Методы решения задач по алгебре

С.В.Кравцев, Ю.Л.Макаров, М.И.Максимов, М.И.Нараленков, В.Г.Чирский МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ: ОТ ПРОСТЫХ ДО САМЫХ СЛОЖНЫХ М.: Экзамен, 2001 — 544 с.

Предлагаемая вниманию читателя книга написана коллективом сотрудников механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова. Она является полным и систематическим курсом, предназначенным для интенсивной математической подготовки к поступлению в любой ВУЗ. Пособие написано на основе многолетнего опыта работы авторов с самыми различными по уровню подготовки аудиториями школьников и абитуриентов. Все авторы неоднократно были руководителями или членами экзаменационных комиссий по математике на различных факультетах МГУ и в других ВУЗах, что позволило им предостеречь читателя от многочисленных типичных ошибок, которые допускаются абитуриентами на экзаменах. Чтобы поступающий мог избежать таких ошибок, в пособии использованы наиболее простые методики обучения решению задач, которые помогли многим поколениям абитуриентов успешно сдать вступительные экзамены по математике в самые различные ВУЗы. ОГЛАВЛЕНИЕ 6 Предисловие 9 Введение §1. Множества и операции над ними 9 §2. Основные алгебраические формулы 12 §3. Функции и отображения 12 §4. Уравнения, неравенства, системы, совокупности 13 §5. Понятие равносильности уравнений, неравенств, систем 17 §6. Некоторые свойства функций 19 §7. Метод интервалов для решения неравенств 22 §8. Рациональные неравенства. 23 Глава I. Линейные и квадратичные зависимости, функция |х| и связанные с 24 ними уравнения и неравенства §1.1. Линейная функция 24 §1.2. Линейные уравнения и неравенства 25 §1.3. Решение линейных неравенств 26 §1.4. Квадратный трехчлен 26 §1.5. Корни квадратного трехчлена 27 §1.6. Зависимость расположения графика функций квадратного трехчлена 30 от a, D §1.7. Решение квадратных неравенств 33 §1.8. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители 34 §1.9. Задачи 36 §1.10. Выделение полного квадрата, как метод решения некоторых 41 нестандартных задач §1.11. Равносильность и следствия в задачах с квадратным трехчленом 46 §1.12. Уравнения и неравенства, содержащие модули 62

Глава II. Решение уравнений и неравенств, содержащих иррациональности §2.1 Определение и свойства функций y = n x , n ∈ N , n ≥ 2,... §2.2. Приемы решения иррациональных уравнений и неравенств §2.3. Уравнения и неравенства, содержащие несколько радикалов §2.4. Графический способ решения задач с радикалами Глава III. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства §3.1 Определение и свойства показательной функции §3.2. Определение и свойства логарифмической функции §3.3. Простейшие показательные и логарифмические уравнения и неравенства §3.4. Основные типы показательных уравнений и неравенств §3.5. Основные типы логарифмических уравнений и неравенств Глава IV. Тригонометрические уравнения, системы и неравенства §4.1. Градусная и радианная меры угла. Тригонометрический круг §4.2. Основные тригонометрические функции §4.3 Простейшие тригонометрические уравнения §4.4. Тригонометрические формулы §4.5. Тригонометрические уравнения, сводящиеся заменой переменной к квадратному уравнению §4.6. Решение уравнений с помощью вспомогательного аргумента §4.7. Уравнения вида: f(sinx+cosx; sin2x)=0; или f(sinx-cosx; sin2x)=0 §4.8. Проверка и отбор корней тригонометрических уравнений Глава V. Системы уравнений и неравенств §5.1. Некоторые приемы решения систем уравнений §5.2. Системы линейных уравнений §5.3. Системы уравнений второго порядка §5.4. Симметрические системы §5.5. Системы тригонометрических уравнений §5.6. Системы логарифмических и показательных уравнений §5.7. Нестандартные системы уравнений Глава VI. Текстовые задачи §6.1. Задачи «на движение» §6.2. Текстовые задачи, связанные с понятием «работа» §6.3. Задача «на смеси и проценты» §6.4. Нестандартные текстовые задачи Глава VII. Арифметическая и геометрическая прогрессии Глава VIII. Нестандартные задачи §8.1. Метод мини-максов §8.2. D- метод. (Дискриминантами метод) §8.3. Метод отделяющих констант §8.4. Метод тригонометрической подстановки §8.5. Метод «геометрической» подстановки §8.6. Симметрия алгебраических выражений

89 89 91 109 120 129 129 130 133 138 173 214 214 218 222 226 228 242 249 252 281 281 283 287 290 294 307 311 321 321 331 338 345 360 369 369 389 402 407 411 476

§8.7. Координатная плоскость «переменная-параметр» и решение относительно параметра §8.8. Решение нестандартных задач с использованием общих свойств функций §8.9. Задачи со свободным параметром §8.10. Использование теоремы Виета §8.11. Задачи с заменой условия Глава IX. Решение задач с целыми числами. §9.1. Простые и составные числа §9.2. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное нескольких целых чисел §9.3. Решение в целых числах (x,y) уравнений вида: a x + b y = c §9.4. Китайская задача об остатках §9.5. Решение в целых числах уравнений вида: ax2 + bxy + cy2 = d §9.6. Задачи вступительных экзаменов с целыми числами Глава X. Решение задач с помощью производной функции §10.1. Производная функции §10.2. Решение задач с использованием производной Список литературы

443 453 466 474 491 495 495 497 500 503 507 510 530 530 533 541