Математическое моделирование случайных величин: Практическое пособие к курсу ''Пакеты прикладных программ''

Ф Е Д Е РАЛ Ь Н О Е АГ Е Н Т С Т В О П О О БРАЗО В АН И Ю

В О РО Н Е Ж С КИ Й Г О С У Д АРС Т В Е Н Н Ы Й У Н И В Е РС И Т Е Т

М ате м ати ч е ск о ем о д е ли ро вани е случ айны х ве ли ч и н

У чебно-метод и ческоепособи епо специ альности 010501 (010200) “П ри клад наяматемати ка и и нформати ка ”

В О РО Н Е Ж 2005

2

У тв ерж д ено нау чно-метод и чески м сов етом факу льтета при клад ной математи ки , и нформати ки и мех ани ки 21 и ю ня2005 г., протокол № 6.

С остав и тели : Г олу б В .А. Ж у ков а Т .М . С околов а М .А

У чебно-метод и ческоепособи е под готов лено на кафед ре тех ни ческой ки бернети ки и ав томати ческого регу ли ров ани яВ оронеж ского госу д арств енного у ни в ерси тета. Рекоменд у етсяд лясту д ентов 4 ку рса д нев ного отд елени яспеци альности 010501 “П ри клад наяматемати ка и и нформати ка ”

3

С од е рж ани е 1. М о д е ли ро вани епо сле д о вате льно сти случ айны х и спы тани й… … … … ......4 2.М о д е ли ро вани ед и ск ре тны х случ айны х ве ли ч и н… … … … … … … … ......… .5 2.1.О бщ и й алгори тм мод ели ров ани я… … … … … … … … … … … ..… … … … .… .5 2.2.М од ели ров ани еслу чайной в ели чи ны сби номи альны м распред елени ем… … … … … … … … … … … … … … … … .… … … … … … … ...… ...… 6 2.3.М од ели ров ани еслу чайной в ели чи ны , распред еленной по з акону П у ассона… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ...6 2.4.М од ели ров ани еслу чайной в ели чи ны , распред еленной по геометри ческому з акону … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … .… … 7 3.М о д е ли ро вани ене пре ры вны х случ айны х ве ли ч и н … … … … ..… … … ...… ..8 3.1.М од ели ров ани енепреры в ной слу чайной в ели чи ны метод ом обратной фу нкци и … … … … … … … … … … … … .… … … … … … … … … … … … … ..8 3.2.М од ели ров ани еслу чайной в ели чи ны сз ад анной ги стограммой… … … .… … … … … … … … ...… … … … … … … … … … … … … … … ...9 3.3.М од ели ров ани енепреры в ной слу чайной в ели чи ны станд артны м метод ом и склю чени я… … … … … … … … … … … … … … … … … … .10 3.4.М од ели ров ани енепреры в ной слу чайной в ели чи ны метод ом су перпоз и ци и … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … .11 3.5.М од ели ров ани егау ссов ской слу чайной в ели чи ны метод ами обратной фу нкци и и су мми ров ани я… … … … … … … … … … ...… … … … … … … .12 3.6.М од ели ров ани егау ссов ской слу чайной в ели чи ны метод ами фу нкци онального преобраз ов ани я, и склю чени яи су перпоз и ци и … … … … ..… ..13 3.7.М од ели ров ани еслу чайной в ели чи ны сэкспоненци альны м распред елени ем… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … .16 3.8.М од ели ров ани еслу чайной в ели чи ны с гамма- распред елени ем… … … .… … … … … … … … … … … … … … … … … … … ....16 3.9.М од ели ров ани еслу чайны х в ели чи н сраспред елени ями χ 2 , С тью д ента, Ф и шера… … … … … … … … … … … … … … … … … … .… … … … … … ..19 Зад ани ена в ы полнени елабораторны х работпо компью терному мод ели ров ани ю слу чайны х в ели чи н… … … … … … … … … … … … … … ...… … ...20 При м е р. М од ели ров ани еслу чайной в ы борки , распред еленной по экспоненци альному з акону … … … … … … … … … … … … … … … … … ..… … ...21 Ли те ратура… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … .… … … ..26

4

1. М о д е ли ро вани епо сле д о вате льно сти случ айны х и спы тани й [1] По сле д о вате льно сть не зави си м ы х и спы тани й П у сть пров од и тсяпослед ов ательность k нез ав и си мы х и спы тани й, в рез у льтате каж д ого и з которы х мож ет прои з ойти од но и з д в у х проти в ополож ны х соP( A) = p , P(B ) = 1 − p = g = P( A). . бы ти й А и B = A св ероятностью М од ели ров ани е послед ов ательности и спы тани й осу щ еств ляетсяслед у ю щ и м образ ом. П олу чаю т послед ов ательность з начени й r1 ,r2 ,...,rk баз ов ой слу чайной в ели чи ны (БС В ) – в ели чи ны , рав номерно распред еленной на и нтерв але (0,1): ξ~ R ( 0, 1) . Е сли ri < p , i = 1,2 ,...,k , то счи таем, что в i-том и спы тани и насту пи ло собы ти е А , если ri > p , то счи таем, что в i-том и спы тани и насту пи ло собы ти е B = A. Э ти д опу щ ени яправ омерны , т.к. если ξ ~ R ( 0, 1) , то P (0 < ξ < p ) = p , т.е. P(ξ < p ) = P( A) . Т акж есправ ед ли в о: P( p < ξ < 1) = 1 − p , т.е. P(ξ > p ) = P(A ) . Т еперь пред полож и м, что рез у льтатом каж д ого и з k нез ав и си мы х и спы тани й мож етбы ть появлени еод ного и з n несов местны х собы ти й A1 , A2 , K , An , образ у ю щ и х полну ю гру ппу . В ероятность появлени якаж д ого и з собы ти й и з в естна P( Ai ) = pi , i = 1, n , и неменяетсяпри перех од еотод ного кд ру гому (т.к. в сеА i n

несов местны и образ у ю тполну ю гру ппу , то ∑ pi = 1 ). i =1

М од ели ров ани е такой послед ов ательности осу щ еств ляетсяслед у ю щ и м образ ом. Раз д ели м отрез ок[0,1] на n у частков ∆1 , ∆ 2 , K , ∆ n , д ли ны которы х соотв етств енно рав ны p1 , p 2 , K , p n . П олу чаем послед ов ательность з начени й r1 , r2 , K, rn слу чайной в ели чи ны ξ ~ R ( 0, 1) . Е сли ri ∈ ∆ m , то счи таем, что в i-том и спы тани и насту пи ло собы ти е Аm. Э то д опу щ ени е прав омерно, т.к. P (ξ ∈ ∆ m ) = P( Am ) , P(ξ ∈ ∆ m ) = д л ина от ре зка ∆ m = p m = P( Am ) . При м е р. П у сть пров од и тсяпослед ов ательность нез ав и си мы х и спы тани й, в каж д ом и з которы х мож ет прои з ойти од но и з трех несов местны х собы ти й A1, А 2, А 3, образ у ю щ и х полну ю гру ппу , P( A1 ) = 0,35 , P( A2 ) = 0,25 , P( A3 ) = 0,4 . П ри мод ели ров ани и отрез ок[0,1] д елятна три у частка. Г енери ру ю тд в у х раз рядны е чи сла ri .Н апри мер, r1 = 0,15 – это чи сло попало на перв ы й у часток, з начи т в перв ом и спы тани и прои з ойд ет А 1 , r2 = 0 ,34 , след ов ательно, в о в тором и спы тани и тож епрои з ойд етА 1; r3 = 0 ,71, з начи тв третьем и спы тани и прои з ойд етА 3 и т.д .

5

По сле д о вате льно сть зави си м ы х и спы тани й П у сть пров од и тсяпослед ов ательность з ав и си мы х и спы тани й, в каж д ом и з которы х мож етпрои з ойти собы ти еА и ли непрои з ойти (B = A) . М од ели ров ани еосу щ еств ляетсяслед у ю щ и м образ ом: 1. П олу чаем з начени е r1 слу чайной в ели чи ны ξ ~ R ( 0, 1) . Е сли r1 < P1 ( A) , гд е P1 ( A) – в ероятность насту плени ясобы ти яА в перв ом и спы тани и , то счи таем, что в 1-ом и спы тани и прои з ошло собы ти еА . Е сли r1 ≥ P1 ( A) , то фи кси ру етсянепоявлени есобы ти я А (т.е. собы ти еВ ). Д опу сти м, что в перв ом и спы тани и появи лось собы ти еA. 2. П олу чаем след у ю щ ее з начени е r2. Е сли r2 < P2 ( A \ A) , гд е P2 ( A \ A) – у слов наяв ероятность появлени яв о в тором и спы тани и собы ти яА при у слов и и , что в 1-в ом и спы тани и прои з ошло собы ти еА , то фи кси ру ем появлени е в о в тором и спы тани и собы ти яА , если r2 ≥ P2 ( A \ A) , то счи таем, что в о в тором и спы тани и прои з ошло B = A . Д опу сти м прои з ошло В . 3. П олу чаем след у ю щ ее з начени е r3. Е сли r3 < P3 ( A \ AB ) – в ероятность насту плени яв третьем и спы тани и собы ти яА , при у слов и и насту плени яв перв ом – собы ти яА и в о в тором – собы ти яВ , то счи таем, что в третьем и спы тани и появ и лось собы ти еА , в проти в ном слу чаеВ и т.д . Э тоталгори тм легко мож етбы ть обобщ ен на слу чай нед в у х , а k собы ти й.

2.М о д е ли ро вани ед и ск ре тны х случ айны х ве ли ч и н [1] 2.1. Общ и й алго ри тм м о д е ли ро вани я Е сли слу чайнаяв ели чи на д и скретная, то её мод ели ров ани е (полу чени е послед ов ательности её з начени й) мож но св ести кмод ели ров ани ю нез ав и си мы х и спы тани й. Д ейств и тельно, пу сть и меетсяряд распред елени я ξ P

x1 p1

x2 p2

… …

xn pn

О боз начи м Ai собы ти е, состоящ ее в том, что слу чайнаяв ели чи на ξ при мет з начени ехi. Т огд а нах ож д ени е з начени я, при нятого слу чайной в ели чи ной в рез у льтате и спы тани я, св од и тсякопред елени ю того, какое и з собы ти й A1 , A2 , K , An появ и тся. Т .к. эти собы ти янесов местны , образ у ю т полну ю гру ппу и в ероятность появлени якаж д ого и з ни х не меняетсяот и спы тани яки спы тани ю , то д лямод ели ров ани яз начени й ξ мож но и спольз ов ать процед у ру мод ели ров ани япослед ов ательности нез ав и си мы х и спы тани й. С у щ еств у ю ти д ру ги еспеци альны еалгори тмы .

6

2.2. М о д е ли ро вани еслуч айно й ве ли ч и ны с би но м и альны м распре де ле ни е м Би номи альноераспред елени еопред еляетсясоотношени ем Pn (m ) = C nm p m (1 − p )

n−m

,

m=0,1,2,… n,

(2.2.1)

гд е Pn (m ) – в ероятность того, что в n и спы тани ях слу чайное собы ти е появи тся m раз , p - в ероятность появлени ясобы ти яв од ном и спы тани и . В в ед ем слу чайну ю в ели чи ну ξ– чи сло появлени й собы ти й в i-том и спы тани и . О чев и д но, что эта в ели чи на мож етпри ни мать только д в а з начени я: 1 св ероятностью p и 0 с в ероятностью (1 − p ) . О пред елени е з начени яслу чайной в ели чи ны m - чи сла появлени й собы ти яв n и спы тани ях, в оз мож но по след у ю щ ей процед у ре. 1. П олу чаю т послед ов ательность з начени й r1 , r2 , K , rn слу чайной в ели чи ны R ( 0, 1) . 2. Д лякаж д ого чи сла ri, i = 1, 2, K, n , пров еряю тв ы полняетсяли нерав енств о ri < p . Е сли нерав енств о в ы полняется, то полагаю т ξ i = 1 , в проти в ном слу чаесчи таю тξ i = 0 ; 3. Н ах од ят су мму з начени й n слу чайны х в ели чи н ξi (это и бу д ет з начени е слу чайной в ели чи ны m). П ов торяя эту процед у ру , полу чаю т послед ов ательность з начени й m1 , m 2 , K слу чайной в ели чи ны сби номи альны м з аконом распред елени я. При м е р. Н айд ем послед ов ательность з начени й слу чайной в ели чи ны m сби номи альны м з аконом распред елени я, если n = 7 , p = 0,3 . И з табли цы слу чайны х чи сел R ( 0, 1) беру тся 7 з начени й, напри мер r1 = 0,15 , r2 = 0,34 , r3 = 0,71 , r4 = 0,06 , r5 = 0,28 , r6 = 0,36 , r7 = 0,78 . Т ри чи сла непрев осх од ят p = 0,3 . С лед ов ательно, m = 3 . П отом беру тсяещ ё 7 слу чайны х чи сел R ( 0, 1) и в нов ь опред еляется, сколько и з ни х не прев осх од и тp = 0 ,3 ; это д аетслед у ю щ еез начени еm и т.д .

2.3. М о д е ли ро вани еслуч айно й ве ли ч и ны , распре де ле нно й по зак о ну Пуассо на Распред елени еП у ассона λm −λ e , Pm = m=0,1,2,… n, (2.3.1) m! гд е λ = np – сред нее чи сло появлени ясобы ти яв n и спы тани ях, и спольз у ю т в том слу чае, когд а чи сло n нез ав и си мы х и спы тани й в ели ко, и в ероятность p появлени ясобы ти яв каж д ом и спы тани и мала.

7

О бы чно распред елени е П у ассона в место би номи ального при меняю т, если n порядка нескольки х д есятков -сотен, а np < 10 . П ракти чески обы чно з ад ано λ, а неn и p. Алгори тм мод ели ров ани яслед у ю щ и й: λ 1. В ы би раю тn такое, чтобы в ероятность p = бы ла мала ( p < 0,01). n 2. П олу чаю т послед ов ательность з начени й r1 , r2 , K , rn слу чайной в ели чи ны R ( 0, 1) . 3. Д лякаж д ого чи сла ri , i = 1, 2, K, n , пров еряю т, в ы полняетсяли нерав енств о ri < p , если это нерав енств о в ы полняется, то полагаю т ξ i = 1 , в проти в ном слу чаесчи таю тξ i = 0 . n

4. В ы чи сляю т ∑ ξ i – это и есть з начени еслу чайной в ели чи ны , распред еленi =1

ной по з акону П у ассона. 2.4. М о д е ли ро вани еслуч айно й ве ли ч и ны , распре де ле нно й по ге ом е три ч е ск о м у зак о ну [2] Рассмотри м алгори тм мод ели ров ани яд и скретной слу чайной в ели чи ны ξ , распред еленной по геометри ческому з акону :  p(1 − p ) x , е сл и x ∈ {0, 1, 2, ....} P{ξ = x} =  , 0, впрот ивном сл у ча е .

(2.4.1)

гд еp ∈ (0,1) - з ад анны й параметрраспред елени я. Распред елени е (2.4.1) часто в стречаетсяв при лож ени ях: ξ опи сы в ает чи сло без у спешны х попы ток, пред шеств у ю щ и х перв ой у спешной попы тке в сх еме нез ав и си мы х и спы тани й, при у слов и и , что в ероятность у спех а в отд ельном и спы тани и рав на p . Рассмотри м д в а основ ны х метод а мод ели ров ани яслу чайной в ели чи ны ξ. П ерв ы й метод з аклю чаетсяв мод ели ров ани и полной счетной си стемы слу чайны х собы ти й: {ξ = 0}, {ξ = 1}, K ,{ξ = x}, K. В торой метод основ ан на след у ю щ ем у тв ерж д ени и . Е сли α ~ R ( 0 , 1) , т.е. α – БС В , то слу чайнаяв ели чи на ξ = [lnα ln(1 − p )],

(2.4.2)

гд е [z ]– целаячасть z и меетраспред елени е(2.4.1). Ф орму ла (2.4.2) опред еляетмод ели ру ю щ и й алгори тм в торого метод а.

8

3. М о д е ли ро вани ене пре ры вны х случ айны х ве ли ч и н [2] 3.1. М о д е ли ро вани ене пре ры вно й случ айно й ве ли ч и ны м е то д о м о братно й ф унк ци и Д лямод ели ров ани янепреры в ной слу чайной в ели чи ны ξ с фи кси ров анной плотностью распред елени яf 0 ( x ) метод ом обратной фу нкци и опред ели м фу нкци ю распред елени янепреры в ной слу чайной в ели чи ны ξ F0 ( x ) =

x

∫ f 0 ( y )dy ,

(3.1.1)

−∞

котору ю бу д ем пред полагать строго монотонно в оз растаю щ ей. Ч ерез F0−1 ( y ) обоз начи м обратну ю фу нкци ю ; она нах од и тсяпри решени и у рав нени я F0 ( x ) = y

(3.1.2)

относи тельно x: x = F0−1 ( y ) . Е сли α - БС В , то слу чайнаяв ели чи на ξ = F0−1 (α )

(3.1.3)

и меетфу нкци ю распред елени яFξ ( x ) ≡ F0 ( x ). Ф орму ла (3.1.3) опред еляет мод ели ру ю щ и й алгори тм. Н ед остатком опи санного метод а являю тся анали ти чески е тру д ности при в ы чи слени ях (3.1.1), (3.1.2). О тмети м, что в «чи стом в и д е» метод обратной фу нкци и ред ко и спольз у етсяна практи ке, таккакд лямноги х распред елени й (напри мер, нормального) д аж е F0 ( x ) (не гов оряу ж е о F0−1 ( y ) ) не в ы раж аетсячерез элементарны е фу нк-

ци и , а табу ли ров ани е F0−1 ( y ) су щ еств енно у слож няетмод ели ров ани е. Н а практи кеметод обратной фу нкци и д ополняю таппрокси маци ей F0 ( y ) и ли сочетаю т сд ру ги ми метод ами . При м е р. Рассмотри м при менени е метод а обратной фу нкци и д лямод ели ров ани яслу чайной в ели чи ны срав номерны м распред елени ем на отрез ке [a ,b] . Д лятакой слу чайной в ели чи ны фу нкци яраспред елени я: 0 , x < a ,  x − a Fξ ( x ) =  , x ∈ [a ,b], b − a  1 , x > b.

(3.1.4)

9

x−a = r . О тсю д а x = a + r (b − a ) . b−a П ослед ов ательности з начени й r1 r2 , K слу чайной в ели чи ны R ( 0, 1) соотв етств у ет послед ов ательность з начени й x1 = a + r1 (b − a ), x 2 = a + r2 (b − a ), K в ели чи ны ξ, рав номерно распред еленной на отрез ке [a, b]. 3.2. М о д е ли ро вани еслуч айно й ве ли ч и ны с зад анно й ги сто грам м о й П олагая Fξ ( x ) = r , и меем

В при лож ени ях часто в оз ни каетз ад ача мод ели ров ани янепреры в ной слу чайной в ели чи ны ξ в у слов и ях апри орной неопред еленности : плотность распред елени янеи з в естна. В такой си ту аци и пров од и тсясери янаблю д ени й (экспери ментов ) над ξ, по рез у льтатам которы х в ы чи сляетсяги стограмма – оценка неи з в естной плотности . О бщ и й в и д ги стограммы сК ячейками K

f 0 ( x ) = ∑ ci I [ zi −1 ,zi ) ( x ) ,

(3.2.1)

i =1

гд е [ zi−1 , zi ) - i-яячейка, ci - з начени еги стограммы в i-й ячейке. Д лямод ели ров ани яслу чайной в ели чи ны ξ, плотность распред елени якоторой полагается сов пад аю щ ей с ги стограммой f 0 ( x ) , при мени м метод обратной фу нкци и . О боз начи м p i = P{ξ ∈ [ z i −1 , z i )},

b0 = 0,

j

b j = ∑ pi ,

j = 1, K .

(3.2.2)

i =1

И з (3.2.1) и у слов и янорми ров ки след у ет, что p i = c i (z i − z i −1 ), i = 1, K , b K = 1 .

(3.2.3)

С огласно (3.1.1), (3.2.1) – (3.2.3) в ы чи сли м фу нкци ю распред елени я 0 , е сл и x ≤ z0 ,  F0 ( x ) = b j −1 + c j (x − z j −1 ), е сл и z j −1 ≤ x < z j , j = 1, K ,  1, е сл и x ≥ z K ,

[

[

при чем x ∈ z j −1 , z j ) ⇔ F0 ( x ) ∈ b j −1 ,b j ). Т огд а полу чаем мод ели ру ю щ и й алгори тм: ξ = z j −1 + (α − b j −1 ) c j , если b j −1 ≤ α < b j ,1 ≤ j ≤ K

(3.2.4)

И ногд а ги стограмма строи тсятак, что pi = bi − bi−1 = const = 1 K . П ри этом в ы чи слени япо (3.2.4) у прощ аю тся, так как д ляj и меетсяявное в ы раж ени е j = [Kα ] + 1 .

10

3.3. М о д е ли ро вани ене пре ры вно й случ айно й ве ли ч и ны станд артны м м е то д о м и ск люч е ни я Рассмотри м алгори тм мод ели ров ани янепреры в ной слу чайной в ели чи ны ξ с фи кси ров анной плотностью распред елени я f 0 ( x ) . М етод и склю чени я(метод реж екци и , метод Д ж . Н еймана) основ ан на трех след у ю щ и х теоремах . 1. Е сли (ξ ,η ) - д в у мерны й слу чайны й в ектор, рав номерно распред еленны й в области F0 = {( x, y ) : 0 ≤ y ≤ f 0 (x )} 2. pξ ,η ( x , y ) = I F 0 ( x , y ) , (3.3.1), то компонента ξ этого в ектора и меетплотность распред елени я f 0 ( x ) . О пред ели м теперь маж ори ру ю щ у ю фу нкци ю y = g ( x ) : g (x) ≥ f 0 (x) ≥ 0

(3.3.2)

и область G = {( x , y ) : 0 ≤ y ≤ g ( x )} ⊃ F0 . ′ ′ ′ ′ 2. Е сли ξ1 ,η1 , ξ 2 ,η 2 ,K – нез ав и си мы е слу чайны е в екторы , рав номерно распред еленны ев G, то слу чайны й в ектор (ξ ,η ) :

(

)(

)

{ (

) }

′ ′ ′ ′ ξ = ξ k , η = η k , гд е k = min N : ξ N ,η N ∈ F0 ,

(3.3.3)

распред елен рав номерно в F0 . ′ ′ ′ ′ В екторы ξ 1 ,η1 ,..., ξ k −1 ,η k −1 , не попав ши е в F0 , наз ы в аю тсяи склю ченны ми , а процед у ра нах ож д ени я ξ ′ ,η ′ - и склю чени ем. О тсю д а и наз в ани е мето-

(

д а.

) (

(

)

k

k

)

3. П у сть слу чайнаяв ели чи на ξ ′ и меет плотность g ( x ) / mes(G ), а слу чайная в ели чи на η ′ при у слов и и ξ′ = x и меет плотность распред елени я pη′ ξ ′ ( y x ) = I [0 ,g ( x )] ( y ) / g ( x ) . Т огд а слу чайны й в ектор (ξ ′,η ′) распред елен рав номерно в G. М од ели ру ю щ и й алгори тм з аклю чаетсяв послед ов ательности шагов . 1. П од би раетсямаж ори ру ю щ аяфу нкци яg ( x ) (3.3.2). 2. П ри помощ и п.3 каки м-ли бо метод ом мод ели ру етсяслу чайны й в ектор (ξ ′,η ′)∈ G ; реали з аци я(ξ ′,η ′) обоз начается(x , y ). 3. Е сли y > f 0 ( x ) , то ( x , y ) и склю чаетсяи в нов ь пов торяетсяшаг 2; если ж е y ≤ f 0 ( x ), то з начени еx при ни маетсяв качеств ереали з аци и ξ. П ов торяяалгори тм n-кратно, мож но полу чи ть n реали з аци й ξ, мод ели ру ю щ и х рез у льтаты наблю д ени й над ξ в n экспери ментах .

11

М етод у и склю чени я св ойств енен х арактерны й нед остаток. М од ели ру ю щ и й алгори тм опи сы в аетсяформу лой ξ = ψ (α1 ,α 2 ,K) , гд е α 1 ,α 2 ,... - нез ав и си мы е БС В ; ψ (⋅) - фу нкци ясчетного множ еств а аргу ментов . П ослед ни й факт пред ъявляетж естки етребов ани якпсев д ослу чайны м чи слам. Е сли f 0 ( x ) з ад ана на бесконечном и нтерв але и ли не ограни чена, при нци пи ально в оз мож но построи ть маж ори ру ю щ у ю фу нкци ю непосред ств енно. О д нако более у д обно под обрать преобраз ов ани е η = φ1 (ξ ) так, чтобы слу чайнаяв ели чи на η и мела ограни ченну ю плотность на конечном и нтерв але; η мод ели ру ю т метод ом и склю чени я, тогд а ξ = φ1−1 (η ) . 3.4.М о д е ли ро вани ене пре ры вно й случ айно й ве ли ч и ны м е то д о м супе рпо зи ци и М етод су перпоз и ци и мод ели ров ани янепреры в ной слу чайной в ели чи ны ξ с фи кси ров анной плотностью распред елени я f 0 ( x ) основ ан на форму ле полной в ероятности . П у сть ξ и ν – слу чайны е в ели чи ны , з ад анны е на од ном и том ж е в ероятностном пространств е; Fν ( z ) - фу нкци яраспред елени яν ; pξ ν (x z ) - у слов наяплотность распред елени яξ при у слов и и ν = z . Т огд а без у слов наяплотность распред елени яξ рав на ∞

∫ pξ ν (x z )dFν (z ) .

f 0 (x ) =

(3.4.1)

−∞

В частности , если ν – д и скретнаяслу чайнаяв ели чи на со множ еств ом з начени й {c1 , c 2 ,K, c N }и в ероятностями

{P{ν = c } = p : i = 1, N , N ≤ ∞}, i

i

pξ ν (x c i ) = f i (x ) ,

то (3.4.1) при ни маетв и д N

f 0 ( x ) = ∑ pi f i ( x ) . i =1

(3.4.2)

М од ели ру ю щ и й алгори тм з аклю чаетсяв след у ю щ ем: 1. О пред еляетсяв спомогательнаяслу чайнаяν в ели чи на так, чтобы и мело место (3.4.1) и ли (3.4.2). 2. М од ели ру етсяν ; пу сть z – реали з аци яν . 3. М од ели ру етсяξ при у слов и и ν = z ; полу чаем x – реали з аци ю слу чайной в ели чи ны ξ . Д ляу меньшени ясред него в ремени τ , з атрачи в аемого на полу чени е од ной реали з аци и x , слу чайну ю в ели чи ну ν над леж и т опред елять так, чтобы ν и ξ при фи кси ров анном ν д остаточно бы стро мод ели ров али сь. Н аи больши й практи чески й эффектд аетнепреры в но-д и скретны й в ари ант(3.4.2). Г рафи чески (3.4.2) оз начает, что фи гу ра ед и ни чной площ ад и {( x, y ) : 0 ≤ y ≤ f 0 ( x ), b ≤ x < c} раз би в аетсяна N непересекаю щ и х сячастей с площ ад ями pi . О снов ной при н-

12

ци п раз би ени я (3.4.2) з аклю чается в том, что части g i , и мею щ и е наи большу ю площ ад ь (наи большу ю в ероятность pi ), д олж ны соотв етств ов ать наи более просто и бы стро и ми ти ру емы м плотностям f i (x ) . О статочну ю плотность 5 5   f 0 ( x ) =  f 0 ( x ) − ∑ pi f i ( x ) p6 , p6 = 1 − ∑ pi i =1  i =1  мож но и ми ти ров ать метод ом и склю чени я. 3.5. М о д е ли ро вани егауссо вск о й случ айно й ве ли ч и ны м е то д ам и о братно й ф унк ци и и сум м и ро вани я Рассмотри м мод ели ров ани е метод ами обратной фу нкци и и су мми ров ани я гау ссов ской слу чайной в ели чи ны ξ сплотностью распред елени я:

(

)

f 0 ( x ) = n1 (x µ , D ) = exp − ( x − µ )2 (2 D )

2πD , x ∈ R1 ;

(3.5.1)

гд е параметры распред елени я: µ ∈ R 1 - математи ческое ож и д ани е, D - д и сперси я. В в ед ем в рассмотрени естанд артну ю гау ссов ску ю слу чайну ю в ели чи ну ξ ∗ , с плотностью n1 (x 0,1). Л егко у бед и ться, что ξ = µ + D ξ∗

(3.5.2)

и меетраспред елени е(3.5.1). И спольз у ясоотношени е(3.5.2) д лямод ели ров ани я ξ , обрати мсякз ад ачемод ели ров ани яξ ∗ . И сслед у ем три метод а мод ели ров ани я ξ∗ . П ерв ы й метод есть частны й слу чай метод а обратной фу нкци и : Φ −1 (α ),0,5 < α < 1, ξ∗ =  − Φ −1 (1 − α ),0 ≤ α ≤ 0,5,

(3.5.3)

гд е Φ(z ) =

z

∫ n1 (x 0,1)dx

−∞

есть фу нкци яраспред елени ястанд артного нормального з акона, а Φ −1 (⋅) – обратнаяей фу нкци я. В (3.5.3) у чтено и з в естноесв ойств о Φ(⋅): Φ(− z ) = 1 − Φ(z ) . В ы раж ени е Φ −1 ( z )через элементарны е фу нкци и отсу тств у ет, поэтому и спольз у етсяаппрокси маци я

13

Φ −1 ( z ) ≈ Ψ1 ( z ) =

2,30753 + 0,27061θ −θ 1 + 0,99229θ + 0,04810θ 2

(3.5.4)

соши бкой Φ −1 ( z ) − Ψ1 ( z ) < 3 ⋅ 10 −3 при z < 0,9 и ли Φ −1 ( z ) ≈ Ψ2 (z ) = −θ +

2,515517 + 0,802853θ + 0,01328θ 2 1 + 1,432788θ + 0,189269θ 2 + 0,001308θ 3

(3.5.5)

соши бкой Φ −1 ( z ) − Ψ1 ( z ) < 4,5 ⋅ 10 − 4 при z < 0,9 . В соотношени ях (3.5.4), (3.5.5) θ = − 2 ln z , 0,5 < z < 1 . В торой метод (метод су мми ров ани я) основ ан на центральной пред ельной теореме. Е сли α1 ,α 2 ,K – нез ав и си мы еБС В , то при N → ∞ слу чайнаяв ели чи на ξ∗ =

12  N N  ∑α i −  N  i =1 2

(3.5.6)

распред елена аси мптоти чески нормально, так что фу нкци я распред елени я Fξ* →Φ ( z ), z ∈ R 1 . Ф орму ла (3.5.6) при некотором конечном N и опред еляет мод ели ру ю щ и й алгори тм. С лу чайнаяв ели чи на ξ ∗ , опред еляемая(3.5.6), аппрокси ми ру ет станд артну ю гау ссов ску ю слу чайну ю в ели чи ну . О ши бка аппрокси маци и ∆ N = max Fξ∗ ( z ) − Φ ( z ) тем меньше, чем больше N . z

Т рети й метод являетсямод и фи каци ей в торого. О чев и д но, что при помощ и специ ального фу нкци онального преобраз ов ани я и з прои з в ольной слу чайной в ели чи ны , в частности ξ ∗ , мож но полу чи ть гау ссов ску ю . О д нако это преобраз ов ани е через элементарны е фу нкци и не в ы раж ается. Т ем не менее сред и элементарны х фу нкци ональны х преобраз ов ани й найд ены таки е, которы е су щ еств енно у меньшаю т ∆ N . В [3] рекоменд ов ано фу нкци ональноепреобраз ов ани е ξ ∗ = ξ∗ −

(

)

41 ξ ∗5 − 10ξ ∗3 + 15ξ ∗ . 2 13440 N

3.6. М о д е ли ро вани егауссо вск о й случ айно й ве ли ч и ны м е то д ам и ф унк ци о нально го пре о бразо вани я, и ск люч е ни яи супе рпо зи ци и Рассмотри м мод ели ров ани е гау ссов ской слу чайной в ели чи ны ξ с плотностью распред елени я(3.5.1) спомощ ью метод ов фу нкци онального преобраз ов ани я, и склю чени яи су перпоз и ци и .

14

У чи ты в ая (3.5.2), реши м з ад ачу мод ели ров ани я станд артной гау ссов ской в ели чи ны ξ ∗ . И сслед у ем д в а метод а мод ели ров ани яξ ∗ . П ерв ы й метод – метод фу нкци онального преобраз ов ани я- основ ан на след у ю щ ем у тв ерж д ени и . Е сли α1 ,α 2 – нез ав и си мы еБС В , то слу чайны ев ели чи ны ξ ∗1 = − 2 ln α1 cos(2πα 2 )

(3.6.1)

ξ ∗2 = − 2 ln α1 sin (2πα 2 )

являю тся нез ав и си мы ми станд артны ми гау ссов ски ми . М од ели ру ю щ и й алгори тм опред еляетсяформу лой (3.6.1). В торой метод и спольз у ет комби наци ю метод а су перпоз и ци и с метод ом и склю чени я. П ред став и м ξ ∗ в в и д е (3.6.2) ξ ∗ = νη , гд е ν ,η – нез ав и си мы е слу чайны е в ели чи ны ; ν - берну лли ев аяслу чайнаяв ели чи на, P{ν = −1} = P{ν = 1} = 0,5 ; η - непреры в наяслу чайнаяв ели чи на с плотностью 2 − y2 2 , y ≥ 0. pη = e (3.6.3) π Д лямод ели ров ани яη при мени м метод су перпоз и ци и : pη ( y ) = p1 f1 ( y ) + p 2 f 2 ( y ) ,

(3.6.4)

гд е 2 1 − y2 2 p 2 = 1 − p1 , p1 = e dy ≈ 0,6827 π ∫0 f1 ( y ) =

1 2 − y2 2 e I [0,1] ( y ) p1 π

1 f2 (y) = p2

.

(3.6.5)

(3.6.6)

2 − y2 2 e I [1,∞ ] ( y ) π

С еред и на распред елени я( f1 ( y )) мод ели ру етсяметод ом и склю чени яс прямоу гольной маж ори ру ю щ ей фу нкци ей 1 2 g1 ( y ) = I [0,1] ( y ) . (3.6.7) p1 π

15

мод ели ру ется метод ом «Х в ост» распред елени я ( f 2 ( y )) тож е и склю чени я, при чем пред в ари тельно и спольз у етсяв спомогательноепреобраз ов ани еψ = exp 1 − η 2 2 . П лотность распред елени яд ляψ :

((

) )

pψ (z ) =

1 p2

2 −1 2 −1 2 e (1 − 2 ln z ) , 0 < z ≤ 1 . π

(3.6.8)

П ри мод ели ров ани и ψ и спольз у ем метод и склю чени яс прямоу гольной маж ори ру ю щ ей фу нкци ей g 2 (z ) =

1 p2

2 −1 2 e I [0,1] (z ) . π

(3.6.9)

С лу чайнаяв ели чи на η полу чаетсяобратны м преобраз ов ани ем: η = 1− 2 lnψ .

(3.6.10)

Ф орму лы (3.6.2) – (3.6.10) опред еляю тслед у ю щ и й мод ели ру ю щ и й алгори тм. 1. С помощ ью д атчи ка БС В форми ру етсяпсев д ослу чайное чи сло α1 . Е сли α1 < 0,5 , то реали з аци яs слу чайной в ели чи ны ν рав на s = −1 , и наче s = 1 . 2. Ф орми ру етсячи сло α 2 . Е сли α 2 < p1 , то в ы чи сляетсяα ′ = α 2 p1 и осу щ еств ляетсяперех од кшагу 3 (и ми таци я f1 ( y ) ), в проти в ном слу чае – кшагу 4 (и ми таци я f 2 ( y ) ).

(

)

2 3. Ф орми ру етсячи сло α 3 . Е сли α 3 < exp − (α ′) 2 , то реали з аци я y слу чайной в ели чи ны η рав на: y = α ′ . В проти в ном слу чаеполу чаем α 4 и пров ерка нерав енств а пов торяется, полагаяα ′ := α 4 и т.д ., пока при некоем α k не в ы полни тсянерав енств о. П ерех од кшагу 6. 4. В ы чи сляетсяα ′′ = (α 2 − p1 ) (1 − p1 ) .

5. Ф орми ру ется чи сло α k +1 . Е сли α k +1 < (1 − 2 ln α ′′)−1 2 , то реали з аци я y слу чайной в ели чи ны η рав на: y = 1 − 2 ln α ′′ . В проти в ном слу чаеполу чаем α k + 2 и пров ерку нерав енств а пов торяем при α ′′ := α k + 2 и т.д ., пока нерав енств о нев ы полни тся. 6. В ы чи сляетсяреали з аци яx cлу чайной в ели чи ны ξ ∗ : x = sy . С лед у етотмети ть, что в ели чи ны α ′,α ′′ поз в оляю ти спольз ов ать од но и то ж е псев д ослу чайное чи сло на раз ли чны х шагах алгори тма и , след ов ательно, у меньшаю тв ремямод ели ров ани я.

16

3.7. М о д е ли ро вани еслуч айно й ве ли ч и ны с эк спо не нци альны м распре де ле ни е м Рассмотри м при менени е метод ов обратной фу нкци и , фу нкци онального преобраз ов ани яи су перпоз и ци и д лямод ели ров ани яслу чайной в ели чи ны ξ с экспоненци альны м распред елени ем f 0 ( x ) = λe − λx , x ≥ 0 , (3.7.1) гд е λ > 0 – параметрраспред елени я. В в ед ем в рассмотрени е станд артну ю экспоненци альну ю слу чайну ю в ели чи ну ξ ∗ , сплотностью f ξ∗ ( x ) = e − x , x ≥ 0 , полу чаю щ ейсяи з (3.7.1) при λ = 1 . Л егко пров ери ть, что слу чайнаяв ели чи на

(3.7.2)

ξ = ξ∗ λ

(3.7.3)

и меетраспред елени е(3.7.1). И спольз у я(3.7.3) при мод ели ров ани и ξ , обрати мсякз ад ачемод ели ров ани я ξ ∗ . И сслед у ем три метод а мод ели ров ани яξ ∗ . П ерв ы й метод есть частны й слу чай метод а обратной фу нкци и ξ ∗ = − ln α . (3.7.4). В торой метод (метод фу нкци онального преобраз ов ани я) основ ан на след у ю щ ем у тв ерж д ени и . ′ ′ П у сть α1 ,α 2 ,K,α N ,α N +1 ,K,α 2 N −1 – нез ав и си мы е БС В , N > 1; α1 ,K,α N −1 в ели чи ны α ,K,α , расстав ленны ев порядкев оз растани я; α ′ = 0, α ′ = 1 . N +1

2 N −1

0

Т огд а слу чайны ев ели чи ны

(

N

)

′ ′ ξ ∗k = α k −1 − α k ln(α1 Kα N ) , k = 1, N (3.7.5) нез ав и си мы и распред елены по з акону (3.7.2). Т рети й метод являетсячастны м слу чаем метод а су перпоз и ци и и основ ан на след у ю щ ем у тв ерж д ени и . Е сли α1 ,α 2 ,K – нез ав и си мы еБС В , ν и θ - нез ав и сящ и еотα1 ,α 2 ,K целочи сленны еполож и тельны еслу чайны ев ели чи ны сраспред елени ями −1 P{ν = i} = (e − 1)e −i , P{θ = j} = ((e − 1) j!) , i, j = 1,2, K , (3.7.6) то слу чайнаяв ели чи на ξ ∗ = ν − max{α1 ,α 2 ,K ,αθ } (3.7.7) и меетплотность (3.7.2). Ф орму ла (3.7.7) опред еляетмод ели ру ю щ и й алгори тм. 3.8. М о д е ли ро вани еслуч айно й ве ли ч и ны с гам м а- распре де ле ни е м Д лямод ели ров ани яслу чайной в ели чи ны ξ , и мею щ ей гамма-pаспред елени е сплотностью

17

f 0 ( x;ν ) =

ν −1 − x

x

e (3.8.1) , x ≥ 0, Γ(ν ) гд е ν > 0 – параметр распред елени я, могу т бы ть и спольз ов аны три основ ны х метод а мод ели ров ани яξ . П ерв ы й метод «работает» при целом ν ≥ 1 и и спольз у етсв ойств о без грани чной д ели мости з акона (3.8.1). Д ейств и тельно, х арактери сти ческаяфу нкци я ϕ ξ (t ;ν ) =

∞

∫ f 0 (x )e

itx

dx = (1 − it )

−ν

(3.8.2)

−∞

облад аетсв ойств ом, опред еляю щ и м без грани чну ю д ели мость : −ν m m ϕ (t ;ν ) = (1 − it ) = ϕ ξ (t ;ν m ), m = 2,3,K. ξ М ож но показ ать, что если η1 ,η 2 ,K,ην – нез ав и си мы естанд артны еэкспоненци ально распред еленны еслу чайны ев ели чи ны , то ν

ξ = ∑η j

(3.8.3)

j =1

и меетплотность (3.8.1). М од ели ров ани е η1 ,K,ην легко осу щ еств ляетсярассмотренны ми ранее метод ами . В частности , согласно (3.7.4) η j = − ln α j , j = 1,ν ,

(3.9.5)

гд еα1 ,K, αν – нез ав и си мы еБС В . О бъед и няя(3.8.3) и (3.8.4), полу чаем форму лу  ν  ξ = − ln ∏ α j  ,  j =1 

опред еляю щ у ю мод ели ру ю щ и й алгори тм. В торой метод при мени м, когд а ν = N + 0,5 ; N = 0,1,K . У чи ты в ая (3.8.2), (3.8.4), пред став и м х арактери сти ческу ю фу нкци ю слу чайной в ели чи ны ξ в в и де  N  −1 2 N ( ) ϕ ξ (t ; N + 0,5) = ϕ ξ (t ;1) (1 − it ) =  ∏ ϕ η j (t )ϕη0 (t ) , (3.8.6)  j =1  гд еη0 –слу чайнаяв ели чи на сплотностью

pη0 (z ) = e

−z

(

)

z Γ(0,5) , z ≥ 0 .

18

Е ё легко полу чи ть фу нкци ональны м преобраз ов ани ем станд артной гау ссов ской в ели чи ны ξ ∗ , нез ав и сящ ей отη1 ,K,η N : η 0 = ξ* 2 . 2

(3.8.7)

И з (3.8.5), (3.8.6) и (3.8.7) полу чаем форму лу  N  2 ξ = − ln ∏α j  + ξ* 2 ,  j =1 

(3.8.8)

опред еляю щ у ю мод ели ру ю щ и й алгори тм. М од ели ров ани е ξ ∗ осу щ еств ляется ранеерассмотренны ми метод ами . Н апри мер, согласно (3.6.1) ξ* 2 = −(ln α N +1 )cos 2 (2πα N + 2 ) . . 2

Т рети й метод есть частны й слу чай метод а и склю чени яи при мени м д лялю бого ν. О боз начи м ν ∗ = ν − [ν ], 0 ≤ ν ∗ < 1 и в оспольз у емся пред став лени ем, аналоги чны м (3.8.6), (3.8.8):  [ν ]  ξ = − ln ∏ α j  + ξ ∗ ,  j =1  при чем pξ∗ сов пад ает с (3.8.1), если параметр при ни мает з начени е ν ∗ . Д лямод ели ров ани я ξ ∗ , при мени м метод и склю чени я с маж ори ру ю щ ей фу нкци ей g (x ):  xν ∗ −1 , е сл и 0 ≤ x < 1, pξ∗ ( x ) ≤ g ( x ) =  − x e , е сл и x ≥ 1. ′ О тмети м: 1) в ели чи ну ξ ∗ , с плотностью g ( x ) mesG у д обно мод ели ров ать метод ом обратной фу нкци и : (1 + ν ∗α [ν ]+1 e )1 ν ∗ , е сл и 0 ≤ α [ν ]+1 < 1 (1 + ν ∗ e ) , ξ∗ =  −1 −1 − ln (1 − α [ν ]+1 )ν ∗ + e ,впрот ивном сл у ча е , ′

(

(

))

2) в ели чи на η∗′ при у слов и и ξ ∗′ = x мод ели ру етсятак: η∗′ = g ( x )α [ν ]+ 2 .

19

3.9. М о д е ли ро вани еслуч айны х ве ли ч и н с распре де ле ни ям и χ 2 , С тьюд е нта, Ф и ше ра Рассмотри м мод ели ров ани еслу чайной в ели чи ны ξ m с χ 2 –распред елени ем с m степенями св обод ы : x m 2−1e − x 2 (3.9.1) f1 ( x; m ) = m 2 , x≥0 , 2 Γ(m 2) слу чайной в ели чи ны η m с t–распред елени ем С тью д ента с m степенями св ободы :  m + 1 Γ  2   f ( y; m ) = ; (3.9.2)

(

)(

m +1) 2

mπ Γ(m 2) 1 + y 2 m и слу чайной в ели чи ны ς lm сраспред елени ем Ф и шера (l, m - чи сла степеней св обод ы ): l  l + m  2 −1 l2 Γ  z (l m )  2  f 3 ( z; l , m ) = (3.9.3) (l + m ) 2 , z ≥ 0 , l m l      Γ Γ 1 + z   2   2  m  гд е l, m – нату ральны ечи сла – параметры распред елени й. М ож но д оказ ать, что, если γ 1 , γ 2 ,K, γ m – нез ав и си мы е станд артны е гау ссов ски еслу чайны ев ели чи ны , то слу чайнаяв ели чи на 2

m

ξ m = ∑ γ 2j

(3.9.4)

j =1

и меетплотность (3.9.1). Ф орму ла (3.9.4) и опред еляетмод ели ру ю щ и й алгори тм д ляслу чайной в ели чи ны ξ m с χ 2 –распред елени ем сm степенями св обод ы . Алгори тм д лямод ели ров ани яслу чайной в ели чи ны η m с t–распред елени ем С тью д ента с m степенями св обод ы , и мею щ ей плотность (3.9.2), основ ы в ается на след у ю щ ем соотношени и ηm = γ ξ m m , (3.9.5) гд е γ – станд артнаягау ссов скаяслу чайнаяв ели чи на, а ξ m - не з ав и сящ аяот γ слу чайнаяв ели чи на сраспред елени ем (3.9.1). Д лямод ели ров ани яслу чайной в ели чи ны ς lm сраспред елени ем Ф и шера (l, m - чи сла степеней св обод ы ) сплотностью (3.9.3) мож етбы ть и спольз ов ано соотношени е ζ lm = (ξ l l ) (ξ m m ) , (3.9.6) гд еξ l , ξ m – нез ав и си мы еслу чайны ев ели чи ны с χ 2 –распред елени ями (3.9.1).

20

Зад ани ена вы по лне ни елабо рато рны х рабо т по к о м пьюте рно м у м о д е ли ро вани ю случ айны х ве ли ч и н И спольз у ясред у ав томати з аци и в ы чи слени й MATHCAD, сформи ров ать в ы борки з начени й слу чайны х в ели чи н со след у ю щ и ми з аконами распред елени я. Д ляд и скретны х слу чайны х в ели чи н: 1.Г еометри чески й з акон распред елени я. 2.Би номи нальны й з акон распред елени я. 3.Закон распред елени яП у ассона. Д лянепреры в ны х слу чайны х в ели чи н: 1. Закон рав номерной плотности на отрез ке [a,b] (и спольз у яметод обратной фу нкци и ). 2. Э кспоненци альноераспред елени е(и спольз у яметод обратной фу нкци и ); 3. Н ормальное(гау ссов ское) распред елени е, и спольз у я а) метод обратной фу нкци и , б) метод су мми ров ани я, в ) метод фу нкци онального преобраз ов ани я, г) метод и склю чени яи су перпоз и ци и . 4. Г амма – распред елени е. 5. Распред елени еС тью д ента. 6. Распред елени е χ 2. 7. Распред елени еФ и шера. Д лякаж д ого з акона распред елени ясз ад анны ми параметрами распред елени я д олж ны бы ть в ы полнены след у ю щ и ез ад ани я: 1.П остроени епри раз ли чны х з начени ях параметров графи ков теорети ческой плотности распред елени я(д лянепреры в ны х слу чайны х в ели чи н) и ли в ероятности (д ляд и скретны х слу чайны х в ели чи н) и теорети ческой фу нкци и распред елени я. 2.Ф орми ров ани еслу чайной в ы борки з ад анного объема. 3.П остроени е графи ка в ы борки (з ав и си мость в ы борочного з начени яот его номера). 4.О пред елени е основ ны х чи слов ы х х арактери сти к в ы борки : в ы борочного сред него, в ы борочной д и сперси и , в ы борочного сред некв ад рати ческого отклонени я, макси мального и ми ни мального в ы борочны х з начени й. 5.П остроени е ги стограммы и ее срав нени е с графи ком теорети ческой плотности распред елени я(д лянепреры в ны х слу чайны х в ели чи н) и ли в ероятности (д ляд и скретны х слу чайны х в ели чи н). 6.П остроени еэмпи ри ческой фу нкци и распред елени яи еесрав нени естеорети ческой фу нкци ей распред елени я. 7. И сслед ов ани е з ав и си мости в и д а ги стограммы от объема в ы борки (при фи кси ров анном чи сле и нтерв алов раз би ени я) и от чи сла и нтерв алов раз би ени я (при фи кси ров анном объемев ы борки ). Зад ани яд олж ны бы ть в ы полнены д ляраз ли чны х з начени й параметров распред елени й.

21

При м е р М од е ли ро вани еслуч айно й вы бо рк и , распре де ле нно й по эк спо не нци ально м у зак о ну П лотность распред елени яв ероятностей f (x) и фу нкци яраспред елени яF (x) непреры в ной слу чайной в ели чи ны , распред еленной по экспоненци альному з акону , опред еляю тсякак f ( x ) = λe − λx , F( x ) = 1 − e

− λx

x ≥ 0, x ≥ 0,

,

гд еλ>0 - параметрраспред елени я. Г рафи ки фу нкци й f (x) и F (x) , построенны епри раз ли чны х з начени ях параметра λ, при в ед ены на ри с.1 и ри с.2 соотв етств енно.

(

− λ1⋅ z

f1( z ) := if z ≥ 0 , λ1 ⋅ e

(

)

− λ1⋅ z

F1 ( z ) := if z ≥ 0 , 1 − e

(

,0

− λ 2⋅ z

f2( z) := if z ≥ 0 , λ2 ⋅ e

)

,0

(

− λ2⋅ z

F2 ( z) := if z ≥ 0 , 1 − e

4

(

− λ3⋅ z

f3( z ) := if z ≥ 0 , λ3 ⋅ e

)

(

,0

)

,0

− λ3⋅ z

F3 ( z) := if z ≥ 0 , 1 − e

)

,0

1

f1( z) f2( z)

)

,0

F1( z) F2( z) 0.5

2

f3( z)

F3( z)

0

0

2

4

0

0

2

z, z, z

z, z, z

Ри с.1

Ри с.2

Э кспон е н ци а л ьн а я пл отн ость ве роятн ости λ1 = 1

λ2 = 0.5

4

λ3 = 4

Э кспон е н ци а л ьн а я ф ун кци я ра спре де л е н и я λ1 = 1

λ2 = 0.5

λ3 = 4

Е сли x - слу чайнаяв ели чи на, рав номерно распред еленнаяна отрез ке[0,1], то слу чайну ю в ели чи ну y, и мею щ у ю экспоненци альноераспред елени е спараметром λ, мож но мод ели ров ать, и спольз у яметод обратны х фу нкци й, след у ю щ и м образ ом. Зад аетсяобъем в ы борки , N:=100 и з ад аетсяз начени епараметра распред елени я, напри мер, λ:=1 И з соотношени яд ляфу нкци и распред елени я y = F (x ) = 1 − e − λx , x ≥ 0,

нах од и м y:

22

xi := rnd( 1)

i := 0 .. N − 1

yi :=

−ln( xi) λ

Значени ясформи ров анной слу чайной в ы борки располагаем в табли це: k := 0 .. 9

0 0

1.269·10 -3

j := 0 .. 9

Ak , j := yk ⋅ 10+ j

1

2

3

4

5

6

0.215

0.879

0.431

1.731

0.191

0.759

0.921

0.182

0.599

0.62

1.982

1.513

5.743

1.24

1

4.466

0.127 8.963·10 -3

2

2.087

3.121

3

0.471

1.131 8.856·10 -3

0.323

0.887

1.818

0.663

A= 4

0.914

1.328

0.85

0.164

0.554

0.728

1.392

0.775

5

0.16

0.153

1.181

0.556

3.399

0.166

1.724

6

1.317

0.328

1.146

1.28

0.131

1.8

0.728

7

0.638

1.877

0.609

4.072

1.344

0.218

1.829

8

0.758

1.852

1.072

1.846

0.116

0.377

0.337

9

0.291 1.621·10 -3

1.641

0.236

0.806

0.121

1.395

Г рафи ческое и з ображ ени е з начени й построенной слу чайной в ы борки при в ед ено на ри с. 3. 5.743

6

4 yi 2

−3

1.269×10

0

0 0

20

40

60 i

80

100 99

Ри с. 3. Г рафи ческоеи з ображ ени ез начени й смод ели ров анной в ы борки . Осно вны еч и сло вы ехарак те ри сти к и вы бо рк и max(y)=5.743 min(y)=1.269x10 −3 mean(y)=0.992 var(y)=0.947 stdev(y)=0.973

макси мальноез начени е; ми ни мальноез начени е; в ы борочноесред нее; в ы борочнаяд и сперси я; в ы борочноесред некв ад рати ческоеотклонени е.

Значени яв ы борки мож но располож и ть в порядке в оз растани я, и спольз у я фу нкци ю sort(y) пакета Mathcad.

23

По стро е ни еги сто грам м ы , по ли го на ч асто т, те о ре ти ч е ск о й пло тно сти распре де ле ни я Зад аетсячи сло и нтерв алов раз би ени яд ляпостроени яги стограммы , напри мер, r:=10 и опред еляетсяд ли на и нтерв ала: h :=

( max( y) − min( y) ) r

О су щ еств ляетсяраз би ени ена и нтерв алы : v0 := min( y)

q := 0 .. r − 1

vq+1 := vq + h

С и спольз ов ани ем станд артной фу нкци и пакета Mathcad опред еляетсячи сло в ы борочны х з начени й, попав ши х в каж д ы й и з и нтерв алов v: H := hist ( v, y) . Г и стограмма относи тельны х частотнах од и тсякак Hist :=

H . N⋅h

Значени яHist и спольз у ю тсяи д ляпостроени яполи гона частот Pol:=Hist Г рафи ктеорети ческой плотности распред елени я слу чайной в ели чи ны , распред еленной по экспоненци альному з акону с параметром λ, мож ет бы ть построен так, как это показ ано в ы ше, с и спольз ов ани ем форму лы

(

− λ ⋅z

f ( z) := if z ≥ 0 , λ ⋅e

)

,0

Г рафи ческоеи з ображ ени е ги стограммы Hist, поли гона частотPol и кри в ой распред елени яf(z) при в ед ено на ри с. 4.

1

1

Hist Pol

0.5

f(z)

0

0

0 0

2

4 v, v , z

6 5.169

Ри с. 4. Г и стограмма Hist, поли гон частотPol и кри в аяраспред елени яf(z).

24

По стро е ни еэм пи ри ч е ск о й и те о ре ти ч е ск о й ф унк ци й распре де ле ни я Д ляпостроени яграфи ка эмпи ри ческой фу нкци й распред елени яз ад аетсяшаг h:=0.01 и пред елы и з менени япеременной: z := min( y) − h , min( y) .. max( y) + h . Т еорети ческаяфу нкци яраспред елени яслу чайной в ели чи ны , распред еленной по экспоненци альному з акону с параметром λ, мож ет бы ть построена так,

FT ( t ) := if ( t > 0 , 1 − e , 0) какэто показ ано в ы ше, си спольз ов ани ем форму лы Э мпи ри ческаяфу нкци яраспред елени яслу чайной в ели чи ны , распред еленной по экспоненци альному з акону с параметром λ, мож ет бы ть построена след у ю щ и м образ ом: Зад аетсячи сло и нтерв алов раз би ени яr:=10 и опред еляетсяд ли на и нтерв ала: − λ ⋅t

h :=

( max( y) − min( y) ) r

О су щ еств ляетсяраз би ени ена и нтерв алы : v0 := min( y)

q := 0 .. r − 1

vq+1 := vq + h .

С и спольз ов ани ем станд артной фу нкци и пакета Mathcad опред еляетсячи сло в ы борочны х з начени й, попав ши х в каж д ы й и з и нтерв алов v: H := hist ( v, y) . H , N + H1k −1

H1 :=

k := 1..last(H1) + 1,

F 0 := 0,

,

- эмпи ри ческаяфу нкци яраспред елени я. Г рафи ки теорети ческой FT и эмпи ри ческой F фу нкци й распред елени япри в ед ены на ри с. 5. Fk := Fk −1

1.01

1

F 0.5

FT ( t )

0

0

0 0

2

4 v,t

5

Ри с. 5. Г рафи ки теорети ческой F и эмпи ри ческой FT фу нкци й распред елени я.

25

Иссле д о вани езави си м о сти ви д а ги сто грам м ы о т о бъе м а вы бо рк и при ф и к си ро ванно м ч и слеи нте рвало в разби е ни я И сслед у ем з ав и си мость в и д а ги стограммы от объема в ы борки при фи кси ров анном чи сле и нтерв алов раз би ени я. Д ляэтого сформи ру ем три в ы борки раз ного объема, з афи кси ров ав чи сло и нтерв алов раз би ени я, и построи м д лякаж д ой и з в ы борокги стограмму так, какэто опи сано в ы ше. П олу ченны е ги стограммы и з ображ ены на ри с. 6.1 – ри с.6.3. λ := 1

По стро е ни еги сто грам м д ляразли ч ны х о бъе м о в вы бо рк и при ф и к си ро ванно м ч и слеи нте рвало в разби е ни я Ч k 1 := 25

и сла и нтерв алов раз би ени я k 2 := 25

k 3 := 25

О бъемы в ы борок n 2 := 200

n 1 := 20

h1 :=

(

y i3 := rnd ( 1 )

y i2 := rnd ( 1 )

y i1 := rnd ( 1 ) − ln 1 − y i1

i3 := 0 .. n 3 − 1

i2 := 0 .. n 2 − 1

i1 := 0 .. n 1 − 1

x1 i1 :=

n 3 := 2000

)

x2 i2 :=

λ

max ( x1 ) − min ( x1 )

h2 :=

k1

j1 := 0 .. k 1 − 1

(

− ln 1 − y i2

)

x3 i3 :=

λ

max ( x2 ) − min ( x2 )

h3 :=

k2

j2 := 0 .. k 2 − 1

(

− ln 1 − y i3

)

λ

max ( x3 ) − min ( x3 ) k3 j3 := 0 .. k 3 − 1

v10 := min ( x1 )

v20 := min ( x2 )

v30 := min ( x3 )

v1 j1 + 1 := v1 j1 + h1

v2 j2 + 1 := v2 j2 + h2

v3 j3 + 1 := v3 j3 + h3

H1 := hist ( v1 , x1 )

H2 := hist ( v2 , x2 )

H3 := hist ( v3 , x3 )

Hist1 :=

H1

Hist2 :=

n 1 ⋅ h1

1

H2

Hist3 :=

n 2 ⋅ h2

1

Hist1

1

Hist2 0.5

Hist3 0.5

0

H3 n 3 ⋅ h3

0

2

Ри с .6.1

4 v1

О бъем в ы борки 20, чи сло и нтерв алов 25.

0.5

0

0

2

4 v2

Ри с .6.2

О бъем в ы борки 200, чи сло и нтерв алов 25.

0

0

2

4 v3

Ри с .6.3 О бъем в ы борки 2000, чи сло и нтерв алов 25.

Иссле д о вани езави си м о сти ви д а ги сто грам м ы о т ч и сла и нте рвало в разби е ни япри ф и к си ро ванно м о бъе м евы бо рк и И сслед у ем з ав и си мость в и д а ги стограммы от чи сла и нтерв алов раз би ени я при фи кси ров анном объемев ы борки . Д ляэтого построи м ги стограммы сраз ли чны м чи слом и нтерв алов раз би ени я, пред в ари тельно з афи кси ров ав объем в ы борки , и построи м д лякаж д ой и з в ы борокги стограмму так, какэто опи сано в ы ше. П олу ченны еги стограммы и з ображ ены на ри с. 7.1 – ри с.7.3.

26

λ := 1

По стро е ни еги сто грам м д ляразли ч но го разби е ни я при ф и к си ро ванно м Ч k := 5

и сла и нтерв алов раз би ени я k := 25

1

i1 := 0 .. n

i1

:=

1

− 1

(

− ln 1 − y

y i1

)

x2

λ

max ( x1) − min ( x1) k

h2 :=

:= v1

j1

y

:=

(

− ln 1 − y

i2 )

i3

k

h3 :=

v2

0

:= v2

j2

H1

Hist2 :=

1

k

3

+ h2

v3

0

:= min ( x3)

j3 + 1

:= v3

j3

+ h3

H3 := hist ( v3 , x3)

H2

Hist3 :=

n ⋅ h2

H3 n ⋅ h3 3

1

Hist1

1

Hist2 0.5

0

)

3

2

1

i3

λ

max ( x3) − min ( x3)

v3

H2 := hist ( v2 , x2)

n ⋅ h1

(

− ln 1 − y

j3 := 0 .. k − 1

:= min ( x2)

j2 + 1

:=

2

2

+ h1

− 1

3

:= rnd ( 1 )

i3

x3

λ

max ( x2) − min ( x2)

v2

H1 := hist ( v1 , x1) Hist1 :=

2

j2 := 0 .. k − 1

:= min ( x1)

j1 + 1

i2

i3 := 0 .. n

− 1

:= rnd ( 1 )

i2

1

1

0

3

i2 := 0 .. n

j1 := 0 .. k − 1

v1

n := 200

2

:= rnd ( 1 )

i1

h1 :=

v1

3

n := 200

1

x1

k := 125

2

О бъемы в ы борок

n := 200

y

ч и сла и нте рвало в о бъе м евы бо рк и

Hist3 0.5

0

Ри с .7.1

2

4 v1

О бъем в ы борки 200, чи сло и нтерв алов 5.

0

0.5

0

2

4 v2

Ри с .7.2 О бъем в ы борки 200, чи сло и нтерв алов 25.

0

0

2

4 v3

Ри с .7.3 О бъем в ы борки 200, чи сло и нтерв алов 125.

Л и терату ра 1. К али ни на В .Н М атемати ческаястати сти ка / В .Н Кали ни на, В .Ф . П ани н. – М .: В ы сш. шк., 1998. – 336 с. 2. Х ари н Ю .С . П ракти ку м на Э В М по математи ческой стати сти ке(д ляматемати чески х специ альностей у ни в ерси тетов ) / Ю .С . Х ари н, М .Д . С тепанов а – М и нск: У ни в ерси тетскоеи з д ., 1987. – 304с. 3. Д ьяконов Г .В . Mathcad 8/2000 (специ альны й справ очни к) / Г .В . Д ьяконов С П б.: П и тер, 2000. – 590с.

27

С остав и тели : В лад и ми р Александ ров и чГ олу б Т амара М и х айлов на Ж у ков а М аргари та Анд реев на С околов а Ред актор О .А. Т и х оми ров а