境界値問題入門 (基礎数学シリーズ)

小堀

憲

小松醇郎 福原満洲雄 編集

基 礎 数 学 シ リーズ

編 集 の ことば   近 年 に お け る科 学 技術 の発 展 は,極 め て め ざ ま し い もの が あ る.そ の 発 展 の 基 盤 に は,数 学 の 知識 の応 用 もさ る こ とな が ら,数 学 的思 考 方 法,数 学 的 精 神 の 浸 透 が 大 きい.理 工学 は じめ 医学 ・農 学 ・経 済 学 な ど広 汎 な分 野 で,数 学 の 知 識 の み な らず 基 礎 的 な 考 え方 の素 養 が必 要 な の で あ る.近 代 数 学 の 理 念 に 接 しな け れ ば,知 識 の 活用 も多 きを望 め な い で あ ろ う.   編 者 らは,こ の よ う な事 実 を考 慮 し,数 学 の 各 分 野 に お け る基 本 的 知 識 を 確 実 に 伝 え る こ とを 目的 と して本 シ リーズ の 刊 行 を企 画 した の で あ る.   上 の主 旨に した が って 本 シ リー ズで は,重 要 な 基 礎 概 念 を と くに 詳 し く説 明 し, 近 代数 学 の 考 え 方 を平 易 に理 解 で きる よ う解 説 して あ る.高 等 学 校 の 数 学 に 直結 して,数 学 の基 本 を悟 り,更 に進 んで 高 等 数 学 の 理 解 へ の大 道 に 容 易 に は い れ る よ う書 かれ て あ る.   これ に よ って,高 校 の 数 学 教 育 に携 わ る 人 た ち や 技 術 関係 の 人 々の 参 考書 と し て,ま

た学 生 の入 門書 と して,ひ

ろ く利用 され る こ とを 念願 と して い る.

  こ の シ リーズ は,読 者 を数 学 と い う花 壇 へ招 待 し,そ れ の 観 覚 に 資す る とと も に,つ ぎの 段 階 にす す む た め の 力 を養 う に 役 立 つ こ とを 意 図 した もの で あ る.

は   境 界 値 問 題 は,常

じ

め

に

微 分 方 程 式 と偏 微 分 方 程 式 の 双 方 に ま た が り,解 析 学 の他

の 分 野 と も密 接 な つ な が りを 持 つ 魅 力 的 な 研 究 対 象 で,微

分方 程 式論 の中 で主

要 な 位 置 を 占 め て い る.   本 書 は,境 界 値 問 題 の 理 論 の基 礎 的 な 部 分 を,2階 トライ トを 当 て な が ら紹 介 した も の で,4つ 格 を 持 つ 第1章 で2階

で2階

線 型 微 分方程 式 に ス ポ ッ

の章 か ら成 って い る.予 備 的 な 性

線 型 常 微 分 方 程 式 に 関 す る基 本 事 項 を 述 べ た 後,第2章

線 型 常 微 分 方 程 式 に 対 す る境 界 値 問 題 と固 有 値 問 題 を,第3章

数 に よ る展 開 の 問 題(い わ ゆ る フ ー リエ 級 数 の理 論)を,最

で固有 関

後 の 章 で2階

線型 偏

微 分 方 程 式(数 理 物 理 学 の 基 本 方 程 式)に 対 す る境 界 値 問 題 や 初 期 ‐境 界 値 問 題 を,い ず れ も 出 来 る限 り平 易 に 解 説 した.こ

の シ リー ズ の 中 に 「積 分 方 程 式 入

門 」(溝畑 茂 著)が 刊 行 さ れ て い る事 情 を 考 慮 して,本 書 で は,積 基 づ く境 界 値 問 題 の 考 察 は 割 愛 した.こ   な お,殆

の 点 に 読 者 の 注 意 を 喚 起 し て お きた い.

どす べ て の 節 の 終 りに 演 習 問 題 を つ け て お い た.数

本 書 の 程 度 を越 え る難 問 は な い.(多

分方 程 式論 に

は 少 な くな い が,

少 手 応 え の あ りそ うな 問 題 に は*印

した.)邦 文 で 書 か れ た こ の 方 面 の 専 門 書 が 数 少 い 現 状 の 中 で,本

を付

書 が い く らか

で も 存 在 理 由 を 持 つ こ とを 筆 者 は ひ そ か に 願 って い る.読 者 諸 賢 の御 批 判,御 叱 正 を 請 う次 第 で あ る.   終 りに,本 書 を 執 筆 す る 機 会 を 与 え て 下 さ った 恩 師 東 京 大 学 名 誉 教 授 福 原 満 洲 雄 先 生,お

よび 判 読 し難 い 拙 稿 を 克 明 に 検 討 さ れ 数 々 の 有 益 な 助 言 を 与 え ら

れ た 親 友 広 島 大 学 助 教 授 河 野 實 彦 氏 に 心 か ら感 謝 の 意 を 表 した い.ま

た,朝 倉

書 店 編 集 部 の 方 々 の た え ざ る お 力 添 え に 対 して も厚 く御 礼 申 し上 げ た い. 1971年7月 広 島県 安芸郡 に て 草

野

尚

目

1.  2階

次

線型 常 微分 方 程 式

 1

  1.1 

初 期値 問題

 1

  1.2 

一

 7

  1.3 

級 数 に よ る 解 法 Ⅰ(正 則 点 の 場 合) 

18

  1.4 

級 数 に よ る 解 法 Ⅱ(確 定 特 異 点 の 場 合) 

27

  1.5 

ベ ッセル微 分方 程式

般

解

  39

2.  境 界 値 問 題 と 固 有 値 問 題

  47

  2.1 

境 界値 問題

  47

  2.2 

グ リー ン関 数

  51

  2.3 

広 義 の グ リー ン関 数

  57

  2.4 

特 異境 界値 問題

  63

  2.5 

変 分 学 と境 界 値 問 題

  67

  2.6 

固有 値 問題

  2.7 

プ リ ュ ー フ ァ変 換 と ス ツル ム の 比 較 定 理

  2.8 

固 有 値 と固 有 関 数 の 存 在

  2.9 

特 異 な ス ツル ム ・リ ウ ビル 系

 75  83   91   96

  2.10  リ ウ ビル の 標 準 形 と変 形 プ リュ ー フ ァ変 換

  100

  2.11  固 有 値 と固 有 関 数 の 漸 近 的 性 質

 106

3.  固 有 関 数 に よ る 展 開(フ ー リエ 級 数 の 理 論)    3.1 

直 交 関 数 系 と フ ー リエ 級 数

 3.2 

完全 な直交 関数 系

 3.3 

三 角 フ ー リエ 級 数 Ⅰ(各 点 収 束) 

  3.4 

三 角 フ ー リエ 級 数 Ⅱ(一 様 収 束,完

112  

112   116 120

全 性) 

125

  3.5 

ヒ ル ベ ル ト空 間  

  3.6 

変 分 問題 との関 連 Ⅰ

  3.7 

変 分 問 題 と の 関 連 Ⅱ 

149

  3.8 

グ リー ン関 数 と 固 有 関 数 展 開  

154

4.  2階   4.1 

線 型 偏 微 分 方 程 式 と境 界 値 問 題   2階 線 型 偏 微 分 方 程 式  

134   144

168 168

  4.2 

熱 伝導 方 程式  

176

  4.3 

波 動 方程式  

185

  4.4 

ラ プ ラスの方程 式  

199

  4.5 

グ リー ンの 公 式

  213

  4.6 

グ リー ン関 数  

221

  4.7 

球 面 調 和関 数

演 習 問 題 の 解 答,ヒ 索

引

  229

ン ト 

242  255

1.  2階 線 型 常 微 分 方程 式

  1.1  初 期 値 問 題   xを 実 変 数,yをxの(一

般 に 複 素 数 値 を と る)未 知 関 数 とす る.yの

導 関数

を含 んだ関 係式  (1.1) 

をn階 (1.1)を

F(x,y,y′,…,y(n))=0

の 常 微 分 方 程 式 と 呼 ぶ.特

に,Fがy,y′,…,y(n)の1次

線 型 の 微 分 方 程 式 と 言 う.そ

式 で あ る と き,

の一 般形 は

 (1.2)

で あ る.線

型 微 分 方 程 式(1.2)は,pn+1(x)≡0の

と き 斉 次, 

の と

き 非 斉 次 と 言 わ れ る.

  理 論,応 用 の 両 面 に お い て こ とに 重 要 な の は,2階

線型 微分 方 程 式

  (1.3)

で あ る.例えば,物

理 数 学 で は,次

の よう な'固 有 名 詞'の 付 い た 微 分 方 程 式

が しば し ば登 場 す る.   エ ア リ ィ(Airy): y″+xy=0,   ベ ッ セ ル(Bessel): 

x2y″+xy′+(x2−

  チ ェ ビ シ ェ フ(Chebyshev):    オ イ ラ ー(Euler): 

α2)y=0,

(1−x2)y″−xy′+α2y=0, x2y″+αxy′+βy=0,

  ガ ウ ス(Gauss): 

x(1−x)y″+[γ−(α+β+1)x]y′−αβy=0,

  エ ル ミ ー ト(Hermite):   ラ ゲ ー ル(Laguerre):    ル ジ ャ ン ド ル(Legendre): 

y″−2xy′+αy=0, xy″+(1−x)y′+αy=0, (1−x2)y″−2xy′+α(α+1)y=0. (α,β,γ

は 定 数)

 本 書 で は,こ の 種 の2階 線 型 常 微 分 方 程 式 を 中 心 に 議 論 を 進 め て ゆ く.  あ る関 数φ(x)が

区 間Jで

微 分 方 程 式(1.3)を

満 た す と き:

p0(x)φ φ(x)を

は,任

区 間Jに

″(x)+p1(x)φ′(x)+p2(x)φ(x)=p3(x),x∈J, お け る(1.3)の

意 の 定数c1,c2に

解 と 言 う.例

対 し て,区

え ば,

間(−∞,∞)に

おけ る

y″+y=ex

の 解 で あ る.ま

た,関

数

y=c1cos(αarc

は,c1,c2が <x<1に

cosx)+c2sin(αarc

い か な る値 を と っ て も,上

cosx)

記 チ ェ ビ シ ェ フ 微 分 方 程 式 の 区 間 −1

お け る 解 で あ る.

  しか し,一 般 の 微 分 方 程 式(1.3)が,こ

れ ら の 例 の よ うに,初

等 関数 で表 わ

さ れ る解 を持 つ こ とは ほ とん ど期 待 で き な い.微 分 方 程 式 論 の 目的 は,こ の よ うな 状 況 の 下 で,一

般 の 微 分 方 程 式 の 解 に つ い て,出 来 る限 り多 くの 精 密 な 情

報 を 提 供 す る こ と,そ の た め に 必 要 な 方 法,技 巧 を 確 立 す る こ とで あ る と言 え る.   (1.3)に Jの

お い て,係

各 点 で 

数pj(x)(j=0,1,2,3)は

区 間Jで

な ら ば,(1.3)は

  (1.4)  y″+p(x)y′+q(x)y=f(x) 

(p(x),q(x),f(x)はJで

の 形 の 微 分 方 程 式 と 同 値 に な る.(1.4)を p0(x0)=0な

連 続 で あ る と す る.

らば,(1.3)を(1.4)の

正 規 型 と 呼 ぶ.も

しJの

形 に 書 い た と き,係 数p(x),q(x)は

で 定 義 され な い こ とに な る.こ の よ うな 点x0を 言 う.(p0(x)が0に

連 続)

な ら な い 点 を(1.3)の

お け る解 の性 質 を 詳 し く研 究 す る こ とは,微

微 分 方 程 式(1.3)の

正 則 点 と呼 ぶ.)特

点x0で 点x0 特異 点 と

異点 の 近 傍 に

分 方 程 式 論 に お い て 最 も重 要 な 問

題 の 一 つ で あ る.し か し,そ の 一 般 論 は 非 常 に 難 か し い の で,本

書 で は比較 的

性 質 の よい 特 異点 だ け を 取 扱 い,議 論 の大 半 は 正 規 型(と 同値 な)微 分 方 程 式 に あ て る こ とに す る.   さ て,微 分 方 程 式(1.4)は,一

般 に 無 限 に 多 くの 解 を持 つ.無

数 に あ る解 の

中 か ら 特 定 の も の を 選 び 出 す た め に は,何 か 条 件 を 付 け 加 え な け れ ば な ら な い.

この 種 の付 帯 条 件 の 代 表 的 な も の に,初 期 条 件 お よび 境 界 条 件 と呼 ば れ る も の が あ る.初 期 条 件 とい うの は,区

間J内

の 一 定 点x0に

お い て解 お よ び そ の 導

関 数 が と る値 を あ ら か じめ 指 定 す る こ と:   (1.5) 

y(x0)=α,y′(x0)=α

で あ る.ま た,境 x=bに

界 条 件 とい うの は,考

お い て,解

′

え て い る区 間J=[a,b]の

両 端x=a,

ま た は そ の導 関 数 の 満 た す べ き 関 係 を あ らか じめ 指 定 す る

こ とで, y(a)=α,y(b)=β; y′(a)=α

′,y′(b)=β

′

な どが そ の 例 で あ る.境 界 条 件 は 一 般 に Ay(a)+A′y′(a)=C,   (1.6) By(b)+B′y′(b)=D

と定 式 化 で き る.も ち ろ ん,α,β,A,A′,な 方 程 式(1.4)の 題,境

解 で,初 期 条 件(1.5)を

界 条 件(1.6)を

ど は 与 え ら れ た 定 数 で あ る.微 分

満 足 す る も の を求 め る問 題 を 初 期 値 問

満 足 す る も の を 求 め る問 題 を 境 界 値 問 題 と言 う.

  本 章 で は 初 期 値 問 題 を 考 察 す る.ま ず,'初 期 値 問 題 は 本 当 に 解 を 持 つ で あ ろ うか?'(解 か?'(解

の 存 在 の 問 題),'解

の 一 意 性 の 問 題)と

が あ る場 合,そ

の よ うな 解 は 唯 一 つ で あ ろ う

い う問 い に 理 論 的 に 答 え る こ と か ら始 め よ う.

  例  最 も 簡 単 な 微 分 方 程 式  (1.7) 

の 解 で,初

y″=g(x) 

期 条 件(1.5)を

(g(x)は

満 た す も の は,一

区 間Jで

連 続)

意 的 に 存 在 し て,次 式 で 与 え られ

る:

  (1.8)

 解 の存 在 

以 下 区 間Jは

有 界 閉 区 間[a,b]で

あ る と し て 議 論 す る.そ

で な い 場 合 で も 同 じ結 果 が 成 立 つ こ と は 容 易 に 検 証 さ れ る.Jで1回

う

連 続微 分

可 能 な 関数y0(x)を

任 意 に と る.漸 化 式

  (1.9)

に よ っ て,関数y1(x),y2(x),…,yn(x),… て2回

を 次 々 に 定 め る.こ

連 続 微 分 可 能 な 関 数 列{yn(x)}が

明 ら か で あ る.我

々 の 目 的 は,こ

期 値 問 題(1.4)−(1.5)の   (1.7)と(1.8)の

区 間Jで

の 関 数 列 がJで

の 手 続 きに よ っ

一 意 的 に 定 義 され る こ とは 一 様 に 収 束 し,極

限 関数 が 初

解 に な る こ と を 証 明 す る こ と で あ る.

関 係 か ら,(1.9)のyn(x)は

 (1.10) yn″(x)=−p(x)y′n−1(x)−q(x)yn−1(x)+f(x) と 初 期 条 件(1.5)を

満 足 す る こ と が わ か る. zn(x)=yn(x)−yn−1(x),n=1,2,3,…

と お く.(1.9)に

よ り,zn(x)は

  (1.11)

を 満 た す.両

辺 を 微 分 して

  (1.12)

￨z1(x)￨≦A,￨z1′(x)￨≦A,￨p(x)￨+￨q(x)￨≦B,x∈J と な る 定 数A,Bを

と り,C=max(1,b−a)と

る こ と は,z1,z1′,p,qの ら,数

連 続 性 か ら 明 ら か.積

学 的 帰 納 法 を 用 い て,次

これ は,級

数 

し て い る.と

で あ る か ら,関

お く.こ

の よ う なA,Bが

とれ

分 の 関 係 式(1.11),(1.12)か

の 不 等 式 を 導 き 出 す こ と が で き る:

がJで(絶

対 か つ)一 様 に 収 束 す る こ と を示

こ ろ で,

数 列{yn(x)},{yn′(x)}はJで

一 様 に 収 束 し,(1.10)に

よ り,

{yn″(x)}もJで

はJで2回

一 様 に 収 束 す る.従

と お け ば,y(x)

っ て, 

連 続 微 分 可 能 で,

が 成 立 つ.(1.10)でn→∞

と す れ ば,極

限 にお い て

y″(x)=−p(x)y′(x)−q(x)y(x)+f(x)

が 得 られ る.即 ち,y(x)はJで 条 件(1.5)を さ れ た.こ

微 分 方 程 式(1.4)を

満 足 す る こ とは 明 ら か で,こ

満 足 す る.y(x)が

初期

う し て 初 期 値 問 題 の解 の 存 在 が 示

の よ うな 方 式 に よ る解 の構 成 法 を 逐 次 近 似 法 と言 う.

  解 の 一 意 性   初 期 値 問 題 の 解(1.4)−(1.5)は,上 と を 証 明 し よ う.二

つ の 解y1(x),y2(x)が

で 作 られ た も の に 限 る こ

あ っ た と し て,z(x)=y1(x)−y2(x)

と お け ば,z(x)は  (1.13) 

z″+p(x)z′+q(x)z=0,

 (1.14) 

z(x0)=0,z′(x0)=0

を 満 足 す る.従 0に

っ て,解

の 一 意 性 を 言 う た め に は,こ

のz(x)がJで

恒 等 的 に

な る こ と を 示 せ ば よ い. u(x)=￨z(x)￨2+￨z′(x)￨2=z(x)z(x)+z′(x)z′(x)

と お く.zはzの

複 素 共 役 を 表 わ す.微

分 す る と

u′(x)=z′(x)z(x)+z(x)z′(x)+z″(x)z′(x)+z′(x)z″(x). 両 辺 の 絶 対 値 を と り,￨z′(x)￨=￨z′(x)￨,￨z″(x)￨=￨z″(x)￨に か ら 得 ら れ る 関 係￨z″(x)￨≦￨p(x)‖z′(x)￨+￨q(x)‖z(x)￨を

注 意 し,(1.13) 使 う と,

￨u′(x)￨≦2(1+￨q(x)￨)￨z(x)‖z′(x)￨+2￨p(x)‖z′(x)￨2 を 得 る.さ

ら に,2￨z(x)‖z′(x)￨≦￨z(x)￨2+￨z′(x)￨2を

用 い る と,

￨u′(x)￨≦(1+￨q(x)￨)￨z(x)￨2+(1+2￨p(x)￨+￨q(x)￨)￨z′(x)￨2 ≦2(1+￨p(x)￨+￨q(x)￨)[￨z(x)￨2+￨z′(x)￨2]

とお け ば,結 局u(x)はJで

を 得 る. 

等式  (1.15) 

を 満 足 す る.

即 ち,

微 分不

  (1.15)の

右 半 分u′(x)−Ku(x)≦0にe−Kxを

掛 け る と,[e−Kxu(x)]′

と な る.即

ち,e−Kxu(x)は

  x>x0な

ら ば, 

即 ち,

  x<x0な

ら ば, 

即 ち,

同 様 に,(1.15)の x>x0な

非 増 加 関 数 で あ る.よ

≦0

っ て,

左 半 分 か らは

な らば 

ら ば 

が 得 られ る.従 っ て,u(x)は

次 の 不 等 式 を 満 た す:

  (1.16) (1.14)に

よ りu(x0)=0で

と な り,解

あ る か ら,(1.16)に

よ り,u(x)≡0,従

っ てz(x)≡0

の 一 意 性 が 証 明 さ れ た.

  以 上 の 議 論 を ま と め る と,次   定 理1.1 

p(x),q(x),f(x)は

意 に 固 定 さ れ た 点,α,α

の 基 本 定 理 が 得 ら れ る. 区 間Jで

連 続 な 関 数 と す る.x0はJ内

′は 任 意 に 与 え られ た 定 数 と す る.こ

の と き,微

の任 分方

程式 y″+p(x)y′+q(x)y=f(x) の 解 で,初

期 条件 y(x0)=α,y′(x0)=α

を 満 足 す る も の が 区 間Jに

′

お い て 一 意 的 に 存 在 す る.

演 習 問 題1.1   1.  次 の 関 数 は 括 弧 内 の微 分 方 程 式 の解 で あ る こ とを 確 か め よ.c1,c2は す る.  (a) 

 (b)  (c)  (d)

 (e)

y=c1coshx+c2sinhx 

(y″ −y=0).

任 意定数 と

  2.  定 理1.1の

証 明 で 用 い た 逐 次 近 似 法 に よ っ て,次

 (a) 

y″+y=0,y(0)=1,y′(0)=1.

 (b) 

y″−xy=0,y(0)=1,y′(0)=0.

  3.  p(x),q(x),f(x)は

区 間Jで

連 続 と す る.微

の 初 期 値 問 題 の 解 を 求 め よ.

分 方程 式

y″+p(x)y′+q(x)y=f(x) の 解 で,初

期 条件 y(x0)=α,y′(x0)=α′;y(x0)=β,y′(x0)=β

を 満 た す も の を,そ

とお け ば,次

れ ぞ れ,φ(x),ψ(x)と

′

す る.

の 不 等 式 が 成 立 つ こ とを 証 明 せ よ.

  4*.  p(x),q(x),r(x),f(x)が

区 間Jで

連 続 な ら ば,3階

の正 規 型 微 分 方 程 式 に 対

す る初期 値 問題 y″′+p(x)y″+q(x)y′+r(x)y=f(x), y(x0)=α,y′(x0)=α′,y″(x0)=α は,区

間Jに

″

お い て 一 意 的 な 解 を 持 つ こ と を 証 明 せ よ.x0はJの

定 点,α,α

′,α″ は

与 え ら れ た 任 意 の 定 数 と す る.

 1.2 

一

般

 前 節 の 定 理1.1を

解 活 用 し て,2階

線型 常微 分 方 程 式 の解全 体 の集 合が どの よ

う な 構 造 を 持 っ て い る か を 調 べ よ う.   p0(x),p1(x),p2(x)を

区 間Jで

連 続 な 関 数 と し て,

p0(x)y″+p1(x)y′+p2(x)y

を考 え る.こ 乗 法,加

れ は,(少

な く と も)2回

法 とい う 一連 の 演 算 を 施 して,新

わ し て い る.こ の よ うに,あ で,別

連 続 微 分 可 能 な 関 数y(x)に,微

p1y′+p2yを

し い 連 続 関 数 を 作 る とい う操 作 を 表

る集 合 に 属 す る関 数 の お の お の に,何

の 関 数 を 対 応 させ る働 き(写 像,変

分,

らか の 法 則

換)を 作 用 素 と呼 ぶ.yにp0y″+

対 応 さ せ る際 の 基 本 的 な 演 算 は 微 分 演 算 で あ る か ら,こ の 作 用 素

を(常)微 分 作 用 素 とい う.簡 単 の た め に,こ

の よ うな 作 用 素 を 記 号Lで

表わ

す:  (1.17)    y(x),z(x)を2回

L[y]=p0(x)y″+p1(x)y′+p2(x)y. 連 続 微 分 可 能 な 関 数 とす れ ば,そ

の1次 結 合αy(x)+

βz(x)(α,β

は 定 数)も2回

連 続 微 分 可 能 で,L[αy+βz]が

定 義 で き,次

の

関 係 が 成 立 つ: L[αy+βz]=αL[y]+βL[z]. こ の 性 質 を 持 つ 作 用 素 を 線 型 作 用 素 と 呼 ぶ.線 型 常 微 分 作 用 素Lを

型 常 微 分 方 程 式 と 言 う の は,線

用 いて L[y]=f(x) 

(斉 次 はL[y]=0)

と 書 け る 方 程 式 に ほ か な ら な い.   補 題1.1 

Lを

線 型 微 分 作 用 素(1.17)と

z(x)がL[y]=g(x)の

解 な ら ば,そ

数)はL[y]=αf(x)+βg(x)の

す る.y(x)がL[y]=f(x)の

の1次

結合

αy(x)+βz(x)(α,β

ば,斉

は定

解 で あ る.

  こ れ は 証 明 す る ま で も な い 自 明 な 命 題 で あ る が,線 を 表 わ す も の で,重

解,

型 作 用 素 の基 本 的 な 性 質

ね 合 わ せ の 原 理 と 呼 ば れ て い る.こ

次 微 分 方 程 式L[y]=0の

の 原 理 に 従 え ば,例

有 限 個 の 解y1(x),…,yn(x)の1次

c1y1(x)+…+cnyn(x)(c1,…,cnは

定 数)は,ま

え 結合

た 同 じ方 程 式L[y]=0の

解

に な る.   斉 次 微 分 方 程 式 の 一 般 解   2階 斉 次 微 分 方 程 式  (1.18) 

y″+p(x)y′+q(x)y=0 

(p(x),q(x)は

の 任 意 の 二 つ の 解y1(x),y2(x)か

を,y1(x),y2(x)の   定 理1.2 

連 続)

ら作 っ た 行 列 式

ロ ン ス キ ー(Wronski)行 方 程 式(1.18)の

区 間Jで

解y1(x),y2(x)の

列 式 と 呼 ぶ. ロ ンス キ ー行 列 式 は 次 の 関

係 式 を 満 た す.

  (1.19)

  証 明   簡 単 の た め に,W(x)=W[x;y1,y2]と W′(x)=y1(x)y2″(x)−y1″(x)y2(x)

お く.

=y1(x)[−p(x)y2′(x)−q(x)y2(x)] −[−p(x)y1′(x)−q(x)y1(x)]y2(x) =−p(x)[y1(x)y2′(x)−y1′(x)y2(x)]=−p(x)W(x)

よ り,W(x)は1階

線型 微 分方程 式 W′+p(x)W=0

を 満 た す こ と が わ か る.ゆ

え に,求

が 得 られ る.こ れ は(1.19)に

積 に よ っ て,

ほ か な ら な い. 

(証明終)

  この 定 理 は,斉 次 方 程 式 の 二 つ の 解 の ロ ンス キ ー行 列 式 は,区 に0に

な っ て し ま うか,ま

た は,Jの

ど の 点 で も決 し て0に

間Jで 恒 等 的

な らない か のい ず

れ か で あ る こ と を 教 え て い る.   区 間Jで

定 義 さ れ た二 つ の 関 数 φ1(x),φ2(x)の

い と き,即

ち適 当 な 定 数c1,c2, 

一方 が他 方 の 定数 倍に 等 し が 存 在 して

  (1.20)

が 成 立 す る と き,φ1(x),φ2(x)はJで1次 関数

φ1(x),φ2(x)は,Jで1次

独 立 な ら ば,(1.20)が

従 属 と 言 う.Jで1次

従属 でな い

独 立 と 言 わ れ る.φ1(x),φ2(x)がJで1次

成 立 つ よ う な 定 数c1,c2は,c1=c2=0に

  ロ ン ス キ ー 行 列 式 を 用 い る と,斉

次 方 程 式 の 二 つ の 解 が1次

限 る. 独 立で あ るか否

か を 判 定 す る こ と が で き る.   定 理1.3 

斉 次 微 分 方 程 式(1.18)の

二 つ の 解y1(x),y2(x)が

区 間Jで1

次 独 立 で あ るた め の 必 要 十 分 条 件 は

で あ る. と す る.こ

  証 明   点x0∈Jで  き,二

つ の ベ ク トル(y1(x0),y1′(x0)),(y2(x0),y2′(x0))は,2次

ク ト ル と し て,1次

従 属 に な る.即

ち,

c1y1(x0)+c2y2(x0)=0,c1y1′(x0)+c2y2′(x0)=0

の と

元 の 数 ベ

と な る定 数c1,c2, 

が あ る.y(x)=c1y1(x)+c2y2(x)と

重 ね 合 わ せ の 原 理 に よ り,y(x)は

方 程 式(1.18)の

件y(x0)=0,y′(x0)=0を れ ば,こ

満 た す.初

の よ うな 関 数y(x)は0以

解 で あ り,x0で

は初 期 条

期 値 問 題 の 解 の 一 意 性(定 理1.1)に 外 に は あ り得 な い.従

c2y2(x)=0,x∈J,で,y1(x),y2(x)は1次

よ

っ て,c1y1(x)+

従 属 に な る.

  逆 に,y1(x),y2(x)がJで1次 が

お く.

従 属 な ら ば,適

当 な 定 数c1,c2, 

存在 して c1y1(x)+c2y2(x)=0,x∈J.

微 分 すれ ば c1y1′(x)+c2y2′(x)=0,x∈J. こ れ ら をc1,c2に

関 す る 連 立1次

を 持 つ こ と か ら,係

方 程 式 と 考えれ

ば, 

数 の 行 列 式W[x;y1,y2]はJの

な る解 各 点 で0に

等 し くな け

れ ば な ら な い. 

(証 明 終)

  注 意   定 理1.2と

定 理1.3を

属 を 判 定 す る に は,Jの よ い,と

組 合 せ れ ば,解y1(x),y2(x)の1次

一 点 で ロ ン ス キ ー 行 列 式 が0に

独 立,従

な るか 否 か を調 べ れ ば

い う こ と が わ か る.

  斉 次 微 分 方 程 式 の 解 全 体 の な す 集 合(解 空 間)の 構 造 を 明 ら か し よ う.   定 理1.4  持 つ.(1.18)の

斉 次 微 分 方 程 式(1.18)は

二 つ の1次

独 立 な 解y1(x),y2(x)を

任 意 の 解y(x)は,y1(x),y2(x)の1次

結合

y(x)=c1y1(x)+c2y2(x) の 形 に 表 わ さ れ る.こ

 証明 

こ で,c1,c2は

定 数 で あ る.

な る 定 数 α,β,α′,β′ を と る.(1.18)の

y(x0)=α,y′(x0)=α′;y(x0)=β,y′(x0)=β

を 満 足 す る も の を,そ り,こ で

れ ぞ れy1(x),y2(x)と

れ ら は 確 か に 区 間Jで

存 在 す る.初

あ る か ら,y1(x),y2(x)はJで1次

  次 に,y(x)を(1.18)の

解 で初 期条 件

′

す る.存

在 定 理(定 理1.1)に

期 条件 の与 え方 に よって

 

独 立 で あ る.

任 意 の 解 と し,y(x0)=γ,y′(x0)=γ

′ と す る.連

よ

立1次

方程式 c1α+c2β=γ,c1α′+c2β′=γ′

の 解c1,c2を

求 め て,関

数 z(x)=y(x)−c1y1(x)−c2y2(x)

を 作 る.重

ね 合 わ せ の 原 理 に よ り,z(x)は(1.18)の

件z(x0)=0,z′(x0)=0を

満 た す.解

解 で あ り,か

の 一 意 性(定 理1.1)に

つ 初 期条

よ っ て,z(x)≡0,

即 ち y(x)=c1y1(x)+c2y2(x),x∈J が 得 ら れ る. 

(証 明終)

  重 ね 合 わ せ の 原 理 は,斉 C上

次 微 分 方 程 式(1.18)の

の ベ ク トル 空 間 を な す こ と を 意 味 す る が,定

の 次 元 が2に

等 し く,y1(x),y2(x)が

べ て い る.こ

の よ うなy1(x),y2(x)を,方

理1.4は,そ

素数 体

の ベ ク トル 空 間

そ の 基 底 を な す と い う著 し い 事 実 を 述 程 式(1.18)の

は 基 本 解 と 呼 ぶ.y1(x),y2(x)が(1.18)の

解 の 基 本 系,ま

た

解 の 基 本 系 な ら ば,

y=c1y1(x)+c2y2(x)  は(1.18)の

解 全 体 の 集 合 が,複

(c1,c2は

す べ て の 解 を 表 わ す.そ

の 意 味 で,こ

任 意 定 数) れ を 方 程 式(1.18)の

一般

解 と 名 付 け る.   例1 

定数 係 数 の微 分方程 式

 (1.21) 

L[y]=y″+ay′+by=0

を 考 え る.eλxの

形 の 解 を さ が す. L[eλx]=(λ2+aλ+b)eλx

で あ る か ら,λ

が

λ2+aλ+b=0を

満 た す な ら ば,eλxは(1.21)の

解 に な る.

λの 多 項 式 P(λ)=λ2+aλ+b を 方 程 式(1.21)の 相 異 な る 根 λ1,λ2を こ れ ら が1次 る.

特 性 多 項 式,P(λ)=0を

特 性 方 程 式 と 言 う.特

も つ と き は,eλ1x,eλ2xが(1.21)の

独 立 で あ る こ と は,ロ

性 方程 式が

解 の 基 本 系 を な す.

ン ス キ ー行 列 式 を 作 っ て み れ ば 容 易 に わ か

  特性 方 程 式が 重根 こ と に 注 意 す る.す

λ1=λ2を べ て のxと

持 つ と き は,ま

ず,P(λ1)=0,P′(λ1)=0な

る

λに 対 し て 成 立 つ 関 係 式 L[eλx]=P(λ)eλx

を λに 関 し て 偏 微 分 す る と

が 得 ら れ る.こ も に(1.21)の

こ で λ=λ1と 解 に な る.こ

特 性方 程 式 が重 根

お け ば,L[xeλ1x]=0,即 れ らが1次

λ1=λ2を

ち,xeλ1xは,eλ1xと

独 立 で あ る こ と も 見 や す い.こ

持 つ と き は,eλ1x,xeλ1xが(1.21)の

と

う し て,

解 の 基本 系

を な す こ と が わ か っ た.   と こ ろ で,(1.21)の

係 数 が 実 の 定 数 で あ る場 合 に は,実

が 問 題 に な る こ と が 多 い.こ λ2を 持 つ か,(ⅱ)実

の 場 合,特

の 重 根 λ1=λ2を

λ2=α −iβ を 持 つ か,の

性 方 程 式 は,(ⅰ)相

持 つか,(ⅲ)共

い ず れ か で あ るが,(ⅰ),(ⅱ)は

る 通 り で あ る か ら,(ⅲ)の

場 合 を 調 べ よ う.

  補 題1.2 

区 間Jで

p(x),q(x)は

な る複 素 数 値 関 数 が,微

数 値 を と る解 だ け 異 な る 実 根 λ1,

役 な虚根

λ1=α+iβ,

既 に 論 じ られ て い

連 続 な 実 数 値 関 数 とす る.y=u(x)+iυ(x)

分方 程 式 L[y]=y″+p(x)y′+q(x)y=0

の 解 な ら ば,実   証 明   Lは

数 値 関 数u(x),υ(x)は

い ず れ も 方 程 式L[y]=0の

解 で あ る.

線 型 で あ るか ら L[y]=L[u+iυ]=L[u]+iL[υ]=0,

従 っ て,L[u]=0,L[υ]=0で λ1=λ2=α+iβ

あ る. 

(証 明終)

な ら ば, eλ1x=eαx(cosβx+isinβx)

で あ る か ら,補 る 解 で あ り,1次 を な す.以

題1.2に

よ り,eαxcosβx,eαxsinβxは(1.21)の

独 立 で あ る こ と は 簡 単 に わ か る か ら,(1.21)の

上 を ま と め て:

実数 値 を と 解 の基 本系

  実 係 数 の 斉 次 微 分 方 程 式y″+ay′+by=0の 程 式 λ2+αλ+b=0の2根

が

  (ⅰ)  相 異 な る実 根 λ1,λ2な   (ⅱ)  実 の 重 根 λ1=λ2な   (ⅲ) 

共 役 な虚 根

で あ る.こ

実 数 値 を と る一 般 解 は,特 性 方

ら ば,y=c1eλ1x+c2eλ2x;

ら ば,y=(c1+c2x)eλ1x;

α±iβ な ら ば,y=eαx(c1cosβx+c2sinβx)

こ で,c1,c2は

実 の 任 意 定 数 で あ る.

  変 数 係 数 の 微 分 方 程 式(1.18)の

一 般 解 を 初 等 関 数 の 範 囲 で 求 め る こ と は,

一 般 に は 不 可 能 で あ る .し

殊 な 場 合 に は,適

か し,特

数 解 を 発 見 し 得 る こ と が あ る.代

当 な工夫 に よ って初等 関

表 例 と し て オ イ ラ ー の 微 分 方 程 式 を 挙 げ る.

 例2 

(a,b,x0は

定 数)

あ るい は  (1.22) 

(x−x0)2y″+a(x−x0)y′+by=0

の 形 の 方 程 式 を オ イ ラ ー の 微 分 方 程 式 と い う.点x0は,こ で あ る こ と に 注 意 す る.x>x0で 数 をxか

らtに

の方程 式 の特 異点

考 え る こ と と し,x−x0=etと

お い て 独立 変

変 換 す る.

で あ る か ら,(1.22)は

に な る.こ れ は 上 の 例 で 考 察 し た 定 数 係 数 の 方 程 式 で あ るか ら,そ の 特 性 方 程 式 λ2+(a−1)λ+b=0の 従 っ て(1.22)の

根 を 求 め る とい う代 数 的 な 手 続 き で 一 般 解 が 求 ま り,

一 般 解 が 決 定 さ れ る.方 程 式 λ2+(a−1)λ+b=0

を,(1.22)の

決 定 方 程 式 と呼 ぶ こ とが あ る.

  実 係 数 の オ イ ラ ー微 分 方 程 式 に 対 し て 結 果 を 述 べ る と,次 の よ うに な る. *  この関係を 

と覚え ると便利で あ る.

(x0=0と

し て 一 般 性 を 失 わ な い).

  x2y″+axy′+by=0の

実 数 値 を と る 一 般 解 は,決

  (ⅰ)  相 異 な る 実 根

λ1,λ2な

  (ⅱ)  実 の 重 根 λ1=λ2な

定 方 程 式 の2根

が

ら ば,y=c1xλ1+c2xλ2;

ら ば,y=(c1+c2logx)xλ1;

  (ⅲ)  共 役 な 虚 根 α ±iβ な ら ば,

で あ る.c1,c2は

任 意 の 実 の 定 数.

  オ イ ラ ー 方 程 式 の 解 は,x=0に で も な い.即

ち,方

程 式 の 特 異 点 に お い て,解

  一 般 の 斉 次 微 分 方 程 式(1.18)の1つ と き,こ

れ と1次

こ と を 示 そ う.実

お い て 一 般 に 連 続 で な く,ま

独 立 な 他 の 解 が,求

して微分 可 能

は 一 般 に 特 異 性 を 持 つ の で あ る.

の 解y1(x)が

何 か の方 法 で見つ か った

積 に よ っ て,y=υ(x)y1(x)の

形 で求 ま る

際, y′=υ(x)y1′(x)+υ′(x)y1(x), y″=υ(x)y1″(x)+2υ′(x)y1′(x)+υ″(x)y1(x)

を(1.18)に

代 入 す れば υ(y1″+py1′+qy1)+υ′(2y1′+py1)+υ″y1=0

と な る.y1(x)は(1.18)の

解 で あ る か ら,左

辺 第1項

は0に

な る.y1(x)が0

に な ら な い 任 意 の 区 間J′ ⊂Jで

とな るが,こ

れ は υ′ に 関 す る1階 線 型 微 分 方 程 式 で,次

(cは0で

の よ うに 解 け る:

な い 任 意 定 数).

ゆ えに (c′は 任 意 定 数). 第2の

解 は υ(x)にy1(x)を

掛 け て 得 ら れ る が,c′

か ら はc′y1(x)が

出 るだ け

で あ る か ら,c′

は 省 略 し て も よ い.従

っ て,y1(x)と1次

独 立 な 解y2(x)は

  (1.23)

に よ っ て 与 え ら れ る.   非 斉次 微 分 方程 式 の一般 解  (1.24) 

  非斉 次 微分方 程 式

L[y]=y″+p(x)y′+q(x)y=f(x) (p(x),q(x),f(x)は

区 間Jで

連 続)

の 解 全 体 の 集 合 は ど の よ う な 構 造 を 持 っ て い る で あ ろ う か?   yp(x)を

方 程 式(1.24)の

解 と す る.何

考 え る.y(x)を(1.24)の y(x)−yp(x)は

らか の 方 法 で 求 め る こ とが で き た と

任 意 の 解 と す れ ば,重

ね 合 わ せ の 原 理 に よ っ て,

斉次 方程 式 y″+p(x)y′+q(x)y=0

を 満 足 す る.そ

れ ゆ え,こ

の 斉 次 方 程 式 の 解 の 基 本 系 をy1(x),y2(x)と

すれ

ば, y(x)−yp(x)=c1y1(x)+c2y2(x) 即ち  (1.25)  が 成 立 つ.こ

y(x)=yp(x)+c1y1(x)+c2y2(x) こ で,c1,c2は

定 数 で あ る.つ

体 を 表 現 す る 式 に な る.こ

ま り,(1.25)式

の 意 味 で,(1.25)を

は(1.24)の

方 程 式(1.24)の

解全

一 般 解 と呼

ぶ.   そ れ で は,(1.24)の

解yp(x)は

ど の よ うに し て 求 め ら れ る で あ ろ うか?

斉 次 方 程 式 の 解 の 基 本 系y1(x),y2(x)を  (1.26) 

用 い て,yp(x)を

yp(x)=u1(x)y1(x)+u2(x)y2(x)

の 形 で さ が し て み る.微

分す ると

  yp′=(u1′y1+u2′y2)+(u1y1′+u2y2′) と な る.こ  (1.27) 

こ で,u1,u2が u1′y1+u2′y2=0

な る条 件 を 満 た す こ と を 要 求 す る と

yp′=u1y1′+u2y2′

と な る.も

う一 度 微 分 し て yp″=u1′y1′+u2′y2′+u1y1″+u2y2″.

yp,yp′,yp″

の 式 を(1.23)に

代 入す る と

u1L[y1]+u2L[y2]+u1′y1′+u2′y2′=f 即ち  (1.28) 

u1′y1′+u2′y2′=f

が 得 ら れ る.以

上 の 議 論 か ら,(1.27)と(1.28)を

を 定 め る こ と が で き れ ば,(1.26)が る.と

微 分 方 程 式(1.24)の

こ ろ で,(1.27),(1.28)はu1′,u2′

解 に な る こ とが わ か

に 関 す る 連 立1次

の 行 列 式 は ロ ン ス キ ー 行 列 式W[x;y1,y2]で ら な い か ら,u1′,u2′

満 足 す る 関 数u1(x),u2(x)

あ る.そ

方 程 式 で,係

れ はJで

決 し て0に

数 な

に つ い て 解 く こ と が で き る:

こ れ を 積 分 す れ ばu1(x),u2(x)が

を 採 用 す る こ と が で き る.こ

求 ま る の で あ る.例

え ば,x0∈Jと

して

の と き,(1.26)は

  (1.29)

と な る.こ

のyp(x)は,斉

次 初 期 条 件yp(x0)=yp′(x0)=0を

満 足 す る こ とに

注 意 す る.   斉 次 微 分 方 程 式 の 解 の 基 本 系 を 用 い て,上 一 つ(こ れ を 特 殊 解 と 呼 ぶ)を 見 つ け る こ と を   定 理1.5  y2(x)と

L[y]=f(x)の

す れ ば,L[y]=f(x)の

る.

,定

斉 次方 程式 の解 の

数 変 化 法 と 言 う.

特 殊 解 をyp(x),L[y]=0の

解 の 基 本 系 をy1(x),

す べ て の 解y(x)は,

y(x)=yp(x)+c1y1(x)+c2y2(x)  の 形 に 表 わ さ れ る.yp(x)と

述 の 方 法 で,非

し て(1.29)で

(c1,c2は

定 数)

定 義 さ れ る関 数 を と る こ とが で き

演 習 問 題1.2  1.  次 の 関 数 の ロ ンス キ ー 行 列 式 を 計 算 せ よ.  (a)  (c) 

  (b) 

ελx,xeλx.

 (d) 

eαxcosβx,eαxsinβx.

xαcos(βlogx),xαsin(βlogx) 

(x>0).

 2.  次 の 方 程 式 の 一 般 解 を 求 め よ.  (a) 

 (b) 

y″+y=tanx.

 (c)  (e) 

x2y″+xy′+y=x.

y″ −3y′+2y=sinxsin2x.

 (d) 

y″+2iy′+y=x.

 (f) 

x2y″

−2xy+2y+x−2x3=0.

 3.  次 の 初 期 値 問 題 を 解 け.  (a) 

y″ −y=f(x),y(0)=y′(0)=0.

 (b) 

y″+y′

 (c) 

x2y″+xy′+y=logx,y(1)=0,y′(1)=1.

 (d) 

[(x+1)2y′]′

−2y=ex,y(0)=1,y′(0)=0.

−y=f(x),y(0)=0,y′(0)=1.

  4.  次 の 微 分 方 程 式 の 一 つ の 解y1(x)を  (a) 

(1−x2)y″

知 って,1次

独 立 な 他 の 解y2(x)を

求 め よ.

 (b)

−2xy′+2y=0;y1=x.

 (c) 

(2x−x2)y″+(x2−2)y′+2(1−x)y=0;y1==ex.

 (d) 

(1−x2)y″

−xy′+9y=0;y1は3次

の 多 項 式.

  5.  u(x),υ(x),w(x)をy″+p(x)y′+q(x)y=0の

任 意 の 解 と す れ ば,

で あ る こ と を 示 せ.   6.  次 の 関 数 を 解 の 基 本 系 と して 持 つ2階  (a)   (c) 

  7.  y1(x)が

斉 次 線 型 微 分 方 程 式 を 求 め よ.

  (b) 

 (d) 

cos2x,sin2x.

ロ ン ス キ ー 行 列 式 の 関 係(1.19)を わ か っ て い る と き,1次

ex,x2ex.

tanx,cotx.

用 い て,y″+p(x)y′+q(x)y=0の

独 立 な 解y2(x)が(1.23)に

一 つ の解

よ って 定 め ら れ る こ とを

証 明 せ よ.   8.  y3(x)か

3階 の 微 分 方 程 式y″ ′+p(x)y″+q(x)y′+r(x)y=0の ら作 った 行 列 式

三 つ の 解y1(x),y2(x),

が 満 足 す る1階 の 微 分 方 程 式 を 求 め,そ

れ を 解 い てW(x)の

具 体 的 な形 を 求 め よ.

 9.  方程 式 の 解 で 初 期 条 件y(0)=1を (ヒ ン ト:y(x)に

満 足 す る も の を 求 め よ.

関 す る2階

の 微 分 方 程 式 を 導 く).

 1.3 級 数 に よ る 解 法 Ⅰ(正 則 点 の 場 合)  x0の近 傍 で 定 義 さ れ た 関 数f(x)が,x0を

中 心 とす る収 束 べ き 級 数

で収束

  (1.30) 

に 展 開 さ れ る と き,f(x)はx0で

解 析 的 と言 わ れ る.解 析 的 な 関 数 の著 しい 性

質 の 一 つ は,そ れ が 無 限 回微 分 可 能 で,導

関 数 は 級 数 を 項 別 に 微 分 す る こ とに

よ っ て 得 られ る とい う こ と で あ る.例 え ば,f(x)が(1.30)の

形 で表 わ され る

と き,

で,微

分 され た 級 数 は,い ず れ も,￨x−x0￨
収 束 す る.

  2階 斉 次 線 型 微 分 方 程 式 p0(x)y″+p1(x)y′+p2(x)y=0 を 考 え る.係 数 は す べ てx0で

解 析 的 で あ る と仮 定 す る.こ

で 解 析 的 に な るで あ ろ うか?係

の 方 程 式 の解 はx0

数 の 性 質 が 解 に 反 映 す る こ と は,常 識 的 に 予

想 さ れ るか ら,こ の よ うな 問 が 出 て く るの は 自然 で あ る.x0が の 場 合 に は,答

は 肯 定 的 で あ る.こ

の 節 で は,こ

方 程 式 の正 則点

の 事 実 を 確 か め よ う.x0が

特 異 点 の 場 合 は 次 の 節 で 論 じ る.   x0が 正 則 点 の と き,p0(x)で  (1.31) 

割 れ ば,微

y″+p(x)y′+q(x)y=0 

簡 単 の た め にx0=0と

す る.こ

分 方 程 式 は 正 規 型 に な る: (p(x),q(x)はx0で

解 析 的).

う し て も一 般 性 は 失 わ れ な い.係

数 の べ き級 数

展 開を

で収束

と す る.(1.31)が

解 析 的 な解

で収束

 (1.32) 

を 持 つ と仮 定 す る.項 別 微 分 が 許 さ れ て

が 得 られ る.y,y′,y″,p,qの

級 数 を(1.31)に

代入す ると

上 式 の左 辺 の 級 数 の積 に な っ て い る項 は,そ れ ぞ れ

と書 か れ るか ら,

が 得 ら れ る.従

っ て,(1.32)が(1.31)の

解 で あ る た め に は,係

数anが

関係

式

  (1.33)

を 満 足 し な け れ ば な ら な い.(1.33)は

い わ ゆ る 漸 化 式 で,n=0,1,2,…

とお い

て ゆ く こ とに よ っ て,anは a2=−(p0a1+q0a0)/2, 

a3=−(2p0a2+p1a1+q0a1+q1a0)/6,….

一 般 に

と い う具 合 に,順

次 決 ま っ て ゆ く.た

許 さ れ る こ と に 注 意 す る.a0とa1の

だ し,a0とa1は 値 を 決 め れ ば,漸

任 意 の値 を とる こ とが 化 式(1.33)に

よって

す べ て のan(n≧2)が

一 意 的 に 決 ま る の で あ る.a0,a1を

定 め る に は,例

え ば,

初 期 条件 y(0)=α,y′(0)=α を 与 え れ ば よ い,こ

の と き,a0=α,a1=α

  と に か く,a0,a1を (1.32)が な ら ば,そ

′ ′ と な る.

任 意 に 選 べ ば,(1.33)か

得 ら れ る.そ

し て,作

り方 か ら,も

実 際 に￨x￨
意 味 で,(1.32)を(1.31)の

形 式 解 と呼 ぶ.

式 解(1.32)が￨x￨
定 ま り,級

し(1.32)が￨x￨
れ が 定 め る 関 数 は 確 か に 微 分 方 程 式(1.31)の

在 ま で の 段 階 で は,(1.32)が

  次 に,形

らan(n≧2)が

収束 す る

解 に な る.し

か し現

収 束 す る か 否 か 分 ら な い.こ

収 束 す る こ と を 証 明 す る.二

(a)

数

の

つ の級 数

(b)

が あ っ て,係 数 の 間 に

な る 関 係 が あ る と き,(b)を(a)の

と書 き表 わ す.こ (a)も(少

の 場 合,も

く と も)￨x￨
  形 式 解(1.32)が

優 級 数 と 言 い,

し(b)が￨x￨
収 束 す るな らば,明

らか に

収 束 す る.

収 束 す る こ とを 示 す た め に は,(1.32)に

対 し て,収

束す

る優 級 数 が 存 在 す る こ と を 言 え ば よ い.   0<ρ
る 任 意 の ρ を と る. 

ら,pmρm→0,qmρm→0(m→

∞)で,従

はいずれ も収束す るか っ て

  (1.34)

と な る 定 数Mが   (1.35)

と れ る.(1.33),(1.34)か

ら

が 得 ら れ る.A0=￨a0￨,A1=￨a1￨と

お き,An(n≧2)を

漸化式

 (1.36)

に よ っ て 定 め る.こ

の よ う に し て 定 ま っ たAnが ￨ an￨≦An,An≧0 

(n=0,1,2,…)

を 満 た す こ と は,(1.33),(1.35),(1.36)を

組 合 せ れ ば 容 易 に わ か る.つ

ま

り,

と な る.(1.36)か

ら,十

分 大 き いnに

対 し て,

が 得 られ る.こ れ を 用 い る と

ゆ えに

n→ ∞

とす れ ば,こ

束 す る.ρ て,形

の 比 は1/ρ に 近 づ く か ら,優

は0<ρ
式 解(1.32)は￨x￨
る 任 意 の 数 だ か ら,級 収 束 す る.こ

級数

 は￨x￨<ρ

数 は￨x￨
方 程 式(1.31)の

真 の 解 に な る こ と が 立 証 さ れ た.

  こ の よ うに,収

束 す る 優 級 数 を 作 る こ と に よ っ て,形

収 束 す る.従 式 解(1.32)が

で収 っ 微分

式解 の収 束 を証 明す る

方 法 は,き

わ め て 有 効 で,し

  (1.32)に

お い て,特

し た も の をy2(x)と

ば し ば 利 用 さ れ る.こ

にa0=1,a1=0と

書 け ば,こ

れ を 優 級 数 の 方 法 と 呼 ぶ.

し た も の をy1(x),a0=0,a1=1と

れ ら は い ず れ も(1.31)の

解 で,初

期 条件

y1(0)=1,y1′(0)=0;y2(0)=0,y2′(0)=1 を 満 た す か ら,ロ な い.よ

ン ス キ ー 行 列 式W[x;y1,y2]は￨x￨
っ て,y1(x),y2(x)は(1.31)の

決 し て0に

解 の 基 本 系 を な し,そ

の任 意 の解

はy1(x),y2(x)の1次

結 合 で 表 わ さ れ る.

  定 理1.1に

期 値 問 題 の 解 の 一 意 性 が 保 証 さ れ て い る か ら,解

よ っ て,初

係 数 を も つ 微 分 方 程 式(1.31)の

初 期 値 問 題 の 解 は,べ

(解 析 的 な)も の 唯 一 つ で あ る こ と が わ か る.以

な ら

析的

き 級 数 で 表 わ され る

上 の 結 果 を ま と め る と,次

の定

理 が 得 ら れ る.   定 理1.6 

斉 次線 型微分 方 程式 y″+p(x)y′+q(x)y=0

に お い て,係

数p(x),q(x)は,￨x−x0￨
も の と す る.こ

の と き,方

程 式 の 解y(x)は

収 束 す るべ き 級 数 に 展 開 さ れ る す べ て,￨x−x0￨
収 束 す るべ

き 級 数 に 展 開 さ れ る:  (1.37)

た だ し,a0=y(x0),a1=y′(x0)で,an(n≧2)は(1.37)を す る こ と に よ り,a0,a1を

微分 方程 式 に 代 入

用 い て 一 意 的 に 定 め ら れ る.

  例   ル ジ ャ ン ドル の 微 分 方 程 式  (1.38)  を 考 え る.こ

(1−x2)y″

−2xy′+α(α+1)y=0 

(α は 定 数)

れ を正 規型

に 直 し た と き,

は,い

ず れ も￨x￨<1で

収 束 す るべ き 級 数 に 展 開 され る(x=0で

解 析 的):

従 っ て,定

理1.6に

さ れ る.解

を

と お く.こ

れ を(1.38)に

と な る.[

]内

  (1.39) 

よ り,(1.38)の

解 は,￨x￨<1で

代 入 す ると

の 式 を 整 頓 す る と,anの

満 た す べ き漸 化 式 は

(n+2)(n+1)an+2+(α+n+1)(α

と な る.(1.39)に

収 束 す るべ き級 数 で 表 わ

お い て,n=0,1,2,…

−n)an=0  とお け ば

一般 に

が 得 ら れ る.a0,a1は

任 意 で よ い.従 y=a0y1(x)+a1y2(x) 

っ て,一

の 形 に 表 わ さ れ る.こ

 (1.40)

こ で,

般解は (￨x￨<1)

(n=0,1,2,…)

  (1.41)

で あ る.y1(x),y2(x)は(1.38)の   α が0ま

解 の 基 本 系 を な す.

た は 正 の 偶 数2nな

次 の 多 項 式 に な る.例

ら ば,y1(x)はxの

え ば,α=0,2,4の

偶 数 べ き の 項 だ け を 含 む2n

と き,y1(x)は

それ ぞれ

1,1−3x2,

と な る.こ

の 場 合,y2(x)は

y2(x)はxの 1,3,5の

と な る.こ

無 限 級 数 で あ る.α

奇 数 べ き の 項 だ け を 含 む2n+1次 と き,y2(x)は

の 多 項 式 に な る.例

(1−x2)y″

ジ ャ ン ドル 方 程 式 −2xy′+n(n+1)y=0

の 多 項 式 解 が 応 用 上 重 要 で あ る.こ を 満 足 す る も の を,ル

の 方 程 式 の 多 項 式 解Pn(x)でPn(1)=1

ジ ャ ン ドル 多 項 式 と 言 う.ル

に 対 し て 唯 一 つ 存 在 す る こ と は,次   関 数   u(x)=(x2−1)nを

ジ ャ ン ドル 多 項 式 が,各n

の よ うに し て 示 さ れ る.

微 分 す れ ば, (x2−1)u′ −2nxu=0

れ を さ ら にn+1回

微 分 す れ ば,

(x2−1)u(n+2)+2x(n+1)u(n+1)+(n+1)nu(n)−2nxu(n+1)−2n(n+1)u(n)=0, 即 ち (1−x2)u(n+2)−2xu(n+1)+n(n+1)u(n)=0 が 得 ら れ る.こ

が(1.42)を

え ば,α=

無 限 級 数 で あ る.

等 し い 場 合,ル

 (1.42) 

が 得 ら れ る.こ

ら ば,

それ ぞれ

の 場 合,y1(x)は

  α が 非 負整 数nに

が 正 の 奇数2n+1な

れ は,関

数

満 足 す る こ と を 示 し て い る.

を 因 数 と して 持 つ 項 か ら,υ(1)=n!2n.従

っ て,

 (1.43)

は,n次

の ル ジ ャ ン ドル 多 項 式 に な る.こ

を 示 す.φ(x)を(1.42)の

の よ う な 多 項 式 がPn(x)に

を(1.40),(1.41)の

多 項 式 解 と す る.nを

偶 数 と し よ う.y1(x),y2(x)

解 と す れ ば,φ(x)は

 (1.44) 

φ(x)=c1y1(x)+c2y2(x)

と 表 わ さ れ る.c1,c2は

適 当 な 定 数 で あ る.y1(x)は

で な い か ら,(1.44),即

ち,φ(x)−

c1y1(x)=c2y2(x)が c2=0で

限 る こと

φ(x)=c1y1(x).特

に,(1.43)で

義 さ れ るPn(x)に

対 し,Pn(x)=

な る 定数cが

1=Pn(1)=cy1(1)で nが

多項式

成 立 つ た め に は,

な け れ ば な ら な い.よ

cy1(x)と

多 項 式,y2(x)は

っ て, 定

存 在 す る. あ る か ら, 

奇 数 の場 合 に も 同 様 な 結

果 が 成 立 つ(y1をy2で ば よ い).以

お きか え れ

上 の こ と か ら,ル

ジャ

ン ドル 方 程 式 の 多 項 式 解 がx=1で 0に な る な ら ば,そ (1.42)の

図1.1 

れ は 恒 等 的 に0に

多 項 式 解 で,Qn(1)=1を

な る こ と が わ か っ た.さ

多 項 式 解 で,Pn(1)−Qn(1)=0を

Pn(x)≡Qn(x)と

な る.よ

存 在 す る.

て,Qn(x)を

満 た す も の と す れ ば,Pn(x)−Qn(x)は,

や は り(1.42)の

っ て,ル

ル ジ ャ ン ドル 多 項 式

満 た す.上

ジ ャ ン ドル 多 項 式 は 各nに

述 の こ と か ら, 対 し て,唯

一つ

ル ジ ャ ン ドル 多 項 式 の は じ め の 方 を 少 し 書 い て お く. P0(x)=1,P1(x)=x

演 習 問 題1.3   1.  次 の 微 分 方 程 式 の べ き 級 数 解 を 求 め よ.  (a)

 (b)

 (c)

 (d)

  2.  級 数 

は,微 分方程 式

と  (1−x2)y″

−5xy′

−4y=0

の解 で あ る こ と を 証 明 せ よ.  3.  微 分 方 程 式 

の 解 の 基 本 系 は,

で あ る こ と を証 明せ よ.  4.  チ ェ ビ シ ェ フの 微 分 方 程 式(1−x2)y″   (a) 

￨x￨<1に

  (b) 

αが 非 負 の整 数 α=nな

  (c) 

n=0,1,2,3に

  (d)  x=costと

お け る 解 の 基 本 系 を,べ

−xy′+α2y=0を

き級 数 の 形 で 求 め よ.

ら ば,n次

の 多 項 式 解 が 存 在 す る こ とを 示 せ.

対 す る 多 項 式 解 を 求 め よ. お け ば,求

積 に よ っ て 解 が 求 ま る こ とを 確 か め よ.

  5.  エ ル ミー トの 微 分 方 程 式y″ −2xy′+2αy=0を   (a) 

− ∞<x<∞

  (b) 

α が 非 負 の整 数 α=nな

ら ば,n次

の 多 項 式 解 が 存 在 す る こ と を 示 せ.

は,α=nな

あ る こ と を 示 せ.Hn(x)をn次

((c) 

考 え る.

に お け る 解 の 基 本 系 を べ き級 数 の形 で 求 め よ.

 (c) 

  (d) 

考 え る.

エ ル ミ ー ト多 項 式 と 言 う.

H0(x),H1(x),H2(x),H3(x)を の ヒ ン ト:u=e−x2の

る エ ル ミー ト微 分 方 程 式 の 多 項 式 解 で

求 め よ.

満 た す 関 係u′+2xu=0をn回

Hn+1(x)−2xHn(x)+2nHn−1(x)=0 

微 分 し て, (n≧1)

ま た,Hn(x)を

微 分 して Hn′(x)−2xHn(x)+Hn+1(x)=0 

を 導 び き,こ

(n≧0)

れ ら を 用 い よ).

  6.  (Ax2+B)y″+Cxy′+Dy=0(A,B,C,Dは

定 数)が,n次

た め の 必 要 十 分 条 件 は,An2+(C−A)n+D=0で

の多項 式解 を持つ

あ る こ と を 証 明 せ よ.(上

に は,こ

の

方 程 式 の 特 殊 な 場 合 に な る も の が い くつ か あ る こ と に 注 意 せ よ).   7.  ル ジ ャ ン ドル 方 程 式 の 解 の 基 本 系 を 表 わ す 級 数(1.33),(1.34)の

収 束 半 径 は1

で あ る こ と を 証 明 せ よ.   8.  (a)   (b) 

Pn(−x)=(−1)nPn(x)を Pn(x)のxnの

示 せ.

で あ る こ とを 示 せ.

係 数 は 

 9*

を 示 せ.

.  (a) 

を示 せ.

 (b) 

  1.4 

級 数 に よ る 解 法 Ⅱ(確

定 特 異 点 の 場 合)

 微 分方 程 式  (1.45) 

p0(x)y″+p1(x)y′+p2(x)y=0

に お い て,係

数p0(x),p1(x),p2(x)はx0で

が(1.45)の

特 異 点(p0(x0)=0)な

に は 適 用 で き な く な る.例

解 析 的 と 仮 定 す る.こ ら ば,前

え ば,§1.2の

例2で

節 の べ き 級 数 に よ る 解 法 は,一

般

考 察 した オ イ ラーの微 分方 程式

x2y″+axy′+by=0  の 解 は,決

の 点x0

(a,bは

定 数)

定 方程 式 λ2+(a−1)λ+b=0

が,相

異 な る 根 λ1,λ2を 持 つ な ら ば, c1xλ1+c2xλ2

の 形 で あ り,重

根

λ1=λ2を

持 つ な ら ば, (c1+c2logx)xλ1

の 形 で あ る.一

般 に,こ

こ と は で き な い.こ

れ ら の 関 数 を,x=0を

中 心 とす るべ き 級 数 に 展 開 す る

の よ う に 方 程 式 の 特 異 性 は 解 に 遺 伝 す る の が 普 通 で あ る.

  特 異 点 と 一 口 に 言 っ て も,そ

の 特 異 性(意 地 悪 さ)の 程 度 は 様 々 で あ っ て,一

般 的 な 取 扱 い は 非 常 に 難 か し い.そ

の 中 で 最 も 単 純 な の は,オ

特 異 点 と 同 等 な 特 異 性 を 持 つ 特 異 点 で,確   微 分 方 程 式(1.45)が,点x0の  (1.46) 

イ ラー方程 式 の

定 特 異 点 と 呼 ば れ る も の で あ る.

近 傍 で,

(x−x0)2y″+p(x)(x−x0)y′+q(x)y=0 (p(x),q(x)はx0で

の 形 に 書 か れ る と き,点x0を(1.45)の p(x)が

因数x−x0を,q(x)が

解 析 的)

確 定 特 異 点 と 言 う.(1.46)に

因 数(x−x0)2を

含 む 場 合 に は,x0は

お い て, 見 かけ 上

の 特 異 点 で 実 は 正 則 点 に な っ て い る こ と に 注 意 す る.  例1 

(a) 

x=0は,x2y″+xy′+(x2−

α2)y=0の

 

(b) 

x=±1は(1−x2)y″

 

(c) 

x=0は,x4y″−(2x−1)y=0の

確 定 特 異 点.

−2xy+α(α+1)y=0の

確 定 特 異 点.

特 異 点 で あ る が,確

定 特 異点

で は な い.  あ る 問 題 で は,微 こ と が あ る.そ 換 し,得

分 方 程 式 を￨x￨が

の と き に は, 

ら れ た 方 程 式 をt=0の

十 分 大 きい 所 で 考 察 しな け れ ば な らな い

とお い て,方 程 式 をtに 関 す る方 程 式 に 変 近 く で 研 究 す る の が 自 然 な 扱 い 方 で あ ろ う.

方 程 式が  (1.47) 

y″+P(x)y′+Q(x)y=0 

の 形 で 与 え られ た とす る. 

(￨x￨>r0)

とお け ば

で あ るか ら,微 分 方 程 式 は

即ち  (1.48)

に 変 換 さ れ る.こ

れ は(1.46)の

形 で あ る.t=0が(1.48)の

確 定 特 異点 で あ

る と き,x=∞

は(1.47)の

手 続 き で(1.47)の る.従

確 定 特 異 点 で あ る と 言 う こ と に す る.こ

確 定 特 異 点x=∞

っ て,(1.46)の

は(1.48)の

確 定 特 異 点t=0に

の よ うな うつ

型 の有 限 な確 定 特 異点 につ い て 議 論 を してお け ば 十 分

で あ る.   確 定 特 異 点 の 近 傍 に お け る解 の 性 質 を 調 べ る た め に 有 効 な の は,こ べ る フ ロ ベ ニ ウ ス の 方 法 で あ る.   確 定 特 異 点 はx0=0で  (1.49) 

あ る と 仮 定 し て一 般 性 を 失 わ な い: x2y″+xp(x)y′+q(x)y=0.

p(x),q(x)はx=0で

解 析 的: (￨x￨
とす る.解

が

 (1.50)

の 形 を 持 ち, 

は￨x￨
を 方 程 式(1.49)に

代 入 す れ ば,

収 束 す る と 仮 定 す る.

 (1.51)

が 得 ら れ る.左 辺 の 級 数 の積 の 項 が,そ

と書 け る こ とに 注 意 す れ ば,(1.51)は

れ ぞ れ,

収 束)

れ か ら述

と な る.従

っ て,級

数 が す べ て0に

数(1.50)が

方 程 式(1.49)を

な ら な け れ ば な ら な い.即

  (1.52) 

満 た す た め に は,xn+ρ

の係

ち,

ρ(ρ−1)+p0ρ+q0=0,

  (1.53) 

[(ρ+n)(ρ+n−1)+(ρ+n)p0+q0]an

が 満 足 さ れ な け れ ば な ら な い.   (1.52)を

方 程 式(1.49)の

あ る と き,(1.52)は

と もに 定 数 で

以 前 定 義 し た オ イ ラ ー 方 程 式 の 決 定 方 程 式 と一 致 す る.

決 定 方 程 式 の2根

を ρ1,ρ2と す る.場

ρ1=ρ2,(ⅲ)ρ1−   (ⅰ) 

決 定 方 程 式 と 言 う.p(x),q(x)が

ρ2が0で

ρ1− ρ2が

合 を(ⅰ)ρ1−

な い 整 数 で あ る,の

ρ2が 整 数 で な い,(ⅱ)

三 つ に 分 け て,別

々 に 考 察 す る.

整 数 で な い 場 合 I(ρ)=ρ(ρ

  (1.54) 

−1)+ρ0ρ+q0,

Jm,n(ρ)=(ρ+m)pn−m+qn−m

と お け ば,(1.51)は

  (1.55)

と 書 か れ る.あ

る ρに 対 し て, 

か ら,a1(ρ),a2(ρ),a3(ρ),… る.そ

の 際a0(ρ)は

をa0(ρ)を

任 意 で よ い.と

I(ρ1+n),I(ρ2+n)(n≧1)の ρ1,ρ2に 対 し て,漸

n=1,2,3,…,な

化 式(1.55)

次 定 め て ゆ く こ とが で き

こ ろ で, 

い ず れ も0に

化 式(1.55)を

用 い て,逐

ら ば,漸

整数

と い う仮 定 は,

な ら な い こ と を 意 味 す る か ら,ρ=

満 た すan(ρ)が

定 ま り,微 分 方 程 式(1.49)

の 形 式解

  (1.56)

で 収 束 す る こ とを 示 そ う.

が 得 られ る.   0<σ
る任 意 の σ を と る.す

が 成 立 つ よ う な 定 数Mを

べ て のmに

と る.(1.54)か

ら

対 し て,

  (1.57)

が,す

べ て のm,nに

対 し て 成 立 つ.(1.55)と(1.57)を

組 合 せ れ ば,

  (1.58)

を 導 き 出 す こ と が で き る.  (1.59) 

bn(ρ)=￨an(ρ)￨σn

と お く と,(1.58)は

と な る.さ

ら に, Bn(ρ)=(￨ρ￨+n+1)￨bn(ρ)￨

と お く.Bn(ρ)は

を 満 た す.   さ て,Cn(ρ)を

次 の 方 式 で 定 め る:

  (1.60)

帰納法に より Bn(ρ)≦Cn(ρ)  と な る こ と は 容 易 に わ か る.つ

(n=1,2,3,…)

ま り,

  (1.61)

な る 関 係 が 成 立 つ.(1.60)か

ら

即ち

が 得 ら れ る.こ

の 式 は,n→

∞ の と き,Cn+1(ρ)/Cn(ρ)→1で

あ る こ と を 示 す.

は￨x￨<1で

従 っ て,  <1で

収 束 す る.(1.59)に

す る.σ

はrよ

収 束 し,(1.61)に

注 目 す れ ば,問

よ り, 

題 の 

も￨x￨

は￨x￨<σ

で収 束

は 結 局￨x￨
り小 さ い 任 意 の 正 数 で あ る か ら, 

収 束 す る こ とに な る.   こ うし て,我

は,0<x
々 の形 式 解

収 束 し,微

分 方 程 式(1.49)の

こ こ で,a0(ρ1)=a0(ρ2)=1と 0<x
真 の 解 に な る こ と が 証 明 さ れ た.

す る こ と が で き る.y(x;ρ1)とy(x;ρ2)が,

独 立 で あ る こ と は 明 ら か で あ る か ら,(1.49)の

一 般 解 は,1次

結合 c1y(x;ρ1)+c2y(x;ρ2) の 形 で 表 わ さ れ る.   (ⅱ)  ρ1=ρ2の か ら,も

場 合 

上 の 手 続 き で 得 ら れ る 解 は,y(x;ρ1)唯

一つ で あ る

う一 つ の 解 を 見 出 す 方 法 を 考 案 し な け れ ば な ら な い.

  ρ1の 十 分 小 さ い 近 傍 で

Δ={￨ρ− ρ1￨<δ}を

あ る か ら,a0(ρ)=1と

が 定 め ら れ る.(ⅰ)の

お け ば,漸

と る.ρ

∈Δ に 対 し て  

化 式(1.55)に

方 法 に よ っ て, 

し て一 様 に 収 束 す る こ とが 確 か め ら れ る.an(ρ)の

よ っ てan(ρ)(n≧1)

が,￨x￨
∈Δ に 関

定 め 方 か ら,関 数

  (1.62)

は,次

の関 係 式 を 満 た す

こ の 両 辺 を ρに 関 し て 微 分 す る.xに 換 す れ ば,

関 す る微 分 と ρに 関 す る微 分 の順 序 を 交

 (1.63)

が 得 ら れ る.こ

こ で,ρ → ρ1と す れ ば,

  (1.64)

が,方

程 式(1.49)の

解 に な る こ と が わ か る.新

しい 解

 (1.65)

は,対

数 項 と べ き 級 数 のxρ1+1倍

y2(x)がy(x;ρ1)の 独 立 で,(1.49)の

と い う 項 の 和 に な っ て い る こ と に 注 意 す る.

定 数 倍 に 等 し く な い こ と は 明 ら か だ か ら,こ 解 の 基 本 系 を な す.(xに

序 が 交 換 可 能 で あ る こ と,y(x;ρ)が 密 に 証 明 す べ き で あ る が,こ   (ⅲ) 

ρ1=ρ2+κ(κ

て は,a0(ρ1)=1と

が 構 成 で き る.し

れ ら は1次

関 す る微 分 と ρ に 関 す る 微 分 の 順

ρ に 関 し て 項 別 に 微 分 で き る こ と,は

厳

こ で は 割 愛 し た.)

は 正 の 整 数)の

場合 

こ の 場 合 に も,ρ=ρ1に

対 し

お く こ と に よ り,解

か し,y(x;ρ2)は

作 れ な い.実

際,

a1(ρ2),a2(ρ2),…,ak−1(ρ2) は,a0(ρ2)か

ら 一 意 的 に 定 ま る が,I(ρ2+k)=0で

を 満 た す よ うにak(ρ2)を

あ る か ら,

決 め る こ と は で き な い か ら で あ る.

  ρ は ρ2の 十 分 小 さ い 近 傍 内 に あ る と し, a0(ρ)=ρ− と お く.す

る と,漸

化 式(1.55)か

ρ2

ら,an(ρ)(n≧1)が

一 意 的 に 定 ま る.何

と

な れ ば,

に お い て, I(ρ+k)=(ρ− で,右

辺 のam(ρ)(m=0,1,…,k−1)も

で 割 る こ と が で き,ak(ρ)が

ρ2)(ρ+k− ρ2) 因 数 ρ−ρ2を 含 ん で い る か ら,ρ− ρ2

決 ま る か ら で あ る.こ

のan(ρ)を

係 数 とす る関 数

(1.62)y(x;ρ)は

を 満 足 す る.両

辺 を ρ で 微 分 し て,ρ → ρ2と す れ ば,(ⅱ)の

が,(1.49)の

第2の

  a0(ρ)=ρ−

場 合 と 同 様 に,

解 に な る こ と が 示 さ れ る.

ρ2で あ る か ら,a0(ρ2)=a1(ρ2)=…=ak−1(ρ2)=0.従

 は,xk+ρ2=xρ1の な る.こ

れ が,解y(x;ρ1)の

れ る.こ

う し て,y(x;ρ1)と1次

項 か ら 始 ま り,べ

っ て,級

き 級 数 にxρ1を

あ る 定 数 倍 と 一 致 す る こ と は,容

数

掛 け た形に

易に 確 か め ら

独 立 な解

  (1.66)

が 得 ら れ た.cは (1.66)の

定 数 で,c=0と

右 辺 の 級 数 はxρ2の

な る場 合 も あ る.a0′(ρ)≡1で 項 か ら 始 ま り,恒

等 的 に0に

あ る か ら,

な る こ と は な い.

今 ま で の 結 果 を ま と め る.   定 理1.7 

微分 方程 式 x2y″+p(x)xy′+4(x)y=0

に お い て,p(x),q(x)は,￨x￨
収 束 す る べ き 級 数 に 展 開 さ れ る と す る.決

定方 程 式 ρ(ρ−1)+p(0)ρ+q(0)=0

の 根 を ρ1,ρ2と

す る.こ

の と き,微

分 方 程 式 は,0<x
お い て,次

の形

の 解 の 基 本 系 を 持 つ:  (ⅰ) ρ1−ρ2が 整 数 で な い 場 合

 (ⅱ)  ρ1=ρ2の

場 合

 (ⅲ) ρ1−ρ2=k(正

の 整 数)の

場合

係 数an(ρ1),an(ρ2),bn(ρ1),cn(ρ2),お の 形 に 書 き,そ は0に

それ ぞ れ 級 数

れ を 微 分 方 程 式 に 代 入 す る こ とに よ っ て も 定 め ら れ る.定c

な る こ と も あ る.上

 例2 

よ び 定 数cは,解yを

に 現 わ れ る べ き 級 数 は す べ て,￨x￨
収 束 す る.

ガ ウス の 超 幾 何 微 分 方 程 式

 (1.67) 

x(1−x)y″+[γ

を 考 え る.α,β,γ

−(α+β+1)x]y′

− αβy=0

は 定 数 で γ は 整 数 で な い と 仮 定 す る.x=0,1は

確 定 特 異 点 で あ る.x=0の

近 傍 で 解 を 求 め て み よ う.(1.65)を(1.47)の

ど ち ら も, 形

に 書 け ば,

で あ る か ら,決

定 方程 式 は ρ(ρ−1)+γ ρ=0,即

と な る.そ

の2根

は ρ1=0,ρ2=1−

ち  ρ(ρ+γ−1)=0 γ で,仮

定 に よ り,ρ1− ρ2は 整 数 で は な い.

従 っ て,定  ρ1=0に

理4.1の

場 合(ⅰ)が

適 用 さ れ る.

対 応 す る 解 を 求 め る た め に,

と お き,y′,y″

を 作 っ て,(1.67)に

代 入 す る と,anに

関 す る漸 化 式 が 次 の よ

う に 得 ら れ る: (n+1)nan+1−n(n−1)an+γ(n+1)an+1−(α+β+1)nan−

α βan=0

即 ち (n+1)(γ+n)an+1−(α+n)(β+n)an=0. に 注 意 す れ ば,an+1は

と い う き れ い な 式 で 表 わ さ れ る こ と が わ か る.従 y1(x)と

っ て,(1.67)の

一 つ の解

して

  (1.68)

が 得 ら れ た.F(α,β,γ;x)を よ うに,￨x￨<1で  第2の

易にわ か る

収 束 す る.

れ を(1.67)に か し,次

代 入 し て,上

の よ うに す れ ば,も

と 同 様 に 係 数bnを っ と 簡 単 に 第2の

y=x1− と お く.

の 級 数 は,容

解 を 求 め る た め に は,

と お き,こ よ い.し

超 幾 何 級 数 と 言 う.こ

γz

順 次決 め て ゆ け ば

解 が 求 め ら れ る.

を(1.67)に

代 入 して

即ち

が 得 ら れ る.こ

れ は,(1.67)で,α,β,γ

を そ れ ぞ れ α+1−

で お き か え た 超 幾 何 微 分 方 程 式 で あ る.こ β+1−r,2−

γ;x)で

γ,β+1−

γ,2− γ

の 方 程 式 の べ き 級 数 解 はF(α+1−

あ る か ら,(1.67)の

第2の

解は

で 与 え られ る.

演 習 問 題1.4  1. 次 の 方 程 式 の 確 定 特 異 点 を 見 出 し,決

定 方 程 式 と そ の 根 を 求 め よ.

 (a) 

xy″+2xy′+6exy=0. 

(b) 

xy″+2y′+xy=0.

 (c) 

x(x−1)y″+6x2y′+3y=0. 

(d) 

x2y″+3(sinx)y′

 (e) 

(x+1)2y″+3(x2−1)y′+3y=0. 

−2y=0.

(f) (h)

 (g) 

  2.  次 の 方 程 式 はx=0を

確 定 特 異 点 と して 持 つ こ とを 示 し,解 の 基 本 系 を 求 め よ.

 (a) 

2xy″+y′+xy=0. 

(b)

 (c) 

x2y″+3xy′+(1+x)y=0. 

(d) 

x2y″+xy′+2xy=0.

 (e) 

x2y″+2xy′+xy=0. 

(f) 

x2y″+4xy′+(2+x)y=0.

 3. (a) 

x=−1,1は

ル ジ ャ ン ドル 微 分 方 程 式 (1−x2)y″

−2xy′+α(α+1)y=0

の 確 定 特 異 点 で あ る こ と を 示 せ.   (b) 

x=1に

対 す る 決 定 方 程 式 を 求 め よ.

  (c) 

ル ジ ャ ン ドル 微 分 方 程 式 の

γ,

の 形 の 解 を 求 め よ.そ

の級 数 の 収 束 域 を 求 め よ.

 4. ラ ゲ ー ル の微 分 方 程 式 xy″+(1−x)y′+αy=0 を 考 え る.   (a)  x=0は  

こ の 方 程 式 の 確 定 特 異 点 で あ る こ とを 示 せ.

(b)  決 定 方 程 式 とそ の 根 を 求 め よ. の 形 の 解 を 求 め よ.

 (c) 

 (d)  α=n(非

負 の 整 数)な

ら ば,n次

の 多 項 式 解 が 存 在 す る こ とを 示 せ.

 (e)

で 定 義 され る 多 項 式 は,α=nの (こ の 多 項 式 をn次  

と き の ラ ゲ ー ル 微 分 方 程 式 の 解 に な る こ とを 証 明 せ よ.

の ラ ゲ ー ル 多 項 式 と言 う).

(f)  L0(x),L1(x),L2(x)を

求 め よ.

 5.  次 の 関 係 式 を 証 明 せ よ.  (a) 

(1+x)n=F(−n,β,β;−x). 

(b)

 (c) 

log(1+x)=xF(1,1,2;−x). 

(d)

  6.  (a) 

φ(x)が

ル ジ ャ ン ド ル の 方 程 式(1−x2)y″

−2xy′+α(α+1)y=0の

ら ば,ψ(t)=φ(2t−1)は(t−t2)y+(1−2t)y+α(α+1)y=0(y=dy/dt)の

解な 解 であ るこ

と を 示 せ.   (b)  ψ(t)の 満 た す 方 程 式 は 超 幾 何 微 分 方 程 式 の 一 つ で あ る こ と を 示 せ.  7 .  (a)x=∞ がy″+P(x)y′+Q(x)y=0の 確 定 特 異 点 で あ る た め に,P(x), Q(x)が

満 た す べ き 条 件 を 求 め よ.

  (b) 

x=∞

は べ ッ セ ル 方 程 式x2y″+xy′+(x2−

 8. ル ジ ャ ン ドル 方 程 式(1−x2)y″

α2)y=0の

−2xy′+α(α+1)y=0に

確 定 特 異 点 か? つ い て 次 の 問 に 答

え

よ.  

(a) 

x=∞

は 確 定 特 異 点 で あ る こ と を 示 せ.

 

(b) 

x=∞

に お け る 決 定 方 程 式,そ

 (c) 

α=1の

と き,￨x￨が

の 根 を 求 め よ.

の形 を持 つ解 の基本系 を求

大 な る 所 で 

め よ.

 9 .  nを  (a) 

負 で な い 整 数 と し,x2y″+2xy−n(n+1)y=0を x=∞

 (b) ￨x￨が

考 え る.

は 確 定 特 異 点 で あ る こ と を 示 せ.

大 な る所 で 

の形 を持 つ解 の基 本系を 求め よ.

  1.5 

ベ ッセ ル 微 分 方 程 式

 応 用 上 非 常 に 重 要 な,ベ  (1.69)  に,前

ッセ ル 微 分 方 程 式

x2y″+xy′+(x2−

α2)y=0 

節 の 理 論 を 適 用 し て み よ う.簡

  x=0が(1.69)の

単 の た め に,x>0で

の 根 は ρ1=α,ρ2=−

− α2=0,即

α で あ る.定

ち,ρ2− α2=0 理1.7に

よ っ て,

  (1.70)

の 形 の 解 を 持 つ.(1.69)に

代 入 す れ ば,

が 得 られ る.従 っ て a1=0,  (1.71) 

[(α+n)2−

α2]an+an−2=0 

が 成 立 た な け れ ば な ら な い.

で あ る か ら,a1=0に

よ り, a1=a3=a5=…=0

と な る.一

で,一

般に

方,

考 え る こ と に す る.

確 定 特 異 点 で あ る こ と は 明 ら か で あ る.決 ρ(ρ−1)+ρ

で,そ

(α ≧0)

(n=2,3,…)

定 方 程 式 は,

と な る.ガ

ンマ 関 数

を 用 い て,a0を

と お き,ガ

ン マ 関 数 の 性 質Γ(s+1)=sΓ(s)を

と 表 わ さ れ る こ と が わ か る.こ

のa2nを

用 い る と,a2nは

使 う と,(1.70)は

  (1.72)

と な り,こ

れ が ベ ッ セ ル 方 程 式(1.69)の

次 ベ ッ セ ル 関 数 と 呼 ぶ.特

  さ て,ρ1− (ⅰ)に

ρ2=2α

一 つ の 解 に な る.こ

れ を 第1種

のa

に,

で あ る か ら,も

し,2α

が 整 数 で な け れ ば,定

理1.7の

よ り,

の 形 の解 が 存 在 す る こ とが わ か る.ρ1=α

に 対 し て行 な っ た 計 算 は,ρ2=−

に 対 し て も そ の ま ま 成 立 つ こ とに 注 意 す れ ば,2α

が,(1.69)の

第2の

解 に な る.Jα(x)とJ−

α

が 整数 で な い場 合

α(x)が1次

独 立 で あ る こ と は,

明 ら か で あ ろ う.   と こ ろ で,Γ(1−

α+n)は,α

え,こ

ρ2=2α

の 場 合,ρ1−

が 正 の 整 数 で な け れ ば,意

が 正 の 整 数 で あ っ て も,J−

味 を 持 つ.そ

α(x)は

存 在 す る.即

れゆ ち,

に 対 し て も,Jα(x)と1次

独 立 な 解J− α(x)が 存 在 す る.決 定 方 程 式 の 根 の 差

が 整 数 で も,対 数 項 が 現 わ れ な い こ とが あ る の で あ る.   α が0ま

た は 正 の 整 数 に 等 し い 場 合 を 考 え よ う.こ の 場 合,も

程 式 の2根

の 差 は整 数 で あ る.Jα(x)と1次

が 問 題 に な る.そ の た め に,定

ち ろん決 定 方

独 立 な も う一 つ の 解 を 求 め る こ と

理1.7(ⅰ),(ⅱ)の

証 明 の過程 を忠実 にた ど っ

て み る.

と お く.係

数 は(1.53)に

相 当 す る漸 化 式 a1(ρ)=0,

 (1.73) (ρ+n+α)(ρ+n−

α)an(ρ)+an−2(ρ)=0, 

n=2,3,4,…

か ら 定 め る.   α=0の

場 合.a0(ρ)=1と

お け ば,(1.73)か

ら

a2n−1(ρ)=0, a2n(ρ)=(−1)n[(ρ+2)(ρ+4)…(ρ+2n)]−2,  が 得 ら れ る.ρ

ρ→0と

で微 分 し て

すれば

従 っ て,(1.63)に

相 当 す る解 は

  (1.74)

と な る.こ

こで

と お い た.(1.74)を

第2種

の0次

ベ ッ セ ル 関 数 と 呼 ぶ.

n=1,2,3,…

次 に

α=m(正

の 整 数)の

場 合.(1.73)か

ら

a2n−1(ρ)=0,

が 得 ら れ る が,こ

こ で ρ→−mと

そ れ を 消 す た め にa0(ρ)に,因

す る と き に 分 母 が0に 数 ρ+nを

含 ま せ て,

a0(ρ)=(2m+ρ−m)(2m−2+ρ−m)…(2+ρ−m) =(ρ+m)(ρ+m−2)…(ρ+2−m) と お く.0≦n<mの

とき

  (1.75)

これ を ρで 微 分 す れ ばa2n′(ρ)は

の 形 を 持 つ.ゆ

え に ρ→−mと

  (1.76)

と な る.n=mの

とき

  (1.77)

で あ る.ρ →−mと

すれ ば

  (1.78)

が 得 ら れ る.n>mの

 (1.79)

とき

すれば

な る 可 能 性 が あ る の で,

で あ る.ゆ

えに

こ こ で ρ→−mと

すれば

  (1.80)

が 得 ら れ る.以

上 の(1.75)−(1.80)を

用 い る と,(1.56)に

相 当 す る解 と し て

  (1.81)

が 得 ら れ る.(こ ρ→−mと

れ は(1.66)そ

し て 得 ら れ る値 を 用 い る と,(1.66)に

に 等 し い こ と に 注 意 し て,右 第2種

の も の で は な い.(1.75),(1.77),(1.79)で

のm次

  注 意1 

お け る定 数cの

値 は(−1)m

辺 か ら こ の 因 数 を 除 い た も の で あ る.)(1.81)を

ベ ッ セ ル 関 数 と 呼 ぶ. 定 理1.7の

結 論 に よ れ ば,Jα(x)と1次

独 立 な 第2の

解 は,α=0

の と き,

  (1.82)

α=m(正

の 整 数)の

と き,

  (1.83)

の 形 を 持 つ こ と が わ か っ て い る.(1.82)ま 分 方 程 式 に 代 入 し,cnま cnま

た はcn,cを

た はcn,cの

た は(1.83)を

対 応 す る ベ ッセ ル 微

満 足 す る漸 化 式 を 作 り,そ

決 め る と い う 手 続 き に よ っ て も,(1.74)ま

れ を基 に し て

た は(1.81)が

得 ら れ る.   注 意2 

α が 整 数 の 場 合,第1種

ベ ッ セ ル 関 数 と 第2種

ベ ッ セ ル 関 数 は,

図1.2 

0次 ベ ッセ ル 関 数

図1.3  1/2

次,

−1/2次 ベ ッセ ル 関 数

ベ ッセ ル 微 分 方 程 式 の 解 の 基 本 系 を な し,そ れ ら の1次 結 合 に よ っ て す べ て の 解 が 得 られ る.い ろ い ろ な 理 由 か ら,Jα(x)と1次 や(1.81)そ

独 立 な 解 と し て,(1.74)

の も の で は な く,例 え ば

オ イ ラ ー定 数) の よ うな 関 数 を選 び,こ れ ら を 第2種 れ に せ よ,第2種

の ベ ッセ ル 関 数 と呼 ぶ こ とが 多 い.い

の ベ ッ セ ル 関 数 はx=0で

有 界 で な く,特 異 性 を表 わ す 解 で

あ る. 演 習 問 題1.5   1. 

(x>0)と

お け ば.ベ

x2y″+xy′+(x2−

ッセル微分 方程 式

α2)y=0

は,

に 変 換 され る こ とを 示 し,こ の こ とか ら,

ず

が 得 ら れ る こ と を 導 け.   2.  パ ラ メ タ ー λ を 含 む ベ ッ セ ル 微 分 方 程 式 x2y″+xy′+(λ2x2− の 一 般 解 を 求 め よ.(ヒ

ン トt=λxと

α2)y=0

お け.)

  3.  ベ ッ セ ル 微 分 方 程 式

の 解 の 基 本 系 を 級 数 の 形 で 求 め よ.   4. 

sが0ま

正 整 数)と

た は 負 の 整 数 の と き,1/Γ(s)=0と

お け ば,J−n(x)が

定 義 す る.(1.72)で

α=−n(nは

定 義 され J−n(x)=(−1)nJn(x)

が 成 立 つ こ と を 示 せ.   5. 

x2y″+xy′

−(x2+α2)y=0 

を 変 形 ベ ッ セ ル 微 分 方 程 式 と言 う.こ

(α ≧0)

の 方 程 式 の,確

定 特 異 点x=0に

対 す る解 の 基 本

系 を 求 め よ.

α=1/2 の と き,変 形 ベ ッセ ル 微 分 方 程 式 の 解 は,初

  6. 

等 関 数 で表 わ され る こ と を確

か め よ.   (ヒ ン ト:問   7. 

題5を

解 く か,ま

た は,変

換  

φ(x)を 用 い て, 

(φ1,φ2は

題1参

照)

の 解 は ベ ッセ ル 微 分 方 程 式(1.69)の

(a) 

 (b) 

を 行 な え.問

で与 えられ る ことを示せ.

エ ア リ ィ微 分 方 程 式y″−xy=0の ベ ッセ ル 方 程 式 

解 は, 

の 解 の 基 本 系)で

あ る こ とを 示 せ.

 8.  ベ ッセ ル 関 数 に 関 す る 次 の 公 式 を 証 明せ よ.

(a)

 (b)

(c)

 (d)

  9*.  ベ ッ セ ル 微 分 方 程 式x2y″+xy′+x2y=0の

の 形 を 持 つ も の を,方

程 式 に 代 入 しcnを

解 で

決 め る こ と に よ っ て 求 め,そ

れ が(1.74)と

一 致 す る こ とを 確 か め よ.   10*. 

ベ ッ セ ル 微 分 方 程 式x2y″+xy′+(x2−m2)y=0(mは

正 整 数)の

解 で

解

の形 を 持 つ もの を,方

程 式 に 代 入 しcn,cを

と一 致 す る こ とを 確 か め よ.

決 め る こ と に よ っ て 求 め ,そ れ が(1.81)

2.  境 界 値 問題 と固有 値 問題  2.1  境 界 値 問題  第1章 では,2階 し た.§1.1で そ れ は,微  (2.1)  の 解 で,区

線型常微分方程式を,主 として初期値問題 の立場か ら考察

触 れ た よ うに,境

界 値 問 題 と呼 ば れ る 重 要 な 問 題 が 一 方 に あ る.

分方 程 式 p0(x)y″+p1(x)y′+p2(x)y=p3(x) 

(a<x
間 の 端 点 に お い て あ ら か じめ 指 定 され た 条件

  (2.2)

を 満 足 す る もの を 求 め よ と い う問 題 で あ る.α,α ′,γな どは 与 え られ た 定 数 で, α=α ′=0,β=β

′=0と な る こ とは な い と す る.(2.2)は

区 間 の 両 端 で 条 件 が 指 定 さ れ て い る とい う意 味 で,こ

境 界 条 件 と 呼 ば れ る.

の種 の 問 題 を,二 点 境 界

値 問 題 と呼 ぶ こ とが あ る.   境 界 値 問 題 は,偏 微 分 方 程 式,積

分 方 程 式,変

分 学 な ど と深 い 係 わ りを 持 つ,

理 論 的 に も応 用 上 も重 要 な 問 題 で あ る.本 章 と次 章 で は こ の 境 界 値 問 題 とそ れ に 関 連 す る事 柄 に つ い て 詳 述 す る.い ろ い ろ な 意 味 で,初 期 値 問 題 とは 事 情 が 異 な る こ とに 注 意 して い た だ き た い.   以 下,特

に 断 わ らな け れ ば,与

え られ た 関 数 も,未 知 関 数 も,諸 定 数 も,す

べ て 実 数 の 範 囲 で 考 え る こ とに し よ う.区 間J=[a,b]で 可 能 か つ 正,p1(x),p2(x),p3(x)は

を掛け

と お け ば,(2.1)は

次 の 形 に 書 け る:

,p0(x)は

連 続 と仮 定 す る.方 程 式(2.1)に

連続微分

  (2.3)

p(x)は

連 続 微 分 可 能 か つ 正,q(x),f(x)は

連 続 で あ る.(2.3)を

自己随 伴形

の 微 分 方 程 式,左 辺 の微 分 作 用 素

  (2.4)

を 自 己 随 伴 な 微 分 作 用 素 と 言 う.今

後,一

般 論 で は,微

分 方 程 式 は 自己 随 伴 に

な っ て い る も の とす る.   例1 

(a) 

ル ジ ャ ン ドル 微 分 方 程 式(1−x2)y″

−2xy′+α(α+1)y=0の

自己 随 伴 形 は [(1−x2)y′]′+α(α+1)y=0  

(b) 

ベ ッ セ ル 微 分 方 程 式x2y″+xy′+(x2−

α2)y=0を

自己 随 伴 形

に直 せば

  次 の 補 題 は 簡 単 で あ るが,非   補 題2.1 

常 に 有 用 で あ る.

Lを 自己 随 伴 作 用 素(2.4)と

な 任 意 の 関 数y(x),z(x)に

す る と,区 間Jで2回

連 続微 分 可能

対 して

  (2.5)

  (2.6)

が 成 立 つ.   (2.5)を

ラ グ ラ ン ジ ュ の 等 式,(2.6)を

グ リ ー ン の 公 式 と 呼 ぶ.証

し て よ い で あ ろ う.   境 界 値 問 題(2.3)−(2.2)に  (2.7)

  (2.8)

付 随 す る 斉 次 境 界 値 問 題 と は,

明は 省略

の こ とで あ る.定 理1.1に

よれ ば,斉

L[y]=0,  の 解 は,恒 等 的 に0で

次 な初期 値 問題 y(x0)=y′(x0)=0

あ る も の(零 解)y(x)≡0に

限 ら れ る.し か し斉 次 境 界

値 問 題 は(必 ず 零 解 を 持 つ が)零 で な い 解    例2

  (a) 

y(x)=cx(cは

を 持 つ こ とが あ る.

任 意 定 数)は

y″=0(0<x<1),y(0)=0,y(1)−y′(1)=0の  (b)  y=csinx(cは

解.

任 意 定 数)は

y″+y=0(0<x<π),y(0)=0,y(π)=0の

解.

 (c)

 の解は

  y(0)=0,

零解のみ   付 随 す る 斉 次 境 界 値 問 題 が,零

で な い 解 を 持 つ か 否 か は,次

の よ う な 形 で,

初 め の 境 界 値 問 題 が 解 け る か 否 か に 重 大 な 影 響 を 与 え る.   定 理2.1 

斉 次 境 界 値 問 題(2.7)−(2.8)の

題(2.3)−(2.2)は,任 (2.8)が

意 のf(x),γ,δ

  証 明   (2.7)の 理1.5に

の と き,解

れ が 境 界 条 件(2.2)を

特 殊 解 をyp(x)と

すれ

一 般解 は

y=c1y1(x)+c2y2(x)+yp(x)  で あ る.こ

が適 当 な条

は 無 数 に 存 在 す る.

解 の 基 本 系 をy1(x),y2(x),(2.3)の よ り,(2.3)の

界値 問

に 対 し て 一 意 的 な 解 を 持 つ.(2.7)−

零 で な い 解 を 持 つ な ら ば,(2.3)−(2.2)は,f(x),γ,δ

件 を 満 た す 場 合 に 限 っ て 解 を 持 つ.そ

ば,定

解 が 零 解 の み な ら ば,境

(c1,c2は

定 数)

満 た す た め に は,

Ba[y]=c1Ba[y1]+c2Ba[y2]+Ba[yp]=γ,   (2.9) Bb[y]=c1Bb[y1]+c2Bb[y2]+Bb[yp]=δ

で な け れ ば な ら な い.こ 式は

で あ る.

れ は,c1,c2に

関 す る連 立1次

方 程 式 で,係 数 の行 列

  (2.7)−(2.8)の =Bb[y]=0を

解 が 零 解 の み と し よ う.こ 満 た す な ら ばc1=c2=0,を

れ は,y=c1y1+c2y2がBa[y]

意 味 す る か ら,斉

次 連 立1次

方程式

c1Ba[y1]+c2Ba[y2]=0,   (2.10)

c1Bb[y1]+c2Bb[y2]=0

の 解 はc1=c2=0に に 対 し て,一 を 持 つ.解 −(2 .8)の

限 る.従

意 的 な 解c1,c2を

δ−Bb[yp]が

こ の と き,(2.9)は

持 つ.つ

の 一 意 性 を 見 る に は,二

ま り,境

任 意 の γ,δ,yp(x)

界 値 問 題(2.3)−(2.2)は

つ の 解 の 差 を 作 り,そ

解

れ が 斉 次 問 題(2.7)

解 に な る こ と を 確 か め れ ば よ い.

  次 に,(2.7)−(2.8)が c1=c2=0以

って  

零 で な い 解 を 持 つ と し よ う.こ

外 の 解 を 持 つ か ら,D=0.(2.9)が

の と き,(2.10)は

解 を 持 つ た め に は,γ −Ba[yp],

何 か 適 当 な 条 件 を 満 た さ な け れ ば な ら な い,つ

が 制 約 を 受 け な け れ ば な ら な い.こ

の 場 合,(2.9)の

ま り,f(x),γ,δ

解c1,c2の

組 は無 数 に あ

る. 

(証 明 終)

演

習

問

題2.1

 1.  次 の 微 分 方 程 式 を 自 己 随 伴 形 に 直 せ.  (a)   (c)   (e) 

x2y″+xy′+y=0 (1−x2)y″

. (b)  −xy′+α2y=0. 

xy″+(1−x)y′+αy=0. 

xy″+2y′

−xy=0.

(d) 

y″ −2xy′+αy=0.

(f) 

x(1−x)y″+[γ

−(α+β+1)x]y′

− α βy=0.

 2.  次 の 境 界 値 問 題 を 解 け.  (a) 

y″+y=sinx,y(0)=0

  (b) 

y″+y=x,y′(0)=2,

 (c) 

y″+y=cosx,y(0)=0,y(π)=0.

 (d) 

y″+y=x2,y′(0)=1,y′(π)=−2.

  3.  y1(x),y2(x)が

,

自 己 随 伴 微 分 方 程 式[p(x)y′]′+q(x)y=0の

p(x)[y1(x)y2′(x)−y1′(x)y2(x)]は   4.  y(x),z(x)が を

定 数 で あ る こ と を 証 明 せ よ.

斉 次 境 界 条 件 αy(a)+α 満 た す2回

解 な ら ば,

′y′(a)=0,βy(b)+β

連 続 微分可 能 な関数 な らば

′y′(b)=0 

が 成 立 つ こ と を 証 明 せ よ.   5.  L[y]=[p(x)y′]′+q(x)y,Ba[y]=αy(a)+α′y′(a),Bb[y]=βy(b)+β′y′(b)と お く.  

境 界 値 問 題:L[y]=f(x),Ba[y]=Bb[y]=0の

 

境 界 値 問 題:L[y]=0,Ba[y]=γ,Bb[y]=δ

 

境 界 値 問 題:L[y]=f(x),Ba[y]=γ,Bb[y]=δ

  6.  φ(x)を[a,b]で2回 数 と す る.y(x)が

解 を φ1(x), の 解 を φ2(x)と す れ ば,φ1(x)+φ2(x)は の 解 で あ る こ と を 証 明 せ よ.

連 続 微 分 か つ 境 界 条 件Ba[φ]=γ,Bb[φ]=δ

を満 た す 関

境界 値問題 L[y]=f(x),Ba[y]=γ,Bb[y]=δ

の 解 な ら ば,z(x)=y(x)− L[y]=f(x) 

φ(x)は

境 界値 問題

(f(x)=f(x)−L[φ]),Ba[y]=Bb[y]=0

の 解 で あ る こ と を 証 明 せ よ.(こ

の 手 続 き に よ っ て,一

般 の 境 界 値 問 題 は,斉

次 な境界

条 件 を 持 つ 境 界 値 問 題 に 帰 着 さ れ る.)

 2.2 グ リー ン 関 数  次 の境 界値 問題 を考 え る. (2.11) 

L[y]=[p(x)y′]′+q(x)y=−f(x) 

(a<x
Ba[y]=αy(a)+α′y′(a)=0,

(2.12) Bb[y]=βy(b)+β′y′(b)=0.

関 数p(x)は[a,b]で

連 続 微 分 可 能 か つ 正,q(x),f(x)は[a,b]で

数 α,α′,β,β′は  

連 続,定

を 満 た し て い る と仮 定 す る.こ の

境界 値 問 題 の解 を積 分

(2.13) の 形 で 表 わ す こ と を 試 み る.G(x,ξ)はa≦x,ξ 対 して  

≦bで 連 続,か

で2回 連 続 微 分 可 能 な あ る関 数 とす る.(2.13)を

と書 いて微分す る と

つ 任 意 の ξに

G(x,ξ)は

連 続 だ か ら,

 従 っ て

も う一 度 微 分 す る.

y,y′,y″

の 式 を(2.11)に

ま た,(2.12)に

が 得 ら れ る.以

代 入 す る と,

代 入 す る と,

上 の こ とか ら,(2.13)が

求 め る解 で あ るた め の 十 分 条 件 と し

て 下 記 の 条 件 が 得 ら れ る. (a)  G(x,ξ)はa≦x,ξ で2回

(2.14) (b)

連 続 微 分 可 能;

≦bで 連 続,か

つ 任 意 の ξに 対 し て  

(c) 

任 意 の ξ に 対 し て,G(x,ξ)は

 

で 微 分 方 程 式(2.11)を

満 た す:

(d) 

任 意 の ξ に 対 し て,G(x,ξ)は

境 界 条 件(2.12)を

満 た す:

αG(a,ξ)+α′Gx′(a,ξ)=0,βG(b,ξ)+β′Gx′(b,ξ)=0. こ の 条 件 を 満 足 す る 関 数G(x,ξ)を,境

界 値 問 題(2.11)−(2.12)の

グ リー ン

関 数 と 呼 ぶ.  (2.14)の

条 件(b)は,容

易 に わ か る よ うに,

(b′)

と 同 値 で あ る.(b′)の   で は,グ

形 で 利 用 さ れ る こ と も 多 い.

リー ン 関 数 は 存 在 す る で あ ろ うか?容

(2.11)−(2.12)に

易 に 推 察 さ れ る よ うに,

付 随 す る斉 次 境 界 値 問 題

(2.15) 

L[y]=0,

(2.16) 

Ba[y]=0,Bb[y]=0

の 解 が 零 解 だ け で あ る 場 合 に は,グ

リ ー ン 関 数 が あ る.

 初 期 値 問 題

の 解 を,そ る こ と は,定

L[y]=0;y(a)=α′,y′(a)=−

α;

L[y]=0;y(b)=β′,y′(b)=−

β

れ ぞ れU(x),V(x)と 理1.1か

(2.17)

従 属 な ら ば,初

存在 す

零 解 で は な い.も 期 条 件 の 与 え 方 か ら,両

満 足 す る 斉 次 方 程 式(2.15)の

っ て,(2.15)−(2.16)の は[a,b]で1次

区 間[a,b]で

ら 明 ら か で あ る.U(x),V(x)は

U(x)とV(x)が[a,b]で1次 も 境 界 条 件(2.16)を

す る.U(x),V(x)が

し 者 と

解(零 で な い 解)に な る.従

解 が 零 解 に 限 る と い う仮 定 の 下 で は,U(x)とV(x)

独 立 に な る.ロ

ンスキ ー行列 式  

を使 って

と お く.分

母p(ξ)W[ξ;U,V]は0で

問 題2.1,3参

照).こ

のG(x,ξ)が(2.14)の

は 容 易 に 検 証 さ れ る.つ ー ン 関 数 に な る .以   定 理2.2 

条 件(a)−(d)を

ま り,G(x,ξ)は

満 足す るこ と

境 界 値 問 題(2.11)−(2.12)の

グ リ

上 を ま と め て 次 の 定 理 を 得 る.

付 随 す る 斉 次 境 界 値 問 題 の 解 が 零 解 に 限 る な ら ば,境

(2.11)−(2.12)の (2.12)の

な い 定 数 で あ る こ と に 注 意 す る(演 習

グ リ ー ン 関 数G(x,ξ)が

存 在 す る.こ

界値 問 題

の と き,(2.11)−

解 は 一意 的 で

に よ っ て 与 え られ る.   例1  境 界 値 問 題 y″=−f(x), y(0)=0, 

を 考 え る.付

y(1)=0

随 す る 斉 次 境 界 値 問 題 は 零 解 だ け し か 持 た な い.y″=0の

y(0)=0,y′(0)=1を

満 た す も の はU(x)=x,y(1)=0,y′(1)=1を

の はV(x)=x−1で

あ る.W[x;U,V]=−1だ

か ら,グ

解 で, 満 たす も

リー ン関 数 は

(2.18) で,解

は

で 与 え ら れ る.   一 般 の境界 値 問題 L[y]=−f(x), Ba[y]=γ,Bb[y]=δ の(一 意 的 な)解 も グ リ ー ン 関 数 に よ っ て 表 現 さ れ る.   そ れ に は,グ

リ ー ン 関 数G(x,ξ)か

ら 得 られ る関 数

G(x,a),G(x,b),Gξ′(x,a),Gξ′(x,b) が,い

ず れ も 斉 次 方 程 式L[y]=0の

解 で,そ

れ ぞ れ 次 の よ うな 境 界 条 件 を 満

足 す る こ とに 注 意 す れ ば よい:

例 え ば,α

α′=0の =0の

′,β′が と も に0で

場 合 に は,上

な い 場 合 に は,解

 を

式の

場合には,

は 次 式 で 与 え れ ら れ る:

 で お き か え,β

 で お きか え れ ば よい.

′

 を

 例2  境界値 問題

の 解 は グ リ ー ン 関 数(2.18)お

よび そ の 導 関 数

Gξ ′(x,0)=1−x,Gξ

′(x,1)=−x

を 用 い て,

で 与 え ら れ る.特

にf(x)≡1な

ら ば, 

  グ リ ー ン 関 数 の 定 め 方(2.17)か

ら,す

と な る.

べ て のx,ξ

に対 して

G(x,ξ)=G(ξ,x) が 成 立 つ.こ

れ を グ リ ー ン 関 数 の 対 称 性 と 言 う.終

の 条 件(2.14)(a)−(d)か

りに 対 称 性 は グ リ ー ン 関 数

ら 導 びき 出 さ れ る 性 質 で あ る こ と を 示 し て お く.

  定 理2.3 

(2.14)の

条 件(a)−(d)を

満 足 す る 関 数G(x,ξ)は

対 称 性 を持

つ.

  証 明   ξ<η

と して u=G(x,ξ),υ=G(x,η)

と お く.ラ

グ ラ ン ジ ュの 等 式

から

が 得 られ る.こ れ をaか

らbま で 積 分 す る と

が 得 ら れ る.Gx′(x,ξ),Gx′(x,η)は,そ と,x=ξ,x=η

で は(2.14)の(b′)を

れぞ れ  

で連 続 で あ る こ

満 た す こ とに 注 意 す れ ば,上

の関 係式

か ら −G(ξ ,η)+G(η,ξ)=0 が 出 る.ξ,η

は 任 意 だ か らGは

対 称 性 を 持 つ. 

演 習 問 題2.2   1.  グ リー ン関 数 を 求 め て,次

の境 界 値 問 題 を 解 け.

(証 明 終)

 (a)   (b)   (c) 

y″=−f(x),y(−1)=y(1)=0. y″=−f(x),y(0)=y′(1)=0. y″=−f(x),y(0)=0,y(1)+hy′(1)=0(h>0は

定 数).

 (d)  (e) 

y″+4y=−f(x),y(0)=y′(π)=0.

 (f) 

y″−y=−f(x),y(0)=y(1)=0.

 (g) 

y″−y=−f(x),y′(0)=y′(1)=0.

 (h) 

[(1+x)2y′]′−y=−f(x),y(0)=y(1)=0.

2.3  広 義 の グ リ ー ン 関 数  次 に,非 斉 次 境 界 値 問 題 に 付 随 す る斉 次 境 界値 問 題  (2.19) 

L[y]=[p(x)y′]′+q(x)y=0, Ba[y]=αy(a)+α′y′(a)=0,

 (2.20)

Bb[y]=βy(b)+β′y′(b)=0 が 零 で な い 解y0(x)を  (2.21)  の(2.20)を

持 つ 場 合 を 考 え よ う.y(x)を

方程 式

L[y]=−f(x) 満 た す 解 と し,y0(x)を(2.21)の

両 辺 に 掛 け てaか

らbま

で積 分

す る.

グ リー ン の 公 式 か ら

ゆえに  (2.22)

従 っ て,非 f(x)が

斉 次 境 界 値 問 題(2.21)−(2.20)が

関 係 式(2.22)を

とy0(x)は

区 間[a,b]に

解 を 持 つ た め に は,非

満 足 し な け れ ば な ら な い.(2.22)が お い て 直 交 す る と言 う.つ

解 け る た め に は,f(x)が(2.19)−(2.20)の

斉次 項

成 立 つ と き,f(x)

ま り,(2.21)−(2.20)が

零 で な い 解y0(x)と

直交 す る こ と

が必要で ある.   この条件が十分でもあることを見てゆ こう.斉

次境界値問題 の解  

を   (2.23)

な る ご と く 正 規 化(規 格 化)し   補 題2.2 

て お く.

任 意 の ξ(a≦ ξ≦b)に

 (2.24) 

対 し て,微

分方 程 式

L[y]=y0(x)y0(ξ)

の解  

で,境

  証 明   解y(x)が

界 条 件(2.20)を

満 足 す る も の は 存 在 し な い.

あ る と 仮 定 す る.(2.24)にy0(x)を

掛 け てaか

らbま

で積

分 す る:

グ リー ン の 公 式 か ら

 こ れ は(2.23)に

従 って   y0(x)と1次

独 立 な(2.19)の

反 し て 不 合 理. 

解 をy1(x),(2.24)の

特 殊 解 をw(x,ξ)と

て

  (2.25)

と お く.ξ

  (2.26)

の 関 数c0,c1,d0,d1は

次 の 関 係 を 満 た す よ う に 選 ぶ:

 (a) 

Ba[w]+c1Ba[y1]=0,

 (b) 

Bb[w]+d1Bb[y1]=0,

  (c) 

(c0−d0)y0(ξ)+(c1−d1)y1(ξ)=0,

 (d)

 (e)

(証 明 終) し

y0,y1が1次 c1,c2が

独 立 だ か ら,  定 ま る.こ

従 っ て,(a),(b)か

れ はG(x,ξ)が

(c)はG(x,ξ)がx=ξ

境 界 条 件(2

.20)を

ら

満 た す こ と を 意 味 す る.

で 連 続 に な る こ と を 要 求 し て い る.こ

れ でc0とd0

の 関 係 が 得 ら れ る.(d)は

  (2.27)

に ほ か な ら な い が.こ れ る も の で あ る.実

れ は(a),(b),(c)と(2.23)か 際,

y0L[G]−GL[y0]=y02(x)y0(ξ)=d/dx

をaか

ら必 然 的 に 導 び き 出 さ

[p(Gx′y0−y0′G)] 

( 

)

らbま で 積 分 す れ ば

が 得 ら れ る.(2.23)お

よ び(a),(b),(c)考

慮 す る と上 式 は

y0(ξ)=p(ξ)[Gx′(ξ−0,ξ)y0(ξ)−G(ξ−0,ξ)y0′(ξ)] −p(ξ)[G

x′(ξ+0,ξ)y0(ξ)−G(ξ+0,ξ)y0′(ξ)]

=p(ξ)y0(ξ)[Gx′(ξ−0 と な り,従

っ て(2.27)が

成 立 つ.以

を 満 た す も の と,Bb[y]=0を て も,1階 て い る.こ

解 で,Ba[y]=0

よ う な 不 連 続 性 を 持 つ,と

い う こ とを 示 し

内 容 と き れ い に 合 致 す る.y1(x)をp(x)W[x;y0,

y1]=p(x)[y0(x)y1′(x)−y0′(x)y1(x)]≡1と (d)か

上 の 議 論 は,(2.24)の

満 た す も の と を 連 続 に な る よ うに つ な ぎ 合 わ せ

導 関 数 は 必 ず(2.27)の れ は 補 題2.2の

,ξ)−Gx′(ξ+0,ξ)]

な る よ うに 選 ん で お け ば(c)と

ら c0−d0=y1(ξ),c1−d1=−y0(ξ)

が 得 ら れ る.c0=d0+y1,d1=c1+y0を(e)に

代 入す る と

  (2.28)

こ れ か らd0が,従 る.実

際

っ てc0が

決 定 さ れ る.(e)はG(x,ξ)の

対称 性 を保証 す

u=G(x,ξ),υ=G(x,η) 

(ξ<η)

と お け ば, L[u]=y0(x)y0(ξ),L[υ]=y0(x)y0(η) で あ る か ら,条

件(e)に

よ っ て

が 得 られ る.こ れ か らG(ξ,η)=G(η,ξ)を く 同 様 で あ る.G(x,ξ)の   こ の 関 数G(x,ξ)を

導 く計 算 は,定

理2.3の

場 合 と全

対 称 性 が 言 え た.

用 い る と,付 随 す る斉 次 境 界 値 問 題 が 零 で な い 解 を 持 つ

場 合 で も,非 斉 次 境 界 値 問 題 の 解 の積 分 表 示 が 得 られ る の で あ る.   定 理2.4 

斉 次 境 界 値 問 題(2.19)−(2.20)が

定 す る.y0(x)を

つ 関 数G(x,ξ)が

零 で な い 解y0(x)を

 し て お く.そ

正規化

の と き,次

持 つ と仮 の 性 質 を持

存 在 す る:

 (a)  G(x,ξ)はa≦x,ξ で2回

≦bで 連 続,か

つ 任 意 の ξに対 し て  

連 続 微 分 可 能;

 (b)  (c) 

任 意 の ξに 対 し て,G(x,ξ)は

 

で 微 分 方 程 式(2.24)を

満 た す:

  (2.29)

L[G]=y0(x)y0(ξ);  (d) 

任 意 の ξ に 対 し て,G(x,ξ)は

境 界 条 件(2.20)を

満 た す:

Ba[G]=0,Bb[G]=0;

 (e)  任 意 の ξに 対 し て,

も しf(x)とy0(x)が[a,b]で

 (2.30)

直交 す る

 関数

は,境

界 値 問 題(2.21)−(2.20) L[y]=−f(x),Ba[y]=0,Bb[y]=0

の 解 に な る.(2.21)−(2.20)の  (2.31) 

解 は 一意 的で は ないが

y(x)=yp(x)+cy0(x) 

(cは

任 意 定 数)

の 形 に 表 わ さ れ る.   証 明   G(x,ξ)の §2.2の

存 在 は 既 に 確 認 し た.(2.29)のyp(x)を

初 め で 行 な っ た 計 算 と全 く 同 様 に して

を 得 る.境

界 条 件(2.20)も

明 ら か に 満 た さ れ る.

  y(x)を(2.21)−(2.20)の

任 意 の 解 と す れ ば,z(x)=y(x)−yp(x)は

界 値 問 題(2.19)−(2.20)の (2.20)の x=aに

微 分 す る.

解 に な る.(2.31)を

解z(x)がcy0(x)(cは

定 数)の

斉 次境

示 す た め に は,(2.19)−

形 の も の に 限 る こ と を 示 せ ば よ い.

お け る境 界 条 件 か ら αz(a)+α′z′(a)=0,αy0(a)+α′y0′(a)=0.

 

と仮 定 し て い る か ら,ロ

で な け れ ば な ら な い.従

ンス キ ー行 列 式 は

っ て,W[x;z,y0]≡0で,z(x)とy0(x)は1次

従属

に な る.    (2.29)の (2.20)の   例1  対 して は

(証 明 終) 条 件(a)−(e)を

満 足 す る 関G(x,ξ)を,境

界 値 問 題(2.21)−

広 義 グ リ ー ン 関 数 と名 付 け る. 境 界 値 問 題y″+y=−f(x),y(0)=y(π)=0を

考 え る.こ

の問 題 に

の解 として

を と る.G(x,ξ)を(2.25)の

形 で 求 め る.c1,d1を(2.26)の(a),(b): w(0,ξ)+c1y1(0)=0, w(π,ξ)+d1y1(π)=0

か ら定 め る と

が 得 ら れ る.一

方(2.26)の(c),(d)か

が 得 ら れ る.デ

ー タ を(2.26)の(e)に

と な る.

で あ る か ら,

従 って

ら

入 れ る と(2.28)に

よ り

求 め る広 義 の グ リー ン関 数 は

で あ る.ξ ≦x≦ π に お け る 式 は 省 略 し た.

演 習 問 題2.3   1.  境 界 値 問 題y″+y=−f(x),y(0)=y(a)=0が,  

(a) 

 

(b) 

グ リ ー ン 関 数 を 持 つ よ う なaの

値 を 求 め よ.

広 義 グ リ ー ン 関 数 を 持 つ よ う なaの を も つ よ う なf(x)を

値 を 求 め よ.こ

の 場 合,境

界 値 問題 が 解

定 め よ.

  2.  境 界 値 問 題y″=−f(x),y(0)=0,y(1)−y′(1)=0の

広 義 グ リー ン関 数 を 求 め

よ.

 2.4 特 異 境 界 値 問 題  今 まで は ,自 己 随 伴 微 分 作 用 素  (2.32)

を 有 界 閉 区 間[a,b]で

考 え,そ

こ でp(x)は

正 の連 続 微 分 可 能 な 関 数,q(x)

は 連 続 な 関 数 で あ る と仮 定 し た.し か し この 種 の も の だ け で,重 要 な 作 用 素 が 尽 さ れ て し ま うわ け で は な い.例

を 区 間0<x≦1で

はx=0で

え ば,ベ

考 え る 場 合,p(x)=xは

ッセ ル 微 分 方 程 式

端 点x=0で0に

な り,ま

連 続 性 を 失 う.ル ジ ャ ン ドル 微 分 方 程 式

た 

を 区 間−1<x<1で こ の よ うに,微

考 え る と,p(x)=1−x2は 分 作 用 素(2.32)を

有 界 区 間Jで

の 一 方 ま た は 両 方 で,p(x)が0に あ る.こ

の 場 合(2.32)は

な る か,ま

る の が 普 通 で あ る.例

え ば,ベ

 (2.33) 

x→0の

な る こ と を 要 求 し,ル

の端 点

不 連 続 に な る こ とが 異 な微分 作用 素 を 異 性 が 生 じ る端

来 の も の とは 多 少 性 格 の 異 な る も の に な

ッ セ ル 微 分 方 程 式 の 場 合 に は,x=1に

件 は 以 前 の と 変 わ ら な い が,x=0で

お け る条

は

と きy(x),y′(x)は

有界

ジ ャ ン ドル 微 分 方 程 式 に 対 し て は, x→ ±1の

な る こ と を 要 求 す る,と

と きy(x),y′(x)は

い っ た 具 合 に.ま

な け れ ば な ら な い こ と が あ る.エ

た,微

有界 分 方程 式 を無 限 区間で 考察 し

ル ミー トの微 分 方 程 式

y″−2xy′+λy=0  の 解 で,条

た はq(x)が

題 に 掲 げ た 特 異 境 界 値 問 題 で あ る が,特

点 に お い て 指 定 す べ き 境 界 条 件 は,従

な る.

考 え る と き,Jの2つ

特 異 な 微 分 作 用 素 と 言 わ れ る.特

含 む 境 界 値 問 題 が,標

 (2.34) 

そ の 両 端 点x=±1で0に

(− ∞<x<∞)

件

 (2.35) 

x→ ± ∞ の と きe−x2/2y(x)→0

を 満 た す も の を 求 め よ と い う問 題 は そ の 一 例 で あ る.こ 境 界 値 問 題 の 仲 間 に 入 れ る.(2.33),(2.34),(2.35)も

の よ うな 問 題 も,特

異

や は り 境 界 条 件 と呼 ぶ

こ と に す る.   §2.2,§2.3で

述 べ た グ リ ー ン 関 数,広

深 く 追 っ て み れ ば,特

義 グ リー ン関 数 の構 成 の 筋 道 を 注 意

異 境 界 値 問 題 に 対 し て も,グ

リ ー ン 関 数,広

義 グ リー ン

関 数 と 命 名 す べ き 関 数 を 作 る こ とが で き る こ と が 容 易 に わ か る.こ

れ を例 で示

す.   例1 

境 界 値 問 題xy″+y′=−f(x) y(1)=0;x→0の

を 考 え る.斉

と きy,y′

は 有界

次 方 程式 の 一般解 は y=c1+c2logx

で あ る か ら,境

界 条 件 を 同 時 に 満 た す も の はy(x)≡0だ

け で あ る.x=0で

有

界 な も のU(x),x=1で0に

な る も のV(x)と

して

U(x)=1,V(x)=logx を と れ ば,(2.17)に

よ り グ リ ー ン 関G(x,ξ)は

に よ っ て 与 え られ る.   例2 

境 界値 問題

y(1)=0;x→0の を 考 え る.斉

と きy,y′

は有界

次 方程 式 の一般 解 は y=c1xm+c2x−m

で あ る か ら,境

界 条 件 を 同 時 に 満 た す も の はy(x)≡0だ

け で あ る.

U(x)=xm,V(x)=xm−x−m を(2.17)に

  例3 

代 入 す れ ば,グ

リ ー ン 関 数 は 次 式 で 与 え ら れ る:

境 界値 問題  [(1−x2)y′]′=−f(x),x→

±1の

を 考 え る.斉

次 方 程 式 は 零 で な い 解y(x)≡constを

を 作 ろ う.正

規 化 さ れ た 解y0(x)と,そ

で あ る.微 分 方 程 式

の特殊解 として

れ と1次

と きy,y′

は有界

持 つ.広 独 立 な 第2の

義 グ リー ン関 数 解y1(x)は

を 採 用 す る こ とが で き る.広 義 グ リー ン関 数 の 形 は

(a0,b0,a1,b1は

で あ る.x→

±1の

と きG,Gx′

で な け れ ば な ら な い.よ

G(x,ξ)がx=ξ

が 有 界 な る た め に は,

って

で連 続 であ るこ とを要求 す れ ば

b0を 

即ち

か ら 定 め る.多 少 の 計 算 の 後

が得 ら れ る.従 っ て 求 め る広 義 グ リー ン関 数 は

ξ の 関 数)

で あ る.

演 習 問 題2.4   1.  次 の 境 界 値 問 題 の グ リ ー ン 関 数,ま   (a) 

た は 広 義 グ リ ー ン 関 数 を 求 め よ.

[x2y′]′=−f(x),y(1)=0;x→0の

と きy,y′

は 有 界.

の と きy,y′

 (b) 

は 有 界.

 2.  境 界 値 問 題 y″ −y=−f(x),x→

± ∞ の と きy(x)は

有 界

の グ リー ン関 数 は

で あ る こ と を 示 せ.   3.  境 界 値 問 題 y″−y=−f(x),y(−a)=y(a)=0

の グ リー ン関 数 はa→ ∞ の と き問 題2の

グ リー ン関 数 に 近 づ く こ と を証 明 せ よ.

は,f(x)が

  4. 

微 分 方 程 式y″ −y=−f(x)の

− ∞<x<∞

− ∞<x<∞

で 有 界 な連 続 関 数 な らば,

に お け る有 界 な 解 で あ る こ とを 直 接 に 証 明

せ よ.ま た これ 以 外 に 有 界 な 解 は 存 在 しな い こ と を示 せ.

  2.5  変 分 学 と境 界 値 問 題   関 数 の 最 大 値 ま た は 最 小 値 を 求 め る こ と,こ れ は 初 等 解 析 学 の 重 要 な一 項 目 で あ っ た.そ の 範 囲 で 取 扱 う こ との 出 来 な い 進 ん だ 最 大 最 小 の 問 題 も,勿 論 数 多 く存 在 す る.一 例 を あ げ る.   問 題A 

上 半 平 面 に あ る2定 点(a,A),(b,B),(a
結 ぶ 曲 線 の 中 で,

x軸 の まわ りに 回 転 し て 得 られ る 曲面 の 面 積 を 最 小 に す る もの を 求 め よ.   これ を 数 学 的 に 定 式 化 す れ ば,   "y(a)=A,y(b)=Bを

満 足 す る関 数y=y(x)≧0の

  (2.36)

を最 小 に す る も の を 求 め よ"

中で

とい う問 題 に な る.こ

こ で 最 小 に す るべ き(2.36)は

最 早 関 数 の 値 で は な く,

関 数 に 適 当 な 操 作 を 施 し て 得 られ る量 で あ る.初 等 解 析 学 の 知 識 で これ を 取 扱 う こ とは 無 理 で あ る.   (2.36)の

よ うに,あ

る条 件 を み た す 関数y(x)に

実数

を 対 応 さ せ る働 き を 汎 関 数 とい う.汎 関 数 の 極 大 極 小 を 求 め る問 題 は,数 学 の み な らず,物

理 学,工 学 等 に も し ば しば 現 わ れ る.こ の 種 の 問 題 を 変 分 問 題,

そ れ を 考 究 す る 数 学 の 一 分 科 を 変 分 学 と呼 ぶ.   変 分 学 と微 分 方 程 式 の 境 界 値 問 題 の 関 連 を 説 明 し よ う.   関 数F(x,y,y′)は,x,y,y′  (2.37) 

に 関 して2回

連 続 偏 微 分 可 能 と仮 定 し,

y(a)=A,y(b)=B

を 満 足 す る1回

連 続 微 分 可 能 な 関 数y(x)の

中 で,汎

関数

  (2.38)

を 極 大,ま

た は 極 小 に す る も の を 求 め る 問 題*を 考 え る.

  勿 論,y(x)はI[y]が

き ち ん と定 義 で き る も の,つ

ま りI[y]の

っ て い る も の で な け れ ば な ら な い.h(x)を[a,b]で1回

定義 域 に 入

連 続 微分 可能で

h(a)=h(b)=0 な る 任 意 の 関 数 と す る と き,ε

が 十 分 小 な らば y(x)+εh(x)

も,y(x)と   さ て,我

と も に,I[y]の

定 義 域 に 入 る も の と 仮 定 す る.

々 の 問 題 の 解 が 存 在 す る も の と し,そ

れ をy(x)と

(h(x)は は,ε=0の 参 照).従 *こ

れ を 

近 傍 で 定 義 さ れ た 関 数 で,ε=0で

し よ う.

任 意 に 固 定)

極 大 ま た は 極 小 に な る(図2.1

って dx→maximum(ま

た はminimum)と

書 く こ と が あ る.

で な け れ ば な ら な い.F(x,y,y′) はy,y′

に つ い て微 分 可 能 で あ る

か ら積 分 記 号 下 で 微 分 す る と

が得 られ るが,部 分積分をすれば さらに

図2.1

y(x)+εh(x)の

グ ラフ

(h(a)=h(b)=0に が 得 ら れ る.ε=0と

h(x)は

注 意)

すれば

任 意 の 関 数 で あ るか ら,変

分 学 の 基 本 補 題(こ の 節 の 最 後 で 証 明す る)

に よ って  (2.39)

が 成 立 た な け れ ば な ら な い.   (2.39)を   定 理2.5 

オ イ ラ ー ・ラ グ ラ ン ジ ュ の 方 程 式 と呼 ぶ.以 F(x,y,y′)は

はy(a)=A,y(b)=Bを

各 変 数 に 関 し て2回 連 続 微 分 可 能 と仮 定 し,y(x) 満 た す1回

連 続 微 分 可 能 な 関 数 で,汎 関 数

を 極 大 ま た は 極 小 に す る も の と す る.そ ュ方 程 式

上 の こ と を ま とめ て:

の と き,y(x)は

オ イ ラ ー ・ラ グ ラ ン ジ

を満 足 す る.  形 式 的 に

で あ る こ とに 注 意 す れ ば,オ

イ ラ ー ・ラ グ ラ ン ジ ュ方 程 式 は2階 常 微 分 方 程 式

と見 な す こ とが で き る.こ の 意 味 で,汎

関 数 を 極 大 ま た は 極 小 に す る 関 数 は,

2階 常 微 分 方 程 式 に 対 す る境 界 値 問 題 の 解 で な け れ ば な ら な い.こ

うし て 変 分

問 題 と境 界値 問 題 が 結 び つ い た.   (2.39)は

必 要 条 件 で あ っ て,一

般 に は 十 分 条 件 で は な い.し

か し,問

題の

物 理 学 的 ま た は 幾 何 学 的 意 味 か ら,汎 関 数 の 極 大 ま た は 極 小 値 が 存 在 す る こ と が 明 らか で あ り,与 え られ た 境 界 条 件 を 満 た す オ イ ラ ー ・ラ グ ラ ン ジ ュ方 程 式 の 解 が 唯 一 つ 存 在 す る とい う場 合 に は,そ れ が 変 分 問 題 の 解 に な る と結 論 す る こ とが で き る.   例1 

問 題A

の オ イ ラ ー ・ラ グ ラ ン ジ ュ 方 程 式 は, 

とな る.こ れ は2階

の 微 分 方 程 式 で あ る が,線

だ か ら,

型 で は な い.両 辺 にy′ を 掛 け

て積 分 す れ ば

(任意定数) が 得 られ,こ

れか ら

即ち が 得 られ る.こ れ は 変 数 分 離 形 で 積 分 で き る:

従 って

問 題Aの

解 を 与 え る 曲 線 は,2点(a,A),(b,B)を

あ る.(2点

の 位 置 関 係 に よ っ て は こ の よ うな 懸 垂 線 が 存 在 し な い こ と も あ り

得 る の で あ る が,そ   例2 

通 る懸 垂 線(catenary)で

の 吟 味 は 割 愛 す る.)

変分 問題

y(a)=A,y(b)=B の オ イ ラ ー ・ラ グ ラ ン ジ ュ 方 程 式 は

で あ る.こ れ は,前

節 まで に 考 察 し た 自 己 随 伴 形 の 線 型 斉 次 微 分 方 程 式 で あ る.

  も う一 つ 問 題 を 考 え よ う.   問 題B 

上 半 平 面 に あ っ て2点(−a,0),(a,0)(a>0)を

結 ぶ 長 さ一 定 の 曲

線 とx軸 で 囲 まれ る 図 形 の 面 積 を最 大 に せ よ.   これ は,"y(−a)=y(a)=0と (2.40) 

(一 定 値)

を 満 足 す る関 数y=y(x)≧0の

中 で,汎

関数

を 最 大 に す る も の を 求 め よ"と い う問 題 で あ る.こ れ も汎 関 数 の 最 大 値 を さが す とい う意 味 で,変 に,(2.40)と

分 問 題 の 一 種 で あ る.問 題Aと

違 う点 は,境

界 条件 の ほ か

い う汎 関 数 を 含 ん だ 束縛 条 件 が 付 け 加 え ら れ て い る とい う点 で

あ る.   こ の 問 題 に 示 唆 され て,次   境 界 条 件y(a)=A,y(b)=Bを

の 変 分 問 題 を 設 定 す る: 満た し (一 定 値)

  (2.41) 

で あ る よ うな 関数y(x)の

中で汎 関数

  (2.42)

を 極 大,ま

た は 極 小 に す る も の を 求 め よ.こ

の 種 の 変 分 問 題 は,問

な 幾 何 学 的 問 題 に 起 源 を 持 つ と い う意 味 で,等   y(x)が

題Bの

周 問 題 と 呼 ば れ て い る.

等 周 問 題 の 解 で あ る と す る.h1(x),h2(x)をx=a,bで0に

続 微 分 可 能 な 任 意 の 関 数 と す る と き,ε1,ε2が

よう

十 分 小 な ら ば,関

な る連 数

y(x)+ε1h1(x)+ε2h2(x) は 汎 関 数I[y],K[y]の

定 義 域 に 含 ま れ る も の とす る.

  実 数値 関数 Φ(ε1,ε2)=I[y+ε1h1+ε2h2],Ψ(ε1,ε2)=K[y+ε1h1+ε2h2] を 考 え る.y(x)が

等 周 問 題 の 解 で あ る と い う こ と は, Ψ(ε1,ε2)=l

と い う条 件 の 下 で 関 数 Φ(ε1,ε2)を 考 え る と き,Φ(ε1,ε2)が を と る こ と を 意 味 す る.初

ε1=ε2=0で

極値

等 解 析 学 で 知 ら れ て い る'条 件 つ き 極 値'に 関 す る 定

理 に よ り,二

つ の 定 数 λ1,λ2, 

が 成 立 つ.定

理2.5の

が存 在 して

証 明 の と き と同様 に して

が 成 立 つ か ら,

が 得 ら れ る.こ

の 第1式

か ら λ1:λ2の 値 はh2(x)に

は 関 係 し な い こ と が わ か る.

ま た,y(x)が

汎 関 数K[y]の

と もわ か る.第2式 に 注 意 す れ ば,変

極 値 を 与 え な い と仮 定 す れ ば, 

を λ1で割 って,λ=λ2/λ1と お き,h2(x)が

であるこ

任意 であ る こ と

分 学 の 基 本 補 題 か ら,y(x)が

を 満 足 す る こ とが 結 論 さ れ る.こ 必 要 条 件 が 得 ら れ た.こ

れ は,条

う し て,y(x)が

等 周 問 題 の 解 で あ るた め の

件 のつか ない 変分 問題

I[y]+λK[y]→maximum(ま

た はminimum)

に 対 す る オ イ ラ ー ・ ラ グ ラ ン ジ ュ の 方 程 式 で あ る こ と に 注 意 す る.   定 理2.6  定 す る.も

F(x,y,y′),G(x,y,y′)は しy(x)が1回

各 変 数 に つ い て2回

連 続 微 分 可 能 で,条

連 続 微 分 可 能 と仮

件

を 満 た し,汎 関 数

を 極 大 ま た は 極 小 に す る な ら ば,y(x)は,あ

る定 数 λに 対 し て,微 分 方 程 式

  (2.43)

H(x,y,y′)=F(x,y,y′)+λG(x,y,y′)

を 満 足 す る.た だ しlはK[y]の  例3 

と な る.こ

問 題Bを

極 大 ま た は 極 小 値 で は な い と仮 定 す る.

解 く.F=y, 

で あ る か ら,(2.43)は

れか ら (c1は 任 意 定 数).

こ の1階

微 分方 程 式 を解 い て (x−c1)2+(y−c2)2=λ2 

が 得 ら れ る.c1,c2,λ

を 定 め る に は,

(c2は 任 意 定 数)

y(−a)=y(a)=0,K[y]=2l を 用 い れ ば よ い.こ

う し て,等

周 問 題Bの

解 は 円 で あ る こ と が わ か っ た.

 例4  等周問題

([a,b]でp(x)は

連 続 微 分 可 能,q(x),r(x)は

を 考 え る.F=py′2−qy2,G=ry2で H=F−

連 続)

あ るか ら

λG=py′2−qy2−

λry2 

(λ を

− λ と し た)

で,Hは

を満足 しなければならない.こ れは常微分方程式

に な る.こ

の よ うな パ ラ メ タ ーを 含 む 微 分 方 程 式 に つ い て は,次 節 以 後 に 詳 述

す る.   変 分 学 の 基 本 補 題 を 証 明 して こ の 節 を 終 え る.   補 題2.3 

a(x)は

区 間[a,b]で

連 続 で,1回

=h(b)=0を

満 た す 任 意 の 関 数h(x)に

連 続 微 分 可 能,か

つ 条 件h(a)

対 して

  (2.44)

が 成 立 つ とす る.こ でa(x)≡0で

の と き[a,b]

あ る.

  証 明 

と仮 定 し て 不 合

理 に 導 く. 

図2.2 

h(x)の

a(x0)>0と

して一 般 性 を 失 わ な

い.a(x)は

連 続 だ か ら,δ>0を

グラ フ

十 分 小 さ く と れ ば,[x0− (⊂[a,b])でa(x)>0が

と す る.

成 立 つ.

δ,x0+δ]

と お く(図2.2参 (2.44)が

照).h(x)は

成 立 つ.一

補 題 の 条 件 を 明 ら か に 満 た し て い る.ゆ

方,￨x−x0￨≦

δ でa(x)もh(x)も

えに

正 で あ るか ら

が 得 られ る.こ れ は 不 合 理 で あ る. 

(証明終)

演 習 問 題2.5  1.  次 の 関 数 に 対 す る オ イ ラ ー ・ラ グ ラ ン ジ ュの 方 程 式 を 求 め よ.

(a)

 (b)  

(c)

 (d)

  2.  (a) 

F=F(x,y′)(Fがyを

ン ジ ュ方 程 式 は,  (b) 

F(x,y,y′)=sin(xy′).

陽 に 含 ま な い)と

す る.こ

の 場 合 オ イ ラ ー ・ラ グ ラ

 (cは 任 意 定 数)と な る こ とを 証 明せ よ.

こ の こ とを 用 い て,変

分問題

を 解 け.   3.  F=F(y,y′)(Fがxを

陽 に 含 ま な い)と

す る.こ

の 場 合 オ イ ラ ー・

ラ グラ ンジ ュ

方 程 式 は,

(cは 任 意 定 数) と な る こ と を 証 明 せ よ.   4.  b(x)は[a,b]で とす る.も

連 続,h(x)は[a,b]で1回

し 

  5.  a(x)は

な らばb(x)≡constで

区 間[a,b]で

す 任 意 の 関 数h(x)に

連 続 で,m回

対 して(2.44)が

る.こ れ を 証 明 せ よ.(m=∞

  2.6 

連 続 微 分 可 能 か つh(a)=h(b)=0 あ る こ とを 証 明せ よ.

微 分 可 能(m≧1)か

つh(a)=h(b)=0を

成 立 つ とす る.そ の と き[a,b]でa(x)≡0で

満た あ

の場 合 も考 え よ.)

固 有値 問 題

 §2.1− §2.3の

議 論 で,我

々 は 斉 次 境 界 値 問 題 の 零 で な い 解 の 存 在 が,一

般

の 境 界 値 問 題 の 解 に 重 大 か つ 微 妙 な 影 響 を 与 え る こ とを 知 っ た.斉

次境 界値 問

題 の 零 で な い 解 の重 要 性 を 別 の 角 度 か ら見 て み よ う.   長 さlの 真 直 ぐ な 針 金 がx軸 端 はx=lの

に 沿 って 置 か れ て い る とす る.左 端 はx=0,右

位 置 に あ る と し,こ の 針 金 の 温 度 分 布 を 問 題 に す る(図2.3参

照).

温度 分 布 は時間 の経過 に従 って 変化 す る こ とに 注 意 し,針 金 の 上 の 点x の,時

刻tに お け る温 度 をu(x,t)

とす れ ば,最 下 で,u(x,t)は

図2.3

も 単 純 化 され た 状 況 の 偏 微 分方 程 式

  (2.45)

を 満 足 す る こ とが わ か っ て い る.こ

こ で,cは

熱 等 と関 係 の あ る定 数 で あ る.(2.45)は 偏 微 分 方 程 式 で,熱   物 理 的 に は,あ

針 金 を 構 成 す る物 質 の 密 度 や 比

未 知 関 数 の偏 導 関 数 を 含 む い わ ゆ る

伝 導 の方 程 式 と呼 ば れ る. る 時 刻t=0に

お け る針 金 の温 度 分 布 が 与 え られ,か

以 後 の 時 刻 に お け る両 端 の 温 度 の 状 態 が 規 定 され る な らば,針 一 意 的 に 確 定 す る .時 刻t=0に

u(x,0)=φ(x) 

を 満 た す こ と を 要 求 す る こ とで あ る.一 の し方 は い ろ い ろ で,例

金 の温度 分 布 は

お け る温 度 分 布 を 指 定 す る こ と は,0≦x≦lで

定 義 さ れ た 関 数 φ(x)を 与 え て,t=0の  (2.46) 

つ それ

え ば,(ⅰ)両

と きu(x,t)が

条件

(0≦x≦l) 方,t≧0に

お け る両端 の温度 の規 定

端 の温 度 を 常 に0に 保 つ,(ⅱ)両

断 熱 的 に(熱 の 出 入 が な い よ うに)保 つ,(ⅲ)左

端 の 温 度 は0に 保 つ が,右

端を 端

で は 温 度 に 比 例 し た 熱 輻 射 が あ る よ うにす る,等 が 典 型 的 な も の で あ る.こ れ ら を 順 に 式 で 表 わ せ ば, (ⅰ) 

 (2.47)

(ⅱ)

(ⅲ)

u(0,t)=u(l,t)=0 

(t≧0),

と な る.こ

こ でhは

理 の 問 題 は,偏

正 の 定 数 で あ る.こ

微 分 方 程 式(2.45)の

の よ う に,針

金 の 温 度 分 布 を 求 め る物

解u(x,t)で,条

件(2.46)お

よ び(2.47)

(の ど れ か 一 つ)を 満 足 す る も の を 求 め る と い う数 学 の 問 題 に 帰 着 さ れ る. (2.46)を

初 期 条 件,(2.47)を

境 界 条 件(2.47)(ⅰ)を

境 界 条 件 と 呼 ぶ.(2.45)の

解 で,初

満 足 す る も の を 探 し て み る.そ

数 分 離 法 を 用 い る.初

め に,xだ

 (2.48) 

け の 関 数 とtだ

期 条 件(2.46),

の た め に,い

わ ゆ る変

け の関数 の積

u(x,t)=X(x)T(t)

の 形 に 表 わ さ れ る 解 を 求 め て み る.(2.48)を(2.45)に X(x)T(t)で

代 入 し て,両

辺 をc2

割れば

が 得 ら れ る.左

辺 はtだ

け,右

辺 はxだ

け の 関 数 で あ る か ら,λ

は 定 数 で あ る.

これ か ら  (2.49) 

X″(x)+λX(x)=0 

( 

),

 (2.50) 

T′(t)+c2λT(t)=0 

( 

)

が 得 ら れ る.境

界 条 件(2.47)(ⅰ)が

 (2.51) 

満 た さ れ る た め に は,X(x)は

X(0)=X(l)=0

な る 境 界 条 件 を 満 た さ な け れ ば な ら な い.即 に 対 す る 斉 次 境 界 値 問 題(2.49)−(2.51)の

ちX(x)は2階

線 型常 微分方 程 式

零 で な い 解 で な け れ ば な ら な い.

こ の 問 題 を 掘 下 げ て み よ う.   1° λ<0の (2.49)の

場 合.(2.49)−(2.51)の

解 はX(x)≡0に

限 る.実 際,こ

の 場 合,

で,c1=c2=0が

出

一 般解 は

で あ る.(2.51)を

満 たす こ とか ら X(0)=C1+C2=0, X(l)=c1eα+c2e−

即 ち,c1=−c2,c1(eα る.従

っ て,X(x)≡0.

−e− α)=0.α>0だ

α=0

か ら, 

  2°  λ=0の (2.49)の

場 合.(2.49)−(2.51)の

解 はX(x)≡0に

限 る.実

際,こ

の 場 合,

一 般 解 は X(x)=c1+c2x

で あ る.(2.51)を

満 た す こ とか ら X(0)=c1=0,X(l)=c2l=0

即 ち,c1=c2=0.従   3°  λ>0の

っ てX(x)≡0. 場 合.(2.49)の

で あ る.(2.51)に

一 般 解 は

よ り X(0)=D1=0,

ならば, 

よって

即ち

従 っ て,(2.49)−(2.51)の

零で ない解 が存 在す るため に は

 (2.52)

で な け れ ば な ら な い.こ

の と き対 応 す る零 で な い 解 は

 (2.53)

で あ る.Dnは

任 意 の 定 数 で あ る.

  以 上 を 要 約 す れ ば:斉 (2.52)で (2.52)の

与 え ら れ る 限 ら れ た 値 を と る 場 合 に だ け,零 λnを 固 有 値,(2.53)のXn(x)を

  こ の λ=λnに  (2.54) 

次 境 界 値 問 題(2.49)−(2.51)は,パ

対 応 す る(2.50)の

で な い 解(2.53)を

持 つ.

固 有 値 λnに 属 す る 固 有 関 数 と 呼 ぶ. 解は

Tn(t)=cne−c2λnt 

と な る.(2.53),(2.54)を(2.48)に

ラ メ タ ー λが

(cnは

任 意 定 数)

代 入す れ ば

が 得 ら れ る.Anは

定 数 で あ る.

  こ う し て 得 ら れ た 一 列 の 関 数un(x,t)は,い で,境

界 条 件(2.47)(ⅰ)を

が あ る 

満 足 す る が,初

ず れ も 微 分 方 程 式(2.45)の 期 条 件(2.46)は

と一 致 す る場 合 を 除 け ば).(2.46)を

に,un(x,t)を

解

満 足 し な い(φ(x)

満 たす 解 を求 め る た め

重 ね 合 わ せ て み る:

  (2.55)

u(x,t)が

境 界 条 件 を 満 た す こ とは 明 ら か.初 期 条 件 を 満 た す た め に は,

  (2.56)

が 成 立 た な け れ ば な ら な い.も

し,(2.56)を

とが で き,か つ そ の とき(2.55)の xに 関 し て2回

満 た す よ うに 定 数Anを

級 数 が,0<x0で,tに

決め るこ 関 し て1回,

項 別 微 分 可 能 で あ る こ とを 確 認 す る こ と が で き る な ら ば,

(2.55)のu(x,t)は

熱 伝 導 問 題 の 求 め る解 に な るで あ ろ う.

  級 数 の 項 別 微 分 可 能 性 の 問 題 を さ し あ た っ て 度 外 視 す れ ば,解 決 し な け れ ば な ら な い の は,"0≦x≦lで

与 えら れ た 任 意 の 関 数 φ(x)*を(2.56)の

級 数 に 展 開 す る こ とが で き るか?"と め に,い

い う問 題 で あ る.こ の種 の 問 題 を 解 く た

わ ゆ る フ ー リエ 級 数 の 理 論 が 作 られ た(第3章

適 当 な 条 件 の 下 で,φ(x)は(2.56)の

形 の三角

参 照).そ

形 に 展 開 され,係

れ に よれ ば,

数Anは

 (2.57)

で 定 め ら れ る.こ u(x,t)が,条

の 事 実 を 認 め れ ば,結

件(2.46),(2.47)(ⅰ)を

  針 金 を 構 成 す る 金 属 の 密 度,比

局(2.55),(2.57)で 満 た す(2.45)の

熱 等 が 定 数 で な く,位

*  完 全 に 任 意 とい うわ け で は ない .u(x,t)が0≦x≦l,t≧0で =0と れ る.

して おか な け れ ば な らな い し,そ

定義 さ れ る 関 数 解 に な る. 置xの

関 数 で あ る場 合

連続 で あ るた め に は,φ(0)=φ(l)

の ほか φ(x)の な め らか さ につ い て も適 当 な 制 限 が つ け ら

には,針 金の温度分布は偏微分方程式   (2.58)

に よ っ て 記 述 さ れ る.境 界 条 件 は 一 般 に

  (2.59)

の 形 で 指 定 さ れ る.(2.47)は 解u(x,t)で,初

明 らか に(2.59)の

期 条 件(2.46)と

変 数 分 離 法 で 求 め よ う とす れ ば,次

特 別 な場 合 で あ る.(2.58)の

境 界 条 件(2.59)を の2つ

満 足 す る も の を,上 述 の

の 問 題 が 提 起 さ れ る.

  問 題Ⅰ   常 微 分 方 程 式 に 対 す る斉 次 境 界 値 問 題

  (2.60)

αy(a)+α′y′(a)=0,   (2.61)

βy(b)+β′y′(b)=0

の 零 で な い 解(固 有 関 数)と 対 応 す る パ ラ メ タ ー λの 値(固 有 値)を 求 め よ.(固 有 値 は 可 算 無 限 個 存 在 す る か,固 有 関 数 は ど の よ うな 性 質 を 持 っ て い る か,等 々)   問 題Ⅱ 

固 有 値 が 可 算 無 限 個,従

っ て 固 有 関数yn(x)が

可 算無 限個 存 在す

る と き,固 有 関 数 と同 じ境 界 条 件 を 満 た す 任 意 の 関 数 φ(x)を

の 形 に 展 開 す るこ とが で き るか 否 か を 調 べ よ.   Ⅰを 固 有 値 問 題,Ⅱ

を 固 有 関 数 展 開 問 題 と言 う.展 開 問 題 は 次 の 章 で 論 じ る

こ とに す る.Ⅰ を 解 く前 に,固

有値,固

有 関 数 に 関 す る簡 単 な 性 質 を 述 べ て お

く.   [a,b]で,p(x)は

連 続 微 分 可 能,q(x),r(x)は

連 続,か

つp(x),r(x)は

正 と す る.こ

の と き,方

程 式(2.60)と

境 界 条 件(2.61)を

あ わ せ て,正

則なス

ツ ル ム ・ リ ウ ビ ル 系 と呼 ぶ.   定 理2.7 

λ を 正 則 な ス ツ ル ム ・ リ ウ ビ ル 系 の 固 有 値,y(x)を

固 有 関 数 と す れ ば,λ   こ の と き,固

に 属 す る 任 意 の 固 有 関 数 はy(x)の

定 数 倍 に 等 し い.

有 値 λ は 単 純 で あ る と 言 う.

  証 明   z(x)を

同 じ λ に 属 す る 固 有 関 数 とす る と,定

部 分 と 全 く 同 様 に し て,z(x)とy(x)が[a,b]上

理2.4の

で1次

証 明の最 後 の

従 属 に な る こ とが 示

さ れ る.    定 理2.8 

λに 属 す る

(証 明 終) 正 則 な ス ツ ル ム ・ リ ウ ビ ル 系 の 固 有 値 は す べ て 実 数 で あ る.

  証 明   λ=μ+iν

を 固 有 値,y(x)=u(x)+iυ(x)を

る.L[y]=[py′]′+qyと

λ に 属 す る 固 有 関 数 とす

お け ば,y(x)は L[y]+λry=0

を 満 た す.両

辺 の 複 素 共 役 を と れ ば,p,q,rが

実 関 数 だ か ら,

L[y]+λry=0 と な る.ゆ

え に, (λ−λ)ryy=yL[y]−yL[y].

こ れ をaか

らbま

で 積 分 し て,y,yが

境 界 条 件(2.61)を

満 た し て い る こ とを

考 慮す れ ば

即ち

r(x)>0,    定 理2.9 

だ か ら ν=0,ゆ

λ,μ を 正 則 ス ツル ム ・リ ウ ビ ル 系 の 相 異 な る 固 有 値,y(x),z(x)

を そ れ ぞ れ λ,μ に 属 す る固 有 関 数 とす れ ば

が 成 立 つ.

え に λは 実 数 で あ る.  (証明終)

  定 理2.8の

証 明 で 用 い た の と 同 様 な 方 法 で 容 易 に 証 明 で き る.

  こ の と き,y(x)とz(x)は[a,b]でr(x)を

重 さ と し て(重

さr(x)に

関 し

て)直 交 す る と 言 う.

例

こ の 場 合,p(x)=x,q(x)=0,r(x)=1/x,[a,b]=[1,e2π],α=β=0,α′=β =1で

あ る .λ=0の

と き,方

程 式 の 一 般 解 はy=c1+c2logxで

条 件 を 満 た す も の と し て,y0(x)=1が 微 分 方 程 式 だ か ら,一

で,境

′

あ る.λ>0の

あ る か ら,境 と き,方

界

程 式 は オ イ ラ ー

般 解 は

界条 件 を 満たす もの は

で あ る.ま

と め て,

固 有 値:λn=n2/4,

固 有 関 数:yn(x)=cos(nlogx/2)(n=0,1,2,…)

が 得 ら れ る.yn(x),ym(x)( 

を重 さ として直交

)が[1,e2π]でr(x)=1/x

し て い る こ とは 直 ぐに わ か る:

λ<0が

固 有 値 に な り得 な い こ とは 各 自確 か め ら れ た い.

演 習 問 題2.6   1.  熱 伝 導 方 程 式(2.45)を

境 界 条 件(2.47)(ⅱ)(ま

た は(ⅲ))と

変 数 分 離 法 に よれ ば どの よ うな 固 有 値 問 題 が 得 ら れ る か.そ

と もに 考 え る と き,

の 固有値 と固有関 数を求 め

よ.   2.  偏 微 分 方 程 式(2.58)を ば,固

有 値 問 題(2.60),(2.61)が

境 界 条 件(2.59)と

と もに 考 え る と き,変

得 られ る こ とを 示 せ.

数 分 離 法 に よれ

 3. 次 の 固 有 値 問 題 の 固 有 値,固

有 関 数 を 求 め よ.

  (a) 

y″+λy=0, 

y(0)=y′(1)=0.

  (b) 

y″+λy=0, 

y′(0)=y(π)=0.

  (c) 

y″+λy=0, 

y(0)+y′(0)=y(1)=0.

  (d) 

y″−2y′+(1+λ)y=0, 

y(0)=y(1)=0.

 (e)

  4.  微 分 方 程 式y″+λy=0を

周期 的境 界条件

y(0)=y(1),  と と もに 考 え る.あ

y′(0)=y′(1)

る λに対 し て 零 で な い 解y(x)が

λに 属 す る固 有 関 数 と呼 ぶ.こ

存 在 す れ ば,λ

を 固 有値,y(x)を

の 問 題 の 固 有 値 と固 有 関 数 を 求 め よ.ま た0で

ない固有

値 は 単 純 で な い こ と を 示 せ.   5.  微 分 方 程 式(2.60)を

周期 的 境 界 条 件 y(a)=y(b), 

y′(a)=y′(b)

と と もに 考 え る.方 程 式 の 係 数 が 周 期b−aの て も,定 理2.8,定

理2.9の

周 期 関 数 の と き,こ の 固 有 値 問 題 に 対 し

結 論 が 成 立 つ こ とを 証 明 せ よ.

  6.  正 則 な ス ツ ル ム ・リウ ビル 系 に お い て,q(x)≦0,α

α′ ≦0,β β′ ≧0な らば,固

有

値 は 決 し て 負 に な らな い こ と を 証 明 せ よ.   (ヒ ン ト:[py′]′+[q+λr]y=0にyを

掛 け てaか

らbま で 積 分 す る).

  2.7  プ リ ュ ー フ ァ 変 換 と ス ツ ル ム の 比 較 定 理   斉 次 微 分 方 程 式 の 零 で な い 解 の 性 質 を 調 べ る た め に,プ

リ ュ ー フ ァ(Prufer)

が 考 案 し た 巧 妙 な 方 法 に つ い て 述 べ る.こ れ は 固 有 値 問 題 の 研 究 に も 極 め て 有 効 で あ る.   初 め に,パ

ラメター を含 まな い微分 方 程 式

 (2.62) 

[p(x)y′]′+q(x)y=0

を考 え る.p(x)は

区 間[a,b]で

とす る.y(x)を(2.62)の

連 続 微 分 可 能 か つ 正,q(x)は[a,b]で

零 で な い解 と し, p(x)y′=ρcosφ,

  (2.63) y=ρsinφ

と お く.即

ち

連続

ρ,φ

は (ρcosφ)′+qρsinφ=0, p(ρsinφ)′=ρcosφ

を 満 た す.こ

れ を ρ′cosφ− ρsinφ ・φ′=−qρsinφ,

ρ′sinφ+ρcosφ

・φ′=ρ/pcosφ

と 書 き,ρ′,φ′ に つ い て 解 け ば

φ′=1/p cos2φ+qsin2φ,

  (2.64) 

ρ′=ρ(1/p−q)

 (2.65) 

が 得 ら れ る.つ

ま り,y(x)が

方 程 式(2.62)の

で 定 め ら れ る 関 数 φ(x),ρ(x)は 逆 に,(2.64),(2.65)の 数y(x)は(2.62)の   こ の 意 味 で,方 換(2.63)を   (2.62)の

sinφcosφ

零 で な い 解 な ら ば,変

連 立 微 分 方 程 式(2.64),(2.65)の

解 φ(x),ρ(x)>0が

換(2.63)

あ れ ば,(2.63)で

解 に な る. 定 め られ る関

解 に な る. 程 式(2.62)と

連 立 方 程 式(2.64),(2.65)は

同 値 に な る.変

プ リ ュ ー フ ァ の 変 換 と 言 う. 解y(x),z(x)が[a,b]で1次

従 属 な ら ば,プ

よ っ て そ れ ら に 対 応 す る 関 数 φ(x)は に φ(x)が,z(x)に

ψ(x)が

同 一 で あ る.(も

対 応 す る な ら ば,φ(x)−

リュ ー フ ァ の 変 換 に

っ と 正 確 に 言 え ば,y(x) ψ(x)≡0(modπ)で

あ

る).   (2.64),(2.65)は

連 立 微 分 方 程 式 で あ る が,(2.64)は

φ だ け の 方 程 式 で,ρ

を 含 ん で い な い こ と に 注 意 す る.(2.64)を φ′=f(x,φ) の 形 に 書 い た と き,f(x,φ)はa≦x≦b,￨φ￨<∞ し て 連 続 微 分 可 能 で あ る か ら,常

で 定 義 さ れ,連

続 かつ φに関

微 分 方 程 式 の 解 の 存 在 と一 意 性 に 関 す る基 礎

定 理*に

よ っ て,(2.64)の

間[a,b]で

解 φ(x)は,初

唯 一 つ 存 在 す る.こ

な る べ き ρ(x)が

の φ(x)を(2.65)に

指 定 す れ ば,区

代 入 す れ ば,φ(x)と

対 に

得 ら れ る:

  関 数g(x)が0に の 解y(x)の

期 条 件 φ(a)=φ0を

な る 点x0:g(x0)=0の

こ と を,g(x)の

零 点 と 言 う.(2.62)

零 点x0は y(x0)=ρ(x0)sinφ(x0)

な る 関 係 か ら,sinφ(x0)=0即 の 解y(x)の

ち φ(x0)≡0(modπ)を

零 点 の 分 布 を 知 る た め に は,そ φ(x)=nπ

 

満 た す.従

っ て,(2.62)

れ に 対 応 す る(2.64)の

解 φ(x)が

(n=0,±1,±2…)

を 満 た す よ う な 点 の 分 布 を 知 れ ば よ い.φ(x)を

解y(x)の

φ 曲 線 と呼 ぶ こ と

が あ る.   補 題2.4 

y(x)を

方 程 式(2.62)の[a,b]に

は 区 間a<x≦bに y(x)の

丁 度n個

φ 曲 線 が0≦ φ(xk)=kπ,か

お け る 零 で な い 解 と し,y(x)

の 零 点x1<x2<…<xnを

φ(a)<π

持 つ とす る.こ

の とき

を 満 た す な ら ば,

つxk<x≦bで

φ(x)>kπ

  (k=1,2,…,n)

が 成 立 つ.   証 明  y(x)の

零 点 に お い て は,φ(x)≡0(modπ),従

ゆ え に φ(x)=jπ(jは て,あ

る 点x0で

jπ な ら ばa≦x<x0で

あ る 整 数)と

φ(x0)≧jπ

な る 点 の 近 傍 で φ(x)は

な ら ば,x0<x≦bで

φ(x)<jπ

と な る.0≦

こ と か ら 容 易 に φ(xk)=kπ(k=1,2,…,n)が   (2.62)型

の2つ

って

増 加 で あ る.従

は φ(x)>jπ,ま φ(a)<π

っ

た φ(x0)≦

に 注 意 す れ ば,上

言 え る. 

述の

(証 明 終)

の 方 程 式 の 解 の 零 点 の 相 互 関 係 を 表 わ す 次 の 定 理 は,ス

ツル

ム の 比 較 定 理 と 呼 ば れ て い る. *  例 え ば

,吉 沢 太 郎 著 「微 分 方 程 式 入 門 」(基 礎 数 学 シ リー ズ13巻),朝

倉 書 店,第1章

参 照.

  定 理2.10 

2つ

の 自己 随 伴 斉 次 微 分 方 程 式

 (2.66) 

[p1(x)y′]′+q1(x)y=0,

 (2.67) 

[p2(x)y′]′+q2(x)y=0

に お い て,p1(x),p2(x)は[a,b]で 連 続,か

連 続 微 分 可 能,q1(x),q2(x)は[a,b]で

つ 次 の 不 等 式 を 満 た し て い る と す る:

 (2.68) 

p1(x)≧p2(x)>0, 

y1(x),y2(x)は

そ れ ぞ れ(2.66),(2.67)の

y1(x)はa<x≦bに きx=aに

q1(x)≦q2(x).

丁 度n個

区 間[a,b]に

お け る 零 で な い 解 で,

の 零 点x=x1<x2<…<xnを

持 つ とす る.こ

の と

おい て

 (2.69)

が 成 立 つ な ら ば*y2(x)はa<x≦bに

少 く と もn個

の 零 点 を 持 つ.も

し(2.69)

少 く と もn個

の零点 を持

で 本 当 の 不 等 号 が 成 立 つ な ら ば,y2(x)はa<x
ら に,(2.68),(2.69)の

ほ か に,条

 (2.70) 

件:[a,b]の

あ る 点 で,

q1(x)
また は  (2.71) 

p1(x)>p2(x)>0,

を 付 け 加 え れ ば,y2(x)はa<x
(2.69)に

少 く と もn個

の 零 点 を 持 つ.

φ 曲 線 を そ れ ぞ れ φ1(x),φ2(x)と

す る:

よって

 (2.72) 

0≦ φ1(a)≦ φ2(a)<π

が 成 立 つ と し て よ い.φj(x)は(2.64)と

類 似 の方 程 式

  (2.73)

を 満 足 す る.勿 定(2.68)よ

論,φj(x)は

り,a≦x≦bと

初 期 値(2.72)に

よ っ て 一 意 的 に 定 め ら れ る.仮

す べ て のφ に 対 し て

*  (2 .69)の 両 辺 に あ る式 は,分 母 が0の

と きは,+∞

と解 釈 す る.

f1(x,φ)≦f2(x,φ) が 成 立 つ か ら,(2.72)に に ま わ す)に

注 意 す れ ば,微

よ り

 (2.74) 

φ1(x)≦ φ2(x), 

が 成 立 つ.特 使 え ば,定

に,φ1(xn)=nπ

な らば

a≦x≦b

φ2(xn)≧nπ

で あ る.こ

こ で 補 題2.4を

理 の 最 初 の 命 題 が 得 ら れ る.

  補 題2.5  数 で,そ

分 不 等 式 に 関 す る 次 の 補 題(証 明 は 後

F(x,y),G(x,y)はa≦x≦b,−

∞
こ で 不 等 式F(x,y)≦G(x,y)を

リ プ シ ッ ツ 条 件 を 満 足 す る,即 x,y,zに

満 た し,少

ち,適

で 定 義 され た 連 続 関 く と も 一 方 はyに

当 な 定 数L≧0が

存 在 し て,す

関 して べ ての

対 して

 (2.75) ￨H(x,y)−H(x,z)￨≦L￨y−z￨  が 成 立 つ,と

仮 定 す る.u(x),υ(x)を

(H=Fま

た はG)

微 分方 程式

u′=F(x,u), υ′=G(x,υ) のa≦x≦bに

お け る 解 と す る と き,u(a)=υ(a)な

≦υ(x)が

体 でu(x)

成 立 つ.

  定 理 の 第2の す る.そ

ら ば,a≦x≦b全

命 題 を 証 明 す る た め に,(2.69)で

うす る と,φ1(a)<φ2(a)で

満 た す(2.73)(j=2)の

あ る.φ2(x)を

解 とす る.(2.73)の

ま る か ら,a≦x≦bでφ2(x)<φ2(x)が ≦ φ2(x)が,従

成 立 つ.(2.74)を

た は(2.71)が

φ2(xn)=nπ=φ1(xn)を

=φ2(x)が[a,xn]で

得 ら れ る.よ

っ て φ2(xn)>nπ.

等 号 が 成 立 つ と し,[a,xn]

成 立 つ と仮 定 す る.も

い とす れ ば,y2(x)はa<x<xnにn個 線 φ2(x)は

導 い た 論 法 で φ1(x)

の 零 点 を 持 つ こ と を 示 す.

  最 後 の 命 題 は 次 の よ う に 証 明 さ れ る.(2.69)で の あ る 点 で(2.70)ま

初 期 条 件 φ2(a)=φ1(a)を

解 は初期 条件 に よって一 意 的に 定

っ て φ1(x)≦φ2(x)<φ2(x)が

こ れ はy2(x)がa<x<xnにn個

本 当 の 不 等 号 が 成 立 つ と仮 定

し,命

題が正 し くな

の 零 点 を 持 つ こ と は で き ず,そ 満 た す.定

成 立 つ.(2.73)(j=2)を

理 の 第2の

の φ曲

命 題 に よ り,φ1(x)

と 書 直 す.[a,xn]で =0と

φ1(x)=φ2(x),φ1′(x)=φ2′(x)で

な る.sinφ2(x)=0と

な る の はy2(x)の

[a,xn]でq1(x)=q2(x)が こ れ は,あ

成 立 つ.こ

るxで1/p2−1/p1>0な

と を 意 味 す る.も る点 で,従

し[a,xn]の

こ で φ(x)

零 点 にお いて だけ で あ る か ら,

れ か ら,(1/p2−1/p1)cos2φ2=0が

らcosφ2(x)=0,つ ど の 点 で も(2.70)が

っ て あ る 部 分 区 間 で(2.71)が

y2′(x)=[p2(x)y2′(x)]′=0と

あ る か ら,そ

な る が,こ

出 る が,

ま りy2′(x)=0と

なるこ

成 立 た な い な ら ば,そ

成 立 つ こ と に な る.そ れ はq2(x)=0を

のあ

の 区間 で

導 び く の で 矛 盾. (証 明 終)

  ス ツ ル ム の 比 較 定 理 の 内 容 は,多 れ ば[p(x)y′]′+q(x)y=0の お く と 便 利 で あ る.こ

少 荒 っ ぽ い が,′p(x)が

減 りq(x)が

増 え

解 の 零 点 の 個 数 は 増 え る′ と い う具 合 に 覚 え て の 定 理 か ら直 ち に 得 ら れ る次 の 系 は ス ツ ル ム の 分 離 定 理

と 言 う名 で 知 ら れ て い る.   系1 

y1(x),y2(x)を

(2.66),(2.67)の J内

係 数 は(2.68)を

に あ るy1(x)の

お け る(2.66),(2.67)の

(2.66)-(2.67)の1次

区 間[x1,x2]に

少 くとも

に,p1(x)≡p2(x),q1(x)≡q2(x)で,y1(x),y2(x)が 独 立 な 解 な ら ば,y1(x)の

ま り区 間(x1,x2)の

零 点 の 間 にy1(x)の

解 と す る.

満 た し て い る と仮 定 す る.x1,x2(x1<x2)を

隣 り 合 う零 点 と す れ ば,y2(x)は

一 つ 零 点 を 持 つ .特

の 間 に(つ

そ れ ぞ れ 区 間Jに

中 に)y2(x)の

隣 り合 う零 点x1,x2(x1<x2) 零 点 が 存 在 し,y2(x)の

隣 り合 う

零 点 が 存 在 す る.

  最 後 の 事 実 を,'y1(x),y2(x)の

零 点 は 互 い に 分 離 し 合 う'と

言 う.

  比 較 定 理 の 応 用 を 少 し 述 べ よ う.   定 理2.11 

微分 方程 式

 (2.76) 

[p(x)y′]′+q(x)y=0

に お い て,p(x)は[a,b]で

連 続 微 分 可 能,q(x)は[a,b]で

0<m1≦p(x)≦M1,  を 満 た す と す る.m1,m2,M1,M2は

0<m2≦q(x)≦M2 定 数 で あ る.

連 続か つ不 等式

 (2.76)の

零 で な い 解 の 任 意 の 隣 り合 う 零 点 をx1,x2(x1<x2)と

す れ ば,

  (2.77)

が 成 立 つ.   証 明   (2.76)と

即ち

  (2.78) 

と 比 較 す る.(2.78)の

零 で な い解 は

( 

 (2.79) 

と 表 わ さ れ る.こ

の 零 点 は 

注 意 し よ う.α=x1と

の間隔 で等 間隔 に分布 し て い る こ と に

お け ば,ス

の 零 点 

α は任意定数)

ツ ル ム の 比 較 定 理 に よ り,x1<x≦x2に(2.79)

が 入 る こ と が 結 論 さ れ る.こ

れは

を 意 味 す る.(2.76)と

即ち を 比 較 す れ ば,同 様 に

が 得 られ る.    こ の 事 実 を 使 え ば,容   系2 

(証明終) 易 に,次

の 命 題 が 証 明 で き る:

微 分方 程式 y″+q(x)y=0

に お い て,q(x)はx≧0で

連 続 で,x→

こ の 方 程 式 の 零 で な い 解 はx≧0に(可 を 持 ち,n→

∞ の と きxn−xn−1→

  証 明 は 自 ら 試 み ら れ た い(演   さ て,ベ

∞ の と きq(x)→1と 算)無

ッセル の微 分方 程 式

限 個 の 零 点x1<x2<…<xn<…

π で あ る.

習 問 題2.7,4参

す る.こ

照).

の と き,

 (2.80)

を考え る.変 換  

を行 なえば,こ れは

  (2.81)

に 移 る.(2.80)に

系2を

適 用 す れ ば,結

無 限 個 の 零 点x1<x2<…<xn<…

局,(2.80)の

を 持 ち,n→

零 で な い 解 は,x≧0に

∞ の と きxn−xn−1→

π とな る

こ と が わ か る.   定 理2.10の る.そ

証 明 の 途 中 に 挿 入 し た 補 題2.5の

証 明 を行 な って この節 を 終 え

の た め に 補 題 を も う 一 つ 用 意 す る.

  補 題2.6 

w(x)を

微 分不等 式 w′(x)≦F(x,w(x)), 

の 解,u(x)を

a≦x≦b

微分 方 程式 u′(x)=F(x,u(x)), 

の 解 とす る.F(x,y)はyに

a≦x≦b

関 し て リ プ シ ッ ツ 条 件(2.75)を

こ の と き,w(a)=u(a)な

ら ばw(x)≦u(x)がa≦x≦bで

  証 明   こ の 区 間 の 一 点x1でw(x1)>u(x1)と w(x)≦u(x)と

な るxの

最 大 値 をx0と

満 た す と 仮 定 す る. 成 立 つ.

な る な ら ば,a≦x≦x1の す る と き,w(x0)=u(x0)が

中で 成 立 つ.

x0≦x≦x1で,φ(x)=w(x)−u(x)≧0は φ′(x)=w′(x)−u′(x)≦F(x,w(x))−F(x,u(x))≦L[w(x)−u(x)]=Lφ(x) を 満 た す.定

理1.1の

一 意 性 の 証 明 を 思 い 出 せ ば,こ

φ(x0)eL(x−x0)=0を,従 はw(x1)>u(x1)な

っ て φ(x1)=0を

証 明   も しGが

≦G(x,u)で

あ る か ら,こ

a≦x≦bでu(x)≦υ(x)が

微 分 方 程式

導 き 出 す こ とが で き る.し

か し これ

る 仮 定 に 反 す る か ら 不 合 理 で あ る. 

  補 題2.5の

  も しFの

の 関 係 式 か ら,φ(x)≦

(証 明 終)

リ プ シ ッ ツ 条 件 を 満 足 す る な ら ば,u′=F(x,u)

のuとυ

を 補 題2.6に

よ っ て 比 較 す る こ と が で き,

得 ら れ る.

方 が リ プ シ ッ ツ 条 件 を 満 足 す る な ら ば,u=−u(x),υ=−υ(x)は

 

u′=F(x,u)≡

−F(x,−u),υ′=G(x,υ)≡

を 満 た す.G(x,y)≦F(x,y)でFは 補 題2.6に

−G(x,−

υ)

リ プ シ ッ ツ 条 件 を 満 た す か ら,υ

よ っ て 比 較 し てa≦x≦bでυ(x)≦u(x),即

とuを

ちu(x)≦υ(x)を

得 る. (証 明 終)

演 習 問 題2.7   1.  次 の 微 分 方 程 式 の零 で な い 解 のφ 曲線 を 調 べ よ.  

(a) 

y″+y=0. 

(b)  y″ −y=0.

  2.  微 分 方 程 式[p(x)y′]′+q(x)y=0の φ 曲 線 はφ′(x)=q(x)を

零 で な い 解y(x)が

の

満 た す こ とを 示 せ.

  3.  微 分 方 程 式φ′=Asin2φ+Bcos2φ(A,Bは   4.  系2を

極 値 を と る 点 で,そ

正 の 定 数)の す べ て の 解 を 求 め よ.

証 明せ よ.

  5.  微 分 方 程 式[p(x)y′]′+q(x)y=0の 持 た な い こ と を示 せ.ま

た,こ

零 で な い 解 の 零点 の集 合は有 限な集積 点 を

の 方 程 式 の1次

独 立 な2つ

の解 は零 点を共 有 しない こ と

を 証 明 せ よ.  6.  微 分方程 式y″+A/x2y=0の

零 でない任意

∞)に 無 限 個 の 零 点 を 持つ が,A<1/4な   7.  微 分方程式y″+q(x)y=0におい

は,区

間(1,+∞)に

の 解 は,A>1/4な

らば,区

間(1,+

らば 有 限 個 の零 点 しか 持 た な い こ とを 示 せ. て,q(x)>A/x2,A>1/4な

ら ば 零 で ない 解

無 限 個 の 零 点を 持 つ こ と,q(x)<1/4x2な

らば 有 限 個 の零 点し か 持

た な い こ と を 証 明 せ よ.   8.  エ ア リ ィの 微 分 方 程 式y″+xy=0の が,x<0に

  2.8 

は 高々1個

零 で な い 解 は,x>0に

無 限 個 の零 点 を 持 つ

の零 点 しか 持 ち 得 な い こ と を 示 せ.

固 有値 と固 有 関数 の存在

 前 節 で 解 説 し た プ リ ュ ー フ ァ の 方 法 を 用 い て,正  (2.82) 

則 な ス ツル ム ・ リウ ビル 系

L[y]=[p(x)y′]′+[q(x)+λr(x)]=0, Ba[y]=αy(a)+α′y′(a)=0,

 (2.83) Bb[y]=βy(b)+β′y′(b)=0

の 固 有 値 と固 有 関 数 の 存 在 に 関 す る基 本 的 な 定 理 を 証 明 す る こ とが で き る.   定 理2.12 

区 間[a,b]で,p(x)は

連 続 微 分 可 能,q(x),r(x)は

連 続,か

つp(x)>0,r(x)>0と

仮 定 す る.定

を 満 た す も の と す る.こ

の と き,正

数

α,α

′,β,β ′は

則 な ス ツ ル ム ・ リ ウ ビ ル 系(2.82)−(2.83)

は可 算無 限個 の固有 値

を 持 つ.固

有 値 λnに 属 す る 固 有 関 数 は,定 数 因 数 を 除 い て 一 意 的 に 定 ま り,

区 間a<x
丁 度n個

の 零 点 を もつ.

  証 明   プ リ ュ ー フ ァの 変 換 に よ って,(2.82)を   (2.84)

な る連 立 微 分 方 程 式 に 変 換 す る.φ が 求 ま れ ば 必 然 的 に ρが 定 ま るか ら,我 々 は(2.84)だ

け を 問 題 に す れ ば よい.yに

対 す る境 界 条 件(2.83)は,φ

て は ど の よ うな 条 件 に な る で あ ろ うか?yと

に よ っ て 結 ば れ て い る か ら,  き はγ=π/2, は0≦

γ<π

φは

の と き は 

と し て γ を 定 め れ ば,境

α=0の

界 条 件Ba[y]=0は

な る 範 囲 に 選 ん で お く.同

様 に,境

の と きは 

φ(a)=γ

と

と な る.γ

界 条 件Bb[y]=0は,

の とき は

と し て δを 定 め れ ば,φ(b)=δ+nπ(n≧0は

整 数)と

  以 上 の 考 察 か ら,y=y(x,λ)が(2.82)−(2.83)の 数 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,そ

につ い

な る. 固有 値 λに属 す る 固 有 関

の φ 曲 線 φ(x,λ)が

φ(a,λ)=γ,φ(b,λ)=δ+nπ

 

(n=0,1,2,…) (0≦ γ<π,  0<δ ≦ π)

を 満 足 す る こ と で あ る と 結 論 す る こ とが で き る.

  我 々 は1階

微 分 方 程 式(2.84)を,初

y(a)=sinγ,p(a)y′(a)=cosγ

の 解 φ(x,λ)はa≦x≦bで

お け る値 φ(b,λ)を 考 え る.φ(b

,λ)=δ+nπ

そ うで な け れ ば λ は 固 有 値 で は な い.従 φ(b,λ)が,λ

の 下 で 解 く.こ

な る 初 期 条 件 を 満 た す(2.82)の

曲 線 で あ る こ と に 注 意 す る.そ x=bに

期 条 件 φ(a,λ)=γ

解y(x)の

φ

存 在 す る か ら,右

と な る な ら ば,λ

っ て,解

れ は,

φ(x,λ)のx=bに

端

は 固 有 値, お け る値

の 変 化 に 応 じ て どの よ うに 変化 す るか を 的 確 に つ か む こ と が 必

要 に な る.   (2.84)の

右辺 を

と 書 け ば,fはa≦x≦b,− で,φ,λ

∞<φ<∞,−

に つ い て 滑 ら か で あ る か ら,常

る 連 続 性 に 関 す る 定 理*に <∞

∞<λ<∞

で(x,λ)の

よ り,初

微分 方程 式 の解 のパ ラメ ターに 関す

期 値 問 題 の 解 φ(x,λ)はa≦x≦b,−

連 続 関 数 に な る.f(x,φ;λ)は

ツ ル ム の 比 較 定 理(定 理2.10)の

で 定 義 され た 連 続 関 数

∞<λ

λ の 増 加 関 数 で あ る か ら,ス

証 明 が 示 す よ うに,φ(b,λ)は

λの増 加 関 数 で

あ る.  (2.85) 

λ→ ∞

の とき

な る こ とを 示 そ う.そ の た め に(2.82)を

φ(b,λ)→ ∞

独 立 変 数 の 変 換 

に よって

 (2.86)

に 変 換 す る.M>0を

任 意 の 数 と し,λ>0を

p(x)[q(x)+λr(x)]≧M2が

十 分 大 き く と っ て,a≦x≦bで

成 立 つ よ う に す る.(2.86)と y+M2y=0

に ス ツ ル ム の 比 較 定 理 を 適 用 す る.任 と れ ば,(2.86)の

零 で な い 解 はtの

零 点 を 持 つ.こ

れ は,λ

(補 題2.4).従

っ て(2.85)が

意 の 自然 数nに

対 し て,Mを

に 少 く と もn個 の

区 間0≦t≦t0≡ 

が 十 分 大 き い な ら ば φ(b,λ)≧nπ 証 明 さ れ た.次

十分 大 き く

が 成 立 つ こ とを 示 す

に,

*  斎藤利 弥著 「 常 微分方程 式論」(近 代数学 講座5巻) ,朝 倉 書店,第1章

参照.

  (2.87) 

λ→ − ∞

な る こ と を 示 そ う.補

題2.4に

の と き

φ(b,λ)→0

よ り φ(b,λ)≧0.任

を 十 分 大 き く と れ ば,p(x)[q(x)+λr(x)]≦   (2.88)

≦ ψ(t0,M)が

−M2<0と

対 し,−

λ>0

な る.(2.86)と

  y−M2y=0

を 比 較 す る.(2.88)の

ψ(0,M)=γ

意 のM>0に

解y(t)の

φ 曲 線 を ψ(t,M)と

を 満 た す ψ(t,M)に 成 立 つ.こ

対 し て,ス

ツ ル ム の 比 較 定 理 に よ り,φ(b,λ)

の ψ(t,M)は,(2.88)の y(0)=sinγ, 

書 く:

初期 条件

y(0)=cosγ

を満 たす 解

に 対 応 し て い る こ とを 考 慮 す れ ば

,固 定 し たt>0に

のとき

図2.4 

φ(x,λn)の

グ ラ フ

対 して

と な る こ と が 容 易 に 確 か め ら れ る か ら,M→ 従 っ て,λ → −∞

の と き φ(b,λ)→0.こ

  極 限 関 係(2.85),(2.87)お − ∞ か ら+∞

∞

の と きψ(t0,M)→0と

れ で(2.87)が

よ び φ(b,λ)の

な る.

言 え た.

λに 関 す る 単 調 性 に よ り,λ

を

ま で 増 や して ゆ け ば , φ(b,λn)=δ+nπ, 

n=0,1,2,…

と な る よ う な λ0,λ1,λ2,…が 存 在 す る こ と が わ か る.補 固 有 関 数 が,区

間a<x
丁度n個

な らば  

(図2.4参

  既 に 証 明 し た 定 理2.2,定

理2.4,定

題2.4は,λnに

の 零 点 を 持 つ こ と を 示 す.ま 照). 

属す る た,  (証 明 終)

理2.9を

上 の 定 理2.12と

組 合 せ れ ば,

次 の 事 実 を 導 き 出 す こ と が で き る.   定 理2.13  λ2,…,対

正 則 な ス ツ ル ム ・ リ ウ ビ ル 系(2.82)−(2.83)の

応 す る 固 有 関 数 をy0(x),y1(x),y2(x),…

な る 固 有 関 数 は,[a,b]に

 な ら ば,非   (2.89) 

お い て 重 さr(x)に

の と き,相

異

関 し て 直 交 す る:

[p(x)y′]′+[q(x)+λr(x)]y=−f(x),

の 解 は 一 意 的 に 存 在 し て,グ

の 形 に 表 わ さ れ る.λ=λjな

y(x)を

と す る.こ

斉 次境 界値 問題

Ba[y]=0, 

が 成 立 つ と き,し

固 有 値 を λ0,λ1,

Bb[y]=0

リ ー ン 関 数G(x,ξ,λ)を

ら ば(2.89)の

か も そ の と き に 限 る.そ

用 いて

解が 存在 す るのは

の 場 合,(2.89)の

そ の 特 殊 解 とす れ ば,y(x)+cyj(x)(cは

定 数)の

す べ て の 解 は, 形 に 表 わ さ れ る.

演 習 問 題2.8  1.  正 則 な ス ツ ル ム ・リ ウ ビル 系(2.82)−(2.83)のn番

目 の 固 有 値 を λn,q(x)を

q1(x),q1(x)>q(x),で

置 き か え た 新 し い ス ツ ル ム ・ リ ウ ビ ル 系 のn番

と す れ ば,λn>μnで

目 の 固 有 値 を μn

あ る こ と を 証 明 せ よ.

  2.  正 則 な ス ツ ル ム ・ リ ウ ビ ル 系(2.82)−(2.83)のr(x)をr1(x),r1(x)>r(x),で 置 き か え れ ば,正

の 固 有 値 は 減 少 す る こ と,負

の 固 有 値 は 増 加 す る こ と を 証 明 せ よ.

  3.  正 則 な ス ツ ル ム ・ リ ウ ビ ル 系(2.82)−(2.83)のn番

目 の 固 有 値 を λn,境 界 条 件

(2.83)を α1y(a)+α1′y′(a)=0, 

βy(b)+β

で 置 き か え た 新 し い ス ツ ル ム ・ リ ウ ビ ル 系 のn番 α′/αな ら ば λn>μnで   4.  §2.7で

目 の 固 有 値 を μnと

導 入 し た プ リ ュ ー フ ァ 変 換 の 代 りに py′=ρsinφ

を 用 い る と,ρ,φ は ど の よ うな 微 分 方 程 式 を 満 た す か.こ

  2.9 

す る.α1′/α1<

あ る こ と を 証 明 せ よ.

y=ρcosφ, 

定 理2.12を

′y′(b)=0

の 変 換 に よ っ て も,定

理2.10,

証 明 す る こ と が で き る こ と を 確 か め よ.

特 異 な ス ツ ル ム ・ リウ ビル 系

  有 界 区 間a<x
お い て,p(x)は

p(x)>0,r(x)>0と

仮 定 す る.こ

=r(x)=0と

連 続 微 分 可 能,q(x),r(x)は

連 続,

の 区 間 の 一 方 ま た は 両 方 の 端 点 でp(x)

な っ た り,q(x),r(x)が

不 連 続 に な っ た りす る 場 合 に,a<x
で 微 分方程式   (2.90) 

[p(x)y′]′+[q(x)+λr(x)]y=0

を 満 た し,両

端 で 適 当 な境界 条件 を満 たす 零で な い関数 を求 めな ければ な らな

い こ と が あ る(§2.4参   例1 

照).

ル ジ ャ ン ドル 微 分 方 程 式

 (2.91) 

[(1−x2)y′]′+λy=0, 

−1<x<1

の解 で境 界 条件  (2.92) 

x→ ±1の

と きy,y′

は有 界

を 満 た す も の を 求 め よ.   例2 

  (2.93)

mを

非 負 の 整 数 とす る と き,ベ

ッ セ ル 微 分 方 程 式,

の解 で境 界条件  (2.94) 

y(a)=0;x→0の

と きy,y′

は有 界

を 満 た す も の を 求 め よ.   こ の よ う な,特

異 な 微 分 方 程 式 と 対 応 す る 境 界 条 件 を あ わ せ て,特

ル ム ・ リ ウ ビ ル 系 と 名 付 け る.あ ば,λ (n≧0整

を 固 有 値,y(x)を 数)が

で な い 解y(x)が

λ に 属 す る 固 有 関 数 と言 う.例1で

固 有 値,n次

数 で あ る(§1.3例

る λ の 値 に 対 し て,零

ル ジ ャ ン ドル 多 項 式Pn(x)が

参 照).例2を

考 え る. 

異なスツ あれ

は,λn=n(n+1) λnに 属 す る 固 有 関

と お い て(2.93)をm次

ベ

ッセ ル 微 分 方 程 式

即ち に 変 換 し,t=0に

お い て 有 界 な 解 と し て 第1種

元 に 戻 せ ば,  る た め に は, 

がx=0で がJm(t)の

に,Jm(t)はt>0に

有 界 な(2.93)の

可 算 無 限 個 の 零 点 を 持 つ か ら, 

ル 系 と 同 様 に,一

な みた よう

存 在 す る.即

がJm(t)の ち, 

特 異 ス ツ ル ム ・ リ ウ ビ ル 系(2.93)−(2.94)の

  こ の 例 の よ う に,特

得 る.

解 に な る.x=aで0に

零 点 で な け れ ば な ら な い が,§2.7で

な る よ う な λの 値 は 無 限 個0<λ1<λ2<… 2,…)は

ベ ッ セ ル 関 数Jm(t)を

零点 に (j=1,

固 有 関 数 に な る.

異 な ス ツ ル ム ・ リ ウ ビ ル 系 も,正

則 な ス ツル ム ・ リウ ビ

列 の 固 有 値 と 固 有 関 数 を 持 つ こ と が あ る.し

か ら ば,固

有 値,

固 有 関 数 の 性 質 も正 則 な ス ツ ル ム ・ リ ウ ビ ル 系 の 場 合 に 類 似 し て い る で あ ろ う か?例

え ば,固

あ ろ う か?当

有 値 は 実 数 で あ ろ う か?ま

た 固 有 関 数 は 互 い に 直 交 す るで

然 こ の よ う な 疑 問 が 起 るで あ ろ う.そ

れ に 答 え る に は,正

ス ツ ル ム ・ リ ウ ビル 系 の 場 合 に 述 べ た 事 柄(定 理2.8,2.9)を

反 省 す れ ば よ い.

証 明 の 核 心 は, L[y]=[p(x)y′]′+q(x)y な る 自 己 随 伴 微 分 作 用 素 と,2回 αy(a)+α

連続 微 分可 能 で境 界 条件

′y′(a)=0,βy(b)+β

を 満 た す 任 意 の 関 数y(x),z(x)に

対 して

則 な

′y′(b)=0

  (2.95)

が 成 立 つ,と に も,境

い う こ と で あ っ た.従

界 条 件 が(2.95)を

言 え ば,そ

っ て,特

異 な ス ツル ム ・ リウ ビル 系 の 場 合

保 証 す る よ う な も の で あ る な ら ば,も

の 境 界 条 件 を 満 た しa<x
y(x),z(x)に

っ と正 確 に

連 続 微分可 能 な任 意 の関 数

対 し て,

 (2.96)

が 成 立 つ な らば,定 理2.8,2.9に

類 似 した 結 論 を導 く こ とが で き るの で あ る.

命 題 を 厳 密 に 述 べ るた め に,2乗   定 義   関 数f(x)が,区

可 積 分 な 関 数 の 定 義 を 記 す.

間J(有

限 で も無 限 で も よい)で,重

さr(x)>0に

関 し て2乗 可 積 分 で あ る とは,

と な る こ と を 言 う.簡

単 に 証 明 で き る シ ュ ワル ツ(Schwarz)の

不 等式

か ら,二 つ の2乗 可 積 分 関 数 の 積 は 可 積 分 で あ る こ とが わ か る.   定 理2.14  な らば,固 し て2乗

特 異 な ス ツル ム ・ リウ ビル 系 に 対 して 関 係(2.96)が

有 値 と固 有 関 数 が 存 在 す る と き,固

可 積 分 な 相 異 な る 固 有 関 数 はr(x)を

  証 明   殆 ど明 らか で あ ろ う.例 を そ れ ぞ れ λ,μ に属 す る,重 ば,任

え ば,λ,μ

さr(x)に

意 のa′,b′(a
対 して

有 値 は 定 数 で,重

満 た され る さr(x)に

関

重 さ と し て 直 交 す る. を 相 異 な る固 有 値,y(x),z(x)

関 し て2乗 可 積 分 な 固 有 関 数 とす れ

が 成 立 つ.境

界 条 件 に 関 す る 仮 定(2.96)に

よ り,a′ →a+0,b′

→b−0と

す れ

ば

が 得 ら れ る.従   例1の

っ てy(x)とz(x)は

重 さr(x)に

ル ジ ャ ン ドル 微 分 方 程 式 に お い て は,p(x)=1−x2,q(x)=0,r(x)=1

で,p(±1)=0で

あ る か ら,x→

と い う境 界 条 件 の 下 で は,確

±1の

と き 解 お よび そ の 導 関 数 は 有 界 で あ る

か に(2.96)が

ル ジ ャ ン ドル 多 項 式Pn(x),Pm(x)は

 例2の

関 し て 直 交 す る.  (証 明 終)

成 立 つ.従

っ て,固

有 関 数で あ る

直 交 す る:

r(x)=x

ベ ッ セ ル 微 分 方 程 式 に お い て は,p(x)=x, 

で あ る.x→0の 件 の 下 で は,確

と き 解 お よ び そ の 導 関 数 は 有 界,x=aで か に(2.96)が

はr(x)=xを

成 立 つ.従

っ て,相

解 は0と

い う境 界 条

異 な る 固 有 関 数 

重 さ と し て 直 交 す る:

た だ し,

演 習 問 題2.9   1.  特 異 な ス ツ ル ム ・ リ ウ ビ ル 系 [xy′]′+λxy=0,0<x
と きy,y′

は 有 界;y′(a)=0

に つ い て 次 の 問 に 答 え よ.  

(a) 

固 有 関 数 は 

で 与 え ら れ る こ と を 示 せ.た

だ し, 

の 正 根 を 小 さ い 方 か ら 大 き い 方 へ 並 べ た と き の 第n番   を 示 せ.

 (b)   2.  特 異 な ス ツ ル ム ・ リ ウ ビ ル 系 [(1−x2)y′]′+λy=0,0<x<1,

は 

目 の 根 で あ る.

y(0)=0,x→1の

と きy,y′

は有 界

に つ い て 次 の 問 に 答 え よ.   (a) 

固 有 値 は λ1=2,λ2=4・3,…,λn=2n(2n−1),…,固

有 関数 は 奇数 次ル ジ ャ

ン ドル 多 項 式y1(x)=P1(x),y2(x)=P3(x),…,yn(x)=P2n−1(x),…

で あ るこ

と を 示 せ.

を 証 明 せ よ.

 (b)    3.  特 異 な ス ツ ル ム ・ リ ウ ビ ル 系

[(1−x2)1/2y′]′+λ(1−x2)−1/2y=0,−1<x<1,

x→ −1の

と きy,y′

は 有 界; 

x→1の

と きy,y′

は有界

に つ い て 次 の 問 に 答 え よ.   (a)   

こ の 問 題 に 対 し て(2.96)が

(b) 

成 立 つ こ と を 示 せ.

固 有 値 は λ0=0,λ1=1,λ2=4,…,λn=n2,…,固 多 項 式Tn(x)で

有 関 数 はn次

チ ェ ビシェフ

あ る こ と を 示 せ.

を 証 明 せ よ.

 (c)    4.  特 異 な ス ツ ル ム ・ リ ウ ビ ル 系 [(x−a)(b−x)y′]′+λy=0,a<x
と きy,y′

は 固 有 値 λn=4n(n+1)(b−

  2.10 

は 有 界,x→bの

と きy,y′

α)2を 持 つ こ と を 示 せ.固

は有 界

有 関 数 は 何 か.

リウ ビ ル の 標 準 形 と変 形 プ リ ュー フ ァ変 換

  こ の 章 の 最 後 の 話 題 は,正   (2.97)    (2.98) 

則 な ス ツル ム ・リウ ビル 系

[p(x)y′]′+[λr(x)+q(x)]y=0, αy(a)+α′y′(a)=0,βy(b)+β′y′(b)=0

の 固 有 値 λn,固 有 関 数yn(x)の,nが

限 りな く 大 き く な る と き の 性 質 を 調 べ

る こ と で あ る.   リ ウ ビ ル の 標 準 形   そ の た め に ま ず,方 こ と を 試 み る.独

程 式(2.97)を

適 当な形 に 変換す る

立 変数 お よび従属 変数 の 変換

を 行 な う.u(x),υ(x)は

い ず れ も2回

連 続 微 分 可 能 な 正 の 関 数 とす る.す

る

と,(2.97)は

次 の よ うに な る:

両 辺 をpu2υ

で割 れ ば

ztt+(puυ)−1[(pu)tυ+2puυt]zt+[(puυ)−1(puυt)t+p−1u−2(λr+q)]z=0 を 得 る.こ

こ で,u2=r/pと

選 べ ば λ を 含 む 項 は λzに な る.次

が0に

な る よ うに υ を 選 ぶ.そ

=0を

解 け ば よ く,直

れ に は,υ

ち に υ2=1/puが

に,ztの

係数

に 関 す る 微 分 方 理 式(pu)tυ+2puυt

得 ら れ る.従

っ て,変

換

  (2.99)

を 行 な え ば,方

程 式(2.97)は

 (2.100)

な る形 の 方 程 式 に 変 換 さ れ る.こ こで,   (2.101)

(2.99)を

リ ウ ビ ル 変 換,(2.100)を

リ ウ ビ ル の 標 準 形 と 呼 ぶ.

  関 数p(x),r(x)がa≦x≦bで2回

連 続 微 分 可 能 か つ 正,q(x)がa≦x≦b

で 連 続 な ら ば,

  (2.102)

に よ っ て,(2.97)は(2.100)に,(2.98)は   (2.103) 

αz(0)+α

同種 の 条 件

′zt(0)=0, 

βz(l)+β

に 変 換 さ れ る こ と が わ か る.(2.100)-(2.103)は

′zt(l)=0

新 し い正 則 な ス ツ ル ム ・ リ

ウ ビ ル 系 で あ る.   定 理2.15  (2.97)-(2.98)は 際,固

リ ウ ビ ル 変 換(2.102)に

よ っ て,正

則 ス ツル ム ・リ ウ ビル 系

正 則 ス ツ ル ム ・ リ ウ ビ ル 系(2.100)-(2.103)に

有 値 は 変 ら な い.ま

た,重

さr(x)に

移 る.そ

関 し て 直 交 す る(2.97)-(2.98)の

の

固 有 関 数 は,重

さ1に

関 し て 直 交 す る(2.100)-(2.103)の

固 有 関 数 に 移 る.

  証 明   最 後 の 命 題 を 確 か め れ ば よ い.(2.97)-(2.98)の y1(x),y2(x)が(2.102)に (2.100)-(2.103)の

よ っ てz1(t),z2(t)に

相 異 な る固 有 関 数 移 っ た とす る.こ

固 有 関 数 に な る こ と は 明 ら か.直

れ らが

交性は

な る 関 係 か ら 容 易 に 出 る. 

(証 明 終)

  変 形 プ リ ュ ー フ ァ 変 換   こ れ か ら は,   (2.104) 

y″+[λ+q(x)]y=0,

  (2.105) 

αy(a)+α

′y′(a)=0,βy(b)+β

′y′(b)=0

の 形 の 正 則 ス ツ ル ム ・ リ ウ ビ ル 系 を 考 え る.q(x)はa≦x≦bで

連 続, 

とす る.   λ を 十 分 大 き く と っ て,λ+q(x)>0,a≦x≦b,と ァ 変 換(2.63)に

示 唆 され て

  (2.106) 

y=(λ+q)−1/4R

す る.§2.7の

sinΦ, y′=(λ+q)1/4R

プ リュー フ

cosΦ

即ち  (2.107) 

R2=(λ+q)1/2y2+(λ+q)−1/2y′2,

で 定 め ら れ る 変 換 を 導 入 す る.こ [(λ+q)−1/4R [(λ+q)1/4R をR′,Φ

れ を 変 形 プ リ ュ ー フ ァ 変 換 と 言 う.

sinΦ]′=(λ+q)1/4R

cosΦ,

cosΦ]′+(λ+q)(λ+q)−1/4R

′ に つ い て 解 け ば,(2.64)-(2.65)に

sinΦ=0

似 た 連 立 微 分 方 程 式

 (2.108)

 (2.109)

が 得 ら れ る.(2.108)は

Φ に 関 す る単 独 の 微 分 方 程 式 で あ る こ と,ま

た,

(2.109)は

と も 書 か れ る こ と に注 意 す る.(2.104)の -(2

.109)の

解 Φ(x,λ),R(x,λ)>0が

  λ→ ∞ の と き の(2.104)の   定 理2.16 

零 で な い 解y(x,λ)に 対 応 し,逆

解y(x,λ)の

も 言 え る.

行 動 に つ い て 次 の 定 理 が 成 立 つ.

q(x)はa≦x≦bで1回

R(x,λ)を(2.108)-(2.109)の

対 し て(2.108)

連 続 微 分 可 能 と仮 定 す る.Φ(x,λ), 解 とす れ ば,λ → ∞ の と き

  (2.110)

  (2.111)

が 成 立 つ.   定 理 を 証 明 す る 前 に,Oを x≦bな xに

るxと

含 む 記 号 の 説 明 を し,補

題 を 用 意 し て お く.a≦

十 分 大 き い λ に 対 し て 定 義 さ れ た 関 数g(x,λ)が

関 し て 一 様 に 有 界 な ら ば,g(x,λ)=O(1)と

λαg(x,λ),α>0,がxに

書 く.ま

λ→ ∞ の と き

た,x→

∞ の と き,

関 し て 一 様 に 有 界 な ら ば, 

こ の 種 の 記 号 を 使 う際 に は,g(x,λ)ま は 関 心 を 持 た な い の で あ る.容 O(1)O(1)=O(1),a,bが

と 書 く.

た は λαg(x,λ)の

有 界性 以外 の性質 に

易 に 検 証 で き る よ う に,O(1)+O(1)=O(1),

ならば 

有 限 な ら ば  と い っ た 関 係 が 成 立 つ.ま

た,q(x)が

有 界 な らば

λ→ ∞

の とき

が 成 立 つ こ と は,2項   補 題2.7 

展 開 を 用 い て 導 く こ とが で き る.

φ(x),ψ(x)を

そ れ ぞ れ,区

φ ′=F(x,φ),  とす る.F(x,φ),G(x,φ)はa≦x≦b,−

間a≦x≦bに

お け る微 分 方 程 式

ψ′=G(x,ψ) ∞<φ<∞

で 定義 され た連 続関 数

で,F(x,φ)は 定 す る.さ

リ プ シ ッ ツ 条 件:￨F(x,φ)−F(x,ψ)￨≦L￨φ ら に,あ

− ψ￨を 満 た す と 仮

る 定 数 ε,δ が 存 在 し て

が 成 立 つ と仮 定 す る.こ の と き,a≦x≦bで   (2.112)

が 成 立 つ.   証 明   φ(x),ψ(x)は

を満たすから

が 得 られ る.両 辺 の 絶 対 値 を と り,Fの

リプ シ ッ ツ連 続 性 を使 う と,

  (2.113)

が 得 ら れ る.い

とお け ば,上

ま, 

と な る.両

辺 にe−L(x−a)を

これ をaか

らxま で 積 分 す る と

即ち

掛 け,xを

ξ と書 きか え る と

式は

が 得 ら れ る.こ

のE(x)を(2.113)に

代 入 す れ ば(2.112)が

成 立 つ こ とが わ か

る. 

(補題 の 証 明 終)

  定 理2.16の

証 明   ま ず,(2.108)の

の 解 

解 Φ(x,λ)と

を 補 題2.7に

よ っ て 比 較 す る.

Φ(a,λ)=Φ0(a,λ)

で あ るか ら, 

が 得 ら れ る.こ   次 に,(2.109)の

δ=0と

れ は(2.110)に

お く こ とが で き,結

論 として

ほ か な ら な い.

解R(x,λ)と (log R)′=0

の 解R0(x,λ)≡R(a,λ)を

で あ る か ら,補

題2.7に

比 較 す る.

よ り,

が 得 ら れ る.  (2.111)が

は 直 ぐに わ か るか ら,こ

導 か れ る. 

れ を 使 え ば, (証 明終)

演 習 問 題2.10   1.  次 の 微 分 方 程 式 の リ ウ ビ ル の 標 準 形 を 求 め よ.   (a) 

y″ −2xy′+λy=0. 

(b) 

(1−x2)y″

−2xy′+λy=0.

  (c) 

xy″+(1−x)y′+λy=0. 

(d) x2y″+xy′+(λx2−m2)y=0.

 (e) 

  2.11 

x(1−x)y″+[γ

−(α+β+1)x]y′

固 有値 と 固 有 関 数 の 漸 近 的 性 質

  簡 単 な 微 分 方 程 式y″+λy=0に yn(x)を

− α βy=0.

対 す る固有値 問題 の 固有値

λn,固 有 関 数

列 記 す る:

 (a)

 (b)

 (c)

は 

 (d) 

の 根;

こ の 例 が 示 す よ う に,固 有 値 の 分 布 の 状 態 は 境 界 条 件 に よ っ て 決 ま る.一 般 の 正 則 な ス ツ ル ム ・ リウ ビル 系 の 固 有 値,固 有 関 数 に つ い て は ど の よ うな こ とが 言 え るで あ ろ うか?   固 有値 の 漸 近 分 布   標 準 形 の 正 則 な ス ツル ム ・リ ウ ビル 系   (2.114)    (2.115) 

y″+[λ+q(x)]y=0, αy(a)+α

を 考 え る.q(x)はa≦x≦bで

βy(b)+β

連 続 微 分 可 能, 

  定 理2.17  の 固 有 値 λnは,nが

′y′(a)=0, 

な ら ば,正

な る漸近関係を満たす.

と 仮 定 す る.

則 ス ツ ル ム ・ リ ウ ビ ル 系(2.114)-(2.115)

限 りな く 大 き く な る と き,

  (2.116)

′y′(b)=0

  証 明   A=−

α/α′,B=−

有 限 な 値 で あ る.固

β/β′ と お く. 

有 値 λnは,変

な る 仮 定 に よ り,A,Bは

形 プ リュ ー フ ァ変 換 に よ って 得 ら れ る方 程

式

  (2.117)

の 解

Φ(x,λ)が,

  (2.118) 

Φ(a,λ)=γ, 

Φ(b,λ)=δ+nπ

  (n=0,1,2,…)

を 満 た す よ う な λ の 値 と し て 特 徴 付 け ら れ る.こ

に よ っ て 定 め ら れ る.   x=0の

近 傍 に お け るarc

cot xの

展開は

で あ る こ と を用 いれ ば,λ → ∞ の と き

が 得 ら れ る.従

っ て(2.118)に

より

  (2.119)

一方

,定

理2.16の

結 果(2.110)に

よれ ば

  (2.120)

(2.119)と(2.120)を

組 合 せ ると

即ち   (2.121)

が 得 ら れ る.(2.121)か

ら,ま

ず,

こ で,γ,δ

は

即ち な る 事 実 が わ か る.こ

こ で も う一 度(2.121)を

見 ると

な る関 係 が 成 立 つ こ とが わ か る.   系 

な ら ば,正

(証明終)

則 な ス ツ ル ム ・ リ ウ ビル 系(2.114)-(2.115)の

有 値 の 列 λnか ら作 っ た 級 数

固

 は 収 束 す る.

  固 有 値 関 数 の 漸 近 的 性 質   (2.114)-(2.115)の

固 有 関 数yn(x)を

考 え る.

次 の よ うに 正 規 化 し て お く:

我 々 の 目標 は 次 の 定 理 を 証 明 す る こ と で あ る.   定 理2.18 

yn(x)(n=0,1,2,…)を

ス ツ ル ム ・リウ ビ ル 系(2.114)-(2.115)

の 正 規 化 さ れ た 固 有 関 数 と す る. 

な ら ば,yn(x)は

  (2.122)

な る漸 近 関 係 を 満 た す.   yn(x)は

固 有 関 数 λnに 属 し て い る か ら,変 形 プ リュ ー フ ァ 変 換 との 関 連 で

 (2.123)

と 表 わ さ れ る.た

だ し,Φ(x,λn),R(x,λn)は(2.108),(2.109)(λ=λn)の

で あ る.yn(x)の

性 質 を 導 き 出 す た め に,(2.123)の

sinΦ(x,λn)の   補 題2.8 

右 辺 に 現 わ れ るR(x,λn),

性 質 を 追 求 し て み よ う. Φ(x,λ)を

微 分 方 程 式(2.117)の

  (2.124)

が 成 立 つ.   証 明   Φ(x,λ)を 積 分 変数 と し て 用 い,

解

解 とす れ ば,λ → ∞ の と き

に 注 意 す れ ば,

を 得 る.定

理2.16の

結 果 を用 い る と

が 得 ら れ る.こ れ ら を 組 合 せ れ ば,結 局 求 め る 結 果

に 到 達 す る.   補 題2.9 

y(x,λ)を

(証明終) 微 分 方 程 式(2.114)の

零 で な い 解 とす れ ば,λ → ∞ の

と き 次 の 関 係 が 成 立 つ:

  (2.125)

 証明  (2.111)を

と表 わ し,R(x,λ)の 用 い て:

な る こ と と,上

平 方 根 を と っ て:

の(2.124)に

よ り

漸 近 的性質

(証 明 終)  系(2.114)の

解y(x,λ)が

正 規 化 さ れ て い れ ば,λ → ∞ の と き

  (2.126)

が 成 立 つ.  証 明   (2.125)よ

こ れ をR(a,λ)に

り

  補 題2.10   

つ い て 解 け ば よ い.  ス ツ ル ム ・ リ ウ ビ ル 系(2.114)-(2.115)の

な ら ば,n→

(証 明終) 固 有 値 を λnと す る.

∞ の と き 次 の 関 係 が 成 立 つ:

  (2.127)

  証 明   定 理2.16の(2.110)に

が 成 立 つ.定

理2.17の

よ り

証 明 の 中 で 注 意 し た よ うに

で あ るか ら,こ れ を 上 の 式 に 代 入 し て

  (2.128)

が 得 ら れ る.こ って

こ で,定

理2.17の

結 果 を 使 う.平

均 値 の 定 理 と(2.116)に

よ

従 っ て,こ

れ を(2.128)の

最 後 の 辺 に 代 入 す れ ば,求

め る 関 係 式(2.127)が

ら れ る. 

得

(証 明終)

  定 理2.18の

証 明   (2.123)を

み よ う.ま

ず,

[λn+q(x)]−1/4=λn−1/4+O(λn−5/4) R(x,λn)は

補 題2.9の

評 価 さ れ て い る.こ

系 で 評 価 さ れ て お り,ま れ ら の 評 価 式 を(2.123)に

が 得 られ る.既 に 知 って い る よ うに  (2.122)が

成 立 つ. 

たsinΦ(x,λn)は 代 入 し て,簡

補 題2 .10で

単 にす れ ば

で あ るか ら,漸

近 関係

(証明終)

3. 

固 有 関 数 に よ る 展 開(フ

ー リ エ 級 数 の 理 論)

  3.1  直 交 関 数 系 と フ ー リエ 級 数   §2.6で,熱

伝 導 方 程 式 を 変 数 分 離 法 で 解 く こ と を 試 み た が,そ

大 き な 問 題 が 提 起 され た.一

つ は2階 線 型 常 微 分 方 程 式 に 対 す る 固 有 値 問 題,

も う一つ は 固 有 関 数 を 用 い て任 意 の 関 数 を 展 開 す る 問 題,で 題 は,§2.7以

の際 二つ の

後 で 解 決 され た の で,今

度 は,固

あ っ た.固 有 値 問

有 関数 展開 の問 題 を考 え るこ

とに す る.   φ1(x),φ2(x),…,φn(x),… さr(x)>0に

は 区 間a≦x≦bで

関 し て2乗 可 積 分,か

定 義 さ れ た 連 続 関 数 列 で,重

つ 重 さr(x)に

関 し て 直 交 し て い る:

 (3.1)

とす る.こ   例1 

の よ う な 関 数 列{φn(x)}を

重 さr(x)に

関 す る 直 交 関 数 系 と 言 う.

正 則 な ス ツル ム ・ リ ウ ビ ル 系 [p(x)y′]′+[q(x)+λr(x)]y=0, αy(a)+α

′y′(a)=0, 

の 固 有 関 数y0(x),y1(x),…,yn(x),…   例2 

′y′(b)=0

は 重 さr(x)に

関 す る 直 交 関 数 系 を な す.

特 異 な ス ツル ム ・ リウ ビル 系

x→0の の 固 有 関数 xに

βy(b)+β

と きy,y′

は 有 界; 

y(a)=0

 

は重 さ

関 し て 直 交 関 数 系 を な す.

  例3 

周 期的 固 有値 問題 y″+λy=0, y(− π)=y(π), 

の 固 有 関 数1,cos

x,sin

x,cos

2x,sin

y′(− π)=y′(π) 2x,…,cos

nx,sin

nx,…

は 重 さ1に

関

し て 直 交 関 数 系 を な す.即

ち

任 意 の 周 期 関 数 を これ ら の三 角 関 数 の 級 数 に 展 開 す る問 題 が,古

典 的 な フー リ

エ 級 数 の 理 論 の 主 題 で あ る.   さ て,f(x)をa≦x≦bで 数,{φn(x)}n=1,2,… f(x)を{φn(x)}の の φn(x)の1次 を な る べ くf(x)に

定 義 さ れ た,重 をa≦x≦bに

さr(x)に

お け る 重 さr(x)に

結 合 

を 作 り,cnを

近 づ け,N→

∞

と す る と き,こ

2つ

可積 分 な関

関 す る 直 交 関 数 系 とす る.

関 数 を 用 い て 近 似 す る 問 題 を 考 え る.つ

限 り な く 近 づ く よ うに し よ う と 言 う の で あ る.そ 関 数f(x)に'近

関 し て2乗

ま り,初

め のN個

適 当 に 選 ん でsN(x)

の よ う なsN(x)がf(x)に の た め に は,関

数sN(x)が

づ く'と 言 う こ と の 意 味 を 明 確 に し て お く 必 要 が あ る.即

の 関 数sN(x),f(x)の'隔

ち,

た り'を 測 る尺 度 を 用 意 し て お か な け れ ば な ら

な い.   我 々 は こ の よ うな 尺 度 と して  (3.2)

を採 用 す る.Nを

固 定 し た と き,こ

の値 を 最 小 に す る よ うに 係 数cnを

定 め,

N→ ∞ の と きsN(x)が

  (3.3)

を 満 た す よ う に し よ う と い うの が 我 々 の 目 論 見 で あ る.こ sN(x)はf(x)に   Nを φn(x)の

  (3.4)

平 均 収 束 す る と 言 う.(3.2)をsN(x)の

固 定 し,sN(x)の 直 交 性(3.1)に

平 均2乗 よ っ て,

の と き,関 平 均2乗

誤 差 が 最 小 に な る よ う にcnを

数列

誤 差 と 呼 ぶ. 決 め て み よ う.

と な る.右

辺は

と書 か れ る.こ の 値 を 最 小 に す る た め に は,cnを

  (3.5)

と選 べ ば よ い.cnはNに ら れ るcnをf(x)の をf(x)の

が,f(x)に

は 無 関 係 に 定 ま る こ と に 注 意 す る.(3.5)式 直 交 関 数 列{φn(x)}に

フ ー リエ 級 数 と呼 ぶ.f(x)の

関 す る フ ー リエ 係 数,級

数 

フ ー リエ 級 数 は 一 意 的 に 定 ま る

平 均 収 束 す るか 否 か は わ か ら な い し,ま た,a≦x≦bの

す る か 否 か も,ま

で定め

各点 で収 束

して そ こ で 一 様 に 収 束 す るか 否 か もわ か ら な い.そ

 がf(x)の

の 理 由で,

フ ー リエ 級 数 で あ る こ とを

  (3.6)

で 表 わ す.   例4 

−π≦x≦ π で 定 義 され た 関 数f(x)の,例3の

ー リエ 係 数 は

  (3.7)

,

直 交関 数列 に関す る フ

で,フ

ー リエ 級 数 は

 (3.8)

で あ る.こ れ を 三 角 フ ー リエ 級 数 と呼 ぶ.  級 数  

がa≦x≦bでf(x)に

の 公 式(3.5)は

一 様 収 束 す るな ら ば,フ

ー リエ 係 数

直 接 に 導 き 出 す こ とが で き る.実 際,

を 項 別 に 積 分 す れ ば,φn(x)の

直交 性 に よって

が 得 ら れ る が,こ

ほ か な ら な い.

れ は(3.5)に

演 習 問 題3.1

  1.  次 の 命 題 は 正 しい か.正  

(a)  関 数 列fn(x)がa≦x≦bの

f(x)に  

各 点 でf(x)に

し くな け れ ば 反 例 を あ げ よ. 収 束 す れ ば,fn(x)はa≦x≦bで

平 均 収 束 す る.

(b)  関 数 列fn(x)がa≦x≦bでf(x)に

点 でf(x)に  

しけ れ ば 証 明 し,正

(c) 

でf(x)に

平 均 収 束 す れ ば,fn(x)はa≦x≦bの

各

収 束 す る. 関 数 列fn(x)がa≦x≦bでf(x)に

一 様 収 束 す る な ら ば,fn(x)はa≦x≦b

平 均 収 束 す る.

  2.  sin x,sin 2x,…,sin nx,… は 区 間0≦x≦

π に お け る重 さr(x)≡1に

関す る直交 関

数 列 で あ る こ とを 示 し,こ れ に 関 す る 次 の 関 数 の フ ー リエ 級 数 を 求 め よ.

 (a) 

  3. 

f(x)=x 

(0≦x≦

次 の 関 数 の1,cos

 (a) 

f(x)=x2 

x,sin

(− π ≦x≦

  4.  関 数1−x2(0<x<1)の,特

(b)

π). 

x,…,cos

π). 

nx,sin nx,…

に 関 す る フ ー リ エ 級 数 を 求 め よ.

(b) 

異 な ス ツ ル ム ・ リウ ビル 系

(a,bは

定 数).

[xy′]′+λxy=0,  x→0の

の固 有 関数 

と きy,y′

  5.  pn(x)はn次

p2(x)を

y(1)=0

に 関 す る フ ー リエ 級 数 を 求 め よ.

(ヒ ン ト:[xmJm(x)]′=xmJm−1(x)に

区 間0≦x≦1に

0<x<1,

は 有 界, 

注 意)

の 多 項 式 で,xnの

係 数 は1と

お い て 重 さr(x)≡1に

す る.p0(x),p1(x),p2(x),…

関 し て 直 交 関 数 列 に な る よ う に,p0(x),p1(x),

定 め よ.

  6.  次 の 三 つ の 条 件 を 満 た す 多 項 式 列T0(x),T1(x),T2(x),… せ:(ⅰ)Tn(x)はn次 x<1に

が 存 在 す る こ とを 示

の 多 項 式 で あ る;(ⅱ)Tn(1)=1;(ⅲ){Tn(x)}は

お い て 重 さr(x)≡(1−x2)−1/2に

=cos(narc

  3.2 

が,

cos x)は

関 し て 直 交 関 数 列 を な す.ま

区 間 −1< た,関

数Tn(x)

上 の 条 件 を 満 足 す る こ と を 示 せ.

完 全 な 直交 関数 系

 フ ー リ エ 係 数(3.5)を(3.4)に

代 入 す れ ば,

  (3.9)

と な る.左

辺 は 負 に な ら な い か ら,

  (3.10)

が 成 立 つ.f(x)はr(x)に 値 で あ る.N→

∞

関 し て2乗

可 積 分 だ か ら,(3.10)の

右 辺は 有限 な

とす れ ば

  (3.11)

が 得 ら れ る.(3.10)ま

た は(3.11)を

の 級 数 は 収 束 す る か ら,n→ a≦x≦bで2乗

 (3.12)

と な る.

ベ ッ セ ル の 不 等 式 と 言 う.(3.11)の

∞ の と き そ の 項 は0に

可 積 分 な ら ば,n→

∞ の とき

近 づ く.従

左 辺

っ てf(x)が

 がf(x)に

もし ∞

の と き0に

近 づ く.つ

平 均 収 束 す る な ら ば,(3.9)の

左 辺 はN→

ま り

  (3.13)

が 成 立 つ.逆

に(3.13)が

(3.13)を

パ ー セ バ ル(Parseval)の

  r(x)を

重 さ と し てa≦x≦bで2乗

交 関 数 列{φn(x)}に

はf(x)に

成 立 て ば 

平 均 収 束 す る.

等 式 と 言 う. 可 積 分 な 任 意 の 関 数f(x)に

関 す る そ の フ ー リエ 級 数 がf(x)に

対 し て,直

平 均 収 束 す る と き,即

ち

が 成 立 つ と き,{φn(x)}は   定 理3.1 

r(x)>0を

完 全 な 直 交 関 数 系 と言 わ れ る. 重 さ と し て2乗 可 積 分 な 関 数 か ら 成 る 直 交 関 数 系

{φn(x)}が 完 全 で あ るた め の 必 要 十 分 条 件 は,r(x)>0を 分 な 任 意 の 関 数f(x)に

重 さ と して2乗

可積

対 し て,

  (3.14)

(パ ー セ バ ル の 等 式)

が 成 立 つ こ とで あ る.   任 意 の2乗

可 積 分 なf(x)に

の 連 続 な2乗 可 積 分 関 数f(x)に

対 し て(3.14)が 対 して(3.14)が

い う事 実 が 知 られ て い る.こ れ を 認 め れ ば,次   定 理3.2  {φn(x)}が

r(x)>0を

成 立 つ こ とを 示 す に は,任

重 さ と して2乗

成 立 つ こ とを 示 せ ば よい,と の 定 理 が 得 られ る.

可積 分 な 関 数 か ら 成 る 直 交 関数 系

完 全 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,任

{φn(x)}の 関 数 の1次 結 合 に よ っ て,平 均2乗 似 され る こ とで あ る.

意

意 の 連 続 関 数f(x)が,

誤 差 の 意 味 で い く らで も 良 く近

 証 明   条 件 が 必 要 で あ る こ とは 明 らか.十

分 で あ る こ とを 示 す た め に,任

の ε>0に 対 して,適

が あ って

当 な1次 結 合 

が 成 立 つ と仮 定 す る.cnをf(x)の{φn(x)}に す れ ば,cnは

が 成 立 つ.こ

平 均2乗

意

関 す る フ ー リ エ 係 数(3.5)と

誤 差 を 最 小 に す る性 質 を 持 つ か ら

れ は{φn(x)}が

完 全 で あ る こ と を 意 味 す る. (証 明 終)

 直 交 関 数 系{φn(x)}が

を 満 た す な らば,パ ≡0が

出 る.こ

完 全 で あ る場 合,f(x)が

連 続 な2乗 可 積 分 関 数 で

が,従

ー セ バ ル の 等 式 か ら 

の こ と か ら,連

続 な2乗

可 積 分 関 数f(x),g(x)の{φn(x)}に

関 す る フ ー リエ 係 数 が 相 等 し い な ら ば,f(x)≡g(x)と ま り,連

続 な2乗

可 積 分 な 関 数 は,完

っ てf(x)

な る こ とが わ か る.つ

全 直 交 関 数 系 に 関 す る フ ー リエ 係 数 の 集

合 に よ っ て 完 全 に 決 定 さ れ る の で あ る.   f(x),g(x)を

重 さr(x)に

関 し て2乗

可 積 分 と す る.

[f(x)+g(x)]2≦2f2(x)+2g2(x) だ か ら,f(x)+g(x)もr(x)に 関 数 系{φn(x)}に

明 ら か に,f(x)+g(x)の   {φn(x)}が

関 し て2乗

関 す る フ ー リエ 係 数 を,そ

可 積 分 に な る.f(x),g(x)の れ ぞ れcn,dnと

フ ー リ エ 係 数 はcn+dnで

完 全 で あ る と し よ う.そ

の と き,パ

す る:

あ る. ーセバ ル の等式

直交

が 成 立 つ.   第1式

と第2式

の 和 を 第3式

か ら引 い て2で 割 れ ば

  (3.15)

が 得 ら れ る.こ

こ でf(x)≡g(x)と

す れ ば(3.15)は(3.13)に

パ ー セ バ ル の 等 式 と 呼 ば れ る.(3.15)を

な る.(3.15)も

次 の よ う に 書 き 直 す:

  (3.16)

こ の 式 は, 

の 両 辺 にg(x)r(x)を

掛 け て,項

∼ を=で お き か え た もの で あ る .フ ー リエ 級 数 の収 束,発 もわ か ら な い が,上 て,注

散 に つ いては 未だ何

の よ うに 項 別 積 分 す れ ば 収 束 す る 級 数 が 得 られ る の で あ っ

目す べ き結 果 で あ る.そ

(3.16)で,特

別 に 積 分 し,

の原 動 力 は{φn(x)}の

完 全 性 な の で あ る.

に

とおけば  (3.17)

が 得 られ る.勿

論 

を 仮 定 し な け れ ば な ら な い.フ

ー リエ 級

数 は 発 散 で あ って も, そ れ を を 項 別 積 分 す れ ば,収 束 す る級 数 が 生 ま れ る.  直 交 関 数 系{φn(x)}に

お い て,各

φn(x)が 正 規 化 さ れ て い る と き:

{φn(x)}を

重 さr(x)>0に

関 す る正 規 直 交 系 と呼 ぶ.正

便 利 な こ とが 多 い.{φn(x)}が

正 規 直 交 系 な ら ば,2乗

ー リエ 係 数 ,ベ ッセ ル 不 等 式,パ

規 直交系 を用 い る と 可 積 分 関 数f(x)の

フ

ー セ バ ル 等 式 は 次 の よ うに 書 か れ る: (フ ー リ エ 係 数),

(ベ ッ セ ル の 不 等 式),

(パ ー セ バ ル の 等 式).

演 習 問 題3.2   1.  {sin nx}が0≦x≦  (a) 

f(x)=1(0≦x≦

 (b) 

(a)の

π で 完 全 な 直 交 系 で あ る と 仮 定 す る.次 π)の フ ー リ エ 級 数 を 求 め よ.

級 数 を 項 別 積 分 し てg(x)=x(0≦x≦

  2.  {φn(x)}を 重 さr(x)>0に

フ ー リエ 級 数 を 求 め よ.

関 す る 正 規 直 交 系 とす る と き,フ ー リエ 級 数 が 次 の 形

可 積 分 関 数f(x)は

存 在 しな い こ とを 示 せ.  (b)

 (a)

を 証 明 せ よ.

  3. 

(ヒ ン ト:log

xは2乗

  4.  {φn(x)}は

可 積 分 で あ る.(3.12)を

重 さr(x)>0に

そ れ ぞ れfj(x),f(x)の{φn(x)}に

ー リエ 係 数 と す る.fj(x)が,j→ j→ ∞ の と き,nに (ヒ ン ト:ベ

∞

関 し て 一 様 にcnに

sin x,…,cos

の と き,f(x)に

関す る フ

平 均 収 束 す る な ら ば,cn(j)は,

収 束 す る こ と を 証 明 せ よ.

ッ セ ル の 不 等 式)

三 角 フ ー リ エ 級 数Ⅰ(各

  §3.1の

用 い る).

関 す る 正 規 直 交 系,fj(x)(j=1,2,…),f(x)は2乗

可 積 分 な 関 数,cn(j),(j=1,2,…),cnは

  3.3 

π)の

の 値 を 求 め よ.

 (c)  パ ー セ バ ル の 等 式 を 用 い て 

に な る よ うな2乗

の 問 に 答 え よ.

例3,例4で nx,sin

点 収 束)

み た よ う に,r(x)≡1を nx,…}に

関 す るf(x)フ

重 さ と す る 直 交 関 数 系{1,cos ー リ エ 級 数 は,

x,

で あ る.  こ こ で

  (3.18)

フ ー リ エ 級 数 の 収 束   (3.18)を

用 いて

 (3.19)

よ く知 ら れ て い る よ うに

  (3.20)

で あ る か ら,(3.19)は

と な る.t−xを

改 め てtと

お けば 上 式 は

  (3.21)

と な る.sN(x)は

周 期2π

の 周 期 関 数 で あ る こ と に 注 意 し て,f(x)を

− ∞<

x<∞

に 拡 張 し て 周 期2π

の 周 期 関 数 に す る:

f(x+2nπ)=f(x)  そ うす る と,(3.21)の

被 積 分 関 数 はtの

(n=0,±1,±2,…). 周 期 関 数 で あ り,積 分 区 間 の 長 さ は1

周 期 に 等 し い か ら,

 (3.22)

が 成 立 つ.(3.20)を

−πか ら π まで積 分す れ ば

  (3.23)

  従 っ て,(3.22),(3.23)に

よ り

  (3.24)

が 得 ら れ る.こ   補 題3.1 

こ で 補 題 を 挿 入 す る. (リ ー マ ン ・ル ベ ー グ)f(x)はa≦x≦bに

お い て,重

さr(x)>0

に 関 し て 絶 対 可 積 分:

と仮 定 す る.ま た,{φn(x)}は 数Mに

対 して

 (3.25)

が 成 立 つ とす る.そ の とき

  (3.26)

重 さr(x)に

関 す る直 交 関 数 系 で,あ

る正 の 定

 証 明 

とお く.f(x)が

が 成 立 つ.従

っ て,任

意 の ε>0に 対 し て,Kを

絶 対 可 積 分 で あ る か ら,

大 き く とれ ば

 (3.27)

と な る.こ

 一 方

のKを

,￨fK(x)￨≦Kだ

とな るが,こ

が,従

重 さ と して2乗

可 積 分 可 能 な 関 数 に 対 し て は,ベ

成 立 つ か ら,nを

可 積 分 で あ る こ とを 示 す.

ッセ ル 不 等 式 か ら導 か れ る関

十 分 大 き くす れ ば,

って

が 得 ら れ る.こ   (3.24)に

れ で(3.26)が

証 明 さ れ た. 

戻 ろ う.{sin(n+1/2)x}は

数 系 を な す.φn(x)=sin(n+1/2)xと れ る.よ

用いて

から

れ はfK(x)がr(x)を

と こ ろ で,2乗 係(2.12)が

固 定 す る.(3.25),(3.27)を

っ て,

(証 明 終)

− π≦x≦ π でr(x)≡1に す れ ば,明

関 して直 交関

ら か に 条 件(3.25)が

満たさ

 (3.28)

な ら ば,補 ち,−

題3.1が

適 用 で き,(3.24)の

右 辺 はN→

∞

の と き0に

近 づ く.即

π≦x≦ π の 各 点 でsN(x)→f(x).

  (3.28)は

明 らかに

 (3.29)

と 同 値 で あ る.(3.29)を

デ ィ ニ(Dini)の

条 件 と 言 う.こ

う し て,次

の定 理が 得

ら れ た.   定 理3.3 

f(x)は

そ の と き,f(x)の

− π≦x≦ π で 重 さr(x)≡1に

お い てf(x)に   xで

三 角 フ ー リエ 級 数 は,デ

関 し て 絶 対 可 積 分 とす る.

ィ ニ の 条 件(3.29)を

満 た す 点xに

収 束 す る.

デ ィ ニ の 条 件 を 満 た す 関 数f(x)は,必

然 的 にxで

連 続 で も デ ィ ニ の 条 件 を 満 た す と は 限 ら な い.デ

連 続 に な る.し

か し,

ィ ニの 条 件 を 保 証 す る十 分 条

件 とし て   "正 の 定 数M,α

が あ っ て,任

意 のy,−

π≦y≦ π に 対 し て

￨f(y)−f(x)￨≦M￨y−x￨α" を あ げ る こ と が で き る.こ (ま た は,ヘ

の と き,f(x)は

ル ダ ー 条 件 を 満 た す)と

点xに

言 う.f(x)が

お いてヘ ル ダー 連続 で あ る 点xで

連 続 微 分 可 能 な ら ば,

そ こ で ヘ ル ダ ー 連 続 に な る こ と は 明 ら か で あ る.   系   f(x)が

絶 対 可 積 分 な ら ば,f(x)の

三 角 フ ー リ エ 級 数 は,f(x)が

ダ ー 連 続 あ る い は 連 続 微 分 可 能 で あ る 点xでf(x)に   で は,f(x)が

不 連 続 な 点 に お い て,フ

で あ ろ う か?xはf(x)の い た と き,左

第1種

か ら 近 づ い た と き,有

も の とす る.(3.20)を

積 分 して

ヘル

収 束 す る.

ー リエ 級 数 は ど の よ う な 行 動 を す る

の 不 連 続 点 と す る.即

ち,xに

限 な 極 限 値f(x+0),f(x−0)が

右 か ら近 づ 存 在す る

上 の 第1式 (3.22)か

に 

を掛 け,第2式

に 

を 掛 け,得

られ た 式 を

ら引 く と

が 得 ら れ る.従

っ て,f(x)が

さ らに

 (3.30)

を 満 足 す る な ら ば,sN(x)はf(x+0)とf(x−0)の

(3.30)を

一 般 化 さ れ た デ ィ ニ の 条 件 と 言 う.例

し て,す

べ て のt>0に

平 均 値 に 収 束 す る:

え ば,正

の 定 数M,α

が 存在

対 して ￨f(x+t)−f(x+0)￨≦Mtα, ￨f(x−t)−f(x−0)￨≦Mtα

が 成 立 つ な ら ば,(3.30)は   定 理3.4 

f(x)が

満 た さ れ る.

絶 対 可 積 分 な ら ば,f(x)の

三 角 フ ー リエ 級 数 は,一

さ れ た デ ィ ニ 条 件 が 満 た さ れ る 点xで,f(x+0)とf(x−0)の

般化

平均 値 に収 束

す る.

  3.4  三 角 フ ー リエ 級 数Ⅱ(一   f(x)を でf(x)に 限 をf(x)に

様 収 束,完

周 期2π の周 期 関 数 とす る.f(x)の

全 性) 三 角 フ ー リエ 級 数 が −π≦x≦ π

一様 収 束 す るた め の条 件 は 何 か を 考 え る.デ

ィニ の 条 件 よ り強 い 制

課 さ な け れ ば な ら な い こ とは 明 ら か で あ る.

  f(x)は

連 続 な 周 期 関 数 と し,− π≦x≦ π の 有 限 個 の点 を 除 い てf′(x)が

在 す る と し,さ

ら に,f′(x)は

と 仮 定 す る.f(x)の

− π≦x≦ π で2乗

存

可 積 分: 

フ ー リエ 級 数 を

 (3.31)

と し よ う.f′(x)の

フ ー リエ 級 数 は,(3.31)を

形 式 的 に 項 別 微 分 して 得 られ

る:

 (3.32)

実 際,部 分 積 分 を 行 な い,f(−

π)=f(π)を

使えば

と な る.   ベ ッ セ ル の 不 等 式 は,こ

の場 合

  (3.33)

で あ る.左   f(x)の (x)の

辺 の 級 数 は 収 束 す る こ と に 注 意 す る. フ ー リエ 級 数 の 一 様 収 束 性 を 示 す た め に,そ

の 部 分 和sN(x)とsN+p

差 を 考 え る:

右 辺の級数を  ツの不等式

を 適 用 す れ ば,   (3.34)

と書 き,級

数 に 関 す る シ ュ ワル

が 得 ら れ る.f′(x)は2乗 対 し て,十

は 収 束 で あ るか ら,任 意 の ε>0に

可 積 分, 

分 大 き な 番 号N(ε)を

と っ て,N≧N(ε)の

￨sN+p(x)−sN(x)￨<ε 

とき

(p=1,2,3,…) 

が 成 立 つ よ うに す る こ と が で き る.こ

れ は,f(x)の

(− π≦x≦ π) フ ー リ エ 級 数 が − π≦x≦ π

で 一 様 収 束 す る こ と を 示 し て い る.   ￨y−x￨≦2π

な ら ば,積

分 に 関 す る シ ュ ワル ツの 不 等 式

を 用 い て,

が 得 ら れ る.従

っ てf(x)は

各 点 で ヘ ル ダ ー 連 続 で あ る.定

フ ー リエ 級 数 は 各 点 でf(x)に   定 理3.5 

f(x)が

≦x≦ π で2乗

収 束 す る.以

系によ り

上 の 結 果 を 定 理 の 形 で 述 べ る.

− π≦x≦ π で 連 続,f(−

可 積 分 な ら ば,f(x)の

理3.3の

π)=f(π),か

つf′(x)が

−π

フ ー リ エ 級 数 は − π≦x≦ π でf(x)に

一

様 収 束 す る.   一 様 収 束 か ら 平 均 収 束 が 導 き 出 せ る こ と に 注 意 す れ ば(演 習 問 題3.1の1(c)), 定 理3.5の

仮 定 の 下 で,f(x)の

フ ー リ エ 級 数 がf(x)に

平 均 収 束 す る:

こ と も わ か る.   三 角 関 数 の 完 全 性   直 交 関 数 系{1,cos 全 で あ る こ と を 示 そ う.そ

れ に は,§3.2で

x,sin

x,…,cos

nx,sin

nx,…}が

完

指 摘 し て お い た よ うに − π≦x≦ π

で 連 続 な2乗 可 積 分 関 数f(x)が,す

べ て,f(x)に

平均 収 束 す る フ ー リエ 級 数

を 持 つ こ とを 言 え ば よ い.   任 意 に 与 え られ た ε>0に 対 し て

と な る連 続 微 分 可 能 な 関 数f(x)を 例 え ば,ワ

選 ぶ.f(x)の

選 び 方 は い ろ い ろ あ ろ うが,

イ エ ル シ ュ トラス の近 似 定 理 と して 有 名 な 次 の 定 理 に 根 拠 を 求 め る

の も 一 法 で あ ろ う.   ワ イ エ ル シ ュ トラ ス の 近 似 定 理*  g(x)をa≦x≦bで

連 続 な任 意 の関数 と

す る.こ の と き,任 意 の ε>0に 対 して, ￨g(x)−P(x)￨<ε と な る よ うな 多 項 式P(x)が   f(x)の

 

存 在 す る.

フ ー リエ 級 数 の 部 分 和 をsN(x)と

意 に よ り,N(ε)を

(a≦x≦b)

書 け ば,定 理3.5の

後で 述べ た 注

十 分 大 き く とれ ば の とき

が 成 立 つ.フ

ー リエ 係 数 は,平 均2乗

し て,N≧N(ε)の

を 得 る.こ   定 理3.6 

誤 差 を最 小 に す る性 質 を 持 つ こ とに 注 意

とき

れ はsN(x)がf(x)に

平 均 収 束 す る こ と を 意 味 す る.

直 交 関 数 系{1,cos

x,sin

x,…,cos

nx,sin

nx,…}は

≦ π に お い て 完 全 で あ る.

 例1 *  証 明 は,例

え ば,高 木 貞 治:解

析 概 論,岩

波 書 店,pp.284-286参

照.

区 間 − π≦x

な ら ば,次

 例2 

の パ ー セ バ ル の 等 式 が 成 立 つ.

f(x)が

− π≦x≦ π で 連 続,f(−

2乗 可 積 分 の と き,f(x)を

π)=f(π),f′(x)が

部 分 和sN(x)で

− π≦x≦ π で

近 似 し た と き の誤 差 を 評 価 し て み

よ う.  

f′(x)に

パ ー セ バ ル の 等 式 を 適 用 す る と,

ま た,f(x)=xに

パ ー セ バ ル の 等 式 を 適 用 す る と,

上の関係 を

と 書 き,(3.34)でp→

∞

と す れ ば,

が 得 ら れ る.こ れ が 近 似sN(x)の  区 間0≦x≦

π で 考 え る と き,2つ

  (3.35) 

sin

  (3.36) 

1,cos

は い ず れ も 重 さr(x)≡1に 数f(x)の   (3.37)

誤 差 の 評 価 で あ る.

x,sin

の関 数列

x,cos

2x,…,sin 2x,…,cos

nx,…, nx,…

関 す る直 交 関 数 列 で あ る.0≦x≦

こ れ ら に 関 す る フ ー リエ展 開 は

π で 与 え られ た 関

 (3.38)

で あ る.(3.37)をf(x)の を区 間

正 弦 級 数,(3.38)をf(x)の

− π≦x≦ π に 奇 関 数 に な る よ う に 拡 張 し,そ

…,cos

nx,sin

る.ま

た,f(x)を

cos x,sin

nx,…

偶 関 数 に な る よ うに

x,…,cos

nx,sin

nx,…

っ て,前

(3.36)に

適 用 す る こ とが で き る.念

− π≦x≦ π に 拡 張 し,そ

の た め に,そ

絶 対 可 積 分 な ら ば,f(x)が

の 関 数 の1, れは

の 結 果 を ま とめ て 書 い て お く.

デ ィ ニ の 条 件 を 満 た す 点 で,フ

連 続,f(0)=f(π),f′(x)が2乗

一 様 収 束 す る.f(x)が

f(x)に

一 様 収 束 す る.

ー

可 積 分 な ら ば,(3.37)は

連 続 で,f′(x)が2乗

直 交 関 数 列(3.35),(3.36)は

可 積 分 な ら ば,(3.38)は

い ず れ も0≦x≦

ー セ バ ル の 等 式 が 成 立 つ.f(x)が0≦x≦

(3.37),(3.38)はf(x)に

一致 す

収 束 す る.

f(x)に

  (ⅲ) 

れ は(3.37)と

x,

節 お よ び 本 節 で 証 明 し た 諸 定 理 を,(3.35),

リ エ 級 数(3.37),(3.38)はf(x)に   (ⅱ)  f(x)が

x,sin

に 関 す る フ ー リ エ 級 数 を 作 れ ば,そ

一 致 す る.従

  (ⅰ)  f(x)が

の 関 数 の1,cos

に 関 す る フ ー リ エ 級 数 を 作 れ ば ,そ

(3.38)と

て,パ

余 弦 級 数 と い う.f(x)

π で2乗

π で 完 全 で あ る.従

っ

可 積 分 な ら ば,級

数

平 均 収 束 す る.

  一 般 の 区 間a≦x≦bで

考 え て み る.

  (3.39)

とお い て 新 し い 変 数 ξを 導 入 す れ ば,a≦x≦bは

− π≦ξ≦π に 移 る.a≦x≦b

で 定 義 さ れ たf(x)を

ξ の関 数

と考 え れ ば,φ(ξ)は

− π≦ ξ≦ π で 定 義 さ れ る 関 数 で あ る か ら,上

≦x≦ π に 対 し て 行 な っ た 議 論 を φ(ξ)に 変 数 ξ を(3.39)に

よ っ て 元 のxに

あ ろ う.   φ(ξ)の フ ー リ エ 級 数 は,

適 用 す る こ と が で き る.そ

で 区 間 −π

戻 せ ば,f(x)に

の 後 で,

つ い て の 結 果 が 得 ら れ るで

で あ る.xに

戻 せ ば,

 (3.40)

と な る.例 え ば,次

の 命 題 が 成 立 つ.関

数列 n=1,2,3,…

  1, 

は 区 間a≦x≦bで ら ば,フ

完 全 な 直 交 関 数 系 を な す.f(x)がa≦x≦bで2乗

ー リ エ 級 数(3.40)はf(x)に

f(a)=f(b),f′(x)がa≦x≦bで2乗 束 す る.等

平 均 収 束 す る.さ

ら に,f(x)が

可 積 分 な ら ば,(3.40)はf(x)に

可積分 な 連 続, 一様 収

々.

 変数変換 

に よ り,

a≦x≦bを0≦

ξ≦ π に 移 し て 考 え る と,

f(x)の 正弦級数展開や余弦級数展 開が得 られる:

こ の 場 合 に も,種 々 の 収 束 定 理 を 述 べ る こ とが で き る.完 全 性 に 関 す る 結 果 を

強 調 し て お こ う.

  系 関数列 

n=0,1,2,…

はa≦x≦bに

お いて完 全 な直 交関

数 系 を な す.   最 後 に,三 角 フ ー リエ 級 数 の 項 別 微 分,項 別 積 分 に 関 す る定 理 を 述 べ る.   定 理3.7 

f(x)は

−π≦x≦ π で 区 分 的 に 連 続 と し,

を そ の フ ー リ エ 級 数 と す る.そ

の と き,a(−

π≦a≦ π)を 任 意 に 固 定 す れ ば,

 (3.41)

は −π≦x≦ π に お い て 一 様 に 収 束 す る.  証 明  関 数   (3.42)

は − π≦x≦ π で 連 続 か つ 区 分 的 に 滑 ら か(有 限 個 の 点 を 除 い てf′(x)は f′(x)の

不 連 続 性 は 第1種)で

従 っ て,定

理3.5に

あ る.ま

よ り,F(x)は

F(x)の

っ て,

定 義(3.42)か

定 め 方 か らF(−

π)=F(π).

一 様 収 束 な フ ー リエ 級 数 に 展 開 さ れ る:

部分積分を行なえば

を 得 る.従

た,a0の

連 続,

ら得 ら れ る 関 係

を 上 式 に持 ち こ め ば,

が 成 立 つ.こ

れ は 証 明 す べ き式(3.41)で

あ る.そ

の一様 収束 性 は 明 らかで あ

ろ う. 

(証明終)

  定 理3.8 

f(x)が

的 に 滑 ら か な ら ば,そ

は,f′(x)が

− π≦x≦ π で 連 続,f(−

π)=f(π),か

つf′(x)が

区分

の フ ー リエ 級 数

存 在 す る点 で 項 別 に 微 分 され る,即 ち そ の 点 で

 証 明   f′(x)は 区 分 的 に 滑 ら か だ か ら,定 理3.4に

が 成 立 つ.部

分 積 分 を し て,f(−

π)=f(π)を

使 えば

αn=nbn,βn=−nan  が 得 ら れ る.従

より

(α0=0)

って

これ で 定 理 の 主 張 が 証 明 さ れ た. 

(証明終)

演 習 問 題3.4   1.  次 の 関 数 の 指 定 され た 区 間 に お け る フ ー リエ 級 数 を 求 め,一

様 収 束 す るか 否 か を

判 定 せ よ.  (a) 

 (c)

f(x)=￨x￨ 

(−l≦x≦l). 

(b) 

 (d) 

  2.  次 の 関 数 の 指 定 され た フ ー リエ 級 数 を 求 め よ.

f(x)=sinhx 

(− π ≦x≦

f(x)=￨sinx￨ 

(−l≦x≦l).

π).

(正弦級 数 お よび 余弦 級数を).

 (a)   

(b) 

f(x)=x(π

−x) 

 

(c) 

f(x)=coshx 

 

(d) 

f(x)=sinax 

  3.  f(x+π)=f(x)を

(0≦x≦ π)  (正 弦 級 数 お よ び 余 弦 級 数 を).

(0≦x≦

π) 

(正 弦 級 数 お よ び 余 弦 級 数 を).

(0≦x≦

π) 

(余 弦 級 数 を.aは

整 数 とす る).

満 た す 関 数 の − π≦x≦ π に お け る フ ー リエ 級 数 に お い て,

a2n+1=b2n+1=0(n=0,1,2,…)で

あ る こ と を 示 せ.次

に,こ

の 事 実 を 用 い て,下

図 の よ

うな グ ラ フ で 表 わ さ れ る 関 数 の フ ー リエ 級 数 を 求 め よ.

図3.1

  4.  f(x)(− π≦x≦ π)を 周 期 関 数 と して − ∞<x<∞ 連 続 微 分 可 能 で あ る な ら ば,フ

ー リエ 係 数 は

を 満 た す こ と を 示 せ.次

の 事 実 か ら,フ

を 導 け.(ヒ

に,こ

ン ト:(3.18)を

  5*.  f(x)は

周 期2π

ー リエ 級 数 がf(x)に

フ ー リエ 係 数 をan,bnと

連 続,f(m+1)(x)は

区

す れ ば,

存 在 す る こ とを 証 明 せ よ.

は完全 であ る ことを

 6*.  0≦x≦ π に お け る 直 交 関 数 列  証 明 せ よ.(ヒ

一様 収束す る こと

部 分 積 分 す る.)

の 周 期 関 数,f(x),f′(x),…,f(m)(x)は

分 的 に 滑 らか と 仮 定 す る.f(x)の

とな る 定 数Mが

に 拡 張 し た と き,そ れ が2回

ン ト:x=2tと

を 区 間 − π≦t≦ π に うま く

お き, 

拡 張 す る.)

  3.5 

ヒ ル ベ ル ト空 間

  こ の 章 の 主 な 目的 の 一つ は,正 則 な ス ツル ム ・ リウ ビル 系 の 固 有 関 数 列 の 直 交 関 数 系 と し て の 完 全 性 を 証 明 す る こ とで あ る.前 章 の 最 後 で,リ 準 形 で 考 え て,あ

ウ ビル の 標

る 正 則 ス ツル ム ・リ ウ ビル 系 の 固 有 関 数 が 漸 近 的 に 余 弦 関 数

と同 じ振 舞 い を す る こ とを み た(定 理2.18).ま

た,前

節 で は,余

弦関 数列 が

完 全 な 直 交 関 数 系 を な す こ と を 知 っ た(定 理3.6系).我 は,こ

の 二 つ の 事 実 を 結 び つ け れ ば よ い の で は な い か?と

る の は 自 然 で あ ろ う.こ

実 数 体R上

の 元 をf,g,h,…

対 し て 一 つ の 実 数(f,g)が

  (S1) 

(f,f)≧0;

  (S2) 

(f,f)=0と

  (S3) 

(f,g)=(g,f).

  (S4) 

(λf+μg,h)=λ(f,h)+μ(g,h)

な る の はf=0の

な る 規 則 に 従 う とす る.こ

こ で,λ,μ

対 応 し,そ

元fの

と す る.H

れが

と き し か も そ の と き に 限 る.

は 任 意 の 実 数 で あ る.こ

中 に 内 積 が 定 義 さ れ て い る と 言 い,(f,g)をfとgの   内 積 を 用 い て,Hの

ル ベ ル ト空 間

の 節 で 必 要 事 項 を 解 説 し て お く.

の ベ ク トル 空 間 とす る.そ

の 任 意 の2元f,gに

い う予 想 が 生 ま れ

の 予 想 が 正 し い こ と を 示 す た め に は,ヒ

論 の 初 歩 的 な 知 識 を 必 要 とす る の で,こ   Hを

々の 目的 を 果 す た め に

の と き,Hの

内 積 と 呼 ぶ.

ノ ル ム ‖f‖ を

  (3.43) で 定 義 す る.ノ

ル ム は 次 の 性 質 を 持 つ:

  (N1) 

‖f‖≧0;‖f‖=0と

  (N2) 

‖λf‖=￨λ￨‖f‖.

  (N3) 

‖f+g‖ ≦ ‖f‖+‖g‖ 

(N3)を

証 明 す る と き に,シ

な る の はf=0の

(三 角 不 等 式).

ュ ワル ツ の 不 等 式 ￨(f,g)￨≦

を 用 い る.こ

と き し か も そ の と き に 限 る.

れ は 任 意 の 実 数tに

‖f‖‖g‖

対 して

0≦(f+tg,f+tg)=(f,f)+2t(f,g)+t2(g,g) が 成 立 つ こ と か ら 直 ち に 導 か れ る.   Hの

二 つ の 元f,gの

  (3.44) 

d(f,g)=‖f−g‖

で 定 義 す る と,こ   (M1) 

距離 を

れ は 距 離 の 公 理 を 満 足 す る:

d(f,g)≧0;   d(f,g)=0と

な る の はf=gの

と き し か も そ の と き に 限 る.

  (M2) 

d(f,g)=d(g,f).

  (M3) 

d(f,g)≦d(f,h)+d(h,g) 

つ ま り,ベ

ク トル 空 間Hの

中 に 内 積 が 定 義 さ れ て い る な ら ば,(3.43)-(3.44)

で 定 め ら れ る 距 離d(f,g)に 間 に は 収 束 列,基  {fn}n=1.2.…

き,即

ち,任

元 の 列,fをHの

意 の ε>0に

と 書 表 わ す.Hの

離空

十 分 大 き く と れ ば,n≧N(ε)の 収 束 す る と 言 い,そ

の と きfn→f,ま

が 成 立 つ と き,{fn}を

ち,

十 分 大 き く とれ ば と きd(fm,fn)<ε 角 不 等 式 を使 え ば,容

基 本 列 で あ る.し

列 は 収 束 す る と は 限 ら な い の で あ る.Hの

か し,一

易 にわ か る よ

般 に 逆 は 言 え な い.基 本

中の基 本 列が すべ て収 束列 で あ る と

い う好 都 合 な 事 情 が 起 る可 能 性 も無 論 あ る.こ の 場 合,Hは

距 離 空 間 として完

備 で あ る と言 わ れ る.内 積 を用 い て 導 入 さ れ た 距 離 の 意 味 で,Hが 空 間 に な る と き,Hを

の事 実 を

を 満 た す と き,即

基 本 列 と呼 ぶ.三

束 す る列{fn}は

と

たは

元 の 列{fn}が 

対 し てN(ε)を

な ると

元 と す る. 

対 し て,N(ε)を

m,n≧N(ε)の

うに,収

距 離 空 間 に な る の で あ る.距

が 成 立 つ と き,{fn}はfに n→ ∞

任 意 の ε>0に

よ っ て,Hは

本 列 な ど の 概 念 を 導 入 す る こ と が で き る.

をHの

きd(fn,f)<ε

(三 角 不 等 式).

ヒ ル ベ ル ト空 間 と名 付 け る.Hの

完 備 な距 離

元 の こ と を 点 と呼 ぶ こ

とが あ る.   例1 

n次 元 実 ユ ー ク リ ッ ド 空 間Rn.Rnの

で あ る.Rnに

お け る内 積,ノ

で 定 め ら れ る.実 や さ し い.従   例2 

ル ム,距 離 は そ れ ぞ れ

数 の 完 備 性 か らRnの

っ てRnは

点 はx=(x1,…,xn),xj∈R,

距 離 空 間 と して の 完 備 性 を 導 く こ とは

ヒル ベ ル ト空 間 に な る.

数 列 空 間l2.x={xn}={x1,x2,x3,…}は

実 数 列 で,そ

の 項 か ら作 っ

た級数 

は収 束 す る とす る.こ の よ うな数 列 全 体 の集 合 を 記 号l2で

す.l2の2元x={xn},y={yn}の

和,実

数 倍 を,

x+y={x1+y1,x2+y2,…,xn+yn,…},  で 定 義 す れ ばl2は

kを

積,ノ

元 の 基 本 列{x(n)}n=1,2,…

固 定 す れ ば,数

し,実

λx={λx1,λx2,…,λxn,…}

ベ ク トル 空 間 に な る.内

で 定 義 す る.l2の

ル ム を

を 考 え る:

列xk(n)(n=1,2,…)(x(n)の

数 の 完 備 性 か ら,xk(n)はn→

={x1,x2,…,xk,…}と

表わ

第k成 ∞

す る.x∈l2,か

分 の 列)は

の と き あ るxkに つl2の

基 本 列 を な

収 束 す る.x={xk}

距 離 の 意 味 でx(n)→x(n→

∞)

と な る こ と を 証 明 す る.   三 角 不 等 式 に よ り,￨‖x(n)‖

− ‖x(m)‖￨≦

‖x(n)‖ は 有 界 で あ る.‖x(n)‖

≦M(n=1,2,…)と

が す べ て のnに

と, 

Nは 次 に,任

意 の ε>0に

∞

書 く.関

え にx∈l2.

っ て,l2に

ベ ク トル 空 間 に な る.内 積,ノ

対 し て,

お い てx(n)→x(n→

∞)と

っ て ヒル ベ ル ト空 間 に な る.

間a≦t≦bで 数 の和,実

とき

Nは 任意だか

完 備 な距 離 空 間,従

連 続 関 数 の空 間C[a,b].区

体 の 集 合 をC[a,b]と

る と,任 意 のNに

とす れ ば, 

が 得 ら れ る.従

な る こ とが わ か っ た.l2は

∞ とす れ ば 

十 分 大 き く と っ て,m,n≧N(ε)の

が 成 立 つ よ う に す る.す

ら, 

C[a,b]は

対 し て 成 立 つ.n→

数 列

任 意 に 固 定 す る

が 得 ら れ る.ゆ

対 し て,N(ε)を

 が 成 立 つ.m→

が 成 立 つ か ら,実

す る.Nを

任 意 で あ る か ら, 

‖x(n)−x(m)‖<ε

  例3 

‖x(n)−x(m)‖

連 続 な 実 数 値 関 数f(t)全

数 倍 を 普 通 の 仕 方 で 定 義 す れ ば,

ル ムを

で 定 義 す る.内 のC[a,b]は

積,ノ

ヒ ル ベ ル ト空 間 に は な ら な い.実

を 考 え る と,こ

で,0≦t≦1で

際,C[0,1]の

れ は ノ ル ム の 意 味 で 基 本 列 を な す:m,n→

と こ ろ が,fn(t)の

C[0,1]が

ル ム の 条 件 が す べ て 満 た さ れ る こ と は 明 ら か で あ る.こ 関数 列

∞ の とき

極 限 関数 は

連 続 で は な い,即

ちfはC[0,1]に

ノ ル ム の 意 味 で 完 備 で な い.従

属 さ な い.こ

の例 は

っ て ヒル ベ ル ト空 間 で な い こ と を 示 し

て い る.   r(t)をa≦t≦bで

正 の 関 数 と し,C[a,b]に

お け る 内 積,ノ

ル ムを

に よ っ て 定 義 す る こ と も あ る.こ の よ うな 内 積 に 関 して も勿 論,C[a,b]は

ヒ

ル ベ ル ト空 間 に な ら な い.   完 備 で な い 空 間 は,そ の ま ま で は 使 い 物 に な ら な い の で,完 適 当 な 操 作 を 行 な っ て,も

う少 し広 い 完 備 な 空 間(つ ま り本 当 の ヒル ベ ル ト空

間)の 中 に埋 め 込 ま な け れ ば な ら な い.例3の ら れ る ヒル ベ ル ト空 間 は,例2のl2と な 具 体 例 とし て,解

備 化 と呼 ば れ る

連 続 関 数 の 空 間 を 完 備 化 して 得

と もに,ヒ

ル ベ ル ト空 間 の 最 も 基 本 的

析 学 に お い て 重 要 な 存 在 で あ っ て,我

々の研 究 の対 象で あ

る境 界 値 問 題 に お い て も大 き な 役 割 を 演 じ る こ とが わ か っ て い る.し か し,そ

れ を 理 解 す る た め に は,ル

ベ ー グ積 分 の 知 識 が 必 要 に な るの で,本

書 で は これ

以 上 細 部 に 立 入 る こ と は で き な い.   一 般 の ヒル ベ ル ト空 間Hに fとgは

戻 る.Hの

直 交 す る と言 う.Hの

が 直 交 す る と き,{φn}を f∈Hが

点f,gが(f,g)=0を

点 列{φn}に

お い て,任

直 交 系 と言 う.{φn}を

満 た す と き,

意 の 相 異 な る φn,φm

一 つ の 直 交 系 とし て 固 定 す る.

与 え られ た とき,

が 最 小 に な る よ うにcnを

決 め て み る.上 の右 辺 は

  (3.45)

と 変 形 され る か ら,こ れ を 最 小 に す る た め に は,cnを   (3.46)

と 選 べ ば よ い.cnの

選 び 方 はNに

は 無 関 係 で あ る.こ

れ をfの{φn}に

関す

る フ ー リ エ 係 数 と 呼 ぶ.   cnが

フ ー リエ 係 数 な ら ば,

  (3.47)

だ か ら,任 意 のNに

対 して 従 って

  (3.48) 

が 成 立 つ.(3.48)を   Hの

任 意 の 元fに

ベ ッ セ ル の 不 等 式 と 言 う. 対 し て,cnを

フ ー リ エ 係 数 とす る と き,

と書 く)

(こ れ を  が 成 立 つ な ら ば,直

交 系{φn}は

完 全 で あ る と言 う.(3.47)に

完 全 な 直 交 系 で あ るた め に は,任 意 のf∈Hに

対 して,

よ り,{φn}が

  (3.49)

が 成 立 つ こ と が 必 要 か つ 十 分 で あ る.(3.49)を で 我 々 は,§3.1と な い.実

同 じ 用 語 を い くつ か 使 っ た が,そ

際,§3.1で

とお い て,積

パ ー セ バ ル の 等 式 と呼 ぶ.こ

こ

れ は 根 拠 の な い こ とで は

は 関 数 の 積 分 に つ い て の 関 係 が 述 べ ら れ て い る が,

分 演 算 を 隠 し て し ま え ば,§3.1の

計 算 は,我

々が す ぐ上 で 行 な

っ た 計 算 と全 く 同 じ も の で あ る.ヒ ル ベ ル ト空 間 に お け る完 全 直 交 系 の重 要 な 特 徴 付 け が 次 の 定 理 で 与 え ら れ る.   定 理3.9  条 件 は,す

ヒル ベ ル ト空 間Hの

直 交 系{φn}が

べ て の φnと 直 交 す るHの

  証 明   必 要 な こ と.{φn}が パ ー セ バ ル の 等 式(3.49)が

完 全 で あ るた め の 必 要 十 分

元fが0以

外 に存 在 し な い こ とで あ る.

完 全 な 直 交 系 とす る.Hの 成 立 つ.(f,φn)=0,n=1,2,…,な

に よ っ て,‖f‖2=0,従

っ てf=0と

  十 分 な こ と.{φn}を

直 交 系 と し,(f,φn)=0,n=1,2,…,な

る と仮 定 す る.任

意 のg∈Hを

対 し て,

ら ば,(3.49)

な る.

と る.gの

と お く と,任

と し, 

任 意 の 元fに

るfは0に

フ ー リエ 係 数 をcn=(g,φn)/‖

意 のp=1,2,…

限 φn‖2

に 対 して

  (3.50)

が 成 立 つ.ベ

ッ セ ル 不 等 式(3.48)に

ら,(3.50)の

右 端 の 級 数 は,N→

であ るか

よ り,  ∞ の と き0に

収 束 す る.こ

れ は 列{gn}が

基

本 列 を な す こ とを 示 し て い る.   と こ ろ で,Hは

完 備 で あ る か ら,gnは と お く.m≧nな

れ ば,(h,φn)=0,n=1,2,…,が

に 限 る か ら,g=g,即 で あ る. 

あ るg∈Hに

ら ば,(g−gm,φn)=0が 得 ら れ る.仮

ち, 

収 束 す る.  成 立 つ.m→

定 に よ れ ば,こ

が 得 ら れ る.従

∞

とす

の よ う なhは0

っ て{φn}は

完全

(証 明 終)

  直 交 系{φn}の

各 元 の ノル ムが1に

等 し い とき,{φn}は

正 規 直 交 系 と言 わ

れ る.   補 題3.2 

{φn}を

ヒル ベ ル ト空 間Hに

{ψn}はHに

お け る正 規 直 交 系 で,条 件

お け る 完 全 な 正 規 直 交 系 とす る.

 (3.51)

を 満 た す と す る.こ   証 明   {ψn}が n=1,2,…,な

の と き,{ψn}も

完 全 な 正 規 直 交 系 で あ る.

完 全 で な い と す る.定 るh∈Hが

理3.9に

よ っ て, 

(h,ψn)=0,

あ る.

(h,φn)=(h,ψn)+(h,φn−

ψn)=(h,φn−

ψn)

に シ ュ ワ ル ツ 不 等 式 を 適 用 す る:   (3.52) 

(h,φn)2=(h,φn−

こ れ を 加 え 合 わ せ て,(3.51)を

こ れ は,hに

ψn)2≦

‖h‖2‖φn− ψn‖2.

用 い る と:

対 し て パ ー セ バ ル 等 式 が 成 立 た な い こ と を 示 し,{φn}が

い う仮 定 に 反 す る.    補 題3.3 

完全 と (証 明終)

補 題3.2に

お い て,条

件(3.51)を

  (3.53)

で お き か え る.そ h∈Hは0で   証 明  +1か

の と き,φ1,φ2,…,φNお

よ び ψN+1,ψN+2,…

あ る. と仮 定 す る.hは(3.52)をn>Nの

ら 加 え 合 わ せ る.(h,φk)=0,k=1,…,Nに

を 得 る.こ   補 題3.4  ψN+2,…,お

と 直 交 す る元

れ は{φn}の

補 題3.3の

れ をn=N

注 意 して

完 全 性 に 反 す る. 

{φn},{ψn}は よび

と き 満 た す.そ

条 件 を 満 た す とす る.そ

(証 明終) の と き,ψN+1,

  (3.54)

と直 交 す る元h∈Hは0で

あ る.

 証明 従 っ て,補

題3.3に

よ り,h=0. 

(証 明 終)

  {φn}が 完 全 な 正 規 直 交 系 で あ る と き,こ

れ に 十 分'近

い'正

規 直 交 系 は,ま

た 完 全 で あ る こ と を 示 そ う.   定 理3.10 

{φn}は

ヒ ル ベ ル ト空 間Hの

完 全 な 正 規 直 交 系,{ψn}は

  (3.55)

を 満 た すHの

正 規 直 交 系 とす る.そ

  証 明   Nを

十 分 大 き く とれ ば

と な る.補 す るHの

題3.4に

よ っ て,ψN+1,ψN+2,…

元 は0に

即 ち,χkは

の とき,{ψn}はHに

な る.χkの

お よ び(3.54)の

χ1,…,χNに

直 交

定 義 か ら,

ψN+1,ψN+2,…

全 体 の 集 合 をH0と

お い て 完 全 で あ る.

と直 交 す る.ψN+1,ψN+2,…

表 わ す.H0が

ベ ク トル 空 間(Hの

元

部 分 空 間)に な る こ と は

み や す い.H0は

χ1,…,χNを

αNχN(αk∈R)の

形 の 元)を 含 む が,補

題3.4の

結 論 に よ れ ば,H0は

χ1,…,

結 合 だ け か ら 構 成 さ れ る.即

ち.H0は

次 元 が 高 々Nの,有

限次元

χNの1次

含 み,従

と 直 交 す るHの

っ て χ1,…,χNの1次

結 合(α1χ1+…+

の 部 分 空 間 で あ る.   一 方,ψ1,…,ψNはH0に の 内 積 を 作 り,{ψn}が

属 し て い る.α1ψ1+…+αNψN=0(αk∈R)と 正 規 直 交 系 で あ る こ と を 考 慮 す れ ば,αk=0(k=1,…,

ψk

N)が

得 ら れ る か ら,ψ1,…,ψNは1次

に 等 し く,ψ1,…,ψNがH0の

独 立 で あ る.従

基 底 を な す.H0の

っ て,H0の

元 χ1,…,χNは

次 元 はN ψ1,…,ψNの

1次 結 合 と し て 表 わ さ れ る.   さ て,h∈Hが

ψ1,ψ2,…,ψn,…

ψN+1,ψN+2,…

に 直 交 し,h=0と

に 直 交 す る な ら ば,hは な る.定

理3.9に

χ1,…,χN,お

よ っ て,{ψn}は

規 直 交 系 に な る. 

よび

完全 な正 (証 明終)

  こ の 定 理 を 使 え ば,正

則 な ス ツ ル ム ・ リウ ビル 系 の 固 有 関 数 の完 全 性 が 証 明

さ れ る.   定 理3.11 

ス ツル ム ・リウ ビル 系 [p(x)y′]′+[q(x)+λr(x)]y=0, αy(a)+α

′y′(a)=0, 

に お い て,p(x),q(x)はa≦x≦bで

βy(b)+β

′y′(b)=0

連 続 微 分 可 能,r(x)はa≦x≦bで

p(x)>0,r(x)>0, 

とす る.そ

リ ウ ビ ル 系 の 固 有 関 数 列{yn(x)}は,r(x)を 作 る 空 間(厳 密 に 言 え ば,そ

連 続,

の と き,こ の ス ツ ル ム ・

重 さ と し て2乗

可積 分 な 関数 の

れ を 完 備 化 し た ヒ ル ベ ル ト空 間)に お い て 完 全 な 直

交 関 数 系 を な す.   証 明   §2.10で 準 形 に な り,境

界 条 件 は 同 じ 型 の も の に な り,同

系 が 得 ら れ る.定 とzn(t)の

述 べ た リ ウ ビ ル 変 換 を 行 な え ば,微

理2.15に

よ れ ば,固

分 方 程 式 は リ ウ ビル の 標

種 の 正 則 ス ツ ル ム ・ リ ウ ビル

有 値 は 不 変 で,対

応 す る 固 有 関 数yn(x)

間に

(σ≦t≦ τ はa≦x≦bに な る 関 係 が 成 立 つ.従

っ て,定

理 を 証 明 す る た め に は,改

対 応 す る 区 間) め て次 の命題 を証 明

す れ ば よ い: y″+[λ+q(x)]y=0, αy(a)+α の 固 有 関 数 列{yn(x)}が,重

′y′(a)=0,  さ1に

βy(b)+β

関 す る2乗

′y′(b)=0

可 積 分 な 関 数 の 作 る空 間 に お い

て 完 全 な 直 交 関 数 系 を な す.  

と仮 定 す る.定 理2.18に

な る 性 質 を 持 つ.一

はa≦x≦bに

方,定

理3.6系

よ り,固 有 関 数yn(x)は,正

規 化 す れ ば,

に よ り

お け る完 全 な正 規 直 交 系 で あ る.yn(x)−

φn(x)を2乗

して 積 分

すれば

が 得 られ る. 

が 成 立 つ.従

は 収 束 で あ る か ら,

っ て 定 理3.10に

よっ て{yn(x)}は

完 全 な 直 交 関 数 系 を な す.証

明 は 省 略 す るが α′ β′=0の 場 合 に も 同 様 の 結 果 が 成 立 つ. 

(証明終)

  3.6  変 分 問 題 と の 関 連 Ⅰ   ス ツル ム ・リウ ビル 系 に 対 す る 固 有 値 問 題 は,§2.5で 汎 関 数 の 極 大,極

小 を 求 め る問 題 ―

解説 した変分 問題 ―

と密 接 な 関 係 を 持 っ て お り,変 分 問 題 の

側 か ら微 分 方 程 式 に 対 す る固 有 値 問 題 を 見 直 す こ とに よ って,種

々 の有 益 な 結

果 を 導 き 出 す こ とが で き る.   話 し を 簡 単 に す る た め に,ス   (3.56) 

ツル ム ・ リウ ビル 系 と し て

[p(x)y′]′+[λr(x)−q(x)]y=0, y′(a)−

αy(a)=0,

  (3.57) y′(b)+βy(b)=0

を 取 上 げ,も

っ ぱ ら こ れ に つ い て 論 じ る こ と に す る.残

ビ ル 系 に 関 し て も 本 質 的 に は 同 じ論 法 が 適 用 され,類

され た ス ツル ム ・ リ ウ

似 の 結 果 が 得 ら れ る.

  区 間a≦x≦bで,p(x),q(x),r(x)は 続 微 分 可 能,か

つ α≧0,β ≧0と 仮 定 す る.方 程 式(3.56)の

境 界 条 件(3.57)を   λを 問 題Aの

い ず れ も正 の 連 続 関 数 で,p(x)は

零 で な い 解 で,

満 足 す る も の を 求 め る 問 題 を(固 有 値)問 題Aと

固 有 値,y(x)を

が 得 られ る.境 界 条 件(3.57)を

連

名 付 け る.

対 応 す る固 有 関 数 とす れ ば,部 分 積 分 に よ り

考慮す れば

  (3.58)

が 得 られ る.与 え られ た 条件 の 下 で は,λ>0と   (3.58)に

な る.

現わ れ た二つ の汎 関 数

  (3.59)

  (3.60)

が 今 後 重 要 な役 割 を 果 す.y,y′ に,次

の'双1次'の

に つ い て'2次'の

形 式 で あ る これ ら の 汎 関 数

形 式 を 付 随 さ せ る:

次 の 公 式 が 成 立 つ こ とは 明 らか で あ ろ う.

  (3.61)

Kに

つ い て も 同 様.c1,c2は

  次 の 変 分 問 題 を考 え,そ

定 数 で あ る. れ を(変 分)問 題Bと

  2回 連 続 微 分 可 能 な 関 数 全 体 の 中で,汎

呼 ぶ.

関 数J[y]/K[y]を

最小 にす る も の

y0(x)を

求 め る:

  (3.62)

次 に,K[y,y0]=0を

満 た す2回

を 最 小 に す る も のy1(x)を

連 続 微 分 可 能 な 関 数 全 体 の 中 で,J[y]/K[y]

求 め る:

  (3.63)

こ の 手 続 き を 繰 返 す.y0,y1,…,yn−1が yn−1]=0を

満 た す2回

す る も のyn(x)を

求 ま っ た と き,K[y,y0]=0,…,K[y

,

連 続 微 分 可 能 な 関 数 全 体 の 中 で,J[y]/K[y]を

最小に

求 め る:

  (3.64)

C2[a,b]はa≦x≦bで2回   J[y]/K[y]を

連続 微 分 可能 な関 数全体 の集合 を表 わす 記号 で あ る.

レ イ リ イ(Rayleigh)商,λnを

変 分 問 題Bのn番

目の固 有値

と言 う.   我 々 の 目標 は,問

題Aと

問 題Bと

証 明 に は か な り手 間 が か か る の で,本   定 理3.12  2,…)が

変 分 問 題Bの

存 在 す る な ら ば,λnは

固有値

が 同 値 で あ る こ と を 証 明 す る こ と で あ る. 節 で は,半 λnと

分 だ け 片 付 け る.

そ れ を 与 え る 関 数yn(x)(n=0,1,

固 有 値 問 題Aの

固 有 値,yn(x)は

λnに 属 す る

固 有 関 数 で あ る.   証 明   λ0,y0(x)を   (3.65)  η(x)を2回

即ち   (3.66)

考 え る.(3.62)に

よって

J[y0]=λ0K[y0]. 連 続 微 分 可 能 な 任 意 の 関 数,ε

を 任 意 の 実 数 とす れ ば,明

らか に

が 成 立 つ.(3.61)に

と な る の で,こ

よ り J[y0+ε

η]=J[y0]+2εJ[y0,η]+ε2J[η],

K[y0+ε

η]=K[y0]+2εK[y0,η]+ε2K[η]

れ と(3.65),(3.66)を

組 合 せ る.そ

の 結 果

  (3.67)

が 得 ら れ る.こ

れ が 任 意 の η と ε に 対 し て 成 立 つ た め に は,

  (3.68) 

J[y0,η]−

で な け れ ば な ら な い.何 で,も

し  

な ら ば,ε

が で き,(3.67)に

λ0K[y0,η]=0

と な れ ば,(3.67)の

左 辺 は ε の2次

を 適 当 に 選 ぶ こ と に よ っ て,そ

反 す る か ら で あ る.(3.68)を

式aε2+bε,a≧0,

の値 を 負にす る こと

吟 味 し よ う.部

分 積 分 に よ り,

次 式 が 得 ら れ る:

 で あ る か ら,(3.68)は

 (3.69)

と な る.特

に η(a)=η(b)=0と

と な る.η(x)は

な る η(x)を

任 意 で あ る か ら,変

選 べ ば上 式 は

分 学 の 基 本 補 題(補 題2.3)に

(py0′)′+(λ0r−q)y0=0

よ って

が 得 ら れ る.y0(x)は(3.56)の れ ば,任

意 の η(x)に

零 で な い 解 に な る.こ

αy0(a)]+p(b)η(b)[y

が 成 立 つ こ とが わ か る.η(x)と

境 界 条 件(3.57)を

の 固 有 関 数,λ0は

に

y0′(b)+βy0(b)=0 満 足 す る.従

考 え る.こ

  (3.70) 

れ が(3.68)と

J[y1,η]−

意 の2回

固 有 値 問 題A

同様 な 関係

λ1K[y1,η]=0

と 同 じ 論 法 で,λ1,y1(x)が

こ と が 示 さ れ る.ζ(x)をK[ζ,y0]=0な 意 の ε に 対 し て,K[y1+ε

た 計 算 を,λ1,y1,y1+ε

J[y1,ζ]−

が 得 ら れ る.η(x)を

対 し て 満 た す こ と を 言 お う.

問 題Aの る2回

固 有 値,固

連 続 微 分 可 能 な任 意 の 関 係 と

ζ,y0]=0.(3.66),(3.67),(3.68)を

導 い

λ1K[y1,ζ]=0

任 意 の 関 数 と す る.ζ=η+ty0のtを

な る よ うに で き る.こ J[y1,η+ty0]−

使 っ て,こ

有関数 で あ る

ζ に 適 用 す れ ば,

  (3.71) 

K[ζ,y0]=0と

っ て,y0(x)は

連 続 微 分 可 能 な 任 意 の 関 数 η(x)に

そ うす れ ば,上

の ζ を(3.71)に

適 当 に と れ ば, 代 入 す る:

λ1K[y1,η+ty0]=0.

れを

J[y1,η]+tJ[y1,y0]−

λ1{K[y1,η]+tK[y1,y0]}=0

と書 き,K[y1,y0]=0,J[y1,y0]=0((3.68)で (3.70)が

満 た す も の,次

対 応 す る 固 有 値 に な る.

  次 に,λ1,y1(x)を

(3.61)を

η(b)=0を

を 満 た す も の を と れ ば,

を 得 る.y0(x)は

す る.任

み

0′(b)+βy0(b)]=0

し て, 

y0′(a)− αy0(a)=0, 

を,任

び(3.69)を

対 して

−p(a)η(a)[y0′(a)−

η(a)=0, 

こ で,再

η=y1と

お け)に

注 意 す れ ば,

得 ら れ る.

  こ の 操 作 を 繰 返 せ ば,定

理 の 主 張 す る 通 り の 結 果 が 成 立 つ. 

  次 の 事 実 は 容 易 に 確 か め ら れ る.   系   定 理3.12の

方 法 で 得 ら れ る固 有値 の 列 は λ0≦λ1≦… ≦ λn≦ …

を 満 足 す る.

(証 明 終)

  3.7 

変 分問 題 との 関連 Ⅱ

  変 分 問 題Bに

つ い て も う 少 し 考 え る.η0(x),η1(x),…,ηn−1(x),ζ(x)を2

回 連 続 微 分 可 能 な 関 数 とす る.η0(x),η1(x),…,ηn−1(x)を K[ζ,ηi]=0 

固 定 し,ζ(x)を

(i=0,1,…,n−1)

を 満 た す よ うに 変 動 さ せ る と き のJ[ζ]/K[ζ]の

最 小 値 をh(η0,η1,…,ηn−1)と

表 わ す:

  (3.72)

変 分 問 題Bの

固 有 値 λn,そ れ を 定 め るyi(x)(i=0,1,2,…,n−1)は

  (3.73) 

λn=h(y0,y1,…,yn−1)

を 満 足 す る.任

意 の η0,η1,…,ηn−1に 対 し て

  (3.74) 

λn≧h(η0,η1,…,ηn−1)

が 成 立 つ こ と を 証 明 し よ う.初 く:K[yi]=1.yiを ら な い か ら,正

め に,yi(i=0,1,…,n)を

定 数 倍 し て も,汎

す べ て 正 規 化 して お

関 数J[y]/K[y]を

最 小 にす る性 質 は 変

規 化 し て お い て 一 般 性 を 失 わ な い.

を 考 え,ciを

と な る よ うに 選 ぶ.(3.62)を 次 連 立1次

方 程 式 で,方

用 い れ ば,上 式 はn+1個

程 式 の 個 数 はn個

で あ る か ら,確

ciは 共 通 の 定 数 を 掛 け て も,や は り解 で あ るか ら,  そ の と き,

の 未 知 数ciに 関 す る 斉 か に 解 を 持 つ.解 と 仮 定 し て よ い.

が 成 立 つ.こ

こ で,(3.68),(3.70)の J[yi,η]−

一 般形

λiK[yi,η]=0 

か ら 出 る結 果   を 用 い た.定

を 得 る.こ

と,J[yi,yi]=J[yi]=J[yi]/K[yi]=λiと

理3.12の

系に より

れ は,K[ζ,ηi]=0(i=0,1,…,n−1)か

の 存 在 を 示 す.従

即 ち(3.74)が

っ てh(η0,η1,…,ηn−1)の

示 さ れ た.(3.73)と(3.74)を

が 成 立 つ.こ れ を 変 分 問 題Bの 原 理 と 言 う.補   補 題3.5 

と お く.そ

(i=0,1,2,…)

つJ[ζ]/K[ζ]≦ 定 義(3.72)に

λnな

る ζ

よ っ て,

結 合 す れ ば,

固 有 値 に 関 す る ク ー ラ ン(Courant)の

最 大-最 小

題 の 形 に ま と め て お く.

η0,η1,…,ηn−1,ζ を2回

の と き,変

分 問 題Bのn番

連 続 微 分 可 能 な 関 数 と す る.

目 の 固 有 値 λnは

を 満 足 す る.   補 題3.6 

変 分 問 題Bのn番

K[y]をK′[y]で 任 意 のyに

目 の 固 有 値 を λnと し,J[y]をJ′[y]で,

お き か え た 同 種 の 変 分 問 題 のn番

目の 固 有 値 を λn′ とす る.

対 して

  (3.75)

が 成 立 つ な ら ば,λn′ ≦ λnで あ る.   証 明   η0,η1,…,ηn−1を2回

連 続 微 分 可 能 な 関 数 の任 意 の

一組 とす る.ζ0を

K[ζ0,ηi]=0(i=0,1,…,n−1)か

つ

な る 関 数 とす る.(3.75)に

が 得 ら れ る.即

よ って

ちh′(η0,η1,…,ηn−1)≦h(η0,η1,…,ηn−1).(η0,η1,…,ηn−1)を

可 能 な 限 り変 動 さ せ た と き の 最 大 値 を 考 え,補

題3.5の

結 果 を 使 え ば,求

不 等 式 λn′ ≦ λnが 得 ら れ る.    補 題3.7 

変 分 問 題Bのn番

める

(証 明終) 目 の 固 有 値 λnは

を 満 た す.   証 明   J[y]は(3.59)で,K[y]は(3.60)で

定 め ら れ て い る こ と に 注 意 す る.

J′[y],K′[y]を

で定義す る.こ こで,  れ ら の 汎 関 数 が(3.75)を り,λn′≦ λn.た

こ 満 た す こ と は 直 ち に わ か る.従

だ し λn′は

  (3.76)

に 関 す る変 分 問 題 のn番

目の 固 有 値 で あ る.

っ て,補

題3.6に

よ

を 考 え る.こ

の 変 分 問 題 の 固 有 値 は,定

理3.12に

よ っ て,ス

ツル ム ・ リウ ビ

ル系 y″+μy=0, y′(a)−

の 固 有 値 で も あ る.こ て, 

αy(a)=0, 

y′(b)+βy(b)=0

の ス ツ ル ム ・ リ ウ ビ ル 系 の 固 有 値 μnは

(直 接 計 算 し て も よ い し,一

い.)(3.76)か

可算無 限個 あ っ

般 的 な 定 理2.12を

適 用 して も よ

ら

が 成 立 つ こ とが わ か る.knは0,1,2,…

の 部 分 列 で あ る.ゆ

え に, (証 明 終)

  次 の 定 理 は 定 理3.12の   定 理3.13 

逆 が 正 し い こ と を 示 す.

ス ツ ル ム ・ リ ウ ビ ル 系 に 対 す る 固 有 値 問 題Aのn番

は 対 応 す る 変 分 問 題Bのn番 有 関 数 は 汎 関 数(3.64)を   証 明  λ を 問 題Aの に よ り,λ<λnな

目 の 固 有 値 に な る.ま

た,そ

目の 固 有 値

の 固 有 値 に属 す る固

最 小 に す る. 固 有 値,η(x)を

λ に 属 す る 固 有 関 数 と す る.補

る λnが 存 在 す る.(3.58)に

題3.7

よ り λ=J[η]/K[η]だ

か ら,も

対 し てK[η,yi]=0な

ら ば,

し λiに 対 応 す る 関 数yi(x)(i=0,1,…,n−1)に λ=J[η]/K[η]<λn=J[yn]/K[yn] と な っ て,λnがK[ζ,yi]=0(i=0,1,…,n−1)な の 最 小 値 と い う こ と に 反 す る.ゆ

と な る.η(x)もyj(x)も η(x)の

え に,あ

らbま

る 番 号j(0≦j≦n−1)が

微 分 方 程 式(3.56)と

方 程 式 にyj(x)を,yj(x)の

そ れ をaか

る ζ に 対 す るJ[ζ]/K[ζ]

で 積 分 す れ ば,グ

境 界 条 件(3.57)を

方 程 式 に η(x)を

掛 け て,引

リー ン の 公 式 に よ っ て

あ って

満 足 す る. き 算 を し,

(λj− λ)K[η,yj]=0

を 得 る.従

っ て λ=λjで

な け れ ば な ら な い. 

(証 明終)

  定 理3.12と

定 理3.13を

  定 理3.14 

ス ツ ル ム ・リ ウ ビ ル 系 に 対 す る固 有 値 問 題Aと

変 分 問 題Bは

組 合 せ る と,次 の 定 理 が 得 られ る. それに 対応 す る

同 値 で あ る.

  初 め に 断 っ た よ うに,上 で 考 察 した ス ツル ム ・リ ウ ビル 系 と異 な る型 の 場 合 に も,同

じ議 論(勿 論 必 要 な 修 正 を 施 し て)を 行 う こ とに よ っ て,類 似 の 結 論 に

達 す る こ とが で き る.例   定 理3.15 

えば,次

の 結 果 が 得 られ る.

ス ツル ム ・ リウ ビル 系 に 対 す る 固 有 値 問 題 [p(x)y′]′+[λr(x)−q(x)]y=0, y(a)=y(b)=0

は,次

の 変 分 問 題 と同 値 で あ る:

  y(a)=y(b)=0を

満 た す2回

連 続 微 分 可 能 な 関 数 全 体 の 中 で 汎 関 数I[y]/K を 最 小 に す る も のy0(x)を

[y], 

求 め る.y0(x),

y1(x),…,yn−1(x)ま

で 定 ま っ た と き,y(a)=y(b)=0,K[y,yi]=0(i=0,1,…,

n−1)を

連 続 微 分 可 能 な 関 数 全 体 の 中 で,汎

満 た す2回

小 に す る も のyn(x)を

求 め る.こ

関 数I[y]/K[y]を

最

の 操 作 を 際 限 な く 続 け る.

  証 明 は 読 者 に 任 せ る.   注 意   §§3.6-3.7に

お い て,我

る種 の条 件 を 満 た す2回 と,言

い 換 え れ ば,汎

い う こ とを,暗

々はJ[y]/K[y],I[y]/K[y]と

連 続 微 分 可 能 な 関 数 全 体 の 中 で,本 関 数 を 最 小 に す る2回

連 続微 分可 能 な関数 が実際 に存在 す る と

黙 の うち に 認 め て話 しを 進 め た.数

学 的 に 完 全 で あ る た め に は,こ

提 とな っ て い る事 実 を 厳 密 に証 明す る必 要 が あ る.し で,本

書 の 範 囲 を 越 え る た め,残

者 は,例

え ば,Courant-Hilbertの

(Interscience,

New

York,

い っ た 汎 関 数 が,あ 当 に 最 小 値 を と る とい う こ

か し,そ れ は か な り難 か しい 仕 事

念 な が ら割 愛 しな け れ ば な らな い.興 名 著:Methods

の前

of Mathematical

味を お持 ちの読 Physics,

Vol. 1

1953年 版)の 第 Ⅲ 章 を 参 照 され た い.

演 習 問 題3.7   1.  固 有 値 問 題y″+μy=0,y′(a)−

αy(a)=0,y′(b)+βy(b)=0(α

≧0,β

≧0)の

n番 目の 固 有 値 を μnと す れ ば,    2.  定 理3.15を

で あ る こ とを 直 接 に証 明 せ よ.

証 明 せ よ.

  3.  ス ツ ル ム ・ リ ウ ビ ル 系 [(1+x2)y′]′+λ(1+x2)y=0, y′(0)=0, 

の 最 小 の 固 有 値 の 下 界 を,定

y(1)=0

数 係 数 の ス ツ ル ム ・リ ウ ビ ル系 と比 較 す る こ とに よ り求 め

よ.   4.  q(x)が

有 界 な 関 数 な ら ば,ス

ツ ル ム ・リウ ビル 系

y″+[λ

−q(x)]y=0,

y(0)=y(1)=0

のn番

目の 固 有 値 λnは

を 満 た す こ とを 示 せ.

  3.8  グ リ ー ン 関 数 と 固 有 関 数 展 開  ス ツル ム ・リ ウ ビル 系  (3.77) 

[p(x)y′]′+[λr(x)−q(x)]y=0,

  (3.78) 

y′(a)−

αy(a)=0, 

を 考 え る.p(x),q(x),r(x),α,β

は

る も の と す る.§ §3.6-3.7で

§§3.6-3.7で

得 た 問 題(3.77)-(3.78)の

の 変 分 的 特 徴 付 け を 利 用 し て,固 級 数 の 一 様 収 束,グ

y′(b)+βy(b)=0

指 定 した 条 件 を 満 足 す 固 有 値,固

有 関 数 系 の 完 全 性 を 再 確 認 し,次

リ ー ン 関 数 の 固 有 関 数 に よ る 表 現,等

有関 数

に フ ー リエ

の問題 を論 じ るこ と

に し よ う.   λnを(3.77)-(3.78)の …)と

す る .a≦x≦bで2回

固 有 値,yn(x)を

λnに 属 す る 固 有 関 数(n=0,1,2,

連 続 微 分 可 能 な 任 意 の 関 数f(x)の{yn(x)}に

す る フ ー リエ 級 数 を

と す る.§3.1の

結 果 に よ り,フ

ー リ エ 係 数cnは

関

で 定 め ら れ る.こ

cnの 定 め 方 か

こ で 

ら容易に

が 成 立 つ.固

有 値 λnの 特 徴 付 け

か ら,

  (3.79)

が 得 ら れ る.と

こ ろ で,

部 分 積 分 を 行 な い,ykが

境 界 条 件(3.78)を

満 たす こ とを 考 慮 に 入 れ る と,

従 っ て,

を 得 る.こ

れ を(3.79)に

を 得 る.こ

こ でn→

近 づ く.こ

れ は,f(x)の

∞

代 入 す れ ば,

と す れ ば,既

に み た よ う に λn→ ∞ だ か ら,右

がf(x)に

フ ー リ エ 級 数 

辺 は0に

平 均 収束す る こ

と を 示 して い る.   重 さr(x)に f(x)で

関 し て2乗 可 積 分 な 任 意 の 関 数f(x)は,連

平 均2乗

れ ば,結 局,問

続 微 分 可能 な関数

誤 差 が い く らで も小 さ くな る よ うに 近 似 され る こ とに 注 意 す 題(3.77)-(3.78)の

固 有 関 数 系{yn(x)}は

完 全 で あ る こ とが

証 明 さ れ た こ とに な る.   特 に,パ

ーセバ ル の等 式

即ち が 成 立 つ.   f(x)は2回

連 続 微 分 可 能 で,境

界 条 件(3.78)を

満 足 す る と 仮 定 す る. 

の フ ー リエ 級 数 を 求 め る.

(グ リ ー ン の 公 式)

で あ る か ら,

が 成 立 つ.パ

ー セ バ ル の 等 式 を 適 用 す れ ば,

  (3.80)

即ち

が 成 立 つ.2回

連続 微 分 可 能 な 関 数 で 近 似 す る と,上 な る関 数f(x)に

  f(x)+g(x)お

と し て,次

よ びf(x)−g(x)に

式 は 任 意 の 連 続 か つ 

対 し て 成 立 つ.

対 し て(3.80)を

作 り,引

き 算 を す れ ば,

の 等 式 が 得 られ る.

  (3.81)

  さ て,我

々 の 仮 定 の 下 で λ=0は(3.77)-(3.78)の

非斉 次 境 界値 問 題   (3.82) 

[p(x)z′]′ z′(a)−

の グ リ ー ン 関 数G(x,ξ)が

−q(x)z=−F(x),

αz(a)=0, 

存 在 し,そ

z′(b)+βz(b)=0

の解 は

で 与 え ら れ る(定 理2.2).   (3.77)を [p(x)y′]′

−q(x)y=−

λr(x)y(x)

固 有値 で な い.従

っ て,

と 書 直 し て み れ ば,(3.77)-(3.78)の 程 式 の 解 と 見 な す こ と が で き る.従

固 有 関 数y(x)は(3.82)の っ て,固

形 の微 分方

有 関 数y(x)は

 (3.83)

を 満 足 す る.逆

に,(3.77)を

λ は 固 有 値 に な る.(3.83)は の 右 辺 の 積 分 は,xを と 見 な さ れ る.固 yN(x)と

r(x)を

固 有 関 数,

積 分 方 程 式 と 呼 ぼ れ る も の の 一 種 で あ る.(3.83)

固 定 し た と き のG(x,ξ)の

有 値 を λ0,λ1,…,λN,対

す れ ば,ベ

と な る.(3.83)を

満 足 す るy(x)は,(3.77)-(3.78)の

固 有 関 数 展 開 の フ ー リエ 係 数

応 す る 固 有 関 数 をy0(x),y1(x),…,

ッ セ ル 不 等 式(3.11)は

用 い る と,

両 辺 に 掛 け て 積 分 す る:

右 辺 は 有 限 で あ る か ら,級 数  (定 理2.17系)が   x,x′

は 収 束 す る.こ

別 の 観 点 か ら 導 か れ た.

を 固 定 し,(3.81)でf(ξ)=G(x,ξ),g(ξ)=G(x′,ξ)と

に よ っ て

だ か ら,(3.81)は

う して 以 前 証 明 し た 事 実

お く.(3.83)

と な る.こ

こ で,グ

リ ー ン 関 数 の 性 質(2.14)が

境 界 値 問 題(3.82)の

グ リ ー ン 関 数G(x,ξ)は,問

λn,固

有 関 数yn(x)を

用 い て,収

有 効 に 用 い ら れ て い る.即 題(3.77)-(3.78)の

ち,

固 有値

束 す る級 数

  (3.84)

に 展 開 さ れ る.特

に,x=ξ

とお け ば

 フ ー リエ 級 数 が 一 様 収 束 す る こ と を 保 証 す る 次 の 定 理 は 重 要 で あ る.   定 理3.16 

f(x)はa≦x≦bで

f′(b)+βf(b)=0を

連 続 で,か

つ,境

界 条 件f′(a)−

が有限な ら

満 た す 任 意 の 関 数 とす る. 

ば 問 題(3.77)-(3.78)の はf(x)に

固 有 関 数 系{yn(x)}に

αf(a)=0,

関 す るf(x)の

フ ー リ エ 級 数 

一 様 に 収 束 す る.

  証 明   級 数 に 関 す る シ ュ ワル ツ の 不 等 式 を 使 って

  (3.85)

が 得 ら れ る.G(x,x)は

か ら,(3.85)の

有 界,(3.81)に

最 後 の 式 はN→

は収束である

よ り 

∞ の と き,xに

関 し て 一 様 に0に

近 づ く.従

っ て,フ

ー リ エ 級 数 はf(x)に

  特 に,G(x,ξ)の F(x)が

一 様 に 収 束 す る. 

展 開(3.84)はxと

(証 明 終)

ξ に 関 し て 一 様 に 収 束 す る.従

っ て,

絶 対 可 積 分:

の と き, 

の フ ー リエ 級 数 を

とす れ ば,非 斉 次 境 界 値 問 題(3.82)の

の よ う に,固

解 は,

有 関 数 に よ る 一 様 収 束 級 数 に 展 開 さ れ る.こ

れ は重 要 な情 報 であ

る.   定 理3.17 

ス ツル ム ・リ ウ ビル 系 [p(x)y′]′+[λr(x)−q(x)]y=0, y′(a)− αy(a)=0, 

の 固 有 値 を λn,対

応 す る 固 有 関 数 をyn(x)(n=0,1,2,…)と

a≦x≦bで

絶 対 可 積 分 な 関 数 で,

と す る.こ

の と き,非

  (3.86) 

y′(b)+βy(y)=0 す る.F(x)は

斉 次境 界 値 問題 [p(x)y′]′+[λr(x)−q(x)]=−F(x),

y′(a)− αy(a)=0, 

y′(b)+βy(b)=0

は,   (ⅰ)  ち,そ

れ は,一

(n=0,1,2,…)な 様 収 束 す る級 数

ら ば,任

意 のF(x)に

対 して 一 意 的 な 解 を 持

  (3.87)

の 形 に 表 わ さ れ る.   (ⅱ)  λ=λkな

ら ば,F(x)が

λkに 属 す る 固 有 関 数yk(x)と

し か も そ の と きに 限 っ て 解 を 持 ち,そ る 級 数 とyk(x)の

直 交 す る と き: 

れ は一様 に 収束す

定 数 倍 の 和:

 (3.88)

の 形 に 表 わ さ れ る.γkは   証 明   (ⅰ) 

任 意 の 定 数 で あ る.

(n=0,1,2,…)な

題 は 零 解 だ け し か 持 た な い か ら,定

ら ば,(3.86)に 理2.2に

付 随 す る斉 次 境 界 値 問

よ り,(3.86)は

任 意 のF(x)に

対

し て 解 を 持 つ.(3.86)が [p(x)y′]′

−q(x)y=−F(x)−

と変 形 で き る こ とを 考 慮 す れ ば,解

λr(x)y

は

 (3.89)

と表 わ さ れ る.G(x,ξ)は 2回 連 続 微 分 可 能 で,指 よ り,一

λ=0に

対 す る グ リ ー ン 関 数 で あ る.一

方,y(x)は

定 さ れ た 境 界 条 件 を 満 た し て い る か ら,定

理3.16に

様 収 束 す る フ ー リ エ 級 数 に 展 開 さ れ る:

こ れ を(3.89)の

両 辺 に 代 入 し,グ

リ ー ン 関 数 の 展 開(3.84)を

分 を行 な うと

が 得 られ る.両 辺 を比 較 す れ ば

従 っ て,求

め る 解 は(3.87)の

形 に 表 わ さ れ る.

使 っ て,項

別積

  (ⅱ)  λ=λkの つ.定

理2.4に

と き,λ=λkと よ れ ば,こ

の 必 要 十 分 条 件 は,非

し た 斉 次 境 界 値 問 題 は 零 で な い 解yk(x)を

の 場 合,非

斉 次 境 界 値 問 題(3.86)が

斉 次 項F(x)がyk(x)と

解 を持 つ た め

直 交 す る こ と:

で あ る.こ の 条 件 が 満 た さ れ る と仮 定 す る.(3.86)の 界 条 件 を 満 た す2回

持

解y(x)は

指 定 され た 境

連 続 微 分 可 能 な 関 数 で あ るか ら,一 様 収 束 す る フ ー リエ 級

数 に 展 開 で き る:

これ を,積

分方 程式

に 代 入 し て,級

数 の 形 に 書 き,両 辺 を 比 較 す れ ば

が 得 ら れ る.こ

の 関 係 か ら, 

従 っ て,(3.86)の

が 出 る.bkは

任 意 定 数 で よ い.

解 の一 般 形 は

(γkは 任 意 定 数)

で 与 え ら れ る.こ れ は 定 理2.4で

述 べ た 事 情 と き れ い に 符 合 して い る. (証明終)

  今 まで は,境

界 条 件 が(3.78)の

外 の境 界 条 件 に 対 して も,同

型 で あ る場 合 だ け を 論 じて 来 た が,こ

れ以

じ方 法 を用 い て,類 似 の 結 果 を 導 き 出す こ とが で

き る.詳 細 は 読 者 に 委 ね る.   例1  境 界 値 問 題 y″=−F(x),   (3.90)

y(0)=y(1)=0

の グ リ ー ン 関 数 は 次 式 で 与 え ら れ る(§2.2,例1).

特 にF(x)≡1な

ら ば,(3.90)の

解 は

  (3.91)

で あ る.G(x,ξ)を

固有値 問 題 y″+λy=0, y(0)=y(1)=0

の 固 有 関 数(正 規 化 し て お く) (固 有 値 λn=n2π2)  で 展 開 す れ ば,(3.84)に

が 得 ら れ る.グ

(n=1,2,3,…)

よ り

リ ー ン 関 数 の こ の 表 現 を 用 い る と,F(x)≡1な

る と き の(3.90)

の解 は

 (3.92)

と な る.(3.91)と(3.92)か

ら

  (3.93)

が 得 ら れ る.一

方,§3.4で

収束す る正弦級数 

述 べ た 結 果 に よ れ ば, 

に 展 開 さ れ,係 数bnは

は0≦x≦1で

一様

で 定 め ら れ る.(3.93)は

既 に 知 っ て い る この 結 果 を 別 の 見 方 か ら再 確 認 した

も の で あ る.   上 述 の 議 論 に お い て 中 心 的 な 役 割 を 果 した の は,グ

質 

で あ っ た.そ

リー ン関 数G(x,ξ)の

れ ゆ え,特

性

異 な スツル ム ・

リ ウ ビル 系 に 対 し て も,対 応 す る グ リー ン 関 数 が こ の 性 質 を 持 つ こ と を 確 認 し さ え す れ ば,同

様 な 論 法 で,固

に フ ー リエ 級 数 の 各 点 収 束,一

有 関 数 系 の 完 全 性 を 主 張 す る こ とが で き,さ

様 収 束 に つ い て も 語 る こ とが で き る.そ れ を 例

で 示 す.   例2 

境 界値 問題

x→0の

と きy,y′

の グ リ ー ン 関 数 は(§2.4,例2):m>0な

m=0な

は 有 界; 

y(1)=0

ら ば,

ら ば,

で あ る.ど の 場 合 に も 

ら

実 際,m>0の

と き,

だ か ら, 

と な る.m=0の

  従 っ て,特

と き も 同 様 で あ る.

異 な ス ツ ル ム ・ リ ウ ビル 系

x→0の

と きy,y′

は 有 界; 

y(1)=0

の固有関数系  r(x)≡xを

は 完 全 で あ る.つ

重 さ と し て2乗

可 積 分 な 関 数 は,平

ま り,

均 収 束 す る フ ー リエ 級 数 に 展 開

さ れ る.   パ ー セ バ ル の 等 式(3.81),グ   m>0な し,連

ら ば,G(x,x)は

リー ン 関 数 の 展 開 公 式(3.84)も 有 界 だ か ら,(3.85)に

界条件 を満た

な る 関 数f(x)の 一 様 収 束 す る.し

と き 有 界 で な く な る か ら,一 は 言 え る が,0≦x≦1で

か し,m=0な

様 収 束 は0を

は 言 え な い.フ

  開 区 間a<x0は

フー

ら ば,G(x,x)はx→0の

含 ま な い 任 意 の 区 間0<δ

≦x≦1で

で

ー リ エ 級 数 を 

に 一 様 に 収 束 す る.

割 っておけば,そ れは 

q(x)は

よ っ て,境

続 か つ 

リ エ 級 数 はf(x)に

連 続,区

成 立 つ.

連 続 微 分 可 能,q(x)≧0は

連 続,r(x)>0は

間 の 一 方 ま た は 両 方 の 端 点 で,p(x),r(x)は0に

な っ て も よ く,

不 連 続 に な っ て も よ い とす る.区 間 の 端 点 で 適 当 な 境 界 条 件 を 置 い て 特

異 固 有値 問題 [p(x)y′]′+[λr(x)−q(x)]y=0  を 考 え る.同

(a<x
じ境 界 条 件 を もつ 特 異 境 界 値 問 題 [p(x)z′]′ −q(x)z=−F(x)

の グ リ ー ン 関 数G(x,ξ)が

を 満 た す な らば,固

存在 して

有 関 数 系 は 完 全 で あ る.一 般 に はG(x,x)の

一様有 界 性が

言 え な い の で,境 <∞

界 条 件 を 満 た し,か

な る 関 数f(x)の

つ 

フ ー リ エ 級 数 に つ い て は,'フ

ー リエ 級 数 の 

に 一様 に 収 束 す る'こ と しか 主 張 で き な い.

倍 は 

演 習 問 題3.8   1.  本 文 で 述 べ た 方 法 に 従 っ て 次 の 命 題 を 証 明 せ よ.  

(a) 

ス ツル ム ・ リウ ビル 系 [p(x)y′]′+[λr(x)−q(x)]y=0, y(a)=y(b)=0

の 固 有 関 数 系 は 完 全 で あ る.  

(b) 

境界値 問題 [p(x)y′]′ −q(x)y=−F(x), y(a)=y(b)=0

の グ リー ン 関 数 と(a)の  (c) 

f(x)が

固 有 関 数 系 の 間 に(3.84)式

か つf(a)=f(b)=0な

連 続, 

有 関 数 系 に 関 す るf(x)の

が 成 立 つ.

フ ー リエ 級 数 はf(x)に

一 様 に 収 束 す る.

  2.  次 の 境 界 値 問 題 の グ リー ン 関 数 を 固 有 関 数 を 用 い て 展 開 せ よ.  

(a) 

y″=−F(x), 

y(−1)=y(1)=0.

 

(b) 

y″=−F(x), 

y(0)=y′(1)=0. x→0の

 (c)    (d) 

[(1−x2)y′]′=−F(x),x→

と きy,y′

±1の

は 有 界,y(1)=0.

と きy,y′

は 有 界.

3.  次 の 固 有 値 問 題 の 固 有 関 数 は 完 全 で あ る こ と を 証 明 せ よ.   (a) 

[xαy′]′+λxαy=0,  x→0の

(b) 

(α>1), と きy,y′

は 有 界;y(1)=0.

[(1−x2)y′]′+λy=0, y(0)=0;x→1の

と きy,y′

は 有 界.

 (c) x→0の

と き,y,y′

は 有 界;y(1)+y′(1)=0.

  4.  固 有 値 問 題 [xy′]′+λxy=0, x→0の の固有 関数  

と きy,y′

は 有 界,y(1)=0

を 用 い て,f(x)=1−x2(0<x<1)を

展 開 せ よ.

ら ば(a)の

固

 

5.

x→0の の 固 有 関 数 

と きy,y′

は 有 界;y(1)=0

を 用 い て,f(x)=xm+2を

(ヒ ン ト:[xmJm(x)]′=xmJm−1(x)を

使 う).

展 開 せ よ.

4.2  階線型 偏微分 方程式 と境界値 問題   4.1 

2階

線 型 偏 微分 方 程 式

  x1,…,xnをn個(n≧2)の とす る.uの

実 変 数,u=u(x1,…,xn)を

実 数 値 を と る未 知 関 数

偏導 関数 を含 む 関係 式

  (4.1)

を 偏 微 分 方 程 式 と言 う.Fの

中 に 現 わ れ るuの 偏 導 関 数 の 階 数 の最 高 がNの

き,(4.1)をN階

の 偏 微 分 方 程 式 と言 う.Fがuお

式 の と き,(4.1)は

線 型,そ

は1階

線 型,

は2階

線 型,

と

よび そ の 偏 導 関 数 の1次

うで な い と き,非 線 型 と言 わ れ る.例 え ば,

は1階 非 線 型,

は2階

非 線 型,の

  独 立 変 数 が2ま りにx,y,zを

偏 微 分 方 程 式 で あ る. た は3の

場 合 に は,x1,x2の

使 う こ と が 多 い.ま

代 りにx,yを,x1,x2,x3の

代

た 時 間 に よ っ て 変 化 す る物 理 現 象 を 記 述 す

る方 程 式 を 扱 う と き に は,時 間 変 数 が 重 要 な 意 味 を 持 つ の で,特 に そ れ をtと い う文 字 で 表 わ す こ とが あ る.   n次 元 ユ ー ク リッ ド空 間Rnの そ こで 偏 微 分 方 程 式(4.1)を

領 域 Ω で 定 義 さ れ た 関 数u=φ(x1,…,xn)が

満 足 す る とき,即 を,そ

ち φ お よび そ の 偏 導 関 数 

れ ぞ れu, 

の 所 に 代 入 し た ら(4.1)が u=φ(x1,…,xn)を(4.1)の

Ω で 恒 等 的 に 成 立 つ と き,

Ω に お け る解 と呼 ぶ.与

え られ た 偏 微 分 方 程 式 の

解 に つ い て,出 来 る限 り詳 し い 知 識 を 得 る こ と,こ れ が 我 々 の 関 心 事 で あ る.   様 々 な偏 微 分 方 程 式 の 中 で 最 も重 要 な もの は,2階

の 線 型 方 程 式 で,本 書 の

主 題 で あ る境 界 値 問 題 と も 密 接 な つ な が りを 持 っ て い る.2階

線型 偏 微分 方程

式 は 大 き く 三 つ の 型 に 分 類 され る.   そ の 一 つ は,熱 伝 導 の 現 象 を 記 述 す る方 程 式 (c>0は

  (4.2) 

定 数)

を 含 む 型 で あ る.(4.2)は   (4.3)

と一 般 化 さ れ る(2.6参 で,初

照).物

理 的 考 察 か ら,'(4.2)ま

た は(4.3)の

解u(x,t)

期条件 u(x,0)=φ(x) 

(0≦x≦l)

お よび境界条件 u(0,t)=u(l,t)=0 

(t≧0)

を 満 たす も の を 求 め よ'と い う問 題 が 設 定 さ れ た.こ れ を 熱 伝 導 方 程 式 に 対 す る初 期 ‐境 界 値 問 題 と言 う.境 界 条 件 と し て よ り一 般 な も の: u(0,t)=μ1(t), 

u(l,t)=μ2(t) 

(t≧0)

を 置 く こ とが で き る.   (x,y)‐ 平 面 内 に 置 か れ た 物 体 の 中 の 熱 伝 導 を考 え る と き に は,物 体 の 点(x,

y)の 時 刻tに

お け る温 度u=u(x,y,t)は,理

想 化 され た 状 況 の 下 で,2階

線

型 偏微 分 方程 式 (c>0は

  (4.4) 

を 満 足 す る こ と が 知 ら れ て い る.こ 単純 閉 曲線 (4.4)の

Γ

で囲 まれ た領域

解u(x,y,t)で,初

れ を2次

定 数)

元 の 熱 伝 導 方 程 式 と 言 う.物

Ω を 占 め て い る と す れ ば,我

体が

々 の 問 題 は,

期 条件

u(x,y,0)=φ(x,y) 

((x,y)∈

Ω)

と境 界 条 件 u(x,y,t)=ψ(x,y) 

((x,y)∈

を 満 た す も の を 求 め る こ と で あ る.こ れ が(4.4)に る.(4.2)の

場 合 に は,解u(x,t)が

在 す る か?(4.4)の t≧0で

  2階 線 型 偏 微 分 方 程 式 の 第2の

半 柱 状 領 域(x,y)∈

を含 む 型 で あ る.x軸

一意 的に存 Ω+Γ,

と い う基 礎 的 な 問 い に 答 え な け れ ば な ら な い. 型 は,波

動 方 程 式 と呼 ば れ る

(c>0は

  (4.5) 

対 す る 初 期 ‐境 界 値 問 題 で あ

半 帯 状 領 域0≦x≦l,t≧0で

場 合 に は,解u(x,y,t)が

一 意 的 に 存 在 す る か? 

Γ,t≧0)*

定 数)

に 張 っ た 長 さlの 弦(弾 性 的 な 針 金)(左 端 をx=0に, 右 端 をx=lに

固 定 す る)の 振 動 を 考 え

る と き,時 刻tに

お け る,弦 の 各 点xの

x軸 に 垂 直 な 変 位 をu(x,t)と

す れ ば,

理 想 化 さ れ た 状 況 の 下 で,u(x,t)は 図4.1  か れ る(図4.1参

振動 す る弦

(4.5)に

支 配 さ れ る こ とが 物 理 学 的 に 導

照).

 物 理 的 に は,基 準 の 時 刻(t=0と

す る)に お け る弦 の 形 状(各 点 の 位 置)と,弦

の 各 点 に お け る垂 直 方 向 の 速 度 を 指 定 す れ ば,そ

の後 の弦 の運 動 は一 意 的に定

ま るは ず で あ る.こ れ を 数 学 的 に 言 え ば,初 期 条 件 *  これ をu￨Γ=ψ

と書 く こ とが あ る.

u(x,0)=φ(x), 

(0≦x≦l)

と境界条件 u(0,t)=u(l,t)=0 

を 指 定 す れ ば,こ

(t≧0)

れ らを 満 た す(4.5)の

解u(x,t)が

半 帯状 領 域0≦x≦l,t≧0

で 一 意 的 に 存 在 す る とい うこ と に な る.実 際 そ の 通 りで あ る こ とを 証 明す る こ とが 数 学 の 役 目で あ る.上

の 問 題 を,波

動 方 程 式 に対 す る初 期 ‐境 界 値 問 題 と

言 う.   (x,y)‐ 平 面 内 に あ る弾 性 的 な 膜(単 純 閉 曲 線 Γ に よ っ て 囲 ま れ る領 域 Ω を 占 め る)の 振 動 を考 える と,時 u(x,y,t)に

刻tに

お け る膜 の 点(x,y)の

対 して

  (4.6) 

な る2階

垂 直方 向 の変位

(c>0は

線 型 偏 微 分 方 程 式 が 得 ら れ る.こ

れ を2次

定 数)

元 の 波 動 方 程 式 と言 う.

(4.6)に 対 す る初 期 ‐境 界 値 問 題 は,初 期 条 件 u(x,y,0)=φ0(x,y), 

((x,y)∈

Ω)

と境 界条件 u(x,y,t)=ψ(x,y) 

((x,y)∈

Γ,t≧0)

を 満 足 す る解 を 見 出 す こ とで あ る.   (4.4)ま た は(4.6)に

お い てf(x,y,t)が(x,y)だ

と仮 定 す る.そ の と き,長 い 時 間 経 過 し た 後,熱 が,平

け の 関 数f(x,y)で

ある

の 分 布 ま た は 膜 の 振 動 の状 態

衡 状 態(定 常 状 態)に 達 す る こ とが 考 え ら れ る.平 衡 状 態 が 実 現 され れ ば,

そ れ は 時 間 に 関 係 し な い か ら,ど ち らの 場 合 に も

 (4.7)

の 型 の 方 程 式 を 満 た す こ とに な り,付 帯 条 件 は 境 界 条 件  (4.8) 

だ け に な る.(4.7)を

u(x,y)=ψ(x,y) 

((x,y)∈

Γ)

ポ ア ソ ン(Poisson)方

程 式(f(x,y)≡0の

と き,ラ

プラ

ス(Laplace)の

方 程 式)と 言 う.(4.7)を

含 む 型 が,2階

3の 型 で あ る.こ

の 型 の 方 程 式 に 対 し て は,境

程 式(4.7)を,そ

の 境 界 Γ の 上 で 境 界 条 件(4.8)を

的 に 存 在 す る か?'を

界 値 問 題:'領

域 Ω の 内部 で方

満 た す 関 数u(x,y)が

一意

考 え る の が 自 然 で あ ろ う.

  代 表 的 に,(4.2),(4.5),(4.7)を 数tをyと

線型 偏 微分 方程 式 の第

取 上 げ よ う.こ

れ ら は,形

の 上 で は(変

思 え ば)

 (4.9)

の 特 別 な 場 合 に な っ て い る こ とに 注 意 す る.(4.9)を,'代

数 的'な 構 造 に 従 っ

て 次 の よ うに 分 類 す る:   (x,y)‐ 平 面 の点 集 合mの

各点 で

  B2−4AC>0の

と き,(4.9)はmで

双 曲 型 で あ る;

  B2−4AC=0の

と き,(4.9)はmで

放 物 型 で あ る;

  B2−4AC<0の

と き,(4.9)はmで

楕 円型 で あ る;と 言 う.

こ の 分 類 に よれ ば,熱

伝 導 方 程 式(4.2)は

は 全 平 面 で 双 曲 型,ポ

ア ソ ン の 方 程 式(4.7)は

三 つ の型 が2階

全 平 面 で 放 物 型,波

動 方 程 式(4.5)

全 平 面 で 楕 円型 で あ る.こ れ ら

線 型 偏 微 分 方 程 式 の 基 本 的 な タ イ プ で あ る.次 元 が 高 く な っ て

も 同 様 な 分 類 が 可 能 で あ る.微 分 方 程 式 の 背 景 に あ る物 理 的 な 意 味 合 い の 差 が 数 学 的 に も 反 映 す るた め に,三

つ の 型 は 基 本 的 に は 異 な っ た 性 格 を 持 っ て い て,

ア プ ロ ー チ の 仕 方 も型 に 応 じ て 変 わ っ て く る.こ れ は 偏 微 分 方 程 式 の 取 扱 い を 難 か し くす る原 因 の 一 つ で あ るが,物 理 現 象 と数 学 的 理 論 の微 妙 な 係 り合 い を 示 す 意 味 で 興 味 深 い 事 実 で は あ る.   例   定 数 係 数 の2階 線 型 偏 微 分 方 程 式  (4.10)

を 考 え る.独 立 変 数 の1次 変 換

を 行 な う と,(4.10)は

  (4.11)

となる.A=C=0な い.A,Cの

ら方程式は  

うち 少 く と も一 方 は0で

の形で,こ れ以上簡単にはな らな な い とす る. 

と し よ う. 

の場

合 も全 く 同 様 で あ る.   (ⅰ)  双 曲 型:B2−4AC>0の

を2次 方程式

場 合.  A+Bt+Ct2=0

の2根 に 等 し く選 ぶ:

と な り,(4.11)の 

そ の と き, 

を 含 む 項 は 消 え て し ま う.即 ち,1次

変換

に よ っ て,(4.10)は

つ ま り

 (4.12) 

に 変 換 さ れ る.こ

れ を 双 曲 型 方 程 式(4.10)の

標 準 形 と 言 う.(4.12)の

解 は容

易 に わ か る よ う に,

の 形 の も の に 限 る.こ (4.12)の

こで,φ,ψ

一 般 解 とい う.2階

は 微 分 可 能 な 任 意 の 関 数 で あ る.こ

れを

線 型 常 微 分 方 程 式 の 一 般 解 は 二 つ の任 意 定 数 を

含 む こ とを 知 って い る.偏 微 分 方 程 式 の 場 合 に は,一 般 解 の 多 様 性 を 表 わ す 任 意 要 素 は,任 意 定 数 と し て で は な く,そ れ よ りも は るか に 込 み 入 っ た 性 格 を 持

つ 任 意 関 数 と し て 現 わ れ て く る の で あ る.   特 に,波

動 方 程 式(4.5)は, ξ=x+ct, 

に よ っ て,(4.12)に

移 る か ら,一

  (4.13) 

η=x−ct

般解は

u=φ(x+ct)+ψ(x−ct)

で あ る.   (ⅱ)  放 物 型:B2−4AC=0の

場 合. 

を2次 方程式

A+Bt+Ct2=0

の根(重根)−B/2Cに 0に な る.よ

っ て,1次

等 しくとれば, 

の係数 とともに, 

の係数 も

変換 ξ=2Cx−By, 

η=y

を 行 な え ば,(4.10)は

 (4.14)

と な る.こ

れ が 放 物 型 方 程 式(4.10)の

標 準 形 で あ る.(4.14)の

u=φ(ξ)+η

で 与 え ら れ る.φ,ψ

一 般解 は

ψ(ξ)

は 微 分 可 能 な 任 意 の 関 数 で あ る.

  (ⅲ)  楕 円 型:B2−4AC<0の

場 合.独

立 変 数 の1次 変 換(実 係 数 の)に よ っ

の係 数 を0に す る こ とは で き な い.し か し

て,(4.10)の 

な る変 換 を 施 せ ば,(4.10)は

標 準形

に 移 る.こ

れ は ラ プ ラ ス の 方 程 式 に ほ か な ら な い.

  (4.9)の

左辺 を

と 書 く.Lは ろ か ら,偏

作 用 素 で あ る が,uに

施 す 基 本的 な演 算が 偏微 分演 算 で あ る とこ

微 分 作 用 素 と 呼 ば れ る.作

υ(x,y)が2回 βυ(x,y)に

用 素Lは

偏 微 分 可 能 な 関 数,α,β 対 し てLを

線 型 で あ る.即

が 定 数 な ら ば,1次

ち,u(x,y),

結 合 αu(x,y)+

作 用 さ せ る こ と が で き, L[αu+β

υ]=αL[u]+βL[υ]

が 成 立 つ.線

型 作 用 素Lに 対 し て は 重 ね 合 わ せ の 原 理 が 成 立 つ:uj(x,y)(j=

1,2,…,k)が

方 程 式L[u]=Gjの

は方程式 

の 解 に な る.特

方 程 式L[u]=0の な る.言

解 な ら ば,1次

い 換 え れ ば,L[u]=0の

ク トル 空 間 を な す.し て,有

解 な ら ば,1次

か し,こ

限 次 元 で は な い.こ

結合

に,uj(x,y)(j=1,2,…,k)が

結 合 

もL[u]=0の

の ベ ク トル 空 間 は,常

微 分 方 程 式 の 場 合 と違 っ

れ は 上 の 例 を み て も わ か る.次

≡0)の

uν(x,y),ν=1,2,3,…

解 の 列,α

ν,ν=1,2,3,…

の事 実 も重 ね 合 わ せ

を 領 域 Ω に お け る 斉 次 方 程 式(4.9)(G を 定 数 の 列 とす る.も

が Ω で 一 様 に 収 束 す る な ら ば,

は Ω に お け る(4.9)(G≡0)の

解 に な る.

 証 明   uνが 解 で あ るか ら

が 成 立 つ.こ

解 に

解 全 体 の な す 集 合(解 空 間)は 実 数 体 上 の ベ

の 原 理 と し て 覚 え て お く と便 利 で あ る.   定 理4.1 

斉 次

れ に ανを 掛 け て νに 関 し て 和 を 作 る:

し,

級 数 の 一 様 収 束 に 関 す る仮 定 か ら,上

の級 数 に お い て微 分 演 算 と総 和 演 算 を 交

換 す る こ とが で き る:

これ は 

が(4.9)(G≡0)の

解 で あ る こ と を 示 し て い る. 

(証 明 終)

演 習 問 題4.1   1.  次 の 偏 微 分 方 程 式 は ど の よ うな 集 合 の 上 で   (a) 

(l+x)uxx+2xyuxy−y2uyy=0 

  (b) 

uxxsgn

 (c) 

(lは

y+2uxy+uyysgn

x=0 

(sgn

,双

曲 型,放

物 型,楕

円 型 に な る か.

定 数). a=+1(a>0),

sgn a=−1(a<0)).

(1−x2)uxx−2xyuxy−(1+y2)uyy=0.

 2.  次 の 偏 微 分 方 程 式 を 指 定 され た 変 数 変 換 に よ っ て新 し い 方 程 式 に 移 せ .  (a)   (b)   (c) 

uxx+yuyy=0:

変換 

uxxsin2x−2yuxysin

(y<0).

変換 

x+y2uyy=0:

η=y.

(1+x2)uxx+(1+y2)uyy+xux+yuy=0: 変換

  3.  未 知 関 数 の 変 換u(x,y)=eαx+βyυ(x,y)に ま な い 方 程 式 に 変 換 せ よ.次

に 独 立 変 数 の1次

よ っ て,次

む 項)が そ れ ぞ れ の 型 の 標 準 形 に な る よ う に せ よ(a,b,cは  (a)   (b) 

の 各 方 程 式 を,υx,υyを

変 換 に よ っ て,主

定 数 で あ る.)

auxx+4auxy+auyy+bux+cuy+u=0. 2auxx+2auxy+auyy+2bux+2cuy+u=0.

 (c) auxx+2auxy+auyy+bux+cuy+u=0.

 4.2  熱 伝 導 方程 式  変数分離法 熱伝導方程式に対す る初期‐境界値問題   (4.15)

要 部(υxx,υxy,υyyを

含 含

u(0,t)=u(l,t)=0 

(t≧0)

を 解 く一 つ の試 み と し て,§2.6で

紹

介 した変 数分 離法 を ここで完 結 させ る こ とに し よ う.既 に 知 っ て い る よ う に, X″(x)+λX(x)=0, X(0)=X(l)=0

図4.2  熱 伝導 方程 式 に対 す る初期‐境 界値 問題

の固有値 λnと固有関数Xn(x)は

で あ る.λ=λnに

対 応 す る方 程 式 T′(t)+c2λT(t)=0

の解 は Tn(t)=e−c2λnt

であ るか ら,境 界条件を満たす特殊解の系列

を 得 る.こ れ を 重 ね 合 わ せ た 形  (4.16)

で 求 め る解 を さ が す.初

期 条 件 が 満 た され る た め に は,

で な け れ ば な ら な い.即

ち,bnは

区 間0≦x≦l上

で φ(x)を 正 弦 級 数 に 展 開 す

る と き の フ ー リエ係 数 で な け れ ば な らな い:  (4.17)

さ て,bnを(4.17)で

定 義 し,bnを

用 い て 級 数(4.16)を

の 求 め て い た 解 で あ る こ と を 証 明 す る.そ

作 り,こ

の た め に は,(4.16)で

れ が,我

々

定 義 され る

u(x,t)が0<x0で

微 分 可 能(tに

分 方 程 式 を 満 た す こ と,領

域0<x0の

関 し て1回,xに

関 し て2回)で

境 界(t=0,x=0,x=l)で

微 連続

で あ る こ と を 示 さ な け れ ば な ら な い.   前 節 の 重 ね 合 わ せ の 原 理(定 理4.1)に

よ れ ば,(4.16)の

級数  

お よび

  (4.18)

が 領 域t≧t>0(tは (4.16)はt>0で

φ(x)は

任 意 の 正 数)に

微 分 方 程 式 の 解 に な る こ とが わ か る.次 の 式 は 明 ら か:

有 界:￨φ(x)￨≦M(0≦x≦l)と

で あ る か ら,

が 成 立 つ.同

様に

も っ と一 般 に

が 成 立 つ.級

お い て 一 様 に 収 束 す る こ とが 言 え れ ば,

数

は 収 束 で あ る.実

際,

仮 定す れば

従 って,級 す る.重

数(4.18)は

一 様 収 束 す る優 級 数 を 持 つ か らt≧t>0で

ね 合 わ せ の 原 理 に よ り,(4.16)はt≧t>0で

tは 任 意 だ か ら,結

局t>0で

一様 に収 束

熱 伝 導 方 程 式 を 満 た す.

方 程 式 を 満 たす.(4.16)はt>0でx,tに

関し

て 何 回 で も微 分 可 能 で あ る こ と も あ わ せ て わ か った.   φ(x)が0≦x≦lで =φ(l)=0と 数  

連 続,か

つ 区 分 的 に 連 続 な 導 関 数 φ′(x)を 持 ち,φ(0)

仮 定 す る.そ の と き,φ(x)の

フ ー リエ 係 数 の 絶 対 値 を 項 とす る 級

は 収 束 で あ る(演 習 問 題3.4,5).

が 成 立 つ こ と に 気 を つ け れ ば,こ

の 場 合,級

様 に 収 束 す る こ と が わ か る.各un(x,t)は

数(4.16)は0≦x≦l,t≧0で

る.従

っ て,初

  定 理4.2 

φ(x)が0≦x≦lで

連 続,区

分 的 に 連 続 な 導 関 数 φ′(x)を 持 ち,

ら ば,

伝 導 方 程 式 に 対 す る 初 期 −境 界 値 問 題(4.15)の

  注 意1 

解 で あ る.

初 期 値 φ(x)が 定 理 に 要 求 され た 滑 らか さ(微 分 可 能 性)を 持 て ば,熱

程 式 の 解 はx,tに   注 意2 

連 続 にな

期 条 件 も 境 界 条 件 も 満 た さ れ る.

か つ φ(0)=φ(l)=0な

は,熱

連 続 だ か ら,和u(x,t)も

一

関 して 何 回 で も微 分 可 能 に な る こ とを 強 調 して お く.

bnの 定 義 を 用 い てu(x,t)を

次 の よ うに 書 直 す.

積 分 と総 和 の 演 算 の交 換 が 許 さ れ る こ と は,[  一 様 に 収 束 す る こ とか ら 明 らか で あ る .  (4.19)

と お け ばu(x,t)は

伝導方

]内 の級 数 がt>0の

と き ξ に 関 して

 (4.20)

の 形 に 表 わ され る.G(x,ξ;t)を

初 期 ‐境 界 値 問 題(4.15)の

グ リー ン 関 数 と言 う.

 非 斉 次 熱 伝 導 方 程 式   次 の 初 期 ‐境 界 値 問 題

  (4.21)

を 考 え る.こ

の 問 題 の 解u(x,t)を,tを

パ ラ メ タ ー と 考 え て,フ

級数

 (4.22)

の 形 で さ が す.∂2u/∂x2が

∂u/∂tが連 続 な らば,微

連 続 な らば

分 と積 分 の 順 序 を 交 換 して

が 得 ら れ る.F(x,t)を

 (4.23)

と展 開 し て お け ば,(4.21)か

らbn(t)に

対 す る常 微 分 方 程 式

ー リエ 正 弦

  (4.24)

の 系 列 が 得 ら れ る.初

期 条 件u(x,0)=0は

  (4.25) 

bn(0)=0

を 意 味 す る.(4.24)を(4.25)の

  以 上 の こ と か ら,問 を 持 つ な ら ば,u(x,t)は

下 で 解 く こ と は や さ し い:

題(4.21)の

解u(x,t)が

連 続 な 偏 導 関 数 ∂u/∂t,∂2u/∂x2

形 式的 に

  (4.26)

な る正 弦 級 数 展 開 を 持 つ こ とが わ か った.   積 分 に 関 す る シ ュ ワル ツの 不 等 式 に よ って

級 数 に 関 す る シ ュ ワル ツの 不 等 式 とパ ー セ バ ル の 等 式 を 用 い て

が得られる.従 って,あ るT>0に 級数 

は0≦x≦l,0≦t≦Tで

れ ば,(4.26)で F(x,t)に

は 連 続,

対して  

定 め ら れ る 関 数 は,連

更 に 条 件 を 付 け 加 え れ ば(例  がtに

ならば, 一 様 に 収 束 す る.こ

続 で,x=0,x=l,t=0で0に

の条 件が あ な る.

え ば,F(0,t)=F(l,t)=0,Fと

∂F/∂x

関 し て 一 様 に 有 界),(4.26)の

級 数が 項別 に

微 分 で き る こ と,従

っ てu(x,t)が

問 題(4.21)の

解 にな るこ とを証 明す るこ と

が で き る.   (4.26)は

グ リ ー ン 関 数(4.19)を

使 って

 (4.27)

と 書 か れ る.実

際(4.23)を(4.26)に

代 入 し,積

分 と総 和 の演 算 を 入 換 え る と

を 得 る.   (4.20)と(4.27)の

関 係 に 着 目す る と 有 益 で あ る.(4.20)は

を 対 応 さ せ る 作 用 素G:φ

φ(x)にu(x,t)

→u

と見 な す こ とが で き るが,こ

の 記 号 を 使 う と(4.27)は

と書 け る.斉 次 微 分 方 程 式 に 対 す る初 期 ‐境 界 値 問 題(初 期 条 件 は 非 斉 次!)の 解 か ら,非 斉 次 方 程 式 に 対 す る初 期 ‐境 界 値 問 題(初 期 条 件 は斉 次!)を 構 成 す る こ の 法 則 を デ ュ ア メル(Duhamel)の

原 理 と呼 ぶ.

  解 の 一 意 性   初 期 ‐境 界 値 問 題 の解 は 上 で 作 っ た も の に 限 る こ と を証 明 し な け れ ば な らな い.   定 理4.3 

u1(x,t),u2(x,t)が

初 期 ‐境 界 値 問 題

  (4.28)

の連 続 な 解 な ら ば,u1(x,t)≡u2(x,t)で   これ を 証 明 す るた め に は,最

あ る.

大 値 原 理 と呼 ば れ る次 の 定 理 を援 用 す る の が 便

利 で あ る.   定 理4.4 

u(x,t)はQ:0≦x≦l,0≦t≦Tで

連 続,0<x
熱

伝導 方程 式

を 満 た す と す る.そ

の と き,u(x,t)はQに

の 境 界 か ら0<x
除 い た 部 分 の 上 で(即 ちt=0ま

の 上 で の 最 大 値 をM,Qに

境 界 か ら0<x
お け る 最 大 値 をM+ε(ε>0)と

当 な 点(x0,t0)(0<x0
あ って

u(x0,t0)=M+ε

と な る.2Tδ<ε

な る 正 数 δを と り,

  (4.29) 

を 考 え る.明

υ(x,t)=u(x,t)+δ(t0−t)

らか に υ(x0,t0)=u(x0,t0)=M+ε.

Qの

た はx=0ま

たは

る.

  証 明   背 理 法 に よ る.u(x,t)のQの

す.適

お け る 最 大 値 お よ び 最 小 値 を,Q

境 界 か ら0<x
υ(x,t)がQに

除 いた部分 の上で

お け る 最 大 値 を と る 点 を(x1,t1)と υ(x1,t1)≧

だ か ら,0<x1
す れ ば,

υ(x0,t0)=M+ε

あ る.点(x1,t1)で

υt(x1,t1)≧0, 

υx(x1,t1)=0, 

が 成 立 つ こ と は 容 易 に わ か る.(4.29)を

υxx(x1,t1)≦0

考慮 して

uxx(x1,t1)=υxx(x1,t1)≦0, ut(x1,t1)=υt(x1,t1)+δ

≧ δ>0.

ゆ え に, ut(x1,t1)−c2uxx(x1,t1)≧

δ>0.

除 い た部分 仮 定 して矛盾 を出

こ れ はu(x,t)が

熱 伝 導 方 程 式 の 解 で あ る こ と に 反 す る.従

に お け る 最 大 値 を,Qの

境 界 か ら0<x
っ て,u(x,t)はQ

除 い た 所 で と る.最

に つ い て も 同 様 で あ る.    定 理4.3の

小値

(証 明 終)

証 明   T>0を

任 意 に 固 定 し,0≦x≦l,0≦t≦Tでu1,u2が

一致

す る こ と を 示 せ ば よ い. υ(x,t)=u1(x,t)−u2(x,t)

と お け ば,υ(x,t)は υt−c2υxx=0 

(0<x
υ(x,0)=0 

(0≦x≦l),

υ(0,t)=υ(l,t)=0 

を 満 た す.υ(x,t)は 小 値 を,t=0ま

(0≦t≦T)

熱 伝 導 方 程 式 の 解 だ か ら,定

た はx=0ま

な の で あ る か ら,結

た はx=l上

理4.4に

で と る.と

こ ろ が,そ

局 υ(x,t)は0≦x≦l,0≦t≦Tで

u1(x,t)≡u2(x,t) 

よ り,そ の 最 大 値,最 こ で υ(x,t)=0

恒 等 的 に0に

な る.即

ち

(0≦x≦l,0≦t≦T).

こ れ で 解 の 一 意 性 が 証 明 され た. 

(証明終)

  次 の 定 理 は比 較 定 理 と呼 ば れ る.   定 理4.5 

u1(x,t),u2(x,t)は

の 解 で,0≦x≦l,0≦t≦Tで

熱 伝 導 方 程 式

連 続 とす る.も u1(x,0)≦u2(x,0) 

u1(0,t)≦u2(0,t),  な ら ば,0≦x≦l,0≦t≦T全

し (0≦x≦l),

u1(l,t)≦u2(l,t)  域 でu1(x,t)≦u2(x,t)で

  証 明 は υ(x,t)=u2(x,t)−u1(x,t)に

(0≦t≦T) あ る.

最 大 値 原 理 を 適 用 す れ ば よ い.読

者に

委 ね よ う.

演 習 問 題4.2   1.  次 の 初 期 ‐境 界 値 問 題 を 解 け.  (a) 

ut−c2uxx=0, 

u(x,0)=x(l−x) 

(0≦x≦l), 

u(0,t)=u(l,t)=0 

(t≧0).

(b) (c)  2.  次 の 初 期 境 界 値 問 題 を 解 け.

(a) (b)   3.  定 理4.5を  

4. 

証 明 せ よ.

u(x,t)を0≦x≦l,0≦t≦Tに

お け る

の 解,u*(x,t)を0≦x≦l,0≦t≦Tに

お け る

の 解 とす る.

な ら ば,￨u(x,t)−u*(x,t)￨≦ (ヒ

ε(0≦x≦l,0≦t≦T)が

ン ト:u1(x,t)≡u(x,t)−u*(x,t)とu2(x,t)≡

に そ れ ぞ れ 比 較 定 理4.5を   5. 

ε,u1(x,t)≡

− ε とu2(x,t)≡u*(x,t)

適 用 す る.)

u(x,t)はQ:0≦x≦l,0≦t≦Tで

を 満 た す も の とす る.そ

成 立 つ こ と を 証 明 せ よ.

連 続,か

の と き,u(x,t)はQに

つ

お け る最 大 値 をt=0ま

た はx=lで

る こ とを 証 明せ よ.最 小 値 に つ い て は ど うか.

  4.3  波動 方 程 式  変数分離法 波動方程式に対す る初期‐境界値 問題   (4.30)

も,熱 T(t)の

伝 導 方 程 式 と 同 様 に,変

数 分 離 法 で 解 け る.実

際,ま

ず,u(x,t)=X(x)

形 の 解 で 境 界 条 件 を 満 足 す る も の を 求 め る と,(4.30)か

(定 数)

ら

と

即ち X″(x)+λX(x)=0, X(0)=X(l)=0, T″(t)+c2λT(t)=0

が 得 ら れ る.X(x)に

対 す る ス ツル ム ・

リ ウ ビ ル 系 の 固 有 値,固

図4.3  波 動方程 式 に対 す る初期‐境 界 値問題

で あ る.an,bnは

任 意 の 定 数.こ

で あ る.λ=λnに

有 関数 は

対 す るT(t)は

う し て,境 界 条 件 を 満 足 す る特 殊 解 の 系 列

を 得 る.こ れ らを 重 ね 合 わ せ て 求 め る 解 を 作 りた い:   (4.31)

初 期 条 件 を 満 た す た め に は,an,bnを

と な る よ う に,即

ち

 (4.32)

に よ って 定 め な け れ ば な ら な い.今 の よ うに し て 作 っ た 級 数(4.31)が

ま で の は す べ て 形 式 的 な 議 論 で あ っ た.こ 問 題(4.30)の

真 の解 で あ る こ とを 言 うた め

に は,(4.31)の

収 束 性 を 厳 密 に 調 べ な け れ ば な ら な い.

が 成 立 つ こ と は 明 らか で あ る.右 辺 の 級 数 が 収 束 す れ ば,左 束 す る.従

っ て,右

が 問 題(4.30)の

辺 の級 数 は一様 収

辺 の 級 数 が す べ て 収 束 す る こ とを 示 せ ば,(4.31)の

級数

真 の 解 に な る こ とが 言 え る.と こ ろ で,

で あ るか ら,問 題 は 級 数

の 収 束 の 証 明 に 帰 着 さ れ る.   §3.4で 学 ん だ よ うに,周 期2lの 区 分 的 に 連 続 な(k+1)階

周 期 関 数F(x)がk回

の 導 関 数 を 持 つ な らば,級

(An,BnはF(x)の

は 収 束 す る.区 間0≦x≦lで

係 数 につ い て 同 じ こ とを 主 張 す るた め に は,f(x)を

F(x)が

数

正 弦 級 数 展 開 の フ ー リエ 奇 関 数 が 周 期2lの

周期関

上 記 の 条 件 を 満 た さ な け れ ば な ら な い.特

連 続 で あ るた め に は,f(0)=f(l)=0で

つ

フ ー リ エ 係 数)

与 え られ た 関 数f(x)の

数 に な る よ うに 拡 張 し たF(x)が

連 続 微 分 可 能,か

な け れ ば な ら な い.奇

に

関数 と

し て 拡 張 す る と き,1階 一般に

導 関 数 のx=0,lに

お け る連 続 性 は 自動 的 に 得 られ る.

,拡 張 され た 関 数 の 偶 数 階 の 導 関 数 が 連 続 に な る た め に は f(k)(0)=f(k)(l)=0 

(k=0,2,4,…,2m)

を 要 求 し な け れ ば な ら な い.奇 数 階 の導 関 数 の連 続 性 は,ほ か に 条 件 を付 け 加 えな く て も 成 立 つ

.

 従 って

で あ る た め に は,φ(x)が  (A) 

0≦x≦lで

次 の 条 件 を 満 た す こ と を 要 求 す れ ば 十 分 で あ る:

φ(x),φ

′(x),φ ″(x)は

連 続,φ

″′(x)は 区 分 的 に 連 続,

かつ φ(0)=φ(l)=0, 

で あ るた め に は,ψ(x)が  (B) 

0≦x≦lで

φ″(0)=φ

″(l)=0.

次 の 条 件 を 満 た せ ば よい:

ψ(x),ψ

′(x)は 連 続,ψ

″(x)は

区 分 的 に 連 続,か

つ

ψ(0)=ψ(l)=0.

 以上の結果を要約すれば次の定理が得 られる.   定 理4.6 

0≦x≦lで

φ(x)が

条 件(A)を,ψ(x)が

条 件(B)を

ら ば,

は,波 動 方 程 式 に 対 す る初 期 ‐境 界 値 問 題(4.30)の  注 意1  三 角関数 に関 す る加 法定 理

解 で あ る.

満 足す るな

を 用 いて解 を表 わす 級数 を変形す れば,

右 辺 の第 一 の級数 は

に 等 しい.第

二 の 級 数 をtで

偏 微 分 して み る と

と な る か ら,第 二 の 級 数 は

に 等 し い.従

っ て 解u(x,t)は

 (4.33)

の 形 に も表 わ さ れ る.(4.33)は,初 て い る.こ

期 値 の滑 か さが 解 に 直 接 遺 伝 して ゆ く こ とを 示 し

の 事 実 か ら,波 動 方 程 式 が 熱 伝 導 方 程 式 と 本 質 的 に 異 な った 性 格 を持 っ て い

る こ とが わ か る.

  解 の 一 意 性   熱 伝 導 方 程 式 に 対 す る初 期 ‐境 界 値 問 題 の解 の 一 意 性 は最 大 値 原 理 を 用 い て 証 明 さ れ た.波 は 成 立 た な い の で,別 な 形 に し て,次   定 理4.7 

動 方 程 式 に 対 し て は,あ

の よ うな形 の 最 大 値 原 理

の方 法 を 考 案 し な け れ ば な らな い.方 程 式 を 少 し 一 般 的

の 一 意 性 定 理 を 証 明 し よ う.

初 期 ‐境 界 値 問 題

  (4.34)

に お い て,p(x),r(x)は0≦x≦lで

t≧0で2回

連 続 偏 微 分 可 能 な(4.34)の

正 の 連 続 関 数 と す る.そ

解 は 一 意 的 で あ る.

の と き,0≦x≦l,

  証 明   u1(x,t),u2(x,t)を(4.34)の (x,t)を

考 え る.υ(x,t)は

二 つ の 解 と し,υ(x,t)=u1(x,t)−u2

斉 次 方 程 式

と斉次の初期‐境界条件 υ(x,0)=0, 

υt(x,0)=0 

υ(0,t)=0, 

を 満 た す.υ(x,t)≡0な

を 考 え る.E(t)は

υ(l,t)=0 

(t≧0)

る こ と を 示 す.tの

時 刻tに

(0≦x≦l),

関数

お け る弦 の 全 エ ネ ル ギ ー に 相 当 す る.E(t)を

微分

すれば

積 分 記 号 下 の 微 分 が 許 され る こ とは 明 ら か で あ ろ う.部 分 積 分 に よ り   (4.35)

で あ るか ら

が 得 ら れ る.従

っ てE(t)≡const.初

期 条 件

υ(x,0)=0,υt(x,0)=0を

入 れ る と,

と な る.p>0,r>0だ

か ら, υx(x,t)≡0, 

こ れ は

υ(x,t)≡constを

υt,(x,t)≡0.

意 味 す る が,υ(x,0)=0に

よ り,

考 慮 に

従 っ て,問

  注 意2 

題(4.34)の

二 つ の 解 は 一 致 す る:u1(x,t)≡u2(x,t). 

(4.34)に

(証 明 終)

お け る境 界 条 件 を ux(0,t)=ν1(t), 

で お き か え て も,上

ux(l,t)=ν2(t) 

(t≧0)

と 全 く 同 じ 方 法 で 解 の 一 意 性 が 証 明 さ れ る.(4.34)に

おけ る境界

条 件を ux(0,t)−

αu(0,t)=0 

(α ≧0),

ux(l,t)+βu(l,t)=0  で お き か え て み る.こ

の と き(4.35)の 

し か し, 

らtま で 積 分 す れ ば

が 得 られ,方

を0か

(β≧0)

は0に

な らな い:

程式 お よび初期条 件 に よ り

が 得 ら れ る.E(t)≧0で

あ る か ら,結

局E(t)≡0,従

って

υ(x,t)≡0.こ

の 場 合 に も,

解 の 一 意 性 が 示 さ れ た.

  無 限 に 長 い 弦 の 振 動   仮 想 的 に無 限 に 長 い 弦 の振 動 を 考 える.こ 境 界 条 件 は 消 え 失 せ て,初 期 条 件 u(x,0)=φ(x), 

ut(x,0)=ψ(x) 

(− ∞<x<∞)

を満たす波動方程式

の 解u(x,t)を

求 め る こ と が 問 題 に な る.§4.1で ξ=x+ct, 

と変換すれば,波 動方程式は

η=x−ct

知 っ た よ う に,

の 場 合 に は,

に な り,従

っ て 一 般 解 と して

 (4.36) 

u=f(ξ)+g(η)=f(x+ct)+g(x−ct)

が 得 ら れ る.こ れ が 初 期 条 件 を 満 た す よ うに,f,gを

決 め る:

u(x,0)=f(x)+g(x)=φ(x),

 (4.37) 

ut(x,0)=cf′(x)−cg′(x)=ψ(x).

最後の式を積分す ると   (4.38) 

(x0,Cは

(4.37)と(4.38)を

を 得 る.こ

定 数).

連 立 させ て

れ でf,gの

関 数 形 が 決 っ た.こ

れ を(4.36)に

代 入す れば

 (4.39)

が得 られ る.こ れは波動方程式に対す る初期値問題

  (4.40) u(x,0)=φ(x), 

ut(x,0)=ψ(t) 

の 解 の 一 意 性 を 示 し て い る.(4.40)の

(− ∞<x<∞)

解 が あ れ ば 必 ず(4.39)の

形 を してい な

け れ ば な ら な い か ら で あ る.   一 方,(4.39)は(4.40)の うに,φ(x)が2回 u(x,t)は2回 mbert)の   注 意3 

解 の 存 在 を も 示 し て い る.実

微 分 可 能,ψ(x)が1回 微 分 可 能 な(4.40)の

際,容

易 に わか る よ

微 分 可 能 な ら ば,(4.39)で

解 に な る.(4.39)を

定まる

ダ ラ ン ベ ー ル(d'Ale

公 式 と呼 ぶ. 初 期-境 界 値 問 題(4.30)の

じ も の で あ る こ とに 注 意 す る.こ

の 上 で は(4.39)と

全 く同

の よ うに長 さ有 限 の弦 の 振 動 が 長 さ無 限 の弦 の 振 動 の

特 別 な 場 合 で あ る こ とは,(4.33)を き る で あ ろ う.事 実,(4.30)を

解 の 公 式(4.33)は,形

導 き 出 した 過 程 を 反 省 し て み れ ば,容

解 くに あ た っ て,我

易 に了解 で

々 は初 期 条 件 に 出 て く る 関 数u(x,

0)とut(x,0)を

区 間0≦x≦lか

ら,全 実 軸 上 に,奇

関 数 か つ 周 期2lの

周 期関数 に な る

よ うに 拡 張 し,こ の 拡 張 され た 関 数 が 適 当 な 滑 らか さ の 条 件 を 満 た す こ とを 仮 定 した. これ は 問 題(4.30)を,拡

張 され た 関 数 を 初 期 値 と して 持 つ 無 限 に 長 い 弦 の振 動 の 問 題

(4.40)に 翻 訳 して い る こ とに ほ か な らな い.   この よ うな 問 題(4.40)の 変 数 変 換x′=−xを

従 っ てu(x,t)が 初 期 値 が,奇

解 が 問 題(4.30)の

解 に な る こ とを 念 の た め に 確 か め て お く.

行 な っ て も波 動 方程 式 は 変 ら な い:

波 動 方 程 式 の 解 な ら ばu(−x,t)も 関 数 か つ 周 期2lの

そ う で あ る.初

周 期 関 数 と す る:

u(x,0)=−u(−x,0), 

ut(x,0)=−ut(−x,0),

u(x+2l,0)=u(x,0), 

ut(x+2l,0)=ut(x,0).

そ の と き,−u(−x,t)は

期 値 問 題(4.40)の

同 じ 問 題 の 解 で あ る.解

の一 意的性 か ら

u(x,t)=−u(−x,t) 即 ち,解

は ま た 奇 関 数 で あ る.u(x,t)が

こ と も 簡 単 に 検 証 で き る.従

っ て,こ

周 期2lの

u(0,t)=−u(0,t)=0,同 が 成 立 つ.つ   注 意4  (4.30)以

周 期 関 数u(x+2l,t)=u(x,t)で

ま りu(x,t)はx=0,x=lで

様 にu(l,t)=0 固 定 さ れ た 弦 の 振 動 を 表 わ す.

有 限 な 弦 の 振 動 を,無

限 な 弦 の 振 動 の 特 別 な 場 合 と考 え る 上 記 の 方 法 は,

外 の 初 期-境 界 値 問 題 に 対 し て も 有 効 で あ る.例

え ば,

u(x,0)=φ(x), ut(x,0)=ψ(x) 

(0≦x≦l),

ux(0,t)=ux(l,t)=0 

を 考 え る と き に は,φ(x)と x<∞

(t≧0)

ψ(x)を 偶 関 数 か つ 周 期2lの

周 期 関 数 と な る よ うに,− ∞<

全 体 に拡 張 し,こ の 拡 張 さ れ た 関 数 を 初 期 値 とす る初 期 値 問 題(4.40)を

よい.実

際,u(x,t)が

解 な らば,u(−x,t)も

解 で,一

意 性か ら

u(−x,t)=u(x,t) が 成 立 つ.従

 さ て,問

ただし

っ てux(0,t)=0が

題(4.40)の

あ る

の よ うな 無 限 弦 の 振 動 に 対 して

得 ら れ る.ux(l,t)=0も

解(4.39)は

同 様 に 示 さ れ る.

解 けば

な る二 つ の 関 数F(x−ct)とG(x+ct)の を 考 え る.tを

固 定 した とき,xの

お け る)形 と見 な せ ば,t=0の 経 過 し た らF(x−ct)の

和 と し て 表 わ さ れ る.u=F(x−ct) 関 数 と して のuを

と きF(x)の

参 照).同

一 定 速 度cで

様 にG(x+ct)は

定 速 度cで

形 で あ った も の が,tだ

形 に な る と言 う こ とは,t=0の

だ け 右 に 移 動 す る こ とを 意 味 す る.移 局F(x−ct)は

振 動 す る弦 の(時 刻tに け 時間 が

とき の 形 が そ の ま まct

動 す る距 離ctはtに

比 例 す る か ら,結

右 に移 動 す る振 動 を 表 わ す と考 え られ る(図4.4

一

左 に 移 動 す る振 動

を 表 わ す と 考 え ら れ る. (4.39)は

一 般 の弦 の 振 動 が

この よ うな2種

類 の振 動 の重

ね 合 わ せ に な る こ とを 示 し て い る.   解 が 定 義 さ れ る(x,t)-平 面(こ

れ を 相 平 面 と 言 う)で

考 え れ ば,u=F(x−ct)は, x−ct=constな

る直 線 に 沿

っ て 値 が 一 定 で あ る と ころ か ら,t=0の

図4.4

と き の 状 態 が そ の ま ま,こ

u=G(x+ct)はx+ct=constな

の 直 線 に 沿 っ て 伝 わ っ て ゆ く 現 象 を,

る 直 線 に 沿 っ て,t=0の

とき の状 態 が 伝 わ っ て

ゆ く 現 象 を 表 わ し て い る.2種 x−ct=const, 

類 の直線

x+ct=const

を 波 動 方 程 式 の 特 性 線 と 言 う.つ

図4.5

ま り,

振 動 は,特

性 線 に沿 っ て 伝 播 し て ゆ く の

で あ る.例

え ば,F(x)が

の 外 で0な

区 間x0≦x≦x1

ら ば,u=F(x−ct)はx=x0,

x=x1を

通 る 特 性 線 に 挾 ま れ る 領 域x0≦x−ct≦x1の

外 で は0に

な る(図4.5

参 照).   次 に,問

(x0,t0)を A,Bと

題(4.40)の

点P0(x0,t0)に

お け る 値 を 考 え る:

通 る 特 性 線x−ct=x0−ct0,x+ct=x0+ct0とx軸

の交 点 をそ れぞ れ

すれ ば 上式 は象徴 的に

と書 け る.こ AB上 ABの

解(4.39)の

の

れ はP0に

ψ(x)の

お け る 解 の 値 が,点A,Bに

値 だ け で 定 ま り,線

外 の φ(x),ψ(x)の

分

の 意 味 で,x

軸 上 の 線 分AB=[x0−ct0,x0+ct0]を

点

依 存 域 と 呼 ぶ.x軸

Q0(x0,0)を

通 る2つ

領 域 を 点Q0の

上 の 点

の特 性 線で 囲 ま れ る

影 響 域 と名 付 け る.こ

域 の 点 に お け る解 の値 は 点Q0に あ る(図4.6参

図4.6  の領

お け る φ(x),ψ(x)の

した が,物

理 的 に は 滑 らか さ が も っ と落 ち て,例

と は 限 らな い,ψ(x)は

影

値 に影 響 され る か ら で

微 分 可 能,ψ(x)は1回 え ば,φ(x)は

微 分 可 能 と仮 定

連 続 だが連続 微分 可能

区 分 的 に 連 続 で あ る と い う場 合 を 考 え る こ と も意 味 が あ る.こ

勿 論 問 題(4.40)の

で あ る か ら, 

真 の解 に は な らな い.実

がx0で

不 連 続 な らば,  がx1で

沿 っ て 不 連 続 に な る し,  沿 っ て不 連 続 に な る.2階

え る.こ

依 存 域,点Q0の

照).

(4.39)に お い て 初 期 値 φ(x)は2回

=x1に

点P0の 響域

  注 意5 

の と き,(4.39)は

値 と線 分

値 に は全然 関 係

し な い こ と を 示 し て い る.こ

P0(x0,t0)の

お け る φ(x)の

の よ うな 場 合 で も,我

の導 関数   々は(4.39)を

か し,真 の 解 で は な い の で 広 義 解 と呼 ぶ.広

際,

は 特 性 線x+ct=x0に

不 連 続 な らば, 

は 特 性 線x−ct

の 不 連 続 性 につ い て も同 様 な こ とが 言 問 題(4.40)の

解 と見 なす こ とに す る.し

義 解 の導 関 数 の 不 連 続 性 は,特

性線 に沿 っ

て伝播 す る こ とに注意 してほ しい.  非 斉 次 波 動 方 程 式   次 の 初 期 値 問 題 を 考 え る:

  (4.41)

こ れ は 外 力 が 働 く場 合 の 弦 の 振 動 の 問 題 の 数 学 的 モ デ ル で あ る.(4.41)の は,(4.40)の

解 と(4.41)でφ(x)≡

ψ(x)≡0と

解

した 問題 の解 の和 に 分解 で き

る か ら,後 者 を 求 め れ ば よい.熱 伝 導 方 程 式 の 所 で 触 れ た デ ュ ア メル の 原 理 に より

の 解 を,ψ(x)か

ら一 意 的 に 定 ま る こ とを 強 調 し て

 (4.42) と書 け ば,(4.41)でφ(x)≡

ψ(x)≡0と

した 問 題 の 解 は

  (4.43)

で 与 え られ る.実

際,(4.43)を

微 分 し,(4.42)が

る こ とを 使 え ば 次 の 関 係 が 得 られ る:

従 っ て,(4.41)の   (4.44)

解 は

斉 次 な波動 方 程式 の解 であ

であ る.  有限な弦 に関す る非斉次初期-境界値問題

u(x,0)=φ(x), 

ut(x,0)=ψ(x) 

u(0,t)=u(l,t)=0 

を 解 く こ と も(4.41)を

(t≧0)

解 く 問 題 に 帰 着 さ せ る こ と が で き る.そ

F(x,t),φ(x),ψ(x)を,− に な る よ うに 拡 張 し て,公 xに

(0≦x≦l),

∞<x<∞

全 体 に,奇

式(4.44)を

関 し て 奇 関 数 か つ 周 期2lの

関 数 か つ 周 期 関 数(周

作 れ ば よ い.そ

周 期 関 数 に な り,境

界 条 件 を 満 足 す る.

 1.  次 の初 期-境 界 値 問 題 の 解 の 公 式 を 求 め よ. utt−c2uxx=0  u(x,0)=φ(x),  u(a,t)=u(b,t)=0   (b) 

utt−c2uxx=0  u(x,0)=φ(x), 

(a<x
t>0),

ut(x,0)=ψ(x) 

(a≦x≦b),

(t≧0). (0<x
t>0),

ut(x,0)=ψ(x) 

ux(0,t)=u(l,t)=0 

(0≦x≦l),

(t≧0).

 2.  次 の 初 期-境 界 値 問 題 の 解 を 求 め よ.  (a) 

utt−uxx=0

u(x,0)=sinx, 

 (b) 

utt−uxx=0  u(x,0)=0,  ux(0,t)=ux(π,t)=0 

 (c) 

utt−uxx=sinx  u(x,0)=ut(x,0)=0  u(0,t)=u(π,t)=0 

ut(x,0)=0

(0<x<π, 

t>0),

ut(x,0)=cosx 

(0≦x≦

π),

(t≧0). (0<x<π,  (0≦x≦

期2l)

うす れ ば,解u(x,t)は

演 習 問 題4.3

 (a) 

の た め に は,

t>0), π),

(t≧0).

 3.  次 の 初 期-境 界 値 問 題 の 解 の指 定 さ れ た 点 に お け る 値 を 求 め よ.

 (a) 

utt−uxx=0 

(0<x<1, 

u(x,0)=1, 

t>0),

ut(x,0)=sin3x 

ux(0,t)=ux(1,t)=0 

(t≧0) 

 (b )  utt−uxx=0 

(0<x<1, 

u(x,0)=(1−x)3, 

t>0),

(t≧0) 

utt−uxx=ex 

].

[点 

ut(x,0}=(1−x)2 

ux(0,t)=u(1,t)=0 

 (c) 

(0≦x≦1),

(0<x<1, 

(0≦x≦1),

]

[点 

.

t>0),

u(x,0)=ut(x,0)=0 

(0≦x≦1),

ux(0,t)=ux(1,t)=0 

(t≧0) 

].

[点 

 4.  初 期-境 界 値 問 題 utt−c2uxx=0 

(0<x
u(x,0)=φ(x), 

t>0),

ut(x,0)=0 

(0≦x≦l),

u(0,t)=u(l,t)=0

に お い て,φ(x)の2階

導 関 数 は 点x0で

階 導 関 数 の 不 連 続 は(x,t)-平

不 連 続 とす る.こ

の と き 問 題 の 解u(x,t)の2

面 上 に どの よ うに分 布 す るか を 図 示 して 説 明 せ よ.

  5.  初 期 値 問 題 utt−c2uxx=0 

(− ∞<x<∞, 

u(x,0)=φ(x), 

の 広 義 解u(x,t)の,特

性 線x+ct=const方

t>0),

ut(x,0)=ψ(x) 

性 線x−ct=const方

(− ∞<x<∞)

向 の 方 向 微 係 数 

向 の 方 向微 係 数  

の 不 連 続 点,特

の 不 連 続 点は(も しあ れ ば),(x,t)-平

上 に ど の よ うに 分 布 す る か.   6.  二 つ の 未 知 関 数i=i(x,t),υ=υ(x,t)に

関 す る1階

連立偏 微分 方程 式

ix+Cυt+Gυ=0, υx+Lit+Ri=0 

(C,G,L,Rは

は 電 信 方 程 式 系 と呼 ば れ る.次

の 問 に 答 えよ.

 

双 曲型方 程式

(a)  iも υ も単 独 の2階

uxx=CLutt+(CR+GL)ut+GRu を 満 た す こ とを 示 せ.  (b) 

(a)でu=eλtwと

と な る こ とを 示 せ.

お け ば,wの

方 程式 は

正 の 定 数)

面

(c)* 

な ら ば,解

υ(x,t),i(x,t)の

一般 形 は

で あ る こ とを 示 せ.φ,ψ は 任 意 の 関 数 で あ る.

  4.4 

ラ プ ラス の方程 式

  デ ィ リ ク レ(Dirichlet)問

題   (x,y)-平

で 定 義 さ れ た 関 数u(x,y)〔

ま た はu(x,y,z)〕

  (4.45) 

が そ こで ラプ ラスの方程 式

ま た はu(x,y,z)〕

界 を Γ で 表 わ す と き,Ω さ れ た 値 を と る 関 数,つ

〕

の 内 部 で 調 和 で,Ω

を Ω で 調 和 な 関 数 と言 う.Ω

ま り,Ω

の境

の 境 界 Γ の 上 で あ らか じめ 指 定

に お け る(4.45)の

解u(x,y)〔

ま た はu(x,y,

界 条件

  (4.46) 

u(x,y)=f(x,y), 

(x,y)∈

Γ

〔ま た はu(x,y,z)=f(x,y,z),(x,y,z)∈

を 満 た す も の を 求 め る こ とが,重 す る第1種

間 〕の 領 域 Ω

〔または 

を 満 た す と き,u(x,y)〔

z)〕で,境

面 〔ま た は(x,y,z)-空

Γ 〕

要 な 意 味 を 持 つ.こ

れを ラプ ラス方程 式 に対

境 界 値 問 題,ま た は デ ィ リク レ問 題 と呼 ぶ.あ

部 に お い て で は な く,Ω の 外 部 に お い て 調 和 で,Γ よ う な 関 数 を 求 め る必 要 が 起 る.こ

る場 合 に は,Ω

の内

の 上 で 指 定 され た 値 を と る

の 問 題 を 外 部 デ ィ リク レ問 題 と呼 ぶ.(外

部 問 題 と の 対 比 を 強 調 す る と き に は,初 め に 設 定 した 問 題 を 内部 デ ィ リ ク レ問 題 と言 う.)外 制 限(x2+y2→ y,z)→c(定

部 問 題 を 考 え る と き に は,解 ∞ の ときu(x,y)は

有 界,ま

の無 限遠 にお け る振舞 い に適 当 な た はx2+y2+z2→

∞ の ときu(x,

数)の よ うな)を つ け る の が 普 通 で あ る.

  変 数 の 個 数 が2,領

域 Ω が 円 板 で あ る場 合,内

部 お よび 外 部 デ ィ リ ク レ問

題 が 変 数 分 離 法 で 解 け る こ とを 示 す.   Ω をx2+y2
す る と,境

で あ る.こ の 場 合 極 座 標(r,θ):

界 Γ はx2+y2=a2,Ω

の 外 部 はx2+y2>a2

  (4.47) 

x=rcosθ, 

y=rsinθ

を 導 入 す る の が 自然 で あ ろ う.極 座 標 で 書 け ば,ラ

プ ラス の方 程 式(4.45)は

  (4.48)

また は と な り,境

界 条 件(4.46)は

 (4.49) 

u(a,θ)=f(θ) 

と な る.f(θ)は

(− π ≦ θ≦ π)

連 続 で 微 分 可 能 な周 期 関 数(周 期2π)と 仮 定 す る.   r
満 た し,r≦aで

つr=aの

と き(4.49)を

満 た す 関 数u(r,θ)を

求 め る こ とが

内 部 デ ィ リ ク レ問 題,r>aで(4.48) を 満 た し,r≧aで

連 続,有

界,か

つr=aの

と き(4.49)を

満 たす関 数

u(r,θ)を

求 め る こ とが 外 部 デ ィ リ

ク レ 問 題 で あ る. 図4.7 

殊解を探

円 に対 す る 内 部 デ ィ リク レ問 題 す.(4.48)に

 初 め に,u=R(r)Θ(θ)の

形 の特

代 入 す れ ば,

(定 数)

が 得 ら れ る.こ れ か ら  (4.50)

 (4.51)

が 得 ら れ る.解u(r,θ)は

θ に 関 し て 周 期2π

の 周 期 関 数 で な け れ ば な ら な い:

u(r,θ+2π)=u(r,θ).

従 っ て Θ を 区 間 − π≦ θ≦π で 考 え る こ とに す れ ば,周 期 的 境 界 条 件

Θ(− π)=Θ(π),   (4.52) Θ ′(− π)=Θ

′(π)

が 満 足 さ れ な け れ ば な ら な い.(4.50)-(4.52)の

固 有 値 は λn=n2で,固

有関

数は Θn(θ)=ancosnθ+bnsinnθ

 

(n=0,1,2,…)

で あ る.   (4.51)(λ=λn)は

オ イ ラ ー 型 の 方 程 式 で あ る か ら,す n=0の

と きR0(r)=c+dlogr,

n>0の

と きRn(r)=crn+dr−n

な る 一 般 解 が 得 ら れ る.内

部問 題 の場 合 には

Rn(r)=crn  を 採 用 す る. 

ぐに 求 積 が で き

な ら ば,r→0の

(n=0,1,2,…) と きdlogr→

∞,dr−n→

∞

と な る か ら.

同 様 に 外 部 問 題 の 場 合 に は. Rn(r)=dr−n  を 採 用 す る.従

っ て,特

(n=0,1,2,…)

殊解 の系 列

が 得 られ る.こ れ ら を 重 ね 合 わ せ て, (内 部 問 題),

(外部問題) を 求 め る 解 に し よ う.   境 界 条 件(4.49)に

よ っ て,an,bnは

(内 部 問 題),   (4.53)

(外部問題)

を 満 足 す る よ うに 決 め な け れ ば な らな い.f(θ)の

三 角 フ ー リエ 級 数 展 開 を

  (4.54)

と す る.(4.53),(4.54)を

比較 す れば

(内 部 問 題),

(外部問題) が 得 ら れ る.従

っ て デ ィ リ ク レ問 題(4.48)-(4.49)の

形式 解 は

  (4.55) 

(内 部 問 題),

  (4.56) 

(外部 問題)

と な る.形 式 解 が 真 の 解 に な る こ とを 言 うた め に は,級 数 が 項 別 微 分 可 能 で, 重 ね 合 わ せ の 原 理(定 理4.1)が

適 用 で き る こ とを 証 明 し,さ

らに(4.55),

(4.56)が 境 界 ま で こ め て 連 続 な 関 数 に な る こ と を 示 せ ば よ い.(4.55),(4.56) は両 方 とも

(内 部 問 題),

(外部問題) と 書 け る. un=tn(αncosnθ+βnsinnθ) と お く.unの

θ に 関 す るk階

導関 数 を計算す れ ば

ゆ え に,f(θ)の

フ ー リ エ 係 数 αn,βnの

  (4.57) 

￨αn￨<M, 

絶 対 値 の 上 界 をM:

￨βn￨<M 

(n=1,2,3,…)

とす れ ば,

が 成 立 つ.内 r1>aな

部 問 題 の 場 合 に は0
るr1を

るr0を,外

部 問 題 の 場 合 に は,

固 定 し,

または と お く.そ

で,右

の と き,

辺 の 級 数 は 収 束 だ か ら,左

て,(r0,r1の

辺 の 級 数 はt
と り方 に よ っ て,t0は

に 注 意 し て),級

一 様 に 収 束 す る.従

い く ら で も1に

近 づ く こ とが 出来 る こ と

数(4.55)はraで,θ

も 項 別 に 微 分 す る こ とが で き る.同

に関 して何 回 で

様 に,(4.55),(4.56)をrに

も 項 別 に 微 分 す る こ と が 許 さ れ る.従

っ て,(4.55),(4.56)は

内 部,外

満 足 す る.

部 で ラ プ ラ ス 方 程 式 Δu=0を

  今 ま で の 議 論 で は,関

数f(θ)の

成 立 つ.そ

れ ゆ え,任

1で)連

収 束 し,フ   (4.58)

有 界 な ら 成 立 つ が,絶

れ ぞ れ Ω の 内 部,外

か 用 いて 対 可積 分 で も

の と き にf(θ)の

の 記 号 を 使 え ば,t≦ 連 続 性,微

こ の 条 件 を 満 た す と 仮 定 す れ ば,f(θ)の

ー リ エ 係 数 は 絶 対 収 束 す る:

対 して作

部 で 調 和 関 数 を 定 義 す る.

境 界 Γ ま で こ め た 閉 領 域 で(上

続 に な る こ と を 証 明 し よ う.こ

必 要 に な る.f(θ)が

それ ぞれ Ω の

意 の 有 界 な(ま た は 絶 対 可 積 分 な)関 数f(θ)に

っ た 級 数(4.55),(4.56)は,そ   さ て(4.55),(4.56)が

関 して何 回 で

フ ー リ エ 係 数 の 有 界 性(4.57)し

い な い こ と に 注 意 す る.(4.57)はf(θ)が

っ

分 可能 性が

フ ー リエ 級 数 は

と ころ で  (4.59) 

￨tnαncosnθ￨≦￨αn￨, 

で あ る か ら,級

￨tnβnsinnθ￨≦￨βn￨

数(4.55),(4.56)はt≦1で

た 閉 領 域 で 連 続 な 関 数 を 表 わ す.従 満 た す.(4.58),(4.59)に

一 様 収 束 し,領 っ て,(4.55),(4.56)は

よ り,(4.56)は

(4.56)が,そ

期2π)な

ら ば,そ

境 界 条 件(4.49)を

Ω の 外 部 で 有 界 だ か ら,外

値 問 題 の 解 と し て の 要 件 を 満 た し て い る.こ な 周 期 関 数(周

域 の 境 界 ま で こめ

れ で,f(θ)が

部境界

連 続 かつ 微分 可 能

の フ ー リエ 係 数 を 用 い て 作 っ た 級 数(4.55),

れ ぞ れ 内 部 デ ィ リ ク レ 問 題,外

部 デ ィ リ ク レ 問 題(4.48)-(4.49)

の 解 に な る こ と が わ か っ た.   ポ ア ソ ン 積 分 公 式   (4.55),(4.56)を る.(4.55)にf(θ)の

も っ と見 や す い 形 に 書 直 す こ と を 試 み

フ ー リ エ 係 数 の 積 分 式 を 代 入 す れ ば,次

る:

  (4.60)

オ イ ラー の公式

を 用 い る と,

と な る か ら,こ

れ を(4.60)に

代 入 す れ ば,

の 式 が 得 られ

 (4.61)

が 得 られ る.こ 公 式,関

れ を 円r
対 す る 内 部 デ ィ リ ク レ問 題 の 解 の ポ ア ソ ン積 分

数

を ポ ア ソ ン 核 と 呼 ぶ.明

ら か にr
ら ばK(r,θ,a,φ)>0で

  ポ ア ソ ン 積 分 公 式(4.61)はr
か し,既

あ る.

仮 定 し て 得 ら れ た も の で,r=aと

に み た よ うに,級

数(4.55)はr≦aで

すれ

連 続で あ る

か ら,

が 成 立 つ.従

っ て,内

部 デ ィ リ ク レ問 題(4.48)-(4.49)の

解 は 次 の よ うに 表

わ さ れ る:

  (4.62)

 同 様 に 外 部 デ ィ リ ク レ 問 題(4.48)-(4.49)の

解は

  (4.63)

と表 わ さ れ る.   今 ま で は,f(θ)は

連 続 か つ 微 分 可 能 な 周 期 関 数 と 仮 定 し た が,ポ

分 を 注 意 深 く 吟 味 す れ ば,実 け で,(4.62),(4.63)が

は,f(θ)が

ア ソ ン積

連 続 な 周 期 関 数 で あ る と い う仮 定 だ

デ ィ リ ク レ問 題 の 解 を 与 え る こ と が 次 の よ うに し て 示

さ れ る.   定 理4.8  (4.63)は

f(θ)が

連 続 な 周 期2π

そ れ ぞ れ 円raに

の 周 期 関 数 な ら ば,ポ

ア ソ ン の 積 分(4.62),

対 す る デ ィ リ ク レ 問 題(4.48)-(4.49)の

解 を 与 え る.   証 明   級 数(4.55)を

吟 味 し た と き に 述 べ た よ う に,ポ

ア ソ ン 積 分(4.61)は,

r
は,f(θ)の

有 界 性 の 仮 定 だ け で ラ プ ラ ス 方 程 式(4.48)の

  従 っ て,(4.62)で い.f(θ)に

定 義 され るu(r,θ)がr≦aで

解 に な る.

連 続 にな るこ とを示せ ば よ

一 様 に 収 束 す る連 続 か つ 微 分 可 能 な周 期 関 数 の 列 (一 様)

を 選 ぶ.こ

の お の お の に 対 して ポ ア ソ ン積 分

を 作 る.un(r,θ)(n=1,2,3,…)はr
調 和,r≦aで

連 続r=aでfn(θ)

な る 値 を と る 関 数 で あ る.

で,一

方f(θ)≡1な

る と き(4.48)-(4.49)の

解 はu(r,θ)≡1で

あ る こ とか ら

が成立つ ことに注意すれば

が 得 ら れ る.fn(θ)は る.un(r,θ)は

一 様 収 束 で あ る か ら,un(r,θ)もr≦a,で

連 続 だ か らu(r,θ)も

が 得 られ る.こ れ はf(θ)が

連 続 に な る.と

こ ろ で,n→

連 続 と い う仮 定 だ け で,(4.62)が

一様 に収 束す ∞

と す れ ば,

内 部 デ ィ リク レ

問 題 の 真 の 解 に な る こ とを 示 し て い る.   外 部 デ ィ リ ク レ問 題 に つ い て も 同様 で あ る. 

(証明終)

  境 界 値 が 不 連 続 な 場 合   f(θ)が 区 分 的 に連 続,即 ち 有 限 個 の 第1種 を持 つ とす る.こ

の 場 合 に も,(4.62),(4.63)で

不連 続点

定 義 され るu(r,θ)は

それぞ

れraで

調 和 で あ る が,境

界 ま で こ め た 閉 領 域 で 連 続 で は あ り得 な い.

し か し,f(θ)が

連 続 で あ る よ うな 境 界 上 の 点 で は,u(r,θ)は

連 続 に な る.こ

れ を 証 明 し よ う.   θ0をf(θ)の

任 意 の 連 続 点 と す る.任

意 の ε>0に

対 し て,適

当 な δ0=δ0(ε)

が 存 在 して

な らば と な る.次 の よ うな 連 続 か つ 微 分 可 能 な 周 期 関 数f(θ),f(θ)を

作 る:

で ￨θ− θ0￨>δ0でf(θ)≧f(θ); 

f(θ)≦f(θ).

こ の 条 件 さ え 満 た し て い れ ば ど ん な も の で も よ い の で あ る.こ の よ う なf(θ), f(θ)を

用 い て ポ ア ソ ン 積 分(4.61)を

ポ ア ソ ン 核 は 正 で,か

作 り,そ

れ ぞ れu(r,θ),u(r,θ)と

書 く.

つ f(θ)≦f(θ)≦f(θ)

で あ る か ら,   (4.64) 

u(r,θ)≦u(r,θ)≦u(r,θ)

が 成 立 つ.u(r,θ),u(r,θ)は ￨r−a￨<δ1,￨θ

が 成 立 つ.こ

− θ0￨<δ1な

  (4.65)

らば

れ ら の 不 等 式 か ら, ￨r−a￨<δ, 

な ら ば

θ=θ0で 連 続 だ か ら,δ1=δ1(ε)>0が

￨θ− θ0￨<δ, 

δ=δ(ε)=min(δ0,δ1)

存 在 して

が 得 ら れ る.(4.64),(4.65)を

組 合 せ れ ば,

￨r−a￨<δ,  ￨θ− θ0￨<δ が 得 ら れ る.従

っ てu(r,θ)は

な ら ば￨u(r,θ)−f(θ0)￨<ε

点(a,θ0)で

連 続 で あ る.

  解 の 一 意 性   デ ィ リ ク レ問 題 の 解 の 一 意 性 は,円

に 対 し て だ け で は な く,も

っ と 一 般 の 領 域 に 対 し て も 証 明 さ れ る.   ポ ア ソ ン の 積 分 公 式 でr=0と

が 得 られ る.即

ち,調

心 に お け るuの

値 は,円

おけ ば

和 関 数uの

定 義 域 の 中 に 任 意 の 円 を 描 く と き,円

周 上 のuの

値 の 平 均 値 に 等 し い.こ

の中

の 事 実 を調 和 関

数 に 関 す る平 均 値 の定 理 と言 う.平 均 値 の 定 理 は.線 積 分 を用 い て   (4.66)

と 書 く こ と が で き る.こ は Γaに

こ で,Γaは(x0,y0)を

中 心 とす る 半 径aの

円 周,s

沿 う弧 長 を 表 わ す:ds=adθ.

  定 理4.9 

(最 大 値 原 理)  u(x,y)は

お け る 最 大 値M(最

小 値m)を

≡M(u(x,y)≡m)で

領 域 Ω で 調 和 とす る.u(x,y)が

Ω の 内 点 で と る な ら ば,Ω

Ωに

に お い てu(x,y)

あ る.

  証 明   Ω の 内 点(x0,y0)で

と仮 定 す る.(4.66)に

よ り,(x0,y0)を

中 心 と し Ω 内 に あ る任 意 の 円 周 上 で u(x,y)≡Mで

な け れ ば な らな い

こ と が わ か る.も Mな

し Ω の 中 にu<

る 点(x1,y1)が

ば,(x1,y1)の

あ っ た とす れ

あ る近 傍 で 同 じ不

等 式 が 成 立 つ.(x0,y0)と(x1,y1) を Ω 内 に あ る 連 続 曲 線 γ で 結 ぶ. 曲 線 γ 上 に 適 当 な 点(x2,y2)を 図4.8

れ ば,u(x2,y2)=M,か

つ

と

(x1,y1),(x2,y2)の る と,(x2,y2)を

間 に あ る γ の 点 で はu<Mと

な る(図4.8参

中 心 とす る ど ん な 小 さ な 円 周 上 で も  

意 し た 事 に 反 し て 不 合 理 が 起 る.ゆ

え に,Ω

照).そ

と な り,初 め に 注

でu(x,y)≡Mで

な け れ ば な らな

い.最 小 値 に つ い て も 同 様 で あ る.    系1 

(証明終)

uは 有 界 領 域 Ω の 内 部 で 調 和,境

な 関 数 とす る.そ の とき,uは

うす

Ω+Γ

界 Γ を こ め た 閉 領 域 Ω+Γ で 連 続

に お け る最 大 値,最

小 値 を境 界 Γ 上 で と

る.

 証明  4.9に

と す る.Ω

よ り,Ω

でu≡M,従

の 内 点(x0,y0)でu(x0,y0)=Mな

ら ば,定

っ て Ω+Γ 全 域 でu≡Mと

な る.即

ち Γ 上 に最

大 値 を と る点 が あ る.最 小 値 に つ い て も 同様 で あ る.    系2 

u,υ は 有 界 領 域 Ω の 内 部 で 調 和,閉

も し Γ 上 でu≦ υな らば,Ω   系3  る.も

u,Uは

  系4 

らば,Ω

Γ 上 でw≧0.従

領 域 Ω+Γ

あ る. で 連 続 な 関 数 とす る.

が 成 立 つ. はw=υ

っ て 系1に

領 域 Ω+Γ で 連 続 な 関 数 とす

の 内 部 で も￨u￨≦Uで

に お い て 

  証 明 は 容 易 で あ る.系2で

で 連 続 な 関 数 とす る.

の 内 部 で もu≦ υで あ る.

uは 有 界 領 域 Ω の 内 部 で 調 和,閉

そ の と き,Ω+Γ

(証明終)

領 域 Ω+Γ

有 界 領 域 Ω の 内 部 で 調 和,閉

し Γ 上 で￨u￨≦Uな

理

−uな

る 調 和 関 数 を 考 え る.仮

よ り Ω でw≧0,即

三 つ の 調 和 関 数 −U,u,Uを

考 え,Γ

ち υ≧uを

定 か ら,

得 る.系2で

上 の 不 等 式 −U≦u≦Uが,系2に

り,Ω に お け る 同 じ不 等 式 を導 き 出 す こ とを み れ ば よ い.系4で

は, よ

は, 

￨u￨と お い て 系3の 結 果 を 使 え ば よい.   有 界 領 域 に お け る デ ィ リ ク レ 問 題 の 解 の 一 意 性 は,上 か で あ る が,定   定 理4.10 

理 の 形 に 述 べ て お く. Ω を 有 界 領 域,Γ

を そ の 境 界 と す る.デ

Δu=F(x,y),  u=φ(x,y),  の 解 は,Ω あ る.

記 の 事 実 か ら殆 ど 明 ら

で2回

連続微 分 可 能か つ

Ω+Γ

(x,y)∈

Ω,

(x,y)∈

Γ

ィ リ ク レ問 題

で 連 続 な る関 数 族 の 中 で 一 意 的 で

  証 明   二 つ の 解u1,u2が Γ 上 で υ=0を υ≡0,u1≡u2が

満 たす

あ っ た と し,υ=u1−u2と

Ω+Γ

お く.υ

で 連 続 な 関 数 で あ る.従

は Ω で Δυ=0,

って 最 大 値 原 理 に よ り

得 ら れ る. 

(証 明 終)

  外 部 デ ィ リ ク レ 問 題 の 解 の 一 意 性 も 保 証 さ れ る.   定 理4.11 

Ω を 有 界 領 域,Γ

を そ の 境 界 と す る.外

Δu=F(x,y), 

(x,y)∈R2＼

u=φ(x,y),  x2+y2→

の 解 は,Ω

の 外 部 で2回

(x,y)∈

∞ の と きuは

部 デ ィ リ ク レ問 題

Ω*, Γ,

有界

連 続 微 分 可 能 か つ Γ ま で こめ た 閉 領 域 で 有 界 連 続 な

る関 数 族 の 中 で 一意 的 で あ る.   証 明   二 つ の 解u1,u2が Δυ=0,Γ

あ っ た と し,υ=u1−u2と

お く.υ は Ω の 外 部 で

上 で υ=0を 満 た す Ω+Γ で 有 界 連 続 な 関 数 で あ る.υ ≡0を 主 張 し た い.矛

盾 法 に よ る た め に,Ω

あ る 点(x1,y1)で

υ>0と

の外 部 の

仮 定 す る.

(x0,y0)を

Ω の 内 部 の 定 点 と し,

とお く.ρ

は(x0,y0)か

離,定

ら Γ ま での距

数c>0はw(x1,y1)>0と

なるよ

う に と る.   wは 図4.9

は 有 界 だ か ら,x2+y2→ 円 ΓR:x2+y2=R2を の 外 部 を ΩRと

Ω の 外 部 で 調 和,Γ

閉 領 域 で 連 続,Γ ∞ の と きw→ 描 け ば,そ

か け ば,以

− ∞.(x1,y1)を

の 上 でw≦0と

上 でw≦0で

w≦0, 

(x,y)∈ (x,y)∈

な る.x2+y2
*  R2＼ Ω は Ω の 補 集 合 を 表 わ す 記 号 で あ る.

ΩR, Γ+ΓR 

あ る.υ

内部 に含 む 十分大 きい

上 の 考 察 か らwは Δw=0, 

まで こめた

(ΩRの

境 界!)

にある Ω

を 満 た す こ とが 分 っ た(図4.9参 つ は ず で あ る.し 合 理 で あ る.従

か し,wは っ て,Ω

外 部 に は υ<0と

照).最 ΩRの

大 値 原 理 に よ り,w≦0が

内 部 の 点(x1,y1)で

の 外 部 に υ>0と

な る 点 も 存 在 し な い,ゆ

ΩRで

正 で あ っ た .こ

な る 点 は 存 在 し な い.同 え に υ≡0と

成立

れ は不

様 に,Ω

の

な り,解 の 一 意 性 が 示 さ

れ た. 

(証 明 終)

演 習 問 題4.4   1.  (a)  Δu≡uxx+uyy=0の

解 で 原 点 か ら の距 離r=(x2+y2)1/2だ

け の関数 であ る

もの の 一 般 形 はU=Alogr+B.  

(b)  Δu≡uxx+uyy+uzz=0の

解 で 原 点 か らの 距 離r=(x2+y2+z2)1/2だ で あ る こ と を 示 せ.た

数 で あ る もの の 一 般 形 は 

プ ラ ス 方 程 式 を 満 た さ な く て も よ い と す る.A,Bは   2.  Δu=uxx+uyy+uzz=0を

だ しU(r)はr=0で

け の関 は ラ

任 意 定 数.

極座 標

x=rsinθcosφ, 

y=rsinθsinφ, 

z=rcosθ

で表 わせ ば

と な る こ と を 証 明 せ よ.   3.  (a) 

も Δu=0の  

(b) 

u(x,y)が

Δu=0の

解 な らば

Δu=0の

解 な らば

解 で あ る; u(x,y,z)が

(*) も Δu=0の

解 で あ る,こ

とを 示 せ.uか

ら υを 作 る操 作(*)を

ケ ル ビ ン(Kelvin)変

換

と呼 ぶ こ とが あ る.   4.  u(x,y)が 径aの

領 域 Ω で 調 和 の と き,Ω

閉 円板 をDaと

の点(x0,y0)を

中 心 と し Ω 内 に 含 ま れ る半

すれ ば

が 成 立 つ こ と を 示 せ.   5.  u(x,y),υ(x,y)を

有 界 閉 領 域 Ω+Γ

Δu=F(x,y), 

(x,y)∈

Ω; 

で 連 続 で,そ u=φ(x,y), 

れ ぞれ (x,y)∈

Γ,

Δυ=F(x,y),  を 満 た す と す る.こ <ε,(x,y)∈Ω

(x,y)∈Ω; υ=ψ(x,y), 

の と き,￨φ(x,y)−

(x,y)∈

ψ(x,y)￨<ε,(x,y)∈Γ

Γ

な ら ば￨u(x,y)−υ(x,y)￨

で あ る こ と を 証 明 せ よ.

  6.  次 の デ ィ リ ク レ問 題 を 解 け.  (a) uxx+uyy=0 

(0<x
0
u(0,y)=u(A,y)=u(x,B)=0,   (b) 

uxx+uyy=0 

(0<x+y<1, 

u(x,−x)=0, 

(ヒ ン ト:変

u(x,0)=φ(x) 

(0≦x≦A, 0≦y≦B).

0<x−y<1),

u(x,1−x)=0, u(x,x−1)=0, 

数 変 換(x,y)→(ξ,η)を

u(x,x)=x(1−2x).

行 な う)

 (c) u(r,0)=u(r,π)=0, 

u(1,θ)=θ(π−

θ) 

(0≦

θ≦ π).

 (d) u(a,θ)=0, 

u(b,θ)=φ(θ) 

u(a,θ)=0 

(0<θ<π), 

(−π ≦ θ≦ π).

 (e)

  7. 

(a) Δu=0 

u(a,θ)=1 

(x2+y2<1), 

の解u(x,y)の 

y=0に

u=y

(π<θ<2π).

log(5+4x) 

(x2+y2=1)

お け る値 を 求 め よ.

 (b)Δu=0(x2+y2<1), u=xyex2+y4+2(x2+y2=1)

の 解u(x,y)の

原 点 に お け る値 を 求 め よ.

  8. Ω を 平 面 上 の 有 界 領域,Γ し,nをΓ

をΩ の境 界 とす る.Γ

の各 点 に お け る単 位 外 法 線 ベ ク トル とす る.Ω

は 区 分 的 に 滑 らか な 閉 曲 線 と の 内 部 で 調 和 で,Ω

の境 界

Γ 上 で 指 定 され た 法 線 方 向 の 微 分 係 数 を 持 つ 関 数 を 求 め よ,と い う問 題

をΩ に お け る 第2種

境 界 値 問 題 ま た は ノ イ マ ン 問 題(Neumann)問

題 と言 う.デ

ィリク

レ問 題 の場 合 と同 様 に 外 部 ノ イ マ ン 問 題 を 考 え る こ と も で き る.   変 数 分 離 法 に よ っ て,円

に対 す る 内 部,外

部 ノ イ マン 問 題 を 解 け.

 (a)

  x2+y2→

 (b) uは

有 界.

∞

の とき

  4.5 

グ リー ン の 公 式

  3次 元(x,y,z)‐

空 間R3に

界 領 域 で あ る と す る.Γ

お い て,Ω

の 各 点 に お け る 単 位 外 法 線 ベ ク トル をn,nの

弦 をcosα,cosβ,cosγ,と

方 向余

す る.

  P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)が な ら ば,よ

は 十 分 滑 らか な 曲 面 Γ で 囲 ま れ た 有

Ω で 連 続 微 分 可 能,か

く 知 ら れ て い る よ う に,次

つ Ω+Γ

で連 続

の 公 式 が 成 立 つ(ガ ウ ス の 発 散 定 理):

 (4.67)

dSは

Γ の 面 積 要 素 で あ る.

  ベ ク トル の 記 号

A・n=Pcosα+Qcosβ+Rcosγ を 使 え ば,(4.67)は

  (4.67′)

と 書 か れ る.   u(x,y,z),υ(x,y,z)を

Ω で2回

連 続 微 分 可 能,Ω+Γ

な 関 数 とす る.(4.67)で

とお け ば,次

式 が 得 ら れ る:

 (4.68)

こ こ で, 

は ラ プ ラ ス 作 用 素,  は υの 外 法 線 方 向 の 微 分 係 数,

で1回

連 続微 分 可能

で あ る.(4.68)を

グ リー ン の 第1公

  (4.68)でuと

式 と言 う.

υ の 役 割 を 入 れ 換 え た 式 を 作 り,そ

グ リー ン の 第2公

れ を(4.68)か

ら 引 け ば,

式 が 得 ら れ る:

  (4.69)

  2変 数 の 場 合 に も 全 く 同 様 に,(4.67),(4.68),(4.69)に 立 つ.例

え ば,u(x,y),υ(x,y)が

2回 連 続 微 分 可 能,Ω+Γ

が 成 立 つ.dsは

対応 す る公式 が成

滑 らか な 曲 線 Γ で 囲 まれ た 有 界 領 域 Ω で

で1回

連 続 微 分 可 能 な 関 数 な らば

は Γ の単位外法線nの

Γ に沿 う曲 線 要 素, 

方向の方

向 微 分 を 表 わ す.  グ リー ンの 公 式 か ら導 き 出 さ れ る重 要 な 結 果 を い くつ か 述 べ る.  定 理4.12 

uが

Ω で 調 和,Ω+Γ

で 連 続 微 分 可 能 な ら ば,

  (4.70)

 証 明   (4.68)で

υ をuと

 注 意   (4.70)か

ら,ラ

書 き,uを

恒 等 的 に1と

(証 明 終)

プ ラ ス方 程 式 に 対 す る ノ イ マ ン問 題

で  が 解 を 持 つ た め に は,境

す れ ば よ い. 

上で

界 条 件 の 関 数 ψ(x,y)が

を 満 足 す る こ とが 必 要 で あ る こ と が わ か る.   定 理4.13(平

均 値 定 理)  uが

の 内 点 な ら ば,P0を の 平 均 値 は,P0に

領 域 Ω で 調 和,P0≡(x0,y0,z0)が

Ω の任 意

中 心 と し て Ω 内 に 含 ま れ る 任 意 の 球 面(半 径a)Σa上 お け るuの

値 に 等 し い:

のu

  (4.71)

  証 明 に は,2回

連 続 微 分 可 能 な 任 意 の 関 数 の積 分 表 示 を 用 い る の が 便 利 で あ

る.   u(x,y,z)を,滑

らか な境 界 Γ を 持 つ 領 域 Ω で2回

関 数 と な る.二 つ の 点P≡(x,y,z),Q≡(ξ,η,ζ)を 表 わ す.即

考 え,そ

の 距 離 をrPQで

ち rPQ2=(x−

Qを

連 続微 分 可能 な任 意 の

固 定 さ れ た 点,Pを

ξ)2+(y−

η)2+(z−

変 動 す る 点 と 思 え ば,変

ζ)2.

数x,y,zに

関 して

な らば が 成 立 つ(演 習 問 題4.4,1(b))   Qを

中 心 と して 半 径 ε(十 分 小)の 球 を Ω か ら く り抜 く.残 と お い て,グ

対 し て, 

界 は 二 つ の 曲 面 Γ,Σ ε(Qを

リ ー ン の 第2公

式(4.69)を

適 用 す る.Ω

中 心 とす る球 面)か ら成 る こ と に 注 意 す れ ば

 (4.72)

(4.72)の

右 辺 の 第2の

積 分 を 考 え る.

上で で あ る か ら,

こ こ でmε[w]はuの

っ た 領 域 Ωεに

球 面 Σε上 の 値 の 平 均 値 で あ る.次

に

εの 境

を 得 る.Ω εで 

こ こ で ε→0と

で あ る か ら,(4.72)は

す る.uは

次 の よ う に な る.

は有界だから

連 続 で あ る か らmε[u]→u(Q), 

 また広義積分の定義から

従 っ て,次

の 積 分 公 式 が 成 立 つ:

  (4.73)

  dSPの

添 字Pは,Pが

境 界 Γ 上 の 動 点 で あ る こ とを 強 調 した 書 き方 で

あ る.こ れ が2回 連 続 微 分 な 任 意 の 関 数 の 積 分 表 示 で あ る.   定 理4.13の 内 部,QをP0と

証 明   (4.73)に

お い て,uを

問 題 の 調 和 関 数,Ω

す る.

上で  意 す れ ば,直

で あ る こ とに 注 ち に 結 論(4.71)が

  2変 数 の場 合 に は,  上 と全 く 同様 に して,(4.73)に   (4.74)

を 球 面 Σaの

得 ら れ る. 

とお く代 りに  対 応 す る積 分 公 式

(証 明 終)

とお い て 議 論 す る.

が 得 られ る.こ れ を 調 和 関 数uと 定 理(4.66)が

半 径aの

円 Ω に 適 用 す れ ば2変

数 の 平均 値

得 ら れ る.

  (4.66)か

ら定 理4.9を

導 い た 方 法 で,(4.71)か

ら3変 数 の 調 和 関 数 に 関 す

る 最 大 値 原 理 を 証 明す る こ とが で き る.   定 理4.14 

u(x,y,z)は

(最 小 値m)を

領 域 Ω で 調 和 とす る.uが

Ω の 内 点 で と る な らば,Ω

  証 明 は不 必 要 で あ ろ う.定 合 に も成 立 つ.特

に,デ

理4.9の

Ω に お け る最 大 値M

に お い てu≡M(u≡m)で

系1‐ 系4に

あ る.

対 応 す る 命 題 が3変

数 の場

ィ リク レ問 題 の 解 の 一 意 性 が 示 さ れ る.

  グ リー ン の 公 式 を使 っ て,境 界 値 問 題 の 解 の 一 意 性 を 証 明 す る方 法 を 紹 介 し よ う.初 め に 内 部 問 題.Ω で 調 和,Ω+Γ

を 有 界 領 域,Γ

で 連 続 微 分 可 能,か

リ ーン の 第1公

Ω

つ

Γ 上 でu=0,ま

と す る.グ

を そ の 滑 ら か な 境 界 とす る.uは

たは

式(4.68)

に上の条件を入れれば

が 得 ら れ る.従 u=0な

っ て,Ω

ら ば,Ω

も し Γ 上 で 

でu≡0と

で  な る.こ

即 ちu≡const.も

れ は デ ィ リ ク レ問 題 の 解 の 一 意 性 を 示 す.

な らば,u≡constの

ノ イ マ ン問 題 の 解 な ら ばu+constも れ る こ とが わ か っ た.つ で あ る.2変

し Γ 上 で

定 数 を 決 め る こ とは で き な い.uが

解 で あ る が,こ

の 形 です べ て の 解 が 尽 さ

ま り,ノ イ マ ン 問 題 の 解 は'付 加 定 数 を除 け ば'一 意 的

数 の デ ィ リ ク レ問 題,ノ

し て お か な け れ ば な ら な い の は,デ

イ マ ン問 題 に つ い て も 同様 で あ る.注 意 ィ リ ク レ問 題 の 一 意 性 は,グ

リ ー ンの 公 式

か ら導 い た 結 果 の 方 が 最 大 値 原 理 か ら得 た 結 果 よ りも悪 い とい うこ とで あ る. 何 と な れ ば,後

者 で は 解 の Ω+Γ で の 連 続 性 を 仮 定 し た だ け で あ るの に,前 者

で は解 の Ω+Γ

に お け る連 続 微 分 可 能 性 を 仮 定 し た か らで あ る.

  次 に 外 部 問 題.前 節 で2変 数 の 外 部 デ ィ リク レ問 題 を 考 え た 際,無

限遠 にお

け る 条 件 と し て, 'x2+y2→

を 要 求 し た が,3変

∞

の と き

,解u(x,y)は

有 界'

数 の 場 合 に は, 'x2+y2+z2→

∞ の とき

,解u(x,y,z)は

と い う 条 件 で は 解 の 一 意 性 は 保 証 さ れ な い こ と が,簡   例   原 点 を 中 心 と す る 半 径aの

球 面 Σa上

有 界' 単 な 例 で 示 さ れ る.

で

u=const=φ0 を 満 た し,球

が あ る.従

の 外 部r=(x2+y2+z2)1/2>aで

調 和 な 関 数 と して

って u=c1u1+c2u2 

(c1+c2=1)

も 同 じ性 質 を 持 つ.   外 部 デ ィ リ ク レ問 題 の 一 意 性 が 成 立 つ た め に は,条   (4.75) 

'x2+y2+z2→

∞ の と き 一様 にu→0'

を 付 け 加 え る の が 自 然 で あ ろ う.そ に 等 し い 関 数uは

恒 等 的 に0に

件

の と き,Ω

な る.実

際,任

の 外 部 領 域 で 調 和 で Γ 上 で0 意 の ε>0に

対 し てR>0を

十

分 大 き く とれ ば r≧R  が 成 立 つ.{R3＼

Ω}∩{r
<ε が 得 ら れ る.ε

の と き   ￨u(x,y,z)￨<ε 最 大 値 原 理 を 適 用 す れ ば,そ

は 任 意 だ か ら,{R3＼

も 大 き く と れ る か ら,結

局R3＼

こ で￨u(x,y,z)￨

Ω}∩{r
Ω 全 域 でu≡0と

い くらで

な る.

  外 部 ノ イ マ ン 問 題 の 解 も,条

件(4.75)を

こ と を 示 す.そ

限 遠 に お け る調 和 関 数 の 性 質 に 関 す る知 識 が 必

要 で あ る.そ   定 理4.15 

の た め に は,無

満 た す 関 数 族 の 中 で一 意 的 で あ る

れ を 定 理 の 形 で 述 べ る(証 明 は 省 く). u(x,y,z)は

あ る外 部 領 域 で 調 和,か

つx2+y2+z2→

∞

の とき

一 様 に0に

収 束 す る と仮 定 す る .こ の と き十 分 大 き いr≧r0に

対 して

  (4.76)

が 成 立 つ.Aは   さ て,uを

定 数 で あ る. 外 部 ノ イ マ ン問 題 で 

の 解 で(4.75)を

満 た す も の とす る.

  Ω の 外 部 領 域 と球r
(4.76)に

上で

共 通 部 分 ΩRに グ リー ン の 第2公

よ り

従 っ て,

の とき

(4.76)に

の と き 

よ り, 

の とき よ って

が 得 ら れ る.Γ

上 で 

で あ る か ら,

で あ るか ら

式 を 適 用 す る:

従 っ て,Ω

の外 部 で

即ち と な る.r→

∞ の と きu→0で

あ る か ら,u≡0で

な け れ ば な ら な い.こ

れで外

部 ノ イ マ ン 問 題 の 解 の 一 意 性 が 証 明 さ れ た.

演 習 問 題4.5   1.  公 式(4.74)を

証 明 せ よ.

  2.  定 理4.14を   3.  uがR3の

証 明 せ よ. 領 域 Ω で 調 和 な ら ば,Ω

が 成 立 つ こ とを 示 せ.こ

こ で,BaはP0を

の 任 意 の 内 点P0に

おい て

中 心 と し Ω の 中 に 含 ま れ る 半 径aの

閉球で

あ る.  4.  Γ をR3の

滑 らか な 曲面,ε

回 連 続 微 分 可 能,ε+Γ

で1回

を Γ を 境 界 とす る外 部 領 域 と す る.u,υ

連 続 微 分 可 能,r→ ∞ の と き(4.76)を

が ε で2

満 た す な らば

が 成 立 つ こ と を 証 明 せ よ.   5.  Ω は 滑 らか な 曲 面 Γ で 囲 まれ たR3の Γ2に 分 け て,境 界 値 問 題

有 界 領 域 とす る.Γ

を 二 つ の 部 分 Γ1,

Ω に お い て  Δu=F(x,y,z),

上で

上で  を 考 え る.こ

の問 題 の 解 の 一 意 性 を グ リー ン の公 式 か ら導 け.

  6*.  次 の デ ィ リク レ問 題 の 解 の 一 意 性 を 証 明 せ よ.た だ し,Ω は 滑 らか な 曲 線 Γ で 囲 ま れ たR2の

有 界 領 域 とす る.

 (a) u=φ(x,y), 

(x,y)∈

Γ.

 (b)

u=φ(x,y), 

(x,y)∈

Γ.

 (c)

u=φ(x,y),  た だ し,Ω

で4AC−(B1+B2)2>0と

(ヒ ン ト:F≡0,φ

≡0,か

(x,y)∈

Γ.

仮 定 す る.

らu≡0を

言 う.両

辺 にuを

掛 け て Ω で 積 分 す る.そ

の と

き ガ ウ ス の 発 散 定 理 を 用 い る).

  4.6 

グ リー ン 関 数

  Ω を3次 元(x,y,z)‐ 空 間R3の Ω で2回

連 続 微 分 可 能,Ω+Γ

有 界 領 域,Γ

を そ の 滑 らか な 境 界 とす る.

で1回 連 続 微 分 可 能 な 関 数uに

対 して,(4.73)

に よ り次 式 が 成 立 つ:

  (4.77)

  υを Ω で 調 和,Ω+Γ

で1回

連 続 微 分 可 能 とす れ ば,グ

よって  (4.78)

が 成 立 つ.(4.77)と(4.78)を

加 え合 わせ て

  (4.79)

を 得 る.こ

こで

uが ポ ア ソ ン方 程 式 に 対 す る デ ィ リ ク レ問 題 Δu=F(x,y,z), 

(x,y,z)∈

Ω,

  (4.80) u=f(x,y,z), 

の 解 な ら ば,(4.79)は

(x,y,z)∈

Γ

リー ンの 第2公

式に

の 正 体 が よ くわ か ら な い の で,こ

と書 く こ とが で き る.  し た い.そ

れ に は Γ 上 でG(P,Q)=0と

れ を含む 項 を消

す る こ とが で き れ ば よ い.即

ち,調

和 関 数 υを 上で を 満 た す よ う に 選 べ ば よ い.   定 義   Ω を 有 界 領 域,Γ

を そ の 境 界,Qを

P≡(x,y,z),Q≡(ξ,η,ζ),が

数G(P,Q),

条件

  (ⅰ)  Pの 関 数 と してQ以

  (ⅱ)  P→Qの

Ω の 定 点 とす る.関

外 の Ω の 点 で 調 和:

と きG(P,Q)は

無 限 大 に な り,

(υは Ω で 調 和) の形 を 持つ   (ⅲ) 

G(P,Q)は

Γ 上 で0に

な る:

G(P,Q)=0,  を 満 た す と き,G(P,Q)を

P∈ Γ

ラ プ ラ ス 方 程 式 に 対 す る デ ィ リ ク レ問 題 の グ リ ー ン

関 数 と 呼 ぶ.   グ リ ー ン 関 数 を 用 い る と,(4.79)は

  (4.81)

とな る.こ

うし て 境 界 値 問 題(4.80)の

解 の 表 現 が 得 られ た.

  どの よ うな 領 域 に 対 して グ リー ン関 数 は 存 在 す るか?  し て グ リー ン関 数 の 具 体 的 な 表 現 式 が 得 ら れ る か?  で あ ろ う.グ

リー ン関 数 の 存 在 は 境 界 値 問 題 で 

上で

ど の よ うな 領 域 に 対

と い う疑 問 が 当 然 生 じ る

が 解 け る こ と と同 値 で あ る.実 は,グ

リー ン関 数 は か な り一 般 な 有 界 領 域 に 対

して 存 在 す る こ とが 示 さ れ る の で あ るが,具 わ ず か し か な い.グ が,境

リ ー ン関 数 が 存 在 す る と き,そ

界 値 問 題(4.80)の

な い.グ

体 的 な表 現 式 が 求 ま る領 域 は ご く れ を 用 い て 作 っ た(4.81)

解 に な る か 否 か に つ い て は,今

の段 階 では何 も言え

リー ン 関 数 は 境 界 値 問 題 の解 の 性 質 に 関 し て 種 々 の 有 益 な情 報 を 与 え

て くれ る とい う点 で 重 要 な 意 味 を 持 つ.   グ リ ー ン関 数 の 性 質 を 二 つ あ げ る.   1°. グ リ ー ン 関 数 の 定 義 か ら, P→Q  ゆ え に,Qを

の と き  G(P,Q)→+∞.

中 心 とす る 十 分 小 さ い 球 面 Σε上 でG>0で

を く り抜 け ば,残

りの領 域 ΩεでGは

調 和 で,そ

上 で は 正 で あ るか ら,最 大 値 原 理 に よ って,Gは を 除 く Ω 全 域 でG>0.こ

あ る.Ω

か ら こ の球

の境 界 で あ る Γ 上 で0,Σ Ωεで 正 で あ る.従

ε

っ て,Q

の こ と か ら,

上で が 言 え る.(実

上で 

は,も

っ と 精 密 に,Γ

が 成 立 つ!)

  2°.  グ リ ー ン 関 数 は 対 称 で あ る: G(P,Q)=G(Q,P).実 Ω の 任 意 の2点 心

際,Q1,Q2を と す る.Q1,Q2を

中

と し て 十 分 小 さ い 半 径 を εの 球 面

Σ1,Σ2を

描 く(図4.10参

照).

u(P)=G(P,Q1),  と お き,Ω 第2公

υ(P)=G(P,Q2)

か ら 上 の 二 つ の 球 を く り抜 い た 残 りの 領 域 Ωεに 対 し て グ リ ー ン の

式 を 適 用 す る:

これ か ら

図4.10

を 得 る.細

か い 計 算 は 読 者 に 残 す が,こ

こ で ε→0と

すれ ば

G(Q1,Q2)=G(Q2,Q1) が 得 ら れ る.こ

れ は グ リ ー ン 関 数 が 対 称 で あ る こ と を 示 す.

  2変 数 の 場 合 に も グ リ ー ン 関 数G(P,Q),P≡(x,y),Q≡(ξ,η)が

定 義 され

る.ラ

の 性質 を

プ ラ ス 方 程 式 に 対 す る デ ィ リ ク レ 問 題 の グ リ ー ン 関 数 と は,次

持 つ 関 数G(P,Q)の   (ⅰ)  Pの

こ と で あ る:

関 数 と し てQ以

  (ⅱ)  P→Qの   (ⅲ) 

外 の Ω の 点 で ΔG=0.

と き 

(υ は Ω で 調 和).

P∈ Γ な ら ばG(P,Q)=0.

  グ リ ー ン 関 数 を 用 い る と,境 Δu=F(x,y),  の 解uは

  例1  Ω,そ

界値 問 題

(x,y)∈Ω, 

u=f(x,y), 

(x,y)∈

Γ

次 の よ う に 表 わ さ れ る:

球 に 対 す る グ リー ン 関 数  原 点Oを

の 境 界r=aを

  (4.82) 

Γ とす る.Ω ρ0ρ1=a2 

中 心 と す る 半 径aの

の 中 に 点Qを (ρ0=rOQ, 

と る.OQの

球r
延長 上 に

ρ1=rOQ′)

な る点Q′ を と る.ρ を 球 面 Γ 上 の任 意 の 点 とす れ ば,ΔOPQと

ΔOPQ′ は

相 似 で あ るか ら,

が 得 られ る.即 ち,球 図4.11

の 点Pに

対 して

面 Γ 上の 任意

 (4.83)

が 成 立 つ(図4.11参

照).こ

れ は,調

と調和

和 関 数 

が 球 面 Γ 上 で 等 し い値 を と る こ と を 意 味 す る.従 っ て,求 め

関数 

る グ リー ン関 数 は

 (4.84)

で あ る.実

際,Γ

球 面 Γ 上 で0に   nを

の 関 数 と し て,Gは

な る特 異 性 を 示 し,

調 和,Qで 

な る.

球 面 上 の 各 点 に お け る 単 位 外 法 線 ベ ク トル と して,Gのn方

向の方 向

微 分係数  (4.85)

を 計 算 す る.ま

ず,

  (4.86)

は 

と 

のなす角

が 得 ら れ る.

  (4.87)

は 明 ら か で あ る が,点Pが

球 面 Γ に あ れ ば,(4.82),(4.83)に

  (4.88)

と な る.(4.85)-(4.88)を

組 合 せ て,P∈

Γ のとき

よ って

が 得 ら れ る.従

っ て,(4.81)に

よ って デ ィ リ ク レ問 題

Ω で   Δu=0, 

Γ 上 で   u=f

の 解 は 次 の よ う に 表 わ さ れ る:

  (4.89)

極 座 標(球 面 座 標)を 導 入 し,P≡(a,θ,φ),Q≡(ρ0,θ0,φ0)と OQの

お く.γ

をOPと

な す 角 と す れ ば,(6.13)は

  (4.90)

と 書 か れ る.(4.90)を

球 に 対 す る ポ ア ソ ン 積 分 公 式 と 言 う.   例2  Oを

円 に 対 す る グ リ ー ン 関 数  原 点

中 心 と し 半 径 がaの

円 Ω に対 す る

グ リー ン関 数 を 作 る に は 球 に 対 す る グ リ ー ン 関 数 の 作 り方 を 踏 襲 す れ ば よ い .前 と 同 じ よ う に,ρ0=rOQ,r0=rPQ,r1= rPQ′,と 図4.12

お け ば(図4.12参

照),グ

ン関 数 は

で 与 え られ る.円 周 Γ 上 で

で あ る か ら,デ

ィ リ ク レ問 題:Δu=0(P∈

Ω),u=f(P∈

Γ)の

解は

リー

と 表 わ さ れ る.極

座 標P≡(a,φ),Q≡(ρ0,φ0)を

導 入 す れ ば

r02=a2−2aρ0cos(φ だ か ら,解

− φ0)+ρ02

は 結 局

と表 わ さ れ る.こ

れ は 既 に 知 って い る ポ ア ソ ンの 積 分 公 式(4.61)に

ほか な ら

な い.   例3 

半 空 間 に 対 す る グ リー ン 関 数   グ リー ン関 数 の概 念 は 無 限 領 域 に お け

る デ ィ リ ク レ問 題 に 対 し て も 定 義 さ れ,解

の 表 現 に 利 用 さ れ る.無

域 の 代 表 例 と し て3次

元の半空間

Ω={(x,y,z)￨−

∞<x<∞,−

y<∞,z>0}を

考 え る.Ω

は 平 面 Γ={(x,y,z)￨− − ∞
,z=0}で

  Q≡(ξ,η,ζ)∈ に 関 す るQの

限領

∞< の境 界

∞<x<∞, あ る. 図4.13

Ω を 固 定 す る.Γ

対 称 点 をQ′

≡(ξ,η,−

r0=rPQ=[(x−

ξ)2+(y−

r1=rPQ′=[(x−

とす れば 

ζ), η)2+(z−

ξ)2+(y−

η)2+(z+ζ)2]1/2

は 両 方 と もP≡(x,y,z)の

Γ 上 で は 一致 す る(図4.13参

ζ)2]1/2,

関 数 と し て Ω で 調 和 で あ り,

照).

  (4.91)

は,Ω

でQを

界 Γ 上 で0に

除 い て 調 和,P→Qの 等 し い.従

と き 

っ て,(4.91)は

簡単 な計 算 に よって の とき

と 同 じ特 異 性 を 持 ち,Ω

の境

半 空 間 に 対 す る グ リー ン関 数 で あ る.

が 得 ら れ る.半

空 間 に お け る デ ィ リ ク レ問 題 Ω で   Δu=0,  x2+y2+z2→

Γ 上 で   u=f(x,y),

∞   の と きuは

一 様 に0に

収束 す る

の解 は

即ち

と表 わ され る.

演 習 問 題4.6   1.  グ リ ー ン 関 数G(P,Q)の

対 称 性G(P,Q)=G(Q,P)を

  2.  原 点 を 中 心 と す る 半 径aの こ の 外 部 デ ィ リ ク レ問 題(ラ 例1参

完 全 に 証 明 せ よ.

球 の 外 部 領 域 に 対 す る グ リ ー ン 関 数 を 作 れ.次

プ ラ ス 方 程 式 に 対 す る)の 解 を 表 わ す 式 を 作 れ.(ヒ

照)

  3.  次 の デ ィ リ ク レ問 題 を 解 け:  

(a) 

uxx+uyy+uzz=0  u=x 

 

(b) 

(x2+y2+z2>1),

(x2+y2+z2=1), 

uxx+uyy+uzz=0 

x2+y2+z2→

∞

の と きu→0

(z>0),

の とき   4.  (a) 

円x2+y2<1に

お け る デ ィ リク レ問 題

Δu=F 

(x2+y2<1), 

u=f 

(x2+y2=1)

の グ リ ー ン 関 数G(P,Q),P≡(x,y),Q≡(ξ,η),は

と 書 け る こ と を 示 せ.  

(b) 

球x2+y2+z2<1に Δu=F 

お け る デ ィ リ ク レ問 題 (x2+y2+z2<1), 

の グ リ ー ン 関 数G(P,Q),P≡(x,y,z),Q≡(ξ,η,ζ),は

u=f 

(x2+y2+z2=1)

.

に,

ン ト:

と 書 け る こ と を 示 せ.   5.  問 題4の +z2=1に

グ リー ン 関 数G(x,y;ξ,η),G(x,y,z;ξ,η,ζ)の境

お け る 外 法 線 方 向 の 微 分 係 数 ∂G/∂nは

界x2+y2=1,x2+y2

負 で あ る こ と を 確 か め よ.

  6.  境 界 値 問 題

の グ リーン 関 数 を 定 義 し,そ れ を 用 い て こ の 問 題 の解 を 積 分 表 示 せ よ.

4.7 

球 面 調 和 関 数

  3次 元(x,y,z)‐ x=r

空 間R3に

極 座 標r,θ,φ

を 導 入 す れ ば,ラ

sinθcosφ, y=r

sinθsinφ, 

z=r

cosθ

プ ラス の方程 式 は

  (4.92)

と な る(演 習 問 題4.4,2).   変数 分 離 法 に よ り u(r,θ,φ)=R(r)Y(θ,φ) の 形 の 解 を 求 め て み る.こ

れ を(4.92)に

入 れ る と,R(r),Y(θ,φ)に

対す る

次 の 微 分 方 程 式 が 得 ら れ る:   (4.93) 

r2R″+2rR−

λR=0,

 (4.94)

  (4.93)は

オ イ ラ ー の 微 分 方 程 式 で あ る.(4.94)の

解Y(θ,φ)に

対 して は次

の 条 件 を 置 く: Y(θ,φ+2π)=Y(θ,φ),   (4.95) ￨Y(0,φ)￨<∞, ￨Y(π,φ)￨<∞.

(4.95)を

満 た す2回

連 続 微 分 可 能 な(4.94)の

解Y(θ,φ)を

球 面 調 和 関 数 と呼

ぶ.   再 び 変 数 分 離 法 に よ っ て,Y(θ,φ)を Y(θ,φ)=Θ(θ)Φ(φ) の 形 で 求 め て み る.Φ(φ)は

微 分方 程式 Φ″+μ Φ=0

と周 期 性 の 条 件 Φ(φ+2π)=Φ(φ) を 満 足 し な け れ ば な ら な い.ゆ mφ

が1次

独 立 な 解 に な る.関

え に,μ=m2(m=0,1,2,…)でcos

mφ

とsin

数 Θ(θ)は

  (4.96)

を 満 足 す る.θ=0と

θ=π で は Θ と Θ′は 有 界 で あ る こ と を 要 求 し よ う.即

ち

Θ(θ)は 特 異 な 固 有 値 問 題 の 固 有 関 数 で あ る.  新 しい変数 t=cosθ を導 入 し Θ(θ)=X(cosθ) と お け ば,(4.96)は

  (4.97)

と な る.境   (4.98)  で あ る.特 X(t)を

界 条件 は t→ ±1  の と き  X(t),  (1−t2)1/2X′(t)は 異 な 固 有 値 問 題(4.97)‐(4.98)の

求 め な け れ ば な ら な い.(4.97)は

有界

固 有 値 λ と λに 属 す る 固 有 関 数 ル ジ ャ ン ドル の 陪 微 分 方 程 式 と 呼 ば

れ る.   m=0と

す る.こ

の と き(4.97)は

  (4.99)

と な る.こ れ は ル ジ ャ ン ドル の 微 分 方 程 式 で あ る.t→ ±1の と き 有 界 で あ る解

が 得 ら れ る の は λ=n(n+1)(n≧0整 そ の と き の 解 はn次

数)の

と き,し

か も そ の と き に 限 る こ と,

の ル ジ ャ ン ドル の 多 項 式Pn(t):

で あ る こ と を 既 に 知 っ て い る.   mを

正 の 整 数 と す る.(4.99)をtに

関 し てm回

(1−t2)X(m+2)−2(m+1)tX(m+1)+[λ が 得 ら れ る.新

微 分す る と

−m(m+1)]X(m)=0

しい従属 変 数 Z(t)=(1−t2)m/2X(m)(t)

を 導 入 す れ ば,Z(t)に

関 す る微 分 方 程 式 は

即 ち ル ジ ャ ン ド ル の 陪 微 分 方 程 式 で あ る.従 解 を 持 つ の は,λ=n(n+1)(n≧0整 (4.97)-(4.98)の

っ て,(4.97)-(4.98)が

数)の

固 有 値 は λ=n(n+1)で

零 でな い

と き し か も そ の と き に 限 る.即 あ る.こ

ち,

の固有 値 に属す る固有 関 数

は

  (4.100)

で あ る.Pn(t)はn次 る.正

確 に 言 え ば,固

(4.100)で

 な

とsinθ

に つ い てn次

な の で あ る.

ル ジ ャ ン ドル の 陪 関 数 と 呼 ぶ.

偶 数 の と き に 限 りtの

ら ば,(4.97)で

とな

ら ば 

有 値 は,λ=n(n+1),n=m,m+1,…

定 義 さ れ る 関数Pnm(t)を

  Pnm(t)はmが はcosθ

の 多 項 式 だ か ら,m>nな

多 項 式 に な る.し

か し,Pnm(cosθ)

の 斉 次 多 項 式 で あ る.

λ=0と

し た 方 程 式 は1次

を 持 つ こ とが 簡 単 に わ か る.そ の グ リー ン関 数 は

独立 な解

で あ る.  な

であ る か ら, 

る と き 固 有 関 数 系{Pnm(t)}は

界 で あ る か ら,f(t)の

な ら ばf(t)に   m=0な =−1は

は 有 限.従

完 全 で あ る.さ

ら に,G(t,t)は

って   一様 に有

固有 関数 展 開 は

一 様 に 収 束 す る. ら ば,固

有 関 数 系 は ル ジ ャ ン ドル の 多 項 式 系{Pn(t)}で

固 有 値 で は な い か ら ,境

界値 問 題

[(1−t2)y′]′ −y=−F(t)  t→ ±1の の グ リ ー ン 関 数G(t,τ)が

あ る.λ

(−1
と きy,y′

は有 界

存 在 す る.G(t,τ)の

具 体 的 な 形 は 書 け な い が,斉

次微 分方 程 式 [(1−t2)y′]′ −y=0 の 解 を 級 数 の 形 で 求 め て み れ ば わ か る 通 り,解 高 々 対 数 的(t=1で

はlog(1−t),t=−1で

のt=1,−1に はlog(1+t)の

で あ る.従

あ る か ら, 

お け る特 異 性 は

っ て,固

よ うに 振 舞 う)で 有 関 数 系{Pn(t)}は

完 全 で あ る.  な ら ばf(t)の

も の は   (Pnm)2の

に 一 様 に 収 束 す る. 積 分 の 値 を 求 め る.

と お く.部 分 積 分 に よ り

フ ー リエ 級 数 を 

で割 っ た

(4.97)か

ら

が成立つ ことに注意すれば

が 得 ら れ る.こ の 漸 化 式 か ら

で あ る か ら,結 局

 (4.101)

が 得 られ る.即

ち ル ジ ャ ン ドル の 陪 関 数 は 互 い に 直 交 し(勿 論 直 交 性 は 一 般 論

か ら わ か っ て い る),(Pnm)2の

積 分 は 

に 等 し い.

  話 し を 初 め の 問 題 に 戻 そ う.   (4.102) 

Yn(0)(θ,φ)=Pn(cosθ),

Yn(m)(θ,φ)=Pnm(cosθ)cosmφ,  (m=1,2,3,…;  と 書 く.

Yn(−m)(θ,φ)=Pnm(cosθ)sinmφ n≧m)

  (4.103)

また は

をn位

の 球 面 調 和 関 数 と 言 う.

  λ=n(n+1)に

対 す る(4.93)の

る か ら,rnとr−n−1の =∞

解 は,決

二 つ で あ る.原

で 有 界 な の は 後 者 で あ る.ラ

点r=0で

考 え よ う.そ

rnPnm(cosθ)cos

有 界 な の は 前 者,無

あ 限 遠r

r−n−1Yn(θ,φ)

者 は 内 部 デ ィ リ ク レ問 題,後

る.rnYn(θ,φ)を

がn,−(n+1)で

プ ラ ス方 程 式 の 特 殊 解 と し て

rnYn(θ,φ),  が 得 ら れ た.前

定 方 程 式 の2根

者 は 外 部 デ ィ リ ク レ問 題 に 対 応 す

れは

mφ, 

rnPnm(cosθ)sin

の1次

結 合 で あ る が,rnPnm(cosθ)cos

mφ

の1次

結 合 と し て 表 わ さ れ る.υ を

mφ 

(m=0,1,…,n)

は

υ=υ1υ2υ3,

υ1=rmsinmθcos

mφ=Re[(r

sinθeiφ)m]=Re](x+iy)m],

υ2=rn−m−2pcosm−n−2pθ=zn−m−2p, υ3=r2p=(x2+y2+z2)p の 形 に 書 い て み る と,rnPnm(cosθ)cos

mφ

あ る こ と が わ か る.rnPnm(cosθ)sin rnYn(θ,φ)はn次

mφ

はx,y,zのn次

に つ い て も 同 様 で あ る.従

の 斉 次 多 項 式 で 表 わ さ れ る 調 和 関 数(調

球 面 調 和 関 数Yn(θ,φ)は,n次

の斉 次 多 項 式 で っ て,

和 多 項 式)で

の 調 和 多 項 式 を 単 位 球 面 上r=1に

あ る.

制 限 し た

も の に な っ て い る.   球 面 調 和 関 数 の 直 交 性 に つ い て 述 べ る.初 有 値

λ1,λ2に

  (4.104) 

め に,Y(1)(θ,φ),Y(2)(θ,φ)を

対 応 す る 球 面 関 数 と す る: Δθ,φY(1)+λ1Y(1)=0; 

Δ θ,φY(2)+λ2Y(2)=0,

固

dω=sinθdθdφ

を 単 位 球 面 の 面 積 要 素 とす れ ば,部

が 得 ら れ る.Г

は 単 位 球 面 を 表 わ す.Y(1)とY(2)の

分 積 分 に よ って

役 割 を 入 換 え て 得 られ る

積 分 の 関 数 式 を 上 式 か ら引 け ば   (4.105)

(4.104),(4.105)よ

従 っ て, 

り

な ら ば,対

応 す る 球 面 関 数Y(1),Y(2)は

直 交 す る:

即ち

  次 に,一

つ の 固 有 値 λ=n(n+1)を

と る.n位

構 成 す る 球 面 関 数 は2n+1個Yn(±m)(θ,φ)(m=0,1,…,n)あ 位 球 面 Г 上 で 互 い に 直 交 す る.実   Yn(m1),Yn(m2)(m1≧0,m2≧0)を

の 球 面 調 和 関 数Yn(θ,φ)を る.こ

際, 掛 け て Г 上 で 積 分 す る と:

れ ら も単

とな る.残

りの 球 面 調 和 関 数 に つ い て も 同様 で あ る.特 に

  こ うし て,2変

数 の 固 有 直 問 題(4.94)−(4.95)の

関 数 系(4.102)が,単

固 有 関 数 で あ る球 面 調 和

位 球 面 上 で 直 交 関 数 系 を なす こ とが 示 され た.次

に生 じ

る問 題 は,単 位 球 面 上 で 与 え られ た 関 数 を球 面 調 和 関 数 で 展 開 す る問 題 で あ る. 第3章

で 述 べ た フー リエ 級 数 の 理 論 を 多 変 数 の 場 合 に 拡 張 す る 必 要 性 が 生 じた

わ け で あ る.本 書 の 範 囲 を越 え る た め こ の 問 題 に 立 入 る こ とは で き な い が,進 ん だ 議 論 を 行 な う こ とに よ って,(4.102)が 位 球 面 上 で2回

完 全 な 直 交 関 数 系 で あ る こ と,単

連 続 微 分 可 能 な 関 数f(θ,φ)は,一

様 収 束 す る フ ー リエ 級 数

  (4.106)

  (4.107)

に 展 開 さ れ る こ と,を 証 明す る こ とが で き る.   球 面 調 和 関 数 を ラ プ ラ ス方 程 式 に対 す る デ ィ リ ク レ問 題 に応 用 して み よ う. 既 に 述 べ た よ うに,球 面 座 標(r,θ,φ)に お け る ラ プ ラ ス 方 程 式 の 解 の 一 般 的 な 形 として   (4.108)

を と る こ と が で き る.領

域 が 球 の 内 部 ま た は 外 部 で あ る場 合 の デ ィ リ ク レ 問 題

r
で  Δu=0; 

r=a 

で  u=f(θ,φ) 

(内 部 問 題)

r>a 

で  Δu=0; 

r=a 

で  u=f(θ,φ) 

(外 部 問 題)

を 考 え る と,内 (4.108)でAn=0と

部 問 題 に お い て は(4.108)でBn=0,外

部 問題 に おいて は

お か な け れ ば な ら な い こ と は 明 ら か で あ ろ う.球

面上 の

境 界 条 件 か ら,Anま

た はBnが

(4.107)と

部 問題 の解 は

す れ ば,内

決 ま る.f(θ,φ)の

フ ー リ エ 展 開 を(4.106),

  (4.109)

で 与 え ら れ る こ とが わ か る.(4.109)で

積 分 と総 和 の 演 算 を 入 換 え れ ば(こ こ

で は 形 式 的 な議 論 に と どめ る)

 (4.110)

とな る.外 部 問 題 の 解 は

で あ り,こ

れ に 対 し て も(4.109),(4.110)に

  最 後 に,(4.110)の θ=φ=0と

お く:

で あ る か ら,   (4.111)

類 似 し た 表 現 式 が 成 立 つ.

積 分 記 号 の 中 の 級 数 を 簡 単 な 形 に 直 す.(4.110)で

特に

と な る.

 の簡単 な表現を求め るために,以 下の考察 を行な う.[(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2]−1/2は(x0,y0,z0)を 特 にx0=y0=0,z0=ρ>aと

す れ ば,球r≦aで

除 い て 調 和 で あ る. 調 和 な 関 数 が 得 ら れ る が,そ

れ

を球 面座 標 で表 わせ ば (r2+ρ2−2rρcosθ)−1/2 と な る.こ る.ゆ

の 関 数 は φ に 無 関 係,従

っ て 境 界r=aの

上 で も φ に無 関 係 で あ

えに

な る 級 数 展 開 が 可 能 な は ず で あ る.An0を

決 め る た め に θ=0と

お よび

に 気 を つ け,両

辺 を比 較す れ ば

が 得 られ る.よ

って 次 の恒 等 式 が 成 立 つ:

 (4.112)

(4.112)をrで

微 分 し て,そ

の 結 果 にrを

  (4.113)

(4.112)と(4.113)を

が 得 ら れ る.従   (4.114)

組 合せ れ ば

っ て,(4.111)は

掛け る と

お く.Pn(1)=1

と な る. (a2−2ar は 点(r,0,0)か ば,球

ら 動 点(a,θ,φ)ま

の 対 称 性 か ら,(4.114)は

cosθ+r2)1/2

で の 距 離 で あ る こ と に 注 意 す る.そ 点(r,0,0)に

うす れ

対 し て だ け で な く任 意 の 点(r,

θ,φ)に 対 し て も 成 立 つ:

 (4.115)

た だ し,δ

は(r,θ,φ)か

ら 動 点(a,θ,φ)ま

(r,θ,φ)に

向 うベ ク トルlと

で の 距 離 を 表 わ す.原

原 点 か ら 点(a,θ,φ)に

向 うベ ク トルlの

点 か ら点 成分は

図4.14

で あ る か ら,l,lの

な す 角 を γ とす れ ば cosγ=cosθcosθ+sinθsinθcos(φ

と な る(図4.14参

照).よ

− φ)

っ て δ=a2−2ar

cosγ+r2

で,(4.115)は

  (4.116)

とな る.こ れ は 以 前 導 い た3次 元 の ポ ア ソ ン積 分 公 式(4.90)と

同 じも の で あ

る.  球 に 対 す る外 部 デ ィ リク レ問 題 の解 も類 似 の 積 分 表 示 を 持 つ.

演 習 問 題4.7   1.  ル ジ ャ ン ドル 陪 関数Pnm(t),m≦n≦3,の   2.  次 の 関 数 をx,y,zの  (a) 

具 体 的 な 形 を 書 け.

調 和 多 項 式 の 形 に 書 け.

rP1(cosθ). 

(b) 

rP11(cosθ)cosφ. 

  3.  外 部 境 界 値 問 題:Δu=0(r>a),u=f(θ,φ)(r=a)の

(c) 

r3P32(cosθ)sin2φ.

解 の ポ ア ソ ン積 分 公 式 を 導

き 出 せ.   4.  単 位 球(r<1)の

内 部 で 調 和 で,単

位 球面上 で次の境 界条 件を満 たす 関数 を 求 め

よ.  (a) 

r=1の

と きu=f(θ,φ)=θ(θ

 (b) 

r=1の

と きu=x2+y2.

 (c) 

r=1の

と きu=y3.

 (d) 

r=1の

と きu=ez.

  5. 

−2π) 

(0≦ θ≦2π).

ノ イ マ ン問 題

の 解 でr=0の

と きu=0と

な る も の を 求 め よ.た

だ し

と仮 定 す る.  6*.  球 に お け る次 の 熱 伝 導 問 題 を 解 け.

(熱伝 導 方程式), (初 期 条 件), (境 界 条 件).

境界 条件 を 

とす れ ば ど うな るか?

  7*.  球 に お け る次 の振 動 問 題 を 解 け. (波 動 方 程 式), (初期 条 件), (境界 条 件).

  8*. 

から

が得 られ る.左 辺 の積 分 を計算 した 後,両 辺 を比較す る ことに よ り

が 成 立 つ こ とを 示 せ.

演 習 問 題 の 解 答,ヒ

演 習 問 題1.1    2. 

(a) 

y=cos

  3. 

(1.16)式

x+sin

x.

ン ト

(pp.6-7)

 (b)

が 使 え な い か?

  4.  y″′=g(x)の

解 で,与

え ら れ た 初 期 条 件 を 満 た す も の は,

で 与 え られ る こ とに 注 意 して,近 似 解 の 列{yn(x)}を

に よ っ て 定 め る.zn(x)=yn(x)−yn−1(x)と

を 示 す.(A,B,Cは?)一

お き,不

が 求 め る 解 に な る.

様 収 束 の 極 限 

  解 の 一 意 性 を 示 す に は,二

等式

つ の 解 の 差z(x)か

ら

u(x)=￨z(x)￨2+￨z′(x)￨2+￨z″(x)￨2 を 作 り,u(x)が(1.15)型

の 微 分 不 等 式 を 満 た す こ と を 示 せ ば よ い.

演   1. 

(b) 

  2. 

(b) 

e2λx. 

(d) 

習

問

題1.2 

(pp.17-18)

βx2α−1.

 (d)  (f)    3. 

y=c1x+c2x2+x3+x

log

x.

(b)

 (d)

  4.    5. 

(b) 

y2=cos

x/x. 

y″+p(x)y′+q(x)y=0(y=u,υ,w)か

(d) らp(x),q(x)を

消 去 す る.

  6.  問5の

結 果 を 用 い て,y″+p(x)y′+q(x)y=0の

数p(x),q(x)の

解 の 基 本 系y1(x),y2(x)と

間に

で あ る こ と を 示 す こ と が で き る.こ   7.  定 理1.2に

の事 実 を 用 い て も よ い.

より (cは0で

こ れ をy1(x)2で

な い 定 数).

割 っ て 積 分 せ よ.

  8. 

W′(x)=−p(x)W(x),

  9. 

y″+5y′+4y=0, 

y(0)=1, 

演   1. 

係

習

y′(0)=0と

問

題1.3 

同 値.

(pp.26-27)

(b)

 (d)

  4. 

(a)

 (d)    5. 

変 換 さ れ た 微 分 方 程 式 はd2y/dt2+α2y=0と

(a)

 (d)   

な る.

H0(x)=1, 

H1(x)=2x, 

H2(x)=4x2−2, 

の 収 束 半 径 は1/ρ

な らば 

7. 

  8. 

(1.43)式

  9. 

(a) 

 (b) 

に 等 しい.

を 用 い る. [(1−x2)Pn′]′=−n(n+1)Pn,[(1−x2)Pm′]′=−m(m+1)Pmか

Pm[(1−x2)Pn′]−Pn[(1−x2)Pm′]′={(1−x2)[PmPn′ 1)]PmPnを

H3(x)=8x3−12x.

導 き,こ

れ を

u(x)=(x2−1)nと

  u(j)(−1)=u(j)(1)=0(0≦j
−1か

ら −Pm′Pn]}′=[m(m+1)−n(n+

ら1ま

で 積 分 せ よ.

お けば 注 意 し て,部

分 積 分 を 繰 返 して

を導 き,最 後 の積分 の具 体 的 な値 を計 算せ よ.

演   1. 

(b) 

 (f)    2. 

(b) 

x=0, 

ρ1=0, 

x=1, 

ρ1=1/2, 

習

問

題1.4 

y1=x−1/2sinx, 

(pp.37-38)

(d)

ρ2=−1. 

ρ2=0. 

(h) 

x=0, 

ρ1=ρ2=1.

y2=x−1/2cosx.

 (d)

 (f)

  3. 

(c)

(￨x−1￨<2で   4. 

(c)

 (f)    7. 

収 束).

(a) 

L0(x)=1, 

L1(x)=1−x, 

L2(x)=2−4x+x2.

P(x),Q(x)が 

(￨x￨>r0で

収 束)

の 形 に 表 わ され る こ と.   (b)  確 定 特 異 点 で は な い.   8. 

(c)

  9. 

(b) 

y1=xn, 

y2=x−n−1.

演   1. 

はz″+z=0を

と 書 け る.c1=0, 

  2.  t=λxと る.こ

習

問

題1.5 (pp.44-46) 満 た す.ゆ

え にz=c1cos

を 示 せ.J−1/2(x)に

あ る.

x

つ い て も 同 様.

お け ば 与 え ら れ た 方 程 式 はt2d2y/dt2+tdy/dt+(t2−

れ は ベ ッ セ ル の 微 分 方 程 式(1.69)で

x+c2sin

α2)y=0に

変 換 され

 

3.

  5.  ベ ッ セ ル の 微 分 方 程 式(1.69)のxをixで 方 程 式 で あ る.従

っ て,α

お きか え た も の が 変形 ベ ッセ ル微 分

が 整 数 で な け れ ば,一

般 解 はy=c1Jα(ix)+c2J−

α(ix).と

こ

ろ で,

で あ る か ら,解

の 基 本 系 と し てIα(x),I−

種 の 変 形 ベ ッ セ ル 関 数 と 言 う.α Km(x)で

あ る.こ

をixで

α(x)を

が 整 数mに

採 用 す る こ と が で き る.こ

等 しい 場 合 に は,解

こ で,Km(x)は,第2種

の 基 本 系 はIm(x)と

ベ ッ セ ル 関 数(1.74)ま

お き か え た 式 か ら 因 数imを

れ ら を 第1

た は(1.81)のx

取 り去 っ た 実 関 数 の こ と で,第2種

の 変 形 ベ ッセ

ル 関 数 と 呼 ば れ る.

とお けば変 形ベ ッセ ル微 分方 程式 は

  6. 

に 移 る.ゆ

え に 

な らば,変

形 ベ ッセ ル 微 分 方 程 式 の 一 般 解 は 

で あ る.   8. 

(a) 

 

(b) 

て(a)の

xαJα(x)を

級 数 で 表 わ し て,そ

れ を 項 別 に 微 分 す る.

ベ ッ セ ル 微 分 方 程 式 を[x1−2α(xαy)′]′+x1− αy=0と 結 果 を 使 う と,[x1−

αJα −1(x)]′=−x1− αJα(x)が

書 き,y=Jα(x)と

得 ら れ る.α

−1を

し 改 め て

α と 思 え.    

を

(c)と(d)は,(a)と(b)か

ら 導 び か れ る.

9.

示

し,こ

れ

22n(n!)2(n=2,3,…)を

か

らc1=c3=c5=…=0, 

c2=1/22,(2n)2c2n+c2n−2=−2(−1)n(2n)/

導 け.こ

の 漸 化 式 か らc2n=(−1)n−1Hn/22n(n!)2が

れ る.

演   1. 

(b) 

[x2y′]′ −x2y=0. 

習

問

題2.1 

(d) 

(pp.50-51)

[e−x2y′]′+αe−x2y=0.

得 ら

 (f)    2. 

(b) 

[xγ(1−x)α+β+1− y=cos

x+sin

γy′]′ − α βxγ−1(1−x)α+β x+x. 

  3. 

ラ グ ラ ン ジ ュ の 等 式(2.5)を

  4. 

グ リ ー ン の 公 式(2.6)を

  1. 

使 使

演

(d) 

習

−γy=0.

解 は 存 在

し な い.

う.

う.

問

題2.2 

(pp.56-57)

(d)

(b) 

 (f)

 (h)

  1. 

 

(b) 

習

問

題2.3 

(p.63)

演

習

問

題2.4 

(p.67)

a≡0(modπ),

2.

  1.  (b) 

 

演

3.

h>0と

す る.

  4.  積 分 で 表 わ され る 関 数 が2回

連 続 微 分 可 能 で あ る こ と を 解 析 的 に証 明 し,実

微 分 を して 問 題 の 微 分 方 程 式 を 満 た す こ とを 確 か め る.− ∞<x<∞ あ れ ば,そ z(x)は

の 差z(x)は

恒 等 的 に0で

− ∞<x<∞

で 有 界 でz″ −z=0を

で有界 な解 が二つ

満 た す が,こ

あ る も の に 限 る こ と は 直 ぐに わ か る.こ

際に

の よ うな

れ か ら 解 の 一 意性 が言 え

る. 演   1. 

(b) 

習

問

題2.5 

(p.75)

cos(xy′)−sin(xy′)・(xy′+x2y″)=0.

(d)   2. 

る 解 はx2+(y−2)2=5と   3. 

オ イ ラー

な る. ・ ラ グ ラ ン ジ ュ 方 程 式 はFy−Fy′y′y″

−Fy′yy′.こ

れ にy′

を 掛 け た も

の 形 に 書 か れ る.

の は 

 

これを解 き,境 界条 件 を用 い る と求 め

よ り 

(b) 

な る 定 数 β を と る.[a,b]で

4. 

な る 定 数 γ を と る.ψ(x)=φ(x)−

対 し て, 

φ(x)は

連 続 な 任 意 の 関 数 φ(x)に

任 意 だ か ら φ(x)=b(x)−

演

 1.  (ⅱ)の

場 合.固

β と お く こ と が で き,こ

習

有 値 は 

問 題2.6 

γ と お く.

れ か らb(x)≡

β が 出 る.

(pp.82-83)

固 有関数 は 

(n=0,1,2,…).   (ⅲ)の

場 合.固

有 値 は 

の正根 λn,固有関数は  

(n=1,2,3,…).

  3. 

(a) 

 (c) 

(n=1,2,3,…).

λnは  y0(x)=x−1, 

 (e) 

の 負 で な い 根(n=0,1,2,…;λ0=0), (n=1,2,3,…).

(n=1,2,3,…).

  4.  固 有 値 は yn(2)(x)=sin

λn=nπ(n=0,1,2,…),固

nπx(n=1,2,3,…).一

二 つ 対 応 す る か ら,0で

つ の固 有値

  1.  (a) 

 

に1次

nπx,

独立 な 固 有関数 が

な い 固 有 値 は 単 純 で な い.

演

  3. 

有 関 数 はy0(x)=1,yn(1)(x)=cos

φ(x)=x+c. 

習

問

(b) 

題2.7 

(p.91)

φ(x)=arctan(tan

プ リ ュ ー フ ァ 変 換 に よ っ て,あ

る2階

h(x+c)) 

(modπ

で 考 え る).

線 型 常 微 分 方 程 式 と 結 び つ け よ.勿

論,直

接 求 積 を 行 な う こ と も で き る.   5.  解y(x)の 合 理y(x)≡0が

零 点 の 集 合 が 有 限 な 集 積 点x0を 生 じ る.後

持 て ば,y(x0)=y′(x0)=0と

な り不

半 は ロ ン ス キ ー 行 列 式 を 考 え れ ば よ い.

  6.  解 を 具 体 的 に 表 現 す る.   7.  問6の

方 程 式 と 比 較 す る.ス

演

ツ ル ム の 比 較 定 理 を 適 用 せ よ.

習

問

題2.8 

(pp.95-96)

の解 を

  1. 

 

の解 を

が 成 立 つ.λnは す れ ば,容   3. 

易に

φ(b,λ)=δ+nπ λn>μnが

の,μ

π は

す れ ば,a<x≦bで φ1(b,λ)=δ+nπ

φ1(x,λ)>φ(x,λ) の 根 で あ る こ とに 注 意

得 ら れ る.

の解

μnは, 

φ1(x,λ)が

φ1(b,λ)=δ+nπ

と な る よ うな

の解 >φ(x,λ)が[a,b]で  

φ1(x,λ)と

φ(x,λ)と

λ の 値 で あ る.こ

を 比 較 す れ ば,γ1>γ

れ と  で あ る か ら,φ1(x,λ)

成 立 つ.

4.

演   1.  方 程 式 は(2.93)でm=0と

ル関 数 

習

問

題2.9 

(pp.99-100)

し た も の.x=0で

有 界 な 解 は 第1種0次

ベ ッセ

で あ る.

  3.  方 程 式 は チ ェ ビ シ ェ フ の 微 分 方 程 式(1−x2)y″

−xy′+λy=0の

自己 随 伴 形 で あ

る.

 4.  独 立 変 数 の 変 換  が 得 られ る.

を 行 な え ば,ル

ジ ャ ン ドル の 微 分 方 程 式

演   1. 

問

題2.10 

(pp.105-106)

(a) 

とお く

 (c) 

とお く

演   1.  (a)   (b)    2. 

(b)

  3. 

(b)

 

習

習

問 題3.1 

(pp.115-116)

正 し く な い. 正 し く な い. 

(c)正

し い.

4.

  5. 

p0(x)≡1,

 6.  Tn(x)のn+1個 を 示 す.x=cos

tと

の 係 数 が 連 立1次 おけば

演   1. 

方 程 式 の 解 と して 一 意 的 に 定 め られ る こ と

習

(a) 

問

題3.2 

(p.120)

(b) 

(c)

  2.  ベ ッ セ ル の 不 等 式 を 見 よ.

演   1. 

習

問

題3.4 

(pp.133-134)

(b)

 (d) 

  2.  (b) 

l=π

の とき

正弦 級 数 

余弦級数  (aが 偶 数 の と き),

 (d)

 (aが 奇 数 の と き).

 

3.

  5.  問4の

結 果 の 拡 張.(3.18)を

  6.  f(x)を[0,π]で2乗

部 分 積 分 せ よ.

可 積 分 な 任 意 の 関 数 と し, 

と お き,

(*) を 示 せ ば よ い.g(t)≡f(2t)(0≦t≦ る 式 に よ っ てg(t)を

π/2)と

お く.g(−t)=−g(t),g(π

− π≦t≦ π に 拡 張 す る. 

が 成 立 つ か ら,g(t)の

で,g(t)に

フ ー リエ 級 数 は 

収 束 す る:

 こ こ で 変 数x=2tに

戻 せ ば(*)が

演

習

問

得 ら れ る.

題3.7 

(pp.153-154)

  3.  最 小 固 有 値 を λ0と す れ ば,λ0>π2/8.

を 示 せ.

  4. 

演

  2. 

習

問

題3.8 

(b)

 (d)

  3. 

−t)=g(t)な

(a)

を 示 せ.

(pp.166-167)

平 均

 (c)

を 示 せ.

 

5.

演   1. 

(a) 

習

問

題4.1 

B2−4AC=4y2(x2+x+l)=y2(x−x1)(x−x2),た

  2. 

だ し 

の 三 つ に わ け る.

場合 を   (c) 

(p.176)

B2−4AC=4(1−x2+y2).

(a)

 (c)   3. 

(a)

 (c)

演   1. 

習

問

題4.2 

(pp.184-185)

(b)

 (c)

  2. 

(b)

 5.  Qで

定 義 され て い るu(x,t)を,xに

−l≦x≦l ,0≦t≦Tに

拡 張 す る.拡

関 し て 偶 関 数 に な る よ うに 長 方 形R:

張 され た 関 数 がRの

内部 で熱伝 導方程 式 を満 たす

こ と を 確 か め,Rに

お い て 最 大 値 原 理 を 適 用 せ よ.

演   1.  (a),(b)い 公 式(4.39)を   2. 

習

問

題4.3 

(pp.197-199)

ず れ も,φ(x),ψ(x)を

全 実軸

− ∞<x<∞

上 に 適 当 に拡 張 して

作 れ.

(a) 

u(x,t)=sinxcost. 

(b) 

u(x,t)=cosxsint. 

(c) 

u(x,t)=

sinx(1−cost).   3. 

(a) 

  5. 

(4.39)か

ら ば,特

(c)

(b) 

こ れ が 点(x0,t0)で

ら 

性 線x+ct=x0+ct0上

  6.  (b) 

を 出 す.こ

不連続 な

の す べ て の 点 で も 不 連 続 で な け れ ば な ら な い.

λ=−(CR+GL)/2CL. 

(c) 

れ を−ix=Gυ+Cυtに

まず

υ=e−(R/L)t[φ(x−ct)+ψ(x+ct)]

代 入 し て 積 分 す れ ば 

が 得 ら れ る.こ

れ を

υx+Lit+Ri=0に

代 入 し てk(t)≡constを

導

け.

演   1. 

習

問

題4.4 

(pp.211-212)

を 積 分 す る.

(b) 

 4.  平 均 値 の 定 理 

を ρ に 関 して0か

らaま

で積分

す る.   5.  最 大 値 原 理 の 応 用.   6.  (b) 

ξ=x+y,η=x−yな

る 変 換 を し て 考 え る.

な らば

 (d) 

 7.  (a)  0(ポ   8. 

(a) 

ア ソ ンの 積 分 公 式). 

(b)  2(平

均 値 の 定 理).

な らば 解 は 存 在 しな い. 

とす れば 解 は

の と き, 

演

習

問 題4.5 

(pp.220-221)

 3.  平 均 値 の 定 理 

を ρ に 関 して0か

  4.  原 点 を 中 心 と して 十 分 大 きい 半 径Rを リ ー ン の 第1公

式 を 書 け.R→

∞

の と き 

  5.  二 つ の 解 の 差 を υ と す れ ば,υ  を 満 た す.グ   6.  (a)  υ=0を

これ か ら

υ≡0を

υ≡0を

習

問

は Ω で(exυx)x+(eyυy)y=0を

題4.6 

Ω で

(ⅲ)  Γ2上

演

(b)

外 部 領 域 の 点,

次 の性 質 を 満 た す.(ⅰ) 

 解の積 分表 示 は

  4. 

上 で

(pp.228-229)

で 

z. 

,Γ

る 点).

た だ しwは

(a) 

で

導 く.

 r1=rPQ,r0=rPQ′,ρ1=rOQ(Qは

(ⅱ)  Γ1上

υ=0を,Γ2上

結 論 す る.

6. 

  2. 

で

散 定 理 に よ って

  2.

 

を 示 せ.

リー ン の 公 式 か ら こ の

演

Q′ はrOQ・rOQ′=a2な

で 積 分 す る.

ε の 共 通 部 分 に 対 して グ

は Ω で Δυ=0を,Γ1上

二 つ の 解 の 差 を υ と す れ ば,υ

満 た す .発

持 つ 球BRと

らaま

(b) 

x. 

習

問

題4.7 

(c) 

30xyz.

(pp.240-241)

Δw=0, で

 (d)

  5.

  7. 

変 数 分 離 法 に よ る.R(r)=r−1/2S(r)と

  た だ し,

お け.

索

引

重 ね 合 わ せ の 原 理  8,175 ア

行

完

全  139,156 ―

依 存 域   195 1次 従 属  9

な 直 交 関 数 系   116

,117

完 全性 ス ツ ル ム ・リ ウ ビル 系 の 固 有 関

1次 独 立   9 一 般 解   7 ,8,11,15,173

数 の―

斉 次 微 分 方 程 式 の― 非 斉 次 微 分 方 程 式 の―

三 角 関 数 の―

 8   15

  143

完

  127

備  136

一 般 化 さ れ た デ ィ ニ の 条 件   125 基 本 解   11 エ ア リ イ(Airy)の

微 分 方 程 式   1,45,91

影 響 域   195

級 数 に よ る 解 法   18,27 球 面 調 和 関 数   229,234

エ ル ミ ー ト(Hermite)の

微 分方程 式

 1,26

境 界 条 件   3,47,64,77,80 境 界 値 問 題  3,47,67,172 ―

オ イ ラ ー(Euler)の

微 分 方 程 式   1,13

オ イ ラ ー ・ラ グ ラ ン ジ ュ の 方 程 式   69

距

の 解 の 一 意 性   217 離   135

―

の 公 理   135

距 離 空 間   136 カ

行 ク ー ラ ン(Courant)の

解  2,169 ―

の

一意 性   3,5,182,189,208,209,

217

最 大‐最 小 原 理

  150 グ リー ン(Green)

―

の 基 本 系   11

―

の 公 式   48,213

―

の 存 在  3

―

の 第1公

式  214

―

の 第2公

式   214

解 析 的   18 外 部 デ ィ リ ク レ 問 題   199,218

グ リ ー ン 関 数   51,53,154,157,159,180, 221,222,224

外 部 ノ イ マ ン 問 題   218 ガ ウ ス(Gauss)

―

の 対 称 性   55 ,223,228

―

の 超 幾 何 微 分 方 程 式   1 ,35

円 に 対 す る―

―

の 発 散 定 理   213

球 に 対 す る― 

確 定 特 異 点   27,28

広 義 の―

  226 224

  57,61,65

特 異境 界値 問題 の― 半 空 間 に対 す る―

  65   227

常微分 作用 素 7 常微分 方程 式 1 初 期 ‐境 界 値 問 題   169,171

形 式 解   20

初 期 条 件   3,77

決 定 方 程 式   12,30

初 期 値 問 題   1,3

ケ ル ビ ン(Kelvin)変

換   211 ス ツル ム(Sturm)

弦 の振 動   170

広 義 解  195,198 広 義 の グ リー ン関 数  57,61 特異 境 界値問題 の―

―

の 漸 近 的 性 質   108

―

の分 離 定 理   88

―

固 有 関 数   78,80,83,91,97 に よ る展 開   112 ,154

の 比 較 定 理   83 ,85

ス ツル ム ・ リウ ビル(Liouville)系

  65

―

―

の固 有 関 数 の完 全 性   143

正 則 な―

  81,91

特 異 な―

  96,97,164

固 有 関 数 展 開 問 題   80

正 規 化   58,119

固 有 値   78,80,83,91,97,146 ― の 漸 近 分 布   106

正 規 型 の微 分 方 程 式   2

固 有 値 問 題   47,75,80,145

正 弦 級 数   130

正 規 直 交 系   120,141

斉 サ 最 大 ‐最 小 原 理,ク

行

  81

次  1

斉 次 初 期 値 問 題  49

ー ラ ン の   150

斉 次 境 界 値 問 題   48

最 大 値 原 理   182,208,217

正 則 点   2,18

作用 素  7

正 則 な ス ツ ル ム ・リウ ビル 系   81,91

三 角 関 数 の 完 全 性   127

絶 対 可積 分   122

三 角 不 等 式   135,136

零

解   49

三 角 フ ー リエ 級 数   115,120,125

零

点   85

―

の 一 様 収 束   125

―

の 各 点 収 束  120

―

の 項 別 積 分   132

―

の 項 別 微 分   132

零 で な い 解  49 漸 化 式   19 線

型  1,168,175

線 型 作 用 素  8

自己 随 伴 型 の 微 分 方 程 式   48

双 曲型   172

自己 随 伴 な 微 分 作 用 素   48

双 曲型 方 程 式  198

周 期 的 境 界 条 件   83 シ ュ ワ ル ツ(Schwarz)の   98,126,127

タ

不 等式 第1種

行

境 界 値 問 題   199

第1種

の α次 ベ ッセ ル 関 数   40

楕 円 型   172

特 異 点 2 特 異 な ス ツ ル ム ・ リ ウ ビ ル 系   96,97, 164

対 称 性 、 グ リー ン関 数 の   55,223 第2種

境 界 値 問 題   212

特 異 な 微 分 作 用 素   64

第2種

のm次

特 殊 解   16

第2種

の ベ ッセ ル 関 数   44

第2種

の0次

ベ ッ セ ル 関 数  43

特 性 線   194,198

ベ ッセ ル 関 数   41

ダ ラ ンベ ー ル(d'Alembert)の

公式

特 性 多 項 式   11 特 性 方 程 式   11

 192 ナ

単 純 な 固 有 値   81 内 チ ェ ビ シ ェ フ(Chebyshev)

行

積   135

内 部 デ ィ リ ク レ問 題   199

―

の 多 項 式   100

―

の 微 分 方 程 式   1,26

2階 線 型 偏 微 分 方 程 式   168

逐 次 近 似 法  5

2乗 可 積 分 な 関 数   98

超 幾 何 級 数   36

2点 境 界 値 問 題   47

超 幾 何 微 分 方 程 式   35 調

和   199

熱 伝 導 方 程 式   76,169,176

調 和 多項 式  234 直

ノ イ マ ン(Neumann)問

交  57,82,139

題   212,214,

217

直 交 関 数 系   112

ノル ム  135

直 交 系   139

ハ 定 数 変 化 法  16

行

デ ィニ(Dini)の 条 件   124 一 般 化 され た ―   125

パ ー セ バ ル(Parseval)の

デ ィ リ ク レ(Dirichlet)問 題   199

波 動 方 程 式   170,185

―

の 解 の 一 意 性   208,209

デ ュ ア メル(Duhamel)の

等 式   117 ,

119,140

汎 関 数  68

原 理   182,

196 電 信 方 程 式   198

比 較 定 理   184 非 斉次  1 非 斉 次 熱 伝 導 方 程 式   180

等 周 問 題   72

非 斉 次 波 動 方 程 式   196

特 異 境 界 値 問 題  63,64 ― の グ リー ン関 数   65

非 線 型   168

―

の広 義 グ リー ン関 数  65

ヒル ベ ル ト(Hilbert)空 間   134 ―

の 基 本 列   136

―

無 限 に 長 い 弦 の 振 動   191

の 収 束 列   136

ヤ

行

φ 曲 線   85 フ ー リエ(Fourier)級

数   75,112,114

優 級 数   20 ―

― の 一 様 収 束   159

の 方 法  22

― の 収 束   121 フ ー リエ 係 数   114,139 プ リ ュ ー フ ァ(Prufer)変

余 弦 級 数   130 換   83,84

フ ロ ベ ニ ウ ス(Frobenius)の

ラ

方 法   29

行

ラ グ ラ ン ジ ュ(Lagrange)の ラ ゲ ー ル(Laguerre)

平 均 収 束 113 平 均 値 定 理  208,214 平 均2乗

等 式   48

誤 差   113

ベ ッ セ ル(Bessel)

―

の 多 項 式   38

―

の 微 分 方 程 式   38

ラ プ ラ ス(Laplace)の

方 程 式   171,199

― の 微 分 方 程 式   1,38,39,89,96 ―

の 不 等 式   116,139

リ ウ ビ ル(Liouville)の

ベ ッ セ ル 関 数   40,97 ヘ ル ダ ー(Holder)条

標 準 型   100,

101 件   124

ヘ ル ダ ー 連 続   124

リ プ シ ッ ツ(Lipschitz)条

件   87,90

リ ー マ ン ・ル ベ ー グ(RiemannLebesgue)の

変 形 プ リ ュ ー フ ァ 変 換   100,102

補 題   122

変 形 ベ ッ セ ル 微 分 方 程 式   45 変 数 分 離 法   77,80,176,185,199 偏 微 分 作 用 素   175 偏 微 分 方 程 式   76,80,168 変 分 学   67,68 ― の 基 本 補 題   69,74

ル ジ ャ ン ドル(Legendre) ―

の 多 項 式   97,231

―

の 陪 関 数   231

―

の 陪 微 分 方 程 式   230

―

の 微 分 方 程 式   1,22,37,96

変 分 問 題   68,144,145,149

レ イ リ イ(Rayleigh)商 

ポ ア ソ ン 核   205

ロ ン ス キ ー(Wronski)の

146

行列 式 8

ポ ア ソ ン積 分   204,205,226,239 ポ ア ソ ン(Poisson)の

方 程 式   171

ワ

ワ イ エ ル シ ュ ト ラ ス(Weierstrass)

放 物 型   172

の 近 似 定 理   128 マ 膜 の 振 動   171

行

行

著者 略歴 草

野

尚

1932年  長崎県に生れ る 1955年   東京大学理学部卒業 現

在  広島大学名誉教授 ・理学博士

基礎数学シリーズ21 境 界 値 問題 入 門

定価 は カバーに表示

1971年8月30日

  初 版 第1刷

2004年12月1日

  復 刊 第1刷

著 者 草

野

発行者 朝

倉

会社  発行 所  株式 朝

尚 邦

倉

造

書 店

東 京 都 新 宿 区 新 小 川 町6-29 郵便番号   電

話 

FAX 

〈検 印 省 略 〉 C1971〈 ISBN 

無 断 複 写･転 4-254-11721-3 

162-8707

03(3260)0141 03(3260)0180

http://www.asakura.co.jp 載 を禁 ず 〉 C3341

中央 印刷 ・渡 辺製本 Printed

in Japan