Экстремальные нормированные поля

Алгебра и логика, 43, N 5 (2004), 582—588

УДК 510.53

ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ∗)

Ю. Л. ЕРШОВ

Предполагается знакомство читателя с основами теории нормированных полей в объеме главы 1 из [1]. Ниже будут использоваться и обозначения из [1]. Пусть F = hF, Ri — нормированное поле; назовем его экстремальным, если для любого многочлена f (¯ x) ∈ F [¯ x] = F [x0 , . . . , xn−1 ] множество {vR f (¯ a) | a ¯ = a0 , . . . , an−1 ∈ F } ⊆ ΓR ∪ {ω} имеет наибольший элемент. ЗАМЕЧАНИЕ. Если в определении выше ограничиться лишь многочленами от одной переменной, то это будет соответствовать понятию алгебраически максимального нормированного поля (см. [1, 2]), т. е. нормированного поля, не имеющего собственных алгебраических непосредственных расширений. Отсюда, в частности, следует, что всякое экстремальное нормированное поле является гензелевым. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1. Пусть F = hF, Ri — экстремальное нормированное поле, F ≤ F0 = hF0 , R0 i — конечное алгебраическое расширение. Тогда F0 является экстремальным нормированным полем. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть [F0 : F ] = m, ¯b = b0 , . . . , bm−1 — базис F0 над F ;  g(y0 , . . . , ym−1 ) — норменная форма   F0 над F относиP ”общего“ элемента тельно базиса ¯b g(¯ y ) — норма NF0 /F bi yi i<m

∗)

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаменталь-

ных исследований, проект N 99-01-0600, Совета по грантам Президента РФ и государственной поддержки ведущих научных школ, грант N 00-15-96184, и программы ”Университеты России — фундаментальные исследования“.

c Сибиpский фонд алгебpы и логики, 2005

Экстремальные нормированные поля

P

i<m

583

 bi yi поля F0 . Пусть f (¯ x) ∈ F0 [¯ x] = F0 [x0 , . . . , xn−1 ], F (¯ z ) — много-

член, который получается подстановкой в f вместо переменной xj формы P bi zij . Многочлен F (¯ z ) может быть (однозначно) представлен в форме i<m P F (¯ z) = bi Fi (¯ z ), где Fi (¯ z ) ∈ F [¯ z ], i < m. Пусть G(¯ z ) — многочлен из i<m

F [¯ z ], полученный подстановкой Fi (¯ z ) вместо yi , i < m, в g(¯ y ). Так как F

экстремально, то найдется набор элементов cij ∈ F , i < m, j < n, такой, что ¯ | dij ∈ F }. vR G(¯ c) = max{vR G(d) P cij bi ∈ F0 , j < n; проверим, что Полагаем ej ⇋ i<m

vR0 f (¯ e) = max{vR0 f (¯ e′ ) | e¯′ ∈ F0 }. Действительно, пусть e¯′ ∈ F0 , e′j = ¯ ≤ vR0 f (¯ e′ ) = m−1 vR NF0 /F f (¯ e′ ) = m−1 vR G(d)

P

dij bi , dij ∈ F ; тогда

i<m m−1 v

c) R G(¯

¯ ≤ = m−1 vR G(d)

≤ m−1 vR G(¯ c) = m−1 vR NF0 /F f (¯ e) = vR0 f (¯ e). 2 СЛЕДСТВИЕ. Всякое экстремальное нормированное поле является алгебраически полным. Действительно, если всякое конечное расширение нормированного поля является алгебраически максимальным, то оно является алгебраически полным (см. [1]). 2 Ниже будет показано, что существуют алгебраически полные нормированные поля, не являющиеся экстремальными. Какие же нормированные поля экстремальны? Открытым является вопрос, будут ли максимальные нормированные поля экстремальными. Ниже приводится один положительный результат, который представляется важным при обсуждении вопросов об элементарной теории поля формальных степенных рядов над конечным полем (см. [3]). ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2. Пусть F = hF, Ri — алгебраически полное дискретно нормированное поле (т. е. ΓR ≃ Z). Тогда F экстремально. Пусть f (¯ x) ∈ F [¯ x]; не уменьшая общности (умножая f на подходящий ненулевой элемент из R) можно считать, что f (¯ x) ∈ R[¯ x]. В силу [1, предлож. 3.1.7] возможны два случая.

584

Ю. Л. Ершов

1. Существует набор a ¯ ∈ R такой, что f (¯ a) = 0. Тогда vR f (¯ a) = ω = = max{vR f (¯b) | ¯b ∈ F }. ¯ ¯ 2. Существует γ∗ ∈ Γ+ R такой, что vR f (b) ≤ γ∗ для всех b ∈ F . Пусть b¯0 ∈ F — произвольный набор, и γ0 ⇋ vR f (b¯0 ). Так как ΓR ≃ Z, то интервал (в ΓR ) [γ0 , γ∗ ] конечен, а множество [γ0 , γ∗ ] ∩ {vR f (¯b) | ¯b ∈ F } конечно и непусто. Если γ1 — наибольший элемент из этого множества, a ¯ ∈ F и γ1 = vR f (¯ a), то, очевидно, vR f (¯ a) = max{vR f (¯b) | ¯b ∈ F }. 2 ЗАМЕЧАНИЕ 1. Свойство экстремальности является элементарным, т. е. может быть записано (бесконечной) системой предложений языка теории нормированных полей. Отсюда следует, что любое нормированное поле, элементарно эквивалентное любому полю формально степенных рядов (от одной переменной), является экстремальным. ЗАМЕЧАНИЕ 2. Основной результат (теор. 1) работы [4] сразу следует из предложения 2. Укажем одно важное алгебраическое следствие экстремальности, которое несправедливо для алгебраически полных нормирований. Пусть hD, Ri — нормированное тело (т. е. R является кольцом нормирования тела D, см. [5]), D0 (6 D) — подтело конечной коразмерности. Тогда R0 ⇋ ⇋ R∩D0 — кольцо нормирования тела D0 , индекс ветвления f ⇋ [ΓR : ΓR0 ] ¯ :D ¯ 0 ] конечны, и e · f 6 [D : D0 ]; здесь ΓR и относительная степень e ⇋ [D ¯ (D ¯ 0) — (ΓR0 ) — группа нормирования кольца нормирования R (R0 ), а D тело вычетов тела D (D0 ). Расширение D > D0 называется бездефектным, если имеет место равенство [D : D0 ] = e · f . ТЕОРЕМА. Пусть F = hF, Ri — экстремальное нормированное поле. Тогда любое конечномерное тело D с центром F является бездефектным расширением F . Если D — конечномерное тело над F , то гензелевость R влечет существование единственного кольца нормирования R0 тела D такого, что R0 ∩ F = R. Тогда бездефектность D над F означает, что имеет место

Экстремальные нормированные поля

585

¯ : F¯ ], D ¯ — тело равенство n = e · f , где n = [D : F ], e = [ΓR0 : ΓR ], f = [D вычетов кольца R0 , а F¯ — поле вычетов кольца R. ОСНОВНАЯ ЛЕММА. Пусть F ≤ E < D — собственное подте¯ 6= E ¯ или ΓR 6= ΓR , где R1 ⇋ R0 ∩ E — кольцо нормирования ло. Тогда D 1 0 ¯ тела E, а E — тело вычетов кольца R1 . Пусть m = [E : F ]; выберем базис εi , i < m, тела E над F . Пусть d ∈ D \ E; расширим семейство εi , i < m, d до базиса δj , j < n, тела D над F (δi = εi , i < m, δm = d). Пусть g(x0 , . . . , xm−1 , xm , xm+1 , . . . , xn−1 ) — форма (однородный многочлен) над F , соответствующая редуцированной норме SND/F (см. [5, VIII, 12.3]) для базиса δj , j < n. Пусть f (x0 , . . . , xm−1 ) ⇋ g(x0 , . . . . . . , xm−1 , −1, 0, . . . , 0) ∈ F [x0 , . . . , xm−1 ]. Так как F экстремально, то существует набор a0 , . . . , am−1 ∈ F , для которого vR f (¯ a) = max{vR f (¯b) | ¯b ∈ F }. Заметим, что для любого набора ¯b ∈ F справедливо vR0 (ε−d) = k −1 vR f (¯b), P где ε = bi εi , а k 2 = n, поскольку vR0 (d − ε) = k −1 vR SND/F (ε − d) = i<m P = k −1 vR f (¯b). Тогда для ε∗ ⇋ ai εi получаем vR0 (ε∗ − d) ≥ vR0 (ε − d) i<m

при всех ε ∈ E.

¯ = E, ¯ ΓR = ΓR . Покажем, что в этом Предположим теперь, что D 1 0 случае множество △ ⇋ {vR0 (ε−d) | ε ∈ E} не имеет наибольшего элемента. Действительно, ω 6∈ △, так как из vD (ε − d) = ω вытекает d = ε ∈ E, что неверно. Пусть ε ∈ E произволен. Поскольку vR0 (ε−d) 6= ω и ΓR0 = ΓR1 , то существует элемент ε0 ∈ E × (= E \ {0}), для которого vR1 (ε0 ) = vR0 (ε − d). ¯ = E, ¯ существует Тогда vR ((ε − d)ε−1 ) = 0 и (ε − d)ε−1 ∈ R0 . Так как D 0

0

ε1 ∈ R1 такой, что (ε −

0

d)ε−1 0

= ε¯1 , где черта означает переход к телу

вычетов. Следовательно, vR0 ((ε − d)ε−1 0 − ε1 ) > 0, vR0 ((ε − ε0 ε1 ) − d) > > vR0 (ε0 ) = vR0 (ε − d) и ε − ε0 ε1 ∈ E. Итак, для любого ε ∈ E найдется ε′ (= ε − ε0 ε1 ) ∈ E такой, что vR0 (ε′ − d) > vR0 (ε − d), т. е. △ не имеет наибольшего элемента. ¯ 6= E, ¯ либо Из проведенных выше рассуждений следует, что либо D ΓR1 6= ΓR0 . 2 Обратимся непосредственно к доказательству теоремы. Известно [6],

586

Ю. Л. Ершов

что равенство n = e · f · pd всегда выполняется для подходящего натурального d и p = 1, если характеристика ch(F¯ ) поля F¯ равна 0, и p = ch(F¯ ), если ch(F¯ ) > 0. При использовании примарного разложения конечномерных тел (см. [7]) вопрос о бездефектности сводится к рассмотрению случая, когда ch(F¯ ) = p > 0 и n = p2k для подходящего натурального k. Для доказательства воспользуемся индукцией по размерности n = p2k = = [D : F ]. Пусть D 6= F (n 6= 1), тогда можно предполагать (используя, быть N может, конечное p′ -расширение F ′ поля F и рассматривая D′ ⇋ D F F ′

вместо D) существование элемента d ∈ D \ F такого, что [F (d) : F ] = = p. Полагая E ⇋ CD (F (d)), т. е. E — централизатор подполя F (d) в D, получаем следующую башню тел (полей): F < F (d) ≤ E < D, причем [D : E] = [F (d) : F ] = p, [E : F (d)] = p2k−2 (и F (d) является центром E). Для доказательства бездефектности расширения F < D достаточно установить бездефектность расширений F < F (d), F (d) ≤ E, E < D. F (d) — бездефектное расширение F , так как F алгебраически полно; E — бездефектное расширение F (d) по индукционному предположению (заметим, что F (d) экстремально); D — бездефектное расширение E по ос¯ : E] ¯ равно 1 или p, а [ΓR : ΓR ] равно 1 новной лемме, поскольку [D 0 1 или p. 2 Укажем, как построить пример алгебраически полного нормированного поля, над которым существует конечномерное тело, имеющее нетривиальный дефект. Сначала установим один алгебраический факт о телах, имеющий и самостоятельное значение. Пусть F — поле характеристики p > 0, α ∈ ∈ F \ P(F ) (где P(x) ⇋ xp − x); β ∈ F \ F p . Пусть A = [α, β) — циклическая простая алгебра с центром F (см. [8]), которая порождается элементами u

Экстремальные нормированные поля

587

и v, удовлетворяющими соотношениям (P(v) =) v p − v = α, up = β, uv = (v + 1)u (= vu + u). Алгебра A имеет размерность p2 над F ([A : F ] = p2 ). ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3. Алгебра A является телом тогда и только тогда, когда для любых элементов γ0 , . . . , γp−1 ∈ F имеет место неравенство p α 6= (γ0p − γ0 ) + γ1p β + . . . + γp−1 β p−1 .

Если A не является телом, то A изоморфна алгебре Mp (F ) матриц над F размера p × p. Рассуждение из [8, стр. 159] показывает, что существует элемент v0 ∈ A такой, что uv0 = (v0 + 1)u и P(v0 ) = v0p − v0 = 0. Покажем, что v − v0 ∈ F (u). Имеем u(v − v0 ) = uv − uv0 = vu + u − −v0 u − u = (v − v0 )u, т. е. k ⇋ v − v0 перестановочен с u; следовательно, k принадлежит централизатору CA (F (u)) поля F (u) (≤ A) в алгебре A. По теореме о двойном централизаторе [CA (F (u)) : F ] = p2 · [F (u) : F ]−1 = p; вместе с очевидным включением F (u) ≤ CA (F (u)) получаем CA (F (u)) = = F (u). Итак, k ∈ F (u); пусть γ0 , . . . , γp−1 ∈ F таковы, что k = γ0 + γ1 u + + . . .+γp−1 up−1 . Имеем 0 = P(v0 ) = P(v−k) = P(v)−P(k) = α−P(k). По [8, p лемма 4.4.1] получаем P(k) = (γ0p −γ0 )+γ1p β+. . .+γp−1 β p−1 , следовательно, p β p−1 . α = (γ0p − γ0 ) + γ1p β + . . . + γp−1

Обратно, пусть γ0 , . . . , γp−1 ∈ F таковы, что α = (γ0p − γ0 ) + γ1p β + p + . . . + γp−1 β p−1 . Тогда для элемента v0 ⇋ v − k, где k ⇋ γ0 + γ1 u +

+ . . . + γp−1 up−1 , выполняются соотношения uv0 = u(v − k) = uv − uk = = (v + 1)u − ku (так как k ∈ F (u)), следовательно, uv0 = (v0 + 1)u (и v0 6= 0); P(v0 ) = v0p − v0 = v0 (v0p−1 − 1) = P(v − k) = P(v) − P(k) = p β p−1 ) = 0. Ясно, что v0 6∈ F (u); тем более, = α − ((γ0p − γ0 ) + γ1p β + . . . + γp−1

v0 6∈ F . Если предположить, что A является телом, то [F (v0 ) : F ] = p и, следовательно, v0p−1 − 1 6= 0. Равенство 0 = v0p − v0 = v0 (v0p−1 − 1) приводит к противоречию. Итак, A не является телом. 2 ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4. Существуют алгебраически полное нормированное поле F характеристики p > 0 с делимой группой нормирования

588

Ю. Л. Ершов

и тело A с центром F такие, что [A : F ] = p2 , [A¯ : F¯ ] = p, где A¯ — тело (поле) вычетов A, а F¯ — поле вычетов поля F . Пусть K — сепарабельно замкнутое поле характеристики p > 0 такое, что [K : K p ] = p, и β ∈ K \ K p . В качестве поля F возьмем поле L (с нормированием w) из [3, теор. 4.3]. Если в качестве α взять элемент s−1 (в обозначениях из [3, стр. 784]), а в качестве A — алгебру [α, β), то это и будет искомый пример. Действительно, по предложению 3 алгебра A является телом, значит, A¯ является полем, так как над сепарабельно замкнутым полем K = F¯ нет конечномерных тел. Любой элемент a ∈ A¯ \ K имеет степень p над K; K имеет только одно расширение степени p, поэтому [A¯ : K] ≤ p. Так как up = β ∈ K, то u принадлежит кольцу нормирования тела A и вычет u ¯ этого элемента лежит в A¯ \ K; итак, [A¯ : K] = p. 2 ЛИТЕРАТУРА 1. Ю. Л. Ершов, Кратно нормированные поля (Сиб. школа алгебры и логики), Новосибирск, Научная книга, 2000. 2. F.-V. Kuhlmann, Valuation theory of fields, Abelian groups and modules, Heidelberg, Universit¨at Heidelberg, Habilitationsschrift, 1994. 3. F.-V. Kuhlmann, Elementary properties of power series fields over finite fields, J. Symb. Log., 66, N 2 (2001), 771—791. 4. L. van den Dries, F.-V. Kuhlmann, Images of additive polynomials in Fp ((t)) have the approximation property, Can. Math. Bull., 45, N 1 (2002), 71—79. 5. Н. Бурбаки, Алгебра (модули, кольца, формы), М., Наука, 1966. 6. P. Draxl, Ostrowski’s theorem for Henselian valued skew fields, J. Rein Angew. Math., 354 (1984), 213—218. 7. Р. Пирс, Ассоциативные алгебры, М., Мир, 1986. 8. N. Jacobson, Finite dimensional division algebras over fields, Berlin, Heidelberg, Springer-Verlag, 1996.

Поступило 2 февраля 2004 г. Окончательный вариант 16 апреля 2004 г. Адрес автора: ЕРШОВ Юрий Леонидович, Институт математики СО РАН, пр. Ак. Коптюга, 4, г. Новосибирск, 630090, РОССИЯ. e-mail: [email protected]