Обработка экспериментальных данных и построение эмпирических формул. Курс лекций: Учебное пособие

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет»

В.Б. ШАШКОВ

ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ И ПОСТРОЕНИЕ ЭМПИРИЧЕСКИХ ФОРМУЛ КУРС ЛЕКЦИЙ

Рекомендовано Ученым советом государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования « Оренбургский государственный университет » в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся по программам высшего профессионального образования по инженерно-техническим специальностям и для аспирантов

Оренбург 2005

ББК 22.18.7 Ш 12 УДК519.6 (076.5)

Рецензент доктор технических наук, заведующий кафедрой вычислительной техники Тарасов В.Н.

Ш 12

Шашков В.Б. Обработка экспериментальных данных и построение эмпириче ских формул. Курс лекций. : Учебное пособие.- Оренбург: ГОУ ОГУ, 2005. – 150 с. ISBN........... Настоящее учебное пособие посвящено описанию наиболее распространенных методов обработки результатов наблюдений, в частности - регрессионного анализа и линеаризации функций. В изложении сделан упор на практическую сторону применения этих методов для аппроксимации табличнозаданных экспериментальных функций. Пособие содержит также примеры научного планирования экспериментов. На основе разработанного автором метода синтезирования задач многофакторной многостепенной регрессии для учебных целей подготовлены и включены в пособие тридцать учебных задач такого вида. Учебное пособие предназначено для прохождения курса «Обработка экспериментальных данных на ЭВМ » студентами вузов инженерно-технических специальностей, для преподавателей, ведущих учебные дисциплины, связанные с обработкой результатов наблюдений и для аспирантов. Оно может быть использовано инженерами и научными сотрудниками в области технических наук. ББК 22.18.7

Ш-------------------------------------

ISBN.... 2

 Шашков В.Б., 2005  ГОУ ОГУ, 2005

Введение Настоящее учебное пособие подготовлено на основе лекционного курса, который автор читал в течение ряда лет студентам и сотрудникам Оренбургского государственного университета. При его подготовке автор ставил перед собой в основном две задачи. Первая – создать для студентов, аспирантов и научных сотрудников практическое пособие для построения эмпирических формул, которые являются математическими моделями объекта исследования в виде полиномов регрессии. Стремление сделать это пособие доступным широкому кругу лиц заставило отказаться от строгого теоретического изложения материала, которое заменено наглядными примерами – как, например, это сделано при выводе основного уравнения регрессионного анализа в разделе 10.1. Вторая задача возникла в связи с тем обстоятельством, что в учебной литературе до сих пор отсутствуют учебные задачи по многофакторной и многостепенной регрессии. В учебных пособиях в лучшем случае содержатся однофакторные задачи для уравнений второй степени. В настоящем пособии приведены задачи построения многостепенных полиномов с любым количеством аргументов-факторов. Разработано содержание и методика практикума по их решению. Пособие предназначено в первую очередь для студентов и преподавателей втузов, а также для всех лиц, перед которыми стоит задача создания математической модели объекта исследования в виде алгебраических степенных полиномов или нелинейных функций парной связи.

3

1 Лекция 1. Эксперимент и обработка экспериментальных данных на примере конкретного объекта исследования 1.1 Объект исследования – тепловой котел. Создание логической модели объекта. Планирование эксперимента на основе этой модели. Чтобы сразу пояснить сущность предмета настоящей учебной дисциплины, рассмотрим конкретный пример постановки и решения исследовательской задачи, не претендуя на объективную строгость ее изложения. Примем за объект исследования тепловой котел как наглядный пример условий и цели эксперимента. Котел производит тепло – например, Q ккал/ч, затрачивая топливо, например, V м3/ч – если топливо газ, или М тн/ч, если топливо мазут. Очевидна Q Q и наглядна задача оптимизации работы котла – отношение q = или q = V М должно быть максимальным, насколько это возможно. Но чтобы этого достичь, нужно иметь математическую модель котла, некую функцию типа q = f ( X 1, X 2, X 3, X 4,......) , где аргументы – это какие-то факторы, определяющие работу котла и выход тепла за какой-то период времени. Имея такое уравнение, величину q можно максимизировать обычными методами математического анализа, а также прогнозировать поведение объекта с изменением условий работы, т.е. с изменением факторов X 1, X 2, X 3, X 4 и т.д. С учетом этих положений начинаем построение и планирование эксперимента. Прежде всего так или иначе определяется круг факторов X 1, X 2, X 3, X 4 и других (например, на заседании совета технических экспертов - профессионалов). Ограничимся для нашего примера всего четырьмя факторами X . Очевидно, что на теплоотдачу котла в первую очередь будут влиять параметры физического состояния теплоносителя – пара. Пусть первым фактором X 1 будет давление пара, а вторым - X 2 - его температура. Третьим фактором эксперты назначим площадь теплообмена между продуктами сгорания топлива и паром, четвертым – вид топлива и т.д. и т.п. Каждый фактор имеет практически допустимый диапазон значений, из которого выходить недопустимо. Эксперимент и будет заключаться в том, что численные значения факторов X 1, X 2, X 3, X 4 будут меняться, а вызванное этим изменение теплоотдачи котла будет фиксироваться. Существует строго научная теория планирования экспериментов, направленная на получение максимальной информации при минимальных затратах средств и времени. Изложение ее является предметом специальных учебных курсов. Пример такого планирования будет приведен в лекции 14. Не касаясь здесь существа этого специального предмета, ограничимся здесь нестрогим примером, чтобы проиллюстрировать существо вопроса. 4

При планировании эксперимента диапазон значений факторов от хmin до xmaх так или иначе должен быть разбит на ряд промежуточных значений. Таким образом, воздействие каждого фактора на объект меняется, соответственно изменяются и показатели теплоотдачи котла. Возьмем для нашего примера для каждого фактора девять таких уровней (с равным шагом), обозначив их номерами от 1 (для хmin) до 9 (для xmaх). Для экспериментального воздействия на объект исследования – тепловой котел - при одном наблюдении (опыте) эти уровни значений разных факторов сочетаются случайным образом. Для нашего примера запланируем пятьдесят наблюдений, при этом сочетания случайных значений факторов x для каждого наблюдения зададим, например, следующим образом: randomize; For i:=1 to 50 do begin x1[i]:=random(9)+1; x2[i]:=random(9)+1; x3[i]:=random(9)+1; x4[i]:=random(9)+1; end; что и задаст по каждому шагу цикла пятьдесят вариантов сочетаний значений факторов х1,х2,…,хк для пятидесяти наблюдений. Проведя компьютерное решение этой задачи, и записав полученные значения в таблицу по колонкам х1,х2,…,хк, получили промежуточную таблицу планирования эксперимента, где в каждой клетке таблицы стоит одно из девяти значений уровней каждого фактора. Таблица 1 – Планирование эксперимента

g

x1

x2

x3

x4

1

8

2

3

7

2

1

9

3

4

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

50

7

3

6

5

y

Подставив в таблицу фактические значения каждого из этих уровней и включив в нее колонку для неизвестных пока откликов объекта исследования 5

ния у, получим таблицу плана эксперимента, приведенную ниже ( где фактические численные значения заменены алгебраическими выражениями. Таблица 2 – План эксперимента

g

x1

x2

x3

x4

1

x11

x21

x31

x41

2

x12

x22

x32

x42

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

50

x150

x250

x350

x450

y

Каждая g-тая строка таблицы и называется одним опытом или наблюдением. Теперь назначается период времени для экспериментальной работы котла по режиму каждой строки таблицы 2 (например, одна неделя). В течение этого периода фиксируется теплоотдача котла и усредненные за этот период ее показатели заносятся в таблицу в виде экспериментального значения величины у1, у2, у3 и т.д.. Когда столбец откликов уg будет заполнен полностью, все числовое содержание таблицы и составит так называемые эксперименталные данные, а сама таблица теперь будет называться таблицей экспериментальных данных. Она представляет собой таблично заданную функцию – зависимость теплоотдачи котла у от факторов X 1, X 2, X 3, X 4 . Любая зависимость между переменными у и х может быть представлена разными способами: в виде графика, таблицы или в аналитическом виде – в виде математической модели –уравнения, системы уравнений или алгоритма (компьютерной программы). При проведении эксперимента его результатом является представление объективно существующей зависимости q = f ( X 1, X 2, X 3, X 4,......) в виде таблицы экспериментальных данных. Пример выходных результатов эксперимента представлен таблицей 3. Каждая строка таблицы экспериментальных данных с индексом "g" и является единичным наблюдением или опытом. Цель обработки экспериментальных данных заключается в том, чтобы эту табличную, аналитически неизвестную зависимость между переменными 6

Таблица 3- Таблица экспериментальных данных G 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33

X1 2 79.49 86.57 86.35 87.42 93.39 90.56 91.95 96.93 97.80 97.79 97.60 98.09 97.76 95.39 95.62 95.20 95.08 92.58 91.02 89.75 90.00 88.68 86.61 86.00 84.26 81.12 79.18 78.08 77.23 74.83 72.40 71.41 70.02

X2 3 81.59 73.26 74.05 73.80 53.84 47.03 46.98 34.58 29.56 23.62 18.09 14.82 12.67 12.52 11.88 11.12 9.95 7.87 6.84 5.54 4.87 4.03 3.97 3.15 2.96 2.78 2.74 2.61 2.00 1.78 1.14 1.88 2.54

X3 4 10.30 15.16 11.66 11.98 14.24 15.45 17.03 32.09 32.89 33.66 38.20 40.12 42.92 46.58 66.43 69.19 70.84 75.25 74.63 78.04 81.73 71.31 86.54 91.54 96.33 92.26 92.21 91.03 91.43 105.47 108.82 105.55 102.61

X4 5 17.28 17.63 18.12 19.21 20.35 22.73 24.57 34.99 36.55 35.70 33.91 32.51 31.84 30.20 29.90 29.17 29.01 28.60 28.45 27.40 26.29 27.93 27.00 26.11 25.56 25.74 23.18 22.33 20.41 20.11 19.45 18.67 16.98

X5 6 128.77 127.92 129.38 128.32 120.77 115.62 114.82 91.22 86.88 80.14 72.56 69.79 66.93 53.30 44.72 33.80 31.38 24.18 13.42 10.39 9.48 7.58 6.93 5.21 4.72 5.34 5.38 5.93 6.96 9.53 15.18 15.86 15.93

Yg 7 76.84 105.26 91.93 104.85 88.75 85.58 87.30 104.02 90.49 80.47 80.52 74.77 74.66 83.68 73.69 67.71 63.11 62.94 61.99 59.03 51.75 66.13 62.85 60.44 66.34 76.09 74.95 77.06 78.44 85.09 92.35 88.89 89.71

7

Продолжение таблицы 3 1 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

2 67.07 64.42 62.31 62.19 59.41 55.30 54.90 54.29 51.06 48.18 49.89 48.26 49.46 50.19 51.77 52.88 53.44

3 3.38 4.91 7.25 8.57 12.45 19.13 25.06 32.26 37.43 43.45 44.42 44.65 49.28 43.70 39.10 37.76 35.00

4 118.02 121.80 122.87 123.18 118.37 135.20 136.76 137.59 146.84 144.47 145.10 141.06 140.87 141.92 142.88 143.00 145.01

5 12.03 10.42 9.42 8.17 7.53 6.99 3.87 3.46 4.54 6.00 6.02 6.00 7.86 7.69 9.03 9.11 9.99

6 16.06 19.54 20.60 23.83 24.81 29.13 32.18 37.97 43.52 50.54 50.75 51.76 52.25 46.38 39.51 37.12 35.22

7 109.20 115.02 116.32 110.69 111.45 106.09 95.78 76.53 82.01 75.64 69.94 65.95 63.13 72.14 90.26 93.87 94.99

х и откликами у, представить в виде математической модели, т.е. уравнения, которое "достаточно точно" согласовывала бы расчётные и табличные значения отклика объекта у. 1.2 Эксперимент, наблюдение (опыт), экспериментальные данные – основные термины и положения Объект исследования – это объект любого характера (технического, социального, экономического, астрономического и т.д. и т.п.), который изучается экспериментальным путем. Эксперимент – это специальным образом спланированная и организованная процедура изучения некоторого объекта исследования, при которой на этот объект оказывают запланированные воздействия и регистрируют его реакции на эти воздействия. Факторы – это воздействия на объект. Мы будем обозначать факторы величинами х1,х2,…,хk. Откликами объекта исследования называют его реакции на воздействия; будем обозначать их символом уg. Эксперимент состоит из ряда опытов (или наблюдений), при которых каждый из факторов х1,х2,…,хк имеет разное значение. Номер опыта т.е. но8

мер строки таблицы 2) отражают индексом при факторах и откликах, т.е. для пятого, например, наблюдения будем иметь х15,х25,…,хк5 и у5, а в общем виде будем использовать индекс g, т.е. обозначения х1g,х2g,…,хкg и уg. Экспериментальные данные – все исходные и выходные числовые данные эксперимента, сведенные в таблицу экспериментальных данных. Обработка экспериментальных данных – различные методы построения математической модели объекта по таблице экспериментальных данных. Регрессионный анализ – наиболее распространенный метод обработки данных, который включает в себя метод наименьших квадратов. При регрессионном анализе таблица экспериментальных данных обычно отражается алгебраическими степенными полиномами, которые называют полиномами или уравнениями регрессии. Отсюда термины – задача регрессии, коэффициенты регрессии и т.п. Сам термин регрессия отражает тот факт, что с увеличением степени полинома точность отражения таблицы кспериментальных данных обычно возрастает, а ошибка отражения соответственно уменьшается, регрессирует. Управляемые факторы - это такие воздействия на объект исследования, численные значения которых определяются и контролируются самим экспериментатором. Активный эксперимент – это эксперимент, в котором задействованы только управляемые факторы. Пример – изучение зависимости урожайности какой-либо сельскохозяйственной культуры от объемов орошения. Эти объемы для различных экспериментальных полей посева назначаются самим исследователем. Контролируемые факторы - это такие воздействия на объект исследования, численные значения которых экспериментатором не устанавливаются, но значения их исследователь может измерять, контролировать и фиксировать. Пассивный эксперимент – это эксперимент, в котором задействованы только контролируемые факторы. Пример – изучение зависимости урожайности сельскохозяйственной культуры от объемов атмосферных осадков, которыми экспериментатор управлять не может. Активно-пассивный (или пассивно-активный) эксперимент – это совмещение обоих видов эксперимента, когда зависимость урожайности изучается от совместного объема и орошения и атмосферных осадков. Основным «рабочим инструментом» и эксперимента и обработки экспериментальных данных является численное значение факторов воздействия и откликов объекта исследования, т.е. число. Какова ни была бы природа факторов и откликов, включая в том числе эмоции или впечатления, они должны быть выражены количественно, числом. Числа при экспериментировании получают тремя способами: - подсчетом, - измерением, 9

- методом экспертных оценок. Примером последнего способа является бальная оценка членами жюри выступления спортсменки по художественной гимнастике. Сюда же относится и оценка, выставляемая студенту преподавателем на экзамене.

10

2 Лекция 2. Точность и погрешности вычислений, способы их оценки и уменьшения погрешностей 2.1 Понятие приближенного числа и погрешности Анализ точности результата вычислений является важной составной частью вычислительного процесса. В свое время Гаусс отмечал: “Недостатки математического образования с наибольшей отчетливостью проявляются в чрезмерной точности численных расчетов.” Реальная оценка практически достижимого уровня точности способствует не только экономии сил и средств, но часто связана с вопросами надежности достигнутых результатов и безопасности их прикладного использования. Это тем более существенно для процесса обработки экспериментальных данных, когда к обычным источникам ошибок входных величин и вычислений добавляется случайный характер основной экспериментальной величины - опытного значения изучаемой функции в виде отклика объекта исследования. Анализ точности результата вычислений осуществляется на основе понятия погрешности. Пусть х1 -истинное значение некоторой величины, а xr - то значение, которое мы присваиваем ей в ходе эксперимента или экспертной оценки. Перечисленным процессам всегда присущи некоторые неизбежные ошибки (даже если не брать во внимание факторы случайности - влияние шума при определении отклика объекта исследования). Известно, например, что результат любого измерения в силу самой своей природы содержит ошибку. Поэтому значение xr называют приближенным значением изучаемой величины или просто приближенным числом. Абсолютная погрешность ∆x любого приближенного числа есть абсолютная величина разности между истинным значением величины х1 и ее данным приближенным значением xr, т.е. ∆x = x 1 − xr . Истинное значение величины часто неизвестно и поэтому под оценкой абсолютной погрешности принимают установление неравенства вида

x1− xr ≤ ∆x

p

,

(1)

где ∆x p - предельная абсолютная погрешность. Понятие предельной абсолютной погрешности означает число, которое не меньшее любого возможного значения абсолютной погрешности (причем при наименовании ∆x p термин “предельная” обычно опускают). Существует принятый характер записи приближенных чисел, при котором абсолютная погрешность равна половине единицы последнего разряда, записываемого при обозначении данного числа. Это означает, что контекст записанных чисел 3,14 и 3,1416 требует разной точности указанных величин, а именно 0,005 в первом и 0,00005 - во втором случае. Если же обозна11

чение числа имеет большее количество цифр, чем это требуется по установленной точности, их следует округлить. Правила округления общеизвестны; отметим только, что если требуется отбросить цифру пять, то четная последняя оставшаяся в записи цифра сохраняется, а нечетная - увеличивается на единицу. Такие правила записи чисел действуют при записи экспериментальных данных и в математических таблицах. В этой форме записи все цифры, означающие данное число, являются верными. В окончательных результатах расчета принято записывать числа, сохраняя одну недостоверную цифру за последней верной, причем предельную абсолютную погрешность указывают за этим результатом после знака “±”. Пусть, например, при расчете получено число 271,734 с предельной абсолютной погрешностью 0,043. Тогда последняя верная цифра - 7 после запятой, а последняя записываемая цифра - 3 после 7 и, согласно правилам, результат должен быть записан как 271,73 ± 0,05. Но абсолютная погрешность характеризует точность приближенного числа явно недостаточно. Действительно, что такое абсолютная погрешность в 0,5 метра? Она недопустимо велика для отмеривания куска ткани в магазине и недопустимо мала для измерения расстояния между двумя городами. Таким образом, пригодность абсолютной погрешности выявляется только при сопоставлении с практическим значением данной переменной. При сопоставлении этих величин устанавливается значение так называемой относительной погрешности. Относительная погрешность dx определяется как отношение абсолютной погрешности ∆x (или ∆x p ) к модулю истинного значения x1, т.е.

dx =

∆x . x1

(2)

При оценке относительной погрешности обычно пользуются понятием предельной относительной погрешности dx p , которое удовлетворяет неравенству

dx ≤ dx p .

(3)

Это отношение иногда выражают в процентах умножением на 100 (процентная погрешность). Погрешности в силу разных источников их происхождения классифи цируют как инструментальные, методические и неустранимые или наследственные. Инструментальные погрешности связаны с конечной точностью представления исходной информации. Они вызываются, например, округлением значений входных величин или точностью их измерений. 12

Методические погрешности обусловлены тем, что многие задачи решаются приближенно с использованием специальных численных методов. Это, в частности, относится к тригонометрическим, логарифмическим, показательным и др. функциям. Наследственные погрешности - это погрешности результата вычислений, вызванные распространением или трансформацией погрешностей исходных данных при прохождении их по вычислительному алгоритму через ряд промежуточных результатов. Именно неустранимые погрешности являются объектом нашего изучения. 2.2 Оценка погрешностей вычислительного процесса В связи с изложеным возникают практические задачи, имеющие важное значение. Такими задачами, в частности, являются следующие. Независимая переменная х известна с некоторой точностью. С какой точностью при этом можно найти значение функции y = f ( x ) по конкретной математической зависимости? Аналогично формируется и обратная задача : если необходимо рассчитать значение функции y с определенной точностью, то какова должна быть точность определения входного значения переменной х ? В большинстве технических расчетов удовлетворительным считается такой уровень точности результата, при котором его максимальная относительная погрешность составляет от 0,1 до 5 % . Так, например, при переходе от старых единиц к Международной системе единиц (СИ) перевод килограмма силы в ньютоны можно осуществить введением множителя 10 вместо более точного множителя 9,81. Ошибка при этом составит 10 − 9 ,81 = 2 %, 9 ,81

что в большинстве случаев вполне допустимо. Однако, такой уровень точности бывает и неприемлемым. Так, например, при запуске искусственных спутников Луны с околоземной орбиты вторую космическую скорость (около 11200 м/с) требуется выдержать с ошибкой, не превышающей 0,0002%. В противном случае запускаемый аппарат станет спутником не Луны, а Солнца. Трансформация наследственных погрешностей при осуществлении вычислительного процесса осуществляется по определенным закономерностям. Наиболее важные случаи распространения ошибок приведены в табл. 4. Они, в частности, отвечают следующим правилам: - при сложении ( вычитании) величин, содержащих ошибку, абсолютная погрешность их суммы (разности) равна сумме абсолютных погрешностей слагаемых (или уменьшаемого и вычитаемого); - при умножении (или делении) относительная ошибка произведения (частного) равна сумме относительных ошибок сомножителей (делимого и делителя); 13

- предельная относительная погрешность степени равна предельной погрешности основания, умноженной на абсолютную величину показателя степени. Таблица 4 - Распространение ошибок при вычислительных операциях Операция вычисления Сложение Вычитание Умножение Деление

Возведение в степень*

Вид функции х1+x2 x1-x2 x1×x2 x1/x2 xn

Абсолютная ошибка

Относительная ошибка

∆x1 + ∆ x2 ∆x1 + ∆ x2 ∆x1×x2+∆x2×x1

(∆x1+∆x2)/x1+x2 (∆x1+∆x2)/x1-x2 ∆x1/x1+∆x2/x2 ∆x1/x1+∆x2/x2

(∆x1×x2+∆x2×x1)/ х22 ∆x ×n × x n-1 

n× ∆x/x

*Показатель степени n может принимать произвольные значения. Если n правильная дробь, то ошибка уменьшается. Рассмотрим некоторые примеры применения этих положений. Пример 1. Диаметр круга D определен с некоторой погрешностью. Как определить погрешность величины площади круга S, вычисленной по формуле

D2 S =π ⋅ 4

?

В нашем распоряжении мерная линейка и круг, вырезанный ножницами из жести по предварительно нанесенному контуру. Измеренный диаметр D составил 5 см, абсолютную погрешность для данных условий изготовления круга и измерения его диаметра оценивают как ± 2 мм. Тогда предельная относительная погрешность равна

0 ,2 ⋅ 100 = 4 % и поскольку в вычислении за5

ложена операция умножения D×D, то согласно правилу 2, относительная погрешность вычисленной площади S круга составит ∆S/S = ∆D/D + ∆D/D = 4 + 4 = 8 %. Тогда абсолютная погрешность площади круга ∆S = 0,08 ×S = 0,08 ×19,625 = 1,57 см2.

Пример 2. Известно, что площадь квадрата равна 12,34 см2.С какой погрешностью должна быть измерена сторона квадрата, чтобы расчет площади квадрата по ней обеспечил указанную точность? 14

Из выражения площади следует, что она дана с предельной абсолютной погрешностью 0,005 см 2, тогда относительная погрешность составит (0,005/12,34) ×100 = 0,04 %. Так как длина стороны квадрата L есть S в степени 0,5, то согласно третьему правилу распространения ошибок

∆L/L×100=|0,5|×0,04=0,02%, откуда абсолютная погрешность измерения стороны квадрата составит ∆L= S ×0,02/100=0,0007 см. Измерение стороны квадрата с такой малой погрешностью потребует специальных методов. 2.3 Рекомендации по уменьшению погрешностей вычислений Анализ закономерностей формирования наследственных погрешностей результатов вычислений позволяет сделать следующие выводы относительно способов уменьшения значения этих погрешностей: - при сложении и вычитании длинной последовательности чисел следует сначала оперировать с наименьшими по модулю числами; - следует избегать вычитания близких по значению чисел, предпочи тая формулы вида S = π (2r + h)h , где S-площадь кругового кольца, r – внутренний радиус; h – толщина кольца. алгебраически равноценным формулам вида

S = π [(r + h)2 − r 2 ; - нужно избегать сложения чисел, отличающихся на несколько порядков, преобразуя вычисления соответствующим образом ; - при сложении длинной последовательности чисел целесообразно разделение ее на группы. Сложение ведут сначала внутри групп, а затем между группами с учетом требований предыдущего пункта . - для уменьшения погрешностей округления чисел промежуточные действия рекомендуется производить, сохраняя после запятой на 1-2 знака больше, чем требуется в окончательном результате.

15

3 Лекция 3. Математическая модель объекта исследования в виде алгебраического степенного полинома 3.1 Основные задачи исследования и назначение математической модели Термин «исследование» - более широкое понятие, чем «эксперимент», т.к. включает в себя и его предварительную подготовку (сбор, анализ и обработку исходных данных) и проведение самого эксперимента и, наконец, обработку выходных данных. С этой точки зрения основными составляющими исследования являются следующие задачи. Статистический анализ (точечное и интервальное оценивание, проверка статистических гипотез) вовлекаемых в эксперимент факторов, а впоследствии и откликов объекта исследования. Следствием этой работы является отсеивание не существенных по влиянию на объект факторов и выделение факторов, определяющих отклик. В разделе 1.1 лекции 1 приведен упрощенный пример планирования эксперимента в отношении диапазона значений факторов. Но реально дело обстоит гораздо серьезнее. В начале двадцатого века английский статистик Фишер начал разработку теории оптимального планирования эксперимента. В 1935 году вышла его монография на эту тему и этот год считается годом рождения новой математической дисциплины – теории планирования эксперимента. По необходимому количеству опытов, точности и достоверности результатов, объему информации и т.п. показателям научное планирование эксперимента позволяет повысить его эффективность в 3-10 раз. В связи с этим при практическом планировании эксперимента решается задача оптимизации – нахождения опытной комбинации уровней управляемых факторов, которая отвечает экстремуму функции отклика. Табличная функция у = f ( X 1, X 2, X 3, X 4,......) отражает какую-то неизвестную нам аналитическую зависимость , которую для упрощения обозначим как ϕ (x) . В настоящее время нет методов, позволяющих найти точный вид такой функции. Однако, известно, что любая функциональная зависимость может быть с любой степенью точности отражена алгебраическим степенным полином, причем точность отражения зависит от степени (длины) полинома. Поэтому следующей задачей исследования является идентификация функции отклика ϕ (x) - т.е. установление тождественности ϕ (x) своему образу-идентификатору в виде алгебраического степенного полинома

η( x, β ) , где β - идеальные коэффициенты регрессии функции, которую мы будем называть идеальной математической моделью функции отклика ϕ (x) . 16

Такие модели могут быть линейно или нелинейно параметризованными по параметру β . Мы будем работать с линейными функциями рые имеют вид

где

η( x, β ) , кото-

n η( x, β ) = ∑ β j ∗ f j ( x) , j =0 β = ( β0, β1, β 2,..., β j ,..., β k ) - вектор коэффициентов β .

Каждый

βj

при j функции

(4)

f j (x) , которые все вместе образуют век-

тор базисных функций. Элементы этого вектора могут содержать различные сочетания и степени факторов х. Таким образом, по базисным функциям математическая модель является не линейной. Получение математической модели объекта исследования позволяет: - раскрыть наиболее существенные соотношения между факторами (т.е. условиями работы объекта) и его откликами на них; - предсказать значение отклика для заданных комбинаций уровней факторов, решая задачи как интерполяции, так и экстраполяции (последнее – в определенных пределах ; - находить координаты точек минимумов и максимумов найденной математической модели; - уточнять гипотетические и теоретические положения, существующие относительно объекта исследования; - выдвигать новые гипотезы об объекте; уточнять теоретические положения о процессах, в нем протекающих. 3.2 Алгебраический степенной полином регрессии как математическая модель объекта исследования Метод регрессионного анализа использует описание объекта исследования в виде полинома (5) – отрезка ряда Тейлора, в который разлагается неизвестное уравнение связи отклика у и факторов, т.е. функция ϕ (x)

k k M { y} = ϕ ( x , x ,..., x ) = β + ∑ β i x + ∑ βij x x + i j 1 2 0 i =1 i i =1; j >i k k k k 2 β β + x x x + ... + x + ∑ ∑ ii i ∑ β iii xi3 + ... ijq i j q i =1; j >i;q > j i =1 i =1

(5)

где β - коэффициенты регрессии идеальной математической модели, при которой отклик приобретает значение своего математического ожидания. 17

При этом рекомендуется /1/ такая форма полинома, которая в качестве базисных функций

f j (x)

содержит все возможные сочетания факторов х в

первой степени (единичные, парные, тройные и т.д.), а при степени больше единицы – только их единичные индивидуальные комбинации . Тогда в развернутом виде полином и принимает форму (5). Существует ряд причин, в силу которых мы не можем найти полином, расчет по которому давал бы указанный результат. Во-первых, состояние любого сложного реального объекта определяется практически бесчисленным количеством факторов, и любая логическая модель объекта принципи ально не может быть полной, а только приближенной. Во-вторых, точный вид полинома, адекватный функции

ϕ (x) , нам не известен также, как и сама

функция ϕ (x) . Поэтому та зависимость, которую мы находим по таблице экспериментальных данных, не дает точной связи между уg и факторами, включенными в математическую модель, и по результатам эксперимента находится не идеальное уравнение (2), а только его статистическая оценка в виде эмпирического уравнения

k1 k2 k3 yg =b + ∑ b x + ∑ b x x +...+ ∑ b x3+... i i ij i j iii i 0 i=1 i=1, j >i i =1

(6)

где b – «выборочные» эмпирические коэффициенты регрессии. Последние, таким образом, являются лишь оценками для теоретических коэффициентов β, а отклик объекта уg - оценкой для математического ожидания M{yg}.

18

4 Лекция 4. Полиномы регрессии – приближенное отражение идеальной математической модели объекта исследования Все изложенное выше позволяет представить идентификацию функции отклика объекта исследования в виде схемы

)

)

ϕ ( x) = η( x, β ) ≈ η( x,b) = ϕ ( x) = η ( x, β ) , где три последних функции есть статистические оценки

ϕ (x) , а фун-

кции η ( x, β ) и η ( x,b) − сокращенными записями уравнений (5) и (6) соответственно. Вид полинома η ( x,b) , адекватный идеальной модели η ( x, β ) , нам не известен, и если относительно него нет каких-либо теоретических или профессиональных соображений, то приходится прибегать к выработанным практикой рекомендациям. Практика обработки экспериментальных данных показала, что результаты эксперимента в виде табличной функции в большинстве случаев с достаточным приближением отражаются полным кубическим полиномом по форме уравнения (6). Часто третья степень полинома не только достаточна, но и избыточна, т.е. степень и количество членов полинома можно и уменьшить без существенной потери точности. Поэтому при построении и выборе аппроксимирующего уравнения строят систему альтернативных уравнений из полного кубического полинома и его отдельных степенных кусков. Сравнивая характеристики точности отражения таблицы экспериментальных данных этими уравнениями, выбирают наиболее приемлемое. В качестве примера такого подхода рассмотрим кубическое уравнение для 5-ти факторной задачи регрессии. В соответствии с формой (6) полный кубический пятифакторный полином будет иметь следующий вид

у= b0+b1x1+b2x2+b3x3+b4x4+b5x5+b12x1x2+b13x1x3+b14x1x4 + +b15x1x5+b23x2x3+b24x2x4+... +b35x3x5+b45x4x5+ b123x1x2x3+ +b124x1x2x4+...+b135x1x3x5+...+b245x2x4x5+...+ b345x3x4x5+ +b1234x1x2x3x4++b1235x1x2x3x5+b1345x1x3x4x5++b2345x2x3x4x5+ +b12345x1x2x3x4x5++b11x12+b22x22+b33x32+b44x42+b55x52+b111x13+ b222x23 +b333x33+b444x43 +b555x53, (7) который содержит все возможные сочетания факторов х1,х2,х3 и т.д. в первой степени и члены полинома с единичными факторами в степени более единицы.

19

Полином (7) и будет первым альтернативным уравнением регрессии. Далее приведем все альтернативные уравнения в виде отдельных степенных кусков. Линейное уравнение (как первый степенной кусок)

у= b0+b1x1+b2x2+b3x3+b4x4+b5x5. Неполное квадратичное уравнение, содержащее линейную часть и парные сочетания факторов

у= b0+b1x1+b2x2+b3x3+b4x4+b5x5 +b12x1x2+b13x1x3+…+b23x2x3+b24x2x4+... +b35x3x5+b45x4x5. Неполное кубическое уравнение, содержащее линейную часть, парные и тройные сочетания факторов

у= b0+b1x1+b2x2+b3x3+b4x4+b5x5 +b12x1x2+b13x1x3+…+b23x2x3+b24x2x4+... +b35x3x5+b45x4x5+ +b123x1x2x3+...+b135x1x3x5+...+b245x2x4x5+...+ b345x3x4x5. Неполное уравнение четвертой степени, содержащее линейную часть, парные, тройные и четверные сочетания факторов

у= b0+b1x1+b2x2+b3x3+b4x4+b5x5 +b12x1x2+b13x1x3+…+b23x2x3+b24x2x4+... +b35x3x5+b45x4x5+ +b123x1x2x3+...+b135x1x3x5+...+b245x2x4x5+...+ b345x3x4x5+ +b1234x1x2x3x4+…+b1345x1x3x4x5++b2345x2x3x4x5. Следующий степенной кусок по аналогии, с добавлением к предыдущему уравнению члена из сочетания «по пять из пяти»: +b12345x1x2x3x4x5. Это будет уже шестое альтернативное уравнение, на котором комбинации факторов х в первой степени кончаются. Седьмое и последнее уравнение – полный полином второй степени

у= b0+b1x1+b2x2+b3x3+b4x4+b5x5 +b12x1x2+b13x1x3+…+b23x2x3+b24x2x4+... +b35x3x5+b45x4x5+ +b123x1x2x3+...+b135x1x3x5+...+b245x2x4x5+...+ b345x3x4x5+ +b1234x1x2x3x4+…+b2345x2x3x4x5+ b12345x1x2x3x4x5+ +b11x12+b22x22+b33x32+b44x42+b55x52.

20

Таким образом, имеем систему из семи альтернативных уравнений, в которой обычно удается найти приемлемое уравнение регрессии. Такая форма записи уравнений позволяет сократить ее, используя, например, либо запись только коэффициентов с индексами вида

b0+b1+…+b12+…+b123+…+b1234+…+b12345+b11+…+b111+…+b555=y,

либо запись уравнения только в индексах коэффициентов b, т.е. кодовую форму полинома. Полный кубический полином при этом будет иметь такой вид:

0 1 2 3 4 5 12 13 14 15 23 24 25 34 35 45 123 124 125 134 135 145 234  235 245 345 1234 1235 1245 1345 2345 12345 11 22 33 44 55 111 222  (8) 333 444 555  В приложении А приведены индивидуальные задания, содержащие заданную форму искомого полинома именно в такой закодированной (8) форме. Отметим, что построение полинома регрессии по структуре уравнения (6) является только рекомендуемой формой. Одинаково «правомочна» любая другая форма полинома регрессии. По тем или другим соображениям из формы (6) могут быть исключены любые члены, желательно только при удалениях и добавлениях их сохранять принятый порядок индексации во избежание путаницы при анализе результатов. С увеличением числа факторов, включенных в модель объекта исследования, количество членов полинома быстро нарастает. Так, например, полный кубический полином при трех факторах имеет четырнадцать членов, при четырех – 24, при пяти (см. уравнение (8)) – 42. Подсчитаем для наглядности, каково будет количество членов полинома (а значит, и количество коэффициентов регрессии b) при данной форме полинома (6) при десяти факторах х. Его можно определить следующим образом. 1) Коэффициент b0 и еще десять – при единичных факторах х1,х2 и т.д., т.е. всего 11 коэффициентов; 2) Для парных сочетаний факторов их количество С210 =

10! = 45 ; 2!*8!

10! = 120 ; 3!*7! 10! = 210 ; 4) Далее соответственно С410 = 4!*6! 10! = 252 ; 5) С510 = 5!*5!

3) Для тройных сочетаний С310 =

6) Затем пункты 2,3 и 4 повторяются в обратном порядке, образуя такое же количество коэффициентов, т.е. 210+120+45=375; 7) С910 = 10 ; 8) Сочетания по 10 из 10 - один коэффициент; 21

9) Коэффициенты при факторах во второй и третьей степени – по десять штук. Итого: 11+375×2+252+10+1+20=1044 коэффициента. В уравнениях регрессии неизвестными являются значения коэффициентов b (т.к. значения факторов и откликов известны из таблицы экспериментальных данных). Для нахождения каждого коэффициента b необходима одна строка таблицы экспериментальных данных. Достаточно трудно представить себе таблицу, содержащую 1044 опытов (наблюдений), особенно если один опыт занимает, скажем, неделю. Между тем, сложные реальные объекты находятся под влиянием сотен (если не тысяч) факторов. Конечно, здесь придется манипулировать формой искомого полинома, максимально ее укорачивая. Можно, например, включить в полином только единичные факторы в первой и второй степени, опустив все их сочетания по два, по три и т.д. Мы привели здесь данный пример, чтобы показать, что по количеству включенных факторов, модель сложного объекта принципиально не может быть полной, а это означает, что эксперимент приходится проводить на приближенной модели, в условиях недостатка информации об изучаемом объекте.

22

5 Лекция 5. Случайный характер отклика объекта исследования 5.1 Классификация факторов и их влияние на качество модели объекта исследования Реальные сложные объекты характеризуются большим количеством состояний. Состояние объекта определяется входными воздействиями на объект – факторами, и характеризуется выходными величинами – откликами. В предыдущей лекции было показано, что количество факторов, условно говоря, если не бесконечно, то не поддается определению. В то же время в логическую модель объекта исследования экспериментатор может ввести ограниченное количество факторов. Увеличение количества факторов, включенных в математическую модель объекта, "утяжеляет" эксперимент как по срокам проведения, так и по затратам, вплоть до того, что может сделать осуществление эксперимента вообще невозможным. Таким образом, исследователь вынужден неизбежно не включать часть известных ему факторов в эсперимент. Но существуют еще и факторы, либо выпавшие из его поля зрения, либо вообще ему неизвестные. Примерами таковых можно назвать изменение состояния оборудования по ходу эксплуатации (разладка, изменение зазоров и т.п.), старение реактивов, изменение параметров объекта под действием внешней среды (например, зависимость тяги в трубах печей от атмосферного давления), ошибки измерения или воздействия на объект и т.д. и т.п. Все изложенное позволяет разделить факторы на следующие группы: - контролируемые (фиксация значений параметров) и управляемые (назначение этих значений) факторы; - контролируемые , но неуправляемые факторы; мы можем измерять и фиксировать их значение, но не изменять его; - неконтролируемые и неуправляемые факторы. В той или иной степени к искажению модели объекта приводит и неизбежная субъективность процедуры формирования набора факторов, в которой отражаются научные взгляды, интересы и амбиции исследователя. Достаточно вспомнить борьбу различных школ и направлений в науке, перерастающая зачастую в открытую вражду и непримиримость. Именно в силу этого важно, чтобы логическую модель объекта строил совет экспертов. Итак, в силу изложенного принятая модель объекта по факторам всегда (или почти всегда) является неполной. А между тем реальное поведение объекта складывается под влиянием всех факторов – и включенных в эксперимент, и невключенных, и известных экспериментатору, и неизвестных. Тогда значение отклика будет складываться не по зависимости у=ϕ(х1,х2,…,хк), а по зависимости у=ϕ(х1,х2,…,хк,w1,w2,…,wк), где wп – неучтенные фак-

23

торы. Неизвестное нам влияние неучтенных факторов делает отклик объекта уg непредсказуемой по значению величиной, а значит - величиной случайной. Таким образом, снятое в эксперименте значение отклика - случайной величины – можно выразить зависимостью

y = ϕ ( x) + δ (w) ,

(9)

где ϕ (x) - так называемая функция истинного отклика, отражающая влияние включенных в модель контролируемых факторов, значение которых известно;

δ (w) -

функция неучтенных факторов, называемая функцией шума или просто шумом. В связи со случайным характером откликов уg обработку экспериментальных данных приходится вести на базе математического аппарата математической статистики. 5.2 Случайная величина в обработке экспериментальных данных методом регрессионного анализа Математическая статистика любой объект реальности моделирует как некоторый массив численных данных, называемый генеральной совокупностью. Эта совокупность является поименованой случайной величиной. Таким образом, случайная величина – это массив численных значений. Участие (или выпадение) какого-то из этих чисел в какой-то операционной ситуации непредсказуемо, имеет вероятностный характер и определяется законом распределения вероятностей значений данной величины. Примером таких величин является, например, среднемесячная температура июля за сто лет или количество пар мужской обуви, купленной в данном универмаге в обычный будничный день за какой-то период времени. Генеральные совокупности принято именовать заглавными латинскими буквами – A, X, Z и т.д. Конкретные же значения величин из данного массива обозначают строчными буквами с индивидуальным индексом этого значения: z1, z2 и т.д. Генеральные совокупности могут быть конечными или бесконечными, дискретными или непрерывными. Оперировать с данными всей совокупности часто невозможно, поэтому их заменяют так называемыми выборками. Выборка – это ряд значений данной случайной величины, извлеченных из генеральной совокупности случайным образом. Представительная выборка обладает такими же свойствами, что и генеральная совокупность, т.е. является как бы ее «мини-моделью». Они и являются объектами для работы с данной случайной величиной. Обратимся к данным таблицы 3. Весь вектор откликов yg (где g меняется от 1 до 50) по своему характеру является типичной выборкой из всего 24

возможного диапазона функциональных значений откликов y (на которые наложена шумовая составляющая). Очевидно, что эта генеральная совокупность бесконечна. Теперь обратимся к отдельному элементу вектора откликов. Пусть это будет, например, y25 (25-ая строка таблицы 3). Ранее было показано, что отклик y25 (как и другие отклики yg) есть величина случайная. А это означает, что за значением y25=66,34 скрывается массив других значений случайной величины, которую следует назвать «У25». Итак, за каждым yg по всему вектору откликов y будут стоять пятьдесят генеральных совокупностей разных случайных величин с именами У!, У2,…,У25,…,У50. А это, в частности, означает, что если мы продублируем опыт по любой строке таблицы, например, по той же двадцать пятой, мы на этих повторах получим отклик не 66,34, а какие-то другие значения из генеральной совокупности У25. Напомним, как и чем характеризуются случайные величины. При этом будем иметь в виду, что они имеют две ипостаси – это: 1) генеральная совокупность; 2) выборка. Выпадаемые в опыте значения случайной величины непредсказуемы, но не произвольны: они имеют определенный диапазон и массив допустимых значений. Характеристикой случайной величины является генеральное среднее ( оно же – математическое ожидание), которое обычно обозначается как Mx, Mz или M{x}, M{z}. Для математического ожидания какого-то выражения фигурные скобки обязательны, например, M{x+y+z}. Для выборки эквивалентной характеристикой является выборочное среднее рое является статистической оценкой математического ожидания. Среднее выборочное есть отношение

n x = ∑ xi , i =1

х,

кото-

(10)

где n – количество элементов в выборке (объем выборки). Еще одной характеристикой случайной величины является рассеяние отклонений ее текущих значений от центра, т.е. разностей (xi-Mx) для генеральной совокупности и (xi- х ) для выборок. Коллективной оценкой этих разностей для всего массива значений является дисперсия, которая для дискретной случайной величины равна

n 2 ∑ ( xi − Mx) σ 2 = Dx = i =1 n

(11)

25

для генеральной совокупности и

n 2 ∑ ( xi − x) s 2 = i =1 n −1

для выборки. Отметим, что величины Мх и

σ2

12)

являются константами как однознач-

ные характеристики всего массива данных, а х и s 2 являются случайными величинами в связи со случайным характером выборки. Величины х и s 2 , которые есть выборочные оценки Мх и σ 2 , выражаются числом и поэтому называются точечными. Они дополняются интервальными оценками этих величин, смысл которых в следующем. Пусть, например, х =32,88. Интервальная оценка дополняет эту информацию, объявляя, что …« Мх данной случайной величины с такой-то вероятностью лежит в таком-то интервале значений случайной величины», например, в интервале 20.00-50,00. Если оценка х =32,88 не попадает в данный интервал, значит данная выборка непредставительна и должна быть забракована. Приведем пример интервальной оцеика для математического ожидания Мх. Эта оценка при известном значении σ 2 строится с использованием нормированной формы случайной величины х, которая обозначается как функция u /3/ и имеет вид

u= где

х − M {х} , σ/ n

(13)

х - среднее значение случайной величины по выборке; n –объем выборки.

Интервальная оценка для

х−

u pσ n

M {х} представлена неравенством /3/

< M {х} < х +

u pσ n

,

(14)

где up – значение нормированной формы случайной величины х при данной вероятности р. Получение и свойства нормированной величины up мы рассмотрим ниже. Наиболее полной характеристикой случайной величины является закон распределения вероятностей случайной величины, который связывает данное значение случайной величины с вероятностью появления его (т.е. 26

этого значения) в опыте. Наиболее распространенным является закон распределения, получивший название нормального. В аналитическом виде этот закон выражается известным уравнением Гаусса

f ( x) =

1 e σ 2π

−

( x − Mx) 2 2σ 2

,

(15)

где f (x) - плотность вероятностей при данном значении х. Графически это уравнение имеет вид колоколообразной кривой, которая симметрична относительно центра распределения, которым является Мх (максимум функции f (x) ) и концы которой уходят в ±∞ , асимптотически приближаясь к горизонтальной оси х и не достигая ее.

Итак, случайная величина есть обособленный поименоованый массив численных данных, отражающих переменное состояние данного реального объекта (т.е. являющийся моделью этого объекта).

Итак, значение Уg на данной строке таблицы экспериментальных данных есть только одно из случайных значений массива данных, являющихся случайной величиной. Пятьдесят строк таблицы – пятьдесят массивов, т.е. пятьдесят разных случайных величин.

Каждый из этих массивов имеет свои индивидуальные характеристикиматематическое ожидание Мх, дисперсию σ 2 и закон распределения.

27

6 Лекция 6. Ошибки и точность наблюдений (опытов) в эксперименте 6.1 Дисперсия воспроизводимости

My8

My32

My20

Значения функции Yg

Из всего вышеизложенного следует, что при многократном повторении опыта по режиму одной и той же строки таблицы экспериментальных данных мы будем снимать разные значения отклика объекта при одинаковых значениях факторов х, т.к. за единичным случайным значением отклика объекта исследования на данной строке таблицы yg стоит массив случайных величин. Рисунок 1 иллюстрирует это положение.

номер строки Рисунок 1 – Идеальная и экспериментальная функция Уg На горизонтальной оси отложены номера строк таблицы, на вертикальной – условный массив возможных значений откликов yg по 10-ой, 20-ой и 30-ой строкам (т.е. массивы значений величин y10, y20 и y30 ). Каждая из случайных величин У10, У20 и У30 имеет свое математиче2 . В соответствии с этим построим на ское ожидание М{yg} и дисперсию σ yg массивах значений величины yg графики законов распределения этих величин (вертикаль центров распределения расположена горизонтально). Обозначим экспериментальные значения отклика yg светлыми точками и соединим их 28

линией, которая будет имитировать экспериментально найденную зависимость. Линия, проходящая через координаты математических ожиданий (черные точки) М{yg}, будет отвечать той функции истинного отклика ϕ(х), которую мы ищем, т.е. которую мы и должны аппроксимировать полиномом регрессии. Отсюда следует, что если бы в таблице экспериментальных данных вместо случайной величины yg стояли бы постоянные величины М{ yg }, табличная зависимость ϕ(х1,х2,…,хк) потеряла бы свой случайный характер. В этом случае система имела бы единственное решение в виде идеальной математической модели функции истинного отклика ϕ(х), а именно в виде полинома η(х,β), где β - истинные коэффициенты "идеальной" регрессии. Модель η(х,β) адекватна функции ϕ(х) и, таким образом, η(х,β) = ϕ(х). Но в силу случайного характера отклика объекта исследования, полином регрессии η(х,b), найденный по экспериментальным данным, является только статистической оценкой идеальной модели η(х,β). Отсюда следует, что рассчитанное по уравнению регрессии значение yg ( будем впредь обозначать его как yrg) является оценкой математического ожидания М{yg}. Линия, проходящая через светлые точки, и будет графической интерпретацией экспериментально найденного полинома η(х,b). 2 являДисперсия случайной величины yg на данной строке таблицы σ yg ется характеристикой объекта исследования и определяется только его при2 одинаково для всех массивов значеродой. Поэтому значение величины σ yg ний случайных величин на всех строках таблицы данных

σ 12 = σ 22 = ...... = σ g2 = ...... = σ k2 , а сама дисперсия называется дисперсией воспроизводимости

2 σ vos

(т.к. она

воспроизводится для всех пятидесяти массивов по строкам таблицы 3.. Таким образом, графики распределения величины yg отличаются только математическими ожиданиями {М yg}, а дисперсии их одинаковы. Табличное значение величины yg является экспериментальной оценкой М{yg}. Надежность оценок зависит от двух факторов: объема выборки и дисперсии оцениваемой случайной величины. На рисунке 2 представлены графики законов распределения трех случайных величин при одном значении математического ожидания и различных значениях дисперсии /2/. Соотношение F(x)7,5
Рисунок 2– Вероятность выпадения данного значения Х в зависимости от значения дисперсии вать как "ошибку" экспериментального определения значения отклика yg, а 2 как меру этой ошибки. дисперсию σ vos Это определяет особое значение дисперсии воспроизводимости для обработки экспериментальных данных.

Дисперсия воспроизводимости является мерой начальной ошибки всей процедуры обработки экспериментальных данных, началом " координат ошибки". Поэтому, сравнивая ее по ходу выполнения процедуры с последующими соответствующими показателями меры ошибки, можно оценить степень точности достигнутых текущих (или промежуточных) результатов. 6.2 Понятие о достоверности экспериментальных данных. Минимально необходимое количество наблюдений Ранее было отмечено, что достоверность экспериментальных (или выборочных) оценок зависит от двух факторов: объема выборок (количества наблюдений) и дисперсии оцениваемой случайной величины. Очевидно, что для получения достоверных результатов с определенной доверительной ве30

роятностью р, нужно провести не менее определенного количества наблюдений n. Возникает задача: определить необходимое число опытов n, чтобы с фиксированной доверительной вероятностью р получить заданную точность оценивания исследуемой величины. Эта задача решается с использованием интервальной оценки математического ожидания этой величины и ее нормированной формы

u=

y − M { y} , σ/ n

y - среднее значение случайной величины по выборке. Интервальная оценка для M {y} представлена неравенством где

y−

u pσ y n

< M { y} < y +

u pσ н n

,

(16)

где uр- табличный квантиль стандартной величины, отвечающий вероятности р. Выборка имеет определенный размах значений от левой границы q1 до правой границы q2; тогда длина интервала значений L=q2-q1. Очевидно, что чем больше размах значений величины, тем менее достоверны и менее точны выборочные оценки. Действительно, "максимум точности" будет достигнут при длине интервала, равной нулю, когда исследуемая величина станет константой. В качестве оценки точности принимают величину ε ε = L / 2σ y . Здесь знаменатель является константой - чем больше интервал значений L, тем меньше точность и больше относительное отклонение ε , т.е. значение этой характеристики обратно точности. Левую и правую части выражения (16) будем рассматривать как границы q1 и q2, тогда

L=2

u pσ y n

,

а относительная погрешность ε будет ε

 up  n≥    ε 

= u p / n , откуда следует

2

,

(17)

Для технических объектов "рядового" уровня надежности обычно доверительную вероятность принимают равной 0,95, а значение относительной 31

погрешности ε 0,5. Табличный квантиль u0,95 при этом равен 1,96 /4/. Тогда в соответствии с (16) необходимое минимальное количество наблюдений п составит 16. Все вышеизложенное относится к табличному значению отклика yg на данной строке и наглядно демонстрирует проблему достоверности экспериментальных данных. Очевидно, что всегда нужно стремиться провести по режиму данной строки хотя бы несколько наблюдений и вносить в таблицу экспериментальных данных их среднее значение в качестве экспериментального значения отклика yg на данной строке.

32

7 Лекция 7. Особенности связи между случайными величинами 7.1 Стохастическая связь между случайными величинами В математике понятие зависимости между величинами выражается понятием функции у=ϕ(х), когда одному значению аргумента х отвечает одно, и только одно, значение функции у. Если с изменением величины х величина у не меняет своего значения, эти величины являются независимыми. Но бывают и другие ситуации. В работе /5/, например, изучали зависимость между ростом х и весом у студентов-юношей третьего курса. Графический вид этой зависимости приведен на рисунке 3. Посмотрим на поле черных экспериментальных точек, не обращая пока внимания на расчетную кривую. Есть ли тут какая-либо зависимость между величинами х и у ? Вообще-то априори понятно, что такая зависимость должна существовать. Но интуитивно понятно также, что вес человека определяется не только ростом, но и другими факторами, например, окружностью талии. Поэтому, не смотря на очевидную зависимость «вес-рост», мы не можем признать ее однозначной и , таким образом, функциональной. Очевидно, что это какая-то другая, т.е. нефункциональная зависимость. По данным любой таблицы экспериментальных данных можно рассчитать уравнение любого вида, другой вопрос – насколько точно оно будет отражать таблицу. Продемонстрируем это на данном примере. Во-первых, найдем полином регрессии, отражающий экспериментальные данные рисунка 3. Он имеет вид

у= 74,024+0,873х – 1,368х2+0,900x3. Именно по нему и нанесена расчетная кривая на график. Но это уравнение "не совсем функция". Существуют показатели качества таких формул, отражающих экспериментальные данные. Одним из таких показателей является оценка – насколько близка или далека данная зависимость от "стопроцентной" функции. Если эту "стопроцентную" функцию принять за единицу, то для данной эмпирической формулы этот показатель будет равен 0,513 –т.е.

33

Рисунок 3 – Зависимость массы тела студентов от их роста данная зависимость имеет 51,2% "функциональности." Особенности таких зависимостей состоят прежде всего в том, что график имеет вид слабо ориентированного облака точек и в том, что одному значению аргумента может отвечать несколько значений функции. Получается, что для данного значения аргумента может выпасть либо одно, либо другое значение функции – т.е. появляется вероятность того или иного значения. Поэтому такой вид связи между величинами носит название вероятностной или стохастической связи. В данном конкретном примере такой вид связи обусловлен тем, что в математическую модель объекта и в эксперимент мы включили в качестве аргументов-факторов только рост студентов, хотя очевидно то, что существуют и другие факторы, влияющие на функцию, например, размер грудной клетки в сантиметрах. В общем случае стохастическая связь между случайными величинами имеет место тогда, когда они имеют как общие, так и разные аргументы, например y = f (u,ε ) и x = φ (u,γ ) . Если влияние общего аргументов будет нулевым, х и у будут независимы. Если влияние разных аргументов будет нулевым, связь х и у будет функциональной. Это есть два крайних положения, а между ними лежит бесконечное множество различных 34

по силе состояний стохастической связи. При этом изменение величин х и у будет складываться из двух составляющих: - собственно стохастической под действием общего аргумента u; - cлучайной составляющей под действием разных аргументов ε и γ. Соотношение между этими составляющими может быть разным, в соответствии с этим стохастическая связь может быть сильной или слабой, что удобно иллюстрировать на графике. Сильная связь на графике дает плотную дорожку точек, т.е. облако их узкое и имеет выраженную направленность. В пределе эта ситуация сводится к линии, т.е. к функции. Слабая связь иллюстрируется рисунком 3 – облако размытое, ориентированность направления

σ −1 Рисунок 4 – Зависимость долговечности образцов жаропрочного сплава от напряжения проявляется слабо. В пределе ситуация сводится к полной хаотичности в расположении точек – тогда зависимость между случайными величинами отсутствует. Пример сильной стохастической связи иллюстрируется рисунком 4 (данные заимствованы из работы /6/). Эта графическая зависимость выражается уравнением

35

у=1,158-0,116х+0,001х2. Показатель функциональности этого уравнения равен 0,909 или 90,9%. Поскольку значение случайной величины при данных аргументах не постоянно и полная его характеристика требует учета рассеивания относительно генерального среднего – математического ожидания (например, в виде доверительного интервала /4/), постольку стохастическую связь определяют как такую связь, при которой изменение одной величины вызывает изменение закона распределения другой. Приведенные выше примеры показывают, что термины "сильная" и "слабая связь" требуют количественной оценки этой силы или слабости. 7.2 Показатели силы стохастической связи Известное положение математической статистики гласит, что дисперсия суммы независимых величин равна сумме их дисперсий, т.е.

D{x+y}=Dx+Dy. 2

Поскольку дисперсия выражается уравнением Dz=M{(z-Mz) }, можем записать

D{x+y}=M{[(x+y)-M{(x+y)}]2}.

Символ математического ожидания суммы разносится по составляющим этой суммы, поэтому

D{x+y}=M{(x+y –Mx -My)2}=M{[(x-Mx)+(y-My)]2}=M{(x-Mx)2+2(x-Mx)(y-My)+(y-My)2}= M{(x-Mx)2}+2M{(x-Mx)(y-My)}+M{(y-My)2}= Dx+ 2M{(x-Mx)(y-My)}+Dy.

(18)

По сравнению с исходным уравнением D{x+y}=Dx+Dy мы теперь другой результат - появляется дополнительное слагаемое, содержащее 2M{(x-Mx)(y-My)}. Очевидно, что величина 2M{(x-Mx)(y-My)} равна нулю, если величины x и y независимы. При наличии связи между x и y, она принимает какое-то численное значение которое будет тем больше, чем сильнее связь между переменными. Величина M{(x-Mx)(y-My)} является вторым смешанным центральным моментом и обозначается как

µ11{x, y} = M {( x − Mx)( y − My)} . 36

Она и является показателем силы стохастической связи. На практике же используют не сам показатель µ11{x, y} в исходном виде, а в виде его безразмерной функции – коэффициента корреляции

ρ{x, y} =

µ11{x, y} , σ xσ y

(19)

где σ - среднеквадратичное отклонение. Чтобы рассмотреть вопрос о свойствах коэффициента корреляции, необходимо предварительно разобрать вопрос о свойствах нормированных величин. 7.3 Нормирование исходных данных при решении задач регрессии. Свойства нормированных величин Процедуру регрессионного анализа рекомендуют вести при нормировано-центрированой форме факторов x /1,2/, которую чаще называют просто нормированой или стандартной. С этим понятием мы уже встречались при построении интервальной оценки для Мх (см. уравнения (13) и (14). В свое время нормирование было введено Гауссом, т. к. свойства нормированоцентрированых величин позволяют упростить ручные расчеты. С появлением вычислительной техники это обстоятельство потеряло свое значение. В настоящее время эту форму величин используют тогда, когда она позволяет проконтролировать правильность промежуточных расчетов, что имеет место и при выполнении процедуры регрессионного анализа. Разность между текущим значением случайной величины z и её средним (генеральным или выборочным), т.е. величину (z-Mz), называют центрированной случайной величиной, поскольку она интерпретирует текущее значение как отрезок от центра (среднего значения), который лежит либо слева от центра (отрицательные значения ), либо справа – в области положительных значений. Для обработки данных важны следующие свойства центрированных величин. Первое (нулевое) свойство: сумма центрированных величин по их совокупности (выборке) равна нулю. Это свойство очевидно, т.к. центрирование делит массив данных на две равные части с противоположными знаками. Второе (минимальное) свойство : сумма квадратов отклонений текущих значений случайной величины от их среднего меньше, чем сумма квадратов отклонений от любого другого числа, в том числе от моды и медианы. Докажем это свойство. Пусть сумма квадратов отклонений S otkl от некоторого числа с

37

n Sotkl = ∑ ( z − c) 2 = min . i i =1 Требуется определить значение с, при котором функция щается в минимум. Решением является корень уравнения

∂S otkl ∂c

(20)

S

otkl

обра-

=0 ,

при условии, что вторая производная имеет положительное значение. Дифференцируя уравнение (20), получаем:

n -2 ∑ ( z − c) = 0 , i i =1

n n ∑z = zsr , где последняя велиоткуда ∑ z = ∑ c , или ∑ z = n⋅c , т.е. c = i n i =1 i =1 чина означает среднее значение z. Это означает min исследуемой функции именно для условия c= zsr . В то же время n ∂ 2c ∂ = [− 2∑ ( z − c)]= 2⋅ ∑1= 2⋅n > 0 , 2 ∂c ∂c i =1 что доказывает второе свойство. Условие (20) называют требованием наименьших квадратов, которое и используется в процедуре регрессионного анализа. Разделим центрированную величину ( z − Mz) на среднеквадратичное

i

отклонение σ исходной величины z. Такая операция называется нормированием, т.к. среднеквадратичное отклонение здесь выступает как мера или норма измерения величины ( z − Mz) . Полученная величина Zn называется нормированной:

i

z − Mz Zn = i i σ

,

а суммарная операция центрирования и нормирования называется стандартизацией масштаба величины z. Физический смысл переменной Zn заключается в том, что показывает, на какое число величин σ отклоняется данное значение zi от своего генерального (или выборочного) среднего. Таким образом, для нормированной 38

величины начало отсчёта производится от среднего значения zsr , а измерение её – в новых единицах « σ ». При обработке экспериментальных данных нормирование переменных производят по формуле

Z − zsr Zn = i , dz

(21)

n  2   z zsr − ∑  i  i 1 = dz = n

где

.

Для обработки экспериментальных данных важны два свойства нормированных величин: сумма их по массиву равна нулю в силу первого свойства центрированной величины; сумма квадратов нормированных величин равна их количеству в массиве. Действительно, обозначая нормировано-центрированые факторы х как xn, для вектора размерности n будем иметь

2

 ( x g − xsr  2  = 1 ⋅ ( x − xsr ) 2 =  ∑ xn = ∑  ∑ g dx  dx 2  

=

1

⋅ ∑ ( x − xsr ) 2 = n . g 2 ∑ ( x g − xsr ) n

2

Таким образом, ∑ xn равна нулю, а ∑ xn равна п. Тогда, дисперсия нормировано-центрированой формы случайной величины равна

σ2

( xn − Mxn) =∑ n

2

,

2

а поскольку Mxn =0, а ∑ xn равна п, то дисперсия нормированной случайной величины равна единице σ 2 xn = 1. (22)

{ }

39

8 Лекция 8. Коэффициент корреляции – свойства и область действия 8.1 Корреляция и коэффициент корреляции. Диапазон значений Наличие зависимости между х и у немедленно вытекает из неравенства

M{(x-Mx)(y-My)}≠0.

Однако, обратное утверждение несправедливо и из равенства

M{(x-Mx)(y-My)}=0 делать вывод о независимости величин х и у нельзя. Это значит, что на дисперсии суммы слагаемых сказывается не всякая стохастическая связь между этими величинами (ниже мы покажем это на конкретном примере). Может

быть и так, что D{x+y}≠Dx+Dy, но это неравенство обуславливается только частью связи между х и у. Вот эта часть стохастической связи между х и у, которая вызывает отличие D{x+y} от Dx+Dy, называется корреляцией. Необходимым и достаточным условием корреляции служит неравенство

M{(x-Mx)(y-My)}≠0 и поэтому величину M{(x-Mx)(y-My)} называют

корреляционным моментом. Однако эта характеристика силы стохастической связи имеет некоторую неопределенность, т.к. ее значение зависит от от единиц измерения величин х и у. Поэтому-то на практике и используют безразмерную величину – коэффициент корреляции

ρ{x, y} =

µ11{x, y} . σ xσ y

Представим выражение (18) в виде

D{x + y} = Dx + Dy + Тогда

2M {( x − Mx)( y − My)}

σ xσ y

σ xσ y .

D{x + y} = Dx + Dy + 2 ρσ xσ y ,

где ρ - коэффициент корреляции.

Из свойств коэффициента корреляции (которые мы опишем ниже) вытекает, что при переходе к нормированной форме величин, значение коэффициента корреляции не изменяется. Поскольку дисперсии нормированных ве личин равны единице, то при при переходе к нормированной форме величин получаем D{xn + yn} = 1+1+ 2 ρ . Можно показать, что 40

D{xn − yn} = 1+1− 2 ρ , т.е. в общем случае имеем

D{xn ± yn} = 2 ± 2 ρ = 2(1± ρ ) .

Дисперсия не может быть отрицательной величиной по определению. Дисперсия равна нулю, если каждая хi равна своему математическому ожиданию, т.е. величина х есть константа. Поэтому можно записать

1+ ρ ≥ 0 откуда следует

и

1− ρ ≥ 0 ,

−1 ≤ ρ ≤ +1,

что и составляет диапазон возможных значений коэффициента корреляции. Если коэффициент корреляции отличен от нуля, то он своим значением характеризует не только наличие, но и силу стохастической связи между х и у, т.е. той части связи, которую называют корреляцией. Чем больше абсолютная величина коэффициента корреляции, тем сильнее корреляция между х и у. Максимальная корреляция при ρ = ± 1 («стопроцентная» корреляция) будет отвечать наличие функциональной связи между величинами. 8.2 Коэффициент корреляции – область действия Если в уравнение D{xn ± yn} = 2 ± 2 ρ подставить крайние зна-

чения ρ = ± 1, то получим D{xn ± yn} = 0 . Такой случай отвечает константе, т.е. условию х=Мх или у=Му. А это означает, что выражение в фигурных скобках должно быть равно нулю. Развернем это выражение

x − Mx

σч откуда следует

±

y − My

σy

= 0,

σy σy y = My m Mx ± x , σx σx

Здесь переменными являются только величины х и у. Все остальные величины являются константами. Тогда, обозначая

σy My m Mx = β0 , σx

а

σy = β1 , σx

получим линейное уравнение

y = β0 + β1x . 41

Таким образом, при крайних значениях ρ между величинами х и у получаем функциональную линейную связь, т.е. коэффициент корреляции есть показатель того, насколько связь между случайными величинами близка к строгой линейной зависимости. Рассмотрим такой пример. Имеем зависимость вида y = ( x − Mx)2 . Является ли величина х случайной величиной? Да, поскольку она имеет математическое ожидание, отличное от других, текущих значений этой величины. Является ли величина у случайной величиной? Да, поскольку она является функцией случайной величины. В связи со случайным характером значений величины х, а, следовательно, и величины у, неизбежно наличие стохастической связи между ними. Рассчитаем значение корреляционного момента для этого случая.

µ1{x,y}= M{(x-Mx)(y-My)}.

y = ( x − Mx)2 . Тогда µ1{x,y}= M{(x-Mx)[(x-Mx)2-M{(x-Mx)2} ]}. Умножим выражение в квадратных скобках на множитель (x-Mx) и тогда µ1{x,y}= M{(x-Mx)(x-Mx)2-(x-Mx)M{(x-Mx)2}.

Подставим в это уравнение значение у согласно зависимости

Разнося символ математического ожидания по элементам в фигурных скобках, получаем

µ1{x,y}= M{(x-Mx)}M{(x-Mx)2}-M{(x-Mx)}M{(x-Mx)2}=0.

Таким образом, наличие стохастической связи налицо по условиям за-

дачи, и в то же время µ1{x,y}=0, тогда как значение µ1{x,y} должно отличаться от нуля. Причина этого «парадокса» проста: мы имеем параболическую зависимость y = ( x − Mx)2 , в то время как и «работают» только при линейной связи.

µ1{x,y} и коэффициент корреляции

8.3 Выборочный коэффициент корреляции. Свойства коэффициентов корреляции По своей статистической природе векторы-столбцы х1,х2, …,уg в таблице экспериментальных данных представляют собой выборочные данные, моделирующие соответствующие генеральные совокупности. Поскольку в связи с матричными расчетами при решении задач регрессии процедура включает исследование наличия линейной связи между всеми парами векторов х, постольку необходимо использовать выборочные коэффициенты корреляции r. Если неизвестны математическое ожидание и генеральная дисперсия, для расчета r приходится пользоваться их выборочными оценками, соот42

ветствующими уравнениям (10) и (12). Тогда выборочный корреляционный момент для первой пары векторов х1 и х2 будет равен

1 ∑ ( x1g − x1)( x2 g − x2) , n −1 где n – количество строк в таблице 3, т.е. объем выборки;

х

- арифметическое среднее по данному вектору х. Тогда с учетом (12) выборочный коэффициент корреляции r будет равен

r1,2 = где

∑ ( x1g − x1)( x2 g − x2) , (n −1)S x1S x2

(23)

S x − среднеквадратичное отклонение по данному вектору х.

Поскольку выборочный коэффициент корреляции r есть величина случайная, постольку необходимо оценить значимо ли статистически его значение. Это делается обычным путем с использованием доверительного интервала по данным таблицы r-распределения /4/. Отметим некоторые свойства коэффициентов корреляции: - коэффициент корреляции независимых величин равен нулю; - значение коэффициента корреляции не изменяется от прибавления к х или у каких-либо постоянных величин, а также при умножении или делении их на положительные числа. Поэтому при переходе к нормированной форме величин значение коэффициента корреляции не изменяется: - если одну из величин, не меняя другой, умножить на минус единицу, то и значение коэффициента корреляции изменит свой знак; - если значение коэффициента корреляции больше нуля, то коррелирующие величины одновременно возрастают или убывают, если же значение коэффициента меньше нуля, то с возрастанием одной величины другая убывает.

43

9 Лекция 9. Нахождение уравнения регрессии. Системы условных и нормальных уравнений 9.1 Условия (предпосылки) применения метода регрессионного анализа Метод регрессионного анализа является наиболее распространенным способом обработки экспериментальных данных. Он включает: - использование метода наименьших квадратов;

- отражение неизвестной функции истинного отклика ϕ(х), "спрятанной" в таблице экспериментальных данных, алгебраическим степенным по-

линомом η(х,b). Метод регрессионного анализа применим при соблюдении следующих условий: 1) массив значений откликов объекта исследования на данной g-строке таблицы экспериментальных данных имеет нормальное распределение с математическим ожиданием

σ

2

вос;

M{yg}=ϕ(х)

и дисперсией воспроизводимости

2) дисперсии σ вос на всех строках таблицы (для g=1,2,3,…,n) одинаковы, т.к. определяются только природой объекта исследования. Поскольку, как мы отмечали ранее, дисперсия воспроизводимости характеризует точность, с которой мы получаем значение отклика объекта исследования, постольку опыты при g=1,2,3,…,n равноточные, т.е. эксперимент воспроизводится при разных наблюдениях с одинаковой точностью; 3) результаты наблюдения отклика уg и их ошибки δg в различных опы2

тах независимы, т.е. корреляционные моменты µ11{yjyq} и µ11{δjδq} равны нулю; 4) независимые от отклика факторы воздействия на объект х и производные от них базисные функции f(х) определяются в эксперименте без ошибок в силу двух факторов: а) в случае наличия таких ошибок они "стекают" на отклик объекта, увеличивая рассеивание облака экспериментальных точек; б) влияние этих ошибок на рассеивание облака точек пренебрежительно мало по сравнению с влиянием шума; 5) векторы факторов воздействия на объект х и векторы производных от них базисных функций f(х) линейно не зависимы, т.е. ни один вектор нельзя получить как линейную комбинацию других. В противном случае определители матриц будут равны нулю и матричные расчеты станут невозможны. Это условие и проверяется значением коэффициентов парной корреляции;

44

6) существует идеальная математическая модель отклика объекта исследования

η(х,β),

адекватная функции истинного отклика и, таким обра-

зом, выполняется условие

η(х,β) = ϕ(х).

Целью обработки эксперимен-

тальных данных является нахождение статистической оценки модели η(х,β)

в виде экспериментального уравнения η(х,b). Сформированная таким образом задача носит название задачи регрессии, эксперимент называется регрессионным, уравнения (полиномы) – уравнениями (полиномами) регрессии, а сам метод решения называется регрессионным анализом. Этот термин отражает тот факт, что с увеличением степени полинома, т.е. с увеличением количества его членов, в общем случае ошибка уравнения уменьшается – "регрессирует". 9.2 Полином регрессии и система условных уравнений Как отмечалось ранее, конкретный вид полинома регрессии η(х,β) для данной таблицы данных обычно неизвестен, как и объективная функция

ϕ(х).,

которая "закодирована" данной таблицей данных эксперимента. Поэтому процедура регрессионного анализа начинается с выдвижения гипотезы о конкретном виде уравнения, которым мы намереваемся отразить экспериментальную табличную зависимость. Вид уравнения регрессии задается либо на основе каких-то математических, физических или профессиональных соображений, либо, при отсутствии последних, - в порядке альтернативы – нахождения для данной таблицы нескольких вариантов уравнений и сравнения их по точности воспроизведения табличного значения отклика уg. Таблица экспериментальных данных и принятая в виде гипотезы форма уравнения регрессии являются основными отправными условиями задачи и определяют последующий ход ее решения. Процедура обработки экспериментальных данных начинается с совмещения принятой формы уравнения с таблицей, для чего в уравнение подставляют значения факторов хkg в соответствии со строками таблицы данных, где g- номер строки таблицы, а k- номер вектора х. Это дает систему уравнений соответственно количеству строк в таблице экспериментальных данных. Рассмотрим изложенное на конкретном примере. Пусть мы имеем таблицу данных с двумя факторами х при числе строк п=7, которую мы хотим отразить уравнением

b + b ⋅ x1+ b ⋅ x2 + b ⋅ x1⋅ x2 + b ⋅ x12 + b ⋅ x2 2 = y . 0 1 2 12 11 22

(24)

Отметим, что левая часть полинома алгебраически представляет собой произведение двух векторов: - вектора коэффициентов b; 45

-

вектора множителей при этих коэффициентах  1 х1 х2 х1*х2 х12 х22 , который носит название вектора базисных функций. Если индексами при коэффициентах b будем обозначать комбинацию базисных функций при данном коэффициенте, а индексами при факторах х – номер строки таблицы, то в алгебраическом виде построенная система уравнений будет следующей:

b0 + b1х11 + b2х21 + b12х11х21 + b11х11х11 + b22х21 х21 = у1; b0 + b1х12 + b2х22 + b12х12х22 + b11х12х12 + b22х22 х22 = у2; b0 + b1х13 + b2х23 + b12х13х23 + b11х13х13 + b22х23 х23 = у3; b0 + b1х14 + b2х24 +b12х14х24 + b11х14х14 + b22х24 х24 = у4; b0 + b1х15 + b2х25 + b12х15х25 + b11х15х15 + b22х25 х25 = у5; b0 + b1х16 + b2х26 + b12х16х26 + b11х16х16 + b22х26 х26 = у6; b0 + b1х17 + b2х27 + b12х17х27 + b11х17х17 + b22х27 х27 = у7;

(25)

Однако, как отмечалось ранее, при воздействии на объект исследования факторами х, наличие и значение которых определяется самим экспериментатором, значение отклика уg формируется как за счет факторов х, так и за счет факторов w по уравнению (9). Представим себе, что мы многократно повторяем наблюдение, задавая одинаковые значение факторов x1g , x2g , . . . . . xкg для одной и той же g-ой строки таблицы экспериментальных данных. Значения откликов при этом в силу наличия шума в целом будет разными, т.е. значение случайной ошибки наблюдения при повторных опытах будет меняться. Распределение таких ошибок обладает важной особенностью - ошибки, противоположные по знаку и близкие по абсолютной величине, в среднем встречаются одинаково часто, т.е. распределение случайных ошибок симметрично относительно нуля. Отсюда следует, что если все допустимые значения yg по данной строке есть генеральная совокупность, то истинный результат наблюдения есть математическое ожидание случайной величины yg по этой строке. Третья предпосылка регрессионного анализа гласит, что наблюдаемое значение отклика yg есть нормально распределенная случайная величина с центром

M {y g }= ϕ (x g ),

где

M {y g } есть математическое ожидание случайной величины yg.

Таким образом, уравнение регрессии, которое получено в результате обработки экспериментальных данных, есть зависимость оценки математического ожидания отклика от факторов х.

46

В связи со случайным характером отклика уg левая и правая часть полученной системы уравнений (25) неравны, система является несовместной и не имеет единственного решения, т.е. не существует такой комбинации неизвестных коэффициентов bj , которая отвечала бы всем уравнениям системы. Поэтому такие системы носят название системы условных уравнений. Представим эту систему в новом виде

y1 -( b0+b1⋅x11+b2⋅x21+b12⋅x11⋅x21+b11⋅x112+b22⋅x212 )= e1, y2 - (b0+b1⋅x12+b2⋅x22+b12⋅x12⋅x22+b11⋅x122+b22⋅x222) = e2, ..................................................................................... .................................................................................... y6 - (b0+b1⋅x16+b2⋅x26+b12⋅x16⋅x26+b11⋅x162+b22⋅x262)= e6, y7 - (b0+b1⋅x17+b2⋅x27+b12⋅x17⋅x26+b11⋅x172+b22⋅x272)= e7, где еg − есть разность между левой и правой частями уравнений. Обратим внимание на то, что первый элемент левой части этой системы уравнений состоит из экспериментальных значений отклика уg, а второй – в круглых скобках, из значений, рассчитанных по уравнению регрессии (24). Поэтому невязку баланса левой и правой частей этих уравнений можно трактовать как отклонения расчетного значения отклика от экспериментального его значения. Cуммарный характеристикой этих отклонений является остаточная сумма SUM

ost

n  2  SUM = ∑  y − y  = ∑ e 2 , gr  g ost  g g =1

(26)

где уgr- расчетное значение отклика по уравнению (24). Эта величина позволяет сформулировать понятие наилучшего реше ния системы уравнений, которая не имеет единственного решения. Наилуч. шим будет решение, которое минимизирует остаточную сумму SUM

ost

Такой подход к решению задачи называется методом наименьших квадратов. В точке минимума функции (26) ее производные ∂SUM / ∂b рав-

ost

j

ны нулю. Дифференцируя уравнение (26) по всем коэффициентам регрессии и приравнивая нулю производные, получим систему нормальных уравнений /7/, которая совместна, имеет единственное решение и минимизирует остаточную сумму. Но для многофакторных полиномов высоких степеней способ создания системы нормальных уравнений через частные производные 47

сложен и трудоемок. Существует более простой способ построения системы нормальных уравнений путем пошагового преобразования системы условных уравнений. 9.3 Преобразование системы условных уравнений по методу Гаусса. Система нормальных уравнений Пошаговая процедура преобразования системы условных уравнений в систему нормальных уравнений была разработана Гауссом. На первом шаге процедуры каждое условное уравнение системы (25) умножается на свой множитель при первом коэффициенте регрессии b0, после чего все преобразованные таким образом условные уравнения складываются сверху вниз; суммарное уравнение и будет первым нормальным уравнением. Если, например, искомым уравнением регрессии будет полином вида

b + b ⋅ x1+ b ⋅ x2 + b ⋅ x1⋅ x2 + b ⋅ x12 + b ⋅ x2 2 = y , 0 1 2 12 11 22

(27)

то результат первого шага в алгебраическом виде будет следующим

n⋅b0+b1⋅∑x1+b2⋅∑x2+b12⋅∑x1⋅x2 +b11⋅∑x12+b22⋅∑x22=∑y, поскольку множителем при первом коэффициенте b0 является единица. На втором шаге каждое исходное условное уравнений умножается на свой множитель при втором коэффициенте b с последующим сложением уравнений и образованием второго нормального уравнения - и т.д. В итоге формируется система нормальных уравнений, число которых равно числу коэффициентов регрессии в уравнении (27). Для разбираемого примера это будет система шести уравнений, приведенная ниже. Система нормальных уравнений совместна, имеет единственное решение и минимизирует остаточную сумму, т.е. обеспечивает наилучшее решение системы условных уравнений из всех возможных решений.

nb0+b1∑x1+b2∑x2+b12∑x1x2+b11∑x12+b22∑x22=∑y, b0∑x1+b1∑x12+b2∑x1x2+b12∑x12x2+b11x13+b22∑x1x22=∑yx1, b0∑x2+b1∑x1x2+b2∑x22+b12∑x1x22+b11∑x12x2+b22∑x23= =∑yx2, 2 2 2 2 3 b0∑x1x2+b1∑x1 x2+b2∑x1x2 +b12∑x1 x2 +b11∑x1 x2+ (28) 3 +b22∑x1x2 =∑yx1x2 , 2 3 2 3 b0∑x1 +b1∑x1 +b2∑x2x1 +b12∑x1 x2+b11∑x14+b22∑x12x22=∑yx12, b0∑x22+b1∑x1x22+b2∑x23+b12∑x1x23+b11∑x12x22+b22∑x24=∑yx22. 48

10 Лекция 10. Нахождение уравнения регрессии. Вектор коэффициентов регрессии. 10.1 Основное уравнение процедуры регрессионного анализа Левая часть системы условных уравнений (25) представляет собой произведение матрицы на вектор коэффициентов b. Выделяя матрицу, получим

1 1 1 1 1 1 1

х11 х12 х13 х14 х15 х16 х17

х21 х22 х23 х24 х25 х26 х27

х11х21 х12х22 х13х23 х14х24 х15х25 х16х26 х17х27

х11х11 х12х12 х13х13 х14х14 х15х15 х16х16 х17х17

х21 х21 х22 х22 х23 х23 х24 х24 х25 х25 х26 х26 х27 х27,

(29)

где индекс при факторах х обозначает номер строки таблицы данных. Эта матрица называется матрицей базисных функций. Обозначим ее как матрицу F. Количество строк в ней равно количеству строк в таблице экспериментальных данных, а количество столбцов – числу коэффициентов b в уравнении регрессии (24), которое по условиям задачи мы должны найти.. Нетрудно видеть, что содержание матрицы F определяется формой полинома, а точнее - вектором базисных функций. Левая часть системы нормальных уравнений (28) представляет собой произведение некоторой матрицы на вектор коэффициентов b. Выделяя матрицу из системы уравнений , получим квадратную симметричную матрицу, размерность которой равна числу коэффициентов b в уравнении регрессии (24). Эта матрица называется матрицей моментов М. Для уравнения (24) матрица моментов имеет следующий вид:

Σx1 Σx1 Σx12 Σx2 Σx1x2 Σx1x2 Σx12x2 Σx12 Σx13 Σx22 Σx1x22 n

Σx2 Σx1x2 Σx22 Σx1x22 Σx12x2 Σx23

Σx1x2 Σx12x2 Σx1x22 Σx12x22 Σx13x2 Σx1x2

Σx12 Σx13 Σx12x2 Σx13x2 Σx14 Σx12x22

Σx22 Σx1x22 Σx23 (30) Σx1x23 Σx12x22 Σx24.

Таким образом, левую часть системы уравнений (28) можно представить в виде произведения

b× M . 49

Можно показать, что матрица моментов M = FT F , где F T - транспонированная матрица F . Если исходные факторы х преобразовать в нормированную форму (21), то с учетом свойств нормированных величин матрица моментов М от формы (30) будет приведена к следующему виду:

n 0 0

Σx1x2 n n

0 n Σx1x2 Σx12x2 Σx13 Σx1x22

0

Σx1x2

n Σx1x22 Σx12x2 Σx23

Σx1x2 Σx12x2 Σx1x22 Σx12x22 Σx13x2 Σx1x23

n Σx13 Σx12x2 Σx13x2 Σx14 Σx12x22

n Σx1x22 Σx23 Σx1x23 Σx12x22 Σx24.

Такой вид матрицы при решении задачи регрессии и будет свидетельством правильности промежуточных расчетов. Правая часть системы уравнений (28) представляет собой суммы пар – ных произведений. Развернем эти суммы в ряды слагаемых

y11+y21+ y31+ y41+y51+ y61+y71; y1x11+y2x12+ y3x13+ y4x14+y5x15+ y6x16+y7x17; y1x21+y2x22+ y3x23+ y4x24+y5x25+ y6x26+y7x27; y1x11x21+y2x12x22+ x14x24+y5x15x25+y6x16x26+y7x17x27; y1x112+y2x122+ y3x132+ y4x142+y5x152+ y6x162+y7x172; y1x212+y2x222+ y3x232+ y4x242+y5x252+ y6x262+y7x272. Отсюда видно, что правая часть системы нормальных уравнений (28) является произведением некой матрицы на вектор откликов yg. Выделяя матрицу, получим:

1 1 1 1 1 1 1 x11 x12 x13 x14 x15 x16 x17 x21 x22 x23 x24 x25 x26 x27 …………………………………………………………. ………………………………………………………….. x212 x222 x232 x242 x252 x262 x272.

50

T

Этот результат есть транспонированная матрица F, т.е. F . Таким образом, правая часть системы уравнений (28) есть произведение

y g F T и вся

система нормальных уравнений может быть представлена матричным уравнением

bM = F T y g , откуда следует

b = M −1( F T y g ) = ( F T F )−1( F T y g ) .

(31)

Это уравнение называется основным уравнением процедуры регресси онного анализа. Из уравнения следует, что решение задачи регрессии определяется видом матрицы F и вектором yg. Нахождение вектора коэффициентов в, т.е. получение уравнения регрессии, и составляет первую часть процедуры регрессионного анализа. После нахождения полинома регрессии следует оценить адекватность его функции истинного отклика, т.е. точность, с которой уравнение регрессии отражает таблицу экспериментальных данных. Решение этой задачи составляет вторую часть процедуры регрессионного анализа. 10.2 Коэффициенты регрессии свойства

b

как статистические оценки и их

Вектор откликов объекта исследования

y g есть случайная величина в

связи с действием неучтенных в эксперименте факторов. Вектор коэффициентов регрессии

b

связан с вектором

y g линейно, и в силу этого имеет тот

же случайный характер с тем же законом распределения. Случайной величиной являются и расчетные значения yrg по уравнению регрессии. В работе /1/ показано, что решение системы нормальных уравнений по формуле Крамера позволяет сделать вывод, что значения коэффициентов b зависит от количества членов уравнения регрессии, т.е. все коэффициенты являются взаимозависимыми случайными величинами. В уравнении могут быть коэффициенты, значения которых близки нулю. Тем не менее, просто исключать их из уравнения нельзя; нужно делать полностью новый расчет для другой формы полинома регрессии, т.е. без членов, близких нулю. При этом значения всех сохраненных коэффициентов меняются. Другими словами, возможна группа разных полиномов с приблизительно одинаковыми характеристиками точности для одной таблицы данных, т.е. само значение j-го коэффициента b неопределенно и не имеет физического смысла, отражающего сущность объекта исследования. Отсюда следует, что уравнение регрессии следует трактовать только как некую интерполяционную формулу, позво51

ляющую предсказывать значение отклика объекта в факторном пространстве без дополнительного опыта. Тем не менее, всегда нужно иметь в виду, что полином регрессии может совпасть с содержательной физико-математической моделью объекта исследования. Это обычно сразу резко повышает информационную ценность регрессионной модели объекта исследования. Приведем только один пример такого совпадения для уравнения пути, пройденного свободно падающим те-

gt 2 , st = s0 + v0t + 2

лом:

которое по форме точно воспроизводится уравнением регрессии

y = b0 + b1x + b2 x2 , Этот полином позволяет по экспериментальным данным рассчитать ускорение свободного падения для данной географической зоны по соотношению

g b = . 2 2

Введем уравнение (31) под символ математического ожидания и получим

{

{}

M b = ( F T × F ) −1 × M F T × y g поскольку величина

( F T × F ) −1 есть

FT где

× yg

есть

},

константа. Но произведение

n ∑ f ( xg ) × yg , g =1

f ( x g ) - соответствующий столбец матрицы базисных функций F.

Тогда

{}

Mb

= (F T

× F ) −1 ×

n ∑ f ( x g )× M y g g =1

{ }.

M {y g }= η ( x, β ) = f ( x) × β , постольку n T − 1 T M b = ( F × F ) × ∑ f ( x g )× f (x) × β . g =1

Поскольку

{}

Но 52

T

(32)

n T ( F T × F ) = ∑ f ( x g )× f (x) , g =1 поэтому

{}

M b = ( F T × F ) −1 × ( F T × F ) × β ,

{}

M b =β .

т.е.

(33)

Таким образом, математическое ожидание статистической оценки b равно самой оцениваемой величине, из чего следует, что b есть несмещенная оценка β. Оценки b являются и состоятельными, т.к. отвечают условию

(

Pn→∞  b − β 

) (b − β )≤ε  = 1, T



(34)

где ε - сколь угодно малая величина. Не приводя строгого математического доказательства состоятельности оценок, отметим только известное положение о том, что точность полиномов регрессии возрастает с увеличением степени, т.е. количества коэффициентов b в уравнении. Поэтому с ростом числа n значение b стремится к β и произведение в уравнении (34) уменьшается, с вероятностью Р становясь меньше величины ε.

53

11 Лекция 11. Дисперсия и корреляционные моменты коэффициентов регрессии Степень случайности и неопределенности значений коэффициентов регрессии b, как и обычно для случайной величины, может быть охарактеризована рассеиванием значений вокруг среднего, т.е. дисперсией и корреля – ционным моментом

µ11{bjbk}

( корреляционная связь характерна только

для случайных величин). Рассмотрим эти характеристики величины Для отдельного коэффициента регрессии можно записать

σ 2 = M {(b j − Mb j )×(b j − Mb j )}.

b. (35)

В силу равенства (33) следует

σ 2 = M {(b j − β j )×(b j − β j )},

(36)

а для второго смешанного центрального момента

µ11{b j bk }= M {(b j − β j )×(bk − β k )} .

(37)

Поскольку каждый коэффициент регрессии есть случайная величина, постольку мы имеем дело с векторами

b1, b2 , b3 ,...., b12 ,..., b123 ,... , т.е. общий вектор

b будет иметь вид b = (b0 , b1, b3 ,..., b12 ,..., bk )

(к+1) – мерного вектора. Дисперсия такого вектора будет характеризоваться дисперсионной матрицей размером (к+1)×(к+1). Обозначим эту матрицу

{}

как D b , где D - символ дисперсии. Тогда по аналогии с уравнением (35), справедливого для одного коэффициента, для всего вектора коэффициентов будем иметь

{ } {( ) ( ) }

D b = M b− β × b− β

T

.

(38)

Таким образом, уравнения (35), (36) и (37) относятся к отдельным единичным коэффициентам регрессии, а уравнение (38) – ко всем вместе.

54

В работе /3/ показано, что статистические оценки ≈

других линейных несмещенных оценок

b

b

на множестве всех

обладает наименьшей дисперсион≈

ной матрицей, т.е. всегда справедливо, что D{b} ≤ D{b} , а это есть условие эффективности оценок. Таким образом, возвращаясь к предыдущему разделу, можем констатировать, что коэффициенты регрессии являются состоятельными, несмещенными и эффективными оценками истинных коэффициентов регрессии β . Уравнение (38) после перемножения векторов расписывается в дисперсионную корреляционную матрицу, на главной диагонали которой находятся дисперсии коэффициентов регрессии, а остальные элементы матрицы суть парные корреляционные моменты коэффициентов (см. таблицу 5; в таблицу вписаны не все элементы матрицы). Наличие величин µ11 bi b j показывает, что коэффициенты регрессии

{ }

являются зависимыми друг от друга случайными величинами, а значение µ11 bi b j показывает силу стохастической связи между ними.

{ }

Если в уравнение (31)

b = M −1( F T y g ) = ( F T F )−1( F T y g ) вместо величины

y g подставить M { y g } , то справедливо

β = ( F T F )−1(F T M { y g }) . Таблица 5 – Дисперсионная матрица

σ 2 {b0 }

µ11{b0b1} µ11{b0b2 }

µ11{b1b0 } σ 2 {b1} …. ….

….

µ11{bi b1}

µ11{b1b2 } σ 2 {b2 }

(39)

{}

Db

….

….

µ11{b0bk }

….

….

….

….

….

….

….

….

µ11{bi b2 } σ 2 {bi }

55

µ11{bi +1b1}

….

µ11{bk b0 }

….

….

….

….

….

Выражения (31) и (39) для сем величину

b

и

…. ….

….

σ 2 {bk }

β подставим в уравнение (38) и выне-

( F T F )−1 за скобки. Получим

D{b} = M {[(F T F )−1 F T ( y − M { y g })]× ×[( y − M { y g })T F ( F T F )−1]}, что приводит к результату

D{b} = ( F T F )−1 F T M {( y − M { y g })( y − M { yg })T }× F ( F T F )−1 . Величина

( y − M { y g })

(40)

это вектор ошибок в экспериментальном оп-

ределении значения yg, т.е.

( y − M { y g })T = ( y1 − My1 ),( y2 − My2 ),...,( yn − Myn ) а вектор

( y − M { y g })

,

будет аналогичным вектором-столбцом. Обозначим

этот вектор как ϖ и рассмотрим произведение в выражении М{ϖ×ϖ }. Оно будет матрицей, элементы которой будут состоять из произведений типа T

(y1-M{y1})2 и (y1-M{y1})∗(y2-M{y2}). Но мы имеем не просто произве-

дения, а произведения под символом математического ожидания, например,

М{(y1-M{y1})(y2-M{y2})}. Поэтому эти произведения есть либо дисперсия массива величины y1 на первой (или вообще на g- строке), т. е. дисперсия воспроизводимости, либо второй смешанный центральный момент величин y1 и y2 (или вообще величин yk и yq). Значения дисперсий будут располагаться на главной диагонали матрицы, а остальные элементы матрицы будут заполнены моментами µ11 bi b j . Таким образом, структура

{ }

M {( y − M { y g })( y − M { yg })T } 56

или М{ϖ×ϖ } будет дисперсионной матрицей наблюдений эксперимента. Согласно условиям процедуры регрессионного анализа, во-первых, дис2 на разных строках таблицы эксперименперсии воспроизводимости σ vos T

тальных данных равны, поэтому выносим их за матрицу. Во-вторых, результаты наблюдений yg на разных строках таблицы независимы, и поэтому смешанные центральные моменты типа М{(y1-M{y1}) (y2-M{y2})} будут 2 за пределы равны нулю. Таким образом, после вынесения дисперсии σ vos матрицы, последняя превращается в единичную матрицу Е, и 2 . M {( y − M { y g })( y − M { yg })T } = Еσ vos

Теперь выражение (40) приобретает вид 2 . D{b} = ( F T F )−1 F T F ( F T F )−1σ vos

Первые три множителя являются единичной матрицей, поэтому получаем 2 = M −1σ 2 = Cσ 2 D{b} = ( F T F )−1σ vos vos vos

,

(41)

-1

где М – матрица моментов; С - обратная матрица. Уравнение (41) относится ко всему вектору коэффициентов регрессии, а для отдельных коэффициентов справедливо: 2 , (42) - для диагональных элементов σ 2 b j = C jjσ vos - для остальных элементов

{ } 2 . µ11{b j bq }= C jqσ vos

(43)

57

12 Лекция 12. Показатели качества уравнений регрессии 12.1 Остаточная дисперсия полинома регрессии Согласие между экспериментальными значениями отклика yg и вычисленными по найденному уравнению регрессии значениям отклика yrg в общем случае оценивают не по значению остаточной суммы SUMost (26), а по так называемой остаточной дисперсии уравнения регрессии , которая обозначается как

S2 : ost

n  2  y − yr  ∑  g g   SUM = g 1 ost = , S2 = ost n − (k +1) ( ) n − k +1

(44)

где (к+1) - количество коэффициентов b в уравнении регрессии (имеется в виду вектор коэффициентов b в виде вектора

b1 ,b2 ,b3 ,....,bi,...,bk ), n – число строк в таблице экспериментальных данных. Таким образом, в числителе уравнения (44) находится остаточная сум-

S 2 , а в знаменателе – число степеней свободы системы. ost Как было показано выше, величина yrg есть оценка М{yg }, поэтому 2 по своему содержанию является суммарной характеристипеременная S ost

ма

кой отклонения текущих значений случайной величины от среднего, т.е. именно дисперсией. Таким образом, остаточная дисперсия характеризует рассеивание наблюдений относительно оценки математической модели ∧

η ( x, b) =η ( x, β ) . Остаточная дисперсия является случайной величиной, так как она есть функция случайных величин yg и yrg, т.е. она имеет свое математическое ожидание и свою дисперсию. Можно показать, что

{ }

2 2 , M Sost = σ vos

т.е. что 58

S 2 есть несмещенная оценка дисперсии воспроизводимости. ost

Остаточная дисперсия сти

2 , σ vos

S2 ost

так же, как и дисперсия воспроизводим-

является мерой ошибки всей предшествующей процедуры обра-

ботки данных, но теперь, в отличие от ка. Во-первых, как и

2 , эта ошибка имеет два источниσ vos

2 , содержит ошибку экспериментального определеσ vos

ния значения yg. Во-вторых, она содержит ошибку расчетного определения значения yrg, т.е. ошибку уравнения регрессии. Таким образом, соотношение значений σ vos и S ost может иметь два результата. Если полином регрессии имеет ошибку, остаточная дисперсия будет больше дисперсии воспроизводимости, причем чем больше ошибка уравнения, тем больше разница между 2

2 и S2 . σ vos ost

2

Если же полином регрессии

η ( x, b)

адекватен функции ис-

тинного отклика ϕ(х), т.е. ошибка уравнения отсутствует и

2 . ТаS 2 =σ vos ost

ким образом, сопоставление этих дисперсий позволяет оценить точность полученного уравнения. Поскольку обе эти переменные являются случайными величинами, сравнивать их нужно не по фактическим единичным значениям, а с учетом рассеяния и с использованием интервальных оценок, что позволяет установить – значимо ли статистически различие между сравниваемыми величинами. Эта значимость проверяется по критерию Фишера F-распределения /3/, т.е. ошибка уравнения признается значимой, если 2 S ost 2 σ vos

где

〉 F1− p ,

(45)

F1− p - значение табличного квантиля распределения Фишера при принятой вероятности р и степенях свободы m1=n-(k+1), m2= ∞ ;

(k+1) – количество коэффициентов регрессии в полиноме.

Для учебных расчетов при р=0,95 и n=50 критической границей доверительного интервала ориентировочно можно считать F1− p =1,5. Если отношение (45) равно либо меньше 1,5– дисперсии статистически неразличимы, т.е. их можно считать находящимися в одном доверительном интервале, а полином - адекватным функции истинного отклика незначимости различия между

S2 ost

ϕ(х). Факт статистической

2 и σ vos является абсолютным показа-

телем точности найденного уравнения регрессии, т.е. того факта, что найден-

59

ное уравнение следует принять " в эксплуатацию". Если условие (45) соблюдается, уравнение имеет ошибку и необходимо взвесить – приемлем ли уровень этой ошибки или нужно искать другое уравнение. Оценку точности уравнения регрессии по условию (45) можно осуществить только при известном значении дисперсии воспроизводимости. Если 2 неизвестна, приходится прибегать к сравнительным критериям качества σ vos для нескольких альтернативных полиномов с выбором наиболее точного. В этом случае статистическую значимость различия дисперсий альтернативных полиномов проводят по условию 2 Sost −1 〉 F , 1− p 2 Sost − 2

где цифровой индекс есть номер уравнения, а в числителе ставится большая по значению дисперсия. Использование

S2 ost

имеет место и при определении дисперсии ко-

эффициентов регрессии по уравнениям (42,43). Если

2 неизвестна, σ vos

2 ее оценку пользуют аналоги этих уравнений, принимая вместо σ vos

ис-

S2 : ost

2 = M −1S 2 = CS 2 , D{b} = ( F T F )−1Sost ost ost

{b j }= C jj Sost2 , 2 . µ11{b j bq }= C jq Sost

- для диагональных элементов σ 2 - для остальных элементов

Чем больше по значению эти величины, тем хуже уравнение. Они могут быть использованы для сравнения качества альтернативных уравнений. В предельном случае – при идеальной модели нулю.

η ( x, β )

эти показатели равны

12.2 Показатель силы стохастической связи уравнения регрессии Рассмотрим дисперсию вектора yg. Поскольку этот вектор по своему содержанию является выборкой, дисперсия вектора yg будет равна

60

n 2 ∑ ( y g − y g sr ) g =1 S2 = yg n −1 где

,

(46)

2 -выборочная дисперсия, S yg y g sr - среднее арифметическое по выборке величины yg.

Значение компонент вектора yg определяется двумя факторами:

- функциональной зависимостью у=ϕ(х1,х2,…,хк),

влиянием функции шума δ(х). Оба эти фактора определяют и значение дисперсии вектора У. Конкретный

вид аналитической зависимости у=ϕ(х1,х2,…,хк) неизвестен, но ее табличный вид представляет объективно существующую функцию. В значе2 эта функция представлена составляющей y . Аналогично нии дисперсии S yg g

субъективная функция yrg=η(b,x), которой мы хотим отобразить объективную функцию у=ϕ(х1,х2,…,хк), представлена в выражении ( 44)

n  2  y − yr  ∑  g g   SUM ost = g =1 S2 = ost n − (k +1) n − (k +1) в виде переменной yrg. Таким образом, сопоставление дисперсий

S2 и ost

S 2 может показать, насколько принятый экспериментатором вид полинома yg регрессии согласуется с "объективной реальностью" в виде функции истин-

ного отклика ϕ(х). Означенное сопоставление дисперсий производится следующим образом /4/. Формулу (44) представим в виде 2 × n − (k +1) = ( y − yr ) 2 . Sost [ ] ∑ g g

(47)

Аналогично уравнение (45) представим в виде 2 × (n − 1) = ( y − y sr ) 2 . S yg ∑ g g

(48)

Рассмотрим отношения составляющих двух этих уравнений:

61

γ=

[

]=

2 S ost × n − (k +1) 2 S yg ×(n −1)

∑ ( y g − yrg )

2

∑ ( y g − y g sr )

2

.

(49)

Если уравнение регрессии адекватно идеальной математической моде-

ли и функции истинного отклика, т.е. зависимость у=ϕ(х1,х2,…,хк) имеет не стохастический, а функциональный характер, то yg=yrg и тогда значение функции (40) γ равно нулю.. Если же связи между величинами у и х нет и зависимость у=ϕ(х1,х2,…,хк) вообще отсутствует (т.е. величины х и у независимы), то и в числителе, и в знаменателе равенства (49) останется только одинаковая составляющая шума δ (w) и значение γ будет равно единице.. Все остальные значения величины γ , промежуточные между границами "0" и "1", означают переменную "степень функциональности" зависимости между у и х. Графически эту "степень функциональности" можно интерпретировать как тесноту размещения точек на графике стохастической зависимости – чем гуще дорожка точек, тем меньше значение γ . На практике используют не показатель γ , а обратную ему величину, равную

1−γ

. Ее поведение аналогично поведению коэффициента парной

ρх,у – если зависимость между величинами отсутствует, ρх,у равен нулю, если зависимость функциональная, ρх,у равен единице. Поэтому переменную 1−γ называют корреляционным отношением θ, тогда корреляции

n  2  ∑  y g − yrg   g =1  θ = 1−γ + 1− , 2 n     − y y sr ∑  g g   g =1 где

y sr − среднее арифметическое по вектору g

(50)

yg .

Таким образом, чем ближе значение θ к единице, тем сильнее сила стохастической связи в найденном уравнении, по которому рассчитано значение yrg. Если корреляционное отношение равно единице, то такая связь является функциональной. Это равносильно тому, что полином регрессии η ( x, b) адекватен идеальной модели η( x, β ) , где β - идеальные коэффици62

енты регрессии, т.е. адекватен и функции истинного отклика ϕ (x) , а значение yg в таблице экспериментальных данных равно их математическим ожи-

даниям M{yg}. Сравнение корреляционных отношений двух разных уравнений регрессии, найденных для одной таблицы экспериментальных данных , позволяет выявить более точное уравнение; при этом разница между значениями θ1 и θ2 должна быть статистически значимой. 12.3 Соотношение между коэффициентом корреляции и корреляционным отношением Для линейного уравнения

b0+b1x=y,

(51)

cистема нормальных уравнений состоит из двух уравнений

nbo+b1∑x=∑y, b0∑x+b1∑x2=∑xy. Решая ее относительно коэффициентов b, получаем

b0 = ∑ где

y − b1 x = ysr − b1xsr , n

(52)

ysr и xsr -средние арифметические по соответстующим массивам,

n yx − y x b1 = ∑ 2 ∑ ∑ 2 . n∑ x − (∑ x)

(53)

Учитывая, что ∑x=xsr×n=∑xsr, что справедливо и для "у" и преобразуя (53), получим

n∑ yx − n 2 × xsr × ysr ∑ yx − ∑ ysr × xsr = b1 = 2 2 2 2 n∑ x − (n× xsr ) ∑ x − ∑ xsr

(54)

Несложные преобразования показывают, что знаменатель этого уравнения равен

∑(x- xsr)2, а числитель -∑(x- xsr)(y-ysr), позтому

63

b1 = ∑ где Sy и

( x − xsr )( y − ysr ) (n −1)s y s x × 2 (n −1)s y s x ∑ ( x − xsr )

,

Sx – среднеквадратичные отклонения.

В последнем уравнении величина

1 ∑ ( x − xsr )( y − ysr ) × 1 (n −1)s y s x есть выборочный коэффициент корреляции, поэтому

s s s y x y b =r =r 1 xy 2 xy s s x x

,

(55)

т.е. уравнение (51) принимает вид

s

y x= y . b +r 0 xy s x

(56)

В соответствии с (52), имеем

откуда

b0+b1x=ysr-b1xsr+b1x=y, y-ysr=b1(x-xsr).

Остаточная дисперсия для линейной регрессии имеет вид

S2ost=[1/(n-2)]∑(yg-b0-b1x)2, тогда с учетом уравнения (52) будем иметь

S2ost=[1/(n-2)]∑[yg-(ysr-b1xsr)-b1x]2= =(1/n-2)∑[(yg-ysr)-b1(x-xsr)]2= =[(1/n-2)]∑[(yg-ysr)2-2b1(x-xsr)( yg-ysr)+b12(x-xsr)2]. 2

Знак суммы разносим по слагаемым и тогда для S ost получаем

64

S2ost=[1/(n-2)][∑(yg-ysr)2-2b1∑(x-xsr)( yg-ysr)+b12∑ (x-xsr)2]= =[1/(n-2)] [Sy2(n-1)-2b1rxy(n-1)Sy Sx+b12(n-1)S 2x]= =[(n-1)/(n-2)] (Sy2-2r2xyS2y +rxy2S 2y)=[(n-1)/(n-2)]Sy2(1-rxy). Итак, для линейного уравнения имеем

n −1 2 S2 = S (1− r 2 ) . ost n − 2 y xy

(57)

Поскольку в соответствии с (49)

S 2 [n − (k +1)] γ = ost , 2 S (n −1) yg совмещаем два последних результата в виде

n −1 2 S y (1− rxy2 )[n − (k +1)] γ = n −2 , 2 (n −1)S y и находим, что γ

= 1 − rxy2 , откуда rxy = 1−γ

.

Согласно (50)

θ = 1−γ

, т.е. для линейного уравнения коэффициент корреляции и корреляционное отношение совпадают. Таким образом, в отличие от коэффициента корреляции, корреляционное отношение охватывает все виды стохастической связи и является ее универсальной характеристикой.

65

13 Лекция 13. Построение оценки и доверительной области для математической модели объекта исследования Ранее отмечалось, что для полинома регрессии типа

b + b ⋅ x1+ b ⋅ x2 + b ⋅ x1⋅ x2 + b ⋅ x12 + b ⋅ x2 2 = y 0 1 2 12 11 22 левая часть алгебраически представляет собой произведение двух векторов: - вектора коэффициентов b ; - вектора множителей при этих коэффициентах

 1

х1

х2

х1х2

х12

х22 ,

который носит название вектора базисных функций. Матрица базисных функций F состоит из строк, образованных этими векторами. Поэтому расчетное значение отклика yg на g-ой строке таблицы экспериментальных данных есть произведение g-ой строки матрицы F на вектор коэффициентов

b.

f −T (x) , тогда расчетное −T ( x )b . значение отклика на g-ой строке таблицы данных будет равно f g Обозначим вектор базисных функций как

В математической статистике оценки обозначают символом оцениваемой величины со знаком " ∧", поэтому оценку математической модели объекта исследования обозначим как

∧ y ( x, β ) = y( x,b) = f −T ( x)b .

(58)

С помощью этой оценки мы можем предсказать значение отклика

f −T ( x g )b в любой точке факторного пространства.

В то же время идеальная модель отклика есть функция

η( x, β ) = f −T ( x)β = ϕ ( x) = M { y( x)} . Если x есть хg (конкретная точка факторного пространства), то пред сказанное значение отклика есть оценка истинного значения M { y( x g )} . Введем оценку математической модели (58) под символ математиче∧

ского ожидания

66

M { y( x, β )} = M { f −T ( x)b} = f −T ( x)M b ,

но

Mb= β

и поэтому ∧

M { y( x, β )} = f −T ( х) β = η( x, β ) ,

(59)

∧

т.е. y( x, β ) есть несмещенная оценка η ( x, β ) . Если оценить дисперсию оценки, то можно показать, что она является и эффективной. Аналогично ∧

можно доказать, что предсказанное значение отклика в g-точке такая же оценка

y( x g , b) есть

M { y g }.

Дисперсия оценки математической модели

D{ y( x, b)} = M {[ y( x, b) − M { y( x, b)}]2 }. С учетом (58) и (59) преобразуем это выражение

D{y(x,b)}= M{[ f −T (x)b − f −T (x)β )]2}. Правую часть этого уравнения представим в виде

M {[ f −T ( x)b − f −T ( x) β )]×[ f −T ( x)b − f −T ( x) β )]}, перемножаем выражения в квадратных скобках и, вынеся векторы базисных функций за скобки, получим

M { f −T ( x)(b − β )(b − β )T f − ( x)} = = f −T ( x)M {(b − β )(b − β )T } f − ( x)} , что означает в соответствии с (38)

или

D{ y( x,b)} = f −T ( x) D{b} f − ( x) ,

(60)

2 . D{ y( x,b)} = f −T ( x)M −1 f − ( x)σ vos

(61)

Дисперсию предсказанного значения ygr в g-точке можно рассчитать, подставив в (60) или (61) значения факторов по данной строке xg. Если дисперсия воспроизводимости неизвестна, используем ее оценку и тогда расчет ведем по формуле 67

2 . D{ y( x,b)} = f −T ( x)M −1 f − ( x)Sost

(62)

Можно показать /3/, что эта дисперсия меньше любой другой дисперсии любой другой оценки математической модели

~ D{ y( x, b)} < D{ y( x, b }, т.е. оценка математической модели является не только несмещенной, но и эффективной. Это же справедливо и для

y( x g , b) - для расчетного значения

отклика в данной точке факторного пространства, а в более узком смысле для расчетного значения отклика на данной строке таблицы экспериментальных данных. В геометрической интерпретации дисперсия D{ y( x, b)} есть пространственный коридор ошибок, с помощью которого можно построить до-

верительную область для оценки ~ y ( x, β ) . Для n-факторов х (n строк таблицы экспериментальных данных) доверительная область есть n-мерная поверхность во многомерном пространстве. Для двух факторов –это поверхность второго порядка, для одного фактора (одной строки таблицы экспериментальных данных) –это интервал. Интервальная оценка расчетного значения отклика

y( x g , b) является еще одним критерием качества полинома рег-

рессии – чем уже интервал, тем точнее уравнение. При функциональной зависимости длина интервала равна нулю. −T

−

В уравнении (62) выражение f ( x)M −1 f ( x) есть функция координат точки факторного пространства, для которой мы рассчитываем значение отклика, а векторы

f −T ( x), f − ( x)

являются вектором-строкой и век-

тором-столбцом для g-строки матрицы базисных функций

F, т.е. векторами

f −T ( x g ), f − ( x g ) . Обозначим это произведение как

f −T ( x)M −1 f − ( x) = d ( x) . В неравенство интервальной оценки показатель дисперсии входит под знаком квадратного корня. Тогда интересующая нас интервальная оценка будет иметь вид

y( x g , b) − u pσ vos d ( x g ) < M { y( x g , b)} < y( x g , b) + u pσ vos d ( x g ) , а при неизвестной дисперсии воспроизводимости неравенство примет вид 68

y( x g , b) − t p sost d ( x g ) < M { y( x g , b)} < y( x g , b) + t p sost d ( x g ) , где tp-табличный квантиль t-распределения Стъюдента. Обозначим левую часть неравенства как Лев_гр, правую как Пр_гр, тогда интервальной оценкой расчетного значения отклика

y( x g , b)

будет

Int=Пр_гр - Лев_гр. В работе /8/ для критических точек распределения Стьюдента (tpтабличный квантиль) по табличным данным t-распределения были найдены парные зависимости вида

t= где

ν , b1 ⋅ν −b0

b j - эмпирические коэффициенты;

ν

- число степеней свободы, т.е. для данного случая это разность [n-(k+1)], где (k+1) –количество коэффициентов b в уравнении регрессии. Для всех принятых вероятностей коэффициент корреляции табличных и расчетных данных для этих уравнений был более 0,99999. Значения коэффициентов b j составили: - при р=0,95 - при р=0,90 - при р=0,80

b0= − 0,6130; b0= − 0,5618; b0= − 0,5151:

b1= 0,5101; b1= 0,6079; b1=0,7803.

69

14 Лекция 14. "Ортогональная" регрессия. Пример планирования эксперимента Ранее было показано, что коэффициенты регрессии являются зависимыми друг от друга случайными величинами и что силу стохастической связи между ними характеризует значение второго смешанного центрального момента µ11 bi b j . При этом значение коэффициентов регрессии b j зависит

{ }

от количества членов уравнения, т.е. уменьшение или увеличение их числа влияет на значение всех коэффициентов, включенных в полином. Поэтому если какой-то из коэффициентов близок к нулю, нельзя его просто исключить из уравнения, расчеты для новой формы полинома нужно проводить вновь и полностью. Эта неопределенность значений коэффициентов делает невозможной их физическую интерпретацию и является принципиальным недостатком метода. Рассмотрим под этим углом строение матрицы моментов М. Ее элементы являются суммами произведений соответствующих векторов базисных функций вида

n −T − ∑ f gi f gj , а сама матрица есть произведение F T F . g =1

Если матрица будет диагональной, т.е.

n −T − ∑ f gi f gj = 0 при i≠ j , g =1

(63)

то система нормальных уравнений (28) распадется на простые уравнения вида

n M jj b j = ∑ yx j , g =1

(64)

где j - индекс соответствующего столбца матрицы F , Mjj- диагональный элемент матрицы моментов M. Зависимость коэффициентов регрессии друг от друга при этом исчезает, значение их станет однозначным и постоянным, т.е. исключение одного коэффициента из уравнения не будет влиять на значения других. Соотношение (64) есть условие ортогональности вектор-столбцов матрицы базисных функций F . Таким образом, для получения независимых коэффициентов регрессии нужно спланировать эксперимент так, чтобы выполнялись условия линейной независимости и ортогональности вектор-столбцов матрицы базисных функций F . 70

Один из таких подходов реализуется при так называемом полном факторном эксперименте. Рассмотрим его на конкретном практическом примере. Имеем трехфакторный объект исследования, который должен быть отражен моделью

b0+b1x1+b2x2+b3x3+b12x1x2+b13x1x3+b23x2x3=y.

(65)

Факторы x имеют так называемый "базовый" уровень значений – либо среднее, либо наиболее часто встречающееся значение. Пусть для факторов x1,x2 и x3 это будут уровни -100, -100 и 250. В эксперименте значение каждого фактора будет задано на двух уровнях по схеме

хниж=xбаз-∆x где

∆x -

хверх=xбаз+∆x,

и

шаг изменения значения фактора.

Эти характеристики приведены в таблице 6. Таблица 6 – Диапазон значений факторов Факторы Базовый уровень Шаг Верхний уровень Нижний уровень

хi

x1

x2

х3

хбаз

-100

-100

250

∆х х++

150

150

150

50

50

400

х--

-250

-250

100

Значение факторов задается в нормированном виде

xn+ + =

x+ + − xbaz ∆x

xn−− =

x−− − xbaz ∆x

для верхнего уровня и

для нижнего уровня. При этом все факторы приобретают только два значения: либо +1, либо –1. Полный факторный эксперимент содержит все возможные и неповторяющиеся комбинации уровней и факторов; если имеем n 71

факторов, количество комбинаций составит 2n, т.е. в данном случае эксперимент должен содержать восемь опытов, (восемь строк в таблице экспериментальных данных). Наблюдения на каждой строке таблицы дублируем по три раза. Это, во-первых, позволяет уменьшить ошибку экспериментального определения значения отклика (в таблицу данных вводится среднее его значение), во-вторых, дает информацию для получения оценки дисперсии воспроизводимости. Тогда в результате эксперимента будем иметь следующую таблицу экспериментальных данных. Таблица 7 –Таблица экспериментальных данных g

xn1

xn2

Xn3

Yg1

Yg2

Yg3

1 2 3 4 5 6 7 8

-1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1

-1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 +1

-1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 +1

74 -72 173 20 142 27 284 121

80 -62 185 19 158 42 260 112

65 -88 187 25 132 32 283 138

Как видим, столбцы факторов ортогональны. В данном случае количество наблюдений равно двадцати четырем. Первая строка содержит все факторы на нижнем уровне, последняя – на верхнем. Наблюдения в эксперименте варьируются случайным образом, т.е. проводится рандомизация процедуры, например, генерацией случайных чисел. При рандомизации получили следующую последовательность наблюдений (по три на каждой строке), приведенную в таблице 8, где "к" содержит номер наблюдения. Таблица 8 – Порядок наблюдений g

K1

K2

K3

1 2 3

10 7 15 11 18 2 5 16

22 6 17

13 19 20 3 8 24 4 23

4 5 6 7 8 72

1 14 12 21 9

Это означает, что в первое наблюдение (в таблице 8 его номер выведен полужирным курсивом) ведется по режиму четвертой строки (тоже выделено), а результат в таблице 7 записывается в колонке yg2, т.к. k2 находится во втором столбце таблицы 8. Такая технология нужна, чтобы исключить любые закономерности в формировании векторов базисных функций, которые должны лежать в разных базисных пространствах. Все эти векторы для данной задачи представлены в таблице 9. Таблица содержит средние значения отклика уg для данной строки и оценку дисперсии воспроизводимости. Таблица 9 – Матрица базисных функций

g f0

f1

F2

F3

f12 f13 F2 3

1 2 3 4 5 6 7 8

-1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1

-1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 +1

-1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 +1

+1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1

+1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1

+1 -1 +1 -1 -1 +1 -1 +1

S g2

yg

+1 +1 -1 -1 -1 -1 +1 +1

73,0 -74,0 181,7 21,3 146,4 33,7 275,7 123,7

57,0 172,0 57,3 10,3 172,0 58,3 184,3 174,3

Последнюю рассчитали по трем параллельным значениям отклика (см. таблицу 7). Цифры в заголовке колонок у символа f – это индексы коэффициентов регрессии в уравнении (65), которые идентифицируют соответствующие базисные функции. Оценку дисперсии воспроизводимости рассчитывали по уравнению

1 m 2 ( y − y )2 , S = ∑ g m −1 gq g q =1

(66)

где m –количество параллельных наблюдений,

y g - среднее значение отклика на данной строке таблицы данных. Наличие оценки дисперсии воспроизводимости

S g2

дает возможность

проверить соблюдение предпосылки применимости процедуры регрессионного анализа о равенстве дисперсий отклика при различных наблюдениях. Для этого нужно проверить гипотезу о равенстве нескольких дисперсий с помощью критерия Кокрена. Критерий Кокрена имеет вид /2/

73

max S g2 . G= n 2 ∑ Sg g =1 Проверка гипотезы показывает, что значение критерия 0,208. Граница критического интервала (при вероятности 0,95 и соответствующих степенях свободы системы) составляет 0,816 – т.е. значение критерия лежит внутри доверительного интервала и гипотеза о равенстве дисперсий воспроизводимости не отвергается. Если эксперимент невоспроизводим, следует использовать видоизмененную процедуру регрессионного анализа – взвешенный метод наименьших квадратов /3/. Следующим шагом процедуры является расчет коэффициентов регрессии. Диагональные элементы матрицы M для данного случая есть сумма квадратов вектор-столбцов f0, f1, f2 и т.д. и нормальные уравнения имеют вид

n n 2 b ∑ fj = ∑ y fj j g g =1 g =1

,

где все суммы левой части уравнений равны восьми. Таким образом, для первого, например, коэффициента b0 имеем b0 = 781,5/8 = 97,69. В результате получаем следующее уравнение регрессии

y=97,69-71,20xn1+53,20xn2+52,20xn3-6,90xn1xn2+ +5,60xn1xn3+2,20xn2xn3. Теперь нужно провести проверку статистической значимости вычисленных оценок коэффициентов регрессии. Ортогональность векторов базисных функций и обусловленная ею независимость коэффициентов регрессии друг от друга позволяют провести эту проверку для каждого коэффициента отдельно с использованием статистики t распределения Стъюдента. Проверяется гипотеза о равенстве коэффициентов регрессии нулю, рабочее значение статистики имеет вид /1/

tj =

b j −0

S{b j }

при числе степеней свободы ν=n(m-1) и двусторонней критической области t-распределения. Если tj попадает в критическую область, значение коэффициента bj статистически значимо и он должен быть включен в уравнение. В противном случае он равен нулю и в модель не включается.

74

Поскольку гипотеза о равенстве оценок дисперсии воспроизводимости не отвергнута, находим их обобщенную оценку S 2 как сумму всех оценок

S g2 , деленную на их количество, т.е. S 2

= 885,5:8=110,7. Дисперсии незави -

симых коэффициентов регрессии связаны с обобщенной дисперсией соотно-

S 2{b

ошением /3/

Тогда

S 2 {b j }

S2 }= . j n m⋅ 2

будет равна 4,61, а статистики

t для всех коэффициен-

тов регрессии будет соответственно равны 45,44 -33,12 24,74 24,28 3,21 2,60 1,02. Согласно таблице t –распределения Стъюдента при данных статистических условиях граница двусторонней критической зоны равна 2,12. Таким образом последний коэффициент b23 попадает в критический интервал, его значение статистически незначимо и он исключается из уравнения регрессии. Последним шагом процедуры является проверка адекватности полученного уравнения функции истинного отклика, которая проводится по статистике /3/ где

2 Sost F= 2 , S

S 2 -обобщенная оценка дисперсии воспроизводимости,

а знаменатель уравнения (44) остаточной дисперсии в данном случае равен разности числа опытов и количества статистически значимых коэффициентов регрессии, т.е. двум. Получено 2 S ost F = 2 = 158,44 = 1,4 ; 110,7 S 3

тогда как соответствующая граница критического интервала распределения Фишера составляет 2,85. Таким образом, отношение дисперсий не выходит за границы доверительного интервала, они статистически неразличимы и гипотеза об адекватности математической модели не отвергается. Недостатком данного способа решения задач регрессии является то, что при нем возможны только комбинации базисных функций вида xi или xi⋅xj. Действительно, для комбинации xi в четной степени колонка в таблице

β0, а для комбинации xi в нечетной степени – соответствующую колонку при βi. Матрица базис-

9 будет повторять первую колонку для коэффициента

ных функций F станет при этом вырожденной и матричные расчеты будут невозможны.

75

15 Лекция 15. Коэффициенты регрессии при неадекватной математической модели Математическая модель в виде полинома регрессии, адекватная функции истинного отклика, исследователю неизвестна так же, как и сама эта функция. Выбор из ряда альтернативных полиномов при приемлемой точности принятого варианта также не позволяет найти именно адекватную модель. Поэтому обычно приходится довольствоваться каким-то приближением. Пусть функция истинного отклика имеет вид

k3 k1 k2 ϕ ( x) = β 0 + ∑ bi x + ∑ β ij xi x j + ... + ∑ β iii x 2 + ... i i i =1 i =1 i =1, j >i

(67)

а мы в силу сложившихся обстоятельств можем искать только модель вида

k1 η ( x, β ) = β 0 + ∑ β i x i i =1

.

(68)

Это и будет неадекватностью математической модели функции истинного отклика. В функции (67) к+1 коэффициентов, а мы в (68) находим к0+1 их оценок. Размерность матрицы базисных функций F должна быть n(k+1), а мы имеем матрицу F0 с размерностью n(k0+1). В матрице F0 будут отсутствовать столбцы xij и xii , которые образуют полную или “истинную” матрицу F∗. Соответственно этой ситуации имеем векторы истинных коэффициентов

β 0 , β∗

и их оценок в полиноме регрессии b0 ,b* . Тогда в соответствии с основным уравнением процедуры регрессионного анализа (31)

b0 = ( F0T F0 )−1( F0T Y ) , а также

M {b0} = ( F0T F0 )−1( F0T M {Y }) . Поскольку расчетное значение отклика равно произведению строки матрицы базисных функций на вектор коэффициентов регрессии

y€( x g , β ) = y( x g ,b) = f −T ( xg )b , постольку

M {Y } = F β = F0 β 0 + F∗ β ∗ . Отсюда 76

M {b0} = ( F0T F0 )−1 F0T ( F0 β 0 + F∗ β ∗ ) = = ( F0T F0 )−1( F0T F0 ) β 0 Произведение

+ ( F0T F0 )−1( F0T F∗) β ∗

( F0T F0 )−1( F0T F0 ) есть единичная матрица, а произведение ( F0T F0 )−1( F0T F∗)

есть матрица, которую назовем матрицей смещения В, т.е.

M {b0 } = β 0 + B β ∗ .

(69)

Рассмотрим пример. Имеем таблицу экспериментальных данных при нормированной форме факторов Х (см. таблицу 10). Таблица 10 – План эксперимента G 1 2 3 4

X1 -1 +1 -1 +1

x2 -1 -1 +1 +1

x3 +1 -1 -1 +1

Пусть истинная зависимость есть

ϕ ( x) = β 0 + β1 x1 + β 2 x2 + β 3 x3 + β12 x12 + β13 x13 + β 23 x23 + β123 x123 а мы отражаем табличную функцию уравнением

ϕ ( x) = β 0 + β1 x1 + β 2 x2 + β 3 x3 . Тогда

+1−1−1+1 Матрица

F0=

+1+1−1−1 +1−1+1−1 +1+1+1+1

T

Матрицы (F 0F0)

-1

4000 T

, а матрица (F 0F0)=

0400 0040

.

0004

, (FT0F∗) и В и будут равны соответственно

77

1 000 4 1 0 00 4 1 00 0 4 1 000 4

0004

0001

0040

0010

,

,

.

0400

0100

4000

1000

В соответствии с уравнением (69)

M {b0 } = β 0 + B β ∗

Mb0 Mb1 Mb2 Mb3 т.е.

=

β0 β1 β2 β3

+

β123 β 23 β13 β12

,

Mb0 = β0 + β123; Mb1 = β1 + β 23; Mb2 = β 2 + β13; Mb3 = β3 + β12.

Таким образом, при неадекватной модели получаемые МНК-оценки коэффициентов регрессии содержат систематические ошибки, определяемые матрицей смещения и коэффициентами, не вошедшими в предполагаемую модель. Происходит смешивание теоретических коэффициентов в одной оценке, например, коэфициентов β 0 и β123 в оценке b0 . На практике иногда приходится сознательно работать со смещенными моделями, например, при невозможности обеспечить достаточное количество наблюдений в эксперименте из-за их трудоемкости или высокой стоимости. В таких случаях и возникает смещение, которое нужно оценить хотя бы качественно.

78

16 Лекция 16. Предварительная обработка экспериментальных данных 16.1 Исключение грубо ошибочных данных из вариационного ряда Предварительная обработка экспериментальных данных проводится в основном в двух целях: - отсеивание грубых погрешностей измерения, подсчета или записи цифрового материала; - оценка закона распределения случайной величины, которая является результатом наблюдений и, при необходимости, переход от этой величины к другой, имеющей нормальное распределение. Грубые ошибки при фиксировании значения экспериментальных данных – это аномальные, сильно выделяющиеся значения в вариационном ряду однородных данных. Появление таких значений связано либо с субъективной ошибкой самого экспериментатора, либо с резким нарушением режима проводимых испытаний. Такие значения обычно носят единичный характер и проявляются в одном-двух испытаниях из всей серии. Несмотря на малочисленность, эти значения могут внести существенные искажения в итоговые результаты обработки данных. Поэтому такие аномальные значения должны быть безусловно удалены из массива экспериментальных данных, но...! – аномальные значения не всегда ошибочны и иногда ведут исследователя прямо к нобелевской премии. Ибо существует и такая причина аномального значения экспериментальных данных как скачкообразное изменение показателей состояния объекта испытания при изменении параметров состояния воздействующей на него среды. Так, например, при монотонном изменении химического состава или температуры металлических сплавов в определенном и достаточно узком диапазоне этих изменений, в сплаве образуются новые структурные составляющие (фазы), резко изменяющие макроскопические свойства сплава. Еще шаг в приращении факторов воздействия – и эти фазы растворяются в основе сплава, возвращая исходный уровень свойств. Это и есть аномальный “срыв” значений наблюдаемых экспериментальных данных, исключить которые – значит “прозевать” критическое состояние материала, способное в будущем стать, например, причиной разрушения какойто конструкции. Наилучшим выходом из такой ситуации является повторение серии испытаний, которая содержит аномальные результаты. Это позволяет сделать однозначные выводы о том, случаен аномальный результат или нет. Но этот выход не всегда возможен. Чаще всего “аномальность” обнаруживается при итоговой обработке экспериментального материала. Так или иначе, признание результата наблюдения аномальным требует тщательной профессиональной экспертизы. Кроме вопроса о причине аномальности результатов данного наблюде79

ния есть и другой вопрос – с какого “критического” значения считать данный показатель аномальным? В литературе содержится много рекомендаций для отсева грубых погрешностей наблюдений /9/. Строго научный анализ массива наблюдений в этом отношении может быть проведен только статистическими методами. Каждая грубая ошибка вызывает нарушение закона распределения изучаемой величины, изменение его параметров – нарушается однородность наблюдений. Поэтому выявление грубых ошибок можно трактовать как проверку однородности испытаний или опытов. Показателем ошибочности данного наблюдения может служить лишь величина его отклонения от других наблюдений. Сомнительными могут быть крайние отклонения от среднего – как в ту, так и в другую сторону. Если ориентироваться на закон нормального распределения, то такие отклонения симметричны и исследуются одинаково, т.е. можно говорить об общем “крайнем” значении данной выборки. В случае нормального распределения для единичного значения данной случайной величины х при доверительной вероятности 1-р оценкой однородности будет соблюдение неравенства

х-М{х}<=U1-p⋅σ , где

(70)

М{х} и σ - известные параметры распределения; U1-p – квантиль стандартного нормального распределения.

Нарушение этого неравенства, т.е. условие х-М{х}>U1-p⋅σ, и будет признаком грубой ошибочности данного значения. Для выборки объемом n элементов соответствующая доверительная n вероятность будет равна (1-p) , т.е. вероятность однородности всех n событий уменьшается с ростом n и при n→∞ эта вероятность стремиться к нулю. Если х есть крайний элемент выборки , то доверительной оценке (70)

соответствует вероятность (1-p) ≅1-n×p. Тогда доверительной вероятности 1-р для одного крайнего элемента соответствует оценка /4/ n

х-М{х}<=U1-p/n⋅σ ,

(71)

т.е. элемент будет считаться грубо ошибочным, если на уровне значимости р

х-М{х}>U1-p/n⋅σ .

Все вышеизложенное справедливо для случая, когда известны пара 80

метры распределения М{х} и σ. Если же они не известны, то приходится использовать их выборочные оценки xsr и s. Тогда для крайнего элемента рабочей статистикой будет условие

tраб= х-хsr/s,

которое называется максимальным относительным отклонением и подчиняется распределению Стьюдента. Крайнее значение отбрасывается как грубо ошибочное при условии

х-хsr/s>t1-p

где t1-p есть квантиль распределения Стьюдента при данном объеме выборки. После исключения аномального значения из вариационного ряда статистические характеристики данной выборки пересчитываются для нового объема и новый крайний элемент может быть подвергнут новой проверке. Поскольку при использовании выборочных оценок возникает их смещение относительно оцениваемой величины, в рабочую статистику должна быть введена поправка

tраб= х-хsr/(s

n −1 ). n

В работе /5/ показано, что границы критической зоны τр (где р- процентная точка нормированного выборочного отклонения) выражаются через квантили этой точки распределения Стьюдента tр,n-2 по соотношению

τ p, n =

t

p, n − 2

(n − 2) + (t

⋅ n −1 p, n − 2

)2

(72)

С учетом этого уравнения для выборок большого объема (при n больше 25) рекомендуют /5/ следующую процедуру отсева аномальных данных: - выбирают значение xi c максимальным отклонением от среднего; - вычисляют значение рабочей статистики

tраб= х-хsr/(s

n −1 ); n

- по таблице t- распределения находят точки t0,05;n-2 и t0,001;n-2; - по уравнению (72) находят критические границы τ0,05;n и τ0,001;n. Эти точки ограничивают три зоны: - левую до границы t0,05;n-2; 81

- среднюю между границами t0,05;n-2 и t0,001;n-2; - правую от границы t0,001;n-2. Если значение рабочей статистики попадает в левую зону, крайнее значение не является аномальным. Если оно в средней зоне, то необходим профессиональный анализ ситуации и выработка дополнительных аргументов в пользу того или иного решения. Если tраб в правой зоне, крайнее значение безусловно отбрасывается. 16.2 Приведение распределения исследуемой величины кнормальному Предпосылки (условия) процедуры регрессионного анализа содержат требования нормального распределения отклика объекта исследования на данной строке таблицы экспериментальных данных. Нарушение этого условия затрудняет проведение второй части процедуры, т.к. делает невозможным использование параметров распределений, связанных с нормальным: u-

и t- распределений, F-распределения Фишера и χ распределения Пирсона. Нельзя пользоваться квантилями этих распределений, нельзя строить интервальные оценки с их помощью и, соответственно, нельзя проверять гипотезы об адекватности уравнений регрессии истинной математической модели. Обзор методов “экспрессной” проверки нормальности распределения данной выборки дан в работе /5/. Для небольших выборок (менее 120 элементов) рекомендуется использовать значение среднего абсолютного отклонения 2

∆х=∑(xi-xsr)/n.

Для выборки, имеющей приближенно нормальное распределение, справедливо условие

∆xi/s – 0,7979<0,4/ n . Для класса выборок 3
вания xmax-xmin. Для нормального распределения отношение этой величины к среднеквадратичному выборочному отклонению должно лежать в определенных границах, зависящих от объема выборки и доверительной вероятности. Значение нижних и верхних границ табулированы (см. приложение 6 в работе /5/). Проверка нормальности распределения может быть проведена по показателям асимметрии As=µ3/σ и эксцесса Ek=(µ4/σ )-3 (где µ- центральные моменты третьего и четвертого порядка). Для проверки используются несмещенные оценки этих показателей /5/ 3

82

4

Ans =

n(n −1) n−2

As ,

n −1 E = (n +1) E k + 6 . nk (n − 2)(n − 3)

[

]

Для приближенно нормального распределения эти показатели должны быть близки к нулю. Описанные методы используются для быстрой “прикидочной” оценки нормальности распределения. Если такой оценки недостаточно, проводят проверку гипотезы о нормальности закона распределения с использованием критерия согласия Пирсона. Практическая реализация этого метода описана в /1,2/. Если проверка нормальности распределения дала отрицательные результаты, следует преобразовать исходные данные таким образом, чтобы их распределение стало нормальным. Такие преобразования проводят, руководствуясь видом эмпирических полигонов и гистограмм частот распределения изучаемой случайной величины. Существуют, например, так называемые логарифмические нормальные распределения. Особенностью таких распределений является крутая левая ветвь полигона и пологая правая. Логарифмические распределения играют большую роль в математической статистике, так как очень часто встречаются в практике обработки экспериментальных данных и легко преобразуются к нормальному виду путем логарифмирования исходных данных. При логарифмировании левая ветвь кривой эмпирического распределения сильно растягивается и распределение становится приближенно нормальным. Таким образом, исследователь переходит к новой переменной z=ln x. Если при этом встречаются значения между нулем и единицей, то все вновь полученые значения для удобства расчетов и во избежание отрицательных значений K следует преобразовать по уравнению типа z=10 ⋅ ln х, где “к” – соответствующая константа. Асимметричные распределения с одной вершиной часто приводятся к нормальному виду за счет преобразования вида z=ln( x+к). В отдельных случаях возможны и другие преобразования типа z=1/ x или z=1/ х . Для нормализации смещенного вправо распределения используют тригонометрик ческие преобразования или степенные функции типа z= x . При умеренном правом смещении значение “к” принимают до 1,5, а при сильном - до двух. После завершения всей процедуры обработки данных для получения окончательного результата следует выполнить обратные преобразования приведения данных к исходному виду.

83

17 Лекция 17. Эмпирические формулы для нелинейной парной связи, получаемые методом линеаризации исходных уравнений 17.1 Линеаризация и построение функциональных шкал Известные МНК-оценки для коэффициентов линейной регрессии (52) и (53)

n ∑ y g − b1 ⋅∑ x g =1 b = 0 n

и

n n ∑ x ⋅ y − ∑ x ⋅∑ y g g g =1 b = 1 n⋅∑ x 2 − (∑ x) 2

могут быть использованы и для построения уравнений нелинейной парной регрессии. Для этого искомую нелинейную зависимость нужно привести к линейному виду (если это возможно). Такие преобразования называются ме тодом выравнивания или методом линеаризации функций. Рассмотрим, например, нелинейную зависимость вида

f(y)=b0+b1⋅ϕ(x),

(73)

где b0 и b1 -постоянные,

f(y) и ϕ(x)-строго монотонные функции. На плоскости 0ху функция (73) изображается некоторой кривой. Ввеновые переменные Х=ϕ(x) и У= f(y), которые преобразуют зависи-

дем мость (73) в уравнение

У=b0+b1⋅Х, (74) в силу чего точки графика Ni(Xi,Yi) на новой координатной плоскости 0ХУ

будут располагаться на прямой линии. Справедливо и обратное положение: если при построении на плоскости 0ХУ обнаружится, что точки Ni практически лежат на прямой линии, то между переменными х и у имеет место нелинейная зависимость (73). Построение линеаризующих координатных плоскостей 0ХУ проводят с использованием так называемых функциональных шкал. Принципы построения функциональных шкал рассмотрим на конкретном примере. Проследим изменение нелинейной функции у=х2 на отрезке [1,2]. Разобьем отрезок на десять частей и вычислим значение функции во всех точках деления. Соответствующие данные представлены в таблице 11.

84

Таблица 11- Значения функции в точках деления № точки Величина

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Х

1,00 1,10 1,20 1,30 1,40 1,50 1,60 1,70 1,80 1,90

2,00

У

1,00 1,21 1,44 1,69 1,96 2,25 2,56 2,89 3,24 3,61

4,00

х2-1

0,00 0,21 0,44 0,69 0,96 1,25 1,56 1,89 2,24 2,61

3,00

µ(х2-1)

0,00 0,84 1,76 2,76 3,84 5,00 6,24 7,56 8,96 10,44 12,00

Для того, чтобы нанести расчетные данные таблицы 11 на шкалу в границах отрезка Хк=2 и Хн=1, определим масштаб шкалы µ. Последний будет связан с длиной шкалы

L соотношением µ [ X k2

= µ [22-12], что

− X н2 ]

при L = 12 даст µ = 4. Поскольку шкала начинается со значения функции, равного единице, то в точках деления шкалы следует откладывать величины 4(х2-1) - см. таблицу 11. Данные таблицы 11 перенесем на чертеж, представленный на рисунке 5. Здесь против конца i-го отрезка деления шкалы поставлено i-ое значение аргумента х (нижний ряд цифр). Такие шкалы называют функциональными, так как они графически демонстрируют поведение функции на рассматриваемом отрезке. Теперь дополним полученную шкалу верхним рядом чиселравномерной шкалой значений функции на отрезке [1,2]. На этой двойной шкале теперь можно находить значения функции х2. Для этого следует найти 1,0 1,3 • •

1,6

• •

1,9 2,2

• •

• •

1,0 1,1 1,2 1,3

2,5

• •

1,4

2,8 3,1 3,4

• •

• •

1,5 1,6

•

.

3,7 4,0

•

•

•

•

•

1,7

1,8

1,9

• •

2,0

Рисунок 5 - Шкала значений х во второй степени

85

значение аргумента х на нижней шкале и прочесть соответствующее значение этой точки на верхней шкале. Если же х определить сперва на верхней шкале, то соответствующее значение на нижней даст значение x при значениях х в диапазоне от 1 до 4. Функциональные шкалы нашли широкое применение при обработке экспериментальных данных благодаря тому, что графики многих функций путем специального подбора функциональных шкал могут быть преобразованы к прямолинейному виду. После этого коэффициенты “псевдолинейной ” регрессии могут быть определены по соотношениям (52) и (53). Упражнение к разделу. Прологарифмируем показательную функцию У х=10 . Для полученной после этого функции у=lgx (75) построить функциональную шкалу на участке [1,10] при масштабе 25. 17.2 Функциональные сетки и их применение Рассмотрим уравнение

у=0,6⋅х2+ 20

(76) На вертикальной оси графика построим обычную равномерную шкалу значений функции, а на горизонтальной - функциональную шкалу квадратов на отрезке [0,10]. Тогда для µ[ X k2 − X н2 ] = µ [100-0]=12 см масштаб µ будет равен 0,12. Построенная таким образом координатная сетка представлена на рисунке 6. Построение такой сетки эквивалентно замене переменных х2=р. В новых координатах уравнение (74) примет вид

у=0.6⋅р+20

(77)

и график этой функции на рисунке 6 будет представлен прямой линией. Координатные сетки, построенные с помощью функциональных шкал, называют функциональными сетками. Для построения новых координат особенно часто используют логарифмические шкалы, с помощью которых можно линеаризовать графики степенных и показательных функций. Если из двух осей 0у и 0х одна является логарифмической, а другая равномерной, сетка называется полулогарифмической, если обе оси логарифмические- то и сетка называется логарифмической. Такие сетки выпускаются на стандартной логарифмической и полулогарифмической бумаге.

86

Функция У

100 90 80 70 60 50 40 30 20 10

10

0 ! ! ! 0 2 3

20

30

!

!

4

5

40

50

!

6

!

7

60

70 !

8

80

90

!

9 10 А р г у ме н т Х

Рисунок 6 - Функциональная сетка х2 Упражнение к разделу. Построить координатную полулогарифмическую сетку для функции (74) на участке [1,10]. Горизонтальная шкала - логарифмическая, вертикальная (значение функции)- обычная равномерная. Для сравнения постройте обычный график с равномерными осями х и у. Если экспериментальные данные, нанесенные на координатную сетку, образуют криволинейный график, то по ограниченному графиком участку трудно обычно судить, каким уравнением отражать эту кривую. Переведя экспериментальные данные на ту или иную заранее заготовленную функциональную бумагу, исследователь может судить, на какой из них данные располагаются ближе всего к прямой- это и будет наиболее подходящая линеаризованная зависимость. Выбрав таким образом вид уравнения, находим для ее линеаризованной формы коэффициенты линейной регрессии по МНК- оценкам (52) и (53). После этого изучаются показатели качества построенного уравнения, например, по остаточной дисперсии уравнения. Если эти результаты приемлемы - линеаризованное уравнение преобразуется к исходному нелинейному виду.

87

17.3 Получение уравнений нелинейной парной регрессии методом перебора С развитием методов обработки экспериментальных данных на ЭВМ применение функциональных координатных сеток потеряло свое прикладное значение. Прикладное, но не теоретическое, поскольку метод функциональных шкал и сеток способствует глубокому пониманию сущности линеаризации. Современные же методы выбора оптимальной формы уравнения регрессии основаны на формальном переборе всех охваченных данной компьютерной программой вариантов. Используя возможности ЭВМ, вместо применения сеток проще перебрать наиболее употребительные парные линеаризованные функции, найти таким образом группу альтернативных уравнений и выбрать из них наиболее подходящее. Сравнение уравнений производят либо по коэффициенту корреляции табличного и расчетного значения у для линеаризованной формы уравнения, либо по величине остаточной дисперсии разных уравнений. Однако, нужно помнить, что для такого сравнения различие между величинами должно быть статистически значимым. При этом рекомендуется в качестве одного из альтернативных вариантов рассмотреть и алгебраический полином третьей - пятой степени, полученный методом классического регрессионного анализа. 17.4 Задания по теме и порядок их выполнения 1)

На практических занятиях в порядке выполнения контрольной работы линеаризовать следующие парные зависимости:

y=b0 + b1⋅x2 3) y=b0 + b1/x 5) y=1/(b0 + b1⋅x) n 7) y= b0 + b1⋅x 9) y= b0 + b1⋅lg(x) 11) y=b0 ⋅ exp(b1⋅x) 13) y=1/(b0+b1⋅exp(-x)) 15) y= b0 ⋅ x b1 1)

2)

y=b1⋅x +b2⋅x2 x 4) y=b0 ⋅ b1 6) y=x/ (b0 + b1⋅x) 8) y= b0 + b1⋅ln(x) 10) y=b0 /( b1 +x) 12) y=b0 ⋅ exp(b1/x) b1⋅x 14) y=b0⋅10 16) y=b0 ⋅x/(b1+x)

2) Задачи, приведенные ниже, выполняются в виде домашних индивидуальных заданий. По указанию преподавателя студент для условий одной из задач находит ряд альтернативных уравнения согласно предыдущему разделу 1 и показатели качества этих уравнений. Затем на практических занятиях из всех совместных решений нескольких расчетчиков для данной задачи выбирается наилучшее решение. 88

Задача 1. Переменные: х- год; у - население земного шара в млрд. g x y G x y 1

1000

0.27

7

1900

1.62

2

1300

0.37

8

1950

2.48

3

1500

0.45

9

1975

4.00

4

1600

0.51

10

1995

5.2

5

1700

0.65

11

2000

6.10

6

1800

0.91

Задача 2. Переменные: х- превышение температуры твердого тела над

температурой окружающей среды, град С0; у -скорость охлаждения тела, град/мин.

х

220

200

180

160

140

120

100

у

8,81

7,40

6,10

4,89

3,88

3,02

2,30

Задача 3. Переменные: х - масса студента 3-го курса, кг; у - рост, см. g

x

y

G

x

Y

1

72

183

10

79

177

2

83

176

11

84

176

3

68

178

12

80

179

4

83

180

13

65

167

5

71

184

14

62

166

6

70

174

15

68

170

7

85

189

16

70

177

8

60

167

17

71

174

9

74

178

18

76

176

89

9 Задача 3а. В предыдущей задаче в таблице поменяйте местами х и у.

Задача 4. Переменные: х - масса живого существа, кг; у -интенсивность энергообмена в организме, ккал/кг. Существо

х

у

Морск. свинка

0.7

223

Собака

2

58

Студент

70

33

Лошадь

600

22

Слон

4000

13

Кит

150000

1,7

Задача 5. Переменные: х - скорость судна в узлах ; у - необходимая для обеспечения этой скорости мощность двигателя в лошадиных силах.

Х

5

6

7

8

9

11

12

У

290

426

560

848

1144

1810

2300

Задача 6. Переменные: х - температура подшипника,С0; у - коэф. трения.

90

Х

60

70

80

90

100

110

120

у⋅10-4

148

124

102

85

71

59

51

Список использованных источников 1 Бородюк В.П., Вощинин А.П., Иванов А.З. и др. Статистические методы в инженерных исследованиях.- М.: Высшая школа,1983.- 216 с., ил. 2 Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика.- М.: Высшая школа, 2001.-479 с., ил. 3 Иванов А.З., Круг Г.К., Филаретов Г.Ф. Статистические методы в инженерных исследованиях. Регрессионный анализ. - М.: МЭИ,1977.-203 с., ил. 4 Пустыльник Е.И.. Статистические методы анализа и обработки наблюдений.- М.: Наука,1968.- 288 с., ил. 5 Львовский Е.Н. Статистические методы построения эмпирических формул. - М.: Высшая школа,1988.- 239 с., ил. 6 Конончук Н.И. Методы оценки выносливости жаропрочных сплавов.М.: Металлургия,1966.- 248 с., ил. 7 Гутер Р.С., Овчинский Б.В. Элементы численного анализа и математической обработки результатов опыта. - М.: Наука,1970.- 432 с., ил. 8 Шашков В.Б. Некоторые результаты компьютерных экспериментов, моделирующих процедуры оценивания параметров распределения. Вестник ОГУ– Оренбург: ИПК ГОУ ОГУ,2004. - №7. – с. 121-126. 9 Микешина Н.Г. Выявление и исключение аномальных значений. Заводская лаборатория.- М.: Наука - 1966.-№3.- с.310-316. 10 Шашков В.Б. Прикладной регрессионный анализ. Многофакторная регрессия: [Электронный ресурс]: Учебное пособие. – Оренбург: ГОУ ОГУ (электрон. изд.), 2003.

91

Приложение А (рекомендуемое) Пошаговая процедура решения задач регрессии Индивидуальное учебное задание для лабораторного практикума содержит таблицу экспериментальных данных и исходную форму полинома, котоорым предлагается аппроксимировть данную табличнозаданную функцию.

Первый шаг. Нормирование табличных аргументов-факторов. Проводится нормирование аргументов х табличнозаданной функции У по соотношению (21). Результаты нормирования проверяются путем расчета сумм нормированных компонент векторов Х и сумм квадратов этих компонент. Второй шаг. Расчет коэффициентов парной корреляции векторов Х. Расчет проводится по уравнению (А.1).

rx1, x2 =

∑ ( x1i − x1sr )( x2 i − x2sr )

(n −1)S x1S x2

,

(А.1)

где Sx – среднеквадратичное отклонение по векторам Х. Затем формула (78) преобразуется для нормированной формы векторов Х с учетом свойств нормированных величин и коэффициенты парной корреляции повторно рассчитываются по преобразованной формуле. В том случае, если какой-то из коэффициентов будет равен единице, один из векторов должен быть преобразован для нарушения линейной связи со своим парным вектором. По завершении всей работы по обработке данных должен быть выполнен перерасчет преобразованного вектора к исходной форме.

Третий шаг. Расчет матрицы базисных функций F. Для образования матрицы вектор базисных функций, отвечающий исходному полиному регрессии, заполняется нормированными значениями факторов Х согласно строкам таблицы экспериментальных данных. Четвертый шаг. Расчет матрицы моментов М в соответствии с разделом 9.3. Пятый шаг. Получение матрицы С , обратной матрице М. Шестой шаг. Преобразование вектора yg. Каждая “к”-тая компонента преобразованного вектора равняется произведению “к”-того столбца матрицы F на исходный вектор Yg.

92

Седьмой шаг. Нахождение исходной формы полинома регрессии, т.е. вектора коэффициентов регрессии

b . Каждая “к”-тая компонента век-

тора b равняется произведению “к”-той строки обратной матрицы С на преобразованный вектор yg.

Восьмой шаг. Определение показателей качества исходного уравнения регрессии: остаточной дисперсии и корреляционного отношения. Девятый шаг. Определение показателей качества исходного уравнения регрессии: интервальной оценки М{ yrg } и дисперсионной матрицы. Десятый шаг. Нахождение ряда альтернативных уравнений регрессии, поиск полинома, отражающего табличнозаданную функцию более точно, чем исходное уравнение регрессии. Одиннадцатый шаг. Пересчет принятого уравнения регрессии для исходной (т.е. ненормированной формы) факторов Х. Сводный итоговый отчет составляется в соответствии со стандартом ГОУ ОГУ. Отчет должен содержать сопоставление исходного уравнения регрессии и принятого альтернативного полинома с соответствующими выводами и заключением.

93

Приложение Б (обязательное) Задачи регрессии для лабораторных работ Задача № 1 Таблица Б.1 - Экспериментальные данные g 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 94

X1 2 173.50 194.05 209.37 221.52 231.49 239.88 247.04 253.22 258.59 263.29 267.42 271.05 274.24 277.06 279.53 281.69 283.58 285.21 286.62 287.81 288.81 289.63 290.28 290.78 291.13

X2 3 83.00 74.25 65.00 56.25 45.00 38.25 36.00 27.25 16.00 12.25 9.00 6.25 -1.00 -1.75 -5.00 0.00 0.00 4.00 7.00 11.00 11.00 16.00 21.00 27.00 33.00

X3 4 22.00 48.00 56.00 81.00 89.00 100.00 126.00 132.00 151.00 174.00 186.00 203.00 223.00 238.00 246.00 259.00 282.00 288.00 304.00 320.00 353.00 353.00 377.00 402.00 402.00

X4 5 161.10 158.80 155.10 152.40 152.10 147.20 143.50 140.80 139.10 134.80 133.30 131.40 125.50 125.00 121.90 118.60 115.70 112.20 110.30 107.00 104.90 102.00 97.30 94.80 91.10

X5 6 243.20 234.80 223.80 215.20 187.00 190.20 181.80 174.80 163.20 148.00 121.20 135.80 123.80 108.20 97.00 101.20 87.80 79.80 82.20 60.00 76.00 76.80 45.60 33.40 58.20

Y 7 169.91 138.22 69.01 72.50 40.83 96.49 82.22 115.50 126.87 160.31 159.74 215.98 196.75 237.24 217.10 254.35 205.54 238.28 222.52 235.60 208.35 249.94 208.17 260.02 217.63

Продолжение таблицы Б.1 1 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

2 291.35 291.43 291.40 291.25 291.00 290.64 290.19 289.65 289.02 288.31 287.51 286.65 285.71 284.70 283.62 282.48 281.28 280.03 278.71 277.34 275.92 274.45 272.92 271.36 269.74

3 39.00 44.00 52.00 60.00 69.00 59.80 65.80 72.20 79.00 86.20 93.80 101.80 110.20 119.00 128.20 137.80 147.80 158.20 169.00 180.20 191.80 203.80 216.20 229.00 242.20

4 418.00 438.00 452.00 477.00 493.00 505.00 523.00 534.00 553.00 569.00 587.00 604.00 608.00 639.00 650.00 659.00 682.00 692.00 707.00 727.00 753.00 756.00 771.00 791.00 804.00

5 12.20 17.10 18.00 21.50 25.80 27.90 31.00 34.70 37.40 38.70 41.00 45.30 46.20 49.10 52.00 58.30 58.00 62.50 67.20 66.90 69.80 73.50 76.00 80.70 83.60

6 68.20 34.40 55.60 83.80 77.00 78.00 91.20 95.80 102.80 104.20 115.00 124.20 124.80 153.80 126.20 158.00 175.20 191.80 191.80 207.20 190.00 227.20 242.80 246.80 252.20

7 216.33 208.81 234.50 212.37 241.34 218.42 235.38 206.90 239.72 214.53 267.50 244.47 274.28 253.85 280.99 279.16 309.39 292.59 321.70 307.64 335.85 311.29 335.23 303.88 329.51

Исходное уравнение регрессии, записанное в индексах эмпирических коэффициентов регрессии b

0 2 3 14 23 25 45 123 125 134 135 235 345 1234 2345 11 44 55 111 222 333 555

95

Задача № 2 Таблица Б.2 - Экспериментальные данные g 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 96

X1 2 3.60 3.75 3.90 8.20 4.30 4.30 4.30 2.65 1.00 2.75 4.50 3.05 1.60 3.20 4.80 3.50 2.20 2.80 3.40 4.15 4.90 5.05 5.20 5.35 5.50 5.80 6.10 6.00 5.90 5.95

X2 3 9.22 8.64 8.06 7.42 6.78 6.78 6.78 9.89 13.00 8.29 3.58 7.29 11.00 7.13 4.25 6.63 9.00 8.45 7.90 7.55 7.20 5.38 3.56 4.88 6.20 4.95 3.70 3.35 3.00 2.50

X3 4 9.00 9.50 10.00 10.50 11.00 11.00 11.00 9.00 7.00 9.50 12.00 9.00 6.00 9.50 13.00 9.00 5.00 4.50 4.00 3.50 3.00 8.50 14.00 8.00 2.00 1.50 1.00 8.00 15.00 15.50

X4 5 8.80 10.90 13.00 14.50 16.00 16.00 16.00 7.50 11.75 21.00 14.25 11.00 16.00 22.90 16.95 13.60 18.25 16.20 14.90 17.30 16.75 26.00 21.65 21.80 23.90 28.00 24.90 27.00 27.50 29.00

X5 6 25.00 30.00 35.00 42.00 49.00 49.00 49.00 29.00 9.00 37.50 66.00 35.00 4.00 46.00 88.00 45.00 2.00 3.50 5.00 6.50 8.00 53.50 99.00 55.00 11.00 16.50 22.00 71.00 120.00 104.50

Y 7 17.00 18.50 20.00 22.00 24.00 24.00 24.00 25.50 27.00 28.50 30.00 32.50 35.00 38.50 42.00 44.00 46.00 47.50 49.00 50.50 52.00 56.00 56.00 59.50 63.00 66.50 70.00 71.50 73.00 81.00

Продолжение таблицы Б.2 1 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

2 6.00 6.50 7.00 8.00 9.00 10.50 12.00 14.00 16.00 18.50 21.00 17.00 34.00 42.00 48.00 53.00 57.00 60.00 62.00 61.00

3 2.00 1.50 1.00 0.75 0.50 0.30 0.10 0.55 1.00 2.00 3.00 5.00 7.00 9.00 12.00 14.00 19.00 35.00 32.00 40.00

4 16.00 16.50 17.00 17.50 18.00 18.50 19.00 19.50 20.00 20.50 21.00 22.00 23.00 24.00 25.10 26.30 27.07 29.20 30.80 32.50

5 28.00 33.00 31.00 36.00 34.50 39.00 37.50 30.00 34.50 25.00 27.50 20.00 18.00 16.00 15.00 14.00 13.00 12.00 11.00 10.00

6 89.00 78.00 67.00 56.00 45.00 34.50 24.00 21.50 19.00 16.00 11.00 8.00 6.00 5.00 4.50 4.00 3.50 3.00 2.00 17.50

7 89.00 97.00 105.00 116.00 127.00 139.50 152.00 168.50 185.00 227.00 287.00 300.00 320.00 330.00 335.00 338.00 340.00 342.00 343.00 206.00

Исходное уравнение регрессии, записанное в индексах эмпирических коэффициентов регрессии b

0 2 3 4 14 15 23 25 45 123 125 134 135 235 345 1234 2345 11 44 55 222 333 555

97

Задача № 3 Таблица Б.3 - Экспериментальные данные g 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 98

X1 2 3.60 3.75 3.90 4.10 4.30 4.30 4.30 2.65 1.00 2.75 4.50 3.05 1.60 3.20 4.80 3.50 2.20 2.80 3.40 4.15 4.90 5.05 5.20 5.35 5.50 5.80 6.10 6.00 5.90 5.95

X2 3 9.22 8.64 8.06 7.42 6.78 6.78 6.78 9.89 13.00 8.29 3.58 7.29 11.00 7.63 4.25 6.63 9.00 8.45 7.90 7.55 7.20 5.38 3.56 4.88 6.20 4.95 3.70 3.35 3.00 2.50

X3 4 9.00 9.50 10.00 10.50 11.00 11.00 11.00 9.00 7.00 9.50 12.00 9.00 6.00 9.50 13.00 9.00 5.00 4.50 4.00 3.50 3.00 8.50 14.00 8.00 2.00 1.50 1.00 8.00 15.00 15.50

X4 5 8.80 10.90 13.00 14.50 16.00 16.00 16.00 11.75 7.50 14.25 21.00 16.00 11.00 16.95 22.90 18.25 13.60 14.90 16.20 16.75 17.30 21.65 26.00 23.90 21.80 24.90 28.00 27.50 27.00 28.00

X5 6 25.00 30.00 35.00 42.00 49.00 49.00 49.00 29.00 9.00 37.50 66.00 35.00 4.00 46.00 88.00 45.00 2.00 3.50 5.00 6.50 8.00 53.50 99.00 55.00 11.00 16.50 22.00 71.00 120.00 104.50

Y 7 17.00 18.50 20.00 22.00 24.00 24.00 24.00 25.50 27.00 28.50 30.00 32.50 35.00 38.50 42.00 44.00 46.00 47.50 49.00 50.50 52.00 54.00 56.00 59.50 63.00 66.50 70.00 71.50 73.00 81.00

Продолжение таблицы Б.3 1 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

2 6.00 6.50 7.00 8.00 9.00 10.50 12.00 14.00 16.00 18.50 21.00 17.00 34.00 42.00 48.00 53.00 57.00 60.00 62.00 61.00

3 2.00 1.50 1.00 0.75 0.50 0.30 0.10 0.55 1.00 2.00 3.00 5.00 7.00 9.00 12.00 14.00 19.00 35.00 32.00 40.00

4 16.00 16.50 17.00 17.50 18.00 18.50 19.00 19.50 20.00 20.50 21.00 22.00 23.00 24.00 25.10 26.30 27.07 29.20 30.80 32.50

5 29.00 31.00 33.00 34.50 36.00 37.50 39.00 34.50 30.00 27.50 25.00 20.00 18.00 16.00 15.00 14.00 13.00 12.00 11.00 10.00

6 89.00 78.00 67.00 56.00 45.00 34.50 24.00 21.50 19.00 17.50 16.00 11.00 8.00 6.00 5.00 4.50 4.00 3.50 3.00 2.00

7 89.00 97.00 105.00 116.00 127.00 139.50 152.00 168.50 185.00 206.00 227.00 287.00 300.00 320.00 330.00 35.00 338.00 340.00 342.00 343.00

Исходное уравнение регрессии, записанное в индексах эмпирических коэффициентов регрессии b

0 2 3 4 5 13 14 15 23 25 45 123 125 134 135 235 1234 2345 11 44 55 222 333 555

99

Задача № 4 Таблица Б.4 - Экспериментальные данные g 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 100

X1 2 23.00 20.00 26.00 43.00 46.00 56.00 55.00 69.00 71.50 74.00 85.00 83.00 90.50 98.00 112.00 104.00 108.00 112.00 130.00 135.50 141.00 149.00 149.00 161.00 171.00 178.00 185.00 189.00 190.00 191.00

X2 3 77.62 82.00 73.25 67.00 59.25 52.00 44.25 37.00 34.12 31.25 26.00 22.25 19.62 17.00 12.25 11.00 10.12 9.25 7.00 7.00 7.00 7.00 7.00 7.00 7.00 7.00 7.00 7.00 7.00 7.00

X3 4 173.00 163.44 182.56 196.73 207.91 217.04 224.68 231.15 233.92 236.70 241.49 245.64 247.44 249.25 252.40 255.13 256.31 257.50 259.55 260.43 261.31 262.81 264.07 265.12 265.96 266.29 266.62 267.12 267.285 267.45

X4 5 51.85 51.58 52.13 52.68 53.22 53.74 54.24 54.73 54.97 55.21 55.67 56.11 56.32 56.53 56.94 57.32 57.50 57.68 58.02 58.18 58.34 58.63 58.89 59.12 59.32 42.85 26.39 29.91 31.18 32.45

X5 6 23.75 20.50 27.00 44.50 48.00 58.50 58.00 72.50 75.25 78.00 89.50 88.00 95.75 103.50 118.00 110.50 229.50 119.00 137.50 143.25 149.00 157.50 158.00 170.50 181.00 96.10 11.20 11.40 11.50 11.60

Y 7 292.00 328.00 256.00 211.00 181.00 163.00 147.00 141.00 278.00 137.00 139.00 139.00 141.50 144.00 147.00 147.00 148.50 150.00 156.00 157.00 158.00 163.00 163.00 166.00 167.00 151.50 136.00 139.00 141.00 143.00

Продолжение таблицы Б.4 1 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

2 194.00 209.00 209.00 222.00 235.00 230.00 246.00 249.00 257.00 265.00 271.00 271.50 272.00 285.00 289.00 295.00 296.00 319.00 329.00 328.00

3 7.00 7.00 7.00 7.00 7.00 7.00 7.00 7.00 17.90 28.80 33.80 36.50 39.20 45.00 51.20 57.80 64.80 72.20 80.00 88.20

4 267.64 267.69 267.61 267.51 267.41 267.10 266.68 266.15 265.84 265.54 264.83 264.43 264.04 263.16 262.20 261.18 260.08 258.91 257.67 256.38

5 34.38 35.91 37.14 37.63 38.13 38.94 39.60 40.13 40.34 40.55 40.88 41.00 41.13 41.30 41.41 41.46 41.46 41.41 41.32 41.19

6 11.80 12.00 12.20 12.30 12.40 12.60 12.80 13.00 24.00 35.00 40.20 23.00 45.80 51.80 58.20 65.00 72.20 79.80 87.80 96.20

7 144.00 150.00 150.00 153.00 156.00 155.00 159.00 157.00 169.00 181.00 187.00 190.00 193.00 200.00 208.00 214.00 221.00 234.00 243.00 246.00

Исходное уравнение регрессии, записанное в индексах эмпирических коэффициентов регрессии b

0 1 2 4 5 13 14 15 23 25 45 123 125 135 235 2345 11 33 44 55 222 333 444 555

101

Задача № 5 Таблица Б.5 - Экспериментальные данные g 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 102

X1 2 124.47 138.01 147.75 151.47 155.19 161.05 165.76 167.67 169.58 172.69 175.21 176.23 177.25 178.87 180.13 180.60 181.07 181.74 182.16 182.26 182.35 182.35 182.16 181.99 181.81 181.30 180.65 180.26 179.87 178.97

X2 3 82.00 72.25 67.00 63.63 60.25 52.00 43.25 41.13 39.00 31.25 26.00 25.13 24.25 20.00 13.25 12.63 12.00 8.25 7.00 7.00 7.00 7.00 7.00 7.00 7.00 7.00 7.00 7.00 7.00 7.00

X3 4 27.00 33.00 45.00 44.00 43.00 60.00 61.00 73.00 85.00 95.00 93.00 97.50 102.00 124.00 125.00 128.50 132.00 159.00 163.00 163.00 163.00 175.00 180.00 189.50 199.00 200.00 226.00 228.50 231.00 239.00

X4 5 80.50 80.40 79.10 77.55 76.00 73.70 73.00 72.75 72.50 72.00 69.50 69.15 68.80 66.30 64.60 62.35 60.10 58.20 58.50 57.95 57.40 54.30 53.20 52.55 51.90 51.20 -0.90 -0.45 0.00 2.10

X5 6 124.97 139.01 149.25 153.22 157.19 163.55 168.76 170.92 173.08 176.69 179.71 180.98 182.25 184.37 186.13 186.85 187.57 188.74 189.66 190.01 190.35 190.85 191.16 191.24 191.31 191.30 11.20 11.30 11.40 11.60

Y 7 87.54 123.65 128.71 149.69 137.97 162.45 138.87 173.02 152.67 177.82 150.31 170.55 154.90 185.94 156.85 171.46 161.09 180.38 147.84 180.23 152.50 180.96 166.45 175.77 150.67 170.83 143.12 158.82 142.49 157.79

Продолжение таблицы Б.5 1 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

2 177.96 177.40 176.84 175.62 174.31 173.61 172.92 171.44 169.88 169.06 168.25 166.55 164.78 162.95 161.06 159.11 157.11 155.06 152.95 150.80

3 7.00 7.00 7.00 7.00 7.00 7.00 7.00 7.00 7.00 17.90 28.80 33.80 39.20 45.00 51.20 57.80 64.80 72.20 80.00 88.20

4 246.00 254.50 263.00 270.00 270.00 275.50 281.00 305.00 315.00 322.00 329.00 334.00 348.00 352.00 356.00 361.00 374.00 391.00 399.00 401.00

5 1.40 2.95 4.50 4.40 8.90 9.75 10.60 9.90 11.40 13.45 15.50 15.40 16.50 21.60 22.10 21.80 23.90 24.60 28.10 28.00

6 11.80 11.90 12.00 12.20 12.40 12.50 12.60 12.80 13.00 24.00 35.00 40.20 45.80 51.80 58.20 65.00 72.20 79.80 87.80 96.20

7 147.34 152.47 151.38 153.00 144.81 161.42 133.15 157.58 132.48 161.48 158.61 169.63 149.53 166.69 154.26 177.91 166.38 188.36 167.46 174.42

Исходное уравнение регрессии, записанное в индексах эмпирических коэффициентов регрессии b

0 1 2 3 4 5 12 13 14 15 123 134 145 11 22 33 44 55 111 333 444

103

Задача № 6 Таблица Б.6 - Экспериментальные данные G 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 104

X1 2 142.07 158.13 169.87 174.44 179.00 186.34 192.37 194.88 197.38 201.59 205.14 206.64 208.13 210.65 212.76 213.64 214.52 215.95 217.11 217.56 218.01 218.69 219.15 219.29 219.43 219.53 219.48 219.38 219.27 218.93

X2 3 81.00 72.25 64.00 60.13 56.25 49.00 42.25 39.13 36.00 30.25 25.00 22.63 20.25 16.00 12.25 10.63 9.00 6.25 4.00 4.00 4.00 4.00 4.00 4.00 4.00 4.00 4.00 4.00 4.00 4.00

X3 4 13.00 17.00 25.00 22.50 20.00 10.00 12.00 16.00 20.00 26.00 32.00 26.50 21.00 31.00 33.00 34.50 36.00 44.00 35.00 41.00 47.00 44.00 39.00 41.50 44.00 53.00 49.00 49.00 49.00 47.00

X4 5 18.30 17.00 19.90 19.15 18.40 16.30 18.20 17.65 17.10 17.80 15.50 17.15 18.80 17.70 17.40 17.85 18.30 16.00 15.70 16.95 18.20 15.10 14.80 15.15 15.50 15.80 13.70 12.45 11.20 10.90

X5 6 142.57 159.13 171.37 176.19 181.00 188.84 195.37 198.13 200.88 205.59 209.64 211.39 213.13 216.15 218.76 219.89 221.02 222.95 224.61 225.31 226.01 227.19 228.15 228.54 228.93 229.53 8.20 8.30 8.40 8.60

Y 7 94.58 157.96 173.11 202.19 185.86 194.90 181.32 204.21 200.78 226.23 219.53 235.98 200.02 227.30 216.33 233.32 224.36 251.96 221.75 250.00 242.41 242.17 209.46 236.17 214.28 253.58 155.01 183.88 165.44 186.53

Продолжение таблицы Б.6 1 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

2 218.46 218.17 217.87 217.16 216.36 215.91 215.45 214.45 213.36 212.78 212.19 210.93 209.61 208.21 206.74 205.21 203.61 201.96 200.24 198.48

3 4.00 4.00 4.00 4.00 4.00 4.00 4.00 4.00 4.00 16.40 28.80 33.80 39.20 45.00 51.20 57.80 64.80 72.20 80.00 88.20

4 50.00 58.50 67.00 56.00 59.00 65.50 72.00 69.00 72.00 75.50 79.00 64.00 77.00 75.00 82.00 74.00 86.00 95.00 82.00 90.00

5 9.20 8.35 7.00 5.40 4.10 3.65 3.20 2.30 4.80 5.95 6.10 7.00 8.70 9.40 13.50 14.40 12.30 9.60 2.90 1.40

6 8.80 8.90 9.00 9.20 9.40 9.50 9.60 9.80 10.00 22.50 35.00 40.20 45.80 51.80 58.20 65.00 72.20 79.80 87.80 96.20

7 157.75 190.27 178.13 175.50 176.19 190.32 189.09 197.78 182.23 214.26 202.05 202.66 205.43 225.85 208.39 233.57 214.35 253.37 221.89 256.05

Исходное уравнение регрессии, записанное в индексах эмпирических коэффициентов регрессии b

0 1 2 3 4 5 123 345 1234 1235 1345 2345 11 22 44 333 555

105

Задача № 7 Таблица Б.7 - Экспериментальные данные G 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 106

X1 2 181.04 202.67 218.85 225.29 231.72 242.33 251.28 255.12 258.96 265.61 271.42 273.98 276.53 281.04 285.03 286.81 288.58 291.72 294.51 295.74 296.97 299.15 301.07 301.91 302.74 304.20 305.45 305.99 306.52 307.41

X2 3 87.00 76.25 68.00 63.63 59.25 47.00 36.25 32.63 29.00 28.25 19.00 17.13 15.25 9.00 0.25 -0.88 -2.00 -5.75 -6.00 -6.00 -6.00 -6.00 -6.00 -6.00 -6.00 -6.00 -6.00 -6.00 -6.00 -6.00

X3 4 26.00 48.00 66.00 69.50 73.00 92.00 107.00 110.00 113.00 145.00 145.00 159.00 173.00 185.00 192.00 201.50 211.00 237.00 245.00 251.00 257.00 279.00 302.00 309.00 316.00 336.00 337.00 347.50 358.00 381.00

X4 5 129.50 128.00 124.50 123.45 122.40 116.70 114.40 112.95 111.50 110.00 108.70 105.85 103.00 102.10 98.40 97.15 95.90 90.60 91.10 89.75 88.40 84.70 81.60 79.45 77.30 73.40 -1.10 0.95 3.00 6.30

X5 6 136.20 126.80 117.80 113.50 109.20 101.00 93.20 89.50 85.80 78.80 72.20 69.10 66.00 0.00 -0.20 -0.30 -0.40 -0.60 -0.80 -0.90 -1.00 -1.20 -1.40 -1.50 -1.60 -1.80 -1.80 -1.70 -1.60 -1.40

Y 7 154.73 187.01 163.25 211.86 182.07 207.22 187.06 225.24 200.99 233.99 215.83 239.92 204.29 247.36 223.21 231.39 220.32 235.09 222.60 247.97 229.25 260.43 231.31 261.04 238.58 259.79 216.25 241.95 216.75 251.32

Продолжение таблицы Б.7 1 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

2 308.14 308.43 308.71 309.15 309.45 309.54 309.63 309.69 309.63 309.55 309.47 309.21 308.86 308.41 307.88 307.27 306.58 305.81 304.97 304.06

3 -6.00 -6.00 -6.00 -6.00 -6.00 -6.00 -6.00 -6.00 -6.00 26.90 59.80 65.80 72.20 79.00 86.20 93.80 101.80 110.20 119.00 128.20

4 398.00 408.00 418.00 433.00 432.00 446.00 460.00 474.00 494.00 497.00 500.00 530.00 538.00 547.00 563.00 576.00 606.00 618.00 637.00 646.00

5 7.40 9.15 10.90 13.60 14.50 17.55 20.60 20.30 25.60 26.65 27.70 28.80 32.30 37.20 38.50 40.60 44.70 49.00 51.50 55.20

6 -1.20 -1.10 -1.00 -0.80 -0.60 -0.50 -0.40 -0.20 0.00 33.00 66.00 72.20 78.80 85.80 93.20 101.00 109.20 117.80 126.80 136.20

7 238.29 240.99 238.74 241.55 232.47 246.26 235.02 254.48 250.16 287.13 270.05 307.89 301.58 318.08 288.20 331.43 312.87 350.67 334.61 364.56

Исходное уравнение регрессии, записанное в индексах эмпирических коэффициентов регрессии b

0 1 2 3 4 5 12 13 14 15 23 24 25 123 234 345 1234 22 111 222 333 444

107

Задача № 8 Таблица Б.8 - Экспериментальные данные G 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 108

X1 2 123.22 136.57 146.17 149.82 153.48 159.24 163.86 165.73 167.59 170.62 173.07 174.06 175.04 176.60 177.79 178.24 178.68 179.29 179.66 179.74 179.81 179.75 179.52 179.32 179.12 178.57 177.88 177.47 177.06 176.12

X2 3 85.00 71.25 67.00 62.63 58.25 50.00 39.25 36.13 33.00 23.25 19.00 16.63 14.25 10.00 1.25 1.63 2.00 -6.75 -9.00 -8.00 -7.00 -6.00 -6.00 -5.50 -5.00 -5.00 -4.00 -4.00 -4.00 -3.00

X3 4 18.00 41.00 46.00 56.00 66.00 84.00 93.00 100.50 108.00 115.00 137.00 139.00 141.00 166.00 178.00 181.00 184.00 212.00 213.00 222.00 231.00 251.00 271.00 277.50 284.00 298.00 302.00 309.00 316.00 339.00

X4 5 114.90 111.40 109.70 107.45 105.20 104.10 101.00 99.35 97.70 98.40 94.10 92.65 91.20 90.70 88.60 87.05 85.50 80.80 80.30 79.15 78.00 73.50 73.20 71.05 68.90 66.40 -2.70 -0.55 1.60 2.30

X5 6 136.20 126.80 117.80 113.50 109.20 101.00 93.20 89.50 85.80 78.80 72.20 69.10 66.00 8.00 5.80 5.20 4.60 2.40 2.20 2.10 2.00 1.80 1.60 1.00 0.40 0.20 0.20 0.30 0.40 1.60

Y 7 269.16 206.54 182.00 185.56 172.87 182.27 157.06 185.00 165.22 188.09 176.04 193.21 185.61 196.75 182.18 196.54 192.12 206.44 182.69 206.83 180.99 193.68 188.01 193.19 186.41 197.69 165.87 176.84 165.94 181.83

Продолжение таблицы Б.8 1 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

2 175.07 174.49 173.91 172.66 171.31 170.59 169.88 168.36 166.77 165.94 165.11 163.38 161.58 159.72 157.80 155.82 153.79 151.71 149.57 147.39

3 -3.00 -3.00 -3.00 -3.00 -3.00 -2.00 -1.00 0.00 2.00 30.90 59.80 65.80 72.20 79.00 86.20 93.80 101.80 110.20 119.00 128.20

4 342.00 354.00 366.00 379.00 383.00 395.50 408.00 425.00 437.00 439.00 441.00 457.00 480.00 478.00 496.00 513.00 520.00 544.00 554.00 573.00

5 6.00 7.65 9.30 10.80 13.50 14.05 14.60 18.70 19.20 21.55 23.90 26.00 26.90 32.20 32.10 35.40 39.10 42.80 45.10 47.60

6 1.80 1.90 2.00 2.20 2.40 3.50 4.60 5.80 8.00 37.00 66.00 72.20 78.80 85.80 93.20 101.00 109.20 117.80 126.80 136.20

7 153.99 173.99 166.79 180.23 154.77 179.71 158.00 176.49 164.31 178.10 184.58 188.94 173.26 184.67 175.01 186.83 168.22 166.04 141.14 138.42

Исходное уравнение регрессии, записанное в индексах эмпирических коэффициентов регрессии b

0 1 2 3 4 5 12 23 34 123 234 345 1234 1235 11 22 33 44 55 555

109

Задача № 9 Таблица Б.9 - Экспериментальные данные G 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 110

X1 2 106.87 117.89 125.63 128.50 131.37 135.76 139.15 140.46 141.77 143.78 145.28 145.82 146.36 147.08 147.49 147.56 147.62 147.52 147.20 146.95 146.69 146.01 145.17 144.68 144.18 143.06 141.83 141.15 140.47 139.02

X2 3 81.00 73.25 65.00 63.63 62.25 51.00 47.25 41.63 36.00 30.25 28.00 26.13 24.25 20.00 15.25 12.13 9.00 12.25 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00

X3 4 22.00 42.00 49.00 54.00 59.00 87.00 85.00 93.00 101.00 129.00 129.00 141.00 153.00 157.00 183.00 183.50 184.00 200.00 214.00 225.00 236.00 257.00 253.00 269.00 285.00 290.00 302.00 308.50 315.00 333.00

X4 5 112.70 113.00 110.90 107.95 105.00 102.70 102.40 100.25 98.10 96.00 93.50 92.05 90.60 90.50 85.20 84.95 84.70 82.20 78.70 77.05 75.40 73.10 72.00 70.35 68.70 66.40 -1.90 -0.05 1.80 2.90

X5 6 96.20 87.80 79.80 76.00 72.20 65.00 58.20 55.00 51.80 45.80 40.20 37.60 35.00 11.00 10.80 10.70 10.60 10.40 10.20 10.10 10.00 9.80 9.60 9.50 9.40 9.20 9.20 9.30 9.40 9.60

Y 7 131.90 155.86 144.06 172.49 168.56 194.40 160.66 189.30 177.83 199.31 175.22 198.65 173.95 201.28 176.56 191.13 164.44 196.02 168.15 195.56 171.90 201.43 172.44 196.98 179.12 182.81 140.50 169.49 154.02 164.20

Продолжение таблицы Б.9 1 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

2 137.46 136.64 135.81 134.08 132.27 131.32 130.38 128.43 126.40 125.36 124.31 122.16 119.96 117.70 115.38 113.02 110.61 108.15 105.66 103.12

3 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00 16.90 28.80 33.80 39.20 45.00 51.20 57.80 64.80 72.20 80.00 88.20

4 340.00 346.50 353.00 371.00 390.00 397.00 404.00 408.00 436.00 437.00 438.00 454.00 468.00 480.00 503.00 506.00 519.00 550.00 562.00 562.00

5 4.60 7.25 9.90 9.20 12.10 14.75 17.40 17.10 21.60 21.85 22.10 27.00 26.90 29.80 32.30 36.40 40.30 39.20 45.30 46.00

6 9.80 9.90 10.00 10.20 10.40 10.50 10.60 10.80 11.00 23.00 35.00 40.20 45.80 51.80 58.20 65.00 72.20 79.80 87.80 96.20

7 146.43 162.80 136.64 164.63 152.41 167.32 146.90 170.79 142.66 166.34 141.19 159.14 153.86 161.49 149.29 157.46 140.98 164.26 149.75 170.20

Исходное уравнение регрессии, записанное в индексах эмпирических коэффициентов регрессии b

0 1 2 3 4 5 23 34 123 3450 1234 1235 1345 2345 11 22 44 333 555

111

Задача № 10 Таблица Б.10 - Экспериментальные данные G 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 112

X1 2 77.96 84.84 89.29 90.77 92.25 94.22 95.44 95.77 96.09 96.28 96.11 95.86 95.61 94.86 93.87 93.28 92.68 91.31 89.78 88.95 88.11 86.31 84.39 83.38 82.37 80.25 78.04 76.89 75.74 73.37

X2 3 80.00 71.25 62.00 57.13 52.25 45.00 36.25 32.63 29.00 22.25 17.00 14.13 11.25 6.00 1.25 -1.38 -4.00 -6.75 -11.00 -11.00 -11.00 -11.00 -11.00 -11.00 -11.00 -11.00 -11.00 -11.00 -11.00 -11.00

X3 4 9.00 23.00 29.00 23.50 18.00 21.00 30.00 29.50 29.00 32.00 36.00 39.00 42.00 45.00 65.00 67.50 70.00 74.00 73.00 76.50 80.00 70.00 85.00 90.00 95.00 91.00 90.00 90.00 90.00 104.00

X4 5 35.10 35.60 32.70 32.35 32.00 31.30 33.60 33.15 32.70 31.00 31.90 31.05 30.20 30.10 26.80 27.55 28.30 28.40 27.70 26.35 25.00 26.50 26.20 24.95 23.70 24.00 -4.50 -3.25 -2.00 -1.10

X5 6 136.20 126.80 117.80 113.50 109.20 101.00 93.20 89.50 85.80 78.80 72.20 69.10 66.00 -5.00 -5.20 -5.30 -5.40 -5.60 -5.80 -5.90 -6.00 -6.20 -6.40 -6.50 -6.60 -6.80 -6.80 -6.70 -6.60 -6.40

Y 7 131.80 115.52 70.90 74.20 35.46 33.90 14.34 21.53 6.06 24.06 2.72 42.15 9.73 55.23 37.81 60.37 56.43 85.53 76.14 89.14 79.23 104.73 72.98 93.66 76.24 94.54 69.63 84.83 64.67 85.65

Продолжение таблицы Б.10 1 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

2 70.93 69.67 68.41 65.84 63.20 61.86 60.51 57.77 54.97 53.55 52.13 49.24 46.32 43.35 40.34 37.30 34.22 31.10 27.96 24.78

3 -11.00 -11.00 -11.00 -11.00 -11.00 -11.00 -11.00 -11.00 -11.00 24.40 59.80 65.80 72.20 79.00 86.20 93.80 101.80 110.20 119.00 128.20

4 107.00 104.00 101.00 116.00 121.00 121.50 122.00 116.00 134.00 135.00 136.00 146.00 143.00 153.00 159.00 149.00 154.00 159.00 175.00 174.00

5 -3.60 -3.45 -3.30 -1.80 -2.30 -2.15 -2.00 -1.50 -0.60 -0.45 -0.30 3.40 4.10 4.60 4.10 5.20 2.90 5.60 7.30 6.20

6 -6.20 -6.10 -6.00 -5.80 -5.60 -5.50 -5.40 -5.20 -5.00 30.50 66.00 72.20 78.80 85.80 93.20 101.00 109.20 117.80 126.80 136.20

7 54.57 84.14 65.86 73.19 56.33 71.09 63.03 70.95 54.50 64.90 37.03 81.42 75.00 128.09 164.58 227.88 249.53 346.32 413.54 512.61

Исходное уравнение регрессии, записанное в индексах эмпирических коэффициентов регрессии b

0 1 3 4 12 15 123 124 125 134 135 145 235 245 345 11 22 33 44 55 222

113

Задача № 11 Таблица Б.11 - Экспериментальные данные g 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 114

X1 2 84.25 92.03 97.19 98.97 100.76 103.25 104.94 105.48 106.02 106.61 106.80 106.73 106.65 106.21 105.52 105.07 104.62 103.53 102.26 101.55 100.84 99.29 97.61 96.71 95.81 93.91 91.91 90.86 89.82 87.64

X2 3 81.00 71.25 61.00 56.63 52.25 45.00 37.25 33.13 29.00 23.25 16.00 13.13 10.25 6.00 1.25 -1.38 -4.00 -6.75 -10.00 -10.00 -10.00 -8.00 -6.00 -6.00 -6.00 -4.00 -3.00 -2.00 -1.00 0.00

X3 4 20.00 24.00 15.00 22.50 30.00 25.00 43.00 38.50 34.00 35.00 43.00 44.00 45.00 59.00 67.00 59.50 52.00 70.00 77.00 72.00 67.00 80.00 79.00 86.50 94.00 98.00 99.00 101.00 103.00 95.00

X4 5 34.90 35.60 32.90 33.55 34.20 31.50 31.80 31.25 30.70 29.60 30.10 29.15 28.20 28.30 28.40 28.45 28.50 26.20 27.50 26.75 26.00 24.90 24.40 25.35 26.30 25.80 -2.30 -2.05 -1.80 -3.90

X5 6 136.20 126.80 117.80 113.50 109.20 101.00 93.20 89.50 85.80 78.80 72.20 69.10 66.00 11.00 9.80 9.20 8.60 6.40 6.20 6.10 6.00 4.80 4.60 4.00 3.40 1.20 1.20 2.30 3.40 4.60

Y 7 294.15 289.34 253.01 276.68 242.08 260.72 244.87 259.92 235.45 237.00 230.43 244.73 212.35 232.97 193.76 223.17 190.30 211.71 195.71 205.52 190.38 214.84 196.94 219.89 202.26 215.85 164.22 198.36 181.44 186.92

Продолжение таблицы Б.11 1 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

2 85.39 84.23 83.07 80.67 78.22 76.96 75.70 73.13 70.50 69.16 67.82 65.10 62.32 59.51 56.65 53.76 50.82 47.85 44.85 41.81

3 0.00 0.50 1.00 1.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 32.40 59.80 65.80 72.20 79.00 86.20 93.80 101.80 110.20 119.00 128.20

4 99.00 102.50 106.00 115.00 110.00 116.50 123.00 124.00 125.00 125.50 126.00 137.00 136.00 143.00 150.00 150.00 165.00 160.00 175.00 173.00

5 -1.20 -1.85 -2.50 0.80 -1.30 -1.35 -1.40 -0.10 0.00 1.25 2.50 3.80 0.50 3.80 4.90 2.60 4.90 4.40 7.10 7.60

6 4.80 5.40 6.00 6.20 6.40 7.50 8.60 9.80 11.00 38.50 66.00 72.20 78.80 85.80 93.20 101.00 109.20 117.80 126.80 136.20

7 170.53 191.18 191.21 211.31 182.52 205.41 192.42 217.61 203.57 253.88 264.46 289.16 285.53 306.72 291.26 333.16 318.69 330.62 323.13 341.89

Исходное уравнение регрессии, записанное в индексах эмпирических коэффициентов регрессии b

0 1 2 3 4 5 12 13 14 15 25 123 134 145 11 22 33 44 55 111 333 444

115

Задача № 12 Таблица Б.12 - Экспериментальные данные g 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 116

X1 2 138.30 153.82 165.13 169.51 173.89 180.92 186.66 189.04 191.43 195.40 198.73 200.13 201.52 203.84 205.77 206.56 207.35 208.62 209.62 210.00 210.37 210.90 211.23 211.30 211.37 211.34 211.16 211.00 210.83 210.37

X2 3 84.00 73.25 66.00 61.13 56.25 46.00 41.25 35.63 30.00 23.25 21.00 16.13 11.25 8.00 1.25 -1.38 -4.00 -3.75 -11.00 -10.00 -9.00 -9.00 -8.00 -8.00 -8.00 -8.00 -8.00 -8.00 -8.00 -8.00

X3 4 27.00 35.00 42.00 50.00 58.00 68.00 87.00 92.00 97.00 107.00 119.00 127.50 136.00 133.00 156.00 157.50 159.00 182.00 196.00 201.50 207.00 206.00 229.00 229.00 229.00 251.00 260.00 266.00 272.00 289.00

X4 5 98.70 95.20 94.70 93.85 93.00 91.30 86.20 85.35 84.50 83.00 81.90 79.65 77.40 78.30 73.20 73.25 73.30 69.00 66.90 67.75 68.60 62.90 63.20 61.65 60.10 58.00 -0.90 -0.25 0.40 1.50

X5 6 136.20 126.80 117.80 113.50 109.20 101.00 93.20 89.50 85.80 78.80 72.20 69.10 66.00 3.00 1.80 1.20 0.60 0.40 -0.80 -1.40 -2.00 -3.20 -3.40 -3.50 -3.60 -3.80 -3.80 -3.70 -3.60 -3.40

Y 7 128.07 153.52 147.85 173.78 158.52 182.58 170.76 184.28 165.34 177.89 169.21 180.24 169.10 169.40 156.12 173.66 142.03 163.59 159.10 173.75 147.64 161.97 158.49 162.21 151.18 164.94 132.97 146.10 127.40 146.26

Продолжение таблицы Б.12 1 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

2 209.78 209.43 209.08 208.26 207.35 206.84 206.33 205.23 204.04 203.41 202.77 201.42 200.00 198.51 196.95 195.33 193.65 191.91 190.11 188.26

3 -8.00 -7.50 -7.00 -6.00 -5.00 -5.00 -5.00 -4.00 -3.00 28.40 59.80 65.80 72.20 79.00 86.20 93.80 101.80 110.20 119.00 128.20

4 289.00 304.00 319.00 312.00 324.00 335.50 347.00 348.00 375.00 373.50 372.00 396.00 403.00 412.00 422.00 449.00 459.00 469.00 473.00 492.00

5 4.40 5.25 6.10 9.60 11.30 12.15 13.00 15.10 18.20 17.75 17.30 21.60 21.90 26.20 28.70 30.60 30.10 34.40 34.10 38.20

6 -3.20 -2.60 -2.00 -0.80 0.40 0.50 0.60 1.80 3.00 34.50 66.00 72.20 78.80 85.80 93.20 101.00 109.20 117.80 126.80 136.20

7 141.48 152.56 148.44 161.75 140.44 163.19 156.88 171.49 161.42 192.04 181.17 204.94 197.14 204.97 205.66 227.46 212.10 227.05 218.67 241.17

Исходное уравнение регрессии, записанное в индексах эмпирических коэффициентов регрессии b

0 1 2 3 4 5 23 24 34 35 123 345 1234 1235 1345 2345 11 22 44 333 555

117

Задача № 13 Таблица Б.13 - Экспериментальные данные g 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 118

X1 2 164.70 183.99 198.31 203.96 209.61 218.85 226.58 229.85 233.13 238.76 243.62 245.74 247.85 251.52 254.73 256.13 257.52 259.95 262.05 262.96 263.86 265.41 266.72 267.27 267.81 268.69 269.40 269.67 269.93 270.30

X2 3 86.00 73.25 62.00 59.63 57.25 44.00 39.25 34.13 29.00 28.25 17.00 13.63 10.25 9.00 6.25 3.13 0.00 -4.75 -10.00 -9.50 -9.00 -8.00 -7.00 -6.50 -6.00 -6.00 -5.00 -4.50 -4.00 -4.00

X3 4 32.00 37.00 61.00 59.50 58.00 85.00 91.00 104.00 117.00 113.00 143.00 149.00 155.00 172.00 187.00 189.50 192.00 197.00 228.00 235.50 243.00 247.00 267.00 268.50 270.00 285.00 301.00 311.00 321.00 325.00

X4 5 112.70 110.40 108.10 108.05 108.00 106.10 100.40 99.85 99.30 95.20 92.90 92.35 91.80 90.90 87.80 85.25 82.70 81.80 77.90 78.25 78.60 73.90 70.40 70.15 69.90 66.20 0.10 0.45 0.80 5.30

X5 6 136.20 126.80 117.80 113.50 109.20 101.00 93.20 89.50 85.80 78.80 72.20 69.10 66.00 10.00 7.80 7.70 7.60 6.40 5.20 4.10 3.00 1.80 0.60 0.50 0.40 -0.80 -0.80 -0.20 0.40 0.60

Y 7 104.94 147.25 136.00 146.36 148.50 173.14 155.08 180.07 162.60 179.02 170.36 198.62 180.41 206.84 168.72 200.00 167.69 205.48 182.22 204.00 187.56 214.18 189.32 210.67 196.63 213.55 167.70 186.50 182.92 203.75

Продолжение таблицы Б.13 1 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

2 270.53 270.58 270.62 270.57 270.41 270.27 270.13 269.75 269.26 268.97 268.68 268.00 267.24 266.39 265.47 264.47 263.40 262.26 261.05 259.78

3 -3.00 -2.50 -2.00 0.00 1.00 1.50 2.00 2.00 4.00 31.90 59.80 65.80 72.20 79.00 86.20 93.80 101.80 110.20 119.00 128.20

4 344.00 356.50 369.00 367.00 388.00 391.00 394.00 421.00 438.00 441.00 444.00 451.00 464.00 486.00 493.00 523.00 534.00 536.00 549.00 562.00

5 4.40 6.95 9.50 10.40 15.30 14.75 14.20 19.90 22.00 23.55 25.10 27.80 28.50 29.20 35.10 37.80 38.30 42.00 42.30 45.00

6 1.80 2.40 3.00 5.20 6.40 7.00 7.60 7.80 10.00 38.00 66.00 72.20 78.80 85.80 93.20 101.00 109.20 117.80 126.80 136.20

7 172.57 213.16 189.86 197.32 178.52 206.54 189.59 203.90 196.85 228.39 216.91 237.68 225.21 266.59 226.23 265.97 244.42 260.29 251.96 284.20

Исходное уравнение регрессии, записанное в индексах эмпирических коэффициентов регрессии b

0 1 2 3 4 5 12 13 14 15 23 24 25 45 123 234 345 1234 22 111 222 333 444

119

Задача № 14 Таблица Б.14 - Экспериментальные данные g 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 120

X1 2 135.79 150.94 161.97 170.49 177.31 182.86 187.45 191.27 194.45 197.10 199.30 201.11 202.57 203.73 204.63 205.28 205.71 205.94 205.99 205.88 205.61 205.20 204.66 203.99 203.22 202.33 201.34 200.26 199.09 197.83

X2 3 260.95 266.30 238.05 206.20 205.75 200.70 183.05 189.80 171.95 166.50 148.45 119.80 121.55 115.70 111.25 106.20 91.55 89.30 72.45 64.00 72.75 42.30 58.85 50.40 51.95 191.40 172.70 164.40 156.50 147.00

X3 4 13.00 35.00 55.00 64.00 60.00 80.00 96.00 99.00 109.00 129.00 141.00 148.00 163.00 179.00 189.00 200.00 215.00 231.00 233.00 259.00 263.00 268.00 293.00 295.00 317.00 327.00 327.00 355.00 355.00 379.00

X4 5 122.10 118.60 116.50 114.80 115.50 109.80 109.30 105.80 105.30 102.20 101.30 98.80 96.50 95.40 94.50 89.00 88.50 86.60 85.10 81.80 82.10 77.60 77.90 72.60 72.90 8.20 11.10 11.40 13.10 16.80

X5 6 247.20 249.80 230.80 204.20 207.00 199.20 180.80 172.80 165.20 156.00 135.20 119.80 116.80 110.20 98.00 92.20 93.80 82.80 70.20 57.00 66.00 46.80 47.60 52.40 51.20 58.20 56.40 64.60 47.80 78.00

Y 7 55.93 162.10 184.53 206.05 237.00 259.15 231.74 271.54 243.87 253.00 230.95 222.64 217.35 214.74 200.74 211.19 194.71 201.87 181.03 185.50 167.50 167.48 162.10 163.38 152.79 170.50 145.24 160.76 149.57 171.52

Продолжение таблицы Б.14 1 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

2 196.49 195.08 193.60 192.04 190.42 188.74 187.00 185.21 183.35 181.45 179.49 177.49 175.44 173.35 171.21 169.03 166.82 164.56 162.27 159.94

3 125.90 110.20 106.90 100.00 87.50 81.40 82.70 71.40 58.50 45.00 53.70 34.20 34.70 39.20 37.70 44.40 42.30 50.20 33.10 63.00

4 379.00 397.00 406.00 417.00 421.00 450.00 456.00 463.00 476.00 490.00 496.00 513.00 517.00 536.00 540.00 570.00 568.00 578.00 590.00 609.00

5 18.90 20.00 22.70 25.60 27.30 29.20 31.90 34.80 34.90 39.80 40.30 41.00 45.70 45.80 49.90 51.60 51.30 56.60 56.30 60.80

6 69.00 77.20 93.80 95.80 110.20 115.00 119.20 124.80 122.80 151.20 169.00 174.20 191.80 184.80 202.20 207.00 207.20 238.80 266.80 261.20

7 149.42 165.79 155.62 169.93 160.38 168.73 158.77 175.04 154.60 175.76 163.50 172.05 164.59 174.86 176.23 190.92 175.06 194.65 180.74 211.58

Исходное уравнение регрессии, записанное в индексах эмпирических коэффициентов регрессии b

0 12 23 24 25 34 35 45 123 124 125 134 135 145 234 235 245 345 11 33 55 222

121

Задача № 15 Таблица Б.15 - Экспериментальные данные g 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 122

X1 2 240.95 247.30 243.05 214.20 212.75 205.70 186.05 186.80 150.95 146.50 132.45 125.80 133.55 136.70 113.25 95.20 90.55 73.30 66.45 64.00 62.75 54.30 77.85 52.40 40.95 195.40 166.70 162.40 137.50 139.00

X2 3 81.00 70.25 65.00 57.25 47.00 37.25 31.00 22.25 20.00 15.25 10.00 5.25 -2.00 -4.75 -9.00 -5.00 1.00 10.00 17.00 18.00 25.00 27.00 34.00 43.00 46.00 46.00 49.00 53.00 57.00 62.00

X3 4 21.00 25.00 44.00 53.00 71.00 88.00 91.00 115.00 116.00 138.00 142.00 154.00 175.00 168.00 190.00 210.00 213.00 235.00 246.00 247.00 266.00 275.00 283.00 306.00 318.00 321.00 334.00 351.00 361.00 360.00

X4 5 122.90 121.40 118.50 115.20 114.90 110.80 107.70 109.40 106.30 102.00 99.50 100.80 98.70 95.40 92.50 89.20 88.70 85.40 84.50 81.60 78.30 78.80 77.10 74.00 71.70 9.80 10.10 14.60 14.50 18.60

X5 6 241.20 245.80 229.80 213.20 207.00 203.20 174.80 170.80 146.20 148.00 133.20 122.80 121.80 122.20 117.00 87.20 94.80 75.80 61.20 59.00 62.00 59.80 74.60 54.40 37.20 47.20 58.40 83.60 59.80 68.00

Y 7 221.91 362.75 509.92 607.16 766.19 868.64 758.21 830.87 512.02 469.31 343.90 307.62 335.73 402.99 185.23 92.55 61.54 53.54 45.62 81.21 85.86 108.14 130.38 173.62 145.62 168.15 140.75 171.19 140.87 159.60

Продолжение таблицы Б.15 1 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

2 123.90 113.20 111.90 112.00 106.50 76.40 83.70 64.40 49.50 47.00 49.70 47.20 61.70 41.20 23.70 33.40 44.30 69.20 45.10 53.00

3 59.80 65.80 72.20 79.00 86.20 93.80 101.80 110.20 119.00 128.20 137.80 147.80 158.20 169.00 180.20 191.80 203.80 216.20 229.00 242.20

4 378.00 394.00 400.00 418.00 422.00 440.00 456.00 474.00 486.00 481.00 495.00 518.00 535.00 528.00 545.00 567.00 570.00 588.00 604.00 613.00

5 19.10 21.20 25.10 23.40 27.50 31.20 31.50 35.60 37.50 37.40 40.90 42.40 43.70 48.00 50.10 50.40 52.70 55.80 57.50 57.00

6 69.00 71.20 77.80 94.80 99.20 117.00 140.20 136.80 128.80 135.20 149.00 153.20 188.80 187.80 207.20 214.00 215.20 243.80 247.80 241.20

7 145.48 170.77 147.75 184.48 173.11 169.07 151.77 133.18 126.95 114.35 106.64 99.31 84.77 73.56 66.96 43.27 35.38 28.33 6.04 1.83

Исходное уравнение регрессии, записанное в индексах эмпирических коэффициентов регрессии b

0 1 2 3 4 5 12 23 34 45 123 234 345 11 33 55 222 444 555

123

Задача № 16 Таблица Б.16 - Экспериментальные данные g 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 124

X1 2 132.01 146.63 157.23 165.39 171.89 177.16 181.49 185.07 188.04 190.48 192.49 194.11 195.40 196.40 197.14 197.64 197.92 198.02 197.93 197.69 197.29 196.76 196.10 195.32 194.42 193.43 192.33 191.14 189.87 188.51

X2 3 82.00 73.25 64.00 54.25 47.00 38.25 32.00 25.25 19.00 13.25 6.00 2.25 -4.00 -5.75 -10.00 -5.00 0.00 1.00 4.00 8.00 14.00 16.00 21.00 25.00 34.00 38.00 45.00 52.00 53.00 58.00

X3 4 20.00 26.00 43.00 33.00 48.00 63.00 72.00 82.00 76.00 95.00 88.00 97.00 114.00 128.00 132.00 130.00 149.00 162.00 170.00 169.00 170.00 183.00 195.00 195.00 219.00 210.00 219.00 234.00 236.00 254.00

X4 5 80.50 79.40 79.90 78.40 76.50 76.80 74.70 72.00 72.90 71.20 69.30 66.20 67.70 63.80 64.50 62.60 62.50 60.40 59.30 55.60 57.10 53.80 53.70 51.00 49.50 4.80 6.30 8.00 6.50 10.00

X5 6 252.20 238.80 225.80 213.20 201.00 189.20 177.80 166.80 156.20 146.00 136.20 126.80 117.80 109.20 101.00 93.20 85.80 78.80 72.20 66.00 64.00 58.80 57.60 50.40 43.20 43.20 50.40 57.60 58.80 64.00

Y 7 86.82 108.22 93.36 124.15 105.27 152.04 121.40 138.98 116.63 168.41 138.72 157.65 134.36 167.43 137.95 164.86 143.26 154.23 147.36 166.18 128.86 152.63 135.67 153.99 133.79 145.20 125.34 162.96 127.95 157.87

Продолжение таблицы Б.16 1 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

2 187.08 185.57 183.99 182.35 180.64 178.87 177.04 175.16 173.22 171.23 169.20 167.11 164.98 162.81 160.60 158.35 156.05 153.72 151.36 148.96

3 59.80 65.80 72.20 79.00 86.20 93.80 101.80 110.20 119.00 128.20 137.80 147.80 158.20 169.00 180.20 191.80 203.80 216.20 229.00 242.20

4 248.00 268.00 275.00 287.00 289.00 300.00 298.00 319.00 313.00 330.00 341.00 351.00 348.00 363.00 375.00 375.00 386.00 395.00 394.00 401.00

5 8.30 9.80 12.90 15.40 15.90 15.20 18.70 21.00 22.30 21.80 21.70 24.00 26.10 25.80 30.30 28.20 29.70 32.40 32.50 35.80

6 66.00 72.20 78.80 85.80 93.20 101.00 109.20 117.80 126.80 136.20 146.00 156.20 166.80 177.80 189.20 201.00 213.20 225.80 238.80 252.20

7 136.64 144.46 141.46 167.20 119.26 149.29 123.77 156.89 121.99 145.54 126.03 144.11 128.71 144.80 128.73 146.07 124.45 147.27 119.34 135.94

Исходное уравнение регрессии, записанное в индексах эмпирических коэффициентов регрессии b

0 2 3 4 5 123 124 125 134 135 145 235 245 345 22 33 44 55 111 222 444

125

Задача № 17 Таблица Б.17 - Экспериментальные данные g 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 126

X1 2 160.93 179.68 193.57 204.51 213.43 220.87 227.18 232.57 237.21 241.23 244.71 247.73 250.35 252.61 254.56 256.22 257.62 258.79 259.74 260.50 261.08 261.49 261.74 261.85 261.83 261.67 261.40 261.02 260.53 259.94

X2 3 80.00 73.25 61.00 54.25 49.00 36.25 34.00 25.25 19.00 14.25 7.00 4.25 -3.00 -5.75 -11.00 -5.00 2.00 4.00 8.00 13.00 22.00 29.00 33.00 37.00 43.00 45.00 52.00 61.00 68.00 74.00

X3 4 19.00 32.00 40.00 50.00 73.00 81.00 84.00 115.00 108.00 132.00 140.00 144.00 167.00 185.00 182.00 203.00 220.00 218.00 233.00 256.00 252.00 267.00 294.00 292.00 313.00 315.00 332.00 349.00 350.00 373.00

X4 5 123.10 121.00 117.70 116.40 115.30 111.20 109.90 105.60 104.50 102.00 99.90 98.80 98.10 96.60 91.50 92.00 87.90 86.60 84.50 80.40 80.90 76.60 76.70 73.60 70.50 8.40 8.70 14.60 12.90 17.40

X5 6 252.20 238.80 225.80 213.20 201.00 189.20 177.80 166.80 156.20 146.00 136.20 126.80 117.80 109.20 101.00 93.20 85.80 78.80 72.20 66.00 80.00 73.80 66.60 57.40 50.20 50.20 57.40 66.60 73.80 80.00

Y 7 166 162 155 152 149 147 142 136 132 130 128 126 125 123 120 119 114 111 109 104 101 99 92 100 102 108 113 115 116 119

Продолжение таблицы Б.17 1 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

2 259.26 258.49 257.63 256.69 255.68 254.59 253.43 252.21 250.92 249.57 248.15 246.69 245.16 243.59 241.96 240.29 238.57 236.80 234.99 233.14

3 59.80 65.80 72.20 79.00 86.20 93.80 101.80 110.20 119.00 128.20 137.80 147.80 158.20 169.00 180.20 191.80 203.80 216.20 229.00 242.20

4 372.00 394.00 406.00 414.00 436.00 435.00 462.00 471.00 476.00 483.00 495.00 509.00 516.00 539.00 547.00 569.00 576.00 584.00 602.00 614.00

5 18.70 19.20 23.50 26.80 25.90 29.80 32.90 32.20 34.90 39.20 38.10 40.80 45.90 45.20 49.10 49.20 52.30 55.40 55.30 59.60

6 66.00 72.20 78.80 85.80 93.20 101.00 109.20 117.80 126.80 136.20 146.00 156.20 166.80 177.80 189.20 201.00 213.20 225.80 238.80 252.20

7 126 136 140 141 144 154 158 167 170 171 174 175 178 188 191 196 199 203 212 240

Исходное уравнение регрессии, записанное в индексах эмпирических коэффициентов регрессии b

0 2 4 5 13 14 15 23 25 45 123 125 135 235 1345 11 33 44 55 111 222

127

Задача № 18 Таблица Б.18 - Экспериментальные данные g 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 128

X1 2 144.58 161.00 173.03 182.40 189.95 196.17 201.36 205.72 209.42 212.55 215.19 217.43 219.29 220.84 222.10 223.11 223.88 224.44 224.81 225.00 225.02 224.90 224.64 224.24 223.73 223.10 222.36 221.52 220.59 219.57

X2 3 80.00 70.25 61.00 52.25 44.00 36.25 29.00 22.25 16.00 10.25 5.00 0.25 -4.00 -7.75 -11.00 -7.00 0.00 8.00 17.00 20.00 23.00 26.00 30.00 31.00 35.00 40.00 43.00 51.00 53.00 53.00

X3 4 20.00 7.00 15.00 21.00 18.00 12.00 19.00 27.00 34.00 34.00 34.00 38.00 36.00 35.00 34.00 36.00 36.00 49.00 39.00 58.00 61.00 61.00 49.00 60.00 58.00 60.00 58.00 70.00 77.00 79.00

X4 5 21.90 22.40 22.50 22.80 23.30 20.40 23.50 20.40 21.90 22.20 22.70 20.80 20.30 19.80 20.90 21.40 19.50 20.00 18.50 20.00 22.10 22.00 20.90 18.80 19.50 -5.40 -4.30 -3.00 -1.90 -2.20

X5 6 252.20 238.80 225.80 213.20 201.00 189.20 177.80 166.80 156.20 146.00 136.20 126.80 117.80 109.20 101.00 93.20 85.80 78.80 72.20 66.00 59.00 58.80 56.60 48.40 45.20 45.20 48.40 56.60 58.80 59.00

Y 7 79.19 121.89 124.18 175.66 136.22 188.70 151.38 199.93 185.93 217.57 181.72 216.56 194.61 216.97 199.82 228.04 192.69 223.55 212.74 239.70 219.71 237.18 221.87 232.69 211.65 208.31 192.89 234.11 207.54 231.59

Продолжение таблицы Б.18 1 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

23 218.46 217.27 216.01 214.67 213.26 211.79 210.25 208.66 207.00 205.29 203.53 201.71 199.85 197.93 195.98 193.97 191.93 189.84 187.72 185.56

3 59.80 65.80 72.20 79.00 86.20 93.80 101.80 110.20 119.00 128.20 137.80 147.80 158.20 169.00 180.20 191.80 203.80 216.20 229.00 242.20

4 70.00 64.00 73.00 72.00 83.00 82.00 78.00 82.00 86.00 97.00 96.00 96.00 90.00 107.00 93.00 109.00 108.00 108.00 109.00 108.00

5 -2.50 -2.00 -2.70 -3.20 -3.70 -3.60 -3.90 -1.60 -3.90 -0.40 -0.10 -0.40 -3.10 -1.20 -1.90 -1.80 -2.50 -0.40 0.70 0.80

6 66.00 72.20 78.80 85.80 93.20 101.00 109.20 117.80 126.80 136.20 146.00 156.20 166.80 177.80 189.20 201.00 213.20 225.80 238.80 252.20

7 205.70 218.93 207.72 215.55 214.09 239.91 211.48 242.03 203.90 229.05 207.42 237.87 202.03 236.84 209.27 242.06 226.80 251.21 212.73 236.14

Исходное уравнение регрессии, записанное в индексах эмпирических коэффициентов регрессии b

0 1 2 5 13 14 15 23 25 45 123 125 135 235 1345 11 33 44 55 111 333

129

Задача № 19 Таблица Б.19 - Экспериментальные данные g 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 130

X1 2 149.61 166.75 179.35 189.20 197.17 203.77 209.30 213.98 217.97 221.37 224.28 226.75 228.85 230.62 232.09 233.29 234.26 235.01 235.56 235.92 236.12 236.16 236.05 235.82 235.45 234.97 234.37 233.68 232.88 231.99

X2 3 82.00 73.25 65.00 52.25 48.00 36.25 33.00 26.25 18.00 10.25 5.00 2.25 0.00 -4.75 -10.00 -7.00 -3.00 -2.00 4.00 8.00 11.00 17.00 19.00 20.00 25.00 25.00 32.00 39.00 40.00 48.00

X3 4 13.00 24.00 38.00 49.00 68.00 64.00 79.00 88.00 108.00 103.00 116.00 133.00 138.00 142.00 151.00 178.00 179.00 192.00 192.00 200.00 216.00 221.00 235.00 245.00 265.00 275.00 289.00 296.00 293.00 312.00

X4 5 101.90 99.00 98.90 96.20 95.90 93.80 91.30 90.00 89.10 85.00 86.10 82.20 83.50 79.40 77.30 77.80 75.70 74.20 70.70 70.80 68.70 65.20 66.10 65.00 62.50 5.00 7.70 9.20 12.90 11.60

X5 6 252.20 238.80 225.80 213.20 201.00 189.20 177.80 166.80 156.20 146.00 136.20 126.80 117.80 109.20 101.00 93.20 85.80 78.80 72.20 66.00 54.00 45.80 44.60 37.40 30.20 30.20 37.40 44.60 45.80 54.00

Y 7 79.07 111.24 82.59 106.70 95.71 131.30 111.02 130.75 112.17 139.33 114.87 155.33 130.98 158.65 126.63 172.08 129.24 165.84 129.95 155.24 143.08 163.17 149.63 176.32 134.08 153.12 120.78 153.42 123.68 153.23

Продолжение таблицы Б.19 1 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

2 231.02 229.96 228.82 227.60 226.31 224.96 223.54 222.06 220.51 218.91 217.26 215.55 213.79 211.98 210.13 208.23 206.28 204.29 202.27 200.20

3 59.80 65.80 72.20 79.00 86.20 93.80 101.80 110.20 119.00 128.20 137.80 147.80 158.20 169.00 180.20 191.80 203.80 216.20 229.00 242.20

4 324.00 325.00 344.00 353.00 365.00 364.00 376.00 398.00 393.00 414.00 410.00 432.00 438.00 446.00 460.00 472.00 475.00 490.00 492.00 508.00

5 13.90 17.00 17.70 18.20 19.70 24.80 24.70 27.00 26.70 28.00 30.90 31.60 34.10 35.80 39.50 41.20 43.70 44.80 43.90 47.40

6 66.00 72.20 78.80 85.80 93.20 101.00 109.20 117.80 126.80 136.20 146.00 156.20 166.80 177.80 189.20 201.00 213.20 225.80 238.80 252.20

7 149.17 158.79 150.53 169.64 144.59 169.06 150.72 172.70 159.09 175.93 161.41 183.56 145.30 174.73 153.43 175.63 139.75 174.51 139.96 174.89

Исходное уравнение регрессии, записанное в индексах эмпирических коэффициентов регрессии b

0 5 13 14 15 23 25 35 45 123 125 135 235 1345 11 22 33 44 55 111 333

131

Задача № 20 Таблица Б.20 - Экспериментальные данные g 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 132

X1 2 103.10 113.58 120.89 126.27 130.34 133.45 135.81 137.58 138.86 139.74 140.27 140.49 140.46 140.19 139.71 139.05 138.22 137.24 136.12 134.87 133.51 132.03 130.45 128.78 127.02 125.18 123.26 121.27 119.21 117.08

X2 3 255.95 258.30 220.05 230.20 215.75 214.70 181.05 158.80 172.95 164.50 144.45 132.80 132.55 109.70 110.25 103.20 89.55 101.30 88.45 81.00 87.75 80.30 84.85 82.40 83.95 189.40 160.70 144.40 163.50 143.00

X3 4 24.00 16.00 34.00 42.00 59.00 67.00 66.00 69.00 89.00 83.00 92.00 113.00 115.00 122.00 139.00 134.00 146.00 160.00 155.00 175.00 187.00 183.00 190.00 207.00 209.00 210.00 223.00 241.00 234.00 259.00

X4 5 81.50 82.20 79.90 80.20 76.30 76.20 76.10 71.20 70.10 71.60 67.50 66.80 65.30 66.00 62.50 64.20 59.90 58.20 60.30 58.80 58.10 53.40 55.10 51.80 49.50 5.60 5.10 5.40 9.10 7.60

X5 6 256.20 240.80 216.80 217.20 202.00 197.20 168.80 152.80 172.20 152.00 142.20 133.80 120.80 112.20 109.00 105.20 87.80 91.80 81.20 67.00 86.00 69.80 78.60 76.40 72.20 90.20 88.40 90.60 85.80 93.00

Y 7 319.54 344.12 245.05 280.76 239.04 253.19 194.22 181.46 184.57 193.27 152.16 160.18 141.89 155.28 143.15 159.51 133.25 147.97 116.28 132.75 128.80 141.48 102.87 123.94 110.04 149.96 105.22 122.73 114.13 126.63

Продолжение таблицы Б.20 1 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

2 114.90 112.65 110.35 108.00 105.59 103.14 100.65 98.10 95.52 92.90 90.24 87.54 84.80 82.04 79.23 76.40 73.54 70.64 67.72 64.77

3 132.90 124.20 110.90 102.00 98.50 94.40 76.70 80.40 69.50 55.00 73.70 57.20 65.70 63.20 58.70 76.40 74.30 76.20 71.10 78.00

4 264.00 273.00 264.00 274.00 297.00 290.00 309.00 307.00 316.00 321.00 343.00 337.00 344.00 370.00 372.00 374.00 395.00 395.00 408.00 406.00

5 9.10 13.00 13.10 14.20 17.30 16.00 18.10 20.60 19.30 23.00 25.10 24.00 25.10 28.20 28.30 28.20 30.50 33.80 32.10 36.80

6 86.00 93.20 105.80 93.80 107.20 114.00 113.20 135.80 135.80 147.20 167.00 175.20 160.80 182.80 216.20 217.00 231.20 220.80 258.80 256.20

7 92.67 122.00 99.20 99.56 102.31 107.00 98.10 121.99 95.92 124.08 122.14 148.65 119.30 153.54 158.64 184.92 176.59 183.16 208.24 228.00

Исходное уравнение регрессии, записанное в индексах эмпирических коэффициентов регрессии b

0 1 3 4 5 12 23 24 25 234 235 245 2345 11 22 33 222 333 444 555

133

Задача № 21 Таблица Б.21 - Экспериментальные данные g 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 134

X1 2 6.00 12.00 18.00 21.00 24.00 30.00 36.00 39.00 42.00 48.00 54.00 57.00 60.00 66.00 72.00 75.00 78.00 84.00 90.00 93.00 96.00 102.00 108.00 111.00 114.00 120.00 126.00 129.00 132.00 138.00

X2 3 164.00 144.50 128.00 120.75 113.50 99.00 86.50 79.75 73.00 61.50 51.00 46.25 41.50 33.00 24.50 21.25 18.00 12.50 10.00 7.25 4.50 4.00 0.50 1.25 2.00 2.50 3.00 4.75 6.50 9.00

X3 4 137.04 152.38 163.55 167.87 172.19 179.11 184.76 187.10 189.44 193.33 196.59 197.95 199.31 201.57 203.44 204.20 204.96 206.18 207.12 207.47 207.82 208.30 208.58 208.63 208.68 208.61 208.38 208.20 208.02 207.51

X4 5 37.27 37.95 38.61 38.93 39.26 39.91 40.54 40.85 41.16 41.76 42.35 42.64 42.93 43.49 44.03 44.30 44.56 45.07 45.56 45.80 46.03 46.48 46.90 47.10 47.30 47.68 21.11 22.49 23.88 25.81

X5 6 230.50 208.80 190.10 179.75 169.40 153.70 135.00 127.15 119.30 106.60 90.90 84.55 78.20 66.50 55.80 51.45 47.10 38.40 29.70 27.35 25.00 17.30 13.60 12.25 10.90 7.20 230.50 219.65 208.80 190.10

Y 7 96.82 133.35 101.38 132.27 123.09 145.07 120.78 153.70 130.81 144.29 134.35 156.37 124.57 165.18 138.88 167.33 127.91 169.02 139.50 176.66 144.36 170.44 136.92 161.75 149.57 179.06 112.06 147.95 138.65 167.70

Продолжение таблицы Б.21 1 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

2 144.00 147.00 150.00 156.00 162.00 165.00 168.00 174.00 180.00 183.00 186.00 192.00 198.00 204.00 210.00 216.00 222.00 228.00 234.00 240.00

3 12.50 16.25 20.00 24.50 33.00 37.25 41.50 50.00 60.50 66.25 72.00 84.50 100.00 112.50 128.00 146.50 162.00 182.50 201.00 222.50

4 206.89 206.52 206.15 205.30 204.34 203.82 203.30 202.16 200.94 200.28 199.63 198.25 196.80 195.28 193.69 192.04 190.32 188.56 186.73 184.85

5 27.24 27.78 28.32 29.15 29.79 30.03 30.27 30.62 30.86 30.93 31.01 31.09 31.09 31.04 30.92 30.76 30.56 30.32 30.04 29.72

6 169.40 161.55 153.70 135.00 119.30 112.95 106.60 90.90 78.20 72.35 66.50 55.80 47.10 38.40 29.70 25.00 17.30 13.60 10.90 7.20

7 136.83 158.17 130.93 169.90 156.75 164.38 142.43 189.84 159.91 172.25 155.18 179.52 163.98 198.78 185.15 207.04 186.36 197.68 188.53 215.16

Исходное уравнение регрессии, записанное в индексах эмпирических коэффициентов регрессии b

0 2 3 4 5 12 13 14 15 123 134 145 11 22 33 44 55 111 333 444

135

Задача № 22 Таблица Б.22 - Экспериментальные данные g 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 136

X1 2 18.00 28.00 39.00 35.50 32.00 47.00 50.00 62.00 74.00 82.00 89.00 86.50 84.00 98.00 105.00 109.00 113.00 118.00 120.00 128.50 137.00 147.00 145.00 151.00 157.00 162.00 172.00 180.00 188.00 199.00

X2 3 164.00 146.50 131.00 123.25 115.50 101.00 85.50 79.75 74.00 63.50 53.00 46.75 40.50 32.00 25.50 21.75 18.00 13.50 9.00 7.25 5.50 2.00 1.50 1.25 1.00 2.50 2.00 4.75 7.50 9.00

X3 4 173.50 194.05 209.37 215.45 221.52 231.49 239.88 243.46 247.04 253.22 258.59 260.94 263.29 267.42 271.05 272.65 274.24 277.06 279.53 280.61 281.69 283.58 285.21 285.92 286.62 287.81 288.81 289.22 289.63 290.28

X4 5 57.02 57.54 58.04 58.29 58.53 59.00 59.46 59.68 59.90 60.33 60.74 60.93 61.13 61.50 61.85 62.02 62.18 62.49 62.77 62.90 63.03 63.26 63.46 63.55 63.63 63.76 28.40 30.31 32.21 34.97

X5 6 230.50 207.80 190.10 179.75 169.40 152.70 138.00 129.65 121.30 107.60 91.90 85.05 78.20 68.50 56.80 51.45 46.10 38.40 31.70 28.35 25.00 18.30 13.60 12.75 11.90 6.20 230.50 219.15 207.80 190.10

Y 7 108.15 139.16 111.75 140.28 125.19 147.31 123.81 152.67 129.42 153.69 129.28 156.77 124.54 147.31 131.17 154.73 141.47 155.04 131.21 158.97 143.58 162.46 151.64 174.74 149.50 170.37 127.03 145.18 133.62 161.54

Продолжение таблицы Б.22 1 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

2 197.00 205.50 214.00 208.00 231.00 229.50 228.00 251.00 255.00 258.00 261.00 261.00 274.00 284.00 292.00 290.00 312.00 314.00 326.00 326.00

3 13.50 16.75 20.00 26.50 33.00 36.75 40.50 51.00 62.50 67.25 72.00 85.50 101.00 114.50 131.00 145.50 162.00 182.50 200.00 222.50

4 290.78 290.96 291.13 291.35 291.43 291.42 291.40 291.25 291.00 290.82 290.64 290.19 289.65 289.02 288.31 287.51 286.65 285.71 284.70 283.62

5 37.10 37.95 38.80 40.18 41.31 41.78 42.24 43.02 43.66 43.92 44.18 44.61 44.95 45.21 45.41 45.54 45.62 45.64 45.62 45.56

6 169.40 161.05 152.70 138.00 121.30 114.45 107.60 91.90 78.20 73.35 68.50 56.80 46.10 38.40 31.70 25.00 18.30 13.60 11.90 6.20

7 141.42 173.90 153.38 173.95 162.21 181.94 153.32 186.21 166.21 195.03 183.91 205.90 188.29 218.25 192.94 224.65 212.56 245.44 216.72 245.74

Исходное уравнение регрессии, записанное в индексах эмпирических коэффициентов регрессии b

0 3 4 5 12 13 14 15 23 24 25 123 234 345 1234 11 22 111 222 333 444

137

Задача № 23 Таблица Б.23 - Экспериментальные данные g 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 138

X1 2 170.98 191.18 206.21 212.17 218.12 227.88 236.08 239.58 243.07 249.09 254.31 256.60 258.88 262.88 266.38 267.92 269.46 272.17 274.53 275.56 276.60 278.39 279.93 280.59 281.24 282.35 283.26 283.63 284.00 284.57

X2 3 85.00 72.25 65.00 60.63 56.25 53.00 45.25 41.13 37.00 33.25 29.00 25.63 22.25 20.00 12.25 11.13 10.00 9.25 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00

X3 4 18.00 25.00 33.00 36.50 40.00 52.00 67.00 70.50 74.00 99.00 93.00 101.50 110.00 120.00 136.00 142.50 149.00 150.00 157.00 166.00 175.00 184.00 187.00 198.00 209.00 213.00 228.00 230.50 233.00 243.00

X4 5 83.50 82.00 76.90 76.15 75.40 74.70 74.40 73.35 72.30 71.20 69.50 68.25 67.00 66.90 64.00 62.25 60.50 60.60 56.50 56.65 56.80 56.90 54.00 53.15 52.30 51.60 -2.70 -2.15 -1.60 -0.30

X5 6 171.48 192.18 207.71 213.92 220.12 230.38 239.08 242.83 246.57 253.09 258.81 261.35 263.88 268.38 272.38 274.17 275.96 279.17 282.03 283.31 284.60 286.89 288.93 289.84 290.74 292.35 10.20 10.30 10.40 10.60

Y 7 6.04 122.03 133.43 175.54 168.41 203.55 206.53 224.95 208.18 229.05 218.81 233.34 221.90 235.01 229.89 245.64 230.81 233.23 215.33 233.06 222.04 239.85 203.84 228.73 227.46 237.39 181.65 191.02 184.19 210.15

Продолжение таблицы Б.23 1 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

2 284.99 285.13 285.27 285.41 285.43 285.38 285.32 285.11 284.79 284.58 284.37 283.85 283.25 282.55 281.78 280.93 280.00 279.01 277.94 276.81

3 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00 17.40 28.80 33.80 39.20 45.00 51.20 57.80 64.80 72.20 80.00 88.20

4 259.00 259.50 260.00 260.00 282.00 282.50 283.00 302.00 318.00 319.00 320.00 334.00 344.00 351.00 363.00 366.00 371.00 380.00 407.00 416.00

5 0.80 1.85 2.90 5.60 6.70 9.05 11.40 9.90 13.00 13.85 14.70 17.60 19.90 19.80 20.90 24.20 25.70 26.00 30.10 30.60

6 10.80 10.90 11.00 11.20 11.40 11.50 11.60 11.80 12.00 23.50 35.00 40.20 45.80 51.80 58.20 65.00 72.20 79.80 87.80 96.20

7 179.82 201.78 188.77 212.81 189.10 201.79 191.38 194.00 188.80 224.63 205.11 238.13 221.38 253.63 234.46 263.25 248.20 266.77 268.73 279.60

Исходное уравнение регрессии, записанное в индексах эмпирических коэффициентов регрессии b

0 1 2 3 4 23 24 25 34 35 45 25 135 145 235 245 345 2345 12345 22 55 222

139

Задача № 24 Таблица Б.24 - Экспериментальные данные g 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 140

X1 2 91.79 100.65 106.67 108.82 110.96 114.09 116.34 117.14 117.94 119.00 119.62 119.75 119.88 119.83 119.51 119.23 118.96 118.19 117.24 116.69 116.13 114.86 113.46 112.70 111.93 110.29 108.55 107.63 106.70 104.77

X2 3 84.00 78.25 66.00 61.63 57.25 54.00 47.25 43.63 40.00 36.25 26.00 23.63 21.25 23.00 18.25 15.13 12.00 7.25 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00

X3 4 20.00 44.00 61.00 64.50 68.00 96.00 105.00 112.00 119.00 136.00 148.00 159.50 171.00 182.00 197.00 205.00 213.00 226.00 244.00 255.00 266.00 284.00 294.00 306.50 319.00 336.00 348.00 355.00 362.00 377.00

X4 5 129.90 127.80 124.90 123.15 121.40 117.50 117.20 115.55 113.90 110.00 108.90 106.55 104.20 101.30 96.60 96.45 96.30 91.80 91.50 88.45 85.40 84.90 80.80 79.45 78.10 75.60 -2.30 -0.05 2.20 5.30

X5 6 92.29 101.65 108.17 110.57 112.96 116.59 119.34 120.39 121.44 123.00 124.12 124.50 124.88 125.33 125.51 125.48 125.46 125.19 124.74 124.44 124.13 123.36 122.46 121.95 121.43 120.29 9.20 9.30 9.40 9.60

Y 7 248.81 210.82 178.81 192.16 176.88 198.84 173.17 201.23 181.96 209.32 192.58 217.31 197.35 215.00 203.40 226.60 200.17 216.11 198.25 202.26 182.48 194.23 188.52 199.39 173.85 202.18 147.04 172.15 156.08 166.92

Продолжение таблицы Б.24 1 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

2 102.75 101.70 100.65 98.48 96.23 95.08 93.93 91.56 89.13 87.89 86.65 84.12 81.54 78.90 76.23 73.51 70.75 67.95 65.12 62.25

3 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00 16.90 28.80 33.80 39.20 45.00 51.20 57.80 64.80 72.20 80.00 88.20

4 399.00 401.00 403.00 435.00 438.00 450.00 462.00 465.00 490.00 498.00 506.00 531.00 538.00 559.00 577.00 580.00 601.00 620.00 636.00 648.00

5 6.40 9.05 11.70 13.20 15.70 17.25 18.80 20.90 25.20 26.15 27.10 29.80 32.70 35.00 38.30 42.40 45.70 47.40 52.10 55.20

6 9.80 9.90 10.00 10.20 10.40 10.50 10.60 10.80 11.00 23.00 35.00 40.20 45.80 51.80 58.20 65.00 72.20 79.80 87.80 96.20

7 146.76 161.90 138.77 158.37 146.64 170.73 145.05 161.96 142.49 171.02 159.71 170.53 159.88 168.57 151.65 156.30 126.83 137.68 87.92 65.84

Исходное уравнение регрессии, записанное в индексах эмпирических коэффициентов регрессии b

0 1 2 3 4 5 12 23 34 123 234 345 1234 1235 11 22 33 44 55 555

141

Задача № 25 Таблица Б.25 - Экспериментальные данные g 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 142

X1 2 106.87 117.89 125.63 128.50 131.37 135.76 139.15 140.46 141.77 143.78 145.28 145.82 146.36 147.08 147.49 147.56 147.62 147.52 147.20 146.95 146.69 146.01 145.17 144.68 144.18 143.06 141.83 141.15 140.47 139.02

X2 3 82.00 74.25 70.00 65.63 61.25 50.00 44.25 41.13 38.00 34.25 27.00 25.13 23.25 20.00 16.25 12.63 9.00 9.25 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00

X3 4 15.00 31.00 57.00 64.50 72.00 82.00 103.00 110.00 117.00 115.00 133.00 145.00 157.00 165.00 179.00 186.50 194.00 210.00 215.00 222.50 230.00 251.00 268.00 271.50 275.00 291.00 309.00 315.50 322.00 335.00

X4 5 115.70 110.20 108.70 107.25 105.80 102.50 102.80 100.45 98.10 96.80 95.10 93.75 92.40 89.30 86.20 85.85 85.50 82.60 79.10 78.25 77.40 74.70 72.40 71.25 70.10 67.80 -3.30 -1.85 -0.40 4.50

X5 6 107.37 118.89 127.13 130.25 133.37 138.26 142.15 143.71 145.27 147.78 149.78 150.57 151.36 152.58 153.49 153.81 154.12 154.52 154.70 154.70 154.69 154.51 154.17 153.93 153.68 153.06 10.20 10.30 10.40 10.60

Y 7 301.00 221.00 190.00 180.00 170.00 164.00 166.00 168.50 171.00 174.00 180.00 181.00 182.00 184.00 184.00 184.00 184.00 182.00 180.00 178.50 177.00 175.00 171.00 170.50 170.00 165.00 148.00 147.50 147.00 146.00

Продолжение таблицы Б.25 1 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

2 137.46 136.64 135.81 134.08 132.27 131.32 130.38 128.43 126.40 125.36 124.31 122.16 119.96 117.70 115.38 113.02 110.61 108.15 105.66 103.12

3 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00 17.40 28.80 33.80 39.20 45.00 51.20 57.80 64.80 72.20 80.00 88.20

4 348.00 355.50 363.00 373.00 392.00 400.00 408.00 413.00 430.00 438.50 447.00 462.00 472.00 480.00 505.00 505.00 523.00 539.00 548.00 577.00

5 7.20 8.05 8.90 12.80 15.30 14.95 14.60 17.90 22.40 23.05 23.70 26.20 28.90 31.80 32.50 35.20 39.10 42.20 43.30 46.20

6 10.80 10.90 11.00 11.20 11.40 11.50 11.60 11.80 12.00 23.50 35.00 40.20 45.80 51.80 58.20 65.00 72.20 79.80 87.80 96.20

7 145.00 144.50 144.00 142.00 142.00 140.50 139.00 139.00 138.00 143.50 149.00 147.00 148.00 144.00 143.00 136.00 129.00 115.00 102.00 75.00

Исходное уравнение регрессии, записанное в индексах эмпирических коэффициентов регрессии b

0 2 3 4 5 12 13 14 15 23 24 25 123 234 345 1234 11 22 111 222 333 444

143

Задача № 26 Таблица Б.26 - Экспериментальные данные g 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 144

X1 2 76.71 83.40 87.71 89.13 90.55 92.41 93.54 93.82 94.10 94.22 93.97 93.69 93.41 92.59 91.54 90.92 90.29 88.86 87.28 86.42 85.56 83.71 81.75 80.72 79.68 77.52 75.27 74.10 72.93 70.52

X2 3 87.00 74.25 65.00 59.13 53.25 47.00 38.25 33.63 29.00 22.25 23.00 18.63 14.25 9.00 3.25 1.13 -1.00 -6.75 -11.00 -11.00 -11.00 -11.00 -11.00 -10.50 -10.00 -10.00 -9.00 -8.50 -8.00 -7.00

X3 4 26.00 38.00 63.00 71.50 80.00 90.00 112.00 117.00 122.00 140.00 163.00 162.00 161.00 182.00 205.00 216.00 227.00 240.00 259.00 258.00 257.00 279.00 288.00 302.50 317.00 320.00 344.00 357.00 370.00 377.00

X4 5 129.90 125.60 125.10 122.55 120.00 120.50 116.80 114.75 112.70 111.60 106.50 106.25 106.00 102.10 98.00 97.55 97.10 93.40 90.70 89.55 88.40 85.50 80.80 80.25 79.70 74.80 -1.10 -0.05 1.00 5.70

X5 6 136.20 126.80 117.80 113.50 109.20 101.00 93.20 89.50 85.80 78.80 72.20 69.10 66.00 9.00 6.80 6.20 5.60 3.40 1.20 1.10 1.00 -0.20 -2.40 -3.00 -3.60 -4.80 -4.80 -4.20 -3.60 -2.40

Y 7 165.00 166.00 170.00 168.50 167.00 169.00 166.00 166.00 166.00 163.00 165.00 162.50 160.00 158.00 156.00 155.00 154.00 150.00 149.00 148.00 147.00 146.00 143.00 143.50 144.00 141.00 126.00 126.50 127.00 127.00

Продолжение таблицы Б.26 1 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

2 68.03 66.76 65.48 62.87 60.20 58.84 57.47 54.69 51.87 50.43 48.99 46.07 43.11 40.11 37.08 34.00 30.89 27.75 24.58 21.38

3 -5.00 -4.50 -4.00 -4.00 -2.00 -1.00 0.00 1.00 3.00 31.40 59.80 65.80 72.20 79.00 86.20 93.80 101.80 110.20 119.00 128.20

4 402.00 410.00 418.00 431.00 446.00 456.00 466.00 472.00 494.00 504.50 515.00 519.00 546.00 553.00 575.00 595.00 594.00 621.00 625.00 648.00

5 8.80 9.65 10.50 14.60 16.30 17.95 19.60 23.90 23.20 25.15 27.10 31.40 35.50 37.80 41.30 40.60 44.70 46.20 51.70 52.00

6 -0.20 0.40 1.00 1.20 3.40 4.50 5.60 6.80 9.00 37.50 66.00 72.20 78.80 85.80 93.20 101.00 109.20 117.80 126.80 136.20

7 125.00 125.50 126.00 125.00 125.00 124.00 123.00 123.00 121.00 130.50 140.00 139.00 141.00 141.00 143.00 142.00 144.00 145.00 146.00 147.00

Исходное уравнение регрессии, записанное в индексах эмпирических коэффициентов регрессии b

0 1 2 3 24 25 34 35 45 125 135 145 235 245 345 2345 12345 22 55 222

145

Задача № 27 Таблица Б.27 - Экспериментальные данные g 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 146

X1 2 176.01 196.92 212.53 218.73 224.92 235.11 243.68 247.34 251.01 257.35 262.87 265.29 267.70 271.96 275.71 277.37 279.02 281.94 284.52 285.65 286.78 288.77 290.50 291.25 291.99 293.27 294.36 294.81 295.26 295.99

X2 3 83.00 70.25 65.00 61.63 58.25 45.00 38.25 36.13 34.00 24.25 18.00 17.13 16.25 8.00 2.25 -0.88 -4.00 -2.75 -11.00 -11.00 -11.00 -10.00 -10.00 -9.50 -9.00 -8.00 -6.00 -6.00 -6.00 -5.00

X3 4 19.00 44.00 50.00 58.00 66.00 82.00 98.00 98.50 99.00 116.00 135.00 141.50 148.00 169.00 171.00 178.00 185.00 198.00 210.00 221.50 233.00 240.00 262.00 267.00 272.00 293.00 307.00 309.50 312.00 328.00

X4 5 114.10 110.00 107.90 106.55 105.20 102.70 102.60 100.25 97.90 97.60 96.10 94.35 92.60 88.90 86.80 85.85 84.90 80.00 79.90 77.55 75.20 72.70 71.00 69.55 68.10 67.40 -2.50 -0.15 2.20 3.10

X5 6 136.20 126.80 117.80 113.50 109.20 101.00 93.20 89.50 85.80 78.80 72.20 69.10 66.00 9.00 6.80 6.20 5.60 4.40 2.20 2.10 2.00 1.80 -0.40 -1.00 -1.60 -1.80 -1.80 -1.70 -1.60 -0.40

Y 7 82.91 98.97 99.22 112.63 109.82 116.11 110.25 130.38 114.59 129.08 116.17 133.83 123.93 138.93 123.38 140.87 128.05 132.64 122.29 134.43 122.83 142.10 136.93 141.38 132.24 147.67 128.81 130.78 119.17 133.08

Продолжение таблицы Б.27 1 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

2 296.56 296.78 296.99 297.28 297.44 297.46 297.48 297.40 297.21 297.06 296.92 296.53 296.05 295.48 294.83 294.10 293.29 292.41 291.45 290.43

3 -3.00 -3.00 -3.00 -3.00 -1.00 -0.50 0.00 1.00 3.00 31.40 59.80 65.80 72.20 79.00 86.20 93.80 101.80 110.20 119.00 128.20

4 338.00 345.00 352.00 377.00 379.00 392.00 405.00 416.00 428.00 438.00 448.00 467.00 476.00 479.00 504.00 506.00 520.00 535.00 547.00 569.00

5 6.00 7.45 8.90 11.80 11.70 13.25 14.80 18.30 20.60 22.55 24.50 24.60 27.10 29.40 31.50 35.80 36.90 41.00 42.70 46.60

6 1.80 1.90 2.00 2.20 4.40 5.00 5.60 6.80 9.00 37.50 66.00 72.20 78.80 85.80 93.20 101.00 109.20 117.80 126.80 136.20

7 124.63 142.60 124.66 142.81 132.04 144.10 136.85 152.49 143.40 157.18 163.27 168.65 166.93 177.81 174.06 182.90 173.89 198.17 187.60 196.85

Исходное уравнение регрессии, записанное в индексах эмпирических коэффициентов регрессии b

0 1 3 4 5 12 23 24 25 123 234 235 245 2345 11 22 33 222 333 444 555

147

Задача № 28 Таблица Б.28 - Экспериментальные данные g 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 148

X1 2 8.00 16.00 24.00 28.00 32.00 40.00 48.00 52.00 56.00 64.00 72.00 76.00 80.00 88.00 96.00 100.00 104.00 112.00 120.00 124.00 128.00 136.00 144.00 148.00 152.00 160.00 168.00 172.00 176.00 184.00

X2 3 165.00 145.50 131.00 122.25 113.50 99.00 86.50 79.75 73.00 63.50 53.00 48.25 43.50 34.00 27.50 22.75 18.00 14.50 10.00 8.25 6.50 5.00 0.50 0.75 1.00 1.50 5.00 5.25 5.50 10.00

X3 4 103.10 113.58 120.89 123.58 126.27 130.34 133.45 134.63 135.81 137.58 138.86 139.30 139.74 140.27 140.49 140.48 140.46 140.19 139.71 139.38 139.05 138.22 137.24 136.68 136.12 134.87 133.51 132.77 132.03 130.45

X4 5 18.88 19.70 20.52 20.92 21.33 22.13 22.92 23.31 23.70 24.47 25.23 25.61 25.98 26.72 27.44 27.80 28.15 28.85 29.54 29.87 30.20 30.86 31.49 31.80 32.11 32.70 14.32 15.22 16.12 17.28

X5 6 231.50 210.80 188.10 179.75 171.40 153.70 137.00 129.15 121.30 104.60 91.90 85.55 79.20 69.50 56.80 52.45 48.10 40.40 29.70 26.35 23.00 20.30 14.60 12.25 9.90 9.20 231.50 221.15 210.80 188.10

Y 7 84.00 93.00 103.00 105.50 108.00 114.00 117.00 120.00 123.00 123.00 126.00 126.00 126.00 130.00 129.00 129.50 130.00 129.00 129.00 129.00 129.00 130.00 127.00 127.50 128.00 126.00 156.00 154.00 152.00 151.00

Продолжение таблицы Б.28 1 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

2 192.00 196.00 200.00 208.00 216.00 220.00 224.00 232.00 240.00 244.00 248.00 256.00 264.00 272.00 280.00 288.00 296.00 304.00 312.00 320.00

3 15.50 16.75 18.00 24.50 35.00 38.75 42.50 51.00 63.50 68.25 73.00 85.50 98.00 114.50 130.00 146.50 164.00 180.50 203.00 223.50

4 128.78 127.90 127.02 125.18 123.26 122.27 121.27 119.21 117.08 115.99 114.90 112.65 110.35 108.00 105.59 103.14 100.65 98.10 95.52 92.90

5 18.05 18.31 18.57 18.89 19.06 19.09 19.12 19.07 18.95 18.85 18.75 18.50 18.19 17.84 17.44 17.01 16.54 16.05 15.52 14.97

6 171.40 162.55 153.70 137.00 121.30 112.95 104.60 91.90 79.20 74.35 69.50 56.80 48.10 40.40 29.70 23.00 20.30 14.60 9.90 9.20

7 148.00 147.00 146.00 142.00 141.00 139.50 138.00 139.00 136.00 136.50 137.00 135.00 136.00 135.00 137.00 138.00 141.00 142.00 146.00 149.00

Исходное уравнение регрессии, записанное в индексах эмпирических коэффициентов регрессии b

0 1 3 4 12 15 123 124 125 134 135 145 235 245 345 11 22 33 44 55 222

149

Задача № 29 Таблица Б.29 - Экспериментальные данные g 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 150

X1 2 140.81 156.69 168.29 177.30 184.53 190.47 195.40 199.53 203.00 205.93 208.38 210.43 212.13 213.51 214.61 215.47 216.09 216.51 216.74 216.80 216.70 216.46 216.08 215.57 214.94 214.20 213.35 212.41 211.38 210.25

X2 3 272.95 250.30 252.05 223.20 207.75 204.70 196.05 162.80 163.95 146.50 165.45 153.80 131.55 136.70 115.25 88.20 91.55 98.30 84.45 73.00 63.75 21.30 14.85 21.40 39.95 181.40 178.70 149.40 140.50 136.00

X3 4 16.00 44.00 49.00 68.00 87.00 88.00 107.00 114.00 134.00 149.00 161.00 177.00 184.00 201.00 212.00 236.00 243.00 270.00 281.00 287.00 298.00 311.00 341.00 338.00 367.00 370.00 379.00 402.00 407.00 426.00

X4 5 141.50 139.40 138.30 135.80 133.30 127.80 128.70 125.80 120.70 119.20 118.50 114.00 112.50 107.80 107.10 106.60 100.50 99.60 95.90 94.00 91.50 88.00 87.30 83.00 81.50 9.80 13.30 14.40 18.10 20.80

X5 6 261.20 246.80 237.80 218.20 205.00 189.20 186.80 157.80 149.20 145.00 150.20 138.80 120.80 127.20 101.00 80.20 86.80 83.80 73.20 63.00 52.00 22.80 16.60 24.40 35.20 46.20 27.40 20.60 26.80 69.00

Y 7 18.59 146.98 176.13 214.46 209.30 231.68 227.34 245.67 208.42 241.60 234.92 247.96 221.78 240.45 194.40 212.80 187.61 226.18 179.30 186.64 161.70 164.70 121.54 163.71 158.93 169.48 144.25 148.30 140.89 171.16

Продолжение таблицы Б.29 1 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

2 209.05 207.76 206.40 204.97 203.48 201.91 200.29 198.61 196.87 195.07 193.23 191.33 189.39 187.40 185.36 183.29 181.17 179.01 176.81 174.58

3 140.90 129.20 110.90 117.00 90.50 69.40 75.70 72.40 61.50 51.00 39.70 10.20 3.70 11.20 21.70 32.40 13.30 6.20 12.10 54.00

4 440.00 451.00 471.00 477.00 509.00 513.00 518.00 543.00 552.00 576.00 581.00 590.00 617.00 633.00 630.00 659.00 673.00 687.00 694.00 706.00

5 22.90 25.80 26.90 30.00 31.90 36.40 37.50 42.60 44.50 45.40 47.30 49.60 55.30 54.40 59.90 60.20 61.70 66.00 66.70 70.20

6 78.00 89.20 102.80 95.80 92.20 119.00 140.20 134.80 156.80 168.20 149.00 166.20 164.80 197.80 206.20 209.00 224.20 252.80 250.80 273.20

7 152.87 190.91 148.15 189.44 153.47 188.23 170.27 201.86 179.95 188.29 157.33 184.41 152.99 197.74 162.57 204.93 177.25 204.51 166.26 224.84

Исходное уравнение регрессии, записанное в индексах эмпирических коэффициентов регрессии b

0 2 3 4 5 12 13 14 15 123 134 145 11 22 33 44 55 111 333 444

151

Задача № 30 Таблица Б.30 - Экспериментальные данные g 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 152

X1 2 6.00 12.00 18.00 21.00 24.00 30.00 36.00 39.00 42.00 48.00 54.00 57.00 60.00 66.00 72.00 75.00 78.00 84.00 90.00 93.00 96.00 102.00 108.00 111.00 114.00 120.00 126.00 129.00 132.00 138.00

X2 3 162.00 146.50 128.00 121.25 114.50 98.00 85.50 79.75 74.00 61.50 51.00 46.75 42.50 34.00 26.50 22.75 19.00 13.50 8.00 7.25 6.50 2.00 2.50 2.25 2.00 2.50 4.00 5.25 6.50 8.00

X3 4 137.04 152.38 163.55 167.87 172.19 179.11 184.76 187.10 189.44 193.33 196.59 197.95 199.31 201.57 203.44 204.20 204.96 206.18 207.12 207.47 207.82 208.30 208.58 208.63 208.68 208.61 208.38 208.20 208.02 207.51

X4 5 37.27 37.95 38.61 38.93 39.26 39.91 40.54 40.85 41.16 41.76 42.35 42.64 42.93 43.49 44.03 44.30 44.56 45.07 45.56 45.80 46.03 46.48 46.90 47.10 47.30 47.68 21.11 22.49 23.88 25.81

X5 6 229.50 209.80 189.10 179.25 169.40 151.70 136.00 127.65 119.30 106.60 91.90 85.55 79.20 66.50 56.80 51.45 46.10 37.40 31.70 28.35 25.00 17.30 12.60 11.75 10.90 8.20 229.50 219.65 209.80 189.10

Y 7 123.28 128.65 91.47 125.13 92.81 100.94 84.89 103.54 83.65 117.62 93.67 120.70 90.71 122.30 94.46 124.96 103.56 115.22 105.35 121.67 91.24 113.67 107.33 126.25 100.89 134.50 81.96 115.19 100.36 118.88

Продолжение таблицы Б.30 1 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

2 144.00 147.00 150.00 156.00 162.00 165.00 168.00 174.00 180.00 183.00 186.00 192.00 198.00 204.00 210.00 216.00 222.00 228.00 234.00 240.00

3 12.50 16.25 20.00 26.50 32.00 36.25 40.50 51.00 60.50 66.75 73.00 85.50 100.00 112.50 129.00 144.50 162.00 181.50 202.00 221.50

4 206.89 206.52 206.15 205.30 204.34 203.82 203.30 202.16 200.94 200.28 199.63 198.25 196.80 195.28 193.69 192.04 190.32 188.56 186.73 184.85

5 27.24 27.78 28.32 29.15 29.79 30.03 30.27 30.62 30.86 30.93 31.01 31.09 31.09 31.04 30.92 30.76 30.56 30.32 30.04 29.72

6 169.40 160.55 151.70 136.00 119.30 112.95 106.60 91.90 79.20 72.85 66.50 56.80 46.10 37.40 31.70 25.00 17.30 12.60 10.90 8.20

7 97.14 109.36 105.12 122.62 97.90 114.56 110.42 132.96 103.51 122.93 118.76 137.33 119.62 140.56 121.94 145.28 122.70 148.64 127.99 150.82

Исходное уравнение регрессии, записанное в индексах эмпирических коэффициентов регрессии b

0 1 2 3 4 15 23 24 25 34 35 45 125 135 145 235 245 345 2345 12345 22 55 222

153