Методические рекомендации по использованию учебников ''Алгебра и начала анализа'' для 10 и 11 классов

Профильное обучение

Методические рекомендации по использованию учебников «Алгебра и начала анализа» для 10 и 11 классов, авторы: Ю.М. Калягин, Ю.В. Сидоров, М.В. Ткачёва, Н.Е. Фёдорова и М.И. Шабунин, при изучении алгебры и начал анализа на базовом и профильном уровнях

Допущено МО РФ

Издательство «МНЕМОЗИНА» 2004 г.

Рассматриваемые 3-х уровневые учебники алгебры и начал анализа для 10 и 11 классов предназначены для различных типов общеобразовательных учреждений, где на изучение математики отводятся 4-6 часов в неделю. Начиная с 2001 года учебники прошли широкую апробацию в профильных и общеобразовательных школах различных регионов России и получили признание как учителейпрактиков, так и учащихся. Учебники соответствуют обязательному минимуму содержания основных образовательных программ профильного уровня. Помимо традиционных, в основное содержание учебников включены следующие разделы: элементы комбинаторики, бином Ньютона, знакомство с вероятностью, комплексные числа. Подготовлено содержание (прилагается в виде вкладыша к учебнику) по разделу «Многочлены и алгебраические уравнения». Изучение теории многочленов предполагается в 11-ом классе после изучения главы «Комплексные числа». В комплекте с учебниками изданы «Методические рекомендации для учителя» (авторы Фёдорова Н.Е. и Ткачева М.В.), в которых приводятся: - тематическое планирование учебного материала в 2-х вариантах (для изучения содержания в рамках 3-х и 4-х часовой недельной нагрузки; - разноуровневые контрольные работы по всем темам курса; - методические рекомендации для учителя по изучению содержания учебника. Как показала пробная проверка, рассматриваемые учебники могут быть использованы в старших классах базового уровня при условии, что на изучение алгебры и начал анализа будет отводиться 3 часа в неделю.

ОГЛАВЛЕНИЕ Введение ..................................................................................................5 10 класс...................................................................................................5 11 класс...................................................................................................11 Контрольные работы ............................................................................ 14 Примерное поурочное планирование учебного материала.............. 27

4

Введение Учебники «Алгебра и начала анализа» для старших классов (авторы: Ю. М. Колягин и др.) предназначены средним общеобразовательным школам различного профиля. В ходе эксперимента в классах социально-экономического, естественного и технического профилей на изучение математики отводится минимально 5 часов в неделю, а в классах физико-математического профиля — 6 часов. Желательно за счет школьного компонента увеличить время на изучение математики в классах всех профилей хотя бы на 1 час, который можно добавить в I полугодии на геометрию, во II — на алгебру. Это время во II полугодии целесообразно использовать на решение трудных задач, рассматриваемых в каждом параграфе учебника и требующих времени на их осмысление. Занимаясь алгеброй и началами анализа по названным выше учебникам, геометрию в классах всех профилей можно изучать по учебнику Л. С. Атанасяна и др., а в классах социально-экономического профиля — по учебнику И. М. Смирновой (Геометрия: Учебное пособие для 10—11-х классов гуманитарного профиля. — М.: Просвещение, 1997). В классах физико-математического профиля рекомендуется использовать учебник геометрии И. Ф. Шарыгина. В данном пособии приводятся таблицы примерного распределения времени на изучение в 10—11-х классах различных тем из расчета: 3 часа в неделю — в социальноэкономическом, естественном и техническом профилях; 4 часа — в физико-математическом. Даются краткие рекомендации по изучению курса. В пособии предложены «Контрольные работы» по всем темам курса и «Примерное поурочное планирование учебного материала» в двух вариантах.

10 КЛАСС

Профиль

Глава Глава Глава Глава Глава Глава Глава Повто II V I IV VI VII рение III

Социально экономиче 12 ский Естественн 12 ый Техническ 13 ий Физикоматематиче 14 ский

10

10

15

13

19

15

8

10

11

15

14

17

15

8

9

12

14

13

21

17

3

8

14

21

14

30

29

6

5

Глава I. Действительные числа. Степень с действительным показателем Рациональные числа. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Действительные числа. Арифметический корень натуральной степени. Степень с рациональным показателем. Степень с действительным показателем. Основные цели — обобщение и систематизация знаний учащихся о действительных числах; ознакомление с понятием степени с действительным показателем; обучение применению свойств степени при выполнении вычислений и преобразовании выражений. Изучение главы начинается с повторения курса алгебры основной школы: систематизируются сведения о рациональных числах, учащиеся повторяют тему «Геометрическая прогрессия» и знакомятся с бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Этот материал вспомогательного характера, так как с его помощью формируется представление о пределе последовательности, что в дальнейшем позволяет ввести определение степени с действительным показателем. Среди свойств степени с действительным показателем важными для дальнейшего изучения курса являются: теорема о сравнении степеней с одинаковым основанием, большим единицы, и следствия из этой теоремы. Используя теорему, учащиеся сначала сравнивают степени, а в дальнейшем решают показательные неравенства и уравнения, исследуют функции. При изучении главы в классах социально-экономического, естественного и технического профилей важно научить детей применять свойства степени с рациональным показателем при вычислениях и преобразованиях выражений. В работе с учащимися физико-математических классов не рекомендуется пренебрегать несложными заданиями на применение понятия предела последовательности и упражнениями на использование свойств арифметического корня натуральной степени. Глава II. Показательная функция Показательная функция, ее свойства и график. Показательные уравнения. Показательные неравенства. Основные цели — изучение свойств показательной функции; обучение решению показательных уравнений и неравенств. Прежде чем вводить понятие показательной функции, рекомендуется повторить известные учащимся из основной школы сведения о функции. Для этого можно использовать таблицу учебника. Свойства показательной функции y = a x следуют из свойств степени с действительным показателем. Например, возрастание функции y = a x , если а > 1, следует из свойства степени: «Если х1 < х2, то a x < a x » (это свойство было доказано ранее). Таким образом, свойства функции сначала доказываются аналитически, а потом иллюстрируются на графике. Решение простейших показательных уравнений основано на свойстве степени: «Если a x = a x , то х1 = х2». Тот 1

2

1

6

2

факт, что решение уравнения закончено, следует из свойства монотонности показательной функции. Решение показательных неравенств основывается на свойствах показательной функции. В ходе решения предложенных в учебнике показательных уравнений равносильность не нарушается, поэтому проверка не делается. В классах социально-экономического и естественного профилей больше внимания рекомендуется уделить повторению курса алгебры основной школы и исследованию функций, а с учащимися школ технического и физикоматематического профилей — решению уравнений и неравенств.

Глава III. Степенная функция. Степенная функция, ее свойства и график. Взаимно обратные функции. Равносильные уравнения и неравенства. Иррациональные уравнения. Иррациональные неравенства. Основные цели — обобщение и систематизация знаний учащихся о степенной функции; ознакомление с многообразием свойств и графиков степенной функции в зависимости от значений оснований и показателей степени; ознакомление с понятием равносильности; обучение решению иррациональных уравнений. Рассмотрение свойств степенных функций и их графиков проводится поэтапно в зависимости от того, каким числом является показатель: 1) четным натуральным числом; 2) нечетным натуральным числом; 3) числом, противоположным четному; 4) числом, противоположным нечетному; 5) положительным нецелым числом; 6) отрицательным нецелым числом. Обоснование свойств степенной функции в этой главе не проводится, т. к. они вытекают из свойств степени с действительным показателем, рассмотренных в первой главе. На примере степенной функции вводится понятие взаимно обратных функций. Этот материал является ознакомительным (для учащихся классов всех профилей, кроме физикоматематического), служит для расширения функциональных представлений и в отработке не нуждается. Потребность в рассмотрении равносильности уравнений возникает в связи с изучением иррациональных уравнений. Основным методом решения иррациональных уравнений является возведение обеих частей уравнения в степень с целью перехода к рациональному уравнению — следствию данного. С помощью графиков решается вопрос о наличии корней и их числе, а также для нахождения приближенных значений корней, если аналитически решить уравнение трудно. Иррациональные неравенства обязательно рассматриваются только в классах физико-математического профиля (уровень трудности упражнений учитель определяет самостоятельно). В классах технического профиля желательно больше внимания уделить изучению понятия равносильности и решению иррациональных уравнений, а с учащимися классов социально7

экономического и естественного профилей основным должен стать материал, связанный с исследованием функции.

Глава IV. Логарифмическая функция. Логарифмы. Свойства логарифмов. Десятичные и натуральные логарифмы. Формула перехода. Логарифмическая функция, ее свойства и график. Логарифмические уравнения. Логарифмические неравенства. Основные цели — ознакомление учащихся с логарифмической функцией, ее свойствами и графиком; обучение решению логарифмических уравнений и неравенств. Знакомство с логарифмами чисел и их свойствами для многих учащихся достаточно сложно. Поэтому полезны подробные и наглядные пояснения. На практике рассматриваются логарифмы по разным основаниям, в частности, по основаниям 10 и е. Так как на микрокалькуляторе есть клавиши «lg» и «ln», то для вычисления логарифмов по другим основаниям нужна формула перехода (владение микрокалькулятором для учащихся профильных классов является необходимым). Изучение свойств логарифмической функции идет параллельно с решением простейших уравнений и неравенств, хотя основные упражнения с уравнениями и неравенствами выполняются непосредственно после изучения соответствующих свойств логарифмов. При решении логарифмических уравнений и неравенств выполняются их различные преобразования. При этом часто нарушается равносильность, поэтому для логарифмических уравнений делается проверка найденных корней. При решении логарифмических неравенств нужно следить за тем, чтобы равносильность не нарушалась, так как проверку решений неравенства осуществить сложно, а в ряде случаев невозможно. При изучении материала главы в классах социальноэкономического и естественного профилей основное внимание рекомендуется уделить формированию понятия логарифма и его свойств, исследованию логарифмической функции. В классах технического профиля не стоит пренебрегать упражнениями на применение свойств логарифмов и формулы перехода для выполнения преобразований и вычислений. Учащимся физикоматематических классов полезно решать уравнения и неравенства повышенной трудности.

Глава V. Системы уравнений Способы решения систем уравнений: подстановки, сложения. Решение систем уравнений различными способами. Решение задач с помощью систем уравнений. Основные цели — ознакомление учащихся с различными способами решения систем уравнений; обучение применению при решении систем алгебраических, логарифмических, показательных, иррациональных уравнений, способов подстановки и сложения. Знакомые учащимся способы подстановки и сложения 8

применяются при решении более сложных, чем в основной школе, систем алгебраических уравнений. Обосновывается применение этих способов, вводится понятие равносильности систем уравнений. Впервые учащиеся знакомятся с решением систем показательных, логарифмических и иррациональных уравнений. Рассматриваются текстовые задачи, которые решаются с помощью систем. Системы уравнений настолько разнообразны, что практически невозможно дать какие-либо общие рекомендации по способам их решения. В каждом конкретном случае нужно использовать свой подход к решению систем, желательно находить наиболее простой способ. Для учащихся классов всех профилей основными являются первые два параграфа главы. Задачи 10 — 14 из третьего параграфа каждой главы могут рассматриваться только в классах физико-математического профиля.

Глава VI. Тригонометрические формулы Радианная мера угла. Поворот точки вокруг начала координат. Определение синуса, косинуса и тангенса угла. Знаки синуса, косинуса, тангенса. Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла. Тригонометрические тождества. Синус, косинус, тангенс углов α и − α. Формулы сложения. Синус, косинус и тангенс двойного угла. Синус, косинус и тангенс половинного угла. Формулы приведения. Сумма и разность синусов, сумма и разность косинусов. Произведение синусов и косинусов. Основные цели — формирование понятия синуса, косинуса, тангенса и котангенса произвольного угла (числа); знакомство учащихся с основными формулами тригонометрии; обучение применению формул для преобразования тригонометрических выражений. Учащиеся знакомятся с радианной мерой угла и устанавливают соответствие между действительными числами и точками числовой окружности. На данном этапе не вводится понятие тригонометрической функции, пока речь идет только о числовых выражениях и формулах тригонометрии, которые используются как для вычислений, так и для преобразования выражений. Изучение данной темы готовит учащихся к рассмотрению тригонометрических функций. Впервые учащиеся доказывают тригонометрические тождества, применяя соответствующие формулы. Желательно познакомить школьников со всеми формулами, представленными в данной главе, хотя и не обязательно требовать ото всех в классах социально-экономического и естественного профилей умения их выводить и даже запоминать (важно, чтобы было сформировано умение верно выбирать нужную формулу для конкретного преобразования). Для учащихся физико-математических классов в учебнике предусмотрено большое количество трудных задач, требующих не только хорошего знания материала, но и творческого подхода.

9

Глава VII. Тригонометрические уравнения Уравнения соsx = а, sinx = а, tgх = а, ctgх = а. Уравнения, сводящиеся к квадратным. Уравнения, однородные относительно sinх и соsх. Уравнения, линейные относительно sinx и соsх. Решение уравнений методом замены неизвестного. Решение уравнений методом разложения на множители. Различные приемы решения тригонометрических уравнений. Уравнения, содержащие корни и модули. Системы тригонометрических уравнений. Появление посторонних корней и потеря корней. Основные цели — формирование умений решать простейшие тригонометрические уравнения; ознакомление с различными приемами решения тригонометрических уравнений. Изучение главы начинается с решения простейших тригонометрических уравнений, что подготовлено предыдущим материалом. Понятия арксинуса, арккосинуса, арктангенса числа вводятся до изучения обратных тригонометрических функций и иллюстрируются также на единичной окружности. В классах социально-экономического и естественного профилей не предусматривается изучение свойств арксинуса, арккосинуса и арктангенса числа: необходимые свойства для решения уравнений закрепляются в ходе изучения главы. В классах технического и физико-математического профилей рекомендуется познакомиться с материалом параграфов 46 — 49, который может вообще не рассматриваться в классах других профилей.

10

11 КЛАСС

Профиль Социальноэкономическ Естественны й Технический Физикоматематическ ий

Глава Глава VIII I (10 кл.)

Глава II

Глава III

Глава V

Повторение

13

11

28

Глава IV

12

28

10

12

25

12

—

13

12

28

12

26

12

11

11

10

20

18

35

17

18

13

13

22

Глава VIII учебника 10-го класса. Тригонометрические функции Периодичность тригонометрических функций. Свойства и графики функций у = sinх, у = cosх, у = tgх, у = сtgх. Тригонометрические неравенства. Обратные тригонометрические функции. Основные цели — изучение свойств тригонометрических функций; обучение построению графиков тригонометрических функций. Материал главы перенесен из учебника 10-го класса с целью увеличения в 10-м классе времени на изучение остальных тем. К свойствам функции, известным учащимся в связи с изучением тригонометрических функций, добавляется свойство периодичности. Это свойство позволяет строить графики тригонометрических функций в два этапа: сначала на отрезке (или интервале), равном по длине периоду функции, а затем — на всей числовой прямой. Свойства каждой конкретной тригонометрической функции формулируются с опорой на графическую иллюстрацию. В классах естественного, технического и физико-математического профилей обязательным для всех является навык построения графиков тригонометрических функций, полученных в результате сдвигов и сжатий (растяжений) вдоль координатных осей. Решение тригонометрических неравенств и свойства обратных тригонометрических функций рассматриваются в классах социальноэкономического профиля лишь в ознакомительном плане. Глава I. Производная и ее применение Предел функции. Непрерывность функции. Правила дифференцирования. Производная степенной функции. Таблица производных элементарных функций. Геометрический смысл производной. Возрастание и убывание функции. Экстремумы функции. Применение производной к построению графиков функций. Наибольшее и наименьшее значения функций. Производная второго порядка, выпуклость и точки перегиба.

Основные цели — формирование понятия производной; обучение нахождению производных с использованием формул и правил дифференцирования; формирование начальных умений в применении методов дифференциального исчисления к решению практических задач. Понятия непрерывности и предела функции вводятся для учащихся всех профилей, кроме физико-математического, на наглядноинтуитивной основе. 11

Понятие производной функции первоначально рассматривается как мгновенная скорость движения материальной точки, затем вводится общее определение производной через предел разностного отношения. Закреплению понятия производной способствует вывод производных отдельных функций «по определению». В учебнике рассматриваются четыре правила нахождения производных. В классах социально-экономического и естественного профилей можно рассмотреть доказательство лишь правила нахождения производной суммы. В классах физико-математического профиля учащимся желательно предлагать выводить все правила дифференцирования. Происходит знакомство со сложной функцией и правилом нахождения ее производной. Для социально-экономического профиля это знакомство не является обязательным. При желании учитель может ограничиться рассмотрением правила нахождения производной сложной функции для случая у = f(kх + b). Навык нахождения производной сложной функции может отрабатываться только у учащихся технического и физико-математического профилей. Усвоение геометрического смысла производной и написание уравнения касательной к графику функции в заданной точке является обязательным для всех учащихся. Прикладное значение знаний о касательной при построении фокуса параболы можно демонстрировать лишь в классах технического и физико-математического профилей. С помощью теоремы Лагранжа обосновывается достаточное условие возрастания и убывания функции. Доказательство сформулированных в учебнике теорем можно требовать лишь от учащихся классов физико-математического профиля. Вводятся понятия критических и стационарных точек. Должное внимание уделяется теореме Ферма и ее геометрическому смыслу, а также достаточному условию экстремума. При обучении построению графиков функций с помощью производной подчеркиваются особенности построения графиков четных и нечетных функций. В классах физико-математического профиля можно рассмотреть построение графиков функций, не являющихся непрерывными на всей области определения. В этих классах можно ввести понятие асимптоты. Уровень сложности изложения и содержание прикладного аспекта в нахождении наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке или интервале (при решении геометрических и физических задач) учитель выбирает в соответствии с целями обучения в классах конкретного профиля. Понятие производной второго порядка и ее приложение к выявлению интервалов выпуклости функции рассматриваются только на занятиях в классах технического и физико-математического профилей.

Глава II. Интеграл Первообразная. Правила нахождения первообразных. Площадь криволинейной трапеции. Интеграл и его вычисление. Вычисление площадей с помощью интегралов. Применение интегралов для решения физических задач. Простейшие дифференциальные уравнения.

Основная цель — ознакомление учащихся с понятием первообразной и обучение нахождению площадей криволинейных трапеций. Понятие первообразной вводится после рассмотрения физической задачи о нахождении закона движения точки по заданной скорости. Рассматриваются первообразные конкретных функций и правила нахождения первообразных. Площадь криволинейной трапеции определяется как предел интегральных сумм. 12

Понятие интеграла и примеры вычисления интегралов не являются обязательными для изучения всеми учащимися. Однако классы физико-математического профиля в полной мере могут изучить материал этих тем и приложения интегрального исчисления к физическим и геометрическим задачам. Знакомство с простейшими дифференциальными уравнениями желательно для учащихся классов технического и физико-математического профилей.

Глава III. Комплексные числа Сложение и умножение комплексных чисел. Модуль комплексного числа. Вычитание и деление комплексных чисел. Геометрическая интерпретация комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа. Свойства модуля и аргумента. Квадратное уравнение с комплексным неизвестным. Примеры решения алгебраических уравнений.

Основные цели — завершение формирования представления о числе; обучение действиям с комплексными числами и демонстрация решений различных уравнений на множестве комплексных чисел. Эта тема не является обязательной для изучения в классах социально-экономического и естественного профилей. Рассматриваются четыре арифметических действия с комплексными числами, заданными в алгебраической форме. Вводится понятие комплексной плоскости, на которой иллюстрируется геометрический смысл модуля комплексного числа и модуля разности комплексных чисел. Рассматривается переход от алгебраической к тригонометрической форме записи комплексного числа и обратный переход. Желательно обучить учащихся технических и физико-математических классов возведению в степень комплексного числа, заданного в тригонометрической форме.

Глава IV. Элементы комбинаторики Примеры комбинаторных задач. Правило умножения. Перестановки. Размещения. Сочетания и их свойства. Биномиальная формула Ньютона.

Основные цели — ознакомление с основными формулами комбинаторики и их применением при решении задач; формирование элементов комбинаторного мышления. Основой при выводе формул числа перестановок и размещений является правило умножения, понимание которого формируется при решении различных прикладных задач. Свойства числа сочетаний доказываются и затем применяются при организации и исследовании треугольника Паскаля. Навык применения биномиальной формулы можно формировать лишь у учащихся технических и физико-математических классов. Рекомендуется дополнять комбинаторные задачи учебника аналогичными по конструкции, но использующими фабулу, соответствующую профилю обучения. Глава V. Знакомство с вероятностью Вероятность события. Сложение вероятностей. Вероятность противоположного события. Условная вероятность. Вероятность произведения независимых событий.

13

Основная цель — формирование умения находить вероятность случайных событий в простейших случаях, используя классическое определение вероятности и применяя при необходимости формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности случайного события вводится после рассмотрения относительной частоты (статистической вероятности) события «выпал орел» в опыте с подбрасыванием монеты. В классах социально-экономического и естественного профилей стоит уделить значительное внимание статистическому подходу к понятию вероятности события. Возможна организация реальных экспериментов с целью установления того факта, что при увеличении числа экспериментов (например, при подбрасывании монеты или кости) относительная частота рассматриваемого события «все более приближается» к некоторому числу, являющемуся вероятностью события. Такая работа поможет осознать и понятие элементарного события. При решении задач на подсчет вероятности с использованием определения этого понятия многим учащимся проще сначала находить число всех элементарных исходов события, а затем уже число благоприятствующих исходов. Вводятся понятия достоверных и невозможных событий, устанавливается вероятность каждого из них. Теме «Сложение вероятностей» в классах любого профиля достаточно уделить один урок. Понятие независимости событий вводится после знакомства с понятием условной вероятности. Задачи нахождения вероятности произведения независимых событий формулируются в основном для ситуации, когда независимость рассматриваемых событий очевидна.

КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ Контрольная работа № 1 Действительные числа. Степень с действительным показателем

Вариант 1 1. Вычислить:

1)

⎛ 1 −2 ⎞ ⎜ 53 ⋅5 3 ⎟ ⎜⎝ ⎟⎠ 5−3 ⋅100

3

;

( ).

2) 3 8

⎛ 1 ⎞ 2. Упростить выражение ⎜ ⎟ ⎝ a 3 −1 ⎠

2

3 +1

⋅ a 3 +2 .

3. Решить уравнение 45x +1 = 43. 4. Записать бесконечную периодическую дробь 0,(34) в виде обыкновенной1.

1

Здесь и далее до черты предложены задания обязательного уровня, по результатам выполнения которых учитель выставляет оценку, не выше удовлетворительной.

14

a3 − a

5. Сократить дробь

1 a − 2a 2

.

+1

6. Сравнить числа: 1) ( 2, 3)

⎛ 3⎞ 2) ⎜ ⎟ ⎝ 8⎠

7

⎛ 2⎞ и ⎜2 ⎟ ⎝ 9⎠

2

7

2

3)3 26 и

;

8.

−2 3

и 1; 3

7. Упростить выражение

2 x3

x +3 y 2 + y3

− 3 xy

Вариант

−

3 3

x −3 y

x 2 − 3 y2

.

2

1. Вычислить: 1)

7 −4 ⋅140 ⎛ −3 1 ⎞ ⎜ 7 5 ⋅7 5 ⎟ ⎜⎝ ⎟⎠

5

25

⎛ 1 ⎞ ⋅⎜ ⎟ ⎝ b1+ 2 ⎠

2

2)

2. Упростить выражение b x

⎛ 1⎞ 2 3. Решить уравнение ⎜ ⎟ ⎝ 4⎠

−1

2 +1

(

3

;

). 3

.

2

⎛ 1⎞ =⎜ ⎟ . ⎝ 4⎠

4. Записать бесконечную периодическую дробь 0,3(4) в виде обыкновенной. 5. Сократить дробь

b+ 4 b + 4 3 b2

.

+ 2b

6. Сравнить числа: 1) ( 0, 8)

3

5

⎛ 4⎞ 2) 1 и ⎜ ⎟ ⎝7⎠

⎛ 5⎞ ⎜⎝ 6 ⎟⎠

и 3

3

5

3) 4 17 и 3 9 .

;

5

;

7. Упростить выражение

3

m −n 2 m3

+ 3 mn

2 + n3

15

−

3

m2 − n 2 3

m −3n

.

Контрольная работа № 2 Показательная функция

Вариант

1

7

6

1. Сравнить числа: 1)18

−3,5

и 18

−4

;

⎛ 8⎞ 2) ⎜ ⎟ ⎝ 9⎠

1

⎛ 8⎞ 2 и⎜ ⎟ . ⎝ 9⎠

2. Решить уравнение: ⎛ 1⎞ 1) ⎜ ⎟ ⎝ 6⎠

2 −3 x

= 36;

2) 4 x + 2 x − 20 = 0.

x

3 ⎛ 1⎞ 3. Решить неравенство: ⎜ 1 ⎟ < . ⎝ 3⎠ 4

4. Решить неравенство:

( )

x 2 −1

⎛2⎞ 1) 7 2) ⎜ ⎟ ⎝9⎠ ⎧⎪x − y = 4, 5. Решить систему уравнений ⎨ x + y = 64. ⎪⎩2 x+3

1 > ; 49

≥ 1.

6. Решить уравнение1 7 x +1 + 3 ⋅7 x = 2x +5 + 3 ⋅ 2x или 5x −2 + 2x +1 = 5x − 2x +2.

Вариант

2

1. Сравнить числа: 1) 0, 3

−10

и 0, 3

−9

2)

1 54

и 5.

2. Решить уравнение: 1) (0,1)2x −1 = 10;

2) 9x − 7 ⋅ 3x − 18 = 0. x

1 ⎛5⎞ 3. Решить неравенство: ⎜ ⎟ < 1 . 5 ⎝6⎠

4. Решить неравенство: 3

1) ( 5)

x −4

1 < ; 25

⎛ 2⎞ 2) ⎜ 3 ⎟ ⎝ 7⎠

16

x 2 −4

≤ 1.

⎧⎪x + y = 0, 5. Решить систему уравнений ⎨ x +5y = 81. ⎪⎩3

6. Решить уравнение1 3x +3 + 3x = 5 ⋅ 2x +4 − 17 ⋅ 2x или 3x −1 − 2x −1 = 2x +2 − 3x .

Контрольная работа № 3 Степенная функция

Вариант

1

1. Найти область определения функции y = 8 7 − 0,5x . 2. Схематически изобразить график функции y = x −4 и перечислить ее свойства. Пользуясь свойствами этой функции: 1) сравнить с единицей 0, 2−4 ;

(

2) сравнить 2 3

)

−4

(

и 3 2

)

−4

.

3. Решить уравнение: 1) 1 − x = x + 1;

2)

2x + 5 − x + 6 = 1.

4. Установить, равносильны ли неравенства x −8

5+x

2

< 0 и (8 − x )(x 2 + 2) > 0.

5. Найти функцию, обратную к функции y =

2 , указать ее область x −3

определения и множество значений. 6. Решить неравенство x + 8 > x + 2. Вариант

2

1. Найти область определения функции y = (2x

1 + 13) 5 .

2. Схематически изобразить график функции y = x −3 и перечислить ее свойства. Пользуясь свойствами этой функции: −3

⎛5⎞ 1) сравнить с единицей ⎜ ⎟ ; ⎝2⎠

(

2) сравнить 3 5

)

−3

(

и 5 3

)

−3

.

3. Решить уравнение: 1

В зависимости от уровня подготовленности учащихся конкретного класса учитель предлагает решить одно из двух уравнений. 17

1)

x + 1 = 1 − x;

3x + 1 − x + 8 = 1.

2)

4. Установить, равносильны ли неравенства

(3 − x ) ( x

x −3

+ 6)< 0 и

x2 +1

> 0.

3 , указать ее x +1 область определения и множество значений.

5. Найти функцию, обратную к функции y =

x −3 > x −5 .

6. Решить неравенство

Контрольная работа № 4 Логарифмическая функция

Вариант

1

1. Вычислить: 2) 51+l og 5 3 ;

1) log 1 16;

3) l og3 135 − l og 3 20 + 2l og 3 6.

2

3 4 и l og 1 . 4 5

2. Сравнить числа l og 1 4

4

3. Решить уравнение l og5 (2x − 1) = 2 . 4. Решить неравенство l og 0,2 ( x + 2) > 1 . 5. Решить уравнение l og 8 x + l og 2 x = 14 .

6. Решить неравенство l og 1 (10 − x ) + l og 1 (x − 3) ≥ −1 или log32 x − 2log3 x ≤ 3. 6

6

Вариант 2 1. Вычислить: ⎛ 1 ⎞ 1) l og 3 ⎜ ⎟ ; ⎝ 27 ⎠

⎛1⎞ 2) ⎜ ⎟ ⎝ 3⎠

2 log 1 7 3

;

3) log 2 56 + 2log 2 12 − log 2 63.

1 1 2. Сравнить числа l og 0,8 1 и l og 0,8 1 . 2 3

3. Решить уравнение l og 4 (2x + 3) = 3 . 4. Решить неравенство l og 0,9 ( x − 2) > 1 . 5. Решить уравнение l og

3

x + l og 9 x = 10 .

6. Решить неравенство 18

l og 1 (x − 3) + l og 1 (9 − x ) ≥ −3 или log 22 x − 3log 2 x ≤ 4. 2

2

Контрольная работа № 5 Системы уравнений

Вариант

1

Решить систему уравнений: ⎧⎪x 2 + y 2 + 6x + 2y = 0, 1) ⎨ ⎪⎩x + y + 8 = 0; ⎧⎪ x + 1 + y − 1 = 3, 2) ⎨ ⎪⎩2 x + 1 − 3 y − 1 = 6; ⎧x − y = 1, 3) ⎨ ⎩l og 2 x + l og 2 y = 1; ⎧⎪3x + 2y = 9, 4) ⎨ ⎪⎩3x ⋅ 2y = 14; ⎧⎪x 2 − x y + y 2 = 7, 5) ⎨ ⎪⎩x 3 + y 3 = 35

2 2 ⎪⎧3x + x y − 2y = 0, или ⎨ ⎪⎩x 2 − 3x y + 2y = 4.

Вариант

2

Решить систему уравнений: ⎧⎪4x 2 + y 2 + 2x + 2y = 44, 1) ⎨ ⎪⎩2x + y = 4; ⎧⎪ x − 1 + y + 1 = 3, 2) ⎨ ⎪⎩3 x − 1 − 2 y + 1 = 4; ⎧x − y = 2, 3) ⎨ ⎩l og 3 x + l og 3 y = 1; ⎧⎪5x + 3y = 6, 4) ⎨ ⎪⎩5x ⋅ 3y = 5; ⎧⎪x 3 − y 3 = 56, 5) ⎨ ⎪⎩x 2 + x y + y 2 = 28

⎧⎪x 2 − x y − 4 y 2 = 2, или ⎨ ⎪⎩x 2 − 2x y − 2y 2 = 1.

Контрольная работа № 6 Тригонометрические формулы

Вариант 1. Вычислить: 19

1

1) si n1140°;

2) cos

2. Вычислить sin α , если cos α = −

13 π. 6

12 3 и π< α< π . 13 2

3. Упростить выражение: 1) cos(α − β) − cos(α + β);

2)

sin(−α) + cos(π + α ) . ⎛π ⎞ 1 + 2 cos ⎜ − α ⎟ ⋅ cos(−α) ⎝2 ⎠

4. Решить уравнение si n 5x ⋅ cos4x − cos5x ⋅ si n 4x = 1. 1 5. Доказать тождество cos 4α + 1 = sin 4α(ctgα − tgα) 2 α α − sin 2 2 = −ctg α . или α α 4 1 − cos − sin 2 2 1 + cos

Вариант

2

1. Вычислить: 1) cos1140°;

2) sin

2. Вычислить cos α , если sin α = −

13 π. 6

4 3 и − π < α < 2π . 5 2

3. Упростить выражение: ⎛3 ⎞ sin ⎜ π + α ⎟ + sin(π + α) 2 ⎝ ⎠ 2) . 2cos ( −α ) ⋅ sin(−α) + 1

1) sin(α + β) + sin(α − β);

4. Решить уравнение cos4x ⋅ cos3x + si n 4x ⋅ si n 3x = 1. 5. Доказать тождество (tgα + ctgα)(1 − cos 4α) = 4sin 2α или

1 + sin 2α − cos 2α = tgα. 1 + sin 2α + cos 2α

Контрольная работа № 7 Тригонометрические уравнения

Вариант

1

1. Решить уравнение: 1)

2 cos x + 1 = 0;

x 2) 3tg − 3 = 0 . 2 20

2. Найти решение уравнения si n

x 1 = − на отрезке [0; 3π]. 3 2

3. Решить уравнение: 1) si n 2 x − 3 si n x = 0;

2) 10 cos2 x + 3 cos x = 1;

3) 4 si n x + 5 cos x = 4; 4) si n 4 x + cos4 x = cos2 2x +

1 4

или si n x + 2 cos x = si n x .

Вариант

2

1. Решить уравнение: 2) tg2 x + 3 = 0 . x 1 2. Найти решение уравнения cos = на отрезке [0; 4π]. 2 2 1) 2 3 si n x − 3 = 0;

3. Решить уравнение: 1) 2 cos x − cos2 x = 0;

2) 6 si n 2 x − si n x = 1;

3) 5 si n x + cos x = 5; 4) sin 4 x + cos 4 x = sin 2 2 x −

1 или cos x − 2 si n x = cos x . 2

Контрольная работа № 8 Тригонометрические функции

Вариант

1

1. Найти область определения и множество значений функции y = 3 cos x . 2. Выяснить, является ли функция f ( x) = sin x − tgx + x3 четной или нечетной. 3. Изобразить схематически график функции y = cos x − 1 на отрезке [ − π; 2π]. 4. Используя свойство возрастания или убывания функции y = si n x , сравнить числа sin( − 2) и sin( − 3). 5. Найти наибольшее y = 3 si n x ⋅ cos x + 1.

и

наименьшее

6. Найти решение уравнения cos x <

21

1 . 2

значения

функции

Вариант

2

1. Найти область определения и множество значений функции y = 0, 3 cos x . 2. Выяснить, является ли функция f (x ) = cos x − x + x 2 четной или нечетной. 3. Изобразить схематически график функции y = si n x + 1 на отрезке [ − π; 2 π]. 4. Используя свойство возрастания или убывания функции y = cos x, сравнить числа соs 5 и соs 4. 5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

1 1 y = cos2 x − si n 2 x + 1. 3 3 1 6. Решить неравенство si n x ≥ − . 2

Контрольная работа № 9 Производная и ее применения

Вариант

1

1. Найти производную функции: 1) 3x 2 −

1 x

3

;

3)

2) ex cos x ;

ln x ; 1−x

4) 4 2x + 1.

2. Записать уравнение касательной к графику f (x ) = si n x − 3x + 2 в точке с абсциссой x 0 = 0 . 3. Найти

наибольшее

и

наименьшее

значения

функции

функции

⎡ 3⎤ f (x ) = x 3 − 2x 2 + x + 3 на отрезке ⎢0; ⎥ . ⎣ 2⎦

4. Построить график функции

f (x ) = x 3 − 2x 2 + x + 3 на отрезке

[ −1; 2] . 5. Среди прямоугольных треугольников, у которых сумма длин трех сторон равна 20, найти треугольник наибольшей площади. 6.1 Найти точку перегиба функции f (x ) = 3x 3 − 4x 2 + 7 x − 2 . Указать интервалы выпуклости вверх и выпуклости вниз данной функции.

1

Для изучавших § 11*.

22

Вар иант

2

1. Найти производную функции: 1) 4x 3 −

1 x

2

;

3)

2) ex si n x ;

2+x ; ln x

4) cos(3x − 2).

2. Записать уравнение касательной к графику f (x ) = 4x − si n x + 1 в точке с абсциссой x 0 = 0 . 3. Найти

наибольшее

и

наименьшее

значения

функции

функции

3⎤ ⎡ f (x ) = x 3 − x 2 − x + 2 на отрезке ⎢ −1; ⎥ . 2⎦ ⎣ f (x ) = x 3 − x 2 − x + 2 на отрезке

4. Построить график функции

[ −1; 2] . 5. Найти ромб с наибольшей площадью, если известно, что сумма длин его диагоналей равна 10. 6.¹ Найти точку перегиба функции f (x ) = 2x 3 + 3x 2 − 9x + 1 . Указать интервалы выпуклости вверх и выпуклости вниз данной функции.

Контрольная работа № 10 Интеграл

Вариант

1

1. Показать, что функция F (x ) = 3x + si n x − e2x является первообразной функции f (x ) = 3 + cos x − 2e2x на всей числовой прямой. 2. Найти первообразную для функции f (x ) = 2 x , график которой ⎛ 7⎞ проходит через точку M ⎜ 0; ⎟ . ⎝ 8⎠ 3. Вычислить интеграл: 2

1)

∫ ( 6x

2

−1

2)

π 6

1

⎛

)

− x dx ;

π⎞

∫ 2 sin ⎜⎝ x − 6 ⎟⎠dx. 0

4. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой y = 2x − x 2 и прямой y = 3x − 6 . 5.1 Найти решение дифференциального уравнения y ' = e−2 x , удовлет-

1

Для изучавших § 17*.

23

воряющее условию y (0) =

3 . 2

Вариант

2

1. Показать, что функция F (x ) = e3x + cos x + x является первообразной функции f (x ) = 3e3x − si n x + 1 на всей числовой прямой. 2. Найти первообразную для функции f (x ) = −33 x , график которой ⎛ 3⎞ проходит через точку M ⎜ 0; ⎟ . ⎝ 4⎠ 3. Вычислить интеграл: 1

1)

∫ ( x − 3x

−2

2)

π 4

⎛

2

)dx ; π⎞

∫ cos ⎜⎝ 2 x − 4 ⎟⎠dx. 0

4. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой y = x 2 − 4 и прямой y = 2x − 1 . 5.1 Найти решение дифференциального уравнения y ' = sin 2 x, удовлет⎛π⎞ 3 воряющее условию y ⎜ ⎟ = . ⎝2⎠ 2 Контрольная работа № 11 Комплексные числа

Вариант

1

1. На комплексной плоскости построить точки: 1) −i ; 2) −2 + 2i . 2. Выполнить действия: 1) i 4 + i 5 − 2i ;

2)

3 1 . − 1 − 3i 3 + i

3. Решить уравнение 2z2 − 6z + 5 = 0. 4. Найти все аргументы комплексного числа z = −2 − 2 3i и записать его в тригонометрической форме. 6

5. Пользуясь формулой Муавра, возвести в степень (1 + i ) и результат записать в алгебраической форме. 6. 2 Решить уравнение z3 = −27 .

1 2

Для изучавших § 17*. Для изучавших § 26*.

24

Вариант

2

1. На комплексной плоскости построить точки: 1) −3; 2) 1 − 3i . 2. Выполнить действия: 1) i 3 + i 6 − 3i ;

2)

2 1 + . 2 − i 1 + 2i

3. Решить уравнение 4z2 − 8z + 5 = 0. 4. Найти все аргументы комплексного числа z = 2 − 2 3i и записать его в тригонометрической форме.

(

5. Пользуясь формулой Муавра, возвести в степень 1 + i 3

)

5

и ре-

зультат записать в алгебраической форме. 6.1 Решить уравнение z4 = −16 .

Контрольная работа № 12 Элементы комбинаторики

Вариант

1

1. Упростить (п — натуральное число, п > 4): 2 . Найти значение выражения

(n − 3) ! . ( n − 1) !

A53 + C62 . P4

3. Сколько различных трехзначных чисел можно записать с помощью цифр 0, 1, 2 и 3, при условии, что цифры в числе могут повторяться? 4. Сколькими способами можно составить букет из трех цветков, выбирая цветы из девяти имеющихся? 6

5. Записать разложение бинома (1 − x ) . Вариант

2

1. Упростить (п — натуральное число, п > 5): 2 . Найти значение выражения

(n − 2) ! . (n − 4 ) !

C64 + A43 . P3

3. Сколько различных трехзначных чисел, не содержащих одинаковых цифр, можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4 и 5? 4. Имеются три билета на просмотр трех различных кинофильмов. Сколькими способами восемь друзей могут распределить между 1

Для изучавших § 26*.

25

собой эти три билета? 5

5. Записать разложение бинома ( a − 1) .

Контрольная работа № 13 Знакомство с вероятностью

Вариант

1

1. В ящике находятся 3 белых, 5 черных и 6 красных шаров. Наугад вынимают один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар: 1) белый или черный; 2) желтый; 3) не белый? 2. Брошены две игральные кости. Какова вероятность того, что на первой кости выпало 3 очка, а на второй — четное число очков? 3. В корзине лежат 5 яблок и 3 апельсина. Наугад дважды из корзины вынимают по одному плоду (не возвращая их в корзину). Какова вероятность того, что вторым было взято яблоко при условии, что первым был вынут апельсин? 4. Имеются 13 карт черных мастей и 5 карт красных мастей. Какова вероятность того, что среди двух карт, вынутых наугад, хотя бы одна будет красной масти? Вариант

2

1. В ящике находятся 3 белых, 5 черных и 6 красных шаров. Наугад вынимают один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар: 1) красный или черный; 3) не черный? 2) или белый, или черный, или красный; 2. Брошены две игральные кости. Какова вероятность того, что на первой кости выпало число очков, кратное трем, а на второй — 5 очков? 3. На столе «рубашками» вверх лежат 3 туза и 4 валета. Наугад по очереди из этих карт берут две (и не кладут обратно). Какова вероятность того, что вторым был взят валет при условии, что первым также был взят валет? 4. Среди 16 карандашей четыре красных, а остальные — черные. Какова вероятность того, что среди трех карандашей, взятых случайным образом, хотя бы один будет красным?

26

ПРИМЕРНОЕ ПОУРОЧНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА (I вариант: 3 ч в неделю, всего 102 ч в год; II вариант: 4 ч в неделю, всего 136 ч в год) Количество часов

Учебная тема

1 вариант II вариант 10 КЛАСС

§ § § § § §

Глава I. Действительные числа. Степень с действительным показателем 1. Рациональные числа 2. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия 3. Действительные числа 4. Арифметический корень натуральной степени 5. Степень с рациональным показателем 6. Степень с действительным показателем Урок обобщения Контрольная работа № 1

Глава II. Показательная функция § 7. Показательная функция, ее свойства и график § 8. Показательные уравнения и неравенства Уроки обобщения Контрольная работа № 2

Глава III. Степенная функция § 9. Степенная функция, ее свойства и график § 10. Взаимно обратные функции § 11. Равносильные уравнения и неравенства

§ 12. Иррациональные уравнения § 13. Иррациональные неравенства Урок обобщения

13

14

1

2 1 2

1 2 1 3

3

3

2 1 1

2 1 1 8 2 3 2 1 14 2 1 2 4 3 1 1 21 2 3

9 3 3 2 1 12 2 1 1 3

3 1

Контрольная работа № 3 Глава IV. Логарифмическая функция § 14. Логарифмы § 15. Свойства логарифмов

27

1

14 1 2

Количество часов

Учебная тема

1 вариант 11 вариант

§ 16. Десятичные и натуральные логарифмы. Формула перехода

2

3

§ 17. Логарифмическая функция, ее свойства и график

2

§ 18. Логарифмические уравнения § 19. Логарифмические неравенства

2 3 1 1 13 2 2 4 3 1 1 21 1 2 2 1

3 3 4 2 1 14 2 2 4 3 2 1 30 1 2 2 1

1

1

2 1 2 2 1 1

3 1 2 3 3

2

2

3

1 1 1 17 2

3 2

Урок обобщения Контрольная работа № 4 Глава V. Системы уравнений

§ 20. Способ подстановки § 21. Способ сложения § 22. Решение систем уравнений различными способами § 23. Решение задач с помощью систем уравнений Урок обобщения Контрольная работа № 5

Глава VI. Тригонометрические формулы § 24. Радианная мера угла § 25. Поворот точки вокруг начала координат § 26. Определение синуса, косинуса и тангенса угла § 27. Знаки синуса, косинуса и тангенса угла § 28. Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла

§ 29. Тригонометрические тождества § 30. Синус, косинус, тангенс углов α и - α § 31. Формулы сложения § 32. Синус, косинус и тангенс двойного угла § 33. Синус, косинус и тангенс половинного угла

§ 34. Формулы приведения § 35. Сумма и разность синусов, сумма и разность косинусов § 36. Произведение синусов и косинусов

Урок обобщения Контрольная работа № 6

Глава VII. Тригонометрические уравнения § 37. Уравнение cosх = а § 38. Уравнение sinх = а

§ 39. Уравнение tgx = а § 40. Уравнение ctgx= а. Проверочная работа § 41. Уравнения, сводящиеся к квадратным § 42. Уравнения, однородные относительно sinx и соsх

28

1 29

2

2 2

2 2

2

2 2 2

2 1

Учебная тема

Количество часов 1 вариант II вариант

§ 43. Уравнение, линейное относительно sinх и cosx; § 44. Решение уравнений методом замены неизвестного § 45. Решение уравнений методом разложения на множители § 46. Различные приемы решения тригонометрических уравнений § 47. Уравнения, содержащие корни и модули § 48. Системы тригонометрических уравнений § 49. Появление посторонних корней и потеря корней тригонометрического уравнения Урок обобщения

Контрольная работа № 7

1 1 1

2

3

1

2 2

—

2

1 1

1 1 6

3

Повторение

2

2

11 КЛАСС Глава VIII. Тригонометрические функции § 50. Периодичность тригонометрических функций § 51. Функция у = sinх, ее свойства и график

§ 52. Функция у = соsх, ее свойства и график. Проверочная работа § 53. Функции у = tgх и у = сtgх, их свойства и графики § 54. Тригонометрические неравенства § 55. Обратные тригонометрические функции

Урок обобщения Контрольная работа № 8 Глава I. Производная и ее применения § 56. Предел функции. Непрерывные функции § 57. Производная

§ 58. Правила дифференцирования § 59. Производная степенной функции § 60. Производные некоторых элементарных функций § 61. Геометрический смысл производной § 62. Возрастание и убывание функции § 63. Экстремумы функции § 64. Применение производной к построению графиков функций § 65. Наибольшее и наименьшее значения функции § 66. Производная второго порядка, выпуклость и точки перегиба Урок обобщения Контрольная работа № 9

29

13 1 2

18 2

3

4

2 2 1 1 1 26 2

2 3

2 3 2 3

3

2 1 1 35

3 2 3 2

2 2 2

3 4 3 3

3

4

2

3

1

2

1 I

2 1

Учебная тема

Количество часов 1 вариант 11 вариант

Глава II. Интеграл § 67. Первообразная § 68. Правила нахождения первообразных § 69. Площадь криволинейной трапеции. Интеграл и его вычисление § 70. Вычисление площадей с помощью интегралов § 71. Применение интегралов для решения физических задач § 72. Простейшие дифференциальные уравнения Урок обобщения Контрольная работа № 10

Глава III. Комплексные числа § 73. Определение комплексных чисел

§ 74. Сложение и умножение комплексных чисел § 75. Модуль комплексного числа § 76. Вычитание и деление комплексных чисел § 77. Геометрическая интерпретация комплексного числа § 78. Тригонометрическая форма комплексного числа § 79. Свойства модуля и аргумента комплексного числа § 80. Квадратное уравнение с комплексным неизвестным § 81. Примеры решения алгебраических уравнений Урок обобщения Контрольная работа № 11

Глава IV. Элементы комбинаторики § 82. Комбинаторные задачи. Правило умножения § 83. Перестановки

12

2 2

4

2

4

1

3

1

1 1 18 1

1 12 1 1 1 1 2

1 2 1 — 1 1 11

2

§ 84. Размещения

§ 85. Сочетания и их свойства § 86. Биномиальная формула Ньютона Урок обобщения

2 2 1

Контрольная работа № 12

Контрольная работа № 13

Повторение

30

3

3

1 2

Глава V. Знакомство с вероятностью § 87. Вероятность события § 88. Сложение вероятностей § 89. Вероятность противоположного события § 90. Условная вероятность § 91. Вероятность произведения независимых событий Урок обобщения

18 2

1 10 1 1 1

2 3 1 1 18

1

2 2 2 3

2 1 2 1

1 13 2

2 2 2 2 2 1 13 1 2

1 3 3 2 1 21