Неопределенный интеграл: Учебно-методическое пособие

Ф е де рал ь ное аг е нт с т во по образованию В ороне ж с к ий г ос ударс т ве нны й униве рс ит е т

Н ЕОП РЕДЕЛ ЕН Н Ы Й И Н ТЕГРАЛ У че бно-ме т одиче с к ое пос обие дл я с т уде нт ов Cп ециа л ьно с т и: 031401 (020600) - кул ьт уро ло гия, 030101 (020100) – ф ил о с о ф ия

В ороне ж 2006

2

У т ве рж де но научно-ме т одиче с к им с ове т ом мат е мат иче с к ог о фак ул ь т е т а 15 фе врал я 2006 г ода П рот ок ол № 6

Сос т авит е л и: Савче нк о Г.Б ., Я рце ваН .А.

У че бно-ме т одиче с к ое пос обие подг от овл е но нак афе дре мат е мат иче с к ог о моде л ирования мат е мат иче с к ог о фак ул ь т е т а В ороне ж с к ог о г ос ударс т ве нног о униве рс ит е т а Ре к оме ндуе т с я дл я с т уде нт ов 1 к урс а дне вног о от де л е ния фак ул ь т е т афил ос офии и пс ихол ог ии

3

В ве де ние Н асто я щ ее п о со б и е п редназначено для студенто в 1 к урса ф ак ультета ф мло со ф и и и п си хо ло г и и и со держи то б щ и е ук азани я п о и зучени ю раздела математи к и «Н ео п ределенный и нтег рал». В нем и зло жены нео б хо ди мые тео рети ческ и е сведени я , а так же п ри ведено до стато чно е к о ли чество п ри меро в с п о дро б ными реш ени я ми .

П .1. П ерво о б разная и нео п ределенный и нтег рал П ерво о б разно й ф унк ци ей для ф унк ци и f (x) называется так ая ф унк ци я F (x) , п ро и зво дная к о то ро й равна данно й ф унк ци и F / ( x) = f ( x) . Об о значени е

∫

f ( x) dx = F ( x) + C ,

г де F / ( x) = f ( x) . Функ ци я f (x) называется п о дынтег рально й ф унк ци ей, а ральным выражени ем. выражени е f ( x) dx - п о дынтег П .2. С во йства нео п ределенно г о и нтег рала 1о . П ро и зво дная нео п ределенно г о и нтег рала равна п о дынтег рально й ф унк ци и ; ди ф ф еренци ал о т нео п ределенно г о и нтег рала равен п о дынтег рально му выражени ю, т.е.

∫

/

∫

   f ( x)dx  = f ( x); d f ( x)dx = f ( x)dx .   2о . Н ео п ределенный и нтег рал о т ди ф ф еренци ала нек о то ро й ф унк ци и равен сумме это й ф унк ци и и п ро и зво льно й п о сто я нно й, т.е.

∫

dF ( x ) = F ( x) + C .

3о . П о сто я нный мно жи тель мо жно вынести и з п о д знак а и нтег рала, т.е. если k = const ≠ 0 , то

∫

kf ( x )dx = k

∫

f ( x) dx .

4о . Н ео п ределенный и нтег рал о талг еб раи ческ о й суммы двух ф унк ци й равен алг еб раи ческ о й сумме и нтег рало в о тэти х ф унк ци й в о тдельно сти П .3. Таб ли ца о сно вных и нтег рало в

4

x n +1 + C , n ≠ −1 ; n +1

∫ dx 2. ∫ x = ln x + C ; ( 3. ∫ dx 4. ∫ 1 − x = arcsin x + C = − arccos x + C ; 5. ( ); ∫ 6. ∫ e dx = e + C ; 7. ; ∫ 8. ∫ cos xdx = sin x + C ; ; 9. ∫ dx 10. ∫ sin x = −ctgx + C ; ( ); 11. ∫ dx 12. ∫ x + k = ln x + x + k + C ; 13. ∫ 14. ∫ 1.

x n dx =

dx

a ≠ 0) ;

= arctgx + C = −arcctgx + C1;

1 + x2

1

2

ax a dx = + C, ln a x

x

(a > 0) ;

0 < a ≠1

x

sin xdx = − cos x + C

dx

cos 2 x

= tgx + C

2

dx

x2 − a2

=

1 x−a ln + C, 2a x + a

a≠0

2

2

1 x 1 x arctg + C = − arcctg + C1, (a ≠ 0 ) ; a a a x2 + a2 a dx x x = arcsin + C = − arccos + C1, (a > 0 ) . a a a2 − x2 dx

=

П .4. Н еп о средственно е и нтег ри ро вани е Вычи слени е и нтег рало в с п о мо щ ью неп о средственно г о и сп о льзо вани я таб ли цы п ро стейш и х и нтег рало в и о сно вных сво йств нео п ределенных и нтег рало в называется неп о средственным и нтег ри ро вани ем. П ри меры

5

1.

∫

x 4 − 2 x 3 + 3x 2 x

2

dx =

( x 2 − 2 x + 3)dx = x 2 dx − 2 xdx + ∫ ∫ ∫

∫

x3 + 3 dx = − x 2 + 3x + C 3

∫

2.

2

∫

 1   = 1 − 2 x  

 2 1  dx = 1 − + 2 4 x x  

∫

∫

dx − 2 x − 2 dx +

∫

x − 4 dx =

1 2 1 x + 2 x −1 − x − 3 + C = x + − +C 3 x 3x 3 3.

∫

4.

dx cos2 x + sin 2 x dx dx = ∫ sin 2 x cos2 x ∫ sin 2 x cos2 x = ∫ sin 2 x + ∫ cos2 x =

ctg 2 xdx =

∫

 1  − 1dx =   sin 2 x 

∫ sin x − ∫ dx = −ctgx − x + C dx 2

− ctgx + tgx + C 5.

∫

x 1 cos 2 dx = 2 2

=

∫

(1 + cos x )dx = 1

2

∫

dx +

∫

1 cos xdx = 2

1 1 x + sin x + C 2 2

П .5. Интег ри ро вани е п утем п о дведени я п о д знак ди ф ф еренци ала Если

∫

f ( x) dx = F ( x ) + C и

∫

u = ϕ (x) , то

f (u ) du = F (u ) + C .

Н ео б хо ди мо и меть в ви ду п ро стейш и е п рео б разо вани я ди ф ф еренци ала 1. dx = d ( x + b), b = const 1 2. dx = d (ax + b ), a = const ≠ 0 a

6

(

)

1 3. xdx = d x 2 + b 2 4. sin xdx = −d (cos x) 5. cos xdx = d (sin x) В о б щ ем случае ϕ / ( x) dx = dϕ ( x) . П ри меры Н айти и нтег ралы 1.

∫

(2 x + 3)2 dx

1 Н а о сно вани и п рео б разо вани я 2 ди ф ф еренци ала и меем dx = d (2 x + 3) 2 2 (2 x + 3)2 dx = 1 (2 x + 3)2 d (2 x + 3) = 1 (2 x + 3) + C = 2 2 3 1 = (2 x + 3)2 + C 6

∫

2.

∫

∫

x + 4dx =

∫(

x + 4)

1 2

3 2 2 d (x + 4) = (x + 4) + C = 3

2 = ( x + 4) x + 4 + C 3

3.

∫

4.

∫

5.

∫

tgxdx =

6.

∫

x x  x x cos dx = 4 cos d   = 4 sin + C 4 4 4 4

7.

∫ 1 + 4 x ∫ 1 + (2 x )

dx = ax + b xdx x2 + 1

=

∫

1 d ( ax + b) 1 a = ax + b a

1 2

∫

∫

(

d x2 + 2 x2 + 2

∫

d (ax + b) 1 = ln ax + b + C ax + b 2

) = 1 d (x2 + 2) = 1 ln(x2 + 2)+ C 2

∫

x2 + 2

2

∫

sin x d (cos x) dx = − = − ln cos x + C cos x cos x

∫

dx

2

=

1

2

dx =

1 2

∫

d (2 x)

1 = arctg 2 x + C 1 + ( 2 x) 2 2

7

П .6. М ето д п о дстано вк и Интег ри ро вани е п утем введени я п о дстано вк и ) о сно вано на ф о рмуле

∫

f ( x) dx =

∫

но во й

п еременно й

(мето д

f [ϕ (t )]ϕ / (t ) dt ,

г де x = ϕ (t ) - ди ф ф еренци руемая ф унк ци я п еременно й t . П ри меры. 1.

∫ xe

x2

Н айти и нтег рал dx

dt , п о дставля я п о лученные 2 значени я в п о дынтег рально е выражени е, п о лучи м 2 dt 1 1 1 2 xe x dx = et = et dt = et + C = e x + C . 2 2 2 2 Э то тп ри мер мо жно реш и ть и п о -друг о му (см.п .5) 2 2 1 2 1 1 2 xe x dx = e x d x2 = e x d x2 = e x + C 2 2 2 П о ло жи м x 2 = t , то г да 2 xdx = dt ,

2.

∫

∫

∫

∫

∫

∫

( )

xdx =

∫ ( )

x x − 2dx

Ч то б ы и зб ави ться о тк о рня , п о ло жи м x−2 =t Во зво дя в к вадратэто равенство , найдем x : x = t 2 + 2, dx = 2tdt . П о дставля я п о лученные равенства в п о дынтег рально е выражени е, п о лучи м

∫

x x − 2dx =

∫

∫

( t 2 + 2)⋅ t ⋅ 2tdt = (2t 4 + 4t 2 )dt = ∫ ∫

= 2 t 4 dt + 4 t 2 dt = 2

3.

∫

5

3

5 2

3 2

t t 2 4 + 4 + C = (x − 2) + (x − 2) + C 5 3 5 3

cos x dx 1 + 4 sin x

8

П о ло жи м 1 + 4 sin x = t , о тк уда 1 + 4 sin x = t 2 , 4 cos xdx = 2tdt , 1 cos xdx = tdt . 2 С ледо вательно , 1 tdt cos x 1 1 1 2 dx = = dt = t + C = 1 + 4 sin x + C . t 2 2 2 1 + 4 sin x

∫

4.

∫

∫

ln 7 x dx x

П о ло жи м ln x = t ,

∫ 5.

∫

∫

1 dx = dt , следо вательно , x

ln 7 x dx = x

∫

t8 ln 8 x t dt = + C = +C. 8 8 7

dx sin x cos x

Раздели м чи сли тель и знаменатель на cos 2 x , п о лучи м 1 1 2 2 1 = cos x = cos x . tgx sin x cos x sin x cos x cos 2 x да П о ло жи м tgx = t , то г Так и м о б разо м,

dx cos 2 x

= dt .

dx

∫

∫

dx = sin x cos x

∫

cos 2 x = tgx

dx sin x x = t , п о лучаем П о лаг ая 2 6.

∫

dt = ln t + C = ln tgx + C . t

9

∫

dx = sin x

∫

dx = x x 2 sin cos 2 2

∫

 x d  2 = x x sin cos 2 2

∫

dt x = ln tgt + C = ln tg + C . sin t cos t 2

Три г о но метри ческ и е п о дстано вк и a 2 − x 2 , то п о лаг ают x = a sin t ,

1) Если и нтег рал со держи тради к ал о тсюда

a 2 − x 2 = a cos t . x 2 − a 2 , то п о лаг ают x =

2) Если и нтег рал со держи тради к ал

a , cos t

о тсюда x 2 − a 2 = atgt . 3) Если и нтег рал со держи тради к ал о тсюда x2 + a2 =

П ри мер. Н айти

∫

a . cos t

x2 + 1 x2

dx .

П о ло жи м x = tgx , следо вательно , dx =

∫

x2 + 1 dx = ∫ x2

x 2 + a 2 , то п о лаг ают x = atgt ,

dt

cos 2 t tg 2t + 1 dt cos2 t dt ⋅ = ⋅ = tg 2t cos2 t ∫ cos t sin 2 t cos2 t

sin 2 t + cos2 t cos t dt dt =∫ 2 =∫ = + dt ∫ cos t ∫ sin2 t dt = sin t cos t sin 2 t cos t 1 1 1 d (sin t ) = ln tgt + +∫ = ln tgt + − +C = 2 cos t cos t sin t sin t = ln tgt + 1 + tg 2t −

1 + tg 2t + C = ln x + x 2 + 1 − tgt

.

x2 + 1 +C x

П .7. Интег ри ро вани е п о частя м Если

u = ϕ (x) и v = ψ (x) - ди ф ф еренци руемые ф унк ци и , то

10

∫

udv = uv −

∫

vdu .

( 7.1.)

Э та ф о рмула п ри меня ется в случае, к о г да п о дынтег ральная ф унк ци я п редставля етп ро и зведени е алг еб раи ческ о й и трансцендентно й ф унк ци и . В к ачестве u о б ычно выб и рается ф унк ци я , к о то рая уп ро щ ается рально г о ди ф ф еренци ро вани ем, в к ачестве dv - о ставш ая ся часть п о дынтег выражени я , со держащ ая dx , и з к о то ро й мо жно о п редели ть v п утем и нтег ри ро вани я . П ри меры. 1. Н айти

∫

x ln xdx .

dx П о лаг ая u = ln x, dv = xdx , и меем du = , v = x Отсюда

∫ 2. Н айти

x2 x ln xdx = ln x − 2

∫

∫

∫

x2 xdx = . 2

x 2 dx x 2 x2 ⋅ = ln x − +C . 2 x 2 4

x sin xdx

П о лаг аем x = u, sin dx = dv , о тсюда, du = dx, v = − cos x , п о лучи м

∫

x sin xdx = x( − cos x) −

3. Н айти Имеем

∫

∫

∫

( − cos x) dx = − x cos x + sin x + C .

e x sin xdx

∫ ∫ . = −e cos x + e d (sin x) = −e cos x + e sin x − e sin xdx ∫ ∫ e x sin xdx = x

e x d ( − cos x) = −e x cos x + x

x

x

С ледо вательно ,

Отк уда

∫

e x sin xdx = e x sin x − e x cos x −

∫

e x cos xdx = x

e x sin xdx .

11

∫ ∫

2 e x sin xdx = e x (sin x − cos x) + C ex e x sin xdx = (sin x − cos x ) + C 2

.

П .8. П ро стейш и е и нтег ралы, со держащ и е к вадратный трехчлен 1о . Интег рал ви да

∫ px + qx + r dx

2

п утем до п о лнени я к вадратно г о трехчлена до п о лно г о к вадрата п о ф о рмуле

[

]

px 2 + qx + r = p ( x + k )2 ± a 2 сво ди тся к о дно му и з двух и нтег рало в u du 1 = arctg + C , ( 8.1. ) 2 2 a a u +a du 1 u−a = +C , ln ( 8.2. ) u 2 − a 2 2a u + a г де u = x + k .

∫ ∫

2о . Интег рал

∫

mx + n 2

dx

px + qx + r сво ди тся к и нтег ралу ви да (8.1) и ли (8.2) и и нтег ралу

∫

1 = u2 ± a2 2 udu

(

∫u

d u2 ± a2 2

± a2

) = 1 ln u 2 ± a 2 + C . 2

П ри меры. 1.

∫ 2x

dx 2

− 5x + 7

=

1 2

∫

dx = 5 25   7 25   2  x − 2⋅ x +  +  −  4 16   2 16  

5  5 d x −  x− 1 1 1 4  4 +C = = = ⋅ arctg 2 2  31 5 31 2 31 x−  + 4 4 4  16  2 4x − 5 = +C arctg 31 31

∫

( 8.3. )

12

2.

∫

6x + 5

dx

2

x + 4x + 9 Выдели м в знаменателе п о лный к вадрат x 2 + 4 x + 9 = ( x + 2 )2 + 5 . С делаем п о дстано вк у x + 2 = t , о тк уда x = t − 2, dx = dt , п о это му

∫ x + 4 x + 9 ∫ (x + 2 ) + 5 ∫ t + 5 ∫ t 2tdt dt 7 t =3 −7 = 3 ln (t + 5)− arctg +C ∫t +5 ∫t +5 5 5 6x + 5

6x + 5

=

2

dx =

2

6(t − 2) + 5 2

dt =

6t − 7 2

+5

dt =

2

2

2

Во звращ ая сь к п еременно й x , п о лучаем 7 6x + 5 x+2 dx = 3 ln x 2 + 4 x + 9 − arctg +C. 2 5 5 x + 4x + 9

(

∫

3о . Интег рал

∫

)

dx px 2 + qx + r

сво ди тся к о дно му и з и нтег рало в: du u = arcsin + C , a a2 − u2 du = ln u + u 2 + a + C . u2 + a 4о . Интег рал ви да

∫ ∫

∫

( 8.4. ) ( 8.5. )

px 2 + qx + r dx

сво ди тся к о дно му и з двух и нтег рало в u 2 k u 2 + k du = u + k + ln u + u 2 + k + C , 2 2

∫ ∫

2 u u 2 2 a a − u du = a −u + arcsin + C . 2 2 a 2

2

5о . Интег рал ви да

∫

mx + n

px 2 + qx + r сво ди тся к разо б ранным выш е и нтег ралам. П ри меры.

( 8.6. ) ( 8.7. )

.

13

3.

4.

∫

∫

dx 2 + 3x − 2 x 2

x+3 2

x + 2x + 2

1 2

∫

dx =

1 2

=

dx 25  3 −x−  16  4

∫

2

2x + 2 2

1 4x − 3 arcsin +C 5 2

=

x + 2x + 2

dx + 2

∫

dx

(x + 1)

2

+1

=

= x 2 + 2 x + 2 + 2 ln x + 1 + x 2 + 2 x + 2  + C   5.

∫

1 − 2 x − x 2 dx =

+ arcsin

∫

2 − (1 + x )2 d (1 + x ) =

1+ x +C 2

6о . Интег ралы ви да

∫ (mx + n)

5о . П ри мер 6. Н айти

dx

px 2 + qx + r 1 = t п ри во дя тся к и нтег ралам ви да mx + n

с п о мо щ ью о б ратно й п о дстано вк и

∫ (x + 1) x + 1 dx

2

1 dt П о лаг аем x + 1 = , dx = − t t2

∫(

dx x + 1) x 2 + 1

=−

=−

1+ x 1 − 2x − x2 + 2

1 2

∫

=

∫

−

1  1 t −  + 4  2

(

dt t2 2

1 1   − 1 + 1 t t 

dt 2

Имеем

=−

)

=−

∫

dt 1 − 2t + 2t 2

=

. 1 1 1 ln t − + t 2 − t + + C = 2 2 2

1 1 − x + 2 x2 + 1 ln +C x +1 2

14

П .9. Интег ри ро вани е три г о но метри ческ и х ф унк ци й 1о . Интег ралы ви да

∫

sin ax cos bxdx,

∫

sin ax sin bxdx,

∫

cos ax cos bxdx

нахо дя тся с п о мо щ ью три г о но метри ческ и х ф унк ци й 1 sin a sin b = [cos(a − b) − cos(a + b)] 2 1 cos a cos b = [cos(a − b) + cos(a + b)]. 2 1 sin a cos b = [sin( a − b) + sin(a + b)] 2 2о . Интег ралы ви да I m, n =

∫

sin m x cos n xdx ,

г де m и n - четные чи сла нахо дя тся с п о мо щ ью ф о рмул п о ни жени я степ ени 1 1 1 sin 2 x = (1 − cos 2 x ), cos 2 x = (1 + cos 2 x), sin x cos x = sin 2 x . 2 2 2 Если хо тя б ы о дно и з чи сел m и ли n - нечетно е, то п о лаг ают(п усть m = 2k + 1)

∫

∫

I m, n = sin 2k +1 x cos n xdx = − sin 2k x cos n d (cos x) =

∫(

)

k

.

= − 1 − cos x cos xd (cos x ) 2

n

П ри меры. 1.

∫

sin 9 x sin xdx =

2.

∫

cos 2 3 x sin 4 3 xdx =

1 2

∫

[cos 8 x − cos10 x ]dx =

∫

1 1 sin 8 x − sin 10 x + C . 16 20

(cos 3x sin 3x )2 sin 2 3xdx =

15

( sin 2 6 x − sin 2 6 x cos 6 x )dx = ∫

∫ 1  1 − cos12 x  = − sin 6 x cos 6 x dx =  8 ∫ 2  sin 2 6 x 1 − cos 6 x 1 dx = ⋅ 4 2 8

=

2

.

1  x sin 12 x 1  =  − − sin 3 6 x  + C 8 2 24 18  3.

∫

(

∫

)

sin 10 x cos 3 xdx = sin 10 x 1 − sin 2 x d (sin x ) =

. sin11 x sin13 x = − +C 11 13 3о . Если четно сти , то

m = − µ , n = −ν

I m, n =

∫ sin

dx µ

ν

=

x cos x

- целые о три цательные чи сла о ди нак о во й

∫ sin

1 µ

ν −2

x cos

ν −2 µ 2 1  2 d (tgx) = 1 + tg 2 x 2 

(

)

d (tgx) = x

(

)

µ +ν −1 2

.

 1 + tg x 1 + d (tgx) µ  tg x tg x   В частно сти , к это му случаю сво дя тся и нтег ралы π  x  d  d x +  dx 1 dx 2 2  . = µ −1 и = ν π  µ x µ x ν sin µ x 2 cos x sin cos sin  x +  2 µ 2  П ри меры. =

∫

∫

∫

∫

4.

∫ cos x ∫ cos x

5.

∫ sin x 2 ∫

dx

4

dx

3

1

=

=

2

1

3

∫

d (tgx ) =

2

∫

1 ( 1 + tg 2 x )d (tgx ) = tgx + tg 3 x + C . ∫ 3

∫

dx 1 x dx = tg − 3 ⋅ = 2 3x 3x 8 6x sin cos cos 2 2 2

16

2

 2 x   1 + tg     x dx 1  x 2 2 x 2 = ∫ ⋅ = ∫ tg − 3 + + tg  d  tg  = . x x 8 8 2  2  2 tg x tg 3 cos2    2 2 2 x  tg 2  1 1 x 2 + C. = − + 2 ln tg + x 4  2tg 2 2 2    2 4о . Интег ралы ви да

∫

R(sin x cos x )dx ,

г де R - раци о нальная ф унк ци я о тsin x и cos x , п ри во дя тся к и нтег ралам о т x раци о нальных ф унк ци й но во й п еременно й с п о мо щ ью п о дстано вк и tg = t , 2 п ри это м sin x =

2t 1+ t

2

, cos x =

1− t2 1+ t

2

, dx =

2dt 1+ t

2

.

Если R (− sin x, cos x) = R (sin x, cos x) , то целесо о б разно п о дстано вк у tgx = t , п ри это м sin x =

t 1+ t

2

, cos x =

1 1+ t

2

,

x = arctgt , dx =

dt 1+ t2

п ри мени ть

.

П ри меры.

∫

dx 3 + sin x + cos x З десь п о дынтег ральная ф унк ци я я вля ется раци о нально й ф унк ци ей о т x sin x и cos x . П ри меня ем п о дстано вк у tg = t 2 6.

17

∫ =

dx = 3 + sin x + cos x

∫t

dt 2

+t +2

=

∫3+

∫  t + 1 

2t 1+ t2

dt 2

+

=

7 + 2 4



=

1

∫ 5cos x + 9sin

2t 1+ t

2

=

1+ t2

∫ 2(t

1+ t2 2

)

⋅

∫  t + 1  2tg

2

2

2dt

+ t + 2 1+ t

 1 dt +   2



2 2t + 1 2 arctg arctg +C = 7 7 7 7.

1− t

2

⋅

=

2

1 2 2 +C =. arctg = 2 7 7  7  +  2   2  t+

x +1 2 +C 7

dx

2

2

x П о дынтег ральная ф унк ци я не меня ется о тзамены sin x на ( − sin x) , R (− sin x, cos x) ≡ R(sin x, cos x) . П ри мени м cos x на ( − cos x) , то есть п о дстано вк у tgx = t :

∫ 5cos x + 9sin x ∫ 5 + 9t dx

2

2

=

1+ t2 2

⋅

dt 1+ t2

=

∫ 5 + 9t ∫ ( 5 ) + (3t ) dt

2

=

1 3

d (3t ) 2

2

= .

1 1 3t 1 3tgx = ⋅ arctg +C = arctg +C 3 5 5 3 5 3

И с поль з у ем а я литера ту ра

1. Б аври н И.И. Высш ая математи к а / И.И. Б аври н. - М . : Изд. Ц ентр «А к адеми я »; Высш . ш к ., 2000. – 616 с. 2. Во ро но в М .В. М атемати к а для студенто в г умани тарных ф ак ультето в / М .В. Во ро но в, Г .П . М ещ еря к о ва. - Ро сто в н /Д . : Фени к с, 2002. – 384 с. Э лек тро нный к атало гН аучно й б и б ли о тек и ВГ У - (http://www.lib.vsu.ru)

18

Д ля замето к

19

С о стави тели : С авченк о Г али на Б о ри со вна, Я рцева Н астурци я А лек сеевна Редак то р Ти хо ми ро ва О.А .