ®â ç¨á« Ǒ¥ª«¥ § à ¥¥ ¥ ¨§¢¥áâë ¨ 室ïâáï ¢ ¯à®æ¥áᥠà¥è¥¨ï § ¤ ç¨. Ǒ।¯®« £ ¥âáï «¨èì, çâ® ¢ë¯®«ïîâáï ãá«®¢¨ï εk+1 → 0, εk
εk+1 →0 εk
¯à¨ Pe → 0.
«¥ë ¢ãâ॥£® à §«®¥¨ï (4.4.6) ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¯ã⥬ à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨ï (4.4.3) á £à ¨çë¬ ãá«®¢¨¥¬ ¯®¢¥àå®á⨠ç áâ¨æë (4.4.4). «¥ë ¢¥è¥£® à §«®¥¨ï (4.4.7) áâ६ïâáï ª ã«î ¯à¨ r → ∞ ¨ ®¯¨áë¢ îâáï ãà ¢¥¨¥¬ (4.4.3), £¤¥ ᤥ« § ¬¥ r = r/Pe ¨ ãç⥠§ ¢¨á¨¬®áâì (4.4.2). ®§¨ª î騥 ¯à¨ à¥è¥¨¨ íâ¨å § ¤ ç ¯à®¨§¢®«ìë¥ ª®áâ âë 室ïâáï ¨§ ãá«®¢¨ï áà 騢 ¨ï, ª®â®à®¥ § ¯¨áë¢ ¥âáï â ª: c(r → ∞) = c( r → 0). (4.4.8) « ¢ë© ç«¥ ¢ãâ॥£® à §«®¥¨ï (4.4.6) ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¬ áá®®¡¬¥ã áä¥àë á ¥¯®¤¢¨®© á।®© ¨ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï à¥è¥¨¥¬ § ¤ ç¨ (4.4.3) | (4.4.5) ¯à¨ Pe = 0. Ǒ®í⮬㠨¬¥¥¬ c0
=
1 r
,
ε0 (Pe) = 1.
(4.4.9)
©¤¥¬ ï¢ë© ¢¨¤ ª®íää¨æ¨¥â ε0 (Pe) ¢® ¢¥è¥¬ à §«®¥¨¨. «ï í⮣® ¢ ä®à¬ã«¥ (4.4.9) ¯¥à¥©¤¥¬ ª ¢¥è¥© ¯¥à¥¬¥®©:
149
4.4. áᮯ¥à¥®á ¢ ¯®áâ㯠⥫쮬 ¯®â®ª¥ ¯à¨ ¬ «ëå Pe
= Pe/r. § ãá«®¢¨ï áà 騢 ¨ï (4.4.8) á«¥¤ã¥â, çâ® ε0 = Pe. Ǒ®¤áâ ¢¨¬ r = r/Pe ¨ c = Pe c0 + · · · ¢ (4.4.2), (4.4.3), (4.4.5) ¨ ®â¡à®á¨¬ á« £ ¥¬ë¥ ¯®à浪 o(Pe). १ã«ìâ ⥠¯®«ã稬 § ¤ çã ¤«ï £« ¢®£® ç«¥ ¢¥è¥£® à §«®¥¨ï c0
c0 = os θ ∂ c0 + sin θ ∂ c0 ; r → ∞, c → 0. (4.4.10) ∂ r r ∂θ | ®á¥á¨¬¬¥âà¨çë© ®¯¥à â®à ¯« á , £¤¥ ¢ ª ç¥á⢥ à ¤¨¤¥áì «ì®© ª®®à¤¨ âë ¢ëáâ㯠¥â r. ¡é¥¥ à¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ (4.4.10) ¨¬¥¥â ¢¨¤ c0
=
π 1/2 r
Km+1/2
exp
r
2
=
X ∞
r os θ
2
π 1/2 r
Pm (x) =
m=0
exp
1
Am Km+1/2 r X ∞
−
2
r
2
Pm ( os θ),
(k + m)! , (m − k)! k! rk
k=0 dm 2 (x − 1)m , dxm
2mm! £¤¥ Km+1/2 (x) | äãªæ¨¨ ª¤® «ì¤ , Pm (x) | ¯®«¨®¬ë ¥ ¤à . ®áâ âë Am ¤®«ë ¡ëâì ®¯à¥¤¥«¥ë ¢ १ã«ìâ ⥠áà 騢 ¨ï, ª®â®à®¥ § ª«îç ¥âáï ¢ áà ¢¥¨¨ ¯®¢¥¤¥¨ï äãªæ¨¨ c = Pe c0 + · · · ¯à¨ r → 0 ¨ äãªæ¨¨ (4.4.9) ¯à¨ r → ∞. ¥âà㤮 ãáâ ®¢¨âì, çâ® A0 = 1/π, Am = 0 (m = 1, 2, . . . ). Ǒ®í⮬ã c0
=
1 1 exp r( os θ − 1) r 2
,
ε0
= Pe .
(4.4.11)
©¤¥¬ ¯¥à¢®¥ ¯à¨¡«¨¥¨¥ ¤«ï ¢ãâ॥£® à §«®¥¨ï. «ï í⮣® ¯®¤áâ ¢¨¬ ä®à¬ã«ë (4.4.11) ¢ (4.4.7) ¨ ¯¥à¥©¤¥¬ ª ¢ãâ॥© ¯¥à¥¬¥®© r. §« £ ï ¯®«ã祮¥ ¢ëà ¥¨¥ ¢ àï¤ ¯® Pe, ¨§ ãá«®¢¨ï áà 騢 ¨ï (4.4.8) ©¤¥¬, çâ® ε1 (Pe) = Pe. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¯¥à¢®¥ ¯à¨¡«¨¥¨¥ ¤«ï ¢ãâ॥£® à §«®¥¨ï á ãç¥â®¬ à ¢¥á⢠(4.4.9) á«¥¤ã¥â ¨áª âì ¢ ¢¨¤¥ c=
1 r
+ Pe c1 (r, θ) + o(Pe).
(4.4.12)
Ǒ®¤áâ ¢¨¬ (4.4.12) ¢ (4.4.3), (4.4.4) ¨ ¨á¯®«ì§ã¥¬ § ¢¨á¨¬®áâì (4.4.2) ¤«ï äãªæ¨¨ ⮪ . 뤥«ïï ç«¥ë ¯®à浪 Pe, ¯®«ã稬 ãà ¢¥¨¥ ¨ £à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥ ¤«ï c1 : c 1 = −
1
1−
r2 r = 1,
1 3 +
os θ; 2r 2r3 c1 = 0.
(4.4.13) (4.4.14)
150
áá®®¡¬¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬
¯¨è¥¬ ®¡é¥¥ à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (4.4.13)
∞ X 1 c1 = − − 3 os θ + (am rm + bm r−m−1 )Pm ( os θ). 8r m=0 (4.4.15) à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥ (4.4.14) ¯®§¢®«ï¥â ãáâ ®¢¨âì «¨¥©ë¥ á®®â®è¥¨ï ¬¥¤ã ¯®áâ®ï묨 am ¨ bm :
a1
=
1 2
3 4r
3 8 − b1 ;
am
= −bm ¯à¨
m = 0, 2, 3, 4, . . .
(4.4.16)
«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï ª®íää¨æ¨¥â®¢ ¢ (4.4.15) ¯à®¨§¢¥¤¥¬ áà 騢 ¨¥ ¢ëà ¥¨© (4.4.12), (4.4.15) ¯à¨ r → ∞ ¨ (4.4.6), (4.4.11) ¯à¨ r → 0. १ã«ìâ ⥠¯®«ã稬 a0 = − 12 , am = b m
= 21 , = 0 ¯à¨ b0
a1 = 0, b1 = 83 ; m = 2, 3, 4, . . .
«¥¤®¢ ⥫ì®,
1 1 1 c1 = − + + 2 2r 2
−
3 3 + 2 4r 8r
−
1
os θ. 8r3
(4.4.17)
«ï ⢥à¤ëå ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ áä¥à¨ç¥áª®© ä®à¬ë á।¥¥ ç¨á«® ¥à¢ã¤ ¢ëç¨á«ï¥âáï ¯® ä®à¬ã«¥ 1 Sh = 2
Z
0
π
sin θ
∂c ∂r
r =1
dθ.
(4.4.18)
Ǒ®¤áâ ¢«ïï áî¤ ¤¢ãç«¥®¥ à §«®¥¨¥ (4.4.12) á ãç¥â®¬ (4.4.17), ¨¬¥¥¬ Sh = 1 + 21 Pe + o(Pe). (4.4.19) à ¡®â¥ [191℄ ¡ë«¨ ¯®«ãç¥ë ¯®á«¥¤ãî騥 âਠ童 à §«®¥¨ï ç¨á« ¥à¢ã¤ , ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ᨬ¯â®â¨ç¥áª®¬ã à¥è¥¨î § ¤ ç¨ (4.4.2) | (4.4.5) ¯à¨ Pe → 0. ⨠१ã«ìâ âë ¡ë«¨ ®¡®¡é¥ë ¢ [287℄, £¤¥ ¤«ï ¯®«ï ᪮à®á⥩ ¨¤ª®á⨠¢®ªà㣠áä¥àë ¨á¯®«ì§®¢ «®áì à¥è¥¨¥ [282℄. Ǒਢ¥¤¥¬ §¤¥áì ¨â®£®¢®¥ ¢ëà ¥¨¥ ¤«ï ç¨á« ¥à¢ã¤ [287℄: 1 1 1 1 Sh = 1 + Pe + Pe2 ln Pe + Q(S )Pe2 + Pe3 ln Pe + O(Pe3 ), 2 2 2 4 S 2 S 1 173 S − − (S + 1)2 − 1 ln 1 + + ln γ + , Q(S ) = − 160 2 4 2 S (4.4.20) £¤¥ ln γ = 0,5772 . . . | ¯®áâ®ï ï ©«¥à .
4.4. áᮯ¥à¥®á ¢ ¯®áâ㯠⥫쮬 ¯®â®ª¥ ¯à¨ ¬ «ëå Pe
151
®à¬ã«ã (4.4.20) ¬®® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¯à¨ 0,4 6 S 6 ∞. Ǒ।¥«ìë© ¯¥à¥å®¤ ¢ (4.4.20) ¯à¨ S → ∞ ¯à¨¢®¤¨â ª १ã«ìâ âã [191℄. áâ¨æ ¯à®¨§¢®«ì®© ä®à¬ë ª®¥çëå à §¬¥à®¢. Ǒਠ¬ «ëå ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ § ¤ ç ® ¬ áá®®¡¬¥¥ ç áâ¨æë ¯à®¨§¢®«ì®© ä®à¬ë á ®¤®à®¤ë¬ ¯®áâ㯠⥫ìë¬ ¯®â®ª®¬ ¨áá«¥¤®¢ « áì ¬¥â®¤®¬ áà 騢 ¥¬ëå ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨å à §«®¥¨© ¢ [206℄. «ï á।¥£® ç¨á« ¥à¢ã¤ á â®ç®áâìî ¤® ç«¥®¢ ¯¥à¢®£® ¯®à浪 ¬ «®á⨠¯® Pe ¡ë«® ¯®«ã祮 ¢ëà ¥¨¥ 1 Sh = 1+ Pe , Sh0 8π M
PeM =
U i D
,
(4.4.21)
£¤¥ Sh0 | ç¨á«® ¥à¢ã¤ , ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 á«ãç î ¥¯®¤¢¨®© á।ë. «¨ï¨¥ ¤¢¨¥¨ï ¨¤ª®á⨠å à ªâ¥à¨§ã¥âáï ¢¥«¨ç¨®© ¬®¤¨ä¨æ¨à®¢ ®£® ç¨á« Ǒ¥ª«¥, ¢ ª®â®à®¬ ¢ ª ç¥á⢥ ¬ áèâ ¡ ¤«¨ë ¢ëáâ㯠¥â ä ªâ®à ä®à¬ë ç áâ¨æë . ®à¬ã« (4.4.21) ®¡« ¤ ¥â ¡®«ì让 ®¡é®áâìî ¨ á¯à ¢¥¤«¨¢ ¤«ï ⢥à¤ëå ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¯à®¨§¢®«ì®© ä®à¬ë, 室ïé¨åáï ¢ ®¤®à®¤®¬ ¯®áâ㯠⥫쮬 ¯®â®ª¥ ¯à¨ «î¡ëå Re ¨ Pe → 0. ¤ ¥â å®à®èãî ¯¯à®ªá¨¬ æ¨î ¤«ï ®â®è¥¨ï ç¨á¥« ¥à¢ã¤ ¯à¨ PeM < 5. ç á⮬ á«ãç ¥ áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æë ä®à¬ã« (4.4.21) ¯¥à¥å®¤¨â ¢ (4.4.19). «ï ç áâ¨æ ¥áä¥à¨ç¥áª®© ä®à¬ë ¢ (4.4.21) á«¥¤ã¥â ¯®¤áâ ¢«ïâì § 票ï ä ªâ®à ¨§ â ¡«. 4.2. Ǒ¥à¢ë¥ âਠ童 ᨬ¯â®â¨ç¥áª®£® à §«®¥¨ï ¡¥§à §¬¥à®£® ¨â¥£à «ì®£® ¤¨ää㧨®®£® ¯®â®ª ¯® ¬ «®¬ã ç¨á«ã Ǒ¥ª«¥ ¤«ï ç áâ¨æë «î¡®© ä®à¬ë ¢ ¯®áâ㯠⥫쮬 ¯®â®ª¥ ¨¬¥îâ ¢¨¤ [206℄ I
= I0 +
1 2 1 Pe I02 + Pe ln Pe I02 (f~ · ~e ) + O(Pe2 ). 8π 8π
(4.4.22)
¤¥áì I0 = /a | ¨â¥£à «ìë© ¯®â®ª ç áâ¨æã ¢ ¥¯®¤¢¨®© ¨¤ª®áâ¨; f~ | ¡¥§à §¬¥àë© ¢¥ªâ®à, à ¢ë© ®â®è¥¨î ᨫë ᮯà®â¨¢«¥¨ï ç áâ¨æë ª á⮪ᮢ®© ᨫ¥ ᮯà®â¨¢«¥¨ï ⢥म© áä¥àë à ¤¨ãá a (a | ¥¤¨ë© ¬ áèâ ¡ ¤«¨ë, á ¯®¬®éìî ª®â®à®£® ¢¢¥¤¥ë ¡¥§à §¬¥àë¥ ¢¥«¨ç¨ë Pe, I , I0 ); ~e | ¥¤¨¨çë© ¯à ¢«ïî騩 ¢¥ªâ®à ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠¡¥áª®¥ç®áâ¨. Ǒ¥à¥å®¤ ª ç¨á«ã ¥à¢ã¤ ®áãé¥á⢫ï¥âáï ¯® ä®à¬ã«¥ Sh = I/S , £¤¥ S | ¡¥§à §¬¥à ï ¯«®é ¤ì ¯®¢¥àå®á⨠ç áâ¨æë. «ï ¢ëç¨á«¥¨ï ¢¥«¨ç¨ë I0 = /a ¬®® ¨á¯®«ì§®¢ âì १ã«ìâ âë à §¤. 4.3. á«ãç ¥ áä¥à¨ç¥áª®© ª ¯«¨ à ¤¨ãá a ¢ ¢ëà ¥¨¨ (4.4.22) á«¥¤ã¥â ¯®«®¨âì (f~ · ~e ) =
2 + 3β , 3 + 3β
I0
= 4π,
(4.4.23)
152
áá®®¡¬¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬
£¤¥ β | ®â®è¥¨¥ ¤¨ ¬¨ç¥áª¨å ¢ï§ª®á⥩ ª ¯«¨ ¨ ®ªàã î饩 ¨¤ª®á⨠(§ 票¥ β = 0 ᮮ⢥âáâ¢ã¥â £ §®¢®¬ã ¯ã§ëàî, β = ∞ | ⢥म© áä¥à¥). «ï áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æë, ¯®ªàë⮩ ¨¤ª®© ¯«¥ª®©, ¨¬¥¥¬ [60℄ (f~ · ~e ) =
2 1 1 1−δ 5 δ 1+ 1+ + 3 3 β 1+δ 2 2 + δ + 2δ 2
−1
,
I0
= 4π,
£¤¥ δ | ®â®è¥¨¥ à ¤¨ãᮢ ç áâ¨æë ¨ ¯«¥ª¨; § 票¥ δ = 1 ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ⢥म© ç áâ¨æ¥, δ = 0 | ª ¯«¥. «ï í««¨¯á®¨¤ ¢à 饨ï á ¯®«ã®áﬨ a ¨ b (a | íª¢ â®à¨ «ìë© à ¤¨ãá), ®áì ª®â®à®£® ¯à ¢«¥ ¢¤®«ì ¯®â®ª , ᨫ ᮯà®â¨¢«¥¨ï ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯® ä®à¬ã«¥ [178℄ 4 (χ2 + 1)−1/2 χ − (χ2 − 1) ar
tg χ −1 , a > b, 3 ~ (f · ~e ) = 8 2 (χ − 1)−1/2 (χ2 + 1) ln χ+1 − 2χ −1 , a 6 b, 3 χ−1
£¤¥ χ = (a/b)2 − 1 −1/2 . «ï ⥫ ¢à 饨ï, ®áì ª®â®à®£® á®áâ ¢«ï¥â 㣮« ω á ¯à ¢«¥¨¥¬ ¡¥£ î饣® ¯®â®ª , ¢ á⮪ᮢ®¬ ¯à¨¡«¨¥¨¨ (Re → 0) á¯à ¢¥¤«¨¢ § ¢¨á¨¬®áâì [60℄ (f~ · ~e ) = fk os2 ω + f⊥ sin2 ω,
(4.4.24)
£¤¥ fk ¨ f⊥ | § ç¥¨ï ¡¥§à §¬¥à®© ᨫë ᮯà®â¨¢«¥¨ï ⥫ ¢à é¥¨ï ¢ á«ãç ¥ ¯ à ««¥«ì®£® (ω = 0) ¨ ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïண® (ω = π/2) à ᯮ«®¥¨ï ¥£® ®á¨ ¢ ¯®áâ㯠⥫쮬 ¯®â®ª¥. ç áâ®áâ¨, ¤«ï ⮪®£® ªà㣮¢®£® ¤¨áª ¢ ä®à¬ã«¥ (4.4.24) á«¥¤ã¥â ¯®«®¨âì fk = 8/(3π), f⊥ = 16/(9π); ¤«ï £ ⥫¥¢¨¤®© ç áâ¨æë, á®áâ®ï饩 ¨§ ᮯਪ á îé¨åáï áä¥à à ¢®£® à ¤¨ãá , | fk ≈ 0,645, f⊥ ≈ 0,716 [178℄. «¨ç¨¥ «®£ à¨ä¬¨ç¥áª®£® ç«¥ १ª® ®£à ¨ç¨¢ ¥â ¯à ªâ¨ç¥áªãî 楮áâì à §«®¥¨ï (4.4.22); ¤¢ãåç«¥®¥ ¢ëà ¥¨¥ (4.4.21) ®¡« ¤ ¥â ¡®«¥¥ è¨à®ª¨¬ ¤¨ ¯ §®®¬ ¯à¨¬¥¨¬®á⨠¯® ç¨á«ã Ǒ¥ª«¥ (å®âï ®® ¨ ¬¥¥¥ â®ç® ¯à¨ ®ç¥ì ¬ «ëå Pe). ¨«¨¤à¨ç¥áª¨¥ ⥫ . áá®®¡¬¥ ªà㣮¢®£® 樫¨¤à à ¤¨ãá a á ®¤®à®¤ë¬ ¯®áâ㯠⥫ìë¬ ¯®â®ª®¬, ¯à ¢«¥ë¬ ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïà® ®¡à §ãî饩 樫¨¤à , ¯à¨ ¬ «ëå ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ Pe = S Re ¨ ¥©®«ì¤á Re = aUi /ν à áᬠâਢ «áï ¢ à ¡®â å [237, 248℄. «ï á।¥£® ç¨á« ¥à¢ã¤ (¯à¨å®¤ï饣®áï ¥¤¨¨æã ¤«¨ë 樫¨¤à ¨ ®¯à¥¤¥«¥®£® ¯® ¥£® à ¤¨ãáã) ¡ë«¨ ¯®«ãç¥ë ¤¢ãåç«¥ë¥ à §«®¥¨ï:
4.4. áᮯ¥à¥®á ¢ ¯®áâ㯠⥫쮬 ¯®â®ª¥ ¯à¨ ¬ «ëå Pe
153
¯à¨ Re → 0, S | 䨪á¨à®¢ ®:
1 , 2 ln 2 − ln(γ S Re) q (1) = 1,63, q (6,82) = 3,42;
Sh = ǫ − ǫ3 q(S ), q (0,72) = 1,38,
ǫ=
(4.4.25 )
¯à¨ Re → 0, S = Re−α (0 < α < 1): Sh = δ − δ 3 p(α);
1 , (4.4.25¡) 2 ln 2 − ln γ (1 − α) S Re 3−α γ p(α) = + ln(1 − α) + α ln , 2 4 £¤¥ ln γ | ¯®áâ®ï ï ©«¥à . Ǒ®£à¥è®áâì ®¡®¨å ¢ëà ¥¨© (4.4.25) ¯à¨ Re → 0 ¨¬¥¥â ¯®à冷ª (ln Re)−4 . ⫨稥 íªá¯¥à¨¬¥â «ìëå ¤ ëå ¯® ⥯«®®¡¬¥ã 樫¨¤à á ¢®§¤ãèë¬ ¯®â®ª®¬ (S = 0,72) ¨ १ã«ìâ ⮢ à áç¥â ¯® ¯¥à¢®© ä®à¬ã«¥ (4.4.25 ) á®áâ ¢«ï¥â ¬¥¥¥ 3% ¯à¨ Re < 0,2 [237℄. áá«¥¤ã¥¬ ¬ áá®®¡¬¥ 樫¨¤à¨ç¥áª¨å ⥫ ¯à®¨§¢®«ì®© ä®à¬ë, ¯®¯¥à¥ç® ®¡â¥ª ¥¬ëå ®¤®à®¤ë¬ ¯®áâ㯠⥫ìë¬ ¯®â®ª®¬ ¢ï§ª®© ¨¤ª®á⨠¯à¨ ¬ «ëå ç¨á« å Ǒ¥ª«¥. «ï ¯®«ãç¥¨ï £« ¢®£® ç«¥ à §«®¥¨ï ¯à¨ Pe → 0 ¯®áâ㯨¬ á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬. áᬮâਬ ¢á¯®¬®£ ⥫쮥 ãà ¢¥¨¥ δ
=
Pe(w~ · ∇)c = c
(4.4.26)
á £à ¨ç묨 ãá«®¢¨ï¬¨ (4.3.2), (4.3.3). ¥ªâ®à®¥ ¯®«¥ w~ ¢ (4.4.26) ¥ § ¢¨á¨â ®â ç¨á« Ǒ¥ª«¥ ¨ á¢ï§ ® á ¨áâ¨ë¬ à á¯à¥¤¥«¥¨¥¬ ᪮à®á⥩ ¨¤ª®á⨠~v ⮫쪮 ®¤¨¬ ¯à¥¤¥«ìë¬ á®®â®è¥¨¥¬ ~e =
lim
̺→∞
~v
= ̺→∞ lim w. ~
(4.4.27)
¯¨è¥¬ ãà ¢¥¨¥ (4.4.26) ¢ ¯à¨¡«¨¥¨¨ §¥¥ : Pe(~e · ∇)c = c.
(4.4.28)
«ï «î¡®£® w~ , 㤮¢«¥â¢®àïî饣® ãá«®¢¨î (4.4.27), £« ¢ë¥ ç«¥ë ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨å à §«®¥¨© ¢® ¢ãâ॥© ¨ ¢¥è¥© ®¡« á⨠¤«ï ãà ¢¥¨© (4.4.26) ¨ (4.4.28) á ®¤¨ ª®¢ë¬¨ £à ¨ç묨 ãá«®¢¨ï¬¨ ᮢ¯ ¤ îâ. Ǒ®í⮬㠢 ãà ¢¥¨¨ ¤¨ää㧨¨ ¯à¨ Pe → 0 ¨á⨮¥ ¯®«¥ ᪮à®á⥩ ¨¤ª®á⨠~v ¬®® § ¬¥¨âì w~ . ª § ®¥ ®¡áâ®ï⥫ìá⢮ ¯®§¢®«ï¥â ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï १ã«ìâ â ¬¨, ¨§«®¥ë¬¨ ¤ «¥¥ ¢ à §¤. 4.11. ¨¬¥®, ¢ ª ç¥á⢥ w~ ¢®§ì¬¥¬ ¯®«¥ ᪮à®á⥩ ¤«ï ¯®â¥æ¨ «ì®£® ®¡â¥ª ¨ï 樫¨¤à ¨¤¥ «ì®© ¨¤ª®áâìî.
154
áá®®¡¬¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬
ª ï ¯¯à®ªá¨¬ æ¨ï ¯à¨¢®¤¨â ª ¯®£à¥è®á⨠¢® ¢ãâ॥¬ à §«®¥¨¨ ¯®à浪 Pe. áâ ¢«ïï £« ¢ë¥ ç«¥ë ¢ ä®à¬ã«¥ (4.11.15), ¤«ï ¡¥§à §¬¥à®£® ¨â¥£à «ì®£® ¤¨ää㧨®®£® ¯®â®ª ¯à¨ ¬ «ëå ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ ¯®«ã稬 I
= −4π ln
γ Pe
8
−1
,
Pe =
ϕmax − ϕmin , 2D
(4.4.29)
£¤¥ ϕmax ¨ ϕmin | ¬ ªá¨¬ «ì®¥ ¨ ¬¨¨¬ «ì®¥ § ç¥¨ï ¯®â¥æ¨ « ¯®¢¥àå®á⨠樫¨¤à (í⨠§ ç¥¨ï ¤«ï ¥ª®â®àëå 樫¨¤à¨ç¥áª¨å ⥫ à §«¨ç®© ä®à¬ë ¬®® ©â¨, ¯à¨¬¥à, ¢ [36, 97, 166℄; ln γ | ¯®áâ®ï ï ©«¥à . «ï í««¨¯â¨ç¥áª®£® 樫¨¤à á ¯®«ã®áﬨ a ¨ b (a > b) ¥§ ¢¨á¨¬® ®â ¥£® ®à¨¥â 樨 ¢ ¯®â®ª¥ ¨¬¥¥¬ (á¬. à §¤. 4.11) I ≈ 4π − ln Pe + ln
8a γ (a + b)
−1
,
Pe =
aUi . D
(4.4.30)
«ï ªà㣮¢®£® 樫¨¤à ¢ ä®à¬ã«¥ (4.4.30) á«¥¤ã¥â ¯®«®¨âì
a = b.
4.5. áᮯ¥à¥®á ¢ «¨¥©®¬ ᤢ¨£®¢®¬ ¯®â®ª¥ ¯à¨ ¬ «ëå ç¨á« å Ǒ¥ª«¥
áᮯ¥à¥®á ª ç áâ¨æ¥ ¢ ¯®áâ㯠⥫쮬 ¯®â®ª¥, à áᬮâà¥ë© ¢ à §¤. 4.4, å®à®è® ¬®¤¥«¨àã¥â ¬®£¨¥ ॠ«ìë¥ ¯à®æ¥ááë ¢ ¤¨á¯¥àáëå á¨á⥬ å, ª®£¤ ®á®¢ãî à®«ì ¢ ª®¢¥ªâ¨¢®¬ ¯¥à¥®á¥ ¨£à ¥â ᪮à®áâì ¯®áâ㯠⥫쮣® ¤¢¨¥¨ï ç áâ¨æ ®â®á¨â¥«ì® ¨¤ª®áâ¨, £à ¤¨¥âë ¥¢®§¬ã饮£® ¯®«ï ᪮à®á⥩ ¥áãé¥á⢥ë. à §¤. 1.1 ¤ ® ªà ⪮¥ ®¯¨á ¨¥ ¯®«¥© ᪮à®á⥩ ¤«ï ¥ª®â®àëå á«ãç ¥¢ £à ¤¨¥âëå â¥ç¥¨© á ¥®¤®à®¤®© áâàãªâãன. «ï ç áâ¨æ, à §¬¥àë ª®â®àëå ¬®£® ¬¥ìè¥ ¯à®áâà á⢥®£® ¬ áèâ ¡ ¥®¤®à®¤®á⨠¯®«ï â¥ç¥¨ï, à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ᪮à®á⥩ (1.1.7) ¯à¨ à¥è¥¨¨ § ¤ ç ® ¬ áᮯ¥à¥®á¥ ª ç áâ¨æ¥ ¢ «¨¥©®¬ ᤢ¨£®¢®¬ ¯®â®ª¥ ¬®¥â à áᬠâਢ âìáï ª ª à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ᪮à®á⥩ ¢¤ «¨ ®â ç áâ¨æë.
áá®®¡¬¥ áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æë á «¨¥©ë¬ ᤢ¨£®¢ë¬ ¯®â®ª®¬. ¯à ªâ¨ª¥ ¢áâà¥ç îâáï á¨âã 樨, ª®£¤ ç áâ¨æë ¯®«®-
áâìî 㢫¥ª îâáï ¯®â®ª®¬ ¨ ®¯à¥¤¥«ïî騬 áâ ®¢¨âáï ª®¢¥ªâ¨¢ë© ¯¥à¥®á, ®¡ãá«®¢«¥ë© ᤢ¨£®¢ë¬ â¥ç¥¨¥¬ ¨¤ª®áâ¨. Ǒਠ¨áá«¥¤®¢ ¨¨ ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¤¨ää㧨®ëå ¯à®æ¥áᮢ 㤮¡® á¢ï§ âì á¨á⥬㠪®®à¤¨ â á æ¥â஬ âï¥á⨠ç áâ¨æë â ª¨¬ ®¡à §®¬, ç⮡ë íâ á¨á⥬ ¤¢¨£ « áì ᮠ᪮à®áâìî ç áâ¨æë ¯®áâ㯠⥫ì®, á ¬
4.5. áᮯ¥à¥®á ¢ «¨¥©®¬ ᤢ¨£®¢®¬ ¯®â®ª¥ ¯à¨ ¬ «ëå Pe
155
4.3 ¨á«¥ë¥ § ç¥¨ï ª®íää¨æ¨¥â α ¨ ¢¥«¨ç¨ë G ¤«ï ¥ª®â®àëå ᤢ¨£®¢ëå â¥ç¥¨© (¯® ¤ ë¬ [196, 230℄) N0
§¢ ¨¥ â¥ç¥¨ï
1
Ǒà®á⮩ ᤢ¨£
2
á¥á¨¬¬¥âà¨çë© á¤¢¨£
3
Ǒ«®áª¨© ᤢ¨£
4
Ǒந§¢®«ì®¥ «¨¥©®¥ ¤¥ä®à¬ 樮®¥ â¥ç¥¨¥
®íää¨æ¨¥âë Gkm
α
G12 6= 0, ®áâ «ìë¥ Gkm = 0
0,257
G11 = G22 Gkm = 0
|G12 |
= − 12 G33 , 0,399 ¯à¨ i = 6 j
G11 = −G22 , ®áâ «ìë¥ Gkm = 0 Gkm
G
= Gmk
|G33 |
0,428 0,36
|G11 |
(Gkm Gkm )1/2 , ¯® ®¡®¨¬ ¨¤¥ªá ¬ ¢¥¤¥âáï á㬬¨à®¢ ¨¥
ç áâ¨æ ¬®£« ᢮¡®¤® ¢à é âìáï ¢®ªàã£ ç « ª®®à¤¨ â. «ï «¨¥©®£® ᤢ¨£®¢®£® ¯®â®ª ª®¬¯®¥âë ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠¢¤ «¨ ®â áä¥àë ¨¬¥îâ ¢¨¤: R → ∞,
(4.5.1)
Vk → Gkm Xm ,
£¤¥ Gkm | ª®¬¯®¥âë ¬ âà¨æë ᤢ¨£ . «ï áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æë, ®¡â¥ª ¥¬®© ¯à®¨§¢®«ìë¬ «¨¥©ë¬ ᤢ¨£®¢ë¬ ¯®â®ª®¬ (4.5.1), ¯¥à¢ë¥ ç¥âëॠ童 ᨬ¯â®â¨ç¥áª®£® à §«®¥¨ï á।¥£® ç¨á« ¥à¢ã¤ ¯® ¬ «®¬ã ç¨á«ã Ǒ¥ª«¥ ¨¬¥îâ ¢¨¤ [189℄ Sh = 1 + α Pe1/2 + α2 Pe + α3 Pe3/2 + O(Pe2 ), Pe =
a2 G . D
(4.5.2)
¤¥áì ¯ à ¬¥âà α = α(Gkm ) § ¢¨á¨â ®â ⨯ ᤢ¨£®¢®£® â¥ç¥¨ï ¨ ¢ëç¨á«ï¥âáï á ¯®¬®éìî ¥á®¡á⢥®£® ¨â¥£à « [60, 196℄. ⬥⨬, çâ® ¯¥à¢ë¥ ¤¢ ç«¥ à §«®¥¨ï (4.5.2) ¯¥à¢® ç «ì® ¡ë«¨ ¯®«ãç¥ë ¢ [196℄. ¥«¨ç¨ ¯ à ¬¥âà α ¥ ¬¥ï¥âáï ¯à¨ ®¤®¢à¥¬¥®¬ ¨§¬¥¥¨¨ § ª®¢ ¢á¥å í«¥¬¥â®¢ ¬ âà¨æë ᤢ¨£ ®¡à âë¥, â.¥. α(Gkm ) = α(−Gkm ). «ï ¥ª®â®àëå ⨯®¢ ᤢ¨£®¢ëå â¥ç¥¨©, ¯à¥¤áâ ¢«ïîé¨å ¯à ªâ¨ç¥áª¨© ¨â¥à¥á, ç¨á«¥ë¥ § ç¥¨ï ª®íää¨æ¨¥â α ¨ ¢¥«¨ç¨ë G ¢ ä®à¬ã«¥ (4.5.2) 㪠§ ë ¢ â ¡«. 4.3. 㬬㠢 âà¥â쥬 á⮫¡æ¥ ¯®á«¥¤¥© áâப¨ â ¡«¨æë ¬®® ¢ëç¨á«¨âì ¯® ä®à¬ã«¥ Gkm Gkm = E12 + E22 + E32 , £¤¥ E1 , E2 , E3 | ¤¨ £® «ìë¥ í«¥¬¥âë ¯à¨¢¥¤¥®£® ª £« ¢ë¬ ®áï¬ á¨¬¬¥âà¨ç®£® ⥧®à kGkm k.
156
áá®®¡¬¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬
[60, 210℄ ¯à¨¢¥¤¥ë १ã«ìâ âë à áç¥â ª®íää¨æ¨¥â ¯«®áª®£® ᤢ¨£®¢®£® â¥ç¥¨ï ¢¨¤ G12
= G,
G21
= ωG;
®áâ «ìë¥
Gkm
=0
α
¤«ï
(4.5.3)
¤«ï −1 6 ω 6 1. ®íää¨æ¨¥â α = α(ω ) ¬®®â®® ¢®§à á⠥⠮â α = 0 ¯à¨ ω = −1 (ç¨áâ® ¢à é ⥫쮥 ¤¢¨¥¨¥) ¤® ¬ ªá¨¬ «ì®£® § 票ï α = 0,428 ¯à¨ ω = 1 (ç¨áâ® ¤¥ä®à¬ 樮®¥ â¥ç¥¨¥). Ǒਠ᫠¡ëå ¤¥ä®à¬ æ¨ïå ¯®â®ª , ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ω → −1, ¨¬¥¥¬ 1 (1 + ω )2 . α ≈ 15
áá®®¡¬¥ ç áâ¨æë ¯à®¨§¢®«ì®© ä®à¬ë á «¨¥©ë¬ ᤢ¨£®¢ë¬ ¯®â®ª®¬. à ¡®â¥ [189℄ ¨áá«¥¤®¢ «áï ¬ áá®®¡¬¥ ç áâ¨-
æë ¯à®¨§¢®«ì®© ä®à¬ë, ᢮¡®¤® ¢§¢¥è¥®© ¢ «¨¥©®¬ ᤢ¨£®¢®¬ ¯®â®ª¥ (4.5.1). «ï ¡¥§à §¬¥à®£® ¨â¥£à «ì®£® ¤¨ää㧨®®£® ¯®â®ª ¯®¢¥àå®áâì ç áâ¨æë ¡ë«® ¯®«ã祮 âà¥åç«¥®¥ à §«®¥¨¥ ¯® ¬ «®¬ã ç¨á«ã Ǒ¥ª«¥: I
= I0 +
α 2 1/2 I Pe + 4π 0
α2 3 I Pe + O(Pe3/2 ). (4π)2 0
(4.5.4)
¤¥áì I0 | ¨â¥£à «ìë© ¯®â®ª ç áâ¨æã ¢ ¥¯®¤¢¨®© ¨¤ª®áâ¨; Pe = a2 G/D, a | ¢¥«¨ç¨ , ¢ë¡à ï § ¥¤¨ë© ¬ áèâ ¡ ¤«¨ë (á ¯®¬®éìî a ®¡¥§à §¬¥à¥ë â ª¥ I ¨ I0 ); § ç¥¨ï ¯ à ¬¥â஢ G ¨ α = α(Gij ) ¤«ï ¥ª®â®àëå ⨯®¢ ᤢ¨£®¢ëå â¥ç¥¨© 㪠§ ë ¢ â ¡«. 4.3. «ï áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æë à ¤¨ãá a á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥á⢮ I = 4π Sh, ¨ à §«®¥¨¥ (4.5.4) á â®ç®áâìî ¤® ç«¥®¢ ¯®à浪 Pe ¢ª«îç¨â¥«ì® ¯¥à¥å®¤¨â ¢ (4.5.2). á«ãç ¥ ç áâ¨æ ¥áä¥à¨ç¥áª®© ä®à¬ë ¤«ï ¢ëç¨á«¥¨ï I0 = /a ¬®® ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï १ã«ìâ â ¬¨ à §¤. 4.3 (á¬., ¯à¨¬¥à, â ¡«. 4.2). ¨ääã§¨ï ª 樫¨¤àã ¢ ¯à®á⮬ ᤢ¨£®¢®¬ ¯®â®ª¥. áá®®¡¬¥ ªà㣮¢®£® 樫¨¤à à ¤¨ãá a ¢ ¯à®á⮬ ᤢ¨£®¢®¬ ¯®â®ª¥ (G12 = ±1, ®áâ «ìë¥ Gkm = 0) ¨áá«¥¤®¢ «áï ¢ à ¡®â¥ [230℄. «ï ¡¥§à §¬¥à®£® ¨â¥£à «ì®£® ¤¨ää㧨®®£® ¯®â®ª , ¯à¨å®¤ï饣®áï ¥¤¨¨æã ¤«¨ë 樫¨¤à , ¯à¨ Pe → 0 ¡ë«® ¯®«ã祮 ¢ëà ¥¨¥: I≈
4π , 2,744 − ln Pe
Pe =
a2 |G12 | . D
(4.5.5)
Ǒ¥à¥å®¤ ª ç¨á«ã ¥à¢ã¤ (®¯à¥¤¥«¥®¬ã ¯® à ¤¨ãáã) ®áãé¥á⢫ï¥âáï ¯® ä®à¬ã«¥ I = 2π Sh.
4.6. áá®®¡¬¥ ç áâ¨æ ¨ ª ¯¥«ì á ¯®â®ª®¬ ¯à¨ ¡®«ìè¨å Pe
157
4.6. áá®®¡¬¥ ç áâ¨æ ¨ ª ¯¥«ì á ¯®â®ª®¬ ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ (⥮à¨ï ¤¨ää㧨®®£® ¯®£à ¨ç®£® á«®ï)
ä¥à¨ç¥áª ï ç áâ¨æ ¢ ¯®áâ㯠⥫쮬 ¯®â®ª¥. «¥¤ãï [100℄, à áᬮâਬ á ç « áâ 樮 àãî ¤¨ääã§¨î ª ¯®¢¥àå®á⨠⢥म© áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æë, ®¡â¥ª ¥¬®© ¯®áâ㯠⥫ìë¬ áâ®ªá®¢ë¬ ¯®â®ª®¬ (Re → 0) ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥. ¡¥§à §¬¥àëå ¯¥à¥¬¥ëå ¬ ⥬ â¨ç¥áª ï ä®à¬ã«¨à®¢ª ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 § ¤ ç¨ ¤«ï à á¯à¥¤¥«¥¨ï ª®æ¥âà 樨 ®¯¨áë¢ ¥âáï ãà ¢¥¨¥¬ (4.4.3) á £à ¨ç묨 ãá«®¢¨ï¬¨ (4.4.4), (4.4.5), £¤¥ äãªæ¨ï ⮪ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä®à¬ã«®© (4.4.2). Ǒ® ¬¥à¥ 㢥«¨ç¥¨ï ç¨á« Pe ¢¡«¨§¨ ¯®¢¥àå®á⨠áä¥àë ä®à¬¨àã¥âáï ¤¨ää㧨®ë© ¯®£à ¨çë© á«®©, ®â®á¨â¥«ì ï (®â¥á¥ ï ª à ¤¨ãáã ç áâ¨æë) â®«é¨ ª®â®à®£® ¨¬¥¥â ¯®à冷ª Pe−1/3 . í⮩ ®¡« á⨠áãé¥á⢥ãî à®«ì ¨£à ¥â à ¤¨ «ì ï á®áâ ¢«ïîé ï ¬®«¥ªã«ïன ¤¨ää㧨¨ ¢¥é¥á⢠ª ¯®¢¥àå®á⨠ç áâ¨æë, ¢ â® ¢à¥¬ï ª ª â £¥æ¨ «ì®© ¤¨ää㧨¥© ¬®® ¯à¥¥¡à¥çì. ¥®¡å®¤¨¬® ãç¨âë¢ âì â ª¥ ª®¢¥ªâ¨¢ë© ¬ áᮯ¥à¥®á, ®¡ãá«®¢«¥ë© ¤¢¨¥¨¥¬ ¨¤ª®áâ¨. ç¨â ï ε = Pe−1/3 ¬ «ë¬ ¯ à ¬¥â஬, ¢¢¥¤¥¬ ¢ ®¡« á⨠¤¨ää㧨®®£® ¯®£à ¨ç®£® á«®ï à áâïãâãî ª®®à¤¨ âã y ¯® ä®à¬ã«¥ r = 1 + εy . Ǒ®¤áâ ¢«ïï ¥¥ ¢ (4.2.2) ¨ (4.4.3), ¯®á«¥ ¢ë¤¥«¥¨ï £« ¢ëå ç«¥®¢ à §«®¥¨ï ¯® ε ¯®«ã稬 ∂2c ∂y 2
=
1 sin2 θ
∂ ∂c ∂ ∂c − ∂θ ∂y ∂y ∂θ
,
(4.6.1)
£¤¥ = 34 y 2 sin2 θ. Ǒ¥à¥å®¤ï ¤ «¥¥ ®â θ, y ª ¯¥à¥¬¥ë¬ ¨§¥á θ, , ¨¬¥¥¬ −
∂c ∂θ
√
= 3 sin2 θ
∂ √ ∂c . ∂ ∂
(4.6.2)
Ǒ८¡à §®¢ ¨¥ ζ τ
√
3 1/3 Pe (r − 1) sin θ, √ Z π2 √ 3 3 1 2 (π − θ + sin 2θ) = sin θ dθ = 4 θ 8 2 √
= =
(4.6.3)
¯à¨¢®¤¨â ãà ¢¥¨¥ (4.6.2) ª á«¥¤ãî饬㠢¨¤ã: ∂c ∂τ
= ζ −1
∂ 2c . ∂ζ 2
(4.6.4)
158
áá®®¡¬¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬
à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï (4.4.3), (4.4.4) ¢ ¯¥à¥¬¥ëå (4.6.3) § ¯¨áë¢ îâáï â ª: τ
= 0,
c = 0;
ζ
= 0,
c = 1;
ζ → ∞,
c → 0.
(4.6.5)
¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ (4.6.4), (4.6.5) ¢ëà ¥âáï ç¥à¥§ ¥¯®«ãî £ ¬¬ äãªæ¨î: 1 c= (1/3) 1 = (1/3)
1 ζ3 , = 3 9τ 1 Pe (r − 1)3 sin3 θ . , 3 3 π − θ + 12 sin 2θ
(4.6.6)
¨ää¥à¥æ¨àãï íâ® ¢ëà ¥¨¥, ¯®«ã稬 «®ª «ìë© ¤¨ää㧨®ë© ¯®â®ª ¯®¢¥àå®áâì áä¥àë: j
=−
∂c ∂r
r =1
= 0,766 sin θ
π−θ+
1 sin 2θ 2
−1/3
Pe1/3 . (4.6.7)
¨¤®, çâ® «®ª «ìë© ¤¨ää㧨®ë© ¯®â®ª ¯à¨¨¬ ¥â ¬ ªá¨¬ «ì®¥ § 票¥ ¢ ¯¥à¥¤¥© ªà¨â¨ç¥áª®© â®çª¥ ¯®¢¥àå®á⨠áä¥àë (¯à¨ θ = π) ¨ ¬®®â®® 㬥ìè ¥âáï ¯à¨ ã¬¥ì襨¨ 㣫®¢®© ª®®à¤¨ âë, ¯à¨¨¬ ï ¬¨¨¬ «ì®¥ § 票¥, à ¢®¥ ã«î, ¯à¨ θ = 0. ®®â¢¥âáâ¢ãî饥 á।¥¥ ç¨á«® ¥à¢ã¤ à ¢® [100℄ Sh = 0,625 Pe1/3 .
(4.6.8)
â § ¢¨á¨¬®áâì ¡ë« ãâ®ç¥ ¢ à ¡®â¥ [190℄, £¤¥ ¤«ï ç¨á« ¥à¢ã¤ ¡ë«® ©¤¥® ¤¢ãåç«¥®¥ à §«®¥¨¥ Sh = 0,625 Pe1/3 + 0,461.
(4.6.9)
®à¬ã«ã (4.6.9) ¬®® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¤«ï ¯à ªâ¨ç¥áª¨å à áç¥â®¢ ¯à¨ Pe > 10. ¯«ï (¯ã§ëàì). áᬮâਬ ⥯¥àì ¢¥èîî § ¤ çã ® ¬ áá®®¡¬¥¥ áä¥à¨ç¥áª®© ª ¯«¨ (¯ã§ëàï) à ¤¨ãá a ¢ ¯®áâ㯠⥫쮬 á⮪ᮢ®¬ ¯®â®ª¥ ¯à¨ «¨¬¨â¨àãî饬 ᮯà®â¨¢«¥¨¨ ᯫ®è®© ä §ë. Ǒà®æ¥áá ª®¢¥ªâ¨¢®© ¤¨ää㧨¨ ª £à ¨æ¥ à §¤¥« ¨¤ª®áâì{ ¨¤ª®áâì (¨¤ª®áâì{£ §) áãé¥á⢥® ®â«¨ç ¥âáï ®â ¤¨ää㧨¨ ª £à ¨æ¥ à §¤¥« ¨¤ª®áâì{⢥म¥ ⥫®. â® á¢ï§ ® á à §«¨ç¨¥¬ £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª¨å ãá«®¢¨© ¯®¢¥àå®áâïå à §¤¥« ä §. ¥¯®á।á⢥® ¯®¢¥àå®á⨠⢥म£® ⥫ ¢ ᨫã ãá«®¢¨ï ¯à¨«¨¯ ¨ï ᪮à®áâì ¤¢¨¥¨ï ¨¤ª®á⨠¢á¥£¤ à ¢ ã«î. ¯à®â¨¢, £à ¨æ à §¤¥« ¤¢ãå ¨¤ª¨å á। á®åà ï¥â á¢®î ¯®¤¢¨®áâì, ¨ ª á ⥫ì ï
159
4.6. áá®®¡¬¥ ç áâ¨æ ¨ ª ¯¥«ì á ¯®â®ª®¬ ¯à¨ ¡®«ìè¨å Pe
á®áâ ¢«ïîé ï ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠¬¥ä §®© ¯®¢¥àå®á⨠®â«¨ç ¥âáï ®â ã«ï. ®¢¥ªâ¨¢ë© ¯¥à¥®á ¢¥é¥á⢠¤¢¨ã饩áï ¨¤ª®áâìî ª £à ¨æ¥ à §¤¥« ¨¤ª®áâì{⢥म¥ ⥫® ¯à®¨á室¨â ¢ ãá«®¢¨ïå ¥ª®â®à®© § â®à¬®¥®á⨠¯®â®ª , â ª ç⮠᪮à®áâì ¯¥à¥®á ¢¥é¥á⢠㠯®¢¥àå®á⨠§ ç¨â¥«ì® ¨¥, 祬 ¢ ®¡ê¥¬¥ à á⢮à . ¯à®â¨¢, ¤¨ääã§¨ï ª £à ¨æ¥ ¨¤ª®áâì-¨¤ª®áâì (¨¤ª®áâì{£ §) ¯à®¨á室¨â ¢ ¡®«¥¥ ¡« £®¯à¨ïâëå ãá«®¢¨ïå ¥§ â®à¬®¥®£® ¯®â®ª . Ǒ® í⮩ ¯à¨ç¨¥ ª®¢¥ªâ¨¢ ï ¤¨ääã§¨ï ¢¥é¥á⢠ª £à ¨æ¥ à §¤¥« ¤¢ãå ¨¤ª®á⥩ ¯à®¨á室¨â § ç¨â¥«ì® ¨â¥á¨¢¥¥, 祬 ª £à ¨æ¥ ¨¤ª®áâì{⢥म¥ ⥫®. ⥬ â¨ç¥áª ï ä®à¬ã«¨à®¢ª § ¤ ç¨ ® à á¯à¥¤¥«¥¨¨ ª®æ¥âà 樨 ¢¥ ª ¯«¨ ®¯¨áë¢ ¥âáï ãà ¢¥¨¥¬ (4.4.3) ¨ £à ¨ç묨 ãá«®¢¨ï¬¨ (4.4.4), (4.4.5), £¤¥ ¡¥§à §¬¥à ï äãªæ¨ï ⮪ § ¤ ¥âáï à¥è¥¨¥¬ ¤ ¬ à | ë¡ç¨áª®£® (á¬. à §¤. 2.2) ψ
=
1 (r − 1) 2
r−
1 2
β
β+1
1+
1 r
sin2 θ,
(4.6.10)
£¤¥ β | ®â®è¥¨¥ ¤¨ ¬¨ç¥áª¨å ¢ï§ª®á⥩ ª ¯«¨ ¨ ®ªàã î饩 ¨¤ª®áâ¨. ®®â¢¥âáâ¢ãîé ï à §¬¥à ï äãªæ¨ï ⮪ ¯®«ãç ¥âáï á ¯®¬®éìî 㬮¥¨ï (4.6.10) ¢¥«¨ç¨ã a2 Ui. § ¤ ç¥ ® ¤¨ää㧨¨ ª ª ¯«¥, ¯ ¤ î饩 ¢ ¥¯®¤¢¨®© ¨¤ª®áâ¨, ¢ ª ç¥á⢥ å à ªâ¥à®© ᪮à®á⨠¢ë¡¨à ¥âáï 2(ρ − ρi )ga2 β + 1 , 3µi 3β + 1 £¤¥ ρi ¨ ρ | ¯«®â®áâì ¨¤ª®á⨠¢¥ ¨ ¢ãâਠª ¯«¨, g | ã᪮२¥ ᨫë âï¥áâ¨, µi | ¤¨ ¬¨ç¥áª ï ¢ï§ª®áâì ¨¤ª®á⨠¢¥ ª ¯«¨. ç¨â ï ε = Pe−1/2 ¬ «ë¬ ¯ à ¬¥â஬, ¯¥à¥©¤¥¬ ¢ ãà ¢¥¨¨ (4.4.3) ¨ ä®à¬ã«¥ (4.6.10) ®â à ¤¨ «ì®© ª®®à¤¨ âë r ª à áâïã⮩ ¯¥à¥¬¥®© ξ = ε−1 (r − 1). Ǒ®á«¥ ¢ë¤¥«¥¨ï £« ¢ëå ç«¥®¢ à §«®¥¨ï ¯® ¯ à ¬¥âàã ε ¯®«ã稬 ãà ¢¥¨¥ (4.6.1), £¤¥ 1 ξ sin2 θ. (4.6.11) = 2(β + 1) Ui
=
ëà ï ¢ (4.6.1) ξ ç¥à¥§ á ¯®¬®éìî (4.6.11), ¨¬¥¥¬ −
∂c ∂θ
=
sin3 θ ∂ 2 c . 2(β + 1) ∂ 2
(4.6.12)
¥« ï § ¬¥ã τ
=
1 2(β + 1)
Z
θ
π
sin3 θ dθ =
1 2(β + 1)
2
os3 θ + os θ − 3 3
,
(4.6.13)
160
áá®®¡¬¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬
᢮¤¨¬ (4.6.12) ª áâ ¤ à⮬ã ãà ¢¥¨î ⥯«®¯à®¢®¤®á⨠∂c ∂τ
=
∂2c . ∂ 2
(4.6.14)
à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï (4.4.4), (4.4.5) ¢ ¯¥à¥¬¥ëå (4.6.11), (4.6.13) § ¯¨áë¢ îâáï ¢ ¢¨¤¥ (4.6.5), £¤¥ ζ á«¥¤ã¥â § ¬¥¨âì . ®®â¢¥âáâ¢ãî饥 à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (4.6.14) ¢ëà ¥âáï ç¥à¥§ ¤®¯®«¨â¥«ìë© ¨â¥£à « ¢¥à®ïâ®á⥩ c = erf
√ τ
2
1 = erf 4
s
1 − os θ 6 Pe (r − 1) √ β+1 2 − os θ
!
.
(4.6.15)
ëç¨á«¨¬ «®ª «ìë© ¤¨ää㧨®ë© ¯®â®ª ¯®¢¥àå®áâì ª ¯«¨ j
=−
∂c ∂r
r =1
=
s
3 Pe √1 − os θ . π (β + 1) 2 − os θ
(4.6.16)
।¥¥ ç¨á«® ¥à¢ã¤ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä®à¬ã«®© [100℄ Sh =
s
2 Pe = 0,461 3π(β + 1)
Pe β+1
1/2
.
(4.6.17)
[60℄ ¡ë«® ¯®«ã祮 ¤¢ãåç«¥®¥ à §«®¥¨¥ ç¨á« ¥à¢ã¤ ¯® ¯ à ¬¥âàã ε = Pe−1/2 :
Pe Sh = 0,461 β+1
1/2
3 + 0,41 β+1 4
,
(4.6.18)
ª®â®à®¥ ãâ®çï¥â § ¢¨á¨¬®áâì (4.6.17). ®à¬ã«ã (4.6.18) ¬®® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¤«ï ¯à ªâ¨ç¥áª¨å à áç¥â®¢ ¯à¨ Pe > 100 ¤«ï 0 6 β 6 0,82 Pe1/3 − 1 (íâ® á«¥¤ã¥â ¨§ ᮯ®áâ ¢«¥¨ï á १ã«ìâ â ¬¨ ç¨á«¥®£® à¥è¥¨ï [72℄). 票¥ β = 0 ¢ (4.6.17), (4.6.18) ᮮ⢥âáâ¢ã¥â £ §®¢®¬ã ¯ã§ëàî.
¡é¨¥ ä®à¬ã«ë ¤«ï à áç¥â ¨â¥£à «ìëå ¤¨ää㧨®ëå ¯®â®ª®¢ ¢ ⥮ਨ ¤¨ää㧨®®£® ¯®£à ¨ç®£® á«®ï.
«®£¨ç® á«ãç î áä¥à¨ç¥áª¨å ª ¯¥«ì ¨ ⢥à¤ëå ç áâ¨æ ¢ ¯®áâ㯠⥫쮬 ¯®â®ª¥ ¬®® à áᬮâà¥âì ¡®«¥¥ ®¡éãî § ¤ çã ® áâ 樮 ஬ ¬ áá®®¡¬¥¥ ª ¯¥«ì (¯ã§ë३) ¨ ç áâ¨æ ¥áä¥à¨ç¥áª®© ä®à¬ë, ®¡â¥ª ¥¬ëå ¯à®¨§¢®«ìë¬ § ¤ ë¬ « ¬¨ àë¬ â¥ç¥¨¥¬ ¥á¨¬ ¥¬®© ¨¤ª®áâ¨. ¥ ¢¤ ¢ ïáì ¢ ¤¥â «¨, ¯à¨¢¥¤¥¬ §¤¥áì ¥ª®â®àë¥ ¨â®£®¢ë¥ ä®à¬ã«ë ¤«ï à áç¥â ¡¥§à §¬¥àëå ¨â¥£à «ìëå ¤¨ää㧨®ëå ¯®â®ª®¢, ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨¬ à¥è¥¨ï¬ ¯«®áª¨å ¨ ®á¥á¨¬¬¥âà¨çëå § ¤ ç ª®¢¥ªâ¨¢®£® ¬ áᮯ¥à¥®á (4.4.1), (4.3.2) ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥.
4.6. áá®®¡¬¥ ç áâ¨æ ¨ ª ¯¥«ì á ¯®â®ª®¬ ¯à¨ ¡®«ìè¨å Pe
161
ᯮ«ì§ã¥¬ «®ª «ìãî ®à⮣® «ìãî ªà¨¢®«¨¥©ãî á¨á⥬㠡¥§à §¬¥àëå ª®®à¤¨ â ξ , η, ϕ, £¤¥ η ¯à ¢«¥ ¢¤®«ì, ξ | ¯® ®à¬ «¨ ª ¯®¢¥àå®á⨠ç áâ¨æë. ®á¥á¨¬¬¥âà¨ç®¬ á«ãç ¥ §¨¬ãâ «ì ï ª®®à¤¨ â ϕ ¬¥ï¥âáï ¢ ¯à¥¤¥« å ®â 0 ¤® 2π; ¢ ¯«®áª®¬ á«ãç ¥ ¯à¨¨¬ ¥âáï, çâ® 0 6 ϕ 6 1. ç¨â ¥¬, çâ® ¢ ¯®â®ª¥ ®âáãâáâ¢ãîâ § ¬ªãâë¥ «¨¨¨ ⮪ , ¯®¢¥àå®áâì ç áâ¨æë § ¤ ¥âáï ¯®áâ®ïë¬ § 票¥¬ ξ = ξs . ¥§à §¬¥àë¥ ª®¬¯®¥âë ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠¬®® ¢ëà §¨âì á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬ ç¥à¥§ ¡¥§à §¬¥àãî äãªæ¨î ⮪ ψ: vy
=−
gξξ g
1/2
∂ψ , ∂η
vη
=
gηη g
1/2
∂ψ , ∂y
(4.6.19)
£¤¥ gξξ , gηη , gϕϕ | ª®¬¯®¥âë ¬¥âà¨ç¥áª®£® ⥧®à , g = gξξ gηη gϕϕ ; ¢ ¯«®áª®¬ á«ãç ¥ gϕϕ = 1. Ǒਠ¢ï§ª®¬ ®¡â¥ª ¨¨ ¯®¢¥àå®á⨠⢥म© (¨¤ª®©) ç áâ¨æë ¤®«® ¢ë¯®«ïâìáï ãá«®¢¨¥ ¯à¨«¨¯ ¨ï (¥¯à®â¥ª ¨ï), ¯®í⮬ã äãªæ¨î ⮪ ¢¡«¨§¨ ¬¥ä §®© ¯®¢¥àå®á⨠¬®® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥ ψ → (ξ − ξs )m f (η ) ¯à¨ ξ → ξs . (4.6.20) Ǒਠ®¡â¥ª ¨¨ ª ¯¥«ì (¯ã§ë३) ¢ï§ª®© ¨¤ª®áâìî ¨ ç áâ¨æ ¨¤¥ «ì®© ¨¤ª®áâìî m = 1. Ǒਠ« ¬¨ ஬ ¢ï§ª®¬ ®¡â¥ª ¨¨ £« ¤ª¨å ⢥à¤ëå ç áâ¨æ ¯ à ¬¥âà m ®¡ëç® à ¢¥ ¤¢ã¬; áãé¥áâ¢ã¥â â ª¥ ¥áª®«ìª® ¯à¨¬¥à®¢ ®¡â¥ª ¨ï, ª®£¤ m = 3 [60℄. ª § ®¥ ®§ ç ¥â, çâ® â £¥æ¨ «ì ï ª®¬¯®¥â ᪮à®á⨠vη (4.6.19) ¢ ¤¨ää㧨®®¬ ¯®£à ¨ç®¬ á«®¥ ã ¯®¢¥àå®á⨠ª ¯«¨ ¢ £« ¢®¬ ¯à¨¡«¨¥¨¨ ¨¬¥¥â ¯®áâ®ï®¥ § 票¥, à ¢®¥ ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠¬¥ä §®© ¯®¢¥àå®áâ¨, ¢ â® ¢à¥¬ï ª ª ¢ ¤¨ää㧨®®¬ ¯®£à ¨ç®¬ á«®¥ ã ¯®¢¥àå®á⨠⢥म© ç áâ¨æë â £¥æ¨ «ì ï ᪮à®áâì ¢ £« ¢®¬ ¯à¨¡«¨¥¨¨ § ¢¨á¨â «¨¥©® ( ¨®£¤ ª¢ ¤à â¨ç®) ®â à ááâ®ï¨ï ¤® ¯®¢¥àå®áâ¨, ®¡à é ïáì ¢ ã«ì ¯®¢¥àå®á⨠ç áâ¨æë. áᬮâਬ ¯®¤à®¡¥¥ £¥®¬¥âà¨î â¥ç¥¨ï ¢¡«¨§¨ ª ¯«¨ ¨«¨ ⢥म© ç áâ¨æë. ®®à¤¨ âë ªà¨â¨ç¥áª¨å â®ç¥ª ¨ «¨¨© ¬¥ä §®© ¯®¢¥àå®á⨠ηk ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¯ã⥬ à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨ï f (ηk ) = 0.
(4.6.21)
á«ãç ¥ ªà¨â¨ç¥áª¨å «¨¨© ª®®à¤¨ âë¥ ¯®¢¥àå®á⨠η = ηk à §¤¥«ïîâ ®¡« áâ¨, ¢ ª®â®àëå £« ¢ë© ç«¥ à §«®¥¨ï äãªæ¨¨ ⮪ (4.6.20) á®åà ï¥â § ª. à¨â¨ç¥áª¨¥ â®çª¨ ¨ «¨¨¨ ¨£à îâ ¢ ãî à®«ì ¢ ⥮ਨ ¤¨ää㧨®®£® ¯®£à ¨ç®£® á«®ï. ¨ ¬®£ãâ ¡ëâì ¤¢ãå ⨯®¢: ¢ ¨å ¬ «®© ®ªà¥áâ®á⨠®à¬ «ì ï ª®¬¯®¥â ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠¯à ¢«¥ «¨¡® ª ¬¥ä §®© ¯®¢¥àå®á⨠(íâ® â®çª¨ ¨ «¨¨¨ ý ⥪ ¨ïþ), «¨¡® ®â ¥¥ (íâ® â®çª¨ ¨ «¨¨¨ ýá⥪ ¨ïþ).
162
áá®®¡¬¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬
) 奬 â¥ç¥¨ï ¢¡«¨§¨ ¯®¢¥àå®á⨠ç áâ¨æë ¢ ®ªà¥áâ®á⨠ªà¨â¨ç¥áª¨å â®ç¥ª ¨«¨ «¨¨© ⥪ ¨ï (á ª®®à¤¨ ⮩ ηk ) ¨ á⥪ ¨ï (á ª®®à¤¨ ⮩ ηk+1 ); áâ५ª¨ ¯®ª §ë¢ îâ ¯à ¢«¥¨¥ ¢¥ªâ®à ᪮à®á⨠¨¤ª®áâ¨. ¡) á¯à¥¤¥«¥¨¥ â £¥æ¨ «ì®© ª®¬¯®¥âë ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠¢¡«¨§¨ ªà¨â¨ç¥áª¨å â®ç¥ª ¨«¨ «¨¨© ¯®¢¥àå®á⨠⥫ ¨á. 4.2.
à¨á. 4.2 «¨¨¨ ⥪ ¨ï ®¯à¥¤¥«ïîâáï § 票¥¬ ηk , «¨¨¨ á⥪ ¨ï | § 票¥¬ ηk+1 . ᨫ㠧 ª® á®åà ¥¨ï ¬ ááë â £¥æ¨ «ì ï ª®¬¯®¥â ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠¢¡«¨§¨ ¬¥ä §®© ¯®¢¥àå®á⨠¢ ®ªà¥áâ®á⨠â®çª¨ ¨«¨ «¨¨¨ ⥪ ¨ï (á⥪ ¨ï) ¯à ¢«¥ ®â í⮩ â®çª¨ ¨«¨ «¨¨¨ (ᮮ⢥âá⢥® ª ¥©), á ¬¨ â®çª¨ ¨«¨ «¨¨¨ ⥪ ¨ï ¨ á⥪ ¨ï ¤®«ë ç¥à¥¤®¢ âìáï. ®ªà¥áâ®á⨠â®çª¨ («¨¨¨) ⥪ ¨ï ¯à®¨á室¨â § த¥¨¥ ¤¨ää㧨®®£® ¯®£à ¨ç®£® á«®ï, â®«é¨ ª®â®à®£® §¤¥áì ¬¨¨¬ «ì . ®ªà¥áâ®á⨠â®çª¨ («¨¨¨) á⥪ ¨ï â®«é¨ ¤¨ää㧨®®£® ¯®£à ¨ç®£® á«®ï १ª® ¢®§à áâ ¥â. ⬥⨬, çâ® ¢ ®á¥á¨¬¬¥âà¨çëå § ¤ ç å ¬¥ä §®© ¯®¢¥àå®á⨠¢á¥£¤ ¨¬¥îâáï ¤¢¥ ¨§®«¨à®¢ ë¥ ªà¨â¨ç¥áª¨¥ â®çª¨ ( ®á¨ ᨬ¬¥âਨ). ¥§à §¬¥àë© ¨â¥£à «ìë© ¤¨ää㧨®ë© ¯®â®ª ç áâì ¯®¢¥àå®á⨠ç áâ¨æë (ª ¯«¨, ¯ã§ëàï) ¬¥¤ã á®á¥¤¨¬¨ ªà¨â¨ç¥áª¨¬¨ «¨¨ï¬¨ (â®çª ¬¨) ηk ¨ ηk+1 ¢ëç¨á«ï¥âáï ¯® 䮬㫥 [145℄ 2m
(m + 1) m+1 I (k, k + 1) = 1 m+1
F (k, k + 1)
m m+1
1
Pe m+1 ,
(4.6.22)
4.6. áá®®¡¬¥ ç áâ¨æ ¨ ª ¯¥«ì á ¯®â®ª®¬ ¯à¨ ¡®«ìè¨å Pe
£¤¥ F (k, k + 1) =
Z m
1
ηk+1
ηk
√ s 1 g m dη , |f ( η ) | s g ξξ
2π ¢ ®á¥á¨¬¬¥âà¨ç®¬ á«ãç ¥, = 1 ¢ ¯«®áª®¬ á«ãç ¥.
163 (4.6.23)
¢ëà ¥¨¨ (4.6.23) ¢¥à娩 ¨¤¥ªá ýsþ ®â¢¥ç ¥â ¢¥«¨ç¨ ¬, ¢§ïâë¬ ¬¥ä §®© ¯®¢¥àå®á⨠¯à¨ ξ = ξs . Ǒਠ§ ¯¨á¨ ¯®áâ®ï®© ¡ë«® ãç⥮, çâ® ¢ ¯«®áª®¬ á«ãç ¥ ¨â¥£à «ìë© ¤¨ää㧨®ë© ¯®â®ª ¯à¨ïâ® ®¯à¥¤¥«ïâì ¥¤¨¨æã ¤«¨ë 樫¨¤à (0 6 ϕ 6 1). 票¥ m = 1 ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ª ¯«ï¬ ¨ ¯ã§ëàï¬, m = 2 | ⢥à¤ë¬ ç áâ¨æ ¬ ¢ ¢ï§ª®© ¨¤ª®áâ¨. Ǒਠ¨áá«¥¤®¢ ¨¨ ª®ªà¥âëå ®á¥á¨¬¬¥âà¨çëå ¨ ¯«®áª¨å § ¤ ç ¯®«¥§® ¨¬¥âì ¢ëà ¥¨ï ¤«ï äãªæ¨¨ F (k, k + 1) ¢ áä¥à¨ç¥áª®© ¨ 樫¨¤à¨ç¥áª®© á¨á⥬ å ª®®à¤¨ â. Ǒãáâì ¢ áä¥à¨ç¥áª®© (¨«¨ 樫¨¤à¨ç¥áª®©) á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â ä®à¬ ¯®¢¥àå®á⨠ç áâ¨æë (ª ¯«¨, ¯ã§ëàï) ®¯¨áë¢ ¥âáï ãà ¢¥¨¥¬ r = R(θ), £¤¥ r | ¡¥§à §¬¥à ï (®â¥á¥ ï ª å à ªâ¥à®¬ã ¬ áèâ ¡ã ¤«¨ë) à ¤¨ «ì ï ª®®à¤¨ â , θ | 㣫®¢ ï ª®®à¤¨ â . ®£¤ ¯®«¥ ᪮à®á⥩ ¢¡«¨§¨ ¬¥ä §®© ¯®¢¥àå®á⨠®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¡¥§à §¬¥à®© äãªæ¨¥© ⮪ ψ = [r − R(θ)℄m f (θ), ¯¥à¥¬¥ ï F (k, k + 1) ¢ (4.6.22) ¢ëç¨á«ï¥âáï ¯® ä®à¬ã« ¬ [60℄: ¢ ®á¥á¨¬¬¥âà¨ç®¬ á«ãç ¥ 0 6 θ 6 π ¨ F (k, k + 1) =
Z " 2 # θk+1 1 dR 2 sin θ R + |f (θ)| m dθ ; m θk dθ
1
(4.6.24)
¢ ¯«®áª®¬ á«ãç ¥ 0 6 θ 6 2π ¨ F (k, k + 1) =
Z " # θk+1 1 1 dR 2 R 1+ 2 |f (θ)| m dθ . m θk R dθ
1
(4.6.25)
¤¥áì θk ¨ θk+1 | 㣫®¢ë¥ ª®®à¤¨ âë ªà¨â¨ç¥áª¨å «¨¨© (â®ç¥ª) ¬¥ä §®© ¯®¢¥àå®áâ¨; áç¨â ¥âáï, çâ® ¢ ¯à®¬¥ãâ®ç®© ®¡« á⨠θk < θ < θk+1 ®âáãâáâ¢ãîâ ªà¨â¨ç¥áª¨¥ «¨¨¨ ¨ â®çª¨. ⬥⨬, çâ® ¤«ï ®á¥á¨¬¬¥âà¨ç®£® «¨¥©®£® ᤢ¨£®¢®£® ¯®â®ª ¯®¢¥àå®á⨠áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æë (ª ¯«¨, ¯ã§ëàï) ¨¬¥îâáï ¤¢¥ ¨§®«¨à®¢ ë¥ ªà¨â¨ç¥áª¨¥ â®çª¨ θ = 0 ¨ θ = π, â ª¥ ªà¨â¨ç¥áª ï «¨¨ï θ = π/2. «ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¯®«®£® ¡¥§à §¬¥à®£® ¤¨ää㧨®®£® ¯®â®ª I á ç « á«¥¤ã¥â ©â¨ ª®®à¤¨ âë ¢á¥å ªà¨â¨ç¥áª¨å «¨¨© ¨ â®ç¥ª ¯®¢¥àå®á⨠ç áâ¨æë (ª ¯«¨, ¯ã§ëàï) η1 < η2 < · · · < ηk < < ηk+1 < · · · < ηM ; § ⥬ ¯® «î¡®© ¨§ ä®à¬ã« (4.6.23) | (4.6.25) à á-
164
áá®®¡¬¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬
áç¨â âì ¯®â®ª¨ (4.6.22) ç á⨠¯®¢¥àå®á⨠¬¥¤ã á®á¥¤¨¬¨ ªà¨â¨ç¥áª¨¬¨ «¨¨ï¬¨ (â®çª ¬¨), § ⥬ ¢ëç¨á«¨âì á㬬ã I
=
M− X1 k=1
I (k, k + 1).
(4.6.26)
।¥¥ ç¨á«® ¥à¢ã¤ ¯®«ãç ¥âáï ¯ã⥬ ¤¥«¥¨ï ¢ëà ¥¨ï (4.6.26) ¡¥§à §¬¥àãî ¯«®é ¤ì ¯®¢¥àå®á⨠ç áâ¨æë (ª ¯«¨, ¯ã§ëàï). à ¡®â å [137, 138℄ ¡ë« ¯à¥¤«®¥ ¬¥â®¤ à¥è¥¨ï âà¥å¬¥àëå § ¤ ç ¤¨ää㧨®®£® ¯®£à ¨ç®£® á«®ï, ®á®¢ ë© ¨á¯®«ì§®¢ ¨¨ âà¥å¬¥à®£® «®£ äãªæ¨¨ ⮪ . â®â ¬¥â®¤ ¯à¨¬¥ï«áï ¢ [60, 141, 196℄ ¤«ï ¨áá«¥¤®¢ ¨ï ¬ áá®®¡¬¥ áä¥à¨ç¥áª¨å ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á âà¥å¬¥àë¬ á¤¢¨£®¢ë¬ ¯®â®ª®¬. 4.7. ¨ääã§¨ï ª áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æ¥, ª ¯«¥ ¨ ¯ã§ëàî ¢ ¯®áâ㯠⥫쮬 ¯®â®ª¥ ¯à¨ à §«¨çëå ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ ¨ ¥©®«ì¤á
í⮬ à §¤¥«¥ ¯à¨¢®¤ïâáï ¨â¥à¯®«ïæ¨®ë¥ ä®à¬ã«ë (á¬. [142, 143℄) ¤«ï à áç¥â á।¨å ç¨á¥« ¥à¢ã¤ ¢ á«ãç ¥ áä¥à¨ç¥áª¨å ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ à ¤¨ãá a, ®¡â¥ª ¥¬ëå ®¤®à®¤ë¬ ¯®áâ㯠⥫ìë¬ ¯®â®ª®¬ ᮠ᪮à®áâìî Ui ¯à¨ à §«¨çëå ç¨á« å Pe = aUi/D ¨ ¥©®«ì¤á Re = aUi/ν . «ï á।¥£® ç¨á« ¥à¢ã¤ ¢ á«ãç ¥ £ §®¢®£® ¯ã§ëàï ¡ã¤¥¬ ¨á¯®«ì§®¢ âì ®¡®§ 票¥ Shb , ¢ á«ãç ¥ ⢥म© áä¥àë Shp . ä¥à¨ç¥áª ï ç áâ¨æ ¯à¨ Re → 0, 0 6 Pe 6 ∞. ¤ ç ® ¬ áá®®¡¬¥¥ ⢥म© áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æë á ¯®áâ㯠⥫ìë¬ áâ®ªá®¢ë¬ ¯®â®ª®¬ (Re → 0) ¢® ¢á¥¬ ¤¨ ¯ §®¥ ç¨á¥« Ǒ¥ª«¥ ¨áá«¥¤®¢ « áì á ¯®¬®éìî ª®¥ç®-à §®áâëå ç¨á«¥ëå ¬¥â®¤®¢ ¢ à ¡®â å [1, 204, 257℄. «ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï á।¥£® ç¨á« ¥à¢ã¤ áä¥à¨ç¥áªãî ç áâ¨æã 㤮¡® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¯à¨¡«¨¥ãî § ¢¨á¨¬®áâì [219℄ Shp = 0,5 + (0,125 + 0,243 Pe)1/3 .
(4.7.1)
â¥à¯®«ï樮 ï ä®à¬ã« (4.7.1) ¯à¨¢®¤¨â ª â®çë¬ á¨¬¯â®â¨ç¥áª¨¬ १ã«ìâ â ¬ ¢ ®¡®¨å ¯à¥¤¥«ìëå á«ãç ïå ¯à¨ Pe → 0 ¨ Pe → ∞. ªá¨¬ «ì®¥ ®â«¨ç¨¥ (4.7.1) ®â ¤ ëå [1, 204, 257℄ ¢® ¢á¥¬ ¤¨ ¯ §®¥ ¨§¬¥¥¨ï ç¨á« Ǒ¥ª«¥ á®áâ ¢«ï¥â ®ª®«® 2%. ä¥à¨ç¥áª¨© ¯ã§ëàì ¯à¨ Re → 0, 0 6 Pe 6 ∞. ¤ ç ® ¬ áá®®¡¬¥¥ áä¥à¨ç¥áª®£® ¯ã§ëàï á ¯®áâ㯠⥫ìë¬ ¯®â®ª®¬ ¯à¨
165
4.7. ¨ääã§¨ï ª ç áâ¨æ¥ ¢ ¯®áâ㯠⥫쮬 ¯®â®ª¥ ¯à¨ à §ëå Re
Re → 0 ¨áá«¥¤®¢ « áì ç¨á«¥® ¢ [267℄. Ǒ®«ãç¥ë¥ १ã«ìâ âë ¤«ï á।¥£® ç¨á« ¥à¢ã¤ å®à®è® ¯¯à®ªá¨¬¨àãîâáï ¢ëà ¥¨¥¬ Shb = 0,6 + (0,16 + 0,213 Pe)1/2 ,
(4.7.2)
¬ ªá¨¬ «ì ï ¯®£à¥è®áâì ª®â®à®£® á®áâ ¢«ï¥â 3%.
ä¥à¨ç¥áª ï ª ¯«ï ¯à¨ Re → 0, 0 6 Pe 6 ∞. ¨â¥à¢ «¥ 0 6 Pe 6 200 १ã«ìâ âë ç¨á«¥ëå à áç¥â®¢ á।¥£® ç¨á« ¥à¢ã¤ ¤«ï áä¥à¨ç¥áª®© ª ¯«¨ ¢ ¯®áâ㯠⥫쮬 ¯®â®ª¥ ¯à¨ «¨¬¨â¨àãî饬 ᮯà®â¨¢«¥¨¨ ¤¨á¯¥àᮩ ä §ë å®à®è® ®¯¨áë¢ îâáï ¯à¨¡«¨¥®© § ¢¨á¨¬®áâìî [28℄ Sh =
1
β+1
Shb +
β β+1
Shp ,
(4.7.3)
£¤¥ β | ®â®è¥¨¥ ¤¨ ¬¨ç¥áª¨å ¢ï§ª®á⥩ ª ¯«¨ ¨ ®ªàã î饩 ¨¤ª®á⨠(§ 票¥ β = 0 ᮮ⢥âáâ¢ã¥â £ §®¢®¬ã ¯ã§ëàî, β = ∞ | ⢥म© áä¥à¥); Shb ¨ Shp | ç¨á« ¥à¢ã¤ ¤«ï ¯ã§ëàï ¨ ⢥म© ç áâ¨æë, ª®â®àë¥ ¬®® ¢ëç¨á«ïâì ¯® ä®à¬ã« ¬ (4.7.2) ¨ (4.7.1) ᮮ⢥âá⢥®. ® ®â¬¥â¨âì, çâ® ¢ëà ¥¨¥ (4.7.3) ¤«ï «î¡ëå β ¤ ¥â ¯à ¢¨«ìë¥ âਠ童 ᨬ¯â®â¨ç¥áª®£® à §«®¥¨ï Sh ¯à¨ Pe → 0 [72℄. ¨â¥à¢ «¥ 200 6 Pe < ∞ á।¥¥ ç¨á«® ¥à¢ã¤ ¤«ï ª ¯«¨ ¯à¨ «î¡ëå § 票ïå ¢ï§ª®á⥩ ä § ¬®® ¢ëç¨á«ïâì ¯ã⥬ à¥è¥¨ï ªã¡¨ç¥áª®£® ãà ¢¥¨ï Sh3 − 0,212
Pe
β+1
Sh − (0,624)3 Pe = 0.
(4.7.4)
ä¥à¨ç¥áª ï ç áâ¨æ ¯à¨ à §«¨çëå ç¨á« å ¥©®«ì¤á .
¬¥î騥áï ç¨á«¥ë¥ १ã«ìâ âë (á¬., ¯à¨¬¥à, [227, 257℄) ¯® á।¥¬ã ç¨á«ã ¥à¢ã¤ ¢ á«ãç ¥ áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æë ¢ ¯®áâ㯠⥫쮬 ¯®â®ª¥ ¯à¨ 0,5 6 Re 6 200, 0,125 6 S 6 50 ᮣ« á® [219℄ ¬®£ãâ ¡ëâì ®¯¨á ë ¯à¨¡«¨¥®© § ¢¨á¨¬®áâìî Shp = 0,5 + 0,527 Re0,077 (1 + 2 Re S )1/3 ,
(4.7.5)
¯®£à¥è®áâì ª®â®à®© á®áâ ¢«ï¥â ®ª®«® 3%. ¡à ¡®âª ¨¬¥îé¨åáï íªá¯¥à¨¬¥â «ìëå ¤ ëå ¯® ⥯«®- ¨ ¬ áá®®¡¬¥ã ⢥à¤ëå áä¥à á ¯®áâ㯠⥫ìë¬ ¯®â®ª®¬ ¯à¨¢®¤¨â ª á«¥¤ãî騬 ª®à५ïæ¨ï¬ [219℄: ⥯«®®¡¬¥ á ¢®§¤ã宬 ¯à¨ Pr = 0,7: Nup = 0,5 + 0,47 Re0,47 Nup = 0,5 + 0,2 Re0,58
¯à¨ 50 6 Re 6 2 · 103, ¯à¨ 2 · 103 6 Re 6 5 · 104;
166
áá®®¡¬¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬
¬ áá®®¡¬¥ á ¨¤ª®áâﬨ ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å ¬¨¤â (S > 100): Shp = 0,5 + 0,5 Re0,48 S 1/3 Shp = 0,5 + 0,31 Re0,55 S 1/3
¯à¨ 50 6 Re 6 103, ¯à¨ 103 6 Re 6 5 · 104 .
ªá¯¥à¨¬¥â «ìë¥ ¤ ë¥ ¯à¨ 0,5 < Re < 50 å®à®è® ®¯¨áë¢ îâáï ¢ëà ¥¨¥¬ (4.7.5).
ä¥à¨ç¥áª¨© ¯ã§ëàì ¯à¨ «î¡ëå ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ ¨ Re > 35.
«ï áä¥à¨ç¥áª®£® ¯ã§ëàï ¢ ¯®áâ㯠⥫쮬 ¯®â®ª¥ ¯à¨ 㬥à¥ëå ¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å ¥©®«ì¤á ¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ á।¥¥ ç¨á«® ¥à¢ã¤ ¬®® ¢ëç¨á«ïâì ¯® ä®à¬ã«¥ [219℄ Shb =
2 π
1/2
Pe
1−
2 √ Re
1/2
(4.7.6)
,
¯®£à¥è®áâì ª®â®à®© á®áâ ¢«ï¥â ¬¥¥¥ 7% ¯à¨ Re > 35. Ǒਠ0 6 Pe < ∞, Re > 35 ¤«ï à áç¥â á।¥£® ç¨á« ¥à¢ã¤ áä¥à¨ç¥áª¨© ¯ã§ëàì ¬®® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¯à¨¡«¨¥ãî § ¢¨á¨¬®áâì
Shb = 0,6 + 0,16 + 0,637 1 −
1/2
2 √ Pe Re
(4.7.7)
,
ª®â®à ï ®¡¥á¯¥ç¨¢ ¥â â®çë© à¥§ã«ìâ ⠯ਠPe = 0 ¨ ¯¥à¥å®¤¨â ¢ (4.7.6) ¯à¨ Pe → ∞. ǑਠRe = ∞ ¯®£à¥è®áâì ä®à¬ã«ë (4.7.7) á®áâ ¢«ï¥â ®ª®«® 3% [280℄.
ä¥à¨ç¥áª ï ª ¯«ï ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ ¨ Re > 35.
Ǒਠ¡®«ìè¨å ç¨á« å Re à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ᪮à®á⥩ ¨¤ª®á⨠¢ ¯®£à ¨ç®¬ á«®¥ ¢¡«¨§¨ ¯®¢¥àå®á⨠ª ¯«¨ ¡ë«® ¯®«ã祮 ¢ à ¡®â¥ [235℄. ⨠१ã«ìâ âë ¡ë«¨ ¨á¯®«ì§®¢ ë ¢ [316℄, £¤¥ ¨áá«¥¤®¢ «áï ¬ áá®®¡¬¥ áä¥à¨ç¥áª®© ª ¯«¨ ¢ ¯®áâ㯠⥫쮬 ¯®â®ª¥ ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥. Ǒ®«ãç¥ë¥ ¤ ë¥ ¤«ï á।¥£® ç¨á« ¥à¢ã¤ å®à®è® ¯¯à®ªá¨¬¨àãîâáï § ¢¨á¨¬®áâìî [219℄ Sh =
2 π
1/2
Pe
1−
2 + 1,49 β 0,64 √ Re
1/2
,
(4.7.8)
ª®â®à ï ¯¥à¥å®¤¨â ¢ (4.7.6) ¯à¨ β = 0. ®à¬ã«ã (4.7.8) ¬®® ¯à¨¬¥ïâì ¯à¨ 0 6 β 6 2 ¨ Re > 35.
¡é¨¥ ª®à५ï樨 ¤«ï ç¨á« ¥à¢ã¤ ¯à¨ « ¬¨ ஬ ®¡â¥ª ¨¨ áä¥à¨ç¥áª¨å ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ â¥ç¥¨ï¬¨ à §«¨ç®£® ⨯ . ᯮ«ì§ãï ¬¥â®¤ ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨å «®£¨©,
¢ë¢¥¤¥¬ ä®à¬ã«ã ¤«ï à áç¥â ç¨á« ¥à¢ã¤ ¢ á«ãç ¥ « ¬¨ ண®
4.7. ¨ääã§¨ï ª ç áâ¨æ¥ ¢ ¯®áâ㯠⥫쮬 ¯®â®ª¥ ¯à¨ à §ëå Re
167
®¡â¥ª ¨ï áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æë ¯à¨ ¯à®¨§¢®«ì®© áâàãªâãॠ¥¢®§¬ã饮£® â¥ç¥¨ï ¡¥áª®¥ç®áâ¨. ç¨â ¥¬, çâ® ¢ ¯®â®ª¥ ®âáãâáâ¢ãîâ § ¬ªãâë¥ «¨¨¨ ⮪ . ª ç¥á⢥ ¨á室®© ä®à¬ã«ë ¡ã¤¥¬ ¨á¯®«ì§®¢ âì ¯à¨¡«¨¥ãî § ¢¨á¨¬®áâì (4.7.1). Ǒ८¡à §ã¥¬ (4.7.1) á«¥¤ãï ¯à®æ¥¤ãà¥, ®¯¨á ®© ¢ à §¤. 4.1. «ï í⮣® ãç⥬, ç⮠ᨬ¯â®â¨ª¨ Shp ¯à¨ ¬ «ëå ¨ ¡®«ìè¨å Pe ¨¬¥îâ ¢¨¤ Shp0 = 1 (Pe → 0);
Shp∞ = 0,624 Pe1/3 (Pe → ∞).
⨠ä®à¬ã«ë á â®ç®áâìî ¤® ®ç¥¢¨¤ëå ¯¥à¥®¡®§ 票© (w =⇒ Shp , τ =⇒ Pe) ᮢ¯ ¤ îâ á (4.1.2), (4.1.3) ¯à¨ A = 1, B = 0,624, k = 0, m = 31 . Ǒ®¤áâ ¢¨¬ í⨠§ ç¥¨ï ¢ ¢ëà ¥¨¥ (4.1.5), £¤¥ äãªæ¨ï F ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨§ (4.7.1). ç¨âë¢ ï, çâ® ¤«ï ç áâ¨æ áä¥à¨ç¥áª®© ä®à¬ë ¢ë¯®«ï¥âáï à ¢¥á⢮ Shp0 = 1, ¢ ¨â®£¥ ¯®«ã稬 [72℄: Shp = 0,5 + (0,125 + Sh3p∞ )1/3
(⢥ठï ç áâ¨æ ).
(4.7.9)
®à¬ã«ã (4.7.9) ¬®® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¤«ï à áç¥â á।¥£® ç¨á« ¥à¢ã¤ ¢ á«ãç ¥ « ¬¨ ண® ®¡â¥ª ¨ï ⢥म© áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æë â¥ç¥¨ï¬¨ à §«¨ç®£® ⨯ , ¢ ª®â®àëå ¥â § ¬ªãâëå «¨¨© ⮪ . Ǒਠí⮬ ¢ ª ç¥á⢥ ¢á¯®¬®£ ⥫쮩 ¢¥«¨ç¨ë Shp∞ á«¥¤ã¥â ¢ë¡¨à âì £« ¢ë© ç«¥ ᨬ¯â®â¨ç¥áª®£® à §«®¥¨ï ç¨á« ¥à¢ã¤ ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥. «®£¨çë¬ ®¡à §®¬ ¤«ï ¯à®¨§¢®«ì®£® ®¡â¥ª ¨ï áä¥à¨ç¥áª®£® ¯ã§ëàï ¬®® ¢ë¢¥á⨠¯à¨¡«¨¥ãî § ¢¨á¨¬®áâì Shb = 0,6 + (0,16 + Sh2b∞ )1/2
(¯ã§ëàì),
(4.7.10)
£¤¥ Shb∞ | ᨬ¯â®â¨ª á।¥£® ç¨á« ¥à¢ã¤ ¯à¨ Pe → ∞, ª®â®à ï ¢ëç¨á«ï¥âáï ¯ã⥬ à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨ï ¤¨ää㧨®®£® ¯®£à ¨ç®£® á«®ï ¯à¨ § ¤ ®¬ ¯®«¥ â¥ç¥¨ï. ®à¬ã«ë (4.7.9) ¨ (4.7.10) ¯®á«¥ ¯®¤áâ ®¢ª¨ ¢ ¨å ¢¥«¨ç¨ Shp∞ ¨ Shb∞ ¬®® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¤«ï à áç¥â ç¨á¥« ¥à¢ã¤ ¢® ¢á¥¬ ¤¨ ¯ §®¥ ¨§¬¥¥¨ï ç¨á« Ǒ¥ª«¥. ⬥⨬, çâ® § ¢¨á¨¬®áâì (4.7.7) ¡ë« ¢ë¢¥¤¥ á ¯®¬®éìî (4.7.10), ªã¤ ¢ ª ç¥á⢥ ᨬ¯â®â¨ª¨ Shb∞ ¡ë« ¯®¤áâ ¢«¥ ¯à ¢ ï ç áâì ¢ëà ¥¨ï (4.7.6). à㣨¥ ª®ªà¥âë¥ ¯à¨¬¥àë ¯à¨¬¥¥¨ï ä®à¬ã« (4.7.9) ¨ (4.7.10) ¡ã¤ã⠯ਢ¥¤¥ë ¢ à §¤. 4.8. Ǒਠ¬ «ëå ¨ 㬥à¥ëå ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ ¢ á«ãç ¥ ¯à®¨§¢®«ì®£® « ¬¨ ண® ®¡â¥ª ¨ï áä¥à¨ç¥áª®© ª ¯«¨ ¯à¨ «¨¬¨â¨àãî饬 ᮯà®â¨¢«¥¨¨ ᯫ®è®© ä §ë ¤«ï à áç¥â á।¥£® ç¨á« ¥à¢ã¤ 楫¥á®®¡à §® ¨á¯®«ì§®¢ âì § ¢¨á¨¬®áâì (4.7.3), £¤¥ Shp ¨ Shb | ç¨á« ¥à¢ã¤ ¤«ï ¯à¥¤¥«ìëå á«ãç ¥¢ ⢥म© ç áâ¨æë ¨ ¯ã§ëàï, ª®â®àë¥ ¬®® ¢ëç¨á«ïâì ¯® ä®à¬ã« ¬ (4.7.9) ¨ (4.7.10).
168
áá®®¡¬¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬
Ǒਠ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ á।¥¥ ç¨á«® ¥à¢ã¤ ¤«ï áä¥à¨ç¥áª®© ª ¯«¨ ¢® ¢á¥¬ ¤¨ ¯ §®¥ ¨§¬¥¥¨ï ¢ï§ª®á⥩ ä § ¬®® ¢ëç¨á«ïâì ¯ã⥬ à¥è¥¨ï ªã¡¨ç¥áª®£® ãà ¢¥¨ï [72℄ Sh3 − Sh2β Sh − Sh3p∞ = 0
(ª ¯«ï),
(4.7.11)
£¤¥ Shβ | ᨬ¯â®â¨ç¥áª®¥ § 票¥ á।¥£® ç¨á« ¥à¢ã¤ , ¯®«ã祮¥ ¢ ¯à¨¡«¨¥¨¨ ¤¨ää㧨®®£® ¯®£à ¨ç®£® á«®ï ¤«ï ª ¯«¨ 㬥८© ¢ï§ª®á⨠β = (1) ¯à¨ Pe → ∞, Shp∞ | ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï ᨬ¯â®â¨ª ¤«ï ⢥म© ç áâ¨æë (β = ∞) ¯à¨ Pe → ∞. á⮪ᮢ®¬ ¯®â®ª¥ (Re → 0) ¤«ï à áç¥â Shβ ¬®® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¯à¨¡«¨¥ãî ä®à¬ã«ã Shβ =
Sh √ b∞ , β+1
(4.7.12)
£¤¥ Shb∞ | ᨬ¯â®â¨ª ç¨á« ¥à¢ã¤ ¤«ï £ §®¢®£® ¯ã§ëàï (β = 0) ¯à¨ Pe → ∞. «ï ¯®áâ㯠⥫쮣® ¨ ¯à®¨§¢®«ì®£® ¤¥ä®à¬ 樮®£® ®¡â¥ª ¨ï áä¥à¨ç¥áª®© ª ¯«¨ áâ®ªá®¢ë¬ ¯®â®ª®¬ § ¢¨á¨¬®áâì (4.7.12) ï¥âáï â®ç®©. ç á⮬ á«ãç ¥ áä¥à¨ç¥áª®© ª ¯«¨, ®¡â¥ª ¥¬®© ¯®áâ㯠⥫ìë¬ áâ®ªá®¢ë¬ ¯®â®ª®¬, ãà ¥¨¥ (4.7.11) ¯¥à¥å®¤¨â ¢ (4.7.4). 4.8. ¨ääã§¨ï ª áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æ¥, ª ¯«¥ ¨ ¯ã§ëàî ¢ «¨¥©®¬ ᤢ¨£®¢®¬ ¯®â®ª¥ ¯à¨ ¬ «ëå ç¨á« å ¥©®«ì¤á ¨ «î¡ëå ç¨á« å Ǒ¥ª«¥
ç¨â ¥¬, çâ® à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ᪮à®á⥩ ¨¤ª®á⨠¢¤ «¨ ®â ¬¥ä §®© ¯®¢¥àå®á⨠®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä®à¬ã«®© (4.5.1). ।¥¥ ç¨á«® ¥à¢ã¤ ¤«ï ç áâ¨æë, ª ¯«¨ ¨ ¯ã§ëàï áä¥à¨ç¥áª®© ä®à¬ë ¥ ¬¥ï¥âáï, ¥á«¨ ®¤®¢à¥¬¥® ¨§¬¥¨âì § ª¨ ¢á¥å ª®íää¨æ¨¥â®¢ ᤢ¨£ Sh(Gkm ) = Sh(−Gkm ).
¨¥©ë© ¤¥ä®à¬ æ¨®ë© á¤¢¨£®¢ë© ¯®â®ª. Ǒਡ«¨¥¨¥ ¤¨ää㧨®®£® ¯®£à ¨ç®£® á«®ï. ¥è¥¨¥ £¨¤à®¤¨-
¬¨ç¥áª¨å § ¤ ç ®¡ ®¡â¥ª ¨¨ ⢥म© ç áâ¨æë, ª ¯«¨ ¨ ¯ã§ëàï ¯à®¨§¢®«ìë¬ ¤¥ä®à¬ æ¨®ë¬ «¨¥©ë¬ ᤢ¨£®¢ë¬ ¯®â®ª®¬ (Gkm = Gmk ) ¢ á⮪ᮢ®¬ ¯à¨¡«¨¥¨¨ (¯à¨ Re → 0) ¯à¨¢¥¤¥ë ¢ à §¤. 2.4. ®®â¢¥âáâ¢ãî騥 § ¤ ç¨ ª®¢¥ªâ¨¢®£® ¬ áᮯ¥à¥®á ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ ¢ ¯à¨¡«¨¥¨¨ ¤¨ää㧨®®£® ¯®£à ¨ç®£®
169
4.8. ¨ääã§¨ï ª ç áâ¨æ¥ ¢ ᤢ¨£®¢®¬ ¯®â®ª¥ ¯à¨ ¬ «ëå Re 4.4 ।¥¥ ç¨á«® ¥à¢ã¤ ¤«ï áä¥à¨ç¥áª¨å ⢥à¤ëå ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¢ «¨¥©®¬ ¤¥ä®à¬ 樮®¬ ᤢ¨£®¢®¬ ¯®â®ª¥ (Gkm = 0 ¯à¨ k= 6 m) ¯à¨ ¬ «ëå ç¨á« å ¥©®«ì¤á ¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ ¨¯ ç áâ¨æë
§¢ ¨¥ â¥ç¥¨ï
¢¥à¤ ï á¥á¨¬¬¥ç áâ¨æ âà¨çë© á¤¢¨£ ¯«ï, á¥á¨¬¬¥¯ã§ëàì âà¨çë© á¤¢¨£
¨á«® ¥à¢ã¤ Sh
¨á«® Ǒ¥ª«¥ Pe
¨â¥à âãà
0,968 Pe1/3
a2 |G33 | D
[58℄
a2 |G33 | D
[58℄
a2 |G11 | D
[196℄
a2 |G11 | D
[141℄
®íää¨æ¨¥âë Gkk
G11 = G22 , G33 = −2G11
G11 = G22 , G33 = −2G11
¢¥à¤ ï ç áâ¨æ
Ǒ«®áª¨© ᤢ¨£
G11 = −G22 , G33 = 0
¯«ï, ¯ã§ëàì
Ǒ«®áª¨© ᤢ¨£
G11 = −G22 , G33 = 0
3 2π
Pe 1/2 β+1
1,01 Pe1/3 0,731
Pe 1/2 β+1
á«®ï à áᬠâਢ «¨áì ¢ [58, 141, 196℄. â ¡«. 4.4 㪠§ ë ¯®«ãç¥ë¥ ¢ íâ¨å à ¡®â å १ã«ìâ âë à áç¥â á।¨å ç¨á¥« ¥à¢ã¤ . á«ãç ¥ ⢥म© áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æë, ®¡â¥ª ¥¬®© ¯à®¨§¢®«ìë¬ «¨¥©ë¬ ¤¥ä®à¬ æ¨®ë¬ á¤¢¨£®¢ë¬ ¯®â®ª®¬, ¡ë« ¯à¥¤«®¥ ¨â¥à¯®«ï樮 ï ä®à¬ã« ¤«ï á।¥£® ç¨á« ¥à¢ã¤ [196℄ Sh = 0,9 Pe1M/3 ,
(4.8.1)
£¤¥ ¬®¤¨ä¨æ¨à®¢ ®¥ ç¨á«® Ǒ¥ª«¥ PeM ®¯à¥¤¥«¥® á ¯®¬®éìî ¢â®à®£® ¨¢ ਠâ ⥧®à ᤢ¨£ J2 á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: PeM =
a2 J2 , D
£¤¥
J2
= (Gkm Gkm )1/2 .
(4.8.2)
k , m ¢¥¤¥âáï á㬬¨à®¢ ¨¥.
᫨ Gkm = 0 ¤¥áì ¯® ®¡®¨¬ ¨¤¥ªá ¬ p ¯à¨ k = 6 m, â® J2 = (G11 )2 + (G22 )2 + (G33 )2 . «ï ®á¥á¨¬¬¥âà¨ç®£® ¨ ¯«®áª®£® ᤢ¨£®¢®£® â¥ç¥¨ï (á¬. â ¡«. 4.4) ¯®£à¥è®áâì ä®à¬ã«ë (4.8.1) á®áâ ¢«ï¥â ¬¥¥¥ 1%. á«ãç ¥ áä¥à¨ç¥áª®© ª ¯«¨ ¢ ¯à®¨§¢®«ì®¬ ¤¥ä®à¬ 樮®¬ «¨¥©®¬ ᤢ¨£®¢®¬ ¯®â®ª¥ ¯à¨ «¨¬¨â¨àãî饬 ᮯà®â¨¢«¥¨¨ ᯫ®è®© ä §ë ¤«ï à áç¥â á।¥£® ç¨á« ¥à¢ã¤ ¬®® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¨â¥à¯®«ï樮ãî § ¢¨á¨¬®áâì [141℄
Sh = 0,62
PeM β+1
1/2
,
(4.8.3)
170
áá®®¡¬¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬
£¤¥ PeM ®¯à¥¤¥«¥® ¢ (4.8.2); § 票¥ β = 0 ᮮ⢥âáâ¢ã¥â £ §®¢®¬ã ¯ã§ëàî. «ï ®á¥á¨¬¬¥âà¨ç®£® ¨ ¯«®áª®£® ᤢ¨£®¢®£® â¥ç¥¨ï (á¬. â ¡«. 4.4) ¯®£à¥è®áâì ¢ëà ¥¨ï (4.8.3) á®áâ ¢«ï¥â ¬¥¥¥ 1%.
ä¥à¨ç¥áª ï ç áâ¨æ ¢ ¤¥ä®à¬ 樮®¬ ᤢ¨£®¢®¬ ¯®â®ª¥ ¯à¨ 0 6 Pe < ∞. áᬮâਬ á ç « ®á¥á¨¬¬¥âà¨çë© á¤¢¨£®-
¢ë© ¯®â®ª, ª®£¤ à §¬¥àë¥ ª®¬¯®¥âë ¢¥ªâ®à ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠¢¤ «¨ ®â ç áâ¨æë ¢ ¤¥ª à⮢®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â X1 , X2 , X3 ¨¬¥îâ ¢¨¤ ~ = (V , V , V ) = − 1 GX , − 1 GX , GX , V 1 2 3 1 2 3 2 2 £¤¥ ®¡®§ 祮 G = G33 . ¥§ã«ìâ âë ç¨á«¥ëå à áç¥â®¢ á।¥£® ç¨á« ¥à¢ã¤ ¤«ï áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æë, ®¡â¥ª ¥¬®© ®á¥á¨¬¬¥âà¨çë¬ á¤¢¨£®¢ë¬ áâ®ªá®¢ë¬ (¯à¨ Re → 0) ¯®â®ª®¬, ¢® ¢á¥¬ ¤¨ ¯ §®¥ ¨§¬¥¥¨ï ç¨á« Ǒ¥ª«¥ å®à®è® ¯¯à®ªá¨¬¨àãîâáï ¢ëà ¥¨¥¬ (4.7.9), ¢ ª®â®à®¥ á«¥¤ã¥â ¯®¤áâ ¢¨âì ᨬ¯â®â¨ç¥áª®¥ § 票¥ Shp∞ ¨§ ¢¥à奩 áâப¨ â ¡«. 4.4. ¨â®£¥ ¯®«ã稬 § ¢¨á¨¬®áâì Shp = 0,5 + (0,125 + 0,745 Pe)1/3 ,
(4.8.4)
¬ ªá¨¬ «ì ï ¯®£à¥è®áâì ª®â®à®© á®áâ ¢«ï¥â 3%. «ï ¯à®¨§¢®«ì®£® ¤¥ä®à¬ 樮®£® ᤢ¨£®¢®£® â¥ç¥¨ï (Gkm = Gmk ) á।¥¥ ç¨á«® ¥à¢ã¤ ¤«ï ⢥म© áä¥àë ¬®® ¢ëç¨á«ïâì ¯® «®£¨ç®© ä®à¬ã«¥: Shp = 0,5 + (0,125 + 0,729 PeM )1/3 ,
(4.8.5)
£¤¥ ¬®¤¨ä¨æ¨à®¢ ®¥ ç¨á«® Ǒ¥ª«¥ PeM ¢¢®¤¨âáï ᮣ« á® (4.8.2). «ï ®á¥á¨¬¬¥âà¨ç®£® ᤢ¨£ ¢ëà ¥¨¥ (4.8.5) ¯¥à¥å®¤¨â ¢ (4.8.4).
ä¥à¨ç¥áª¨© ¯ã§ëàì ¢ ¤¥ä®à¬ 樮®¬ ᤢ¨£®¢®¬ ¯®â®ª¥ ¯à¨ 0 6 Pe < ∞. ¤ ç ® ¬ áá®®¡¬¥¥ áä¥à¨ç¥áª®£® ¯ã§ëàï
¢ ®á¥á¨¬¬¥âà¨ç®¬ ᤢ¨£®¢®¬ ¯®â®ª¥ ¯à¨ ¬ «ëå ç¨á« å ¥©®«ì¤á ¢® ¢á¥¬ ¤¨ ¯ §®¥ ¨§¬¥¥¨ï ç¨á¥« Ǒ¥ª«¥ à¥è « áì ç¨á«¥® ¢ à ¡®â¥ [92℄. ¥§ã«ìâ âë ¤«ï á।¥£® ç¨á« ¥à¢ã¤ ¬®® ¯¯à®ªá¨¬¨à®¢ âì § ¢¨á¨¬®áâìî (4.7.10), ¢ ¯à ¢ãî ç áâì ª®â®à®© á«¥¤ã¥â ¯®¤áâ ¢¨âì ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 § 票¥ ¨§ ¢â®à®© áâப¨ â ¡«. 4.4 ¯à¨ β = 0. ¨â®£¥ ¯®«ã稬 ä®à¬ã«ã Shb = 0,6 + (0,16 + 0,48 Pe)1/2 ,
(4.8.6)
¬ ªá¨¬ «ì ï ¯®£à¥è®áâì ª®â®à®© à ¢ 3%. ¡®¡é ï íâ® ¢ëà ¥¨¥ á«ãç © ¯à®¨§¢®«ì®£® ¤¥ä®à¬ 樮®£® â¥ç¥¨ï (Gkm = Gmk ), ¤«ï áä¥à¨ç¥áª®£® ¯ã§ëàï ¨¬¥¥¬ Shb = 0,6 + (0,16 + 0,384 PeM )1/2 ,
(4.8.7)
4.8. ¨ääã§¨ï ª ç áâ¨æ¥ ¢ ᤢ¨£®¢®¬ ¯®â®ª¥ ¯à¨ ¬ «ëå Re
171
£¤¥ ¯ à ¬¥âà PeM ®¯à¥¤¥«¥ ¢ (4.8.2).
ä¥à¨ç¥áª ï ª ¯«ï ¢ ¤¥ä®à¬ 樮®¬ ᤢ¨£®¢®¬ ¯®â®ª¥ ¯à¨ 0 6 Pe < ∞. Ǒਠ㬥à¥ëå ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ á।¥¥ ç¨á«®
¥à¢ã¤ ¤«ï ª ¯«¨ ¢ ®á¥á¨¬¬¥âà¨ç®¬ ᤢ¨£®¢®¬ ¯®â®ª¥ ¯à¨ Re → 0 ¢® ¢á¥¬ ¤¨ ¯ §®¥ ¨§¬¥¥¨ï ¢ï§ª®á⥩ ä § ᮣ« á® [92℄ ¬®® ®¯à¥¤¥«ïâì ¯® ä®à¬ã«¥ (4.7.3), £¤¥ Shb ¨ Shp | ç¨á« ¥à¢ã¤ ¤«ï ¯ã§ëàï ¨ ⢥म© ç áâ¨æë, ª®â®àë¥ ¢ëç¨á«ïîâáï á ¯®¬®éìî ¢ëà ¥¨© (4.8.6) ¨ (4.8.4) ᮮ⢥âá⢥®. Ǒਠ0 6 Pe 6 100 (0 6 β 6 ∞) ¬ ªá¨¬ «ì ï ¯®£à¥è®áâì 㪠§ ®© ä®à¬ã«ë ¡«î¤ ¥âáï ¯à¨ Pe = 100 ¨ á®áâ ¢«ï¥â ®ª®«® 1%. ¡®«¥¥ è¨à®ª®¬ ¤¨ ¯ §®¥ 0 6 Pe 6 500 â ª®© ¬¥â®¤ à áç¥â á।¥£® ç¨á« ¥à¢ã¤ ¤ ¥â ¬ ªá¨¬ «ìãî ¯®£à¥è®áâì ®ª®«® 5%. á«ãç ¥ ®¡â¥ª ¨ï áä¥à¨ç¥áª®© ª ¯«¨ ¯à®¨§¢®«ìë¬ ¤¥ä®à¬ æ¨®ë¬ á¤¢¨£®¢ë¬ ¯®â®ª®¬ ¯à¨ 0 6 PeM 6 200 ¢ ä®à¬ã«ã (4.7.3) ¤«ï ç¨á« ¥à¢ã¤ á«¥¤ã¥â ¯®¤áâ ¢¨âì ¢ëà ¥¨ï (4.8.5) ¨ (4.8.7). Ǒਠ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ (Pe > 100) § 票ï á।¨å ç¨á¥« ¥à¢ã¤ ¤«ï ª ¯«¨ ¢ ®á¥á¨¬¬¥âà¨ç®¬ ᤢ¨£®¢®¬ ¯®â®ª¥ å®à®è® ¯¯à®ªá¨¬¨àãîâáï ¯®«®¨â¥«ìë¬ ª®à¥¬ ªã¡¨ç¥áª®£® ãà ¢¥¨ï Pe Sh3 − 0,478 (4.8.8) Sh − 0,745 Pe = 0, β+1 ¬ ªá¨¬ «ì ï ¯®£à¥è®áâì ª®â®à®£® ¯à¨ Pe > 100 ¨ ¢® ¢á¥¬ ¤¨ ¯ §®¥ ¨§¬¥¥¨ï ¢ï§ª®á⥩ ä § (0 6 β 6 ∞) á®áâ ¢«ï¥â 7% [92℄. ¡®¡é¥¨¥ í⮣® ãà ¢¥¨ï á«ãç © ¯à®¨§¢®«ì®£® ¤¥ä®à¬ 樮®£® ᤢ¨£®¢®£® ¯®â®ª ¨¬¥¥â ¢¨¤ Pe Sh3 − 0,384 M Sh − 0,729 PeM = 0. (4.8.9) β+1 ¡ ãà ¢¥¨ï (4.8.8) ¨ (4.8.9) ¡ë«¨ ¢ë¢¥¤¥ë á ¯®¬®éìî (4.7.10), £¤¥ ¡ë« ãç⥠á¢ï§ì (4.7.12).
¥ç¥¨ï á § ¬ªãâ묨 «¨¨ï¬¨ ⮪ . ¨ääã§¨ï ª áä¥à¥, ᢮¡®¤® ¢§¢¥è¥®© ¢ ¯à®á⮬ ¨ ¯à®¨§¢®«ì®¬ ¯«®áª®¬ ᤢ¨£®¢ëå ¯®â®ª å. áá«¥¤ã¥¬ ª®¢¥ªâ¨¢ë© ¬ áᮯ¥à¥®á ª ¯®-
¢¥àå®á⨠⢥म© áä¥àë, ᢮¡®¤® ¢§¢¥è¥®© ¢ ¯à®¨§¢®«ì®¬ ¯«®áª®¬ ᤢ¨£®¢®¬ á⮪ᮢ®¬ ¯®â®ª¥. í⮬ á«ãç ¥ à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ᪮à®á⥩ ¨¤ª®á⨠¢¤ «¨ ®â ç áâ¨æë § ¤ ¥âáï ä®à¬ã« ¬¨ (4.5.1) ¯à¨ Gk3 = G3k = 0 (k = 1, 2, 3). ç¨âë¢ ï ¥á¨¬ ¥¬®áâì ¨¤ª®áâ¨, ¯à¥¤áâ ¢¨¬ ⥧®à ᤢ¨£ ¢ ¢¨¤¥ á㬬ë ᨬ¬¥âà¨ç®£® ¨ â¨á¨¬¬¥âà¨ç®£® ⥧®à®¢, ª®â®àë¥ á®®â¢¥âáâ¢ãîâ ç¨áâ® ¤¥ä®à¬ 樮®© ¨ ç¨áâ® ¢à é ⥫쮩 á®áâ ¢«ïî騬 ¤¢¨¥¨ï ¨¤ª®á⨠¡¥áª®¥ç®áâ¨:
G
11 G12 0 E1 E2 0 0 − 0
G
0
, (4.8.10)
21 G22 0 = E2 −E1 0 + 0
0
0 0 0 0 0 0 0 0
172
áá®®¡¬¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬
£¤¥ E1
= G11 = −G22 ,
E2
= 21 (G12 + G21 ), = (G21 − G12 ).
®¡é¥¬ á«ãç ¥ ¯«®áª®£® ᤢ¨£ ⥧®à kGij k ®¯à¥¤¥«ï¥âáï § ¤ ¨¥¬ âà¥å ¥§ ¢¨á¨¬ëå ¢¥«¨ç¨ E1 , E2 , . Ǒà®á⮩ ᤢ¨£®¢ë© ¯®â®ª (â¥ç¥¨¥ ãíââ ) å à ªâ¥à¨§ã¥âáï § 票ﬨ E1 = 0, E2 = − = 21 G12 . ä¥à , ᢮¡®¤® ¢§¢¥è¥ ï ¢ ¯«®áª®¬ ᤢ¨£®¢®¬ ¯®â®ª¥, § áç¥â ãá«®¢¨ï ¯à¨«¨¯ ¨ï ¨¤ª®á⨠¯®¢¥àå®á⨠¡ã¤¥â ¢à é âìáï á ¯®áâ®ï®© 㣫®¢®© ᪮à®áâìî , à ¢®© ᪮à®á⨠¢à é¥¨ï ¯®â®ª ¡¥áª®¥ç®áâ¨. ¥è¥¨¥ ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 âà¥å¬¥à®© £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®© § ¤ ç¨ ®¡ ®¡â¥ª ¨¨ ç áâ¨æë ¢ á⮪ᮢ®¬ ¯à¨¡«¨¥¨¨ ¯à¨¢¥¤¥® ¢ à ¡®â¥ [272℄. «ï ®¯¨á ¨ï १ã«ìâ ⮢ à¥è¥¨ï § ¤ ç¨ ® ¬ áá®®¡¬¥¥ áä¥àë ¢ ¯à®¨§¢®«ì®¬ ¯«®áª®¬ ᤢ¨£®¢®¬ ¯®â®ª¥ ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ ¢¢¥¤¥¬ ¡¥§à §¬¥àë¥ ¢¥«¨ç¨ë ¯® ä®à¬ã« ¬
E =
E
,
Pe =
a2 E , D
E
= (E12 + E22 )1/2 .
(4.8.11)
Ǒਠ0 < | E | 6 1 ¢ ¯®â®ª¥ ¨¬¥îâáï ª ª § ¬ªãâë¥, â ª ¨ à §®¬ªãâë¥ «¨¨¨ ⮪ ; ¯à¨ í⮬ áãé¥áâ¢ã¥â ¯à¨¬ëª îé ï ª ¯®¢¥àå®á⨠ç áâ¨æë ®¡« áâì á § ¬ªãâ묨 «¨¨ï¬¨ ⮪ , ¢¤ «¨ ®â áä¥àë «¨¨¨ ⮪ à §®¬ªãâë. ¥®¡å®¤¨¬® ®â¬¥â¨âì á«¥¤ãî饥 ¢ ®¥ ®¡áâ®ï⥫ìá⢮: ¢ãâਠ¯à¨¬ëª î饩 ª áä¥à¥ ®¡« áâ¨ á § ¬ªãâ묨 «¨¨ï¬¨ ⮪ ¥ ¯à®¨á室¨â ä®à¬¨à®¢ ¨ï ¤¨ää㧨®®£® ¯®£à ¨ç®£® á«®ï ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ (¤¨ää㧨®ë© ¯®£à ¨çë© á«®© ¢á¥£¤ ý¯®à®¤ ¥âáïþ ªà¨â¨ç¥áª¨¬¨ «¨¨ï¬¨ ⮪ , ª®â®àë¥ ¯à¨å®¤ïâ ¨§ ¡¥áª®¥ç®á⨠¯®¢¥àå®áâì ⥫ ). á«ãç ¥ 0 < | E | 6 1 ¯à¨ Pe → ∞ ¢ ®¡« á⨠á à §®¬ªãâ묨 «¨¨ï¬¨ ⮪ ª®æ¥âà æ¨ï ¯®áâ®ï ¨ à ¢ ᢮¥¬ã § ç¥¨î ¡¥áª®¥ç®áâ¨, à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ª®æ¥âà 樨 ¢ ®¡« áâ¨ á § ¬ªãâ묨 «¨¨ï¬¨ ⮪ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¢ ¢¨¤¥ ॣã«ïண® à §«®¥¨ï ¯® ®¡à âë¬ á⥯¥ï¬ ç¨á« Ǒ¥ª«¥: c = c0 + Pe−1 c1 + · · ·
(Pe → ∞).
(4.8.12)
Ǒ®¤áâ ®¢ª í⮣® àï¤ ¢ ãà ¢¥¨¥ ª®¢¥ªâ¨¢®© ¤¨ää㧨¨ (4.4.1) á ¯®á«¥¤ãî騬 ¢ë¤¥«¥¨¥¬ ç«¥®¢ ¯à¨ ®¤¨ ª®¢ëå á⥯¥ïå ¬ «®£® ¯ à ¬¥âà Pe−1 ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® £« ¢ë© ç«¥ à §«®¥¨ï 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãà ¢¥¨î (~v · ∇)c0 = 0. Ǒ®í⮬㠪®æ¥âà æ¨ï c0 ¯à¨¨¬ ¥â ¯®áâ®ïë¥ § ç¥¨ï «¨¨ïå ⮪ . ¤ ª® í⮩ ¨ä®à¬ 樨 ®ª §ë¢ ¥âáï ¥¤®áâ â®ç® ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï c0 . 믨áë¢ ï ãà ¢¥¨¥ ¤«ï á«¥¤ãî饣® ç«¥ à §«®¥¨ï c1 ¨ ¨â¥£à¨àãï ¥£® ¤ «¥¥ ¯® § ¬ªãâë¬ «¨¨ï¬ ⮪ [272℄, ¬®® ¢ë¢¥á⨠ãà ¢¥¨¥ í««¨¯â¨ç¥áª®£® ⨯ ¤«ï äãªæ¨¨ c0 . ãç¥â®¬ áâàãªâãàë à §«®¥¨ï ª®æ¥âà 樨 c
173
4.9. ¨ääã§¨ï ª ç áâ¨æ¥ ¢ ¯®áâ㯠⥫ì®-ᤢ¨£®¢®¬ ¯®â®ª¥
¨ ®â¬¥ç¥ëå ᢮©á⢠äãªæ¨¨ c0 ¬®® ᤥ« âì ®ç¥ì ¢ ë© ®¡é¨© ª ç¥áâ¢¥ë© ¢ë¢®¤: ¢ â¥å á«ãç ïå, ª®£¤ ç áâ¨æ (ª ¯«ï) ®ªà㥠®¡« áâìî â¥ç¥¨ï á § ¬ªãâ묨 «¨¨ï¬¨ ⮪ , á।¥¥ ç¨á«® ¥à¢ã¤ ¯à¨ Pe → ∞ áâ६¨âáï ª ¥ª®â®à®¬ã ª®¥ç®¬ã ¯®áâ®ï®¬ã § 票î, â.¥. ¢ë¯®«ï¥âáï à ¢¥á⢮ lim Sh = onst 6= ∞.
(4.8.13)
Pe→∞
â® ¯à¥¤¥«ì®¥ ᢮©á⢮ á।¥£® ç¨á« ¥à¢ã¤ ª®à¥ë¬ ®¡à §®¬ ®â«¨ç ¥âáï ®â ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® ¯®¢¥¤¥¨ï ¢¥«¨ç¨ë Sh ¯à¨ «¨ç¨¨ ®á®¡ëå £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª¨å â®ç¥ª, ª®£¤ á।¥¥ ç¨á«® ¥à¢ã¤ ¥®£à ¨ç¥® ¢®§à á⠥⠯ਠPe → ∞ (á¬., ¯à¨¬¥à, ä®à¬ã«ë (4.8.4) ¨ (4.8.6)). ¥§ã«ìâ âë «¨§ § ¤ ç¨ ® ¬ áá®®¡¬¥¥ áä¥àë, ᢮¡®¤® ¢§¢¥è¥®© ¢ ¯à®¨§¢®«ì®¬ ¯«®áª®¬ ᤢ¨£®¢®¬ ¯®â®ª¥ ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥, ¯à¨¢®¤¨â ª á«¥¤ãî饩 ¤¢ãåç«¥®© ᨬ¯â®â¨ª¥ ¤«ï á।¥£® ç¨á« ¥à¢ã¤ ¯à¨ ¬ «ëå § 票ïå 㣫®¢®© ᪮à®á⨠¢à 饨ï [272℄ Sh = 10,35 | E |−1 − 3,5 + O( E )
¯à¨
| E | → 0.
(4.8.14)
¨á«¥ë¥ à áç¥âë [272℄, ¯à®¢¥¤¥ë¥ ¢ ¤¨ ¯ §®¥ 0 < | E | 6 1 ¯à¨ Pe → ∞, å®à®è® ¯¯à®ªá¨¬¨àãîâáï § ¢¨á¨¬®áâìî Sh = 10,35 | E |−1 − 3,5 + | E | − 3,4 2E ,
(4.8.15)
¬ ªá¨¬ «ì ï ¯®£à¥è®áâì ª®â®à®© á®áâ ¢«ï¥â ¬¥¥¥ 3%. «ï ¯à®á⮣® ᤢ¨£ | E | = 1 ¢ëç¨á«¥¨¥ ¯® ä®à¬ã«¥ (4.8.15) ¯à¨¢®¤¨â ª § 票î Sh = 4,45, ç⮠ᮢ¯ ¤ ¥â á ¤ 묨 [272℄. 4.9. ¨ääã§¨ï ª áä¥à¥ ¢ ¯®áâ㯠⥫ì®á¤¢¨£®¢®¬ ¯®â®ª¥ ¨ ¯®â®ª¥ á ¯ à ¡®«¨ç¥áª¨¬ ¯à®ä¨«¥¬
Ǒ®áâ㯠⥫ì®-ᤢ¨£®¢®¥ â¥ç¥¨¥. áᬮâਬ ¬ áá®®¡¬¥ ⢥म© áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æë, ®¡â¥ª ¥¬®© ¯®áâ㯠⥫ì®-ᤢ¨£®¢ë¬ ¯®â®ª®¬, ª®£¤ ¯®«¥ â¥ç¥¨ï ¡®«ìè¨å à ááâ®ï¨ïå ®â ç áâ¨æë ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© á㯥௮§¨æ¨î ¯®áâ㯠⥫쮣® ¯®â®ª ᮠ᪮à®áâìî Ui ¨ ®á¥á¨¬¬¥âà¨ç®£® ¤¥ä®à¬ 樮®£® ᤢ¨£®¢®£® â¥ç¥¨ï, ¯à¨ç¥¬ ¯®áâ㯠⥫ìë© ¯®â®ª ¯à ¢«¥ ¢¤®«ì ®á¨ ¤¥ä®à¬ 樮®£® â¥ç¥¨ï. í⮬ á«ãç ¥ ¢ ¯àאַ㣮«ì®© ¤¥ª à⮢®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â, á¢ï§ ®© á æ¥â஬ ç áâ¨æë, à §¬¥àë¥ ª®¬¯®¥âë ¢¥ªâ®à ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠¢¤ «¨ ®â ç áâ¨æë ¨¬¥îâ ¢¨¤ ~ V
= (V1 , V2 , V3 ) =
− 12 GX1 , − 12 GX2 , Ui + GX3 .
(4.9.1)
174
áá®®¡¬¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬
á⮪ᮢ®¬ ¯à¨¡«¨¥¨¨ äãªæ¨ï ⮪ ¤«ï â¥ç¥¨ï (4.9.1) à ¢ á㬬¥ äãªæ¨© ⮪ , ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ®¡â¥ª ¨î ª ¤ë¬ ¨§ á®áâ ¢«ïîé¨å â¥ç¥¨© ¢ ®â¤¥«ì®áâ¨. áá®®¡¬¥ ⢥म© áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æë á ¯®áâ㯠⥫ì®-ᤢ¨£®¢ë¬ ¯®â®ª®¬ (4.9.1) ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ ¨áá«¥¤®¢ «áï ¢ à ¡®â¥ [67℄. «ï á।¥£® ç¨á« ¥à¢ã¤ , ª®â®à®¥ § ¢¨á¨â ®â ¯ à ¬¥â஢ Pe = aUi /D,
ω
= 5a|G|/Ui,
(4.9.2)
¡ë«¨ ¯®«ãç¥ë á«¥¤ãî騥 ¢ëà ¥¨ï: ¯à¨ 0 6 ω 6 1: !
r
Sh = 0,206 (ω + 1)1/3 f
2ω Pe1/3 , ω+1
(4.9.3)
¯à¨ 1 6 ω : Sh=
0,103 ω
"
r
(ω − 1)4/3 f
ω−1 2ω
!
+ (ω + 1)4/3 f
r
ω+1 2ω
!#
¤¥áì f (k ) =
8 (1 − k2 )(2 − k2 ) 16 K (k ) − 15 k4 15
k4 − k2 + 1 E (k ) k4
Pe1/3 . (4.9.4)
2/3
,
£¤¥ K (k) ¨ E (k) | ¯®«ë¥ í««¨¯â¨ç¥áª¨¥ ¨â¥£à «ë ¯¥à¢®£® ¨ ¢â®à®£® த ᮮ⢥âá⢥®. ।¥¥ ç¨á«® ¥à¢ã¤ ¤«ï áä¥à¨ç¥áª®© ª ¯«¨, ®¡â¥ª ¥¬®© ¯®áâ㯠⥫ì®-ᤢ¨£®¢ë¬ â¥ç¥¨¥¬ (4.9.1) ¯à¨ «¨¬¨â¨àãî饬 ᮯà®â¨¢«¥¨¨ ᯫ®è®© ä §ë ¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥, ¢ëç¨á«ï¥âáï ¯® ä®à¬ã« ¬ [58℄: ¯à¨ 0 6 ω 6 5/3:
2 Pe Sh = 3π(β + 1)
1/2
(4.9.5)
,
¯à¨ 5/3 6 ω :
Pe Sh = 8π(β + 1)
1/2 "
1+
5 3ω
3/2
+ 1−
5 3ω
3ω 5
−
3/2
1 3
1/2
+
3ω 1 + 5 3
1/2 # ,
(4.9.6)
4.10. áá®®¡¬¥ ¥áä¥à¨ç¥áª¨å ç áâ¨æ ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬
175
£¤¥ ¯ à ¬¥âàë Pe ¨ ω ¢ë¯¨á ë ¢ (4.9.2). ¨¤®, çâ® ¯à¨ ¨§¬¥¥¨¨ ¢¥«¨ç¨ë ω ç¨á«® ¥à¢ã¤ ¯à¨ 0 6 ω 6 5/3 ®áâ ¥âáï ¯®áâ®ïë¬, á®åà ïï § 票¥, à ¢®¥ ç¨á«ã ¥à¢ã¤ ¢ á«ãç ¥ ®¤®à®¤®£® ¯®áâ㯠⥫쮣® ¯®â®ª , ¨ à áâ¥â á à®á⮬ ω ¯à¨ ω > 5/3. Ǒਠ¯®áâ஥¨¨ ¯à¨¡«¨¥ëå § ¢¨á¨¬®á⥩ ¤«ï ç¨á« ¥à¢ã¤ ¢ á«ãç ¥ ¯®áâ㯠⥫ì®-ᤢ¨£®¢®£® ®¡â¥ª ¨ï ç áâ¨æ ¨ ¯ã§ë३ ¢® ¢á¥¬ ¤¨ ¯ §®¥ ç¨á¥« Ǒ¥ª«¥ ¬®® ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï ä®à¬ã« ¬¨ (4.7.9) ¨ (4.7.10), £¤¥ ¢ ª ç¥á⢥ Shp∞ ¨ Shb∞ á«¥¤ã¥â ¢§ïâì ¯à ¢ë¥ ç áâ¨ à ¢¥á⢠(4.9.3), (4.9.4) ¨ (4.9.5), (4.9.6) ¯à¨ β = 0.
ä¥à ¢ ¯®â®ª¥ á ¯ à ¡®«¨ç¥áª¨¬ ¯à®ä¨«¥¬ ᪮à®áâ¨.
áᬮâਬ ¤¨ääã§¨î ª ¯®¢¥àå®á⨠⢥म© áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æë à ¤¨ãá a, 㢫¥ª ¥¬®© â¥ç¥¨¥¬ Ǒã §¥©«ï ¢¤®«ì ®á¨ ªà㣫®© âàã¡ë à ¤¨ãá L. ç¨â ¥¬, ç⮠᪮à®áâì ç áâ¨æë ᮢ¯ ¤ ¥â ᮠ᪮à®áâìî ¨¤ª®á⨠®á¨ ¯®â®ª ¨ ¢ë¯®«¥® ¥à ¢¥á⢮ a ≪ L. í⮬ á«ãç ¥ à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ᪮à®á⥩ ¨¤ª®á⨠¢¤ «¨ ®â áä¥àë ¨¬¥¥â ¯ à ¡®«¨ç¥áª¨© ¯à®ä¨«ì ~ → ~e H (X 2 + X 2 ), V 1 2 3
(4.9.7)
£¤¥ X1 , X2 , X3 | ¤¥ª à⮢ á¨á⥬ ª®®à¤¨ â, á¢ï§ ï á æ¥â஬ ç áâ¨æë; ®áì X3 ¯à ¢«¥ ¯® ®á¨ âàã¡ë; e~3 | ®à⠮ᨠX3 ; ¯ à ¬¥âà H å à ªâ¥à¨§ã¥â ªà¨¢¨§ã ¯à®ä¨«ï ᪮à®á⨠®á¨ ᨬ¬¥âਨ ¨ § ¢¨á¨â ®â à á室 ¨¤ª®áâ¨. ।¥¥ ç¨á«® ¥à¢ã¤ , ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 á⮪ᮢã (¯à¨ Re → 0) ®¡â¥ª ¨î áä¥àë ¯ à ¡®«¨ç¥áª¨¬ â¥ç¥¨¥¬ (4.9.7), ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä®à¬ã«®© [60℄ Sh = 0,957 Pe1/3 ,
(4.9.8)
£¤¥ Pe = a3 H/D. 4.10. áá®®¡¬¥ ¥áä¥à¨ç¥áª¨å ç áâ¨æ ¨ ¯ã§ë३ á ¯®áâ㯠⥫ìë¬ ¯®â®ª®¬
««¨¯á®¨¤ «ì ï ç áâ¨æ . áᬮâਬ ¤¨ääã§¨î ª ¯®¢¥àå®á⨠⢥म© í««¨¯á®¨¤ «ì®© ç áâ¨æë ¢ ®¤®à®¤®¬ ¯®áâ㯠⥫쮬 á⮪ᮢ®¬ ¯®â®ª¥ (Re → 0). áâ¨æ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© í««¨¯á®¨¤ ¢à 饨ï á ¯®«ã®áﬨ a ¨ b, ®à¨¥â¨à®¢ 묨 ¢¤®«ì ¨ ¯®¯¥à¥ª ¯®â®ª ᮮ⢥âá⢥® (b | íª¢ â®à¨ «ìë© à ¤¨ãá). ¢¥¤¥¬ á«¥¤ãî騥 ®¡®§ 票ï: χ = b/a,
ae
= aχ2/3 , Pee = ae Ui/D,
(4.10.1)
176
áá®®¡¬¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬
£¤¥ ae | à ¤¨ãá íª¢¨¢ «¥â®© ¯® ®¡ê¥¬ã áä¥àë, ª®â®à ï ¢ë¡¨à « áì §¤¥áì ¢ ª ç¥á⢥ å à ªâ¥à®£® ¬ áèâ ¡ ¤«¨ë. ¥§à §¬¥àë© ¨â¥£à «ìë© ¤¨ää㧨®ë© ¯®â®ª ¯®¢¥àå®áâì í««¨¯á®¨¤ «ì®© ç áâ¨æë ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯® ä®à¬ã«¥ [297℄ I
= 7,85 K (χ) Pee1/3 ,
(4.10.2)
£¤¥ ª®íää¨æ¨¥â ä®à¬ë K ¢ëç¨á«ï¥âáï â ª: 4 1/3 χ2 − 2 −2/9 1 2 /3 K (χ) = χ 1+ p 2 (χ − 1) 3 χ −1
4 1/3 2 − χ2 −2/9 2 1 /3 p K (χ) = χ (1 − χ ) 3 2 1 − χ2
ln
−1/3 p 2 ar tg χ − 1
¯à¨ χ > 1, p −1/3 1 + p1 − χ2 −1 1 − 1 − χ2 ¯à¨
χ 6 1. (4.10.3) Ǒਠχ = 1 ¨¬¥¥¬ K = 1, ¨ ä®à¬ã« (4.10.2) ¯®á«¥ ¤¥«¥¨ï 4π ¯¥à¥å®¤¨â ¢ १ã«ìâ â ¤«ï ç¨á« ¥à¢ã¤ ¢ á«ãç ¥ ⢥म© áä¥àë (4.6.8). ¨â¥à¢ «¥ 0,5 6 χ 6 3,0 ª®íää¨æ¨¥â ä®à¬ë å®à®è® ¯¯à®ªá¨¬¨àã¥âáï ¢ëà ¥¨¥¬ [60℄ 2 (χ − 1), K (χ) = 1 + 45
(4.10.4)
¬ ªá¨¬ «ì ï ¯®£à¥è®áâì ª®â®à®£® á®áâ ¢«ï¥â 0,8%. ।¥¥ ç¨á«® ¥à¢ã¤ ¢ëç¨á«ï¥âáï ¯® ä®à¬ã«¥ Sh = I/S , £¤¥ S | ¡¥§à §¬¥à ï ¯«®é ¤ì ¯®¢¥àå®áâ¨ í««¨¯á®¨¤ ¢à 饨ï: S S
= =
2π
χ1/3
2π
χ1/3
χ+ χ+
! p χ + χ2 − 1 p p ln 2 χ2 − 1 χ − χ2 − 1 ! p 1 p ar sin 1 − χ2 1 − χ2
1
¯à¨
χ > 1,
(4.10.5) ¯à¨
χ 6 1.
¥§à §¬¥à ï ¢¥«¨ç¨ S ¢ëà ¥âáï ç¥à¥§ à §¬¥àãî ¯«®é ¤ì ¯®¢¥àå®áâ¨ í««¨¯á®¨¤ S∗ á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: S = S∗ /a2e . Ǒਠ®¡â¥ª ¨¨ í««¨¯á®¨¤ «ì®© ç áâ¨æë ¯®áâ㯠⥫ìë¬ áâ®ªá®¢ë¬ ¯®â®ª®¬ ¯à¨ «î¡ëå ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ á।¥¥ ç¨á«® ¥à¢ã¤ (®¯à¥¤¥«¥®¥ ¯® ae ) ¬®® ¢ëç¨á«ïâì á ¯®¬®éìî ¯à¨¡«¨¥®© § ¢¨á¨¬®á⨠[219℄ Sh = 0,5
1 S
ae
+
1 S
0,125
ae
3
+ 7,85 K (χ) 3 Pee
1/3
,
(4.10.6)
4.10. áá®®¡¬¥ ¥áä¥à¨ç¥áª¨å ç áâ¨æ ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬
177
£¤¥ ä ªâ®à ä®à¬ë ¯à¨¢¥¤¥ ¢® ¢â®à®© ¨ âà¥â쥩 áâப å â ¡«. 4.2, ¢¥«¨ç¨ë Pee , K , S ¢ë¯¨á ë ᮮ⢥âá⢥® ¢ (4.10.1), (4.10.3) ¨ (4.10.4). à ¡®â¥ [257℄ á ¯®¬®éìî ª®¥ç®-à §®áâëå ç¨á«¥ëå ¬¥â®¤®¢ ¨áá«¥¤®¢ « áì ®á¥á¨¬¬¥âà¨ç ï § ¤ ç ® ¬ áá®®¡¬¥¥ í««¨¯á®¨¤ «ì®© ç áâ¨æë á ¯®áâ㯠⥫ìë¬ áâ®ªá®¢ë¬ ¯®â®ª®¬. áᬠâਢ «¨áì ¤¢ á«ãç ï, ª®£¤ ¤«¨ ®à¨¥â¨à®¢ ®© ¢¤®«ì ¯®â®ª ¯®«ã®á¨ ç áâ¨æë ¡ë« ¢ ¯ïâì à § ¡®«ìè¥ ¨ ¢ ¯ïâì à § ¬¥ìè¥ ¤«¨ë ¯®«ã®á¨, ¯à ¢«¥®© ¯®¯¥à¥ª â¥ç¥¨ï. § १ã«ìâ ⮢ ç¨á«¥®£® à¥è¥¨ï [257℄ ᮣ« á® ¤ ë¬ [219℄ á«¥¤ã¥â, çâ® ¬ ªá¨¬ «ì ï ¯®£à¥è®áâì ä®à¬ã«ë (4.10.6) ¤«ï í««¨¯á®¨¤ «ì®© ç áâ¨æë ¢ 㪠§ ëå á«ãç ïå ¥ ¯à¥¢®á室¨â 10%. ®à¬ã«ë (4.10.2) ¨ (4.10.4) áâ ®¢ïâáï ¥¯à¨£®¤ë¬¨ ¤«ï á¨«ì® á¯«îáã⮣® (χ ≫ 1) ¨ á¨«ì® ¢ëâïã⮣® (χ ≪ 1) í««¨¯á®¨¤ ¢à 饨ï. à㣮¢®© ⮪¨© ¤¨áª ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥. «ãç © χ → ∞ (â.¥. a → 0, b = onst) ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¤¨ää㧨¨ ª ¯®¢¥àå®á⨠⮪®£® ªà㣮¢®£® ¤¨áª à ¤¨ãá b, à ᯮ«®¥®£® ¯®¯¥à¥ª ®¤®à®¤®-¯®áâ㯠⥫쮣® á⮪ᮢ ¯®â®ª . ⬥⨬ ¤¢ áãé¥á⢥ëå ®â«¨ç¨ï à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¤¨ää㧨®®£® ¯®â®ª ¯® ¯®¢¥àå®á⨠¤¨áª ¯® áà ¢¥¨î á à á¯à¥¤¥«¥¨¥¬ ¤¨ää㧨®®£® ¯®â®ª ¤«ï áä¥àë ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥. ®¯¥à¢ëå, ¯à¨ 㤠«¥¨¨ ®â ¯¥à¥¤¥© ªà¨â¨ç¥áª®© â®çª¨ (â®çª¨ ⥪ ¨ï) ¢¤®«ì ¯®¢¥àå®á⨠¤¨áª «®ª «ìë© ¤¨ää㧨®ë© ¯®â®ª ¬®®â®® ¢®§à áâ ¥â, ¥ 㬥ìè ¥âáï, ª ª íâ® ¨¬¥«® ¬¥áâ® ¢ á«ãç ¥ áä¥àë. ®-¢â®àëå, ¤¨ää㧨®ë© ¯®â®ª ¤¨áª ®ª §ë¢ ¥âáï ¯à®¯®à樮 «ìë¬ ç¨á«ã Ǒ¥ª«¥ ¢ á⥯¥¨ 1/4, ¥ 1/3, ª ª ¡ë«® ¯®«ã祮 à ¥¥ ¤«ï ⢥म© áä¥àë. ª®¥ ᨥ¨¥ ¤¨ää㧨®®£® ¯®â®ª ®¡ãá«®¢«¥® áãé¥á⢥® ¡®«¥¥ ¨â¥á¨¢ë¬ â®à¬®¥¨¥¬ ¯®â®ª ¨¤ª®á⨠¢¡«¨§¨ ¤¨áª . ¥§à §¬¥àë© ¨â¥£à «ìë© ¤¨ää㧨®ë© ¯®â®ª ¯¥à¥¤îî ç áâì ¤¨áª ¯à¨ Pe → ∞ à ¢¥ [60, 145℄ I
= 3,66 Peb1/4 ,
Peb = bUi /D.
(4.10.7)
[257℄ ¯à¨¢¥¤¥ë १ã«ìâ âë ç¨á«¥ëå à áç¥â®¢ á।¥£® ç¨á« ¥à¢ã¤ ¤«ï ¤¨áª ¯à¨ à §«¨çëå ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ ¨ ¥©®«ì¤á .
¥ä®à¬¨à®¢ ë© £ §®¢ë© ¯ã§ëàì ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å ¥©®«ì¤á . áᬮâਬ ¤¨ääã§¨î ª ¯ã§ëàî, ¢á¯«ë¢ î饬㠢
¨¤ª®á⨠¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å ¥©®«ì¤á . ®à¬ ¯ã§ëàï áãé¥á⢥® § ¢¨á¨â ®â ¢¥«¨ç¨ë ç¨á« ¥¡¥à We, ª®â®à®¥ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: We = aeρUi2/σ, (4.10.8)
178
áá®®¡¬¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬
£¤¥ ae | à ¤¨ãá áä¥àë, ®¡ê¥¬ ª®â®à®© à ¢¥ ®¡ê¥¬ã ¯ã§ëàï, Ui | ãáâ ®¢¨¢è ïáï ᪮à®áâì ¯ã§ëàï, ρ | ¯«®â®áâì ¨¤ª®áâ¨, σ | ª®íää¨æ¨¥â ¯®¢¥àå®á⮣® â泌ï. Ǒਠ¬ «ëå We ä®à¬ ¯ã§ëàï ¡«¨§ª ª áä¥à¨ç¥áª®©; ¯à¨ ¡®«ìè¨å We ¯ã§ëàì ¯à¨¨¬ ¥â ¢¨¤ áä¥à¨ç¥áª®£® ᥣ¬¥â , çâ® á¢ï§ ® â ª¥ á ¥¨ï¬¨ ®âàë¢ ¢ ª®à¬®¢®© ç áâ¨. 票ï ç¨á¥« ¥¡¥à ¯®à浪 ¥¤¨¨æë á®áâ ¢«ïîâ ¢ ãî ¤«ï ¯à ªâ¨ª¨ ¯à®¬¥ãâ®çãî ®¡« áâì ¨§¬¥¥¨ï We, ª®£¤ ¯ã§ëàì, ¡ã¤ãç¨ áãé¥á⢥® ¤¥ä®à¬¨à®¢ ë¬, á®åà ï¥â ᨬ¬¥âà¨î ®â®á¨â¥«ì® ᢮¥£® ¬¨¤¥«¥¢ á¥ç¥¨ï. «ï â ª¨å § 票© We ä®à¬ ¯ã§ëàï å®à®è® ¯¯à®ªá¨¬¨àã¥âáï ᯫîáãâë¬ ¢ ¯à ¢«¥¨¨ ¯®â®ª í««¨¯á®¨¤®¬ ¢à 饨ï á ¯®«ã®áﬨ a ¨ b = χa, £¤¥ ¯®«ã®áì b ®à¨¥â¨à®¢ ¯®¯¥à¥ª ¯®â®ª ¨ χ > 1. ॡ®¢ ¨¥ ¢ë¯®«¥¨ï £à ¨ç®£® ãá«®¢¨ï ¤«ï ®à¬ «ìëå ¯à泌© ¢ ¯¥à¥¤¥© ¨ § ¤¥© ªà¨â¨ç¥áª¨å â®çª å, â ª¥ ¢¤®«ì £à ¨æë ¬¨¤¥«¥¢ á¥ç¥¨ï ¯ã§ëàï ¯à¨¢®¤¨â ª á«¥¤ãî饩 § ¢¨á¨¬®á⨠¬¥¤ã ç¨á«®¬ ¥¡¥à We ¨ ®â®è¥¨¥¬ χ ¡®«ì让 ¨ ¬ «®© ¯®«ã®á¨ í««¨¯á®¨¤ [261℄: We = 2χ−4/3 (χ3 + χ − 2)
2 2 χ ar se χ − (χ2 − 1)1/2 (χ − 1)−3 .
¨á«¥ë¥ ®æ¥ª¨ [261℄ ¯®ª §ë¢ îâ, çâ® ¬ ªá¨¬ «ì®¥ ®âª«®¥¨¥ ¨á⨮© ªà¨¢¨§ë ®â ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® § ç¥¨ï ¤«ï ¯¯à®ªá¨¬¨àãî饣® í««¨¯á®¨¤ ¥ ¯à¥¢ëè ¥â 5% ¯à¨ We 6 1 (χ 6 1,5) ¨ 10% ¯à¨ We 6 1,4 (χ 6 2). «ï ®¡ëçëå ¨¤ª®á⥩ ⨯ ¢®¤ë ¤¥ä®à¬ æ¨î ¯ã§ëàï á«¥¤ã¥â ¯à¨¨¬ âì ¢® ¢¨¬ ¨¥, ç¨ ï á Re ∼ 102 , £¤¥ Re = ae Ui/ν | ç¨á«® ¥©®«ì¤á , ν | ª¨¥¬ â¨ç¥áª ï ¢ï§ª®áâì. ¥§à §¬¥àë© ¨â¥£à «ìë© ¤¨ää㧨®ë© ¯®â®ª, ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ¯®â¥æ¨ «ì®¬ã ®¡â¥ª ¨î í««¨¯á®¨¤ «ì®£® ¯ã§ëàï (Re = ∞), ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ ¢ëç¨á«ï¥âáï ¯® ä®à¬ã«¥ [66℄ I
= 4(2π)1/2 (χ)χ−1/3 Pe1/2 ,
Pe = ae Ui /D,
(4.10.9)
£¤¥
(χ) =
2 3
1/2
(χ2 − 1)3/4 χ2/3
(χ2 − 1)1/2 ar tg(χ2 − 1)1/2 − χ2
−1/2
.
«ï áä¥à¨ç¥áª®£® ¯ã§ëàï ¢ (4.10.9) á«¥¤ã¥â ¯®«®¨âì χ = 1 ¨
(1) = 1. Ǒਠ1 6 χ 6 2 äãªæ¨î (χ) ¬®® ¯¯à®ªá¨¬¨à®¢ âì ¯à®áâë¬ ¢ëà ¥¨¥¬ = 0,5 (χ + 1), ¯®£à¥è®áâì ª®â®à®£® ¥ ¯à¥¢ëè ¥â 3%.
4.10. áá®®¡¬¥ ¥áä¥à¨ç¥áª¨å ç áâ¨æ ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬
179
¢ãåç«¥®¥ à §«®¥¨¥ ¡¥§à §¬¥à®£® ¨â¥£à «ì®£® ¯®â®ª I , ¯®«ã祮¥ ¢ ¯à¨¡«¨¥¨¨ ¤¨ää㧨®®£® ¯®£à ¨ç®£® á«®ï á ãç¥â®¬ ¯®¯à ¢®ª (¯® ç¨á«ã ¥©®«ì¤á ) ª ¯®â¥æ¨ «ì®¬ã ¯®«î ®¡â¥ª ¨ï ¯ã§ëàï, ¨¬¥¥â ¢¨¤ I
= 4(2π)1/2 (χ)χ−1/3 1 − Re−1/2 1 (χ)χ1/3
1/2
Pe1/2 .
(4.10.10)
¤¥áì 1 | äãªæ¨ï ®â®è¥¨ï ¯®«ã®á¥© ¯ã§ëàï, ª®â®à ï à ááç¨âë¢ « áì ç¨á«¥® ¢ [66℄. ǑਠRe → ∞ ä®à¬ã« (4.10.10) ¯¥à¥å®¤¨â ¢ (4.10.9). «ï áä¥à¨ç¥áª®£® ¯ã§ëàï χ = 1 ¢ ¢ëà ¥¨¨ (4.10.10) á«¥¤ã¥â ¯®«®¨âì 1 (1) = 2,05 [318℄. ®¡« á⨠1 6 χ 6 2 (We 6 1,4) ¤«ï 1 ¬®® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¯à¨¡«¨¥®¥ ¢ëà ¥¨¥
1 (χ) = 0,2 (χ2 + 3χ + 6),
(4.10.11)
¬ ªá¨¬ «ì®¥ ®âª«®¥¨¥ ®â â®çëå § 票© ¯à¨ í⮬ ¥ ¯à¥¢ëè ¥â 3%. ।¥¥ ç¨á«® ¥à¢ã¤ ¤«ï í««¨¯á®¨¤ «ì®£® ¯ã§ëàï ¢ëç¨á«ï¥âáï á ¯®¬®éìî (4.10.10) ¯® ä®à¬ã«¥ Sh = I/S , £¤¥ ¡¥§à §¬¥à ï ¯«®é ¤ì ¯®¢¥àå®á⨠S à ááç¨âë¢ ¥âáï ¯ã⥬ ¨á¯®«ì§®¢ ¨ï ¢¥à奣® ¢ëà ¥¨ï (4.10.5).
¡é¨¥ ä®à¬ã«ë ¤«ï à áç¥â á।¥£® ç¨á« ¥à¢ã¤ ¢ á«ãç ¥ £« ¤ª¨å ç áâ¨æ ¯à®¨§¢®«ì®© ä®à¬ë. à ¡®â¥ [207℄
¡ë«® ¤®ª § ® á«¥¤ãî饥 ®¡é¥¥ ã⢥थ¨¥ ¤«ï á«ãç ï ®¡â¥ª ¨ï ç áâ¨æë ¯à®¨§¢®«ì®© ä®à¬ë ®¤®à®¤ë¬ ¯®áâ㯠⥫ìë¬ áâ®ªá®¢ë¬ (Re → 0) ¯®â®ª®¬ ¨«¨ ¯®â¥æ¨ «ìë¬ â¥ç¥¨¥¬: á।¥¥ ç¨á«® ¥à¢ã¤ ¥ ¬¥ï¥âáï, ¥á«¨ ¨§¬¥¨âì ¯à ¢«¥¨¥ ¤¢¨¥¨ï ¨¤ª®á⨠®¡à ⮥. Ǒãáâì ®áì ⥫ ¢à 饨ï á®áâ ¢«ï¥â 㣮« ω á ¯à ¢«¥¨¥¬ ᪮à®á⨠¯®áâ㯠⥫쮣® ¯®â®ª ¡¥áª®¥ç®áâ¨. [278℄ ¤«ï á।¥£® ç¨á« ¥à¢ã¤ ¡ë« ¢ë¢¥¤¥ ¯à¨¡«¨¥ ï ä®à¬ã« Sh = Shk os2 ω + Sh⊥ sin2 ω,
(4.10.12)
£¤¥ Shk ¨ Sh⊥ | á।¨¥ ç¨á« ¥à¢ã¤ , ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¯ à ««¥«ì®¬ã (ω = 0) ¨ ¯¥à¯¥¤¨ªã«ï஬ã (ω = π/2) à ᯮ«®¥¨î ⥫ ¢à é¥¨ï ¢ ¯®â®ª¥. Ǒਠ¬ «ëå ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ ¤«ï ¯®áâ㯠⥫쮣® á⮪ᮢ ®¡â¥ª ¨ï ⥫ ¢à é¥¨ï ¯à®¨§¢®«ì®© ä®à¬ë ¢ëà ¥¨¥ (4.10.12) ᮢ¯ ¤ ¥â á â®çë¬ á¨¬¯â®â¨ç¥áª¨¬ १ã«ìâ ⮬ ¤® âà¥å ¯¥à¢ëå ç«¥®¢ à §«®¥¨ï ¢ª«îç¨â¥«ì® [278℄. ª ª ª ¤«ï ç áâ¨æë áä¥à¨ç¥áª®© ä®à¬ë à ¢¥á⢮ (4.10.12) ¢ë¯®«ï¥âáï ⮤¥á⢥® ¤«ï «î¡ëå ç¨á¥« Ǒ¥ª«¥, â® á«¥¤ã¥â ®¨¤ âì, çâ® ¤«ï ç áâ¨æ, ä®à¬ ª®â®àëå ¡«¨§ª ª áä¥à¨ç¥áª®©, ¯à¨¡«¨¥ ï ä®à¬ã« (4.10.12) ¡ã¤¥â ¤ ¢ âì å®à®è¨¥
180
áá®®¡¬¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬
१ã«ìâ âë ¥ ⮫쪮 ¤«ï ¬ «ëå, ® ¨ ¤«ï ¯à®¬¥ãâ®çëå ¨ ¡®«ìè¨å ç¨á¥« Ǒ¥ª«¥. Ǒਠ®¡â¥ª ¨¨ £« ¤ª¨å ç áâ¨æ «î¡®© ä®à¬ë ¯à®¨§¢®«ìë¬ áâ 樮 àë¬ ¢ï§ª¨¬ â¥ç¥¨¥¬ (¯à¨ ®âáãâá⢨¨ § ¬ªãâëå «¨¨© ⮪ ) á।¥¥ ç¨á«® ¥à¢ã¤ ¢® ¢á¥¬ ¤¨ ¯ §®¥ ç¨á¥« Ǒ¥ª«¥ ¬®® ¢ëç¨á«¨âì ¯® ¯à¨¡«¨¥®© ä®à¬ã«¥ [72℄ Sh = 0,5 Sh0 + (0,125 Sh30 + Sh3∞ )1/3 ,
(4.10.13)
ª®â®à ï ¢ë¢®¤¨âáï ¬¥â®¤®¬ ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨å «®£¨© ¨§ (4.7.1). ª ç¥á⢥ ¢á¯®¬®£ ⥫ìëå ¢¥«¨ç¨ Sh0 ¨ Sh∞ ¢ (4.10.13) á«¥¤ã¥â ¯®¤áâ ¢«ïâì £« ¢ë¥ ç«¥ë ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨å à §«®¥¨© á।¥£® ç¨á« ¥à¢ã¤ ¯à¨ ¬ «ëå ¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥, ᮮ⢥âá⢥®. (ᥠ¢¥«¨ç¨ë Sh, Sh0 ¨ Sh∞ ¢ (4.10.13) ®¯à¥¤¥«¥ë á ¯®¬®éìî ®¤®£® ¨ ⮣® ¥ å à ªâ¥à®£® ¬ áèâ ¡ ¤«¨ë.) «ï ç áâ¨æ áä¥à¨ç¥áª®© ä®à¬ë ¨¬¥¥¬ Sh0 = 1 (§ ¬ áèâ ¡ ¤«¨ë ¢ë¡à à ¤¨ãá), ¨ ¢ëà ¥¨¥ (4.10.13) ¯¥à¥å®¤¨â ¢ (4.7.9). Ǒ®¤áâ ®¢ª ¢ (4.10.13) ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å § 票© Sh0 ¨ Sh∞ ¤«ï ç áâ¨æ í««¨¯á®¨¤ «ì®© ä®à¬ë ¢ ¯®áâ㯠⥫쮬 á⮪ᮢ®¬ ¯®â®ª¥ ¯à¨¢®¤¨â ª ä®à¬ã«¥ (4.10.6). Ǒਠ¯à®¤®«ì®¬ ®¡â¥ª ¨¨ ¢ë¯ãª«ëå ⥫ ¢à é¥¨ï ¤®áâ â®ç® £« ¤ª®© ä®à¬ë ¯®áâ㯠⥫ìë¬ áâ®ªá®¢ë¬ ¯®â®ª®¬ ¯®£à¥è®áâì E (¢ ¯à®æ¥â å, %) § ¢¨á¨¬®á⨠¤«ï á।¥£® ç¨á« ¥à¢ã¤ (4.10.13) ¯à¨¡«¨¥® ¬®® ®æ¥¨âì â ª: E <2
a b
+
b a
,
£¤¥ a ¨ b | ¬ ªá¨¬ «ìë¥ ¯à®¤®«ìë© ¨ ¯®¯¥à¥çë© ¬ áèâ ¡ ç áâ¨æë. ª § ï ®æ¥ª ᮣ« áã¥âáï á ®¯¨á 묨 à ¥¥ १ã«ìâ â ¬¨ ¤«ï í««¨¯á®¨¤ «ì®© ç áâ¨æë. «ï ç áâ¨æë § ¤ ®© ä®à¬ë ¢á¯®¬®£ ⥫ìë¥ ¢¥«¨ç¨ë Sh0 ¨ Sh∞ , ¢å®¤ï騥 ¢ ¢ëà ¥¨¥ (4.10.13), ¬®® ®¯à¥¤¥«¨âì ª ª ⥮à¥â¨ç¥áª¨ (á¬. à §¤. 4.3), â ª ¨ íªá¯¥à¨¬¥â «ì®. ¯®á«¥¤¥¬ á«ãç ¥ ¯ à ¬¥âà Sh0 室¨âáï ¨§ ®¯ëâ ¯® ¤¨ää㧨¨ ª ç áâ¨æ¥ ¢ ¥¯®¤¢¨®© ¨¤ª®áâ¨. ( ¯®¬¨¬, çâ® § 票¥ Sh0 ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¡¥§à §¬¥à®© ¥¬ª®á⨠⥫ , í«¥ªâà®áâ â¨ç¥áª¨© ᯮᮡ ¨§¬¥à¥¨ï ª®â®à®© è¨à®ª® ¨á¯®«ì§ã¥âáï ¢ í«¥ªâà®â¥å¨ª¥.) ᨬ¯â®â¨ª á।¥£® ç¨á« ¥à¢ã¤ ¯à¨ Pe → ∞ ¤«ï ⢥म© ç áâ¨æë ¨¬¥¥â ¢¨¤ Sh∞ = B Pe1/3 , £¤¥ B | ¥ª®â®à ï ¯®áâ®ï ï [60℄. Ǒ®í⮬㠤«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¯ à ¬¥âà B , á«¥¤®¢ â¥«ì® ¨ ¢¥«¨ç¨ë Sh∞ , ¤®áâ â®ç® ¯®áâ ¢¨âì ®¤¨-¥¤¨áâ¢¥ë© íªá¯¥à¨¬¥â ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ (¡®«ì訥 ç¨á« Ǒ¥ª«¥ ¯à¨ ¨§ª¨å ç¨á« å ¥©®«ì¤á Re < 0,5 «¥£ª® ¤®á⨣ îâáï ¢ ¢®¤ëå à á⢮à å £«¨æ¥à¨ ). ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤¢ãå ¤®áâ â®ç®
4.11. áá®®¡¬¥ 樫¨¤à á ¯®áâ㯠⥫ìë¬ ¨ ᤢ¨£®¢ë¬ ¯®â®ª®¬
181
¯à®áâëå íªá¯¥à¨¬¥â®¢ ¢¯®«¥ å¢ â ¥â ¤«ï ®âë᪠¨ï ¢¥«¨ç¨ Sh0 ¨ Sh∞ . «ï £« ¤ª¨å ç áâ¨æ ¯à®¨§¢®«ì®© ä®à¬ë, ®¡â¥ª ¥¬ëå ¨¤¥ «ì®© ¨¤ª®áâìî (¬®¤¥«ì ⥯«®®¡¬¥ ç áâ¨æ á ¨¤ª¨¬¨ ¬¥â «« ¬¨ ¯à¨ Pr ≪ 1 ¨ Re ≫ 1), á।¥¥ ç¨á«® ãáᥫì⠯ਠ®âáãâá⢨¨ ®¡« áâ¨ á § ¬ªãâ묨 «¨¨ï¬¨ ⮪ ¬®® ¢ëç¨á«ïâì ¯® ä®à¬ã«¥ Nu = 0,6 Nu0 + (0,16 Nu20 + Nu2∞ )1/2 ,
(4.10.14)
£¤¥ Nu0 ¨ Nu∞ | ᨬ¯â®â¨ª¨ ç¨á« ãáᥫì⠯ਠPeT → 0 ¨ PeT → ∞. Ǒਠ®¡â¥ª ¨¨ áä¥àë ¡¥§¢¨åà¥¢ë¬ ¯®áâ㯠⥫ìë¬ ¯®â®ª®¬ ¨¤¥ «ì®© ¨¤ª®á⨠¬ ªá¨¬ «ì ï ¯®£à¥è®áâì ¢ëà ¥¨ï (4.10.14) á®áâ ¢«ï¥â ®ª®«® 3%. ®à¬ã«ã (4.10.14) ¬®® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¯à¨ à áç¥â¥ á।¥£® ç¨á« ¥à¢ã¤ (§ ¬¥¨¢ Nu Sh) ¤«ï ¯ã§ë३ ¥áä¥à¨ç¥áª®© ä®à¬ë, ¤¢¨ãé¨åáï ¢ ¢ï§ª®© ¨¤ª®áâ¨. 4.11. áá®- ¨ ⥯«®®¡¬¥ 樫¨¤à®¢ á ¯®áâ㯠⥫ìë¬ ¨ ᤢ¨£®¢ë¬ ¯®â®ª®¬ (¯«®áª ï § ¤ ç )
¨ääã§¨ï ª ªà㣮¢®¬ã 樫¨¤àã ¢ ¯®áâ㯠⥫쮬 ¯®â®ª¥. áᬮâਬ ¤¨ääã§¨î ª ¯®¢¥àå®á⨠ªà㣮¢®£® 樫¨¤à à -
¤¨ãá a, ®¡â¥ª ¥¬®£® ®à¬ «ìë¬ ª ¥£® ®á¨ ¯®áâ㯠⥫ìë¬ ¯®â®ª®¬ ᮠ᪮à®áâìî Ui. â § ¤ ç ï¥âáï ¬®¤¥«ì®© ¢ 娬¨ç¥áª®© â¥å®«®£¨¨ ¤«ï à áç¥â ¬ áᮯ¥à¥®á ª ç áâ¨æ ¬ 㤫¨¥®© ä®à¬ë, ® ®á®¡¥® è¨à®ª® ® ¨á¯®«ì§ã¥âáï ¢ ¬¥å ¨ª¥ í஧®«¥© ¯à¨ «¨§¥ ¯à®æ¥áá ¤¨ää㧨®®£® ®á ¤¥¨ï í஧®«¥© ¢®«®ª¨áâëå 䨫ìâà å [171, 177℄. Ǒਠ¬ «ëå ç¨á« å ¥©®«ì¤á Re = aUi /ν १ã«ìâ âë «¨â¨ç¥áª®£® à¥è¥¨ï 㪠§ ®© § ¤ ç¨ ¯à¨¢®¤ïâ ª á«¥¤ãî饬㠤¢ãåç«¥®¬ã à §«®¥¨î á।¥£® ç¨á« ¥à¢ã¤ (®¯à¥¤¥«¥®£® ¯® à ¤¨ãáã 樫¨¤à ) ¯® ¡®«ì讬ã ç¨á«ã Ǒ¥ª«¥ Pe = aUi /D [171℄: Sh =
0,580 Pe1/3 + 0,0993. (2,00 − ln 2 Re)1/3
(4.11.1)
« ¢ë© ç«¥ ¢ ä®à¬ã«¥ (4.11.1) ¡ë« ¢ëç¨á«¥ ¢ à ¡®â å [116, 231℄. ¨ääã§¨ï ª í««¨¯â¨ç¥áª®¬ã 樫¨¤àã ¢ ¯®áâ㯠⥫쮬 ¯®â®ª¥ ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ à áᬠâਢ « áì ¢ [60, 145℄. «ï S > 0,5 á।¥¥ ç¨á«® ¥à¢ã¤ ¯à¨ ¯®¯¥à¥ç®¬ ®¡â¥ª ¨¨ 樫¨¤à®¢ à §«¨ç®© ä®à¬ë ¢ è¨à®ª®¬ ¤¨ ¯ §®¥ ¨§¬¥¥¨ï ç¨á¥«
182
áá®®¡¬¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬
4.5 ç¥¨ï ª®íää¨æ¨¥â®¢ A ¨ m ¢ ä®à¬ã«¥ (4.11.2) ¤«ï ¯®¯¥à¥ç® ®¡â¥ª ¥¬ëå áâ¥à¥© à §«¨ç®© ä®à¬ë ®à¬ á¥ç¥¨ï áâ¥àï (®¡â¥ª ¨¥ á«¥¢ ¯à ¢®)
Re
A
m
0,05 ÷ 2 2÷4 4 ÷ 500 500 ÷ 2,5 · 103 2,5 · 103 ÷ 2,5 · 104 2,5 · 104 ÷ 105
0,640 0,556 0,381 0,430 0,142 0,0168
0,305 0,41 0,47 0,47 0,60 0,80
2,5 · 103 ÷ 5 · 104
0,162
0,588
1,25 · 103 ÷ 2,5 · 103 2,5 · 103 ÷ 5 · 104
0,116 0,0672
0,699 0,675
2,5 · 103 ÷ 5 · 104
0,101
0,638
2,5 · 103 ÷ 9,8 · 103 9,8 · 103 ÷ 5 · 104
0,105 0,0255
0,638 0,782
¥©®«ì¤á ¬®® ®¯à¥¤¥«ïâì á ¯®¬®éìî ä®à¬ã«ë, ¯®«ã祮© ®á®¢¥ ®¡à ¡®âª¨ íªá¯¥à¨¬¥â «ìëå ¤ ëå [93℄ Sh = A S 0,37 Rem ,
(4.11.2)
£¤¥ § ç¥¨ï ª®íää¨æ¨¥â®¢ A, m 㪠§ ë ¢ â ¡«. 4.5.
¨ääã§¨ï ª ªà㣮¢®¬ã 樫¨¤àã ¢ ᤢ¨£®¢®¬ ¯®â®ª¥.
ªà¥¯«¥ë© 樫¨¤à. áᬮâਬ ¤¨ääã§¨î ª ¯®¢¥àå®á⨠§ ªà¥¯«¥®£® ªà㣮¢®£® 樫¨¤à , ®¡â¥ª ¥¬®£® áâ 樮 àë¬ «¨¥©ë¬ ᤢ¨£®¢ë¬ áâ®ªá®¢ë¬ (Re → 0) ¯®â®ª®¬ ¢ ¯«®áª®áâ¨, ®à¬ «ì®© ª ®á¨ 樫¨¤à . á¯à¥¤¥«¥¨¥ ᪮à®á⥩ â ª®£® â¥ç¥¨ï ¢¤ «¨ ®â 樫¨¤à ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ¬®¥â ¡ëâì ¯à¥¤áâ ¢«¥® ä®à¬ã«®© (2.7.8) ¨ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï § ¤ ¨¥¬ âà¥å ¢¥«¨ç¨ E1 , E2 , . Ǒ à ¬¥âà p 2 E = E1 + E22 å à ªâ¥à¨§ãîâ ¨â¥á¨¢®áâì ç¨áâ® ¤¥ä®à¬ 樮®© á®áâ ¢«ïî饩 ¤¢¨¥¨ï, ®â¢¥ç ¥â § ¢à 饨¥ ¨¤ª®áâ¨. ç¥á⢥ ï ª à⨠®¡â¥ª ¨ï 樫¨¤à ᤢ¨£®¢ë¬ ¯®â®ª®¬ § ¢¨á¨â ®â ¢¥«¨ç¨ë ®â®è¥¨ï ¯ à ¬¥âà E = E/ . ¡â¥ª ¨¥ § ªà¥¯«¥®£® 樫¨¤à ¯à®¨§¢®«ìë¬ á¤¢¨£®¢ë¬ áâ®ªá®¢ë¬ ¯®â®ª®¬ ®¯¨áë¢ ¥âáï äãªæ¨© ⮪ (2.7.9). £à ¨ç¨¬áï
4.11. áá®®¡¬¥ 樫¨¤à á ¯®áâ㯠⥫ìë¬ ¨ ᤢ¨£®¢ë¬ ¯®â®ª®¬
183
«¨§®¬ á«ãç ï 0 6 | E | 6 1, ª®£¤ ¯®¢¥àå®á⨠樫¨¤à ¨¬¥îâáï ç¥âëॠªà¨â¨ç¥áª¨¥ â®çª¨. à¨á. 2.10 ª ç¥á⢥® ¨§®¡à ¥ë «¨¨¨ ⮪ ¤«ï ç¨áâ® ¤¥ä®à¬ 樮®£® (¯à¨ E = 0) ¨ ¯à®á⮣® ᤢ¨£®¢®£® (¯à¨ E = 1) â¥ç¥¨©. à ¡®â¥ [141℄ ¢ ¯à¨¡«¨¥¨¨ ¤¨ää㧨®®£® ¯®£à ¨ç®£® á«®ï (Pe ≫ 1) ¡ë«® ¯®«ã祮 à¥è¥¨¥ ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 § ¤ ç¨ ® ¬ áá®®¡¬¥¥ ªà㣮¢®£® 樫¨¤à á ¯à®¨§¢®«ìë¬ á¤¢¨£®¢ë¬ ¯®â®ª®¬. ë«® ¯®ª § ®, çâ® à®á⠡᮫î⮩ ¢¥«¨ç¨ë 㣫®¢®© ᪮à®á⨠¢à 饨ï ᤢ¨£®¢®£® ¯®â®ª ¯à¨¢®¤¨â ª ¥¡®«ì讬ã ᨥ¨î ¨â¥á¨¢®á⨠¬ áá®- ¨ ⥯«®®¡¬¥ 樫¨¤à á ®ªàã î饩 ¨¤ª®áâìî. ¥§ã«ìâ âë à¥è¥¨ï ¤«ï á।¥£® ç¨á« ¥à¢ã¤ å®à®è® ¯¯à®ªá¨¬¨àãîâáï á«¥¤ãî饩 § ¢¨á¨¬®áâìî: Sh = (0,92 − 0,012 | E |) Pe1/3 ,
Pe = a2 E/D,
(4.11.3)
¬ ªá¨¬ «ì ï ¯®£à¥è®áâì ª®â®à®© ¯à¨ 0 6 | E | 6 1 á®áâ ¢«ï¥â ®ª®«® 0,5%. § ¢ëà ¥¨ï (4.11.3) á«¥¤ã¥â, çâ® á।¥¥ ç¨á«® ¥à¢ã¤ ®ç¥ì á« ¡® ¬¥ï¥âáï ¢ à áᬠâਢ ¥¬®¬ ¤¨ ¯ §®¥ −1 6 E 6 +1 (®â®á¨â¥«ì®¥ ¯à¨à 饨¥ á।¥£® ç¨á« ¥à¢ã¤ ¯à¨ 㢥«¨ç¥¨¨ | E | ®â ã«ï ¤® ¥¤¨¨æë á®áâ ¢«ï¥â ¢á¥£® 1,3%). ç áâëå á«ãç ïå ç¨áâ® ¤¥ä®à¬ 樮®£® ( E = 0) ¨ ¯à®á⮣® (| E | = 1) «¨¥©®£® ᤢ¨£®¢®£® ®¡â¥ª ¨ï ªà㣮¢®£® 樫¨¤à ä®à¬ã« (4.11.3) ¯¥à¥å®¤¨â ¢ १ã«ìâ âë à ¡®â [271, 272℄. C¢®¡®¤® ¢à é î騩áï 樫¨¤à. áᬮâਬ ⥯¥àì ª®¢¥ªâ¨¢ë© ¬ áᮯ¥à¥®á ª ¯®¢¥àå®á⨠ªà㣮¢®£® 樫¨¤à , ᢮¡®¤® ¢§¢¥è¥®£® ¢ ¯à®¨§¢®«ì®¬ «¨¥©®¬ ᤢ¨£®¢®¬ á⮪ᮢ®¬ (Re → 0) ¯®â®ª¥. ᨫã ãá«®¢¨ï ¯à¨«¨¯ ¨ï 樫¨¤à ¡ã¤¥â ¢à é âìáï á ¯®áâ®ï®© 㣫®¢®© ᪮à®áâìî, à ¢®© ᪮à®á⨠¢à é¥¨ï ¯®â®ª ¡¥áª®¥ç®áâ¨. á¯à¥¤¥«¥¨¥ ᪮à®á⥩ ¨¤ª®á⨠®¯¨áë¢ ¥âáï ¢ëà ¥¨ï¬¨ (2.6.12). âàãªâãà «¨¨© ⮪ â ª®£® â¥ç¥¨ï ª ç¥á⢥® ®â«¨ç ¥âáï áâàãªâãàë «¨¨© ⮪ ¤«ï á«ãç ï § ªà¥¯«¥®£® 樫¨¤à . ¯®¢¥àå®á⨠樫¨¤à ¯à¨ 6= 0 ®âáãâáâ¢ãîâ ªà¨â¨ç¥áª¨¥ â®çª¨ ¨ áãé¥áâ¢ã¥â ¤¢ ª ç¥á⢥® à §«¨çëå ⨯ â¥ç¥¨ï. Ǒਠ0 < | E | < 1 ¢ ¯®â®ª¥ ¨¬¥îâáï ª ª § ¬ªãâë¥, â ª ¨ à §®¬ªãâë¥ «¨¨¨ ⮪ ; ¯à¨ í⮬ ª ¯®¢¥àå®á⨠樫¨¤à ¯à¨¬ëª ¥â ®¡« áâì á ¯®«®áâìî § ¬ªãâ묨 «¨¨ï¬¨ ⮪ , ¢¤ «¨ ®â 樫¨¤à «¨¨¨ ⮪ à §®¬ªãâë (à¨á. 2.11). Ǒਠ| E | > 1 ¢á¥ «¨¨¨ ⮪ § ¬ªãâë. § ¤ ç¥ ® ¬ áá®®¡¬¥¥ ªà㣮¢®£® 樫¨¤à , ᢮¡®¤® ¢§¢¥è¥®£® ¢ «¨¥©®¬ ᤢ¨£®¢®¬ ¯®â®ª¥, ¥ ¯à®¨á室¨â ä®à¬¨à®¢ ¨ï ¤¨ää㧨®®£® ¯®£à ¨ç®£® á«®ï ¢¡«¨§¨ ¥£® ¯®¢¥àå®á⨠¯à¨ Pe → ∞. á¯à¥¤¥«¥¨¥ ª®æ¥âà 樨 ¨é¥âáï ¢ ¢¨¤¥ ॣã«ïண® ᨬ¯â®â¨ç¥áª®£® à §«®¥¨ï ¯® ®¡à âë¬ á⥯¥ï¬ ç¨á« Ǒ¥ª«¥ (4.8.12). ।¥¥ ç¨á«® ¥à¢ã¤ ®áâ ¥âáï ª®¥çë¬ ¯à¨ Pe → ∞. â® ®¡ã-
184
áá®®¡¬¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬
á«®¢«¥® ⥬, çâ® ®¡« áâì § ¬ªã⮩ æ¨àªã«ï樨 ¡«®ª¨àã¥â ª®¢¥ªâ¨¢ë© ¬ áá®- ¨ ⥯«®¯¥à¥®á ª 樫¨¤àã, ¢ १ã«ìâ ⥠¯¥à¥®á ¢¥é¥á⢠¨ ⥯« ª ¢à é î饩áï ¯®¢¥àå®á⨠®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¢ ®á®¢®¬ ¬®«¥ªã«ïன ¤¨ää㧨¥©, ¯à ¢«¥®© ®à⮣® «ì® ª «¨¨ï¬ ⮪ . Ǒਠí⮬ ª®æ¥âà æ¨ï ¯®áâ®ï ª ¤®© «¨¨¨ ⮪ ( à §ëå «¨¨ïå ⮪ ¡ã¤¥â à §«¨ç ï ª®æ¥âà æ¨ï). «ï ¯à®á⮣® ᤢ¨£ ᨬ¯â®â¨ç¥áª®¥ § 票¥ á।¥£® ç¨á« ¥à¢ã¤ ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ ¡ë«® ¢ëç¨á«¥® ¢ à ¡®â¥ [230℄: Sh = 2,87
(| E | = 1).
(4.11.4)
Ǒਠ¬ «ëå 㣫®¢ëå ᪮à®áâïå ¢à é¥¨ï ¯®â®ª á â®ç®áâìî ¤® ç«¥®¢ ¯®à浪 E ¡ë«® ¯®«ã祮 á«¥¤ãî饥 ¤¢ãåç«¥®¥ à §«®¥¨¥ [272℄: Sh = 7,79 | E |−1 − 2,97 (| E | → 0). (4.11.5) ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨¥ ¢ëà ¥¨ï (4.11.4), (4.11.5) ᮮ⢥âáâ¢ãîâ á«ãç î ¡¥áª®¥ç® ¡®«ìè¨å ç¨á¥« Ǒ¥ª«¥, ¯à¨ç¥¬ à §«®¥¨¥ (4.11.5) ¨¬¥¥â ®á®¡¥®áâì ¯à¨ E = 0. ¬¥á⥠á ⥬ á«ãç © E = 0 ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ç¨áâ® ¤¥ä®à¬ 樮®¬ã â¥ç¥¨î, ª®£¤ 樫¨¤à ®áâ ¥âáï ¥¯®¤¢¨ë¬, ¥§ ¢¨á¨¬® ®â ⮣®, § ªà¥¯«¥ ® ¨«¨ ¥â. Ǒ®í⮬㠯à¨
E = 0 ¬®® ¨á¯®«ì§®¢ âì ä®à¬ã«ã (4.11.3), ª®â®à ï ¨ ¤ ¥â ¢ í⮬ á«ãç ¥ ᨬ¯â®â¨ç¥áª®¥ ¢ëà ¥¨¥ ¤«ï á।¥£® ç¨á« ¥à¢ã¤ ¯à¨ Pe ≫ 1. ®¯®áâ ¢«¥¨¥ í⮩ ä®à¬ã«ë á ¢ëà ¥¨¥¬ (4.11.5) ¯®ª §ë¢ ¥â, ç⮠१ã«ìâ â (4.11.5) ¯à¨¬¥¨¬ ¯à¨ § 票ïå 㣫®¢®© ᪮à®á⨠¢à é¥¨ï ¯®â®ª , 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å ãá«®¢¨î O(Pe−1/3 ) < | E | 6 1. ª § ë¬ ¢ëè¥ á¨¬¯â®â¨ç¥áª¨¬ à¥è¥¨ï¬ (4.11.3) (¯à¨
E = 0), (4.11.4), (4.11.5) 㤮¢«¥â¢®àï¥â á«¥¤ãîé ï § ¢¨á¨¬®áâì á।¥£® ç¨á« ¥à¢ã¤ ®â ç¨á« Ǒ¥ª«¥ ¨ ¯ à ¬¥âà E : Sh =
7,78
−1/3
8,46 Pe
+ | E |
− 2,97 − 1,94 | E |3 .
(4.11.6)
âã § ¢¨á¨¬®áâì ¬®® à áᬠâਢ âì ª ª ¯à¨¡«¨¥ãî ä®à¬ã«ã ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï Sh ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ ¨ ¢á¥å § 票ïå | E | 6 1. ª ¯®ª §ë¢ ¥â áà ¢¥¨¥ á ç¨á«¥ë¬¨ १ã«ìâ â ¬¨ [272℄, ¬ ªá¨¬ «ì ï ¯®£à¥è®áâì § ¢¨á¨¬®á⨠(4.11.6) ¯à¨ Pe = ∞ ¥ ¯à¥¢ëè ¥â 5%. ⬥⨬, ç⮠㢥«¨ç¥¨¥ 㣫®¢®© ᪮à®á⨠¯®â®ª , ª ª ¨ ¢ á«ãç ¥ § ªà¥¯«¥®£® 樫¨¤à , ¯à¨¢®¤¨â ª ᨥ¨î ¨â¥á¨¢®á⨠¬ áá®®¡¬¥ . ªá¯¥à¨¬¥â «ì ï ¯à®¢¥àª [289℄ ¥§ ¢¨á¨¬®á⨠®â ç¨á« Ǒ¥ª«¥ £« ¢®£® ç«¥ ᨬ¯â®â¨ç¥áª®£® à §«®¥¨ï á।¥£® ç¨á« ¥à¢ã¤ ¯à¨ Pe ≫ 1 ¤«ï ᢮¡®¤® ¢à é î饣®áï ªà㣮¢®£® 樫¨¤à ¢
4.11. áá®®¡¬¥ 樫¨¤à á ¯®áâ㯠⥫ìë¬ ¨ ᤢ¨£®¢ë¬ ¯®â®ª®¬
185
¥¯«®®¡¬¥ 樫¨¤à ¯à®¨§¢®«ì®© ä®à¬ë á ¯®áâ㯠⥫ìë¬ ¯®â®ª®¬: ) ¨á室 ï ¯àאַ㣮«ì ï á¨á⥬ ª®®à¤¨ â, ¡) ¯«®áª®áâì ®¢ëå ¯¥à¥¬¥ëå ϕ, ψ ¨á. 4.3.
¯®«¥ ¯à®á⮣® ᤢ¨£ (| E | = 1) ¤ « å®à®è¥¥ ª ç¥á⢥®¥ ¨ ª®«¨ç¥á⢥®¥ ¯®¤â¢¥à¤¥¨¥ ⥮à¥â¨ç¥áª¨å १ã«ìâ ⮢ [230℄. §¬¥à¥®¥ § 票¥ á।¥£® ç¨á« ¥à¢ã¤ á®áâ ¢¨«® 2,65, çâ® ¡«¨§ª® ª ᮮ⢥âáâ¢ãî饬ã ᨬ¯â®â¨ç¥áª®¬ã § 票î (4.11.4). § ¢ëà ¥¨© ¤«ï äãªæ¨¨ ⮪ á«¥¤ã¥â, çâ® ¯à¨ | E | > 1 ¢á¥ «¨¨¨ ⮪ § ¬ªãâë ¨ ®ªàã îâ 樫¨¤à. ª § ë© á«ãç © à áᬠâਢ «áï ¢ [272℄ ¨ å à ªâ¥à¨§ã¥âáï ¬ «ë¬¨ § 票ﬨ ç¨á« ¥à¢ã¤ . â®â १ã«ìâ â ®§ ç ¥â, çâ® «¨ç¨¥ ¢ ¯®â®ª¥ ⮫쪮 § ¬ªãâëå «¨¨© ⮪ ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ¯®«®áâìî â®à¬®§¨â ¬ áᮯ¥à¥®á ª ¯®¢¥àå®á⨠樫¨¤à .
®¢¥ªâ¨¢ë© ⥯«®®¡¬¥ 樫¨¤à¨ç¥áª¨å ⥫ ¯à®¨§¢®«ì®© ä®à¬ë á ¨¤ª¨¬¨ ¬¥â «« ¬¨ (¬®¤¥«ì ¨¤¥ «ì®© ¨¤ª®áâ¨). ⥮ਨ ⥯«®®¡¬¥ ¨¤ª¨å ¬¥â ««®¢ (Pr ≪ 1) ¯®«¥
â¥ç¥¨ï ®¡ëç® à áᬠâਢ ¥âáï ®á®¢¥ ¬®¤¥«¨ ¨¤¥ «ì®© ¨¤ª®á⨠[19℄, ¯®áª®«ìªã ¤¨ ¬¨ç¥áª¨© ¯®£à ¨çë© á«®© £«ã¡®ª® ýã⮯«¥þ ¢ ⥯«®¢®¬. ¨á« Ǒ¥ª«¥ ¢ í⮬ á«ãç ¥, ¢®®¡é¥ £®¢®àï, ¬®£ãâ ¡ëâì ¥¤®áâ â®ç® ¢¥«¨ª¨ ¤«ï ¨á¯®«ì§®¢ ¨ï ¯à¨¡«¨¥¨ï ⥯«®¢®£® ¯®£à ¨ç®£® á«®ï. áᬮâਬ ¯«®áªãî § ¤ çã ® ⥯«®®¡¬¥¥ 樫¨¤à á ª®âã஬ ¯®¯¥à¥ç®£® á¥ç¥¨ï , ®¡â¥ª ¥¬®£® ¢ ¯®¯¥à¥ç®¬ ¯à ¢«¥¨¨ ¯«®áª®¯ à ««¥«ìë¬ ¯®â®ª®¬ ¨¤¥ «ì®© ¥á¨¬ ¥¬®© ¨¤ª®á⨠ᮠ᪮à®áâìî Ui . ¥¬¯¥à âãà 樫¨¤à áç¨â ¥âáï ¯®áâ®ï®© ¨ à ¢®© Ts , ⥬¯¥à âãà ¨¤ª®á⨠¡¥áª®¥ç®á⨠| à ¢®© Ti . ᯮ«ì§ã¥¬ ¯àאַ㣮«ìãî á¨á⥬㠪®®à¤¨ â X , Y , £¤¥ ®áì X ¯à ¢«¥ ¢¤®«ì ¯®â®ª (à¨á. 4.3). Ǒਠ«¨§¥ í⮩ § ¤ ç¨ ¡ã¤¥¬ á«¥¤®¢ âì à ¡®â¥ [18℄. Ǒãáâì ¨ | ¯®â¥æ¨ « ¨ äãªæ¨ï ⮪ ¯®â¥æ¨ «ì®£® â¥ç¥¨ï ¨¤ª®áâ¨. ª ª ª ¨ ®¯à¥¤¥«ïîâáï á â®ç®áâìî ¤® ¤¤¨â¨¢ëå ¯®áâ®ïëå, ¬®® áç¨â âì, çâ® ª®âãॠ¡ã¤¥â = 0 ¨ −ϕ0 < < ϕ0 . ¡®§ 稬 ϕ = /ϕ0 , ψ = /ϕ0 , ®áâ «ìë¥ ¡¥§à §¬¥àë¥ ¢¥«¨ç¨ë ¢¢¥¤¥¬ ¯® ä®à¬ã« ¬ (3.1.32), £¤¥ a = ϕ0 /Ui | å à ªâ¥àë© ¬ áèâ ¡ ¤«¨ë. ¥§à §¬¥àë¥ ª®¬¯®¥âë ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠¢ëà îâáï ç¥à¥§
186 ϕ
áá®®¡¬¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬
¨ ψ á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: vx
=
∂ϕ ∂x
=−
∂ψ , ∂y
vy
=
∂ϕ ∂y
=
∂ψ . ∂x
(4.11.7)
ãªæ¨ï ϕ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯ã⥬ à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨ï ¯« á ϕ = 0 á £à ¨ç묨 ãá«®¢¨ï¬¨ ∂ϕ ∂n
= 0 ª®âãà¥
∂ϕ →1 ∂x
;
x2 + y 2 → ∞,
¯à¨
(4.11.8)
£¤¥ ∂/∂n | ¯à®¨§¢®¤ ï ¯® ®à¬ «¨ ª ¯®¢¥àå®á⨠樫¨¤à . «ï § ¤ ®£® ª®âãà ¢¥«¨ç¨ë ϕ ¨ ψ ª ª ¥ª®â®àë¥ äãªæ¨¨ x ¨ y ¬®® ©â¨ á ¯®¬®éìî ¬¥â®¤®¢ ⥮ਨ äãªæ¨© ª®¬¯«¥ªá®£® ¯¥à¥¬¥®£® [36, 96, 166℄; ¤ «¥¥ ¡ã¤¥¬ áç¨â âì í⨠äãªæ¨¨ ¨§¢¥áâ묨. ¡¥§à §¬¥àëå ¯¥à¥¬¥ëå ãà ¢¥¨¥ ¨ £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï ¤«ï ⥬¯¥à âãàë á ãç¥â®¬ à ¢¥á⢠(4.11.7) ¨¬¥îâ ¢¨¤ ∂ϕ ∂T ∂x ∂x T
∂ϕ ∂T ∂y ∂y
+
= 1 ª®âãà¥
=
;
ϕ 1 T, PeT = 0 , PeT χ 2 2 T → 0 ¯à¨ x + y → ∞.
(4.11.9)
§ ¤ ç¥ (4.11.9) ¯¥à¥©¤¥¬ ®â ª®®à¤¨ â x, y ª ®¢ë¬ ¯¥à¥¬¥ë¬ ϕ, ψ . ᯮ«ì§ãï ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë¥ á®®â®è¥¨ï ¬¥¤ã äãªæ¨ï¬¨ ϕ ¨ ψ (4.11.7), ¯®á«¥ ¥ª®â®àëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨© ¯®«ã稬 [203℄ ∂T ∂2T ∂2T = 2 + 2; ∂ϕ ∂ϕ ∂ψ 2 (|ϕ| < 1); ϕ + ψ 2 → ∞,
PeT ψ
= 0,
T
=1
T → 0.
(4.11.10)
ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢ ¯«®áª®á⨠¯¥à¥¬¥ëå ϕ, ψ ¯à¨å®¤¨¬ ª § ¤ ç¥ ® ª®¢¥ªâ¨¢®¬ ¯¥à¥®á¥ ⥯« ®â £à¥â®© ¯« áâ¨ë ¤«¨ë 2, ®¡â¥ª ¥¬®© ¯à®¤®«ìë¬ ¯®â®ª®¬ ⥯«®¯à®¢®¤®© ¨¤¥ «ì®© ¨¤ª®á⨠ᮠ᪮à®áâìî ¯®â®ª vi = 1 (à¨á. 4.3). ¤¥« ¥¬ ¯®¤áâ ®¢ªã u=T
exp
− 12
PeT ϕ
.
(4.11.11)
१ã«ìâ ⥠§ ¤ ç (4.11.10) ¯à¥®¡à §ã¥âáï ª á«¥¤ãî饬㠢¨¤ã: 1 ∂2u ∂2u + 2 = Pe2T u; 2 ∂ϕ ∂ψ 4 1 ψ = 0, u = exp − 2 PeT ϕ (|ϕ| < 1); ϕ2 + ψ 2 → ∞, u → 0.
(4.11.12)
4.11. áá®®¡¬¥ 樫¨¤à á ¯®áâ㯠⥫ìë¬ ¨ ᤢ¨£®¢ë¬ ¯®â®ª®¬
187
í««¨¯â¨ç¥áª¨å ª®®à¤¨ â å ς , η, ª®â®àë¥ ¢¢®¤ïâáï ¯® ä®à¬ã« ¬ ϕ = h ς os η,
ψ
= sh ς sin η,
(4.11.13)
®¡é¥¥ à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (4.11.12), 㤮¢«¥â¢®àïî饥 ãá«®¢¨î § âãå ¨ï ¡¥áª®¥ç®áâ¨, § ¯¨áë¢ ¥âáï ¢ ¢¨¤¥ á㬬ë u=
∞ X
m=0
αm em (η, −q ) Fekm (ς, −q ).
(4.11.14)
¤¥áì em (η, −q) | äãªæ¨¨ âì¥ [14, 105℄, ª®â®àë¬ á®®â¢¥âáâ¢ãîâ ᮡáâ¢¥ë¥ § 票ï h = hm (q), Fekm (ς, −q) | ¬®¤¨ä¨æ¨à®¢ ë¥ äãªæ¨¨ âì¥. ¯à ¢¥¤«¨¢ë á«¥¤ãî騥 à ¢¥á⢠:
em (η, 0) = os(2mη). ¨á«¥ë¥ § 票ï äãªæ¨© âì¥ ¬®® ©â¨ á ¯®¬®éìî â ¡«¨æ [105, 306℄. ®¤¨ä¨æ¨à®¢ ë¥ äãªæ¨¨ âì¥ ¯®¤à®¡® ®¯¨á ë ¢ [14, 105℄. Ǒ¥à¥¯¨áë¢ ï £à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥ ¯à¨ ψ = 0 ¢ (4.11.12) ¢ ¯¥à¥¬¥ëå ς , η (4.11.13) ¨ à §« £ ï ¥£® ¢ àï¤ ¯® äãªæ¨ï¬ em (η, −q ) á ãç¥â®¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï (4.11.14), ¬®® ©â¨ ª®íää¨æ¨¥âë αm . ®®â¢¥âáâ¢ãî騥 ¢ëà ¥¨ï ¤«ï ⥬¯¥à âãàë ¨ ¡¥§à §¬¥à®£® ¨â¥£à «ì®£® ⥯«®¢®£® ¯®â®ª ¯®¢¥àå®áâì 樫¨¤à ¡ë«¨ ¯®«ãç¥ë ¢ [18℄ ¨ §¤¥áì ¥ ¢ë¯¨áë¢ îâáï ¢¢¨¤ã ¨å £à®¬®§¤ª®áâ¨. Ǒਢ¥¤¥¬ ¨¡®«¥¥ ¢ ë¥ ¨â®£®¢ë¥ १ã«ìâ âë [18℄, ª®â®àë¥ ¬®® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¯à ªâ¨ª¥. ¥§à §¬¥àë© ¨â¥£à «ìë© â¥¯«®¢®© ¯®â®ª ¯à¨ ¬ «ëå ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ á â®ç®áâìî ¤® ç«¥®¢ ¯®à浪 PeT2 ¢ª«îç¨â¥«ì® à ¢¥ IT
= −4π
9 2 1+ Pe 64 T
ln
γ PeT
8
−1
−
π
2
PeT2 ,
(4.11.15)
£¤¥ ln γ = 0,5772 . . . | ¯®áâ®ï ï ©«¥à , PeT = ϕ0 /χ. Ǒਠ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ ¨¬¥¥¬ ᨬ¯â®â¨ªã IT
= 4(2 PeT /π)1/2 ,
(4.11.16)
ª®â®à ï ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¯à¨¡«¨¥¨î ⥯«®¢®£® ¯®£à ¨ç®£® á«®ï. ¥§ã«ìâ âë à áç¥â ⥯«®¢®£® ¯®â®ª ¢® ¢á¥¬ ¤¨ ¯ §®¥ ç¨á¥« Ǒ¥ª«¥ ¬®® ¯¯à®ªá¨¬¨à®¢ âì ¢ëà ¥¨¥¬ IT
=−
I
∂T d ∂n
= 4π
|F |−1,3 + 20 G1,02 , |F |−2,3 + 20 G0,02
(4.11.17)
£¤¥ ¢á¯®¬®£ ⥫ìë¥ äãªæ¨¨ F ¨ G ®¯à¥¤¥«ïîâáï ä®à¬ã« ¬¨ F
= 1+
9 64
Pe2T ln
1 γ Pe −1 + 1 T 8 8
Pe2T ,
G = (2 PeT /π 3 )1/2 .
188
áá®®¡¬¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬
¨á. 4.4. 奬 ®¡â¥ª ¨ï í««¨¯â¨ç¥áª®£® 樫¨¤à ¡¥§¢¨åà¥¢ë¬ ¯®â®ª®¬ ¨¤¥ «ì®© ¨¤ª®áâ¨
ãªæ¨ï (4.11.17) ¯à¨ PeT ≪ 1 ¨ PeT ≫ 1 ¢¥¤¥â ᥡï, ª ª â®çë¥ á¨¬¯â®â¨ç¥áª¨¥ à¥è¥¨ï (4.11.15) ¨ (4.11.16) ᮮ⢥âá⢥®. ªá¨¬ «ì ï ¯®£à¥è®áâì ä®à¬ã«ë (4.11.17) ¢® ¢á¥¬ ¤¨ ¯ §®¥ ¨§¬¥¥¨ï ç¨á« Ǒ¥ª«¥ ¥ ¯à¥¢ëè ¥â 2%. ª ç¥á⢥ ª®ªà¥â®£® ¯à¨¬¥à à áᬮâਬ ⥯«®®¡¬¥ í««¨¯â¨ç¥áª®£® 樫¨¤à á ¯®«ã®áﬨ a ¨ b, ¯®¢¥àå®áâì ª®â®à®£® § ¤ ¥âáï ãà ¢¥¨¥¬ (X/a)2 + (Y /b)2 = 1 ¯à¨ a > b. ç¨â ¥¬, çâ® ¯à ¢«¥¨¥ ᪮à®á⨠¡¥áª®¥ç®á⨠á®áâ ¢«ï¥â 㣮« ω á ¯à ¢«¥¨¥¬ ¡®«ì襩 ¯®«ã®á¨ (à¨á. 4.4). ¢¥¤¥¬ á¨á⥬㠪®®à¤¨ â σ, ν ¯® ä®à¬ã« ¬: X
=σ 1+
a2 − b 2 4σ2
os ν,
Y
=σ 1−
a2 − b 2 4σ2
sin ν. (4.11.18)
Ǒ®â¥æ¨ « ᪮à®á⨠¨ äãªæ¨ï ⮪ ¤«ï ¡¥§¢¨åॢ®£® ®¡â¥ª ¨ï í««¨¯â¨ç¥áª®£® 樫¨¤à ¨¤¥ «ì®© ¨¤ª®áâìî ¨¬¥îâ ¢¨¤ [36℄
(a + b)2 = −Ui σ +
os(ν + ω ), 4σ (a + b)2 = −Ui σ − sin(ν + ω ). 4σ
(4.11.19)
Ǒ®â¥æ¨ « ¯®¢¥àå®á⨠樫¨¤à , ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 § 票î σ = (a + b)/2, à ¢¥ = −Ui(a + b) os ν . ª®âãॠ¢ ¯«®áª®á⨠, ¢ë¯®«ïîâáï á®®â®è¥¨ï = 0, −ϕ0 < < ϕ0, £¤¥ ϕ0 = Ui(a + b). Ǒ®í⮬㠤«ï à áç¥â ¡¥§à §¬¥à®£® ¨â¥£à «ì®£® ⥯«®¢®£® ¯®â®ª ¯®¢¥àå®áâì í««¨¯â¨ç¥áª®£® 樫¨¤à ¬®® ¨á¯®«ì§®¢ âì ä®à¬ã«ë (4.11.16) | (4.11.18), £¤¥ PeT = Ui (a + b)/χ. ¨¤®, ç⮠१ã«ìâ â ¤«ï IT ¥ § ¢¨á¨â ®â ®à¨¥â 樨 樫¨¤à ¢ ¯®â®ª¥. â ¡«. 4.6 ¯à¨¢¥¤¥ë ¢ëà ¥¨ï ¤«ï ⥯«®¢®£® ç¨á« Ǒ¥ª«¥, ª®â®à®¥ ¢å®¤¨â ¢ ä®à¬ã«ë (4.11.16) | (4.11.18), ¢ á«ãç ¥ ¡¥§¢¨åॢ®£® ®¡â¥ª ¨ï ⥫ à §«¨ç®© ä®à¬ë ¨¤¥ «ì®© ¨¤ª®áâìî.
4.12. ¥áâ 樮 àë© ¬ áá®®¡¬¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३
189
4.6 ¥¯«®¢®¥ ç¨á«® Ǒ¥ª«¥ ¤«ï ¡¥§¢¨åॢ®£® ®¡â¥ª ¨ï ⥫ à §«¨ç®© ä®à¬ë N0
®à¬ ⥫
¨á«® Ǒ¥ª«¥
1
Ǒ«®áª ï ¯« á⨠¤«¨ë 2a
PeT = aUi /χ
2
à㣮¢®© 樫¨¤à à ¤¨ãá a
PeT = 2aUi /χ
3
««¨¯â¨ç¥áª¨© 樫¨¤à á ¯®«ã®áﬨ a ¨ b
PeT = (a + b)Ui /χ
4.12. ¥áâ 樮 àë© ¬ áá®®¡¬¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ãáâ ®¢¨¢è¨¬áï ¯®áâ㯠⥫ìë¬ ¨ ᤢ¨£®¢ë¬ ¯®â®ª®¬
®«ì訥 ç¨á« Ǒ¥ª«¥. áá«¥¤ã¥¬ ¥áâ 樮 àë© ¬ áᮯ¥à¥®á ª ¯®¢¥àå®á⨠⢥म© áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æë (ª ¯«¨, ¯ã§ëàï) à ¤¨ãá a, ®¡â¥ª ¥¬®© « ¬¨ àë¬ ãáâ ®¢¨¢è¨¬áï ¯®â®ª®¬. Ǒ®« £ ¥¬ ¯à¨ í⮬, çâ® ¢ ç «ìë© ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨ t = 0 ª®æ¥âà æ¨ï ¢ ᯫ®è®© ä §¥ ®¤¨ ª®¢ ¨ à ¢ Ci , ¯à¨ t > 0 ¯®¢¥àå®á⨠ç áâ¨æë ¯®¤¤¥à¨¢ ¥âáï ¯®áâ®ï ï ª®æ¥âà æ¨ï, à ¢ ï Cs . áä¥à¨ç¥áª®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â R, θ, ϕ, á¢ï§ ®© á æ¥â஬ ç áâ¨æë, ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï ¥áâ 樮 à ï § ¤ ç ® à á¯à¥¤¥«¥¨¨ ª®æ¥âà 樨 C ®¯¨áë¢ ¥âáï ãà ¢¥¨¥¬ ª®¢¥ªâ¨¢®© ¤¨ää㧨¨ á ç «ì묨 ¨ £à ¨ç묨 ãá«®¢¨ï¬¨, ª®â®àë¥ ¢ ¡¥§à §¬¥àëå ¯¥à¥¬¥ëå ¨¬¥îâ ¢¨¤ τ
= 0,
c = 0;
∂c ∂τ
+ Pe(~v · ∇)c = c; r = 1, c = 1; r → ∞,
(4.12.1) c → 0, (4.12.2)
£¤¥ c = (Ci − C )/(Ci − Cs ), τ = Dt/a2, r = R/a, Pe = aU/D, U | å à ªâ¥à ï ᪮à®áâì ¯®â®ª . ç¨â ¥âáï, çâ® ¯®«¥ ᪮à®á⥩ ¨¤ª®á⨠~v § ¤ ® ¨ áâ 樮 à®. ¨¥ ®£à ¨ç¨¬áï à áᬮâ२¥¬ á«ãç ï ¡®«ìè¨å ç¨á¥« Ǒ¥ª«¥, ª®£¤ ¢ ¯®â®ª¥ ¥â § ¬ªãâëå «¨¨© ⮪ . § ¤ ç å (4.12.1), (4.12.2) á ç « ¤¨ää㧨®ë© ¯®£à ¨çë© á«®© ¯à¨¬ëª ¥â ª ¯®¢¥àå®á⨠ç áâ¨æë, ¯®â®¬ ç¨ ¥âáï ¡ëáâ஥ ¥£® à á¯à®áâà ¥¨¥ ¢ ®¡« áâì â¥ç¥¨ï á ¯®á«¥¤ãî騬 íªá¯®¥æ¨ «ìë¬ ¢ë室®¬ áâ 樮 àë© à¥¨¬. ®£« á® ®æ¥ª ¬ [60℄ å à ªâ¥à®¥ ¢à¥¬ï ãáâ ®¢«¥¨ï ¤¨ää㧨®®£® ¯®£à ¨ç®£® á«®ï τp ¤«ï ⢥à¤ëå ç áâ¨æ ¨¬¥¥â ¯®à冷ª Pe−2/3 , ¤«ï ¯ã§ë३ ¨ ª ¯¥«ì 㬥८© ¢ï§ª®á⨠| ¯®à冷ª Pe−1 .
190
áá®®¡¬¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬
à ¡®â¥ [277℄ ¬¥â®¤®¬ ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨å «®£¨© ¡ë« ¢ë¢¥¤¥ á«¥¤ãîé ï ¯à¨¡«¨¥ ï ä®à¬ã« ¤«ï à áç¥â § ¢¨á¨¬®á⨠á।¥£® ç¨á« ¥à¢ã¤ ®â ¢à¥¬¥¨ ¤«ï áä¥à¨ç¥áª¨å ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३, ®¡â¥ª ¥¬ëå ¯à®¨§¢®«ìë¬ ãáâ ®¢¨¢è¨¬áï ¯®â®ª®¬: q Sh = th(π Sh2st τ ), Shst
(4.12.3)
Sh | ç¨á«® ¥à¢ã¤ ¤«ï ãáâ ®¢¨¢è¥£®áï २¬ £¤¥ Shst = τlim →∞ ¤¨ää㧨¨; ¢¥«¨ç¨ Shst § ¢¨á¨â ®â ç¨á« Ǒ¥ª«¥ ¨ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯ã⥬ à¥è¥¨ï ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 áâ 樮 ன § ¤ ç¨ (4.4.1), (4.3.2), (4.3.3); τ = Dt/a2 . ®à¬ã« (4.12.3) ¤«ï «î¡®£® ¯®«ï â¥ç¥¨ï ¤ ¥â ¯à ¢¨«ìë© á¨¬¯â®â¨ç¥áª¨© १ã«ìâ â ¢ ®¡®¨å ¯à¥¤¥«ìëå á«ãç ïå τ → 0 ¨ τ → ∞. «ï ¯ã§ëàï, ®¡â¥ª ¥¬®£® «¨¥©ë¬ ᤢ¨£®¢ë¬ ¯®â®ª®¬, ¨§ q 3 Pe â ¡«. 4.4 ¨¬¥¥¬ Shst = 2π . Ǒ®¤áâ ¢«ïï íâ® § 票¥ ¢ (4.12.3), ¯à¨å®¤¨¬ ª â®ç®¬ã ¢ëà ¥¨î Sh =
s
3 Pe 3 Pe τ
th 2π 2
(4.12.4)
,
¯®«ã祮¬ã ¢ ¯à¨¡«¨¥¨¨ ¤¨ää㧨®®£® ¯®£à ¨ç®£® á«®ï ¢ à ¡®â¥ [68℄. ⬥⨬, çâ® ä®à¬ã« (4.12.4) ¯®á«ã¨« ®á®¢®© ¤«ï ¢ë¢®¤ ®¡é¥© § ¢¨á¨¬®á⨠(4.12.3) ¢ [275, 277℄. â ¡«. 4.7 ¯à¨¢¥¤¥ë § 票ï Shst ¤«ï à §«¨çëå á«ãç ¥¢ ®¡â¥ª ¨ï áä¥à¨ç¥áª¨å ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ à ¤¨ãá a; ¯ à ¬¥âà β à ¢¥ ®â®è¥¨î ¤¨ ¬¨ç¥áª¨å ¢ï§ª®á⥩ ª ¯«¨ ¨ ®ªàã î饩 ¨¤ª®á⨠¨ ¨§¬¥ï¥âáï ¢ ¤¨ ¯ §®¥ 0 6 β 6 2 (§ 票¥ β = 0 ᮮ⢥âáâ¢ã¥â £ §®¢®¬ã ¯ã§ëàî). á«ãç ¥ ¥áâ 樮 ண® ¬ áá®®¡¬¥ áä¥à¨ç¥áª®© ª ¯«¨ á ãáâ ®¢¨¢è¨¬áï ¯®áâ㯠⥫ìë¬ áâ®ªá®¢ë¬ ¯®â®ª®¬ ¯à¨ «¨¬¨â¨àãî饬 ᮯà®â¨¢«¥¨¨ ᯫ®è®© ä §ë áâ 樮 ஥ § 票¥ Shst ¯à¨¢¥¤¥® ¢ ¢¥à奩 áâப¥ â ¡«. 4.7. Ǒ®¤áâ ¢«ïï íâã ¢¥«¨ç¨ã ¢ (4.12.3), ¯®«ã稬 § ¢¨á¨¬®áâì
2 Pe 2 Pe τ Sh =
th 3π(β + 1) 3 β+1
1/2
.
(4.12.5)
Ǒ஢¥¤¥®¥ ¢ [72℄ ᮯ®áâ ¢«¥¨¥ á १ã«ìâ â ¬¨ à ¡®â [101, 212, 292℄ ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® ¬ ªá¨¬ «ì ï ¯®£à¥è®áâì ä®à¬ã«ë (4.12.5) á®áâ ¢«ï¥â ¬¥¥¥ 0,7%. ® ®â¬¥â¨âì, ç⮠१ã«ìâ âë [101, 212, 292℄ ¯à¥¤áâ ¢«ïîâáï ¢ ¢¨¤¥ á«®®£® ¨â¥£à « , ª®â®àë© ¥ ¬®¥â ¡ëâì § ¯¨á ¢ ¯à®á⮩ «¨â¨ç¥áª®© ä®à¬¥ ⨯ (4.12.5).
191
4.12. ¥áâ 樮 àë© ¬ áá®®¡¬¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ 4.7 票ï Shst ¢ ä®à¬ã«¥ (4.12.3) ¤«ï à §«¨çëå á«ãç ¥¢ ®¡â¥ª ¨ï áä¥à¨ç¥áª¨å ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ N0
¨á¯¥àá ï ä §
¨¤ â¥ç¥¨ï
1
¯«ï, ¯ã§ëàì
Ǒ®áâ㯠⥫ìë© á⮪ᮢ ¯®â®ª
h
2 Pe i1/2 3π(β + 1)
¯«ï, ¯ã§ëàì
Ǒந§¢®«ìë© ¤¥ä®à¬ æ¨®ë© Pe 1/2 «¨¥©ë© ᤢ¨£®¢ë© 0,62 β + 1 ¯®â®ª (Gkm = Gmk )
3
Ǒã§ëàì
¬¨ àë© ¯®áâ㯠⥫ìë© ¯®â®ª ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å ¥©®«ì¤á
4
¢¥à¤ ï ç áâ¨æ
Ǒ®áâ㯠⥫ìë© á⮪ᮢ ¯®â®ª
¢¥à¤ ï ç áâ¨æ
Ǒந§¢®«ìë© ¤¥ä®à¬ æ¨®ë© «¨¥©ë© ᤢ¨£®¢ë© ¯®â®ª (Gkm = Gmk )
2
5
¡®§ 票ï, Pe = aU/D
¥«¨ç¨ Shst
2 Pe 1/2
= Ui | ᪮à®áâì ¨¤ª®á⨠¡¥áª®¥ç®áâ¨
U
P 3
U =a
k,m=1
¬ âà¨æë ᤢ¨£
= Ui | ᪮à®áâì ¨¤ª®á⨠¡¥áª®¥ç®áâ¨
U
= Ui | ᪮à®áâì ¨¤ª®á⨠¡¥áª®¥ç®áâ¨
U
P 3
U =a
0,9 Pe1/3
,
Gkm | ª®íää¨æ¨¥âë
π
0,624 Pe1/3
1/2
Gkm Gkm
1/2
Gkm Gkm
k,m=1
,
Gkm | ª®íää¨æ¨¥âë
¬ âà¨æë ᤢ¨£
«®£¨çë¬ ®¡à §®¬ ¬®® ¯®«ãç¨âì ¯à¨¡«¨¥ë¥ ä®à¬ã«ë ¤«ï ¤àã£¨å ¥áâ 樮 àëå § ¤ ç. â ¡«. 4.8 ¯à¨¢¥¤¥ë ¨â®£¨ ᮯ®áâ ¢«¥¨ï १ã«ìâ ⮢ à áç¥â®¢ á।¥£® ç¨á« ¥à¢ã¤ ¯® ä®à¬ã«¥ (4.12.3) á ¨¬¥î騬¨áï ¤ 묨 ¤«ï à §«¨çëå á«ãç ¥¢ ®¡â¥ª ¨ï áä¥à¨ç¥áª¨å ª ¯¥«ì, ¯ã§ë३ ¨ ⢥à¤ëå ç áâ¨æ ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ (¤«ï ᮪à é¥¨ï § ¯¨á¨ ¢ â ¡«¨æ¥ ý¯à¨¡«¨¥¨¥ ¤¨ää㧨®®£® ¯®£à ¨ç®£® á«®ïþ ®¡®§ 祮 ǑǑ). ¢¨á¨¬®áâì (4.12.3) ¬®® ¨á¯®«ì§®¢ âì â ª¥ ¤«ï ®æ¥ª¨ ¨â¥á¨¢®á⨠¥áâ 樮 ண® ¬ áá®®¡¬¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¥áä¥à¨ç¥áª®© ä®à¬ë ¯à¨ Pe ≫ 1. í⮬ á«ãç ¥ ¢á¥ ¡¥§à §¬¥àë¥ ¢¥«¨ç¨ë τ , Sh, Shst , Pe ¤®«ë ®¯à¥¤¥«ïâìáï á ¯®¬®éìî ®¤®£® ¨ ⮣® ¥ å à ªâ¥à®£® ¬ áèâ ¡ ¤«¨ë a. Ǒਠ¢ë¯®«¥¨¨ ¯®á«¥¤¥£® ãá«®¢¨ï ¢ëà ¥¨¥ (4.12.3) ¡ã¤¥â ¤ ¢ âì ¯à ¢¨«ìë© á¨¬¯â®â¨ç¥áª¨© १ã«ìâ ⠯ਠ¬ «ëå ¨ ¡®«ìè¨å ¢à¥¬¥ å. ®à¬ã«ã (4.12.3) ¬®® § ¯¨á âì ¢ á«¥¤ãî饬 ¢¨¤¥: Sh = Shst
s
Sh2st
th Sh2in
,
(4.12.6)
192
áá®®¡¬¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬
4.8 ªá¨¬ «ì ï ¯®£à¥è®áâì ä®à¬ã«ë (4.12.3) ¤«ï à §«¨çëå á«ãç ¥¢ ®¡â¥ª ¨ï áä¥à¨ç¥áª¨å ª ¯¥«ì, ¯ã§ë३ ¨ ⢥à¤ëå ç áâ¨æ N0
¨á¯¥àá ï ä §
¨¤ â¥ç¥¨ï
1
¯«ï, ¯ã§ëàì
2
¯«ï, ¯ã§ëàì
3
¯«ï, ¯ã§ëàì
4
Ǒã§ëàì
5
Ǒã§ëàì
6
¯«ï, ¯ã§ëàì
7
áâ¨æ
á¥á¨¬¬¥âà¨çë© á¤¢¨£®¢ë© á⮪ᮢ ¯®â®ª Ǒ®áâ㯠⥫ìë© á⮪ᮢ ¯®â®ª Ǒ«®áª¨© ᤢ¨£®¢ë© á⮪ᮢ ¯®â®ª ¬¨ àë© ¯®áâ㯠⥫ìë© ¯®â®ª ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å ¥©®«ì¤á á¥á¨¬¬¥âà¨çë© á¤¢¨£®¢ë© ¯®â®ª ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å ¥©®«ì¤á ¥ç¥¨¥ ®¡ãá«®¢«¥® í«¥ªâà¨ç¥áª¨¬ ¯®«¥¬ Ǒ®áâ㯠⥫ìë© ¯®â®ª ¨¤¥ «ì®© (¥¢ï§ª®©) ¨¤ª®áâ¨
8
¢¥à¤ ï ç áâ¨æ
Ǒ®áâ㯠⥫ìë© á⮪ᮢ ¯®â®ª
9
¢¥à¤ ï ç áâ¨æ
Ǒ®áâ㯠⥫ìë© á⮪ᮢ ¯®â®ª
Ǒ®£à¥è- ¨â¥à âãà ¥â®¤ à¥è¥¨ï ®áâì, % «¨â¨ç¥áª¨©, ǑǑ
0
[68℄
«¨â¨ç¥áª¨©, ǑǑ
0,7
[101, 212, 292℄
«¨â¨ç¥áª¨©, ǑǑ
1,8
[147℄
«¨â¨ç¥áª¨©, ǑǑ
0,7
[212, 292℄
«¨â¨ç¥áª¨©, ǑǑ
0
[142, 143℄
«¨â¨ç¥áª¨©, ǑǑ
0
[262℄
«¨â¨ç¥áª¨©, ǑǑ
0,7
[212, 292℄
1,4
[219℄
4
[28℄
â¥à¯®«ïæ¨ï ç¨á«¥ëå ¨ «¨â¨ç¥áª¨å १ã«ìâ ⮢ ®¥ç®à §®áâë© ç¨á«¥ë© ¬¥â®¤ (¯à¨ Pe = 500)
£¤¥ Shin ¨ Shst | £« ¢ë¥ ç«¥ë ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨å à §«®¥¨© á।¥£® ç¨á« ¥à¢ã¤ ¯à¨ τ → 0 ¨ τ → ∞, â.e. lim (Sh /Shin) = 1,
τ →0
lim (Sh /Shst ) = 1.
τ →∞
«¥¥ ¢ à §¤. 4.14 ¡ã¤¥â ¯®ª § ®, çâ® ¢ëà ¥¨¥ (4.12.6) ¯à¨£®¤® â ª¥ ¤«ï ®¯¨á ¨ï è¨à®ª®£® ª« áá ¡®«¥¥ á«®ëå ¥«¨¥©ëå § ¤ ç ¥áâ 樮 ண® ¤¨ää㧨®®£® ¯®£à ¨ç®£® á«®ï.
4.13. ç¥áâ¢¥ë¥ ®á®¡¥®á⨠¬ áᮯ¥à¥®á ¢ãâਠª ¯«¨
193
Ǒந§¢®«ìë¥ ç¨á« Ǒ¥ª«¥. «ï à áç¥â á।¥£® ç¨á« ¥à¢ã¤ ¯à¨ ¯à®¨§¢®«ì®¬ « ¬¨ ஬ ®¡â¥ª ¨¨ áä¥à¨ç¥áª¨å ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¢® ¢á¥¬ ¤¨ ¯ §®¥ ¨§¬¥¥¨ï ç¨á¥« Ǒ¥ª«¥ ¬®® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¨â¥à¯®«ï樮ãî ä®à¬ã«ã q
Sh = (Shst −1) th π(Shst −1)2 τ + 1.
(4.12.7)
áᬮâਬ ¯®¢¥¤¥¨¥ í⮩ äãªæ¨¨ ¢ à §«¨çëå ¯à¥¤¥«ìëå á«ãç ïå. ç¨âë¢ ï, çâ® Shst → 1 ¯à¨ Pe → 0, ¨§ ä®à¬ã«ë (4.12.7) ¯®«ãç ¥¬ â®çë© à¥§ã«ìâ â ¤«ï ¥¯®¤¢¨®© á।ë (4.3.14). ǑਠPe → ∞ ¨¬¥¥¬ Shst → ∞, ¨ ¢ëà ¥¨¥ (4.12.7) ¯¥à¥å®¤¨â ¢ (4.12.3). Ǒਠ¬ «ëå τ ä®à¬ã« (4.12.7) ¤ ¥â â®çë© ®â¢¥â Sh ≈ (πτ )−1/2 . Ǒਠτ → ∞ ¨§ (4.12.7) ¨¬¥¥¬ Sh → Shst . 4.13. ç¥áâ¢¥ë¥ ®á®¡¥®á⨠¬ áᮯ¥à¥®á ¢ãâਠª ¯«¨ ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥
áᮯ¥à¥®á ¯à¨ «¨¬¨â¨àãî饬 ᮯà®â¨¢«¥¨¨ ¤¨á¯¥àᮩ ä §ë. áᬮâਬ ¥áâ 樮 àë© ª®¢¥ªâ¨¢ë© ¬ áá®-
¨ ⥯«®®¡¬¥ ¬¥¤ã áä¥à¨ç¥áª®© ª ¯«¥© à ¤¨ãá a ¨ ¯®áâ㯠⥫ìë¬ áâ®ªá®¢ë¬ ¯®â®ª®¬, ª®£¤ ᮯà®â¨¢«¥¨¥ ¯¥à¥®áã á®á।®â®ç¥® ¢ ¤¨á¯¥àᮩ ä §¥. ç¨â ¥¬, çâ® ¢ ç «ìë© ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨ t = 0 ª®æ¥âà æ¨ï ¢ãâਠª ¯«¨ ®¤¨ ª®¢ ¨ à ¢ C0 , ¯à¨ t > 0 ¬¥ä §®© ¯®¢¥àå®á⨠¯®¤¤¥à¨¢ ¥âáï ¯®áâ®ï ï ª®æ¥âà æ¨ï Cs . Ǒà®æ¥áá ¬ áᮯ¥à¥®á ¢ãâਠª ¯«¨ ®¯¨áë¢ ¥âáï ãà ¢¥¨¥¬ (4.12.1) ¨ ¯¥à¢ë¬¨ ¤¢ã¬ï ãá«®¢¨ï¬¨ (4.12.2). á¯à¥¤¥«¥¨¥ ᪮à®á⥩ ¨¤ª®á⨠~v = (vr , vθ ) ¯à¨ ¬ «ëå ç¨á« å ¥©®«ì¤á ®¯à¥¤¥«ï¥âáï äãªæ¨¥© ⮪ ¤ ¬ à | ë¡ç¨áª®£®, ª®â®à ï ¢ ¡¥§à §¬¥àëå ¯¥à¥¬¥ëå ¨¬¥¥â ¢¨¤ 1 ψ=− r2 (1 − r2 ) sin2 θ; 4(β + 1) 1 ∂ψ 1 ∂ψ vr = 2 , vθ = − . r sin θ ∂θ r sin θ ∂r «ï «¨§ १ã«ìâ ⮢ ᨬ¯â®â¨ç¥áª®£® à¥è¥¨ï à áᬠâਢ ¥¬®© § ¤ ç¨ ã¤®¡® ¢¢¥á⨠¢á¯®¬®£ ⥫쮥 ç¨á«® Ǒ¥ª«¥ ¯® ä®à¬ã«¥ aUi Pe Peβ = , £¤¥ Pe = , Ui | ᪮à®áâì ¯®â®ª . β+1 D «¥¥ ¡ã¤¥¬ áç¨â âì, çâ® ¢ë¯®«¥® ãá«®¢¨¥ Peβ ≫ 1. 楫ïå ¡®«ì襩 £«ï¤®á⨠¤«ï 䨧¨ç¥áª®© ¨â¥à¯à¥â 樨 ¯à®æ¥áá ¡ã¤¥¬
194
áá®®¡¬¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬
¨á¯®«ì§®¢ âì â¥à¬¨®«®£¨î, ᮮ⢥âáâ¢ãîéãî á«ãç î ¯®«®£® ¯®£«®é¥¨ï ¢¥é¥á⢠¯®¢¥àå®á⨠ª ¯«¨ ¯à¨ Cs = 0. ãâà¥ïï § ¤ ç ª®¢¥ªâ¨¢®£® ¬ áá®- ¨ ⥯«®®¡¬¥ áãé¥á⢥® ®â«¨ç ¥âáï ®â «®£¨ç®© ¢¥è¥© § ¤ ç¨ ¯à¥¤¥ ¢á¥£® áâàãªâãன «¨¨© ⮪ , çâ® ¢ ª®¥ç®¬ ¨â®£¥ ®¯à¥¤¥«ï¥â ᮮ⢥âáâ¢¥ë¥ ª ç¥áâ¢¥ë¥ ®â«¨ç¨ï ¤¨ ¬¨ª¨ ¯à®æ¥áᮢ ¥áâ 樮 ண® ¬ áᮯ¥à¥®á ¢¥ ¨ ¢ãâਠª ¯«¨. ® ¢¥è¥© § ¤ ç¥, ª®â®à ï à áᬠâਢ « áì ¢ à §¤. 4.12, ¢á¥ «¨¨¨ ⮪ à §®¬ªãâë. Ǒਠí⮬ «¨¨¨ ⮪ , à ᯮ«®¥ë¥ ¢¡«¨§¨ ®á¨ ¯®â®ª , ¯à¨®áïâ ¥®¡¥¤¥ãî ª®æ¥âà æ¨î ¨§ ¡¥áª®¥ç®áâ¨, ¯à®å®¤ïâ ¤ «¥¥ ¢¡«¨§¨ ¯®¢¥àå®á⨠ª ¯«¨ (§¤¥áì ¯à®¨á室¨â áãé¥á⢥®¥ ®¡¥¤¥¨¥ à áâ¢®à § áç¥â ¯®«®£® ¯®£«®é¥¨ï ॠ£¥â ¯®¢¥àå®á⨠ª ¯«¨) ¨ ᮢ ã室ïâ ¡¥áª®¥ç®áâì. áç¥â ⮣®, çâ® ª®æ¥âà 樨 ¡¥áª®¥ç®á⨠¨ ¯®¢¥àå®á⨠ª ¯«¨ ¯®¤¤¥à¨¢ îâáï ¯®áâ®ï묨, à¥è¥¨¥ ¢¥è¥© § ¤ ç¨ íªá¯®¥æ¨ «ì® ¡ëáâà® ¢ë室¨â áâ 樮 àë© ¯à®ä¨«ì (4.6.16), ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 áâ 樮 ஬㠤¨ää㧨®®¬ã ¯®£à ¨ç®¬ã á«®î. ® ¢ãâ॥© § ¤ ç¥ (á¬. à¨á. 4.5) ¢á¥ «¨¨¨ ⮪ § ¬ªãâë, ¯®í⮬ã à á⢮८¥ ¢ ¨¤ª®á⨠¢¥é¥á⢮, ¯à®å®¤ï ¢¡«¨§¨ ¯®¢¥àå®á⨠ª ¯«¨, ç áâ¨ç® ¯®£«®é ¥âáï, ®áâ ¢è ïáï ç áâì ¨¤¥â ¤ «¥¥ ¢ãâàì ª ¯«¨ ¯® «¨¨ï¬ ⮪ , à ᯮ«®¥ë¬ ¢¡«¨§¨ ®á¨ ¯®â®ª . (¤¥áì ¯à®¨á室¨â ¥ª®â®à®¥ ®¡®£ 饨¥ à áâ¢®à § áç¥â ¥£® ý¯¥à¥¬¥è¨¢ ¨ïþ á ¨¤ª®áâìî ¢ãâਠª ¯«¨; ®¤ ª® ¯®«®£® ®¡®¢«¥¨ï à áâ¢®à §¤¥áì ¥ ¯à®¨á室¨â, â ª ª ª ª®æ¥âà æ¨ï ¢ ®¡ê¥¬¥ ª ¯«¨ 㬥ìè ¥âáï ¢¢¨¤ã ®âáãâáâ¢¨ï ¯à¨â®ª ॠ£¥â ¨§¢¥.) ¨¨¨ ⮪ , ¢ëå®¤ï ¨§ ¯à¨®á¥¢®© ®¡« áâ¨, ç¨ îâ ᮢ ¯à®å®¤¨âì ¢¡«¨§¨ ¯®¢¥àå®á⨠ª ¯«¨, £¤¥ à áâ¢®à ¥é¥ ¡®«¥¥ ®¡¥¤ï¥âáï, 祬 à ìè¥ (â ª ª ª ® ¥ ¡ë« ¯®«®áâìî ¢®ááâ ®¢«¥ ¨ â.¤.). ª®¥ç®¬ áç¥â¥ ¢á¥ à á⢮८¥ ¢ ç «ìë© ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨ ¢ ª ¯«¥ ¢¥é¥á⢮ ¯à¨ τ → ∞ ¯®«®áâìî ¯à®à¥ £¨àã¥â ¥¥ ¯®¢¥àå®áâ¨. ®«¥¥ ¤¥â «ìë© «¨§ [134℄ ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® ¬ áᮯ¥à¥®á ¢ãâਠª ¯«¨ ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ å à ªâ¥à¨§ã¥âáï âà¥¬ï ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì® ¯à®â¥ª î騬¨ áâ ¤¨ï¬¨. ¤ ï ¨§ áâ ¤¨© ¨¬¥¥â ᢮¨ ª ç¥áâ¢¥ë¥ ®á®¡¥®á⨠¨ à §«¨çãî ¯à®¤®«¨â¥«ì®áâì. ç «ì®© (¡ëáâத¥©áâ¢ãî饩) áâ ¤¨¨ ¯à®æ¥áá
¯à®¨á室¨â ä®à¬¨à®¢ ¨¥ ¥áâ 樮 ண® ¤¨ää㧨®®£® ¯®£à ¨ç®£® á«®ï ¢¡«¨§¨ ¯®¢¥àå®á⨠ª ¯«¨, â®«é¨ ª®â®à®£® ¯à®¯®à樮 «ì Pe−1/2 . í⮩ áâ ¤¨¨ ¢ãâ२© ¯®£à ¨çë© á«®© ª ç¥á⢥® «®£¨ç¥ ¢â®¬®¤¥«ì®¬ã ¥áâ 樮 ஬㠯®£à ¨ç®¬ã á«®î ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ¢¥è¥© § ¤ ç¨. ।¥¥ ç¨á«® ¥à¢ã¤ §¤¥áì ¬®® ¢ëç¨á«ïâì ¯® ä®à¬ã«¥ (4.12.5), ¤«ï ¯®«ï ª®æ¥âà 樨 á¯à ¢¥¤«¨¢ë १ã«ìâ âë [101, 212, 292℄. ¥áâ 樮 àë© ¯®£à ¨çë© á«®© ¡ëáâà® ¢ë室¨â ¯à®¬¥ãâ®çë© áâ 樮 àë© à¥¨¬, ª®â®à®¬ã ᮮ⢥âáâ¢ã¥â å à ªâ¥àë© ¯«®áª¨© ãç á⮪ ¤«ï á।¥£®
4.13. ç¥áâ¢¥ë¥ ®á®¡¥®á⨠¬ áᮯ¥à¥®á ¢ãâਠª ¯«¨
195
¨á. 4.5. 奬 â¥ç¥¨ï ¢ãâਠª ¯«¨ ¨ áâàãªâãà ¯®«ï ª®æ¥âà 樨; d1 ¨ d2 | ®¡« á⨠¤¨ää㧨®®£® ¯®£à ¨ç®£® á«®ï, W1 ¨ W2 | ®¡« á⨠¤¨ää㧨®®£® á«¥¤ , e1 ¨ e2 | ï¤à ¯®â®ª (¯à¨ «¨¬¨â¨àãî饬 ᮯà®â¨¢«¥¨¨ ¤¨á¯¥àᮩ ä §ë à áᬠâਢ îâáï «¨èì ®¡« á⨠¢ãâਠª ¯«¨)
ç¨á« ¥à¢ã¤ , ç¨ ï á τ ≈ 2/Peβ . ç «ì ï áâ ¤¨ï ¯à®æ¥áá ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨â¥à¢ «®¬ ¢à¥¬¥¨, ª®£¤ á¯à ¢¥¤«¨¢® ¯à¨¡«¨¥¨¥ ¤¨ää㧨®®£® ¯®£à ¨ç®£® á«®ï (á ç « ¥áâ 樮 ண®, § ⥬ áâ 樮 ண®) á ¥®¡¥¤¥®© ª®æ¥âà 樥© ý¢å®¤¥þ. í⮩ áâ ¤¨¨ ª®æ¥âà æ¨ï ¢ ï¤à¥ ª ¯«¨ à ¢ ¥¢®§¬ã饮© ª®æ¥âà 樨 ¢ ç «ìë© ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨. ãâ२© ¤¨ää㧨®ë© ¯®£à ¨çë© á«®© ¯®à®¤ ¥â ¢ãâ२© ¤¨ää㧨®ë© á«¥¤, à ᯮ«®¥ë© ¢¡«¨§¨ ®á¨ ¯®â®ª , â®«é¨ ª®â®à®£® ¯à®¯®à樮 «ì Pe−1/4 . ¤¨ää㧨®®¬ á«¥¤¥ ¯®áâ㯠î饥 ¨§ ýª®æ þ ¯®£à ¨ç®£® á«®ï à á⢮८¥ ¢¥é¥á⢮ ¯¥à¥®á¨âáï ¨¤ª®áâìî ¡¥§ ¨§¬¥¥¨ï ¢¤®«ì «¨¨¨ ⮪ . ª ª ª ᪮à®áâì â¥ç¥¨ï ¨¤ª®á⨠ª®¥ç , â® á ç « ¯à¨ ¥¡®«ìè¨å ¢à¥¬¥ å τ < τ∗ ¢ ®¡« áâì ¯¥à¥¤¥© ªà¨â¨ç¥áª®© â®çª¨ ¯®£à ¨ç®£® á«®ï ¯®áâ㯠¥â ¥®¡¥¤¥ ï ª®æ¥âà æ¨ï, ¯à¨å®¤ïé ï ¨§ â®«é¨ ¨¤ª®áâ¨. â® ¯à®¨á室¨â ¤® â¥å ¯®à, ¯®ª ¯®¯ ¢è¨© ¨§ ýª®æ þ ¯®£à ¨ç®£® á«®ï ¢ ¤¨ää㧨®ë© á«¥¤ ®¡¥¤¥ë© à á⢮à, ¯à®©¤ï ¢¥áì ¯ãâì ¢¡«¨§¨ ®á¨ ¯®â®ª , ¥ ¤®©¤¥â ¤® ý ç « þ ¤¨ää㧨®®£® ¯®£à ¨ç®£® á«®ï. ®£« ᮠ१ã«ìâ â ¬ [208℄ å à ªâ¥à®¥ ¢à¥¬ï ¯¥à¥®á ॠ£¥â ¢ ¤¨ää㧨®®¬ á«¥¤¥ ª ¯«¨ τ∗ ¨¬¥¥â ¯®à冷ª (ln Peβ )/Peβ ¨ ®¯à¥¤¥«ï¥â ®¡« áâì ¯à¨¬¥¨¬®á⨠¢â®¬®¤¥«ì®£® à¥è¥¨ï [101, 212, 292℄, ª®â®à®¥ ¯à¨ τ > τ∗ ¯¥à¥áâ ¥â ¯à ¢¨«ì® ®¯¨áë¢ âì à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ª®æ¥âà 樨 ¢ ¤¨ää㧨®®¬ ¯®£à ¨ç®¬ á«®¥ (¢¢¨¤ã ¨§¬¥¥¨ï ãá«®¢¨ï ý ⥪ ¨ïþ). ®«¥¥ â®çë¥ ç¨á«¥ë¥ ®æ¥ª¨ [55℄ ¯®ª §ë¢ îâ, çâ® ç «ì ï áâ ¤¨ï ¯à®æ¥áá ¯à®¨á室¨â ¢à¥¬¥ å 0 6 τ 6 0,5 (ln Peβ )/Peβ . Ǒ஬¥ãâ®ç ï áâ ¤¨ï ¯à®æ¥áá . í⮩ áâ ¤¨¨ ¯®¯à¥¥¬ã áãé¥áâ¢ã¥â ¤¨ää㧨®ë© ¯®£à ¨çë© á«®© ¢¡«¨§¨ ¬¥ä §®© ¯®¢¥àå®áâ¨, ª®æ¥âà æ¨ï ¢ ï¤à¥ ª ¯«¨ ¯®áâ®ï ¨ à ¢ ᢮¥¬ã ¯¥à¢® ç «ì®¬ã § 票î. ¤ ª®, ᮣ« ᮠ᪠§ ®¬ã
196
áá®®¡¬¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬
4.6. ।¥¥ ç¨á«® ¥à¢ã¤ ¤«ï ¢ãâ॥© § ¤ ç¨ ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â ¡¥§à §¬¥à®£® ¢à¥¬¥¨
¨á.
¢ëè¥, ª®æ¥âà æ¨ï ¢å®¤¥ ¢ ¯®£à ¨çë© á«®© 㥠¡ã¤¥â ¥®¤®à®¤®© ¨ 室¨âáï ¨§ ãá«®¢¨ï áà 騢 ¨ï á ¯®«¥¬ ª®æ¥âà 樨 ¢® ¢ãâ॥¬ ¤¨ää㧨®®¬ á«¥¤¥. ¤ ç ®á«®ï¥âáï ⥬, çâ® ª®æ¥âà æ¨ï ¢ ¯®á«¥¤¥¬, ¢ á¢®î ®ç¥à¥¤ì, § ¢¨á¨â ®â à á¯à¥¤¥«¥¨ï ª®æ¥âà 樨 ¢ ¤¨ää㧨®®¬ ¯®£à ¨ç®¬ á«®¥. ç¨âë¢ ï 㪠§ ë¥ ®¡áâ®ï⥫ìá⢠, ¢ à ¡®â å [55, 135℄ ¤«ï Peβ > 104 ¡ë«® ¢ë¢¥¤¥® ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï ãá«®¢¨ï ý ⥪ ¨ïþ ¢å®¤¥ ¢ ¯®£à ¨çë© á«®©, ª®â®à®¥ ¯à¨¢®¤¨â ª ¥ ¢â®¬®¤¥«ì®¬ã à¥è¥¨î. à¨á. 4.6 ¯à¨¢¥¤¥ë १ã«ìâ âë à áç¥â á।¥£® ç¨á« ¥à¢ã¤ , ¯®«ãç¥ë¥ ¢ [55℄ ¯ã⥬ ç¨á«¥®£® à¥è¥¨ï ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï, ¯à¨ à §«¨çëå § 票ïå ¡¥§à §¬¥à®£® ¢à¥¬¥¨ ¨ ç¨á« Ǒ¥ª«¥. ¨¤®, çâ® ¯®á«¥ § ¢¥à襨ï ä®à¬¨à®¢ ¨ï ¢ãâ॥£® ¤¨ää㧨®®£® á«¥¤ ¯®«ë© ¯®â®ª ¢¥é¥á⢠¢ãâà¥îî ¯®¢¥àå®áâì ª ¯«¨ ç¨ ¥â ¡ëáâ஠㬥ìè âìáï. ¯à®¬¥ãâ®ç®© áâ ¤¨¨ ¯à®æ¥áá à §¢¨âë© ¤¨ää㧨®ë© á«¥¤ ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ã¥â á ¯®£à ¨çë¬ á«®¥¬ ¨ á¨«ì® ýà §¬ë¢ ¥âþ ¥£®, ¢ १ã«ìâ ⥠祣® â®«é¨ ¯®£à ¨ç®£® á«®ï ¡ã¤¥â 㢥«¨ç¨¢ âìáï (§¤¥áì ¯®£à ¨çë¥ á«®¨, ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¢ãâ॥© ¨ ¢¥è¥© § ¤ ç ¬, § ç¨â¥«ì® ®â«¨ç îâáï ¤à㣠®â ¤à㣠). Ǒ®á⥯¥®, § áç¥â ¯®£«®é¥¨ï à á⢮८£® ¢ ¨¤ª®á⨠¢¥é¥á⢠¬¥ä §®© ¯®¢¥àå®áâ¨, ¤¨ää㧨®ë© ¯®£à ¨çë© á«®©, à á¯à®áâà ïïáì ¢¥áì ®¡ê¥¬ ª ¯«¨, ç¥â à §àãè âìáï. ⬥⨬, çâ® ¯à¨ Peβ = 102 ÷ 103 ¯à®¬¥ãâ®ç ï áâ ¤¨ï ¯à®æ¥áá
4.13. ç¥áâ¢¥ë¥ ®á®¡¥®á⨠¬ áᮯ¥à¥®á ¢ãâਠª ¯«¨
197
¯à®ï¢«ï¥âáï ¥¤®áâ â®ç® ç¥âª®.
ª«îç¨â¥«ì ï (¬¥¤«¥®¯à®â¥ª îé ï) áâ ¤¨ï ¯à®æ¥áá . í⮩ áâ ¤¨¨ ¯à®æ¥áá § áç¥â ¬®£®ªà ⮩ æ¨àªã«ï樨
¨¤ª®á⨠¢¤®«ì § ¬ªãâëå âà ¥ªâ®à¨© ª®æ¥âà æ¨ï 㥠¢ëà ¢ï« áì ¨ áâ « ®¤¨ ª®¢®© «¨¨ïå ⮪ ( ª ¤®© «¨¨¨ ⮪ á¢®ï ª®æ¥âà æ¨ï, ª®â®à ï § ¢¨á¨â ®â τ ). í⮬㠢६¥¨ ¤¨ää㧨®ë© ¯®£à ¨çë© á«®© ¨ ¤¨ää㧨®ë© á«¥¤ ä ªâ¨ç¥áª¨ ¯®«®áâìî à §¬ë«¨áì ¨ ¯à¥ªà ⨫¨ ᢮¥ áãé¥á⢮¢ ¨¥. ¥è¥¨¥ §¤¥áì ¨é¥âáï ¢ ¢¨¤¥ ॣã«ïண® ᨬ¯â®â¨ç¥áª®£® à §«®¥¨ï (4.8.12) ¯® ®¡à âë¬ á⥯¥ï¬ ¬ «®£® ¯ à ¬¥âà Pe−1 . «ï £« ¢®£® ç«¥ í⮣® àï¤ á¯à ¢¥¤«¨¢® ãà ¢¥¨¥, ¢ë¢¥¤¥®¥ ¢ à ¡®â¥ [251℄. ¨á«¥®¥ à¥è¥¨¥ ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 § ¤ ç¨ ¯à¨¢®¤¨â ª á«¥¤ãî饩 § ¢¨á¨¬®á⨠¤«ï á।¥© (¯® ®¡ê¥¬ã) ¡¥§à §¬¥à®© ª®æ¥âà 樨 ¢ãâਠª ¯«¨: ∞ 3X hci = 1 − A exp(−λk τ ); (4.13.1) 2 k=1 k
= 0,4554; A2 = 0,0654; A3 = 0,0542; A4 = 0,0412; A5 = 0,0038; = 26,844; λ2 = 137,91; λ3 = 315,66; λ4 = 724,98; λ5 = 1205,2. ¤¥áì ª®íää¨æ¨¥âë Ak ¨ λk ¯à¨¢¥¤¥ë ¯® ¤ ë¬ [28℄; ¯à¨ k = 1, 2 ¡«¨§ª¨¥ ª ¢ë¯¨á ë¬ § 票ï íâ¨å ª®íää¨æ¨¥â®¢ ¡ë«¨ ¢ëç¨á«¥ë à ¥¥ ¢ [251℄. ëà ¥¨¥ ¤«ï á।¥© ª®æ¥âà 樨 (4.13.1) ¬®® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¯à¨ Peβ > 102 , ç¨ ï á τ > 5 · 10−4. ® ®â¬¥â¨âì, çâ® å®âï ä®à¬ã« (4.13.1) ¡ë« ¢ë¢¥¤¥ ¤«ï á⮪ᮢ २¬ â¥ç¥¨ï (Re → 0), ¥¥ á ãᯥ宬 ¬®® ¯à¨¬¥ïâì ¨ ¤«ï ¡®«ìè¨å ç¨á¥« ¥©®«ì¤á (Re 6 102), ª®£¤ ä®à¬ ª ¯¥«ì ¡«¨§ª ª áä¥à¨ç¥áª®©. ¡§®à íªá¯¥à¨¬¥â «ìëå ¤ ëå ¯® ¬ áá®®¡¬¥ã ¯à¨ «¨¬¨â¨àãî饬 ᮯà®â¨¢«¥¨¨ ¤¨á¯¥àᮩ ä §ë ¢ á¨á⥬ å ¨¤ª®áâì{¨¤ª®áâì ¯à¨ 102 6 Re 6 4 · 102 ¯à¨¢¥¤¥ ¢ [28℄. ®¯®áâ ¢«¥¨¥ ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® íªá¯¥à¨¬¥â «ìë¥ ¤ ë¥ ¢ ¤¨ ¯ §®¥ 4 · 10−4 6 τ 6 10−1 (ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 á⥯¥¨ ¨§¢«¥ç¥¨ï ®â 10% ¤® 70%) 室ïâáï ¢ å®à®è¥¬ ᮣ« ᨨ á १ã«ìâ â ¬¨ à áç¥â ¯® ä®à¬ã«¥ (4.13.1). ¥§ã«ìâ âë ç¨á«¥®£® à¥è¥¨ï à áᬠâਢ ¥¬®© § ¤ ç¨ [27℄ 室ïâáï ¢ å®à®è¥¬ ᮮ⢥âá⢨¨ á ä®à¬ã«®© (4.13.1). A1 λ1
áᮯ¥à¥®á ¯à¨ ᮨ§¬¥à¨¬ëå ä §®¢ëå ᮯà®â¨¢«¥¨ïå. áᬮâਬ ¥ãáâ ®¢¨¢è¥¥áï ¯®«¥ ª®æ¥âà 樨 à á⢮८£®
¢ ¨¤ª®á⨠¢¥é¥á⢠¢¥ ¨ ¢ãâਠáä¥à¨ç¥áª®© ª ¯«¨ à ¤¨ãá a, ¤¢¨ã饩áï á ¯®áâ®ï®© ᪮à®áâìî Ui ¢ ¥®£à ¨ç¥®© ¨¤ª®© á।¥. ç¨â ¥¬, çâ® ¯®«¥ ᪮à®á⥩ ¨¤ª®á⨠¢ ᯫ®è®© ¨ ¤¨á¯¥àᮩ ä § å ®¯à¥¤¥«ï¥âáï à¥è¥¨¥¬ ¤ ¬ à | ë¡ç¨áª®£® [233, 291℄, ¯®«ãç¥ë¬ ¤«ï ¬ «ëå ç¨á¥« ¥©®«ì¤á . ¤ «¨ ®â ª ¯«¨ ª®æ¥âà æ¨ï
198
áá®®¡¬¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬
¯®¤¤¥à¨¢ ¥âáï ¯®áâ®ï®© ¨ à ¢®© Ci . ç «ìë© ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨ t = 0 ª®æ¥âà æ¨ï ¢¥ ª ¯«¨ ¢áî¤ã ®¤®à®¤ ¨ à ¢ Ci , ¢ãâਠª ¯«¨ ª®æ¥âà æ¨ï â ª¥ ®¤®à®¤ ¨ à ¢ C0 . ¯®¢¥àå®á⨠ª ¯«¨ ¢ë¯®«ïîâáï £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï: C2
= F (C1 ),
D1
∂C1 ∂R
= D2
∂C2 ∂R
¯à¨
R = a,
(4.13.2)
£¤¥ ¨¤¥ªá 1 ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¥¯à¥à뢮© ä §¥, 2 | ¤¨á¯¥àᮩ ä §¥. Ǒ¥à¢®¥ ãá«®¢¨¥ (4.13.2) ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ãá«®¢¨¥ ä §®¢®£® à ¢®¢¥á¨ï ¯®¢¥àå®á⨠ª ¯«¨. ¡ëç® áç¨â ¥âáï [101, 212, 292℄, çâ® äãªæ¨ï F «¨¥©ë¬ ®¡à §®¬ § ¢¨á¨â ®â ª®æ¥âà 樨 (§ ª® ¥à¨): F (C1 ) = αC1 , £¤¥ ª®íää¨æ¨¥â à á¯à¥¤¥«¥¨ï α § ¢¨á¨â ®â 䨧¨ç¥áª¨å ᢮©á⢠¨¤ª®á⥩ ¢¥ ¨ ¢ãâਠª ¯«¨. Ǒ।¥«ìë¥ á«ãç ¨ «¨¬¨â¨àãî饣® ᮯà®â¨¢«¥¨ï ¤¨á¯¥àᮩ ¨ ᯫ®è®© ä §ë ᮮ⢥âáâ¢ãîâ § ç¥¨ï¬ α → 0 ¨ α → ∞. Ǒਠᮨ§¬¥à¨¬ëå ä §®¢ëå ᮯà®â¨¢«¥¨ïå ¨¬¥¥¬ α ∼ 1. [28℄ ¡ë«® ¯®ª § ®, çâ® ¢ à拉 á«ãç ¥¢ á«¥¤ã¥â ¨á¯®«ì§®¢ âì á⥯¥ãî § ¢¨á¨¬®áâì F (C1 ) = αC1m , £¤¥ m «¥¨â ¢ ¯à¥¤¥« å ®â 0,5 ¤® 2,0. â®à®¥ ãá«®¢¨¥ (4.13.2) ®âà ¥â ¥¯à¥à뢮áâì ¤¨ää㧨®ëå ¯®â®ª®¢ ¯®¢¥àå®á⨠ª ¯«¨. á¯à¥¤¥«¥¨¥ ª®æ¥âà 樨 ®¯¨áë¢ ¥âáï ãà ¢¥¨¥¬ (3.1.1), £¤¥ ¢¥«¨ç¨ë C , V~ , D ¢ ᯫ®è®© ä §¥ (¯à¨ R > a) ¯®¬¥ç îâáï ¨¤¥ªá®¬ 1, ¢ ¤¨á¯¥àᮩ ä §¥ (¯à¨ R < a) | ¨¤¥ªá®¬ 2. à ¡®â å [135, 208℄ ¡ë«® ¯®ª § ®, çâ® ¢ á«ãç ¥ ¡®«ìè¨å ç¨á¥« Ǒ¥ª«¥ ¤¨ää㧨®ë© ¯à®æ¥áá ¯à¨ á®¨§¬¥à¨¬ëå ä §®¢ëå ᮯà®â¨¢«¥¨ïå å à ªâ¥à¨§ã¥âáï â६ï áâ ¤¨ï¬¨ á à §«¨çë¬ ¬¥å ¨§¬®¬ ¬ áᮯ¥à¥®á . «¨â¥«ì®áâì íâ¨å áâ ¤¨© â ª ï ¥, ª ª ¨ ¤«ï á«ãç ï «¨¬¨â¨àãî饣® ᮯà®â¨¢«¥¨ï ¤¨á¯¥àᮩ ä §ë. ç «ì®© áâ ¤¨¨ ¯à®æ¥áá ¯à®¨á室¨â ä®à¬¨à®¢ ¨¥ ¥áâ 樮 àëå ¤¨ää㧨®ëå ¯®£à ¨çëå á«®¥¢ ¯® ®¡¥ áâ®à®ë ®â ¯®¢¥àå®á⨠ª ¯«¨ (ª®â®àë¥ ª ç¥á⢥® «®£¨çë ¤à㣠¤àã£ã), ¯à¨ í⮬ ¢ãâ२© ¯®£à ¨çë© á«®© ¯®à®¤ ¥â ¤¨ää㧨®ë© á«¥¤, à ᯮ«®¥ë© ¢¡«¨§¨ ®á¨ ¯®â®ª (á¬. à¨á. 4.5). ¯à®¬¥ãâ®ç®© áâ ¤¨¨ ¯à®æ¥áá à §¢¨âë© ¢ãâ२© ¤¨ää㧨®ë© á«¥¤ ç¨ ¥â ¢§ ¨¬®¤¥©á⢮¢ âì á ¯®£à ¨çë¬ á«®¥¬ ¨ á¨«ì® ýà §¬ë¢ ¥âþ ¥£® (§¤¥áì 㥠¯®£à á«®¨, à ᯮ«®¥ë¥ ¢¥ ¨ ¢ãâਠª ¯«¨, áãé¥á⢥® à §«¨ç îâáï, ¢ १ã«ìâ ⥠祣® â®«é¨ ¢ãâ॥£® ¯®£à á«®ï ¯®á⥯¥® § ç¨â¥«ì® 㢥«¨ç¨¢ ¥âáï). § ª«îç¨â¥«ì®© áâ ¤¨¨ ¯à®æ¥áá ¯à®¨á室¨â ¤ «ì¥©è ï ¯¥à¥áâனª ¯®«ï ª®æ¥âà 樨, â ª çâ® ¯®£à á«®¨ ¯à ªâ¨ç¥áª¨ 㥠¯à¥ªà é îâ ᢮¥ áãé¥á⢮¢ ¨¥; ¯à¨ í⮬ ¢¥ ª ¯«¨ ª®æ¥âà æ¨ï áâ ®¢¨âáï ¯®áâ®ï®© ¨ à ¢®© ¥¢®§¬ã饮© ª®æ¥âà 樨 ¡¥áª®¥ç®á⨠Ci , ¢ãâਠª ¯«¨ ¯à®â¥ª ¥â áãé¥á⢥® ¥áâ 樮 àë© ¯à®æ¥áá, ª®£¤ ª ¤®© 䨪á¨à®¢ ®© «¨¨¨ ⮪ ª®æ¥âà æ¨ï ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ¢ëà ¢ï« áì (§
4.14. ç¥â § ¢¨á¨¬®á⨠ª®íää¨æ¨¥â ¤¨ää㧨¨ ®â ª®æ¥âà 樨
199
áç¥â ¬®£®ªà ⮩ æ¨àªã«ï樨 ¨¤ª®á⨠¯® § ¬ªãâë¬ «¨¨ï¬ ⮪ ), ¬ áᮯ¥à¥¤ ç ®áãé¥á⢫ï¥âáï ¯ã⥬ ¬®«¥ªã«ïன ¤¨ää㧨¨ ¢ ¯à ¢«¥¨¨, ¯¥à¯¥¤¨ªã«ï஬ «¨¨ï¬ ⮪ . ç¨âë¢ ï ᪠§ ®¥, ¯®«ã稬, çâ® § ª«îç¨â¥«ì®© áâ ¤¨¨ ¯à®æ¥áá ª®æ¥âà æ¨ï ¬¥ä §®© ¯®¢¥àå®á⨠¢ ᨫ㠯¥à¢®£® £à ¨ç®£® ãá«®¢¨ï (4.13.2) ¯®áâ®ï ¨ à ¢ C
= Cs , £¤¥
Cs
= F (Ci ).
(4.13.3)
Ǒਠí⮬ á।îî ª®æ¥âà æ¨î ¢ãâਠª ¯«¨ ¬®® ¢ëç¨á«ïâì ¯® ä®à¬ã«¥ (4.13.2), £¤¥ ¡¥§à §¬¥à ï ª®æ¥âà æ¨ï ®¯à¥¤¥«ï¥âáï â ª: c = (C0 − C )/(C0 − Cs ), § 票¥ Cs 㪠§ ® ¢ (4.13.3). 4.14. áá®®¡¬¥ ç áâ¨æ ¨ ª ¯¥«ì á ¯®â®ª®¬ ¯à¨ ¯à®¨§¢®«ì®© § ¢¨á¨¬®á⨠ª®íää¨æ¨¥â ¤¨ää㧨¨ ®â ª®æ¥âà 樨
¥ª®â®àë¥ § ¬¥ç ¨ï. ®à¬ã«¨à®¢ª § ¤ ç¨. ¡ëç® áç¨â ¥âáï, çâ® ª®íää¨æ¨¥â ¤¨ää㧨¨ ¥ § ¢¨á¨â ®â ª®æ¥âà 樨. ¤ ª® íªá¯¥à¨¬¥â «ìë¥ ¤ ë¥ [26, 99, 159, 182, 228, 285, 311℄ ¯®ª §ë¢ îâ, çâ® ª®íää¨æ¨¥âë ¤¨ää㧨¨ ¢ ¨¤ª®áâïå ç áâ® áãé¥áâ¢¥ë¬ ®¡à §®¬ ¨§¬¥ïîâáï á ¨§¬¥¥¨¥¬ ª®æ¥âà 樨. Ǒਠí⮬ ¤«ï à §¡ ¢«¥ëå à á⢮஢ 㢥«¨ç¥¨¥ ª®æ¥âà 樨 ¢á¥£¤ ¯à¨¢®¤¨â ª 㬥ìè¥¨î ª®íää¨æ¨¥â ¤¨ää㧨¨. ¯à¨¬¥à, à á⢮२¥ ¢ ®¤®¬ «¨âॠ¢®¤ë ¤¢ãå £à ¬¬®¢ ¯®¢ ८© ᮫¨ 㬥ìè ¥â ª®íää¨æ¨¥â ¤¨ää㧨¨ 10%. ® ¬®£¨å á«ãç ïå ª®íää¨æ¨¥â ¤¨ää㧨¨ «¨¥©ë¬ ®¡à §®¬ 㬥ìè ¥âáï ¯à¨ ã¢¥«¨ç¥¨¨ ª®æ¥âà 樨 ¤¨ää㤨àãî饣® ¢¥é¥á⢠(á å ஧ , à 䨮§ ¨ ¤à.) ¢ ¢®¤®¬ à á⢮ॠ[26℄. Ǒਠà á⢮२¨ ¢ ¢®¤¥ àï¤ ®¤®¢ «¥âëå ᮫¥© (NaCl, KCl, KI, LiCl ¨ ¤à.) § ¢¨á¨¬®áâì ª®íää¨æ¨¥â ¤¨ää㧨¨ ®â ª®æ¥âà 樨 (¯à¨ C 6 0,1 ¬®«ì/«) å®à®è® ®¯¨áë¢ ¥âáï ¢ëà ¥¨¥¬ [124, 159℄ D/D0
=1−γ
√ C,
£¤¥ D0 | ª®íää¨æ¨¥â ¤¨ää㧨¨ ¯à¨ ¡¥áª®¥ç®¬ à §¡ ¢«¥¨¨, C | ¬®«ì ï ª®æ¥âà æ¨ï, γ ≃ 0,5 ÷ 0,6 | ç¨á«¥ë© ª®íää¨æ¨¥â. «ï £¥¬®£«®¡¨ ¨ á¥à®£® «ì¡ã¬¨ , ¤¨ää㤨àãîé¨å ¢ à á⢮à å ᮫¥©, ¨¬¥¥¬ [159, 194℄ D/D0
= (1 − c)6,5 ,
£¤¥ c | ¬®«ì ï ¤®«ï à á⢮८£® ¢¥é¥á⢠.
200
áá®®¡¬¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬
á⢮२¥ ¢ ¢®¤¥ KMnO4 ¢ ª®«¨ç¥á⢥ ®â 0 ¤® 2 · 10−4 ¬®«ì/« ᨠ¥â ª®íää¨æ¨¥â ¤¨ää㧨¨ 25%. ç¥ì ᨫ쮥 ¨§¬¥¥¨¥ ª®íää¨æ¨¥â ¤¨ää㧨¨ ¡«î¤ ¥âáï ¢ ¢®¤ëå à á⢮à å ¬¥â¨«¥®¢®£® £®«ã¡®£® (¬®«¥ªã«ïà ï ¬ áá m = 317), ¢¢¥¤¥¨¥ ª®â®à®£® ¢ ª®«¨ç¥á⢥ 6 · 10−4 ¬®«ì/« ¯à¨ ª®¬ ⮩ ⥬¯¥à âãॠ¢ ¤¢ à § ᨠ¥â ª®íää¨æ¨¥â ¤¨ää㧨¨. ⬥⨬ â ª¥, çâ® ¢ ¥ª®â®àëå á¨á⥬ å ( ¯à¨¬¥à, ¯à¨ à á⢮२¨ ¢ ¢®¤¥ æ¥â® , íâ ®« ¨«¨ ¬¥â ®« ) á 㢥«¨ç¥¨¥¬ ª®æ¥âà 樨 ª®íää¨æ¨¥â ¤¨ää㧨¨ á ç « 㬥ìè ¥âáï, § ⥬ ¢®§à áâ ¥â [26, 182, 285℄. ¯à¨¬¥à, ª®à५ï樥© D/D0 = exp(κc) ¯à¨ κ = 3,83, D0 = 0,109 · 10−5 á¬2/ᥪ ¬®® ®¯¨á âì ª®íää¨æ¨¥â ¢§ ¨¬®© ¤¨ää㧨¨ ¤«ï á¨á⥬ë æ¥â® | ¢®¤ ¯à¨ 25◦ ¢ ¤¨ ¯ §®¥ ª®æ¥âà 権 0,45 ÷ 1,0 ¬®«ì®© ¤®«¨ æ¥â® [182℄. áᬮâà¥ë¥ ¯à¨¬¥àë £«ï¤® ¯®ª §ë¢ îâ, çâ® ¯à¨ à á⢮२¨ àï¤ ¢¥é¥á⢠¤ ¥ ¢ ®ç¥ì ¬ «ëå ª®«¨ç¥á⢠å (¤¥áïâë¥ ¤®«¨ ¯à®æ¥â ) ¥®¡å®¤¨¬® ãç¨âë¢ âì ¨§¬¥¥¨¥ ª®íää¨æ¨¥â ¤¨ää㧨¨. Ǒਠí⮬ ¨§¬¥¥¨¥¬ ¢ï§ª®á⨠¨ ¯«®â®á⨠ᬥᨠ®â ª®æ¥âà 樨 ¤¨ää㤨àãî饣® ¢¥é¥á⢠, ª ª ¯à ¢¨«®, ¬®® ¯à¥¥¡à¥çì. ¯à¨¬¥à, ¨§ ¤ ëå [26℄ á«¥¤ã¥â, çâ® ¤«ï à §¡ ¢«¥ëå à á⢮஢ ®¤®¢ «¥âëå ᮫¥© ®â®á¨â¥«ì®¥ ¨§¬¥¥¨¥ ª®íää¨æ¨¥â ¤¨ää㧨¨ ¤¢ ¯®à浪 ¯à¥¢ëè ¥â ®â®á¨â¥«ì®¥ ¨§¬¥¥¨¥ ¢ï§ª®á⨠à á⢮à . ç¨âë¢ ï ᪠§ ®¥, à áᬮâਬ áâ 樮 àë© ª®¢¥ªâ¨¢ë© ¬ áá®®¡¬¥ ⢥म© ç áâ¨æë ¨«¨ ª ¯«¨ á ¨¤ª®áâìî ¯à¨ ¯à®¨§¢®«ì®© § ¢¨á¨¬®á⨠ª®íää¨æ¨¥â ¤¨ää㧨¨ ®â ª®æ¥âà 樨 D = D(C ). ç¨â ¥¬, çâ® ª®æ¥âà æ¨ï ã ¯®¢¥àå®á⨠ç áâ¨æë ¨ ¢¤ «¨ ®â ¥¥ ¯à¨¨¬ ¥â ¯®áâ®ïë¥ § 票ï, à ¢ë¥ Cs ¨ Ci ᮮ⢥âá⢥® (Cs 6= Ci ). Ǒ।¯®« £ ¥¬ â ª¥, çâ® ¥®¤®à®¤®áâì ª®æ¥âà 樨 ¥ ¢«¨ï¥â ¯ à ¬¥âàë ¯®â®ª . ¡¥§à §¬¥àëå ¯¥à¥¬¥ëå ¨áá«¥¤ã¥¬ ï ¥«¨¥© ï § ¤ ç ®¯¨áë¢ ¥âáï ãà ¢¥¨¥¬ ¨ £à ¨ç묨 ãá«®¢¨ï¬¨ Pe(~v · ∇)c = div(D∇c); ( ¯®¢¥àå®á⨠ç áâ¨æë ), (¢¤ «¨ ®â ç áâ¨æë),
c=1 c→0
(4.14.1)
C −C D(C ) aU £¤¥ c = i , D(c) = , Pe = ; a ¨ U | å à ªâ¥àë¥ Ci − Cs D(Ci ) D(Ci ) ¬ áèâ ¡ë ¤«¨ë ¨ ᪮à®áâ¨. ¯à¥¤¥«¨¬ á।¥¥ ç¨á«® ¥à¢ã¤ , ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 à¥è¥¨î § ¤ ç¨ (4.14.1), á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬:
Sh = Sh(D, Pe) = −
1 S
Z
D(c)
∂c d , ∂ξ
(4.14.2)
4.14. ç¥â § ¢¨á¨¬®á⨠ª®íää¨æ¨¥â ¤¨ää㧨¨ ®â ª®æ¥âà 樨
201
£¤¥ S | ¡¥§à §¬¥à ï ¯«®é ¤ì ¯®¢¥àå®á⨠ç áâ¨æë, ∂/∂ξ | ¯à®¨§¢®¤ ï ¯® ®à¬ «¨ ª ¯®¢¥àå®á⨠ç áâ¨æë . «ë¥ ç¨á« Ǒ¥ª«¥. à ¡®â å [133, 273℄ ¡ë«® ¤®ª § ®, çâ® ¤«ï ¯à®¨§¢®«ì®© § ¢¨á¨¬®á⨠ª®íää¨æ¨¥â ¤¨ää㧨¨ ®â ª®æ¥âà 樨 ¯à¨ «î¡®© ä®à¬¥ ç áâ¨æ ¨ ª ¯¥«ì ¤«ï á।¥£® ç¨á« ¥à¢ã¤ ¨ ¬ «ëå ç¨á¥« Ǒ¥ª«¥ á¯à ¢¥¤«¨¢ á«¥¤ãîé ï ᨬ¯â®â¨ç¥áª ï ä®à¬ã« : Sh(D, Pe) = hDi Sh(1, Pe),
£¤¥
hDi =
Z 1 0
D(c) dc.
(4.14.3)
¤¥áì Sh(1, Pe) | ¢á¯®¬®£ ⥫쮥 ç¨á«® ¥à¢ã¤ , ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 à¥è¥¨î «¨¥©®© § ¤ ç¨ (4.14.1) ¯à¨ D = 1. «ï ¯®áâ㯠⥫쮣® á⮪ᮢ â¥ç¥¨ï ¢ëà ¥¨¥ (4.14.3) ¤ ¥â âਠ£« ¢ëå ç«¥ à §«®¥¨ï (¤® ç«¥®¢ ¯®à浪 Pe2 ln Pe ¢ª«îç¨â¥«ì®). í⮬ á«ãç ¥ ¢¥«¨ç¨ Sh(1, Pe) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ®â®è¥¨¥¬ ¯à ¢®© ç á⨠ä®à¬ã«ë (4.4.22) ª ¡¥§à §¬¥à®© ¯«®é ¤¨ ¯®¢¥àå®á⨠ç áâ¨æë. «ï ¯à®¨§¢®«ì®£® «¨¥©®£® ᤢ¨£®¢®£® ¯®â®ª ¢ëà ¥¨¥ √ (4.14.3) ¤ ¥â ¤¢ £« ¢ëå ç«¥ à §«®¥¨ï (¤® ç«¥ ¯®à浪 Pe ¢ª«îç¨â¥«ì®). ¤ ®¬ á«ãç ¥ ¢¥«¨ç¨ Sh(1, Pe) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ®â®è¥¨¥¬ ¯à ¢®© ç á⨠ä®à¬ã«ë (4.5.8) ª ¡¥§à §¬¥à®© ¯«®é ¤¨ ¯®¢¥àå®á⨠ç áâ¨æë, ¯à¨ í⮬ á« £ ¥¬ë¥ ¯®à浪 Pe ¥ ãç¨âë¢ îâáï. ®à¬ã«ã (4.14.3) ¬®® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¨ ¤«ï ¤àã£¨å ¡®«¥¥ á«®ëå â¥ç¥¨© ¯à¨ Pe → 0 [273℄.
áá®®¡¬¥ ç áâ¨æë, ᢮¡®¤® ¢§¢¥è¥®© ¢ ¯à®á⮬ ᤢ¨£®¢®¬ ¯®â®ª¥ ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥. Ǒãáâì ç áâ¨æ
®ªà㥠®¡« áâìî á § ¬ªãâ묨 «¨¨ï¬¨ ⮪ . í⮬ á«ãç ¥ ¤«ï £« ¢®£® ç«¥ ᨬ¯â®â¨ç¥áª®£® à §«®¥¨ï á।¥£® ç¨á« ¥à¢ã¤ ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ á¯à ¢¥¤«¨¢ § ¢¨á¨¬®áâì (4.14.3), ª®â®à ï ¡ë« ¢ë¢¥¤¥ ¢ [72℄. ç á⮬ á«ãç ¥ áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æë, ᢮¡®¤® ¢§¢¥è¥®© ¢ ¯à®á⮬ ᤢ¨£®¢®¬ ¯®â®ª¥, ¢ ä®à¬ã«¥ (4.14.3) á«¥¤ã¥â ¯®«®¨âì Sh(1, Pe) = 4,45. Ǒਠ¢ëç¨á«¥¨¨ Sh(1, Pe) ¤«ï áä¥à¨ç¥áª¨å ç áâ¨æ ¢ ¯«®áª®¬ ᤢ¨£®¢®¬ ¯®â®ª¥ ¬®® ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï ¢ëà ¥¨¥¬ (4.8.15). Ǒ®-¢¨¤¨¬®¬ã, ä®à¬ã«ã (4.14.3) á ãᯥ宬 ¬®® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¤«ï ¯à¨¡«¨¥®£® ®¯à¥¤¥«¥¨ï á।¥£® ç¨á« ¥à¢ã¤ ¢ á«ãç ¥ áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æë, ᢮¡®¤® ¢§¢¥è¥®© ¢ ¯à®á⮬ ᤢ¨£®¢®¬ ¯®â®ª¥, ¢® ¢á¥¬ ¤¨ ¯ §®¥ ç¨á¥« Ǒ¥ª«¥ 0 6 Pe 6 ∞ ( ¯®¬¨¬, çâ® §¤¥áì ä®à¬ã« (4.14.3) ¤ ¥â ¯à ¢¨«ìë© á¨¬¯â®â¨ç¥áª¨© १ã«ìâ â ¢ ®¡®¨å ¯à¥¤¥«ìëå á«ãç ïå ¯à¨ Pe → 0 ¨ Pe → ∞).
®«ì訥 ç¨á« Ǒ¥ª«¥. Ǒਡ«¨¥¨¥ ¤¨ää㧨®®£® ¯®£à ¨ç®£® á«®ï. ¤ ç (4.14.1) ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ ¨áá«¥-
202
áá®®¡¬¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬
¤®¢ « áì ¢ à ¡®â¥ [149℄. ¥è¥¨¥ ¡ë«® ¯®«ã祮 ¬¥â®¤®¬ ¤¨ää㧨®®£® ¯®£à ¨ç®£® á«®ï. «ï á।¥£® ç¨á« ¥à¢ã¤ ¡ë« ¢ë¢¥¤¥ á«¥¤ãîé ï § ¢¨á¨¬®áâì: Sh(D, Pe) = αm (D) Sh(1, Pe).
(4.14.4)
¤¥áì αm | ª®íää¨æ¨¥â ¥«¨¥©®áâ¨, ª®â®àë© ¢ëç¨á«ï¥âáï ¯® ä®à¬ã«¥ αm
= (m + 1)
m−1 m+1
1 m+1
dc −D(c) dz
z =0
,
(4.14.5)
£¤¥ äãªæ¨ï c = c(z ) ï¥âáï à¥è¥¨¥¬ ¢á¯®¬®£ ⥫쮩 § ¤ ç¨ ¤«ï ®¡ëª®¢¥®£® ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®£® ãà ¢¥¨ï d dz z
dc z m dc D(c) + dz m + 1 dz
= 0,
c = 1;
z → ∞,
= 0;
(4.14.6)
c → 0.
票¥ m = 2 ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ⢥à¤ë¬ ç áâ¨æ ¬, m = 1 | ¯ã§ëàï¬ ¨ ª ¯«ï¬ 㬥८© ¢ï§ª®á⨠(0 6 β 6 2). «ï ¯®áâ®ï®£® ª®íää¨æ¨¥â ¤¨ää㧨¨ ¨¬¥¥¬ αm (1) = 1. ®à¬ã« (4.14.4) á¯à ¢¥¤«¨¢ ¤«ï ¯à®¨§¢®«ì®£® « ¬¨ ண® â¥ç¥¨ï ¡¥§ § ¬ªãâëå «¨¨© ⮪ ¤«ï ç áâ¨æ ¨ ª ¯¥«ì «î¡®© ä®à¬ë. ¥«¨ç¨ Sh(1, Pe) ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ᨬ¯â®â¨ç¥áª®¬ã à¥è¥¨î «¨¥©®© § ¤ ç¨ (4.14.1) ¯à¨ Pe ≫ 1. «ï áä¥à¨ç¥áª¨å ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¢ ¯®áâ㯠⥫쮬 ¨ «¨¥©®¬ ¤¥ä®à¬ 樮®¬ ᤢ¨£®¢®¬ ¯®â®ª¥ § 票ï Sh(1, Pe) ¯à¨¢¥¤¥ë ¢ ç¥â¢¥à⮩ ª®«®ª¥ â ¡«. 4.7. [250℄ ¤«ï «î¡®£® § 票ï m ¡ë«® ¯®«ã祮 â®ç®¥ «¨â¨ç¥áª®¥ à¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ (4.14.6) ¢ á«ãç ¥ £¨¯¥à¡®«¨ç¥áª®© § ¢¨á¨¬®á⨠ª®íää¨æ¨¥â ¤¨ää㧨¨ ®â ª®æ¥âà 樨 D(c) = (αc + β )−1 , £¤¥ α ¨ β | ¯®áâ®ïë¥. [104℄ 㪠§ ® à¥è¥¨¥ ¯à¨ m = 1 ¤«ï D(c) = (αc2 + βc + γ )−1 . «ï à áç¥â ª®íää¨æ¨¥â αm ¢ (4.14.4) ¯à¨ ¯à®¨§¢®«ì®© § ¢¨á¨¬®á⨠ª®íää¨æ¨¥â ¤¨ää㧨¨ ®â ª®æ¥âà 樨 楫¥á®®¡à §® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¯à¨¡«¨¥ãî ä®à¬ã«ã [149, 281℄ αm
=
m+1 m
Z 1 0
1
c m D(c) dc
mm +1
.
(4.14.7)
â ¡«. 4.9 ¯à¨¢¥¤¥ë १ã«ìâ âë ᮯ®áâ ¢«¥¨ï ª®íää¨æ¨¥â ¥«¨¥©®áâ¨, ¯®«ã祮£® ¯ã⥬ ç¨á«¥®£® à¥è¥¨ï § ¤ ç¨ (4.14.6) ¯® ä®à¬ã«¥ (4.14.5) ¨ á ¯®¬®éìî ¯à¨¡«¨¥®£® ¢ëà ¥¨ï (4.14.7), ¤«ï ᥬ¨ å à ªâ¥àëå § ¢¨á¨¬®á⥩ D = D(c) (¯®£à¥è®á⨠㪠§ ë
4.14. ç¥â § ¢¨á¨¬®á⨠ª®íää¨æ¨¥â ¤¨ää㧨¨ ®â ª®æ¥âà 樨
203
4.9 ªá¨¬ «ì ï ¯®£à¥è®áâì (¢ ¯à®æ¥â å) ä®à¬ã«ë (4.14.7) ¤«ï à §ëå § ¢¨á¨¬®á⥩ ª®íää¨æ¨¥â ¤¨ää㧨¨ ®â ª®æ¥âà 樨 ¨ ¯ §® ¨§¬¥¥¨ï ¯ à ¬¥âà b
¯«¨, ¯ã§ëਠm=1
¢¥à¤ë¥ ç áâ¨æë m=2
m=3
= 1 − bc
−3 6 b 6 0,8
1,9
0,8
1,6
−3 6 b 6 0,8
2,0
0,7
1,2
D
= (1 + bc)
−0,8 6 b 6 3
2,4
0,7
2,0
D
= (1 + bc)−2
−0,8 6 b 6 3
4,8
1,3
3,2
−0,8 6 b 6 3
1,9
0,3
1, 8
−2 6 b 6 3
3,4
1,4
2,3
−0,8 6 b 6 3
1,2
0,3
1,1
¢¨á¨¬®áâì D = D (c) D D
=
√ 1−b c −1
√ D = (1 + b c )−1 D D
= exp(−bc)
= (1 + bc)−1/2
¢ âà¥å ¯®á«¥¤¨å á⮫¡æ å â ¡«¨æë). ¨¤®, çâ® ä®à¬ã« (4.14.7) ®¡« ¤ ¥â ¢ë᮪®© â®ç®áâìî. á«ãç ¥ ⢥à¤ëå ç áâ¨æ (m = 2) ¤«ï ¯à¨¡«¨¥®£® ®¯à¥¤¥«¥¨ï ª®íää¨æ¨¥â ¥«¨¥©®á⨠αm ¬®® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¡®«¥¥ ¯à®áâãî, 祬 (4.14.7), ® ¬¥¥¥ â®çãî § ¢¨á¨¬®áâì [149℄ α2
Z 1
= 2
0
cD(c) dc
2/3
.
(4.14.8)
¡®§ 稬 Dmax = max D(c), D min = min D(c). «ï à §«¨çëå 06c61 06c61 äãªæ¨© D = D(c), 㪠§ ëå ¢ ¯¥à¢®¬ á⮫¡æ¥ â ¡«. 4.9, ¬ ªá¨¬ «ì ï ¯®£à¥è®áâì ä®à¬ã«ë (4.14.8) ¯à¨ ãá«®¢¨¨ 1 6 Dmax /Dmin 6 2 (í⨠¥à ¢¥á⢠䨪á¨àãîâ ¤¨ ¯ §® ¨§¬¥¥¨ï ¯ à ¬¥âà b) á®áâ ¢«ï¥â ¬¥¥¥ 3,5%.
¥áâ 樮 àë¥ § ¤ ç¨ ¤¨ää㧨®®£® ¯®£à ¨ç®£® á«®ï. áᬮâਬ ⥯¥àì ¢¥èîî § ¤ çã ® ¥áâ 樮 ஬ ¬ áá®-
®¡¬¥¥ ª ¯«¨ (¯ã§ëàï) á « ¬¨ àë¬ ãáâ ®¢¨¢è¨¬áï ¯®â®ª®¬. ç¨â ¥¬, çâ® ª®æ¥âà æ¨ï ¢ ¨¤ª®á⨠¢ ç «ìë© ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨ ®¤¨ ª®¢ ¨ à ¢ Ci , ¯®¢¥àå®á⨠ª ¯«¨ ª®æ¥âà æ¨ï ¯®áâ®ï ¨ à ¢ Cs . à ¢¥¨¥ ¥áâ 樮 ண® ¬ áᮯ¥à¥®á ¢ ᯫ®è®© ä §¥ á ãç¥â®¬ § ¢¨á¨¬®á⨠ª®íää¨æ¨¥â ¤¨ää㧨¨ ®â ª®æ¥âà 樨 ¬®® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ ∂c ∂τ
+ Pe(~v · ∇)c = div[D(c)∇c℄,
(4.14.9)
204
áá®®¡¬¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬
£¤¥ τ = tD(Ci )/a2 , ®áâ «ìë¥ ¡¥§à §¬¥àë¥ ¢¥«¨ç¨ë ¢¢¥¤¥ë, ª ª ¢ ãà ¢¥¨¨ (4.14.1). ¥è¥¨¥ ¨é¥âáï ¯à¨ ç «ì®¬ ãá«®¢¨¨ τ = 0, c = 0 ¨ â¥å ¥ £à ¨çëå ãá«®¢¨ïå, çâ® ¨ ¢ (4.14.1). à ¡®â å [136, 274℄ ¡ë«® ¯®ª § ®, çâ® ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ (¢ ¯à¨¡«¨¥¨¨ ¤¨ää㧨®®£® ¯®£à ¨ç®£® á«®ï) à¥è¥¨¥ ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ¥«¨¥©®© § ¤ ç¨ ® ¥áâ 樮 ஬ ¬ áá®®¡¬¥¥ ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬ ¯à¨¢®¤¨â ª á«¥¤ãî饩 § ¢¨á¨¬®á⨠¤«ï á।¥£® ç¨á« ¥à¢ã¤ : Sh(D, Pe, τ ) = α1 (D) Sh(1, Pe, τ ),
(4.14.10)
£¤¥ ª®íää¨æ¨¥â ¥«¨¥©®á⨠α1 , ª ª ¨ à ¥¥, ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯® ä®à¬ã«¥ (4.14.5) ¯ã⥬ à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨ï (4.14.6) ¯à¨ m = 1. ¥«¨ç¨ Sh(1, Pe, τ ) 室¨âáï ¨§ ãà ¢¥¨ï (4.14.9) ¯à¨ D = 1. ¬¥ïï ®¡ ᮬ®¨â¥«ï ¢ ¯à ¢®© ç á⨠¢ëà ¥¨ï (4.14.10) ¯à¨¡«¨¥ë¬¨ ä®à¬ã« ¬¨ (4.12.3) ¨ (4.14.7), ¤«ï á।¥£® ç¨á« ¥à¢ã¤ ¨¬¥¥¬ Sh(D, Pe, τ ) = Shst [ th(π Sh2st τ )℄1/2
Z 1
2
0
cD(c) dc
1/2
,
(4.14.11)
£¤¥ Shst = Sh(1, Pe, ∞) | ç¨á«® ¥à¢ã¤ , ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 à¥è¥¨î «¨¥©®© áâ 樮 ன § ¤ ç¨ ¯à¨ ¯®áâ®ï®¬ ª®íää¨æ¨¥â¥ ¤¨ää㧨¨. «ï áä¥à¨ç¥áª¨å ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¢ ¯®áâ㯠⥫쮬 ¨ ¤¥ä®à¬ 樮®¬ ᤢ¨£®¢ëå ¯®â®ª å § 票ï Shst ¯à¨¢¥¤¥ë ¢ â ¡«. 4.7, £¤¥ ¢ ª ç¥á⢥ ª®íää¨æ¨¥â ¤¨ää㧨¨ ¨á¯®«ì§ã¥âáï ¢¥«¨ç¨ D(Ci ). 4.15. ¨ää㧨®ë© á«¥¤. áá®®¡¬¥ 楯®ç¥ª ª ¯¥«ì ¨ ç áâ¨æ á ¨¤ª®áâìî
¨ää㧨®ë© á«¥¤ (¡®«ì訥 ç¨á« Ǒ¥ª«¥). à ¡®â å [64, 140, 299℄ ¬¥â®¤®¬ áà 騢 ¥¬ëå ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨å à §«®¥¨© (¯® ¡®«ì讬ã ç¨á«ã Ǒ¥ª«¥) ¨áá«¥¤®¢ «¨áì § ¤ ç¨ ® áâ 樮 ன ª®¢¥ªâ¨¢®© ¤¨ää㧨¨ ª ⢥म© áä¥à¥ [299℄ ¨ ª ¯«¥ [64℄ ¢ ¯®áâ㯠⥫쮬 á⮪ᮢ®¬ ¯®â®ª¥ ¯à¨ ¤¨ää㧨®®¬ २¬¥ ॠªæ¨¨ ¬¥ä §®© ¯®¢¥àå®áâ¨. ¯®â®ª¥ ¡ë«® ¢ë¤¥«¥® è¥áâì ®¡« á⥩ á à §«¨ç®© áâàãªâãன ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨å à¥è¥¨©, ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å à §«¨çë¬ ¬¥å ¨§¬ ¬ ¬ áᮯ¥à¥®á (à¨á. 4.7). ¤¨¬ ªà ⪮¥ ª ç¥á⢥®¥ ®¯¨á ¨¥ íâ¨å ®¡« á⥩, ¨á¯®«ì§ãï ¡¥§à §¬¥àãî áä¥à¨ç¥áªãî á¨á⥬㠪®®à¤¨ â r, θ, á¢ï§ ãî á æ¥â஬ ç áâ¨æë (ª ¯«¨). ® ¢¥è¥© ®¡« á⨠e ª®æ¥âà æ¨ï ¯®áâ®ï ¨ à ¢ ᢮¥¬ã ¥¢®§¬ã饮¬ã § ç¥¨î ¡¥áª®¥ç®áâ¨.
4.15. áá®®¡¬¥ 楯®ç¥ª ª ¯¥«ì ¨ ç áâ¨æ á ¨¤ª®áâìî
205
奬 à §¡¨¥¨ï ¯®«ï ª®æ¥âà 樨 ¢¥ ª ¯«¨ ®¡« á⨠á à §«¨ç®© áâàãªâãன ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨å à¥è¥¨©
¨á. 4.7.
¤¨ää㧨®®¬ ¯®£à ¨ç®¬ á«®¥ d ¢ ãà ¢¥¨¨ ¬ áᮯ¥à¥®á ¯à¨ á®åà ¥¨¨ ª®¢¥ªâ¨¢ëå ç«¥®¢ (ª®â®àë¥ ¥áª®«ìª® ã¯à®é îâáï ¢ १ã«ìâ ⥠«¨¥ ਧ 樨 ¢¡«¨§¨ ¬¥ä §®© ¯®¢¥àå®áâ¨) ¬®® ¯à¥¥¡à¥çì ¬®«¥ªã«ïàë¬ â £¥æ¨ «ìë¬ ¤¨ää㧨®ë¬ ¯¥à¥®á®¬ ¯® áà ¢¥¨î á ¤¨ää㧨¥© ¢ à ¤¨ «ì®¬ ¯à ¢«¥¨¨. á¯à¥¤¥«¥¨¥ ª®æ¥âà 樨 ¢ í⮩ ®¡« á⨠¡ë«® ¯®«ã祮 à ¥¥ ¢ à §¤. 4.6. ¥âëॠ¯®¤®¡« á⨠W (i) (i = 1, 2, 3, 4), à ᯮ«®¥ë¥ § ª ¯«¥© ¨ ç áâ¨æ¥© ¢¡«¨§¨ ®á¨ ¯®â®ª , á®áâ ¢«ïîâ ®¡« áâì ¤¨ää㧨®®£® á«¥¤ (à¨á. 4.7). ª®¢¥ªâ¨¢®-¯®£à á«®©®© ®¡« á⨠¤¨ää㧨®®£® á«¥¤
W (1)
¬®«¥ªã«ïன ¤¨ää㧨¥© ¬®® ¯à¥¥¡à¥çì. ®æ¥âà æ¨ï §¤¥áì § ¢¨á¨â ⮫쪮 ®â äãªæ¨¨ ⮪ ¨ ¢¤®«ì «¨¨© ⮪ á®åà ï¥â ¯®áâ®ïë¥ § 票ï, à ¢ë¥ § ç¥¨ï¬ ¢ë室¥ ¨§ ¤¨ää㧨®®£® ¯®£à ¨ç®£® á«®ï. ® ¢ãâ॥© ®¡« á⨠¤¨ää㧨®®£® á«¥¤ W (2) ¬®® ¯à¥¥¡à¥çì ¬®«¥ªã«ïàë¬ ¬ áᮯ¥à¥®á®¬ ¢ à ¤¨ «ì®¬ ¯à ¢«¥¨¨. ®¡« á⨠§ ¤¥© ªà¨â¨ç¥áª®© â®çª¨ W (3) ãà ¢¥¨¥ ¬ áᮯ¥à¥®á ¬®® ¥áª®«ìª® ã¯à®áâ¨âì. Ǒਠí⮬ ¥®¡å®¤¨¬® ãç¨âë¢ âì ª ª ª®¢¥ªâ¨¢ë¥ ç«¥ë, â ª ¨ à ¤¨ «ìãî ¨ â £¥æ¨ «ìãî á®áâ ¢«ïî騥 ¬®«¥ªã«ïன ¤¨ää㧨¨. ®¡« á⨠ᬥ襨ï W (4) ®¯à¥¤¥«ïîéãî à®«ì ¢ ¬ áᮯ¥à¥®á¥ ¨£à îâ ª®¢¥ªâ¨¢ë¥ ç«¥ë ¨ â £¥æ¨ «ìë© ¯¥à¥®á ¢¥é¥á⢠¯ã⥬ ¬®«¥ªã«ïன ¤¨ää㧨¨ (¬®«¥ªã«ïன ¤¨ää㧨¥© ¢¤®«ì à ¤¨ «ì®© ª®®à¤¨ âë ¬®® ¯à¥¥¡à¥çì). ® ®â¬¥â¨âì, çâ® ¢® ¢á¥å ®¡« áâïå ¤¨ää㧨®®£® á«¥¤ W (i) (i = 1, 2, 3, 4) ¥®¡å®¤¨¬® ãç¨âë¢ âì ª®¢¥ªâ¨¢ë© ¯¥à¥®á ¢¥é¥á⢠, ®¡ãá«®¢«¥ë© ¤¢¨¥¨¥¬ ¨¤ª®áâ¨. ®¡« áâïå W (i) (i = 2, 3, 4) ¢ ãî à®«ì ¨£à ¥â á®áâ ¢«ïîé ï ¬®«¥ªã«ïன ¤¨ää㧨¨, ¯à ¢«¥ ï ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïà® «¨¨ï¬ ⮪ . á«ãç ¥ ª ¯«¨ (¯ã§ëàï) ¢ ¬ «¨â¨ç¥áª®¬ ¢¨¤¥ ¯®«ã祮 à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ª®æ¥âà 樨 ¢® ¢á¥å ®¡« áâïå ¤¨ää㧨®®£® á«¥¤ W (i) [60, 64℄, ¢ á«ãç ¥ ⢥म© áä¥àë | ¢® ¢á¥å ®¡« áâïå, § ¨áª«î票¥¬ ®¡« á⨠§ ¤¥© ªà¨â¨ç¥áª®© â®çª¨ [60, 140, 299℄. Ǒ®«¥ ª®æ¥âà 樨 ¢ W (3) ¢ á«ãç ¥ ⢥म© áä¥àë ¨ ªà㣮¢®£® 樫¨¤à «¨§¨à®¢ «®áì ¢ [265℄ ç¨á«¥ë¬¨ ¬¥â®¤ ¬¨.
206
áá®®¡¬¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬
4.10 Ǒ®à冷ª ¢¥«¨ç¨ ¡¥§à §¬¥àëå (®â¥á¥ëå ª à ¤¨ãáã ª ¯«¨ ¨«¨ ç áâ¨æë) å à ªâ¥àëå à §¬¥à®¢ ®¡« á⥩ ¤¨ää㧨®®£® á«¥¤ ¢ ¯®áâ㯠⥫쮬 á⮪ᮢ®¬ ¯®â®ª¥ ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ ¡« á⨠¤¨ää㧨®®£® á«¥¤
¥§à §¬¥à®¥ à ááâ®ï¨¥ ®â ¬¥ä §®© ¯®¢¥àå®áâ¨, y = r − 1
¥§à §¬¥à®¥ à ááâ®ï¨¥ ®â ®á¨ ¯®â®ª , h
Ǒã§ëà¨, ª ¯«¨ 㬥८© ¢ï§ª®áâ¨
®¢¥ªâ¨¢®¯®£à á«®© ï ®¡« áâì W (1) ãâà¥ïï ®¡« áâì W (2) ¡« áâì § ¤¥© ªà¨â¨ç¥áª®© â®çª¨ W (3) ¡« áâì ᬥ襨ï W (4)
06β 61
O (Pe−1/2 ) 6 y 6 O (Pe1/2 )
O (Pe−1/2 ) 6 h 6 O (Pe−1/4 )
O (Pe−1/2 ) 6 y 6 O (Pe1/2 )
0 6 h 6 O(Pe−1/2 )
0 6 y 6 O(Pe−1/2 )
0 6 h 6 O(Pe−1/2 )
y > O (Pe1/2 )
0 6 h 6 O(Pe−1/4 )
¢¥à¤ë¥ ç áâ¨æë
®¢¥ªâ¨¢®¯®£à á«®© ï ®¡« áâì W (1) ãâà¥ïï ®¡« áâì W (2) ¡« áâì § ¤¥© ªà¨â¨ç¥áª®© â®çª¨ W (3) ¡« áâì ᬥ襨ï W (4)
O (Pe−1/3 ) 6 y 6 O (Pe1/3 )
O (Pe−1/2 ) 6 h 6 O (Pe−1/3 )
O (Pe−1/3 ) 6 y 6 O (Pe1/3 )
0 6 h 6 O(Pe−1/2 )
0 6 y 6 O(Pe−1/3 )
0 6 h 6 O(Pe−1/3 )
y > O (Pe1/3 )
0 6 h 6 O(Pe−1/3 )
Ǒ®à冷ª ¢¥«¨ç¨ å à ªâ¥àëå à §¬¥à®¢ ®¡« á⥩ ¤¨ää㧨®®£® á«¥¤ § áä¥à¨ç¥áª®© ª ¯«¥© ¨ ⢥म© ç áâ¨æ¥© ¢ ¯®áâ㯠⥫쮬 ¯®â®ª¥ 㪠§ ¢ â ¡«. 4.10. ⨠®æ¥ª¨ á®åà ïîâ ᨫ㠨 ¯à¨ 㬥à¥ëå ç¨á« å ¥©®«ì¤á , ª®£¤ § ª ¯«¥© ¨ ç áâ¨æ¥© ¥â § á⮩ëå §®. «ï ®¤¨®ç®© ª ¯«¨ ¨ ⢥म© ç áâ¨æë ®¡« áâì ¤¨ää㧨®®£® á«¥¤ ¢®á¨â ¢ª« ¤ ¢ á।¥¥ ç¨á«® ¥à¢ã¤ , ç¨ ï «¨èì á âà¥â쥣® ç«¥ ᨬ¯â®â¨ç¥áª®£® à §«®¥¨ï ¯® ¡®«ì讬ã ç¨á«ã Ǒ¥ª«¥. à ¡®â¥ [139℄ ¡ë«® ¯®ª § ®, çâ® ¢ ¯«®áª®© § ¤ ç¥ ® ¬ áá®®¡¬¥¥ 樫¨¤à¨ç¥áª¨å ⥫ á ¢ï§ª¨¬ â¥ç¥¨¥¬ ¤¨ää㧨®ë© á«®© á®á⮨â ⮫쪮 ¨§ ¤¢ãå ¯®¤®¡« á⥩ W (3) ¨ W (4) ®¡é¥© ¯à®â葉áâìî L ∼ a Pe−1/9 (¯à¨ Pe → ∞); ¯à¨ í⮬ ®¡« á⨠W (1) ¨ W (2) ®âáãâáâ¢ãîâ. «®£¨çãî áâàãªâãàã ¨¬¥¥â ¤¨ää㧨®ë© á«¥¤ ¢¡«¨§¨ ªà¨â¨ç¥áª¨å «¨¨© ¯®¢¥àå®á⨠ç áâ¨æë.
¨ääã§¨ï ª ¤¢ã¬ ⢥à¤ë¬ ç áâ¨æ ¬ ¨«¨ ª ¯«ï¬, à á-
4.15. áá®®¡¬¥ 楯®ç¥ª ª ¯¥«ì ¨ ç áâ¨æ á ¨¤ª®áâìî
¨á. 4.8.
¯®â®ª®¬
207
奬 ®¡â¥ª ¨ï ¤¢ãå ®¤¨ ª®¢ëå ç áâ¨æ ¯®áâ㯠⥫ìë¬ á⮪ᮢë¬
¯®«®¥ë¬ ®á¨ ¯®áâ㯠⥫쮣® á⮪ᮢ ¯®â®ª . á-
ᬮâਬ áâ 樮 àãî ¤¨ääã§¨î ª ¤¢ã¬ ®á¥á¨¬¬¥âà¨çë¬ ç áâ¨æ ¬, à ᯮ«®¥ë¬ ®¤ § ¤à㣮© ®á¨ ¯®áâ㯠⥫쮣® á⮪ᮢ ¯®â®ª . ç¨â ¥¬, çâ® ç áâ¨æë ᨬ¬¥âà¨çë ®â®á¨â¥«ì® ¥ª®â®à®© ¯«®áª®á⨠(à¨á. 4.8) ¨ ¨¬¥îâ ¯®¢¥àå®á⨠«¨èì ¯® ¤¢¥ ªà¨â¨ç¥áª¨¥ â®çª¨, ª®â®àë¥ å®¤ïâáï ®á¨ â¥ç¥¨ï (§ ¬ªãâë¥ «¨¨¨ ⮪ ®âáãâáâ¢ãîâ). Ǒ®¢¥àå®á⨠ç áâ¨æ ¯®«®áâìî ¯®£«®é îâ à á⢮८¥ ¢ ¨¤ª®á⨠¢¥é¥á⢮. Ǒਠ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ ¤¨ää㧨®ë© ¯®â®ª ¯®¢¥àå®áâì ¯¥à¢®© ç áâ¨æë 室¨âáï ¯ã⥬ à¥è¥¨ï ®¡ë箣® ãà ¢¥¨ï ¤¨ää㧨®®£® ¯®£à ¨ç®£® á«®ï, ¯à¨ í⮬ «¨ç¨¥ ¢â®à®© ç áâ¨æë ®ª §ë¢ ¥â ¢«¨ï¨¥ ⮫쪮 § áç¥â ¨§¬¥¥¨ï ¯®«ï ᪮à®á⥩ ¨¤ª®á⨠¢¡«¨§¨ ¯®¢¥àå®á⨠¯¥à¢®© (¬ áá®®¡¬¥ ¢â®à®© ç áâ¨æë ¥ ᪠§ë¢ ¥âáï ¬ áá®®¡¬¥¥ ¯¥à¢®©). ®«¥¥ á«®® ¯à®¨á室¨â ¬ áá®®¡¬¥ ¢â®à®© ç áâ¨æë, £¤¥ £« ¢ãî à®«ì ¨£à ¥â ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ ¤¨ää㧨®®£® ¯®£à ¨ç®£® á«®ï á ¤¨ää㧨®ë¬ á«¥¤®¬ ¯¥à¢®© ç áâ¨æë. à ¡®â¥ [61℄ ¡ë«® ¢ë¢¥¤¥® á«¥¤ãî饥 ¯à¥¤¥«ì®¥ á®®â®è¥¨¥ ¤«ï ¨â¥£à «ìëå ¤¨ää㧨®ëå ¯®â®ª®¢ ¯®¢¥àå®á⨠¤¢ãå ®¤¨ ª®¢ëå ç áâ¨æ, à ᯮ«®¥ëå ®á¨ ¯®áâ㯠⥫쮣® á⮪ᮢ ¯®â®ª (à¨á. 4.8): lim
Pe→∞
I2 I1
= lim
Pe→∞
Sh2 = 41/3 − 1 ≈ 0,587. Sh1
(4.15.1)
Ǒ।¥«ìë© ¯¥à¥å®¤ ¢ í⮩ ä®à¬ã«¥ ®áãé¥á⢫ï¥âáï ¯à¨ ¯®áâ®ï®¬ à ááâ®ï¨¨ ¬¥¤ã ç áâ¨æ ¬¨, ç¨á«® Ǒ¥ª«¥ ®¯à¥¤¥«¥® ¯® å à ªâ¥à®¬ã à §¬¥àã ç áâ¨æ. ®®â®è¥¨¥ (4.15.1), ¢ ç áâ®áâ¨, ¢ë¯®«ï¥âáï ¤«ï áä¥à à ¢®£® à ¤¨ãá , à ᯮ«®¥ëå ®á¨ ¯®áâ㯠⥫쮣® á⮪ᮢ ¯®â®ª (à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ᪮à®á⥩ ¤«ï í⮣® á«ãç ï 㪠§ ® ¢ [178, 300℄). ® á¯à ¢¥¤«¨¢® â ª¥ ¤«ï âà¥å¬¥à®£® á⮪ᮢ ®¡â¥ª ¨ï ¤¢ãå ®¤¨ ª®¢ëå í««¨¯á®¨¤®¢ ¢à 饨ï, ®á¨ ª®â®àëå à ᯮ«®¥ë ¯ à ««¥«ì®
208
áá®®¡¬¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬
¤à㣠¤àã£ã ¨ ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïà® ¥¢®§¬ã饮¬ã â¥ç¥¨î, ¯à ¢«¥¨¥ «¨¨¨, ¯à®å®¤ï饩 ç¥à¥§ ¨å æ¥âàë, ᮢ¯ ¤ ¥â á ¯à ¢«¥¨¥¬ ¯®áâ㯠⥫쮣® ¯®â®ª . § ä®à¬ã«ë (4.15.1) ¢¨¤®, çâ® ¨¬¥¥â ¬¥áâ® áãé¥á⢥®¥ â®à¬®¥¨¥ ¯à®æ¥áá ¬ áá®®¡¬¥ ¢â®à®© ç áâ¨æë ¯® áà ¢¥¨î á ¯¥à¢®©. «ï ¤¢ãå áä¥à¨ç¥áª¨å ª ¯¥«ì (¯ã§ë३) à ¢®£® à ¤¨ãá , à ᯮ«®¥ëå ®¤ § ¤à㣮© ®á¨ ¯®áâ㯠⥫쮣® á⮪ᮢ ¯®â®ª , ¢ë¯®«ï¥âáï ¯à¥¤¥«ì®¥ à ¢¥á⢮ [61℄ I Sh2 lim 2 = lim = 21/2 − 1 ≈ 0,414. (4.15.2) Pe→∞ I1 Pe→∞ Sh1 ¨¤®, çâ® ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ ¤¨ää㧨®®£® á«¥¤ ¯¥à¢®© ª ¯«¨ á ¯®£à ¨çë¬ á«®¥¬ ¢â®à®© ª ¯«¨ ¯à®¨á室¨â ¡®«¥¥ ¨â¥á¨¢®, 祬 ¢ á«ãç ¥ ⢥à¤ëå ç áâ¨æ. Ǒਠí⮬ ¨â¥£à «ìë© ¬ áá®®¡¬¥ ¢â®à®© ª ¯«¨ á ¨¤ª®áâìî ¡®«¥¥ 祬 ¢ ¤¢ à § ᨥ ¯® áà ¢¥¨î á ¬ áá®®¡¬¥®¬ ¯¥à¢®©. ®à¬ã« (4.15.2) ¡ã¤¥â á¯à ¢¥¤«¨¢ ¢ á«ãç ¥ ¡¥§¢¨åॢ®£® ®¡â¥ª ¨ï ¤¢ãå ®¤¨ ª®¢ëå ç áâ¨æ, à ᯮ«®¥ëå ®á¨ ¯®áâ㯠⥫쮣® ¯®â®ª ¨¤¥ «ì®© ¨¤ª®á⨠(á¬. à¨á. 4.8).
áá®®¡¬¥ 楯®ç¥ª ª ¯¥«ì ¨ ç áâ¨æ á ¨¤ª®áâìî ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥. áᬮâਬ ¤¨ääã§¨î ª ¯®¢¥àå®áâï¬
ª ¯¥«ì (¯ã§ë३), à ᯮ«®¥ëå ¤à㣠§ ¤à㣮¬ ®á¨ ¯®áâ㯠⥫쮣® á⮪ᮢ ¯®â®ª ¢ï§ª®© ¥á¨¬ ¥¬®© ¨¤ª®áâ¨. â ª¨å á¨á⥬ å, §ë¢ ¥¬ëå ¤ «¥¥ 楯®çª ¬¨, ¯®«¥ â¥ç¥¨ï ãáâ஥® â ª, çâ® ®á®¡ ï «¨¨ï ⮪ , ¢ë室ïé ï ¨§ ¨§®«¨à®¢ ®© ªà¨â¨ç¥áª®© â®çª¨ ¯®¢¥àå®á⨠¯¥à¢®© ª ¯«¨, ¯®¯ ¤ ¥â ¤ «¥¥ ¯®¢¥àå®áâì ¢â®à®© ª ¯«¨; ®á®¡ ï «¨¨ï ⮪ , ¢ë室ïé ï á ¯®¢¥àå®á⨠¢â®à®© ª ¯«¨, ¯®¯ ¤ ¥â ¯®¢¥àå®áâì âà¥â쥩 ¨ â.¤. (â.¥. ª ¯«¨ ý ¨§ ëþ ®á®¡ãî «¨¨î ⮪ ). ª ï á¨âã æ¨ï ¢áâà¥ç ¥âáï ¯à ªâ¨ª¥ ¯à¨ ®áãé¥á⢫¥¨¨, ¯à¨¬¥à, ¯à®æ¥áᮢ íªáâà ªæ¨¨ ¢¥é¥á⢠¨§ ª ¯¥«ì ¨ à áâ¢®à¥¨ï £ §®¢ ¨§ ¯ã§ëà쪮¢. ç áâ®áâ¨, ® ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¯à¨ íªáâà ªæ¨¨, ª®£¤ ¢ íªáâà ªæ¨®®© ª®«®¥ ¢¢®¤ ª ¯¥«ì ®áãé¥á⢫ï¥âáï ¢ ®¤¨å ¨ â¥å ¥ â®çª å ç¥à¥§ à ¢ë¥ ¯à®¬¥ã⪨ ¢à¥¬¥¨, ¯à¨ ¡ ࡮⠥ | ¢ á«ãç ¥ ¯®áâ®ï®£® à á室 ¡ à¡®â¨àãî饣® £ § . «¥¥ áç¨â ¥¬, çâ® ®á®¢®¥ ᮯà®â¨¢«¥¨¥ ¬ áᮯ¥à¥®áã á®á।®â®ç¥® ¢ ᯫ®è®© ä §¥. 楯®çª å ¤¨ää㧨®ë© ¯®£à ¨çë© á«®© «î¡®© 䨪á¨à®¢ ®© ª ¯«¨ ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ã¥â á ¤¨ää㧨®ë¬ á«¥¤®¬ à ᯮ«®¥®© ¢ëè¥ ¯® ¯®â®ªã ¯à¥¤ë¤ã饩 ª ¯«¨, ¯®«¥ ª®æ¥âà 樨 ¢ ª®â®à®¬ áãé¥á⢥® ¥®¤®à®¤® ¨ ®¡¥¤¥® § áç¥â ¯®£«®é¥¨ï à á⢮८£® ¢ ¨¤ª®á⨠¢¥é¥á⢠¯®¢¥àå®á⨠¢á¥å ¢¯¥à¥¤¨ ¨¤ãé¨å ª ¯¥«ì. ᨫã â ª®£® ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï, ¢ãâ२© ¬ áá®®¡¬¥ ¢ 楯®çª å ¡ã¤¥â áãé¥á⢥® § â®à¬®¥ (¥¨¥ ýíªà ¨à®¢ ¨ïþ) ¯® áà ¢¥¨î á ¨§®«¨à®¢ 묨 ª ¯«ï¬¨.
4.15. áá®®¡¬¥ 楯®ç¥ª ª ¯¥«ì ¨ ç áâ¨æ á ¨¤ª®áâìî
209
à ¡®â å [62, 137℄ ¯®«ã祮 à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ª®æ¥âà 樨 ¢ ¤¨ää㧨®®¬ ¯®£à ¨ç®¬ á«®¥ ª ¤®© ª ¯«¨ 楯®çª¨. ¤¥áì ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â à ááâ®ï¨ï ¬¥¤ã ª ¯«ï¬¨ ¯à¨å®¤¨âáï à §«¨ç âì ¤¢¥ á¨âã 樨: 1) ª®£¤ ¤¨ää㧨®ë© ¯®£à ¨çë© á«®© 䨪á¨à®¢ ®© ª ¯«¨ ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ã¥â á ª®¢¥ªâ¨¢®-¯®£à á«®©®© ®¡« áâìî ¤¨ää㧨®®£® á«¥¤ ¯à¥¤ë¤ã饩 ª ¯«¨ (¡«¨§ª®¥ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥), 2) ª®£¤ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ ¯à®¨á室¨â á ®¡« áâìî ᬥ襨ï. ç áâ®áâ¨, ¢ á«ãç ¥ ¡«¨§ª®£® ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï áä¥à¨ç¥áª¨å ª ¯¥«ì (¯ã§ë३) √ à ᯮ«®¥ëå ¡¥§à §¬¥à®¬ à ááâ®ï¨¨ à ¢®£® à ¤¨ãá , l: O(1) < l < O Pe ; § å à ªâ¥àë© ¬ áèâ ¡ ¤«¨ë ¯à¨¨¬ ¥âáï à ¤¨ãá ª ¯«¨) ¤à㣠§ ¤à㣮¬ ®á¨ ®¤®à®¤®£® á⮪ᮢ ¯®â®ª , ¯®«ë© ¤¨ää㧨®ë© ¯®â®ª ¯®¢¥àå®áâì k-© ª ¯«¨ 楯®çª¨ (㬥à æ¨ï ¢¥¤¥âáï ®â ¢¯¥à¥¤¨ ¨¤ã饩 ª ¯«¨) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä®à¬ã«®© [62, 137℄ √ √ Ik = I1 k − k − 1 . (4.15.3) § í⮣® ¢ëà ¥¨ï á«¥¤ã¥â, çâ® ¯®«ë© ¤¨ää㧨®ë© ¯®â®ª ¢â®àãî ª ¯«î ¡®«¥¥ 祬 ¢ ¤¢ à § ¬¥ìè¥ ¯®â®ª ¯¥à¢ãî, ¯à¨ k → ∞, Ik /I1 → 0. 㬬 àë© ¨â¥£à «ìë© ¤¨ää㧨®ë© ¯®â®ª ¢á¥ ª ¯«¨ 楯®çª¨ à ¢¥ I
=
k X i=1
Ii
= I1
√ k
(4.15.4)
¨ áãé¥á⢥® ¬¥ìè¥ «®£¨ç®£® á㬬 ண® ¤¨ää㧨®®£® ¯®â®ª ¤«ï á¨á⥬ë å ®â¨ç¥áª¨ à ᯮ«®¥ëå ª ¯¥«ì à ¢®£® à ¤¨ãá , ¬¥¤ã ª®â®à묨 ¥â ¤¨ää㧨®®£® ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï (¢ í⮬ á«ãç ¥ ¯®â®ª¨ ¯à®á⮠᪫ ¤ë¢ îâáï, çâ® ¤ ¥â I = I1 k). [63, 138℄ à áᬠâਢ « áì § ¤ ç ® ª®¢¥ªâ¨¢®© ¤¨ää㧨¨ ª 楯®çª¥ ⢥à¤ëå ॠ£¨àãîé¨å ç áâ¨æ. ¥å ¨§¬ â®à¬®¥¨ï (íªà ¨à®¢ ¨ï) ¬ áá®®¡¬¥ ¢ 楯®çª å ⢥à¤ëå ç áâ¨æ, â ª¥ ª ç¥á⢥®¥ ¯®¢¥¤¥¨¥ â ª®© á¨á⥬ë ïîâáï ⥬¨ ¥, çâ® ¨ ¢ 楯®çª¥ ª ¯¥«ì. ¤¥áì â ª¥ ¯®«ãç¥ë ä®à¬ã«ë ¤«ï ¤¨ää㧨®ëå ¯®â®ª®¢ ¨ á।¥£® ç¨á« ¥à¢ã¤ ¯®¢¥àå®á⨠ॠ£¨àãîé¨å ç áâ¨æ 楯®çª¨. á«ãç ¥ ¡«¨§ª®£® ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï ॠ£¨àãîé¨å ⢥à¤ëå áä¥à¨ç¥áª¨å ç áâ¨æ à ¢®£® à ¤¨ãá , à ᯮ«®¥ëå ¡¥§à §¬¥à®¬ à ááâ®ï¨¨ l: O(1) < l < O(Pe1/3 ) ¤à㣠§ ¤à㣮¬ ®á¨ ®¤®à®¤®£® á⮪ᮢ ¯®â®ª , ¯®«ë© ¤¨ää㧨®ë© ¯®â®ª ¯®¢¥àå®áâì k -© áä¥àë 楯®çª¨ § ¤ ¥âáï ä®à¬ã«®© [63, 138℄ Ik
= I1
2/3 k − (k − 1)2/3 .
(4.15.5)
ᯮ«®¥ë¥ ¢¯¥à¥¤¨ ¯® ¯®â®ªã ç áâ¨æë ª ª ¡ë íªà ¨àãîâ
210
áá®®¡¬¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬
¯®á«¥¤ãî騥, ¢ १ã«ìâ ⥠祣® ¨â¥£à «ìë© ¯®â®ª ¨å ¯®¢¥àå®á⨠¬®®â®® ã¡ë¢ ¥â: I1 > I2 > · · · > Ik > Ik+1 > · · · ,
®â®è¥¨¥ Ik /I1 áâ६¨âáï ª ã«î á à®á⮬ ¯®à浪®¢®£® ®¬¥à k. § ä®à¬ã«ë (4.15.5) á«¥¤ã¥â, çâ® ¯®«ë© ¤¨ää㧨®ë© ¯®â®ª ¢â®àãî áä¥àã ¯®ç⨠¢ ¤¢ à § ¬¥ìè¥ ¯®«®£® ¤¨ää㧨®®£® ¯®â®ª ¯¥à¢ãî, ᥤì¬ãî | 㥠¡®«¥¥ 祬 ¢ âà¨ à § ¬¥ìè¥, 祬 ¯¥à¢ãî. 㬬 àë© ¤¨ää㧨®ë© ¯®â®ª ¢á¥ ç áâ¨æë 楯®çª¨ ¢ëç¨á«ï¥âáï á ¯®¬®éìî (4.15.5): I
=
k X i=1
Ii
= I1 k2/3 ,
(4.15.6)
çâ® § ç¨â¥«ì® ¬¥ìè¥ á㬬 ண® ¯®â®ª , ¢ëç¨á«ï¥¬®£® ¡¥§ ãç¥â ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ¤¨ää㧨®ëå á«¥¤®¢ ¨ ¯®£à á«®¥¢ ç áâ¨æ. 4.16. áá®- ¨ ⥯«®®¡¬¥ ¯à¨ áâ¥á¥®¬ ®¡â¥ª ¨¨ á¨á⥬ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३
¥¥ ¢ à §¤. 2.8 ¡ë«¨ à áᬮâà¥ë à §«¨çë¥ á¯¥ªâë £¨¤à®¤¨ ¬¨ª¨ áâ¥á¥®£® ®¡â¥ª ¨ï á¨á⥬ë ç áâ¨æ, ®á®¢ ë¥ ¬®¤¥«¨ â®ç¥çëå ᨫ ¨ ï祥箩 ¬®¤¥«¨. ¨¥ ¡ã¤¥â ªà ⪮ ®¯¨á ¬ áá®- ¨ ⥯«®®¡¬¥ ¢ â ª¨å á¨á⥬ å ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥. 㤥¬ ¨áá«¥¤®¢ âì «¨¡® ¤®áâ â®ç® à §à¥¥ë¥ á¨á⥬ë ç áâ¨æ, «¨¡® á¨á⥬ë á ¥à¥£ã«ïன áâàãªâãன, ª®£¤ ¤¨ää㧨®ë¬ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥¬ ®â¤¥«ìëå ç áâ¨æ ¬®® ¯à¥¥¡à¥çì. (¥£ã«ïàë¥ ¤¨á¯¥àáë¥ á¨á⥬ë, ¢ ª®â®àëå ¥®¡å®¤¨¬® ãç¨âë¢ âì ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ ¤¨ää㧨®ëå á«¥¤®¢ ¨ ¯®£à á«®¥¢ ®â¤¥«ìëå ç áâ¨æ, ¨áá«¥¤®¢ «¨áì ¢ à ¡®â¥ [69℄ ®á®¢¥ १ã«ìâ ⮢, ¨§«®¥ëå ¢ à §¤. 4.15.) Ǒਠᥤ¨¬¥â 樨 à §à¥¥ëå ¬®®¤¨á¯¥àáëå á¨á⥬ áä¥à¨ç¥áª¨å ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á।¥¥ ç¨á«® ¥à¢ã¤ ¬®® ¢ëç¨á«ïâì á ¯®¬®éìî ä®à¬ã« (4.6.8), (4.6.17), £¤¥ ç¨á«® Ǒ¥ª«¥ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯® ᪮à®á⨠áâ¥á¥®£® ®¡â¥ª ¨ï. ®®¤¨á¯¥àá ï á¨á⥬ áä¥à¨ç¥áª¨å ç áâ¨æ. «ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï ª®íää¨æ¨¥â®¢ ¬ áá®- ¨ ⥯«®¯¥à¥®á ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥, ª ª ¨ ¢ á«ãç ¥ ®¤¨®ç®© ç áâ¨æë, ¤®áâ â®ç® § âì à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ¢¨åàï ¯® ¯®¢¥àå®á⨠⢥à¤ëå áä¥à. Ǒ®í⮬㠯ਠà áç¥â å ¬®® ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï १ã«ìâ â ¬¨ à §¤. 4.6.
4.16. áá®- ¨ ⥯«®®¡¬¥ ¯à¨ áâ¥á¥®¬ ®¡â¥ª ¨¨ ç áâ¨æ
211
áᬮâਬ ¬ áá®- ¨ ⥯«®®¡¬¥ ¬®®¤¨á¯¥àᮩ á¨á⥬ë áä¥à¨ç¥áª¨å ç áâ¨æ à ¤¨ãá a á ®¡ê¥¬®© ¯«®â®áâìî ⢥म© ä §ë φ. ᯮ«ì§ãï ¯®«¥ ᪮à®á⨠¨¤ª®áâ¨, ¯®«ã祮¥ ¯à¨ ¬ «ëå ç¨á« å ¥©®«ì¤á á ¯®¬®éìî ï祥箩 ¬®¤¥«¨ ¯¯¥«ï (á¬. à §¤. 2.8), ¬®® ©â¨ á।¥¥ ç¨á«® ¥à¢ã¤ [31, 33℄
2(1 − φ5/3 ) Sh = 0,625 2 − 3φ1/3 + 3φ5/3 − 2φ2
1/3
Pe1φ/3 .
(4.16.1)
¤¥áì Peφ = aUφ/D | ç¨á«® Ǒ¥ª«¥, ®¯à¥¤¥«¥®¥ ¯® ᪮à®á⨠áâ¥á¥®£® ¯®â®ª , ª®â®à®¥ ¢ ¤ ®¬ á«ãç ¥ ¢ëç¨á«ï¥âáï ¯® ä®à¬ã«¥ Uφ
=
3 2
2 − 3φ1/3 + 3φ5/3 − 2φ2 3 + 2φ5/3
Ui ,
(4.16.2)
£¤¥ Ui | ᪮à®áâì ®¤¨®ç®© áä¥àë, ¯ ¤ î饩 ¢ ¡¥§£à ¨ç®© ¨¤ª®áâ¨. áç¥â ª®íää¨æ¨¥â®¢ ¬ áá®- ¨ ⥯«®®¡¬¥ ¯à¨ 㬥à¥ëå ¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å ¥©®«ì¤á á¢ï§ á âà㤮áâﬨ, ¢®§¨ª î騬¨ ¯à¨ ®¯¨á ¨¨ áâ¥á¥ëå â¥ç¥¨© á ãç¥â®¬ ᨫ ¨¥à樨 ¯à¨ Pe ≫ 1. ® ®â¬¥â¨âì, ®¤ ª®, çâ® ¯®«¥ â¥ç¥¨ï ¢ ª®æ¥âà¨à®¢ ëå ¤¨á¯¥àáëå á¨á⥬ å ¡®«¥¥ á« ¡® § ¢¨á¨â ®â ç¨á« ¥©®«ì¤á , 祬 ¢ á«ãç ¥ ®¤¨®çëå ç áâ¨æ. ¯à¨¬¥à, ¯à®æ¥áá ¢®§¨ª®¢¥¨ï § ç áâ¨æ ¬¨ ®¡« á⥩ á § ¬ªã⮩ æ¨àªã«ï樥© ¨¤ª®áâ¨, ª®â®àë¥ ¢«¨ïîâ ¬ áá®- ¨ ⥯«®¯¥à¥®á, ¢¥áì¬ § â¢ ¥âáï ¨ § ¢¥àè ¥âáï ¯à¨ § 票ïå Re ¢ ¥áª®«ìª® ¤¥áï⪮¢ ¨«¨ ¤ ¥ á®â¥. ª § ®¥ ᣫ ¨¢ ¨¥ ¢®§¬ã饨© ¢ ¯®â®ª¥ ¯à¨ ¤®áâ â®ç® ¡®«ìè¨å ª®æ¥âà æ¨ïå ¤¨á¯¥àᮩ ä §ë ¯®§¢®«ï¥â ¯® ᮮ⢥âáâ¢ãî騬 ¤ ë¬ ¢ á⮪ᮢ®¬ २¬¥ ¯à¨¡«¨¥® ®æ¥¨¢ âì ¯à®æ¥áá ¬ áá®- ¨ ⥯«®¯¥à¥®á ¢ ®¡« á⨠¡®«¥¥ ¢ë᮪¨å § 票© Re. ªá¯¥à¨¬¥â «ìë¥ ¤ ë¥ ¯® ¬ áá®- ¨ ⥯«®®¡¬¥ã ¢ áâ¥á¥®¬ ¯®â®ª¥ ç áâ® ®¡à ¡ âë¢ îâ ¢ ¢¨¤¥ § ¢¨á¨¬®áâ¨ ä ªâ®à ®«ì¡®à Ko = Sh/(S Reφ ) ®â ç¨á« ¥©®«ì¤á . Ǒ஢¥¤¥®¥ ¢ à ¡®â¥ [33℄ áà ¢¥¨¥ ®¯ëâëå ¤ ëå ¯® ä ªâ®àã ®«ì¡®à ¤«ï ⢥à¤ëå áä¥à ¯à¨ 0,5 6 φ 6 0,7 á ⥮à¥â¨ç¥áª¨¬¨ § 票ﬨ ¯à¨ Re < 1 ¯®ª § «®, ç⮠१ã«ìâ âë à áç¥â®¢ ¤«ï ¬ «ëå Re ®ª §ë¢ îâáï ¯à¨£®¤ë¬¨ ¢¯«®âì ¤® Re 6 50. «ï à áç¥â á।¥£® ç¨á« ¥à¢ã¤ (ãáᥫìâ ) ¢ á«ãç ¥ ᢮¡®¤® á믮£® á«®ï ç áâ¨æ à §«¨ç®© ä®à¬ë ¢ è¨à®ª®¬ ¤¨ ¯ §®¥ ç¨á¥« ¥©®«ì¤á ¬®® ¨á¯®«ì§®¢ âì í¬¯¨à¨ç¥áª¨¥ ä®à¬ã«ë [94℄ Sh = 0,46 S 0,33 Reef0,85 Sh = 0,50 S 0,33 Reef0,47 Sh = 0,30 S 0,33 Reef0,64
¯à¨ 0,1 6 Reef 6 1, ¯à¨ 1 6 Reef 6 15, ¯à¨ 15 6 Reef 6 4 · 104,
(4.16.3)
212
áá®®¡¬¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬
£¤¥ íä䥪⨢®¥ ç¨á«® ¥©®«ì¤á ®¯à¥¤¥«ï¥âáï á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: 2(1 − φ) a hU i Ui Reef = e , ae = , hU i = . (4.16.4) ν sφ 1−φ
¤¥áì ae | íª¢¨¢ «¥âë© à ¤¨ãá ç áâ¨æ, hU i | á।ïï ᪮à®áâì ¯®â®ª , s = S∗ /V∗ | 㤥«ì ï ¯«®é ¤ì ¯®¢¥àå®á⨠ç áâ¨æ, Ui | ᪮à®áâì ¡¥£ î饣® ¯®â®ª (¯à¨ φ = 0). «ï ¬®®¤¨á¯¥àᮣ® á«®ï áä¥à¨ç¥áª¨å ç áâ¨æ à ¤¨ãá a ¢ ä®à¬ã« å (4.16.3), (4.16.4) á«¥¤ã¥â ¯®«®¨âì s = 3/a. Ǒ®«¨¤¨á¯¥àá ï á¨á⥬ áä¥à¨ç¥áª¨å ç áâ¨æ. Ǒਠ«¨§¥ ¯à®æ¥áᮢ ¬ áá®- ¨ ⥯«®®¡¬¥ ¢ ¯®«¨¤¨á¯¥àáëå á¨á⥬ å ¢¢®¤ïâ äãªæ¨î à á¯à¥¤¥«¥¨ï ç áâ¨æ ¯® à §¬¥à ¬ f (a), 㤮¢«¥â¢®àïîéãî ãá«®¢¨î ®à¬¨à®¢ª¨ Z ∞ f (a) da = 1. (4.16.5)
¡é¥¥ ç¨á«® ç áâ¨æ ¯®¬®éìî ä®à¬ã« N
0
N
¢ à áᬠâਢ ¥¬®© á¨á⥬¥ ¢ëç¨á«ï¥âáï á
3φV∗ = , 32πa3
a =
Z
∞
0
a3 f (a) da
1/3
(4.16.6)
,
£¤¥ V∗ | ¯®«ë© ®¡ê¥¬ á¨á⥬ë, a | á।¨© à ¤¨ãá ç áâ¨æ. §¬¥à ï ¢¥«¨ç¨ ¯®«®£® ¯®â®ª ¬ ááë ®¯à¥¤¥«ï¥âáï â ª: I∗
=−
Z
π
0
Z
0
∞
ND
∂C ∂R
R=a
2πa2 sin θ f (a) da dθ.
(4.16.7)
ᯮ«ì§ãï १ã«ìâ âë [307℄, ¯®«ãç¥ë¥ ¤«ï ¯®«ï â¥ç¥¨ï á ¯®¬®éìî ¬®¤¥«¨ â®ç¥çëå ᨫ, ¬®® ©â¨ á।¥¥ ç¨á«® ¥à¢ã¤ ¤«ï ¯®«¨¤¨á¯¥àᮩ á¨á⥬ë ç áâ¨æ [31℄ Sh = 0,625 (A Peφ )1/3 ,
Peφ = aUφ /D,
(4.16.8)
£¤¥ a b A =1+ 9φ(2 − 3φ) 1 + 2 − 3φ b3 Z ∞ bm = am f (a) da (m = 1, 2, 0
81 2 φ 4
b2 b3
2 1/2
+
9 b2 φ 2 b3
,
3).
᫨ äãªæ¨ï à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¨§¢¥áâ , â® ¢ëç¨á«¥¨¥ ¬®¬¥â®¢ bm ¥ á®áâ ¢«ï¥â âà㤠. ¡ëç® f (a) § ¤ îâ ä®à¬ã« ¬¨ íªá¯®¥æ¨ «ì®£® ¨«¨ ¬ ªá¢¥««®¢áª®£® ¢¨¤ . ¥â®¤ë íªá¯¥à¨¬¥â «ì®£® ®¯à¥¤¥«¥¨ï f (a) ®¯¨á ë ¢ [169℄.
213 ®®¤¨á¯¥àá ï á¨á⥬ áä¥à¨ç¥áª¨å ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३. 4.16. áá®- ¨ ⥯«®®¡¬¥ ¯à¨ áâ¥á¥®¬ ®¡â¥ª ¨¨ ç áâ¨æ
«ï á⮪ᮢ २¬ ¤¢¨¥¨ï á¨á⥬ë áä¥à¨ç¥áª¨å ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¨á¯®«ì§®¢ ¨¥ ï祥箩 ¬®¤¥«¨ ¯¯¥«ï (á¬. à §¤. 2.8) ¯à¨¢®¤¨â ª á«¥¤ãî饬㠢ëà ¥¨î ¤«ï á।¥£® ç¨á« ¥à¢ã¤ [314℄: Sh = 0,461
(
2(1 − φ5/3 ) Peφ (1 − φ1/3 )[3β + 2 + 2(β − 1)φ5/3 ℄ − β (1 − φ5/3 )
)1/2
,
(4.16.9) £¤¥ Peφ = aUφ /D | ç¨á«® Ǒ¥ª«¥, ®¯à¥¤¥«ï¥¬®¥ ¯® ᪮à®á⨠áâ¥á¥®£® ¯®â®ª Uφ, β | ®â®è¥¨¥ ¤¨ ¬¨ç¥áª¨å ¢ï§ª®á⥩ ¤¨á¯¥àᮩ ¨ ᯫ®è®© ä §ë (§ 票¥ β = 0 ᮮ⢥âáâ¢ã¥â £ §®¢®¬ã ¯ã§ëàî). Ǒਠ¡®«ìè¨å ç¨á« å ¥©®«ì¤á Reφ = aUφ /ν > 500 ᪮à®áâì ¬ áᮯ¥à¥®á ¢ áâ¥á¥®¬ ¯®â®ª¥ £ §®¢ëå ¯ã§ëà쪮¢ ¬®® ¢ëç¨á«ïâì á ¯®¬®éìî ä®à¬ã«ë [253℄ p Pe Sh = 0,8 √ φ . 1−φ
(4.16.10)
⬥⨬, çâ® ¢ à ¡®â¥ [161℄ ®á®¢¥ ï祥箩 ¬®¤¥«¨ â¥ç¥¨ï ¨áá«¥¤®¢ «áï ¬ áá®- ¨ ⥯«®®¡¬¥ ¬®®¤¨á¯¥àáëå á¨á⥬ áä¥à¨ç¥áª¨å ª ¯¥«ì, ¯ã§ë३ ¨ ⢥à¤ëå ç áâ¨æ ¯à¨ Reφ < 250 ¨ 0 < φ < 0,5.
áá®- ¨ ⥯«®¯¥à¥®á ¯à¨ ¯®¯¥à¥ç®¬ ®¡â¥ª ¨¨ ¯ ª¥â®¢ 樫¨¤à®¢. áᬮâਬ ¬ áá®- ¨ ⥯«®®¡¬¥ ¯ ª¥â®¢ ªà㣮¢ëå æ¨-
«¨¤à®¢ á ª®à¨¤®àë¬ ¨ è å¬ âë¬ à ᯮ«®¥¨¥¬. ¯¥à¢®¬ àï¤ã ¯ ª¥â âàã¡ë ¯à¨ ¤®áâ â®ç® ¡®«ìè¨å ç¨á« å ¥©®«ì¤á 室ïâáï ¢ ãá«®¢¨ïå, ¡«¨§ª¨å ª ãá«®¢¨ï¬ ¬ áá®®¡¬¥ ®¤¨®ç®£® 樫¨¤à (¥á«¨ ¬¥âàã¡ë© § §®à ¯®à浪 à ¤¨ãá 樫¨¤à ), ¢ ¯®á«¥¤ãîé¨å àï¤ å ¬ áá®®â¤ ç ¢®§à áâ ¥â. ª § ®¥ ®¡áâ®ï⥫ìá⢮ ®¡ãá«®¢«¥® ⥬, çâ® ¯¥à¢ë¥ àï¤ë ¤¥©áâ¢ãîâ, ª ª âãà¡ã«¨§ â®àë ¯®â®ª . â ¡¨«¨§ æ¨ï ¬ áá®- ¨ ⥯«®®¡¬¥ ¯à®¨á室¨â ¢ ¯à¥¤¥« å 10% ¯®á«¥ 4-£® àï¤ ¨ ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ¯®«®áâìî ¯®á«¥ 14-£® àï¤ . «¥¥ ¯à¨ à áç¥â å § å à ªâ¥àë© ¬ áèâ ¡ ¤«¨ë ¯à¨¨¬ ¥âáï à ¤¨ãá âàã¡ a, § å à ªâ¥àãî ᪮à®áâì â¥ç¥¨ï U = Ui/ψ, £¤¥ Ui | ᪮à®áâì â¥ç¥¨ï ¢¤ «¨ ®â ¯ ª¥â 樫¨¤à®¢, ψ | ª®íää¨æ¨¥â ¨¡®«ì襣® áã¥¨ï ¯à®å®¤®£® á¥ç¥¨ï ¯ ª¥â ¯® 室㠯®â®ª . ।¥¥ ç¨á«® ¥à¢ã¤ ¢ £«ã¡¨®¬ àï¤ã (¯à¨ k > 14, £¤¥ k | ®¬¥à àï¤ ) ¤«ï ª®à¨¤®àëå ¯ ª¥â®¢ ¢ëç¨á«ï¥âáï ¯® ä®à¬ã« ¬ [94℄ Shmax = 0,59 S 0,36 Re0,4 Shmax = 0,37 S 0,36 Re0,5 Shmax = 0,21 S 0,36 Re0,63
¯à¨ 1 < Re < 50, ¯à¨ 50 < Re < 200, ¯à¨ 200 < Re < 105.
(4.16.11)
214
áá®®¡¬¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬
«ï è å¬ â®£® à ᯮ«®¥¨ï âàã¡ ¢ ¯ ª¥â¥ á।¥¥ ç¨á«® ¥à¢ã¤ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï á ¯®¬®éìî ¢ëà ¥¨© [94℄ Shmax = 0,69 S 0,36 Re0,4 Shmax = 0,50 S 0,36 Re0,5 Shmax = 0,28 S 0,36 Re0,6
¯à¨ 1 < Re < 20, ¯à¨ 20 < Re < 150, ¯à¨ 150 < Re < 105.
(4.16.12)
áá®- ¨ ⥯«®¯¥à¥¤ ç ¢ ¯¥à¥¤¨å àï¤ å ¯ ª¥â ®¯à¥¤¥«ï¥âáï á ¯®¬®éìî ¯à¨¡«¨¥®© ä®à¬ã«ë Shk =
k k+α
Shmax
(k > 2),
(4.16.13)
¢ ª®â®à®© ¤«ï ª®à¨¤®à®£® à ᯮ«®¥¨ï âàã¡ á«¥¤ã¥â ¯®«®¨âì α = 0,3, ¤«ï è å¬ â®£® à ᯮ«®¥¨ï | α = 0,5.
5. áá®®¡¬¥, ®á«®¥ë© ¯®¢¥àå®á⮩ ¨«¨ ®¡ê¥¬®© 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¥©
¯à¥¤ë¤ãé¨å £« ¢ å à áᬠâਢ «¨áì ¯à®æ¥ááë ¯¥à¥®á ¢¥é¥á⢠ª ¯®¢¥àå®áâï¬ ç áâ¨æ ¨ ª ¯¥«ì ¢ á«ãç ¥ ¡¥áª®¥ç®© ᪮à®á⨠娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨ ( ¤á®à¡æ¨ï, à á⢮२¥). ஬¥ ⮣®, ¥ à áᬠâਢ «¨áì 娬¨ç¥áª¨¥ ॠªæ¨¨, ¯à®â¥ª î騥 ¢ ®¡ê¥¬¥ ᯫ®è®© ä §ë. àï¤ã á í⨬¨ á«ãç ﬨ ¢ ¯à¨«®¥¨ïå ¢ ãî à®«ì ¨£à îâ ¬ áá®®¡¬¥ë¥ ¯à®æ¥ááë, ¢ ª®â®àëå ᪮à®á⨠¨§¬¥¥¨ï ª®æ¥âà 樨 ॠ£¥â ¯à¨ 娬¨ç¥áª®¬ ¯à¥¢à 饨¨ ¨ ¤¨ää㧨®®£® ¯®¤¢®¤ ॠ£¥â ª ¯®¢¥àå®á⨠®ª §ë¢ îâáï áà ¢¨¬ë¬¨ ¯® ¢¥«¨ç¨¥. ®«ì讥 § 票¥ ¨¬¥îâ â ª¥ ¯à®æ¥ááë á ®¡ê¥¬ë¬¨ 娬¨ç¥áª¨¬¨ ॠªæ¨ï¬¨, ¯à®â¥ª î騬¨ á ª®¥ç®© ᪮à®áâìî. ¤ ®© £« ¢¥ à áᬠâਢ îâáï § ¤ ç¨ ® ª®¢¥ªâ¨¢®¬ ¬ áá®®¡¬¥¥ ç áâ¨æë á ¯®áâ㯠⥫ìë¬ ¨ ᤢ¨£®¢ë¬ ¯®â®ª®¬ ¯à¨ ¯à®â¥ª ¨¨ ¬¥ä §®© ¯®¢¥àå®á⨠娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨, ᪮à®áâì ª®â®à®© ¯à®¨§¢®«ìë¬ ®¡à §®¬ § ¢¨á¨â ®â ª®æ¥âà 樨 ¤¨ää㤨àãî饣® ¢¥é¥á⢠. Ǒ®«ãç¥ë ¯à®áâë¥ ¯à¨¡«¨¥ë¥ ä®à¬ã«ë ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï á।¥£® ç¨á« ¥à¢ã¤ ¯à¨ «î¡®© ª¨¥â¨ª¥ ¯®¢¥àå®á⮩ 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨ ¢® ¢á¥¬ ¤¨ ¯ §®¥ § 票© ª®áâ âë ᪮à®á⨠ॠªæ¨¨ ¨ ç¨á¥« Ǒ¥ª«¥. áá«¥¤®¢ ® ¢«¨ï¨¥ £®¬®£¥ëå 娬¨ç¥áª¨å ॠªæ¨© ¨â¥á¨¢®áâì ª®¢¥ªâ¨¢®£® ¬ áá®®¡¬¥ ª ¯¥«ì ¨ ç áâ¨æ á ¯®â®ª®¬. Ǒਢ¥¤¥ë ¯à®áâë¥ ¯à¨¡«¨¥ë¥ ä®à¬ã«ë ¤«ï à áç¥â ç¨á« ¥à¢ã¤ ¯à¨ ¯à®¨§¢®«ì®© § ¢¨á¨¬®á⨠᪮à®á⨠®¡ê¥¬®© 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨ ®â ª®æ¥âà 樨 ¤«ï ¯®áâ㯠⥫쮣® ¨ ᤢ¨£®¢®£® â¥ç¥¨©. 5.1. áᮯ¥à¥®á, ®á«®¥ë© ¯®¢¥àå®á⮩ 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¥©
àï¤ã á à áᬮâà¥ë¬¨ ¢ ¯à¥¤è¥áâ¢ãîé¨å £« ¢ å á«ãç ﬨ ¢ ¯à¨«®¥¨ïå ¢ ãî à®«ì ¨£à îâ ¯®¢¥àå®áâë¥ å¨¬¨ç¥áª¨¥ ॠªæ¨¨, ᪮à®áâì ª®â®àëå ª®¥ç (á¬. à §¤. 3.1), ª®æ¥âà æ¨ï £à ¨æ å à §¤¥« §¤¥áì § à ¥¥ ¥¨§¢¥áâ ¨ ãáâ ¢«¨¢ ¥âáï ¢ 室¥ à¥è¥¨ï § ¤ ç¨. ®¯ãá⨬, çâ® áä¥à¨ç¥áª ï ç áâ¨æ (ª ¯«ï, ¯ã§ëàì) à ¤¨ãá a ®¡â¥ª ¥âáï « ¬¨ àë¬ ¯®â®ª®¬ ¨¤ª®á⨠á å à ªâ¥à®© ᪮à®áâìî U , R | à ¤¨ «ì ï ª®®à¤¨ â , á¢ï§ ï á æ¥â஬ ç áâ¨æë. ç¨â ¥¬, çâ® ª®æ¥âà æ¨ï ¢¤ «¨ ®â ç áâ¨æë ¯®áâ®ï ¨ à ¢ Ci , ¬¥ä §®© ¯®¢¥àå®á⨠¯à®â¥ª ¥â 娬¨ç¥áª ï ॠªæ¨ï ᮠ᪮à®áâìî Ws = Ks Fs (C ), £¤¥ Ks | ª®áâ â ᪮à®á⨠¯®¢¥àå®á⮩
215
216
áá®®¡¬¥, ®á«®¥ë© 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¥©
ॠªæ¨¨; äãªæ¨ï Fs ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª¨¥â¨ª®© ॠªæ¨¨ ¨ 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨î Fs (0) = 0. ®®â¢¥âáâ¢ãîé ï § ¤ ç ® à á¯à¥¤¥«¥¨¨ ª®æ¥âà 樨 ¢ ᯫ®è®© ä §¥ ä®à¬ã«¨àã¥âáï â ª: Pe(~v · ∇)c = c;
(5.1.1)
∂c r = 1, = −ks fs (c); ∂r r → ∞, c → 0.
(5.1.2) (5.1.3)
¤¥áì ¡¥§à §¬¥àë¥ äãªæ¨¨ ¨ ¯ à ¬¥âàë á¢ï§ ë á ¨á室묨 à §¬¥à묨 ¢¥«¨ç¨ ¬¨ á®®â®è¥¨ï¬¨ c=
Ci − C , Ci
r=
R , a
Pe =
aU , D
ks =
aKs Fs (Ci ) , DCi
fs (c) =
Fs (C ) . Fs (Ci )
ç áâ®áâ¨, ¤«ï ॠªæ¨¨ ¯®à浪 n ¨¬¥¥¬ Fs = C n ¨ fs = (1 − c)n . ®¡é¥¬ á«ãç ¥ äãªæ¨ï fs ®¡« ¤ ¥â ᢮©á⢠¬¨ fs (1) = 0,
fs (0) = 1.
(5.1.4)
à ¡®â å [60, 279℄ ¤«ï á।¥£® ç¨á« ¥à¢ã¤ ¡ë«® ¯à¥¤«®¥® á«¥¤ãî饥 ¯à¨¡«¨¥®¥ ãà ¢¥¨¥: Sh = ks fs
Sh Sh∞
,
(5.1.5)
ª®â®à®¥ á ãᯥ宬 ¬®® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï Sh ¯à¨ ¯à®¨§¢®«ì®¬ ®¡â¥ª ¨¨ áä¥à¨ç¥áª¨å ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¤«ï «î¡®© § ¢¨á¨¬®á⨠᪮à®á⨠¯®¢¥àå®á⮩ ॠªæ¨¨ ®â ª®æ¥à 樨 ¢® ¢á¥¬ ¤¨ ¯ §®¥ ¨§¬¥¥¨ï ç¨á« Ǒ¥ª«¥: 0 6 Pe < ∞. ä®à¬ã«¥ (5.1.5) ¢¥«¨ç¨ Sh∞ = Sh∞ (Pe) ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¤¨ää㧨®®¬ã २¬ã ॠªæ¨¨ (â.¥. ¯à¥¤¥«ì®¬ã á«ãç î ks → ∞) ¨ ¤®« ®¯à¥¤¥«ïâìáï á ¯®¬®éìî à¥è¥¨ï ¢á¯®¬®£ ⥫쮩 § ¤ ç¨ (5.1.1), (5.1.3) á ¯à®á⥩訬 £à ¨çë¬ ãá«®¢¨¥¬ ¬¥ä §®© ¯®¢¥àå®áâ¨: r = 1, c = 1. ®®â¢¥âáâ¢ãî騥 ä®à¬ã«ë ¤«ï Sh∞ (Pe) ¢ á«ãç ¥ à §«¨çëå â¥ç¥¨© ¡ë«¨ ¯à¨¢¥¤¥ë à ¥¥ ¢ à §¤. 4.7 ¨ 4.8. «ï ¯®¢¥àå®á⮩ ॠªæ¨¨ ¯®à浪 n ãà ¢¥¨¥ (5.1.5) ¯à¨¨¬ ¥â ¢¨¤ Sh n aKs Cin−1 . , ks = Sh = ks 1 − Sh∞ D
5.1. áᮯ¥à¥®á, ®á«®¥ë© ¯®¢¥àå®á⮩ 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¥©
217
§à¥è ï ¥£® ®â®á¨â¥«ì® Sh, ¢ ç áâëå á«ãç ïå n = 1/2, 1, 2 ¬®® ¯®«ãç¨âì ᮮ⢥âá⢥® 1/2 ks 1 ks2 +1 − ¯à¨ n = , Sh = ks 2 2 Sh∞ 2 4 Sh∞ −1 1 1 Sh = + ¯à¨ n = 1, ks Sh∞ 1/2 2 4ks Sh2 Sh = ∞ +1 −1 ¯à¨ n = 2. 4ks Sh∞ [60℄ ¯®ª § ®, çâ® ãà ¢¥¨¥ (5.1.5) ¯®§¢®«ï¥â ¯à ¢¨«ì® ©â¨ ¢ á«ãç ¥ ¯®áâ㯠⥫쮣® á⮪ᮢ ¯®â®ª âà¨, ¢ á«ãç ¥ ¯à®¨§¢®«ì®£® ᤢ¨£®¢®£® | ç¥âëॠ¯¥à¢ëå ç«¥ ᨬ¯â®â¨ç¥áª®£® à §«®¥¨ï ç¨á« ¥à¢ã¤ ¯® ¬ «ë¬ ç¨á« ¬ Ǒ¥ª«¥ ¤«ï «î¡®© ª¨¥â¨ª¨ ¯®¢¥àå®á⮩ 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨. Ǒਣ®¤®áâì ¯à¨¡«¨¥®£® ¢ëà ¥¨ï (5.1.5) ¯à¨ ¯à®¬¥ãâ®çëå ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ Pe = 10, 20, 50 (í⨬ § ç¥¨ï¬ á®®â¢¥âá⢮¢ «¨ ç¨á« ¥©®«ì¤á Re = 10, 20, 0,5) ¢ á«ãç ¥ ¯®áâ㯠⥫쮣® ®¡â¥ª ¨ï ⢥म© áä¥àë ¯à®¢¥àï« áì ¯ã⥬ áà ¢¥¨ï á १ã«ìâ â ¬¨ ç¨á«¥®£® à¥è¥¨ï ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 § ¤ ç¨ ¤«ï ¯®¢¥àå®á⮩ 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨ ¯¥à¢®£® ¯®à浪 . Ǒ® ¤ ë¬ [2, 28℄ á«¥¤ã¥â, çâ® ¯®£à¥è®áâì ãà ¢¥¨ï (5.1.5) ¢ íâ¨å á«ãç ïå ¥ ¯à¥¢®á室¨â 1,5%. Ǒਠ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ ¤«ï ¯®¢¥àå®á⮩ ॠªæ¨¨ ¯®à浪 n = 1/2, 1, 2 ¯à®¢¥àª ¯à¨£®¤®á⨠ãà ¢¥¨ï (5.1.5) ¯à®¢®¤¨« áì ¢® ¢á¥¬ ¤¨ ¯ §®¥ ¨§¬¥¥¨ï ¯ à ¬¥âà ks ¯ã⥬ áà ¢¥¨ï ¥£® ª®àï á १ã«ìâ â ¬¨ ç¨á«¥®£® à¥è¥¨ï ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© ¤«ï ¯®¢¥àå®á⮩ ª®æ¥âà 樨 (¢ë¢¥¤¥ëå ¢ ¯à¨¡«¨¥¨¨ ¤¨ää㧨®®£® ¯®£à ¨ç®£® á«®ï) ¢ á«ãç ¥ ¯®áâ㯠⥫쮣® á⮪ᮢ ®¡â¥ª ¨ï áä¥àë, ªà㣮¢®£® 樫¨¤à , ª ¯«¨ ¨ ¯ã§ëàï [60℄. ¥§ã«ìâ âë ᮯ®áâ ¢«¥¨ï ¤«ï ॠªæ¨¨ ¢â®à®£® ¯®à浪 (n = 2) ¯à¥¤áâ ¢«¥ë à¨á. 5.1 (¤«ï n = 1/2 ¨ n = 1 â®ç®áâì ãà ¢¥¨ï (5.1.5) ¢ëè¥, 祬 ¤«ï n = 2). ਢ ï 1, ¨§®¡à ¥ ï ᯫ®è®© «¨¨¥©, ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ॠªæ¨¨ ¢â®à®£® ¯®à浪 n = 2. ¨¤®, çâ® ¬ ªá¨¬ «ì ï ¯®£à¥è®áâì ¡«î¤ ¥âáï ¯à¨ 0,5 6 ks /Sh∞ 6 5,0 ¨ ¥ ¯à¥¢ëè ¥â 6% | ¤«ï ⢥म© áä¥àë (ªà¨¢ ï 2 ), 8% | ¤«ï ªà㣮¢®£® 樫¨¤à (ªà¨¢ ï 3 ) ¨ 12% | ¤«ï áä¥à¨ç¥áª®© ª ¯«¨ (ªà¨¢ ï 4 ). à ¡®â¥ [249℄ ¯à®¢®¤¨« áì ¯à®¢¥àª ¯à¨£®¤®á⨠ãà ¢¥¨ï (5.1.5) ¯à¨ n = 1/2, 1, 2 ¢® ¢á¥¬ ¤¨ ¯ §®¥ ¨§¬¥¥¨ï ¯ à ¬¥â஢ ks ¨ Pe ¤«ï ᤢ¨£®¢®£® á⮪ᮢ ®¡â¥ª ¨ï áä¥àë. ® ¢á¥å à áᬮâà¥ëå á«ãç ïå ¬ ªá¨¬ «ì ï ¯®£à¥è®áâì ¥ ¯à¥¢ëè « 5%. ⬥⨬, çâ® ¢ á«ãç ¥ ç áâ¨æ ¥¯à ¢¨«ì®© ä®à¬ë ¤«ï à áç¥â á।¥£® ç¨á« ¥à¢ã¤ á«¥¤ã¥â ¨á¯®«ì§®¢ âì ¡®«¥¥ ®¡é¥¥ ãà ¢¥¨¥ Sh Sh = fs , (5.1.6) Sh0 Sh∞
218
áá®®¡¬¥, ®á«®¥ë© 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¥©
¢¨á¨¬®áâì ç¨á« ¥à¢ã¤ ®â ª®áâ âë ᪮à®á⨠¤«ï ¯®¢¥àå®á⮩ 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨ ¢â®à®£® ¯®à浪 : 1 | ¯® ä®à¬ã«¥ (5.1.5), 2 | ¤«ï ⢥म© áä¥àë, 3 | ¤«ï ªà㣮¢®£® 樫¨¤à , 4 | ¤«ï áä¥à¨ç¥áª®© ª ¯«¨ ¨ ¯ã§ëàï
¨á. 5.1.
£¤¥ Sh0 | ᨬ¯â®â¨ª ¢¥«¨ç¨ë Sh ¯à¨ ks → 0. 5.2. ¨ääã§¨ï ª ¢à é î饬ãáï ¤¨áªã ¨ ¯«®áª®© ¯« á⨥ ¯à¨ ¯à®â¥ª ¨¨ ®¡ê¥¬®© ॠªæ¨¨
áᮯ¥à¥®á ª ¯®¢¥àå®á⨠¤¨áª , ¢à é î饣®áï ¢ ¨¤ª®áâ¨. áᬮâਬ ¤¨ääã§¨î ª ¯®¢¥àå®á⨠¤¨áª , ¢à é î饣®áï
¢ ¨¤ª®áâ¨ á ¯®áâ®ï®© 㣫®¢®© ᪮à®áâìî ω . ç¨â ¥¬, çâ® ¯à®æ¥áá ®á«®¥ ¥®¡à ⨬®© ®¡ê¥¬®© 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¥©, ᪮à®áâì ª®â®à®© à ¢ Wv = Kv Fv (C ). Ǒਠ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ª®æ¥âà 樨 ¢ ¨¤ª®á⨠®¯¨áë¢ ¥âáï á«¥¤ãî騬 ãà ¢¥¨¥¬ ¨ £à ¨ç묨 ãá«®¢¨ï¬¨: d2 c dc + Pe y 2 = kv fv (c); 2 dy dy y = 0, c = 1; y → ∞, c → 0.
(5.2.1) (5.2.2)
¤¥áì ¡¥§à §¬¥àë¥ ¢¥«¨ç¨ë ¨ ¯ à ¬¥âàë ¢¢¥¤¥ë ¯® ä®à¬ã« ¬ c=
C , Cs kv
y
=
ν 1/2 Y ν , , Pe = 0,51 , a = a D ω a2 Kv Fv (Cs ) F (C ) , fv (c) = v , DCs Fv (Cs )
=
5.2. ¨ääã§¨ï ª ¤¨áªã ¨ ¯« á⨥ ¯à¨ ¯à®â¥ª ¨¨ ®¡ê¥¬®© ॠªæ¨¨
219
£¤¥ Y | à ááâ®ï¨¥ ®â ¯®¢¥àå®á⨠¤¨áª , a | å à ªâ¥àë© ¬ áèâ ¡ ¤«¨ë, Cs | ª®æ¥âà æ¨ï ã ¯®¢¥àå®á⨠¤¨áª , ν | ª¨¥¬ â¨ç¥áª ï ¢ï§ª®áâì ¨¤ª®áâ¨. ç¨â ¥¬, çâ® Wv > 0 ¨ Fv (0) = 0. Ǒ®í⮬ã äãªæ¨ï fv (c) ®¡« ¤ ¥â ᢮©á⢠¬¨ fv (0) = 0 ¨ fv (1) = 1. «ï ¯à¨¡«¨¥®£® ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¡¥§à §¬¥à®£® ¤¨ää㧨®®£® ¯®â®ª ¯®¢¥àå®áâì ¤¨áª j = −(dc/dy )y=0 㤮¡® ¨á¯®«ì§®¢ âì ªã¡¨ç¥áª®¥ ãà ¢¥¨¥ −3 j 3 − 2kv hfv ij − 6 (1/3) Pe = 0, (5.2.3) £¤¥ 㣫®¢ë¥ ᪮¡ª¨ ®§ ç îâ á।îî ¨â¥£à «ìãî ¢¥«¨ç¨ã ª¨¥â¨ç¥áª®© äãªæ¨¨ fv : hfv i =
Z 1 0
fv (c) dc.
(5.2.4)
Ǒਠ®âáãâá⢨¨ ®¡ê¥¬®© ॠªæ¨¨ kv = 0 ãà ¢¥¨¥ (5.2.3) ¤ ¥â â®çë© ®â¢¥â (3.2.11). Ǒਠ¡®«ìè¨å § 票ïå kv → ∞ ¨ 䨪á¨à®¢ ®¬ Pe ¯à¨¡«¨¥®¥ ãà ¢¥¨¥ (5.2.3) ®¡¥á¯¥ç¨¢ ¥â ¯à ¢¨«ìë© á¨¬¯â®â¨ç¥áª¨© १ã«ìâ â ¤«ï «î¡®© ª¨¥â¨ç¥áª®© § ¢¨á¨¬®á⨠fv = fv (c). «ï á⥯¥ëå ॠªæ¨© ¨¬¥¥¬ fv (c) = cn . í⮬ á«ãç ¥ ¢ ãà ¢¥¨¨ (5.2.3) á«¥¤ã¥â ¯®«®¨âì 1 hfv i = . (5.2.5) n+1 § ä®à¬ã«ë (5.2.5) ¢¨¤®, çâ® ¤¨ää㧨®ë© ¯®â®ª 㬥ìè ¥âáï á à®á⮬ ¯®ª § ⥫ï n ¨ 㢥«¨ç¨¢ ¥âáï ¯à¨ ã¬¥ì襨¨ ¡¥§à §¬¥à®© ª®áâ âë ᪮à®á⨠ॠªæ¨¨ kv . «ï ॠªæ¨© ¯®à浪 n = 1/2, 1, 2 ç¨á«¥®¥ à¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ (5.2.1), (5.2.2) ¯®«ã祮 ¢ [277℄. ªá¨¬ «ì ï ¯®£à¥è®áâì ªã¡¨ç¥áª®£® ãà ¢¥¨ï ¤«ï ¤¨ää㧨®®£® ¯®â®ª (5.2.3) ¢ 㪠§ ëå á«ãç ïå ¢® ¢á¥¬ ¤¨ ¯ §®¥ ¨§¬¥¥¨ï ¡¥§à §¬¥à®© ª®áâ âë ᪮à®á⨠ॠªæ¨¨ kv á®áâ ¢«ï¥â ¬¥¥¥ 3%.
áᮯ¥à¥®á ª ¯«®áª®© ¯« á⨪¥, ®¡â¥ª ¥¬®© ¯®áâ㯠⥫ìë¬ ¯®â®ª®¬. áá«¥¤ã¥¬ áâ 樮 àãî ª®¢¥ªâ¨¢ãî ¤¨ä-
äã§¨î ª ¯®¢¥àå®á⨠¯«®áª®© ¯« á⨪¨, ¯à®¤®«ì® ®¡â¥ª ¥¬®© ¯®áâ㯠⥫ìë¬ ¯®â®ª®¬ ¢ï§ª®© ¥á¨¬ ¥¬®© ¨¤ª®á⨠¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å ¥©®«ì¤á (â¥ç¥¨¥ « §¨ãá ). Ǒ।¯®« £ ¥âáï, çâ® ¬ áᮯ¥à¥®á ®á«®¥ ®¡ê¥¬®© ॠªæ¨¥©. ¯à¨¡«¨¥¨¨ ¤¨ää㧨®®£® ¯®£à ¨ç®£® á«®ï ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï § ¤ ç ® à á¯à¥¤¥«¥¨¨ ª®æ¥âà 樨 ®¯¨áë¢ ¥âáï ãà ¢¥¨¥¬ ¨ £à ¨ç묨 ãá«®¢¨ï¬¨ 1,33 y ∂c 1,33 y 2 ∂c ∂2c + = − kv fv (c); (5.2.6) 4 x1/2 ∂x 16 x3/2 ∂y ∂y 2 x = 0, c = 0; y = 0, c = 1; y → ∞, c → 0. (5.2.7)
220
áá®®¡¬¥, ®á«®¥ë© 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¥©
¤¥áì ¡¥§à §¬¥àë¥ ¢¥«¨ç¨ë ¢¢¥¤¥ë ¯® ä®à¬ã« ¬ c=
C , Cs kv
=
X , y= a a2 Kv Fv (Cs ) , DCs x=
Y , a
ν 1/3 D2/3 , Ui Fv (C ) , Fv (Cs )
a=
fv (c) =
£¤¥ Ui | ¥¢®§¬ãé¥ ï ᪮à®áâì ¨¤ª®á⨠¢¤ «¨ ®â ¯« áâ¨ë; X | à ááâ®ï¨¥, ®âáç¨âë¢ ¥¬®¥ ®â ¯¥à¥¤¥© ªà®¬ª¨ ¢¤®«ì ¯® ¯« á⨥; Y | à ááâ®ï¨¥ ®â ¯®¢¥àå®á⨠¯« áâ¨ë. á¯à¥¤¥«¥¨¥ ¡¥§à §¬¥à®£® «®ª «ì®£® ¤¨ää㧨®®£® ¯®â®ª j = −(∂c/∂y )y=0 ¢¤®«ì ¯®¢¥àå®á⨠¯« á⨪¨ ¯à¨¡«¨¥® ¬®® ®¯à¥¤¥«¨âì ¯ã⥬ à¥è¥¨ï ªã¡¨ç¥áª®£® ãà ¢¥¨ï j 3 − 2kv hfv ij − (0,399)3 x−3/2
= 0,
(5.2.8)
ª®â®à®¥ ¤ ¥â ¯à ¢¨«ìë© á¨¬¯â®â¨ç¥áª¨© १ã«ìâ â ¢ ®¡®¨å ¯à¥¤¥«ìëå á«ãç ïå ¯à¨ kv → 0 ¨ kv → ∞ ¤«ï «î¡®© ª¨¥â¨ª¨ ®¡ê¥¬®© 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨. «ï á⥯¥ëå ॠªæ¨© ¢ ãà ¢¥¨¥ (5.2.8) á«¥¤ã¥â ¯®¤áâ ¢¨âì ¢¥«¨ç¨ã (5.2.5). 5.3. ¥è¨¥ § ¤ ç¨ ¬ áá®®¡¬¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬ ¯à¨ à §«¨çëå ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ ¨ «¨ç¨¨ ®¡ê¥¬®© 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨
áᬮâਬ áâ 樮 àë© ¬ áá®®¡¬¥ ¬¥¤ã áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æ¥© (ª ¯«¥©, ¯ã§ë६) à ¤¨ãá a ¨ « ¬¨ àë¬ ¯®â®ª®¬ ¨¤ª®áâ¨. ç¨â ¥¬, çâ® ¢ ᯫ®è®© ä §¥ ¯à®¨á室¨â ®¡ê¥¬ ï 娬¨ç¥áª ï ॠªæ¨ï Wv = Kv Fv (C ). ¡¥§à §¬¥àëå ¯¥à¥¬¥ëå ¯à®æ¥áá ¯¥à¥®á ॠ£¥â ¢ ᯫ®è®© ä §¥ ®¯¨áë¢ ¥âáï á«¥¤ãî騬 ãà ¢¥¨¥¬ ¨ £à ¨ç묨 ãá«®¢¨ï¬¨: Pe(~v · ∇)c = c − kv fv (c); r = 1, c = 1; r → ∞, c → 0,
(5.3.1) (5.3.2)
£¤¥ r = R/a, Pe = aU/D, kv = a2 Kv Fv (Cs )/(DCs ), R | à ¤¨ «ì ï ª®®à¤¨ â , á¢ï§ ï á æ¥â஬ ç áâ¨æë, U | å à ªâ¥à ï ᪮à®áâì ¯®â®ª ; ¡¥§à §¬¥à ï ª®æ¥âà æ¨ï c ¨ ª¨¥â¨ç¥áª ï äãªæ¨ï fv ¢¢¥¤¥ë â ª ¥, ª ª ¨ ¢ ãà ¢¥¨¨ (5.2.1).
áá®®¡¬¥ ç áâ¨æë á ¥¯®¤¢¨®© á।®© (Pe = 0).
ǑਠPe = 0 § ¤ ç (5.3.1), (5.3.2) ¤®¯ã᪠¥â â®ç®¥ «¨â¨ç¥áª®¥
5.3. ¥è¨¥ § ¤ ç¨ ¬ áᮯ¥à¥®á ¯à¨ «¨ç¨¨ ®¡ê¥¬®© ॠªæ¨¨
221
à¥è¥¨¥ ¤«ï ®¡ê¥¬®© 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨ ¯¥à¢®£® ¯®à浪 , ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â «¨¥©®© § ¢¨á¨¬®á⨠fv = c. í⮬ á«ãç ¥ ¨¬¥¥¬ c=
1 r
1/2 kv (1 − r) .
exp
(5.3.3)
।¥¥ ç¨á«® ¥à¢ã¤ , ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 à¥è¥¨î (5.3.3), ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä®à¬ã«®© p (5.3.4) Sh = 1 + kv . «ï ¯à®¨§¢®«ì®© § ¢¨á¨¬®á⨠ª¨¥â¨ç¥áª®© äãªæ¨¨ ®â ª®æ¥âà 樨 á।¥¥ ç¨á«® ¥à¢ã¤ ¤«ï áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æë ¢ ¥¯®¤¢¨®© ¨¤ª®á⨠¬®® ¢ëç¨á«ïâì á ¯®¬®éìî ¢ëà ¥¨ï [280℄
Sh = 1 + 2kv
Z 1 0
fv (c) dc
1/2
.
(5.3.5)
®à¬ã« (5.3.5) ®¡¥á¯¥ç¨¢ ¥â â®çë© á¨¬¯â®â¨ç¥áª¨© १ã«ìâ â ¢ ®¡®¨å ¯à¥¤¥«ìëå á«ãç ïå ¯à¨ kv → 0 ¨ kv → ∞ ¤«ï «î¡®© äãªæ¨¨ fv (c). «ï ॠªæ¨¨ ¯¥à¢®£® ¯®à浪 fv = c ¯à¨¡«¨¥ ï § ¢¨á¨¬®áâì (5.3.5) ¤ ¥â â®çë© ®â¢¥â (5.3.4). ªá¨¬ «ì ï ¯®£à¥è®áâì √ ä®à¬ã«ë (5.3.5) ¤«ï 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨ ¯®à浪 n = 1/2 (fv = c) ¢® ¢á¥¬ ¤¨ ¯ §®¥ ¨§¬¥¥¨ï ¡¥§à §¬¥à®© ª®áâ âë ᪮à®á⨠ॠªæ¨¨ kv á®áâ ¢«ï¥â 5%; ¤«ï ॠªæ¨¨ ¢â®à®£® ¯®à浪 (fv = c2 ) ¯®£à¥è®áâì ä®à¬ã«ë (5.3.5) à ¢ 7% [280℄. ।¥¥ ç¨á«® ¥à¢ã¤ 㬥ìè ¥âáï ¯à¨ ã¢¥«¨ç¥¨¨ ¯®à浪 ॠªæ¨¨ n ¨ 㢥«¨ç¨¢ ¥âáï á à®á⮬ ¯ à ¬¥âà kv . «ï ç áâ¨æ ¥áä¥à¨ç¥áª®© ä®à¬ë, ®ªàã¥ëå ¥¯®¤¢¨®© á।®©, ¢ ®¡ê¥¬¥ ª®â®à®© ¯à®¨á室¨â 娬¨ç¥áª ï ॠªæ¨ï ¯¥à¢®£® ¯®à浪 , á।¥¥ ç¨á«® ¥à¢ã¤ ¬®® ¢ëç¨á«ïâì á ¯®¬®éìî ¯à¨¡«¨¥®£® ¢ëà ¥¨ï p (5.3.6) Sh = Sh0 + kv . ¤¥áì Sh0 | ç¨á«® ¥à¢ã¤ , ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ¬ áá®®¡¬¥ã ç áâ¨æë á ¥¯®¤¢¨®© á।®© ¡¥§ ॠªæ¨¨. ¤®¥ á« £ ¥¬®¥ ¢ (5.3.6) ¤®«® ¡ëâì ®¡¥§à §¬¥à¥® á ¯®¬®éìî ®¤®£® ¨ ⮣® ¥ å à ªâ¥à®£® ¬ áèâ ¡ ¤«¨ë. 票¥ Sh0 ¬®® ®¯à¥¤¥«ïâì ¯® ä®à¬ã«¥ Sh0 = a/S∗ , £¤¥ a | ¢¥«¨ç¨ , ¢ë¡à ï § ¬ áèâ ¡ ¤«¨ë, S∗ | ¯«®é ¤ì ¯®¢¥àå®á⨠ç áâ¨æë; ä ªâ®à ¤«ï ¥ª®â®àëå ç áâ¨æ ¥áä¥à¨ç¥áª®© ä®à¬ë 㪠§ ¢ â ¡«. 4.2. «ï ç áâ¨æ ¥áä¥à¨ç¥áª®© ä®à¬ë ¢ á«ãç ¥ ¡®«¥¥ á«®®© ª¨¥â¨ç¥áª®© äãªæ¨¨ fv (c) ¤«ï à áç¥â ç¨á« ¥à¢ã¤ ¬®® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¯à¨¡«¨¥ãî ä®à¬ã«ã (5.3.5), ¢ ¯à ¢®© ç á⨠ª®â®à®© ¯¥à¢®¥ á« £ ¥¬®¥ (à ¢®¥ ¥¤¨¨æ¥) á«¥¤ã¥â § ¬¥¨âì Sh0 .
¬¥à¥ë¥ ¨ ¡®«ì訥 ç¨á« Ǒ¥ª«¥. ¡ê¥¬ ï ॠªæ¨ï ¯¥à¢®£® ¯®à浪 . «ï áä¥à¨ç¥áª¨å ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ (¯à¨
222
áá®®¡¬¥, ®á«®¥ë© 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¥©
«¨¬¨â¨àãî饬 ᮯà®â¨¢«¥¨¨ ᯫ®è®© ä §ë) ¢ á«ãç ¥ ®¡ê¥¬®© ॠªæ¨¨ ¯¥à¢®£® ¯®à浪 á।¥¥ ç¨á«® ¥à¢ã¤ ¬®® ¢ëç¨á«ïâì ¯® ä®à¬ã«¥ [278℄
Sh = 1 + (Sh0 −1)2 + kv
1/2
.
(5.3.7)
¤¥áì Sh0 = Sh0 (Pe) | ç¨á«® ¥à¢ã¤ ¯à¨ ®âáãâá⢨¨ 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨, ª®£¤ kv = 0. ëà ¥¨¥ (5.3.7) ¤ ¥â â®çë¥ á¨¬¯â®â¨ª¨ ¢® ¢á¥å ç¥âëà¥å ¯à¥¤¥«ìëå á«ãç ïå: kv → 0 ¨ kv → ∞; Pe → 0 ¨ Pe → ∞ (áç¨â ¥âáï, çâ® ¬¥ä §®© ¯®¢¥àå®á⨠¥áâì ªà¨â¨ç¥áª¨¥ â®çª¨). Ǒਠ®¡â¥ª ¨¨ áä¥à¨ç¥áª®© ª ¯«¨ ¯®áâ㯠⥫ìë¬ áâ®ªá®¢ë¬ ¯®â®ª®¬ ¬ ªá¨¬ «ì ï ¯®£à¥è®áâì ä®à¬ã«ë (5.3.7) á®áâ ¢«ï¥â ®ª®«® 7%. «ï á⮪ᮢ ®¡â¥ª ¨ï ⢥म© áä¥àë ¯®áâ㯠⥫ìë¬ ¨ «¨¥©ë¬ ¤¥ä®à¬ æ¨®ë¬ á¤¢¨£®¢ë¬ ¯®â®ª®¬ ¢ (5.3.7) á«¥¤ã¥â ¯®«®¨âì Sh0 = Shp , £¤¥ ¢¥«¨ç¨ Shp ¢ëç¨á«ï¥âáï ᮮ⢥âá⢥® á ¯®¬®éìî ¢ëà ¥¨© (4.7.9) ¨ (4.8.5). Ǒਠ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ ¤«ï ¯à¨¡«¨¥ëå à áç¥â®¢ á।¥£® ç¨á« ¥à¢ã¤ ¬®® ¨á¯®«ì§®¢ âì ä®à¬ã«ã [146℄ p p kv , kv th Sh0
(5.3.8)
Sh3 − kv Sh − Sh30 = 0,
(5.3.9)
Sh =
£¤¥ Sh0 = lim Sh. kv →0 ¢¨á¨¬®á⨠¢á¯®¬®£ ⥫쮣® ç¨á« ¥à¢ã¤ Sh0 ®â ç¨á« Ǒ¥ª«¥ Pe ¤«ï ¯®áâ㯠⥫쮣® á⮪ᮢ ®¡â¥ª ¨ï áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æë ¨ ª ¯«¨ ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¯à ¢®© ç áâìî ä®à¬ã« (4.6.8) ¨ (4.6.17). á«ãç ¥ «¨¥©®£® ᤢ¨£®¢®£® á⮪ᮢ â¥ç¥¨ï § 票ï Sh0 ¯à¨¢¥¤¥ë ¢ ç¥â¢¥à⮩ ª®«®ª¥ â ¡«. 4.4. ¬¥áâ® ä®à¬ã«ë (5.3.8) ¤«ï à áç¥â á।¥£® ç¨á« ¥à¢ã¤ ¬®® ¨á¯®«ì§®¢ âì ªã¡¨ç¥áª®¥ ãà ¢¥¨¥ [72℄ ª®â®à®¥ ¯à¨¢®¤¨â ª ¡®«¥¥ â®çë¬ à¥§ã«ìâ â ¬. â ¡«. 5.1 㪠§ ¬ ªá¨¬ «ì ï ¯®£à¥è®áâì ä®à¬ã«ë (5.3.8) ¨ ãà ¢¥¨ï (5.3.9) ¢® ¢á¥¬ ¤¨ ¯ §®¥ ¨§¬¥¥¨ï ¯ à ¬¥âà kv ¤«ï è¥áâ¨ à §«¨çëå á«ãç ¥¢ áä¥à¨ç¥áª¨å ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३. ᥠ®æ¥ª¨ ©¤¥ë ¯ã⥬ áà ¢¥¨ï á १ã«ìâ â ¬¨ «¨â¨ç¥áª®£® à¥è¥¨ï § ¤ ç¨ (5.3.1), (5.3.2), ¯®«ãç¥ë¬¨ ¢ ¯à¨¡«¨¥¨¨ ¤¨ää㧨®®£® ¯®£à ¨ç®£® á«®ï [146℄. ®à¬ã«ã (5.3.8) ¨ ãà ¢¥¨¥ (5.3.9) ¬®® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¤«ï à áç¥â á।¥£® ç¨á« ¥à¢ã¤ ¢ á«ãç ¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¥áä¥à¨ç¥áª®© ä®à¬ë, ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥.
5.4. ãâ२¥ § ¤ ç¨ ¬ áᮯ¥à¥®á ¯à¨ «¨ç¨¨ ®¡ê¥¬®© ॠªæ¨¨
223
5.1 ªá¨¬ «ì ï ¯®£à¥è®áâì ä®à¬ã«ë (5.3.8) ¨ ªã¡¨ç¥áª®£® ãà ¢¥¨ï (5.3.9) ¤«ï à §«¨çëå á«ãç ¥¢ ®¡â¥ª ¨ï áä¥à¨ç¥áª¨å ª ¯¥«ì, ¯ã§ë३ ¨ ⢥à¤ëå ç áâ¨æ ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ ¢ á«ãç ¥ ®¡ê¥¬®© 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨ ¯¥à¢®£® ¯®à浪 N0
¨á¯¥àá ï ä §
Ǒ®£à¥è®áâì Ǒ®£à¥è®áâì ä®à¬ã«ë ãà ¢¥¨ï (5.3.8), ¢ % (5.3.9), ¢ %
¨¤ â¥ç¥¨ï
á¥á¨¬¬¥âà¨çë© á¤¢¨£®¢ë© á⮪ᮢ ¯®â®ª Ǒ®áâ㯠⥫ìë© á⮪ᮢ ¯«ï, ¯ã§ëàì ¯®â®ª Ǒ«®áª¨© ᤢ¨£®¢ë© ¯«ï, ¯ã§ëàì á⮪ᮢ ¯®â®ª ¬¨ àë© ¯®áâ㯠⥫ìë© Ǒã§ëàì ¯®â®ª ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å ¥©®«ì¤á á¥á¨¬¬¥âà¨çë© á¤¢¨£®¢ë© Ǒã§ëàì ¯®â®ª ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å ¥©®«ì¤á Ǒ®áâ㯠⥫ìë© á⮪ᮢ ¢¥à¤ ï ç áâ¨æ ¯®â®ª
1 ¯«ï, ¯ã§ëàì 2 3 4 5 6
2
1
2,6
1,6
3,8
2,8
2,6
1,6
2
1
3,4
2,4
®«ì訥 ç¨á« Ǒ¥ª«¥. Ǒந§¢®«ì ï ᪮à®áâì ®¡ê¥¬®© ॠªæ¨¨. «ï ¯à®¨§¢®«ì®© ᪮à®á⨠®¡ê¥¬®© 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨
á।¥¥ ç¨á«® ¥à¢ã¤ ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ ¬®® ®¯à¥¤¥«ïâì á ¯®¬®éìî ¯à¨¡«¨¥®© § ¢¨á¨¬®á⨠Sh = (2kv hfv i)1/2 th
(2kv hfv i)1/2 Sh0
¨«¨ ¯ã⥬ à¥è¥¨ï ªã¡¨ç¥áª®£® ãà ¢¥¨ï [276℄ Sh3 − 2kv hfv i Sh − Sh30 = 0.
(5.3.10)
(5.3.11)
®¡é¥¬ á«ãç ¥ ¢¥«¨ç¨ hfv i ¢ëç¨á«ï¥âáï ¯® ä®à¬ã«¥ (5.2.4). «ï ॠªæ¨¨ ¯®à浪 n á«¥¤ã¥â ¨á¯®«ì§®¢ âì ¢ëà ¥¨¥ (5.2.5). 5.4. ãâ२¥ § ¤ ç¨ ¬ áᮯ¥à¥®á ¯à¨ «¨ç¨¨ ®¡ê¥¬®© 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨
áá«¥¤ã¥¬ ⥯¥àì ¢ãâ२¥ § ¤ ç¨ ¬ áᮯ¥à¥®á , ®á«®¥ë¥ ®¡ê¥¬®© 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¥©. ç¨â ¥¬, çâ® à áᬠâਢ ¥¬ë© ¤¨ää㧨®ë© ¯à®æ¥áá ª¢ §¨áâ 樮 ॠ¨ ¯à®¨á室¨â ¢ãâਠ⢥म©
224
áá®®¡¬¥, ®á«®¥ë© 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¥©
áä¥à¨ç¥áª®© ¯®«®á⨠¨«¨ ª ¯«¨ à ¤¨ãá a, ª®â®à ï § ¯®«¥ ¥¯®¤¢¨®© ¨«¨ ¤¢¨ã饩áï á।®©. ¡¥§à §¬¥àëå ¯¥à¥¬¥ëå à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ª®æ¥âà 樨 ¢ ®¡« á⨠0 6 r 6 1 ®¯¨áë¢ ¥âáï ãà ¢¥¨¥¬ (5.3.1) ¨ ¯¥à¢ë¬ £à ¨çë¬ ãá«®¢¨¥¬ (5.3.2).
¨ääã§¨ï ¢ áä¥à¨ç¥áª®© ¯®«®áâ¨, § ¯®«¥®© ¥¯®¤¢¨®© á।®© (Pe = 0). «ï ®¡ê¥¬®© ॠªæ¨¨ ¯¥à¢®£® ¯®à浪
¯à¨ Pe = 0 â®ç®¥ «¨â¨ç¥áª®¥ à¥è¥¨¥ áä®à¬ã«¨à®¢ ®© § ¤ ç¨ ¨¬¥¥â ¢¨¤ p 1 sh r kv c= (5.4.1) p , r sh kv ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 á।¥¥ ç¨á«® ¥à¢ã¤ ¢ãâà¥îî ¯®¢¥àå®áâì ¯®«®á⨠®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä®à¬ã«®© Sh = −1 + kv1/2 th kv1/2 . (5.4.2) «ï á⥯¥®© ॠªæ¨¨ n-£® ¯®à浪 á।¥¥ ç¨á«® ¥à¢ã¤ ¬®® ¢ëç¨á«ïâì á ¯®¬®éìî ¯à¨¡«¨¥®© § ¢¨á¨¬®á⨠[280℄
1/2 2kv 1/2 2 n+1
th kv , (5.4.3) + Sh = − n+1 n+1 2 ª®â®à ï ®¡¥á¯¥ç¨¢ ¥â ¯à ¢¨«ìë© á¨¬¯â®â¨ç¥áª¨© १ã«ìâ ⠯ਠ¬ «ëå ¨ ¡®«ìè¨å § 票ïå ¯ à ¬¥âà kv . Ǒਠn = 1 ä®à¬ã« (5.4.3) ¤ ¥â â®çë© ®â¢¥â (5.4.2). ®¯®áâ ¢«¥¨¥ ¯à¨¡«¨¥®£® ¢ëà ¥¨ï (5.4.3) á १ã«ìâ â ¬¨ ç¨á«¥®£® à¥è¥¨ï ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ¢ãâ॥© § ¤ ç¨ (5.3.1), (5.3.2) ¤«ï ॠªæ¨© ¯®à浪 n = 1/2 ¨ n = 2 ¢® ¢á¥¬ ¤¨ ¯ §®¥ ¨§¬¥¥¨ï ¯ à ¬¥âà kv á®áâ ¢«ï¥â 5%. «ï ¯à®¨§¢®«ì®© § ¢¨á¨¬®á⨠᪮à®á⨠®¡ê¥¬®© 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨ ®â ª®æ¥âà 樨 楫¥á®®¡à §® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¯à¨¡«¨¥ãî ä®à¬ã«ã
Sh = −2hfv i + (2kv hfv i)1/2 th
kv 2hfv i
1/2
,
(5.4.4)
£¤¥ á।¥¥ § 票¥ hfv i ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨â¥£à «®¬ (5.2.4). «ï á⥯¥®© ॠªæ¨¨ «î¡®£® ¯®à浪 § ¢¨á¨¬®áâì (5.4.4) ¯¥à¥å®¤¨â ¢ (5.4.3).
¨ääã§¨ï ¢ ¯®«®á⨠¯à®¨§¢®«ì®© ä®à¬ë, § ¯®«¥®© ¥¯®¤¢¨®© á।®© (Pe = 0). ¥â®¤ ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨å «®£¨© (á¬. à §¤. 4.1) ¯®§¢®«ï¥â ®¡®¡é¨âì ä®à¬ã«ë (5.4.2) | (5.4.4) á«ãç © ¯®«®á⨠¯à®¨§¢®«ì®© ä®à¬ë. ç áâ®áâ¨, ¤«ï ®¡ê¥¬®© ॠªæ¨¨ ¯¥à¢®£® ¯®à浪 ¯®«ãç ¥¬ § ¢¨á¨¬®áâì p 3V p S Sh = − + kv th kv , (5.4.5) 3V S
5.4. ãâ२¥ § ¤ ç¨ ¬ áᮯ¥à¥®á ¯à¨ «¨ç¨¨ ®¡ê¥¬®© ॠªæ¨¨
225
£¤¥ S ¨ V | ¡¥§à §¬¥àë¥ ¯«®é ¤ì ¯®¢¥àå®á⨠¨ ®¡ê¥¬ ¯®«®á⨠(¢á¥ ¡¥§à §¬¥àë¥ ¢¥«¨ç¨ë ¢ í⮩ ä®à¬ã«¥ ¢¢®¤ïâáï á ¯®¬®éìî ®¤®£® ¨ ⮣® ¥ å à ªâ¥à®£® ¬ áèâ ¡ ¤«¨ë). «ï áä¥à¨ç¥áª®© ¯®«®áâ¨, ¯®¤áâ ¢«ïï ¢ (5.4.5) § 票ï S = 4π, V = 4π/3, ¯à¨å®¤¨¬ ª â®ç®¬ã ¢ëà ¥¨î (5.4.2). Ǒਠ¯à®¨§¢®«ì®© ᪮à®á⨠®¡ê¥¬®© 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨ ¤«ï á।¥£® ç¨á« ¥à¢ã¤ ¬®® ¨á¯®«ì§®¢ âì ä®à¬ã«ã Sh = −
2S 3V
hfv i + (2kv hfv i)1/2 th
9V 2 kv 2S 2 hfv i
1/2
,
ª®â®à ï ®¡®¡é ¥â ¯à¨¡«¨¥ãî § ¢¨á¨¬®áâì (5.4.4) á«ãç © ¯®«®á⨠¥áä¥à¨ç¥áª®© ä®à¬ë. «ï ॠªæ¨¨ ¯¥à¢®£® ¯®à浪 á।ïï ¯® ®¡ê¥¬ã ª®æ¥âà æ¨ï ¢ãâਠ¯®«®á⨠¢ëç¨á«ï¥âáï â ª: c =
Sh
S , kv V
£¤¥ c =
1 V
Z
c dv.
(5.4.6)
v
⬥⨬, çâ® á¢ï§ì (5.4.6) ¬¥¤ã ¢¥«¨ç¨ ¬¨ c ¨ Sh ï¥âáï â®ç®©. Ǒ®¤áâ ¢«ïï ¢ (5.4.6) ¢ëà ¥¨¥ (5.4.5), ¬®® ¯®«ãç¨âì ä®à¬ã«ã ¤«ï à áç¥â á।¥© ª®æ¥âà 樨.
áᮯ¥à¥®á ¢ãâਠª ¯«¨ (¯®«®áâ¨) ¯à¨ à §«¨çëå ç¨á« å Ǒ¥ª«¥. áᬮâਬ ¬ áᮯ¥à¥®á ¢ãâਠ¯®«®á⨠(¨«¨ ª ¯-
«¨) ¯à®¨§¢®«ì®© ä®à¬ë, ¢ ª®â®à®© ¯à®¨á室¨â æ¨àªã«ïæ¨ï ¨¤ª®áâ¨. ⥣à¨àãï ãà ¢¥¨¥ (5.3.1) ¯® ®¡ê¥¬ã ¯®«®á⨠v, ¯®á«¥ ¥ª®â®àëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨© ¯®«ã稬 [60℄ Sh =
kv S
Z
fv (c) dv.
(5.4.7)
v
«ï ¬®®â®ëå ª¨¥â¨ç¥áª¨å § ¢¨á¨¬®á⥩ fv = fv (c) á ãç¥â®¬ ¥à ¢¥á⢠fv (c) 6 fv (1) = 1 ¯à¨ 0 6 c 6 1 ¨§ ä®à¬ã«ë (5.4.7) ¯®«ãç ¥¬ £àã¡ãî ®æ¥ªã ¤«ï á।¥£® ç¨á« ¥à¢ã¤ : Sh 6 kv V /S.
(5.4.8)
á«ãç ¥ ॠªæ¨¨ ã«¥¢®£® ¯®à浪 § ª à ¢¥á⢠¢ ¢ëà ¥¨¨ (5.4.8) ᮮ⢥âáâ¢ã¥â â®ç®¬ã १ã«ìâ âã. ® ®â¬¥â¨âì, çâ® ®æ¥ª (5.4.8) ¥ § ¢¨á¨â ®â ç¨á« Ǒ¥ª«¥. ¯à¥¤¥«ì®¬ á«ãç ¥ Pe → ∞ ¯à¨ kv = O(1) ¢® ¢ãâà¥¨å § ¤ ç å ª®¢¥ªâ¨¢®£® ¬ áᮯ¥à¥®á ª®æ¥âà æ¨ï ¢ëà ¢¨¢ ¥âáï ¢¤®«ì
226
áá®®¡¬¥, ®á«®¥ë© 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¥©
ª ¤®© «¨¨¨ ⮪ . Ǒਠí⮬ ¢ ᨫ㠮楪¨ (5.4.8) á।¥¥ ç¨á«® ¥à¢ã¤ à ¢®¬¥à® ¯® ç¨á«ã Ǒ¥ª«¥ ®£à ¨ç¥® ᢥàåã: Sh 6 onst kv . Ǒ®á«¥¤¥¥ ®§ ç ¥â, çâ® ®¤¨¬ 㢥«¨ç¥¨¥¬ ¨â¥á¨¢®á⨠æ¨àªã«ï樨 (â.¥. 㢥«¨ç¥¨¥¬ ᪮à®á⨠¨¤ª®áâ¨, ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â Pe → ∞) ¯à¨ 㬥à¥ëå § 票ïå kv ¥ ¬®¥â ¡ëâì áä®à¬¨à®¢ ¢ãâ२© ¤¨ää㧨®ë© ¯®£à ¨çë© á«®©. ª § ®¥ ᢮©á⢮ á।¥£® ç¨á« ¥à¢ã¤ ⨯¨ç® ¤«ï ¢á¥å ¢ãâà¥¨å § ¤ ç, çâ® ª®à¥ë¬ ®¡à §®¬ ®â«¨ç ¥âáï ®â ¯®¢¥¤¥¨ï í⮩ ¢¥«¨ç¨ë ¤«ï ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¢¥è¨å § ¤ ç ¬ áᮯ¥à¥®á , £¤¥ ¯à¨ Pe → ∞ ¢¡«¨§¨ ¬¥ä §®© ¯®¢¥àå®áâ¨, ª ª ¯à ¢¨«®, ¢®§¨ª ¥â ⮪¨© ¯®£à ¨çë© á«®© ¨ ¢ë¯®«ï¥âáï ᢮©á⢮ lim Sh = ∞. Pe→∞
«ï ॠªæ¨¨ ¯¥à¢®£® ¯®à浪 ¢ á«ãç ¥ á⮪ᮢ ®¡â¥ª ¨ï áä¥à¨ç¥áª®© ª ¯«¨ ¯®áâ㯠⥫ìë¬ ¯®â®ª®¬ ᨬ¯â®â¨ç¥áª®¥ à¥è¥¨¥ ¢ãâ॥© § ¤ ç¨ (5.3.1), (5.3.2) ¯à¨ Pe → ∞ ¯à¨¢®¤¨â ª á«¥¤ãî饬㠢ëà ¥¨î ¤«ï á।¥£® ç¨á« ¥à¢ã¤ [222℄:
∞ 1 3 X Sh = kv 1 − kv 3 2 m=1
Am kv + λm
£¤¥ ¯¥à¢ë¥ ¯ïâì § 票© ª®íää¨æ¨¥â®¢ Am ¨ ¬ã«¥ (4.13.1).
!
,
(5.4.9)
λm
㪠§ ë ¢ ä®à-
à¨á. 5.2 ¯à¨¢¥¤¥ § ¢¨á¨¬®áâì á।¥£® ç¨á« ¥à¢ã¤ ®â ¡¥§à §¬¥à®£® ¯ à ¬¥âà kv ¤«ï ®¡ê¥¬®© 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨ ¯¥à¢®£® ¯®à浪 ¢ § ¤ ç¥ ® ª¢ §¨áâ 樮 ஬ ¬ áᮯ¥à¥®á¥ ¢ãâਠª ¯«¨ ¢ á«ãç ¥ ¯à¥¤¥«ìëå § 票© ç¨á¥« Ǒ¥ª«¥: Pe = 0 (ä®à¬ã« (5.4.2)) ¨ Pe = ∞ (ä®à¬ã« (5.4.9)). âà¨å®¢ ï «¨¨ï ᮮ⢥âáâ¢ã¥â £àã¡®© ®æ¥ª¥ ᢥàåã, ª®â®à ï § ¤ ¥âáï à ¢¥á⢮¬ (5.4.8). Ǒਠ¯à®¬¥ãâ®çëå ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ 0 < Pe < ∞ á।¥¥ ç¨á«® ¥à¢ã¤ ¯®¯ ¤ ¥â ¢ § èâà¨å®¢ ãî ®¡« áâì, ®£à ¨ç¥ãî ¯à¥¤¥«ì묨 ªà¨¢ë¬¨ ¯à¨ Pe = 0 ¨ Pe = ∞. ¨¤®, çâ® ¨§¬¥¥¨¥ ¯ à ¬¥âà Pe (¯à¨ kv = O(1)) á« ¡® ¢«¨ï¥â á।¨© ¯à¨â®ª ॠ£¥â ª ¯®¢¥àå®á⨠ª ¯«¨, â.¥. ¨ª ª¨¬ 㢥«¨ç¥¨¥¬ ç¨á« Ǒ¥ª«¥ ¥«ì§ï ¤®¡¨âìáï ¥¤¨á⢥®£® 㢥«¨ç¥¨ï ç¨á« ¥à¢ã¤ . ç áâ®áâ¨, ¯à¨ kv = 10 ¬ ªá¨¬ «ì®¥ ®â®á¨â¥«ì®¥ ¯à¨à 饨¥ á।¥£® ç¨á« ¥à¢ã¤ § áç¥â 㢥«¨ç¥¨ï ç¨á« Ǒ¥ª«¥ ®â ã«ï ¤® ¡¥áª®¥ç®á⨠á®áâ ¢«ï¥â ¢á¥£® ®ª®«® 25%. Ǒ®á«¥¤¥¥ ®§ ç ¥â, çâ® £« ¢ë¬ ¬¥å ¨§¬®¬, ¢«¨ïî騬 ¯®¢¥¤¥¨¥ ®á®¢ëå å à ªâ¥à¨á⨪ ¨â¥á¨¢®á⨠¬ áᮯ¥à¥®á ¢ãâਠª ¯«¨, ï¥âáï 娬¨ç¥áª ï ॠªæ¨ï, ¢ â® ¢à¥¬ï ª ª ᪮à®áâì æ¨àªã-
5.4. ãâ२¥ § ¤ ç¨ ¬ áᮯ¥à¥®á ¯à¨ «¨ç¨¨ ®¡ê¥¬®© ॠªæ¨¨
227
«ï樨 ¨¤ª®á⨠¨ £¥®¬¥âà¨ï ¯®â®ª á« ¡® ¢«¨ïîâ ¯®¢¥¤¥¨¥ íâ¨å å à ªâ¥à¨á⨪. âà¨å®¢ ï «¨¨ï à¨á. 5.2 ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ॠªæ¨¨ ã«¥¢®£® ¯®à浪 . ।¥¥ ç¨á«® ¥à¢ã¤ ¬®®â®® 㬥ìè ¥âáï á à®á⮬ ¯®à浪 ॠªæ¨¨ n. Ǒ®í⮬㠯ਠ0 < n < 1 ªà¨¢ë¥, ®â¢¥ç î騥 ¯à¥¤¥«ì®¬ã ç¨á«ã ¥à¢ã¤ ¯à¨ Pe = ∞, à ᯮ«®¥ë ¬¥¤ã èâà¨å®¢®© «¨¨¥© ¨ ¢¥à奩 ᯫ®è®© ªà¨¢®©. Ǒਠ㬥ì襨¨ ¯®à浪 ॠªæ¨¨ n ªà¨¢ë¥, ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 á।¥¬ã ç¨á«ã ¥à¢ã¤ ¯à¨ Pe = 0 ¨ Pe = ∞, ¯®á⥯¥® á¡«¨ îâáï ¨ ¯®¤¨¬ îâáï ¢¢¥àå ª èâà¨å®¢®© «¨¨¨. ¯à¥¤¥«ì®¬ á«ãç ¥ n = 0 ¢á¥ âਠªà¨¢ë¥ ᫨¢ îâáï ¢ ®¤ã, â.¥. ¤«ï ॠªæ¨¨ ã«¥¢®£® ¯®à浪 á।¥¥ ç¨á«® ¥à¢ã¤ ¢®®¡é¥ ¥ § ¢¨á¨â ®â ç¨á« Ǒ¥ª«¥. ¨á. 5.2. ¢¨á¨¬®áâì á।¥£® ç¨á« ¥à¢ã¤ ®â ¡¥§à §¬¥à®© ª®áâ âë ᪮à®á⨠®¡ê¥¬®© Ǒਠ¡®«ìè¨å § ç¥- 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨ ¯¥à¢®£® ¯®à浪 (ᯫ®èë¥ ¨ïå ª®áâ âë ᪮à®á⨠«¨¨¨: ¨ïï ᮮ⢥âáâ¢ã¥â Pe = 0, ¢¥àåïï | = ∞) ¤«ï ¢ãâ॥© § ¤ ç¨; èâà¨å®¢ ï «¨¨ï ®¡ê¥¬®© 娬¨ç¥áª®© à¥- Pe ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ॠªæ¨¨ ã«¥¢®£® ¯®à浪 ªæ¨¨ kv ¢¡«¨§¨ ¯®¢¥àå®á⨠ª ¯«¨ ¢®§¨ª ¥â ⮪¨© ¯®£à ¨çë© á«®©, â®«é¨ ª®â®à®£® ¯à¨ ¬ «ëå ¨ 㬥à¥ëå ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ ¨¬¥¥â ¯®à冷ª kv−1/2 ¨ ¢ãâਠª®â®à®£® à á⢮८¥ ¢ ¨¤ª®á⨠¢¥é¥á⢮ ãᯥ¢ ¥â ¯®«®áâìî ¯à®à¥ £¨à®¢ âì. Ǒਠ¤ «ì¥©è¥¬ 㢥«¨ç¥¨¨ ç¨á« Ǒ¥ª«¥ § áç¥â ¨â¥á¨¢®á⨠æ¨àªã«ï樨 ¨¤ª®á⨠¢ãâਠª ¯«¨ ¢¥é¥á⢮ 㥠¥ ãᯥ¢ ¥â ¯®«®áâìî ¯à®à¥ £¨à®¢ âì ¢ ¯®£à ¨ç®¬ á«®¥ ¨ ç¨ ¥â, ¢ëå®¤ï ¨§ ¯®£à á«®ï, ¯à®¨ª âì ¢ £«ã¡ì ª ¯«¨, ¯¥à¥®áïáì ¢¤®«ì «¨¨© ⮪ , à ᯮ«®¥ëå ¢¡«¨§¨ ®á¨ ¯®â®ª . Ǒਠ¤®áâ â®ç® à §¢¨â®© æ¨àªã«ï樨 ¢ãâਠª ¯«¨ ¢®§¨ª ¥â ¯®«®áâìî áä®à¬¨à®¢ ¢è¨©áï ¤¨ää㧨®ë© á«¥¤ á áãé¥á⢥® ¥®¤®à®¤ë¬ à á¯à¥¤¥«¥¨¥¬ ª®æ¥âà 樨, ª®â®àë© ý¯à®¨§ë¢ ¥âþ ¢áî ª ¯«î ¨ ᮥ¤¨ï¥â ª®¥æ ¨ ç «® ¤¨ää㧨®®£® ¯®£à ¨ç®£® á«®ï. á«ãç ¥ ®¡ê¥¬®© 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨ ¯¥à¢®£® ¯®à浪 ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 «¨§ ª®¢¥ªâ¨¢®£® ¬ áᮯ¥à¥®á ¢ãâਠª ¯«¨ ¯à¨ Pe ≫ 1 ¨ kv ≫ 1 ¡ë« ¯à®¢¥¤¥ ¢ à ¡®â å [54, 55℄. «¥¤ã¥â ®â¬¥â¨âì, çâ® ¢ í⮬ á«ãç ¥, ¢¢¨¤ã à ¢®¬¥à®© ¯® ç¨á«ã Ǒ¥ª«¥ ®æ¥ª¨ (5.4.8), ¨â¥á¨¢®áâì ¬ áᮯ¥à¥®á ¢ãâਠª ¯«¨ «¨¬¨â¨àã¥âáï ᪮à®áâìî ®¡ê¥¬®© 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨.
228
áá®®¡¬¥, ®á«®¥ë© 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¥©
5.5. ¥áâ 樮 àë© ¬ áá®®¡¬¥ á ®¡ê¥¬®© ॠªæ¨¥©
¥®¡à â¨¬ë¥ à¥ ªæ¨¨. áᬮâਬ ¥áâ 樮 àë© ¬ áá®®¡¬¥ £ § á ¥¯®¤¢¨®© á।®©, ¢ ®¡ê¥¬¥ ª®â®à®© ¯à®¨á室¨â ¥®¡à ⨬ ï 娬¨ç¥áª ï ॠªæ¨ï ᮠ᪮à®áâìî Wv = Kv Fv (C ). ç¨â ¥¬, çâ® ¢ ç «ìë© ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨ t = 0 ª®æ¥âà æ¨ï à á⢮८£® ¢ ¨¤ª®á⨠¢¥é¥áâ¢ à ¢ ã«î, ¯à¨ t > 0 ª®æ¥âà æ¨ï ¬¥ä §®© ¯®¢¥àå®á⨠®¤¨ ª®¢ ¨ à ¢ Cs . ¡¥§à §¬¥àëå ¯¥à¥¬¥ëå ¨áá«¥¤ã¥¬ë© ¯à®æ¥áá ®¯¨áë¢ ¥âáï á«¥¤ãî騬¨ ãà ¢¥¨¥¬, ç «ìë¬ ¨ £à ¨ç묨 ãá«®¢¨ï¬¨: τ
= 0,
c = 0;
∂c ∂2c = 2 − kv fv (c); ∂τ ∂x x = 0, c = 1; x → ∞,
(5.5.1) c → 0, (5.5.2)
¯à¨ § ¯¨á¨ ª®â®àëå ¡ë«¨ ¨á¯®«ì§®¢ ë ®¡®§ 票ï x = X/a, τ = Dt/a2 , £¤¥ X | ª®®à¤¨ â , ®âáç¨âë¢ ¥¬ ï ®â ¬¥ä §®© ¯®¢¥àå®á⨠¢ £«ã¡ì ¨¤ª®áâ¨; a | à §¬¥à ï ¢¥«¨ç¨ , ¢ë¡à ï § ¬ áèâ ¡ ¤«¨ë; ®áâ «ìë¥ ¡¥§à §¬¥àë¥ äãªæ¨¨ ¨ ¯ à ¬¥âàë ¢ (5.5.1), ¢¢¥¤¥ë ª ª ¢ ãà ¢¥¨¨ (5.2.1). «ï ॠªæ¨¨ ¯¥à¢®£® ¯®à浪 , ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â fv = c, â®ç®¥ «¨â¨ç¥áª®¥ à¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ (5.5.1), (5.5.2) ¨¬¥¥â ¢¨¤ "
1 c= exp 2
p ! p !# √ √ x +2τ kv x − 2τ kv √ √ , +exp −x τ erf x τ erf 2 τ 2 τ
£¤¥ erf z | ¤®¯®«¨â¥«ìë© ¨â¥£à « ¢¥à®ïâ®á⥩: erf z = 1 − erf z, erf z =
2
√ π
Z
0
z
(5.5.3)
exp(−z 2 ) dz.
¨ää¥à¥æ¨àãï (5.5.3) ¯® x ¨ ¯®« £ ï x = 0, ©¤¥¬ ¢ëà ¥¨¥ ¤«ï ¡¥§à §¬¥à®£® ¤¨ää㧨®®£® ¯®â®ª ¢¥é¥á⢠ç¥à¥§ ¬¥ä §ãî ¯®¢¥àå®áâì j
= (πτ )−1/2 exp(−kv τ ) + kv1/2 erf(kv τ )1/2 .
(5.5.4)
«ï ¯à®¨§¢®«ì®© ª¨¥â¨ª¨ ®¡ê¥¬®© 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨ ¤¨ää㧨®ë© ¯®â®ª ¬®® ¢ëç¨á«ïâì á ¯®¬®éìî ¯à¨¡«¨¥®© ä®à¬ã«ë [148℄ j
= (πτ )−1/2 exp(−2kv hfv iτ ) + (2kv hfv i)1/2 erf(2kv hfv iτ ),
(5.5.5)
229
5.5. ¥áâ 樮 àë© ¬ áá®®¡¬¥ á ®¡ê¥¬®© ॠªæ¨¥©
£¤¥ á।¥¥ § 票¥ hfv i ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ᮣ« á® (5.2.4). ¢¨á¨¬®áâì (5.5.5) ¤«ï «î¡®© äãªæ¨¨ fv = fv (c) ®¡¥á¯¥ç¨¢ ¥â ¯à ¢¨«ìë© á¨¬¯â®â¨ç¥áª¨© १ã«ìâ â ¢ ç¥âëà¥å ¯à¥¤¥«ìëå á«ãç ïå: kv → 0, kv → ∞, τ → 0, τ → ∞ ¨ ¯à¨¢®¤¨â ª â®ç®¬ã à¥è¥¨î (5.5.4) ¤«ï ॠªæ¨¨ ¯¥à¢®£® ¯®à浪 . ®ªà¥âë¥ § 票ï hfv i ¤«ï ¥ª®â®àëå ⨯¨çëå ॠªæ¨© [123℄ ¯à¨¢¥¤¥ë ¨¥. §¢ ¨¥ ॠªæ¨¨ n-£® ¯®à浪 ¨¥â¨ç¥áª ï äãªæ¨ï fv (c)
cn
hfv i
1 n +1
¥à¬¥â ⨢ ï
¢â®ª â «¨â¨ç¥áª ï c
c
(1+ M c)2
1+ M c 2 h
M2
M − ln(1+ M )
i
2 h
M2
ln(1+ M ) −
M 1+ M
i
ªá¨¬ «ì ï ¯®£à¥è®áâì ä®à¬ã«ë (5.5.5) ¢ 㪠§ ëå á«ãç ïå ¯à¨ n = 0,5, n = 2; M = 0,5, M = 2 ¢® ¢á¥¬ ¤¨ ¯ §®¥ ¨§¬¥¥¨ï ¡¥§à §¬¥à®© ª®áâ âë ᪮à®á⨠®¡ê¥¬®© 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨ á®áâ ¢«ï¥â ®ª®«® âà¥å ¯à®æ¥â®¢. ¡à ⨬ ï ॠªæ¨ï ¯¥à¢®£® ¯®à浪 . áᬮâਬ ⥯¥àì ॠªæ¨î, ª®â®à ï ®¯¨áë¢ ¥âáï ãà ¢¥¨¥¬ A ⇄ B . Ǒãáâì K1 ¨ K−1 | ª®áâ âë ᪮à®á⥩ ¯àאַ© ¨ ®¡à ⮩ ॠªæ¨¨. ¤ ®¬ á«ãç ¥ 1 ¬®«ì à á⢮à塞®£® £ § A, ॠ£¨àãï, ¤ ¥â 1 ¬®«ì ¯à®¤ãªâ B . ®æ¥âà æ¨î £ § ¡ã¤¥¬ ®¡®§ ç âì ¡ãª¢®© CA , ª®æ¥âà æ¨î ¯à®¤ãªâ | ¡ãª¢®© CB . Ǒà®æ¥áá ¬ áᮯ¥à¥®á ¢ ¨¤ª®á⨠®¯¨áë¢ ¥âáï á«¥¤ãî饩 á¨á⥬®© ãà ¢¥¨©: ∂ 2 CA ∂X 2 ∂ 2 CB DB ∂X 2 DA
= =
∂CA 1 + K1 CA − CB , ∂t q ∂CB 1 − K1 CA − CB ∂t q
(5.5.6) (5.5.7)
á ç «ì묨 ¨ £à ¨ç묨 ãá«®¢¨ï¬¨ = CA(i) , (s) CA = CA , (i) CA = CA , CA
= qCA(i) ∂CB /∂X = 0 (i) CB = qCA CB
¯à¨ ¯à¨ ¯à¨
t = 0, X
= 0,
X → ∞.
(5.5.8) (5.5.9) (5.5.10)
Ǒਠä®à¬ã«¨à®¢ª¥ § ¤ ç¨ (5.5.6) | (5.5.10) ¡ë«® ¯à¨ïâ®, çâ® ¯¥à¢® ç «ì ï ª®æ¥âà æ¨ï à á⢮८£® £ § ¢ «î¡®© â®çª¥ ¨¤ª®áâ¨ à ¢ CA(i) , ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï ¥© à ¢®¢¥á ï ª®æ¥âà æ¨ï
230
áá®®¡¬¥, ®á«®¥ë© 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¥©
¯à®¤ãªâ B á®áâ ¢«ï¥â CB(i) = qCA(i) , £¤¥ q = K1/K−1 | ª®áâ â à ¢®¢¥á¨ï. â®à®¥ £à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥ (5.5.9) ®§ ç ¥â, çâ® ¯à®¤ãªâ ¥ ¯¥à¥á¥ª ¥â ¯®¢¥àå®áâì ¨¤ª®áâ¨. ¢¥¤¥¬ ª®íää¨æ¨¥â ãáª®à¥¨ï ¯® ä®à¬ã«¥ E = jA (K1 )/jA (0), £¤¥ jA | ¤¨ää㧨®ë© ¯®â®ª £ § ç¥à¥§ ¬¥ä §ãî ¯®¢¥àå®áâì X = 0. ¥§ã«ìâ âë à¥è¥¨ï § ¤ ç¨ (5.5.6) | (5.5.10) ¯à¨¢®¤ïâ ª á«¥¤ãî饩 § ¢¨á¨¬®á⨠[70℄: ¯à¨ q > 1: E
√ q2 π exp(α2 ) erf(αq) − erf(α) − 2 q − 1 2α 1/2 1/2 p π K1 t q 2 erf α q − 1 , £¤¥ α = ; − 2α q2 − 1 q (q − 1) (5.5.11) ¯à¨ q < 1:
=1 +
Z qγ q2 2 2 exp(−γ ) E =1 − exp(z ) dz + γ (1 − q 2 ) γ 1/2 p q π erf 1 − q2 , £¤¥ γ + γ 2γ 1 − q2
=
K1 t q (1 − q )
1/2
.
(5.5.12) ¯à ªâ¨ª¥ ®¡à â¨¬ë¥ à¥ ªæ¨¨, ¨¬¥î騥 ¨á⨮ ¯¥à¢ë© ¯®à冷ª ¢ ®¡®¨å ¯à ¢«¥¨ïå, ®¡ëç® ¥ ¢áâà¥ç îâáï. ¤ ª® ç áâ® ¯à¨å®¤¨âáï ¨¬¥âì ¤¥«® á ॠªæ¨ï¬¨ ¯¥à¢®£® ¯®à浪 ¯® ®â®è¥¨î ª ª®æ¥âà 樨 à á⢮८£® £ § , ¢ ª®â®àëå ª®æ¥âà æ¨ï ॠ£¥â ä ªâ¨ç¥áª¨ ¥¨§¬¥ ¢ ®¡ê¥¬¥, ¯®í⮬㠯àï¬ ï ॠªæ¨ï ¨¬¥¥â ¯á¥¢¤®¯¥à¢ë© ¯®à冷ª. â® ¥ ¢à¥¬ï ª®æ¥âà æ¨ï ¯à®¤ãªâ®¢ ¬®¥â ¡ëâì â ª¥ ä ªâ¨ç¥áª¨ ¥¨§¬¥®© ¢® ¢á¥¬ ®¡ê¥¬¥ ¨¤ª®áâ¨, ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ᪮à®áâì ®¡à ⮩ ॠªæ¨¨ ®¤ ¨ â ¥ ¢® ¢á¥å â®çª å. ®£¤ ¢ ãà ¢¥¨¥ (5.5.6) ¢¬¥áâ® á®®â®è¥¨ï CB /q ¬®® ¯®¤áâ ¢¨âì ¯®áâ®ïãî ¢¥«¨ç¨ã CA(e), å à ªâ¥à¨§ãîéãî à ¢®¢¥áãî ª®æ¥âà æ¨î à á⢮८£® £ § A ¢ ¬ áᥠ¨¤ª®áâ¨. ¨â®£¥ ¯®«ã稬 § ¤ çã ¤«ï ®â®á¨â¥«ì®© ª®æ¥âà 樨
c
=
(e) CA − CA (s) (e) CA − CA
,
ª®â®à ï ¯®á«¥ ¯¥à¥å®¤ ª ¡¥§à §¬¥àë¬ ¢¥«¨ç¨ ¬ ᮢ¯ ¤ ¥â á «¨¥©®© § ¤ 祩 (5.5.1), (5.5.2) ¯à¨ fv = c.
6. ¥à¬®£¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª¨¥ ¥¨ï
¯à¥¤ë¤ãé¨å £« ¢ å áç¨â «®áì, çâ® ¯®«¥ â¥ç¥¨ï ¨¤ª®á⨠¥ § ¢¨á¨â ®â à á¯à¥¤¥«¥¨ï ⥬¯¥à âãàë ¨«¨ ª®æ¥âà 樨. ¤ ª® áãé¥áâ¢ã¥â æ¥«ë© àï¤ ï¢«¥¨©, ¢ ª®â®àëå ¢«¨ï¨¥ íâ¨å ä ªâ®à®¢ £¨¤à®¤¨ ¬¨ªã ï¥âáï ®¯à¥¤¥«ïî騬. ®á®¢¥ â ª®£® ¢«¨ï¨ï «¥¨â § ¢¨á¨¬®áâì à §«¨çëå 䨧¨ç¥áª¨å ¯ à ¬¥â஢ ¨¤ª®á⥩, ¯à¨¬¥à, ¯«®â®áâ¨, ¯®¢¥àå®á⮣® â泌ï, ¢ï§ª®á⨠®â ⥬¯¥à âãàë ¨«¨ ª®æ¥âà 樨. ª ª ¯à¨¬¥àã, ¢®§¨ª®¢¥¨¥ ª®¢¥ªâ¨¢®£® ¤¢¨¥¨ï ¨¤ª®á⨠¢ á®á㤥, ¯à®â¨¢®¯®«®ë¥ ¡®ª®¢ë¥ á⥪¨ ª®â®à®£® ¯®¤¤¥à¨¢ îâáï ¯à¨ à §«¨çëå ⥬¯¥à âãà å, ®¡êïáï¥âáï ⥬, çâ® ¯à¨ ®à¬ «ìëå ãá«®¢¨ïå ¯«®â®áâì ¨¤ª®á⨠®¡ëç® ã¬¥ìè ¥âáï á à®á⮬ ⥬¯¥à âãàë. ®«¥¥ «¥£ª ï ¨¤ª®áâì ã £à¥â®© á⥪¨ áâ६¨âáï ¯®¤ïâìáï ¢¢¥àå, ¡®«¥¥ â參 ï ¨¤ª®áâì ã ¯à®â¨¢®¯®«®®© á⥪¨ | ®¯ãáâ¨âìáï. â® ®¤¨ ¨§ ¯à¨¬¥à®¢ ¯à®ï¢«¥¨ï â ª §ë¢ ¥¬®© £à ¢¨â 樮®© (¢ ¤ ®¬ á«ãç ¥ â¥à¬®£à ¢¨â 樮®©) ª®¢¥ªæ¨¨. ¥¯®áâ®ïá⢮ ª®íää¨æ¨¥â ¯®¢¥àå®á⮣® âï¥¨ï ¢¤®«ì £à ¨æë à §¤¥« ¤¢ãå ¥á¬¥è¨¢ îé¨åáï ¨¤ª®á⥩ ¯à®ï¢«ï¥âáï ¢ ⮬, çâ® ¯®¢¥àå®á⨠¢®§¨ª îâ ¤®¯®«¨â¥«ìë¥ ª á ⥫ìë¥ ¯à泌ï, §ë¢ ¥¬ë¥ ª ¯¨««ïà묨, ª®â®àë¥ ¬®£ãâ áãé¥á⢥® ¢«¨ïâì ¤¢¨¥¨¥ ¨¤ª®á⥩, ¢ á«ãç ¥ ®âáãâáâ¢¨ï £à ¢¨â 樨 ¨ ¤à㣨å ᨫ ¯®«®áâìî ®¯à¥¤¥«ïîâ ¥¥ ¤¢¨¥¨¥. ¢«¥¨ï, ®¡ãá«®¢«¥ë¥ ¢®§¨ª®¢¥¨¥¬ ᨫ, á¢ï§ ëå á £à ¤¨¥â ¬¨ ¯®¢¥àå®á⮣® â泌ï, ®áïâ ®¡é¥¥ §¢ ¨¥ íä䥪â à £®¨. ç áâ®áâ¨, ¥á«¨ áãé¥á⢥ ⥬¯¥à âãà ï § ¢¨á¨¬®áâì ¯®¢¥àå®á⮣® â泌ï, â® £®¢®àïâ ® â¥à¬®ª ¯¨««ï஬ íä䥪â¥, ¥á«¨ ª®æ¥âà 樮 ï | ® ª®æ¥âà 樮®-ª ¯¨««ï஬ íä䥪â¥. ¥¯®áâ®ïá⢮ ¢ï§ª®á⨠¨¤ª®á⨠¯à¨ «¨ç¨¨ ¥®¤®à®¤®£® ¯®«ï ⥬¯¥à âãàë ¬®¥â ¯à¨¢®¤¨âì ¥ ⮫쪮 ª ª®«¨ç¥á⢥®¬ã ¨§¬¥¥¨î ¯®«ï â¥ç¥¨ï, ® ¨ ª ç¥á⢥® ®¢ë¬ íä䥪⠬. â¥á¨¢®¥ ¨§ã票¥ ¬®£®ç¨á«¥ëå § ¤ ç, á¢ï§ ëå á ¢«¨ï¨¥¬ ⥬¯¥à âãàë ¨«¨ ¢ï§ª®á⨠¤¢¨¥¨¥ ¨¤ª®áâ¨, ¯®¬¨¬® ç¨áâ® ã箣® ¨â¥à¥á ¢ë§¢ ® ¢®§¬®®áâìî ¨å è¨à®ª®£® ¯à¨«®¥¨ï ¢® ¬®£¨å ᮢ६¥ëå â¥å®«®£¨ïå, ¨ ¯à¥¤¥ ¢á¥£® ¢ 娬¨ç¥áª®© ¨ ª®á¬¨ç¥áª®©. ¤ «ì¥©è¥¬ 㯮¬ïãâë¥ ¢ëè¥ â¥à¬®£¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª¨¥ ¥¨ï à áᬠâਢ îâáï ¯à¨¬¥à¥ íä䥪â à £®¨ ¢ ¯«®áª¨å ¨¤ª¨å á«®ïå ¨ ª ¯«ïå.
231
232
¥à¬®£¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª¨¥ ¥¨ï
6.1. ¥à¬®£à ¢¨â 樮 ï ¨ â¥à¬®ª ¯¨««ïà ï ª®¢¥ªæ¨ï ¢ á«®¥ ¨¤ª®áâ¨
¥à¬®£à ¢¨â 樮 ï ª®¢¥ªæ¨ï. áᬮâਬ ¤¢¨¥¨¥ ¢ï§ª®© ¨¤ª®á⨠¢ ¡¥áª®¥ç® ¯à®â葉¬ á«®¥ ¯®áâ®ï®© ⮫é¨ë 2h. ¨« âï¥á⨠¯à ¢«¥ ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïà® á«®î. ¨¥© ¯«®áª®© ⢥म© ¯®¢¥àå®á⨠¯®¤¤¥à¨¢ ¥âáï ¯®áâ®ïë© £à ¤¨¥â ⥬¯¥à âãàë. ¥®¤®à®¤®áâì ¯®«ï ⥬¯¥à âãàë ¯à¨¢®¤¨â ª ¤¢ã¬ íä䥪⠬, á¯®á®¡ë¬ ¢ë§¢ âì ¤¢¨¥¨¥ ¨¤ª®áâ¨: â¥à¬®£à ¢¨â 樮®¬ã, á¢ï§ ®¬ã á ⥯«®¢ë¬ à áè¨à¥¨¥¬ ¨¤ª®á⨠¨ ¯®ï¢«¥¨¥¬ à娬¥¤®¢ëå ᨫ, ¨ â¥à¬®ª ¯¨««ï஬ã (¥á«¨ ¢â®à ï ¯®¢¥àå®áâì ï¥âáï ᢮¡®¤®©), á¢ï§ ®¬ã á ¯®ï¢«¥¨¥¬ ª á ⥫ìëå ¯à泌© ¬¥ä §®© £à ¨æ¥ ¢á«¥¤á⢨¥ § ¢¨á¨¬®á⨠ª®íää¨æ¨¥â ¯®¢¥àå®á⮣® âï¥¨ï ®â ⥬¯¥à âãàë. Ǒਠä®à¬ã«¨à®¢ª¥ ¤¢ã¬¥à®© § ¤ ç¨ ¨á¯®«ì§ã¥¬ ¯àאַ㣮«ìãî á¨á⥬㠪®®à¤¨ â X , Y , £¤¥ ®áì X ¯à ¢«¥ ¯à®â¨¢®¯®«®® ¯®¤¤¥à¨¢ ¥¬®¬ã ¨¥© ¯®¢¥àå®á⨠£à ¤¨¥âã ⥬¯¥à âãàë, ®áì Y | ¢¥à⨪ «ì® ¢¢¥àå. ç «® ª®®à¤¨ â ¢ë¡¨à ¥âáï ¯®á¥à¥¤¨¥ á«®ï, ¯®í⮬ã −h 6 Y 6 h. Ǒ®«ï ᪮à®á⨠¨ ⥬¯¥à âãàë ®¯¨áë¢ îâáï á«¥¤ãî騬¨ ãà ¢¥¨ï¬¨ [48, 49℄: 2 ∂VX ∂ VX 1 ∂P =− +ν ∂Y ρ ∂X ∂X 2 2 1 ∂P ∂V ∂ VY VX + VY Y = − +ν ∂Y ρ ∂Y ∂X 2 ∂VX ∂V + Y = 0, ∂X ∂Y 2 ∂ 2 T∗ ∂T∗ ∂T∗ ∂ T∗ VX + VY =χ . + ∂X ∂Y ∂X 2 ∂Y 2 VX
∂VX ∂X ∂VY ∂X
+ VY
+ +
∂ 2 VX , ∂Y 2 ∂ 2 VY + γgT∗, ∂Y 2
(6.1.1) (6.1.2) (6.1.3) (6.1.4)
¤¥áì P | ¤ ¢«¥¨¥ (¢ ª®â®à®¬ 㥠ãç⥠¯®â¥æ¨ « ¯®«ï âï¥áâ¨), χ | ⥬¯¥à âãய஢®¤®áâì, g | ã᪮२¥ ᨫë âï¥áâ¨, γ | ª®íää¨æ¨¥â ⥯«®¢®£® à áè¨à¥¨ï. ¥à¬®£à ¢¨â 樮®¥ ¤¢¨¥¨¥ ®¯¨áë¢ ¥âáï ¢ ¯à¨¡«¨¥¨¨ ãáᨥ᪠, ᮣ« á® ª®â®à®¬ã ¢ ãà ¢¥¨ïå ¤¢¨¥¨ï (6.1.1) | (6.1.3) ¨ ⥯«®¯à®¢®¤®á⨠(6.1.4) ¥¯®áâ®ïá⢮ ¯«®â®á⨠ãç¨âë¢ ¥âáï «¨èì ¢ ç«¥¥, ®â¢¥ç î饬 § à娬¥¤®¢ã ᨫã (¯®á«¥¤¥¥ á« £ ¥¬®¥ ¢ ãà ¢¥¨¨ (6.1.2)) ¨ ¯à®¯®à樮 «ì®¬ ®âª«®¥¨î T∗ ⥬¯¥à âãàë ®â á।¥£® § 票ï. ¥à¬®ª ¯¨««ï஥ ¤¢¨¥¨¥ ᮧ¤ ¥âáï ¯®¢¥àå®áâ묨 ᨫ ¬¨, ª®â®àë¥ ãç¨âë¢ îâáï ¢ £à ¨ç®¬ ãá«®¢¨¨ ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®á⨠(á¬. ¨¥).
233
6.1. ¥à¬®£à ¢¨â 樮 ï ¨ â¥à¬®ª ¯¨««ïà ï ª®¢¥ªæ¨ï
«ï ®¤®¬¥à®£® â¥ç¥¨ï ¨¤ª®á⨠¢¤®«ì ®á¨ X ¨áå®¤ë¥ ãà ¢¥¨ï (6.1.1) | (6.1.4) ¯à¨¨¬ îâ ¢¨¤ [16℄ ∂ 2 VX ∂P =ν , ρ ∂X ∂Y 2 2 ∂T∗ ∂ T∗ VX =χ ∂X ∂X 2
1
1 ∂P = γgT∗, ρ ∂Y ∂ 2 T∗ . ∂Y 2
+
(6.1.5)
áᬮâਬ ¯¥à¢® ç «ì® á«ãç © ⮫쪮 â¥à¬®£à ¢¨â 樮®© ª®¢¥ªæ¨¨. ᮮ⢥âáâ¢ã¥â á¨âã 樨, ª®£¤ ®¡¥ £à ¨æë á«®ï Y = h ¨ Y = −h ïîâáï ⥯«®¯®¤¢®¤ï騬¨ á⥪ ¬¨, ª®â®àëå ¯®¤¤¥à¨¢ ¥âáï ¯®áâ®ïë© £à ¤¨¥â ⥬¯¥à âãàë. à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï ¢ í⮬ á«ãç ¥ § ¯¨áë¢ îâáï ¢ ¢¨¤¥ T∗
= −AX,
VX
=0
¯à¨
Y
= ±h.
(6.1.6)
¤¥áì A | ¢¥«¨ç¨ £à ¤¨¥â ⥬¯¥à âãàë (¯à¨ A < 0 £à ¤¨¥â ¯à ¢«¥ ¢ âã ¥ áâ®à®ã, çâ® ¨ ®áì X ). (6.1.6) ¯à¨ïâ®, ç⮠⥬¯¥à âãà ®âáç¨âë¢ ¥âáï ®â ᢮¥£® § ç¥¨ï ¯à¨ X = 0. ¢¥¤¥¬ ¡¥§à §¬¥àë¥ ¯¥à¥¬¥ë¥ ¨ ¯ à ¬¥âàë: x=
X , h
y
Y , h
=
v
Pr =
= ν , χ
h V , ν X
P , Ah2 ργg Ah4 γg , ν2
p=
Gr =
T
=
T∗ , Ah
£¤¥ Pr | ç¨á«® Ǒà ¤â«ï, Gr | ç¨á«® à á £®ä . Ǒ®¤áâ ¢«ïï ¨å ¢ ãà ¢¥¨ï (6.1.5) ¨ £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï (6.1.6), ¨¬¥¥¬ ∂p ∂2v = 2, ∂x ∂y ∂2T ∂T Pr v = 2 ∂x ∂x
Gr
v v
= 0, = 0,
T T
= −x = −x
+
∂p ∂y ∂2T ∂y 2
= T,
¯à¨ ¯à¨
y y
; = −1, = 1.
(6.1.7) (6.1.8)
¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ (6.1.7), (6.1.8) ¨é¥¬ ¢ ¢¨¤¥ v
= v(y ),
p = −(b + y )x + p1 (y ),
T
= −x + T1(y ).
(6.1.9)
१ã«ìâ ⥠¤«ï à á¯à¥¤¥«¥¨ï ᪮à®á⨠v(y ) ¯®«ã稬 v (y ) = 16
Gr (y − y 3 ) +
2 1 2 b Gr (1 − y ).
(6.1.10)
234
¥à¬®£¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª¨¥ ¥¨ï
à¥è¥¨¥ (6.1.10) ¢å®¤¨â ¥¨§¢¥áâ ï ¯®áâ®ï ï b. ëç¨á«ïï à á室 ¨¤ª®á⨠¢ á«®¥ q≡
Z 1
−1
v (y ) dy
=
2 b Gr 3
(6.1.11)
¨ § ¤ ¢ ¥£® à ¢ë¬ ã«î, ¨¬¥¥¬ b = 0. ⬥⨬, çâ® ¤ «¥¥ ¢ í⮬ à §¤¥«¥, ª ª ¨ ¢ [16℄, à áᬠâਢ ¥âáï á«ãç © q = 0. ¤ ª® ¥ «¨è¥ 䨧¨ç¥áª®£® á¬ëá« § ¤ ç ® ¯®â®ª¥ á ¥ã«¥¢ë¬ à á室®¬, ⮣¤ ¯®áâ®ï ï b 6= 0 ¨ á¢ï§ á ¢¥«¨ç¨®© à á室 ä®à¬ã«®© (6.1.11). ᯮ«ì§ãï ãà ¢¥¨ï (6.1.7), ä®à¬ã«ë (6.1.9) ¨ £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï (6.1.8), ¤«ï äãªæ¨© T1 (y ) ¨ p1 (y ) ¯®«ã祮 1 T1 (y ) = 360 1 p1 (y ) = 720
Pr Gr (3y 5 − 10y 3 + 7y ), Pr Gr (y 6 − 5y 4 + 7y 2 ) + onst .
(6.1.12)
¨¤®, çâ® ¤ ¢«¥¨¥ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï á â®ç®áâìî ¤® ¯®áâ®ï®£® á« £ ¥¬®£®. ⬥⨬, çâ® ¨á¯®«ì§®¢ ®¥ ãá«®¢¨¥ ã«¥¢®£® à á室 ®á®¢ ® ¯à¥¤¯®«®¥¨¨ ® ý¯®¢®à®â¥þ ¯®â®ª , ª®â®àë© ®áãé¥á⢫ï¥âáï ¯à¨ x → ±∞. áᬠâਢ ¥¬ ï ¬®¤¥«ì ¬®¥â á«ã¨âì ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨¬ ®¯¨á ¨¥¬ ¤¢¨¥¨ï ¢¤ «¨ ®â ª®æ®¢ § ªàë⮣® á ®¡¥¨å áâ®à® ¯«®áª®£® § §®à .
®¢¬¥á⮥ ¯à®ï¢«¥¨¥ â¥à¬®ª ¯¨««ïன ¨ â¥à¬®£à ¢¨â 樮®© ª®¢¥ªæ¨¨. áᬮâਬ ⥯¥àì «®£¨çãî § ¤ çã, ª®-
£¤ ®¤ ¨§ £à ¨æ ª « (¢¥àåïï) ᢮¡®¤ ¨ ¯®¢¥àå®á⮥ â泌¥ σ ¥© § ¢¨á¨â ®â ⥬¯¥à âãàë ¯® «¨¥©®¬ã § ª®ã. ¡ « ᥠª á ⥫ìëå ¯à泌© ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®á⨠¯®¬¨¬® ¢ï§ª¨å ¡ã¤ãâ ãç á⢮¢ âì ¨ â¥à¬®ª ¯¨««ïàë¥ ¯à泌ï. ®®â¢¥âáâ¢ãî饥 £à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥ § ¯¨è¥âáï ¢ ¢¨¤¥: ρν
∂VX ∂Y
= σ′
∂T∗ ∂X
¯à¨
Y
= h,
(6.1.13)
dσ
£¤¥ σ′ = = onst. ¤¥áì ¢ «¥¢®© ç á⨠á⮨⠢離®¥ ¯à泌¥, dT∗ ¢ ¯à ¢®© | â¥à¬®ª ¯¨««ï஥. ¥§à §¬¥àë¥ ãà ¢¥¨ï ¨ £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï ¤«ï í⮩ § ¤ ç¨ ¯®¯à¥¥¬ã ¡ã¤ãâ ¨¬¥âì ¢¨¤ (6.1.7), (6.1.8), ªà®¬¥ ¢â®à®£® £à ¨ç®£® ãá«®¢¨ï (6.1.8), ¢¬¥áâ® ª®â®à®£® ¡ã¤¥¬ ¨á¯®«ì§®¢ âì ∂v ∂y
= Ma
∂T , ∂x
T
= −x
¯à¨
y
= 1,
(6.1.14)
6.1. ¥à¬®£à ¢¨â 樮 ï ¨ â¥à¬®ª ¯¨««ïà ï ª®¢¥ªæ¨ï
235
Ah2 σ ′
£¤¥ Ma = | ç¨á«® à £®¨, ª®â®à®¥ ¯à¨ â ª®¬ ®¯à¥¤¥«¥¨¨ ρν 2 ¬®¥â ¨¬¥âì à §ë© § ª* ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â § ª®¢ ᮬ®¨â¥«¥© A ¨ σ ′ . ¡é¥¥ à¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ (6.1.7), (6.1.14) ¬®® ¯®-¯à¥¥¬ã ¨áª âì ¢ ¢¨¤¥ (6.1.9). Ǒਠí⮬ à¥è¥¨¥ ¬®¥â ¡ëâì ¯à¥¤áâ ¢«¥® ¢ ¢¨¤¥ á㬬ë âà¥å á« £ ¥¬ëå, ª ¤®¥ ¨§ ª®â®àëå ¨¬¥¥â ¤®áâ â®ç® ¯à®áâãî 䨧¨ç¥áªãî ¨â¥à¯à¥â æ¨î: ¤¢¨¥¨¥ ⨯ Ǒã §¥©«ï, ¢®§¨ªè¥¥ ¯®¤ ¤¥©á⢨¥¬ ¯®áâ®ï®£® ¡¥§à §¬¥à®£® £à ¤¨¥â ¤ ¢«¥¨ï b ¢¤®«ì á«®ï, â¥à¬®£à ¢¨â 樮®¥ ¨ â¥à¬®ª ¯¨««ï஥ ¤¢¨¥¨ï. á¯à¥¤¥«¥¨¥ ᪮à®á⨠¯à¨ â ª®¬ ¤¢¨¥¨¨ ¨¬¥¥â ¢¨¤ v (y ) = 12 b Gr (−y 2 + 2y + 3) + 16
Gr (−y 3 + 3y + 2) − Ma(y + 1). (6.1.15)
Ǒ®áâ®ï ï b ¬®¥â ¡ëâì ®¯à¥¤¥«¥ , ª ª ¨ ¯à¥¤¥, ¨§ ãá«®¢¨ï ã«¥¢®£® à á室 . «ï ¥¥ ¯®«ã祮 § 票¥ b = − 14
+
3 4
Ma Gr−1 .
(6.1.16)
§ ä®à¬ã«ë (6.1.15) ¢¨¤®, çâ® ¢ ®âáãâá⢨¥ â¥à¬®£à ¢¨â 樮ëå ᨫ ¨ ¯à®¤®«ì®£® £à ¤¨¥â ¤ ¢«¥¨ï, â.¥. ª®£¤ b = Gr = 0, ¯à®ä¨«ì ᪮à®á⨠¢ á«®¥ «¨¥©ë©. Ǒਠí⮬ à á室 ¯®â®ª ®ª §ë¢ ¥âáï ¥ã«¥¢ë¬. â® ¥ ¢à¥¬ï ¢ëà ¥¨ï (6.1.15) ¨ (6.1.16) ¯®ª §ë¢ îâ, çâ® ¡¥§à áå®¤ë© ¯®â®ª ¯®¤ ¤¥©á⢨¥¬ ᨫ à £®¨ ¬®¥â ¢®§¨ªãâì ⮫쪮 ¯à¨ «¨ç¨¨ ¯à®¤®«ì®£® £à ¤¨¥â ¤ ¢«¥¨ï. á¯à¥¤¥«¥¨¥ ᪮à®á⨠¯à¨ ã«¥¢®¬ à á室¥ ¯à¨¨¬ ¥â ¢¨¤ 1 Gr(−4y 3 + 3y 2 + 6y − 1) − 1 v (y ) = 24 8
Ma(3y 2 + 2y − 1).
(6.1.17)
ãç¥â®¬ (6.1.17) ¤«ï T1 ¬®® ©â¨ T1
=
Pr Gr(4y 5 − 5y 4 − 20y 3 + 10y 2 + 16y − 5) + (6.1.18) + 961 Pr Ma(3y 4 + 4y 3 − 6y 2 − 4y + 3).
1 480
⬥⨬, çâ® ¯®«¥ ᪮à®á⨠(6.1.17) ¥ ¨§¬¥¨âáï, ¥á«¨ áç¨â âì, çâ® «¨¥©®¥ à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ⥬¯¥à âãàë ¯®¤¤¥à¨¢ ¥âáï «¨èì ¨¥© ⢥म© ¯®¢¥àå®áâ¨, ¢ â® ¢à¥¬ï ª ª ᢮¡®¤ ï ¯®¢¥àå®áâì ⥯«®¨§®«¨à®¢ . í⮬ á«ãç ¥ ¢¬¥áâ® ¢â®à®£® £à ¨ç®£® ãá«®¢¨ï (6.1.14) § ¯¨áë¢ ¥âáï ãá«®¢¨¥: ∂T /∂y = 0 ¯à¨ y = 1, à¥è¥¨¥ ¯®¯à¥¥¬ã ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¢ ¢¨¤¥ (6.1.9). * ® ®â¬¥â¨âì, çâ® ¤«ï ¯®¤ ¢«ïî饣® ¡®«ìè¨á⢠¨¤ª®á⥩ ¯®¢¥àå®á⮥ â泌¥ 㬥ìè ¥âáï ¯à¨ ã¢¥«¨ç¥¨¨ ⥬¯¥à âãàë ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, á¯à ¢¥¤«¨¢® ¥à ¢¥á⢮ σ′ < 0 (¤ «¥¥ ¢ í⮬ à §¤¥«¥ ¡ã¤ãâ ®¯¨á ë ¨¤ª®áâ¨, ã ª®â®àëå ¢ ®¯à¥¤¥«¥®¬ ¨â¥à¢ «¥ ¨§¬¥¥¨ï ⥬¯¥à âãàë ¡«î¤ ¥âáï σ′ > 0).
236
¥à¬®£¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª¨¥ ¥¨ï
§ ª«î票¥ § ¬¥â¨¬, çâ® ¤«ï ®¡®á®¢ ¨ï à áᬮâ८© ¯®áâ ®¢ª¨ § ¤ ç¨ á«¥¤ã¥â ¤®¯®«¨âì ¨áå®¤ë¥ ¯à¥¤¯®«®¥¨ï ¤®¯ã饨¥¬ ® ¯«®áª®© ä®à¬¥ ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®áâ¨. ¥©á⢨⥫ì®, ¢ à áᬠâਢ ¥¬ëå á«ãç ïå ®à¬ «ìë¥ ¯àï¥¨ï ¯®¢¥àå®á⨠¨¤ª®á⨠¥ á®åà ïîâ ¯®áâ®ï®£® § 票ï, ¨ íâ® ¤®«® ¯à¨¢®¤¨âì ª ¥¥ ¨áªà¨¢«¥¨î. ¤ ª® í⮣® ¥ ¯à®¨á室¨â ¯à¨ ¡®«ì让 ¢¥«¨ç¨¥ g , ª®£¤ «î¡®¥ ¢ãâ॥¥ ¤ ¢«¥¨¥ ãà ¢®¢¥è¨¢ ¥âáï § áç¥â ¡¥áª®¥ç® ¬ «®£® ¨§¬¥¥¨ï ä®à¬ë ¯®¢¥àå®áâ¨.
¥à¬®ª ¯¨««ï஥ ¤¢¨¥¨¥ ¢ á«®¥ ¨¤ª®á⨠¯à¨ ¥«¨¥©®© § ¢¨á¨¬®á⨠¯®¢¥àå®á⮣® âï¥¨ï ®â ⥬¯¥à âãàë. ¥¥ § ¢¨á¨¬®áâì ª®íä-
ä¨æ¨¥â ¯®¢¥àå®á⮣® âï¥¨ï ®â ⥬¯¥à âãàë áç¨â « áì «¨¥©®©. ¤ ª® ¤«ï àï¤ ¨¤ª®á⥩, â ª¨å ª ª ¢®¤ë¥ à á⢮àë ¢ë᮪®¬®«¥ªã«ïàëå ᯨà⮢ ¨ ¥ª®â®àë¥ ¡¨ àë¥ ¬¥â ««¨ç¥áª¨¥ ᯫ ¢ë, íªá¯¥à¨¬¥â «ì® ãáâ ®¢«¥®, çâ® § ¢¨á¨¬®áâì σ = σ(T ) ®â«¨ç ¥âáï ®â «¨¥©®© ¨ ¨¬¥¥â ¥¬®®â®ë© å à ªâ¥à [254, 312, 313℄. à¨á. 6.1 ¯à¥¤áâ ¢«¥ë íªá¯¥à¨¬¥â «ìë¥ ¤ ë¥ [254℄ ᮣ« á® ª®â®àë¬ σ = σ(T ) ¬®¥â ¨¬¥âì ç¥âª® ¢ëà ¥ë© ¬¨¨¬ã¬ (æ¨äàë ᮮ⢥âáâ¢ãîâ ç¨á«ã ⮬®¢ 㣫¥à®¤ ¢ ¬®«¥ªã«¥ ᯨàâ ; ®¯ëâë ¯à®¢®¤¨«¨áì ¯à¨ ¨§ª¨å ª®æ¥âà ¨á. 6.1. ¥§ã«ìâ âë íªá¯¥à¨¬¥â «ì®£® ¨áá«¥¤®¢ ¨ï ¥«¨¥©®© æ¨ïå à á⢮à , ¯®áª®«ìªã ¢ë᮪®¬®§ ¢¨á¨¬®á⨠¯®¢¥àå®á⮣® âï- «¥ªã«ïàë¥ á¯¨àâë ¯«®å® à á⢮ਥ¨ï ®â ⥬¯¥à âãàë ¬ë ¢ ¢®¤¥). âã § ¢¨á¨¬®áâì ¬®® ¯à¨¡«¨¥® ¯¯à®ªá¨¬¨à®¢ âì á«¥¤ãî騬 á®®â®è¥¨¥¬: σ
= σ0 +
1 α(T − T )2 , ∗ 0 2
(6.1.19)
£¤¥ T0 | § 票¥ ⥬¯¥à âãàë, ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 íªáâ६ «ì®© ¢¥«¨ç¨¥ ª®íää¨æ¨¥â ¯®¢¥àå®á⮣® â泌ï. áᬮâਬ § ¤ çã ®¡ ãáâ ®¢¨¢è¥¬áï â¥à¬®ª ¯¨««ï஬ ¤¢¨¥¨¨ ¢ á«®¥ ¨¤ª®á⨠⮫騮© h. ¢¨¥¨¥ áç¨â ¥âáï ¤¢ã¬¥àë¬. ¢¨á¨¬®áâì ¯®¢¥àå®á⮣® âï¥¨ï ®â ⥬¯¥à âãàë ¯à¨¨¬ ¥âáï ª¢ ¤à â¨ç®© ¢ ᮮ⢥âá⢨¨ á ¢ëà ¥¨¥¬ (6.1.19). ¥à¬®£à ¢¨â æ¨®ë© íä䥪⠥ ãç¨âë¢ ¥âáï. Ǒ।¯®« £ ¥âáï, ç⮠⢥म© ¨¥© ¯®¢¥àå®á⨠¯®¤¤¥à¨¢ ¥âáï «¨¥©®¥ à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ⥬¯¥à âãàë, ¯«®áª ï ¯®¢¥àå®áâì á«®ï ⥯«®¨§®«¨à®¢ . ç «® ¤¥ª à⮢®© á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â X , Y ¯®¬¥é ¥âáï ⢥म© ¯®¢¥àå®áâ¨,
6.1. ¥à¬®£à ¢¨â 樮 ï ¨ â¥à¬®ª ¯¨««ïà ï ª®¢¥ªæ¨ï
237
£¤¥ ¤®á⨣ ¥âáï § 票¥ ⥬¯¥à âãàë T0. Ǒ®«ï ᪮à®á⨠¨ ⥬¯¥à âãàë ¡ã¤ãâ ®¯¨áë¢ âìáï ãà ¢¥¨ï¬¨ (6.1.1) | (6.1.4) ¯à¨ γg ≡ 0. à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï, á ãç¥â®¬ ª¢ ¤à â¨ç®© § ¢¨á¨¬®á⨠¯®¢¥àå®á⮣® âï¥¨ï ®â ⥬¯¥à âãàë (6.1.19), § ¯¨èãâáï ¢ ¢¨¤¥ VX
= 0,
VY
= 0,
VY = 0, T∗ = T0 − AX ∂σ ∂T∗ ∂V = 0, ρν X = ∂Y ∂Y ∂X
¯à¨
Y
= 0,
(6.1.20)
¯à¨
Y
= h. (6.1.21)
®£« á® (6.1.20), ⢥म© ¯®¢¥àå®á⨠¢ë¯®«¥ë ãá«®¢¨ï ¯à¨«¨¯ ¨ï ¨ ¥¯à®â¥ª ¨ï ¨ ¯®¤¤¥à¨¢ ¥âáï «¨¥©®¥ à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ⥬¯¥à âãàë. ᮮ⢥âá⢨¨ á (6.1.21) ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®á⨠¢ë¯®«¥ë ãá«®¢¨ï ¥¯à®â¥ª ¨ï, ®âáãâáâ¢¨ï ¯®â®ª ⥯« ç¥à¥§ ᢮¡®¤ãî ¯®¢¥àå®áâì ¨ ¡ « á ª á ⥫ìëå â¥à¬®ª ¯¨««ïàëå ¨ ¢ï§ª¨å ¯à泌©. Ǒà ¢ãî ç áâì ¢ ¯®á«¥¤¥¬ ãá«®¢¨¨ (6.1.21), á ãç¥â®¬ ª¢ ¤à â¨ç®© § ¢¨á¨¬®á⨠¯®¢¥àå®á⮣® âï¥¨ï ®â ⥬¯¥à âãàë (6.1.19), á«¥¤ã¥â ¯¥à¥¯¨á âì á ¯®¬®éìî à ¢¥á⢠: ∂σ ∂X
= α(T∗ − T0 )
∂T∗ . ∂X
¥è¥¨¥ ¨é¥âáï ¢ ¢¨¤¥ [59℄ = U xψ′ (y ), VY = −U ψ(y ), T∗ = T0 − Ahx(y ), P = P0 − 12 ρU 2 [λx2 + f (y )℄, VX
(6.1.22)
£¤¥ x = X/h, y = Y /h | ¡¥§à §¬¥àë¥ ª®®à¤¨ âë, U = ν/h | å à ªâ¥à ï ᪮à®áâì, P0 = onst | ¤ ¢«¥¨¥ ¢ ªà¨â¨ç¥áª®© â®çª¥ ⢥म© ¯®¢¥àå®á⨠(â ¬, £¤¥ T∗ = T0 ), ψ′ = dψ/dy . «ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¥¨§¢¥áâëå äãªæ¨© ψ(y ), (y ), f (y ) ¨ ¯®áâ®ï®© λ, ª®â®à ï ï¥âáï ᮡáâ¢¥ë¬ § 票¥¬, ¯®«ãç ¥¬ á«¥¤ãîéãî § ¤ çã: ψ ′′′ + ψψ ′′ − (ψ ′ )2 + λ = 0, ′′ − Pr(ψ′ − ψ′ ) = 0;
= 0, ψ = 0, ψ
αA2 h3
f
= 0, =1 ′′ 2 ψ = Ma , ′ = 0 ψ′
= ψ2 + 2ψ′ , ¯à¨ ¯à¨
= 0; y = 1, y
(6.1.23)
£¤¥ Ma = | ¬®¤¨ä¨æ¨à®¢ ®¥ ¤«ï à áᬠâਢ ¥¬®£® á«ãç ï ρν 2 ç¨á«® à £®¨. «ï ¢ëïá¥¨ï ®á®¡¥®á⥩ â¥à¬®ª ¯¨««ïண® â¥ç¥¨ï à áᬮâਬ ¯à¨¡«¨¥®¥ «¨â¨ç¥áª®¥ à¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ ¯à¨ ¬ «ëå
238
¥à¬®£¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª¨¥ ¥¨ï
¨á. 6.2. ¨¨¨ ⮪ ¨ ¯à®ä¨«ì ¯à®¤®«ì®© á®áâ ¢«ïî饩 ᪮à®á⨠¤«ï â¥à¬®ª ¯¨««ïண® â¥ç¥¨ï ¢ á«®¥ ¨¤ª®áâ¨
§ 票ïå ç¨á« à £®¨, ¯®« £ ï ¢ ¤ «ì¥©è¥¬, çâ® ç¨á«® Ǒà ¤â«ï ¯®à浪 ¥¤¨¨æë. ǑਠMa = 0 § ¤ ç ¨¬¥¥â à¥è¥¨¥ ψ = 0, f = 0, λ = 0, = 1, ª®â®à®¥ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¯®ª®ï饩áï ¨¤ª®á⨠¯à¨ ®¤®à®¤®¬ à á¯à¥¤¥«¥¨¨ ⥬¯¥à âãàë ¯®¯¥à¥ª á«®ï. Ǒਠ|Ma| ≪ 1 à¥è¥¨¥ ¯®«ã祮 ¬¥â®¤®¬ ¬ «ëå ¢®§¬ã饨©. «ï ¯®«ï ᪮à®áâ¨, ¤ ¢«¥¨ï ¨ ⥬¯¥à âãàë á â®ç®áâìî ¤® ç«¥®¢ ¯®à浪 O(Ma2 ) ¨¬¥îâ ¬¥áâ® á«¥¤ãî騥 ¢ëà ¥¨ï: VX = 14 U Ma xy (3y − 2), VY = 41 U Ma (1 − y )y 2 , 1 Ma Pr(4 − 3y )y 3 , U = ν/h, (6.1.24) T∗ = T0 − Ahx 1 − 48 2 2 2 1 P = P0 − 4 ρU Ma 3(y − x ) − 2y . à¨á. 6.2 ¯®ª § ë «¨¨¨ ⮪ â¥à¬®ª ¯¨««ïண® â¥ç¥¨ï (6.1.24), â ª¥ ¯à®ä¨«ì ¯à®¤®«ì®© ¡¥§à §¬¥à®© á®áâ ¢«ïî饩 ᪮à®á⨠¯®â®ª u = VX /U . ¯à ¢«¥¨ï, ¯®ª § ë¥ áâ५ª ¬¨, ᮮ⢥âáâ¢ãîâ á«ãç î Ma > 0. Ǒ®«ãç¥ë¥ १ã«ìâ âë ¯®ª §ë¢ îâ, çâ® â¥à¬®ª ¯¨««ïàë¥ á¨«ë ¯®à®¤ îâ á«®®¥ æ¨àªã«ï樮®¥ ¤¢¨¥¨¥ ¨¤ª®á⨠¢ á«®¥, ¯à¨ç¥¬ ¯®â®ª ¬¥ï¥â ¯à ¢«¥¨¥ £«ã¡¨¥, à ¢®© 1/3 ⮫é¨ë á«®ï. ª ¨ á«¥¤®¢ «® ®¨¤ âì, ¯®â®ª ᨬ¬¥âà¨ç¥ ®â®á¨â¥«ì® ¯«®áª®á⨠X = 0 á ⥬¯¥à âãன T0 ; ¢¤®«ì í⮩ ¯«®áª®á⨠¯à®¨á室¨â ¨áâ¥ç¥¨¥ ¨¤ª®á⨠¨§ ¯à¨¤®®£® á«®ï. 6.2. ¥à¬®ª ¯¨««ïàë© ¤à¥©ä ª ¯«¨
¥à¬®ª ¯¨««ï஥ ¤¢¨¥¨¥ ª ¯«¨ ¢® ¢¥è¥¬ £à ¤¨¥â¥ ⥬¯¥à âãàë. áᬮâਬ § ¤ çã ® â¥à¬®ª ¯¨««ï஬
íä䥪⥠¤«ï ª ¯«¨, ¯®¬¥é¥®© ¢ ¥®¤®à®¤ãî ¯® ⥬¯¥à âãॠ¨¤ªãî á।ã [319℄. Ǒਠ«¨ç¨¨ ¢¥è¥£® £à ¤¨¥â ⥬¯¥à âãà ¥ ¡ã¤¥â ¯®áâ®ï®© ¢¤®«ì ¯®¢¥àå®á⨠ª ¯«¨, ¯®í⮬ã á«¥¤ã¥â ®¨¤ âì ¯®ï¢«¥¨ï â¥à¬®ª ¯¨««ïàëå ¯à泌©, ª®â®àë¥ ¯à ¢«¥ë ®â £®àï祣® ¯®«îá ª ¯«¨ ª 宫®¤®¬ã, ¥á«¨ ª®-
6.2. ¥à¬®ª ¯¨««ïàë© ¤à¥©ä ª ¯«¨
239
íää¨æ¨¥â ¯®¢¥àå®á⮣® â泌ï ã¡ë¢ ¥â á à®á⮬ ⥬¯¥à âãàë (à¨á. 6.3). ®£¤ £à ¢¨â æ¨ï ¨ ¤à㣨¥ á¨«ë ®âáãâáâ¢ãîâ, â® ¨¤ãæ¨à㥬®¥ â¥ç¥¨¥ ¢ë㤠¥â ª ¯«î ¤à¥©ä®¢ âì ¢ ¯à ¢«¥¨¨ ¢®§à áâ ¨ï ⥬¯¥à âãàë. â® â ª §ë¢ ¥¬ë© â¥à¬®ª ¯¨««ïàë© ¤à¥©ä ª ¯«¨. ¤¥áì íä䥪â à £®¨ ¯à®ï¢«ï¥âáï ¢ ç¨á⮬ ¢¨¤¥. Ǒਠ«¨ç¨¨ ¤à㣨å ᨫ, ¯à¨¬¥à, ᨫë âï¥áâ¨, íä䥪â à £®¨ ¤«ï â ª®© ª ¯«¨ ¡ã¤¥â á®áâ®- ¨á. 6.3. Ǒਢ¥¤¥¨¥ ª ¯«¨ ¢ ¤¢¨ïâì ¢ ¨§¬¥¥¨¨ ᪮à®á⨠¥¥ ¤¢¨- ¥¨¥ ¯ã⥬ ¯à¨«®¥¨ï £à ¤¨¥â ⥬¯¥à âãàë. ®ª¨¥ áâ५¥¨ï. 㪠§ë¢ îâ ¯à ¢«¥¨¥ â¥à¬®æ¥¨¬ ¤¥©áâ¢ãîéãî ª ¯«î ª¨ ª ¯¨««ïàëå ¯à泌© ¯®â¥à¬®ª ¯¨««ïàãî ᨫ㠨 ᪮à®áâì ¢¥àå®á⨠ª ¯«¨ ¨ ¨¤ãæ¨à㥬®£® â¥à¬®ª ¯¨««ïண® ¤à¥©ä ª ¯«¨ ¢ ¨¬¨ â¥ç¥¨ï, ⮫áâ ï áâ५ª | ¯à ¢«¥¨¥ ¤¢¨¥¨ï ª ¯«¨ (á種âáãâá⢨¥ £à ¢¨â 樨. ç¨â ¥¬ â ¥âáï, çâ® ¯®¢¥àå®á⮥ â異¥èîî ¨¤ª®áâì ¡¥áª®¥ç® ¯à®- ¨¥ ã¡ë¢ ¥â á à®á⮬ ⥬¯¥à âãàë) â葉©, ¥®¤®à®¤®¥ ¯®«¥ ⥬¯¥à âãàë ¢¤ «¨ ®â ª ¯«¨ | «¨¥©ë¬ ¯® X : T∗(1) → AX
+ T0
¯à¨
R → ∞.
(6.2.1)
ª § ë¥ ¯à¥¤¯®«®¥¨ï ®¯à ¢¤ ë, ª®£¤ à §¬¥à ª ¯«¨ ¬®£® ¬¥ìè¥ ª ª å à ªâ¥à®£® à §¬¥à ¢¥è¥© ¨¤ª®áâ¨, â ª ¨ ¯à®áâà á⢥®£® ¬ áèâ ¡ ¨§¬¥¥¨ï £à ¤¨¥â ⥬¯¥à âãàë. áᬮâਬ ãáâ ®¢¨¢è¥¥áï ¤¢¨¥¨¥ ª ¯«¨ ᮠ᪮à®áâìî Ui . ª ¨ à ¥¥, ¯à¥¤¯®« £ ¥¬, çâ® ¯®¢¥àå®á⮥ â泌¥ «¨¥©® § ¢¨á¨â ®â ⥬¯¥à âãàë, ®áâ «ìë¥ ä¨§¨ç¥áª¨¥ ¯ à ¬¥âàë ¨¤ª®á⥩ ¯®áâ®ïë. ç¨â ¥¬ â ª¥, çâ® ª ¯«ï á®åà ï¥â áä¥à¨ç¥áªãî ä®à¬ã ¢á«¥¤á⢨¥ ¡®«ì讣® ª ¯¨««ïண® ¤ ¢«¥¨ï, ¯à¥¯ïâáâ¢ãî饣® ¥¥ ¨§¬¥¥¨î. ®á¯®«ì§ã¥¬áï áä¥à¨ç¥áª®© á¨á⥬®© ª®®à¤¨ â, á¢ï§ ®© á æ¥â஬ ¤¢¨ã饩áï ª ¯«¨, ¢ ª®â®à®© à ¤¨ «ì ï ª®®à¤¨ â R ®âáç¨âë¢ ¥âáï ®â æ¥âà ª ¯«¨, 㣮« θ | ®â ¯®«®¨â¥«ì®£® ¯à ¢«¥¨ï ®á¨ X . ᥠ¯ à ¬¥âàë ¨ ¨áª®¬ë¥ ¢¥«¨ç¨ë ¢¥ ¨ ¢ãâਠª ¯«¨ ¡ã¤¥¬ ¯®¬¥ç âì ᮮ⢥âá⢥® ¨¤¥ªá ¬¨ ý1þ ¨ ý2þ. £à ¨ç¨¬áï ¨§ã票¥¬ á«ãç ï ¬¥¤«¥ëå ¤¢¨¥¨© (¬ «ë¥ ç¨á« ¥©®«ì¤á ), ª®â®àë¥ ®¯¨áë¢ îâáï ãà ¢¥¨ï¬¨ ⮪á (2.1.2), ¢ ãà ¢¥¨¨ ⥯«®¯à®¢®¤®á⨠¯à¥¥¡à¥£ ¥¬ ª®¢¥ªâ¨¢ë¬ ç«¥®¬ (¯à¥¤¯®«®¥¨¥ ® ¬ «®á⨠ç¨á« Ǒ¥ª«¥). ç « ¯®«ã稬 à¥è¥¨¥ ¡®«¥¥ ¯à®á⮩ ⥯«®¢®© ç á⨠§ ¤ ç¨, ª®â®à ï ¯à¨ Pe = 0 ¬®¥â à áᬠâਢ âìáï ¥§ ¢¨á¨¬®. ¥¬¯¥à âãà
240
¥à¬®£¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª¨¥ ¥¨ï
¢¥ ¨ ¢ãâਠª ¯«¨ 㤮¢«¥â¢®àï¥â áâ 樮 ஬ã ãà ¢¥¨î ⥯«®¯à®¢®¤®á⨠T∗(1) = 0, T∗(2) = 0. (6.2.2) ¤ «¨ ®â ª ¯«¨ ¨á¯®«ì§ã¥âáï £à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥ (6.2.1), ¥¥ ¯®¢¥àå®á⨠¤®«ë ¢ë¯®«ïâìáï ãá«®¢¨ï ¥¯à¥à뢮á⨠⥬¯¥à âãàë ¨ ⥯«®¢®£® ¯®â®ª : T∗(1)
∂T (1)
∂T (2)
= T∗(2), κ1 ∗ = κ2 ∗ ¯à¨ R = a, (6.2.3) ∂R ∂R £¤¥ κ1 ¨ κ2 | ª®íää¨æ¨¥âë ⥯«®¯à®¢®¤®á⨠ª ¯«¨ ¨ ®ªàã î饩 ¨¤ª®áâ¨. ¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ (6.2.1) | (6.2.3) 室¨âáï ¬¥â®¤®¬ à §¤¥«¥¨ï ¯¥à¥¬¥ëå ¨ ¨¬¥¥â ¢¨¤: 1 − δ a2 3A R (1) R os θ + T0 , T∗ = Aa +
os θ + T0, T∗(2) = 2 a 2+δ R 2+δ (6.2.4) £¤¥ δ = κ2 /κ1 . áᬮâਬ ⥯¥àì £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áªãî ç áâì § ¤ ç¨, ª®â®à ï ®¯¨áë¢ ¥âáï ãà ¢¥¨ï¬¨ ⮪á (2.1.2). ®¬¯®¥âë ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠¢¤ «¨ ®â ª ¯«¨ 㤮¢«¥â¢®àïîâ ãá«®¢¨î (2.2.2), ¢ãâਠª ¯«¨ à¥è¥¨¥ ®£à ¨ç¥®. ¬¥ä §®© ¯®¢¥àå®á⨠¢ë¯®«ï¥âáï ãá«®¢¨¥ ¥¯à®â¥ª ¨ï (2.2.6) ¨ ãá«®¢¨¥ ¥¯à¥à뢮á⨠ª á ⥫쮩 ª®¬¯®¥âë ᪮à®á⨠(2.2.7). ஬¥ ⮣®, ¨á¯®«ì§ã¥âáï £à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥ ¡ « á â £¥æ¨ «ìëå ¯à泌©: (1) (1) (2) (2) V V ∂Vθ ∂Vθ 1 ∂T∗(1) −µ2 − θ − θ µ1 = −σ′ ¯à¨ R = a, ∂R R ∂R R R ∂θ (6.2.5) £¤¥ ¢ «¥¢®© ç á⨠áâ®ï⠢離¨¥ ¯à泌ï, ¢ ¯à ¢®© | â¥à¬®ª ¯¨««ïàë¥. ¤¥áì σ′ = dσ/dT∗(1) < 0. Ǒ® ä®à¬ã« ¬ (2.1.3) ¢¢¥¤¥¬ äãªæ¨¨ ⮪ (m) ¢ ª ¤®© ä §¥ (m = 1, 2). ®á¯®«ì§ã¥¬áï ¤ «¥¥ ®¡é¨¬ à¥è¥¨¥¬ (2.1.6), ¢ ª®â®à®¬ á®åà ¨¬ ⮫쪮 ç«¥ë ¯à¨ n = 2. ¯à¥¤¥«ïï ¥¨§¢¥áâë¥ ¯®áâ®ïë¥ ¨§ £à ¨çëå ãá«®¢¨© (2.2.2), (2.2.6), (2.2.7), ¯®«ã稬 2 R a 1 R (1) = a2 Ui 2 + B − (B + 1) sin2 θ, 2 a a R (6.2.6) 4 R 1 R2 (2) = a2 Ui (2B + 3) 4 − 2 sin2 θ. 4 a a Ǒ®áâ®ï ï B ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨§ ãá«®¢¨ï (6.2.5) ¯®á«¥ ¯®¤áâ ®¢ª¨ â㤠(6.2.4) ¨ (6.2.6): 1 Ma Aaσ ′ 3 B=− 1+ β− Ma = , (6.2.7) , 1+β 2 2+δ µ1 Ui £¤¥ Ma | ç¨á«® à £®¨.
6.2. ¥à¬®ª ¯¨««ïàë© ¤à¥©ä ª ¯«¨
241
®à¬ã«ë (6.2.6), (6.2.7) ¯®§¢®«ïîâ ¢ëç¨á«¨âì ᨫã, ¤¥©áâ¢ãîéãî ª ¯«î: F = 4πµ1 aBUi . ¨«ã 㤮¡® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥ á㬬ë: = FV + FT , 4πa2 Aσ′ 2 + 3β = −2πµ1aUi . , FT = − 1+β (2 + δ )(1 + β ) F
FV
(6.2.8)
Ǒ¥à¢®¥ á« £ ¥¬®¥ FV ¢ (6.2.8) ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© १ã«ìâ â ¤ ¬ à | ë¡ç¨áª®£® ¤«ï ᨫë ᮯà®â¨¢«¥¨ï ª ¯«¨ ¢ ¯®áâ㯠⥫쮬 ¯®â®ª¥ (2.2.15). â®à®¥ á« £ ¥¬®¥ FT ¥áâì â¥à¬®ª ¯¨««ïà ï ᨫ , ¤¥©áâ¢ãîé ï ª ¯«î ¢® ¢¥è¥¬ £à ¤¨¥â¥ ⥬¯¥à âãàë § áç¥â íä䥪â à £®¨. ª®à®áâì ¤¢¨¥¨ï ª ¯«¨ ¯à¨ «¨ç¨¨ â¥à¬®ª ¯¨««ïன á¨«ë ¨ ¢ ®âáãâá⢨¥ £à ¢¨â 樨 ¬®® ©â¨, ¥á«¨ ¯®«®¨âì ᨫã F ¢ (6.2.8) à ¢®© ã«î. १ã«ìâ ⥠¯®«ã稬 UT
=−
2aAσ′ . µ1 (2 + δ )(2 + 3β )
(6.2.9)
§ í⮩ ä®à¬ã«ë ¯à¨ σ′ = dσ/dT∗(1) < 0 á«¥¤ã¥â, çâ® § ª¨ UT ¨ A ᮢ¯ ¤ îâ, ¯®í⮬㠪 ¯«ï ¡ã¤¥â ¤à¥©ä®¢ âì ¢ áâ®à®ã ¢®§à áâ ¨ï ⥬¯¥à âãàë. ¬¥â¨¬, ç⮠१ã«ìâ â (6.2.9) ¤«ï ᪮à®á⨠â¥à¬®ª ¯¨««ïண® ¤à¥©ä ª ¯«¨ ¢ ®âáãâá⢨¥ £à ¢¨â 樨 á¯à ¢¥¤«¨¢ ¤«ï ¯à®¨§¢®«ìëå, ¥ ⮫쪮 ¤«ï ¬ «ëå ç¨á¥« ¥©®«ì¤á . ǑਠB = 0 â¥ç¥¨¥ (6.2.6) 㤮¢«¥â¢®àï¥â ¯®«ë¬ ãà ¢¥¨ï¬ ¤¢¨¥¨ï ¡¥§ ®â¡à áë¢ ¨ï ¨¥à樮®£® ç«¥ (ãà ¢¥¨ï¬ ¢ì¥ | ⮪á ). ¤ ª® ¯à¨ í⮬ âॡ®¢ ¨¥ ¬ «®á⨠ç¨á« Ǒ¥ª«¥ á®åà ï¥âáï. ¥§ã«ìâ âë ¤«ï £ §®¢®£® ¯ã§ëàï ¯®«ãç îâáï ¨§ ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å १ã«ìâ ⮢ ¤«ï ª ¯«¨, ¥á«¨ ¢ ¨å ¯®«®¨âì δ = β = 0. à ¡®â å [24, 25, 301, 303℄ ¯à¨¢¥¤¥ë १ã«ìâ âë, ãâ®ç¥ë¥ á ãç¥â®¬ ¯à¨¡«¨¥¨© ¡®«¥¥ ¢ë᮪®£® ¯®à浪 ¯® ¬ «ë¬ ç¨á« ¬ ¥©®«ì¤á ¨ Ǒ¥ª«¥. ª ¤«ï ᪮à®á⨠â¥à¬®ª ¯¨««ïண® ¤à¥©ä ¯ã§ëàï ¯®«ã祮 [301℄: UT Aaσ ′
= U0 1 −
a2 |Aσ ′ |
301 7200
Pe2
,
£¤¥ U0 = − , Pe = . ¤¥áì U0 | ᪮à®áâì ¤à¥©ä ¯ã§ëàï 2µ1 µ1 χ ¢ ã«¥¢®¬ ¯à¨¡«¨¥¨¨ ¯® ç¨á«ã Ǒ¥ª«¥. ¨á«® Ǒ¥ª«¥ Pe ®¯à¥¤¥«¥® ¯® ᪮à®á⨠U0 . ¨á«® ¥©®«ì¤á ¯®-¯à¥¥¬ã áç¨â ¥âáï ã«¥¢ë¬ (á⮪ᮢ® ¯à¨¡«¨¥¨¥). ¨¤®, çâ® ãç¥â ª®¢¥ªâ¨¢®£® ¬ áᮯ¥à¥®á ¯à¨¢®¤¨â ª 㬥ì襨î ᪮à®á⨠¤à¥©ä ¯ã§ëàï.
242
¥à¬®£¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª¨¥ ¥¨ï
[130℄ à áᬮâॠâ¥à¬®ª ¯¨««ïàë© ¤à¥©ä ¯ã§ëàï ¢® ¢¥è¥¬ £à ¤¨¥â¥ ⥬¯¥à âãàë ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥. «ï ᪮à®á⨠¤à¥©ä ¯®«ã祮: Aaσ ′ UT = − . 3µ1 «¨§ § ¤ ç¨ ¯à¨ ¯à®¨§¢®«ìëå ç¨á« å ¥©®«ì¤á ¨ Ǒ¥ª«¥ ¢®§¬®¥ «¨èì ç¨á«¥ë¬¨ ¬¥â®¤ ¬¨ (á¬., ¯à¨¬¥à, [158, 305℄). ¥áâ 樮 à ï § ¤ ç ® à §£®¥ ª ¯«¨ ¢¥è¨¬ £à ¤¨¥â®¬ ⥬¯¥à âãàë à áᬮâॠ¢ [6, 130℄. ¥§ã«ìâ âë (6.2.8) ¤«ï â¥à¬®ª ¯¨««ïன ᨫë FT ¨ (6.2.9) ¤«ï ᪮à®á⨠â¥à¬®ª ¯¨««ïண® ¤à¥©ä , ¯®«ãç¥ë¥ ¢ ¯à¥¤¯®«®¥¨¨ ¯®áâ®ïá⢠£à ¤¨¥â ⥬¯¥à âãàë ¢¤ «¨ ®â ª ¯«¨, ®ª §ë¢ îâáï á¯à ¢¥¤«¨¢ë¬¨ ¨ ¢ á«ãç ¥, ª®£¤ íâ®â £à ¤¨¥â ¥ ï¥âáï ¯®áâ®ïë¬. Ǒਠí⮬ ¨å 㤮¡® ¯¥à¥¯¨á âì ¢ ¢¥ªâ®à®¬ ¢¨¤¥ [302℄: F~T
=−
4πa2 σ′ A~ , (2 + δ )(1 + β )
~ U T
=−
2aσ′ A~ . µ1 (2 + δ )(2 + 3β )
¤ ª® §¤¥áì ¯®¤ ¢¥«¨ç¨®© A~ ⥯¥àì ¤® ¯®¨¬ âì £à ¤¨¥â ¯®«ï ⥬¯¥à âãàë ¢® ¢¥è¥© ¨¤ª®á⨠¢ á«ãç ¥ ®âáãâáâ¢¨ï ª ¯«¨, ® ¢ëç¨á«¥ë© ¢ ⮬ ¬¥áâ¥, £¤¥ ¢ ¤ ë© ¬®¬¥â 室¨âáï æ¥âà ª ¯«¨. Ǒਠ¨áá«¥¤®¢ ¨¨ â¥à¬®ª ¯¨««ïண® ¤¢¨¥¨ï ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¢® ¢¥è¥¬ £à ¤¨¥â¥ ⥬¯¥à âãàë à áᬠâਢ «¨áì ¥ª®â®àë¥ ®á«®ïî騥 ®¡áâ®ï⥫ìá⢠: ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ ª ¯«¨ á ¯«®áª®© á⥪®© [258℄ ¨«¨ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¤àã£ á ¤à㣮¬ [193℄. ª, ¢ ç áâ®áâ¨, ¢ [193℄ ¯®ª § ®, çâ® ¥á«¨ ¯à¨ ¤¢¨¥¨¨ ¢ ¯®«¥ âï¥á⨠¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ ª ¯¥«ì à ¤¨ãá a ã¡ë¢ ¥â á à ááâ®ï¨¥¬ l ¬¥¤ã ¨¬¨ ª ª a/l, â® ¯à¨ â¥à¬®ª ¯¨««ï஬ ¤à¥©ä¥ | ª ª (a/l)3.
¥à¬®ª ¯¨««ï஥ ¤¢¨¥¨¥ ª ¯«¨ ¯à¨ ¥«¨¥©®© § ¢¨á¨¬®á⨠¯®¢¥àå®á⮣® âï¥¨ï ®â ⥬¯¥à âãàë. à ¡®â¥
[65℄ à áᬮâॠª ¯«ï, 室ïé ïáï ¢ ¯®áâ®ï®¬ ¢¥è¥¬ £à ¤¨¥â¥ ⥬¯¥à âãàë, á ¥«¨¥©®© § ¢¨á¨¬®áâìî ¯®¢¥àå®á⮣® âï¥¨ï ®â ⥬¯¥à âãàë. â¥å á«ãç ïå, ª®£¤ íâ § ¢¨á¨¬®áâì ¥¬®®â® , ¢ ®âáãâá⢨¥ £à ¢¨â 樨 ¢®§¬®® ¯®ï¢«¥¨¥ ¯«®áª®á⥩ à ¢®¢¥á¨ï ª ¯¥«ì | ãá⮩稢ëå ¨ ¥ãá⮩稢ëå. «¨ç¨¥ â ª¨å ¯«®áª®á⥩ ¬®¥â ¯®¬¥è âì, ¯à¨¬¥à, â¥å®«®£¨ç¥áª®¬ã ¯à®æ¥ááã 㤠«¥¨ï ¯ã§ëà쪮¢ ¨§ à ᯫ ¢ ¢ ãá«®¢¨ïå ¬¨ªà®£à ¢¨â 樨 ¯à¨ ¯®¬®é¨ ¯à¨«®¥¨ï ⥬¯¥à âãண® £à ¤¨¥â . «¨§ ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® ¢ á«ãç ¥, ª®£¤ § ¢¨á¨¬®áâì (6.1.19) ¨¬¥¥â ¬¨¨¬ã¬, â.¥. ¯à¨ α > 0, ¯«®áª®áâì à ¢®¢¥á¨ï ¡ã¤¥â ¯«®áª®áâìî ¯à¨â泌ï, à ¢®¢¥á¨¥ | ãáâ®©ç¨¢ë¬ (᪮à®áâì ¤à¥©ä ¢¥ ¯«®áª®áâ¨ à ¢®¢¥á¨ï ¢á¥£¤ ¯à ¢«¥ ª ¯«®áª®áâ¨). Ǒਠα < 0 ¯«®áª®áâì à ¢®¢¥á¨ï ¡ã¤¥â ¯«®áª®áâìî ®ââ «ª¨¢ ¨ï, à ¢®¢¥á¨¥ | ¥ãáâ®©ç¨¢ë¬ (᪮à®áâì ¤à¥©ä ¯à ¢«¥ ®â ¯«®áª®áâ¨). ¢¨¥¨¥ ¤¢ãå
6.2. ¥à¬®ª ¯¨««ïàë© ¤à¥©ä ª ¯«¨
243
ª ¯¥«ì, 室ïé¨åáï ¢ ¯«®áª®áâ¨ à ¢®¢¥á¨ï, ¯à®¨á室¨â ¢áâà¥çã ¤à㣠¤àã£ã, ¥á«¨ α > 0; ¯à¨ α < 0 ª ¯«¨ à á室ïâáï.
¥à¬®ª ¯¨««ï஥ ¤¢¨¥¨¥ ª ¯«¨ ¯®¤ ¤¥©á⢨¥¬ ¨§«ã票ï. ®§¤ ¨¥ £à ¤¨¥â ⥬¯¥à âãàë ¢® ¢¥è¥© ¨¤ª®á⨠ï-
¥âáï ®¤¨¬ ¨§ ¯à®á⥩è¨å, ® ¥ ¥¤¨áâ¢¥ë¬ á¯®á®¡®¬ ¯à¨¢¥¤¥¨ï ª ¯«¨ ¢ á®áâ®ï¨¥ â¥à¬®ª ¯¨««ïண® ¤à¥©ä . ª, ¢ á«ãç ¥ ¥¯à®§à 箩 ª ¯«¨ ¨ ¯à®§à 箩 ¢¥è¥© ¨¤ª®á⨠ª ¯«î, 室ïéãîáï ¢ à ¢®¬¥à® £à¥â®© ¨¤ª®áâ¨, ¬®® ¯à ¢¨âì ᢥ⮢®© «ãç. Ǒਠí⮬ ¨§«ã票¥, ¯®£«®é ïáì ¢ ª ¯«¥, ¡ã¤¥â ¥à ¢®¬¥à® £à¥¢ âì ¥¥, ¯à¨¢®¤ï ª ¯®ï¢«¥¨î â¥à¬®ª ¯¨««ïàëå ¯à泌©. Ǒਠdσ/dT∗ < 0 ª ¯«ï ¡ã¤¥â ¤à¥©ä®¢ âì ¢ áâ®à®ã ᢮¥© ¡®«¥¥ £à¥â®© ç áâ¨, â.¥. ¢áâà¥çã «ãçã. ®®â¢¥âáâ¢ãîé ï § ¤ ç à áᬮâॠ¢ à ¡®â å [155, 268℄. §«ã票¥ ¢ [155℄ áç¨â «®áì ¨¬¥î騬 ä®à¬ã ¯«®áª®¯ à ««¥«ì®£® «ãç , ¯®£«®é î饣®áï ¯®¢¥àå®á⨠ª ¯«¨, ª ª ç¥à®¬ ⥫¥, ® ᢮¡®¤® ¯à®å®¤ï饣® ç¥à¥§ ¢¥èîî ¨¤ª®áâì, ¯à¨ç¥¬ ⥬¯¥à âãà ¢¤ «¨ ®â ª ¯«¨ ¯à¨¨¬ « áì ¯®áâ®ï®©. «ï â¥à¬®ª ¯¨««ïன á¨«ë ¨ ᪮à®á⨠â¥à¬®ª ¯¨««ïண® ¤à¥©ä ª ¯«¨ ¯®¤ ¤¥©á⢨¥¬ ¨§«ãç¥¨ï ¢ ®âáãâá⢨¥ £à ¢¨â 樨 ¡ë«¨ ¯®«ãç¥ë ¢ëà ¥¨ï (J | ¬®é®áâì ¯®â®ª ¨§«ã票ï): FT
=
2πa2 Jσ′ , 3κ1 (2 + δ )(1 + β )
UT
=
aJσ ′ . 3µ1 κ1 (2 + δ )(2 + 3β )
(6.2.10)
¤¥áì ¢¥«¨ç¨ë FT ¨ UT | ¯®«®¨â¥«ìë, ¥á«¨ ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¢¥ªâ®àë ¯à ¢«¥ë ¢ áâ®à®ã à á¯à®áâà ¥¨ï ¨§«ã票ï, ¨ ®âà¨æ ⥫ìë ¢ ¯à®â¨¢®¯®«®®¬ á«ãç ¥. ª á«¥¤ã¥â ¨§ ¢â®à®© ä®à¬ã«ë (6.2.10), ¯à¨ σ′ < 0 ª ¯«ï ¤à¥©äã¥â ¢áâà¥çã «ãçã.
¡é¥¥ ¢ëà ¥¨¥ ¤«ï ª ¯¨««ïன á¨«ë ¢ á⮪ᮢ®¬ ¯à¨¡«¨¥¨¨. ® ¢á¥å à áᬮâà¥ëå à ¥¥ á«ãç ïå ¤¥«® ®¡áâ®ï«®
â ª, çâ® à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ¯®¢¥àå®á⮣® âï¥¨ï ¢¤®«ì ¯®¢¥àå®áâ¨, ª ª á«¥¤á⢨¥ ¯à¥¥¡à¥¥¨ï ª®¢¥ªâ¨¢®© ⥯«®¯à®¢®¤®áâìî, ¯®«ãç «®áì ¥§ ¢¨á¨¬® ®â ¤¢¨¥¨ï ¨¤ª®áâ¨. ®à¬ «¨§ãï ¤ ®¥ ®¡áâ®ï⥫ìá⢮, ¬®® à áᬮâà¥âì íä䥪â à £®¨ ¤«ï ª ¯«¨, ª®£¤ ª®íää¨æ¨¥â ¯®¢¥àå®á⮣® â泌ï áç¨â ¥âáï § ¤ ®© äãªæ¨¥© ª®®à¤¨ â ¯®¢¥àå®á⨠ª ¯«¨ ¡¥§ ª®ªà¥â¨§ 樨 ¯à¨ç¨ë, ¢ë§¢ ¢è¥© íâã ¥®¤®à®¤®áâì. í⮬ á«ãç ¥ ¢ëà ¥¨¥ ¤«ï ¤¥©áâ¢ãî饩 ª ¯«î ª ¯¨««ïன á¨«ë ¨¬¥¥â ¢¨¤ [302℄ F~T
=−
1 2(1 + β )
Z
∇s σ dS,
(6.2.11)
S
£¤¥ ∇s | £à ¤¨¥â ¢¤®«ì ¯®¢¥àå®áâ¨, ¨â¥£à¨à®¢ ¨¥ ¯à®¨§¢®¤¨âáï ¯® ¢á¥© ¯«®é ¤¨ ¯®¢¥àå®á⨠ª ¯«¨.
244
¥à¬®£¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª¨¥ ¥¨ï
Ǒà¨à ¢¨¢ ï á㬬ã ᨫë ᮯà®â¨¢«¥¨ï FV ¢ (6.2.8) ¨ ª ¯¨««ïன ᨫë (6.2.11) ã«î, ¬®® ©â¨ ᪮à®áâì ª ¯¨««ïண® ¤à¥©ä ª ¯«¨: Z 1 ~ =− ∇s σ dS. U (6.2.12) T 4πµ1 a(2 + 3β ) S
Ǒ®«ãç¥ë¥ â ª¨¬ ®¡à §®¬ १ã«ìâ âë ®¡« ¤ îâ ¤®áâ â®ç®© ®¡é®áâìî. ¨ ®å¢ âë¢ î⠢ᥠá«ãç ¨, ª®£¤ ª ¯¨««ïàë¥ ¯àï¥¨ï ¯®¢¥àå®á⨠ª ¯«¨ áâ 樮 àë ¨ ¥ § ¢¨áï⠮⠤¢¨¥¨ï ¨¤ª®áâ¨. Ǒਠᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ª®ªà¥â¨§ 樨 äãªæ¨¨ σ ä®à¬ã«ë (6.2.8) ¨ (6.2.9), ¢ë¢¥¤¥ë¥ ¤«ï á«ãç ï Pe = 0, ¬®£ãâ ¡ëâì ¯®«ãç¥ë ¨§ (6.2.11), (6.2.12). ®«¥¥ ¯®¤à®¡® á ¯®á«¥¤¨¬¨ ¤®á⨥¨ï¬¨ ¢ í⮩ ®¡« á⨠¬®® ¯®§ ª®¬¨âìáï ¢ à ¡®â å [162, 286℄. 6.3. ¥¬®ª ¯¨««ïàë© íä䥪⠯ਠ¤¢¨¥¨¨ ª ¯«¨
ᥠà áᬮâà¥ë¥ ¢ëè¥ á«ãç ¨ ¯à®ï¢«¥¨ï íä䥪â à £®¨ ¤«ï ª ¯«¨ ¨¬¥îâ ®¤ã ®¡éãî ç¥àâã, ¨¬¥® «¨ç¨¥ ¥ª®â®à®© ¢¥è¥© ¥á¨¬¬¥âਨ, ª®â®à ï ¥ á¢ï§ á ¤¢¨¥¨¥¬. ãé¥á⢥® ¨ë¥ á¨âã 樨, ª®£¤ £à ¤¨¥â ¯®¢¥àå®á⮣® âï¥¨ï ¢®§¨ª ¥â «¨èì ¢ ¯à®æ¥áᥠ¤¢¨¥¨ï ¨¤ª®á⥩ ¢¥ ¨ ¢ãâਠª ¯«¨, ¢ á¢®î ®ç¥à¥¤ì ®¡à â® ¢«¨ïï ¤¢¨¥¨¥, ¨áá«¥¤®¢ ë ¢ [100, 163℄. ª, ¢ [100℄ «¨§¨àã¥âáï ¢«¨ï¨¥ ¯®¢¥àå®áâ®- ªâ¨¢ëå ¢¥é¥á⢠(Ǒ) ¤¢¨¥¨¥ ª ¯«¨. á®áâ®ï¨¨ ¯®ª®ï ¯®¢¥àå®áâ ï ¯«¥ª ®¤®à®¤ , ¨ £à ¤¨¥â ¯®¢¥àå®á⮣® âï¥¨ï ¥ ¢®§¨ª ¥â. ¤ ª®, ¥á«¨ ª ¯«ï ¯¥à¥¬¥é ¥âáï, â® ¯®¢¥àå®áâ®- ªâ¨¢ë¥ ¢¥é¥á⢠¯¥à¥à á¯à¥¤¥«ïîâáï ¢¤®«ì ¯®¢¥àå®áâ¨, ᮧ¤ ¢ ï â ª®© £à ¤¨¥â. Ǒ®áª®«ìªã ¯®¢¥àå®á⮥ â泌¥ ®¡ëç® ã¡ë¢ ¥â á à®á⮬ ª®æ¥âà 樨, ª ¯¨««ïàë© íä䥪⠢ í⮬ á«ãç ¥ ¡ã¤¥â á®áâ®ïâì ¢ â®à¬®¥¨¨ ¯®¢¥àå®á⨠¨ 㢥«¨ç¥¨¨ ᮯà®â¨¢«¥¨ï ª ¯«¨.
᫨ ª ¯¨««ïàë© íä䥪⠢¥«¨ª, â® ® ¯à¨¢®¤¨â ª ¯®«®¬ã ¯à¥ªà é¥¨î ¤¢¨¥¨ï ¯®¢¥àå®á⨠ª ¯«¨ ¨«¨ ¯ã§ëàï, ¯®í⮬㠧 ª® ᮯà®â¨¢«¥¨ï ¤«ï ¨å áâ ®¢¨âáï â ª¨¬ ¥, ª ª ¨ ¤«ï ⢥म© áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æë. â®â ¢ë¢®¤ ¨¬¥¥â ¬®£®ç¨á«¥ë¥ íªá¯¥à¨¬¥â «ìë¥ ¯®¤â¢¥à¤¥¨ï [100℄. «¥¥, á«¥¤ãï [163℄, ¡®«¥¥ ¯®¤à®¡® ®áâ ®¢¨¬áï ¤à㣮¬ ¬¥å ¨§¬¥ ¢®§¨ª®¢¥¨ï ¥¯®áâ®ïá⢠¯®¢¥àå®á⮣® âï¥¨ï ¢ ¯à®æ¥áᥠ¤¢¨¥¨ï. áᬮâਬ ª ¯«î, ¤¢¨ãéãîáï á ¯®áâ®ï®© ᪮à®áâìî, ¯®¢¥àå®á⨠ª®â®à®© ¯à®â¥ª ¥â íª§®- ¨«¨ í¤®â¥à¬¨ç¥áª ï 娬¨ç¥áª ï ॠªæ¨ï. ç¨â ¥âáï, çâ® ¢ ॠªæ¨¨ ãç áâ¢ã¥â
6.3. ¥¬®ª ¯¨««ïàë© íä䥪⠯ਠ¤¢¨¥¨¨ ª ¯«¨
245
¯®¢¥àå®áâ®- ªâ¨¢®¥ ¢¥é¥á⢮, à á⢮८¥ ¢ ®ªàã î饩 ª ¯«î ¨¤ª®áâ¨. Ǒ।¯®« £ ¥¬, ç⮠⥬¯¥à âãà ¨¤ª®á⨠¨ ª®æ¥âà æ¨ï Ǒ ¢¤ «¨ ®â ª ¯«¨ ¯®áâ®ïë, ¢ â® ¢à¥¬ï ª ª ª®æ¥âà æ¨ï ¯®¢¥àå®áâ®- ªâ¨¢®£® ¢¥é¥á⢠(ॠ£¥â ) ¬¥ä §®© ¯®¢¥àå®á⨠®¡à é ¥âáï ¢ ã«ì (¤¨ää㧨®ë© २¬ ॠªæ¨¨). â ª®© ᨬ¬¥âà¨ç®© á¨âã 樨 ¥¯®áâ®ïá⢮ ⥬¯¥à âãàë, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¨ â¥à¬®ª ¯¨««ïàë¥ ¯àï¥¨ï ¬®£ãâ ¢®§¨ªãâì «¨èì ¯à¨ ¤¢¨¥¨¨ ¨¤ª®á⥩. «ï ⮣® çâ®¡ë ¯®¤ç¥àªãâì ஫ì 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨, ®¯¨áë¢ ¥¬ë¥ ¤ «¥¥ â¥à¬®ª ¯¨««ïàë¥ íä䥪âë ¯à¨ïâ® §ë¢ âì 奬®â¥à¬®ª ¯¨««ïà묨. ¤ çã ® áâ 樮 ஬ ®¡â¥ª ¨¨ ª ¯«¨ á ¯®¢¥àå®á⮩ 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¥© ®¤®à®¤ë¬ ¯®áâ㯠⥫ìë¬ áâ®ªá®¢ë¬ ¯®â®ª®¬ ãá«®¢® ¬®® à §¤¥«¨âì âਠç áâ¨. «ï £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®© ç á⨠§ ¤ ç¨ á®åà ïîâáï ¢á¥ ®á®¢ë¥ ¯à¥¤¯®«®¥¨ï, ãà ¢¥¨ï ¨ £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï, ¨á¯®«ì§ã¥¬ë¥ à ¥¥ ¢ à §¤. 6.2. ®æ¥âà 樮 ï ç áâì § ¤ ç¨ ®¯¨á뢥âáï ãà ¢¥¨¥¬ ª®¢¥ªâ¨¢®© ¤¨ää㧨¨ (4.4.3), £¤¥ ã äãªæ¨¨ ⮪ ¥®¡å®¤¨¬® ¯®áâ ¢¨âì ¨¤¥ªá ¥¤¨¨æ , ¨ £à ¨ç묨 ãá«®¢¨ï¬¨ ¯®áâ®ïá⢠ª®æ¥âà 樨 ¬¥ä §®© ¯®¢¥àå®á⨠¨ ¢¤ «¨ ®â ª ¯«¨ (4.4.4), (4.4.5). ¨ää㧨®®¥ ç¨á«® Ǒ¥ª«¥ Pe áç¨â ¥âáï ¬ «ë¬. â® ª á ¥âáï ⥯«®¢®© ç á⨠§ ¤ ç¨, â® ¢ à áᬠâਢ ¥¬®¬ á«ãç ¥ ¤«ï ®¯¨á ¨ï â¥à¬®ª ¯¨««ïண® íä䥪⠥¤®áâ â®ç® ®£à ¨ç¨âìáï ã«¥¢ë¬ ¯à¨¡«¨¥¨¥¬ ¯®«ï ⥬¯¥à âãàë ¯® ¬ «®¬ã ç¨á«ã Ǒ¥ª«¥, ¯®áª®«ìªã ¢ í⮬ á«ãç ¥ ⥬¯¥à âãà ®áâ ¢ « áì ¡ë ¯®áâ®ï®© ¢¤®«ì ¯®¢¥àå®á⨠ª ¯«¨. Ǒ®í⮬㠢¬¥áâ® ãà ¢¥¨© (6.2.2) §¤¥áì ¨á¯®«ì§ãîâáï ¡®«¥¥ ®¡é¨¥ ãà ¢¥¨ï ª®¢¥ªâ¨¢®© ⥯«®¯à®¢®¤®áâ¨: T∗(1) = χ1
V~ (1) · ∇ T∗(1) ,
T∗(2) = χ2
~ (2) · ∇ T (2) , V ∗
(6.3.1)
¤ «¨ ®â ª ¯«¨ ¨á¯®«ì§ã¥âáï £à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥ (6.2.1) ¯à¨ A = 0, ¬¥ä §®© ¯®¢¥àå®á⨠¤®«ë ¢ë¯®«ïâìáï ãá«®¢¨¥ ¥¯à¥à뢮á⨠⥬¯¥à âãàë (á¬. ¯¥à¢®¥ £à ¨ç®© ãá«®¢¨¥ ¢ (6.2.3)) ¨ ãá«®¢¨¥ ¡ « á ⥯«®¢®£® ¯®â®ª ãç¥â®¬ ⥯«®¢ë¤¥«¥¨ï § áç¥â ¯®¢¥àå®á⮩ ४樨: ∂T∗(1) ∂T∗(2) − κ2 κ1 ∂R ∂R
= QD
∂C ∂R
¯à¨
R = a,
(6.3.2)
£¤¥ Q | ⥯«®¢®© íä䥪â 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨ (Q > 0 | íª§®â¥à¬¨ç¥áª ï, Q < 0 | í¤®â¥à¬¨ç¥áª ï ॠªæ¨ï). ⬥⨬, çâ® á¢ï§ì ¬¥¤ã £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®©, ¤¨ää㧨®®© ¨ ⥯«®¢®© § ¤ 祩 ®áãé¥á⢫ï¥âáï á ¯®¬®éìî ª®¢¥ªâ¨¢ëå ç«¥®¢ ¢
246
¥à¬®£¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª¨¥ ¥¨ï
ãà ¢¥¨ïå ¤¨ää㧨¨ ¨ ⥯«®¯à®¢®¤®á⨠¨ ¤¢ãå £à ¨çëå ãá«®¢¨© (6.2.5) ¨ (6.3.2). «ï ¯®«ãç¥¨ï £« ¢ëå ç«¥®¢ à §«®¥¨ï ¯® ¬ «ë¬ ¤¨ää㧨®ë¬ ¨ ⥯«®¢ë¬ ç¨á« ¬ Ǒ¥ª«¥ ª®¢¥ªâ¨¢ë¬¨ ç«¥ ¬¨ ¬®® ¯à¥¥¡à¥çì ¨ á¢ï§ì ¬¥¤ã 㪠§ 묨 ¢ëè¥ § ¤ ç ¬¨ ॠ«¨§ã¥âáï ⮫쪮 § áç¥â £à ¨çëå ãá«®¢¨©. ¥è¥¨¥ £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®© ç á⨠§ ¤ ç¨, ª ª ¨ à ¥¥ ¬®® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ ä®à¬ã« ¤«ï äãªæ¨© ⮪ (6.2.6), £¤¥ ¯®áâ®ï ï B ®áâ ¥âáï ¯®ª ¥®¯à¥¤¥«¥®©. å®¤ï ¯à¨¡«¨¥®¥ à¥è¥¨¥ ⥯«®¢®© ¨ ¤¨ää㧨®®© § ¤ ç ¬¥â®¤®¬ áà 騢 ¥¬ëå ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨å à §«®¥¨© (á¬. à §¤. 4.4) á äãªæ¨¥© ⮪ (6.2.6) ¨ ®£à ¨ç¨¢ ïáì ã«¥¢ë¬¨ ¨ ¯¥à¢ë¬¨ ç«¥ ¬¨ à §«®¥¨© ¯® ¬ «ë¬ ç¨á« ¬ Ǒ¥ª«¥ á ¯®¬®éìî £à ¨çëå ãá«®¢¨© (6.2.5) ¨ (6.3.2) ¬®® ¢ëç¨á«¨âì § 票¥ ¯®áâ®ï®© B ¨ ᨫ㠤¥©áâ¢ãîéãî ª ¯«î: 1 + 23 β + 3m , 1+β+m
Ma PeT (1 − L ) . 12(2 + δ ) (6.3.3) QCi Dσ ′ χ1 | ç¨á«® à £®¨, L = | ç¨á«® ì¥áì Ma = κ1 µ1 Ui D á . Ǒਠ¢ë¢®¤¥ ä®à¬ã«ë (6.3.3) áç¨â «¨áì ¢ë¯®«¥ë¬¨ ãá«®¢¨ï: Pe ≈ PeT ¨ Ma Pe ≈ 1. ª®à®áâì ¤¢¨¥¨ï ª ¯«¨ ¢ ¯®«¥ âï¥á⨠室¨âáï ¨§ ãá«®¢¨ï ®¡à 饨ï á㬬ë ᨫë (6.3.3), ᨫë âï¥á⨠¨ ¢ëâ «ª¨¢ î饩 á¨«ë ¢ ã«ì (ρ − ρ2 )a2 g. Ui = 1 (6.3.4) 3µ1 B F
= 4πµ1 aUi B,
B
=−
m=−
ǑਠB < 0 ᨫ (6.3.3), ª ª ®¡ëç®, ï¥âáï ᨫ®© ᮯà®â¨¢«¥¨ï. ǑਠB > 0 ᨫ (6.3.3) ¯à¥¢à é ¥âáï ¢ ᨫã â ¡ã¤ãç¨ á® ¯à ¢«¥®© ᪮à®á⨠¤¢¨¥¨ï ª ¯«¨. ǑਠB > − 32 ª à⨠®¡â¥ª ¨ï ª ¯«¨ «®£¨ç ®¡â¥ª ¨î ¯® ¤ ¬ àã | ë¡ç¨áª®¬ã (à¨á. 2.2). 㬥ì襨¥¬ ¢¥«¨ç¨ë B ¨â¥á¨¢®áâì æ¨àªã«ï樨 ¨¤ª®á⨠¢ãâਠª ¯«¨ 㬥ìè ¥âáï ¨ ¯à¨ B = − 32 ®¡à é ¥âáï ¢ ã«ì. Ǒਠ¤ «ì¥©è¥¬ 㬥ì襨¨ (B < − 32 ) ¢®§¨ª ¥â æ¨àªã«ï樮 ï §® ¢®ªà㣠ª ¯«¨. ¯à ¢«¥¨¥ ¢ãâ॥© æ¨àªã«ï樨 áâ ®¢¨âáï ¯à®â¨¢®¯®«®ë¬ ¯® ®â®è¥¨î ª ᮮ⢥âáâ¢ãîé¥¬ã ¯à ¢«¥¨î ¢ á«ãç ¥ ¤ ¬ à | ë¡ç¨áª®£®. Ǒਠí⮬, ª ª á«¥¤ã¥â ¨§ (6.3.3), ¤¥©áâ¢ãîé ï ª ¯«î ᨫ ᮯà®â¨¢«¥¨ï ¯à¥¢ëè ¥â ᨫã ⮪á , ¤¥©áâ¢ãîéãî ⢥à¤ãî áä¥àã. ¯à¥¤¥«ì®¬ á«ãç ¥ β → ∞ (¡®«ìè ï ¢ï§ª®áâì ¢¥é¥á⢠ª ¯«¨) â¥à¬®ª ¯¨««ïàë© íä䥪⠥ ¢«¨ï¥â ¤¢¨¥¨¥, B → − 32 , ª ¯«ï ¡ã¤¥â ®¡â¥ª âìáï ª ª ⢥ठï áä¥à ¨ ¨§ (6.3.3) ¯®«ãç ¥âáï § ª® ⮪á (2.2.5). Ǒਠm = 0 (®âáãâá⢨¥ ⥯«®¢ë¤¥«¥¨ï ¨«¨ ¥§ ¢¨-
6.3. ¥¬®ª ¯¨««ïàë© íä䥪⠯ਠ¤¢¨¥¨¨ ª ¯«¨
247
ᨬ®áâì ¯®¢¥àå®á⮣® âï¥¨ï ®â ⥬¯¥à âãàë) â¥à¬®ª ¯¨««ïàë© íä䥪⠮âáãâáâ¢ã¥â, ¨§ (6.3.3) ¯®«ãç ¥âáï ®¡ëç ï ᨫ ᮯà®â¨¢«¥¨ï ¯à¨ ®¡â¥ª ¨¨ ª ¯«¨ ¯®áâ㯠⥫ìë¬ ¯®â®ª®¬ (2.2.15). ⬥⨬, çâ® ¬®¥â ®áãé¥á⢫ïâìáï २¬ â ª §ë¢ ¥¬®£® ¢â®®¬®£® ¤¢¨¥¨ï, ª®£¤ ª ¯«ï á ¬®¯à®¨§¢®«ì®, ¢ ®âáãâá⢨¥ ª ª¨å-«¨¡® ¢¥è¨å ¢ë㤠îé¨å ®¡áâ®ï⥫ìáâ¢, ¤à¥©äã¥â á ¯®áâ®ï®© ¥ã«¥¢®© ᪮à®áâìî [51, 52℄. Ǒਠí⮬ ¤à㣮© ¢®§¬®ë© २¬ ¤¢¨¥¨ï | ¯®ª®© | ®ª §ë¢ ¥âï ¥ãá⮩稢ë¬. ä䥪âë, «®£¨çë¥ à áᬮâà¥ë¬ ¢ ¤ ®¬ à §¤¥«¥, ¬®£ãâ ¢ë§ë¢ âìáï 奬®ª®æ¥âà 樮®-ª ¯¨««ïàë¬ ¬¥å ¨§¬®¬ [53℄, â ª¥ ¤à㣨¬¨, ®â«¨ç묨 ®â ¯®¢¥àå®á⮩ 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨ ä ªâ®à ¬¨, ¯à¨¬¥à, ⥯«®¢ë¤¥«¥¨¥¬ ¢ãâਠª ¯«¨ [156℄. ¬¥ç ¨¥. ¤ ç ® ¬ áᮯ¥à¥®á¥ ª ª ¯«¥ ¤«ï ¤¨ää㧨®®£® २¬ ॠªæ¨¨ ¥¥ ¯®¢¥àå®á⨠¢ ãá«®¢¨ïå â¥à¬®ª ¯¨««ïண® ¤¢¨¥¨ï ä®à¬ã«¨àã¥âáï â ª ¥, ª ª ¢ ¥£® ®âáãâá⢨¥ (á¬. à §¤. 4.4), á ãç¥â®¬ ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¨§¬¥¥¨© ¢ ¯®«¥ ᪮à®á⥩ ¨¤ª®áâ¨. [50℄ à áᬮâॠ¡®«¥¥ á«® ï § ¤ ç ¤«ï 奬®ª ¯¨««ïண® íä䥪â á ⥯«®¢ë¤¥«¥¨¥¬, ®¯¨á ®£® ¢ [51{53, 163℄. ç¨â «®áì, çâ® ¯®¢¥àå®á⨠ª ¯«¨ ¯à®â¥ª ¥â 娬¨ç¥áª ï ॠªæ¨ï á ª®¥ç®© ᪮à®áâìî.
7. ¨¤à®¤¨ ¬¨ª , ¬ áá®- ¨ ⥯«®®¡¬¥ ¢ ¥ìîâ®®¢áª¨å ¨¤ª®áâïå
® á¨å ¯®à à áᬠâਢ «¨áì ¢®¯à®áë ¤¢¨¥¨ï ¨ ⥯«®¬ áá®®¡¬¥ ìîâ®®¢áª¨å á।, ª®â®àë¥ å à ªâ¥à¨§ãîâáï «¨¥©®© á¢ï§ìî ¬¥¤ã ª á ⥫ì묨 ¯à泌ﬨ ¨ ᮮ⢥âáâ¢ãî騬¨ ᪮à®áâﬨ ¤¥ä®à¬ 樨 ᤢ¨£ (¯à¨ç¥¬ ¯à¨ ã«¥¢®© ᪮à®á⨠¤¥ä®à¬ 樨 ª á ⥫ìë¥ ¯àï¥¨ï ®âáãâáâ¢ãîâ). ª § ®¬ã § ª®ã å®à®è® ¯®¢¨ãîâáï £ §ë ¨ ®¤®ä §ë¥ ¨§ª®¬®«¥ªã«ïàë¥, â.¥. ¯à®áâë¥, ¨¤ª®áâ¨. ¯à ªâ¨ª¥, ®¤ ª®, ¥à¥¤ª® ¢áâà¥ç îâáï ¡®«¥¥ á«®ë¥ ¯® áâàãªâãॠ¨¤ª®áâ¨, ¯à¨¬¥à, à á⢮àë ¨ à ᯫ ¢ë ¯®«¨¬¥à®¢, ¤¨á¯¥àáë¥ â¥ªã稥 á¨á⥬ë (áãᯥ§¨¨, í¬ã«ìᨨ, ¯ áâë) , ª®â®àë¥ ¨¬¥îâ ¥«¨¥©ãî § ¢¨á¨¬®áâì ¬¥¤ã ª á ⥫ì묨 ¯à泌ﬨ ¨ ᪮à®áâﬨ ᤢ¨£®¢®© ¤¥ä®à¬ 樨. ª¨¥ ¨¤ª®á⨠§ë¢ îâ ¥ìîâ®®¢áª¨¬¨. í⮩ £« ¢¥ ®¯¨á ë ¨¡®«¥¥ à á¯à®áâà ¥ë¥ (¯®«ãí¬¯¨à¨ç¥áª¨¥ ¨ í¬¯¨à¨ç¥áª¨¥) ८«®£¨ç¥áª¨¥ ¬®¤¥«¨ ¥ìîâ®®¢áª¨å ¨¤ª®á⥩. ë ¯®áâ ®¢ª¨ ¨ ¯à¨¢¥¤¥ë ¨â®£®¢ë¥ १ã«ìâ âë à¥è¥¨ï ⨯¨çëå § ¤ ç £¨¤à®¤¨ ¬¨ª¨ ¨ ⥯«®¬ áá®®¡¬¥ á⥯¥ëå ¨¤ª®á⥩. 7.1. ¥®«®£¨ç¥áª¨¥ ¬®¤¥«¨ ¥ìîâ®®¢áª¨å ¥á¨¬ ¥¬ëå ¨¤ª®á⥩
ìîâ®®¢áª ï ¨¤ª®áâì. ®á®¢ã ª« áá¨ç¥áª®© £¨¤à®¬¥å ¨ª¨ ¢ï§ª®© ¥á¨¬ ¥¬®© ¨§®âய®© ¨¤ª®á⨠¯®«®¥ ®¡®¡é¥ë© § ª® ìîâ® τij
= −P δij + 2µeij (i, j = 1, 2, 3), 1 ¯à¨ i = j , δij = 6 j, 0 ¯à¨ i =
(7.1.1)
£¤¥ τij | ª®¬¯®¥âë ⥧®à ¯à泌©; P | ¤ ¢«¥¨¥; δij | ᨬ¢®« ஥ª¥à ; µ | ª®íää¨æ¨¥â ¤¨ ¬¨ç¥áª®© ¢ï§ª®á⨠¨¤ª®áâ¨; eij | ª®¬¯®¥âë ⥧®à ᪮à®á⥩ ¤¥ä®à¬ 樨, ª®â®àë¥ ¢ ¤¥ª à⮢®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â X1 , X2 , X3 ¢ëà îâáï ç¥à¥§ ª®¬¯®¥âë ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠V1 , V2 , V3 ¯® ä®à¬ã«¥ 1 eij = 2
248
∂Vi ∂Xj
+
∂Vj ∂Xi
.
(7.1.2)
7.1. ¥®«®£¨ç¥áª¨¥ ¬®¤¥«¨ ¥ìîâ®®¢áª¨å ¨¤ª®á⥩
249
ãà ¢¥¨¥ (7.1.1) ¢å®¤¨â «¨èì ®¤¨ ८«®£¨ç¥áª¨© ¯ à ¬¥âà µ, ª®â®àë© ¥ § ¢¨á¨â ®â ª¨¥¬ â¨ç¥áª¨å (᪮à®áâ¨, ã᪮२ï, ᬥ饨ï) ¨ ¤¨ ¬¨ç¥áª¨å (ᨫë, ¯à泌ï) å à ªâ¥à¨á⨪ ¤¢¨¥¨ï. ¥«¨ç¨ µ § ¢¨á¨â ®â ⥬¯¥à âãàë. á«ãç ¥ ®¤®¬¥à®£® ¯à®á⮣® ᤢ¨£®¢®£® â¥ç¥¨ï ìîâ® (7.1.1) ¯à¨¨¬ ¥â ¢¨¤ τ = µγ, _ (7.1.3) £¤¥ τ = τ12 , γ_ = ∂V1 /∂X2; X2 | ª®®à¤¨ â , ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïà ï ¯à ¢«¥¨î ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠V1 . à 䨪 § ¢¨á¨¬®á⨠τ ®â γ_ , ª®â®àë© §ë¢ ¥âáï ªà¨¢®© â¥ç¥¨ï, ¤«ï ìîâ®®¢áª®© ¨¤ª®á⨠(7.1.3) ¨¬¥¥â ¢¨¤ ¯àאַ© «¨¨¨, ¯à®å®¤ï饩 ç¥à¥§ ç «® ª®®à¤¨ â (à¨á. 7.1). à ⪮ ®¯¨è¥¬ ⥯¥àì ¬®¤¥«¨ ¡®«¥¥ á«®ëå | ¥ìîâ®®¢áª¨å | ¨¤ª®á⥩ (¯®¤à®¡®¥ ¨§«®¥¨¥ ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¢®¯à®á®¢ ¬®® ©â¨, ¯à¨¬¥à, ¢ ª¨£ å [9, 120, 157, 168, 174, 185, 202, 236℄). ¥«¨¥©®-¢ï§ª¨¥ ¨¤ª®áâ¨. ®£¨¥ á«®ë¥ ¯® áâàãªâãॠ८áâ ¡¨«ìë¥ (८«®£¨ç¥áª¨¥ å à ªâ¥à¨á⨪¨ ª®â®àëå ¥ § ¢¨áï⠮⠢६¥¨) ¨¤ª®á⨠¢ ãá«®¢¨ïå ®¤®¬¥à®£® ᤢ¨£ ¨¬¥î⠪ਢãî â¥ç¥¨ï, ®â«¨çãî ®â ìîâ®®¢áª®©.
᫨ ªà¨¢ ï â¥ç¥¨ï ªà¨¢®«¨¥© , ® ¯à®å®¤¨â ç¥à¥§ ç «® ª®®à¤¨ â ¢ ¯«®áª®á⨠γ_ , τ , ⮠ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¨¤ª®á⨠§ë¢ îâáï ¥«¨¥©®-¢ï§ª¨¬¨ (¥à¥¤ª® ç¨áâ® ¢ï§ª¨¬¨, ®¬ «ì®-¢ï§ª¨¬¨, ¨®£¤ ¥ìîâ®®¢áª¨¬¨). ¥«¨¥©®-¢ï§ª¨¥ ¨¤ª®á⨠¯®¤à §¤¥«ïîâáï ¯á¥¢¤®¯« áâ¨çë¥ | á ªà¨¢®© â¥ç¥¨ï, ®¡à 饮© ¢ë¯ãª«®áâìî ¢ áâ®à®ã ®á¨ ¯à泌©, ¨ ¤¨« â âë¥ | á ªà¨¢®© â¥ç¥¨ï, ®¡à 饮© ¢ë¯ãª«®áâìî ¢ áâ®à®ã ®á¨ ᪮à®á⥩ ᤢ¨£ (èâà¨å®¢ë¥ «¨¨¨ à¨á. 7.1). Ǒਬ¥à ¬¨ ¯á¥¢¤®¯« áâ¨ç¥áª¨å ¨¤ª®á⥩ ¬®£ãâ á«ã¨âì à á⢮àë ¨ à ᯫ ¢ë ¯®«¨¬¥à®¢, ¬ §ãâë, à á⢮àë ª ãç㪠, ¬®£¨¥ ¥ä⥯தãªâë, ¡ã¬ ë¥ ¯ã«ì¯ë, ¡¨®«®£¨ç¥áª¨¥ ¨¤ª®á⨠(ªà®¢ì, ¯« §¬ ), ä à7.1. à ªâ¥àë¥ ªà¨¢ë¥ ⥬ 楢â¨ç¥áª¨¥ á।á⢠(í¬ã«ìᨨ, ¨á. 票© ¥«¨¥©®-¢ï§ª¨å ¨¤ª®á⥩ ªà¥¬ë, ¯ áâë), à §«¨çë¥ ¯¨é¥¢ë¥ ¯à®¤ãªâë (¨àë, ᬥâ ) ¨ ¤à. ¨« â âë¥ á¢®©á⢠¢áâà¥ç îâáï ¢ ®á®¢®¬ ã ¢ë᮪®ª®æ¥âà¨à®¢ ëå ¨«¨ £àã¡®¤¨á¯¥àáëå á¨á⥬ ( ¯à¨¬¥à, ¢ë᮪®ª®æ¥âà¨à®¢ ë¥ ¢®¤ë¥ áãᯥ§¨¨ ¯®à®èª®¢ ¤¢ã®ª¨á¨ â¨â , ¥«¥§ , á«î¤ë, ª¢ àæ , ªà å¬ « , ¬®ªàë© à¥ç®© ¯¥á®ª ¨ ¤à.).
250
¥ìîâ®®¢áª¨¥ ¨¤ª®áâ¨
Ǒ® «®£¨¨ á ìîâ®®¢áª®© ¨¤ª®áâìî 㤮¡® ¢¢¥á⨠ª ãéãîáï (íä䥪⨢ãî) ¢ï§ª®áâì µe ¯® ä®à¬ã«¥ µe
_ = τ /γ.
Ǒà®ï¢«¥¨¥ ¯á¥¢¤®¯« áâ¨ç®á⨠á®á⮨⠢ 㬥ì襨¨ ª ã饩áï ¢ï§ª®á⨠á à®á⮬ ¯à泌ï (᪮à®áâ¨) ᤢ¨£ ; á। ¢ í⮬ á«ãç ¥ ª ª ¡ë ýà §¨ ¥âáïþ ¨ áâ ®¢¨âáï ¡®«¥¥ ¯®¤¢¨®©. ¤¨« â âëå ¨¤ª®á⥩ ¢¥«¨ç¨ ª ã饩áï ¢ï§ª®á⨠㢥«¨ç¨¢ ¥âáï á à®á⮬ ¯à泌ï ᤢ¨£ . áâ®ï饥 ¢à¥¬ï ¨§¢¥áâ® ¥áª®«ìª® ¤¥áï⪮¢, ¢ ®á®¢®¬ í¬¯¨à¨ç¥áª¨å, ८«®£¨ç¥áª¨å ¬®¤¥«¥© ¥«¨¥©®-¢ï§ª¨å ¨¤ª®á⥩. ª®¥ ¯®«®¥¨¥ ®¡ãá«®¢«¥® à §«¨ç®© 䨧¨ç¥áª®© ¯à¨à®¤®© áãé¥áâ¢ãîé¨å ⥪ãé¨å á¨á⥬ ¨ ®âáãâá⢨¥¬ ᥣ®¤ï ®¡é¥© ⥮ਨ, ª®â®à ï ¯®§¢®«ï« ¡ë ¤®áâ â®ç® áâண®, ª ª íâ® ¤¥« ¥âáï ¢ ¬®«¥ªã«ïà®-ª¨¥â¨ç¥áª®© ⥮ਨ £ §®¢, ¢ëç¨á«ïâì å à ªâ¥à¨á⨪¨ ¬®«¥ªã«ïண® ¯¥à¥®á ¨ ¬¥å ¨ç¥áª®£® ¯®¢¥¤¥¨ï á।ë, ¨áå®¤ï ¨§ ¥¥ ¢ãâ॥©, ¬¨ªà®áª®¯¨ç¥áª®© áâàãªâãàë. â ¡«. 7.1 ¯à¨¢¥¤¥ë ¨¡®«¥¥ à á¯à®áâà ¥ë¥ à¥®«®£¨ç¥áª¨¥ ¬®¤¥«¨ ¥«¨¥©®-¢ï§ª¨å ¨¤ª®á⥩. ®«ìè¨á⢮ 㪠§ ëå ¬®¤¥«¥© ¥ å à ªâ¥à¨§ã¥â ¢á¥ áâ®à®ë ॠ«ì®£® ¯®¢¥¤¥¨ï ¥«¨¥©®¢ï§ª¨å ¨¤ª®á⥩ ¢® ¢á¥¬ ¤¨ ¯ §®¥ ¨§¬¥¥¨ï ᪮à®á⥩ ᤢ¨£ , ¯¥à¥¤ ¥â «¨èì ®â¤¥«ìë¥ å à ªâ¥àë¥ ®á®¡¥®á⨠â¥ç¥¨ï. â ¡«. 7.1 ¨á¯®«ì§ãîâáï ª¢ §¨ìîâ®®¢áª¨¥ § ¯¨á¨ ¤¢ãå ¢¨¤®¢ τ
= µe (γ_ )γ, _
τ
= µe (τ )γ. _
®íää¨æ¨¥âë ¯à¨ γ_ ¢ ¯à ¢ëå ç áâïå íâ¨å ¢ëà ¥¨© ¬®® à áᬠâਢ âì ª ª ª ã騥áï ¥ìîâ®®¢áª¨¥ ¢ï§ª®áâ¨. Ǒ® í⨬ ¢¥«¨ç¨ ¬ á«¥¤ã¥â á㤨âì ® 䨧¨ç¥áª®¬ ᮣ« ᮢ ¨¨ ¬®¤¥«¥© á ¯®¢¥¤¥¨¥¬ ª®ªà¥âëå ⥪ãé¨å á¨á⥬. §¢¥áâ®, çâ® «î¡ ï ¥«¨¥©®-¢ï§ª ï ¨¤ª®áâì ¨¬¥¥â «¨¥©ë¥ ãç á⪨ ªà¨¢®© â¥ç¥¨ï ¯à¨ ®ç¥ì ¬ «ëå ¨ ¤®áâ â®ç® ¡®«ìè¨å ᪮à®áâïå ᤢ¨£ (à¨á. 7.1). ¡®§ 稬 ç¥à¥§ µ0 | ¨¬¥ìèãî ýìîâ®®¢áªãî ¢ï§ª®áâìþ, ª®â®à ï ¡«î¤ ¥âáï 㠯ᥢ¤®¯« áâ¨ç¥áª¨å ¨¤ª®á⥩ ¯à¨ ýã«¥¢®©þ ᪮à®á⨠ᤢ¨£ , ç¥à¥§ µ∞ | ¨¡®«ìèãî ýìîâ®®¢áªãî ¢ï§ª®áâìþ, ᮮ⢥âáâ¢ãîéãî ý¡¥áª®¥ç® ¡®«ì讬ãþ ᤢ¨£ã. ¨¤®, çâ® ¬®¤¥«ì á⥯¥®© ¨¤ª®á⨠(á¬. ¯¥à¢ãî áâà®çªã ¢ â ¡«. 7.1) å®à®è® ®¯¨áë¢ ¥â ॠ«ì®¥ ¯®¢¥¤¥¨¥ ¥«¨¥©®-¢ï§ª¨å á। ¢ ¯à®¬¥ãâ®ç®© ®¡« á⨠¬¥¤ã µ0 ¨ µ∞ ; ®¤ ª® ¢ ¯à¥¤¥«ìëå á«ãç ïå ¯à¨ γ_ → 0 ¨ γ_ → ∞ ® ¯à¨¢®¤¨â ª ¥¢¥àë¬ à¥§ã«ìâ â ¬. ®¤¥«¨ ««¨á ¨ ¡¨®¢¨ç ¯à ¢¨«ì® ®âà îâ ॠ«ì®áâì ¢ ®¡« á⨠¬ «ëå ¨ 㬥à¥ëå ¯à泌©, ®¤ ª® ¯à¨ τ → ∞ ¤ î⠢離®áâì, à ¢ãî ã«î; ¬®¤¥«ì ¨áª® ¯à¨¢®¤¨â ª ¡¥áª®¥ç® ¡®«ì让 ¢ï§ª®áâ¨
251
7.1. ¥®«®£¨ç¥áª¨¥ ¬®¤¥«¨ ¥ìîâ®®¢áª¨å ¨¤ª®á⥩ 7.1 ¥®«®£¨ç¥áª¨¥ ¬®¤¥«¨ ¥«¨¥©®-¢ï§ª¨å ¨¤ª®á⥩ (¯® ¤ ë¬ [168, 185, 187℄); τ | ᤢ¨£®¢®¥ ¯à泌¥, γ_ = ∂V1 /∂X2 N0
®¤¥«ì ¨¤ª®áâ¨, ä ¬¨«¨¨ ¢â®à®¢
1
⥯¥ ï ¨¤ª®áâì, ᢠ«ì¤ | ¤¥ ¨«ì
2
¨áª®
3
Ǒà ¤â«ì
τ
= A|γ| _ ar sin γ/B _
4
¨«ìï¬á®
τ
=
5
Ǒà ¤â«ì | ©à¨£
6
¡¨®¢¨ç
7
««¨á
8
©à¨£
9
¥©¥à | ¨«¨¯¯®¢
¥®«®£¨ç¥áª®¥ ãà ¢¥¨¥ = k|γ| _ n−1 γ_ ,
τ τ
=
A + Bµ0 |γ| _ n−1 γ_ , n > 0
τ
A
B + γ_
+ µ0 γ_
= arsh γ/B _
= µ0 (1 + Aτ 2 )−1 γ_
τ τ
=
γ_ A + B|τ |m−1
= Aγ_ + B sin(C|τ |)
τ τ
n>0
=
µ∞
+
µ0 − µ∞ A + Bτ 2
γ_
¯à¨ γ_ → 0. áâ «ìë¥ ¬®¤¥«¨, 㪠§ ë¥ ¢ â ¡«. 7.1, å®à®è® ®¯¨áë¢ îâ ª ç¥á⢥ãî áâàãªâãàã ¯®«®© ªà¨¢®© â¥ç¥¨ï. ª¨£¥ [185℄ ¯à¨¢¥¤¥ë ç¨á«¥ë¥ § ç¥¨ï ®¯à¥¤¥«ïîé¨å ¯ à ¬¥â஢ ८«®£¨ç¥áª¨å ¬®¤¥«¥© ᢠ«ì¤ | ¤¥ ¨«ï, ««¨á ¨ ¥©¥à | ¨«¨¯¯®¢ ¤«ï ¥ª®â®àëå ¢¥é¥áâ¢. ⥯¥ ï ¨¤ª®áâì. áâ®ï饥 ¢à¥¬ï ¨¡®«ì襥 à á¯à®áâà ¥¨¥ ¯®«ã稫 ¬®¤¥«ì á⥯¥®© ¨¤ª®áâ¨, ª®â®à ï ¤«ï ®¤®¬¥à®£® â¥ç¥¨ï ®¯¨á ¢ ç «¥ â ¡«. 7.1. ¡®¡é¥¨¥ í⮩ ¬®¤¥«¨ âà¥å¬¥àë© á«ãç © ¯à¨¢®¤¨â ª ãà ¢¥¨î á®áâ®ï¨ï (7.1.1), £¤¥ n−1 µ = k (2I2 ) 2 .
(7.1.4)
(¤¥áì ¨ ¤ «¥¥ ª ãéãîáï ¢ï§ª®áâì ¨¤ª®á⨠µe ¤«ï ªà ⪮á⨠¡ã¤¥¬ ®¡®§ ç âì ¯à®áâ® µ). ¯à ¢ãî ç áâì ä®à¬ã«ë (7.1.4) ¢å®¤ïâ ¤¢¥ ª®áâ âë k ¨ n ¨ ª¢ ¤à â¨çë© ¨¢ ਠâ ⥧®à ᪮à®á⥩ ¤¥ä®à¬ 樨 I2
=
3 X
i,j =1
eij eij
=
1 4
3 X ∂Vi ∂Xj i,j =1
+
∂Vj ∂Xi
2
.
(7.1.5)
252
¥ìîâ®®¢áª¨¥ ¨¤ª®áâ¨
7.2 Ǒ à ¬¥âàë á⥯¥®£® ८«®£¨ç¥áª®£® ãà ¢¥¨ï ¤«ï ¯á¥¢¤®¯« áâ¨çëå ¬ â¥à¨ «®¢ ¥é¥á⢮
᪮à®á⥩ ®æ¥âà æ¨ï, % ¨ ¯ §® ᤢ¨£ , ᥪ−1
k, · ᥪn ¬2
0,003 0,004 0035 0,044 0,081 0,302 0,259 0,429
1,54 2,01 2,89 0,09 0,22 0,22 0,35 0,35
ã¬ ï ¯ã«ì¯ (¢®¤ ï)
103 ÷ 3 · 104 10 ÷ 103 103 ÷ 104 102 ÷ 103 103 ÷ 104
0,952 0,926 0,794 0,72 0,79 0,63 0,66 0,58
4,0
|
0,575
20,02
¯ «¬ ¢ ª¥à®á¨¥
10,0
|
0,520
4,28
§¢¥á⪮¢®¥ â¥áâ®
23,0
|
0,178
7,43
«¨¨áâë© à á⢮à
33,0
|
0,171
7,2
á⢮à 楬¥â®£® ª ¬ï ¢ ¢®¤¥
54,3
|
0,153
2,51
à å¬ «ìë© ª«¥©áâ¥à ®¤ë© à áâ¢®à ª à¡®ªá¨¬¥â¨«æ¥««î«®§ë
| | |
n
Ǒ®áâ®ï ï k §ë¢ ¥âáï ¯®ª § ⥫¥¬ (¨¤¥ªá®¬) ª®á¨áâ¥æ¨¨ ¨¤ª®áâ¨; 祬 ¬¥ìè¥ ¥¥ ⥪ãç¥áâì, ⥬ ¡®«ìè¥ k. Ǒ à ¬¥âà n å à ªâ¥à¨§ã¥â á⥯¥ì ¥ìîâ®®¢áª®£® ¯®¢¥¤¥¨ï ¬ â¥à¨ « ; 祬 ᨫ쥥 n ®â«¨ç ¥âáï ®â ¥¤¨¨æë (¢ ¡®«ìèãî ¨«¨ ¬¥ìèãî áâ®à®ã), ⥬ ®âç¥â«¨¢¥¥ ¯à®ï¢«ï¥âáï ®¬ «¨ï ¢ï§ª®á⨠¨ ¥«¨¥©®áâì ªà¨¢®© â¥ç¥¨ï. ç¥¨ï¬ 0 < n < 1 ®â¢¥ç î⠯ᥢ¤®¯« áâ¨çë¥ ¨¤ª®áâ¨, ª ãé ïáï ¢ï§ª®áâì ª®â®àëå ã¡ë¢ ¥â á à®á⮬ ᪮à®á⥩ ᤢ¨£ . ìîâ®®¢áª ï ¨¤ª®áâì å à ªâ¥à¨§ã¥âáï ¯ à ¬¥â஬ n = 1. ç¥¨ï¬ n > 1 ®â¢¥ç îâ ¤¨« â âë¥ ¨¤ª®áâ¨, ã ª®â®àëå ª ãé ïáï ¢ï§ª®áâì à áâ¥â á 㢥«¨ç¥¨¥¬ ᪮à®á⥩ ᤢ¨£ . Ǒ à ¬¥âàë k ¨ n ¯à¨¨¬ îâáï ¯®áâ®ï묨 ¤«ï ¤ ®© ¨¤ª®á⨠¢ ¥ª®â®à®¬ ®£à ¨ç¥®¬ ¤¨ ¯ §®¥ ¨§¬¥¥¨ï ᪮à®á⥩ ᤢ¨£ . ¨ ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¨§ ¢¨áª®§¨¬¥âà¨ç¥áª¨å ®¯ë⮢ ¨ «¨§ â ª §ë¢ ¥¬ëå ªà¨¢ëå ª®á¨áâ¥â®áâ¨. â ¡«. 7.2 ¯à¨¢¥¤¥ë § 票ï k ¨ n ¤«ï ¥ª®â®àëå ¢¥é¥á⢠[187℄ (¯à®ç¥àª ¢ âà¥â쥩 ª®«®ª¥ ®§ ç ¥â, ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¤ ëå ¥â). «¥¤ã¥â ®â¬¥â¨âì, çâ® ¤«ï ¤®áâ â®ç® ¡®«ì讣® ¤¨ ¯ §® ¯à泌© (᪮à®á⥩) ᤢ¨£ ॠ«ìëå ¨¤ª®á⥩ ¢¥«¨ç¨ë k ¨ n ¡ã¤ãâ ¥¯®áâ®ïë. â® ¥ ¯à¥¯ïâáâ¢ã¥â è¨à®ª®¬ã ¨á¯®«ì§®¢ ¨î
7.1. ¥®«®£¨ç¥áª¨¥ ¬®¤¥«¨ ¥ìîâ®®¢áª¨å ¨¤ª®á⥩
253
á⥯¥®£® ८«®£¨ç¥áª®£® ãà ¢¥¨ï, â ª ª ª ¯à ªâ¨ª¥ ®¡ëç® ¯à¨å®¤¨âáï ¨¬¥âì ¤¥«® á ¤®¢®«ì® ®£à ¨ç¥ë¬ ¤¨ ¯ §®®¬ ᪮à®á⥩ ᤢ¨£ . «¥¥ ç áâ® ¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ âì ¡®«¥¥ ®¡éãî, 祬 (7.1.4), ८«®£¨ç¥áªãî ¬®¤¥«ì, ª®â®à ï ¢ âà¥å¬¥à®¬ á«ãç ¥ ®¯¨áë¢ ¥âáï ãà ¢¥¨¥¬ (7.1.1), £¤¥ ª ãé ïáï ¢ï§ª®áâì µ ¯à®¨§¢®«ìë¬ ®¡à §®¬ § ¢¨á¨â ®â ª¢ ¤à â¨ç®£® ¨¢ ਠâ ⥧®à ᪮à®á⥩ ¤¥ä®à¬ 樨: µ = µ(I2 ).
(7.1.6)
à ¢¥¨ï ¤¢¨¥¨ï ¥ìîâ®®¢áª¨å ¥á¨¬ ¥¬ëå ¨¤ª®á⥩, ¯®¤ç¨ïîé¨åáï í⮬㠧 ª®ã, ¢ à §«¨çëå á¨á⥬ å ª®®à¤¨ ⠯ਢ¥¤¥ë ¢ ¯à¨«®¥¨¨ 6. Ǒ¥à¢ë¥ ¯ïâì ¬®¤¥«¥©, 㪠§ ë¥ ¢ â ¡«. 7.1, ïîâáï ç áâ묨 á«ãç ﬨ (7.1.6). ®¤¥«ì ¥©¥à | ¨¢«¨ . ।¨ ¥ìîâ®®¢áª¨å ¨¤ª®á⥩ ®á®¡®¥ ¬¥áâ® § ¨¬ îâ ¨§®âà®¯ë¥ à¥®áâ ¡¨«ìë¥ á।ë, ã ª®â®àëå ⥧®à ¯à泌ï kτij k ï¥âáï ¥¯à¥à뢮© äãªæ¨¥© ⥧®à ᪮à®á⥩ ¤¥ä®à¬ 樨 keij k ¨ ¥ § ¢¨á¨â ®â ¤àã£¨å ª¨¥¬ â¨ç¥áª¨å ¨ ¤¨ ¬¨ç¥áª¨å ¯¥à¥¬¥ëå. ãé¥áâ¢ã¥â áâண®¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮, çâ® ¨¡®«¥¥ ®¡é¥© ८«®£¨ç¥áª®© ¬®¤¥«ìî, 㤮¢«¥â¢®àïî饩 í⨬ ãá«®¢¨ï¬, ï¥âáï ¥«¨¥© ï ¬®¤¥«ì ç¨áâ® ¢ï§ª®© ¥ìîâ®®¢áª®© á।ë ⮪á [9℄: τij
= −P δij + 2µeij + 4ε
3 X
k=1
eik ekj ,
(7.1.7)
£¤¥ µ ¨ ε | ᪠«ïàë¥ äãªæ¨¨ ¨¢ ਠ⮢ ⥧®à ᪮à®á⥩ ¤¥ä®à¬ 樨 I1
= e11 + e22 + e33 ,
I2
=
3 X
i,j =1
eij eji ,
I3
= det keij k.
(7.1.8)
á«ãç ¥ ¥á¨¬ ¥¬®© ¨¤ª®á⨠¯¥à¢ë© ¨¢ ਠâ à ¢¥ ã«î: = div ~v = 0. «ï ¯à®áâëå ®¤®- ¨ ¤¢ã¬¥àëå ¯®â®ª®¢ | â¥ç¥¨ï ⮪¨å ¯«¥®ª, ¯à®¤®«ì®¥ â¥ç¥¨¥ ¢ âàã¡¥, â £¥æ¨ «ì®¥ â¥ç¥¨¥ ¬¥¤ã ª®æ¥âà¨ç¥áª¨¬¨ 樫¨¤à ¬¨ | âà¥â¨© ¨¢ ਠâ I3 ⮤¥á⢥® à ¢¥ ã«î. § ¢¨á¨¬®á⨠®â ¢¨¤ ᪠«ïàëå äãªæ¨© µ ¨ ε ¯®«ãç îâáï à §«¨çë¥ à¥®«®£¨ç¥áª¨¥ ¬®¤¥«¨ ¥ìîâ®®¢áª¨å á।. ¯à¨¬¥à, á«ãç © µ = onst, ε = 0 ᮮ⢥âáâ¢ã¥â «¨¥©®© ¬®¤¥«¨ ìîâ®®¢áª®© n−1 ¨¤ª®á⨠(7.1.1). Ǒ®« £ ï µ = k(2I2 ) 2 , ε = 0, ¯®«ã稬 ¬®¤¥«ì á⥯¥®© ¥«¨¥©®-¢ï§ª®© ¨¤ª®á⨠(7.1.1), (7.1.4). I1
254
¥ìîâ®®¢áª¨¥ ¨¤ª®áâ¨
ë¡®à ¢ ä®à¬ã«¥ (7.1.7) ª®íää¨æ¨¥â®¢ µ ¨ ε ¥ à ¢ë¬¨ ã«î ª®áâ â ¬¨ ¯à¨¢®¤¨â ª ¬®¤¥«¨ ¥©¥à | ¨¢«¨ , ¤¤¨â¨¢® á®ç¥â î饩 «¨¥©ãî ¬®¤¥«ì ìîâ® á ⥧®à®-ª¢ ¤à â¨ç®© ¤®¡ ¢ª®©. í⮬ á«ãç ¥ ¯®áâ®ïë¥ µ ¨ ε §ë¢ îâáï ᤢ¨£®¢®© ¨ ®¡ê¥¬®© (¯®¯¥à¥ç®©) ¢ï§ª®áâﬨ ᮮ⢥âá⢥®. à ¢¥¨¥ (7.1.7) ¯®§¢®«ï¥â ®¯¨á âì ª ç¥áâ¢¥ë¥ ®á®¡¥®á⨠¬¥å ¨ç¥áª®£® ¯®¢¥¤¥¨ï ã¯à㣮¢ï§ª¨å ¨¤ª®á⥩, ¢ ç áâ®á⨠íä䥪⠥©á¥¡¥à£ (¯®¤ê¥¬ ¨¤ª®á⨠¯® ¢à é î饬ãáï ¢ «ã ¢¬¥áâ® ®ââ¥á¥¨ï ®â ¢ « § áç¥â æ¥â஡¥®© ᨫë). 離®¯« áâ¨çë¥ á।ë. ஬¥ à áᬮâà¥ëå, ¨¬¥îâáï â ª¥ á।ë, â¥ç¥¨¥ ª®â®àëå ç¨ ¥âáï «¨èì ¯®á«¥ ¯à¥¢ëè¥¨ï ¥ª®â®à®£® ªà¨â¨ç¥áª®£® ¯à泌ï τ0 , §ë¢ ¥¬®£® ¯à¥¤¥«®¬ ⥪ãç¥áâ¨. ਢ ï â¥ç¥¨ï â ª¨å á। ¯à¨ γ_ = 0 ®âᥪ ¥â ®á¨ ¯à泌© ®â१®ª ª®¥ç®© ¤«¨ë, à ¢ë© τ0 (à¨á. 7.1). ¥«¨ç¨ τ0 å à ªâ¥à¨§ã¥â ¯« áâ¨ç¥áª¨¥ ᢮©á⢠¬ â¥à¨ « , ª«® ªà¨¢®© â¥ç¥¨ï ª ®á¨ γ_ | ¥¥ ¯®¤¢¨®áâì. ।ë â ª®£® த §ë¢ î⠢離®¯« áâ¨ç묨. ®ç¥â ¨¥ ¯« áâ¨ç®á⨠¨ ¢ï§ª®áâ¨, å à ªâ¥à®¥ ¤«ï íâ¨å á।, ¢¯¥à¢ë¥ ¡ë«® ®¡ à㥮 ¢¥¤®¢ë¬ ã à á⢮஢ ¥« â¨ë, § ⥬ ¨£ ¬®¬ ã ¬ á«ïëå ªà ᮪ (¢ï§ª¨¥ ¨¤ª®áâ¨, ¥á¥ë¥ £« ¤ªãî ¢¥à⨪ «ìãî ¯®¢¥àå®áâì, ç¥à¥§ ª ª®¥-â® ¢à¥¬ï ®¡ï§ â¥«ì® ¤®«ë áâ¥çì á ¥¥ ¢¨§; ¯®í⮬㠮á⠢訩áï ¯®¢¥àå®á⨠᫮© ªà ᪨ ᢨ¤¥â¥«ìáâ¢ã¥â ® «¨ç¨¨ ã ¥¥ ¯« áâ¨ç¥áª¨å ᢮©áâ¢). â ¡«. 7.3 ¯à¨¢¥¤¥ë ¥ª®â®àë¥ ¬®¤¥«¨ ¢ï§ª®¯« áâ¨çëå á।. ¨¡®«¥¥ ¯à®á⮩ ¨ à á¯à®áâà ¥®© ¨§ ¨å ï¥âáï ¬®¤¥«ì ¢¥¤®¢ | ¨£ ¬ , ª®â®à®© ®â¢¥ç ¥â ¢¥àåïï ¯àï¬ ï à¨á. 7.1. ®á®¢ã í⮩ ¬®¤¥«¨ ¯®«®¥® ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ ® «¨ç¨¨ ã ¯®ª®ï饩áï ¨¤ª®á⨠¤®áâ â®ç® ¥á⪮© ¯à®áâà á⢥®© áâàãªâãàë, ª®â®à ï ᯮᮡ ᮯà®â¨¢«ïâìáï «î¡®¬ã ¯à泌î, ¬¥ì襬ã τ0 . í⨬ ¯à¥¤¥«®¬ áâ㯠¥â ¬£®¢¥®¥ ¯®«®¥ à §àã襨¥ áâàãªâãàë, á। â¥ç¥â ª ª ®¡ëç ï ìîâ®®¢áª ï ¨¤ª®áâì ¯à¨ ¯à泌¨ ᤢ¨£ τ − τ0 (ª®£¤ ¤¥©áâ¢ãî騥 ¢ ¨¤ª®á⨠ª á ⥫ìë¥ ¯à泌ï áâ ®¢ïâáï ¬¥ìè¥ τ0 , áâàãªâãà ᮢ ¢®ááâ ¢«¨¢ ¥âáï). â¥å ¬¥áâ å ¯®â®ª , £¤¥ ¯à泌ï ᤢ¨£ ¨¥ ¯à¥¤¥« ⥪ãç¥áâ¨, ®¡à §ãîâáï ýª¢ §¨â¢¥à¤ë¥þ ãç á⪨. à¥å¬¥àë© «®£ § ª® ¢¥¤®¢ | ¨£ ¬ ¨¬¥¥â ¢¨¤ eij
=0
τij
=2
τ p0 2I2
+ µp eij
¯à¨
|τ | 6 τ0 ,
¯à¨
|τ | > τ0 .
(7.1.9)
ª¨£¥ [120℄ ¯à¨¢¥¤¥ë ç¨á«¥ë¥ § ç¥¨ï ¯ à ¬¥â஢ τ0 ¨ µp ¤«ï à §«¨çëå ¤¨á¯¥àáëå á¨á⥬, ᮤ¥à é¨å ¯¥á®ª, 楬¥â ¨ ¥äâì.
255
7.1. ¥®«®£¨ç¥áª¨¥ ¬®¤¥«¨ ¥ìîâ®®¢áª¨å ¨¤ª®á⥩
7.3 ¥®«®£¨ç¥áª¨¥ ¬®¤¥«¨ ¢ï§ª®¯« áâ¨çëå ¨¤ª®á⥩ (¯® ¤ ë¬ [185, 202℄) N0
®¤¥«ì ¨¤ª®áâ¨
1
¢¥¤®¢ | ¨£ ¬
2
«ª«¨ | ¥à襫ï
3
íáá®
4
íáá® | ã«ì¬
τ 1/n
= τ01/n + (µγ_ )1/n
5
ã«ì¬
τ 1/n
= τ01/n + (µγ_ )1/m
¥®«®£¨ç¥áª®¥ ãà ¢¥¨¥ τ τ
= sign τ0 + µp γ_
= sign τ0 + k|γ| _ n−1 γ_ √ τ
√
= k0 + k1 γ_
⬥⨬, çâ® ¬®¤¥«ì íáá® (âà¥âìï ¬®¤¥«ì ¢ â ¡«. 7.3) å®à®è® ®¯¨áë¢ ¥â à §«¨çë¥ « ª¨, ªà ᪨, ªà®¢ì, ¯¨é¥¢ë¥ ª®¬¯®§¨æ¨¨ ⨯ 讪®« ¤ëå ¬ áá ¨ ¤à㣨¥ ¨¤ª¨¥ ¤¨á¯¥àáë¥ á¨á⥬ë [185℄. ¯à㣮¢ï§ª¨¥ ¨¤ª®áâ¨. ᢮¥ ¢à¥¬ï ªá¢¥«« § ¬¥â¨«, çâ® ¢¥é¥á⢠⨯ ᬮ«ë ¥«ì§ï ®â®á¨âì ¨ ª ⢥à¤ë¬ ⥫ ¬, ¨ ª ¨¤ª®áâï¬.
᫨ ¯à泌¥ ª« ¤ë¢ ¥âáï ¬¥¤«¥® «¨¡® ¤¥©áâ¢ã¥â ¤®áâ â®ç® ¯à®¤®«¨â¥«ì®¥ ¢à¥¬ï, ⮠ᬮ« ¡ã¤¥â ¢¥áâ¨ á¥¡ï ª ª ®¡ëª®¢¥ ï ¢ï§ª ï ¨¤ª®áâì. í⮬ á«ãç ¥ ¤¥ä®à¬ æ¨ï ¡ã¤¥â ¥¯à¥à뢮 ¨ ¥®¡à ⨬® à áâ âì ¢® ¢à¥¬¥¨, ᪮à®áâì ¤¥ä®à¬ 樨 ¡ã¤¥â ¯à®¯®à樮 «ì ¯à¨«®¥®¬ã ¯à泌î, ¯®¢¨ãïáì ìîâ®®¢áª®¬ã § ª®ã. ®£¤ ¯à¨«®¥®¥ ¯à泌¥ ¤¥©áâ¢ã¥â ¢¥áì¬ ¡ëáâà®, ᬮ« ¨á¯ëâë¢ ¥â ¤¥ä®à¬ æ¨î, ¯à®¯®à樮 «ìãî ¯àï¥¨î ¨ ¯®«®áâìî ¨á祧 îéãî ¯à¨ ¡ëáâ஬ à §£à㥨¨ ®¡à §æ . १ã«ìâ ⥠⠪¨å ¡«î¤¥¨© ªá¢¥«« ¯à¥¤«®¨« ¤¤¨â¨¢® ®¡ê¥¤¨¨âì § ª® 㪠(¤«ï ã¯à㣮£® ⥫ ) ¨ § ª® ìîâ® (¤«ï ¢ï§ª®© ¨¤ª®áâ¨) ¢ ®¤® ८«®£¨ç¥áª®¥ ãà ¢¥¨¥ á®áâ®ï¨ï, ª®â®à®¥ ¢ ®¤®¬¥à®¬ á«ãç ¥ § ¯¨áë¢ ¥âáï â ª: τ
+ t0
dτ dt
= µγ. _
(7.1.10)
¤¥áì t0 = µ/G | ¥ª®â®à®¥ å à ªâ¥à®¥ ¢à¥¬ï (¯¥à¨®¤ ५ ªá 樨), G | ¬®¤ã«ì ᤢ¨£ , t | ¢à¥¬ï. Ǒãáâì ¢ ¬ ªá¢¥««®¢áª®© ¨¤ª®á⨠ᮧ¤ ¥ª®â®à ï ¯®áâ®ï ï ¤¥ä®à¬ æ¨ï ¨ ¯à¨ïâë ¬¥àë ¤«ï ¥¥ á®åà ¥¨ï ¢ ¤ «ì¥©è¥¬. ®£¤ à §¢¨¢ î饥áï â¥ç¥¨¥ ¯®á⥯¥® ¡ã¤¥â ®á« ¡«ïâì ¯à¨«®¥®¥ ¯à泌¥ ¨ ¯®âॡã¥âáï ¢á¥ ¬¥ìè¥ ãᨫ¨©, ç⮡ë á®åà ¨âì ®¡à §¥æ ¤¥ä®à¬¨à®¢ ë¬. Ǒਠíâ¨å ãá«®¢¨ïå (τ = τ0 , γ_ = 0 ¯à¨ t = 0; γ = onst ¯à¨ t > 0) à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (7.1.10) ¨¬¥¥â ¢¨¤ τ
= τ0 exp(−t/t0 )
256
¥ìîâ®®¢áª¨¥ ¨¤ª®áâ¨
¨ ãáâ ¢«¨¢ ¥â íªá¯®¥æ¨ «ìë© å à ªâ¥à ®á« ¡«¥¨ï (५ ªá 樨) ¯à泌ï á® ¢à¥¬¥¥¬. ¥à¥§ ¯à®¬¥ã⮪ ¢à¥¬¥¨ t0 = µ/G ¯à泌¥ 㬥ìè¨âáï ¯à¨¬¥à® ¢ 2,7 à § ¯® áà ¢¥¨î á ¯¥à¢® ç «ì®© ¢¥«¨ç¨®© τ0 . Ǒਠ®ç¥ì ¡ëáâàëå ¬¥å ¨ç¥áª¨å ¢®§¤¥©á⢨ïå ¨«¨ ¡«î¤¥¨ïå á å à ªâ¥à묨 ¢à¥¬¥ ¬¨ t, ¬¥ì訬¨ t0 , ¢¥é¥á⢮ ¢¥¤¥â á¥¡ï ª ª ¨¤¥ «ì®-ã¯à㣮¥ ⥫®. ¯®á«¥¤ãî饬, ¯à¨ t ≫ t0 à §¢¨¢ î饥áï â¥ç¥¨¥ ¯¥à¥ªàë¢ ¥â ã¯àã£ãî ¤¥ä®à¬ æ¨î, ¨ ¬ â¥à¨ « ¬®® à áᬠâਢ âì ª ª ¯à®áâãî ìîâ®®¢áªãî ¨¤ª®áâì. ¨èì ª®£¤ § 票¥ t ¡ã¤¥â ⮣® ¥ ¯®à浪 , çâ® ¨ ¢¥«¨ç¨ t0 , « £ î騥áï íä䥪âë ã¯à㣮á⨠¨ ¢ï§ª®á⨠¤¥©áâ¢ãîâ ®¤®¢à¥¬¥®. í⮬ á«ãç ¥ ¨ ¯à®ï¢«ï¥âáï á«® ï ¯à¨à®¤ ¤¥ä®à¬ 樨. à¥å¬¥àë© «®£ ãà ¢¥¨ï ªá¢¥«« (7.1.10) § ¯¨áë¢ ¥âáï á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: D τij = −δij P + 2µeij , Dt £¤¥ ¨á¯®«ì§®¢ ® ®¡®§ 票¥ τij
+ t0
D = Dt
∂ ∂t
+
3 X i=1
Vi
∂ . ∂Xi
® ®â¬¥â¨âì, çâ® ¢á¥ ¯à®áâë¥ ìîâ®®¢áª¨¥ ¢¥é¥á⢠, ¤ ¥ â ª¨¥ ª ª ¢®§¤ãå, ¢®¤ ¨ ¡¥§®«, ®¡« ¤ îâ § ¬¥â®© ᤢ¨£®¢®© ã¯à㣮áâìî ¯à¨ ®ç¥ì ¡®«ìè¨å £à㥨ïå ᮠ᪮à®áâﬨ, ¡«¨§ª¨¬¨ ª ªãáâ¨ç¥áª¨¬. ¥¬¯ ¤¥ä®à¬¨à®¢ ¨ï ¢ í⮬ á«ãç ¥ ¤®«¥ ¨¬¥âì ¯®à冷ª 10−8 ÷10−10 ᥪ (¯à¨¬¥à ï ¢¥«¨ç¨ ५ ªá 樨 ¯à®áâëå ¨¤ª®á⥩). Ǒ®í⮬㠯ਠ⠪¨å ¡ëáâத¥©á⢨ïå ¢á¥ ¯à®áâë¥ ¨¤ª®á⨠¨ £ §ë ¬®® à áᬠâਢ âì ª ª ã¯à㣮¢ï§ª¨¥ á¨á⥬ë. 7.2. ¢¨¥¨¥ ¯«¥®ª ¥ìîâ®®¢áª¨å ¨¤ª®á⥩
áᬮâਬ áâ 樮 ஥ « ¬¨ ஥ â¥ç¥¨¥ ८«®£¨ç¥áª¨ á«®®© ¨¤ª®á⨠¢¤®«ì ª«®®© ¯«®áª®á⨠(à¨á. 1.3). ¢¨¥¨¥ áç¨â ¥¬ ¤®áâ â®ç® ¬¥¤«¥ë¬, â ª ç⮠ᨫ ¬¨ ¨¥à樨 (â.¥. ª®¢¥ªâ¨¢ë¬¨ ç«¥ ¬¨) ¬®® ¯à¥¥¡à¥çì ¯® áà ¢¥¨î á ¢ï§ª¨¬ â२¥¬ ¨ ᨫ ¬¨ âï¥áâ¨. Ǒãáâì â®«é¨ ¯«¥ª¨ h, ª®â®à ï ¯à¥¤¯®« £ ¥âáï ¯®áâ®ï®©, ¬®£® ¬¥ìè¥ ¥¥ ¤«¨ë. í⮬ á«ãç ¥ ¢ ¯¥à¢®¬ ¯à¨¡«¨¥¨¨ ®à¬ «ì ï ª®¬¯®¥â ᪮à®á⨠V2 ¡ã¤¥â ¬ « ¯® áà ¢¥¨î á ¯à®¤®«ì®© á®áâ ¢«ïî饩 V = V1 , ¯à®¨§¢®¤ë¬¨ ¢¤®«ì ¯®¢¥àå®á⨠¯«¥ª¨ ¬®® ¯à¥¥¡à¥çì ¯® áà ¢¥¨î á ¯à®¨§¢®¤ë¬¨ ¯® ®à¬ «¨.
257
7.2. ¢¨¥¨¥ ¯«¥®ª ¥ìîâ®®¢áª¨å ¨¤ª®á⥩
ª § ë¥ ¤®¯ãé¥¨ï ¯à¨¢®¤ïâ ª ®¤®¬¥à®¬ã ¯à®ä¨«î ᪮à®á⨠V = V (ξ ) ¨ ¤ ¢«¥¨î P = P (ξ ), £¤¥ ξ = h − Y | ª®®à¤¨ â , ®âáç¨âë¢ ¥¬ ï ¯® ®à¬ «¨ ª ¯®¢¥àå®á⨠á⥪¨. ®®â¢¥âáâ¢ãî騥 ãà ¢¥¨ï ¯«¥®ç®£® â¥ç¥¨ï ¨¬¥îâ ¢¨¤ ∂τ ∂ξ ∂P ∂ξ
+ ρg sin α = 0,
(7.2.1)
+ ρg os α = 0.
(7.2.2)
à ¢¥¨ï á«¥¤ã¥â ¤®¯®«¨âì £à ¨ç묨 ãá«®¢¨ï¬¨. ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®á⨠¯«¥ª¨, ª®â ªâ¨àãî饩 á £ §®¬, ª á ⥫쮥 ¯à泌¥ à ¢® ã«î, ®à¬ «ì®¥ ¯à泌¥ à ¢® ⬮áä¥à®¬ã ¤ ¢«¥¨î P0 , â.¥. τ
= 0,
P
= P0
¯à¨
ξ
= h.
(7.2.3)
¥¯à®¨æ ¥¬®© á⥪¥ ¢ëáâ ¢«ï¥âáï ãá«®¢¨¥ ¯à¨«¨¯ ¨ï: V
=0
¯à¨
ξ
= 0.
(7.2.4)
à ¢¥¨ï (7.2.1) ¨ (7.2.2) ¨â¥£à¨àãîâáï ¥§ ¢¨á¨¬®. å à¥è¥¨ï, 㤮¢«¥â¢®àïî騥 ãá«®¢¨ï¬ (7.2.3), ®¯à¥¤¥«ïîâáï ä®à¬ã« ¬¨ τ P
= ρg (h − ξ ) sin α, = P0 + ρg (h − ξ ) os α.
(7.2.5) (7.2.6)
¨¤®, çâ® ¯à泌¥ â२ï τ «¨¥©® ¢®§à á⠥⠮â ã«ï ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®á⨠¤® ᢮¥£® ¬ ªá¨¬ «ì®£® § 票ï τs = ρgh sin α á⥪¥ ¥§ ¢¨á¨¬® ®â ८«®£¨ç¥áª®© ᯥæ¨ä¨ª¨ á।ë. ¥«¨¥©®-¢ï§ª¨¥ ¨¤ª®áâ¨. ⥯¥ ï ¨¤ª®áâì. ¢¨á¨¬®áâì ᪮à®á⨠¤¥ä®à¬ 樨 ®â ¯àï¥¨ï ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ¥«¨¥©®-¢ï§ª¨å ¨¤ª®á⥩ 㤮¡® ¯à¥¤áâ ¢¨âì á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: dV = f (τ ), (7.2.7) dξ
£¤¥ ª®ªà¥âë© ¢¨¤ äãªæ¨¨ f ®¯à¥¤¥«ï¥âáï à áᬠâਢ ¥¬®© ८«®£¨ç¥áª®© ¬®¤¥«ìî ¨¤ª®áâ¨. «ï ¯®«ãç¥¨ï § ¢¨á¨¬®á⨠(7.2.7) ¢ ८«®£¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨ïå, ¯à¥¤áâ ¢«¥ëå ¢ â ¡«. 7.1, ᪮à®áâì ᤢ¨£ γ_ = dV /dξ á«¥¤ã¥â ¢ëà §¨âì ç¥à¥§ τ .
258
¥ìîâ®®¢áª¨¥ ¨¤ª®áâ¨
Ǒ®¤áâ ¢¨¬ ¢ ãà ¢¥¨¥ (7.2.7) τ ¨§ (7.2.5), § ⥬ ¯à®¨â¥£à¨à㥬 ¯® ξ á ãç¥â®¬ £à ¨ç®£® ãá«®¢¨ï ¯®¢¥àå®á⨠á⥪¨ (7.2.4). १ã«ìâ ⥠¤«ï ¯à®ä¨«ï ᪮à®á⨠¯®«ã稬: V
=
Z
ξ
0
f m(h−ζ ) dζ =
Z
1 m
mh
f (τ ) dτ,
m(h−ξ )
£¤¥
m = ρg sin α.
(7.2.8)
ªá¨¬ «ì ï ᪮à®áâì ¤®á⨣ ¥âáï ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®á⨠¯«¥ª¨ ¯à¨ ξ = h; ® ¢ëç¨á«ï¥âáï ¯® ä®à¬ã«¥ Umax
1
=
m
Z
mh
0
f (τ ) dτ.
(7.2.9)
©¤¥¬ ⥯¥àì á।îî ᪮à®áâì ¯«¥®ç®£® â¥ç¥¨ï ¨¤ª®á⨠hV i =
1 h
Z
h
0
V dξ
1
=
mh
Z h Z 0
mh
m(h−ξ )
f (τ ) dτ dξ.
¥ïï ¬¥áâ ¬¨ ¯¥à¥¬¥ë¥ ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï ᮣ« á® ä®à¬ã«¥ Z h Z 0
mh
m(h−ξ )
f (τ ) dτ dξ
=
Z
0
mh Z h
h−τ /m
f (τ ) dξ dτ,
§ ⥬ ¨â¥£à¨àãï ¯® ξ , ¨¬¥¥¬ ¨áª®¬®¥ ¢ëà ¥¨¥ ¤«ï á।¥© ᪮à®á⨠¨¤ª®áâ¨: hV i =
1
m2 h
Z
0
mh
τ f (τ ) dτ,
£¤¥
m = ρg sin α.
(7.2.10)
¥ªã¤®¥ ª®«¨ç¥á⢮ ¨¤ª®á⨠Q, ¯à®â¥ª î饥 ç¥à¥§ ¯®¯¥à¥ç®¥ á¥ç¥¨¥ ¯«¥ª¨, §ë¢ ¥âáï à á室®¬ ¨¤ª®á⨠¨ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï á ¯®¬®éìî ¨â¥£à « : Q=
Z
0
h
V dξ
= hhV i.
(7.2.11)
«ï á⥯¥®© ¨¤ª®á⨠(¯¥à¢ ï ¬®¤¥«ì ¢ â ¡«. 7.1) § ¢¨á¨¬®áâì ᪮à®á⨠¤¥ä®à¬ 樨 ®â ¯àï¥¨ï § ¤ ¥âáï ¢ëà ¥¨¥¬ (7.2.7), £¤¥ äãªæ¨ï f ¨¬¥¥â ¢¨¤ f (τ ) =
τ 1/n k
.
(7.2.12)
259
7.2. ¢¨¥¨¥ ¯«¥®ª ¥ìîâ®®¢áª¨å ¨¤ª®á⥩
Ǒ®¤áâ ¢«ïï íâã § ¢¨á¨¬®áâì ¢ ä®à¬ã«ë (7.2.8) | (7.2.11), ¬®® ©â¨ ®á®¢ë¥ å à ªâ¥à¨á⨪¨ ¯«¥®ç®£® â¥ç¥¨ï á⥯¥®© ¨¤ª®á⨠¯® ª«®®© ¯«®áª®áâ¨. ®®â¢¥âáâ¢ãî騥 १ã«ìâ âë ¢ëç¨á«¥¨© ¯à¨¢¥¤¥ë ¢ â ¡«. 7.4. ¨¤®, çâ® ¯®ª § ⥫ì á⥯¥®© ¨¤ª®á⨠n áãé¥á⢥® ¢«¨ï¥â ¯à®ä¨«ì ᪮à®áâ¨. 㢥«¨ç¥¨¥¬ ¯á¥¢¤®¯« áâ¨ç®á⨠à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ᪮à®á⥩ áâ ®¢¨âáï ¢á¥ ¡®«¥¥ ®¤®à®¤ë¬, ¯à¨¡«¨ ïáì ¢ ¯à¥¤¥«¥ ¯à¨ n → 0 ª ª¢ §¨â¢¥à¤®¬ã á ¯à®ä¨«¥¬ V = hV i = onst. ¨« â á¨ï, ®¡®à®â, ¤¥« ¥â ¯®«¥ ᪮à®á⥩ ¢á¥ ¡®«¥¥ ¥®¤®à®¤ë¬, ¯à¨ç¥¬ ¯à¨ n → ∞ ¯à®ä¨«ì ¯à¨®¡à¥â ¥â âà¥ã£®«ìãî ä®à¬ã V hV i
=2
ξ . h
ªá¨¬ «ì ï ᪮à®áâì ¯®-¯à¥¥¬ã ¤®á⨣ ¥âáï ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®á⨠¯«¥ª¨ ¨ á®áâ ¢«ï¥â Umax
= 2hV i.
¥áì ¢®§¬®ë© ¤¨ ¯ §® ¨§¬¥¥¨ï ¬ ªá¨¬ «ì®© ᪮à®á⨠¯à¨ 0 < n < ∞ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¥à ¢¥á⢠¬¨ hV i < Umax < 2 hV i.
ç áâ®áâ¨, ¤«ï ìîâ®®¢áª®© ¨¤ª®á⨠¨¬¥¥¬ Umax =
3 2 hV i.
離®¯« áâ¨çë¥ á।ë. ¨¤ª®áâì ¢¥¤®¢ | ¨£ ¬ .
«ï ¢ï§ª®¯« áâ¨çëå á। § ¢¨á¨¬®áâì ᪮à®á⨠¤¥ä®à¬ 樨 ®â ¯àï¥¨ï ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ¬®® ¯à¥¤áâ ¢¨âì á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: dV dξ
=
0
f (τ )
¯à¨ 0 6 τ 6 τ0 , ¯à¨ τ0 6 τ 6 ρgh sin α.
(7.2.13)
«ï ¯®«ã票ï £® ¢¨¤ äãªæ¨¨ f (τ ) ᪮à®áâì ᤢ¨£ = dV /dξ ¢ à áᬠâਢ ¥¬ëå ८«®£¨ç¥áª¨å ¬®¤¥«ïå (á¬. â ¡«. 7.3) á«¥¤ã¥â ¢ëà §¨âì ç¥à¥§ τ . ¢¨¥¨¥ ¯« áâ¨çëå ¨¤ª®á⥩, ¨¬¥îé¨å ª®¥çë© ¯à¥¤¥« ⥪ãç¥á⨠τ0 , ¨¬¥¥â ¥ª®â®àë¥ ª ç¥áâ¢¥ë¥ ®á®¡¥®áâ¨, ®â«¨ç î騥 ¨å ®â ¥«¨¥©®-¢ï§ª¨å ¨¤ª®á⥩. áᬮâਬ á«®© ¢ï§ª®¯« áâ¨ç®© ¨¤ª®á⨠¥ª®â®à®© ¯«®áª®áâ¨, 㣮« ª«® ª®â®à®© ¡ã¤¥¬ ¯®á⥯¥® ¬¥ïâì. ª á«¥¤ã¥â ¨§ ä®à¬ã«ë (7.2.5), ª á ⥫쮥 ¯à泌¥, ¥§ ¢¨á¨¬® ®â ८«®£¨ç¥áª®© ᯥæ¨ä¨ª¨ á।ë, 㬥ìè ¥âáï ¯®¯¥à¥ª ¯«¥ª¨ ®â ᢮¥£® ¬ ªá¨¬ «ì®£® § 票ï τmax = ρgh sin α ⢥म© á⥪¥ ¤® ã«ï ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®áâ¨. Ǒ®í⮬ã â¥ç¥¨¥ ¢ï§ª®¯« áâ¨ç®© ¯«¥ª¨ ¨¤ª®á⨠¬®¥â ç âìáï γ_
260
¥ìîâ®®¢áª¨¥ ¨¤ª®áâ¨
7.2. ¢¨¥¨¥ ¯«¥®ª ¥ìîâ®®¢áª¨å ¨¤ª®á⥩
261
«¨èì ¯®á«¥ ⮣®, ª ª ª á ⥫쮥 ¯à泌¥ á⥪¥ áâ ¥â à ¢ë¬ ¨«¨ ¯à¥¢ëá¨â ¯à¥¤¥« ⥪ãç¥á⨠τ0 : τ0
(7.2.14)
= ρgh0 sin α0 .
Ǒ।¥«ìë© ã£®« ª«® ¯«®áª®áâ¨, ¤® ª®â®à®£® ¥© 㤥ਢ ¥âáï § ¢¨á îé ï ¥¯®¤¢¨ ï ¯«¥ª , à ¢¥ α0
= ar sin
τ0 ρgh0
¨ ¡ã¤¥â ⥬ ¢ëè¥, 祬 ¡®«ìè¥ ¢¥«¨ç¨ τ0 ¨ 祬 â®ìè¥ á«®© ¨¤ª®áâ¨. «ï ¥«¨¥©®-¢ï§ª¨å á। § 票¥ ª®áâ âë α0 ¢á¥£¤ à ¢® ã«î. «ï ý§ ¢¨á ¨ïþ ¯«¥ª¨ ¢¥à⨪ «ì®© ¯«®áª®áâ¨, ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â § 票î α0 = π/2, ¥®¡å®¤¨¬®, çâ®¡ë ¬¥¤ã à ¢®¢¥á®© ⮫騮© ¯«¥ª¨ ¨ ¯à¥¤¥«®¬ ⥪ãç¥á⨠áãé¥á⢮¢ «® á®®â®è¥¨¥ h0 = τ0 /(ρg ), ª®â®à®¥ á«¥¤ã¥â ¨§ (7.2.13). ª § ®¥ ãá«®¢¨¥ ®¯à¥¤¥«ï¥â ⮫é¨ã ¯®ªàëâ¨ï, ®áâ î饣®áï ¢¥à⨪ «ìëå ¯®¢¥àå®áâïå. 䨪á¨à㥬 ⥯¥àì 㣮« ª«® ¯®¢¥àå®á⨠α. Ǒãáâì â®«é¨ ¯«¥ª¨ h â ª ï, çâ® ¢ë¯®«ï¥âáï ¥à ¢¥á⢮ h>
τ0 . ρg sin α
(7.2.15)
®£¤ ¢áï ®¡« áâì â¥ç¥¨ï à §¡¨¢ ¥âáï ¤¢¥ ç á⨠á à §«¨ç®© áâàãªâãன ¯à®ä¨«ï ᪮à®áâ¨: 1) ᤢ¨£®¢ ï ¯à¨á⥮ç ï §® | ¯à¨ 0 6 ξ 6 h − h0 , 2) §® ª¢ §¨â¢¥à¤®£® ¤¢¨¥¨ï | ¯à¨ h − h0 6 ξ 6 h. ¤¥áì ¢¢¥¤¥® ®¡®§ 票¥ h0
=
τ0 . ρg sin α
(7.2.16)
§®¥ ª¢ §¨â¢¥à¤®£® ¤¢¨¥¨ï, ¯à¨¬ëª î饩 ª ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®á⨠¯«¥ª¨, ᪮à®áâì ¨¤ª®á⨠¯®áâ®ï ¨ à ¢ § 票î ᪮à®á⨠£à ¨æ¥ ᤢ¨£®¢®© ¯à¨á⥮箩 §®ë ¯à¨ ξ = h − h0 . §®¥ ª¢ §¨â¢¥à¤®£® ¤¢¨¥¨ï ᪮à®áâì ¬ ªá¨¬ «ì V = Umax. Ǒ®¤áâ ¢¨¬ ¢ ãà ¢¥¨¥ (7.2.13) ¢ëà ¥¨¥ ¤«ï τ ¨§ (7.2.5), § ⥬ ¯à®¨â¥£à¨à㥬 ¯® ξ á ãç¥â®¬ ãá«®¢¨ï ¯à¨«¨¯ ¨ï á⥪¥ (7.2.4). १ã«ìâ ⥠¥á«®ëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨© ¤«ï ¯à®ä¨«ï ᪮à®á⨠¯®«ã稬 V
=
1 m
1 m
Z
mh
m(h−ξ )
Z
mh
τ0
f (τ ) dτ
f (τ ) dτ
¯à¨ 0 6 ξ 6 h − h0 , ¯à¨
h − h0 6 ξ 6 h,
(7.2.17)
262
¥ìîâ®®¢áª¨¥ ¨¤ª®áâ¨
£¤¥, ª ª ¨ à ¥¥, m = ρg sin α, h0 = τ0 /m. ªá¨¬ «ì ï ᪮à®áâì ¨¤ª®áâ¨, à ¢ ï Umax
=
1 m
Z
mh
τ0
f (τ ) dτ,
(7.2.18)
¤®á⨣ ¥âáï ¢® ¢á¥© §®¥ ª¢ §¨â¢¥à¤®£® â¥ç¥¨ï. ।ïï ᪮à®áâì ¯«¥®ç®£® â¥ç¥¨ï ¢ï§ª®¯« áâ¨ç®© ¨¤ª®á⨠¢ëç¨á«ï¥âáï ¯® ä®à¬ã«¥ hV i =
1
m2 h
Z
mh
τ0
τ f (τ ) dτ.
(7.2.19)
á室 ¨¤ª®á⨠室¨âáï á ¯®¬®éìî ¢ëà ¥¨ï (7.2.11), £¤¥ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ᮣ« á® (7.2.19). «ï ¨¤ª®á⨠¢¥¤®¢ | ¨£ ¬ (¯¥à¢ ï ¬®¤¥«ì ¢ â ¡«. 7.3) § ¢¨á¨¬®áâì ᪮à®á⨠¤¥ä®à¬ 樨 ®â ¯àï¥¨ï § ¤ ¥âáï ä®à¬ã«®© (7.2.13), £¤¥ τ − τ0 f (τ ) = . (7.2.20)
hV i
µp
Ǒ à ¬¥âà µp §ë¢ ¥âáï ¯« áâ¨ç¥áª®© (áâàãªâãன) ¢ï§ª®áâìî. Ǒ®¤áâ ¢«ïï § ¢¨á¨¬®áâì (7.2.20) ¢ (7.2.17) | (7.2.19), ©¤¥¬ ®á®¢ë¥ å à ªâ¥à¨á⨪¨ ¯«¥®ç®£® â¥ç¥¨ï ¢ï§ª®¯« áâ¨ç®© ¨¤ª®á⨠¢¥¤®¢ | ¨£ ¬ ¯® ª«®®© ¯«®áª®á⨠(१ã«ìâ âë ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¢ëç¨á«¥¨© ¯à¨¢¥¤¥ë ¢ â ¡«. 7.4). 7.3. áᮯ¥à¥®á ¢ ¯«¥ª å ८«®£¨ç¥áª¨ á«®ëå ¨¤ª®á⥩
áá®®¡¬¥ ¬¥¤ã ¯«¥ª®© ¨ £ §®¬. «¥¤ãï à ¡®â ¬ [185, 186, 202℄, à áᬮâਬ ¡á®à¡æ¨î á« ¡®à á⢮ਬëå £ §®¢ ¯®¢¥àå®á⨠¯«¥ª¨, á⥪ î饩 ¯® ª«®®© ¯«®áª®áâ¨. â 樮 ஥ à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ᪮à®á⥩ ¢ãâਠ¯«¥ª¨ ¤«ï ¥«¨¥©®-¢ï§ª¨å ¨¤ª®á⥩ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä®à¬ã«®© (7.2.8), ¤«ï ¢ï§ª®¯« áâ¨çëå | ä®à¬ã«®© (7.2.17). Ǒãáâì ¯®¢¥àå®á⨠¯«¥ª¨ ãáâ ¢«¨¢ ¥âáï ¯®áâ®ï ï ª®æ¥âà æ¨ï ¯®£«®é ¥¬®£® ª®¬¯®¥â C = Cs , ¢ á¥ç¥¨¥ á ª®®à¤¨ ⮩ X = 0 ¯®áâ㯠¥â ýç¨áâ ïþ ¨¤ª®áâì á ã«¥¢®© ª®æ¥âà 樥©. £à ¨ç¨¬áï á«ãç ¥¬ ¡®«ìè¨å ç¨á¥« Ǒ¥ª«¥, ª®£¤ ¤¨ää㧨¥© ¢¤®«ì ¯«¥ª¨ ¬®® ¯à¥¥¡à¥çì. ¯à¨¡«¨¥¨¨ ¤¨ää㧨®®£® ¯®£à ¨ç®£®
7.3. áᮯ¥à¥®á ¢ ¯«¥ª å ८«®£¨ç¥áª¨ á«®ëå ¨¤ª®á⥩
263
á«®ï (â.¥. ®£à ¨ç¨¢ ïáì £« ¢ë¬ ç«¥®¬ à §«®¥¨ï ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠¢¡«¨§¨ ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®á⨠V ≈ Umax) à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ª®æ¥âà 樨 ¢ãâਠ¯«¥ª¨ á ãç¥â®¬ ᤥ« ëå ¤®¯ã饨© ®¯¨áë¢ ¥âáï á«¥¤ãî騬¨ ãà ¢¥¨¥¬ ¨ £à ¨ç묨 ãá«®¢¨ï¬¨: Umax
∂C ∂X
∂2C ; ∂Y 2 Y = 0, C
=D
(7.3.1) = 0, C = 0; = Cs , £¤¥ ª®®à¤¨ â Y = 1 − ξ ®âáç¨âë¢ ¥âáï ¢ãâàì ¯® ®à¬ «¨ ª ¯®¢¥àå®á⨠¯«¥ª¨. ¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ (7.3.1) ¢ëà ¥âáï ç¥à¥§ ¤®¯®«¨â¥«ìë© ¨â¥£à « ¢¥à®ïâ®á⥩: X
= Cs erf
r
Y
Umax DX
.
(7.3.2) 2 ¨ää¥à¥æ¨àãï íâã ä®à¬ã«ã, 室¨¬ ¤¨ää㧨®ë© ¯®â®ª ¯®¢¥àå®áâì ¯«¥ª¨: C
r ∂C Umax D j∗ = −ρD . = ρCs ∂Y Y =0 πX
(7.3.3)
«ï ¥«¨¥©®-¢ï§ª¨å ¨ ¢ï§ª®¯« áâ¨çëå ¨¤ª®á⥩ ¬ ªá¨¬ «ì ï ᪮à®áâì Umax , ¢å®¤ïé ï ¢ ä®à¬ã«ã (7.3.3), ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ¢ëç¨á«ï¥âáï á ¯®¬®éìî ¢ëà ¥¨© (7.2.9) ¨ (7.2.18) ᮮ⢥âá⢥®. ç áâ®áâ¨, ¤«ï á⥯¥®© ¨¤ª®á⨠Umax ¬®® ¢§ïâì ¨§ â ¡«. 7.4, çâ® ¤ ¥â 1 1 n n ρg sin α n n+1 D 2 h j∗ = ρCs . n+1 k πX á⢮२¥ ¯« áâ¨ë ¯«¥ª®© ¨¤ª®áâ¨. áᬮâਬ ⥯¥àì ¬ áᮯ¥à¥®á ®â ⢥म© á⥪¨ ª ¯«¥ª¥ ¨¤ª®áâ¨. ç¨â ¥¬, çâ® ¯®¢¥àå®á⨠¯« áâ¨ë ª®æ¥âà æ¨ï ¯®áâ®ï ¨ à ¢ Cs , ¢å®¤®¥ á¥ç¥¨¥ ¯®¤ ¥âáï ç¨áâ ï ¨¤ª®áâì. ¯à¨¡«¨¥¨¨ ¤¨ää㧨®®£® ¯®£à ¨ç®£® á«®ï ¯à®ä¨«ì ᪮à®á⨠¢¡«¨§¨ ¯®¢¥àå®á⨠¯« áâ¨ë ¯à¨¡«¨¥® ¬®® § ¬¥¨âì ¢ëà ¥¨¥¬ V ≈
dV dξ
ξ =0
ξ
= f (mh)ξ,
£¤¥
m = ρg sin α.
ç¨âë¢ ï ᪠§ ®¥, § ¯¨è¥¬ § ¤ çã ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¯®«ï ª®æ¥âà 樨 ¢ ¤¨ää㧨®®¬ ¯®£à ¨ç®¬ á«®¥, ¯à¨¬ëª î饬 ª ¯®¢¥àå®á⨠á⥪¨: f (mh)ξ X
= 0,
C
∂C ∂X
= 0;
∂2C ; ∂ξ 2 ξ = 0, C
=D
= Cs .
(7.3.4)
264
¥ìîâ®®¢áª¨¥ ¨¤ª®áâ¨
¥è¥¨¥ ¢ëà ¥âáï ç¥à¥§ ¥¯®«ãî £ ¬¬ -äãªæ¨î: C
= Cs
1 (1/3)
1
3
,
f (mh)ξ 3 . 9DX
(7.3.5)
¨ää¥à¥æ¨àãï (7.3.5), ¯®«ã稬 ¤¨ää㧨®ë© ¯®â®ª ¯®¢¥àå®áâì ¯«¥ª¨ 1/3 2 D f (mh) ∂C = 0,538 ρCs j∗ = −ρD . ∂ξ ξ=0 X
(7.3.6)
âáî¤ ¤«ï á⥯¥®© ¨¤ª®áâ¨ á ¯®¬®éìî ä®à¬ã«ë (7.2.12) ¨¬¥¥¬ 1/3 ρg sin α 1/n D2 j∗ = 0,538 ρCs . (7.3.7) k
X
«ï ¢ï§ª®¯« áâ¨ç®© ¨¤ª®á⨠¢¥¤®¢ | ¨£ ¬ ¢ ¢ëà ¥¨¥ (7.3.6) á«¥¤ã¥â ¯®¤áâ ¢¨âì f (mh) = (ρgh sin α − τ0 )/µp . 7.4. ¢¨¥¨¥ ¥ìîâ®®¢áª¨å ¨¤ª®á⥩ ¯® âàã¡ ¬ ¨ ª « ¬
à㣫 ï âàã¡ . áᬮâਬ ãáâ ®¢¨¢è¥¥áï ®á¥á¨¬¬¥âà¨ç®¥ â¥ç¥¨¥ ¥ìîâ®®¢áª¨å ¨¤ª®á⥩ ¢ ¯àאַ© £®à¨§®â «ì®© âàã¡¥ ªà㣫®£® á¥ç¥¨ï à ¤¨ãá a. ®®à¤¨ âã Z , ®âáç¨âë¢ ¥¬ãî ¢¤®«ì ®á¨ âàã¡ë, ¯à ¢¨¬ ¯® ¯®â®ªã. £à ¨ç¨¬áï ¨áá«¥¤®¢ ¨¥¬ £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª¨ áâ ¡¨«¨§¨à®¢ ®£® â¥ç¥¨ï ¢¤ «¨ ®â ¢å®¤®£® á¥ç¥¨ï, ª®£¤ ¨¤ª®áâì ¤¢¨¥âáï ¯ à ««¥«ì® ®á¨ âàã¡ë. í⮬ á«ãç ¥ ¯¥à¥¯ ¤ ¤ ¢«¥¨ï ¡ã¤¥â 㬥ìè âìáï ¢ ¯à ¢«¥¨¨ ¢®§à áâ ¨ï Z , £à ¤¨¥â ¤ ¢«¥¨ï ®âà¨æ ⥫¥ ¨ ¯®áâ®ï¥ ∂P ∂Z
=−
P L
= onst,
£¤¥ P | ¯¥à¥¯ ¤ ¤ ¢«¥¨ï ¤«¨¥ âàã¡ë L. í⮩ § ¤ ç¥ ¢á¥ ¯à®¨§¢®¤ë¥ ᪮à®á⨠¯® ¯¥à¥¬¥ë¬ t, Z , ϕ, â ª¥ á®áâ ¢«ïî騥 ᪮à®á⨠Vϕ ¨ VR à ¢ë ã«î. ç¨âë¢ ï ᪠§ ®¥, ¨§ (7.2.5) ¯®«ã稬 ãà ¢¥¨¥ ¤¢¨¥¨ï d P (Rτ ) + R dR L
1
£¤¥ ¢¢¥¤¥® ®¡®§ 票¥ τ = τRZ .
= 0,
(7.4.1)
265
7.4. ¢¨¥¨¥ ¥ìîâ®®¢áª¨å ¨¤ª®á⥩ ¯® âàã¡ ¬ ¨ ª « ¬
¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (7.4.1), 㤮¢«¥â¢®àïî饥 ãá«®¢¨î ®£à ¨ç¥®á⨠(|τ | < ∞), ¨¬¥¥â ¢¨¤
P R. (7.4.2) 2L ¨¤®, çâ® ¡á®«îâ ï ¢¥«¨ç¨ ¯à泌ï âà¥¨ï «¨¥©® ¢®§à á⠥⠮â ã«ï ®á¨ âàã¡ë ¤® ᢮¥£® ¬ ªá¨¬ «ì®£® § 票ï τs = aP/L á⥪¥ âàã¡ë ¥§ ¢¨á¨¬® ®â ⨯ ¥ìîâ®®¢áª®© ¨¤ª®áâ¨. ¥«¨¥©®-¢ï§ª¨¥ ¨¤ª®áâ¨. ⥯¥ ï ¨¤ª®áâì. âàã¡¥ ᪮à®áâì ¤¥ä®à¬ 樨 ®âà¨æ ⥫ì γ_ = dV /dR < 0, £¤¥ ®¡®§ 祮 V = VZ . ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ¥«¨¥©®-¢ï§ª¨å ¨¤ª®á⥩ ¯à¥¤áâ ¢¨¬ § ¢¨á¨¬®áâì ᪮à®á⨠¤¥ä®à¬ 樨 ®â ¯à泌ï á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: dV = −f (|τ |), (7.4.3) =−
τ
dR äãªæ¨¨ f (τ ) > 0
£¤¥ ª®ªà¥âë© ¢¨¤ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¢ ᮮ⢥âá⢨¨ á ¢ë¡à ®© ८«®£¨ç¥áª®© ¬®¤¥«ìî. Ǒ®¤áâ ¢«ïï ¢ëà ¥¨¥ (7.4.2) ¢ (7.4.3), ¯®«ã稬 ãà ¢¥¨¥ ¤«ï ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠V = VZ .
£® à¥è¥¨¥, 㤮¢«¥â¢®àïî饥 ãá«®¢¨î ¯à¨«¨¯ ¨ï á⥪ å âàã¡ë (V = 0 ¯à¨ R = a), ¨¬¥¥â ¢¨¤ V
=
Z
a
f
R
P
2L
R dR.
(7.4.4)
ªá¨¬ «ì ï ᪮à®áâì ¨¤ª®á⨠¤®á⨣ ¥âáï ®á¨ ¯®â®ª Umax
=
Z
0
a
f
P
2L
R dR.
(7.4.5)
á室 ¨¤ª®á⨠ç¥à¥§ ¯®¯¥à¥ç®¥ á¥ç¥¨¥ âàã¡ë ¢ëç¨á«ï¥âáï ¯® ä®à¬ã«¥ Z a Z a P Q= 2πRV dR = π R2 f (7.4.6) R dR, 2L 0 0 á।ïï ᪮à®áâì ®¯à¥¤¥«ï¥âáï â ª: hV i =
Q . πa2
«ï ª®íää¨æ¨¥â ᮯà®â¨¢«¥¨ï âà¥¨ï ¯®«ã稬 cf
=
|τs | 1 ρhV i2 2
=
£¤¥ τs | ¯à泌¥ ᤢ¨£ á⥪¥.
aP , ρLhV i2
(7.4.7)
266
¥ìîâ®®¢áª¨¥ ¨¤ª®áâ¨
ç á⮬ á«ãç ¥ á⥯¥®© ¨¤ª®áâ¨, ª®â®à ï ®¯¨áë¢ ¥âáï ¢ëà ¥¨ï¬¨ (7.1.1), (7.1.4), äãªæ¨ï f ¢ (7.4.3) ¨¬¥¥â ¢¨¤ f
= (τ /k)1/n .
(7.4.8)
Ǒ®¤áâ ¢«ïï § ¢¨á¨¬®áâì (7.4.8) ¢ ä®à¬ã«ë (7.4.4) | (7.4.7), ¬®® ©â¨ ®á®¢ë¥ å à ªâ¥à¨á⨪¨ ¤¢¨¥¨ï á⥯¥®© ¨¤ª®á⨠¯® ªà㣫®© âàã¡¥. ¥§ã«ìâ âë ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¢ëç¨á«¥¨© [168, 174℄ ¯à¨¢¥¤¥ë ¢ â ¡«. 7.5 ¨ ¯®ª § ë à¨á. 7.2. ¨¤®, çâ® á 㬥ì襨¥¬ ¢¥«¨ç¨ë ८«®£¨ç¥áª®£® ¯ à ¬¥âà n ¯®«ãç îâáï ¢á¥ ¡®«¥¥ § ¯®«¥ë¥ ¯à®ä¨«¨ ᪮à®á⥩. Ǒ।¥«ìë© á«ãç © n → 0 å à ªâ¥à¨§ã¥âáï ª¢ §¨â¢¥à¤ë¬ ¤¢¨¥¨¥¬ ¨¤ª®áâ¨ á ®¤¨ ª®¢®© ᪮à®áâìî ¯® á¥ç¥¨î âàã¡ë («¨èì ¢ ¥¯®á।á⢥®© ¨á. 7.2. à ªâ¥àë¥ ¯à®ä¨«¨ ᪮à®á⥩ ¡«¨§®á⨠ã á⥪¨ ¯à®¨á室¨â ¥ìîâ®®¢áª¨å ¨¤ª®á⥩ ¯à¨ â¥ç¥¨¨ ¢ ªà㣫®© âàã¡¥ ¡ëáâ஥ ¯ ¤¥¨¥ ᪮à®á⨠¤® ã«ï). ìîâ®®¢áª®© ¨¤ª®á⨠n = 1 ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¯ à ¡®«¨ç¥áª¨© ¯à®ä¨«ì Ǒã §¥©«ï. Ǒ।¥«ì® ¤¨« â ⮥ â¥ç¥¨¥ (n → ∞) ¨¬¥¥â âà¥ã£®«ìë© ¯à®ä¨«ì, ª®â®àë© å à ªâ¥à¨§ã¥âáï «¨¥©ë¬ § ª®®¬ ¨§¬¥¥¨ï ᪮à®á⨠¯® à ¤¨ãáã âàã¡ë. 離®¯« áâ¨çë¥ á।ë. ¨¤ª®áâì ¢¥¤®¢ | ¨£ ¬ . ¢¨á¨¬®áâì ᪮à®á⨠¤¥ä®à¬ 樨 ®â ¯àï¥¨ï ¯à¨ â¥ç¥¨¨
¢ï§ª®¯« áâ¨çëå ¨¤ª®á⥩ ¯® ªà㣫®© âàã¡¥ ¬®® § ¯¨á âì ¢ á«¥¤ãî饬 ¢¨¤¥: −
dV dR
¯à¨ 0 6 |τ | 6 τ0 , = 0f (|τ |) ¯à¨ |τ | > τ0 .
(7.4.9)
Ǒ®¤áâ ¢«ïï íâ® ¢ëà ¥¨¥ ¢ (7.4.2), ¯®«ã稬 ãà ¢¥¨¥ ¤«ï ¯à®ä¨«ï ᪮à®áâ¨. ¨¤®, çâ® ¯à¨ ¬ «ëå £à ¤¨¥â å ¤ ¢«¥¨ï, 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å ãá«®¢¨î aP 6 τ0 , 2L
¤¢¨¥¨¥ ¨¤ª®á⨠¢ âàã¡¥ ¥ ¯à®¨á室¨â. «¥¥ ¡ã¤¥¬ áç¨â âì, çâ® ¢ë¯®«¥® ¥à ¢¥á⢮ 12 aP/L > τ0 . «ï ¢ï§ª®¯« áâ¨çëå ¨¤ª®á⥩ (7.4.9) à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (7.4.2),
7.4. ¢¨¥¨¥ ¥ìîâ®®¢áª¨å ¨¤ª®á⥩ ¯® âàã¡ ¬ ¨ ª « ¬
267
268
¥ìîâ®®¢áª¨¥ ¨¤ª®áâ¨
㤮¢«¥â¢®àïî饥 ãá«®¢¨î ¯à¨«¨¯ ¨ï á⥪ å âàã¡ë, ¨¬¥¥â ¢¨¤ Z a P R dR f 2L R V = Z a P f R dR 2L r0
¯à¨
r0 6 R 6 a,
¯à¨ 0 6 R 6 r0 ,
(7.4.10)
£¤¥ r0 | à ¤¨ãá §®ë ª¢ §¨â¢¥à¤®£® ¤¢¨¥¨ï 2Lτ0 . P ªá¨¬ «ì ï ᪮à®áâì ¨¤ª®áâ¨, à ¢ ï r0
Umax
=
Z
=
a
r0
f
P
2L
R dR,
(7.4.11)
(7.4.12)
¤®á⨣ ¥âáï ¢® ¢á¥© ®¡« á⨠ª¢ §¨â¢¥à¤®£® ¤¢¨¥¨ï ¨¤ª®á⨠ª ª 楫®£® ¢ ®ªà¥áâ®á⨠®á¨ ¯®â®ª 0 6 R 6 r0 . á室 ¨¤ª®á⨠ç¥à¥§ ¯®¯¥à¥ç®¥ á¥ç¥¨¥ âàã¡ë ¢ëç¨á«ï¥âáï ¯® ä®à¬ã«¥ Z a P R dR. Q=π R2 f (7.4.13) 2L r0 ।ïï ᪮à®áâì ¨¤ª®á⨠®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯ã⥬ ¯®¤áâ ®¢ª¨ (7.4.13) ¢ ¢ëà ¥¨¥ (7.4.7). ç á⮬ á«ãç ¥ ¢ï§ª®¯« áâ¨ç®© ¨¤ª®á⨠¢¥¤®¢ | ¨£ ¬ (¯¥à¢ ï ¬®¤¥«ì ¢ â ¡«. 7.3) ¤«ï äãªæ¨¨ f ¢ (7.4.9) ¨¬¥¥¬ f (|τ |) =
|τ | − τ0 . µp
(7.4.14)
Ǒ®¤áâ ¢«ïï íâã § ¢¨á¨¬®áâì ¢ ¢ëà ¥¨ï (7.4.10) | (7.4.13), ¯®«ã稬 ¢á¥ ®á®¢ë¥ å à ªâ¥à¨á⨪¨ í⮣® â¥ç¥¨ï. ¥§ã«ìâ âë ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å à áç¥â®¢ [174, 185℄ 㪠§ ë ¢ â ¡«. 7.5. Ǒà®ä¨«ì ᪮à®á⨠¨§®¡à ¥ à¨á. 7.3, § èâà¨å®¢ ï ®¡« áâì ᮮ⢥âáâ¢ã¥â §®¥ ª¢ §¨â¢¥à¤®£® ¤¢¨¥¨ï ¨¤ª®áâ¨. Ǒ«®áª¨© ª «. áᬮâਬ ⥯¥àì áâ 樮 ஥ £¨¤à®¤¨ ¬¨¨á. 7.3. Ǒà®ä¨«ì ᪮à®á⥩ â¥ç¥ç¥áª¨ áâ ¡¨«¨§¨à®¢ ®¥ â¥ç¥¨¥ ¥¨ï ¡¨£ ¬®¢áª®£® ¯« áâ¨ç¥áª®£® â¥- ìîâ®®¢áª®© ¨¤ª®á⨠¢ ¯«®áª®¬ « ª «¥ è¨à¨®© 2h. ¢¥¤¥¬ ¯àאַ㣮«ìãî á¨á⥬㠪®®à¤¨ â X , ξ , £¤¥ ®áì X ¯à ¢¨¬ ¢¤®«ì â¥ç¥¨ï
7.4. ¢¨¥¨¥ ¥ìîâ®®¢áª¨å ¨¤ª®á⥩ ¯® âàã¡ ¬ ¨ ª « ¬
269
¯® ¨¥© á⥪¥ ª « , ª®®à¤¨ âã ξ ¡ã¤¥¬ ®âáç¨âë¢ âì ¯® ®à¬ «¨ ª í⮩ á⥪¥ ¢ £«ã¡ì â¥ç¥¨ï (0 6 ξ 6 2h). ¤ ç ᨬ¬¥âà¨ç ®â®á¨â¥«ì® á।¥© «¨¨¨ ξ = h, ¯®í⮬㠤®áâ â®ç® à áᬮâà¥âì ¯®«®¢¨ã ®¡« á⨠0 6 ξ 6 h. áâ ®¢¨¢è¥¬ãáï â¥ç¥¨î ¢¤ «¨ ®â ¢å®¤ ¢ ª « ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¯®áâ®ïë© ®âà¨æ ⥫ìë© £à ¤¨¥â ¤ ¢«¥¨ï ∂P/∂X = −P/L = = onst (P | ¯¥à¥¯ ¤ ¤ ¢«¥¨ï ¤«¨¥ ª « L), ¯à¨ í⮬ ¯®¯¥à¥ç ï ª®¬¯®¥â ᪮à®á⨠¨¤ª®áâ¨ à ¢ ã«î. Ǒத®«ì ï á®áâ ¢«ïîé ï ᪮à®á⨠V = VX § ¢¨á¨â ⮫쪮 ®â ª®®à¤¨ âë ξ ¨ ®¯¨áë¢ ¥âáï ãà ¢¥¨¥¬ τξ′ = −P/L. ⥣à¨àãï íâ® ãà ¢¥¨¥ á ãç¥â®¬ ãá«®¢¨ï ᨬ¬¥âਨ (τ = 0 ¯à¨ ξ = h), ¨¬¥¥¬ P τ= (h − ξ ). (7.4.15) L
®à¬ã« (7.4.15) á â®ç®áâìî ¤® ¯¥à¥®¡®§ 票ï (P/L → ᮢ¯ ¤ ¥â á ¢ëà ¥¨¥¬ ¤«ï ᤢ¨£®¢®£® ¯à泌ï (7.2.5), ¯®«ã祮£® à ¥¥ ¤«ï ¯«¥®ç®£® â¥ç¥¨ï. Ǒ®í⮬㠯à®ä¨«ì ᪮à®á⨠V ¢ ¯«®áª®¬ ª «¥ (¢ ®¡« á⨠0 6 ξ 6 h), ¬ ªá¨¬ «ìãî ᪮à®áâì Umax , á।îî ᪮à®áâì hV i ¤«ï ¥«¨¥©®-¢ï§ª¨å ¨¤ª®á⥩ ¬®® ¢ëç¨á«ïâì ¯® ä®à¬ã« ¬ (7.2.8) | (7.2.10), ¤«ï ¢ï§ª®¯« áâ¨çëå ¨¤ª®á⥩ | ¯® ä®à¬ã« ¬ (7.2.17) | (7.2.19), ä®à¬ «ì® ¯®« £ ï ¢ ¨å ρg sin α = P/L. «ï á⥯¥®© ¨¤ª®á⨠¨ ¨¤ª®á⨠¢¥¤®¢ | ¨£ ¬ ®á®¢ë¥ å à ªâ¥à¨á⨪¨ â¥ç¥¨ï ¢ ¯«®áª®¬ ª «¥ ¬®® ©â¨ á ¯®¬®éìî â ¡«. 7.4, £¤¥ á«¥¤ã¥â ¯®«®¨âì m = P/L. ¢¨¥¨¥ £ §®¨¤ª®áâëå ¯¥ ¯® âàã¡ ¬. ®§¤ãèë¥ ¯¥ë ®á®¢¥ ¢®¤ëå à á⢮஢ ¨®®£¥ëå ¯®¢¥àå®áâ®- ªâ¨¢ëå ¢¥é¥á⢠¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ᮡ®© áâàãªâãà®-¬¥â áâ ¡¨«ìë¥ ¤¨á¯¥àáë¥ á¨á⥬ë.
᫨ ¢¥è¨¥ ¢®§¤¥©á⢨ï (¬ áᮢë¥, í«¥ªâà®ä¨§¨ç¥áª¨¥, â¥à¬¨ç¥áª¨¥, ¤¥ä®à¬ 樮ë¥) ¥ ¯à¥¢ëè îâ ¥ª®â®à®£® ¯®à®£®¢®£® § 票ï, â ª¨¥ ¯¥ë ¬®£ãâ áãé¥á⢮¢ âì, ¬¥¤«¥® í¢®«î樮¨àãï, ¤®áâ â®ç® ¤®«£® (103 ÷ 104 ᥪ), ¨ ¢ í⮬ á¬ëá«¥ ¬®® £®¢®à¨âì ®¡ ¨å £¨¤à ¢«¨ç¥áª¨å ¨ ८«®£¨ç¥áª¨å ᢮©á⢠å. à ¡®â å [108, 176℄ íªá¯¥à¨¬¥â «ì® ¨áá«¥¤®¢ «®áì ¯®à®¥ ¤¢¨¥¨¥ ¯¥ë ¯® âàã¡ ¬ á ¥à §àãè î騬¨ ᪮à®áâﬨ (á।ïï ᪮à®áâì ¥ ¯à¥¢ëè « 1 ¬/ᥪ). ë«® ãáâ ®¢«¥®, çâ® ¢®¤®áã«ìä®®«ì ï ¢®§¤ãè ï ¯¥ ®¡« ¤ ¥â ᢮©á⢠¬¨ ¢ï§ª®¯« áâ¨ç®© ¨¤ª®á⨠¢¥¤®¢ | ¨£ ¬ . Ǒਠâ¥ç¥¨¨ ¢ ªà㣫®© âàã¡¥ à ¤¨ãá a ¯®¤ ¤¥©á⢨¥¬ £à ¤¨¥â ¤ ¢«¥¨ï P/L ® ¨¬¥¥â ç¥âª® ¢ëà ¥®¥ ª¢ §¨â¢¥à¤®¥ ï¤à® à ¤¨ãá r0 = τ0 L/P ¨ ᪮à®áâì ᪮«ì¥¨ï ®â®á¨â¥«ì® á⥮ª âàã¡ë Vsl = 2πaP δ/µ ¯® ¨¤ª®¬ã á«®î ⮫騮© δ á «¨¥©ë¬ à á¯à¥¤¥«¥¨¥¬ ᪮à®áâ¨. «ï ८«®£¨ç¥áª¨å ¯ à ¬¥â஢ ¯¥ë | ¯à¥¤¥«ì®£® ¯à泌ï ᤢ¨£ τ0 , ª®íää¨æ¨¥â ¡¨£ ¬®¢áª®© ¢ï§ª®á⨠µp ¨ ⮫é¨ë ᬠ§®ç®£® á«®ï δ | → ρg sin α)
270
¥ìîâ®®¢áª¨¥ ¨¤ª®áâ¨
©¤¥ë á«¥¤ãî騥 í¬¯¨à¨ç¥áª¨¥ ª®à५ï樨, ¢ëà î騥 ¨å ç¥à¥§ ¨áå®¤ë¥ ¯ à ¬¥âàë: τ0 ρd2 µ2 µp µ δ d
0,49 3 2 0,35 σρd gd ρ , 2 µ µ2 2 3 2 −0,98 σρd gd ρ −5 0,99 = 8,8 · 10 κ , µ2 µ2 −0,46 3 2 0,1 σρd gd ρ = 0,2κ0,099 , 2 µ µ2
= 0,61κ0,18
(7.4.16)
£¤¥ ρ | ¯«®â®áâì à á⢮à , µ | ¤¨ ¬¨ç¥áª ï ¢ï§ª®áâì à á⢮à , σ | ª®íää¨æ¨¥â ¯®¢¥àå®á⮣® â泌ï, κ | ªà â®áâì ¯¥ë (¢¥«¨ç¨ , ®¡à â ï ®¡ê¥¬®¬ã ¢« £®á®¤¥à ¨î ¯¥ë), d | ¤¨á¯¥àá®áâì ¯¥ë (á।¨© ¤¨ ¬¥âà ¯ã§ëàìª ). Ǒ®£à¥è®á⨠¯¥à¢®©, ¢â®à®© ¨ âà¥â쥩 ä®à¬ã« (7.4.16) ᮮ⢥âá⢥® á®áâ ¢«ïîâ ±10%, ±17% ¨ ±32%. ®à५ï樨 ¯®«ãç¥ë £« ¤ª¨å âàã¡ å à ¤¨ãᮬ 5 ÷ 40 ¬¬. ª ç¥á⢥ à á⢮à Ǒ ¢® ¢á¥å ®¯ëâ å ¨á¯®«ì§®¢ «áï 0,4%-ë© à á⢮à áã«ìä®®« ¢ ¤¨á⨫«¨à®¢ ®© ¢®¤¥ á ᮤ¥à ¨¥¬ £«¨æ¥à¨ 5,2 ¨ 30 ¬ áᮢëå ¯à®æ¥â®¢ (¤«ï ¢ ਠ樨 ¢ï§ª®áâ¨). ¥«¨ç¨ë ρ ¨ σ ¯à¨ í⮬ ¢ àì¨à®¢ «¨áì ¢¥áì¬ á« ¡®. à â®áâì ¯¥ë κ ¬¥ï« áì ¢ ¯à¥¤¥« å 36 ÷ 322, ¤¨á¯¥àá®áâì ¯¥ë d | ¢ ¯à¥¤¥« å 0,35 ÷ 1,0 ¬¬, ¢ï§ª®áâì à áâ¢®à µ | ¢ ¯à¥¤¥« å 1,5 ÷ 10,5 Ǒ · ᥪ. ⬥⨬, çâ® τ0 ¨ µp à áâãâ á 㢥«¨ç¥¨¥¬ ªà â®áâ¨ κ ¨ ã¡ë¢ îâ á à®á⮬ ¤¨á¯¥àá®á⨠d. â® ¥ ¢à¥¬ï § ¢¨á¨¬®áâì τ0 ¨ µp ®â ¢ï§ª®á⨠à áâ¢®à µ ®á¨â ª ç¥á⢥® à §ë© å à ªâ¥à.
᫨ τ0 à áâ¥â á 㢥«¨ç¥¨¥¬ µ, â® µp á à®á⮬ µ ã¡ë¢ ¥â. â® ®§ ç ¥â, çâ® ¯¥ á ¡®«ì襩 ªà â®áâìî ¨¤ª®© ä §ë ¡«¨¥ ª ¨¤¥ «ì® ¯« áâ¨ç¥áª®© ¨¤ª®áâ¨ á ¡®«¥¥ ¢ë᮪¨¬ ¯à¥¤¥«®¬ ⥪ãç¥áâ¨. 7.5. ¥¯«®¯¥à¥®á ¢ ¯«®áª®¬ ª «¥ ¨ ªà㣫®© âàã¡¥ (á ãç¥â®¬ ¤¨áᨯ 樨)
Ǒ«®áª¨© ª «. áᬮâਬ § ¤ çã ® ¤¨áᨯ ⨢®¬ £à¥¢¥ ¥ìîâ®®¢áª®© ¨¤ª®á⨠¢ ¯«®áª®¬ ª «¥ á ¨§®â¥à¬¨ç¥áª¨¬¨ á⥪ ¬¨, ª®â®àëå ¯®¤¤¥à¨¢ ¥âáï ®¤¨ ª®¢ ï ¯®áâ®ï ï ⥬¯¥à âãà ξ = 0, T = T s ; ξ = 2h, T = Ts . (7.5.1) (¤¥áì ¨á¯®«ì§ã¥âáï á¨á⥬ ª®®à¤¨ â, ¢¢¥¤¥ ï ¢ à §¤. 7.4).
᫨ ⥬¯¥à âãà ¨¤ª®á⨠¢å®¤¥ à ¢ ⥬¯¥à âãॠá⥮ª Ts , â® ¯à®â泌¨ ¥ª®â®à®£® ãç á⪠âàã¡ë ¢á«¥¤á⢨¥ ¢ãâ॥£® âà¥¨ï ¨¤ª®áâì ¯®á⥯¥® £à¥¢ ¥âáï ¤® â¥å ¯®à, ¯®ª ª®«¨ç¥á⢮
271
7.5. ¥¯«®¯¥à¥®á ¢ ¯«®áª®¬ ª «¥ ¨ ªà㣫®© âàã¡¥
⥯« , ®â¢®¤¨¬®¥ ç¥à¥§ á⥪ã, ¥ áâ ¥â à ¢ë¬ ¤¨áᨯ â¨¢ë¬ â¥¯«®¢ë¤¥«¥¨ï¬. ®¡« áâ¨, ¢ ª®â®à®© ãáâ ®¢¨âáï â ª®¥ à ¢®¢¥á¨¥, ⥬¯¥à âãà ¨¤ª®á⨠¯¥à¥á⠥⠨§¬¥ïâìáï ¯® ¤«¨¥, â.¥. áâ㯨â áâ ¡¨«¨§ æ¨ï ⥬¯¥à âãண® ¯®«ï (¥á«¨, ª®¥ç®, ¯à®ä¨«ì ᪮à®á⨠⠪¥ áâ ¡¨«¨§¨à®¢ «áï). «¥¥ «¨§¨àã¥âáï ¨¬¥® â ª®¥ â¥à¬¨ç¥áª¨ ¨ £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª¨ áâ ¡¨«¨§¨à®¢ ®¥ â¥ç¥¨¥. «¥¤ãï [84, 103℄ ¡ã¤¥¬ ¯à¥¤¯®« £ âì, ç⮠⥯«®¢ë¤¥«¥¨¥ ¥ ¢«¨ï¥â 䨧¨ç¥áª¨¥ ᢮©á⢠¨¤ª®á⨠(â.¥. ª ãé ïáï ¢ï§ª®áâì, ¯«®â®áâì, ⥯«®¯à®¢®¤®áâì ¥ § ¢¨áïâ ®â ⥬¯¥à âãàë). í⮬ á«ãç ¥ ¯à®ä¨«ì ᪮à®á⨠室¨âáï ¥§ ¢¨á¨¬® ®â ⥯«®¢®© § ¤ ç¨ (á¬. à §¤. 7.4). ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ãà ¢¥¨¥ ¤«ï à á¯à¥¤¥«¥¨ï ⥬¯¥à âãàë ¢ ®¡« á⨠⥯«®¢®© áâ ¡¨«¨§ 樨 ¯®«ãç ¥âáï ¨§ ¢â®à®£® ãà ¢¥¨ï, ¯à¨¢¥¤¥®£® ¢ ¯à¨«®¥¨¨ 6 (£¤¥ ª®¢¥ªâ¨¢ë¥ ç«¥ë à ¢ë ã«î, ⥬¯¥à âãà § ¢¨á¨â ⮫쪮 ®â ¯®¯¥à¥ç®© ª®®à¤¨ âë), ¨ ¨¬¥¥â ¢¨¤ ′′ λTξξ + τ Vξ′
= 0,
(7.5.2)
£¤¥ λ | ª®íää¨æ¨¥â ⥯«®¯à®¢®¤®áâ¨, τ = µVξ′ | ᤢ¨£®¢®¥ ¯à泌¥, µ | ª ãé ïáï ¢ï§ª®áâì ¨¤ª®áâ¨, èâà¨å ®¡®§ ç ¥â ¯à®¨§¢®¤ãî ¯® ξ . ¢¨¤ã ᨬ¬¥âਨ § ¤ ç¨ ®â®á¨â¥«ì® á¥à¥¤¨ë ª « ξ = h ¤®áâ â®ç® à áᬮâà¥âì ¯®«®¢¨ã ®¡« á⨠0 6 ξ 6 h, £à ¨æ¥ ª®â®à®© á«¥¤ã¥â ¢ëáâ ¢¨âì ãá«®¢¨¥ ᨬ¬¥âਨ ξ
= h,
Tξ′
= 0.
(7.5.3)
áᬮâਬ á«ãç © ¯à®¨§¢®«ì®© ¢ï§ª®¯« áâ¨ç®© ¨¤ª®áâ¨ á ¯à¥¤¥«®¬ ⥪ãç¥á⨠τ0 ( «®£¨çë¥ à¥§ã«ìâ âë ¤«ï ¥«¨¥©®¢ï§ª¨å ¨¤ª®á⥩ ¡ã¤ãâ ᮮ⢥âá⢮¢ âì § 票î τ0 = 0). «ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¯à®ä¨«ï ⥬¯¥à âãàë ¯®áâ㯨¬ á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬. ç « ¢ ᤢ¨£®¢®© ¯à¨á⥮箩 §®¥ 0 6 ξ 6 h − h0 , £¤¥ h0 = τ0 L/P , à¥è ¥¬ ãà ¢¥¨¥ (7.5.2) á £à ¨çë¬ ãá«®¢¨¥¬ (7.5.1). ⥬ ¢ ª¢ §¨â¢¥à¤®© §®¥ h − h0 6 ξ 6 h à¥è ¥¬ ãà ¢¥¨¥ (7.5.2) ¯à¨ Vξ′ = 0 á £à ¨çë¬ ãá«®¢¨¥¬ (7.5.3). ⥬ ®¡ ¯®«ãç¥ëå à¥è¥¨ï ᮯàï£ îâáï ®¡é¥© £à ¨æ¥ ¯à¨ ξ = h0 . ª § ï ¯à®æ¥¤ãà ¯à¨¢®¤¨â ª á«¥¤ãî饬ã à á¯à¥¤¥«¥¨î ⥬¯¥à âãàë ¢ ª «¥: T − Ts
=
1 λ
Z ξ Z 0
h−h0
ξ
τ Vξ′
¯à¨ 0 6 ξ 6 h − h0 ,
dξ dξ
(7.5.4)
¯à¨ h − h0 6 ξ 6 h, £¤¥ ¬ ªá¨¬ «ì ï ⥬¯¥à âãà Tmax ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¢ëà ¥¨¥¬ Tmax − Ts
Tmax − Ts
=
1 λ
Z
0
h−h0 Z h−h0 ξ
τ Vξ′
dξ dξ,
h0
=L
τ0 . P
(7.5.5)
272
¥ìîâ®®¢áª¨¥ ¨¤ª®áâ¨
¥¯«®¢®© ¯®â®ª á⥪㠢ëç¨á«ï¥âáï ¯® ä®à¬ã«¥ dT qT = λ dξ ξ=0
=
Z
h−h0
0
(7.5.6)
τ Vξ′ dξ.
á«ãç ¥ á⥯¥®© ¨¤ª®á⨠¢ á®®â®è¥¨ïå (7.5.4) | (7.5.6) á«¥¤ã¥â ¯®«®¨âì h0 = 0 ¨ ¯®¤áâ ¢¨âì § ¢¨á¨¬®áâì τ = k(Vξ′ )n . ¥§ã«ìâ âë ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¢ëç¨á«¥¨© ¯®¬¥é¥ë ¢ â ¡«. 7.6. ¬ ¥ ¯à¨¢¥¤¥ë ®á®¢ë¥ ¯ à ¬¥âàë ⥯«®®¡¬¥ ¢ï§ª®¯« áâ¨ç®© ¨¤ª®á⨠¢¥¤®¢ | ¨£ ¬ (ìîâ®®¢áª®© ¨¤ª®á⨠®â¢¥ç îâ § 票ï τ0 = 0, µp = µ). à㣫 ï âàã¡ . Ǒਠâ¥å ¥ ¯à¥¤¯®«®¥¨ïå (⥬¯¥à âãà âàã¡ë ¯®áâ®ï ¨ à ¢ Ts , 䨧¨ç¥áª¨¥ ᢮©á⢠áà¥¤ë ¥ § ¢¨áïâ ®â ⥬¯¥à âãàë) à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ⥬¯¥à âãàë ¢ ®¡« á⨠⥯«®¢®© áâ ¡¨«¨§ 樨 ¤«ï ªà㣫®© âàã¡ë à ¤¨ãá a á ãç¥â®¬ ¤¨áᨯ ⨢®£® à §®£à¥¢ ®¯¨áë¢ ¥âáï á«¥¤ãî騬¨ ãà ¢¥¨¥¬ ¨ £à ¨ç묨 ãá«®¢¨ï¬¨: dT λ d = −τ VR′ ; R R dR dR dT R = 0, R = 0; R = a, T dR
(7.5.7) = Ts ,
£¤¥ τ | ᤢ¨£®¢®¥ ¯à泌¥, V | ᪮à®áâì ¨¤ª®áâ¨. «ï ¢ï§ª®¯« áâ¨çëå á। á ¯à¥¤¥«®¬ ⥪ãç¥á⨠§ ¤ ç¨ (7.5.7), (7.5.8) ¨¬¥¥â ¢¨¤ T − Ts
=
1 λ
dR τ VR′ R dR R r0
Z a Z R
R
Tmax − Ts
¯à¨
(7.5.8) τ0
à¥è¥¨¥
r0 6 R 6 a,
(7.5.9)
¯à¨ 0 6 R 6 r0 ,
£¤¥ r0 = 2Lτ0 /P , ¬ ªá¨¬ «ì ï ⥬¯¥à âãà Tmax ¢ëç¨á«ï¥âáï â ª: Tmax − Ts
=
1 λ
Z a Z
dR τ VR′ R dR . R r0
r0
R
(7.5.10)
¥¯«®¢®© ¯®â®ª á⥪ã âàã¡ë 室¨âáï á ¯®¬®éìî ¢ëà ¥¨ï qT
=
1 λ
Z
a
r0
τ VR′ R dR.
(7.5.11)
«ï ¥«¨¥©®-¢ï§ª¨å ¨¤ª®á⥩ ®á®¢ë¥ ¯ à ¬¥âàë ⥯«®®¡¬¥ ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¯® ä®à¬ã« ¬ (7.5.9) | (7.5.11), £¤¥ r0 = 0.
7.5. ¥¯«®¯¥à¥®á ¢ ¯«®áª®¬ ª «¥ ¨ ªà㣫®© âàã¡¥
273
274
¥ìîâ®®¢áª¨¥ ¨¤ª®áâ¨
«ï á⥯¥®© ¨¤ª®á⨠¨ ¨¤ª®á⨠¢¥¤®¢ | ¨£ ¬ १ã«ìâ âë ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¢ëç¨á«¥¨© ¯à¨¢¥¤¥ë ¢ â ¡«. 7.6 (ìîâ®®¢áª®© ¨¤ª®á⨠®â¢¥ç ¥â § 票¥ τ0 = 0). ªá¨¬ «ìë© ¯¥à¥¯ ¤ ⥬¯¥à âãàë ¤«ï á⥯¥®© ¨¤ª®á⨠¢ ªà㣫®© âàã¡¥ ᮣ« á® ¤ ë¬ â ¡«. 7.5 ¨ â ¡«. 7.6 ¬®® ¢ëà §¨âì ç¥à¥§ á।îî ᪮à®áâì ¯®â®ª hV i á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: Tmax − Ts
=
k 3n + 1 n−1 (hV i)n+1 . λ na
Ǒਠí⮬ ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 १ã«ìâ â ¤«ï ìîâ®®¢áª®© ¨¤ª®á⨠(n = 1, k = µ) ¥ § ¢¨á¨â ®â à ¤¨ãá âàã¡ë Tmax − Ts
=
µ (hV i)2 . λ
(7.5.12)
®à¬ã«ë, ¯®«ãç¥ë¥ ¢ ¤ ®¬ à §¤¥«¥, ¯à¨¬¥¨¬ë ¤«ï ¯®¤ ¢«ïî饣® ¡®«ìè¨á⢠®¡ëçëå ¨¤ª®á⥩. ¥ç¥¨ï ®ç¥ì ¢ï§ª¨å ¨¤ª®á⥩ ¨¬¥îâ å à ªâ¥àë¥ ª ç¥áâ¢¥ë¥ ®á®¡¥®áâ¨, ª®â®àë¥ ®¯¨á ë ¢ á«¥¤ãî饬 à §¤¥«¥. 7.6. ¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª¨© ⥯«®¢®© ¢§àë¢ ¢ ¥ìîâ®®¢áª¨å ¨¤ª®áâïå
ç¥áâ¢¥ë¥ ®á®¡¥®á⨠⥯«®¯¥à¥®á ¢ ®ç¥ì ¢ï§ª¨å ¨¤ª®áâïå. ¥¯«®, ¢®§¨ª î饥 ¢ ®ç¥ì ¢ï§ª¨å ¨¤ª®áâïå ¢á«¥¤-
á⢨¥ â२ï, ¢ë§ë¢ ¥â § ç¨â¥«ì®¥ £à¥¢ ¨¥ ¤ ¥ ¯à¨ 㬥à¥ëå ᪮à®áâïå ¤¢¨¥¨ï, ª ª ¯®ª §ë¢ ¥â á«¥¤ãî騩 ¯à¨¬¥à. 離®áâì ¨ ª®íää¨æ¨¥â ⥯«®¯à®¢®¤®á⨠¬®â®à®£® ¬ á« ¯à¨ ª®¬ ⮩ ⥬¯¥à âãॠ(Ts = 20◦C), ᮣ« á® ¤ ë¬ â ¡«. 7.7 à ¢ë: µ = 0,8 ª£/¬·á¥ª, λ = 0,15 /ᥪ·£à ¤. Ǒ®¤áâ ¢¨¢ í⨠§ ç¥¨ï ¢ ä®à¬ã«ã (7.5.12), 室¨¬ Tmax − Ts
=
◦ 5,5 C
22◦C 49,5◦ C
¯à¨ ¯à¨ ¯à¨
hV i = 1 hV i = 2 hV i = 3
¬/ᥪ, ¬/ᥪ, ¬/ᥪ.
Ǒ®¢ë襨¥ ⥬¯¥à âãàë ¬ á« ¯®«ãç ¥âáï áâ®«ì § ç¨â¥«ìë¬, ç⮠㥠¥«ì§ï ¥ ãç¨âë¢ âì § ¢¨á¨¬®áâì ª®íää¨æ¨¥â ¢ï§ª®á⨠®â ⥬¯¥à âãàë (¨§ â ¡«. 7.7 á«¥¤ã¥â, çâ® ¯à¨ ¨§¬¥¥¨¨ ⥬¯¥à âãàë ®â 20 ¤® 60◦C ¢ï§ª®áâì ¬¥ï¥âáï ¡®«¥¥ 祬 ¢ 10 à §); ¯à¨ í⮬ ¨§¬¥¥¨¥ 㤥«ì®© ⥯«®¥¬ª®á⨠¨ ⥯«®¯à®¢®¤®á⨠¬ á« ¥§ ç¨â¥«ì® ¨ í⨠¢¥«¨ç¨ë ¢ ¯¥à¢®¬ ¯à¨¡«¨¥¨¨ ¬®® áç¨â âì ¯®áâ®ï묨.
7.6. ¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª¨© ⥯«®¢®© ¢§àë¢
275
276
¥ìîâ®®¢áª¨¥ ¨¤ª®áâ¨
áá«¥¤®¢ ¨¥ ¥«¨¥©ëå íä䥪⮢, á¢ï§ ëå á ¨§¬¥¥¨¥¬ ¢ï§ª®á⨠®â ⥬¯¥à âãàë, ¡ã¤¥â ¯à®¢¥¤¥® ¨¥.
¥®«®£¨ç¥áª®¥ ãà ¢¥¨¥ ¢ ¥¨§®â¥à¬¨ç¥áª®¬ á«ãç ¥.
¨¡®«¥¥ ®¡é¥¥ ®¤®¬¥à®¥ ¥¨§®â¥à¬¨ç¥áª®¥ ãà ¢¥¨¥ á®áâ®ï¨ï ¥ìîâ®®¢áª®© ¨¤ª®á⨠¬®® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ F (τ, γ, _ T ) = 0, £¤¥ τ | ª á ⥫쮥 ¯à泌¥, γ_ | ᪮à®áâì ᤢ¨£ , T | ⥬¯¥à âãà . ¥ª®â®àë¥ ª®ªà¥âë¥ â¨¯ë ãà ¢¥¨ï á®áâ®ï¨ï ®¯¨á ë ¢ â ¡«. 7.1 ¨ â ¡«. 7.3, £¤¥ ८«®£¨ç¥áª¨¥ ¯ à ¬¥âàë n, A, B , C , µ0 , µ∞ , τ0 á«¥¤ã¥â áç¨â âì § ¢¨áï騬¨ ®â ⥬¯¥à âãàë T . áᬮâਬ ¯®¤à®¡¥¥ á⥯¥ãî ¨¤ª®áâì. ªá¯¥à¨¬¥âë [47℄ ¯®ª §ë¢ îâ, çâ® ¨¤¥ªá ¥ìîâ®®¢áª®£® ¯®¢¥¤¥¨ï ¬ â¥à¨ « n ¬®® áç¨â âì ¯®áâ®ïë¬, ¥á«¨ ⥬¯¥à âãàë¥ ¯¥à¥¯ ¤ë ¢ ®¡« á⨠â¥ç¥¨ï ¥ ¯à¥¢ëè îâ 30 ÷ 50◦ C. ®á¨áâ¥æ¨ï á।ë k = k(T ) £®à §¤® ¡®«¥¥ çã¢áâ¢¨â¥«ì ª ⥬¯¥à âãàë¬ ¥®¤®à®¤®áâï¬ ¨ 㬥ìè ¥âáï ¯à¨ ã¢¥«¨ç¥¨¨ T . Ǒ®í⮬ã ãà ¢¥¨¥ ८«®£¨ç¥áª®£® á®áâ®ï¨ï á⥯¥®© ¨¤ª®á⨠¢ ¥¨§®â¥à¬¨ç¥áª®¬ á«ãç ¥ ¬®® § ¯¨á âì á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: τ
_ = k(T )|γ| _ n−1 γ.
(7.6.1)
Ǒ®ª ¥¬ ⥯¥àì, çâ® ¯à¨ ¥¨§®â¥à¬¨ç¥áª®¬ ¤¢¨¥¨¨ ¨¤ª®á⨠¢ âàã¡ å ¨ ª « å ¬®£ãâ ¢®§¨ª âì ªà¨â¨ç¥áª¨¥ ¥¨ï, á¢ï§ ë¥ á áãé¥á⢮¢ ¨¥¬ ¯à¥¤¥«ì® ¤®¯ãá⨬®£® £à ¤¨¥â ¤ ¢«¥¨ï, ¯à¥¢ë襨¥ ª®â®à®£® àãè ¥â áâ 樮 àë© à¥¨¬ â¥ç¥¨ï. ¯¨á ®¥ ¥¨¥ ᮯ஢®¤ ¥âáï ¯à®£à¥áá¨àãî騬 㬥ì襨¥¬ ª ã饩áï ¢ï§ª®á⨠¨ 㢥«¨ç¥¨¥¬ ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠¨ ¯®«ã稫® §¢ ¨¥ £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®£® ⥯«®¢®£® ¢§àë¢ [22℄. ª § ë© íä䥪⠮¡ãá«®¢«¥ ¥«¨¥©®© § ¢¨á¨¬®áâìî ª ã饩áï ¢ï§ª®á⨠®â ⥬¯¥à âãàë ¨ ¯à®ï¢«ï¥âáï ¢ ⮬, çâ® ¯à¨ ¥ª®â®àëå ¢¥è¨å ãá«®¢¨ïå £¥¥à æ¨ï ⥯« ¢ ¨¤ª®á⨠§ áç¥â âà¥¨ï ¯à¥¢ëè ¥â ⥯«®®â¢®¤ ª á⥪ ¬ âàã¡ë. «¥¥ ¯à¨¨¬ ¥âáï, ç⮠⥯«®¯à®¢®¤®áâì áà¥¤ë ¥ § ¢¨á¨â ®â ⥬¯¥à âãàë. à ¢¥¨¥ ¤«ï à á¯à¥¤¥«¥¨ï ⥬¯¥à âãàë. ¥¨§®â¥à¬¨ç¥áª®¥ ¯àאַ«¨¥©®¥ áâ 樮 ஥ â¥ç¥¨¥ á⥯¥®© ¨¤ª®á⨠¢ ªà㣫®© âàã¡¥ à ¤¨ãá a ¯à¨ ¯®áâ®ï®© ⥬¯¥à âãॠ¥¥ ¯®¢¥àå®á⨠ãç á⪥ £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®© ¨ ⥯«®¢®© áâ ¡¨«¨§ 樨 ®¯¨áë¢ ¥âáï ãà ¢¥¨ï¬¨ (7.4.1), (7.5.7), (7.6.1). á⥪¥ âàã¡ë ¢ëáâ ¢«ï¥âáï ãá«®¢¨¥ ¯à¨«¨¯ ¨ï, £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï ¤«ï ⥬¯¥à âãàë ¯à¨¢¥¤¥ë ¢ (7.5.8). ¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (7.4.1), ®£à ¨ç¥®¥ ¯à¨ R → 0, ¤ ¥âáï ä®à¬ã«®© (7.4.2). ᪫îç ï τ ¨§ (7.5.7) á ¯®¬®éìî (7.4.2), ¨¬¥¥¬ VR′
=
2λ
(RTR′ )′R , AR2
τ
=−
AR
2
,
(7.6.2)
277
7.6. ¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª¨© ⥯«®¢®© ¢§àë¢
£¤¥ A = P/L | £à ¤¨¥â ¤ ¢«¥¨ï. Ǒ®¤áâ ¢«ïï í⨠¢ëà ¥¨ï ¢ (7.6.1), ¯®á«¥ í«¥¬¥â àëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨© ¯à¨å®¤¨¬ ª ãà ¢¥¨î ¤«ï ⥬¯¥à âãàë n+1 − 1 1 P n+1 n (7.6.3) R n k (T ) n = 0, R λ 2L ª®â®à®¥ á«¥¤ã¥â ¤®¯®«¨âì £à ¨ç묨 ãá«®¢¨ï¬¨ (7.5.8). § ä®à¬ã«ë (7.6.1) ¯®«ã稬 ¢ëà ¥¨¥ ¤«ï ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠′′ TRR +
1
′ + TR
V
=
P 1/n Z a R 1/n dR, 2L k (T ) R
(7.6.4)
ª®â®à®¥ ¬®® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¯®á«¥ ®¯à¥¤¥«¥¨ï § ¢¨á¨¬®á⨠T = T (R) ¯ã⥬ à¥è¥¨ï § ¤ ç¨ (7.6.3), (7.5.8).
ªá¯®¥æ¨ «ì ï § ¢¨á¨¬®áâì ª®á¨áâ¥æ¨¨ ®â ⥬¯¥à âãàë. «ï ®ç¥ì ¢ï§ª¨å ìîâ®®¢áª¨å ¨¤ª®á⥩ (⨯ £«¨æ¥à¨ )
®¡ëç® ¨á¯®«ì§ã¥âáï íªá¯®¥æ¨ «ì ï § ¢¨á¨¬®áâì ¢ï§ª®á⨠®â ⥬¯¥à âãàë [175℄. á¯à®áâà ïï íâ®â § ª® ª®á¨áâ¥æ¨î á⥯¥®© ¨¤ª®áâ¨, § ¯¨è¥¬ [22, 93, 111, 185℄ k
= k0 exp
−α(T − T0 ) ,
(7.6.5)
£¤¥ k0 , α, T0 | í¬¯¨à¨ç¥áª¨¥ ¯®áâ®ïë¥. Ǒ®¤áâ ¢¨¬ ¢ëà ¥¨¥ (7.6.5) ¢ ãà ¢¥¨¥ (7.6.3) ¨ ¢¢¥¤¥¬ ®¢ë¥ ¯¥à¥¬¥ë¥ y
=
R 3n+1 2n , a
w
α (T − Ts ). n
=
१ã«ìâ ⥠¯®«ã稬 § ¤ çã
′′ ywyy + wy′
y
= 0,
+ εn yew = 0; (ywy′ ) = 0; y = 1,
(7.6.6)
(7.6.7)
w = 0,
£¤¥ ¯ à ¬¥âà εn ®¯à¥¤¥«ï¥âáï á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: εn
=
4nαa2 k0 aP λ(3n + 1)2 2k0 L
n+1 n
exp
α (Ts − T ) . n
(7.6.8)
¤ ç (7.6.7) á â®ç®áâìî ¤® ¯¥à¥®¡®§ 票© ᮢ¯ ¤ ¥â á ª« áá¨ç¥áª®© § ¤ 祩 ® ⥯«®¢®¬ ¢§à뢥 [175℄. ª § ®¥ ®¡áâ®ï⥫ìá⢮ á ãç¥â®¬ ä®à¬ã«ë (7.6.6) ¯®§¢®«ï¥â ©â¨ à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ⥬¯¥à âãàë ¢ãâਠâàã¡ë ¤«ï ¥¨§®â¥à¬¨ç¥áª®£® â¥ç¥¨ï á⥯¥®© ¨¤ª®á⨠[21℄ T
= Ts +
n α
ln
8 εn
−
2n α
3n+1 R n b a
ln
+
1 b
.
(7.6.9)
278
¥ìîâ®®¢áª¨¥ ¨¤ª®áâ¨
¤¥áì ¯®áâ®ï ï ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï b 㤮¢«¥â¢®àï¥â ª¢ ¤à ⮬ã ãà ¢¥¨î á ª®àﬨ b1 =
2 εn
1/2
−
2 εn
−1
1/2
b2 =
,
2 εn
1/2
+
2 εn
−1
1/2
(7.6.10)
,
£¤¥ ¯ à ¬¥âà εn ¢ë¯¨á ¢ (7.6.8). ⨬ ¤¢ã¬ ª®àï¬ á®®â¢¥âáâ¢ãîâ ¤¢ à §«¨çëå ¯à®ä¨«ï ⥬¯¥à âãà; ãá⮩稢®¥ à¥è¥¨¥ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª®à¥¬ b1 , ¥ãá⮩稢®¥ | ª®à¥¬ b2 . à¨â¨ç¥áª®¥ ãá«®¢¨¥ ¢®§¨ª®¢¥¨ï ⥯«®¢®£® ¢§àë¢ å à ªâ¥à¨§ã¥âáï à ¢¥á⢮¬ ª®áâ â b1 = b2 ¢ (7.6.10) ¨ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â § 票î εn = 2. Ǒਠεn > 2 § ¤ ç (7.6.7) ¥ ¨¬¥¥â à¥è¥¨ï, ¯®í⮬㠥 áãé¥áâ¢ã¥â áâ 樮 àëå ¯àאַ«¨¥©ëå â¥ç¥¨© ¢ âàã¡¥. í⮬ á«ãç ¥ ⥯«®, ¢ë¤¥«ïî饥áï § áç¥â ¢ï§ª®£® â२ï, ¥ ãᯥ¢ ¥â ®â¢®¤¨âìáï ç¥à¥§ á⥪¨ âàã¡ë ¨ ¯à¨¢®¤¨â ª ¯à®£à¥áᨢ®¬ã à áâ ¨î ⥬¯¥à âãàë (â.¥. ⥯«®¢®¬ã ¢§àë¢ã). ¡®§ 稬 ⥯¥àì b = b1 ¨ à áᬮâਬ á«ãç © εn < 2. Ǒ®¤áâ ¢¨¬ ¢ëà ¥¨¥ (7.6.9) ¢ ä®à¬ã«ã (7.6.4) á ãç¥â®¬ à ¢¥á⢠(7.6.5), (7.6.8). १ã«ìâ ⥠室¨¬ ᪮à®áâì á⥯¥®© ¨¤ª®á⨠V
=
Z 1
4(3n + 1)2 λL nαa2 b2 P
ζ
R/a
1 3n+1 ζ n
n
+ b −2
−2
(7.6.11)
dζ.
«ï ìîâ®®¢áª®© ¨¤ª®áâ¨, ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â § ç¥¨î ¨§ (7.6.11) ¯®«ã稬 á«¥¤ãî騩 ¯à®ä¨«ì [22℄: V
=
16λbL h b by + ar tg b − αa2 P 1 + b2 1 + b2 y 2
i − ar tg(by ) ,
y
=
16λbL b + ar tg b . 2 2 αa P 1 + b «ï á⥯¥®© ¨¤ª®á⨠ᥪã¤ë© à á室 ¨¤ª®á⨠á¥ç¥¨¥ âàã¡ë à ¢¥
= 1,
R 2
Ǒ®« £ ï ¢ (7.6.12) y = 0, ¢ëç¨á«¨¬ ᪮à®áâì ®á¨ âàã¡ë Umax
n
. a (7.6.12)
=
Q = 2π
Z
a
0
V R dR =
4π(3n + 1)λb2 L . α(1 + b2 )P
Q
ç¥à¥§
(7.6.13)
§®â¥à¬¨ç¥áª®¬ã â¥ç¥¨î ¨¤ª®á⨠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¯à¥¤¥«ìë© ¯¥à¥å®¤ ¯à¨ α → 0. § ä®à¬ã«ë (7.6.10) á«¥¤ã¥â, çâ® b → (εn /8)1/2 ¯à¨ εn → 0. ç¨âë¢ ï ᪠§ ®¥, ¯¥à¥¯¨è¥¬ ãà ¢¥¨¥ (7.6.13) á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: Q=
8b 2 Q , εn (1 + b2 ) is
Qis
=
εn L 1 2 π (3n + 1)λ αP ,
(7.6.14)
279
7.6. ¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª¨© ⥯«®¢®© ¢§àë¢
£¤¥ Qis | à á室 ¨¤ª®á⨠¢ ¨§®â¥à¬¨ç¥áª®¬ á«ãç ¥ ¯à¨ T ≡ Ts . ᯮ¬¨ ï, çâ® ªà¨â¨ç¥áª¨¥ ãá«®¢¨ï £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®£® ⥯«®¢®£® ¢§àë¢ å à ªâ¥à¨§ãîâáï ¯à¥¤¥«ì묨 § 票ﬨ εn = 2, b = 1, ¨§ ä®à¬ã«ë (7.6.14) ¨¬¥¥¬ Q∗
= 2Qis .
(7.6.15)
¨¤®, çâ® ¤«ï ¥¨§®â¥à¬¨ç¥áª®£® â¥ç¥¨ï á⥯¥®© ¨¤ª®á⨠¯® ªà㣫®© âàã¡¥ ¯à¨ íªá¯®¥æ¨ «ì®© § ¢¨á¨¬®á⨠ª®á¨áâ¥æ¨¨ ®â ⥬¯¥à âãàë ¯à¨ «î¡®¬ ¨¤¥ªá¥ n ªà¨â¨ç¥áª®¥ § 票¥ à á室 ¢ ¤¢ à § ¡®«ìè¥, 祬 ¢ ¨§®â¥à¬¨ç¥áª®¬ á«ãç ¥. ⬥⨬, çâ® ¢ à ¡®â¥ [20℄ ¨áá«¥¤®¢ «®áì ¥¨§®â¥à¬¨ç¥áª®¥ â¥ç¥¨¥ á⥯¥®© ¨¤ª®á⨠¬¥¤ã ¤¢ã¬ï ¯ à ««¥«ì묨 ¯«®áª®áâﬨ, ®¤ ¨§ ª®â®àëå ¤¢¨£ « áì á ¯®áâ®ï®© ᪮à®áâìî (â¥ç¥¨¥ ãíââ ); â ¬ ¥ à áᬠâਢ «®áì ¡¥§ ¯®à®¥ ¤¢¨¥¨¥ ¢ ª®«ì楢®¬ § §®à¥ ¨ â¥ç¥¨¥ ¬¥¤ã ¤¢ã¬ï ¢à é î騬¨áï 樫¨¤à ¬¨ ¢ á«ãç ¥ íªá¯®¥æ¨ «ì®© § ¢¨á¨¬®á⨠ª®á¨áâ¥æ¨¨ (7.6.5) ¯à¨ ¯®áâ®ï®© ⥬¯¥à âãॠ£à ¨æ å. ⥯¥ ï § ¢¨á¨¬®áâì ª®á¨áâ¥æ¨¨ ®â ⥬¯¥à âãàë. ®¯ëâ å [106℄ ¨áá«¥¤®¢ «¨áì ¢®¤ë¥ à á⢮àë ª à¡®ªá¨¬¥â¨«æ¥««î«®§ë, ªà¨¢ ï â¥ç¥¨ï ª®â®àëå å®à®è® ®¯¨áë¢ ¥âáï á⥯¥ë¬ ãà ¢¥¨¥¬ ᢠ«ì¤ | ¤¥ ¨«ï. ë«® ¯®ª § ®, çâ® ¯®ª § ⥫ì n ¢ ¤¨ ¯ §®¥ ⥬¯¥à âãà 15 ÷ 60◦C ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ¥ ¬¥ï¥âáï, ª®á¨áâ¥æ¨î áà¥¤ë ¬®® ¯¯à®ªá¨¬¨à®¢ âì § ¢¨á¨¬®áâìî k
= k0 1 + Bn
T − T0 −n , T0
(7.6.16)
£¤¥ Bn | å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª ï ¯®áâ®ï ï ¬ â¥à¨ « . ¨ ¯ §® § 票© n ¨á¯®«ì§ã¥¬ëå à á⢮஢ á®áâ ¢«ï« 0,33 ÷ 1,0. ¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ (7.6.3), (7.5.8) ¢ á«ãç ¥ á⥯¥®© § ¢¨á¨¬®á⨠ª®á¨áâ¥æ¨¨ ®â ⥬¯¥à âãàë (7.6.16) ¬®® ¢ëà §¨âì ç¥à¥§ äãªæ¨î ¥áᥫï J0 (x) ¢ ¢¨¤¥ [80℄ Bn T + (1 − Bn )T0 Bn Ts + (1 − Bn )T0
=
3n+1 J0 σR 2n 3n+1 , J0 σa 2n
(7.6.17)
£¤¥ ª®íää¨æ¨¥â σ ¢ëç¨á«ï¥âáï ¯® ä®à¬ã«¥ 2n σ= 3n + 1
Bn λT0
n+1 1 2 P 2n − 1 k0 2n . 2L
«ï ìîâ®®¢áª®© ¨¤ª®áâ¨, ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â § 票î ä®à¬ã« (7.6.17) ¡ë« ¢ë¢¥¤¥ ¢ à ¡®â¥ [84℄.
n
= 1,
280
¥ìîâ®®¢áª¨¥ ¨¤ª®áâ¨
Ǒãáâì x1 ≈ 2,405 | ¯¥à¢ë© ª®à¥ì äãªæ¨¨ ¥áᥫï J0 (x1 ) = 0. § ¢ëà ¥¨ï (7.6.17) ¢¨¤®, ç⮠㢥«¨ç¨¢ ï £à ¤¨¥â ¤ ¢«¥¨ï P/L ¯® § ª®ã σa(3n+1)/(2n) → x1 , ¬®® ¯®«ãç¨âì ᪮«ì 㣮¤® ¡®«ì訥 § 票ï ⥬¯¥à âãàë ®á¨ ¯®â®ª . Ǒਠσa(3n+1)/(2n) > x1 ®£à ¨ç¥®£® à¥è¥¨ï § ¤ ç¨ (7.6.3), (7.5.8), (7.6.16) ¢®®¡é¥ ¥ áãé¥áâ¢ã¥â. í⮬ á«ãç ¥ ⥯«®, ¢ë¤¥«ïî饥áï § áç¥â ¢ï§ª®£® â२ï, ¥ ãᯥ¢ ¥â ®â¢®¤¨âìáï, çâ® ¯à¨¢®¤¨â ª ¡ëáâ஬㠥áâ 樮 ஬ã à §®£à¥¢ã á।ë. á¯à¥¤¥«¥¨¥ ⥬¯¥à âãàë ¢ ¯«®áª®¬ ª «¥ ¯à¨ á⥯¥®© § ¢¨á¨¬®á⨠ª®á¨áâ¥æ¨¨ áà¥¤ë ®â ⥬¯¥à âãàë (7.6.16) ¯®«ã祮 ¢ [110, 113℄, â ¬ ¥ ®¯¨á ë ¥ª®â®àë¥ ¤à㣨¥ à¥è¥¨ï. à ¡®â¥ [109℄ ¨áá«¥¤®¢ « áì «®£¨ç ï § ¤ ç ® ¥¨§®â¥à¬¨ç¥áª®¬ ¯àאַ«¨¥©®¬ â¥ç¥¨¨ ¢ï§ª®¯« áâ¨ç¥áª®© ¨¤ª®á⨠¢¥¤®¢ | ¨£ ¬ ¢ ªà㣫®© âàã¡¥, ª®£¤ ¯à¥¤¥« ⥪ãç¥á⨠¨ ¯« áâ¨ç¥áª ï ¢ï§ª®áâì ®¡à â® ¯à®¯®à樮 «ìë ⥬¯¥à âãà¥. ® á¨å ¯®à à áᬠâਢ «¨áì ¥¨§®â¥à¬¨ç¥áª¨¥ â¥ç¥¨ï ¥ìîâ®®¢áª¨å ¨¤ª®á⥩ á ãç¥â®¬ ¤¨áᨯ ⨢®£® à §®£à¥¢ ¨ § ¢¨á¨¬®á⨠ª ã饩áï ¢ï§ª®á⨠®â ⥬¯¥à âãàë. Ǒਠí⮬ ⥬¯¥à âãà á⥪ å ¡ë« ¯®áâ®ï ¨ ®âáãâá⢮¢ « ª®¢¥ªâ¨¢ë© ¯¥à¥®á ⥯« . à ¡®â å [111{113℄ ¨§ãç «¨áì â¥à¬®£¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª¨¥ § ¤ ç¨ ¥ìîâ®®¢áª¨å ¨¤ª®á⥩ ¯à¨ ¯¥à¥¬¥®© ⥬¯¥à âãॠ¢¤®«ì á⥮ª âàã¡ë (ª « ), ª®£¤ ¢ ãî à®«ì ¨£à ¥â ª®¢¥ªâ¨¢ë© ¯¥à¥®á ⥯« . ç¨â «®áì, çâ® ª ãé ïáï ¢ï§ª®áâì á।ë íªá¯®¥æ¨ «ìë¬ ¨«¨ á⥯¥ë¬ ®¡à §®¬ § ¢¨á¨â ®â ⥬¯¥à âãàë, ¨ ¯à¥¥¡à¥£ «®áì ¤¨áᨯ â¨¢ë¬ â¥¯«®¢ë¤¥«¥¨¥¬. ®¤®¬¥àëå áâ 樮 àëå â¥ç¥¨ïå â ª®£® ⨯ £à ¤¨¥â ¤ ¢«¥¨ï ¬¥ï¥âáï ¢¤®«ì âàã¡ë. Ǒ®ª § ®, çâ® ¢ ¥ª®â®àëå á«ãç ïå ¬®¥â ¢®§¨ª âì á¨âã æ¨ï, å à ªâ¥à ï ¤«ï ⥯«®¢®£® ¢§àë¢ , ª®£¤ ¯®¤¢®¤ ⥯« § áç¥â ª®¢¥ªæ¨¨ ¨¤ª®áâ¨ ç¨ ¥â ¯à¥¢ëè âì ⥯«®®â¢®¤ ª á⥪ ¬ âàã¡ë. ¡ à㥮 â ª¥, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â ¨ ¤à㣮© ¬¥å ¨§¬ ªà¨§¨áëå ¥¨©: ¯à¨ ¯®áâ®ï®¬ ⥯«®®â¢®¤¥ ®â á⥮ª âàã¡ë ¯à¨ ¤®áâ â®ç® ¬ «®© ᪮à®á⨠¯®â®ª § áç¥â ¨â¥á¨¢®£® ®å« ¤¥¨ï ¨¤ª®á⨠¬®¥â ç âìáï ¯à®£à¥áá¨àãî饥 㢥«¨ç¥¨¥ ¥¥ ¢ï§ª®áâ¨, çâ® ¯à¨¢¥¤¥â ª ý§ ¯¨à ¨îþ ¯®â®ª . 7.7. ¡â¥ª ¨¥ ¯«®áª®© ¯« áâ¨ë á⥯¥®© ¨¤ª®áâìî
á¢ï§¨ á ¬®£¨¬¨ ¯à ªâ¨ç¥áª¨¬¨ ¯à¨«®¥¨ï¬¨ ¨¬¥¥âáï ¡®«ì讥 ç¨á«® à ¡®â, ¯®á¢ïé¥ëå ⥮ਨ ¯®£à ¨ç®£® á«®ï ¥«¨¥©®¢ï§ª¨å ¨¤ª®á⥩ á® á⥯¥ë¬ ८«®£¨ç¥áª¨¬ § ª®®¬ (á¬., ¯à¨¬¥à, [73, 119, 121, 185, 187, 192℄). ᮡ®¥ ¢¨¬ ¨¥ 㤥«ï¥âáï ¨áá«¥¤®¢ ¨î ¢â®¬®¤¥«ìëå § ¤ ç, â ª ª ª ¨å à¥è¥¨ï ¯®§¢®«ïîâ ¢ë-
281
7.7. ¡â¥ª ¨¥ ¯«®áª®© ¯« áâ¨ë á⥯¥®© ¨¤ª®áâìî
âì å à ªâ¥àë¥ á¢®©á⢠¯®£à ¨ç®£® á«®ï ¨ ¬®£ãâ ¡ëâì ¨á¯®«ì§®¢ ë ¤«ï à §à ¡®âª¨ ¨ ®¡®á®¢ ¨ï ¯à¨¡«¨¥ëå ¬¥â®¤®¢ à áç¥â . ¥â «ìë© «¨§ â¥ç¥¨© ¤¨« â âëå ¨¤ª®á⥩ ¯®ª §ë¢ ¥â áãé¥á⢮¢ ¨¥ áâண®© ¯à®áâà á⢥®© «®ª «¨§ 樨 ®¡« áâ¨, ¢ ª®â®à®© ¯à®¨á室¨â ¨§¬¥¥¨¥ ¯à®¤®«ì®© á®áâ ¢«ïî饩 ᪮à®á⨠[73, 74, 121℄. áᬮâਬ áâ 樮 ஥ ¨§®â¥à¬¨ç¥áª®¥ ®¡â¥ª ¨¥ ⮪®© ¯« áâ¨ë á⥯¥®© ¨¤ª®áâìî. ª®à®áâì ¡¥£ î饣® ¯®â®ª à ¢ Ui . ç¨â ¥¬, çâ® ª®®à¤¨ âë X ¨ Y ®âáç¨âë¢ îâáï ¢¤®«ì ¨ ¯®¯¥à¥ª ¯« áâ¨ë, ç «® ª®®à¤¨ â ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¯¥à¥¤¥© ªà®¬ª¥. Ǒத®«ìãî ¨ ¯®¯¥à¥çãî á®áâ ¢«ïî騥 ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠®¡®§ 稬 VX ¨ VY . «ï á⥯¥®© ¨¤ª®á⨠®á®¢ë¬ ¡¥§à §¬¥àë¬ ¯ à ¬¥â஬ ï¥âáï ®¡®¡é¥®¥ ç¨á«® ¥©®«ì¤á , ª®â®à®¥ ¢¢®¤¨âáï ¯® ä®à¬ã«¥ Re =
ρLn Ui2−n ∼ k
ᨫ ¨¥à樨 , ᨫ â२ï
(7.7.1)
£¤¥ L | à §¬¥à ï ¢¥«¨ç¨ , ¢ë¡à ï § ¬ áèâ ¡ ¤«¨ë. Ǒਠ¡®«ìè¨å ç¨á« å ¥©®«ì¤á ®æ¥ª ç«¥®¢ ãà ¢¥¨© ¤¢¨¥¨ï (á¬. ¯à¨«®¥¨¥ 6) ¨ ¥à §à뢮á⨠á ãç¥â®¬ ¢ëà ¥¨© (7.1.1), (7.1.4) ¯à®¢®¤¨âáï ¯® ⮩ ¥ á奬¥, çâ® ¨ ¤«ï ìîâ®®¢áª®© ¨¤ª®áâ¨. १ã«ìâ ⥠¯®á«¥ ¢ë¤¥«¥¨ï £« ¢ëå ç«¥®¢ ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨å à §«®¥¨© ¨¬¥¥¬ VX
∂VX + VY ∂X ∂VX + ∂X
∂VX ∂Y ∂VY ∂Y
=
k ∂ ρ ∂Y
= 0.
∂VX n−1 ∂VX , ∂Y ∂Y
(7.7.2) (7.7.3)
⨠ãà ¢¥¨ï, ª®â®àë¥ à áᬠâਢ îâáï ¢ ®¡« á⨠X > 0, Y á«¥¤ã¥â ¤®¯®«¨âì £à ¨ç묨 ãá«®¢¨ï¬¨ VX (X, 0) = VY (X, 0) = 0,
VX (0, Y ) = Ui ,
VX (X, ∞) = Ui .
> 0,
(7.7.4)
¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ (7.7.2) | (7.7.4) ᢮¤¨âáï ª ¨â¥£à¨à®¢ ¨î ®¡ëª®¢¥®£® ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®£® ãà ¢¥¨ï âà¥â쥣® ¯®à浪 ′′ n−1 ′′′ |fζζ | fζζζ
′′ + f fζζ =0
(7.7.5)
á £à ¨ç묨 ãá«®¢¨ï¬¨ f (0) = 0,
fζ′ (0) = 0,
fζ′ (∞) = 1.
(7.7.6)
282
¥ìîâ®®¢áª¨¥ ¨¤ª®áâ¨
®¬¯®¥âë ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠VX , VY ¨ ¢â®¬®¤¥«ì ï ¯¥à¥¬¥ ï ζ ¢ëà îâáï ç¥à¥§ ª®®à¤¨ âë X , Y ¨ äãªæ¨î f (ζ ) á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: VX
=
Ui fζ′ ,
1 n(n + 1)kUi2n−1 n+1 VY (ζfζ′ − f ), ρX n 1 n+1 ρUi2−n ζ= Y. n(n + 1)kX
1 = n+1
(7.7.7)
à ¡®â å [79, 80℄ ¡ë«¨ ¯®«ãç¥ë â®çë¥ «¨â¨ç¥áª¨¥ à¥è¥¨ï § ¤ ç¨ (7.7.5), (7.7.6) ¤«ï ¯á¥¢¤®¯« áâ¨çëå ¨¤ª®á⥩ ¯à¨ n = 15 , 14 , 12 , 35 , 57 . ¨¥ ¯à¨¢¥¤¥ë ¤¢ ¨§ íâ¨å à¥è¥¨©, § ¯¨á ë¥ ¢ ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª®© ä®à¬¥. Ǒਠn = 15 : f = at2 ,
ζ
=b
Z
t
0
(1 + t3 )1/3 dt,
(7.7.8)
£¤¥ a = 2−1/6 · 55/6, b = 105/6, t ∈ [0, +∞). Ǒਠn = 35 : f
= at2 (1 − t3 )−1/2 ,
ζ
=b
Z
0
t
(1 − t3 )−3/2 dt,
(7.7.9)
£¤¥ a = 2−3/4 · 31/2 · 55/8 , b = 2−7/4 · 33/2 · 55/8 , t ∈ [0, +1). à ¡®â¥ [121℄ ¡ë«® ¤®ª § ®, çâ® ¤«ï ¤¨« â âëå ¨¤ª®á⥩ (â.¥. ¯à¨ n > 1) ¢á¥ ¨§¬¥¥¨¥ ᪮à®á⨠¯à®¨á室¨â ¢ ®£à ¨ç¥®© ®¡« á⨠¢¡«¨§¨ ¯« áâ¨ë ¯à¨ 0 6 ζ 6 ζ∗ (¢¥ í⮩ ®¡« á⨠¯à¨ ζ > ζ∗ ᪮à®áâì ¨¤ª®á⨠¯®áâ®ï ¨ à ¢ Ui ). ãªæ¨ï f ¨ £à ¨æ ®¡« á⨠«®ª «¨§ 樨 ζ = ζ∗ ¨éãâáï ¯ã⥬ à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨ï (7.7.5) á ¤¢ã¬ï £à ¨ç묨 ãá«®¢¨ï¬¨ ¯®¢¥àå®á⨠¯« áâ¨ë (7.7.6) ¨ ′′ (ζ∗ ) = 0. ¥ ¤¢ã¬ï ¤®¯®«¨â¥«ì묨 ãá«®¢¨ï¬¨: fζ′ (ζ∗ ) = 1, fζζ ®¡« á⨠«®ª «¨§ 樨 ¯à¨ ζ > ζ∗ äãªæ¨ï f «¨¥© : f = ζ − ζ∗ + f (ζ∗). ç á⮬ á«ãç ¥ n = 2 ¢¥«¨ç¨ ¨§ âà áæ¥√ ζ∗ ≈ 1,849 室¨âáï ¤¥â®£® ãà ¢¥¨ï 2 os 12 3 ζ∗ = − exp 32 ζ∗ , à¥è¥¨¥ à áᬠâਢ ¥¬®© § ¤ ç¨ ¢ ®¡« á⨠«®ª «¨§ 樨 0 6 ζ 6 ζ∗ ¨¬¥¥â ¢¨¤ [121℄ √
exp(−ζ ) + 2 exp( 12 ζ ) sin( 21 3 ζ − 16 π) √ f (ζ ) = . − exp(−ζ∗ ) + 2 exp( 21 ζ∗ ) sin( 21 3 ζ∗ + 61 π ) ¥§ã«ìâ âë ç¨á«¥®£® à¥è¥¨ï § ¤ ç¨ (7.7.5), (7.7.6) ¤«ï à §«¨çëå § 票© ¯®ª § ⥫ï n (0,1 6 n 6 2,0) ¯à¨¢¥¤¥ë ¢ ª¨£¥ [187℄.
7.7. ¡â¥ª ¨¥ ¯«®áª®© ¯« áâ¨ë á⥯¥®© ¨¤ª®áâìî
â®à ï ¯à®¨§¢®¤ ï ¯®¢¥àå®á⨠¯« áâ¨ë ¯à®ªá¨¬¨àã¥âáï ä®à¬ã«®©
′′ fζζ (0)
283
å®à®è® ¯-
′′ fζζ (0) = 0,062 + 0,43 n − 0,0245 n3,
(7.7.10)
¯®£à¥è®áâì ª®â®à®© ¯à¨ 0,2 6 n 6 2,0 á®áâ ¢«ï¥â ¬¥¥¥ 1%. ¢¥¤¥¬ ¡¥§à §¬¥àë¥ ª®íää¨æ¨¥âë ᮯà®â¨¢«¥¨ï â२ï | «®ª «ìë© cf
=
τs 1 ρU 2 2 i
n
¨ ¯®«ë© (á।¨©) hcf i =
1
2
ρUi2 L
Z
0
1 − n+1
= 2(n2 + n)− n+1 Rex
L
′′ (0) fζζ
n
τs dX
n
(7.7.11)
1
= 2(n + 1)(n2 + n)− n+1 Re− n+1
′′ fζζ (0) n ,
(7.7.12) £¤¥ Rex = ρX n Ui2−n/k | «®ª «ì®¥ ç¨á«® ¥©®«ì¤á , Re ¢ëç¨á«ï¥âáï ¯® ä®à¬ã«¥ (7.7.1), £¤¥ L | ¤«¨ ¯« áâ¨ë. ¥§ã«ìâ âë ç¨á«¥®£® à¥è¥¨ï § ¤ ç¨ (7.7.5), (7.7.6) ¯®ª §ë¢ îâ, çâ® ª®íää¨æ¨¥âë ᮯà®â¨¢«¥¨ï å®à®è® ¯¯à®ªá¨¬¨àãîâáï ¢ëà ¥¨ï¬¨ 1 2,266 − 1,22 n + 0,28 n2 − n+1 , Rex n+1 − 1 hcf i = (2,266 − 1,22 n + 0,28 n2 ) Re n+1 ,
cf
=
(7.7.13)
¬ ªá¨¬ «ì ï ¯®£à¥è®áâì ª®â®àëå ¯à¨ 0,1 6 n 6 2,0 ¥ ¯à¥¢®á室¨â 0,5%. «ï á« ¡® ¥«¨¥©®-¢ï§ª¨å ¨¤ª®á⥩ á ¯à®¨§¢®«ìë¬ § ª®®¬ ¢ï§ª®£® â२ï τ = τ (γ_ ) «®ª «ìë© ª®íää¨æ¨¥â ᮯà®â¨¢«¥¨ï ¬®® ©â¨ á ¯®¬®éìî ¯à¨¡«¨¥ëå ä®à¬ã« cf
=
2τ (w)
, ρUi2
X = 0,22 ρUi3
Z
∞
w
dw , 2 w τ (w)
(7.7.14)
£¤¥ w = (γ_ )Y =0 | ᪮à®áâì ᤢ¨£ ¯®¢¥àå®á⨠¯« áâ¨ë. «ï ⮣® çâ®¡ë ®¯à¥¤¥«¨âì § ¢¨á¨¬®áâì cf ®â X , ¤® ¯®á«¥ ¢ëç¨á«¥¨ï ¨â¥£à « ¨áª«îç¨âì ¨§ ¢ëà ¥¨© (7.7.14) ¢¥«¨ç¨ã w. ®à¬ã«ë (7.7.14) ¢ë¢®¤ïâáï á ¯®¬®éìî ¨â¥£à «ì®£® ¬¥â®¤ , £¤¥ ¢ ª ç¥á⢥ ¯à®ä¨«ï ¯à®¤®«ì®© á®áâ ¢«ïî饩 ᪮à®á⨠¢ë¡¨à ¥âáï ¯à®ä¨«ì ìîâ®®¢áª®© ¨¤ª®áâ¨. «ï á⥯¥ëå ¨¤ª®á⥩ â¥áâ®¢ë¥ à áç¥âë ¯®ª §ë¢ îâ, çâ® ¬ ªá¨¬ «ì ï ¯®£à¥è®áâì § ¢¨á¨¬®á⨠(7.7.14) ¯à¨ 0,8 6 n 6 1, 3 á®áâ ¢«ï¥â 5%, ¢ ¡®«¥¥ è¨à®ª®¬ ¤¨ ¯ §®¥ 0,5 6 n 6 1,8 | 9%.
284 ¨ääã§¨ï ª ¯«®áª®© ¯« á⨥, ®¡â¥ª ¥¬®© á⥯¥®© ¨¤ª®áâìî. ®¢¥ªâ¨¢ë© ¬ áá®- ¨ ⥯«®®¡¬¥ ¯« áâ¨ë, ¯à®¤®«ì¥ìîâ®®¢áª¨¥ ¨¤ª®áâ¨
® ®¡â¥ª ¥¬®© ¥ìîâ®®¢áª®© ¨¤ª®áâìî, à áᬠâਢ «áï ¢ à ¡®â å [185℄. ¯à¨¡«¨¥¨¨ ¤¨ää㧨®®£® ¯®£à ¨ç®£® á«®ï (¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ Pe) १ã«ìâ âë à¥è¥¨ï ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 § ¤ ç¨ ¯à¨¢®¤ïâ ª á«¥¤ãî饬㠢ëà ¥¨î ¤«ï ¡¥§à §¬¥à®£® ¤¨ää㧨®®£® ¯®â®ª : 1 2
3 (2n + 1) ′′ 1 j= f (0) 1 ( 3 ) 2 n + 1 ζζ
Re n(n + 1)
1 3(n+1)
1 X − 3(nn+2 +1) , L
Pe 3
£¤¥ Re = ρLnUi2−n/k; Pe = LUi/D; L | à §¬¥à ï ¢¥«¨ç¨ , ¢ë¡à ï § ¬ áèâ ¡ ¤«¨ë; f | à¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ (7.7.5), (7.7.6). «ï à á′′ ç¥â ¢â®à®© ¯à®¨§¢®¤®© fζζ (0) ¬®® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¯à¨¡«¨¥ãî ä®à¬ã«ã (7.7.10). 7.8. ⮯«¥ ï áâàãï á⥯¥®© ¨¤ª®áâ¨
áá«¥¤ã¥¬ ¯«®áªãî § ¤ çã ®¡ ¨áâ¥ç¥¨¨ ¥á¨¬ ¥¬®© á⥯¥®© ¨¤ª®á⨠¨§ 㧪®© £®à¨§®â «ì®© 饫¨ ¢ ¡¥§£à ¨ç®¥ ¯à®áâà á⢮, § ¯®«¥®¥ ⮩ ¥ á।®©. ¢¥¤¥¬ ¯àאַ㣮«ìãî á¨á⥬㠪®®à¤¨ â X , Y , £¤¥ ®áì X ®âáç¨âë¢ ¥âáï ®â 饫¨ ¨ ¯à ¢«¥ ¢¤®«ì ®á¨ áâàã¨. ç¨â ¥¬, çâ® é¥«ì ¡¥áª®¥ç® ⮪ , ᪮à®áâì ¨áâ¥ç¥¨ï ¨¤ª®á⨠¨§ ¥¥ á⮫쪮 ¢¥«¨ª , çâ® ¯à®¤®«ì ï á®áâ ¢«ïîé ï ¨¬¯ã«ìá áâà㨠®áâ ¥âáï ª®¥ç®© ¢¥«¨ç¨®© J0
=
Z +∞ −∞
ρVX 2 dY
= onst .
(7.8.1)
á«¥¤á⢨¥ ¢ï§ª®£® âà¥¨ï ¡ìîé ï ¨§ 饫¨ á ¡®«ì让 ᪮à®áâìî áâàãï 㢫¥ª ¥â § ᮡ®© ¥ª®â®àãî ç áâì ®ªàã î饩 ¨¤ª®á⨠¨ ®¤®¢à¥¬¥® á ¬ ¯®¤â®à¬ ¨¢ ¥âáï. Ǒਠí⮬ ¢®§¨ª ¥â ⮪¨© ¯®£à ¨çë© á«®©, ᨬ¬¥âà¨çë© ®â®á¨â¥«ì® ®á¨ X , ª®â®àë© ãâ®«é ¥âáï ¢¨§ ¯® â¥ç¥¨î. ¢«¥¨¥ ¯®¯¥à¥ª áâà㨠¥¨§¬¥®. Ǒ®áª®«ìªã ¢¤ «¨ ®â 饫¨ ¨¤ª®áâì ¥¯®¤¢¨ , â® ¤«ï ¢á¥© ®¡« á⨠â¥ç¥¨ï £à ¤¨¥â ¤ ¢«¥¨ï à ¢¥ ã«î. á¯à¥¤¥«¥¨¥ ᪮à®á⥩ ¨¤ª®á⨠¢ áâà㥠®¯¨áë¢ ¥âáï ãà ¢¥¨ï¬¨ ¯®£à ¨ç®£® á«®ï (7.7.2), (7.7.3), ª®â®àë¥ á«¥¤ã¥â ¤®¯®«¨âì £à ¨ç묨 ãá«®¢¨ï¬¨ ᨬ¬¥âਨ ¯à®ä¨«ï ᪮à®á⨠®á¨ â¥ç¥¨ï VY
= 0,
∂VX ∂Y
=0
¯à¨
Y
= 0,
(7.8.2)
285
7.8. ⮯«¥ ï áâàãï á⥯¥®© ¨¤ª®áâ¨
ãá«®¢¨¥¬ § âãå ¨ï ᪮à®á⨠¢¤ «¨ ®â 饫¨ VX → 0 ¯à¨ Y → ±∞ (7.8.3) ¨ ¨â¥£à «ìë¬ ãá«®¢¨¥¬ (7.8.1). ®¬¯®¥âë ᪮à®á⨠¬®® ¢ëà §¨âì á ¯®¬®éìî ¢â®¬®¤¥«ì®© ¯¥à¥¬¥®© η ¨ ¢á¯®¬®£ ⥫쮩 äãªæ¨¨ F = F (η) á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬ [185, 187℄: η
1
2
= A(k/ρ)− n+1 X − 3n Y,
n+1
1
1
(7.8.4) = [3n(n + 1)℄ 2−n A 2−n X − 3n Fη′ , 2 n− 1 1 1 1−3n 1 VY = [3n(n + 1)℄ 2−n A 2−n (k/ρ) n+1 X 3n (ηFη′ − F ), 3n £¤¥ ¯®áâ®ï ï A ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¢ 室¥ à¥è¥¨ï § ¤ ç¨ ¨§ ãá«®¢¨ï á®åà ¥¨ï ¨¬¯ã«ìá (7.8.1), èâà¨å ®¡®§ ç ¥â ¯à®¨§¢®¤ãî ¯® η. Ǒ®¤áâ ¢«ïï ¢ëà ¥¨ï (7.8.4) ¢ (7.7.2), (7.7.3), (7.8.2), (7.8.3), ¯à¨å®¤¨¬ ª ®¡ëª®¢¥®¬ã ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®¬ã ãà ¢¥¨î âà¥â쥣® ¯®à浪 ′′ n−1 ′′′ ′′ n Fηη Fηηη + (n + 1) F Fηη + (Fη′ )2 = 0 (7.8.5) á £à ¨ç묨 ãá«®¢¨ï¬¨ ′′ F = Fηη = 0 ¯à¨ η = 0; Fη′ → 0 ¯à¨ η → ±∞. (7.8.6) ¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ (7.8.5), (7.8.6), 㤮¢«¥â¢®àïî饥 ¤®¯®«¨â¥«ì®¬ã ãá«®¢¨î ⨯ ®à¬¨à®¢ª¨ Fη′ (0) = 1, ¬®® § ¯¨á âì ¢ ¥ï¢®¬ ¢¨¤¥ VX
Z F 1−n n+1 n 1 − (2n − 1)(n + 1) n F n 1−2n dF η = Z0 F exp 34 F 3 dF 0
¯à¨
n= 6 12 ,
¯à¨
n = 12 . (7.8.7)
§ ¢ëà ¥¨© (7.8.4), (7.8.2) ®¯à¥¤¥«¨¬ ¯®áâ®ïãî A:
A=
3n(n + 1)
Z − 2 3n
2
0
∞
Fη′
2
n−2 1 23−n 3n J0 ρ n+1 n . dη ρ k
(7.8.8)
¥á®¡áâ¢¥ë© ¨â¥£à « ¬®® ¢ëç¨á«¨âì ¯ã⥬ ¯¥à¥å®¤ ®â ¯¥à¥¬¥®© η ª äãªæ¨¨ F ᮣ« á® à¥è¥¨î (7.8.7). ç áâ®áâ¨, ¯à¨ 12 < n < 2 ¯®«ã稬: n 3n − 1 Z ∞ 2 n+1 2n − 1 − − n Fη′ )2 dη = n(n + 1) n+1 (2n − 1) n+1 , n n−1 3 0 + n+1 2n − 1 (7.8.9)
286
¥ìîâ®®¢áª¨¥ ¨¤ª®áâ¨
£¤¥ (x) | £ ¬¬ -äãªæ¨ï. Ǒਠn = Z
∞
0
Fη′ )2 dη
1 2
¨¬¥¥¬
= 41/3 · 3−4/3 (1/3) ≈ 0,983.
áᬮâਬ á ç « á«ãç © ¥ìîâ®®¢áª®© ¨¤ª®áâ¨. ëç¨á«¨¬ ¨â¥£à « (7.8.7) ¯à¨ n = 1, § ⥬ ¢ëà §¨¬ F ç¥à¥§ η. १ã«ìâ ⥠室¨¬ F = th η (n = 1). (7.8.10) Ǒ® ä®à¬ã« ¬ (7.8.8), (7.8.9) ®¯à¥¤¥«¨¬ ª®áâ âã A: A=
J0 √ 48 ρ ν
1/3
≈ 0,275
1/3
J0 √ ρ ν
,
(7.8.11)
£¤¥ ν | ª¨¥¬ â¨ç¥áª ï ¢ï§ª®áâì ¨¤ª®áâ¨. Ǒ®¤áâ ¢«ïï à ¢¥á⢠(7.8.10), (7.8.11) ¢ ¢ëà ¥¨ï (7.8.4), ¯®«ã稬 à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ᪮à®á⥩ ¢ ¯«®áª®© áâà㥠ìîâ®®¢áª®© ¨¤ª®á⨠[184℄ 1/3 J02 (1 − th2 η), ρ2 νX J ν VY = 0,550 0 2 2η (1 − th2 η ) − th η , ρX VX
£¤¥
= 0,454
η
= 0,275
J0 ρν 2
1/3
(7.8.12)
Y X −2/3 .
áâ ®¢¨¬áï ⥯¥àì ª ç¥á⢥ëå ®á®¡¥®áâïå áâàã©®£® â¥ç¥¨ï á⥯¥®© ¨¤ª®á⨠¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â ८«®£¨ç¥áª®£® ¯ à ¬¥âà n. § ä®à¬ã«ë (7.8.7) á«¥¤ã¥â, çâ® ¤«ï 0 < n 6 12 äãªæ¨ï F ¥®£à ¨ç¥® ¢®§à á⠥⠯ਠη → ∞, ¤«ï n > 12 äãªæ¨ï F ¯à¨ η → ∞ áâ६¨âáï ª ¯®áâ®ï®¬ã ¯à¥¤¥«ã, à ¢®¬ã n−1 F (∞) = (n + 1) n+1
n
(2n − 1)− n+1 .
(7.8.13)
®á¨ ¯®â®ª ᪮à®áâì ¨¤ª®á⨠¬ ªá¨¬ «ì ¨ ã¡ë¢ ¥â ¯® § ª®ã Umax ∼ X −1/(3n) . Ǒ®í⮬ã 祬 ¬¥ìè¥ n, ⥬ ¡ëáâ॥ 㬥ìè ¥âáï ᪮à®áâì. ¯à¥¤¥«¨¬ 1%-ãî è¨à¨ã áâà㨠δ (X ), ª ª 㤢®¥®¥ à ááâ®ï¨¥ ®â ®á¨ áâà㨠¤® â®çª¨ á ª®®à¤¨ ⮩ y 0 , £¤¥ ¯à®¤®«ì ï á®áâ ¢«ïîé ï ᪮à®á⨠®â«¨ç ¥âáï ®â ᢮¥£® ¯à¥¤¥«ì®£® § 票ï 1% : δ (X ) = 2y 0
=2
1 2 η 0 k n+1 X 3n , A ρ
(7.8.14)
7.9. ¢¨¥¨¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¢ á⥯¥®© ¨¤ª®áâ¨
287
£¤¥ η0 | § 票¥ ¢â®¬®¤¥«ì®© ¯¥à¥¬¥®©, ¯à¨ ª®â®à®© VX /Umax = = Fη′ = 0,01. § ä®à¬ã«ë (7.8.14) á«¥¤ã¥â, çâ® ¯à¨ n > 23 áâàãï ¨¬¥¥â ¢ë¯ãª«ãî àãã ä®à¬ã, ¯à¨ n = 23 £à ¨æë áâà㨠¯àאַ«¨¥©ë, ¯à¨ n < 23 £à ¨æë áâà㨠¨¬¥îâ ¢¨¤ à á室ïé¨åáï ¯ à ¡®« á ®áâப®¥ç®© ᨣã«ïன â®çª®© ®á¨ ¯®â®ª . ëç¨á«¨¬ ⥯¥àì ®¡ê¥¬ë© à á室 ¨¤ª®á⨠¥¤¨¨æã ¤«¨ë 饫¨: Q=
Z +∞ −∞
VX dY
= 2F (∞) 3n(n + 1)A2n−1
1 1 1 k n+1 2−n X 3n . ρ (7.8.15)
Ǒਠ21 < n < 2 ¢ íâ® ¢ëà ¥¨¥ á«¥¤ã¥â ¯®¤áâ ¢¨âì § 票¥ F (∞) ¨§ (7.8.13). ¨¤®, çâ® ¯® ¬¥à¥ 㤠«¥¨ï ®â 饫¨ à á室 㢥«¨ç¨¢ ¥âáï, â ª ª ª áâàãï 㢫¥ª ¥â § ᮡ®© á ¡®ª®¢ ¯®ª®ïéãîáï ¨¤ª®áâì. á室 â ª¥ 㢥«¨ç¨¢ ¥âáï á 㢥«¨ç¥¨¥¬ ¨¬¯ã«ìá . Ǒਠ㬥ì襨¨ ¯®ª § ⥫ï n ®â 1 ¤® 12 à á室 ¥®£à ¨ç¥® 㢥«¨ç¨¢ ¥âáï: lim Q = ∞. Ǒਠ0 < n < 12 ®¡ê¥¬ë© à á室 ¡ã¤¥â n→1/2 ¡¥áª®¥çë¬. 7.9. ¢¨¥¨¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¢ á⥯¥®© ¨¤ª®áâ¨
¢¨¥¨¥ áä¥à¨ç¥áª¨å ¯ã§ë३, ª ¯¥«ì ¨ ⢥à¤ëå ç áâ¨æ á ¯®áâ®ï®© ᪮à®áâìî Ui ¢ á⥯¥®© ¥ìîâ®®¢áª®© ¨¤ª®á⨠à áᬠâਢ «®áì ¬®£¨¬¨ ¢â®à ¬¨ (á¬., ¯à¨¬¥à, [200, 217, 224, 236, 239, 241{244, 256, 259, 260, 263, 264, 283, 315℄). ¨¥ ªà ⪮ ¯¥à¥ç¨á«¥ë ¥ª®â®àë¥ à¥§ã«ìâ âë íâ¨å à ¡®â. á«ãç ¥ ¡¥§ë¥à樮®£® ®¡â¥ª ¨ï (¯à¨ ¬ «ëå ç¨á« å ¥©®«ì¤á ) £ §®¢®£® ¯ã§ëàï ª¢ §¨ìîâ®®¢áª®© á⥯¥®© ¨¤ª®áâìî, ã ª®â®à®© ८«®£¨ç¥áª¨© ¯ à ¬¥âà n ¡«¨§®ª ¥¤¨¨æ¥, ¤«ï à áç¥â ª®íää¨æ¨¥â ᮯà®â¨¢«¥¨ï ¬®® ¨á¯®«ì§®¢ âì ä®à¬ã«ã: cf
=
2 F~x
πa2 ρU
i
=3
n−1
2
13 + 4n − 8n2 8 , f (n + 2)(2n + 1) Re
(7.9.1)
f = ρan U 2−n/k | ç¨á«® ¥©®«ì¤á , a | à ¤¨ãá ¯ã§ëàï. £¤¥ Re i ¨¤®, çâ® ¤«ï ¯á¥¢¤®¯« áâ¨ç¥áª¨å ¨¤ª®á⥩ ª®íää¨æ¨¥â ᮯà®â¨¢«¥¨ï ¢ëè¥, ¤«ï ¤¨« â âëå ¨¥ ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å § 票© ª®íää¨æ¨¥â ᮯà®â¨¢«¥¨ï ¯à¨ ®¡â¥ª ¨¨ ¯ã§ëàï ìîâ®®¢áª®© ¨¤ª®áâìî.
288
¥ìîâ®®¢áª¨¥ ¨¤ª®áâ¨
á«ãç ¥ ®¡â¥ª ¨ï ª ¯«¨ ìîâ®®¢áª®© ¨¤ª®á⨠¯®áâ㯠⥫ìë¬ áâ®ªá®¢ë¬ ¯®â®ª®¬ á⥯¥®© ¨¤ª®á⨠¢ëà ¥¨¥ ¤«ï ª®íää¨æ¨¥â ᮯà®â¨¢«¥¨ï ¬®® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥ cf
=
24 n(β ) , f 2n Re
(7.9.2)
£¤¥ äãªæ¨ï n ®âà ¥â ८«®£¨ç¥áª¨¥ ᢮©á⢠â¥ç¥¨ï ¨ ï¥âáï äãªæ¨¥© ¡¥§à §¬¥àëå ¯ à ¬¥â஢ n ¨ β = µan−1/(kUin−1 ); µ | ¤¨ ¬¨ç¥áª ï ¢ï§ª®áâì ª ¯«¨. «ï £ §®¢®£® ¯ã§ëàï ¨ ⢥म© ç áâ¨æë, ª®â®àë¥ á®®â¢¥âáâ¢ãî⠯।¥«ìë¬ § ç¥¨ï¬ β = 0 ¨ β = ∞, äãªæ¨ï n å®à®è® ¯¯à®ªá¨¬¨àã¥âáï § ¢¨á¨¬®áâﬨ n (0) = 0,81 + 0,46 n − 0,6 n2 n (∞) = 1,65 + 0,1 n − 0,75 n2
(¯ã§ëàì), (ç áâ¨æ ),
(7.9.3) (7.9.4)
¯®£à¥è®áâì ª®â®àëå ¢ ¤¨ ¯ §®¥ 0,6 6 n 6 1,0 ¥ ¯à¥¢ëè ¥â 1,5% (ᮯ®áâ ¢«¥¨¥ ¯à®¢®¤¨«®áì á १ã«ìâ â ¬¨ ç¨á«¥ëå à¥è¥¨©). á«ãç ¥ ª ¯«¨, ª®â®à®© ᮮ⢥âáâ¢ãîâ ª®¥çë¥ § 票ï 0 < β < ∞, äãªæ¨î n (β ) ¬®® ¢ëç¨á«ïâì á ¯®¬®éìî ¯à¨¡«¨¥®© ä®à¬ã«ë n (β ) =
1 (0) + β+1 n
β
β+1
n (∞),
(7.9.5)
¬ ªá¨¬ «ì ï ¯®£à¥è®áâì ª®â®à®© á®áâ ¢«ï¥â ®ª®«® 3%. ëà ¥¨ï (7.9.2) | (7.9.5) ¯®§¢®«ïîâ ¢ëç¨á«ïâì ª®íää¨æ¨¥âë ᮯà®â¨¢«¥¨ï ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¢ á⮪ᮢ®¬ ¯®â®ª¥ á⥯¥®© ¨¤ª®áâ¨. ª®à®áâì ª ¯«¨, ¯ ¤ î饩 ¯®¤ ¤¥©á⢨¥¬ ᨫë âï¥á⨠¢ á⥯¥®© ¨¤ª®á⨠¯à¨ ¬ «ëå ç¨á« å ¥©®«ì¤á , ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯® ä®à¬ã«¥ Ui
= 2a
ag|ρ1 − ρ2 | 9kn(β )
1/n
,
(7.9.6)
£¤¥ ρ1 ¨ ρ2 | ¯«®â®á⨠ª ¯«¨ ¨ ᯫ®è®© ä §ë. Ǒਠá⮪ᮢ®¬ ®¡â¥ª ¨¨ áä¥à¨ç¥áª®£® ¯ã§ëàï ¯®áâ㯠⥫ìë¬ ¯®â®ª®¬ ¢ï§ª®¯« áâ¨ç®© ¨¤ª®á⨠¢¥¤®¢ | ¨£ ¬ á ¬ «ë¬ ¯à¥¤¥«®¬ ⥪ãç¥á⨠¤«ï ª®íää¨æ¨¥â ᮯà®â¨¢«¥¨ï ¯®«ã祮 ¤¢ãç«¥®¥ ᨬ¯â®â¨ç¥áª®¥ à §«®¥¨¥: cf
= 8 (1 + 3,22 ε) Re−1 ,
£¤¥ ε = aτ0 /(µp Ui) ≪ 1.
Re = aρUi/µp ,
(7.9.7)
7.9. ¢¨¥¨¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¢ á⥯¥®© ¨¤ª®áâ¨
289
à ¡®â¥ [107℄ ¢ à ¬ª å ï祥箩 ¬®¤¥«¨ ¨áá«¥¤®¢ «®áì ८«®£¨ç¥áª®¥ ¯®¢¥¤¥¨¥ ª®æ¥âà¨à®¢ ëå áãᯥ§¨© á ¥ìîâ®®¢áª®© ¤¨á¯¥àᨮ®© á।®©, ®¯¨áë¢ ¥¬®© á⥯¥®© ¬®¤¥«ìî ¨ ¬®¤¥«ìî ¥àà¨. á«ãç ¥ ¬ áá®®¡¬¥ £ §®¢®£® ¯ã§ëàï á ¯®áâ㯠⥫ìë¬ áâ®ªá®¢ë¬ ¯®â®ª®¬ ª¢ §¨ìîâ®®¢áª®© á⥯¥®© ¨¤ª®á⨠(n ¡«¨§ª® ª ¥¤¨¨æ¥) ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ ¤«ï à áç¥â á।¥£® ç¨á« ¥à¢ã¤ ¬®® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¯à¨¡«¨¥ãî ä®à¬ã«ã:
1/2
Sh = (0,497 − 0,284 n) Pe
,
¬ ªá¨¬ «ì ï ¯®£à¥è®áâì ª®â®à®© ¢ ¤¨ ¯ §®¥ 0,6 6 n 6 1,0 á®áâ ¢«ï¥â ®ª®«® 4%. ª¨£ å [99, 216℄ ¤ ¯®¤à®¡ë© ®¡§®à ¨áá«¥¤®¢ ¨©, ¯®á¢ïé¥ëå ¤¢¨¥¨î ¨ ¬ á®®®¡¬¥ã ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¢ ¥ìîâ®®¢áª®© ¨¤ª®áâ¨, ¯à¨¢¥¤¥ë ¬®£®ç¨á«¥ë¥ ä®à¬ã«ë ¨ £à 䨪¨ ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï ᨫë ᮯà®â¨¢«¥¨ï.
Ǒ
Ǒ.1. ®çë¥ à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ⥯«®- ¨ ¬ áᮯ¥à¥®á
Ǒਠá®áâ ¢«¥¨¨ í⮣® à §¤¥« ¨á¯®«ì§®¢ ë à¥è¥¨ï, ¯à¨¢¥¤¥ë¥ ¢ ª¨£ å [10, 35, 86, 89, 173℄. ∂T ∂2T 2 = a ∂x2 . 1.1. à ¢¥¨¥ ⥯«®¯à®¢®¤®á⨠∂t
1. ¥ª®â®àë¥ ç áâë¥ à¥è¥¨ï
¯®áâ®ïë¥):
1. 2. 3. 4.
T
5.
T
T T T
(A,
B, λ
| ¯à®¨§¢®«ìë¥
= Ax + B, = A exp(a2 λ2 t ± λx) + B, = A exp(−a2 λ2 t) os(λx) + B, = A exp(−a2 λ2 t) sin(λx) + B, x2 1 = A √ exp − 2 + B, 4a t t
x x2 6. T = A 3/2 exp − 2 + B, t 4a t x √ 7. T = A erf + B, 2a t
£¤¥ erf z ≡ ®è¨¡®ª).
2
√ π
Z
z
0
exp(−ξ 2 ) dξ | ¨â¥£à « ¢¥à®ïâ®á⥩ (äãªæ¨ï
2. ¡« áâì: −∞ < x < +∞. T
= f (x)
¥è¥¨¥: T
=
2a
¯à¨ 1
√ πt
áâë© á«ãç ©: f (x) = ¥è¥¨¥: T
290
=
t=0
Z +∞ −∞
n
A B
( ç «ì®¥ ãá«®¢¨¥)
(x − ξ )2 exp − 4a2t
¯à¨ ¯à¨
f (ξ ) dξ.
|x| < x0 , |x| > x0 .
i h 1 x −x x +x (A − B ) erf 0 √ + erf 0 √ + B. 2 2a t 2a t
Ǒ.1. ®çë¥ à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨© ⥯«®- ¨ ¬ áᮯ¥à¥®á
291
3. ¡« áâì: 0 < x < +∞. Ǒ¥à¢ ï ªà ¥¢ ï § ¤ ç . 3.1.
= f (x) =0
T T
¯à¨ ¯à¨
t=0
( ç «ì®¥ ãá«®¢¨¥) (£à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥)
x=0
¥è¥¨¥: T
=
1
√ 2a πt
Z +∞
exp
0
−
áâë© á«ãç ©: f (x) = A. ¥è¥¨¥: T
3.2.
T T
(x − ξ )2 4a2 t
= A erf
¯à¨ ¯à¨
=0 = g (t )
(x + ξ )2 − exp − f (ξ ) dξ. 4a2 t
x √ 2a t
.
( ç «ì®¥ ãá«®¢¨¥) (£à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥)
t=0 x=0
¥è¥¨¥: T
=
x √ 2a π
Z
áâë© á«ãç ©: g(x) = ¥è¥¨¥:
T
t
0
n
exp A B
x2 g (τ ) dτ − 2 . 4a (t − τ ) (t − τ )3/2
¯à¨ 0 < t < t0 , ¯à¨ t0 < t.
x √ A erf 2a t = x A erf √ + (B − A) erf
2a
t
√
2a
x t − t0
¯à¨ 0 < t < t0 , ¯à¨
t0 < t,
£¤¥ erf x ≡ 1 − erf x.
3.3.
T T
= f (x) = g (t)
¯à¨ ¯à¨
t=0
x=0
( ç «ì®¥ ãá«®¢¨¥) (£à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥)
¥è¥¨¥: T
=
Z +∞ (x − ξ )2 (x + ξ ) 2 1 √ − f (ξ ) dξ + − exp − exp 4a 2 t 4a2t 2a πt 0 Z t x2 g (τ ) dτ x + √ . exp − 2 2a π 0 4a (t − τ ) (t − τ )3/2
292 4. ¡« áâì: 0 < x < +∞. â®à ï ªà ¥¢ ï § ¤ ç *. Ǒਫ®¥¨ï
4.1.
= f (x) =0
T
¯à¨ ¯à¨
∂x T
t=0
( ç «ì®¥ ãá«®¢¨¥) (£à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥)
x=0
¥è¥¨¥: T
=
2a
4.2.
Z +∞
1 √
(x − ξ )2 exp − + exp 4a2 t
0
πt
¯à¨ ¯à¨
T =0 ∂x T = g (t)
(x + ξ )2 − f (ξ ) dξ. 4a2 t
( ç «ì®¥ ãá«®¢¨¥) (£à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥)
t=0 x=0
¥è¥¨¥: T
a π
=−√
Z
0
t
exp
−
x2 g (τ ) √ dτ. 2 4a (t − τ ) t−τ
áâë© á«ãç ©: g(t) = −A. ¥è¥¨¥: T
4.3.
q
= 2Aa
t π
T = f (x) ∂x T = g (t)
exp
−
x2 4a2 t
¯à¨ ¯à¨
− Ax erf
x √ 2a t
.
( ç «ì®¥ ãá«®¢¨¥) (£à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥)
t=0 x=0
¥è¥¨¥: T
=
Z +∞ 1 (x − ξ )2 (x + ξ ) 2 √ exp − + exp f (ξ ) dξ − − 4a 2 t 4a2t 2a πt 0 Z t a x2 g (τ ) √ − √ exp − 2 dτ. π 0 4a (t − τ ) t−τ
5. ¡« áâì: 0 < x < +∞. à¥âìï ªà ¥¢ ï § ¤ ç . 5.1.
T = f (x) ∂x T − kT
=0
¯à¨ ¯à¨
( ç «ì®¥ ãá«®¢¨¥) (£à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥)
t=0 x=0
* «¥¥ ¯®¬¨¬® ®¡é¥¯à¨ïâëå ®¡®§ 票© ¨á¯®«ì§ãîâáï â ª¥ ªà ⪨¥ ®¡®§ ç¥¨ï ¤«ï ç áâëå ¯à®¨§¢®¤ëå:
∂t T ≡
∂T ∂t
, ∂x T
≡
∂T ∂x
,
∂xx T ≡
∂2 T ∂x2
.
Ǒ.1. ®çë¥ à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨© ⥯«®- ¨ ¬ áᮯ¥à¥®á
¥è¥¨¥: =
T
£¤¥
1
√ 2a πt
Z +∞ 0
293
G(x, ξ, t)f (ξ ) dξ,
(x − ξ )2 (x + ξ )2 G(x, ξ, t) = exp − + exp − − 4a2 t 4a2t Z +∞ (x + ξ + η)2 exp − − 2k − kη dη. 4a2t 0
5.2.
T
=0
∂x T − kT
¥è¥¨¥:
= kg (t)
ak T =−√ π
£¤¥
¯à¨ ¯à¨
Z
t=0
( ç «ì®¥ ãá«®¢¨¥) (£à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥)
x=0
g (τ ) H (x, t − τ ) dτ, √ t−τ 0 t
Z +∞ (x + η)2 x2 H (x, t) = exp − 2 exp − −k − kη dη. 4a t 4a2 t 0 n
£¤¥
¯à¨ 0 < t < t − 0, áâë© á«ãç ©: g(t) = −A −B ¯à¨ T − 0 < t. ¥è¥¨¥: n ¯à¨ 0 < t < T , AW (x, t) T = AW (x, t) + (B − A)W (x, t − t0 ) ¯à¨ t0 < t, W (x, t)
5.3.
T
=
= f (x)
∂x T − kT
¥è¥¨¥: T
= erf
1
√ 2a πt
Z +∞ 0
x √ 2a t
− exp(kx + a2 k 2 t) erf
= kg (t)
¯à¨ ¯à¨
t=0
x √ 2a t
+ ak
√ t .
( ç «ì®¥ ãá«®¢¨¥) (£à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥)
x=0
ak G(x, ξ, t)f (ξ ) dξ − √ π
Z
g (τ ) √ H (x, t − τ ) dτ, t−τ 0 t
£¤¥ äãªæ¨¨ G(x, ξ, t) ¨ H (x, t) á¬. ¢ 5.1 ¨ 5.2.
6. ¡« áâì: 0 < x < l. Ǒ¥à¢ ï ªà ¥¢ ï § ¤ ç . 6.1. ¤®à®¤ë¥ £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï: T T T
= f (x) =0 =0
¯à¨ ¯à¨ ¯à¨
t=0
x=0 x=l
( ç «ì®¥ ãá«®¢¨¥) (£à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥) (£à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥)
294
Ǒਫ®¥¨ï
¥è¥¨¥:
nπx a2 n 2 π 2 t bn exp − sin , 2 l l n=1 Z nπx 2 l dx. bn = f (x) sin l 0 l T
=
∞ X
áâë© á«ãç ©: f (x) = A. ¥è¥¨¥: T
=
∞ 4A X
π
n=0
1 exp (2n + 1)
a2 (2n + 1)2 π 2 t − l2
sin
h
(2n + 1)πx i l
.
áâë© á«ãç ©: f (x) = Ax. ¥è¥¨¥: T
=
∞ 2Al X (−1)n−1
π
n=1
n
exp
a2 n2 π 2 t − l2
sin
nπx l
.
6.2. ¥®¤®à®¤ë¥ £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï: T T T
¯à¨ ¯à¨ ¯à¨
= f (x) = g (t ) = h(t)
t=0
x=0 x=l
( ç «ì®¥ ãá«®¢¨¥) (£à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥) (£à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥)
¥è¥¨¥: T
£¤¥
=
nπx a2 n 2 π 2 t , Mn (t) exp − sin 2 l n=1 l l
2
∞ X
2 2 2 Z a n π t a2 nπ t dx + g (t) dt − Mn (t) = f (x) sin exp l l l2 0 0 Z a2 n 2 π 2 t a2 nπ t h(t) dt. − (−1)n exp l l2 0 Z
l
nπx
7. ¡« áâì: 0 < x < l. â®à ï ªà ¥¢ ï § ¤ ç .
7.1. ¤®à®¤ë¥ £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï: = f (x) ∂x T = 0 ∂x T = 0 T
¯à¨ ¯à¨ ¯à¨
t=0
x=0 x=l
( ç «ì®¥ ãá«®¢¨¥) (£à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥) (£à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥)
295
Ǒ.1. ®çë¥ à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨© ⥯«®- ¨ ¬ áᮯ¥à¥®á
¥è¥¨¥: T
=
£¤¥ b0
=
Z
1 l
0
l
nπx a2 n 2 π 2 t bn exp −
os , 2 l l n=0 ∞ X
f (x) dx,
bn
=
2 l
Z
0
l
f (x) os
nπx l
dx;
n = 1, 2, . . .
7.2. ¥®¤®à®¤ë¥ £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï: ¯à¨ ¯à¨ ¯à¨
= f (x) ∂x T = g (t) ∂x T = h(t) T
t=0
( ç «ì®¥ ãá«®¢¨¥) (£à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥) (£à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥)
x=0 x=l
à¥è¥¨¨ í⮩ § ¤ ç¨ á¬. ¤ «¥¥ ¯. 6 à §¤¥« 1.2 ¯à¨ ≡ 0.
8. ¡« áâì: 0 < x < l. à¥âìï ªà ¥¢ ï § ¤ ç . 8.1. ¤®à®¤ë¥ £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï (b > 0): T = f (x) ∂x T − bT ∂x T
+ bT
=0 =0
¥è¥¨¥: T
£¤¥
¯à¨ ¯à¨ ¯à¨
=
∞ Z X
l
n=1 0
yn (x) = os(λn x) +
b λn
t=0 x=0
( ç «ì®¥ ãá«®¢¨¥) (£à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥) (£à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥)
x=l
yn (x)yn (ξ ) ky k2 n
sin(λn x),
exp(−a2 λ2n t)f (ξ ) dξ,
kyn k2
=
b λ2n
+
l
2
1+
b2 λ2n
¤¥áì λn | ¯®«®¨â¥«ìë¥ ª®à¨ âà á楤¥â®£® ãà ¢¥¨ï: tg(λl) λ
=
2b . 2 λ − b2
8.2. ¥®¤®à®¤ë¥ £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï: T
= f (x)
∂x T − bT ∂x T + cT
= g (t) = h(t)
¯à¨ ¯à¨ ¯à¨
t=0
x=0 x=l
( ç «ì®¥ ãá«®¢¨¥) (£à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥) (£à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥)
.
296
Ǒਫ®¥¨ï
£¤¥ b > 0, c > 0. à¥è¥¨¨ í⮩ § ¤ ç¨ á¬. ¤ «¥¥ ¯. 7 à §¤¥« 1.2 ¯à¨ ≡ 0.
9. ¡« áâì: 0 < x < l. ¬¥è ë¥ ªà ¥¢ë¥ § ¤ ç¨. 9.1a. ¤®à®¤ë¥ £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï: ¯à¨ ¯à¨ ¯à¨
= f (x) T =0 ∂x T = 0 T
¥è¥¨¥: T
=
£¤¥
t=0
x=0 x=l Z
l
0
( ç «ì®¥ ãá«®¢¨¥) (£à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥) (£à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥)
G(x, ξ, t)f (ξ ) dξ,
x − ξ a2 t x + ξ a2 t G(x, ξ, t) = ϑ + −ϑ , , 4l l 4l l x + ξ − 2l a2 t x − ξ − 2l a2 t +ϑ −ϑ . , , 4l l 4l l
¤¥áì ϑ(x, t) | äãªæ¨ï ª®¡¨ ϑ(x, t) = 1 + 2
+∞ X
n=1
exp(−π2 n2 t) os(2πnx) =
+∞ X
n=−∞
exp
−
(x − n)2 4t
.
Ǒ¥à¢ë© àï¤ ¡ëáâà® á室¨âáï ¯à¨ ¡®«ìè¨å t, ¢â®à®© | ¯à¨ ¬ «ëå t. 9.1¡. ¥®¤®à®¤ë¥ £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï: ¯à¨ ¯à¨ ¯à¨
= f (x) T = g (t) ∂x T = h(t) T
t=0
x=0 x=l
( ç «ì®¥ ãá«®¢¨¥) (£à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥) (£à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥)
à¥è¥¨¨ í⮩ § ¤ ç¨ á¬. ¤ «¥¥ ¯. 8 à §¤¥« 1.2 ¯à¨ ≡ 0. 9.2 . ¤®à®¤ë¥ £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï: T = f (x) ∂x T = 0 T
=0
¯à¨ ¯à¨ ¯à¨
¥è¥¨¥: T
=
t=0 x=0 x=l Z
0
l
( ç «ì®¥ ãá«®¢¨¥) (£à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥) (£à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥)
G(x, ξ, t)f (ξ ) dξ,
Ǒ.1. ®çë¥ à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨© ⥯«®- ¨ ¬ áᮯ¥à¥®á
297
£¤¥
x − ξ a2 t x + ξ a2 t G(x, ξ, t) = ϑ +ϑ − , , 4l l 4l l x + ξ − 2l a2 t x − ξ − 2l a2 t −ϑ −ϑ . , , 4l l 4l l
¤¥áì ϑ(x, t) | äãªæ¨ï ª®¡¨ (á¬. ¢ëè¥ ¯. 9.1). 9.2¡. ¥®¤®à®¤ë¥ £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï: T
= f (x)
∂x T = g (x) T = h(x)
¯à¨ ¯à¨ ¯à¨
t=0
( ç «ì®¥ ãá«®¢¨¥) (£à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥) (£à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥)
x=0 x=l
à¥è¥¨¨ í⮩ § ¤ ç¨ á¬. ¤ «¥¥ ¯. 8 à §¤¥« 1.2 ¯à¨ ≡ 0. 1.2. à ¢¥¨¥ ⥯«®¯à®¢®¤®áâ¨ á ¨áâ®ç¨ª®¢ë¬ ç«¥®¬
∂T ∂t
2
= a2 ∂∂xT2 + (x, t)
1. ¡« áâì: −∞ < x < +∞. T
= f (x)
¯à¨
t=0
¥è¥¨¥: T
=
Z +∞ −∞
G(x, ξ, t)f (ξ ) dξ +
( ç «ì®¥ ãá«®¢¨¥)
Z t Z +∞ 0
−∞
G(x, ξ, t − τ )(ξ, τ ) dξ dτ,
£¤¥ äãªæ¨ï G(x, ξ, t) ®¯¨áë¢ ¥âáï ä®à¬ã«®© G(x, ξ, t) =
1
√ 2a πt
exp
−
(x − ξ )2 4a2t
.
2. ¡« áâì: 0 < x < +∞. Ǒ¥à¢ ï ªà ¥¢ ï § ¤ ç . ¯à¨ ¯à¨
t=0
G(x, ξ, t)f (ξ ) dξ +
x √ 2a π
T T
= f (x) = g (t )
x=0
¥è¥¨¥: T
=
Z +∞
0 Z t Z +∞
+
0
0
( ç «ì®¥ ãá«®¢¨¥) (£à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥) Z
0
t
exp
G(x, ξ, t − τ )(ξ, τ ) dξ dτ,
−
x2 g (τ ) dτ 2 4a (t − τ ) (t − τ )3/2
+
298
Ǒਫ®¥¨ï
£¤¥ G(x, ξ, t) =
1
√ 2a πt
exp
−
(x − ξ )2 4a2 t
(x + ξ )2 − exp − . 4a2 t
3. ¡« áâì: 0 < x < +∞. â®à ï ªà ¥¢ ï § ¤ ç . ¯à¨ ¯à¨
T = f (x) ∂x T = g (t)
( ç «ì®¥ ãá«®¢¨¥) (£à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥)
t=0 x=0
¥è¥¨¥: Z t x2 g (τ ) a √ dτ T = G(x, ξ, t)f (ξ ) dξ − √ exp − 2 π 0 4a (t − τ ) t−τ 0 Z t Z +∞ + G(x, ξ, t − τ )(ξ, τ ) dξ dτ, 0 0 Z +∞
+
£¤¥
G(x, ξ, t) =
1
√ 2a πt
exp
−
(x − ξ )2 + exp 4a2 t
−
(x + ξ )2 4a2 t
.
4. ¡« áâì: 0 < x < +∞. à¥âìï ªà ¥¢ ï § ¤ ç . T
= f (x)
∂x T − kT
= kg (t)
¯à¨ ¯à¨
t=0
( ç «ì®¥ ãá«®¢¨¥) (£à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥)
x=0
¥è¥¨¥: T
=
√ 2a πt 0 Z t Z +∞
+ £¤¥
Z +∞
1
0
0
ak G(x, ξ, t)f (ξ ) dξ − √ π
G(x, ξ, t − τ )(ξ, τ ) dξ dτ,
Z
g (τ ) H (x, t − τ ) dτ √ t−τ 0 t
(x − ξ )2 (x + ξ ) 2 − G(x, ξ, t) = exp − + exp − 4a2t 4a2t Z +∞ (x + ξ + η)2 − kη dη. − 2k exp − 4a2t 0 Z +∞ x2 (x + η ) 2 −k H (x, t) = exp − 2 − kη dη. exp − 4a t 4a2t 0
+
299
Ǒ.1. ®çë¥ à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨© ⥯«®- ¨ ¬ áᮯ¥à¥®á
5. ¡« áâì: 0 < x < l. Ǒ¥à¢ ï ªà ¥¢ ï § ¤ ç . 5.1. ¤®à®¤ë¥ £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï: T T T
¥è¥¨¥: T
= f (x) =0 =0 Z tZ
=
0
£¤¥
l
0
G(x, ξ, t)
t=0 x=0
( ç «ì®¥ ãá«®¢¨¥) (£à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥) (£à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥)
x=l
+
Z
nπξ l
G(x, ξ, t − τ )(ξ, τ ) dξ dτ
2
=
¯à¨ ¯à¨ ¯à¨
l
∞ X
n=1
sin
nπx l
sin
l
0
G(x, ξ, t)f (ξ ) dξ,
exp
a2 n 2 π 2 t − l2
.
5.2. ¥®¤®à®¤ë¥ £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï: T T T
¯à¨ ¯à¨ ¯à¨
= f (x) = g (t ) = h(t)
t=0
( ç «ì®¥ ãá«®¢¨¥) (£à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥) (£à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥)
x=0 x=l
Ǒ¥à¥å®¤ï ª ®¢®© § ¢¨á¨¬®© ¯¥à¥¬¥®© u = u(x, t) ¯® ä®à¬ã«¥ T
= g (t) +
x [h(t) − g (t)℄ + u, l
¯®«ã稬 ¤«ï u «®£¨ç®¥ ãà ¢¥¨¥ á ®¤®à®¤ë¬¨ £à ¨ç묨 ãá«®¢¨ï¬¨, ª®â®à®¥ à áᬠâਢ «®áì ¢ëè¥ ¢ ¯. 5.1 (¯à¨ í⮬ ᮮ⢥âá⢥® ¨§¬¥ïâáï äãªæ¨¨ f ¨ ). ¥è¥¨¥: T
=
Z tZ 0
+ £¤¥
l
G(x, ξ, t − τ )(ξ, τ ) dξ dτ + 0 ∞ nπx 2X a2 n 2 π 2 t Mn (t) exp − sin , l n=1 l2 l
a2 n 2 π 2 t , G(x, ξ, t) = sin exp − sin l n=1 l l2 2 2 2 Z l Z nπx a n π t a2 nπ t Mn (t) = dx + g (t) dt − f (x) sin exp l l l2 0 0 2 2 2 Z a n π t a2 nπ t h(t) dt. − (−1)n exp l l2 0
2
∞ X
nπx
nπξ l
300 6. ¡« áâì: 0 < x < l. â®à ï ªà ¥¢ ï § ¤ ç . Ǒਫ®¥¨ï
6.1. ¤®à®¤ë¥ £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï: ¯à¨ ¯à¨ ¯à¨
= f (x) ∂x T = 0 ∂x T = 0 T
t=0
( ç «ì®¥ ãá«®¢¨¥) (£à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥) (£à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥)
x=0 x=l
¥è¥¨¥: T
=
£¤¥
Z tZ 0
l
0
2
G(x, ξ, t) =
+
Z
nπξ l
G(x, ξ, t − τ )(ξ, τ ) dξ dτ
l
∞ X
n=1
os
nπx l
os
l
0
G(x, ξ, t)f (ξ ) dξ,
a2 n 2 π 2 t exp − . l2
6.2. ¥®¤®à®¤ë¥ £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï: T = f (x) ∂x T = g (t) ∂x T
= h(t)
¯à¨ ¯à¨ ¯à¨
t=0 x=0 x=l
( ç «ì®¥ ãá«®¢¨¥) (£à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥) (£à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥)
Ǒ¥à¥å®¤ï ª ®¢®© § ¢¨á¨¬®© ¯¥à¥¬¥®© u = u(x, t) ¯® ä®à¬ã«¥ T
= xg (t) +
x2 [h(t) − g (t)℄ + u, 2l
¯®«ã稬 ¤«ï u «®£¨ç®¥ ãà ¢¥¨¥ á ®¤®à®¤ë¬¨ £à ¨ç묨 ãá«®¢¨ï¬¨, ª®â®à®¥ à áᬠâਢ «®áì ¢ëè¥ ¢ ¯. 6.1 (¯à¨ í⮬ ᮮ⢥âá⢥® ¨§¬¥ïâáï äãªæ¨¨ f ¨ ).
7. ¡« áâì: 0 < x < l. à¥âìï ªà ¥¢ ï § ¤ ç . 7.1. ¤®à®¤ë¥ £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï (b > 0, c > 0): T = f (x) ∂x T − bT ∂x T
=0 =0
+ cT
¯à¨ ¯à¨ ¯à¨
t=0 x=0 x=l
( ç «ì®¥ ãá«®¢¨¥) (£à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥) (£à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥)
¥è¥¨¥: T
=
Z tZ 0
0
l
G(x, ξ, t − τ )(ξ, τ ) dξ dτ
+
Z
0
l
G(x, ξ, t)f (ξ ) dξ,
Ǒ.1. ®çë¥ à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨© ⥯«®- ¨ ¬ áᮯ¥à¥®á
£¤¥ G(x, ξ, t) =
1
∞ X
kyn k2 n=1
301
yn (x)yn (ξ ) exp(−a2 λ2n t),
b sin(λn x), λn c λ2n + b2 b l b2 + 1 + . + 2λ2n λ2n + c2 2λ2n 2 λ2n
yn (x) = os(λn x) + kyn )k2
=
¤¥áì λn | ¯®«®¨â¥«ìë¥ ª®à¨ âà á楤¥â®£® ãà ¢¥¨ï: tg(λl) λ
=
b+c . λ2 − bc
7.2. ¥®¤®à®¤ë¥ £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï: T
= f (x)
∂x T − bT ∂x T
+ cT
= g (t) = h(t)
¯à¨ ¯à¨ ¯à¨
t=0
( ç «ì®¥ ãá«®¢¨¥) (£à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥) (£à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥)
x=0 x=l
Ǒ¥à¥å®¤ï ª ®¢®© § ¢¨á¨¬®© ¯¥à¥¬¥®© u = u(x, t) ¯® ä®à¬ã«¥ T
=
h(t) − (1 + cl)g (t) b + c + bcl
+x
cg (t) + bh(t) b + c + bcl
+ u,
¯®«ã稬 ¤«ï u «®£¨ç®¥ ãà ¢¥¨¥ á ®¤®à®¤ë¬¨ £à ¨ç묨 ãá«®¢¨ï¬¨, ª®â®à®¥ à áᬠâਢ «®áì ¢ëè¥ ¢ ¯. 7.1 (¯à¨ í⮬ ᮮ⢥âá⢥® ¨§¬¥ïâáï äãªæ¨¨ f ¨ ).
8. ¡« áâì: 0 < x < l. ¬¥è ë¥ ªà ¥¢ë¥ § ¤ ç¨. 8.1 . ¤®à®¤ë¥ £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï: = f (x) =0 ∂x T = 0
¯à¨ ¯à¨ ¯à¨
T T
t=0 x=0
( ç «ì®¥ ãá«®¢¨¥) (£à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥) (£à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥)
x=l
¥è¥¨¥: T
£¤¥
=
Z
0
l
G(x, ξ, t)f (ξ ) dξ +
Z tZ 0
0
l
G(x, ξ, t − τ )(ξ, τ ) dξ dτ,
x − ξ a2 t x + ξ a2 t + −ϑ , , 4l l 4l l x − ξ − 2l a2 t x + ξ − 2l a2 t −ϑ . , , +ϑ 4l l 4l l
G(x, ξ, t) = ϑ
302
Ǒਫ®¥¨ï
¤¥áì ϑ(x, t) | äãªæ¨ï ª®¡¨ (á¬. ¯. 9 ¢ à §¤¥«¥ 1.1). 8.2a. ¥®¤®à®¤ë¥ £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï: ¯à¨ ¯à¨ ¯à¨
= f (x) = g (t) ∂x T = h(t) T T
t=0 x=0
( ç «ì®¥ ãá«®¢¨¥) (£à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥) (£à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥)
x=l
Ǒ¥à¥å®¤ï ª ®¢®© § ¢¨á¨¬®© ¯¥à¥¬¥®© u = u(x, t) ¯® ä®à¬ã«¥ T
= g (t) + xh(t) + u,
¯®«ã稬 ¤«ï u «®£¨ç®¥ ãà ¢¥¨¥ á ®¤®à®¤ë¬¨ £à ¨ç묨 ãá«®¢¨ï¬¨, ª®â®à®¥ à áᬠâਢ «®áì ¢ëè¥ ¢ ¯. 8.1 (¯à¨ í⮬ ᮮ⢥âá⢥® ¨§¬¥ïâáï äãªæ¨¨ f ¨ ). 8.1¡. ¤®à®¤ë¥ £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï: ¯à¨ ¯à¨ ¯à¨
= f (x) ∂x T = 0 T =0 T
¥è¥¨¥: T
=
£¤¥
Z
0
l
t=0
( ç «ì®¥ ãá«®¢¨¥) (£à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥) (£à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥)
x=0 x=l
G(x, ξ, t)f (ξ ) dξ +
Z tZ 0
0
l
G(x, ξ, t − τ )(ξ, τ ) dξ dτ,
x − ξ a2 t x + ξ a2 t +ϑ − , , 4l l 4l l x − ξ − 2l a2 t x + ξ − 2l a2 t −ϑ . , , −ϑ 4l l 4l l
G(x, ξ, t) = ϑ
¤¥áì ϑ(x, t) | äãªæ¨ï ª®¡¨ (á¬. ¯. 9 ¢ à §¤¥«¥ 1.1). 8.2¡. ¥®¤®à®¤ë¥ £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï: ¯à¨ ¯à¨ ¯à¨
= f (x) ∂x T = g (t) T = h(t) T
t=0
x=0 x=l
( ç «ì®¥ ãá«®¢¨¥) (£à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥) (£à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥)
Ǒ¥à¥å®¤ï ª ®¢®© § ¢¨á¨¬®© ¯¥à¥¬¥®© u = u(x, t) ¯® ä®à¬ã«¥ T
= (x − l)g (t) + h(t) + u,
¯®«ã稬 ¤«ï u «®£¨ç®¥ ãà ¢¥¨¥ á ®¤®à®¤ë¬¨ £à ¨ç묨 ãá«®¢¨ï¬¨, ª®â®à®¥ à áᬠâਢ «®áì ¢ëè¥ ¢ ¯. 8.1¡ (¯à¨ í⮬ ᮮ⢥âá⢥® ¨§¬¥ïâáï äãªæ¨¨ f ¨ ).
Ǒ.1. ®çë¥ à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨© ⥯«®- ¨ ¬ áᮯ¥à¥®á
303
1.3. à ¢¥¨ï á ®¡ê¥¬®© ॠªæ¨¥©
1.
∂T ∂t
2
= a2 ∂∂xT2 + bT.
Ǒਠb < 0 íâ® ãà ¢¥¨¥ ¢áâà¥ç ¥âáï ¢ § ¤ ç å ¬ áᮯ¥à¥®á á ®¡ê¥¬®© 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¥©. 1. ¥ª®â®àë¥ ç áâë¥ à¥è¥¨ï (A, B, λ | ¯à®¨§¢®«ìë¥ ¯®áâ®ïë¥): 1. 2. 3. 4.
T
5.
T
T T T
= (Ax + B )ebt , = A exp (a2 λ2 + b)t ± λx + B, = A exp (b − a2 λ2 )t os(λx) + B, = A exp (b − a2 λ2 )t sin(λx) + B, x2 1 = A √ exp − 2 + bt + B, 4a t t
x2 − 2 + bt + B, 4a t x 7. T = Aebt erf + B, √ 2a t
6.
T
=A
x t3/2
exp
£¤¥ erf z | ¨â¥£à « ¢¥à®ïâ®á⥩.
2. ¯à®é î饥 ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥. ¬¥ T = ebtu ¯à¨¢®¤¨â ª
ãà ¢¥¨î ∂t u = a2 ∂xx u, ª®â®à®¥ à áᬠâਢ ¥âáï ¢ à §¤¥«¥ 1.1. ç «ì®¥ ãá«®¢¨¥ ¤«ï ®¢®© ¯¥à¥¬¥®© u ¥ ¬¥ï¥âáï, ¥®¤®à®¤ ï ç áâì ¢ £à ¨çëå ãá«®¢¨ïå 㬮 ¥âáï äãªæ¨î e−bt . ç¨âë¢ ï ᪠§ ®¥ ¥âà㤮 ¯®«ãç¨âì à¥è¥¨¥ ¨á室®£® ãà ¢¥¨ï á ç «ì묨 ¨ £à ¨ç묨 ãá«®¢¨ï¬¨, ª®â®àë¥ à áᬠâਢ «¨áì ¢ à §¤¥«¥ 1.1. «ï ¯à¨¬¥à ¯à¨¢¥¤¥¬ ¨¥ à¥è¥¨ï ¤¢ãå ⨯¨çëå § ¤ ç.
3. ¡« áâì: −∞ < x < +∞. T
= f (x)
¯à¨
t=0
Z +∞
exp
( ç «ì®¥ ãá«®¢¨¥)
¥è¥¨¥: T
=
1
√ 2a πt
−∞
−
(x − ξ )2 + bt 4a2 t
f (ξ ) dξ.
4. ¡« áâì: 0 < x < +∞. Ǒ¥à¢ ï ªà ¥¢ ï § ¤ ç . T T
= f (x) = g (t )
¯à¨ ¯à¨
t=0 x=0
( ç «ì®¥ ãá«®¢¨¥) (£à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥)
304
Ǒਫ®¥¨ï
¥è¥¨¥: T
2.
=
Z +∞ (x − ξ )2 (x + ξ )2 1 exp − exp − ebt f (ξ ) dξ + − √ 4a 2 t 4a2t 2a πt 0 Z t x2 x g (τ ) dτ + √ exp − 2 exp[b(t − τ )℄ . 4a (t − τ ) 2a π 0 (t − τ )3/2
∂T ∂t
2
= a2 ∂∂xT2 + bT + (x, t).
¬¥ T = ebt u ¯à¨¢®¤¨â ª ãà ¢¥¨î ∂t u = a2 ∂xx u + e−bt (x, t), ª®â®à®¥ ¯®¤à®¡® à áᬠâਢ ¥âáï ¢ à §¤¥«¥ 1.2.
3.
∂T ∂t
2
= a2 ∂∂xT2 + b ∂T + cT + (x, t). ∂x
¬¥ T = exp(λt + µx)u, £¤¥ λ = c− 14 b2/a2, µ = − 12 b/a2, ¯à¨¢®¤¨â ª ãà ¢¥¨î ∂t u = a2 ∂xx u + exp(−λt − µx)(x, t), ª®â®à®¥ ¯®¤à®¡® à áᬠâਢ ¥âáï ¢ à §¤¥«¥ 1.2. 1.4. à ¢¥¨ï á ¯¥à¥¬¥ë¬¨ ª®íää¨æ¨¥â ¬¨
1.
∂T ∂t
= a2
2 ∂ T ∂r 2
+ 1r
∂T ∂r
.
â® ãà ¢¥¨¥ ¢áâà¥ç ¥âáï ¢ ¯«®áª¨å § ¤ ç å ⥯«®¯à®¢®¤®á⨠(⥯«®®¡¬¥ ªà㣮¢®£® 樫¨¤à á ®ªàã î饩 á।®©, r | à ¤¨ «ì ï ª®®à¤¨ â ).
1. ¥ª®â®àë¥ ç áâë¥ à¥è¥¨ï
¯®áâ®ïë¥):
1. 2.
T T
(A,
B, λ
| ¯à®¨§¢®«ìë¥
= A + B ln r, = A + 4a2Bt + Br2 ,
r2 B 3. T = A + exp − 2 , t 4a t Z ζ dz 4. T = A + B e−z , ζ = z 1 5. T = exp(−a2 λ2 t)J0 (λr),
£¤¥ J0 (z ) | äãªæ¨ï ¥áᥫï.
r2 , 4a2 t
Ǒ.1. ®çë¥ à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨© ⥯«®- ¨ ¬ áᮯ¥à¥®á
305
2. ¡« áâì: 0 < r < R. Ǒ¥à¢ ï ªà ¥¢ ï § ¤ ç . 2.1.
T T T
= T0 = TR = 6 ∞
¯à¨ ¯à¨ ¯à¨
t=0 r=R r
=0
( ç «ì®¥ ãá«®¢¨¥) (£à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥) (£à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥)
£¤¥ T0 = onst, TR = onst. ¥è¥¨¥: T (r, t) − TR T0 − TR
=
∞ X
n=1
2 exp µn J1 (µn )
a2 t r , −µ2n 2 J0 µn R R
£¤¥ µn | ª®à¨ äãªæ¨¨ ¥áᥫï: J0 (µn ) = 0. Ǒਢ¥¤¥¬ ç¨á«¥ë¥ § ç¥¨ï ¯¥à¢ëå ¯ï⨠ª®à¥© (á â®ç®áâìî ¤® ç¥â¢¥à⮣® § ª ¯®á«¥ § ¯ï⮩): µ1 = 2,4048; µ2 = 5,5201; µ3 = 8,6537; µ4 = 11,7915; µ5 = 14,9309. Ǒਠn → ∞ ¨¬¥¥¬ µn+1 − µn → π . 2.2.
T T T
¥è¥¨¥:
= f (r) =0 = 6 ∞
T (r, t) =
£¤¥
¯à¨ ¯à¨ ¯à¨
t=0
r=R r=0
( ç «ì®¥ ãá«®¢¨¥) (£à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥) (£à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥)
a2 µ2n t r , J0 µn An exp − 2 R R n=1 ∞ X
Z
R r 2 An = 2 2 rf (r)J0 µn dr. R R J1 (µn ) 0 ¤¥áì µn | ª®à¨ äãªæ¨¨ ¥áᥫï: J0 (µn ) = 0.
3. ¡« áâì: 0 < r < R. â®à ï ªà ¥¢ ï § ¤ ç .
3.1.
T ∂r T T
= T0 = gR 6 ∞ =
¯à¨ ¯à¨ ¯à¨
£¤¥ T0 = onst, gR = onst. ¥è¥¨¥:
t=0 r=R r
=0
( ç «ì®¥ ãá«®¢¨¥) (£à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥) (£à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥)
a2 t 1 r2 T (r, t) = T0 + gR R 2 2 − 1−2 2 − R 4 R ∞ 2 X 2 2 a t J µ r −µ − exp n 0 nR , µ2n J0 (µn ) R2 n=1
306
Ǒਫ®¥¨ï
£¤¥ µn | ª®à¨ äãªæ¨¨ ¥áᥫï: J1 (µn ) = 0. Ǒਢ¥¤¥¬ ç¨á«¥ë¥ § ç¥¨ï ¯¥à¢ëå ¯ï⨠ª®à¥© (á â®ç®áâìî ¤® ç¥â¢¥à⮣® § ª ¯®á«¥ § ¯ï⮩): µ1 = 3,8317; µ2 = 7,0156; µ3 = 10,1735; µ4 = 13,3237; µ5 = 16,4706. Ǒਠn → ∞ ¨¬¥¥¬ µn+1 − µn → π . 3.2.
T
= f (r)
¯à¨ ¯à¨ ¯à¨
∂r T = g (t) T = 6 ∞
( ç «ì®¥ ãá«®¢¨¥) (£à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥) (£à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥)
t=0 r r
=R =0
¥è¥¨¥: T (r, t) =
£¤¥
2
Z
R
Z
t
g (τ ) dτ + R 0 µ r a2 µ2 t exp − 2n J0 n Hn (r, t), + R R n=1 R2 0 ∞ X
Hn (r, t) =
rf (r) dr +
2a
Z
µ r 2 R 1 n rf (r)J0 dr + 2 2 J0 (µn ) R 0 R 2 2 Z 2a t a µn τ + g (τ ) exp dτ . 2 R
R
0
¤¥áì µn | ª®à¨ äãªæ¨¨ ¥áᥫï: J1 (µn ) = 0.
4. ¡« áâì: 0 < r < R. à¥âìï ªà ¥¢ ï § ¤ ç . T ∂r T T
= T0 = k(TR − T ) = 6 ∞
¯à¨ ¯à¨ ¯à¨
t=0
r=R r=0
( ç «ì®¥ ãá«®¢¨¥) (£à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥) (£à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥)
£¤¥ k = onst, T0 = onst, TR = onst. ¥è¥¨¥: T (r, t) − T0 TR − T0
µn r a2 µ2n t , J =1− An exp − 0 R2 R n=1 ∞ X
£¤¥ An
=
2J1 (µn ) . 2 µn [J0 (µn ) + J12 (µn )℄
¤¥áì µn | ¯®«®¨â¥«ìë¥ ª®à¨ âà á楤¥â®£® ãà ¢¥¨ï: µn J1 (µn ) − kRJ0 (µn ) = 0.
Ǒ.1. ®çë¥ à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨© ⥯«®- ¨ ¬ áᮯ¥à¥®á
2.
∂T ∂t
= a2
+ 2r
2 ∂ T ∂r 2
∂T ∂r
307
.
â® ãà ¢¥¨¥ ¢áâà¥ç ¥âáï ¢ ®á¥á¨¬¬¥âà¨çëå § ¤ ç å ⥯«®¯à®¢®¤®á⨠(⥯«®®¡¬¥ è à á ®ªàã î饩 á।®©, r | à ¤¨ «ì ï ª®®à¤¨ â ). ¬¥ u(r, t) = rT (r, t) ¯à¨¢®¤¨â ª ãà ¢¥¨î á ¯®áâ®ï묨 ª®íää¨æ¨¥â ¬¨ ∂t u = a2 ∂rr u, ª®â®à®¥ à áᬠâਢ ¥âáï ¢ à §¤¥«¥ 1.1. 1. ¥ª®â®àë¥ ç áâë¥ à¥è¥¨ï (A, B, λ | ¯à®¨§¢®«ìë¥ ¯®áâ®ïë¥): 1 1. T = A + B , 2.
T
3.
T
4.
T
5. 6. 7.
T
r 2 = A + 6a Bt + Br2 , r2 B = A + 3/2 exp − 2 , 4a t t r2 B = A + √ exp − 2 , 4a t r t 2 2 −1 = Ar exp(a λ t ± λr) + B,
= Ar−1 exp(−a2 λ2 t) os(λr) + B, = Ar−1 exp(−a2 λ2 t) sin(λr) + B.
T T
2. ¡« áâì: 0 < r < R. Ǒ¥à¢ ï ªà ¥¢ ï § ¤ ç . 2.1.
T T T
= T0 = TR 6 ∞ =
¯à¨ ¯à¨ ¯à¨
t=0 r=R r
=0
( ç «ì®¥ ãá«®¢¨¥) (£à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥) (£à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥)
£¤¥ T0 = onst, TR = onst. ¥è¥¨¥: T (r, t) − TR T0 − TR
2.2.
T T T
¥è¥¨¥:
=2
∞ X (−1)n+1 R πnr n=1
= f (r) = TR = 6 ∞
T (r, t) =
¯à¨ ¯à¨ ¯à¨
∞ X An r n=1
sin
sin
t=0
r=R r=0
πnr R
exp
a2 π 2 n 2 t − . R2
( ç «ì®¥ ãá«®¢¨¥) (£à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥) (£à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥)
µ r a2 µ2 t n exp − 2n , R R
308
Ǒਫ®¥¨ï
£¤¥ An
2
=
R
Z
R
0
rf (r) sin
µ r n dr. R
3. ¡« áâì: 0 < r < R. â®à ï ªà ¥¢ ï § ¤ ç . 3.1.
= T0 = gR 6 ∞ =
T ∂r T T
¯à¨ ¯à¨ ¯à¨
( ç «ì®¥ ãá«®¢¨¥) (£à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥) (£à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥)
t=0 r=R r
=0
£¤¥ T0 = onst, gR = onst. ¥è¥¨¥: T (r, t) = T0 + gR R −
3a 2 t R2
+
5r2 − 3R2 10R2
−
µ r 2R sin n exp 3 µn os(µn )r R
∞ X
n=1
a2 µ2n t − , R2
£¤¥ µn | ¯®«®¨â¥«ìë¥ ª®à¨ âà á楤¥â®£® ãà ¢¥¨ï: tg(µn ) − − µn = 0. Ǒਢ¥¤¥¬ ç¨á«¥ë¥ § ç¥¨ï ¯¥à¢ëå ¯ï⨠ª®à¥© (á â®ç®áâìî ¤® ç¥â¢¥à⮣® § ª ¯®á«¥ § ¯ï⮩): µ1 =4,4934; µ2 =7,7253; µ3 = 10,9041; µ4 = 14,0662; µ5 = 17,2208. 3.2.
T
= f (r)
¯à¨ ¯à¨ ¯à¨
∂r T = g (t) T = 6 ∞
( ç «ì®¥ ãá«®¢¨¥) (£à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥) (£à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥)
t=0 r r
=R =0
¥è¥¨¥: T (r, t) =
£¤¥ Hn (r, t) =
3
Z
R
r2 f (r) dr +
3a
Z
t
g (τ ) dτ + R 0 ∞ µ r X a2 µ2n t exp − 2 sin n Hn (r, t), + R R n=1 R3
0
2 2 µn os(µn )r
1
Z
R
rf (r) sin Rµn 0 2 2 Z t a µn τ dτ . + a g (τ ) exp R2 0
µ r n dr + R
Ǒ.1. ®çë¥ à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨© ⥯«®- ¨ ¬ áᮯ¥à¥®á
309
¤¥áì µn | ¯®«®¨â¥«ìë¥ ª®à¨ âà á楤¥â®£® ãà ¢¥¨ï: tg(µn ) − µn = 0.
4. ¡« áâì: 0 < r < R. à¥âìï ªà ¥¢ ï § ¤ ç . T ∂r T T
= T0 = k(TR − T ) = 6 ∞
¯à¨ ¯à¨ ¯à¨
t=0
( ç «ì®¥ ãá«®¢¨¥) (£à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥) (£à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥)
r=R r=0
£¤¥ k = onst, T0 = onst, TR = onst. ¥è¥¨¥: T (r, t) − T0 TR − T0
£¤¥
=1−
∞ X
n=1
An
R r
sin
µ r a2 µ2 t n exp − 2n , R R
2 sin µn − µn os µn . µn µn − sin µn os µn ¤¥áì µn | ¯®«®¨â¥«ìë¥ ª®à¨ âà á楤¥â®£® ãà ¢¥¨ï: (kR − 1) tg(µn ) + µn = 0. An
3.
∂T ∂t
=
∂2T ∂x2
=
+ 1 −x2β
∂T ∂x
,
0 < β < 1.
â® ãà ¢¥¨¥ ¢áâà¥ç ¥âáï ¢ § ¤ ç å ¤¨ää㧨®®£® ¯®£à ¨ç®£® á«®ï.
1. ¥ª®â®àë¥ ç áâë¥ à¥è¥¨ï: T T T T T T T
= A + Bx2β , a, b = onst, = A + 4(1 − β )Bt + Bx2 ,
x2 = A + Bt exp − , 4t x2β x2 = A + B β +1 exp − , 4t t Z ζ x2 = A + B z β−1e−z dz, ζ = , 4t 0 β 2 2 x λx x +λ =A+B exp − Iβ , t 4t 2t λx x2 + λ2 xβ I−β , =A+B exp − t 4t 2t β−1
£¤¥ A, B , λ | ¯à®¨§¢®«ìë¥ ¯®áâ®ïë¥, Iβ (z ) | ¬®¤¨ä¨æ¨à®¢ ï äãªæ¨ï ¥áᥫï.
310 2. ¡« áâì: 0 6 x < ∞. Ǒ¥à¢ ï ªà ¥¢ ï § ¤ ç . Ǒਫ®¥¨ï
¯à¨ ¯à¨
= f (x) = g (t )
T T
( ç «ì®¥ ãá«®¢¨¥) (£à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥)
t=0 x=0
¥è¥¨¥: T
ξx x2 + ξ 2 1 −β Iβ dξ + f (ξ )ξ exp − 4t 2t 0 Z t x2 dτ x2β − . g ( τ ) exp 4(t − τ ) (t − τ )1+β 22β (β ) 0
xβ 2t
=
+
Z
∞
áâë© á«ãç ©: f (x) = a, g(x) = b, £¤¥ a, b | ª®áâ âë. ¥è¥¨¥: (a − b) x2 T = γ β, + b, (β ) 4t £¤¥ γ (β, z ) =
Z
z
| ¥¯®« ï £ ¬¬ -äãªæ¨ï, (β ) = γ (β, +∞) |
ξ β−1 e−ξ dξ
0
£ ¬¬ -äãªæ¨ï.
3. ¡« áâì: 0 6 x < ∞. â®à ï ªà ¥¢ ï § ¤ ç . T
= f (x)
¯à¨ ¯à¨
x1−2β ∂x T = g (t)
t=0
x=0
( ç «ì®¥ ãá«®¢¨¥) (£à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥)
¥è¥¨¥: T
=
xβ 2t −
ξx x2 + ξ 2 f (ξ )ξ 1−β exp − I−β dξ − 4t 2t 0 Z t x2 dτ 22β−1 . g (τ ) exp − (1 − β ) 0 4(t − τ ) (t − τ )1−β Z
∞
4. ¡« áâì: 0 6 x < ∞. à¥âìï ªà ¥¢ ï § ¤ ç . T
=0
[x1−2β ∂x T
+ a(Ts − T )℄ = 0
¯à¨ ¯à¨
t=0
x=0
( ç «ì®¥ ãá«®¢¨¥) (£à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥)
£¤¥ a ¨ Ts | ¥ª®â®àë¥ ¯®áâ®ïë¥. ¥è¥¨¥: T
=
22β−1 (1 − β )
Z
0
t
ϕ(τ ) exp −
x2 dτ , 4(t − τ ) (t − τ )1−β
311
Ǒ.2. Ǒ८¡à §®¢ ¨ï ãà ¢¥¨© ⥯«®- ¨ ¬ áᮯ¥à¥®á
£¤¥ äãªæ¨ï ϕ(t) § ¤ ¥âáï ¢ ¢¨¤¥ á⥯¥®£® àï¤ ϕ(t) =
(−λtβ )n , (nβ + 1)
∞ X
n=0
22β−1a (β ) , (1 − β )
λ=
ª®â®àë© á室¨âáï ¤«ï ¢á¥å x.
4.
∂T ∂t
2
= a2x1−k ∂∂xT2 ,
0 < k < ∞.
â® ãà ¢¥¨¥ ¢áâà¥ç ¥âáï ¢ § ¤ ç å ¤¨ää㧨®®£® ¯®£à ¨ç®£® á«®ï. Ǒ८¡à §®¢ ¨¥ τ
=
2 1 2 4 a (k + 1) t,
=x
ξ
k+1
2
¯à¨¢®¤¨â ª ãà ¢¥¨î 3 ¨§ í⮣® à §¤¥« : ∂2T ∂ξ 2
1 − 2β
1 . ξ k+1 «ï 0 6 x < ∞ à¥è¥¨¥ ¨á室®£® ãà ¢¥¨ï ¯à¨ ¨¡®«¥¥ à á¯à®áâà ¥ëå ãá«®¢¨ïå ∂T ∂τ
=
+
T T
∂T , ∂ξ
= T0 = Ts
¯à¨ ¯à¨
£¤¥
β
=
ν
=
t=0
x=0
£¤¥ T0 = onst, Ts = onst, ¨¬¥¥â ¢¨¤ T − Ts T0 − Ts
1 = γ (ν )
xk+1 2 ν, ν , t
£¤¥ (ν ) = γ (ν, ∞) | £ ¬¬ -äãªæ¨ï, γ (ν, ζ ) = ï £ ¬¬ -äãªæ¨ï.
Z
ζ
0
1
k+1
,
ζ ν−1 e−ζ dζ | ¥¯®«-
Ǒ.2. Ǒ८¡à §®¢ ¨ï ãà ¢¥¨© ⥯«®¨ ¬ áᮯ¥à¥®á 1. â¥£à « î ¬¥«ï. ¤®à®¤®¥ ãà ¢¥¨¥ á ¥®¤®à®¤ë¬ £à ¨çë¬ ãá«®¢¨¥¬.
¥è¥¨¥ ªà ¥¢®© § ¤ ç¨ ∂T ∂t
T T T
= a(x)
=0 ¯à¨ = g(t) ¯à¨ =0 ¯à¨
∂2 T ∂x2
t=0 x=0 x=l
+ b(x)
∂T ∂x
+ c(x)T
( ç «ì®¥ ãá«®¢¨¥) (£à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥) (£à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥)
(1) (2) (3) (4)
312
Ǒਫ®¥¨ï
á ¥áâ 樮 àë¬ £à ¨çë¬ ãá«®¢¨¥¬ ¯à¨ ä®à¬ã«¥ (¨â¥£à « î ¬¥«ï) T (x, t)
=
Z
t
0
x
= 0 ¬®¥â ¡ëâì ¢ëà ¥® ¯®
∂W (x, t − τ )g(τ ) dτ ∂t
ç¥à¥§ à¥è¥¨¥ W (x, t) ¢á¯®¬®£ ⥫쮩 § ¤ ç¨ ¤«ï ãà ¢¥¨ï (1) á ç «ìë¬ ¨ £à ¨çë¬ ãá«®¢¨¥¬ (2), (4) (¢ ãà ¢¥¨¨, ç «ì®¬ ¨ £à ¨ç®¬ ãá«®¢¨ïå á«¥¤ã¥â § ¬¥¨âì T W ) ¡®«¥¥ ¯à®áâë¬ áâ 樮 àë¬ £à ¨çë¬ ãá«®¢¨¥¬ ¯à¨ x = 0: W = 1 ¯à¨ x = 0 (£à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥) (5) ª § ãî ä®à¬ã«ã ¬®® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¨ ¯à¨ l = ∞. «®£¨ç ï ä®à¬ã« ¡ã¤¥â á¯à ¢¥¤«¨¢ ¤«ï ®¤®à®¤®£® £à ¨ç®£® ãá«®¢¨ï ¯à¨ x = a ¨ ¥®¤®à®¤®£® ¥áâ 樮 ண® £à ¨ç®£® ãá«®¢¨ï ¯à¨ x = b. 2. â¥£à « î ¬¥«ï. ¥®¤®à®¤®¥ ãà ¢¥¨¥ á ®¤®à®¤ë¬ £à ¨çë¬ ãá«®¢¨¥¬.
∂T ∂t
¥è¥¨¥ ªà ¥¢®© § ¤ ç¨ ¤«ï ¥®¤®à®¤®£® ãà ¢¥¨ï
= a(x, t) T T T
∂2 T ∂x2
= 0 ¯à¨ = 0 ¯à¨ = 0 ¯à¨
+ b(x, t)
=0 =0 x=l
∂T ∂x
+ c(x, t)T + (x, t)
(6)
( ç «ì®¥ ãá«®¢¨¥) (£à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥) (£à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥)
t
x
(7) (8) (9)
¬®¥â ¡ëâì ¢ëà ¥® ¯® ä®à¬ã«¥ (¨â¥£à « î ¬¥«ï) T (x, t)
=
Z
t
U (x, t − τ ; τ ) dτ
0
ç¥à¥§ à¥è¥¨¥ U (x, t; τ ) ¢á¯®¬®£ ⥫쮩 § ¤ ç¨ ¤«ï ®¤®à®¤®£® ãà ¢¥¨ï ∂U ∂t
= a(x, t)
∂2U ∂x2
+ b(x, t)
∂U ∂x
+ c(x, t)U
á £à ¨ç묨 ãá«®¢¨ï¬¨ (8), (9) (¢ ª®â®àëå á«¥¤ã¥â § ¬¥¨âì ¥®¤®à®¤ë¬ ç «ìë¬ ãá«®¢¨¥¬, § ¢¨áï騬 ®â ¯ à ¬¥âà τ : U
= (x, τ ) ¯à¨
t=
0
(10) T
( ç «ì®¥ ãá«®¢¨¥)
U)
(11)
ª § ãî ä®à¬ã«ã ¬®® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¨ ¯à¨ l = ∞. 3. ¤ ç¨ á ý®¡ê¥¬®© ॠªæ¨¥©þ. áᬮâਬ ªà ¥¢ãî § ¤ çã ∂T ∂t T T T
=0 = T0 = Tl
= a(x) ¯à¨ ¯à¨ ¯à¨
∂2 T ∂x2
t=0 x=0 x=l
£¤¥ k, T0 , Tl | ¥ª®â®àë¥ ¯®áâ®ïë¥.
+ b(x)
∂T − kT ∂x
( ç «ì®¥ ãá«®¢¨¥) (£à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥) (£à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥)
(12) (13) (14) (15)
313
Ǒ.3. à⮣® «ìë¥ ªà¨¢®«¨¥©ë¥ á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â
à ¢¥¨¥ (12) ç áâ® ¢áâà¥ç ¥âáï ¢ § ¤ ç å 娬¨ç¥áª®© â¥å®«®£¨¨, £¤¥ äãªæ¨ï T ¨£à ¥â à®«ì ª®æ¥âà 樨, ¯ à ¬¥âà k ¨£à ¥â à®«ì ª®áâ âë ᪮à®á⨠®¡ê¥¬®© 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨. ¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ á ®¡ê¥¬®© ॠªæ¨¥© (12) | (15) ¬®® ¢ëà §¨âì ¯® ä®à¬ã«¥ T (x, t)
=k
Z
t
0
e(x, τ ) dτ e−kτ T
+ e−kt Te (x, t)
ç¥à¥§ à¥è¥¨¥ Te (x, t) ¡®«¥¥ ¯à®á⮣® ¢á¯®¬®£ ⥫쮩 ãà ¢¥¨ï ¡¥§ ®¡ê¥¬®© 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨ e ∂T ∂t
= a(x)
e ∂2 T ∂x2
+ b(x)
e ∂T ∂x
(16)
á ⥬¨ ¥ ç «ìë¬ ¨ £à ¨ç묨 ãá«®¢¨ï¬¨ (13) | (15) (¢ ª®â®àëå á«¥¤ã¥â § ¬¥¨âì T Te ). ª § ãî ä®à¬ã«ã ¬®® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¨ ¯à¨ l = ∞.
Ǒ.3. à⮣® «ìë¥ ªà¨¢®«¨¥©ë¥ á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â Ǒਠá®áâ ¢«¥¨¨ í⮣® à §¤¥« ¨á¯®«ì§®¢ ë ª¨£¨ [89, 178℄.
ਢ®«¨¥©ë¥ § ¤ îâáï ª ª äãªæ¨¨ ¯àאַ㣮«ìëå ¤¥ª à⮢ëå ª®®à-
1. Ǒந§¢®«ì ï ®à⮣® «ì ï á¨á⥬ ª®®à¤¨ â. 2 3
ª®®à¤¨ âë x1 , ¤¨ â x, y, z :
x
x1
,
x
= x1 (x, y, z ),
x2
= x2 (x, y, z ),
x3
= x3 (x, y, z ).
ᯮ«ì§ãï í⨠¢ëà ¥¨ï ¬®® ¢ëà §¨âì x, y, z ç¥à¥§ ªà¨¢®«¨¥©ë¥ ª®®à¤¨ âë x1 , x2 , x3 : x
= x(x1 , x2 , x3 ),
y
= y(x1 , x2 , x3 ),
z
= z (x1 , x2 , x3 ).
®¬¯®¥âë ¬¥âà¨ç¥áª®£® ⥧®à gij ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¯® ä®à¬ã« ¬
∂x ∂x ∂xi ∂xj
∂y ∂y ∂xi ∂xj
gij (x1 , x2 , x3 )
=
gij (x1 , x2 , x3 )
= gji (x1 , x2 , x3 );
+
i, j
+
∂z ∂z ∂xi ∂xj
= 1, 2, 3.
1 2 3
x ,x ,x
;
¨á⥬ ª®®à¤¨ â ï¥âáï ®à⮣® «ì®©, ¥á«¨ ¢ë¯®«ïîâáï á®®â®è¥¨ï gij (x1 , x2 , x3 )
= 0 ¯à¨
i= 6 j.
í⮬ á«ãç ¥ âà¥â¨© ¨¢ ਠ⠬¥âà¨ç¥áª®£® ⥧®à ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä®à¬ã«®© g
= g11 g22 g33 .
¨¥ ¯à¨¢¥¤¥ë ®á®¢ë¥ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë¥ ®¯¥à â®àë ¢ ®à⮣® «ì®© ªà¨¢®«¨¥©®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â x1 , x2 , x3 . ®®â¢¥âáâ¢ãî騥 ¥¤¨¨çë¥ ¯à ¢«ïî騥 ¢¥ªâ®à ®¡®§ ç îâáï ~e1 , ~e2 , ~e3 .
314
Ǒਫ®¥¨ï
à ¤¨¥â ᪠«ïà p: ∇p = √
1 ∂p ~ i g11 ∂x1 1
+
√
1 ∂p ~ i g22 ∂x2 2
+
√
1 ∂p ~ i . g33 ∂x3 3
¨¢¥à£¥æ¨ï ¢¥ªâ®à ~v = ~i1 v1 + ~i2 v2 + ~i3 v3 : ∇ · ~v
=
1
√
g
r
∂ ∂x1
v1
g g11
+
∂ ∂x2
r v2
g g22
+
∂ ∂x3
r v3
g g33
.
à ¤¨¥â ᪠«ïà á ¯® ¢¥ªâ®àã ~v : (~v · ∇)c =
v1 ∂c √ g11 ∂x1
v2 ∂c √ g22 ∂x2
+
+
v3 ∂c . √ g33 ∂x3
à ¤¨¥â ¢¥ªâ®à w ~ ¯® ¢¥ªâ®àã ~v : ~ = ~i1 (~v · ∇)w1 + ~i2 (~v · ∇)w2 + ~i3 (~v · ∇)w3 . (~v · ∇)w
®â®à ¢¥ªâ®à ~v : √ g11 ∂ ∂ √ √ ~ v g − v g ∇ × ~v = i1 √ + g ∂x2 3 33 ∂x3 2 22 √ g ∂ ∂ √ √ + v g − v g + ~i2 √22 g ∂x3 1 11 ∂x1 3 33 √ g ∂ ∂ √ √ + ~i3 √33 v g − v g . g ∂x1 2 22 ∂x2 1 11
¯¥à â®à ¯« á ᪠«ïà c: c ≡
1
√
g
∂ ∂x1
√
g
g11
¯« ᨠ¢¥ªâ®à ~v :
∂c ∂x1
+
∂ ∂x2
√
g
g22
∂c ∂x2
+
∂ ∂x3
√
g
g33
∂c ∂x3
.
~v = ∇(∇ · ~v ) − ∇ × (∇ × ~v ).
2. ¨«¨¤à¨ç¥áª¨¥ ª®®à¤¨ âë ̺, ϕ, z (¯à¨¬¥ïîâáï â ª¥ ª ª ¯®«ïàë¥ ª®®à¤¨ âë ¯«®áª®á⨠xy). Ǒ८¡à §®¢ ¨ï ª®®à¤¨ â (0 6 ϕ 6 2π):
̺=
p
x2
+ y2 , tg ϕ = y/x, z = z x = ̺ os ϕ, y = ̺ sin ϕ,
z
(sin ϕ = y/̺), = z.
®¬¯®¥âë ¬¥âà¨ç¥áª®£® ⥧®à : g̺̺
à ¤¨¥â ᪠«ïà p:
= 1,
gϕϕ
= ̺2 ,
∇p =
∂p ~ i ∂̺ ̺
+
1
gzz
= 1,
∂p ~ i ̺ ∂ϕ ϕ
+
√
g
∂p ~ i . ∂z z
= ̺.
315
Ǒ.3. à⮣® «ìë¥ ªà¨¢®«¨¥©ë¥ á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â ¨¢¥à£¥æ¨ï ¢¥ªâ®à ~v : =
∇ · ~v
1 ∂ (̺v̺ ) ̺
+
∂̺
1
∂vϕ
+
̺ ∂ϕ
∂vz . ∂z
à ¤¨¥â ᪠«ïà á ¯® ¢¥ªâ®àã ~v : (~v · ∇)c = v̺
∂c ∂̺
+
vϕ ∂c ̺ ∂ϕ
+ vz
∂c . ∂z
à ¤¨¥â ¢¥ªâ®à w ~ ¯® ¢¥ªâ®àã ~v : (~v · ∇)w ~ = (~v · ∇)w̺~i̺ + (~v · ∇)wϕ~iϕ + (~v · ∇)wz~iz . ®â®à ¢¥ªâ®à ~v : ∇ × ~v
=
1
∂vϕ ∂vz − ̺ ∂ϕ ∂z
~i̺
+
∂ ̺ ∂̺
∂v̺
−
∂z
∂vz ∂̺
1
~iϕ +
̺
∂ (̺vϕ )
∂v̺
−
∂̺
∂ϕ
~iz .
¯« ᨠ᪠«ïà c: 1
w = 3.
ä¥à¨ç¥áª¨¥
(0 6 θ 6 π, 0 6 ϕ 6 2π): r
=
p
x2
+ y2 + z 2 , x
∂w ∂̺
̺
ª®®à¤¨ âë
θ
z , r
= ar
os
= r sin θ os ϕ,
+
1
∂2 w ∂ϕ2
̺2
r, θ, ϕ. Ǒ८¡à §®¢ ¨ï ª®®à¤¨ â
tg ϕ =
y x
= r sin θ sin ϕ,
y
∂2 w . ∂z 2
+
z
sin ϕ = p
y
x2
= r os θ.
®¬¯®¥âë ¬¥âà¨ç¥áª®£® ⥧®à : grr
= 1,
gθθ
= r2 ,
gϕϕ
= r2 sin2 θ,
√
g
= r2 sin θ.
à ¤¨¥â ᪠«ïà p: ∇p =
∂p ~ i ∂r r
+
1
∂p ~ i r ∂ϑ θ
+
1 ∂p ~ i . r sin θ ∂ϕ ϕ
¨¢¥à£¥æ¨ï ¢¥ªâ®à ~v : ∇ · ~v
=
1 ∂ 2 1 ∂ r vr + r 2 ∂r r sin θ ∂θ
sin θ vθ +
à ¤¨¥â ᪠«ïà á ¯® ¢¥ªâ®àã ~v : (~v · ∇)c = vr
∂c ∂r
+
vθ ∂c r ∂θ
+
1
∂vϕ
r sin ϕ ∂ϕ
vϕ ∂c . r sin θ ∂ϕ
.
+ y2
,
316
Ǒਫ®¥¨ï
à ¤¨¥â ¢¥ªâ®à w ~ ¯® ¢¥ªâ®àã ~v : ~ = (~v · ∇)wr~ir + (~v · ∇)wθ~iθ + (~v · ∇)wϕ~iϕ . (~v · ∇)w
®â®à ¢¥ªâ®à ~v : 1 ∇ × ~v = r sin θ
∂ (sin θ vϕ )
∂vθ − ∂ϕ
∂θ
+
1 r
1 sin θ
~i r
+
∂ (rvϕ ) ∂vr − ∂ϕ ∂r
~iθ
1 h ∂ (rvθ )
+
r
¯« ᨠ᪠«ïà c: 1
w =
r2
∂ ∂r
r2
∂w ∂r
1 r 2 sin θ
+
∂ ∂θ
∂w ∂θ
sin θ
∂r
x2
y2
i
~iϕ .
σ, τ, ϕ. Ǒ८¡à -
> −1):
= a2 (σ2 − 1)(1 − τ 2 ) os2 ϕ,
∂vr ∂θ
1 ∂2w . r 2 sin2 θ ∂ϕ2
+
4. ®®à¤¨ âë ¢ëâïã⮣® í««¨¯á®¨¤ ¢à 饨ï
§®¢ ¨ï ª®®à¤¨ â (σ > 1 > τ
−
= a2 (σ2 − 1)(1 − τ 2 ) sin2 ϕ,
z
= aστ.
¯¥æ¨ «ì ï á¨á⥬ ª®®à¤¨ â u, v, ϕ (0 6 u < ∞, 0 6 v 6 π, 0 6 ϕ 6 2π): σ = h u, τ = os v, ϕ = ϕ, x = a sh u sin v os ϕ, y = a sh u sin v sin ϕ, z
= a h u os v.
®¬¯®¥âë ¬¥âà¨ç¥áª®£® ⥧®à : σ2 − τ 2 σ2 − τ 2 , gτ τ = a2 , gϕϕ = a2 (σ2 − 1)(1 − τ 2 ), 2 σ −1 1−τ2 √ g = a3 (σ2 − τ 2 ), guu = gvv = a2 ( sh 2 u +sin2 v), gϕϕ = a2 sh 2 u sin2 v.
= a2
gσσ
à ¤¨¥â ᪠«ïà p: ∇p =
r
1 a
σ2 − 1 ∂p ~ i σ2 − τ 2 ∂σ σ
1
+
a
r
1 − τ 2 ∂p ~ i σ2 − τ 2 ∂τ τ
¨¢¥à£¥æ¨ï ¢¥ªâ®à ~v : ∇ · ~v
=
1
a(
σ2
−
τ2
)
+
∂ ∂σ
∂ ∂τ
h p
h p
(
σ2
−
τ2
)(1 −
à ¤¨¥â ᪠«ïà á ¯® ¢¥ªâ®àã ~v : (~v · ∇)c =
vσ a
r
i
a
(σ2 − τ 2 )(σ2 − 1) +
vσ
vτ
+ p
σ2 − 1 ∂c σ2 − τ 2 ∂σ
+
vτ a
r
τ2
i
) +
1 − τ 2 ∂c σ2 − τ 2 ∂τ
(1 −
∂ vϕ ∂ϕ
τ2
p
+ p a
1
)(
σ2
− 1)
∂p ~ i . ∂ϕ ϕ
σ2 − τ 2
(σ2 − 1)(1 − τ 2 )
vϕ
(
σ2
− 1)(1 −
τ2
)
∂c . ∂ϕ
.
317
Ǒ.3. à⮣® «ìë¥ ªà¨¢®«¨¥©ë¥ á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â à ¤¨¥â ¢¥ªâ®à w ~ ¯® ¢¥ªâ®àã ~v : (~v · ∇)w ~ = (~v · ∇)wσ~iσ + (~v · ∇)wτ~iτ + (~v · ∇)wϕ~iϕ . ¯« ᨠ᪠«ïà c:
1
w =
a2 (σ2 −τ 2 )
∂ ∂σ
h
(σ2 − 1)
i
∂w ∂σ
+
∂ ∂τ
h
(1 −τ 2 )
∂w ∂τ
i
σ2 −τ 2 ∂2w 2 2 (σ − 1)(1 −τ ) ∂ϕ2
+
5. ®®à¤¨ âë ᯫîáã⮣® í««¨¯á®¨¤ ¢à 饨ï
§®¢ ¨ï ª®®à¤¨ â (σ > 0, −1 6 τ x2
6 1):
= a2 (1 + σ2 )(1 − τ 2 ) os2 ϕ,
.
σ, τ, ϕ. Ǒ८¡à -
= a2 (1 + σ2 )(1 − τ 2 ) sin2 ϕ,
y2
z
= aστ.
¯¥æ¨ «ì ï á¨á⥬ ª®®à¤¨ â u, v, ϕ (0 6 u < ∞, 0 6 v 6 π, 0 6 ϕ 6 2π): x
σ = sh u, τ = os v, ϕ = ϕ, = a h u sin v os ϕ, y = a h u sin v sin ϕ, z = a sh u os v.
®¬¯®¥âë ¬¥âà¨ç¥áª®£® ⥧®à : σ2 + τ 2 σ2 + τ 2 , gτ τ = a2 , gϕϕ = a2 (1+ σ2 )(1 − τ 2 ), 2 1+ σ 1−τ2 √ g = a3 (σ2 + τ 2 ), guu = gvv = a2 ( sh 2 u + os2 v), gϕϕ = a2 h 2 u sin2 v. gσσ
= a2
à ¤¨¥â ᪠«ïà p: ∇p =
1 a
r
σ2 + 1 ∂p ~ i σ2 + τ 2 ∂σ σ
1
+
a
r
1 − τ 2 ∂p ~ i σ2 + τ 2 ∂τ τ
¨¢¥à£¥æ¨ï ¢¥ªâ®à ~v : 1 ∇ · ~v = a(σ2 + τ 2 )
+
∂ ∂σ
∂ ∂τ
vσ
vτ
p
(
σ2
+
τ2
)(
σ2
a
(σ2 + τ 2 )(1 − τ 2 ) +
vσ a
r
σ2 + 1 ∂c σ2 + τ 2 ∂σ
+
vτ a
à ¤¨¥â ¢¥ªâ®à w ~ ¯® ¢¥ªâ®àã ~v :
r
(1 −
∂ vϕ ∂ϕ
à ¤¨¥â ᪠«ïà á ¯® ¢¥ªâ®àã ~v : (~v · ∇)c =
1 τ2
)(
σ2
+ 1)
∂p ~ i . ∂ϕ ϕ
+ 1) +
p
+ p
1 − τ2 σ2 + τ 2
∂c ∂τ
+ p a
+ τ2 (σ2 + 1)(1 − τ 2 )
p
σ2
vϕ
(σ2 + 1)(1 − τ 2 )
(~v · ∇)w ~ = (~v · ∇)wσ~iσ + (~v · ∇)wτ~iτ + (~v · ∇)wϕ~iϕ .
∂c . ∂ϕ
.
318
Ǒਫ®¥¨ï
¯« ᨠ᪠«ïà c: 1 w = 2 2 2 a (σ + τ )
∂ ∂σ
h
(1+ σ ) 2
∂w ∂σ
i
∂ ∂τ
+
h
(1 −τ ) 2
6. ®®à¤¨ âë í««¨¯â¨ç¥áª®£® 樫¨¤à
ª ª í««¨¯â¨ç¥áª¨¥ ª®®à¤¨ âë ¯«®áª®á⨠(σ > 0, −1 6 τ 6 1):
∂w ∂τ
i
+
σ2 + τ 2 ∂2w (1+ σ2 )(1 −τ 2 ) ∂ϕ2
.
σ, τ, z (¯à¨¬¥ïîâáï â ª¥
xy ).
Ǒ८¡à §®¢ ¨ï ª®®à¤¨ â
= a2 (σ2 − 1)(1 − τ 2 ), z = z. ¯¥æ¨ «ì ï á¨á⥬ ª®®à¤¨ â u, v, z (0 6 u < ∞, 0 6 v 6 π): σ = h u, τ = os v, z = z, x = a h u os v, y = a sh u sin v, z = z. ®¬¯®¥âë ¬¥âà¨ç¥áª®£® ⥧®à : x = aστ,
gσσ
= a2
y2
σ2 − τ 2 , σ2 − 1
gτ τ
¯« ᨠ: 1 w = 2 2 a ( sh u + sin2 v)
=
σ2 − τ 2 , 1 − τ2
= gvv = a2 ( sh 2 u + sin2 v),
guu
√ σ2 − 1 ∂ 2 a (σ2 − τ 2 ) ∂σ
= a2
p
σ2 − 1
∂w ∂σ
gzz
∂2 w ∂2 w + 2 ∂u2 ∂v √ 2 1−τ ∂ a2 (σ2 − τ 2 ) ∂τ
+
gzz
= 1,
= 1. ∂2 w ∂z 2
+
=
p
1 − τ2
∂w ∂τ
+
∂2 w . ∂z 2
Ǒ.4. à ¢¥¨¥ ª®¢¥ªâ¨¢®© ¤¨ää㧨¨ ¢ à §«¨çëå á¨á⥬ å ª®®à¤¨ â ¥ª à⮢ á¨á⥬ ª®®à¤¨ â:
á¬. ãà ¢¥¨¥ (3.1.1).
¨«¨¤à¨ç¥áª ï á¨á⥬ ª®®à¤¨ â:
∂C ∂t
+ VR
∂C ∂R
+
Vθ ∂C R ∂θ
+ VZ
∂C ∂Z
=D
1
∂ R ∂R
ä¥à¨ç¥áª ï á¨á⥬ ª®®à¤¨ â:
∂C ∂t
+ VR
∂C ∂R
+
=D
Vθ ∂C R ∂θ
1 R2
+
∂ ∂R
Vϕ ∂C R sin θ ∂ϕ
R2
∂C ∂R
∂C R ∂R
∂C ∂θ
+
+
V1 ∂C √ g11 ∂x1
=
1 R2 sin2 θ
∂2 C ∂ϕ2
.
,
∂2 C ∂θ 2
R2
.
=
+
1 R2 sin θ
∂ ∂θ
sin θ
Ǒந§¢®«ì ï ®à⮣® «ì ï á¨á⥬ ª®®à¤¨ â:
∂C ∂t
+
∂2C ∂Z 2
1
V2 ∂C V ∂C +√3 = √ g22 ∂x2 g33 ∂x3 √ √ g ∂C g ∂C D ∂ ∂ + √ g ∂x1 g11 ∂x1 ∂x2 g22 ∂x2
+
+
+
∂ ∂x3
√
£¤¥ g11 , g22 , g33 | ª®¬¯®¥âë ¬¥âà¨ç¥áª®£® ⥧®à ; g = g11 g22 g33 .
g ∂C g33 ∂x3
Ǒ.5. à ¢¥¨ï ¤¢¨¥¨ï ¨¤ª®á⨠¢ à §«¨çëå á¨á⥬ å ª®®à¤¨ â
319
Ǒ.5. à ¢¥¨ï ¤¢¨¥¨ï ¨¤ª®á⨠¢ à §«¨çëå á¨á⥬ å ª®®à¤¨ â ᯮ«ì§ã¥âáï ¬®¤¥«ì ¢ï§ª®© ¥á¨¬ ¥¬®© ¨¤ª®áâ¨. ¥ª à⮢ á¨á⥬ ª®®à¤¨ â: á¬. ãà ¢¥¨ï (1.1.2), (1.1.2). ¨«¨¤à¨ç¥áª ï á¨á⥬ ª®®à¤¨ â.
à ¢¥¨¥ ¥à §à뢮áâ¨:
∂VR ∂V V 1 ∂Vϕ + + Z + R = 0. ∂R R ∂ϕ ∂Z R (FR , Fϕ , FZ | ª®¬¯®¥âë ¢¥è¥© ®¡ê¥¬®©
à ¢¥¨ï ¤¢¨¥¨ï H VR −
Vϕ2
H Vϕ
+
H VZ
=−
1 ∂P ρ ∂R
=−
R VR Vϕ R
=
1
∂P ρ ∂Z
ᨫë):
2 VR − 2 + FR , R2 R ∂ϕ V 1 ∂P 2 ∂V − + ν Vϕ − ϕ2 + 2 R + Fϕ , ρR ∂ϕ R R ∂ϕ ∂Vϕ
+ ν VR −
+ ν VZ + FZ ,
£¤¥ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë¥ ®¯¥à â®àë H ¨ ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¯® ä®à¬ã« ¬: H≡
∂ ∂t
≡
∂2 ∂R2
∂ ∂R
+ VR +
Vϕ
∂ R ∂ϕ
+
1
1
+ VZ +
∂2 . ∂Z 2
∂ ∂ (R sin θVθ ) + ∂θ ∂ϕ
RVϕ
∂ R ∂R
+
R2
∂2 ∂ϕ2
∂ , ∂Z
ä¥à¨ç¥áª ï á¨á⥬ ª®®à¤¨ â.
à ¢¥¨¥ ¥à §à뢮áâ¨: ∂ ∂R
R2 sin θVR
à ¢¥¨ï ¤¢¨¥¨ï: V 2 + Vϕ2 1 M VR − θ =−
∂P ρ ∂R
R
2ν
− M Vθ
+
VR Vθ − Vϕ2 tg θ R
R2
=
+ M Vϕ +
VR Vϕ + Vθ Vϕ
∂Vθ ∂θ
R2 sin2 θ
=−
1 sin θ
+
1
ν
tg θ
+ ν VR −
∂P − R ρ ∂θ
R
+
+
∂Vϕ ∂ϕ
R2 sin2 θ
+ VR + tg θ Vθ + FR ,
+ ν Vθ +
2 sin2 θ
∂Vϕ ∂VR − 2 os θ − Vθ ∂θ ∂ϕ
1 ∂P ρR sin θ ∂ϕ
ν
= 0.
2 sin θ
+ ν Vϕ +
∂VR ∂ϕ
+ 2 os θ
∂Vθ − Vϕ ∂ϕ
+ Fθ ,
+ Fϕ ,
£¤¥ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë¥ ®¯¥à â®àë M ¨ ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¯® ä®à¬ã« ¬: M≡
≡
∂ ∂t
1 R2
+ VR ∂ ∂R
∂ ∂R
+
R2
∂ ∂R
Vθ ∂ R ∂θ
+
+
Vϕ ∂ , R sin θ ∂ϕ
1 R2 sin θ
∂ ∂θ
sin θ
∂ ∂θ
+
R2
1 sin2 θ
∂2 . ∂ϕ2
320
Ǒਫ®¥¨ï
Ǒ.6. à ¢¥¨ï ¤¢¨¥¨ï ¨ ⥯«®®¡¬¥ ¥ìîâ®®¢áª¨å ¨¤ª®á⥩ ¨¥ ¯à¨¢¥¤¥ë ãà ¢¥¨ï ¤¢¨¥¨ï ¨ ⥯«®®¡¬¥ ¥á¨¬ ¥¬ëå ¥ìîâ®®¢áª¨å ¨¤ª®á⥩, ¯®¤ç¨ïîé¨åáï ८«®£¨ç¥áª®¬ã ãà ¢¥¨î á®áâ®ï¨ï (7.1.1), ª®£¤ ª ãé ïáï ¢ï§ª®áâì µ = µ(I2 , T ) ¯à®¨§¢®«ìë¬ ®¡à §®¬ § ¢¨á¨â ®â ¢â®à®£® ¨¢ ਠâ ⥧®à ᪮à®á⥩ ¤¥ä®à¬ 樨 I2 ¨ ⥬¯¥à âãàë T . Ǒਠá®áâ ¢«¥¨¨ í⮣® à §¤¥« ¨á¯®«ì§®¢ ë ª¨£¨ [120, 185, 202℄. à ¢¥¨¥ ¥à §à뢮á⨠¢ 樫¨¤à¨ç¥áª®© ¨ áä¥à¨ç¥áª®© á¨á⥬ å ª®®à¤¨ â á¬. ¢ ¯à¨«®¥¨¨ 5. Ǒàאַ㣮«ì ï ¤¥ª à⮢ á¨á⥬ ª®®à¤¨ â.
à ¢¥¨ï ¤¢¨¥¨ï:
ρ
∂Vi ∂t
+ Vj
∂Vi ∂Xj
=−
∂T ∂t
∂P ∂Xi
+
∂Vi ∂Xj
=λ
∂2 T ∂Xj2
∂ ∂Xj
µ
∂µ ∂Vj ∂Xj ∂Xi
+
+ ρFi ,
£¤¥ ρ | ¯«®â®áâì ¨¤ª®áâ¨; i, j = 1, 2, 3; ¯® ¨¤¥ªáã j ¢¥¤¥âáï á㬬¨à®¢ ¨¥. à ¢¥¨¥ ⥯«®¯¥à¥®á : ρcp
+ Vj
∂T ∂Xj
+ 2µI2 ,
£¤¥ λ ¨ cp | ⥯«®¯à®¢®¤®áâì ¨ 㤥«ì ï ⥯«®¥¬ª®áâì ¨¤ª®á⨠(í⨠¢¥«¨ç¨ë áç¨â îâáï ¯®áâ®ï묨); ¯® ¨¤¥ªáã j = 1, 2, 3 ¢¥¤¥âáï á㬬¨à®¢ ¨¥. Ǒ®á«¥¤¥¥ á« £ ¥¬®¥ ¢ ¯à ¢®© ç á⨠(7.2.3) ãç¨âë¢ ¥â ¤¨áᨯ â¨¢ë© à §®£à¥¢ ¨¤ª®áâ¨, ¨¢ ਠâ I2 ¢ëç¨á«ï¥âáï ¯® ä®à¬ã«¥ (7.1.15). ¨«¨¤à¨ç¥áª ï á¨á⥬ ª®®à¤¨ â.
à ¢¥¨ï ¤¢¨¥¨ï:
ρ
∂VR ∂t
ρ
∂VR ∂R
+
Vϕ ∂VR R ∂ϕ
ϕ
∂t
∂VZ ∂t
+ VR
+ VR
∂Vϕ ∂R
∂VZ ∂R
+
+
Vϕ ∂Vϕ R
∂ϕ
Vϕ ∂VZ R ∂ϕ
Vϕ2 ∂VR − = ∂Z R ∂τRR 1 ∂τRϕ
+ VZ
= ρFR +
∂V
ρ
+ VR
+ VZ
∂R ∂Vϕ ∂Z
+
+
= ρFϕ + + VZ
∂VZ ∂Z
R
∂τRϕ
= ρFZ +
R ∂ϕ VR Vϕ
∂R
+
= ∂τRZ ∂R
+
+
∂τRZ ∂Z
+
τRR − τϕϕ R
= 1
∂τϕϕ
R
∂ϕ
1
∂τϕZ
R
∂ϕ
+
∂τϕZ
+
∂τZZ ∂Z
∂Z
£¤¥ ª®¬¯®¥âë ⥧®à ¯à泌© ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¯® ä®à¬ã« ¬: τRR τZZ τϕZ
1 ∂Vϕ V ∂VR , τϕϕ = −P + 2µ + R , ∂R R ∂ϕ R ∂Vϕ Vϕ 1 ∂VR ∂VZ = −P + 2µ , τRϕ = µ + − , ∂Z R ∂ϕ ∂R R ∂V ∂VZ 1 ∂VZ ∂V ϕ =µ + + R . , τRZ = µ ∂Z R ∂ϕ ∂R ∂Z = −P + 2µ
+
+
,
2τRϕ R
,
τRZ , R
321
Ǒ.6. à ¢¥¨ï ¤¢¨¥¨ï ¨ ⥯«®®¡¬¥ ¥ìîâ®®¢áª¨å ¨¤ª®á⥩ à ¢¥¨¥ ⥯«®¯¥à¥®á : ρcp
∂T ∂t
+ VR
∂T ∂R
+
Vϕ ∂T R ∂ϕ
+ VZ
h 1
=λ
∂T ∂Z
∂ R ∂R
R
= ∂T ∂R
ä¥à¨ç¥áª ï á¨á⥬ ª®®à¤¨ â.
à ¢¥¨ï ¤¢¨¥¨ï:
∂V
ρ
R
∂t
+
∂V
ρ
∂V
+
Vθ ∂VR R ∂θ
+
R2 τRR
∂Vϕ
1 ∂ R2 ∂R
+
R2 τRϕ
+
Vϕ
+
R2
1
sin θτRθ +
+
i
+ 2µI2 .
= ρFR + ∂τRϕ
ϕ
∂τθϕ
τθθ + τϕϕ
−
∂ϕ
− V 2 tg θ
1
∂2 T ∂Z 2
+
R
sin θτθθ + ∂Vϕ
R sin θ
VR Vθ
+
∂2 T ∂ϕ2
R
,
= ρFθ + τRθ − τϕϕ tg θ
+
R sin θ ∂ϕ VR Vϕ + Vθ Vϕ tg θ
R sin θ ∂ϕ R 1 1 ∂τϕϕ ∂ sin θτθϕ + R sin θ ∂θ R sin θ ∂ϕ
∂θ
+
∂Vθ R sin θ ∂ϕ
1 ∂ R sin θ ∂θ ∂Vϕ Vϕ
1
V 2 + Vϕ2 ∂VR − θ R sin θ ∂ϕ R
1 ∂ R sin θ ∂θ +
+
Vϕ
+
Vθ R
+
∂R
Vθ ∂Vθ R ∂θ
+
R2 τRθ
+ VR
ϕ
∂t
∂VR ∂R
∂Vθ ∂R
+ VR
1 ∂ R2 ∂R
+
ρ
1 ∂ R2 ∂R
θ
∂t
+ VR
R
,
= ρFϕ +
τRϕ + τθϕ tg θ
+
R
,
£¤¥ ª®¬¯®¥âë ⥧®à ¯à泌© ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¯® ä®à¬ã« ¬: 1 ∂Vθ V ∂VR τRR = −P + 2µ , τθθ = −P + 2µ + R , τϕϕ τRθ τθϕ
∂R
= −P + 2µ
=µ
=µ
1
1 R sin θ
∂Vϕ ∂ϕ
+
VR R
+
R ∂θ Vθ tg θ R
∂T ∂t
R
,
∂Vθ 1 ∂VR V − θ , τRϕ = µ ∂R R R sin θ ∂ϕ Vϕ tg θ 1 ∂Vθ 1 ∂Vϕ − . + R sin θ ∂ϕ R ∂θ R ∂VR R ∂θ
+
à ¢¥¨¥ ⥯«®¯¥à¥®á : ρcp
+ VR
+
Vθ ∂T R ∂θ
+
∂T ∂R
+
Vϕ
∂T R sin θ ∂ϕ
∂Vϕ ∂R
−
Vϕ R
,
=
1 ∂ ∂T 1 ∂2T i sin θ + 2 + 2µI2 . sin θ ∂θ ∂θ sin θ ∂ϕ2 â®à®© ¨¢ ਠâ ⥧®à ᪮à®á⥩ ¤¥ä®à¬ 樨 ¢ áä¥à¨ç¥áª®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â ¨¬¥¥â ¢¨¤: 2 ∂VR 2 1 ∂Vθ V 1 ∂Vϕ V V tg θ 2 I2 = + + R + + R + θ + ∂R R ∂θ R R sin θ ∂ϕ R R 2 2 V ∂V V 1 1 ∂VR 1 1 ∂VR − θ + + ϕ − ϕ + + 2 R ∂θ R 2 R sin θ ∂ϕ ∂R R Vϕ tg θ 2 1 ∂Vϕ 1 1 ∂Vθ + − . + 2 R sin θ ∂ϕ R ∂θ R «ï á⥯¥®© ¨¤ª®á⨠(7.1.4) ¤¨áᨯ â¨¢ë© ç«¥ ¢ ãà ¢¥¨ïå ⥯«®¯¥n+1 à¥®á ¢ëç¨á«ï¥âáï ¯® ä®à¬ã«¥ 2µI2 = k(2I2 ) 2 .
=
λ R2
h
∂T ∂R
+
∂ ∂R
R2
Ǒ
1. ¡à ¬§® . ., ¨è¡¥© . . ¥ª®â®àë¥ § ¤ ç¨ ª®¢¥ªâ¨¢®© ¤¨ää㧨¨ ª áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æ¥ ¯à¨ Re > 1000. // .-䨧¨ç. ãà «. | 1977. | . 32. | N0 6. | . 1053 | 1058. 2. ¡à ¬§® . ., ¨¢ª¨¤ . ., ¨è¡¥© . . ¥áâ 樮 àë© ¬ áá®®¡¬¥ á £¥â¥à®£¥®© 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¥© ¯à¨ « ¬¨ ஬ ®¡â¥ª ¨¨ áä¥àë. // .-䨧¨ç. ãà «. | 1976. | . 30. | N0 1. | . 73 | 79. 3. ¡à ¬®¢¨ç . ., ¨à订¨ç . ., à 襨¨ª®¢ . ., ¥ªã¤®¢ . ., ¬¨à®¢ . Ǒ. ¥®à¨ï âãà¡ã«¥âëå áâàã©. | .: 㪠, 1984. | 717 á. 4. ªá¥«ìà㤠. ., ®«ç ®¢ . . á⢮२¥ ⢥à¤ëå ¢¥é¥áâ¢. | .: ¨¬¨ï, 1977. | 269 á. 5. «¥ªá¥¥ª® . ., ª®à类¢ .
., Ǒ®ªãá ¥¢ . . ®«®¢®¥ â¥ç¥¨¥ ¯«¥®ª ¨¤ª®áâ¨. | ®¢®á¨¡¨àáª: 㪠, 1992. | 256 á. 6. â ®¢áª¨© . ., ®¯¡®á뮢 . . ¥áâ 樮 àë© â¥à¬®ª ¯¨««ïàë© ¤à¥©ä ª ¯«¨ ¢ï§ª®© ¨¤ª®áâ¨. // Ǒਪ«. ¬¥å. ¨ â¥å. 䨧¨ª . | 1986. | N0 2. | . 59 | 64. 7. áâ ¢¨ . ., ®à®«¥¢ . ., ï§ æ¥¢ . . ⥬¯¥à âãॠ¯®â®ª ¢ ª «¥ ᮠ᪠窮¬ ⥬¯¥à âãàë á⥪¥. // §¢. , ¥å. ¨¤. ¨ £ § . | 1979. | N0 5. | . 194 | 198. 8. áâ à¨â . áᮯ¥à¥¤ ç á 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¥©. | .: ¨¬¨ï, 1973. | 224 á. 9. áâ à¨â ., ààãçç¨ . á®¢ë £¨¤à®¬¥å ¨ª¨ ¥ìîâ®®¢áª¨å ¨¤ª®á⥩. | .: ¨à, 1978. | 311 á. 10. ¡¨ç . ., ¯¨«¥¢¨ç . ., ¨å«¨ . . ¨ ¤à. ¨¥©ë¥ ãà ¢¥¨ï ¬ ⥬ â¨ç¥áª®© 䨧¨ª¨. | .: 㪠, 1964. | 368 . 11. ॡ« ââ . ., ¥àë© . . ¬®¬¥âëå á®®â®è¥¨ïå ¯®¢¥àå®áâïå à §àë¢ ¢ ¤¨áᨯ ⨢ëå á। å. // Ǒਪ«. ¬ â. ¨ ¬¥å. | 1963. | . 27. | N0 5. | . 784 | 793. 12. ¥©â¬¥ ., थ©¨ . ëá訥 âà á楤¥âë¥ äãªæ¨¨, â. 1. | .: 㪠, 1973. | 296 á. 13. ¥©â¬¥ ., थ©¨ . ëá訥 âà á楤¥âë¥ äãªæ¨¨, â. 2. | .: 㪠, 1974. | 296 á. 14. ¥©â¬¥ ., थ©¨ . ëá訥 âà á楤¥âë¥ äãªæ¨¨, â. 3. | .: 㪠, 1967. | 300 á. 15. ¥à¤ ., âìî àâ ., ©âäãâ
. ¢«¥¨ï ¯¥à¥®á . | .: ¨¬¨ï, 1974. | 688 á. 16. ¨à¨å . . ⥬¯¥à âãன ª®¢¥ªæ¨¨ ¢ £®à¨§®â «ì®¬ á«®¥ ¨¤ª®áâ¨. // Ǒਪ«. ¬¥å. ¨ â¥å. 䨧¨ª . | 1966. | N0 3. | . 67 | 72. 17. ®£ âëå . . ¢®¯à®áã ®¯à¥¤¥«¥¨ï ª®íää¨æ¨¥â ᮯà®â¨¢«¥¨ï ç áâ¨æ ¨¤ª®© ¨«¨ ⢥म© ä §, ¤¨á¯¥à£¨à®¢ ëå ¢ £ §®¢®¬ ¯®â®ª¥ // ãà. ¯à¨ª«. 娬¨¨. | 1987. | . 60. | N0 12. | . 2710 | 2712. 18. ®à§ëå . ., ¥à¥¯ ®¢ . Ǒ. Ǒ«®áª ï § ¤ ç ⥮ਨ ª®¢¥ªâ¨¢®© ⥯«®¯¥à¥¤ ç¨ ¨ ¬ áá®®¡¬¥ . // Ǒਪ«. ¬ â. ¨ ¬¥å. | 1978. | . 42. | N0 5. | . 848 | 855. 19. ®à¨è ᪨© . ., ãâ ⥫ ¤§¥ . ., ®¢¨ª®¢ . . ¨ ¤à. ¨¤ª®¬¥â ««¨ç¥áª¨¥ ⥯«®®á¨â¥«¨. | .: ⮬¨§¤ â, 1976. | 328 á. 20. ®áâ ¤¨ï . ., ¥à異 . . ¥ª®â®àë¥ § ¤ ç¨ ® ¥¨§®â¥à¬¨ç¥áª®¬ áâ 樮 ஬ â¥ç¥¨¨ ¥ìîâ®®¢áª®© ¨¤ª®áâ¨. // §¢. , ¥å. ¨¤. ¨ £ § . | 1966. | N0 3. | . 85 | 89. 21. ®áâ ¤¨ï . ., ¥à異 . . £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®¬ ⥯«®¢®¬ ý¢§à뢥þ ¥ìîâ®®¢áª®© ¨¤ª®áâ¨. // ®ª« ¤ë . | 1966. | . 170. | N0 2. | . 301 | 304.
322
¯¨á®ª «¨â¥à âãàë
323
22. ®áâ ¤¨ï . ., ¥à ®¢ . ., ã¤ï¥¢ . . £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®¬ ⥯«®¢®¬ ý¢§à뢥þ. // ®ª« ¤ë . | 1965. | . 163. | N0 1. | . 133 | 136. 23. ®ï¤¨¥¢ ., ¥èª®¢ . áᮯ¥à¥®á ¢ ¤¢¨ãé¨åáï ¯«¥ª å ¨¤ª®áâ¨. | .: ¨à, 1988. | 137 á. 24. à âãå¨ . . ¡â¥ª ¨¥ £ §®¢®£® ¯ã§ëàï ¯®â®ª®¬ ¥à ¢®¬¥à® £à¥â®© ¨¤ª®á⨠¯à¨ ¬ «ëå ç¨á« å à £®¨. // .-䨧¨ç. ãà «. | 1977. | . 32. | N0 2. | . 251 | 256. 25. à âãå¨ . . ¥à¬®ª ¯¨««ïàë© ¤à¥©ä ª ¯¥«ìª¨ ¢ï§ª®© ¨¤ª®áâ¨. // §¢. , ¥å. ¨¤. ¨ £ § . | 1975. | N0 5. | . 156 | 161. 26. à¥âè ©¤¥à . ¢®©á⢠£ §®¢ ¨ ¨¤ª®á⥩ (¨¥¥àë¥ ¬¥â®¤ë à áç¥â ). | .: ¨¬¨ï, 1966. | 536 á. 27. à®ãè⥩ . ., ¨¢ª¨¤ . . ãâà¥ïï § ¤ ç ¬ áá®- ¨ ⥯«®®¡¬¥ á § ¬ªãâ묨 «¨¨ï¬¨ ⮪ . // ®ª« ¤ë . | 1981. | . 260. | N0 6. | . 1323 | 1326. 28. à®ãè⥩ . ., ¨è¡¥© . . ¨¤à®¤¨ ¬¨ª , ¬ áá®- ¨ ⥯«®®¡¬¥ ¢ ¤¨á¯¥àáëå á¨á⥬ å. | .: ¨¬¨ï, 1977. | 280 á. 29. à®ãè⥩ . ., ¥£®«¥¢ . . ¨¤à®¤¨ ¬¨ª , ¬ áá®- ¨ ⥯«®®¡¬¥ ¢ ª®«®ëå ¯¯ à â å. | .: ¨¬¨ï, 1988. | 336 á. 30. ã¡®¢ . ., ¨ ®¢
. ., §¥¨ . ., ã⥯®¢ . ., ª¥¥¢ . , ¥¬¥®¢ . . ¯à®¡«¥¬¥ ¥á¥¨ï § é¨â®£® ¬¥â ««¨ç¥áª®£® ¯®ªàëâ¨ï ¢®«®ª®ë© ᢥ⮢®¤. // ®ª« ¤ë . | 1994. | . 337. | N0 5. | . 624 | 627. 31. 㥢¨ç . . ª®¢¥ªâ¨¢®© ¤¨ää㧨¨ ª ç áâ¨æ ¬ ª®¤¥á¨à®¢ ®£® ¯®«¨¤¨á¯¥àᮣ® ®¡« ª ⢥à¤ëå áä¥à. // .-䨧¨ç. ãà «. | 1972. | . 23. | N0 4. | . 709 | 712. 32. 㥢¨ç . ., §¥¨ . . Ǒ।¥«ìë¥ § ¤ ç¨ ® ¯¥à¥®á¥ ⥯« ¨ ¬ ááë ª 樫¨¤àã ¨ áä¥à¥, ¯®£àã¥ë¬ ¢ ¨ä¨«ìâàã¥¬ë© §¥à¨áâë© á«®©. // Ǒਪ«. ¬¥å. ¨ â¥å. 䨧¨ª . | 1977. | N0 5. | C. 94 | 102. 33. 㥢¨ç . ., ®à¥¥¢ . . ¬¥ä §®¬ ¬ áá®- ¨ ⥯«®®¡¬¥¥ ¢ ª®æ¥âà¨à®¢ ®© ¤¨á¯¥àᮩ á¨á⥬¥. // .-䨧¨ç. ãà «. | 1973. | . 25. | N0 4. | . 594 | 600. 34. 㥢¨ç . ., ¥«çª®¢ . . ¥®«®£¨ç¥áª¨¥ ᢮©á⢠®¤®à®¤ëå ¬¥«ª®¤¨á¯¥àáëå áãᯥ§¨©. â 樮 àë¥ â¥ç¥¨ï. // .-䨧¨ç. ãà «. | 1977. | . 33. | N0 5. | . 872 | 879. 35. ã⪮¢áª¨© . . à ªâ¥à¨á⨪¨ á¨á⥬ á à á¯à¥¤¥«¥ë¬¨ ¯ à ¬¥âà ¬¨. | .: 㪠, 1979. | 224 . 36. íâ祫®à . ¢¥¤¥¨¥ ¢ ¤¨ ¬¨ªã ¨¤ª®áâ¨. | .: ¨à, 1973. | 760 á. 37. - ©ª . «ì¡®¬ â¥ç¥¨© ¨¤ª®á⨠¨ £ § . | .: ¨à, 1986. | 182 á. 38. - ©ª . ¥â®¤ë ¢®§¬ã饨© ¢ ¬¥å ¨ª¥ ¨¤ª®áâ¨. | .: ¨à, 1967. | 312 á. 39. ¨âª®¢ . ., ®«¯ ®¢ . Ǒ., ¥àá⥢ . . ¨¤à ¢«¨ç¥áª®¥ ᮯà®â¨¢«¥¨¥ ¨ ⥯«®¬ áá®®¡¬¥. | : 㪠, 1994. | 282 á. 40. ®¨®¢ . ., Ǒ¥â஢ . . ¢¨¥¨¥ ¯ã§ë३ ¢ ¨¤ª®áâ¨. // ⮣¨ 㪨 ¨ â¥å. (¬¥å. ¨¤. ¨ £ § ). | 1976. | . 10. | . 86 | 147. 41. ®¨®¢ . ., Ǒ¥â஢ . . â¥ç¥¨ïå á § ¬ªãâ묨 «¨¨ï¬¨ ⮪ ¨ ¤¢¨¥¨¨ ª ¯¥«ì ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å ¥©®«ì¤á . // §¢. , ¥å. ¨¤. ¨ £ § . | 1987. | N0 5. | . 61 | 70. 42. ®¨®¢ . ., ®«®¢¨ . ., Ǒ¥â஢ . . ¢¨¥¨¥ í««¨¯á®¨¤ «ì®£® ¯ã§ëàï ¢ ¨¤ª®á⨠¬ «®© ¢ï§ª®áâ¨. // Ǒਪ«. ¬¥å. ¨ â¥å. 䨧¨ª . | 1970. | N0 3. | . 76 | 81.
324
¯¨á®ª «¨â¥à âãàë
43. ®¨®¢ . ., Ǒ¥â஢ . ., à £¥à . . ¬®¤¥«¨ â¥ç¥¨ï ¢ãâਠ¨¤ª®© ª ¯«¨, ®¡â¥ª ¥¬®© £ §®¬. // §¢. , ¥å. ¨¤. ¨ £ § . | 1989. | N0 6. | . 167 | 170. 44. ®«®é㪠. ., ¥¤ã®¢ . . Ǒà®æ¥ááë ª® £ã«ï樨 ¢ ¤¨á¯¥àáëå á¨á⥬ å. | .: ¨¤à®¬¥â¥®¨§¤ â, 1975. | 320 á. 45. ®à®æ®¢
. ., ©ª® . . ¥¯«®®¡¬¥ ¢ ¨¤ª¨å ¯«¥ª å. | ¨¥¢: ¥åiª , 1972. | 196 á. 46. 㫨á . ., èª à®¢ . Ǒ. ¥®à¨ï áâàã© ¢ï§ª®© ¨¤ª®áâ¨. | .: 㪠, 1965. | 432 á. 47. «ì¯¥à¨ . ., ®è¥¢ . ., ⥯ ®¢ . . ¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª¨¥ ᢮©á⢠¯« áâ¨ä¨æ¨à®¢ ®© í⨫楫«î«®§ë. // ®««®¨¤ë© ãà «. | 1961. | . 23. | N0 1. | . 8 | 11. 48. ¥àè㨠. ., ã客¨æª¨©
. . ®¢¥ªâ¨¢ ï ãá⮩稢®áâì ¥á¨¬ ¥¬®© ¨¤ª®áâ¨. | : 㪠, 1972. | 392 á. 49. ¥àè㨠. ., ã客¨æª¨©
. ., ¥¯®¬ï騩 . . á⮩稢®áâì ª®¢¥ªâ¨¢ëå â¥ç¥¨©. | : 㪠, 1989. | 319 á. 50. ®«®¢¨ . . «¨ï¨¥ íä䥪⮢ à £®¨ £¨¤à®¤¨ ¬¨ªã ¨ ¬ áᮯ¥à¥®á ¯à¨ ¨¤ª®á⮩ íªáâà ªæ¨¨. // ¨áá. ª ¤. â¥å. ãª. | M.: ¨¬. .. ௮¢ , 1989. | 208 á. 51. ®«®¢¨ . ., ï§ æ¥¢ . . ३ä ॠ£¨àãî饩 ª ¯«¨, ¢ë§¢ ë© å¥¬®ª®æ¥âà æ¨®ë¬ ª ¯¨««ïàë¬ íä䥪⮬. // §¢. , ¥å. ¨¤. ¨ £ § . | 1990. | N0 3. | . 51 | 61. 52. ®«®¢¨ . ., 㯠«® . Ǒ., ï§ æ¥¢ . . 奬®â¥à¬®ª ¯¨««ï஬ íä䥪⥠¯à¨ ¤¢¨¥¨¨ ª ¯«¨ ¢ ¨¤ª®áâ¨. // ®ª« ¤ë . | 1986. | . 290. | N0 1. | . 35 | 39. 53. ®«®¢¨ . ., 㯠«® . Ǒ., ï§ æ¥¢ . . ¥¬®ª®æ¥âà æ¨®ë© ª ¯¨««ïàë© íä䥪⠯ਠ¤¢¨¥¨¨ ª ¯«¨ ¢ ¨¤ª®áâ¨. // §¢. , ¥å. ¨¤. ¨ £ § . | 1988. | N0 1. | . 147 | 154. 54. ®«®¢¨ . ., ¨¢®â . . «¨ï¨¥ ®¡ê¥¬®© 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨ ¬ áᮯ¥à¥®á ¢ãâਠª ¯«¨ ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥. // ¥á⨪ . ¥à. 1 (¬ â. ¨ ¬¥å.). | 1979. | N0 4. | . 77 | 83. 55. ®«®¢¨ . ., ¨¢®â . . ¥áâ 樮 àë© ª®¢¥ªâ¨¢ë© ¬ áᮯ¥à¥®á ¢ãâਠª ¯«¨ ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥. // Ǒਪ«. ¬ â. ¨ ¬¥å. | 1983. | . 47. | N0 5. | . 771 | 780. 56. ®«ì¤è⨪ . . Ǒà®æ¥ááë ¯¥à¥®á ¢ §¥à¨á⮬ á«®¥. | ®¢®á¨¡¨àáª: , 1984. | 164 á. 57. ®®à . ., ¨¢ª¨¤ . . ¨ ¬¨ª ª ¯«¨. // ⮣¨ 㪨 ¨ â¥å. (¬¥å. ¨¤. ¨ £ § ). | 1982. | . 17. 58. 㯠«® . Ǒ., ï§ æ¥¢ . . ¨ääã§¨ï ª ç áâ¨æ¥ ¢ á«ãç ¥ ᤢ¨£®¢®£® â¥ç¥¨ï ¢ï§ª®© ¨¤ª®áâ¨. Ǒਡ«¨¥¨¥ ¤¨ää㧨®®£® ¯®£à ¨ç®£® á«®ï. // Ǒਪ«. ¬ â. ¨ ¬¥å. | 1972. | . 36. | N0 3. | . 475 | 479. 59. 㯠«® . Ǒ., ï§ æ¥¢ . . â¥à¬®ª ¯¨««ï஬ ¤¢¨¥¨¨ ¨¤ª®á⨠ᮠ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®áâìî ¯à¨ ¥«¨¥©®© § ¢¨á¨¬®á⨠¯®¢¥àå®á⮣® âï¥¨ï ®â ⥬¯¥à âãàë. // §¢. , ¥å. ¨¤. ¨ £ § . | 1988. | N0 5. | . 132 | 137. 60. 㯠«® . Ǒ., Ǒ®«ï¨ . ., ï§ æ¥¢ . . áá®â¥¯«®®¡¬¥ ॠ£¨àãîé¨å ç áâ¨æ á ¯®â®ª®¬. | .: 㪠, 1985. | 336 á. 61. 㯠«® . Ǒ., Ǒ®«ï¨ . ., ï§ æ¥¢ . . ¥ª®â®àë¥ ®¡é¨¥ á®®â®è¥¨ï ¨¢ ਠâ®á⨠¢ § ¤ ç å ® ª®¢¥ªâ¨¢®¬ ⥯«®- ¨ ¬ áá®®¡¬¥¥ ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥. // §¢. , ¥å. ¨¤. ¨ £ § . | 1981. | N0 6. | . 92 | 97. 62. 㯠«® . Ǒ., Ǒ®«ï¨ . ., ï§ æ¥¢ . . ¤¨ää㧨¨ ª 楯®çª¥ ª ¯¥«ì (¯ã§ë३) ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥. // §¢. , ¥å. ¨¤. ¨ £ § . | 1978. | N0 1. | . 59 | 69.
¯¨á®ª «¨â¥à âãàë
325
63. 㯠«® . Ǒ., Ǒ®«ï¨ . ., ï§ æ¥¢ . . ¬ áá®®¡¬¥¥ ç áâ¨æ, à ᯮ«®¥ëå ®á¨ ¯®â®ª , ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥. // §¢. , ¥å. ¨¤. ¨ £ § . | 1977. | N0 2. | . 64 | 74. 64. 㯠«® . Ǒ., Ǒ®«ï¨ . ., ï§ æ¥¢ . . ¥áâ 樮 ஬ ¬ áá®®¡¬¥¥ ª ¯«¨ ¢ ¯®â®ª¥ ¢ï§ª®© ¨¤ª®áâ¨. // Ǒਪ«. ¬ â. ¨ ¬¥å. | 1977. | . 41. | N0 2. | . 307 | 311. 65. 㯠«® . Ǒ., ¥¤¨ª®¢ .
., ï§ æ¥¢ . . ¥à¬®ª ¯¨««ïàë© ¤à¥©ä ª ¯«¨ ¯à¨ ¥«¨¥©®© § ¢¨á¨¬®á⨠¯®¢¥àå®á⮣® âï¥¨ï ®â ⥬¯¥à âãàë. // Ǒਪ«. ¬ â. ¨ ¬¥å. | 1989. | . 53. | N0 3. | . 433 | 442. 66. 㯠«® . Ǒ., ï§ æ¥¢ . ., ¥à£¥¥¢ . . ¨ää㧨®ë© ¯®â®ª ¤¥ä®à¬¨à®¢ ë© £ §®¢ë© ¯ã§ëàì ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å ¥©®«ì¤á . // §¢. , ¥å. ¨¤. ¨ £ § . | 1976. | N0 4. | . 70 | 76. 67. 㯠«® . Ǒ., ï§ æ¥¢ . ., «¨ . . ¨ääã§¨ï ª ç áâ¨æ¥ ¢ ®¤®à®¤®¬ ¯®áâ㯠⥫ì®-ᤢ¨£®¢®¬ ¯®â®ª¥. // Ǒਪ«. ¬ â. ¨ ¬¥å. | 1975. | . 39. | N0 3. | . 497 | 504. 68. 㯠«® . Ǒ., Ǒ®«ï¨ . ., Ǒà浪¨ Ǒ. . ¨ ¤à. ¥áâ 樮 ஬ ¬ áá®®¡¬¥¥ ª ¯«¨ ¢ ¯®â®ª¥ ¢ï§ª®© ¨¤ª®áâ¨. // Ǒਪ«. ¬ â. ¨ ¬¥å. | 1978. | . 42. | N0 3. | . 441 | 449. 69. 㯠«® . Ǒ., Ǒ®«ï¨ . ., ï§ æ¥¢ . . ¨ ¤à. ª®¢¥ªâ¨¢®¬ ¬ áá®®¡¬¥¥ ¢ á¨á⥬¥ ¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨ à ᯮ«®¥ëå áä¥à. // Ǒਪ«. ¬¥å. ¨ â¥å. 䨧¨ª . | 1979. | N0 4. | . 39 | 41. 70. ª¢¥àâá Ǒ. . §®¨¤ª®áâë¥ à¥ ªæ¨¨. | .: ¨¬¨ï, 1973. | 296 á. 71. ¥¢¨ . . í஬¥å ¨ª ¯«®å®®¡â¥ª ¥¬ëå ª®áâàãªæ¨©. ¯à ¢®ç¨ª. | .: 㤮áâ஥¨¥, 1983. | 332 á. 72. ¨«ì¬ . ., Ǒ®«ï¨ . . ¥â®¤ë ¬®¤¥«ìëå ãà ¢¥¨© ¨ «®£¨© ¢ 娬¨ç¥áª®© â¥å®«®£¨¨. | .: ¨¬¨ï, 1988. | 304 á. 73. ¨¨ . . ¬¨ àë© ¯®£à ¨çë© á«®© ¥ìîâ®®¢áª®© ¨¤ª®á⨠(ª ç¥á⢥®¥ ¨áá«¥¤®¢ ¨¥). // Ǒਪ«. ¬¥å. ¨ â¥å. 䨧¨ª . | 1987. | N0 3. | . 71 | 81. 74. ¨¨ . ., 䨬楢 . . â¥ç¥¨ïå ¢ ¯«®áª®¬ « ¬¨ ஬ ¯®£à ¨ç®¬ á«®¥ ¤¨« â âëå ¨¤ª®á⥩. // §¢. , ¥å. ¨¤. ¨ £ § . | 1977. | N0 5. | . 164 | 168. 75. 㪠ã᪠á .,  . ¥¯«®®â¤ ç 樫¨¤à ¢ ¯®¯¥à¥ç®¬ ¯®â®ª¥ ¨¤ª®áâ¨. | ¨«ìîá: ®ªá« á, 1979. | 237 á. 76. ã஢ . . ¡â¥ª ¨¥ ¯®à¨á⮣® 樫¨¤à ᤢ¨£®¢ë¬ ¯®â®ª®¬. // ¥®à. ®á®¢ë 娬. â¥å®«. | 1995. | . 29. | N0 2. | . 213 | 216. 77. ã஢ . ., Ǒ®«ï¨ . ., Ǒ®â ¯®¢
. . ¡â¥ª ¨¥ ¯®à¨á⮩ ç áâ¨æë ᤢ¨£®¢ë¬ ¯®â®ª®¬. // §¢. , ¥å. ¨¤. ¨ £ § . | 1995. | N0 3. | . 113 | 120. 78. ©æ¥¢ . ., Ǒ®«ï¨ . . ¨ ¬¨ª áä¥à¨ç¥áª®£® ¯ã§ëàï ¢ ¥ìîâ®®¢áª¨å ¨¤ª®áâïå. // ¥®à. ®á®¢ë 娬. â¥å®«. | 1992. | . 26. | N0 2. | . 236 | 242. 79. ©æ¥¢ . ., Ǒ®«ï¨ . . â®çëå à¥è¥¨ïå ãà ¢¥¨© ¯®£à ¨ç®£® á«®ï á⥯¥ëå ¨¤ª®á⥩. // §¢. , ¥å. ¨¤. ¨ £ § . | 1989. | N0 5. | . 39 | 42. 80. ©æ¥¢ . ., Ǒ®«ï¨ . . ¯à ¢®ç¨ª ¯® ¥«¨¥©ë¬ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë¬ ãà ¢¥¨ï¬. Ǒਫ®¥¨ï ¢ ¬¥å ¨ª¥, â®çë¥ à¥è¥¨ï. | .: 㪠, 1993. | 464 á. 81. ¨ç¥ª® . . à áç¥âã £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®£® ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ª ¯¥«ì ¯à¨ ¬ «ëå ç¨á« å ¥©®«ì¤á . // Ǒਪ«. ¬ â. ¨ ¬¥å. | 1978. | . 42. | N0 5. | . 955 | 959. 82. ¨ç¥ª® . . ¥¤«¥®¥ ᨬ¬¥âà¨ç®¥ ¤¢¨¥¨¥ ¤¢ãå ª ¯¥«ì ¢ ¢ï§ª®© á।¥. // Ǒਪ«. ¬ â. ¨ ¬¥å. | 1980. | . 44. | N0 1. | . 49 | 59.
326
¯¨á®ª «¨â¥à âãàë
83. ®ää¥ . ., Ǒ¨á쬥 . . ¥¥à ï 娬¨ï £¥â¥à®£¥®£® ª â «¨§ . | .: ¨¬¨ï, 1972. | 462 á. 84. £ ®¢ . . ¡ ãáâ ®¢¨¢è¥¬áï « ¬¨ ஬ â¥ç¥¨¨ ¥á¨¬ ¥¬®© ¨¤ª®á⨠¢ ¯«®áª®¬ ª «¥ ¨ ªà㣫®© 樫¨¤à¨ç¥áª®© âàã¡¥ á ãç¥â®¬ ⥯«®âë âà¥¨ï ¨ § ¢¨á¨¬®á⨠¢ï§ª®á⨠®â ⥬¯¥à âãàë. // Ǒਪ«. ¬¥å. ¨ â¥å. 䨧¨ª . | 1962. | N0 3. | . 96 | 99. 85. ¤¥à . ., £«®¬ . . «¨ï¨¥ è¥à®å®¢ â®á⨠¨ ¯à®¤®«ì®£® £à ¤¨¥â ¤ ¢«¥¨ï âãà¡ã«¥âë¥ ¯®£à ¨çë¥ á«®¨. // ⮣¨ 㪨 ¨ â¥å. (¬¥å. ¨¤. ¨ £ § ). | 1984. | . 18. | . 3 | 111. 86. àá«®ã .,
£¥à . ¥¯«®¯à®¢®¤®áâì ⢥à¤ëå ⥫. | .: 㪠, 1964. | 488 á. 87. á ⪨ . . á®¢ë¥ ¯à®æ¥ááë ¨ ¯¯ à âë 娬¨ç¥áª®© â¥å®«®£¨¨. | .: ¨¬¨ï, 1973. | 754 á. 88. ®««¨§ . ¥ç¥¨ï ¨¤ª®á⥩ ç¥à¥§ ¯®à¨áâë¥ ¬ â¥à¨ «ë. | .: ¨à, 1964. | 351 . 89. ®à ., ®à . ¯à ¢®ç¨ª ¯® ¬ ⥬ ⨪¥. | .: 㪠, 1984. | 832 á. 90. ®ã« . ¥â®¤ë ¢®§¬ã饨© ¢ ¯à¨ª« ¤®© ¬ ⥬ ⨪¥. | .: ¨à, 1972. | 274 á. 91. ®ç¨ .
., ¨¡¥«ì . ., ®§¥ . . ¥®à¥â¨ç¥áª ï £¨¤à®¬¥å ¨ª . áâì 1. | .: , 1955. | 560 á. 92. ãà¤î¬®¢ . ., Ǒ®«ï¨ . . ¬ áá®®¡¬¥¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¢ ᤢ¨£®¢®¬ ¯®â®ª¥. // §¢. , ¥å. ¨¤. ¨ £ § . | 1990. | N0 4. | . 137 | 141. 93. ãâ ⥫ ¤§¥ . . ᮢë ⥮ਨ ⥯«®®¡¬¥ . | .: ⮬¨§¤ â, 1979. | 416 á. 94. ãâ ⥫ ¤§¥ . . ¥¯«®¯¥à¥¤ ç ¨ £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®¥ ᮯà®â¨¢«¥¨¥. | .: ¥à£® ⮬¨§¤ â, 1990. | 367 á. 95. ã⥯®¢ . ., â¥à¬ . ., âîè¨ . . ¨¤à®¤¨ ¬¨ª ¨ ⥯«®®¡¬¥ ¯à¨ ¯ à®®¡à §®¢ ¨¨. | .: ëáè ï 誮« , 1977. | 352 á. 96. ¢à¥â쥢 . ., ¡ â . . ¥â®¤ë ⥮ਨ äãªæ¨© ª®¬¯«¥ªá®£® ¯¥à¥¬¥®£®. | .: 㪠, 1973. | 736 á. 97. ¬¡ . ¨¤à®¤¨ ¬¨ª . | .: ®áâ¥å¨§¤ â, 1947. | 928 á. 98. ¤ ã . ., ¨äè¨æ
. . ¨¤à®¤¨ ¬¨ª . | .: 㪠, , 1986. | 736 á. 99. ¥¢¨æª¨© . Ǒ., ã«ì¬ . Ǒ. ¨ ¬¨ª ¨ ⥯«®¬ áá®®¡¬¥ ¯ã§ëà쪮¢ ¢ ¯®«¨¬¥àëå ¨¤ª®áâïå. | ¨áª: 㪠¨ â¥å¨ª , 1990. | 175 á. 100. ¥¢¨ç . . ¨§¨ª®-娬¨ç¥áª ï £¨¤à®¤¨ ¬¨ª . | .: ¨§¬ ⫨â, 1959. | 670 á. 101. ¥¢¨ç . ., àë«®¢ . ., ®à®â¨«¨ . Ǒ. ⥮ਨ ¥áâ 樮 ன ¤¨ää㧨¨ ¨§ ¤¢¨ã饩áï ª ¯«¨. // ®ª« ¤ë . | 1965. | . 161. | N0 3. | . 648 | 652. 102. ¥å⬠å¥à . . á ¤¥¨¥ ç áâ¨æ ¨§ « ¬¨ ண® ¯®â®ª ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â ç¨á« Ǒ¥ª«¥. // .-䨧¨ç. ãà «. | 1971. | . 20. | N0 3. | . 546 | 549. 103. ®©æï᪨© . . ¥å ¨ª ¨¤ª®á⨠¨ £ § . | .: 㪠, , 1987. | 840 á. 104. 몮¢ . . ¥®à¨ï ⥯«®¯à®¢®¤®áâ¨. | .: ëáè ï 誮« , 1967. | 600 á. 105. ª- å« . . ¥®à¨ï ¨ ¯à¨«®¥¨ï äãªæ¨© âì¥. | .: §¤. ¨®áâà. «¨â¥à., 1953. | 476 á. 106. ¨§ãè¨ ., ãਢ ª¨ . ¥¯«®®¡¬¥ ¯à¨ « ¬¨ ஬ â¥ç¥¨¨ ¯á¥¢¤®¯« áâ¨çëå ¨¤ª®á⥩ ¢ ªà㣫®© âàã¡¥. // á¡. ý¥¯«®- ¨ ¬ áᮯ¥à¥®áþ, . 3. | ¨áª, 1968.
¯¨á®ª «¨â¥à âãàë
327
107. ®è¥¢ . ., ¢ ®¢ . . ¥®«®£¨ç¥áª®¥ ¯®¢¥¤¥¨¥ ª®æ¥âà¨à®¢ ëå ¥ìîâ®®¢áª¨å áãᯥ§¨©. | .: 㪠, 1990. | 89 á. 108. î««¥à ., ¥â®èª¨ . ., §¥¨ . ., . ., ã⥯®¢ . . ¥®«®£¨ç¥áª®¥ ¯®¢¥¤¥¨¥ £ §®¨¤ª®áâëå ¯¥. // ãà « ¯à¨ª«. 娬¨¨. | 1989. | . 62. | N0 3. | . 580 | 585. 109. ©¤¥®¢ . . ¥¨§®â¥à¬¨ç¥áª ï ¥ãá⮩稢®áâì ¤¢¨¥¨ï ¢ï§ª®¯« áâ¨çëå ¨¤ª®á⥩ ¢ âàã¡ å. // ¥¯«®ä¨§. ¢ë᮪¨å ⥬¯¥à âãà. | 1990. | . 28. | N0 3. | . 512 | 517. 110. ©¤¥®¢ . . ¡ ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨ïå, ®¯¨áë¢ îé¨å à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ⥬¯¥à âãàë ¢ ¯«®áª®¬ â¥ç¥¨¨ ¥ìîâ®®¢áª¨å á।. // Ǒਪ«. ¬¥å. ¨ â¥å. 䨧¨ª . | 1983. | N0 5. | . 103 | 109. 111. ©¤¥®¢ . . ¥«¨¥©ëå ãà ¢¥¨ïå ¢â®¬®¤¥«ì®£® ¥¨§®â¥à¬¨ç¥áª®£® ¤¢¨¥¨ï ¢ï§ª®© ¨¤ª®áâ¨. // ãà. ¢ëç¨á«. ¬ â. ¨ ¬ â. 䨧¨ª¨. | 1988. | . 28. | N0 12. | . 1884 | 1896. 112. ©¤¥®¢ . ., Ǒ®«ï¨ . . ª®¢¥ªâ¨¢®-⥯«®¢ëå íä䥪â å ¢ ⥮ਨ 䨫ìâà 樨 ¨ £¨¤à®¤¨ ¬¨ª¥. // ®ª« ¤ë . | 1984. | . 279. | N0 3. | . 575 | 579. 113. ©¤¥®¢ . ., Ǒ®«ï¨ . . ¥ª®â®àëå ¥¨§®â¥à¬¨ç¥áª¨å â¥ç¥¨ïå ¨¤ª®áâ¨. // Ǒਪ«. ¬¥å. ¨ â¥å. 䨧¨ª . | 1990. | N0 3. | . 83 | 92. 114. ©äí . ¥â®¤ë ¢®§¬ã饨©. | .: ¨à, 1976. | 456 á. 115. ª®à类¢ .
., Ǒ®ªãá ¥¢ . ., ३¡¥à . . ®«®¢ ï ¤¨ ¬¨ª £ §®- ¨ ¯ ந¤ª®áâëå á।. | .: ¥à£® ⮬¨§¤ â, 1990. | 247 á. 116. â á® . . ¨ää㧨®®¥ ®á ¤¥¨¥ í஧®«¥© ®¡â¥ª ¥¬®¬ 樫¨¤à¥ ¯à¨ ¬ «ëå ª®íää¨æ¨¥â å § å¢ â . // ®ª« ¤ë . | 1957. | . 112. | N0 1. | . 100 | 103. 117. ¨£¬ â㫨 . . ¨ ¬¨ª ¬®£®ä §ëå á।. . 1. | .: 㪠, 1987. | 464 . 118. ¨£¬ â㫨 . . á®¢ë ¬¥å ¨ª¨ £¥â¥à®£¥ëå á।. | : 㪠, 1978. | 336 á. 119. ¨§¬¥¥¢ . ., ¨¥ª®¢ . ., 㬫 ¤§¥ . . ¥¯«®¢®© ¢§àë¢ ¯à¨ â¥ç¥¨¨ ¥«¨¥©®-¢ï§ª¨å á। ¢ ªà㣫®© âàã¡¥. // .-䨧¨ç. ãà «. | 1988. | . 55. | N0 2. | . 212 | 217. 120. £¨¡ «®¢ Ǒ. ., ¨à§ ¤ § ¤¥ . . ¥áâ 樮 àë¥ ¤¢¨¥¨ï ¢ï§ª®¯« áâ¨çëå á।. | .: §¤. , 1970. | 416 á. 121. Ǒ ¢«®¢ . . ⥮ਨ ¯®£à ¨ç®£® á«®ï ¥ìîâ®®¢áª¨å ¥«¨¥©®-¢ï§ª¨å á।. // §¢. , ¥å. ¨¤. ¨ £ § . | 1978. | N0 3. | . 26 | 33. 122. Ǒ ᪮®¢ . ., Ǒ®«¥ ¥¢ . ., 㤮¢ . . ¨á«¥®¥ ¬®¤¥«¨à®¢ ¨¥ ¯à®æ¥áᮢ ⥯«®- ¨ ¬ áá®®¡¬¥ . | .: 㪠, 1984. | 288 á. 123. Ǒ¥à«¬ãââ¥à . á⮩稢®áâì 娬¨ç¥áª¨å ॠªâ®à®¢. | .: ¨¬¨ï, 1976. | 256 á. 124. Ǒ¥àਠ. ¯à ¢®ç¨ª ¨¥¥à -娬¨ª , â. 1. | .: ¨¬¨ï, 1969. | 640 á. 125. Ǒ¥â஢ . . ãâ॥¥ â¥ç¥¨¥ ¨ ¤¥ä®à¬ æ¨ï ¢ï§ª¨å ª ¯¥«ì. // ¥á⨪ . ¥à. 1 (¬ â. ¨ ¬¥å.). | 1988. | N0 3. | . 85 | 88. 126. Ǒ¥â஢ . . ਢ®«¨¥©®¥ ¤¢¨¥¨¥ í««¨¯á®¨¤ «ì®£® ¯ã§ëàï. // Ǒਪ«. ¬¥å. ¨ â¥å. 䨧¨ª . | 1972. | N0 3. | . 90 | 93. 127. Ǒ¥â஢ . . ª®à®áâì ¤¨áᨯ 樨 í¥à£¨¨ ¢ï§ª®© ¨¤ª®á⨠á ãá«®¢¨¥¬ ¤«ï ª á ⥫쮣® ¯àï¥¨ï £à ¨ç®© «¨¨¨ ⮪ . // ®ª« ¤ë . | 1989. | . 304. | N0 5. | . 1082 | 1086. 128. Ǒ¥â஢ . . ¨àªã«ïæ¨ï ¢ãâਠ¢ï§ª¨å ¤¥ä®à¬¨à®¢ ëå ª ¯¥«ì, ¤¢¨ãé¨åáï ¢ £ §¥ á ¯®áâ®ï®© ᪮à®áâìî. // Ǒਪ«. ¬¥å. ¨ â¥å. 䨧¨ª . | 1989. | N0 6. | . 127 | 134. 129. Ǒ¥âã客 . . ¥¯«®®¡¬¥ ¨ ᮯà®â¨¢«¥¨¥ ¯à¨ « ¬¨ ஬ â¥ç¥¨¨ ¨¤ª®á⨠¢ âàã¡ å. | .: ¥à£¨ï, 1967. | 412 á.
328
¯¨á®ª «¨â¥à âãàë
130. Ǒ®¢¨æª¨© . .,  . . á®¢ë ¤¨ ¬¨ª¨ ¨ ⥯«®¬ áá®®¡¬¥ ¨¤ª®á⥩ ¨ £ §®¢ ¯à¨ ¥¢¥á®¬®áâ¨. | .: 訮áâ஥¨¥, 1972. | 252 á. 131. Ǒ®«¥ ¥¢ . ., ãí . ., ¥à¥§ã¡ . . ¨ ¤à. ⥬ â¨ç¥áª®¥ ¬®¤¥«¨à®¢ ¨¥ ª®¢¥ªâ¨¢®£® ⥯«®¬ áá®®¡¬¥ ®á®¢¥ ãà ¢¥¨© ¢ì¥ | ⮪á . | .: 㪠, 1987. | 272 á. 132. Ǒ®«ã¡ ਮ¢ -®ç¨ Ǒ. . ¥®à¨ï ¤¢¨¥¨ï £àã⮢ëå ¢®¤. | .: 㪠, 1977. | 664 á. 133. Ǒ®«ï¨ . . ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨© «¨§ ¥ª®â®àëå ¥«¨¥©ëå § ¤ ç ® ¬ áá®- ¨ ⥯«®®¡¬¥¥ ç áâ¨æ á ¯®â®ª®¬ ¯à¨ ¬ «ëå ç¨á« å Ǒ¥ª«¥. // ®ª« ¤ë . | 1982. | . 264. | N0 6. | . 1322 | 1326. 134. Ǒ®«ï¨ . . ç¥áâ¢¥ë¥ ®á®¡¥®á⨠¢ãâà¥¨å § ¤ ç ¥áâ 樮 ண® ª®¢¥ªâ¨¢®£® ¬ áá®- ¨ ⥯«®®¡¬¥ ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥. // ¥®à. ®á®¢ë 娬. â¥å®«. | 1984. | . 18. | N0 3. | . 284 | 296. 135. Ǒ®«ï¨ . . ¥«¨¥© ï § ¤ ç ® ¥áâ 樮 ஬ ¬ áá®®¡¬¥¥ ª ¯«¨ ¯à¨ ᮨ§¬¥à¨¬ëå ä §®¢ëå ᮯà®â¨¢«¥¨ïå. // ®ª« ¤ë . | 1983. | . 272. | N0 4. | . 820 | 824. 136. Ǒ®«ï¨ . . ¡ ¨â¥£à¨à®¢ ¨¨ ¥«¨¥©ëå ¥áâ 樮 àëå ãà ¢¥¨© ª®¢¥ªâ¨¢®£® ⥯«®- ¨ ¬ áá®®¡¬¥ . // ®ª« ¤ë . | 1980. | . 251. | N0 4. | . 817 | 820. 137. Ǒ®«ï¨ . . ¤¨ää㧨®®¬ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¨ ª ¯¥«ì ¢ ¨¤ª®áâ¨. // §¢. , ¥å. ¨¤. ¨ £ § . | 1978. | N0 2. | . 44 | 56. 138. Ǒ®«ï¨ . . ¤¨ää㧨®®¬ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¨ ⢥à¤ëå ç áâ¨æ ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥. // Ǒਪ«. ¬ â. ¨ ¬¥å. | 1978. | . 42. | N0 2. | . 301 | 312. 139. Ǒ®«ï¨ . . áâàãªâãॠ¤¨ää㧨®®£® á«¥¤ ¯®£«®é î饩 ç áâ¨æë ¢¡«¨§¨ ªà¨â¨ç¥áª¨å «¨¨©. // §¢. , ¥å. ¨¤. ¨ £ § . | 1977. | N0 3. | . 82 | 86. 140. Ǒ®«ï¨ . . á¯à¥¤¥«¥¨¥ ª®æ¥âà 樨 ¢ ¤¨ää㧨®®¬ á«¥¤¥ ç áâ¨æë, 室ï饩áï ¢ á⮪ᮢ®¬ ¯®â®ª¥. // §¢. , ¥å. ¨¤. ¨ £ § . | 1977. | N0 1. | . 176 | 179. 141. Ǒ®«ï¨ . . à¥å¬¥àë¥ § ¤ ç¨ ¤¨ää㧨®®£® ¯®£à ¨ç®£® á«®ï. // Ǒਪ«. ¬¥å. ¨ â¥å. 䨧¨ª . | 1984. | N0 4. | . 71 | 81. 142. Ǒ®«ï¨ . ., ï§ì¬¨ . . áá®- ¨ ⥯«®®¡¬¥ ç áâ¨æ á ¯®â®ª®¬. // ¥®à. ®á®¢ë 娬. â¥å®«. | 1995. | . 29. | N0 2. | . 141 | 153. 143. Ǒ®«ï¨ . ., ï§ì¬¨ . . áá®- ¨ ⥯«®®¡¬¥ ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬. // ¥®à. ®á®¢ë 娬. â¥å®«. | 1995. | . 29. | N0 3. | . 249 | 260. 144. Ǒ®«ï¨ . .,
à®å¨ . . ⥯«®®¡¬¥¥ ⥫ á«®®© ä®à¬ë. // ¥®à. ®á®¢ë 娬. â¥å®«. | 1990. | . 24. | N0 1. | . 12 | 19. 145. Ǒ®«ï¨ . ., Ǒà浪¨ Ǒ. . ¤¢ãå § ¤ ç å ª®¢¥ªâ¨¢®© ¤¨ää㧨¨ ª ¯®¢¥àå®áâï¬ ¯«®å®®¡â¥ª ¥¬ëå ⥫. // §¢. , ¥å. ¨¤. ¨ £ § . | 1978. | N0 6. | . 104 | 109. 146. Ǒ®«ï¨ . ., ¥¢æ®¢ . . áá®®¡¬¥ ª ¯¥«ì ¨ ç áâ¨æ á ¯®â®ª®¬ ¯à¨ «¨ç¨¨ ®¡ê¥¬®© 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨. // §¢. , ¥å. ¨¤. ¨ £ § . | 1987. | N0 6. | . 109 | 113. 147. Ǒ®«ï¨ . ., ¥¢æ®¢ . . ¥áâ 樮 ஬ ¬ áá®®¡¬¥¥ ª ¯«¨ (¯ã§ëàï) ¢ âà¥å¬¥à®¬ ᤢ¨£®¢®¬ ¯®â®ª¥. // §¢. , ¥å. ¨¤. ¨ £ § . | 1986. | N0 6. | . 111 | 119. 148. Ǒ®«ï¨ . ., ãà¤î¬®¢ . ., ¨«ì¬ . . ¥â®¤ ᨬ¯â®â¨ç¥áª®© ª®à४樨 ¢ § ¤ ç å 娬¨ç¥áª®© â¥å®«®£¨¨. // ¥®à. ®á®¢ë 娬. â¥å®«. | 1992. | . 26. | N0 5. | . 494 | 509. 149. Ǒ®«ï¨ . ., ¥¢æ®¢ . ., ®¢ 祢 . . ¥«¨¥©ë¥ § ¤ ç¨ â¥¯«®- ¨ ¬ áá®®¡¬¥ ¯à¨ ¯¥à¥¬¥ëå ª®íää¨æ¨¥â å ¯¥à¥®á . // ¥®à. ®á®¢ë 娬. â¥å®«. | 1990. | . 24. | N0 6. | . 723 | 734.
¯¨á®ª «¨â¥à âãàë
329
150. Ǒ®¯®¢ . . ç¥â ¯à®¤®«ì®© ¤¨ää㧨¨ ¯à¨ â¥ç¥¨¨ ¢ ª «¥. // §¢. , ¥å. ¨¤. ¨ £ § . | 1973. | N0 6. | . 63 | 73. 151. Ǒ®â ¯®¢
. ., ¥à¥¡à类¢ . ., à®è¨ . . § ¨¬®¤¥©á⢨¥ ¯®à¨áâëå áä¥à¨ç¥áª¨å ⥫, ®¡â¥ª ¥¬ëå ¬¥¤«¥ë¬ ¯®â®ª®¬ ¢ï§ª®© ¨¤ª®áâ¨. // §¢. , ¥å. ¨¤. ¨ £ § . | 1992. | N0 3. | . 181 | 183. 152. Ǒãå 祢 . . ¢¨¥¨¥ ¢ï§ª®© ¨¤ª®á⨠ᮠ᢮¡®¤ë¬¨ £à ¨æ ¬¨. | ®¢®á¨¡¨àáª: §¤. ®¢®á¨¡. ã-â , 1989. | 96 á. 153. ¬¬ . . ¡á®à¡æ¨ï £ §®¢. | .: ¨¬¨ï, 1976. | 656 á. 154. ¢ 祢 . ., «¥á ४® . Ǒ. «£¥¡à «®£¨ª¨ ¨ ¨â¥£à «ìë¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ¢ ªà ¥¢ëå § ¤ ç å. | ¨¥¢: 㪮¢ ¤ã¬ª , 1976. | 288 á. 155. ¥¤¨ª®¢ .
., ï§ æ¥¢ . . â¥à¬®ª ¯¨««ï஬ ¤¢¨¥¨¨ ª ¯«¨ ¯®¤ ¤¥©á⢨¥¬ ¨§«ã票ï. // Ǒਪ«. ¬¥å. ¨ â¥å. 䨧¨ª . | 1989. | N0 2. | . 179 | 183. 156. ¥¤¨ª®¢ .
., ï§ æ¥¢ . . â¥à¬®ª ¯¨««ï஬ ¤¢¨¥¨¨ ª ¯«¨ á ®¤®à®¤ë¬ ¢ãâ२¬ ⥯«®¢ë¤¥«¥¨¥¬. // Ǒਪ«. ¬ â. ¨ ¬¥å. | 1989. | . 53. | N0 2. | . 271 | 277. 157. ¥©¥à . ¥®«®£¨ï. | .: ¨à, 1965. | 224 á. 158. ¨¢ª¨¤ . ., ¨£®¢æ¥¢ . . ¢¨¥¨¥ ª ¯«¨ á ãç¥â®¬ â¥à¬®ª ¯¨««ïàëå ᨫ. // §¢. , ¥å. ¨¤. ¨ £ § . | 1982. | No. 4. | . 80 | 86. 159. ¨¤ ., Ǒà ãá¨æ ., ¥à¢ã¤ . ¢®©á⢠£ §®¢ ¨ ¨¤ª®á⥩. | .: ¨¬¨ï, 1982. | 592 á. 160. ®ãç Ǒ. ëç¨á«¨â¥«ì ï £¨¤à®¤¨ ¬¨ª . | .: ¨à, 1980. | 616 á. 161. ë᪨ . . ¢â®à¥ä¥à â ª ¤. ¤¨áá¥àâ 樨. | .: Ǒ ¨¬. . . «¨¨ , 1976. 162. ï§ æ¥¢ . . ®¢¥ªæ¨ï ¢ ¨¤ª®á⨠¨ íªá¯¥à¨¬¥âë ¢ ãá«®¢¨ïå ¬¨ªà®£à ¢¨â 樨. | .: Ǒ९à¨â Ǒ¥å ¨ª¨ . | N0 480, 1990. | 36 á. 163. ï§ æ¥¢ . . â¥à¬®ª ¯¨««ï஬ ¤¢¨¥¨¨ ॠ£¨àãî饩 ª ¯«¨ ¢ 娬¨ç¥áª¨ ªâ¨¢®© á।¥. // §¢. , ¥å. ¨¤. ¨ £ § . | 1985. | N0 3. | . 180 | 183. 164. ¥¡¨á¨ ., ।è®ã Ǒ. ®¢¥ªâ¨¢ë© ⥯«®®¡¬¥. | .: ¨à, 1987. | 592 á. 165. ¥¤®¢ . . ¥å ¨ª ᯫ®è®© á।ë. ®¬ 1. | .: 㪠, , 1973. | 536 á. 166. ¥¤®¢ . . Ǒ«®áª¨¥ § ¤ ç¨ £¨¤à®¤¨ ¬¨ª¨ ¨ íத¨ ¬¨ª¨. | .: 㪠, 1966. | 448 á. 167. «®¡®¤®¢
. ., ¥¯ãà . . ¢®¯à®áã ® ï祥箩 ¬®¤¥«¨ ¤¢ãåä §ëå á।. // ¥®à. ®á®¢ë 娬. â¥å®«. | 1982. | . 16. | No. 3. | . 331 | 335. 168. ¬®«ì᪨© . ., ã«ì¬ . Ǒ., ®à¨á« ¢¥æ . . ¥®¤¨ ¬¨ª ¨ ⥯«®®¡¬¥ ¥«¨¥©®-¢ï§ª®¯« áâ¨çëå ¬ â¥à¨ «®¢. | ¨áª: 㪠¨ â¥å¨ª , 1970. | 448 á. 169. ®ã . ¨¤à®¤¨ ¬¨ª ¬®£®ä §ëå á¨á⥬. | .: ¨à, 1971. | 536 á. 170. ¯à ¢®ç¨ª ¯® á¯¥æ¨ «ìë¬ äãªæ¨ï¬ (¯®¤ ।. ¡à ¬®¢¨æ ., ⨣ .) | .: 㪠, 1979. | 832 á. 171. â¥çª¨ . . ¨ää㧨®®¥ ®á ¤¥¨¥ í஧®«¥© ¢ ¢®«®ª¨áâëå 䨫ìâà å. // ®ª« ¤ë . | 1966. | . 167. | N0 6. | . 1327 | 1330. 172. ¥à®¢áª¨© . ., ã⥯®¢ . . ¨¤à®æ¨ª«®¨à®¢ ¨¥. | : 㪠, 1994. | 352 á. 173. ¨å®®¢ . ., ¬ à᪨© . . à ¢¥¨ï ¬ ⥬ â¨ç¥áª®© 䨧¨ª¨. | .: 㪠, 1972. | 736 á. 174. ¨«ª¨á® . . ¥ìîâ®®¢áª¨¥ ¨¤ª®áâ¨. | .: ¨à, 1964. | 216 á. 175. à ª- ¬¥¥æª¨© . . ¨ääã§¨ï ¨ ⥯«®¯¥à¥¤ ç ¢ 娬¨ç¥áª®© ª¨¥â¨ª¥. | .: 㪠, 1987. | 502 á.
330
¯¨á®ª «¨â¥à âãàë
176. ன¤®àä¥à ., î««¥à ., ¥â®èª¨ . ., §¥¨ . ., ã⥯®¢ . . ⥬ â¨ç¥áª®¥ ®¯¨á ¨¥ ८«®£¨ç¥áª¨å ¬®¤¥«¥© ¯¥ë. // ãà « ¯à¨ª«. 娬¨¨. | 1986. | . 59. | N0 12. | . 2694 | 2701. 177. ãªá . . ¥å ¨ª í஧®«¥©. | .: §¤. , 1955. | 352 á. 178. ¯¯¥«ì ., ॥à . ¨¤à®¤¨ ¬¨ª ¯à¨ ¬ «ëå ç¨á« å ¥©®«ì¤á . | .: ¨à, 1976. | 631 á. 179. ¨æ¥ . . ãà¡ã«¥â®áâì. | .: , 1963. | 680 á. 180. ®«¯ ®¢ . Ǒ., ª ¤®¢ . . ¨¤à®¤¨ ¬¨ª ¨ ⥯«®®¡¬¥ á ¯®¢¥àå®áâìî à §¤¥« . | .: 㪠, 1990. | 272 á. 181. ®© Ǒ. . ¥â®¤ë à áç¥â ®â¤¥«ìëå § ¤ ç ⥯«®¬ áᮯ¥à¥®á . | .: ¥à£¨ï, 1971. | 383 á. 182. ¥à¢ã¤ ., Ǒ¨ªä®à¤ ., ¨«ª¨ . áᮯ¥à¥¤ ç . | .: ¨¬¨ï, 1982. | 696 á. 183. ª ¤®¢ . ., ¯àﮢ . . ¥ç¥¨ï ¢ï§ª®© ¨¤ª®á⨠| .: §¤. ®áª. ã-â , 1984. | 200 á. 184. «¨å⨣ . ¥®à¨ï ¯®£à ¨ç®£® á«®ï. | .: 㪠, 1974. | 711 á. 185. ã«ì¬ . Ǒ. ®¢¥ªâ¨¢ë© ⥯«®¬ áᮯ¥à¥®á ८«®£¨ç¥áª¨ á«®ëå ¨¤ª®á⥩. | .: ¥à£¨ï, 1975. | 352 á. 186. ã«ì¬ . Ǒ., ©ª®¢ . . ¥®¤¨ ¬¨ª ¨ ⥯«®¬ áá®®¡¬¥ ¢ ¯«¥®çëå â¥ç¥¨ïå. | ¨áª: 㪠¨ â¥å¨ª , 1979. | 296 á. 187. ã«ì¬ . Ǒ., ¥àª®¢áª¨© . . Ǒ®£à ¨çë© á«®© ¥ìîâ®®¢áª¨å ¨¤ª®á⥩. | ¨áª: 㪠¨ â¥å¨ª , 1966. | 240 á. 188. ª¥
., ¬¤¥ ., ¥è . ¯¥æ¨ «ìë¥ äãªæ¨¨. | .: 㪠, 1968. | 344 á. 189. A rivos A. A note of the rate of heat or mass transfer from a small sphere freely suspended in linear shear eld. // J. Fluid Me h. | 1980. | V. 98. | No. 2. | P. 299 | 304. 190. A rivos A., Goddard J. D. Asymptoti expansions for laminar for ed- onve tion heat and mass transfer. Part 1. Low speed ows. // J. Fluid Me h. | 1965. | V. 23. | No. 2. | P. 273 | 291. 191. A rivos A., Taylor T. D. Heat and mass transfer from single sphere in Stokes
ow. // Phys. Fluids. | 1962. | V. 5. | No. 4. | P. 387 | 394. 192. A rivos A., Shah M. J., Petersen E. E. Momentum and heat transfer in laminar boundary-layer ows of non-Newtonian uids past external surfa es. // AIChE J. | 1960. | V. 6. | No. 2. | P. 312 | 317. 193. Anderson J. L. Droplet intera tions in thermo apillary motion. // Int. J. Mult. Flow. | 1985. | V. 11. | No. 6. | P. 813 | 824. 194. Anderson J. L. Predi tion of the on entration dependen e of ma romole ular di usion oeÆ ients. // Ind. Engng. Chem. Fundam. | 1973. | V. 12. | No. 4. | P. 488 | 490. 195. As oli E. P., Dandy D. S., Leal L. G. Buoyan y-driven motion of a deformable drop toward a plan wall at low Reynolds number. // J. Fluid Me h. | 1990. | V. 213. | No. 2. | P. 287 | 311. 196. Bat helor G. K. Mass transfer from a parti le suspended in uid with a steady linear ambient velo ity distribution. // J. Fluid Me h. | 1979. | V. 95. | No. 2. | P. 369 | 400. 197. Bauer H. F. Di usion, onve tion and hemi al rea tion in a hannel. // Int. J. Heat Mass Transfer. | 1976. | V. 19. | No. 5. | P. 479 | 486. 198. Beavers G. S., Joseph D. D. Boundary onditions at a naturally permeable wall. // J. Fluid Me h. | 1967. | V. 30. | No. 1. | P. 197 | 207. 199. Beavers G. S., Sparrow E. M., Magnuson R. A. Experiments on oupled parallel
ows in a hannel and boundary porous medium. // Trans. ASME, J. Basi Eng. | 1970. | V. 92. | No. 4. | P. 843 | 848.
¯¨á®ª «¨â¥à âãàë
331
200. Bhavaraju S. M., Mashelkar R. A., Blan h H. W. Bubble motion and mass transfer in non-Newtonian uids. // AIChE J. | 1978. | V. 24. | No. 6. | P. 1063 | 1076. 201. Blasius H. Crenzs hi hten in Flussigkeiten mit Kleiner Reibung. // Zeits hr. fur Math. und Phys. | 1908. | Bd. 56. | S. 1 | 37. 202. Bohme G. Non-Newtonian uid me hani s. (North-Holland series in applied mathemati s and me hani s; V. 31). | Amsterdam, The Netherlands: Elsevier s ien e publishers B. V., 1987. | 352 p. 203. Boussinesq M. I. Cal ul du pouvoir refroidissant des ourants uids. // J. de Math. Pures et Appliques. | 1905. | Bd. 1. | Ser. 6. | S. 285 | 332. 204. Brauer H., S hmidt-Traub H. Kopplung von Sto transport und hemis her Rea tion und Platten und Kugeln sowie in Poren. // Chemi Ingenieur Te hnik. | 1973. | Bd. 45. | No. 5. | S. 341 | 344. 205. Brenner H. E e t of nite boundaries on the Stokes resista e on arbitrary parti le. // J. Fluid Me h. | 1962. | V. 12. | Pt. 1. | P. 35 | 48. 206. Brenner H. For ed onve tion-heat and mass transfer at small Pe let numbers from parti le of arbitrary shape. // Chem. Eng. S i. | 1963. | V. 18. | No. 2. | P. 109 | 122. 207. Brenner H. On the invarian e of the heat transfer oeÆ ient to ow reversal in Stokes and potential streaming ows past parti les of arbitrary shape. // J. Math. Phys. S i. | 1967. | V. 1. | P. 173. 208. Brignell A. S. Solute extra tion from an internally ir ulating spheri al liquid drop. // Int. J. Heat Mass Transfer. | 1975. | V. 18. | No. 1. | P. 61 | 68. 209. Brown G. M. Heat or mass transfer in a uid in laminar ow in ir ular or at
onduit. // AIChE J. | 1960. | V. 6. | No. 2. | P. 179 | 183. 210. Brunn P. O. Absorption by ba terial ell: Intera tion between reseptor sites and the e e t of uid motion. // Trans. ASME, J. Biome han. Eng. | 1981. | V. 103. | No. 1. | P. 32 | 37. 211. Buyevi h Yu. A., Sh hel hkova I. N. Flow of dense suspensions. // Progr. Aerospa e S i. | 1978. | V. 18. | No. 2-A. | P. 121 | 150. 212. Chao B. T. Transient heat and mass transfer to translating droplet. // Trans. ASME, J. Heat Transfer. | 1969. | V. 91. | No. 2. | P. 273 | 291. 213. Chervenivanova E., Zapryanov Z. On the deformation of ompound multiphase drops at low Reynolds Numbers. // Physi o hemi al Hydrodynami s. | 1989. | V. 11. | P. 243 | 259. 214. Chervenivanova E., Zapryanov Z. On the deformation of two droplets in a quasisteady Stokes ow. // Int. J. Multiphase Flow. | 1985. | V. 11. | No. 5. | P. 721 | 738. 215. Chervenivanova E., Zapryanov Z. The slow motion of droplets perpendi ular to a deformable at uid interfa e. // Quart. J. Me h. Appl. Math. | 1988. | V. 41. | P. 419 | 444. 216. Chhabra R. P. Bubbles, drops, and parti les in non-Newtonian uids. | London, Tokyo: CRC Press, 1993. | 432 p. 217. Chhabra R. P., Dhingra S. C. Creeping motion of a Carrean uid past a newtonian uid sphere. // Can. J. Chem. Engng. | 1986. | V. 64. | No. 6. | P. 897 | 905. 218. Chwang A. T., Wu T. Y. Hydrodynami s of low Reynolds number ow. Part 2. Singularity method for Stokes ows. // J. Fluid Me h. | 1975. | V. 67. | No. 4. | P. 787 | 815. 219. Clift R., Gra e J. R., Weber M. E. Bubbles, drops and parti les. | New York | San Fran is o | London: A ad. Press, 1978. | 380 p. 220. Co hran W. G. The ow due to a rotating disk. // Pro . Cambr. Phil. So . | 1934. | V. 30. | P. 365 | 375.
332
¯¨á®ª «¨â¥à âãàë
221. Cox R. G., Zia I. Y. Z., Mason S. G. Parti le motion in sheared suspensions. XXV. Streamlines around ylinders and spheres. // J. Colloid Interfa e S i. | 1968. | V. 27. | No. 1. | P. 7 | 18. 222. Dankwerts P. V. Absorption by simultaneous di usion and hemi al rea tion into parti les of various shapes and into falling drops. // Trans. Faradey So . | 1951. | V. 47. | No. 2. | P. 1014 | 1023. 223. Davis E. J. Exa t solutions for a lass of heat and mass transfer problems. // Can. J. Chem. Engng. | 1973. | V. 51. | No. 5. | P. 562 | 572. 224. Dazki Gu., Tanner R. I. The drag on a sphere in a power-law uid. // J. NonNewtonian Fluid Me h. | 1985. | V. 17. | No. 1. | P. 1 | 12. 225. Deavours C. A. An exa t solution for the temperature distribution in parallel plate Poiseuille ow. // Trans. ASME, J. Heat Transfer. | 1974. | V. 96. | No. 4. 226. Dennis S. C. R., Walker J. D. A. Cal ulation of the steady ow past a sphere at low and moderate Reynolds number. // J. Fluid Me h. | 1971. | V. 48. | Pt. 4. | P. 771 | 778. 227. Dennis S. C. R., Walker J. D. A., Hudson J. D. Heat transfer from a sphere at low Reynolds numbers. // J. Fluid Me h. | 1973. | V. 60. | No. 2. | P. 273 | 283. 228. Dullien F. A. L. Statisti al test of Vigners orrelation of liquid-phase di usion
oeÆ ients. // Ind. Engng. Chem. Fundam. | 1971. | V. 10. | No. 1. | P. 41 | 49. 229. Finlayson B. A. The method of weighted residuals and variational prin iples. | New York: A ad. Press, 1972. 230. Frankel N. A., A rivos A. Heat and mass transfer from small spheres and ylinders freely suspended in shear ow. // Phys. Fluids. | 1968. | V. 11. | No. 9. | P. 1913 | 1918. 231. Friedlander S. K. Mass and heat transfer to single spheres and ylinders at low Reynolds numbers. // AIChE J. | 1957. | V. 3. | No. 1. | P. 43 | 48. ber die Warmeleitungsfahigkeit von Flussigkeiten. // Annln. Phys. | 232. Graetz L. U 1883. | Bd. 18. | S. 79 | 84. 233. Hadamard J. S. Mouvement permanent lent d'une sphere liquide et visqueuse dans un liquide visqueux. // Comp. Rend. A ad. S i. Paris. | 1911. | V. 152. | No. 25. | P. 1735 | 1739; | 1912. | V. 154. | No. 3. | P. 109. 234. Handbook of Multiphase Systems. / Ed. Hetsroni G. | Washington: Hemisphere Publ. Corp., 1982. 235. Harper J. F., Moore D. W. The motion of a spheri al liquid drop at high Reynolds number. // J. Fluid Me h. | 1968. | V. 32. | No. 2. | P. 367 | 391. 236. Harris J. Rheology and Non-Newtonian Flow. | London | New York: Longman, 1977. | 338 p. 237. Hieber C. A., Gebhart B. Low Reynolds number heat transfer from a ir ular
ylinder. // J. Fluid Me h. | 1968. | V. 32. | No. 1. | P. 21 | 28. 238. Hill R., Power G. Extremum prin iples for slow vis ous ow and approximate
al ulation of drag. // Quarterly J. Me h. Appl. Math. | 1956. | V. 9. | No. 3. | P. 313 | 319. 239. Hirose T., Moo-Young M. Boubble drag and mass transfer in non-Newtonian
uids: reeping ow with power law uids. // Can. J. Chem. Engng. | 1969. | V. 47. | No. 3. | P. 265 | 267. 240. Hobler T. Minimun Zraszania Powierzn hi. // Chimia Stosowana. | 1964. | Bd. 2B. | S. 145 | 159. 241. Hophe S. W., Slattery J. C. Upper and lower bounds on the drag oeÆ ient of a sphere in an Ellis model uid. // AIChE J. | 1970. | V. 16. | P. 224 | 229.
¯¨á®ª «¨â¥à âãàë
333
242. Jarzebski A. B., Malinowski J. J. Drag and mass transfer in a reeping ow of a Carrean uid over drops or bubbles. // Can. J. Chem. Engng. | 1987. | V. 65. | No. 4. | P. 680 | 684. 243. Jarzebski A. B., Malinowski J. J. Drag and mass transfer in multiple drop slow motion in a power law uid. // Chem. Eng. S i. | 1986. | V. 41. | No. 10. | P. 2569 | 2573. 244. Jarzebski A. B., Malinowski J. J. Transient mass and heat transfer from drops or bubbles in slow non-Newtonian ows. // Chem. Eng. S i. | 1986. | V. 41. | No. 10. | P. 2575 | 2578. 245. Javery V. Laminar heat transfer in re tangular hannel for the temperature boundary ondition of the third kind. // Int. J. Heat Mass Transfer. | 1978. | V. 21. | No. 8. | P. 1029 | 1034. 246. Jones A. S. Extensions to the solution of the Graets problem. // Int. J. Heat Mass Transfer. | 1971. | V. 14. | No. 4. | P. 619 | 623. 247. Kaplun S., Lagerstrom P. A. Asymptoti expansions of Navier | Stokes solutions for small Reynolds numbers. // J. Math. Me h. | 1957. | V. 6. | P. 585 | 593. 248. Kassoy D. R. Heat transfer from ir ular ylinders at low Reynolds number. // Phys. Fluids. | 1967. | V. 10. | No. 5. | P. 938 | 946. 249. Kovat heva N. P., Polyanin A. D., Kurdyumov V. N. Mass transfer from a parti le in a shear ow with surfa e rea tions. // A ta Me h. (Springer-Verlag) | 1993. | V. 101. | P. 155 | 160. 250. Kovat heva N. T., Polyanin A. D., Zapryanov Z. D. The hange of the di usivity with the hange of the on entration of the solvent in a solution. // A ta Me h. (Springer | Verlag) | 1989. | V. 80. | P. 259 | 272. 251. Kronig R., Brink J. C. On the theory of extra tion from falling droplets. // Appl. S i. Res. | 1950. | V. A2. | No. 2. | P. 142 | 154. 252. Le Clair B. P., Hamiele A. E. A theoreti al and experimental study of the internal ir ulation in water drops falling at terminal velo ity in air. // J. Atmosph. S i. | 1972. | V. 29. | No. 4. 253. Le Clair B. P., Hamiele A. E. Vis ous ow through parti le assemblayes at intermediate Reynolds numbers. | A ell model for transport in bubble swarms. // Can. J. Chem. Engng. | 1971. | V. 49. | No. 6. | P. 713 | 720. 254. Legros J. C., Limbourg M. C., Petre G. In uen e of a surfa e tension minimum as a fun tion of temperature on the Marangoni onve tion. // A ta Astronauti a. | 1984. | V. 11. | No. 2. | P. 143 | 147. 255. Leveque M. A. Les lois de la transmission de haleur par onve tion. // Ann. Mines. | 1928. | Bd. 13. | S. 527 | 532. 256. Marru i G., Apuzzo G., Astarita G. Motion of liquid drops in non-Newtonian systems. // AIChE J. | 1970. | V. 16. | No. 4. | P. 538 | 541. 257. Masliyah J. H., Epstein N. Numeri al solution of heat and mass transfer from spheroids in steady axisymmetri ow. // Progress Heat Mass Transfer. | 1972. | V. 6. | P. 613 | 632. 258. Meyyappan M., Wil ox W. R., Subramanian R. S. Thermo apillary migration of a bubble normal to a plane surfa e. // J. Colloid Interfa e S i. | 1981. | V. 94. | P. 243 | 257. 259. Mohan V. Creeping ow of a power law uid over a Newtonian uid sphere. // AIChE J. | 1974. | V. 20. | P. 180 | 182. 260. Mohan V., Venkateshwarlu D. Creeping ow of a power low uid past a uid sphere. // Int. J. Mult. Flow. | 1976. | V. 2. | P. 563 | 569. 261. Moore D. M. The velo ity of rise of distorted gas bubbles in a liquid of small vis osity. // J. Fluid Me h. | 1965. | V. 23. | No. 4. | P. 749 | 766. 262. Morrison F. A. Transient heat and mass transfer to a drop in a ele tri eld. // Trans. ASME, J. Heat Transfer. | 1977. | V. 99. | No. 2. | P. 269 | 274.
334
¯¨á®ª «¨â¥à âãàë
263. Nakano Y., Tien C. Creeping ow a power-low uid over a Newtonian uid drop. // AIChE J. | 1968. | V. 14. | P. 145 | 151. 264. Nakano Y., Tien C. Vis ous in ompressible non-Newtonian ow around uid sphere at intermediate Reynolds number. // AIChE J. | 1970. | V. 16. | No. 4. | P. 554 | 569. 265. Newman J. Mass transfer to the rear of a ylinder at high S hmidt numbers. // J. Ind. Eng. Chem. Fundamentals. | 1969. | V. 8. | No. 3. | P. 82 | 86. 266. Nusselt W. Abhangigkeit der Warmeubergangzahl on der Rohrlange. // VDI Zeits hrift. | 1910. | Bd. 54. | No. 28. | S. 1154 | 1158. 267. Oellri h L., S hmidt-Traub H., Brauer H. Theoretis he Bere hnung des Sto transport in der Umgebung einer Einzelblase. // Chem. Eng. S i. | 1973. | V. 28. | No. 3. | P. 711 | 721. 268. Oliver D. L. R., DeWitt K. J. Surfa e tension driven ows for a droplet in a mi rogravity environment. // Int. J. Heat Mass Transfer. | 1988. | V. 31. | No. 7. | P. 1534 | 1537. 269. O'Neill M. E., Stewartson K. On the slow motion of a sphere parallel to a nearly plane wall. // J. Fluid Me h. | 1967. | V. 27. | P. 705 | 724. 270. Petrov A. G. Inner ow of vi ous drop. // Pro . Third Int. Aeros. Conf., Kyoto, Japan. | 1990. | P. 339 | 342. 271. Poe G. G. Closed streamline ows past rotating parti les: inertial e e ts, lateral migration, heat transfer. | Ph.D. dissertation. Stanford University, 1975. 272. Poe G. G., A rivos A. Closed streamline ows past small rotating parti les; heat transfer at high Pe let numbers. // Int. J. Mult. Flow. | 1976. | V. 2. | No. 4. | P. 365 | 377. 273. Polyanin A. D. An asymptoti analysis of some nonlinear boundary-value problems of onve tive mass and heat transfer of rea ting parti les with the
ow. // Int. J. Heat Mass Transfer. | 1984. | V. 27. | No. 2. | P. 163 | 189. 274. Polyanin A. D. Method for solution of some non-linear boundary value problems of a non-stationary di usion- ontrolled (thermal) boundary layer. // Int. J. Heat Mass Transfer. | 1982. | V. 25. | No. 4. | P. 471 | 485. 275. Polyanin A. D. Three-demensional problems of unsteady di usion boundary layer. // Int. J. Heat Mass Transfer. | 1990. | V. 33. | No. 7. | P. 1375 | 1386. 276. Polyanin A. D., Dil'man V. V. An algebrai method for heat and mass transfer problems. // Int. J. Heat Mass Transfer. | 1990. | V. 33. | No. 1. | P. 183 | 201. 277. Polyanin A. D., Dil'man V. V. New methods of the mass and heat transfer theory. | 1. The method of asymptoti orre tion and the method of model equations and analogies. // Int. J. Heat Mass Transfer. | 1985. | V. 28. | No. 1. | P. 25 | 43. 278. Polyanin A. D., Dil'man V. V. New methods of the mass and heat transfer theory. | 2. New methods of asymptoti interpolation and extrapolation. // Int. J. Heat Mass Transfer. | 1985. | V. 28. | No. 1. | P. 45 | 58. 279. Polyanin A. D., Dil'man V. V. Methods of modeling equations and analogies in
hemi al engineering. | London, Tokyo: CRC Press, Begell House, 1994. | 356 p. 280. Polyanin A. D., Dil'man V. V. The method of asymptoti analogies in the mass and heat transfer theory and hemi al engineering s ien e. // Int. J. Heat Mass Transfer. | 1990. | V. 33. | No. 6. | P. 1057 | 1072. 281. Polyanin A. D., Dil'man V. V. The method of the ý arry overþ of integral transforms in non-linear mass and heat transfer problems. // Int. J. Heat Mass Transfer. | 1990. | V. 33. | No. 1. | P. 175 | 181.
¯¨á®ª «¨â¥à âãàë
335
282. Proudman I., Pearson J. R. A. Expansions at small Reynolds number for the
ow part a sphere and ir ular ylinder. // J. Fluid Me h. | 1957. | V. 2. | No. 3. | P. 237 | 262. 283. Ramkissoon H. Slow ow of a non-Newtonian liquid past a uid sphere. // A ta Me h. (Springer-Verlag) | 1989. | V. 78. | No. 1 | 2. | P. 73 | 80. 284. Ranger K. B. The ir ular disk straddling the interfa e of a two-phase ow. // Int. J. Mult. Flow. | 1978. | V. 4. | P. 263 | 277. 285. Rao S. S., Bennett C. O. Steady state te hnique for measuring uxes and di usivities in binary liquid systems. // AIChE J. | 1971. | V. 17. | No. 1. | P. 75 | 81. 286. Rednikov A. Ye., Ryazantsev Yu. S., Velarde M. G. Drop motion with surfa tant transfer in a homogeneous sarronding // Phys. Fluids. | 1994. | V. 6. | No. 2. | P. 451 | 468. 287. Rimmer P. L. Heat transfer from a sphere in a stream of small Reynolds number. // J. Fluid Me h. | 1968. | V. 32. | No. 1. | P. 1 | 7. (Corrigenda: J. Fluid Me h. | 1969. | V. 35. | No. 4. | P. 827 | 829). 288. Rimon J., Cheng S. I. Numeri al solution of a uniform ow over a sphere at intermediate Reynolds numbers. // Phys. Fluid. | 1969. | V. 12. | No. 5. | P. 949 | 959. 289. Robertson C. R., A rivos A. Low Reynolds number shear ow past a rotating
ir ular ylinder. Part 2. Heat transfer. // J. Fluid Me h. | 1970. | V. 40. | No. 4. | P. 705 | 718. 290. Rotem Z., Neilson J. E. Exa t solution for di usion to ow down an in line. // Can. J. Chem. Engng. | 1966. | V. 47. | P. 341 | 346. 291. Rub zynski M. W. Uber die forts hreitende Bewegung einer ussigen Kugel in einem zahen Medium. // Bull. A ad. S i. Cra ovie, Ser. A, S i. Math. | 1911. | Bd. 1. | S. 40 | 46. 292. Ru kenstein E. Mass transfer between a single drop and ontinuous phase. // Int. J. Heat Mass Transfer. | 1967. | V. 10. | No. 12. | P. 1785 | 1792. 293. Rushton E., Davies G. A. Settling of en apsulated droplets at low Reynolds numbers. // Int. J. Mult. Flow. | 1983. | V. 9. | No. 3. | P. 337 | 342. 294. Rushton E., Davies G. A. The slow unsteady settling of two uid spheres along their line of enters. // Appl. S i. Res. | 1973. | V. 28. | No. 1 | 2. | P. 37 | 61. 295. Sa man P. G. On the boundary ondition at the surfa e of a porous medium. // Stud. Appl. Math. | 1971. | V. 50. | No. 2. | P. 93 | 101. 296. Sakiadis B. C. Boundary-layer behavior on ontinuous solid surfa es: 2. Boundary layer on a ontinuous at surfa e. // AIChE J. | 1961. | V. 7. | No. 2. | P. 221 | 225. 297. Sehlin R. C. For ed- onve tion heat and mass transfer at large Pe let numbers from axisymmetri body in laminar ow: prolate and oblate spheroids. | M.S. thesis (Chem. Engng.). Carnegie Inst. of The hn., Pittsburgh, 1969. 298. Sellers J. R., Tribus M., Klin J. S. Heat transfer to laminar ow in a round tube or at onduit | the Graetz problem extended. // Trans. ASME. | 1956. | V. 78. | No. 2. | P. 441 | 448. 299. Sih P. H., Newman J. Mass transfer to the rear of sphere in Stokes ow. // Int. J. Heat Mass Transfer. | 1967. | V. 10. | No. 12. | P. 1749 | 1756. 300. Stimson M., Je rey G. B. The motion of two spheres in a vis ous ow. // Pro . Roy. So . London. | 1926. | V. A111. | No. 757. 301. Subramanian R. S. Slow migration of a gas bubble in a thermal gradient. // AIChE J. | 1981. | V. 27. | No. 4. | P. 646 | 654. 302. Subramanian R. S. The Stokes for e in a droplet in an unbounded uid medium due to apillary e e ts. // J. Fluid Me h. | 1985. | V. 153. | P. 389 | 400.
336
¯¨á®ª «¨â¥à âãàë
303. Subramanian R. S. Thermo apillary migration of bubbles and droplets. // Advan es in Spa e Resear h, Pergamon Press. | 1983. | V. 3. | No. 5. | P. 145. 304. Sykes J. A., Mar hello J. M. Laminar ow of two immersible liquid falling lms. // AIChE J. | 1969. | V. 15. | No. 2. | P. 305 | 306. 305. Szym zyk J., Siekmann J. Numeri al al ulation of the thermo apillary motion of a bubble under mi rogravity. // Chem. Eng. Comm. | 1988. | V. 69. | P. 129 | 147. 306. Tables rolating to Mathieu fun tion. | New York, Columbia Univ. Press, 1951. (ãááª. ¯¥à¥¢®¤: ¡«¨æë ¤«ï ¢ëç¨á«¥¨ï äãªæ¨© âì¥; ᮡáâ¢¥ë¥ § 票ï, ª®íää¨æ¨¥âë ¨ ¬®¨â¥«¨ á¢ï§¨. | .: , 1967. | 279 á.) 307. Tam C. K. W. The drag on a loud of spheri al parti les in low Reynolds number
ow. // J. Fluid Me h. | 1969. | V. 38. | No. 3. | P. 537 | 546. 308. Taylor G. I. Formation of emulsion in pe nable lm of ow. // Pro . Roy. So . London. | 1934. | V. A146. | No. 858. | P. 501 | 523. 309. Taylor G. I. Vis osity of a uid, ontaining small drops of another uid. // Pro . Roy. So . London. | 1932. | V. A138. | No. 834. | P. 41 | 48. 310. Taylor T., A rivos A. On a deformation and drag of a falling vis ous drop at low Reynolds number. // J. Fluid Me h. | 1964. | V. 18. | Pt. 3. | P. 466 | 476. 311. Vignes A. Di usion in binary solutions. // Ind. Engng. Chem. Fundam. | 1966. | V. 5. | No. 2. | P. 189 | 199. 312. Vo hten R., Petre G. Study of the heat of reversible adsorption at the air-solution interfa e. 2. Experimental determination of the heat of reversible adsorption of some al ohols. // J. Colloid Interfa e S i. | 1973. | V. 42. | No. 2. | P. 320 | 327. 313. Vo hten R., Petre G., Defay R. Study of the heat of reversible adsorption at the air-solution interfa e. 1. Thermodynami al al ulation of the heat of reversible adsorption of nonioni surfa tants. // J. Colloid Interfa e S i. | 1973. | V. 42. | No. 2. | P. 310 | 319. 314. Waslo S., Gal-Or B. Boundary layer theory for mass and heat transfer in louds of moving drops, bubbles or solid parti les. // Chem. Eng. S i. | 1971. | V. 26. | No. 6. | P. 829 | 838. 315. Wasserman M. L., Slattery J. C. Upper and lower bounds on the drag oeÆ ient of a sphere in a power-law uid. // AIChE J. | 1964. | V. 10. | No. 3. | P. 383 | 388. 316. Weber M. E. Mass transfer from spheri al drops at high Reynolds numbers. // Ind. Engng. Chem. Fundam. | 1975. | V. 14. | No. 4. | P. 365 | 366. 317. Weinberger H. F. Variational properties of stady fall in Stokes ow. // J. Fluid Me h. | 1972. | V. 52. | Pt. 2. | P. 321 | 344. 318. Winnikow S. Letter to the Editors. // Chem. Eng. S i. | 1967. | V. 22. | No. 3. | P. 477. 319. Young N. O., Goldstein J. S., Blo k M. G. The motion of bubbles in a verti al temperature gradient. // J. Fluid Me h. | 1959. | V. 6. | Pt. 3. | P. 350 | 356.
