Экспериментальные основы квантовой механики

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА И КВАНТОВАЯ ХИМИЯ

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

Пособие для студентов Специальность: Химия (011000)

Воронеж - 2005

2

Утверждено научно методическим советом химического факультета (20 июня 2005 г., протокол № 10)

Составители: – Кондрашин В.Ю., Пшестанчик В.Р., Самойлов А.М., Соцкая Н.В. Науч. рецензент проф. А.М. Ховив

Пособие подготовлено на кафедрах физической химии и неорганической химии химического факультета Воронежского государственного университета Рекомендуется для студентов второго курса д/о и четвертого курса в/о.

3

ВВЕДЕНИЕ В XX столетии физика, а вместе с ней и все понимание об окружающем мире, претерпели глубочайшие изменения. К концу XIX века система физической науки, в основе которой лежали механика Ньютона и электродинамика Максвелла – Герца, казалась полностью завершенной. Однако уже в первые годы XX столетия лорд Кельвин, один из величайших физиков своего времени, в лекциях, прочитанных в Балтиморском университете, отметил, что на безупречно ясном небосводе физики все же можно наблюдать два небольших облачка. Первое из этих облаков представляло собой отрицательный результат опыта Майкельсона, проведение которого планировали с целью разрешить все имеющиеся противоречия в проблеме увлекаемого и неувлекаемого эфира. Следовательно, оно омрачало картину блестящих успехов классической электродинамики Максвелла – Герца. Второе облако символизировало трудности в создании теории излучения абсолютно черного тела и свидетельствовало об ограниченности статистической механики, основанной на классической механике Ньютона. Таким образом, в начале XX столетия были обнаружены две (казалось, не связанные между собой) группы явлений, свидетельствующих о неприменимости обычной классической теории электромагнитного поля к процессам взаимодействия света с веществом и к процессам, происходящим в атоме. Первая группа явлений была связана с установлением на опыте двойственной природы света (дуализм света); вторая — с невозможностью объяснить на основе классических представлений устойчивое существование атома, а также спектральные закономерности, открытые при изучении испускания света атомами. Из этих, как казалось на первый взгляд, несущественных проблем выросла вся современная физика. Вопреки первоначальным опасениям, современная физика не опровергла классические теории. Она показала, что классическая физика вовсе не обязательно применима ко всем явлениям. Установление связи между этими группами явлений и попытки объяснить их на основе новой теории и привели, в конечном счете, к открытию законов квантовой механики. Одним из решающих этапов при разработке квантовой теории явилась гипотеза М. Планка, которая позволила впервые ввести новую физическую константу h – элементарный квант действия. Постоянная Планка имеет первостепенное значение в механике микрочастиц. Открытие постоянной Планка было первым серьезным предупреждением о несостоятельности механического переноса закономерностей из области макромира в область микрочастиц и их систем. Последующие экспериментальные исследования

4

показали, что явления, в которых постоянная Планка играет существенную роль, следует считать квантовыми. Как оказалось, квантовое явление не может быть истолковано в рамках классической физики. В 20-х годах прошлого столетия были открыты новые экспериментальные факты, которые окончательно заставили ученых отказаться от попыток применить законы классической физики для объяснения квантовых явлений. Было показано, что электроны обнаруживают волновые свойства, испытывая дифракцию при прохождении через кристалл. Позднее было доказано, что явление дифракции свойственно не только электронам, но и вообще всем микрочастицам. Движение микрочастиц оказалось во многих отношениях более родственно движению волн, нежели перемещению материальной точки по определенной траектории. Как показали эксперименты, явление дифракции несовместимо с предположением о движении частиц по траекториям. Непреходящее значение тех экспериментов, которые были выполнены в начале XX столетия при изучении микрочастиц, состоит в том, что ученым удалось представить неопровержимые факты, свидетельствующие о волново корпускулярной двойственности микрочастиц. Опытным путем было доказано, что объекты исследований, которые классическая физика рассматривала как электромагнитные волны, обладают корпускулярными свойствами. И, наоборот, для объектов, которые обладали всеми неоспоримыми признаками частиц, оказались присущи волновые свойства. Таким образом, была открыта принципиально новая и совершенно общая закономерность. Глубокое осмысление этих экспериментальных данных привело ученых к созданию квантовой механики, сумевшей обнаружить в кажущемся хаосе микроявлений поразительные по своей общности и красоте закономерности.

5

1. Излучение абсолютно черного тела и гипотеза квантов М. Планка 1.1. Законы теплового излучения Еще на заре цивилизации люди заметили, что любое нагретое тело служит источником тепла. Если тело разогреть до очень высокой температуры (накалить), оно начинает испускать видимый свет. На языке волновых представлений, тело при постепенном нагревании сначала испускает тепло – невидимые инфракрасные лучи, затем – световые волны: красного, оранжевого цвета и далее по спектру. Долгое время процессы испускания тепла и света люди использовали на практике, не умея объяснить суть происходящих явлений. Первый крупный шаг в теоретическом исследовании свойств равновесного излучения был сделан немецким физиком Г.Р. Кирхгофом1. Было известно, что

Рис. 1. Схема, иллюстрирующая соотношение между падающим, отраженным и испускаемым излучением. в равных условиях спектр излучения зависит от вещества тела. Г.Р. Кирхгофу удалось доказать, что в природе действуют общие законы излучения нагретых тел, которые не зависят от их природы, формы и размеров. 1

КИРХГОФ Густав Роберт (1824-1887), немецкий физик, иностранный член-корреспондент Петербургской АН (1862 г.). Установил правила для электрической цепи, названные его именем. Совместно с Р. В. Бунзеном заложил основы спектрального анализа (1859 г.), открыл цезий (1860 г.) и рубидий (1861 г.). Ввел понятие абсолютно черного тела и открыл закон излучения, названный его именем.

6

Опираясь на представления об объемной плотности излучения u и спектральной (объемной) плотности излучения ρν, которые для сплошного спектра в интервале частот от 0 до + ∞ связаны соотношением: ∞

∞

u = ∫ duω = ∫ ρω dω 0

(1-1)

0

Г.Р. Кирхгоф показал, что при постоянной температуре ρν совершенно не зависит от природы и свойств тел. Немецкий физик подчеркивал, что особенность равновесного излучения вытекает непосредственно из второго начала термодинамики. В частности, свойства равновесного излучения он объяснял, исходя из невозможности создания вечного двигателя второго рода, поскольку нельзя получить энергию за счет перехода тепла от холодного тела к горячему. Как показано на рис. 1, если на тело падает излучение, то часть его неизбежно отражается от поверхности раздела между телом и средой, а остальная часть проникает внутрь тела. Доля всей падающей энергии для фиксированного интервала частот ω, ω + ∆ω , которая остается внутри тела и превращается в тепло, называется поглощательной способностью Aω. Энергия, излучаемая единицей площади поверхности за 1 секунду, называется испускательной способностью Eω. Установленное Кирхгофом соотношение: E c ρω , Iω = ω = Aω 8π

(1-2)

где Iω - спектральная яркость, c – скорость света в вакууме, означает, что отношение испускательной способности тела к его поглощательной способности, пропорциональное спектральной плотности равновесного излучения, для всех тел одно и то же. Тело, которое обладает максимальным значением Aω, равным единице, Кирхгоф назвал абсолютно черным (рис. 2). Пользуясь уравнением (2) при Aω = 1, можно получить: c ρω . (1-3) 8π Это означает, что испускательная способность абсолютно черного тела Iω = Eω =

7

является универсальной функцией частоты и температуры: ρν dν = F (ν , T )dν

(1-4)

Рис. 2. Модель абсолютно черного тела. Дальнейшая задача заключалась в раскрытии явного вида этой функции. После ряда важных работ российских физиков В.А. Михельсона и Б.Б. Голицина наиболее значительных шаг в этом направлении был сделан В. Вином1, который в своей работе, помимо термодинамического подхода, воспользовался электромагнитной теорией света. В. Вин показал, что спектральная плотность излучения черного тела должна иметь максимум и длина волны, соответствующая этому максимуму, обратно пропорциональна абсолютной температуре тела: ν  ρν dν = ν 3 F   dν (1-5) T   Несмотря на присутствие неявной функции F(ν/T) формула Вина ведет к некоторым совершенно определенным количественным соотношениям. Прежде всего, при помощи соотношения (1-5) можно рассчитать интегральную плотность излучения u: ∞

∞

ν u = ∫ ρν dν = ∫ν 3 F  T 0 0

 dν . 

(1-6)

Вводя новую переменную ν/T = ξ и обозначая величину, получающуюся при вычислении интеграла, через α, можно получить (1-7) u = αT4 , т. е. известный закон Стефана – Больцмана. 1

ВИН Вильгельм (1864-1928), немецкий физик. Труды по излучению абсолютно черного тела; в 1893 г. вывел законы излучения и смещения, которые были названы его именем. Нобелевская премия по физике в 1911 г.

8

Чаще всего результаты расчетов Вина представляют в виде так называемого закона смещения: b = λmaxT , (1-8) где b = 2,9×10−5 м⋅К – постоянная Вина; λmax – длина волны, на которую приходится в спектре максимум излучения. Используя закон смещения, по измеренной кривой распределения энергии по частотам стало возможным определять температуру тела. Таким способом, например, была установлена температура Солнца. 1.2. «Ультрафиолетовая катастрофа» В 1896 г. В. Вин предложил эмпирическую формулу для определения интегральной плотности излучения 3

 ω  − c2ω / 2π T uω (T ) = c1  ,  e  2π 

(1-9)

где c1 и c2 – коэффициенты, определяемые опытным путем. Целый ряд известных физиков своего времени, анализируя формулу (1-9), продемонстрировали, что кривая спектральной плотности всегда имеет максимум, который смещается при повышении температуры, как и предсказывал закон смещения Вина (уравнение (1-8)). Вместе с тем, из экспериментов следовало, что формула (1-9) справедлива только в области коротких длин волн (при низких температурах). На рубеже XIX – XX веков лорд Рэлей1 на основе статистического закона о равномерном распределении энергии по степеням свободы вывел другое соотношение, которое было призвано определить спектральную зависимость плотности излучения для абсолютно черного тела: 2ω 2 ρω (T )dω = 3 kTdω πc где k – постоянная Больцмана. 1

,

(1-10)

РЭЛЕЙ (Рейли) Джон Уильям, барон (до получения в 1873 г. титула после смерти отца — Стретт, Strutt) (1842-1919), английский физик, один из основоположников теории колебаний, с 1873 г. член, а в 1905-1908 гг. - президент Лондонского королевского общества. С 1896 г. иностранный член-корреспондент Петербургской АН. Директор Кавендишской лаборатории (1879-1884 гг.). Фундаментальные труды по акустике, молекулярному рассеянию света и др. В 1894 г., совместно с У. Рамзаем, открыл аргон. Вывел закон излучения Рэлея — Джинса. Нобелевская премия (1904 г.).

9

Поскольку в уточнении формулы (1-10) принимал участие Дж. Х. Джинс1, она получила название закона Рэлея – Джинса. Эксперименты показали, что в области длинных волн (или при высоких температурах) спектральная плотность излучения пропорциональна температуре в соответствии с законом Рэлея – Джинса. Однако попытки распространить зависимость (1-10) на всю область частот неизменно приводили к абсурду: интегрирование ρν(T) по всем частотам от нуля до бесконечности приводило к бесконечно большой плотности энергии излучения. Это означало, что равновесие между материальными телами и излучением могло бы наступить только при бесконечно большой плотности излучения. Другими словами, тело должно излучать энергию до тех пор, пока его температура не упала бы до абсолютного нуля. Такой результат находился в принципиальном противоречии с экспериментом, поскольку равновесие между излучением и его материальными центрами возможно при любой температуре. Кроме того, в условиях равновесия плотность излучения очень мала по сравнению с плотностью энергии, заключающейся в материальных телах. Согласно закону Рэлея – Джинса, значительная часть энергии в спектре теплового излучения приходится на его коротковолновую (ультрафиолетовую) область, что также коренным образом противоречило эксперименту. Такое несовпадение теоретических и экспериментальных данных один из основателей квантовой механики Пауль Эренфест назвал «ультрафиолетовой катастрофой» или парадоксом Рэлея – Джинса. Таким образом, подводя итог всему сказанному выше, следует подчеркнуть, что в теории теплового излучения классическая физика потерпела решительное поражение. По образному выражению известного физика Х.А. Лоренца2 «уравнения классической физики оказались неспособными объяснить, почему угасшая печь не испускает желтых лучей наряду 1

ДЖИНС Джеймс Хопвуд (1877 - 1946), английский физик и астрофизик. Основные труды по кинетической теории газов, теории теплового излучения; фигурам равновесия вращающихся жидких тел, строению и эволюции звезд, звездных систем и туманностей. Автор космогонической гипотезы (гипотеза Джинса). 2

ЛОРЕНЦ Хендрик Антон (1853 - 1928), нидерландский физик, иностранный членкорреспондент Петербургской АН (1910), иностранный почетный член АН СССР (1925). Труды по теоретической физике. Создал классическую электронную теорию, с помощью которой объяснил многие электрические и оптические явления, в т. ч. эффект Зеемана. Разработал электродинамику движущихся сред. Вывел преобразования, названные его именем. Близко подошел к созданию теории относительности. Нобелевская премия (1902, совместно с П. Зееманом).

10

излучением больших длин волн». 1.3. Формула М. Планка К концу XIX столетия существовали две формулы, каждая из которых соответствовала экспериментальным данным в ограниченном участке спектра, но ни одна из них не описывала всю экспериментальную кривую. Среди физиков, пытавшихся найти явный вид функции uλ или uν, который согласовывался бы с экспериментальными данными, был немецкий физиктеоретик Макс Планк1. В октябре 1900 г. ему удалось найти сначала чисто эмпирически формулу, которая хорошо согласовывалась с опытными данными, и в двух предельных случаях (для длинных и для коротких волн) соответственно переходила в формулу Рэлея – Джинса или в уравнение Вина: aλ −5 u λ = b / λT , (1-11) e −1 где и - коэффициенты, получаемые эмпирическим путем. М. Планк понимал, что полученное им соотношение являлось «лишь счастливо обнаруженной интерполяционной формулой». Позднее немецкий ученый писал: «…с самого дня ее установления передо мной возникла задача – отыскать ее подлинный физический смысл». В результате нескольких недель напряженнейшей работы на основе чрезвычайно смелой гипотезы М. Планку удалось придти к новой формуле, которая была обнародована на заседании Немецкого физического общества 14 декабря 1900 года. М. Планк предложил невозможную с точки зрения классической физике гипотезу: энергия макроскопических систем может принимать только определенные, дискретные значения, а электромагнитное излучение испускается и поглощается только порциями - квантами (первоначально немецкий ученый назвал их элементами энергии). При выводе своей формулы Планк схематизировал излучающие материальные центры, рассматривая их как линейные гармонические осцилляторы всевозможных частот, несущие электрический заряд, при посредстве которого они могут обмениваться энергией с окружающим электромагнитным полем. Современная формулировка гипотезы, которую 1

ПЛАНК (Planck) Макс (1858-1947), немецкий физик, один из основоположников квантовой теории, иностранный член-корреспондент Петербургской АН (1913 г.) и почетный член АН СССР (1926 г.). В 1900 г. ввел понятие о кванте действия (постоянная Планка) и, исходя из идеи квантов, вывел закон излучения, который был назван его именем. Труды по термодинамике, теории относительности, философии естествознания. Нобелевская премия (1918 г.).

11

Планк положил в основу вывода своей формулы, выглядит следующим образом: Осцилляторы могут находиться только в некоторых избранных состояниях, в которых их энергия является целым кратным наименьшего количества энергии ε0: ε0 , 2ε0, …, nε0, …; при излучении или поглощении осцилляторы переходят из одного состояния в другое скачкообразно, минуя промежуточные состояния. На основании этой гипотезы Планк вывел формулу для объемной спектральной плотности излучения в следующем виде: c 8π hv 3 1 ρν ,T = uν ,T = 3 ⋅ hν / kT 4 c e −1

(1-12а)

или c 8π hc 1 ρ λ ,T = uλ ,T = 5 ⋅ hc / λ kT e 4 λ −1

,

(1-12б)

где h — постоянная Планка, k — постоянная Больцмана. Вид функции (1-12б) для разных температур представлен на рис. 3. Видно, что с ростом Т максимум функции смещается в сторону малых длин волн.

Рис. 3. Графическая интерпретация закон излучения Планка.

12

Закон излучения Планка

находится в согласии с экспериментальными

данными. Для случая, когда hν = ħω >> kT , т.е. для высоких частот или низких температур уравнение Планка (1-12а) совпадает с формулой Вина (1-9). С помощью формулы (1-12а) можно рассчитать интегральную плотность излучения u (уравнение (1-6)). При этом величина u оказывается конечной величиной. Таким образом, формула Планка устранила так называемую «ультрафиолетовую катастрофу». Из уравнения Планка следует, что средняя энергия ε , приходящаяся на одну степень свободы, не одинакова для стоячих волн с различными частотами. Справедливость формулы: hν =ω ε = hν / kT = =ω / kT (1-13) e −1 e −1 для средней энергии, приходящейся на одну степень свободы, позднее использовал А. Эйнштейн, чтобы устранить серьезные затруднения в классической теории теплоемкости. Закон излучения М. Планка нашел широкое практическое применение. С его помощью оказалось возможным вычислить значения h и k. На его основе, используя пирометры, можно определять температуру нагретых тел (например, поверхности звёзд). При температурах > 2000 К единственное надёжное определение температуры основано на законах излучения чёрного тела и законе излучения Кирхгофа. Закон излучения Планка используют при расчётах различных источников света. М. Планк впервые ввел новую физическую константу h – элементарный квант действия. Эта константа имеет размерность [энергия × время]1. Новую фундаментальную физическую константу Планк называл «таинственным послом из реального мира». На основании опытных данных он рассчитал значение этой константы, которое составило h = 6,548 ×10−34 Дж⋅сек. Фундаментальное значение открытий, сделанных немецким ученым, заключается в обосновании идеи о квантовой природе света. Вывод формул 1

Планка постоянная, квант действия, фундаментальная физическая постоянная, определяющая широкий круг физических явлений, для которых существенна дискретность действия. Эти явления изучаются в квантовой механике. На основании экспериментальных данных, полученных при изучении эффекта Джозефсона, было получено самое точное значение этой константы. Это значение составило h = (6,626196 ± 0,000050)×10−34 Дж⋅сек. Чаще пользуются постоянной ħ = h/2π = (1,0545919 ± 0,0000080)×10−34 Дж⋅сек, которую иногда называют постоянной Дирака.

13

(1-12а) и (1-12б) привел к открытию новой фундаментальной постоянной. На основании закона излучения Планка была разработана гипотеза о том, что энергия переносится квантами – дискретными порциями. Величина такого кванта энергии зависит от частоты света и равна: E = hν = ħω

(1-14)

Создание такой гипотезы оказалось поистине революционным шагом в развитии физики. Как писал французский физик и математик Ж.А. Пуанкаре1 в 1912 г., теория Планка, согласно которой «физические явления перестают повиноваться законам, выражаемым дифференциальными уравнениями, есть, без всякого сомнения, самая большая и самая глубокая революция, которую натуральная философия претерпела со времен Ньютона». Несмотря на революционность своего открытия, М. Планк не мог отбросить хорошо проверенную на опыте волновую теорию. Немецкий ученый был воспитан в духе старой доброй классической физики и оставался ревностным ее хранителем. Еще не раз с помощью различных моделей он пробовал объяснить распространение излучения на основе волновых представлений. В конце концов, под напором экспериментальных фактов М. Планк отказался от дальнейших попыток. Вместе с тем в одной из работ 1911 г. он получил парадоксальный результат, который оказался чрезвычайно важным в современной физике: при абсолютном нуле средняя энергия осциллятора не =ω . Эту величину в дальнейшем назвали нулевой обращается в нуль, а равна 2 энергией осциллятора. Установление закона излучения Планка ознаменовало глубокий разрыв с классической физикой. Таким образом, 1900 г., когда впервые была сформулирована гипотеза о квантах энергии, явился началом новой эры в развитии теоретической физики. От закона излучения Планка можно проследить две взаимосвязанные линии эволюции, которые к 1927 г. завершились окончательной формулировкой квантовой механики в двух ее формах. 1

ПУАНКАРЕ Жюль Анри (1854-1912), французский математик, физик и философ, иностранный член-корреспондент Петербургской АН (1895 г.). Труды по дифференциальным уравнениям, теории аналитических функций, топологии, небесной механике, математической физике. В труде «О динамике электрона» (1905 г., опубликован в 1906 г.) независимо от А. Эйнштейна развил математические следствия «постулата относительности». В философии основатель конвенционализма.

14

2. Явление фотоэффекта Фотоэффектом называется процесс испускания электронов веществом под действием электромагнитного излучения (фотонов). Это явление было открыто в 1887 г. немецким физиком Генрихом Герцем1. Он экспериментировал с разрядником для излучения электромагнитных волн – парой металлических шаров. Если к этим шарам приложить разность потенциалов – между ними проскакивает искра. Генрих Герц обнаружил, что электрический разряд усиливается, если один из шаров освещать ультрафиолетовыми (УФ) лучами. На основании проведенных экспериментов был установлен внешний фотоэффект. В 1888 г. еще один немецкий ученый Вильгельм Гальвакс2 наблюдал, что облученная ультрафиолетовым светом металлическая пластинка заряжается положительно. Так произошло второе открытие фотоэффекта. Третьим ученым, изучавшим это явление независимо от опытов Герца и Гальвакса, был итальянец Аугусто Риги. Ему удалось обнаружить фотоэффект в металлах и диэлектриках. А. Риги сконструировал фотоэлемент – прибор, преобразующий световое излучение в электрический ток. Четвертым ученым, независимо от других открывших фотоэффект в том же 1888 г., был российский физик А.Г. Столетов3. Используя фотоэлемент собственной конструкции, Столетов два года всесторонне исследовал новое явление и вывел его основные закономерности. Он установил, что в возникновении фототока (электрического тока, возникающего под действием УФ – излучения) в цепи, содержащей металлические электроды и источник 1

ГЕРЦ Генрих Рудольф (1857 — 1894), немецкий физик, один из основателей электродинамики. Основные работы по электродинамике. Исходя из уравнений Максвелла, в 1886 – 1889 гг. экспериментально доказал существование электромагнитных волн и исследовал их свойства. Подтвердил выводы максвелловской теории о том, что скорость распространения электромагнитных волн в воздухе равна скорости света, установил тождественность основных свойств электромагнитных и световых волн. Работы Герца по электродинамике сыграли огромную роль в развитии науки и техники. 2

ГАЛЬВАКС Вильгельм (1859 - 1922), немецкий физик. Исследования в области фотоэлектрического эффекта. Впервые показал, что металлы под действием ультрафиолетового излучения теряют отрицательный заряд. 3

СТОЛЕТОВ Александр Григорьевич (1839 - 1896), российский физик. Получил кривую намагничивания железа (1872 г.), систематически исследовал внешний фотоэффект (1888 – 1890 гг.), открыл первый закон фотоэффекта. Исследовал газовый разряд, критическое состояние и др. В 1874 г. основал физическую лабораторию в Московском университете.

15

напряжения, существенную роль играет освещение отрицательного электрода и что сила фототока пропорциональна интенсивности света. Кроме того, при фиксированной интенсивности облучения сила фототока сначала растет по мере повышения разности потенциалов, но, достигнув определенного значения (ток насыщения), уже не увеличивается. Фотоэффект не исчерпывается выбиванием электронов с поверхности твердых тел. При воздействии УФ – излучения на атомы или молекулы, находящиеся в газообразном состоянии, также происходит выбивание электронов. Кроме внешнего фотоэффекта существует и внутренний фотоэффект. При облучении световым потоком полупроводника или диэлектрика в нем появляются дополнительные свободные носители заряда: электроны и/или дырки, что сопровождается увеличением электропроводности этих материалов. В 1899 г. немецкий ученый Ф. Ленард1 и англичанин Дж. Томсон2 доказали, что падающий на металлическую поверхность свет выбивает из нее электроны, движение которых и приводит к появлению фототока. Однако понять природу фотоэффекта с помощью классической электродинамики так и не удалось. Необъяснимым оставался тот факт, почему фототок возникает лишь тогда, когда частота падающего света превышает строго определенную для каждого металла величину. Первое теоретическое объяснение законов фотоэффекта в 1905 г. дал А. Эйнштейн. Фотоэффект – квантовое явление, его открытие и исследование сыграли важную роль в экспериментальном обосновании квантовой теории. Свободный электрон не может поглотить фотон, т.к. при этом не могут быть одновременно соблюдены законы сохранения энергии и импульса. Возможность фотоэффекта для атома, молекулы или конденсированной среды обусловлена связью этого электрона с окружением. Эта связь характеризуется в атоме энергией 7

ЛЕНАРД (Lenard) Филипп Эдуард Антон (1862 - 1947), немецкий физик. Исследовал природу и свойства катодных лучей. Нобелевская премия (1905). Во времена Третьего рейха был активным нацистом. 3

ТОМСОН Джозеф Джон (1856 - 1940), английский физик, основатель научной школы, член (с 1884 г.) и президент (в 1915 – 1920 гг.) Лондонского Королевского общества. Директор Кавендишской лаборатории (1884-1919 гг.). Исследовал прохождение электрического тока через разреженные газы. Открыл (1897) электрон и определил (1898) его заряд. Предложил (1903) одну из первых моделей атома. Один из создателей электронной теории металлов. Очень плодотворной оказалась и идея использования скрещенных полей для измерения отношений зарядов частиц к их массам. Предсказал существование изотопов и экспериментально обнаружил некоторые из них. Дж. Дж. Томсон был одним из ярчайших физиков-классиков. Нобелевская премия (1906).

16

ионизации, в конденсированной среде – работой выхода χ. Закон сохранения энергии при фотоэффекте выражается соотношением Эйнштейна:

Eк = =ω − χ ,

(2-1)

где E – кинетическая энергия фотоэлектрона, ħω – энергия фотона, ħ – постоянная Дирака, χ – энергия ионизации атома или работа выхода электрона из конденсированного тела. При ħω < χ, фотоэффект невозможен. В дальнейшем теория этого явления была развита в наиболее последовательном виде И. Е. Таммом1 и С. П. Шубиным2 (1931). Фотоэффект может наблюдаться в газах на отдельных атомах и молекулах (фотоионизация). Первичным актом здесь является поглощение фотона атомом и ионизация с испусканием электрона. С высокой степенью точности можно считать, что вся энергия фотона за вычетом энергии ионизации передаётся испускаемому электрону. В конденсированных средах механизм поглощения фотонов зависит от их энергии. Если энергия падающего фотона ħω равна или не очень сильно (в десятки и сотни раз) превышает работу выхода электрона, то излучение поглощается электронами проводимости (в металлах) или валентными электронами (в полупроводниках и диэлектриках), принадлежащими всему твердотельному объекту. В результате может наблюдаться фотоэлектронная эмиссия (внешний фотоэффект) с граничной 1

ТАММ Игорь Евгеньевич (1895 – 1971), советский физик, академик АН СССР. С 1934 г. работал в Физическом институте АН СССР. Основные и труды по квантовой механике и ее применениям, теории излучения, теории космических лучей и взаимодействия ядерных частиц. Построил квантовую теорию рассеяния света в твёрдых телах (1930 г.) и теорию рассеяния света электронами (1930 г.). В 1937 г. совместно с И. М. Франком создал теорию излучения быстро движущегося в среде электрона (излучение Черенкова – Вавилова). Создал школу физиков-теоретиков к которой принадлежат многие известные советские учёные. Нобелевская премия (1958). 2

ШУБИН Семён Петрович (1908 – 1938), советский физик-теоретик, доктор физикоматематических наук (1935). Основные труды по классической теории колебаний, квантовой теории твёрдого тела, квантовой теории. Совместно с И. Е. Таммом в 1931 г. построил квантовую теорию фотоэффекта металлов. Предложил зонную теорию жидких металлов (1933). Автор полярной и s-d-обменной моделей кристаллов.

17

энергией фотонов, равной работе выхода, или фотоэффект внутренний (фотопроводимость и другие фотоэлектрические явления) с граничной энергией фотонов, равной ширине запрещенной зоны полупроводника. Если энергия падающего фотона ħω во много раз превышает энергию межатомных связей в конденсированной среде (гамма-излучение), фотоэлектроны могут вырываться из «глубоких» оболочек атома. Влияние среды на первичный акт фотоэффекта в этом случае пренебрежимо мало по сравнению с энергией связи электрона в атоме и фотоэффект происходит так же, как на изолированных атомах. 3. Элементарная квантовая теория света А. Эйнштейна Законы фотоэффекта из металлов являются одним из наиболее четких проявлений корпускулярных свойств света. Энергия освобождаемых фотоэлектронов не зависит от интенсивности освещения, а определяется только длиной волны падающего фотона. Один и тот же спектральный интервал, выделенный из спектра Солнца и слабой лампочки накаливания, создает фотоэлектроны с одинаковой энергией. А. Эйнштейн впервые доказал, что свет состоит из своеобразных частиц – фотонов, энергия которых равна: E = hν = =ω

(3-1)

Таким образом, квант энергии ħω, открытый Планком в процессах испускания и поглощения света, оказывается имманентным (внутренне присущим) свойством самого излучения. Другими словами, природа света носит двойственный характер – одновременно волновой и корпускулярный. Процесс поглощения света при фотоэффекте состоит в исчезновении целого фотона и освобождении за его счет электрона. Причем энергию (кинетическую) электрона можно выразить уравнением А. Эйнштейна, переписав соотношение (2-1):

=ω =

mv 2 + χ 2

(3-2)

Для полноты корпускулярной картины света должны существовать явления, в которых фотон обнаруживает импульс (момент количества движения). Представление о квантах света получило законченную форму, после того, как А. Эйнштейн показал необходимость помимо энергии E = ħω приписать фотону еще и импульс p = E/c, направление которого совпадает с

18

направлением распространения света. Согласно теории относительности Эйнштейна этот импульс должен быть равен: E =ω 2π = p= = = (3-3) c c λ Если ввести волновой вектор k , компоненты которого равны: 2π 2π 2π kx = cosα ; k y = cos β ; k z = cos γ ;

(3-4) λ λ λ где λ - длина волны, cos α, cos β и cos γ - направляющие косинусы нормали к световой волне, то формула для импульса кванта света может быть записана в векторной форме p = =k

(3-5)

Формулы (3-1) и (3-5) являются основными уравнениями квантовой теории света и связывают энергию E и импульс p фотона не только видимого света, но и γ - излучения с частотой ω и длиной волны λ плоской монохроматической волны, направление распространения которой задается вектором k. В 1907 г. А. Эйнштейн, работая над теорией теплоемкости твердых тел, сделал еще одно уточнение квантовой гипотезы. Почему тело (атом, молекула, кристалл) излучает свет только порциями? А потому, отвечал ученый, что атомы имеют лишь дискретный набор возможных значений энергии. Таким образом, теория излучения и поглощения света приняла законченный вид. Глубокий смысл квантовой теории света заключается, главным образом, не в том, что свет иногда представляют в виде газа, состоящего из частиц с энергией E = hν = =ω и импульсом p = =k (такое представление полезно ввиду наглядности, однако является достаточно односторонним). Фундаментальное значение квантовой теории света обусловлено тем, что согласно этой теории обмен энергией и импульсом между микросистемами (электрон, атом, молекула и т. п.) и электромагнитным излучением происходит путем порождения одних и уничтожения других квантов света. Эта мысль получает свое точное выражение в применении закона сохранения энергии и импульса к какой-либо системе, взаимодействующей с любым видом электромагнитного излучения. Закон сохранения энергии и импульса можно выразить с помощью уравнений:

=ω + E = =ω ′ + E′ =k + P = =k ′ + P′

(3-6) ,

(3-7)

19

где E и P – энергия и импульс системы до взаимодействия с квантом света; E´ и P´ - энергия и импульс системы после взаимодействия; =ω и =k - энергия и импульс фотона до взаимодействия с системой; =ω ′ и =k ′ - энергия и импульс фотона после взаимодействия. С помощью уравнений (3-6) и (3-7) можно описать все три основных процесса: поглощение, испускание и рассеяние света. Если ω´ = 0 (тогда и k´ = 0), то уравнения (3-6) и (3-7) относятся к поглощению кванта света ħω, если ω = 0 (k = 0), то эти же уравнения определяют излучение кванта =ω ′ . Если же ω и ω´ отличны от нуля, то эти уравнения относятся к рассеянию света, когда квант ( =ω и =k ) превращается в квант иной энергии =ω ′ и иного импульса =k ′ . Закон сохранения энергии и импульса в форме (3-6) и (3-7) противоречит как волновому, так и корпускулярному представлению о свете и вообще не может быть истолкован в рамках понятий классической физики. Таким образом, А. Эйнштейн доказал недостаточность классических понятий для выражения явлений, происходящих на субатомном уровне. Свет имеет двойственную природу и обладает, как волновыми, так и корпускулярными свойствами. Для окончательной победы представлений о двойственной природе света большое значение оказали результаты опытов Р. Милликена (1916 г.), строго доказавшего, что энергия испускаемых при фотоэффекте электронов определяется частотой световой волны, но не его интенсивностью. В настоящее время уравнение Эйнштейна (3-2) является одним из основных уравнений, лежащих в основе теории электронных приборов. Импульс фотона проявляется как в явлении давления света, экспериментально открытом П.Н. Лебедевым, так и при рассеянии рентгеновских лучей. В этом случае наряду с рассеянием, при котором сохраняется длина волны падающих лучей и которое обусловливает интерференцию рентгеновских лучей в кристаллах, существует еще некогерентное рассеяние – эффект Комптона1. 1

КОМПТОН (Compton) Артур Холли (1892-1962), американский физик. Открыл и объяснил эффект, названный его именем. Обнаружил полное внутреннее отражение рентгеновских лучей. Открыл широтный эффект в космических лучах. Участник создания атомной бомбы. Нобелевская премия (1927).

20

4. Эффект Комптона В эффекте Комптона впервые во всей полноте проявились корпускулярные свойства излучения. В 1922 г. американский физик Артур Комптон, изучая рассеяние излучения с малыми длинами волн — рентгеновского и гаммаизлучения, экспериментально доказал справедливость совокупности уравнений (3-6) и (3-7), что еще раз подтвердило верность гипотезы о существовании квантов света. Эффект Комптона - упругое рассеяние электромагнитного излучения на свободных электронах, сопровождающееся увеличением длины волны. В качестве материалов, рассеивающих рентгеновские лучи, А. Комптон использовал вещества, в которых электроны относительно слабо связаны с атомом (парафин, графит). Поскольку энергия кванта рентгеновских лучей велика, то при расчете можно пренебречь энергией связи электрона с атомным остовом (по крайней мере, для электронов внешних энергетических уровней) и рассматривать такие электроны как свободные, покоящиеся частицы. А. Комптон обнаружил, что рассеянные в парафине рентгеновские лучи имеют большую длину волны, чем падающие. Классическая теория не могла объяснить такого сдвига длины волны. Объяснить результаты такого эксперимента можно лишь с позиций квантовой теории света. Эффект Комптона в квантовой теории выглядит как упругое столкновение двух частиц — налетающего фотона, обладающего импульсом pγ, и покоящегося электрона, импульс которого можно принять равным нулю. В каждом таком акте столкновения соблюдаются законы сохранения энергии и импульса. Фотон, столкнувшись с электроном, передает ему часть своей энергии и импульса и изменяет направление движения (рассеивается). После столкновения с электроном импульс фотона равен pγ´. Уменьшение энергии фотона и означает увеличение длины волны рассеянного света. Электрон, ранее покоившийся, получая от фотона энергию и импульс pe, приходит в движение — испытывает отдачу. Направление движения частиц после столкновения, а также их энергии определяются законами сохранения энергии и импульса. При этом: pγ = pγ ´ + pe

(4-1)

После столкновения фотон разлетается под углом θ, а электрон – под углом φ по отношению к направлению движения падающего фотона. Схема, иллюстрирующая упругое столкновение фотона и электрона в эффекте Комптона, представлена на рис. 4.

21

После столкновения с квантом рентгеновских лучей энергия электрона может оказаться очень большой, поэтому целесообразно применять формулы теории относительности, учитывающие зависимость массы частицы от ее скорости. Согласно теории относительности кинетическая энергия электрона, движущегося со скоростью v , равна E′ =

m0c 2 1− v / c 2

2

− m0c 2

,

(4-2)

где m0 - масса покоя электрона; c - скорость света.

Рис. 4. Параллелограмм Комптона, иллюстрирующий принципиальную схему упругого столкновения фотона и электрона. До столкновения электрон покоился; pγ и pγ' - импульсы налетающего и рассеянного mv (v — его фотонов, Pe — импульс отдачи электрона Pe = 1 - v 2 /c 2 скорость), θ - угол рассеяния фотона, ϕ - угол вылета электрона отдачи относительно направления падающего фотона. При этом для импульса в векторной форме будет справедлива формула P′ =

m0 v 1− v / c 2

2

(4-3)

Если в выражениях (4-2) – (4-3) обозначить v2/c 2 через β и подставить их в уравнения (3-6) и (3-7), имея в виду, что E = 0, P = 0, можно получить

  1 =ω = =ω ′ + m0c 2  − 1  1− β 2   

(4-4а)

22

=k = =k ′ +

m0 v 1− β 2

(4-4б)

Здесь ω и k - частота и волновой вектор падающего излучения, а ω´ и k´ - эти же величины для рассеянного излучения. Из уравнения (4-4а) непосредственно следует, что ω > ω´. Следовательно, рассеянное излучение должно обладать большей длиной волны, нежели падающее. Этот вывод подтверждается опытами Комптона, в то время как согласно классической теории частота рассеянного света должна равняться частоте падающего излучения (рэлеевское рассеяние). Из уравнений (4-4а) и (4-4б) можно сделать еще один важный вывод: свободный электрон не может поглощать излучение, он способен только рассеивать свет. Действительно, полное поглощение означало бы, что ω´ = 0 (и k´ = 0). Тогда из уравнения (4-4б) следует, что k и v направлены одинаково. В этом случае выражение (4-4б) можно переписать в скалярной форме m0 v . (4-5) =k = 1− β 2 Комбинируя это выражение с уравнением (4-4а), можно получить, что для поглощения 1 β −1 = , (4-6) 1− β 2 1− β 2 откуда β = 0, что приводит к k = 0. Выполненные рассуждение доказывают невозможность поглощения света свободным электроном. В процессе рассмотренного выше явления фотоэффекта (см. п. 4), наблюдалось поглощение кванта света. Это возможно лишь по той причине, что электрон в металле находится в связанном состоянии. Поэтому для того, чтобы вырвать электрон с поверхности металла, необходимо выполнить определенную работу χ , что дает возможность передать импульс металлу. Для того, чтобы иметь возможность проверить справедливость уравнения (4-4а), Комптону предстояла задача определить, как зависит частота рассеянного света ω´ от угла рассеяния θ. На рис. 4 линия OA показывает направление распространения пучка первичных рентгеновских лучей. Отрезок OC соответствует направлению, вдоль которого наблюдают прохождение излучения, рассеянного при столкновении с электронами. Изображенный на рис. 4 параллелограмм представляет импульс падающего рентгеновского кванта pγ = =k как сумму импульсов рассеянного кванта p′γ = =k ′ и импульса электрона Pe′ . При этом θ есть угол рассеяния, а ϕ представляет собой угол

23

между импульсом первичного рентгеновского кванта и импульсом получившего толчок электрона, так называемого «электрона отдачи». Для нахождения связи между значением угла θ и величиной энергии рассеянного кванта =ω′ необходимо спроектировать уравнение (4-4а) на две взаимно перпендикулярные оси OA и OB. Учитывая, что k = ω / c , а k ′ = ω′ / c , получаем =ω =ω′ = cosθ + c c 0=

=ω′ sinθ − c

m0 v 1− β 2 m0 v 1− β 2

cosϕ ,

(4-7а)

sinϕ .

(4-7б)

Из треугольника OAB, представленного на рис. 4, с использованием формул элементарной тригонометрии можно вычислить квадрат стороны AB, равной по величине pγ = mv = 2ω2 = 2 (ω′ )2 2 ωω′ − mv = 2 + 2 = cosθ c c2 c2 или m 2 v 2c 2 = = 2ω2 + = 2 (ω′ )2 − 2= 2ωω′ cosθ 2

2

(4-8а)

(4-8б)

Уравнение (4-4а) можно переписать в виде mc 2 = = (ω − ω′) + m0c 2

(4-9)

и возвести в квадрат m 2c 4 = = 2ω2 + = 2 (ω′ )2 − 2= 2ωω′ + m02c 4 + 2=m0c 2 (ω − ω′ ) . Вычитая выражение (4-8б) из (4-10), можно получить  v 2  2 4 m c 1 − 2  = m02c 4 − 2= 2ωω′ (1 − cosθ) + 2=m0c 2 (ω − ω′) .  c  Учитывая,

что

 v2  m 2 1 − 2  ≡ m 2 (1 − β 2 ) = m02 ,  c 

уравнении (4-11) позволяют получить = c (ω − ω′) = ωω′ (1 − cosθ) m0c

простые

(4-10)

(4-11) преобразования

в

(4-12а)

или ω − ω′ =

= ωω′ (1 − cosθ) m0c 2

(4-12б)

Из уравнения (4-12б) можно вывести формулу для нахождения измененной частоты рассеянного фотона

24

ω′ =

ω =ω 1+ (1 − cosθ) m0c 2

=

ω =ω θ 1+ 2 sin 2 2 m0c 2

(4-13)

Поскольку ω = 2πc / λ , а ω′ = 2πc / λ ′ , можно найти величину сдвига длины световой волны ∆λ 4π= 2 θ ∆λ = (4-14) sin m0c 2 Эта формула была впервые получена Комптоном. Меняя угол, под которым наблюдалось рассеянное излучение, а также измеряя величину сдвига световой волны ∆λ, Комптон и Ву сравнили результаты своих экспериментов с предсказанными по формуле (4-14) значениями и получили полное совпадение. Из формулы Комптона следует, что сдвиг длины волны ∆λ не зависит от самой длины волны падающего света ∆λ. Он определяется лишь углом рассеяния фотона θ и максимален при θ = 180°, т. е. при рассеянии назад: ∆λmax = 2λо Таким образом, опыты американского ученого являются прямым подтверждением существования импульса у кванта света, величина которого определяется формулой (3-5). Необходимо отметить, что снимки, полученные в камере Вильсона, позволяют установить направление вылета рассеянного при комптон-эффекте кванта, а также путь и энергию Ee электрона отдачи («комптоновского» электрона) в зависимости от угла его вылета ϕ. На рис. 5 представлена зависимость энергии рассеянного фотона от угла рассеяния θ, а также связанная с нею зависимость Ee от ϕ. Из рис. 5 видно, что электроны отдачи всегда имеют некоторую составляющую скорости по направлению движения падающего фотона (т. е. угол ϕ не превышает 90°). = Встречающаяся в формуле (4-14) величина Λ = = 3,9×10−11 см носит m0c название комптоновской длины волны электрона (m0 — масса электрона). Эта характеристика имеет фундаментальное значение в релятивистской теории электрона, являясь одним из масштабов, свойственных микромиру. Зная ∆λ, по формуле (4-14) можно определить величину постоянной Дирака ħ. Таким образом, эффект Комптона дает еще один способ нахождения постоянной Планка. Эксперименты по изучению комптоновского рассеяния подтвердили все теоретические предсказания. Опытным путем была доказана правильность

25

Рис. 5. Зависимость энергии рассеянного фотона Eγ′ от угла рассеяния θ (для удобства изображена только верхняя половина симметричной кривой) и энергии электрона отдачи Ee от угла вылета ϕ (нижняя половина кривой). Величины, относящиеся к одному акту рассеяния, помечены одинаковыми цифрами. Векторы, проведённые из точки О, в которой произошло столкновение фотона с энергией Eγ с покоящимся электроном, до соответствующих точек этих кривых, изображают состояние частиц после рассеяния. Величины векторов дают энергию частиц, а углы, которые образуют векторы с направлением падающего фотона, определяют угол рассеяния фотона θ и угол вылета электрона отдачи ϕ. График вычерчен для случая рассеяния «жёстких» рентгеновских лучей. корпускулярных представлений о механизме эффекта Комптона и тем самым правильность исходных положений квантовой теории. В реальных опытах по рассеянию фотонов веществом электроны не свободны, а связаны в атомах. Если фотоны обладают большой энергией по сравнению с энергией связи электронов в атоме (фотоны рентгеновского и γ - излучения), то электроны испытывают настолько сильную отдачу, что оказываются выбитыми из атома. В этом случае рассеивание фотонов происходит как на свободных электронах. Если же энергия фотона недостаточна для того, чтобы вырвать электрон из атома, то фотон обменивается энергией и импульсом с атомом в целом. Так как масса атома очень велика (по сравнению с эквивалентной массой фотона, равной, согласно теории относительности, Eγ/с2), то отдача практически отсутствует; поэтому рассеяние фотона произойдет без изменения его энергии, то есть без изменения длины волны (или как говорят, когерентно). В тяжелых атомах с ядром слабо

26

связаны лишь периферические электроны (в отличие от электронов, заполняющих внутренние оболочки атома) и поэтому в спектре рассеянного излучения присутствует как смещенная, комптоновская линия от рассеяния на периферических электронах, так и не смещенная, когерентная линия от рассеяния на атоме в целом. С увеличением атомного номера элемента (то есть заряда ядра) энергия связи электронов увеличивается, и относительная интенсивность комптоновской линии падает, а когерентной линии — растет. Движение электронов в атомах приводит к уширению комптоновской линии рассеянного излучения. Это объясняется тем, что для движущихся электронов длина волны падающего света кажется несколько измененной, причем величина изменения зависит от величины и направления скорости движения электрона (так называемый эффект Доплера). Тщательные измерения распределения интенсивности (рис. 6) внутри комптоновской линии, отражающего распределение электронов рассеивающего вещества по скоростям, подтвердили правильность квантовой теории, согласно которой электроны подчиняются статистике Ферми — Дирака.

Рис. 6. График зависимости полной интенсивности комптоновского рассеяния σ от энергии фотона Eγ (в единицах полной интенсивности классического рассеяния); стрелкой указана энергия, при которой начинается рождение электрон-позитронных пар.

27

5. Атомный спектр испускания Еще одним источником создания квантовой теории послужили результаты изучения оптических спектров атомов. Еще в начале XIX столетия физики обнаружили, что при нагревании любое вещество излучает свет строго определенных длин волн. Систематическое изучение оптических спектров началось после того, как в 1859 г. немецкие ученые Г.Р. Кирхгоф и Р. Бунзен разработали основы метода спектрального анализа веществ. Был установлен фундаментальный факт: линии в оптическом спектре индивидуальны для каждого элемента. Благодаря спектральному анализу Периодическая система в 1860 – 1925 гг. пополнилась 25 новыми элементами. Экспериментальные исследования показали, что атом может не только излучать, но и поглощать видимый свет. При этом, как показано на рис. 7,

Рис. 7. Спектры постоянных звезд и туманностей в сравнении со спектрами Солнца и некоторых химических элементов: 1 - Солнце; 2 – желто-красная звезда; 3 – голубая звезда; 4 – Сириус; 5 - α - Геркулеса; 6 - Τ – Венца; 7 – туманность Дракона; 8 – водород; 9 – азот; 10 – светильный газ. атомные спектры поглощения также имеют линейчатый характер. Впервые в 1814 г. такие узкие темные полосы в солнечном спектре обнаружил немецкий физик Й. Фраунгофер. Ему удалось измерить длины волн, соответствующие темным полосам поглощения, которые позднее стали называть фраунгоферовыми линиями.

28

Спустя 44 года Кирхгоф доказал, что фраунгоферовы линии возникают вследствие того, что определенные частоты в спектре излучения Солнца поглощаются веществом верхних слоев светила – хромосферой. Во второй половине XIX века спектры различных элементов исследовали многие физики. Со временем выяснилось, что спектральные линии часто группируются в серии, одни из которых находятся в видимой области спектра, другие – в ультрафиолетовой, третьи – в инфракрасной. Впервые на этот факт обратил внимание швейцарский учитель физики И. Бальмер. Наиболее простым примером является спектр испускания атома водорода. Атомный спектр водорода представляет собой совокупность линий, среди которых можно различить три группы линий, или серии (рис. 8). Одна из серий находится в видимой области спектра и называется серией Бальмера. В 1885 г. Бальмер установил, что длины волн этих линий подчиняются простому уравнению:  1 1  1/ λ = R∞  2 − 2  (5-1) 2 n  где λ - длина волны, R∞ - так называемая постоянная Ридберга, n - целое число. Серия, находящаяся в инфракрасной области спектра, называется серией Пашена. Длины волн линий этой серии подчиняются уравнению: 1 1  1/ λ = R∞  2 − 2  (5-2) 3 n 

Рис. 8. Атомный спектр испускания водорода. Серия линий в ультрафиолетовой области спектра называется серией Лаймана. Ее линии подчиняются уравнению:

29

1 1  1/ λ = R∞  2 − 2  1 n 

(5-3)

В 1890 г. шведский ученый Ю. Ридберг установил взаимосвязь между различными сериями. Его идеи развил швейцарский физик В. Ритц. Он вывел комбинационный принцип Ридберга – Ритца, согласно которому волновые числа спектральных линий можно представить в виде характерных для атомов данного элемента величин, называемых термами. В оптической спектроскопии часто применяют термин «спектральный терм», подразумевая под этим значение Т = – E/2πħc, отсчитываемое для атомов от границы ионизации и выражаемое в см−1. Вводя обозначения: R R T ( m) = 2 , T ( n) = 2 (5-4) m n уравнения (5-1) – (5-3), описывающие спектральные линии атомов водорода, можно обобщить в виде разности двух функций целых чисел: ν = T ( m) − T ( n )

(5-5)

Таким образом, для атома водорода вся система термов получается из одной общей формулы: T=

R (n = 1, 2 ...) n2

(5-6)

Позднее датский физик Н. Бор связал значения чисел п в этих уравнениях с «квантовыми числами» (порядковыми номерами) энергетических уровней электрона в атоме водорода (рис. 9). Когда этот электрон находится в своем основном состоянии, его квантовое число п = 1. Каждая линия серии Лаймана соответствует возвращению возбужденного электрона с одного из высших энергетических уровней в основное состояние. Серия Бальмера соответствует возвращению электронов с различных высокорасположенных энергетических уровней в первое возбужденное состояние (на уровень с квантовым числом п = 2). Серия Пашена соответствует возвращению электронов на уровень с квантовым числом п = 3 (во второе возбужденное состояние). Обратим внимание на то, что линии каждой серии по мере уменьшения длины волны постепенно приближаются к некоторому пределу (см. рис. 8 и рис. 9). Длина волны такого предела сходимости для каждой серии

30

Рис. 9. Соответствие между электронными переходами и спектральными линиями атомарного водорода. определяется соответствующей пунктирной линией на рисунках. По мере увеличения квантового числа энергетические уровни электрона в атоме водорода все больше сгущаются, приближаясь к некоторому пределу. Пределы сходимости спектральных серий соответствуют переходам электронов, находящихся на этих самых высоких энергетических уровнях. С другими элементами все обстояло не так просто. Несмотря на то, что комбинационный принцип имел универсальное значение, разделить спектры испускания на серии удавалось только для щелочных и щелочно-земельных металлов. Спектры других элементов, например, железа, не поддавались никакому простому описанию. К началу XX столетия был накоплен огромный спектроскопический материал. Однако описать его в рамках единой теории еще не представлялось возможным. Первоочередной проблемой оставался вопрос о том, как должен быть устроен атом, чтобы его строение объясняло реально наблюдаемый линейчатый характер спектров испускания. 6. Опыт Э. Резерфорда. Планетарная модель строения атома После того, как в 1897 г. Джозеф Томсон открыл электрон, выдвигались различные гипотезы, призванные объяснить строение атома. Наибольшую популярность приобрела модель Томсона, которую окрестили моделью «сливового пудинга». Эта гипотеза позволяла правильно оценить размеры атома, но не могла объяснить линейчатый характер оптических спектров.

31

Ханс Гейгер1 и Эрнест Марсден были студентами Резерфорда. В 1910 – 1911 гг. они проводили эксперименты, в которых бомбардировали тонкие листки золотой фольги пучком α - частиц (рис. 10). Одни α - частицы проходили первоначального направления (линия В). К всеобщему удивлению, приблизительно 1 из 20 000 частиц отклонялась назад (линия С). «Это было почти столь же невероятно, - рассказывал Резерфорд впоследствии,— как если бы вы стреляли 15-дюймовым снарядом по куску папиросной бумаги, а снаряд рикошетом вернулся назад и попал в вас». В 1911 г. Э. Резерфорд вывел формулу для эффективного поперечного

через фольгу без отклонения (линия А), другие отклонялись от

Рис. 10. Эксперимент Гейгера и Марсдена: а – рассеяние α - частиц после пропускания через листок тонкой золотой фольги. Большинство частиц проходят сквозь фольгу без отклонений, но отдельные частицы рикошетируют обратно, по направлению к источнику; б - согласно предположению Резерфорда, рикошетирующие частицы испытывают столкновение с сердцевиной атома - его ядром. Это наблюдение заставило Резерфорда выдвинуть новую модель строения атома. 1

ГЕЙГЕР Ханс (1882-1945), немецкий физик. Изобрел (совместно с Э. Резерфордом,

1908) прибор для регистрации отдельных заряженных частиц (гейгеровский счетчик). Установил (1911) т. н. закон Гейгера — Неттолла — зависимость между вероятностью aльфа-распада и энергией aльфа-частиц.

32

сечения рассеяния нерелятивистских заряженных точечных частиц, взаимодействующих по закону Кулона. Эта формула была получена в системе центра инерции (системе, в которой полный импульс сталкивающихся частиц равен нулю): 2

d σ  Z1Z 2e 2  1 = , ( 6-1)  d Ω  2mv 2  sin 4 θ 2 где dσ/dΩ - сечение рассеяния в единичный телесный угол, θ - угол рассеяния, m = m1m2/(m1 + m2) - приведённая масса; m1 и m2 - массы сталкивающихся частиц; v - относительная скорость (разность скоростей частиц); Z1e и Z2e - электрические заряды частиц, е - элементарный электрический заряд. Формула (6-1) была использована Резерфордом при интерпретации опытов по рассеянию α-частиц тонкими металлическими пластинками на большие углы ( > 90°). В результате проведенных опытов Резерфорд пришёл к выводу, что почти вся масса атома сконцентрирована в малом положительно заряженном ядре. Этим открытием были заложены основы современных представлений о строении атома. Необходимо отметить, что формула Резерфорда справедлива не только в классической, но и в квантовой теориях. На основании результатов этого опыта Э. Резерфорд сделал следующие выводы: 1. В центре атома находится положительно заряженное ядро; 2. Практически вся масса атома сосредоточена в ядре; 3. Размеры ядра очень малы по сравнению с размерами самого атома. После этого Резерфорд предсказал существование протона и показал, что его масса более чем в 1800 раз должна превышать массу электрона. В 1911 г. в результате анализа результатов своего опыта Э. Резерфорд предложил свою знаменитую планетарную модель строения атома. Согласно этой модели строение атома можно уподобить строению Солнечной системы. В центре атома находится малое по размерам положительное ядро, в котором сосредоточена практически вся масса атома. Вокруг ядра по круговым орбитам на достаточно большом расстоянии вращаются отрицательно заряженные электроны. Атом в целом электрически нейтрален, поскольку суммарный заряд электронов компенсирует положительный заряд атомного ядра.

33

7. Модель строения атома по Н. Бору В 1913 г. Н. Бор применил идею квантования энергии к теории строения атома, планетарная модель которого следовала из результатов опытов Э. Резерфорда. Рассмотрение такого движения на основе классических представлений приводило к парадоксальному результату — невозможности стабильного существования атомов, поскольку согласно классической электродинамике, электрон не может устойчиво двигаться по орбите, поскольку вращающийся электрический заряд должен излучать электромагнитные волны и, следовательно, терять энергию. Следовательно, радиус его орбиты должен уменьшаться, и за время порядка 10−8 сек электрон должен упасть на ядро. Это означало, что законы классической физики неприменимы к движению электронов в атоме, т.к. атомы существуют и чрезвычайно устойчивы. Основные положения своей теории Н. Бор сформулировал в виде постулатов: 1- ый постулат Бора. Электрон в атоме может находиться только в стационарных или квантовых состояниях с дискретными значениями энергии En, в которых атом не излучает энергии. Для стационарных состояний момент количества движения электрона равен целому кратному постоянной Планка: M = nħ = n (h/2π) (7-1) 2- ой постулат Бора. При переходе из одного стационарного состояния в другое атом испускает или поглощает квант энергии, частота которого определяется соотношением: (7-2) En − Em = hν = ħω Для объяснения устойчивости атомов Н. Бор предположил, что из всех орбит, допускаемых классической механикой для движения электрона в электрическом поле атомного ядра, реально осуществляются лишь те, которые удовлетворяют определённым условиям квантования (рис. 11). Т. е. в атоме существуют (как в осцилляторе) дискретные уровни энергии. Эти уровни подчиняются определённой закономерности, выведенной Бором на основе комбинации законов механики Ньютона с условиями квантования, требующими, чтобы величина действия для классической орбиты была целым кратным постоянной Планка. Бор постулировал, что, находясь на определённом уровне энергии (т. е. совершая допускаемое условиями квантования орбитальное движение), электрон не излучает световых волн. Излучение происходит лишь при переходе электрона с одной орбиты на

34

Рис. 11. Модель строения атома Бора – Зоммерфельда. Иллюстрация из нобелевского доклада Н. Бора. 1922 г. другую, т. е. с одного уровня энергии En, на другой с меньшей энергией Em, при этом рождается квант света с энергией, равной разности энергий уровней, между которыми осуществляется переход. Н. Бор применил свою теорию для объяснения строения самого простого из атомов – атома водорода. Он показал, что скорость и, следовательно, кинетическая энергия электрона обратно пропорциональна номеру боровской орбиты n: v = ω/ħ = e2Z/nħ

(7-3)

При этом радиус дозволенной стационарной орбиты оказался прямо пропорционален n2: r = ħ2n2/m0e2Z

(7-4)

Энергия электрона может быть описана выражением: m0e 4 Z 2 E=− (7-5) 2= 2 n 2 Н. Бор получил правильную формулу для частот спектральных линий атома водорода (и водородоподобных атомов), охватывающую совокупность открытых ранее эмпирических формул (см. п. 5 Атомный спектр испускания). Значение работ Н. Бора чрезвычайно велико. Ему первому из ученых принадлежит поразительно гениальная догадка о том, что поведение субатомных частиц (объектов микромира) не может быть описано законами классической физики, справедливыми для объектов макромира. Это отличие, в первую очередь, состоит в том, что свойства макроскопических систем могут

35

изменяться непрерывно, в то время параметры микроскопических объектов могут претерпевать только скачкообразные изменения. После работ Н. Бора планетарная модель атома – детище безумного эксперимента и могучей интуиции – навсегда утвердилась на квантовом основании. С этого момента началось общепризнанное лидерство Н. Бора в квантовой физике микромира, ставшей философией современного естествознания. 8. Опыт Франка - Герца Прерывность состояний, свойственная микросистемам, была убедительно доказана Джеймсом Франком1 и Густавом Герцем2 в 1913 - 1916 гг. в результате опыта, явившегося экспериментальным доказательством дискретности внутренней энергии атома. Эти ученые планировали провести эксперимент по измерению потенциалов ионизации атомов ртути, а в результате дали первое опытное подтверждение постулатов Бора, о которых они в то время не имели ни малейшего представления. Используемый в данном опыте прибор (рис. 12) представлял собой электронную лампу с четырьмя электродами (катод K, анод A и две сетки C1 и C2). Испускаемые катодом электроны ускорялись под действием разности потенциалов U в пространстве между C1 и C2. Приложенное к C2 и А запирающее напряжение позволяло попадать на анод лишь электронам с энергией выше 0,5 эВ. Пропуская поток электронов через пары ртути, Дж. Франк и Г. Герц обнаружили, что в зависимости от энергии электронов протекающий ток имеет максимумы и минимумы (рис. 13). Первоначально, пока энергия электронов не превышала 4,9 эВ, сила тока увеличивалась с ростом напряжения, поскольку поток электронов проходил через пары ртути, практически не теряя энергии. 1

ФРАНК (Franck) Джеймс (1882-1964), немецкий физик, иностранный членкорреспондент АН СССР (1927). С 1935 г. работал в США. Автор (совместно с Г. Герцем) классических исследований столкновений электронов с атомами (опыт Франка — Герца, 1913). Труды по молекулярной спектроскопии, фотосинтезу. Выступал против применения ядерного оружия. Нобелевская премия (1925, совместно с Г. Герцем). 2

ГЕРЦ Густав (1887-1975), немецкий физик, иностранный член АН СССР (1958). В 1945-1954 гг. работал в СССР. Племянник Генриха Герца. Исследовал столкновения электронов с атомами (опыт Франка — Герца, 1913). Разработал диффузионный метод разделения изотопов. Нобелевская премия (1925, совместно с Дж. Франком), Государственная премия СССР (1951).

36

Рис. 12. Схема опыта Франка — Герца: в сосуде Л находятся пары ртути при давлении 1 мм рт. ст.; К — накаливаемый катод; С1 и С2 — ускоряющая и замедляющая сетки; А — анод; ток регистрируется гальванометром Г. При достижении значения U = 4,9 В (и кратных ему величин 9,8 В и 14,7 В) наблюдались резкие спады тока (рис. 13). Первоначально Франк и Герц неправильно истолковали результаты своего эксперимента. Они полагали, что при энергии электронов, меньшей критического значения 4,9 эВ, происходят упругие столкновения, при которых не наблюдается ионизации атомов. Ионизация атомов начинается, когда энергия электронов превышает

Рис. 13. Зависимость силы тока от величины ускоряющего потенциала I = f (U) в опыте Франка — Герца.

37

критический уровень. Такая интерпретация не позволяла объяснить прекращения ионизации при дальнейшем возрастании энергии электронов. Экспериментаторы сделали вывод, что потенциал ионизации атомов ртути кратен 4,9 эВ. Однако тщательный анализ показал, что никаких ионов ртути в трубе не содержится. Иное толкование результатов этого опыта дал Н. Бор. При бомбардировке электронами с энергией, кратной 4,9 эВ, атомы Hg переходят из основного энергетического состояния в возбужденное, с более высокой энергией. Это определённым образом указывало на то, что при этих значениях U соударения электронов с атомами носят неупругий характер, т. е. энергия электронов достаточна для возбуждения атомов Hg. При кратных 4,9 эВ значениях энергии электроны могут испытывать неупругие столкновения несколько раз. Таким образом, было доказано, что энергия атома изменяется не непрерывным образом, а скачкообразно и E = 4,9 эВ – наименьшая порция энергии, которая может быть поглощена атомом Hg, находящимся в основном состоянии. Этот факт доказывал прерывность возможных значений внутренней энергии электронов в атомах ртути. Согласно теории Н. Бора, при возвращении возбужденных атомов Hg в исходное устойчивое состояние должно происходить излучение квантов света с большой частотой. Действительно, последующие исследования позволили обнаружить, что при воздействии электронов на атомы ртути возникает ультрафиолетовое излучение с длиной волны λ = 2520 нм. Таким образом, опыт Франка – Герца явился первым экспериментом, подтверждающим справедливость первого постулата Бора о существовании стабильных дискретных энергетических состояний электрона в изолированном атоме. 9. Дифракция электронов. Опыт Дэвиссона — Джермера Как известно, дифракция рентгеновских лучей в кристаллах осуществляется при помощи трех различных методов – Лауэ, Брэгга и Дебая – Шерера. Метод Лауэ, при помощи которого исторически впервые была осуществлена дифракция рентгеновских лучей в кристаллах, заключается в том, что узкий пучок рентгеновских лучей, имеющих сплошной спектр, пропускается через кристалл. Однако в случае дифракции электронов получение пучка с набором скоростей, распределенных непрерывным образом, экспериментально невозможно. Частицы, вылетающие из электронной пушки, имеют практически одну и ту же скорость. Точнее говоря, обладают распределением скоростей в узких пределах. Направляя такой поток

38

электронов на кристалл, вообще говоря, не удовлетворяются условия, необходимые для осуществления интерференции Лауэ. Практически эксперимент с дифракцией электронов, аналогичный опыту Лауэ, в 1927 г. был поставлен американскими физиками К. Дж. Дэвиссоном1 и Л. Х. Джермером2 . При этом им пришлось шаг за шагом отыскивать условия, при которых возникает максимум, соответствующий определенному интерференционному пучку, непрерывно меняя скорость электронов (величину ускоряющего потенциала) и положение коллектора, регистрирующего отраженные от кристалла электроны. Монокристалл никеля, структура которого принадлежит к кубической сингонии, был сошлифован, как показано на рис. 14. Плоскость шлифовки была

Рис. 14. Схема опыта Дэвиссона — Джермера: К — монокристалл никеля; А — источник электронов; В — приёмник электронов; θ - угол отклонения электронных пучков. Пучок электронов падает перпендикулярно отшлифованной плоскости кристалла S. При поворотах кристалла вокруг оси О гальванометр, присоединённый к приёмнику В, даёт периодически возникающие максимумы. 31

ДЭВИССОН (Дейвиссон) (Davisson) Клинтон Джозеф (1881-1958), американский физик. Открыл (1927, совместно с американским физиком Л. Джермером и независимо от Дж. П. Томсона) дифракцию электронов на кристалле никеля (опыт Дэвиссона и Джермера). Нобелевская премия (1937, совместно с Дж. П. Томсоном). 32

ДЖЕРМЕР (Germer) Лестер Халберт (1896), американский физик. Окончил Корнеллский университет (1917). В 1927 г. совместно с К. Дэвиссоном открыл явление дифракции электронов на монокристалле никеля.

39

расположена параллельно кристаллографической плоскости с индексами (111). На рис. 15 показаны характерные азимутальные положения сошлифованного монокристалла никеля. При одном из таких положений (азимут А) плоскость, проходящая через пучок и ось коллектора, проходит через одну из вершин треугольника. В другом случае (азимут В) – она делит сторону треугольника пополам. При третьем положении (азимут С) – она параллельна стороне треугольника.

Рис. 15. Схема, демонстрирующая расположение плоскости шлифа относительно электронного пучка и коллектора отраженных электронов. Различия между условиями опыта в трех этих опытах иллюстрирует рис. 16. Сошлифованная поверхность монокристалла Ni состоит из правильных рядов атомов. Ее можно представить в виде двумерной сетки атомов: при этом период идентичности в различных азимутах неодинаков. Например, при азимуте А расстояние между узлами решетки равно 0,215 нм, а при азимуте С – 0,124 нм. Экспериментальная установка позволяла вращать кристалл никеля вокруг вертикальной оси и, кроме того, перемещать коллектор в любое положение около вертикальной оси. Поскольку кинетическая энергия сравнительно медленно движущейся частицы равна:

mv 2 E= 2 можно выразить длину волны: 2π v λ= ω

(9-1)

(9-2)

40

Рис. 16. Расположение атомов никеля в монокристалле никеля при различных проекциях. если учесть, что скорость и импульс равны, соответственно: v=

2E m

(9-3)

и p = mv =

h

λ

=

2π =

λ

(9-4)

2π = 2E = (9-5) mλ m Если ускорять электроны электрическим полем с напряжением U, то они приобретут кинетическую энергию E = eU, (е — заряд электрона), что после подстановки в равенство 2π = λ= (9-6) 2mE числовых значений даёт: Или

v=

λ = 12,26 / U , (9-7) где U измеряется в вольтах (В), а λ — в ангстремах (1 А = 10-8 см). При напряжениях U порядка 100 В, которые использовались в этих опытах, получаются так называемые «медленные» электроны с λ порядка 0,1 нм. Эта величина близка к межатомным расстояниям d в кристаллах, которые

41

составляют несколько десятых нанометров и менее, и соотношение λ ≤ d, необходимое для возникновения дифракции, выполняется. Кристаллы обладают высокой степенью упорядоченности. Атомы в них располагаются в трёхмерно-периодической кристаллической решётке, т. е. образуют пространственную дифракционную решётку для соответствующих длин волн. Дифракция волн на такой решётке происходит в результате рассеяния на системах параллельных кристаллографических плоскостей, на которых в строгом порядке расположены рассеивающие центры. Условием наблюдения дифракционного максимума при отражении от кристалла является Брэгга — Вульфа условие: (9-8) 2dsin θ = nλ, где θ - угол, под которым падает пучок электронов на данную кристаллографическую плоскость (угол скольжения), d - расстояние между соответствующими кристаллографическими плоскостями. В опыте Дэвиссона и Джермера при «отражении» электронов от поверхности кристалла никеля при определённых углах отражения возникали максимумы (рис. 17). Эти максимумы отражённых пучков электронов

Рис. 17. Запись дифракционных максимумов в опыте Дэвиссона — Джермера по дифракции электронов при различных углах поворота кристалла ϕ для двух значений угла отклонения электронов θ и двух значений ускоряющего напряжения U. Максимумы отвечают отражению от различных кристаллографических плоскостей, индексы которых указаны в скобках.

42

соответствовали формуле (9-8), и их появление не могло быть объяснено никаким другим путём, кроме как на основе представлений о волнах и их дифракции; т. о., волновые свойства частиц — электронов — были доказаны экспериментом. При более высоких ускоряющих электрических напряжениях (десятках кВ) электроны приобретают достаточную кинетическую энергию, чтобы проникать сквозь тонкие плёнки вещества (толщиной порядка 10-5 см, т. е. тысячи А). Тогда возникает так называемая дифракция быстрых электронов на прохождение, которую на поликристаллических плёнках алюминия и золота впервые исследовали английский учёный Дж. Дж. Томсон и советский физик П. С. Тартаковский. В этих экспериментах были получены электронограммы дебаевского типа. На рис. 18 приведены снимки, полученные при изучении дифракции электронов с тонкими листами золота и меди. Видно, что в этих случаях получаются типичные интерференционные кольца. Было доказано, что эти

а)

б)

Рис. 18. Электронограммы тонких слоев металлов: а) золота; б) меди. картины образованы рассеянными электронами, а не вторичными рентгеновскими лучами: при включении внешнего магнитного поля вся интерференционная картина смещалась и искажалась, в то время как аналогичный образ, полученный при дифракции рентгеновских лучей оставался неизменным. Значительное усовершенствование техники работы с пучками более тяжелых элементарных частиц позволило расширить спектр наблюдаемых дифракционных явлений. С особой наглядностью наличие волновых свойств у тяжелых частиц обнаружили нейтроны.

43

Для получения дифракции по методу Лауэ был использован полиэнергетический пучок нейтронов со сплошным спектром волн де Бройля. При этом средняя скорость нейтронов при комнатной температуре составляла v = 2480 м/с. На рис. 19 представлена схема опыта с дифракцией полиэнергетического нейтронного пучка, а на рис. 20 - фотография, полученная при прохождении нейтронов через монокристалл хлорида натрия.

Рис. 19. Метод дифракции Лауэ для пучков нейтронов.

Рис. 20. Дифракция при рассеянии нейтронов на монокристалле NaCl.

10. Опыт Штерна – Герлаха Этот опыт экспериментально подтвердил, что атомы обладают магнитным моментом, проекция которого на направление внешнего магнитного поля

44

принимает лишь определённые значения (пространственно квантована). Осуществлен в 1922 г. О. Штерном1 и немецким физиком В. Герлахом, которые исследовали прохождение пучка атомов Ag (а затем и других элементов) в сильно неоднородном магнитном поле (см. рис. 21) с целью проверки

Рис. 21. Схема опыта Штерна-Герлаха: И — источник атомов; К — щели, формирующие узкий пучок; N, S — полюса магнита, создающего постоянное неоднородное поле; П — пластинка, на которую оседают атомы; ∆ — величина отклонения пучка от первоначального направления. Опыт производится в вакууме. теоретически полученной формулы пространственного квантования проекции mz на направление Z магнитного момента атома µ0: µZ = µ0 m (m = 0; ±1; ...). На атом, обладающий магнитным моментом и движущийся в неоднородном вдоль Z магнитном поле Н, действует сила, которая отклоняет его от первоначального направления движения. Если проекция магнитного момента атома могла бы изменяться непрерывно, то на пластинке П наблюдалась бы размытая широкая полоса. Однако в опыте Штерна — Герлаха было обнаружено расщепление пучка атомов на 2 компоненты, симметрично смещенные относительно первичного направления распространения на величину ∆ — на пластинке появлялись две узкие полосы. Это указывало на то, что проекция магнитного момента атома µZ на направление поля Н принимает 1

ШТЕРН (Stern) Отто (1888-1969), физик. Родился в Германии, с 1933 г. работал в США. Разработал метод молекулярных пучков, измерил (1920) скорость теплового движения молекул газа (опыт Штерна), доказал (1922) существование пространственного квантования (опыт Штерна — Герлаха). Открыл (1929) дифракцию атомов и молекул; измерил (1933) магнитный момент протона. Нобелевская премия (1943).

45

только два отличающиеся знаком значения ± µ0, т. е. µ0 ориентируется вдоль Н и в противоположном направлении. Величина магнитного момента атома µ0, измеренная в опыте по смещению ∆, оказалась равной магнетону Бора. Опыт Штерна - Герлаха сыграл большую роль в дальнейшем развитии представлений об электроне. Согласно квантовой теории Бора — Зоммерфельда, орбитальный и, следовательно, магнитный моменты используемых в опыте атомов с одним электроном во внешней оболочке равны нулю, поэтому такие атомы не должны были бы вообще отклоняться магнитным полем. Опыт Штерна - Герлаха показал, что вопреки теории эти атомы обладают магнитным моментом. Опыт Штерна – Герлаха, а также другие более ранние эксперименты привели в 1925 г. Дж. Ю. Уленбека и С. Гаудсмита к гипотезе существования собственного механического момента электрона — спина. 11. Опыт Бибермана – Сушкина - Фабриканта. Определение координат и импульса микрочастицы Во второй половине XX столетия немалые усилия ученых, работающих в области физики микрочастиц, были посвящены возможности экспериментального подтверждения одного из основных положений квантовой механики – принципа неопределенности Гейзенберга. Для этого было необходимо осуществить эксперименты, которые позволяли бы наглядно установить координаты и импульс микрочастиц. Серьезный успех при решении этой фундаментальной задачи имел опыт, осуществленный советскими физиками Л. Биберманом, Н. Сушкиным и В. Фабрикантом. Принципиальная схема устройства, позволяющего прямым путем определять положение электрона, представлена на рис. 22. На экран со щелью AB шириной ∆x ,

Рис. 22. Определение положения электрона с помощью экрана со щелью.

46

который можно рассматривать как соответствующую диафрагму, слева падает электрон в направлении, перпендикулярном к плоскости этой диафрагмы. Пусть ось OX направлена параллельно диафрагме, а ось OY расположена перпендикулярно к ней. Если на флуоресцирующем экране, расположенном справа от диафрагмы, по характерным сцинтилляциям удается обнаружить электрон, то можно утверждать, что он прошел через щель AB. В этом случае «место электрона» в момент прохождения через щель можно определить как положение щели относительно других частей прибора, поскольку положение щели в диафрагме будет фиксированным относительно данной системы отсчета. Следовательно, положение электрона в момент прохождения через щель будет известно с погрешностью ∆x, которая равна ширине щели. Сужая щель, можно повышать точность определения положения электрона, причем предела для повышения точности теоретически не существует. На первый взгляд может показаться, что и импульс электрона можно установить со всей определенностью. Если принять во внимание, что направление движения электрона слева от диафрагмы перпендикулярно ее плоскости (рис. 22), то x – составляющая импульса слева от экрана равна нулю, а y – составляющая равна p. Таким образом, в такой ситуации имеет импульс электрона определенное значение. Однако при прохождении через щель плоская волна де Бройля, описывающая движение свободного электрона, испытывает дифракцию. Если вместо одного электрона в направлении оси OY через диафрагму будет двигаться параллельный поток микрочастиц, тогда на фотопластине или флуоресцирующем экране появляется дифракционная картина, состоящая из размытого главного максимума и более слабых по интенсивности максимумов более высоких порядков, расположенных симметрично относительно оси OY (рис. 22). Характер дифракционной картины свидетельствует, что после прохождения через щель большинство электронов продолжает двигаться в первоначальном направлении. Тем не менее, появляются электроны, которые изменяют свое направление и попадают в различные точки фотопластинки с изменяющейся вероятностью. Безусловно, что всей очевидностью такая дифракционная картина возникает тогда, когда через щель одновременно проходит большое число электронов. Советские физики Л. Биберман, Н. Сушкин и В. Фабрикант экспериментально доказали, что при прохождении через дифрагирующую систему отдельных электронов поодиночке (такие электроны ведут себя абсолютно независимо друг от друга) через относительно большие промежутки времени при достаточной продолжительности опыта возникает дифракционная картина, в точности совпадающая с той, которую дают потоки с

47

интенсивностью в десятки миллионов электронов. В этом опыте промежуток времени между двумя последовательными прохождениями электронов через дифрагирующую систему примерно в 30000 раз превышал длительность прохождения всего прибора одним отдельным электроном. Это свидетельствует о том, что изменение направления полета электрона, ведущее к возникновению характерной дифракционной картины, происходит при индивидуальном прохождении электронов через дифрагирующую систему. В этом опыте установка позволяет измерить положение микрочастицы с неопределенностью ∆x, которую в принципе можно сделать сколь угодно малой величиной. Однако при жестко закрепленной диафрагме невозможно учесть отдачу, испытываемую диафрагмой при прохождении электрона. Поэтому добавочный импульс, приобретаемый частицей, остается в известных пределах ∆px неопределенным. Можно доказать, что неопределенности ∆x и ∆px связаны соотношением ∆x⋅∆px ≥ 2πħ. Из рис. 22 видно, что 2π= sin α ∆px = p sin α = (11-1) λ Если учитывать попадания электрона на фотопластину в пределах только главного дифракционного максимума, угол α будет углом между осью OY и направлением к первому дифракционному минимуму. Положение этого минимума определяется условием, чтобы разность хода волн, дифрагированных от верхнего и нижнего краев диафрагмы, равнялась длине волны λ. Отсюда получаем (см. рис. 22)

∆x sin α = λ

(11-2)

или λ (11-2а) sin α Перемножая левые и правые части соотношений (11-1) и (11-2а), получаем ∆x =

∆x ⋅ ∆px =

λ 2π= = 2π= sin α ⋅ λ sin α

(11-3)

Если учесть побочные дифракционные максимумы, то вместо условия (11-3) придется записать

∆x ⋅ ∆px = n2π= Следовательно, в общем виде

(11-4)

48

∆x ⋅ ∆px ≥ 2π=

(11-5)

Соотношение (11-5) отражает принцип неопределенности Гейзенберга. Таким образом, опыт Биберман - Сушкина – Фабриканта является экспериментальным подтверждением одного из основных положений квантовой механики – принципа неопределенности Гейзенберга.

49

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА 1. Мелешина А.М. Курс квантовой механики для химиков. / А.М. Мелешина. М.: Высш. шк., 1980. – 216 c. 2. Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики. / Д.И. Блохинцев. - М.: Наука, 1976. – 664 c. 3. Мелешина А.М. Курс квантовой химии. / А.М. Мелешина. - Воронеж: Издво Воронеж. ун-та, 1981. – 200 с. 4. Минкин В.И. Теория строения молекул. / В.И. Минкин, Б.Я. Симкин, Р.М. Миняев Р.М. - Ростов-на Дону: Феникс, 1997. – 560 c. 5. Симкин Б.Я. Задачи по теории строения молекул. / Б.Я. Симкин, М.Е. Клецкий, М.Н. Глуховцев. - Ростов-на Дону: Феникс, 1997. – 272 c. ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА 1. Тарасов Л.В. Основы квантовой механики. / Л.В. Тарасов. - М.: Высш. шк., 1978. – 288 c. 2. Елютин П.В. Квантовая механика (с задачами). / П.В. Елютин, В.Д. Кривченков. - М.: Наука, 1976. – 335 с. 3. Савельев И.В. Основы теоретической физики. Т. 2. Квантовая механика. / И.В. Савельев. - М.: Наука, 1977. – 352 c. 4. Эткинс П. Кванты. Справочник концепций. / П. Эткинс. - М.: Мир, 1977. – 496 c. 5. Джеммер М. Эволюция понятий квантовой механики. / М. Джеммер. - М.: Наука, 1985. – 382 c. 6. Абаренков И.В. Начала квантовой химии. / И.В. Абаренков, В.Ф. Братцев, А.В. Тулуб. - М.: Высш. шк., 1989. – 304 c.

50

СОДЕРЖАНИЕ Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1. Излучение абсолютно черного тела и гипотеза квантов М. Планка . . . . . . 5 1.1. Законы теплового излучения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. «Ультрафиолетовая катастрофа» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3. Формула М. Планка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2. Явление фотоэффекта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3. Элементарная квантовая теория света А. Эйнштейна . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4. Эффект Комптона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 5. Атомный спектр испускания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 6. Опыт Э. Резерфорда. Планетарная модель строения атома . . . . . . . . . . . . . 30 7. Модель строения атома по Н. Бору . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 8. Опыт Франка – Герца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 9. Дифракция электронов. Опыт Дэвиссона — Джермера. . . . . . . . . . . . . . . . . 37 10. Опыт Штерна – Герлаха . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 11. Опыт Бибермана – Сушкина – Фабриканта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Рекомендуемая литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Дополнительная литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

51

Составители:

Кондрашин Владимир Юрьевич Пшестанчик Валерий Рафаилович Самойлов Александр Михайлович Соцкая Надежда Васильевна

Редактор

Заказ №

Тихомирова Ольга Александровна

от «____» _____ 2005 г. Тир. 100 экз. Лаборатория оперативной полиграфии ВГУ.