Домашняя работа по алгебре и началам анализа за 11 класс

А.С. Рылов, А.А. Сапожников

Домашняя работа по алгебре и началам анализа за 11 класс к учебнику «Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др.; Под ред. А.Н. Колмогорова, — 12-е изд. — М.: Просвещение, 2002 г.»

ГЛАВА III. ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ § 7. Первообразная 26. Определение первообразной 326. а) F(x) = x5 – первообразная для f(x) = 5x4 на R; б) F(x) = x-3 – первообразная для f(x) = -3x-4 на (0;∞); 1 7

в) F(x) = x7 – первообразная для f(x) = x6 на R; г) F(x) = −

1 -6 x – первообразная для f(x) = x-7 на (0;∞). 6

327. а) F′(x) = –cosx ≠ cosx, F(x) = 3 – sinx на R; б) F′(x) = (5 – x4)′ = –4x3 для любого x∈R, таким образом F(x) = 5 – x4 является первообразной для f(x) = -4x3 на R; в) F′(x) = (cosx – 4)′ = -sinx для любого x∈R, таким образом F(x) = cosx – 4 является первообразной для f(x) = -sinx на R; г) F′(x) = (x-2 + 2)′ = −

2 x3

для любого x∈(0;∞), таким образом

F(x) = x2 + 2 не является первообразной для f(x) =

1 2 x3

на (0;∞).

328. а) F(x) = 3,5x + 10, т.к. F′(x) = f(x) для любого x∈R; б) F(x) = sinx + 3, т.к. F′(x) = f(x) для любого x∈R; в) F(x) = x2 + 2, т.к. F′(x) = f(x) для любого x∈R; г) F(x) = 8, т.к. F′(x) = f(x) для любого x∈R. 329. а) F(x) = cosx + 4, т.к. F`(x) = f(x) для любого x∈R; 1 2

б) F(x) = 3 – x2, т.к. F′(x) = f(x) для любого x∈R; в) F(x) = 4(5 – x), т.к. F′(x) = f(x) для любого x∈R; г) F(x) = 1 – sinx, т.к. F′(x) = f(x) для любого x∈R. 330. а) F′(x) = (sin2x)′ = 2sinxcosx = sin2x для любого x∈R, 1 2

1 2

б) F′(x) = (cos2x)′ = (-2)sin2x = -sin2x для любого x∈R, в) F′(x) = (sin3x)′ = 3cos3x для любого x∈R; ′ x⎞ 2⎠

⎛

г) F′(x) = ⎜ 3 + tg ⎟ = ⎝

⎛

1 2 cos 2 ′ x⎞ 2⎠

x 2

для любого x∈(-π;π). 1 2

331. а) F′(x) = ⎜ 2 x + cos ⎟ = 2 − sin ⎝

2

x = f ( x ) для любого x∈R; 2

′

x

⎠

4 − x2

б) F′(x) = ⎛⎜ 4 − x 2 ⎞⎟ = − ⎝

= f ( x) для любого x∈(-2;2);

′ 2 ⎛ 1 ⎞ = − 3 для любого x∈(0;∞); ⎟ 2⎟ x ⎝x ⎠ ′ ⎛ 3⎞ ′ 3 1 ⎜ 2⎟ г) F′(x) = 4 x x = 4⎜ x ⎟ = 4 ⋅ x 2 = 6 x = f ( x) для любого x∈(0;∞). 2 ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

в) F′(x) = ⎜⎜

( )

332. а) F(x) = 1 x2 + 2x + 8, т.к. F′(x) = f(x) для любого x∈R; 2

⎛

x 2

x⎞ 2⎠

2

б) F(x) = x + cos x + 2, т.к. f(x) = ⎜ sin − cos ⎟ = 1 − sin x на R и ⎝

F′(x)=1 – sinx для любого x∈R; в) F(x) = x – 12, т.к. f(x) = sin2x + cos2x = 1 на R и F′(x) = f(x) для любого x∈R; г) F(x) = x3 + x = 5, т.к. F′(x) = f(x) для любого x∈R. 333. а) F1(x)=x2+7 и F2(x)=x2+13 – первообразные для f(x)=2x на R; б) F1(x) = x + cosx + 12 и F2(x) = x + cosx – 1 – первообразные для f(x) = 1 – sinx на R; 1 3

1 3

в) F1(x) = x3 +3 и F2(x) = x3 + 4 – первообразные для f(x)=x2 на R; г) F1(x) = sinx + 2x + 2 и F2(x) = sinx + 2x – 7 – первообразные для f(x) = cosx + 2 на R. 334. а) g(x) = − f′(x) = − б) f(x) =

2 x3

1 1 – первообразная для f(x) = 2 на (-∞;0) ∪ (0;∞), x x

= h(x);

x2 – cosx – первообразная для h(x) = x + sinx на R, 2

h′(x) = 1 + cosx = g(x); в) h(x) =

x2 + 2 x – первообразная для g(x)=x + 2 на R, g′(x)=1=f(x); 2

г) g(x) = 3x + 2cosx – первообразная для f(x) = 3 – 2sinx на R, f′(x) = –2cosx = h(x).

3

27. Основное свойство первообразной 335. a) f(x) = 2 – x4;

б) f(x) = x + cosx;

1 F(x) = 2x – x 5 + C ; 5

F(x) = x 2 + sin x + C ;

1 2

в) f(x) = 4x; F(x) = 2x2 + C;

г) f(x) = -3; F(x) = -3x + C.

1 336. а) f(x) = x6; F(x) = x7 + C ; б) f(x) =

1

в) f(x)=1–

x

4

337. а) f(x) = F(x) = − б) f(x) =

F(x)=x + 1 x2

7 1

3x

, F(x) = −

1 x

3

− 2 ; F(x) = −

5

3

+ C ; г) f(x) = x ; F(x) =

1 2x2

− 2x + C ;

1 6 x +C . 6

⎛1⎞ 1 + C; F ⎜ ⎟ = −2 + C = −12, C = −10; x ⎝2⎠

1 − 10 ; x

1 cos 2 x

⎛π⎞ , F ( x) = tgx + C ; F ⎜ ⎟ = 1 + C = 0, C = −1; F(x) = tgx – 1; ⎝4⎠

1 3 x4 1 3 + C ; F (−1) = + C = 2, C = 1 ; F( x ) = x 4 + 1 ; 4 4 4 4 4

в) f(x) = x3, F(x) =

г) f(x) = sinx, F(x) = -cosx + C; F(-π) = 1 + C, C = -2; F(x) = -cos-2 – первообразная для f(x) = sinx; F(-π) = -1. 338. а) F′(x) = (sinx)′ - (xcosx)′ = cosx – cosx + xsinx = f(x); F(x) = sinx – xcosx + C – общая первообразная; ′

б) F′(x) = ⎛⎜ x 2 + 1 ⎞⎟ = ⎠

⎝

(

) ( ) 1

− ′ 1 2 x + 1 2 ⋅ x2 = 2

x 2

x +1

= f ( x);

F(x) = x 2 + 1 + C – общая первообразная; в) F′(x) = (cosx)′ + (xsinx)′ = -sinx + sinx + xcosx = xcosx = f(x); F(x) = cosx + xsinx + C – общая первообразная; ′ ⎛1⎞ ⎝x⎠

г) F′(x) = x′ − ⎜ ⎟ = 1 +

1 x2

=

1 + x2 x2

= f ( x);

1 + C - общая первообразная. x ⎛ π⎞ 339. а) f(x) = 2cosx, F(x) = 2sinx + C; F ⎜ − ⎟ = −2 + C = 1, C = 3; ⎝ 2⎠ F ( x) = x −

F(x) = 2sinx + 3 – искомая первообразная; б) f(x) = 1 – x2, F(x) = x –

F(x) = x – 4

1 3 x +3 – 3

1 3 x + C; 3

F(-3) = –3 + 9+С=6 + C = 9, C = 3;

искомая первообразная;

π⎞ 3⎠

⎛

⎛

π⎞ 3⎠

⎛ 2π ⎞ ⎟ = − cosπ + C = 1 + C = −1, C = −2; ⎝ 3⎠

в) f(x)=sin ⎜ x + ⎟, F(x) = −cos⎜ x + ⎟ + C; F⎜ ⎝

⎝

π⎞ ⎛ F(x) = -cos ⎜ x + ⎟ − 2 – искомая первообразная; 3⎠ ⎝

1

г) f(x) =

4

x 1

F(x) = −

3x

, F ( x) = − +5

3

8 2 ⎛1⎞ + C ; F ⎜ ⎟ = − + C = 3, C = 5 ; 3 3 3x ⎝2⎠ 1

3

2 – искомая первообразная. 3

340. а) f(x) = 2 – sinx, F1(x) = 2x + cosx и F2(x) = 2x + cosx + C; F2(x) – F1(x) = C = 4; F1(x) = 2x + cosx и F2(x) = 2x + cosx + 4 – две искомые первообразные; б) f(x)=1+tg2x =

1 cos 2 x

, F1 ( x) = tgx + C и F2 ( x) = tgx; F1(x)–F2(x)=C=1;

F1(x) = tgx + 1 и F2 = tgx – две искомые первообразные; x x − cos 2 = − cos x, F1 ( x ) = − sin x и F2(x) = -sinx + C; 2 2 1 F2(x) – F1(x) = C = ; 2

в) f(x) = sin 2

F1(x) = -sinx и F2(x) = -sinx + 0,5 – две искомые первообразные; 1

г) f(x) =

x

F1(x) = 2

x

, F1 ( x) = 2 x и F2 ( x ) = 2 x + C ; F2(x) – F1(x) = C = 2;

и F2 ( x) = 2 x + 2 – две искомые первообразные.

341. а) a(t) = -2t, v(t) = -t2 + C1, x(t) = − v(1) = -1 + C1 = 2, C1 = 3; x(t) = − 1 3

1 3

t3 + C1t + C2 ; 3

t3 + 3t + C2 , 3

x(1) = − + 3 + C2 = 4, C2 = 1 ; x(t) = −

t3 4 + 3t + ; 3 3 ′ ⎛π⎞ ⎝2⎠

б) a(t) = sint, v(t) = -cost + C1, x(t) = -sint + C1t + C2; v⎜ ⎟ = C1 = 1; ⎛π⎞ ⎝2⎠

x(t) = -sint + t+C2, x⎜ ⎟ = −1 +

π π π + C2 = 2, C2 = 3 − ; x(t)=–sint+t+3– ; 2 2 2

в) a(t) = 6t, v(t) = 3t2 + C1, x(t) = t3 + C1t + C2; v(0) = C1 = 1; x(t) = t3 + t + C2, x(0) = C2 = 3; x(t) = t3 + t + 3; г) a(t) = cost, v(t) = sint + C1, x(t) = -cost + C1t + C2; v(π) = C1 = 0; x(t) = -cost + C2, x(π) = 1 + C2 = 1, C2 = 0; x(t) = -cost. 5

28. Три правила нахождения первообразных 342. а) f(x) = 2 – x3 +

1 x3

; поэтому

x4 1 − + C – общий вид первообразных для f(x); 4 2 x2 2 б) f(x) = x – 5 + cos x; x

F(x) = 2x –

x2 1 + + sin x + C – общий вид первообразных для f(x); 2 2x4 1 в) f(x) = 2 − sin x; x 1 F(x) = − + cos x + C – общий вид первообразных для f(x); x

F(x) =

г) f(x) = 5x2 – 1; 5 3

F(x) = x3 − x + C – общий вид первообразных для f(x). 1 1 6 2

343. а) f(x) = (2x – 3)5; F(x) = ⋅ (2 x − 3)6 + C =

1 (2 x − 3)6 + C – об12

щий вид первообразных для f(x); 1 2

б) f(x) = 3sin2x; F(x) = ⋅ (−3) ⋅ cos 2x + C = −1,5 cos 2x + C — общий вид первообразных для f(x); 1 1 5 8

в) f(x) = (4 – 5x)7; F(x) = − ⋅ (4 − 5x)8 + C = −

1 (4 − 5x)8 + C – общий вид 40

первообразных для f(x); 1 3

π⎞ 4⎠

⎛x ⎝3

1 3

⎛x ⎝3

π⎞ 4⎠

⎛x ⎝3

π⎞ 4⎠

г) f(x) = − cos⎜ − ⎟; F(x) = − ⋅ 3 ⋅ sin ⎜ − ⎟ + C = − sin ⎜ − ⎟ + C – общий вид первообразных для f(x). 344. а) f(x) =

3 ( 4 − 15 x)

4

; F(x) = −

⎞ 1 ⎛⎜ 1 1 ⎟+C = ⋅ − +C – 3 ⎜ ⎟ 15 ⎝ (4 − 15x) ⎠ 15(4 − 15x)3

общий вид первообразных для f(x); б) f(x) =

2 ; ⎛π ⎞ cos 2 ⎜ − x ⎟ ⎝3 ⎠ ⎛π ⎝3

⎞

F(x) = -2tg ⎜ − x ⎟ + C – общий вид первообразных для f(x); 6

⎠

в) f(x) =

4 (3 x − 1) 2

; F(x) =

первообразных для f(x);

1 ⎛ 4 ⎞ 4 ⎟+C = − + C – общий вид ⋅⎜− 3 ⎜⎝ (3 x − 1) ⎟⎠ 3(3x − 1)

2 1 ; + x5 cos2 (3 x − 1) 1 1 F(x)= 4 + tg (3x − 1) + C – общий вид первообразных для f(x). 3 2x 1 1 345. а) f(x) = 4x + 2 ; F(x) = 2x2 – + C – общая первообразная; x x 1 2 F(-1)=2+1+C = 4, C = 1; F(x) = 2x – + 1 – искомая первообразная; x

г) f(x) = −

б) f(x) = x3 + 2; F(x)= x

4

4

+ 2x + C

– общая первообразная;

F(2) = 4+4+C=15, C = 7; F(x) = x

4

4

+ 2x + 7 –

искомая первообразная;

в) f(x) = 1 – 2x; F(x) = x – x2 + C – общая первообразная; F(3) = 3–9+C = 2, C = 8; F(x) = x – x2 + 8 – искомая первообразная; г) f(x) =

1 x3

− 10 x 4 + 3; F(x)

=−

1 2x2

− 2x5 + 3x + C – общая первообразная;

1 1 – 2 + 3 + C = 5; С = 4 ; 2 2 1 5 F(x) = − 2 − 2 x + 3x + 4,5 – искомая первообразная. 2x ⎛π ⎞ 346. а) f(x) = 1 – cos3x + 2sin ⎜ − x ⎟; 3 ⎝ ⎠ 1 ⎛π ⎞ F(x) = x – sin 3x + 2 cos⎜ − x ⎟ + C – общая первообразная; 3 ⎝3 ⎠ 1 1 2 б) f(x) = 2 + − 3x ; sin 4 x 2−x 1 F(x) = − ctg 4 x − 2 2 − x − x 3 + C – общая первообразная; 4 2 − 3 sin( 4 − x) + 2 x; в) f(x) = 2 cos (3 x + 1) 2 F(x) = tg (3 x + 1) − 3 cos(4 − x) + x 2 + C – общая первообразная; 3 1 3 ⎛π ⎞ + − 2 cos⎜ − x ⎟; г) f(x) = (3 − 2 x ) 3 5x − 2 ⎝4 ⎠

F(1) = −

F(x) =

1 4(3 − 2 x )

2

+

6 ⎛π ⎞ 5 x − 2 + 2 sin ⎜ − x ⎟ + C – общая первообразная. 5 ⎝4 ⎠

7

347. а) f(x) = 2x + 1; F(x) = x2 + x + C – общая первообразная; F(0) = 0: C = 0; F(x) = x2 + x – искомая первообразная; б) f(x) = 3x2 – 2x; F(x) = x3 – x2 + C – общая первообразная F(1)=4:1–1 + C = 4, C = 4; F(x) = x3 – x2 + 4 – искомая первообразная; 1 2

в) f(x) = x + 2; F(x) = x2 + 2x + C – общая первообразная; 1 2

1 2

1 1 – искомая первообразная; 2 2 1 3 г) f(x) = -x2 + 3x; F(x) = − x3 + x 2 + C – общая первообразная; 3 2 1 3 1 8 1 F(2)=–1: − + 6 + C = −1, C = −4 ; F(x)= − x3 + x 2 − 4 – искомая 3 2 3 3 3

F(1)=3: +2+C=3, C= ; F(x)= x 2 + 2 x +

первообразная. 348. v(t) = t2 + 2t – 1, т.к. v(t) x′(t), то t3 t3 + t 2 − t + C ; x(0)=0:C=0; x(t) = + t 2 − t – искомая функция. 3 3 t t 349. v(t) = 2cos ; x(t) = 4sin + C ; 2 2 π t ⎛π⎞ x⎜ ⎟ = 4 : 4 sin + C = 4, 2 + С = 4, C = 2; x(t) = 4sin + 2 . 2 6 ⎝3⎠

x(t) =

350. a(t) = 12t2 + 4; т.к. а(t) = v′(t), то v(t) = 4t3 + 4t + C1; v(1) = 10:4+4+C1=10; С1 = 2; v(t) = 4t3 + 4t + 2; x(t) = t4 + 2t2 + 2t + C2; x(1)=12:1+2+2+C2=12, C2=7; x(t)=t4 + 2t2 + 2t + 7 – искомая функция. 351. а) F = ma, т.о. a(t) =

F (t ) 6 − 9t 3 = = 2 − 3t; v(t) = 2t – t 2 + C1; 2 m 3

3 2

v(1) = 2 – +C1 = 4; C1=3,5; x(t)=t2 −

t3 + 3,5t + C2 ; x(1)=–5·1–0,5+3,5+ 2

t3 + 3,5t − 9 – искомая функция; 2 F (t ) 14 sin t б) F = ma, т.о. a(t) = = = 2 sin t ; v(t) = -2cost + C1; m 7

+C2 = -5, C2 = -9; x(t) = t2 −

V(π) = 2 + C1 = 2,C1 = 0; v(t) = -2cost; x(t) = -2sint + C2; x(π) = C2 = 3; x(t) = -2sint + 3 – искомая функция; F (t ) 25 cos t = = 5 cos t ; m 5 ⎛π⎞ v(t) = 5sint + C1; v⎜ ⎟ = 5 + C1 = 2, C1 = −3; ⎝2⎠

в) F= ma, т.о. a(t) =

8

⎛π⎞ ⎝2⎠

v(t) = 5sint – 3; x(t) = -5cost – 3t + C2; x⎜ ⎟ = −

3π 3π + C2 = 4, C2 = 4 + ; 2 2

3π – искомая функция; 2 F (t ) 8t + 8 г) F = ma, т.о. a(t)= = = 2t + 2; m 4

x(t) = -5cost – 3t + 4 +

v(t)= t2 + 2t + C1; v(2) = 4 + 4 + C1 = 9, C1= 1;

v(t) = t2 + 2t + 1 = (t + 1)2; x(t) = x(t) =

(t + 1)

3

3

(t + 1)3 + C ; x(2) = 9 + C = 7, C = -2; 2 2 2 3

− 2 – искомая функция.

352. а) f(x) = 3x2 – 2x + 4; F(x) = x3 – x2 + 4x + C – общая первообразная F1(-1) = 1: -1 – 1 – 4 + C1 = 1, C1 = 7; F1(x) = x3 – x2 + 4x + 7 – первая первообразная; F2(0) = 3: C2 = 3; F2(x) = x3 – x2 + 4x + 3 – вторая первообразная, F1(x) – F2(x) = 4 – следовательно график F1(x) расположен выше графика F2(x); б) f(x)=4x – 6x2 + 1; F(x) = 2x2 – 2x3 + x + C – общая первообразная F1(0) = 2: C1 = 2; F1(x) = 2x2 – 2x3 + x + 2 – первая первообразная, F2(1) = 3: 2 – 2 + 1 + C2 = 3, C2 = 2; F2(x) = 2x2 – 2x3 + x + 2 – вторая первообразная т.к. F2(x)–F1(x)=0–отсюда следует, что графики F1(x) и F2(x) совпадают; в) f(x) = 4x – x3; F(x) = 2x2 −

x4 + C – общая первообразная; 4

F1(2)=1:2⋅4–4+C1=1, C1=–3; F1(x)=2x2 −

x4 − 3 –первая первообразная; 4

F2(-2) = 3: 2⋅4 – 4 + C2 = 3, C2 = –1; F2(x) = 2x2 −

x4 − 1 – вторая первообразная; 4

F1(x) – F2(x) = -2 – таким образом график F1(x) расположен ниже графика F2(x); г) f(x) = (2x + 1)2; F(x) =

(2 x + 1)3 + C – общая первообразная;

6 125 5 F1(-3) = -1: − + C1 = −1, C1 = 19 ; 6 6

F1(x) =

(2 x + 1)3 5 + 19 – первая первообразная; 6 6

9

1 27 1 5 + C2 = 6 , C2 = 1 ; 3 6 3 6

F2(1) = 6 : F2(x) =

( 2 x + 1)3 5 + 1 – вторая первообразная; 6 6

F1(x) – F2(x) = 18 – отсюда следует, что график F1(x) расположен выше графика F2(x).

§ 8. Интеграл 29. Площадь криволинейной трапеции x3 33 ; S = Y(3) – Y(0) = = 9; 3 3 ⎛π⎞ ⎛π⎞ б) y = cosx; Y =sinx; S = Y ⎜ ⎟ − Y (0) = sin⎜ ⎟ − sin 0 = 1; ⎝2⎠ ⎝2⎠

353. а) y(x) = x2; Y(x) =

в) y = sinx; Y(x) = –cosx; S = Y(π) – Y(0) = 1 + 1 = 2; 1 1 – первообразная для функции y = 2 ; x x 1 1 S = y(2) – y(1) = − − (−1) = . 2 2

г) y(x) = −

354. а) Y(x) =

x4 + x - первообразная для функции y = x3 + 1; 4

S = Y(2) – Y(0) =

24 + 2 = 6; 4

б) Y(x) = x – 2cosx – первообразная для функции y = 1 + 2sinx; ⎛π⎞ ⎝2⎠

S = Y ⎜ ⎟ − Y (0) = в) Y(x) = 4x −

π π π − 2 cos + 2 cos 0 = + 2; 2 2 2

x3 – первообразная для функции y = 4 – x2; 3 ⎛ ⎜ ⎝

y = 0 при x = ±2, поэтому S = Y(2) – Y(-2) = 2 ⋅ ⎜ 4 ⋅ 2 − 1 2

23 ⎞⎟ 2 = 10 ; ⎟ 3 ⎠ 3

г) Y(x) = x + sin x – первообразная для функции y = 1 + 1 cos x; 2

π⎞ ⎛ π⎞ ⎛π 1 ⎛π⎞ S = Y ⎜ ⎟ − Y ⎜ − ⎟ = 2⎜ + sin ⎟ = 1 + π. 2 2 2 2 2⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

355. а) Y(x) = 10

( x + 2)3 – первообразная для функции y = (x + 2)2; 3

y=0 при x=2; x = –2 при y = 4, поэтому S =Y(0) – Y(-2) = б) Y(x) = −

23 8 2 = =2 ; 3 3 3

1 1 + x – первообразная для функции y = + 1; x +1 ( x + 1) 2

S = Y(2) – Y(0) = −

1 2 + 2 +1= 2 ; 2 +1 3

x3 – первообразная для функции y = 2x – x2; функция 3 8 1 y = 0 при x = 0, x = 2, поэтому S = Y(2) – Y(0) = 4 − = 1 ; 3 3

в) Y(x) = x2 −

г) Y(x) = −

( x − 1) 4 – первообразная для функции y = -(x – 1)3; 4

ограничена на [0;1] → S = Y(1) – Y(0) =

( −1) 4 1 = . 4 4

3π ⎞ 3π ⎞ ⎛ ⎟; ⎟; а) Y(x) = -3cos ⎜ x + 4 ⎠ 4 ⎠ ⎝ 3π ⎛ 3π ⎞ ⎛ 3π ⎞ S = Y ⎜ ⎟ − Y ⎜ − ⎟ = −3 cos + 3 cos 0 = 3; y = 2cos2x; б) y(x) = sin2; 2 ⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎛

356. y = 3sin ⎜ x + ⎝

⎛π⎞ ⎝4⎠

π⎞ 4⎠

π ⎛ π⎞ 1 1 − sin ⎜ − ⎟ = 2; y = sin x − ; в)y(x) = -cosx − x ; 2 2 2 2 ⎝ ⎝ ⎠ 5π 5π π π π ⎛ 5π ⎞ ⎛π⎞ S = y⎜ ⎟ − y⎜ ⎟ = − cos − + cos + = 3 − ; y = 1 – cosx; 6 12 6 12 3 ⎝ 6 ⎠ ⎝6⎠ π π π π π ⎛ ⎞ ⎛ π⎞ ⎛ ⎞ г) y(x) = x – sinx; S = y⎜ ⎟ − y⎜ − ⎟ = − sin + + sin⎜ − ⎟ = π − 2. 2 2 ⎝2⎠ ⎝ 2⎠ 2 ⎝ 2⎠ ⎛

S = y⎜ ⎟ − y⎜ − ⎟ = sin

30. Формула Ньютона – Лейбница 357. x5 2

2

32

1

33

3

| = + = =6 ; а) ∫ x 4 dx = 5 5 −1 5 5 5 −1 3

в) ∫ x3dx = 1

x 4 3 81 1 80 |= − = = 20; 4 1 4 4 4

π 2

π 2

0

0

π 2

б) ∫ cos xdx = sin x | = sin − sin 0 = = 1 − 0 = 1; π 4

г) ∫

π 4

dx

0 cos

2

x

= tgx | = tg 0

π − tg 0 = 4

= 1 − 0 = 1. 2

358. а) ∫

dx

1 ( 2 x + 1)

2

=−

2 1 1 1 1 |= − = ; 2( 2 x + 1) 1 6 10 15

11

π

x 2

б) ∫ 3 cos dx = 6 sin 0 10

в) ∫

1

dx x

2

=−

xπ π | = 6 sin − 6 sin 0 = 6 − 0 = 6; 20 2

1 10 1 | = − + 1 = 0,9; 10 x1

π 2

π

2 1 1⎛ π⎞ ⎛ 1⎞ 1 г) ∫ sin 2 xdx = − cos 2 x | = − ⎜ cos π − cos ⎟ = ⎜ − ⎟( −1) = . 2 2 2 2 2 π ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ π 4

4

π 4

π 4

1 1 π 359. а) ∫ 2 = tgx | = tg = 1; ∫ dx = x | = 1; т.к. 1 = 1, то 4 0 0 0 cos x 0

dx

π 3

π 3

π 3

б) ∫ sin xdx = − cos x | = − cos + cos 0 = 1 − 0

0

1 4

∫

1 16

1 4

16

π 2

π 2

в) ∫ cos xdx = sin x | = sin 0

0

π 2

π − sin 0 = 1; 2 3

3

3

∫

∫

1

dx

0 cos

2

x

= ∫ dx; 0

1 1 = ; 2 2

1 1 1 1 1 1 =2 x | =2 −2 = 1 − = ; т.к. = , то 4 16 2 2 2 2 1 x

dx

π 4

x 2 dx =

0

x3 3

3

π 3

1 4

0

1 16

∫ sin xdx = ∫

dx x

;

3

∫ = 1 − 0 = 1;

0

3

т.к. 1 = 1, то ∫ cos xdx = ∫ x 2dx; 0

1

0

1

2

0

0

г) ∫ (2 x + 1)dx = x 2 + x | = 2; ∫ ( x3 − 1)dx = 0

1

2

0

0

2 x4 − x | = 4 − 2 = 2; т.к. 2 = 2, то 4 0

3 ∫ (2 x + 1)dx = ∫ ( x − 1)dx.

360. а) SACODE = SACO + SOED = 2SOED т.к. функция y = x4 четная; 1

SACODE = 2 ∫ x 4 dx = 2 ⋅ 0

x5 1 2 |= ; 5 0 5

б) SAFEO = SACDE – SACOED = 2⋅–

12

2 8 3 = =1 ; 5 5 5

4

4

1 3

в) SAOCDЕ = ∫ ( x 2 − 4 x + 5)dx = x3 − 2 x 2 + 5 x | = 0

0

1 3

64 28 1 − 32 + 20 = =9 ; 3 3 3

32 2 = 10 . 3 3

г) SAED = SAOCD – SAOCDE = 20 – 9 = 361. 1

а) SABO = ∫ (1 − x3 )dx = x − 0

x4 1 1 3 | =1− = ; 4 0 4 4 1 4

1 4

б) SABC=SADEC–SBDEC=2– + 2 – = 4 – 2 = = ∫ (2 − x3 )dx − 2 ⋅ 1 =2 x −

x4 1 | − 2 = 2; 4 −1

−1

x3

−1

в) S ABCD = ∫ (− x 2 − 4 x)dx = − − 2 x 2 | = 3 −3 −3 1 ⎞ ⎛1 = ⎜ − 2 ⎟ + (−9 + 18) = 7 ; 3 ⎠ ⎝3

г) S ABCDE = S ANMDE − S BNMC = −1 1 1 = ∫ (− x 2 − 4 x)dx − 2 = 7 − 2 = 5 ; 3 3 −3

2π

x 2π

x

⎛

⎛ π ⎞⎞

2π

π

1

362. а) ∫ sin dx = −3 cos | = −3⎜⎜ cos − cos⎜ ⎟ ⎟⎟ = 6 cos = 6 ⋅ = 3; 3 3 −π 3 3 2 ⎝ 3 ⎠⎠ ⎝ −π 2

б) ∫

dx

−2

2x + 5

6

dx

г) ∫

−2

x+3

2

3π

dx

−2

0

cos 2

= 2 x + 5 | = 9 − 1 = 2; в)

∫

x 9

= 9tg

x 3π π | = 9tg = 9 3 ; 9 0 3

6

= 2 x + 3 | = 2( 9 − 1) = 4. −2

13

2π 3 ⎛

363. а) ∫

0

2

x x⎞ ⎜ sin + cos ⎟ dx = 4 4 ⎝ ⎠

2π 3 ⎛

∫

0

2π

x⎞ x⎞ 3 ⎛ ⎜1 + sin ⎟dx = ⎜ x − 2 cos ⎟ | = 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 0

2π 2π π⎞ ⎛ 2π −1+ 2 = + 1; =⎜ − 2 cos ⎟ + 2 cos 0 = 3 3 3⎠ ⎝ 3 2

б) ∫ (1 + 2 x)3 dx = 0 π 12

(1 + 2 x) 4 2 54 1 624 |= − = = 78; 8 8 8 8 0 π

1 π π 1 ⎛ ⎞ 12 π 1 в) ∫ (1 + cos 2 x)dx = ⎜ x + sin 2 x ⎟ | = + sin = + ; 2 12 2 6 12 4 ⎝ ⎠ 0 0 4⎛

x x

г) ∫ ⎜ x + ⎜ 1⎝

⎞ ⎛ 2 ⎞4 ⎟dx = ⎜ x + 2 x ⎟ | = 16 + 2 4 − 1 − 2 = 19 = 9 1 . ⎟ ⎜ 2 ⎟1 2 2 2 2 ⎠ ⎝ ⎠

364. а) S AED = S BECD − S ABCD = 2

= 1 ⋅ 8 − ∫ x 3dx = 8 − 1

x4 2 3 1 | =8−3 =4 ; 4 1 4 4

б) S AED = S ABCDE − S ABCD = π 3

π

3 2π 2π 2π = ∫ 2 cos xdx − 1 ⋅ = 2 sin x | − = 2 3− ; 3 3 3 π π −

−

3 2

3

2

в)x –2x+4=3, x –2x+1=0, (x–1)2=0, x=1; 1

S ABE = S ACDE − SBCDE = ∫ ( x 2 − 2 x + 4)dx − 2 ⋅ 3 = −1

⎛ x3 ⎞1 2 2 = ⎜ − x2 + 4x ⎟ | − 6 = 8 − 6 = 2 ; ⎜ 3 ⎟ −1 3 3 ⎝ ⎠ 5π 6

1 ⎛ 5π π ⎞ − ⎟= 2 ⎝ 6 6⎠

г) S ADE = S ABCDE − S ABCD = ∫ sinxdx− ⋅ ⎜ π 6

5π 6

= − cos x | − π 6

14

π 5π π π π = cos − cos − = = 3− . 3 3 6 6 3

365. а) 4x– x2 = 4 – x; x2–5x+4=0; x=4; x= 1; S ADC = S ABCD − S ABC =

3 ⋅ 3 ⎛⎜ 2 x3 ⎞⎟ 4 9 = 2x − |− = 2 ⎜⎝ 3 ⎟⎠ 1 2 1 9 9 1⎞ 9 64 ⎞ ⎛ ⎛ = ⎜ 32 − ⎟ − ⎜2 − ⎟ − = 9 − = ; 2 2 3⎠ 2 3 ⎠ ⎝ ⎝ 4

= ∫ (4 x − x 2 )dx −

б)

16 x2

3

= 2 x ; x = 8; x = 2;

SOADC = SOAB + S ABCD = =4−

16 4 | = 4 − 4 + 8 = 8; x 2

S ADE = SOEC − SOADC =

в) x2 = 2x при x = 0; 2. SOAB = SOAC − SOBAC =

=4−

2 ⋅ 4 4 16dx +∫ 2 = 2 2 x

4 ⋅8 − 8 = 8; 2

2⋅4 2 2 − ∫ x dx = 2 0

x3 2 8 4 1 | = 4 − = =1 ; 3 0 3 3 3

г) 6 + x – x2 = 6 – 2x; x2 – 3x = 0; x = 0; x = 3. 3

S ABC = SOABC − S AOC = ∫ (6 + x − x 2 )dx − 0

−

x x 3 ⋅ 6 ⎛⎜ 9 9 = 6x + − ⎟ | − 9 = 18 + − 9 − 9 = . 2 ⎜⎝ 2 3 ⎟⎠ 0 2 2 2

3 ⎞3

366. а) x2 – 4x + 4 = 4 – x2; 2x2 – 4x = 0; x2 – 2x = 0; x = 2; x = 0; 2

S ACBD = S AOBD − S AOBC = ∫ (4 − x 2 )dx − 0

2 2 ⎛ 2 x3 ⎞⎟ 2 − ∫ ( x2 − 4 x + 4)dx =∫ (4 x − 2 x2 )dx = ⎜ 2 x2 − |= ⎜ 3 ⎟⎠ 0 0 0 ⎝

15

=8−

16 8 2 = =2 . 3 3 3

б) x2 – 2x + 2 = 2 + 6x – x2 2x2 – 8x = 0; x2 – 4x = 0; x = 0; x = 4. S ABCE = SOABCD − SOAECD =

⎛ 2 x3 ⎞⎟ 4 = ∫ (8 x − 2 x 2 )dx = ⎜ 4 x 2 − |= ⎜ 3 ⎟⎠ 0 ⎝ 128 64 1 = 4 ⋅ 16 − = = 21 . 3 3 3

в) x2 = 2x – x2; x2 – x = 0; x = 0; x = 1; S OAB = SOABD − S OBD = 1

⎛ ⎜ ⎝

= ∫ (2 x − 2 x 2 )dx = ⎜ x 2 − 0

2 x3 ⎞⎟ 1 2 1 | = 1− = . 3 ⎟⎠ 0 3 3

г) x2 = x3; x2(1 – x) = 0; x = 0; x = 1; 1

1

0

0

SOAB = SOAC − SOCAB = ∫ x 2 dx − ∫ x3dx = ⎛ x3 x 4 ⎞ 1 1 1 1 ⎟| = − = . = ∫ ( x 2 − x 3 )dx = ⎜ − ⎜ 3 4 ⎟⎠ 0 3 4 12 0 ⎝ 1

367. y = 8x – 2x2; xв =

−8 = 2 ; yв = 16 – 8 = 8. −2

точка А(2;8); y′(x) = 8 – 4x, y′(2) = 0; yкас=y(2)+y′(2)(x–2)=8 – уравнение касательной; 2

SODA = SODAC − SOAC = 2 ⋅ 8 − ∫ (8 x − 2 x 2 )dx = 0

⎛ 2 x3 ⎞⎟ 2 2⋅8 1 | = 16 − 16 + = 16 − ⎜ 4 x 2 − =5 . ⎜ ⎟0 3 3 3 ⎝ ⎠

368. f(x) = 8 – 0,5x2; f′(x) = -x, f′(-2) = 2; f(–2) = 6; y(x)=f(-2)+2(x+2)=2x+10 – уравнение касательной; y(1)=2⋅1+10 = 12; 16

SCDE = S FCDB − S FCEB = 3 ⋅ 6 + 8⎞ 6⎠

1⎞ ⎛ 6⎠ ⎝

⎛

⎛ 3⋅6 1 0,5 x 3 ⎞⎟ 1 − ∫ (8 − 0,5 x 2 )dx = 27 − ⎜ 8 x − | = ⎜ 2 3 ⎟⎠ − 2 −2 ⎝

= 27 − ⎜ 8 − ⎟ + ⎜ − 16 + ⎟ = 28,5 − 24 = 4,5. ⎝

b

b

a

a

369. а) ∫ f ( x)dx = F (b) − F (a) и ∫ g ( x)dx = G (b) − G (a), где F(x) и G(x) – первообразные на [a;b] для f(x) и g(x) соответственно; b

b

a

a

∫ ( f ( x) + g ( x))dx = (F ( x) + G ( x) ) | = F (b) + G (b) − F (a) − G (a) = b

b

a

a

= [ F (b) − F (a )] + [G (b) − G (a )] = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx; b

б) k ∫ f ( x )dx = k[F(b) − F(a )], где F(x) – первообразная для f(x) на [a;b]; a

b

b

b

a

a

a

∫ kf ( x)dx = [kf ( x)] | = k[ F (b) − F (a)] = k ∫ f ( x)dx, где k – const. 31. Применение интеграла 1

1

0

0

⎛ x5 2 x3 ⎞1 + + x⎟ | = ⎜ 5 ⎟0 3 ⎝ ⎠

370. а) V ( x) = π ∫ ( x 2 + 1) 2 dx = π ∫ ( x 4 + 2 x 2 + 1)dx = π⎜ ⎞ 13 ⎛1 2 = π⎜ + + 1⎟ = 1 π; ⎠ 15 ⎝5 3 4

б) V ( x) = π ∫ ( x ) 2 dx = π ⋅ 1

1

в) V ( x) = π∫ ( x ) 2 dx = π ⋅ 0

x2 4 1⎞ 1 ⎛ | = π⎜ 8 − ⎟ = 7 π; 2 1 2 2 ⎝ ⎠ x2 1 π | = ; г) y = 1 – x2 = 0; x2 = 1; x = ±1; 2 0 2

17

1 1 ⎛ 2 x3 x5 ⎞⎟ 1 + V ( x) = π ∫ (1 − x 2 ) 2 dx = π ∫ (1 − 2 x 2 + x 4 ) dx = π⎜ x − | = ⎜ 3 5 ⎟⎠ −1 −1 −1 ⎝ 8 16π 1 = 2π ⋅ = = 1 π. 15 15 15

371. а) V = Vконуса – V0, где 1 3

1 3

Vконуса = πr 2 h = π , т.к. r = h = 1. 1

V0 = π ∫ x 4 dx = π ⋅ 0

x5 1 1 1 1 2 | = x; V = π − π = π; 3 5 15 5 0 5

1

1

1

0

0

0

1

б) V = π∫ ( x + 3) 2 dx − π∫ (2 x) 2 dx = π∫ ( x 2 + 6 x + 9)dx −π∫ 4 x 2 dx = 0

1

1

0

0

= π ∫ (6 x + 9 − 3 x 2 )dx = π(3x 2 + 9 x − x3 ) | = π(3 ⋅ 1 + 9 − 1) = 11π;

2

2

2

2

0

0

0

0

в) V = π ∫ ( x + 2) 2 dx − π ∫ dx = π ∫ ( x 2 + 4 x + 4)dx − πx | = ⎛ x3 ⎞2 2 ⎞ ⎛8 = π⎜ + 2 x 2 + 4 x ⎟ | − 2π = π⎜ + 8 + 8 ⎟ − 2π = 16 π. ⎜ 3 ⎟0 3 3 ⎠ ⎝ ⎝ ⎠

1

1

x2

1

x3 1

π

π

π

г) V = π ∫ ( x ) 2 dx −π ∫ x 2 dx = π ⋅ | − π | = − = . 2 0 3 0 2 3 6 0 0

18

372. а) Пусть |OB| = x, тогда S(x) = πy2 = π(R2 – x2), S(x) – площшадь сечения шара, x ∈ [R – H; R].

V=

R

x3

R

2 2 2 ∫ π( R − x )dx = πR x | − π 3 R−H R−H

= πR 2 H −

[

]

R

|

R−H

= πR 2 H −

[

]

π 3 R − ( R − H )3 = 3

π πH 3 3HR 2 − 3RH 2 + H 3 = πRH 2 − . 3 3

б) Пусть |OD| = x, S(x) – площадь сечения конуса, HR − r ⎤ . R ⎥⎦

⎡

x ∈ ⎢0; ⎣

S ( x) = πy 2 = π

R2

H2 H (R − r) 0≤x≤ . R

Т.о., V =

H (R−r) R

∫

( H − x) 2 . При этом x меняется в пределах

π

0

+

H (R−r) R

∫

0

=

R2 H

x

0,04

∫ 200 xdx = 100 x

∫ 50 xdx = 25 x

0

b

πR dx −

H (R−r) R

0

2

∫

0

H (R−r) R

|

0

πR 2 x3 + 2 H 3

2πR 2 ⋅ xdx + H H (R−r) R

|

=

0

2 = 200; 0,01

0,04

| = 0,16 Дж.

0

F 4 = 50; ; при F = 4H, x = 0,08 м · k = 0,08 x

0,08

375.

2

; при F = 2H, x = 0,01 м · k =

0

A=

∫

πR 2 2 2 ⋅ = π ( − ) − x x dx RH R r H H2

373. F = k⋅x, k =

374. k =

( H − x) dx =

H (R−r) R

R2

πH 2 ( R + Rr + r 2 ). 3 F

A=

2

2

F=−

γq r2

2

0,08

| = 0,16 Дж.

0

b

(по закону Кулона). Т.к. работа равна A = ∫ F (r )dr , то a

γq

⎛1 1⎞ ⎛a−b⎞ A = ∫ − 2 dr = γq⎜ − ⎟ = γq⎜ ⎟; b a ⎝ ⎠ ⎝ ab ⎠ a r ( a − b) γ q = (b − a ) > 0; а) a < b, q < 0; A = γq ab ab

19

б) b < a, q > 0: A = γq

( a − b) > 0. ab

376. Выделим на расстоянии x от верхнего основания плотины полоску толщиной ∆x. Тогда сила давления воды на эту полоску равна ∆P = ρgxy∆x. Т.к. ∆ABF подобен ∆NBM, то AF

=

NM

FB MB h

или ⎛

x⎞ a−b h ⎛ = , y = b + (a – b) ⎜1 − ⎟ , y −b h− x h ⎠ ⎝ ⎛

x ⎞⎞

⎡ bx 2

т.е. P = ∫ ρgx⎜⎜ b + (a − b )⎜1 − ⎟ ⎟⎟dx = ρg ⎢ + h ⎠⎠ ⎝ ⎢⎣ 2 ⎝ 0

x3 ⎤ h ( a − b) x 2 − (a − b ) ⎥ | = 2 3h ⎥⎦ 0

⎡ h 2 a h 2 a h 2b ⎤ ρgh 2 (a + 2b) = ρg ⎢ − + . ⎥= 3 3 ⎥⎦ 6 ⎢⎣ 2

377. Пусть ∆x =

h – толщина слоя воды, находящегося на расстоянии x n

от нижнего основания. Тогда работа, затрачиваемая на подъем этого слоя, равна ∆А = ρg∆V⋅x = ρg⋅πr2∆x⋅x. Полная работа равна n

h

0

0

A = ∑ ρgπr 2 x∆x. Если n → ∞, то A = ∫ ρgπr 2 xdx = ρgπr 2 ⋅

378. Разобьем шар на n слоев толщиной ∆x =

2R n

x 2 h ρgπr 2 h 2 |= . 2 0 2

каждый. Выделим

один из таких слоев, находящийся на расстоянии x от точка А. Тогда работа против сил выталкивания при погружении этого слоя на глубину x есть ∆А = ρg∆V⋅x. Пусть |OB| = a, тогда y2 = R2 – a2 = R2 – – (x – R)2 и ∆V ≈ πy2∆x = π⎣R 2 − ( x − R ) 2 ⎦ ∆x = π⋅x(2R – x)∆x, тогда 2R ⎡ 2 x3 R x 4 ⎤ 2 R ⎡2 16 R 4 ⎤ 3 4 A = ∫ ρgπx 2 ( 2 R − x)dx = ρgπ ⎢ − ⎥ | = ρgπ ⎢ ⋅ 8 R 4 − ⎥ = ρgπR . 3 4 3 4 4 ⎥⎦ 0 0 ⎣⎢ ⎣⎢ ⎦⎥

20

379. Разобьем стержень на n равных цилиндров, каждый из которых имеет высоту ∆x = ∆E = mv

2

2

, где

1 . n

⎛ x + ∆x ⎞ ⎟– ⎝ 2 ⎠

m = ρ∆V = ρS∆x – масса цилиндра, v = ϖ ⋅ ⎜

средняя линейная скорость точек цилиндра. Так как v ≈ ωx. Т.о. ∆E ≈ ρS∆x ⋅

∆x x

→ 0, то

l ω2 x 2 ω2 x 2 ρSω2 x 3 l ρSω2l 3 и E = ∫ ρSdx ⋅ |= . = 2 2 3 0 6 2 0

380. Центр масс кругового конуса лежит на его оси (ОА), объем ∆V, находящийся на расстоянии x от вершины конуса, равен ∆V ≈ πy2⋅∆x. ∆ABO ∼ ∆ANE;

x y r r2 = , y = ⋅ x; тогда ∆V ≈ π 2 x 2 ∆x. h r h h

h

h

∫ ρxdV

Координата ценра масс x`= 0 h

∫ ρdV

0

ρ∫ =

πr 2 h

0 h

ρ∫

0

πr

h

x 3dx

2

=

2

h2

3 ∫ x dx

dx

0 h

=

2 ∫ x dx

0

x4 h | 4 0 x3 h 3

|

=

3 h. 4

0

ГЛАВА IV. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ § 9. Обобщение понятия степени 32. Корень n-й степени и его свойства 381. а) 4 16 = 2, 24 = 16 и 2 > 0; б) 7 − 1 = −1, (-1)7 = -1; в) 10 1024 = 2, 210 = 1024 и 2 > 0; г) 5 243 = −3, (-3)5 = -243. 382. а) 17 1 = 1, 117 = 1; в) 3 − 343 = −7, (-7)3 = -343; б) 6 64

= 2,

26 = 64 и 2 > 0; г) 19 0 = 0, 019 = 0. 21

383. а) 3 − 27

= 3 (−3) 3 = −3;

б) 4 81 = 4 34 = 3;

в) 5 − 32 = 5 (−2) 5 = −2; г) 3 64 = 3 4 3 = 4. 4

5 81 4 ⎛ 3 ⎞ 3 384. а) 5 1 = 5 ⎛⎜ 1 ⎞⎟ = 1 ; б) 4 = ⎜ ⎟ = ;

32

в) 3 −

⎝2⎠

2

625

⎝5⎠

3

5

4

27 3 ⎛ 3 ⎞ 3 81 4 ⎛ 3 ⎞ 3 = ⎜ − ⎟ = − ; г) 4 = ⎜ ⎟ = . 8 2 256 4 ⎝ 2⎠ ⎝4⎠

385. а) x3 + 4 = 0; x = 3 − 4 = −3 4 ; б) x6 = 5; x = ± 6 5 ; в) x3 = 4; x = 3 4 ; г) x4 = 10; x = ± 4 10 . 386. а) x10 – 15 = 0; x10 = 15; x = ± 10 15 ; б) x7 + 128 = 0; x7 = -128; x = 7 − 128 = −2; в) x6 – 64 = 0; x6 = 64; x = ±2; г) x5 = 3; x = 5 3 . 387. а) 16x4 – 1 = 0; x4 = x = ±4

1 ; 16

б) 0,01x3 + 10 = 0; x3 = -1000; x = 3 − 1000 = −10;

1 1 =± ; 16 2

в) 0,02x6 – 1,28 = 0; x6 = 64; x = ± 6 64 = −2 ;

3 4

3 4

г) 12 − x 2 = 0; x2 = 17; x = ± 17 .

388. а) 3 x = −0,6; x = -0,216;

(3 x )3 = (− 0,6)3 ;

б) 4 x = 3;

(4 x )4 = 34 ; x = 81;

7 ( x )2 = 52 ; x = 25; г) 7 x = −1; (7 x ) = (− 1)7 ; x = -1. 5 5 4 4 389. а) (− 4 11 ) = (− 1)4 ⋅ (4 11 ) = 11 б) (25 − 2 ) = (− 2)5 ⋅ (5 2 ) = −32 ⋅ 2 = −64; 6 6 3 в) (3 7 ) = 3 7 3 = 7; г) (− 6 2 ) = (− 1)6 (6 2 ) = 2.

в) x = 5;

390. а) 4 16 ⋅ 625 = 4 16 ⋅ 4 625 = 2 ⋅ 5 = 10; в) 3 8 ⋅ 343 = 3 8 ⋅ 3 343 = 2 ⋅ 7 = 14;

б) 5 32 ⋅ 243 = 5 32 ⋅ 5 243 = 2 ⋅ 3 = 6; г) 4 0,0001 ⋅ 16 = 4 0,0001 ⋅ 4 16 = 0,1 ⋅ 2 = 0,2.

391. а) 5 160 ⋅ 625 = 5 32 ⋅ 5 55 = 2 ⋅ 5 = 10; б) 3 24 ⋅ 9 = 3 8 ⋅ 27 = 3 8 ⋅ 3 27 = 2 ⋅ 3 = 6; 22

в) 4 48 ⋅ 27 = 4 16 ⋅ 81 = 4 16 ⋅ 4 81 = 2 ⋅ 3 = 6; г) 3 75 ⋅ 45 = 3 125 ⋅ 27 = 3 125 ⋅ 3 27 = 5 ⋅ 3 = 15. 392. а) 3 9 ⋅ 6 9 = 3 9 ⋅ 3 3 = 3 27 = 3; б) 7 16 ⋅ 7 − 8 = 7 − 128 = −2; в) 5 27 ⋅ 5 9 = 5 243 = 3; г) 3 − 25 ⋅ 6 25 = 3 − 25 ⋅ 3 5 = 3 − 125 = −5. 393. а) в)

3

3

− 625 3

= 3 125 = 5; б)

−5

4

128 4

8

=4

128 4 = 16 = 2; 8

6 243 3 128 6 128 6 =3 − = − 27 = −3; г) 6 = = 64 = 2. 9 2 −9 2

243

3

394. 6 4 64 1 19 64 625 3 − 100 : 3 ⋅ 4 39 : 3 − 3 =6 ⋅ = 4 100000000 16 27 100000000 16 27 2 5 3 15 15 =3 ⋅ ⋅3 =3 =− = −0,15; 2 100 − 100 − 1000000 10000

а) 6

б) 5 1

5

11 ⋅ 4,5 − 16

в) 5 −

5

9

288

=5

243 3 17 ⋅ −4 = 1024 27 3 8

1 2

г) 4 3 ⋅ 1 +

4 4

5

80

=4

27 9 5 1 ⋅ − = 16 2 32

5

− 243

5

1024

⋅

3

− 125 3

27

5 5

=

243 32

−

1 3 1 = − = 1; 2 2 2

− 3 ( −5) 5 1 ⋅ = =1 ; 4 3 4 4

4 27 ⋅ 3 4 5 81 4 1 3 1 + = + = + = 2; 8⋅2 80 4 16 16 2 2

395. а) 1 < 4 2 < 2, т.к. 14 < 2 < 24; 1,1 < 4 2 < 1,2, т.к. 1,14 < 2 < 1,24; 1,18 < 4 2 < 1,19, т.к. 1,184 < 2 < 1,194; 4 2 = 1,18...; б) 1 < 3 5 < 2, т.к. 13 < 5 < 23; 1,7 < 3 5 < 1,8, т.к. 1,73 < 5 < 1,83; 3 3 1,70 < 3 5 < 1,71, т.к. 1,7 < 5 < 1,71 ; 3 5 = 1,70...; 2 2 в) 2 < 7 < 3, т.к. 2 < 7 < 3 ; 2,6 < 7 < 2,7, т.к. 2,62 < 7 < 2,72; 2 2 2,64 < 7 < 2,65, т.к. 2,64 < 7 < 2,65 ; 7 = 2,64...; 3 3 г) 1 < 3 3 < 2, т.к. 1 < 3 < 2 ; 1,4 < 3 3 < 1,5, т.к. 1,43 < 3 < 1,53; 3 3 1,44 < 3 3 < 1,45, т.к. 1,44 < 3 < 1,45 ; 3 3 = 1,44.... 396. а) 3 10,17 ≈ 2,17;

б) 71 ≈ 8,43;

в) 13,21 ≈ 3,63;

г) 3 11 ≈ 2,22.

397. а) 9 13,7 ≈ 1,34;

б) 6 10 ≈ 1,47;

в) 4 2,8 ≈ 1,29;

г) 8 13 ≈ 1,38. 23

398. 5 24 25 5 , т.к. 0,4 = < = ; 12 60 60 12

а) 5 0,2 > 0, т.к. 0,2>0 и 5 0 = 0;

б) 12 0,4 < 12

в) 7 1,8 > 1, т.к. 1,8 > 1 и 7 1 = 1;

г) 8 0,2 < 8 0,3 , т.к. 0,2 < 0,3. 2

399. а) б) 18

1 1 ⎛ 1⎞ 1 13 2 = 3 ⋅ 3 2 = 3 ; ⎜6 ⎟ = 3 ; 2 4 ⎜⎝ 2 ⎟⎠ 8 2

2

3

⎛ 1⎞ 1 31 1 < , т.о. 3 2 < ⎜ 6 ⎟ ; ⎜ 2⎟ 4 2 2 ⎠ ⎝

3 300 301 3 18 < 0,43 , т.к. = < = 0,43; 7 7 700 700

в) 5 2 < 5 3 , т.к. 2 < 3; г) 8 0,8 < 1, т.к. 0,8 < 1 и 1 = 8 1. 400. а) 0,3 = 10 0,35 = 10 0,00243 ; 5 0,05 = 10 0,052 = 10 0,0025 ; 10 0,0025

> 10 0,00243 , т.о.

0,3 < 5 0,05 ;

б) 3 4 = 15 4 5 = 15 1024 ; 5 8 = 15 83 = 15 512 ; 15 1024 > 15 512 , т.о. 3 4 > 5 8 ; в) 3 7 = 6 7 2 = 6 49 ;

6

49 > 6 40 , т.о.

3

7 > 6 40 ;

г) 5 = 8 54 = 8 625 ; 8 625 > 8 500 , т.о.

5 > 8 500 .

401. а) 3 − 0,4 = −15 0,45 = −15 0,01024 ; 15 0,01024

5

− 0,3 = −15 0,33 = −15 0,009 ;

< 15 0,009 ,−15 0,01024 > −15 0,009 ; т.о.

б) 5 − 5 = −5 5 = −15 53 = −15 125 ; − 15 125 > 15 243 , т.о.

5

3

15

в) 3 − 2 = −3 2 > −3 4 = 3 − 4 ; 15

5

15

− 3 = − 33 = −15 27 ;

3125 > 15 27 , − 15 3125 < −15 27 ,

3

− 5 < 5 − 3.

402. а) 6 64a8b11 = 6 (2ab) 6 ⋅ 6 a 2b5 = 2ab6 a 2b5 ; б) 5 − 128a 7 = −5 (2a)5 ⋅ 5 4a 2 = −2a5 4a 2 ; в) 4 6a12b6 = 4 (a3b)4 ⋅ 4 6b 2 = a3b 4 6b 2 ; г) 3 54a10 = 3 (3a 3 )3 ⋅ 3 2a = 3a 3 3 2a .

24

− 0,4 > 5 − 0,3 ;

− 3 = −3 3 = − 35 = −15 243 ;

− 5 > 3 − 3;

г) 3 − 5 = −15 55 = −15 3125 ;

3

403. а) − b 4 3 = −4 b 4 ⋅ 4 3 = − 4 3b 4 ; б) ab8

5b3

5b3

8

= a8b8 ⋅ 8

a7

a7

8

= 5ab11 ;

г) − ab3 − 4 = 3 − a 3b3 ⋅ 3 − 4 = 3 4a 3b3 .

в) a 4 7 = 4 a 4 ⋅ 4 7 = 4 7a 4 ; 404.

а) a2 = a , a = −a справедливо только при а≤0, т.о.

a 2 = − a при а≤0;

б) 3 a 3 = a при любом а; в) 5 a 5 = a, a = a справедливо только при а≥0, т.о.

5

г) 4 a 4 = a , a = a справедливо только при а≥0, т.о.

a 5 = a при а ≥ 0; 4

a 4 = a при а ≥ 0.

405. а) 3 a 3 = a прилюбом а, а = -а при а = 0, значит 3 a 3 = −a при а = 0; б) 6 a 6 = a , a = −a при а ≤ 0, значит 6 a 6 = −a при а ≤ 0; в) 4 a 4 = a при любом а; г) 7 a 7 = a при любом а. 3

406. а) б)

7− 5

a− 2

6 +1 6 −1

407. а) 3 в)

4 x4 4

3 12

2

=

3( 7 + 5 ) ; 2

a2 − 2 2 + 2

( 5) − ( 2)

3

=

2

a ⋅ 22 3

23

4

4 43 4

x 4

4

=

4

a2 − 2 3

=

=

4

2 42 3

43

;

5− 2 ; 3

a3 2 x− x ; б) = 2 2 x 5 35 5

2 x 5

=

5 54 5 5

3 5

2 4 ⋅ 34

=

5

=

x −1 ; 2

625 . 3

5

13 6 6 ⋅ 32 ⋅ 53 6 16 ; б) 5 = = 5 9 ⋅ 125 ; 5 5 5 5 2 15 27 ⋅ 25 3 ⋅ 5 5

4

4

г)

x ( x − 1)

5

=

3 ⋅ 2 2 ⋅ 33 4

=

64 2 2 = ; x x

3

2

4

=

2

( 6 + 1) 2 6 + 1 + 2 6 7 + 2 6 = = . 5 5 5

a

=

408. а) 3 в) 4

=

=

5− 2

=

5+ 2

г)

( 7 ) − ( 5)

a 2 − ( 2 )2

1

в)

2

(a − 2 ) 2

=

a+ 2

3( 7 + 5 )

=

=

10 10 2 2 10 5 1 34 4 ⋅ 27 = 4 108 ; г) 5 = = 4 = 55 4 . 5 5 6 2 2 8 2

25

409. а) 12 253 = 12 56 = 5 ; б) 3

14 2 =3 2

4

1 4 1 14 3 = = 2 = 0,54 8 ; 8 2 2

в) 8

163 8 212 ⋅ 34 2 8 4 4 2 = = 2 ⋅3 = 6; 81 3 3 38

г) 4

1 12 1 13 5 1 12 12 5 = 12 3 = 5 ⋅ 49 = 5 ⋅ 26 ⋅ 212 = 12 320 . 4 4 4 2 4

410. а) 3 x − 56 x + 6 = 0; 6 x = t; t ≥ 0; t2 – 5t + 6 = 0; t1 = 2, t2 = 3; 6 x = 2, x = 26 = 64; 6 x = 3, x = 36 = 729; в) x − 34 x + 2 = 0; 4 x = t; t ≥ 0; t2 – 3t + 2 = 0; t1 = 1, t2 = 2; 4 x = 1, x = 1; 4 x = 2, x = 24 = 16; 411. а)

+

– −43

б) x + 2 x = 2; 4 x = t; t ≥ 0; t2 + t – 2 = 0; t1 = -2, t2 = 1; 4 x = −2 - не имеет решений; 4 x = 1, x = 1; г) 3 x − 56 x = 6; 6 x = t; t ≥ 0; t2 – 5t – 6 = 0; t1 = -1, t2 = 6; 6 x = −1 - не имеет решений; 6 x = 6, x = 66 = 46656.

+

б)

x11 ≥ 7; x = 11 7 ; Ответ: 11 7 ; ∞ . г) –

[

)

− 10 2

412. а)

+ -343 3 x < −7; x = (-7)3 = -343; Ответ: (-∞;-343). в) – + 8 3 x > 2; x = 8; Ответ: (8;∞).

26

+ 35

x3 ≤ 5; x = 3 5 . Ответ: − ∞;−3 5 .

(− ∞;−10 2 )∪ (10 2 ; ∞). –

)

10 2

x10 > 2; x1 = − 10 2 , x2 = 10 2 . Ответ:

+ 11 7

x4 < 3; x1 = − 4 3 , x2 = 4 3 . Ответ: − 4 3 ; 4 3 . . в) + – +

(

–

43

]

(

б)

– 0

6 x ≥ 2;

+ 6

x = 64. Ответ: [64; ∞ ). г) – + 0 81 4 x ≤ 3; x = 81. Ответ: [0; 81].

413. а) 6 a 6

= a = −a , где

б) 4 а 4

= a = a , где

в) 5 а 5

а ≤ 0;

= a;

а ≥ 0;

414. а) 3 a 3 − a 2 = a − a = a + a = 2a, где а ≤ 0; б) 4 a 4 + 27 a 7 = a + 2a = a + 2a = 3a, где а ≥ 0; в) 5 a 5 − 6 a 6 = a − a = a − a = 0, где а ≥ 0; г) 3 a 3 + 38 a8 = a + 3 a = a − 3a = −2a, где а ≤ 0. 415. а) 3 10 + 73 ⋅ 3 10 − 73 = 3 10 2 − ( 73 ) 2 = 3 27 = 3; б)

3

(4 + 17 ) 2 3

4 − 17

+ 17 =

( 4 + 17 )3

3 3

4 2 − ( 17 ) 2

(

)

+ 17 = − 4 + 17 + 17 = −4;

в) 4 9 − 65 ⋅ 4 9 + 65 = 4 9 2 − ( 65 ) 2 = 4 16 = 2; г) 3 − 5 ⋅ 3 + 5 = 32 − ( 5 ) 2 = 4 = 2. 416. а)

3

1 3

=

2 −33

(

3

3

2 2 + 3 2 ⋅ 3 + 32 = −3 4 − 3 6 − 3 9 ; 3 2 ⎞ 3 ⎛3 2 3 2 − 3 ⎜ 2 + 2⋅3 + 3 ⎟ ⎝ ⎠

)

3 3 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 2⎜ a 2 + a3 b + b 2 ⎟ 2⎜ a 2 + a 3 b + b 2 ⎟ ⎠ ⎝ ⎠; ⎝ б) = = 3 3 2⎞ 3 ⎛ 2 3 a−3b a − b a − b ⎜a + a b + b ⎟ ⎝ ⎠

2

(

)

3 ⎞ ⎛3 2⎜ 52 − 3 5 ⋅ 7 + 7 2 ⎟ ⎠ ⎝ в) 3 = = 3 2⎞ 3 3 ⎛3 2 3 5 +37 5 + 7 ⎜ 5 − 5⋅7 + 7 ⎟ ⎝ ⎠

2

г)

(

)

3a 3

2

3

3

a − ab + b

2

=

(

3

25 − 3 35 + 3 49 ; 6

) (

(

)

3a 3 a + 3 b 3a 3 a + 3 b = . 3 2⎞3 a+b ⎛3 2 3 3 − + + a ab b a b ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

)

33. Иррациональные уравнения 417. а) x 4 + 19 = 10 ⇔ x4 + 19 = 100 ⇔ x4 = 81 ⇔ x ±3; б) 3 x 2 − 28 = 2 ⇔ x2 – 28 = 8 ⇔ x2 = 36 ⇔ x = ±6; 27

2 ⎧ ⎧ 2 в) 61 − x 2 = 5 ⇔ ⎨ 61 − x2 ≥ 0, ⇔ ⎨ x 2 ≤ 61, ⇔ x = ±6;

⎩61 − x = 25;

⎩ x = 36

г) 3 x − 9 = −3 ⇔ x − 9 = −27 ⇔ x = −18. 418. ⎧ x + 1 = ( x − 5) 2 , ⎧⎡ x = 3, ⎧ x 2 − 11x + 24 = 0, ⎪ ⎪ ⎪ ⇔ ⎨⎢⎣ x = 8; ⇔ x = 8 ; а) x + 1 = x − 5 ⇔ ⎨ x − 5 ≥ 0, ⇔ ⎨ x ≥ 5, ⎪⎩ ⎪⎩ x + 1 ≥ 0; ⎪⎩ x ≥ 5; x ≥ −1;

⎧ 2 ⎧2 x + 3 = (6 − x)2 , ⎪x − 14x + 33 = 0, ⎧⎡ x = 3, ⎪ ⎪ ⎪ x ≤ 6, ⇔ ⎨⎢⎣ x = 11; ⇔ x = 3 ; ⇔⎨ б) x + 2x + 3 = 6 ⇔ ⎨ 6 − x ≥ 0, 3 ⎪⎩ x ≤ 6; ⎪⎩ 2x + 3 ≥ 0; ⎪ x≥− ; ⎪⎩ 2 ⎧ 2 ⎧2 x − 1 = ( x − 2) 2 , ⎪ x − 6 x + 5 = 0, ⎧⎡ x = 1, ⎪ ⎪ ⎪ x ≥ 2; ⇔⎨ ⇔ ⎨⎢⎣ x = 5; ⇔ x = 5 ; в) 2 x − 1 = x − 2 ⇔ ⎨ x − 2 ≥ 0; 1 ⎪⎩ 2 x − 1 ≥ 0 ⎪ ⎪⎩ x ≥ 2; x≥ 2 ⎩⎪ ⎧ x 2 − 9 x + 8 = 0, ⎧3 x + 1 = ( x − 3) 2 , ⎧⎡ x = 1, ⎪⎪ ⎪ ⎪ x ≥ 3, г) 3 + 3x + 1 = x ⇔ ⎨ x − 3 ≥ 0, ⇔⎨ ⇔ ⎨⎢⎣ x = 8; ⇔ x = 8 . 1 ⎪⎩ 3x + 1 ≥ 0; ⎪ ⎪⎩ x ≥ 3; x≥− ; ⎪⎩ 3

419. 2 ⎧ ⎧ 2 а) 2 x + 1 = x 2 − 2 x + 4 ⇔ ⎨2 x + 1 = x − 2 x + 4, ⇔ ⎨ x − 4 x + 3 = 0, ⇔

⎩

2 x + 1 ≥ 0;

⎩

x ≥ −0,5;

⎧ ⎡ x = 1, x = 1, ⎪ ⇔ ⎨ ⎢⎣ x = 3; ⇔ 1 см. x 2 = 3; ⎪⎩ x ≥ −0,5; ⎧ ⎧x = x2 − x − 3, ⎧x2 − 2x − 3 = 0, ⎪ ⎡ x = −1, ⎪ ⎢⎣ x = 3; ⎪ ⎪ б) x = x − x − 3 ⇔ ⎨ x ≥ 0, ⇔ x =3; ⇔⎨ 1 + 13 ⇔ ⎨ ; ⎪x ≥ 1 + 13 ; ⎪ x2 − x − 3 ≥ 0; ⎪ x ≥ 2 ⎩ ⎩ ⎪⎩ 2 ⎧ x + 2 = 2 x − 3, x = 5, ⎪ в) x + 2 = 2 x − 3 ⇔ ⎨ x + 2 ≥ 0, ⇔ ⎧⎨ ⇔ x=5; x ⎩ ≥ 1,5; ⎪⎩ 2 x − 3 ≥ 0; 2

⎧⎡ x = −1, ⎧9 − x 2 = 9 + x, ⎪⎢ x = 0; x( x + 1) = 0, ⎧ ⎪ ⎪⎣ x = −1, ⎪ г) 9 − x 2 = x + 9 ⇔ ⎨ 9 − x 2 ≥ 0, ⇔ ⎨ x ≥ −3, ⇔ ⎨ x ≥ −3, ⇔ 1 x2 = 0; ⎪ x + 9 ≥ 0; ⎪⎩ x ≤ 3; ⎪ x ≤ 3; ⎩ ⎪ ⎩

28

420. x1 = 2, x ⎣ 2 = 4;

а) x = 3 x3 + x 2 − 6 x + 8 ⇔ x3 + x 2 − 6 x + 8 = x3 ⇔ x 2 − 6 x + 8 = 0 ⇔ ⎡⎢ б) x − 2 = 3 x 2 − 8 ⇔ ( x − 2)3 = x 2 − 8 ⇔ x3 − 6 x 2 + 12 x − 8 = x 2 − 8 ⇔ ⎡ x1 = 0, ⇔ x( x 2 − 7 x + 12) = 0 ⇔ ⎢ x2 = 3, ⎢ x = 4; ⎣ 3

x1 = −10, ⎣ x2 = 2;

в) x = 3 x3 − x2 − 8x + 20 ⇔ x3 = x3 − x2 − 8x + 20 ⇔ x2 + 8x − 20 = 0 ⇔ ⎡⎢

г) x + 1 = 3 x 3 + 2 x 2 + x ⇔ ( x + 1)3 = x3 + 2 x 2 + 2 ⇔ x 3 + 3x 2 + 3x + 1 = = x3 + 2 x 2 + x ⇔ x 2 + 2 x + 1 = 0 ⇔ x = −1.

421. ⎧⎪ 3 x + 23 y = 1, ⎧⎪ 3 x + 23 y = 1, ⎧⎪3 x + 23 y = 1, ⎧⎪3 y = 1 (1 − 3 x ), ⇔⎨ 3 ⇔⎨ ⇔ ⇔⎨ 3 2 3 3 ⎪⎩3 x − 3 y = 10; ⎪⎩6 x − 23 y = 20; ⎪⎩ 7 x = 21; ⎪⎩ x = 3; ⎧⎪3 y = −1, ⎧ y = −1 ⇔⎨3 ⇔⎨ ; ⎩ x = 27 ⎪⎩ x = 3;

а) ⎨

⎧⎪124 x − 34 y = 6 2 , ⎧⎪ 44 x − 4 y = 2 2 , ⎧⎪4 y = 44 x − 2 2 , ⇔⎨ ⇔ ⇔⎨ 4 4 ⎪⎩ 144 x = 14 2 ; ⎪⎩2 x + 34 y = 8 2 ; ⎪⎩ 2 x + 34 y = 8 2 ; ⎧⎪4 y = 44 x − 2 2 , ⎧ y = 64 ⇔⎨ ⇔⎨ ; 4 ⎩x=4 ⎪⎩ x = 2;

б) ⎨

⎧⎪− 84 x − 44 y = −28, ⎧⎪ 24 x + 4 y = 7, ⎧⎪4 y = 7 − 24 x , ⇔⎨ ⇔ ⇔⎨ 4 4 ⎪⎩ − 114 x = −22; ⎪⎩44 y − 3 x = 6; ⎪⎩ − 3 x + 44 y = 6;

в) ⎨

⎧⎪4 y = 7 − 2 ⋅ 2, ⎧ y = 81 ⇔⎨ ⇔⎨ ; ⎩ x = 16 ⎪⎩ 4 x = 2;

⎧⎪ x = 5 5 − 3 y , ⎧⎪2 x + 6 y = 10 5 , ⎧⎪ x + 3 y = 5 5 , ⇔⎨ ⇔ ⇔⎨ ⎪⎩ 11 y = 11 5 ; ⎪⎩5 y − 2 x = 5 ; ⎪⎩ − 2 x + 5 y = 5 ; ⎧⎪ x = 5 5 − 3 5 , ⎧ x = 20 ⇔⎨ ⇔⎨ . y = 5; ⎪⎩ ⎩ y=5

г) ⎨

422. ⎧⎡ x = −10, ⎧( x + 1)(x + 6) = 36,⎧ 2 ⎪ x + 7 x − 30 = 0, ⇔ ⎪⎢ x = 3; ⇔ x = 3 ; x + 1 ≥ 0, ⎨ ⎨⎣ x ≥ −1; ⎩ ⎪⎩ ⎪⎩ x ≥ −1; x + 6 ≥ 0;

а) x + 1 ⋅ x + 6 = 6 ⇔ ⎨

29

⎧ ( x − 1) ⋅ (2 x − 1) = x + 1, ⎧( x − 1)(2 x − 1) = ( x + 1)2 , ⎪ ⎪ б) = x +1 ⇔ ⎨ ⇔⎨ x − 1 ≥ 0, ⇔ x − 1 ≥ 0, 2x − 1 ⎪ ⎪ 2 x − 1 > 0; 2 x − 1 > 0; ⎩ ⎩ x +1

⎧2 x 2 − 3 x + 1 = x 2 + 2 x + 1, ⎪ x ≥ 1, ⇔⎨ ⇔ ⎪ x > 0,5; ⎩

в)

⎧ x 2 − 5 x = 0, ⇔ ⎨ ⎩ x ≥ 1;

⎧⎡ x1 = 0, ⎪⎢ ⎨⎣ x2 = 5; ⇔ x = 5 ; ⎪⎩ x ≥ 1;

⎧ 3x + 2 ⋅ x − 2 = x + 6, ⎧(3x + 2)(x − 2) = ( x + 6)2 , ⎪ ⎪ = 3x + 2 ⇔ ⎨ 3x + 2 ≥ 0, ⇔⎨ ⇔ x − 2 > 0; x−2 ⎪⎩ ⎪ x − 2 > 0; 3x + 2 ≥ 0 ⎩

x+6

⎧⎡ x1 = −2, 2 ⎧ 2 ⎧ 2 ⎪ ⇔ ⎨3x − 4 x − 4 = x + 12x + 36, ⇔ ⎨2 x − 16x − 40 = 0, ⇔ ⎨⎢⎣ x2 = 10; ⇔ x = 10 ; x 2 ; x 2 ; > > ⎩ ⎩ ⎪⎩ x > 2; ⎧ x( 2 − x) = 4 x 2 , ⎛ 2 x − x 2 = 4 x 2 , ⎜ ⇔⎜ ⇔ x ≥ 0, x ≥ 0, ⎜ ⎪ 2 − x ≥ 0; x ≤ 2; ⎩ ⎝

г) x 2 − x = 2 x ⇔ ⎪⎨

⎧⎡ x1 = 0, ⎧5 x( x − 0,4) = 0, ⎪⎪⎢⎣ x2 = 0,4; x = 0, ⎪ ⇔⎨ ⇔ ⎨ x ≥ 0, ⇔ 1 x ≥ 0, x2 = 0,4; ⎪⎩ ⎪ x ≤ 2; x ≤ 2; ⎪ ⎩

423. а) 5 + 3 x + 3 = 3, 5 + 3 x + 3 = 9, x + 3 = 64, x = 61. Проверка: 5 + 3 61 + 3 = 3. Итого: x = 61. б) x 2 − 16 + x = 2, -8x + 32 = 0, x = 4. Проверка:

x 2 − 16 + x = 4, x2–16=(4–x)2, x2–16 = x2 – 8x + 16,

4 2 − 16 + 4 = 2. Итого: x = 4.

в) 18 − 3 x + 10 = 4, 18 − 3 x + 10 = 16, x + 10 = 8, x = -2. Проверка: 18 − 3 − 2 + 10 = 4. Итого: x = -2. г) x − x 2 − 5 = 1, x − x 2 − 5 = 1, x2 – 5 = (x – 1)2, 2x – 6 = 0, x = 3. Проверка: 3 − 32 − 5 = 1. Итого: x = 3. 424. а) x − 3 = 1 + x − 4 , x − 3 = 1 + 2 x − 4 + x − 4, Проверка: 4 − 3 = 1 + 4 − 4 . Итого: x = 4. 30

x − 4 = 0, x = 4.

б) x + 2 − x − 6 = 2, x + 2 = 4 + 4 x − 6 + x − 6,

x − 6 = 1, x = 7.

Проверка: 7 + 2 − 7 − 6 = 2. Итого: x = 7. в) 2 + 10 − x = 22 − x , 4 + 4 10 − x + 10 − x = 22 − x, 10 − x = 2, x = 6. Проверка: 2 + 10 − 6 = 22 − 6 . Итого: x = 6. г) 1 − 2 x − 3 = 16 + x , 1 − 2 x − 6 1 − 2 x + 9 = 16 + x, − 6 1 − 2 x = 6 + 3x. x = 0, ⎣ x = −12.

1 – 2x = 0,25x2 + x + 1, x(x + 12) = 0, ⎡⎢

Проверка: 1 − 2 ⋅ 0 − 3 ≠ 16 + 0 ; При x = -12: 1 + 2 ⋅ 12 − 3 = 16 − 12 . Итого: x = -12. 425. а) x − 3 − 6 = 4 x − 3 ; 4 x − 3 = t; t2 – t – 6 = 0; t1 = -2, t2 = 3; при t= -2: 4 x − 3 = −2 - нет решений; при t = 3: 4 x − 3 = 3; x – 3 = 81; x = 84. Итого: х = 84. б) 3 x + 1 + 26 x + 1 = 3; 6 x + 1 = t; t2 + 2t – 3 = 0; t1 = -3; t2 = 1; при t = -3: 6 x + 1 = −3 - нет решений; при t = 1: 6 x + 1 = 1; x + 1 = 1; x = 0. Итого: х = 0. в) 4 x − 5 = 30 − x − 5 ;

4

x − 5 = t ; t2 + t – 30 = 0; t1 = -6, t2 = 5;

при t = -6: 4 x − 5 = −6 - нет решений; при t = 5: 4 x − 5 = 5; x – 5 = 625; x = 630. Итого: х = 630. г) 310 x 2 − 3 + 5 x 2 − 3 = 4; 10 x 2 − 3 = t ; t2 + 3t – 4 = 0; t1 = -4, t2 = 1; при t = -4: 10 x 2 − 3 = −4 - нет решений; при t = 1: 10 x 2 − 3 = 1; x2 – 3 = 1; x=±2. Итого: х = ±2. 426. ⎧⎪2 x − y = 5, ⎧⎪ y = 2 x − 5, ⎧⎪ y = 2 x − 5, ⇔⎨ ⇔⎨ ⇔ 2 x y ⋅ = 3 ; ⎪ ⎪ x x x ( 2 − 5 ) = 3 ; 2 ( ) − 5 x − 3 = 0; ⎪⎩ ⎩ ⎩

а) ⎨

⎧ ⎪ ⎪ ⇔⎨ ⎪ ⎪⎩

⎡⎧ y = −6, ⎢⎪ y = 2 x − 5, ⎢⎨ x = − 1 ; 1 ⎧ x = 9, ⎡ ⎢⎪⎩ ⇔ 2 ⇔⎨ ⎢ x =−2, ⎢ ⎧ ⎩ y = 1. ⎢ ⎢ ⎪ y = 1, ⎢⎣ x = 3; ⎨ ⎢ ⎪ x = 3; ⎣ ⎩

31

⎧⎪ 6 + x − 3 3 y + 4 = −10, ⎧⎪5 6 + x − 15 3 y + 4 = −50, ⇔⎨ ⇔ ⎨ ⎪⎩ 4 3 y + 4 − 5 6 + x = 6; ⎪⎩ − 5 6 + x + 4 3 y + 4 = 6; ⎧⎪ 6 + x = −10 + 3 3 y + 4 , ⎧⎪ 6 + x = 2, ⎧ x = −2, ⇔⎨ ⇔⎨ ⇔⎨ ⎪⎩ 3 y + 4 = 4; ⎩ y = 4. 3 y + 4 = 4; ⎪⎩ ⎧⎪ x + 3 y = 10 ⎧⎪ x = 10 − 3 y , ⎧⎪ x = 10 − 3 y , ⇔⎨ ⇔⎨ ⇔ 2 ⎪⎩ x ⋅ y = 8; ⎪⎩ y (10 − 3 y ) = 8; ⎪⎩3( y ) − 10 y + 8 = 0;

в) ⎨

⎡⎧ x = 6, ⎡⎧ x = 36, ⎧ x = 10 − 3 y , ⎢⎪ ⎢⎪⎨ 4 ⎨ 7 ⎪ ⎢ y= ; ⎢ y =1 ; 4 ⎪ ⎡ ⎪ 3 ⇔ ⎢⎪⎩ ⇔ ⎨ ⎢ y = , ⇔ ⎢⎩ 9 3 ⎢⎧ ⎪ ⎢ ⎢ ⎧ x = 16, 4 , ⎪ x = ⎢⎨ ⎪⎩ ⎣⎢ y = 2; ⎢ ⎨ y = 4. ⎢ ⎪⎩ y = 2; ⎣⎩ ⎣ ⎧⎪ 2 x − 2 + 5 y + 1 = 8, ⎧⎪ 4 x − 2 + 2 5 y + 1 = 16, ⇔⎨ ⇔ ⎪⎩3 x − 2 − 2 5 y + 1 = −2; ⎪⎩3 x − 2 − 2 5 y + 1 = −2;

г) ⎨

⎧⎪ 5 y + 1 = 4, ⎧ y = 3, ⇔⎨ ⇔⎨ ⎩ x = 6. ⎪⎩ x − 2 = 2;

427. ⎧⎪ ⎧ а) ⎨ x + y = 8, ⇔ ⎨ ⎩ x − y = 16;

x+

⎧⎪ x + y = 8, ⇔⎨ ⇔ y ) = 16; ⎪⎩ x − y = 2;

y = 8,

⎩⎪( x − y )( x +

⎧⎪ x = 5, ⎧ x = 25, ⇔⎨ ⇔⎨ ⎪⎩ y = 3; ⎩ y = 9.

⎧⎪3 y = 5 − 3 x , ⎧⎪ 3 y = 5 − 3 x , ⎧⎪ 3 ⎧3 б) ⎨ x + y = 5, ⇔ ⎨ ⇔ ⎨3 ⇔⎨ 3 3 3 ⎩ xy = 216;

⎧3 ⎪ ⇔⎨ ⎪ ⎩

⎪⎩

( xy ) = 6 ;

⎡ ⎧⎪3 ⎢ ⎨3 y = 5 − 3 x, ⎢⎪ ⎡3 x = 2, ⇔ ⎢ ⎩ 3 ⎢3 ⎢⎧⎪ ⎣ x = 3; ⎢⎨⎪ 3 ⎣⎩

⎧⎪ ⎧ в) ⎨ x − y = 4, ⇔ ⎨ ⎩ x − y = 32;

(

(

)

⎪⎩ x 5 − x = 6;

y = 5 − 3 x,

⎪⎩ x2 − 53 x + 6 = 0;

y = 3,

⎡⎧ y = 27, ⎢⎨ x = 8; ⇔ ⎢⎩ ⎢ ⎧ y = 8, y = 2, ⎢⎣ ⎨⎩ x = 27. x = 3;

x = 2;

⎧⎪ x − y = 4, ⇔⎨ ⇔ y = 32; ⎪⎩ x + y = 8;

x − y = 4,

⎪⎩ x − y

⎧⎪ x = 6, ⎧ x = 36, ⇔⎨ ⇔⎨ ⎪⎩ y = 2; ⎩ y = 4.

32

3

3

3

)(

x+

)

⇔

⎧⎪3 x = 2 + 3 y , ⎧⎪ 3 x = 2 + 3 y , ⎧⎪ 3 ⎧3 г) ⎨ x − y = 2, ⇔ ⎨ ⇔⎨ ⇔⎨ 3 ⎩

xy = 27;

(

( xy ) = 3 ;

)

⎪⎩3 y 2 + 3 y = 3;

3

3

⎪⎩

3

x = 2 + 3 y,

2 ⎪⎩3 y + 23 y − 3 = 0;

⇔

⎡⎧⎪ 3 x = −1, ⎡ ⎧ x = −1, ⎢⎨3 x = 2 + 3 y, ⎢ ⎨ y = −27; y = −3; ⎪ ⎢ ⎩ ⎡3 y = −3, ⇔ ⎢ ⇔ ⎢⎩ 3 ⎧ ⎢ ⎢ ⎧ x = 27, ⎢ ⎪⎨ x = 3, ⎢⎣ 3 y = 1; ⎢⎣ ⎨⎩ y = 1; ⎢ ⎪3 y = 1. ⎣⎩

⎧3 ⎪⎪ ⇔⎨ ⎪ ⎪⎩

34. Степень с рациональным показателем 428. 6 = 35

1, 2

а) 3

5 6

5

= 3 = 729 ;

б) 5

5

в) 41,25 = 4 4 = 4 45 = 4 1024 ;

г) 6

−

2 3

= 5− 2 = 3

1 2

=6

−1

1 ; 25

3

−

3 2

= 6−3 =

1 . 216

429. а) 3 a − 2 = a

2 3;

−

1

б)

7

в) 13 b − 7 = b

3b = (3b) 7 ;

−

7 13 ;

5

г) 8 45 = 4 8 .

430. 0, 4

( )

5 0, 4

а) 243

= 3

5 в) 16 4

( )

⎛ 644 ⎞ б) ⎜ 8 ⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎝ ⎠

2

= 3 = 9;

−

1 8

⎛ ⎛ 8 ⎞8 ⎞ = ⎜⎜ ⎟ ⎟ ⎜⎝ 3 ⎠ ⎟ ⎝ ⎠

−

=

1

⎛

1

3

⎞

1

⎜ ⎝

⎟ ⎠

( )

−

1 6

⋅9

−

5

8

−1

=

3 ; 8

⎛ 273 ⎞ 9 ⎛ ⎛ 3 ⎞9 ⎞ 9 ⎛ 3 ⎞ 2 9 г) ⎜ 6 ⎟ = ⎜⎜ ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎟⎟ = ⎜ ⎟ = . ⎜ 125 ⎟ 625 ⎝ 25 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝⎝ 5 ⎠ ⎠

= 25 = 32;

431. а) 8 2 : ⎜⎜ 8 6 ⋅ 9 2 ⎟⎟ = 8 2 ⋅ 8

⎛8⎞ =⎜ ⎟ ⎝ 3⎠

2

2

5 24 4

1 8

1

3 2

= 83 ⋅ 9

4

5

3 2

−

=

2

2 ; 27 4

2

5

− − 1 4 б) 3 100 ⋅ 2 3 ⋅ ⎛⎜ ⎞⎟ 3 = 3 22 ⋅ 52 ⋅ 2 3 ⋅ 5 3 = 2 3 ⋅ 2 3 ⋅ 5 3 ⋅ 5 3 = 22 ⋅ 5−1 = ;

1 2 в) 8 3

⎝5⎠

7 0,75 : 81 = 83

г) ⎛⎜1 11 ⎞⎟ ⎝ 25 ⎠

− 0,5

5

3 : 814

⎛ 17 ⎞ ⋅⎜4 ⎟ ⎝ 27 ⎠

−

1 3

= 27 ⋅ 3−3 = ⎛ ⎛ 6 ⎞2 ⎞ = ⎜⎜ ⎟ ⎟ ⎜⎝ 5 ⎠ ⎟ ⎠ ⎝

128 20 =4 ; 27 27

− 0,5

⎛ ⎛ 5 ⎞3 ⎞ ⋅ ⎜⎜ ⎟ ⎟ ⎜⎝ 3 ⎠ ⎟ ⎠ ⎝

−

1 3

=

5 3 1 ⋅ = . 6 5 2

33

1

1⎛ 1

1

1

⎞ ⎟ ⎠

⎜ ⎝

1⎛ 1 ⎜ = 32 32

1 в) 3 + 3 2

⎜ ⎜ ⎝

1 1

⎞ ⎟ + 1⎟; ⎟ ⎠ 1

1 г) (3x) 2

⎞

⎝

1 − (5 x) 2

1⎛ 1

1

1⎛ 1

1

б) a − a 2 = a 2 ⎜⎜ a 2 − 1⎟⎟; ⎜ ⎟

432. а) (ax) 3 + (ay ) 3 = a 3 ⎜⎜ x 3 + y 3 ⎟⎟; =

1⎛ 1 ⎜ x 2 32

⎞ ⎛

⎜ ⎜ ⎝

1

1 − 52

⎞ ⎟ ⎟. ⎟ ⎠

⎞ ⎛

1

⎠

⎞⎛

1

⎞

433. а) x 3 y 3 − x 3 − y 3 + 1 = x 3 ⎜⎜ y 3 − 1⎟⎟ − ⎜⎜ y 3 − 1⎟⎟ = ⎜⎜ y 3 − 1⎟⎟⎜⎜ x 3 − 1⎟⎟; ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝

1 б) c 2

1 + c4

1⎛ 1 ⎜ = c4 c4

⎜ ⎜ ⎝

⎛

1

1

⎞

⎠ ⎝

⎠ ⎝

⎠⎝

3

1

1⎛ 2

⎞

1⎛ 1

⎞⎛

1

⎞

в) 4 − 4 3 = ⎜⎜ 4 3 ⎟⎟ − 4 3 = 4 3 ⎜⎜ 4 3 − 1⎟⎟ = 4 3 ⎜⎜ 4 3 − 1⎟⎟⎜⎜ 4 3 + 1⎟⎟; ⎜ ⎝

⎠

⎞ ⎟ + 1⎟; ⎟ ⎠

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ 1 1 1 1 1⎛ 1 1⎛ 1 1⎞ ⎞ ⎞ ⎛ 1 ⎞⎛ 1 г) a + b 2 + a 2 + a 2 b 2 = a 2 ⎜⎜ a 2 + 1⎟⎟ + b 2 ⎜⎜ a 2 + 1⎟⎟ = ⎜⎜ a 2 + 1⎟⎟⎜⎜ a 2 + b 2 ⎟⎟. ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

434. а)

⎟ ⎠

a −b 1 a2

1 − b2

1 ⎞⎛ 1 1⎞ ⎛ 1 ⎜ 2 2 ⎟⎜ a 2 + b 2 ⎟ − a b ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ 1 1 ⎠⎝ ⎠ = a2 + b2; =⎝ 1 1

⎛ 1 ⎜ 3 z

б)

z −8 2

1

⎜ ⎜ =⎝

z 3 + 2z 3 + 4

в)

г)

34

1 x2

a2 − b2 1 ⎞⎛ 2 ⎞ ⎟⎜ 3 ⎟ − 2 ⎟⎜ z + 2 z 3 + 4 ⎟ 1 ⎟⎜ ⎟ ⎠⎝ ⎠ = z 3 − 2; 2 1 z 3 + 2z 3 + 4

1 x2

1 −4 −4 ; = = 1 x − 16 ⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎜ 2 ⎟⎜ 2 ⎟ x2 + 4 ⎜ x − 4 ⎟⎜ x + 4 ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

a+b 2 a3

1 1

2

− a 3b 3 + b 3

1 ⎞⎛ 2 1 1 2⎞ ⎛ 1 ⎜ 3 3 ⎟⎜ a 3 − a 3 b 3 + b 3 ⎟ a b + ⎟ ⎟⎜ ⎜ 1 1 ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎠ = a3 + b3. ⎠⎝ =⎝ 2 1 1 2

a 3 − a 3b 3 + b 3

435.

x− y

а)

3 x4

+

1 1 x2 y4

1 1 x2 y4

⋅

1 x2

+

1 1 x4 y2 1

+ y2

1 ⎞⎛ 1 1⎞ 1 1⎛ 1 1⎞ ⎛ 1 ⎜ 2 ⎟⎜ 2 ⎟ 4 4⎜ 4 2 2 4⎟ ⎜⎜ x − y ⎟⎟⎜⎜ x + y ⎟⎟ ⋅ x y ⎜⎜ x + y ⎟⎟ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = =⎝ 1⎛ 1 1⎞ ⎛ 1 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ x2⎜x2 + y2 ⎟⋅⎜x4 + y4 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1⎛ 1 1⎞ ⎜ ⎟ y4⎜x2 − y2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠; = 1

x4

б)

a

1 2

+1

+1 a

3 2

−1

a −1 a+a

⎛ 1 ⎜ = a2 ⎜ ⎜ ⎝

1 2

: 2

⎞ ⎟ − 1⎟ + ⎟ ⎠

1 2a 2

1

+ 2a 2

=a−

1

=

г) =

1 a 2 (a

⋅

(

:

x

1 2

x −

x

( x − 1)( x + 1) + x ( x − 1) x + x +1 3

1 2a 2

a2 +1

= a + 1;

1 1 1 1 ⎞ ⎟ a3 − b3 a2 − b2 + a2 + b2 a 3 − b3 ⎟⋅ 2 = ⋅ = 1 ⎟⎟ a + ab + b 2 a 2 + ab + b 2 2 a ( a − b) ⎠

x +1

=

=

) = 2a(a − b) = 2; a ( a − b)

a 2 + ab + b 2

x +1 x x +x+

+1+

(a − b) a 2 + ab + b 2

− b)

1 ⎛ 1 ⎞⎛ ⎞ ⎜ 2 ⎟⎜ ⎟ 2 ⎜ a − 1⎟⎜ a + a + 1⎟ 1 ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ + 2a 2 = 1

a + a2 +1 1 2a 2

⎛ ⎜ 1 1 в) ⎜ + 1 1 1 1 ⎜⎜ ⎝ a + a 2b 2 a − a 2b 2

2a 2

⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎜ 2 ⎟⎜ 2 ⎟ ⎜ a − 1 ⎟⎜ a + 1 ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⋅ = 1

x (x +

x + 1)

⋅

( x − 1)( x + x + 1) x + x +1

x ( x x − 1) x 2 − x + x x − 1 = = 1 x + x +1

= x − 1.

19

436. а) 7 33 = 3 7 < 3 8 , т.к. 3 < 19 ; а 3 > 1; 7

б) 0,4

− 2,7

⎛5⎞ =⎜ ⎟ ⎝2⎠ 5

2,7

189 ⎛ 5 ⎞ 70

=⎜ ⎟ ⎝2⎠ 50

8

15 ⎛5⎞ 7

>⎜ ⎟ ⎝2⎠

150

189 150 ⎛ 5 ⎞ 70 > ; = ⎜ ⎟ , т.к. 70 70 2 ⎝ ⎠

a

5 >1; 2

51

в) 3 65 = 6 3 = 6 30 < 61,7 = 6 30 , т.к. 50 < 51 ; a 6 > 1; 30

5 ⎛ 1 ⎞3

35 ⎛ 1 ⎞ 21

⎝2⎠

⎝2⎠

г) ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟

<7

5 ⎛ 1 ⎞7

15 ⎛ 1 ⎞ 21

1 =⎜ ⎟ =⎜ ⎟ 32 ⎝ 2 ⎠ ⎝2⎠

30

, т.к.

1 35 15 , a <1. > 2 21 21

35

1

3

( )

( ) ( )

3 1 − − − 0,75 − − 1 26 437. а) 81−0,75 + ⎛⎜ 1 ⎞⎟ 3 − ⎛⎜ 1 ⎞⎟ 5 = 34 − 3 = −2 ; + 5− 3 3 − 2 − 5 5 =

⎝ 125 ⎠

1 − б) 0,001 3

2 − (−2) − 2 ⋅ 64 3

⎛ 1⎞ ⎟ ⎝ 16 ⎠

−0,75

в) 27 3 + ⎜ г) (−0,5) 2

− (3 )

−

−4

3 2

− 625

( )

⋅ 2− 2

1 −1 −8 3

−

0, 25

3 2

4 1 − − 10−3 3 − 2− 2 ⋅ 2 4 − (23 ) 3

2

( ) + (2 )

− 250,5 = 33 ⎛ 1⎞ − ⎜2 ⎟ ⎝ 4⎠

−1

1 2

27

( ) =( )

+ 90 1 15 +1= 7 − =6 . 16 16

= 10 − 2 2 − 2 − 4 2

⎝ 32 ⎠

2 3

( )

− 4 − 0,75

− 52

0,5

+1 =

= 32 + 23 − 5 = 12;

( ) ( ) 4

0, 25

+ 19(− 3)−3 = 21 − 54

− 19 ⋅ 3−3 = 24 − 5 − 3− 3 ⋅ 23 −

27

−

19 8 19 = 11 − − = 11 − 1 = 10. 27 27 27

438. а)

a −1 3 a4

+

1 a2

⋅

a +4a a +1

1 ⋅ a4

( a − 1)( a + 1) ⋅ a +1= 3 a4

+

1 a2

3 4

1

+ a2 a +1

+1= a −1+1= a;

б) 1

1

2

− 2 − ⎛4 3 4 ⎞ 2 1 ⎞ 2 ⎛⎜ x − x + 1 − x ⎞⎟ ⎛⎜ x x + 2 x + x ⎞⎟ 2 ⎜ x − x 1 + x ⎟ ⎛⎜ ⎟ = = 1 ⋅ + ⋅ + + ⎜⎜ ⎟ 4 ⎟ ⎜ 1− x 4 x ⎟ ⎜ 1− x x ⎟ ⎜⎝ x x ⎟⎠ x x ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠

(

=x

−

1 ⎛ 2⎜

x+2 x ⎜ x ⎝

1 − +1⎞ 2

⎟ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ =⎝

(

)

1 − 2⎞ 2

)

x +1 ⎟ ⎠ 1 x2

⋅x

−

1 2

=

1 x +1

;

1⎛ 1 1 ⎞⎛ 2 1 1 2⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ a 3 ⎜ a 3 − 3b 3 ⎟⎜ a 3 + 3a 3 b 3 + 9b 3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⎠⎝ ⎠⋅ ⎜1 − 33 b ⎟ − 3 a 2 = ⎝ в) 2 : 1 1 2 ⎜ 2 1 1 2 a ⎟⎠ ⎝ a 3 + 3a 3 b 3 + 9b 3 a 3 + 3a 3 b 3 + 9b 3 4 a3

1 − 27a 3 b

1 ⎛ ⎜ a3 ⎜ ⋅ 1 1 ⎜ ⎜ a 3 − 3b 3 ⎝

36

1⎛ 1 1⎞ 1 ⎜ ⎟ a 3 ⎜ a 3 − 3b 3 ⎟ ⋅ a 3 ⎞ 2 2 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎠ 3 = a 3 − a 3 = 0; ⎟ − 3 a2 = ⎝ − a 1 1 ⎟ ⎟ 3 − 3b 3 a ⎠

⎛ m2 + 4 1 − 3 ⎜m+ 2 m +2 2 ⎝

г) ⎜

2 ⎛ 2 ⎞ ⎞ ⎛m ⎟ ⋅ ⎜ − 1 + 1 ⎞⎟ = ⎜ m − m 2 + 2 − m − 4 ⎟ × ⎟ 2 ⎜ ⎟ ⎜⎝ 2 m 2 ⎠ ⎝ m + 2 m − m 2 + 2 ⎟⎠ ⎠

(

(

)(

)

)(

)

⎛ m − 2m + 2 ⎞ ⎟=− 2 m+ 2 ⋅ m −m 2 +2 =− 2. ×⎜ ⎜ ⎟ 2 2m m m + 2 m 2 − m 2 + 2 ⋅ 2m ⎝ ⎠ 2

(

439. а)

)(

5 2−3 ⋅ 2 7

17 5 3 2 ax = 8 2

1

1 ⋅a7

3 ⋅ x7

2

=

)

2 1 3 −2 2 7 a7 x7 ; 3

3

19

1

б) 3 a 2 ⋅ 4 a = a 3 ⋅ a 12 = a 4 ; в) 7 b3 ⋅ 4 b = b 7 ⋅ b 4 = b 28 ; 3

1

1

1

− 1 г) ⋅ 4 273 x = 3−1 ⋅ 3 4 ⋅ x 12 = 3 4 ⋅ x 12 . 3

440. а) 3 ⋅ 5 в) 2b

−

2 3

−

3 5

3

3

= 8⋅ b

( )

441. а) 3

−

5 6

−

=3

( )

б) 3600 = 36

−2

100

=3

2

3

5

5

= 35 ⋅ 2 −3 = 5

8 b

2

1 2 г) b 3 c 7

;

5 12 , 3 3−1 4

15

8

− 243 5 3 a15 = 30 ; б) a 4 : b 5 = a 20 ⋅ b 20 = 20 8 ; 8 8 b

=

1

7 21 b

6 21 ⋅c

1

= 5

− − − 1 = 3 3 ⋅ 3 12 = 3 12 ; 3

( )

= 729100 , 5400 = 54

100

21 7 6

b c .

( 3)

−

5 6

= 3 3−1 4

1 ; 3

= 625100 ;

729100 > 625100 , т.о. 3600 > 5400 ; ⎛1⎞ в) ⎜ ⎟ ⎝2⎠

−

5 7

=

5 27 ,

2

( )

3 ⋅ 2 14

5 = 27 ;

⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎝2⎠

−

5 7

3

= 2 ⋅ 214 ;

( )

10

10

г) 730 = 73 = 34310 , 440 = 44 = 25610 ; 34310 > 25610 , т.о. 730 > 440. 442. а) не имеет смысла, т.к. a < 0; б) (− 2)− 4 = 2 в) 5 3

1

(− 2)

4

=

1 – выражение имеет смысл; 16

= 53 = 125 – выражение имеет смысл;

г) не имеет смысл, т.к. x < 0. ⎛

3

⎞

443. а) x + 1 > 0 при x > -1, D⎜⎜ y = (x + 1)− x ⎟⎟ = (− 1; ∞ ); ⎠

⎝

3 б) x 5

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

3

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

имеет смысл только при x ≥ 0, D⎜ y = x 5 ⎟ = [0; ∞ ); 37

в) x

−

3 4

⎛

имеет смысл при x > 0, D⎜⎜ y = x ⎜ ⎝

⎛

2

−

3 4

⎞ ⎟ ⎟ = (0; ∞ ); ⎟ ⎠

⎞

г) x – 5 ≥ 0 при x ≥ 5, D⎜⎜ y = (x − 5) 3 ⎟⎟ = [5; ∞ ). ⎝

⎠

444. 6

⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ а) ⎜ a 6 ⎟ = a при а ≥ 0; ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

( )

в) a8

1 8

= a =

1 при а = ±1; a

( )

б) a 4

1 4

= a = − a при а ≤ 0; 10

г)

( )

3 1 a 0, 7 7

⎛ 7 ⎞7 ⎜ ⎟ = ⎜ a 10 ⎟ = a = − a ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

при а = 0.

§ 10. Показательная и логарифмическая функции 35. Показательная функция 445. а) y = 4x; D(y) = R, E(y) = (0;∞), y(x) возрастает на R; y(0) = 1, y(1) = 4;

б) y = 0,2x; D(y) = R, E(y) = (0;∞), y(x) убывает на R; y(-1)=5, y(0)= 1;

в) y = 0,7x; D(y) = R, E(y) = (0;∞), y(x) убывает на R; y(0) = 1, y(1) = 0,7; 38

г) y = 2,5x; D(y) = R, E(y) = (0;∞), y(x) возрастает на R; y(0) = 1, y(1) = 2,5.

446. а) -2x < 0 при x ∈ R: E(y = -2x) = (-∞;0); ⎛1⎞

⎛

x

⎛1⎞

⎞

x

б) ⎜ ⎟ + 1 > 1 при x ∈ R: E ⎜ y = ⎜ ⎟ + 1⎟ = (1; ∞); ⎜ ⎟ ⎝ 3⎠ ⎝3⎠ ⎝

⎠

x ⎛ ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎞ в) − ⎜ ⎟ < 0 при x ∈ R: E ⎜ y = −⎜ ⎟ ⎟ = (−∞;0); ⎜ ⎝4⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎟⎠ ⎝ x

г) 5x – 2 > -2 при x ∈ R: E(y = 5x – 2) = (-2;∞). ⎛4⎞ 447. а) ⎜ ⎟ ⎝7⎠

б) 3−

12

в) 2,5− г) 0,3

2

5 6

−

5 2

⎛7⎞ =⎜ ⎟ ⎝4⎠

⎛1⎞ =⎜ ⎟ ⎝ 3⎠

12

= 0,4

2

5 2

⎛1⎞ <⎜ ⎟ ⎝3⎠

> 1 т.к. 2,8

5 ⎛7⎞ > 0 и ⎜ ⎟ >1 ; 2 ⎝4⎠

⎛1⎞ , т.к. 12 > 2,8 и ⎜ ⎟ < 1 ; ⎝3⎠

< 1, т.к. 2 > 0 и 0,4 < 1 ;

1

2

< 0,3 3 = 0,3 6 , т.к. 5 > 2 и 0,3 < 1.

448. ⎛

( )

а) ⎜⎜ 2 ⎝

в) 8

2

2

: 23

⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 2

2

=

( 2 ) = 2;

= 23

2

2

: 23

2

б) 31− 2 = 1;

3

⋅ 91+

г) ⎛⎜ 3

5

⎝

8

3

⎞ ⎟ ⎠

5

= 31− 2 4

5

=3

3

32

⋅ 32 + 2

3

= 33 = 27;

= 32 = 9.

39

449. а) a

2

в) ⎛⎜ a

5

5

⎝

450. а)

a2

2

⎛a ⎜ ⎝

2

2a

=

⎞ ⎟ ⎠

− b2

3⎞

−b

− 1⎞⎟⎛⎜ a 2 ⎠⎝

3

a4

5 3

3

3 3

3

7 3

+ a3

−b

7

+b

2 7 3

2

3 ⎞⎛

2

2

−b

3⎞

2

3⎞

2 +1,3− 2

=y

⎟ ⎠ +1= a

2

= y1,3.

+b

3

+a

2

a

2

−b

3

+ 1⎞⎟⎛⎜ a 2 3 + a ⎠⎝ 3⎛ 3 3 a ⎜a − 1⎞⎟ ⎝ ⎠

3

⎟ ⎠

1

= x2;

−b

3

3

⎞ a ⎟ ⎠=

3⎛

⎜a ⎝

3

− 1⎞⎟⎛⎜ a ⎠⎝

3

+ 1⎞⎟ ⎠=

+ 1;

⎛ ⎜ ⎜a ⎜ =⎝

5 3

−b

a

7 3

⎞⎛ 2 5 ⎟⎜ 3 +a ⎟⎜ a ⎟⎜ ⎠⎝

2 5 3

+a

5 7 3 b 3

5 7 3 b 3

+b

+b

2 7 3

2 7 3

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ =

π

⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ 4 π xy ⎟ = x 2 π + 2 x π y π + y 2 π − 4 x π y π = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

=

x 2π − 2 x π y π + y 2π =

π 2

(x

π

− yπ

451. а) 101,41 ≈ 25,7; 101,42 ≈ 26,3; в) 102,23 ≈ 169,8; 102,24 ≈ 173,8; 452. 1 < 2 < 2 ⇒ 10 < 10

2

)

2

= xπ − yπ .

б) 101,414 ≈ 25,9; 101,415 ≈ 26,0; г) 102,236 ≈ 172,2; 102,237 ≈ 172,6.

< 102 ;

1,41 < 2 < 1,42 ⇒ 101, 41 < 10

40

+b

2

2− 4π 4

;

(x

+y

3

3

г)

π

)

3

− 1⎞⎟ ⎠ =a

5 7 3 b 3

+a

−b

+a

−a

−1

5

a

=a

3

+ 1⎞⎟⎛⎜ a 3 ⎠⎝ a

2 5 3

⋅ y1,3 : 3 y 3

г) y

⎟⎜ a ⎠⎝

⎛a ⎜ ⎝

б) x π ⋅ 4 x 2 : x 4π = x π ⋅ x

= a;

;

3

a

−b

2

2

⎛ a2 ⎜ ⎝

в)

2

2

⎟ ⎠

−b

3

⎛a ⎜ +1= ⎝

3

2

⎛a ⎜ =⎝

⋅ a1−

2

=a

= a5 ;

a

б)

2 −1

⎛1⎞ ⋅⎜ ⎟ ⎝a⎠

2

< 101, 42 ; 101, 41 ≈ 25,7 и 101, 42 ≈ 26,3;

=

1,414 < 2 < 1,415 ⇒ 101, 414 < 10 10

2

< 101, 415 ; 101,414 ≈ 25,9 и 101, 415 ≈ 26,0;

2

≈ 25,9 ; 2 < 5 < 3 ⇒ 10 2 < 10

2,23 < 5 < 2,24 ⇒ 10 2,23 < 10

5

5

< 103 ;

< 10 2,24 ; 102,23 ≈ 169,8 и 102, 24 ≈ 173,8;

2,236 < 5 < 2,237 ⇒ 10 2, 236 < 10 102, 237 ≈ 172,6; 10

5

5

< 10 2, 237 ; 102, 236 ≈ 172,2 и

≈ 172,4 .

453.

( )x

а) 2 > 1 ⇒ y = 2 возрастает на R; 0 <

(

)

x

⎛ 1 ⎞ ⎟ убывает на R; < 1 ⇒ y = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ 2⎠

1

x

б) 0 < 5 − 2 < 1 ⇒ y = 5 − 2 убывает на R; 1 5 −2

>1⇒ y =

1

( 5 − 2)

x

возрастает на R;

x

в)

x

π 3 ⎛π⎞ ⎛3⎞ > 1 ⇒ y = ⎜ ⎟ возрастает на R; 0 < < 1 ⇒ y = ⎜ ⎟ убывает на R; 3 π ⎝3⎠ ⎝π⎠

(

)

x

г) 0 < 3 − 7 < 1 ⇒ y = 3 − 7 убывает на R; 1 3− 7

>1⇒ y =

1

(3 − 7 )

x

возрастает на R.

454. а) 3x +1 − 3 = 3(3x − 1), 3x > 0 при x ∈ R ⇒ 3(3x – 1) > -3 при x ∈ R; ⎧ x E(y = 3x+1 – 3) = (-3;∞); б) y = 2 x − 2 = ⎨2 − 2x , x ≥ 1, y(1) = 0. ⎩2 − 2 , x < 1.

y(x) возрастает на [1;∞) и убывает на (-∞;1]; E(y = |2x – 2|) = [0;∞); ⎛1⎞ ⎝2⎠

в) ⎜ ⎟

x −1

⎛ ⎛ 1 ⎞x ⎞ ⎛ 1 ⎞ 1 ⎞ ⎛ + 2 = 2⎜1 + ⎜ ⎟ ⎟, ⎜ ⎟ > 0 при x ∈ R ⇒ 2⎜⎜1 + x ⎟⎟ > 2 при x ∈ R; ⎜ ⎝2⎠ ⎟ ⎝2⎠ 2 ⎠ ⎝ ⎝ ⎠

⎧ 4 x , x ≥ 0, x +1 ⎛ ⎞ ⎪ ⎛1⎞ x ⎜ ⎟ E y=⎜ ⎟ y(0) = 1. y(x) возрас+ 2 = (2; ∞); г) y = 4 = ⎨⎛ 1 ⎞ x ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎪⎜ ⎟ , x < 0; ⎝ ⎠ 4 ⎩⎝ ⎠

тает на [0;∞) и убывает на (-∞;0]; E ⎛⎜ y = 4 x ⎞⎟ = [1; ∞ ). ⎝

sin x

⎛1⎞ ⎛1⎞ ; -1 ≤ sinx ≤ 1, откуда ⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎝2⎠ 1 ⇒ min y ( x) = , max y ( x) = 2; R R 2

455. а) y = ⎜ ⎟

⎠

sin x

⎡1 ⎤ ∈ ⎢ ; 2 ⎥; ⎣2 ⎦

41

б) y = 5 + 3 cos x ; 0 ≤ cos x ≤ 1 ⇒ 1 ≤ 3 cos x ≤ 3 ⇒ 6 ≤ 5 + 3 cos x ≤ 8; min y ( x) = 6, max y ( x) = 8; R

R

в) y = 4

cosx

1⎞ ⎟ ⎝3⎠

г) y = ⎛⎜

;-1≤cosx≤1 ⇒

sin x

− 2;

1 1 ≤ 4cos x ≤ 4 ⇒ min y ( x) = , max y ( x) = 4; R 4 4 R 1 3

⎛1⎞ ⎝3⎠

0 ≤|sinx| ≤ 1 ⇒ ≤ ⎜ ⎟

sin x

2 ⎛1⎞ ≤ 1 ⇒ −1 ≤ ⎜ ⎟ 3 ⎝3⎠

sin x

− 2 ≤ −1;

2 min y( x ) = −1 , max y( x ) = −1. 3 R R

⎛1⎞ ⎝6⎠

x

⎛1⎞ ⎝6⎠

x

456. а) Т.к. y = ⎜ ⎟ убывает и y(x)>1 при x < 0 ⇒ ⎜ ⎟ = 10 при x < 0; б) т.к. y = 0,3x убывает и y(x) < 1 при x > 0 ⇒ 0,3x = 0,1 при x > 0; в) т.к. y = 10x возрастает и y(x) > 1 при x > 0 ⇒ 10x = 4 при x > 0; г) y = 0,7x убывает на R и y(x) > 1 при x < 0 ⇒ 0,7x = 5 при x < 0. 457. а) y = 3x возрастает на R, y = 4 – x убывает на R ⇒ у них не более одной точки пересечения. Очевидно, это точка А(1;3) ⇒ x = 1. ⎛1⎞ ⎝2⎠

x

б) y = ⎜ ⎟ убывает на R, y = x + 3 возрастает на R, графики этих функций могут иметь не более одной точки пересечения. Из рисунка видно, что это точка В(-1;2), значит x = -1. ⎛1⎞ ⎝ 3⎠

x

в) y = ⎜ ⎟ убывает на R, y = x + 1 возрастает на R, графики этих функций могут иметь не более одной точки пересечения. Это точка С(0;1), значит x = 0. г) y = 4x возрастает на R, y = 5 – x убывает на R, графики этих функций могут иметь не более одной точки пересечения. Это точка D(1;4), значит x = 1 единственное решение уравнения 4x = 5 – x. 42

458. а) y = 31-x убывает на R, y = 2x – 1 возрастает на R, графики этих функций могут иметь не более одной точки пересечения. Это точка А(1;1), значит x = 1. б) y = 4x + 1 возрастает на R, y = 6 – x убывает на R, графики этих функций могут иметь не более одной точки пересечения. Это точка М(1;5), значит x = 1.

в) y = 2x – 2 возрастает на R, y = 1 – x убывает на R, графики этих функций могут иметь не более одной точки пересечения. Это точка B(1;0), значит x = 1. г) при x ∈ (-∞;0) 3-x > 0, − убывает, y = − 3-x>0, функций

3 x

3 >0и x

y = 3-x

возрастает; при x∈ (0;∞)

3 < 0; следовательно, x 3 y = 3-x и y = − могут x

−

графики иметь не

более одной точки пересечения одной точки пересечения на (-∞;0). Это точка С(-1;3), значит x = -1. 459. а) нет; б) нет; в) нет; г) нет.

43

36. Решение показательных уравнений и неравенств ⎛1⎞ ⎝3⎠

x

460. а) 4x = 64 ⇔ 4x = 43 ⇔ x = 3; б) ⎜ ⎟ = 27 ⇔ 3− x = 33 ⇔ x = −3; ⎛1⎞ ⎝2⎠

x

x

⎛2⎞ ⎝3⎠

x

⎛9⎞ ⎝8⎠

x

x

461. а) ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ =

3

27 ⎛3⎞ ⎛3⎞ ⇔ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⇔ x = 3; 64 ⎝4⎠ ⎝4⎠ 3

б) 8 x −3 = 3 42 − x ; 2 2 13x = 35;

6

1 ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⇔ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⇔ x = 6. 64 ⎝2⎠ ⎝2⎠

в) 3x = 81 ⇔ 3x = 34 ⇔ x = 4; г) ⎜ ⎟ =

( x −3)

2

= 23

(2− x)

; 9 x − 27 = 8 − 4 x ;

35 9 x= =2 ; 13 13 x

в) 2 x ⋅ 3x = 36 ⇔ 6 x = 36 ⇔ 6 2 = 62 ⇔ x = 4; ⎛3⎞ ⎝7⎠

г) ⎜ ⎟

3 x +1

⎛7⎞ =⎜ ⎟ ⎝3⎠

5 x −3

⎛7⎞ ⇔⎜ ⎟ ⎝3⎠

−3 x −1

⎛7⎞ =⎜ ⎟ ⎝3⎠

5 x −3

1 ⇔ −3 x − 1 = 5 x − 3 ⇔ x = . 4

462. а) 36-x = 33x-2 ⇔ 6-x=3x – 2 ⇔ x = 2; ⎛1⎞ б) ⎜ ⎟ ⎝7⎠

2 x 2 + x −0,5

7 ⎛1⎞ = ⇔⎜ ⎟ 7 ⎝7⎠ x

в) 3x = 9 ⇔ 3 2 = 32 ⇔ г) 2 x

2

+ 2 x − 0, 5

= 4 2 ⇔ 2x

2

2 x 2 + x −0,5

1

⎛ 1 ⎞2 ⎡ x = −1, = ⎜ ⎟ ⇔ 2x2 + x − 0,5 = 0,5 ⇔ ⎢ 1 7 ⎣ x2 = 0,5; ⎝ ⎠

x = 2 ⇔ x = 4; 2 + 2 x − 0, 5

⎡ x = −3, = 22,5 ⇔ x 2 + 2 x − 0,5 = 2,5 ⇔ ⎢ ⎣ x = 1.

463. а) 7x+2 + 4⋅7x+1 = 539 ⇔ 11⋅7x+1 = 539 ⇔ 7x+1 = 72 ⇔ x = 1. б) 2⋅3x+1 – 3x = 15 ⇔ 6⋅3x – 3x = 15 ⇔ 3x = 3 ⇔ x = 1. в) 4x+1 + 4x = 320 ⇔ 5⋅4x = 320 ⇔ 4x = 43 ⇔ x = 3. г) 3⋅5x+3+ 2⋅5x+1= 77 ⇔ 75⋅5x+1+ 2⋅5x+1= 77 ⇔ 5x+1= 50 ⇔ x = -1. 464. а) 9x – 8⋅3x – 9 = 0 ⇔ 32x – 8⋅3x – 9 = 0 ⇔ t2 – 8t – 9 = 0 ⎡t = −1, ⎡3x = −1 − не подходит, ⇔ 3x = 9 ⇔ x = 2; ⇔⎢ x t = 9 ; 3 = 9 ; 2 ⎢⎣ ⎣

(t = 3x) t > 0 ⇔ ⎢ 1

б) 100x– 11⋅10x+ 10 = 0 ⇔ 102x– 11⋅10x+ 10 = 0 ⇔ t2– 11t + 10 = 0 ⎡ x (t = 10x) t > 0 ⇔ ⎡⎢ t1 = 1, ⇔ ⎢ 10x = 1, ⇔ ⎡⎢ x1 = 0, ⎣t2 = 10;

44

⎣10 = 10;

⎣ x2 = 1.

в) 36x – 4⋅6x – 12 = 0 ⇔ 62x – 4⋅6x – 12 = 0 ⇔ t2 – 4t – 12 = 0 ⎡6 x = −2 − не подходит, t = −2, ⇔⎢ ⇔ 6 x = 6 ⇔ x = 1; 6 x = 6; ⎣ t2 = 6; ⎣

(t = 6x) t > 0 ⇔ ⎡⎢ 1

г) 49x – 8⋅7x + 7 = 0 ⇔ 72x – 8⋅7x + 7 = 0 ⇔ t2 – 8t + 7 = 0 t1 = 1, ⇔ ⎣t2 = 7;

(t = 7x) t > 0 ⇔ ⎡⎢

⎡ 7 x = 1, ⎡ x = 0, ⇔⎢ 1 ⎢ x 7 7 ; = ⎣ x2 = 1. ⎣

2 ⎧ x+ y ⎧ x+ y x + y = 2, ⎧ x = 2 − y, ⎧ x = 3, 465. а) ⎨ 4x + 2 y −=1 16, ⇔ ⎨ x4+ 2 y −1= 4 ,0 ⇔ ⎧⎨ ⇔⎨ ⇔⎨

= 1;

⎩4

⎩ x + 2 y = 1;

=4 ;

⎩4

⎩ y = −1;

⎩ y = −1.

⎧63x− y = 6 , ⎧ 63x − y = 60,5 , ⎪ ⎧ 3x − y = 0,5, ⎧ y = 3x − 0,5, ⎧ x = 0, ⇔⎨ ⇔⎨ б) ⎨ y −2x 1 ⇔ ⎨ y −2x −0,5 ⇔ ⎨ − = − y 2 x 0 , 5 ; = 2 = 2 2 ; ⎩ ⎩ x = 0; ⎩ y = −0,5. ⎪ ⎩ 2 ⎩ ⎧ 2 y−x 1 ⎧32 y − x = 3− 4 , 3 = , ⎧ 2 y − x = −4, ⎧ y = −3, ⎧ x = −2, в) ⎪⎨ ⇔⎨ ⇔⎨ ⇔⎨ 81 ⇔ ⎨ x − y + 2 3 − + = = + x y 2 3 ; x y 1 ; 3 3 ; = ⎩ ⎩ ⎩ y = −3. x − y + 2 ⎪⎩3 = 27; ⎩ ⎧⎛ 1 ⎞ 4 x − y

г) ⎪⎨⎜⎝ 5 ⎟⎠

= 25,

⎪ 9x− y = 7; ⎩ 7

⎛1⎞ ⎝3⎠

⎧ 5 y − 4 x = 52 , ⎧ y − 4 x = 2, ⎧ 5 x = 2,5, ⎧ x = 0,5, ⇔⎨ ⇔⎨ ⇔⎨ ⇔ ⎨ 9x− y 0 ,5 9 x y 0 , 5 ; y 4 x 2 ; − = = + 7 7 ; = ⎩ ⎩ ⎩ y = 4. ⎩

x

466. а) ⎜ ⎟ ≥ 27 ⇔ 3− x ≥ 33 ⇔ − x ≥ 3 ⇔ x ≤ −3;

( )

б) 6

x

x

≤

в) 0,2 x ≤

1 x ⇔ 6 2 ≤ 6− 2 ⇔ ≤ −2 ⇔ x ≤ −4; 36 2 x

2

1 ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⇔ ⎜ ⎟ ≤ ⎜ ⎟ ⇔ x ≥ 2; 25 ⎝5⎠ ⎝5⎠

г) (1,5)x < 2,25 ⇔ (1,5)x < 1,52 ⇔ x < 2. 467. а) 45-2x ≤ 0,25 ⇔ 45-2x ≤ 4-1 ⇔ 5 – 2x ≤ -1 ⇔ x ≥ 3; б) 0,37+4x > 0,027 ⇔ 0,37+4x > 0,33 ⇔ 7 + 4x < 3 ⇔ x < -1; в) 0,42x+1>0,16 ⇔ 0,42x+1 > 0,42 ⇔ 2x + 1 < 2 ⇔ x < 0,5; г) 32-x < 27 ⇔ 32-x < 33 ⇔ 2 – x < 3 ⇔ x > -1. 468. а) 3x+1 – 2⋅3x-2 = 75 ⇔ 3⋅3x − 2 ⋅3x = 75 ⇔ 9

⎛1⎞ ⎝ 5⎠

б) ⎜ ⎟

x−1

⎛1⎞ −⎜ ⎟ ⎝ 5⎠

x+1

x

x

2

7 x ⋅ 3 = 75 9 x

⇔ 3x = 27 ⇔ x = 3; x

4 ⎛1⎞ 1 ⎛ 1⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞ = 4,8 ⇔ 5 ⋅ ⎜ ⎟ − ⋅ ⎜ ⎟ = 4,8⎜ ⎟ ⋅ 4 = 4,8 ⇔ ⎜ ⎟ = 1 ⇔ x = 0; 5 5 5 5 5 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 5⎠

45

⎛1⎞ ⎝2⎠

x −3

в) 5 ⋅ ⎜ ⎟

⎛1⎞ +⎜ ⎟ ⎝2⎠

x +1

x

x

x

⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞ = 162 ⇔ 40 ⋅ ⎜ ⎟ + 0,5 ⋅ ⎜ ⎟ = 162⎜ ⎟ ⋅ 40,5 = 162 ⇔ ⎝ 2⎠ ⎝2⎠ ⎝2⎠

x

⎛1⎞ ⇔ ⎜ ⎟ = 4 ⇔ x = −2; ⎝2⎠

г) 5 ⋅ 9 x + 9 x − 2 = 406 ⇔ 5 ⋅ 9 x +

1 1 x ⋅ 9 = 406 ⇔ 9 x ⋅ 5 = 406 ⇔ 9 x = 81 ⇔ x = 2. 81 81

469. Т.к. функция ах>0, то мы имеем право делить уравнение на нее. ⎛2⎞ ⎝3⎠

а) 2 x − 2 = 3x − 2 ⇔ ⎜ ⎟ ⎛1⎞ ⎝3⎠

x −1

б) ⎜ ⎟

1− x

⎛1⎞ =⎜ ⎟ ⎝4⎠

x −2

= 1 ⇔ x − 2 = 0 ⇔ x = 2;

⎛1⎞ ⇔⎜ ⎟ ⎝ 3⎠

⎛8⎞ ⎝5⎠

в) 5 x +1 = 8 x +1 ⇔ ⎜ ⎟

x −1

= 4 x −1 ⇔ 12 x −1 = 1 ⇔ x = 1;

x +1

= 1 ⇔ x = −1;

г) 7 x − 2 = 42 − x ⇔ (28)x − 2 = 1 ⇔ x − 2 = 0 ⇔ x = 2. 470. а) 3 x + 33 − x = 12 ⇔ 3 x + 27 ⋅ 3 − x = 12 ⇔ t 2 − 12t + 27 = 0 ⇔ ⎡t = 3, ⇔⎢ ⇔ ⎣t = 9;

б) 4

x −2

⎛t = 2 ⎜ ⎝

1− x

⎛1⎞ ⎝5⎠

⎡ x1 = 1, ⎢ x2 = 2 . ⎣

+ 16 = 10 ⋅ 2 x − 2 ⇔ 2 2 x − 2 − 10 ⋅ 2 x − 2 + 16 = 0 ⇔ t 2 − 10t + 16 = 0

x−2

в) ⎜ ⎟

⎡3 x = 3, ⇔ ⎢ x ⎣3 = 9;

⎡ ⎞ ⇔ ⎡t = 2, ⇔ ⎢2 ⎟ ⎢ t 8 ; = ⎠ ⎣ ⎢⎣ 2

x−2 x−2

⎡ x − 2 = 1, ⎡ x = 3, ⇔⎢ ⇔⎢ x 2 3 ; − = ⎣ x = 11. = 8; ⎣

= 2,

x

⎛1⎞ ⎛1⎞ − ⎜ ⎟ = 4,96 ⇔ 0,2 ⋅ ⎜ ⎟ 5 ⎝ ⎠ ⎝5⎠

−x

x

⎛1⎞ − ⎜ ⎟ = 4,96 ⎝5⎠

x 2 ⎛ ⎛ 1 ⎞x ⎞ ⎜t = ⎜ ⎟ ⎟t > 0 ⇔ t 2 + 4,96t − 0,2 = 0 ⇔ ⎡t = −5 − не подходит, ⇔ ⎛⎜ 1 ⎞⎟ = ⎛⎜ 1 ⎞⎟ ⇔ x = 2. ⎢ ⎜ ⎝ 5⎠ ⎟ t = 0,04 ⎣ ⎝ 5⎠ ⎝ 5⎠ ⎝ ⎠

(

)

г) 4 x − 0,25 x − 2 = 15 ⇔ 4 x − 16 ⋅ 4− x = 15t t = 4 x ⇔

t>0⇔

⎡t = −1 − не подходит, ⇔ t 2 − 15t − 16 = 0 ⇔ ⎢ ⇔ 4 x = 42 ⇔ x = 2. t = 16; ⎣

471. ⎧⎪ 5 x + y = 125,

⎧

x + y = 3,

⎧

y = 3 − x,

⇔⎨ ⇔⎨ ⇔ а) ⎨ (x − y )2 −1 2 2 ⎪4 = 1; ⎩( x − y ) − 1 = 0; ⎩(2 x − 3) − 1 = 0; ⎩

46

⎧ y = 3 − x, ⎪ ⎧ y = 3 − x, ⇔⎨ ⇔ ⎨ ⎡ x1 = 1, ⇔ ⎩2 x − 3 = ±1; ⎪⎩ ⎢⎣ x2 = 2;

⎡ ⎧ x1 = 1, ⎢ ⎨ y = 2; ⎢⎩ 1 ⎢⎧ x2 = 2, ⎢⎣⎨⎩ y2 = 1.

y = 5 − x, ⎧ x + y = 5, ⎧ y = 5 − x, ⎧ ⇔⎨ x ⇔⎨ ⇔ x y 5− x = 80; ⎩42 x − 80 ⋅ 4 x + 1024 = 0; ⎩4 + 4 = 80; ⎩4 + 4

б) ⎨

⎧ y = 5 − x, ⎪ ⇔ ⎨⎡4 x = 64, ⇔ ⎪⎢⎢4 x = 16; ⎩⎣

⎧ y = 5 − x, ⎪ ⎨⎡ x1 = 3, ⇔ ⎪⎢⎣ x2 = 2; ⎩

⎡⎧ x1 = 3, ⎢⎨ y = 2; ⎢⎩ 1 ⎢⎧ x2 = 2, ⎢⎨⎩ y2 = 3. ⎣

⎧⎪3 x + 3 y = 12, ⎧ y = 3 − x, ⇔⎨ x ⇔ −x x+ y = 216; ⎩3 + 27 ⋅ 3 = 12; ⎩⎪6

в) ⎨

⎧ y = 3 − x, ⇔ ⎨ 2x ⇔ x ⎩3 − 12 ⋅ 3 + 27 = 0;

⎧ y = 3 − x, ⎪⎡ x ⎨ 3 = 3, ⇔ ⎪⎢⎢3x = 9; ⎩⎣

⎧ y = 3 − x, ⎪ ⎨⎡ x1 = 1, ⇔ ⎪⎢⎣ x2 = 2; ⎩

⎡⎧ x1 = 1, ⎢⎨ y = 2; ⎢⎩ 1 ⎢⎧ x2 = 2, ⎢⎨⎩ y2 = 1. ⎣

⎧⎪4 x + y = 128, ⎧ 2( x + y ) = 27 , ⎧2 x + 2 y = 7, ⎧2 x + 2 y = 7, ⎧ x = 2, ⇔ ⎨2 ⇔⎨ ⇔⎨ ⇔⎨ 3 x − 2 y −3 ⎪⎩5 ⎩3x − 2 y = 3; ⎩5 x = 10; ⎩ y = 1,5. = 1; ⎩3x − 2 y = 3;

г) ⎨

2

⎛1⎞ ⎝2⎠

472. а) 2 x > ⎜ ⎟

2 x −3

2 ⎡ x < −3, ⇔ 2 x > 23 − 2 x ⇔ x 2 + 2 x − 3 > 0 ⇔ ⎢ ⎣ x > 1.

Ответ: (–∞; –3) ∪ (1;∞). ⎛ 1 ⎞ б) ⎜ ⎟ ⎝ 25 ⎠

2x

<

( 5)

x 2 + 3,75

⇔5

−4 x

<

x 2 + 3,75 5 2

⇔ −4 x <

x 2 + 3,75 ⇔ 2

⇔ x 2 + 8 x + 3,75 > 0 . x ∈ (-∞; -7,5) ∪ (-0,5; +∞).

Ответ: [–3; –1]. x2 ⎛1⎞ 2

в) 34 x +3 ≤ ⎜ ⎟ ⎝9⎠

10 x

⎛1⎞ ⎝4⎠

г) ⎜ ⎟

< 64

2 ⎧ x ≥ −3, ⇔ 34 x + 3 ≤ 3− x ⇔ x 2 + 4 x + 3 ≤ 0 ⇔ ⎨ ⎩ x ≤ −1.

2 2 − x2 3

2

⇔ 4−10 x > 48−3 x ⇔ 3 x 2 − 10 x − 8 > 0 ⇔

2 ⎡ 2⎞ ⎛ x<− , ⇔⎢ Ответ: ⎜ − ∞;− ⎟ ∪ (4; ∞ ). ⎢ x > 4. 3 3⎠ ⎝ ⎣

47

473. ⎛2⎞ ⎝3⎠

x

⎛2⎞ ⎝3⎠

x −1

x

x

⎛2⎞ ⎛2⎞ > 2,5 ⇔ 2,5 ⋅ ⎜ ⎟ > 2,5 ⇔ ⎜ ⎟ > 1 ⇔ x < 0; ⎝3⎠ ⎝3⎠ 7 б) 22 x −1 + 22 x −2 + 22 x −3 < 448 ⇔ ⋅ 22 x < 448 ⇔ 4 x < 64 ⋅ 8 ⇔ 4 x < 44,5 ⇔ x < 4,5. 8

а) ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟

⎛4⎞ ⎝3⎠

x +1

в) ⎜ ⎟ г) 3 x + 2

x

x

x

x

3 1⎛4⎞ 3 9 ⎛4⎞ ⎛4⎞ ⎛4⎞ ⎛4⎞ −⎜ ⎟ > ⇔ ⎜ ⎟ > ⇔⎜ ⎟ > ⇔⎜ ⎟ >⎜ ⎟ 3 16 3 3 16 3 16 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝3⎠ ⎝3⎠ 28 + 3 x −1 < 28 ⇔ ⋅ 3 x < 28 ⇔ 3 x < 3 ⇔ x < 1. 3

−2

⇔ X > −2.

474. а) π x − π2 x ≥ 0 ⇔ π x (1 − π x ) ≥ 0 , т.к. πх > 0 ⇔ ⎧ π x ≥ 0, ⇔⎨ ⇔ π x ≤ 1 ⇔ x ≤ 0; x 1 − π ≥ 0 ; ⎩ ⎛1⎞ ⎝3⎠

2 x −1

б) ⎜ ⎟

⎛1⎞ − 10 ⋅ 3− x + 3 < 0 ⇔ 3 ⋅ ⎜ ⎟ ⎝3⎠

⎧⎛ 1 ⎞ x 1 ⎪⎜ ⎟ > , ⎪ 3 3 ⇔ ⇔ ⎨⎝ ⎠ x ⎪⎛1⎞ ⎪ ⎜ 3 ⎟ < 3; ⎩⎝ ⎠

2x

x

⎛1⎞ − 10 ⋅ ⎜ ⎟ + 3 < 0 ⇔ ⎝3⎠

⎧ x < 1, ⎨ x > −1; х∈(–1; 1); ⎩ ⎡2 x > 4, ⇔ x > 2. x ⎣⎢2 < −2;

в) 4 x − 2 x +1 − 8 > 0 ⇔ 2 2 x − 2 ⋅ 2 x − 8 > 0 ⇔ ⎢

x

⎛ 1 ⎞ ⎛1⎞ ⎟ − 5 ⋅ 6− x − 6 ≤ 0 ⇔ ⎜ ⎟ ⎝ 36 ⎠ ⎝6⎠

г) ⎜

x

⎛1⎞ ⎛1⎞ ⇔⎜ ⎟ ≤⎜ ⎟ ⎝6⎠ ⎝6⎠

−1

2x

⎧⎛ 1 ⎞ x ⎪⎜ ⎟ ≥ −1, ⎛1⎞ ⎪ 6 − 5 ⋅ ⎜ ⎟ − 6 ≤ 0 ⇔ ⎨⎝ ⎠ x ⇔ ⎝6⎠ ⎪⎛ 1 ⎞ ⎪⎜ 6 ⎟ ≤ 6; ⎩⎝ ⎠ x

⇔ x ≥ −1.

475. а) 2x ≤ 3 – x; т.к. y = 2x возрастает, а y = 3 – x убывает, следовательно, у них одна точка пересечения А(1;2), и 2x ≤ 3 – x при x ≤ 1;

48

⎛1⎞ ⎝3⎠

x

б) ⎜ ⎟ ≤ 2 x + 5; т.к.

⎛1⎞ y=⎜ ⎟ ⎝3⎠

x

– убывает, а y=2x+5 – возрастает, то они ⎛1⎞ ⎝3⎠

x

пересекаются только в одной точке В(-1;3), и ⎜ ⎟ ≤ 2 x + 5 при x ≥ -1;

⎛1⎞ ⎝4⎠

x

⎛1⎞ ⎝ 4⎠

x

в) ⎜ ⎟ ≥ 2 x + 1; т.к. y = ⎜ ⎟ – убывает, а y=2x+1 – возрастает, то они ⎛1⎞ ⎝4⎠

x

пересекаются только в одной точке С(0;1), и ⎜ ⎟ ≥ 2x + 1 при x≤0;

г) 3x ≥ 4 – x; т.к. y = 3x – возрастает, а y = 4 – x – убывает, то они пересекаются тоьлько в одной точке D(1;3), 3x ≥ 4 – x при x ≥ 1.

37. Логарифмы и их свойства 476. а) log3 9 = 2;

1 8

б) log2 = -3;

в) log4 16 = 2;

б) log7 1 = 0;

в) log32 2 =

г) log5

1 25

= -2.

477. а) log9 3 =

1 ; 2

1 ; 5

1 3

г) log3 = -1.

478. а) log27 9 =

2 ; 3

б) log32 8 =

3 ; 5

в) log81 27 =

3 ; 4

г) log12525 =

2 . 3

49

479. а) log3

1 81

= -4, 3-4 =

б) log16 1 = 0, 160 = 1;

1 ; 81

в) log4 16 = 2, 42 = 16; 480. а) log5 0,04 = -2, 5-2 = 0,04; в) lg 0,01 = -2, 10-2 = 0,01;

г) log5 125 = 3, 53 = 125. б) log7 343 = 3, 73 = 343; г) log3

1 243

= -5, 3-5 =

1 . 243

481. а) log

2

8 = 6,

( 2 ) = 8; 6

1 в) log 1 9 = −2, ⎛⎜ ⎞⎟

1 3

⎛ 1 ⎞ ⎟ 27 = −6, ⎜⎜ ⎟ ⎝ 3⎠

−6

= 27;

−2

= 9;

⎝3⎠

3

б) log

г) log0,5 4 = -2, 0,5-2 = 4. 14

482. а) log 2

2

( )

14 , 2 2 3

128 =

14 3

⎛ 3⎞3 ⎜ ⎟ = ⎜ 2 2 ⎟ = 128; ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

б) log0,2 0,008 = 3, 0,23 = 0,008; в) log

5

0,2 = −2,

( 5)

−2

= 0,2;

г) log0,2 125 = -3, 0,2-3 = 53 = 125.

483. 1 8

1 1 5 2 1 1 в) log216=4, log 2 = −2, log 2 2 = ; 4 2 1 1 г) log3 27=3, log3 = −2, log3 3 = . 9 2

1 3

а) log5 25 = 2, log5 = −1, log5 5 = ; б) log8 64 = 2, log8 = −1, log8 2 = ;

484. а) log3 x = -1, x = 3-1 = 1 ; 3

2

в) log5 x = 2, x = 5 = 125;

−3

б) log 1 x = −3, x = ⎛⎜ 1 ⎞⎟ = 63 = 216; ⎝6⎠

6

г) log 7 x = −2, x = 7 − 2 =

485. а) log 4 x = −3, x = 4−3 =

1 ; 64

1

в) log 1 x = 1, x = ⎛⎜ 1 ⎞⎟ = 1 ; 7

50

⎝7⎠

7

б) log

5

x = 0, x =

1 . 49

( 5 ) = 1; 0

−3

г) log 1 x = −3, x = ⎛⎜ 1 ⎞⎟ = 8. 2

⎝2⎠

486. а) logx 81 = 4, x4 = 34, x = 3; в) log x 1 = −2, 4

x −2 = 2 −2 ,

б) log x

2 1 1 1 = 2, x 2 = ⎛⎜ ⎞⎟ , x = ; 4 16 ⎝4⎠

г) logx 27 = 3, x3 = 33, x = 3.

x = 2;

1

1 2

1 2

487. а) log4 x=2, x=42 =16; log4 16 = 2; log4 x = , x = 4 2 = 2 : log 4 2 = ; log4 x = 1, x = 41 = 4; log4 4 = 1; log4 x = 0, x = 40 = 1: log4 1 = 0; 1 3

1 3

б) log3 x = 3, x = 33 = 27; log3 27 = 3; log3 x = -1, x = 3-1 = : log3 = −1; 1 log3 x = -3, x = 3-3 = 1 ; log3 = −3; log3 x = 1, x = 31 = 3; log3 3 = 1; 27

27

1 2

1 2

3

в) log2 x = 3, x = 2 = 8; log2 8 = 3; log2 x = , x = 2 ; log 2 2 = ; 1 2

log2 x = 0, x = 20 = 1; log2 1 = 0; log2 x = -1, x = 2-1 = ; log 2 1 = −1; 2

1 1 г) log5x = 1, x = 51 = 5; log5 5 = 1; log5 x = -2, x = 5-2 = ; log5 = −2; 25 25

log5 x = 0, x = 50 = 1: log5 1 = 0; log5 x = 3, x = 53 = 125: log5 125 = 3. 488. log 11 б) πlog π 5, 2 = 5,2; в) 2log 2 5 = 5; а) 1,7log1, 7 2 = 2; г) 3,8 3,8 = 11. 489. а) 51+ log 5 3 = 5 ⋅ 5log 5 3 = 5 ⋅ 3 = 15; 1+ log 1 2

⎛1⎞ ⎝7⎠

в) ⎜ ⎟

7

=

1 ⎛1⎞ ⋅⎜ ⎟ 7 ⎝7⎠

log 1 2 7

=

1 2 ⋅2 = ; 7 7

б) 101− lg 2 =

10 10lg 2

г) 32− log 3 18 =

=

9 log 3 18

3

10 = 5; 2 =

9 1 = . 18 2

490. а) 4

2 log 4 3

⎛1⎞ в) ⎜ ⎟ ⎝2⎠

(

= 4

4 log 1 3 2

)

log 4 3 2

⎛1⎞ =⎜ ⎟ ⎝2⎠

2

= 3 = 9;

log 1 34 2

= 34 = 81;

б) 5

−3 log 5

1 2

=

⎛1⎞ log 5 ⎜ ⎟ 5 ⎝2⎠ −2

−3

⎛1⎞ =⎜ ⎟ ⎝2⎠

г) 6− 2 log 6 5 = 6log 6 5 = 5− 2 =

−3

= 8; 1 . 25

2 2 2 ⎛ 2 2⎞ 2 2 ⎛5 3 ⎞3 491. а) log3 ⎜ a b ⎟ = log3 ⎜⎜ a 5 b15 ⎟⎟ = log3 a 5 + log3 b15 = log3 a + log3 b = 5 15 ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2⎛ log3 b ⎞ = ⎜ log3 a + ⎟; 5⎝ 3 ⎠

51

⎛ a10 б) log3 ⎜⎜ 6 5 ⎝ b

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

(

−0, 2

1⎞ 1 ⎛ 1 ⎜ −2 6 ⎟ −2 = log3 ⎜ a ⋅ b ⎟ = log3 a + log3 b 6 = −2 log3 a + log3 b; 6 ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ 1

)

1 5

в) log3 9a 4 5 b = log3 9 + log3 a 4 + log3 b 5 = 2 + 4 log3 a + log3 b; г) log3

b2

= log3 b 2 − log3 27 − log3 a 7 = 2 log3 b − 3 − 7 log3 a.

27 a 7

1

3

1

1 2

3 2

1 2

492. а) lg⎛⎜100 ab3c ⎞⎟ = lg100 + lg a 2 + lg b 2 + lg c 2 = 2 + lg a + lg b + lg c = ⎝

=2+

⎠

1 3 lg(ac) + lg b ; 2 2 1

⎛ a5 ⎞ ⎟ = lg a 5 − lg 0,1 − lg c 2 − lg b 2 = 5 lg a + 1 − 2 lg c − 1 lg b; ⎜ 0,1c 2 b ⎟ 2 ⎝ ⎠

б) lg⎜ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝

1

в) lg⎜ 3 10 a 3 b 4c

−

1 2

1 1 1 ⎞ − ⎟ 3 + lg a 3 + lg b 4 + lg c 2 = 1 + 1 lg a + 4 lg b − 1 lg c; lg 10 = ⎟ 3 3 2 ⎟ ⎠

2

г) lg

0,01c 3 1 a 2 b3

2

1

= lg 0,01 + lg c 3 − lg a 2 − lg b3 = −2 +

⎛

⎞

1

1

2 1 lg c − lg a − 3 lg b. 3 2

⎜ ⎟ 493. а) lg⎜103 a 4b 2 c−3 ⎟ = lg103 + lg a 4 + lg b 2 + lg c−3 = 3 + 4 lg a + lg b − 3 lg c; ⎜ ⎝

2

б) lg

b3 5 6 5

10 a c

⎟ ⎠

2

= lg b 3 − lg105 − lg a 6 − lg c 5 =

1 2

2 lg b − 5 − 6 lg a − 5 lg c; 3

2⎞ 2 ⎛ 2 ⎜ ⎟ в) lg⎜10− 4 a 2b5c 3 ⎟ = lg10− 4 + lg a 2 + lg b5 + lg c 3 = −4 + 2 lg a + 5 lg b + lg c; 3 ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 7 ⎞ ⎛ 2 7 ⎟ ⎜ 4 c ⎟ = lg c 4 − lg107 − lg a 3 − lg b8 = 7 lg c − 7 − 2 lg a − 8 lg b. ⎜ г) lg 2 ⎟ ⎜ 3 4 ⎜ 107 a 3 b8 ⎟ ⎠ ⎝

494. а) log5 72 = log5 8 + log5 9 = 3 log5 2 + 2log5 3 = 3a + 2b; б) log5 15 = log5 5 + log5 3 = 1 + b; в) log5 12 = log5 22 + log5 3 = 2log5 2 + log5 3 = 2a + b; г) log5 30 = log5 2 + log5 3 + log5 5 = a + b + 1. 52

495. а) lg8+lg 125=lg(8⋅125) = lg 103 = 3; б) log 2 7 − log 2

7 = log 2 2 4 = 4; 16

в) log12 4 + log12 36 = log12 122 = 2; г) lg13 – lg 130 = lg 10-1 = -1. 496. а)

lg 8 + lg 18 lg 144 2 lg 12 = = = 2; 2 lg 2 + lg 3 lg 12 lg 12

б) log 3 16 = 2 log 3 4 = 2; log 3 4

log 3 4

1 в) log 2 11 − log 2 44 = log 2 = −2; 4 9 г) log0,3 9 − 2 log0,3 10 = log0,3 = log0,3 0,32 = 2. 100

497. а) 3 log6 2 + 0,5 log6 25 − 2 log6 3 = log6 8 + log6 5 − log6 9 = log6 log6 x = log6

40 ; 9

40 4 ,x = 4 ; 9 9

1 ⎛ 1 ⎜ 2 ⋅ c4 a 1 ( 5 ) 3 4 б) lg 5a − 3 lg b + 4 lg c = lg(5a) 2 − lg b + lg c = lg⎜ ⎜ 2 b3 ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟; ⎟ ⎟ ⎠

1 1 ⎛ ⎞ ⎜ 4⎟ 2 ⋅ c4 2 ( 5 ) a (5 a ) ⋅ c ⎟ ; x= lg x = lg⎜ , ⎜ ⎟ b3 b3 ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 ⎛ 2 1 ⎜ 5 3 ⋅ 1 m n 2 в) 5 lg m + lg n − lg p = lg m 5 + lg n 3 − lg p 4 = lg⎜ 1 ⎜ 4 3 ⎜ p4 ⎝

2 ⎛ ⎜ 5 3 m n lg x = lg⎜ 1 ⎜ ⎜ p4 ⎝

г)

1 4

⎞ ⎟ ⎟; ⎟ ⎟ ⎠

2 ⎞ ⎟ m5 n 3 ⎟, x = ; 1 ⎟ ⎟ p4 ⎠

log4 216 – 2log4 10 + 4log4 3 = log4 6 – log4 100 + log4 81 = ⎛ 6 ⋅ 81 ⎞ ⎟ = log 4 4,86; log4 x = log4 4,86, x = 4,86. ⎝ 100 ⎠

= log 4 ⎜ 498.

2

1⎞ 1 ⎛ ⎜ log3 ⎟ + 2 log3 + 1 log3 3 1 1 2⎠ 2 ⎝ а) log 1 3 + log3 + 2 = = + log3 + 2 = 1 1 2 2 log3 log3 2 2 2

53

2

1 ⎛ ⎞ ⎜ log3 + 1⎟ 2 ⎠ < 0 , откуда log 3 + log 1 < −2; =−⎝ 1 3 2 log3 2

б) 4

log 5 7

(

)

(

log 5 4 log 5 7

= 5

)

= 5

в) log3 7 + log7 3 − 2 = log3 7 + =

(log3 7 − 1)2 log3 7

2

log 5 7 log 5 4

= 7log 5 4 ;

log3 3 (log3 7 )2 − 2 log3 7 + 1 = −2= log3 7 log3 7

> 0 , откуда log 3 7 + log 7 3 > 2;

(

г) 3log 2 5 = 2log 2 3

)

log 2 5

(

= 2log 2 5

)

log 2 3

= 5log 2 3.

38. Логарифмическая функция 499. а) 10 – 5x > 0 ⇔ x < 2; D(y) = (-∞;2); x > −3, D(y) = (-3;3); ⎩ x < 3;

б) 9 – x2 > 0 ⇔ ⎧⎨

в) x – 4 > 0 ⇔ x > 4; D(y) = (4;∞); x > 4, D(y) = (-∞;-4)∪(4;∞). ⎣ x < −4;

г) x2 – 16 > 0 ⇔ ⎡⎢ 500.

x > −2, D(y) = (-2; 3); ⎩ x < 3;

а) 6 + x – x2 > 0 ⇔ ⎧⎨ б)

+

–

+

-2,5

1

X

2x + 5 > 0; D(y ) = (-∞;-2,5)∪(1;∞); x −1

в)

+

– 2 − 3

+ 2,5

2 + 3x 2 + 3x ⎛ 2 ⎞ >0⇔ < 0; D( y ) = ⎜ − ;2,5 ⎟. ; 5 − 2x 2x − 5 3 ⎝ ⎠

г) x2 – 2x – 3 > 0 ⇔ ⎡⎢ x < −1, D( y ) = (-∞;-1)∪(3;∞). ⎣ x > 3.

501.а) log2 3,8 < log2 4,7, т.к. 3,8 < 4,7 и 2 > 1; б) log 1 0,15 > log 1 0,2, т.к. 0,15 < 0,2 и 3

3

1 <1; 3

в) log3 5,1 > log3 4,9, т.к. 5,1 > 4,9 и 3 > 1; г) log0,2 1,8 > log0,2 2,1, т.к. 1,8 < 2,1 и 0,2 < 1. 54

502. а) log б) log

1

2

3 > 1 = log

1,9 > log

3

2

2

т.к. 3 >

2

и

2,5, т.к. 1,9 < 2,5 и

1 3

2 >1; 1 3

< 1;

в) logπ 2,9 < 1 = logπ π, т.к. 2,9 < π и π > 1; г) log0,7 2 < log0,7 0,3, т.к. 2 > 0,3 и 0,7 < 1. 503. а) log2 10 > log2 8 = 3, log5 30 < log5 125 = 3 ⇒ log2 10 > log5 30; 1 1 , log 5 3 > log 5 5 = ⇒ log 0,3 2 < log 5 3; 2 2 в) log3 5 > log3 3 = 1, log7 4 < log7 7 = 1 ⇒ log3 5 > log7 4; г) log3 10 > log3 9 = 2, log8 57 < log8 64 = 2 ⇒ log3 10 > log8 57.

б) log0,3 2 < log0,3

0,3 =

504. а) y = log3 x; D(y) = (0;∞), E(y) = R, y(x) возрастает на (0;∞); y(1) = 0, y(3) = 1, y(9) = 2;

б) y = log 1

x; D(y)

= (0;∞), E(y) = R, y(x) убывает на (0;∞);

2

⎛1⎞ y⎜ ⎟ = 1, y(1) ⎝2⎠

= 0, y(2) = -1;

в) y = log4 x; D(y) = (0;∞), E(y) = R, y(x) возрастает на (0;∞); y(1) = 0, y(4) = 1, y(16) = 2;

г) y = log 1 x; D(y) = (0;∞), E(y) = R, y(x) убывает на (0;∞); 3

⎛1⎞ y⎜ ⎟ = 1, y(1) ⎝3⎠

= 0, y(3) = -1, y(9) = -2.

55

505. а) sinx>0 при 2πk<x<π + 2πk, k ∈Z; D(y) = (2πk;π + 2πk/k ∈ Z); б) 2x – 1 > 0 ⇔ 2x > 20 ⇔ x > 0; D(y) = (0;∞); в) cos x > 0 при − π + 2πn < x < 2

π + 2πn , 2

n ∈ Z;

π ⎛ π ⎞ D( y ) = ⎜ − + 2πn; + 2πn n∈Z ⎟; 2 ⎝ 2 ⎠

г) 1 – 3x > 0 ⇔ 3x < 30 ⇔ x < 0; D(y) = (-∞;0). 506. а) log 2 2 sin б)

(

2π π π ; + log 2 cos = log 2 sin 15 15 15

)

(

)

(

)

⎛ ⎞⎞ ⎛3 log4 3 7 − 2 3 + log4 3 49 + 3 21 + 3 9 = log4 ⎜⎜ 3 7 − 3 3 ⎜ 72 + 3 7 ⋅ 3 + 3 3 ⎟ ⎟⎟ = ⎠⎠ ⎝ ⎝ = log 4 4 = 1;

в) lg tg4 + lg ctg4 = lg (tg4ctg4) = lg 1 = 0; г) log π 5 + 2 6 + log π 5 − 2 6 = log π (25 − 24 ) = log π 1 = 0;

(

)

(

507. а) y = log3(x – 2);

б) y = − log 1 x; 2

в) y = log2 (x + 1);

г) y = log 1 x + 2. 3

56

)

508. а) log3 x=2log9 6 – log9 12 ⇔ log3 x = log9 3 ⇔ log3 x = б) log 1 x = log0,2 35 − 2 log0,2 25 7 ⇔ log 1 x = log0,2 2

2

1 ⇔ 2

x = 3;

35 ⇔ 625 ⋅ 7

1 ⇔ log 1 x = log0, 2 0,008 ⇔ log 1 x = 3 ⇔ x = ; 8 2

2

в) 1 log3 144 + log3 0,75 ⇔ log5 x = log3 (12 ⋅ 0,75) ⇔ log5 x = 2 ⇔ x = 25; 2 64 ⋅ 25 1 1 ⇔ logπ x = −2 ⇔ x = 2 . г) logπ x = 3 log0,1 4 + 2 log0,11 ⇔ logπ x = log0,1 16 2 π log5 x =

509. В этом номере всегда одна функция возрастает, авторая убывает, вследствии чего они могут пересекаться лишь в одной точке. а) lg x = 1 – x; графики функций y = lgx и y = 1 – x пересекаются в т.А(1;0), т.о. x = 1.

б) log 1 x = x − 4; Графики функций y = x – 4 и y = log 1 x пересекаются в 3

3

т.В(3,-1), т.о. x = 3.

в) log 1 x = x − 6; 5

Графики функций y=x–6 и y = log 1 x пересекаются в т.С(5,-1), т.о. x=5. 5

57

г) log2 x = 3 – x; графики функций y = log2 x и y = 3 – x пересекаются в т.D(2;1), т.о. x = 2.

510. а) нет; б) нет; в) нет; г) нет. 511. на D(f), а) f ( x) = log 1 x убывает

поэтому

4

max f ( x) = f (1) = 0, [1; 4]

min f ( x) = f (4) = −1; [1;4]

б) f(x) = log9 x возрастает на D(f) поэтому ⎛1⎞ min f ( x) = f ⎜ ⎟ = −1, max f ( x) = f (9) = 1; ⎡1 ⎤ ⎡1 ⎤ ⎝9⎠ ⎢ ;9 ⎥ ⎣⎢ 9 ⎦⎥

⎢ ;9 ⎥ ⎣⎢ 9 ⎦⎥

в) f(x) = log5 x возрастает на D(f) поэтому ⎛1⎞ min f ( x) = f ⎜ ⎟ = −1, max f ( x ) = f ( x ) = 0; ⎡1 ⎤ ⎝5⎠ ;1

⎡1 ⎤ ⎢ ;1⎥ ⎣5 ⎦

⎢5 ⎥ ⎣ ⎦

г) f(x) = log 1 x убывает на D(f) поэтому 2

⎛1⎞ max f ( x ) = f ⎜ ⎟ = 1, min f ( x) = f (4) = −2. ⎡1 ⎤ ⎝2⎠ ;4

⎡1 ⎤ ⎢ ;4⎥ ⎣2 ⎦

⎢2 ⎥ ⎣ ⎦

39. Решение логарифмических уравнений и неравенств 512. а) 9x = 0,7 ⇔ log9 9x = log9 0,7 ⇔ x = log9 0,7; б) (0,3)x = 7 ⇔ log0,3 (0,3)x = log0,3 7 ⇔ x = log0,3 7; в) 2x = 10 ⇔ log2 2x = log2 10 ⇔ x = log2 10; г) 10x = π ⇔ lg10x = lgπ ⇔ x = lgπ. 513. а) log5 x=2⇔x=52⇔x = 25; б) log0,4 x = -1 ⇔ x=(0,4)-1 ⇔ x = 2,5; 1 2

в) log9 x = − ⇔ x = 9

−

1 2

1 2 ⇔ x = . ; г) lgx = 2 ⇔ x = 10 ⇔ x = 100. 3

⎛1⎞ ⎝2⎠

514. а) log 1 (2 x − 4) = −2 ⇔ 2 x − 4 = ⎜ ⎟ 2

58

−2

⇔ 2 x − 4 = 4 ⇔ x = 4;

x = −3, ⎣ x = 1.

б) logπ (x2+2x+3)=logπ6⇔x2 + 2x + 3 = 6 ⇔ x2 + 2x – 3 = 0 ⇔ ⎡⎢ в) log0,3(5 + 2x) = 1 ⇔ 5 + 2x = 0,3 ⇔ x = -2,35. г) log2(3 – x) = 0 ⇔ 3 – x = 1 ⇔ x = 2. 515. а) (0,2)4-x = 3 ⇔ 4 – x = log0,2 3 ⇔ x = 4 – log0,2 3. 2

б) 5 x = 7 ⇔ x 2 = log5 7 ⇔ x = ± log5 7 . 1 3

в) 32 −3 x = 8 ⇔ 2 − 3 x = log 3 8 ⇔ x = (2 − log3 8). 1 2

г) 7 2 x = 4 ⇔ 2 x = log 7 4 ⇔ x = log 7 4. 516. а) log3 x > 2 ⇔ log3 x > log3 9 ⇔ x > 9. x < 25, Итого: (0;25). ⎩ x > 0.

б) log0,5 x > -2 ⇔ log0,5 x > log0,5 25 ⇔ ⎧⎨

в) log0,7 x < 1 ⇔ log0,7 x < log0,7 0,7 ⇔ x > 0,7. x < 6,25, Итого: (0;6,25). ⎩ x > 0.

г) log2,5 x < 2 ⇔ log2,5 x < log2,5 6,25 ⇔ ⎧⎨

x − 2 < 16, ⎧ x < 18, ⇔⎨ ⎩ x − 2 > 0; ⎩ x > 2. б) log 1 (3 − 2 x) > −1 ; log 1 (3 − 2 x) > log 1 3 ⇔ 3 − 2 x < 3 ⇔ x > 0.

517. а) log4(x – 2) < 2⇔log4(x – 2) < log416⇔ ⎧⎨ 3

3

3

в) log5(3x + 1) > 2 ⇔ log5(3x + 1) > log5 25 ⇔ 3x + 1 > 25 ⇔ x > 8. г) log 1 (4 x + 1) < −2 ⇔ log 1 (4 x + 1) < log 1 49 ⇔ 4 x + 1 > 49 ⇔ x > 12. 7

7

7

518. а) logax=2loga 3+loga 5 ⇔ logax=loga45⇔ x = 45 при a > 0 и a ≠ 1. б) lg(x – 9) + lg(2x – 1) = 2 ⎧( x − 9)(2x − 1) = 100, ⎧2x2 − 19x − 91 = 0, ⎧⎡ x = −3,5 − не подходит, ⎪ ⎪ ⎪ ⇔ ⎨x > 9, ⇔ ⎨⎢⎣ x = 13; ⇔ x = 13. ⎨x − 9 > 0, ⎪⎩2x − 1 > 0; ⎪x > 0,5; ⎪⎩x > 9. ⎩

в) loga x = loga 10 – loga 2 ⇔ loga x = loga 5 ⇔ x = 5 при a > 0 и a ≠ 1. г) log3(x + 1) + log3(x + 3) = 1 ⎧( x + 1)(x + 3) = 3, ⎧x2 + 4x + 3 = 3, ⎪ ⎪ ⎧x( x + 4) = 0; ⇔ ⎨x > −1, ⇔⎨ ⇔ ⎨x + 1 > 0, ⎩x > −1; ⎪⎩x + 3 > 0; ⎪x > −3; ⎩ ⎧⎡ x = −4 − не подходит, ⎪ ⇔ ⎨⎢⎣ x = 0; ⇔ x = 0. ⎪⎩x > −1.

59

519. а)

1 1 log 2 ( x − 4) + log 2 (2 x − 1) = log 2 3 ⇔ 2 2

⎧⎡ x = −0,5 − не подходит, ⎧( x − 4)(2 x − 1) = 9, ⎧ 2 ⎪ ⎪ ⇔ ⎨ x − 4 > 0, ⇔ ⎨2 x − 9 x − 5 = 0, ⇔ ⎨⎢⎣ x = 5; ⇔ x=5. ⎩ x > 4; ⎪⎩2 x − 1 > 0; ⎪⎩ x > 4;

б) lg(3x2 + 12x + 19) – lg(3x + 4) = 1 ⇔ ⎧ 3 x 2 + 12 x + 19 = 10, ⎪ ⎧3 x 2 + 12 x + 19 = 30 x + 40, ⎧3 x 2 − 18 x − 21 = 0, 3x + 4 ⎪⎪ ⎪ ⎪ 2 ⇔ ⎨3 x + 12 x + 19 > 0, ⇔ ⎨ ⇔ ⇔ 4 4 ⎨ ; x x>− ; > − ⎪3 x + 4 > 0; ⎪ ⎪ 3 3 ⎩ ⎩ ⎪ ⎩⎪ ⎧ ⎡ x = 7, ⎪⎪⎢ x = −1; ⎡ x = 7, ⇔⎢ ⇔ ⎨⎣ ⎣ x = −1. ⎪x > − 4 ; ⎪⎩ 3

в) lg(x2 + 2x – 7) – lg(x – 1) = 0 ⇔ ⎧ x 2 + x − 6 = 0, ⎧ x 2 + 2 x − 7 = x − 1, ⎪ ⎧⎡ x = −3, ⎪ ⎪ ⎡ x < −1 − 2 2 , ⎪ ⇔ ⎨ x 2 + 2 x − 7 > 0, ⇔ ⎨⎢ ⇔ ⎨⎢⎣ x = 2; ⇔ x = 2. ⎪ x − 1 > 0; ⎪⎢⎣ x > −1 + 2 2 ; ⎪ x > −1 + 2 2 ; ⎩ ⎩⎪ ⎪ x > 1; ⎩

г) log5(x2 + 8) – log5(x + 1) = 3log5 2 ⎧ x2 + 8 ⎧⎡ x = 0, ⎧ 2 ⎪ ⎪ ⎡ x = 0, ⇔ ⎨ x + 1 = 8, ⇔ ⎨ x − 8 x = 0, ⇔ ⎨⎢⎣ x = 8; ⇔ ⎢ ⎣ x = 8. ⎩ x > −1; ⎪ x + 1 > 0; ⎪⎩ x > −1; ⎩

520. ⎡

1

а) log24 x + log4 x − 1,5 = 0 ⇔ log24 x + 0,5 log4 x − 1,5 = 0 ⇔ ⎡⎢log4 x = −1,5, ⇔ ⎢ x = 8 , ⎣log4 x = 1;

⎢ x = 4. ⎣

б) lg2 x–lg x2+1=0⇔lg2 x–2lg x+1=0⇔(lg x–1)2=0⇔lg x=1, x = 10. ⎡

1

в) log52 x − log5 x = 2 ⇔ log52 x − log5 x − 2 = 0 ⇔ ⎡⎢log5 x = −1, ⇔ ⎢ x = 5 , ⎣log5 x = 2;

⎡

1

г) log32 x − 2 log3 x − 3 = 0 ⇔ ⎡⎢log3 x = −1, ⇔ ⎢ x = 3 , ⎣log 3 x = 3;

⎢ x = 27. ⎣

521. а) ⎧⎨ x + y = 7,

⎩lg x + lg y = 1;

60

⎧ y = 7 − x, ⇔⎨ ⇔ ⎩lg x + lg(7 − x) = lg 10;

⎢ x = 25. ⎣

⎧ y = 7 − x, ⎪⎪ x(7 − x) = 10, ⇔ ⇔⎨ ⎪ x > 0, ⎩⎪7 − x > 0;

⎧ y = 7 − x, ⎪⎪ x 2 − 7 x + 10 = 0, ⇔ ⎨ ⎪ x > 0, ⎪⎩ x < 7;

⎧ y = 7 − x, ⎪ ⎨⎡ x1 = 2, ⇔ ⎪⎩⎢⎣ x2 = 5;

⎡⎧ x1 = 2, ⎢⎨ y = 5; ⎢⎩ 1 ⎢⎧ x2 = 5, ⎢⎨⎩ y2 = 2; ⎣

⎧log 4 ( x + y ) = log 4 16, ⎧ x + y = 16, ⎪⎪log3 ( xy ) = log3 63, ⎪⎪ xy = 63, + = log ( ) 2 , x y ⎧ 4 б) ⎨ ⇔⎨ ⇔⎨ ⇔ + = + log log 2 log 7 ; x y > 0 , x 3 3 ⎩ 3 ⎪ ⎪ x > 0, ⎪⎩ y > 0; ⎪⎩ y > 0; ⎧ y = 16 − x, ⎡⎧ x1 = 7, ⎧ y = 16 − x, ⎧ y = 16 − x, ⎪ ⎡ x = 7, ⎢⎨ y = 9; ⎪ 2 ⎪⎢ 1 ⎪⎪ x(16 − x) = 63, ⎪ x − 16 x + 63 = 0, ⇔⎨ ⇔⎨ ⇔ ⎨⎣ x2 = 9; ⇔ ⎢⎩ 1 ⎢⎧ x2 = 9, ⎪ x > 0, ⎪ x > 0, ⎪ x > 0, ⎢⎨⎩ y2 = 7. ⎪⎩ y > 0; ⎪⎩ y > 0; ⎪ y > 0; ⎣ ⎩ ⎧ y = 34 − x, ⎧ y = 34 − x, ⎪⎪log ( x)(34 − x) = log 2 64, ⎪⎪log 2 xy = log 2 64, x y + = 34 , ⎧ в) ⎨ ⇔ ⇔⎨ 2 ⇔⎨ ⎩log 2 x + log 2 y = 6; ⎪ x > 0, ⎪ x > 0, ⎪⎩ y > 0; ⎪⎩ y > 0; ⎧ y = 34 − x, ⎧ y = 34 − x, ⎪⎪ x 2 − 34 x + 64 = 0, ⎪⎪⎡ x = 2, ⇔⎨ ⇔ ⎨⎢ 1 ⇔ ⎪ x > 0, ⎪⎣ x2 = 32; ⎪⎩ x > 0, y > 0; ⎩⎪ y > 0;

⎡⎧ x1 = 2, ⎢⎨ y = 32; ⎢⎩ 1 ⎢⎧ x2 = 32, ⎢⎨⎩ y2 = 2. ⎣

⎧ x = y, ⎧ y = x, ⎧log4 x − log4 y = 0, ⎪ 2 ⎪ 2 2 5 4 0 , ⇔ − + = ⇔ x y ⎨ ⎨4 − 4 x = 0, ⇔ 2 2 ⎩ x − 5 y + 4 = 0; ⎪ x > 0, y > 0; ⎪ x > 0, y > 0; ⎩ ⎩ ⎧ y = x, ⎪⎡ ⎪ ⎧ x = 1, ⇔ ⎨⎢ x1 = −1 − не подходит, ⇔ ⎨ ⎩ y = 1. ⎪⎣ x2 = 1; ⎪⎩ x > 0, y > 0;

г) ⎨

522. а)

1 6 lg x + 5 + 6 lg x + 6 − (lg x + 1)(lg x + 5) + =1⇔ =0⇔ lg x + 1 lg x + 5 (lg x + 1)(lg x + 5)

⎧⎡lg x = −2, 2 ⎪⎢lg x = 3; ⎧ x x lg − lg − 6 = 0 , ⎪⎣ lg 2 x − lg x − 6 ⎡ x = 0,01, ⎪ ⇔ = 0 ⇔ ⎨lg x ≠ −1, ⇔ ⎨lg x ≠ −1, ⇔ ⎢ 1 (lg x + 1)(lg x + 5) ⎣ x2 = 1000. ⎪lg x ≠ −5; ⎪lg x ≠ −5; ⎩ ⎪ ⎩ 15 x 15 б) log 2 = ⇔ ⇔ log 2 x − 2 = log 2 x − 4 4 log x − 1 2 8

61

⇔

(log 2 x − 2)(log 2 x − 4) − 15 = 0 ⇔ log 22 x − 6 log 2 x − 7 = 0 ⇔ log 2 x − 4

log 2 x − 4

⎧ 2 ⇔ ⎨log 2 x − 6 log2 x − 7 = 0, ⇔ ⎩log 2 x ≠ 4;

в)

⎧⎡log 2 x = −1, ⎪⎢ ⎨⎣log 2 x = 7; ⇔ ⎪log 2 x ≠ 4; ⎩

⎡ x1 = 0,5, ⎢ x2 = 128. ⎣

2 lg x − lg(5 x − 4) 2 lg x =0⇔ =1⇔ lg(5 x − 4) lg(5 x − 4)

⎧ x2 ⎧ x2 = 1, ⎪ = 0, ⎪lg ⎧ x 2 − 5 x + 4 = 0, ⎪ 5x − 4 ⎪ 5x − 4 ⎪ ⇔ ⎨lg(5 x − 4) ≠ 0, ⇔ ⎨ x > 0,8; ⇔ ⎨ x > 0,8; ⇔ ⎪ x > 0, ⎪5 x − 4 ≠ 1; ⎪ x ≠ 1; ⎩ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎩5 x − 4 > 0;

⎧⎡ x1 = 1 − не подходит, ⎪⎢ x = 4; ⎪⎣ 2 ⇔ ⎨ x > 0,8, ⇔ x = 4; ⎪ x ≠ 1; ⎪ ⎩ 1 5 lg x + 2 + 5 lg x − 30 − (lg x − 6 )(lg x + 2) г) + =1⇔ =0⇔ (lg x − 6)(lg x + 2) lg x − 6 lg x + 2 ⎧⎡lg x = 2, ⎧lg2 x − 10 lg x + 16 = 0, ⎪⎢⎣lg x = 8; ⎪ lg x − 10 lg x + 16 ⎪ ⇔ = 0 ⇔ ⎨lg x ≠ 6, ⇔ ⎨lg x ≠ 6, ⇔ (lg x − 6)(lg x + 2) ⎪lg x ≠ −2; ⎪lg x ≠ −2; ⎩ ⎪ ⎩ 2

523. а) log a x = log

a

⎡ x1 = 100, ⎢ 8 ⎣ x2 = 10 .

2 + log 1 3 ⇔ log a x = log a 4 − log a 3 ; a

4 4 log a x = log a ⇔ x = при a > 0, a ≠ 1; 3 3

⎧3 − 6 log24 x + 7 log4 x 7 ⎧ log4 2 − log4 x + = 0, ⎪ 7 ⎪ = 0, ⇔⎨ б) logx 2 − log4 x + = 0 ⇔ ⎨ log4 x ⇔ 6 6 log4 x 6 ⎪⎩x ≠ 1, x > 0; ⎪x ≠ 1, x > 0; ⎩ ⎧⎡ 1 ⎪⎢log 4 x = − , 3 2 ⎧ ⎪ ⇔ ⎨6 log 4 x − 7 log 4 x − 3 = 0, ⇔ ⎨⎢⎢ 3 ⇔ ⎩ x ≠ 1, x > 0; ⎪⎣⎢log 4 x = 2 ; ⎪ x ≠ 1, x > 0; ⎩

62

1 ⎡ ⎢ x1 = 3 , 4 ⎢ ⎣⎢ x2 = 8;

в) log3 x − 2 log 1 x = 6 ⇔ log3 x − 2 log3 x = 6 ; log3 x = 2 ⇔ x = 9; 3

г) log 25 x + log5 x = log 1 8 ⇔ log5 x + 2 log5 x + 2 log5 8 ; 5

1 1 log5 x = log5 ⇔ x = . 2 2

524. а) log2(9 – 2x) = 3 – x ⇔ 23-x = 9 – 2x ⇔ 2x + 8⋅2-x – 9 = 0 ⇔ ⎡ x ⇔ 22x – 9⋅2x + 8 = 0 ⇔ ⎢2 x = 1, ⇔ ⎡⎢ x = 0, ⎣ x = 3; 2 = 8; ⎢⎣

б) log2(25

x+3

–1)=2+log2(5x+3+1) ⇔ log2(52x ⋅56 – 1) = log2(4⋅5x+3 + 4) ⇔

⎧⎪15625 ⋅ 52 x = 500 ⋅ 5 x + 5, ⇔⎨ ⇔ ⎪⎩15625 ⋅ 52 x > 1;

⎧⎪3125 ⋅ 52 x − 100 ⋅ 5 x − 1 = 0, ⇔ ⎨ x ⎪⎩25 > 25−3 ;

⎧⎡5 x = −0,008 − не подходит, ⎪ ⇔ x = −2; ⇔ ⎨⎢⎢5 x = 0,04; ⎣ ⎪ x > −3; ⎩ ⎡

x−2

в) log4(2⋅4x-2–1) =2x–4⇔ ⎢2 ⋅ 4 x − 2 − 1 = 4 ⎢⎣2 ⋅ 4

(

2x−4

− 1 > 0;

)

,

1 ⎡ 1 ⋅ 42 x − ⋅ 4 x + 1 = 0, ⇔ ⎢ 256 ⇔ 8 ⎢ 2( x − 2 ) > 2−1; ⎢⎣2

2 2 ⎧⎪ x ⎧ x ⇔ ⎨ 4 − 16 = 0, ⇔ ⎨4 = 4 , ⇔ x = 2. ⎪⎩2 x − 4 > −1; ⎩ x > 1,5;

г) log2(4x+4)=log2 2x+log2(2x+1 – 3) ⇔ log2(4x + 4) = log2(2⋅4x – 3⋅2x) ⇔ ⎧2 2 x − 3 ⋅ 2 x − 4 = 0, ⎧⎪4 x + 4 = 2 ⋅ 4 x − 3 ⋅ 2 x , ⎪ ⇔ ⎨ x +1 ⇔⎨ x 3 ⇔ ⎪⎩2 − 3 > 0; ⎪2 > 2 ; ⎩ ⎧⎡2 x = −1 − не подходит, ⎪⎢ x ⎪ ⇔ ⎨⎣⎢2 = 4; ⇔ 2 x = 4 ⇔ x = 2. 3 ⎪ x ⎪⎩2 > 2 ;

525. ⎧2 x − 3 > x + 1,

а) lg(2x – 3) > lg(x + 1) ⇔ ⎪⎨2 x − 3 > 0, ⎪⎩ x + 1 > 0;

⎧ x > 4, ⎪ ⇔ ⎨ x > 1,5, Итого: (4;∞). ⎪⎩ x > −1;

⎧2 x − 4 < x + 1,

б) log0,3(2x – 4) > log0,3(x + 1) ⇔ ⎪⎨2 x − 4 > 0, ⎪⎩ x + 1 > 0;

⎧ x < 5, ⎪ ⇔ ⎨ x > 2, ⎪⎩ x > −1.

Итого: (2;5). 63

1 ⎧ ⎪x > 2 3 , 1 ⎧3 x − 7 > 0, ⎧ ⎪x > 2 , ⎪ в) lg(3x – 7) ≤ lg(x + 1) ⇔ ⎪⎨ x + 1 > 0, ⇔ ⎨ x > −1, ⇔ ⎨ 2 ⎪⎩ x ≤ 4. ⎪⎩3 x − 7 ≤ x + 1; ⎪ x ≤ 4; ⎪ ⎩ ⎧ x > 3, ⎧4 x − 7 > x + 2, 3 ⎪⎪ г) log0,5(4x – 7) < log0,5(x + 2) ⇔ ⎪⎨4 x − 7 > 0, ⇔ ⎨ x > 1 , ⇔ x > 3. 4 ⎪ ⎪⎩ x + 2 > 0; ⎩⎪ x > −2;

526. а) log0,5 x > log2(3 – 2x) ⇔ log 2 1 > log 2 (3 − 2 x ) ⇔ x

⎧1 − 3x + 2 x 2 ⎧⎡0 < x < 0,5, ⎧ 2( x − 0,5)( x − 1) ⎧1 > 0, ⎪⎢ x > 1; > 0, ⎪ ⎪ x > 3 − 2 x, ⎪ x x ⎪ ⎪⎣ ⎪ ⎪ ⇔ ⎨ x > 0, ⇔ ⎨ x > 0, ⇔ ⇔ ⎨ x > 0, ⇔ ⎨ x > 0, ⎪ x < 1,5; ⎪ x < 1,5; ⎪ x < 1,5; ⎪3 − 2 x > 0; ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ ⎩ ⎩⎪

⎡0 < x < 0,5, ⇔⎢ ⎣1 < x < 1,5.

Итого: (0;0,5)∪(1;1,5).

б) logπ(x + 1) + logπ x < logπ 2 ⇔ ⎧logπ x( x + 1) < logπ 2, ⎧ x 2 + x − 2 < 0, ⎧ x > −2, ⎪ ⎪ ⎪ ⎧ x < 1, Итого: (0;1). ⇔ ⎨ x + 1 > 0, ⇔ ⎨ x > −1, ⇔ ⎨ x < 1, ⇔ ⎨ ⎩ x > 0. ⎪⎩ x > 0; ⎪ x > 0; ⎪⎩ x > 0; ⎩

⎧lg x( x − 1) < lg 6,

в) lg x + lg(x – 1) < lg6 ⇔ ⎪⎨ x > 0,

⎪⎩ x − 1 > 0;

⎧ x > −2, ⎪ ⎧ x < 3, ⇔ ⎨ x < 3, ⇔ ⎨ ⎩ x > 1. ⎪⎩ x > 1;

⎧ x 2 − x − 6 < 0, ⎪ ⇔ ⎨ x > 0, ⇔ ⎪ x > 1; ⎩

Итого: (1;3). ⎧⎪x2 − x − 12 < 8, ⇔ ⎪⎩x2 − x − 12 > 0;

г) log2(x2 – x – 12) < 3 ⇔ log2(x2 – x – 12) < log2 8 ⇔ ⎨ ⎧⎡ x > −4, ⎧ x 2 − x − 20 < 0, ⎪⎪⎢ x < 5; ⎪ ⎡− 4 < x < −3, ⇔ ⎨⎡ x < −3, ⇔ ⎨⎣ ⇔⎢ 3 , < − x ⎡ ⎣4 < x < 5. ⎪⎢ x > 4; ⎪ ⎩⎣ ⎪⎩⎢⎣ x > 4;

Итого: (-4;-3)∪(4;5).

527. а) log 22 x − log 2 x ≤ 6 ⇔ log 22 x − log 2 x − 6 ≤ 0 ⇔ 1 ⎧ ⎡1 ⎤ ⎧log x ≥ −2, ⎪ x ≥ , ⇔⎨ 2 ⇔⎨ 4 Итого: ⎢ ;8⎥. ⎩log 2 x ≤ 3; ⎣4 ⎦ ⎪⎩ x ≤ 8.

64

1 ⎡ ⎧⎡ 1 ⎡log 1 x > 2, ⎢log 1 x > log 1 9 , ⎪⎢ x < , ⎢ ⎪ 2 3 9 3 б) log 1 x − 4 > 0 ⇔ ⎢ ⇔ ⎨⎢ ⇔⎢ 3 log 1 x < −2; ⎢log x < log 9; x > 9 ; ⎣ ⎪ ⎢ 1 1 3 ⎢ ⎪ x > 0 . ⎣ 3 ⎩ 3 ⎣ 3

Итого: ⎛⎜ 0; ⎝

1⎞ ⎟ ∪ (9; ∞ ). 9⎠

⎧⎡ x > 10, lg x > 1, ⎪ ⇔ ⎨⎢⎣ x < 0,001; ⎣lg x < −3; ⎪ x > 0. ⎩

в) lg2 x + 2 lg x > 3 ⇔ lg2 x +2lg x – 3 > 0 ⇔ ⎡⎢ Итого: (0;0,001)∪(10;∞).

⎧ x ≤ 27, ⎡log3 x ≤ log3 27, ⎪⎪ 1 ⎧log3 x ≤ 3, x−9≤0⇔⎨ ⇔⎢ , 1 ⇔ ⎨x ≥ ; ⎪ ⎢log3 x ≥ log3 27 ⎩log3 x ≥ −3; 27 ⎣ ⎩⎪ x > 0. ⎡1 ⎤ Итого: ⎢ ;27⎥. ⎣ 27 ⎦

г) log32

⎧ x 1 ⎪⎪sin < , 1 x⎞ x⎞ ⎛ ⎛ 528. а) log 2 ⎜ sin ⎟ < −1 ⇔ log 2 ⎜ sin ⎟ < log 2 ⇔ ⎨ 2 2 2⎠ 2⎠ 2 ⎝ ⎝ ⎪sin x > 0; ⎪⎩ 2 x ⎛ π ⎞ ⎛ 5π ⎞ ∈ ⎜ 2πn; + 2πn ⎟ ∪ ⎜ + 2πn; π + 2πn ⎟ ; 2 ⎝ 6 6 ⎠ ⎝ ⎠ π ⎛ ⎞ ⎛ 5π ⎞ x ∈ ⎜ 4πn; + 4πn ⎟ ∪ ⎜ + 4πn; 2π + 4πn ⎟ ; 3 3 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎧3 − log 2 x < 2, ⇔ ⎩3 − log 2 x > −2;

б) 3 − log 2 x < 2 ⇔ ⎨

⎧log 2 x > log 2 2, ⎨log x < log 32; ⇔ 2 ⎩ 2

⎧ x > 2, ⎨ x < 32. ⎩

Итого: (2;32). в) log 1 cos 2 x > 1 ⇔ log 1 cos 2 x > log 1 2

2

2

1 ⎧ 1 ⎪cos 2 x < , ⇔⎨ 2 ⇔ 2 ⎪⎩cos 2 x > 0;

π π ⎡ π ⎡ π ⎢ − 2 + 2πk < 2 x < − 3 + 2πk , ⎢ − 4 + πk < x < − 6 + πk , ⇔⎢ ⎢ ⎢ π + 2πk < 2 x < π + 2πk , k ∈ Z ;⎢ π + πk < x < π + πk , k ∈ Z . 4 2 ⎣⎢ 6 ⎣⎢ 3 ⎛

Итого: ⎜ − ⎝

π π π ⎞ ⎛π ⎞ + πk ;− + πk ⎟ ∪ ⎜ + πk ; + πk ⎟, k ∈ Z . 4 6 4 ⎠ ⎝6 ⎠

65

⎧ x < 10, ⎪ 1 ⎧lg x < 1, − ⎪ г) 3 lg x − 1 < 2 ⇔ ⎧⎨3 lg x − 1 < 2, ⇔ ⎪⎨ 1 ⇔ ⎨ x > 10 3 , ⎩3 lg x − 1 > −2; ⎪lg x > − ; ⎪ x > 0. 3 ⎩ ⎪ ⎩

⎞ ;10 ⎟⎟. ⎠ ⎝ 10 ⎛ 1

Итого: ⎜⎜ 3 529.

1 ⎧ 1 2x = 9 , ⎧ x+ y= , ⎪ 9 ⎧log 1 ( x + y) = 2, ⎧log ( x + y) = log 1 , ⎪ ⎪⎪ 9 1 8 ⎪ ⎪ 1 а) ⎪⎨ 3 9 ⇔ ⎨x − y = 9, ⇔ ⎨2 y = −8 , ⇔ ⇔⎨ 3 3 9 ⎪ ⎪⎩log3 ( x − y) = 2; ⎪log ( x − y) = log 9; ⎪x + y > 0, 3 ⎩ 3 ⎪ x + y > 0, ⎪x − y > 0; ⎩ ⎩⎪ x − y > 0;

5 ⎧ x=4 , ⎪⎪ 9 ⎨ 4 ⎪ y = −4 ; ⎪⎩ 9

⎡⎧ x1 = 6, ⎧lg( x 2 + y 2 ) = lg100, ⎧ x 2 + y 2 = 100, ⎢⎨ y = 8; ⎪ ⎪ ⇔ ⎨log 48 xy = log 48 48, ⇔ ⎨ xy = 48, ⇔ ⎢⎩ 1 ⎢⎧ x2 = 8, ⎩log 48 x + log 48 y = 1; ⎪ x > 0, y > 0; ⎪ x > 0, y > 0; ⎢⎨⎩ y2 = 6. ⎩ ⎩ ⎣ ⎧log 1 x + log 1 y = 2, ⎧log 1 x = 3, 1 ⎧ ⎪ ⎪x = , 3 в) ⎪⎨ 3 ⇔⎨ 3 ⇔⎨ 27 x y y log − log = 4 ; log = − 1 ; 1 ⎪ 1 ⎪ 1 ⎪⎩ y = 3; 3 ⎩⎪ 3 ⎩⎪ 3

2 2 б) ⎧⎨lg( x + y ) = 2,

⎧lg( x 2 + y 2 ) = lg 130, ⎧ x 2 + y 2 = 130, ⎪ x+ y 2 2 ⎧ ⎪ ⎪⎪ г) ⎨lg( x + y ) = 1 + lg 13, ⇔ ⎨ x + y = 8 x − 8 y, ⇔ = lg 8, ⇔ ⎨lg + = − + x y x y lg( ) lg( ) lg 8 ; x y − ⎩ ⎪ ⎪ x + y > 0, ⎪⎩ x − y > 0; ⎩⎪ x + y > 0, x − y > 0; ⎧ 2 49 2 ⎧ x 2 = 81, ⎪ x + 81 x = 130, ⎧ x1 = −9, ⎪ ⎪ 7 ⎪ 7 ⎪⎪ y = −7 ; − не подходит ⎪ ⇔ ⎨ y = 9 x, ⇔ ⎨ 1 ⇔ ⎨ y = x, 9 ⎪ x2 = 9, ⎪ x + y > 0, ⎪ ⎪⎩ y2 = 7. ⎪ ⎪ x + y > 0, ⎩ x − y > 0; ⎪⎩ x − y > 0;

530. ⎧y = 4 − 2x, ⎧2x + y = 4, ⎧32x+ y = 34 , ⎧3y ⋅ 9x = 81, ⎪ ⎪ ⎪ 2 2 2 ( x y ) 9 x , ⇔ ⇔ ⇔ + = ⎨(4 − x) = 9x, ⇔ ⎨ ⎨ (x + y) ⎪⎩lg(x + y)2 − lg x = 2 lg3; ⎪lg = lg9; ⎪x > 0; ⎪x > 0; x ⎩ ⎩ ⎩

а) ⎪⎨

⎧ y = 4 − 2 x, ⎪ ⇔ ⎨ x 2 − 17 x + 16 = 0, ⇔ ⎪ x > 0; ⎩

66

⎧ y = 4 − 2 x, ⎪ ⇔ ⎨⎡ x1 = 1, ⎪⎢⎣ x2 = 16; ⎩

⎡ ⎧ x1 = 1, ⎢ ⎨ y = 2; ⎢⎩ 1 ⎢ ⎧ x2 = 16, ⎢ ⎨⎩ y2 = −28. ⎣

⎧ x + y = 5, ⎧ x + y = 5, ⎪⎪lg( x 2 − y 2 ) = lg 20, ⎪⎪ 2 2 ⎧101+ lg( x + y ) = 50, б) ⎨ ⇔⎨ ⇔ ⎨ x − y = 20, ⇔ ⎩lg( x + y ) + lg( x − y ) = 2 − lg 5; ⎪ x + y > 0, ⎪ x + y > 0, ⎪⎩ x − y > 0; ⎪⎩ x − y > 0; ⎧2 x = 9, ⎧ x + y = 5, ⎪⎪2 y = 1, ⎪⎪ x − y = 4, ⎧ x = 4,5, ⇔⎨ ⇔⎨ ⇔⎨ + > + > x y 0 , x y 0 , ⎩ y = 0,5; ⎪ ⎪ ⎪⎩ x − y > 0; ⎪⎩ x − y > 0; ⎧⎪3 x ⋅ 2 y = 576, ⎧⎪3 x ⋅ 2 y = 576, в) ⎨ ⇔⎨ log 2 ( y − x) = 4; ⎪log 2 ( y − x) = log ⎩⎪ ⎩ ⎧ x x + 4 = 576, ⇔ ⎨3 ⋅ 2 ⇔ ⎩ y = 4 + x;

⎧6 x = 36, ⇔ ⎨ ⎩ y = 4 + x;

⎧3 x ⋅ 2 y = 576, ⎪ ⇔ ⎨ y − x = 4, ⇔ 4 ; 2 ⎪ y − x > 0; ⎩

⎧ x = 2, ⎨ y = 6; ⎩

3 ⎧ x ⎧2x − 3y = 0, ⎧13x = 117, ⎪lg y = lg 2 , ⎪⎪3x + 2 y = 39, ⎪⎪13y = 78, ⎧lg x − lg y = lg15 −1, ⎪ ⎧x = 9, ⇔ ⎨3x + 2 y = 39; ⇔ ⎨ ⇔⎨ ⇔⎨ г) ⎨ lg(3x+2 y) > > x 0 , x 0 , = 39; ⎩ y = 6. ⎩10 ⎪x > 0, y > 0; ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ > > y 0 ; y 0 ; ⎪ ⎩ ⎩ ⎩

40. Понятие об обратной функции 531. а) f(x) = 2x + 1; D(f) = E(f) = R; y = 2x + 1, x = g ( x) =

y −1 ; 2

x −1 обратная для f(x); D(g) = E(g) = R; 2 1 2

1 2

б) f(x) = x - 1; D(f) = E(f) = R; y = x − 1, x = 2y + 2; g(x) = 2x + 2 – обратная для f(x); D(g) = E(g) = R; в) f(x) = -2x + 1; D(f) = E(f) = R; y = -2x + 1, x = g(x) =

1− x 2

г) f(x) = −

1− y ; 2

– обратная для f(x); D(g) = E(g) = R; 1 x − 1; D(f) 2

= E(f) = R; y = −

1 x − 1, x 2

= -2y – 2;

g(x) = -2x – 2 – обратная для f(x); D(g) = E(g) = R. 532. а) f ( x ) = − g(x)

1 =− x

1 ; D(f) x

= E(f) = (-∞;0)∪(0;∞); y = − 1 , x = − 1 ; x

y

– обратная для f(x); D(g) = E(g) = (-∞;0)∪(0;∞);

б) f(x) = 2x2(x ≥ 0); D(f) = E(f) = [0;∞); y = 2x2, x = y ; 2

67

x – обратная для f(x); D(g) = E(g) = [0;∞); 2 2 x в) f ( x) = =1− ; D(f) = (-∞;-2)∪(-2;∞), E(f) = (-∞;1)∪(1;∞); x+2 x+2

g(x) =

y=

x 2y ,x = ; g(x) x+2 1− y

=

2x 1− x

– обратная для f(x);

D(g) = E(f) = (-∞;1)∪(1;∞), E(g) = D(f) = (-∞;-2)∪(-2;∞); г) f(x) = x + 1; D(f) = [-1;∞), E(f) = [0;∞); y = x + 1, x = y2 – 1; g(x) = x2 – 1 – обратная для f(x); D(g)=E(f)=[0;∞), E(g)=D(f) = [-1;∞). 533. а) f(x) = 2x3 + 1; y = 2x3 + 1, x = 3 g ( x) = 3

y −1 ; 2

x −1 – обратная к f(x); 2

б) f(x) = (x + 1)2, x ∈ (-∞;-1]; y = (x + 1)2, x = -1 – y ; g(x) = -1 –

x

– обратная к f(x);

в) f(x) = -2x3 + 1; y = -2x3 + 1, x=3

1− y ; 2

g(x) = 3

1− x – обратная к f(x); 2

г) f(x) = (x – 1)2, x ∈ [1;∞); y = (x – 1)2, x = 1 + g(x) = 1 +

68

x

– обратная к f(x).

y;

534. а) g(-2)= -4, g(1) = 0,5, g(3) = 1,5; D(g) = [-2;8], E(g) = [-4;4];

б) g(-2) = 1, g(1) = -1, g(3) = -3; D(g) = [-6;4], E(g) = [-4;3];

в) g(-2) = -2, g(1) = -0,5, g(3) = 1; D(g) = [-6;7], E(g) = [-4;5];

г) g(-2) = 4, g(1) = 0, g(3) = -1; D(g) = [-3;7], E(g) = [-3;5].

535. а) f(x) = x2 + 1, x ≤ 0; т.к. f(x) убывает на (-∞;0], то на (-∞; 0] существует g(x), обратная к f(x); y = x2 + 1, x = − y − 1; g ( x ) = − x − 1 , D(g)

= [1;∞), E(g) = (-∞;0];

б) f(x) = 2x, (-∞;∞); т.к. f(x) возрастает на R, то на R существует g(x), обратная к f(x); y = 2x, x =

1 y; 2

1 2

g(x) = x, D(g) = E(g) = R;

69

в) f(x) = 4 x , x ≥ 0; т.к. f(x) возрастает на [0;∞), то на [0; +∞) существует g(x), обратная к f(x); y = 4 x , x = y 4 ; g(x) = x4, D(g) = [0,∞), E(g) = [0;∞);

г) f(x) = x3 + 1, (-∞;∞); т.к. f(x) возрастает на R, то на R существует g(x), обратная к f(x); y = x3 + 1, x = 3 y − 1; g(x) = 3 x − 1, D(g) = E(g) = R.

536. ⎡ π π⎤

⎡ π π⎤

а) f(x) = sinx, x ∈ ⎢− ; ⎥; т.к. f(x) возрастает на ⎢− ; ⎥, то на ⎣ 2 2⎦ ⎣ 2 2⎦ ⎡ π π⎤ ⎢− 2 ; 2 ⎥ существует g(x), обратная к f(x); ⎣ ⎦ ⎡ π π⎤

y = sin x, x = arcsin y; g(x) = arcsin x, D(g) = [-1;1], E(g) = ⎢− ; ⎥; 2 2 ⎣

⎛ π π⎞ ⎝ 2 2⎠

⎛ π π⎞ ⎝ 2 2⎠

б) f(x) = tgx, x ∈ ⎜ − ; ⎟; т.к. f(x) возрастает на ⎜ − ; ⎟, то на ⎛

π π⎞ 2 2⎠

x ∈ ⎜ − ; ⎟ существует g(x), обратная к f(x); ⎝

70

⎦

⎛ π π⎞ ⎝ 2 2⎠

y = tg x, x = arctg y; g(x) = arctg x, D(g) = R, E(g) = ⎜ − ; ⎟ ;

в) f(x) = cos x; т.к. f(x) убывает при x ∈ [0;π], то на [0;π] существует g(x), обратная к f(x); y = cos x, x = arccos y; g(x) = arccos x, D(g) = [-1;1], E(g) = [0;π];

г) f(x) = ctgx, x ∈ (0;π); т.к. f(x) убывает на (0;π), то на (0;π) существует g(x), обратная к f(x); y = ctg x, x = arcctg y; g(x) = arcctg x, D(g) = R, E(g) = (0;π).

§ 11. Производная показательной и логарифмической функции 41. Производная показательной и логарифмической функции 537. а) ln3 ≈ 1,0986, ln5,6 ≈ 1,7228, ln1,7 ≈ 0,5306; б) ln8 ≈ 2,0794, ln17 ≈ 2,8332, ln1,3 ≈ 0,2624; в) ln2 ≈ 0,6931, ln35 ≈ 3,3551, ln1,4 ≈ 0,3365; г) ln7 ≈ 1,9459, ln23 ≈ 3,1355, ln1,5 ≈ 0,4055. 538.

(

)′

а) y`= 4e x + 5 = 4e x ;

б) y`= (2 x + 3e − x )′ = 2 − 3e − x ; 71

⎛

′ ⎞

1 2

1 2

г) y`= (5e − x − x 2 )′ = −5e − x − 2 x.

в) y`= ⎜ 3 − e x ⎟ = − e x ; ⎝

⎠

539. а) y`= (e x cos x)′ = e x (cos x − sin x); б) y`= (3e x + 2 x )′ = 3e x + 2 x ln 2; в) y`= (3x − 3x 2 )′ = 3x ln 3 − 6 x; г) y`= ( x 2e x )′ = xe x (2 + x). 540. а) f`(x) = (e-x)`= -e-x, f(0) = 1, f`(0) = -1; y = 1 – x; б) f`(x) = (3x)` = 3xln3, f(1) = 3, f`(1) = 3ln3; y = 3 + 3ln3(x – 1) = 3ln3⋅x + 3(1 – ln3); в) f`(x) = (ex)` = ex, f(0) = 1, f`(0) = 1; y = 1 + x; г) f`(x) = (2-x)` = -2-xln2, f(1) = y=

1 , f`(1) 2

=−

ln 2 ; 2

1 1 1 1 − ln 2( x − 1) = − ln 2 ⋅ x + (1 + ln 2) . 2 2 2 2

541. б) f(x) = 2⋅3x, F(x) = 2 ⋅

а) f(x) = 5ex, F(x) = 5ex + C; в) f(x) = 4x, F(x) = 1

542. а) ∫ 0,5 x dx = 0

1

1

1

4x + C; ln 4

1 2

3x + C; ln 3 1 2

г) f ( x) = e x + 1, F ( x) = e x + x + C.

0,5 x 1 0,5 1 0,5 1 |= − =− = ; ln 0,5 0 ln 0,5 ln 0,5 ln 0,5 2 ln 2 1

1

x 1

1

1

б) ∫ e 2 x dx = e 2 x | = e 2 − = ; в) ∫ 2 x dx = 2 | = 2 − 1 = 7 ; 2 2 2 ln 2 − 2 ln 2 4 ln 2 4 ln 2 0 2 −2 0 x 2 2 г) ∫ 3 x dx = 3 | = 9 −

ln 3

1 − 2

543.

1 − 2

ln 3

1

=

3 ln 3

′

( )

9 3 −1 3 ln 3

.

′

2 2 2 2 ′ x x x x x 1 2 x а) y`= ⎛⎜ e x sin ⎞⎟ = e x sin ⋅ x 2 + e x cos ⋅ ⎛⎜ ⎞⎟ = 2 xe x sin + e x cos =

2⎠

⎝

2

2 ⎝2⎠

x 1 x⎞ ⎛ = e x ⎜ 2 x sin + cos ⎟ ; 2 2 2 ⎝ ⎠ ′ x x x ′ ⎞ ⎛ б) y`= ⎜⎜ 7 2 tg 3x ⎟⎟ = 7 2 ln 7 ⋅ ⎛⎜ x ⎞⎟ tg 3x + 7 2 12 ⋅ (3x )′ = ⎟ ⎜ cos 3x ⎝2⎠ ⎠ ⎝ 2

x

=

x

x

ln 7 2 3 3 ⎞ ⎛ ln 7 ⋅ 7 tg 3x + ⋅ 7 2 = 7 2 ⎜⎜ ⋅ tg 3 x + ⎟⎟; 2 cos 2 3 x cos 2 3 x ⎠ ⎝ 2

72

2

2

2

в) y`= ⎛⎜ e

x

⎝

=

x

e

′ cos 2 x ⎞⎟ = e ⎠

cos 2 x

2 x

x

− 2e

x

cos 2 x ⋅

( x )′ − e

x

sin 2 x ⋅ (2 x )′ =

x ⎛⎜ cos 2 x

sin 2 x = e

⎜ 2 x − 2e ⎝

′

x

⎞ sin 2 x ⎟⎟ ; ⎠

′ ⎛x⎞ ⋅⎜ ⎟ = x ⎝3⎠ 3⎠ 3 ⎝ sin 2 3 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ x x 2− x 1 −x −x⎜ ⎟. = −2 ln 2ctg − = −2 ln 2ctg − ⎜ 3 3 sin 2 x 3 3 sin 2 x ⎟ ⎜ ⎟ 3 3⎠ ⎝ ′ ⎛ x 6 ⎞ 6 x5 ⋅ 4 x + 5 − x 6 ⋅ 4 x ln 4 4 x ⋅ x 5 (6 − x ln 4 ) + 30 x5 ⎟ = = 544. а) y`= ⎜ x ; 2 2 ⎜ 4 +5⎟ ⎝ ⎠ 4x + 5 4x + 5 ′ ⎛ e− x ⎞ − e− x x 2 + 2 − e− x ⋅ 2 x − e− x x 2 + 2 x + 2 ⎟ = б) y`= ⎜ 2 = ; 2 2 ⎜ x + 2⎟ ⎝ ⎠ x2 + 2 x2 + 2 ′ ⎛ 3 x ⎞ 3 x ln 3 2 x + 5 x − 3 x (2 x ln 2 + 5 x ln 5) ⎜ ⎟ в) y`= x x = = 2 ⎜2 +5 ⎟ ⎝ ⎠ 2x + 5x

г) y`= ⎛⎜ 2− x ctg x ⎞⎟ = 2− x ln 2ctg x ⋅ (− x )′ − 2− x

(

(

=

x

x

)

( (

x

)

(

)

(

)

(

)

x

+ 5x

)

(

(

)

)

)

)

x

3 ⋅ 2 (ln 3 − ln 2) + 3 ⋅ 5 (ln 3 − ln 5)

(2

1

2

( (

=

3 x (2 x ln 1,5 + 5 x ln 0,6) (2 x + 5 x ) 2

;

) )

1 ′ − 0,3− x ln 0,3 ⋅ x + 0,5 − 0,3− x ⋅ ⎛ 0,3− x ⎞ x 2 ⎟ = г) y`= ⎜ . 2 ⎜ x + 0,5 ⎟ ⎝ ⎠ x + 0,5

545. а) f(x) = xe5x; D(f) = R; f`(x) = e5x + 5xe5x = 5e5x(x+0,2); f`(x) = 0 при x = -0,2, f`(x) < 0 при x ∈ (-∞;-0,2), f′(x) > 0 при x ∈ (-0,2;∞); f(x) убывает на (-∞;-0,2], f(x) возрастает на [-0,2;∞), min f ( x ) = f (−0,2) = − R

1 ; 5e

б) f(x) = x22-x; D(f) = R; f`(x) = 2x⋅2-x + x2⋅ln2⋅(-x)`=2-x⋅x(2 – xln2); f`(x) = 0 при x = 0; –

2 ; ln 2

+ 0

– 2 ln 2

X

73

f(x) убывает на (-∞;0] и на ⎡⎢

2 ⎞ ⎡ 2 ⎤ ; ∞ ⎟, f(x) возрастает на ⎢0; ⎥; ln 2 ⎣ ⎠ ⎣ ln 2 ⎦

x = 0 – min f(x), f(0) = 0; x=

2 ln 2

2

– max f(x), f ⎛⎜

2 ⎞ 4 ⎟ = 2 2 ln 2 ; ln 2 ⎝ ⎠ ln 2

в) f(x) = xe-x; D(f) = R; f`(x) = e-x – xe-x = e-x(1 – x); f`(x) = 0 при x = 1, f(x) возрастает на (-∞;1], f(x) убывает на [1;∞), x = 1 – max f ( x ) = f (1) = 1 ; e

R

4

x

г) f(x) = x ⋅0,5 ; D(f) = R; f`(x) = 4x3⋅0,5x+x4⋅0,5xln0,5=0,5x⋅x3(4 – xln2); f(x) = 0 при x = 0; –

4 ; ln 2

+ 0

– 4 ln 2

X

f(x) убывает на (-∞;0] и на ⎡⎢

4

x = 0 – min f(x), f(0) = 0; x =

4 ⎛ 4 ⎞ 256 0,5 ln 2 . − max f(x); f ⎜ ⎟= ln 2 ⎝ ln 2 ⎠ ln 4 2

⎣ ln 2

⎞ ; ∞ ⎟, f(x) ⎠

возрастает на ⎡⎢0;

4 ⎤ ⎥; ⎣ ln 2 ⎦ 4

546. а) f(x) = e3-2x, F(x) = −

1 3− 2x e + C; 2

б) f(x) = 2⋅0,9x – 5,6-x, F(x) = в) f(x) = 2-10x, F(x) = − 0,1 ⋅

2 ⋅ 0,9 x 5,6− x + + C; ln 0,9 ln 5,6

2 −10 x + C; ln 2

1 3

г) f(x)=e3x +2,31+x =e3x +2,3⋅2,3x, F(x)= e3x + 2,3 1

1

0

0

2,3x 1 2,31+x + C = e3x + + C. ln2,3 3 ln2,3

547. а) S = ∫ e x dx = e x | = e − 1; 1

1

0

0

⎛ 9x 3x ⎞⎟ 1 9 3 1 1 8 2 2 − − − + = |= − = ; ⎜ ln 9 ln 3 ⎟ 0 ln 9 ln 3 ln 9 ln 3 2 ln 3 ln 3 ln 3 ⎝ ⎠

б) S = ∫ 9x dx − ∫ 3x dx = ⎜

74

2

в) S = ∫ 2 x dx =

2x 2 4 1 7 | = − = ; ln 2 −1 ln 2 2 ln 2 2 ln 2

−1 1

1

0

0

⎞1

⎛1 ⎝2

1 2

г) S = ∫ e 2 x dx − ∫ e x dx = ⎜ e 2 x − e x ⎟ | = e 2 − e − ⎠0

1

⎛1⎞ −1⎝ 3 ⎠

1 ⎛e ⎞ 1 + 1 = e⎜ − 1⎟ + . 2 ⎝2 ⎠ 2

x

548. а) S ADE = S ABCE − S ABCD = 2 ⋅ 3 − ∫ ⎜ ⎟ dx = 6 + =6−

3− x 1 1 3 − = | =6+ ln 3 −1 3 ln 3 ln 3

8 ; 3 ln 3

1

б) SADE = SABCE – SABOD – SDOCK = SABCE – 2SDOCK = 2⋅e – 2∫ e x dx = 0

1

= 2e − 2e x | = 2e − 2e + 2 = 2; 0

0

⎛1⎞

x

2− x

0

1

4

в) S ABE = S ACDE − S BCDE = ∫ ⎜ ⎟ dx − 2 ⋅ 1 = − | −2=− + −2= ln 2 − 2 ln 2 ln 2 −2 ⎝ 2 ⎠ =

3 − 2; ln 2

75

0

⎛1⎞

x

1

2− x

0

г) S AED = S ABCD − S ABOE − SOCDE = 3 ⋅ 4 − ∫ ⎜ ⎟ dx − ∫ 4 x dx = 12 + |− ln 2 − 2 −2 ⎝ 2 ⎠ 0 −

4x 1 1 4 4 1 3 3 9 | = 12 + − − + = 12 − − = 12 − . ln 4 0 ln 2 ln 2 ln 4 ln 4 ln 2 2 ln 2 ln 2

42. Производная логарифмической функции 1 3 ⋅ ( 2 + 3x)`= ; 2 + 3x 2 + 3x 1 + cos x; б) y`= (log0,3 x + sin x)`= x ln 0,3 1 5 в) y`= (ln(1 + 5 x))`= ⋅ (1 + 5 x )`= ; 1 + 5x 1 + 5x 1 г) y`= (lg x − cos x)`= + sin x. x ln 10

549. а) y`= ((ln(2 + 3x))`=

550. а) y`= ( x 2 log 2 x)`=

1 ⎛ 1⎞ x (2 ln x + 1); ⎜ 2 x ln x + x 2 ⋅ ⎟ = ln 2 ⎝ x ⎠ ln 2

1 ′ ⋅ x − ln x ⋅ x` 1 − ln x ⎛ ln x ⎞ ; = б) y`= ⎜ ⎟ = x 2 x x x2 ⎝ ⎠ 1 в) y`= ( x ln x)`= ln x + x ⋅ = ln x + 1; x

551. а) f ( x) = 76

1 ′ ln x − x ⋅ ⎛ x ⎞ x = ln x − 1 . г) y`= ⎜ ⎟ = ln 2 x ln 2 x ⎝ ln x ⎠

3 3 1 , F ( x) = ln 7 x + 1 + C , x ≠ − ; 7 7x + 1 7

1 2 − , F( x ) = ln x − 2 ln x + 5 + C , x ≠ -5, x ≠ 0; x x+5 1 4 в) f ( x) = , F( x ) = ln x + 2 + C , x ≠ -2; г) f ( x) = , F( x ) = 4 ln x + C , x ≠ 0. x+2 x

б) f ( x) =

1 , f(0) = ln1 = 0, f′(0) = 1; y = x; x +1 1 1 б) f `( x) = (lg x + 2)`= , f(1) = lg1 + 2 = 2, f `(1) = ; x ln 10 ln 10 1 1 x ; ( x − 1) = +2− y=2+ ln 10 ln 10 ln 10 2 2 2 в) f `(x ) = (2 ln x )`= 2 , f(e) = 2 lne = 2, f `(e) = ; y = 2 + ( x − e) = x ; x e e e 1 1 г) f `( x) = (log 2 ( x − 1))`= ; , f ( 2) = log 2 1 = 0, f 1(2) = ln 2 ln 2( x − 1)

552. а) f `( x) =

y=

x 1 2 . ( x − 2) = − ln 2 ln 2 ln 2 7

1

7

dx

1

1

1

553. а) ∫ 2dx = 2 ln x | = 2 ln 7 − 2 ln1 = 2 ln 7; б) ∫ = − ln 3 − 2 x | = ln 5; 2 −1 2 1 −13 − 2 x 1 x e

e dx = ln x | = ln e − ln 1 = 1; 1 1 x

в) ∫

3

3 1 dx 1 1 1 = ln 3 x + 1 | = ln 10 − ln 1 = ln 10. x + 3 3 3 3 1 3 0 0

г) ∫

554. 1 ′ ⋅ ( x2 + 1) ⋅ 3 − ln(5 + 3x) ⋅ 2x 3 x2 + 1 − 2x(5 + 3x) ln(5 + 3x) ⎛ ln(5 + 3x) ⎞ 5 + 3x а) y`= ⎜⎜ 2 ⎟⎟ = ; = 2 2 ⎝ x +1 ⎠ x2 + 1 x2 + 1 (5 + 3x)

(

′ ′ ⎛ ⎞ ⎛ x ln 10 ⎞ x ⎟ =⎜ ⎟ = б) y`= ⎜ ⎜ lg(1 − 2 x ) ⎟ ⎜ ln (1 − 2 x ) ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ln 10((1 − 2 x ) ln (1 − 2 x ) + 4 x ) ; = 2 x (1 − 2 x ) ln 2 (1 − 2 x )

)

(

ln 10 ⋅ ln (1 − 2 x )

) ( )

2 ln 10 x + 1 − 2x 2 x = 2 ln (1 − 2 x )

2 1 ⎛ x 2 ⎞ 2 x ln 5 x − x ⋅ 5 x ⋅ 5 x(2 ln 5 x − 1) ⎜ ⎟ в) y`= ; = = ⎜ ln 5 x ⎟ ln 2 5 x ln 2 5 x ⎝ ⎠ 1 ′ (x + 1) − ln x 2 x(1 − ln x ) + 1 ⎛ log3 x 2 ⎞ ⎛ 2 ln x ⎞′ 2 ⎟ =⎜ г) y`= ⎜ ⎟⎟ = = ⋅ . ⋅ x ⎜ ⎜ x + 1 ⎟ ⎝ (ln 3)(x + 1) ⎠ ln 3 ln 3 (x + 1)2 x(x + 1)2 ⎝ ⎠

77

x ln x + 2 ln x + = , D(f`)=(0;∞); x 2 x 2 x ⎡1 ⎞ 1 ⎛ 1⎤ f `( x ) = 0 при x = , f(x) убывает на ⎜⎜ 0; 2 ⎥, f(x) возрастает на ⎢ 2 ; ∞ ⎟⎟, e2 ⎣e ⎠ ⎝ e ⎦

555. а) f(x)=

x=

1 e2

x ln x;

D(f)=(0;∞); f `( x) =

2 ⎛ 1 ⎞ − min f(x) и f ⎜⎜ 2 ⎟⎟ = − ; e e ⎝ ⎠

ln x б) f ( x ) = ; D(f) x

1 ⋅ x − ln x 1 − ln x = (0;∞); f `( x) = x 2 , D(f`) = (0;∞); = x x2

f`(x)=0 при x=e, f(x) возрастает на (0;e], f(x) убывает на [e;∞); x = e – точка max f(x) и f (e) =

ln e 1 = ; e e

в) y=2x–lnx; D(f)=(0;∞); f `( x) = 2 −

1 2( x − 0,5) = , D(f`) = (-∞;0)∪(0;∞); x x

f`(x)=0 при x = 0,5; f(x) убывает на (0;0,5], f(x) возрастает на [0,5;∞), т. x = 0,5 – min f(x) и f(0,5) = 1 + ln2; г) f(x) = xln x; D(f) = (0;∞); f `(x ) = ln x + x ⋅ f`(x) = 0 при x = 1 x= e

– min f(x)

1 , e

1 = ln x + 1; D(f`) x

= (0;∞);

f(x) убывает на ⎛⎜ 0; 1 ⎤⎥, f(x) возрастает на ⎡⎢ 1 ; ∞ ⎞⎟, e⎦

⎝

⎣e

⎠

1 1 и f ⎛⎜ ⎞⎟ = − . e e ⎝ ⎠

556. а) f(x) = xln2x; D(f) = (0;∞); f `(x ) = ln 2 x + 2x ln x ⋅ f`(x) = 0 при x = 1 и x =

1 e2

1 = ln x (ln x + 2); x

;

⎛

1⎤ ⎡1 ⎤ и на [1;∞), f(x) убывает на ⎢ 2 ;1⎥; 2⎥ ⎝ e ⎦ ⎣e ⎦ ⎛ 1 ⎞ 4 1 x = 2 – max f(x) и f ⎜⎜ 2 ⎟⎟ = 2 , x = 1 – min f(x) и f(1) = 0; e ⎝e ⎠ e ′ ⎛ 2x ⎞ 2x ln x − 1 ⎟⎟ = 2 ln 10 ⋅ б) f ( x) = ; D(f) = (0;1)∪(1;∞); f `( x) = ⎜⎜ , x lg x lg ln 2 x ⎝ ⎠

f(x) возрастает на ⎜⎜ 0;

D(f′)=(0;1)∪(1;∞); f`(x) = 0 при x = e; f(x) убывает на (0,1) и на (1;e], f(x) возрастает на [e;∞), x = e – min f(x) и f(e) = 2eln10; в) f ( x ) = 78

ln x x

;

D(f) = (0;∞); f `(x) =

1 1 ⋅ x− ln x x 2 x

( x)

2

1 =

2 x

(2 − ln x) x

=

2 − ln x 2 x3

,

D(f`) = (0;∞);f`(x) = 0 при x = e2; f(x) возрастает на (0;e2], f(x) убывает на [e2;∞), x = e2–min f(x) и f(e2) = г) f ( x ) =

1 1 x −1 1 + ln x; D(f)=(0;∞); f `( x) = − + = 2 , D(f`) x x2 x x

2 ; e

= (-∞;0)∪(0;∞);

f`(x) = 0 при x = 1; f(x) убывает на (0;1], f(x) возрастает на [1;∞), x=1–min f(x) и f(1) = 1. 557. 6

⎛

4⎞

6

2⎝

⎠

2

а) S ABCD = ∫ ⎜ 2 + ⎟dx = (2 x + 4 ln x ) | = 12 + 4 ln 6 − 4 − 4 ln 2 = 8 + 4 ln 3; x

−1

−1

2

б) S ABCD = ∫ − dx = −2 ln x | = −2(ln1 − ln 4) = 4 ln 2; −4 −4 x

2

1

1

2

1⎛

1⎞

3

в) S = ∫ dx = ln x | = ⎜ ln 2 − ln ⎟ = ln 2; 2 2⎝ 4⎠ 2 1 1 2x 4 −3

4

⎛

1⎞

−3

−6 ⎝

⎠

−6

г) S = ∫ ⎜ 3 − ⎟dx = (3x − ln(− x) ) | = −9 − ln 3 + 18 + ln 6 = 9 + ln 2. x

43. Степенная функция 558. а) f ( x) =

3 − x 2 ; D(f)

5

3 − = (0;∞); f `( x) = − x 2 ; 2

79

б) f ( x) = x 3 ; D(f) = [0;∞); f `( x) = 3 x

2

2 3

−

3 −1

;

1

в) f ( x) = x 3 ; D(f) = [0;∞); f `( x) = x 3 ;

г) f ( x) = x − 5 ; D(f) = (0;∞); f `( x) = − 5 ⋅ x −

5 −1

.

559. а) f(x) = x-e; D(f) = (0;∞); f`(x) = -ex-e-1;

б) f ( x ) = ⎛⎜

x⎞ ⎟ ⎝3⎠

− lg 5

; D(f)

= (0;∞); f `(x ) = −

1 ⎛x⎞ lg 5 ⋅ ⎜ ⎟ 3 ⎝3⎠

в) f(x) = xπ; D(f) = [0;∞); f`(x) = πxπ-1;

80

− lg 5 −1

;

г) f(x) = (2x)ln3; D(f) = [0;∞); f`(x) = 2⋅ln3⋅(2x)ln3-1.

560.

1 а) 24 3

= (27

1 − 3) 3

1

1 ⎞3 1 ⎞ 3 ⋅ 26 8 ⎛ ⎛ = 3 ⋅ ⎜1 − ⎟ ≈ 3⎜1 − = 2 ≈ 2,89; ⎟= 9 9 ⋅ 3 27 9 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛

б) 4 625 ⋅ 3 = 54 3 = 5 ⋅ 4 1,34 + 0,14 ≈ 5 ⋅ 1,3 ⋅ ⎜⎜1 + ⎝

0,14 1 ⎞ ⋅ ⎟ ≈ 6,5 ⋅ 1,01 ≈ 6,57; 2,85 4 ⎟⎠

⎛ 0,25 ⎞⎟ в) 3 81 = 33 3 = 33 1,43 + 0,25 ≈ 3 ⋅ 1,4 ⋅ ⎜⎜1 + ≈ 4,2 ⋅ 1,03 ≈ 4,33; 3 ⋅ 1,43 ⎟⎠ ⎝ ⎛

г) 4 48 = 24 3 = 2 ⋅ 4 1,34 + 0,14 ≈ 2 ⋅ 1,3⎜⎜1 + ⎝

⎛

0,14 ⎞ ⎟ ≈ 2,6 ⋅ 1,01 ≈ 2,63. 2,85 ⋅ 4 ⎟⎠

1⎞ 9⎠

⎛

561. а) 3 30 = 3 27 + 3 = 3 27 ⋅ 3 ⎜1 + ⎟ ≈ 3 ⋅ ⎜1 + ⎝

б) 4 90 = 4 81 + 9 = 4 81 ⋅ 4 1 + в) 9,02 = 9 ⋅ 1 +

⎝

1 ⎞ ⎟ ≈ 3,11; 3⋅9 ⎠

1 1 ⎞ ⎛ ≈ 3 ⋅ ⎜1 + ⎟ ≈ 3,08; 9 4⋅9⎠ ⎝

2 1 ⎞ ⎛ ≈ 3 ⋅ ⎜1 + ⎟ ≈ 3,003; 900 900 ⎝ ⎠

г) 5 33 = 5 32 + 1 = 5 32 ⋅ 5 1 +

1 1 ⎞ ⎛ ≈ 2 ⋅ ⎜1 + ⎟ ≈ 2,01. 32 5 ⋅ 32 ⎠ ⎝

562. 2

а) Т.к. f ( x ) = x 5 возрастает на R, то б) т.к.

4 − f (x) = x 3

min f ( x ) = f (1) = 1, max f ( x ) = f (32) = 4;

[1;32]

[1;32]

убывает на R, то

1 ⎛1⎞ max f ( x) = f ⎜ ⎟ = 16, min f ( x) = f ( 27) = ; 81 ⎡1 ⎤ ⎝8⎠ ; 27

⎡1 ⎤ ⎢ 8 ; 27 ⎥ ⎣ ⎦

⎢8 ⎣

⎥ ⎦

⎛1⎞ ⎝ 2⎠

в) т.к. f(x)=x-4 убывает на R, то max f ( x) = f ⎜ ⎟ = 16, min f ( x) = f (1) = 1; ⎡1 ⎤ ⎢ 2 ; 2⎥ ⎣ ⎦

⎡1 ⎤ ⎢ 2 ;1⎥ ⎣ ⎦

81

3

г) т.к.

f (x) = x 4

возрастает на R, то

⎛ 1⎞ 1 min f ( x) = f ⎜ ⎟ = , max f ( x) = f (81) = 27. ⎤ ⎡1 ⎝ 16 ⎠ 8 ⎡ 1 ;81⎤ ;81 ⎢ 16 ⎣

⎥ ⎦

⎢ 16 ⎣

1 2

563. а) f ( x) = − x − б) f ( x ) = x 2

3

, F ( x) =

2

⎥ ⎦

x−

(

, F ( x) = − 3 +1

x2

2 +1

)

2 − 2 +1

+C=

x1−

2(1 − 2 )

в) f(x) = 3x-1, F(x) = 3ln|x| + C; г) f ( x ) = x e , F ( x) = 7

4 5

4

⎛

7

1

1

7⎜ ⎝

8

4dx

б) ∫

2 1 x3

= 4⋅

x

2 − +1 8 3

+ C;

+ C;

2 3 +1

564. а) ∫ x 2 dx = 2 ⋅ x 2 | = 2 ⎜⎜ 2

2

2

7 2

(

x e +1 + C. e +1

7⎞ 2 ⎟ 2 − 1 2 ⎟ = ⋅ 27 − 1 = 36 ; 7 ⎟ 7 ⎠

(

)

)

| = 12 3 8 − 3 1 = 12; 2 − +11 3

e2

e2

e

e

(

)

в) ∫ 2 x −1dx = 2 ln x | = 2 ln e 2 − ln e = 2; 1 5 x 4 dx

81

г) ∫

16

1

+1 5 ⎛ 5 4 ⎞⎟ x 4 81 ⎜ 4 4 = 5⋅ | = 4⎜ 3 − 2 4 ⎟ = 4 ⋅ 211 = 844. 1 ⎟ + 1 16 ⎜⎝ ⎠ 4

1

565. а) S = ∫ x 2 dx = 0

x

2 +1 1

|=

2 +10 1

1 2 +1

1

;

1

⎛

x

3+

⎞1

⎟| = б) S ABE = S ACDE − S BCDE = ∫ dx − ∫ x 3 dx = ⎜⎜ ln x − ⎟1 x + 3 1 1 1 ⎝ ⎠ 2

=−

82

1 3 +1

− ln

− 3 −1

2

− 3 −1

1 2 2 −1 + = + ln 2; 2 3 +1 3 +1

2

(

)

32 −0,8 +1 32 32 в) S = ∫ x − 0,8dx = x | = 55 x | = 5 5 32 − 1 = 5; 1 5

г) S = ∫

3

566. 2) 2

− 0,8 + 1 1

1

5 1 dx = ln x | = ln 5 − ln 3. x 3

≈ 1,4142, 3 3 ≈ 1,4422,

2,5 ≈ 1,5811, 4 2 ≈ 1,1892

3 ≈ 1,7321, 4 2,5 ≈ 1,2574, 3 2,5 ≈ 1,3572, 4 3 ≈ 1,3161,

.

3) 2 = 1,42 + 0,04 = 1,42 ⋅ 1 + 3

⎛ 0.04 0,04 ⎞ ⎟ ≈ 1,4143; ≈ 1,4⎜⎜1 + 1,96 2 ⋅ 1,96 ⎟⎠ ⎝

⎛ 0,256 0,256 ⎞ ⎟ ≈ 1,4435; ≈ 1,4⎜⎜1 + 2,744 3 ⋅ 2,744 ⎟⎠ ⎝

3 = 3 1,43 + 0,256 = 3 1,43 ⋅ 3 1 +

3 = 1,34 + 0,1439 = 1,34 ⋅ 1 +

⎛ 0,1439 0,1439 ⎞ ⎟ ≈ 1,7326; ≈ 1,69⎜⎜1 + 2,8561 2 ⋅ 2,8561 ⎟⎠ ⎝

⎛ ⎞ 15 4 15 15 ⎟⎟ ≈ 1,2575; = 1,254 ⋅ 4 1 + ≈ 1,25⎜⎜1 + 256 256 ⋅ 2,4414 ⎝ 4 ⋅ 256 ⋅ 2,4414 ⎠

4

2,5 = 4 1,254 +

3

2,5 = 3 1,33 + 0,303 = 3 1,33 ⋅ 3 1 +

⎛ 0,303 0,303 ⎞ ⎟ ≈ 1,3598; ≈ 1,3⎜⎜1 + 2,197 3 ⋅ 2,197 ⎟⎠ ⎝

4

3 = 4 1,34 + 0,1439 = 4 1,34 ⋅ 4 1 +

⎛ 0,1439 0,1439 ⎞ ⎟ ≈ 1,3164; ≈ 1,3⎜⎜1 + 2,8561 4 ⋅ 2,8561 ⎟⎠ ⎝

2,5 = 1,6 2 − 0,06 = 1,6 2 ⋅ 1 −

⎛ 0,06 0,06 ⎞ ⎟ ≈ 1,5813; ≈ 1,6⎜⎜1 − 2,56 2 ⋅ 2,56 ⎟⎠ ⎝

4

2 = 4 1,2 4 − 0,0736 = 4 1,2 4 ⋅ 4 1 −

⎛ 0,0736 0,0736 ⎞ ⎟ ≈ 1,1787. ≈ 1,2⎜⎜1 − ⋅ 2,0736 ⎟⎠ 2,0736 2 ⎝

567. а) нет; б) нет; в) нет; г) да, т.к. x ≥ 0 и min f ( x) = f (0) = 0 x≥0

44. Понятие о дифференциальных уравнениях 568. а) y`(t) = -6sin(2t + π), y``(t) = -12cos(2t + π); -12cos(2t + π) = -12⋅cos(2t + π); ⎛1 ⎝2

π⎞ 3⎠

⎛1 ⎝2

π⎞ 3⎠

б) y`(t ) = 2 cos⎜ t − ⎟, y``(t ) = − sin⎜ t − ⎟; π⎞ π⎞ 1 ⎛1 ⎛1 − sin ⎜ t − ⎟ = − ⋅ 4 sin ⎜ t − ⎟ ; 3⎠ 3⎠ 4 ⎝2 ⎝2

83

в) y`(t) = -8sin4t, y``(t) = -32cos4t; –32cos4t + 32⋅cos4t = 0; г) y`( t ) = −

1 1 cos(0,1t + 1), y ``(t ) = − sin(0,1t + 1); 30 300

1 1 1 sin(0,1t + 1) + ⋅ sin(0,1t + 1) = 0 . 100 3 300

569. y`(x) = 15e3x, 15e3x = 3⋅5⋅е3x. 570. y`(x) = -14e-2x, -14e-2x = -2⋅7e-2x. 571. y`(x) = -21e-7x, -21e-7x = -7⋅3e-7x. 572. а) очевидно, что y = Asinkx – решение; y`(x) = A⋅kcoskx, y``(x) = -Ak2sinkx; y`` + 25y = 0 ⇒ -Ak2sinkx + 25Asinkx = 0, sinkx(25 – k2) = 0; k = ±5; y(x) = Asin5x, где А – const; б) очевидно, что y = Asinkx – решение; 1 A 2 y``+4 y = 0 ⇒ − k 2 sin kx + 4A sin kx = 0, sin kx(36 − k ) = 0, k = ±6; 9 9

y(x) = Asin6x, А – const; в) очевидно, что y = Asinkx – решение; 4y`` + 16y = 0 ⇒ -4Ak2sinkx + 16Asinkx = 0, sinkx(4 – k2) = 0, k = ±2; y(x) = Asin2x; А – const; г) очевидно, что y = Asinkx – решение; y``= −

1 1 ⎛1 ⎞ 1 y ⇒ − Ak 2 sin kx + A sin kx = 0, sin kx⎜ − k 2 ⎟ = 0, k = ± ; 2 4 4 4 ⎝ ⎠

y( x ) = A sin

kx 2

; A – const.

573. а) x` = -4sin(2t – 1), x`` = -8cos(2y – 1); -8cos(2t – 1) + 4⋅2cos(2t – 1) = 0 или x`` + 4x = 0; π⎞ 7⎠

⎛

⎛

π⎞ 7⎠

б) x`= −0,64 sin⎜ 0,1t + ⎟, x``= −0,064 cos⎜ 0,1t + ⎟; ⎝

⎝

π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ − 0,064 cos⎜ 0,1t + ⎟ + 0,01 ⋅ 6,4 cos⎜ 0,1t + ⎟ = 0 7⎠ 7⎠ ⎝ ⎝

или x`` + 0,01x = 0; ⎛

π⎞ 4⎠

⎛

π⎞ 4⎠

в) x = 4 sin⎜ 3t − ⎟; x′ = 12 cos⎜ 3t − ⎟; ⎝

⎝

π⎞ π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ ⎛ x``= −36 sin ⎜ 3t − ⎟; − 36 sin ⎜ 3t − ⎟ + 9 ⋅ 4 sin ⎜ 3t − ⎟ = 0 4⎠ 4⎠ 4⎠ ⎝ ⎝ ⎝

или x`` + 9x = 0; г) x` = 0,213cos(0,3t – 0,7), x`` = -0,0639sin(0,3t – 0,7); -0,0639sin(0,3t – 0,7) + 0,09⋅0,071sin(0,3t – 0,7)=0 или x`` + 0,09x = 0. 84

574. а) Пусть x(t) = x1(t) + x2(t) = A1cos(ω1t + ϕ1) + A2cos(ω2t + ϕ2) – периодическая функция с наименьшим положительным периодом Т. x(t + T) = A1cos(ω1t + ω1T +ϕ1) + A2cos(ω2t + ω2T + ϕ2) = =A1cos(ω1t + ϕ1) + A2cos(ω2t + ϕ2) = x(t). Если это выполнено при любых t и ϕ, то ω1 k ⎡ω1T = 2πk, ⎢ω2T = 2πn, n и k ∈ Z; ⇒ ω = r = r – рациональное число при n и k ∈ Z. ⎣ 2

575. Зависимость массы вещества от времени: m(t) = m0e-kt. 1 m = kt , k = (ln m − ln n); период полураспада n t m радия Т находим из условия: = me − kT , 2 r ln 2 ln 2 ln 2 = или T = . T= 1 k m − ln n ln (ln m − ln n) t

По условию n = me-kt, ln

576. m1 = m0e − kt ⇒ t = 1 ln m0 ; k

m1

k=

m T 1 3 ln 2 , t= ⋅ ln = 9 мин. ln 0 = T 0,125 ln 2 m1 ln 2

1 577. m1 = m0e − kt , t = T ⋅ ln m0 ; при m0 = 10, Т = 1 ч.: t = ln 10 = 3,3 ч.; m1

ln 2

m1 = m0

ln 2 t − e T ,

ln 2

m1

1000

− ln 2 если t = 100 лет и Т = 1500 лет, то m1 = e 1500 ≈ 0,64.

m0

578. T′ = –k(T – T1), T1 = 0. Решение этого уравнения T(t) = T0e-kt, где k > 0 – const. Для первого тела T (1) ( t ) = T0(1) e − k1t , для второго тела T (1) ( t ) = T0(1) e −k 2 t ; через время t1 температура 1 тела была T1(1) , температура 2 тела T1( 2) : T1(1) = T0(1)e− k1t1 , k1t1 = ln

T0(1) T1(1)

, k1 =

( 2) (1) 1 T 1 T0 ( 2) ( 2) − k t ln (1) : T1 = T0 e 2 1 , k 2 = ln 0( 2) ; t1 T1 t1 T1

момент времени t, когда температуры тел сравняются, находим из условия T (1) (t ) = T ( 2) (t ) : T0(1)e

−

(1) t T0 ln t1 T1(1)

= T0( 2)e

−

( 2) t T0 ln t1 T1( 2 )

,

T0(1)

T0( 2)

=

( 2) T (1) ⎤ t ⎡ T − ⎢ln 0( 2 ) − ln 0(1) ⎥ t1 ⎢⎣ T1 T1 ⎥⎦ e ,

85

T ( 2) = ln 0(1) T0

T ( 2) ⋅ T (1) t ⋅ ln 0(1) 1( 2) t1 T0 ⋅ T1

при t1 = 10 мин, T0(1)

ln

, t = t1 ln

T0(1)

;

T0( 2)T1(1) T0(1)T1( 2)

( 2)

= 200°C, T0

T0( 2)

( 2)

= 100°C, T1

(1)

= 80°C, T1

= 100°C ;

1 ln 2 2 = 10 ≈ 14,75 мин. t = 10 ⋅ ln 1,6 ⎛ 1 10 ⎞ ln⎜ ⋅ ⎟ ⎝2 8 ⎠ ln

579. См. задачу 578. T (1) (t ) = T0(1)e

−

(1) t T0 ln (1) t1 T1

и T ( 2) (t ) = T0( 2)e

∆T = T (1) (t ) − T ( 2) (t ) = e

T0(1)

при ∆T = 25°C , 25

(1) t T ln T0(1) − ln 0(1) t1 T1

= T0( 2)

= 100°C ,

−

( 2) t T0 ln ( 2 ) t1 T1

−e

ln T0( 2 ) −

T1(1)

t 10 − ln 10 8 = 100e 2t 10

(0,8)

; ( 2) t T0 ln t1 T1( 2 )

= 80°C ,

T1( 2)

( )

⎝

( )

⎠

(

( )

t ln 0,5 ≈ 31,08 мин. = log 0,8 0,5; t = 10 log 0,8 0,5 = 10 ln 0,8 10

580. 5 3

Т.к. v′(t ) = −kv(t ) = − v(t ) , и v(0) = v0, то 5 − t 3 ; при v 0

5 − t v(3) = 500 ⋅ e 3

86

= 64°C ; t1 = 10 мин;

t 100 − ln t t 10 64 ; 25 = 100 ⋅ 0,8 − 100e 10 − 100 ⋅ 0,64 10 ; 2 t t t ⎛ ⎞ = 0,5; ⎜ ⎟ 10 + 0,25 = 0, ⎜ 0,8 10 − 0,5 ⎟ = 0; 0,8 10

− (0,8)

v(t ) = v0e

;

= 30

км , t = 3 мин; ч

= 500e − 5 ≈ 3,4

м . мин

)

ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ § 1. Действительные числа 1. Рациональные и иррациональные числа 1. а) да; б) нет; в) нет; г) да 2. Обозначим три последовательных натуральных числа: а; а + 1; а + 2. Сумма: а+а+1+а+2=3а+3 – делится на три, поскольку каждое слагаемое делится на три. Произведение этих чисел равно а(а+1)(а +2). Одно из этих чисел делится на два, другое на три, значит, их произведение делится на шесть. 3. а) 52365; б) 52344. 4. Число 1056 – 1 содержит пятьдесят пять девяток, значит, оно делится на 3, 9. На 11 не делится. Поскольку, попробовав поделить на 11 столбиком, получим 99 99...........9 | 14 4244 3

99

99 ..........

55 разрядов

11 9 909 ...909 142 4 3 11 54 разряда

99 99 09 − остаток

5. 35. 6. ab сократима на число d, d – делитель ab, a+b значит, существует общий делитель с или у чисел a и d, или у чисел b и d. Пусть с – делитель a и d, тогда a + b делится на с, a следовательно, b делится на с, значит, дробь сократима на с1, что b противоречит условию. В случае, если с – делитель у чисел b и d, рассуждения аналогичные. 7.

Предположим, число

a, при а ≥ 0, а) |a| = ⎧⎨

⎩− а, при а < 0;

⎧− a, при a < 0, | − a |= ⎨ поэтому, | a |=| − a | ; ⎩а, при а ≥ 0;

87

х, при х ≥ 0, б) |x| = ⎧⎨

⎩− х, при х < 0;

для х ≥ 0 получим

|x| = x, для х < 0 получим х < |x|; ⎧⎪ х 2 , если х ≥ 0, но х 2 = (− х) 2 ; значит, | x | 2 = x 2 . ⎪⎩(− х )2 , если х < 0;

в) |x|2 = ⎨ 8.

5 10 5 ⋅ 3 + 10 ⋅ 2 1 1 2,5 + 3 + 35 6 3 3 а) ; = = 2 3 = = 5⋅3 + 4⋅ 2 5 4 1 4 23 2,5 − 0,4(−3 ) 2,5 + + 6 2 3 3 3 2,75 : 1,1 + 3

1 7 10 7 7 1 1 5 3 : 10 + 0,175 : : 10 + : + 20 1 3 2 3 20 3 40 20 = = = 6 = =3 ; б) 3 11 51 7 28 ⋅ 51 7 3 1 6 3 1 −1 ⋅ − − 4 17 56 4 17 ⋅ 56 4 2 4 1 4

в) (1,4 – 3,5 : 1 ) : 2,4 + 3,4 : 2 ⎛7 ⎝5

= ⎜ −

1 ⎛ 7 7 ⋅ 4 ⎞ 12 17 ⋅ 8 = ⎜ − = + ⎟: 8 ⎝ 5 2 ⋅ 5 ⎠ 5 5 ⋅ 17

14 ⎞ 12 8 7 ⋅ 5 8 −7 ⋅ 5 + 8 ⋅ 12 96 − 35 61 1 + = = = =1 ; ⎟: + = − 5⎠ 5 5 5 ⋅ 12 5 5 ⋅ 12 60 60 60

1 1 ⋅ 1+ 2 3 2 0,25 = = = 0,75 . г) 46 46 4 6− 6− 1 + 2,2 ⋅ 10 23 1+

9. 0,52 − 0,5

а)

2

2

0,4 + 0,1 + 2 ⋅ 0,4 ⋅ 0,1

=

0,5(0,5 − 1) (0,4 + 0,1)

2

=

(−0,5) ⋅ 0,5 0,52

= −1 ;

1,22 − 1,82 (1,2 + 1,8)(1,2 − 1,8) 3 ⋅ (−0,6) 3⋅ 5 = = 2,5 ; = = 1,2 ⋅ 0,2 − 1,2 ⋅ 0,8 1,2(0,2 − 0,8) 1,2 ⋅ (−0,6) 6

б)

0,62 + 0,12 − 2 ⋅ 0,6 ⋅ 0,1

в)

1,5 − 1,52 ⎛ 3⎞ ⎝ 5⎠

2

⎛ 5 ⎝ 8

=

⎞ 5 ⎠ 8

(0,6 − 0,1) 2 0,52 0,5 1 = =− =− ; 1,5(1 − 1,5) 1,5 ⋅ (−0,5) 1,5 3 ⎛8⎞ ⎝5⎠

2

⎛ 5 ⎝ 8

2⎞ 8 5⎠ 5

8⎛8 5⎝5

5 8

г) ⎜1 ⎟ − ⎜ 4 − 2,4 ⎟ : = ⎜ ⎟ − ⎜ 4 − 2 ⎟ ⋅ = ⎜ − 4 + = 88

8⎛ 5⎞ 8 ⎛ 5⎞ ⎜ 4 − 4 ⎟ = ⋅ ⎜ − ⎟ = −1 . 5⎝ 8⎠ 5 ⎝ 8⎠

12 ⎞ ⎟ = 5⎠

10. а) 3,82 ± 0,1 – верные цифры – 3 и 8; б) 1,980 ⋅ 104 ± 0,001 ⋅ 104 – верные цифры 1 и 9; в) 7,891 ± 0,1 – верные цифры – 7, 9 и 1; г) 2,8 ⋅ 104 ± 0,3 ⋅ 104 – верных цифр нет. 11. а) 1,0025 = (1 + 0,002)5 ≈ 1 + 5 ⋅ 0,002 = 1 + 0,01 = 1,01; б) 0,9974 = (1 – 0,003)4 ≈ 1 – 4 ⋅ 0,003 = 1 – 0,012 = 0,988; в) 2,0043 = 8(1 + 0,002)3 ≈ 8(1 + 0,006) = 8,048; ⎛

г) 3,015 = 35 ⎜1 + ⎝

12. 13.

5

5

0,01 ⎞ 1 ⎞ 1 ⎞ ⎛ ⎛ ⎟ = 243 ⋅ ⎜1 + ⎟ ≈ 243 ⋅ ⎜1 + ⎟ = 247,05. 3 ⎠ ⎝ 60 ⎠ ⎝ 300 ⎠

а) 15,3; б) 30,7; в) 43,7; г) 3,0. 1 3

а) 2,(3) = 2 ;

б) 0,(66) =

2 ; 3

в) 1,0(8) = 1

8 ; 90

1 3

г) 1,(33) = 1 .

14. а) Пусть

5=

p p , p ∈ Z, q ∈N, – несократимая дробь; q q

p p2 >0, поэтому p и q натуральные числа. Тогда 5= 2 , то есть р2=5q2, q q

откуда следует, что р2. Таким образом, и р делится на 5, или р=5k. Подставляя р = 5k в равенство р2 = 5q2, получим 25k2 = 5q2, q2=5k2. p Получим, что и q делится на 5. Это противоречит тому, что – q несократима, значит предположение неверно и 5 иррационально. б) 2 7

рациональное, если 7 – число рациональное. Пусть m m m 7 = , m ∈ Z, n ∈ N, – несократимая дробь; > 0, поэтому n n n

можно считать, что m и n – натуральные числа. Тогда 7=

m

2

, то есть n2 m2=7n2, значит, что m2, следовательно, и m делятся на 7, то есть m=7k. Подставляя m=7k в равенство m2=7n2, получаем 49k2=7n2, n2=7k2. 89

m сократима на 7. n Предположение неверно, 2 7 – иррационально.

Отсюда видно, что и n делится на 7. Дробь

5 + 1 = r(где r – рационально), тогда

в) Пусть

рационально, это противоречит иррациональности 7 1 = 7 не рационально, т.к. 3 3

г)

5 = r – 1

5.

7 иррационально.

15. а) то a + b и a ⋅ b числа рациональные. б) то a + b также число иррациональное (кроме случая a = –b), а a ⋅ b может быть как рациональным, так и иррациональным. (Например: 2 ⋅ 7 = 14 – иррациональное, 2 ⋅ 2 – рациональное). в) a + b – иррациональное число, a ⋅ b – иррациональное число. 16. а) в)

3+

2+

5 ≈ 1,42 + 0,55 = 1,97; б) 9

5 ≈ 1,72 + 0,83 = 2,55; 9

г)

2 ≈ 2,24 – 0,29 = 1,95 ; 7 1 ≈ 2,45 – 0,09 = 2,36. 6− 11 5−

17. а) –2 – рациональное, –1,7 – рациональное,

π – иррациональное, 3

3 – иррациональное;

б) – 5 – иррациональное, –1 – рациональное,

5 – рациональное, 6

log23 – иррациональное; в) –

7 5 – иррациональное, 0,(2) – рациональное, – рациональное; 6 2

г) –1,(6) – рациональное, lg100 – рациональное, е – иррациональное, 10 – иррациональное. 18. а) 4 < 7 и lg

1 4 7 > < 0, поэтому ; 1 1 2 lg lg 10

5 + 2 >0,

17 > 0;

2

2

б) ( 5 + 2) = 5 + 4 5 + 4 = 9 + 4 5 > 17, ( 17 )2 = 17, значит, 5 + 2 > 17 ;

в) log37 > 1, log73 = 90

1 1 < 1, значит, log37 > ; log37 > log73; log 3 7 log 7 3

г) ( 7 + 3)2 = 7 + 6 7 + 9 = 16 + 6 7 > 31. ( 31 )2 = 31, значит, 7 + 3 > 31.

7 + 3 > 31.

19.

(

а) 15log3 10 = 15log15 10 б) ( 2 + ( 30 – ( 2 +

)

1 log15 3

= 10log3 15 , значит, 15log 3 10 = 10log 3 5 ;

3 )2 = 2 + 2 6 + 3 = 5 + 2 6 < 10, 3 )2 = 30 – 2 90 + 3 = 33 – 2 90 > 13, значит, 3 ) < ( 30 –

3 );

в) 7,98 – 2π ≈ 7,98 –6,28 ≈ 1,70; ⎡π

π π < 2,1 < π, < 1,7 < π; поскольку 2 2

⎤

на ⎢ ; π⎥ sinx – убывающая функция, то sin2,1 < sin7,98; ⎣2 ⎦ г) ( 8 +

2 5 ) = 8 + 2 40 + 5 = 13 + 4 10 , ( 3 +

= 3 + 2 30 + 10 = 13 + 2 30 , значит, 8 +

2 10 ) =

5 >

3 +

10 .

20.

а)

3+ 2 3− 2

−2 6 =

( 3 + 2 )2 − 2 6 = 3+ 2 6 + 2− 2 6 = 5 ; 3− 2

б) ( 2 + 1)2 + (1 − 2)2 − ( 7 + 1)( 7 −1) = 2 + 2 2 + 1 + 1 − 2 2 + 2 − 7 + 1 = 0 ; в)

7+ 5 7− 5

− 35 =

( 7 + 5 )2 − 35 = 6 + 35 − 35 = 6 ; 2

г) (3 18 + 2 8 + 4 50 ) : 2 = (9 2 + 4 2 + 20 2 ) : 2 = 9+4+20 = 33.

2. Проценты. Пропорция 21. 320 ⋅ 2,5 =8; 100 100 ⋅ 75 = 3000 ; б) 2,5%–75, 100%–х; х = 2,5 2,8 ⋅100 1 в) 84–100%, 2,8–х; х = = 3 %; 84 3 35 ⋅140 г) 35–100%, х–140%; х = = 49 . 100

а) 320–100%, х–2,5%; х =

91

22. За 1987 год выпуск продукции составил 104%, за следующий год прирост продукции составил 8% от выпущенного за 1 год. За два года прирост составил 8,32%+4%=12,32%, значит, средний ежегодный прирост продукции в течение двух лет составил 12,32%:2 = 6,16%. 23. Пусть I число–5х, II число–3х, III число–20х и IV число–20х⋅0,15=3х. По условию 5х + 20х + 3х – 3х = 375, х = 15; I число–75; II число–45; III число–300, IV число–45. 24. Пусть условная цена на овощи в начале осенне-зимнего периода составила 1, тогда в конце этого периода она составила 1,25 условных единиц.

1,25–100%, 1–х%; х =

1 ⋅100 = 80% . Поэтому, цену весной нужно 1,25

снизить на 20%. 25. а) 12 :

1 12 ⋅ 5 1 5 40 5 1 =х: , х= , х= , х= ; 8 6 8 6 8 3 3

б) х : (–0,3) = 0,15 : 1,5, х : (–0,3)= 0,1, х = (–0,3) ⋅ 0,1, х = –0,03; в)

0,13 26 13 ⋅10 1 1 = , 26х = , х= ; = 1 х 100 ⋅ 3 3 ⋅ 2 ⋅ 10 60 3 3

г)

2,5(−6,2) 2,5 ⋅ 6,2 31 1 х −6,2 , х= , х = − = −1 . = =− 2,5 15 15 15 30 30

26. а)

х−2 6 = , х(х – 2) = 15, х2 – 2х –15 = 0, х1 = 5, х2 = –3; (–3; 5); 2,5 х

б)

2 х 4,8 , х = 4х + 20, –3х = 20, х = –6 ; = х + 5 1,2 3

в)

х − 3 6,5 , (х – 3)3 = (х – 2)13, 10х = 17, х = 1,7; = х − 2 1,5

г)

4− х 5 = , (4 – х)(х + 3) = 6, – х2 + х + 12 = 6, 1,2 х+3

х2 –х – 6 = 0, х1 = –2, х2 = 3;

92

(–2; 3).

27. а) ∆АВС ∞ ∆ЕВК – по двум углам, АВ ВС , ЕВ = 22,5 –18 = 4,5, = ЕВ ВК 22,5 15 4,5 ⋅15 = , ВК = = 3, 4,5 ВК 22,5

КС = 15 – 3 = 12;

б) k = k2 =

АВ 7,5 7,5 = 3, = = ВЕ 7,5 − 5 2,5

S ABC 72 = 9, = 9, S∆BEK = 8, S∆АЕКС = 72 – 8 = 64. S BEK S ∆BEK

3. Прогрессии a1 + a 20 ⋅ 20 , a 7 = a1 + 6 d , 20 = 2 + 6d, d = 3, 2 2 + 59 = a1 + 19d = 2 + 57 = 59, S 20 = ⋅ 20 , S 20 = 61 ⋅10 = 610. 2

28. S 20 = a 20

29. а1 = 4, а6 = 40, а6 = а1 + 5d, 40 – 4 = 5d, d = 7,2; а2 = 11,2, а3 = 18,4, а4 = 25,6, а5 = 32,8. 1 = log23, log 3 2

30.

1 = log26 = log23 + log22 = log23 + 1, log 6 2

1 = log212 = log23 + log24 = log23 + 2. Значит, числа log23; log12 2

log23 + 1; log23 +2 образуют арифметическую прогрессию. ⎧а + а = 26, ⎧а + а + 4d = 26,

⎧а = 13 − 2d ,

1 1 1 31. ⎨ 1 5 ⎨ 2 ⎨ 2 ⎩а 2 ⋅ а 4 = 160; ⎩(a1 + d )(а1 + 3d ) = 160; ⎩а1 + 4а1d + 3d = 160;

⎧а1 = 13 − 2d , ⎨ 2 2 ⎩(13 − 2d ) + 4 ⋅ (13 − 2d ) ⋅ d + 3d = 160;

169 – 52d + 4d2 + 52d – 8d2 + 3d2 – 160 = 0, –d2 + 9 = 0, d1 = 3, d2 = –3, a1 = 7, a1 = 19. a6 = 7 + 15 = 22 или a6 = 19 –15 = 4. S6 =

7 + 22 19 + 4 ⋅ 6 = 29 ⋅ 3 = 87 или S6 = ⋅ 6 = 23 ⋅ 3 = 69 . 2 2

32. Пусть a =b1, тогда b = b1 ⋅ q, c = b1⋅ q2, d = b1⋅ q3. 2 2 2 (b1 – b1q2)2 + (b1q – b1q2)2 + (b1q – b1q3)2 – (b1 – b1q3)2 = b1 − 2b1 q + + b12 q 4 + b12 q 2 − 2b12 q 3 + b12 q 4 + b12 q 2 − 2b12 q 4 + b12 q 6 − b12 + 2b12 q 3 − b12 q 6 = 0

93

1

33.

:

2− 2

2 +1 2 −1

=

2 −1

=

( 2 − 2 )( 2 + 1)

Произведение второго числа

2 −1 2 ( 2 − 1)( 2 + 1)

на

1 2+ 2

=

1 2+ 2

.

1 1 1 ⋅ = . 2− 2 2+ 2 2

:

Получили третье число. Значит эти числа образуют геометрическую прогрессию. 3 ⎧b − b = 24, ⎧⎪b1 q − b1 q = 24, ⎧b1 q (q 2 − 1) = 24, ⎨ ⎨ 2 ⎪⎩b1 q + b1 q = 6; ⎩b1 q (1 + q ) = 6;

34. ⎨ 4 2 ⎩b2 + b3 = 6;

6(q − 1) = 24 , q − 1 = 4 , q = 5, 5b1 =

35. b1 = 3, b2 = 12, bn = 3072; q =

6 , 5b1 = 1 , 1+ 5

b1 =

1 . 5

b2 = 4, bn = b1 ⋅ q n −1 , b1

3072 = 3 ⋅ 4n-1, 4n-1 = 1024; n – 1 = 5, n = 6. 36. b4 =

1 1 1 1 1 3 , q = , b4 = b1 ⋅ q , b1 = b4 : q3 = : = , 54 27 2 54 3

1⎞ 1⎛ ⎜1 − ⎟ 1⎞ 1 121⋅ 4 b1 ⋅ (1 − qn ) 121 2 ⎜⎝ 3n ⎟⎠ 121 3 ⎛ = ⎜⎜ 3 − n ⎟⎟ , 1 − n = = , , , Sn = 1 162 4 1− q 162 3 162⋅ 3 ⎝ 3 ⎠ 1− 3

1 1 121 ⋅ 4 = − = −1 , , n = 5. 3 n 243 3 n 162 ⋅ 3 1

37. Пусть искомые числа b1, b2, b3, b4. По условию имеем ⎧b2 + b3 = 12, ⎨b + b = 14, и b4 = b3 + (b3 – b2). ⎩ 1 4 ⎧b1 ⋅ q + b1 ⋅ q 2 = 12, ⎨ ⎩b1 + b3 + (b3 − b2 ) = 14; b1 =

14 2

1 + 2q − q

=

⎧b1 ⋅ q(1 + q ) = 12, ⎨b + 2b − b = 14; 3 2 ⎩ 1

⎧b1 ⋅ q (1 + q ) = 12, ⎨ 2 ⎩b1 (1 + 2q − q = 14;

12 , 14q + 14q 2 = 12 + 24q 2 − 12q , q (1 + q )

10q 2 − 26q + 12 = 0 , 5q 2 − 13q + 6 = 0 ,

q1 = 2, q2 = 0,6, b1 = 2 или b1 = 12,5, или b2 = 4, b2 = 7,5, b3 = 8, или b3 = 4,5, b4 = 12, или b4 = 1,5.

Ответ: 2; 4; 8; 12 или 12,5; 7,5; 4,5; 1,5. 94

38. q = S=

2 3 +1

b1 , 1− q

: 3= 3

3 1−1+ 3

2 ( 3 + 1) 3

=

2 3+ 3

= 3 . Ответ: 1−

=

2(3 − 3 ) 3 − 3 3 ; = = 1− 9−3 3 3

3 ; 3. 3

⎧ b1 ⋅ (1 − q3 ) = 10,5, ⎪ ⎧b1 ⋅ (1 + q + q2 ) = 10,5, ⎪ 39. ⎨ 1 − q 12(1 – q)(1 + q + q2) = 10,5, ⎨ = 12 ( 1 − ); b q b ⎩1 ⎪ 1 = 12; ⎪⎩1 − q 1 12(1 – q3) = 10,5, 1 – q3 = 10,5 : 12, q3 = , 8 1 1 1 q = ; b1 = 12 ⋅ (1 – ) = 6. Ответ: b1 = 6; q = . 2 2 2

40. Если b > 0, b ≠ –1 и an, an+k, an+2k –геометрическая прогрессия, то logban, logban + k = logban + logba2k, logban + 2k = logban + logbak = logban + 2logbak; значит, logban; logban + logbak; logban + 2logbak – арифметическая прогрессия.

§ 2. Тождественные преобразования 4. Преобразования алгебраических выражений 2 2 2 2 2 41. a) a + b + 2a − 2b − 2ab = a 2ab + b + 2(a − b) = (a − b) + 2(a − b) =

= (a − b)(a − b + 2);

б) x3 + ( y − 1) x + y = x3 + xy − x + y = x( x 2 − 1) + y ( x + 1) = = ( x + 1)( x 2 − x + y );

в) a6 − 8 = (a2 )3 − 23 = (a2 − 2)(a4 + 2a2 + 4) = (a + 2)(a − 2 )(a4 + 2a2 + 4); г) x4 − x2 ( y 2 + 1) + y2 = x4 − x2 y 2 − x2 + y2 = x2 ( x2 − 1) − y2 ( x2 − 1) = = ( x2 − 1)(x2 − y2 ) = ( x + 1)(x − 1)(x + y)(x − y).

42.

a) n 4 + 2n 3 − n 2 − 2n = n 2 (n 2 − 1) + 2n(n 2 − 1) = (n 2 − 1)(n 2 + 2n) = = (n 2 − 1) ⋅ n ⋅ (n + 2) = (n − 1) ⋅ n( n + 1)(n + 2)

произведение четырех последовательных натуральных чисел делится на 2, 3, 4, а значит, делится и на 24 при n = 2, 3, ...; б) (n 2 + 4n + 3)(n 2 + 6n + 8) = ( n + 3)(n + 1)(n + 2)(n + 4) = = (n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4)

это произведение четырех последовательных натуральных чисел, которое делится на 2, 3, 4, а значит, делится и на 24; 95

n 3 − n = n( n 2 − 1) = ( n − 1)n(n + 1)

в)

– произведение трех последовательных натуральных чисел, которое делится на 2 и на 3, а значит, делится и на 6 при n = 2, 3, ...; г) n 3 − 4n = n(n 2 − 4) = n(n − 2)(n + 2) = (n − 2)n ⋅ (n + 2) . Так как n = 2k, k ∈ N, то (n − 2)n(n + 2) = (2k − 2)2n(2k + 2) = 2(k − 1)2n ⋅ 2(k + 1) = = 8 ( k − 1) k ( k + 1) – это произведение делится на 8, на 3, на 2, а значит, делится на 48. a 3 + a 2 − a −1

43. а)

a 2 + 2a + 1

x 2 + x − 12

б)

x 2 + 8 x + 16

a 2 (a + 1) − (a + 1) (a + 1) 2

( x − 3)( x − 4) ( x + 4) 2

=

=

(a + 1)(a 2 − 1) ( a + 1) 2

= a −1 ;

x−3 ; x+4

2 a 2 − 5a + 2 (a − 2)(2a − 1) (a − 2)(2a − 1) 2a − 1 ; = = = ab − 2b − 3a + 6 a (b − 3) − 2(b − 3) (a − 2)(b − 3) b−3

в)

x 3 − 27

г)

2

x y + 3 xy + 9 y ⎛

44. a) ⎜ m + n − ⎝

:

=

=

=

( x − 3)( x 2 + 3x + 9) 2

y ( x + 3 x + 9)

x−3 . y

4mn ⎞ ⎛ m 2mn n − − ⎟:⎜ m + n ⎠ ⎜⎝ m + n n − m m 2 − n 2

nm − m 2 − mn − n 2 − 2mn m2 − n2

=−

=

( m − n) 2 ( m 2 − n 2 ) (m + n)(m + n)

2

=−

=

⎞ (m + n) 2 − 4mn ⎟⎟ = : m+n ⎠

( m − n) 2 − ( m + n) 2 = : m+n m2 − n2

( m − n )3 ( m + n) 2

;

2b ab a 2 − ab + b 2 2b(a − b) a3 + b3 − = + − : (a 2 − b 2 ) + a+b a + b a2 − b2 a2 − b2 a2 − b2

б)

−

ab 2

a −b

2

=

a 2 − ab + b 2 + 2ab − 2b 2 − ab 2

a −b

2

=

a2 − b2 a2 − b2

= 1;

8 ⎞ x2 − 2x x + 8 ( x2 − 8x + 16) x( x − 2) x + 8 ⎛ x в) ⎜⎜ 2 − 2 + = ⋅ + = ⎟⎟ ⋅ 4− x x+2 x+2 x( x2 − 4) ⎝ x − 4 x + 2x ⎠ 4 − x =

96

( x − 4)2 ( x − 2) ( x 2 − 4)(4 − x)

+

12 x+8 4− x x+8 ; = + = x+2 x+2 x+2 x+2

2

1 2c 1 ⎛ ⎞ (с − 3)2 + 12с г) ⎜⎜ 2 + 2 + 2 = ⎟⎟ ⋅ 2 ⎝ c + 3c + 2 c + 4c + 3 c + 5c + 6 ⎠ 2

⎛ ⎞ с 2 − 6с + 9 + 12с 1 2с 1 ⎟⎟ ⋅ = ⎜⎜ + + = 2 ⎝ (с + 1)(с + 2) (с + 1)(с + 3) (с + 2)(с + 3) ⎠ 2

⎛ с + 3 + 2с (с + 2) + с + 1 ⎞ (с + 3) 2 ⎟⎟ ⋅ = ⎜⎜ = 2 ⎝ (с + 1)(с + 2)(с + 3) ⎠ 2

⎛ 2(с + 1)(с + 2) ⎞ (с + 3) 2 4 ⋅ (с + 3) 2 ⎟⎟ ⋅ = ⎜⎜ = = 2. 2 (с + 3) 2 ⋅ 2 ⎝ (с + 1)(с + 2)(с + 3) ⎠ ⎛ 6x + 3 y − 4x + 2 y 3 2 1 ⎞ 4 y2 1 ⎞⎟ ⎟⎟ : : =⎜ − − − 2 2 ⎜ 2 2 2 2 2 5 2 5 y ⎟⎠ − x − y x + y x − y x 4x − y ⎝ ⎠ 4x − y ⎝ ⎛

45. a) ⎜⎜

⎛ 2x + 5 y 1 ⎞⎟ 4 y2 4 x 2 − 25 y 2 − 4 x 2 + y 2 =⎜ 2 − : 2 : = 2 2 ⎜ ⎟ 2x − 5 y ⎠ 4x − y 4x − y (4 x 2 − y 2 )(2 x − 5 y) ⎝ 4x − y 4 y2

:

2

:

2

4y2 2

4x − y

2

=

− 24 y 2 (4 x 2 − y 2 ) 2

2

(4 x − y )(2 x − 5 y )4 y

2

=

−6 6 = ; 2x − 5 y 5 y − 2x

−1

4 2a ⎞ ⎛ 3 ⎞ a −12 ⎛ 3 + 2 + = ⎟⎟ : ⎜ ⎟ − 3(3 − a) ⎝ a − 3 a − 5a + 6 a − 2 ⎠ ⎝ 2a +1⎠

б) ⎜⎜ =

3a − 6 + 4 + 2a 2 − 6a 2a + 1 a − 12 2a 2 − 3a − 2 2a + 1 a − 12 : − = : − = (a − 2)(a − 3) 3 3(3 − a) (a − 2)(a − 3) 3 3(3 − a)

=

(a − 2)(2a + 1)3 3 1 a − 12 a − 12 9 + a − 12 a −3 = ; = = = + − (a − 2)(a − 3)(2a + 1) 3(3 − a) a − 3 3(a − 3) 3(a − 3) 3(a − 3) 3

⎞ ⎛ x3 − 8 x −1 1 x −1 в) ⎜ = ( x2 + 2x + 4 + 2 x) ⋅ − = + 2x ⎟ ⋅ (4 − x2 )−1 − 2 2− x ⎟ ⎜ x−2 x 2 − 4− x ⎠ ⎝ =

( x + 2) 2 4− x 2

г)

2

−

3 x −1 x + 2 x −1 ; = − = 2− x 2− x 2− x 2− x

9 − k 2 27 + k 3 k + ⋅ 2 3 + k k − 3k 3− k

⎛ k 2 ⎞⎟ k 2 (3 − k ) 27 + k 3 : ⎜3 + : = ⋅ + ⎜ 3 − k ⎟ 3 k (k − 3) 3− k ⎠ ⎝

3 ⎛ 9 − 3k + k 2 ⎞ ⎟ = − k + ( 27 + k )(3 − k ) = − k + 3 + k = 3. :⎜ 2 ⎜ 3− k ⎟ k − 3k + 9 ⎠ ⎝

97

5. Преобразование выражений, содержащих радикалы и степени с дробными показателями 2

46. а)

3+ 5 3

б)

5− 2 2

в)

15

=

=

=

2( 3 − 5) = 3−5

6 − 10 10 − 6 = ; 2 2

3( 5 + 2 ) 15 + 6 = ; 5−2 3

2 15 ; г) 15

3 7+ 2

=

3( 7 − 2 ) 3( 7 − 2 ) . = 7−2 5

47. а) ( 5 − 2,5)2 − 3 (1,5 − 5)3 −1 =| 5 − 2,5| −(1,5 − 5) = 2,5 − 5 −1,5 + 5 =1 ; б)

(5 3 + 50)(5 − 24 ( 75 − 5 2 ) =

=

(5 3 + 5 2 )2 (5 − 2 6 ) = 75 − 50

(5 3 + 5 2 ) 2 (5 − 2 6 ) = (5 + 2 6 )(5 − 2 6 ) = 25 − 24 = 1; 25

в) ( ( 2 −1,5)2 − 3 (1− 2)3 )2 + 0,75= (1,5 − 2 −1+ 2)2 + 0,75= 0,52 + 0,75=1 ; 2 6 − 20

г)

2 5 + 24

⋅ (11+ 2 30) =

( 6 − 5)2 ⋅ (11+ 2 30) = 6−5

= (6 − 2 30 + 5)(11 + 2 30 ) = 121 − 120 = 1.

48. ⎞ ⎛a+2 a a 2 ⎞ a − 2 ⎛⎜ a + 2 2 ⎟× ⎟⋅ а) ⎜⎜ = − + − + ⎟ ⎜ a( a − 2) ⎟⎠ 2a + 2 a − 2a ⎠ a + 2 ⎝ 2a 2( a + 2) ⎝ 2a a − 2 (a + 2)(a − 2) − a( a − 2) ⋅ a + 2 ⋅ 2( a + 2) a − 2 = = ⋅ × a+2 a+2 2a(a − 2) a2 − 4 − a2 + a 2a + 2 2a + 4 a − 2 a 2a + 2 2a a − 2 = ⋅ = ⋅ = a+2 a+2 2a(a − 2) 2a(a − 2) =

a+2 a − 2 a− 2 ; = ⋅ a−2 a+2 a−2 2

2

⎛ a a +b b ⎞⎛ a + b ⎞ ⎛ ⎞ ⎟ = (a − ab + b − ab )⎜ a + b ⎟ = − ab ⎟⎜ б) ⎜ ⎜ a+ b ⎟⎜ a − b ⎟ ⎜ a −b ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=

98

( a − b )2 ⋅ ( a + b )2 ( a − b) 2

=

( a − b) 2 ( a − b) 2

= 1;

x +1

в)

1

:

=

2

1+ x + x x − x 2

⎛ с 1 ⎞⎟ г) ⎜ − ⎜ 2 2 с⎟ ⎝ ⎠

1+ x + x 2

⎛ с −1 с + 1 ⎞ ⎛ с −1 ⎞ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ − ⎜ с + 1 с −1⎟ ⎜ 2 с ⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

(с − 1)2 (2 с ⋅ (−2))2

=

( x + 1) x ( x x − 1)

4с(с − 1)

=

2

= x ( x − 1) ;

⎛ ( с −1)2 − ( с + 1)2 ⎞ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟ с −1 ⎝ ⎠

16с = 4. 4с

−1

4 3 4 3 ⎛ ⎞ 4 4 2 4 k +1⎟ k + k k( k + k) −1 4 ( 1 ) 49. а) ⎜⎜ k − 4 = k k k − = − + − − ⎟ ⎜ k +1 ⎟ k −1 k −1 ⎝ ⎠

1

=

4

k (4 k + 1)

−

k −1

k −1

=

1− k 4

k −1

=

k −1 4

k −1

= −4 k − 1;

⎛ ( a + b )2 − (2 b )2 a − b ⎞⎟ 32b b б) ⎜ − : = ⎜ a −b a + b ⎟⎠ a + b ⎝ ( a + b − 2 b )( a + b + 2 b ) − ( a − b ) 2 32b b = : a−b a+ b

= =

( a − b )( a + 3 b − a + b )( a + b ) ( a − b) ⋅ 32b b

=

4 b 32b b

=

1 ; 8b

⎛4 3 4 3 ⎞⎛ 4 ⎞ ⎜ x − y ⎟ x ⎞ ⎛ ( x − 4 y )( x + 4 xy + y 4 − (4 x − 4 y )⎟⎜ 4 + 1⎟ = ⎜ в) ⎜ −( x + 4 y⎟ × 4 4 ⎟ ⎜ x− y ⎟⎜⎝ y ⎟⎠ ⎜⎝ ( x − 4 y )( x − 4 y ) ⎠ ⎝ ⎠ 4

×

г)

x +4 y 4

y

x + 4 xy + y − x − 24 xy − y

=

4

x +4 y

а3 + ab2 − a2b − b3 4 5

4 4

4

4 5

4

b + a b − ab − a

=

(a + b)( a − b ) 4

(a + b)( b − a )

50. a)

=

4

(x

x −1 1 x + x2

0,5

+1

:

=

x

x +4 y 4

y

a (a + b) − b(a + b) 4

b(a + b) − 4 a(a + b)

(4 a − 4 b )(4 a + 4 b )

x0,5 + 1 1,5

=

4

⋅

−1

4

+

a −4 b

2 x

−0,5

=

=

− 4 xy (4 x + 4 y ) (4 x + 4 y )4 y

= −4 x ;

=

= −( 4 a + 4 b ).

( x0,5 − 1)( x0,5 + 1)( x1,5 + 1) ( x + x0,5 + 1)( x0,5 + 1)

+ 2 x0,5 =

− 1)( x0,5 − 1) + 2 x0,5 = ( x0,5 − 1) 2 + 2 x0,5 = x + 1; 1

99

1 1 ⎛ 1 ⎞ 1 1 ⎛ 1 1 ⎞ ⎟ 4 4 ⎜ ⎟ (ab) 4 − b 2 ⎜ 1 1 4) ab ( ab b a − b ⎟: ⎟: б) ⎜ a 2 ⋅ b 2 − = ⎜a2 ⋅ b2 − 1 1 = 1 1 1 ⎜ ⎟ a −b a −b ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ a + a 2b 2 ⎠ a 2 (a 2 + b 2 ) ⎠ ⎝ ⎝ 1 1

1

1

1

1 1

(a 2 b 2 (a 2 + b 2 ) − a 2 b)(a − b)

=

1 (a 2

1 1 1 + b 2 )b 4 (a 4

1 1

=

1

1

1

1

a 2 b 2 ⋅ a 2 (a 2 − b 2 ) 1

=

1 − b4 )

1

1

1

1

1

1

1

a 2 b 2 (a 2 + b 2 − b 2 )(a 2 − b 2 )(a 2 + b 2 ) 1 (a 2

1

1 1 1 + b 2 )b 4 (a 4

1

1

1

1 − b4 )

=

1

ab 2 ( a 4 + b 4 ) = = ab 2 (a 4 + b 4 ); 1

1

a 4 −b 4 −1 3 ⎞ ⎞ ⎛⎜ 3 ⎟ ⎟ 2 − y2 x x y − ⎜ ⎟= ⎟ ⋅ − 1 1 1 1⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ x − x2 y2 x2 +y2 ⎠ 1 1 1 1 ⎛ ⎜ 2 y2 + y 2 − y2 x x x 3x + = 1 ⋅⎜ − 1 1 ⎜ 1 1 x 2 (2x 2 + y 2 ) ⎜⎝ x2

1 1 ⎛ ⎜ 2 y2 + 2 x x в) ⎜ ⎜ 3x ⎜ ⎝

1

×

1

1

1

x + x2 y2 + y − x + x2 y2 1

⎞ ⎟ 3x ⎟= × 1 1 1 ⎟ ⎟ x 2 (2x 2 + y 2 ) ⎠ 1

3x

=

1

1

1

⋅

1

1

x 2 ( 2x 2 + y 2 )

x2

1

y 2 ( 2x 2 + y 2 )

1

= 3y 2 ;

x2

1 1 1 ⎛ ⎛ ⎞ −c −2 ⎜ 1 − ⎜ ⎟ −2 −2 2 2 2 1− c 2c 2⎞ c −c ⎟ ⎛ c −2 c + c г) ⎜ − 2 + ⋅ ⎜⎜1 + 2 ⎟⎟ = ⎜ 1 1⎟ 1 1 ⎜ ⎜ 1 −1 c2 c c ⎠ − ⎟ ⎝ c− c− ⎜ ⎜ c 2 −c 2 2 2 c c c −c ⎠ ⎝ ⎝

⎛ c2 + 2 ⎞ ×⎜ 2 ⎟ ⎜ c ⎟ ⎠ ⎝

=

c c2

100

⎛ (c 2 − 1) c 2 c (1 − c3 ) c =⎜ 2 − 2 + 2 ⎜ c (c − 1) c c (c − 1) ⎝

(c + 1 − 2 − (1 + c + c 2 )) ⋅ 7

51. a)

−2

5 2

c4 (c 2 + 2)2

4

a 3 − 2a 3 b 3 + ab 3 5 4 1 2 2 a 3 − a 3 b 3 − ab 3 + a 3 b

⋅a

−

1 3

=

c2 c c2 + 2 4

=

2

⎞ ⎛ c2 ⎞ ⎟ = ⎟⋅⎜ ⎟ ⎜ c2 + 2 ⎟ ⎠ ⎠ ⎝

. 2 2

4

a ( a 3 − 2a 3 b 3 + b 3 1 5 2 4 1 2 a 3 (( a 3 − ab 3 ) −( a 3 b 3 − a 3 b))

=

⎞ ⎟ ⎟× ⎟ ⎟ ⎠

2

2

2

a(a 3 − b 3 ) 2

=

1

2

2

=

2 1

a 3 ( a 3 − b 3 )(a − a 3 b 3 )

2

1

a(a 3 − b 3 ) 1

1

= a3 + b3;

1

a(a 3 − b 3 )

1 1 1 1 1 ⎛ 1 ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ 4 ⎟ ⎜ ⎟ 4 − y4) 4 )x 2 y 2 2 ( 2 ( x y − x x − y б) ⎜ =⎜ − x − y⎟ × − x − y⎟ : 1 1 1 1 ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 1 1 ⎟ ⎟ ⎜ x− 2 y − 4 − x − 4 y − 2 ⎟ x− 2 − y − 2 ⎜ 4 4 y − x ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1

1

1

y2 − x2

×

1 1

=

1

( y − x) x 2 y 2 1

в)

г)

c −1 3 c4

1 + c2

⋅

1 3(ab) 2

1

− 3b + a −b

3

+

1

1

1

1 1

1 ⋅c4

+1 1 (a 2

c −1 1 1 c 2 (c 4

1 3 − b 2 )3 + 2a 2 3 a2

1 3 a2

1

=

1 a2

1 +b2

1 1 1

+1 =

3

1

1

1 2

−x

−

1 2;

1 c2

=

+1 =

1 c2

−1 +1 =

1 c2;

+1

1 1 3b 2 (a 2 1 (a 2

1 ⋅c4

1

− b2 )

1 1 2 − b )(a 2

1 + b2 )

+

=

1

a −a 2b2 +b2 3 a2

−

3

3 + b2

1 + 3a 2

⋅

1

c 4 (c 4 + 1)

+ 1)

3 + b2

3 + b2

3

= −y

x2 y2

a 2 − 3ab 2 + 3a 2 b − b 2 + 2a 2 + b 2

3b 2

=−

1

(x 2 + y 2 )

( y 2 + x 2 )x 2 y 2

c2 + c4 1 c2

1

(2 x 2 y 2 − x − y )

3 +b2

1

=

1

3b 2 + 3a 2 1 a2

1 +b2

= 3.

6. Преобразования тригонометрических выражений 52. a) tg 2 α − sin 2 α − tg 2 α ⋅ sin 2 α = = б)

sin 2 α − sin 2 α ⋅ cos 2 α − sin 4 α cos 2 α

=

sin 2 α 2

cos α

− sin 2 α −

sin 4 α cos 2 α

sin 2 α(1 − cos 2 α − sin 2 α) cos 2 α

= =

sin 2α ⋅ 0 cos 2 α

= 0;

sin 2 β(sin β + cos β) cos2 β(cosβ + sin β) + = sin β cos β

= sin β(sin β + cos β) + cos β(cos β + sin β) =

(sin β + cos β ) 2 =| sin β + cos β |;

101

в) (3 sin α + 2 cos α) 2 + (2 sin α − 3 cos α) 2 = 9 sin 2 α + 12 sin α ⋅ cos α + + 4 cos 2 α + 4 sin 2 α − 12 sin α ⋅ cos α + 9 cos 2 α = 9(sin 2 α + cos 2 α) + + 4(sin 2 α + cos 2 α) = 13; г)

cos β tgβ sin 2 β

− ctgβ ⋅ cos β =

1 cos 2 β 1 − cos2 β sin 2 β = sin β. = = − sin β sin β sin β sin β

53. а) 2tgα –tg(α – π) + ctg( sin( −α) б) − sin( π − α)

3π – α) = 2tgα – tgα + tgα = 2tgα; 2

⎛π ⎞ tg⎜ − α ⎟ 2 ⎝ ⎠+ ctgα

cos α = −1 − 1 + 1 = −1 ; ⎛π ⎞ sin ⎜ + α ⎟ ⎝2 ⎠ ⎞ ⎛π tg ( π − β ) ⋅ cos( π − β ) ⋅ tg ⎜ − β ⎟ ⎠ ⎝2 = в) π π 3π ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ sin ⎜ − β ⎟ ⋅ ctg ⎜ + α ⎟ ⋅ tg ⎜ + α ⎞⎟ ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝2 ⎠ ⎝2

=

( − tg β ) ⋅ ( − cos β ) ⋅ ctg β cos β = =1; ( − 1) cos β ⋅ ( − tg β ) − ctg β cos β

3π 16π 13π ⎛ 3π ⎞ ⋅ cos tg⎜ + α ⎟ ⋅ sin ⋅ sin 2 2 9 18 ⎝ ⎠ = г) 5π 11π ⋅ cos 2π ctg(π − α) ⋅ cos ⋅ sin 18

9

2π ⎞ 5π ⎞ 2π ⎛ 5π ⎞ ⎛ ⎛ − ctg ⋅ ( − α ) ⋅ sin ⎜ 2 π − ⎟ cos ⎜ π − ⎟ ( −1)( −1) sin ⎜ − cos ⎟ 9 ⎠ 18 ⎠ 9 ⎝ 18 ⎠ ⎝ ⎝ = = = 1. 5π 2π ⎞ 5π ⎛ 2π ⎞ − ctg α ⋅ cos ⋅ sin ⎛⎜ π + ⋅ ⎜ − sin cos ⎟ ⋅1 ⎟ 18 9 ⎠ 18 ⎝ 9 ⎠ ⎝

54. а)

tg (α + β) − tgα − tgβ = tgβ ; tgα ⋅ tg(α + β)

tg ( α + β ) − tg α − tg β = tg α ⋅ tg ( α + β ) tg α + tg β − tg α + tg 2 α ⋅ tg β − tg β + tg α ⋅ tg 2 β 1 − tg α ⋅ tg β = = tg α ( tg α + tg β ) 1 − tg α ⋅ tg β tg α + tg β − tg α + tg 2 α ⋅ tg β − tg β + tg α ⋅ tg 2 β = = tg α ( tg α + tg β ) tg α ⋅ tg β ( tg α + tg β ) = tg β . = tg α ( tg α + tg β )

Таким образом, равенство истинное. 102

б)

1 − cos 2 α + sin 2 α = tg α ; 1 + cos 2 α + sin 2 α

1 − cos 2α + sin 2α 2 sin2 α + 2 sin α ⋅ cosα sin α = = = tgα. 1 + cos 2α + sin 2α 2 cos2 α + 2 sin α ⋅ cosα cosα Тождество доказано. cos( α + β) + cos( α − β) = ctg α ; в) sin( α + β) + sin( α − β)

cosα ⋅ cosβ − sinα ⋅ sinβ + cosα ⋅ cosβ + sinα ⋅ sinβ 2 cosα ⋅ cosβ = = ctgα . sinα ⋅ cosβ + cosα ⋅ sinβ + sinα ⋅ cosβ − cosα ⋅ sinβ 2sinα ⋅ cosβ

Тождество доказано. г)

sin α − sin 3α = −ctg 2α ; cos α − cos 3α sin α − (sin α cos 2 α + cos α sin 2 α ) sin α − sin 3 α = = cos α − cos 3 α cos α − (cos α cos 2 α − sin α sin 2 α ) sin α − (sin α (1 − 2 sin 2 α ) + cos α ⋅ 2 sin α cos α ) = = cos α − (cos α (1 − 2 sin 2 α ) − sin α ⋅ 2 sin α cos α ) sin α − sin α + 2 sin 3 α − 2 sin α cos 2 α = = cos α − cos α + 2 cos α sin 2 α + 2 sin 2 α cos α sin α (sin 2 α − cos 2 α ) cos 2 α − sin 2 α cos 2 α = =− =− = − ctg 2 α . 2 2 sin α cos α sin 2 α 2 sin α cos α

Мы доказали тождество. 1 1 − 2 2

55. а)

1 1 α при π < α < 2π. + cos α = cos 2 2 4

Если π < α < 2π, то 1 1 1 − (1 + cos α) = 2 2 2 =

1 1 α + ⋅ cos = 2 2 2

= cos

α , 4

так как

π α α < < π и cos < 0 . 2 2 2 1 1 1 α − ⋅ 2 cos2 = 2 2 2 2

1 1 α − cos = 2 2 2

1 α α α (1 + cos ) = cos 2 = cos = 2 2 4 4 π α π α < < , cos > 0, 4 4 2 4

cos

α α = cos . 4 4

Мы доказали тождество.

103

1−

б)

1 1 ⎛π α⎞ − cos 2α = 2 cos⎜ − ⎟ при 2 2 ⎝4 2⎠

Если π < α <

π<α<

3π . 2

3π , то sinα < 0, | sinα|= – sinα. 2

π π +α −α π 2 ⋅ cos 2 = 1 − sin α = 1 + sin α = sin + sin α = 2 sin 2 2 2 ⎛π α⎞ ⎛π α⎞ ⎛π α⎞ ⎛π α⎞ = 2 sin ⎜ + ⎟ cos⎜ − ⎟ = 2 cos⎜ − ⎟ cos⎜ − ⎟ = 4 2 4 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝4 2⎠ ⎝4 2⎠ 2

⎛π α⎞ ⎛π α⎞ = 2 cos 2 ⎜ − ⎟ = 2 cos⎜ − ⎟, 4 2 ⎝ ⎠ ⎝4 2⎠ π α π π π α π ⎛π α⎞ < < , − < − < − , cos⎜ − ⎟ > 0. 4 4 2 2 4 2 4 ⎝4 2⎠

Мы доказали тождество. 1 1 + 2 2

в)

1 1 α 3π при + cos 2α = − cos < α < 2π, 2 2 2 2

3π α < < π. 4 2

Значит, 1 1 1 1 + + cos 2α = 2 2 2 2 1 = ⋅ (1 + cos α) = cos 2 2

1 1 cos 2α = + 2 2 α α = − cos . 2 2

1 1 + cos α = 2 2

Мы доказали тождество. г) 1 +

1 1 3π ⎛π α⎞ − cos α = 2 cos⎜ − ⎟ при < α < 2π, 2 2 2 ⎝4 2⎠

3π α < <π. 4 2

Значит,

1 1 α α π α − cosα = 1 + sin2 = 1 + sin = sin + sin = 2 2 2 2 2 2 π α π α + − ⎛π ⎛π α⎞ ⎛ π α ⎞⎞ = 2sin 2 2 ⋅ cos 2 2 = 2 sin⎜⎜ − ⎜ − ⎟ ⋅ cos⎜ − ⎟ ⎟⎟ = 2 2 2 4 4 ⎝ ⎠ ⎝ 4 4 ⎠⎠ ⎝ 1+

⎛π α⎞ ⎛π α⎞ = 2 cos2 ⎜ − ⎟ = 2 cos ⎜ − ⎟. 4 4 ⎝4 4⎠ ⎠ ⎝ 3π π π α π ⎛π α⎞ < α < 2π, то − < − < − , cos⎜ − ⎟ > 0 . Если 4 4 4 8 2 ⎝4 4⎠

Тождество доказано. 104

π 7

56. а) cos cos - cos

π 4π 5π 4π 2π ⎞ π 4π 2π ⎛ cos = cos cos cos ⎜ π − ⎟ = − cos cos cos ; 7 7 7 7 ⎠ 7 7 7 7 ⎝

π 4π π 1 π 2π cos ⋅ sin = sin ; cos 7 7 7 7 8 7

преобразуем левую часть равенства: 1 π π 2π 4π 1 2π 2π 4π − ⋅ 2sin cos cos cos = − ⋅ 2 sin cos cos = 2 7 7 7 7 2 7 7 7 8π 4π 1 4π 1 4π 2π 2π 1 = − ⋅ 2sin cos cos = − sin cos = − ⋅ sin = 7 7 8 7 7 4 7 7 4 1 π⎞ 1 π ⎛ = − ⋅ sin⎜ π + ⎟ = ⋅ sin ; 8 7⎠ 8 7 ⎝

полученное выражение равно правой части, исходное равенство верно. sin 20o

б)

cos 20o

⎞ ⎛ 1 − 4 sin 20o ⋅ sin 50o = sin 20o ⎜⎜ − 4 sin 50o ⎟⎟ = ⎠ ⎝ cos 20o

⎛ 1 − 2(sin 30 o + sin 70 o ) ⎞ ⎟= = sin 20 o ⎜ ⎟ ⎜ cos 20 o ⎠ ⎝ o o ⎞ ⎛ 1 − 1 − 2 sin 70o ⎞ ⎛ ⎟ = −2 sin 20o ⎜ sin(90 − 20 ) ⎟ = = sin 20o ⎜ o o ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ cos 20 cos 20 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ cos 20 o = −2 sin 20 o ⋅ ⎜ ⎜ cos 20 o ⎝ 1

в)

sin 10

=

o

− 4 sin 70 o =

1 + 2 cos 80 o − 2 ⋅ sin 10 o

⎞ ⎟ = −2 sin 20 o . Равенство верно. ⎟ ⎠

1 − 4 sin 10 o sin 70 o sin 10

o

=

1 + 2 (cos 80 o − cos 60 o ) sin 10 o

=

1 o o o 2 = 2 cos( 90 − 10 ) = 2 sin 10 = 2 . o sin 10 sin 10 o

Равенство справедливо. г) cos 20 o + 2 sin 2 55 o − 2 sin 65 o = cos 20 o + 1 − cos 110 o − − 2 sin 45 o sin 65 o = cos 20 o + 1 − cos 110 o + cos 110 o − cos 20 o = 1. Равенство справедливо.

105

57. а) Вычтем из левой части правую.

tgx + ctgx – 2 = tgx +

tg 2 x + 1 − 2 tgx ( tgx − 1) 2 1 –2= = ≥0, tgx tgx tgx

так как (tgx –1)2 ≥ 0; tgx > 0 при всех x ∈ (0;

π ). 2

Неравенство верно. б) Преобразуем дробь в левой части неравенства, учитывая, что ⎛π ⎞ sin⎜ + α ⎟ ⎝3 ⎠ = ⎛ π α ⎞ ⎛ π ⎛ π α ⎞⎞ sin⎜ + ⎟ sin⎜⎜ − ⎜ + ⎟ ⎟⎟ ⎝ 12 4 ⎠ ⎝ 2 ⎝ 12 4 ⎠ ⎠ ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ ⎛π α⎞ ⎛π α⎞ 2 sin⎜ + α ⎟ 2 sin⎜ + α ⎟ 4 sin⎜ + ⎟ cos⎜ + ⎟ 3 3 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝6 2⎠ ⎝6 2⎠ = = = = ⎛π α⎞ ⎛π α⎞ ⎛ π α⎞ ⎛ π α⎞ 2 sin⎜ + ⎟ cos⎜ + ⎟ sin⎜ + ⎟ sin⎜ + ⎟ ⎝ 12 4 ⎠ ⎝ 12 4 ⎠ ⎝6 2⎠ ⎝6 2⎠ α α 3 ⎛π α⎞ = 4 cos⎜ + ⎟ = 4 ⋅ cos − 4 ⋅ sin = 2 2 2 ⎝6 2⎠ 5π α π ⎛ π α ⎞ − = −⎜ + ⎟: 12 4 2 ⎝ 12 4 ⎠

= 2 3 cos 2 3 cos

α α − 2 sin . Теперь равенство принимает вид 2 2

α α α α − 2 sin + 2 sin ≤ 2 3 или 2 3 cos ≤ 2 3 , 2 2 2 2

что верно при любых α. в) Рассмотрим левую часть неравенства и перемножим первую скобку на четвертую, а вторую на третью: (1 + sinϕ + cosϕ)(sinϕ + cosϕ – 1)(1 + (cosϕ – sinϕ)) × × (1 – (cosϕ – sinϕ)) = ((sinϕ + cosϕ)2 – 1)(1 – (cosϕ – sinϕ)2) = = (sin2ϕ + cos2ϕ + 2sinϕcosϕ – 1)⋅ (1 – cos2ϕ – sin2ϕ + 2sinϕcosϕ) = =2sinϕcosϕ ⋅ 2sinϕcosϕ = sin22ϕ ≤ 1. Неравенство верно при всех ϕ. г) Преобразуем левую часть неравенства: 2sin4αsin2α + cos6α = cos2α – cos6α + cos6α = cos2α ≥ – 1. Неравенство верно при любых α. 4

4

58. а) cos α + sin α , если sin2α=

2 . cos4α+sin4α=cos4α+2sin2α × 3

× cos2α+ sin4α – 2sin2α ⋅ cos2α = (cos2α + sin2α)2 –

106

1 2 1 sin 2α = 1 – sin22α; 2 2

если sin2α =

2

1 ⎛2⎞ 1 4 2 7 2 , то 1 − ⋅ ⎜ ⎟ = 1 − ⋅ = 1 − = . 2 ⎝3⎠ 2 9 9 9 3

α 2 , если tg α = m. б) 1 + sin α 2 α α α α α α 1 − 2 sin 2 cos 2 + sin 2 − 2 sin 2 cos 2 − sin 2 2 = 2 2 2 2 2 = = α α α α 2 1 + sin α 2 α 2 α sin (cos + sin ) + cos + 2 sin ⋅ cos 2 2 2 2 2 2 α α cos sin 2 − 2 α α α α α cos − sin cos cos 1 − tg 2 2 = 2 2 = 2 ; = α α α α α cos + sin cos sin 1 + tg 2 2 2 + 2 2 α α cos cos 2 2 α 1 − tg α 2 = 1− m . если tg = m, то α 1+ m 2 1 + tg 2 1 − 2 sin 2

в) Поскольку sinαtgα = откуда cosα=

sin 2 α 1 1 , то = , 2cos2α + cosα –2 = 0, 2 cos α 2

− 1± 17 − 1± 17 − 1± 17 , но < –1, значит cosα= . 4 4 4

г) Поскольку tg

α 1 − cos α 1 − 1 − sin 2 α , то − 2 = , = 2 sin α sin α

− 2 sin α − 1 = − 1 − sin 2 α , 1 + 2 2 sin 2 α + 2 sin 2 α = 1 − sin 2 α, 3 sin 2 α + 2 2 sin α = 0, (3 sin α + 2 2 ) ⋅ sin α = 0 , но sinα ≠ 0,

так что sin α = − cos2 cos

2 2 8 7 . Тогда cos2α = 1 – 2sin2α = 1 –2 ⋅ = – ; 3 9 9

α 1 1 1 2 8 1 1 = (1 + cosα) = (1 + 1 − sin2 α ) = (1 + 1 − ) = + = , 2 6 3 9 2 2 2 2

α α π α 3π 2 2 =± , и так как , то cos = − . < < 2 3 2 3 2 2 2

107

59. а) lgtg1° + lgtg2° + … + lgtg89° tg1° = tg89°, поскольку tg1° = tg(90° –89°) = ctg89°, tg2° = ctg88°. lgtg1° + lgtg2° + … + lgtg89° = lg (tg1° ⋅ tg2° … tg89°) = = lg (ctg89° ⋅ ctg88° ⋅ … ⋅ tg45° ⋅ … ⋅ tg88° ⋅ tg89°) = lg1 = 0. б) lgtg1°⋅ lgtg2°⋅…⋅ lgtg89° = lgtg1°⋅ lgtg2°⋅…⋅ lgtg45°⋅…⋅ lgtg89° = 0. 60. а) lgsin32° ⋅ lgcos7° ⋅ lgtg40° ⋅ lgctg20°. Все эти числа отрицательны; ctg20° – больше 1, его логарифм по основанию 10 больше 0; следовательно, произведение трех отрицательных чисел и одного положительного числа число отрицательное, значит, lgsin32°⋅ lgcos7°⋅ lgtg40° ⋅ lgctg20° < 0. б) lgtg2°+ lgtg4°+ lgctg2°+ lgctg4°= lg (tg2°⋅ tg4°⋅ ctg2°⋅ ctg4°) = lg1 = 0. 61. Воспользуемся формулой tg

2

tg

α 1 − cos α = . 2 1 + cos α

y x z 1 − cos x 1 − cos y 1 − cos z + tg 2 + tg 2 = + + = 2 2 2 1 + cos x 1 + cos y 1 + cos z

a a 1− b c b c = b+c−a + c+a−b + a+b−c = + + + + a a a+b+c a+b+c a+b+c 1+ 1+ b+c b+c

Тогда a b+c + a 1+ b+c 1−

1−

b+c −a +c + a −b+ a +b−c a +b+c = = 1. a+b+c a+b+c

=

7. Преобразования выражений, содержащих степени и логарифмы 62. а) 3400 и 4300; 3400 = (34)100 = 81100, 4300 = (43)100 = 64100, поскольку 81 > 64, то 81100 > 64100, а значит, 3400 > 4300;

б) –log5 7

log 3 1

1 5

=7

и 7

log 3 1

log 3 1

; –log5

1 ⎛1⎞ = –log5 ⎜ ⎟ 5 ⎝5⎠

−1

= log55 = 1,

= 7° = 1, следовательно, –log5

1 log 1 =7 3 ; 5

в) 5200 и 2500; 5200 = 25100, 2500 = 32100, так как 32 > 25, то 25100 < 32100, значит, 5200 < 2500; г) log4 2 и log3 log3 108

1 ; log4 2 = log2 81

( 2)

1 2

1

= log2 2 4 =

1 1 = log3(3)–4 = – 4; значит, log4 2 > log3 . 81 81

1 , 4

63. а) log32 + log37 = log3 (2 ⋅ 7) = log314; log3 (2 + 7) = log39 = 2; y = log3t – возрастает, поскольку 3 > 1, значит, log314 > log39, поэтому, log32 + log37 > log3 (2 + 7); 5 б) log45 – log43 = log4 , log4 (5 – 3) = log42; y = log4t – возрастает, 3 5 так как 4 > 1, значит, log42 > log4 , значит, log45–log430, log7 (3–2)=log71=0, значит, 3log72>log7 (3 – 2); г) log31,5 + log32 = log3 (1,5 ⋅ 2) = log33 = 1, log31,52 = log32,25, так как у = log3t – возрастает и 3 > 2,25, то log32,25 < log33, поэтому, log31,5 + log32 > log31,52. 1 1 − log 9 4 2

64. а) 81 4

1 log 5 8 + (5 3 )2

б) 2

4 log 4 a

=

1

+ 25 log125 8 = 81 4 : 81log9

1 3 : 4 + (8 3 ) 2

1 log −52

5

a

=

4

+ 25log125 8 = 4 81 : (9 log9

4 2

) +

3 3 2 3 3 + 8 = +4= 4 ; 4 4 4 2

− a 0 = 2 2 log 2 a − 5 log5 a − 1 = 2 log 2 a − 5 log5 a − 1 =

= a 2 − a − 1.

65. а) 491−log7 2 + 5 = 1

б) 36 2 66. а)

log 6 5

49 (7 log 7 2 ) 2

+ 2−log 2 10 =

+5 =

36 (6log 6 5 ) 2

+

49 1 + 5 = 12 + 5 = 17,25 ; 4 4 1

2log 2 10

=

6 1 24 + 10 + = = 0,34 . 25 10 100

lg 8 + lg 18 lg 144 lg 12 2 2 lg 12 = = = =2; 2 lg 2 + lg 3 lg 12 lg 12 lg 12

б) 2log0,33 – 2log0,310 = log0,39 – log0,3100 = log0,3 9

100

в)

= log0,3(0,3)

2

= 2;

3 lg 2 + 3 lg 5 lg 8 + lg 125 lg 1000 3 = = = = −3 ; −1 lg 13 − lg 130 lg 0,1 lg 0,1

г) (2log122 + log123)(2log126 – log123) = log1212 ⋅ log1212 = 1. 67. а) 25b3 4 с 7 при а = 5;

log525 + log5b3 + log5 4 с 7 = 2 + 3 log5b + б)

0,0016b 4 7

c c2

7 log5c; 4

при а = 0,2, b > 0, c > 0; 109

log0,20,0016 + 4 log0,2b – log0,2 с 68. a) log4x = 2log410 + x=

4

10 2 ⋅ 813 3

125

1 2

2 7

= 4 + 4 log0,2b – 1

3 2 log481 – log4125; 4 3

б) log 1 x = log 1 16 − log 1 8 + log 1 28 ; 3

69. a)

3

б)

3

3

7,832 ⋅ 4 12,98 5,256

≈

2

102,3 2 92,14 ⋅ 6,341

2 log0,2c. 7

100 ⋅ 27 = 108 ; 25

=

2

1

≈

3

x=

16 ⋅ 28 = 4. 8

7,832 ⋅1,8981 ≈ 0,5381 ; 27,6256

10465,3 ≈ 365,94 . 4,5101 ⋅ 6,341

70. log32 ⋅ log43 ⋅ log54 ⋅ log65 ⋅ log109 =

=

lg 2 lg 3 lg 4 lg 5 lg 6 lg 7 lg 8 lg 9 lg 2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = lg 2 ≈ 0,3010 . lg 3 lg 4 lg 5 lg 6 lg 7 lg 8 lg 9 lg 10 lg 10 ( 3 − 1)( 3 + 1)

3 −1 2 , = = 3 +1 3 +1 3 +1 ( 6 + 2)( 6 − 2) 6−4 2 , то = = 6 +2 = 6 −2 6 −2 6 −2 2 2 + log 2 = log 2 ( 3 − 1) + log 2 ( 6 + 2) = log 2 3 +1 6 −2 = log 2 2 − log 2 ( 3 + 1) + log 2 2 − log 2 ( 6 − 2) = 2 − A.

71. Поскольку

3 −1 =

§ 3. Функции 8. Рациональные функции 72. а) Пусть АВ=CВ=DC=x,

тогда CF=ВЕ= S=

BC + AD ⋅ BE ; 2

S ( x) =

110

х 3 х , АЕ=DF= . 2 2

x+x+

x 3 ⋅2 x 2x + x 3 2 ⋅ = 2 2 4

(

).

б) Пусть ВЕ = x, тогда АВ = ВС = CD = 2x = EF, Периметр трапеции равен:

АЕ = x 3 .

Р(t) = 2x + 2x + 2x + 2x + 2 3 x = 2x (4 + 3 ). 73.

a) Пусть АВ = х, тогда ВС = АС = АА1 = х, x 3 . Объём призмы равен: 2 1 V = SАВС ⋅ AA1; SАВС = BC ⋅ AD. 2

AD =

V(x) =

x 3 x3 3 1 ⋅x⋅ ⋅x= . 2 2 4

б) Если объём призмы υ, то сторона основания АВ = Sбок = PАВС ⋅ АА1; РАВС = 3 ⋅ Sбок(υ) = 3 ⋅

3

4ν 3

⋅

3

4ν 3

3

4ν 3

= 33

, АА1 = АВ =

3

4ν 3

3

4ν 3

;

16ν 2 16ν 2 . Ответ: S(υ) = 3 3 . 3 3

74. 1) x = А sin ωt + x0 ; 2) ν = x′(t ) = Аω cos ωt . 75. а) I – в В в 6 ч 30 мин, II – в А в 7 часов; б) I турист – 4 ч + 1,5 = 5,5 ч, II турист – 2,5 + 2 = 4,5 ч; в) I турист – 4 ч, II турист – в 2 ч 30 мин; г) I турист – 1 час, II турист – 2,5 часа; 20 д) I турист до остановки двигался со скоростью ν = = 5 (км/ч), 4 20 1 после остановки ν = = 13 (км/ч); 1,5 3

111

II

турист до остановки

ν=

20 = 10 (км/ч); 2

ν=

20 = 8 (км/ч), после остановки 2,5

е) Средняя скорость движения первого туриста ν = второго туриста ν =

40 3 = 7 (км/ч), 5,5 11

40 8 = 8 (км/ч). 4 9

76. а) 1) (–∞; –3]∪[–2; 1,5)

2) [–3; –2]∪(1,5; ∞); 3) хmax = –3, у(–3) = 2,5, хmin = –2, у(–2) = 0,5; 4) уmax = 3,5 при х = 1,5, уmin = 0,5 при х = –2; 5) в точке х = 1,5, у(1,5) = 3,5; 6) на (–∞; 1,5) и на (1,5; ∞); 7) ни четная, ни нечетная. б) 1) функция возрастает в каждой точке непрерывности;

2) нет; 3) нет; 4) уmax – нет, уmin = 0, при х = –2, 0, 2; 5) в точках –2; 0; 2; 4; 6; 8; значения функции в них равны 0; 6) на (–4; –2), (–2; 0), (2; 4), (4; 6), (6; 8); 7) ни четная, ни нечетная. в) 1) возрастает на (–∞; –3]∪[–1; 0)∪(0; 1]∪[3; ∞);

2) убывает на [–3; –1]∪(1; 3]; 3) хmax = –3, у(–3) = –1,5, хmax = 1, у(1) = 2, хmin = –1, у(–1) = –2, хmin = 3, у(3) = 1,5; 4) уmax = 2 при х = 1, уmin = –2 при х = –1; 112

г)

5) в точке х = 0, значения функции нет в этой точке; 6) непрерывна на (–∞; 0)∪(0; ∞); 7) нечетная. 1) возрастает на (–∞; –2,5]∪(0; 2,5];

2) убывает на [–2,5; 0) ∪[2,5; ∞); 3) хmax = –2,5, у(–2,5) = 2,5, хmax = 2,5, у(2,5) = 2,5, хmin = 0, у(0) = 0,5; 4) уmax = 2 при х = –2 и х = 2, уmin = 0,5 при х = 0; 6) непрерывна при всех х; 7) четная. 77. а) D(y) : x2 + 2x – 8 ≠ 0, x ≠ –4, x ≠ 2, D(y) : x ∈ (–∞; –4)∪(–4, 2)∪(2; +∞); б) х4 – 1 ≠ 0, (х2 – 1)(х2 + 1) ≠ 0, х ≠ 1, х ≠ –1, D(y) : х ∈ (–∞; –1)∪(–1; 1)∪(1; ∞);

в) х4 –9х2 + 20 ≠ 0, х ≠ 5 , х ≠ – 5 , х ≠ 2, х ≠ –2, D(y) : х ∈ (–∞; – 5 )∪(– 5 ; –2)∪(–2; 2)∪(2; 5 )∪( 5 ; ∞); г) 3х2 –5х + 4 ≠ 0, D < 0, D(y) : х ∈ (–∞;∞). 78. а) х3 – х ≠ 0, х(х2 – 1) ≠ 0, х ≠ 0, х ≠ 1, х ≠ – 1; промежутки непрерывности (–∞; –1)∪(–1; 0)∪(0; 1)∪(1; ∞); б) х – 1 ≠ 0, х ≠ 1; непрерывность на (–∞; 1)∪(1; ∞); в) х ≠ 0. Функция непрерывна на (–∞; 0)∪(0; ∞); г) 3х3 – 2х2 + 5 = 0, (х + 1)(3х2 –5х + 5) = 0, х=–1, 3х2–5х+5≠0 – т.к. D<0, то функция непрерывна на (–∞;–1)∪(–1;∞). 79. а) у(–х) = (–х)3 –3(–х) = –х3 + 3х = –(х3 – 3х) = –у(х) – нечетность доказана;

б) у(–х) =

5(− х) 3 1 − (− х) 2

=

− 5х 3 1− х 2

=−

− 5х 3 1− х2

= − у ( х) – нечетная;

в) у(–х) = (− х) 4 ((− х) 2 + 2) = х 4 ( х 2 + 2) = у ( х) – четная; г) у(–х) =

| − x | +2 (− x)

2

=

| x | +2 (− x) 2

= y ( x) – четная.

80.

а)

x −1 > 0 , ( x − 1)3x > 0 , 3x

113

1 y ( ) < 0, 2

у (3) > 0,

y (−2) > 0;

y > 0 при x ∈ (−∞; 0) ∪ (1; ∞) ,

y < 0 при х ∈ (0; 1); х 2 − 4х − 5

б)

9 − х2

> 0,

( x − 5)( x + 1) > 0 , y (8) < 0, y ( 4) > 0, y (−4) < 0 , (3 − x)(3 + x)

y (0) < 0, y ( −2) > 0; y > 0 при x ∈ (−3; − 1) ∪ (3; 5),

y < 0 при x ∈ (−∞; − 3) ∪ ( −1; 3) ∪ (5; ∞) ; 2х − 3 > 0, 5− х 5 − x − 2x + 3 >0, 5− x 8 − 3x > 0, y (9) > 0, y (4) < 0, y (0) > 0; y > 0 при 5− x 2 2 x ∈ (−∞; 2 ) ∪ (5; ∞), y < 0 при x ∈ (2 ; 5) ; 3 3

в) 1 −

г) y = 2 x 2 − 5 x + 2, 2 x 2 − 5 x + 2 > 0, 1 2( x − )( x − 2) > 0, y > 0 при 2 1 1 x ∈ (−∞; ) ∪ (2; ∞), y < 0 при x ∈ ( ; 2) . 2 2

81.

а) у = 4х2 + 3х – 1. Производная функции: у ′ = 8 х + 3 . Критическая 3 8

точка: 8х +3 = 0, 8х = –3, х = − , y ′(0) > 0, y ′(−1) < 0, 3 – точка минимума; функция возрастает на 8 3 3 [− ; ∞) , убывает на (−∞; − ] . 8 8

значит, х = −

б) у = 1 –

2 2 . Производная функции: y ′ = 2 . х x

Критическая точка х = 0. y ′(2) > 0,

y ′(−3) > 0;

функция возрастает на D(у). 114

в) у = (х –1)4 – 2. Производная: y ′ = 4( x − 1) 3 . Критическая точка х = 1. y ′(3) > 0, y ′(0) < 0; х = 1 – точка минимума;

функция возрастает на [1; ∞), убывает на (–∞; 1]. г) у =

х +1 2 = 1+ х −1 x −1

–

Производная: ( х − 1) − ( х + 1) ( х − 1)

2

=

х −1 − х −1 ( х − 1)

2

=

−2 ( х − 1) 2

.

Критическая точка х = 1. у ′(3) < 0, y ′(0) < 0; Функция убывает на D(y). 82. а) у = 3х – 5; D ( x) : x ∈ (−∞; ∞) ; E ( y ) : y ∈ ( −∞; ∞) ; 2 3

нули: 3х – 5 = 0, x = 1 ; промежутки знакопостоянства: 2 3

2 3

у > 0 при x ∈ (1 ; ∞) , у < 0 при x ∈ (−∞; 1 ) ; экстремумов нет, у′ = 3 = const, функция возрастает на D. б) у = 2х2 – 7х + 3; D( x) : x ∈ (−∞; ∞) ; −8 7 1 = − , y 0 = −3 , 2a 4 8 1 E ( y ) : y ∈ ( −3 ; ∞) ; 8 x0 =

1 2

нули: 2х2 – 7х + 3 = 0, x1 = , x 2 = 3 ; промежутки знакопостоянства:

115

1 2

1 2

у > 0 при x ∈ (−∞; ) ∪ (3; ∞) , у′ = 4х – 7, 4х – 7 = 0, х = 1

у < 0 при x ∈ ( ; 3) ;

3 – точка минимума, 4

3 1 у = (1 ) = −3 ; 4 8

у′(2) > 0, у′(0) <0, 3 4

возрастает на [1 ; ∞) , 1 х; D ( x) : x ∈ (−∞; ∞), 4 1 нули: 2 − х = 0, 4

в) у = 2 −

3 4

убывает на (−∞; 1 ] . E ( y ) : y ∈ (−∞; ∞) ;

x=8; промежутки знакопостоянства:

у > 0 при x < 8, y < 0 при x > 8; у′ = − г) у = 12 – 4х – х2; D(x): x ∈ ( −∞; ∞ ) ; x0 = –2; y0 = 16;

1 – функция убывает на D(y); 4

E ( y ) : y ∈ ( −∞; 16) ; нули: 12 – 4х – х2 = 0,

х2 + 4х – 12 = 0, х1 = –6, х2 = 2, у > 0 при х ∈ (−6; 2) , у < 0 при х ∈ ( −∞; − 6) ∪ ( 2; ∞ ) ;

у′ = –4 – 2х, –4 – 2х = 0, х = –2, у′(0) < 0, у′(–6) > 0, х = –2 – точка максимума, у(–2) = 16; возрастает на (–∞; –2], убывает на [–2; ∞). 3 , х +1 D(x): x ∈ (−∞; − 1) ∪ (−1; ∞) ;

83. а) у = 2 –

E ( y ) : y ∈ (−∞; 2) ∪ ( 2; ∞) ; 2х + 2 − 3 3 = 0, =0, х +1 х +1 1 2х – 1 = 0, х = ; 2

нули: 2 –

116

промежутки знакопостоянства:

2х − 1 > 0 , (2х –1)(х + 1) > 0, у(2) > 0, х +1

y(0) < 0, 1 2

1 2

y(–2) > 0, y > 0 при х ∈ (−∞; − 1) ∪ ( ; ∞) , у < 0 при х ∈ (−1; ) ; у′ =

3 ( х + 1) 2

,

у′(–2) > 0, y′(0) > 0, критическая точка х = –1; экстремумов нет; функция фозрастает на (–∞; –1)∪(–1; ∞). б) у = (х – 2)3 –1; D(x): x ∈ (–∞; ∞); E(y): y ∈ (–∞; ∞); нули: (х – 2)3 –1 = 0, (х – 2 –1)(х2 – 4х + 4 + х – 2 + 1) = 0, (х – 3)(х2 – 3х + 3) = 0, х = 3 или х2 – 3х + 3 = 0 – уравнение решений не имеет; промежутки знакопостоянства: y(4) > 0, y(2) < 0, y > 0 при х ∈ (3; ∞), у < 0 при х ∈ (–∞;3); у′ = 3(х – 2)2, 3(х – 2)2 = 0, х = 2,

у′(4) > 0, у′(0) > 0, экстремумов нет; Функция возрастает на D(y). в) у =

х 4 +1 х

4

= 1+

1 x4

;

D(y): x ∈ (–∞; 0)∪(0; ∞); E(y): y ∈ (1; ∞); нулей нет; y > 0 при всех х ∈ D(x); х = 0 – критическая точка; у′(1) < 0, у′(–1) > 0, 117

возрастает на (–∞; 0), убывает на (0; ∞).

г) у = 4 – (х + 2)4; D(x): x ∈ (–∞; ∞); E(y): y ∈ (–∞; 4]; нули: 4 – (х + 2)4 = 0, (х + 2)4 = 4, х1 + 2 = х1 =

2,

2 – 2,

– 2 –2

2–2

2

х2 = – 2 – 2; промежутки знакопостоянства:

– 2 –2

2 –2

у(–2) > 0, y(3) < 0, y(–10) < 0; y′ = –4(x + 2)3, –4(x + 2)3 = 0, (x + 2)3 = 0, x = –2, y′(0) < 0, y′(–3) > 0, x = –2 – точка максимума, у(–2) = 4; возрастает на (–∞; –2), убывает на (–2; ∞). 84. а) б)

118

в)

г)

85. а) При х ≥ 0 у = 3х + х, у = 4х, при х < 0 имеем у = 2х;

б) –х2 – х + 2 = 0, х2 – х + 2 = 0, х1 = –2, х2 = 1, при х ∈ [–2; 1] у = –х2 – х + 2, при х ∈ (–∞; –2)∪(1; ∞) у = х2 + х – 2; в) при х > 3 имеем у = 2х – х + 3, у = х + 3, при х < 3 имеем у = 2х – (–х + 3), у = 3х – 3; г) при х > 0 имеем у = х2 – 4х + 3, при х < 0 имеем у = х2 + 4х + 3.

119

86. а) При х > 0 имеем у =

х +1 , х

при х < 0 имеем у = −1−

б) у =

1 х2

1 ; х

+2;

в) При х > 0 имеем х−2 2 у= , у = 1− , х х при х < 0 имеем −х − 2 2 у= , у = −1− ; х х

г) у =

2х 3 −1 х3

,

87. а) х2 = х + 6, х2 – х – 6 = 0, х1 = 3, х2 = –2. Ответ: да. 3 б) = 4( х + 1), х ≠ 0, 3 = 4( х + 1) ⋅ х, 3 = 4 х 2 + 4 х , х 2

4 х + 4 х − 3 = 0,

Ответ: да. 120

D = 16 + 48 = 64 , x1 =

−4 − 8 1 1 = −1 , x2 = . 8 2 2

4

2

4

2

в) x = 2 x + 1, x − 2 x − 1 = 0 . D = 4 + 4 = 8, x2 = 1 + 2 , x2 = 1 – 2 – корни есть, х2 = 1 – 2 – корней нет. Ответ: да. г)

1 х

2

2

= х 2 − 2, х ≠ 0, 1 = х 4 − 2 х 2 , х 4 − 2 х 2 − 1 = 0 . Пусть х = у,

D = 4 + 4 = 8, x2 = 1 + 2 , x2 = 1 – 2 , х2 = 1 + 2 – корни есть, х2 = 1 – 2 – корней нет. Ответ: да. 88. а) Функция у = х3 – 6х + 2 определена на [0; 1]. у(0)=0–0+2>0, у(1) = 1 – 6 + 2 = –3 < 0. Уравнение имеет корень на данном промежутке, т.к. функция непрерывна и она принимает значение 0. 2 9

7 9

б) у(1)=1–3+ = − 1 <0,

2 9

2 9

у(2)=16–12+ = 4 >0, уравнение имеет

корень на [1; 2]. в) у(1) = 1 + 3 – 5 = –1 < 0 для у(х) = х5 + 3х – 5 – непрерывной на I; у(2) = 32 + 6 – 5 = 33 > 0, уравнение имеет корень на [1; 2]. г) у = 4 + 2х3 –х5 – непрерывна на I; у(–1) = 4 – 2 + 1 = 3 > 0, у(2) = 4 + 16 – 32 < 0, уравнение имеет корень на [–1; 2]. 89. а) у1 = 4 –3х и у2 = х + 2. б) у1 = х2 –2х и у2 = –х.

Ответ: х ∈ [0,5; ∞).

Ответ: 0; 1.

1 в) у1 = и у2 = 4х. х

г) у1 = х2 + 2х + 2 и у2 = х + 1.

Ответ: –0,5; 0,5.

Ответ: х ∈ (–∞; ∞). 121

90.

а) у1 = х3 и у2 =

8 . х −1

б) y1 = |1–х| и у2 = 2–|х|

Ответ: 2 и приблизительно –1,5.

Ответ: –0,5; 1,5.

1 в) у1 = х и у2 = . х

г) y1 = |х – 1| и у2 = 3 – |х|

Ответ: –1; 1.

Ответ: –1; 2.

3

91. Из условия найдем а и b. ⎧1 = 2a + b, ⎨10 = 5a + b, ⎩

3a = 9, a = 3, b = −5

Ответ: а = 3, b = –5. 122

92. а)

б)

в)

г)

д)

е)

а) а > 0, так как ветви параболы направлены вверх; b > 0, так как абсцисса вершины параболы, x 0 = −

b <0; 2a

c < 0, так как ордината точки пересечения графика с осью Оу отрицательна; D > 0, так как парабола пересекает ось Ох в двух точках; б) аналогично а) имеем: а < 0, b < 0, c < 0, D = 0; в) а > 0, b < 0, c > 0, D < 0; г) а < 0, b < 0, c = 0, D > 0; д) а < 0, b < 0, c < 0, D < 0; е) а > 0, b > 0, c > 0, D = 0; 93. а) может, например: у = х2, у =c; б) может линейная функция, например у = aх; в) не может. 94. а) y =

в) y =

1 x ; б) y = (3) + ( x 3 − x | x |) ; + |x| |x|

x2 x4 − 1

+

x3 − x x4 − 1

; г) y = ( x 4 + 8) + (2 x5 − 3x) . 123

95. а) y (− x) = 5 ⋅ (− x) 6 − 2(− x) 2 − 3 = 5 x 6 − 2 x 2 − 3 = y ( x) – четная;

б) y(− x) = 4(− x) 5 − 2(− x) 3 + (− x) = −4 x 5 + 2 x 3 − x = − y( x) – нечетная; в) y (− x) =

3

=

3

= y ( x) – четная; (− x) + 1 x + 1 2 2 г) y (− x) = − = = − y ( x) – нечетная. 3 x3 (− x) 2

2

9. Тригонометрические функции 96. а) cos2x ≠ 0, x ≠

π + πn, n ∈ Z ; 2

б) 1 + 2 sin 2 x ≠ 0, sin 2 x ≠ − x ≠ ( −1) k +1

π πk + , 12 2

3 3 cosx − ≠ 0, 2

в)

1 ⎛ π⎞ , 2 x ≠ (−1) k ⎜ − ⎟ + πk , k ∈ Z , 2 ⎝ 6⎠

k∈Z ;

3 3 3 π 3 cosx ≠ , cosx ≠ , cosx ≠ , x ≠ ± + 2πn, n∈Z ; 2 2 6 2 3

x x x x ≠ 0, sin ≠ 0 или cos ≠ 0 , 2 2 2 2 x πk ≠ + πn, k ∈ Z , x = πk , k ∈ Z . 2 2

г) sin ⋅ cos

sin x ≥ 0, 97. а) sin x ⋅ cos x ≥ 0, ⎧⎨

sin x ≤ 0, или ⎧⎨

⎩cos x ≥ 0

Ответ: x ∈ [ πn;

π + πn], 2

⎩cos x ≤ 0.

n∈Z .

⎧ x ≥ 0, ⎪

б) ⎨ n – целые положительные числа. π ⎪ x ≠ + πn. ⎩

2

в) sin 2 x − cos 2 x ≥ 0, cos 2 x ≤ 0, 124

π 3π + 2πn ≤ 2 x ≤ + 2πn , 2 2

π 3π + πn ≤ x ≤ + πn, n ∈ Z . 4 4 π 3π Ответ: x ∈ [ + πn; + πn], n ∈ Z . 4 4 n ∈ Z,

sin x ≥ 0, г) ⎧⎨

⎩cos x ≥ 0.

Ответ: x ∈ [2πn;

π + πn; ], n ∈ Z . 2

98. а) E ( y ) : y ∈ [−2; 4]; в) E ( y ) : y ∈ [−1; 5];

б) E ( y ) : y ∈ (−2; 2); г) E ( y ) : y ∈ [−1; 1] .

1 2

99. а) E ( y ) : y ∈ [ ; + ∞);

б) y = 1 − cos 4 x , –1 ≤ cos4x ≤ 0, 0 < y ≤ 2 , E ( y ) : y ∈ [0; 2 ]; в) y =

−3 3 = =− cos x − 1 1 − cos x

3

3 , E ( y ) : y ∈ [−∞; − ]; x 2 2 sin 2 1 a + ≥ 2 , E ( y ) : y ∈ ( −∞; − 2] U [ 2; + ∞ ) . a 2

г) y = tgx + ctgx = tgx +

1 , tgx

100. а) у > 0 при −

π π π + 2πn < x + < + 2πn, 2 4 2

n∈Z ,

3π π + 2πn < x < + 2πn, n ∈ Z ; 4 4 π π 3π y < 0 при + 2πn < x + < + 2πn, n ∈ Z , 2 4 2 π 5π + 2πn < x < + 2πn, n ∈ Z . 4 4 3π π Ответ: y > 0 при x ∈ (− + 2πn; + 2πn), n ∈ Z ; 4 4 π 5π y < 0 при x ∈ ( + 2πn; + 2πn), n ∈ Z . 4 4 π π б) y < 0, если 1 – tg3x < 0, tg3x >1 при + πn < 3x < + 2πn, n ∈ Z , 4 2 π πn π πn + <x< + , n ∈ Z ; y > 0 , если 1 – tg3x > 0, 12 3 6 3 −

125

π πn 5π πn π 5π + πn < 3x < + πn, n ∈ Z , + < x < + , n∈Z . 2 4 6 3 12 3 ⎛ π πn π πn ⎞ Ответ: y < 0 при x ∈ ⎜ + ; + ⎟, n ∈ Z ; ⎝ 12 3 6 3 ⎠

tg3x < 1 при

⎛π ⎝6

y > 0 при x ∈ ⎜ +

πn 5π πn ⎞ ; + ⎟, n ∈ Z . 3 12 3 ⎠

x 2 , < 2 2 x ⎛ 5π π π ⎞ ⎛ 5π ⎞ ∈⎜− + 2πn; + 2πn ⎟ , x ∈ ⎜ − + 4πn; + 4πn ⎟ ; 2 ⎝ 4 4 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠

в) y > 0, если sin

y < 0, если sin

3π x 2 ⎞ ⎛π , x ∈ ⎜ + 4πk; + 4πk ⎟, k , n ∈ Z . > 2 2 2 2 ⎠ ⎝

г) у > 0, если 1 + 2 cos 2 x > 0, 2 cos 2 x > −1, cos 2 x > − 2π 2π + 2πn < 2 x < + 2πn, n ∈ Z , 3 3

1 , 2

π π + πn < x < + πn, n ∈ Z ; 3 3 1 у < 0, если 1 + 2 cos 2 x < 0, 2 cos 2 x < −1, cos 2 x < − , 2 2π 4π π 2π + 2πn < 2 x < + 2πn, n ∈ Z , + πn < x < + 2πn, n ∈ Z . 3 3 3 3 π π Ответ: у > 0 при x ∈ (− + πn; + πn), n ∈ Z , y < 0 3 3 π 2π при x ∈( + πn; + πn), n∈Z . 3 3 −

x 2

−

x 2

101. а) y (− x) = tg (−3x) − ctg(− ) = −tg 3x + ctg = − y( x) – нечетная;

б) y (− x) =

sin( − x) ⋅ cos 2 (− x) − sin x ⋅ cos 2 x = y ( x) – четная; = (− x) −x ⎛ (− x)3 − (− x) ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎟ = sin⎜ − x + x ⎟ = sin⎜ − x − x ⎟ = ⎜ (− x)2 − 1 ⎟ ⎜ x2 − 1 ⎟ ⎜ x2 − 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

в) y(−x) = sin⎜

= − sin

x3 − x

= − y ( x) – нечетная; x 2 −1 sin(− x) − sin x sin x − cos(− x) = − cos x = − cos x = y( x) – четная. г) y(− x) = −x −x x

126

102. а) Периодическая c периодом T =

2π ; б) непериодическая; 5

в) периодическая, период T = 2π ; 2

2

г) y = sin x + 2 sin x ⋅ cos x + cos x = 1 + sin 2x , периодическая, T = π . 103. π 6

а) Производная функции: cos( x − ) = y ′ π π π cos( x − ) = 0 , x − = + πn, 6 6 2 2π x= + πn, n ∈ Z . 3

y′ > 0 на (−

π + 2πn; 3

n∈Z ,

2π + 2πn), 3

n ∈ Z , значит,

на этом промежутке функция возрастает;

2π 5π + 2πn; + 2πn), n ∈ Z , значит, функция на этом проме3 3 2π жутке убывает. В x = + 2πn, n ∈ Z , производная меняет знак с 3 5π «+» на «–», это точка максимума; в x = + 2πn, n ∈ Z , производ3

y′<0 на (

ная меняет знак с «–» на «+», значит, это точка минимума. π 3

2π + 2πn], n ∈ Z ; 3 5π ⎡ 2π ⎤ убывает на ⎢ + 2πn; + 2πn⎥, n ∈ Z ; 3 ⎣ 3 ⎦ 2π 5π x max = + 2πn, n ∈ Z , x min = + 2πn, n ∈ Z . 3 3 x − cos − 2(sin x) 2 , y ′ = 0. = б) y′ = (1 − cos x) 2 2 sin 3 x

Ответ: возрастает на [− + 2πn;

x cos = 0, 2

2

x = π + 2πn, x ≠ 2πk ,

k, n ∈ Z ;

y ′ > 0 x ∈ (π + 2πn; 2π + 2πn), n ∈ Z y ′ < 0 x ∈ (2πn; π + 2πn), n ∈ Z. Таким образом, функция возрастает при x ∈ [π + 2πn; 2π + 2πn), функция убывает при x ∈ [2πk; π + 2πk), следовательно, в точке x = π + 2πn производная меняет знак с «–» на «+», значит, это точка минимума, а точки максимума нет, т.к. x ≠ 2πk . 127

π 3

π 3

π 3

в) y ′ = 0,5(− sin( − 2 x)) ⋅ (−2) = sin( − 2 x) = − sin( 2 x − ) , π − sin(2 x − ) = 0, 3 π 2 x − = πn, n ∈ Z , 3 π 2 x = + πn, n ∈ Z , 3 π πn x= + , n ∈ Z . у′(х) > 0 при 6 2 7π 2π 7π ⎡ 2π ⎤ + πn ⎥ ( + πn; + πn) , n ∈ Z, значит, при x ∈ ⎢ + πn; 6 3 6 ⎣ 3 ⎦ π 2π функция возрастает, у′ < 0 на ( + πn; + πn), n ∈ Z , значит, 6 3 2π ⎡π ⎤ + πn ⎥ функция убывает; при x ∈ ⎢ + πn; 6 3 ⎣ ⎦ π 5π x max = + πn, n ∈ Z ; x min = + πn, n ∈ Z . 6 3

г) y ′ =

1 2

(−2 sin x ⋅ cos x) = −

2 1 − sin x

Функция возрастает на ⎡ ⎢ πn; ⎣

sin 2 x . 2 | cos x |

⎛π ⎤ ⎜ + πn; π + πn ⎥ , n ∈ Z , ⎦ ⎝2

убывает на

π ⎞ + πn ⎟, n ∈ Z , хmax = πn, n ∈ Z; точек минимума нет. 2 ⎠

104. a) так как y = cos2x – sin2x + sin2x, y = cos2x, ymax = 1, ymin = 0; б) ymin = –3, ymax = 5; в) ymin = – 2 , ymax = 2 ; г) ymin = 1, ymax не существует. 105. а) y = 2sin2

128

x = 1 – cosx; 2

б) y = 1 − cos 2 x =| sin x | ;

в) y = 1+ 2 cos 2 x ;

⎛

π⎞ 3⎠

г) y = sin⎜ x − ⎟ − 2 . ⎝

106.

а) y =

| x | sin x , x

при х>0 у = sinx, при х < 0 у = –sinx; б) y = (sin x − cos x) 2 = 1 − sin 2 x ;

π π + 2πn; + 2πn), n ∈ Z , 2 2 π 3π y = 2 cos x ; при x ∈ ( + 2πn; + 2πn), n ∈ Z , у = 0; 2 2

в) y = cos x + | cos x | , при x ∈ (−

129

г) y = sinx ⋅ ctgx = sin x ⋅

cos x = cos x, x ≠ πn, n ∈ Z . sin x

107.

a) y =

1 π⎞ ⎡ 1 1⎤ ⎛ + sin ⎜ x − ⎟ . 1) D ( y ) : x ∈ (−∞; ∞) . 2) E ( y ) : y ∈ ⎢− ; 1 ⎥ . 2 6⎠ ⎣ 2 2⎦ ⎝

1 1 π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ + sin ⎜ x − ⎟ = 0, sin ⎜ x − ⎟ = − , 2 6⎠ 6⎠ 2 ⎝ ⎝ π π π π ⎛ ⎞ x − = (−1) k ⎜ − ⎟ + πk , k ∈ Z , x = (−1) k +1 + + πk , k ∈ Z . 6 6 6 ⎝ 6⎠

3) Нули:

4) Промежутки знакопостоянства:

π π 7π + 2πm < x − < + 2πm, m ∈ Z , 6 6 6 4π 5π π π 2πm < x < + 2πm, m ∈ Z ; y < 0, − + 2πm < x − < − + 2πm, m ∈ Z , 3 6 6 6 π 2π − + 2πm < x < + 2πm, m ∈ Z . 3 6 y > 0,

−

5) Функция ни четная, ни нечетная. π 6

⎛

π⎞ 6⎠

6) y ′ = cos( x − ), cos⎜ x − ⎟ = 0 , x−

x=−

⎝

π π = + πn, n ∈ Z , 6 2

π + πn, 3

2π ⎡ π ⎤ n ∈ Z ; возрастает на ⎢− + 2πn; + 2πn⎥, n∈Z , 3 ⎣ 3 ⎦ ⎡ 2π

5π

⎤

убывает на ⎢ + 2πn; + 2πn⎥, n ∈ Z , 3 ⎦ ⎣ 3 130

5π 2π + 2πn, n ∈ Z , xmin = + 2πn, 3 3

хmax =

n∈Z .

7) Периодичная с периодом 2π. 1 2

⎛x ⎝2

π⎞ 3⎠

б) y = tg⎜ − ⎟ . 1) D( y) :

x π π − ≠ + πm, m ∈ Z , 2 3 2

x 5π 5π ≠ + πm, m ∈ Z , x ≠ + 2πm, m ∈ Z , 2 6 3

2) Е(у): у ∈ (–∞; ∞). 3) Нули:

x π ⎛ x π⎞ − = πk , k ∈ Z , tg⎜ − ⎟ = 0, 2 3 ⎝2 3⎠ 2π x= + 2πk , k ∈ Z . 3

1 ⎛ x π⎞ tg⎜ − ⎟ = 0, 2 ⎝2 3⎠

x π = + πk , k ∈ Z , 2 3

4) Промежутки знакопостоянства: 2π 5π + 2πn; + 2πn), n ∈ Z , 3 3 π 2π у < 0, x ∈ (− + 2πn; + 2πn), n ∈ Z , 6 3

у > 0, x ∈ (

5) Функция ни четная, ни нечетная. 1 2

6) y ′ = ⋅

1 1 1 ⋅ = >0 2 x π ⎛ ⎞ ⎛ x π⎞ cos 2 ⎜ − ⎟ 4 cos 2 ⎜ − ⎟ ⎝2 3⎠ ⎝2 3⎠

при всех х ∈ D(y), функция возрастает, экстремумов нет. 7) Периодичная, период 2π.

131

π 4

1 2

π 4

1 2

в) у = 1 + cos( − x) = 1 + cos( x − ) . 1) D(y): x ∈ (–∞; ∞). ⎡1

1⎤

2) E(y): y ∈ ⎢ ; 1 ⎥ . 2⎦ ⎣2 3) Нулей нет. 4) у > 0 при всех х ∈ D(y). 5) Ни четная, ни нечетная. 6) Периодичная, период 2π. 7)

1 ⎛ π⎞ π⎞ ⎛ sin ⎜ x − ⎟, sin ⎜ x − ⎟ = 0 , 2 ⎝ 4⎠ 4⎠ ⎝ π π x − = πn, n ∈ Z . x = + πn, n ∈ Z , 4 4 π ⎡ 3π ⎤ возрастает на ⎢− + 2πn; + 2πn⎥ , 4 ⎣ 4 ⎦ y′ = −

⎡π

5π

⎤

n ∈ Z, убывает на ⎢ + 2πn; + 2πn⎥, n ∈ Z , 4 ⎦ ⎣4

x max =

π 5π + 2πn, x min = + 2πn . 4 4

г) у = 1 – tg2x. 1) D ( y ) : 2 x ≠

π π πk + πk , k ∈ Z , x ≠ + , k∈Z 2 4 2

2) Е(у): у ∈ (–∞; ∞). 3) Нули: tg2x = 1, 2 x =

π π πm + πm, m ∈ Z , x = + , m∈Z . 4 8 2

4) Промежутки знакопостоянства: π 2 π + πn < 2 x < 4

π π πn π πn + πn, n ∈ Z , − + < x < + , n∈Z , 4 4 2 8 2 π π πn π πn + πn, n ∈ Z , + < x < + , n∈Z . 2 8 2 4 2

у > 0, − + πn < 2x < у < 0,

5) Ни четная, ни нечетная. 132

6) Периодичная с периодом 7) y ′ = −

2 cos 2 2 x

π . 2

<0

при всех х ∈ D(y), функция убывает.

108. Поскольку функции y1 = sin

x и у2 = х3 нечетные, то 10

у1(х0) = –у1(–х0) и у2(х0) = –у2(–х0); значит, у1(–х0) = у2(–х0), т.е. x0 – корень уравнения. 1 1 π π 1 π 3π 1 1 = 2 sin( π + − ) = 2 sin( + ), < π 4 4 π π 3π 1 1 значит, 2 sin( + ) > 0, sin( π + ) 4 π π 1 б) 3π < π 2 < 3 π , 4

1 1 π π − cos(π + ) sin = π 4 4 π π 3π 1 , + < π, 4 4 π 1 > cos(π + ) ; π

109. а) sin(π + ) − cos(π + ) = 2 (sin(π + ) cos

значит, tgπ2 < 1, а ctgπ2 > 1, тогда tgπ2 < ctgπ2;

3

1 π 4

в) tg2 < –1, ctg2 > –1, значит, tg2 < ctg2; г) sin1 >

2 2 , cos1 < , значит, sin1 > cos1. 2 2

110.

а) sinα + cosα > 1, если 0 < α <

π ; sinα + cosα > 1, sinα + 1− sin2 α > 1, 2

1− sin2 α > 1 – sinα; возведем в квадрат обе части:

133

1 – sin2α > (1 –sinα)2, 1 – sin2α > 1 – 2sinα + sin2α, –sin2α > –2sinα + sin2α, –sin2α > sinα (sinα – 2), π –sinα > sinα –2, 1 > sinα, что верно на (0; ); 2 б) Так как |sinα| ≤ 1 <

π , то cos(sinα) > 0. 2

111. a) у1 = sinx и у2 = –х.

Ответ: 0. б) у1 = tgx; y2 =

2 cosx, π π π . − < x < . Ответ: 2 2 4

г) у1 = cosx и y2 = 1 – x2. Ответ: 0.

134

в) у1 = tgx; y2 = x. Ответ: 0.

10. Степенная, показательная и логарифмическая функции 112. a) 16x − x3 ≥ 0, x(16 − x2 ) ≥ 0, x(4 − x)(4 + x) ≥ 0 .

Ответ: х ∈ (–∞; –4] и [0; 4]. б) х3 + 8 > 0, х3 > –8, х > –2.

Ответ: х ∈ (–2; ∞). в) 5 – х –

5x − x 2 − 4 4 ≥ 0, ≥ 0, x х

(–х2 + 5х – 4)х ≥ 0,

(–х2 + 5х – 4)х ≥ 0, x(х – 1)( х – 4) ≤ 0.

Ответ: х ∈ (–∞; 0) U [1; 4]. г) х2 + х – 20 > 0, (х – 4)(х + 5) > 0.

Ответ: х ∈ (–∞; –5) U (4; ∞). 1 3

113. а) х 2 ⋅ 3 х − 3 х −1 ≥ 0, 3 x ( x 2 − ) ≥ 0, 3 x ( x −

3х > 0 при всех х, x ≤ − Ответ: х ∈ (–∞; –

1 3

1

]U [

3 1 3

или x ≥

1 3

1 3

)( x +

1 3

) ≥ 0,

.

; ∞).

б) 2sin x − 1 ≥ 0, 2sin x ≥ 2o , y = 2 x – возрастает, sinx ≥ 0. Ответ: х ∈ [2πn; π + 2πn], n ∈Z. в) 4 – 3х + х2 > 0, х2 – 3х + 4 > 0, D < 0. Ответ: : х ∈ (–∞; ∞). г) sinx > 0. Ответ: : х ∈ (2πn; π + 2πn), n ∈ Z. 135

114. ⎧ x 2 − 5 x + 6 ≥ 0, ⎪ а) ⎨lg( x + 10) ≠ 0, ⎪( x + 10) 2 > 0; ⎩

⎧ x ≤ 2, x ≥ 3, ⎪ ⎨ x + 10 ≠ 1, ⎪⎩ x ≠ −10.

Ответ: x ∈ (−∞; − 10) U (−10; − 9) U (−9; 2] U [3; ∞) . log cos x ≥ 0, ⎧cos x ≥ 1, б) ⎧⎨ 5 y = log 5 t – возрастает, ⎨

⎩cos x > 0;

⎩cos x > 0;

cosx = 1, x = 2πn, n ∈ Z. ⎧3x − 2 > 0, ⎧3 x > 2, ⎨ x ≠ 2, x ≠ −1; 2 x x − − ≠ 2 0 ; ⎩ ⎩

в) ⎨

2 ⎧ ⎪x > , ⎨ 3 ⎪⎩ x ≠ 2, x ≠ −1.

2 3

Ответ: x ∈ ( ; 2) U (2; ∞).

(

)

⎧⎪lg 3 x 2 − 2 x ≥ 0, ⎧ 2 у = lgt – возрастает, ⎨3x − 2 x ≥ 1, 2 ⎩ x(3 x − 2) > 0; ⎩⎪3 x − 2 x > 0;

г) ⎨

1 3x − 2 x − 1 ≥ 0, x ≥ 1 или x ≤ − ; 3 2

2 ⎧ ⎪⎪x < 0 или x > 3 , ⎨ ⎪x ≥ 1 или x ≤ − 1 . ⎪⎩ 3

1 3

Ответ: x ∈ (−∞; − ] U [1; ∞). x

⎛1⎞ x +1 ≥ 0, E( y) : y ∈[0; ∞) ; б) y = 25⋅ ⎜ ⎟ −1, E( y) : y ∈ (−1; ∞) ; ⎝5⎠ E ( y ) : y ∈ ( −∞ ; ∞ ) E ( y ) : y ∈ ( 0 ; + ∞ ) в) ; г) .

115. а)

1 2

116. а) E ( y ) : y ∈ [ ; 2] ;

б) E ( y ) : y ∈ (−∞; 2] ;

в) E ( y ) : y ∈ [1; ∞) ;

г) E ( y ) : y ∈ [1; ∞) .

⎛1⎞ ⎝2⎠

x

117. а) ⎜ ⎟ − 4 > 0, 2 − x > 2 2 , y = 2 t – возрастает, –х > 2, х < –2.

Ответ: y > 0 при x ∈ ( −∞; − 2), y < 0 при x ∈ ( −2; ∞ ) . log ( x + 3) > 0, x + 3 > 1, б) ⎧⎨ 4 у = logt – возрастает, ⎧⎨ ⎩x + 3 > 0;

⎧x > −2, x > −2. ⎨ ⎩ x + 3 > 0; ⎩x > −3;

Ответ: y > 0 при x ∈ ( −2; ∞ ), y < 0 при x ∈ ( −3; − 2) . 136

в) 2 − 3 x > 0, − 3 x > −2, 3 x < 2, y = 3 t – возрастает, x < log32. Ответ: y > 0 при x ∈ (−∞; log 3 2), y < 0 при x ∈ (log 3 2; ∞) . ⎧ г) ⎨ x − 4 > 0, ⎩ x ≥ 0;

x > 4, x > 16 .

Ответ: y > 0 при x ∈ (16; ∞), y < 0 при x ∈ [0; 16) . 118. а) 4 x + 2 − 4 x > 0, 16 ⋅ 4 x − 4 x > 0, 15 ⋅ 4 x > 0, х – любое число. Ответ: у > 0 при всех х. lg( x − 2) − 1 > 0, б) ⎧⎨ lg( x − 2) > 1, y = lg t – возрастает, ⎩ x − 2 > 0;

⎧ x − 2 > 10, ⎨ x > 2; ⎩

⎧lg( x − 2) > lg 10, ⎨ x > 2; ⎩

⎧ x > 12, ⎨ x > 2. ⎩

Ответ: y > 0 при x ∈ (12; ∞ ), y < 0 при x ∈ ( 2; 12) . ⎧ ⎧ в) ⎨ x + 3 > 0, ⎨ x > −3, x ≥ 0. ⎩ x ≥ 0;

⎩ x ≥ 0;

Ответ: y>0 при x ∈ [0; ∞ ) . г) 2 − 3 x > 0, 3 x < 2, x < 8 . Ответ: y > 0 при x ∈ (8; ∞ ), y < 0 при x ∈ (−∞; 8) . 119. а) у(–х) = 5–х + 5–(–х) = 5–х + 5х = у(х) – четная; б) у(–х) = lg(1 – (–x)2) = lg(1 – x2) = у(х) – четная; 1 ( −2 x ) = 2 2 x – ни четная, ни нечетная; в) y ( − x ) = 2 г) y (− x) = − x ⋅ 3 (− x) = x ⋅ 3 x – четная. 2

2

120. а) y (− x) = (− x) 3 = x 3 = y ( x) – четная;

б) y (− x) = 3− x − 3−( − x) = 3− x − 3x = −(3x − 3− x ) = − y ( x) – нечетная; в) y (− x) = 2cos(− x ) = 2cos x = y ( x) – четная; г) y (− x) = 5 (− x) 4 + 1 = 5 x 4 + 1 = y ( x) – четная. 121. а) 1) D(y): x ∈ [0; ∞); 2) E(y): y ∈ [–1; ∞);

3) нули: 2 х – 1 = 0, 2 х = 1,

1 1 х = ,x= ; 2 4

1 1 4

1

137

4) y > 0 при x > 5) y ′ =

1 x

1 1 , y < 0 при x ∈ [0; ); 4 4

, y′ > 0 при всех х, экстремумов нет, возрастает;

6) ни четная, ни нечетная. б) 1) D(y): x ∈ (–∞; ∞); 2) E(y): y ∈ (–2; ∞); 3) нули: 4х–1 = 2, 22х–2 = 21, 2х – 2 = 1, 2х = 3, х = 1,5; 4) 4х–1 – 2 > 0, 22х–2 > 21, у = 2t – возрастает, 2х – 2 > 1,

1,5

2х > 3, х > 1,5, у > 0 при x ∈ (1,5; ∞), у < 0 при x ∈ (–∞; 1,5); 5) y′ = 4x–1⋅ln4, 4x–1⋅ln4>0, экстремумов нет, возрастает на D(y); 6) ни четная, ни нечетная, не периодическая. в) 1) D(y): x > –1; 2) E(y): y ∈ (–∞; ∞); 3) нули: log2(x + 1) = 0, x + 1 = 1, x = 0; 4) log2(x + 1) > 0, y = log2t – возрастает, x + 1 > 1, x > 0; y > 0 при x > 0, y < 0 при х ∈ (–1; 0); 1 1 1 = ≠0, 5) y ′ = ⋅ 2 ( x + 1) ln 2 2( x + 1) ln 2 экстремумов нет, при x > –1 у′ > 0 , возрастает; 6) ни четная, ни нечетная, не периодическая. г)

1) D(y): x ∈ (–∞; ∞); 2) E(y): y ∈ (–∞; ∞); 3) нули: 3 x − 2 + 1 = 0 , х –2 = –1, х = 1; 4) у > 0 при x ∈ (1; ∞), у < 0 при x ∈ (–∞; 1);

5) y ′ =

1 3 ( x − 2) 2 3

> 0 , при всех х, возрастает, экстремумов нет;

6) ни четная, ни нечетная, не периодическая. 138

122. а) у =

х − 2 + 1;

в) у = 2 –

3

х +1 ;

⎛1⎞ ⎝3⎠

х −1

б) у = ⎜ ⎟

;

г) у = 1 + log2(x + 2).

123. а) x>1, y = x – 1, у = 5 log 2 ( x −1) ;

б) у = log 1 x – 1; 2

в) у = 2|x|;

2 log2 x при x > 0, г) у = log2x2= ⎧⎨

⎩2 log2 (− x) при x < 0.

139

124. а) унаим = 0 при х = 6 или х = –6, унаиб = 6 при х = 0; б) унаиб = 1 при х = 0, унаим = –7 при х = –2; в) унаиб = 3 при х =

π π 1 + 2πk , k ∈ Z , унаим = при х = − + 2πk, k ∈ Z ; 2 2 3

г) унаиб = 4 при х = –1, унаим = 0 при х = 1.

125. а) у1 = log 1 x и у2 = х – 3. 2

Ответ: 2.

б) у1 =

x − 2 и у2 =

3 . x

Ответ: 3. 5–х

в) у1 = log2x и у2 = 2 .

г) у1 = 2|x| и y2 = 11 – |x|.

Ответ: 4.

Ответ: 3; –3.

140

126. а) у1 = log 1 x и у2 = х – 3.

б) у1 =

x − 2 и у2 =

2

Ответ: х = (0; 2). в) у1 = 2–|x| и y2 = х2 + 1.

3 . x

Ответ: х ∈ [2; 3] г) у1 = log 1 x и у2 = 2х – 7. 3

Ответ: 0.

Ответ: х ∈ (0; 3).

127. у = (log23)sinx, y = (log32)cosx. log23 > 1, значит, наибольшее значение первой функции равно log23 при sinx = 1; log32 < 1, поэтому наибольшее значение второй функции достигается при cosx = –1 и равно

1 1 . log 2 3 = . log 3 2 log3 2

141

⎧4 x + 1 > 0, 2 ⎩1 − x ≥ 0;

128. а) D( y ) : ⎨ 1 4x + 1

− 1 − x 2 = 0,

1 ⎧ 1 ⎪x > − , x ∈ (− ; 1] ; ⎨ 4 4 ⎪⎩− 1 ≤ x ≤ 1; 1 4x + 1

= 1− x2 ,

1 =1− x2 , 4x + 1

(4х + 1)(1 – х2) = 1, 4х – 4х3 + 1 – х2 = 1, –4х3 – х2 + 4х = 0, –х(4х2 + х –4) = 0, х1 = 0, 4х2 + х – 4 = 0, D = 65, х2 =

− 1− 65 65 − 1 , х3 = – не входит в D(y); 8 8

x + 15 > 0, б) D( f ) : ⎧⎨ x > 0; 2 = lg x( x + 15), x 2 + 15 x = 100 , 2

⎩ x > 0;

х + 15х – 100 = 0, х1 = –20 – не входит в D(f), х2 = 5. 129. а) Пусть х1 > х2 на R, тогда рассмотрим разность ⎛1⎞ ⎝3⎠

у(х1) – у(х2) = ⎜ ⎟

х1 +1

⎛1⎞ −⎜ ⎟ ⎝3⎠

х2 +1

=

1 ⎛⎜ ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ 3 ⎜⎝ 3 ⎠ ⎝

⎛1⎞ ⎝3⎠

у(х1)< у(х2). Таким образом, у = ⎜ ⎟

х1

⎛1⎞ −⎜ ⎟ ⎝ 3⎠

х2

⎞ ⎟<0, ⎟ ⎠

х +1

убывает на R;

б) х1 > х2 на (0; ∞). f(х1) – f(х2) = =log23x1 – log23x2 = log2 log2t – возрастает и

х1 > 0 (т.к. х2

х1 > 1), а, значит, f(х) = log23x возрастает на (0; ∞). х2

§ 4. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств 11. Рациональные уравнения и неравенства 130. а) 3(х – 2) – 5 = 4 – (5х – 1), 3х – 6 – 5 = 4 – 5х + 1, 8х = 16, х = 2; б) |2x – 3| = 5, 2x – 3 =5 или 2x – 3 = –5, 2x = 8 или 2x = –2, х1 = 4 или х2 = –1. Ответ: –1; 4. в) 7 – 2(3 – х) = 4(х – 1) + 5, 7 – 6 + 2х = 4х – 4 + 5, –2х = 0, х = 0; г) |4 – 3x| = 2, 4 – 3x = 2 или 4 – 3x = –2, – 3x = –2 или – 3x = –6, х1 = 142

2 или х2 = 2. 3

Ответ:

2 ; 2. 3

131. а)

4( х − 3) 3х + 1 =2− , 3(3х + 1) = 30 − 4( х − 3), 9 х + 3 = 30 − 4 х + 12 , 5 15

13х = 39, х = 3. Ответ: 3. б)

х−3 х−3 х−3 + 5 = 4, + 5 = 4 или + 5 = −4 , х – 3 + 10 = 8 или 2 2 2

х – 3 + 10 = –8, х = 1, х = –15. Ответ: 1; –15. 3(5 − 2 х) х−3 =х− , 14 − 7( х − 3) = 14 х − 6(5 − 2 х) , 2 7 65 32 14 – 7х + 21 = 14х – 30 + 12х, –33х = –65, х = , х= 1 ; 33 33 х+2 х+2 х+2 г) 1 − = 5, 1 − = 5 или 1 − = −5 , 1 – х = 15 или 3 3 3

в) 1 −

1 – х = –15, х1 = –14 или –х = –16, х2 = 16. Ответ: 16; –14. 132. а) ах – 2х = 3(х – 1), ах – 2х – 3х = –3, (а – 5)х = –3; при а ≠ 5 одно решение; при а = 5 – нет решений; б) а(1 – х) + 2 = 3х – ах, а – ах + 2 – 3х + ах = 0, –3х = а + 2, 3х = а + 2; при любых а одно решение; в) х(2 – а) – х = 5 + х, 2х – ах – х – х = 5, –ах = 5; при а ≠ 0 одно решение; при а = 0 нет решений; г) 5+3(х+3а)=9а+5, 3х - 9а – 9а, 3х = 0; при любых а одно решение. х −1 + х < 1,5x + 3,5, x − 1 + 2 x < 3x + 7, 0 ⋅ x < 8 . Ответ: х∈ (–∞; ∞). 2 5x − 2 3 − x б) − > 1, 2(5 x − 2) − (3 − x)3 > 6, 10 x − 4 − 9 + 3 x > 6 , 3 2 6 6 13x > 19, x > 1 . Ответ: х ∈ ( 1 ; ∞). 13 13

133. а)

1 3

в) х – 4(3 – х) ≥ 2х + 7, х – 12 + 4х – 2х ≥ 7, 3х ≥ 19, х ≥ 6 . Ответ: х ∈ [ 6

г) 3 +

1 ; ∞). 3

3 3 2 − 3x . Ответ: х∈ [ 1 ; ∞). ≤ 2 x, 14 − 3 x ≤ 8 x, 11x ≥ −14 , x ≥ 1 4 11 11

134. а) |4x–3|<5, –5<4x–3<5, –2<4x<8, − 2 x + 5 ≥ 1, б) |2x + 5| ≥ 1, ⎡⎢

⎣ 2 x + 5 ≤ −1;

1 1 <x<2. Ответ: х∈( − ; 2). 2 2

⎡ x ≥ −2, ⎢⎣ x ≤ −3. Ответ: x ∈ ( −∞; − 3] U [−2; ∞) .

143

в)

| x −7| ≤ 2, | x − 7 |≤ 6, − 6 ≤ x − 7 ≤ 6, 1 ≤ x ≤ 13 . 3

г) 4|2 – x| ≤ 12, |2 – x| ≤ 3, –3 ≤ 2 – x ≤ 3, –5 ≤ –х ≤ 1, –1 ≤ х ≤ 5. 3 | 2x − 3 | > 0, x > 0 , поскольку |2x – 3| ≥ 0; 2x – 3 ≠ 0, x ≠ . x 2 3 3 Ответ: x ∈ (0; ) ∪ ( ; ∞) . 2 2 x+2 ≤ 0, x + 2 ≤ 0, x ≤ −2 , так как |x + 4| ≥ 0, но х ≠ –4. б) | x + 4|

135. а)

Ответ: х ∈ (–∞; –4) ∪ (–4, –2]. в) (х –4)|5 – 3x| < 0, x – 4 < 0, x < 4, так как |5 – 3x| ≥ 0; 5 – 3x ≠ 0. 2 3

х≠ 1 .

2 3

2 3

Ответ: x ∈ ( −∞; 1 ) ∪ (1 ; 4) .

г) |2x + 7|(3 – x) ≤ 0, 3 – x ≤ 0, x ≥ –3, так как |2x + 7| ≥ 0 и х = –3,5. Ответ: x ∈ {−3,5}U [3; + ∞) . 136. а) x 2 + 2 x − 15 = 0, x1 = −5, x2 = 3 . 5 7

б) 7 x 2 + 5x = 0, x(7 x + 5) = 0, x1 = 0 и 7х + 5 = 0, x2 = − . в) (х – 3)(х – 2) = 6(х – 3), (х – 3)(х – 8) = 0, х1 = 3, х2 = 8. г) x 2 − x2 =

11x 1 11 + 7 , + = 0, 6 x 2 − 11x + 3 = 0, D = 121 − 72 = 49, x1 = 6 2 12 11 − 7 1 , x1 = 1,5, x 2 = . 12 3

137. а) Если имеется общий корень, то х2–ах=х2–х – 3а, – ах = – х – 3а, х . При этом а оба выражения равны х−3 1 ⎞ х ⎛ нулю: х 2 − ⋅ х = 0, х 2 ⎜1 − ⎟ = 0, х1 = 0 или х – 4 = 0, х2 = 4. х−3 х −3⎠ ⎝

3а – ах = –х, а(3 – х) = –х, а =

а1 = 0 или а2 = 4.

Ответ: 0; 4.

б) х2–(а–1)х–3 = 4 х2 – (4а + 3)х + 9, 3х 2 – (4 а + 3) х + (а – 1)х + 12 = 0, 3х 2 + 12 = (4 а + – а + 1)х, 3а + 4 = этом а оба выражения равны нулю: 144

3 х 2 + 12 3 х 2 − 4 х + 12 = . При х 3х

(

)

⎛ 3 х 2 − 4 х + 12 ⎞ ⎟ х − 3 = 0 , х 2 − 1 3х 2 − 4 х + 12 + х − 3 = 0 , х2 − ⎜ ⎜ ⎟ 3 х 3 ⎝ ⎠ 3х 2 − 3 х 2 + 4 х − 12 + 3 х − 9 = 0, 7 х − 21 = 0, а=

х =3.

3 ⋅ 9 − 3 ⋅ 4 + 12 =3. 3⋅3

в) х 2 + ах + 8 = х 2 + х + а, а ( х − 1) = х − 8, а =

х −8 . х −1

Но при этом а каждое из данных выражений обращается в ноль, так что х2 +

х −8 х + 8 = 0, х2(х −1) + (х − 8)х + 8(х −1) = 0 , х −1

х 3 − х 2 + х 2 − 8 х + 8 х − 8 = 0,

а=

х 3 = 8,

2−8 = −6 . 2 −1

х = 2 . При х = 2 получим

Ответ: –6.

г) 2х2 + (3а – 1)х – 3 = 6х2 – (2а – 3)х – 1, 4х2 – (2а – 3)х – (3а – 1)х + 2 = 0, (5а – 4)х = 4х2 + 2, 4х 2 + 2 4х 2 + 4х + 2 , а= . х х

5а − 4 =

При этом а оба значения ⎛ ⎜ ⎝

должны обращаться в ноль; 2 х 2 + ⎜ 3 ⋅ 2х 2 +

(

)

4 х 2 + 4 х + 2 ⎞⎟ −1 х − 3 = 0 , ⎟ 5х ⎠

3 2 4 х + 4 х + 2 − х − 3 = 0 , 10 х 2 + 12 х 2 + 12 х + 6 − 5 х − 15 = 0 , 5

− 7 ± 841 − 7 ± 29 , х2 = , 44 44 1 1 4⋅ + 4⋅ + 2 1+ 2 + 2 9 1 2 = = 2 или х1 = или х2 = − . Тогда а1 = 4 1 1 2 11 5⋅ 5⋅ 2 2 22х2 + 7 х − 9 = 0, D = 49 + 9 ⋅ 88 = 841, х1 =

а2 =

=

4⋅

81 9 81 − 4⋅ + 2 4⋅ − 4 ⋅ 9 + 22 4 ⋅ 81 − 14 ⋅ 11 121 11 121 = = = 9 − 5⋅9 − 5 ⋅ 9 ⋅ 11 − 5⋅ 11

2 2 ⋅ 85 34 . (77 − 2 ⋅ 81) = − =− 5 ⋅ 99 5 ⋅ 99 99

Ответ: 2, −

34 . 99

145

138. а) D = (k + 4) 2 − 4(k + 7)(k − 1) = −3k 2 − 16k + 44, − 3k 2 − 16k + 44 = 0 , 1 3

или k1 = 2, k 2 = −7 ; при k = 1 также одно решение. Ответ: k = 2, k = −7

1 и k = 1. 3

б) 9 x 2 − 2 x + k − 6 + kx = 0, 9 x 2 + (k − 2) x + k − 6 = 0, D = (k − 2) 2 − 4( k − 6) ⋅ 9 = k 2 − 40k + 220 , k 2 − 40k + 220 = 0, D1 = 1600 − 880 = 720, k1 =

k1 = 20 + 6 5 , k 2 =

40 + 720 , 2

40 − 720 , k 2 = 20 + 6 5 . 2

Ответ: при k = 20 + 6 5 и k = 20 – 6 5 .

в) D = (2(k −1))2 − 4 ⋅ 3⋅ (2k − 5) = 4k 2 − 8k + 4 − 24k + 60 = 4k 2 − 32k + 64 , k 2 − 8k + 16 = 0, k = 4 ; при k=4; при k=2,5 также х = 1 – один корень.

Ответ: при k = 4 и k = 2,5. г) D = 36 − 4(k − 2) ⋅ 3k = 36 − 12k 2 + 24k , − 12k 2 + 24k + 36 = 0 , k 2 − 2 k − 3 = 0, k1 = 3, k 2 = −1 ; при k = 0 – одно решение.

Ответ: при k = –1, k = 3 и k = 0. 139. а) х1 + х2 =

5 2 ; б) х1 ⋅ х2 = − ; 3 3 2

5 2 ⋅ 2 25 4 37 1 в) х12 + х22 = ( х1 + х2 ) 2 − 2х1 ⋅ х 2 = ⎛⎜ ⎞⎟ + = + = =4 ; ⎝3⎠

3

9

3

9

9

г) х13 + х23 = ( х1 + х2 )( х12 − х1 ⋅ х2 + х22 ) = ( х1 + х2 )( х12 + х22 − х1 ⋅ х2 ) = =

5 ⎛ 1 2 ⎞ 5 ⎛ 37 + 6 ⎞ 5 ⋅ 43 215 ⋅⎜ 4 + ⎟ = ⋅⎜ = . ⎟= 3 ⎝ 9 3 ⎠ 3 ⎝ 9 ⎠ 3⋅ 9 27

140. а)

6х − х 2 − 6 2х − 3 − = 1, х ≠ 1, 6 х − х 2 − 6 − 2 х + 3 − х + 1 = 0 , х −1 х −1

− х 2 + 3 х − 2 = 0, х 2 − 3 х + 2 = 0, х1 = 2, х 2 = 1 – не удовлетворяется.

б) 146

2х + 1 4х 1 + = 5, х ≠ 0, х ≠ − , (2 х + 1) 2 + 4 х 2 − 5 х(2 х + 1) = 0 , 2х + 1 х 2

4 х 2 + 4 х + 1 + 4 х 2 − 10 х 2 − 5 х = 0,

1 . 2

х1 = –1, х2 = в)

2х 2 + х − 1 = 0 ,

Ответ: 0,5; –1.

2 3 5 + = , х 2 + 5 х 2 х − 10 х 2 − 25 4( х − 5) + 3х( х + 5) − 30 х =0, 2 х( х 2 − 25)

х ≠ 0,

х ≠ 5,

х ≠ −5 ,

4 х1 = − , х 2 = 5 – 3 4 Ответ: − . 3

4 х − 20 + 3х 2 + 15 х − 30 х = 0, 3х 2 − 11х − 20 = 0,

х2 условие лишено смысла. г)

14 2

3

+

2

х − 4 (2 − х)

=

5 2

(х + 2)

, х ≠ 2, х ≠ −2,

14 2

+

3 2

х − 4 (х − 2)

−

5 (х + 2)2

при

=0,

14( х + 2)( х − 2) + 3( х + 2) 2 − 5( х − 2) 2 = 0, 14 х 2 − 56 + 3 х 2 + 12 х + 12 − 5 х 2 + 20 х − 20 = 0;

3х 2 + 8 х − 16 = 0,

141. а)

1 х1 = −4, х 2 = 1 . 3

4 5 + = 2, 4(х2 + 5) + 5(х2 + 4) − 2(х2 + 4)(х2 + 5) = 0 , х2 + 4 х2 + 5

4 х 2 + 20 + 5 х 2 + 20 − 2 х 4 − 18 х 2 − 40 = 0, − 2 х 4 − 9 х 2 = 0 , х = 0 ;

б) 2х4 – 5х2 + 2 = 0.

х2 = 2 или х2 =

1 , х1 = 2

2 , х2 = – 2 , х3 = −

2 2 , х4 = − ; 2 2

2

х −1 ⎛ х −1⎞ ⎛ х −1⎞ = у, тогда ⎟ − 3⎜ ⎟ + 2 = 0, х ≠ 0 . Пусть х х х ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ х −1 х −1 у2 – 3у +2 = 0, у1 = 2, у2 = 1, 1 = 2, 2 = 1 , х1 – 1 – 2х1 = 0, х1 х2

в) ⎜

х1 = –1; х2 – 1 = х2 – корней нет; г)

х2 + 1 х х2 +1 + = 2,5, х ≠ 0 . Пусть = у, у ≠ 0, х х х2 + 1 1 5 1 у + − = 0, 2 у 2 − 5 у + 2 = 0, у1 = 2, у 2 = , 2 у 2

147

х12 + 1 х2 +1 1 = 2, 2 = , х12 − 2 х1 + 1 = 0, х1 = 1 ; 2 х1 х2

2 х22 − х2 + 2 = 0 – корней нет.

Ответ: 1.

142. а) 2 х 2 + 6 х + 17 > 0, 2 х 2 + 6 x + 17 = 0, D < 0 , так как

а = 2 > 0 и D < 0, то 2х 2 + 6х + 7 > 0 при всех х. Ответ: х ∈ (–∞; ∞). б) х2 –3,2х < 0, х2 –3,2х = 0, х(х –3,2) = 0, х1 = 0, х2 = 3,2; х2 –3,2х < 0 при 0 < x < 3,2; в) (3х – 2)2 – 4х(2х –3) ≥ 0, 9х2 –12х + 4 – 8х2 +12х ≥ 0, х2 + 4 ≥ 0 Ответ: х ∈ (–∞; ∞).

при любом х. 2

г) (6х –1)(1 + 6х) + 14 < 7х(2 + 5х), 36х – 1 + 14 – 14х – 35х2 < 0,

х2–14х+13<0; х2–14х+13=0, х1=1, х2=13; х2–14х+13<0 при 1< x < 13. 143. а)

( х − 1)( х − 2) ⎛1⎞ ≥ 0 ; y(–2) < 0, y ⎜ ⎟ > 0, ( х − 3) ⎝2⎠ ⎛5⎞ ⎝2⎠

y ⎜ ⎟ < 0, y(4) > 0. Ответ: х ∈ [1; 2] U (3; ∞). б)

х 2 + 2х − 3 2

х − 2х + 8

≤0;

( х − 1)( х + 3) ( х 2 − 2 х + 8)

≤ 0,

х 2 − 2 х + 8 > 0 при любом х,

( x − 1)( x + 3) ≤ 0, − 3 ≤ x ≤ 1 .

Ответ: х ∈ [–3; 1]. в)

x−2 < 0 ; ( х − 2)( х − 3)( х − 5) < 0 . ( x − 3)( x − 5)

Ответ: х ∈ (–∞; 2) U (3; 5). г)

х 2 + 5х + 4 х 2 − 5х − 6

>0;

( x + 1)( x + 4) > 0, ( x + 1) 2 ( x + 4)( x − 6) > 0 . ( x − 6)( x + 1)

Ответ: х ∈ (–∞; –4) U (6; ∞). 148

144. а) (х – 1)(х + 2)(х – 3)(х – 4) ≤ 0. Ответ: х ∈ [–2; 1] U [3; 4].

б) х 4 − 3х 2 + 2 ≤ 0 ; х 4 − 3х 2 + 2 = 0 ,

х1 = 1, х2 = –1, х3 = (х + 1)(х – 1)(х + в)

4− х 1 , > х − 5 1− x

2 , х4 = – 2 ;

2 )(х –

2 ) ≤ 0. х ∈ [– 2 ; –1] U [1;

2 ].

( 4 − x)(1 − x) − ( x − 5) >0, ( x − 5)(1 − x)

4 − 5x + x 2 − x + 5 > 0, ( x − 5)(1 − x)

( x − 3) 2 >0, ( x − 5)(1 − x)

x 2 − 6x + 9 > 0, ( x − 5)(1 − x)

( x − 3) 2 > 0 при х ≠ 3, ( x − 5)(1 − x ) > 0 при 1 < x < 5.

Ответ: х ∈ (1; 3) U (3; 5). г) 1 +

12

x 2 + 12 − 7x

2

2

7 < , x ≠ 0, x х

( x − 3)( x − 4) x2

x

< 0,

x 2 − 7x + 12 x2

< 0, ( x − 3)( x − 4) ⋅ x 2 < 0,

<0,

x 2 > 0 при х ≠ 0.

Ответ: х∈ (3; 4). 145. а) m + б)

в)

4 m 2 − 4m + 4 (m − 2) 2 , при m>0 выражение больше нуля; −4= = m m m

2m

−1=

2m − 1 − m 2

=−

(m − 1) 2

,

эта разность при всех m

a b a 2 − 2ab + b 2 (a − b) 2 + −2= = , b a ab ab

при а > 0 и b > 0 эта

1 + m2

1 + m2

1 + m2 2m неположительна, значит, ≤ 1 при любых т; 1 + m2

разность неотрицательна, значит,

a b + ≥2; b a

a a + c ab + ac − ab − bc c(a − b) . Эта разность при a > 0, = = − b b+c b(b + c) b(b + c) a a+c b > 0, c > 0 и a < b отрицательна. Таким образом < . b b+c

г)

149

12. Иррациональные уравнения и неравенства 146. а)

х 2 + 2 х + 10 = 2 х − 1;

2х – 1 ≥ 0, х ≥

х 2 + 2 х + 10 > 0 при любых х D < 0;

1 ; х2 + 2х +10 = (2х −1)2, х2 + 2х +10− 4х2 + 4х −1 = 0 , 2

3х 2 − 6 х − 9 = 0, х 2 − 2 х − 3 = 0, х1 = 3, х 2 = −1

1 условию х = . 2

Ответ: 3.

⎧⎪ х 2 − 16 ≥ 0, х 2 − 16 = х 2 − 22; ⎨ 2 ⎪⎩ х − 22 ≥ 0;

б)

– не удовлетворяет

⎧⎪ х ≥ 4, ⎨ ⎪⎩ х ≥ 22 ;

х2 – 16 = ( х 2 – 22)2, х 2 – 16 = х4 – 44 х 2 + 484, х4 – 45 х 2 + 500 = 0, х 2 = 25 или х 2 = 20, х1 = 5, х2 = –5, х3 = –2 5 , х4 = 2 5 ;

х3, x4 не удовлетворяют условию |х| ≥

22 .

⎧ х + 1 ≥ 0, 2 ⎩− 3х + 2 х + 17 ≥ 0;

в) 17 + 2 х − 3х 2 = х + 1; ⎨

17 + 2х – 3х2 = х2 + 2х + 1, 4 х2 – 16 = 0, х = 2, х = –2 – не удовлетворяют условию. х 2 + 9 = х 2 − 11; х 2 − 11 ≥ 0, х ≤ − 11 или х ≥ 11 ;

г)

х 2 + 9 = х 4 − 22х 2 +121, х 4 − 23х 2 +112 = 0, х1 = 4, х2 = −4, х3 = − 7 ,

х4 = 7 , х3, х4 не удовлетворяют условиям. 147. а)

⎧ х + 17 ≥ 0, х + 17 − х − 7 = 4; ⎨ ⎩ х − 7 ≥ 0;

х ≥ 7;

х + 17 − 2 ( х + 17)( х − 7) + х − 7 = 16, 2 х − 6 − 2 ( х + 17)( х − 7) = 0 , ( х + 17)( х − 7) = х – 3, ( х + 17)( х − 7) = х 2 − 6 х + 9,

х2 – 7х + 17х – 119 – 9 + 6х – х2 = 0, 16х = 128, х = 8. Ответ: 8. б) 2 х −1 + 4 х −1 = 3; х −1 ≥ 0, х ≥ 1 . Пусть 2у2 + у – 3 = 0, у1 = 1, у2 = − =− в) 150

3 ; 2

4

4

х − 1 = у, тогда

х − 1 = 1, х – 1 = 1, х = 2; или

4

3 – не имеет смысла. 2

⎧ х + 7 ≥ 0, х + 7 + х − 2 = 9; ⎨ х + 7 + 2 ( х + 7)( х − 2) + х − 2 = 81 , ⎩ х − 2 ≥ 0;

х −1 =

2 х + 5 + 2 ( х + 7)( х − 2) = 81, 2 ( х + 7)( х − 2) = 76 − 2 х,

( х + 7)( х − 2) = 38 – х, х < 38, (х + 7)(х – 2) = 1444 – 76х + х2, х2 – 2х + 7х – 14 = 1444 – 76х + х2, 81х = 1458, х = 18. Ответ: 18. г) 23 х + 1 − 6 х + 1 = 6; х + 1 ≥ 0, х ≥ −1 . Пусть 6 х + 1 = у , тогда 1 2

2у2 – у – 6 = 0, у1 = − 1 , у2 = 2;

6

имеет смысла. х + 1 = 64, х = 63. 148. а)

х−

4 2+ х

1 – не 2

Ответ: 63.

2 . 3

у1 = −2, у 2 = 1; х− х+5

в)

х +1 = −1

х(2 + х) = 2 − х, х ≤ 2, 8х + х 2 = 4 − 4х + х 2 ,

х + 4 х − 2 = 0; х ≥ 0 . Пусть

б)

6

⎧ х ≥ 0, + 2 + х = 0; ⎨ х ≥ 0; ⎩2 + х ≥ 0;

х(2 + х) − 4 + 2 + х = 0, 6 х = 4, х =

х + 1 = 2 или

х+ х+5

4

4

х = у, тогда у2 + у – 2 = 0,

х1 = −2 – не имеет смысла.

4

х 2 = 1, х2 = 1;

1 ; х + 5 ≥ 0, х ≥ −5; 7 х − 7 х + 5 = х + х + 5 , 7

=

6х = 8 х + 5 , 36х2 = 64(х + 5), 36х2 = 64х + 320, 9х2 – 16х – 80 = 0, 20 2 2 , х2 = − 2 . Ответ: 4; − 2 . 9 9 9 1 г) 3 3х + 1 − 3х + 1 = 0; 3х + 1 ≥ 0, х ≥ − ; 6 (3х + 1) 2 − 6 (3х + 1) 3 = 0 ; 3

х1 = 4, х2 = −

6

(

)

(3х + 1) 2 1 − 6 3х + 1 = 0,

3х + 1 = 0,

6

3

3х + 1 = 0 или 1 − 6 3х + 1 = 0,

3х + 1 = 1, х = −

1 1 ; 3х + 1 = 1, х = 0. Ответ: − ; 0. 3 3

149. а) 225 + х 2 = х 2 − 47; х 2 − 47 ≥ 0, х 2 ≥ 47, х ≤ − 47 или х ≥ 47 ; 225 + х2 = х4 – 94х2 + 2209, х4 – 95х2 + 1984 = 0. Пусть х2 = у, тогда у2 – 95у + 1984 = 0, у1 = 64, у2 = 31; х2 = 64 или х2 = 31, х1 = 8, х2 = –8, х3 = 31 – не удовлетворяет условиям, х4 = – 31 – не удовлетворяет условиям. Ответ: –8; 8.

б)

3

х − 2 − 3 ( х − 2) 3 = 0,

х − 2 = х − 2,

3

х − 2 = 0 или 1 − 3 ( х − 2) 2 = 0, х1 = 2,

х – 2 = ±1, х2 = 3, х3 = 1.

3

⎛ ⎞ х − 2 ⎜ 1 − 3 ( х − 2) 2 ⎟ = 0 . ; ⎝ ⎠

3

3

( х − 2) 2 = 1,

Ответ: 2; 3; 1. 151

в)

х 2 + 36 = х 2 − 54; х 2 − 54 ≥ 0, х < − 54 или х >

54 , х – 109х + 2880 = 0. Тогда х = у, тогда у – 109у + 2880 = 0, у1 = 64, у2 = 45; х2 = 64 и х2 = 45, х1 = 8, х2 = –8, 4

2

2

2

х3 = 3 5 и х4 = –3 5 – не удовлетворяют условиям. г)

3

х 3 − 5 х 2 + 16 х − 5 = х − 2, х − 5 х 2 + 16 х − 5 = х 3 − 6 х 2 + 12 х − 8 ,

х 2 + 4 х + 3 = 0, х1 = −1, х 2 = −3 .

150. а)

х 2 − 5 ≥ 2, х 2 − 5 ≥ 4, х 2 ≥ 9, х 5 ≤ −3 или х ≥ 3 .

Ответ: х ∈ (−∞; − 3] U [3; ∞) . ( x − 2)(1 − 2 х) > −1,

б)

( х − 2)(1 − 2 х ) ≥ 0, ( х − 2)(1 − 2 х) ≥ 0 ,

Ответ: х ∈ [0,5; 2] .

х ∈ [0,5; 2] .

x 2 − 16 ≥ 1, x 2 − 16 ≥ 1, x 2 ≥ 16, х ≤ − 17 или х ≥

в)

17 .

Ответ: х ∈ ( −∞; − 17 ] U [ 17 ; ∞) . г) ( х − 3)( х 2 + 1) > 0, х 2 + 1 > 0 ,

х − 3 > 0,

Ответ: х ∈ (9; ∞).

х > 3 , х > 9.

151. а)

х 2 − 6 х + 9 > 3,

( х − 3) 2 > 3, | x − 3 |> 3, x − 3 > 3 и

Ответ: x ∈ ( −∞; 0) U (6; ∞) .

х – 3 < –3, х > 6, х < 0. х 2 − 2х + 3

б)

2х 2 + х +1

х − 3 > 0,

≥ 0, 2х 2 + х +1 > 0 ;

(D < 0),

х 2 − 2 х + 3 ≥ 0, D < 0 , х – произвольное.

х 2 − 2 х + 3 ≥ 0,

Ответ: х ∈ (–∞; ∞).

⎧⎪25 − 20 х + 4 х 2 ≥ 0, ⎪⎧(5 − 2 х ) 2 ≥ 0, 25 − 20 х + 4 х 2 ≤ 1, ⎨ ⎨ ⎪⎩25 − 20 х + 4 х 2 ≤ 1; ⎪⎩(5 − 2 х ) 2 ≤ 1;

в)

-1 ≤ 5 - 2х ≤ 1, 2 ≤ х ≤ 3 . 2 х − х 2 + 15 (3х + х 2 − 4) ≤ 0,

г)

Ответ: х ∈ [2; 3]. 2 х − х 2 + 15 (− х 2 + 3х − 4) ≤ 0 ,

–х2 + 3х – 4 < 0; (D < 0), 2 х − х 2 + 15 ≥ 0, − х 2 + 2 х + 15 ≥ 0 , х2 – 2х – 15 = 0, х1 = 5, х2 = –3, х ∈ [–3; 5]. Ответ: х ∈ [–3; 5]. 152

13. Тригонометрические уравнения и неравенства 152. а) cos x + 2 cos 2 x = 1, 2 cos 2 x + cos x − 2 (1 − cos 2 x) − 1 = 0, 2 cos 2 x + cos x − 2 + 2 cos 2 x − 1 = 0, 4 cos 2 x + cos x − 3 = 0. 3 ; cosx1 = –1, 4 3 3 cosx2 = , x1 = –π + 2πn, n ∈ Z, x2 = ± arccos + 2πk, k ∈ Z. 4 4 3 Ответ: –π + 2πn, n ∈ Z; ± arccos + 2πk, k ∈ Z. 4 π π б) 4 sin 2x − 3sin(2x − ) = 5, 4 sin 2x + 3 sin( − 2x) = 5, 4 sin 2x + 3 cos2x = 5 , 2 2

cos = y, 4у2 + у – 3 = 0, у1 = –1, у2 =

8 sin x ⋅ cos x + 3 cos 2 x − 3 sin 2 x − 5 sin 2 x − 5 cos 2 x = 0, cos ≠ 0,

8tg 2 − x8 tgx + 2 = 0 , tgx = y, 8у2 – 8у + 2 = 0,

4у2 – 4у + 1 = 0, (2у –1)2 = 0, 2у = 1, у = Ответ: arctg

1 1 ; x = arctg + πn, n ∈ Z. 2 2

1 + πn, n ∈ Z. 2

в) 2 cos 2 x + 4 cos x = 3 sin 2 x, 2 cos 2 x + 4 cos x − 3 (1 − cos 2 x) = 0 , 2 cos 2 x + 3 cos 2 x + 4 cos x − 3 = 0, 5 cos 2 x + 4 cos x − 3 = 0 . cosx = y,

5у2 + 4у – 3 = 0, D = 16 + 60 = 76, х1 = х2 =

− 2 + 19 , 5

⎛ − 2 + 19 ⎞ −2− 19 − 2 + 19 ⎟ + 2πn, n ∈ Z ; , cosх = ; х = ± arccos ⎜ ⎜ ⎟ 5 5 5 ⎝ ⎠

cos х =

− 2 − 19 < −1 – не имеет смысла. 5 ⎛ − 2 + 19 ⎞ ⎟ + 2πn, n ∈ Z . ⎜ ⎟ 5 ⎝ ⎠

Ответ: ± arccos ⎜

г) cos 2 x + 4 sin 2 x = 2 sin 2 x , cos 2 x + 4 sin 2 x − 4 sin x ⋅ cos x = 0 , cos x ≠ 0, 1 + 4 tg 2 x − 4 tgx = 0, 4tg 2 x − 4 tgx + 1 = 0, (2 tgx − 1) 2 = 0, 2 tgx − 1 = 0, 2tgx = 0, tgx =

1 1 , x = arctg + πn, n ∈ Z . 2 2

1 2

Ответ: arctg + πn, n ∈ Z . 153

sin 2x , (sin x − cos x)(sin2 x + sin x ⋅ cos x + cos2 x) = 2 = 1 + sin x ⋅ cos x, (sin x − cos x)(1 + sin x ⋅ cos x) − (1 + sin x ⋅ cos x) = 0 ,

153. а) sin3 x − cos3 x = 1 +

(1 + sin x ⋅ cos x) ⋅ (sin x − cos x − 1) = 0, sin x − cos x − 1 = 0,

1 sin 2 x = −1, 2

1 + sin x ⋅ cos x = 0 и

sin x − cos x = 1, sin 2 x = −2 – не

имеет смысла; sin x = 1 + cos x sin 2 x + cos 2 x − 2 sin x cos x = 1 , − 2 sin x cos x = 0, sinx = 0 или cosx = 0, sinx ≥ 0, cosx ≤ 0, π π х = + 2πn, x = π + 2πn, n ∈ Z . Ответ: х = + 2πn, x = π + 2πn, n ∈ Z . 2 2 π 4

π 4

б) cos( + x) + cos( − x) = 1, , π 2 2 cos( ) cos x = 1, 2 cos x = 1, cos x = , 4 2 ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ cos⎜ − x ⎟ ≥ 0, sin 2 ⎜ − x ⎟ + cos2 ⎜ − x ⎟ + 2 sin⎜ − x ⎟ cos ⎜ − x ⎟ = 1 , 4 4 4 4 ⎠ ⎝4 ⎠ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ x=±

π + 2πn, n ∈ Z ; 4

в) cos 4 x − sin 4 x =

3 3 , , (cos 2 x + sin 2 x)(cos 2 x − sin 2 x) = 2 2

π 3 3 π + πn, n ∈ Z ; , cos 2x = , 2x = ± + 2πn, n ∈ Z , x = ± 12 2 2 6 π π π π +x− +x +x+ −x π π 6 6 6 6 г) sin ( + x) − sin ( − x) = 1, 2 sin ⋅ cos =1, 2 2 6 6 cos2 x − sin 2 x =

2 sin x ⋅ cos

π 3 = 1, 2 sin x ⋅ = 1, 2 6

3 sin x = 1 , x = (−1)k arcsin

1 3

+ πk, k ∈ Z .

154. а) cos 4 x + 2 cos 2 x = 1, cos 2 2 x − sin 2 2 x + 1 + cos 2 x = 1 , 2 cos 2 2 x − 1 + 2 x + cos 2 x = 0 ; cos 2 x = у, 1 1 ; cos 2 x = −1 или cos 2 x = , 2 2 π π 2 x = π + 2πn, n ∈ Z , 2 x = ± + 2πk , k ∈ Z , x = + πn, n ∈ Z ; 3 2 π π π x = ± + πk , k ∈ Z . Ответ: + πn, n ∈ Z ; ± + πk , k ∈ Z . 6 2 6

2 y 2 + y − 1 = 0, y1 = −1, y 2 =

154

x x x x x ⋅ cos , 4 ⋅ 2 cos 2 − 3 sin 2 ⋅ cos = 0 , 2 2 2 2 2 x x x x x π cos (8 cos − 3 sin 2 ) = 0 . cos = 0, = + πk , k ∈ Z , x1 = π + 2πk , k ∈ Z ; 2 2 2 2 2 2 x x 2 x 8 cos − 3 + 3 cos = 0 ; cos = у, 2 2 2 1 x 3 y 2 + 8 y − 3 = 0, y1 = −3, y 2 = ; cos = −3 – не имеет смысла; 3 2 x 1 x 1 1 cos = ; = ± arccos + 2πn, x = ±2 arccos + 4πn, n ∈ Z . 2 3 2 3 3 1 Ответ: π + 2πk , k ∈ Z ; ± 2 arccos + 4πn, n ∈ Z . 3 1 в) cos 3 x + sin x ⋅ sin 2 x = 0, cos 3 x + (cos x − cos 3 x) = 0 , 2 1 1 1 1 1 cos3x + cos x − cos3x = 0, cos3x + cos x = 0, (cos3x + cos x) = 0 , 2 2 2 2 2 π 1 ⋅ 2 cos 2 x ⋅ cos x = 0, cos 2 x = 0 или cosx = 0, 2 x = + πn, n ∈ Z , 2 2 π πn π π π πn , n ∈ Z ; + πk , k ∈ Z . x = + πk , k ∈ Z , x = + , n ∈ Z . Ответ: + 4 2 2 2 4 2 x x x x x г) 4(1 − cos x) = 3 sin ⋅ cos 2 , 4 ⋅ 2 sin 2 − 3 sin ⋅ cos 2 = 0 , 2 2 2 2 2 x x x sin (8 sin − 3 cos 2 ) = 0 . 2 2 2 x x 1) sin = 0, = πn, n ∈ Z , x = 2πn, n ∈ Z ; 2 2 x x x x 2) 8 sin − 3 cos 2 = 0, 8 sin − 3 + 3 sin 2 = 0 ; 2 2 2 2 x 1 x sin = у, 3 y 2 + 8 y − 3 = 0, y1 = −3, y 2 = ; sin = −3 – не имеет смысла; 2 3 2 x 1 x 1 1 k sin = , = (−1) arcsin + πk , k ∈ Z , x = 2 ⋅ (−1) k arcsin + 2πk , k ∈ Z . 2 3 2 3 3 1 k Ответ: 2πn, n ∈ Z ; 2 ⋅ (−1) arcsin + 2πk , k ∈ Z . 3

б) 4(1 + cos x) = 3 sin 2

8x ⎛ −4 x ⎞ = 0, 2 sin 2 x ⋅ sin 4 x = 0 , ⎟ ⋅ sin 2 2 ⎝ ⎠

155. а) cos 2 x − cos 6 x = 0, − 2 sin ⎜

sin 2 x = 0 или sin 4 x = 0, 2 x = πk , 4 x = πn, x =

πk πn , k ∈Z , x = , n∈Z ; 2 4

155

4x ⋅ cos x + sin 2 x = 0 , 2 2 sin 2 x ⋅ cos x + sin 2 x = 0, sin 2 x(2 cos x + 1) = 0, sin 2 x = 0 и

б) sin x + sin 2 x + sin 3x = 0, 2 sin

1 πk 2π 2 cosx + 1 = 0, 2x = πk, cosx = − , x = , k ∈ Z ; x = ± + 2πn, n ∈ Z . 2 2 3 πk 2π Ответ: , k ∈ Z ; ± + 2πn, n ∈ Z . 2 3 в) sin x + sin 3x = 0, 2 sin 2 x ⋅ cos x = 0, sin 2 x = 0 или cos x = 0 , 2 x = πn, n ∈ Z , x =

π πn + πk , k ∈ Z , значит, x = , n∈Z ; 2 2

π 2 sin x − sin 5 x − 2 cos 3x = 0, − 2 sin 2 x ⋅ cos 3 x − 2 cos 3 x = 0,

г) cos( + 5 x) + sin x = 2 cos 3x, − sin 5 x + sin x − 2 cos 3x = 0 ,

−2 cos 3x(sin 2 x + 1) = 0, cos 3 x = 0 и sin 2 x = −1, 3 x = n ∈ Z , 2x = −

156. а)

π + πn , 2

π π πn π + 2πk , k ∈ Z , x = + , n ∈ Z ; x = − + πk , k ∈ Z . 2 6 3 4

6 ⎧ x ≠ πn, n ∈ Z , = 3 − ctgx; ⎨ 6 = 3ctgx − ctg 2 x + 6 − 2ctgx , ctgx + 2 ⎩ x ≠ arcctg(−2) + πn;

ctg 2 x − ctg x = 0 , ctg x ( ctg x − 1) = 0 , ctg x = 0 и ctgx – 1 = 0, π π + πk , k ∈ Z ; ctgx = 1, x = + πn, n ∈ Z . 2 4 π π Ответ: + πk , k ∈ Z ; + πn, n ∈ Z . 2 4 б) 1 + 2 cos 3 x ⋅ cos x − cos 2 x = 0, 1 + cos 2 x + cos 4 x − cos 2 x = 0 , x=

cos 4 x = −1, 4 x = π + 2πn, n ∈ Z , x =

Ответ: в)

π πn + , n∈Z . 4 2

π πn + , n∈Z . 4 2

π 15 = 11 − 2 sin x; sin x ≠ −1, x ≠ − + 2πn, n ∈ Z ; sin x + 1 2

15 = 11 sin x + 11 − 2 sin 2 x − 2 sin x ; sinx = y, 1 2 y 2 − 9 y + 4 = 0, y1 = 4, y 2 = ; sin x = 4 – не имеет смысла; 2 1 π π sin x = , x = (−1) k + πk , k ∈ Z . Ответ: (−1) k + πk , k ∈ Z . 2 6 6

156

г) ctgx +

sin x = 2; 1 + cos x

π ⎧ ⎪ x ≠ + πn, ⎨ 2 ⎪⎩cos x ≠ −1;

π ⎧ ⎪ x ≠ + πn, ⎨ 2 ⎪⎩ x ≠ π + 2πn, n ∈ Z ;

cos x sin x + − 2 = 0, cos x + cos 2 x + sin 2 − 2 sin x(1 + cos x) = 0 , sin x 1 + cos x cos x + 1 − 2 sin x − 2 sin x ⋅ cos x = 0, (cos x + 1) − 2 sin x(1 + cos x) = 0 , (cos x + 1)(1 − 2 sin x) = 0, cos x = −1 или

1 2

2 sin x = 1, x = π + 2πn, n ∈ Z – не

удовлетворяет условиям; sin x = , x = (−1) k

π + πk , k ∈ Z . 6

π πn π ⎧ ⎧ ⎪⎪3 x ≠ 2 + πn, n ∈ Z , ⎪⎪ x ≠ 6 + 3 , n ∈ Z , 157. а) tg3x − tgx = 0; ⎨ ⎨ ⎪ x ≠ π + πn, n ∈ Z ; ⎪ x ≠ π + πn, n ∈ Z ; ⎪⎩ ⎪⎩ 2 2 πn sin 2 x πn . Ответ: x = , n∈Z . = 0, sin 2 x = 0, 2 x = πn, n ∈ Z , x = 2 cos 3x ⋅ cos x 2

б) tgx − sin x = 2 sin 2

x π sin x ; x ≠ + πn, n ∈ Z ; − sin x = 1 − cos x , 2 2 cos x

sin x − cos x ⋅ sin x − cos x + cos 2 x = 0, sin x(1 − cos x) − cos x(1 − cos x) = 0, (1 − cos x)(sin x − cos x) = 0,

1 − cosx = 0 и sin x − cosx = 0, cosx = 1, x = 2πn, n ∈ Z ; разделим на cos x ≠ 0, π π + πk, k ∈ Z . Ответ: 2πn, n ∈ Z ; + πk, k ∈ Z . 4 4 π в) sin x ⋅ tgx = cos x + tgx; x ≠ + πn, n ∈ Z ; sin x ⋅ tgx − cos x − tgx = 0 ; 2 tgx −1 = 0, tgx = 1, x =

sin x sin2 x − cos x − = 0, sin2 x − cos2 x − sinx = 0, sin2 x −1+ sin2 x −sinx = 0 . cos x cos x 1 sinx = y, 2 y 2 − y − 1 = 0, y1 = 1, y 2 = − ; sin x = 1 и 2 1 π sin x = − ; x = + πk , k ∈ Z – не удовлетворяет условиям; 2 2 ⎛ π⎞ х = (−1) k ⎜ − ⎟ + πk , k ∈ Z . ⎝ 6⎠

г) sin x + sin 2 x = tgx, x ≠

π sin x , + πn, n ∈ Z ; sin x + 2 sin x cos x = 2 cos x

sin x cos x + 2 sin x cos 2 x − sin x = 0, sin x(cos x + 2 cos 2 x − 1) = 0 ,

sinx = 0, x = πk, k ∈ Z; 157

2cos2x + cosx – 1 = 0; y = cosx, 2y2 + y – 1 = 0, D = 9, 1 2 π π x2 = ± + 2πk, k ∈ Z . Ответ: x = π + 2πk , k ∈ Z ; x = ± + 2πk, k ∈ Z . 3 3 1 2

y1 = –1, y2 = , cos x = −1, x1 = π + 2πk , k ∈ Z , cos x = ,

2π 1 1 + 2 x 2π 1 + 2x 1 = − , значит = , cos =− , 3 2 3 3 3 2 1 5 2 + 4х = –3, х = − , х = –1 . 4 4

158. а) arccos

б) arctg(2 x − 1) = −

π ⎛ π⎞ , так как tg⎜ − ⎟ = −1 , то 2х–1=–1, 2х = 0, х = 0; 4 ⎝ 4⎠

3 x+2 3 x+2 π ⎛ π⎞ , то , =− = − , sin ⎜ − ⎟ = − 4 3 2 4 2 ⎝ 3⎠

в) arcsin

2х + 4 = –4 3 , 2х = –4 3 – 4, х = –2 3 – 2; г) arctg(2 − 3 x) =

3π 4

нет решений, поскольку

3π ⎛ π π ⎞ ∉⎜− ; ⎟ . 4 ⎝ 2 2⎠

159.

а) sin(

2 2 3π , − cos ≤ , − x) ≤ 2 2 2

cos ≥ −

2 . 2

Ответ: x ∈ [− б)

3 tg (

3π 3π + 2πn; + 2πn], n ∈ Z . 4 4

π 3 π ; − x) ≥ −1 , tg ( − x) ≥ − 3 4 4

−

π π π + πn ≤ − x < + πn , 6 4 2

−

π 5π − πn < x ≤ − πn, n ∈ Z . 4 12 π 4

Ответ: х ∈ (− − πn; 158

5π − πn], n ∈ Z . 12

x x 1 x 1 − cos 2 x ⋅ cos > , − cos(2 x + ) > , 2 2 2 2 2 1 1 − cos(2,5 x) > , cos 2,5 x < − . 2 2

в) sin 2 x ⋅ sin

4π 2π + 2πn < 2,5 x < + 2πn, n ∈ Z , 3 3 4π 4πn 8π 4πn + <x< + , n∈Z ; 15 5 15 5

г) sin 3x ⋅ cos x + sin x ⋅ cos 3x ≤ sin 4 x ≤

3 , 2

3 . 2

−

4π π + 2πn ≤ 4 x ≤ + 2πn, n ∈ Z , 3 3

−

π πn π πn + ≤x≤ + , n∈Z . 3 2 12 2

160. а) 2 sin 2 x ≤ 1, sin 2 x ≤ − −

2 2 . ≤ sin x ≤ 2 2 π π + πn ≤ x ≤ + πn, n ∈ Z ; 4 4

б) 3tg 2 2 x ≤ 1, tg 2 2 x ≤ −

1 , 2

1 , 3

3 3 ≤ tg 2 2 x ≤ ; 3 3

−

π π + πn ≤ 2 x ≤ + πn , 6 6

−

π πn π πn ; + ≤x≤ + 12 2 12 2

159

в) 4 cos 2 x ≤ 3, cos 2 x ≤ −

3 , 4

3 3 ; ≤ cos x ≤ 2 2

π 5π + πn ≤ x ≤ + πn, n ∈ Z . 6 6 x x − 1 ≥ 0, tg 2 ≥ 1, tgx ≤ −1 и 2 2 π x π tgx ≥ 1. + πn ≤ < + πn, n ∈ Z , 4 2 2

г) tg 2

π + 2πn ≤ x < π + 2πn, n ∈ Z ; 2 π x 3π + πn < ≤ + πn, n ∈ Z , 2 2 4 π + 2πn < x ≤

3π + 2πn, n ∈ Z . 2

π 2

Ответ: x ∈ [ + 2πn; π + 2πn) U ( π + 2πn; 161. 1 2

1 2

а) |cosx – 1| ≤ 0,5, – ≤ cosx – 1 ≤ , 0,5 ≤ cosx ≤ 1,5, 0,5 ≤ cosx ≤ 1; −

π π + 2πn ≤ x ≤ + 2πn, n ∈ Z ; 3 3

б) sinx < cosx, sinx – cosx < 0, π π 2 sin( x − ) < 0, sin( x − ) < 0 ; 4 4 π − π + 2πn < x − < 2πn, n ∈ Z , 4 3π π − + 2πn < x < + 2πn, n ∈ Z ; 4 4

160

3π + 2πn], n ∈ Z . 2

1 2

1 2

в) | sin 2 x + |≤ , −

1 1 1 ≤ sin 2 x + ≤ , 2 2 2

−1 ≤ sin2x ≤ 0, − π + 2πn ≤ 2x ≤ 2πn, n ∈Z , π + πn ≤ x ≤ πn, n ∈ Z . 2 π Ответ: x ∈ [− + πn; πn], n ∈ Z . 2 −

г) tgx + ctgx > 0, tgx + tgx > 0, π < x <

tg 2 x + 1 1 > 0, > 0, tg2x + 1 > 0 – при всех х; tgx tgx

π + πn, n ∈ Z . 2

162. а) sin x − 3 cos x > 3 ,

Ответ: x ∈ ( πn;

π + πn), n ∈ Z . 2

1 3 3 sin x − cos x > , 2 2 2

π 3 π 3 − cos( + x) > , cos( + x) > − ; 6 2 6 2 5π π 7π + 2πn < + x < + 2πn, n ∈ Z , 6 6 6 2π + 2πn < x < π + 2πn, n ∈ Z ; 3

б) log 0,5 sin x > 1, log 0,5 sin x > log 0,5 0,5;

y = log 0,5 t – убывает, sinx < 0,5. Ответ: x ∈(−

π 7π + 2πn; + 2πn), n ∈Z . 6 6

в) sinx + cosx < 1, 2 2 2 sin x + cos x < , 2 2 2

π 2 ; cos( x − ) < 4 2 π π 7π + 2πn < x − < + 2πn, n ∈ Z , 4 4 4 π π + 2πn < x < 2π + 2πn, n ∈ Z . Ответ: x ∈ ( + 2πn; 2π + 2πn), n ∈ Z . 2 2

161

г) log

2

cos x > −1, log

у = log

2

2

⎛ 2⎞ ⎜ ⎟, ⎟ ⎝ 2 ⎠

cos x > log

2⎜

2 . 2

t – возрастает, cos x > π 4

π 4

Ответ: x ∈ (− + 2πn; + 2πn), n ∈ Z .

14. Показательные уравнения и неравенства 163. а) (0,2) х

2

−16 х −37,5

= 5 5 , 5− х

2

2

+16 х + 37,5

= 5 5,

2

− х + 16 х + 37,5 = 1,5, х − 16 х − 36 = 0, х1 = 18,

б) 2 х

2

10 х

в) 2 х

−3

2

2

⋅5х

−3

2

−3

= 0,01 ⋅ (10 х −1 ) 3 , 10 х

2

−3

х 2 = −2 ;

= 10 −2 ⋅10 3 х −3 ,

= 10 −2+3 х −3 , х 2 − 3 = 3 х − 5, х 2 − 3 х + 2 = 0, х1 = 2, х2 = 1;

− 6 х + 0,5

=

1 16 2

, 2х

2

− 6 х + 0,5

= 2 − 4,5 , х 2 − 6 х + 0,5 = −4,5 ,

х2 – 6х + 5 = 0, х1 = 1, х2 = 5; г)

6х

2

−15

=

3 −15 12 −12 х

2

, 6 х ⋅ 612 −12 х = 2 −15 ⋅ 3 −15 , 6 х

2

−12 х +12

2 6 х 2 − 12 х + 12 = −15, х 2 − 12 х + 27 = 0, х1 = 3, х 2 = 9 . 2 5

164. а) 53х – 2 ⋅ 53х–1 – 3 ⋅ 53х–2 = 60, 5 3 х − ⋅ 5 3 х − 5 3 х (1 −

= 6 −15 ,

3 3х ⋅ 5 = 60 , 25

2 3 12 − ) = 60, 5 3 х ⋅ = 60, 5 3 х = 125 , 5 3 х = 5 3 , 3х = 3, х = 1; 5 25 25

б) 4 х − 3 х −0,5 = 3 х −0,5 − 2 2 х −1 , 4 х −

3х 3

= 3 ⋅3х − х

4х , 2 х

⎛3⎞ ⎛3⎞ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 х − 2 ⋅ 3 х = 2 ⋅ 3 ⋅ 3 х − 4 х ⋅ 3 , 2 3 − 2⎜ ⎟ = 6 ⎜ ⎟ − 3 , ⎝4⎠ ⎝4⎠ х

х

⎛3⎞ ⎛3⎞ ⎛3⎞ 8 ⋅ ⎜ ⎟ = 3 3, ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝4⎠ ⎝4⎠ ⎝4⎠

1,5

в) 2 5 х −1 + 2 5 х − 2 + 2 5 х −3 = 896, 2 5х =

162

, х = 1,5 ; 2 5х 2 5х 2 5х 7 + + = 896, 2 5 х ⋅ = 896 , 2 4 8 8

896 ⋅ 8 , 2 5 х = 1024, 2 5 х = 210 , х = 2 ; 7

52х + 2 2х = 52х − 4 ⋅ 2 2х , 5

г) 5 2 х −1 + 2 2 х = 5 2 х − 2 2 х + 2 ,

⎛5⎞ 5 2 х + 5 ⋅ 2 2 х = 5 ⋅ 5 2 х − 20 ⋅ 2 2 х , ⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎛5⎞ 4⋅⎜ ⎟ ⎝2⎠

2х

⎛5⎞ = 25, ⎜ ⎟ ⎝2⎠

2х

2х

⎛5⎞ + 5 = 5⋅⎜ ⎟ ⎝2⎠

2х

− 20,

2

⎛5⎞ = ⎜ ⎟ , х =1. ⎝2⎠ 2

165. а) 9 х 2

2

−1

− 36 ⋅ 3х

2

−3

+ 3 = 0,

2

9х 36 х 2 − ⋅9 + 3 = 0 , 9 27 2

3 ⋅ 9х − 36 ⋅ 3х + 81 = 0 . Пусть 3 х = у , тогда 3 у 2 − 36 у + 81 = 0 , 2

2

у2 – 12у + 27 = 0, у1 = 3, у2 = 9; 3 х = 3 или 3 х = 3 2 , х2 = 1, х2 = 2, х1 = 1, х2 = –1; х 3 = 2 , х 4 = − 2 ; б) 5 3 х +1 + 34 ⋅ 5 2 х = 7 ⋅ 5 х , 5 ⋅ 5 3 х + 34 ⋅ 5 2 х − 7 ⋅ 5 х = 0 . 5 х = у , 5у3 + 34у2 – 7у = 0, у(5у2 + 34у – 7) = 0, у = 0 1 5

5у2 + 34у – 7 = 0, у = –7 и у = ; 5 3 х = 0 – нет корней; 1 3

5 3 х = −7 – нет корней; 5 3 х = 5 −1 , 3х = –1, х = − ;

в) 16 х − 50 ⋅ 22 х = 896, 42 х − 50 ⋅ 4 х − 896 = 0 ; 4 х = у, у2–50у–896=0, у1=64, у2 =–14; 4 х =64 или 4 2 х =–14 – нет корней; х=3. г) 7 4

х

− 8⋅7

4х

+ 7 = 0, 7 4

2

х

− 8⋅72

у – 8у + 7 = 0, у1 = 7, у2 = 1; 7 2 х = 1, 2 х = 0, х1 =

2 х

х

+ 7 = 0 . 72

= 7 или 7

1 ; х2 = 0. 4

2 х

х

= у,

= 1,

Ответ: 0; 0,25.

166. а) 3 ⋅ 4 х + 2 ⋅ 9 х = 5 ⋅ 6 х , 3 ⋅ 2 2 х + 2 ⋅ 3 2 х = 5 ⋅ 6 х , ⎛2⎞ ⎝3⎠

х

⎛3⎞ ⎝2⎠

разделим обе

х

части уравнения на 6 х ≠ 0, 3 ⎜ ⎟ + 2 ⎜ ⎟ = 5 . х

2 2 ⎛2⎞ – 5 = 0, 3у2 – 5у + 2 = 0, у1 = 1, у2 = ; ⎜ ⎟ = у, 3у + у 3 ⎝3⎠ х

х

2 ⎛2⎞ ⎛2⎞ ⎜ ⎟ = 1 или ⎜ ⎟ = , х1 = 0; х2 = 1; 3 3 3 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

163

х

х

⎛ 8 ⎞ ⎛ 18 ⎞ ⎛2⎞ ⎟ + ⎜ ⎟ = 2, ⎜ ⎟ 27 27 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝3⎠

б) 8 х + 18 х = 2 ⋅ 27 х , ⎜

3х

х

⎛2⎞ + ⎜ ⎟ − 2 = 0. ⎝3⎠

х

⎛2⎞ 3 3 ⎜ ⎟ = у, у + у – 2 = 0, у – 1 + у – 1 = 0, ⎝3⎠ ( у − 1)( у 2 + у + 1) + ( у − 1) = 0, ( у − 1)( у 2 + у + 1 + 1) = 0 , х

⎛2⎞ ( у −1)(у 2 + у + 2) = 0, у = 1 или у 2 + у + 2 = 0 – нет корней; ⎜ ⎟ =1, х=0; ⎝3⎠

в) 2 ⋅ 25 х − 5 ⋅10 х + 2 ⋅ 4 х = 0, 2 ⋅ 5 2 х − 5 ⋅ 2 х ⋅ 5 х + 2 ⋅ 2 2 х = 0 , х

х

х

⎛5⎞ ⎛5⎞ 2⋅⎜ ⎟ − 5⋅⎜ ⎟ + 2 = 0 ; ⎝2⎠ ⎝2⎠ ⎛5⎞ ⎝2⎠

х

или ⎜ ⎟ =

1 1 , х = log 5 2 или х1 = log 5 , х2 = – log 5 2 ; 2 2 2

2

х

х

2х

⎛3⎞ + 2⋅⎜ ⎟ ⎝2⎠

х

г) 3 ⋅16 + 2 ⋅ 81 = 5 ⋅ 36 , 3 ⋅ 2 ⎛2⎞ 3⋅⎜ ⎟ ⎝3⎠

х

1 ⎛5⎞ ⎛5⎞ ⎜ ⎟ = у, 2 у 2 − 5 у + 2 = 0, у1 = ; ⎜ ⎟ = 2 2 ⎝2⎠ ⎝2⎠

2х

4х

+ 2⋅3

⎛2⎞ −5 = 0 . ⎜ ⎟ ⎝3⎠

3у2 – 5у + 2 = 0, у1 = 1, у2 =

4х

= 5⋅ 2

2х

= у, 3 у +

2 ⎛2⎞ , ⎜ ⎟ 3 ⎝3⎠

2

2х

⋅3

2х

,

2 −5 = 0, у

2х

⎛2⎞ ⎝3⎠

2х

= 1 или ⎜ ⎟

2 3

= ,

2х = 0, х = 0; 2х = 1, х = 0,5. 167. а) 3 2 32

х

⋅1

б) 5 sin

х

+ 32

2 = 11, 3 2 9 2

x

х −2

= 11, 3 2

х

11 ⋅ 9 , 32 11

=

− 25 cos x = 0, 5 sin

2

x

х

+ х

32 х 32 х − = 11, 3 2 3 9 = 3 2 , 2 х = 2,

х

⎛ 1 1⎞ ⎜1 + − ⎟ = 11 , ⎝ 3 9⎠

х = 1, х = 1 ;

= 5 2 cos x , sin 2 x = 2 cos x ,

1 − cos 2 x − 2 cos x = 0 ; cosx = y, y 2 + 2 y − 1 = 0 ,

у1 = –1 –

2 , у2 = –1 +

2 ; cosx = –1 –

cosx = –1 + 2 , х = ± arccos(–1 + в) 2 sin y+

2

x

+ 2 cos

2

x

= 3, 2 sin

2

x

+ 21−sin

2

2 – не имеет смысла;

2 ) + 2πn, n ∈ Z; x

= 3. ; 2 sin

2 − 3 = 0, y 2 − 3 y + 2 = 0, y1 = 1, y 2 = 2; 2 sin y

2

2

x

x

= у, = 1, 2 sin

2

x

=2,

sin2x = 0, sin2x = 1, x1 = πk, k ∈ Z; sinx = 1 или sinx = –1, 164

π π + 2πn, n ∈ Z ; x3 = − + 2πl , l ∈ Z . 2 2 π π + 2πn, n ∈ Z ; − + 2πl , l ∈ Z . Ответ: πk, k ∈ Z; 2 2 х2 =

1

1

1

2

1

1

2

г) 3 ⋅ 9 x + 6 x = 2 ⋅ 4 x , 3 ⋅ 3 x + 3 x ⋅ 2 x − 2 ⋅ 2 x = 0 , 1

1

1

2 ⎛3⎞x ⎛2⎞x ⎛3⎞x 3 ⋅ ⎜ ⎟ + −2 ⋅ ⎜ ⎟ = 0 . ⎜ ⎟ = у, 3 y + 1 − = 0 , y ⎝2⎠ ⎝2⎠ ⎝3⎠ 1

2 ⎛3⎞x 3 y + y − 2 = 0, y1 = −1, y 2 = ; ⎜ ⎟ = −1 – не имеет смысла; 3 ⎝2⎠ 2

1

−1

1 ⎛3⎞x ⎛3⎞ = −1, x = −1. ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ , x ⎝2⎠ ⎝2⎠

168. а)

⎛1⎞ ≥⎜ ⎟ 32 ⎝ 2 ⎠

16

3+ х

,

24 5 22

≥ 2 −3− х , 21,5 ≥ 2 −3− х ; у = 2 t – возрастает,

1,5 ≥ –3 – х, х ≥ –3 – 1,5, х ≥ – 4,5. б) 3

х2 + х

< 10

lg 9

, 3

х2 + х

< 9, 3

х2 + х

Ответ: х ∈ [–4,5; ∞;). 2

< 3 ; y = 3 t – возрастает,

x 2 + x < 2, x 2 + x − 2 < 0, ( x − 1)( x + 2) < 0, x ∈ (−2; 1) ;

⎛ 1 ⎞

2 −3 x

в) 3 ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 3⎠

1

<

3

− ( 2 −3 x ) 1−1+ x 1 2 < 3 − 2 , 31,5 x < 3 − 2 ; , 3⋅3 2 < 3 −2 , 3 9

4 3

y = 3t – возрастает, 1,5x < −2, x < − ; г) 4 х

2

+ х −11

> 5log 5 4 , 4 х

2

+ х −11

> 4;

y = 4t – возрастает,

x2 + x − 11 > 1, x2 + x − 12 > 0, ( x + 4)(x − 3) > 0, x ∈ (−∞; − 4) U (3; ∞) .

169. а) 0,04 х − 26 ⋅ 0,2 х + 25 ≤ 0, (0,2) 2 х − 26 ⋅ 0,2 х + 25 ≤ 0 ;

0,2 х = у, то у 2 − 26 у + 25 ≤ 0, ( у − 25)( у − 1) ≤ 0, 1 ≤ у ≤ 25 ; 1 ≤ 0,2 х ≤ 25, 5 o ≤ 5 − х ≤ 5 2 ;

у = 5 t – возрастает, 0 ≤ –х ≤ 2.

Ответ: х ∈ [–2; 0]. 1 3

1 3

б) 9 х − 84 ⋅ 3 − 2 х + > 0, 3 2 x − 84 ⋅ 3 − 2 x + > 0 . 3 2 x = у, y−

84 1 + > 0, y 3

y > 0, 3 y 2 + y − 252 > 0,

165

3( y +

28 )( y − 9) > 0 3

y<−

28 28 или y > 9, 32х < – – не имеет смысла; 3 3

или 32х > 9, 32х > 32; у = 3t – возрастает , 2x > 2, x > 1;

в) 4 х − 10 ⋅ 2 х + 16 < 0 . 2х = у, y > 0, y2 – 10y + 16 < 0, (y – 2)(y – 8) < 0, 2 < y < 8, 2 < 2x < 8, 21 < 2x < 23 ; y = 2t – возрастает, 1 < x < 3; ⎛1⎞ ⎝2⎠

г) 22 х +1 + ⎜ ⎟ y+

2 х +1

1 5 − ≥ 0, y 2

−

5 ≥ 0 . 2 2 х +1 = у, y > 0, 2

1 2 y 2 − 5 y + 2 ≥ 0, ( y − 2)( y − ) ≥ 0, 2

y≤

1 или 2

1 или 22x+1 ≥ 2, 22x+1 ≤ 2−1; y = 2t – возрастает, 2 2 x + 1 ≤ −1, 2 x ≤ −2, x ≤ −1; 2 x + 1 ≥ 1, 2 x ≥ 0, x ≥ 0 . y ≥ 2, 22 x +1 ≤

Ответ: x ∈ (−∞; − 1] U [0; ∞) . 170. а) x 2 ⋅ 3 x − 3 x +1 ≤ 0, 3 x ( x 2 − 3) ≤ 0, 3 x > 0 при всех х, значит,

[

x 2 − 3 ≤ 0, − 3 ≤ x ≤ 3 .

б) 3,7

x + 2 x −15 x−4

]

Ответ: х ∈ − 3 ; 3 .

2

> 1; y = 3,7 t – возрастает,

x 2 + 2 x − 15 >0, x−4

( x + 5)(x − 3) > 0, ( x + 5)(x − 3)(x − 4) > 0 . Ответ: x ∈ (−5; 3) U ( 4; ∞) . x−4

в) x 2 ⋅ 5 x − 5 2+ x < 0, 5 x ( x 2 − 25) < 0, 5 x > 0 при любых х, значит, х2 – 25 < 0, –5 < x < 5; г) 2 x + 2 − 2 x +3 − 2 x + 4 > 5 x +1 , 4 ⋅ 2 x − 8 ⋅ 2 x − 16 ⋅ 2 x > 5 ⋅ 5 x − 25 ⋅ 5 x , − 25 ⋅ 5 x , − 20 ⋅ 2 x > −20 ⋅ 5 x , 2 x < 5 x , разделим обе части неравенства

⎛2⎞ ⎝5⎠

x

⎛2⎞ ⎝5⎠

t

на 5 x > 0. ⎜ ⎟ < 1; y = ⎜ ⎟ – убывает, x ≥ 0.

15. Логарифмические уравнения и неравенства 171. а) log 32 x = 4 − 3 log 3 x, x > 0 ; log 3 x = у,

у2 + 3у – 4 = 0, у1 = –4, у2 = 1; log 3 x = –4 или log 3 x = 1; х1 = 166

1 , х2 = 3; 81

б)

1 ⎧2 x − 1 > 0, lg(2 x − 1) = 1 − lg x − 9 ; ⎨ 2 ⎩ x − 9 > 0;

1 ⎧ ⎪x > , ⎨ 2 x > 9; ⎪⎩ x > 9;

1 1 1 lg(2x − 1) + lg(x − 9) = 1, lg(2x − 1)(x − 9) = 1, lg(2x − 10)(x − 9) = 2 , 2 2 2

(2 x − 10)( x − 9) = 100 , 2 x 2 − 18 x − 10 x + 90 − 100 = 0 , 2 x 2 − 28 x − 10 = 0 ,

x 2 − 14 x − 5 = 0 ,

удовлетворяет ОДЗ.

x1 = 7 + 3 6 , x 2 = 7 − 3 6 – не

Ответ: 7 + 3 6 .

x − 5 > 0, x>5; в) log 3 x − 5 + log 3 2 x − 3 = 1; ⎧⎨ 2 ⎩ x − 3 > 0; 1 1 1 log3 ( x − 5) + log3 (2 x − 3) = 1, log3 ( x − 5)(2 x − 3) = 1 , 2 2 2 log 3 ( x − 5)(2 x − 3) = 2, ( x − 5)(2 x − 3) = 9 , 2x2 − 3x − 10x + 15 − 9 = 0 , 2 x 2 − 13 x + 6 = 0, x1 = 6, x 2 =

1 – не удовлетворяет ОДЗ. 2

г) 3 lg 2 ( x − 1) − 10 lg( x − 1) + 3 = 0; x > 1 . lg( x − 1) = у, 3у2 – 10у + 3 = 0, у1 = 3, у2 =

1 1 ; lg( x − 1) =3 или lg( x − 1) = , 3 3

х – 1 = 1000, х = 1001; х – 1 = 3 10 , х = 1 + 3 10 . Ответ: 1 + 3 10 ; 1001. 172. а) 2 log 5 (lg x) = log 5 (10 − 9 lg x), x > 0, lg x > 0, 10 − 9 lg x > 0 , т.е.

x > 1, lg x <

10 ; log5 (lg x) 2 = log5 (10 − 9 lg x ), (lg x) 2 = 10 − 9 lg x . 9

lgx = y, у2 + 9у – 10 = 0, у = –10 или у = 1; lgx = –10, x = 10–10 – не удовлетворяет условиям; lgx = 1, x = 10. б) lg(3 x + x − 17) = x lg 30 − x , lg(3 x + x − 17) = lg 30 x − x , lg(3x + x − 17) − lg 30 x = − x , lg

3 x + x − 17 30

x

=

1 10 x

3 x + x − 17 30 x

= lg 10 − x ,

, 3 x + x − 17 = 3 x , x − 17 = 0 , х = 17.

⎧lg x > 0, ⎪ в) 2 lg(lg x) = lg(3 − 2 lg x) ; ⎨3 − 2 lg x > 0, ⎪⎩ x > 0;

⎧ ⎪ x > 1, ⎪ ⎨ x > 0, ⎪ 3 ⎪lg x < ; 2 ⎩

167

lg(lg x) 2 = lg(3 − 2 lg x), (lg x)2 = 3 − 2 lg x . lgx = –3 или

lgx = 1, х1 = 0,001 – не удовлетворяет ОДЗ; х2 = 10. г) x − x lg 5 = lg(2 x + x − 3), x − lg 5 x = lg(2 x + x − 3), x = lg(2 x + x − 3) + lg 5 x , lg 10 x = lg((2 x + x − 3) ⋅ 5 x ) ,

10х= (2 x +x − 3) 5х, 10х=10х+х⋅5х–3⋅5х, х⋅5х–3⋅5х=0, 5х(х–3)=0, 5х>0, х = 3. 173. а) log2 x +

4 = 5, х ≠ 1, x > 0, log 2 x + 4 log 2 x = 5, 5 log 2 x = 5 , log x 2

log 2 x = 1, х = 2.

б) log3 x + log

x

x − log 1 x = 6, х ≠ 1, x > 0, log3 x + 2 + log3 x = 6 , 3

2 log 3 x = 4, log 3 x = 2, х = 9. в) 2 log

3

x + log x

1 1 = 3, х ≠ 1, x > 0, 4 log3 x + = 3, 3 log 1 x 3

1 1 = 3 . log 3 x = у, 4 y − − 3 = 0 , 4 log 3 x − log 3 x y

4у2 – 3у – 1 = 0, у1 = 1, у2 = − −

х = 3; х = 3

1 4

, х=

1 4

3

.

1 1 ; log 3 x = 1 или log 3 x = − , 4 4

Ответ: 3;

1 4

3

.

1 x + 4 log x 2 x + log 8 x = 16, 2 log 2 x + 2 + log 2 x = 16 , х ≠ 1, 3 1 14 ⋅ 3 х > 0, 2 log 2 x = 14, log 2 x = , log 2 x = 6, x = 2 6 , х = 64. 3 7

г) log

2

174. а) x log 2 x − 2 = 8, x > 0, x ≠ 1 . Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 2: (log 2 x − 2) log 2 x = log 2 8 , 2 log 22 x − 2 log 2 x = 3 . log 2 x = у, у – 2у – 3 = 0,

у1 = 3, у2 = –1; log 2 x = 3 или log 3 x = –1, х = 8; х =

1 . 3

б) x log 5 x = 125 x 2 , x > 0, x ≠ 1 . log 5 x ⋅ log 5 x = log 5 125 + 2 log 5 x , log52 x − 2 log5 x − log5 125 = 0 . log 5 x = у, у2 – 2у – 3 = 0, у1 = 3,

у2 = –1; log 5 x = 3 или log 5 x = –1, х = 125; х = 168

1 . 5

в) хlgx = 10000, x > 0; lgxlgx = lg10000, lg2x = 4, lgx = 2 или lgx = –2, х1 = 100, х2 = 1 9

1 ; 100

1 9

г) x log3 x −3 = , x > 0, x ≠ 1 . (log3 x − 3) log3 x = log3 ; log32 x − 3 log3 x = −2 . Пусть log 3 x = 1 или log 3 x = 2, х1 = 3; х2 = 9. 175. а) 3 log 22 sin x + log 2 (1 − cos 2 x) = 2; 3 log 22 sin x + log 2 (2 sin 2 x) = 2 , 3 log 22 sin x + log 2 2 + 2 log 2 sin x = 2 ; log 2 sin x = у,

1 1 , log 2 sin x = –1 или log 2 sin x = , 3 3 1 k π 3 sinx = , sinx = 2 – не имеет смысла; x = (−1) + πk , k ∈ Z ; 2 6 б) log 0,1 sin 2 x + lg cos x = lg 7; − lg sin 2 x + lg cos x = lg 7 ,

3у2 + 2у – 1 = 0, у1 = –1, у2 =

cos x = 7, cosx – 7sin2x = 0, cosx(1 – 14sinx) = 0, sin 2 x 1 cosx = 0 – не удовлетворяет условию, sinx = , 14 1 1 x = (–1)narcsin + πn, n ∈ Z. Ответ: (–1)narcsin + πn, n ∈ Z. 14 14 lg

cos x = lg 7, sin 2 x

в) log 7 5 log 7 5

x+2

x+2

⎧ x + 2 ≥ 0, ⎧ x ≥ −2, = ( x − 4) log 7 5; ⎨ ⎨ ⎩ x − 4 ≥ 0; ⎩ x ≥ 4;

= log 7 5 x − 4 , 5

2

x+2

= 5 x−4 ,

x≥4;

x + 2 = x − 4,

2

х + 2 = х – 8х + 16, х – 9х + 14 = 0, х1 = 2 – не удовлетворяет условию, х2 = 7; г) lg(3 ⋅ 5 x + 24 ⋅ 20 x ) = x + lg18 , lg(3 ⋅ 5 x + 24 ⋅ 20 x ) = lg10 x ⋅ 18 , 3 ⋅ 5 x + 24 ⋅ 20 x − 10 x ⋅18 = 0 , 5 x (3 + 24 ⋅ 4 x − 18 ⋅ 2 x ) = 0 . 5 x ≠ 0,

2 x = у, 24у2 – 18у + 3 = 0,

24 ⋅ 2 2 x − 18 ⋅ 2 x + 3 = 0 . 1 2

1 4

8у2 – 6у + 1 = 0, у1 = ; у 2 = ; 2 х =

1 1 или 2х = , х1 = –1; х2 = –2. 2 4

176. а) log 2 ( x 2 − x − 4) < 3; x 2 − x − 4 > 0, x <

1 − 17 2

или x >

1+ 17 ; 2

log 2 ( х2 – х – 4) < log 2 8 ; y = log 2 t – возрастает, х2 – х – 4 < 8,

х2–х–12<0, (х–4)(х+3)<0, –3<x<4. Ответ: x ∈ (−3;

1 − 17 1 + 17 )U( ; 4) . 2 2

169

б) log

3−1

y = log

3−1

(5 – 2х) > 2; 5–2х>0, х<2,5; log

3−1

(5–2х)> log

( 3 –1)2;

3−1

t – убывает, 5 – 2х < ( 3 – 1)2,

5–2х<3–2 3 +1, –2х<–1–2 3 , x>0,5+ 3 . Ответ: х∈ (0,5+ 3 ; 2,5). в) lg(x2 – x + 8) ≥ 1; х2 – х + 8 > 0 при любых х; lg(x2 – x + 8) ≥ lg10; y = lgt – возрастает, x2 – x + 8 ≥ 10, (х – 2)(х + 1) ≥ 0, х ≤ –1 или х ≥ 2. Ответ: х ∈ (–∞; –1] U [2; ∞). г) log 7 −1 (3 – 2x) < 2; 3 – 2x > 0; x < 1,5; log 7 −1 (3 – 2x) < < log

( 7 − 1) ; y = log 2

7 −1

7 −1

– возрастает, 3 – 2x <

( 7 − 1)

2

,

3 – 2x < 7 – 2 7 + 1, –2х < 8 – 2 7 – 3, 2х > 2 7 – 5, x>

Ответ: х ∈ ( 7 – 2,5; 1,5).

7 – 2,5.

x > 0, 177. а) 2log2x<2+log2(x + 3); ⎧⎨

⎩x + 3 > 0;

x > 0 ; 2log2x
log2x2 < log24 (x + 3); y = log2t – возрастает; х2 < 4x + 12, (x – 6)(x + 2) < 0, –2 < x < 6. Ответ: (–2; 6). 10 − x > 0, ⎧ x < 10, б) log 1 (10 − x ) + log 1 ( x − 3) ≥ −1 ; ⎧⎨ ⎨ 6

⎩ x > 3;

⎩ x − 3 > 0;

6

3 < x < 10; log 1 (10 − x)( x − 3) ≥ log 1 6 ; y = log 1 t – убывает, 6

6

6

(10 – х)(х – 3) ≤ 6, 10х – 30 – х2 + 3х – 6 ≤ 0, – х2 + 13х – 36 ≤ 0, (х – 9)(х – 4) ≥ 0, х ≤ 4 или х ≥ 9. Ответ: x ∈ (3; 4] U [9; 10) . в) log 1 (х – 2) + log 1 (12 – х) ≥ –2; 3

3

⎧ x > 2, ⎨ x < 12; 2 < x < 12 ; ⎩

log 1 (х – 2)( 12 – х) ≥ log 1 9; у = log 1 t – убывает, 3

3

3

(х – 2)(12 – х) ≤ 9, 12х – х2 – 24 + 2х – 9 ≤ 0, х2 – 14х + 33 ≥ 0, (х – 3)(х – 11) ≥ 0, х ≤ 3 или х ≥ 11. Ответ: x ∈ ( 2; 3] U [11; 12) . г) log0,5(4 – x) ≥ log0,52 – log0,5(x – 1); ⎧4 − x > 0, ⎨ x − 1 > 0; 1 < x < 4 ; ⎩

170

log 0,5 ( 4 − x) + log 0,5 ( x − 1) ≥ log 0,5 ( 4 − x)( x − 1) ≥ log 0,5 2 ; y = log 0,5 t – убывает, ( 4 − x)( x − 1) ≤ 2 , 4х – 4 – х2 + х – 2 ≤ 0, –х2 + 5х – 6 ≤ 0, (х – 3)(х –2) ≥ 0, х ≤ 2 или х ≥ 3. Ответ: х ∈ (1; 2] U [3; 4) . 178. а) lg(x2 + x – 6) – lg(x + 3) ≤ lg3; ⎧ х 2 + х − 6 > 0, ⎨ ⎩ x + 3 > 0;

lg

⎧ x < −3, или ⎨ x > −3; ⎩

х > 2,

x > 2;

( x 2 + x − 6) ≤ lg 3 ; x+3

y = lgt – возрастает; 2

x + x−6 x 2 + x − 6 − 3х − 9 x 2 − 2 x − 15 ≤3, ≤0, ≤0, x+3 x+3 x+3 ( x − 5)( x + 3) ≤ 0 , ( x − 5)( x + 3) 2 ≤ 0 , х ≠ −3, x ≤ 5. Ответ: (2; 5]. x+3 3x − 1 3x −1 1 3x − 1 3x − 1 < 2, б) log2 <1 ; < log2 2 ; > 0 , < x < 2 ; log2 2− x 2− x 2− x 3 2− x 3х − 1 − 4 + 2 х 5x − 5 <0, < 0 , 5(х – 1)(2 – х) < 0, x < 1 или х > 2. 2− х 2− x 1 Ответ: х ∈ ( ; 1) . 3

в) ln(x2 + 3x – 10) – ln(x – 2) ≥ ln4; ⎧x2 + 3x −10> 0, ⎧(x − 2)(x + 5) > 0, x >2; ⎨ ⎨x > 2; ⎩ ⎩x − 2 > 0;

y = lnt – возрастает, x 2 + 3 x − 10 x 2 + 3 x − 10 − 4 х + 8 x2 − x − 2 ≥4, ≥ 0, ≥0, ( x − 2) ( x − 2) x−2 ( x + 1)( x − 2) ≥0, ( x − 2) ( х + 1)( х − 2)2 ≥ 0,

х ≠ 2,

x > −1,

x≠2.

Ответ: х ∈ (2; ∞).

3x − 5 3x − 5 5 ≤1; > 0 , (3x – 5)(x + 1) > 0, x ∈ (−∞; − 1) U ( ; ∞) ; 3 x +1 x +1 3x − 5 3x − 5 − 3х − 3 3x − 5 ≤ log 3 3 ; log 3 ≤3, ≤ 0 , х + 1 > 0, x > –1. x +1 x +1 x +1 5 Ответ: x ∈ ( ; ∞) . 3

г) log 3

171

179. а) log 2 (4 x − 5 ⋅ 2 x + 8) > 2; 4 x − 5 ⋅ 2 x + 8 > 0 при любых х; log 2 (4 x − 5 ⋅ 2 x + 8) > log 2 4 ; 4 x − 5 ⋅ 2 x + 8 > 4, 4 x − 5 ⋅ 2 x + 4 > 0 . 2 x = у,

у2 – 5у + 4 > 0, (y – 1)(y – 4) > 0, y < 1 или y > 4, 2x < 1, 2x > 4, x < 0; x > 2. Ответ: х ∈ (−∞; 0) U ( 2; ∞) . б) log 02,5 x + 6 ≥ 5 log 0,5 x, x > 0 . log 0,5 x = у, у2 – 5у + 6 ≥ 0, (у – 2)(у – 3) ≥ 0, у ≤ 2 или у ≥ 3; log 0,5 x ≤ 2 или log 0,5 x ≥ 3; у = log 0,5 t – убывает, х ≥ 0,25, х ≤ 0,125.

Ответ: x ∈ (0; 0,125] U [0,25; ∞) . в) lg2x ≥ lgx + 2, x > 0. lgx = у, у2 – у – 2 ≥ 0, (у + 1)(у – 2) ≥ 0, у ≤ –1 или у ≥ 2; lgx ≤ –1 или lgx ≥ 2; х ≤ г) log

(6 x +1 − 36 x ) ≥ −2; 6 x +1 − 36 x > 0,

1

1 , 10

х ≥ 100 .

x <1;

5

log

(6 x +1 − 36 x ) ≥ log

1 5

⎛ 1 ⎞ ⎟ 6 x +1 − 36 x ≤ ⎜ ⎜ 5⎟ ⎝ ⎠

1

5 ; у = log

5

1

t – убывает,

5

−2

, 6 x +1 − 36 x ≤ 5,

− 6 2x + 6 ⋅ 6 x − 5 ≤ 0 .

6х = у, у2 – 6у + 5 ≥ 0, (у – 5)(у – 1) ≥ 0, у ≤ 1 или у ≥ 5; 6х ≤ 1 или 6х ≥ 5, х ≤ 0, х ≥ log65. Ответ: х ∈ (−∞; 0] U [log 6 5; 1) .

16. Системы рациональных уравнений и неравенств 2x + 3 y = −1, ⎧−8x −12y = 4, 180. а) ⎧⎨ 7 x = 7, x = 1 ; 2 + 3 y = −1, y = −1 . ⎨ ⎩5x + 4 y = 1;

⎩15x + 12y = 3;

⎧ x − 3 y = 4, ⎨ x − 3 y = 4. x y 4 − 12 = 16 ; ⎩ ⎩

3x − 9 y = 12, б) ⎧⎨

х и у – произвольные, бесконечное множество решений. 172

⎧−2 x − 4 y = −14 ⎨2 x − 3 y = 5; ⎩

x + 2 y = 7, в) ⎧⎨

⎩2 x − 3 y = 5; 3 x=4 . 7 5 x − 8 y = 0, г) ⎧⎨ ⎩ x − 1,6 y = 1;

9 18 ; x+ =7, 7 7 3 2 Ответ: (4 ; 1 ) . 7 7

− 7 y = −9, y =

⎧5(1 + 1,6 y ) − 8 y = 0, 5 + 8 y − 8 y = 0, 5 ≠ 0 . ⎨ x = 1 + 1,6 y; ⎩

не имеет решений.

5 − y 13 ⎧ y + = , ⎪ y 6 ⎨5 − y ⎪⎩ x = 5 − y,

⎧ y x 13 ⎪ + = , y 6 ⎪⎩ x + y = 5;

181. а) ⎨ x

x ≠ 0, y ≠ 0 ,

6 y 2 + (5 − y ) 2 ⋅ 6 − 13 y (5 − y ) 25 y 2 − 125 y + 150 = 0, =0, y (5 − y ) ⋅ 6 y (5 − y ) y 2 − 5 y + 6 = 0, y ≠ 0, y ≠ 5; . Ответ: (3; 2); (2; 3). y (5 − y ) ≠ 0; y1 = 2; y 2 = 3; x1 = 3; x 2 = 2 ⎧ x − y = 1, 3 3 ⎩ x − y = 7;

⎧ x − y = 1, ⎨ 2 2 ⎩( x − y )( x + xy + y ) = 7;

б) ⎨

⎧ x − y = 1, ⎨ 2 2 ⎩ x + xy + y = 7;

⎧ x = 1 + y, 1+ 2y + y 2 + y + y 2 + y 2 − 7 = 0 , ⎨ 2 2 ⎩(1 + y ) + (1 + y ) y + y = 7; y 2 + y − 2 = 0, ( y − 1)( y + 2) = 0, y1 = 1, y 2 = −2 ;

х1 = 2, х2 = –1.

Ответ: (2; 1); (–1; –2).

⎧y ⎪ = 2,

в) ⎨ x

⎪( x − 1) 2 + y 2 = 1; ⎩

x ≠ 0,

⎧ y = 2 x, ⎨ 2 2 ⎩( x − 1) + 4 x = 1;

x2 − 2 x + 1 + 4 x2 − 1 = 0, 5x2 − 2 x = 0, x(5x − 2) = 0, ; x1 = 0 − не удовлетворяет условию, x2 = 0,4

у = 0,8.

Ответ: (0,4; 0,8).

⎧ г) ⎨ x + y = 35, 3

3

5( x 2 − xy + y 2 ) = 35,

⎧ x 2 − xy + y 2 = 7, ⎨ ⎩ x = 5 − y;

⎩ x + y = 5; (5 − y ) 2 − (5 − y ) y + y 2 = 7, 25 − 10 y + y 2 − 5 y + y 2 + y 2 = 7 ,

3 y 2 − 15 y + 18 = 0, y 2 − 5 y + 6 = 0, y1 = 2, y 2 = 3 ; x1 = 3, x2 = 2.

Ответ: (3; 2); (2; 3).

(

)

2 2 ⎧ ( x − y )( x − y )( x + y ) = 45, 182. а) ⎨( x − y ) x − y = 45, ⎧⎨ x + y = 5; x y + = 5 ; ⎩ ⎩

5( x − y ) 2 = 45, ( x − y ) 2 = 9,

⎧ x − y = 3, ⎧ x − y = −3, ⎨ x + y = 5 или ⎨ x + y = 5; ⎩ ⎩

2х = 8, х1 = 4, у1 = 1; 2х = 2, х2 = 1, у2 = 4.

Ответ: (4; 1); (1; 4). 173

⎧⎪ x 2 y 3 + x 3 y 2 = 12, ⎪⎩ x 2 y 3 − x 3 y 2 = 4;

⎧⎪ x 2 y 2 ( y + x) = 12, х ≠ 0 и у≠0. Разделим первое ⎨ 2 2 ⎪⎩ x y ( y − x) = 4; y+x уравнение на второе. = 3, y + x = 3 y − 3x, y = 2 x; y−x

б) ⎨

x 2 ⋅ 8 x3 + x3 ⋅ 4 x 2 = 12, 8 x5 + 4 x5 = 12, 12 x5 = 12, x = 1, y = 2 .

⎧⎪ x 2 y 3 = 16, ⎪⎩ x 3 y 2 = 2;

в) ⎨

x ≠ 0, y ≠ 0 .

y 1 1 , x= , y=4. = 8, y = 8 x; x 2 ⋅ (8 x) 3 = 16, 2 9 ⋅ x 5 = 2 4 , x 5 = 32 x 2 ⎧⎪ x 2 − xy = 28, ( x − y ) 2 = 16, x − y = 4 или х – у = –4, г) ⎨ 2 ⎪⎩ y − xy = −12; х = 4 + у или х = –4 + у, (4 + y ) 2 − (4 + y ) ⋅ y = 28 или (−4 + y ) 2 − (−4 + y ) y = 28, 16 + 8 y + y 2 − 4 y − y 2 = 28, 4 y = 12 , y = 3, x = 7; − 4 y = 12, y = −3, x = −7 . Ответ: (7; 3); (–7; –3). ⎧⎪ x 3 + y 3 = 7, ⎪⎧ x 3 = 7 − y 3 , 7y3 − y6 + 8 = 0 , ⎨ 3 3 3 3 ⎩⎪ x ⋅ y = −8; ⎪⎩ 7 − y y = −8; y 6 − 7 y 3 − 8 = 0 . у3 = z, z 2 − 7 z − 8 = 0 ,

(

183. а) ⎨

)

z1 = 8, z2 = –1; y3 = 8 или у3 = –1, у1 = 2, у2 = –1; x13 = 7 − 8, x23 = 7 + 1, x1 = −1; x2 = 2 . Ответ: (–1; 2); (2; –1). ⎧ 4 4 ⎪ 4 + y = 5, y ⎪ ⎧⎪ x 2 + y 4 = 5, ⎪ 2 4 б) ⎨ 2 4 + y8 − 5 y 4 = 0 . y = z, ⎨x = 2 , ⎪⎩ xy = 2; y ⎪ ⎪ y ≠ 0; ⎪ ⎩ 2 z − 5 z + 4 = 0, z1 = 4, z 2 = 1; y 4 = 4, y 4 = 1, y1 = 2 , y 2 = − 2 , y 3 = 1, y 4 = −1; x1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 2, x 4 = 2 .

Ответ: (1;

2 ); (1; –

2 ); (2; 1); (2; –1).

⎧ 8 3 ⎪ 3 + y = 9, ⎪y ⎧ x 3 + y 3 = 9, ⎪ 2 8 + y 6 − 9 y 3 = 0 . у3 = z, в) ⎨ ⎨x = , xy = 2 ; y ⎩ ⎪ ⎪ y ≠ 0; ⎪ ⎩

174

z 2 − 9 z + 8 = 0, z1 = 8, z 2 = 1; y13 = 8, y 23 = 1, y1 = 2, y 2 = 1 ;

х1 = 1, х2 = 2.

Ответ: (1; 2); (2; 1).

1 ⎧1 ⎪x = 5− y , ⎧1 1 ⎪ 2 ⎪ x + y = 5, 1⎞ 1 10 1 1 ⎪ ⎪⎪⎛ ⎜⎜ 5 − ⎟⎟ + + = 13 , г) ⎨ 1 = 13, 25 − + ⎨ 1 2 2 y y y y y2 ⎠ ⎪ + = 13; ⎪⎝ ⎪⎩ x 2 y 2 ⎪ x ≠ 0, y ≠ 0; ⎪ ⎪⎩ 2 10 1 − + 12 = 0 ; =z, 2 y y y z 2 − 5 z + 6 = 0, z1 = 2, z 2 = 3; y1 =

1 1 1 1 , y 2 = , x1 = , x 2 = . 3 3 2 2

⎛1 1⎞ ⎛1 1⎞ ⎝3 2⎠ ⎝ 2 3⎠

Ответ: ⎜ ; ⎟; ⎜ ; ⎟ . ⎧ x − 5 y = 7, ⎨− 5ax + 5 y = 15; 3 ; ax − y = − ⎩ ⎩

x − 5 y = 7, 184. а) ⎧⎨

при a ≠

x − 5ax = 22, x(1 − 5a ) = 22 ;

1 1 – 1 решение; при a = – нет решений; 5 5

x + 2 y = a, б) ⎧⎨

⎩2 x + 4 y = 5;

если а = 2,5 – бесконечное множество решений;

если а ≠ 2,5 – нет решений; ⎧−3 x − 3ay = −6, − 3ay − 2 y = 0, y (3a + 2) = 12 ; ⎨ ⎩3 x − 2 y = −6; ⎩3 x − 2 y = −6; 2 2 если а= − – бесконечное множество решений; если а≠ − – одно 3 3 x + ay = 2, в) ⎧⎨

решение; x − y = 2, г) ⎧⎨

при а = 2 – бесконечно много решений;

⎩2 x − 2 y = 2a; 1 при а ≠ – нет решений. 2

185. 13x − 2 ⎧ ⎪⎪2 x > 3 − 11 , ⎧22 x > 33 − 13 x + 2, а) ⎨ ⎨3 x + 12( x − 7) < 2(3x − 20); − 2 3 20 x x ⎪ + ( x − 7) < ; ⎩ ⎪⎩ 6 3 9

175

⎧ x > 1, ⎧35 x > 35, ⎪ ⎨9 x < 44; ⎨ x < 44 . ⎩ ⎪⎩ 9 8 Ответ: x ∈ (1; 4 ) . 9 ⎧

x +1

x+4

x −1

12 x − 6( x + 1) − 4( x + 4) ≤ 3( x − 1) − 24, ⎪ б) ⎨ x − 2 − 3 ≤ 4 − 2, ⎧⎨ ⎩1,5 x − x < 2,5; ⎪ ⎩1,5 x − 2,5 < x; ⎧12 x − 6 x − 6 − 4 x − 16 ≤ 3 x − 3 − 24, ⎧− x ≤ −5, ⎧ x ≥ 5, ⎨ x < 5. ⎨ x < 5; ⎨0,5 x < 2,5; ⎩ ⎩ ⎩

Ответ: нет решений. ⎧ x +1

x

x −1

6( x + 1) − 4 x ≥ 3( x − 1) − 12 x − 24, ⎪ в) ⎨ 2 − 3 ≥ 4 − x − 2, ⎧⎨ ⎩0,5 x + x < 2; ⎪ ⎩0,5 x < 2 − x; ⎧6 x + 6 − 4 x ≥ 3x − 3 − 12 x − 24, ⎨1,5 x < 2; ⎩ ⎧11x ≥ −33, ⎪ ⎨ x < 20 ; ⎪⎩ 15

⎧ x ≥ −3, ⎪ ⎨x < 4 . ⎪⎩ 3 1 Ответ: x ∈ [−3; 1 ) . 3

2(3 x − 1) < 3(4 x + 1) + 16, ⎧6 x − 2 < 12 x + 3 + 16, ⎧−6 x < 21, г) ⎧⎨ ⎨ ⎨ ⎩8 + 4 x < 3x + 8; ⎩4(2 + x) < 3 x + 8; ⎧ x > −3,5, Ответ: х ∈ (–3,5; 0). ⎨ x < 0. ⎩

⎩ x < 0;

17. Системы иррациональных уравнений ⎧⎪− 2 x + 2 y = −8, 5 y = 10, ⎨ ⎪⎩2 x + 3 y = 18.

⎧⎪ x − y = 4, ⎪⎩2 x + 3 y = 18;

186. а) ⎨

x – 2 = 4,

y = 2, у = 4,

x = 6, х = 36. Ответ: (36; 4).

⎧⎪ x + y = 8, ⎧⎪ x = 8 − y , 8 y − y − 15 = 0 . ⎨ ⎪⎩ x ⋅ y = 15; ⎪⎩ 8 − y y = 15; 2 y = z, z – 8z + 15 = 0, z1 = 3, z2 = 5,

б) ⎨

y1 = 3,

(

)

y 2 = 5, y1 = 9, y2 = 25, x1 = 25, x2 = 9.

176

x1 = 8 – 3,

x 2 = 8 – 5,

Ответ: (25; 9); (9; 25).

⎧⎪3 x − y = 8,

⎧⎪6 x − 2 y = 16, 7 ⎨ ⎪⎩ x + 2 y = 19; ⎪⎩ x + 2 y = 19.

в) ⎨

5 + 2 у = 19, 2 у =14,

у = 7, у = 49.

12 ⎧ , ⎪ x= y ⎪ ⎨ 12 ⎪ + y − 7 = 0. ⎪ y ⎩

⎧⎪ xy = 12, г) ⎨ ⎪⎩ x + y = 7;

x = 35, х = 25,

y = z,

12 + z − 7 = 0, 12 + z 2 − 7 z = 0, z1 = 3, z 2 = 4, z

у1 = 9, у2=16,

x1 = 7 − 3,

187. ⎧⎪ x y + y x = 30, ⎪⎩ x + y = 5;

а) ⎨

x=

6 y

,

y ≠ 0,

x 2 = 7 − 4,

(

y1 = 3,

x1 = 4,

)

y1 = 2,

y 2 = 4,

x 2 = 3, x1 = 16 , х2 = 9.

⎧⎪ xy x + y = 30, xy ⋅ 5 = 30, ⎨ ⎪⎩ x + y = 5; 6 y+ −5 = 0 . y = z, y

z 2 − 5 z + 6 = 0, z1 = 2, z 2 = 3, x1 = 5 − 2, x1 = 9,

Ответ: (25; 49).

xy = 6,

y 2 = 3, y1 = 4, y 2 = 9 ,

x 2 = 5 − 3, x 2 = 4 . Ответ: (4; 9), (9; 4).

⎧⎪ x + y − xy = 7 ⎧ x + y = 7 + 3, ⎧ б) ⎨ x + y − xy = 7, ⎨ ⎨ ⎩ xy = 9;

⎩ xy = 9;

⎪⎩ xy = 3;

⎧ y1 = 9, ⎧ y 2 = 1, ⎧ x = 10 − y, 2 ⎨(10 − y ) y − 9 = 0; y − 10 y + 9 = 0, ⎨ x = 1; ⎨ x = 9. ⎩ ⎩ 1 ⎩ 2 ⎧⎪ x + y = 6, ⎧ в) ⎨ x + y = 6, ⎨ ⎩ x − y = 12;

(

⎪⎩ x − y

⎧⎪ x − y = 2, 2 x = 8, ⎨ ⎪⎩ x + y = 6;

)(

(

)

⎧⎪ x − y ⋅ 6 = 12, ⎨ x + y = 12; ⎪⎩ x + y = 6;

)

x = 4, x = 16, 4 + y = 6,

y = 2, y = 4 .

⎧ xy = 64, ⎧ xy = 8, ⎧(12 + y ) y = 64, г) ⎨ ⎨ ⎨ ⎩ x − y + xy = 20; ⎩ x − y + 8 = 20; ⎩ x = 12 + y; 12 y + y 2 − 64 = 0,

⎧ y1 = 4, ⎨ x = 16; и ⎩ 1

⎧ y 2 = −16, ⎨ x = −4. ⎩ 2

177

⎧⎪ x + y = 26, ⎪⎩ x + 4 y = 6.

188. а) ⎨4

⎧(6 − v) 2 + v 2 = 26, ⎨ ⎩u = 6 − v;

y1 = 1,

4

y 2 = 5,

⎧

⎧v2 = 5, ⎨u = 1; ⎩ 2

y1 = 1,

3

3 ⎪3 б) ⎨ x − y = 3 4 ,

⎪⎩ xy = 1;

x = и,

2 ⎧ 2 y =v, ⎨u + v = 26,

4

⎩u + v = 6;

36 − 12v + v 2 + v 2 = 26 ,

⎧v = 1, v2 − 6v + 5 = 0, ⎨ 1 ⎩u1 = 5; 4

4

4

x1 = 5,

y 2 = 625 .

4

x2 = 1, x1 = 625, x2 = 1 ,

Ответ: (625; 1), (1; 625).

15 ⎧ 1 3 ⎪ 3 − y − 4 = 0, y ⎪ ⎪ 1 ⎨x = , y ⎪ ⎪ y ≠ 0. ⎪ ⎩

3

y = z,

1 1 15 − z − = 0, 4z 2 − 15z + 4 = 0, z1 = −4, z2 = , z 4 4 ⎧ y1 = −64, ⎪ ⎨x = − 1 ; ⎪⎩ 1 64

1 ⎧ ⎪ y2 = − , ⎨ 64 ⎪⎩ x 2 = −64.

Ответ: ( −

⎧⎪ x − y = 5, ⎧⎪(4 x − 4 y )(4 x + 4 y ) = 5, ⎨ ⎪⎩ x − 4 y = 1; ⎪⎩4 x − 4 y = 1;

a + b = 5, y = b; ⎧⎨ a = 3, b = 2. ⎩a − b = 1;

4

y1 = −4,

3

y2 =

1 , 4

1 1 ; –64), ( ; 64). 64 64

⎧⎪4 x + 4 y = 5, ⎨4 ⎪⎩ x − 4 y = 1;

в) ⎨4 4

3

x = 3, х = 81;

4

4

x = а,

y =2, у = 16.

Ответ: (81; 16). ⎧⎪3 x + 3 y = −3, 3 ⎧3 г) ⎨ x + y = −3, ⎨3 Пусть 3 ⎩ xy = 8;

⎧a + b = −3, ⎨ab = 2. ⎩

⎩⎪ x ⋅ y = 2.

y = −1, y = ( −1) 3 , y = −1,

3

y = –2, у = –8,

178

3

x = а,

3

y = b;

− b 2 − 3b − 2 = 0, b 2 + 3b + 2 = 0,

⎧a = −b − 3, ⎨(−b − 3)b = 2; ⎩

3

3

3

x = –2, х = (–2)3, х = –8;

x = –1, х = –1. Ответ: (–8; –1), (–1; –8).

18. Системы тригонометрических уравнений sin x ⋅ cos y = 0,25, 189. а) ⎧⎨

⎩sin y ⋅ cos x = 0,75.

Сложим уравнения, затем вычтем из первого второе уравнение: ⎧sin x ⋅ cos y + cos x ⋅ sin y = 1, ⎪ ⎨sin x ⋅ cos y − cos x ⋅ sin y = − 1 ; ⎪⎩ 2 π ⎧ ⎪⎪ x + y = 2 + 2πn, n ∈ Z , ⎨ ⎛ π⎞ ⎪ x − y = ( −1) k ⎜ − ⎟ + πk , k ∈ Z ; ⎝ 6⎠ ⎩⎪

⎧sin( x + y ) = 1, ⎪ ⎨sin( x − y ) = − 1 ; ⎪⎩ 2 2x =

π π + 2πn + ( −1) k + πk , k ∈ Z , n ∈ Z , 2 6

π π πk + πn + (−1) k + , k ∈ Z, n ∈ Z , 4 12 2 π π 2 y = + 2πn − ( −1) k − πk , k ∈ Z , n ∈ Z , 2 6 π πk k π y = + πn − (−1) − , k ∈ Z, n ∈ Z . 4 12 2 π πk π π πk ⎞ ⎛π Ответ: ⎜ + πn + (−1)k + ; + πn + (−1)k +1 + ⎟ , k ∈ Z, n ∈ Z . 4 12 2 4 12 2⎠ ⎝ x=

1 ⎧ ⎪x − y = − , 3 ⎪cos 2 (πx) − cos 2 (πy ) = 0; ⎩

б) ⎨

− 2 sin

1 ⎧ ⎪x − y = − , ⎨ 3 ⎪⎩(cos πx − cos πy )(cos πx + cos πy ) = 0;

πx + πy πx − πy πx + πy πx − πy ⋅ sin ⋅ 2 cos ⋅ cos =0, 2 2 2 2

sinπ(x + y)sin(x – y)π = 0, sin

πx + πy πx − πy πx + πy = 0 , или sin = 0, или cos = 0, или 2 2 2

cos

πx − πy πx + πy πx − πy = 0; = πm, m ∈ Z, = πk, k ∈ Z, 2 2 2

πx + πy π πx − πy π = + πl , l ∈ Z , = + πn, n ∈ Z . 2 2 2 2 ⎧ x + y = 2 m, m ∈ Z , 1 1 1 ⎪ 2 x = 2m − , x = m − , y = m + , m ∈ Z ; 1) ⎨ 1 x y − = − ; 3 6 6 ⎪⎩ 3

179

⎧ x − y = 2k , k ∈ Z , ⎪

2) ⎨ 1 ⎪x − y = − ; ⎩

3

⎧ x + y = 1 + 2l , l ∈ Z , ⎪

3) ⎨ 1 ⎪x − y = − ;

k=−

1 , решений нет; 6

2x =

2 1 2 + 2l , x = + l , y = + l , l ∈ Z ; 3 3 3

3 ⎩ x − y = 1 + 2 n, n ∈ Z , ⎧ 2 ⎪ 4) ⎨ n = − , нет решений. 1 ; x − y = − 3 ⎪⎩ 3 2 ⎞ 1 1⎞ ⎛1 ⎛ Ответ: ⎜ m − ; m + ⎟ , ⎜ + l ; + l ⎟, l ∈ Z ; m ∈ Z . 3 ⎠ 6 6⎠ ⎝3 ⎝ 3 3 ⎧ sin x ⋅ sin y = , ⎧4 sin x ⋅ sin y = 3, ⎪⎪ 4 4 = 3, в) ⎨ ⎨ sin x ⋅ sin y cos x ⋅ cos y ⎩tgx ⋅ tgy = 3; ⎪ = 3; ⎪⎩ cos x ⋅ cos y 3 ⎧ sin x ⋅ sin y = , 1 ⎪⎪ 4 sin x ⋅ sin y + cos x ⋅ cos y = 1, cos(x − y) = 1 , cos x ⋅ cos y = , ⎨ 4 ⎪cos x ⋅ cos y = 1 ; 4 ⎩⎪ 1 1 sin x ⋅ sin y − cos x ⋅ cos y = , − cos( x + y ) = , 2 2 ⎧ x − y = 2πn, n ∈ Z , 1 2π ⎪ cos( x + y ) = − , x + y = ± + 2πk , k ∈ Z ; ⎨ 2π 2 3 ⎪⎩ x + y = ± 3 + 2πk , k ∈ Z ; 2π π 2x = ± + 2πn + 2πk , k ∈ Z , n ∈ Z , x = ± + πn + πk , k ∈ Z , n ∈ Z , 3 3 π π y = ± + πn + πk − 2πn, k ∈ Z , n ∈ Z , y = ± + πk − πn, k ∈ Z , n ∈ Z . 3 3 π π π π Ответ: ( + πk + πn; + πk − πn), (− + πk + πn; − + πk − πn), k ∈Z, n∈Z . 3 3 3 3 ⎧⎪sin 2 x = cos x ⋅ cos y , 1 = cos x ⋅ cos y + sin x ⋅ sin y, cos( x − y ) = 1 , г) ⎨ 2 ⎪⎩cos x = sin x ⋅ sin y; x − y = 2πn, n ∈ Z ,

x = 2πn + y , n ∈ Z ; sin 2 (2πn + y ) =

= cos( 2πn + y ) ⋅ cos y, n ∈ Z , sin 2 y = cos 2 y , sin 2 y − cos 2 y = 0, π π 4 4 π π π π Ответ: ( + πk + 2πn; + πk ), (− + πk + 2πn; − + πk ), k ∈ Z , n ∈ Z . 4 4 4 4

tg2y =1, cosy ≠ 0, y = ± + πk, k ∈ Z , tgy = ±1, x = 2πn ± + πk , k ∈ Z .

180

⎧tgx + tgy = 2, ⎪ 190. а) ⎨ 1 ⎪⎩cos x ⋅ cos y = 2 ;

⎧ sin( x + y ) ⎪⎪ cos x ⋅ cos y = 2, ⎨ ⎪cos x ⋅ cos y = 1 . 2 ⎩⎪

Перемножив уравнения, получим: ⎧sin( x + y ) = 1, ⎪ ⎨cos x ⋅ cos y = 1 ; x + y = π + 2πn, n ∈ Z , ⎪⎩ 2 2 1 π π x = + 2πn − y , n ∈ Z , cos( + 2πn − y ) ⋅ cos y = , n ∈ Z , 2 2 2 π 1 1 cos( − y ) ⋅ cos y = , sin y ⋅ cos y = , 2 2 2 π π sin 2 y = 1, 2 y = + 2πk , k ∈ Z , y = + πk , k ∈ Z , 2 4 π x = + 2πn − πk , k ∈ Z , n ∈ Z . 4 5π ⎧ 5π ⎧ ⎪⎪ x = 2 − y, ⎪x + y = , б) ⎨ ⎨ ⎛ 5π 2 ⎞ ⎪⎩sin x + cos 2 y = −1; ⎪sin ⎜ − y ⎟ + cos 2 y = −1; ⎠ ⎩⎪ ⎝ 2

cos y + cos 2 y = −1, cos y + 2 cos2 y − 1 = −1, 2 cos2 y + cos y = 0 , cos y (2 cos y + 1) = 0, cos y = 0 или cos y = −

1 , 2

π 2π 2π + πn, n ∈ Z , y 2 = + 2πk , k ∈ Z , y 3 = − + 2πk , k ∈ Z ; 3 3 2 5π π x1 = − − πn, n ∈ Z , x1 = πn, n ∈ Z , 2 2 11π 19π x2 = − 2πk , k ∈ Z , x 3 = − 2πk , k ∈ Z . 6 6 2π 19π 2π π 11π Ответ: (πn; + πn), ( − 2πk; + 2πk ), ( − 2πk; − + 2πk), k ∈ Z , n ∈ Z . 2 6 3 6 3 1 ⎧ ⎪ в) ⎨sin x ⋅ sin y = 4 , Перемножим уравнения: ⎪⎩ctgx ⋅ ctgy = 3. 1 ⎧ ⎪⎪sin x ⋅ sin y = 4 , sin x ⋅ sin y + cosx ⋅ cosy = 1, cos( x-y) = 1 , ⎨ ⎪cosx ⋅ cosy = 3 ; ⎪⎩ 4 y1 =

181

x − y = 2πn, n ∈ Z , x = 2πn + y, n ∈ Z , 1 1 1 , n ∈ Z , sin y ⋅ sin y = , sin 2 y = , 4 4 4 π ⎛ ⎞ y = ( −1) k ⎜ ± ⎟ + πk , k ∈ Z , ⎝ 6⎠

sin(2πn + y ) ⋅ sin y =

sin y = ±

1 , 2

⎛ π⎞ x = 2πn + (−1) k ⎜ ± ⎟ + πk , k ∈ Z , n ∈ Z . ⎝ 6⎠ π π π Ответ: ((−1) k + πk + 2πn; (−1) k + πk ), ((−1) k +1 + πk + 2πn; 6 6 6 π (−1) k +1 + πk ) k ∈ Z , n ∈ Z . 6 ⎧cos 2 y + cos x = 1, ⎪ г) ⎨ π ⎪⎩ x + y = 2 ;

⎧ ⎞ ⎛π ⎪⎪cos 2 y + cos⎜ − y ⎟ = 1, 2 ⎠ ⎝ ⎨ ⎪ x = π − y; 2 ⎩⎪

cos 2 y + sin y = 1, 1 − 2 sin2 y + sin y = 1 , − 2 sin 2 y + sin y = 0, sin y ( −2 sin y + 1) = 0, sin y = 0 или siny =

y1 = πn, n ∈ Z,

y 2 = (−1) k

1 , 2

π π + πn, k ∈ Z ; x1 = − πn, n ∈ Z , 6 2

π π − (−1) k + πk , k ∈ Z . 2 6 π π π π Ответ: ( − πn; πn), ( − (−1)k + πk ; (−1)k + πk ), n ∈ Z , k ∈ Z . 2 2 6 6 x2 =

19. Системы показательных и логарифмических уравнений ⎧⎪9 x + y = 729, ⎪⎩3x − y −1 = 1;

191. а) ⎨

⎧⎪9 x + y = 93 , ⎧ x + y = 3, 2х = 4, х = 2, у = 1. ⎨ x − y −1 ⎨ ⎪⎩3 = 30 ; ⎩ x − y − 1 = 0;

y ⎧ x ⎧ 9 − y − 2 y = 16, б) ⎨2 − 2 = 16, ⎨2

⎩ x + y = 9; у

2 = z,

⎩ x = 9 − y;

29 y

− 2 y − 16 = 0.

2 512 2 − z − 16 = 0, 512 − z − 16 z = 0 , z

z 2 + 16 z − 512 = 0, z1 = 16, z2 = −32 ; 2 y1 = 16, 2 y2 = −32 – решений нет.

у = 4, х = 5; 182

Ответ: (5; 4).

( )

⎧

⎧⎪ = 25, ⎪5 в) ⎨ 5 ⎨ 6 y − x −1 x− y

⎪⎩6

x− y 2

= 52 6 y − x − 1 ⎪6 = 60 ; ⎩

= 1;

5у = 5, у = 1, х = 5. y ⎧ x г) ⎨3 + 3 = 28, ⎩ x − y = 3;

⎧x− y ⎪ ⎧ x − y = 4, = 2, ⎨ 2 ⎨ ⎪⎩6 y − x − 1 = 0; ⎩− x + 6 y = 1;

Ответ: (5; 1).

⎧3 3+ y + 3 y = 28, 27 ⋅ 3 y + 3 y = 28, 28 ⋅ 3 y = 28 , ⎨ ⎩ x = 3 + y;

у = 0, х = 3.

Ответ: (3; 0).

⎧⎪4 log 4 2 x − y = −1 ⎧2 x − y = −1, ⎧ y = 2 x + 1, ⎨ −1 ⎨ x x 2 x− y x ⎪⎩5 + 5 = 5,2; ⎩5 + 5 = 5,2; ⎩5 = 5;

192. а) ⎨

⎧⎪2 x + 3 y = 17 ⎪⎩2 x + 2 + 3 y +1 = 5;

б) ⎨

⎧ y = 3, ⎨ x = 1. ⎩

⎧⎪2 x + 3 y = 17, 2х = и, 3у = v, ⎨ ⎪⎩4 ⋅ 2 x − 3 ⋅ 3 y = 5.

⎧−4u − 4v = −68, ⎧u + v = 17, − 7v = −63, v = 9, u = 8; 2 x = 8, ⎨4u − 3v = 5; ⎨4u − 3v = 5; ⎩ ⎩ 3 y = 9; x = 3, y = 2.

⎧⎪3log3 ( y + x) = 2, ⎧ y + x = 2, ⎧ x + y = 2, ⎨2 x + y = 4; ⎨2 x + y = 4; x = 2, y = 0. 2 x+ y ⎩ ⎩ = 16; ⎩⎪2

в) ⎨

⎧⎪log 2 ( y − x ) = 4, ⎧3 x + 2 ⋅ 3 4 + x − 2 = 171, ⎨ x y −2 = 171; ⎩ y = 4 + x; ⎩⎪3 + 2 ⋅ 3

г) ⎨

3x + 2 ⋅ 34+ x −2 = 171, 3x + 18 ⋅ 3x = 171, 19 ⋅ 3x = 171, 3x = 9, x = 2, y = 6 . ⎧⎪3 x ⋅ 7 y = 63, x y ⎩⎪3 + 7 = 16.

193. а) ⎨

3 x = и; 7у = v,

⎧u ⋅ v = 63, ⎨u + v = 16; ⎩

⎧(16 − v)v = 63, 16v − v 2 − 63 = 0, v 2 − 16v + 63 = 0, v1 = 7, v 2 = 9 ; ⎨u = 16 − v; ⎩ 1

2

1

2

u1 = 9, u2 = 7; 3x = 9, 3x = 7; x1 = 2, x2 = log3 7; 7 y = 7, 7 y = 9;

у1 = 1, у2 = log 7 9 .

Ответ: (2; 1); ( log 3 7 ; log 7 9 ).

x ⎧3 x − 2 2 y = 77, ⎪ x 3 2 = и, 2у = v, ⎨ ⎪⎩ 3 x − 2 y = 7; ⎪3 2 − 2 y = 7. ⎩

⎧⎪3 x − 2 2 y = 77,

б) ⎨

⎧u 2 − v 2 = 77, ⎧7(u + v) = 77, ⎧u + v = 11, ⎨ ⎨u − v = 7; ⎨u − v = 7; u = 9, v = 2; ⎩ ⎩ ⎩u − v = 7; x

3 2 = 9,

x = 2, x = 4, 2 y = 2; y = 1. 2

Ответ: (4; 1). 183

⎧⎪4 x ⋅ 4 y = 64, ⎪⎩4 x − 4 y = 63.

в) ⎨

u ⋅ v = 64, 4х = и, 4у = v, ⎧⎨

⎩u − v = 63;

⎧(63 + v)v = 64, 2 v + 63v − 64 = 0, v1 = −64, v2 = 1; u1 = −1, u2 = 64 ; ⎨u = 63 + v; ⎩

4х = –64 – уравнение не имеет смысла; 4х = 1, х = 0; 4у = –1 – уравнение не имеет смысла; 4у = 64, у = 3. x

x

x

⎧⎪ x y г) ⎨ 2 − 3 = −7, 2 2 − 2 x = −2, 2 x − 2 2 − 2 = 0. Пусть 2 2 = z, x y ⎪⎩2 − 3 = −5;

x

x

z 2 − z − 2 = 0, z1 = 2, z 2 = −1; 2 2 = 2, 2 2 = −1 – уравнение не

тогда

имеет смысла;

x = 1, х = 2; 22 – 3у = –5, 3у = 9, у = 2. 2

⎧lg x − lg y = 1, lgx = u, lgy = v, 2 2 ⎩lg x + lg y = 5.

194. а) ⎨

⎧u − v = 1, ⎨ 2 2 ⎩u + v = 5;

⎧u = 1 + v, 1 + 2v + v 2 + v 2 = 5, 2v 2 + 2v − 4 = 0 , ⎨ 2 2 ⎩(1 + v) + v = 5; v 2 + v − 2 = 0, v1 = −2, v2 = 1; u1 = −1, u2 = 2; lg x = −1, lg x = 2, x1 0,1, x 2 = 100; lg y = −2, lg y = 1, y = 0,01, y = 10.

Ответ: (0,1; 0,001); (100; 10). ⎧ x > 0, y > 0, ⎧ x > 0, y > 0, ⎧log 2 ( x 2 + y 2 ) = 5, ⎪ ⎪ 2 2 2 2 б) ⎨ ⎨log 2 ( x + y ) = log 2 32, ⎨ x + y = 32, + = 2 log log 4 ; x y 4 2 ⎩ ⎪log 2 x + log 2 y = log 2 16; ⎪ xy = 16; ⎩ ⎩ 16 256 2 4 2 2 x= , + y = 32, y − 32 y + 256 = 0, ( y − 16) 2 = 0, y y2 y1 = 4, y2 = −4 − на удовлетворяет условию x > 0; x1 = 4 . Ответ: (4; 4).

lg x − lg y = 7, ⎧ x > 0, в) ⎧⎨ 2 lg x = 12, lg x = 6, x = 10 6 ; 6 + lg y = 5, ⎨ ⎩lg x + lg y = 5; ⎩ y > 0; 1 lg y = −1, y = . 10

⎧ 1⎞ ⎛ ⎪log 2 ( x + 1) = log 2 ⎜ y + ⎟, ⎪ 4⎠ ⎝ г) ⎨ 1 ⎛ ⎞ ⎪log x − 2 log ⎜ y − ⎟ = 0; 2 2 2⎠ ⎝ ⎩⎪

184

Ответ: (106; 0,1). ⎧ x > 0, ⎪ x + 1 > 0, ⎪⎪ 1 ⎨ y + > 0, 4 ⎪ ⎪ y − 1 > 0; 2 ⎩⎪

⎧ x > 0, ⎪ x > −1, ⎪⎪ 1 ⎨y > − , 4 ⎪ ⎪y > 1 ; 2 ⎩⎪

⎧ x > 0, ⎪ ⎨y > 1 ; ⎪⎩ 2

1 ⎧ ⎪x + 1 = y + 4 , ⎪ 2 ⎨ ⎪ x = ⎛⎜ y − 1 ⎞⎟ ; 2⎠ ⎝ ⎩⎪ y2 − y +

3 ⎧ 2 ⎪x − y = − 4 , 1⎞ 3 ⎛ ⎪ ⎜y− ⎟ −y =− , 2 ⎨ 1 ⎛ ⎞ 2 4 ⎝ ⎠ ⎪x = ⎜ y − ⎟ ; 2⎠ ⎝ ⎩⎪

1 3 − y + = 0, y 2 − 2 y + 1 = 0, ( y − 1) 2 = 0, y = 1, x = 0,25. 4 4

⎧ y − log3 x = 1, ⎧y = 1+ log3 x, ⎧ y = 1+ log3 x, x > 0, x ≠ 1. ⎨ ⎨(1+ log x) log x = 12. y 12 y x log = 12 log 3 ; x = 3 ; 3 3 3 3 ⎩ ⎩ ⎩

195. а) ⎨

log 3 = z, (1 + z)z = 12, z2 + z – 12 = 0, z1 = –4, z2 = 3; log 3 x1 = –4, log 3 x2 = 3; x1 =

y2 = 1+ 3 , y2 = 4.

1 , x2 = 21; y1 = 1 – 4, y1 = –3, 81 1 Ответ: ( ; –3); (27; 4). 81

⎧ x 2 + y 2 ≠ 0, ⎪ 2 2 ⎨ x − y ≠ 0, ⎪ x > y; ⎪⎩

⎧⎪ 1+ log 3 ( x 2 + y 2 ) = 15, б) ⎨3 ⎪⎩log 3 ( x 2 − y 2 ) − log 3 ( x − y ) = 0;

⎧3 ⋅ 3 log3 ( x 2 + y 2 ) = 15, ⎪ ⎨ x2 − y2 = 1; ⎪ ⎩ x− y

(

)

⎧3 x 2 + y 2 = 15, ⎨ ⎩( x + y ) = 1;

⎧3(1 − y ) 2 + 3 y 2 = 15, ⎨ ⎩ x = 1 − y;

3 – 6у + 3у2 + 3у2 – 15 = 0, 6у2 – 6у – 12 = 0, у2 – у – 2 = 0, у1 = 2, у2 = –1; х1 = –1, х2 = 2; (–1; 2) – не является решением системы. ⎧⎪log x + 3 log3 y = 7, ⎧log 5 x + y = 7, ⎧ y = 7 − log 5 x, 5 ⎨ y log x = 12 log 5; ⎨ y (log x) = 12; 12 y 5 5 5 ⎩ ⎩ ⎩⎪ x = 5 ;

в) ⎨

(7 − log 5 x ) ⋅ log 5 x = 12. log 5 х = z, (7 – z)z = 12, 7 z − z 2 − 12 = 0, z 2 − 7 z + 12 = 0, z1 = 3, z2 = 4; log5 x1 = 3,

х1 = 125, у1 = 4; log 5 x 2 = 4 , х2 = 625, у2 = 3. Ответ: (125; 4); (625; 3).

(

)

⎧5 ⋅ x 2 − y 2 = 25, ⎧⎪51+ log 5 ( x 2 − y 2 ) = 25, ⎪ 2 г) ⎨ ⎨x − y2 = 1; ⎪⎩log 5 x 2 − y 2 = log 5 ( x + y ); ⎪ ⎩ x+ y

(

⎧ x + y = 5, ⎨ x − y = 1; ⎩

)

x = 3, y = 2.

⎧ x 2 − y 2 = 5, ⎨ ⎩ x − y = 1;

Ответ: (3; 2).

185

⎧log 4 x − 2 log 4 y = 0, ⎧log 4 x − log 2 y = 0, ⎪ 2 2 196. а) ⎨ 2 ⎨ x − 2 y = 8; 2 ⎩ x − 2 y = 8; ⎪ x > 0, y > 0; ⎩

х = у2, у4 – 2у2 – 8 = 0, у = 2 или у = –2 – не удовлетворяет условию системы; у = 2, х = 4. Ответ: (4; 2).

⎧⎪ 2 x − y = 81, б) ⎨3 ⎪⎩lg xy = 1 + lg 3;

⎧ 2 x− y = 34 , ⎪⎪3 ⎨lg xy = lg 10 ⋅ 3, ⎪ x > 0, y > 0; ⎪⎩

⎧ x > 0, y > 0, ⎪ ⎨2 x − y = 4, Пусть ⎪ x ⋅ y = 30. ⎩

x = и,

⎧ x > 0, y > 0, ⎪ ⎨2 x − y = 4, ⎪ xy = 30; ⎩

2u − v = 4, y = v, тогда ⎧⎨ ⎩u ⋅ v = 30;

⎧v = 2u − 4, 2 2 ⎨u ⋅ (2u − 4) = 30; 2u − 4u − 30 = 0, u − 2u − 15 = 0, u1 = 5, u2 = −3 ; ⎩ v1 = 6, v 2 = −10; x = 25,

y = 6,

x = 5,

y = −10 – уравнение решений не имеет; у = 36.

⎧log 9 x − log 3 y = 0, 2 2 ⎩ x − 5 y + 4 = 0;

в) ⎨

x = −3 – уравнение решений не имеет;

⎧ x > 0, y > 0, ⎪ 2 ⎨x = y , ⎪ x 2 − 5 y 2 + 4 = 0; ⎩

y 4 − 5y 2 + 4 = 0 ,

у = 2, х = 4; у = –2 – не удовлетворяет условию; у = 1, х = 1; у = –1 – не удовлетворяет условию. Ответ: (4; 2), (1; 1). ⎧⎪2 log 2 x − 3 y = 15, y y +1 ⎩⎪3 log 2 x = 2 log 2 x + 3 .

г) ⎨

2u − v = 15,

Пусть log 2 х = и, 3у = v, тогда ⎧⎨ ⎩v ⋅ u = 2u + 3v; ⎧v = 2u − 15, ⎨(2u − 15)u = 2u + 3(2u − 15); ⎩

2u 2 − 15u − 2u − 6u + 45 = 0 ,

2u 2 − 23u + 45 = 0, u1 = 9, u 2 = 2,5; v1 = 3, v 2 = −10; log 2 x1 = 9 , log 2 x 2 = 2,5; x1 = 512, x 2 = 2 2,5 ; 3 y = 3, y1 = 1, 3 y = −10 –

не имеет смысла. Ответ: (512; 1). 186

уравнение

20. Задачи на составление уравнений и систем уравнений 197. Пусть х км/ч – скорость автобуса по старому расписанию, тогда (х + 10) км/ч – скорость по новому расписанию; t – время движения по старому расписанию; (t –

2 ) – время движения по 3

новому расписанию. Составим систему уравнений: 325 ⎧ ⎪⎪ x = t , ⎨ ⎪ xt − 2 x + 10t − 20 = xt; ⎪⎩ 3 3 325 –2х + 30t – 20 = 0, − + 15t − 10 = 0, 3t 2 − 2t − 65 = 0, t1 = 5, t 26 – не является решением по смыслу задачи; t2 = − 6 ⎧ x ⋅ t = 325, ⎪ ⎨(x + 10 )⎛⎜ t − 2 ⎞⎟ = 325; ⎪ ⎝ 3⎠ ⎩

х = 325 : 5 = 65 (км/ч); х + 10 = 65 + 10 = 75 (км/ч). Ответ: скорость автобуса по старому расписанию 65 км/ч, по новому – 75 км/ч. 198. Пусть скорость течения х км/ч, тогда (15 – х) км/ч – скорость лодки против течения и (х + 15) км/ч – скорость лодки по течению. Можно составить уравнение по условию задачи. 1 1 139 418 418 3 + 3 = 20, + = 20, x ≠ 15, x ≠ −15; 3( x + 15) 3(15 − x) x + 15 15 − x

139

418(15–х)+418(х+15)=60(152–х2), 418(15 – х + х + 15) = 30(152 – х2), 209 ⋅ 30 = 30 ⋅ (15 2 − x 2 ), 209 = 15 2 − x 2 , x 2 = 16, x1 = −4 – не является решением: х2 = 4. Ответ: скорость течения 4 км/ч. 199. Пусть х км/ч – первоначальная скорость; t – время в пути, 1 6

тогда х ⋅ t = 220; (х + 5) км/ч – новая скорость, (t – 2 ) ч – время, 1 6

затраченное на оставшийся путь, тогда 2х + (х + 5)(t – 2 ) = хt. Получим систему уравнений: ⎧ 220 ⎧ x ⋅ t = 220, t= , ⎪ ⎪⎪ x ⎨2 x + ( x + 5)⎛⎜ t − 2 1 ⎞⎟ = xt; ⎨ ⎪ ⎪2 x + xt + 5t − 2 1 x − 65 = xt; 6⎠ ⎝ ⎩ 6 6 ⎩⎪

187

220 ⎧ t= , ⎪⎪ x ⎨ ⎪5t − 1 x − 65 = 0; ⎪⎩ 6 6 x 2 + 65 x − 6600 = 0,

5 ⋅ 220 x 65 − − = 0, 6600 − x 2 − 65 x = 0, x 6 6 x1 = 55,

x2 = −120 – не является решением.

Ответ: первоначальная скорость 55 км/ч. 200. Пусть ч км/ч – скорость I теплохода, тогда (x + 6) км/ч – скорость второго теплохода. Т.к. они двигались перпендикулярно: (2 x) 2 + ( 2( x + 6)) 2 = 602 , 4 x 2 + 4( x + 6) 2 = 60 2 , 4 x 2 + 4 x 2 + 48 x + 144 = 3600, x 2 + 6 x − 432 = 0, x1 = 18, x2 = −24 –

не решение. х + 6 = 18 + 6 = 24 (км/ч). Ответ: 18 км/ч, 24 км/ч. 201. Пусть t – время до встречи первого тела; (t – 5) с – время движения второго тела. Путь первого тела: t

12 + 6(t − 1) = 6t + 3t 2 − 3t = 3t 2 + 3t . 2

Путь второго тела: 12(t – 5). 3t 2 + 3t + 12t − 60 = 390 , t 2 + 5t − 150 = 0, t1 = 10, t2 = −15 – не является решением, т.к. мы пользуемся положительным временем. Ответ: 10 с. 202. Пусть п – дневная норма по плану; тогда 2160 2320 − 3n = + 4, 2160n + 80 ⋅ 2160 = 2320n − 3n 2 + 4n 2 + 320n , n n + 80 n 2 + 480n − 172800 = 0, n1 = 240, n 2 = −700 – не может выражать объем

грунта.

Ответ: 240 м3.

203. Пусть х – число дней, необходимое I бригаде, тогда х + 6 – число дней, необходимое второй бригаде. Имеем уравнение: 1 1 1 + = , x2 + 6 x − 8x + 24 = 0, x 2 − 2 x − 24 = 0, x1 = 6, x2 = −4 – не x x+6 4

может выражать число дней; х + 6 =12

Ответ: 6 дней, 12 дней.

204. Пусть затребовали х машин; грузоподъемность каждой 60 машины . Имеем уравнение: x 60 60 − 0,5 = , 120( x + 4) − ( x + 4) x = 120 x, x 2 + 4 x − 480 = 0 , x x+4

х1 = 20, х2 = –24 – не является решением. Ответ: 20 машин. 188

205. Пусть х% меди в первом куске, (х + 15)% меди во втором куске. Имеем уравнение: 5 ⋅100 4 ⋅100 + = 30, 50 x + 750 + 40 x = 3 x 2 + 45 x, x 2 − 15 x − 250 = 0 , x x + 15

х1 = 25, х2 = –10 – не является решением.

Ответ: 25% 40 х

206. Пусть х г – было количество раствора;

– процентное

содержание соли в первоначальном растворе; х + 200 – количество 40 – процентное содержание соли в новом х + 200 40 40 растворе. По условию задачи имеем уравнение: − = 0,1 х х + 200

нового раствора;

40х + 8000 – 40х = 0,1(х2 + 200х), х2 + 200х – 8000 = 0, х1 = 200, х2 = –400 – не является решением по смыслу задачи. 40 ⋅ 100% = 20%, 200 − 40 = 160 (г). 200

Ответ: 20%, 160 г воды.

207. Пусть х – скорость третьей машины; t – время движения третьей машины до встречи с первой. Составим систему: 1 ⎧ ⎪⎪ xt = 40 ⋅ 2 + 40t , ⎨ ⎛ 3⎞ ⎪ x⎜ t + ⎟ = 50 ⋅ 2 + 50t; ⎪⎩ ⎝ 2 ⎠ 100 + 50t −

20 + 40t ⎧ , ⎪⎪ x = t ⎨ ⎪ xt + 3 x = 100 + 50t ; ⎪⎩ 2

3 3 ⎛ 20 + 40t ⎞ 3 x = 20 + 40t , 80 + 10t = x, 80 + 10t = ⎜ ⎟⋅ , 2 2 t ⎝ ⎠ 2

160t + 20t 2 = 60 + 120t , t 2 + 2t − 3 = 0, t1 = 1, t2 = −3 –

решением задачи; х = 20 + 40 = 60 (км/ч).

не является Ответ: 60 км/ч.

208. Пусть V м/с – скорость поезда; S м – длина поезда. S = 7V, V =

378 + 7V , 25

25V = 378 + 7V , 18V = 378, V = 21 (м/с);

S = 7 ⋅ 21 = 147 (м). Ответ: V = 21 м/с, S = 147 м. 209. Пусть V1 км/ч – первоначальная скорость первого пешехода; V2 км/ч – второго пешехода. Имеем : 5(V1 + V2) = 50, 5V1 50 − V1 − = 2, V2 + 1 V1 − 1 5V1 (V1 − 1) − (50 − 5V1 )(V2 + 1) = 2(V2 + 1)(V1 − 1);

V1 + V2 = 10, V2 = 10 − V1; V 2 = 10 − V1 , поэтому

189

5V1 (V1 − 1) − (50 − 5V1 )(10 − V1 + 1) = 2(10 − V1 + 1)(V1 − 1) , V12 + 38V1 − 264 = 0, V1 = 6 км/ч, V 2 = 4 км/ч.

Ответ: 6 км/ч, 4 км/ч. 210. Пусть двигателей типа А изготовили х штук и у – типа В. 2 x + 3 y = 130, ⎧ x = 80 − 2 y, Составим систему: ⎧⎨ ⎨ ⎩ x + 2 y = 80;

⎩160 − 4 y + 3 y = 130;

y = 30, x = 20.

Ответ: 20 двигателей типа А , 30 двигателей типа В. 211. Пусть х дней нужно первому рабочему, тогда второму необходимо 25 – х. Составим уравнение, приняв всю работу за 1: 1 1 1 = + ; x(25 − x) = 6(25 − x) + 6 x, 25x − x2 = 150 − 6 x + 6 x , 12 2 x 2(25 − x) x 2 − 25 x + 150 = 0, x1 = 15, x2 = 10. Тогда второй соответственно за 10

и 15 дней. Ответ: 15 дней и 10 дней. 212. Пусть х масса первой жидкости, тогда масса II в смеси 60 – х. Объем первой жидкости смеси

х , 1,2

объем второй

60 − х , объем всей 1,6

х 60 − х + , плотность смеси равана 1,6 1,2

⎛ х 60 − x ⎞ 288 60 ⋅ 4,8 288 ⎟⎟ = . По условию 8 ⋅ = х, 60 : ⎜⎜ + = 1,6 ⎠ 4 x + 3(60 − x) x + 180 x + 180 ⎝ 1,2

откуда х2 + 180х – 2304 = 0, х = 12 или х = –192 – не является решением. Следовательно, при х = 12 плотность смеси равна 1,5 г/см3; первой жидкости 12 г, второй – 48 г.

288 , то есть x + 180

Ответ: 12 г, 48 г, 1,5 г/см3. 213. Пусть х – масса серебра в сплаве, тогда т + 3 серебра составит 90%, а масса серебра в нем равна х + 3; таким образом, 9 (m + 3) = x + 3 . В сплаве массой т + 2 серебро составит 84%; но 10

серебра в добавленных 2 кг сплава содержится поэтому

в

новом

сплаве

серебро

84 9 (т + 2) = х + . Получим систему: 100 5

190

составит

2⋅

9 9 кг = кг, 10 5

9⎞ ⎛ ⎜ х + ⎟ кг 5⎠ ⎝

и

⎧9 ( т + 3) = х + 3, ⎪⎪10 ⎨ 84 9 ⎪ ( т + 2) = х + ; ⎪⎩100 5

⎧9( т + 3) = 10( х + 3), ⎪ ⎧9т + 27 = 10 х + 30, ⎨21(т + 2) = 25( х + 9 );⎨21m + 42 = 25 x + 45; ⎩ ⎪⎩ 5

10 x + 3 ⎧ m= , 7 ⎧9m = 10 x + 3, ⎪⎪ 9 (10 x + 3) = 25 x + 3 , ⎨21m = 25 x + 3; ⎨ 10 x + 3 ⎩ ⎪21 ⋅ = 25 x + 3; 3 ⎪⎩ 9 12 10⋅ 2,4 + 3 27 70х + 21 = 75х + 9, 5х = 21 – 9, х = , х = 2,4, m = , m= , 5 9 9 2,4 т = 3. 2,4% – а%, 3 – 100%, a = ⋅100 = 80% . 3

Ответ: масса сплава 3 кг, процентное содержание серебра 80%. 214. Пусть первая точка делает оборот за х с, тогда вторая – за (х + 5) 60 60 с. Тогда за 1 мин. первая точка сделает оборотов, вторая х+5 х оборотов. По условию

60 60 – = 1, значит 60(х+5–х)= х(х + 5), х х+5

х2 + 5х – 300 = 0, х = –20 (не подходит) или х = 15. Получили, что первая точка делает полный оборот за 15 с, вторая за 20 с. Скорость первой точки 4 м/с, второй 3 м/с. Ответ: 4 м/с, 3 м/с. 215. Пусть число десятков а, число единиц b. Число равно 10а + b. 2 2 ⎧ 2 ⎧ 2 a2 + b2 = 13; 10a + b – 9 = 10b + a. ⎨а + b = 13, ⎨а + b = 13,

⎩9a − 9b = 9;

⎩a − b = 1;

(b + 1) 2 + b 2 = 13, b 2 + 2b + 1 + b 2 = 13, 2b 2 + 2b − 12 = 0, b 2 + b − 6 = 0 ,

b = 2 или b = –3 – не цифра. По смыслу b > 0, поэтому b = 2, а = 3 и исходное число равно 32. Ответ: 32. 216. a 2 − b 2 = 55, a, b ∈ N . (a − b)(a + b) = 55, причем a − b , a+b – натуральные числа. Но 55 = 55 ⋅ 1= 5 ⋅ 11, поэтому либо ⎧a − b = 1, ⎨a + b = 55, ⎩

a − b = 5, либо ⎧⎨

⎩a + b = 11.

Из первой системы 2b = 54, b = 27 и а = 28; из второй системы 2а = 16, а = 8 и b = 3. Ответ: 27 и 28; 3 и 8.

191

§ 5. Производная, первообразная, интеграл и их применения 21. Производная 217. а) ∆f = f ( x 0 + ∆x) − f ( x 0 ), 1 1 1 1 ∆f 0,105 ∆f = (1,1)2 − ⋅12 = (1,12 − 12 ) = ⋅ 0,21 = 0,105, = = 1,05 ; 2 2 2 2 ∆x 0,1 ∆f 0,1 10 б) ∆f = 2,21 − 1 − 2 − 1 = 1,1 − 1 = 0,1 , ; = = ∆x 0,21 21 ∆f −0,4 в) ∆f = 3 − 2( 2,2) − (3 − 2 ⋅ 2) = 3 − 4,4 − 3 + 4 = −0,4, = = −2 ; ∆x 0,2 1 1 1 10 11 − = −1 = −1 = − г) ∆f = , 1,1 + 1 1 2,1 21 21 11 − ∆f 11 ⋅10 110 5 = 21 = − =− = −5 . ∆x 0,1 21 21 21

218. а) f ′( x) = lim

∆f

∆x →0 ∆x

=

=

lim

∆x→0

f ( x + ∆x) − f ( x) 1 − 4( x + ∆x) − (1 − 4 x) = lim = ∆x ∆x ∆x→0

1 − 4 x − 4∆x − 1 + 4 x −4∆x = −4 ; = lim ∆x ∆x →0 ∆x →0 ∆x

lim

1,5( x + ∆x)2 − 1,5x2 1,5x2 + 3x∆x + 1,5∆2 x − 1,5x2 = lim = ∆x ∆x ∆x→0 ∆x→0

б) f ′( x) = lim =

lim

∆x→0

∆x(3x − 1,5∆x) = lim (3x + 1,5∆x) = 3x; при х0 = 2 имеем f ′(x0) = 6; ∆x ∆x→0

3( x + ∆x) + 2 − 3x − 2 3 x + 3∆x + 2 − 3 x − 2 = = lim ∆x ∆x ∆x →0 ∆x →0

в) f ′( x) = lim =

3∆x

=3; lim ∆x →0 ∆x

г) f ′( x) = lim = ∆x →0

=

3

lim

∆x →0

=

192

( x + ∆x) 3 + 1 − x 3 − 1 = ∆x

x + 3x 2 ∆x + 3x∆2 x + ∆3 x + 1 − x 3 − 1 = ∆x

∆x(3x 2 + 3 x∆x + ∆2 x) = ∆x ∆x → 0

lim

2 2 2 lim (3x − 3x∆x + ∆ x) = 3x ; при х0 = –1 имеем f ′( x 0 ) = 3 .

∆x →0

1 4 1 3 1 2 x − x + x − x + 5, f ′( x) = x 3 − x 2 + x − 1 ; 4 3 2 б) f ( x) = (4 − x 2 ) sin x, f ′( x) = (4 − x 2 )′ ⋅ sin x + (4 − x 2 )(sin x)′ =

219. а) f ( x) =

= −2 x ⋅ sin x + ( 4 − x 2 ) cos x ;

в) f ( x) = ( x2 + 5)(x3 − 2 x + 2), f ′( x) = 2x( x3 − 2 x + 2) − ( x2 + 5)(3x2 − 2) = = 2 x 4 − 4 x 2 + 4 x − 3x 4 + 2 x 2 − 15 x 2 + 10 = − x 4 − 17 x 2 + 4 x + 10 ; cos x , г) f ( x) = 2 − x3 − sin x(2 − x 3 ) − cos x ⋅ (−3x 2 ) − 2 sin x + x 3 sin x + 3x 2 cos x . f ′( x) = = 2 2 2 − x3 2 − x3

(

220. а) f ( x) =

3 x3

)

−5 x +

(

1 = 3 ⋅ x −3 − x 5

5 3

x

4

1 − + 5⋅ x 3

)

,

1

1 −5 9 1 5 ⎛ 1 ⎞ −1 x + 5⋅⎜− ⎟⋅ x 3 = − − − ; 5 ⎝ 3⎠ x 4 55 x 4 33 x 4 ⎛ 1 ⎞⎟ 2− x tgx + ; б) f ( x) = (2 − x ) tgx , f ′( x) = ⎜⎜ − ⎟ cos 2 x ⎝ 2 x⎠ x 3 − 3x в) f ( x) = , 1 − 2x

f ′( x) = 3 ⋅ ( −3 x − 4 ) −

(3x2 − 3)(1− 2x) − (x3 − 3x)(−2) 3x2 − 6x3 − 3+ 6x + 2x3 − 6x − 4x3 + 3x2 −3 ; = = (1− 2x)2 (1− 2x)2 (1− 2x)2 sin x cos x − 2 cos x(1 − 2 cos x) − sin x ⋅ 2 sin x г) f ( x) = , f ′( x) = = . 1 − 2 cos x (1 − 2 cos x) 2 (1 − 2 cos x) 2 f ′(x) =

1 ; x ln 10 4 2 б) f ( x) = e −3 x + 2 log 3 2 x, f ′( x) = −3e −3 x + ; = −3e −3 x + 2 x ln 3 x ln 3 в) f ( x) = x 2 ⋅ 52 x , f ′( x) = 2 x ⋅ 52 x + x 2 ⋅ 2 ⋅ 52 x ⋅ ln 5 = 2 ⋅ 52 x ⋅ x(1 + x ln 5) ;

221. а) f ( x) = 2 x + lg x, f ′( x) = 2 x ln 2 +

г) f ( x) =

ln x e x + e −x

,

1 x (e + e − x ) − ln x(e x − e − x ) x f ′( x) = . (e x + e − x ) 2

222. а) f ( x) = sin 3 x + cos 5 x, б) f ( x) = 4 1 + x 2 +

f ′( x) = 3 cos 3 x − 5 sin 5 x ;

1 (2 x − 1) 3

;

f ′( x) = 4

(

2x

4 1+ x

)

2 3

−

6 (2 x − 1) 4

; 193

в) f ( x) = (3 − 2 x3 )5 ,

f ′( x) = 5(3 − 2 x3 ) 4 ⋅ ( −6 x 2 ) = −30 x 2 (3 − 2 x3 ) 4 ; π 4

г) f ( x) = lg(3 x) + 3tg (2 x − ) , f ′( x) =

3 + 3x ln 10

3⋅ 2 1 6 . = + π ⎞ x ln 10 π⎞ ⎛ ⎛ cos 2 ⎜ 2 x − ⎟ cos 2 ⎜ 2 x − ⎟ 4⎠ 4⎠ ⎝ ⎝

223. а) f ′( x) = 4 x3 − 4 x, 4 x3 − 4 x = 0, 4 x( x2 − 1) = 0, x1 = 0, x2 = 1, x3 = −1 ; б) f ′( x) = 3 cos 2 x − 5 cos x − 1, 3 cos 2 x − 5 cos x − 1 = 0, 6 cos2 x − 3 − 5 cos x − 1 = 0 . cosx = у, 6у2 – 5у – 4 = 0, 1 1 1 y1 = 1 , y 2 = − ; cos x = 1 – не имеетсмысла; 12 2 12 1 2π cos x = − , x = ± + 2πn, n ∈ Z ; 2 3 в) f ′( x) = − x 4 + 10 x 2 − 9, − x 4 + 10 x 2 − 9 = 0, x 4 − 10 x 2 + 9 = 0 ;

Пусть х2 = у, тогда у2 – 10у + 9 = 0, у1 = 9, у2 = 1; х2 = 9, х2 = 1; х1 = 3, х2 = –3, х3 = 1, х4 = –1; 1 2

π 6

г) f ′( x) = 1 − 2sin 2x, 1 − 2sin 2x = 0, sin 2x = , 2x = (−1)k + πk, k ∈ Z , x = (−1) k

π πk + , k∈Z . 12 2

224. а) 1) а) f ′( x) > 0 в точке х3; ′ б) f ( x) < 0 в точках х1, х5; в) f ′(x) = 0 в точках х2 и х4. 2) а) f ′(x) > 0 при х ∈ (х2; х4); б) f ′(x) < 0 при х ∈ (а; х2)∪(х4; b); в) f ′(x) = 0 при х2 и х4. 3) Функция имеет производную во всех точках (a; b). б) 1) а) f ′(x) > 0 в точках х1 и х8; б) f ′(x) < 0 в точке х6; в) f ′(x) = 0 в х2, х3, х4, х5, х7. 2) а) f ′(x) > 0 при х ∈ (а; х2) U (х7; b); б) f ′(x) < 0 при х ∈ (х5; х7); в) f ′(x) = 0 при х ∈ (х2; х5) и в х7. 3) Функция не имеет производной во всех х2, х5. 194

в) 1) б) в) 2) а) б)

а) f ′(x) > 0 х1 и х4; f ′(x) < 0 в х3, х6; f ′(x) = 0 в х2, и х5. f ′(x) > 0 при х ∈ (а; х2) U (0; х5);

f ′( x ) < 0 при х ∈ (х2; 0) U (х5; b); в) f ′( x ) = 0 в х2 и х5. 3) Производная не существует в точке 0. г) 1) а) f ′(x) > 0 в х3; б) f ′(x) < 0 в х1, х5, х6; в) f ′(x) = 0 в х4. 2) а) f ′(x) > 0 при х ∈ (х2; х4) ; б) f ′(x) < 0 при х ∈ (а; х2) U (х4; b); в) f ′(x) = 0 в х4. 3) Производная не существует в х2. 225. а) y ′( x1 ) > y ′( x 2 ) ; б) y ′( x1 ) > y ′( x 3 ) ; в) y ′( x 2 ) = y ′( x 4 ) ; г) y ′( x 3 ) < y ′( x 5 ) .

226. а) y ′( x1 ) < y ′( x 2 ) ; б) y ′( x 3 ) > y ′( x 5 ) ; в) y′( x4 ) = y′( x5 ) ; г) y ′( x 2 ) > y ′( x 4 ) . 227.

(uvw)′ = (u ⋅ (vw))′ = u′(vw) + u(vw)′ = u′vw + u(v′w + vw′) = u′vw + uv′w + uvw′ ,

что требовалось доказать.

22. Применение производной к исследованию функций 228. f ( x) ≈ ( x 0 ) + f ′( x 0 )∆x ; а) f ( x) = f ( x1 ) ≈ f (2) + f ′(2) ⋅ 0,0057 =

1 3 x − x, 3

f ′( x) = x 2 − 1 ,

8 2 − 2 + 3 ⋅ 0,0057 = + 0,0171 = 3 3

= 0,6667 + 00171 = 0,6838 ;

195

f (x2 ) ≈ f (2) − f ′(2) ⋅ 0,021≈ 0,6667− 0,063 ≈ 0,6037≈ 0,604;

б) f ( x) = 2 + 4 x − x 2 +

1 4 x , 4

f ′( x) = 4 − 2 x + x 3 ;

f ( x1 ) ≈ f (3) + 0,005 f ′(3) = 2 + 12 − 9 +

x1 = 3 + 0,005 ,

1 ⋅ 81 + 0,005(4 − 6 + 27) = 4

1 0,005 ⋅ 25 = 5 + 20,25 + 0,125 = 25,375; x 2 = 2 − 0,02 , 4 1 f ( x 2 ) ≈ f ( 2) − 0,02 f ′(2) = 2 + 8 − 4 + ⋅16 − 0,02( 4 − 4 + 8) = 4 = 10 − 0,02 ⋅ 8 = 10 − 0,16 = 9,84 .

= 5 + 20

⎛

⎞

1 2

229. а) 9,009 = 9(1 + 0,001) = 3 1 + 0,001 ≈ 3⎜1 + ⋅ 0,001⎟ = 3 + 0,0005= 3,0005; ⎝

15

⎠

15

б) 1,0001 = (1 + 0,0001) = 1 + 15 ⋅ 0,0001 = 1,0015 ; в) 0,999−5 = (1 − 0,001)−5 ≈ 1 − 0,001 ⋅ (−5) = 1,005 ; г)

2 ⎛ 1 ⎞ 8,008 = 3 8(1,001) = 23 1 + 0,001 ≈ 2⎜1 + ⋅ 0,001⎟ ≈ 2 + ⋅ 0,001 ≈ 3 3 ⎝ ⎠ ≈ 2 + 0,666 ⋅ 0,001 = 2,006 . 3

230. 1 3

а) f ( x) = − x3 + 4 x2 − 7 x + 18, D( f ) = (−∞; ∞), f ′( x) = − x2 + 8x − 7 . критические точки: f ′( x) = 0, − x 2 + 8 x − 7 = 0, x 2 − 8 x + 7 = 0, x1 = 7, x2 = 1 ; f ′(0) < 0, f (2) > 0, f ′(8) < 0;

f (x) возрастает при х ∈ [1; 7], убывает при х ∈ (–∞; 1] ∪ [7; ∞); хmin = 1, xmax = 7. б) f ( x) = f ′( x) =

2x 2 , D( f ) = (−∞; 3) U (3; ∞) , 3− x 4 x(3 − x) + 2 x 2 (3 − x) 2

Критические точки:

=

− 4 x 2 + 12 x + 2 x 2 (3 − x) 2

=

− 2 x 2 + 12 x (3 − x) 2

− 2 x 2 + 12 x (3 − x) 2

− 2 x 2 + 12 x = 0, − x (2 x − 12) = 0, x1 = 0, x2 = 6 ;

196

.

f ′(−1) < 0, f ′(1) > 0, f ′(4) > 0, f ′(7) < 0 ;

f (x) возрастает при х∈ [0;3) и (3;6], убывает при х∈ (–∞;0] ∪ [6;∞); хmin = 0, xmax = 6; в) f ( x) = f ′( x) =

x( x 3 − 4) 1 4 = ( x − 4 x), D( f ) = (−∞; ∞) , 2 2

1 ⋅ (4 x 3 − 4) = 2 x 3 − 2; f ′( x) = 0, 2 x3 − 2 = 0, 2

2( x3 − 1) = 0, x3 = 1, x = 1. f ( x) возрастает при х ∈ [1; ∞), убывает при

f ′(0) < 0, f ′(2) > 0;

х ∈ (–∞; 1]; xmin =1; x , D( f ) = (−∞; 4) U ( 4; ∞) , 4− x 4 − x − x(−1) 4 − x + x 4 ; при любом х ≠ 4 f ′( x) = = = (4 − x) 2 (4 − x ) 2 (4 − x) 2

г) f ( x) =

х > 0,

поэтому функция возрастает на D(f), экстремумов нет. 231. а) f ( x) = cos 2 x − 2 cos x, D( f ) = (−∞; ∞) , f ′( x) = −2 sin 2 x + 2 sin x; − 4 sin x ⋅ cos x + 2 sin x = 0, − 2 sin x (2 cos x − 1) = 0, sin x = 0 1 π , x = ± + 2πn, n ∈ Z ; 2 3 ⎡ π ⎤ х ∈ ⎢− + 2πn; 0 + 2πn ⎥ ∪ ⎣ 3 ⎦ cos x =

⎡π ⎣3

или

2 cos x = 1, x = πn, n ∈ Z

или

f (x) возрастает при

⎤

∪ ⎢ + 2πn; π + 2πn⎥ , n ∈ Z, ⎦

убывает на π π ⎤ ⎡ ⎤ + 2πn ⎥ ∪ ⎢2πn; + 2πn ⎥ , n ∈ Z, 3 3 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ π π x min = − + 2πn, x min = + 2πn, x max = 0 + 2πn. ; 3 3 x 1 x 1 x б) f ( x) = 2 − sin , D( f ) = (−∞; ∞), f ′( x) = − cos ; − cos = 0, 2 2 2 2 2 x x π cos = 0, = + πn, n ∈ Z , x = π + 2πn, n ∈ Z ; 2 2 2 ⎡

х ∈ ⎢− π + 2πn; −

197

⎛ 3π ⎞ ⎛π⎞ f ′⎜ ⎟ < 0, f ′⎜ ⎟ > 0; ⎝ 2 ⎠ ⎝2⎠

возрастает при х ∈ [π + 4πn; 3π + 4πn], n ∈ Z, убывает при х ∈ [–π + 4πn; ∞ + 4πn], n ∈ Z, xmin = π + 4πn, n ∈ Z, xmax = 3π + 4πn, n ∈ Z; в) f ( x) = 2 sin x + 2 cos 2 x, D( f ) = (−∞; ∞), f ′( x) = 2 cos x − 2 sin 2 x; 2 cos x − 2 sin 2 x = 0, 2 cos x − 4 sin x ⋅ cos x = 0, 2 cos x(1 − 2 sin x ) = 0, cos x = 0 или sin x =

1 , 2

π π + πn, x = (−1) k + πk , k ∈ Z ; возрастает при 2 6 5π π ⎡π ⎤ ⎡ π ⎤ х ∈ ⎢− + 2πn; + 2πn⎥ ∪ ⎢ + 2πn; + 2πn ⎥, n ∈ Z , 6 6 ⎣2 ⎦ ⎣ 2 ⎦ x=

убывает при

х∈(

π π 5π 3π π + 2πn ; + 2πn ) ∪ ( + 2πn ; + 2πn ), x max = + 2πn ; 6 6 6 6 2

x max =

5π π + 2πn , x min = + 2πn, n ∈ Z . 2 6

г) f ( x) = 3 x − cos 3 x, D( f ) = (−∞; ∞), f ′( x) = 3 + 3 sin 3 x; 3 − 3 sin 3 x = 0, sin 3 x = 1, 3x =

π + 2πn, n ∈ Z . 2

π 2πn + , n∈Z , 6 3 ⎛π⎞ f ′ (0) > 0, f ′ ⎜ ⎟ > 0; возрастает на (–∞; ∞). ⎝4⎠

x=

232. а) f ( x) = x 2 ( x − 2) 2 = x 4 − 4 x3 + 4 x 2 ; 1) D( f ) : x ∈ (−∞; ∞); 2) E ( f ) : y ∈ (−∞; 0);

3) нули: x 2 ( x − 2)2 = 0, х1 = 0, х2 = 2; 4) промежутки знакопостоянства:

f (–2) > 0 ; f (5) > 0; f (1) > 0, y ≥ 0 при любом х; 198

5) f (− x) = (− x)2 (− x − 2)2 = x 2 (− x − 2)2 ≠ f ( x) ≠ − f ( x), ни четная, ни нечетная; 6) f ′( x) = 4 x3 − 12 x 2 + 8 x; найдем критические точки: 4 x 3 − 12 x 2 + 8 x = 0, 4 x ( x 2 − 3x + 2) = 0, x1 = 2, x 2 = 1, x 3 = 0,

возрастает при х ∈ [0; 1] ∪ [2; ∞], убывает при х ∈ (–∞; 0] ∪ ∪ [1; 2], x min = 0, x min = 2, x max == 1,

f ′(3) > 0, f (0) = 0,

f (1) = 1, f (2) = 0;

8 x 16 + x 2 + = ; x 2 2x 1) D( f ) : x ∈ (−∞; 0) U (0; ∞); 2) E ( f ) : y ∈ (−∞; 4) U (4; ∞);

б) f ( x) =

3) нулей нет; 4) знакопостоянство: y > 0 при x > 0, y < 0 при x < 0; 5) f (− x) =

16 + (− x) 2 16 + x 2 =− = − f ( x) – 2(− x) 2x

нечетная; 6) f ′( x) = = =

(

4x

4 x 2 − 32 − 2 x 2 4x 2 2 x 2 − 32 4x 2

)

2 x ⋅ 2 x − 16 + x 2 2

=

2

=

=

x 2 − 16 2x 2

;

7) критические точки:

x 2 − 16

= 0, х1 = 4, х2 = –4;

2x 2 f ′(5) > 0, f (1) < 0, f ′(−1) < 0, f ′(−5) > 0;

x max = −4,

f (–4) = –4, xmin = 4, f (4) = 4, возрастает при х ∈ (–∞; –4] ∪ [4; ∞), убывает при х ∈ [4; 0) ∪ (0; 4]; 199

в) f ( x) = x3 − 3x 2 − 9 x; 1) D( f ) : x ∈ (−∞; ∞); 2) E ( f ) : y ∈ (−∞; ∞); 3) нули: x3 − 3x − 9 x = 0, x( x3 − 3x − 9) = 0,

х1 = 0, х2 =

3+3 5 3−3 5 , х3 = ; 2 2

4) знак: f (20) > 0;

5) f ′(− x) = (− x)3 − 3(− x 2 ) − 9(− x) = − x3 − 3x 2 + 9 x ≠ f ( x) ≠ − f ( x) – ни четная, ни нечетная; 6) f ′( x) = 3x 2 − 6 x − 9; найдем критические точки: 3х2 – 6х – 9 = 0, х2 – 2х – 3 = 0, х1 = 3, х2 = –1; возрастает при х ∈ (–∞; –1] ∪ [3; ∞), убывает при х ∈ [–1; 3], xmax = –1, xmin = 3, f (–1) = 5, f (3) = –27; x ; 4 − x2 1) D( f ) : x ∈ (−∞; 2) U (−2; 2) U (2; ∞);

г) f ( x) =

2) E ( f ) : y ∈ (−∞; ∞); 3) нули:

x 4 − x2

= 0, x = 0,

4) знак:

f (3) < 0, f (1) > 0, f (–1) < 0, f (–3) > 0; 5) f (− x) = 200

−x 4 − (− x)

2

=−

x 4 − x2

– функция нечетная;

6) f ( x) =

4 − x 2 − x(−2 x) (4 − x 2 ) 2

=

4 − x 2 + 2x 2

=

(4 − x 2 ) 2

x2 + 4 (4 − x 2 ) 2

;

х = ± 2 – точки разрыва функции;

возрастает при х ∈ (–∞; –2) ∪ (–2; 2) ∪ (2; ∞), f (5) > 0, f ′(0) > 0,

f ′( −5) > 0, экстремумов нет.

233. а) f ( x) = 1 − 2 sin 2 x; 1) D( f ) : x ∈ (−∞; ∞); 2) E ( f ) : y ∈ [−1; 3]; 3) нули: 1 – 2sin2x = 0, 1 , 2x = 2 π = (−1) k + πk , k ∈ Z , 6 π x = (−1) k + πk , k ∈ Z , 6

sin 2 x =

4) знак: f (− x) = 1 − 2 sin(−2 x) = 1 + 2 sin 2 x ≠ f ( x) ≠ − f ( x) – ни четная, ни

5)

нечетная; 6) f ′( x) = −4 cos 2 x; критические точки: –4cos2x = 0, 2 x =

π π πn , + πn, n ∈ Z , x = + 2 4 2

n ∈ Z; возрастает при π ⎡ 3π ⎤ + πn; − + πn⎥, n ∈ Z , 4 ⎣ 4 ⎦

х ∈ ⎢−

⎡ π ⎣ 4

убывает при х ∈ ⎢− + πn;

π ⎤ + πn⎥, n∈Z , 4 ⎦

π π π xmax = − + πn, n ∈ Z , xmin = + πn, n ∈ Z, f (− + πn) = 3, n ∈ Z , 4 4 4 π f ( + πn) = −1, n ∈ Z ; 4

201

7) периодическая с Т = π; б) f ( x) = cos2 x − cos x ; 1) D( f ) : x ∈ (−∞; ∞) ; 1 4

2) E ( f ) : y ∈ [− ; 2] ; 3) нули: cos2x – cosx = 0, cosx(cosx – 1) = 0, cosx1 = 0 или cosx2 – 1 = 0, x1 =

π + πn, n ∈ Z , 2

cosx2 = 1, x2 = 2πk, k ∈ Z; 4) знак:

5) f (− x) = cos2 (− x) − cos(− x) = cos2 x − cos x – четная; 6) f ′( x) = −2 cos x ⋅ sin x + sin x = sin x(1 − 2 cos x) ; критические точки: sin x(1 − 2 cos x) = 0, sinx1 = 0 или 1 − 2 cos x = 0,

x1 = πn, n ∈ Z , cos x =

1 , 2

x2 =

π + 2πk , k ∈ Z , 3

π + 2πk , k ∈ Z , 3 = πn, n ∈ Z ,

x3 = − x max

π π + 2πk , x min = − + 2πk , k ∈ Z ; 3 3 1 1 ⎛ π⎞ ⎛ π⎞ f ⎜ − ⎟ = − , f (0) = 0, f ⎜ ⎟ = − , f (π) = 2 ; возрастает при 3 4 3 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

x min =

π π + 2πn; 0 + 2πn] ∪ [ + 2πn; π + 2πn], n ∈ Z , 3 3 π 5π убывает при х ∈ [2πn; + 2πn] ∪ [π + 2πn; + 2πn; ], n ∈ Z ; 3 3

х ∈ [−

7) периодическая с Т = 2π; в) f ( x) = 3 − cos

202

x ; 2

1) D ( f ) : x ∈ ( −∞; ∞ ) ; 2) E ( f ) : y ∈ [ 2; 4] ; x x = 0, cos = 3 , нет корней; 2 2 4) y > 0 при всех х ∈ D(f); x x 5) f ( − x) = 3 − cos(− ) = 3 − cos – четная; 2 2

3) нули: 3 − cos

6) f ′( x) =

1 x sin ; 2 2

критические точки:

1 x x sin = 0, = πn, x = 2πn, n ∈ Z ; 2 2 2

возрастает на [0 + 2πn; 2π + 2πn], n ∈ Z , убывает на [2π + 2πn; 4π + 2πn], n ∈ Z ; xmax = 2π + 4πn, n ∈ Z , f ( 2π) = 4, xmin = 4πn, n ∈ Z , f (0) = 2 . 7) периодическая с Т = 4π; г) f ( x ) = sin 2 x − sin x ; 1) D( f ) : x ∈ (−∞; ∞) ; 1 4

2) E ( f ) : y ∈ [− ; 2] ; 3) нули: sin2x – sinx = 0, sinx(sinx – 1) = 0, sin x1 = 0 или sin x 2 = 1, x1 = πn, n ∈ Z , x 2 =

π + 2πk , k ∈ Z ; 2

4) знак: 5) f ( x) = sin 2 (− x) − sin(− x) = sin 2 x + sin x ≠ f ( x) ≠ − f ( x) – ни четная, ни нечетная; 6) f ′( x) = 2 sin x ⋅ cos x − cos x ; критические точки: 2 sin x ⋅ cos x − cos x = 0 , cos x(2 sin x − 1) = 0, cos x = 0, x =

x = (−1) k

π 1 + πn, n ∈ Z , sin x = , 2 2

π + πk , k ∈ Z , возрастает при 6

203

π 3π ⎡π ⎤ ⎡ 5π ⎤ х ∈ ⎢ + 2πn; + 2πn⎥ U ⎢ + 2πn; + 2πn⎥, убывает при 2 2 ⎣6 ⎦ ⎣ 6 ⎦ π 5π ⎡ π ⎤ ⎡π ⎤ + 2πk ⎥, n ∈ Z , k ∈ Z , х ∈ ⎢− + 2πk ; + 2πk ⎥ U ⎢ + 2πk ; 6 6 ⎣ 2 ⎦ ⎣2 ⎦ π π + πn, n ∈ Z , x min = (−1) k + πk , k ∈ Z ; 6 2 1 ⎛ 5π ⎞ ⎛ 3π ⎞ ⎛π⎞ f ⎜ ⎟ = 0, f ⎜ ⎟ = − ; f ⎜ ⎟ = 2 . 4 ⎝2⎠ ⎝ 6 ⎠ ⎝ 2 ⎠

x max =

7) периодическая с Т0 = 2π. 234. а) f ( x) = x ln x ; 1) D( f ) : x ∈ (0; ∞) ; ⎡

⎞ ; ∞ ⎟⎟ ; ⎣ e ⎠

2) E ( f ) : y ∈ ⎢−

2

2

x ln x = 0, x1 = 0 ,

3) нули:

x 2 = 1; 0 ∈ D ( f ) ;

4) знак: 5) ни четная, ни нечетная; 6) y ′( x) =

1 2 x

ln x + x

1 ln x x = + ; x 2 x x

критические точки: ln x 2 x

+

x x ln x + 2 x = 0, = 0 , x ln x + 2 x = 0, x (ln x + 2) = 0 , x 2x x

x1 = 0, ln x2 = −2, 0 ∈ D( f ), x2 = e−2 ; возрастает при x > e-2,

убывает при х ∈ (0; е-2]; xmin = e− 2 ,

2 ⎛ 1 ⎞ f ⎜⎜ 2 ⎟⎟ = − . e ⎝e ⎠

7) не периодическая. ex ; 1) D ( f ) : x ∈ ( −∞; 0) U (0; ∞) ; x 2) E ( f ) : y ∈ (−∞; 0) U [e; ∞) ;

б) f ( x) =

3) нулей нет; 4) знак:

204

y > 0 при x > 0, y < 0 при x < 0; 5) f ( − x) =

e −x 1 =− ≠ f ( x) ≠ − f ( x) – ни четная, ни нечетная; −x xe x

6) f ′(x) = критические точки: exx −ex

e x ( x − 1)

=0,

= 0, x = 1 , x2 убывает при x ∈ (−∞; 0) и (0; 1], возрастает при x2

x ∈ [1; ∞);

x min = 1,

f (1) = e ;

7) не периодическая; 2

в) f ( x) = 2 x − 4 x ; 1) D ( f ) : x ∈ (−∞; ∞) ; 2) E ( f ) : y ∈ [

1 ; ∞) ; 16

3) нулей нет; 4) y > 0 при всех х ∈ D(f); f (− x) = 2 (− x)

5)

2

− 4( − x )

= 2x

2

+4 x

≠ f ( x) ≠ − f ( x)

– ни четная, ни

нечетная; 6) f ′( x) = 2 x 2x

2

2

−4 x

⋅ ln 2 ⋅ (2 x − 4) ;

−4 x

⋅ ln 2 ⋅ (2 x − 4) =0, возрастает при x ∈ [2; ∞) , убывает при x ∈ (−∞; 2] , x min = 2, f (2) =

1 ; 16

7) не периодическая; г) f ( x) = x − ln x ; 1) D( f ) : x ∈ (0; ∞) ; 2) E ( f ) : y ∈ [1; ∞) ; 3) нулей нет; 4) знак y > 0 при всех х; 5) ни четная, ни нечетная; 6) f ′( x) = 1 −

1 x −1 ; = x x

критические точки: x −1 = 0, х = 1, x

убывает при х ∈ (0; 1], возрастает при х ∈ [1; ∞), x min = 1, f (1) = 1 ; 7) не периодическая. 205

235. а) Найдем значения функции на концах промежутка: f (1) = 18 ⋅ 1 + 8 ⋅ 1 − 3 ⋅1 = 18 + 8 − 3 = 23 , f (3) = 18 ⋅ 9 + 8 ⋅ 27 − 3 ⋅ 81 = 135 . Критические точки функции: f ′( x) = 36 x + 24 x 2 − 12 x3 , 36 x + 24 x 2 − 12 x3 = 0 , 3x + 2 x 2 − x3 , x(3 + 2 x − x 2 ) = 0, x1 = 0 , x 2 − 2 x − 3 = 0, x2 = 3, x3 = −1, − 1 ∈ [1; 3] .

Значение функции в критической точке: f (0) = 0. Ответ: наибольшее значение функции равно 135, наименьшее – 0. б) f (0) = 2 cos 0 − cos 0 = 2 − 1 = 1, f (π) = 2 cos π − cos 2π = −2 − 1 = −3 , f ′( x) = −2 sin x + 2 sin 2 x, −2 sin x + 2 sin 2 x = 0, − 2 sin x + 4 sin x ⋅ cos x = 0 , − 2 sin x(1 − 2 cos x) = 0, sin x = 0, cos x =

1 π , x = π, x = , 2 3

π π π 1 f (π) = −3, f ( ) == 2 cos − cos = 1 . 2 3 3 3 2 1 в) f ( x) = + x 2 , [ ; 1] , x 2 2

1 1 2 2 ⎛1⎞ 2 ⎛1⎞ f ⎜ ⎟ = + ⎜ ⎟ = 4 + = 4 , f (1) = + 1 = 3, f ′( x) = − + 2x , 1 4 4 1 ⎝2⎠ ⎝2⎠ x2 2 2 f ′( x) = 0, − + 2 x = 0, − 2 + 2 x 3 = 0, x 3 = 1, x = 1, f (1) = 3 . x2 г) f ( x) = sin x − x, [− π; π], f (− π) = sin( − π) − (− π) = π,

π π π f (π) = sinπ = −π, f ′(x) = cosx −1, cosx − 1 = 0, cosx = 1, x = , f ( ) = . 2 2 2

Ответ: наибольшее значение функции π , наименьшее – π . 236. Если первое слагаемое х, то второе слагаемое 10 – х. Исследовав функцию у = х3 + (10 – х)3 на [0; 10], найдем её а) наибольшее; б) наименьшее значения на этом промежутке. f (0) = 1000, f (10) = 1000, f ′(x) = 60x – 300, 60x – 300 = 0, x = 5; f (5) = 125 + 125 = 250. 237. Пусть первый катет х см, тогда второй 20 – х см. Исследуем функцию

S ( x) =

1 x(20 − x) , равную площади этого треугольника, 2

найдем её наибольшее значение на D(S). S′(x)=10–x, S′(15)<0, S′(5)>0, 10 – точка максимума. Ответ: I, II катеты по 10 см. 206

238. Пусть одна диагональ х см, вторая 12 – х см. Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон. P ( x) = x 2 + (12 − x) 2 на D(P). P′( x) = 4 x − 24, 4 x − 24 = 0, x = 6,

х = 6 – точка минимума, значит, S (6) = 72 – нименьшее значение. Ответ: 72 см2. 239. Пусть первая машина находится в пункте В, а вторая в пункте А. Когда первая машина прибудет в пункт D, а вторая машина в пункт Е. Это время обозначим t. DC = 2 – 40t, EC = 3 – 50t, DE = (2 − 40t ) 2 + (3 − 50t ) 2 .

S (t ) = (2 − 40t ) 2 + (3 − 50t ) 2 Рассмотрим функцию наименьшее значение на М(S). 8200t − 460

S ′(t ) =

2

2 (2 − 40t ) + (3 − 50t )

2

, 8200t − 460 = 0, t =

и найдем её

23 , 410

(2 − 40t )2 + (3 − 50t )2 = 4 − 160t + 1600t 2 + 9 − 300t + 2500t 2 = 4100t 2 − 460t , 23 ⎛ 23 ⎞ – точка минимума, значит, S ⎜ ⎟ – наименьшее. 410 ⎝ 410 ⎠

240. Пусть наблюдатель находится за х м от стены в точке О.∠ЕОВ; ∠ЕОВ = ∠ЕОА – ∠ВОА, поэтому: tg∠EOB = tg(∠EOA – ∠BOA) = 3,2 1,8 − x = 1,4 x , = x 3,2 1,8 x 2 + 5,76 1+ ⋅ x x

f(x) =

1,4 x 2

x + 5,76

. Так как

0 < ∠EOB <

π π и при α ∈ (0; ) ; tgα 2 2

возрастает, то найдем х, при котором f(x) принимает наибольшее значение на (0; ∞). 207

f ′( x) =

( x 2 + 5,76) − x ⋅ 2 x 2

( x + 5,76)

2

⋅ 1,4 =

1,4(5,76 − x 2 ) ( x 2 + 5,76)2

При х ∈ (2,4; ∞) f ′( x ) < 0 , при

;

f ′( x) = 0 при х = 2,4.

х ∈ (2,4; ∞)

f ( x ) < f ( 2,4).

аналогично, f ( x ) < f ( 2,4) для х ∈ (0; 2,4). Значит, fmax = f(2, 4). 241. Пусть наблюдатель находится за х м от статуи в точке О. ∠АОВ = ∠АОС – ∠ВОС, ВС = 4 м. tg∠AOB = tg (∠AOC − ∠BOC ) = 8 4 − 4x = x x = = f ( x). 8 4 x 2 + 32 1+ ⋅ x x

⎛ π⎞ ⎛ π⎞ ∠AOB ∈ ⎜ 0; ⎟ , а на ⎜ 0; ⎟ tgα возрастает. 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝

f ′( x) =

4( x 2 + 32) − 4 x ⋅ 2 x ( x 2 + 32) 2

=

128 − 4 x 2 ( x 2 + 32) 2

=

4(32 − x 2 ) ( x 2 + 32) 2

f ′ = 0 при x = ± 32 = ±4 2 . fmax = f( 4 2 ).

; Ответ: 4 2 м.

242. По теореме Пифагора R2 = l 2 − h2, R2 = 400− h2 , где l – образующая; R – радиус оснований; h – высота конуса. Объем конуса равен: V =

1 1 3 πR 2 h = π( 400h − h 3 ) (см ). 3 3

Таким образом, нужно найти

наибольшее значение функции f (h) = 400h − h 3 на [0; 20]. f ′(h) = 400h − h3 ,

f ′( h) = 0 при h =

20 3

. Имеем f (0) = f (20) = 0,

⎛ 20 ⎞

20

а f ⎜⎜ ⎟⎟ > 0, поэтому наибольшее значение f (h) при h = . 3 ⎝ 3⎠ 243. Из теоремы Пифагора: ∆AOB : AB 2 = AO 2 − BO 2 , т.е. r2 = R2 −

h2 , где 4

r – радиус основания

цилиндра; h – высота; V = πr 2 h = π( R 2 h −

208

h3 ). 4

h3 ) на [0; 2R]. 4 2R 3 2 2 . V ′( h) = π( R 2 − h 2 ), V ′(h) = 0 при 3h = 4R , т.е. при h = 4 3 ⎛ 2R ⎞ Т.к. как V(0) = V(2R) = 0, а V ⎜⎜ ⎟⎟ = Vmax , то функция V(h) ⎝ 3⎠ 2R 2R . Ответ: . достигает наибольшего значения при h = 3 3

Определим наибольшее значение функции V (h) = π(R 2 h −

244. Пусть h высота цилиндра, тогда Преобразовав, получим h=

(R − r )H . R

r h OB AB + = + =1. R H OA OA

Далее полная поверхность

цилиндра равна: r(R − r)H ⎞ ⎛ S (r ) = 2πr 2 + 2πrh = 2π⎜ r 2 + ⎟= R ⎝ ⎠ r 2 ( R − H ) + rRH = 2π R

Найдем наибольшее значение S(r) при V ∈ (0; R). Функция S квадратичная при R ≠ H , поэтому она может достигать наибольшего значения, если «ветви» параболы направлены вниз и абсцисса r0 вершины параболы лежит на этом интервале. r0 = −

RH RH < R , т.е. Н < 2(H – R), , и: 1) R − H < 0 и 2) − 2( R − H 2( R − H

значит R <

H . При R = H получаем, что S(r) = 2πrH, функция не 2

имеет наибольшего значения на (0; R). Ответ: R = H. 245. Пусть h и r высота и радиус основания цилиндра, соответственно, а H и R высота и радиус основания конуса. Получим: r h OB AB + = + = 1 , откуда R H OA OA H =

πR 2 h 1 Rh . , V ( R ) = πR 2 H = 3( R − r ) 3 R−2

Найдем наименьшее функции V(R) на (2; ∞). V ′( R ) =

πh( 2 R 3 − 3R 2 r ) 3( R − r ) 2

значение

; 209

V ′( R ) = 0 при 2 R 3 = 3R 2 r , R = 1,5r. Итак, V (1,5r ) = Vmin на (r; ∞), так как V убывает на (r; 1,5r) и возрастает на [1,5; ∞). 246. Рассмотрим осевое сечение конуса. ∆OEA ∝ ∆BEC .

Отсюда: R = H −R

OA BC , т.е. = EO EB

x H 2 + x2

, значит,

R 2 H 2 + R 2 x 2 = ( H − R) 2 x 2 ,

x2 =

R2

(H − R ) 2

=

x2 H 2 + x2

.

x 2 (( H − R) 2 − R 2 ) = R 2 H 2 , откуда

1 1 πR 2 H 2 R2H . Таким образом, V = πx 2 H = . 3 3 H − 2R H − 2R

Найдем наименьшее значение V (H) на (2l; ∞). V ′( H ) =

πR 2 ( H 2 − 4 RH ) 3( H − 2 R) 2

и V ′( H ) =0 при Н=4R. V убывает при

Н ∈ (2R; 4R) и возрастает при Н ∈ (4R; ∞), значит V(4R) = Vmin на (2R; ∞). Ответ: 4R. 247. Рассмотрим осевое сечение конуса. ∆АОС ∝ ∆ОВС, значит: x2 H 2 + x2 V (H ) =

=

R H 2R2 , поэтому x 2 = 2 ; H H − R2

1 2 1 H3 ; πx H = πR 2 ⋅ 2 3 3 H − R2

1 2 2 2 πR ((H − R )3H 2 − H3 2H ) 3 V ′(H ) = = (H 2 − R2 ) πR2 (H 4 − 3H 2R2 ) = . 3(H 2 − R2 )2

V ′( H ) = 0 если H = R 3 , Ответ: Н = R.

248. h 2 = D 2 − b 2 . Прочность балки R выражается формулой R=kbh2. Также R(b) = kb( D 2 − b 2 ) = kb(1600 − b 2 ) . Найдем наибольшее значение функции R(b) на промежутке [0; 40]. R ′(b ) = k (1600 − 3b 2 ) и R ′(b) = 0 при b =

210

40 3

.

⎛ 40 ⎞ ⎟ > 0, R(0) = R(40) = 0, R⎜⎜ ⎟ ⎝ 3⎠

достигает при b =

40 3

значит,

наибольшее

, при этом h = 40

значение

R

2 . 3

249. Пусть периметр равен Р. Площадь окна 1 1 S ( R) = 2R ⋅ ( P − 2R − πR) + πR2 = 2 2 1 ⎛ π⎞ = PR − 2R2 − πR2 + πR2 = PR − ⎜ 2 + ⎟R2 . 2 ⎝ 2⎠

Функция S(R) – квадратичная а0 < 0, следовательно, имеет точку максимума: π⎞ ⎛ S ′( R ) = P − ⎜ 2 + ⎟ ⋅ 2 R = P − (4 + π) R, S ′( R) = 0 2⎠ ⎝ P при R = . 4+π 1 P 1 2+π 1 4+π−2−π P = P⋅ ( P − ( 2 + π) R ) = ( P − Тогда , = 2 2 4+π 2 4+π 4+π

т.е.

прямоугольная часть окна на самом деле имеет форму квадрата. 250. Пусть ВС 2х, а АН у. Тогда S = xy. Далее в прямоугольном ∆АВЕ, поэтому ВН 2 = ЕН ⋅ НА , или x 2 = y (2 R − y ) и S 2 = x2 y2 = y3(2R − y) . Найдем наибольшее значение функции f ( y ) = y 3 (2 R − y ) на [0; 2R]. f ′( y ) = −4 y 3 + 6 Ry 2 , f ′( y ) = 0 при у = 0 и

у = 1,5R. f (0) = f (2R) = 0,

f (1,5 R ) =

27 4 R . 16

Таким образом, площадь треугольника наибольшая, если хорда проведена на расстоянии 1,5R от точки касания. Ответ: 1,5R от точки касания. 251. Если основание треугольника 2b, и угол при основании 2α, то r = OH = HC ⋅ tgα = btgα . Выразим b через заданную площадь S треугольника:

S = 0,5 ⋅ AC⋅ BH = b ⋅ btgα , значит, b 2 =

S . Найдем tg2α

наибольшее значение квадрата радиуса: 211

Stg 2 α S (1 − tg 2 α) tg 2 α . = 2 tg α 2tg α

r 2 = b 2 tg 2 α =

1 − tg 2 α

Пусть tgα – tg3α и(α). Найдем наибольшее π значение функции и(α) на [0; ] . 4 u ′(a) =

1 2

cos α

−

3tg 2 α 2

cos α

u ′( a ) = 0 при tgα = ±

=

1 − 3tg 2 α cos 2 α

1

; π 6

, т.е. при α = πk ± , k ∈ Z . x 0 =

π , 6

3 2 π ⎡ π⎤ ⎛π⎞ ⎛π⎞ х0 ∈ ⎢0, ⎥ . Далее: и(0)=и ( ) =0 и и ⎜ ⎟ = . umax(α) = u ⎜ ⎟ . Угол 4 4 6 ⎝ ⎠ 3 3 ⎝6⎠ ⎣ ⎦ π при вершине равен π − 4α = . 3

252. Расстояние между точкой на параболе и данной точкой А равно: 2

1⎞ ⎛ r(x) = (2 − x)2 + ⎜ x2 − ⎟ . 2⎠ ⎝

f ( x) = r 2 ( x) ; так как r(x) > 0 для всех х, их минимумы должны

совпадать. 1⎞ ⎛ f ′(x) = 2(2 − x)(−1) + 2⎜ x2 − ⎟ ⋅ 2x = −4 + 2x + 4x − 2x = 4x3 − 4 = 4(x3 −1) , f ′(x) = 0 2⎠ ⎝ при х = 1, причем при x < 1 имеем f ′(x) <0, при x>1 имеем f ′(x) > 0,

значит х = 1 – точка минимума функции f (x) и, следовательно, функции r(x).

Ответ: (1; 1). x2 3 , а 4

253. Если сторона основания х, то площадь основания объем равен:

4V hx 2 3 ( h – высота призмы), значит h = 2 . Полная 4 x 3

поверхность S(x)

х ∈ (0; ∞). S ′( x) = x 3 −

х3 = 4V. S(x) убывает при х ∈ (0;

( )

3

4V 3 x2

. S ′( x ) = 0 при

4V ) и возрастает при х ∈ ( 3 4V ; ∞),

значит S 3 4V – наименьшее значение S на (0; ∞). Ответ: 212

3

4V .

23. Применения производной в физике и геометрии 2 3

254. а) x1 (t ) = 2 t 3 , x 2 (t ) = 2t − 3 ; x1′(t ) = 8t 2 , x2′ (t ) = 2, v1(t ) < v2 (t ) при 8t 2 < 2, 4t 2 < 1, t 2 <

x1 (t ) = 9t 2 + 1,

б)

1 1 1 , −
x 2 (t ) = t 3 . v1 (t ) = 18t , v 2 (t ) = 3t 2 , v1 (t ) < v 2 (t )

при

18t < t 2 , t 2 − 18t > 0, t (t − 18) > 0, t > 0 и t > 18 .

255. ϕ(t ) = 0,1t 2 − 0,5t + 0,2; ω(t ) = ϕ′(t ) = 0,2t − 0,5; ⎛ рад ⎞ ω(20) = 0,2 ⋅ 20 − 0,5 = 3,5⎜ ⎟. ⎝ с ⎠

256. r ′(t ) = 0,01(см/с), S (t ) = πr 2 (t ), S ′(t ) = 2πr (t )r ′(t ); при r = 2 см

S ′ = 2π ⋅ 2 ⋅ 0,01 = 0,04π см 2 /с .

257. s1 (t ) = 5t , s 2 (t ) = 2t 2 − t .

Найдем расстояние между телами s 2 (t ) = s12 (t ) + s 22 (t ) − − 2s1 (t ) s 2 (t ) ⋅ cos 60 o = = s12 (t ) + s 22 (t ) − s1 (t ) s 2 (t ) , s (t ) = s12 (t ) + s 22 (t ) − s1 (t ) s 2 (t ) = 25t 2 + ( 2t 2 − t ) 2 −5t (2t 2 − t ) =

= 25t 2 + 4t 4 − 4t 3 +t 2 − 10t 3 + 5t 2 = 4t 4 − 14t 3 + 31t 2 ;

скорость удаления тел друг от друга равна: 1

− 1 2(8t 3 − 21t 2 + 31t ) = s′(t ) = (4t 4 − 14t 3 + 31t 2 ) 2 ⋅ (16t 3 − 42t 2 + 62t ) = 2 2 4t 4 − 14t 3 + 31t 2

=

t (8t 2 − 21t + 31)

=

8t 2 − 21t + 31

. При t = 3:

t 4t 2 − 14t + 31 4t 2 − 14t + 31 8 ⋅ 9 − 21⋅ 3 + 31 72 − 63 + 31 40 = = 8 (км/ч). = s′(3) = 4 ⋅ 9 − 14 ⋅ 3 + 31 36 − 42 + 31 25

213

258. Пусть А удалена от нуля на х м, x(t) = 2t (м); Расстояние от В до начала координат y(t ) = 25 − x2 (t ) = 25 − 4t 2 .

Скорость В равна: y′(t ) =

−8t 2 25 − 4t

2

−4t

=

25 − 4t 2

;

в момент, когда х = 3 (м), t = 4⋅

⎛3⎞ значит, y ′⎜ ⎟ = − ⎝2⎠

3 2

25 − 4 ⋅

9 4

3 (c), 2

=−

6 25 − 9

=−

6 3 =− . 4 2

259. x(t) = 2t Верхний конец лестницы находится на высоте

y = 25 − x 2 ,

y (t ) = 25 − 4t 2 ;

скорость движения верхнего конца 1

− 1 (25 − 4t 2 ) 2 ⋅ (−8t ) = 2 −8t 4t = ; =− 2 25 − 4t 2 25 − 4t 2

y ′(t ) =

скоростью конца лестницы является

4t 25 − 4t 2

; Найдем ускорение: −4t

4 25 − 4t 2 − 4t ⋅ y′′(t ) =

Ответ:

25 − 4t

4t 25 − 4t

2

;

25 − 4t 2 2

=

4(25 − 4t 2 + 4t 2 ) 2

(25 − 4t ) 25 − 4t

100 (25 − 4t 2 ) 3

2

.

260. m( x) = kx 2 ; m(2) = 10 , 10 = k ⋅ 4, k = 2,5. 1) m(12) = 2,5 ⋅ 144 = 360; ρ(х) = т′(х) = 5х. 2) ρ(0) = 0; ρ(12) = 60. Ответ: 1) 360 г; 5х г/см; 2) 0 г/см; 60 г/см. 214

=

100 (25 − 4t 2 )3

.

261. ϕ(t ) = kt 2 ; при t = 8 имеем ϕ(t ) = 2π, 2π = k ⋅ 64, k =

π . 32

Угловая скорость колеса равна: ω(t ) = ϕ ′(t ) =

π π π ⋅ 2t = t ; ω( 48) = ⋅ 48 = 3π . 32 16 16

262. x(t ) = −

g 2 2 t + v 0 t + x 0 , v 0 = 40 (м/с), х0 = 10 м, g = 10 м/с ; 2

x(t ) = −5t 2 + 40t + 10 .

а) х(5) = –5 ⋅ 25 + 40 ⋅ 5 + 10 = 210 – 125 = 85 (м). б) Тело в наивысшей точке при v(t) = 0,

v(t ) = x′(t ) = −10t + 40, − 10t + 40 = 0, t = 4c;

х(4) = –5 ⋅ 16 + 40 ⋅ 4 + 10 = –80 + 160 + 10 = 90 (м). 263. Угловой коэффициент касательной – f ′(x0) = tgα. Так как α = 45°, то tgα = 1, найдем х0, в которой а) f ′(x0) = 1 и б) f ′(x0) = –1. f ′(x0) = –х. а) –х = 1, х = –1, f (–1) = –1,5; б) –х = –1, х = 1, f (1) = –1,5. Ответ: а) х0 = –1, б) х0 = 1, М1 (–1; –1,5); М2 (2; –1,5). 264. tg135° = –1. 1 3

f ′( x) = 3 x 2 + x − 1, 3x 2 + x − 1 = −1, 3 x 2 + x = 0, x1 = 0, x2 = − .

265. f ′( x) = 3x 2 + x − 1, 3 x 2 + x + 1 = 0, D < 0 , нет корней; угловой коэффициент касательной не обращается в ноль, касательная не параллельна оси Ох, поэтому пересекает эту ось. 266. f ′( x) = 5 x 4 + 2 ; f ′(x ) принимает положительные значения при всех х, значит, угловые коэффициенты всех касательных положительны, все касательные образуют с осью Ох острый угол. 267. (x+2)2 =2−x2, x2 +4x+4=2−x2, 2x2 +4x+2=0, x2 + 2x +1= 0, (x +1)2 = 0, x = −1; при x = −1 f (x) = g (x), это и означает, что точка с абсциссой х0 = –1 есть общая точка для графиков этих функций. Запишем уравнения касательных и графиков этх функций в точках с абсциссой, равной –1. y = f ′( x 0 )( x − x 0 ) + y 0 . f ′( x) = 2x + 4, f ′(−1) = 2, f (−1) = 1, y1 = 2( x + 1) + 2 = 2x + 2 + 1 = 2x + 3 ; g′( x) = −2x, g′(−1) = 2, g (−1) = 1, y2 = 2( x + 1) + 1 = 2x + 3

у1 = 2х + 3 и у2 = 2х + 3. Графики имеют общую касательную. 215

24. Первообразная x 3 x −4 x 3+ 3 − + +c ; 3 4 3+ 3 в) F ( x) = 2 x + 3 ln | x − 1 | +c ; г) F ( x) = tg2x - ctg3x + c . 1 3

268. а) F ( x) = −4 cos x + sin 3 x + c ; б) F ( x) =

269. Найдем с. 1 e

а) F ( x) = 2 ln | x | +c, 2 = 2 ln + c, 2 = −2 + c, c = 4 ; F ( x) = 2 ln | x | + 4 ; 1 x

б) F ( x) = − + sin x + c, 2 1 π 2 2 1 = − + sin + c, − = − + 1 + c, c = −1 ; F ( x) = − + sin x − 1 ; π π 2 π π x 2 1 1 23 1 23 в) F ( x) = − 3 + c, − 3 = − + c, c = −2 ; F ( x) = − 3 − 2 ; 24 24 24 3x 3x 1 1 1 г) F ( x) = − cos 2 x + c, 1 = − cos 0 + c, 1 = − + c, c = 1,5 ; 2 2 2 1 F ( x) = − cos 2 x + 1,5 . 2 −

270. f′(x)=2x–3, f ( x) = x 2 − 3x + c . Найдем с: f (2) = 2, откуда с = 4. Ответ: f ( x) = x 2 − 3x + 4 . 271. F(x) = x3 + C, значит при х = 2 и у = 3. Получаем 3 = 23 + С, С = –5; у = х3 – 5. 1 2

1 4

272. x′(t ) = sin t cos t = sin 2t , поэтому x(t ) = − cos 2t + c . 3 = –0,25cos

π + c, откуда с = 3; x(t ) = −0,25 cos 2t + 3 . 2

25. Интеграл 3π ⌠2

273. а) ⎮

⎮ ⌡π

cos(1,5π + 0,5 x) dx = 2 sin(1,5π + 0,5 x)

= 2 sin(1,5π +

⌠

2

216

=

π

3π π 3π 2 ) − 2 sin(1,5π + ) = −2 cos − 2 sin 2π = 2 ⋅ −0 = 2 ; 4 2 4 2

⎛ 1 ⎝ x

б) ⎮ ( x − 2 + x 2 )dx = ⎜ − + ⎜ ⎮ ⌡1

3π 2

x3 3

⎞2 ⎟ = − 1 + 8 + 1 − 1 = 17 = 2 5 ; ⎟1 2 3 3 6 6 ⎠

π

π ⌠6 ⎮ 1 ⎛1 ⎞6 в) ⎮ (cos 3 x − sin 2 x)dx = ⎜ sin 3 x + cos 2 x ⎟ = 2 ⎝3 ⎠ π ⎮π 12 ⌡ 12

1 3π 1 π 1 ⎛ 3π ⎞ 1 2π 1 1 2 1 3 7 2 3 = sin + cos − sin⎜ ⎟ − cos = + − − ⋅ = − − ; 3 6 2 3 3 ⎝ 12 ⎠ 2 12 3 4 6 2 2 12 6 4 −2

⌠ ⎛ x3 ⎞ −2 8 125 г) ⎮ (5 − 6x − x2 )dx = ⎜ 5x − 3x2 − ⎟ = −10 − 12 + − (−25 − 75 + ) = ⎜ ⎟ −5 ⎮ 3 3 3 ⌡−5 ⎝ ⎠ − 22 +

8 125 + 100 − = 78 − 39 = 39 . 3 3

⌠

a

x

a

x

274. а) ⎮ cos dx = 2 sin 2 2 ⌡0

= 2 sin

0

a a − 2 sin 0 = 2 sin ; 2 2

1) наибольшее значение: 2 при а = π + 4πn – интеграл равен 2, 2) наименьшее значение: –2 при а = –π + 4πn – интеграл равен –2. a+

⌠ б) ⎮ ⎮ ⌡0 =

π 2

π

cos 2 xdx =

a+ 1 1 π sin 2 x 2 = (sin 2(a + ) − sin 2 ⋅ 0) = 2 2 2 0

1 1 sin( π + 2a) = − sin 2a ; 2 2

1 π ; а = – + πn; 2 4 1 π 2) наименьшее значение: – ; а = + πn. 2 4

1) наибольшее значение:

275. а)

Пределы интегрирования: 0,5 x 2 − 2 x + 3 = 7 − x , 0,5x2 − 2x + 3 + x − 7 = 0 , x 2 − 2 x − 8 = 0 , х1=–2, х2=4; 217

4

4 ⌠ ⎛ ⎞4 ⌠ x2 ⎞ 4 ⎛ x3 ⎮ S= (7 − x)dx − ⎮ (0,5x2 − 2x + 3) = ⎜ 7x − ⎟ − ⎜ − x2 + 3x ⎟ = ⎜ ⎟ −2 ⎜ 6 ⎟ −2 ⎮ 2 ⎮ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⌡−2 ⌡−2 64 8 = 28 − 8 + 14 + 2 − ( − 16 + 12 + − 4 + 6) = 10 ; 6 6

⎛ ⎜ ⎝

б) S = ⎜ 4 x − = 8−

⎞2 x3 ⎞⎟ 2 ⎛⎜ x3 − − 2 x2 + 4 x ⎟ = ⎟0 ⎟ ⎜ 3 ⎠0 ⎝ 3 ⎠

8 ⎛8 16 2 ⎞ − ⎜ − 8 + 8⎟ = 8 − =2 ; 3 3 3 ⎝3 ⎠

в) Пределы интегрирования:

x 2 − 3x + 4 = x + 1,

x 2 − 4 x + 3 = 0,

x1 = 3,

x2 = 1 ;

3

3 ⌠ ⎛ x2 ⎞ 3 ⎛ x3 ⌠ ⎞3 x2 S = ⎮ ( x + 1)dx − ⎮ ( x 2 − 3x + 4)dx = ⎜ + x ⎟ − ⎜ − 3 + 4 x ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟1 ⎮ 2 ⎮ ⎝ 2 ⎠1 ⎝ 3 ⎠ ⌡1 ⌡1

=

1 9 1 27 1 3 2 ⎛ ⎞ + 3 − −1 − ⎜9 − + 12 − + − 4 ⎟ = 6 − 4 = 1 ; 2 2 2 3 2 3 3 ⎝ ⎠

г) Пределы интегрирования:

x2 − 2 x + 2 = 2 + 4 x − x2 , 2 x2 − 6 x = 0, 2 x( x − 3) = 0, x1 = 0, x2 = 3 ;

218

3

3 ⌠ ⎛ ⎞3 ⌠ 2 x3 ⎞ 3 ⎛ x3 2 ⎮ S = (2 + 4x − x )dx− ⎮ (x − 2x + 2)dx= ⎜2x + 2x2 − ⎟ − ⎜ − x2 + 2x⎟ = ⎜ ⎟0 ⎜ 3 ⎟0 ⎮ 3 ⎮ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⌡0 ⌡0 = 6 + 18 − 9 − (9 − 9 + 6) = 15 − 6 = 9 . Ответ: S = 9.

276.

4

4 ⌠ ⌠ S 1 = ⎮ 8dx − ⎮ ( x + 4) dx = 8 x ⎮ ⎮ ⌡− 2 ⌡− 4

4 −4

⎛ x2 ⎞ −⎜ + 4x ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠

4 −2

=

= 32 + 32 − (8 + 16 − 2 + 8) = 64 − 30 = 34 ; 4

4 ⌠ ⎛ x3 ⎞ 4 ⌠ 1 2 ⎛ 64 8 ⎞ S2 = ⎮ (x + 4)dx − ⎮ x dx = 30 − ⎜ ⎟ = 30− ⎜ + ⎟ = 30–12=18; ⎜ 6 ⎟ −2 ⎮ 2 ⎮ ⎝ 6 6⎠ ⎝ ⎠ ⌡−2 ⌡−2 −2

⌠ 1 2 x3 S3 = ⎮ x dx = 6 ⌡−4 2

−2 −4

8 64 56 1 =− + = =9 ; 6 6 6 3

1 2 SIчасти = 34 − 9 = 24 , SIIчасти = 18. 3 3

277. Уравнение касательной: y′ = 2 − x, y′(3) = −1,

y (3) = 4,

y = −1( x − 3) + 4 = − x + 7.

219

3

3 ⌠ ⌠ ⎛ x2 ⎞3 ⎮ + 7x⎟ − S= (− x + 7)dx − ⎮ (2,5 + 2 x − 0,5x 2 )dx = ⎜ − ⎜ 2 ⎟ −1 ⎮ ⎮ ⌡−1 ⎝ ⎠ ⌡−1

⎛ x3 ⎞ 3 9 1 9 1⎞ ⎛ − ⎜ 2,5 x + x 2 − ⎟ − + 21 + + 7 − ⎜ 7,5 + 9 − + 2,5 − 1 − ⎟ = ⎜ ⎟ −1 2 6 2 2 6⎠ ⎝ ⎝ ⎠

= 24 − 13

5 1 = 10 (кв.ед.). 6 6

278. Уравнения касательных:

y′( x) = 2 x − 4, y′(1) = −2, y (1) = 2, y1 = −2( x − 1) + 2 = −2 x + 2 + 2 = –2х + 4;

3

2 3 ⌠ ⌠ ⌠ ⎛ x3 ⎞3 2 ⎮ ⎮ S = ( x − 4x + 5)dx − (2x + 4)dx − ⎮ (2x − 4)dx = ⎜ − 2x2 + 5x ⎟ − ⎜ 3 ⎟1 ⎮ ⎮ ⎮ ⌡2 ⎝ ⎠ ⌡1 ⌡1 2 3 1 − (− x2 + 4x) − ( x2 + 4x) = 9 − 18 + 15 − + 2 − 5 − (−4 + 8 + 1 − 4) − 3 1 2

2 2 − (9 − 12 − 4 + 8) = 2 − 1 − 1 = . 3 3

279. Введем систему координат так, что вершина параболы проходит через точку (0; 0), и уравнение парабола y = kx2,

k=

4 ; a

y=

4⋅ x2 ; a

a2

⌠4 8 x3 S1 = 2 ⎮ x 2 dx = ⋅ a 3 ⌡a

a2 0

=

a2 8 a3 ⋅ = ; a 8⋅3 3

0

S2 = a2 −

220

a2 ; 3

S1 a 2 3 1 = ⋅ = . 3 2a 2 2 S2

280.

2

⎛ x3 ⎞2 ⌠ + 2 x 2 + ax ⎟ − 4 = S = ⎮ ( x 2 + 4 x + a) dx − S OABC = ⎜ ⎜ 3 ⎟0 ⎮ ⎝ ⎠ ⌡0 8 20 20 8 , значит, 2a + =12, поэтому а = . = + 8 + 2a − 4 = 2a + 3 3 3 3

281. f ′( x) = a ⋅ π cos πx ; 2

⌠ a a ⎛ a ⎞2 ⎮ (a sin πx + b)dx = ⎜ − π cosπx + bx⎟ = − π ⋅1 + 2b + π = 2b. ⎝ ⎠ 0 ⌡0

f ′(2) = 2, 2 = аπcos2π, 2 = aπ, а =

2 . π

2

⌠ f ( x)dx = 4, ⎮ ⎮ ⌡0

2b = 4, b = 2.

Ответ: а =

2 , b = 2. π

221