Методические рекомендации по использованию подготовленных учебных пособий для преподавания курса ''Алгебра и начала анализа, 10-11'' на базовом и профильном уровне

Профильное обучение

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ИСПОЛЬЗОВАНИЮ ПОДГОТОВЛЕННЫХ УЧЕБНЫХ ПОСОБИЙ «Алгебра и начала анализа 10-11. Ч.1.Учебник», автор А.Г. Мордкович и др. при изучении КУРСА «АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА, 10-11» на базовом и профильном уровне

Допущено МО РФ

Мнемозина, 2004

2

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ИСПОЛЬЗОВАНИЮ ПОДГОТОВЛЕННЫХ УЧЕБНЫХ ПОСОБИЙ ДЛЯ ПРЕПОДАВАНИЯ КУРСА «АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА, 10-11» НА ПРОФИЛЬНОМ УРОВНЕ (в соответствии с проектом стандарта) Допущено МО РФ

Мнемозина, 2004

3 Пояснительная записка В настоящее время в общеобразовательных школах России, наряду с другими учебниками, используется учебник «Алгебра и начала анализа,10-11», состоящий из двух частей: А.Г.Мордкович. Алгебра и начала анализа 10-11. Часть 1. Учебник. А.Г.Мордкович и др. Алгебра и начала анализа 10-11. Часть 2. Задачник. Эти две книги издательства «Мнемозина» выдержали с 2000 года несколько изданий; общий тираж каждого из двух наименований составляет свыше 300000 экз. К учебнику имеется методическое обеспечение: А.Г.Мордкович. Алгебра и начала анализа 10-11. Пособие для учителей. А.Г.Мордкович, Е.Е.Тульчинская. Алгебра и начала анализа 10-11. Контрольные работы. Л.О.Денищева, Т.А.Корешкова. Алгебра и начала анализа 10-11. Тематические тесты и зачеты (под ред. А.Г.Мордковича). Указанные книги входят с состав комплекта, за который авторский коллектив под руководством А.Г.Мордковича удостоен премии Президента РФ в области образования за 2001 год. В связи с появлением проекта стандарта математического образования возникает естественная проблема адаптации имеющихся учебников к новым условиям: как обеспечить преподавание математики на профильном уровне и как обеспечить преподавание математики на базовом уровне. Об этом и идет речь в настоящих рекомендациях. В пояснительной записке к стандартам сказано: «В современной российской школе математика изучается на трех уровнях, которые условно обозначаются как «углубленный», общий («курс Б») и «гуманитарный» («курс А»). Эта традиция сохраняется в проекте стандарта по математике. Наряду с профильным и базовым уровнем фиксируются и требования к уровню подготовки выпускников для «общекультурного» уровня. Поэтому в данных методических рекомендациях речь идет о том, как использовать указанные выше учебные и методические пособия на всех трех уровнях и что сделал и предполагает в дальнейшем сделать наш авторский коллектив, чтобы обеспечить полноценную реализацию стандарта на всех трех уровнях.

4 Структура рекомендаций 1. Выдержка из обязательного минимума содержания (профильный уровень) по разделу «Алгебра и начала анализа»; жирным шрифтом выделено то, чего нет в изданном комплекте. 2. Комментарии по преподаванию в профильной школе выделенного материала с помощью пособий авторского коллектива под руководством А.Г.Мордковича, изданных или готовящихся к изданию издательством «Мнемозина». 3. Список литературы (основной, дополнительной и готовящейся к печати). 4. Примерное поурочное планирование курса алгебры и начал анализа в 10 классах профильной школы в двух вариантах: из расчета 7 или 6 недельных часов на математику, в том числе 5 часов или, соответственно, 4 часов в неделю на курс алгебры и начал анализа. 5. Примерное поурочное планирование курса алгебры и начал анализа в 11 классах профильной школы в двух вариантах: из расчета 7 или 6 недельных часов на математику, в том числе 5 часов или, соответственно, 4 часов в неделю на курс алгебры и начал анализа. 6. Выдержка из обязательного минимума содержания (базовый уровень) по разделу «Алгебра и начала анализа»; жирным шрифтом выделено то, чего нет в изданном комплекте. 7. Комментарии по преподаванию в общеобразовательной школе выделенного материала с помощью пособий авторского коллектива под руководством А.Г.Мордковича, изданных или готовящихся к изданию издательством «Мнемозина». 8.. Список литературы (основной, дополнительной и готовящейся к печати). 9. Примерное поурочное планирование курса алгебры и начал анализа в 10 классах общеобразовательной школ: (из расчета 3 часа в неделю на этот курс). 10. Примерное поурочное планирование курса алгебры и начал анализа в 11 классах общеобразовательной школы (из расчета 3 часа в неделю). 11. Предложения по реализации курса А.

5

1. Обязательный минимум содержания основных образовательных программ (профильный уровень) ЧИСЛОВЫЕ И БУКВЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ Делимость целых чисел. Деление с остатком. Сравнения. Решение задач с целочисленными неизвестными. Комплексные числа. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Действительная и мнимая часть, модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексных чисел. Арифметические действия над комплексными числами в разных формах записи. Комплексно сопряженные числа. Возведение в натуральную степень (формула Муавра). Основная теорема алгебры. Многочлены от одной переменной. Делимость многочленов. Деление многочленов с остатком. Рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами. Схема Горнера. Теорема Безу. Число корней многочлена. Многочлены от двух переменных. Формулы сокращенного умножения для старших степеней. Бином Ньютона. Многочлены от нескольких переменных, симметрические многочлены. Корень степени n>1 и его свойства. Степень с рациональным показателем и ее свойства. Понятие о степени с действительным показателем. Свойства степени с действительным показателем. Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество. Логарифм произведения, частного, степени; переход к новому основанию. Десятичный и натуральный логарифмы, число е. Преобразования выражений, включающих арифметические операции, а также операции возведения в степень и логарифмирования. ТРИГОНОМЕТРИЯ Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла. Радианная мера угла. Синус, косинус, тангенс и котангенс числа. Основные тригонометрические тождества. Формулы приведения. Синус, косинус и тангенс суммы и разности двух углов. Синус и косинус двойного угла. Формулы половинного угла. Преобразования суммы тригонометрических функций в произведение и произведения в сумму. Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента. Преобразования тригонометрических выражений. Простейшие тригонометрические уравнения. Решения тригонометрических уравнений. Простейшие тригонометрические неравенства. Арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс числа. ФУНКЦИИ Функции. Область определения и множество значений. График функции. Построение графиков функций, заданных различными способами. Свойства функций: монотонность, четность и нечетность, периодичность, ограниченность. Промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения, точки экстремума (локального максимума и минимума). Выпуклость функции. Графическая интерпретация. Примеры функциональных зависимостей в реальных процессах и явлениях.

6 Сложная функция (композиция функций). Взаимно обратные функции. Область определения и область значений обратной функции. График обратной функции. Нахождение функции, обратной данной. Степенная функция с натуральным показателем, её свойства и график. Вертикальные и горизонтальные асимптоты графиков. Графики дробно-линейных функций. Тригонометрические функции, их свойства и графики, периодичность, основной период. Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики. Показательная функция (экспонента), её свойства и график. Логарифмическая функция, её свойства и график. Преобразования графиков: параллельный перенос, симметрия относительно осей координат и симметрия относительно начала координат, симметрия относительно прямой y = x , растяжение и сжатие вдоль осей координат. НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Понятие о пределе последовательности. Существование предела монотонной ограниченной последовательности. Длина окружности и площадь круга как пределы последовательностей. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма. Теоремы о пределах последовательностей. Переход к пределам в неравенствах. Понятие о непрерывности функции. Основные теоремы о непрерывных функциях. Понятие о пределе функции в точке. Поведение функций на бесконечности. Асимптоты. Понятие о производной функции, физический и геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции. Производные суммы, разности, произведения и частного. Производные основных элементарных функций. Производные сложной и обратной функций. Вторая производная. Применение производной к исследованию функций и построению графиков. Использование производных при решении уравнений и неравенств, при решении текстовых, физических и геометрических задач, нахождении наибольших и наименьших значений. Площадь криволинейной трапеции. Понятие об определенном интеграле. Первообразная. Первообразные элементарных функций. Правила вычисления первообразных. Формула Ньютона-Лейбница. Примеры использования производной для нахождения наилучшего решения в прикладных задачах. Нахождение скорости для процесса, заданного формулой или графиком. Примеры применения интеграла в физике и геометрии. Вторая производная и ее физический смысл. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА Решение рациональных, показательных, логарифмических и тригонометрических уравнений и неравенств. Решение иррациональных уравнений и неравенств. Основные приемы решения систем уравнений: подстановка, алгебраическое сложение, введение новых переменных. Равносильность уравнений, неравенств, систем. Решение систем уравнений с двумя неизвестными простейших типов. Решение систем неравенств с одной переменной. Доказательства неравенств. Неравенство о среднем арифметическом

7 и среднем геометрическом двух чисел. Использование свойств и графиков функций при решении уравнений и неравенств. Метод интервалов. Изображение на координатной плоскости множества решений уравнений и неравенств с двумя переменными и их систем. Применение математических методов для решения содержательных задач из различных областей науки и практики. Интерпретация результата, учет реальных ограничений. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ, СТАТИСТИКИ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Табличное и графическое представление данных. Числовые характеристики рядов данных. Поочередный и одновременный выбор нескольких элементов из конечного множества. Формулы числа перестановок, сочетаний, размещений. Решение комбинаторных задач. Формула бинома Ньютона. Свойства биномиальных коэффициентов. Треугольник Паскаля. Элементарные и сложные события. Рассмотрение случаев и вероятность суммы несовместных событий, вероятность противоположного события. Понятие о независимости событий. Вероятность и статистическая частота наступления события.

8

2. Комментарии Выпишем отдельно тот материал стандарта, которого нет в явном виде в учебнике А.Г.Мордковича. В каждом пункте указано, в каких наших изданиях можно найти соответствующий материал. 1) Делимость целых чисел. Деление с остатком. Сравнения. Решение задач с целочисленными неизвестными. Литература: А.Г.Мордкович. Алгебра-8. Учебник для классов с углубленным изучением математики. Мнемозина, 2002. Л.И.Звавич, А.Р.Рязановский. Алгебра-8. Задачник для классов с углубленным изучением математики. Мнемозина, 2002. А.Г.Мордкович. Алгебра и начала анализа (для поступающих в вузы). Вербум-М, 2000. 2) Комплексные числа. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Действительная и мнимая часть, модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексных чисел. Арифметические действия над комплексными числами в разных формах записи. Комплексно сопряженные числа. Возведение в натуральную степень (формула Муавра). Основная теорема алгебры. Литература: А.Г.Мордкович. Алгебра и начала анализа (для поступающих в вузы). Вербум-М, 2000. А.Г.Мордкович, П.В.Семенов. Алгебра и начала анализа -10 (профильный уровень). Часть 1. Учебник (готовится к изданию издательством «Мнемозина»). А.Г.Мордкович и др. Алгебра и начала анализа-10 (профильный уровень). Часть 2. Задачник (заканчивается работа над рукописью). 3) Многочлены от одной переменной. Делимость многочленов. Деление многочленов с остатком. Рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами. Схема Горнера. Теорема Безу. Число корней многочлена. Многочлены от двух переменных. Формулы сокращенного умножения для старших степеней. Бином Ньютона. Многочлены от нескольких переменных, симметрические многочлены.

9 Литература: А.Г.Мордкович. Алгебра-8. Учебник для классов с углубленным изучением математики. Мнемозина, 2002. Л.И.Звавич, А.Р.Рязановский. Алгебра-8. Задачник для классов с углубленным изучением математики. Мнемозина, 2002. А.Г.Мордкович. Алгебра и начала анализа (для поступающих в вузы). Вербум-М, 2000. 4) Сложная функция (композиция функций). Взаимно обратные функции. Область определения и область значений обратной функции. График обратной функции. Нахождение функции, обратной данной. Производные сложной и обратной функций. Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики. Литература: А.Г.Мордкович. Алгебра и начала анализа (для поступающих в вузы). Вербум-М, 2000. А.Г.Мордкович, П.В.Семенов. Алгебра и начала анализа -10 (профильный уровень). Часть 1. Учебник (готовится к изданию издательством «Мнемозина»). А.Г.Мордкович и др. Алгебра и начала анализа-10 (профильный уровень). Часть 2. Задачник (заканчивается работа над рукописью). 5) Доказательства неравенств. Неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом двух чисел. Этот материал есть в нашем учебнике алгебры для 9 класса. 6) Раздел «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей Литература: А.Г.Мордкович. Алгебра и начала анализа (для поступающих в вузы). Вербум-М, 2000. А.Г.Мордкович, П.В.Семенов. События. Вероятности. Статистическая обработка данных. Дополнительные параграфы к курсу алгебры 7-9. Мнемозина, 2003. А.Г.Мордкович, П.В.Семенов. Алгебра и начала анализа -10 (профильный уровень). Часть 1. Учебник (готовится к изданию издательством «Мнемозина»). А.Г.Мордкович и др. Алгебра и начала анализа-10 (профильный уровень). Часть 2. Задачник (заканчивается работа над рукописью).

10

3. Список литературы Изданные книги – основные (Мнемозина) 1.. А.Г.Мордкович. Алгебра и начала анализа 10-11. Часть 1. Учебник. 2003. Гриф – рекомендовано. 2. А.Г.Мордкович и др. Алгебра и начала анализа 10-11. Часть 2. Задачник. 2003. Гриф – рекомендовано. 3. А.Г.Мордкович . Алгебра и начала анализа 10-11. Пособие для учителей. 2003. Гриф – допущено. 4. А.Г.Мордкович, Е.Е.Тульчинская. Алгебра и начала анализа 10-11. Контрольные работы. 2003. Гриф – допущено. 5.. Л.О.Денищева, Т.А.Корешкова. Алгебра и начала анализа 10-11. Тематические тесты и зачеты (под ред. А.Г.Мордковича). 2003. Гриф – допущено. Дополнительная литература: 6. А.Г.Мордкович, П.В.Семенов. События. Вероятности. Статистическая обработка данных. Дополнительные параграфы к курсу алгебры 7-9. Мнемозина, 2003. 7. А.Г.Мордкович. Алгебра-8. Учебник для классов с углубленным изучением математики. Мнемозина, 2002. Гриф – допущено. 8. Л.И.Звавич, А.Р.Рязановский. Алгебра-8. Задачник для классов с углубленным изучением математики. Мнемозина, 2002. Гриф – допущено. 9. А.Г.Мордкович. Алгебра и начала анализа (для поступающих в вузы). Вербум-М, 2000. Книги, готовящиеся к изданию к началу 2004/05 уч. года (Мнемозина) 10. А.Г.Мордкович. Алгебра-9. Учебник для классов с углубленным изучением математики. Гриф – допущено. 11. Л.И.Звавич, А.Р.Рязановский. Алгебра-9. Задачник для классов с углубленным изучением математики. 12. А.Г.Мордкович, П.В.Семенов. Алгебра и начала анализа -10 (профильный уровень). Часть 1. Учебник. 13. А.Г.Мордкович и др. Алгебра и начала анализа-10 (профильный уровень). Часть 2. Задачник.

11 4. Примерное планирование курса алгебры и начал анализа

(профильный уровень) 10 класс 5ч

4ч

в неделю ___________________________ Глава 1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА 1. Натуральные и целые числа. Делимость чисел

5

3

1) Делимость натуральных чисел 2) Признаки делимости 3) Простые и составные числа 4) Деление с остатком 5) Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел 6) Основная теорема арифметики натуральных чисел 2. Рациональные числа

2

2

3. Иррациональные числа

2

1

4. Множество действительных чисел

3

2

1) Действительные числа и числовая прямая 2) Числовые неравенства 3) Числовые промежутки 4)* Аксиоматика действительных чисел 5. Модуль действительного числа

2

2

6. Метод математической индукции

3

2

___________________________________________________________________ Итого:

17

12

7. Определение числовой функции и способы ее задания

2

2

8. Свойства функций

3

3

9. Периодические функции

2

1

10. Обратная функция

3

2

Глава 2. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ

__________________________________________________________________ Итого:

10

9

12 Глава 3. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 11. Числовая окружность

2

2

12. Числовая окружность на координатной плоскости

3

2

13. Синус и косинус. Тангенс и котангенс

3

3

14. Тригонометрические функции числового аргумента

3

3

15. Тригонометрические функции углового аргумента

2

1

16. Функции y = sin x, y = соs x, их свойства и графики

4

4

17. Построение графика функции y = mf (x)

2

2

18. Построение графика функции y = f (kx)

2

2

19. График гармонического колебания

2

1

20. Функции y = tg x, y = ctg x, их свойства и графики

3

3

21. Обратные тригонометрические функции

5

3

1. Функция y = arcsin x 2. Функция y = arccos x 3. Функция y = arctg x 4. Функция y = arcctg x 5*. Преобразование выражений, содержащих обратные тригонометрические функции ______________________________________________________________________ Итого:

31

26

Глава 4. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

22. Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства 23. Методы решения тригонометрических уравнений

5

5 5

5

1) Метод замены переменной 2) Метод разложения на множители 3) Однородные тригонометрические уравнения ________________________________________________________________ Итого:

10

10

13 Глава 5. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ

24. Синус и косинус суммы и разности аргументов

4

3

25. Тангенс суммы и разности аргументов

2

2

26. Формулы приведения

2

2

27. Формулы двойного аргумента. Формулы понижения степени

4

3

28. Преобразование сумм тригонометрических функций

3

2

2

2

2

1

в произведение 29.Преобразование произведений тригонометрических функций в сумму 30. Преобразование выражения A sin x + B cos x к виду Csin(x + t)

31. Методы решения тригонометрических уравнений (продолжение) 5

3

____________________________________________________________________ Итого:

24

18

32. Комплексные числа и арифметические операции над ними

2

2

33. Комплексные числа и координатная плоскость

2

2

34. Тригонометрическая форма записи комплексного числа

3

2

35. Комплексные числа и квадратные уравнения

2

2

36. Возведение комплексного числа в степень. Извлечение

3

2

Глава 6. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

кубического корня из комплексного числа _____________________________________________________________________ Итого:

12

10

Глава 7. ПРОИЗВОДНАЯ

37. Числовые последовательности

3

2

3

2

1) Определение числовой последовательности и способы ее задания 2) Свойства числовых последовательностей 38. Предел числовой последовательности 1) Определение предела последовательности 2) Свойства сходящихся последовательностей 3) Вычисление пределов последовательностей 4) Сумма бесконечной геометрической прогрессии

14 39. Предел функции

4

3

3

3

6

5

3

2

43. Уравнение касательной к графику функции

3

3

44. Применение производной для исследования функций:

6

4

!) Предел функции на бесконечности и в точке 2) Приращение аргумента. Приращение функции 40. Определение производной 1) Задачи, приводящие к понятию производной 2) Определение производной 41. Вычисление производных 1) Формулы и правила дифференцирования 2) Понятие и вычисление производной n-го порядка 42. Дифференцирование сложной функции. Дифференцирование обратной функции

1) Исследование функций на монотонность и экстремумы 2) Применение производной для доказательства тождеств и неравенств 45. Построение графиков функций

3

3

6

4

46. Применение производной для отыскания наибольших и наименьших значений величин 1) Отыскание наибольших и наименьших значений непрерывной функции на промежутке 2) Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин ___________________________________________________________________ Итого:

40

31

Глава 8. КОМБИНАТОРИКА И ВЕРОЯТНОСТЬ

47. Правило умножения. Комбинаторные задачи. Перестановки и факториалы

3

2

48. Выбор нескольких элементов. Биномиальные коэффициенты

3

2

49. Случайные события и их вероятности

3

2

50. Табличное и графическое представление данных

2

2

______________________________________________________________ Итого: Повторение

11

8

15

12

_______________________ Всего

170

136

15 Использование указанной выше литературы (см. п.3) § 1-5 – 7, 8 § 6-8 – 9, 10, 11 § 9-10 – 9 § 11-20 – 1-5 § 21 – 9 § 22-31 – 1-5 § 32-36 – 9 § 37-41 – 1-5 § 42 – 9 § 43-46 – 1-5 § 47-50 – 6, 9

Примечание: Полное соответствие указанной выше программе содержится в го-

товящихся к изданию книгах 12 и 13.

16

5. Примерное планирование курса алгебры и начал анализа (профильный уровень) 11 класс 5ч

4ч

в неделю ___________________________ Глава 1. ИНТЕГРАЛ

1. Первообразная и неопределенный интеграл

3

2. Определенный интеграл:

3

6

6

1) задачи, приводящие к понятию определенного интеграла 2) определенный интеграл, его вычисление и свойства 3) вычисление площадей плоских фигур 4) примеры применения интеграла в физике ___________________________________________ Итого:

9

9

Глава 2. СТЕПЕНИ И КОРНИ. СТЕПЕННЫЕ ФУНКЦИИ

3. Понятие корня n-й степени из действительного числа

2

2

4. Функции y = n x , их свойства и графики

4

3

5. Свойства корня n-й степени

4

3

6. Преобразование выражений, содержащих радикалы

5

4

7. Обобщение понятия о показателе степени

4

4

8. Степенные функции, их свойства и графики (включая

5

4

дифференцирование и интегрирование степенной функции с рациональным показателем) _______________________________________ Итого:

24

20

Глава 3. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ

9. Показательная функция, ее свойства и график

4

3

10. Показательные уравнения

4

3

11. Показательные неравенства

3

2

12. Понятие логарифма

2

2

13. Функция y = loq a x , ее свойства и график

3

3

17 14. Свойства логарифмов

4

4

15. Логарифмические уравнения

5

4

16. Логарифмические неравенства

5

4

17. Переход к новому основанию логарифма

4

2

18. Дифференцирование показательной и логарифмической функций

4

3

_____________________________________________ Итого:

38

30

2

2

4

3

Глава 4. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ, СТАТИСТИКИ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

19. Числовые характеристики рядов данных. 20. Решение комбинаторных задач. Формулы числа перестановок, сочетаний, размещений. 21. Формула бинома Ньютона. Свойства биномиальных коэффициентов. Треугольник Паскаля.

3

3

5

4

22. Независимые повторения испытаний с двумя исходами. Вероятность и статистическая частота наступления события.

_________________________________________ Итого:

14

12

4

3

Глава 5. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ

23. Равносильность уравнений 24. Общие методы решения уравнений

5

4

25. Многочлены от одной переменной: делимость многочленов,

4

3

26. Уравнения высших степеней

4

3

27. Уравнения с модулями

3

2

28. Иррациональные уравнения

4

3

29. Решение рациональных неравенств с одной переменной

5

4

30. Неравенства с модулями

3

2

31. Иррациональные неравенства

3

2

32. Многочлены от двух переменных. Формулы сокращенного

4

3

2

2

деление многочленов с остатком, теорема Безу, число корней многочлена

умножения для старших степеней. Бином Ньютона. Симметрические многочлены 33.Уравнения и неравенства с двумя переменными

18 34.Диофантовы уравнения

2

2

35.Системы уравнений

6

4

36.Уравнения и неравенства с параметрами

6

4

_____________________________________ Итого:

55

41

30

24

Повторение

_______________________ Всего

170

Использование указанной выше литературы (см. п.3) § 1-18 – 1-5 § 19-22 – 6 § 25-28 – 7,8 § 29-31 – 1-5, 10-11 § 35-36 – 1-5, 7-8, 10-11

Примечание: Полное соответствие указанной выше программе будет со-

держаться в готовящихся книгах: А.Г.Мордкович, П.В.Семенов. Алгебра и начала анализа - 11 (профильный уровень). Часть 1. Учебник. А.Г.Мордкович и др. Алгебра и начала анализа-11 (профильный уровень). Часть 2. Задачник.

136

19 6. Обязательный минимум содержания

основных образовательных программ (базовый уровень) АЛГЕБРА

Корни и степени. Корень степени n>1 и его свойства. Степень с рациональным показателем и ее свойства. Понятие о степени с действительным показателем. Свойства степени с действительным показателем. Логарифм. Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество. Логарифм произведения, частного, степени; переход к новому основанию. Десятичный и натуральный логарифмы, число е. Преобразования простейших выражений, включающих арифметические операции, а также операцию возведения в степень и операцию логарифмирования. Основы тригонометрии. Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла. Радианная мера угла. Синус, косинус, тангенс и котангенс числа. Основные тригонометрические тождества. Формулы приведения. Синус, косинус и тангенс суммы и разности двух углов. Синус и косинус двойного угла. Формулы половинного угла. Преобразования суммы тригонометрических функций в произведение и произведения в сумму. Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента. Преобразования простейших тригонометрических выражений. Простейшие тригонометрические уравнения. Решения тригонометрических уравнений. Простейшие тригонометрические неравенства. Арксинус, арккосинус, арктангенс числа. ФУНКЦИИ Функции. Область определения и множество значений. График функции. Построение графиков функций, заданных различными способами. Свойства функций: монотонность, четность и нечетность, периодичность, ограниченность. Промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения, точки экстремума (локального максимума и минимума). Графическая интерпретация. Примеры функциональных зависимостей в реальных процессах и явлениях. Обратная функция. Область определения и область значений обратной функции. График обратной функции. Степенная функция с натуральным показателем, её свойства и график. Вертикальные и горизонтальные асимптоты графиков. Графики дробнолинейных функций. Тригонометрические функции, их свойства и графики; периодичность, основной период. Показательная функция (экспонента), её свойства и график. Логарифмическая функция, её свойства и график. Преобразования графиков: параллельный перенос, симметрия относительно осей координат и симметрия относительно начала координат, симметрия относительно прямой y = x , растяжение и сжатие вдоль осей координат. НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Понятие о пределе последовательности. Существование предела монотонной ограниченной последовательности. Длина окружности и площадь круга как пределы последовательностей. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма.

20

Понятие о непрерывности функции. Понятие о производной функции, физический и геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции. Производные суммы, разности, произведения, частного. Производные основных элементарных функций. Применение производной к исследованию функций и построению графиков. Производные обратной функции и композиции данной функции с линейной. Понятие об определенном интеграле как площади криволинейной трапеции. Первообразная. Формула Ньютона-Лейбница. Примеры использования производной для нахождения наилучшего решения в прикладных, в том числе социально-экономических, задачах. Нахождение скорости для процесса, заданного формулой или графиком. Примеры применения интеграла в физике и геометрии. Вторая производная и ее физический смысл. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

Решение рациональных, показательных, логарифмических уравнений и неравенств. Решение иррациональных уравнений. Основные приемы решения систем уравнений: подстановка, алгебраическое сложение, введение новых переменных. Равносильность уравнений, неравенств, систем. Решение простейших систем уравнений с двумя неизвестными. Решение систем неравенств с одной переменной. Использование свойств и графиков функций при решении уравнений и неравенств. Метод интервалов. Изображение на координатной плоскости множества решений уравнений и неравенств с двумя переменными и их систем. Применение математических методов для решения содержательных задач из различных областей науки и практики. Интерпретация результата, учет реальных ограничений. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ, СТАТИСТИКИ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Табличное и графическое представление данных. Числовые характеристики рядов данных. Поочередный и одновременный выбор нескольких элементов из конечного множества. Формулы числа перестановок, сочетаний, размещений. Решение комбинаторных задач. Формула бинома Ньютона. Свойства биномиальных коэффициентов. Треугольник Паскаля. Элементарные и сложные события. Рассмотрение случаев и вероятность суммы несовместных событий, вероятность противоположного события. Понятие о независимости событий. Вероятность и статистическая частота наступления события. Решение практических задач с применением вероятностных методов.

21

7. Комментарии Выпишем отдельно тот материал стандарта, которого нет в явном виде в учебнике А.Г.Мордковича. В каждом пункте указано, в каких наших изданиях можно найти соответствующий материал. 1) Обратная функция. Область определения и область значений обратной

функции. График обратной функции. Производные обратной функции Литература:

А.Г.Мордкович. Алгебра и начала анализа (для поступающих в вузы). Вербум-М, 2000. 6) Раздел «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей Литература:

А.Г.Мордкович. Алгебра и начала анализа (для поступающих в вузы). Вербум-М, 2000. А.Г.Мордкович, П.В.Семенов. События. Вероятности. Статистическая обработка данных. Дополнительные параграфы к курсу алгебры 7-9. Мнемозина, 2003. Примечание. Весь недостающий материал будет в новом издании имеющегося нашего учебника для общеобразовательной школы.

22

8. Список литературы Изданные книги – основные (Мнемозина)

1.. А.Г.Мордкович. Алгебра и начала анализа 10-11. Часть 1. Учебник. 2003. Гриф – рекомендовано. 2. А.Г.Мордкович и др. Алгебра и начала анализа 10-11. Часть 2. Задачник. 2003. Гриф – рекомендовано. 3. А.Г.Мордкович. Алгебра и начала анализа 10-11. Пособие для учителей. 2003. Гриф – допущено. 4. А.Г.Мордкович, Е.Е.Тульчинская. Алгебра и начала анализа 10-11. Контрольные работы. 2003. Гриф – допущено. 5.. Л.О.Денищева, Т.А.Корешкова. Алгебра и начала анализа 10-11. Тематические тесты и зачеты (под ред. А.Г.Мордковича). 2003. Гриф – допущено. Дополнительная литература:

6. А.Г.Мордкович, П.В.Семенов. События. Вероятности. Статистическая обработка данных. Дополнительные параграфы к курсу алгебры 7-9. Мнемозина, 2003. 7. А.Г.Мордкович. Алгебра и начала анализа (для поступающих в вузы). Вербум-М, 2000.

23

9. Примерное планирование курса алгебры и начал анализа (базовый уровень)

10 класс (3 ч в неделю) Глава 1. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ

1. Определение числовой функции и способы ее задания

2

2. Свойства функций

3

3. Преобразования графиков (параллельный перенос, симметрия относительно осей координат и относительно начала координат

3

4. Периодические функции

2

5. Обратная функция

2

___________________________________________________________________ Итого:

12

Глава 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

6. Числовая окружность

2

7. Числовая окружность на координатной плоскости

2

8. Синус и косинус. Тангенс и котангенс

3

9. Тригонометрические функции числового аргумента

3

10. Тригонометрические функции углового аргумента

1

11. Функции y = sin x, y = соs x, их свойства и графики

4

12. Построение графика функции y = mf (x)

2

13. Построение графика функции y = f (kx)

2

14. График гармонического колебания

1

15. Функции y = tg x, y = ctg x, их свойства и графики

3

16. Обратные тригонометрические функции

3

______________________________________________________________________ Итого:

26

24 Глава 3. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

17. Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства

5

18. Методы решения тригонометрических уравнений

5

1) Метод замены переменной 2) Метод разложения на множители 3) Однородные тригонометрические уравнения ________________________________________________________________ Итого:

10

Глава 4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ

19. Синус и косинус суммы и разности аргументов

3

20. Тангенс суммы и разности аргументов

2

21. Формулы приведения

2

22. Формулы двойного аргумента. Формулы понижения степени

3

23. Преобразование сумм тригонометрических функций

2

в произведение 24. Преобразование произведений тригонометрических функций

2

в сумму 25. Преобразование выражения A sin x + B cos x к виду Csin(x + t)

1

____________________________________________________________________ Итого:

15

Глава 5. ПРОИЗВОДНАЯ

26. Числовые последовательности

2

1) Определение числовой последовательности и способы ее задания 2) Свойства числовых последовательностей 27. Предел числовой последовательности

3

1) Определение предела последовательности 2) Свойства сходящихся последовательностей 3) Вычисление пределов последовательностей 4) Сумма бесконечной геометрической прогрессии 28. Предел функции 1) Предел функции на бесконечности и в точке 2) Приращение аргумента. Приращение функции

3

25 29. Определение производной

3

1) Задачи, приводящие к понятию производной 2) Определение производной 30. Вычисление производных

6

1) Формулы и правила дифференцирования 2) Вторая производная и ее физический смысл 3) Дифференцирование обратной функции 31. Уравнение касательной к графику функции

3

32. Применение производной для исследования функций

4

на монотонность и экстремумы 33. Построение графиков функций. Асимптоты. График дробно-линейной функции

3

34. Применение производной для отыскания наибольших и наименьших значений величин

4

1) Отыскание наибольших и наименьших значений непрерывной функции на промежутке 2) Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин ___________________________________________________________________ Итого:

31

Повторение

8 _______________________ Всего

Использование указанной выше литературы: § 1-4 – 1-5 §5–7 § 6-15 – 1-5 § 16 – 1-5,7 § 17-34 – 1-5

102

26

10. Примерное планирование курса алгебры и начал анализа (базовый уровень)

11 класс (3 ч в неделю) Повторение курса 10 класса

6

Глава 1. ИНТЕГРАЛ

1. Первообразная

2

2. Определенный интеграл и его применения

5

__________________________ итого:

7

Глава 2. СТЕПЕНИ И КОРНИ. СТЕПЕННЫЕ ФУНКЦИИ

3. Понятие корня n-й степени из действительного числа

2

4. Функции y = n x , их свойства и графики

3

5. Свойства корня n-й степени

3

6. Преобразование выражений, содержащих радикалы

4

7. Обобщение понятия о показателе степени

3

8. Степенные функции, их свойства и графики (включая дифференцирование и интегрирование)

5

_______________________ итого:

20

Глава 3. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ

9. Показательная функция, ее свойства и график

3

10. Показательные уравнения

3

11. Показательные неравенства

2

12. Понятие логарифма

2

13. Функция y = loq a x , ее свойства и график

3

14. Свойства логарифмов

3

15. Логарифмические уравнения

3

16. Логарифмические неравенства

3

17. Переход к новому основанию логарифма

2

18. Дифференцирование показательной и логарифмической функций

3

__________________________ итого:

27

27

Глава 4. КОМБИНАТОРИКА И ВЕРОЯТНОСТЬ

19. Правило умножения. Перестановки и факториалы

2

20. Выбор нескольких элементов. Сочетания и размещения

2

21. Формула бинома Ньютона, свойства биномиальных коэффициентов

2

Треугольник Паскаля 22. Случайные события и их вероятности

2

23. Независимые повторения испытаний с двумя исходами

2

24. Табличное и графическое представление данных. Числовые характеристики рядов данных. Вероятность и статистическая частота

3

наступления события ______________________________________________________________ Итого:

13

Глава 5. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ

25. Равносильность уравнений

2

26. Общие методы решения уравнений

4

27. Решение неравенств с одной переменной

4

28. Системы уравнений

4

29. Уравнения и неравенства с параметрами

3

__________________________ итого:

15

Повторение

14 _______________________ Всего

Использование указанной выше литературы: § 1-18 – 1-5 § 19-24 – 6, 7 § 25-29 – 1-5

102

28

12. Предложения по реализации курса А Издательство «Мнемозина» готовит к изданию к началу 2004/05 уч. года новые учебные пособия: А.Г.Мордкович, И.И.Смирнова. Математика-10. А.Г.Мордкович, И.И.Смирнова. Математика-11.

Курс «Математика 10-11 рассчитан на 3 ч. в неделю и включает в себя два предмета – алгебру и начала анализа и геометрию. Строить изучение курса учитель может по традиционной схеме: 2 ч. в неделю на курс алгебры и начал анализа и 1 ч. в неделю на курс геометрии. Но целесообразнее подавать материал цельными блоками, завершая каждый блок контрольной работой. Тогда практически каждая контрольная работа будет содержать в себе и алгебраический, и геометрический материал. Ниже приведен вариант соответствующего поурочного планирования; номера параграфов указаны по двум упомянутым выше учебным пособия (авторы – А.Г.Мордкович и И.М.Смирнова). Примерное поурочное планирование курса «Математика-10» Первый блок (11 ч.)

История возникновения и развития стереометрии (§ 30)

1

Основные понятия стереометрии (§ 31)

2

Пространственные фигуры (§ 32)

1

Параллельность прямых в пространстве (§ 33)

2

Параллельность прямой и плоскости (§ 34)

2

Параллельность двух плоскостей (§ 35)

2

Контрольная работа № 1

1

Второй блок ( 13 ч.)

Числовая окружность (§ 1)

2

Числовая окружность на координатной плоскости (§ 2)

2

Синус и косинус. Тангенс и котангенс (§ 3)

3

Тригонометрические функции числового аргумента (§ 4)

2

Тригонометрические функции углового аргумента (§ 5)

1

Формулы приведения (§ 6)

2

Контрольная работа № 2

1

29 Третий блок (14 ч.)

Параллельное проектирование (§ 36)

1

Параллельные проекции плоских фигур (§ 37)

2

Изображение пространственных фигур на плоскости (§ 38)

2

Сечения многогранников (§ 39)

2

Функция y = sin x, ее свойства и график (§ 7)

2

Функция y = соs x, ее свойства и график (§ 8)

1

Периодичность функций y = sin x, y = соs x (§ 9)

1

Функции y = tg x, y = ctg x, их свойства и графики (§ 11)

1

Контрольная работа № 3

1

Четвертый блок (9 ч.)

Арккосинус и решение уравнения cos t = a (§ 12)

2

Арксинус и решение уравнения sin t = a (§ 13)

2

Арктангенс и арккотангенс. Решение уравнений tg x = a, ctg x = a (§ 14)

1

Тригонометрические уравнения (§ 15)

3

Контрольная работа № 4

1

Пятый блок (9ч.)

Угол между прямыми в пространстве. Перпендикулярность прямых (§ 40)

2

Перпендикулярность прямой и плоскости. Ортогональное проектирование (§ 41)

2

Перпендикуляр и наклонная. Угол между прямой и плоскостью (§ 42)

2

Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей (§ 43)

2

Контрольная работа № 5

1

Шестой блок (9 ч.)

Синус и косинус суммы и разности аргументов

2

Тангенс суммы и разности аргументов

1

Формулы двойного аргумента

2

Преобразование сумм тригонометрических функций в произведение Контрольная работа № 6

3 1

30 Седьмой блок (13 ч.)

Предел функции (§ 21)

3.

Определение производной (§ 22)

3

Вычисление производных (§ 23)

4

Уравнение касательной к графику функции (§ 24)

2

Контрольная работа № 7

1

Восьмой блок (16 ч.)

Многогранные углы (§ 45)

2

Выпуклые многогранники (§ 46)

2

Правильные многогранники (§ 47)

2

Применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы (§ 25)

3

Построение графиков функций (§ 26)

2

Применение производной для отыскания наибольших и наименьших значений величин (§ 27)

3

Контрольная работа № 8

2

Повторение

8 ___________________________________ всего:

102ч

Примерное поурочное планирование курса «Математика-11» Первый блок (13 ч.)

Первообразная (§ 1)

3

Определенный интеграл (§ 2)

3

Цилиндр, конус (§ 23)

2

Тела вращения (§ 24)

2

Взаимное расположение сферы и плоскости (§ 25)

2

Контрольная работа № 1

1

31 Второй блок ( 12 ч.)

Симметрия пространственных фигур (§ 29)

2

Понятие корня n-й степени из действительного числа (§ 3)

2

Функции y = n x , их свойства и графики (§ 4)

2

Свойства корней n-й степени (§ 5)

2

Преобразование выражений, содержащих радикалы (§ 6)

3

Контрольная работа № 2

1

Третий блок (12 ч.)

Обобщение понятия о показателе степени

(§ 7)

2

Степенные функции, их свойства и графики (§ 8)

3

Объем пространственного тела. Объем цилиндра (§ 31)

1

Принцип Кавальери (§ 32)

1

Объем пирамиды (§ 33)

2

Объем конуса (§ 34)

2

Контрольная работа № 3

1

Четвертый блок (11 ч.)

Объем шара (§ 35)

2

Площадь поверхности (§ 36)

1

Площадь поверхности шара (§ 37)

2

Показательная функция, ее свойства и график (§ 9)

2

Показательные уравнения и неравенства (§ 10)

3

Контрольная работа № 4

1

Пятый блок (14 ч.)

Понятие логарифма (§ 11)

2

Функция y = log a x , ее свойства и график (§ 12)

2

Свойства логарифмов (§ 13)

2

Логарифмические уравнения (§ 14)

3

Логарифмические неравенства (§ 15)

2

Дифференцирование показательной и логарифмической функций (§ 17) Контрольная работа № 5

2 1

32 Шестой блок (14 ч.)

Равносильность уравнений (§ 18)

2

Общие методы решения уравнений (§ 19)

3

Решение неравенств с одной переменной (§ 20)

4

Системы уравнений (§ 21)

3

Контрольная работа № 6

2

Седьмой блок (10 ч.)

Прямоугольная система координат в пространстве (§ 38)

1

Векторы в пространстве (§ 39)

2

Координаты вектора (§ 40)

2

Скалярное произведение векторов (§ 41)

2

Уравнение плоскости в пространстве (§ 42)

2

Контрольная работа № 7

1

Повторение

16 ___________________________________ всего:

102ч