А.А. Сапожников
к задачнику «Алгебра и начала анализа. Задачник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений А.Г. Мордкович, Л.О. Денищева, Т.А. Корешкова, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская — М.: «Мнемозина», 2001 г.»
Глава 5. Первообразная и интеграл § 37. Первообразная и неопределенный интеграл 984.
а) F(x) = x 3 ,
f(x) = 3x 2 ,
F' ( x ) = 3x 2 ;
б) F(x) = x 9 ,
F' ( x ) = 9 x 8 ;
в) F(x) = x 6
F' ( x ) = 6 x 5 ;
г) F(x) = x 11
F' ( x ) = 11x 10 ;
а) F(x) = x 2 + x 3 ;
F' ( x ) = 2x + 3x 2 ;
б) F(x) = x 4 + x 11 ;
F' ( x ) = 4 x 3 + 11x 10 ;
в) F(x) = x 7 + x 9 ;
F' ( x ) = 7 x 6 + 9 x 8 ;
г) F(x) = x 13 + x 19 ;
F' ( x ) = 13x 12 + 19 x 18 ;
986.
а) F(x) = 3 sin x ; б) F(x) = −4 cos x ; в) F(x) = −9 sin x; г) F(x) = 5 cos x ;
F' ( x ) = 3 cos x ; F' ( x ) = 4 sin x ; F' ( x ) = −9 cos x ; F' ( x ) = −5 sin x ;
987.
а) f ( x ) = −
985.
б) f ( x ) = 988.
а) f ( x ) =
б) f ( x ) = 989.
1 x 7
x2 1
F( x ) =
;
F( x ) = x + C ;
;
2 x 6 x
;
а) f ( x ) = 4 x 10 ;
б) f ( x ) = −3x 6 ; в) f ( x ) = 5x 7 ; г) f ( x ) = −9 x 19 ; 2
1 +C ; x 7 F( x ) = − + C ; x
;
2
F( x ) = 12 x + C ; 4 11 x +C ; 11 3 F( x ) = − x 7 + C ; 7 5 8 F( x ) = x + C ; 8 9 20 F( x ) = − x +C; 20 F( x ) =
990.
x 3 x 17 + +C; 3 17 x 10 x 34 F( x ) = + +C; 10 34
а) f ( x ) = x 2 + x 16 ;
F( x ) =
б) f ( x ) = x 9 + x 33 ;
991.
в) f ( x ) = x 13 + x 18 ;
F( x ) =
x 14 x 19 + +C; 14 19
г) f ( x ) = x + x 14 ;
F( x ) =
x 2 x 15 + +C; 2 15
1 x2 + +C; x 2 x2 1 1 1 − 2 ; F( x ) = x + + C ; б) f ( x ) = x 2 x x а) f ( x ) = −
в) f ( x ) = − г) f ( x ) = 992.
1
1 x2 1
2 x
F( x ) =
+x;
+ x 3 ; F( x ) = +1;
F( x ) = x + x + C ;
а) f ( x ) = 4 x 3 − 6 x 2 ;
F( x ) = x 4 − 2x 3 + C ;
б) f ( x ) = 13x 6 + 9x 4 ;
F(x) = 13
г) f ( x ) = 12 x 10
F( x ) = x 5 −
а) f ( x ) = −3 sin x + 2 cos x ;
б) f ( x ) =
4
−
9
; cos 2 x 2 ; в) f ( x ) = −4 cos x + sin 2 x 5 г) f ( x ) = −13 sin x + ; cos 2 x 994.
2
sin x
⎛
а) f ( x ) = sin ⎜ 3x +
⎝
x7 x5 +9 +C; 7 5
x6 +C; 2 12 x 11 3x 8 + 3x 7 ; F( x ) = + +C ; 11 8
в) f ( x ) = 5x 4 − 3x 5 ;
993.
1 x4 + +C; x 4
π⎞ ⎟; 6⎠
F( x ) = 3 cos x + 2 sin x + C ;
F( x ) = −4ctgx − 9 tgx + C ; F( x ) = −4 sin x − 2ctgx + C ; F( x ) = 13 cos x + 5tgx + C .
1 π⎞ ⎛ F( x ) = − cos⎜ 3x + ⎟ + C ; 3 6⎠ ⎝ 3
995.
996.
⎛π ⎞ б) f ( x ) = cos⎜ − 2 x ⎟ ; 4 ⎝ ⎠ в) f ( x ) = cos(4 x − 3) ;
F( x ) =
x⎞ ⎛ г) f ( x ) = sin ⎜ 2 − ⎟ ; 2⎠ ⎝
x⎞ ⎛ F(x) = 2cos ⎜ 2 − ⎟ + C . 2⎠ ⎝
998.
;
(6 x + 1) 2 1 б) f ( x ) = ; (8x − 3) 2 1 в) f ( x ) = ; (7 x − 3) 2 1 г) f ( x ) = − ; (10 x + 2) 2 а) f ( x ) =
б) f ( x ) = 997.
1
а) f ( x ) = −
1 7x − 9 1
F( x ) =
F(x) = −
1 +C; 7(7x − 3)
F(x) =
;
г) ∫ −
в)
∫2
x 5dx x
4
∫ (x
3
9 cos 2 x 16 sin 2 x
15
dx = − 9tgx + C ; dx =16ctgx + C ;
15 +C. x 20 20 dx = − +C. 2 x x
=3 x +C.
б)
∫ − x 2 dx =
=5 x +C.
г)
∫
x4 − cos x + C . 4 1 ⎞ x 10 ⎛ dx = + tgx + C . б) ∫ ⎜ x 9 + ⎟ 10 cos 2 x ⎠ ⎝ x3 в) ∫ ( x 2 + cos x )dx = + sin x + C . 3 1 ⎞ x7 ⎛ dx = − ctgx + C . г) ∫ ⎜ x 6 + ⎟ 7 sin 2 x ⎠ ⎝ 999. а)
1 +C. 10(10x + 2)
2 7x − 9 + C ; 7 2 F( x ) = − 42 − 3x + C . 3
в) ∫ 6cos xdx = 6sin x + C ; 3dx
1 +C ; 6(6x + 1) 1 +C; 8(8x − 3)
б) ∫ −
∫2
1 sin( 4x − 3) + C ; 4
F(x) = −
а) ∫ 4sin xdx = − 4cos x + C ;
а)
1 ⎛π ⎞ sin ⎜ − 2x ⎟ + C ; 2 ⎝4 ⎠
F( x ) =
;
42 − 3x
F( x ) = −
+ sin x )dx =
⎛ 1 x3 2⎞ ⎜ ⎟ x dx x = + +C. + ∫ ⎜⎝ 2 x ⎟⎠ 3 ⎞ ⎛ 1 x2 б) ∫ ⎜⎜ +C . + x ⎟⎟dx = x + 2 ⎠ ⎝2 x 1000. а)
1 x4 ⎛ 1 3⎞ + x dx = − + +C . ⎜ ⎟ ∫⎝ x2 ⎠ x 4
1001. а)
б)
1 x6 ⎛ 1 5⎞ − + x dx = ⎜ ⎟ ∫⎝ x2 ⎠ x + 6 +C .
(2 − 9x ) 6 ∫ (2 − 9x ) dx = −
1002. а)
63
(7 + 5x ) 13 ∫ (7 + 5x ) dx =
14
б)
70
б) y =
1 2
сos x
+C.
+C
⎛π 1⎞ M ⎜ ; ⎟; ⎝ 3 4⎠
1003. а) y = sin x,
Y = − cos x + C ;
7
3 1 1 3 = − + C ; C = ; Y = –cosx + . 4 4 4 2 ⎛π ⎞ M ⎜ ; −1⎟ ; 4 ⎝ ⎠
,
Y = tgx + C ;
−1 = 1 + C ;
C = −2 ;
Y = –tgx –2. ⎛π ⎞ ⎝ ⎠
1 1 1 + С ; С = ; Y = + sin x. 2 2 2 x Y = −3ctg + C ; 0 = −3 + C ; C = 3 ; 3
в) y = cos x, M ⎜ ;1⎟ ; Y = sin x + C ; 1 = 6 г)
y=
1
sin 2 (x / 3) x Y = −3ctg + 3. 3
⎛ 3π ⎞ , M ⎜ ;0 ⎟ ; ⎝ 4 ⎠
υ = 1+ 2t ;
1004.
s( t ) = t + t 2 + C ;
5 = 2+4+C;
C = −1 ;
2
s( t ) = t + t − 1 . 1005.
s( t ) =
υ = −4 sin 3t ; 4 2 cos t + . 3 3
1006. а) y' = x 4 − 3x 2 ;
s( t ) =
4 cos t + C ; 3
y=
2=
4 +C; 3
C=
2 ; 3
x5 − x3 + C . 5 5
б) y' = x 12 − 8x 7 1007. а) y' = sin x + 1 ;
б) y' = 1009. а) y ' =
13
x2 −9
1010.
υ=
y=−
− 4x ;
+ sin x;
x2
б) y' = −
13 x 2 + +C. x 2 4 y = − − 2x 2 + C . x
+x;
x2 4
5 x2
− cos x ;
6 ; 2t + 1
x 13 − x8 + C . 13
y = − cos x + x + C . y = sin x − 9 x + C .
б) y' = cos x − 9 ; 1008. а) y' =
y=
;
y=
9 − cos x + C. x
y=
5 − sin x + C . x
s( t ) = 6 2 t + 1 + C ;
s(0) = 6 + C = 3 ;
C = −3 ;
s( t ) = 6 2 t + 1 − 3 . 1011. a ( t ) = 2( t + 1) 2 ; υ( t ) =
2 2 1 ( t + 1) 3 + C ; υ(0) = + C1 = 1 ; C1 = ; 3 3 3
2 1 1 1 1 5 ( t + 1) 3 + ; s(t) = (t + 1) 4 + t + C2 ; s(0) = + C2 = 1 ; C2 = ; 6 3 6 6 3 3 1 1 5 s( t ) = ( t + 1) 4 + t + . 6 3 6 υ( t ) =
2 2 1012. а) f ( x ) = sin x + cos x = 1 ;
x 2
F( x ) = x + C .
x 2
F( x ) = − cos x + C .
б) f (x) = 2sin cos = sin x ; в) f ( x ) = 1 + tg 2 x =
1
F( x ) = tgx + C .
; cos 2 x 1 ; г) f ( x ) = 1 + ctg 2 x = sin 2 x x x 1013. а) g(x) = 8sin cos = 4sin x; 2 2
F( x ) = −ctgx + C . ⎛π ⎞ M ⎜ ;3 ⎟ ; ⎝2 ⎠
G ( x ) = −4 cos x + C ; C = 3 ; G ( x ) = −4 cos x + 3 . x 2
б) g(x) = 2cos 2 − 1 = cos x, 6
⎛π ⎞ M ⎜ ;16 ⎟ ; ⎝3 ⎠
G ( x ) = sin x + C ; 16 = x 2
в) g(x) = cos 2 − sin 2
3 3 3 + C ; C = 16 − ; G ( x ) = sin x + 16 − . 2 2 2
x = cos x, 2
M ( 0;7 ) ;
G ( x ) = sin x + C ; 7 = 0 + C ; G ( x ) = sin x + 7 .
г) g(x) = 1 − 2sin 2
⎛π ⎞ M ⎜ ;15 ⎟ ; ⎝2 ⎠
x = cos x, 2
G ( x ) = sin x + C ; 15 = 1 + C ; C = 14 ; G ( x ) = sin x + 14 . 1014. а)
б)
∫ (tg
∫ (cos ∫ (ctg
2
2
2
)
x + 1 dx = ∫
)
1 cos 2 x
dx = tgx + C .
x − sin 2 x dx = ∫ cos 2 x =
)
x + 1 dx = ∫
1 sin 2 x + C . 2
1
dx = −ctgx + C . sin 2 x 1 1 г) ∫ sin x cos xdx = ∫ sin 2xdx = − cos 2 x + C . 2 4
в)
1 1 1 1015. а) ∫ sin 2x sin 6xdx= ∫ (cos 4x − cos8x)dx= − sin 4x − sin 8x+C *. 2 8 16 1 1 1 б) ∫ sin 4x cos3xdx = ∫ (sin 7x + sin x)dx = − cos x − cos 7x + C *. 2 2 14 1 1 1 в) ∫ cos3x cos5xdx= ∫ (cos8x+ cos 2x)dx= sin2x+ sin 8x + C. 2 4 16 1 1⎛1 1 ⎞ г) ∫ sin 2x cos8xdx= ∫ (cos 6x − cos10x)dx= ⎜ sin 6x − sin10x ⎟ +C . 2 2⎝ 6 10 ⎠
1 1 ⎛1 1 ⎞ 1016. а) ∫ sin 2 xdx = ∫ ⎜ − cos 2x ⎟ dx = x − sin 2x + C . 2 4 ⎝2 2 ⎠ 2 1 ⎛1 1 ⎞ ⎛1 1 ⎞ 4 б) ∫ sin xdx= ∫ ⎜ − cos 2x ⎟ dx= ∫ ⎜ − cos 2x+ cos 2 2x ⎟dx = 2 2 4 2 4 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 1 1 1 1 1 ⎛1 1 ⎞ = ∫ ⎜ − cos 2x+ + cos 4x ⎟dx= x − sin 2x+ x+ sin 4x+C = 8 8 4 4 8 32 ⎝4 2 ⎠
=
3x 1 1 − sin 2 x + sin 4 x + C . 8 4 32
1 1 ⎛1 1 ⎞ 2 2 2 4 ⎝ ⎠ 1 1 3x 1 1 ⎛1 1 ⎞ г) ∫ cos 4 xdx = ∫ ⎜ + cos 2x + + cos 4x ⎟dx = + sin 2x+ sin 4x+C . 8 8 8 4 32 ⎝4 2 ⎠
в) ∫ cos 2 xdx = ∫ ⎜ + cos 2x ⎟ dx = x + sin 2x + C .
7
1017. а) ∫
б) ∫
dx 2
2
sin x cos x
cos 2xdx 2
2
sin x cos x
=∫
=∫
sin 2 x+ cos 2 x
1 ⎞ ⎛ 1 dx= ∫ ⎜ + 2 ⎟ dx=tgx-ctgx+C . 2 sin x cos x ⎝ cos x sin x ⎠ 2
cos 2 x − sin 2 x sin 2 x cos 2 x
1018. а) f ( x ) = 2 x + 3 ;
2
1 ⎞ ⎛ 1 dx = ∫ ⎜ 2 − ⎟ dx =-ctgx − tgx+C . ⎝ sin x cos 2 x ⎠
б) f (x) = 12 ( 3x − 1)3 ;
2
F(x) = x + 3x + C ; f(x) = 0 ⇔ x = –3/2; F(–3/2) = 9/4 – 9/2 + C = 0; C = 9/4; F(x) = x 2 + 3x + 9 / 4 .
F( x ) = (3x − 1)4 + C ; f(x) = 0 ⇔ x = 1/3; F(1/3) = C = 0 ;
1019. а) f (x) = 2x,
б) f (x) = 3x 3 ,
y = x + 2,
2
F(x) = x + C ;
F( x ) = (3x − 1)4 .
y = x 02 + C + 2x 0 (x − x 0 ) =
y = 3/ 4x 04 + C + 3x 03 (x − x 0 ) =
2 xx 0 − x 02
= +C ; 2x 0 = 1 ; x 0 = 1/ 2 ; 1 y = x− +C = x+2; 4 9 C= ; 4 9 F( x ) = x 2 + . 4
= 3x 0 3 x − 2
1 4 x0 + C; 4
3x 0 3 = 3 ; x0 =1; y = 3x − (9 / 4) + C = 3x + 2 ;
17 ; 4 3 17 F( x ) = x 4 + . 4 4
C=
1020. y = 3 cos 3x + 6 sin 6 x ;
Y = sin 3x − cos 6x + C ; 3π 6 = sin − cos 3π + C ; 2 6 = −1 + 1 + C ; C=6; Y = sin 3x − cos 6x + 6 ; π ⎛π⎞ Y⎜ ⎟ = sin − cos π + 6 = 1 + 1 + 6 = 8 ; 6 2 ⎝ ⎠
§ 38. Определенный интеграл 1
1021. а) ∫ x 3dx = 2 − 3
8
x4 4
1 2 − 3
y = 3x + 2;
F(x) = 3/ 4x 4 + C ;
=
1 16 1 4 65 . − = − = 4 81 ⋅ 4 4 81 324
3
б)
dx
∫ x2
3
1 1 2 = − +1= . x1 3 3
=−
1
x5 в) ∫ x dx = 5 −1 2
9
г)
dx
∫
2
4
x
4
= −1
=2 x
9 4
32 1 33 + = . 5 5 5
= 6−4 = 2 .
π
1022. а)
π π 2
∫ sin xdx = − cosx π 2
π 2
в)
∫π
−
cos xdx = sin x
π 2 −
π 2
= 1 . б)
π 4
dx
∫π cos 2 x
−
= tg x
π 4 −
π 4
= 1+1 = 2 .
4 π 2
= 1+1 = 2 .
г)
2
dx
∫π sin 2 x
= −ctg x
π 2 π 4
=1.
4 π 2
1023. а)
∫π
−
π 3
π
cos 2xdx =
1 1 sin 2 x 2 π = . 2 2 − 4
4
π
π⎞ 3 2π π 10 3 ⎛ dx = −5ctg ⎜ x + ⎟ = −5ctg + 5ctg = б) ∫ . π 3⎠0 3 3 3 ⎝ 0 sin 2 ⎛ x + ⎞ ⎜ ⎟ 3⎠ ⎝ 5
π
в)
∫π
2 sin
2 π 3
г)
x x dx = −6 cos 3 3
7
∫π cos 2 3x
π
π 2
= −3 + 3 3 .
π
dx =
7 7 7 tg3x 03 = 0 + = . 3 3 3
4 5
1024. а)
∫ 1
3
б)
∫1
dx 2x − 1
dx 10 − 3x
=−
5
= 2x − 1 = 3 − 1 = 2 . 1
2 10 − 3x 3
3 1 3
=−
2 4 +2= . 3 3
3
9
2
∫
1025. а)
4 x 5 − 3x 4 + x 3 − 1 x2
1
2
1 ⎞ ⎛ dx = ∫ ⎜ 4 x 3 − 3x 2 + x − 2 ⎟dx = x ⎠ 1⎝
2
⎛ x2 1 ⎞ 1 1 = ⎜ x 4 − x3 + + ⎟ = 16 − 8 + 2 + − 1 + 1 − − 1 = 9 . ⎜ ⎟ 2 x 2 2 ⎝ ⎠1 −1 5x 7
−1
− 4x 6 + 2x
−1 ⎛ 2 ⎞ 2⎞ ⎛ dx = ∫ ⎜ 5x 4 − 4x 3 + 2 ⎟ dx = ⎜ x 5 − x 4 − ⎟ = 3 x ⎠ −2 ⎝ x x ⎠ −2 −2 ⎝ = −1 − 1 + 2 + 32 + 16 − 1 = 47
б) ∫
3 6x 4
3
− 4x 3 +7x 2 − 1
3⎛ 1 ⎞ 1⎞ ⎛ dx= ∫ ⎜ 6x 2 − 4x+7 − 2 ⎟ dx = ⎜ 2x 3 − 2x 2 + 7x + ⎟ = 2 x⎠2 ⎝ x x ⎠ 2 2⎝ 1 1 5 = 54 − 18 + 21 + − 16 + 8 − 14 − = 34 . 3 2 6
в) ∫
−1 3x 6
г) ∫
− 4x 5 − 7x 4 + 3x 2
−1 ⎛ 3 ⎞ dx = ∫ ⎜ 3x 2 − 4x − 7 + 2 ⎟ dx = x ⎠ −2 ⎝
x4
−2
−1
3⎞ 3 ⎛ = ⎜ x 3 − 2x 2 − 7x − ⎟ = −1 − 2 + 7 + 3 + 8 + 8 − 14 − = 7,5. x ⎠ −2 2 ⎝
( 0
)
3
3
1026. а) υ(t)=3t 2 − 4t+1 ; S(3)= ∫ 3t 3 − 4t+1 dt=t 2 − 2t 2 +t =27 − 18+3=12.
б) υ( t ) =
1
3
3 8 2 6 1 2 dt = 5t + 1 = − = . 0 5 5 5 5 5t + 1
; S(3) = ∫
5t + 1
0
3
( 0
)
3
2
0
3
в) υ( t ) = 4t − 6 t ; S(3) = ∫ 4t 3 − 6t 2 dt =t 4 − 2t 3 = 81 − 54 = 27 г) υ( t ) =
1
3
7t + 4
; S(3) = ∫
0
0
1 2 10 4 6 dt = 7t + 4 = − = . 0 7 7 7 7 7t + 4 3
6 ⎛ x3 x 2 ⎞6 1027. а) ρ(x) = x 2 − x − 1, l = 6; ∫ (x 2 − x − 1)dx = ⎜ − − x⎟ = 48. ⎜ ⎟0 2 0 ⎝ 3 ⎠
б) ρ(x) =
3
1 (x + 3)
2
3
1
, l = 3; ∫
0 (x
+ 3)
2
dx = −
1 1 1 1 =− + = . x+30 6 3 6
⎛ x3
2
⎞
2
8
28
в) ρ(x) = − x 2 + 6x, l = 2; ∫ (− x 2 + 6x)dx = ⎜ − + 3x 2 ⎟ = − + 12 = . ⎜ 3 ⎟ 3 3 0 ⎝ ⎠ 0
г) ρ(x) = 10
1
1 (2x + 1)
2
, l = 1; ∫
1
2 0 (2x + 1)
1
dx = −
1 1 1 1 =− + = . 2(2x + 1) 0 6 2 3
3⋅3 =10,5 (в ответе задачника опечатка). 2
3
1028. а) ∫ f (x)dx=3 ⋅ 1+3 ⋅ 1+ −2
3
б)
3 2⋅2 = 6,5 . 2
∫ f (x)dx = 3 ⋅ 2 ⋅
−2
4
1029. а) y = x 2 , y = 0, x = 4; S = ∫ x 2dx = 0
x3 3
4
64 . 3
= 0
3
б) y=x , y=0, x= − 3, x=1; 0
1
−3
0
S=- ∫ x 3dx+ ∫ x 3dx= -
x4 4
0
1
+ −3
x4 81 1 82 41 = + = = . 4 4 4 4 2 0
x3 в) y = x , y = 0, x = −3; S = ∫ x dx = 3 −3 0
2
0
2
= 9. −3
x5 г) y = x , y = 0, x = -1, x = 2; S = ∫ x dx = 5 −1 2
4
2
4
= −1
32 1 33 + = . 5 5 5 2
⎛ x4 ⎞ + 2x ⎟ = 8. 1030. а) y = x + 2, y = 0, x = 0, x = 2; S = ∫ (x + 2)dx = ⎜ ⎜ ⎟ 0 ⎝ 4 ⎠0 2
3
3
4
⎛ x3 ⎞ 64 32 б) y = − x + 4x, y = 0; S = ∫ (− x + 4x)dx = ⎜⎜ − + 2x 2 ⎟⎟ = − + 32 = . 3 3 0 ⎝ 3 ⎠0 4
2
2
2
⎛ x3 ⎞ 32 в) y = 4 − x , y = 0; S = ∫ (4 − x )dx = ⎜ 4x − ⎟ = . ⎜ ⎟ 3 −2 ⎝ ⎠ −2 3 2
2
2
⎛ x4 ⎞ +x ⎟ ⎟ ⎝ 4 ⎠
0
г) y = − x 3 + 1, y = 0, x = 0, x = −2; S= ∫ (− x 3 +1)dx= ⎜ − ⎜ −2
1031. а) y =
1 2
, y = 0, x = 1, x = 2; S = ∫
x 9 1 , y = 0, x = 1, x = 9; S = ∫ б) y = x 1 4 1 , y = 0, x = 1, x = 4; S = ∫ в) y = x 1
г) y =
1 x
2
1 2
0
=4 + 2=6. −2
2
dx = −
1 1 1 = − +1 = . x1 2 2
1x 9 1 dx = 2 x = 6 − 2 = 4. 1 x 4 1 dx = 2 x = 4 − 2 = 2. 1 x
−1
, y = 0, x = −1, x = −3; S = ∫ 2
1
−3 x
dx = − 2
1 x
−1
=1− −3
1 2 = . 3 3
11
π
π π 2 1032. а) y = sin x, y = 0, x = ; S = ∫ sin xdx = − cos x 2 = 1. 0 2 0
π 6
π 3
б) y = cos 2x, y = 0, x = - , x = ; π 3
π
1 3 3 3 + = S = ∫ cos 2xdx = sin 2 x 3 π = . 2 4 4 2 − π −
6
6
π
π
4 π π в) y = cos x, y = 0, x = - , x = ; S = ∫ cos xdx = sin x 4 π = 2. 4 4 − π −
π
π 2
x 2
4
4
x 2
г) y = sin , y = 0, x = , x = π; S = ∫ sin dx = −2cos π 2
x 2
π π 2
= 2.
1 π π 1033. а) y = 1 + cos x, y = 0, x = - , x = ; 2 2 2 π 2
π
1 π 1 π 1 ⎛ 1 ⎞ ⎛ ⎞2 S = ∫ ⎜1 + cos x ⎟ dx = ⎜ x + sin x ⎟ = + + + = π +1 π 2 2 2 2 2 2 ⎠ ⎝ ⎠ π⎝ − − 2
2
б) y = 1 − sin 2x, y = 0, x = 0, x = π; π
π 1 1 1 ⎛ ⎞ S = ∫ (1 − sin 2x ) dx = ⎜ x + cos 2x ⎟ = π + − = π. 2 2 2 ⎝ ⎠ 0 0
π 2
в) y = 2 − 2sin x, y = 0, x = 0, x = ; π 2
π
S = ∫ ( 2 − 2sin x ) dx = ( 2x + 2cos x ) 2 = π − 2. 0 0
x 2
г) y = 2 + cos , y = 0, x = 0, x = 2π 3 ⎛
2π ; 3 2π
x⎞ x ⎞ 3 4π ⎛ S = ∫ ⎜ 2 + cos ⎟ dx = ⎜ 2x + 2sin ⎟ = + 3. 2 2⎠0 3 ⎠ ⎝ 0 ⎝ 2
x4 1034. а) ∫ x dx = 4 0
2
3
12
= 4 ; S = 2 ⋅ 8 − 4 = 12 . 0
π
π
2 π π π б) S = ⋅ 1 − ∫ sin xdx = + cos x 02 = − 1. 2 2 2 0 2
в) S = 16 − ∫ x 2dx =16 − −2
x3 3
2 −2
8 8 32 = 16 − − = . 3 3 3
π
π г) S = ∫ sin xdx = − cos x 0 = 1 + 1 = 2.
0
1035. а) y = x, y = -0,5x + 5, x = -1, x = 3; 3
3 3 x2 ⎛ 1 ⎞ S= ∫ (−0,5x+5)dx − ∫ xdx= ⎜ − x 2 +5x ⎟ − ⎝ 4 ⎠ −1 2 −1 −1
3 −1
9 1 9 1 = − +15+ +5 − + =14. 4 4 2 2
б) y = 2x, y = x-2, x = 4; 4
4
−2
−2
S = ∫ 2xdx − ∫ (x − 2)dx = x 2
4
⎛ x2 ⎞ −⎜ − 2x ⎟ = 16 − 4 − 8 + 8 + 2 + 4 = 18. ⎟ −2 ⎜ 2 ⎝ ⎠ −2
4
x 4
в) y = − x, y = 3 − , x = −2, x = 1; 1 ⎛ x⎞ x2 ⎞ ⎛ S = ∫ ⎜ 3 − ⎟ dx − ∫ − xdx = ⎜ 3x − ⎟ ⎜ 4⎠ 8 ⎟⎠ −2 ⎝ −2 ⎝ 1
г) y = 1 − x
y = 3 − 2x
1
x=0
1
⎛ x2 ⎞ 1 1 1 7 − ⎜ − ⎟ =3 − +6+ + − 2=7 . ⎜ 2 ⎟ 8 2 2 8 ⎠ −2 −2 ⎝ 2
2 2 ⎞ 2 ⎛ x2 S = ∫ (3 − 2x)dx − ∫ (1 − x)dx = (3x − x 2 ) + ⎜ − x⎟ = 6− 4+ 2− 2 = 2 ⎜ ⎟ 0 0 0 ⎝ 2 ⎠0 2 1036. а) y = 1 − x 2 , y = -x-1; 1 − x = − x − 1 ; x 2 − x − 2 = 0 ; x = −1, x = 2; 1
2
2
∫
∫
∫
S = (1 − x 2 )dx + (−1 − x )dx − (1 − x 2 )dx = −1
−1
1
⎛ x ⎞⎟ = ⎜x − + ⎜ 3 ⎟⎠ ⎝ −1 3
1
2
⎛x ⎞ ⎛ x3 ⎜ + x⎟ − ⎜x − ⎜ 2 ⎟ ⎜ 3 ⎝ ⎠ −1 ⎝ 2
2
⎞ ⎟ = ⎟ ⎠1
1 1 1 8 1 2 1 7 = 1 − + 1 − + 2 + 2 − + 1 − 2 − − 1 + = 2 − + 5 − − + 1 = 4,5. 3 3 2 3 3 3 2 3
б) y = x 2 -3x + 2, y = x-1; x 2 − 3x+2=x − 1 ; x 2 − 4x + 3 = 0 ; x = 3, x = 1; 3
3
3 3 ⎛ x2 ⎞ ⎛ x3 3 ⎞ S = ∫ (x − 1)dx − ∫ (x 2 − 3x + 2)dx = ⎜ − x ⎟ − ⎜ − x 2 + 2x ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 3 2 1 1 ⎝ ⎠1 ⎝ ⎠1
13
=
9 1 27 1 3 32 1 1 4 − 3 − +1− 9 + − 6 + − + 2 = −15 + + = 1+ = . 2 2 2 3 2 2 3 3 3
в) y = x 2 -1, y = 2x + 2; x 2 − 1 = 2 x + 2 ; x 2 − 2x − 3 = 0 ; x = 3, x = −1; 3
3
−1
−1
(
S = ∫ (2x + 2)dx − ∫ (x 2 − 1)dx = x 2 + 2x
)
3
⎛ x3 ⎞ −⎜ − x⎟ = ⎟ −1 ⎜⎝ 3 ⎠ −1
3
1 2 = 9 + 6 − 1 + 2 − 9 + 3 − + 1 = 10 . 3 3
г) y= − x 2 +2x+3, y=3 − x; − x 2 +2x+3=3 − x ; − x 2 + 3x = 0 ; x = 0, x = 3; 3
3 3 3 ⎛ x3 3 ⎞ S = ∫ (− x 2 +2x+3)dx − ∫ (3 − x)dx= ∫ (− x 2 +3x)dx= ⎜ − + x 2 ⎟ = ⎜ 3 2 ⎟ 0 0 0 ⎝ ⎠0
= −9 +
27 = 4,5 2
1037. а) y = x 2 -4x, y = −(x-4) 2 ; x 2 − 4 x = − x 2 + 8x − 16 ;
2x 2 − 12x + 16 = 0 ; x 2 − 6 x + 8 = 0 ; x = 2, x = 4; 4
⎞ 4 ⎛ x3 1 S = ∫ (−(x − 4) )dx − ∫ (x − 4x)dx = − (x − 4)3 − ⎜ − 2x 2 ⎟ = ⎜ ⎟ 2 3 3 2 2 ⎝ ⎠ 4
2
4
2
2
8 64 8 64 8 =0− − + 32 + − 8 = 24 − = . 3 3 3 3 3
б) y = x 2 + 2x-3, y = − x 2 + 2x + 5; 2x 2 − 8 = 0 ; x = ±2 ; 2
∫
S=
2
∫
(− x 2 + 2 x + 5)dx − ( x 2 + 2x − 3)dx =
−2
−2 2
2
⎛ x3 ⎞ ⎛ x3 ⎞ = ⎜− + x 2 + 5x ⎟ − ⎜ + x 2 − 3x ⎟ = ⎜ 3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ −2 ⎝ 3 ⎠ −2 8 8 8 8 32 64 = − − 4 + 10 − − 4 + 10 − − 4 + 6 − + 4 + 6 = 32 − = . 3 3 3 3 3 3
в) y = x 2 -6x + 9, y = (x + 1)(3-x); ( x − 3) 2 = ( x + 1)(3 − x ) ; ( x − 3)( x − 3 + x + 1) = 0 ; x = 3, x = 1; 3
3
⎛ x3 ⎞ 1 3 S = ∫ (x + 1)(3 − x)dx − ∫ (x − 3) 2 dx = ⎜ − + x 2 + 3x ⎟ − ( x − 3) = ⎜ ⎟ 1 1 ⎝ 3 ⎠1 3 3
3
1
1 8 7 8 = −9 + 9 + 9 + − 1 − 3 − = 5 − = . 3 3 3 3
14
г) y = x 2 -4x + 3, y = − x 2 + 6x − 5; x 2 - 4x + 3 = − x 2 + 6x − 5 ; 2x 2 - 10x + 8 = 0 ; x 2 - 5x + 4 = 0 ; x = 4, x = 1; 4
4
∫
∫
S = (− x 2 + 6 x − 5)dx − ( x 2 − 4x + 3)dx = 1
1
4
4 ⎛ x3 5 ⎞ = ∫ ( −2x 2 + 10x − 8)dx = 2 ⎜ − + x 2 − 4x ⎟ = ⎜ ⎟ 1 ⎝ 3 2 ⎠1
1 5 5 ⎛ 64 ⎞ = 2 ⎜ − + 40 − 16 + − + 4 ⎟ = 2(28 − 21 − 2,5) = 2 ⋅ 7 − 2 ⋅ = 9. 3 2 2 ⎝ 3 ⎠ π 1038. а) y = cos x, y = − x, x = 0; x = ; 2
π 2
∫ cos xdx = sin x
π 2 0
=1;
0
π π 1 π2 ⋅ ⋅ = +1. 2 2 2 8
S = 1+
π 2
б) y = sin 2x, y = x- , x = 0; π 2
π
S = ∫ sin 2xdx + 0
π π 1 1 1 1 π2 π2 ⋅ ⋅ = − cos 2 x 02 = + + = 1+ . 2 2 2 2 2 2 8 8 π 2
в) y = sin x, y = − x, x = 0, x = ; π 2
π
S = ∫ sin xdx + 0
π π 1 π2 ⋅ ⋅ = − cos x 02 = 1 + . 2 2 2 8
x 2
г) y = cos , y = x − π, x = 0, x = π; π
π x 1 π2 x π2 S = ∫ cos dx + π ⋅ π ⋅ = + 2sin = 2+ . 2 2 2 20 2 0 0
0 (x 2 -2x)(3-2x) 2 ⎞ 3 2 13 ⎛3 dx= ∫ (3x-2x 2 )dx= ⎜ x 2 - x 3 ⎟ = − − = − . x-2 2 3 2 3 6 ⎝ ⎠ −1 −1 −1 0
1039. а) ∫ 3 (x 2
б) ∫
− 4)(x 2 − 1)
x2 + x − 2
2
3
3
2
2
dx = ∫ (x − 2)(x + 1)dx = ∫ (x 2 − x − 2)dx =
3
⎛x ⎞ x 9 8 9 8 11 =⎜ − − 2x ⎟ = 9 − − 6 − + 2 + 4 = 9 − − = . ⎜ 3 ⎟ 2 2 3 2 3 6 ⎝ ⎠2 3
2
15
3 (x 2
в) ∫
2
3 3 − 3x + 2)(2 + x) dx = ∫ (x − 2)(x + 2)dx = ∫ (x 2 − 4)dx = x −1 2 2 3
⎛ x3 ⎞ 8 8 7 = ⎜ − 4x ⎟ = 9 − 12 − + 8 = 5 − = . ⎜ 3 ⎟ 3 3 3 ⎝ ⎠2 1
г) ∫
−1
(9 − x 2 )(x 2 − 16) 2
x − 7x + 12
1
dx = − ∫ (9 + x)(4 + x)dx = −1
1
⎛ x 3 13x 2 ⎞ = ∫ (− x − 13x − 36)dx = ⎜ − − − 36x ⎟ = ⎜ ⎟ 3 2 −1 ⎝ ⎠ −1 1
2
1 13 1 13 2 = − − − 36 − + − 36 = −72 3 2 3 2 3 π 2
π
12 1040. а) ∫ sin 2x cos3xdx= ∫ (sin 5x − sin x)dx= 20 0 1 ⎛1 ⎞ − ⎜ cos5x + cos x ⎟ 2 ⎝ 10 ⎠
π 2 0
=
1 5 − =-0,4. 10 10
π
x 1π 1 2 3 2 π π π б) ∫ cos 2 dx= ∫ (1+ cos x)dx= ( x+sin x ) π = − − = π− . 2 2π 2 2 8 4 8 4 π 4
4
4
π 3
π
13 в) ∫ cos 7x cos5xdx = ∫ (cos12x + cos 2x)dx = 20 0 π
1⎛ 1 1 3 ⎞ 3 1⎛ 3 ⎞ . = ⎜ sin12x + sin 2x ⎟ = ⎜⎜ ⎟= 2 ⎝ 12 2 ⎠ 0 2 ⎝ 4 ⎟⎠ 8 π
π
⎛1
⎞
1
⎛1
1
⎞
π
π π
г) ∫ sin 2 3xdx= ∫ ⎜ − cos 6x ⎟ dx= ⎜ x − sin 6x ⎟ = + = π. 12 ⎠ ⎝2 ⎠ −π 2 2 −π −π ⎝ 2 2 3
1041. а) ∫ f (x) = 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ −2
3
1 2
1 2
1 3⋅3 − =−3. 2 2 2 2
1 2
б) ∫ f (x) = 1 ⋅ − 2 ⋅ + 2 ⋅ = − 1 + 2 = −2
⎧⎪x 2 ⎪⎩6 − x
1042. а) f ( x ) = ⎨
16
−3 ≤ x ≤ 2 x>2
;
3 . 2
6
2
⎛ x2 ⎞ + ⎜ 6x − ⎟ = ⎜ 2 ⎟⎠ 2 −3 −3 −3 ⎝ 2 8 8 2 = + 9 + 36 − 18 − 12 + 2 = 17 + = 19 . 3 3 3 6
2
6
2 ∫ f (x)dx = ∫ x dx + ∫ (6 − x)dx =
⎧ 1 ⎪ б) f ( x ) = ⎨ x ⎪x 3 ⎩ 2
1
1 4
1 4
∫ f (x)dx = ∫ 4
1043. а)
∫
0 < x ≤1
x3 3
;
x >1
2 1 1 x4 dx + ∫ x 3dx = 2 x 1 + 4 x 1 4
16 − x 2 dx =
0
2
= 2 −1+ 4 − 1
1 2 πr = 4π ; б) 4
0
∫
1045. а)
∫
4 − x 2 dx = πr 2 ⋅
0
4
б)
∫
64 − x 2 dx = πr 2 ⋅
−4 3
1046. а)
0
∫
− x 2 − 2x dx =
−1
60 32 + 4 ⋅ 8 sin 60 o = π + 16 3 360 3 5
1
4
∫ x − 1dx = 1⋅ 2 + 4 ⋅ 2 = 8,5 . 0
1047. а) y = 2cos3x − 3sin 2x + 6, y = 0, x = 0, x = π 6
1 2 π πr = . 4 4
45 2 π + 2⋅ = +1; 360 2 2
2 3 x dx = 2 ⋅ + 3 ⋅ = 6,5 ; б) 2 2 −2
∫
1 2 25π . πr = 4 4
25 − x 2 dx =
−5
4 1 1 1044. а) ∫ 4x − x 2 dx= πr 2 = ⋅ 4π=2π ; б) 2 2 0 2
1 3 =4 . 4 4
π ; 6
π
3 ⎛2 ⎞6 ∫ (2cos3x − 3sin 2x + 6)dx = ⎜ sin 3x + cos 2x + 6x ⎟ = 2 ⎝3 ⎠0 0 2 3 1 3 1 = + − − +π= π− . 3 2 2 2 12 π 5π б) y = 2sin 4x + 3cos 2x + 7, y = 0, x = , x = ; 4 4 5π 4
5π
4
4
3 ⎛ 1 ⎞ 4 S = ∫ (2sin 4x + 3cos 2x + 7)dx = ⎜ − cos 4x + sin 2x + 7x ⎟ = 2 2 ⎝ ⎠π π
17
= 2+
3 7π 3 35π + −2− − = 7π . 2 4 2 4
1048. а) y = x 3 , y = 10-x, x = 0; x 3 = 10 − x ; x = 2 ; 2
2
0
0
S = ∫ (10 − x)dx − ∫ x 3dx =10x −
x2 2
2
− 0
x4 4
2
= 20 − 2 − 4 = 14. 0
2
10
0
2
б) y = x 3 , y = 10-x, y = 0; S = ∫ x 3 dx + ∫ (10 − x )dx = 4 + 32 = 36. 3
в) y = − x , y = 5 + 4x, x = 0; 0
0
0
0
−1 0
−1
−1
S = ∫ (5x + 4x)dx − ∫ (− x 3 )dx = ∫ (5 + 4x)dx + ∫ x 3dx = −1
= (5 x + 2 x 2 )
0 −1
+
4
x 4
= 5−2− −1
1 3 =2 4 4
г) y = –x , y = 5 + 4x, y=0; − x 3 = 5 + 4 x ; x = −1 ; 3
−1
0
5 4
−1
3
∫ (5 + 4x)dx + ∫ − x dx
−
= −5 + 2 +
1049. а)
−1 =5x + 2x 2 5 − 4
x4 − 4
0
= −1
25 25 1 27 3 − + = −3 + = . 4 8 4 8 8
y = x , y = - x + 2. Полученная фигура будет квадратом со
2 , его площадь равна 2, S = 2. б) y = x + 1 , y = -(x-1)2 + 2; x + 1 = -(x - 1) 2 + 2 ; x + 1 = ± (x - 1) 2 m 2 ;
стороной
x = 0, x = 1; 1
2 1 1 ⎞ 1 1 1 ⎛ 1 ⎞⎛ x S= ∫ -(x − 1) 2 +2 dx- ∫ x + 1 dx= ⎜ - (x-1)3 +2x ⎟ ⎜ +x ⎟ =2 − − − 1= . ⎜ ⎟ 3 2 6 ⎝ 3 ⎠⎝ 2 0 0 ⎠
(
)
0
x 2
в) y = x -2, y = ; x - 2 =
x x 4 ; x = ± m 2 ; x = 4, x = − ; 3 2 2
0 4 x x2 S = ∫ dx − ∫ (− x − 2)dx − ∫ (x − 2)dx = 4 42 4 0 4
−
3
−
3
4 8 8 4 1 = 4− − + −8+8 = 4+ = 5 . 9 9 3 3 3 18
0
4 −
4 3
4
⎛ x2 ⎞ ⎛ x2 ⎞ +⎜ + 2x ⎟ − ⎜ − 2x ⎟ = ⎜ 2 ⎟ 4 ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠− ⎝ ⎠0 3
г) y = (x-1)2 , y = - x + 1 + 2; x + 1 = 2 - (x - 1) 2 ; x + 1 = ±2 m (x - 1) 2 ; x = 0, x = 1; 1
1 1 1 ⎛ x2 ⎞ 1 1 1 1 S = ∫ ( − x + 1 + 2 )dx − ∫ (x − 1)2dx = ⎜ − + x ⎟ − (x − 1)3 = − = . ⎜ 2 ⎟ 3 2 3 6 0 0 0 ⎝ ⎠0
1050. а) y = 3 − x 2 , y = 1 + x ; 3 − x 2 = 1 + x ; x = ±1 ; 1 1 ⎛ 1 ⎛ x 2 ⎞ ⎞⎟ ⎛1 ⎞ ⎜⎛ x3 ⎞ ⎛8 3⎞ 7 2 S=2 ⋅ ⎜ ∫ (3 − x )dx − ∫ (1+ x )dx ⎟ =2 ⎜ 3x − ⎟ − ⎜ x+ ⎟ =2 ⋅ ⎜ − ⎟ = . ⎜⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ 3 ⎠ 2 ⎠ ⎟ ⎝3 2⎠ 3 0 ⎝0 ⎠ 0 ⎝ 0⎠ ⎝⎝
б) y = x 2 , y = 2 − x ; x 2 = 2 − x ; x = ±1 ; 1
1 ⎛ ⎛1 ⎞ x 2 x3 ⎞ 1 1⎞ 7 ⎛ S = 2 ⋅ ⎜ ∫ (2− | x |)dx − ∫ x 2dx ⎟ = 2 ⎜ 3x − − ⎟ = 2⋅⎜2 − − ⎟ = . ⎜ ⎟ 2 3 2 3⎠ 3 ⎝ 0 ⎝0 ⎠ ⎝ ⎠0
1051. а) y = sin 2x, y = π 4
16x 2 π
2
; sin 2 x =
π 4 16x 2
16x 2 π
2
; x=
π 4
x=0;
π
π
3 1 4 16 ⎛ x ⎞ 4 S = ∫ sin 2xdx − ∫ 2 dx = − сos2x − 2 ⎜ ⎟ = 2 π ⎜⎝ 3 ⎟⎠ 0 0 π 0 0
=
1 16 π 3 1 π 6−π − 2⋅ = − = . 2 π 64 ⋅ 3 2 12 12
б) y = x 2 − 1, y = cos
πx πx 2 ; x = ±1 ; ; x − 1 = cos 2 2 1
1 1 1 ⎛ x3 ⎞ π π 2 S = ∫ cos xdx − ∫ (x 2 − 1)dx = sin x − ⎜ − x ⎟ = ⎟ π 2 2 −1 ⎜⎝ 3 −1 −1 ⎠ −1
=
2 2 2 2 4 4 + + + = + . π π 3 3 π 3 2
2 ⎛ 2x ⎞ π ⎛ 2x ⎞ − 1⎟ ; x = , x = 0 ; в) y = cos x, y = ⎜ − 1⎟ ; cos x = ⎜ 2 ⎝ π ⎠ ⎝ π ⎠ π 2
π 2 ⎛ 2x
2
π
π
π ⎛ 2x ⎞ 2 π ⎞ S = ∫ cos xdx − ∫ ⎜ − 1⎟ dx = sin x 02 − − 1⎟ = 1 − . ⎜ π 3 ⋅ 2 π 6 ⎠ ⎝ ⎠0 0 0⎝
г) y = x 2 − 2x, y = sin
πx πx ; x 2 − 2x = sin ; x = 0, x = 2; 2 2
19
2
2 ⎛ 3 2 ⎞ π 2 π x S = ∫ sin xdx − ∫ (x 2 − 2x)dx = − cos x − ⎜ − x 2 ⎟ = ⎜ ⎟ 2 π 2 0 ⎝ 3 0 0 ⎠ 2
0
4 4 2 2 8 = + − +4= + . π π 3 π 3 2
2
2 2 ⎛ ⎛ x2 ⎞ x3 ⎞ − 2x ⎟ = 1052. а) S = ∫ (2x − x 2 )dx − ∫ (x − 2)dx = ⎜ x 2 − ⎟ − ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 3 ⎠ 2 −1 −1 ⎝ ⎠ −1 −1 ⎝
8 1 1 1 = 4 − − 1 − − 2 + 4 + + 2 = 7 − 3 + = 4,5. 3 3 2 2 2
2
⎛ ⎛ x3 1 ⎞⎛ 5⎞ x2 ⎞ 5 ⎞ ⎛ б) S = ∫ (1 − x)dx − ∫ ⎜ x + ⎟⎜ x − ⎟ dx = ⎜⎜ x − ⎟⎟ − ⎜⎜ − x 2 − x ⎟⎟ = 2 2 2 3 4 ⎠ ⎠⎝ ⎠ −1 −1 ⎝ ⎝ ⎠ −1 ⎝ −1 2
2
= 2 − 2 +1+
1 8 5 1 5 5 − + 4 + − − 1 + = 7 − 3 + = 5, 25 (в ответе задачника 2 3 2 3 4 4
опечатка). x
∫1
1053. а)
dt t
x
=x;
б)
0
4
2 t
x 1 4
4x = x + 2x + 1 ; x 2 − 2x + 1 = 0 ; x =1. x
∫ 5
2t − 1
2t − 1
x 5
= x − 11 ;
= x − 11 ;
2x − 1 − 3 = x − 11 ; 2x − 1 = x − 8 ⎧⎪2 x − 1 = x 2 − 16 x + 64 ; ⎨ ⎪⎩x ≥ 8 ⎧⎪x 2 − 18x + 65 = 0 ; ⎨ ⎪⎩x ≥ 8 20
2t + 4 x 0
= 2;
=2;
2x + 4 = 4 ; x=6.
x
dt
dt
2t + 4
= x ; 2 x −1 = x ; 2
в)
∫
г)
∫ 2
dt t+2
2 t+2
x 2
=2
=2
2 x+2 =6 x=7
x = 9 + 4 = 13 ; x = 9 − 4 = 5 — не подходит; x = 13 . x
∫
1054. а)
x
x x⎛ 1 1 x ⎛1 1 x ⎞ ⎞ ; ∫ ⎜ + cos 2t ⎟ dt = ; ⎜ t + sin 2t ⎟ = ; 2 ⎝2 4 2 0⎝ 2 2 ⎠ ⎠0 2
cos 2 tdt =
0
πn 1 1 x . x + sin 2x = ; x = 2 4 2 2 x
∫
б)
x
x
∫π
cos 2tdt + sin 2tdt = 0 ;
0
1 1 sin 2t − cos 2t 2 2 0
4
sin 2x − cos 2x = 0 ; tg 2 x = 1 ; x = x
x π 4
=0;
π πn + . 8 2 x
x
⎛ 1 ⎞ в) 2 sin tdt = x ; (1 − cos 2 t )dt = x ; ⎜ t − sin 2t ⎟ = x ; ⎝ 2 ⎠0 0 0
∫
x−
∫
2
πn 1 sin 2 x = x ; x = . 2 2
x
∫ (2 cos 2t + 6 cos 6t )dt = 0 ; (sin 2t + sin 6t ) 0 = 0 ; sin 2x + sin 6x = 0 ;
г)
x
0
sin 4 x cos 2 x = 0 ; sin 4x = 0 ; x = x=
πn . 4 x
1 t2 1055. а) ∫ tdt < ; 2 2 0
∫ (3t x
б)
2
x
< 0
)
(
–
+ 0
1 ; x 2 < 1 ; x ∈ (− 1;1) . 2
− 8t + 3 dt > 0 ; t 3 − 4t 2 + 3t
0
x
πn π πn ; cos 2 x = 0 ; x = + ; 4 4 2
– 1
1 t4 в) ∫ t dt < ; 4 4 0
+ 3
х
x
3
< 0
)
x 0
>0;
x 3 − 4 x 2 + 3x > 0 ; x ( x − 1)( x − 3) > 0 ; x ∈ (0;1) ∪ (3;+∞) .
1 ; x 4 < 1 ; x ∈ (− 1;1) . 4 21
∫ (2t + 5)dt > 6 ; (t x
г)
2
+ 5t
)
0
x 0
> 6 ; x 2 + 5x − 6 > 0 ; ( x − 1)(x + 6) > 0 ;
x ∈ (−∞;−6) ∪ (1;+∞) . x
1056. а)
1
1
x
1
1
∫ sin tdt < 2 ; − cos t 0 < 2 ; − cos x + 1 < 2 ; cos x > 2 ; 0
π ⎛ π ⎞ x ∈ ⎜ − + 2πn; + 2πn ⎟ . 3 ⎝ 3 ⎠ x
б)
1
∫ cos 2tdt >
2 2
π 2
;
1 sin 2t 2
x π 2
>
1 2 2
; sin 2x >
2 ; 2
3π 3π ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ 2x ∈ ⎜ + 2πn; + 2πn ⎟ ; x ∈ ⎜ + πn; + πn ⎟ . 4 8 ⎝4 ⎠ ⎝8 ⎠ x
в) ∫ cos tdt < 0
3 3 3 x ; sin t 0 < ; sin x < ; 2 2 2
π ⎛ 4π ⎞ x ∈⎜− + 2πn; + 2πn ⎟ . 3 3 ⎝ ⎠ x
г) ∫ sin π
x
t t x 3 x 3 dt > 3 ; − 2 cos > 3 ; − cos > ; cos < − ; 2 2π 2 2 2 2
7π ⎛ 5π ⎞ x ∈⎜ + 4πn; + 4πn ⎟ . 3 3 ⎝ ⎠ 1057. а) Вершина параболы y = 2 x − x 2 , x в = −
2 = 1 ⇒ касательной −2
в этой точке будет прямая у = 1. 1
(
S = 1 ⋅ 1 − ∫ 2x − x 0
2
)
1
⎛ x3 ⎞ 1 1 dx =1 − ⎜ x 2 − ⎟ = 1 − 1 + = . ⎜ ⎟ 3 3 3 ⎝ ⎠0
б) Аналогично предыдущей задаче
y = 2 x 2 − 6 x , у = 4,5 —
касательная в точке х = 1,5. 3 2
3
⎛ x 3 3х 2 ⎞ 2 27 9 27 9 27 S = 4,5 ⋅ 1,5 + 2 ∫ x 2 − 3x dx = + 2 ⎜ − + − = . ⎟ = ⎜ 3 4 2 ⎟⎠ 4 4 4 4 0 ⎝ 0
22
(
)
у = 3х − 2 1058. а) у = х 3 , х = 0, у(1) = 1; у' = 3х 2 ; у'(1) = 3; касательная к графику у = х3 в точке х = 1
1
0
0
S = ∫ x 3dx − ∫ (3x − 2)dx =
x4 4
1
— 1;
1
⎛ 3x 2 ⎞ 1 3 3 −⎜ − 2x ⎟ = − + 2 = . ⎜ 2 ⎟ 4 2 4 ⎠0 0 ⎝
б) у = х 3 ; y '(x) = 3x 2 ; у '(0) = 0; y(0) = 0; у'(1) = 3; y(1) = 1; y = 0, у = 3х − 2 — касательная к графику у = х3 в точках х = 0 и х =1; 2 3
x4 S = ∫ x dx − ∫ (3x − 2)dx = 4 0 0 1
3
1059. а) y = 3 −
1
2
⎛ 3x 2 ⎞3 1 −⎜ − 2x ⎟ = . ⎜ 2 ⎟ ⎠ 0 12 0 ⎝
1 2 x ; 2
1 1 1 y = 3 − x 02 − x 0 ( x − x 0 ) = − x 0 x − x 02 + x 02 + 3 = − x 0 x + x 02 + 3. 2 2 2
y' = − x 0 = −1 , y' = − x 0 = 1 ; x 0 = 1 , x 0 = −1 ; 1 7 y = − x + + 3 = − x + , — искомые касательные; 2 2 1 2 7 7 y = x + ; 3 − x = − x + ; x 2 − 2x + 1 = 0; x = 1; 2 2 2 1
1
1⎛ ⎛ x2 7 ⎞ ⎛ ⎛1⎛ 7⎞ 1 ⎞ ⎞ x3 ⎞ S = 2 ⎜ ∫ ⎜ − x + ⎟ dx − ∫ ⎜ 3 − x 2 ⎟ dx ⎟ = 2 ⎜ − + x ⎟ − 2 ⎜ 3x − ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ 2⎠ 2 ⎠ ⎠ 6 ⎠⎟ 0⎝ ⎝ 0⎝ ⎝ 2 2 ⎠0 ⎝ 0
1 1 = . 3 3 1 5 1 5 1 5 б) y = x 2 + ; y = x 02 + + x 0 ( x − x 0 ) = xx 0 + x 02 + ; 2 2 2 2 2 2 y '=x 0 =1 ; y '=x 0 = − 1 ; y=x+2 ; y = − x + 2 — искомые касательные; 1 5 x + 2 = x2 + ; x = 1 ; 2 2 = −1 + 7 − 6 +
1
1
1 ⎛ x3 5 ⎞ ⎛ x2 ⎞ ⎛1⎛ 1 ⎞ 5⎞ S = 2 ⎜ ∫ ⎜ x 2 + ⎟ dx − ∫ ( x + 2 ) dx ⎟ = 2 ⎜ + x ⎟ − 2⎜ + 2x ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 2 6 2 2 ⎠ 0 ⎝ 0⎝ ⎠ ⎝ ⎠0 ⎝ ⎠0
=
1 1 + 5 −1− 4 = . 3 3
1060. а) у =
х 20 3 х2 3 3х 02 ; у= + х 0 3 ( х − х 0 ) = 3х 0 х − ; 2 2 2 23
1) y ' = 3x 0 = 3, y' = 3x 0 = − 3; x 0 = 1, x 0 = −1;
y = 3x −
2)
3 3 , y = − 3x − − уравнение искомых касательных; 2 2
y ' = 3x 0 = − tg30o ; y ' = 3x 0 = tg30o ; 1 1 x0 = − ; x0 = ; 3 3
y=−
3 3 3 3 x− , y= x− − уравнение искомых касательных; 3 18 3 18
1⎛ ⎛1⎛ 3 ⎞⎟ 3 ⎞⎟ ⎞⎟ dx − ∫ ⎜ 3x − dx = 1) S = 2⎜ ∫ ⎜ x 2 ⎜ ⎜ ⎜ 2 ⎟⎠ 2 ⎟⎠ ⎟⎠ 0⎝ ⎝0⎝ 1
1
⎛ x3 3 ⎞ ⎛ 3x 2 3 ⎞ 3 3 = 2⎜ − x⎟ = − 3+ 3= ; ⎟ − 2⎜ ⎜ 6 ⎟ ⎜ 2 ⎟ 2 ⎠ 3 3 ⎝ ⎠0 ⎝ 0 1 1 1 ⎛1 ⎞ 3⎛ 3 ⎛ 3x 2 ⎜ 3⎛ 2 3 ⎞ 3 ⎞ ⎟ ⎛ x3 3 ⎞ 3 3 ⎞3 2) S=2 ⎜ ∫ ⎜⎜ x − x− x⎟ = ⎟ − 2⎜ ⎟ dx − ∫ ⎜⎜ ⎟ dx ⎟ =2 ⎜ ⎜ 6 2 ⎟⎠ 18 ⎟⎠ ⎟ ⎜⎝ 6 ⎟⎠ 18 ⎟⎠ 0⎝ 3 ⎝ ⎜⎜ 0 ⎝ ⎟ 0 0 ⎝ ⎠
=
3 3 3 3 . − + = 27 27 27 27
б) у = −
х2 2 3
; у=
х 20 2 3
+
х0 х х2 ( х − х0 ) = − 0 х + 0 ; 3 3 3
x0 x 3 3 =− , y' = − 0 = ; 3 3 3 3 x 1 x 1 x 0 = 1, x 0 = −1; y = + , y=− + − искомые касательные; 3 2 3 3 2 3 x x 2) y ' = − 0 = 3, y ' = − 0 = − 3; 3 3
1) y ' = −
x 0 = −3, x 0 = 3; y = − 3x + ⎛1⎛
1) S = 2 ⎜ ∫ ⎜ − ⎜ ⎝ 0⎝
24
3 3 3 3 , y = 3x + − искомыекасательные; 2 2 1
1 x2 ⎞ ⎛ x2 x 1 ⎞ x ⎞ x3 + + dx ⎟ = ⎜ − ⎟ + ⎟ dx + ∫ ⎟ ⎜ 3 2 3⎠ 3 3 ⎟⎠ 3 3 02 3 ⎠ ⎝ 0
1
= 0
1 ; 3 3
⎛ 3⎛ ⎜0 ⎝ ⎝
2) S = 2 ⎜ ∫ ⎜⎜ − 3x +
3 x2 ⎞ 3 3⎞ dx ⎟ = − 3x + 3 3x ⎟⎟ dx + ∫ ⎟ 2 ⎠ 02 3 ⎠
(
3 3
) 0 + 3x 3 3
= 3 3.
0
1061. а) у = х 3 − 6 х 2 + 9 х + 1 ; y' = 3x 2 − 12 x + 9 ;
y(3) = 27 − 54 + 27 + 1 = 1 ; y' (3) = 27 − 36 + 9 = 0 ; y = 1 — касательная к графику данной функции в точке х = 3; х 3 − 6 х 2 + 9 х + 1 = 1 ; х ( х 2 − 6 х + 9) = 0 ; х = 0, х = 3; 3
⎛ x4 ⎞ 9x 2 − 2x 3 + + x⎟ −3 = S = ∫ x − 6x + 9x + 1 dx − 3 ⋅ 1 = ⎜ ⎜ ⎟ 2 0 ⎝ 4 ⎠0 3
=
(
3
)
2
81 81 27 − 54 + + 3 − 3 = . 4 2 4
б) у = х 3 − 3х ; y(−1) = −1 + 3 = 2 ; y' = 3x 2 − 3 ; y' (−1) = 0 ; y = 2 — касательная к графику данной функции в точке х = –1; х 3 − 3х = 2 ; х = −1, х = 2; 2
2 ⎛ x 4 3x 2 ⎞ − S = 3 ⋅ 2 − ∫ x 3 − 3x dx =6 − ⎜ ⎟ = 6,75. ⎜ 4 2 ⎟⎠ −1 ⎝ −1
(
1062. а) у = а
1) S = ∫ 1
1
2) S = ∫ a
)
1 х2
, у = 0, х = 1, х = а; a
1 1 7 7 1 1 1 7 dx = ; − = ; − +1 = ; = ; a = 8 . 2 8 a x 8 8 a 8 х 1 1 7 1 dx = ; − 2 8 x x
1
= a
7 1 7 1 15 8 ; −1+ = ; = ; a= . 8 a 8 a 8 15
8 , a = 8. Ответ: a = 15
б) у = 1) S = 2) S =
1 х2
, у = 0, х = −1, х = а;
а
a
−1
−1
1 10 1 ∫ х 2 dx = 11 ; − x −1 1
10
∫ x 2 dx = 11 ; a
−
1 x
=
10 1 10 1 21 11 ; − −1 = ; =− ; a=− . 11 21 11 a 11 a
=
10 1 10 ; 1+ = ; a = −11 . 11 a 11
−1
a
25
Ответ: a = −11 , a = −
11 . 21
Глава 6. Степени и корни. Степенные функции § 39. Понятие корня n-й степени из действительного числа 1063. а) 3; 4
б) 5; 7
361 = 19 ; 19 2 = 361 .
1064. а)
г) 37; 15
в) 11; 2
6
б)
6
1 1 1 ⎛1⎞ = ;⎜ ⎟ = . 64 64 2 ⎝ 2 ⎠
г)
5
32 32 2 ⎛2⎞ = ;⎜ ⎟ = 243 3 ⎝ 3 ⎠ 243
б)
6
− 64 = −2 ; (− 2)6 ≠ −64 .
г)
4
625 = −25 ; (−25) 4 = 625 2 .
5
в)
3
343 = 7 ; 73 = 343 .
1065. а) 25 = −5 ;
25 = 5 .
в) − 3 −8 = −2; 3 −8 = 2; −8 ≠ 23.
7 − 4 3 = 2 − 3 ; 7 − 4 3 = 4 + 3 − 4 3 . Верно.
1066. а)
б)
9 − 4 5 = 2 − 5 ; 2 − 5 < 0 ⇒ Неверно.
в)
7−4 3 = 3 −2;
г)
9 − 4 5 = 5 − 2 ; 9 − 4 5 = 5 + 4 − 4 5 ⇒ Верно.
1067. а)
в)
4
3
4
5
32 = 2 ; 3
64 = 4 .
9
б)
4
16 2 = ; 625 5
512 = 2 ;
1331 = 11 ; 3
0,125 = 0,5 ;
0,0081 = 0,3 ;
1070. а)
26
б)
г)
1069. а)
в)
16 = 2 ;
81 = 3 ;
1068. а)
в)
4
3 − 2 < 0 ⇒ Неверно.
4
5
1 4 81 3 = = ; 16 16 2
100 10 = . 121 11
г) б)
4
0,0625 = 0,5 ;
г)
3
0,027 = 0,3 .
б)
3
3
3 3 27 3 = = ; 8 8 2
в)
7
4
58 4 625 5 = = ; 81 81 3
1071. а)
в)
3
7
− 128 = −2 ;
− 64 = −4 ;
г)
5
7
19 5 243 3 = = . 32 32 2
б)
3
−
1 1 =− ; 8 2
г)
5
−
1 1 =− . 32 2
1072. а) − 24 81 = −6 ;
б) − 33 − 64 = 12 ;
в) − 54 16 = −10 ;
г) 43 − 27 = −12 .
1073. а)
5
32 + 3 − 8 = 2 − 2 = 0 ;
в) 34 16 − 43 27 = 6 − 12 = −6 ; 1074. а)
5
б)
4
625 − 3 − 125 = 5 + 5 = 10 ;
г) 12 − 63 0,125 = 12 − 3 = 9 .
(−3) 3 = 5 − 27 = −5 27 ; Да
б)
8
(−2)5 = 8 − 32
Нет
в)
10
(−7) 2 = 10 49
Да
г)
3
(−5) 2 = 3 25
Да
1075. а) 2 < 5 < 3 ;
б) 2 < 3 19 < 3 ;
в) 2 < 4 52 < 3 ;
г) 4 < 3 67 < 5 . 1 1 ; x= ; 128 2
1076. а) x 3 = 125 ; x = 3 125; x = 5 ;
б) x 7 =
в) x 5 = 32 ; x = 2 .
г) x 9 = 1 ; x = 1 .
1077. а) x 4 = 17 ; x = ± 4 17 .
б) x 4 = −16 — решений нет.
в) x 6 = 11 ; x = ± 6 11 .
г) x 8 = −3 — решений нет.
1078. а) x 3 + 8 = 0 ; x = 3 −8; x = −2 .
б) 3x 8 − 9 = 0 ; x8 = 3; x = ±8 3 .
в) x 4 − 19 = 0 ; x = ± 4 19 . 6 5
г) 5x10 + 6 = 0 ; x10 = − ; — решений нет. 27
1079. а)
б)
4
в)
5
г)
3
3
х − 5 = −3 ; х − 5 = −27 ; х = −22 .
4 − 5х = −2 — решений нет. 9 . 2 57 7 − 4 х = 4 ; 7 − 4 х = 64 ; х = − . 4 2х + 8 = −1 ; 2х + 8 = −1 ; х = −
1080. а)
3
x 2 − 9 x − 19 = −3 ; x 2 − 9 x − 19 = −27; x 2 − 9 x + 8 = 0 ;
x = 1, x = 8.
б)
4
x 2 − 10 x + 25 = 2 ; x 2 − 10x + 25 = 16 ; x 2 − 10x + 9 = 0 ;
x = 9, x = 1.
в)
7
x=
г)
6
2x 2 + 6 x − 57 = −1 ; 2x 2 + 6x − 56 = 0 ; x 2 + 3x − 28 = 0 −3 − 11 −3 + 11 =4; x = = −7 . 2 2 x 2 + 7 x + 13 = 1 ; x 2 + 7 x + 12 = 0 ; x = −4, x = −3.
1081. а)
3
5 ; 2;
3
7;
5
40 ; 3 .
1082. а)
4
0,1; - 1;
в)
в)
5
− 1,5 ; - 2;
4
3
17 .
3
-5 .
-9 .
1083. а) 2 = 4 16 =
4
б)
5
100 ; 4;
г)
6
60 ; 2;
б) 0;
г)
3
3
3
4
2 ; 1;
3
75 .
20 .
- 0,25 ;
5
- 29 .
-2 .
2 4 = 4 (−2) 4 ≠ −2 ;
б) 5 = 6 15625 = 6 56 = 6 (−5) 6 ≠ −5 ; 1084. а)
3
6
4
(−2) 4 = 2 .
( −5)6 = 5.
15 − 4 90 ∨ 0 ; 3 15 ∨ 4 90 ; 50625 < 729000 ; 3 15 − 4 90 < 0 .
б) 3 − 7 150 > 0 .
в)
5
40 − 3 50 < 0 .
1085. а) 0,02х 6 − 1,28 = 0 ; х 6 = 64 ; х = ±2 .
б) −
3 3 8 х + 18 = 0 ; х 8 = 25 ; х = ± 4 5 . 4 4
в) 0,3х 9 − 2,4 = 0 ; х 9 = 8 ; х = 3 2 .
28
г)
4
300 − 5 < 0 .
г)
1 4 х − 2 = 0 ; х 4 = 16 ; х = ±2 . 8
1086. а)
в)
3
5
− 2;
− 12 ; π ; 3
π ; 2 2,5;
2;
6
70 .
2π .
б)
5
− π;
3 ; π
г)
5
1 − ; 2
0;
1; 3
200 ;
7
π. 2π .
§ 40. Функции, y = n x их свойства и графики 1087.
а)
б)
г)
в)
1088.
а)
б)
29
в)
г)
1089.
а)
б)
в)
г)
1090.
а)
30
б)
в)
г)
1091.
а)
б)
в)
г)
1092. у = 4 х
а) х ∈ [0;1] , min y = 0, max y = 1; б) х ∈ [1;3), min y = 1, max y не существует; в) х ∈ [5;16] , min y = 4 5, max y = 2; 31
г) х ∈ [16; +∞), min y = 2, max y не существует; 1093. у = 5 х
а) х ∈ [ −1;1] , min y = −1, max y = 1; б) х ∈ (−∞;1], min y не существует, max y = 1; в) х ∈ [ −32;32] , min y = −2, max y = 2; г) х ∈ [2; +∞), min y = 5 2, max y не существует. 1094. а) у = 4 х ; у = х 2 ;
4
х = х 2 ; x = x 8 ; x = 1, x = 0; (0;0), (1;1).
б) у = 3 х ; у =| х | ;
3
в) у = 6 х ; у = х ;
х = х ; x = 1, x = 0.
6
х =| х | ; x = 1, x = 0; (0;0), (1;1).
5
г) у = х ; у = − х − 2 ; (0;0), (1;1); 5
x = − x − 2; x = 1; (–1;–1).
1095. а) х = 0
б) х = 1
в) х = 1
г) х = 0, х = -1
32
⎧⎪ у = 4 х 1096. а) ⎨ ; ⎪⎩2 х − 3у = 6
⎧у = 4 х ⎪ — одно решение. ⎨ 2х −2 ⎪y = 3 ⎩
y=4 x
4 ⎧ ⎪y = x ⎪⎧ у = 3 х 3 — три решения (в ответе задачника опечатка). ; ⎨ ⎪⎩3y − 4x = 0 ⎪ 3 ⎩у = х 3
б) ⎨
y= x
⎧у = 5 х ⎪⎧ у = 5 х ⎪ ; ⎨ в) ⎨ 2 — одно решение. ⎪⎩6 − 2х − 3у = 0 ⎪ y = 2 − x 3 ⎩
33
y=5 x
2 y = 2− x 3 ⎧⎪ у = 6 х ; г) ⎨ ⎪⎩5 + х − 2 у = 0
⎧у = 6 х ⎪ ⎨ 5 х — нет решений. ⎪y = + 2 2 ⎩
y=6 x
⎧⎪2x 2 , x > 0 1097. y = ⎨ ⎪⎩ 4 x , x ≥ 0 1) у (х) убывает при х<0, возрастает при х≥0. 2) хmin = 0, ymin ≤ 0. 3) y = 0 при х = 0.
1098. ⎧3 ⎪ , x<0 = ⎨x ⎪ x, x ≥ 0 ⎩
1) у (х) убывает возрастает при х≥0. 2) Экстремумов нет. 3) y = 0 при х = 0.
34
при
х<0,
y
5 ⎪⎧ x , x < 0 1099. y = ⎨ ⎪⎩ x , x ≥ 0
1) у (х) убывает при ∀х∈R. 2) Экстремумов нет. 3) y = 0 при х = 0.
1100. а) у = 4 2 х − 4 ; 2 х − 4 ≥ 0 ; х ≥ 2 ;
б) у = 6 3х − 9 ; 3х − 9 ≥ 0 ; х ≥ 3 . 2 в) у = 8 2 − 3х ; 2 − 3х ≥ 0 ; х ≤ . 3 1 12 г) у = 1 − 5х ; 1 − 5х ≥ 0 ; х ≤ . 5 1101. а) у =
3
х2 + 5 ; х ∈ R .
в) у = 9 6х − 7 ; х ∈ R .
б) у = 7 х 3 − 1 ; х ∈ R . г) у = 5 2х + 1 ; х ∈ R .
⎧х ≥ 2 ⎪ 1102. а) y = 5х + 8 + 2 х − 4 ; ⎨ 8 ⇒ x ≥ 2. ⎪⎩ х ≥ − 5 4
1 ⎧ ⎪⎪ х ≥ − 2 ⎡ 1 1⎤ ⇒ х ∈ ⎢− ; ⎥ . ⎨ 1 ⎣ 2 2⎦ ⎪х ≤ ⎪⎩ 2 ⎧x ≥ 4 ⎧3х − 2 ≥ 0 ⎪ ; ⎨ 1 ⇒ x ≥ 4. в) y = 10 3х − 12 − 4 2х − 1 ; ⎨ ⎩2х − 1 ≥ 0 ⎪⎩ x ≥ 2
⎧2 х + 1 ≥ 0 б) y = 6 2х + 1 − 8 5 − 10 х ; ⎨ ; ⎩5 − 10х ≥ 0
⎧8 − 16 х ≥ 0 ; г) y = 8 − 16 х + 12 10 х + 20 ; ⎨ ⎩10х + 20 ≥ 0
1 ⎧ ⎪х ≤ 2 — решений нет. ⎨ ⎪⎩х ≥ 2
х 2 + 4х − 12 ; х 2 + 4х − 12 ≥ 0 ; корни: х1 = –6; х2 = 2; х ∈ (−∞;−6] ∪ [2;+∞) ,
1103. а) у =
б) у = 12 15 − x 2 + 2x ; − х 2 + 2х + 15 ≥ 0 ; x2 – 2x – 15 ≤ 0; корни: х1 = –3; х2 = 5; x ∈ [ −3;5]. в) у = х 2 − 8х + 12 ; х 2 − 8х + 12 ≥ 0 ; корни: х1 = 2; х2= 6; 35
x ≤ 2, x ≥ 6.
г) у = 6 4 − x 2 − 3x ; 4 − х 2 − 3х ≥ 0 ; х 2 + 3х − 4 ≤ 0 ; x ∈ [− 4;1] . х −8 х −8 5 ; ≥ 0 ; х ≥ 8, х < − . 3 3х + 5 3х + 5 1 + 9 х 4 б) у = 5 ; х ∈ R кроме х = − . 4 + 3х 3 12 − 5 х 7 в) у = 3 ; х ∈ R кроме х = . 7 − 2х 2 3 − 7х 3 − 7х 7х − 3 3⎤ ⎛ г) у = ; ≥0; ≤ 0 ; х ∈ ⎜ −4;5; ⎥ . 7⎦ 2х + 9 2х + 9 2х + 9 ⎝ 1104. а) у = 4
1105. а) у = 4 х + 1 ; у ∈ [0;+∞) .
б) у = 5 х − 2 ; у ∈ R .
в) у = 7 х + 3 ; у ∈ R .
г) у = 6 х − 4 ; у ∈ [0;+∞) .
1106. а) у = 2 + 4 х ; у ∈ [ 2;+∞) . б) у = 5 х − 3 ; у ∈ R .
в) у = 6 х − 3 ; у ∈ [−3;+∞) .
г) у = 2 + 3 х ; у ∈ R
1107.
а)
в)
1108.
36
б)
г)
а)
б)
в)
г)
1109. а) х = 0, х = 2
в) х = 1
б) х = -1
г) х = 0, х = 3
37
⎧⎪ у = 4 х − 1
1110. а) ⎨
⎪⎩ у = х 2 − 2х − 8 ⎧⎪ у = (х − 4)(х + 2) ⎨ ⎪⎩ у = 4 х − 1
⎧⎪ у = 23 х б) ⎨ ; ⎪⎩ у = 10х − 16 − х 2 ⎧⎪ у = (х − 2)(8 − х ) ⎨ ⎪⎩ у = 23 х
;
2 решения.
одно решение. y=
4
⎧⎪ у = 5 х
1111. а) ⎨
(
x −1
;
⎪⎩ у = 2 х 4 − 5
⎧ у= 2х 2 + 5 ⎪ ⎨ ⎪⎩ у= 5 х
)(
2х+ 8 5
2 решения.
⎧ 7 x , x ≤ −1 ⎪⎪ 2 1112. y = ⎨ x , -1x ≤ 1 ⎪ x − 2, x > 1 ⎪⎩ 38
)(
⎧⎪ у = 4 х б) ⎨ ; ⎪⎩ у = (х + 3)6 − 1 2х − 9 5
)
4
х = (х + 3)6 − 1
решений нет.
1) у (х) возрастает при х∈ (−∞;0] ∪ (1; +∞) , убывает при х∈(0;1]. 2) Экстремумы: хmax = 0, y(0) = 0 xmin = 1; y(1) = –1. 3) y = 0 при х = 0, x = 2. ⎧3(x + 1)2 , -2 ≤ x ≤ −1 ⎪⎪ 1113. y = ⎨− x 2 , − 1< x ≤ 1 ⎪ x − 2, x > 1 ⎪⎩
1) у (х) возрастает при х∈[0;+∞), убывает при х∈(–∞;0). 2) Экстремумов нет. 3) y = 0 при х = 0, x = –1. 8
⎧⎪25 − х 2 ≥ 0 ⎧⎪ x ≤ 5
1114. а) у= 25 − х 2 + х 2 − 1 ; ⎨
⎪⎩х 2 − 1 ≥ 0
; ⎨ ; х ∈ [− 5;−1] ∪ [1;5] . ⎪⎩ x ≥ 1
⎧⎪х 2 − 9 ≥ 0 ⎪⎧ x ≥ 3 б) у = 12 х 2 − 9 − 10 16 − х 2 ; ⎨ ; ⎨ ; х ∈ [− 4;−3] ∪ [3;4] . ⎪⎩16 − х 2 ≥ 0 ⎪⎩ x ≤ 4 ⎧⎪х 2 − 4 ≥ 0 ⎪⎧ x ≥ 4 ; ⎨ ; х ∈ (− ∞;−5] ∪ [5;+∞ ) . в) у = 4 х 2 − 4 − х 2 − 25 ; ⎨ ⎪⎩х 2 − 25 ≥ 0 ⎪⎩ x ≤ 5 ⎧⎪64 − х 2 ≥ 0 ⎧⎪ x ≤ 8 ; ⎨ — решений нет. г) у = 6 64 − х 2 − 14 х 2 − 100 ; ⎨ ⎪⎩х 2 − 100 ≥ 0 ⎪⎩ x ≥ 10 39
⎧⎪х 2 − 6 х + 5 ≥ 0 х 2 − 6х + 5 − х 2 − 3х ; ⎨ ; ⎪⎩х 2 − 3х ≥ 0 ⎧(x − 5)(x − 1) ≥ 0 ⎧х ∈ (− ∞;1] ∪ [5;+∞ ) ; ⎨ ; х ∈ (− ∞;0] ∪ [5;+∞ ) . ⎨ ⎩ x(x − 3) ≥ 0 ⎩х ∈ (− ∞;0] ∪ [3;+∞ ) 1115. а) у =
6
⎧⎪15 − 2х − х 2 ≥ 0 ; б) у = 12 15 − 2х − х 2 − х 2 + 6 х + 8 ; ⎨ ⎪⎩х 2 + 6 х + 8 ≥ 0 ⎧(x + 5)(x − 3) ≤ 0 ⎧⎪ х ∈ [ −5;3] ; ⎨ ; х ∈ [ −5; −4] ∪ [ −2;3] . ⎨ ⎩(x + 4)(x + 2) ≥ 0 ⎪⎩ х ∈ ( −∞; −4] ∪ [ −2; +∞ ) 1116. а) у = 4
2х − 5 + 4х + 8
⎧ 2х − 5 ≥0 х 2 + 2х − 3 ⎪ ; х ≠ 3, х ≠ -2; ⎨ 4 х + 8 ; х −3 ⎪х 2 + 2 х − 3 ≥ 0 ⎩
⎧ ⎞ ⎡5 ⎧ 2x − 5 ≥0 ⎪х ∈ (− ∞;−2 ) ∪ ⎢ ;+∞ ⎡5 ⎞ ⎪ ;⎨ ⎨ 4x+8 ⎠; х ∈ (− ∞;−3] ∪ ⎢ ;3 ⎟ ∪ (3;+∞ ). ⎣2 ⎣2 ⎠ ⎩⎪(x+3)(x − 1) ≥ 0 ⎪х ∈ (− ∞;−3] ∪ [1;+∞ ) ⎩
⎧ х 2 − 5х ≥ 0 ⎪ х ≠ −1 6 2 х − 5х 2х + 3 ⎪⎪ б) у = ; ⎨х ≠ 4 ; − 2х + 2 х−4 ⎪ ⎪ 2х + 3 ≥ 0 ⎩⎪ х − 4
⎧х ∈ (− ∞;0] ∪ [5;+∞ ) ⎪ ⎪⎪х ∈ ⎛⎜ − ∞;− 3 ⎤ ∪ (4;+∞ ) ; 2 ⎥⎦ ⎝ ⎨ ⎪ х ≠ −1 ⎪ ⎪⎩х ≠ 4
3⎤ ⎛ х ∈ (−∞; −1) ∪ ⎜ −1; ⎥ ∪ [5; +∞ ) (в ответе задачника опечатка). −2 ⎦ ⎝ 1117.
а)
40
б)
1118.
а)
б)
1119.
а)
б)
1120.
а)
б)
41
§ 41. Свойства корня n-й степени 1121. а)
в)
4
5
б) 4 16 ⋅ 0,0001 = 4 ⋅ 0,1 = 0,4 ;
8 ⋅ 27 = 2 ⋅ 3 = 6 ;
625 ⋅ 16 = 5 ⋅ 2 = 10 ;
1122. а)
в)
3
7⋅
5
243 ⋅
1 1 3 = 3⋅ ≤ ; 32 2 2
19 5 243 3 = ≤ ; 32 32 2
1123. а)
3
48 ⋅ 162 = 5
в)
3
75 ⋅ 45 = 33 75 ⋅
г)
4
54 ⋅ 24 = 4 9 ⋅ 6 ⋅ 3 ⋅ 8 = 3 ⋅ 2 = 6 .
в)
3
3
б)
3
8 2 = ; 125 5
г)
6
64 ⋅
125 4 = 625 = 5 ; 0,2
б)
4
16 2 = = 10 ; 0,0625 0,2
г)
6
16 = 6 64 = 2 . 0, 25
56 ⋅ 29 = 52 ⋅ 23 = 25 ⋅ 8 = 200 ;
б)
5
0,210 ⋅ 1010 = 0,2 2 ⋅ 10 2 = 2 2 = 4 ;
в)
3
0,23 ⋅ 56 = 0,2 ⋅ 52 = 5 ;
1126. а)
4
3
55 25 ⋅ 53 5 =3 7 = 10 13 13 ⋅ 133 133
в)
4
312 33 27 = 2 = ; 8 4 2 2
в) 42
10
4
г)
6
363 ⋅ 26 = 6 ⋅ 2 = 12 .
78 7 2 49 = = ; 3 3 34
б)
1127. а)
1 1 2 = 2⋅ ≤ . 729 3 3
5 = 3 ⋅ 5 = 15 ; 3
27 3 = = 6; 0,125 0,5
1125. а)
0,00032 ⋅ 243 = 0, 2 ⋅ 3 =
48 ⋅ 2 ⋅ 243 = 2 ⋅ 3 = 6 ; 3
5
4
5
24 ⋅ 9 = 3 8 ⋅ 27 = 2 ⋅ 3 = 6 ;
б)
1124. а)
г)
х2 = х ;
а5 = а ;
3
25 5 3 25 ; = 13 2197 13
г)
5
55 5 = . 1310 169
б)
6
а3 = а ;
г)
8
q4 = q .
3 . 5
1128. а)
в)
12
5
а6 = 4 а3 ;
4
4
a 2 b 4 = ab 2 ;
a 4 b8 = ab 2 ; c 2 d 6 = cd 3 ;
в)
3
x 6 y3 = x 2 y ;
г)
3 12
б)
3
a 3b 6 = ab 2 ;
г)
5
a 5 b15 = ab3 .
б)
3
m 3n 9 = mn 3 ;
= t4 .
t
p 6 r12 = p 3r 6 .
г)
49a 4 7a 2 7 a2 = = ; б) 169b 2 13b 13 b
1132. а)
n16 = 3 n 2 .
l6 = l3 ;
б)
d15 = d 3 ;
1131. а)
24
г)
b8 = b 2 ;
1130. а)
в)
у4 = 3 у2 ;
6
б)
m8 = 3 m 2 ;
1129. а)
в)
8
16a 4b8
4
=
c12
2ab 2 c3
; 4
в)
3
27a 6 3a 2 = ; 4b 64b 3
1133. а)
4
4 ⋅ 4 4 = 4 16 = 2 ;
20 ⋅ 5 = 100 = 10 ;
в)
3
1134. а)
в)
7
7
5
2
б) в) г)
5 7
3
= 3 27 = 3 ;
2
б) 3 135 ⋅ 3 25 = 3 3375 = 15 ; г)
5
г)
16 ⋅ 5 486 = 5 7776 = 6 . 5
б)
= 7 128 = 2 ;
4
5
5
3
=5
96
4
256 4
1 1 = ; 32 2
= 4 64 = 2 2 .
4
32 ⋅ 3 ⋅ 4 8 ⋅ 27 = 4 256 4 81 = 4 ⋅ 3 = 12 ;
257 2 ⋅ 5 7 3 = 2 ⋅ 7 = 14 .
1136. а) 4
54
3
256
1135. а)
б)
г)
32a 4 b10 2a 5 b 2 = . 3c 243c 5
3
2
и
3
и
12 5
3 и
1137. а)
3,
6
4
9,
12
125
8,
4
49
15
243
и
6
27 ,
6
6
и
3,
2, 3
4 и
6
7,
6
и
3; 12
и 4
и
729 ;
2; 15
8.
16 и
6
7; 43
б) в) г)
5
4
2,
3
6,
4
17 и
3,
3
2 и
4
1138. а)
3 и
4, 8
15
6
8,
8
1296,
40 ,
100 ,
26 ∨ 5 ,
6
8 15
15
27,
4
26 > 4 25 ;
32 и
3
5∨ 3,
6
25 < 6 27 ;
в)
3
7 ∨ 6 47 ,
6
49 > 6 47 ;
2 3 3 = 6 8 ⋅ 9 = 6 72 ;
в)
4
1140. а)
4
4
6
6
6
б)
3
3 6 3 = 6 9 6 3 = 6 27 ;
г)
4
2 6 3 = 12 8 ⋅ 9 = 12 72 .
6
в)
а а 5 = a 3 a 5 = а8 ;
6
6
6
6
у 6 3у3 = 6 y 2 6 y3 = 6 3у5 .
3
3
1141. а)
6
6
6
ab 6 4ab = a 2 b 2 4a 3b3 = 4a 3b3 ;
б)
5 4 3 10 5 2
в)
6
5ab 2 ⋅ 5a 3b 4 = 5ab 2 25a 6 b8 = 125a 7 b10 ;
г)
8
6xz ⋅ xz5 =
a b ⋅
a b =
4
6
24
a b =
a b
6
6
10 13 8
a b ;
6
216x 3z3
6
24
x 4 z 20 =
24
216x 7 z 23 .
б)
12
а 5 : 4 а = 12 а 7 ;
г)
4
( 3) = 3 ;
б)
( 7) 5
а3 : а = 4 а ;
2
1143. а)
5
=7;
(
1144. а) 2 5
⎛
1⎞ 2⎠
г)
)
4
5
⎝
1145. а)
( 3a ) 3
= 16 ⋅ 25 = 400 ;
243 ; 2
в) ⎜⎜ 3 ⋅ 5 ⎟⎟ =
44
10 8 6 10 5 2
3
1142. а)
в)
100 .
4
2а 4а 5 = 8a 3 4a 5 = 32а 8 ;
в)
15
40 ;
3b3 3b = 3b3 9b 2 = 27b5 ;
б)
г)
8
− 6 8 > −6 9 .
24 2 = 4 44 2 = 4 8 ;
1139. а)
8;
289 и
б)
г) − 4 4 ∨ −3 3 ,
6
9 и
9
= 27a 3 ;
a 2 b 3 : 6 ab 4 = 12 b −5 ;
a 3b 5 : 5 ab = 20 а11b 21 .
( а) n
n
( b) p
p
=a; =b.
⎛ 1⎞ б) ⎜ b n ⎟ ⎜ b⎟ ⎝ ⎠
2n
⎛1p ⎞ г) ⎜ b⎟ ⎝b ⎠
2p
(
б) 5a 3 a
)
= b 2n ⋅
2
=
1 = b 2n − 2 ; 2 b
1 ⋅ b 2 = b 2 − 2p . b 2p
= 25a 2 ⋅ 3 a 2 = 253 a 8 ;
(
2
в) ⎛⎜ − 53 a 2 ⎞⎟ = 253 a 4 ; ⎠ ⎝
б)
3 5
2 =62;
г)
3
3
б)
5 =45;
1146. а) 3
в)
1147. а) 5 3
в)
5х
б) 4
x =6x;
а10 = 15 а10 = 3 а 2 ;
1148. а) 3
г) 2 3 −3a 2
3 13 5х 5х + 13 + = 23 5 х ; 2 5
13 = 13 ; 3 5х = 10 ; х = 200 . 10 4 2х + 4 32 х + 4 162 х = 6 ; 4 х
х=
1 4
2
1149. а)
4
; х=
3
8 − 37 3 8 + 37 = 3 64 − 37 = 3 ;
г)
3
17 + 3 3 17 − 3 = 3 17 − 9 = 2 . 3 ⋅ 3 −3 ⋅ 27 ⋅ 3 9 −
−5 ⋅ 8 ⋅ 3 25 ⋅ 32 +
5
5
−64 5
2
−729 5
3
= −5 ⋅ 16 − 3 = −83 .
33 ⋅ 4 2 ⋅ 4 46 ⋅ 35 = 4 2 ⋅ 32 = 144 ;
3
7 2 ⋅ 2 ⋅ 3 7 4 ⋅ 2 2 = 2 ⋅ 7 2 = 98 ;
в)
6
510 ⋅ 6 212 ⋅ 52 = 52 ⋅ 2 2 = 100 ;
г)
5
6 2 ⋅ 37 ⋅ 5 63 ⋅ 33 = 32 ⋅ 6 = 54 .
в)
3
4
x ⋅ 6 4 2 = 6;
= 31/ 2 +1/ 3+ 3/ 2 + 2 / 3 + 26 / 5−1/ 5 = −25 ;
б)
1152. а)
4
6 + 2 5 4 6 − 2 5 = 4 36 − 20 = 2 ;
3
4
ab = 6 ab .
1 . 2
в)
1151. а)
.
a3 = a ;
( 4 2 + 2 4 2 + 34 2 ) = 6 ;
6 − 2 17 5 6 + 2 17 = 5 − 32 = −2 ;
3
10
1 1⎞ ⎛ 5х ⎜ 2 − − ⎟ = 13 ; 5 2⎠ ⎝
5
б)
3
4 =64.
3
б)
1150. а)
5
4 = 15 4 ;
3
г)
) = 32 −243a
16а 8b16 = 2a 2 b 4 ; б)
343m12 n 9 = 7m 4 n 3 ;
г)
5
1024x10 y5z15 = 4x 2 yz3 ;
4
0,0081a12 b 4c20 = 0,3a 3bc5 , 45
1153. а)
б)
3
в)
5
8a 3b 6 2ab 2 ; = 27 x12 y 9 3x 4 y 3
3
343m12 64n 3p15
=
7m 4 4np5
(в условии задачника опечатка) ;
a10 b 20 a 2 b 4 = ; 32 x15 2x 3
1154. а)
г)
4
16r16s12 2r 4s 3 = 6 . 81p 24 q 4 3p q
xy 2 z 3 12 x 3 y 2 z = 12 x 5 y 6 z 7 ;
6
б)
3
s 4 p 3 t 5 : 15 st 2 = 15 s19 p15 t 23 ;
в)
4
a 2 bc 5 ⋅ 5 a 3b 5c 2 = 20 a 22 b 25c 33 ;
г)
9
k 4l3m 6 : 3 l6 m = 9
1155. а)
3
x − 26 x = 0 ;
2
x
(
6
)
x − 2 = 0 ; x = 0, x = 64;
4
4
x:
x = 2 ; x = 16; x = 3 ; x = 81 . 1 −1 + 3 1 = ; x= ; x + 23 x − 1 = 0 ; 6 x = 4 2 64
4
4
( x) − 5 x + 6 ;
6
6
x − 54 x + 6 = 0 — это уравнение относительно
б) 6
в)
k 4m3 ; l15
4
x = −1 − решений нет.
г)
4
х + 28 х − 3 = 0 ;
8
х = −3
решений нет ;
8
х =1; х =1.
1156. f (x) = 2 7 x; 2f(x) = 4 7 x; f (128x ) = 2 ⋅ 7 128x = 47 x . 1157. f (x) = 2 5 x; 2f(x) = 4 5 x; f (32 x ) = 2 ⋅ 5 32 x = 45 x . 1158. f (x) = 3 x; g(x) = 6 x; 2 f ( x ) = 2 ⋅ 6 x ; g (64 x ) = 6 64 x = 26 x . 1159.
а)
б)
y 4-
y 4-
|
-4 |
-4 46
|
0
4 x
|
0
4 x
в)
г) y
y
4|
|
-4
|
4-
|
|
4 x
0-
-4
|
0
|
4 x
§ 42. Преобразование выражений, содержащих радикалы 20 = 2 5 ;
1160. а)
б) 147 = 7 3 ;
в) 108 = 2 ⋅ 3 3 = 6 3 ; 3
1161. а)
в)
3
512 = 8 ; 4
1162. а)
в)
5
3
54 = 33 2 ;
г)
3
375 = 53 3 .
б) 4 160 = 24 10 ; 486 = 34 6 .
б)
3
а 4 = а3 а ;
г)
4
n13 = n 3 ⋅ 4 n .
б)
4
405а 5 = 3а 4 5а ;
г)
5
160m10 = 2m 2 ⋅ 5 5 .
75t 4 r 3 = 5t 2 r 3r ;
б)
4
256a 9 b13 = 4a 2 b 3 ab ;
250x 4 y 7 = 5xy 2 3 2xy ;
г)
5
320m11n15 = 2m 2 n 3 5 10m .
х3 = х х ;
m 7 = m5 m 2 ; 25а 3 = 5а а ;
24х 3 = 2х 3 3 ;
3
3
4
1165. а)
в)
б)
г)
1164. а)
в)
80 = 24 5 ;
405 = 34 5 ;
4
1163. а)
в)
24 = 23 3 ;
245 = 7 5 .
г)
2 2 72a 3b = ⋅ 6a 2ab = 4 2ab ; 3а 3a
1166. а)
б)
x2 b
в)
3 х
3
72a 4 b3 343x
3
=
x 2 2ab 3 2 ⋅ 9a = xa 3 9a ; b 7x 7
a5х 2 3 a 2х = ⋅ 18 х 3
г) 3mn 4
80x 3 5 9
243m n
=
a а = а2 ; 2 2
3mn ⋅ 2 4 5x 3 2 4 5x 3 . = 3mn 2 3mn n 3mn
47
а 2 b =| a | b ;
1167. а)
в)
4
б)
а 4 b =| a | 4 b ;
25x 2 = 5 | x | ;
в)
1169. а) 2 5 =
а 3b = a 3 b ; а 5 b = a 2 ab .
г)
50а 3 = a ⋅ 5 2а ;
1168. а)
3
б)
6
256с8 =| c | 26 4c 2 ;
г)
4
162а 8 = a 2 34 2 .
б) 5 2 = 50 ;
20 ;
2 = 14 . 7
в) 5 3 = 75 ;
г) 7
1170. а) 23 3 = 3 24 ;
б) 63 1
в) 33 2 = 3 54 ;
г) 34 2
1171. а)
в)
2 3= 3
4 ; 3
б)
7 4 49 25 ⋅ = 7; 3 = 5 7 25 7
1172. а) 7а 2 ab =
3
5 = 177 . 27
13 3 12 = 3 ; 2 2
г) 0,23 25 = 3
49a 5 b ;
1 . 5
б) 5аb 2 3 a 2 b = 3 125a 5 b 7 ; г) 2m3 3m 2 = 3 24m 5 .
в) 5x 2 x = 50x 3 ; 1173. а)
1 3 = 240 ; 9
24 − 3 3 = 3 3 (2 − 1) = 3 3 ;
б) 27 3 + 7 384 = 27 3 + 27 3 = 47 3 ; в) 25 64 + 5 486 = 45 2 + 35 2 = 75 2 ; г)
4
512 − 4 2 = 4 2 (4 − 1) = 34 2 .
1174. а)
в)
5
3;
3
6
4; 15
18 ;
3; 3
30 ;
2;
б)
3
г)
6
2;
15
3;
3
( 3 m − 23 n )( 3 m + 23 n ) = 3 m2 − 43 n 2 ; б) ( 3 5 − 3 )( 3 + 3 5 ) = 3 25 − 3 ; 1175. а)
(
)(
)
в) a − b a + b = a 2 − b ; г) 48
( 3 4 + 2 2 )( 2
)
2 − 3 4 = 8 − 3 16 = 8 − 2 3 2 .
40 ;
5
4;
2;
4
4.
1176. а)
(
)(
)
x + y x − xy +y = x 3 − x 2 y +y x +x y − xy 2 + y3 = x 3 + y3 ;
(
)(
)
б) 3+ 4 a 9 − 3 a + a =27 − 9 4 a +3 a +9 4 a − 3 a + 4 a 3 =27+ 4 a 3 ; в) ( 2 p + q )( 4p-2 pq +q ) =8 p3 -4 p 2q +2q p +4p q -2 pq 2 + q 3 =8 p3 + q 3 ; г)
( 3 а +6 ab + 3 b )( 6 a +6 b ) = 6 a3 -6 a 2b +6 a 2b-6 ab2 +6 ab2 -6 b3 =
1177. а)
б)
(
3
m − 23 n
(3 5 − 3)
(
в) a 2 − a г)
2
2
2
в)
k+l 3
k +3 l m−n
3
10b − 15
7 k − 4 14
=
4 4
2b − 3
=
15b − 5
3b − 1
2 + 4 3k k −4 2 3
a − 24 a 3 b + b2
1180. а)
б)
3
2
a −3b
m + 23 n 3
3
4 n + 4 mn + m 4
в)
4
3
a+ b;
(k + l) ⎜⎝
14 + 4 21k
4
( a − b ) = (a − b)a( −ab+ b ) =
= x −2 y ;
x +2 y
4
+ a − 2a 2 a ;
= 3 m 2 + 3 n 2 + 3 mn ;
m− n x − 4y
1179. а)
в)
4
k + l ⎛3 2 3 k − kl + 3 l 2 ⎞⎟ = 3 k 2 + 3 l 2 − 3 kl ; ⎠
=
3
г)
= 3 m 2 − 43 mn + 43 n 2 ;
= 23 2 + 8 + 4 2 3 4 .
1178. а) (a − b ) :
б)
2
= 3 25 + 3 − 2 3 3 25 ;
) =a
(3 4 + 2 2)
)
a- b .
a + b
a + 24 a 2 b + b
=
2
=
=
;
б)
г)
( 4 a − 3 b) 2 4
a −3b
1 3
2 n +3 m
1 4
3
;
a+ b
x 2 − 3 xy
3
x − 3 xy
4
a 2 − 4 ad
4
3a − 4 a 2 d
= =
3
x −3 y 1− 3 y
;
4
a −4 d
4
3 − 4 ad
.
=4a −3b ;
;
; 49
4
b + 2a a 2 b + a 3
г)
a a +4b
1181. а)
в)
a − 3 b2 a− b
b −a
3
a a+ b 4
a +b
1
1183. а)
1184. а)
в)
а 3
а
=
3
3
б)
3
3
3
3 2
a⋅ a
1
4
г)
23
50
4
256a 7 b 3 =
3
2 2m 4 n8 =
y5 9 x 4 y 2 =
б) в)
4
5
4
43 k 2 l5 =
5 3
5
=
9
x2 5
x
4
9 7 −1
4
3 ⋅ 32 4
4
= 32 = 3 ;
4
3 ⋅ 32
=x
б)
2−
4 5
= 5 x6 . 2
3− 2
=2 3+2 2 ;
9 7 + 9 3( 7 + 1) ; = 6 2
=
4
−2r ;
5x 2 ;
5 3 c 5d 8 d2 − =− c 15625 5
1188. а)
= 3 a + 6 ab3 + b .
= 3 a + 6 a b +b .
a− b
3
−162t 4 r 5 = 3 | r || t | 4 −2r = −3r t
в) 128a 6 b 9 = 8 | a 3 | b 4 2b ;
б)
a −b b 6
г)
=7 2 −7;
3 4a 2
= x5 x + 5 x 3 + 1 ;
a− b
5− 3 5− 3 ; = 5−3 2
=
625x 5 y6 = 5xy
1187. а)
x −1
6
б)
= а2 ;
5+ 3
2 +1
3
a −b b
г)
=34;
2 ⋅ 22
2
3
7
1186. а)
2
2 ⋅ 22
a a2
1185. а)
в)
=
x9 − 1
5
3
3
2
5
б)
2 2 3 1 5 2 3 ; б) ; г) . = = = 3 ; в) 2 9 5 3 3 5 3
=
2
=a a +4b,
= a − 4 a 3 b + b 2 ; б)
a +3 b
4
a a+4b
= 4 b −a a ;
4 3
1182. а)
(a a + 4 b) 2
= 4 a +3 b ;
3
4
=
3
43
г)
5
− 64m 6 n16 = −2mn 3 5 2mn .
3 3 4 3 3 | a | 4 a 3b3 = a b ; |a| a2
c 2d 2 . 3
24 m 4 n8 = 2mn 2 ;
9x 4 y 7 = 10 9 x 4 y 7 ;
64k 2 l5 = 15 64k 2 l5 ;
г)
q 5 2 p 3q = 7
7
1189. а)
б)
4
5
2p 3q 6 = 35 2p 3q 6 .
5
23 2 2 = 5 3 16 2 = 5
43 3 4 4 3 ⎛4⎞ = ⎜ ⎟ 3 4 3 ⎝3⎠
в) 3
23 3 2 3 3 ⎛2⎞ = ⎜ ⎟ 3 2 3 ⎝3⎠
г)
34 33 3 =
1190. а)
9
− 2a 2 b 4 5a 3 = −
г)
5
(x − y )3 3
5
2
5
2 3 3 ⎛2⎞ 32 = ; ⎜ ⎟ = 18 3 243 ⎝3⎠ 4 3
316 = 3 9 .
− 5 − а 25 = 9 а 5 ;
3
3 4
б)
х у
у х 3 х у
в)
х х х х :
г)
2m 3
1 4m 2
3
27 14
(x − y )2
3
=
a
б)
m−n m+n
m+n 4 m−n = ; m−n m+n
80a11b 4 = −12 80a11b 4 ;
1 = −5 y−x
a3 a3 a ⋅
512 = 10 8 ;
4 4 3 ⎛4⎞ 1024 = ; ⎜ ⎟ = 24 3 243 ⎝3⎠
35 3 3 =
4
в)
1191. а)
2
3
3 3 3 13
a
= −15 (x − y )2 . ⋅
27 14
a
=a;
у х у = 3 3 = 1; х у х
16 11
х
=
16 15 16 11
х
n 12 : nm = m
:
3
2m
х
=4х ;
n 12 : nm = 12 4mn : 12 mn = 12 12 = 6 6 (в m
ответе задачника опечатка). 50 − 3 3 − 6 2+ 3 24+ 8=5 2 − 3 3 − 6 2+2 3 3+2 2= 2+ 3 3 ; 7 б) 6 4 х + ху − 9ху − 8 х 2 + х 3у =6 4 x + xy − 3 xy − 4 x +7 xy = х 4 = 8 ху − 9 ху + 5 х = 5 ху + 5 4 х . 1192. а)
1193. а) − 5 24 10 ∨ − 4
23 3 ∨ 3 5 ;
б)
в)
4
6
3∨8 6 2 ;
5
99 ; − 10 160 < −80 99 .
24 ∨ 3 5 ; 16
6
24 < 6 25 .
81 > 16 72 ; 51
г) − 23 6 ∨ −3 5 2 ; − 6 48 > −6 50 . 1194. а)
3
6
5 3;
б)
5
35 3 ;
5
4;
в)
5
3 4;
3
25 2 ;
г)
48
1195. а)
( б)
4
7 7;
4
(4 2 − 4 8)
г)
3
2; 16
)
2
2
=
2
2 + 8−4
=
4
2+ 8−4
= −1 ;
= 1;
2
( 3 + 1) (1 − 5 )
= 3;
2
2
4
( 3 − 45 ) ( 3 − 45 ) 2
4− 2 − 8
24 + 6 − 2 12 3
1 − 24 5 + 5
=
24 + 6 − 2 12 3
3 + 26 3 + 1
64 ;
4−3 2
=
( 9 + 3) = ( 9 + 3) 3
3
25 ;
2 1,25 ;
4 3 +3 6
в)
10
4−3 2
24 + 4 6
33 4 ;
100 ;
4
2
=
1 . 3
)(
)( ) n ) ( 4 m − 4 n )( 4 m + 4 n ) = (
(
1196. а) 1 + а 1 + 4 а 1 − 4 а = (1 + a )(1 − a ) = 1 − а ;
б)
(
m+
( 1197. а) 3
б)
3
3
9a 2 x − 2 3 3abx + b 2 x 3
3a − 3 b
16 x 2 − 3 25 y 2 3
1198. а)
4x − 3 5y
)=
3
x
m + n )( m − n ) = m − n .
( 3 3a − 3 b ) 3
2
3a − 3 b
=3x
( 3 3a − 3 b ) ;
= 3 4x + 3 5y .
2x − 3y + 2y − 3x = x ( 2 − 3)+ y( 2 − 3)=
= ( 2 − 3)( x + y) ;
б)
3
3
3
4x 2 + 4 2 x 2 − 3 4 4 y3 − 4 2y3 = x 2 ( 3 4 + 4 2) − 4 y3 ( 3 4 + 4 2) =
= (3 x 2 − 4 y 3 )(3 4 + 4 2) ;
в)
3 4
3
3
= (a + b)(3 a − 3 b) ; 52
3
a + ab3 − a 3b − b 4 = 3 a (a + b) − 3 b(a + b) =
г) b a − ab + ab − ab b = b a (1 − ab) + ab(1 − ab) = = (1 − ab)(b a + ab) . 1199. Рассматриваем данные выражения как квадратные трехчлены и находим их корни:
а)
m −8 m −6 =
4
4
8
5
10
( a + 12 = (
a +7
m −3
4
m +5 m +6=
б) в)
(
6
x=
)
8
m +2 ;
)( m + 3); a + 4)( a + 3) ; 4
m +2
10
г) 2 3 x − 6 x − 1;
)(
10
1 ± 1 − 4 ⋅ 2(−1) 1 ± 3 = ; 4 4
6
x = 1;
6
x =−
1 2
( 23 x + 1)(33 x − 1) = 3 − 1 ; 3 3 3 x x ( 2 3 x + 1) 2 x2 + 3 x 4 4 x − 5 4 x − 2 ( x − 2 )( 3 x + 1) 4 x − 2 . = = 9 x −1 (34 x − 1)(34 x + 1) 34 x − 1 3
1200. а)
б)
3
6 x2 + 3 x −1
ab 4 a
1201. а)
(a + b) 4 =−
( б)
( a 2 − b2 )
) ( 2
m +4 n + 4 m −4 n 2(m − n ) 2
2
a 2 + b2
=
ab ⋅ 4 a ⋅ 4 a a 2 + b2 − = (a + b)(a − b) (a + b) b
b(a + b ) b ; =− (a + b )(a − b ) a − b
4
=
b2 a
−
=
(
(
m+ n
m− n
)(
m+ n
= m + n − 2 mn =
1202. а)
x3 x − 1 3
)
x2 −1
( −
)
⋅
(
m− n 3 3
3
2
:
1
− 3 mn =
3
m − n3
)(
) (
)
m − n m + n + mn − 3 mn =
)
x2 −1 x +1
)
2
;
= 4; 3
3
x 4 − 1 ( 3 x − 1)( 3 x + 1) ( x 2 − 1)( x 2 + 1) 3 3 − = − ( x − 1) = x 2 + 1 − 3 x + 1; 3 3 2 3 2 x 1 + x −1 x +1 3
x2 +1− 3 x +1 = 4 ; Ответ: х = 8; х = –1.
3
x2 − 3 x − 2 = 0 ;
3
x = 2, x = 8;
3
x = −1, x = -1.
53
б) 3 3
x +8
3
+
3
x 2 − 25 3
3
( 3 x + 2)( x 2 − 2 3 x + 4
=5;
3
x +2 x +5 2 3 x − 2 x + 4+ 3 x −5 = 5;
3
x +2
x2 − 3 x − 6 = 0 ;
+
3
( 3 x − 5)( 3 x + 5) 3
x +5
;
x = 3, x = 27;
x = −2, x = -8 − не входит в 0D3.
Ответ: х = 27.
§ 43. Обобщение понятия о показателе степени 2
3
1 2
5
1 2
1203. а) 5 3 = 3 25 ; б) 3 3 4
1204. а) с 4 =
с 3 ; б) p
3
= 37 ; в) 6 8 = 8 63 ; г) 4
3
3
= p11 ; в) x 4 = 4 x 3 ; г) y
1 4 2
= 4 413 . 2 3
= 3 y8 .
1 5 ; б) t 0,8 = t 4 ; в) b1,5 = b 3 ; г) 8,50,6 = 5 8,53 . 5
1205. а) 0,2 0,5 =
3
1
1
1
1206. а) (2a )3 = 3 2a ; б) ax 5 = a x 3 ; в) 2a 3 = 23 a ; г) (2b ) 4 = 4 2b . 5
2 3
1207. а) 3(x − y ) = 3
(x − y )
2
3
;
б)
1,3
1208. а)
7
5
1210. а)
1 49 2
1211. а)
1 2 9 2
= 7 ; б)
3
1 1000 3
= 10 ; в)
в) 54
p
a 5 a −8
−9
−2 −5
p p
a
−2
1 = a −1; a = 6, a −1 = ; 6
1 = p −2 ; p = , p −2 = 4; 2
1 3
c = c 11 ; г)
1 27 3
б)
= 3 ; г)
1 1 0,16 2
4,3 = 4,3 3 . 1
11 2
5
1 25 2
a = a5 . =5.
= 0,064 ;
2
4
81 ⎛ ⎛3⎞ в) ⎜ 3 ⎟ = ⎜ ⎟ = ; 16 ⎝ 8⎠ ⎝2⎠ 1212. а)
4
2 ⎛ 2 ⎞4 = ⎜ ⎟ ; г) 3 ⎝3⎠ 2
a 2 = a 3 ; в)
= 35 = 243 ;
4 3⎞3
1
2
b 4 = b 5 ; б)
= 3 x 2 − 3 y2 ;
1
3 = 0,6 7 ; в) 5
4
1209. а)
2 y3
г) x 2 + y 2 = x + y . 1
; б)
−
1
3
в) 3(a + b ) 4 = 34 (a + b )3 ; 1 = 1,3 2
2 x3
г) 0,001 3 = 0,01 . б)
b −9
1 = b −3 ; b = , b-3 = 8; 2
(b ) 2 1 г) ( t −3 ) −5 = t −1; t = 0,1, t -1 = 10; t 2 −3
(
1213. а) 27 ⋅ 3− 4
)
2
=
( )
1 ; 9
б) 16 ⋅ 2−3
6 −4 ⋅ 6 −9 1 = 6 −1 = ; −12 6 6
1214. а)
б)
2
1 . 4
=
7 −7 ⋅ 7 −8 1 = 7−2 = . −13 49 7
54 ⋅ 49 −3 1 = 5− 2 ⋅ 7 −1 = ; −7 3 175 7 ⋅ 25 1 8112 ⋅ 10 −7 б) − 5 = 3− 3 ⋅ 10 − 2 = . 2700 10 ⋅ 2717 1215. а)
b −1 = b
1216. а)
в)
−
1 2
−
4 3
1217. а) 4 1218. а) 5 −
;
б)
= x4 ;
x −3
в) 32
1 2
12
3
1 4
−
г)
1
1
2
б) (− 16) 3
Нет . 1
г) (− 25)− 2
Да . 1
;
− − − 1 1 1 1 ; б) 8 3 = ; в) 32 5 = ; г) 16 4 = . 2 2 2 2
Да .
1 5
5 12
= a3 .
a −2
3
−
2
1
1
=
b −5 = b
1
1
1
1
1
Нет . 1
2
1219. а) 2 2 < 3 2 ; б) 0,3 2 > 0,5 2 ; в) 5 2 > 5 3 ; г) 7 3 = 7 6 . 1220. а)
1 1 c2c3
1221. а)
1 x2
1
в) z 5 : z 1222. а)
−
1 2
:
5 c6
=
3 x2
=
; б) b
−
1 1 3b2
=
1 ; x
1 b6
; в)
б)
5 − y 6
7
( )
=
1 : y3
1 b6
;
б)
(
1 c−1/ 2 2
)
4
1223. а)
=
х = х ; б)
⎛ −3 ⎞ г) ⎜ p 4 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 7 у3 3
2
3
у = у ; в)
−
2 9
3 1 z4z4
=
; г)
7 − y 6
1
⎛ 3 ⎞3 в) ⎜ a 2 ⎟ = a 2 ; ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 х2
=
1 a2
г) m 3 : m 2 = m
= z 10 ;
1 b1/ 2 3
2 1 − 3 a a 6
−
1 − c 4
1 5 2 d d
11 d2
=
1 3 4 c c
=c.
.
;
5 3
.
;
1
= p6 .
= z ; г)
4
55
1 4
1
( ) 2 a 0,8 = a 5 a 5 = a ;
1224. а) a 0,4
б)
10
(
c c−1,2
5
⎛ 3 ⎞4 в) ⎜ x 4 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
( x) 4
17 4
2
1
15
17
( )
= x 16 x 16 = x 2 ; г) b0,8
−
2 3
1
⋅ 7 12 ⋅ 7
−
3 4
=7
−
16 1 9 + − 12 12 12
−
9
2 −1,5 3⎛ − ⎞ 4 ⎜b 5 ⎟
⎜ ⎝
⎟ ⎠
−
4
=b
−
3 3 5b5
= b0 = 1 .
б) 21,3 ⋅ 2 −0,7 ⋅ 40,7 = 4 ;
1225. а) 10 5 ⋅ 10 2 ⋅ 100,1 = 10 ;
в) 49
−
1
3
) 4 = c10 c 10 = c 5 ;
=
1 ; 49
г) 250,3 ⋅ 51, 4 ⋅ 6250, 25 = 25 ⋅ 5 = 125 . 1226. а) 4 0,7 : 2 −0, 4 = 21, 4 + 0, 4 = 21,8 ; 1+ 0 ,8 +
б) 3 ⋅ 90,4 : 5 3−1 = 3 1
1
2
в) 4 3 ⋅ 2 3 : 4 г) 8
−
1 3
−
1 3
1 5 1 + + 6 3
= 43
1
⋅ 16 3 : 3 2 = 2 1/ 3
1227. а) ( 27 ⋅ 64 )
⎛ 1
⎞
( )
⎛ −3 ⎞ в) ⎜ x 4 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
1229. а)
56
=9; 3
= 42 = 8 ;
4 1 −1+ − 3 3
=1.
= 3 ⋅ 4 = 12 ;
−1/ 2
в) ⎜ ⋅ 0,04 ⎟ ⎝ 36 ⎠ 1228. а) m
1 5
−3 1/ 3
⎛1 ⎞ б) ⎜ ⋅ 81−1 ⎟ 16 ⎝ ⎠ ⎛ ⎝
г) ⎜ 5−3 ⋅
1 = ; m
⎛ −11 ⎞ б) ⎜ 8x 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
− (2 / 3)
(
г) 81x − 4
= x;
2 − x 3
5 ⋅x3
3 x5
1 ⎞ ⎟ 64 ⎠
= 6 ⋅ 5 = 30 ;
б)
= 2⋅3 = 6 ;
−1/ 3
= 5 ⋅ 4 = 20 ;
2/3
−
= 4x −1 = 3 4
= 2
4 ; x
x3 . 27
⎛ −1 ⎞ ⋅⎜ y 2 ⎟ 6 8 ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = y 7 y −1y 7 = y ; −2 ⎛ 4⎞ 7 ⎜y ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
6 y7
2
= x5 ;
)
−1/ 4
−4
⎛ −2 ⎞ ⎜с 3 ⎟ 8 1 1 ⎜ ⎟ − − в) ⎝ 1 ⎠1 = с 3 6 2 = с2 ;
⎛ 1 3 ⎜ а 2 ⋅ b5 г) ⎜ 1 2 ⎜⎜ 4 5 ⎝ a b
с6 ⋅ с2
⎛
1
⎞
1
1
1
1
⎞ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠
20
= a 5b 4 .
1
1230. а) ⎜ x 2 − y 2 ⎟ x 2 y 2 = xy 2 − yx 2 ;
⎜ ⎝
2
⎟ ⎠
2⎛ 1
1
⎞
2
2
б) a 3 b 3 ⎜ a 3 + b 3 ⎟ = ab 3 + ba 3 ; ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 1⎛ 2 1 3⎞ 1 в) b 3 c 4 ⎜ b 3 + c 4 ⎟ = bc 4 + cb 3 ; ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1
1⎛
1
3
⎞
1
1
г) x 2 y 2 ⎜ x 2 − y 2 ⎟ = xy 2 − y 2 x 2 . ⎟ ⎠
⎜ ⎝
2
1⎞ ⎛ 1 1231. а) ⎜ m 2 + n 2 ⎟ = m + n + 2 mn ; ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
2
2
1⎞ ⎛ 1 г) ⎜ a 2 + 2b 2 ⎟ = a + 4b + 4 ab . ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
1⎞ 1 ⎛ в) ⎜1 − b 2 ⎟ = 1 + b − 2b 2 ; ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
⎛
⎞⎛
1
1
⎞
2
1⎞ 2 1 ⎛ б) ⎜1 + c 3 ⎟ = 1 + c 3 + 2c 3 ; ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
2
1232. а) ⎜ x 3 + 3 ⎟⎜ x 3 − 3 ⎟ = x 3 − 9 ;
⎜ ⎝
⎟⎜ ⎠⎝
⎟ ⎠
1 ⎞⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 ⎜ ⎟ ⎜ 2 2 б) a + b a − a 2 b 2 + b ⎟ = a1,5 + b1,5 ; ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 в) ⎜ d 2 − 1⎟⎜ d 2 + 1⎟ = d − 1 ; ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ 1 1 2 2⎞ ⎛ ⎞⎛ 1 г) ⎜ p 3 − q 3 ⎟⎜ p 3 + (qp )3 + q 3 ⎟ = p − q . ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ 1
1233. а)
4 ⋅ 32 1 32
−3
1
=
4 1 1− 32
;
1
a 2 − b2 = б) a−b
1 1 a2
+
1 b2
; 57
1
1
1
p2 − 5 = г) p − 25
x + x 2 x 2 +1 в) ; = 1 2x 2 2x 1
1234. а)
1 1 p2
.
+5
1
c + c2d 2 + d 3
3
1
=
c2 − d2
1
; б)
1
1
m+n 2
2
1
1
= m3 + n 3 .
m 3 − ( mn ) 3 + n 3
c2 − d2
2
1 1 1 1⎞ ⎛ 1235. а) ⎜1 + c 2 ⎟ − 2c 2 = 1 + c + 2c 2 − 2c 2 = 1 + c ; ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
⎛
1 ⎞2
1
7
2
1
7
7
2
1
б) ⎜ m 4 − m 3 ⎟ + 2m12 = m 2 + m 3 − 2m12 − 2m12 = m 2 = m 3 ; ⎜ ⎝
⎟ ⎠
2
1⎞ 1 1 ⎛ 1 в) ⎜ x 2 − y 2 ⎟ + 2 x 2 y 2 = x + y ; ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2
1⎞ ⎛ 1 b + c − ⎜ b 4 + c 4 ⎟ = b + c − b − c − 2 4 bc = −2 4 bc . ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
г)
2
2
1⎞ 2 2 2 2 ⎛ 1 1⎞ ⎛ 1 1236. а) ⎜ a 3 +b 3 ⎟ − ⎜ a 3 − b 3 ⎟ =a 3 +b 3 +2 3 ab − a 3 − b 3 +2 2 ab =4 3 ab ; ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2
1 ⎞ ⎛ 3 б) ⎜ a 2 + 5a 2 ⎟ − 10a 2 = a 3 + 25a . ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 1 ⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞ 1237. а) ⎜ x 4 + 1⎟⎜ x 4 − 1⎟⎜ x 2 + 1⎟ = (x 2 − 1)(x 2 + 1) = x − 1 ; ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛
1
1
⎞⎛
1
1
⎞⎛
1
1⎞
⎛
⎟ ⎠
⎜ ⎝
1
1
⎞⎛
1
1
⎞
1
1
б) ⎜ k 4 + l 4 ⎟ ⎜ k 8 + l 8 ⎟⎜ k 8 − l 8 ⎟ = ⎜ k 4 + l 4 ⎟⎜ k 4 − l 4 ⎟ = k 2 − l 2 . ⎟⎜ ⎠⎝
⎜ ⎝
⎟⎜ ⎠⎝
3
1238. а)
58
a−b 1 a2
1 − b2
3
( (
⎟⎜ ⎠⎝
)( )(
⎟ ⎠
) )
a1/ 2 − b1/ 2 a1/ 2 + b1/ 2 a 2 − b2 − = = a−b a1/ 2 − b1/ 2 a1/ 2 + b1/ 2
1 = a2
1 + b2
1 1
1
−
a + b + ( ab ) 2 1 a2
=
1 + b2
1 a2 1
б)
x 1 x2
+
1 y2
y
+
1 x2
1 − y2
=
⎛1⎞ 1240. а) ⎜ ⎟ ⎝4⎠
б) 49
1 2
−
в) 216
−
⎛1⎞ г) ⎜ ⎟ ⎝4⎠
−
⎛1⎞ ⋅⎜ ⎟ ⎝7⎠ 1 3
−
1 2
1 ⋅ 16 2
−1
−2
⎛ 1 ⎞ − 5−1 ⎜ ⎟ ⎝ 25 ⎠ −1 ⎛
1 ⎞ −2 ⎜ ⎟ ⎝ 25 ⎠
−1
⎛ −6 ⎞ = ⎜ c 7 y −1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
=
−
−
−
1 3
= 2⋅5 − 9⋅
6
= c7 y ; −1
= p 2q
−
3 2
.
1 41 = ; 5 5
= 7 −1+ 2 + 2−1− 2 = 7 + 1 2
ab ; a+ b
=
x+y . x−y
−1
⎛ −1− 2 ⋅ 7 5 + 1 ⋅ 7 ⎞ = ⎜ p 7 2 ⋅ q 4 14 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
1
+ 2−1 ( −2 )
−2
1
x−y
⋅ 25 2 − 812 ⋅ 125
−2
⎛1⎞ ⋅⎜ ⎟ ⎝6⎠
1 2
1
1 + b2
x − ( xy ) 2 + ( xy ) 2 + y
3 ⎛⎛ 3 ⎞ ⎞ 3 ⎜ ⎜ − 7 −0,4 ⎟ 7 0,2 ⎟ 1239. а) ⎜ c y c ⋅y ⎟ ⎟ ⎜ ⎜⎝ ⎟ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ 2 1 ⎞3,5 ⎞ 5⎛ ⎜ −1 4 ⎜ − 7 14 ⎟ ⎟ б) ⎜ p q p q ⎜ ⎟ ⎟⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝
1 1
a + b + 2a 2 b 2 − a − b − a 2 b 2
1 1 =7 ; 8 8
= 6−1+ 2 − 5−1+1 = 6 − 1 = 5 ;
1 1 2 −3 8
= 2 ⋅ 4 + 2 −2 ⋅ 5 = 8 −
5 3 =6 . 4 4
1 1 ⎛ ⎞ 1 − − − 14 26 13 ⎛1⎞ 3 ⎛5 2⎞ ⎜⎛ 1 ⎞ 2 ⎟ 1241. а) ⎜ ⎜ ⎟ 7 −1 − ⎜ ⎟ ⋅ 2−3 ⎟ : 49 2 = ⎜ − ⎟ ⋅ 7 = 5 − = = ; 25 8 7 8 8 8 4 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 1 ⎛1 ⎞ − − 2 −1 ⎜ − 1 ⎟ 8 3 25 2 − 2−1 ⎝ 5 ⎠ = 1 ⎛ 1 − 1⎞ = − 4 = −0,1 . б) = ⎜ ⎟ 1 1 8⎝ 5 ⎠ 40 22 64 4 2 2 1⎛ 1 ⎞ 1 x 3 ⎜ x 2 + 1⎟ 2 +1 ⎜ ⎟ x 2,2 ⎝ ⎠ , x = 1,44; 1242. а) = = 11 . = 1 5 1 1⎛ 1 0,2 ⎞ x 2 −1 x 6 − x 3 x 3 ⎜ x 2 − 1⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 5 x6
1 + x3
59
2
1
1
3 б) m − 2, 25 = m 3 − 1,5, m = 8; m 3 − 1,5 = 0,5 . 1
m 3 + 1,5 1
1
2t 2 1243. а) − t−4
1 1
t2 − 2
1
1
2
б)
1 y4
2
−
1 y4
+3
=
1
1
t2 −2 1 2t 2 − t 2 − 2 t 2 − 2 = . , t = 9; = = t−4 t−4 t−4 5 1
2y 4 − 6 − 2y 4 − 6 1 y2
−3
−9
=−
12 1 y2
, y=100; −
−9
12 1 y2
=−
−9
12 = − 12 . 10 − 9
1244.
а)
3 a2
3 − b2
1
1
1 ⎞⎛ 1 1 1 ⎞⎛ 1 1⎞ ⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎜ a 2 − b 2 ⎟⎜ a+a 2 b 2 +b ⎟⎜ a 2 − b 2 ⎟⎜ a 2 +b 2 ⎟ 1 1 ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ a−b ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠= +2a 2 b 2 = ⎝ 1 1 1 ⎞⎛ 1 1 ⎛ 1 ⎞ ⎜ a 2 + b 2 ⎟⎜ a + a 2 b 2 + b ⎟ a+a 2 b 2 +b ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠
a 2 +b 2
2
1⎞ 1 1 ⎛ 1 = ⎜ a 2 − b 2 ⎟ + 2a 2 b 2 = a + b ; ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
1 1 ⎛ 2 ⎜ q2 p б) ⎜ + 1 1 1 1 ⎜⎜ 2 2 q − p 2q 2 ⎝p−p q 1
=
1
q2 + p2 1 q2
1⎞ 1⎛ 1 ( pq ) 2 ⎜ q 2 +p 2 ⎟ ⎞ 1 1 ⎜ ⎟ ⎟ pq 2 +p 2 q q−p ⎝ ⎠= = ⎟ 1 1⎛ 1 1⎞ p−q ⎟⎟ p − q p2q 2 ⎜ p2 − q 2 ⎟ ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
1 − p2
. ⎛
1245. а)
=
60
1 1 a 2 +b 2 1 a2
-
a −b−a+b 1/ 2
a
1 a2 1 1 a 2 -b 2
( a1/ 2 − b1/ 2 )
=0
+
b 1 1 a-a 2 b 2
1 1
⎞ ⎛
1 1
⎞
⎛
1 1
⎞
( a-b ) ⎜ a-a 2 b 2 ⎟ -a ⎜ a-a 2 b 2 ⎟ +b ⎜ a-a 2 b 2 ⎟ =
⎜ ⎝
⎟ ⎜ ⎠ ⎝
⎟ ⎠
⎜ ⎝ 1 ⎛ 1 1 ⎞⎛ 1 1⎞ a 2 ⎜ a 2 -b 2 ⎟⎜ a-a 2 b 2 ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠
⎟ ⎠=
б)
2a 2 a3
−
1 3
1 − − 3a 3
2
−
a3 5 a3
2 −a3
−
a +1 = a − 4a + 3 2
2 1 a +1 2a − 2 − a + 3 − a − 1 − − = =0. a − 3 a − 1 (a − 1)(a − 3) (a − 1)(a − 3)
§ 44. Степенные фнукции, их свойства и графики 1246.
а)
в) y = x5
1247.
б)
г) y = x–4
а) y = x3/2
б) y = x1/4
в) y = x–(1/2)
г) y = x5/4 61
1248.
y = x1/3
а) y = 3 x
y = x1/4
б) y = 4 x
5
1249. f ( x ) = x 2 ;
1 ⎛1⎞ а) f (4) = 32 ; б) f ⎜ ⎟ = ; в) f (0) = 0 ; г) f (0,01) = 0,00001 . ⎝ 9 ⎠ 243 1250. f ( x ) = x
−
2 3
а) f (1) = 1 ; б) f (8) =
1 ⎛1⎞ ; в) f ⎜ ⎟ = 4 ; г) f (0) − не имеет смысла. . 4 ⎝8⎠
1251. а) y = x10 ; y(− x) = (− x)10 = x10 = y(x) ⇒ четная ;
б) y = x −(1/ 3) в) y = x −15 ; y(− x) = (− x)−15 = − x −15 = − y(x) ⇒ не четная 62
4
г) y = x 3 — функция определена только для положительных чисел, поэтому не является ни четной, ни нечетной. 1252. а) y = x 8 ; y ∈ [0;+∞ ) .
б) y = x в) y = x г) y =
−
3 4
−5
2 x5
; y ∈ (0;+∞ ) . ; у∈R
y≠0.
; y ∈ [0;+∞ ) .
12 1253. а) y = x ; убывает : ( −∞;0] ; возрастает : [ 0;+∞ ) .
б) y = x в) y = x г) y =
−
1 6
−11
1 x7
; убывает : (0;+∞ ) . ; убывает на R но x ≠ 0 .
; возрастает на R . 1
1254. y = x 4 ⎧x = 1 ⎧x = 0 ; min y: ⎨ . ⎩y = 1 ⎩y = 0
а) х ∈ [0;1]; max y: ⎨
⎧x = 0 ; max y не существует . ⎩y = 0
б) х ∈ [1; +∞ ) , min y: ⎨
в) х ∈ ( 2;3) ; min y и max y не существуют .
⎧ x = 16 ; min y не существует . ⎩y = 2
г) х ∈ ( 5;16]; max y: ⎨ 5
1255. y = x 2 ⎧x = 0 ; max y не существует ; ⎩y = 0
а) х ∈ [0; +∞ ) ; min y: ⎨
⎧x = 1 ; max y не существует ; ⎩y = 1
б) х ∈ [1;3) ; min y: ⎨
⎧⎪ x = 2 ⎧x = 1 ; max y: ⎨ не существует ; 4 ⎪⎩ y = 2 ⎩y = 1
в) х ∈ (1;2 ) ; min y: ⎨
63
⎧⎪ x = 8 ; min y не существует . ⎪⎩ y = 128 2
г) х ∈ ( 6;8]; max y: ⎨ 1256. y = x
−
2 3
1 4 б) х ∈ ( 3;5) , min y и max y не существуют ;
а) х ∈ [1;8] , min y = , max y = 1 ;
в) х ∈ [1; +∞ ) , max y = 1, min y не существует ; г) х ∈ ( 0;1] , max y не существует, min y = 1 . 1257.
а) y = (x + 2)
в) y = (x – 1)–2/3
1258.
а) y = (x + 3)1/6 – 1
64
б) y = x7/2 – 3
г) y = x–1/3 + 4
б) y = (x – 2)–(1/9) + 5
в) y = (x + 6)7/4 + 2
1259.
г) y = (x – 3)1/2 – 1
а) y = 2x1/3
б) y = –x–(3/5)
в) y = ½x3/2
г) y = –2x1/4
1
1260. а) х 2 = 6 − х, х = 4;
3
б) х 2 =
1 х2
, х = 1;
65
2
1
в) х 4 = х 3 , х = 0, х = 1;
5 ⎧ ⎪у = х 2 ⎧у = 1 ;⎨ ; 1261. а) ⎨ ⎪⎩ у = 1 ⎩ х = 1
1 ⎧ ⎪у = х 6 в) ⎨ , ⎪⎩ у =| х |
66
⎧ х = 0;1 , (0;0), (1;1); ⎨ ⎩ у = 0;1
г) х 3 = x − 4, х = 8;
1 ⎧ − ⎪у = х 3 ⎧х = 1 б) ⎨ ,⎨ ; ⎪у = х ⎩у = 1 ⎩
2 ⎧ ⎪у = х− 3 , г) ⎨ ⎪⎩ у = 2x − 1
⎧х = 1 ; ⎨ ⎩у = 1
1262.
1263.
1264.
1
1265. f ( x ) = x 4 ; 1
1
а) f (16x ) = (16 x ) 4 = 2 x 4 ; 1
б) f (81x 4 ) = 3 | x | ;
1
⎛ 1 ⎞ ⎛ x ⎞4 x 4 ; в) f ⎜ x ⎟ = ⎜ ⎟ = 3 ⎝ 81 ⎠ ⎝ 81 ⎠
1
г) f (x −8 ) = (x −8 ) 4 = x −2 .
1266. f (x) = x − (2 / 3) ;
а) f (8x 3 ) = (8x 3 )
−
9 ⎛ x ⎞ ⎟ = 2/3 ; 27 ⎝ ⎠ x
в) f ⎜
2 3
=
1 −2 x ; 4
б) f ( x −6 ) = x 4 ; г) f ( x12 ) = x −8 . 67
1267. а) у = х8 , у' = 8x 7 ;
б) у = х −4 , у' = −4x −5 ;
в) у = х 40 , у' = 40x 39 ;
г) у =
1268. а) у =
3 5 х ,
7
7 2
2
3 − у' = x 5 ; 5
1
в) у =
3
х
1 х
, у' =
1
5 4
5
1 5
−
1 2 х3
б) у =
;
8
3 − , у' = − x 5 ; 3 5
1
х5
4 1 − − х 3;
г) у =
3
8
5 − , у' = − x 3 ; 5 3
1
х3 3 х; 2
х2
б) у =
х
, у' =
3 х; 2
5
3
4
г) у = 5 х , у' = x 5 .
, у' = −
1270. а) у = х х , у' =
х 2 − , у' = − х 3 ; х 3
в) у =
, у' = −6x −7 .
б) у = 4 х 5 , у' = x 4 ;
в) у = х 2 , у' = x 2 ; 1269. а) у =
1 х6
7 3
4
г) у = х 2 ⋅ 3 х , у' = х 3 ; 3 х; 2
1271. а) у = 2х 4 + х х; у' = 8х 3 + 4
2 − + 3х 6 − 1; у' = − х 3 + 18х 5 ; 3 3 х 1 1 5 в) у = х − ; у' = 5х 4 + ; х 2 х3
б) у =
2
1
г) у = х 3 − 7х 5 х; у' = 3х 2 −
42 5 х ; 5
1⎞ ⎛ 2 ⎞⎛ − 1⎟⎜ х − ⎟ ; х⎠ ⎝ х ⎠⎝
1272. а) у = ⎜
у '= −
2 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 2 ⎞⎛ 1 ⎞ 2 2 2 2 1 4 1 x − ⎟ + ⎜ − 1⎟⎜1+ 2 ⎟ = − + 3 + + 3 − 1 − 2 = 3 − 1 − 2 . 2⎜ x x x x ⎠ ⎝ ⎠⎝ x ⎠ x ⎝ x x x x x
)( x + 3); 1 (3x y' = (9x − 7 )( x − 3) + 2 x (
б) у = 3x 3 − 7 x + 5 2
= 9x 2 x + 27 x 2 − 7 x − 21 + 68
3
)
− 7x + 5 =
3x 3 2 x
−
7x x
+
5 2 x
.
(
)(
)
в) y = 73 x + 5 x 5 − 7 x 3 + 1 ; y' =
7 3
2 − x 3
(x
)(
) (
5
)
− 7 x 3 + 1 + 5x 4 − 21x 2 73 x + 5 .
1 ⎛ − ⎞ 9 ⎜ г) y = 2x + x 3 ⎟(5 − 2 x ) ; ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 4 ⎛ − ⎞ ⎛ 1 − ⎞ y' = −2⎜ 2x 9 + x 3 ⎟ + ⎜18x 8 − x 3 ⎟(5 − 2x ) . ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 3 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1273. а) у =
y' =
3x
б) y =
(
2 3
x3 − 5 3
x +1
; 2
)
7
(
)
2
1 − x3 5 −3 x +1 − x 3 x 3 − 5 3x 2 3 x +3x 2 − + x 3 3 3 = . 2 2 3 3 x +1 x +1
(
)
3 x −7 x4 + 1
(
)
;
2
2
1 −3 4 1 −3 x x + x − 4 x 3 3 x + 28x 3 3 3 y' = . 2 x4 +1
(
)
3 3 3 ; g'(1) = 3 − = ; 2 2 2 x ⎛2⎞ ; g' ⎜ ⎟ = 1; ⎝3⎠
1274. а) g(x) = x 3 − 3 x; x 0 = 1; g '(x) = 3x 2 − 2 3
б) g(x) = 3 3x − 1; x 0 = ; g '(x) =
1 3
( 3x − 1)2
в) g(x) = x −1 + x −2 ; x 0 = 1; g '(x) = − x −2 − 2x −3 ; g'(1) = −3; 1 3
г) g(x) = (5 − 2x) −3 ; x 0 = 2; g '(x) = 2(5 − 2x)−4 ; g'(2) = 2. 1275. а) f (x) = 4 − x
б) f (x) = 12x
−
1 2
−
3 4;
7
x 0 = 1; f '(x) =
3 −4 3 x ; f'(1) = ; 4 4
− x; x 0 = 9; f '(x) = −6x
−
3 2
− 1; f'(9) = −
6 2 − 1 = −1 ; 27 9 69
4 3
2 3
в) f (x) = 2x 2 / 3 − 1; x 0 = 8; f '(x) = x −(1/ 3) ; f'(8) = ; 3 ; f'(1) = −3 + 3 = 0. x
г) f (x) = x −3 + 6 x ; x 0 = 1; f '(x) = −3x −4 + 3
1 ⎛1⎞ 1276. а) h(x) = ⎜ ⎟ ; x 0 = −1; h '(x) = −3 ⋅ 4 ; h'(x 0 ) = h '(−1) = −3; x ⎝ ⎠ x 7
4
7 3
б) h(x) = x 3 − (1 − 3x)−1; x 0 = 0; h '(x) = x 3 − в) h(x) =
1 x5
⎛ ⎝
+ x 5 ; x 0 = 1; h '(x) = −5 ⋅
1⎞
2
1 x6
1277. а) g(x) =
⎛ ⎝
1⎞ 1 ⎠ x2
; h'( − 1) = 2(3 + 1) = 8.
5π 1 1 2 1 ⎛1⎞ . ; g' ⎜ ⎟ = − ; α= 4 − 3x; x 0 = ; g '(x) = − 3 3 3 4 − 3x 3 6 ⎝ ⎠ 1
б) g(x) = −3 ( 2 + x ) 3 ; x 0 = 1 − 2; g '(x) = ( 2 + x ) -
α=
; h'(0) = −3;
+ 5x 4 ; h '(1) = −5 + 5 = 0;
г) h(x) = ⎜ 3 − ⎟ ; x 0 = −1; h '(x) = 2 ⎜ 3 − ⎟ x х ⎠
3 (1 − 3x) 2
π . 4
−
4 3;
(
(
)
g' 1 − 2 = 1;
)
1278. а) у = х 4 − 3х 3 , а = 2; у = 16 − 24 + 4 ⋅ 23 − 9 ⋅ 2 2 (х − 2 ) = −4 х .
б) у = 3 3х − 1; а = 3; у' = (3x
2 − − 1) 3
; y = 2+
1 1 5 ( x − 3) = x + . 4 4 4
в) у = 3х 3 − 5х 2 − 4; а = 2; у' = 9 x 2 − 10 x ; y = 24 − 20 − 4 + 16( x − 2) = 16 x − 32 . −
1
г) у = (2x + 5) 2 ; а = 2; у' = −(2 x + 5) y=
−
3 2
;
1 1 1 11 . − ( x − 2) = − x+ 3 27 27 27
1279. а) у =
2 х х − 2 ; у ' = x ; возрастает на [0; + ∞ ) ; 3
х = 0; у = −2 − min. 3 2
б) у = х 2 / 3 − x ; у ' = x
−
1 3 −1;
возрастает на x ∈ [ 0;1] ;
3 х ≥ 1 − убывает; х = 1 − max; y max = . 2
70
2 3 х х − 2; [1;9]; у ' = x ; max y = 16; min y = − . 3 2 3 1 б) у = х 2 / 3 − x; ( 0;8) ; у ' = x −(1/ 3) − 1; ymax = ; min y не существует. 2 2 2 16 8 в) у = х х − 2х; (1;9 ) ; у ' = x − 2; х = 4; y(4) = − 8 = − − min; 3 3 3 y max не существует .
1280. а) у =
2
3 2 1 = ; y min = −2. 2
г) у = х 3 − x; [0;8]; у' = x у max
∫( 1
1281. а)
0
∫( 4
б)
0
3
1
)
4
)
−1
5
1
4
( х − 3)
3
dx = −
11
в) ∫ 55 3х − 1dx = 2/3
г) ∫ (5х − 7) 2
1 2
− 1; у(0) = 0; у(8) = −2; у(1) = ;
⎛2 5 2 3⎞ 64 16 272 + = . х ( х + 1) dx = ⎜ х 2 + х 2 ⎟ = ⎜5 ⎟ 3 5 3 15 ⎝ ⎠0 0
3
1 3
⎛ x8 x 4 ⎞ ⎟ =1+1 =3; х + х dx = ⎜⎜ + 4 ⎟⎠ 8 4 8 ⎝ 8 0 7
1282. а) ∫ 3 1 − 2хdx = −
б) ∫
−
−
2 3 dx
0
4 3 (1 − 2х ) 3 8
1 ( х − 3)−2 2
5 4
−1
4
3 3 3 3 = − + ⋅ 33 = − + 3 3 ; 8 8 8 8
1 1 1 1 3 = − 2−2 + = − + = ; 2 2 8 2 8 11
25 25 25 175 ( 3х − 1)6 / 5 = 64 − = ; 18 18 2 2 / 3 18
1 3 = ( 5х − 7 ) 3 5
3
= 2
6 33 3 . − 5 5 4
1283. а) у = 0, х = 4, у = х; S = ∫ xdx = 0
б) у = 0, х = 1, x = 3, у =
1 x
; S= 2 1
4
2 3/ 2 16 x = . 3 3 0 3
2
1 1 1 2 ∫ x 2 dx = − x = − 3 + 1 = 3 . 1 1 3 4
1
3 4
1 4
в) у = 1, х = 0, у = 3 x; S = 1 ⋅ 1 − ∫ 3 xdx = 1 − x 4 / 3 = 1 − = . 0
0
71
4
2 3
4
г) у = 2, х = 0, у = х; S = − ∫ xdx + 2 ⋅ 4 = 8 − x 3/ 2 = 8 − 0
0
8 ⎧⎪ у = х −(8 / 5) − ; x 5 = x 2 − 4 x + 1 ; одно решение. 1284. а) ⎨ 2 ⎪⎩ у = х − 4х + 1
1
⎪⎧ у = х1/ 9 ; x 9 = 2 x + 3 ; нет решений. ⎪⎩ у = 2х + 3
б) ⎨
⎧⎪ у = х −(5 / 3)
в) ⎨
2 ⎪⎩ у = 2х
⎪⎩ у = (х + 2)
72
−
5 3
= 2x 2 ; одно решение.
2
⎧⎪ у = х 2 / 7
г) ⎨
; x
3
; x 7 = ( x + 2) 3 ; нет решений
16 8 = . 3 3
1285.
а)
б)
в)
г)
1286.
1287.
1288. 1
а) х 2 < 6 − x; x ∈ [0;4 ) .
3
б) х 2 ≥ −2; x ≥ 1.
73
в) х
−
1 4
2
г) х 3 > x − 4; x ∈ [ 0;8 ) .
≤ х 3 ; x ≥ 1.
1
(
1289. а) f (x) = x 4 ; g(x) = x -2 ; f (16x8 ) = 16x 8
( )
2g( x ) −1 = 2 x − 2
−1
= 2x 2 .
(
2
б) f (x) = x 3 ; g(x) = x -3 ; f (27 x 3 ) = 27 x 3
(
) ( )
9 g( x ) − 2 = 9 x − 3 1290. а) f ( x ) =
−2
5x 3 − 3x 2 + 15x − 7 x x
=
5
3
7
15x 2 − 6x 2 + 15x 2 − 7
5
2 3
= 9x 2 ;
;
1
(15x 2 − 6x + 15) x 2 −
7
)
= 9x 6 ; предположение неверно.
3
f ' (x) =
1
) 4 = 2x 2 ;
3 2 x (5x 3 − 3x 2 + 15x − 7) 2 = x3 5
3
1
15 2 9 2 45 2 21 2 x + x − x + x 2 2 2 2 = x3
3
1
15 2 3 2 30 2 21 2 x − x − x + x 3 5x 7 − x 5 − 10x 3 + 7 2 2 2 . = 2 = 3 5 2 x x2
б) f ( x ) = ⎛⎜ 3 x −1 − 2x ⎞⎟(2 sin 2 x + cos x ) ; ⎝ ⎠ ⎛ 1 −4 ⎞ f '(x) = ⎜ − x 3 − 2 ⎟ ( 2sin 2x + cos x ) + ( 4cos 2x − sin x ) ⎜ 3 ⎟ ⎝ ⎠
в) f ( x ) = 74
7 x 8 − 5x 4 + 12x − x − 2 3
x
;
(
3
)
x −1 − 2x .
2
1 ⎞3 ⎛ 7 3 1 −3 х 7x8 − 5x 4 +12x − x − 2 ⎜ 56x − 20x +12 − ⎟ x 2 x⎠ ⎝ 3 . − f '(x) = 2 2
(
)
x3
х3
⎛ 1 г) f ( x ) = ⎜⎜ x − x ⎝
⎞ ⎟⎟ tg (3x − 5) ; ⎠
⎛ 2 1 f '(x) = ⎜ + ⎜2 x 2 x3 ⎝
⎞ 3 1 ⎞ ⎛ ⎟ tg(3x − 5) + ⎜ x− ⎟. 2 ⎟ x⎠ cos (3x − 5) ⎝ ⎠
1291. а) f ( x ) =
2
x −1 x +1
(
)
2x x + 1 − ; f ' (x) =
(
1
(x − 1) 2
2 x
.
)
x +1
2
2
x +1
б) f ( x ) =
3
x +1
x3 − 1
в) f ( x ) =
x −1
3
; f ' (x) =
3x 2
; f '(x) =
2
(
3
(
)
x +1
(
)
(
)
= 3 x − 1 ; f ' (x) =
1
1292. а) g ( x ) = 2 x − x ; g ' ( x ) = 3
4
x = 2;
4
)
1 x3 − 1 2 x . 2 x −1
x −1 −
x 3 − x3 +1
б) g ( x ) =
2
2
x +1
г) f ( x ) =
1 − x + 1 − x 3 ( x + 1) 3 .
1 x
1 −3 x . 3
−1 = 0
x =1.
5
2 2 12 4 x − x + 2x ; g ' ( x ) = x − 34 x + 2 = 0 ; 3 5 x = 1; x = 16; x = 1.
3 4
4
в) g(x) = x 3 − 2x; g '(x) = 3 x − 2 = 0 ; x = 8 . 4
г) g ( x ) =
7
1
1
1
1
3 3 6 6 x − x − 2x ; g ' ( x ) = х 3 − x 6 − 2 ; x 6 = 2, x 6 = −1; 4 7
x = 64, решений нет. 3
1293. а) f ( x ) = x 2 −
2 2 x ; f ' ( x ) = 2x − x > 0 ; 3
⎧⎪4 x 2 > x ; ⎨ ⎪⎩x > 0 75
⎧x (4x − 1) > 0 1 ; x> . ⎨ x 0 > 4 ⎩
–
+
б) f ( x ) = − x < 2, x ≠ 0.
+ X
1 4
0
8 8 − x3 8 x2 ; f ' (x) = 2 − x > 0 ; >0; − x 2 x x2 +
+ 0
– X
2
5 4 1⎛ 1 2 1 ⎞ 3 3 3 3 3 3 в) f ( x ) = x + x ; f ' ( x ) = x + 2x > 0 ; x 3 ⎜ x 3 + 2 ⎟ > 0 ; x > 0 . ⎜ ⎟ 5 2 ⎝ ⎠ 1⎛ 1 5 3 1 1 ⎞ − 8 1 1 − г) f ( x ) = 0,4x 4 − x 4 ; f ' ( x ) = x 4 − 2x 4 > 0 ; x 4 ⎜ x 2 − 4 ⎟ > 0 ; ⎜ ⎟ 2 3 2 ⎝ ⎠ x > 16 .
1294. а)
y = x − x ; y' =
1
− 1 = 0 ; 2 x = 1, x =
1 ; 4
2 x 1 1 ⎡ 1⎤ возрастает x ∈ ⎢0; ⎥ ; убывает x ≥ ; x = − max . 4 4 4 ⎣ ⎦ б)
76
x
y = x x + 2 ; y' = x + 2 +
=
3x + 4
> 0; 2 x+2 2 x+2 4 4⎤ 4 ⎡ x ≥ − − возрастает ; x ∈ ⎢− 2;− ⎥ − убывает ; х = − − min . 3 3 3 ⎣ ⎦ 1295. 5 а) 21x4 +4 x 32+4 5x4−4 80 = 314 142 −4 33 x 4 3 y1
y2
y1 ' = 10x 4 + 3x 2 + 5 − возрастает, при всех х;
у2 ' = −
1 3
(14 − 3x) 2
− убывает, при всех х ⇒ однорешение : х = 2.
б) 4 10 + 3x = 74 − x 5 − 3x 3 − 8x ; y1 = 4 10 + 3x ; y 2 = 74 − x 5 − 3x 3 − 8x ; y1 ' =
3 − возрастает,при всех х; 4 10 + 3x
y 2 ' = −5x 4 − 9x 2 − 8 − убывает, при всех х ⇒ одно решение: х = 2.
1296. а) у = х , у = −2 х, х = 4; 4
4
4
0
0
0
S = ∫ xdx + ∫ 2 xdx = ∫ 3 xdx =
3 4 2x 2
= 16 .
0
б) у = 2 х , у = − х , х = 9; 9
9
9
0
0
0
S = ∫ 2 xdx + ∫ xdx = 2 x 3
1297. а) у = 2 − х ; у =
х=
= 54.
х ; 3х + 5у = 22 ; 2 − х = х ; х = 1;
22 3 22 − х ; х ≤ ; 25х = 484 + 9х2 – 132х; 3 5 5
9х2 - 157х + 484 = 0; D = 24649 – 17424 = 852; х = х=
157 − 85 = 4; 18
22 3 157 + 85 121 — отпадает; 2 − х = − х; = 5 5 18 9
3 12 2 2 х = х − , х ≥ 4; 25х = 9 х + 144 − 72 х ; 9 х − 97 х + 144 = 0 ; 5 5
D = 9409 – 5184 = 652; х =
97 − 65 − не подходит; х = 9. 18
77
4
( 1
S= ∫
22 / 3 ⎛ 22 3x ⎞ 9 ⎛ 9 ⎛ 22 3x ⎞ ⎞ x − 2+ x dx+ ∫ ⎜ − ⎟ dx+ ⎜ ∫ ⎜ − ⎟ dx − ∫ 2 − x dx ⎟ = 5 ⎠ 5 ⎠ 4 ⎝ 5 4 ⎝ 22 / 3 ⎝ 5 ⎠
)
(
4
)
9
22
3 9 ⎛4 3 ⎞ ⎛ 3 3 2 ⎞ ⎛ 22 ⎞ 3 ⎛ 22 ⎞ = ⎜ x 2 − 2x ⎟ + ⎜ x − x 2 ⎟ + ⎜ x − x 2 ⎟ − ⎜ 2x − x 2 ⎟ = ⎜3 ⎟ 10 ⎠ 4 10 ⎠ 22 ⎜ 3 ⎟ ⎝ 5 ⎝ 5 ⎝ ⎠1 ⎝ ⎠4 3
10 484 484 88 24 198 243 484 484 16 + − − + + − − + − 18 + 18 + 8 − = 3 15 30 5 5 5 10 15 30 3 6 134 243 −60 + 804 − 729 + 240 255 =− + − +8= = = 8,5. 3 5 10 30 30
=
б) у = х , у = 3 − 2 х , 4х − 5у − 21 = 0; 4 21 х = 3 − 2 х ; х = 1; х = х − ; 5 5 4 21 Легко увидеть, что х = 9; 3 − 2 х = х − ; 5 5 Легко увидеть, что х = 4; 9
4
(
)
9⎛ 4
S= ∫ xdx- ∫ 3-2 x dx- ∫ ⎜ 1 1 4⎝ 5
3 9 3 21 ⎞ 2 2 ⎛⎜ 4 xdx= x - 3x- x 2
⎟ 5⎠
3
1
⎜ ⎝
3
4
⎞ ⎛ 2x 2 21 ⎞ 9 ⎟ -⎜ - x⎟ = ⎟ ⎜⎝ 5 5 ⎟⎠ ⎠ 4 1
2 32 4 72 189 32 84 26 26 38 = 18 − − 12 + + 3 − − + + − =9+ −5= 4+ = 3 3 3 5 5 5 5 3 3 3 (в ответе задачника опечатка).
1298. а) f (x) = 4 x ; у = х – 2 ; f ' ( x ) = x 4
−
3 4
; у=
44
−
х0 + х0
3 4
(х − х 0 ) ;
3 − х0 4
= 1 ; х 0 = 1 ; у = 4 + х – 1 = х + 3. 1 1 1 3 б) f ( x ) = 3 ; у = 5 – 3х; f ' ( x ) = −3 4 ; y = 3 − 4 (x − x 0 ) ; x x x0 x0 −
3 = −3 ; x 0 = ±1 ; y = 1 − 3( x − 1) = −3x + 4 ; x 04
y = −1 − 3( x + 1) = −3x − 4 . 1299. а) y =
1 = x0 + 78
x М(0;1); y' = 1
2 x0
(− x 0 ) ; 1 =
1 2 x
; y=
x0 −
x0 +
1 2 x0
(x − x 0 ) ;
1 1 x0 ; x0 = 1 ; x0 = 4 ; 2 2
y = 2+
1 1 ( x − 4) ; y = x + 1 . 4 4 3
3
б) у = х 2 + 4 ; М(0;0); y' =
3 3 х ; y = х 02 + 4 + х 0 (x − x 0 ) ; 2 2
3 х 02
3
3 3 0= +4+ х 0 (− x 0 ) ; х 02 = 8 ; х 0 = 4 ; у = 8 + 4 + ⋅ 2( х − 4) ; 2 2 у = 3х − 12 + 12 ; у = 3х .
Глава 7. Показательная и логарифмическая функции § 45. Показательная функция, ее свойства и график 1300. а) 23 = 8 ; б) 2 − 2 = 3
1301. а) 2 2 = 2 2 ; б) 2 1
2
−
1 1 ; в) 25 = 32 ; г) 2 − 4 = . 4 16 1 2
1
1302. а) 3 3 < 3 3 ; б) 3 2 > 3 2
−
1 2
−
7 3
в)
3 55
г)
3 − 8 5
∨5
4 ∨ 57
− 1 2 ; в) 2 3 = 3 16 = 2 2; г) 2 3 = . 3 2 4 4
−
6 5
;
11 − ∨5 9
10
;
1304. а) 23 ⋅ 2 2 = 8 ⋅ 4 = 32 ;
в) 32 ⋅ 33 = 243 ; 1305. а) 25,3 ⋅ 2 −0,3 = 25 = 32 ;
−
3 2
.
12
515 < 515 ; 5
−
35 15
21 5 35
;
3
; в) 3 5 > 3 5 ; г) 31 > 3
4
1303. а) 5 3 ∨ 5 5 ;
б) 5
2
4
=
3 − 8 5
<5
−
18 15
>
20 5 35
>
11 − 5 9
−3
;
; . 2
⎛1⎞ ⋅⎜ ⎟ = 3; ⎝3⎠ 1 г) 5− 4 ⋅ 52 = . 25 ⎛1⎞ ⎝3⎠
б) ⎜ ⎟
б) 7
−
1 2
⋅ 7 3,5 = 7 3 = 343 ; 79
⎛3⎞ г) ⎜ ⎟ ⎝4⎠
в) 36,8 ⋅ 3−5,8 = 31 = 3 ; 1
1306. а) 4
в) 8
2
1 3
3,5
⎛1⎞ ⎝2⎠
: 43 = 4 2 = 2 ; 1
⎛2⎞ г) ⎜ ⎟ ⎝3⎠
⎛2⎞ :⎜ ⎟ ⎝3⎠
1⎞ ⎛ ⎜⎛ 3 ⎞3 ⎟ г) ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜⎝ 4 ⎠ ⎟ ⎠ ⎝
2
5
2, 4
⎛1⎞ :⎜ ⎟ ⎝2⎠
−2,3
−0, 6
3
27 ⎛3⎞ . =⎜ ⎟ = 64 ⎝4⎠ ⎛1⎞ =⎜ ⎟ ⎝2⎠
3
= 2 −1 =
−1
1
⎛ 4 ⎞3 =⎜ ⎟ = ⎝3⎠
1 ; 2
5
( ) :3
в) 3
1309. а)
4
5,1
8 ⋅2
2
⎛ ⎛ 2 ⎞ − 3 ⎞ ⎛ 2 ⎞5 3 г) ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ = ⎜⎝ 3 ⎠ ⎟ ⎝ 3 ⎠ 2 ⎝ ⎠
3
= 3 = 27 ;
0 ,5
1, 25
:2
=
3 1 5 + − 24 2 4
= 20 = 1 ;
б) 4 10000 ⋅ 100 : 103 = 10 −1 = 0,1 ; 4
в)
3
81 ⋅ 32,6 : 31,6 = 3 3
г)
4
16 ⋅ 3 128 : 23 = 2
+ 2,3 −1,6
7 1+ − 3 3
80
=3 2 ; б) 3х =
в) 3х = 27 , х = 3; 5, х=
= 93 3 ;
1 , х = –1; 3 1 г) 3х = , х = –4. 81
1310. а) 3х = 9 , х = 2;
1311. а) 5 х =
= 16 ;
8 ⎛2⎞ . =⎜ ⎟ = 27 ⎝3⎠
⎛ ⎛ 2 ⎞ 4,1 ⎞ ⎛ 2 ⎞ 20,6 ⎛ 2 ⎞ 20,5 − 20,6 3 б) ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ : ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ = 10 ; ⎜⎝ 3 ⎠ ⎟ ⎝ 3 ⎠ 2 ⎝3⎠ ⎝ ⎠ 2, 7 3
−4
⎛ ⎛ 1 ⎞ 2 ⎞ 2 ⎛ 1 ⎞1 1 б) ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ = ⎜ ⎟ = ; ⎜⎝ 7 ⎠ ⎟ 7 ⎝7⎠ ⎝ ⎠
⎛ 3⎞ в) ⎜ 3 2 ⎟ = 33 = 27 ; ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2
−6,3
−0, 7
1
6
⎛ 1⎞ 1307. а) ⎜ 2 3 ⎟ = 2 2 = 4 ; ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
( ) ⋅2
⎛3⎞ ⋅⎜ ⎟ ⎝4⎠
б) ⎜ ⎟
: 82 = 8 3 = 2 ;
1308. а) 2 − 3
3, 7
1 ; 2
⎛1⎞ ⎝3⎠
х
б) ⎜ ⎟ = 81 , х = –4;
3
4
3
3
.
в) 8 х = 5 8 , х =
1312. а) 23х = 128 , х =
в) 32 х =
х
16 ⎛4⎞ г) ⎜ ⎟ = , х = 2. 25 ⎝5⎠
1 ; 5 7 ; 3
1 3 , х=− ; 27 2
б) 63х = 216 , х = 1;
⎛1⎞ г) ⎜ ⎟ ⎝7⎠
5х
=
х 1313. а) у = 3 — показательная; г) у =
1314. а) у = 7 х , у(3) = 343; у(−1) =
1 3 , х= . 343 5
( 3)
х
— показательная.
1 ⎛1⎞ ; у⎜ ⎟ = 7 ; 7 ⎝2⎠
х
1 1 ⎛ 1⎞ ⎛1⎞ ⎛3⎞ б) у = ⎜ ⎟ , у⎜ ⎟ = ; у(1) = ; у⎜ − ⎟ = 2 ; 2 ⎝ 2⎠ ⎝2⎠ ⎝2⎠ 2 2
в) у =
( 3 ) , у(0) = 1; у(4) = 9; у(5) = 3 х
5 2
.
х
9 32 ⎛4⎞ ⎛ 3 ⎞ 27 г) у = ⎜ ⎟ , у⎜ − ⎟ = ; у(−1) = ; у(2,5) = . 4 243 ⎝9⎠ ⎝ 2⎠ 8 1315. а) 2 х = 16 , х = 4;
в) 2 х =
1 2 ⎛1⎞ ⎝5⎠
, х=− х
1316. а) ⎜ ⎟ =
⎛1⎞ ⎝5⎠
1 ; 2
б) 2 х = 8 2 , х =
г) 2 х =
1 32 2
7 ; 2
, х=−
11 . 2
1 , х = 2; 25
х
б) ⎜ ⎟ = 25 , х = –2; (опечатка в ответе задачника). х
5 1 ⎛1⎞ в) ⎜ ⎟ = , х= ; 2 25 5 ⎝5⎠
х
1 ⎛1⎞ г) ⎜ ⎟ = 625 5 , х = −4 − = −4,5 . 2 ⎝5⎠
1317. б) у = 18 х − ограничена снизу ; х
⎛4⎞ ⎟ − ограничена снизу. . ⎝ 11 ⎠
г) у = ⎜
1318. б) у = (0,6) х − не ограничена сверху;
в) у = (7, 2) х − не ограничена сверху. 81
1319.
а)
б) Y
Y y=
4-
( 2)
1–
X
|
|
-4 0
x
X
|
1
0
|
4
⎛1⎞ y=⎜ ⎟ ⎝n⎠
x
8
в)
г) Y
Y y=
2|
|
-2
( 7)
x
1–
X |
0
⎛ 1 ⎞ ⎟ y = ⎜⎜ ⎟ ⎝ 6⎠
x
X
|
1
0
|
2
1320.
а)
б) Y
Y
x
⎛1⎞ y=⎜ ⎟ ⎝ 2⎠
y=3x
1– X
y=8x
|
-1
|
|
в) ( y = ( 7) x ; y = 5x ; y = ( 8) x . Y
y=
( 8)
8–
x
x
⎛1⎞ y =⎜ ⎟ ⎝2⎠
4– 1 |
-2 0
⎛ 1 ⎞ ⎟⎟ y = ⎜⎜ ⎝ 2⎠
X -2
16, 2
⎛7⎞ б) ⎜ ⎟ ⎝9⎠
1322. а) 17
< (12,1) −
3 4
;
г) (0,65)
< 1 ; б) (9,1)
7
⎛5⎞ > 1 ; в) ⎜ ⎟ ⎝3⎠
Y
2– |
5
x
⎛1⎞ ⎜ ⎟ ; y= ⎝2⎠
x
x
2
3
( 8)
x
x
1321. а) (1,3) 34 < (1,3) 40 ;
в) (12,1)
x
⎛ 1 ⎞ ⎟ ; y= ⎝ 2⎠
⎛1⎞ y =⎜ ⎟ ⎝2⎠
X
|
2
г) y = ⎜
y=
y = ( 7)
|
0
2
−3
⎛7⎞ <⎜ ⎟ ; ⎝9⎠
− 2
−2,5
>
1 0,65 2
. 8
⎛1⎞ < 1 ; г) ⎜ ⎟ < 1 . ⎝2⎠
х х
1323. а) у = ( 3 ) = 3 2 — возрастает на R, т.к.
82
x
X
|
-2 0
1
0
⎛3⎞ y=⎜ ⎟ ⎝4⎠
2–
3 >1.
x
⎛1⎞ ⎜ ⎟ . ⎝8⎠
б) y = (0,3) x — убывает на R, т.к. 0,3 < 1. в) у = 21х — возрастает на R, т.к. 21 > 1. х
⎛ 4 ⎞ ⎟⎟ — убывает на R, т.к. г) у = ⎜⎜ ⎝ 19 ⎠ ⎛1⎞ ⎝2⎠
4 19
х
<1.
1324. а) у = 2 − = ⎜ ⎟ — убывает на R, т.к. х
⎛2⎞ б) y = ⎜ ⎟ ⎝9⎠
−x
1 < 1. 2
x
9 ⎛9⎞ = ⎜ ⎟ — возрастает на R, т.к. > 1 . 2 ⎝2⎠ x
1 ⎛ 1⎞ в) y = 17 − x = ⎜ ⎟ — убывает на R, т.к. < 1. 17 ⎝ 17 ⎠ ⎛1⎞ г) y = ⎜ ⎟ ⎝ 13 ⎠
−x
= 13x — возрастает на R, т.к. 13 > 1. х
х
x
1 1 1 ⎛1⎞ б) ⎜ ⎟ > , x > 3 , х < 3; 2 8 2 2 ⎝ ⎠
3
1325. а) 4 ≤ 64 , 4 ≤ 4 , х ≤ 3 ; х
8 ⎛ 2 ⎞ x ⎛ 2 ⎞3 ⎛2⎞ г) ⎜ ⎟ < , ⎜ ⎟ < ⎜ ⎟ , х > 3. 27 ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝3⎠
х
в) 5 ≥ 25 , х ≥ 2 ; x
⎛1⎞ ⎝3⎠ 1 б) 15 x < ; 15x < 15−2 ; x < −2 . 225
1326. а) ⎜ ⎟ ≥ 81 ; 3− x ≥ 34 ; x ≤ −4 .
x
243 ⎛2⎞ ; в) ⎜ ⎟ ≤ 8 ⎝7⎠ 1 ; 2x г) 2 x > 256
x
−3
⎛2⎞ ⎛2⎞ ⎜ ⎟ ≤ ⎜ ⎟ ; x ≥ −3 . ⎝7⎠ ⎝7⎠ > 2−3 ; x > −8 .
1327. а) y = 2 x ; [1;4]; у max = 2 4 = 16 ; у min = 21 = 2 .
⎛1⎞ б) y = ⎜ ⎟ ⎝3⎠
x
x
⎛1⎞ [-4;-2]; у max = ⎜ ⎟ ⎝3⎠ 0
−4
⎛1⎞ = 81 ; у min = ⎜ ⎟ ⎝3⎠
−2
=9.
4
1 ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞ в) y = ⎜ ⎟ [0;4]; у max = ⎜ ⎟ = 1 ; у min = ⎜ ⎟ = . 81 ⎝3⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ г) y = 2 x ; [-4;2]; у max = 2 2 = 4 ; у min = 2−4 = 1/16 . 83
1328. а) y =
( 2 ) ; (−∞;4] ; у x
max
=
( 2)
4
= 4 ; у min
не существует .
б) y = (1/ 3 ) ; (−∞;2] ; у max не существует ; у min = 1/ 3 . x
в) y =
( 5 ) ; [0;+∞) ; у 3
x
max
не существует ; у min =
г) y = (1/ 7 ) ; [−2;+∞) ; у max = (1/ 7 ) x
−2
( 5) 3
= 7 ; у min
0
=1.
не существует .
х 1329. у = 2 ; 2 х = 32; х = 5; 2 х = 1/ 2; х = −1; x ∈[-1;5].
х
х
х
1330. у = (1/ 3) ; (1/ 3) = 81; х = −4; (1/ 3) = 1/ 27; х = 3; x ∈[-4;3]. 1331. а) у = 4х
в) у = ( 3/ 8)− х
2
2
−1
, х ∈ R;
б) у = 71/ х , х ≠ 0;
+2
, х ∈ R;
г) у = (9,1) х −1 ; х ≠ 1.
1
х
х 1332. а) у = 2 + 1 ;
б) у = (1/ 3) − 2 ;
в) у = 4 х − 1
г) у = (0,1) + 2
84
х
1333.
а) у = 5 х +1
⎛3⎞ ⎝4⎠
х −2
б) у = ⎜ ⎟
в) у = 3х − 2
г) у = ( 2 / 3)
х + 0,5
1334.
а) 3х = 4 − х, x = 1;
х
б) (1/ 2 ) = х + 3, х = −1;
85
в) 5х = 6 − х, х = 1;
х
г) (1/ 7 ) = х + 8, х = −1;
1335.
а) 2 х = −2х + 8, х = 2;
86
б) (1/ 3) = х + 11, х = −2; х
в) 3х = − х + 1, х = 0;
г) 0, 2х = х + 6, х = −1;
1336. а) у = 3х , у = − х + 1; 3х > − х + 1 ; х > 0.
y=-x+1
б) у = ( 0,5 ) , у = 2х + 1; х
y=3x
(0,5)х > 2х + 1 ; х < 0. y=0,5x
y=2x+1
в) у = 5х , у = −2х + 1; 5 х > −2 х + 1 ; х > 0.
y=-2x+1
х
y=5x
х
г) у = (1/ 3) , у = х + 1; (1/ 3) > х + 1 ; х < 0.
87
⎛1⎞ y=⎜ ⎟ ⎝3⎠
x
y=x+1
1337. а) у = 2 х ; у = х − 2 ; х ∈ R .
б) у = ( 2 / 5 ) ; у = − х − 3 ; ( 2 / 5 ) > − х − 3 ; х ∈ R . х
х
⎛2⎞ y=⎜ ⎟ ⎝5⎠
y=-x-3
в) у =
( 2) ; у = х − 4 ; ( 2) х
х
x
> ( x − 4) ; х ∈ R . y=
( 2)
x
y=x-4 х
х
г) у = ( 3/ 7 ) ; у = − х − 2 ; ( 3/ 7 ) > − х − 2 ; х ∈ R .
⎛3⎞ y=⎜ ⎟ ⎝7⎠
y=-x-2
x
1338. а) у = 2 х ; у = −(3/ 2)х − 1 ; 2 х < −(3/ 2)х − 1 ; х < −1 . х
х
б) у = (1/ 2 ) ; у = − х − 2 ; (1/ 2 ) < − х − 2 ; нет решений. х
х
в) у = (1/ 5 ) ; у = 3х + 1 ; (1/ 5 ) < 3x + 1 ; х > 0 . г) у = 3х ; у = −2 х − 5 ; 3х < −2 х + 5 ; х < 1 . ⎪⎧2 x , x ≥ 0 1339. f (x) = ⎨ ⎪⎩3x + 1, x < 0
88
а) f (−3) = −3 ⋅ 3 + 1 = −8 ; f (−2,5) = −
13 ; f (0) = 1 ; f (2) = 4 ; 2
f (3,5) = 8 2
⎧⎪4 x , x <1 1340. f (x) = ⎨ 2 ⎪⎩− x + 1 , x ≥ 1
а) f (−3) =
1 1 ; f (−2,5) = ; f (0) = 1 ; f (1) = 0 ; f (2) = −3 . 64 32
89
⎧⎛ 1 ⎞ x ,x<0 ⎪ f (x) = ⎨⎝⎜ 2 ⎟⎠ 1341. ⎪ ⎩ х + 1, x ≥ 0
а) f (−5) = 32 ; f (−2,5) = 32 ; f (0) = 1 ; f (4) = 3 ; f (1,69) = 2,3 . ⎧⎛ 1 ⎞ x ⎪ 1342. f (x) = ⎨⎜⎝ 4 ⎟⎠ , x ≤ 0 ⎪сos x, x > 0 ⎩
2 ⎛π⎞ ; ⎟= 2 ⎝4⎠
а) f (−3) = 64 ; f (−2) = 16 ; f (−1,5) = 8 ; f (0) = 1 ; f ⎜
⎛ 3π ⎞ f⎜ ⎟ = 0. ⎝ 2 ⎠ 1343. а) 2 −
1 2
; 1; 2 3 ; 21,4 ; 2
1
1
б) 0,39 ; 0,3 2 ; 0,3 3 ; 0,3−
5
2
; 21,5 .
; 0,3− 9 .
1344. а) у = −3 ⋅ 12 х ; убывает на R.
90
б) у =
1
; возрастает на R.
0,5 х + 1
х
⎛3⎞ ⎝4⎠ 3 г) у = − ; возрастает на R. 4 + 2х
в) у = −9 ⋅ ⎜ ⎟ ; возрастает на R.
1345. а) у = 3х −1 + 8; [ − 3;1]; y max = 31−1 + 8 = 9; y min = 3− 3 −1 + 8 = 8 х
⎛3⎞ ⎛ 3⎞ б) у = 5 ⋅ ⎜ ⎟ + 4; [ − 1;2]; y max = 5 ⋅ ⎜ ⎟ 5 ⎝ ⎠ ⎝5⎠
−1
+4=
1 . 81
25 37 +4= ; 3 3
2
9 29 ⎛3⎞ . y min = 5 ⋅ ⎜ ⎟ + 4 = + 4 = 5 5 ⎝5⎠ 2−2 + 9 = 10 ; y min = 7 − 2 + 9 = 9 в) у = 7 х − 2 + 9; [0;2]; y max = 7 х
⎛1⎞ ⎛1⎞ г) у = 4 ⋅ ⎜ ⎟ + 13; [ − 2;3]; y max = 4 ⋅ ⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎝2⎠
1 . 49
−2
+ 13 = 29 ;
3
1 ⎛1⎞ y min = 4 ⋅ ⎜ ⎟ + 13 = 13 . 2 2 ⎝ ⎠ 1346. а) у =
в) у =
х х
3 −9
1 х
2 −1
, 2 х ≠ 1, х ≠ 0.
, 3х ≠ 9, х ≠ 2.
х+2
, 0,5х ≠ 2, х ≠ −1. 0,5х − 2 2х + 1 , 3-х ≠ 27, х ≠ −3. г) у = (1/ 3)х − 27 б) у =
1347. а) у = 3 ⋅ 2 х ; у ∈ (0;+∞) .
б) у = 14 ⋅ (1/ 2 ) ; у ∈ (0;+∞) .
в) у = (1/ 2) ⋅ 7 х ; у ∈ (0;+∞) .
г) у = 4 / 3 ⋅ (1/ 2 ) ; у ∈ (0;+∞) .
1348. а) у = 3х + 1 ; у ∈ (1;+∞) ;
б) у = ( 7 / 9 ) + 6 ; у ∈ (6;+∞) .
в) у = 17 х − 2 ; у ∈ (−2;+∞) .
г) у = ( 2 / 5 ) − 8 ; у ∈ (−8; +∞) .
⎧4 х , ⎪ 1349. а) у = ⎨cos x , ⎪x − π − 1, ⎩
⎧ ⎪sin x, ⎪ π ⎪ б) у = ⎨ x + − 1, 2 ⎪ ⎪(1/ 3) x , ⎪ ⎩
х<0 0≤ x < π; x≥π
х
х
х
х
х≤− −
π 2
π <x≤0 2
x>0 91
1350) а) 2 х − 1 =
х
б) (1/ 4 ) = х + 1 , х = 0;
х , х = 1, x = 0;
г) (1/ 3) = 1 − х , х = 0; х
в) 3х − 1 = − х ; х = 0;
1351. а) 2 х = 2 / х , х = 1;
92
б) (1/ 4 ) = −(4 / х) , х = –1; х
в) 5х = 5/ х , х = 1;
1352. а) 3х ≥ 4 − х , х ≥ 1;
х
г) (1/ 8 ) = −(8/ х) ; х = –1;
б) (1/ 2 ) ≤ х + 3 , х ≥ –1; х
93
в) 5 х < 6 − x , х < 1;
1353. а) 2 х < −2х + 8, х < 2;
94
г) (1/ 7 ) > x + 8 , х < –1; х
⎛1⎞ ⎝3⎠
х
б) ⎜ ⎟ ≥ х + 11 ; х ≤ –2;
в) 3х ≥ − x + 1 , х ≥ 0;
г) 0,2 х < x + 6 ; х > –1;
95
1354. а) 2 х ≥ 2 / х , х ∈ (−∞;0) ∪ [1;+∞) ;
в) 5х ≤ 5 / х , х ∈ (0;1] ;
96
б) (1/ 4 ) < −4 / х , х ∈ (−1;0) ; х
г) (1/ 8 ) > −(8/ х) ; х ∈ (−∞;−1) ∪ (0;+∞) ; х
б) y = (1/ 3)
|x|
1355. а) y = 2| x |
в) y = 4| x |
г) y = 0,2| x |
x 1356. f ( x ) = 2 ;
а) f ( x1 )f ( x 2 ) = 2
x1
⋅ 2 x 2 = 2 x 1 + x 2 = f ( x1 + x 2 ) ;
б) f ( x + 1)f (2 x ) = 2 x +12 2 x = 2 ⋅ 23x = 2f 3 ( x ) ; 97
в) f (−2 x ) = 2 − 2 x = г) f (cos 2 x) = 2cos
2
1 1 ; = 2 2x 2 f (x) 1
x
= 22
(1+ cos 2x)
⎛ 1 cos 2x ⎞ ⎟ = 2f (cos 2x) ; = 2 ⎜ 22 ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
§ 46. Показательные уравнения 1357. а) 3х = 9 ; х = 2.
⎛1⎞ ⎝9⎠
б) 2 х = 16 ; х = 4.
х
г) 0,5 х = 0,125 ; х = 3.
в) ⎜ ⎟ = 1 ; х = 0; 1358. а) 4 х =
⎛1⎞ ⎝6⎠
1 ; х = –2. 16
б) 7 х =
х
г) 0,2 х = 0,00032 ; х = 5.
в) ⎜ ⎟ = 36 ; х = –2. 1359. а) 10 х = 4 1000 ; х =
1 ; х = –3. 343
3 2 1 . б) 5 х = ;х= − . 3 4 3 25 ⎛1⎞ ⎝5⎠
х
в) 0,3х = 4 0,0081 = 0,3 ; х = 1. г) ⎜ ⎟ = 25 5 ; х = –2,5. 1360. а) 0,3х =
в) 0,7 х =
1000 ; х = –3. 27
1000 ; х = –3. 343
⎛4⎞ ⎝5⎠
х
б) ⎜ ⎟ =
⎛3⎞ ⎝2⎠
х
г) ⎜ ⎟ =
25 ; х = –2. 16 16 ; х = –4. 81
1361. а) 2 х +1 = 4 ; х + 1 = 2; х = 1.
б) 53х −1 = 0,2 ; 3х – 1 = –1; х = 0.
в) 0,4 4 − 5 х = 0,16 0,4 ; 4 – 5х = 2 +
1 ; х = 0,3. 2
⎛1⎞ ⎝2⎠
2− х
=8 2 ; 2 – х = −3−
г) ⎜ ⎟
⎛1⎞ =⎜ ⎟ ; х + 1 = 2х + 3; х = –2. ⎝3⎠ = 216 х ; 2х – 8 = 3х; х = –8.
1362. а) 3
б) 6 2 х − 8
98
2х + 3
1 ; х = 5,5. 2
−1− х
⎛1⎞ ⎝6⎠
4х −7
= 6 х − 3 ; 7 – 4х = х – 3; х = 2.
в) ⎜ ⎟
⎛2⎞ ⎝3⎠
8 х +1
= (1,5) 2 х − 3 ; 8х + 1 = 3 – 2х; х =
г) ⎜ ⎟ 1363. а) 3х
− 4,5
⋅ 3=
2 1 ; 3х − 4 = 3−3 ; х 2 = 1 ; х = ±1 . 27
2
⋅ 0,5 = 32 ; 0,5 х − 5 = 0,5−5 ; х 2 − 5 = −5 ; х = 0. 2 2 1 ; 2 х − 8 = 2 −7 ; х 2 = 1 ; х = ±1 . 2 −1 ⋅ 2 х − 7,5 = 128
б) 0,5 х в)
2
2
1 . 5
г) 0,1х
2
− 5, 5
− 0 ,5
2
⋅ 0,1 = 0,001 ; (0,1) х = (0,1)3 ; х = ± 3 .
х⎛
3⎞ ⎝2⎠
х
1364. а) 2 ⎜ ⎟ =
1 х 1 ; 3 = ; х = –2. 9 9 3
х
х
27 ⎛ 3 ⎞ 3 ⎛1⎞ ⎛ 3⎞2 б) ⎜ ⎟ 3 х = ; ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ;х= . 125 ⎝ 5 ⎠ 2 ⎝5⎠ ⎝5⎠ х х −3 х 3 в) 5 ⋅ 2 = 0,1 ; 10 = 10 ; х = 3. 2
г) 0,3х ⋅ 3х = 3 0,81 ; 0,9 х = 0,9 3 ; х =
2 3.
1365. а) 3х − 3х + 3 = −78 ; 3х (1 − 27) = −78 ; 3х = 3, x = 1 . 2х −3 2 (5 − 1) = 4,8 ; 2х − 3 = −1, х = 1 . б) 5 2 х −1 − 5 2 х − 3 = 4,8 ; 5
⎛1⎞ ⎝7⎠
3х + 7
в) 2 ⋅ ⎜ ⎟
⎛1⎞ ⎝3⎠
г) ⎜ ⎟
5 х −1
⎛1⎞ − 7⋅⎜ ⎟ ⎝7⎠
⎛1⎞ +⎜ ⎟ ⎝3⎠
5х
=
3х + 8
⎛1⎞ = 49; ⎜ ⎟ ⎝7⎠
4 ⎛1⎞ ; ⎜ ⎟ 9 ⎝3⎠
5 х −1
3х + 7
(2 − 1) = 49; 3х + 7 = −2, х = −3
⎛ 1⎞ 4 ⎜1 + ⎟ = ; 5х − 1 = 1, х = 0, 4 . ⎝ 3⎠ 9
99
⎡ 2x = 4 ⎡ x = 2 1366. а) 2 2 х − 6 ⋅ 2 х + 8 = 0 ; ⎢ ;⎢ . ⎢⎣ 2 x = 2 ⎣ x = 1 ⎡3x = 9 ⎡ x = 2 ; ⎢ . б) 32 х − 6 ⋅ 3х − 27 = 0 ; ⎢ ⎢⎣3x = −3 ⎣не подходит ⎛1⎞ в) ⎜ ⎟ ⎝6⎠
2x
⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞ − 5 ⋅ ⎜ ⎟ − 6 = 0; ⎜ ⎟ = 6, ⎜ ⎟ = −1; х = −1, не подходит. ⎝6⎠ ⎝6⎠ ⎝6⎠
2х
⎛1⎞ + 5⋅⎜ ⎟ − 6 = 0 ; ⎝6⎠
⎛1⎞ ⎝6⎠
г) ⎜ ⎟
x
х
х
х
х
х
⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ = −6, ⎜ ⎟ = 1; не подходит х = 0 6 ⎝ ⎠ ⎝6⎠
1367. а) 2 ⋅ 4 х − 5 ⋅ 2 х + 2 = 0 ; 2 ⋅ 22х − 5 ⋅ 2 х + 2 = 0 ; 2 х =
х = −1, х = 1.
5−3 1 х = , 2 = 2; 4 2
б) 3 ⋅ 9 х − 10 ⋅ 3х + 3 = 0 ; 3 ⋅ 32 х − 10 ⋅ 3х + 3 = 0 ; 10 − 8 1 х = ; 3 = 3; х = −1, х = 1. 3х = 6 3 х
х
⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎟ + 15 ⋅ ⎜ ⎟ − 4 = 0 ; 4 ⋅ ⎜ ⎟ ⎝4⎠ ⎝ 16 ⎠ ⎝4⎠
2х
х
⎛1⎞ + 15 ⋅ ⎜ ⎟ − 4 = 0 ; ⎝4⎠
в) 4 ⋅ ⎜ х
−15 − 17 ⎛1⎞ ; ⎜ ⎟ = 4 8 ⎝ ⎠
х
1 ⎛1⎞ ⎜ ⎟ = ; не подходит, x = 1. 4 4 ⎝ ⎠
г) (0,25) + 1,5 ⋅ (0,5) − 1 = 0 ; (0,5) х
( 0,5 )х =
х
2х
−1,5 − 2,5 ; не подходит; 2 х
+ 1,5 ⋅ (0,5)х − 1 = 0 ;
( 0,5)х =
1 , х = 1. 2
х
⎛ 1⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎟ − 17 ⋅ ⎜ ⎟ + 4 = 0 ; 4 ⋅ ⎜ ⎟ 16 4 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝4⎠
1368. а) 4 ⋅ ⎜ х
2х
х
⎛1⎞ − 17 ⋅ ⎜ ⎟ + 4 = 0 ; ⎝4⎠
х
17 − 15 1 ⎛1⎞ ⎛1⎞ = ; х = 1; ⎜ ⎟ = 4 ; х = –1. ⎜ ⎟ = 8 4 ⎝4⎠ ⎝4⎠
б) (0,01) + 9,9 ⋅ (0,1) − 1 = 0 ; (0,1) х
( 0,1)х =
х
2х
+ 9,9 ⋅ (0,1)х − 1 = 0
−9,9 − 10,1 −9,9 + 10,1 1 х ; не подходит; ( 0,1) = = ; х = 1. 2 2 10
⎛4⎞ ⎝9⎠
х
⎛2⎞ ⎝3⎠
х
⎛2⎞ ⎝3⎠
в) 3 ⋅ ⎜ ⎟ + 7 ⋅ ⎜ ⎟ − 6 = 0 ; 3 ⋅ ⎜ ⎟ х
2х
х
⎛2⎞ + 7⋅⎜ ⎟ − 6 = 0 ; ⎝3⎠
х − 7 + 11 2 −7 − 11 ⎛2⎞ ⎛2⎞ = ; х = 1. ; не подходит; ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ = 6 6 3 ⎝3⎠ ⎝3⎠
100
х
х
⎛ 4 ⎞ ⎛2⎞ ⎟ + 23 ⋅ ⎜ ⎟ − 10 = 0 ; ⎝ 25 ⎠ ⎝5⎠
г) 5 ⋅ ⎜
х
−23 − 27 ⎛2⎞ ; не подходит; ⎜ ⎟ = 10 ⎝5⎠
х
2 ⎛2⎞ ⎜ ⎟ = ; х = 1. 5 ⎝5⎠ 1369. а) 2 2 х +1 − 5 ⋅ 2 х − 88 = 0 ; 2 ⋅ 2 2 х − 5 ⋅ 2 х − 88 = 0 ; 5 − 27 5 + 27 2х = ; не подходит; 2 х = = 8; х = 3. 4 4
⎛1⎞ ⎝2⎠
2х
б) ⎜ ⎟
⎛1⎞ −⎜ ⎟ ⎝2⎠
х −2
⎛1⎞ − 32 = 0 ; ⎜ ⎟ ⎝2⎠
2х
х
⎛1⎞ − 4 ⋅ ⎜ ⎟ − 32 = 0 ; ⎝2⎠
х
х
⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ = −4; не подходит; ⎜ ⎟ = 8 ; х = –3. 2 ⎝ ⎠ ⎝2⎠ в) 5 2 х +1 − 26 ⋅ 5 х + 5 = 0 ; 5 ⋅ 5 2 х − 26 ⋅ 5 х + 5 = 0 ; 13 − 12 1 = ; х = −1; 5х = 5; х = 1. 5х = 5 5
⎛1⎞ г) ⎜ ⎟ ⎝3⎠
2х
⎛1⎞ +⎜ ⎟ ⎝3⎠
х −2
⎛1⎞ − 162 = 0 ; ⎜ ⎟ ⎝3⎠
2х
х
⎛1⎞ + 9 ⋅ ⎜ ⎟ − 162 = 0 ; ⎝3⎠
х
х − 9 + 27 −9 − 27 ⎛1⎞ ⎛1⎞ = 9 ; х = –2. ; не подходит; ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ = 3 2 3 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ х
⎛2⎞ 1370. а) 2 х = 3х ; ⎜ ⎟ = 1; х = 0 . ⎝3⎠ ⎛5⎞ б) 25 х = 7 2 х ; ⎜ ⎟ ⎝7⎠ в) (1/ 3)
2х
2х
= 1; х = 0.
= 8х ; 72х = 1; х = 0.
х
х
х
⎛1⎞ ⎛5⎞ ⎛1⎞ г) ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ; ⎜ ⎟ = 1; х = 0 . ⎝4⎠ ⎝5⎠ ⎝4⎠ 1371. а) 3х = − х − (2 / 3) ; х = −1 ;
х
б) (1/ 2 ) = 4х + 6 ; х = −1 ;
Y
Y y=3x
2– |
-2
|
0
|
2
y = −x −
X 2 3
6– y=4x+6 x – ⎛1⎞ – y = ⎜⎝ 2 ⎟⎠ X -2 0 2 |
|
|
101
х
г) (1/ 4 ) = 3х + 1 ; х = 0 ;
в) 5 х = − х + 6 ; х = 1 ; Y
Y
y=5x
6–
X 6
|
|
|
-2 0
⎛1⎞ ⎝2⎠
y=3x+1
6– – –
y=-x+6
⎛1⎞ y=⎜ ⎟ ⎝4⎠
|
x
X
|
-2 0
2
х
1372. а) ⎜ ⎟ = 0,5х + 5 ; х = −2 ; б) 3х = − х + 4 ; х = 1 ; Y
Y y=
6– – –
1 x+5 2
⎛1⎞ y=⎜ ⎟ ⎝2⎠
|
⎛1⎞ ⎝7⎠
y=-x+4 X
|
х
х
г) 3 2 = −0,5х + 4 ; х = 2 ;
Y y=2x+9 – – – 6– – y = ⎛⎜ 1 ⎞⎟ x – ⎝7⎠ X -2 0 2 |
X 4
|
-2 0
2
в) ⎜ ⎟ = 2 х + 9 ; х = −1 ;
|
y=3x
x
|
-2 0
4–
|
Y y = 3x / 2
– 4– – |
|
⎛2⎞ ⎝3⎠
х
2х
1 x+4 2
|
-2 0
1373. а) 3 ⋅ 2 2 х + 6 х − 2 ⋅ 32 х = 0 ; 3 ⋅ ⎜ ⎟
y=−
2
х
⎛2⎞ +⎜ ⎟ −2 = 0; ⎝3⎠
х
−1 − 5 2 ⎛2⎞ ⎛2⎞ ; не подходит; ⎜ ⎟ = ; х = 1. ⎜ ⎟ = 6 3 ⎝3⎠ ⎝3⎠
⎛2⎞ ⎝5⎠
б) 2 ⋅ 2 2 х − 3 ⋅ 10 х − 5 ⋅ 5 2 х = 0 ; 2 ⋅ ⎜ ⎟ х
2х
х
⎛2⎞ − 3⋅⎜ ⎟ − 5 = 0 ; ⎝5⎠
х
3−7 3+ 7 ⎛2⎞ ⎛2⎞ ; не подходит; ⎜ ⎟ = ; х = −1. ⎜ ⎟ = 4 4 ⎝5⎠ ⎝5⎠ в) 3
2 х +1 х
х
− 4 ⋅ 21 − 7 ⋅ 7
2х
⎛3⎞ = 0 ; 3⋅⎜ ⎟ ⎝7⎠ х
2х
х
⎛3⎞ − 4⋅⎜ ⎟ − 7 = 0 ; ⎝7⎠
4 − 10 4 + 10 7 ⎛3⎞ ⎛3⎞ ; не подходит ; ⎜ ⎟ = = ; х = −1 . ⎜ ⎟ = 6 6 3 ⎝7⎠ ⎝7⎠ 102
X
⎛3⎞ ⎝5⎠
г) 5 ⋅ 32 х + 7 ⋅ 15 х − 6 ⋅ 25 2 х = 0 ; 5 ⋅ ⎜ ⎟ х
2х
х
⎛3⎞ + 7⋅⎜ ⎟ − 6 = 0 ; ⎝5⎠
х
−7 − 13 −7 + 13 ⎛3⎞ ⎛3⎞ ; не подходит; ⎜ ⎟ = ; х = 1. ⎜ ⎟ = 5 10 5 10 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎧⎪2 х + у = 16 ⎧х + у = 4 ; ⎨ ; ⎪⎩3у = 27 х ⎩ у = 3х
1374. а) ⎨
⎧х = 1 . ⎨ ⎩у = 3
⎧⎪0,53х ⋅ 0,5 у = 0,5 ⎧3х + у = 1 ; ⎨ ; ⎪⎩23х ⋅ 2 − у = 32 ⎩3х − у = 5
б) ⎨
⎧х = 1 . ⎨ ⎩ у = −2
⎧⎪52 х − у = 125 ⎧2 х − у = 3 ⎧х = 2 ; ⎨ ; ⎨ . ⎪⎩4 х − у = 4 ⎩х − у = 1 ⎩ у = 1
в) ⎨
⎧⎪0,6 х + у ⋅ 0,6 х = 0,6
г) ⎨
х
у
⎪⎩10 ⋅ 10 = (0,01)
−1
⎧у + 2х = 1 ; ⎩х + у = 2
; ⎨
⎧х = −1 . ⎨ ⎩у = 3
⎧⎪ 3 х + 2 у = 3 ⋅ 27 ⎧х + 2 у = 4 ⎧ у = 1 ; ⎨ ; ⎨ . ⎩3у − х = 1 ⎩х = 2 ⎪⎩0,1х ⋅ 103у = 10 1 ⎧ ⎧27 у ⋅ 3х = 1 у= 3у + х = 0 ⎪⎪ ⎪ ⎧ 5 б) ⎨⎛ 1 ⎞ х ; ⎨ ; ⎨ . у 2 у − х = 1 ⎪⎜ ⎟ ⋅ 4 = 2 ⎩ ⎪х = − 3 ⎪⎩ ⎩⎝ 2 ⎠ 5 2х + у 1 ⎧ = ⋅ 5 ⎪ 5 5 ⎧2х + у = 0 ⎧х = −1 ⎪ в) ⎨ ; ⎨ ; ⎨ . х ⎩у − х = 3 ⎩у = 2 ⎪⎛ 1 ⎞ ⋅ 5 у = 125 ⎪⎜⎝ 5 ⎟⎠ ⎩ 11 ⎧ ⎧5 у ⋅ 25 х = 625 х= у + 2х = 4 ⎪⎪ ⎪ ⎧ 5 г) ⎨⎛ 1 ⎞ х . 1 ; ⎨2 у − х = −3 ; ⎨ у ⎩ ⎪⎜ ⎟ ⋅ 9 = ⎪у = − 2 27 ⎪⎩ ⎩⎝ 3 ⎠ 5 1375. а) ⎨
( )
( 12 ) ⋅ ( 3 ) = 16 ; 6 = 16 ; х = −1. 5 б) ( 3 ) ⋅ ( 9 ) = 243 ; 3 = 243; х = . 2 х
1376. а) 3
2х
3
х
2х
х
2х
103
3 3
3х 2 − 3
2
− х ⎛ 10 ⎞ ⎛ 9 ⎞2 2 ⎟ 1377. а) ⎜ = 0,81− 2 х ; ⎜ ⎟ = 0,9 − 4 х ; 3х 2 − 8х − 3 = 0 ; ⎜ 3 ⎟ 10 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 4+5 1 х= =3; х =− . 3 3 х2 +4
⎛4 2⎞ ⎟ б) ⎜ = 20,25 х +1 ; ⎜ 3⎟ ⎝ ⎠ х = 6 ; х = −2 .
⎛9⎞ ⎜ ⎟ ⎝2⎠
−1−
х2 4
625 ⋅ 514 х − 9 = 6 125 ⋅ 56 х −12 ; 5
1378. а)
2х −
1 3
3
− 3х + 6
0,2 ⋅ 0,2 = 0,04 ; 5 1 23 х + = −2х + 4 ; х = =1 . 18 6 18
б)
= 4,52 х + 2 ; х 2 + 8х + 12 = 0 ;
3
х −1
1379. а) 27
= 9 х +1 ; 33
х −1
7х −
1 1 х− + 0,2 6 3
5 2
=5
х−
3 2
1 ; 6х = 1; х = . 6
= 0,2 − 2 х + 4 ;
= 3 х +1 ; 3 х − 1 = х + 1 ;
9х − 9 = х 2 + 1 + 2х ; х 2 − 7 х + 10 = 0 ; х = 5; х = 2. б) 2
13 − х 2
= 2 ⋅ 32 ; 13 − х 2 = 3 ; 13 − х 2 = 9 ; х 2 = 4 ; х = ±2 . х +1
⎛1⎞ = 243 ; х − х + 1 = 5 ; х ≥ 5 ; х 2 − 10х + 25 = х + 1 ; ⎝3⎠ х 2 − 11х + 24 = 0 ; х = 3 не подходит; х = 8.
в) 3х ⎜ ⎟
г) ⎛⎜ 0,1
⎝
х +1 ⎞
⎟ ⎠
х +6
=
1 ; х ≥ −1 ; 10 6
( х + 1)( х + 6) = 6 ; х 2 + 7 х − 30 = 0 ;
х = –10 не подходит; х = 3. 1380. а) 3х ⋅ 7 х + 2 = 49 ⋅ 4 х ; 21х = 4 х , х = 0.
б) 2 х +1 ⋅ 5 х + 3 = 250 ⋅ 9 х ; 2 ⋅ 125 ⋅ 10 х = 250 ⋅ 9 х ; х = 0 . х
4
⎛2⎞ ⎛2⎞ 1381. а) 6 2 х + 4 = 28 + х ⋅ 33х ; 64 ⋅ 2 х ⋅ 3− х = 28 ; ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ; х = 4 ⎝3⎠ ⎝3⎠ х
х
2
⎛5⎞ ⎛5⎞ ⎛5⎞ б) 354 х + 2 = 53х + 4 ⋅ 7 5 х ; 352 ⋅ ⎜ ⎟ = 54 ; ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ; х = 2. ⎝7⎠ ⎝7⎠ ⎝7⎠ ⎛2⎞ 1382. а) 2 4 х + 2 ⋅ 5−3х −1 = 6,25 ⋅ 2 х +1 ; ⎜ ⎟ ⎝5⎠ 104
3х
⋅ 22 ⋅ 5−1 = 2 ⋅ 6, 25;
⎛2⎞ ⎜ ⎟ ⎝5⎠
3х
=
5 ⋅ 6, 25 ; (0,4) 3х = 0,064 −1 ; 3х = −3; х = −1. 2
б) 35 х −1 ⋅ 7 2 х − 2 = 33х +1 ; 3−1 ⋅ 7 −2 ⋅
(
1383. а) 4 5 − 2
)
х −12
35х 33х
⎛ 2 ⎞ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎝ 5 +2⎠
⋅ 7 2х = 3; 212х = 9 ⋅ 49; 2х = 2; х = 1.
х −12
(
; 4 5 −2
)
х −12
((
= 2 5 −2
))
х −12
;
4 = 2 х −12 ; х = 14 (в ответе задачника опечатка).
(
б) 9 3 − 8
)
2 х +1
⎛ 3 ⎞ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎝3+ 8 ⎠
9 = 32х +1; 2х + 1 = 2; х =
2 х +1
(
; 9 3− 8
)
2 х +1
((
= 33− 8
))
2 х +1
;
1 (в ответе задачника опечатка). 2
3− х
1 1 1 1 ⎛1⎞ = + 207 ; ⋅ 3х − 3х ⋅ = 9х ⋅ + 207 ; −⎜ ⎟ 4−х 3 27 81 9 ⎝3⎠ х х х х 27 ⋅ 3 − 3 ⋅ 3 = 3 + 207 ⋅ 81 ; 3 = 9 ⋅ 81; х = 6. 1 4 б) 16 х +1 + 188 = 8 ⋅ 2 х − 0,53 − х ; 2 ⋅ 2 х + 188 = 8 ⋅ 2 х − ⋅ 2 х ; 8 16 ⋅ 2 х + 188 ⋅ 8 = 64 ⋅ 2 х − 2 х ; 2х = 4 ⋅ 8; х = 5.
1384. а) 3
х −1
1385. а) 24 ⋅ 32 х
2
− 3х − 2
2 х 2 − 3х − 2
− 2 ⋅ 32 х
2
2
− 3х
(24 − 2 ⋅ 3 + 3) = 9 ; 3 3+5 1 х= =2; х=− . 4 2
3
б) 5 ⋅ 2 х
2
+ 5х + 7
+ 2х
2
+ 5х + 9
− 2х
2
+ 32 х
2
2 х 2 − 3х − 2
+ 5х +10
− 3 х −1
=9;
= 1 ; 2 х 2 − 3х − 2 = 0 ;
=2; 2
х 2 + 5х + 7
(5 + 2 2 − 23 ) = 2 ;
х 2 + 5х + 7 = 1 ; х = −2; x = −3. ⎛6⎞ ⎝2⎠
х
1386. а) 18 х − 8 ⋅ 6 х − 9 ⋅ 2 х = 0 ; 8⎜ ⎟ − 9 х + 9 = 0 ; 8 ⋅ 3х − 9 х + 9 = 0 ;
32 х − 8 ⋅ 3х − 9 = 0 ; 3х = 9, 3х = −1; х = 2, не подходит. б) 12х − 6 х +1 + 8 ⋅ 3х = 0 ; 3х (4 х − 6 ⋅ 2 x + 8) = 0 ; 2 2 х − 6 ⋅ 2 х + 8 = 0 ; 2 х = 4, 2 х = 2; х = 2, х = 1. 1387. а)
3 х +1 − 3 х − 2 1 1 = ; = 0 ; 3х (3 − 1) = 2; 3х = 1; х = 0. 3х + 2 3х +1 (3х + 2)(3 ⋅ 3х ) 105
5 5 = х + 2 ; 12 х + 2 − 12 х − 143 = 0 ; 12х (144 − 1) = 143; х = 0. 12 + 143 12 1 1 в) х = х +1 ; 5 х +1 − 5 х − 4 = 0 ; 5х (5 − 1) = 4; х = 0. 5 +4 5 8 8 = х + 2 ; 11х + 2 − 11х − 120 = 0 ; 11х (121 − 1) = 120; х = 0. г) х 11 + 120 11 б)
х
2х + 1 = 1 ; 2 х − 2 х + 2 = −2 − 1 ; 2 х (1 − 4) = −3 ; х=0. 2х + 2 − 2 5 4 х −1 + 3 б) = 2 ; 5 4 х −1 + 3 = 2 ⋅ 5 4 х − 6 ; 5 4 х −1 (1 − 2 ⋅ 5) = −9 ; 4х 5 −3 1388. а)
1 4х − 1 = 0; х = . 4
в) г)
3х +1 − 1 х
3 +4
= 2 ; 3х +1 − 1 = 2 ⋅ 3х + 8 ; 3 (3 − 2) = 9 ; х = 2 . х
72х − 1 = 3 ; 7 2 х − 1 = 3 ⋅ 7 2 х −1 + 3 ; 7 2 х −1 (7 − 3) = 4 ; 7 2 х −1 + 1
1 2х − 1 = 0; х = . 2 1389. а) 2 х
2
+ 2х −6
2
− 2 7 − 2 х − х = 3,5 ; х 2 + 2 х − 6 = а ; 2а − 2 −а +1 = 3,5 ;
2 2а − 2 − 3,5 ⋅ 2 а = 0 ; 2 ⋅ 2 2а − 7 ⋅ 2 а − 4 = 0 ; 2а =
7−9 1 = − − не подходит; 2а = 4, а = 2; х 2 + 2 х − 6 = 2 ; 4 2
х 2 + 2 х − 8 = 0 ; х = −1 − 3 = −4; х = 2. 2
2
+х
2
2+ х
2
= 26 + 33 − х − 2 х ; 32( 2 х + х ) − 26 ⋅ 32 х − 27 = 0 ; 32 х + х = 27 ; 2 −1 − 5 3 2х 2 + х = 3 ; х = = − ; х = 1; 32х + х = −1 − не подходит . 4 2
б) 32 х
1390. а) 5 2 х 2
2
−1
− 3 ⋅ 5( х +1)( х + 2) − 2 ⋅ 56( х +1) = 0 ;
2
5 2 х −1 − 3 ⋅ 5 х + 3х + 2 − 2 ⋅ 56( х +1) = 0 ; 2 1 2х 2 ⋅5 − 3 ⋅ 25 ⋅ 53х ⋅ 5 х − 2 ⋅ 56 ⋅ 56 х = 0 ; 5 52 х
2
−6х
− 375 ⋅ 5 х
2
− 3х
− 156250 = 0 ;
D = 140625 + 625000 = 8752 ; 2 375 − 875 5х −3х = − не подходит ; 2 106
5х
2
− 3х
б) 32 х
2
= 625 ; х 2 − 3х = 4 ; х 2 − 3х − 4 = 0 ; х = 4, х = −1. −1
− 3( х −1)( х + 3) − 2 ⋅ 38( х −1) = 0 ;
2
37 ⋅ 32 х − 33 ⋅ 3х 2187 ⋅ 32 х
2
−8х
2
+ 4х
− 2 ⋅ 38 х = 0 ;
− 27 ⋅ 3х
2
− 4х
−2 = 0;
2
D = 729 + 17496 = 135 ; 2 27 − 135 3х − 4х = − не подходит ; 2187 ⋅ 2
162 1 = ; 4374 27 х 2 − 4 х = −3 ; х 2 − 4 х + 3 = 0 ; х = 3, х = 1 .
3х
2
− 4х
=
⎛3⎞ ⎝2⎠
1391. а) 9 х + 6 х = 2 2 х +1 ; ⎜ ⎟ х
2х
х
⎛3⎞ +⎜ ⎟ −2=0 ; ⎝2⎠
х
⎛3⎞ ⎛3⎞ ⎜ ⎟ = −2 − не подходит ; ⎜ ⎟ = 1, х = 0. ⎝2⎠ ⎝2⎠
⎛5⎞ ⎝2⎠
б) 25 2 х + 6 + 16 ⋅ 4 2 х + 6 = 20 ⋅ 10 2 х + 5 ; ⎜ ⎟
4 х +12
⎛5⎞ − 2⋅⎜ ⎟ ⎝2⎠
2х + 6
+ 16 = 0
D < 0 ⇒ решений нет .
⎧⎪ 3х −1 9 у = 27 ⎧х − 1 + 2 у = 6 ⎧ у = 1 ; ⎨ ; ⎨ . ⎩х = 5 ⎪⎩2 2 х + у : 2 х = 64 ⎩х + у = 6 1 ⎧ х −2у : 6х = ⎪ 6 6 ⎧х − 2 у − х = −2 ⎧у = 1 ⎧у = 1 ⎪ б) ⎨ ; ⎨ ; ⎨ ; ⎨ . 2х − у 1 ⎩ у − 2 х + х − 2 у = −1 ⎩− 1 − х = −1 ⎩х = 0 ⎪⎛⎜ 1 ⎞⎟ ⋅ 3х − 2 у = ⎪⎩⎝ 3 ⎠ 3 1392. а) ⎨
⎧⎪2 2 х + 2 х ⋅ у = 10
1393. а) ⎨
⎪⎩ у 2 + у ⋅ 2 х = 15
сложим:
⎧⎪2 2 х + 2 ⋅ 2 х ⋅ у + у 2 = 25 ; ⎨ 2 ⎪⎩ у + у ⋅ 2 х = 15 2 х + у = ±5 1) 2 х = 5 − у ; у 2 + 5 у − у 2 = 15 ; у = 3, х = 1. 107
2) 2 х = −5 − у ; у 2 − 5 у − у 2 = 15 ; у = −3, 2х = −2 − не подходит Итого (1;3)
⎧⎪7 2 х − 7 х ⋅ у = 28
б) ⎨
⎪⎩ у 2 − у ⋅ 7 х = −12
сложим:
⎧⎪(7 х − у) 2 = 16 ; ⎨ 2 ⎪⎩ у − у ⋅ 7 х = −12
⎧⎪7 х − у = ±4 ; ⎨ 2 ⎪⎩ у − у ⋅ 7 х = −12 1) 7 х = 4 + у ; у 2 − 4у − у 2 = −12 ; у = 3, х = 1. 2) 7 х = −4 + у ; у 2 + 4у − у 2 = −12 ; у = −3, 7 х = −7 − не подходит . Итого х = 1 у = 3. 1394. а) 2 х = а . Имеет корни при а > 0.
б) 83х +1 = а + 3 . Имеет корни при а > –3. в)
3
3х = −а . Имеет корни при а < 0.
⎛1⎞ ⎝2⎠
х
г) ⎜ ⎟ = а 2 . Имеет корни при а ≠ 0. х+2 (3 − а ) = а − 27 . При а = 3 реше1395. а) 48 ⋅ 4 х + 27 = а + а ⋅ 4 х + 2 ; 4
ний нет. При а ≠ 3: 4 х + 2 = Итого а ≤ 3,a ≥ 27 . +
– 3 х
б) 9 + 2а ⋅ 3
а − 27 а − 27 ; ≤ 0 ; а ∈ (− ∞;3) ∪ [27;+∞) . 3−а 3−а
– 27 х +1
+ 9 = 0 ; 32 х + 6а ⋅ 3х + 9 = 0 ;
D = 9а 2 − 9 < 0 ; а 2 < 1 ; 4
а ∈ (−1;1) .
§ 47. Показательные неравенства х 1396. а) 2 ≥ 4 , х ≥ 2 .
б) 2 х < 1/ 2 , х < −1 .
в) 2 х ≤ 8 , х ≤ 3 .
г) 2 х >
108
1 , х > −4 . 16
х
1397. а) 3х ≤ 81 , х ≤ 4 .
1 ⎛1⎞ б) ⎜ ⎟ > , х < 3. 3 27 ⎝ ⎠
в) 5 х > 125 , х > 3 .
г) 0,2 х ≤ 0,04 , х ≥ 2 .
1398. а) 32 х − 4 ≤ 27 ; 2 х − 4 ≤ 3 ; х ≤
⎛2⎞ ⎝3⎠
7 . 2
3х + 6
4 4 ; 3х + 6 < 2 ; х < − . 9 3 1 4х + 2 в) 5 ≥ 125 ; 4х + 2 ≥ 3 ; х ≥ . 4 12 5х −9 г) (0,1) < 0,001 ; 5х − 9 > 3 ; х > . 5 >
б) ⎜ ⎟
1399. а) 7 2 х − 9 > 7 3х − 6 ; 2 х − 9 > 3х − 6 ; х < −3 .
б) 0,5 4 х + 3 ≥ 0,56 х −1 ; 4 х + 3 ≤ 6 х − 1 ; 2 х ≥ 4 ; х ≥ 2 . в) 9 х −1 ≤ 9 −2 х + 8 ; х − 1 ≤ −2 х + 8 ; х ≤ 3 .
⎛7⎞ ⎟ ⎝ 11 ⎠
−3 х − 0,5
г) ⎜
⎛7⎞ <⎜ ⎟ ⎝ 11 ⎠
х +1,5
; −3х − 0,5 > х + 1,5 ; 4 х < −2 ; х < −
1 . 2
1400. а) 45 х −1 > 163х + 2 ; 5х − 1 > 6 х + 4 ; х < −5 . 1− 3 х
х +3
⎛1⎞ ⎛ 1 ⎞ ; 1 − 3х ≤ 2 х + 6 ; 5х ≥ −5 ; х ≥ −1 . ≥⎜ ⎟ 7 ⎝ ⎠ ⎝ 49 ⎠ в) 11−7 х +1 ≤ 121−2 х −10 ; −7 х + 1 ≤ −4 х − 20 ; 3х ≥ 21 ; х ≥ 7 . б) ⎜ ⎟
г) (0,09) 5 х −1 < 0,3х + 7 ; 10х − 2 > х + 7 ; х > 1 .
⎛1⎞ ⎝4⎠
1401. а) 23х + 6 ≤ ⎜ ⎟
⎛7⎞ ⎟ ⎝ 12 ⎠
−2 х + 3
б) ⎜
⎛ 12 ⎞ >⎜ ⎟ ⎝7⎠
⎛1⎞ ⎝5⎠
в) 25− х + 3 ≥ ⎜ ⎟
⎛5⎞ ⎝3⎠
г) ⎜ ⎟
2х −8
х −1
; 3х + 6 ≤ −2 х + 2 ; 5х ≤ −4 ; х ≤ −
4 . 5
3+ 2 х
; −3 + 2 х > 3 + 2 х ; нет решений.
3 х −1
⎛ 9 ⎞ <⎜ ⎟ ⎝ 25 ⎠
; −2 х + 6 ≥ 1 − 3х ; х ≥ −5 . −х +3
1402. а) 2 2 ⋅ 2 х − 3 ≥
; 2х − 8 < 2х − 6 ; х ∈ R . 1
х − 3 +1 + 1 1 2 ≥ 2 −1 ; х − 1,5 ≥ −1 ; х ≥ ; 2 . 2 2
109
б)
3
⎛1⎞ 125 ⋅ 5 ≤ 5 ⋅ ⎜ ⎟ ⎝5⎠
⎛1⎞ в) ⎜ ⎟ ⎝7⎠
10 − х
⎛1⎞ ⎝4⎠
2
1 1 ≤ 1 − 2х ; х ≤ . 2 4
−4 −3х +1+ 1 2 <7 −1 ; −3х − 2,5< − 1 ; 3х > −1,5 ; х> − 1 . ⋅7 7< ; 7 7 2
> 4 64 ; 4 х −11 > 32 ; 2х − 22 > 5 ; х >
г) 0,25 ⋅ ⎜ ⎟
б) (0,6) х
;
1
3х+4
1403. а) 7 х
2 х −1
2
−5 х
6
⎛1⎞ < ⎜ ⎟ ; х 2 − 5х + 6 < 0 ; х ∈ (2;3) . ⎝7⎠ 6
⎛3⎞ ≥ ⎜ ⎟ ; х 2 − х − 6 ≤ 0 ; х ∈ [−2;3] . ⎝5⎠ 1 ≤ 121 ; 2х 2 + 3х − 2 ≤ 0 ; х ∈ [−2; ] . 2
−х
в) 112 х
2
+ 3х
г) 0,3х
2
−10 х
24
⎛ 1⎞ > ⎜ 3 ⎟ ; х 2 − 10 х + 24 < 0 ; х ∈ (4;6) . ⎝ 3⎠
−1
х 2 − 7 ,5
−7
х 2 8, 5 − 22 2
≥2 ; 11 2х 2 − 17 ≥ −28 ; х 2 ≥ − ; х ∈ R . 2 2
1404. а)
б) 0,9
х 2 − 4х
в) 14 х
2
+х
⎛ 1 ⎞ ⎟⎟ г) ⎜⎜ ⎝ 3⎠
27 . 2
2
≥ 2 − 7 ; х 2 − 8,5 ≥ −14 ;
3
⎛ 10 ⎞ < ⎜ ⎟ ; х 2 − 4 х + 3 > 0 ; х < 1, х > 3 . ⎝9⎠
≤ 196 ; х 2 + х − 2 ≤ 0 ; х ∈ [− 2;1] .
3 х 2 −13 х
>9;
13 3 ⎛1 ⎞ х − х 2 > 2 ; 3х 2 − 13х + 4 < 0 ; х ∈ ⎜ ;4 ⎟ . 2 2 ⎝3 ⎠
х 1405. а) 2 х + 2 х + 2 ≤ 20 ; 2 ≤ 4 ; х ≤ 2 .
б) 32 х −1 − 32 х − 3 <
⎛1⎞ ⎝5⎠
в) ⎜ ⎟
3х + 4
⎛1⎞ +⎜ ⎟ ⎝5⎠
г) 0,36 х −1 − 0,36 х
8 2х −3 8 (8) < ; 2х − 3 < −1 ; х < 1 . ; 3 3 3
3х + 5
⎛1⎞ > 6; ⎜ ⎟ ⎝5⎠
3х + 4
5 ⎛ 1⎞ ⎜1 + ⎟ > 6 ; −4 − 3х > 1 ; х < − . 3 5 ⎝ ⎠ 1 ≥ 0,7 ; 0,36 х −1 (1 − 0,3) ≥ 0,7 ; 6 х − 1 ≤ 0 ; х ≤ . 6
1406. а) 32х − 4 ⋅ 3х + 3 ≤ 0 ; 3х ∈ [1;3] ; х ∈ [0;1] .
110
б) 52 х + 4 ⋅ 5 х − 5 ≥ 0 ; 5 х ∈ ( −∞;−5] ∪ [1;+∞) ; х ≥ 0 . в) 0,2 2 х − 1,2 ⋅ 0,2 х + 0,2 > 0 ; 0,2 х ∈ ( −∞;0,2) ∪ (1;+∞) ; х < 0, x > 1 .
⎛1⎞ ⎝7⎠
2х
г) ⎜ ⎟
х
х
⎛1⎞ ⎛1⎞ + 6⎜ ⎟ − 7 < 0 ; ⎜ ⎟ ∈ (−7;1) ; х < 0 . ⎝7⎠ ⎝7⎠
1407. а) 2 2 х +1 − 5 ⋅ 2 х + 2 ≥ 0 ; 2 ⋅ 2 2 х − 5 ⋅ 2 х + 2 ≥ 0 ;
1 2 х ∈ (−∞; ] ∪ [2;+∞) ; х ∈ (−∞;−1] ∪ [1;+∞) ; 2 1 3
б) 32 х +1 − 10 ⋅ 3х + 3 < 0 ; 3 ⋅ 32х − 10 ⋅ 3х + 3 < 0 ; 3х ∈ ( ;3) ; х ∈ ( −1;1) .
⎛1⎞ ⎝4⎠
2 х −1
в) ⎜ ⎟
х
⎛1⎞ ⎛1⎞ + 15 ⋅ ⎜ ⎟ − 4 < 0 ; 4 ⋅ ⎜ ⎟ 4 ⎝ ⎠ ⎝4⎠
2х
х
⎛1⎞ + 15 ⋅ ⎜ ⎟ − 4 < 0 ; ⎝4⎠
х
1⎞ ⎛1⎞ ⎛ ⎜ ⎟ ∈ ⎜ − 4; ⎟ ; х ∈ (1;+∞) . 4⎠ ⎝4⎠ ⎝ г) 0,5 2 х −1 + 3 ⋅ 0,5 х − 2 ≥ 0 ; 2 ⋅ 0,5 2 х + 3 ⋅ 0,5 х − 2 ≥ 0 ;
0,5 х ≤ −2; 0,5 х ≥
1 ; х ≤ 1 (опечатка в ответе задачника). 2
⎛5⎞ ⎝3⎠
х
1408. а) 3х < 5 х ; ⎜ ⎟ > 1 ; х > 0 .
б) 6 х ≥ 2 х ; 3х ≥ 1 ; х ≥ 0 . х
⎛ 12 ⎞ х х ⎟ ≤ 12 ; 13 ≥ 1 ; х ≥ 0 . 13 ⎝ ⎠
в) ⎜
⎛1⎞ ⎝5⎠
х
г) 0,6 х > 3х ; ⎜ ⎟ > 1 ; х < 0 . 1409. а) см.рис. 5 х ≤ − х + 6 ; х ≤ 1 ;
⎛1⎞ ⎝4⎠
х
б) см.рис. ⎜ ⎟ > 3х + 1 ; х < 0 ;
Y
Y
4– y=5x |
|
-2 0
– 2– –
y=-x+6
|
|
2
X |
-2
y=3x+1 ⎛1⎞ y=⎜ ⎟ ⎝4⎠ |
|
0
|
x
X
2
111
⎛1⎞ ⎝2⎠
х
г) см.рис. 3х ≥ − х + 4 ; х ≥ 1 ;
в) см.рис. ⎜ ⎟ < 0,5х + 5 ; х > −2 ;
Y
Y 6– y=0,5x+5 – – – – y = ⎛⎜ 1 ⎞⎟ x – ⎝2⎠ X -2 0 2 |
|
|
4–
y=-x+4
|
1410. а) 19
2х −3 х+2
+
–
2х − 3 3 ≥ 0 ; х ∈ (−∞;−2) ∪ [ ;+∞) . х+2 2 +
3 2 7х +1
б) 0,36 − х + 2 < 1 ;
X
7х + 1 1 > 0 ; х ∈ (− ; −2] . 7 −х + 2
– − в) 37
5х −9 х +6
≤1;
+
– 2
1 7
5х − 9 9 ≤ 0 ; х ∈ (−6; ] . х+6 5 + – 9 -6
X
+ X
5
⎛ 29 ⎞ г) ⎜ ⎟ ⎝ 30 ⎠
9 х −18 6−х
> 1;
х
1411. а) 5 х + 3 ≤ 5 ;
9 х − 18 < 0 ; х ∈ (−∞;2) ∪ (6;+∞) . 6−х + – + -6 8 X х 3 −1 ≤ 0 ; ≥ 0 ; х > −3 . х+3 х+3
2 х −1
⎛ 4 ⎞ 3х + 5 4 2 х − 1 б) ⎜ ⎟ > ; −1 < 0 ; 9 3х + 5 ⎝9⎠ –
+ -6
112
X 4 |
|
-2 0
≥1;
-2
y=3x
– 5 − 3
X
5 −х − 6 < 0 ; х < −6, х > − . 3 3х + 5 х
х 8 −1 ≥ 0 ; ≥ 0; х >8. х −8 х −8 3х + 4 3х + 4 2 х + 12 г) (0,21) х − 8 < 0,21 ; −1 > 0 ; > 0 ; х < −6, х > 8 . х −8 х −8 + – + -6 8 X
в) 17 х − 8 ≥ 17 ;
х −4 −3 3 х
1 х−4 ; − 3 < −3 ; х 27 + – 0 х−4 < 0 ; х ∈ (0;4) . х
1412. а)
6 х −1 −1 х
<
+ 4
81 6х − 1 ; − 1 ≤ −2 ; 64 х + – 0 7х − 1 1 ≤ 0 ; х ∈ (0; ] . х 7
⎛8⎞ б) ⎜ ⎟ ⎝9⎠
2− х −2 8 х
≥
1 2−х ; − 2 > −2 ; х 64 – + 0 2−х > 0 ; х ∈ (0;2) . х
в)
X
+ 1 7
>
5 х +1 +1 х
– 2
121 5х + 1 ; + 1 ≥ −2 ; 36 х + – 1 − 8х + 1 1 8 ≥ 0 ; х ≤ − ,х > 0 . х 8
⎛6⎞ г) ⎜ ⎟ ⎝ 11 ⎠
х⎛ 3⎞
х
⎝8⎠ х
X
≤
⎛3⎞ ⎝2⎠
х
1413. а) 4 ⎜ ⎟ ≤ 2,25 ; ⎜ ⎟ ≤
⎛1⎞ ⎟ > 0,25 ; ⎝ 18 ⎠
б) 9 х ⋅ ⎜
X
+ 0
X
9 ; х≤2. 4
х
1 ⎛1⎞ ⎜ ⎟ > ; х<2. 2 4 ⎝ ⎠ 113
х
х
4 ⎛2⎞ 4 ⎛ 2⎞ ⎟ ≥ ; ⎜ ⎟ ≥ ; х≤2. 9 ⎝3⎠ 9 ⎝ 15 ⎠
в) 5 х ⋅ ⎜
х
х
2
⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎟ < 0,0625 ; ⎜ ⎟ < ⎜ ⎟ ; х > 2 . ⎝4⎠ ⎝4⎠ ⎝ 12 ⎠
г) 3 х ⋅ ⎜
1414. а) 8 −2 х + 8 > 512 ; −2 х + 8 > 3 ; 2 х < 5 ; х = 1; х = 2 ; ответ: 2.
⎛1⎞ ⎝9⎠
8 х − 23
≥
б) ⎜ ⎟
1 25 ; 8х − 23 ≤ 2 ; х ≤ ; х = 1, х = 2, х = 3; ответ: 3. 81 8
в) 25 х − 7 ≤ 16 ; 5х − 7 ≤ 4 ; х ≤
11 ; х = 1, x = 2; ответ: 2. 5
г) 0,14 х − 5 > 0,001 ; 4 х − 5 < 3 ; x < 2 , х = 1 ; ответ: 1. 1415. а) 2 х ⋅ 3х ≥ 36 х ⋅ 6 ; 6 х ≤ 6 х
х
х
х
б) 3 ⋅ 5 ≤ 225 ⋅ 15 ; 15 ≥ 15
⎛1⎞ ⎝3⎠
х
⎛ 16 ⎞ ⎟ ⎝9⎠
1416. а) ⎜ ⎟ ⋅ 4 х < ⎜ х
⎛2⎞ ⎛ 36 ⎞ б) ⎜ ⎟ ⋅ 3х > ⎜ ⎟ 11 ⎝ ⎠ ⎝ 121 ⎠
−
−
1 2
1 2
; х≤−
; х≥−
1 . 2
1 ; 2
х −1
; x < 2x − 2 ; x > 2 ;
2х + 3
; x < 4 x + 6 ; 3x > −6 ; x > −2 .
1417. а) 2 2 x +1 − 32 x +1 < 32 x − 7 ⋅ 2 2 x ; 2 2 x ( 2 + 7) < 32 x (1 + 3) ;
⎛3⎞ ⎜ ⎟ ⎝2⎠
2x
>
9 ; 2x > 2 ; x > 1 . 4
б) 3x +1 + 3x + 2 + 2 ⋅ 3x > 2 ⋅ 7 2 x +1 x
⎛ 3 ⎞ 3x (3 + 9 + 2) > 14 ⋅ 7 2x ; 3х > 7 2x ; ⎜ ⎟ > 1 ; x < 0 . ⎝ 49 ⎠ 1418. а) 5 x −1 ⋅ 2 x + 2 > 8 ⋅ 10 x 2
2
− 3x + 2
; 8 ⋅ 10 х −1 > 8 ⋅ 10 x
2
− 3x + 2
;
2
х − 1 > х − 3х + 2 ; x − 4х + 3 < 0 ; х ∈ (1;3) . 2
2
б) 32 x +1 ⋅ 2 2 x − 3 < 81 ⋅ 61− 2 x ; 81 ⋅ 6 2 х − 3 < 81 ⋅ 61− 2 x ; 2 х 2 + 2 х − 4 < 0 ;
x 2 + х − 2 < 0 ; х ∈ (−2;1) .1419. а) 2 2 − х > 2 х − 3 ; см.рис. х < 2 ; 114
Y y=2x-3
4– 2– |
y=22-xX |
|
2
4
|
|
-2 0
б) 33 − 2 х ≤ 2 х + 1 ; см.рис. х ≥ 1 ; y=2x+1
Y 2–
y=33-2x X
– |
|
0
1420. а)
|
2
х 2 + 4х + 4 ( х + 2) 2 ≥ 0; х ≥ 0 ; х > 3, х = −2. х 3 − 27 3 − 27
б)
0,2 х − 0,008 0,2 х − 0,23 < 0 ; < 0 ; х > 3, х ≠ 5. х 2 − 10х + 25 ( x − 5) 2
в)
25 − 0,2 x 52 − 5− х ≤ 0 ; ≤ 0 ; 2 ≤ − x; х ≤ −2. 4х 2 − 4х + 1 (2x − 1) 2
г)
х 2 + 6х + 9 ( х + 3) 2 > 0 ; > 0; х > 2 . 2х − 4 2х − 4
5 5 ≥ х + 2 ; 12 х + 143 ≤ 12 х + 2 ; 12 х (1 − 144) ≤ −143 ; 12 + 143 12 12 х ≥ 1 ; х ≥ 0 .
1421. а)
x
16 х + 42 42 1 ≤ 22 ; х ≤ 21 ; 16 х ≥ 2 ; х ≥ . х 4 16 16 8 8 х х+2 в) ≤ х + 2 ; 11 + 120 ≥ 11 ; 11х (1 − 121) ≥ −120 ; x 11 + 120 11 11х ≤ 1 ; х ≤ 0 .
б)
г)
5 х + 15 15 < 4 ; х < 3 ; 5х > 5 ; x > 1 . х 5 5
⎡5 8⎤ ⎣ ⎦
1422. а) 26х −10 − 9 ⋅ 23х −5 +8 ≤ 0 ; 23х − 5 ∈ [1;8] ; 3х − 5 ∈ [0;3] ; х ∈ ⎢ ; ⎥ . 3 3
б) 5 2 х +1 − 5 х + 2 ≤ 5 х − 5 ; 5 2 х +1 − 5 х ( 25 + 1) + 5 ≤ 0 ; 115
⎡1 ⎤ 5 ⋅ 52 х − 26 ⋅ 5 х + 5 ≤ 0 ; 5 х ∈ ⎢ ;5⎥ ; х ∈ [− 1;1] . ⎣5 ⎦ 3 в) 38 х + 6 − 10 ⋅ 34 х + 3 + 9 ≥ 0 ; 34х + 3 ≤ 1; 4х + 0 ≤ 0; x ≤ − ; 34x + 3 ≥ 9 ; 4 3⎤ ⎡ 1 1 ⎛ ⎤ x ≥ − ; х ∈ ⎜ −∞; − ⎥ ∪ ⎢ − ; +∞ ⎥ . 4⎦ ⎣ 4 4 ⎝ ⎦
г) 32 х + 2 − 3х + 4 < 3х − 9 ; 32 х + 2 − 3х (81 + 1) + 9 < 0 ;
⎛1 ⎞ 9 ⋅ 32 х − 82 ⋅ 3х + 9 < 0 ; 3х ∈ ⎜ ;9 ⎟ ; х ∈ ( −2;2 ) . ⎝9 ⎠
⎧⎪2 х +1 > 4
1423. а) ⎨
⎪⎩7
3 х −10
⎧х > 1 ; < 49 ⎩3х − 10 < 2 ; ⎨
⎧⎛ 1 ⎞ 4 х + 2,5 > 2 ⎪⎪⎜ ⎟ б) ⎨⎝ 2 ⎠ ⎪ х 2 −1 ⎪⎩10 > 1000 х ∈ (−∞;−2) .
⎧х > 1 ; х ∈ (1;4) . ⎨ ⎩х > 4
1 ⎧ ⎧ 3 ⎪− 2,5 − 4х > ⎪х < − 2; ⎨ ; ⎨ ; 4 ⎪х 2 − 1 > 3 ⎪⎩х ∈ (− ∞;−2) ∪ (2;+∞ ) ⎩
⎧⎪0,4 − х + 3 < 0,16 ⎧⎪− х + 3 > 2 ⎧х < 1 ; ⎨ 2 ; ⎨ ; х ∈ (−1;1) . 2 ⎪⎩0,1х +1 > 0,01 ⎪⎩х + 1 < 2 ⎩х ∈ (− 1;1)
в) ⎨
⎧⎪ 5 ⋅ 52 х − 0,5 ≥ 1 ⎧⎪52 х ≥ 1 ; ⎨ ; ⎪⎩0,26 − 9 х ≤ 125 ⎪⎩59 х − 6 ≤ 53
г) ⎨
(
⎧х ≥ 0 ; х ∈ [0;1] . ⎨ ⎩х ≤ 1
)
1424. а) ( х − 6) 5 х − 6 − 25 < 0 ; x ∈ (6;8) . +
(
– 6
)
+ 8
X
б) (2 х + 1) 33 − х − 9 > 0 ; x ∈ ( −(1/ 2); 1) –
(
+
)
– 1
1 − 2
X
1425. а) (2 − 8) 3 − 81 < 0 ; x ∈ (3;4 ) . х
х
+
– 3
116
+ 4
X
б) (3х + 2 −
1 ⎛ 3− 2х 1 ⎞ )⎜ 5 − ⎟ ≥ 0 ; x ∈ [− 5;2] . 27 ⎝ 5⎠ – + – -5 2 X 1 ; х = −1 . 2
1426. а) 2,5 2 х + 3 ≤ 6,25 ; 2 х + 3 ≤ 2 ; х ≤ − 7х −9
12 8 ⎛2⎞ ≥ ; 7х − 9 ≤ 3 ; х ≤ ; х =1. 125 7 ⎝5⎠ в) 1,15 х − 3 < 1,21 ; 5х − 3 < 2 ; х < 1 ; х = 0 . 2 г) 0,7 9 х + 4 > 0,49 ; 9 х + 4 < 2 ; х < − ; х = −1 . 9
б) ⎜ ⎟
1427. а) 5 х
2
− 2х
≤ 125 ; х 2 − 2 х − 3 ≤ 0 ; х ∈ [− 1;3] .
Ответ: 5.
⎛1⎞ б) ⎜ ⎟ ⎝7⎠
2 х 2 − 3х
≥
Ответ: 3.
1 ⎡ 1 ⎤ ; 2 х 2 − 3х − 2 ≤ 0 ; х ∈ ⎢− ;2⎥ . 49 ⎣ 2 ⎦
в) 2 − х + 8 х > 128 ; − х 2 + 8х − 7 > 0 ; х 2 − 8х + 7 < 0 ; х ∈ (1;7 ) . Ответ: 5. 2
г) (0,3) х
2
−х
> 0,09 ; х 2 − х − 2 < 0 ; х ∈ (− 1;2) . Ответ: 2.
1428. а) 2 х + 2 − х 2 ≥ 3х
2
− 2х + 2
; х 2 − 2 х + 2 = а ; 3а ≤ −а + 4 см.рис. Y y=3a
4– – 2– – |
y=-a+4 X |
|
|
|
2
-2 0
|
4
а ≤ 1 ; х 2 − 2х + 2 ≤ 1 ; х = 1 . б) 2 х
2
− 4х + 5
≥ 4 х − 2 − х 2 ; х 2 − 4 х + 5 = а ; 2 а ≥ −а + 3
см.рис.
Y
y=2
4– – 2– – |
|
-2 0
a
y=-a+3 X |
|
2
|
|
4
а ≥ 1 ; х 2 − 4х + 5 ≥ 1 ; х ∈ R . 117
1429. Т =
Т0 − Тс t
+ Tc ; 30 =
100 − 20
210
t
t
t
+ 20 ; 10 ⋅ 210 = 80 ; 210 = 8 ;
210
t = 3 ; t = 30 . 10 Ответ: более получаса. ⎛ ⎞ ⎜T −T ⎟ lim ⎜ 0 t c + Tc ⎟ = Т с t →+∞ ⎜ 10 ⎟ ⎝ 2 ⎠ Физический смысл этого предела состоит в том, что температура чайника с увеличением времени будет все больше опускаться до комнатной, но никогда не опустится станет ниже.
§48. Понятие логарифма 1430. а) log 2 8 = 3 , 23 = 8 .
б) log 3
1 1 = −2 , 3− 2 = . 9 9
4
в) log 1 2
1 1 ⎛1⎞ =4, ⎜ ⎟ = . 16 16 ⎝2⎠
⎛1⎞ ⎝5⎠
−4
г) log 1 625 = −4 , ⎜ ⎟ 5
1 1431. а) log 2 2 = 1 , 2 = 2 .
⎛1⎞ ⎝3⎠
= 625 .
0
б) log 1 1 = 0 , ⎜ ⎟ = 1 ; 3
в) log 0,1 0,1 = 1 , 0,11 = 0,1 .
г) log 5 1 = 0 , 50 = 1 . 5
1432. а) log 4 64 = 3 , 43 = 64
⎛1⎞ ⎝5⎠
в) log 0, 2 125 = −3 , ⎜ ⎟
б) log 2 4 2 = 2,5 , 2 2 = 4 2 .
−3
= 125 .
г)
lg 1005 10 = 2,2 ,
10 2,2 = 1005 10 . ⎛1⎞ 1433. а) log 2 24 = 4 , б) log 1 ⎜ ⎟ ⎝ 3⎠ 3
1 = −3 . 27 в) lg 0,0001 = −4 .
1434. а) log 3
−7
= −7 . в) log8 8−3 = −3 , г) log 0,1 (0,1) = 5 . 5
б) log 0,1 0,0001 = 4 . г) log 1 81 = −4 . 3
118
1435. а) log
7
49 = 4 .
в) log 1 2253 15 = −2 15
1436. а) log
в) log
3
2
log12 1,3
1438. а) 2
⎛1⎞ ⎝6⎠
2 + log 1 20
в) 3
6
log 2 , 2 5 − 2
4 log 3 2
б) 4
=
1 =− . 3 10
log 4 23
= 23 .
log 1 7 4
1+ log 7 4
4 . 169
г) б) 0,5
2
1 . 2
=2
4 2
б) 7
125 ⎛5⎞ = ⎜ ⎟ ⋅5 = , 11 121 ⎝ ⎠
2 log 8 3
3
⎛1⎞ ⎝4⎠
1 5 ⋅ 20 = . 36 9
=
1
1
г) ⎜ ⎟
= 8 ⋅ 9 = 72 .
log13 4 − 2
1440. а) 8
г) lg
2 8 =5.
64 = −6 . 729
б) log 0,5
= 1,3 .
1439. а) 13
в) 2,2
2
= 8.
3 + log 2 9
2
г) log 3
81 3 = 9 . log 3 8
в) ⎜ ⎟
1 . 3
1= 0.
1437. а) 3
в) 12
б) log
=7.
= 7 ⋅ 4 = 28 .
( 7)
4 + log
log 0 , 5 4 −1
0 ,5
7
5 10
.
− 3 log 6 2
= 2−3 =
− 2 log 5 3
=
б) 6
= 2 4 = 16 .
г) 5
1 . 8
1 . 9
1441. а) lg x = 1 , x = 10 .
б) lg x = −2 , x = 10 − 2 =
в) lg x = 3 , x = 1000 .
г) lg x = −4 , x =
1442. а) log 9 x =
в) log8 x =
1 , x = 3. 2
1 49 . = 2 2
= 2⋅4 = 8 .
г) 10 lg 5 − 0,5 =
= 9.
= 49 ⋅
1 . 100
1 . 10000
2 , x = 0,32 = 0,09 . 3 3 г) log 0, 25 x = , x = 0,53 = 0,125 . 2 б) log 0,027 x =
1 , x =2. 3 1
1443. а) log 4 x = −
− 1 1 2 , x = 4 2 = . б) log 0,125 x = − , x = 0,5−2 = 4 . 3 2 2
119
4 1 , x = 2− 4 = . 5 16 = 1000 .
в) log 32 x = −
x = 0,1−3
3 log 0,01 x = − , 2
г)
1444. а) log х 4 = 2 , x = 2 .
б) log х 27 = 3 , x = 3 .
в) log х 49 = 2 , x = 7 .
г) log х 125 = 3 , x = 5 .
1445. а) 2 х = 9 , х = log 2 9 .
б) 12 х = 7 , х = log12 7 .
х
⎛1⎞ ⎝3⎠
г) (0,2) х = 5 , х = −1 .
в) ⎜ ⎟ = 4 , х = log 1 4 . 3
1446. а) log х
1 = −3 ; x = 3 . 27
1 = −4 , x = 2 . 16 1 1447. а) log х 3 = , x = 9 . 2 1 в) log х 7 = , x = 343 . 3
б) log х 1 = 2 , нет решений. г) log х 1 = −3 , нет решений.
в) log х
1 1 , x= . 2 16 1 1 г) log х 8 = − , x = . 3 512 1 4 1448. а) 3х +1 = 14 , х = log 3 14 − 1 , б) 45 х − 4 = 10 , х = log 4 10 + . 5 5 ⎛2⎞ ⎝7⎠
3− х
= 11 ; 3 − х = log 2 11 ; х = 3 − log 2 11 .
в) ⎜ ⎟ г)
б) log х 4 = −
7
( 5)
1449. а) 2 х
7
8 1 = 6 ; 8 − 9х = log 5 6 ; х = − log 9 9
8−9х
2
+1
5
6.
= 7 ; х 2 + 1 = log 2 7 ; х = ± log 2 7 − 1 .
2
б) 90,5 х = 2 ; 0,5х 2 = log 9 2 ; х = ± 2 log 9 2 . в) 0,1х
2
1
−2
⎛ 1 ⎞3 г) ⎜ ⎟ ⎝8⎠
= 3 ; х 2 − 2 = log 0,1 3 ; х = ± log 0,1 3 + 2 .
х 2 +1
= 0,1 ;
1 2 1 х + 1 = log 1 ; х = ± 3(log8 10 − 1) . 3 10 8
1450. а) 4х−5⋅2х=−6; 22х−5⋅2х+6=0; 2х=2; х=1; 2х=3; х=log23. б) 16х=6⋅4х−5; 42х−6⋅4х+5=0; 4х=5; х=log45; 4х=1; х=0. в) 9х−7⋅3х=−12; 32х−7⋅3х+12=0; 3х=4; х= log34; 3х=3; х=1. г) −9⋅7x+14=−49х; 72х−9⋅7х+14=0; 7х=7; х=1; 7х=2; х=log72.
120
1451. а) 9х+1+6=189⋅3х−2; 9⋅32х−21⋅3х+6=0; 3⋅32х−7⋅3х+2=0; 3х= 1/3; х=−1; 3х=2; х=log32. б) 25х+1+3=100⋅5х−1; 25⋅52х−20⋅5х+3=0; D/4=25.
10 + 5 3 3 1 = ; х=log5 =log53−1; 5х= ; x=−1. 25 5 5 5 6− 4 1 5 в) 4х+1+5=24⋅2х−1; 4⋅22х−12⋅2х+5=0; 2х= = ; х=−1; 2х= ; х=log25−1. 4 2 2 1 1 1 1 1 г) ( )х+1+3=( )х−1; ( )2х−8⋅( )х+12=0; ( )х=2; 4 2 2 2 2 1 х=−1; ( )х=6; х= log 1 6. 2 5х=
2
1452. а) 2х≥9; х≥log29;
в) (
б)12х≤7; х≤log127;
1 х ) <4; x> log 1 4; 3
г) (0,2)х>5; −x>1; x<−1.
3
14 14 ; х≤log3 =log314−1; 3 3 1 б) 55х−4≥10; 5х−4≤log510; х≤1− log52; 5 2 3-х в) ( ) >11; 3−х< log 2 11; х>3− log 2 11; 7
1453. а) 3х+1≤14; 3х≤
7
г) ( 5 )8−9х<6; 8−9х<2log56; х>
7
8 2 − log56. 9 9
1454. а) 4х−5⋅2х≥−6; 22х−5⋅2х+6≥0; 2х≤2; 2х≥3; х∈(−∞; 1]∪[log23; +∞). б) 16х≤6⋅4х−5; 42х−6⋅4х+5≤0; 4х∈[1; 5]; x∈[0; log45]; в) 9х−7⋅3х<–12; 32х−7⋅3х+12<0; 3х∈(3; 4); x∈(1; log34); г) 9⋅7х+14>−49х; 72х+9⋅7х+14>0; 7х∈(−; −7)∪(−2; +∞); x∈R. 1455. а) 4х−2х+a=a2х; 22х−2х(1+а)+а=0; 2х=а, 2х=1, при а≤0; х=0; при а>0 х=0; х=log2а; б) 9х−(2а+1)3х+а2+а−2=0; 32х−(2а+1)3х+а2+а−2=0; 3х=а+2, 3х=а−1, при а ≤ −2 — решений нет, при а∈(−2; 1]: х=log3(а+2); при а>1 х=log3(а+2), х=log3(а−1). 1456. а) y = logxx2; x > 0, x ≠1; y = 2.
Y
4– – 2– – |
|
-2 0
X |
|
2
|
|
4
121
б) y = 2log 2 x
в) y = x log x 2
Y
|
|
2
-2 0
|
|
|
|
|
2
|
-2 0– -2–
X |
-2 0
4
Y 2– –
4– – 2– –
X |
|
|
1 x
Y
4– – 2– – |
г) y = log x
|
4
X |
|
2
|
|
4
§ 49. Логарифмическая функция, ее свойства и график 1457. а) log24=2; log28=3; log216=4;
1 1 1 =−1; log2 =−2; log2 =−4; 2 4 16 в) log232=5; log2128=7; log22=1;
б) log2
г) log2
1 1 1 =−3; log2 =−5; log2 =−7. 8 32 128
1458. а) log2 2 =
б) log2
2 8
=1−
в) log2 32 = г) log2
4 32
3 1 4 1 3 =− ; log2 =2− = ; 2 2 2 2 2
5 7 15 ; log216 128 =4+ = ; 2 2 2
=2−
1459. а) log 1 7
1 3 ; log2 8 = ; 2 2
5 1 2 7 5 =− ; log2 =1− =− . 2 2 2 2 128
1 =2; 49
в) log0,10,0001=3; 1460. а) log 1 5
б) log3 27 =
3 ; 2 г) log0,2625=−4.
5 1 1 =− log55+log5125=− +3=2,5; 2 2 125
36 1 3 б) log6 =2− = ; 56 2 2
в) log0,2
г) log0,110 1000 =−(log10100+log10 10 )=−2,5. 1461. а) б) 122
25 5
=−2+
1 3 =− ; 2 2
Y
2– –
X
в) 2– –
|
|
0 – -2–
|
|
X |
|
|
2– – 0 –
3
1462. а) б) 2– –
Y X
в) 2– –
|
|
0 – -2–
|
|
2– –
0 – -2–
X |
|
|
|
2– – 0 – -2–
3
Y X |
|
|
|
0 – -2–
2– – 0 – -2–
3
в) 2– –
Y X |
|
|
|
3
Y X |
|
|
|
3
г)
Y
1463. а) б) 2– –
|
|
3
0 – -2–
3
0 – -2–
X |
|
г)
Y
|
Y
0 – -2–
3
0 –
2– –
Y X |
|
|
|
3
Y X |
|
|
|
3
г) Y X |
|
|
|
3
2– – 0 – -2–
Y X |
|
|
|
3
1464. а) log47
1 и 7 < 23; б) log 2 / 3 0,8> log 2 / 3 1, так как основание 2/3 < 1 и 0,8 < 1;
в) log9 15 log327 = 3> 1;
г) log1/12
1 2 > log1/12 . 7 3
б) log2,30,1<1; 123
в) log 1 2,6<1;
г) log
7
0,4<1.
7
1466. а) у=log2,6х возрастает при х∈(0; +∞); б) у= log 3 х убывает при х∈(0; +∞); 4
в) у= log
5
х возрастает при х∈(0; +∞);
г) у=log0,9х убывает при х∈(0; +∞).
1 1 ; 9]; уmax=у(9)=2; уmin=у( )=−1; 3 3 1 1 б) log1 2 х, х∈[ ; 16]; уmax=у( )=3; уmin=у(16)=−4; 8 8
1467. а) log3х, х∈[
в) у=lgх [1; 1000]; уmax=у(1000)=3; уmin=у(1)=0; г) log 2 3 х [
8 81 8 81 ; ]; уmax=у( )=3; уmin=у( )=−4. 27 16 27 16
1 1 ; 25]; уmax=у(25)=2; уmin=у( )=−3; 125 125 16 25 16 16 25 б) у= log 4 5 х, [ ; ]; уmax=у( )=log4/5 ; уmin=у( )=−2; 625 16 625 625 16 1 1 ; 36]; уmax=у(36)=2; уmin=у( )=−3. в) у=log6х [ 216 216 8 343 8 343 г) у= log 2 7 х [ ; ]; уmax=у( )=3; уmin=у( )=−1. 343 8 343 8
1468. а) а=log5х, [
1469. у=log3х; log3х=4; х=81; log3х=−2; х=
1 1 . [ ; 81]. 9 9
1470. у=log0,5х; log0,5х=−1; х=2; log0,5х=−3; х=8. [2; 8]. 1471. а) log1 3 х=2; х=
в) log1 3 х=
1 ; б) log1 3 х=−3; х=27; 9
3 1 ; х= ; 2 3
г) log1 3 х=−
2 ; х= 3 9 . 3
1 3 ; б) log4х= ; х = 8; 4 2 в) log4х = −(1|2); х = 1|2; г) log4х= 5/2; х = 32. 1472. а) log4х = −1; х =
1473. а) log2х = 3; х = 8;
в) log0,3х = 2; х = 0,09; 124
б) log7х = −1; х =
1 ; 7
г) log16х=
1 ; х=4. 2
1474. а) logх16 = 2; х = 4;
в) logх 3 =−1; х=
1
б) log x
;
3
г) logх9=
1475. а) х = 1; 2– – 0 – -2–
2– –
X |
|
|
в) х = 1;
4– –
1– |
|
X
1476. а) х=3;
|
0 – -2–
|
X |
1– |
|
|
|
3
0 – -4–
|
6
X |
|
|
|
3
1 . 3
Y X
X |
|
0
1
-1–
1477. а) решений нет; 4– –
1 ; 2
Y
г) х=
Y
|
|
1
0 – -2–
3
|
X |
|
2– –
в) х = 5;
2– –
|
|
Y
б) х =
Y
|
|
3
0 –
1
-1–
0 – -2–
X |
г) х = 1.
Y
2– –
Y
0 – -2–
3
0
1 ; х=81. 2
б) х = 1;
Y
|
1 = −3 ; х = 2; 8
|
б) решений нет; Y
Y
|
|
X |
3
в) решений нет;
0 – -4– – -8–
X |
|
|
|
3
г) решений нет.
125
Y
Y -8– – – -2–
X |
0
|
|
|
3
1478. а) log6х≥2, х≥36;
б) log0,1х>3, х<0,001; г) log 4 5 х<3, х>
1479. а) log9х≤−1, х≤
1 ; 9
г) log0,2х>−3, х<125.
б)
4– – 2– –
Y
0
–
|
X
|
|
3
в) Y
0
X
|
|
8
|
|
3
– 2–
0 – -4–
0 – -4–
Y
|
|
|
|
|
3
|
X
6
б) Y
|
|
|
X |
4– – 0 – -4–
3
в) 4– –
2– – 0 – -2–
1481. а) 4– –
|
|
– -2– – -4–
126
X |
|
г) –
1482. а)
Y
0 |
Y
|
|
|
X |
3
г) Y
|
|
|
3
X |
64 . 125
б) log1 3 х<−4, х>81;
1 ; 25
1480. а)
|
|
3
1 в) log9х≤ , х≤3; 2
в) log5х≥−2, х≥
X |
|
0 – -4– – -8–
2– – 0 – -2–
Y
|
|
|
3
б)
|
|
|
6
X
Y
2– –
|
|
0 – -2–
|
|
|
X
|
3
|
|
0 – -4–
6
в)
X
|
|
3
г) Y
2– –
Y
4– –
|
|
0 – -2–
|
|
|
X
|
3
Y
4– –
1483. а)
|
|
0 – -4–
6
X
|
|
3
б) Y
2– – |
|
|
|
0 –
-3
|
|
|
|
3
|
2– –
X
|
|
0 –
6
в)
Y
|
|
|
X
|
3
6
г) Y
2– –
|
|
0 –
Y
2– – |
|
|
3
|
X
|
|
|
|
6
|
|
0 – –
-3
|
|
3
|
|
X
6
1484. а) у=log6(4х−1); 4х−1>0; х> 1/4; б) log1 9 (7−2х)=у; 7−2у>0; х< 7/2;
в) log9(8х+9)=у; 8х+9>0; х>−(9/8); г) log0,3(2−3х)=у; 2−3х>0; х<
2 . 3
1 ; log20,7; log22,6; log23,7; 6 2 1 б) log0,317; log0,33; log0,32,7; log0,3 ; log0,3 . 3 2
1485. а) log20,1; log2
а) у=log2х, у=−х+1, х>1;
1486. Y 2– – 0 – –
|
|
|
3
|
|
|
6
X
б) у = log0,5х, у = х−1, х ∈ (0; 1); Y
2– – 0 – –
|
|
|
3
|
|
|
X
6
127
в) у = log1 7 х, у = 7х, х ∈ (0; Y 2– – 0 – –
|
|
|
|
|
г) у = log3х, у = −3х, х >
1 . 3
Y 1–
X
|
3
1 ); 7
6
|
0 -1–
X
|
|
1
1487. а) у = log4(х−1), у = −х+2, х ∈ (1; 2); Y 1–
|
0 -1–
X
|
|
1
б) у= log1 2 (х+4), у=3х−2, х>0. 2– – |
1488. а) log2х≥−х+1, х≥1;
|
0 – -2–
|
X
|
|
в) log9х∈−х+1, х∈(0; 1]; Y |
0 –
|
X
|
|
0 – 2–
128
|
|
|
X
2
2– –
Y |
|
2
|
X |
X
|
|
г) у = log1 3 х<2х−2, х>1. 2– –
Y |
|
б) log1 2 х<х+
|
1 1 , х> ; 2 2
2– – |
X
|
2
Y |
|
2
0 -1–
2
1489. а) log3х<4−х, х∈(0; 3]; 2– –
0 – –
0 – -2–
2
2– –
|
б) log3 7 х>4х−4, х∈(0; 1);
Y
2– –
|
Y
|
0 – –
Y |
|
|
3
X
в) log5х≥6−х, х≥5; 2– – 0 – -2–
г) log1 3 х>х+
Y
2– –
X |
|
2
|
|
|
|
0 – -2–
6
2 1 , 0<x< . 3 3
Y X |
|
2
|
|
|
|
6
1490. а) при х < 1 убывает, при х ≥1 возрастает. Y
2– –
X |
|
0
|
|
|
2
4
б) при х < 4 возрастает, при х ≥ 4 убывает. Y
X |
|
0 – -2– – -4–
|
|
|
|
4
2
|
6
в) при 0 < х < 2 возрастает, при х ≥ 2 убывает. Y 0– -2– –
X
|
|
|
|
|
2
|
г) при х > 0 возрастает, при х < 0 убывает. Y 2– – |
|
|
|
0 – –
|
6
4
|
X
3
⎧⎪−3x + 3, x ≤ 1 1491. f(x)= ⎨ ⎪⎩log1 3 x, x > 1 а) f(−8)=27, f(0)=3, f(9)=−2, f(−6)=21, f(3)=−1; б) функция убывает на х ∈ R. Y 4– – 2– – X |
0 –
|
|
|
3 129
1492. а) у=log5(х2−5х+6), х2−5х+6>0, х<2, x>3; б) у= log 2 3 (−х2−5х+14), х2+5х−14<0, х∈(−7; 2);
в) у=log9(х2−13х+12), х2−13х+12>0, х<1, x>12; г) у=log0,2(−х2+8х+9), х2−8х−9<0, х∈(−1; 9). 1493. а) у= log
3
х, у∈R;
б) у=−22log7х, у∈R;
в) у=− log1 10 х, у∈R;
г) у=12 log1 3 х, у∈R.
1494. f(x)=log2х а) f(2x)=log22x=xlog22=x; б) f(4x)+f(8х)=log24x+log28х=2x+3х=5х.
§ 50. Свойства логарифмов 1495. а) log62+log63=log66=1; в) log262+ log2613= log2626=1;
б) log153+ log155= log1515=1; г) log124+ log123= log1212=1.
1496. а) log612+ log63= log636=2; в) log48+log42=log416=2;
б) lg25+ lg4= lg100=2; г) log124+log1236=log12144=2.
1 ; 2
1497. а) log1443+ log1444= log14412=
б) lg40+ lg25= lg1000=3; в) log2162+ log2163= log2166=
1 ; 3
г) lg2+ lg500=lg1000=3. 1498. а) log1 8 q 4+ log1 8 2= log1 8 8=−1;
б) log8
1 1 1 + log8 = log8 =−1; 4 2 8
в) log1 12 4+ log1 12 36 = log1/2144 = –2; г) log12
1 1 + log12 = log121/144 = –2; 2 72
1499. а) log37− log3
7 1 = log39=2; б) log215− log230= log2 =−1; 9 2
в) log1 2 28− log1 2 7= log1 2 4=−2; г) log0,240− log0,28= log0,25=−1. 1500. а) log
б) log
130
2
3
6− log
7 2 − log
2
3
2 3 = log
14= log
3
1 2
2
3 =1; =−1;
в) log 2 3 32− log 2 3 243= log 2 3
32 =5; 243
г) log0,10,003− log0,10,03= log0,10,1=1. 1501. а) log
2
1502. а) log1 2
2=2;
б) log 3
1 4 2
=5/2; б) log
2
18=2.
1 100 10
1503. а) (3lg2− lg24): (lg3+ lg27)= lg
=−5/2.
1 − lg 3 1 : lg81=lg3–1:lg34 = =− . 3 3 4 4lg
б) (log32+3 log30,25) : (log328− log37)= = log3 (2 ⋅
1 4
log3 2−5 log3 22
2 (log123+ log124+ 7 log 7 4 ) 11
1505. а)
б)
) : log3 4 =
4
=−
5 . 2
5 (log336− log34+ 5log5 8 )0,5lg5= 5 (2+8) 0,5lg5= 5
1504. а)
б)
3
3
2 log 5 11
= (1 + 4) 2log5 11 =
5 =5;
2 ⋅ 112 = 22 . 11
81log 9 6 − 7 log 7 9 = 3 36 − 9 = 3 27 =3;
36log 6 5 − 5log5 9 = 4 25 − 9 =2. 3
2
3
2
3
2
1506. а) log34∨ 3 9 ; log34 log33 3 ; 4∨3 3 ; 3 3 >32>4⇒log34< 3 9 ; б) log0,53∨sin3; 3∩0,5sin3, т. к. |sinх|≤1⇒0,5sin3<3⇒log0,53<sin3;
в) log25∨ 3 7 ; log25> log24=2; 3 7 < 3 8 =2⇒ log25> 3 7 ; г) lg0,2∨cos0,2; lg2−1∨cos0,2; lg2−1<0, а cos(0,2)>0⇒ lg0,2
log1 3
1 =−2 log1 3 7=−2d. 49
1511. а) log2х= log272−log29; log2х= log28; х=8;
б) log4х = log42 2 + log48 8 ; log4х= log416 16 ; х=64; в) log7х= log714− log798; log7х= log7
1 1 ; х= ; 7 7 131
г) lgx= lg
1 1 1 1 + lg ; lgх= lg ; х= . 8 125 1000 1000
1512. а) log1 2 x= log1 2 19− log1 2 38+ log1 2 3;
log1 2 x= log1 2
57 3 3 = log1 2 ; х= ; 38 2 2
б) log0,2х= log0,293+ log0,24 − log0,231; log0,2х= log0,212; х=12; в) log
7
x=2 log
7
г) log1 3 х= log1 3
5 ); х=40; 2 7 1 1 + log1 3 21−2 log1 3 7; log1 3 х= log1 3 ( ); х= . 3 9 3 4− log
7
2+ log
7
5; log
1513. а) lgх=2lg7−3 lg3+ lg8; lgх= lg(
б) lgх=2lg3+ lg6−
7
= log
7
(16⋅
49 ⋅ 8 392 ); х= ; 27 27
1 lg9; lgх= lg(3⋅6); х=18; 2
25 1 2 1 3 3 25 lg3+ lg5− lg4; lgх= lg ; х= 3 3 ; 3 2 3 3 4 4 1 1 г) lgх = – lg5+ lg 5 + lg25; lgх= lg 5 ; х= 5 . 2 4
в) lgх=
1514. а) log0,3х= log0,3а−2 log0,3b; log0,3х= log0,3
б) log2,3х=4log2,3с−3 log2,3b; log2,3х= log2,3
c4
b
2
; х=
b3
в) log1 2 х=6 log1 2 b− log1 2 c; log1 2 х= log1 2 г) log2,3х=−2 log2,3а−5 log2,3b; log2,3х=log2,3
a
a
; x=
c4 b3
;
b6 b6 ; х= ; c c
1 2 5
a b
1515. а) log2х=2 log2а− log2b+ log2с; log2х= log2
; х=
1 2 5
a b
b4a 2 b4a 2 ; х= . c c
ac ac ; х= 2 . 2 b b
г) log1 7 х=3 log1 7 а−4 log1 7 с+ log1 7 b; log1 7 х= log1 7 132
.
a 2c a 2c ; х= . b b
б) log 2 3 х=4 log 2 3 b+2 log 2 3 а− log 2 3 с; log 2 3 х= log 2 3 в) log5х= log5с−2 log5b+ log5а; log5х= log5
;
b2
a 3b c4
. х=
a 3b c4
.
1516. а) log24 ⋅ log327=2⋅3=6;
б) log5125:log416=3:2=3/2;
в) log0,50,25⋅log0,30,09=2 ⋅ 2=4;
г) lg1000:lg100=
3 . 2
1 =−2⋅2/(−1)=4; 4 1 3 б) log 3 3 3 : log1 7 49 ⋅log5 5 =3⋅(− )=− ; 2 2 в) log381:log0,52⋅log5125=4: (−1)⋅3=−12; 1 1 г) log 5 5 5 ⋅log0,3 0,3 :lg10 0,1 =3⋅ : =3. 2 2 1517. а) log1 2 4⋅log39: log4
3
1518. а) log1 2 16⋅log5
5 log3 2 1 10 :3 =(−4)⋅( −2):2= ; 3 3 25
3
2 log7 2 1 8 :7 =(−2)⋅( −3) : 2= ; 8 3 3 2 в) log327: log1 2 4⋅log7 3 49 =3: (−2)⋅ =−1; 3 1 1 1 4 ⎛4⎞ г) log6 log0,3 ⋅lg10 0,1 =− ⎜ ⎟ ⋅(−2) ⋅ = . 2 3 0,09 ⎝3⎠ 6 216 б) log1 3 9⋅log2
16 ; 5
1519. а) 22 + log 2 5 =4⋅5=20; б) 5log5 16−1 =
в) 31+ log3 8 =3⋅8=24; 1520. а) 23log 2 4 =64;
г) 8log8 3− 2 = ⎛1⎞ б) ⎜ ⎟ ⎝2⎠
2log1 2 7
в) 52log5 3 =9; 1521. а) 8log2 3 = 23log2 3 =27;
=49; г) (0,3)
⎛1⎞ б) ⎜ ⎟ ⎝9⎠
3log0,3 6
log1 3 13
⎛1⎞ =⎜ ⎟ ⎝ 3⎠
⎛1⎞ г) ⎜ ⎟ ⎝ 16 ⎠
в) 25log5 3 = 52log5 3 =9;
3 . 64
=216.
log1 3 169
log1 2 5
⎛1⎞ =⎜ ⎟ ⎝2⎠
=169;
4log1 2 5
= 54 =
625. 1522. а)
в)
log 7 25 2log 7 5 = =2; log 7 5 log 7 5
log 4 36 =2; log 4 6
б)
log1 2 9 log 1 2 27
г)
=
2 ; 3
log 0,3 32 log 0,3 64
=
5 . 6 133
1523. а) log74+log78∨log7(4+8); log732>log712; б) log0,512−log0,52∨log0,512−2; log0,56≥ log0,510; в) log1 3 16+ log1 3 4∨ log1 3 (16+4); log1 3 64< log1 3 20;
г) log
3
15− log
3
4∨ log
3
(15−4); log
3
15 < log 4
3
11.
1524. у=ab2; logcу=logс(ab6)=logса+6logсb. 1525. х= 1526. х=
ab 2 ab 2 ; lognх= logn = lognа+2lognb−lognс. c c a 2c3 b
; lognх= logn
a 2c3 b
=2lognа+3lognс−
1 lognb. 2
2 3
1527. а) log216а b =4+2log2а+3log2b;
7 log2b; 2
б) log2(1/8а( b )7)=−3+log2а+ в) log248а a b4=4 + log23+ г) log2
b3 4a 5
=3 log2b−2−5 log2а.
1528. а) log5
б) log5 в) log5
3 log2а+4 log2b; 2
125a 4 b4
625( ab)3 12
c
25 5a 6b 7
c3
⎛ a6 г) log5( ⎜ ⎜5 2 ⎝ b
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
=3+4 log5а−4 log5b;
=4 +
1 3 log5а + 3log5b− log5c; 2 2
=2,5+6 log5а+7log5b−3 log5с;
−3
)=log5
b6 5 a18
=
6 log5b−18 log5а. 5
1529. а) log4х= log42+ log47; log4х= log414; х=14; б) log1 3 х− log1 3 7= log1 3 4; log1 3 х= log1 3 28; х=28;
в) log9х= log95+ log96; log9х= log930; х=30; г) log1 4 х− log1 4 9= log1 4 5; log1 4 х= log1 4 45; х=45. 1530. а) log612+ log6х= log624; log6х= log62; х=2; б) log0,53+ log0,5х= log0,512; log0,5х= log0,54; х=4; в) log513+ log5х= log539; log5х= log53; х=3;
г) log1 3 8+ log1 3 х= log1 3 4; log1 3 х= log1 3
1 1 ; х= . 2 2
1531. а) log23х= log24+ log26; log23х= log224; х=8;
134
б) log
x = log 2
3
3
6+ log
3
2; log
3
x = log 2
3
12; х=24;
в) log45х= log435− log47; log45х= log45; х=1; г) log
2
(
x )= log 3
2
15− log
2
6; log
2
x = log 3
2
5 15 ; х= . 2 2
б) lg(9⋅10−3)=lg9−3; г) lg(9⋅10−5)=lg9−5.
1532. а) lg(9⋅102)=lg9+2; в) lg(9⋅104)=lg9+4;
1533. а) lg(lg50) = lg(1+lg5)≈lg(1,7); б) lg(lg(0,005))=lg(lg5−3), т. к. lg5−3<0, то это не удовлетворяет ОДЗ; в) lg(lg5000)=lg(3+lg5)≈lg(3,7); г) lg(lg(0,00005)), т. к. lg0,00005<0, то это не удовлетворяет ОДЗ. 1534. а) log
2
sin
π + log 8
2
2cos
π = log 8
2
(2sin
π π cos )= log 8 8
2
2 = 2
=1−2=−1;
π π π π +sin )+ log1 2 (cos −sin )= 6 6 6 6 π 2 π 2 π −sin )= log1 2 cos =log1/21/2 = 1; = log1 2 (cos 6 6 3 π π π в) log1 2 2sin + log1 2 cos = log1 2 sin =1; 12 12 6 π π π π −sin ) + log 3 2 (cos +sin )= г) log 3 2 (cos 12 12 12 12 π π π⎞ ⎛ = log 3 / 2 ⎜ cos 2 − sin 2 ⎟ = log 3 2 cos =1. 12 12 ⎠ 6 ⎝ б) log1 2 (cos
π π π − log3(1−tg2 )= log3tg =0; 8 8 4 π π б) log 3 tg + log 3 ctg = log 3 1=0; 19 19 π π π 1 в) log1 3 2tg + log1 3 (1−tg2 )−1= log1 3 tg =− ; 2 6 6 3 π 5 π π π= log1 2 tg + log1 2 сtg = log1 2 1=0. г) log1 2 tg + log1 2 tg 7 7 7 14
1535. а) log32tg
1536. а) 361 2 log 6 18 = 6log 6 18 =18; б) 641 4 log 8 25 = 8log8 5 =5;
в) 1211 2 log11 35 = 11log11 35 =35; г) 251 4 log5 9 = 5log5 3 =3. 1+1 2log1 2 14
⎛1⎞ 1537. а) ⎜ ⎟ ⎝ 4⎠
=
1 ⎛ 1 ⎞log1 2 14 7 = ; ⋅ 4 ⎜⎝ 2 ⎟⎠ 2 135
log5
б) 251−1 2log5 11 =25⋅ 5 1+1 2log1 3 18
⎛1⎞ в) ⎜ ⎟ ⎝9⎠
=
1 9
1 11
⎛1⎞ ⋅⎜ ⎟ ⎝ 3⎠
=
25 ; 11
log1 3 18
=2;
г) 491−1 2log7 14 =49⋅ 7
log7
1 14
=
7 . 2
1 log3 64 − 2log3 2 3log3 2 − 2log3 2 = 1538. а) 2 =1; log3 2 log3 2 б)
log 6 12 + 2log 6 2 1 3
в) г)
=
log 6 27 + 4log 6 2
log 6 48 =1; log 6 48
2log 0,5 2 + log 0,5 10 log 0,5 10 − log 0,5 10 + log 0,5 4 log 0,3 16 log 0,3 15 − log 0,3 30
=
4log 0,3 2 − log 0,3 2 4
1539. а) log34∨ 4 2 ; 4∨ 3 4
3
6 2 <31,2= 3 5
2
=
log 0,5 4 10 log 0,5 4 10
=1;
=−4.
;
; 45∨36; 1024>729; log34> 4 2 ;
б) log23∨ 3 7 ; 3∨ 2
3
7
; 2
3
5 7
>22,5= 2 2 ; 32∨25; 9<32; log23< 3 7 .
1540. а) logх8−logх2=2; logх4=2; x2 = 4; х = 2; б) logх2+ logх8=4; logх2(3+1)=4; logх2=1; х=2; в) logх3+ logх9=3; logх3(1+2)=3; logх3=1; х=3;
г) logх 5 + logх(25 5 )=3; logх 5 + logх 5 +4 logх 5 =3; logх 5 =1/2; х=5. 1541. log32=а; log35=b; а) log310= log32+ log35=a+b; б) log320=2 log32+ log35=2a+b; в) log350=2 log35+ log32=a+2b; г) log3200= log32+ log32+2 log35+ log32=3a+2b. 1542. log53=m; log52=n; а) log56= log53+ log52=m+n; б) log518=2 log53+ log52=2m+n; в) log524= log53+3 log52=m+3n; г) log572=2log53+3 log52=2m+3n. 1543. log1 2 7=с; log1 2 3=а;
а) log1 2 21= log1 2 3+ log1 2 7=а+с; б) log1 2 136
1 =− log1 2 7− log1 2 3+1=1−а−с; 42
в) log1 2 147=2 log1 2 7+ log1 2 3=2с+а;
49
г) log1 2
3
=2 log1 2 7−
1 1 log1 2 3=2с− а. 2 2
1544. а) б) 4– – 2– –
2– –
Y
0 –
0 |
|
– -2– – -4–
X
|
|
2
в)
Y -4– – 0– 6
X
|
|
0– -4–
|
|
6
|
|
|
18
12
1545. а)
0 – -4–
|
|
2
|
|
X
г)
Y
4– –
Y
X
|
|
|
|
|
|
|
18
12
б)
Y
Y |
|
|
|
2– –
X
0 – -2–
4
2
в)
X |
|
|
|
|
|
2
6
4
г) 4– –
–Y 2– – |
0 – -2–
X |
|
|
2
|
|
6
4
Y |
0
|
|
|
2
– -4– –
X
1546. а) б) –Y 4– – 2– – 0 –
в)
|
|
2
|
X |
4
4– – 2– – 0 –
Y
|
|
|
X |
2
г)
137
4– – 2– –
Y
0
– -2–
Y |
0 – -2– – -4–
|
2 X
|
X |
|
|
4
2
|
|
|
6
§ 51. Логарифмические уравнения 1547. а) log2х=3; х=8;
в) log2х=
б) log2х=−2 х=
1 ; х= 2 ; 2
1548. а) log5х=2; х=25;
в) log0,2х=4; х=
1 ; 4
г) log2х=−
1 2 ; х= . 2 2
б) log1 3 х=−1; х=3;
1 ; 625
г) log7х=
1 log3 2 ; х= 3 7 . . log3 2 3
⎧3x − 6 > 0 ⎧ x > 2 1549. а) log2(3х−6)=log2(2х−3); ОДЗ: ⎨ ; ⎨ ⇒ x > 2; ⎩2x − 3 > 0 ⎩ x > 1,5 3х−6=2х−3; х=3; б) log6(14−4х)= log6(2х+2); 14−4х=2х+2; 6х=12; х=2; ⎧14 − 4x − 6 > 0 ⎧ x < 3,5 в) log1 6 (7х−9)= log1 6 х; ОДЗ: ⎨ ; ⎨ ⇒ x ∈ (−1;3,5) ⎩ 2x + 2 > 0 ⎩ x > −1 7х−9=х; х=3/2; ⎧7x − 9 > 0 г) log0,2(12х+8)= log0,2(11х+7); ОДЗ: ⎨ ⇒ x > 9 / 7 ; 12х+8=11х+7; ⎩x > 0 х=−1, не проходит по ОДЗ.
⎪⎧ x 2 + 6 > 0 1550. а) log3(х2+6)=log35х. ОДЗ : ⎨ ⇒ x > 0 ; х2−5х+6=0; х=3, х=2; ⎪⎩5x > 0 б) log1 2 (7х2−200)= log1 2 50х; ОДЗ: х> 7х2−50х−200=0;
200 ; 7
D 25 − 45 =625+1400=452; х= не подходит, х=10; 7 4
⎧x + 6 >0 ⎪ в) lg(х2−6)=lg(8+5х); ОДЗ: ОДЗ : ⎨ ⇒ x > 6 ; х2−5х−14=0; 8 ⎪x > − 5 ⎩
138
х=−2 не подходит; х=7. ⎧x > 8 ⎪ 2 г) lg(x −8)=lg(2−9x); ОДЗ : ⎨ 2 ; х<− 8 ; х +9х−10=0; х=1 не подходит, ⎪x < 9 ⎩ х=−10. 2
⎡ x< − 2 − 2 6 1551. а) log0,1(х2+4х−20)=0; ОДЗ : x 2 + 4x − 20 > 0; ⎢ ⎢⎣ x > −2 + 2 6 х2+4х−20=1; х2+4х−21=0; х=−7, х=3; ⎡ x < 5 − 15 2 б) log1 3 (х2−10х+10)=0; ОДЗ : x 2 − 10x + 10 = 0; ⎢ ; х −10х+10=1; ⎢⎣ x > 5 + 15 х2−10х+9=0; х=9, х=1; в) log7(х2−12х+36)=0; ОДЗ : x 2 − 12x + 36 > 0; ∀x ≠ 6 ; х2−12х+36=1; х2−12х+35=0; х=7, х=5; г) log12(х2−8х+16)=0; ОДЗ : x 2 − 8x + 16 > 0; ∀x ≠ 4 ; х2−8х+16=1; х2−8х+15=0; х=3, х=5. 1552. а) log3(х2−11х+27)=2; ⎡ 11-2 3 ⎢x < 2 ОДЗ : x 2 − 11x+27=0; ⎢ ; х2−11х+27=9; х2−11х+18=0; х=9, х=2; ⎢ 11+2 3 ⎢x > 2 ⎣ ⎡ −1 − 21 ⎢x < 2 2 2 б) log1 7 (х +х−5)=−1; ОДЗ : x + x − 5 > 0; ⎢ ; х2+х−5=7; ⎢ −1+ 21 ⎢x > 2 ⎣ 2 х + х − 12 = 0; х = −4, х = 3; ⎧x > 5 ; х2−3х−10=8; в) log2(х2−3х−10)=3; ОДЗ : x 2 + 3x − 1 > 0; ⎨ ⎩ x < −2
х2−3х−18=0; х = 6, х = −3; ⎡ −3 − 13 ⎢x < 2 2 2 г) log1 3 (х +3х−1)=−2; ОДЗ : x + 3x − 1 > 0; ⎢ ⎢ −3+ 13 ⎢x > 2 ⎣ х2+3х−1=9; х2+3х−10=0; х=−5, х=2. 1553. а) log2(х2+7х−5)=log2(4х−1);
139
⎧⎡ −7 − 69 ⎪⎢ x < 2 ⎧⎪ x 2 +7x − 5 > 0 ⎪⎪ ⎢ −7+ 69 2 ОДЗ : ⎨ ; ⎨⎢ х +7х−5=4х−1; −7+ 69 ⇒ x > 2 x > ⎢ ⎪⎩4x − 1 > 0 ⎪ 2 ⎪⎣ ⎩⎪ x > 1/ 4 х2 + 3х − 4 = 0; х = −4 не подходит, х = 1; 7 ⎪⎧− x 2 + 5x + 7 > 0; ⎧∀x б) log0,3(−х2+5х+7)=log0,3(10х−7); ОДЗ : ⎨ ; ; х> ⎨ x > 7 /10 10 ⎩ ⎩⎪10x − 7 > 0 −х2+5х+7=10х−7; х2+5х−14=0; х=−7 не подходит, х=2; в) log2(х2+х−1)=log2(−х+7); ⎡⎧ −1 − 5 x> ⎧ x + x − 1 > 0 ⎢⎢ ⎪⎪ 2 ⎛ −1 − 5 ⎞ ⎛ −1 + 5 ⎞ ⎪ ⎨ ⎢ ОДЗ : ⎨ ; ;7 ⎟⎟ ; −1 − 5 ⎢ ⎪ x > −1 + 5 ⇒ x ∈ ⎜⎜ −∞; 2 ⎟⎟ ∪ ⎜⎜ 2 ⎪x < ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪ 2 ⎢⎩ 2 ⎩ ⎢x < 7 ⎣ 2
х2+2х−8=0; х=−4, х=2; ⎡ ⎧ x < −1 ⎧⎪ x 2 − 4x − 5 < 0 ⎢ ⎨ г) log0,2(−х2+4х+5)=log0,2(−х−31); ОДЗ: ⎨ ; ⎢ ⎩ x > 5 х<−31; ⎪⎩ x < −31 ⎢ ⎣ x < −31 2 х − 5х − 36 = 0; х = −4, х = 9 ни один не подходит.
1554. а) log 22 х−4log2х+3=0; ОДЗ: х > 0; log2х=3; х=8; log2х=1; х=2;
б) log 24 х−log4х−2=0; ОДЗ: х > 0; log4х=2; х=16; log4х=−1; х=
1 ; 4
в) log12 2 х+3 log1 2 х+2=0; ОДЗ: х > 0; log1 2 х=−2; х=4; log1 2 х=−1; х=2; 2 г) log 0,2 х+log0,2х−6=0; ОДЗ: х > 0; log0,2х=−3; х=125; log0,2х=2; х=
1555. а) 2 log 52 х+5log5х+2=0; ОДЗ: х > 0; log5х=
log5х=−
−5 − 3 1 =−2; х= ; 4 25
1 5 ; х= ; 2 5
б) 3 log 24 х−7log4х+2=0; ОДЗ: х > 0; log4х=
7−5 1 = ; х= 3 4 ; log4х=2; х=16; 6 3
2 х−7log0,3х−4=0; ОДЗ: х > 0; log0,3х= в) 2 log 0,3
140
1 . 25
10 7−9 1 =− ; х= ; 3 4 2
log0,3х=4; х=0,0081; г) 3 log12 2 +5 log1 2 х−2=0; ОДЗ: х > 0; log1 2 х= log1 2 х=
−5 − 7 =−2; х=4; 6
1 1 ; х= 3 . 2 3
1556. а) log2х= log23+ log25; ОДЗ: х > 0; log2х= log215; х=15; б) log74= log7х− log79; ОДЗ: х > 0; log7х= log736; х=36;
в) log1 3 4+ log1 3 х= log1 3 18; ОДЗ: х > 0; log1 3 х= log1 3
9 9 ; х= ; 2 2
г) log0,49− log0,4х= log0,43; ОДЗ: х > 0; log0,4х= log0,43; х=3. 1557. а) 2log8х= log82,5+ log810; ОДЗ: х > 0; х2=25; х=5; х=−5 не подходит;
б) 3log2
1 1 − log2 = log2х; ОДЗ: х > 0; log2х= log24; х=4; 2 32
в) 3 log1 7 х= log1 7 9+ log1 7 3; ОДЗ: х > 0; log1 7 х3= log1 7 27; х=3; г) 4log0,1х= log0,12+ log0,18; ОДЗ: х > 0; х4=16; х=2, х=−2 не подходит. ⎧x > 2 ⎪ 1558. а) log3(х−2)+ log3(х+2)= log3(2х−1); ОДЗ: ⎨ x > −2 х>2; ⎪ x > 1/ 2 ⎩
log3(х2−4)= log3(2х−1); х2−2х−3=0; х=3, х=−1 не подходит; ⎧ x > −4 ⎪ б) log11(х+4)+ log11(х−7)= log11(7−х); ОДЗ: ⎨ x > 7 х∈∅. Нет решений; ⎪x < 7 ⎩ в) log0,6(х+3)+ log0,6(х−3)= log0,6(2х−1); log0,6(х2−9)= log0,6(2х−1); х2−2х−8=0; ⎧ x > −3 ⎪ ОДЗ: ⎨ x > 3 х>3; х=4, х=−2 не подходит; ⎪ x > 1/ 2 ⎩ г) log0,4(х+2)+ log0,4(х+3)= log0,4(1−х); ⎧ x > −2 ⎪ ОДЗ: ⎨ x > −3 х∈(−2; 1); log0,4(х2+5х+6)= log0,4(1−х); х2+6х+5=0; х=−5 не ⎪x < 1 ⎩ подходит, х=−1. 1559. а) log23(2х−1)−log23х=0; ОДЗ: х>
1 ; 2х−1=х; х=1; 2
б) log0,5(4х−1)−log0,5(7х−3)=1; 3 1 ⎧ x > 3/ 7 ОДЗ: ⎨ х> ; 4х−1= (7х−3); х=−1 — не подходит ⇒ нет решения. 7 2 ⎩ x > 1/ 4 141
⎪⎧ x 2 -5x+8 > 0 ⎧∀x в) log3,4(х2−5х+8)−log3,4х=0; ОДЗ: ⎨ ; ⎨ ; ⎩ x>0 ⎩⎪ x>0 х2−6х+8=0; х=4, х=2; г) log1 2 (х+9)− log1 2 (8−3х)=2; ОДЗ: х∈(−9;
8 ); 4(х+9)=8−3х; 3
7х=−28; х=−4. 1560. а) f(x)=log3(5x−2); f(3x−1)=log3(15x−7); log3(5x−2)=log3(15x−7); 7 1 ⎧x > 2 / 5 ОДЗ: ⎨ ;х> ; 5х−2=15х−7; 10х=5; х= ; 15 2 ⎩ x > 7 /15
б) f(x)=log2(8x−1); f(
x +5)=log2(4x+39); log2(8x−1)=log2(4x+39); 2
⎧ x > 1/ 8 ; х > 1/8; 8х − 1 = 4х + 39; 4х = 40; х = 10; ОДЗ: ⎨ ⎩ x > −(39 / 4) ⎪⎧log (x 2 + 3x − 2) − log 2 y = 1 1561. а) ⎨ 2 ; у=3х−2; log2(х2+3х−2)=log2(6х−4); ⎪⎩3x − y = 2
⎧⎡ −3 − 17 ⎪⎢ x < 2 2 ⎪⎧ x 2 + 3x − 2 > 0 ⎪⎪ ⎢ ОДЗ: ⎨ ; ⎨⎢ −3 + 17 ; х> ; 3 x > ⎪⎢ ⎩⎪ x > 2 / 3 2 ⎪⎣ ⎪⎩ x > 2 / 3 x2−3х+2=0; х=2, у=4; х=1, у=1; ⎧⎪2x + y = 7 ⎪⎧ y = 7 − 2x ; ⎨ 2 б) ⎨ ; 2 ⎪⎩log3 (x + 4x − 3) − log3 y = 1 ⎪⎩ x + 4x − 3 = 21 − 6x ⎧ ⎡ x < −2 − 7 ⎧⎪ x 2 + 4x − 3 > 0 ⎪ ⎢ 7 ОДЗ: ⎨ ; ⎨ ⎣⎢ x > −2 + 7 ; х< ; х2+10х–24=0; 2 x 2x 0 − > ⎪ ⎩⎪ ⎩x > 7 / 2 х=−12, у=31; х=2, у=3. 1562. а) 7 log 52 (2х)−20log5(2х)−3=0; ОДЗ: х > 0
log52х=
10 − 11 1 1 1 125 =− ; 2х= ; х= ; log52х=3; х= . 7 7 7 2 5 27 5
⎧ x < −1 б) log12 2 (х2+х)+ log1 2 (х2+х)=0; ОДЗ : x 2 + x > 0; x(x + 1) > 0; ⎨ ; ⎩x > 0
log1 2 (х2+х)=0; х2+х−1=0; х= 142
−1± 5 =0; log1 2 (х2+х)=−1; х2+х=2; 2
х2+х−2=0; х=−2, х=1; 2 в) log 0,3 (х+1)−4log0,3(х+1)+3=0; ОДЗ: х > –1;
log0,3(х+1)=3; х+1=0,027; х=−0,973; log0,3(х+1)=1; х+1=0,3; х=−0,7;
1 x2 + 1 )=1; ОДЗ : x + 1/ x > 0; > 0; x x 1 1 log2(х+ )=1; х2−2х+1=0; х=1; log2(х+ )=−1; 2х2−х+2=0. Решений нет. x x 9 1563. а) lg2х−lgх+1= ; ОДЗ: х > 0; lg2х−lgх+1+ lg3х−lg2х+lgх−9=0; lg 10 x lg3х=8; lgх=2; х=100; 37 ; б) log32 x +3log3х+9= log3 (x / 27) г) log 22 (х+
log 33 х+3 log32 х+9 log32 −3 log32 x−9log3х−27=37; log 33 х=64; log3х=4; х=81;
9 ; ОДЗ: х > 0; x 1/100; lg100x 2 lg2х−4 lgх+8+ lg3х−2 lg2х+4 lgх=9; lg3х=1; lgх=1; х=10; −218 ; ОДЗ: х > 0; x ≠ 128; г) log 22 х+7log2х+49= log 2 (x /128) в) lg2х−2 lgх+4=
log 33 х+7 log 22 х+49log2х−7log2х−49log2х−343=−218; log 32 х=125; log2х=5; х=32.
1564. а) x log3 x =81; ОДЗ: х > 0; прологарифмируем по основанию 3: log 32 х=4; log3х=±2; х=9; х=1/9;
б) x
log0,5 x
=1/16; ОДЗ: х > 0; прологарифмируем по основанию 1/2:
log12 2 х=4; log1/2x = ± 2; х=1/4; х=4; в) x log2 x =16; ОДЗ: х > 0; прологарифмируем по основанию 2: log 22 х=4; log2x = ± 2; х=4; х=1/4;
1 1 ; ОДЗ: х > 0; прологарифмируем по основанию : 81 3 1 log12 3 х=4; log1/3x = ± 2; х=9; х= . 9
г) x
log1 3 x
=
1565. а) x1+ log3 x =9; ОДЗ: х > 0; log 32 х+log3х−2=0; log3х=−2; х=
1 ; 9
log3х=1; х=3; б) x
log0,5 x − 2
2 =0,125; ОДЗ: х > 0; log 0,5 х−2log0,5х−3=0; log0,5х =3; х=0,125;
143
log0,5х =−1; х=2;
1 1 ; ОДЗ: х > 0; log 22 х+5log2х=−4; log2х=−1; х= ; 16 2 1 log2х=−4; х= ; 16
в) x 5+ log2 x =
г) x
log1 3 x − 4
=27; ОДЗ: х > 0; log12 3 х−4 log1 3 х+3=0; log1 3 х=3; х=
log1 3 х=1; х=
1 ; 27
1 . 3
⎧(x − 3)(x + 5) > 0 x−3 ⎡ x < −5 ⎪ ; ⎢ =2; ОДЗ: ⎨ x − 3 ; x +5 ⎣x > 3 ⎪⎩ x + 5 > 0 2log2|х−3|=2; |х−3|=2; х=1 не подходит; х=5; ⎧(x + 3)(x + 5) > 0 x+3 ⎡ x < −5 ⎪ )=4; ОДЗ : ⎨ x + 3 б) log3(х+3)(х+5)+ log3( ; ⎢ x +5 > 0 ⎣ x > −3 ⎪⎩ x + 5 log3|х+3|=2; |х+3|=9; х=6, х=−12. 1566. а) log2(х−3)(х+5)+ log2
1567. а) lg100х⋅ lgх=−1; ОДЗ: х > 0; lg2х+2 lgх+1=0; lgх=−1; х=
1 ; 10
1 ; lg2х+2 lgх+1+ lgх+1−6−3 lgх=0; x 1 lg2х=4; lgх=±2; х=100; х= . 100
б) lg210х+ lg10х=6−3 lg
1568. а) 2 lgх2− lg2(−х)=4; ОДЗ: х<0; lg2(−х)−4 lg(−х)+4=0; lg(−х)=2; х=−100;
б) lg2х3+ lgх2=40; ОДЗ: x>0; 9 lg2х+2 lgх−40=0; lgх= х=
1 1020 / 9
; lgх=
−1 − 19 20 =− ; 9 9
18 =2; х=100. 9
1569. а) log5(6−5х)=1−х; ОДЗ: 5х<6; 6−5х=51−х; 52х−6⋅5х+5=0; 5х=5; х=1; 5х=1; х=0; б) log3(4⋅3х−1−1)=2х−1; ОДЗ: 3х−1>1/4; 4⋅3х−1−1=32х−1; 32х−4⋅3х+3=0; 3х=3; х=1; 3х=1; х=0. 1570. а) log9(3х+2х−20)=х−хlog93; ОДЗ: 3x+2x–20>0;
3х+2х−20= 9x − x log9 3 ; 3х+2х−20=9х⋅3−х; 2х−20=0; х=10; lg 2 x −1
−4 − 2lg x 2
2 ⎛2⎞ ⎛5⎞ = 6, 25−2 − lg x ; ОДЗ: х>0; ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ; ⎝5⎠ ⎝2⎠ lg2х−1=4+4 lgх; lg2х−4 lgх−5=0; lgх=5; х=10000; lgх=−1, х=1/10.
б) 0, 4lg
144
2
x −1
1571. 2
а) 6log6 x + x log6 x =12; ОДЗ: х > 0; x log6 x =6; log 62 х=1; х=6; х= б) 10lg
2
x
+ 9x lg x =1000; ОДЗ: х > 0; хlgх=100; lg2х=2; lgх=± 2 ; х= 10±
⎧x + y > 0 ⎧log 5 (x + y) = 1 ⎪ ; 1572. а) ⎨ ; ОДЗ: ⎨ x > 0 + = log x log y 1 6 6 ⎩ ⎩⎪ y > 0
2
.
⎧x = 5 − y ; ⎨ 2 ⎩log 6 (5y − y ) = 1
{ {
⎡ ⎢ у −5у+6=0; ⎢ ⎢ ⎢⎣ 2
1 ; 6
y=2 x −3 . y=3 x=2
⎧ x + 2y > 0 ⎧⎪log 0,5 (x + 2y) = log 0,5 (3x + y) x>0 ⎪⎪3x + y > 0 ; ОДЗ : ⎨ 2 б) ⎨ ⇒ 2 y>0 x − y > 0 ⎪⎩log 7 (x − y) = log 7 x ⎪ ⎪⎩ x > 0
{
⎧ y = 2x ; х2−3х=0; х=0, у=0 не подходит; х=3, у=6; ⎨ 2 ⎩log 7 (x − 2x) = log 7 x ⎧x > −y ⎪ ⎧x = 3 + y ⎧log (x − y) = 1/ 2 ; в) ⎨ 9 ; ОДЗ : ⎨ x > 0 ; ⎨ ⎩log 64 (3 + y) = log 64 4y ⎩log 64 x − log 64 y = 1/ 3 ⎪⎩ y > 0
{
x = 3+ y у=1; х=4; 3 = 3y
⎧3x − y > 0 ⎧⎪log1 3 (3x − y) = log1 3 (x + 4) ⎪ ОДЗ : ; г) ⎨ ; ⎨ x > −4 2 2 ⎪⎩log 9 (x + x − y) = log9 x ⎪x 2 + x − y > 0 ⎩ ⎧ y = 2x − 4 ⎨ 2 2 ; х = 4; у = 4. ⎩x − x + 4 = x
{
{
⎧ x y x > 0 x + y = 4 ⎧x = 4 − y ; 1573. а) ⎨2 2 = 16 ; ОДЗ : ; ⎨ ; 2 y > 0 xy = 3 ⎩4y − y = 3 ⎩log 3 x + log 3 y = 1
{ {
⎡ y=3 ⎢ x =1 . у −4у+3=0; ⎢ ⎢ y =1 ⎢⎣ x = 3 ⎧ 1 2x 1 − y 1 x > 0 2x − y = 3 ⎪( ) ( ) = б) ⎨ 3 3 27 ; ОДЗ: y > 0 ; log 2x = log 4y ; 2 2 ⎩⎪log 2 2x − log 2 y = 2 2
{
{
145
{
y = 2x − 3 ; 6х=12; х=2, у=1; log 2 2x = log 2 (8x − 12)
⎧ x y ; в) ⎨9 ⋅ 3 = 81 ⎩log 2 x + log 2 y = 1
⎧⎪ y = 4 − 2 x ; х2−2х+1=0; х=1, у=2; ⎨ ⎪⎩4 x − 2 x 2 + 1 = 0
⎧(1/ 2) x ( 2) y = log9 3 ; ⎩log 4 y − log 4 x = 1
г) ⎨
⎧− x + (y / 2) = −1 ⎨log y = log 4x ; 4 ⎩ 4
⎧ y = −2 + 2 x ; ⎨ ⎩− 2 + 2 x = 4 x
х=−1, решений нет.
⎧log 2 (x − y) − log 2 3 = 2 − log 2 (x + y)
1574. а) ⎨ ⎩log1 2 (x − y) = −2
;
⎧x = 4 + y ⎨2 − log 3 = 2 − log (2y + 4) ; 2 2 ⎩ log2(2у+4)=log23; у=−(1/2), х=3(1/2);
⎧log3 (x + 2y) − 2 log 3 4 = 1 − log 3 (x − 2y)
б) ⎨ ⎩log1 4 (x − 2y) = −1
;
⎧x = 4 + y ⎨log (4 + 4y) = 1 + 2 log 4 − log 4 ; log3(4+4у)=log312; у=2, х=8. 3 3 ⎩ 3 ⎧⎪2 log y + 3x 2 +5x −5 = 7 ⎧⎪log3 y = 2, y = 9 3 ; ⎨ ; 2 x 2 + 5x −5 =7 ⎪⎩3log 3 y − 3x +5x −5 = 3 ⎪⎩4 + 3
1575. а) ⎨
х2+5х−5=1; х2+5х−6=0; х=−6; х=1;
⎧⎪2 log x + 2 y2 + 4y − 4 = 8 2 ; б) ⎨ y 2 + 4y − 4 = 11 ⎩⎪3log 2 x + 2
⎧⎪log 2 x = 3, x = 8 2 ; у +4у−5=0; у=−5; у=1. ⎨ y2 + 4y − 4 =2 ⎪⎩2
§ 52. Логарифмические неравенства 1576. а) log2х≥4; х≥16;
в) log2х<
1 ; х∈(0; 2
2 );
б) log2х≤−3; х≤ г) log2х>−
1 , х>0; 8
3 1 ; х> . 2 2
1577. а) log1/3х ≤ 2; х ≥ 1/9;
б) log1/2х≥−3; х∈(0; 8);
1 в) log0,2х<3; х> ; 125
г) log0,1х>−
1578. а) log5(3х+1)<2; (3х+1)∈(0; 25); х∈(−
146
1 ; х∈(0; 2
1 ; 8); 3
10 ).
б) log0,5 в) log1/4 г) log
x x ≥−2; ∈(0; 4); х∈(0; 12); 3 3 x x 1 5 >1; ∈(0; ); х∈(0; ); 5 5 4 4
3
(2х−3)<4; (2х−3)∈(0; 9); х∈(
1579. а) log5х>log5(3х−4); ОДЗ: х>
3 ; 6). 2
4 4 ; 2х<4; х<2; х∈( ; 2); 3 3
1 ; х>1; 2 9 9 в) log1 3 (5х−9)≥ log1 3 4х; ОДЗ: х> ; х≤9; х∈( ; 9]; 5 5 4 4 г) log3(8−6х)≤log32х; ОДЗ: х∈(0; ); 8≤8х; х≥1; х∈[1; ). 3 3 б) log0,6(2х−1)
9 9 ; 2х≤10; х∈( ; 5]; 5 5 1 1 б) log0,4(12х+2)≥ log0,4(10х+16); 2х≤14; ОДЗ: х>− ; х∈(− ; 7]; 6 6 в) log1/3(−х)> log1 3 (4−2х); ОДЗ: х<0; −х<4−2х; х∈(−∞; 0); 1580. а) log2(5х−9)≤log2(3х+1); ОДЗ: х>
г) log2,5(6−х)< log2,5(4−3х); ОДЗ: х<
4 ; 6−х<4−3х; 2х<−2; х<−1. 3
1581. а) log3(х2+6)< log35х; ОДЗ: х>0; х2−5х+6<0; х∈(2; 3); б) log0,6(6х−х2)> log0,6(−8−х); 6х−х2<−8−х; ОДЗ: 6х−х2>0; х∈(0; 6); х2−7х−8>0, нет решений;
⎡x > 2 2
в) lg(х2−8)≤ lg(2−9х); х2−8≤2−9х; ОДЗ: х2−8>0; ⎢
⎢⎣ x < −2 2
2
х +9х−10≤0; х∈[−10; −2 2 ); г) l o g 2 (х2+10х)≥ log 2 (х−14); х2+10х>х−14; ОДЗ: х>14; х2+9х+14>0; х>14. 1582. а) log1/2(6−х)≥ log1/2х2; 6−х≤х2; ОДЗ: х<6; х2+х−6≥0; х∈(−∞; −3]∪(2; 6); б) log0,3(х2+22)< log0,313х; ОДЗ: х>0; х2+22>13х; х2−13х+22>0; х∈(0; 2)∪(11; +∞);
в) log1/4(−х−6)≤ log1/4(6−х2); −х−6≥6−х2; ОДЗ: 6−х2>0; х∈(− 6 ; х2−х−12≥0, решений нет;
6 );
147
⎡ x > 27
г) log0,5(х2−27)> log0,5(6х); х2−27<6х; ОДЗ: ⎢
⎢⎣ x < − 27
;
х2−6х−27<0; х∈( 27 ; 9). 1583. а) log8(х2−7х)>1; х2−7х>8; х2−7х−8>0; х∈(−∞; −1)∪(8; +∞); б) log1/2(х2+0,5х)≤1; х2+(1/2)х≥(1/2); 2х2+х−1≥0; х∈(−∞; −1]∪[ 1/2; +∞); в) log2(х2−6х+24)<4; 0<х2−6х+24<16; х2−6х+8<0; х∈(2; 4);
10 x 10 x 1 10 x )≥2; 0<−х2+ ≤ ; х∈(0; ); 9 9 9 9 1 1 10 9х2−10х+1≥0; х∈(−∞; ]∪[1; +∞). Итого: х∈(0; ]∪[1; ). 9 9 9
г) log1/3(−х2+
1584. а) l o g 22 х>4log2х−3; ОДЗ: х>0;
l o g 22 х−4log2х+3>0; log2х∈(−∞; 1)∪(3; +∞); х∈(−∞; 2)∪(8; +∞); х∈(0; 2)∪(8; +∞); б) l o g12 2 х+3 log1 2 х<−2; ОДЗ: х>0;
⎧ x ∈ ( 0;4 ) l o g12 2 х+3log1/2х+2<0; log1/2х∈(−2; −1); ⎨ . Итого: х∈(2; 4); ⎩ x ∈ ( 2;+∞ ) в) l o g 24 х+log4х≤2; ОДЗ: х>0;
l o g 24 +log4х−2≤0; log4х∈[−2; 1]; х∈[
1 ; 4]; 16
2 х+log0,2х−6≥0; ОДЗ: х>0; log0,2х∈(−∞; −3]∪[2; +∞); г) log 0,2
⎡ x ∈ [125; +∞) ⎢ x ∈ (0; 0, 04] . Итого: х∈(0; 0,04]∪[125; +∞). ⎣
⎡ log 5 x ≤ −2 1; ⎢ log 5 x ≥ − ⎣ 2
2 1585. а) 2 log 5 х+5log5х+2≥0; ОДЗ: x>0; ⎢
х∈(0;
5 1 ]∪[ ; +∞); 5 25
2 х−7log0,3х−4≤0; ОДЗ: х>0; log0,3х∈[− б) 2 log 0,3
⎧ 10 ⎪ x ∈ (0; ] ; х∈[0,0081; ⎨ 3 ⎪ x ∈ [0, 0081; +∞) ⎩ 148
10 ]; 3
1 ; 4]; 2
в) 3 log 24 х−7log4х+2<0; ОДЗ: х>0; log4х∈(
г)
3 log12 3 х+5 log1 3 х−2>0;
х∈(0;
3
1 ; 2); х∈( 3 4 ; 16); 3
⎡ log1 3 x < −2 ОДЗ: х>0; ⎢ ; ⎢ log1 3 x > 1 ⎢⎣ 3
⎡ 1 ⎢ x ∈ (0; 3 ) ; 3 ⎢ ⎢⎣ x ∈ (9; +∞)
1 )∪(9; +∞). 3
1586. а) log 22 х2−15log2х−4≤0; ОДЗ: х>0; 4 log2х−15 log2х−4≤0;
log2х∈[−
1 1 ; 4]; х∈[ 4 ; 16]; 2 4
б) в учебнике, по-видимому, опечатка.
log12 3 х2−7 log1 3 х+3≤0; ОДЗ: х>0; ⎧
1
x ∈ (0; 4 ] 3 ⎪⎪ 27 ; х∈[ 1 ; 4 log12 3 х−7 log1 3 х+3≤0; log1 3 х∈[ ; 1]; ⎨ 4 3 1 ⎪ x ∈ [ ; +∞) ⎪⎩ 3
1 4
27
];
в) log 32 х2+13log3х+3<0; ОДЗ: х<0; 4 log 32 х2+13log3х+3<0; log3х∈(−3; −
1 1 1 ); х∈( ; ); 4 27 4 3
г) log12 5 х2−31 log1 5 х−8<0; ОДЗ: х<0; 4 log12 5 х2−31 log1 5 х−8<0; log1 5 х∈(−
1 ; 8); 4
1 ⎧ ⎪⎪ x ∈ (0; 4 5 ) 1 1 ; х∈( ; ). ⎨ 4 390625 1 5 ⎪x ∈ ( ; +∞) ⎪⎩ 390625 1587. а) log3х> log372− log38; ОДЗ: х>0; log3х>2; х>9; б) 3 log1 3 х< log1 3 9+ log1 3 3; ОДЗ: х>0; log1 3 х<−1; х>3;
в) log5х− log535≤ log5
1 ; ОДЗ: х>0; log5х≤1; х∈(0; 5]; 7
г) 4log0,6х≥ log0,68+ log0,62; ОДЗ: х>0; х4≤16; х∈(0; 2]. 1588. а) log1 3 =+ log1 3 (4−х)>−1; ОДЗ: х∈(0; 4);
log1 3 (4х−х2)> log1 3 3; 4х−х2<3; х2−4х+3>0; х∈(0; 1)∪(3;4); 149
б) log2(7−х)+ log2х≥1+ log23; ОДЗ: х∈(0; 7); log2(7х−х2)≥ log26; х2−7х+6≤0; х∈[1; 6]; в) lg(7−х)+ lgх>1; ОДЗ: х∈(0; 7); lg(7х−х2)>1; х2−7х+10<0; х∈(2; 5); г) log1 2 х+ log1 2 (10−х)≥−1+ log1 2 4,5; ОДЗ: х∈(0; 10);
log1 2 (10х−х2)≥ log1 2 9; х2−10х+9≥0; х∈(0; 1]∪[9; 10). 1589. а) log7(6х−9)< log7(2х+3); ОДЗ: х>3/2;
log7(
6x − 9 6x − 9 − 2 x − 3 4 x − 12 )<0; <0; <0; 2x + 3 2x + 3 2x + 3
+
–
3 − 2
3 2
+ X 3
х∈(3/2; 3); х=2; б) log1 5 (2−х)≥ log1 5 (2х+4); ОДЗ: х∈(−2; 2); log1 5 (
2−x )≥0; 2x + 4
2 − x − 2x − 4 −3x − 2 ≤0; ≤0; 2x + 4 2x + 4 –
+ -2
х∈[−
X
– 2 − 3
2
2 ; 2); х=1; 3
в) lg(8х−16)< lg(3х+1); ОДЗ: х>2; lg( +
–
1 − 3
2
8 x − 16 5x − 17 )<0; <0; 3x + 1 3x + 1
+ X 17 5
17 ); х=3; 5 г) log0,4(7−х)≥ log0,4(3х+6); ОДЗ: х∈(−2; 7); 7−х≤3х+6; 4х≥1; х≥1/4; х=6. х∈(2;
1590. а) log12(х2−х)≤1; ОДЗ: х∈(−∞; 0)∪(1; +∞); х2−х≤12; х2−х−12≤0; х∈[−3; 4]; х∈[−3; 0)∪[1; 4). Ответ: 6 решений. б) log1 2 (х2−10х+9)≥0; ОДЗ: х∈(−∞; 1)∪(9; +∞); х2−10х+9≤1; х2−10х+8≤0;
х∈[5− 17 ; 5+ 17 ]; х∈[5− 17 ;1) ∪[9; 5+ 17 ); Ответ: 0 решений. в) log9(х2−8х)≤1; ОДЗ: х∈(−∞; 0)∪(8; +∞); х2−8х≤9; х2−8х−9≤0; х∈[−1; 9]; х∈[−1; 0)∪(8; 9]. Ответ: 2 решения. г) log0,3(−х2−7х−5)<0; ОДЗ: х∈( 150
7−2 6 7+2 6 ; ); 2 2
−х2−7х−5>1; х2−7х+6<0; х∈(1; 6); х∈(
7−2 6 7+2 6 ; ). 2 2
Ответ: 4 решения.
1 2 1 2 1 2 ; х≠ ; 1. х∈( ; ); 2≥1; х∈( ; ); 5 5 5 5 5 5 2 1 2 2. х> ; 2≤1, решений нет. Итого: х∈( ; ). 5 5 5 4 4 б) log3х+40,2>0; ОДЗ: х>− ; х≠−1; 1. х∈(− ; −1); 0,2<1 − тождество. 3 3 4 2. х>−1; 0,2>1 − решений нет. Итого: х∈(− ; −1); 3 2 1 1 2 в) log2−3х5>0; ОДЗ: х< ; х≠ ; 1. х∈( ; ); 5<1 − решений нет. 3 3 3 3 1 1 2. х< ; 5>1 − тождество. Итого: х< . 3 3 1591. а) log5х−12≤0; ОДЗ: х>
г) log5−х0,3<0; ОДЗ: х<5; х≠4; 1. х∈(4; 5); 0,3≥1 − решений нет; 2. х<4; 0,3≤1 − тождество. Итого: х<4. 1592. а) log2(х2+2х+4)+ log2(х−2)< log2(х3−х2+4х−3); log2(х3−8)< log2(х3−х2+4х−3); 0<х3−8<х3−х2+4х−3; х>2; х2−4х−5<0; х∈(−1; 5); х∈(2; 5); б) lg(х3−х2+20)≥ lg(х+2)+ lg(х2−2х+4); х3−х2+20≥х3+8>0; х>−2; х2+х−12≤0; х∈[−4; 3]; х∈(−2; 3].
⎧log 2 (2x + 3) > log 2 (x − 2) ; ОДЗ: х>2; ⎩log 6 (3x − 1) ≤ log 6 (9x + 4)
1593. а) ⎨
⎧ x > −5 ⎨6x ≥ −5 ; х>2; ⎩
1 ⎧log3 (6x − 1) ≤ log3 (9x + 11) ⎧3x ≥ −12 ; ОДЗ: х∈( ; 3); ⎨ ; log (3 − x) > log (4x − 1) 4 ⎩5x < 4 6 ⎩ 6
б) ⎨
1 4 ⎧ x ≥ −4 ⎨ x < 4 / 5 ; х∈( ; ). 4 5 ⎩
⎧⎪log3 x 2 > log 3 125 − log3 5 ; ОДЗ: х>1; ⎪⎩log 0,2 (x − 1) < 0
1594. а) ⎨
⎧log3 x > log3 5 ; ⎨ ⎩x − 1 > 1
⎧x > 5 ; х>5; ⎨ ⎩x > 2
⎧⎪log1 2 x 2 ≥ log1 2 28 − log1 2 7 1 ⎧x ≤ 2 ; ОДЗ: х> ; ⎨ ; 4 ⎩4 x − 1 > 1 ⎪⎩log3 (4x − 1) > 0
б) ⎨
151
⎧x ≤ 2 1 ⎪ 1 ; х∈( ; 2]. ⎨ x > 2 ⎪⎩ 2 ⎧⎪log 0,1 (x 2 − 12) < log 0,1 (− x) 1595. а) ⎨ ; ОДЗ: х∈(− 12 ; 0); ⎪⎩2 x −1 > 1/ 8
⎧⎪ x 2 − 12 > − x ; ⎨ ⎪⎩ x − 1 > −3
⎧⎪ x 2 + x − 12 > 0 , решений нет. ⎨ ⎪⎩ x > −2 ⎧3x 2 −5x − 4 < 9 ⎪ б) ⎨ ; ОДЗ: х>0; 2 ⎪⎩log1 5 (x + 3) ≥ log1 5 4x х∈[1; 3].
2 ⎪⎧ x − 5x − 6 < 0 ⎧ x ∈ (−1;6) ; ⎨ ; ⎨ 2 ⎪⎩ x − 4x + 3 ≤ 0 ⎩ x ∈ [1;3]
§ 53. Переход к новому основанию логарифма 1 +log49=−log23+log23=0; 3 1 1 б) log 3 3 2 +log3 =2+ log 3 2 + log3 =2; 2 2 1596. а) log2
в) log259−log53=0; г) log164 − log48 = log4(2/8) = −1. 1597. log23=а; 1 1 а) log32= = ; log 2 3 a в) log34=
2 2 = ; log 2 3 a
1598. log52=b; 2 2 а) log225= = ; log5 2 b
152
б) log3
1 1 1 =− =− ; 2 log 2 3 a
г) log3
1 2 2 =− =− . 4 log 2 3 a
б) log2
1 2 2 =− =− ; 25 b log5 2
в) log2125=
3 3 = ; log5 2 b
г) log2
1599. log23=а;
1 1 2a + 1 (1+2log23)= (1+2а)= ; 3 3 3 1 3a + 1 г) log854= (3log23+1)= . 3 3
а) log49= log23=а;
б) log818=
в) log481=log29=2а; 1600. а) log27∨ log74; log27>
в) log35∨ log54;
1 4 4 =− =− . 625 log5 2 b
2 1 ; б) log69∨ log98; > log98; log 2 7 log9 6
1 > log54; log5 3
г) log1114∨log1413;
1 > log1413. log14 11
1 log25; log26 > log2 5 . 2 3 1 3 ; log1 2 3< log1 2 ; 2 2 2
1601. а) log26∨log45; log26∨
б) log1 2 3∨ log1 4
в) log96∨log37; log3 6 < log37; г) log1 3 4∨ log1 9 7; log1 3 4< log1 3
7.
1 1 + +1)log2х=7; log2х=4; х=16; 2 4 б) log3х+ log 3 х+ log1 3 х=6; (1+2−1)log3х=6; log3х=3; х=27. 1602. а) log4х+ log16х+ log2х=7; (
1603. а) 3 log 32 х=
5 1 1 +2; 3 log32 х−5log3х−2=0; log3х=− ; х= 3 ; log x 3 3 3
log3х=2; х=2; б) 2 log 22 х=
1 5 2 +3; 2 log 22 х−5log2х−3=0; log2х=− ; х= ; log2х=3; х=8. log x 2 2 2
1604. а) 9log3 4 + log
6
б) log38⋅log227− 3log9 25
3 ⋅log336
2log3 36 =16+4=20; log3 6
3log 2 27 =9−5=4; log 2 2
1 1 =16 ; 2 2 14log 2 9 2 log481 =4+14=18. 2log 2 3
в) 34log3 2 +log5 2 ⋅log425=16+ г) 100,5lg16 +14log3
1605. а) 5log29⋅log364+ 3log6 8 ⋅ 2log6 8 =10⋅6+8=68; 153
б) 24log 2 3−1 +log93+log364⋅log43=
81 1 + +3=44; 2 2
в) 16(log945−1)log119⋅log5121=32(log95)log59=32; г) log153⋅log53 log 3 5 ⋅(1+log35)=2. 1606. а)
log 2 56 log 2 7 − =(log27+3)( log27+2)− log27(log27+5)= log 28 2 log 224 2
= log 22 7+5 log27+6− log 22 7−5log27=6; б)
log 3 135 log3 5 − = 5log3 5 + log32 5 + 6 − 5log 3 5 − log32 5 = log 45 3 log1215 3
= (3 + log35)(log35 + 2) − log35(5 + log35) = 6. 1607. lg2=а, lg3=b;
а) log412=1+ log43=1+ в) log0,53=−log23=−
lg 3 b ; =1+ lg 4 2a
lg 3 b =− ; lg 2 a
б) log618=1+ log63= г) log1 3 24=
lg 3 b +1; +1= lg 6 a+b
lg 24 3lg 2+ lg3 3a+b = . = 1 − lg 3 −b lg 3
1608. log25=а, log23=b; log 2 15 a + b ; = а) log315= log 2 3 b
1 1 2a + b log275= (2log25+ log23)= ; 3 3 3 1 a + 2b в) log1645= ( log25+2 log23)= ; 4 4
б) log875=
г) log1512=
log 2 12 2 + b . = log 2 15 a + b
1609. а) lg1, log43, log27; в) log31; log54; log79;
б) log30,5; lg1; log0,50,1; г) log70,6; log21; log0,20,3.
1610. а) lg 0,3 ; log15 7; log12 7;2log 2 5.
⎛1⎞ б) log 1 1; ⎜ ⎟ ⎝2⎠ 7
log 2 4
; log6 7;9log 3 15.
1 ⎧x > 0 ; log32 x +log3х−2=0; log3х=−2; х= ; 1611. а) log3х+1=2logх3; ОДЗ : ⎨ ≠ x 1 9 ⎩ log3х=1; х=3;
154
⎧x > 0 б) 2logх5−3=−log5х; ОДЗ : ⎨ ; log 52 х−3log5х+2=0; log5х=2; х=25; ⎩x ≠ 1 log5х=1; х=5; в) log7х−1=6logх7; log 72 х− log7х−6=0; log7х=3; х=343; log7х=−2; х=
1 ; 49
⎧x > 0 ; log 22 х−10 log2х+9=0; log2х=9; х=512; г) log2х+9logх2=10; ОДЗ : ⎨ ⎩x ≠ 1 log2х=1; х=2. 1612. а) log4(х+12)logх2=1; ОДЗ: х>0, х≠1; logх(х+12)=2; х+12=х2; х2−х−12=0; х=4; х=−3 − не подходит; б) 1+logх5log7х=log535logх5; 1+log75=logх35; х=7.
x2 =8; ОДЗ: х>0; (log2х+2)2+2 log2х=11; 8 1 log 22 х+6 log2х−7=0; log2х=−7; х= ; log2х=1; х=2; 128 49 1 1 49 б) log 32 х+ log 92 х+ log 227 х= ; ОДЗ: x > 0; (1+ + ) log32 х= ; 9 4 9 9 36 6 1 log 32 х= ; log3х=± =±2; х=9; х= . 9 3 9 2 1613. а) log 0,5 4х+log2
1614. log (2x +1) (5 + 8x − 4x 2 ) + log (5− 2x) (1 + 4x + 4x 2 ) = 4 ⎧ x > −1/ 2 ⎪⎪ x < 5 / 2 а) log(2х+1)(5+8х−4х )+2log(5−2х)(2х+1)=4; ОДЗ : ⎨ ; ⎪x ≠ 0 ⎩⎪ x ≠ 2 2
log(2х+1)(5−2х)+1+2log(5−2х)(2х+1)-4=0; 2 2 log (5 − 2x) (2х+1)−3log(5−2х)(2х+1)+1=0; log(5−2х)(2х+1)=1/2;
2х+1= 5 − 2 x ; 4х2+4х+1=5−2х; 4х2+6х−4=0; 2х2+3х−2=0; х=−2 − не подходит; х=
1 ; log(5−2х)(2х+1)=1; 2х+1=5−2х; 4х=4; х=1; 2
б) log3х+7(9+12х+4х2)=4−log2х+3(6х2+23х+21); 3х+7=а; 2х+3=b; а>0, а≠1, b>0, b≠1; logаb2=4−logbab; 2 log a2 b−3logаb+1=0; logаb=1/2; 4х2+12х+9=3х+7; 4х2+9х+2=0; х=−1/4; х=−2 − не подходит;
§ 54. Дифференцирование показательной и логарифмической функций logаb=1; 3х+7=2х+3; х=−4 − не подходит. Итого: х=−1/4. 155
1615. а) log9х2+ log32 (−х)<2; ОДЗ: х<0; log32 (−х)+log3(−х)−2<0;
log3(−х)∈(−2; 1); −х∈(1/9; 3); х∈(−3; −1/9); б) log4х2+ log 22 (−х)>6; ОДЗ: х<0; log 22 (−х) +log2(−х)−6>0; log2(−х)∈(−∞; −3)∪(4; +∞); х∈(−∞; −4)∪(−(1/8); +∞); х∈(−∞; −4)∪ (−(1/8); 0). 1616. а) f(x)=4−ex; f′(х)=−ex; в) f(x)= ex−19; f′(х)=ex;
б) f(x)=13ex; f′(х)=13ex; г) f(x)=−8ex; f′(х)=−8ex.
1617. а) f(x)=x3ex; f′(х)=3x2ex+x3ex; б) f(x)=
в) f(x)=х2ex; f′(х)= ex(2x+x2); г) f(x)=
ex x
3
ex (x − 1) ; f′(х)=ex ; x x2
; f′(х)=ex
3x 2 − x 3 x
6
1 ⎞ ⎛ 3 = ex ⎜ 4 − 3 ⎟ . x ⎠ ⎝x
1618. а) у=ех+х2; х0=0; у′(х)=ех+2х; у′(х0)=1; б) у=ех(х+1); х0=−1; у′(х)=ех(х+2); у′(х0)=1/e; в) у=ех−х; х0=1; у′(х)=ех−1; у′(х0)=е−1; ex x г) у= ; х0=0; у′(х)=ех ; у′(х0)=0. x +1 (x + 1) 2 1619. а) у=е3х−1; х0=1/3; у′(х)=3е3х−1; у′(х0)=3; б) у=3е6+х; х0=−5; у′(х)=3ех+6; у′(х0)=3е;
в) у=е4−9х; х0=4/9; y′( x) = −9e 4 −9 x ; y′( x0 ) = −9 ; г) y = e0,5 x −3 ; x0 = 4 ; у′(х)=(1/2)е0,5х−3; у′(х0)=1/2e. 1620. а) f(x)=4ex+3; х0=−2; f′(х)=4ex; f′(х0)=
4 e2
;
⎛ 1 4 1 ⎞ б) f(x)= 3 x ⋅ex; х0=1; f′(х)=ex+ ⎜ 3 x + ⎟ ; f′(х0)=е(1+ )= е; ⎜ 3 2 ⎟ 3 3 3 x ⎠ ⎝ x x в) f(x)=0,1e −10х; х0=0; f′(х)=0,1e −10; f′(х0)=−9,9;
г) f(x)=
x e
x
ex (
; х0=1; f′(х)=
1 2 x
e
− x)
2x
1
; f′(х0)= 2
−1 e
=−
1 . 2e
1621. а) g(x)=ex+sinx; x0=0; g′(х) =ех+cosx; g′(x0)=1+1=2;
1 ; g′(х) =−7е−7х+1; g′(x0)=−7; 7 в) g(x)=−ex+3cosx; x0=0; g′(х) =−ех+3sinx; g′(x0)=−1;
б) g(x)=e−7x+1; x0= 3
г) g(x)= x 2 ex; x0=4; g′(х)=ех(
3
3 x + x 2 ); g′(x0)=е4(3+8)=11е4. 2
1622. а) h(x)=(1/e)x; x0=0; h′(x)=−e−x; h′(x0)=tgα=−1;
156
б) h(x)=е−x+2; x0=2; h′(x)=−e−x+2; h′(x0)=tgα=−1; 1 в) h(x)= x +х5; x0=−1; h′(x)=−e−x+5х4; h′(x0)=tgα=−е+5; e г) h(x)=х+е2x−3; x0=3/2; h′(x)=1+2e2x−3; h′(x0)=tgα=3.
π ; 4 3π ; б) h(x)= e − x − 3 ; x0=− 3 ; h′(x)=− e − x − 3 ; h′(x0)=−1; α= 4 3π ; в) h(x)=(1/3) e1− 3 x ; x0=1/3; h′(x)=− e1− 3 x ; h′(x0)= –1; α= 4 1623. а) h(x)=(1/5)е5х−1; x0=0,2; h′(x)= e5x−1; h′(x0)= 1; α=
г) h(x)= e(
3 3)x −1
3 e 3
; x0= 3 ; h′(x)=
3 3 x −1
; h′(x0)=
3 π ; α= . 6 3
1624. а) у=ех; а=1; у(а)=е; у′=ех; у′(а)=е; у=хе+е−е=ех; б) у=ех; а=2; у(а)=е2; у′=ех; у′(а)=е2; у=е2х−е2; в) у=ех; а=0; у(а)=1; у′(а)=1; у=х+1; г) у=ех; а=−1; у(а)=1/e; у′(а)= 1/e; у=(x/e)+2(1/e). 1625. а) у=е3х−1; а=1/3; у(а)=1; у′(а)=3; у=3х+1−(1/3)⋅3=3х; б) у=хе−2х+1; а=0,5; у(а)=1/2; у′= е−2х+1−2х е−2х+1; у′(а)=1−1=0; у=1/2; 2 в) у= x ; а=0; у(а)=2; у′=−2е−х; у′(а)=−2; у=−2х+2; e
г) у=
ex x ; а=0; у(а)=1; у′=ех ; у′(0)=0; у=1. x +1 (x + 1) 2 4
1
0
0
1 в) ∫ 1/ 2e xdx= ex 2 −1
0 −1
1626. а) ∫ e x dx = e x 0
−1
=(1/2−1/2e);
4
0
б) ∫ е2х+1dx= −1
1 2x+1 e 2
4
1 −1
в) ∫ е0,25х+1dx=4e0,25x+1 −4
г)
0
−2х+2 dx=− ∫ е
−0,5
1
4 0
=2e−
=
e3 1 − ; 2 2e
4 −4
=4e2−4;
1 −2х+2 е 2
0 − 0 ,5
=−
1 −1
=3e−
г) ∫ (−2e x )dx=(−2ех) −2
1627. а) ∫ e0,5x −1 dx=(2e0,5x−1) 1
1
б) ∫ 3e xdx=3ex
= e − 1;
1 −2
3 ; e =−2е+
2 e2
.
2 ; e
e2 e3 + . 2 2 157
3
3e 0
1628. а) у=0; х=0; х=3; у=ех; S= ∫ exdx=ex 0
4
=e3−1;
4 0
=−
г) у=0; х=−2; х=0; у=е−х; S= ∫ e−xdx=−e−x
0 −2
б) у=0; х=0; х=4; у=е−х; S= ∫ e−xdx=−e−x
1
+1;
e4 1 в) у=0; х=−1; х=1; у=ех; S= ∫ exdx=ex 1− 1 =е− ; e −1 0 1
0
−2
=−1+е2.
1629. а) х=1; у=ех; у=е−х; 1
1
0
0
S= ∫ ехdx− ∫ е−хdx=ех б) х=−1; у=
−(−е−х)
1 0
1 1 =е−1+ −1=е+ −2; e e
0
1 e
1 0
0 −1
; у=1; S= ∫ е−хdx−1⋅1=(−е−х)
x
−1
в) у=ех; х=2; х+2у=2 или у=−
−1=−2+е;
2 x 1 +1; S= ∫ ехdx− ⋅2⋅1=ех 2 2 0
2
2
0
0
г) у=ех; х=2; х=0; у=−ех; S=2 ∫ (ех – e–x)dx = 2 ∫ ехdx = 2ex 1630. а) y = ex + 4;
|
|
|
-6
|
|
|
-3
в) y = ex
0
X |
-2
Y
|
0
|
X |
0
4– – 2– –
4– – 2– – |
2
|
|
4
=2(е2−1).
X |
|
|
2
г) y = ex + 2 – 3;
;
2 0
Y
4– – 2– – |
–3
−1=е2−2;
б) y = e-x + 1;
Y
4– – 2– –
2 0
0 – -2– –
|
4
Y
X |
|
|
2
2 х
1631. а) у=х е ; у′=ех(х2+2х); возрастает: (−∞; −2)∪(0; +∞); убывает: (−2; 0); х=0 − min; х=−2− max; б) у=е2х−4х; у′=е2х−4(2х+1); возрастает: (−1/2; +∞); убывает: (–∞;1/2); х=−1/2 − min; в) у=х3ех; у′=ех (3х2+х3)=х2ех(3+х); возрастает: (−3;+∞); убывает: (–∞;−3); х=−3 − min;
г) у= 158
x −1 ex ; возрастает: (1;+∞); убывает: (–∞;0)∪(0;1); х=1 − min. ; у′=ех x x2
1632. у=х2еx; у′=ех(х2+2х); y’ = 0 при x = 0, x= –2; y(0) = 0; y(–2) = 4/e2; а) х∈[−1; 1]; y(–1) = 1/e; y(1) = e, уmin = 0; уmax = е; б) х∈[−3; 1]; y(–3) = 9/e3; y(1) = e; уmin = 0; уmax = е; в) х∈[−3; −1]; уmin = 1/e; уmax = 4/e2; г) х∈[1; 3]; y(3) = 9e3; уmin = е; уmax = 9е3. 1633. а) у=х2lnх; у′=2хlnх+х; 1
( )(x + 1) − ln x 1 ln x ln x ; ; у′= x = 2 − б) у= x +1 x + x (x + 1) 2 (x + 1) 2
x ln x − 1 ; у′= 2 ; ln x ln x г) у=(х−5) lnх; у′=lnх+1−(5/x).
в) у=
1634. а) у=ехlnх; у′=ех (lnх+1/x); 7
в) y= x 5 lnx; y′=
5ln x 7
2
5
+
б) у=3lnx+sin2x; y′=3/x+2cos2x;
5
1 x = (5 / 7 ln x + 1) (lnx+1); 7 2 x x
7 x x x 5 г) y=2cos −5lnx; y′=−sin − . 2 2 x
1 1 ; y′= +1; y′(x0)=7+1=8; 7 x б) у=х3lnx; x0=е; y′=3х2lnх+х2; y′(x0)=3е2+е2=4е2;
1635. а) у=lnx+x; x0=
1 ; y′(x0)=1−2=−1; x 1 − ln x
в) у=х2−lnx; x0=0,5; y′=2х− г) у=
ln x ; x0=1; y′= x
x2
1636. а) у=ln(2x+2); x0=−
; y′(x0)=1.
1 1 2 4 ; y ′= = ; y′(x0)= ; 4 2x + 2 x +1 3
2 ; y′(x0)=−2; 5 − 2x 5 5 в) у=ln(9−5x); x0=−2; y′=− ; y′(x0)=− ; 19 9 − 5x 3 1 ; y′(x0)= . г) у=−3ln(−x+4); x0=−5; y′= 3 4−x б) у=ln(5−2х); x0=2; y′=−
1637. а) f(x)=x5−lnx; a=1; f(a)=1; f′(x)=5x4−
б) f(x)=
ln x x
2
; a=1; f(a)=0; f′(x)=
x − 2x ln x x4
1 ; f′(a)=4; y=4x+1−4=4x−3; x ; f′(a)=1; y=х−1; 159
в) f(x)=−2xlnx; a=е; f(a)=−2е; f′(x)=−2lnх−2; f′(a)=−4; y=−4x−2е+4е=−4x+2е; 3
г) f(x)= x lnx; a=1; f(a)=0; f′(x)= x
−
2 3
1638. а) y = ln(x – 4); X |
0 – -4–
|
|
|
|
4
2
|
2– –
|
6
0
в) y = ln(x + 3);
|
|
-3
|
4– –
X
0 – -2–
|
|
|
|
0 – -4–
3
1639. а) у=х+ln
lnх; f′(a)=1; y=x−1.
Y X |
|
|
|
|
2
|
6
4
г) y = ln (x/e)
Y
2– –
2 3
б) y = ln ex;
Y
4– –
+ (1/3) x
−
Y
X |
|
|
|
2
4
|
|
|
6
1 1 1 1 ; ОДЗ: х>0; у′=1− ⋅ 2 =1− ; x x 1/ x x
убывает: х∈(0; 1]; возрастает х∈(1; +∞); х=1 − min; б) у=х4−4lnх; ОДЗ: х>0; у′=4х3−
4 4x 4 − 4 = ; x x
возрастает: х∈(1; +∞); убывает: х∈(0; 1]; х=1 − min; 1640. у = х−lnх; у′=1 –
1 ; y’ = 0 при x = 1; y(1) = 1; x
1 ; е]; y (1/e) = (1/e) + 1; y(e) = e – 1; уmin = 1; уmax = е−1; e б) х∈[е; е2]; y(e2) = e2 – 2; уmin = е−1; уmax = е2−2. а) х∈[
1641. а) f(x)=e2x; y=2ex−5; f′(x)=2e2x; y=2 e 2 x 0 + e 2 x 0 −x0 e 2 x 0 — общее
уравнение касательной к графику y = f(x); x0= б) f(x)=ln(3x+2); y=x+7; f′(x)= x0=
2 dx
1
2
б) ∫ (e5 + 1
160
3 3x 3 ; y= +ln(3x0 + 2)−x0 ; 3x + 2 3x0 + 2 3x 0 + 2
1 1 ; y=x+ln3− . 3 3
1642. а) ∫
x
=lnx
2 1
=ln2;
1 )dx =(ех+lnx) x
2 1
1 ; y=2ex+e−e=2ex; 2
=е2+ln2−е;
1
0,1 dx=0,1ln(x+1) 0 x +1
в) ∫
1 0
=0,1ln2;
2 e2x )dx =( +2lnx) x 2
2
г) ∫ (e2x + 1
6
1 dx = ln(2x−1) 2x 1 2 − 3
1643. а) ∫ 0
1 dx =(− ln(6−5x)) 5 5x 6 − + −1
б) ∫
1/ 2
в) ∫
0
8
г) ∫
1 1 dx= ln(4x+1) 4 4x + 1
dx
59− x
=−ln(9−x)
8 5
2 1
=
1 1 1 11 ln11− ln5= ln ; 2 2 2 6
6 3
=
0 −1
=−
12 0
=
e4 e2 +2ln2− . 2 2
1 1 1 11 ln6+ ln11= ln ; 5 5 5 6
1 ln3; 4
= ln4.
1644. а) у=0; х=1; х=е; у=
б) у=0; х=3; х=−1; у=
e1 1 ; S= ∫ dx=lnx x 1x
e 1
=1;
3 dx 1 1 ; S= ∫ = ln(2x+3) 2x + 3 −1 2x + 3 2
3 −1
=
1 ln9=ln3; 2
2
в) у=0; х=е; х=е2; у=
г) у=0; х=2; х=5; у= 1645. а) у=ех; у=
e 2 2 2 ; S= ∫ dx=2lnx e =4−2=2; x e e x
5 dx 1 1 ; S= ∫ = ln(3x−5) 3x − 5 3 − 3x 5 2
3 2
3 2
=е3−ln3−е2+ln2=е3−е2+ln
51 1 ; у=1; х=5; S=4⋅1− ∫ dx=4−lnx x 1x
в) у= x ; у=
=
1 ln10. 3
1 ; х=2; х=3; x
S= ∫ (e x − 1/ x ) dx=(ех−lnx) б) у=
5 2
5 1
2 ; 3
=4−ln5;
1 ; х=4; x 3
4 2 1 S= ∫ ( x − ) dx= x 2 −lnx) 3 x 1
4 1
=
16 2 14 − ln4− = −ln4 (в ответе задачника 3 3 3
опечатка); e1 1 1 e г) у = – ; у=−1; х=е; S=1⋅(е−1)− ∫ dx=(е−1)− lnx =е−2. 1 x 1x x 161
1646. а) f(x)=3ex+4; a=
3 3 ; f′(x)=3ex+4= ; ex+4=e−1; x=−5; e e
1 −6x−13 13 e ; a=−2; f′(x)=−2e−6x−13=−2; e−6x−13=1; 6х+13=0; x=− ; 3 6 9 в) f(x)=2e−7x+9; a=−14; f′(x)=−14 e−7x+9=−14; −7х+9=0; x= ; 7 г) f(x)=42 – e0,1x−4; a=0,1; f′(x)=−0,1 e0,1x−4=0,1; e0,1x−4=−1 − решений нет. б) f(x)=2+
1647. а) g(x)=6−
1 1 1 2x−3 e ; a= 3 ; g′(x)=− e2x−3< 3 ; x — любое число; 2 e e
б) g(x)=х+e4x−3; a=5; g′(x)=1+4e4x−3<5; е4х−3<1; x< в) g(x)=
3 ; 4
1 3x+5 1 1 e ; a= ; g′(x)=e3x+5< ; 3х+5<−1; x<−2; 3 e e
г) g(x)=e9x+21−х; a=8; g′(x)=9e9x+21−1<8; 9х+21<0; x<−
7 . 3
1 1 ; у(а)= ; у′=е2х−1(2х+1); у′(а)=2; 2 2 1 1 1 у=2х+ − ⋅2=2х− ; 2 2 2
1648. а) у=хе2х−1; а=
б) у=
x2 − 1
; а=2; у(а)=
3 7 2x + x2 − 1 ; у′= ; у′(а)= ; 3− x e e e
e 3− x 7 3 14 1 = (7х−11); у= х+ − e e e e в) у=х3lnх; а=е; у(а)=е3; у′=3х2lnх+х2; у′(а)=4е2; у=4е2х+е3−4е3=4е2х−3е3; 1 г) у=(2х+1)е1−2х; а= ; 2 у(а)=2; у′=2е1−2х – 2e1−2х(2х + 1) = 4xe1–2x; у′(а)=−2; у=−2х+2+1=−2х+3.
1649. а) у=2х−log3(х−1); у′=2хln2−
б) у = 3−х + 2 log1 2 х; у′=−3−xln3+ в) у=5х−7 log1 5 (х+1); у′=5хln5+ г) у=( 162
1 ; (x − 1)ln 3
2 ; x ln(1/ 2)
7 ; (x + 1)ln 5
1 х 1 1 . ) +log5(х+4); у′=−( )хln7+ (x + 4)ln 5 7 7
1650. а) у=7хln(2х+3); у′=7хln7ln(2х+3)+
б) у= =
log5 (3x + 2) x5
3 5
(3x + 2)x ln 5
−
; у′=
3x 5 (3x + 2)x10 ln 5
5log5 (3x + 2) x6
−
5x 4 log5 (3x + 2)
г) у=
ln(2x − 1) 3x
x
; у′= 2x − 1
1651. а) у=logх(х+1) =
x10
=
;
в) у=x2 log1 2 (3х−1); у′=2х log1 2 (3х−1)− 2⋅3
2 ⋅ 7x ; 2x + 3
3x 2 ; (3x − 1) ln 2
− 3x ln 3ln(2x − 1) 32x
=
2 (2x − 1)3x
−
ln 3ln(2x − 1) 3x
.
ln(x + 1) ; ln x
ln x ln(x + 1) − 1 ln(x + 1) x y’ = + 1 2 x = − ; + (x 1)ln x ln x x ln 2 x 2ln x 2 ln x б) у=logх−1х2 = ; y' = − . ln(x − 1) x ln(x − 1) (x − 1)ln 2 (x − 1) 1652. а) у=е2х−3ех+х+4; у′=2е2х−3ех+1>0; ех∈(−∞; 1/2)∪(1; +∞); возрастает: х∈(−∞; ln(1/2))∪(0; +∞); убывает: х∈(ln(1/2); 0); х=ln(1/2) − max; х=0 − min; б) у=1−3х+5ех−е2х; у′=−3+5ех−2е2х>0; 2⋅е2х−5⋅ех+3<0; ех∈(1; 3/2); возрастает: х∈(0; ln(3/2)); убывает: х∈(−∞; 0)∪(ln(3/2); +∞); х=0 − min; х= ln(3/2) − max.
x2 6 6 − 5x + x 2 ; ОДЗ: х>0; у′= −5+х>0; >0; x 2 x x2 – 5x + 6 > 0; возрастает: х∈(0; 2)∪(3; +∞); убывает: х∈(2; 3); х = 2 − max; x=3 − min; 1 3 б) у=ln 3 +х2+х+3; ОДЗ: х>0; у′ = − +2х+1>0; 2х2+х−3>0; x x возрастает: х∈(1;+∞); убывает: х∈(0; 1); x=1 − min.
1653. а) у=2lnx3−5x+
1 ; y’ = 0 при x = –1; x y(–1) = –1; y(–4) = –4 + ln 4; y(–0,5)=–(1/2) – ln2; уmin = −4+ln4; ymax = −1; б) у=х+е−х; x∈[−ln4; ln2]; у′=1−е−х; y’ = 0 при x = 0; y(0) = 1; y(–ln4) = 4 – ln4; y(ln2) = (1/2) + ln2; уmin = 1; ymax = 4−ln4. 1655. а) у=4⋅23х−27⋅22х+3⋅2х+3; x∈[−2; 0]; у′=12⋅23хln2−54⋅22хln2+3⋅2х+3ln2= 1654. а) у=х+ln(−х); х∈[−4; −0,5]; у′=1+
163
3 ; 4 б) у=33х−2⋅32х+9⋅3х−2; x∈[−1; 1]; у′=ln3(3⋅33х−4⋅32х+3х)=3х ln3(3⋅32х−4⋅3х+1); y’ = 0 при x= 0, x = –1; y(0) = 0; y(–1) = 4/27; y(1) = 12; уmin = −0; ymax = 12.
=6ln2(2⋅23х−9⋅22х+4⋅2х)=6ln2⋅2х(2⋅22х−9⋅2х+4); уmax = −20; ymin = 5
x
x
1656. а) у= e 2 ; у′=
e
x0 2
в)
x у= e 3
x0 e 2
x0 2
1 2 e ; y=e 2
x0 2
1 + e 2
x0 2
(x − x 0 ) — касательная;
e e х+е−е= х; 2 2 x0 1 x x б) у=lnх; у′= ; у= +lnх0− — касательная; lnх0−1=0; х0=е; у= ; x e x0 x0 −
=0; х0=2; у=
x0
x
1 e 3 ⋅x ; у′= e 3 ; у= +e 3 3
x0 3
−
x0 e 3
x0 3
— касательная;
x0 e = 0; х0 = 3; у = х; 3 3 3 3 г) у=lnx3=3lnx; y′= ; y= x+3lnx0 − 3 — касательная; x x0 1−
3lnx0−3=0; x0=e; y=
3x . e
1657. а) у=3х−4+а; у=ln(3х−4); у′=
у=
3 ; 3x − 4
3x 0 3x +ln(3х0−4)− — касательная к графику y = ln(3x – 4) в 3x 0 − 4 3x 0 − 4
точке x0;
5 3 5 = 3; х0= ; у=3х− =3х−5; а=−1; 3x 0 − 4 3 1
2 ; 2x + 3 2x 0 2x +ln(2х0+3)− у= — касательная к графику y = ln(2x + 3) в 2x 0 + 3 2x 0 + 3
б) у=2х+3+а; у=ln(2х+3); у′=
точке x0;
2 2x 0 + 3
= 2; х0=−1; у=2х+2; а=−1.
1658. у=х6е−х; у′=е−х(−х6+6х5) = x5e–x(6 – x); y’ > 0 при x∈(0;6); y’< 0 при x∈(–∞;0) ∪ (6; +∞);y’ = 0 при x = 0, x = 6; х∈(а; а+7); ⎧a + 7 > 0 ⎧a ≥ 0 ; а∈(−7; −1]∪[0; 6); ; ⎨ а) ⎨ ⎩a + 7 ≤ 6 ⎩a < 6
164
⎧a + 7 > 6 ; а∈(−1; 0); б) ⎨ ⎩a < 0 ⎧a ≥ 6 ; а∈(−∞; −7]∪[6; +∞); в) ⎨ ⎩a + 7 ≤ 0
⎧a > 0 − нет таких а. ⎩a + 7 < 6
г) ⎨
2
1
2
0
0
1
1659. а) ∫ f (x)dx = ∫ 4 x dx + ∫ 4x 3dx = 2
1
21
0
0
1x
б) ∫ f (x)dx = ∫ x dx+ ∫
dx=
2 32 x 3
4x ln 4 1 0
1 0
+x4
+lnx
1
2 1
1660. а) у=2х; у=3−х; у=0; х=0; S= ∫ 2 x dx + 2⋅2⋅ 0
1
х
2 1
=
=
2 +ln2. 3
1 1 =2+ ; 2 ln 2
5/ 2
x
4 −1 3 +16−1= +15; ln 4 ln 4
1 +(5x−x2) ln 3
52 1
⎛ 2x 1⎞ −x+ ⎟ ⎜ ⎜ ln 2 x ⎟⎠ ⎝
2 1
б) у=3 ; у=5−2х; у=0; х=0; S= ∫ 3 dx + ∫ (5 − 2x)dx = 0
=
2⎛ 1 ⎞ ; у=2х−1; х=2; S= ∫ ⎜ 2x − 1 − 2 ⎟ )dx = x ⎠ x 1⎝
1
2
=
1 3 4 2 2 −2+ − +1−1= − ; ln 2 ln 2 2 2 ln 2
б) у= =
=
25 25 9 1 1 = + . − −5+1+ ln 3 4 ln 3 2 4
1661. а) у=
=
1
4⎛ 1 ⎞ ; у=2х−1; х=4; S= ∫ ⎜ 2x −1 − ⎟ dx = x⎠ x ⎝ 1
1
⎛ 2 x −1 ⎞ −2 x⎟ ⎜ ⎜ ln 2 ⎟ ⎝ ⎠
4 1
=
8 1 7 −4− +2= −2. ln 2 ln 2 ln 2
1662. а) у=ех; у=
e ; х=е; х=0; у=0; x
1
e
0
1x
S= ∫ e x dx ехdx+ ∫
e
dx=ex
1 0
+elnx
e 1
=e−1+e=2e−1;
x
2⎛ 1 ⎞ ⎛1⎞ б) у = ⎜ ⎟ ; у=х2+1; х=2; S= ∫ ⎜ x 2 + 1 − 3 ⎟ dx = ⎝3⎠ x ⎠ 0⎝
165
1 ⎞ ⎛ ⎜ x3 x ⎟2 8 1 ⎜ + x + 3 ⎟ = +2+ 0 9ln 3 3 3 ln 3 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
=
−
1 = ln 3
= 14 − 3
8 9ln 3
= 2 (7− 3
4 ). 3ln 3
Глава 8. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств § 55. Равносильность уравнений 1663. 2х=256; х=8; а) log2х=3; да;
б) х2−9х+8=0; нет;
в) 3х2−24х=0; нет;
г)
1664. sinх=0; х=πn; а) cosx = 1; x = 2πn; нет;
б) tgx = 0; x = πn; да;
в) cos2x = 1; х = πn; да;
г)
16 =2; да. x
x − 1 sinx = 0; x = 1m, x = πn; нет.
1665. а) 2 x − 1 =3; х=5; 1) 5х=25; 2) x/5=1; 3) x + 4 =3; б) cosx=3; решений нет; 1) sinx=5; 2) cosx=−3; 3) sinx=−10;
в) lgх2 = 4; х = ±100; 1) х2=1002; 2) 3
1
1
x 2 =100; 3) |х|=100; 1
г) x 5 =−1; x = –1; 1) x 5 =−1; 2) x 7 =−1; 3) 3 x 19 =−3. 1666. а) 7 x + 3 =х ⇒ 7x + 3 = x2 (все х, удовлетворяющие первому уравнению, удовлетворяют и второму); б) log2(х−1)−log2х=0 ⇒ log2(1−(1/х))=0; в) sin(π−х)ctgх=−(1/2) ⇒ cosx = –(1/2); π г) sin( −х)tgх=0 ⇒ sinx = 0. 2 1667. а) х37−12х2+1=0 и х37+1=12х2; перенос слагаемого из одной части уравнения в другую не изменяет равносильности; 5
б) x 2 − 2 x − 3 =2 и х2−2х−3=32; возведение обеих частей уравнения в нечетную степень не нарушает равносильности; 1668. а) 2 x 2 + 2 = x 4 + 3 и 2х2+2=х4+3, т.к. подкоренные выражения всегда положительны, то возведение в квадрат не нарушит равносильности;
б)
4
166
sin 2 x + 1 =1 и sin2х=0,
т.к. подкоренные выражения всегда отрицательные, то возведя в 4 степень и вычтя из обеих частей уравнения единицу получим второе уравнение, равносильны первому. x +4
1669. а) 3
x
⎛1⎞ ⋅⎜ ⎟ = 1 и ⎝3⎠
x + 4 − х = 0;
x
⎛1⎞ ⋅ ⎜ ⎟ = 1 ⇔ 3 x + 4 − x =30; ⎝3⎠ логарифмируя по основанию 3, получим второе уравнение; 2 x 1 б) 0,5x ⋅ 2 x 2 = 4 и x 2 − + = 2; 2 2
3
x +4
0,5x ⋅ 2 x
2
2 =4⇔2
x 1 − + x2 + 2 2
= 22 ;
логарифмируя по основанию 2, получим второе уравнение. x 2 + 3x − 1
=3 и х2+3х−1=3х2+3; x2 + 1 т.к. х2+1>0 при всех х, то, домножив обе части уравнения на х2+1, получим второе уравнение, не нарушив равносильности; 1 sin x + 1 1 = и sinх+1= sinх+1, б) sin x + 2 2 2 т.к. sinх+2>0 при всех х, то, домножив обе части уравнения на sinх + 2, получим второе уравнение, не нарушив равносильности. 1670. а)
1671. а)
⎧ x ≥ 5/ 3
3x − 5 = 9 − 7 x ; ОДЗ: ⎨ ; ⎩x ≤ 9 / 7
т.к. 5/3>9/7, то эта система не имеет решений, поэтому уравнение не имеет корней; б)
x 2 − 4 + 1 − x 2 =4;
⎧x ≥ 4 ; эта система не имеет решений, поэтому уравнение не имеет ОДЗ: ⎨ ⎩x ≤ 1 корней. ⎧⎪ x 2 > 9 ; ⎨ 2 ⎪⎩ x < 4 эта система не имеет решений, поэтому уравнение не имеет корней; 2 1 ⎪⎧ x − 3x > 0 ⎧ x ∈ ( −∞;0) ∪ (3; +∞) ; ⎨ ; б) lg (х2−3х)−lg(2х−х2)= ; ОДЗ: ⎨ 2 2 ⎪⎩2x − x > 0 ⎩ x ∈ (0;2) эта истема не имеет решений, поэтому уравнение не имеет корней.
1672. а) lg (х2−9)+lg(4−х2)=
1 ; ОДЗ: 2
167
1673. а)
6 ⎧7x − 6 ≥ 0 7x − 6 =х; ОДЗ: ⎨ ; х ≥ ; х2−7х+6=0; х=6; х=1; ≥ x 0 7 ⎩
⎧2x + 0 ≥ 0 б) х+3= 2x + 9 ; ОДЗ: ⎨ ; х ≥ −3; x2 + 4x = 0; х = 0; ⎩x + 3 ≥ 0 х = −4, — не входит в ОДЗ; 11 2 ⎧6x − 11 ≥ 0 в) 6 x − 11 =х−1; ОДЗ: ⎨ ; х≥ ; х −8х+12=0; х = 6; х = 2; − ≥ x 1 0 6 ⎩ ⎧− x − 5 ≥ 0 ; эта система не имеет решений, г) −х − 5 = 7x + 23 ; ОДЗ: ⎨ ⎩7x + 23 ≥ 0 поэтому уравнение также не имеет решений. x 4 − 3x − 1 =х2−1; х4 − 3х − 1 = х4 − 2х2 + 1; 2х2 − 3х − 2 = 0; 1 1 3 1 + −1>0; −1<0⇒ не подходит; 1) х = − ; проверка: 2 16 2 4 2) х = 2 — подходит; Ответ: 2.
1674. а)
б)
x 4 − 3x − 1 =1−х2; 1) х = −
1 1 ; проверка: 1− >0; 2 4
1 3 + −1>0 ⇒ подходит; 2) х = 2 − не подходит; 16 2 Ответ: –(1/2). в)
x 4 + x − 9 =1−х2; х4+х−9=х4−2х2+1; 2х2+х−10=0;
10 5 = − ; проверка: 4 2
4
⎛5⎞ 5 2 ⎜ ⎟ − −9>0; 1−(2,5) <0 ⇒ не подходит; ⎝2⎠ 2 2) х = 2; проверка: 1−4<0 ⇒ не подходит; Ответ: решений нет.
1) х = −
г) x 4 + x − 9 = х2−1; 1) х = −2,5, проверка: (2,5)2−1>0 ⇒ подходит; 2) х = 2, проверка: 22−1>0 ⇒ подходит. Ответ:–2,5; 2. 1675. а)
x 4 − 5x 2 − 2 ,5x =5−х2; х4−5х2−2,5х=х4−10х2+25;
5х2−2,5х−25=0; 2х2−х−10=0; 5 1) х = ; проверка: (2,5)4−5⋅2,52−2,52>0; 5−(2,5)2<0 ⇒ не подходит; 2 2) х=−2; проверка: 24−5⋅22+2,5⋅2>0; 5−22>0 ⇒ подходит; Ответ: –2;
168
б)
x 4 − 5x 2 − 2 ,5x =х2−5; х=
5 — подходит; х=−2 — не подходит; 2
Ответ: 5/2; в)
x 4 − 3x 2 − 15 , x =х2−3;
4
х −3х2−1,5х=х4−6х2+9; 3х2−
3 х−9=0; 2х2−х−6=0; 2
1) х = 2; проверка: 16−12−3>0; 4−3>0 ⇒ подходит; 3 9 2) х = − ; проверка: −3<0 ⇒не подходит; 2 4 Ответ: 2; г)
x 4 − 3x 2 − 15 , x =3−х2; х = −
3 − подходит; х = 2 − не подходит. 2
Ответ: –(3/2). 1676. а) (х2−9)( 3 − 2 x −х)=0; ОДЗ: х≤
3 ; 2
1) х = 3 − не подходит; 2) х = −3 − подходит;
⎧ 2 3 − 2 x =х, ⎨ x + 2x − 3 ≥ 0 ; х=−3 − подходит; ⎩x ≥ 0
х=1 − подходит; Ответ: 1; –3. б) (х2−16)( 4 − 3x −х)=0; ОДЗ: х≤
4 ; 3
1) х = 4 — не подходит; 2) х = –4 — подходит; ⎧ 2 3) ⎨ x + 3x − 4 = 0 ; х = –4, х = 1 — подходит; ⎩x ≥ 0 Ответ: 1; –4. 4 − х 2 = 0. ОДЗ; –2 ≤ x ≤ 2; πn π π 1) sin2x = 0; 2x = πn; x = . x = – , x = 0, x = , 2 2 2 (т.к. х должен входить в ОДЗ);
1677. а) sin 2x ⋅
2)
4 − x 2 = 0; х = ±2;
Ответ: 0; ±
π ; ±2; 2
б) (cos 2x – 1)
9 − х 2 = 0 ОДЗ; –3 ≤ x ≤ 3; 169
1) cos 2x = 1; x = πn.; х = 0; 2) 9 – х2 = 0; x = ± 3; Ответ: 0; ±3; 1 − х 2 = 0. ОДЗ; –1 ≤ x ≤ 1. π π πn π π 1) cos2x – sin2x = 0; cos2x = 0; 2x = + πn; x = + ;x=– ;x= ; 2 4 2 4 4 2) 1 – х2 – 0; x = ± 1; π Ответ: 1; ± ; 4 π ⎧ ⎪ x ≠ + πn ; г) tg x ⋅ 16 − х 2 = 0; ОДЗ: ⎨ 2 ⎩⎪−4 ≤ x ≤ 4
в) (cos2 x – sin2 x)
1) tgx = 0; x = πn; x = ± π, x = 0; 2) 16 – x2 = 0; x = ±4; Ответ: 0; ± π; ±4. 1678. а)
log 2 (7 + 6x − x 2 ) − log 2 (x − 2) 10x − 24 − x 2
= 2;
⎧7 + 6x − x 2 > 0 ⎧2 < x < 7 ⎪ ⎪ ОДЗ: ⎨ x − 2 > 0 ; ⎨x ≠ 6 ; т.к. х — целые, то возможные ⎪10x − 24 − x 2 ≠ 0 ⎪⎩ x ≠ 4 ⎩ карни — х = 3 и х = 5; подстановкой в уравнение леко убедиться,что х = 5 — корень, х = 3 — не корень; Ответ: 5;
б)
log 2 (7 + 6x + x 2 ) − log 2 (x − 2) 10x − 24 − x 2
= 2;
⎧6 + 5x − x 5 > 0 ⎧2 < x < 6 ⎪ ⎪ ; ⎨x ≠ 4 ; ОДЗ: ⎨ x − 2 > 0 ⎪ x 2 − 9x + 20 ≠ 0 ⎪⎩ x ≠ 5 ⎩ рассуждая аналогично предыдущему пуркту, получим х = 3; Ответ: 3.
§ 56. Общие методы решения уравнений 2
1679. а) 32-х = 3х − 4 х ; т.к. обе части положительны, то прологарифмировав по основанию 3 получим: 2 – х = х2 – 4х; б) (3х2 – 2)4 = (х – 3)4; т.к. подстепенные выражения могут быть отрицательными нельзя извлечь корень 4 степени;
170
в). 3 7 − x = 3 5x + 1; т.к. 3 a определен для всех а, то обе части уравнения можно возвести в куб, не нарушая равностильности; получим: 7 – х = 5х + 1; 1 г) lg = lg (2x – 7), в исходном уравнении имеем: 1/х > 0, 2х – 7 > 0; если х это уравнение пропотенцировать, то получим уравнение 1/х = 2х – 7, правая и левая части которого не обязательно положительны, а значит это уравнение не равносильно исходному. 1680. а) (2х4 + 1)5 = (1 – х3)5; аналогично пункту в предыдущей задачи получим равносильное уравнение 2х4 + 1 = 1 – х3; б) log0,2 (2sinx – 1) = log0,2 (3 – sin2 x); поскольку 3 – sin2 x > 0 при всех х, то потенциированием получили уравнение 2sinx – 1 = 3 – sin2 x; равносильное исходному; 6
6
в) 2 х − 1 = 5 − 3 ⋅ 2 х ; т.к. подкоренные выражения должны быть неотрицательны, то, возведя в шестую степень мы нарушим равносильность; г) cos (3x – 1) = cos(3 – 9x); уравнение 3х – 1 = 3 – 9х не будет равносильно исходному, поскольку cos — периодическая функция. 1681. а) 2
2
х −3
х −3
=
1 2
32 ; ОДЗ: х ≥ 3;
3
21 > 3; 4
= 2 2 ; 4х – 12 = 9; х =
Ответ: 21/4; б) 10log 2 (x −3) ⋅ 0,0001 = 0,1log 2 (x −7) ; ОДЗ: х > 3; 10log 2 (x −3) − 4 = 10− log 2 (x − 7) ; x2 – 10x + 21 = 16; x2 – 10x + 5 = 0; x = 5 + 2 5 > 3, x = 5 − 2 5 < 3; Ответ: x = 5 + 2 5 (в ответе задачника опечатка). 1682. а) 0,5 sin x – cos x = 1; sin x – cos x = 0; sin (x –
б)
sin 2 x −1
( ) 3
1 − cos 2 x +1,5 2
⋅ 3 3 = 4 729 ; 3
π π ) = 0; x = + πn. 4 4
3
= 3 2 ; cos2 x = 0; x =
1683. а) log3 (x2 – 10x + 40) = log3 (4x – 8); ОДЗ: x > 2; x2 – 14x + 48 = 0; x = 6, x = 8; Ответ: 6; 8;
π + πn. 2
171
9 3 ; х + 8х2 – 9х = 0; 4 х (х2 + 8х – 9) = 0; х = 0, х = – 9, х = 1; х = 0 и х = –9 не входят в ОДЗ; Ответ: 1; ⎡ x > −1 x−2 x +1 = log 3 ; ОДЗ: ⎢ , x ≠ 2; в) log 3 2x − 4 x+2 ⎣ x < −2
б) log0,8 (9x – 4х2) = log0,8 (х3 + 4х2); ОДЗ: 0 < х <
x−2 x +1 2 = ; x – 2x = 0; x = 0, x = 2; x = 2 — не входит в ОДЗ; 2x − 4 x + 2 Ответ: 0; ⎧5x − 6 > 0 г) log0,1 5x − 6 = log0,1 x 2 − 2 ; ОДЗ: ⎨ 2 ; х> 2 ; ⎩x − 2 > 0 5x – 6 = x2 – 2; x2 – 5x + 4 = 0; x = 4, х = 1; x = 1 — не подходит; Ответ: 4.
1684. а) (х2 – 6х)5 = (2х – 7)5; х2 – 8х + 7 = 0; х = 7, х = 1; Ответ: 1; 7; 9 9 1 ⎧6x − 1 ≥ 0 б) 6x − 1 + 1 = 6 x + 8 ; ОДЗ: ⎨ ; х≥ ; 6 ⎩6x + 8 ≥ 0
(
) (
)
6х – 1 + 1 + 2 + 2 6х − 1 = 6х + 8; 6х – 1 = 16; х = 17/6; Ответ: 17/6; в) (22х + 16)20 = (10 · 2х) 20; 22х – 10 ·2х + 16 = 0; 22х = 8, х = 3, 22х = 2, х = 1; Ответ: 1; 3;
(
)
3
2 г) log 0,1 x − 2 = (2log0,1 x + 1)3; ОДЗ: х > 0; log0,1 x – 2 log0,1 x – 3 = 0;
log0,1 x = 3, x = 0,001; log0,1 x = – 1, x = 10; Ответ: 10; 0,001. π⎞ π⎞ π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ ⎛ ⎛ 1685. а) sin ⎜ 3x + ⎟ ) = sin ⎜ x − ⎟ ; 2sin ⎜ x + ⎟ cos ⎜ 2x + ⎟ = 0; 3 6 4 12 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 5π πn π + πn; x = + ; x=– 24 4 2 5π πn π Ответ: – + πn; + ; 24 4 2 π π б) tg ( – x) = tg ( + 2x); 8 6 π π π π sin(2x + )cos(x − ) + sin(x − ) cos(2x + ) 6 8 8 6 = 0; π π cos(x − ) cos(2x + ) 8 6 π π π sin(3x + ) = 0, cos(x − ) ≠ 0, cos(2x + ) ≠ 0; 24 8 6
172
π πn 5π πk π πm + , x≠ + , x≠ + ; 72 3 8 2 6 4 π πn + ; Ответ: – 72 3 х π 3х π π = 0; в) cos (x – ) = cos (2x + ); sin ( + ) sin 4 4 2 4 2 2πn π x= , x = – + 2πn; 3 2 2πn π ; – + 2πn; Ответ: 3 2 cos 3x sin 2x − sin 3x cos 2 x πn πn = 0; sin x = 0, x ≠ ,x≠ ; г) ctg 2x = ctg 3x; sin 2 x sin 3x 2 3 Ответ: нет решений.
x=–
2
1686. а) 2 x Ответ: 0; 3.
+3
2
б) 275− х − 3х Ответ: ±2.
− 8x +1 = 0; х2 + 3 = 3х + 3; х2 – 3х =0; х = 0, х = 3;
2
−1
= 0 ; 15 – 3х2 = х2 – 1; 4х2 = 16; х = ± 2; x2
1687. а) 2log8 x − log8
+ 2,5
x2
= (2 2 + 1) 2 − 9; 2log8 x − log8
+ 2 ,5
= 23 + 4
2 – 8;
2
log8 x − log8 х = 0; log8x = 0; x = 1; б) 3 cos x ⋅ 3 3 =
27
1688. а) ( 3 )tg x =
3 27
б) ( 2 )
2 cos x
=
3
3 1
; cos x + 1,5 = 1; cosx = –(1/2); x = ±
tgx
2 ⋅ 2cos 2 x
2π + 2πn. 3
1 π tg x = 1,5 – tg x; tg x = 1; x = + πn; 2 4 1 2π ; cos x = – cosx – 1; cos x = – ; x = ± + 2πn. 2 3
;
9 ⎧7x + 9 > 0 1689. а) log 2 (7x − 9) − log 2 (8 − x) = 1; ОДЗ: ⎨ ; − < x < 8; − > 8 x 0 7 ⎩ 3
3
16 2 11 7х + 9 = – х; 23х = –11; х = – ; 3 3 23 11 Ответ: – 23 1 ⎧3x − 1 > 0 ; х> ; б) log 1,2 (3x – 1) + log 1,2 (3x + 1) = log 1,2 8; ОДЗ: ⎨ 3 ⎩3x + 1 > 0 9x2 = 9; x = 1, х = –1; х = –1 — не входит в ОДЗЖ Ответ: 1.
173
1690. а) x3 – 9x2 + 20 = 0; х(х2 – 9х + 20) = 0; x (x – 4) (x – 5) = 0; x = 0, x = 4, x = 5; б) х3 – 3х2 – 4х + 12 = 0; х (х2 – 4) – 3 (х2 – 4) = 0; (х – 2) (х + 2) (х – 3) = 0; х = ± 2,х = 3; в) х5 + 8х4 + 12х3 = 0; (х3 + 8х +12) =0; х3 (х + 6) (х + 2) = 0; х = 0, х = –2, х = – 6; г) х3 + х2 – 9х – 9 = 0; (х2– 9) (х + 1) = 0; (х + 1) (х – 3) (х + 3) = 0; х = ± 3, х = – 1. 1691. а)
х5 – 3
х 3 – 8 х = 0; ОДЗ: х ≥ 0;
х (х2 – 3х – 18) = 0;
х (х – 6) (х + 3) = 0; х = 0, х = 6, х = –3; х = –3 — не входит в ОДЗ; Ответ: 0; 6; б)
4
х9 – 2
4
х 5 – 15
4
х
= 0; ОДЗ: х ≥ 0;
4
х (х2 – 2х – 16) = 0;
4
х (х – 5) (х + 3); х = 0, х = 5, х = –3; х = –3 — не входит в ОДЗ; Ответ: 0; 5.
1692. а) 2х ⋅ х – 4х – 4 + 2х = 0; 2х (х + 1) – 4 (х + 1) = 0; (х + 1) (2х – 4) = 0; х = 2х = – 1; б) 3х ⋅ х – 3х+1 + 27 – 9х = 0; 3х (х – 3) – 9 (х – 3) = 0; (х – 3) (3х – 9) = 0; х = 2, х = 3; 1693. а) 2х2 sin x – 8 sin x + 4 – x2 = 0; x2 (2 sin x – 1) – 4 (2 sin x – 1) = 0; π + πk; (2 sin x – 1) ) (x – 2) (x + 2) = 0; x = 2, x = –2, x = ( – 1)k 6 2 2 2 б) 2х cos x + 9 = 18 cos x + x ; x (2 cos x – 1) – 9 (2 cos x – 1) = 0; π (2 cos x – 1) (x – 3) (x + 3) = 0; x = ± 3, x = ± + 2πn. 3 π + 2πn; 3 π + πn; б) cos2 (π– x) + sin 2x = 0; cos x (cos x + 2 sin x) = 0; x = 2 1 + πn; x = – arcctg 2 π πn в) 3 cos3x = sin 6x; cos 3x ( 3 – 2 sin 3x) = 0; x = + , 6 3 π πn + ; x = ( – 1)k 9 3 1 х х х х (sin – cos ) = 0; г) sin2 (π + ) – sin x = 0; sin 2 2 2 2 2
1694. а) sin 2x = sin x; sin x (2cos x – 1) = 0; x = πn, x = ±
174
x x π π + 2πn. 2 sin sin( − ) = 0; x = 2πn; x = 2 2 2 4
1695. а) 8x6 + 7x3 – 1 = 0; пусть x3 = a, тогда получим: 8а2 + 7а – 1 = 0; 1 1 ⇒ х = ; а = – 1 ⇒ х = –1; а= 8 2 1 Ответ: ; –1; 2 б) х8 + 3х4 – 4 = 0; пусть х4 = а ≥ 0, тогда получим: а2 + 3а – 4 = 0; а = 1 ⇒ х = ±1; а = 4 — не подходит; Ответ: ±1. 1696. а) х 2 − 2 х + 1 − 6 х − 1 = 7; х − 1 = а ≥ 0; а2 – 6а – 7 = 0; а = 7 ⇒ х = 50; а = 1 — не подходит; Ответ: 50;
б) х 2 − 4 х + 4 − 6 = 5 2 − х ; 2 − х = а ≥ 0; а2 – 5а – 6 = 0; а = 6 ⇒ х = – 34; а = –1 — не подходит; Ответ: –34. 2х + 3 2х − 1 2х + 3 +4 = 4; = а ≥ 0; а + (4/а) = 4; 2х − 1 2х + 3 2х − 1 а2 – 4а + 4 = 0; a = 2; 2x + 3 = 8x – 4; 6x = 7; x = 7/6;
1697. а)
5х − 1 х+3 5х − 1 5 +5 = 6; = а ≥ 0; а + = 6; а2 – 6а + 5 = 0; х+3 5х − 1 х+3 а а = 1 ⇒ х = 1; а = 5 ⇒ 5х – 1 = 25х + 75; 20х = –76; х = –3,8; Ответ: 1; –3,8.
б)
1698. а) 2х + 2х– 1= 3; 2х = а > 0; a +
2 = 3; a2 – 3a = 2 = 0; а
a = 1 ⇒ x = 0; a = 2 ⇒ x = 1; Ответ: 0; 1; б) 25– х – 50 = 5– х+ 1; 5– х = а > 0; а2 – 5а – 50 = 0; a = 10 ⇒ x = –log5 10; а = –5 — не подходит; Ответ: –log5 10; в) 5 x + 4 = 5 2x + 1; 5 ⋅ 5 2x – 5 x – 4 = 0; a = 5 x >0; 5 a 2 – a – 4 = 0; 4 a = − < 0 — не подходит; a = 1 ⇒ x = 0; 5 Ответ: 0; г) 3 х + 1 – 29 = – 18 ⋅ 3 – х; 3 х = а > 0; 3 ⋅ a2 – 29a + 18 = 0; 2 ⇒ x = log32 – 1; a = 9 ⇒ x = 2; a= 3 Ответ: 2; log32 – 1. 175
1699. а) 7 2x+1– 50 ⋅ 7 x = – 7; 7 x = a > 0; 7а2 – 50a + 7 = 0; a = 1/7 ⇒ x = – 1; a = 7 ⇒ x = 1; Ответ: ±1;
б) log 22 x + 12 = 7 log2 x; log2 x = a; a2 – 7a + 12 = 0; a = 3 ⇒ x = 8; a = 4 ⇒ x = 16; Ответ: 8; 16; в) 4 sin2 x + 4 = 17 sin x; sin x = a,⏐a⏐ ≤ 1; 4a 2 – 17a + 4 = 0; a = 1/4 ⇒ x = (– 1)k arcsin (1/4) + πn. а = 4 > 1 — не подходит; Ответ: (– 1)k arcsin (1/4) + πn; 3
6
6
г) х – х – 2 = 0; х а = –1 > 0 — не подходит; Ответ: 64.
= а > 0; a 2 – a – 2 = 0; a = 2 ⇒ x = 64;
1700. а) lg2 x2 + lg 10x – 6 = 0; ОДЗ: х > 0; a = lg x; 4a2 + a – 5 = 0; − (5 / 4) 5 ⇒ x = 10 ; а = 1 ⇒ х = 10; a=– 4 − (5 / 4) Ответ: 10; 10
б) 3х + 3– х + 1 = 4; 3х = а > 0; a2 – 4а + 3 = 0; а = 3 ⇒ х = 1; а = 1 ⇒ х = 0. Ответ: 0; 1; в) 2cos2 x – 7 cos x – 4 = 0; cos x = a, ⏐a⏐ ≤ 1; 2a2 – 7a – 4 = 0; 2π 1 ⇒x=± + 2πn; а = 4 >1 — не подходит; a=– 2 3 2π Ответ: ± + 2πn; 3 г) 5 2 х + 125 = 6 ⋅ 5 a = 25 ⇒ x = 4; Ответ: 1; 4. 1701. а) х = 1–
3
х +1
;5
х
x ; х = 0; х = ± 1.
= а > 0; a2 – 30a + 125 = 0; a = 5 ⇒ x = 1;
б) x = 5 x; х = 1; х = 0 (см. рис.)
Y
1–
Y
X |
-2
|
0
|
|
2
-1–
1702. а) 2х = 6 – х; х = 2 (см. рис.)
176
X |
-2
|
0
|
|
2
-1–
б) (1/3)х = х + 4; х = –1 (см. рис.)
6– – 4– – 2– – |
|
|
6– – 4– – 2– –
X |
|
0
-3
Y
|
|
|
3
|
|
-3
Y
X |
|
0
|
|
3
1703. а) (х – 1)2 = log2x; х = 1; х = 2 (см. рис.) рис.). 4– – |
0 -2–
Y
3– Y – – 0 -1–
X |
|
|
|
–
3
0 – -2– –
Y |
|
|
1704. а) 1 − x = ln x; х = 1 (см. рис.)
|
б) log1/2x = (x + ½)2; х = ½ (см.
б)
x −2=
|
|
3
|
|
|
-9
|
|
3
9 ; х = 9 (см. рис.). x
X |
X |
|
8– – – – 0– – – -8–
Y X |
|
|
|
1705. а) log πx = sin x; 1 решение (см. рис.); 1–
π
π
3π 2
2
2π
5π 2
б) х2 + 1 = cos x; 1 решение (см. рис.); 1–
-π
−
π
π
2
2
π
в) log 3π x = cos x; 3 решения (см. рис.); 1
π 2
π
3π 2
2π
5π 2
1 x; х = 0 — решение, при х > 0 — 3 решения (см. рис.) и в силу 9 нечетности обеих частей уравнения при х < 0 также 3 решения; т.к. всего 7 решений.
г) sin x =
177
π
π
2
3π 2
2π 5π 3π 2
1706. а) 2х = sin x, x ∈ [0; + ∞); при х = 0 2 = 1 ≠ 0 = sin0; при х > 0 2х > 1, sinx ≤ 1, значит, решений нет; х
х
4х ⎛4⎞ ⎛4⎞ б) ⎜ ⎟ = cos x x ∈ (–∞; 0]; при х = 0, = 1 = cos0; при x < 0 ⎜ ⎟ >1, 5 5 ⎝5⎠ ⎝ ⎠ cosx ≤ 1, т.е. имеется 1 решение — х = 0; в) 7 х = cos х, х ∈ [0; + ∞); рассуждения аналогичны предыдущему пункту; 1 решение; г) log3 x = sin x, x ∈ (0; 3]; 1 решение (см. рис.) (в ответе задачника опечатка). 1–
π 2
π
3π 2
1707. а) х3 – 6х2 + 11х – 6 = 0; (х3 – х) – (5х2 – 5х) + (6х – 6) = 0; (х – 1)(х2 – 5х + 6) = 0; (х – 1) (х – 2) (х – 3) = 0; х = 1, х = 2, х = 3;
б) х3 + 7х2– 6 = 0; (х + 1) (х2 + 6х – 6) = 0; х = – 1, х = – 3 ± 15 ; в) х3 + 2х2 + 3х + 6 = 0; (х2 + 3) (х + 2) = 0; х = – 2; г) х3 + 4х2 – 24 = 0; (х – 2) (х2 + 6х + 12) = 0; (х – 2)((х + 3)2 + 3) = 0; х = 2. 1708. а) (х – 4)4 + 36 = 13 (х2 – 2х + 1); (х – 4)4 – 13 (х – 1)2 + 36 = 0; 1) (х – 1)2 = 4; х = 3, х = – 1; 2) (х – 1)2 = 9; х = 4, х = – 2; Ответ: 3; 4; –1; –2; б) (2х + 3)4 – 9 = 8 (4х2 +12х + 9); (2х + 3)4 – 8 (2х + 3)2 – 9 = 0; 1) (2х + 3)2 = 9; х = 0, х = – 3; 2) (2х + 3)2 = – 1; нет решений; Ответ: 0; –3. 1709. а) (х2 – 5х + 7)2 – (х – 2) (х – 3) = 1; х2 – 5х + 7 = а; а2 – а + 1 = 1; 1) а = 0; х2 – 5х + 7 = 0; решений нет; 2) а = 1; х2 – 5х + 6 = 0; х = 2, х = 3; Ответ: 2; 3; б) ((х – 2) (х – 4))2 + 2 (х – 3)2 + 2 = 0; (х2 – 6х + 8)2 + 2(х2 – 6х + 9) + 2 = 0; х2 – 6х + 8 = а; а2 + 2 (а + 1) + 2 = 0; а2 + 2а + 4 = 0; решений нет. 1710. а) х (х – 1) (х – 2) (х – 3) = 15; (х2 –3х) (х2 – 3х + 2)= 15; х2 – 3х + 1 = а; а2 = 16; 3 ± 15 1) а = 4; х2 – 3х – 3 = 0; х = ; 2 2 2) а = –4; х – 3х + 5 = 0; решений нет. 3 ± 15 Ответ: ; 2 б) (х – 1) (х + 1) х (х + 2) = 24; (х2 + х) (х + х – 2) = 24; х2 + х – 1 = а; а2 = 25; 1) а = 5; х2 + х – 6 = 0; х = – 3, х = 2;
178
2) а = –5; х2 + х + 4 = 0; решений нет; Ответ: –3; 2. 1711. а)
3
= 3 – х – х2; х2 + х + 1 = а;
2
х + х +1 1) а = 1; х2 + х = 0; х = 0, х = – 1; 2) а = 3; х2 + х – 2 = 0; х = – 2, х = –1; Ответ: 0; ±1; –2; х2 − х
3 = – а + 4; а2 – 4а + 3 = 0; а
х2 − х + 2
a a+2 = 1; х2 – х = а; − = 1; a +1 a − 2 х − х +1 х2 − х − 2 а2 – 2а – а2 – 3а – 2 = а2 – а – 2; а2 + 4а = 0; 1) а = 0; х2 – х = 0;х = 0, х = 1; 2) а = –4; х2 – х + 4 = 0; решений нет; Ответ: 0; 1.
б)
1712. а)
б)
–
2
2
6х − 3 =
2 ⎧ ⎪х ≥ ; х = 1; 5х − 2 ; ⎨ 5 ⎪ 2 ⎩6х − 5х − 1 = 0
5 ⎧ 5 ⎪ х ∈ (−∞;0] ∪ [ ; +∞) ; х= . 3х − 5х = х + 2х − 5 ; ⎨ 3 2 ⎪2x 2 − 7x + 5 = 0 ⎩ 2
1713. а)
2
⎧2х 2 − 11х + 6 = 4х 2 − 36х + 81 ⎪ 2х 2 − 11х + 6 = 2х – 9; ⎨ ; 9 ⎪х ≥ 2 ⎩
⎧2x 2 − 25x + 75 = 0 15 ⎪ ; ; х = 5, х = ⎨ 9 2 x ≥ ⎪ 2 ⎩ ⎧ 2 ⎧х ≥ 2 б) х 2 + 2 х − 8 = 2х – 4; ⎨ 2 ; ⎨3x − 18x _ 24 = 0 ; 2 ⎩ х + 2х − 8 = 4х − 16х + 16 ⎩ x ≥ 2 х = 4, х = 2. 1714. а) 16x – 15 х – 1 = 0;
х = 1, x = 1;
х = (1/16) — не имеет решений; Ответ: 1;
б) 2 – х + 3 2 − х = 4; а = –4 — не подходит; Ответ: 1; в) 3х – 8
х
+ 5 = 0;
2 − х = а ≥ 0; а2 + 3а – 4 = 0; а = 1 ⇒ х = 1;
х = 1 ⇒ х = 1;
х =
5 25 ⇒х= ; 3 9
179
Ответ: 1;
25 ; 9
г) 5 х + 3 + х + 3 = 6; а = –5 — не подходит; Ответ: –2. 5
х + 3 = а ≥ 0; а2 + 5а = 6; а = 1 ⇒ х = – 2;
10
1715. а) х – х – 2 = 0; а = –1 — не подходит; Ответ: 1024;
10
х
= а ≥ 0; а2 – а – 2 = 0; а = 2 ⇒ х = 1024;
4
8
8
х
= 1 ⇒ х = 1;
3
6
6
х
= 4 ⇒ х = 4096;
б) х + 2 х – 3 = 0; Ответ: 1; в) х – 6 х + 8 = 0; Ответ: 4096; 64; 4
8
г) 6 х – 2 х Ответ: 1. 1716. а)
– 4 = 0;
х +1 +
8
х −1 =
= 1 ⇒ х = 1;
х
2х + 1 –
9х + 1 + 2
8
6
= 2 ⇒ х = 64;
х
х – (2/3) — решений нет;
2 =
2;
х − 1 = 3 ; ОДЗ: х ≥ 1; 2х + 1 = х – 1 + 3 + 2 3х − 3 ;
х – 1 = 2 3х − 3 ; Ответ: 1; 13. 1717. а)
х = –3 — нет решений;
⎧x ≥ 1 2 ; ОДЗ: ⎨ ; х ≥ 1; 2х + 2 х 2 − 1 = 2; ⎩ x ≥ −1
x 2 − 1 = 1 − x; х ≤ 1 ⇒ х = 1; проверка: Ответ: 1; б)
8
3х − 1 +
х − 1 ( х − 1 – 2 3 ) = 0; х = 1, х = 13; 6х + 2 =
9 х + 1 ; ОДЗ: х ≥
18х 2 − 2 = 9х + 1; 18х2 – 2 = 0; х =
1 ; 3
1 ; 3
х = –(1/3) — не входит в ОДЗ; Ответ: 1/3; 6 х − 14 –
б)
5x – 9 – 2
5−х =
⎧x ≥ 7 / 3 7 ⎪ 5х − 9 ; ОДЗ: ⎨ x ≤ 5 ; х ∈ [ ; 5]; 3 ⎪⎩ x ≥ 9 / 5
− 6х 2 + 44 х − 70 = 5x – 9; x2 – 22x + 35 = 0; x = 5, x =
7 ; 3
Ответ: 5; 7/3. 1718. а) x2 – 4x – 6 = 2х 2 − 8х + 12 ; x2 – 4x – 6 = a ≥ 0; a – 12 =
⎧a − 26a + 144 = 0 ; a = 18; x2 – 4x – 12 = 0; x = 6, x = – 2; ⎨ ≥ a 12 ⎩ 2
180
2а ;
Ответ: 6; –2; х 2 − 3х + 5 + х2 = 3х + 7; х2 – 3х + 5 = а ≥ 0;
б)
а = – а + 12;
⎧a − 25a + 144 = 0 ; а = 9; х2 – 3х – 4 = 0; х = 4, х = – 1; ⎨ ≤ a 12 ⎩ Ответ: 4; –1; 2
х 2 − 3х + 3 +
1719. а)
а +
х 2 − 3х + 6 = 3; х2 – 3х + 3 = а ≥ 0;
а + 3 = 3; ОДЗ: а ≥ 0; 2a + 3 + 2 a 2 + 3a = 9;
2 ⎧ 2 a 2 + 3a = 3 − a; ⎨a + 3a = a − 6a + 9 ; а = 1; х2 – 3х + 2 = 0; х = 2, х =1; ⎩a ≤ 3 Ответ: 2; 1;
б)
х 2 + х + 7 + х 2 + х + 2 = 3х 2 + 3х + 19 ; х2 + х + 2 = а ≥ 0; а +5 +
2
а =
3а + 13 ; 2а + 5 + 2
а 2 + 5а = 3а + 13;
⎧ 2 а 2 + 5а = а + 8; ⎨3a + 4a − 64 = 0 ; ⎩a ≥ −8
1) а = 4; х2 + х – 2 = 0; х = – 2, х = 1; 2) а = –(16/3); х2 + х + (22/3) = 0; решений нет; Ответ: –2; 1. 1720. а) sin2 x + cos2 2x = 1; 1 – cos 2x + 2cos2 2x = 2; 2cos2 2x – cos 2x – 1 = 0; 1) cos2x = 1; 2x = π + 2πn; x = π/2 + πn; 2) cos2x = –(1/2); 2x = ±(2π)/3 + 2πn; x = ±π/3 + πn; Ответ: π/2 + πn; ±π/3 + πn (в ответе задачника оечатка); б) cos2 3x – sin2 3x – cos 4x = 0; cos 6x – cos 4x = 0; sin x sin 5x = 0; πn x= , x = πk; x = (πn)/5; 5 Ответ: (πn)/5. 1721. а) cos 5x + cos 7x – cos 6x = 0; 2cos6xcosx – cos6x = 0; cos 6x (2 cos x + 1) = 0; π 1) cosx = 1/2; x = ± + 2 πn; 3 π πn 2) cos6x = 0; x = + ; 12 6 Ответ: ±(π/3) + 2πn; (π/12) + (πn)/6; б) sin 9x – sin 5x + sin 4x = 0; 2 sin 2x (cos 7x + cos 2x) = 0; πn π π 9х 5х 2πn 2πn – cos = 0; x = ;x= + ,x= + ; sin 2x cos 2 2 2 9 9 5 5
181
Ответ:
2πn π 2πn πn π ; + ; + . 2 9 9 5 5
1722. а) cos 6x – cos 2x + cos 8x – cos 4x = 0; sin 2x (sin 4x + sin 6x) = 0; πn πn π sin 2х sin 5x cosx = 0; x = ,x= , x = + πn; 5 2 2 πn πn Ответ: ; ; 5 2 б) sin 3x – sin x + cos 3x – cos x = 0; sin x (cos 2x – sin 2x) = 0; πn π sinxsin(2x – (π/4)) = 0; x = πn, x = + ; 8 2 πn π + . Ответ: πn; 8 2 1723. a) 3 tg2 x – 8 = 4 cos2 x; ОДЗ: cos x ≠ 0; 3 – 3 cos2 x – 8 cos2 x = 4 cos4x; 4 cos4x + 11 cos2 x – 3 = 0; 1 1 2π π 1) cos2 x = ; cos x = ± ; x = ± + 2πn, x = ± + 2πn; x = ±(π/3) + πn; 4 2 3 3 2) cos2x = –3; решений нет; Ответ: ±(π/3) + πn;
б) 4sin2x = 4 – 9tg2x; 4sin 2 x = 4 − 9
sin 2 x 1 − sin 2 x
; 4 sin4 x – 17 sin2 x + 4 = 0;
π π π 1 ; x = ( – 1)k + πk; x = ( – 1)k+1 + πk; x = ± + πk; 4 6 6 6 2) sin2x = 4; решений нет; π Ответ: ± + πk. 6
1) sin2 x =
1724. a) sin3 x – sin2 x cos x + 3 cos3 x = 3 sin x cos2 x; sin2 x ( sin x – cos x) – 3 cos2 x (sin x – cos x) = 0; π sin (x – ) (sin2 x – 3 cos2 x) = 0; 4 π π + πn; 1) sin(x − ) = 0; x = 4 4
2) tg2x = 3; x = ± Ответ:
182
π + πn; 3
π π + πn; ± + πn 4 3
б) sin3x + 5 sin2 x cos x = 6 cos3 x; cos x ≠ 0, т.к. x =
π + πn не вляются 2
решениями; tg3 x + 5 tg2 x – 6 = 0; (tg x – 1) (tg2 x + 6 tg x + 6) = 0; π + πn; 1) tgx = 1; x = 4 2) tg2x + 6tgx + 6 = 0; tgx = –3 ± Ответ:
π + πn; arctg (– 3 ± 4
3 ; x = arctg (– 3 ±
3 ) + πn;
3 ) + πn.
1725. а) sin x cos x – 6 sin x + 6 cos x + 6 = 0; cos x – sin x = t;
t2 1 + ; 1 – t2 + 12t + 12 = 0; t2 – 12t – 13 = 0; 2 2 1) t = 13; cosx – sinx = 13; решений нет;
sin x cos x = –
π π π 2 )= ; x = ( – 1)k + + πk; 4 4 4 2 π π + + πk; Ответ: ( – 1)k 4 4 б) 5 sin 2x – 11 sin x – 11 cos x + 7 = 0; sin x + cos x = t; sin2x = 2sinxcosx = t2 – 1; 5t2 – 11t + 2 = 0;
2) t = – 1; sin (x –
1 π π 2 2 ; sin (x + ) = ; x = – + ( – 1)k arcsin + πk; 5 4 4 10 10 π 2) t = 2; sin(x + ) = 2; решений нет; 4
1) t =
Ответ: –
π 2 + ( – 1)k arcsin + πk. 4 10
1726. а) 8
(2
х
х
– 1) ( 2
–3⋅ 4 2 х
х
–3 2
–2· 2
1) 2
x
= 1; x = 0;
2) 2
х
–2⋅ 2
х
х
х +1
+ 8 = 0; 23
х
3 ⋅ 22
х
–6·2
х
+ 8 = 0;
– 8) = 0;
– 8 = 0; 2
х
= 4; x = 4;
х
2 = –2 — не имеет решений; Ответ: 0; 4; б) 4 log5 x – 6 ⋅ 2 log5 x + 2 log5125 = 0; 2 2log5 x – 6 ⋅ 2 log5 x + 8 = 0; 1) 2log5 x = 4; x = 25; 2) 2log5 x = 2; x = 5; Ответ: 25; 5. 183
1727. а) 2x ⋅ 5
1+ х х
= 50; 2x ⋅ 5
1 х
= 10;
1 + x log52 = log510. х
x2 log5 2 – x log5 10 + 1 = 0; D = log25 10 – 4 log5 2 = 1 + 2 log5 2 + log25 2 – 4 log5 2; 1 + log5 2 + 1 − log52
x=
= log2 5, x =
2 log5 2
1 + log5 2 − 1 + log52 2 log5 2
= 1;
Ответ: 1; log25; 3 х
3 + х log23 = 3 + log23; x2 log23 – (3 + log23)x + 3 = 0; х 3 + log 2 3 ± (3 − log 2 3) 6 x= ; x= = 3log3 2, х = 1; 2log 2 3 2log 2 3 Ответ: 3 log32; 1; (в ответе задачника опечатка);
б) 3х ⋅ 2
= 24;
в) 3 х – 1 ⋅ 625
х −2 х −1
= 225; 3 х – 1 ⋅ 625
1+ х х
=
9 ; 25
1 log3 625 = 2 – log3 25; 1− х (x – 1)2 – (x – 1) (2 – 2 log3 5) – 4 log3 5 = 0; 1) x – 1 = 2; x = 3; 2) x – 1 = –2 log3 5; x = 1 – 2 log3 5; Ответ: 3; 1 – 2 log3 5;
х–1+
2+ х х
2 х
2 log5 2 = 1 + log5 4; х 2 x – x (1 + 2 log5 2) + 2 log5 2 = 0; x = 1, x = 2log5 2; Ответ: 1; 2log5 2. х
г) 5 ⋅ 2
х
= 40; 5 ⋅ 2
= 20; х +
4 ⎧5 − 4 > 0 = log0,2 x; ОДЗ: ⎨ ; х> ; 5 ⎩x > 0 x2 – 5x + 4 = 0; x = 4, x = 1;
1728. а) log0,2
б) log 7
5х − 4
3х 2 − 7 х − 9
2 x2 – 11х + 5 = 0; х = в) log3 (х – 1) = log3
= log7 (x + 2); ОДЗ: х > – 2; 3х2 – 7х + 9 = x2 + 4х + 4; 1 , х = 5; 2 6 х − 11 ; ОДЗ: х > 1; x2 – 8х + 12 = 0; х = 6, х = 2;
г) log0,4 х = log0,4 х х 2 + х ; ОДЗ: х > 0; x2 = x2 + х; х = 0 — не входит в ОДЗ; Ответ: нет решений. 1729. а) log20,5 х + 12 = 7 log 2 х; log22 х - 7 log 2 х + 12 = 0; 1) log 2 х = 3; х = 8; 2) log 2 х = 4; х = 16; Ответ: 8; 16;
184
б) log20,5 х + log
1
x + 8 =0; log20,5 х + log 1 x + 8 = 0;
2
2
1) log20,5 х = 4; х =.
1 1 ; 2) log20,5 х = 2; х = ; 16 4
1 1 ; ; 16 4 в) 9 log2 8 х = 11 log 2 х + 12; log2 2 х – 11 log 2 х – 12 = 0; 1 1) log 2 х = 12; х = 4096; 2) log 2 х = –1; х = ; 2 1 (в ответе задачника опечатка); Ответ: 4096; 2 ⎪⎧log x + 11 = log 22 x − 2log 2 x + 1 г) log 2 x + 11 = 3log8 x − 1; ⎨ 2 ; ⎪⎩3log8 x ≥ 1 Ответ:
⎧ ⎡log x = 5 ⎧log 22 x − 3log 2 x − 10 = 0 ⎪ ⎢ 2 1 ; ⎨ ⎣log 2 x = −2 ; x = 32, x = ; ⎨ 4 x 2 ≥ ⎩ ⎪x ≥ 2 ⎩ Ответ: 32; 1/4.
1730. а) log х + 1 (x2 – 3x + 1) = 1; x2 – 3x + 1 = x + 1; x2 – 4x = 0; x = 0, х = 4; подстановкой убеждаемся, что х = 0 — не подходит, х = 4 — подходит; Ответ: 4; б) log х (2x2 – 3x – 4) = 1; 2 x2 – 3х – 4 = x2; х = 4 — подходит; х = – 1не подходит; Ответ: 4. ⎧⎪0, 2 х > 7 ; 1731. а) ln (0,2x – 7) = ln (9 – 3 ⋅ 0,2x); ОДЗ: ⎨ x ⎪⎩0, 2 < 3
нет решений;
⎧x > 0 б) 9 log 3 x – 12 · 3 log 3 x + 3 log 3 27 = 0; ⎨ 2 ; ⎩ x − 12x + 27 = 0 х = 3, х = 9; 1 в) е lg( x − 2) ⋅ = (е–1) lg( x +1) ; lg (x – 2) – 1= – lg (x + 1); е ⎧lg(x 2 − x − 2) = 1 ⎧⎡ x = 4 ⎧ 2 ⎪ ⎪ ; ⎨ x − x − 12 = 0 ; ⎨ ⎣⎢ x = −3; x = 4; ⎨x ≥ 2 ≥ x 2 ⎩ ⎪x ≥ 2 ⎪ x ≥ −1 ⎩ ⎩ г) log5 (2 + 3 · 5 – x) = x + 1; 2 + 3 · 5 – x = 5 · 5 x; 5 · 5 1) 5 x = 1; x = 0; 2) 5х = –(3/5); нет решений; Ответ: 0.
2x
–2·5
x
– 3 = 0;
185
2
5
1732. а) 10 ln (3x − e) −5ln(2x + e) = (0,1) (0,1)ln(2x + e) −1 ; 1 – 5 ln (2x + e) = ln2 (3x – e) – 5 ln (2x + e); ln2(3x – e) = 1; 2е ⎡ ⎢x = 3 ⎡3х − е = е ; ⎢ ; проверкой убеждаемся, что ⎢ е2 + 1 ⎣3х − е = 1/ e ⎢ = х ⎢⎣ 3е подходят;
оба
корня
2е е 2 + 1 ; ; 3е 3 x 3x+1 – 1 ) – lg (3x – 2 · 9x) = 0; 32x + 3 · 3x – 1 = 3x – 2 · 32x; б) lg (9 + 3 2x x 3 · 3 + 2 · 3 – 1 = 0; 1 1) 3x = ; x = – 1 — подходит; 2) 3х = –1; нет решений; 3 Ответ: –1.
Ответ:
1733. а) log 10 (lg (x+1) – 1) – 1 = log 0,7 (3 lg (x + 1) – 1) – log 0,7 (lg (x + 1) + 3); 7
lg (x + 1) + 2 lg (x + 1) – 3 = 3 lg (x + 1) – 1; lg2 (x + 1) – log (x + 1) – 2 = 0; 1) log (x + 1) = 2; x =99 — подходит; 2) log (x + 1) = – 1 — нет решений; Ответ: 99; б) log
3
(3х – 2 3х − 1 ) = 2 log3 (2 3х − 1 + 1); 3x – 1 = 4 3х − 1 ;
3х − 1 ( 3х − 1 –4) = 0; 3х − 1 = 0; x =
1) 2)
3х − 1 = 4; x =
Ответ:
1 — подходит; 3
17 — подходит; 3
1 17 ; . 3 3
1734. а) 2 lg2x – 5⏐lg x⏐ = 0; 1) ⏐lg x⏐ = 0; x = 1; 2) ⏐lg x⏐ = 5; x = 10 ±5; Ответ: 1; 10±5; ⎛ 3 ⎞⎟ 3 ln 2 x б) ln2 x – = 0; ln2 x ⎜1 − = 0; ⏐ln x⏐ = 3; x = e ±3; ⎜ ln x ⎟⎠ ln x ⎝ Ответ: e ±3. 1735. а) log2 0,5 х – 3 ⏐log 0,5 x⏐ + log 0,5 x = 0; 2 x − 2log 0,5 x = 0; 1) x ∈ (0;1], т.е. |log2 0,5 х| = log 0,5 x; log 0,5
⎡ log 0,5 x = 0 ⎡ x = 1 ⎢ log x = 2 ; ⎢ x = 1/ 4 ; ⎣ ⎣ 0,5 186
2 x + 4log 0,5 x = 0; 2) x ≥ 1, т.е. |log0,5х| = –log 0,5 x; log 0,5 2 ⎡ log 0,5 x=0 ⎡x = 1 ⎢ ; ⎢ ; 2 ⎢⎣ log 0,5 x = −4 ⎣ x = 16
Ответ: х = 1; х = 16; х = б) lg2 x – 9|lg x| - lg x =0;
1 ; 4
⎡x = 1 ⎡ lg x = 0 1) x∈(0;1], т.е. |lgx| = –lgx; lg2x + 8lgx = 0; ⎢ ; ⎢ −8 ; ⎣ lg x = −8 ⎣ x = 10 ⎡x = 1 ⎡ lg x = 0 2) x ≥ 1, т.е.|lgx| = lgx; lg2x – 10 lg x = 0; ⎢ ; ⎢ 10 ; = lg x 10 ⎣ ⎣ x = 10 Ответ: x = 10-8;x = 1;x = 1010. 1736. а) log 1 (2sinx – 1) = log 1 (2 – sin2x); sin2x + 2 sinx – 3 = 0; 6
6
π ⎡sin x = −3 ⎢sin x = 1 ; x = 2 + 2πn; ⎣ б) log5 (2 cos2 x – 1) = log5 (– 11 cos x + 5); 2 cos2 x + 11 cos x – 6 = 0; ⎡ cos x = 1/ 2 ⎢ cos x = −6 ; т.к. –(11/2) + 5 < 0 и |cos x| ≤ 1, то решений нет. ⎣
1737. а) log2 sin x = log2 – (cos x); ⎧sin x + cos x = 0 ⎧sin ( x + π / 4 ) = 0 ⎪ ⎪ ; ⎨sin x > 0 ; ⎨sin x > 0 ⎪⎩cos x < 0 ⎪cos x < 0 ⎩
⎧ x = −(π / 4) + πn ⎪ ; ⎨sin x > 0 ⎪⎩cos x < 0
3π + 2πn; 4 б) log3 cos x = log3 – sin x. ⎧cos x + sin x = 0 ⎧ x = −(π / 4) + πn π ⎪ ⎪ ; ⎨sin x > 0 ; x = – + 2πn. ⎨sin x < 0 4 ⎪⎩cos x > 0 ⎪⎩cos x < 0 x=
1738. а)
х
sin x log2 x = 0;
⎧ ⎡sin x = 0 ⎧ ⎡ x = πn ⎪⎢ ⎪⎢ x = 0 ⎪⎪ ⎢ x = 0 ⎨ log x = 0 ; ⎨ ⎢ x = 1 ; ⎪ ⎢⎣ 2 ⎪ ⎢⎣ ⎪⎩ x > 0 ⎪⎩ x > 0 Ответ: πn, n > 0; 1.
б)
3х + 1 cos 2x lg x = 0; 187
⎧ ⎡ 3x + 1 = 0 ⎪⎢ ⎪ ⎢cos 2x = 0 ; ⎨ lg x = 0 ⎪ ⎢⎣ ⎪⎩3x + 1 ≥ 0, x > 0
⎧ ⎡ x = −(1/ 3) ⎪⎢ π πn ⎪⎢ x = + 4 2 ; ⎨⎢ ⎪ ⎢⎣ x = 1 ⎪ ⎩x > 0
π πn , n ≥ 0, 1. + 4 2
Ответ:
1739. а) 2 5х – 1 (sin x –
⎡ 3 ⎢sin x = ; 2 ⎢ ⎢⎣ log 0,5 (x + 4) = 0 Ответ: (−1)n
3 ) log 0,5 (x + 4) = 0; 2
⎧⎡ n π ⎪⎪ ⎢ x = ( −1) 3 + πn ; ⎨ ⎢ x = −3 ⎪⎣ ⎪⎩ x > −4
π + πn , n ≥ 0, –3. 3
б) (sin 2x + cos 2x) (x – 8 2 х − 15 ) = 0; ОДЗ: x > 7,5; 1) sin2x + cos2x = 0; sin (2x + (π/4)) = 0; πn π + ; n ≥ 6 (т.к. х должен входить в ОДЗ); x=– 8 2 2) x = 8 2x − 15; x2 – 128x + 960 = 0; x = 8, x = 120; πn π Ответ: 8; 120; + , n ≥ 6. 8 2 ⎛1⎞ 1740. а) 1+ x2 = ⎜ ⎟ ⎝2⎠
х
; очевидно, х = 0 — корень;
х
⎛1⎞ т.к. 1+ x2 > 0, ⎜ ⎟ < 1 при всех х ≠ 0, то других корней, кроме х = 0, нет; ⎝2⎠ Ответ: 0. б) 3 – х2 = 2⏐х⏐; пусть х ≥ 0; т.к. парабола убывает на этом промежутке, а 2⏐х⏐ возрастает, то пересечение может быть только одно — в силу четности функций у = 3 – х2 и у = 2|x| х = –1 — также корень и других корней, кроме х = ±1, не будет; Ответ: 1.
1741. а) 2 – х – 5
5
х = 0; 5
2 – х = х ; у = 2 – х – убывает, а у = х — возрастает, значит, графики этих функций имеют только одну общую точку –х = 1; Ответ: 1;
188
б) log5 x + (x – 5)3 = 1; ОДЗ: x > 0, при x > 0, у = log5 x возрастает и у = (x – 5)3 – возрастает ⇒ у = = log5x + (x – 5)3 — возрастает; значит график этой функции может иметь только одно пересечение с прямой у = 1; легко видеть, что пересечение будет при х = 5; Ответ: 5. 5π x = x2 – 4x + 5; функция y = x2 – 4x + 5 = (х – 2)2 + 1 4 5π принимает минимальное значение 1 при х = 2; функция y = sin x 4 2 8n принимает значение 1 при x = + ⇒ x = 2 — единственный корень (т.к. 5 5 5π х2 – 4х + 5 > 1 при х ≠ 1, а sin x ≤ 1); 4 Ответ: 2; б) – cos 7πx = x2 – 6x + 10; рассуждая аналогично предыдущему пункту получим: х = 3; Ответ: 3.
1742. а) sin
1743. а)
х 2 − 2 х + 2 + log3
х 2 − 2 х + 10 = 2;
функция y =
х 2 − 2х + 2 принимает минимальное значние у = 1 при х = 1;
функция log3 Ответ: 1;
х 2 − 2 х + 10 принимает минимальное значение у=1 при х=1;
б) (х – 7)6 + log5 х 2 − 14 х + 74 = 1; рассуждая аналогично предыдущему пункту, получим: х = 7; Ответ: 7. πх 5πх – cos ; функция y = log2 (x2 – 4x + 8) 2 4 принимает минимальное значние у=2 при х=2 при х ≠ 2, у > 2; πх 5πх функция у= sin – cos принимеет максимальное значение у = 2 при 2 4 х = 2; при х ≠ 2, у ≤ 2; Ответ: 2. πх б) log3 (x2 + 4x + 13) = cos πх – sin рассуждая аналогично предыдущему 4 пункту, получим: х = –2; Ответ: –2.
1744. а) log2 (x2 – 4x + 8) = sin
§ 57. Решение неравенств с одной переменной 189
1745. а) х2 – 9 = 0; 1) ⏐х⏐ ≤ 3; 2) х4 ≤ 81; 3) х6 ≤ 729; 1 1 б) < ; 1) x > 3; 2) x3 > 273; x5 > 243. х 3 1746. а) log0,2 x < 0; 1) log5 x > 0; 2) log0,2 x < 1; 3) x > 1;
б) 10 х – 3 < 1; 1)
10 х <1; 2) 10x < 1000; 3) x < 3. 1000
1747. а) sin x + 2 log3 x > 20 и sinх > 20 – log3 x; являются равносильными, т.к. перенос из одной части уравнения в другую не нарушает равносильности; sin x ≥1 и sin х≥ х 2 + 1 являются равносильными, т.к. х 2 + 1 >0, б) x2 + 1 поэтому домножив на него, мы не нарушим равносильности; 2
2
в) 13 – 13 х − 4 ≥ 10х и 13 ≥10х + 13 х − 4 ; являются равносильными, т.к. перенос не нарушает равносильности; г) 10 4х – 1⋅lg (x2–4)>0 и lg (x2–4)<0; являются равносильными, т.к. 10 4х – 1 > 0, поэтому разделив на него, мы не нарушим равносильности. 1748. а) lg (x2+9) > lg (2x2+4) ⇔ x2 + 9 > 2x2 + 4 (т.к. х2 + 9 > 0 и 2x2 + 4 > 0);
б) 1,4 7х – 9 ≤ 1,4 х 5
2
−6
⇔ 7х – 9 ≤ х2 – 6;
5
в) 4х − 9 ≥ 7 х + 9 ⇔ 4х – 9 ≥ 7х + 9; г) log0,2 (16x2 + 8) < log0,2 (x2 + 1), 16x2 + 8 > x2 + 1. ⎧ x > 24 ⎪ 45 ; нет решений; ⎨ ⎪⎩ x < 4 ⎧ x > 24 ⎪ 45 ; x ∈ [8; 11 ]. ⎨ ⎪⎩ x < 4
⎧3х − 11 > 2x + 13 ; 1749. а) ⎨ ⎩17х + 9 < 9x + 99 ⎧3х − 11 ≤ 2x + 13 ; б) ⎨ ⎩17 + 9 ≥ 9x + 99
⎧⎪( х + 1)2 − ( х − 1)2 ≥ 12 ; 1750. a) ⎨ 2 ⎪⎩( х + 4 )( х − 4 ) − ( х + 2 ) < 9
(
)
⎧x ≥ 3 ⎪ 9 ; x ∈ [3; +∞); ⎨ ⎪x > − 4 ⎩
⎧⎪( х − 2 ) х 2 + 2x + 4 − x 3 < 8x ⎧ x 3 − 8 − x 3 < 8x ⎧x > −1 ; ⎨ ; х∈ (– 1; 8]. ; ⎨ б) ⎨ ⎩x ≤ 8 ⎩2x ≤ 16 ⎪⎩3x − 16 ≤ x ⎧7 + 3х < 5x + 3 ⎪ 1751. а) ⎨7x − 15 < 4x − 3 ; ⎪⎩11x − 32 > 13x − 42
190
⎧x > 2 ⎪ ⎨ x < 4; х ∈ (2; 4); ⎪⎩ x < 5
⎧29 + 25х > 2(13x + 9) ⎪ б) ⎨2x > 5 ; ⎪⎩3(5x + 3) < 4(4x + 3)
⎧ x < 11 ⎪ ⎨ x > 2,5 ; x ∈ (2,5; 11). ⎪⎩ x < 3/ 7
⎧ 3х + 5 10 − 3х 2x + 7 168 + > − ⎪⎪ 5 3 21 ; 1752. а) ⎨ 7 7x 11(x + 1) 3x − 1 13 − x ⎪ − > − ⎪⎩ 3 6 3 2 ⎧45x + 75 + 210 − 63x − 70x − 245 > −840 ⎧88х < 880 ⎧ x < 10 ; ⎨ ; ⎨ ; ⎨14x − 11x + 11 > 6x − 2 − 39 + 3x ⎩ ⎩6x < 52 ⎩ x < 26 / 3 х ∈ (–∞; 26/3) (в ответе задачника опечатка); ⎧ 2х − 11 19 − 2х + < 2x ⎧2x − 4х − 8x < 38 + 11 ⎪⎪ ⎧10 х > 27 2 ; ⎨ ; ⎨ ; x∈(2; 7; 6). б) ⎨ 4 12x 15 1 x + ⎩10x + 75 > 9x − 9 + 15x ⎩14 x < 84 ⎪ > (x − 1) + ⎪⎩ 9 5 3 ⎧⎪ х 3 < 3 1753. а) ⎨ 2 ; ⎪⎩3x − x > 5 − 15x
⎧⎪ x(x 2 − 1) < 0 ; ⎨ 2 ⎪⎩3x + 14x − 5 > 0
⎧ ⎡ x < −1 ⎪ ⎪ ⎣⎢ 0 < x < 1 ; x ∈ (−∞; − 5) ∪ (1/ 3; 1); ⎨ ⎪ ⎡ x < −5 ⎢ ⎩⎪ ⎣ x > 1/ 3
⎧х + 5 <1 ⎪⎪ б) ⎨ х − 7 ; ⎪ 3x + 4 > −1 ⎪⎩ 4x − 2
⎧ 12 ⎪⎪ x − 7 < 0 ; ⎨ ⎪ 7x + 2 > 0 ⎪⎩ 4x − 2
⎧х < 7 ⎪ ⎨ ⎡ x < −(2 / 7) ; x ∈ (−∞; − (2 / 7)) ∪ (1/ 2; 7). ⎪ ⎢⎣ x > 1/ 2 ⎩
⎧ x 2 + 2x − 24 < 0 24 ⎧ x − <0 ⎪ ⎪ ; ⎨ x ≠ −2 ; 1754. а) ⎨ x + 2 (x + 2)2 ⎪−3x < 9 ⎪ x > −3 ⎩ ⎩ х ∈ (–3; –2) ∪ (–2; 4);
⎧−6 < x < 4 ⎪ ; ⎨ x > −3 ⎪⎩ x ≠ −2
⎧ x 2 − 1,5x − 7 > 0 ⎧2x 2 − 3x − 14 > 0 ⎧ х < −2 ⎪ ; ⎨ ; ⎨ б) ⎨ (x − 4) 2 ; ⎩−5 < x < 5 ⎩−5 < x < 5 ⎪ 2 ⎩ x < 25 x ∈ (–5; –2) ∪ (
7 ; 4) ∪ (4; 5). 2
191
⎡х 2 − 4 > 0 1755. a) ⎢ ; ⎣⎢ x − 6 < 0 3 ⎡ б) ⎢( х − 3) > 27 ; ⎢⎣ 4x − 1 < 12х
⎡ х ( х + 1) ≤ 0 в) ⎢ ; ⎣3x − 9 > 0
⎡x > 2 ⎢ x < −2; x ∈ (−∞; + ∞); ⎢ ⎢⎣ x < 6
⎡х ≥ 0 1 1 ⎢ 1 ; x ∈ ( − ; +∞); х > – . ⎢х > − 8 8 8 ⎣
⎡ −1 ≤ x ≤ 0 ; х ∈ [– 1; 0] ∪ (3; + ∞); ⎢x > 3 ⎣
⎡(x + 3)(x 2 − 3x + 9) < 54 ⎡ x 3 + 27 < 54 ; ⎢ 2 ; г) ⎢ 2 ⎢⎣ x > 9 ⎣⎢ x − 9 > 0 ⎡ 2х − 3 >0 ⎢ ; 1756. а) ⎢ х + 3 ⎢ 5x + 1 < 0 ⎢⎣ 4x − 2 5 ⎡ 2х ⎢х + 3 < x б) ⎢ ; ⎢ 3 <2 ⎢⎣ x − 2 x
⎡x < 3 ⎢ x < −3; x ∈ (−∞; −3) ∪ (3; +∞). ⎢ ⎢⎣ x > 3
⎡ х<-3 ⎢ 3 1 1 1 3 ; х ∈ (– ∞; ) ∪ (– ; ) ∪ ( ; + ∞); ⎢x > 2 3 5 2 2 ⎢ ⎢⎣ −1/ 5 < x < 1/ 5
⎡ 3x + 15 ⎢ x(x + 3) > 0 ⎢ ; ⎢ x+4 <0 ⎢ x(x − 2) ⎣
⎡ −5 < x < −3 ⎢x > 0 ; х ∈ (– ∞;– 3) ∪ (0; + ∞); ⎢ ⎢ x < −4 ⎢⎣0 < x < 2
⎡ x < −3 ⎡(х + 3)(х − 1) > 0 ⎢ x > 1 в) ⎢ ; ⎢ ; х ∈ (– ∞; 2 ) ∪ (1; + ∞); 2 ⎢x ≥ 2 ⎣2 − х ≤ 0 ⎢x ≤ − 2 ⎣ ⎡ х 2 < 25 ⎡ −5 < x < 5 г) ⎢ x − 1 ; ⎢ ; х ∈ (– 5; 5). ⎢ < 0 ⎣ −3 < x < 1 ⎢⎣ x + 3 ⎧ x ≥ −4 1757. а) log14 (x – 1) ≤ log14 (2x + 3); 0 < x – 1 ≤ 2x + 3; ⎨ ; ⎩x > 1 Ответ: x ∈ (1; +∞); ⎧ x>-4 ; x ∈ (3; + ∞). б) log0,3 (2x + 1) < log0,3 (x – 3); 2x + 1 > x − 3 > 0; ⎨ ⎩ x>3 1758. а) log 1 (2x2 – 5x) ≥ log 1 (2x – 3); π
192
π
⎧ ⎡ x > 2,5 ⎧ ⎡ x > 2,5 ⎪ ⎪ 0 < 2x 2 − 5x ≤ 2x − 3; ⎨ ⎢⎣ x < 0 ; ⎨ ⎢⎣ x < 0 ; x ∈ (2,5; 3]; ⎪2x 2 − 7x + 3 ≤ 0 ⎪1/ 2 ≤ x ≤ 3 ⎩ ⎩ б) lg (5x2 – 15x) ≤ lg (2x – 6); 0 < 5x2 – 15x ≤ 2x – 6; ⎧⎡x > 3 ⎧⎡x > 3 ⎪⎢x < 0 ⎪ ; ; решений нет. ⎨⎣ ⎨ ⎢⎣ x < 0 ⎪5x 2 − 17x + 6 ≤ 0 ⎪0, 4 ≤ x ≤ 3 ⎩ ⎩
1759. а) 2
х+4
≥
1 2
128 ; ОДЗ: x ≥ –4;
х+4
≥–1+
7 ; 2
9 ⎧4x + 16 ≥ 25 ⎨ x + 4 ≥ 0 ; х ∈ ( ; +∞); 4 ⎩
б) 0,5
sin x +
3 2
≤ 1; sin x ≥ –
3 π 4π + 2πn]. ; x ∈ [– + 2πn; 2 3 3
1760. а) log9 (x2 – 10x + 40) ≤ log9 (4x – 8); 0 < x2 – 10x + 40 ≤ 4x – 8; x2 – 14x + 48 ≤ 0; x ∈ [6; 8]; б) log0,7 (9x – 4x2) ≥ log0,7 (x3 + 4x2); 0 < 9x – 4x2 ≤ x3 + 4x2; ⎧ x(x 2 + 8x − 9) ≥ 0 9 ⎪ ; x ∈ [1; ); ⎨ 9 4 0 < x < ⎪ 4 ⎩ x +1 х−2 х +1 x − 2 в) log 2 > log 2 ; > > 0; 2х − 4 х + 2 2x − 4 x + 2 ⎧ 2х + 2 ⎧ х ⎪⎪ х + 2 < 1 ⎪⎪ х + 2 < 0 ⎨ x > −1 ; ⎨ x > −1 ; x ∈ (– 1; 0); ⎪⎡ ⎪⎡ ⎢ ⎢ ⎩⎪ ⎣ x < −2 ⎩⎪ ⎣ x < −2
г) log 1 (5х– 4) < log 1 x2; x2 – 5x + 4 < 0; x ∈ (1; 4). 3
3
⎡x ≤ 1 1761. а) (x2 – 6x)5 ≥ (2x – 7)5; x2 – 8x + 7 ≥ 0; ⎢ ; x ∈ (–∞; 1] ∪ [7; +∞); ⎣x ≥ 7 б) (х2 – 2х)9 ≤ (2х – х2 – 2)9; 2х2 – 4х + 2 ≤ 0; 2(х – 1)2 ≤ 0; х = 1; в) (х2 – 10)11 < (5 – 2x)11; x2 + 2x – 15 < 0; x ∈ (– 5; 3); ⎡ x < −1 ; г) (6x2 – 4x – 2)7 > (x2 + 3x + 10)7; 5x2 – 7x – 12 > 0; ⎢ ⎣ x > 2,4 x ∈ (–∞; –1) ∪ (2,4; +∞). 1762. а) (2x+1 + 1)6 ≥ (2x + 7)6; 2х+1 + 1 ≥ 2х + 7; 2x ≥ 16; x ∈ [4; +∞); б) (2 ⋅ 0,1х + 3)10 < (0,1х + 103)10; 0,1х ≤ 100;
193
x ∈ [–2; +∞) (в ответе задачника опечатка); в) (3 – 3log0,2 x)13 < (log0,2 x + 7)13; 3 – 3log0,2x < log0,2x + 7; log0,2 x > – 1; x ∈ (0; 5); 0 < x < 5. г) (3log7 x – 24)5 > (2 log7 x – 22)5; 3log7x – 24 > 2log7x – 22; log7 x > 2; x ∈ (49; +∞). 2
2
1763. а) 2 х + 2 – 8 x + 1≥ 0; 2 х – 23x ≥ 0; x2 ≥ 3x; x (x – 3) ≥0; x ∈ (–∞; 0] ∪ [3 ;+ ∞);
б) 27
5− х 2
х 2 −1
–3
1764. а) ( 3 )tg x ≤
2
< 0; 315−3x < 3x 3 3 3tgx
2
−1
; 3x2 + x2 > 16; x∈(–∞;– 2) ∪ (2; + ∞).
; 3(1/ 2)tgx ≤ 3(3/ 2)tgx ;
3 1 – tg x; tg x ≤ 1 + 2 2
π π + πn; + πn]; 2 4 1 ; cos x > – 1 – cos x; cos x > –(1/2); б) 2 2сos x > 2 ⋅ 2cos x 2π 2π x ∈ (– + 2 πn; + 2 πn). 3 3
tg x ≤ 1; x ∈ (–
⎡3x ≤ −1 ; x ∈ [1; + ∞); 1765. а) 32x – 2 ⋅ 3x – 3 ≥ 0; ⎢ x ⎢⎣3 ≥ 3 1 б) 2 ⋅ 5x – 5x – 1 ≤ 0; – ≤ 5х ≤ 1; x ∈ (–∞; 0]. 2
1766. а) 3 1+x ⋅ 2 1 – x + 3x ⋅ 2 –x ≤ 10,5; 3x ⋅ 2 –x (6 + 1) ≤ 10,5; 3x ·2 –x ≤ 1,5;
3x + (1− x)log2 3 ≤ 3; x (1 – log23) ≤ 1 – log23; x ∈ (–∞; 1]; б) 2 x · 5 1 – х + 2 х + 1 · 5 – х ≥ 2,8; 2 x 5 – х (5 + 2) ≥ 2,8; х – х log2 5 ≥ log2 0,4; x≤
1 − log 2 5 ; x ∈ (–∞; ]1. 1 − log 2 5
1767. а)
б)
5
3
х –
х –6
10
6
⎡ 6 x < −1 ; x > 64; x ∈ [64; +∞). х – 2 > 0; ⎢ 6 ⎢⎣ x > 2
х + 8 < 0; 2 < 10 x < 4; 210 < x < 410 ; x ∈ (210 ; 220 ).
1768. а) 3х + 3 – х+1 ≤ 4; 32х – 4 ⋅ 3х + 3 ≤ 0; 1 ≤ 3х ≤ 3; x ∈ [0; 1]; б) 25 – х – 50 > 5– х + 1; 5 –2 х – 5 ⋅ 5– х – 50 > 0;
194
⎡5− x < −5 ; x ∈ (–∞; –log510). ⎢ −x ⎢⎣5 > 10
1769. а) log2 2 х – 7 log2 x + 12 < 0; 3 < log2 x < 4; x ∈ (8; 16); ⎡ x ≤ 1/ 27 ⎡log1/ 3 x ≥ 3 2 ⎢ ; б) 3 log1/ х – 10 log х + 3 ≥ 0; 1 3 ⎢log x ≤ 1/ 3 ⎢ x ≥ 1 ; 1/ 3 ⎣ 3 3 ⎢⎣ 3
x ∈ (–∞; 1/27] ∪ [
1 3
3
; +∞).
1770. а) log2 2 (x – 1) + 3 log2 (x – 1) + 2 ≥ 0; 5 ⎡ x≤ ⎡log 2 (x − 1) ≤ −2 ⎢ 4 ; х ∈ ( 1; 5 ] ∪ [ 3 ;+ ∞); ⎢log (x − 1) ≥ −1 ; ⎢ 4 2 ⎣ 2 ⎢x ≥ 3 ⎢⎣ 2 log
x
log
x
log
3
log
x
б) 9 0,1 – 4 · 3 0,1 + 0,1 0,1 < 0; 32 0,1 – 4 ⋅ 3 1 log x < 3 0,1 < 3; –1 < log0,1x < 1; 0,1 < x < 1; x ∈ (0,1; 1). 3
log 0,1 x
+ 3 < 0;
1 π 5π ≤ sin x ≤ 1; x ∈ [ + 2πn; + 2πn]; 2 6 6 б) cos2 x – 5 cos x + 4 ≤ 0; 1 ≤ cos x ≤ 4; cos x = 1; х = 2πn.
1771. а) 2 sin2 x – 3 sin x + 1 < 0;
1772. а) 3x > 12 – 1,5x; x > 2 (см. рис.); б) 2 x ≥ x; х ≥ 0 (см. рис.);
Y 8– 6– 4– 2–
X |
|
|
|
2
4
6
8
|
-2 0
8– 6– 4– 2–
Y
X
|
-2 0
х
в) 3 ≤ 12 – 1,5х; х ≤ 2 (см. рис.);
|
|
|
|
2
4
6
8
x
г) 2 ≤ x; нет решений (см. рис.).
Y 8– 6– 4– 2– |
-2 0
8– 6– 4– 2–
X |
|
|
|
2
4
6
8
|
-2 0
Y
X |
|
|
|
2
4
6
8
1773. а) log2x < 6 – x; x ∈ (0; 4) (см. рис.);
195
8– Y 6– 4– 2–
X
|
|
|
|
-2 0 2 4 6 -2– -4– б) log3x ≥ x3; решений нет (см. рис.);
Y 4– 2–
X |
|
|
|
-2 0 2 4 6 -2– -4– в) log2x ≥ 6 – x; х ≥ 4 (см. рис.);
8– Y 6– 4– 2– |
|
X |
|
-2 0 2 4 6 -2– -4– г) log3x < x3; x > 0 (см. рис.).
Y 4– 2– |
X |
|
|
0 2 4 6 -2-2– -4– 1774. а) x2 + 1 ≥ cos x; x — любое число (см. рис.)
196
π π б) sin x ≤ −(x + ) 2 − 1; x = − (см. рис.) (в ответе задачника опечатка); 2 2
в) x2 + 1 ≤ cosx; x = 0 (см. рис.);
π г) sin x ≥ −(x + ) 2 − 1; х — любое число (см. рис.) 2
1775. а) 3sin
б)
2
x
≥ cos x; х — любое число (см. рис.)
x 2 + 1 ≤ − cos x; решений нет (см. рис.) (в ответе задачника опечатка);
197
в) 3sin
г)
2
x
≤ cos x; х = 2πn (см. рис.) (в ответе задачника опечатка);
x 2 + 1 ≥ sin x; х — любое число (см. рис.).
1776. а) lg x <
б) log1,6 x ≥
198
1 − 1; х ∈ (0; 1) (см. рис.); x
1 − 1; х ≥ 1 (см. рис.); x
1777. а) у =
9 − х2 ; область определения данной функции: log 7 (2 − x)
⎡ x ∈ [−3;3] ⎢ ; х ∈ [–3; 1) ∪ (1; 2); ⎢x < 2 ⎢⎣ x ≠ 1
⎧ ⎪x > 3 ⎪ х2 − 4 ; область определения данной функции: ⎨ x ≠ 4 ; б) у = log8 ( х − 3) ⎪ ⎡ x ≥ 2, ⎪⎢ ⎩⎪ ⎣ x ≤ −2 х ∈ (3; 4) ∪ (4; +∞). 1 2x+2 13 ;3 (9 + 4) ≥ ; 3 3
1778. а) 9 x+2 + 4 · 3 2x+2 ≥ 4
3 ; +∞);. 2 1 49 ; б) 8 х – 2 + 3 · 2 3х – 2 ≤ 24 ; 2 3х – 6 (1 + 3 · 24) ≤ 2 2 5 3х – 6 ≤ – 1; х ∈ [–∞; ]. 3
2x + 2 ≥ - 1; x ∈ (
1779. а) 4
б) 9
х
х
-9·2
- 10 · 3
х
х
х
+ 8 < 0; 1 < 2
+ 9 < 0; 1 < 3
х
< 3; x ∈ (0; 9);
< 8; 0 < х
х < 2; x ∈ (0; 4).
< 9; 0 <
1780. а) x4 – 8x – 6x3 + 12x2 ≥ 0; x (x3 – 6x + 12x – 8) ≥ 0; x (x – 2) (x – 2)2 ≥ 0; х(х – 2)3 ≥ 0;
+
+ X
– 2
0
х ∈ (–∞; 0] ∪ [2; +∞); б) х4 + 12х < 13x2; х(х3 – 13х + 12) < 0; x((x3 – x) – (12x – 12)) <0; x(x – 1)(x2 + x – 12) < 0; x(x – 1)(x – 3)(x + 4) <0;
+
– -4
+ 0
+ X
– 3
1
x ∈ (–4; 0) ∪ (1; 3); 1781. a) (x – 2) log4 (x + 2) ≥ 0; ОДЗ: х > – 2; воспользуемся тем, что sign log4(x + 2) = sign (x + 1); –
+ –2
–1
+
x
2
199
log3 ( x + 5) ≤ 0;
x ∈ (– 2; – 1] ∪ [2; + ∞); б) (3 – х) ОДЗ: х > – 5; х ≥ 3 > –5; x ∈ [3; +∞).
1782. а) (х – 3,1) ln (x2 – 10x + 22) ≥ 0; ⎧ 2 ⎧(x − 7)(x − 3) ≥ 0 ; x ∈ [3;3,1] ∪ [7; + ∞]; 1) ⎨ х − 10х + 22 ≥ 1; ⎨ х ≥ 3,1 ⎩ x ≥ 3,1 ⎩
⎧ ⎪ ⎧ x ≤ 3,1 ⎪ x ≤ 3,1 ⎪ ⎪ ⎨(x − 3)(x − 7) ≤ 0; ⎨3 ≤ x ≤ 7 ; ⎪(x − 5 + 3) > 0 ⎪⎡ x < 5 − 3 ⎩ ⎪⎢ ⎩⎪ ⎢⎣ x > 5 + 3 Ответ: х ∈ [3; 3,1] ∪ [7 + ∞); б) (x – 7,3) ln (x2 – 8x + 8) ≤ 0; ⎧ 2 ⎧(x − 7)(x − 1) ≥ 0 1) ⎨ x − 8x + 8 ≥ 1; ⎨ ; x ∈ (– ∞; 1] v [7;7,3]; x ≤ 7,3 ⎩ x ≤ 7,3 ⎩ ⎧ x ≤ 3,1 ⎪ 2 2) ⎨ x − 10x + 22 ≤ 1 ; ⎪ x 2 − 10x + 22 > 0 ⎩
⎧ x ≤ 3,1 ⎧(x − 7)(x − 1) ≤ 0 ⎪ ⎪ 2) ⎨ x 2 − 10x + 22 ≤ 1 ; ⎨(x − 4 + 2 2)(x − 4 − 2 2) > 0; ⎪ 2 ⎪ x ≥ 7,3 ⎩ x − 10x + 22 > 0 ⎩ Ответ: х ∈ (–∞; 1] ∪ [7;7,3].
1783. а) (2x – 3) (3x – 4) ≤ 0; (2 x − 2log 2 3 )(3x − 4) ≤ 0; x ∈ [ +
–
4 ;log2 3]; 3
+
log23
4/3
x б) (3log3 x – 1) (3x – 4) ≥ 0; ОДЗ: x > 0; 3log 3 3 ⋅ (3x − 4) ≥ 0; 3 +
–
4/3
+ 3
3
4 3 x ∈ (0; ] ∪ [ 3 ; + ∞). 3
1784. а) (x + 3) log 1 x < 0; ОДЗ: x > 0; при х > 0, 7
т.е. исходное неравенство равносильно следующему: log 1 < 0 ; x ∈ (1; +∞). 7
б) (х – 5)
200
⎧x − 5 < 0 ; x ∈ (−1; 5); х + 1 < 0; ⎨ ⎩ x ≥ −1
в)
е3х −1 − 1 > 0 ; воспользуемся тем, что sign (e3x – 1 – 1) = sign (3x – 1); х +8 +
+ X
– 8
1 3
1 ; + ∞); 3 ⎧x < 0 х + 7 < 0; ⎨ ; x ∈ (–7; 0). ⎩ x > −7
x ∈ (– ∞;– 8) ∪ ( г) x
⎧x 2 − 8 > 1 ⎧ x > 3 ; ⎨ ; x ∈ (3; + ∞ ); х log2 (x2 – 8) > 0; ⎨ ⎩x > 0 ⎩x > 0
1785. а)
б) 3 х в)
2
−19
х 2 − 4 < 0; решений нет, т.к. 3 х
2
−19
>0и
х 2 − 4 > 0);
− х log 1 (100 – x2) < 0; ОДЗ: x ∈ (– 10; 0]; 100 – x2 > 1; x ∈ (– 99 ; 0); 8
г) (2
х 2 −15
ОДЗ: x > –
– 0,5) log6 (4x + 1) > 0; (2x
2
−5
− 2−1 )log 6 (4x + 1);
1 ; x ∈ (–1/4; 0) ∪ (2; + ∞). 4 – +
–(1/4)
0
+
x
2
1 ( х − 3)(3 х − 4
x −3 + 0,3) ≤ 0; ОДЗ: х ≠ 4, х ≠ – 2; ≤ 0; х ∈ (– 2; 3] х+2 x+2 (в ответе задачника опечатка);
1786. а)
1
x+5 ( х + 5)(2 х +1 + 0,2) б) ≤0; ОДЗ: х ≠ 2, х ≠ –1; ≤ 0; х ∈ [–5; – 1)∪(– 1; 2]. x−2 х−2
1787. а) (x2 – 2x) (tg2 x + 2x+1) < 0; ОДЗ: x ≠
π + πn; 2
π π ] ∪ ( ; 2]; 2 2 б) (x2 + 4х) (ctg2 x + 3x – 1 ) ≤ 0; т.к. ctg2 x + 3x – 1 > 0, то x ∈ [– 4; – π)∪(– π; 0).
т.к. tg2 x + 2x+1 > 0, то x ∈ [0;
1788. a)
2х + 4 2 х −3
≥
пусть теперь х ≠ –2;
2х + 4 7 х −3 1 ≥ х −3
2 Ответ: х ∈[3; +∞) ∪ {–2};
; ОДЗ: х ≥ – 2; x = – 2 — решение; 1 ; х ≥ 3; 7 х −3
201
б)
7 + 6х 7 + 6х 7 7 ≤ ; ОДЗ: х ≥ – ; х = – — решение; 6 6 0, 2x +1 0,3x +1
⎛ 10 ⎞ пусть теперь х ≠ –(7/6); 5х+1 ≤ ⎜ ⎟ ⎝ 3⎠ 7 Ответ: х ∈ [– ;– 1]. 6
х +1
; х ≤ – 1;
1789. а) (sin2 x + 1) (lg (2x – 3) –2) ≤ 0; lg(2x – 3) ≤ 2 (т.к. sin2x + 1 > 0); 3 97 ⎡ 3 97 ⎤ 0 < 2x – 3 ≤ 100; <x≤ ; x∈⎢ ; ⎥; 2 2 ⎣2 2 ⎦ 2 1 б) ( 6х − 1 + 5) (5 х −1 – ) > 0; 5
⎧ x 2 − 1 > −1 ⎪ ⎡1 ⎞ ; x ∈ ⎢ ; + ∞ ⎟; 1 ⎨ ⎣6 ⎠ ⎪⎩ x ≥ 6 π π в) cos x (2 x+3 + 3x-7) ≥ 0; cos x ≥ 0; x ∈ [– + 2 πn; + 2 πn]; 2 2 ⎧ x 2 −1 1 − >0 ⎪5 ; ⎨ 5 ⎪⎩6x − 1 ≥ 0
г) (2 –
3х + 1 ) (log2 0,5 (3х – 6) + 2) < 0;
⎧2 − 3x + 1 < 0 ⎧ x > 1 ; ⎨ ; x ∈ (2; +∞). ⎨ ⎩x > 2 ⎩3x − 6 > 0
1790. а) 3х 2 + 1 ≥ х + 1; 1) x + 1 ≤ 0; х ≤ – 1; 2) x +1 > 0; 3x2 + 1 ≥ x2 + 2x + 1; 2x2 – 2x ≥ 0; x ∈ (– 1; 0] ∪ [1; + ∞) Ответ: x ∈ (–∞ ; 0] ∪ [ 1; + ∞). ⎧ x ≤ −1 2 б) х 2 + х < x + 1; ОДЗ: ⎨ ; x + x < x2 + 2x + 1; x > – 1; ⎩x ≥ 0
Ответ: x ∈[0; +∞). в)
5х 2 + 4 ≤ 7х + 10;
⎧ 2 ⎧5x 2 + 4 ≤ 49x 2 + 140x + 100 ⎪11x + 35x + 24 ≥ 0 ; ⎨ ; 10 ⎨ ⎩7x + 10 > 0 ⎪⎩ x > − 7 ⎧⎛ 24 ⎞ ⎪⎪⎜ x + 11 ⎟ (x + 1) ≥ 0 ⎝ ⎠ ; х ∈ [– 1; + ∞); ⎨ 10 ⎪x > − ⎪⎩ 7
г) 202
2х 2 + 7 х > 5 – 2x;
1) 5 – 2х ≤ 0; ≥ 2,5; 2) x < 2,5; 2x2 + 7x > 25 + 4x2 – 20 x; 2x2 - 27x + 25 < 0; 1 < x < 12,5; Ответ: х ∈ (1; +∞). 1791. a)
x 2 − 11x − 12 < x 2 + 11x + 6;
0 ≤ x2 – 11x – 12 < x2 + 11x + 6; ⎧ ⎡ x ≥ 12 ⎧(x − 12)(x + 1) ≥ 0 ⎪⎪ ⎣⎢ x ≤ −1 ; ⎨ ; x ∈ [12; +∞); ⎨22x > −18 ⎩ ⎪x > − 9 ⎪⎩ 11 б)
5x 2 − 10x − 3 > x − 2x 2 + 3; 5x2 – 10x – 3 > x – 2x2 + 3 ≥ 0;
3 ⎧ ⎪−1 ≤ x ≤ 2 3 ⎪ ; x ∈ [−1; − ). ⎨⎡x > 2 7 ⎪⎢ 3 ⎪⎢x < − 7 ⎩⎣
1792. а)
х2 − 4 –
х−2 ≤
х 2 − 4х + 4;
х − 2 ( х + 2 –1– х − 2 ) ≤ 0; х = 2 — решение; пусть теперь х ≠ 2;
х+2 ≤
х − 2 + 1;
0<х+2≤х–2+1+2 х−2 ; ⎧9 ≤ 4x − 8 17 ⎪ . ; х≥ ⎨x > 2 4 ⎪⎩ x ≥ −2 17 ; +∞); Ответ: х ∈ {2} ∪ [ 4 б)
х2 − 9 +
х+3 ≥
х 2 + 6 х + 9 ; ОДЗ: х = – 3, х ≥ 3;
х + 3 ( х − 3 + 1 – х + 3 ) ≥ 0; х = – 3 — решение; пусть теперь х ≠ –3; x − 3 + 1 ≥ x + 3;
х – 3 + 1 + 2 х − 3 ≥ х + 3 > 0; 37 ⎧ ⎧4x − 12 ≥ 25 ⎪ x ≥ ; ⎨ ⎨ 4; ⎩x ≥ 3 ⎪⎩ x ≥ 3 37 Ответ: х ∈ {–3} ∪ [ ; +∞). 4
203
⎡х ≥ 5 х 2 − 5х − 4 х + 26 ⎢ 1793. а) > 2; ОДЗ: ⎢ х ≤ 0 ; 7−х ⎢⎣ х ≠ 7 ⎧x < 7 ⎪⎡ x ≤ 6 ⎧⎪ х < 7 ⎪ 1) ⎨ 2 ; ; ⎨⎢ ⎪⎩ x − 5x > 2x − 12 ⎪ ⎢ ⎧ x > 6 ⎨ 2 2 ⎩⎪ ⎣⎢ ⎩ x − 5x > (2x − 12)
х 2 − 5х − 2 х + 12 > 0; 7−х
⎧x < 7 ⎪⎡ x ≤ 6 ⎪ ; ⎨⎢⎧x > 6 ⎪⎢⎨ 2 ⎩⎪ ⎣⎢ ⎩3x − 43x + 144 < 0
6 < x < 7; ⎧x > 7 ⎧⎪ х < 7 ⎧x > 7 ⎪ 2 ; ⎨ ; ⎨ x − 5x ≥ 0 ; 2) ⎨ 2 2 2 ⎪⎩ x − 5x < 2x − 12 ⎩0 ≤ x − 5x < 4x +144 − 48x ⎪ 2 3x 43x+144 0 − > ⎩ x > 9; Ответ: х ∈ (–∞; 0] v [5; 7) v (9; + ∞); ⎡ х ≤ −5 x 2 + 5x − 2x − 10 х 2 + 5х − 4 х − 6 ⎢ < – 2; ОДЗ: ⎢ х ≥ 0 ; < 0; б) x−2 х−2 ⎢⎣ х ≠ 2 ⎧⎪ x > 2 ⎧x > 2 ⎧x > 2 1) ⎨ 2 ; ⎨ 2 ; ⎨ 2 2 ⎪⎩ x + 5x < 2x + 10 ⎩ x + 5x < 4x + 40x + 100 ⎩3x + 35x + 100 > 0; x >2; ⎧x < 2 ⎧x < 2 ⎪ ⎡ x ≤ −5 ⎪ ⎡ x ≤ −5 ⎧⎪ x < 2 ⎪ ⎪ ; x ≤ –5; 2) ⎨ 2 ; ⎨⎢ ; ⎨ ⎢ ⎧ x > −5 x 5 > − ⎧ x + 5x > 2x + 10 ⎪⎩ ⎪ ⎢⎢ ⎪⎨ 20 ⎪⎢ ⎨ 2 ⎩⎪ ⎢⎣ ⎩3x + 35x + 100 < 0 ⎪⎩⎪ ⎢⎣ ⎪⎩− 3 < x < −5
Ответ: х ∈ (–∞; –5] ∪ [2; +∞). ⎡3x − 9 ≥ 6 ⎡ х ≥ 5 1794. а) ⏐3х – 9⏐ ≥ 6; ⎢ ; ⎢ ; x ∈ (–∞; 1] ∪ [5; +∞); ⎣9 − 3x ≥ 6 ⎣ х ≤ 1 ⎧4 − 2х < 16 ⎧ x > −6 б) ⏐4 – 2х⏐ <16; ⎨ ; ⎨ ; x ∈ (– 6; 10); ⎩4 − 2x > −16 ⎩ x < 10
⎧5х + 10 ≥ −15 ; х ∈ [– 5; 1]; в) ⏐5х + 10⏐ ≤ 15; ⎨ ⎩5х + 10 ≤ 15 ⎡3х + 9 > 12 ⎡x + 1 г) ⏐9 + 3х⏐ >12; ⎢ ; ⎢ ; x ∈ (–∞;– 7) ∪ (1; + ∞). ⎣3x + 9 < −12 ⎣ x < −7
204
1 ⎡ ⎢x > 2 1 1 ⎡6х − 1 > 2 1795. а) ⏐6х – 1⏐ > 2; ⎢ ; ⎢ ; x ∈ (–∞; ) ∪ ( ; +∞); 1 − < − 6x 1 2 6 2 ⎣ ⎢x < − ⎢⎣ 6 7 1 ⎧3 + 2x ≤ 4 б) ⏐3 + 2х⏐ ≤ 4; ⎨ ; x ∈ [– ; ]; 2 2 ⎩3 + 2x ≥ −4
1 5 ⎧9x − 1 < 4 в) ⏐9х – 1⏐ < 4; ⎨ ; x ∈ (– ; ); 3 9 ⎩9x − 1 > −4 1 ⎡ ⎢x ≤ 3 1 4 ⎡5 − 6х ≥ 3 г) ⏐5 – 6х⏐ ≥ 3; ⎢ ; ⎢ ; х ∈ (–∞; ] ∪ [ ; +∞ ]. − ≥ − 5 6х 3 4 3 3 ⎣ ⎢x ≥ ⎢⎣ 3 ⎧4 − 2х < 16 ⎧ x > −6 ; ⎨ ; x ∈ [1; +∞); 1796. a) ⏐x + 1⏐ ≤ 2x; ⎨ ⎩4 − 2x > −16 ⎩ x < 10 3 ⎡6х − 1 > 2 ⎡ x > 1/ 2 б) ⏐3х – 4⏐ > x + 1; ⎢ ; ⎢ ; x ∈ (–∞; ) ∪ (2,5; +∞); 4 ⎣6x − 1 < −2 ⎣ x < −(1/ 6)
1 ⎡ ⎢x > 2 ⎡6х − 1 > 2 ; ⎢ ; в) ⏐2х – 1⏐ ≥ х; ⎢ ⎣6x − 1 < −2 ⎢ x < − 1 ⎢⎣ 6 x ∈ (–∞; 1/3] ∪ [1; +∞); 7 ⎧ ⎪⎪ x > 6 ⎛7 9⎞ ⎧16 − 8x < 4x + 2 г) ⏐16 – 8х⏐ < 4x + 2; ⎨ ; ⎨ ; x ∈ ⎜ ; ⎟. 16 8x 4x 2 − > − − 9 ⎩ ⎝6 2⎠ ⎪x < ⎪⎩ 2 1797. a)⏐2х – 1⏐ + ⏐3х – 6⏐ < 12;
1) x ≥ 2; 2x – 1 + 3x – 6 < 12; 5x < 19; x ∈ [2;
19 ); 5
2) 1/2 ≤ x < 2; – x + 5 < 12; x ∈ [1/2; 2); 1⎞ 1 ⎛ 3) x < ; –2x + 1 – 3x + 6 < 12; –5x + 7 < 12; x ∈ ⎜ −1; ⎟ ; 2⎠ 2 ⎝ 19 Ответ: x ∈ (–1; ); 5 4 б) ⏐3х – 4⏐ –⏐х + 2⏐ ≥ 4; х ≥ ; 3x – 4 –x – 2 ≥ 4; 2х ≥ 10х; x ∈ [5; +∞); 3 4 1 2) –2 ≤ x < ; –3x + 4 – x – 2 ≥ 4; 2 – 4x ≥ 4; x ∈ [–2; – ]; 3 2 3) x < – 2; –2x + 6 ≥4; x ∈ ( –∞; –2); 205
Ответ: x ∈ (–∞; 1/2] ∪ [5; +∞). 1798. а) sin 2x ≥ sin x; sin x (2 cos x – 1) ≥ 0; ⎡ ⎧cos x ≥ 1/ 2 ⎢ ⎨sin x ≥ 0 ⎢⎩ ; ⎢⎧cos x ≤ 1/ 2 ⎢ ⎨sin x ≤ 0 ⎣⎩
π ⎡ ⎢ х ∈ [2πn; 3 + 2πn] ; ⎢ ⎢ x ∈ [π + 2πn; 5π + 2πn] ⎢⎣ 3
5π π + 2πn] ∪ [π + 2πn; + 2πn]; 3 3 1 б) cos 2x ≤ cos x; 2 cos2 x – cos x – 1 ≤ 0; – ≤ cos x ≤ 1; 2 2π 2π x ∈ [– + 2πn; + 2πn]. 3 3
х ∈ [2πn;
π π – x) ≤ sin x; sin x – cos x ≥ 0; sin (x – ) ≥ 0; 2 4 π 5π x ∈ [ + 2πn; + 2πn]; 4 4 π π π π б) cos ( – x) ≤ cos x; sin sin ( – x) ≥ 0; sin ( – x) ≥ 0; 3 6 6 6 5π π x ∈ [– + 2πn; + 2πn]. 6 6 1799. a) sin (
1800. a) cos x > sin 2x – cos 3x; cos 2x cos x – sin x cos x > 0; cos x (1 – sin x – 2 sin2 x) > 0; (2sin2 x + sin x – 1) < 0. ⎧cosx > 0 ⎧cos x > 0 π π ⎪ 1) ⎨ ; ⎨ 1 ; х ∈ (– + 2πn; + 2πn); 2 − < < 1 sin x + − < 2sin x sin x 1 0 2 6 ⎩ ⎪⎩ 2
⎧cos x < 0 π 5π ⎪⎪ ⎡sin x < −1 + 2πn); ; х ∈ (– + 2πn; ⎨⎢ 1 2 6 ⎪ ⎢sin x > ⎪⎩ ⎣ 2 π π π 5π Ответ: (– + 2πn; + 2πn) ∪ (– + 2πn; + 2πn); 2 6 2 6 б) sin x < cos x – sin 3x; cos x (2 sin 2x – 1) < 0; π ⎧ π − + 2πn < x < + 2πn ⎧cos x > 0 ⎪ ⎪⎪ 2 2 ; 1) ⎨ 1; ⎨ ⎪⎩sin 2x < 2 ⎪− 7 π + πn < x < π + πn ⎪⎩ 12 12 π π 5 π π ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ x ∈ ⎜ − + πn; + 2πn ⎟ ∪ ⎜ + 2πn; + 2πn ⎟ ; 12 2 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 12 ⎠ ⎧cos x > 0 2) ⎨ ; 2 ⎩2sin x + sin x − 1 < 0
206
3π ⎧π + 2πn < x < + 2πn 11π 7π ⎪⎪ 2 2 ; x ∈ (– + 2πn; – + 2πn); ⎨π π 5 12 12 ⎪ + πn < x < + πn ⎪⎩12 12 11π 7π 5π π π π +2πn; – +2πn)∪(– +2πn; +2πn)∪( +2πn; +2πn). Ответ: x∈(– 12 12 12 2 12 2 ⎧cos x < 0 ⎪ 2) ⎨ 1; ⎪⎩sin 2x > 2
⎛1⎞ 1801. а) ⎜ ⎟ ⎝7⎠ б) (0,3)
5 − 2х
5 х −1 − 2
–1 sinx – cos2x
в) (3 )
> 7 −2
x
+11
; 2х – 5 + 2х – 11 > 0; 2x > 8; x > 3;
≤ 1; ОДЗ: х ≥ <3
cos 2 x −
1 2
1 ; 5
5х − 1 ≥ 2; х ≥ 1;
; cos 2x – sin x < cos 2x –
1 1 ; sin x > ; 2 2
π 5π + 2πn; + 2πn); 6 6 ln(x – 2) ⋅ 0,1 ≥ (10– 1) ln(x + 2); ОДЗ: x > 2; ln (x – 2) – 1 ≥ – ln (x + 2); г) 10 2 x – 4 ≥ – e; x ∈ (–∞; − 4 + e ] ∪ ( 4 + e ; +∞).
x∈(
1802. a) lg (0,2x – 5) < log0,1 (95 – 3 · 0,2x) – 1; ОДЗ: x < – 1; х
⎛1⎞ 0,2x – 5 < 95 – 3 · 0,2x; ⎜ ⎟ < 25; x > – 2; ⎝5⎠ Ответ: х ∈ (– 2; – 1); 1 б) log0,1 (3 3х + 1 − 2)> log0,1 3х + 1 ⋅ lg(0,1-8); ОДЗ: 4 3
3х + 1 – 2 < 3x + 1; 3x + 1 – 3
⎡ 3х + 1 > 2 ; ⎢ ⎢⎣ 3x + 1 < 1 x ∈ (–
3х + 1 >
2 ; 3
3х + 1 + 2 > 0;
⎡ 3x + 1 > 2 ⎢2 (т.к. х должен входить в ОДЗ); ⎢ < 3x + 1 < 1 ⎢⎣ 3
5 ; 0) ∪ (1; + ∞). 27 х
⎛1⎞ –x ⎜ ⎟ + 11; 3 ( 9 – 1) < 24; – x < 1; x > – 1 ⎝3⎠ (в ответе задачника опечатка); 7π π 1 б) (sin x – cos x) 9 ≤ (0,5 – cos x)9; sin x ≤ ; x ∈ [– + 2πn; + 2πn]; 2 6 6
1803. a)
3 2− х
3
− 13 <
3
5
в) ( 6 х + 5 – 1)5 ≥ (6x − 4) 2 ; ОДЗ: х ≥
2 ; 3
6x + 5 − 1 ≥ 6x − 4;
207
6x + 6 − 2 6x + 5 ≥ 6x − 4; 2 6x + 5 ≤ 10; 6x + 5 ≤ 25; x ≤
10 ; 3
10 ⎤ ⎡2 т.к. х должен входить в ОДЗ, то x ∈ ⎢ ; − ⎥ ; 3⎦ ⎣3 ⎡ ln x < −1 2 ln 2 x − 3 ln x + 5 > 7 6 − 4 ln x ; 2ln2 + lnx – 1 >0; ⎢ 1 ; ⎢ ln x > 2 ⎣ 1 x ∈ (0; ) ∪ ( е ; + ∞). е
г)
7
1804. а)
х +2 –
х − 1 ≥ 1;
х +2≥
х +2
х −1 ;
⎧⎪ x − 1 ≤ 1 ; x ∈ [1; 4]; ⎨ ⎪⎩ x − 1 ≥ 0 ⎧ ⎡ln x ≤ −2 ⎪⎪ ⎢ln x ≥ 1 ; x ∈ [ e; + ∞); ln х + 3 ≤ ln x + 1; ⎨ ⎣ ⎪x ≥ 1 ⎪⎩ e3
б)
sin х < 0; 0 < sin х < 1; 0 < sin x < 1; π π x ∈ (2 πn; + 2 πn) ∪ ( + 2 πn; π + 2 πn); 2 2
в) sin x –
2х + 4 –
г)
2 х − 4 > 2; 2x + 4 > 4 + 2x – 4 + 4
2х − 4 ;
⎧⎪2 < 5 ; x ∈ [2; log2 5) (в ответе задачника опечатка). 2 х − 4 < 1; ⎨ x ⎪⎩2 ≥ 4 x
⎧21 − 4x > 0 21 ⎪ ); 1805. a) logx (21 – 4x) > 2; ОДЗ: ⎨ x > 0 ; x ∈ (0; 1) ∪ (1; 4 ⎪⎩ x ≠ 1 1) x ∈ (0; 1); 21 – 4x < x2; x2 + 4x – 21 > 0; решений нет; 2) х > 1; 21 – 4x > x2; x2 + 4x – 21 < 0; x ∈ (1; 3); Ответ: x ∈ (1; 3); ⎧22x − 3 > 0 ⎪ б) log2x – 3(x2 – 10x + 9) ≤ 2; ОДЗ: ⎨2x − 3 ≠ 1 ; x > 9; т.к. при x > 9, ⎪ x 2 − 10x + 9 > 0 ⎩ 2x – 3 > 1, то имеет: x2 – 10x + 9 ≤ 4 x2 – 12x + 9; 3x2 – 12x ≥ 0; ⎡x ≤ 0 ⎢ x ≥ 4 ; т.к. х должен входить в ОДЗ, то x ∈ (0; +∞). ⎣
208
π + 2πn; 4 – x2 ≥ 0; 2 x ∈ [– 2; 2], т.к. х должен входить в ОДЗ, то x = π/2;
sin x − 1 ≤ 4 – x2; ОДЗ: sin x ≥ 1; x =
1806. a)
б) cos x − 1 ≥ х2 – 49; ОДЗ: cos x ≥ 1; x = 2πn; х2 ≤ 49; x ∈ [–7; 7]; т.к. х должен входить в ОДЗ, то x = 0, x = ±2π. 1807. а) 6 log3 (x –1) ≤ 14 + 2x – x2; пусть х – 1 = а > 0, тогда имеем: 6 log3 а ≤ 15 – а2; т.к. у = 15 – а2 убывает, а у = 6 log3 a — возрастает, то график этой функции могут иметь только одну точку пересечения; очевидно, а = 3 ⇒ а ∈ (0; 3]; Ответ: (1; 4]. б) log2 (x2 + x – 10) > 25 – 2x – 2x2; пусть х2 + х – 10 = а > 0, тогда имеем: log2 a > 15 – 2a; т.к. у = log2 = а возрастает, а у = 5 – 2а — убывает, то графики этих функций могут иметь только одну точку пересечения, очевидно, а = 2 ⇒ неравенство выполняется при а > 2; x2 + x – 10 > 2; x2 + x – 12 > 0; x ∈ (–∞ ; – 4) ∪ (3; + ∞).
§ 58. Системы уравнений ⎧⎪x + y = 3 ; ⎪⎩x 2 + 2 y 2 − xy + 2 x − 3y = 3
1808. а) ⎨
⎧⎪x = 3 − y ; 4y2 – 14y + 12 = 0; ⎨ ⎪⎩9 + y 2 − 6 y + 2 y2 − 3y + y 2 + 6 − 2 y − 3y − 3 = 0 3 3 x = ; y =1, x = 2; 2y 2 − 7y + 6 = 0 ; y = 2 2 ⎪⎧ y = 2 + x б) ⎨ 3 ; x 3 − x 3 − 8 − 6 x 2 − 12 x + 8 = 0 ; x 2 + 2x = 0 ; ⎪⎩x − y3 = −8 x = 0, x = –2; y = 2, y = 0; Ответ: (0; 2), (–2; 0).
⎧⎪x + y = 5 ; ⎪⎩x 3 + y3 = 35
в) ⎨
⎧⎪x = 5 − y ; ⎨ ⎪⎩125 − y3 + 15 y 2 − 75 y + y3 = 35
15 y 2 − 75 y + 90 = 0 ; y 2 − 5 y + 6 = 0 ; y = 2, x = 3; y = 3, x = 2; Ответ: (2; 3), (3; 2). ⎪⎧x + 2 y = 1 ⎪⎧x = 1 − 2 y ; ⎨ ; г) ⎨ 2 2 ⎪⎩2 x + 3xy − 3y = 6 ⎪⎩2 + 8 y 2 − 8 y + 3y − 6 y 2 − 3y 2 − 6 = 0 209
y 2 + 5 y + 4 = 0 ; y = –4, x = 9; y = –1; x = 3; Ответ: (0; –4), (3; –1). π ⎧ ⎧ 2 ⎪⎪cos(x − y) − cos(x + y) = − ⎪⎪ x + y = 4 2 ; 1809. а) ⎨ ; ⎨ 1 ⎪sin x ⋅ sin y = − ⎪x = π − y ⎪⎩ 2 2 ⎪⎩ 4 π cos( − 2y) = 0 ; 4
3π πn ⎧ ⎪⎪ y = 8 + 2 ; ⎨ ⎪x = − π − πn ⎪⎩ 8 2
⎛ π πn 3π πn ⎞ + Ответ: ⎜ − − ; ⎟ (в ответе задачника опечатка). 8 2 ⎠ ⎝ 8 2
⎧⎪3x = y + 1 ; ⎪⎩7 y − 2 x + 2 = 7 y − 4 x +1 + 6
б) ⎨
⎧⎪ y = 3x − 1 ; ⎨ x +1 ⎪⎩7 = 7− x + 6
7 ⋅ 7 2 x − 6 ⋅ 7 x − 1 = 0 — квадратное уравнение относительно 7х; 1) 7 x = 1 ; x = 0, y = 1; 2) 7x = –(1/7) — решений нет; Ответ: (0; 1). ⎧ x = 2y ⎪ 1 ; в) ⎨ log (2y + x) + log 1 (x − y + 1) = log 3 ( ) ⎪ 13 3 y +1 ⎩ log1/ 3 4y + log1/ 3 (y + 1) = log1/ 3 (y + 1) ;
⎧4y(y + 1) = y + 1 1 1 ⎪ ; y= , x= ; ⎨y + 1 > 0 4 2 ⎪⎩4x > 0 ⎛1 1⎞ Ответ: ⎜ ; ⎟ . ⎝2 4⎠
⎧⎪ 7 − 6x − y2 = y + 5 ⎧⎪ x = y + 1
г) ⎨
; ⎨
2
;
⎪⎩ 7 − 6y − 6 − y = y + 5 ⎪⎩ y = x − 1 2 2 y + 10 y + 25 = − y − 6 y + 1 ; y ≥ –5; 2 y 2 + 16 y + 24 = 0 ; y 2 + 8y + 12 = 0 ;
1) y = –2, x = –1; 2) y = –6 — не подходит; Ответ: (–1; –2).
⎧3x + 2 y = 1 ; (3x + 2y) + 2(x – y) = 1 + (–3) ⋅ 2; 5x = −5 ; x=–1, y=2; ⎩x − y = −3
1810. а) ⎨
Ответ: (–1; 2). 210
⎧⎪2 x − 3 y = 1
б) ⎨
⎩⎪3 x − 2 y = 4
; 5 x = 10 ; x = 4; y = 1;
Ответ: (4; 1).
⎧⎪x + y 2 = 2
в) ⎨
2
2
⎪⎩2 y + x = 3
; x 2 − 2x + 1 = 0 ; x = 1, y = ±1;
Ответ: (1; ±1).
⎧⎪3 x + 4 y = 3
г) ⎨
⎪⎩33 x − 54 y = 1
; 83 x = 16 ; x = 8, y = 1;
Ответ: (8; 1).
1 ⎧log x − log 3 y = −5 ; 5log 2 x = −15; x = , y = 9; 1811. а) ⎨ 2 2log x + 3log y = 0 8 2 3 ⎩ ⎛1 ⎞ Ответ: ⎜ ; 9 ⎟ . ⎝8 ⎠ 1 ⎧ π 1 ⎪cos x + cos 2y = − б) ⎨ 2 ; cos 2y = ; y = ± + πn , x = π + 2πk ; 2 6 ⎪⎩3cos 2y − cos x = 2,5 Ответ: (π + 2πk; ±(π/6) + πn).
⎧⎪ y = 4 − 2x ⎧ x = 5 / 3 ⎧⎪2 x + 2y − 2x + y = 6 ; ⎨ ; в) ⎨ ; ⎨ 8 −3x x + 2y = −2 ⎪ = 8 ⎩y = 2 / 3 ⎪⎩3 2x + y − 2 ⎩2 ⎛5 2⎞ Ответ: ⎜ ; ⎟ . ⎝3 3⎠ 1 π πn ⎧2sin 2x + tg3y = 2 г) ⎨ ; sin(2x) = ; x = (−1)k + , 2 12 2 ⎩6sin 2x − 2tg3y = 1
y=
π πk + ; 12 3
π πn π πk ⎞ ⎛ Ответ: ⎜ (−1)k + ; + ⎟. 12 2 12 3 ⎠ ⎝
3 ⎧ 5 ⎪ 3x − y + x − 3y = −2 5 6 ⎪ 1812. а) ⎨ ; получив a = , b= , 3x − y x − 3y ⎪ 15 + 2 = 1 ⎪⎩ 3x − y x − 3y b ⎧ ⎪⎪a + 2 = −2 7 b ⎧b = −6 ⎧3x − y = 5 получим: ⎨ ; = −7 ; ⎨ ; ⎨ ; x = 2, y = 1 b 6 ⎩ x − 3y = −1 ⎩a = 1 ⎪3a + = 1 ⎪⎩ 3
Ответ: (2; 1).
211
6 ⎧ 3 ⎪ x + y + x − y = −1 ⎧3a + 2b = −1 ⎧b = 1 1 3 ⎪ ; = a, = b; ⎨ ; ⎨ ; б) ⎨ x−y ⎩5a + 3b = −2 ⎩a = −1 ⎪ 5 + 9 = −2 x + y ⎪⎩ x + y x − y ⎧ x + y = −1 ; x = 1, y = –2; ⎨ ⎩x − y = 3 Ответ: (1; 2). ⎧2x + 3y = 12 1813. а) ⎨ 2 ; ⎩log 6 xy + 1 = 2log 6 xy
3 ⎧ ⎪⎪x = 6 − 2 y log 6 xy = 1; xy = 6 ; ⎨ ; ⎪6 y − 3 y 2 = 6 2 ⎩⎪
y 2 − 4 y + 4 = 0 ; y = 2, x = 3; Ответ: (3; 2). б)
⎧⎪ xy = 10 − 34 xy ; ⎨ ⎪⎩2 x − 5 y = 6
относительно
4
уравнение
xy = 10 − 3 4 xy
—
квадратное
xy ⇒ 4 xy = 2 ( 4 xy = –5 не имеет решений);
⎧4 xy = 2 5 2 ⎪ 2 ⎨ 5 ; ОДЗ : xy > 0 ; 3y + 2 y = 16 ; 5 y + 6 y − 32 = 0 ; x = 3 + y ⎪ 2 ⎩ 16 , x = −5; y = 2, x = 8; 5 Ответ: (–5;–16/5), (8; 2). y=−
y +1 ⎪⎧3log x + 2 = 5 1814. а) ⎨ y 1/ 2 ; 5log2x = 5; x = 2, y = 2; ⎪⎩2 + log 2 x = 5
Ответ: (2; 2). ⎧⎪3 3 x + y = log 2 16x 2 б) ⎨ ; 3log 2 x 2 + 2log 2 16x 2 = 18; log 2 x 2 = 2; 2 ⎪⎩log 2 x + 2 3 x + y = 6 x = 2, y = −6; x = −2, y = 10; Ответ: (2; 6), (–2; 10). ⎧⎪ tg 2 x + sin y = 2 π π в) ⎨ ; 2sin y = −2; tg 2 x = 3; y = − + 2πn, x = ± + πk; 2 2 3 ⎪⎩3sin y + tg x = 0 π ⎛ π ⎞ Ответ: ⎜ ± + πk; − + 2πn ⎟ . 2 ⎝ 3 ⎠
212
⎧⎪3x − y − 7 2 y − x = 2
г) ⎨
⎪⎩ 2 y − x − 3
x − y −1
⎧3b − 7a = 2 ; 2y − x = a, 3x − y −1 = b; ⎨ ; − 4a = −4 ; = −2 ⎩a − b = −2
⎧a = 1 ⎧x − y = 2 ⎧x = 2 + y ; ⎨ ; ⎨ ; y = 3, x = 5; y = 1, x = 3; ⎨ ⎩b = 3 ⎩2 y − x = ±1 ⎩ y − 2 = ±1 Ответ: (5; 3), (3; 1). ⎧y = x2 ; 2 решения (см.рис.); 1815. а) ⎨ ⎩ y = cos x Y
4 2 X
2
0
-2
4
-2 2 2 ⎪⎧ x + y = 4 б) ⎨ ; 4 решения (см.рис.) 2 ⎪⎩ y = 2 − x
Y
4 2 X
-2 − 2 0
2
2
4
-2
⎧ y = sin x в) ⎨ ; 7 решений (см.рис.); ⎩ y = 0,1x Y
1 X
0 -9
-6
-3
3
6
9
-1
⎧⎪ y + 2 = x + 4 г) ⎨ ; 1 решение (см.рис.); 3 ⎪⎩ y + x = 0
213
Y
2 X
0
-2
2
-2
⎧y + x = 2 1816. а) ⎨ ; решений нет (см. рис.) (в ответе задачника опечатка). ⎩ xy = 3 Y 4 2 Х –4
2
–2
4
–2 –4
⎧ y = x(x − 4) б) ⎨ . ⎩ y + 8 = 2x Ответ: (2; –4), (4; 0) (см.рис.). Y
4 -4
X
-2 0 -4
⎧⎪ y ⋅ 2 x +1 = 1 ; 1817. а) ⎨ 3 ⎪⎩ x + 2 = y Ответ: (–1; 1) (см. рис.).
214
2
4
⎧ y = 2x −1 ; б) ⎨ ⎩| x − 3 |= y + 1
Ответ: (1; 1) (см.рис.).
⎧ π⎞ ⎛ ⎪ y − 1 = ⎜ sin x − ⎟ 1818. а) ⎨ 2 ⎠; ⎝ ⎪y + x2 = 0 ⎩ Ответ: (0; 0) (см.рис.) 4 2
X
-2 0 -2
-4
2
4
-4
⎧ y = sin 2x ⎪ б) ⎨ π; ⎪⎩ y − 1 = 2x − 2 Ответ: (π/2; 1) (см.рис.). Y
4 2 -4
-2
0 -2
X
2
4
-4
⎧2 x + 3y = 1 1819. а) ⎨ ; –2(2x+3y)+4x + 6y = –1⋅2 + 5; 0 = 3 ⇒ нет решений; ⎩4 x + 6 y = 5 ⎧cos(x + y) + sin xy = 1 б) ⎨ ; –(cos(x+y)+sinxy)+2sinxy+cos(x+y))= –1–1; ⎩2sin xy + cos(x + y) = −1 sin xy = −2 ⇒ нет решений.
215
x ⎧ ⎛1⎞ ⎪y − 1 = ⎜ ⎟ в) ⎨ ⎝3⎠ ; ⎪sin x = y ⎩ решений.
⎧⎪x 2 + y 2 = 4 ; ⎪⎩ y = x − 4
г) ⎨
x
x
⎛1⎞ ⎛1⎞ sin x − 1 = ⎜ ⎟ , но ⎜ ⎟ > 0, 3 ⎝ ⎠ ⎝ 3⎠
а sin x − 1 ≤ 0 ⇒
нет
⎧⎪ y = x − 4 ; x 2 − 4x + 6 = 0 ⇒ решений нет. ⎨ 2 ⎪⎩2 x − 8x + 12 = 0
⎧⎪ y + 2 x = 3 ; ⎪⎩x 2 + y 2 = 2
1820. а) ⎨
⎧⎪ y = 3 − 2x 7 1 ; x = 1, y = 1; x = , y = ; ⎨ 2 5 5 ⎪⎩5x − 12 x + 7 = 0
⎛7 1⎞ Ответ: (1; 1), ⎜ ; ⎟ . ⎝ 5 5⎠
⎧⎪x 4 − y 4 = 15 ⎧⎪x 4 = 16 ; ⎨ ; ⎪⎩x 4 + y 4 = 17 ⎪⎩ y 4 = 1
б) ⎨
⎧x = ±2 ; ⎨ ⎩ y = ±1
Ответ: (1; 2), (1; –2), (–1; 2), (–1; –2).
π ⎧ ⎪ x + y = + 2πk ⎧2sin(x + y) − 3cos(x − y) = 5 ⎧sin(x + y) = 1 ; в) ⎨ ; ⎨ ; ⎨ 2 ⎩7cos(x − y) + 5sin(x + y) = −2 ⎩cos(x − y) = −1 ⎪ x − y = π + 2πn ⎩ 3π ⎧ ⎪⎪ x = 4 + π(n + k) ; ⎨ ⎪ y = − π + π(k − n) ⎪⎩ 4 π ⎛ 3π ⎞ Ответ: ⎜ + π(n + k); − + π(k − n) ⎟ . 4 ⎝ 4 ⎠ ⎧ y ⎛ 1 ⎞x ⎪ = г) ⎨ 9 ⎜⎝ 3 ⎟⎠ ; log 2 x = 32 − x ; т.к. y=log2x возрастает, а y=32-x убывает, то ⎪ y = log x ⎩ 2
они имеют только 1 точку пересечения (2; 1); Ответ: (2; 1). ⎧ x +1 − y = 2 ; log 7 (4 − x) = −2 + x + 1; ОДЗ: x ∈ [− 1;4 ) ; 1821. а) ⎨ ⎩log 7 (4 − x) = y y=log7(4-x) убывает, а y = точку пересечения (3; 0); Ответ: (3; 0).
216
x + 1 − 2 возрастает ⇒ они имеют только одну
⎧ y−x x 1 − = ⎪ x+y 2 ⎪ 2x ; б) ⎨ x y−x ⎪ ⎪16 x + y − 7 2 x = 1 ⎩
y−x = a ≥ 0; 2x
x = b ≥ 0; x+y
⎧ y = 3x ⎧y − x ⎪⎪ 2 x = 1 ⎪⎪ 3 x = 1 y y = 3x ⎧ ; ⎨4 ⎨ x 4 ; ⎨x ≠ 0 ; 1 ⎩ ⎪x ≠ 0 ⎪ = ⎪⎩ x + y 4 ⎪ y ≠ − x ⎩ Ответ: (с; 3с), с ≠ 0m — любое число. 1 ⎧ ⎧⎪2 x + y − 3x − y = 1 ⎧⎪2 x + y = 2 ⎧x + y = 1 ⎪⎪x = 2 в) ⎨ ; ⎨ ; ⎨ ; ⎨ ; ⎪⎩2 x + y + 3x − y = 3 ⎩⎪3x − 4 = 1 ⎩x − y = 0 ⎪ y = 1 ⎪⎩ 2 ⎛1 1⎞ Ответ: ⎜ ; ⎟ . ⎝2 2⎠ ⎧x + y = 1 ⎧x + y = 1 ⎧x = 2 ⎧x + y = 1 ⎪ ; ⎨ ; г) ⎨ x − y ⎛ 1 ⎞−1 82 / 3 ; ⎨ x − y 2 2 −1 3; ⎨ = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 2 ⎩x − y = 3 ⎩ y = −1 =⎜ ⎟ ⋅ ⎩2 ⎪2 2 ⎝4⎠ ⎩ 1 ⎧ ⎪a − b = ⎨ 2 ; 9a = 9 ; ⎪⎩16b − 7a = 1
⎧a = 1 ⎪ 1; ⎨ ⎪b = 2 ⎩
Ответ: (2; –1). 1822.
⎧( 2 x + y )( x + 3y ) = 48 ⎪ а) ⎨ 2 x + y 3 ; ⎪ x + 3y = 4 ⎩
3 ⎧ ⎪2 x + y = ( x + 3y ) ; x + 3y ≠ 0; 4 ⎨ ⎪x + 3y = ±8 ⎩
х = 2, у = –2; х = –2, у = –2; Ответ: (±2; –2). ⎧x −3 =4 ⎪ б) ⎨ y + 2 ; ⎪(x − 3)2 + (y + 2) 2 = 17 ⎩ ⎧ x − 3 = 4(y + 2) ⎪ 2 2 ⎨(y + 2) + 16)y + 2) − 17 = 0; y + 2 = ±1 ; ⎪ y ≠ −2 ⎩ у = –1, х = 7; у = –3, х = –1; Ответ: (7; –1), (–1; 3). 217
1823.
⎧⎪x 2 + y 2 = 13 ⎧⎪ x 2 + y 2 = 13 ; а) ⎨ ; ⎨ 2 2 2 2 ⎪⎩x 4 − y 4 = 65 ⎪⎩(x + y )(x − y ) = 65
⎧⎪x 2 − y 2 = 5 ⎧⎪ x 2 = 9 ; ; ⎨ 2 ⎨ 2 ⎪⎩x + y 2 = 13 ⎪⎩ y = 4
⎧ x = ±3 ; ⎨ ⎩ y = ±2 Ответ: (3; 2), (3; –2), (–3; 2), (–3; –2).
⎧⎪2 x 4 = x 2 y 2 + 1 б) ⎨ ; (х; у) не является решением при всех у; ⎪⎩3x 4 = x 2 y 2 + 2 x 2 y 2 + 1 2x 4 2 = = ; x 2 y 2 + 2 3x 4 3 x2y2 = 1; 2x4 = 1 + 1; x4 = 1; x = ±1, y = ±1; Ответ: (1; 1), (1; –1), (–1; 1), (–1; –1). 1824.
⎧⎪ y + x 3 = 4 а) ⎨ ; ⎪⎩3y + y 2 + 2 x 3 = 20 y 2 + y − 12 = 0 ; y = −4, x = 2; y = 3, x = 1; Ответ: (2; –4), (1;3). 4 ⎪⎧ y + x = 3 б) ⎨ ; ⎪⎩2 x 2 − 5x + 3y 4 = 1 2 x 2 − 8x + 8 = 0 ; x 2 − 4 x + 4 = 0 ; x = 2, y = ±1;
Ответ: (±1; 2).
⎧⎪x 3 y5 = 32
1825. а) ⎨
; (0; у) не является решением при всех у, (х; 0) не ⎪⎩x 5 y3 = 8 является решением при всех х; x 3 y5 32 = 4; y 2 = 4x 2 ; y = ±2 x ; x 5 y3 8
1) x 5 ⋅ 8x 3 = 8 ; x = ±1, y = ±2; 2) − x 5 ⋅ 8x 3 = 8 − решений нет ; Ответ: (1; 2), (–1; –2). 3 2 ⎪⎧(x + 2y) (x − 2y) = 9 ; б) ⎨ 3 2 ⎪⎩(x − 2y) (x + 2y) = −27 218
x − 2y = −3(x + 2y) (аналогично пункту а);
4 x = −4 y ; x = − y ; y3 y 2 = 1 ; y = 1, x = −1; Ответ: (–1; 1). ⎧x ⎪⎪ y − xy = −9 1826. а) ⎨ ; ⎪2 xy − 3y = 23 ⎪⎩ x 2
x y −3 −5 = 0 ; y x 2
⎛x⎞ ⎛x⎞ 2⎜⎜ ⎟⎟ − 5⎜⎜ ⎟⎟ − 3 = 0 ; y ⎝ ⎠ ⎝y⎠ ⎧ y = −2 x x 1 ⎪ ; решений нет; 1) = − ; ⎨ 2 y 2 ⎪ ⎩− 4 x + 6 = 23 , ⎧ y = ±2 x ⎪⎧x = 3y ; ⎨ ; = 3; ⎨ 2 y ⎪⎩3 − 3y = −9 ⎩x = ±6 Ответ: (6; 2), (–6; –2). 5 ⎧x + y x ⎪x − y + y = − 6 ⎪ ; б) ⎨ 2 ⎪ x + xy = 1 ⎪ xy − y 2 6 ⎩ 2)
x x+y = a; = b; (у ≠ 0, х ≠ у); y x−y
5 ⎧ 5 ⎧ ⎪⎪b + a = − 6 ⎪⎪a = − 6 − b ; ⎨ ; ⎨ ⎪ab = 1 ⎪b 2 + 5 b + 1 = 0 ⎪⎩ 6 6 6 ⎩⎪
1 ⎧2x + 2y = y − x ⎧ ⎪⎪b = − 2 ⎪⎪3x = − y 1) ⎨ ; ⎨ ; ⎪a = − 1 ⎪ y ≠ 0 ⎪⎩ 3 ⎪⎩ x ≠ y
⎧ y = −3x ⎪3x = − y ⎪ ; ⎨ ⎪y ≠ 0 ⎪⎩ x ≠ y
(с; –3c), с ≠ 0 — любое число;
219
⎧3x + 3y = y − x ⎪2x = − y ⎪ ; ⎨ ⎪y ≠ 0 ⎪⎩ x ≠ y (d, –2d), d ≠ 0 — любое число;
1 ⎧ ⎪⎪b = − 3 ; 2) ⎨ ⎪a = − 1 ⎪⎩ 2
⎧4x = −2y ⎪2x = − y ⎪ ; ⎨ ⎪y ≠ 0 ⎪⎩ x ≠ y
1827.
⎧⎪2x 2 + xy − y2 = 0
а) ⎨
⎪⎩ y 2 − 3xy = 16 2
⎛x⎞ x 2 ⎜ ⎟ + − 1 = 0; y ⎝ y⎠
⎧⎪x = − y ; 2 2 ⎩⎪ y + 3y = 16
1) ⎨
; (х; 0) не является решением для всех х ⇒ у≠0;
x = −1 , y
x 1 = ; y 2
⎧y = 2 , ⎨ ⎩x = −2
⎧ y = −2 ; ⎨ ⎩x = 2
⎧⎪ y = 2x 2) ⎨ 2 ; решений нет; 2 ⎪⎩4x − 6x = 16 Ответ: (–2; 2), (2; –2).
⎧⎪3x 2 − xy = 10 y 2
б) ⎨
⎪⎩x 2 − 2xy + y 2 = 4
;
2
⎛x⎞ x x 5 x 3 ⎜ ⎟ − − 10 = 0 (аналогично пункту а); = − , = 2; y y y 3 y ⎝ ⎠
⎧⎪x = 2 y ; 2 2 2 ⎩⎪4 y − 4 y + y = 4
1) ⎨
⎧y = 2 , ⎨ ⎩x = 4
⎧ y = −2 ; ⎨ ⎩x = −4
5 ⎧ ⎪⎪x = − 3 y 2) ⎨ ; ⎪ 25 y 2 + 10 y 2 + y = 4 ⎪⎩ 9 3 ⎧ ⎪⎪ y = − 4 ; ⎨ ; 5 ⎪ 5 x=− x= ⎪ 4 ⎩ ⎩⎪ 4 ⎧
36 ⎪⎪ ; ⎨ y = 64 ⎪ 2
y=
3 4
3⎞ ⎛ 5 3⎞ ⎛5 Ответ: (4; 2), (–4; –2), ⎜ − ; ⎟ , ⎜ ; − ⎟ . 4 4 4 4 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
220
⎧⎪x 2 + 3xy + y 2 = −1
⎛x⎞ 1 ⎟⎟ = − , 2 ⎪⎩2x − 3xy − 3y = −4 ⎝ y ⎠
1828. а) ⎨
2
2
; ⎜⎜
⎛x⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = −7 (аналогично предыдущей задаче; ⎝y⎠ ⎧⎪ y = −2x ⎧x = 1 ⎧x = −1 1) ⎨ 2 ; ⎨ , ⎨ ; ⎪⎩x − 6x 2 + 4x 2 = −1 ⎩ y = −2 ⎩ y = 2 ⎧⎪ x = −7y ; решений нет; 2) ⎨ 2 2 2 ⎪⎩49y − 21y + y = −1 Ответ: (1; –2), (–1; 2).
⎧⎪x 2 + xy + 4 y 2 = 6 б) ⎨ ; ⎪⎩3x 2 + 8 y 2 = 14
⎛x⎞ 1 ⎜⎜ ⎟⎟ = − , y 2 ⎝ ⎠
⎛x⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = 4 (аналогично предыдущей задаче); ⎝y⎠ ⎧⎪ y = −2x ; ⎪⎩x 2 − 2x 2 + 16x 2 = 6
1) ⎨
⎧ ⎧ 2 ⎪x = ⎪x = − 5 ⎪ ⎪ , ⎨ ⎨ 2 ⎪ ⎪ = − y 2 y=2 ⎪ 5 ⎪⎩ ⎩ ⎧⎪x = 4 y ; ⎪⎩48y 2 + 8y 2 = 14
2) ⎨
2 5 2 5
;
1 ⎧ 1 ⎧ ⎪y = ⎪y = − , 2 2; ⎨ ⎨ ⎪x = 2 ⎪x = −2 ⎩ ⎩
⎛ 2 2⎞ ⎛ 2 2⎞ Ответ: (2; 1/2), (–2; 1/2), ⎜⎜ ; −2 ⎟⎟ , ⎜⎜ − ; 2 ⎟⎟ . 5 5 5 5 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎧⎪x − 2xy + y = −17 ; x + y = a, xy = b; ⎪⎩x 2 + y 2 = 25
1829. а) ⎨
⎧a = 7 a 2 − a − 42 = 0 ; ⎨ ; ⎩b = 12
⎧⎪x = 7 − y ; ⎨ ⎪⎩7 y − y 2 = 12
⎧y = 4 y 2 − 7 y + 12 = 0 ; ⎨ ; ⎩x = 3
⎧y = 3 ; ⎨ ⎩x = 4
⎧⎪a − 2b = −17 ; ⎨ 2 ⎪⎩a − 2b = 25
221
⎧а = −6 ⎪ 2) ⎨ 11 ; ⎪⎩b = 2
⎧x = −6 − y ⎪ 2 11 ; 2 y + 12 y + 11 = 0 ; ⎨ 2 ⎪− 6 y − y = 2 ⎩
⎧ − 6 ± 14 ⎪y = ⎪ 2 ; ⎨ 6 m 14 ⎪ ⎪⎩x = −6 + 2
эти решения иррациональны; Ответ: (3; 4), (4; 3). 2 2 ⎪⎧x + y + x + y = 18 ⎧⎪xy − x − y = 1 ; ⎨ ; б) ⎨ ⎪⎩xy + x 2 + y 2 = 19 ⎪⎩xy + x 2 + y 2 = 19
⎧⎪a − b = 1 ; b = 5, a = 6; ⎨ 2 ⎪⎩b − a = 19 b 2 − b − 20 = 0 ; ⎧b = 5 ⎧⎪x = 5 − y ⎧y = 3 1) ⎨ ; ⎨ ; y2 − 5y + 6 = 0 ; ⎨ , 2 a = 6 ⎪ 5 y − y = 6 ⎩ ⎩x = 2 ⎩ ⎧b = −4 ⎪⎧ x = −4 − y 2) ⎨ ; ⎨ 2 ; решений нет; ⎪⎩ y + 4y + 5 = 0 ⎩a = 5 Ответ: (2; 3), (3; 2). 1830.
⎧ x 2 y2 = 12 ⎪ + x ⎪y а) ⎨ ; ⎪1 + 1 = 1 ⎪x y 3 ⎩ ⎧ a( a 2 − 3b ) = 12 ⎪⎪ b ; x + y = a, xy = b; ⎨ ⎪a = 1 ⎪⎩ b 3 ⎧⎪b = 3a ; ⎨ 2 ⎪⎩a − 9a = 36 a 2 − 9a − 36 = 0 ; ⎧a = 12 ⎧⎪x = 12 − y 1) ⎨ ; ⎨ ; 2 ⎩b = 36 ⎪⎩12 y − y = 36 ⎧y = 6 y 2 − 12 y + 36 = 0 ; ⎨ ; ⎩x = 6 222
⎧y = 2 ; ⎨ ⎩x = 3
⎧a = 3 ⎪⎧ x = 3 − y 2) ⎨ ; ⎨ ; решений нет; 2 ⎩b = 9 ⎪⎩3y − y = 9 Ответ: (6; 6). ⎧xy( x + y ) = 20 ⎪ ; xy = a, x + y = b; б) ⎨ 1 1 5 ⎪x + y = 4 ⎩
⎧ab = 20 5 2 ⎪ 5 ; a = 20 ; ⎨ 4 b = a ⎪ 4 ⎩
⎧⎪x = 5 − y ⎧ y = 1 ⎧y = 4 ; y2 − 5y + 4 = 0 ; ⎨ ; ; ⎨ ⎨ 2 ⎪⎩5 y − y = 4 ⎩ x = 4 ⎩x = 1 ⎧ 5 ± 41 ⎪y = ⎧a = −4 ⎧⎪ x = −5 − y ⎪ 2 ; ⎨ 2 ; эти корни не являются ; ⎨ 2) ⎨ 5 ± 41 ⎩b = −5 ⎩⎪ y + 5y − 4 = 0 ⎪ x = − 5 − ⎪⎩ 2 рациональными; Ответ: (4; 1), (1; 4). ⎧a = 4 ; 1) ⎨ ⎩b = 5
⎧x + 2 y − 3z = −3 ⎪ 1831. а) ⎨2 x − 3y + z = 8 ; ⎪− x + y − 5z = −8 ⎩ ⎧x + 2 y − 3z = −3 ⎪ ⎨− 7 y + 7 z = 14 ; ⎪− 35z = −35 ⎩ Ответ: (–2; –1; 1).
⎧z = 1 ⎪ ⎨ y = −1 ; ⎪ x = −2 ⎩
⎧3x − 5 y + z = −13 ⎪ б) ⎨x + 3y − 2z = 5 ; ⎪2 x − 2 y + 5z = −6 ⎩ ⎧2 y − z = 4 ⎪ ⎨ x + 3y − 2 z = 5 ; ⎪5z = 0 ⎩
⎧x + 2 y − 3z = −3 ⎪ ⎨− 7 y + 7 z = 14 ; ⎪3y − 8z = −11 ⎩
⎧− 14 y + 7 z = −28 ⎪ ⎨ x + 3y − 2 z = 5 ; ⎪− 8 y + 9z = −16 ⎩
⎧2 y − z = 4 ⎪ ⎨ x + 3y − 2 z = 5 ; ⎪− 8y + 9z = −16 ⎩
⎧z = 0 ⎪ ⎨y = 2 ; ⎪ x = −1 ⎩
Ответ: (–1; 2; 0).
⎧x + y = −1 ⎪
1832. а) ⎨x − z = 2
⎧ y = −1 − x ⎪
; ⎨z = x − 2
⎪xy + xz + yz = −1 ⎪ 2 2 2 ⎩ ⎩− x − x + x − 2x − x + x + 2 = −1
;
− x 2 − 2x + 3 = 0 ; x 2 + 2x − 3 = 0 ; 223
⎧x = −3 ⎪ ⎨y = 2 ; ⎪z = −5 ⎩
⎧x = 1 ⎪ ⎨ y = −2 ; ⎪z = −1 ⎩
Ответ: (–3; 2; –5), (1; –2; –1).
⎧ x + y + 2z = 0 ⎪ б) ⎨x + 2 y + z = 1 ; ⎪ 2 2 2 ⎩x + y + z = 5
⎧y = 1 + z ⎪ ; ⎨x = −1 − 3z ⎪ 2 ⎩11z + 8z − 3 = 0
⎧z = −1 ⎪ ⎨x = 2 ; ⎪y = 0 ⎩
⎧ z = 3/11 ⎪ ⎨ x = −(20 /11); ⎪ y = 14 /11 ⎩
⎛ 20 14 3 ⎞ ; Ответ: (2; 0; –1), ⎜ − ; ⎟ (в ответе задачника опечатка). ⎝ 11 11 11 ⎠ 1833. а) y = ax2 + bx + c, M(1; –2), P(–1;8), Q(0; 1);
⎧ − 2 = a + b + c ⎧ b = −5 ⎪ ⎪ 2 ⎨8 = a − b + c ; ⎨c = 1 ; y = 2x − 5x + 1 . ⎪1 = c ⎪a = 2 ⎩ ⎩ б) y = ax2 + bx + c, M(–1; 6), P(2; 9), Q(1; 2); ⎧6 = a − b + c ⎧b = −2 ⎧ b = −2 ⎪ ⎪ ⎪ 2 9 4 a 2 b c 4 a c = + + = + ; ; ⎨ ⎨ ⎨a = 3 ; y = 3x − 2 x + 1 . ⎪2 = a + b + c ⎪13 = 4a + c ⎪c = 1 ⎩ ⎩ ⎩
⎧⎪ x − y + x + 3y = 4 ; ⎪⎩2x − y = 4
1834. а) ⎨
⎧⎪ y = 2x − 4 ; ⎨ ⎪⎩ − x + 4 + 7x − 12 = 4 ⎪⎧− x + 4 = 16 + 7x − 12 − 8 7x − 12 ; ⎨ ⎪⎩4 − 7x − 12 ≥ 0 ⎧−8x = −8 7x − 12 ⎪ ; ⎨x ≥ 0 ⎪x ≤ 4 ⎩
⎧⎪7x − 12 = x 2 ⎧⎪ x 2 − 7x + 12 = 0 ⎧ x = 4 ⎧x = 3 ; ⎨ ; ⎨ , ⎨ ; ⎨ ⎪⎩0 ≤ x ≤ 4 ⎪⎩0 ≤ x ≤ 4 ⎩ y = 4 ⎩y = 2 Ответ: (4; 4), (3; 2) (в ответе задачника опечатка).
⎪⎧6x + 2 y = 10 ; ⎩⎪ 2x + y + 6x − 3y = 2
б) ⎨
224
⎧⎪ y = 5 − 3x ; ⎨ ⎪⎩ 5 − x + 15x − 15 = 2 ⎪⎧15x − 15 = 4 + 5 − x − 4 5 − x ; ⎨ ⎪⎩2 5 − x ≥ 0
⎪⎧16x − 24 = −4 5 − x ; ⎨ ⎪⎩ х ≥ 1
⎪⎧ 5 − x = 6 − 4x ; ⎨ ⎪⎩ х ≥ 1 3 ⎧16x 2 − 47x + 31 = 0 ⎧ ⎧x = 1 ⎪ ⎪1 ≤ x ≤ 2 ; ⎨ ; ⎨ ; ⎨ 3 ⎩y = 2 ⎪5 − x = 36 + 16x 2 − 48x ⎪1 ≤ x ≤ ⎩ 2 ⎩ Ответ: (1; 2) (в ответе задачника опечатка).
⎧⎪3 x + 3 y = 5 1835. а) ⎨ ; ⎪⎩xy = 216 1)
3
⎧ x = 216 / у ⎪ ; ⎨ 6 3 ⎪3 y + y = 5 ⎩
y = 3 ; y=27, x=8; 2)
3
(3 y )
2
− 5 3 y + 6 = 0;
y = 2 ; y=8, x=27;
Ответ: (27; 8), (8; 27).
4 ⎧ x = ⎧⎪4 x − 4 y = 1 ⎪⎪ y б) ⎨ ; ⎨ ; ⎪⎩ xy = 4 ⎪ 2 − 4 y −1 = 0 ⎪4 y ⎩ y +4 y −2 = 0; ⎧y = 1 y =1; ⎨ ; ⎩x = 16 2) 4 у = −2; решений нет; Ответ: (1; 16).
1)
4
⎧ x + 3y y+5 +2=3 ⎪ 1836. а) ⎨ y + 5 x + 3y ; ⎪ ⎩xy + 2 x = 13 − 4 y x + 3y x + 3y +2 −3 = 0 ; y+5 y+5 x + 3y x + 3y x + 3y =1 ( = –3 не подходит, т.к. ≥ 0); y+5 y+5 y+5 225
⎧⎪x = 5 − 2 y x + 3y = y + 5 ; ⎨ ; ⎪⎩5 y − 2 y 2 + 10 − 4 y = 13 − 4 y ⎧y = 1 2 y 2 − 5y + 3 = 0 ; ⎨ , ⎩x = 3 ⎧ y = 3/ 2 ; ⎨ ⎩x = 2
Ответ: (3; 1), (2; 3/2). ⎧ x 2 + 4x − y 2 − 3y = 0 ⎪ x+y x+y б) ⎨ x + y ; −4 +3 = 0; x−y x − y x−y + 3 = 4 ⎪ x+y ⎩ x−y x+y = 1; x + y = x − y ; y = 0 ; x2 + 4x = 0; x = 0 — не подходит; 1) x−y x = −4 ; x+y = 3; x + y = 9x − 9y ; x−y
2)
5y ⎧ ⎪⎪x = 4 ; 9 y 2 + 32 y = 0 ; ⎨ 2 25 y 2 ⎪ + 5 y − y − 3y = 0 ⎩⎪ 16
32 ⎧ ⎪⎪ y = − 9 ; ⎨ ⎪x = − 40 ⎪⎩ 9 ⎛ 40 32 ⎞ Ответ: (–4; 0), ⎜ − ; − ⎟ . 9 ⎠ ⎝ 9
⎧ x y 3 + = ⎪⎪ x 3 x x 2 ; − 1837. а) ⎨ y ⋅ +1 = 0 ; y y 2 ⎪ ⎪⎩ x + y = 2 + 1 1 y ⋅ y ; + y = 2 + 1; 1) x = 2 2 ⎧y = 2 y= 2; ⎨ ; ⎩x = 1 y + y = 2 +1 ; 2 2 Ответ: (1; 2), (2; 1).
2)
226
x=
2 y
; 2
⎧y = 1 y =1 ; ⎨ ; ⎩x = 2
⎧ y x ⎪⎪ x − 2 y = 1 ; б) ⎨ ⎪ ⎪⎩ 5x + y + 5x − y = 4 1)
y y − −2 =0; x x
y = 2 x , y = 4x ;
⎧x = 1 ; 9x + x = 4 ; ⎨ ⎩y = 4
2) y = − x; x = y = 0 — не подходит; Ответ: (1; 4).
⎧ ⎪ x+ y+ 1838. а) ⎨ ⎪x + 2 y = 9 ⎩ ⎧⎪ x + y = 3 ; ⎪⎩x + 2 y = 9
1) ⎨
1 x+ y
=
10 3 ;
⎧ 2 10 ⎪( x + y) − ( x + y) + 1 = 0 ; 3 ⎨ ⎪⎩ x + 2y = 9
⎧⎪x = 9 − 2 y ; 36 y − 8 y 2 = y 2 ; ⎨ 2 ⎪⎩9 − 2 y + y + 2 9 y − 2 y = 9
⎧y = 4 ⎧y = 0 y( 4 − y ) = 0 ; ⎨ ; ⎨ ; ⎩x = 1 ⎩x = 9 1 ⎧ x = 9 − 2y ⎧ ⎪ ⎪ x+ y= ; 2) ⎨ 3; ⎨ 2 ⎪⎩ x + 2y = 9 ⎪⎩9(9 − 2y + y + 2 9y − 2y ) = 1 18 9y − 2y 2 = 9y − 80; 324 (9y – 2y2) = 81y2 – 1440y + 6400; 720y2 – 4356y + 6400 = 0; решений нет; Ответ: (1; 4), (0; 0).
⎧3x − y = 3 65 ⎪ 1 65 ; ( x + 2 y) 2 − ( x + 2 y) + 1 = 0 ; б) ⎨ x +2 y + = 8 ⎪ 8 x +2 y ⎩ ⎧⎪ x + 2 y = 8 ; 12 x − 12 = 64 + x − 16 x ; ⎪⎩ y = 3x − 3
1) ⎨
76 − 11x = 16 x ; 76 ⎧ ⎧x = 4 1444 ⎪x ≤ 11 ; x= — не подходит; ; ⎨ ⎨ 121 ⎪121x 2 + 5776 − 1928x = 0 ⎩ y = 9 ⎩ 1 ⎧ ⎪ x +2 y = 1 x 2) ⎨ ; 8 ; 12x − 12 = + x − 64 4 ⎪⎩ y = 3x − 3
227
16 x = 769 − 704x; решений нет; Ответ: (4; 9). 1839.
⎧⎪2 3y + x − 6 y − x = x
а) ⎨
⎪⎩ 3y + x + 6 y − x = 3y
;
3 3 y + x = 3y + x ; 3y + x ⋅ ( 3y + x − 3 ) = 0 ; x = −3 y , 3 y + x = 3 ; 3 6y − x = 6y − x ; 6y − x ⋅ ( 6y − x − 3 ) = 0 ; 6y = x ;
6y − x = 3 ;
⎧ x = −3 y ⎧ x = 0 ; ⎨ ; ⎩6 y = −3y ⎩ y = 0
1) ⎨
⎧⎪x = −3y ⎧x = −3 ; ⎨ ; ⎪⎩ 9 y = 3 ⎩ y = 1
2) ⎨
⎧ x = 9 − 3y ; ⎩6 y = 9 − 3y
3) ⎨
⎧x = 6 ; ⎨ ⎩y = 1
⎧⎪x = 9 − 3y ⎧x = 3 ; y −1 = 1 ; ⎨ ; ⎪⎩ 6 y − 9 + 3y = 2 ⎩y = 2
4) ⎨
Ответ: (0;0), (-3;1), (6;1), (3;2).
⎧⎪ 2 x − 3y + 4 x + 3y = 2 x
б) ⎨
⎪⎩2 2 x − 3y = 4 x + 3y − 3y
;
3 2 x − 3y = 2 x − 3y ; 2 x − 3y ⋅ ( 2 x − 3y − 3 ) = 0 ; 2 x = 3y , 2 x = 9 + 3y ;
3 4 x + 3 y = 4 x + 3y ; 4x + 3y ⋅ ( 4 x + 3y − 3 ) = 0 ; 4x = −3y; 4 x = 9 − 3y ; 228
⎧2 x = 3y ; ⎩6 y = −3y
⎧x = 0 ; ⎨ ⎩y = 0 3 ⎧ ⎧2 x = 3y ⎪x = ; ⎨ 2) ⎨ 2; ⎩6 y = 9 − 3y ⎪ y = 1 ⎩ 1) ⎨
⎧2 x = 9 + 3y ; ⎩18 + 6 y = −3y
3) ⎨
3 ⎧ ⎪x = 2 ; ⎨ ⎪ y = −2 ⎩
⎧2 x = 9 + 3y ; ⎩18 + 6 y = 9 − 3y
4) ⎨
⎧x = 3 ; ⎨ ⎩ y = −1
Ответ : (0;0), ( 3/ 2;1) , ( 3/ 2; −2 ) , (3; −1). 1840. ⎧⎪26x − 2y = 4 x + y +10 ; а) ⎨ 2 x 11+ y ⎩⎪3 = 3
⎧⎪ y = x 2 − 11 ; ⎨ ⎪⎩6 x − 2x 2 + 22 = 2( x + x 2 − 11 + 10 ) 4 x 2 − 4 x − 24 = 0 ; x2 − x − 6 = 0 ; ⎧ x = 3 ⎧ x = −2 ; ⎨ ; ⎨ ⎩ y = −2 ⎩ y = −7 Ответ: (3; –2), (–2; –7).
⎧ 343x y ⎪ x − y = 49 ⎪ 7 б) ⎨ ; x y ⎪ 5 ⎪ 25x − y = 1 ⎩
⎧x ⎪ y − 2x + 2y = 2 ⎪ ; ⎨ ⎪3 x − x + y = 0 ⎪⎩ y
⎧5x − 5 y = 2 ⎪ ; ⎨ x ⎪15 y = 12 ⎩ ⎧ y = −2 5x = 4 y ; ⎨ ; ⎩x = −1,6 Ответ: (–1,6; –2). 229
1841.
⎧53 х = 53− 3 y ⎪ а) ⎨ 1 ; x y ⎪(0, 25 ) = 16 ⎩ 2
⎧⎪3 x = 3 − 3 y ; ⎨ ⎪⎩2 xy = 16
8 ⎧ ⎪x = y ⎪ ; ⎨ 2 ⎪ −3+3 y = 0 ⎪⎩ 3 y 3
1)
y 2 − 33 y + 2 = 0 ; 3
⎧y = 8 y =2 ; ⎨ ; 2) ⎩x = 1
3
⎧y = 1 y =1; ⎨ ; ⎩x = 8
Ответ: (8; 1), (1; 8).
⎧323 x − 2 y ⋅ 83 x + y = 213 ⎪⎪ ; б) ⎨ 3 x − 2 y 8 ⎪ 3 =4 ⎪⎩16 x + y ⎧⎪53 x − 2 y + 33 x + y = 13 ; ⎨ ⎪⎩33 x − 2 y − 43 x + y = 2 ⎧⎪53 x − 2 y + 33 x + y = 13 ; ⎨ ⎪⎩83 x − 2 y − 3 x + y = 15 293 x − 2 y = 58 ; x − 2 y = 8 ; ⎧⎪x = 8 + 2 y ; 8 + 3y = 1 ; ⎨3 ⎪⎩ x + y = 1
7 ⎧ ⎪⎪ y = − 3 ; ⎨ ⎪ x = 10 ⎪⎩ 3
7⎞ ⎛ 10 Ответ: ⎜ ; − ⎟ . 3⎠ ⎝ 3 1842.
⎧⎪2 x ⋅ 0 ,25− y = 512 ⎧⎪x + 2 y = 9 ; ⎨ ; ⎪⎩ x + 2 y = 5 ⎪⎩ x + 2 y = 5
а) ⎨
8 + 3y = 10 y ; 230
⎧⎪x = 25 + 4 y − 20 y ; ⎨ ⎪⎩25 + 6 y − 20 y = 9
16 ⎧ ⎪⎪ y = 9 ⎧ y = 4 ; ; ⎨ ⎨ ⎪ x = 49 ⎩x = 1 ⎪⎩ 9
8 ⎧ ⎪y ≥ − 3 ; ⎨ ⎪9y 2 − 52y + 64 = 0 ⎩ ⎛ 49 16 ⎞ Ответ: ⎜ ; ⎟. ⎝ 9 9⎠
⎧⎪9 x ⋅ 3y −3 = 729 ⎧⎪2 x + y − 3 = 6 ; ⎨ ; ⎪⎩ x = 1 + y ⎪⎩ x − y = 1
б) ⎨
⎧⎪x = y + 1 + 2 y ; ⎨ ⎪⎩2 y + 2 + 4 y + y = 9
4 y = 7 − 3y ; 7 ⎧ ⎧y = 1 ⎪y ≤ 3 ; ⎨ ; ⎨ ⎪9y 2 − 58y + 49 = 0 ⎩x = 4 ⎩ 49 y= — не подходит; 9 Ответ: (4; 1). 1843.
⎧⎪62 x + 6 x y = 12
а) ⎨
⎪⎩ y 2 + y ⋅ 6 x = −8
;
(6 x + y) 2 = 4 ; y = ±2 − 6x ;
⎧⎪ y = 2 − 6x
1) ⎨
⎪⎩6
2x
x
+ 2⋅6 − 6
2x
⎧x = 1 ; = 12 ⎩ y = −4 ; ⎨
x ⎪⎧ y = −2 − 6 2) ⎨ ; решений нет; 2x x 2x ⎪⎩6 − 2 ⋅ 6 − 6 = 12 Ответ: (1; –4).
⎧⎪7 2 y − 7 y ⋅ x = 28
б) ⎨
⎪⎩x 2 − x ⋅ 7 y = −12
;
(7 y − x)2 = 16 ; x = 7 y ± 4 ; ⎧⎪ x = 7 y + 4 ; решений нет; 1) ⎨ 2y 2y y ⎪⎩7 − 7 − 4 ⋅ 7 = 28 ⎧⎪ x = 7 y − 4 ⎧y = 1 ; ; ⎨ 2) ⎨ 2y 2y ⎪⎩7 − 7 + 4 ⋅ 7 = 27 ⎩x = 3 Ответ: (1; 3). 231
1844. ⎧⎪log (x 2 + y 2 ) = 0,5log π π2 ; а) ⎨ 13 ⎪⎩log 3 x − 1 = log3 2 − log3 y
⎧⎪x 2 + y 2 = 13 ; ⎨ ⎪⎩xy = 6 x 2 + y 2 + 2xy = (x + y) 2 = 25; x + y = ±5 ;
⎧⎪x = 5 − y ; ⎪⎩5 y − y 2 = 6
1) ⎨
⎧y = 2 y2 − 5y + 6 = 0 ; ⎨ ; ⎩x = 3
⎧y = 3 ; ⎨ ⎩x = 2
⎧⎪x = −5 − y ; ⎪⎩ y 2 + 5 y = 6
2) ⎨
y = −2 , y = –3 — не подходят, т.к. y > 0; Ответ: (2; 3), (3; 2). ⎧log 7 (x + y) = 4log 7 (x − y) б) ⎨ ; ⎩log 7 (x + y) = 5log 7 3 − log 7 (x − y)
⎧x + y = ( x − y )4 ⎪ ; ⎨ 243 ⎪x + y = x − y ⎩ ⎧a = b 4 ⎪ x + y = a, x − y = b; ⎨ 243 ; ⎪a = b ⎩ b4 −
243 = 0 ; b5 = 243 ; b
⎧b = 3 ; ⎨ ⎩a = 81
⎧x + y = 81 ⎧x = 42 ; ⎨ ; ⎨ ⎩x − y = 3 ⎩ y = 39 Ответ: (42; 39). 5 ⎧ ⎪log x y + log y x = 2; 1845. а) ⎨ ⎪4 x − 3 y = 1 ⎩ 5 log 2x y − log x y + 1 = 0; logxy=2, logxy = 1/2; 2 232
y = x2 , y = x ; ⎧⎪− 3x + 4 x − 1 = 0
1) ⎨
⎪⎩ y = x 2
; 3x − 4 x + 1 = 0 ;
1 ⎧ ⎪⎪ x = 3 ОДЗ : x , y > 0 , x , y ≠ 1 ; ⎨ ; ⎪y = 1 81 ⎩⎪
1 ⎧ ⎪⎪ x = 9 ; ⎨ ⎪y = 1 ⎪⎩ 81
x = 1 — не подходит по ОДЗ;
2)
4
x − 34 x − 1 = 0 ; y = x ;
4
x = 1 — не подходит по ОДЗ;
⎛1 1 ⎞ Ответ: ⎜ ; ⎟ . ⎝ 9 81 ⎠ ⎧⎪log y x − 2log x y = 1 ; б) ⎨ 2 2 ⎪⎩ x + 2y = 3
ОДЗ : x , y > 0 ; x , y ≠ 1 ; log 2y x − log y x − 2 = 0 ; logyx = 2, logyx = –1; x = y 2 , x =
1 ; y
⎧⎪ x = y 2 1) ⎨ ; y2 = –3 — не имеет решения; 4 2 ⎪⎩ y + 2y − 3 = 0
1 ⎧ ⎪⎪ y = x ; 2) ⎨ ⎪x 2 + 2 = 3 x2 ⎩⎪ x 4 − 3x 2 + 2 = 0 ; x 2 = 1 − не подходит ; x 2 = 2 ; ⎧x = 2 ⎪ ⎨ 2; ⎪y = ⎩ 2
⎛ 2⎞ Ответ: ⎜⎜ 2; ⎟⎟ . 2 ⎝ ⎠ 1846. ⎧⎪log 2 y + log 2 x ⋅ log 2 y − 2log 22 x = 0 а) ⎨ 2 ; 2 2 ⎪⎩9x y − xy = 1 ОДЗ : x , y > 0 ;
233
2
⎛ log 2 y ⎞ log 2 y − 2 = 0; ⎜ ⎟ + log 2 х ⎝ log 2 x ⎠
1 ⎧ ⎪⎪x = 2 ⎧⎪ y = x 1) log 2 y = log 2 x ⎨ 3 ; ⎨ ; 1 ⎪⎩9 x − x 3 = 1 ⎪ y= ⎪⎩ 2 1 ⎧ 1 ⎧ ⎪⎪ y = 2 ⎪x = x 2) log 2 y = −2log 2 x ; ⎨ ; ⎨ 2; ⎪9 − 1 = 1 ⎪ y = 4 ⎩ x3 ⎩⎪ Ответ: (1/2; 1/2), (1/2; 4). ⎧2log32 x + log3 x ⋅ log 3 у − log32 x = 0 ⎪ ; б) ⎨ x2 = 28 ⎪ xy − y ⎩ ⎧log 3 x ⋅ (log3 x + log 3 y) = 0 ⎪ ; ⎨ x2 = 28 ⎪ xy − y ⎩
log3x = 0, log3xy = 0; ОДЗ :x , y > 0 ; 1 ⎧ ⎪x = y ⎪ ; у = –1/3 — не подходит; 1) ⎨ ⎪1 − 1 = 28 ⎪⎩ y3
⎧x = 1 ⎪ 2) ⎨ ; y 2 − 28 y − 1 = 0 ; 1 ⎪ y − y = 28 ⎩ y = 14 ± 197 , но т.к. y > 0 , то
⎧⎪ y = 14 + 197 ; ⎨ ⎪⎩x = 1 Ответ: (1; 14 + 197 ). 1847.
⎧⎪ x 2 + lg x = y 2 + lg y а) ⎨ ; ⎪⎩ x − y + x + y = 4 234
ОДЗ : x , y > 0 ; если x заменить на y, а y на x, то получится равносильное уравнение ⇒ x = y;
x−x + x + x = 4 ;
x = 2 ; x = 4 = y;
Ответ: (4; 4).
⎧⎪x + 2
б) ⎨
x
= y+2
y
⎪⎩x 2 + x + y 2 + y = 12 ОДЗ : x , y ≥ 0 ;
;
x = y (аналогично пункту а);
x 2 + x + x 2 + x = 12 ; x2 + x − 6 = 0 ; x = 2 = y ; Ответ: (2; 2). 1848.
1 ⎧ 1 ⎧ ⎪⎪sin x sin y = 4 ⎪⎪cos(x + y) − cos(x − y) = − 2 ; ⎨ ; а) ⎨ ⎪x + y = π ⎪x = π − y ⎪⎩ ⎪⎩ 3 3 ⎛π ⎞ cos ⎜ − 2y ⎟ = 1; ⎝3 ⎠
⎧ ⎪⎪ y = ⎨ ⎪x = ⎪⎩
π + πn 6 ; π − πn 6
π ⎛π ⎞ Ответ: ⎜ − πn; + πn ⎟ 6 ⎝6 ⎠ π π ⎧ ⎧ ⎪⎪ x + y = 4 ⎪⎪ x = 4 − y ; ⎨ ; sin(2y) − cos(2y) = 1 ; б) ⎨ ⎪sin 2 x + cos 2 y = 1 ⎪cos(2y) − cos( π − 2y) = −1 ⎪⎩ 2 ⎪⎩ 2 π 2 sin(2y − ) = ; 4 2 ⎧ n π π πn ⎪⎪ y = ( −1) ⋅ 8 + 8 + 2 ; ⎨ ⎪ x = (−1) n +1 ⋅ π + π − πn ⎪⎩ 8 8 2 π π πn π π πn ⎞ ⎛ Ответ: ⎜ (−1)n +1 ⋅ + − ; (−1) n ⋅ + + ⎟. 8 8 2 8 8 2 ⎠ ⎝
235
⎧sin x + cos y = 0 ⎪ 1849. а) ⎨ 2 1; 2 ⎪⎩sin x + cos y = 2 ⎧sin x = − cos y ⎪ ; 1 ⎨ 2 ⎪⎩cos y = 4
π ⎧ ⎪⎪ y = ± 3 + 2πn ; ⎨ ⎪ x = ( −1) k +1 ⋅ π + πk ⎪⎩ 6
2π ⎧ ⎪⎪ y = ± 3 + 2πm ; ⎨ ⎪ x = (−1)p ⋅ π + πp ⎪⎩ 6 π π π 2π ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + 2πm ⎟ . Ответ: ⎜ (−1)k +1 ⋅ + πk; ± + 2πn ⎟ , ⎜ (−1) p ⋅ + πp; ± 6 3 6 3 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 ⎧ ⎪⎪cos x = 2 − cos y ⎧⎪cos x + cos y = 0,5 ; ; б) ⎨ 2 ⎨ 2 ⎩⎪sin x + sin y = 1,75 ⎪cos 2 x + cos 2 y = 1 ⎪⎩ 4 1 1 − cos 2 y + cos y + cos 2 y = ; 4 4 π ⎧ ⎪⎪ y = 2 + πn ; ⎨ ⎪ x = ± π + 2πk ⎪⎩ 3 если x заменить на y, а y на x, то уравнения не изменятся, поэтому появляется еще одно решение: π ⎧ ⎪⎪ y = ± 3 + 2πm ; ⎨ ⎪ x = π + πp ⎪⎩ 2 π ⎛ π ⎞ Ответ: ⎜ ± + 2πk; + πn ⎟ , 2 ⎝ 3 ⎠ π ⎛π ⎞ ⎜ + πp; ± + 2πm ⎟ . 3 ⎝2 ⎠ 1 ⎧ ⎪sin x sin y = − 1850. а) ⎨ 2; ⎪⎩ tgx ctgy = 1 236
⎧cos(x − y) − cos(x + y) = −1 ; ⎨ ⎩sin x cos y − sin y cos x = 0 ⎧sin(x − y) = 0 ; ⎨ ⎩cos(x − y) − cos(x + y) = −1 ⎧cos(x − y) = 1 1) ⎨ ; решений нет; ⎩cos(x + y) = 2
⎧ x − y = π + 2πn ⎧cos(x − y) = −1 ⎪ ; 2) ⎨ ; ⎨ π ⎩cos(x + y) = 0 ⎪ x + y = + πk 2 ⎩ 3π π ⎧ ⎪⎪ x = 4 ± 2 (2n + k) ; ⎨ ⎪ y = − π + π (k − 2n) ⎪⎩ 4 2
π π ⎛ 3π π ⎞ Ответ: ⎜ ± (2n + k); − + (k − 2n) ⎟ . 4 2 ⎝ 4 2 ⎠ 1 ⎧ ⎪cos y cos x = − б) ⎨ 4; ⎪⎩ tgy = ctgx ⎧cos(x + y) = 0 ⎪ ⎨ 1; ⎪⎩cos(x + y) + cos(x − y) = − 2
⎧cos(x + y) = 0 ⎪ ⎨ 1; ⎪⎩cos(x − y) = − 2
π π π π ⎧ ⎧ ⎪⎪ x = 4 ± 3 + 2 (2k + n) ⎪⎪ x + y = 2 + πn ; ⎨ ; ⎨ ⎪ x − y = ± 2π + 2πk ⎪ y = π ± π + π (n − 2k) ⎪⎩ ⎪⎩ 3 4 3 2 π π ⎛ 7π π ⎞ 7π π 7π π ⎞ Ответ: ⎜ + (n+2k); − + (n − 2k) ⎟ , ⎛⎜ − + (n+2k); + (n − 2k) ⎟ . 12 2 12 2 ⎝ 12 2 ⎠ ⎝ 12 2 ⎠
⎧ b1 =4 ⎪ 1851. ⎨1 − q ; ⎪b3 + b3 ⋅ q3 + b3 ⋅ q 6 + ... = 192 1 1 ⎩ 1
⎧ b1 ⎪1 − q = 4 ⎪ ; ⎨ 3 ⎪ b1 = 192 ⎪1 − q 3 ⎩
⎧⎪b1 = 4(1 − q) ; ⎨ 3 2 ⎪⎩b1 = 192(1 − q)(1 + q + q ) 64(1 – q)3 = 192(1 – q)(1 + q + q2); q = 1 — не подходит, т.к. |q| < 1; (1 – q)2 = 3(1 + q + q2);
237
q2 – 2q + 1 = 3q2 + 3q + 3; 2q2 + 5q + 2 = 0; q = –2 — не подходит, т.к. |q| < 1; q = –(1/2); b1 = 6. 1852. Пусть а, b и c — цифры сотен, десятков и единиц соответственно;
⎧a + b + c = 8 ⎪ 2 2 2 ; ⎨a + b + c = 26 ⎪100a + 10b + c + 198 = 100c + 10b + a ⎩
⎧a + b + c = 8 ⎪ ⎨99a − 99c = −198 ; ⎪ 2 2 2 ⎩a + b + c = 26 ⎧a = c − 2 ⎪ ; 6c 2 − 44c + 78 = 0 ; ⎨b = 10 − 2c ⎪ 2 2 2 ⎩c − 4c + 4 + 100 + 4c − 40c + c = 26 3c2 − 22c + 39 = 0 ; c =
13 − не подходит, т.к. 3
c ∈ {1;2;3;4;5;6;7;8;9;0} ;
⎧c = 3 ⎪ ⎨a = 1 ; ⎪b = 4 ⎩ Ответ: 143. 1853. В обозначениях предыдущей задачи имеем:
⎧a = xb ⎪ ⎪b = xc ; ⎨ ⎪a + y = b + 1 ⎪⎩a + 2 y = c
⎧ y = b + 1 − xb ⎪ ⎪a = xb ; x 2c − 2 xc + c − 2 = 0 ; ⎨b = xc ⎪ ⎪x 2c + 2 xc − 2 x 2c + 2 = c ⎩ решим это уравнение относительно x: 2 x =1± ; учитывая, что a, b,c ∈ {1;2;3;4;5;6;7;8;9;0} , получим: c 1) с = 1 , x = 1 ± 2 , b = 1 ± 2 − не 2) с = 2 , x = 0 − не подходит; 238
подходит;
x = 2 ,b = 4 ,a = 8 , y = −3 ; искомое число — 842; 3) c = 3 , x = 1 ±
⎛ 2 2⎞ , b = 3 ⎜⎜ 1 ± ⎟ − не подходит; 3 3 ⎟⎠ ⎝
4) c = 4 , x = 1 ±
⎛ 1 1⎞ , b = 4 ⎜⎜1 ± ⎟ − не подходит; 2 2 ⎟⎠ ⎝
5) c = 5 , x = 1 ±
⎛ 2 2⎞ , b = 5 ⎜⎜1 ± ⎟ − не подходит; 5 5 ⎟⎠ ⎝
6) c = 6 , x = 1 ±
⎛ 1 1⎞ , b = 6 ⎜⎜1 ± ⎟ − не подходит; 3 3 ⎟⎠ ⎝
7) c = 7 , x = 1 ±
⎛ 2 2⎞ , b = 7 ⎜⎜1 ± ⎟ − не подходит; 7 7 ⎟⎠ ⎝
8) c = 8 , x =
x=
3 , b = 12 , − не подходят; 2
1 ,b = 4 ,a = 2 , y = −3 ; 2
искомое число — 248; ⎛ 2 2⎞ , b = 9 ⎜⎜1 ± ⎟ − не подходит; 3 3 ⎟⎠ ⎝ 10) c=0, b=0, a=0 – не подходят; Ответ: 248, 842.
9) c = 9 , x = 1 ±
1854. Пусть а, b и с — скорости работы первой, второй и третьей бригад соответственно. Тогда имеем:
⎧a b ⎪ + + 4c = a + b + c ; ⎨2 2 ⎪a + b = 2( b + c ) ⎩ ⎧a − b − 2c = 0 ⎧a − b − 2c = 0 ; ⎨ ; ⎨ ⎩a + b − 6c = 0 ⎩2b − 4c = 0 =0 ⎧a − 2b ; ⎨ b − 2 c = 0 ⎩
⎧⎪a = 2b a ⎨ b ; c = 4; ⎪⎩c = 2
Ответ: в 4 раза.
239
§ 59. Уравнения и неравенства с параметрами 1855. mx − x + 1 = m 2 ; x(m − 1) = m 2 − 1 ; m = 1 ⇒ x − любое число; m ≠ 1 ⇒ x = m + 1;
а) нет таких m ; б) m = 1 . 1856. b 2 x − x + 2 = b 2 + b ; x( b 2 − 1 ) = b 2 + b − 2 ;
x(b 2 − 1) = (b − 1)(b + 2) ; b = 1 , x − любое число; b = −1 ⇒ нет решений; b ≠ ±1 ⇒ x =
b+2 ; b +1
а) b ≠ ±1; б) b = −1 ; в) b = 1 . 1857.
а) a 2 x − 4 x + 2 = a ;
x( a 2 − 4 ) = a − 2 ; a = 2 ⇒ x − любое число; a = −2 ⇒ нет a ≠ ±2 ⇒ x =
б)
1 . a+2
x 1 + x − 1 = a ; x( 1 + ) = a + 1 ; a a
a = 0 − уравнение не имеет смысла; a = −1 ⇒ x − любое число; a ≠ 0 , a ≠ −1 ⇒ x = a.
1858.
а) mx − x + 1 ≥ m 2 ; x( m − 1 ) ≥ m 2 − 1 ; m = 1 ⇒ x − любое число; m > 1 ⇒ x ≥ m + 1; m < 1 ⇒ x ≤ m + 1.
б) b 2 x − x + 1 > b ; x( b 2 − 1 ) > b − 1 ; b = 1 ⇒ нет
решений;
b = −1 ⇒ x − любое число; b ∈ (−∞;1) ∪ (1; +∞), x >
b ∈ (−1;1), x < 1859.
240
1 . b +1
1 ; b +1
решений;
а) a 2 x − 4 x ≥ a − 2 ;
x( a 2 − 4 ) ≥ a − 2 ; a = ±2 , x − любое число; 1 1 ; a ∈ (−2;2) ⇒ x ≤ ; a+2 a+2 (в ответе задачника опечатка). a ∈ (−∞; −2) ∪ (2; +∞) ⇒ x ≥
б)
x ⎛ a +1⎞ + x ≤ a + 1; x ⎜ ⎟ ≤ a +1 ; a ⎝ a ⎠
a = 0 − неравенство не имеет смысла; a = −1, x − любое число; a ∈ (−∞; −1) ∪ (0; +∞ ) ⇒ x ≤ a;
a ∈ ( −1;0 ) , x ≥ a . 1860. 5 4
ax 2 + 4 x − a + 5 = 0 ; a = 0 ⇒ x = − ; a≠0 ⇒
D = 4 − (5 − a)a = a 2 − 5a + 4; 4
при a = 1 ,a = 4 , x = −
2 ; a
при a ∈ (1;4) нет решений;
−2 ± a 2 − 5a + 4 − два решения; a а) a < 1 , a > 4 , a ≠ 0 ; при a < 1 , a > 4x =
б) a = 1 , a = 4 , a = 0 ; в) a ∈ (1;4) . 1861.
а) y = 6x + a ; y = x 2 ; y′ = 2 x ;
y = 2x 0 ⋅ x + x 02 − x 0 ⋅ 2 x 0 — уравнение касательной к графику у = х2; x 0 = 3 , y = 6x − 9 ⇒ а = –9; Ответ: a = –9. б) y = 4x ; y = x 2 + a ; прямая у = 4х может иметь с графиком у = х2 + а одну общую точку только если она является касательной к этому графику;
y′ = 2 x ; y = 2 x 0 ⋅ x + x 02 + a − 2 x 02 ; x 0 = 2 ; y = 4x − 4 + a ; а = 4; Ответ: a = 4. 1862.
241
а) y = x 2 − 4 x + 2 ; y = −2 x + b ; абсциссы точек пересечения графиков являтся корнями уравнения;
x 2 − 2x + 2 − b = 0 ; D = 1 − 2 + b = b −1 ; 4 Ответ: b ≥ 1 . б) y = x 2 + 6 x + 7 ; y = 2 x + b ; аналогично п. а: x 2 + 4 x + 7 − b = 0 ;
D = 4−7+b = b−3; 4 Ответ: b ≥ 3 . 1863.
⎧⎪ y = 2 x 2 − 5x + 1 ; ⎪⎩ y = 3x + a
а) ⎨
2 x 2 − 8x + 1 − a = 0 ; D = 16 − 2 + 2a = 14 + 2a ≥ 0; 4 Ответ: a ≥ −7 . ⎧⎪ y = 3x 2 − 4x − 2 ; 3x 2 + 6x − 2 − a = 0 ; ⎩⎪ y = −10 x + a
б) ⎨
D = 9 + 6 + 3a = 3a + 15 ≥ 0; 4 Ответ : a ≥ −5 . 1864.
3 4
ax 2 + 4 x − 3 + a > 0 ; a = 0 ⇒ x > ; а ≠0; D = −(a 2 − 3a − 4) ; 4 а) неравенство выполняется при любых х, если: ⎧a < 0 ⎪⎧a > 0 ; ⎨ 2 ; a > 4; ⎨ ⎩D < 0 ⎩⎪a − 3a − 4 > 0
б) неравенство не имеет решений, если:
242
⎧a < 0 ⎧⎪a > 0 ; ⎨ 2 ; a < −1; ⎨ ⎩D < 0 ⎪⎩a − 3a − 4 > 0 1865.
а) y = 2x 2 − 3ax + 2 ; ось симметрии данной параболы — прямая х =
3а ; 4
3a < −3; a < −4 . 4
б) y = 5x 2 − 7ax + 2 ; аналогично задаче пункта а:
7a 40 >4; a> (в ответе задачника опечатка). 7 10 1866. ⎧x − 2 ≥ 0 ⎧x ≥ 2 ; ⎨ ; ⎩x − a ≥ 0 ⎩x ≥ a Ответ : x>2, если a<2; x≥a, если a≥2.
а)
x − 2( x − a ) ≥ 0 ; ⎨
⎧x − a > 0 ⎧x > a б) (6 − x) ⋅ x − a > 0; ⎨ ; ⎨ ; ⎩6 − x > 0 ⎩ x < 6 Ответ: а < x < 6, если а <6; нет решений, если а ≥ 6.
1867.
а) x 2 − 2bx + b 2 − 4b + 3 = 0; уравнение имеет 2 корня, если D > 0; 3 D / 4 = b 2 − b 2 + 4b − 3 > 0; b > ; 4 Ответ: b = 1 (в ответе задачника опечатка). б) x 2 + 2 ( b − 2 ) x + b 2 − 10b + 12 = 0; D / 4 = b 2 − 4b + 4 − b 2 + 10b − 12 > 0;
4 ; 3 Ответ: b = 2 (в ответе задачника опечатка). b>
1868. а) x 2 − 8ax + 27 = 0 ;
D / 4 = 16a 2 − 27 > 0 ; a ∈ (−∞; −
3 3 3 3 )∪( ; +∞) — при таких а уравнение имеет 2 корня; 4 4 243
x = 4a ± 16a 2 − 27 ; 1)
4a + 16a 2 − 27
=3;
4a − 16a 2 − 27
⎧⎪a ≥ 0 ; а = 1,5 ; 2 ⎪⎩12a = 27
16a 2 − 27 = 2a ; ⎨ 2)
4a − 16a 2 − 27 4a + 16a 2 − 27
=3;
⎧⎪а ≤ 0 16а 2 − 27 = −2а; ⎨ 2 ; а = –1,5; ⎪⎩12а = 27 Ответ : a = ±1,5. б) x 2 − 10ax + 24 = 0 ;
D / 4 = 25a 2 − 24 > 0 ; a ∈ (−∞; −
24 24 )∪( ; +∞ ); 5 5
х = 5а ± 25а 2 − 24 ; 1)
5а + 25а 2 − 24 2
5а − 25а − 24
=
2 ; 3
5а + 5 25а 2 − 24 = 0 ;
2
25а − 24 = −а ;
⎧⎪а ≤ 0 ; а = −1 ; ⎨ 2 ⎪⎩24а = 24 2)
5а − 25а 2 − 24 2
5а 25а − 24
=
2 ; 3
25а 2 − 24 = а ;
⎧⎪а ≥ 0 ; а =1; ⎨ 2 ⎪⎩24а = 24 Ответ: а = ±1. 1869. а) у = ( 3а + 1 )х 2 + 2х − 5 ; вершина параболы (хв; ув) лежит внутри IV координатной четверти, если хв > 0, yв < 0;
хв = − 244
1 > 0; 3а + 1
1 1 2 3а + 1 < 0 ; а < − ; ув = − − 5 < 0; 3а + 1 3а + 1 3 −1 − 15а − 5 < 0; 3а + 1 15а + 6 > 0 ; поскольку 3а + 1 < 0, то 15а + 6 <0; а < –(2/3); 3а + 1 2 ⎧ ⎪⎪a < − 3 2 ⇔a<− ; ⎨ 1 3 ⎪a < − ⎪⎩ 3 2 Ответ: a < − . 3 б) у = 3х 2 + ( 4а − 1 )х + 3 ; xв> 0, yв > 0;
4а − 1 > 0; а < 4; 6 16а 2 − 8а + 1 16а 2 − 8а + 1 ув = − + 3 > 0; 12 6 − 16а 2 + 8а − 1 + 36 > 0 ; 16а 2 − 8а − 35 < 0 ; 1 ⎧ 5 5 1 ⎪− < a < 5 1 −
5 1 Ответ: − < a < . 4 4 1870.
а) (log3 а)х 2 − (2log3 а − 1)х + log3 а − 2 = 0; ОДЗ : а > 0 ; 1) а = 1 ; тогда уравнение примет вид: x – 2 = 0; х = 2 — единственный корень; 2) а ≠ 1 ; тогда для существования единственного корня необходимо: D = 4log 32 а − 4log3 а + 1 − 4log32 + 8log3 а = 0; 1 1 ; а=4 ; −4 3 1 Ответ: а = 4 . 3 log3 a =
б) (log 4 а)х 2 + (2log 4 а + 1)х + log 4 а + 2 = 0 ; 1) а = 1; уравнение имеет вид: х + 2 = 0; х = –2; 245
2) а ≠ 1 ; уравнение не имеет корней, если D = 4log 24 а + 4log 4 а + 1 − 4log 24 а − 8log 4 а < 0; 1 log 4 а > ; а > 4
2;
Ответ: a > 2 . 1871.
а) 52х − 3 ⋅ 5х + а − 1 = 0; это уравнение квадратное относительно 5х, уравнение имеет единственное решение, если уравнение t2 – 3t + a – 1 = 0 имеет единственный положительный корень; D = 9 − 4а + 4 = 13 − 4а; 13 1) D = 0; а = ; 4 3 5х = > 0; 2 2) D > 0; 5Х =
3 ± 13 − 4а 2
(второй корень всегда положителен); 13 − 4а ≥ 9 ; а ≤ 1; 13 Ответ: а ≤ 1, а = . 4 б) (0,01) х − 2(а + 1)0,1х + 4 = 0; т.к. уравнение квадратное относительно 0,1х, то оно не может иметь больше двух корней; пусть х1, х2 — корни этого уравнения, тогда по теореме Виета:
⎧⎪0 ,1х1 + 0 ,1х 2 = 2а + 2 ; ⎨ х ⎪⎩0 ,1 1 ⋅ 0 ,1х 2 = 4
⎧⎪0 ,1x1 < 0 ; 2a + 2 < 0 ; a < −1 ; ⎨ x ⎪⎩0 ,1 2 < 0
Ответ: a < –1. 1872. а) 9x + (a + 4) ⋅ 3x + 4a = 0;
D = a 2 + 8a + 16 − 16a = (a − 4)2 ≥ 0 ; −(a + 4) ± (a − 4) ⎡ −a =⎢ ; 2 ⎣ −4 < 0 для существования корня нужно: –а > 0; Ответ: a ≤ 0.
при всех а; 3x =
246
б) 25x + ( a − 2 ) ⋅ 5x − 2a = 0 ; D = a2 – 4a + 4 + 8a = (a + 2)2 ≥ при всех а; (2 − а) ± (a + 2) ⎡ 2 5x = =⎢ ; 2 ⎣ −а отсюда видно, что при всех а уравнение имеет корень: x = log52; Ответ: а – любое число (в ответе задачника опечатка). 1873. а)
a cos 2x − 3sin 2x = cos x,
x = 0;
a = 1; a = 1; cos 2x − 3sin 2x = cos x; ОДЗ: cos x ≥ 0;
cos 2x − 3sin 2x = cos 2 x; cos2x – sin2x – 6 sin x cos x = cos2x; sin x ⋅ (sin x + 6cos x) = 0; x = πn, x = −arctg 6 + πn, cos x ≥ 0; Ответ: x = 2πn , x = −arctg6 + 2πn .
б)
π 2sin 2x − a cos 2x = − sin x, x = − ; 2
a = 1, a = 1; 2sin 2x − cos 2x = − sin x; ОДЗ: sin x ≤ 0; 2sin 2x − cos 2x = sin 2 x; 4sin 2x − cos 2x = 1; cos x ⋅ (4sin x − cos x) = 0; π 1 x = + πn, x = arctg + πn; 4 2 sin x ≤ 0; Ответ: x = −
π 1 + 2πn , x = arctg + π + 2πn . 2 4
1874. а) х(x + 3)2 + a = 0; x(x + 3)2 = –a; y = x3 + 6x + 9x; y’ = 3x2 + 12x + 9 = 0; x = –3, x = –1 — экстремумы функции у; y(–3) = 0; y(–1) = (–1)⋅(2)2 = –4; –4 < –a = 0; 0 < a < 4. 247
1875. а) x 4 − 8x 2 + 4 = a ;
y = x 4 − 8x 2 + 4 ; y′ = 4x 3 − 16x = 0;
x = 0 , x = 2 ; x = −2 ; y(0) = 4; y(2) = 16 − 32 + 4 = −12; y(−2) = −12; Ответ: a < –12.
б) 3x 4 + 4 x 3 − 12x 2 = a ;
y = 3x 4 + 4x 3 − 12 x 2 ; y′ = x( 12 x 2 + 12 x − 24 ) = 0 ; x = 0 x = −2; x = 1 ; y(0) = 0; y(1) = −5; y( −2 ) = 48 − 32 − 48 = −32 Ответ: –5 ≤ а ≤ 0. 1876. а)
x = x − a; ОДЗ : x ≥ 0;
a =x− x ; y=x− x ;
y′ = 1 −
1 2 x
= 0;
1 x= ; 4
1 ⎛1⎞ 1 1 y⎜ ⎟ = − = − ; 4 ⎝ 4⎠ 4 2 1 1 Ответ: при a< − решений нет, при a = − , a > 0 - 1 решение, при 4 4 ⎛ 1 ⎤ a ∈ ⎜ − ; 0⎥ - 2 решения. ⎝ 4 ⎦ 4 − x 2 = x + a;
б)
ОДЗ : x ∈ [ −2; 2];
4 − x2 − x = a ; y = 4 − x 2 − x;
248
y′ = −
2x 2 4 − x2
−1 = 0 ;
x = − 4 − x2 ;
⎧⎪ x ≤ 0 ; ⎨ 2 2 ⎪⎩ x = 4 − x
x=− 2; y(− 2) = 2 2 — максимум; y( −2 ) = 2 ; y(2) = −2; Ответ: a ∈ (−∞; −2)
)
— нет решений, a ∈ (2 2; +∞)
{ }
— нет решений,
a ∈ ⎡⎣ 2;2 2 — 2 решения, a ∈ [ −2;2 ) ∪ 2 2 -1 решение. 1877. 3x + 6 = px + 2 ;
1) x ≤ −2 ; x(3 + p) = −8;
p = −3 ⇒ решений нет; p ≠ −3 ⇒ 8 2p − 2 ≤ −2 ; ≤ 0; p ∈ (− 3;1] ; p+3 p+3 2) x > −2 ; x( 3 − p ) = −4 ; р = 3 ⇒ решений нет; p ≠ 3 ⇒ x=−
x=
4 2p − 2 > −2 ; > 0; p ∈ (−∞;1) ∪ (3; +∞); p−3 p −1
а) p ∈ (− ∞;3] ∪ (3;+∞ ) ∪ {1} ; б) p ∈ (−3; 1) . ⎪⎧ y = x − 2 ; 1878. а) ⎨ ⎪⎩ y = ax + 1
x − 2 = ax + 1 ; 1) x ≥ 2 ; x(1 − a) = 3; а = 1⇒ решений нет; x ≠ 1 ⇒
3 ≥2 ; 1− a 3 2+ ≤ 0; a −1 2a + 1 ≤0 ; a −1 x
249
⎡ 1 ⎞ a ∈ ⎢− ;1⎟ ; ⎣ 2 ⎠ 2) x < 2 ; 1 = x ⋅ (a + 1); a = −1 ⇒ решений нет; а ≠ –1 ⇒
x=
1 <2; a +1
2a − 1 ⎛1 ⎞ > 0, a ∈ ( −∞; −1) ∪ ⎜ ; +∞ ⎟ ; a +1 ⎝2 ⎠
⎛ 1 ⎞ ;1⎟ . ⎝ 2 ⎠
Ответ: a ∈ ⎜ −
б) x + 4 = ax + 2 ; 1) x ≥ −4 ; x ⋅ (1 − a) = −2; a = −1 ⇒ решений нет; a ≠ 1 ⇒
2 4a − 2 ≥ −4 ; ≥0 ; a −1 a −1 1⎤ ⎛ a ∈ ⎜ − ∞ ; ⎥ ∪ (1;+∞ ) ; 2⎦ ⎝ 2) x < −4 ; x ⋅ (a + 1) = −6; a = −1 ⇒ решений нет; a ≠ −1 ⇒ x=
6 4a − 2 < −4 ; <0 ; a +1 a +1 1⎞ ⎛ a ∈ ⎜ − 1; ⎟ ; 2⎠ ⎝ x=−
1⎞ ⎛ Ответ: a ∈ ⎜ − 1; ⎟ . 2⎠ ⎝ 1879. x 2 − 4 x − 5 = a ;
y = x 2 − 4x − 5 ; x в = 2 — абсцисса вершины параболы у = х2 – 4х – 5; y(2) = 4 − 8 − 5 = 9; а) a = 0, a > 9; б) a ∈ ( 0;9 ) . 1880. а) (x − a) 2 − 12 x − a + 35 = 0;
1) x − a = 7 ; x = 7 + a , x = −7 + a ; 250
2) x − a = 5 ; x = 5 + a , x = −5 + a ; очевидно, уравнение должно иметь 2 положительный и 2 отрицательных корня, причем их знаки будут следующими:
⎧7 + a > 0 ⎧a > −7 ⎪ ⎪ ⎪5 + a > 0 ⎪a > −5 ; ; ⎨ ⎨ − 5 + a < 0 ⎪ ⎪a < 5 ⎪⎩− 7 + a < 0 ⎪⎩a < 7 Ответ: a ∈ (−5;5). б) (x + a) 2 − 6 x + a + 8 = 0; 1) x + a = 4 ; x = 4 − a ; x = −4 − a ; 2) x + a = 2 ; x = 2 − a , x = −2 − a ; т.к. –4 – a < –2 – a < 4 – a, то для того, чтобы число положительных корней было больше числа отрицательных, пужно, чтобы −2 − a ≥ 0 ; Ответ: a ≤ −2 .
251
