不変式論 (紀伊國屋数学叢書 11)

紀伊國屋数学叢書 11

編 集委員 伊藤 戸 田

清三 宏  

 (東京大学教授) (京都大学教授)

永 田

雅 宜   (京都大学教授)

飛 田

武 幸   (名古屋大学教授)

吉沢

尚 明   (京都大学教授)

森川 寿

不変 式論 紀伊 國屋書 店

ま

え

が

き

  不 変 式 論 の 話 は,や は り次 の よ く知 ら れ た 言 葉 か ら 始 め る の が よ い."Invar iant

theory

has

the phoenix

already

has

again

been and

pronounced

again

dead

rising

from

  これ は 歴 史 的 事 実 を 述 べ た と い う よ り,何

several

times,

and

like

its ashes."

か 根 元 的 な もの に 触 れ た 感 動 とみ

て よ い で あ ろ う.上 の 言 葉 を 実 感 し 確 か め た い と い う気 持 は こ の 本 のmotiva tionの

一 つ で あ る."古

今 東 西"と

の 運 動 が ひ そ ん で い る.ま

た"な

い う言 葉 に は,時

間 軸 上 の 流 れ と,空 間 上

に び と とい え ど も"と

人 を 任 意 の 他 の 人 に 置 き 換 え る 置 換 を 想 定 し て い る.こ 規 範 と 呼 ば れ る も の は,常 ば 不 変 性),で

定 式 化 さ れ て い る.変

よ うに,不 変 性,共

の 古 さ を 持 っ て い る.し 識 し,明

の よ う に 法 則 とか 社 会

換 の 範 囲 の 拡 大 と 縮 小,固

定 化,変

え

換 と法

頼 と 疑 念,こ

の よ うに 世 の 変 遷 を み る こ と

変 性 の 問 題 は,神

話 的 考 え 方 が 力 を失 って 以来

か し 暗 黙 の 霧 の 中 に 存 在 し続 け る こ と と,は

っ き り意

確 な 概 念 構 成 の 上 に 把 握 さ れ る こ と と の 間 に は 考 え られ な い 位 の 隔 り

が あ る."表

示 に 関 係 し な い 性 質 の 背 後 に は 変 換 群 が あ る"と

群 を 表 面 に 押 出 す に は19世 Lagrange,

こには あ る

に 背 景 に あ る 変 換 に 対 し て 一 定 の 対 応 の 仕 方(例

則 の か か わ り合 い の 保 持 と 改 変,信 も で き る.か

い え ば,そ

Gauss,

解 析 力 学,Cayleyの

Abel,

紀 の 純 粋 数 学 の 到 来 ま で 待 た ねば Galoisの

方 程 式 論,Lagrange,

代 数 的 不 変 式 論,Lieの

る い は 局 所 的 な 変 換 群 の 概 念 を 抽 出 し,数

意 識 し積極 的 に な ら な か っ た.

Hamilton,

Jacobiの

変 換 群 論 等 の 諸 理 論 は 大 局 的,あ 学 の 考 え 方 の 基 本 に 据 え た.幾

何学

や 解 析 学 の 中 心 的 部 分 が 変 換 群 に 関 す る 不 変 性 共 変性 と い う見 地 か ら 把 握 さ れ る こ と に な っ た わ け で あ る.   本 書 の 第1章

で 取 り扱 う代 数 的 不 変 式 論 は 恐 ら く行 列 式 の 導 入 あ た りに 源 が

あ る で あ ろ うが,普

通Booleが1841年

の 論 文 で2元2次

形 式 の 不 変 式 と して

判 別 式 を 取 り扱 った 時 点 を 始 ま り と し て い る.彼 共 変 式 の 明 確 な 定 義 を 与 え,不 た.BooleはBoole代

変 式 論 の 基 本 概 念 と問 題 を し っか り把 握 し て い

数 で 我 々 に よ く 知 られ て い る が,正

て な い 驚 くべ き ア イ デ ィ ア マ ン で あ る.同 Peanoと

は 次 の年 に は 既 に 高 次 形 式 の

と もに 奇 観 で あ る.大

規 の数 学 教 育 を 受 け

じ 様 な 資 質 の 公 理 的 方 法の

先 駆 者

数 学 者 とは こ との端 緒 を みつ け る とい う よ り

は,こ と の 重 要 さ に 明 敏 に 気 づ い て,そ れ を 本 来 あ る べ き 姿 に ま で 大 き く育 成 す る 人 の こ と で あ ろ うか.早

く も1843年

重 大 さ と本 質 を 見 抜 い て,3次,4次

に はCayleyがBooleの

ア イデ ィ アの

形 式 の不 変 式 共 変 式 の 計 算 を 始 め た とい

わ れ る.こ

の 困 難 な 計 算 を 遂 行 す る た めに 生 み 出 さ れ た 彼 の 創 意 と 工 夫 は 莫 大

で あ る.現

代 数 学 で 最 も 秀 れ て い る 部 分 は そ の 記 号 用 法 の 妙 で あ る が,そ

法 の 精 神 はLeibniz, Eulerと 本 書 の 第1章

と も に,よ

り直 接 的 にCayleyに

の 有 限 性 定 理 を 除 い た 全 内 容 は,多

っ て は い る が,本 質 的 に はCayleyの

の用

よ っ て い る.

く の 人 々 の 改 良 と磨 き が か か

寄 与 と 考 え て よ い.こ れ を 列 挙 し て み れ ば

  1)  現 代 数 学 の 記 号 用 法 を 始 め た こ と.   2)  外 か ら 与 え られ た も の に つ い て で は な く,数

学 自 体 の 中 で 概 念構 成 し た

対 象 に つ い て 理 論 を 組 立 て 始 め た こ と.   3)  半 単 純Lie環

の 有 限 次 元 表 現 の 原 型 を 作 った こ と.

な お 行 列 や 固 有 値,固

有 多 項 式 等 の 線 型 代 数 の 内 容 もCayley,

Sylvesterに

よ

っ て い る.   Sylvesterと

と も に 大 陸 の 数 学 者 達Hermite,

の 参 加 を 得 て1860∼70年

頃 に はmodern

の 弟 子Gordanは し た.こ

れ は か つ てCayleyが

Gordan等

of invariantsと

記 号 法 はAronhold,

り一 層 強 力 な 計 算 力 を も つ よ うに な っ た.こ 有 名 な2元

Clebsch,

algebra=theory

う状 態 に な っ た と い わ れ て い る.Cayleyの きに よ り,よ

Aronhold,

Clebschの

目 の 論 文 の 中 で 誤 っ て6次

有 限 生 成 で な い と主 張 し て い た も の で あ る.Gordanの

に証 明

以 上 の場 合 は

証 明 は順 次 に前 の もの

の 多 項 式 と し て 表 わ せ な い 不 変 式 を 記 号 的 表 示 を 使 っ て 構 成 し て 行 き,遂 の 操 作 が 止 ま る こ と を 示 す も の で あ る.こ

磨

れ を 用 い てClebsch

形 式 の 不 変 式 環 の 有 限 生 成 定 理 を1868年 第2番

い

う し た 方 法 を3元,4元,…,n元

にそ と

増 し て行 く こ と は 実 際 上 不 可 能 で あ る,人 転 機 が 訪 れ る.1888年Hibertの not

mathematics,

that

間 の 計 算 力 に は 限 りが あ る.や

有 限 性 定 理 の 証 明 の 出 現 で あ る."That is

is theology"とGordanに

い わ し め る ほ ど斬 新 な 証 明

で あ る.こ

こ に 現 在 に 到 る ま で90年

で あ る.こ

の 活 力 あ る 新 生 児 は 母 体 を 枯 ら し,古

続 を 許 さ な か った.Hilbertに   Uber

die Theorie

  Uber

die vollen

が あ る("あ

der

間 を 支 配 す る数 学 の ス タ イ ルが 生 れ た の

は 不 変 式 論 の2つ algebraischen

Invariantensysteme,

と が き"[4]参

い形 で の代 数 的不 変 式 論 の存 の 大 き な 論 文,

Formen,

(1890),

(1893),

照).

  こ の 中 に 彼 の 不 変 式 論 の 仕 事 の 本 質 の す べ て が 含 まれ て い る が,卓 念 の 把 握 力 と と も に 驚 くべ き 計 算 力 を み る こ と が で き る.本 Hilbertの

新 し い 方 法 は,Dedekindの

イ デ ア ル 論,環

論 と あ い ま っ て,い わ ゆ る 抽 象 代 数 学 を 生 み,Frobenius, 理 論,Kronecker,

Hilbert,

支え ら れ て,1930年

Weber,

有 限 群 の 表 現 論,van

代 か ら1950年

て イ ギ リス,ア

Takagi,

代 末 ま で にArtin,

よ り直 接 的 に はMacaulay, た1930年

der

Noether,

メ リ カ合 衆 国,フ

持 つ こ と が 示 さ れ た.高

Hasse,

書 の 第1章

後 半で

論,Henzelのp進

数

Burnsideの Artinの

Hasse,Brauerの

Krullの

有限群の

代数的整数論に

単 純 環 の 理 論,Schur,

Waerden, Zariskiの

代 数 的 代 数 幾 何 学,

可 換 代 数 の 理 論 に 結 晶 し た.ま

代 に か け て,Poincareに

始 ま る 位相 幾 何 学 は,主

ラ ン ス で 代 数 化 が 進 み,そ

洗 練 さ れ た 強 力 な 計算 法 はcohomology

methodの

のcohomology

名 の も と に,広

不 変 式 論 に 持 っ て い る.代

methodも

とし

の 巧 妙 な 記 号 法, い普遍性を

度 に 整 備 され た 数 学 理 論 に は 常 にcohomology的

を 持 つ と い い う る 程 で あ る.こ Hilbertの

越 した 概

志 操 の い く ら か で も 紹 介 出 来 て い れば 幸 い と 思 う.

  Hilbertの

Brauerの

がて

色彩

そ の 源 泉 の1つ

を

数 的 位 相 幾 何 学 の 精 密 な 計 算 技 術 は,古

典 不 変 式 論 の 計 算 技術 と の 親 近 性 を 感 じ さ せ る.  

第2章

か ら後 の 章 で は 形 式 的 巾 級 数 に 古 典 的 不 変 式 論 の 論 法 を 拡 張 す る と い

う著 者 の 考 え を い ろ い ろ な 対 象 に 適 用 し,い 式 論 の 一 面 を 強 調 す る.少

ま ま で 余 り注 意 さ れ な か っ た 不 変

し 詳 し く説 明 し よ う.不

定 元 を 成 分 と す る ベ ク トル

 

と 標 数 零 の 体Kの

零 で な い 元 を 成 分 とす る ベ ク トルw=(w1,…,wN)を

与 え

る.こ

正 整 数 な ら ば ξjは 長 さwjの

の他

こ でwjが

ベ ク トル で あ る と し,そ

の と き に は ξjは 長 さ無 限 のベ クト ル で あ る も の と す る.多

項 式 環 か ら微 分 多

項 式 環 へ の 同型

を

で 定 義 し,微 分

で 零 化 され るK[ξ1,…,ξN]の

部 分 環〓 を 半 不 変式 環 と呼ぶ こ とにす る.こ の

部 分 環〓 のΘwに よる 像 は,SL(2)ま

た は そ の 離 散 部 分 群 の 作用 に 関 連す る数

学 の い ろい ろの 分 野に 自然 に 表 われ て くる.例 え ば 次 の様 な例 が あ る. (Ⅰ)

と お い た と き,Θw(〓)の f1(a1￨z),…,fN(aj￨z)の

元 に  共 変 式 に ほ か な ら な い.

  (Ⅱ)  Γ を そ のZariski 第1種Fuchs群

closureが

項 式 で で き たΓ

分数 変 換 全 体 と一 致 す る お き,φ1(z),…,φN(z

元 の Γ に 関 す る 保 型 形 式 とす る と きΘw(〓)の

元 にy1=φ1(z),…,yN=φN(z)を

代 入 し て 得 られ た も の は φ1,…,φNの

微分多

に 関 す る 保 型 形 式 に な る も の 全 体 と一 致 す る.

(θ3,θ4,…,θn)を 線 型 微 分 作 用 素

のLaguerre-Forsythの wN=-2nと

単 位 円 板 の1次

と す る.w1=-2k1,…,wN=-2kNと

を そ れ ぞ れ-2k1,…,-2kN次

  (Ⅲ) 

と代 入 し た も の が

基 本 不 変 式 系 と す る.N=n-2,w1=-6,w2=-8,…,

お い た と き,Θw(〓)の

元 にy1=θ3,y2=θ4,…,yN=θNを

し て 得 られ た も の は 線 型 微 分 作 用 素 の 不 変 式 全 体 と一 致 す る.

代入

い ず れ の 場 合 に も代 入 して 零 に な るΘw(〓)の

元 か ら生 成 され る,

の 微 分 イ デ ア ル は 始 め に 与 え た 対 象 に 自 然 に 対 応 す る も の で あ る.w=(w1, …

,wN)を

る.し

定 め る と 自 然 にK[ξ1,…,ξN]にLie環sl(2)が

た が っ て 同 型 を 用 い てsl(2)を

で き る.集

で あ り全 部 は 零 で な い 整 数}が

分 多 項 式 環 はsl(2)の

で あ る こ と とΦw(〓)の

K[ξ1,…,ξN]のsl(2)-認

  第4章 う.第6章

イデアル

め に 与 え る 対 象 の 変 換 に よ る 同 値 類 と多 項 式 環

は こ の 本 の 重 要 な 章 で あ り,保

式 的 巾 級 数 で は な く,収

domainの

作 用 で 半 単 純 に な り,sl(2)-認容

容 イ デ ヤ ル と が 自 然 に 対 応 す る."

程 式 系 を 特 徴 づ け る.こ

を 果 す.こ

零を含 ま

元 で 生 成 さ れ た 微 分 イ デ ヤ ル で あ る こ と が 同 値 に な る.

これ を あ ら っぽ くい え ば,"始

  第3章

微 分 多 項 式 環 に 自然 に 作 用 さ せ る こ と が

合 

な け れ ば,微

微 分 と して 作用 す

型形式の満たす定数係数非線型微分方

の 章 は ほ か の 章 と 違 っ て,本

質 的 に 解 析 的,つ

束 す る 巾 級 数 を 取 扱 う.Schwarz微

の 章 の 結 果 は 多 変 数 の 場 合,行

ま り形

分が大切を役割

列 変 数 の 場合,も

っ と 一 般 にtube

場 合 に 拡 張 で き る. で は 多 変 数 の 場 合,第5章

で は 行 列 変 数 の 場 合 の 形 式 的 部 分 を 取 り扱

で は 古 典 的 な 線 型 微 分 作用 素 の 不 変 式 論 の 結 果 を 半 不 変 式 を 用 い て

明 確 に す る.基 が で き る.ま

本 不 変 式 系 を 用 い て1変

たRiemann面

数 代 数 関 数体 の不 変 量 を 定 義 す る こ と

上 の 線 型 微 分 方 程 式 に 応 用 さ れ る.こ

を 多 変 数 に 拡 張 す る こ と は 非 常 に 望 ま し い.射

の章の結果

影 空間 内 の 解 析 多 様 体 の 微 分 幾

何 学 的 研 究 に 重 要 な 役 割 を 荷 な う こ と に な ろ う.   線 型 常 微 分 作 用 素 の 不 変 式 論 に 関 係 し た 人 々 に つ い て 述 べ てお こ う.こ 論 の 創 始 者 はCockleで 線 型n階

あ る.1862年

に 彼 は2元n次

形 式 の不 変 式 論 を ま ね て

常 微 分 作 用 素 の 不 変 式 論 の 建 設 を 始 め た.1879年Laguerreに

3階 の と き θ3が,つ 出 さ れ た.こ

い でLaguerre-Brioschiに

れ ら を 拡 張 し てForsythは1888年

標 準 型 を 一 般 に 証 明 す る と と も に,基 数Q3,Q4,…,Qnの

の理

よ っ て4階

よ って

の と き θ3,θ4が 見

の 論 文 でLaguerre-Forsythの

本 不 変 式 系(θ3,θ4,…,θn)を

微 分 多 項 式 と し て 具 体 的 に 与 え た.Forsythの

標 準型 の 係 論 文には こ

の 本 の 第6章 で得 られ て い る結 果 が よ く読 む と書 い て あ る.こ れ とは 別 にHa lphenは1878年

頃 平 面 曲線,空 間 曲線 の微 分 不 変式 の 名 の もとにn=3,4の

場

合 に 同 等 の理 論 を構 成 して い る.彼 は射 影 変 換 で不 変 な 曲線 の性 質 を 不 変 式 を 用 い て 表示 す る こ とを 目的 とした.Halphenの

行 った こ とを 高 い 次 元 の 多 様

体 につ い て行 うこ とが 望 まれ る.CockleやForsythの の 立場 に立 って1899年

の論 文 でBoutonは

仕 事 をLieの

変換群

非 常 に わ か りや す くした.

  この 本 で 取 り扱え な か った 重 要 な項 目を あげ て お く と,   A)  Lieの 微 分 不 変 式(differential

invariant),

  B)  古 典 群 の不 変 式 の第1基 本 定 理,第2基

本 定 理 とそ の 応用,

  C)  佐 藤-木 村 の 概 均 質 ベ ク トル空 間,   D)  Hilbertの 第14問 題 に 関 す る永 田の 反 例,   E)  Mumfordの

代 数 幾 何へ の 不 変 式 論 の 応 用,

  F)  物 理 学 へ の 応 用.   A)は 微 分 幾 何 全 域 また が る広 大 な対 象 を含 ん でい て,解 析,幾 何,代 数 い ろ い ろ な方 向か らの 接近 が 行 わ れ る こ とに な ろ う.B)はH. groups"の

内容 で あ る.C)はB)の

大 成 が 発 表 され た.D),E)は

Weylの"Classical

あ る意 味 で の 発 展 で あ り最 近 研 究成 果 の 集

現 在 広 く知 られ て い る こ とで あ る.F)に

ついては

著 者 に 何 の 確 実 な 知 識 もな い.最 後 に この 本 の 原稿 に 目を通 し,校 正 を 手伝 っ て 下 さ った 山 下 純 一,寺 西鎮 男 両君,紀 伊 國屋 書店 出 版 部 の 横 田一 正,水 野 寛 両 氏,お

よび 本 書 の 執 筆 を薦 め て 下 さった 永 田雅 宜,飛

田武 幸 両 教 授 に 感 謝 の

言 葉 を 申 し添 え た い.本 書 は我 が 国 で は最 初 の不 変 式 論 に 関 す る 単行 本 で あ り,な る べ く古 典 色 を 出 し,歴 史 的 な こ とを 多 く書 くよ うに 心 掛 け た が,何 分 に も不勉 強 の た め不 十 分 な と ころ も少 な くない と思 わ れ る.百 年 以上 も前 の 古 い不 変 式論 が 意外 に現 在 お よび 将 来 の数 学 と強 く結 び 付 い て い る こ とを伝 え る こ とが で きれば 幸 い と思 う.

1977年   夏 著

者

目

次

まえが き 第1章

  1変 数 多 項 式 の 不 変 式,共

§1  多項 式 へ のGL(2)の

変式

作用

  1

§2  1変 数 多項 式 の半 不 変 式,不 変 式,共 §3  半 不 変 式,不 変式,共

変式

 6

変式 の例

  17

§4  半 不 変 極,共 変 極

  22

§5 sl(2)の 表現

 25

§6 Cayley-Sylvesterの §7 不 変 式環,共

個数定理

変式環の有限生成性 

§8  記 号的 方 法(symbolic §9 零 形 式,不 第2章 

  33 37

method) 

45

変式 代 数 多様 体,共 変 式 代 数 多様 体

形 式 的1変

数 巾 級 数 の 半 不 変 式,共

§1  形 式 的 巾級 数 へ のGL(2)の §2 共 変 式,Robertの

作用

 52

変式  67

定理 

72

§3 半 不 変 式,共 変 式 の 例  

75

§4 半 不 変 式 環 の構 造  

78

§5 sl(2,K)の

無 限 次 元表 現,Gramの

§6 微 分 イデ アル,係 数 イ デ アル 第3章

  半 不 変 式 と1変

§1 Schwarz微

分

定理

  79  88

数保 型形 式  92

§2 保 型 形 式 と共 変 式

  97

§3 保 型 形 式 を 規 定 す る微 分 方程 式  106 第4章

  形 式 的 多 変 数 巾 級 数 の 半 不 変 式,共

§1  形 式 的 巾 級 数 へ のGL(g+1)の §2  共 変式,Robertの 第5章

変式

作用

  115

定理  

120

  対 称 行 列 変 数 の 形 式 的 巾 級 数 の 半 不 変 式,共

§1 GSp(2g)と

その作用

変式   125

§2 微 分 作 用 素Δ=(Δij) 

128

§3 半 不 変 式,共 変 式,Robertの 第6章 

定理

線 型 同 次 常 微 分 作 用 素 の 不 変 式,共

§1 Laguerre-Forsythの

 132 変式

標 準型  139

§2 不 変式,共 変 式  

150

あ とが き

 

索

  177

引

175

第1章  1変 数多項式 の不 変式,共 変式

  2元n次

形 式 の 不 変 式,共

な お し て 紹 介 す る.非

変 式 の 古 典 的 な 理 論 の あ ら ま し を,非

同 次 の 形 で 取 り扱 うの は,後

同次の形に

の 章 で 巾 級数 や対 称行 列 変

数 の 場 合 へ の 拡 張 を 自然 に す る た め で あ る.   前 半 の 主 要 結 果 は 半 不 変 式 の 環 と 共 変 式 の 環 と の 自然 な 同 型 を 与え bertの

定 理(定

るRo

理1.1)と,半

不 変 式 の 空間 の 次 元 を 与 え るCayley-Sylvester

の 個 数 定 理(定

理1.3)とに集

約 さ れ る.こ

リ ー 環sl(2)の

表 現 論 の ほ ぼ 全 体 を 内 包 し て い る こ とに も 注 意 し て お き た い .

後 半 に お い て は,Hilbertに Ω-プ ロ セ ス,記

作用 の 上 の 不 定 元 の 組{ξ(0),…,ξ(n)},お

を と り,多 項 式 環K[ξ]=K[ξ(0),…,ξ(n)],ま の 元 を 考 察 の 対 象 に す る.K[ξ]の

よ び 変 数z

た は,K[ξ,z]=K[ξ(0),…,ξ(n),z]

元 は φ(ξ),K[ξ,z]の

元 はF(ξ,z)等

に 必 要 が あ る と きに は,φ(ξ(0),…,ξ(n)),F(ξ(0),…,ξ(n),z)等

わ す こ と に す る.不

定元

ξ(l)の 次 数(degree)と重

と表 と表

さ(weight)を

項 式 ξ(0)j0ξ(1)j1… ξ(n)jnの 次 数 と重 さ を

と定 め る.す

べ て の 項 の 次 数 が 等 し い 多 項 式 を 同 次 多 項 式(homogeneous

polynomial),す nomial)と

の 特 殊線 型

よ る 不 変 式 の 環 の 有 限 生 成 性 の 証 明,Cayleyの

  1.1  標 数 零 の 体Kと,そ

で 与 え,単

定 理 は,2次

号的 方 法 等 を 紹 介 す る.

  §1  多 項 式 へ のGL(2)の

わ す が,特

れ ら2大

べ て の 項 の 重 さ が 等 し い 多 項 式 を 同 重 多 項 式(isobaric

呼 ぶ こ と に す る.同

次 多 項 式 φ(ξ)に つ い て は「Eulerの

が 成 り立 ち,同 重 多項 式 ψ(ξ)に つ い ては

poly 公式」

が 成 り立 つ こ と が す ぐに 確 か め ら れ る.同

次 同 重 多 項 式 φ(ξ)が あ る と き,そ

の 指 数(index)を ind(φ)=ndeg(φ)-2weight(φ) で 定 義 す る.次

数,重

さ はnに

は よ ら な い で 定 ま る が,指

数 はnに

関 係 し て定

め ら れ て い る こ とに 注 意 し て ほ し い.   微 分(derivation)と K[ξ]自

い う便 利 な 概 念 に つ い て も,述べ

身 の 中 へ の 線 型 写 像XがK[ξ]の

任 意 の2元

X(φ ・ φ)=(Xφ)・ を 満 た す と き,XはK[ξ]の

て お こ う.K[ξ]か

ら

φ,φ に 対 し て,

φ+φ ・Xφ

微 分 と 呼 ば れ る.こ

の定 義 か ら直 ちに

とな る こ とが わ か る.つ ま り 

とお けばXが

次 の様 な

1階 同 次 偏 微 分 作 用 素 と して 書 け る こ とが わ か る.

し た が っ て 微 分Xは,Xξ(0),…,Xξ(n)の 2つ の 微 分X,Yが ば 実 は,X=Yで の 微 分X,Yに

与 え ら れ た と き,も あ る こ と が わ か る.こ 対 し,そ

み で 決 ま る と い え る.こ し 

の こ と か ら, が 成 り立 て

の 事 実 は 今 後 しば し ば 利 用 す る.2つ

の リー積 を [X,Y]=XY-YX

で 定 義 す る と,[X,Y]も

ま た 微 分 と な っ て い る.実

際

と 表 わ せ る.

  1.2  K[ξ]に に 定 義 す る.

作 用 す るCayley-Aronholdの

微 分 作 用 素H,D,Δ

を 次 の様

(た だ し,ξ(-1)=ξ(n-1)=0).H,D,Δ 作 用 さ せ た と き,次

は い ず れ もK[ξ]の

数 は 変 化 し な い が,重

微 分 で あ る.こ

れ らを

さ に つ い て は 次 の こ と が 成 り立 つ.

weight(Hφ)=weight(φ), weight(Dφ)=weight(φ)-1, weight(Δ φ)=weight(φ)+1.   補 題1.1 

[D,Δ]=H,[H,D]=2D,[H,Δ]=-2Δ,ま

た 同 次同 重 多 項 式

φ(ξ)に 対 し て Hφ(ξ)=ind(φ)φ(ξ).   証 明   前 半 を 証 明 す る に は,ξ(0),…,ξ(n)へ の 両 辺 の 作 用 が 一 致 す る こ と を み れ ば い い が,実

際

  後 半 は φ(ξ)=ξ(0)j0… ξ(n)jnと し て 証 明 す れ ば 十 分 で あ る が,

 昇 巾 の順 に書 い た 多項 式  (1.1)

を,一

般n次

多 項 式 と 呼 ぶ,zlの

係 数 を,2項

は,以 後 の 理 論 を よ り美 し くす る た め で あ る.   2次 一 般 線 型 群

係 数 を つ け て 

とす るの

のf(ξ￨z)へ

の作 用 を

 (1.2)

すなわち  (1.3)

に よ って 定 義 す る.つ

とき のzlの

ま り,左

辺 のzlの

係 数 

は右辺を整理 した

係 数 と して 定 め るわ け で あ る.こ こで ρnと 書 い た のは,対 応

がGL(2)の(n+1)次

共 変 対 称 テン サ ー 表 現 に な っ て い る ため で あ る.

  命 題1.1  (1.4)

 証 明  定 義 よ り

と おい て

に 注 意 す れ ば,結 局

特 殊 な 形 の 元 に(1.4)を

適 用 し て,

  系1  (1.5)

 (1.6)

 (1.7)

 (1.8)

  (1.9)

 更 に 次 の 系 も成 立 す る こ とが わ か る.  系2  (1.10)

 (1.11)  証 明

 と お く と

と な り,Dは

微 分 と な っ て い る こ と が わ か る が,Dも

を 示 せ ば(11.0)は

(1.11)に

証 明 さ れ た こ と に な る.と

つ い て も 同 様 に 示 す こ と が で き る.■

微分だか ら

こ ろ で(1.7)よ

り

 な お,GL(2)の

作 用 と い う 以 上,任

に対

意 な2元 

し て,   (1.12)

が成 立 し て い てほ し いが,そ れ は 次 の様 に 定 義 か ら直 ち に 確 か め られ る.

  §2  1変 数 多 項 式 の 半 不 変 式,不

変 式,共

変式

  2.1  ま ず 半 不 変 式 の 定 義 か ら 始 め よ う   定 義1.1 

K[ξ]の

(semi-invariant)で 単 に(d,p)-半   Dは

元 φ(ξ)がDφ(ξ)=0を

次p同

重 半 不 変 式 で あ る と き簡

不 変 式 と い う.

微 分 で あ る か ら,Dを

環 を な す が,こ

満 た す と き φ(ξ)は 半 不 変 式

あ る と い い,φ(ξ)がd同

れ を〓nと

ベ ク トル 空 間 を 

る微 分作 用素 

作 用 さ せ て 零 に な る 多 項 式 の 全 体 はK[ξ]の 表 わ す こ とに す る.ま と 表 わ す . 

た,(d,p)-半

の と き,K[ξ(0),…,ξ(n′)]に

は 部 分 環K[ξ(0),…,ξ(n)]の

部分

不 変式 のつ くる 作用す

上 で 

に 同 じ作 用 を す る こ とは 明 らか だ か ら

が 成 り立 つ こ とが わ か る.   補 題1.2  多項 式 φ(ξ)の 同 次 同 重 直 和 分 解 を

とす る とき,φ(ξ)が 半 不 変 式 とな るた め の 必 要 に し て かつ 十 分 な条 件 は,す

べ て の 同 次 同 重 成 分 φd,p(ξ)が 半 不 変 式 と な る こ と で あ る.   証 明  Dは

次 数 を 変え ず,重

さ を1だ

け 減 らす の で

deg(Dφd,p)=d,weight(Dφd,p)=p-1. し た が っ てDφ=ΣDφd,pはDφ る.つ

ま りDφ=0と

の 同次 同重 直 和 分 解 を与 え て い る こ とがわ か

な る 必 要 十 分 条 件 は す べ て の 成 分に つ い てDφd,p=0と

な る こ と で あ る とわ か る.■   こ の 補 題 か ら,次

の 直 和 分 解 を う る.

  命 題1.2

 半 不 変 式 と い う名 前 の 意 味 を はっ き り さ せ る た め に 次 の命 題 を 示 し て お く.  命 題1.3 

多項 式

φ(ξ)が(d,p)-半

不 変 式 で あ る こ と と,任

意 の α,γ,δ

 に 対 し て  (1.13)

が 成 り 立 つ こ と と は 同 値 で あ る.   証 明  (1.5),(1.6)よ

り

した が って

こ れ は,φ(ξ)がd同

次p同

重 である ことと

と が 同 値 で あ る こ と を 示 し て い る.し

た がっ てDφ(ξ)=0と

と の 同値 性 が示 せ れ ば 命題 が証 明 され た こ とに な る.Dφ(ξ)=0と

す る と,

こ れ は, 

のtに

よ る微 係 数 が 零 で あ る こ とを 意 味 して い る.し

た

がっ て,

逆は

か ら 示 さ れ る.■   次 に 共 変 式,不   定 義1.2 

変 式 の 定 義 を 述 べ よ う.

K([ξ]=K([ξ(0),…,ξ(n)]の

元 を 係 数 と す る 多 項 式F(ξ,z)が

 (1.14)

こ こで を 満 た す と き,(n,m,p)-共 (n,p)-不

変 式(invariant)と

  (n,m,p)-共

変 式(covariant)と

呼 び,特

変 式 の つ く る ベ ク トル 空 間 をCn(m,p)と

と は 明 ら か で あ る か ら,共

と きに は

呼 ぶ.

の 元 を 単に 共 変 式 と い う こ と に す る.CnがK[ξ,z]の

  補 題1.3(指

にm=0の

書 く こ と に し,直

和

部 分 環 と なっ て い る こ

変 式 環 と 呼 ぶ.

数 公 式)  (n,m,p)-共

変 式F(ξ,z)に

対 し て,関

係式

m=nd-2p を 満 た す 負 で な い 整 数dが   証 明   (n,m,p)-共

また

存 在 し,定

変 式 の 定 義 か ら,

数 項F(ξ,0)は(d,p)-半

不 変 式 と な る.

だか ら

を 得 る.と

こ ろ で,こ

の 式 はF(ξ,0)がn-1(m+2p)-同

て い る,つ

ま りn-1(m+2p)=dは

命 題1.3に

よ れ ば,こ

負 で な い 整 数 で あ る.こ

れ はF(ξ,0)が(d,p)-半

る.■   補 題1.4 

F(ξ,z)が(n,m,p)-共

変 式 な らば

ま た,F(ξ,z)=exp(zΔ)F(ξ,0).   証 明   共 変 式 の定 義 よ り

これ で前 半 が 示 され た が,こ

と お き,前

半 の 式dF/dz=ΔFを

こで

用 い る と,

この式 の 両 辺 のzl-1の 係 数 を 比 較 す れ ば,

これ を く りか え せ ば

した が って

次式 で あ る こ とを 示 し のdを

用 い れ ば,

不 変 式 で あ る こ とを 示 して い

ま た 明 らか に Δk+1c0(ξ)=0  で あ るか

ら,結

(l=1,2,3,…)

局

  命 題1.4 

F(ξ,z)を

の 次 数 はmと

な る.

零 で な い(n,m,p)-共

変 式 とす れ ば,そ

 証 明

だ か ら,zmがF(ξ,z-1)を

整 化 す る こ とが わ か り, 

も し,m>degzF(ξ,z)と

仮 定 す る と,

一 方 

だか ら

ここで  

F(ξ,0)=c0(ξ) 

と書 く こ と に す る と

ξ(0),…,ξ(n)の 代 数 的 独 立 性 か ら 0=c0(ξ)=F(ξ,0). こ こ で 補 題1.4を

用い ると F(ξ,z)=exp(zΔ)F(ξ,0)=0

と な りF(ξ,z)が   補 題1.5 

零 で な い こ と に 矛 盾 す る.■

φ(ξ)をK[ξ]の

元 とす る と き

のzに

つ いて

 証明

だか ら

(1.8)  よ り,こ

の式 は

に 等 し い こ と が わ か る.し

た が って

  これ ら の 補 題1.3,1.4,1.5を

用 い て,半

不 変 式 と共 変 式 の 間 の 自 然 な 対 応 を 与

え る 次 の 定 理 を 証 明 し よ う.   定 理1.1  (Robertの

定 理)m=nd-2pを

組 を 任 意 に 与 え る と き,(d,p)-半 の 対 応 で1対1に

不 変 式 全 体 と(n,m,p)-共

対 応 す る. (d,p)-半

た だ し,

満 た す 負 で な い 整 数n,d,p,mの

不 変式  

(n,m,p)-共

変式

変 式 全 体 と は,次

 証 明   (d,p)-半

不 変 式 φ(ξ)に 対 し て,

と お き これ が(n,m,p)-共

は,補

題1.3,1.4,1.5か

変 式 で あ る こ と を 示 そ う.こ

れがわかれば

ら 直 ち に 出 る.

を 用 い て,

こ れ は,Φn(φ)(ξ,z)が

Φn(φ)(ξ,0)=φ(ξ)を

満 た す(n,m,p)-共

変式であ る

こ と を 示 し て い る.   こ の こ と と 補 題1.3か   系  nd=2pの

ら 証 明 が 終 了 す る.■

とき

 (d,p)-半

不 変 式 は(n,p)-不

変 式 と 考 え る こ と が で き る.

  次 に,半

不 変 式 環〓nと

め に は,次

の 様 な 微 分 共 変 式 環 を 経 由 さ せ る の が わ か り や す い.つ

共 変 式 環Cnと

の対 応 Φnに つ い て 考 え よ う.そ の た

ず,微 分 多 項 式 環 

お よ びK[ξ(0),…,ξ(n)]か

  へ の 環 同 型Θnを

ま り,ま ら

次 の式 で定 め る.

こ の と き.   定 義1.3  式(differential  直和分解

(d,p)-半

不 変 式 φ(ξ)のΘnに

covariant)と

呼 ぶ.

よ る 像Θn(φ)を(d,p)-微

分共 変

が あ る こ と は い うま で も な い.   Robertの

定理 に お け る対応

Φnは,こ

れ ら の 記 号 を 用 い れ ば,

Φn(φ)(ξ,z)=Θn(φ)￨y=f(ξ￨z) で 与 え ら れ る こ とが わ か る が,Θnが え て い る こ と か ら,対 る か ら 結 局,Φnは   次 に,半 た め,ま

応 Φnが 環 準 同 型 だ と わ か る.し

か も1対1な

お きか わけであ

環 同 型 に な っ て い る こ とが わ か る.

不 変 式 の 言 葉 か ら,共 ず2つ

環 同 型 で あ る こ と,yをf(ξ￨z)で

変 式 の 言 葉 へ の 「翻 訳 」 規 則に つ い て 述 べ る

の 補 題 を 示 し て お こ う.

上 の微 分d/dzを

  補 題1.6 

次 の様 に 定 め る.

こ の と き,  (1.15)

 証 明 

d/dz,Δは 各 々 微 分 で あ り,Θnは

示 す に は,ξ(0),…,ξ(n)に

対 す る 両 辺 の 作 用 が 一 致 す る こ と が 示 せ れ ば よ い.と

こ ろ で,

  補 題1.7 

多項 式

環 同 型 で あ る こ と か ら,(1.15)を

φ(ξ)に 対 し て

 証 明   計 算 に よ って確 か め る.

  定 理1.2 

φ,ψ,φ を 半 不 変 式 と し,φ

が φ,Δφ,…,Δrφ,ψ,Δ ψ,…,Δsψ の 多

項 式 φ に よ って

と表 わ さ れ る と き

  証 明   Φn(φ)=exp(zΔ)φ,Φn(ψ)=exp(zΔ)ψ,Φn(φ)=exp(zΔ)φ Φnは 環 同 型 で あ る か ら,

を 得 る こ と が で き る が,こ

こ に 補 題1.7を

用いれば

  2.2  半 不 変式 環〓nの 構 造 を知 るた め の命 題 に つ い て述 べ よ う.  命 題1.5  (1.16)

と お く と き,

  証 明   ま ず,φ2,φ3,…,φnが

半 不 変 式 で あ る こ と を い お う.

で あ り,

し か も,deg(φl)=l,weight(φl)=lと 式 で あ る こ と が わ か っ た.ま

な っ て い る か ら,φl(ξ)が(l,l)-半

た ξ(0)は(1,0)-半

に 注 意 す れ ば,ξ(0),ξ(1),φ2(ξ),…,φn(ξ)は の 巾 を 係 数 と し て)含

を う る.と

と書 け る.こ

順 に

こ で,

ξ(0),ξ(1),ξ(2),…,ξ(n)を(ξ(0)

ん で い る こ とが わ か り

こ ろ で,ξ(0),ξ(1),φ2,…,φnはK上

変 式 φ(ξ)は

不 変 式 で あ る.こ

代 数 的 に 独 立 で あ るか ら,半

ξ(0),φ2,…,φnの 多 項 式 

意 的 で あ る.

を 作 用 さ せ る と,

だか ら

した が って

とな って h1=h2=…=hm=0 な わ ち

不

を用いて

の 表 示 は ξ(0)-1の 巾 を 最 小 に と る こ と に す れ ば,一

 tを 変 数 とし て φ(ξ)に 

を う る.す

不変

φ(ξ)=ξ(0)-Nh0(ξ(0),φ2,…,φn)∈K[ξ(0)-1,ξ(0),φ2,…,φn].■

 降 巾順 のn次

のzn-1項

多項式

を 消 去 す る よ く知 ら れ た や り方 で,得

られ る 多 項 式 が,上 の 命 題1.5

の φ2(ξ),…,φn(ξ)を 用 い て

と 書 け る こ と に 注 意 し て お こ う.   命 題1.6   証 明   命 題1.5よ

り

し た が っ て,

  上 の2つ

の 命 題1.5,1.6に

よ っ て 「半 不 変 式 環〓nの

構 造 は,あ

ま り複 雑 で

は な い 」 と い う こ と が わ か る.   次 に 共 変 式 環Cnに   命 題1.7 

つ い て も,同

様 な 命 題 を 示 し て お こ う.

Cn[f-1]=K[f-1,f,Φn(φn),…,Φn(φn)] 

  証 明   命 題1.5にRobertの   と こ ろ で,φ2(ξ),φ3(ξ),…

に 対応 す る共変 式

の 型 を 具 体 的 に 書 け ば 次 の 様 に な る.

更 に,一

般 に

た だ し,こ

(こ こにf=f(ξ￨z)).

定 理 を 適 用 す れ ば い い. ■

こで

Φn(φ2)(ξ,z),Φn(φ3)(ξ,z),…

  §3  半 不 変 式,不   3.1  Robertの 満 た すdを

変 式,共

定 理 の 系 に よ り,(n,p)-不

と り,(d,p)-半

場 合 にHankel行

変 式 の例 変 式 を 得 る た め に は,nd=2pを

不 変 式 を 求 め れ ば よ い.こ

こ で はnが

偶 数2qの

列式

 (1.17)

が(2q,q(q-1))-不   命 題1.8 

変 式 に な る こ と を 示 す.

Hankel行

列 式Hank2q(ξ)は(q+1,q(q+1))-半

し た が っ て(2q,q(q+1))-不

不 変 式 で あ る.

変 式 と もみ れ る.

  証 明   行 列 式 の 定 義 か ら,

し た が って deg(Hank2q(ξ))=q+1, weight(Hank2q(ξ))=q(q+1) で あ る こ と が わ か る.

 をHank2q(ξ)に こ の た め に,次

作 用 さ せ て,不

変 に な る こ と を み れ ば 証 明 が 終 わ る が,

の 様 な 工 夫 を す る.

と お きSJtSの(l,h)-成

分 を 計 算 す れ ば,

こ こ で 

を 用 い た こ と に 注 意 し て ほ し い.

つ ま り

  q=1.2の

場 合 を 計 算 して み れ ば

 3.2 降 巾 の順 に書 い たn次

の多 項 式

に 対 し て ξ(0),…,ξ(n)に つ い て の 多 項 式

を そ の 判 別 式(discriminant)と れ て い た 不 変 式 の 例 で あ る.こ 体 的 に(ξ(0),…,ξ(n)の   u1,…,unの

と書 け ば

呼 ぶ が,こ

こ で は こ の 事 実 を 示 す と と も に,disn(ξ)を

式 と し て)構

基本対称式を

れ は 不 変 式 論 が で き る 以 前 か ら知 ら

成 す る 方 法 に つ い て 述 べ よ う.

具

だか ら

こ こ で,u1,…,unの

次 数,重

さ を 次 の 様 に 定 め,ξ(0)

,…,ξ(n)の

次 数,重

さ と

矛 盾 の な い 様 に し て お く.

  命 題1.9 

n次 多 項 式 の 判 別 式disn(ξ)は(n,n(n-1))-不

  証 明   slに はu1u2…ulが

重 複 度1で

変 式 で あ る.

含 ま れ て い る か ら,単

項 式s1j1s2j2…sjnn

には

が 重 複 度1で

含 ま れ る こ と に な る.し

か も 

単 項 式sj11 sj22…sjnnに は 含 ま れ て い る こ と は な い.し 式 ψ(s)の

次 数 は φ(u1,…,un)=ψ(s)と

の 次 数 に 等 し い.こ

た が っ てs1,…,snの

書 い た と き の φ(u)のu1に

多項 ついて

の事実を特に

の 場 合 に 用 い れ ば,ψ(s)はs1,…,snに る.と

とす る と き

つ い て2(n-1)次

で あ る こ とがわ か

ころで

だか ら

は

ξ(0),…,ξ(n)に

つ い て(2n-2)次

ら,disn(ξ)はn(n-1)-同重

だか ら

同 次 多 項 式 で あ る.weight(uj)=1だ 多 項 式 で あ る こ と が わ か る.と

こ ろ で 一 方,

か

これ は,disn(ξ)が(2(n-1),n(n-1))-半

不 変 式 で あ る こ と を 示 し て い る.

指数 は n(2(n-1))-2n(n-1)=0 と な る か ら,(n,n(n-1))-不   Cayleyの

変 式 で も あ る.■

や り方 に 従 っ て,判

  補 題1.8  (Cayley)半

と 表 わ せ ば,φ(ξ)は

別 式 の 計 算 法 を 紹 介 し よ う.

不 変 式 φ(ξ)を

ψ0(ξ(0),…,ξ(n-1))と

ξ(n)の 昇巾 の 順 に

そ のDlに

よる像 とを用 い て

 (1.18)

と書 け る.(和 は勿 論,有

限和 に な っ てい る.)

 証 明   φ は半 不 変 式 だ か ら

こ こ で,ξ(0),…,ξ(n)が

代 数 的 に独 立 で あ る こ とに 注意 すれ ば n(l+1)ξ(n-1)ψl+1+Dψl=0.

つ ま り

す なわ ち

  命 題1.10  (1.19)

こ こ で,

 証明

とお い た と き

だ か ら,

と書 け ば

更 に,

が な りた っ て い る か ら,結

また

だか ら

局

一 方 ,補

題1.8よ

り

で あ るか ら,(ξ(n-1)-1D)ldisn(ξ(0),…,ξ(n-1),0)は け れ ば な ら な い.し

た が っ て 

  以 上 の 方 法 を,n=2,3の

ξ(0),…,ξ(n-1)の 多 項 式 で な つ ま り 

場 合 に 適 用 し,判

■

別 式 を 求 め て み よ う.

とお く と

つま り

次 にn=3と

し て,命

こ の 様 に し て,機

題1.10を

利 用 す る と,

械 的 にdis4(ξ),dis5(ξ),dis6(ξ),…

  §4  半 不 変 極,共

を 順 に 求 め て ゆ け る.

変極

  4.1  2つ の 共 変 式 か ら,新

し い 共 変 式(半

不 変 式)を

つ く り出 す,Cayley

の 方 法 を 紹 介 し よ う.  定 義1.4 を そ れ ぞ れ(n,m,p)-共   (1.20)

変 式,(n,m′,p′)-共

変 式 と す る.こ

の とき

をFとGのr次   補 題1.9 

の 半 不 変 極(r-th

apolar)と

φ(ξ),φ(ξ)を そ れ ぞ れ(d,p)-半

m=nd-2p,m′=nd′-2p′

と お く と き,r次

呼 ぶ(こ

こ で 

).

不 変 式,(d′,p′)-半

不 変 式 と し,

の半 不 変 極 は 次 の様 に表 わ され

る.

 (1.21)

  証 明   補 題1.4よ

で あ る か ら,そ

 補 題1.10 

り

れ を(1.20)に

代 入 し て,

V[m]を 指数mの

す べ て の 同次 同重 多 項 式 か ら生 成 され たK[ξ]

の 部 分 ベ ク トル空 間 とす る と

ま た,Π[m]をK[ξ]か

らV[m]へ

の射 影 作 用 素 とす れ ば

 (1.22)  (1.22′)

  証 明   V[m]の

元

φ(ξ)へ の 作 用 が一 致 す る こ と を み れ ば い い,lに

関す る

帰 納 法 で これ を 示 そ う.   ま ず,l=1の

と き は,[DΔ]φ=Hφ=mφ [ΔD]φ=-Hφ=-mφ

だ か ら成 立 し て い る. lの と き 成 立 す る と 仮 定 す る と,(Δ φ ∈V[m-2],Dφ

∈V[m+2]に

注 意 し て)

  命 題1.11 

F(ξ,z),G(ξ,z)を

変 式 と す れ ば,r次 で あ る.(た

そ れ ぞ れ(n,m,p)-共

変 式,(n,m′,p′)-共

の 半 不 変 極Ar(F,G)(ξ)は(d+d′,p+p′+r)-半

だ しm=nd-2p,m′=nd′-2p′

と す る.)

  証 明   F(ξ,0)=φ(ξ),G(ξ,0)=φ(ξ)と

す れ ば,φ,φ

は そ れ ぞ れ(d,p)-半

不 変 式 お よ び(d′,p′)-半 不 変 式 で,F=Φn(φ),G=Φn(φ)と はlに

か か わ ら ず(d+d′)-同

りAr(F,G)も

不変 式

次,(p+p′+r)-同

書 け る.Δr-lφ・Δlφ

重 多 項 式 だ か ら,(1.21)よ

そ うな る.

  し た が っ て,D(Ar(F,G))=0を

示 せ ば い い.D(φ)=Dφ=0だ

か ら 補 題1.10

に よ り

と な る が,こ

  定 義1.5 

れ ら を(1.21)に

FとGのr次

G))をFとGのr次

利用 して

の 半 不 変 極Ar(F,G)に の 共 変 極(r-th

対 応 す る 共 変 式 Φn(Ar(F,

transvectant)と

呼 び〈F,G〉(r)と

表

わ す.   r次

の 共 変 極〈F,G〉(r)をF,Gの

  命 題1.12 

F,Gを

微 分 多 項 式 と し て 具 体 的 に 表 示 し よ う.

そ れ ぞ れ(n,m,p)-共

 とす れ ば,r次

変 式,(n,m′,p′)-共

の 共 変 極 は 次 の 様 に 表 わ さ れ る.

変 式 と し,

  証 明   補 題1.9に   r=1の

定 理1.2の

翻 訳 規 則 を 適 用 す れ ば 直 ち に 得 ら れ る. ■

場 合 に 半 不 変 極,共

  命 題1.13 

変 極 の 別 の 表 示 を 求 め よ う.

φ(ξ),φ(ξ)を そ れ ぞ れ(d,p)-半

し,m=nd-2p,m′=nd′-2p′

不 変 式,(d′,p′)-半

不 変式 と

とお くと

 (1.23)

ま た,F,Gを

そ れ ぞ れ(n,m,p)-共

変 式,(n,m′,p′)-共

変 式 とす れ ば

 (1.24)

  証 明   Φn(φ),Φn(φ)のzに 題1.9よ

つ い て の 次 数 は そ れ ぞ れm,m′

で あ る か ら,補

り

F=Φn(φ),G=Φn(φ)と 適 用 し て(1.24)が

  §5  sl(2)の

仮 定 し て い い か ら,(1.23)に

表 現 形 式 に 関 す る 不 変 式,共

関 係 を 決 定 し て ゆ く過 程 の 中 で,Cayley, とい わ れ て い る

り あ げ て い っ た が,後

に,こ

の"原

型"を

変式 の環 の生 成 元 とそ の 間 の

Sylvesterは

近 代 数 学 に お け る典 型

『単 純 リー 環 と そ の 表 現 論 』 の"原

のsl(2)に

ー 環 の 場 合 に ま で お し 進 め た の はWeylで   こ こ で は,こ

翻訳規則 を

得 ら れ る. ■

  5.1  低 い 次 数 の2元

的 理 論 の1つ

定 理1.2の

関 す る 仕 事 を 分 析 し て,一 あ

つ く

般 の 単純 リ

った.

紹 介 す る た め に,ま

の 表 現 に つ い て 復 習 し て お こ う.

型"を

ず 準 備 と し て,リ

ー環 と そ

体K上

の ベ ク トル 空 間gに

積(a,b)→[a,b]が

与え られ,次

の公理

  1)  [λa+μb,c]=λ[a,c]+μ[b,c],   2)  [a,a]=0,   3)  [a[b,c]]+[b[c,a]]+[c[a,b]]=0  を 満 た す と き,gを

体K上

自 身 への 線 型 写 像 全 体 に,い リー 環 に な っ て い る が,こ う.gl(V)の

(Jacobi律)

の リー 環 と 呼 ぶ.K上

の ベ ク トル 空 間Vの

わ ゆ る リー 積[A,B]=AB-BAを れ をgl(V)と

入 れ た もの は

書 き,V上

の 一般 線 型 リ ー環

部 分 リー 環 を 線 型リー 環 と 呼 ぶ.VにK上

と れ ばgl(V)はn×n-行 と か く.(体Kを   gl(n)の

明 示 し た い と き に はgl(n,K)と

特 殊 線 型 リー 環 と い い.sl(n)で

  K上

の リー 環gか

ら,Kを

  1)  ρ(λa+μb)=λ

像ρ

表 現 は,表

れ

表 わ す.

含 む 体L上

の 一 般 線 型 リー 環gl(V)へ

の,

ρ(a)+μ ρ(b),

をgの

(a,b∈g,λ,μ

∈K)

表 現(representation),

現 空 間 も こ め て(ρ,V)と

の と きn次

書 く.)

が

  2)  ρ([a,b])=[ρ(a),ρ(b)]  を 満 た す と き,ρ

れ をgl(n)

零 に な る 元 の 全 体 は 部 分 リー 環 を つ く る.こ

をn次

恒 等 的 に 零 で な い,写

と い

の 基 底e1,…,enを

列 全 体 に リー 積 を い れ た も の に な る.こ

中 で,跡(trace)が

それ

表 現,nが

有 限,無

Vを

そ の 表 現 空 間 と呼 ぶ.

表 わ す こ と も あ る.Vの

次 元 がn次

限 に し た が っ て そ れ ぞ れ 有 限 次 表 現,無

元 限次

表 現 と 呼 ぶ.   Vの

部 分 ベ ク トル 空 間Wがgの

作 用 で 不 変,す

ρ(a)W⊂W  と な る と き,Wを (ρ,W)はgの

表現

現 を 既 約 表 現(irreducible

空 間Vが

い う.こ

た は 半 単 純(semi-simple)で

そ の 代 数 的 閉 包 に ま で,係 irreducible)だ

制 限 す れ ば,

身 以 外 に 不 変 部 分空 間 を もた な い表

representation),ま

の と き 表 現 空 間Vが

をWに

た は,単

純 表 現(simple

現

は 完 全 可 約(complet

あ る と い う .Vの

数 拡 大 し て も な お 既 約 と な る と き,ρ と い う.

repre

既 約 だ と い うい い 方 も す る .表

既 約 な 不 変 部 分 空 間 の 直 和 に 分 解 す る と き,ρ

ely reducible)ま

(absolutely

(a∈g)

ρ の 不 変 部 分 空 間 と い う.ρ

表 現 に な る.{0}とV自

sentation)と

なわ ち

係 数 体 を, は絶 対 既 約

  5.2  2次 の 特 殊 線 型 リー 環sl(2)の

を とれ ば,計

基 底 と して

算 に よ り, [X,Y]=H,[H,X]=2X,[H,Y]=-2Y

と な っ て い る こ と が わ か る.し

た が って 対 応

λH+μX+νY→

λH+μD+νΔ

は(補

題1.1に

よ り)sl(2)の

表 現 を 与 え て い る こ とが わ か る.表

項 式 全 体 の つ く る ベ ク トル 空 間K[ξ]で に す る の で,d同

  (λ,μ,ν,∈K)

あ る.H,D,Δ

は多項式の次数を不変

次 多 項 式 の つ く る 部 分 ベ ク トル 空 間 をVn,dと

は 不 変 部 分 空 間 と な り,上

の 対 応 のVn,dへ

現空 間は多

の 制 限 はsl(2)の

す れ ば,Vn,d 有 限 次表

現を与

え て い る こ と が わ か る.   定 義1.6 sl(2)の る と は,Vの

表 現 空 間Vの

零 で な い 元υ

が 原 始 的(primitive)で

係 数 体 の 元 λ が 存 在 して ρ(H)υ=λυ,か

つ,ρ(X)υ=0

を 満 た す こ と で あ る.   補 題1.11 ρ(H)υ=λ

  証 明  l=1と

 命 題1.14 

と お く.も

υ な らば 次 の 式 が 成 り立 つ.

して,証 明 す れ ば 十 分 で あ るが,

sl(2)の

し em+1=0と

  1) ρ(H)el=(m-2l)el,   2) 

ρ(X)el=(m-l+1)el-1,

  3) 

ρ(Y)el=(l+1)el+1

表 現(ρ,V)の

原 始 元e0を

す れ ば

と り

あ

と な る(こ

こ でe-1=0).ま

空 間Wmは

たe0,e1,…,emで

張 ら れ る(m+1)次

元 ベ ク トル

既 約 不 変 部 分 空 間 で あ る.

  証 明   elの 定 義 か ら(ρ(H)e0=λe0と

す る と)

ρ(H)el=(λ-2l)el,ρ(Y)el=(l+1)el+1. 次 に,lに

関 す る帰 納 法 で ρ(X)el=(λ-l+1)el-1 

を 示 そ う.l=0な

ら,ρ(X)e0=0=(λ+1)e-1と

の と き 成 立 し て い る と 仮 定 し て,l+1の

と な り,や は り成 立 し て い る.し l=m+1と

(l=0,1,2,…) な って 成 立 し て い る か ら, 場合をみ ると

た が っ て 帰 納 法 が 終 了 す る.し

た が って

お くと 0=ρ(X)em+1=(λ-m)em.

し か る に,    Wmが

だ か ら λ=mを

,-mで

あ り,そ

れe0,e1,…,emで Uが -m}の

く し て1),2),3)が

不 変 部 分 空 間 と な っ て い る こ と は 明 らか だ か ら,既

明 が 終 わ る.ρ(H)をWmに -m+2

得 る.か

約 性 を 示 せ ば,証

制 限 し た も の の 固 有 値 はm,m-2,m-4,…, れ ぞ れ の 固 有 値 に 対 す る 固 有 空 間 は1次

張 られ る.も

あ って,ρ(H)のUへ

しWmが

既 約 で な け れ ば,Wmの

元 で,そ

れぞ

不変 部 分 空 間

の 制 限 の 固 有 値 は{m,m-2,m-4,…,-m+2,

部 分 集 合 に な るが

に 入 っ て い る.し

示 さ れ た.

,そ

の う ち 最 大 の も の をm-2hと

す る とehはU

か し ρ(X)eh=(m-h+1)eh-1, ρ(H)eh-1=(m-2h+2)eh-1

に 注 意 す れ ば,eh-1もUに ( 

な ら)m-2hよ

つ ま りU=Wmを   命 題1.15 

入 り,か

つ そ れ に 対 応 す る ρ(H)の

り大 き く な っ て 矛 盾 が お き て く る.し

固有 値 が

た が っ てeh=e0,

得 る. ■ (m+1)次

元 ベ ク トル 空 間 

の 基 底e0,…,emに

対 し

て,H,X,Yの

作 用 を

  1) 

ρm(H)el=(m-2l)el,

  2) 

ρm(X)el=(m-l+1)el-1,

  3) で 定 め れ ば,(ρm,Wm)はsl(2)の

絶 対 既 約 表 現 を 与

え る(こ

こ でe-1=em+1

=0).

証 明   ρmが 表 現 を 与 え る こ と は,計

算 に よ れ ば い い.つ

ま り

と こ ろ で,e0がWmの

原 始 元 と な っ て い る こ とが 定 義 よ り直 ち に わ か る の で,

命 題1.14に

既 約 で あ る.こ

よ りWmは

よ っ て 変 化 し な い か ら,特   命 題1.16  (ρm,Wm)と

れ ら の 事 情 は,Wmの

係数体の拡大に

に 絶 対 既 約 で あ る こ と が わ か る. ■

(ρ,V)をsl(2)の(m+1)次

の 既 約 表 現 と す れ ば,そ

れ は

同 値 に な る.

  証 明   ま ず,Vの

係 数 体 を 代 数 的 閉 体 に ま で,拡

張 し て お い て,ρ(H)の

固

有 値 λ0と 固 有 ベ ク トル υ を と る と

と な る の で,υ,ρ(X)υ,ρ(X)2υ,…,は が っ て 

零 で な い か ぎ り1次

ρ(X)h+1υ=0と

と お け ば こ のe0は

な るhが

原 始 元 に な る.だ

存 在 す る.こ

か ら,(命

とす れ ば,  間 と な る 様 なnが

e0,…,enを し て い る.と

あ る.こ

り) 

そ こ に 制 限 し た と き,そ の こ と は,Vの

選 ん で 上 の 様 な 不 変 部 分 空 間 を(Vの こ ろ でVは

た

で 張 られ る空 間 が 不 変 部 分 空

存 在 す る.ρ(H)を

{n,n-2,n-4,…,-n}で

題1.15よ

独 立 に な る.し の と きe0=ρ(X)hυ

既 約 だ か ら,e0,…,enはVを

の 固有値は

係数体を拡大 し な くて も 中 に)つ

く りうる こ と を 示 張 ら ね ば な ら な い,

つ ま りn=mと

な り,(ρ,V)は(ρm,Wm)と

  補 題1.12 

{e(1),…,e(r)}をsl(2)の

元 の つ く る 集 合 と す る.各

と な る 正 整 数miを

同 値 に な る. ■ 有 限 次 表 現(ρ,V)の1次

し 

独 立 な原 始

につ いて

と り

と お く と, 

は1次

  証 明   命 題1.15の2)か

ら

が 得 られ る こ とに まず 注 意 す る.今,仮

が 存 在 した とし, 

独 立 で あ る.

とな るlの

りに 自明 で な い1次 関 係

最 大 値 をl0と

す る.上

の1次 関係 式 に

ρ(X)l0を 作 用 させ れ ば,

を 用 い て,

を 得 る.こ

れ はe(1)…,e(r)の1次

  補 題1.13 e(1)をsl(2)の

独 立 性 に 矛 盾 す る. ■ 有 限 次 表 現(ρ,V)の

む 最 小 の 不 変 部 分 空 間 とす る.eを 原 始 元eをeの  証明

と す る.

原 始 元,Wをe(1)を

商 ベ ク トル 空 間V/Wの

代 表 元 に と る こ と が で き る.

含

原 始 元 と す れ ば,

と お く と,Wはe(1)0,…,e(1)m1で

張 られ る.し

れ ば

と 書 け る.

で あ る か ら,

と お く と,

を う る.し

たが って

と書 け る.と

こ ろで

で あ る か ら,e(1)lの

係 数 を比 べ て (2+m1+m)μ=0, ν1=ν2=…=νm1=0.

だ か ら,μ=0,よ

って

ρ(H)u=mu+ν0e(1), ρ(X)u=0 を う る.も

し 

な ら

た が っ てeの

代 表 元υ

を1つ

と

と お い て,

と な る か ら,eは と き に は,u自 い い.そ

原 始 元 でeの

代 表 元 と な っ て い る こ と が わ か る.m=m1の

身 が 原 始 元 と な る こ と を 示 そ う.こ

の た め に はν0=0を

示せば

こで ま ず ρ(H)ρ(Y)lu=(m-2l)ρ(Y)lu+ν0ρ(Y)le(1)

を(帰 l+1の

納 法 で)示

そ う.ま

ずl=0の

と き は 成 り立 つ.lの

と き を 仮 定 し て,

と き を 考 え よ う.

し た が っ て 上 式 が 示 さ れ た.こ

の 式 で,l=m+1に

適 用 す れ ば(m1=mと

定 し て い る か ら)

とな る.ρ(H)をWに

制 限 す れば,そ

で あ り,ρ(Y)m+1uはWの

し た が っ てν0=0を   命 題1.17 sl(2)の

の 固 有 値 はm,m-2,…,-m+2,-m

元 だ か ら ρ(Y)m+1u=0.よ

って

得 る.■ 有 限 次 表 現 は 完 全 可 約 で あ る.

  し た が っ て,(ρ1,W1),(ρ2,W2),(ρ3,W3),…

の 直 和 と 同 値 に な る.

仮

  証 明   {e(1),…,e(r)}をsl(2)の

有 限 次 表 現(ρ,V)の1次

集 合 で,極

ついて

大 な も の とす る.各iに

な る 正 整 数miを

 ρ(Y)mi+1e(i)=0と

と り

と お く.e(i)0,…,e(i)miで 張 られ る空 間 をWiと

はVの

不 変 部 分 空 間 に な り(命

(ρmi,Wmi)と

証 明 が 終 わ る.こ

書 け ば(補

題1.15よ

同 値 に な って い る.し

れ ら に ρ(Y)を

独 立 な原 始 元 の

り)ρ

題1.12よ

のWiへ

た が っ てVの

り)

の 制 限(ρ,Wi)は

任 意 の 元 が 原 始 元 お よび そ

何 度 か 作 用 さ せ た も の の 和 と し て 表 わ さ れ る こ と が わ か れ ば, の こ と をVの

  ま ずdimV=2の

次 元 に つ い て の 帰 納 法 で 示 そ う.

と き は,既

約 に な り(ρ1,W1)と

よ り も 次 元 の 低 い 場合 に 成 立 す る と 仮 定 し て,Vの

同 値 に な る か ら い い.V 場 合 を み よ う.V/W1の

1次 独 立 な 原 始 元 の 極 大 集 合 を{f(1),…,f(s)}と

す る と,(補

題1.13よ

り)各

f(i)の 代 表 元 と し て 原 始 元f(i)を

と る こ と が で き る.帰

の 元 はf(1),…,f(s)に

何 度 か 作 用 さ せ た 元 の 和 で表 わ せ る か ら,結

局,Vの

ρ(Y)を

任 意 の 元 が,f(1),…,f(s),e(1)に

ρ(Y)を

納 法 の 仮 定 か らV/W1

何 度 か 作用 させ た 元 の和 と

し て 表 わ せ る こ と が わ か る.■

  §6  Cayley-Sylvesterの

個 数 定理

  6.1 K[ξ]=K[ξ(0),…,ξ(n)]内 ル 空 間 を つ く る が,こ

関 数 の 母 関 数(generating

で あ る.こ

の と き,ま

のd同

れ をVn,d,pと

次p同

重 多 項 式 全 体 はK上

書 く こ と に す る.こ

function)をφ(x,z)と

のベ ク ト

の と きVn,d,pの

す る.つ

次元

ま り

ず 次 の こ と が わ か る.

  補 題1.14  (1.25)

  証 明   定 義 か らVn,d,pの 数 に 等 しい.

次元 は 次 の 連 立1次 方 程 式 の 負 で な い整 数 解 の個

と こ ろ が,こ

の 方 程 式 の 解 の 総 数 は(1.25)の

右 辺 のxpzdの

係数 に ほ か な ら

な い こ と が わ か る.■   次 に,φ(x,z)をzに 書 く.つ

つ い て の 形 式 的 巾 級 数 と み てzdの

係 数 を φd(x)と

ま り

と お く.こ

の と き φd(x)の

具 体 的 表 示 は,次

の 様 に な る.

  補 題1.15  (1.26)

 証 明   dに 関 す る帰 納 法 で示 そ う.ま ず,φ0(x)=1で

を い え ば い い.と

こ ろ でφ(x,z)の

あ るか ら,

定 義 か ら直 ち に

つ ま り (1-xn+1z)φ(x,xz)=(1-z)φ(x,z). こ の 式 で 両 辺 のzdの

係 数 を 比 較 す れ ば,

xdφd(x)-xn+dφd-1(x)=φd(x)-φd-1(x). し た がっ

て,

  以 下 で は,上

の 補 題 を 用 い て,半

す な わ ち 「Cayley-Sylvesterの 題 を1つ

個 数 定 理 」 を 証 明 す る た め の 準 備 と し て,命

つ く っ て お く.

  命 題1.18 

mを

不 変 式 の空 間の 次 元 を 決 定 す るた め の 定 理

正 の整 数 と し

を(n,m,p)-共変 はsl(2)の ∼3)を

式 と す る. 

既 約 表 現(ρm,Wm)の

とおけ ば,{e0,…,em} 標 準 基 底 を 与 える,す

な わ ち 命 題1.15の1)

満たす.

  証 明   ま ずRobertの

定 理 に よ って

した が って

  と こ ろ で,c0(ξ)は(d,p)-半 m=nd-2pを

ま た,共

つ ま り

満 た す 正 整 数),

変 式 の 定 義 か ら,

不 変 式 で あ る こ と に 注 意 す れば(こ

こ でdは

か く し て,命   K[ξ]内

題1.15の1)∼3)は

のd同

満 た さ れ て い る こ と が 示 さ れ た.■

次 多 項 式 の つ く るsl(2)の

表 現 空 間Vn,dの

原始元は

  1) Dφ(ξ)=0,   2) Hφ(ξ)=mφ(ξ)  を 満 た す φ(ξ)∈Vn,dと

(mは

し て 定 義 さ れ る わ け だ か ら,(m+1)-次

空 間 を 生 成 す る こ とが,命 め れば よい が,そ

正 整 数)

題1.18に

元 の既 約 表 現

よ って 明 らか に な った 原 始 元 を す べ て 集

れは こ こに

と な っ て い る こ とが わ か る.   定 理1.3  (Cayley-Sylvesterの

個 数 定 理)  (d,p)-半

不 変 式 の 空 間 

の次 元 は  (1.27)

を 形 式 的 巾級 数 と考 えた と きのxpの

係 数 に 等 しい.(た だ し, 

と

す る.)   証 明 Vn,dの

原 始 元全 体 は

と な っ て い る か ら,Un,dの1次

独 立 な 原 始 元 の 極 大 集 合{φ1,…,φr}は

に,

か ら と り 出 す こ とが で き る.し

を 得 る.ま

だ か ら, 

た 補 題1.12か

た が っ て 命 題1.16,1.17か

ら

に 注 意 し て,

ら

明 らか

し た が って

のxpの

係 数)-(xφd(x)のxpの のxpの

係 数)

係数

のxpの 系(Hermiteの

係 数.■

相 互 律)

(1.28) 証 明   次 の 恒 等 式 に 注 目す れ ば い い.

  §7  不 変 式 環,共

変式 環 の 有 限生 成性

  7.1  不 変 式 環 の 有 限 生 成 性(Gordanの す る の は,Hilbertに は 数 学 で は な い.神 っ て,こ

定 理)を

よ る 歴 史 的 証明 で,こ 学 だ!」

証 明 し よ う.こ

こで 紹 介

の 証 明 を 知 っ たGordanが

「こ れ

と い っ た と伝え られ て い る が,実

う ま で い わ れ る こ と は ま こ と に す ば ら し い こ と で も あ る.と

現 在 で は ご く一 般 的 と な っ た 数 学 の ス タ イ ル が,こ の 導 入 を1つ

と,K[ξ]か こ で,V[m]は,指

のHilbertに

の 契 機 と し て 形 成 さ れ て 行 った こ と は,確

  ま ず 最 初 に,既

い る.

は,数

に 導 入 し たK[ξ]の

ら 直 和 因 子V[m]へ 数mの

学者 に と に か く,

よ る 「神 学 」

か で あ る.

直和分解

の 射 影 作 用 素 π[m]を 思 い 出 し て お こ う.こ

同 次 同 重 多 項 式 で 生 成 さ れ た ベ ク トル 空 間 を 示 し て

  補 題1.16(Hilbert) 

K[ξ]に

作 用 す る微 分 作 用 素

は 次 の 性 質 を 満 た す.   1)  φ がd同

次p同

重 多 項 式 な ら,L(φ)は(d,p)-半

不 変 式.

  2)  φ が 半 不 変 式 な ら,L(φ)=φ.   3)  Φ が 不 変 式 な ら,L(Φ

ψ)=ΦL(ψ),(こ

こ で ψ は 任 意 の 多 項 式.)

  証 明   1)の 証 明 か ら 始 め る.φ

はd同

同 次p同

そ う な る.よ

重.し

m0=nd-2pと

た が っ てL(φ)も お け ば,Dlφ

∈V[m0+2l]と

次p同

重 だ か ら  っ てDL(φ)=0を

な るか ら,補

題1.10を

もd み れ ば い い. 用 いて

[D,Δl]Dlφ=l(m0+2l-l+1)Δl-1Dlφ. この こ とを 利 用 し て

次 に,2)の

証 明.こ

れ はDφ=0に

3)に つ い て は,ind(Φ)=0か

注 意 す れ ば,Lの

ら,任

意 の 

について

Π[m](Φ ψ)=ΦΠ[m]ψ. 更 に,

だか ら DΦ=Δ Φ=0. し た が っ て,任

意 のl, 

について

定 義 か ら 直 ち に わ か る.

これ か ら

  次 の 補 題 は,有

名 なHilbertの

基 底 定 理(base theorem)で

あ る.証

明は代

数 の 教 科 書 に ゆ ず る.   補 題1.17  ル をaと

(Hilbert) 

す れ ば,有

多 項 式 環K[ξ]の

限 個 のSの

部 分 集合Sで

生 成 され た イ デ ア

元 η1,…,ηrが 存 在 し て,

a=K[ξ]・

η1+…+K[ξ]・

ηr

と 書 け る.   定 理1.4  (Gordan)

の 不 変 式 の 全 体 はK[ξ]の   証 明  (Hilbert)  aと

す る と,(補

部 分 環 で,K上

有 限 生 成 で あ る.

定 数 項 の な い 不 変 式 全 体 で 生 成 さ れ たK[ξ]の

題1.17か

ら)同

次 不 変 式 Φ1,…,Φrが

イデアルを

存 在 して

a=K[ξ]Φ1+…+K[ξ]Φr と 書 け る こ とが わ か る か ら,定 K[Φ1,…,Φr]の

理 を 証 明 す る た め に は,任

元 と な っ て い る こ と を み れ ば 十 分 で あ る.こ

次 数 に つ い て の 帰 納 法 を 用 い る.ま 以 下 の(同

次)不

意の同次不変式 Φ が

ずΦ

変 式 がK[Φ1,…,Φr]の

が 次 数0な

の た め に,Φ

ら 自 明,次

の

に(d-1)次

元 で あ る と 仮 定 し,Φ

の 次 数 がd

で あ る と して み る と Φ=φ1Φ1+…+φrΦr と 書 け て い る こ と か ら,こ

の 両 辺 に 微 分 作 用 素Lを

作 用 さ せ て,

Φ=L(Φ)=Φ1L(φ1)+…+ΦrL(φr). Φiの 指 数 は0だ

か ら,同

次 同 重 つ ま り指 数0で 1.16の1)に

よ っ て, 

次 同 重 多 項 式 で あ り,し

あ る.Lが

た が っ て 

は 同

指 数 を 不 変 に す る こ と に 注 意 す れば,補 は 指 数0の

同 次 半 不 変 式,つ

題

ま り同次 不

変 式 と な っ て い る.と

ころ で

し た が っ て 帰 納 法 の 仮 定 か ら Φ はK[Φ1,…,Φr]の   以 上 の 様 に,Hilbertの 証 明 と 比 較 す れ ば,そ を 抽 出 し,証

元 で あ る こ と が わ か る.■

証 明 は 極 め て 明 快 で あ り,Gordanに の 単 純さ は 驚 くべ き も の で あ る.2つ

よ る構 成 的 な の補題1.16,1.17

明 の 論 理 構 造 を 多 項 式 環 の イ デ ア ル の 性 質 へ と結 晶 さ せ た み ご と

な 洞 察 力 に は,感

服 す る ほ か な い.

  7.2  共 変 式 の 環 の 有 限 生 成 性 を 示 す に は,Ω-プ れ る 方 法 が 便 利 で あ る.こ

ロ セ ス(Ω-process)と

呼 ば

こ で は これ を 紹 介 す る.

  変 数 を 成 分 と す る2×2-行

列

に対 して

 (1.29)

で 定 ま る微 分 作用 素,お

よび これ を 作用 さ せ る過 程 をCayleyに

に 関 す るΩ-プ ロ セ ス と呼 ぶ.(n×n-行   命 題1.19  (Ω-プロセ ス の第1法 則)独

したが ってx

列に 対 し て も同様 に 定 義 す る.) 立 な 変 数 を 成 分 とす る2×2-行

列

に対 し て

と お く.そ

の と き任 意 の 多 項 式 Φ(x)=Φ(x11,x12,x21,x22)に

が 成 り立 つ.  (1.30)

  証 明   σ は{1,2}の

置換 として

対 し て次 の こ と

に注意すれ ば

あ と の 関 係 式 も全 く同 様 で あ る. ■   こ の 証 明 の 形 を み れ ば(1.30)が

一 般 のn×n-行

列 に 対 し て も 成 り立 つ こ と

が わ か る.   命 題1.20   (1.31) Ωxdetxp=p(p+1)detxp-1 

(p=1,2,3,…).

 証明

で あ るか ら

  GL(2)は

自然 な 座 標(x11,x12,x21,x22)を

表 現 ρ と はGL(2)か

らm次

も っ て い る.GL(2)のm次

の 一 般 線 型 群GL(m)へ

の 各 行 列 成 分 が そ れ ぞ れx11,x12,x21,x22の あ る.特

に ρ(x)の

有理

の 準 同 型 で,像

ρ(x)

有 理 式 に な って い る もの の こ とで

各 成 分 が 多 項 式 と な っ て い る と き,ρ

をm次

の多項式表

現 と 呼 ぶ.   補 題1.18 

GL(2)の1次

の 多項 式 表 現 は 対 応 x→detxp

に よ っ て す べ て 得 ら れ る.こ   証 明   ρ を1次

こ にpは

負 で な い 整 数.

の 多 項 式 表 現 と し,ρ(x)の

と,g(x)=(detx)dρ(x-1)は

多 項 式 と し て の 次 数 をdと

多 項 式 に な る.ρ(x)ρ(x-1)=ρ(1)=1で

す る あ るか

ら ρ(x)g(x)=(detx)d.ま で

ρ(x)=c(detx)pと

x=1と

たdetx=x11x22-x12x21は な る 負 で な い 整 数pと

お く と,c=1,よ

  補 題1.19 

定 数cが

っ て ρ(x)=detxpと

GL(2)の(n+1)次

既 約 多 項 式 であ る の 存 在 す る.と

ころ が

な る こ と が わ か る . ■

有 理 表 現 ρ に 対 して ρ(x)=detxmρ(x)

がGL(2)の

多 項 式 表 現 と な る 様 な 負 で な い 整 数mが

  証 明   多 項 式 環K[x11,x12,x21,X22]の

元 に つ い て は,定 数 倍 を の ぞ い て 既 約

多 項 式 の 積 に よ る 一 意 的 な 分 解 が 可 能 だ か ら,ρ(x)の で あ る と 考 え て よ い.q(x)は x21,x22]上

分 母 因 子 は 多 項 式q(x)

定 数 倍 を 除 い て 一 意 に 定 ま る.yをK[x11,x12,

に 独 立 な 成 分 を もつ2×2-行

ら,ρ(xy),ρ(x),ρ(y)そ λq(xy)=q(x)q(y)の

存 在 す る.

列 とす れ ば

の 分 母 因 子 の 間 に は,零 関 係 が 成 り立 つ .q(x)の

ρ(xy)=ρ(x)ρ(y)だ

か

で な い定 数 λが存 在 し て

か わ りにq(x)=λp(x)を

用

い れ ば,p(xy)=p(x)p(y)と

な りpはGL(2)の1次

の 多項 式 表 現 とな り

し た が っ て 負 で な い 整 数mが

存 在 し てp(x)=detxmと

な る.ρ(x)=detxm

・ρ(x)と

お け ば ρ は 多項 式表 現 とな

  命 題1.21  xmを

(Ω-プ ロ セ ス の 第2法

そ の 上 の 座 標 関 数 と す る.ρ

をx1,…,xmの

っ て い る. ■

則)Vをm次 をVに

元 の ベ ク トル 空 間,x1,…, 作 用 す るGL(2)の

多 項 式 と し,detsqA(ρ(s)x)がsの

る様 に 負 で な い 整 数qを

と る.rを

,

有理表現

,A(x)

成 分 に つ い て 多項 式 とな

負 で な い 整 数 と して

I(x)=Ωrs(detsqA(ρ(s)x))￨s=0 とお け ば,I(x)=0(q>r)か   (1.32) 

つ

I(ρ(s)x)=detsr-qI(x) 

(s∈GL(2)).

 証明 A(ρ(s)x)=G(s,x), 

detsqG(s,x)=K(s

,x)

とお く と, A(ρ(st)x)=G(st,x)=G(s,ρ(t)x). これ にdet(st)qを

かけ る と

す な わ ちK(st,x)=dettqK(s,ρ(t)x).仮

定 よ りK(s,x)はsの

て 多 項 式 で あ る か ら,Ω-プ

則 が 適用 で き

ロ セ ス の 第1法

成分 に つ い

す な わ ち 

こ の 式 の 両 辺 にs=0を

す る と,I(ρ(t)x)=dettr-qI(x)が I(x)=0. 

得 ら れ る.I(x)の

代 入

定 義 よ りq>rな

らば

■

  共 変 式 の 環 の 有 限 生 成 性 を 証 明 す る に は,非 数x0,x1を

用 い た 方 が よ い.(n+3)-次

同 次 変 数zの

かわ

りに同次変

元 の ベ ク トル 空 間 の 座 標 を

(ξ;x0,x1)=(ξ(0),…,ξ(n),x0,x1), GL(2)の

作用 を ρ(s)(ξ;x0,x1)=(ρn(s)ξ;(x0,x1)s-1) 

で き め る と,ρ

はGL(2)の(n+3)-次

の 多 項 式F(ξ;z)とx0,x1に

(s∈GL(2))

の 有 理 表 現 に な る.zに つ い てm次

つ い てm次

同 次 多 項 式F(ξ;x0,x1)が

F(ξ;x0,x1)=x0mF(ξ;z) な る 関 係 で 対 応 す る.し い てm次

た が っ て 指 数m,重

さpの

同 次 のK([ξ(0),…,ξ(n),x0,x1]の

共 変 式 に はx0,x1に

F(ρn(s)ξ;(x0,x1)s-1)=detspF(ξ;x0,x1)  を 満 た す も の が 対 応 す る.こ

つ

元F(ξ;x0,x1)で

のF(ξ;x0,x1)も

(s∈GL(2)) 指 数m,重

さpの

共変式 と

呼 ぶ こ と に し よ う.   定 理1.5 の 共 変 式 の 全 体 はK[ξ,z]の

部 分 環 で,K上

  証 明   非 同 次 変 数zの

か わ りに,同

中 で 考 え る.ξ(0),…,ξ(n),x0,x1を と 呼 ぶ こ とに し よ う.定 イ デ ア ル をaと

数mi,重

用 い てK[ξ,x0,x1]の 元 の み か らな る項 を 定 数 項

数 項 の な い 共 変 式 全 体 で 生 成 さ れ たK[ξ,x0,x1]の

す る と, 

さpiの

次 変 数x0,x1を

含 ま な い,Kの

で あ り,か

同 次 イ デ ア ル で あ る ば か りで な く,重 で,指

有 限 生 成 で あ る.

つaはx0,x1に

つ いて

さに つ い て も 同重 の イ デ ア ル で あ る の

共 変 式Φi(ξ;x0,x1) 

が存在 して

α=K[ξ,X0,X1]Φ1+…+K[ξ,x0,x1]Φr と 書 け る.定

理 を 証 明 す る た め に は,指

と き 常 にK[Φ1,…,Φr]に ば よ い.こ

数m,重

さpの

共 変 式 Φ を と った

含 まれ る こ と を Φ の次 数 につ い て の 帰納 法 で 示 せ

こ に 次 数 と は ξ(0),…,ξ(n),x0,x1に

つ い て の次 数 を 意味 す る もの と

す る.次

数 零 の 定 数 項 を も た な い 共 変 式 は 零 し か な い か ら 次 数d=0の

よ い.次

数 が 高 々d-1のaに

と 仮 定 し よ う.Φ  

含 まれ る 共 変 式 はK[Φ1,…,Φr]に

をd次

の 次 数 は1以

のaに

含 ま れ る 共 変 式 で 重 さ がpの

上 で あ る の で(d-1)-次

と きは 含 ま れ る

も の と す る.

以 下 の 多 項 式Aiξ;x0,x1)

 が 存 在 し て

と書 け る.両

辺 にs∈GL(2)を

作用 さ せ て

適 当 に 大 き な 負 で な い 整 数lを

と っ て,す

べ て の 

につい て

detspi+lAi(ρn(s)ξ;(x0,x1)s-1) がsの

成 分 の 多 項 式 に な る よ う に す る.両

辺 にdetslを

か け て お い てΩsp+u

を 作用 さ せ る と

s=0を

代 入して

こ こに

重 さ は 正 で あ る か ら,Ii(ξ;x0,x1)は 式 と 考 え て よ い.帰 し た が ってΦ

納 法 の 仮 定 よ り 

はK[Φ1,…,Φr]の

  Ω-プ ロ セ ス の 第1,第2法 の で,一

次 数d-1以

般 線 型 群GL(r)に

下 の 重 さ  はK[Φ1,…,Φr]の

の共変 元 で あ る.

元 で あ る. ■

則 はr×r-行 つ い て,い

列 に 対 し て も 成 り立 つ こ とが わ か る くつ か の 形 式

に 対 す る不 変 式 環,共 変 式 環 に 対 し て も,そ の有 限 生 成 性 が上 と同様 に証 明 で き る.こ こに

  §8  記 号 的 方 法(symbolic

method)

  8.1  偏 極 作 用 素(polarization)に (x0,x1)に

は,ξ=(ξ(0),…,ξ(n))に

関 係 す る も の が あ る.新

し い 独立 変 数 の組

関 係 す る も の と,

η=(η(0),…,η(n))に

対

し て微 分 作 用 素

を 組(η,ξ)に

関 す る 偏 極 作 用 素(polarization)と

す る 偏 極 作 用 素 も,新

で 定 義 す る.偏

し い 変 数 の 組(y0,y1)を

極 作 用 素 は 同 次 多 項 式 を 多 重1次

呼 ぶ.変

数(x0,x1)に

と り

形 式 に 変 換 す る の に 用 い る.

次 に 可 算 個 の 記 号 の 組 α=(α10,α11),α2=(α20,α21),α3=(α30,α31),… し,次

を用 意

の 様 な 計 算 規 則 を 定 め る.

  規 則1  がn以

関係

α10,α11,α20,α21,… の 単 項 式 は 各iに

下 の と き の み 考 え,そ

な 単 項 式 の1次   規 則2 

つ いて

αi0,αi1に 関 す る 次 数

れ 以 外 の も の は 取 り扱 わ な い.多

項 式 も この 様

結 合 と な っ て い る も の の み を 考 え る.

ξ(l)=αi0n-lαi1l 

 記号

(l=0,1,2,…,n;i=1,2,3,…).  

  この 様 な計 算 規 則 や略 記法 を 利 用 す るの が,い わ ゆ る記 号的 方 法 と呼 ば れ て い る もの で あ る.   この 記 号 法 に よれ ば基 本 に な るn次

形 式f(ξ￨x0,x1)は

と表 わ され る.簡 単 な半 不 変 式 の 記 号 的 表 示 の 例 を 示 そ う.  ⅰ )

 ⅱ )

 基 本n次

形 式f(ξ￨x0,x1)の

高次微分は

 偏極作用素 の作用は

こ の こ と に 注 意 す れ ば,共

変 式Hessianは

次 の表 示 を もつ こ とが わ か る.

 ⅲ )

  8.2  1次 変 換 の 記 号 的 表 示 へ の 作 用 を し ら べ て み る.   補 題1.20 

β0=(β00,β01),β1=(β10,β11)と

  (1.33) した が って   (1.34) と お い て よ い.  証 明

お くと

  補 題1.21  (1.35)  (1.36)

 証明 と お け ば 補 題1.20よ

り

  命 題1.22  負で な い 整 数 

がすべ ての

 に対 し て

を満 たす と き

は指数  さpの

の 共 変 式 で あ る.r1=…=rN=0の

重 さ 

とき は重

不 変 式 で あ る.

  証 明   す べ て のjに

対 し て,αj0,αj1に

規 則2に

よ っ て,上

のm次

同 次 多 項 式 で あ る.ま

とな り,指 数m,重

つ い てn次

同 次 多 項 式 で あ る の で,

の 記 号 的 表 示 は ξ(0),…,ξ(n)の 多 項 式 を 係 数 と す るx0,x1

さpの

た 補 題1.21よ

り

共 変 式 に な る こ とを 示 す. ■

  ここ でひ とまず 記 号 的 方 法 そ の もの の説 明 を 中断 して,前 セ ス との関 係 を述 べ て お こ う.

に 用 いたΩ-プ ロ

  補 題1.22

 (1.37)

 証明

  命 題1.23 

N個

の 変 数 の 組x(1)=(x0(1),x1(1)),…,x(N)=(x0(N),x1(N))を

と り

とお く, 

を 負 で ない 整 数 で,す べ て のjに

て

を満 た す もの とす る.そ の と き  (1.38)

  証 明   補 題1.22よ

り

これ を 何 回 も用 い れ ば

こ れ にx(1)=…=x(N)=xを

 系

代 入 し て(1.38)を

得 る.  ■

対し

は指数 

の 共 変 式 で あ る.

重 さ 

 この 系 の 証 明 は 直 接 次 の 補題 か ら も得 られ る.  補 題1.23

とお け ば Ωy=detσΩx.   証 明 (xi0,xi1)σ-1=(yi0,yi1) か ら

が得 られ る の で,行 列式 を と って Ωy=detσ Ωxを 得 る. ■  命 題1.22に

よ り共 変 式 を 構 成 す る 方法 が 与 え られ た が,実 は す べ て の 共 変

式 は そ の様 に して つ くられ た もの の1次 結 合 で 表 わ され るの で あ る.   定理1.6  (記号 的 方 法 の基 本 定 理)指

数m,重

さpの

の の1次 結 合 とし て 表 わ され る.

こ こ に 

また す べ て のjに

ついて

ま た はn.   証 明   β00,β01,β10,β11を

と お く.

であるか ら

変数 と し

共 変 式 は 次 の様 な も

基 本n次

形 式 を 

と 表 わ さ れ る.指

と書 い た と き,補

数m,重

F(ξ;x)がx0,x1に u1の

共 変 式F(ξ;x)を

つ い てm次

表 示 を 用 い れ ば,規

と 書 き 表 わ さ れ る.よ

Gの

さpの

期1を

題1.20よ

任 意 に1つ

り

と る と,

の 同 次 多 項 式 で あ る こ と に 注 意 し,上 満 た す 多 項 式Gが

のu0,

あ って

って

単項 式

に

を 作 用 させ れ ば,

で あ る の で,補題1.22よ

り

その像は

の 様 な 形 の 項 の1次 m1′=m2′=0と

結 合 と な る.こ

な る項 の 前 の 部 分

こで

β0=(0,0),β1=(0,0)と

お け ば,

の1次

結 合 と な る.一

方 命 題1.20よ

り

Ω σp+mdetσp+m=((p+m)!)2(p+m+1)

で あ り,

で あ る か ら,F(ξ;x)は Π[αi,αj]rijΠ((αi,x))ri

の形 の項 の1次 結 合 に な る.GL(2)の また す べ て のjに

作 用 を 比 較 す れ ば, 

つい て ま た はn

が わ か る.■   こ の基 本 定 理 は 確 か に す ば ら しい.し か し共 変 式 の 表 示 が 一 意 的 で な い とい う弱 点 が あ る.次 の 命 題 は この こ とを 示 し てい る.   命 題1.24  (1.39)   (1.40)  証 明

(1.39)式

で(x0,x1)=(δ1-δ0)と

お け ば, 

で あ る か ら,(1.40)を

得 る.■

  半 不 変 式 は あ る 共 変 式 に(x0,x1)=(1,0)を

代 入 し て 得 ら れ る か ら,基

本定

理 の 系 と し て 次 の 半 不 変 式 の 表 示 を 得 る.   命 題1.25 

指 数m,重

さpの

半 不 変 式 は 次 の 様 な も の の1次

結合 と し て

表 わ さ れ る.   (1.41)

また す べ てのjに

こ こに 

ついて

ま た はn. 逆 にri,rijの

間 に こ れ ら の 関 係 の あ る,表

示(1.41)は

指 数m,重

さpの

半

不 変 式 で あ る.   証 明   命 題1.22と

  §9  零 形 式,不   9.1  基 本n次

定 理1.6よ

り,直

変 式 代 数 多 様 体,共

ち に 出 る.■

変 式 代 数 多様 体

の定数 項 の な い不 変 式 全

形 式 

体 か ら 生 成 さ れ るK[ξ(0),…,ξ(n)]の

イ デ ア ル をaで

がイ デ ア ルaの

 定 義1.7  n次 形 式  の 元 φ(ξ(0),…,ξ(n)に (null-form)と   補 題1.24  n=2rま

すべ て

満 た す と き,n次

零形式

呼 ぶ. 不 変 式 の 各 項 は ξ(0),…,ξ(r)の い ず れ か を 必 ず 含 む.(こ

同 次,重

に つ い て,cl0,…,  を 示 せ ば よ い.指

と な る.今

対 し て φ(a(0),…,a(n))=0を

た はn=2r+1と

  証 明   d次

表 わ す.

こに

す る.) さpの

不変式

な ら ばl0,…,lrの 数 公 式 よ りnd=2pで

仮 りにl0=l1=…=lr=0と

中 の 少 な く と も1つ

は零でない こ と

あ るか ら

す れ ば,n=2rま

た は2r+1で

あ るか

ら (n=2rの

(n=2r+1の

とな って矛 盾 で あ る.■

と き)

と き)

  命 題1.26(Cayley) 

n次

子 を も て ば,f(a￨x0,x1)は

形 式f(a￨x0,x1)が

重 複 度r+1以

零 形 式 で あ る.(こ

こ にn=2rま

上 の1次

因

た はn=2r+1

とす る.)   証明 f(a￨x0,x1)=(c0x0+c1x1)r+1g(a;x0,x1) と せ よ.b0,b1を

選 ん で 

と お き,(x0,x1)の

と し,(y0,y1)=(b0x0+b1x1,c0x0+c1x1)

か わ り に(y0,y1)を

用 い て

f(a￨x0,x1)=(c0x0+c1x1)r+1g(a;x0,x1)=y1r+1h(a;y0,y1) と 表 わ さ れ る.よ

って

これ は 

と 表 わ す と,b(0)=…=b(r)=0を

し て い る.従

っ て 前 の 補 題 よ り,定

数 項 の な い 重 さpの

示

不 変 式 φ(ξ)に 対 し て

φ(a)=detσ-pφ(ρn(σ)a)=0. こ れ はf(a￨x0,x1)が

  9.2  命 題1.26の Hilbertに

零 形 式 で あ る こ と を 示 す.■

条 件 は 零 形 式 で あ る た め の 必 要 条 件 で も あ る.そ

従 っ て 示 そ う.こ

れ に は 終 結 式 が 利 用 さ れ る.m1次

の 同 次 多項 式

を と り,

と分 解 した とき

をF(a;x0,x1)とG(b;x0,x1)の

終 結 式(resultant)と

い う.

れ を

お よ びm2次

  F(a;x0,1)=G(a;x0,1)=0に =0と

共 通 根 が 存 在 す る 必 要 十 分 条 件 はR(F,G)

な る こ とで あ る.

を 指 数mの 共 変 式 とす れ ば

  補 題1.25   (1.42)  (1.43)    証 明   Robertの

定 理 よ り,a(0)(ξ)は

指 数mの

半 不 変 式 で あ り,

よっ て

ま た 補題1.10よ

り

よ って

  補 題1.26 

F1(ξ;x0,x1),F2(ξ;x0,x1)を

と す る と き,そ

の 終 結 式R(F1,F2)(ξ)は

  証 明 f1(ξ1￨x0,x1),f2(ξ2￨x0,x1)を m2次

そ れ ぞ れ 指 数m1,m2の

共変式

不 変 式 で あ る. そ れ ぞ れ 変 数 係 数 のm1次

形 式 お よび

形 式 とす る.

と お け ば,Fi(ξ;x0,x1)=fi(ai(ξ)￨x0,x1)(i=1,2)と の 命 題2.2で

述 べ る 次 の こ と を 使 う.終

f2(ξ2￨x0,x1)の 作 用 素 をDi,Δiと

同 次 不 変 式 で あ る.す す れ ば,

表 わ さ れ る.次

に 第2章

結 式R(f1,f2)(ξ1,ξ2)はf1(ξ1￨x0,x1), な わ ちD,Δ

に 対 応 す る ξiに 関 係 し た

また R(F1,F2)(ξ)=R(f1,f2)(a1(ξ),a2(ξ)) で あ る か ら,前

の 補 題 よ り

こ れ はR(F1,F2)(ξ)がSL(2)の x0,x1)の

元 で 不 変 に な る こ と を 示 す,す

不 変 式 で あ る.■

  定 理1.7(Cayley-Hilbert) 

n次

必 要 十 分 条 件 は,f(a￨x0,x1)が重 る.(こ

な わ ちf(ξ￨

こ にn=2rま

形 式f(a￨x0,x1)が 複 度r+1以

た は2r+1と

零 形 式 で あ るた め の

上 の1次因

子 を もつ こ と で あ

す る.)

  証 明   十 分 条 件 で あ る こ と は 既 に 証 明 し た.必

と お け ば,ck(ξ)は

§4で

次 半 不 変 極(2k-th

apolar)A2k(f,f)に

要 で あ る こ と を 示 そ う.

定 義 し たf(ξ￨x0,x1)とf(ξ￨x0,x1)自

身 と の2k-

ほ か な らな い か ら指 数 が

mk=2n-2・2k=2(n-2k) で 与 え ら れ る 半 不 変 式 で あ る.(直 接 計 算 し て もDck(ξ)=0,Hck(ξ)=mkck(ξ)は 容 易 に わ か る.)

をck(ξ)に

対 応 す る指 数mkの

と し,λ1,…,λrを

共 変 式 とす る.mをm1,…,mの

不 定 係 数 とし て

最小公倍数

とお けばU(ξ;x0,x1)は U(ξ;x0,x1)の

指 数mの

共 変 式 に な る.n次

終 結 式R(f,U)(ξ)を

そ こ でf(a￨x0,x1)が

つ くれ ば,前

の 補 題 よ り不 変 式 に な る .

零 形 式 で あ る と 仮 定 す る.R(f,U)(ξ)の

か ら,R(f,U)(a)=0が

わ か る.こ

定数項 はない

れ はf(a￨x0,x1)とU(a;x0,x1)が1次

式 を 共 有 す る こ と を 示 す.λ1,…,λrは

不 定 係 数 で あ る の で,こ

f(a￨x0,x1),F1(a;x0,x1),…,Fr(a;x0,x1)が1次 す.GL(2)の

形 式f(ξ￨x0,x1)と

の こ と は,

因 子 を 共 有 す る こ とを 示

適 当 な 元 を 作 用 さ せ て お い て,そ

の 共 有1次

と し て よ い.f(a￨x0,x1), 

因 子 はx1で

はx0だ

あ る

け の 項 を もた な

いので

ck(a)=0よ

り

し た が っ てa(0)=0よ

り始 め て,順

々 にa(1)=…=a(k)=0と

な る.こ

れは

f(a￨x0,x1)=x1r+1g(a;x0,x1) と 書 け る.つ

ま りf(a￨x0,x1)の1次

因 子x1の

重 複 度 がr+1以

上である こ

零 で な い 整 数 の 組 と し た と き,N+1次

元 ア フ ァ

と を 示 す.■

  9.3  ま ず 重 さ つ き 射 影 空 間 を 説 明 し よ う.   定 義1.8 

(p0,…,pN)を

イ ン 空 間(affine

space)AN+1の

に よ る 商 空 間 を 重 さ(p0,…,pN)-つ と い う.(X0,…,XN)を

で 定 め る.同

次 元 射 影 空 間Pnの

f(ξ￨x0,x1)の

き 射 影 空 間(weighted

同 次 座 標 と 呼 び,各Xlの

次 座 標 環K[X0,…,XN]は

多 項 式 環 で あ る.基

数 体Kに

同値 関 係

本n次

不 変 式 の 全 体 はK上

の 重 さ(p0,…,pN)-つ

き

係 数 の 組(ξ(0),…,ξ(n))をn

同 次 座 標 と考え る.Gordanの

係 数 を も つ 同 重 な(isobaric)不

space)

重 さを

係 数 体K上

形 式f(ξ￨x0,x1)の

projective

変式

有 限 生 成 性 定 理 よ り,係 Φ0(ξ),…,ΦN(ξ)が

に 生 成 さ れ た 環K[Φ0,…,ΦN]に

選 べ て, 一 致 す る.

と お け ば,指 次di次

数 公 式 よ り 

で あ る か ら Φi(ξ)は ξ の 同

式 で も あ る.K[ξ(0),…,ξ(N)]の同

(Φ0,…,ΦN)に

対 応 す るPNの

次 イ デ ア ル(homogeneous ideal)

中 の 代 数 多 様 体(algebraic

次 零 形 式 の つ く る 代 数 多 様 体 で あ る.  影 空 間 を 表 わせ ば,多

variety)Wnはn

で 重 さ(p0,…,pN)-つ

き 射

項式写像

(ξ(0),…,ξ(n))→Φ(ξ(0),…,ξ(n))=(Φ0(ξ),…,ΦN(ξ)) はPn-Wnか ΦNは

ら 

の 中 へ の 正 則 写 像(regular

map)に

同 重 多 項 式 で あ る の で,F(Φ0(ξ),…,ΦN(ξ))=0を

…,XN)の ideal)に

つ く るK[X0 な る,す

,…,XN]の

イ デ ア ル〓

満 た す 多 項 式F(X0,

は 同 重 イ デ ア ル(isobaric

なわち

こ こに〓p={F￨Fはp重

同 重 な〓

の 元}を 示 す 。 よ っ て 同 重 イ デ ア ル〓 に は

 の 中 の 代 数 多 様 体 が 対 応 す る.こ variety

な る.Φ0,…,

of invariants)と

呼 ぶ.生

れ を 不 変 式 代 数 多 様 体(algebraic

成 示 Φ0(ξ),…,ΦN(ξ)の

選 び方 に よら な い

定 義は Proj(K[Φ0(ξ),…,ΦN(ξ)]) で 与 え ら れ る,Projの

定 義 は 代 数 幾 何 の 教 科 書 を 参 照 さ れ た い.次

代 数 多 様 体 を 定 義 す る.共 Kに

変 式 環 も 有 限 生 成 で あ る か ら,同

係 数 を もつ 共 変 式F0(ξ;x0,x1),…,FM(ξ;x0,x1)が

も つ 共 変 式 の 全 体 はK[F0(ξ;x0,x1),…,FM(ξ;x0,x1]と

と お け ば,指 い てdi次

数 公 式 

(-1,-1)-つ

あ っ てKに

よ りFi(ξ;x0,x1)は

き 射 影 空 間P1(-1,-1)の

  Pn×P1(-1,-1)の

重 同指 数 の 係数 体

同 次 座 標 環 をK[x0,x1]と

項 式写 像

(ξ(0),…,ξ(n),x0,x1)→(F0(ξ;x0,x1),…,FM(ξ;x0,x1)) は Pn×P1(-1,-1)-Wn

ξ に つ お

イ デ ア ル(F0(ξ;x),…,FM(ξ;x))に 中 の 代 数 多 様 体 と す れ ば,多

係数 を

一 致 す る.

の 同 次 式 に な る.weight(x0)=weight(x1)=-1と

K[ξ(0),…,ξ(N),x0,x1]の

に共変式

き,重

す る.Wnを 対 応 す る.

さ

   

か ら 

の 中 へ の 正 則 写 像 で あ る.F0(ξ;x0,x1),…,FM(ξ;x0,x1)は

同 重 多 項 式 で あ る の で,G(F0(ξ;x0,x1),…,FM(ξ;x0,x1))=0を 式G(X0,…,XM)の

つ く るK[X0,…,XM]の

満 た す 多項

イ デ ア ル は 同 重 イ デ ア ル に な り,

 の 中 の 代 数 多 様 体 が 対 応 す る.こ れ を 共 変 式 代 数 多 様 体(algebraric variety

of covariants)と

呼 ぶ.生

成 元F0(ξ;x0,x1),…,FM(ξ;x0,x1)の

選

び 方 に よ らな い 定 義 は Proj(K[F0(ξ;x0,x1),…,FM(ξ;x0,x1)]) で 与 え ら れ る.   不 変 式 代 数 多 様 体,共

変 式 代 数 多 様 体 を 具 体 的 に 表 示 す る こ と は,Cayley

以 来 の 問 題 で あ る が,nが

増 す と急 速 に 計 算 が 複 雑 に な る の でnの

極く 小 さ

い と き 以 外 は わ か っ て い な い.

  9.4  自 明 で な い 場 合 の 共 変 式 代 数 多 様 体 の 例 を 示 そ う.   3次 形 式(cubic

from)の

場 合.典

型 的 共 変 式 と思 わ れ る もの を あ げ る と

  1° f=ξ(0)x03+3ξ(1)x02x1+3ξ(2)x0x12+ξ(3)x13.   2° fのHessian

3° fとhのJacobian

4° 判 別 式

  Cayleyに

よ っ て 得 ら れ た 次 の 結 果 は 不 変 式 論 の 最 初 の 一里 塚 で あ っ た.そ

の 証 明 の た め の 工 夫 と し て,Cayley-Sylvesterの

個 数 定理―sl(2)の

表 現論

の 原 型 を 見 出 し た わ け で あ る.   定 理1.8(Cayley)  で 生 成 さ れ る.そ

の 共 変 式 環 はf,h,j,d

3次 形 式  れ らの 間 の 関 係 は j2=f2d-4h3

で 与 え ら れ る.こ

こにhはfのHessian, jはfとhのJacobian,

dはf

の 判 別 式 で あ る.   証 明 に 入 る 前 にCayley-Sylvesterの個 式 的 巾 級 数h(x)のxpの

係 数 をh(x)￨pで

  N(n,r,p)=dim(ξ   A(n,r)=dim(ξ

数 定 理 を 思 い 出 し て お こ う.xの

に つ い てr次,重 に つ い てr次

形

示 し, さpの

共 変 式 の ベ ク トル 空 間),

の 共 変 式 の ベ ク トル 空 間)

と お け ば,

(nrが

(nrが

  定 理1.8の を 含 む.よ

証 明  f(ξ;1,0)=ξ(0),h(ξ;1,0)=ξ(0)ξ(2)-ξ(1)2,ま っ てf(ξ;1,0),h(ξ;1,0),dは

た が っ てf,h,dはK上 て の 次 数6,重

よ って定 数

係 数 体K上

代 数 的 独 立 で あ る.上

さ6の

共 変 式 と し てj2,f2d,h3が

は1次

あ る.個

た 上 の 表 を み れ ば 

独 立 で あ る.一

方

ξ(3)

に あ げ た 表 に よれ ば ξ に つ い

j2=λf2d+μh3

fαhβdγ,fαhβdγj 

奇 数).

代 数 的 独 立 で あ る.し

λ,μ が あ っ て

と 表 わ さ れ る.ま

たdは

偶 数)

よ って (α,β,γ=0,1,2,…)

数定理 よ り

し た が っ て ξ に つ い て の 次 数 がrのK[f,h,d,j]の

元 の つ くる ベ ク トル 空

間 の次 元 は

で 与 え ら れ る.よ

 ⅰ )  r=2sの

っ て い うべ き こ と は

場 合.左

辺 を計 算 す る と

右辺 を 計 算 す る と

各項 は

し た が って右 辺 は 

と な り左 辺 と等 し い.

ⅱ)r=2s+1の

場 合.

を い え ば よい.左 辺 か ら計 算 す る と

右辺を計算す ると

第1項 は

第2項 は

し た が って 右辺 は 

と な り左 辺 と 等 し い.

  最 後 にj2=λf2d+μh3の し て λ=1,μ=-4を

両 辺 の ξ(3)2ξ(0)2x16お よ び

ξ(2)6x16の 係 数 を 比 較

得 る.■

  系   3次 形 式 の 不 変 式 は 判 別 式 の 多 項 式 と し て 一 意 的 に 表 わ さ れ る.   証 明   定 理1.8か

ら も 出 る が,次

の よ う な 直 接 の 証 明 も あ る.指

共 変 式 の 重 さpと

ξ に つ い て の 次 数rの

間 に は 等 式3r-2p=0が

数公式 よ り 成 り立

つ.よ

っ てr=2s,p=3sと

お い て

を し ら べ れ ば よ い.第1項

は

第2項 は

よ って

(sが 偶 数) (sが 奇 数) 一 方 判 別 式dはs=2に K[d]と

対 応 す る.dは

超 越 元 で あ る か ら これ は不 変 式 環 が

一致 す る こ とを 示 す.■

  4次 形 式 の 場 合,典 型 的 と思 わ れ る共 変 式 を あ げ て み る と,   10

  20  fのHessian

  30  fとhのJacobian

  40  fとfの4次

の 半 不 変 極(4-th

apolar)

P=ξ(0)ξ(4)-4ξ(1)ξ(3)+3ξ(1)2,

  50  Hamkel

determinant

 ξ(1)=0,x0=1,x1=0と

お く とf,h,P,Qは

とな り,係 数 体K上

代 数 的 独 立 に な る.よ

そ れ ぞ れ

ってf,h,P,QはK上

立 で あ る.ま た 上 の表 か ら 

した が って 定 数

代数的独

一方個数定理 より

λ,μ,ν が あ っ て j2=λf3Q+μf2hP+νh3

と な る.fαhβPγQδ,fαhβPγQδj(α,β,γ,δ=0,1,2,…)は1次

で あ る か ら,ξ

に つ い て 次 数 がrのK[f,h,P,Q,j]の

独 立 で あ り,

元 の つ く る ベ ク トル 空

間 の次 元 は

で 与 え られ る.こ れ が

に 等 しい こ とが わ か れ ばK[f,h,P,Q,j]と え る.計 算 す る と

共 変 式 の 全 体 が 一 致 す る こ とが い

よ っ て 共 変 式 の 全 体 はK[f,h,P,Q,j]と

一 致 す る.ま

た 係 数 を比 較 し て

j2=-f3Q+f2hP-4h3. し た が っ て 次 の 定 理 を 得 る.  定 理1.9 

(Cayley) 

で 生 成 さ れ る.そ

4次 形 式 

の 共 変 式 はf,h,j,P,Q

れ らの 間 の関 係 は j2=-f3Q+f2hP-4h3

で 与え られ る.こ

こ にhはfのHessian,jはfとhのJacobian

で あ る.

 系1. 

4次 形 式 の不 変 式 は 代 数的 独 立 な 上 の2つ の 不 変 式P,Qの

多項式 で

あ る.   5次 形 式 の 不 変 式 の 場 合.指

を計 算す れ ば い い.第1項

は

数 公 式5r=2pよ

り,r=2s,p=5sと

お い て,

第2項 は

第3項 は

よ って

r=2s,p=5sと

お く と

 (1.44)

この 式 よ り次 の 結 果 が 出 る.  定 理1.10(Cayley-Gordan)  い て,そ

には,ξに

5次 形 式 

れ ぞ れ4,8,12,18次

の 不 変 式I4,I8,I12,I18が

あ っ て,そ

れ らは不 変 式

環 の 生 成 元 に な る.I4,I8,I12は

代 数 的 に 独 立 で あ り,I182はI4,I8,I12の

式 で あ る が,I18はI4,I8,I12の

多 項 式 で な い.

  CayleyはI4,I8,I12,I18お I4,I18の

よび そ れ ら の間 の関 係 を 具 体 的 に

決 め

選 び 方 は 定 数 倍 を 除 い て 一 意 的 で あ る け れ ど も,I8,I12に

の 選 び 方 が あ る.例   適 当 にI4,I8,I12,I18を

つ

多項

て い

る.

は い ろ い ろ

え ばI8+λI42,I12+μI43+νI4I8. 選 べ は そ の 間 の 関 係 は

 (1.45)

で与え

ら れ る.

  6次 形 式 の 不 変 式 の 場 合.指 算す る と

数 公 式6r=2pよ

りp=3r.N(6,r,3r)を

計

と な る こ と が わ か る.よ

って

  定 理1.11(Clebsch-Gordan)  い て そ れ ぞ れ 次 数 が2,4,6,10,15の

不 変 式I2,I4,I6,I10,I15が

は 不 変 式 環 を 生 成 す る.I2,I4,I6,I10は I10の

代 数 的に

多 項 式 で あ る が,I15はI2,I4,I6,I10多

  具 体 的 にI2,I4,I6,I10,I15を 30次

の 多 項 式Gを

には ξに つ

6次 形 式 

構 成 し,そ

れ ら

独 立 で あ り,I152はI2,I4,I6,

項 式 で な い. れ らの 間 の 関係 は具 体 的 に与 え う る

用 い て I152=G(I2,I4,I6,I10)

で 与 え ら れ る こ と が わ か っ て い る.

あ っ て,そ

 第2章  形式的1変 数 巾級数 の半不変式,共 変式

 2項 係 数 の 概 念 を 拡 張 してuが

複 素 数 の場 合に も

と定 義 す る.ま た,以 下 で は 複 素 数 の 組w=(w1,w2,…,wN)とN組 元  しwrが

の不 定

を 固 定 す る.(た だ 零 また は 自然 数 の と きは ξr(wr+l)=0 

と約 束 す る.)

  基 礎 に お く形 式 的 巾級 数 を

と す れ ば,￨1-δ￨<1を

満 た すGL(2)の

的 巾 級 数 に 作 用 す る が,こ 定 義 し,こ

の 作 用 に つ い て,半

の 場 合 に もRobertの

の 章 の 目的 で あ る.ま

定 理(の

たGramの

  1.1  ξ1,ξ2,…,ξNの 多 項 式φ(ξ)が

不 変 式,共

類 似)が

変 式,微

分共変式を

成 り立 つ こ と を 示 す の が こ

作用 各rに

対 して ξrの 成 分 の 同 次 式 に な

分 離 的 同 次 で あ る と い う.ま

つ い て の 次 数 をdegξ r(φ)と

が 自然 に これ らの 形 式

定 理 を 証 明す る.

  §1  形 式 的 巾 級 数 へ のGL(2)の

っ て い る と き,φ(ξ)は

元 

た,一

般 にφ(ξ)の

表 わ す こ と に し,ξr(l)の 重 さ をl(つ

(ξr(l))=l)で 定 め て 一 般 の 多 項 式 に も重 さ を 定 義 す る.φ

ξrに

ま りweight

の分離的同次かつ同

重 な 多 項 式 に よる 分解 を

で 表 わ す.(た

だ しdr=degξr(φ),p=weight(φ)と

つ 同 重 な 多 項 式 に つ い て,そ

の 指 数(index)を

す る.)ま

た 分 離 的 同次 か

に よ っ て 定 め る.更

に,Cayley-Aronholdの

微 分 作用 素は 次 の式 で定 め る こ

と に す る.

  補 題2.1 

[D,Δ]=H,[H,D]=2D,[H,Δ]=-2Δ

が 成 立 す る.ま

た φ

が 分 離 的 同次 かつ 同重 な 多項 式 で あれ ば Hφ=ind(φ)φ が 成 立 す る.   証 明  各rに

つい て

とお くと

と す れ ばHrとHsに

は 共 通 な 変 数 が 含 ま れ な い.DrとDs,ΔrとΔs

に つ い て も 同 様 だ か ら 結 局{Hr,Dr,Δr}と{Hs,Ds,Δs}と と こ ろ が 補 題1.1と

は 可 換 で あ る.

全 く同 じ 理 由 で

[Dr,Δr]=Hr,[Hr,Dr]=2Dr,[Hr,Δr]=-2Δr が いえ る か ら,[D,Δ]=H,[H,D]=2D,[H,Δ]=-2Δ わ か る.後

の 主 張 は φ が 単 項 式 と 仮 定 し て い い が,そ

様 に して Hrφ=(wrdegξ だか ら

r(φ)-2weight(φ))φ

が 成 立 す る こ とが の 場 合 は 補 題1.1と

同

  補 題2.2 

指数uの

指 数 同 次 な 多 項 式 の つ く る ベ クト ル 空 間 をC[ξ1,…,ξN][u]

で 表 わ し, 

か ら 直 和 因 子C[ξ1,…,ξN][u]へ

の 射 影 作 用 素 をΠ[u]と

書 けば,次

の こ と が 成 り立 つ.

 (2.1)  (2.2)

 証 明  補 題1.10と同

様 な の で 省略.■

の定数係数 多項式 を微 分多項 式

 微 分  と呼 ぶ こ とにす る.た だ しwrが

零 また は 正 整 数 の ときに は

を 含 ま な い微 分 多項 式 の み を単 に 微 分 多項 式 と呼 ぶ こ とにす る.微 分 多 項 式 環 の 上へ の,多 項 式 環C[ξ1,…,ξN]か

らwに

関 係 す る同 型 写 像Θwを

 (2.3)

で 定 め る.ま た 記 号"d/dz"に

よ って 微 分 多 項 式 環 の 微 分 で (wrが 零 また は 正 整 数 で あ り か つ  の場 合)

 (2.4) 

(そ の他 の場 合) を 満 た す も の を 表 わ す こ と に す る.こ

の と き(1.15)と

同様 に して

 (2.5)

が 成 り立 つ こ と が わ か る.

  1.2  半 不 変 式 の 定 義 を 述 べ る が,こ ん だw=(w1,…,wN)に   定 義2.1  invariant)とい   Dは

こ で の 半 不 変 式 の 概 念 が,は

じ め に 選

は 依 ら な い こ と に 注 意 し て ほ し い.

C[ξ1,…,ξN]の

元φ

でDφ=0を

満 た す も の を 半 不 変 式(semi

う.

各 ξrにつ

い て の 次 数degξrを

不 変 に し,重

って 多項 式 φ の 分 離 的 同次 か つ 同重 な分 解

さ を1だ

け減 ら す.し

たが

を与えた とき

がDφ

の 分 離 的 同 次 か つ 同 重 な 分 解 に な っ て い る.し

必 要 に し て か つ 十 分 な 条 件 は,す

た が っ てDφ=0と

べ て の分 離 的 同 次 か つ 同 重 な成 分

な る

φd1,…,dN;p

について Dφd1

,…,dM;p=0

と な る こ と で あ る.   半 不 変 式 の つ く るC[ξ1,…,ξN]の 書 け ば,ξrに

つ い てdr次

部 分 環 を〓

同 次 

で 表 わ す. 

か つp重

る ベ ク トル 空 間 を 意 味 す る こ と に す る.こ

と

同重 な 半 不 変 式 の つ く

の と き,上

に 述 べ た こ と か ら〓

の

直 和 分解

の 存 在 が わ か る. 

の 元 を(d1,…,dN;p)-半

  1.3  基 礎 に と った 形 式 的 巾 級 数f1(ξ1￨z),…,fN(ξN￨z)へ 用 を 定 義 し よ う と す る と,zuが

不 変 式 と呼 ぶ.

の 群GL(2)の

多 価 で あ るた め にGL(2)全

単 位 元 の 近 傍 の 作 用 し か 定 義 で き な い.(し

作

体 で は な くそ の

か し我 々 の 目的 に は,そ

れ で十 分

な の で あ る.)   複 素 平 面C上 ん な 複 素 数uに

の 開 円 板{z￨￨z-1￨<1}は 対 し て も,zの

関 数zuの

が 一 価 正 則 で あ る.こ

こ で は,zuと

を 示 す こ と に す る.こ

の と き￨1-δ￨<1と

巾 級 数f1(ξ1￨z),…,fN(ξN￨z)へ  (2.6)

すなわち   (2.7)

原 点Oを

含 ま ず 単 連 結 な の で,ど

各 分 枝(branch)は{z￨￨z-1￨<1}

書 け ば,z-1の

な るGL(2)の

巾級 数 で表 わ され る分 枝

元 

の 作 用 を 次 の 様 に 定 義 す る.

の形式的

に よ っ て  ￨1-δ￨<1と

を 定 め る. 仮 定 し て い る の で(δ+γz)wrは￨δ-1+γz￨<1に

を 中 心 と す る 開 円 板 で 収 束 す る 巾 級 数 で あ る.具

含 まれ る原 点

体 的 に(2.7)のzlの

係 数を

計 算 す れ ば 次 の 様 に な る.   命 題2.1  (2.8)

  証 明   (命題1.1の

証 明 と同 様 で あ る.)(2.7)よ

り

に 注 意 し,p

とお き  の か わ りにl-pを

用 い れ ば,上

の式 は

と な る.■   特 殊 な 形 の 元 に つ い て(2.8)を  系1  (2.9)

 (2.10)

 (2.11)

適 用 す れ ば 次 の 系 を 得 る.

 (2.12)   系2  (2.13)

 (2.14)

 証 明  命 題1.1の

系2と 同様.■

 §2  共 変 式,Robertの

定理

  2.1  共 変 式 の 定 義 を 述 べ よ う   定 義2.3 

C[ξ1,…,ξN]の

元 を 係 数 とす る 形 式 的 巾 級 数

は  (2.15)

を 満 た す と き,(w,u,p)-共 (weight)uを riant)と

指 数(index)と

い う.u=0の

い う.pを と き に は(w,p)-不

共 変 式 の重 さ 変 式(inva

い う.

  (w,u,p)-共

変 式 の つ く る ベ ク トル 空 間 をCw(u,p)と

の 元 を 単 に 共 変 式 と呼 ぶ.次 直 和 因 子Cw(u,p)は   補 題2.3(指 F(ξ;0)は

変 式(covariant)と

の 補 題 に よ って,pが

書 き

零 ま た は 正 整 数 で あ り上 の

可 算 個 で あ る こ と が わ か る.

数 公 式)  F(ξ;z)を(w,u,p)-共

変 式 と す れ ば,そ

の定 数項

半不変式で

の 元 で あ る.   証 明   (補 題1.3の か ら

証 明 と 同 様 で あ る.)F(ξ;z)は(w,u,p)-共

変式 である

 (2.13)よ

り

し た が っ てF(ξ;0)は

をF(ξ;0)の

半 不 変 式 で あ る.ま

た

分 離 同次,同 重 の 多項 式 に よる分 解 とす れ ば,

で あ る か ら,次

の こ とが わ か る.

し た が ってq=pを

得 る.ま

か らΣwrdr=u+2pを

た

得 る.し

た が っ てF(ξ;0)は

の 元 で あ る.■   一 般 に Σwrdr=2pの 外 に は 存 在 し な い.し

整 数 解(d1,…,dN;p)は た が っ て 補 題2.3よ

自 明 な も の(0,…,0;0)以 り,一 般 に は 定 数 以 外 の 不 変 式 は

存 在 し な い こ と が わ か る.   補 題2.4 

F(ξ;z)が

  証 明   補 題1.4と

共 変 式 で あ れ ば,次

同 様 な の で省 略 す る.■

の2式

が 成 り立 つ.

  補 題2.5 

多 項 式 φ(ξ)に つ い て

 (こ こ でfr=fr(ξr￨z)と   証 明   補 題1.5と   定 理2.1 

す る.)

同 様 な の で 省 略 す る.■

(Robertの

とCw(u,p)の

定 理)

間 に は 次 の1対1対

応 が 存 在 す る.

半不変式 

こ こ でfr=fr(ξr￨z)と

共変式

す る.半

不 変 式 か ら共 変 式 へ の 対 応 を

Φw(φ)(ξ;z)=exp(zΔ)φ(ξ) と 書 く こ と に す れ ば,Φwは

半 不 変 式 環〓

か ら 共 変 式 環Cwの

上 へ の環 同 型

に な る.   証 明   定 理1.1と   補 題2.6 

同 様 な の で 省 略 す る.■

多 項 式 φ(ξ)に つ い て

が 成 り立 つ.   証 明   補題1.6と

同 様 な の で 省略 す る.■

  次 の 「半 不 変 式 の 言 葉 か ら共 変 式 の 言葉 へ の翻 訳 規則 」 が つ くれ る こ と も, 定 理1.2の

場 合 と 同様 で あ る.

  定 理2.2  φ,Ψ,φ を 半不 変 式 と し φ が  の 定 数 係 数 多 項 式 φ に よ って

と表 わ され て い る と き,φ に対 応 す る共 変 式 Φw(φ)は

と 表 わ さ れ る.

  §3  半 不 変 式,共

変式の例

  3.1  半 不 変 式 の 定 義 よ り,ξ1(0),…,ξN(0)が か る が,Robertの

定 理 の 意 味 で,こ

式 的 巾 級 数f1(ξ1￨z),…,fN(ξN￨z)で

半 不 変 式 で あ る こ とがす ぐにわ

れ ら に 対 応 す る 共 変 式 は 基 礎 にお い た 形 あ る.つ

ま り

が 成 り立 つ.   2つ の変 数 の 組 ξi,ξjが出 現 す る最 も簡 単 な半 不 変 式 は.

で あ る. 

だ か ら,定 理2.2に

よ りこれ に 対 応 す る

共 変 式 は次 の様 に な る.

  同 次不 変 式 の重 要 な例,終 結 式 につ い て 述 べ よ う.降 巾 の 順 に 書 い た2つ の 多項式

に対 して

を そ の 終 結 式(resultant)と   命 題2.2 

い う が,こ

れ に つ い て 次 の こ と が 成 り 立 つ.

Rn1,n2(ξ1,ξ2)は(n2,n1,0,…,0;n1n2)-半

し た が っ てw1=n1,w2=n2の   証 明   終 結 式Rn1,n2(ξ1,ξ2)は

と き に は(w;n1n2)-不

不 変 式 で あ る. 変 式 に な る.

と 表 わ さ れ る の で,ξ1,ξ2に

つ い て 分 離 的 同 次 式 で あ る.

deg(ui)=deg(υj)=0, weight(ui)=weight(υj)=1 とお い て も deg(ξ1(j))=deg(ξ2(j))=1, weight(ξ1(i))=i,  と 矛 盾 し な い の で,そ

weight(ξ2(j))=j

う定 め れ ば degξ1(Rn1,n2)=n2, degξ2(Rn1,n2)=n1, weight(Rn1,n2)=n1n2, ind(Rn1,n2)=w1n2+w2n1-2n1n2

と な る.

した が ってRn1,n2が 

に よ る変 換 で 不 変 に な る こ とを み れ ば よい.と

こ

は多項式 の根に変換

ろ が 

を 引 き 起 す に す ぎ ず,Rn1,n2が 変 性 が 得 られ る.よ   上 の 命 題2.2は

根 の 差 の 積 で き ま って い る こ とに 注 意 す れ ば 不

っ てDRn1,n2=0.■ 直 ち に 拡 張 す る こ と が で き る.即

ち,一

般 にN個

の 多項 式

の終結式 を

と定義 す れ ば次 の こ とが い え る.   命 題2.3  る.し

半不 変 式 で あ

Rn1…,nN(ξ1,…,ξN)は 

た が っ てw1=n1,…,wN=nNの

  証 明   命題2.2と

と き に は 

不 変 式 で あ る.

同 様 な の で 省 略 す る.■

  3.2  共 変 式 の 重 要 な 例 と し て,Wronski行

列 式 に つ い て 述 べ て お く.

  命 題2.4 φ1(ξ),…,φr(ξ)を

各 々指 数u1,…,urの

は 指 数u1+…+ur-r(r-1)の   証 明   補 題2.1よ

半 不 変 式 で あ る. り,Δlφiは 指 数ui-2lの

φr)が 指 数u1+…+ur-r(r-1)の …

,φr)=0を

半 不 変 式 とす る と き

示 せ ば よ い.と

多 項 式 で あ る か ら,Wr(φ1,…,

多 項 式 で あ る こ と が わ か る の で,DWr(φ1, こ ろ が 補 題2.2よ

り

[D,Δl]φi=l(ui-l+1)Δl-1φi で あ り,Dφi=0で

あ るか ら

し た が っ て 明 ら か にDWr(φ1,…,φr)=0.■   命 題2.5 

F1(ξ;z),…,Fr(ξ;z)を

は指 数u1+…+ur-r(r-1)の

各 々 指 数u1…,urの

共 変 式 で あ る.

  証 明   φi(ξ)=Fi(ξ,0)が

指 数uiの

(「翻 訳 規 則 」)を 命 題2.4に

応 用 し て 証 明 が 終 了 す る.と

び(2.13)よ

り

共 変 式 とす れ ば

多 項 式 で あ る こ とを み れ ば,定

理2.2

こ ろ で 補 題2.4お

よ

つ ま り,φi(ξ)は 指 数uiの

多 項 式 で あ る.■

  §4  半不 変 式 環 の 構 造   4.1  今 ま では,複 素 数 体C上 し て,整 数環zを

で 考 え て来 た が,こ れ か ら しば ら く,一 般 化

含 む標 数 零 の体Kの 上 で 考 え る.は じ め に 選 ぶw1,…wN

はKの 零 で も正 の 整 数 で もな い 元 で あ る もの とす る.   まず 半 不 変 式 の重 要 な具 体 的 系 列 を 示 そ う.理 論 上今 後 重 要 で あ る.   命題2.6

と お け ば,  り,φrl(ξ)は

 証明

は 重 さ1,指 重 さl,指

数(wr-2)lの

数wi+wj-2の

半 不 変 式 で あ る.

半不変式 であ

こ れ よ り Ψij,φrlが 半 不 変 式 で あ る こ と が わ か る.Ψij,φrlに の 重 さ,指   この

数 を み れ ば,重

さ,指

数 に つ い て の 主 張 が い え る.■

Ψij,φr,lを用 い て,K[ξ1,…,ξN]と〓

  命 題2.7 

任 意 のjを1つ

含 まれ る単 項 式

と の 関 係 を 知 る こ と が で き る.

固 定 す る と.

また

  証 明   命 題2.6よ

り

で あ る か ら,

と な る.ま

た

であるので

  §5  sl(2,K)の   5.1  指 数uの

無 限 次 元 表 現,Gramの

指 数 同 次 多 項 式 の つ く る ベ ク トル 空 間 をK[ξ1,…,ξN][u]で

表 わ し,K[ξ1,…,ξN]お

で 示す.こ

定理

よ び〓

れ は微 分 作用 素Hに

の指 数 に よ る直 和 分 解 を

よ る固有 値 分解 に ほ か な らな い.前 の 記 号 を

用 いれば

で あ る.Dは

指 数 を2上 げ,Δ

は指 数 を2だ け下 げ るの で

が 成 り立 つ.   次 にK[ξ1,…,ξN]のsl(2,K)-認 を 証 明 す る た め,sl(2,K)の   Kの

各 元uに

対 し て,リ

Wuは 

容 イ デ ア ル を 特 徴 づ け る,Gramの

定理

無 限 次 元 表 現 を 調 べ よ う. ー 環sl(2,K)の

無 限 次 元 表 現 空 間Wuを

の と き に は 既 約 で あ り,u=0,1,2,…

つ く る.

の と きに は 可 約 に な

る.   命 題2.8 

{el￨l=0,1,2,…}を,K上

す る.Wuの

上に

の 無 限 次 元 ベ ク トル 空 間Wuの

基底 と

を 次 の様 に作 用 させ る.   (2.16)

た だ しe-1=0と れ る.も

す る.こ

し 

の 作 用 は リー 環sl(2,K)の

な ら ば,Wuは

既 約 で あ る.も

ば,Wuを{eu+1+l￨l=0,1,2,…}で l(2,K)の

  証 明   ま ずWuが

よ っ てWuはsl(2,K)-表 お く と,u-l+1=0はl=u+1の

しu=0,1,2,…

な ら

生 成 さ れ る 部 分 空 間 と し た と き,Wuは

表 現 空 間 と し て 既 約 で,W-u-2と

次 元 のsl(2,K)の

表 現 に 線 型 的 に拡 張 さ

同 型 で あ り,Wu/Wuは(u+1)-

表 現 空 間 で あ る. 表 現 空 間 で あ る こ と を 示 そ う,定

現 空 間 で あ る.次

に 

と き に 限 る か ら,

義 よ り

と

また

で あ る か ら,Wuの

任 意 の 零 で な い 元aに

対 し て,あ

る零 ま た は 正 の 整 数n

が あ って

かつ と な る.VをWuの

部 分表 現 空 間 と す れ ば,こ

よ っ て も し 

な ら ばV=Wuと

わ か る.u=0,1,2,… Wuは

な っ て,Wuが

の と き に は{eu+1+l￨l=0,1,2,…}で

表 現 空 間 に な り,そ

が わ か る.Wu/Wuは

の こ と は 

を 示 す. 既 約 で あ る こ とが

生 成 され る部分 空 間

の上 で の 作 用 を み れ ば,W-u-2と同

第1章

型に な る こ と

に 出 て 来 た 有 限 次 元 の 既 約 表 現 空 間 で あ る.

  5.2  リー 環sl(2,K)の

多 項 式 環K[ξ1,…,ξN]へ

の作用を

で 定 義 し,K[ξ1,…,ξN]を

表 現 空 間 と 考 え る.一

般 のw=(w1,…,wN)に

い て は,K[ξ1…,ξN]は

既 約 表 現 空 間 の 直 和 に は な ら な い が,w=(w1,…,wN)

が 次 の 条 件 を 満 た す と き,既 来 る の で,こ

  補 題2.7 

約 表 現 空 間 の 直 和 に な る.何

れ を 条 件(C)と

  条 件(C) 

つ

度 も同 じ条 件 が 出 て

呼 ぶ こ と に す る.

す べ て は 零 で な い,零

も し 

ま た は 正 整 数 の 組(d1,…,dN)に

対 し て,

な ら ば,

 (2.17)

  証 明   K[ξ1,…,ξN][u]の 補 題2.2よ

り

元

φ に つ い て は,ind(Dlφ)=u+2lで

あ る か ら,

  補 題2.8 

w=(w1,…,wN)が

条 件(C)を

と きU[u]で 

満 た し て い る も の と す る.こ

で 生 成 さ れ る,K[ξ1,…,ξN][u]の

の

部分

ベ ク トル 空 間 を 表 わ す と き,  (2.18)

が 成 り立 って い る と仮 定 す る.

 証明 最短な 白明でない線型関係  こ こ に 

は 零 元 で な く,l1
す る.補

ま たlk(u+lk+1)-lj(u+lj+1)=(lk-lj)(u+1+lj+lk)で ら ば,新

題2.2よ

あ るか ら, 

し く で き た 線 型 関 係 は は じ め の も の の 定 数 倍 で な い.こ

つ を 組 合せ れば,mよ

り

り短 か い 関 係 式 が で き て 矛 盾 で あ る.よ

な

の と き に は2 って

Δl1φ1+Δl2φ2=0 よ りΔl1φ1=Δl2φ2=0を

い え ば よ い.条

件(C)よ

り,Kの

元 に対 す る 以外 の

指 数 は 零 で も 正 整 数 で も な い こ と に 注 意 す る.u1=ind(φ1),u2=ind(φ2)と き,Dφ1=Dφ2=0に

  l1
あ る こ と とu2が

は 零 で な い.よ   定 理2.3 

留 意 し て,補

Kの

 (2.19)

順 々に 適 用 す れ ば

零 で も正 整 数 で もな い こ と か らΔl2-l1-1φ2の

っ てΔl2φ2=0.し 元w1,…,wNが

K[ξ1,…,ξN]はw=(w1,…,wN)に

題2.2を

お

た が っ てΔl1φ1=0.矛 条 件(C)を

盾 で あ る.■

満 た す もの と す る.そ

関 す るsl(2,K)の

係数

の とき

表現空間 として

と同 型 で あ る.こ

こに 

与 え られ たsl(2,K)の

はWuの

重 複 度 で あ り,Wuは

命題2.8で

既 約 表 現 空間 で あ る.ま た

 (2.20)

が 成 り立 つ.   証 明   条 件(C)よ

りKの

よ って 

元 に 対 す る以 外 の 指 数 は 零 で も正 整 数 で もな い.

の 元φ

と お け ば,補

題2.2よ

に対 して

り

ま た φ(l)(l=0,1,2,…)K上

線 型 独 立 で あ る か ら,{φ(l)￨l=0,1,2,…}で

成 さ れ る ベ ク トル 空 間 はWuと は,命

題2.8に

同 型 な 既 約sl(2,K)-表

よ り,Uで 

に は 各 指 数uに

現 空 間 で あ る.こ

れ

で 生 成 さ れ るK[ξ1,…,ξN]の

ベ ク トル 空 間 を 表 わ し た と き

と 同 型 で あ る こ と を 示 す.し

生

,Uがsl(2,K)-表

現 空 間 と して

た が っ てU=K[ξ1,…,ξN]を

示 せ ば よ い.こ

れ

ついて U[u]⊃K[ξ1,…,ξN][u]

を 示 せ ば よ い.任 と な る の で,Dφ

意 の 元 φ に 対 し て,零 ∈U[u+2]な

らば

ま た は 正 整 数nが

φ∈U[u]が

あ って

 

証 明 さ れ れ ば よ い.2つ

の場合

に わ け て 考 え る.  

Case ⅰ) 

この とき に は

と お く こ と が で き る.φ

∈K[ξ1,…,ξN][u],Dφ

Uはsl(2,K)-不

で あ る の で,ΔlDlφ

補 題2.7よ

変 空間 り 

よ って

φ ∈U[u].

∈U[u+2]と

す れ ば,

∈U∩K[ξ1,…,ξN][u]=U[u]

.ま

た

 

Case ⅱ) 

u=-2,-3,-4,….こ

た は 正 整 数 で あ る.Dφ

の と き,n=-u-2と

∈U[u+2]を

お け

満 た すK[ξ1,…,ξN][u]の

ば,nは

元

φ

零 ま

を と り,

と 表 わ し て お く.

と す れ ば,補

題2.2よ

一 方 

り

か つnは

ば 

零 また は 正 整 数 で あ る

零 な ら ば 

れ の 場 合 に も ψn=0と で φ∈U[u]が   定 義2.4 

件(C)よ

り正 整 数 な ら

な る.こ

れ は 

を 示 す.ψ ∈U[u]で

ず

あ るの

い え た.■ K[ξ1,…,ξN]の

き,sl(2,K)-認 と 呼 ぶ.こ

.条

に は 定 数 項 は あ ら わ れ な い か ら,い

イ デ ア ルaがXa⊂a(X∈sl(2,K))を

容 イ デ ア ル とい う.Ha⊂aを

の 条 件 は 

  定 理2.3の

満 たす と

満 た す と き,指

数同次イデアル

と 同 値 で あ る.

系 と し て,sl(2,K)-認

容 イ デ ア ル を 特 徴 づ け るGramの

定理を

証 明 す る.   定 理2.4(Gramの

定 理)  条 件(C)を

(2,K)をK[ξ1,…,ξN]に い て,次

の2つ

満 た すw=(w1,…,wN)を

作 用 さ せ た と き,K[ξ1,…,ξN]の

つ

は 同 値 で あ る.

 ⅰ) aはsl(2,K)-認

容 イ デ ア ル で あ る.

 ⅱ)  指 数 同 次 な 半 不 変 式 の 集 合{φλ￨λ ∈Λ}が …;λ ∈Λ}か

と りsl イ デ ア ルaに

あ っ て,aは{Δlφλ￨l=0,1,2,

ら イ デ ア ル と して生 成 され る .

  証 明  ⅰ) を 仮 定 す れ ばaがsl(2,K)-不

と表 わ さ れ る.こ

れ はⅰ)か

らⅱ)が

変 部 分 空 間 で あ る の で,定

出 る こ と を 示 す.ⅱ)を

理2.3よ

り

仮 定 す れ ば,aの

元は

の 形 の 元 の 線 型 結 合 で あ る.こ

の φΔlφλ へ のH,D,Δ

の 作 用 を 調 べ て み る と,

こ れ はHa,Da,Δa⊂aを

示 す.故

  こ の 定 理 とRobertの

にaはsl(2,K)-認

容 イ デ ア ル で あ る.■

定 理 と か ら 出 る 次 の 定 理 も,Gramの

定 理 と呼 ぶ こ

と に す る.   定 理2.5(Gramの K[ξ1,…,ξN]の 件 は,あ

定 理) w=(w1,…,wN)が イ デ ア ルaがwに

関 し てsl(2,K)-認

る 指 数 同 次 な 半 不 変 式 集 合 が あ っ て,aは

る 共 変 式 の 係 数(zの

条 件(C)を

形 式 的 巾 級 数 と し て の)か

満 た す と き,

容 に な る必 要 十 分 条

そ れ ら の半 不 変 式 に 対 応 す らイ デ ア ル とし て生 成 され る

こ と で あ る.

 証明 半不変式φに 対応す る共変式は 

で 与 え られ るか ら で あ

る.■

  5.3  Cayley-Sylvesterの

個 数 定 理 が 成 り立 つ こ と を い お う.ξ1,…,ξNに

い て そ れ ぞ れd1,…,dN次

同 次,p重

(d1,…,dN;p)で

表 わ せ ば,前

また

で あ る か ら,定

した が って

一 方   (2.21) とお け ば

 (2.22)

理2.3よ

り

同 重 多 項 式 の つ く る ベ ク トル 空 間 をV

の 記号 で

つ

と お け ば,dimV(d1,…,dN;p)=φd(t)のtpの …,dN)

.今 

係 数 と な る.た

と し て,(x1,…,xN)の

い る と,(2.22)よ

かわ

だ しd=(d1,

り に(x1,…,txi,…,xN)を

用

り

両 辺 のx1d1…xNdNの

φ0,…,0(t)≡1で

係 数 を 比 較 して

あ る か ら,

を 得 る.こ れ は 次 の定 理 の 証 明に な って い る.   定 理2.6  (個数 定 理) のtpの

 

はw=(w1,…,wN)の

係 数.

と り方 に よ ら な い の で,上

の個 数 公

式 は い つ で も成 り立 つ.   次 のK[ξ1,…,ξN]の

素 イ デ ア ル に つ い て の,sl(2,K)-認

後 で 半 不 変 式 を 保 型 形 式 に 応 用 す る と き,大   定 理2.7 

K[ξ1,…,ξN]の

容 性 の 十 分 条 件 は,

切に な る.

素 イ デ ア ルpが,次

の 条 件 を 満 た す も の とす る.

 ⅰ) Δp⊂p, ⅱ) ⅲ)  ⅳ)  K[ξ1,…,ξN]/pは  そ の と きpはsl(2,K)-認

上 代 数 的 で な い. 容 イ デ ア ル で あ る.

  証 明   pで  ル を 表 わ す.  定 理2.4の る.こ

で 生 成 さ い るK[ξ1,…,ξN]の で あ る か ら 

後 半 と 同 じ証 明 で,pはsl(2,K)-認容

こ でw=(w1,…,wN)が

p⊂p,か

つ 

よ り,負

で な い 整 数m,kが

の 表 示 を 得 る.

条 件(C)を を 満 た す.pの 存 在 し れ,〓

イデア

が 指 数 同 次 で あ る .Gramの イ デ ア ル で あ る こ とが わ か 満 た す 必 要 は な い.つ

く り方 か ら

任 意 の 元 φ を と った と き,命 の 元 

題2.7

を 係 数 と して 次

φl,ξ1(0),0で

φl,ξ1(1),0のmodpの

と な る.仮

定 に よ り ξ1(1)は 

を 得 る.す

な わ ち 

な る.こ

類 を表 わ せ ば

上 代 数 的 で は な い か ら,  し た が っ て 

れ は(ξ1(0)… ξN(0))mφ∈pを

Dξj(0)=0で

と

意 味 す る.pはsl(2,K)-認

容 で あ り,

あ る の で,

pは

素 イ デ ア ル で あ り, 

pを

示 す.前

と仮 定 し た か ら,Dφ

にHp,Δp⊂pが

∈p.こ

れ はDp⊂

仮 定 し て あ っ た か ら,pはsl(2,K)-認

容であ

る.■   定 理2.7もw=(w1,…,wN)に

条 件 を つ け な く て 成 り立 つ こ とに 注 意 す る.

  5.5  K[ξ1,…,ξN]の1を (2,K)-認

含 む 部 分 環 で,sl(2,K)の

容 部 分 環 と い う.K[ξ1,…,ξN]の

か わ り に,sl(2,K)-認

用 い て も 多 くの こ とが そ の ま ま 成 り立 つ.例   定 理2.8(Robertの sl(2,K)-認

容 部 分 環Aを  

とす れ ば, 

とCAは

  証 明   K[ξ1,…,ξN]に   定 理2.9(Gramの と す る.そ

作 用 で 不 変 な も の をsl 容部分環を

えば

定 理) w=(w1,…,wN)に

対 す る,K[ξ1,…,ξN]の

と り, CA={Aに

係 数 を も つ 共 変 式 の 全 体}

次 の 写 像 で 環 同 型 で あ る.

対 す るRobertの 定 理) w=(w1,…,wN)が

の と き,sl(2,K)-認

定 理 をAに

制 限 す れ ば 出 る.■

条 件(C)を

容 部 分 環 の イ デ ア ルaに

満 た して い る

つ い て,次

の条 件 は

同 値 で あ る.  ⅰ) aはsl(2,K)-認  ⅱ) 

容 イ デ ア ル で あ る.

の 指 数 同 次 な 元 の あ る 集 合{φ λ￨λ ∈Λ}が {Δlφ λ￨l=0,1,2,…;λ ∈Λ}か

  証 明   K[ξ1,…,ξN]に

あ っ て,aは

ら イ デ ア ル と し て 生 成 さ れ る.

関 す るGramの

定 理 の 証 明 と同様 で あ るの で 省略 す

る.■   sl(2,K)-認

容 部 分 環 の 典 型 的 例 と し て,Plucker座

選 ぶw1,…,wNを

と お く.補

題2.1よ

を 得 る.し る.これ

標 環 が あ る.は

す べ て 等 し く,w1=…=wN=wと

り

た が っ て 部 分 環K[(ηl1,…,lM)l1<…
をPlucker座

理,Gramの

じめ に

と り,

標 環 と 呼 ぶ.Plucker座

定 理 が 成 り立 つ こ と が,定

標 環 に 対 し て も,Robertの

理2.8,2.9よ

標環 は 構 造 の よ くわ か った 環 で あ る の で,そ

容部分環であ 定

りわ か る.Plucker座

こ に 係 数 を も つ 半 不 変 式,共

変式

を 詳 し く調 べ る こ とが で き る.   K[ξ1,…,ξN]のsl(2,K)-認

容 イ デ ア ルaに

関す る剰 余環

R=K(ξ1,…,ξN]/a に 対 して

CR={共 と お く.こ

変 式 の 係 数 をmodaの

の 場 合 に もRobertの

 §6  微 分 イ デ ア ル,係   6.1  簡 単 な た め,は とす る.ま

た

剰 余 類 で 置 き換 え た も の}

定 理,Gramの

定 理 が 成 り立 つ.

数 イデアル じめ に 選 ぶKの

元w1,…,wNは

零 で も正 整 数 で もな い

と 表 わ す こ と に す る.そ

の と き3つ

の 環 の 間 に 次 の 同 型 が 成 り 立 つ,

こ こに

また 微 分 作 用 素 の 間 に は

の 関 係 が あ る.補

題2.6よ

り 多 項 式 φ(ξ)に 対 し て

が 成 り立つ.   定 義2.5  AをK上

の 可 換 環 と し, 

をAの

元

とす る.形 式 的巾 級 数 の 組

に 対 し てK[ξ1,…,ξN]の の イ デ ア ルUを

イ デ ア ルaと,K[y1,y1(1),y1(2),…,yN,yN(1),yN(2),…]

次 の 様 に 対 応 さ せ る.aはK上 のK[ξ1,…,ξN]に

K上

お け る 核(kernel)と

の 準 同 型 

の 組(f1(a1￨z),…,fN(aN￨z))の

お け る 核 と し て 定 め る.aお

よ びUを

よ びUを

形 式 的巾

級 数

係 数 イ デ ア ル お よび微 分 イ デ ア ル と呼 ぶ こ と

に す る. aお

し て 定 め る.Uは のK[y1,y1(1),y1(2),

… ,yN,yN(1),yN(2),…]に

  命 題2.9 

の 準 同 型 

形 式 的 巾 級数 の組

の 係 数 イ デ ア ル お よ び 微 分 イ デ ア ル とす る.a*をaに

含 ま れ る 最 大 なΔ-認 容

イ デ ア ル と す れ ば,Θw(a*)=U.   証 明   補 題2.6よ

り,多

項 式 φ につ い て

よ って

こ れ はΘw(φ)∈Uと

な る 必 要 十 分 条 件 がΔlφ(ξ)∈a(l=0,1,2,…)で

と を 示 す.{φ￨Δlφ ∈a,l=0,1,2,…}は

明 ら か にaに

ある こ

含 ま れ る 最 大 のΔ-認

容

イ デ ア ル で あ る.■   命 題2.10 

pをK[ξ1,…,ξN]の

素 イ デ ア ル,p*をpに

Δ-認 容 イ デ ア ル と す れ ば,p*も   証 明   aj(l)で の で,形

ξj(l)のmodpの

類 とす れ ば,K[ξ1,…,ξN]/pは

式 的 巾 級 数 環K[a1,…,aN][[z]]は

右 辺 はK[a1,…,aN][[z]]の p*は

 

6.2 

ま た 整 域 で あ る.前

部 分 環 で あ る の で,零

整域で ある の 命題 か ら

因 子 を もた な い.よ

って

素 イ デ ア ル で あ る.■

K[y1,y1(1),y1(2),…,yN,yN(1),yN(2),…]の

と な る イ デ ア ル)に

対 し て,適

Δ-認 容 イ デ ア ル で あ る が,う 容 と な り,ま

  例 え ばmを2よ

微 分

当 なw=(w1,…,wN)を

に 同 型 写 像 に よ る 像a=Θw-1(U)を

にH-認

含 まれ る最 大 の

素 イ デ ア ル で あ る.

選 ん でK[ξ1,…,ξN]

考え る と便 利 な こ と が あ る.Θw-1(U)は

ま くw=(w1,…,wN)を

たsl(2,K)-認

イ デ ア ル 

選 ん でｩΘw-1(U)が

容 に な る 場 合 は 好 都 合 で あ る.

り小 さ くな い 整 数 と し, 

同 次 多 項 式 と す る と き,w1=…=wN=2(1-m)-1と

をm次 おけ ば 微 分 イ デ ア ル

更

のΘwに

よ る逆 像 は

とな る.指 数 を計 算 す る と

と な り,生 成 元 はK[ξ1,…,ξN]の H,Δ-認

容 イ デ ア ル で あ る.保

指 数 同 次 の 元 と な る.よ

っ てΘw-1(a)は

型 形 式 に 対 応 す る 微 分 イ デ ア ル は,sl(2,K)-

認 容 イ デ ア ルに 対 応 す る 例 で あ る.こ

れに つ い て は 後 で 詳 し く取 り扱 う.

第3章  半不変式 と1変 数保型形式

  この章 で は半 不 変 式 と保 型 形式 の 関連 性 に つ い て組 織 的 に解 明 し,保 型 形式 を 規定 す る 非線 型 定 数 係 数常 微 分方 程 式 系 に つ い て論 じ る.初 等 関 数や 楕 円 関 数 そ の 他 多 くの特 殊 関数 は それ らの満 足す る微 分 方 程 式 に よ って特 徴 づ け られ るが,保 型 形 式 も定 数 係 数 の1階 お よび2階 の 非線 型 微 分方 程 式 の 原 点 の 近 傍 に お け る有 理 型 解 と して 特 徴 づ け る こ とが で き る.こ の 章 の 内 容 は 形 式 的 巾 級 数 で は な くて,あ

る点 の 近 傍 で 収 束 す る級 数 を 取 扱 うの で本 質 的 に 解 析 的 で あ

る とい って よい.   保 型 形 式 論 と不 変 式 論 で は 同 じ言 葉 で 違 う内容 を さ し混 乱 す る の で,こ は 通 常 「-k次

元 の 保型 形 式 」 と呼 ば れ て い る もの を 「指 数-kの

こで

保型 形

式 」 と呼 び,用 語 の 統 一 を 計 る こ とに す る.

  §1 Schwarz微

分

  1.1  この 章 で 重 要 な 役 割 を す る,Schwarz微   定義3.1  独 立 変 数 τ,従 属 変 数zに

と お き,zの

  Schwarz微

τ に 関 す るSchwarz微

分 に つ い て の,最

分 に つ い て説 明す る.

対 して

分 と い う.こ

こに

も重 要 な定 理 を 述 べ よ う.

 定 理3.1  複 素 平 面 上 の単 連 結 な 領域 Ω で,正 則 な 関 数Q(τ)が て い る もの とす る.(p1(τ),p2(τ))を2階

線型微分方程式

 (3.1)

の1つ

の 基 本 解(fundamental

は3階 微分方程式

solution)と

す る と き,そ

の比

与え られ

  (3.2) 

{z,τ}=Q(τ)

を 満 た す.逆

にz(τ)をΩ

の 点 τ0で 正 則 な(3.2)の

線 型 独 立 な 解p1(τ),p2(τ)が

と表 わ さ れ る.そ

解 と す れば,(3.1)の

あ って

の 時p1(τ0)=1と

す れ ば,(p1(τ),p2(τ))は

唯 一 通 りに 定

ま る.   証 明   (p1(τ),p2(τ))を(3.1)の

基 本 解 とす れ ば,

で あ る か ら,

よ って

と仮 定 し て一 般 性 を 失 わ な い.こ

うす れ ば

で あ る か ら,

よ っ て 前 半 が 証 明 さ れ た.逆 z(τ)と

し,そ

は τ=τ0で

に3階

微 分 方 程 式(3.2)の

τ=τ0で

の τ0に お け る 初 期 値 をz(τ0),z′(τ0),z″(τ0)と

正 則 で あ る か ら, 

本 解 で 初期 値 が

で あ る.線

正則な解を す る.z(τ)

型 微 分 方 程 式(3.1)の

基

と な る も の を 選 ぶ.こ

の と き 

を示 そ う.そ のた め に は 初 期 値 が

一 致 す る こ と を み れ ば 十 分 で あ る .(p1(τ),p2(τ))の

τ0に お け る 初 期 値 を 用

い て,

 特 に微 分 方 程 式y″=0の

解 は τ の1次 式 で あ るか ら,次 の 系 が 得 られ る.

  系 

と な る 必 要 十 分 条 件 は{z,τ}=0で

る.   Schwarz微

分 に つ い て の 基 本 的 な 公 式 を あ げ て お こ う.

  命 題3.1  (3.3)

 (3.4)

 (3.5)

 (3.6)

 証 明  最 初 の式 か らは じめ よ う, 

で あ る か ら.

あ

第1式 が 証 明 で きた.こ

また 

の式 を 使 って

とお け ば

と書 くとき

最 後 の 式(3.6)は(3.5)に

τ の か わ りに 

を 代 入 して

 1.2  次 の 公 式 は 応 用 上 重 要 で あ る.  命 題3.2 

 (3.7)

等 式 

を 仮 定 す れ ば,次

の式 が成 り立 つ,

 

 証 明 

と お け ば,

よ って

  公 式(3.7)は

次 の 系 の 形 で 応 用 す る こ とが 多 い.

  系   恒 等 的 に 零 で な い 関 数 の 組(h(z),φ(τ))に

が 成 り立 つ とき,次 の2つ の主 張 は 同値 で あ る. (ⅰ)

つ い て,等

式

  (ⅱ) {z,τ}=0.

  §2  保 型 形 式 と 共 変 式   2.1  ま ず 保 型 形 式,保 型 関 数 の 定 義 か ら は じ め よ う.複 素 数 平 面Cに 点 ∞ を 加 え た 球 面 をCと C-{0}で

はz-1が

無限遠

書 き,リ ー マ ン 球 面 と 呼 ぶ.C=C-{∞}で

局 所 座 標 に な っ て い る.Cに

と し て 作 用 し て い る.こ

はzが,

はSL(2,C)が1次

の 作 用 の 核(kernel)は

±1で

分数 変 換

あ る の で,

PSL(2,C)=SL(2,C)/±1 とお い て 射 影 特 殊 線 型 群PSL(2,C)がCに   PSL(2,C)の

部 分 群Γ

discontinuous)に の 点z0に

作 用 す る と も い う.

がCの

領 域(domain)Ω

作 用 す る と は,Γ

対 し て,集

合{σ(z0)￨σ

の 元 はΩ

∈Γ}がΩ

に 真 性 不 連 続(properly

をΩ

の 上 に 写 像 し,Ω

の任 意

の 内 部 に 集 積 を もた な い こ と で あ

る と定 義 す る.   が 等 し い 固 有 値 を もつ と き,σ う,そ

の 不 動 点(fixed

point)(σ(a)=aと

  Γ に 放 物 型 の 元 が あ っ て,aが 物 型 不 動 点,ま

た は 尖 点(cusp)と

呼ぶ.定

に は,自

はD/Γ

Γ の放

義 か ら 明 ら か に 尖 点(cusp)は

Γ

の 尖 点 の 全 体} 然 に リー マ ン 面(1次

が 入 る(複 素 関 数 論 の 教 科 書 を 参 照).こ 空 間D/Γ

放 物 型 不 動 点 と い う.

含 ま れ な い.

D=D∪{Γ 空 間D/Γ

な る 点)を

あ る とい

そ の 不 動 点 に な っ て い る と き,aを

が 真 性 不 連 続 に 作 用 す る 領 域Dに

と お く と,商

は 放 物 型(parabolic)で

れ を(D,Γ)の

の 中 で 稠 密 な 領 域 を な し て い る.D/Γ

元 複 素 多 様 体)の

構造

リー マ ン 面 と 呼 ぶ.商 が コ ン パ ク トな リー

マ ン 面 の と き が 重 要 で あ る.   定 義3.2  でpの

リ ー マ ン 面mに

局 所k次

座 標zの

け な い. 

と る.kを

有 理 型 微 分(meromorphic

有 理 型(局

る と 定 義 す る.こ

点pを

所)関 こ で2つ

数h(z)を

整 数 と し た と き,pの

differential

用 い て,h(z)dzkと

of degree

まわ り k)を

局所

表 わ され る もの で あ

の 表 示 が 等 し い と い う条 件 を 定 め て お か な け れ ば い と な る と き,か

つ そ の と き に か ぎ り,h(z)dzk=

φ(τ)dτkと 定 義 す る.こ わ ち,m=∪

れ でm上

α(Uα;zα

のk次

有 理 型 微 分 の 概 念 が 確 立 し た.す

を 局 所 座 標 と す る 座 標 近 傍)と

し,Uα

で のzα

有 理 型 関 数 の 組(hα(zα))が  き,1つ

のm上

  定 義3.3 

の1つ

Cの

し,(D,Γ)の

マ ン 面mのk次 2kの

有 理 型 微 分 が 定 義 さ れ る.

真 性 不 連 続 に 作 用 す るRSL(2,C)の

リー マ ン 面m=D/Γ=(D∪{Γ

トで あ る と す る.Dの

有 理 型 保 型 形 式(meromorphic

し か も た な い と き,h(z)を form)と

い う.こ

φ(t)dtkと

整 数kに

automorphic

微 分h(z)dzkが

の 点pの

お い て φ(t)のpに

は コ ンパ ク

関 し て,h(z)dzkが

form)と

呼 ぶ .特

整 保 型 形 式(integral 局 所 座 標 をtと

リー

Γ に 関 す る 指 数-

高 々 尖 点 の と こ ろ で だ け,k位

指 数-2kの

こ でm上

部分群 を Γ と

の 尖 点 の 全 体})/Γ

有 理 型 関 数h(z)と

有 理 微 分 に 拡 張 さ れ る と き,h(z)は

正 整 数 の と き,k次

の

を満たす と

のk次

領 域Dに

な

にkが 以下の極

automorphic

書 い た と き,h(z)dzk=

お け る 極 の 位 数 を,h(z)dzkの

Γ におけ る

極 の 位 数 と い う こ と に す る.

に 注 意 す れ ば,  (3.8) が,h(z)dzkがk次 はh(z)が

指 数-2kと

  定 義3.4  dzkが,各

微 分 に な る 条 件 で あ る こ と が わ か る.し

群

Γ に 関 す る 指 数-2kの

尖 点(cusp)の

か もた な い き,指   整 形 式,尖

な る た め の,必

数-2kの

要 条 件 で あ る こ と に な る. 整 保 型 形 式h(z)で,k次

リー マン 面 上 の 像にお い て,高 尖 点 形 式(cusp

点 形 式 を 判 別 す る た め,尖

る 標 準 局 所 座 標 の 組 を 導 入 し よ う.aを

た が っ て(3.8)

form)と

々(k-1)-位

微 分h(z) の極 し

呼 ぶ.

点 お よ び そ の リーマ ン 面 上 の 像にお け Γ の 尖 点 と す る と き,適

当に複素数

cを 選 ん で

と お け ば,aは

∞に 移 り,σ-1Γ σ の 元 で ∞ を 不 動 点 と す る も の の つ く る 部 分

で生 成 され る無 限群 に な る様 に で き る.こ の とき 

群が  て,(z1,q)を kを

尖 点aお

正 整 数 と し,h(z)を

分 を3通

とお い

よ び そ の 像 に お け る 標 準 局 所 座 標 と呼 ぶ こ とに す る. Γ に 関 す る 保 型 形 式 に す る.ま

た 対応 す るk次

微

りに. h(z)dzk=g(z1)dz1k=φ(q)dqk

と 表 わ し て お く.

であ るの で,h(z)が 数 とし てq=0で

整保 型 形 式(尖 点 形 式)で あ る こ とは,g(z1)がqの 正 則(正 則 か つq=0で

零 点 を もつ)な

関

こ と と同 値 で あ る.

  2.2  保 型 形 式 と半 不 変 式 の 関 係 を み る上 で 次 の 補 題 は 有用 で あ る.   補 題3.1  (3.9)

  証 明  lに つ い て の帰 納 法 で 証 明す る.l=0の を 仮 定 し て,l+1の

に注意すれば

場 合 を証 明す る.

と きは 自明 で あ る.lの

とき

また

で あ るか ら,結 局

を 得 る.■   定 理3.2 

Γ を 領 域Dに

k1,…,kNを

正 整 数 と し,w1=-2k1,…,wN=-2kNと

を そ れ ぞ れ 指 数-2k1,…,-2kNの

真 性 不 連 続 に 作 用 す るPSL(2,C)の

部 分 群,

お く.h1(z),…,hN(z)

Γ に 関 す る 保 型 形 式 と し,φ(ξ1(0),ξ1(1),

…

,ξN(0),ξN(1),…)を(d1,…,dN;p)-型

の 元)と

す る.変

数

の 半 不 変 式(〓(d1,…,dN;p)

ξj(l)の か わ り に

を φ に 代 入 し た も の をΦφ,h1,…,hN(z)と -2(Σdjkj+p)保

書 け ば,Φφ,h1,…,hN(z)は

型 形 式 で あ る .h1(z),…,hN(z)が

整 保 型 形 式 に な る.そ

の と き 特 に φ の 重 さpが

 証 明 

Γ の指 数

整 保 型 形 式 な ら ば,ま

た

零 で な け れ ば 尖 点 形 式に な る. と お い て,補

題3.1よ

り

 に 対 し て,

φ は ξ1,…,ξNに つ い て,そ らt=-γ(γz+δ)-1と

れ ぞ れd1,…dN次

おいて

同 次,p重

同重半不変式だか

aを

尖 点 と し, 

と し,

とお け ば,計 算 し て

を 得 る.対 応 す る ∞ を固 定 す る元 を 

に な る よ うにcを

と お く と き,Ψ(q)の g1(z1),…,gN(z)はq=0の

ま わ り で,有

選 び, 

様 子 を 調 べ れ ば よ い.

であ

理 型 で あ り, 

るので

と書 け る.  有 理 型,し 指 数-2rの

(j=1,2,…,N;l=0,1,2,…)がq=0の

た が っ てΨ(q)が

まわ

有 理 型 で あ る こ と が わ か る.こ

りで

れ よ り Φ(z)が

Γ に 関 す る 保 型 形 式 で あ る こ とが 示 さ れ た.h1(z),…,hN(z)が

整 保 型 形 式 と 仮 定 す れ ば,g1(z1),…gN(z1)はqの

関 数 と し てq=0の

まわ

りで 正 則 で あ る.

であるので

は ま たq=0の る.と

ま わ りで 正 則 に な る.そ

こ ろ がh1(z),…,hN(z)は

の と き 

な ら ば,q=0は

整 保 型 形 式 に な る の で,こ

ま た 整 保 型 形 式 で あ る こ と を 示 し て い る. 

零点 であ

の こ と は Φ(z)が

の と き に は Φ(z)は

尖点形式

で あ る こ と が わ か る.■   一 般 に,代

数 多 様 体 の 部 分 集 合Sに

体 の こ と をSのZariski Zariski

closure上

  定 理3.3 

closureと

対 し て,Sを 呼 ぶ.S上

含 む 最 小 の部 分 代 数 多 様 で 零 に な る 多 項 式 はSの

で も 常 に 零 に な る こ と を 注 意 し て お こ う.

h1(z),…,hN(z)を

Γ に 関 す る 保 型 形 式 とす る .も

指 数 が そ れ ぞ れw1=-2k1,…,wN=-2kNの し Γ のZariski

closureがPSL(2)に

一致

す れ ば,(h1(z),…,hN(z))に

の微

対 応 す る 

分 イ デ ア ル は,w=(w1,…,wN),に関   証 明   (h1(z),…,hN(z))に

し てsl(2)-認

容 で あ る.

対 応 す る イ デ ア ル をaと

す る.aの

元

に変換

を 行 え ば,補

題3.1よ

り

こ こ でs=γz+δ,t=-γ(γz+δ)-1と

と な り,s,tに (2)だ

お け ば

つ い て の 代 数 方 程 式 と み な せ る.Γ

と 仮 定 さ れ て い る の で,s=1,tは

こ の 式 を 環 同 型Θwを

使 っ てC[ξ1,…

とな る.微 分 作 用 素Dの

のZariski

closureがPSL

変 数 と み な し て よ い.よ

ξN]に

って

も どせ ば

定義より のtの

よ って DF(…,ξj(l),…)∈Θw-1(a) を 得 る.ま

た

係数

なので ΔΘw-1(a)⊂Θw-1(a) し た が っ て,Θw-1(a)はsl(2)-認 がw=(w1,…wN)に   定 理3.4 

容 イ デ ア ル で あ る こ と が わ か る.こ

関 し てsl(2)-認

h1(z),…,hN(z)を指

Γ に 関 す る 保 型 形 式 と し,Γ す る.定

れ はa

容 で あ る こ と を 示 し て い る.■

数 が そ れ ぞ れw1=-2k1,…,wN=-2kN,の のZariski

closureはPSL(2)に

一 致す ると

数係数微分多項式

を Γ に 関 す る-2m次

の保 型 形 式 とす れ ば,

を 満 た すw=(w1,…wN)に

関 す る 指 数-2mの

半不変式

φ(…,ξj(l),…)が

存 在 す る.   証 明   後 半 でt=0と

が 指 数-2mの

適 用 で き る.す

の 条 件(C)を

一方

し て よ い こ と が わ か る.今

満 た す.よ

ってmは

存 在 して

は 線 型 独 立 に な る.補

題2.2よ

負 の

正 整 数 で あ り,定

な わ ち 指 数 が そ れ ぞ れ-2m,-2(m-1),…,-2の

変 式 φ0(ξ),…,φm-1(ξ)が

か つΔkφk 

指 数 は-2mと

Γ の 保 型 形 式 で 定 数 で は な い とす る.今,w1,…,wNは

整 数 な の で,第2章 2.3が

お い てF(ξ)の

り

理

半不

が 指 数-2mの

保 型 形 式 であ る こ とか ら,

こ の 式 はs=γz+δ,t=-γ(γz+δ)-1に のZariski い て よい.す

つ い て の 代 数 方 程 式 と み な せ る が,Γ

closureがPSL(2)に

一 致 す る こ と か ら,「s=1,tは

なわ ち変 数 に つ い て

こ の式 のtの1次

の 係 数 も零 に な るが,そ れ は

に 等 し い.(h1(z),…hN(z))に

対 応 す る 微 分 イ デ ア ル をaと

とは DF(ξ)∈Θw-1(a) を 示 し て い る.よ

また

変 数 」 とお

って前 に 計 算 して お い た 結果 か ら

 

よ り

とおけ ば F(ξ)=φ0(ξ)+φ(ξ),

書 け ば,上

のこ

だ か ら,半

  定 理3.5 

不 変 式 φ0(ξ)を とれ ば,

Γ のZariski

closureがPSL(2)に

る 保 型 形 式h1(z),…hN(z)の

一 致 す る と き,Γ

共 変 式 環 はh1(z),…,hN(z)の

に 関す

定 数 係 数微 分 多

項 式 の 形 の 保 型 形 式 の 全 体 に 一 致 す る.   証 明   Robertの

定 理 と 定 理3.4の

直 接 の 結 果 で あ る.■

  §3  保 型 形 式 を 規 定 す る 微 分 方 程 式   3.1  Schwarz微   命 題3.3  を2階

Q(τ)を

分 の 話 に も ど ろ う. Γ に 関 す る 指 数-4の

保 型 形 式 と し,(p1(τ),p2(τ))

微 分 方程 式

の基 本 解 とす る.

と お い た と き,Γ

か らPSL(2)へ

の準 同型

が あ って

と な る.   証 明   Schwarzの

定 理(定

Γ に 対 し て 公 式(3.6)を

理3.1)よ

使えば

りQ(τ)={z(τ),τ},よ

っ て 

つ ま り,Q(τ)が

を 得 る.ま

Γ の 指 数-4の

た 公 式(3.3)よ

保 型 形 式 で あ る こ とか ら

り

した が って

これ は

α*,β*,γ*,δ*が

存在

して

を 示 し て い る.■

 以上 の準 備 の下 に,指 数-2の

保 型 形 式 系 を 規 定す る微 分 方 程 式 を 求 め て み

よ う.

  定 理3.6 

原 点 の 近 傍 で 正則 な 関 数 の ベ ク トル(h1(z),…hN(z))が

次 の条

件 を 満 た す も の と す る.   1)  写 像z→(h1(z),…,hN(z))は,原 間 内 の 代 数 曲 線Vへ   2) 

の(像

が1点

点 の 近 傍 か ら(N-1)-次 で な い)正

3次 同 次 多 項 式Fij(X1,…,XN) 

式Gj(X1,…,XN) 

元射 影 空

則 写 像 で あ る. お よび4次

同次多項

が あ って

  (3.10)

 (3.11)

この とき 複素 球面 の領 域Dと,そ 分群 Γ が 存 在 して,hj(z)  型 形 式 に な る.ま たV上 一 致 す る.

の上 に 真 性 不 連 続 に作 用 す るPSL(2)の はΓ

に関 す る 指 数-2の

部

有理型保

の有 理 関 数 体 は Γ に関 す る保 型 関 数 のつ く る体 と

 証 明 原点を少 し動か して

と 仮 定 し て も 一 般 性 を 失 わ な い.そ zは

うす る とh(0)はV上

そ の 点 の 近 傍 で の 局 所 座 標 とみ な せ る.Riemannの

板B1={τ1￨￨τ1￨<1}に か らVか

の 正 則 点 に な り, 写 像 定 理 よ り単 位 円

真 性 不 連 続 に 作 用 す るPSL(2)の

部分群

Γ1と,B1

ら有 限 個 の 点 を 除 い た も の の 上 へ の 正 則 写 像 π1が あ っ て,π1は

空間B1/Γ1と

π1(B1)と

の 間 の 双 正 則 変 換 を 与 え る.原

こ と に よ っ て 原 点 の 像h(0)は と τ1はh(0)に

お け る2つ

π1(B1)に

点 を ま た 少 し動 か す

ぞ くす る と し て よ い.し

の 局 所 座 標 に な る.条

商

件2)の

た が っ てz

は じめ の 部分 よ り

必ず あ るiが あ って

で あ るの で,上 の 式 は

と書 け,hj(z)dzが が っ て も う1つ

代 数 曲 線 上 の1次 の 局所 座標

の 微 分 に な っ て い る こ と が わ か る.し

τ1を 用 い る と,Γ1に

関 す る 指 数-2の

た

有理型 保

型 形 式 φj(τ1)が 存 在 し て hj(z)dz=φj(τ1)dτ1 と書 け る こ と に な る.こ すれ ば

のhj(z),φj(τ)に

命 題3.2のk=1の

場 合 を適 用

よ って

一方

ξj(0)ξj(2)-ξj(1)2は

不変式 であ り ,φj(τ1)は

指 数-2の

保型形式 なの

で

は 指 数 公 式 と定 理3.2よ 微 分{z,τ}は は Γ1か

り指 数-8の

指 数-4の

らPSL(2)へ

保 型 形 式に な る.し

Γ に 関 す る 保 型 形 式 で あ る.命

た が っ てSchwarz 題3.3を

適用 す れ

の準同型

が存在 して

と な る.ま

た 微 分hj(z)dzは

この変 換 で

Γ1の 上 の準 同 型 の 像 を Γ1*と お け ば

次 にSchwarz微 nodromy)の

分{z,τ}の

の 基 本 解(p1(τ1),p2(τ1))を {z,τ1}の

極 の 部 分 に 対 す る 局 所 モ ノ ド ロ ミー(local

影 響 を 調 べ る.z(τ1)は2階

極pで

を 引 き 起 す.ま

用 い て,z(τ1)=p1(τ1)-1p2(τ1)と

の 局 所 モ ノ ド ロ ミ ー 

たhj(z)dz=φj(τ1)dτ1はB/Γ1の1次

わ り を ま わ っ て も影 響 を 受 け な い.す

mo

の微 分 方 程 式

なわ ち

はzに

書 け る の で,

変換

微 分 だ か ら,極

の ま

よ って

た だ しapδp-βpγp=1と -{{z

,τ1}の 極}へ

し て お く.単

らB1/Γ1

の 被 覆 写 像 を π2と す れ ば そ の 被 覆 群 と し てB2に

連 続 に 作 用 す る.PSL(2)の の 極}の

位 円 板B2={τ2￨￨τ2￨<1}か

真性不

部 分 群 Γ2が 存 在 し てB2/Γ2とB1/Γ1-{{z,τ1}

双 正 則 写 像 を 与 え る.Γ2はB1の

上 で Γ1の 元 お よ び{z,τ1}の

極

に お け る 局 所 モ ノ ド ロ ミー を 引 き 起 す よ う な 元に よ っ て 生 成 さ れ て い る.B2/ Γ2はVと

双 有 理 的 な の でhj(z)dzを

と お け ば,ψj(τ2)は く り方 よ り Γ2か

変 数 τ2で 書 き表 わ し て

Γ2に 関 す る 指 数-2の らPSL(2)へ

保 型 形 式 で あ る.ま

た Γ2の つ

の準 同 型

が存 在 して

と な る.B2か 極}を

らB1/Γ1-{{z,τ1}の

通 って定 義 され るの で写 像

関 数z(τ2)=z(τ1(τ2))は2階

の 基 本 解(q1(τ2),q2(τ2))を 方Schwarz微

τ2→

の 写 像 はB2か

τ1=τ1(τ2)は 正 則 で あ る.ま

用 い て,z(τ2)=q1(τ2)-1q2(τ2)と

た τ2の

則 で あ る.ま

表 わ さ れ る.一

も は や 単 位 円 板{τ2￨￨τ2￨<1}の

中 に は

たdτ1/dτ2 は単 位 円板 内 で決 して零 にな らな い.

これ は 写 像 π:τ2→z(τ2)がB2か

ら複 素 球 面 の 中へ の 正 則 写 像 で あ る こ と

を 示 す.正 則 写 像 の 領域 保 存 の 定 理 よ り,単 位 円 板B2の お けばDは

らB1-{{z,τ}の

の微分方程式

分{z(τ2),τ1(τ2)}は

極 を もた な い,正

極}へ

像 をD=π(B2)と

領 域 とな る.ま た Γ2の 準 同型 に よ る像 を Γ とおけば Γ はD

に 真 性 不 連 続 に 作 用 して,π

はB2/Γ2か

らD/Γ

の上への正則写像を引 き

起 す.D/Γ,B1/Γ1,B2/Γ2,Vは

す べ て 双 有 理 的 で あ る の でΓ

に 関 す るD/Γ

上 の保 型 関 数 体 は

と一 致 す る.ま hj(z)はΓ

た 上 で 注 意 し た 様 にhj(z)dzはD/Γ

に 関 す る 指 数-2の

  定 理3.6で

微 分 方 程 式(3.10),(3.11)の

正 則 解 で あ る こ と に 注 意 し て ほ しい.形

わ りに(k1,…,kN)-重   定 理3.7 

微 分 に な るの で

保 型 形 式 で あ る. ■

は(h1(z),…,hN(z))が

  指 数 の 組(-2k1,…,-2kN)に

の1次

局 所 的な

式 解 で は保 型 形 式 に な ら な い.

定 理3.6を

拡 張 す るに は 単 な る射 影 空 間 の か

さ つ き 射 影 空 間 を 用 い る.

k1,…,kNを

正 整 数 と し,X1,…,XNを

不 定 元 とす る.h1(z),…,hN(z)を

そ れ ぞ れ 重 さk1,…,kNの

原 点 の 近 傍 で 正 則 な 関 数 の ベ ク トル で 次 の

条 件 を 満 た す も の とす る.   1)  写 像z→(h1(z),…,hN(z))は 影 空 間 の 代 数 曲 線Vへ

の(像

  2)  重 さkj(ki+kj+1)-同 重 さ(2kj+2)-同

原 点 の 近 傍 か ら(k1,…kN)-重 が1点

だ け で な い)正

さつ き射

則 写 像 で あ る.

重 多 項 式 

お よび

重 多 項 式 

が存 在 して

 (3.12)

 (3.13)

そ の と き 複 素 球 面 上 の 領 域Dと

そ の 上 に 真 性 不 連 続 に 作 用 す るPSL(2)の

分 群Γ

に 関 し て 指 数-2kjの

が あ っ てhj(z)はΓ

ま たV上

の 有 理 関 数 体 はΓ

に 関 す るD/Γ

  証 明   単 位 円 板B1={τ1￨￨τ1￨<1}と (2)の

部 分 群Γ1をB1/Γ1とVか

る よ うに と る.hj(z)(dz)kjがV上 分{z,τ1}が

指 数-4のΓ1に

部

有 理 型 保型 形 式 で あ る.

上 の 保 型 関 数 の 全 体 と一 致 す る.

そ の 上 に 真 性 不 連 続 に 作 用 す るPSL ら有 限 個 の 点 を 除 い た も の が 双 正 則 に な のkj-次

微 分 で あ る こ と と,Schwarz微

関 す る 保 型 形 式 で あ る こ と が わ か れ ば,後

は定

理3.6の

証 明 と 同 じ で あ る.こ

の2つ

の こ と を 条 件2)よ

り 出 そ う.ま

ずは じ

め の式 よ り

よ って

一方 hj(z)(ki+1)kj+1hi(1-kj)kjの

重 さは

 kj2(ki+1)+kj-kjkj(kj-1)=kj(ki+kj+1)=Fij(h1,…,hN)の よ っ てhj(z)(dz)kjはV上

のkj-次

微 分 で あ る.局

重 さ. 所 座 標 τ1を 用 い て 書 け

ば hj(z)(dz)kj=φj(τ1)(dτ1)k, と な るΓ1に

関 す る 指 数-2kjの

φj(τ1)に 適 用 す れ ば 条 件2)の

よ っ てSchwarz微

Gj(X1,…,XN)は

保 型 形 式 が 存 在 す る.命

題3.2をhj(z),

後の式 よ り

分は

重 さ(2kj+2)-同

重 多 項 式 で あ る の で,Gj(φ1,…,φN)は

Γ1 に 関 す る 指 数-2(2kj+2)の

も 指 数-2(2kj+2)の {z,τ1}は 指 数-4のΓ1に

保 型 形 式 で あ る.

保 型 形 式 で あ る こ と は 定 理3.2よ 関 す る 保 型 形 式 で あ る. ■

りわ か る.よ

って

 

第4章

  形 式 的 多 変 数 巾 級 数 の 半 不 変 式,共

  ここ で は,g個

変式

の 変数z1,…,zgの

形 式 的 巾級 数 の 場 合 に 第2章 の 結 果 を拡

張 す る.こ れ は 古 典 的 に は(g+1)-元

形 式 の不 変式 論 に対 応 す る.記 号 は次 の

様 に 約 束 す る. K:標

数 零 の体,

L:{l=(l1,…,lg)￨成

分liが

零 また は 正 の整 数 で あ る長 さgの

ベク ト

ル}, ei=(0,…,0,1,0,…,0):i-成

分 が1で 他 は 零 で あ るLの

元,

z=(z1,…,zg),

l-h∈Lの

(g+1)×(g+1)-行

eij:(i,j)-成

こ と,

列 の 行 お よ び 列 の 番 号 は0,1,2,…,gに

分 が1,他

は 零 の(g+1)×(g+1)-行

つ け る,す

列

なわ ち

これ ら の 記 号 を 用 い る と き,次 (l+ei}!=l!(li+1), 

の こ と は す ぐ に わ か る.

(l+2ei)=l!(li+1)(li+2),

2項 係 数 の定 義 も次 の様 に拡 張 し てお く,

更 に,負 の成 分 を もつ整 係 数 ベ ク トルhに

と定 め て お く.あ 単 の た め に,ど

対 して は

ら か じ め 複 素 数 の 組w=(w1,w2,…,wN)を の 

固 定 す る.簡

も零 ま た は 自 然 数 で は な い と 仮 定 す る.こ

す ると

が 意 味 を もつ.基 礎 に な る形 式 的 巾級 数 を,N組

の不 定 元

を用 い て

と す る.

  §1  形 式 的 巾 級 数 へ のGL(g+1)の   1.1  一 般 線 型 群GL(g+1)の (g+1)-次

特 殊 線 型 群(special

は 跡(trace)が

作用 行 列 式 が1の

linear

零 と な る(g+1)×(g+1)-行

  sl(g+1)のLie環 e11-e00,e22-e00,…,egg-e00,

元 か ら な る 部 分 群SL(g+1)が

group)で

あ る.そ

のLie環sl(g+1)

列 全 体 の な すLie環

と し て の 生 成 元 を 次 の 様 に と る.

で あ る.

う

e10,e20,…,eg0,

e01,e02,…,e0g.

これ がLie環

の 生 成 元 で あ る こ と を 示 す に は,こ

て の 生 成 元 を つ く り上 げ れ ば よ い が, 

れ ら か ら ベ ク トル 空 間 と し

のとき

[ei0,e0j]=ei0e0j-e0jei0=ei0e0j=eij と な っ て,上

の 生 成 元 と こ れ ら の 

で(g+1)2-1次

元の

ベ ク トル 空 間 を 張 る.   Cayley-Aronhold型

の 微 分 作 用 素 を 導 入 し よ う.

  補 題4.1  (4.1)

 証 明  生 成 元 ξr(l)に作 用 させ て両 辺 が 等 し い こ とを み れ ば よい. 

とす

るとき

  補 題4.2対

応

eii-e00→Hi ei0→Di e0i→Δi

はLie環sl(g+1)か の 同 型 写 像 で あ る.   証 明   略 す. ■

らK[ξ1,…,ξN]のK上

微 分 の つ く るLie環

の 中 へ

 第2章

の 場 合 と同様 に環 同型

を   (4.2)

で定 め る. 

は 零 で も正 整 数 で もな い と仮 定 した か ら,Θwは 常 に

定 義 で き る.   補 題4.3  (4.3)

  証 明   両 辺 を ξr(l)に 作 用 さ せ て 等 しい こ と を み れ ば よ い. ■

 1.2  重 さ(weight)を,weight(ξr(l))=Σlで

定 義 す る.ξrの

次 数 をdegξr

と 書 く こ と に す る.   半 不 変 式 の 定 義 を 述 べ よ う.   定 義4.1 

K[ξ1,… ξN]の 元φ

で

 (4.4)  (4.5)  (4.6)

を 満 た す も の を 半 不 変 式(semi-invariant)と

呼 ぶ.

  不 変 式 を 定 義 す る微 分 作 用 素

はw=(w1,…,wN)を (wi,…,wN)に

含 ん で い な い の で,半 依 ら な い.ま

不 変 式 は は じ め に 選 ん だw=

た 上 の 微 分 作 用 素 は す べ てdegξrを

不変に た も

ち,Hi-Hjと[Δi,Dj]は

重 さ を不 変 に し,Diは

を 半 不 変 式 全 体 の な す 環, 

重 さを1だ

を重 さp,ξrに

け 減 ら す.〓

つ い て の 次 数drの

半 不 変 式全 体 の つ く るベ ク トル 空 間 とす れ ば こ の こ とは  (4.7)

を 示 し て い る.分

解(4.7)は

も ち ろ んw=(w1,…,wN)に

関 係 す る.

  1.3  基 礎 に と った 形 式 的 巾 級 数f1(ξ1￨z),…,fN(ξN￨z)へ の 作 用 を 定 義 し よ う.複 し て,形

の 群GL(g+1)

素 巾 関 数 の 多 価 性 の 取 扱 い は 第2章

式 的 巾 級 数f1(ξ1￨z),…,fN(ξN￨z)へ

と 同 じ様 に す る と

の 作 用 を 次 の 式 で 定 義 す る,

 (4.8)

す なわ ち

  (4.9)

に よ って

を 定 め る.  

GL(g+1)の

生 成 元 に つ い て 表 現 ρwrの 形 を 調 べ て み よ う.

  命 題4.1  (4.10)

 (4.11) 

(ρwr(I+teii)ξr)(l)=(1+t)liξr(l) 

(I:単

位 行 列)

 (4.12)

 (4.13)

  証 明   (4.10),(4.11)は

ρwrの 定 義 よ りほ と ん ど 自 明 で あ る.(4.12)を

明 す るに は

をz1,…,zgの

よ っ て(4.12)を

をz1,…zgの

巾 で 整 理 す れ ば よ い が,こ

得 る.(4.13)を

の式は

証 明す る に は

巾 で 整 理 す れ ば よ い が,こ

の式は

証

よ っ て(4.13)を  命 題4.2 

得 る. ■

K[ξ1,…,ξN]の

元 φ に 対 して

 (4.14)

 (4.15)

 (4.16)

  証 明   両 辺 と もK[ξ1,…,ξN]の

微 分 の φ へ の 作 用 で あ る.よ

ξr(l)に 作 用 さ せ て 確 か め れ ば よ い.そ びHi,Di,Δiの

っ て生成元

れ は(4.10),(4.11),(4.12),(4.13)お

よ

定 義 か ら 明 ら か で あ る. ■

  Hi,Di, 

の 定 義 は 歴 史 的 に は 命 題4.2が

成 立する様に定 め ら れ

た も の で あ る.

 §2  共 変 式,Robertの   2.1  共 変 式 も1変   定 義4.2 

定理

数 の と き と 同 様 に 定 義 さ れ る.

C[ξ1,…,ξN]の

元 を 係 数 とす る 形 式 的 巾 級 数

は  (4.17)

を 満 た す と き,(w,u,p)-共 (weight),uを

指 数(index)と

変 式(covariant)と い う.u=0の

い

う.pを

と き(w,p)-不

変 式(invariant)

と い う.   (w,u,p)-共

変 式 の つ く る ベ ク トル 空 間 をCw(u,p)と

の元 を単 に 共 変 式 と呼 ぶ.

共 変 式 の重 さ

書 き

  補 題4.4  (指 数 公 式)F(ξ;z)を(w,u,p)-共 F(ξ;0)は

変 式 と す れ ば,そ

半不変式 で

の 元 で あ る.   証 明   F(ξ;z)は(w,u,p)-共

よ っ てF(ξ;0)は

変式で あるので

半 不 変 式 で あ る.ま

た

をF(ξ;0)の

同重,分 離 的 同 次 多項 式 に よる分 解 とす れ ば

で あ る が,一

方

で あ るか ら

の定 数 項

した が っ て あ るqが

あ っ てpg=qを

こ れ か らΣwrdr=u+(g+1)pを

得 る.ま

得 る.し

た が っ てF(ξ;0)は

の元 で あ る. ■  補 題4.5  F(ξ;z)が 共 変 式 で あ れ ば

 証 明

また

こ こ に 

  補 題4.6 

■

多 項 式φ(ξ)に

ついて

 (4.18) こ こ でfr=fr(ξr￨z).   証 明   補 題1.5と

同 様 な の で 省 略 す る. ■

  定 理4.1  (Robertの

定 理)

た

とCw(u,p)の

間 に は次 の1対1対

半不変式

応 が あ る.

 共 変 式

こ こでfr=fr(ξ￨z)と

す る.半 不 変 式 か ら共 変 式 へ の対 応 を

と書 くこ とにす れ ば,Φwは

半 不 変 式 環〓

か ら共変 式Cw環

の上 へ の環 同 型

に な る.   証 明   上 に 用 意 した補 題 を用 いれ ば,定 理1.1と   系   半 不 変 式 の 重 さはgの  証明 

同様 に 証 明 で き る. ■

倍 数 で あ る.

の元 φ(ξ)に 対 して

とお け ば,F(ξ;z)は の で,pはgの

重 さpg-1の

共 変 式 に な る.共 変 式 の重 さ は 整 数 で あ る

倍 数 で あ る. ■

  「半 不 変 式 の 言 葉 か ら共 変式 の 言葉 へ の翻 訳 規 則 」 も次 の様 に 与 え られ る.   定理4.2 

φ,ψ,φを半 不変 式 とし φ がΔlφ,Δhψ(l,h∈L)の

定数係数多

項式 φ を用いて

と表 わ さ れ る と き,対

応 す る 共 変 式Φw(φ),Φw(ψ),Φw(φ)の

が あ る,

 証 明   定 理1.2の

場 合 と同 様 で あ る. ■

間に は次 の 関 係

 

第5章

 対 称 行 列 変 数 の形 式 的 巾級数 の 半 不 変 式,共

変 式

 今 ま で取 扱 って きた こ との か な りの 部 分 に つ い て は,変 数 をg×g-対 に拡 張 して も成 立 す る.し か も,記 号 を うま く選 べば,1変

称行列

数 の と き とほ とん

ど変 わ らな い形 式 に のせ て,議 論 を進 め る こ とが 可 能 で あ る.こ のた め に,ま ず こ こで の 記 号 を 列 挙 して お こ う. L:{l=(lij)￨成

分 が 零 また は 自然 数 のg×g-対

称 行 列},

eij:(i,j)-成 分,(j,i)-成 分 が1で そ の 他 が 零 のLの z=(zij):g×g-対

称 行 列変 数,

(i,j)-成 分 が  l-h∈Lの

のg×g-対

称 行 列,

こ と,

こ れ ら の 記 号 を 用 い る と き,次 (l+eij)!=l!(lij+1), 

の こ と は す ぐに わ か る. (l+2eij)!=l!(lij+1)(ij+2),

2項 係 数 の定 義 も次 の様 に 拡 張 し てお く.

元,

更に,負

の成 分 を もつ整 係数 対 称 行 列hに

と定 め て お く.ま る.簡

た,あ

単 の た め に,ど

こ と に す る.1変 こ こ で はLを

対 し て は,

ら か じ め 複 素 数 の 組w=(w1,w2,…,wN)を の 

固定 す

も零 また は 自然 数 では ない と仮 定 す る

数 の 場 合 は,{0,1,2,…}を

添 字 の 集 合 と し て 利 用 し た が,

添 字 の 集 合 と し て 利 用 す る.基

礎 に な る 形 式 的 巾 級 数 をN組

不定元

を と り

と す る.   こ れ ら の 準 備 の 下 で 対 称 行 列 変 数 の 場 合 のRobertの

  §1  GSp(2g)と

その作用

  1.1  シ ン プ レ ク テ ィ ク群(symplectic 2g×2g-行

列 を,g×g-行

と 書 き,g×g-単

で 定 義 さ れ る.(こ

で あ る か ら,

な らば

定 理 等 を 示 そ う.

group)の

列,α,β,γ,δ

位 行 列 を1gと

こ でtAはAの

定 義 を 述 べ よ う.

を用 い て

書 く と き,2g次

シ ン プ レ ク テ ィ ク群Sp(2g)は

転 置 行 列 を 示 す.)

の

が わ か る.(Sp(2g)が   更 に2g次

群 に な っ て いる こ と も,直

ち に わ か る.)

一 般 シ ン プ レ ク テ ィ ク群GSp(2g)を

cは0で

ない複素数

に よ っ て 定 義 す る.   補 題5.1 

2g×2g-行

が2g次一般

列 

シンプ レ ク テ ィ ク行 列(つ

ま り

 で あ るた め の必 要 か つ 十 分 な条 件 は 次 の 関係 式 が成 り立 つ こ と で あ る.  (5.1) 

δtβ=βtδ,  γtα=αtγ,

 (5.2) 

αtδ-γtβ=δtα-βtγ=c1g 

(こ こ でcは0で

な い 複 素 数).

 証 明

で あ るこ と とGSp(2g)の が2g次

 補 題5.2 

定 義 式 とに注 意 すれ ば い い. ■ 一 般 シ ン プ レ クテ ィク行 列 な ら次 の 関 係 式 が 成 り

立 つ.   (5.3) 

tδγ=tγ δ,  tβα=tα β,

  (5.4) 

tαδ-tβ γ=tδ α-tγ β=c1g 

 証 明 

(こ こ でcは0で

な い 複 素 数).

に注意すればい

の と き 

い.  ■

が2g次

  補 題5.3 

一 般 シ ン プ レ ク テ ィ ク行 列 な ら 次 の 式 が 成 り立 つ.

 (5.5)  証 明

 1.2  GSp(2g)の

元 

で,￨1-detδ￨<1を

f1(ξ1￨z),…,fN(ξN￨z)  へ の作 用 を

満 たす もの の

(基 礎 に と っ た 形 式 的 巾 級 数)

 (5.6)

に よ っ て 定 め る.こ

こで

た だ し,ηrδ-1(z)=det(1+zγ 巾 級 数 を 示 し て い る.し

δ-1)-1つ

ま り ηγ δ-1(z)は 定 数 項 が0の

た が っ て,det(δ+zγ)wrは

収束す る

「原 点 」 の 近 傍 で 収 束 す る

巾 級 数 と な っ て い る こ と が わ か る.   命 題5.1  (5.7)

と お け ば,α,β,γ,δ

の 成 分 とdetδ-1の

多 項 式

Crlh(α,β,γ,δ,detδ-1) が 存 在 して

 (5.8)

が 成 り立 つ.   証 明   (5.7)の 両 辺 を 比 較 して

と こ ろ が,こ

れ は ξr(h)の 係 数 が α,β,γ,δ の 成 分 とdetδ-1の

多項 式 で表 わ

さ れ る こ と を 示 し て い る. ■   特 殊 な2g次

一 般 シ ン プ レ ク テ ィ ク行 列 の 作 用 に つ い て,具

体 的 に述 べ て お

こ う.   命 題5.2  (5.9)

  (5.10)

 (5.11)

(こ こ で,a,bは0で   証 明   (5.9),(5.10)は

な い 複 素 数,tは 自 明 な の で(5.11)の

対 称g×g-行

列.)

み 証 明 を 述 べ る.

だ か ら,

h=l+qと

おけば

  §2  微 分 作 用 素Δ=(Δij)   2.1  Cayley-Aronholdの 第1章,第2章

微 分 作 用 素H,D,Δ

の 結 果 を み れ ば わ か る 様 に,Δ

の う ち で 最 も 重 要 な も の は, で あ る が,こ

こ で はΔ=(Δij)

をg×g-行

列で

 (5.12) が そ の(i,j)-成

分 で あ る も の と し て 定 義 す る.ま

と 定 義 で き る こ と が 次 の 補 題3.4か   補 題5.4 

ら わ か る.

[Δij,Δpq]=0.

  証 明  Δij,Δpqは 微 分 作 用 素 だ か ら,

を示 せ ば よい.実 際

  2.2  多 項 式 環C[ξ1,…,ξN]か

の上 へ の環 同型Θwを  (5.12)′

で 定 義 す る.こ

の とき

  補 題5.5  (5.13)

 証 明   各 成 分 に つ い て

を 示 せ ば い い.つ

ま り

を 示 せ ば い い が,実 際

ら 微 分 多 項 式 環 

た

で あ る. ■   上 の 補 題3.5はΔ=(Δij)が   次 に 多 項 式 環C[ξ1,…,ξN]か ξN][z]へ

い い 性 質 を も っ て い る こ とを 示 し て い る. らC[ξ1,…

ξN]上 の 形 式 的 巾 級 数 環C[ξ1,…,

の 環 準 同 型Φwを

 (5.14)

に よ っ て 定 義 す る.つ   (5.15)  で あ る.(こ

ま り Φw(φ)=Θw(φ)￨(y1…,yN)=(f1,…,fN)

こ でfr=fr(ξr￨z).)

  補 題5.6  (5.16)

 証明 計算す ると

  補 題5.7  (5.17)

 証 明

こ こ で(5.16)に

注 意 し て,(5.17)を

得 る.■

  命 題5.3  (5.18)   証 明   (5.11)と(5.16)か

ら

つま り

 命 題5.4  (5.19)

  証 明 ∂/∂zijとΔpqは

が い え る が,こ

可 換 な の で(5.17)を

用 いれば

れ は∂/∂zij とΔijと が

の微 分 作 用 素 と して一 致 す る こ とを 示 して い る.し た が って 特 に

と こ ろ で 一 方(5.16)に

よ り

だか ら

 系   証 明   (5.19)に

φ(ξ)=ξr(0)を 代 入 す れ ば い い .■

 §3  半 不 変 式,共 変 式,Robertの  3.1  1変 数 の 場 合 に は,微 した が,こ

定理

分 作 用 素 を 利 用 して,代 数 的 に 半 不 変式 を定 義

こで は,そ の方 法 は困 難 な の でGSp(2g)の

作 用 を用 い て半 不 変 式

を定 義 す る こ とにす る.  定 義5.1  多 項 式 φ(ξ)が  (5.20)

を 満 た す 時,φ(ξ)を(w,u,p)-半

不 変 式(semi

invariant)と

呼 ぶ.こ

こで

cは   (5.21)  と な る0で

c1g=δtα な い 複 素 数 で あ る.

  (w,u,p)-半

不 変 式 の つ く る ベ ク トル 空 間 を 

と 書 く.〓wの

元 を 単 に 半 不 変 式 とい う.

  命 題5.5(指

数 公 式).

な らば φ(ξ)はp重

と書 き,そ

の直和 を

同重 で あ り,こ の φ の 分離 的 同 次,同 重 多項 式 へ の 分

解を

とす れ ば   (5.21)   証 明   φ(ξ)は(w,u,p)-半

不変式だか ら

一方

した が って φ はp重

と こ ろ で(5.9)か

同 重 多項 式 で あ る.ま た

ら

だか ら

つ ま り

  3.2  共 変 式 を 定 義 し て,Robertの   定 義5.2 

C[ξ1,…,ξN]上

定 理 を 示 そ う.

の形 式 的 巾級 数

が   (5.22)

こ こで を 満 足 す る と き,F(ξ;z)を(w,u,p)-共   (w,u,p)-共 と 書 く.つ

変 式 と 呼 ぶ.

変 式 の 作 る ベ ク トル 空 間 をCw(u,p)と ま り

書 き,そ

の 直 和 をCw

Cwの

元 を 単 に 共 変 式 と い う.Cwが

環 を な し て い る こ と は み や す い.

  補 題5.8 F(ξ;z)∈Cw(u,p) な らば

  証 明   (5.11)よ

り

ここで

と お け ばΔijはC[ξ(1),…,ξ(N)]の わ か る.F(ξ;z)を(w,u,p)-共

微 分に な る が,上

の こ とか らΔij=Δijが

変 式 とす れ ば

し たが っ て

  補 題5.9 

F(ξ;z)を(w,u,p)-共

変 式 とす れ ば,F(ξ;0)は(w,u,p)-半

不 変 式 で あ る.   証 明   F(ξ;z)は(w,u,p)-共

変 式 だか ら

(こ こ でc1g=αtδ), つ ま りF(ξ;0)は(w,u,p)-半   補 題5.10 

不 変 式 で あ る.■ c1g=αtδ-γtβ

とす れ ば

  証 明   (5.1),(5.2),(5.5)を

用 い て

し た が って

  定 理5.1(Robertの

定 理) 

p)-共 変 式 の 空 間Cw(u,p)の  

半不変式  

不 変 式 の 空 間 

間 に は 次 の1対1対

と(w,u,

応 が 存 在 す る.

共変式

 証 明  

と お く と 命 題5.3,5.4か

(w,u,p)-半

とし

ら

こ れ に よ っ て,Fφ(ξ;z)が

φ(ξ)か

ら 一 意 的 に 定 ま る こ と が わ か っ た.次

に

Fφ(ξ;z)∈Cw(u,p) を 示 そ う.  10か

ら

￨ 1-detδ￨<1と

す る と,補

題5.

し た が っ てFφ(ξ;z)∈Cw(u,p)が φ(ξ)→Fφ(ξ;z)が1対1対 す る と 補 題5.9か

示 さ れ た.Fφ(ξ;0)=φ(ξ)だ

か ら 対 応 Φw;

応 で あ る こ と が わ か る.逆 にF(ξ;z)∈Cw(u,p)と

ら 

が わ か る.と

こ ろ で 補 題5.8

に よれ ば

で あ る が,こ

れ はF(ξ;z)がF(ξ;0)か

ら 一 意 的 に 定 ま る こ と を 示 し て い る.■

  補 題5.11 

多 項 式 φ(ξ)に 対 し て 次 の 等 式 が 成 り立 つ.

 (5.23)

  証 明 Δpqと

 の可換性 に注意すれば

こ れ を く り返 せ ば(5.23)を

得 る.■

  「半 不 変 式 の 言 葉 か ら 共 変 式 の 言 葉 へ の 翻 訳 規 則 」 も第1章,第2章

と 同様

に成 り立 つ.   定 理5.2 

φ,ψ,φ を 半 不 変 式 と し,φ

がΔlφ,Δhψ(l,h∈L)の

φ(ξ)=φ(…,Δlφ(ξ),…,Δhψ(ξ),…) と 書 け る と き,(Robertの

と 書 け る.   証 明   定 理5.1よ

り

定 理 の 意 味 で)対

応 す る共 変 式 は

多項 式 φ で

と書 け る.ま た,Φwは

環準同型な ので

第6章

  線 型 同次 常 微 分作 用 素 の不 変 式,共

変式

n階 微分作用素

が 与え られ た と き, 

を ほ ど こ せ ば よ い.こ

の係 数 を消 法 す るに は 従 属 変 数yに

の こ と は よ く知 ら れ て い る.実

変換

は 更 に 適 当 な 変換

(z,y)→(u(z),λ(z)y) を と れ ば 係 数p1(z),p2(z)を Forsythの

同 時 に 消 す こ と が で き て,い

わ ゆ るLaguerre-

標準型

に変 形 で き る こ と も知 られ て い る.ま た,標 準 形 か ら標 準 形 へ の変 換 は4次 元 の群 (α,β,γ,δ,c定

数)

を なす ことが 証 明 で き る.線 型 微 分 作 用 素 の不 変式,共 変 式 の 問題 は,し た が って標 準 形 か ら 出発 す れ ば よいの で,4次

元 の変 換 群 の不 変 式,共 変 式 の問 題

とな る.微 分 作 用 素 の不 変 式 に つ い て 特徴 的 な こ とは,不 変 式 がす べ て のnに 共通 で あ る こ と,す な わ ち 

の不 変 式 は また

な らば

の不 変 式 で もあ る こと であ る.  常 微 分 方 程 式

の 基 本 解(φ0(z),…,φn-1(z))を

用 い て(n-1)次

元射影 空間Pn-1の

中へ の

写 像 の 横 顔(portrait)を

変え な

写像 z→(φ0(z),…,φn-1(z)) を 考え る と,変 い.基

換(z,y)→(u(z),λ(z)y)は

本 解 の 選 び 方 はPn-1に

射 影 変 換 を 行 な うだ け の 違 い で あ る.こ

曲 線 の 射 影 的 性 質 を 微 分 作 用 素 の 不 変 式,共 性 を 示 し て い る.微 θn(z))が

分 作 用 素Ln(p￨z,y)に

定 ま り,Ln(p￨z,y)の

変 式 の 言葉 で言 い 表 わ し得 る可 能 対 し て 基 本 不 変 式 系(θ3(z),…,

不 変 式 で あ る こ と と(θ3(z),…,θn(z))が

章 の 意 味 で の 共 変 式 で あ る こ と と が 同 等 で あ る こ と が わ か る.し 章 のRobertの

定 理,Gramの

  §1  Laguerre-Forsythの   1.1  独 立 変 数 をz,従

れは像

第2

た が っ て 第2

定 理 が 適 用 で き る.

標準型 属 変 数 をyと

す る と き,n階

同次線型微分作用素を

と 表 わ す こ と に す る.

 2元n次

形 式 の場 合 と同 じ く,係 数 につ け た2項 係 数 

ず る.p1(z),…,pn(z)を 変 換 でLn(p￨z,y)が

は大切な役割 を演

原 点 の ま わ りで 一 価 正 則 と した と き,変 ま た 原 点 の ま わ りで 正則 な 係 数 を も つn階

作 用 素 に な る た め に は,次

数(z,y)の 同次線型微分

の よ う な 変 換 で あ る こ と が 必 要 か つ 十 分 で あ る. ρu,λ;(z,y)→(u(z),λ(z)y)

こ こ でu(z),λ(z)は 数 で あ る.す る.

原 点 の 近 傍 で 正 則 で 

な わ ち 変 換 ρu,λのLn(p￨z,y)へ

を満 た す 関 の 作 用 は 次 の 様 に して 与 え られ

の係数を 

の 

と書 け ば

 (6.1)

  変 換 ρu,λの 逆 変 換 を ρν,μ と おけ ば,

よ って

υ(u(z))=z,μ(u(z))λ(z)=1,し

た が っ て

λ(υ(z))-1=μ(z),

 (6.2)

  半 不 変 式,半

共 変 式,不

変 式 お よ び 共 変 式 の 概 念 を 明 確 に す る た め,局

所 解

析 変 換 群 の 定 義 を 述 べ て お こ う.   定 義6.1 

r次

元 複 素ユー

ク リ ッ ド空 間Crの

の 双 正 則 変 換(biholomorphic

開 集 合 か ら 開 集 合Vの

transformation)を

の ま わ りの 局 所 解 析 変 換 群Gと

上へ

局 所 解 析 変 換 と 呼 ぶ.原

点

は 原 点 の近 傍 か ら原 点 の 近 傍 に 写 像 す る局 所

解 析 変 換 の 集 ま り で 次 の 性 質 を 満 た す もの を 意 味 す る.  ⅰ) 近 傍Uで

定 義 さ れ るGの

元 を(σ,U)と

(σ,U)のVへ

の 制 限(σ,V)も

ま たGの

 ⅱ) 

(σα,Uα)∈Gな

(σ,U)が  ⅲ) 

書 く と き,V⊂Uな

ら ば

元 で あ る.

らば(σ,Uα)=(σ

α,Uα)と

な るGの

元

存 在 す る. (σ,U)∈Gの

像 で あ る 近 傍 をVと

す れ ば,逆

元(σ-1,V)もG含

に ま れ る.  ⅳ) 

(σ,U),(τ,V)∈Gに

の 積(σ。 τ,V∩

対 し て,V∩

τ-1(U))はGの

τ-1(U)が

原 点 の 近 傍 で あ れ ば,そ

元 で あ る.

  2次 元複 素 ユ ー ク リ ッ ド空 間C2の

座 標 を(z,y)と

すれば か つu

原 点 で正 則,  は 原 点 の 近 傍 を 原 点 の 近 傍 に 写 像 す る. は 局 所 解 析 的 変 換 群 と な る.こ

れ に は 次 の2つ

る. G1={ρu

,1∈G},

G2={ρid,λ ∈G}.

の部 分 局 所 解 析 的変 換 群 が あ

まず

ρid,λのLn(p￨z,y)へ

の 作 用 を 調 べ よ う.

この式 の 

の 係 数 を 比 較 す るの で あ るが,

に 注 意 し,l+k=hと

お け ば, 

と な る.し

の係数は最後の式では

た が っ て 次 の 公 式 を 得 る.

  補 題6.1  (6.3)

 (6.4)

この様 に き れい な形 に な る の も2項 係 数 の効 用 で あ る.l=1の

した が って ρ*id,λ(p)1(z)≡0 とな るた め に は

項 の係 数 は

すなわ ち

で あ る こ とが 必 要 十 分 で あ る.こ こで α は積 分 が 意 味 を もつ 任 意 の値 とす る.  の 係 数 が 零 で あ る よ うなn階 canonical

form)と

  補 題6.2 

微 分 作 用 素 を 半 標 準 型(semi-

呼 ぶ.

従 属 変 数 だ け の 変 換(z,y)→(z,λ(z)y)の

素 の 半 標 準 型 は 唯1つ

範 囲 で,線

型微分作用

存 在 す る.

  証 明   半 標 準 型 の 存 在 は す でに 確 認 ず み で,こ

の 場 合 λ(z)は1階

微分方程

式

の 原 点 で 零 で な い 正 則 解 とな って い る こ とが必 要 かつ 十 分 で あ った .半 標 準 型 に 写 像 す る変 換 を ρid,λ,ρid,λ とす れ ば

よ って 定 数cが

あ って λ(z)=ecλ(z)

.

した が って

こ れ は 半 標 準 型 が 一 致 す る こ と を 示 し て い る.■   定 義6.2 

Ln(p￨z,y)の

の 元 で,G2={ρid,λ Ln(p￨z,y)の

係 数p1(z),…,pn(z)の

∈G￨λ(z)は

微 分 係 数 の多 項 式 環

原 点 で 正 則,λ(0)≠0}の

半 不 変 式(semi-invariant)と

呼 ぶ.ま

作 用 で不 変 な もの を た 多項 式 環

の 元 で,G2の と 呼 ぶ.た

作 用 で 不 変 な も の をLn(p￨z,y)の

半 共 変 式(semi-covariant)

だ し

とす る.   命 題6.1 

Ln(p￨z,y)の

と 一 致 す る.た

半不変式環は多項式環

だ しP2(z),…,Pn(z)はLn(p￨z,y)の

半 標 準 型

の 係 数 とす る.   証 明   G2の

元 に よ っ て 半 標 準 型 を 導 き 得 る こ と と,半

意 す れ ば,Ln(p￨z,y)の こ とが わ か る.ま

標 準 型 の唯 一 性 に 注

半 標 準 型 はLn(ρ*id,λ(p)￨z,y)の

半 標準型に一致す る

た 半 標 準 型 の 係 数P2(z),…,Pn(z)は  の 多 項 式 で あ る の で,P2(z),…,Pn(z)は

る.独 立 変 数zはG2の

作 用 で 不 変 で あ る か ら,微 分 係 数  も ま た 半 不 変 式 で あ る.一

変 式 環 と半 標 準 型Ln(P￨z,y)の

と お け ば,Ln(p￨z,y)の

方Ln(p￨z,y)の

半不 変 式 環 は 一 致 す る.よ

半不

っ てLn(p￨z,y)の

の 多 項式 環 で あ る.■

半不変式環は    命 題6.2 Ln(p￨z,y)の

半不変式 にな

半 標 準 型 の 係 数 をP2(z),…,Pn(z)と

し,

半 共 変 式 環 は 次 の 多 項 式 環 と一 致 す る.

  証 明   半 不 変 式 が 半 共 変 式 で あ る こ と は 明 ら か で あ る.次 半 共 変 式 で あ る こ と を い う.(6.2)よ

りpn+h(z)≡0(h=0,1,2,…)と

にLk(p￨z,y)が おいて

こ れ はLk(p￨z,y)が

半 共 変 式 で あ る こ と を 示 す.他

方

で あ るか ら,半 共 変 式 環 は

の 部 分 環 で あ る.Lk(p￨z,y)(k=0,1,2,…)は

上 に 代 数 的 独 立 で あ る.し

多項 式 環

たが って 半 共 変 式 をLk(p￨z,y)(k=0,1,2,…)の

多 項 式 と し て 表 示 し た と き,そ

の 係 数 は 半 不 変 式 に な っ て,命

題6.1よ

が 終 了 す る.■

  1.2  次に 独 立 変 数 の み の 変 換 ρu,1;(z,y)→(u(z),y) のLn(p￨z,y)へ

の 作 用 を 調べ よ う.ま

一般 に 次 の こ とが い え る .

ず微 分 係 数 に つ い て み る と

り証 明

  補 題6.3

 (6.5)

の整数 係数 の多 項 式 で あ

と お く と,Am,kは  る.特

に

 (6.6)

 (6.7)

 (6.8)

 (6.9)

 証 明 mに

関 す る帰納法 を用 い る.(6.5)の

両 辺 に 

を作用 させ る と

した が って

この 漸 化式 よ りAm,kが  る.ま

ま た,

た

 よ り

の整 数 係 数 多項 式 で あ る こ とを 知

とお け ば

  補 題6.4 

 (6.10)

 (6.11)

 (6.12)

  証 明   (6.5),(6.6),(6.7),(6.8),(6.9)よ

こ こに( 

)′は 

を 表 わ す.上

り

の 式 の 

の係数は

また

で あ る か ら,上

一方(6

.1)よ

 の 係 数 は

の式の

り

で あ るか ら,

 (6.10)よ

り

  1.3  Laguerre-Forsythの で 

)を

作 用 さ せ れ ば,半

が 得 ら れ る が,(6.3)に

で あ る.k=2,3,4の

標 準 型 を 導 き 出 そ う.Ln(p￨z,y)に 標準型

よれ ば

場 合 を 具 体 的 に 書 く と次 の 様 に な る.

ρid,λ(ここ

 (6.13)

 (6.14)

 (6.15)

  補 題6.5  (6.16)  (6.17)

こ こ に,′

は 

を 示 し, 

とす る.

 証明 

よ っ

て 

一 方(6

(6.1)よ

.10)よ

り

り

よ って

  前 の 補 題 よ り,直 ち に 次 の 命題 を得 る.  命 題6.3  変換 ρu,λ。u:(z,y)→(u,λ(u)y)が任 意 の 半標 準 型 を半 標 準 型 に 写 像 す る必 要十 分条 件 は,uを  (6.18)

独 立 変 数 と考え て

 

を 満 た す こ と であ る.(こ こ に は微 分 作 用 階数 を示 す.)こ

の方程式を解いて

(6.19)

が 必 要 十 分 条 件 で あ る と い っ て も い い.(こ   証 明   Ln(p￨z,y)を

こ にcは

半 標 準 型 とす れ ばp1≡0,ま

零 で な い 定 数 とす る.) た(6.17)よ

り

よ っ て ρ*u,λ。u(p)1≡0と な る 必 要 十 分 条 件 は

で あ る.こ れ を 解 け ば

と な る.■   補 題6.6  ￨z,y)の

半 標 準 型Ln(P￨z,y)を

半 標 準 型 をLn(Q￨z,y)と

変換

ρu,1で 変 換 し た と き,Ln(ρ*u,1(P)

すれば

 (6.20)   証 明   (6.10),(6.11),(6.12)お

よ び(6.13)を

用 い

る と,p1=0に

注 意 し

て,

  定 義6.3  Forsythの

微 分 作 用 素Ln(Q￨z,y)が(Q1=Q2=0を

満 た す と きLaguerre-

標 準 型 とい う.

  定 理6.1  変 換 で き る.

任 意 の 微 分 作 用 素Ln(φ￨z,y)はLaguerre-Forsythの

標 準型 に

  こ の 定 理 の 証 明 は 次 の 命 題 を 証 明 す れ ば 十 分 で あ る.   命 題6.4 

半 標 準 型Ln(P￨z,y)を

与 え た と き,変

換

ρu,λ。u:(z,y)→(u,λ(u)y) が

を 満 た せ ばL(ρ*u,λ。u(p)￨z,y)はLaguerre-Forsythの し

η=z′-1z″,ま

た ′ は 

標 準 型

で あ る.た

だ

を 示 す.

  証 明   は じ め の 条 件 は ρ*u,λ。u(P)1=0を 示 し て い る.後

の 条 件 か ら は(6.20)

を用いて

よ っ てLn(ρ*u,λ。u(P)￨z,y)はLaguerre-Forsythの   定 理6.2 

Laguerre-Forsythの

標 準 型 と な る.■

標 準 型 の 間 の 変 換 は,次

の形 の もの に か ぎ

る.

し た が って そ の よ うな 変 換 全 体 は4次

元 のLie群

  証 明   Ln(Q￨z,y)をLaguerre-Forsythの しLn(ρ*u,λ。u(Q)￨z,y)が

を な す.

標 準 型 とす れ ばQ1=Q2=0.も

ま たLaguerre-Forsythの

標 準 型 な ら ば,命

題6

よ り

左 辺 はSchwarz微

分{z,u}に

と な る が αδ-β γ=1と

 §2  不 変 式,共

ほ か な ら な い の で,uはzの1次

し て い い.ま

変式

  2.1  Laguerre-Forsythの

標準型

た 命 題6.4よ

り

分数変換

.4

の 係 数Q3,…,Qnを

不 定 元 とみ な し,

を 代 数 的 に 独 立 とす る.多 項 式 環

の 微 分 の な すLie環

の 中 へ,SL(2,C)×C×

のLie環

か ら の 自然 な 準同 型 を 定

義 し よ う.   SL(2,C)×C×

で あ る.a0,a1,a2,a3を

と お く.(6.1)よ

だ か ら,係

のLie環SL(2,C)×Cは

固定 し てお い て

り,ρ-1ut,λt=ρυt,μtとお け ば,

数 に ρut,λtが作 用 す る と き に は,(z,y)に

用 さ せ る の が 自 然 で あ る.よ が 作 用 す る.今,次

っ てLie環

の 様 にX(z),X(y), 

  補 題6.7  (6.21)   (6.22)   (6.23)

X(z)=-(a0+2a1+a2z2), X(y)=-(a3+(n-1)(a1+a2z))y,

は そ の 逆 元 ρ-1ut,λtを 作

の 元 の 作 用 で は 付号 を 逆 に した も の を 定 め よ う.

  証 明   (6.21)(6.22)は

(6.23)のk=0の 証 明 し よ う.そ

よ っ てkに

直 接 計 算 して

場 合 が(6.22)で の前 に

つ い て(6.23)を

係 数Q3,…,Qnお

あ る.kに

仮定すれ ば

よび そ の 微 係 数 へ の作 用 は

つ い て の 帰 納 法 で(6.23)を

 (6.24)

 (6.25)

で 与 え ら れ る.こ

こ に ρ-1ut,λt=ρυt,μt.

  補 題6.8  (6.26)  (6.27)

  証 明   (6.1)よ

で あ る か ら,

り

よ っ て(6.23)を

こ こ で 

用 い れ ば こ の 式 は 次 の 様 に な る.

の係 数 を比 較 し て X(Ql)=2l(a1+a2z)Ql+l(l-1)a2Ql-1.

(6.27)のk=0の (6.27)を

場 合 が 今,証

証 明 し よ う.そ

が いえ る.よ

明 し た(6.26)で

の 前 に 

っ て(6.27)をkの

簡 単 のた め に 次 の様 に 略 記 す る.

この とき,Xは

多項式環

あ る.kに

つ い て の帰 納 法 で

の場 合 と全 く同様 に

とき仮 定 す れ ば

C[(Qj(k))j=3,4,…,n;k=0,1,2…,(y(l))l=0,1,2,…] の 微

分

と し て 次 の 様 に 書 け

る.

 (6.28)

 また 次 の 様 な 微 分 を 定 義 す る.   (6.29)

 (6.30)

 (6.31)

 (6.32)

 (6.33) こ の とき  (6.34)

と書 け る こ と は い う ま で も な い.

  2.2  不 変 式,共   定義6.5 

変 式 の 定 義 を し よ う.

ρ-1u,λ=ρυ,μ と お い た と き,Gの

がC上 代数的独立 の場合

元 の 作 用 を, 

 (6.35)

 (6.36)

で定 め る.多 項 式 環

の元 φ で

を 満 た す も のをLn(p￨z,y)の

重 さpの

不 変 式 とい う.ま た 多 項 式 環

重 さpの

共 変 式 とい う.更 にFが 

の元Fで

を 満 た す ものをLn(p￨z,y)の つ い てm次

同 次 式 の と き 次 数mの

共 変 式 と 呼 ぶ.一

般 のLn(q￨z,y)に

に つい

て は不 変 式,共 変式 は特 殊 化  の像 とし て定 義 す る.

で あ る か ら,Ln(p￨z,y)はLn(p￨z,y)の   Laguerre-Forsythの

重 さn,次

数1の

共 変 式 で あ る.

標 準 型 の 不 変 式 の 便 利 な 判 定 条 件 を 示 そ う.

はC上

  定 理6.3 

代 数 的 独立 で あ る

と す る.Ln(Q￨z,y)=Ln(ρ*u,λ°u(p)￨z,y)をLn(p￨z,y)のLaguerre-Forsythの 標 準 型 と す る と き,多

がLn(Q￨z,y)の

項 式

重 さmの

不 変 式 で あ るた め の必 要 十 分 条 件 は

が変換群

に 対 し て 不 変 で あ る こ と で あ る.な

お こ の と きLn(p￨u,y)の

重 さmの

不 変式

 が 一 意 的 に 決 ま って

と な る.

 証明 

がH-不

変 と仮 定 す る.ま ず 多項 式

 が あ っ て

を 示 そ う.Ln(q￨u,y)をLn(p￨u,y)の

半 標 準 型 とす る と き,命

  は  Ln(q￨z,y)とLn(p￨z,y)は

題6.2よ

の多 項 式 に な る.ま 同 じ 標 準 型 をも つ の で,多

り

た

項 式 

が あ って

を 示 せ ば よ い.Ln(Q￨z,y)=Ln(ρ*id,μ(ρ*u,1(q))￨z,y)と

お く と,補

 (6.37)

ま たLn(q￨z,y)は

半 標 準 型 で あ る の で 命 題6.4よ

り

 (6.38)

 (6.39)

こ こ に 

(6.38)と(6.39)か

ら

題6.1よ

り

と な る.よ

っ てkに

つ い て の 帰 納 法 に よ り, 

q2′(u),… … の 多 項 式 で あ り,ま

た η とz′-1の

と 表 わ さ れ る こ とが わ か る.こ れ と(6.37)を

と 表 わ さ れ る.ま

と 書 け る.こ

は η,q2(u), 多 項 式gk,lを

合 せ る と,多

用 いて

項 式 Ψq,rを 用 い て

に 関 して

た 

がH-不

の こ と と, 

変 であ る こ と

から

ここ でs=(γz+δ)2,t=2γz′(γz+δ)-1.γ,δ 立 に と れ て,q=m,t=0を

得 る.す

よ って多 項 式 

が 勝 手 に とれ る の で,s,tを

独

なわち

が 存在 して

 (6.40)

こ こ で 仮 定 よ り φ は た だ1通

り に 決 ま る.次

に こ の 

が

Ln(p￨u,y)の

重 さmの

不 変 式 で あ る こ と に 注 意 す る.そ

法 を 使 う.ρw,ν をGの1つ z,y)は

の 元 と し て ρu,λ。u°ρw,ν-1=ρx,u。xと お く と,Ln(Q￨

ま たLn(ρ*w,μ(p)￨z,y)の

を(6.40)に

作 用 さ せ,定

を 得 る.こ

れには特殊 化 の 技

標 準 型 に な る.特

理6.2を

殊化

考慮すれば

がLn(p￨u,y)の

れ は 

重 さmの

不変式

であ る こ とを 示 す.ま た 特 殊 化

に よ っ て,(6.40)よ

を 得 る.こ

り

がLn(Q￨z,y)が

れ は 

あ る こ と を 示 す.次

にLn(p￨z,y)の

重 さmの

重 さmの

不変式 で

不 変 式 

が あ って

で あ る とし よ う,す な わ ち φ がLn(Q￨z,y)の

重 さmの

不 変 式 であ る と し

よ う.そ の とき定 義 よ り

が 標 準 型Ln(Q￨z,y)の

これ は  ら な い こ と を 示 し て い る.よ

っ て 定 理6.2よ

り,変

換 群Hに対

取

り方 に よ

し て不 変 に

な る. ■   補 題6.9  重 さ3の

Laguerre-Forsythの

標 準 型Ln(Q￨z,y)の

最 初 の 係 数Q3(z)は

不 変 式 で あ る.

  証 明   直 接SL(2,C)×C×

の 元 を 作 用 さ せ る こ と に よ っ て,確

め ら れ る.計

算 が 長 くな る の で 省 略 す る. ■   重 さ(weight)を

次 の 様 に 定 義 し て お く.

 (6.41)

 (6.42)

の 有 理 式 φ がp次

  補 題6.10 

同重

で あ る必 要 十 分 条 件 は Y1φ=pφ. の有 理 式Fがp次

同重 で

あ る必 要 十 分 条 件 は (Y1+X1)F=pφ, ま た 

に つ い てm次

同 次で あ る必 要 十 分 条 件 は

X3F=mF で 与 え ら れ る.   証 明   微 分Y1,X1,X3お

よ び 重 さ の 定 義 か ら 明 ら か. ■

  し た が っ て 不 変 式 を 本 質 的 に 特 徴 づ け る の はY2,共 X2+Y2で

あ る.こ

  命 題6.5 

Laguerre-Forsythの

の元 φ が 重 さpの

標 準 型Ln(Q￨z,y)に

不 変 式 であ るた め の 必 要 十 分 条 件 は Y1φ=pφ,Y2φ=0

で あ る.  証 明  φ を重 さpの

よ っ て(6.34)よ

り

変 式 を特 徴 づ け るの は

れ に つ い て 説 明 す る.

不 変 式 とす る と

対 し て,多

項式 環

a1,a2は

独 立 に とれ る の で,Y1,Y2がa1,a2に

=pφ ,Y2φ=0が

成 り立 つ こ と を 知 る.逆

を 満 た し て い る と仮 定 す る.最

無 関 係 な こ と に 注 意 し て,Y1φ にφ

初 の 係 数Q3は

がY1φ=pφ 補 題6.9に

お よ びY2φ=0 よ って,重

さ3の

不

変式 なので Y1Q3=3Q3,Y2Q3==0, よ って

(6.34)よ

り

一 方Xは1径

数 変 換 群{ρut

を 示 す.Q3は

重 さ3の

の ζが1で

の 元,こ

れは

不 変 式 で あ る こ とに注 意 す れ ば φ3は 重 さ3pの

式 であ る.し た が って1の3乗

と な る が,こ

,λtlt∈C}のLie環

不変

根 ζが 存 在 し て

あ る こ とは 次 の 様 に し て わ か る.

よ っ て ζ=1.■   共 変 式 に つ い て も 同 様 な 次 の 特 徴 づ け を 得 る.   命 題6,6 

Laguerre-Forsythの

標 準 型Ln(Q￨z,y)に

対 し て,多

様式環

の 元 が 重 さp,次

数mの

共 変 式 で あ るた め の 必要 十 分 条件 は

(Y1+X1)F=pF, 

X3F=mF, 

(Y2+X2)F=0

で あ る.

 証 明  Fを い てm次

重 さp,次

共 変 式 とす る. 

同 次 で あ る の でX3(F)=mFと

で あ る の で,(6.34)お

a1,a2,a3は

数mの

よ びX3(F)=mFよ

た ρut,λt=ρυt,μtと おけば

り

独 立 に とれ る の で (Y1+X1)(F)=pF, 

逆 にFが

な る.ま

につ

上 の3つ

(l=0,1,2,…)に

X3(F)=mF, 

(Y2+X2)F=0.

の 式 を 満 た す と仮 定 す る.X3(F)=mFよ

つ い てm次

りFは(d/d

同 次 で あ る こ と が わ か る.

ρ*u,λ(y)=λ(z)-1λ(z)y=y で あ る の でyは

重 さ0,次

数1の

1径 数 変 換 群{ρut,λt￨t∈C}のLie環

a0,a1,a2,a3は

任 意 に 選 べ る の で,す

共 変 式 に な る.し

た が っ て,

の 元 に 対 して 零 に な るか ら

べ て の

ρu,λ に 対 し て

z)ly

y3mQ3pは 重 さ3p,次 次 数3mの

数3mの

共 変 式 で あ る こ とに 注 意 す れ ばF3は

共変 式 で あ る.不 変 式 の 場 合 と同 じ様 に してFが

重 さ3p,

重 さp,次

数m

の共 変 式 で あ る こ とを知 る.■   命 題6.7  (6.43)

と お け ば,θpはLaguerre-Forsythの

標 準 型Ln(Q￨z,y)の

重 さpの

不変式

で あ る.

 証 明 Qj(k)=(d/dz)kQjと

お い て 計 算 す る と,定 義 よ り

Y1(θp)=pθp,

  定 義6.5 

命 題6.7の(6.43)で

Laguerre-Forsythの =Ln(ρ

μ,λ°u(p)￨z,y)の

(u))をLn(p￨u,y)の

  2.3  Ln(Q￨z,y)の

と お く.ま

基 本 不 変 式 系 と 呼 ぶ.Ln(Q￨z,y) と お い

と き, 

て(θ3(u),…

θn

基 本 不 変 式 系 とい う.

不 変 式 と 第2章

の 半 不 変 式 と の 関 係 を 述 べ よ う.

た

を 変 数 成 分 の ベ ク トル と し,多 し てsl(2)-認

与 え ら れ た 不 変 式 系(θ3(z),…,θn(z))を

標 準 型Ln(Q￨z,y)の

項 式 環C[ξ3,…,ξn]にw=(w3,…,wn)に

容 環 の 構 造 を 入 れ る.半

不 変 式 環〓

の 指 数 に よ る分解 を

関

と す る.こ

の と き〓[-2m]の

元 とLn(Q￨z,y)の

重 さmの

不 変 式 の 間 に次 の

様 な 密 接 な 関 係 が あ る.   定 理6.4 Laguerre-Forsythの

標 準 型Ln(Q￨z,y)の

 はC上

係数 の微 分

代 数 的 独 立 で あ る もの とす る.

 とお き,多 項 式 環  にw=(w3,…,wn)に

関 し てsl(2)-認

の多 項 式

と き 

がLn(Q￨z,y)の

重 さmの

をC[ξ3,…,ξn]の   証 明   SL(2,C)の

を 考 え,θj(z)に

よ って第3章

容 環 の 構 造 を い れ る.そ

不 変 式 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 はF(…,ξj(l),…)

元 と 考 え て 指 数-2mの 元 

半 不 変 式 で あ る こ と で あ る.

を用 い て,標 準 型 を 標 準 型 に 移 す 変 換

作 用 さ せ る と,θj(z)は

重 さjの

不 変 式 で あ るか ら

の補 題3.1を 適 用 す れ ば

今 こ こ でF(…,ξj(l),…)を

指 数-2mの

半 不 変 式 と し,ξj(l)に

の

を代 入す れ ば,指 数 の 定 義 と半 不 変 式 の性 質 よ り

これ は

がLn(Q￨z,y)の

重 さmの

不 変 式 で あ る こ と を 示 す.逆

不 変 式 で あ る と 仮 定 し て,F(…,ξj(l),…)が を 示 そ う.重

さmの

指 数-2mの

不 変 式 と い う こ と か ら,sl(2)の

に こ の 式 が 重 さmの 半不変式 であ ること 元 

に対 して

こ こ にs=γ

υ+δ,t=-γ(γ

は 任 意 のs,tに

υ+δ)-1.

つ い て成 り立 つ の で,s=1と

した ときtの 各 係 数 は 零 で あ る.

F(…,ξj(l),…)=DF(…,ξj(l),…)

と お い た

と き

が ち ょ う どs=1と

し た と き の 上 の 式 のtの

係 数 と な る.よ

一 方 

はC上

って

で あ る の で,

代 数 的 独 立 で あ る.よ

って DF(ξ)=F(ξ)=0

す な わ ちF(ξ)は

半 不 変 式 で あ る.ま

たt=0と

. おけば

これ は F(…,s-wj+2lξj(l),…=s2mF(…,ξj(l),…) を 示 し,Fの   第2章

指 数 が-2mで

のRobertの

  定 理6.5 

あ る こ と が わ か る.■

定 理 と定 理6.4を

Laguerre-Forsythの

(θ3(z),…,θn(z))を

併 せ る と次 の 美 し い 定 理 を 得 る.

標 準 型Ln(Q￨z,y)の

基 本 不変 式 系

形 式 的 巾級 数

の 組 と 考 え る と き,Ln(Q￨z,y)の

不 変 式 の 全 体 と 巾 級 数 の 組(θ3(z),…,θn(z))

の 共 変 式 の 全 体 と が 一 致 す る.

  2.4  保 型 形 式 と基 本 不 変 式 の 間 の 関 係 を 示 そ う.   補 題6.11 

φ を 不 変 式 とす れ ば ρ*id,λ(φ)=φ

  証 明   不 変 式 はLaguerre-Forsythの よ い.Ln(Q￨z,y)は

標 準 型Ln(Q￨z,y)の

不 変 式 と考 え て

ま た 半 標 準 型 で あ る こ と に も注 意 す る.Ln(ρ*id,λ(Q)￨z,y)

の 半 標 準 型 は 補 題6.2に

よ ってLn(Q￨z,y)と

一 致 す る.こ

れ は 補 題6.11の

正

し い こ と を 示 す.■   定 理6.6 

あ る 群Γ ⊂SL(2,C)に

(h1(z),…,hn(z))を

つ い て 指 数w=-2mの

考 え る.(h1(z),…,hn(z))の

に お く. w(w-1)…(w-n+1)Ln(p￨z,y)=Wh(z)-1

保 型 形 式 の組

定 め る微 分 作 用 素 を 次 の様

こ こに

Ln(p￨z,y)の

基本不変式を

θ3(z),…,θn(z)と

す れ ば θj(z)は

指 数-2jの

Γ-保型形式であ る  証 明   Wh(z)お

は 

よび 

の

の 多 項 式 で あ り,不 変 式 θj(z)は  多 項 式 で あ るの で,θj(z)にWh(z)の

で あ る.Γ

の 元 

を1つ

とお け ば, 

とお く.補

題3.1よ

適 当 な 巾を 掛 け れ ば,そ れ は  の多 項 式 に な る.よ って 証 明す べ きは

固 定 す る.補

で あ る.こ

り

題6.11よ

こに

り

で あ る.こ

に 代 入 し て計 算す れ ば

れ を 

よ って

ρu,1で

を 示 せ ば,こ

変 換 

の式 は

ρ*u,1(p*)j(υ)=pj(υ)

を 示 す.よ

って

を 結 論 す る.し た が って 不 変 式 の定 義 よ り

  2.5  1変 数 関 数 体 の不 変 量 を基 本 不 変 式 系 を 用 い て 定 義 し よ う.C上 変 数 関数 体Kのp次

微 分形 式 とは,Kの2元f1,f2を

表 わ され る もの とし よ う.Kの 1種p次

の1

用 い てf1(df2)pと

任 意 の 素 点 に 対 して 正 則 な表 示 を もつ とき,第

微 分 形式 と呼 ぶ こ とに す る.

  定理6.7  Kを

種 数 

のC上

微 分 形 式 の組(Ω3,…,Ωg)が

唯1通

の1変 数 関 数 体 とす る と き,Kの

高次

りに 決 ま っ て次 の性 質 を もつ あ る 径 数zが

あ って,

と表 わ し た と き,Lg(Q￨z,y)を Lagurre-Forsythの {Kの   証 明  Kの

そ の 基 本 不 変 式 系 が(θ3(z),…,θg(z))と

標 準 微 分 作 用 素 とす れ ば,あ

第1種1次 第1種1次

るzの

関 数h0(z)が

微 分 形 式}=(h0(z)φ(z)dz￨Lg(Q￨z,φ(z))=0}. 微分形式の基を ω1=h1(u)du,…,ωg=hg(u)du

な る あ って

と し,Lg(p￨u,y)=0を(h1(u),…,hg(u))を

基 本 解 とす るg階

式 とす る.Lg(p￨u,y)の

基 本 不 変 式 系 を(θ3(u),…,θg(u))と

とお け ば,(Ω3,…,Ωg)は

基(ω1,…,ωn)の

よ ら な いKの

と り方 に も,径

線型微分方程 し

数zの

選び方に も

み に よ っ て 定 ま る 高 次 微 分 の 組 で あ って 定 理6.6の

性 質 を も

つ.■   こ の 定 理6.7は   定 理6.8 

次 の 様 に 拡 張 で き る.

Kを

種 数 

のC上

の1変

数 関 数 体,rを

を 満 たす2以 上 の正 数 とす る.そ の ときKの の性 質 を もつ ものが 唯1通

と 表 わ し,Ln(Q￨z,y)を Lagurre-Forsythの {Kの

りに 決 ま るあ る径 数zが

標 準 微 分 作 用 素 とす れ ば,あ

るzの

で あ る の で,Riemann-Rochの

  (h1(z)(dz)r,…,hn(z)(dz)r)を

関 数h0(z)が

定 理 よ りKの

第1種r次

  注 意   定 理6.7,6.8でKの

微分

基 本 解 とす

す る.(θ3(z),…,θn(z))を

基 本 不 変 式 系 と し,Ωj=θj(z)(dz)j 

あ っ てkがKの

あ って

あ る.

そ の 基 と し(h1(z),…,hu(z))を

線 型 微 分 方 程 式 をLn(p￨z,y)=0と

Ln(p￨z,y)の

な る

微 分 形 式}={h0(z)φ(z)(dz)r￨Ln(Q￨z,φ(z))=0}.

形 式 の つ く る ベ ク トル 空 間 の 次 元 はn=r(2g-2)-g+1で

るn階

次

あ って

そ の 基 本 不 変 式 系 が(θ3(z),…,θn(z))と

第1種r次

  証 明 

高 次 微 分 の組(Ω3,…,Ωn)で

係 数 体kはCで

と お け ば よい.■ あ る 必 要 は な い.標

中 で 代 数 的 に 閉 じ て い れ ば よ い.す

数が零で

な わ ちk=K∩(kの

代

数 閉 体).

  2.6  不 変 式 の 幾 何 学 的 意 味 を 調 べ よ う.n階 の 基 本 解 を(f1(z),…,fn(z))を 元 射 影 空 間Pn-1の

線 型 微 分 方 程 式Ln(p￨z,y)=0

と り係 数 が 正 則 で あ る 領 域Mか

中 へ のMか

ら(n-1)次

ら の 正 則 写 像:

z→(f1(z),…,fn(z))∈Pn-1 を 考 え る.そ

の 像 はPn-1の

中 の 曲 線(径

数 を 無 視 し た も の)を

つ く る.こ

の

曲 線 の こ と を 解(f1(z),…,fn(z))の 解 の と り方 は 単 にpn-1の

横 顔(portrait)と

呼 ぶ こ とに す る.基

射 影 変 換 だ け の 違 い を 横 顔 に も た ら す.ま

換(z,y)→(u(z),λ(z)y)は

横 顔 を 変 え な い.こ

た変数変

の こ と はLn(p￨z,y)の

式 の 間 の 代 数 的 関 係 は 微 分 方 程 式Ln(p￨z,y)=0の

本

不変

解 の 横 顔 の射影 的 不 変 な

性 質 を 表 わ し て い る と み る こ と が で き る.   Q3(z),…,Qn(z)を

一 般 に と って

 (6.43)

で 多 項 式 環C[ξ3,…,ξn]か

ら 微 分 多 項 式 環 

上 へ の 環 同 型 を 与 え る.定

理6.4は

の

の不変式 の 重 さmの を 示 し て い る.た 与 え て あ る.し

だ しw3=-6,…,wn=-2nと

しw(w3,…,wn)で

た が っ て あ る 微 分 方 程 式Ln(p￨z,y)=0の

な 性 質 はLn(Q￨z,y)の

反 映 す る.こ

指数 は

解 の横 顔 の射 影不 変

不 変 式 環 か らLn(p￨z,y)の

環 準 同 型 の 核(kernel)に Ln(p￨z,y)に

不 変式

不 変 式 環 の上 へ の 自 然 な

の核 の 元 を 零 に 等 しい とお い た もの が

対 応 す る 代 数 的 微 分 方 程 式 で あ る.こ

の 核 の こ と をLn(p｜z,y)

に 対 応 す る 微 分 イ デ ア ル と 呼 ぶ こ とに す る.

の イデ アル が,あ

 定 理6.9  Ln(p￨z,y)に

る微 分 作 用 素

対 応 す る微 分 イ デ ア ル で あ る 必 要 十 分 条 件 は 素 なsl(2)-認

デ ア ル で あ る こ と で あ る.た C[ξ3,…,ξn]に

だ しsl(2)の

容 イ

作 用 はw=(-6,-8,…,-2m)で

入 れ た も の を Φ で 

に 移 した

も の で あ る.   証 明  w=(-6,-8,…,-2n)で で き る.し

た が っ てsl(2)-認

あ る の で,第2章

のGramの

容 イ デ ア ル で あ る こ と と θ3(z),…,θn(z)の

式 か ら生 成 さ れ た イ デ ア ル で あ る こ と と が 同 値 で あ る.定 … ,θn(z)の

定 理が適用

共 変 式 はLn(Q￨z,y)の

不 変 式 で あ る.よっ

理6.5よ

共変

り θ3(z),

て い くつ か の 不 変 式 が

零 に 等 し い と い う徴 分 方 程 式 の 一 般 解(θ3(z),…,θn(z))を 不 変 式 系 とす る線 型 微 分 方 程 式Ln(Q￨z,y)=0を

  2.7  微 分 作 用 素Ln(p￨z,y)に

と り,そ

れを基本

つ くれ ば よ い.■

対 して

 (6.44)

と お い て,Ln(p*￨z,y)をLn(p￨z,y)の Ln(p*￨z,y)=Ln(p￨z,y)と

随 伴(adjoint)微

な る と き,Ln(p￨z,y)は

分 作 用 素 と い う.

自 己 随 伴(self-adjoint)

と い う.   命 題6.8  す れ ば,そ

微 分 作 用 素Ln(p￨z,y)の

基 本 不 変 式 系 を(θ3(z),…,θn(z))と

の 随 伴 作 用 素Ln(p*￨z,y)の

基 本 不 変 式 系(θ3*(z),…,θn*(z))は

  (6.45)

で与 え られ る.   証 明  随 伴 作 用 素Ln(p*￨z,y)の

係数は

で 与え ら れ る か ら,Laguerre-Forsythの Ln(Q*￨z,y)も

標 準 型 に な る.命

標 準 型Ln(Q￨z,y)の

随伴 作 用 素

題 はQj(l)(j=3,4,…,n;l=0,1,2,…)が

的 独 立 の 場 合 を 証 明 す れ ば よ い.θpの

代 数

定 義 よ り,θ3=Q3, こ こ に αsは 定 数.

  (6.45)をpに

つ い て の 帰 納 法 で 証 明 す る.θ3=Q3で

-θ3.3,4,…,p-1ま

と表 わ さ れ る.Qlは

で((6.45)が

あ る の で θ3*=Q3=

成 り立 つ と す る.定

θ3,θ4,…,θlの微 分 係 数 の1次

と書 け る.こ の 両辺 に*を 作 用 させ て

数 係 数 βsを 用 い て

結合なので

よ って

係 数 を 比 較 して (1+(-1)s)γs=0, (1+(-1)s+t)γsγt=0, ゆえに γs2=（1+(-1)s+s)γs2=0, す な わ ち γs=0,s=1,2…,p-3.こ

れ よ り θp*=(-1)pθp.■

  系   Ln(p￨z,y)が

自己 随 伴 で あ るた め の 必 要 十 分 条 件 は

  (6.46) 

θp=0 

( 

か つpは

奇 数)

  2.8  無 限 個 の 成 分 を もつ ベ ク トル Q(z)=(Q3(z),Q4(z),Q5(z),…) お よ び 自 然 数 

と お く.不 Ln(Q￨z,y)の る.し

に 対 して

変 式 を 定 義 す る 微 分 作 用 素Y1,Y2はnの 不 変 式 は 

と り方 に よ ら な い の で

を 満 た すLn′(Q￨z,y)に

対 し て も不 変 式 で あ

た が っ て 次 の 様 な 定 義 が 可 能 に な る.

  定 義6.6 

対 し て  Ln(Q￨z,y)の

無限 個 の 成 分 を も つ ベ ク トルQ(z)=(Q3(z),Q4(z),Q5(z),…)に の 多 項 式 で,あ 不 変 式 に な る も の を ベ ク トルQ(z)の

るnに

不 変 式 と い う.し

つい て たが

っ てQ(z)=(Q3(z),Q4(z),Q5(z),…)に θ4(z),θ5(z),…)が

対 して 基 本 不 変 式 系

対 応 す る.

  定 理6.10Q(z)=(Q3(z),Q4(z),Q5(z),…)の θ4(z),θ5(z),…)と

と お い た と き,多

θ(z)=(θ3(z),

基 本 不 変 式 系 を θ(z)=(θ3(z),

す る.

項 式 環C[(ξp(l))p=3,4,5,…;t=0,1,2,…]か

ら多 項 式 環

 へ の 環 同 型 を

で 定 め る. 

の 核 

Q(z)=(Q3(z),Q4(z),Q5(z),…)の

不 変 式 環 で あ る と と も に,θ(z)=(θ3(z),

θ4(z),θ5(z),…)の

第2章

の 意 味 で の 共 変 式 環 で あ る.

  証 明   定 理6.5か

ら直 ち に 出 る.■

の Φ に よ る像 は

あ

と

  最 後 に こ の 本 を 書 くに 当 た っ て,常 お こ う.不

が

き

に 座 右 に お い た 文 献 に つ い て 少々 述 べ て

変 式 論 の 古 典 的 教 科 書 と し て は,古

  [1]  E.B.

Elliott, An

introduction

くは

to the

algebra

of

quantics, Oxford

(1895).   こ れ は そ の 当 時 の 最 新 のHilbertの 細字 で 書 か れ たExeciseま   [2]  I.H.

Grace

仕 事 ま で 含 ん だ 水 準 の 高 い 本 で あ る.

で こ め る と 大 変 な 量 の 内 容 が 集 め ら れ て い る.

and

Young,

The

algebra

of

Invariants,

Cambridge

(1903).   記 号 的 方 法 を 知 る の に 都 合 の よ い 教 科 書 で あ る.Gordanの Gordan流

有限 性 定 理 の

の 構 成 的 証 明 に 興 味 を 持 た れ る 方 に は 参 考 に な る.

  [3]  I. Schur,

Vorlesungen uber

  偉 大 な 代 数 学 者I.

Schurの

Invariantentheorie,

戦 前 の 講 義 録 で,ナ

夫 人 が ス イ ス に 持 ち出 し た も の で あ り.最

Springer(1968).

チ ス の 嵐 を の が れ てSchur

良 の 古 典 不 変 式 論 の 教 科 書 で あ る.

そ の 明 快 な 余 裕 を も っ た記 述 は 読 む 者 の 想 像 力 を 刺 戟 す る.   [4]  Hilbert全   Hilbertの

集 第2巻

不 変 式 関 係 の 論 文 を 集 め た 巻 で あ る が,そ

の 中 で も特 に 次 の2つ

の 論 文 は 現 在 で も 迫 力 を 感 じ な が ら 読 め る.  

Uber

die Theorie

der

algebraischen

Formen(Math,

Ann.

Bd,

36,

S. 423-534.(1890),  

Uber

die vollen

Invariantensysteme(Math,

Ann.

Bd,

42, S. 313-373

(1893)).  [5]  R. Weitzenbock,   1920年 るH.

Theorie,

Noordhoff,

Groningen(1923).

頃 ま で の 不 変 式 に 関 す る 成 果 を 集 大 成 し た 教 科 書 で あ り,次

Weylの

  [6] H.

Invarianten

に あ げ

本 と関 連 が 深 い.

Weyl, The

Classical

groups

their invariants

and

representations,

Princeton(1939).   こ れ は 不 変 式 論 の と い う よ りは 古 典 群 の 表 現の 本 で あ る.表

現 の 決定 に古 典

群 に 関 す る ベ ク トル 不 変 式 の 結 果 を 用 い た こ と に よ っ て 不 変 式 論 を 復 活 さ せ た と い わ れ て い る.こ 要 で あ る か"を   [7]  E.J. ruled

体 得 す る た め に も,い

Wilcznski,

surfaces,

  こ れ は1905年 変 式,共

の 難 解 で 格 調 高 い 本 に"数

学 と は 何 で あ る か","何

が重

つ か は 接 せ ら れ る こ と を お 薦 め す る.

Projective

differential

geometry

of

curves

and

Chelsea(1961).

版 の 復 刻 版 で あ る.本

変 式 に つ い て の 内 容 は,こ

書 の 第6章

に あ る線 型 微 分 作 用 素 の 不

の昔 の本 の結 果 を 半 不 変 式 の言 葉 に よ って

整 理 し た も の で あ る.   [8]  J.A.

Dieudonne,

Academic

J.B.

Carrell,

Invariant

Theory, old

and

new,

Press(1970).

  不 変 式 論 の 最 近 ま で の 流 れ を 概 観 す る のに 便 利 で あ る.   [9]  D.

Mumford,

Geometric

invariant

  代 数 幾 何 で の 重 要 な 課 題 で あ るmoduli空 な 活 躍 の 場 で あ る.こ て い る.第1章 い.概

theory,

Springer(1965).

間 の構 成 の問 題 は 不 変 式 論 の重 要

の 書 物 に よ っ て 不 変 式 論 は3度

目の復 活 を した とい わ れ

の 終 りで 述 べ た 不 変 式 代 数 多 様 体,零

形 式 等 の こ とと関 係 が 深

要 は[8]のChapter

4で 紹 介 さ れ て い る.

  な お 有 限 生 成 性 問 題 の そ の 後 の 経 過 に つ い て は 述 べ る こ とが で き な か った け れ ど も,Hilbertの

第14問

題 と し て 提 出 さ れ,1962年

頃 に永 田雅 宜 氏 の反 例

に よ って 否 定 的 な 結 着 が 得 ら れ た こ と を 付 け 加 え て お く.そ [8]のChapter   本 書 の 第2章

4が

の概 要 につ い て も

参 考 に な る.

以 降 の 内 容 は[8]に

は 盛 ら れ て い な い,筆

面 を 強 調 し 解 析 学 お よ び 幾 何 学 と の 関 連 に 特 に 注 目 し た.

者は不変式論 の 一

記

号 索

H,D,Δ 2

,3,68,128

Hi,Di,Δi 

116

f(ξ￨z) 

3

f(ξ￨x0,x1) 

52

〓n,〓n(d,p) 

6

〓w,〓w(u,p) 

132

〓,〓(d1,…,dN;p) 

70,118,160

Cn,Cn(m,p) 

8

Cw,Cw(u,p) 

72,120,133

Θn 

12

Θw 

117,129

Φn 

11

Φw 

74,123,130

Ar(F,G) 

22

(r) 

24

Ωx 

40

((αi,x)) 

45

[αi,αj] 

45

R(F,G) 

53

Rn1,…,nN(ξ1,…,ξN) 

76

{z,τ} 

92

Ln(p￨z,y) 

139

Ln(ρu*,λ(p)￨z,y) 

140

Ln(p*￨z,y) 

172

引

索

B

引

不 変 式(invariant) 

微 分(derivation)  微 分 イデ アル 微分形式 

2

8,72,120

不 変 式 代 数 多 様 体(algebraic of

  89

invariants) 

169

微 分 共 変 式(differential 母 関 数(generating

covariant) 

function) 

J

12

33

自 己 随 伴(self-adjoins)  次 数(degree) 

C

条 件(C) 

Cayley-Aronholdの

微分作用素 

172

1 81

2,68, K

116,128 Cayleyの

variety

57

方法

 22

Cayley-Sylvesterの

係 数 イデ アル   個 数 定理

  36,86

89

記 号 的 方 法(symbolic 基 本不 変 式 系

D

method) 

局所 解 析 変換 群 

同 次 多 項 式(homogeneous 

polynomial)

140

共 変 極(transvectant) 

  1

共 変 式(covariant) 

同 重 多 項 式(isobaric 

polynomial) 

1

45

  160

24 8,72,120,133

共 変 式 代 数 多 様 体(algebraic of cavariants) 

variety

58

G 原 始 的(primitive)  Gramの

定理

L

27

  84,85,87

Laguerre-Forsythの

H

 138,149

N

判 別 式(discriminant) 

認容イデアル 

18

半 不 変 極(apolar) 

84

23

半 不 変 式(semi-invariant) 

O

6,69,117,

Ω-プ ロ セ ス(Ω-process) 

132,142 半 標 準 型(semi-canonical  Hankel行

標 準型

列 式

form) 

  17

半 単 純(semi-simple) 

Hilbertの

基底定理

143

space) 

40

1 projective

56

26

偏 極 作 用 素(polarization)  相互律

重 さ(weight) 

重 さ つ き 射 影 空 間(weighted

半 共 変 式(semi-covariant) 

Hermiteの

142

  37   39

R

45 Robertの

定理

  11,74,87,122,135

S Schwarz微

Y

分 

92

整 保 型 形 式(integral

automorphic

form)

  98

横 顔(portrait) 

167

有 理 表 現(rational

representation) 

有 理 型 微 分(meromorphic

尖 点 形 式(cusp

form) 

  97

98

シ ン プ レ ク テ ィ ク群(symplectic

group)

有 理 型 保 型 形 式(meramarphic automorphic

 125 真 性 不 連 続(properly

form) 

98

discontinuous) Z

 97 指 数(index) 

2,72,120

指 数 同 次 イ デ ア ル 

84

終 結 式(resultant) 

53,75

W Wronski行

differential)

列 式 

76

Zakiski

closure 

102

雰 形 式(null-form)  随 伴(adjoint) 

52 172

41

著 森

者

川

寿

1928年 名古屋市に生 まれる.1951年 名古屋 大学理学部数学科卒業. 現在,名 古屋大学理学部教授,理 学博土.

不

変

1977年12月26日  1990年7月10日

式

論

第1刷 発 行   第3刷 発 行

発行所  株式 会社 

紀伊國屋書店

東 京 都 新 宿 区 新 宿3の17の7 電 話  03(354)0131(代 振 替

表)

口 座 東京9-125575

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番号

 156

MORIKAWA

in Japan

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刷  本 

研 究 社 印 刷 三水 舎

紀 伊 國 屋 数 学 叢 書 に つ い て

  数学 を学 ぶ に は い ろ い ろ の段 階 が あ るが,い ず れ の場 合 で も書 物 な ど に よ って 自学 自習 す る こ とが 最 も重 要 で あ り,単 に講 義 を聞 くとい うよ うな受 動 的 な勉 強 だ け では,は

なは だ 不 十 分 で あ る.

  み ず か ら学 ぶ た め に 現 在 い ろ い ろ な 数 学 書 が 出版 され てい る.し

か

し,数 学 の進 歩 は極 め て基 礎 的 な 考 え方 に 対 して さ え常 に影 響 を与 え て お り,従 っ て どの よ うな段 階 の勉 強 で あ って も,常 に新 しい 考 え 方 を理 解 す る こ とが 必 要 で あ る.こ の た め には,数 学 の 過 去 と将 来 と を結 ぶ 視 点 か ら書 か れ た 書 物 が 数 多 く出版 され る こ とが 望 ま しい.即 ち,新

しい

視 点 と古 典 的 な 視 点 と を見 く らべ,基 本 的 な こ とを も将 来 の発 展 を考 慮 し た視 点 か ら説 明 す る とい う立場 で書 か れ た 書物 が要 望 され て い る.   本 叢 書 は この よ うな要 望 に 応 えて 企画 され た もの で あ って,各 巻が 大 学 理 工 学 系 の 専 門 課 程 の学 生 ま た は 大学 院 学 生 が それ ぞれ の分 野 で の話 題,対 象 につ い て 入 門 の 段 階 か らあ る程 度 の 深 さ ま で勉 学 す る た め の伴 侶 と な る こ と を 目指 し てい る.こ の た め に 我 々は 各 巻 の話 題 の 選 択 に つ い て,十 分 配 慮 し,現 代 数 学 の 発 展 に とっ て 重要 で あ り,ま た既 刊 書 で 必 ず し も重 点 が 置 か れ てい な い もの を選 び,各 分 野 の 第 一線 で活 躍 して お られ る数 学 者 に 執 筆 をお 願 い して い る.   学 生 諸 君 お よび 数 学 同 好 の 方 々が,こ の 叢 書 に よ って数 学 の種 々 の分 野 にお け る基 本 的 な 考 え方 を理解 し,ま た基 礎的 な知 識 を会 得 す る こ と を期 待 す る と と もに,更 に 現 代数 学 の最 先 端 へ 向 かお う とす る場 合 の基 礎 と も な る こ と を望 み た い.